Alex

DISIPADOR CON GEOMETRIA ESPIRAL
TRIANGULAR
Resumen
En este artículo reportamos un disipador triangular que es un motivante para
lograr la aplicación a puntos que involucran una geometria espiral triangular
sirve para ilustrar el concepto de curvas vectoriales en el plano. Y es un ejercicio
didáctico de la materia de Cálculo vectorial.
Abstract
In this article we will see the diagram of this triangular dissipator that will
help us in this project being the basis to create the points and distances of the
dissipater, in the same way this article will serve as support in what has been
the plane of vector curves.
Introducción
Un disipador de calor es un instrumento que se utiliza para bajar la temperatura
de algunos componentes electrónicos.
Su funcionamiento se basa a la ley cero de termodinámica, transriendo el
calor de la parte caliente que se desea disipar al aire.
Este proceso nos ayudará tanto a conocer cómo se lleva acabo las operaciones
en funciones vectoriales para este proyecto ya que se basa en la unidad que se
está aplicando en dicha materia y esperemos sea de su agrado y logren aprender
y entender las operaciones realizadas basadas en funciones vectoriales.
Desarrollo
Como primer paso procedemos a obtener las coordenadas con respecto a los ejes
de cada punto que se sitúan en la partición de un círculo con tres partes y en
base al eje x obtener sus ángulos de cada sección dividida.
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En la primera división que tenemos a los puntos (A, D,G,J) respecto al eje
x obtuvimos un ángulo de 210° y con base a este ángulo procedemos a realizar
las operaciones de cada punto dado:
P(A)=(Cos 210°, Sen 210°) = (-0.866, -0.5)
P(D)= (Cos 210°, Sen 210°) =( -3.464, -2 )
P(G) P(G)=7(Cos 210°, Sen 210°) = (-6.062,-3.5)
P(J)=10(Cos 210°, Sen 210°) = (-8.66,-5)
Para llegar a estos resultados tuvimos que generar las coordenadas con respecto a los ángulos dando así la ecuación y sus coordenadas principales (Cos
330°, Sen 330°) y este conforme va girando se va multiplicando por el número
de punto que es tomado en cuenta, los otros puntos de diferente ángulo.
Ahora pasemos a los puntos (B, E, H, K)
P(B)=2(Cos 330°, Sen 330°) = (1.732,-1)
P(E)=5(Cos 330°, Sen 330°) = (4.33,-2.5)
P(H)=8(Cos 330°, Sen 330°) = (6.928,-4)
P(K)=11(Cos 330°, Sen 330°) = (9.526,-5.5)
En este caso la ecuación principal del eje tres esta en la dirección (Cos 90°,
Sen 90°) y este conforme va girando se va multiplicando por el número de puntos
que son tomados en cuenta los otros puntos de diferente ángulo.
Ahora pasemos a los puntos (C,F,I,L)
P(C)=3(Cos 90°, Sen 90°) = (0,3)
P(F)=6(Cos 90°, Sen 90°) = (0,6)
P(I)=9(Cos 90°, Sen 90°) = (0,9)
P(L)=12(Cos 90°, Sen 90°) = (0,12)
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Así es como queda la gráca con los puntos obtenidos de las operaciones que
se realizaron posteriormente.
Figure 1:
Segmento
AB
BC
CD
DE
EF
FG
GH
HI
IJ
JK
KL
Ecuación
Vector dirección
Forma del segmento t ∈ ¨[ 0,1 ]
r(t) = (vo − t(v)
v = (1.732, −1)
v = (−1.732, 4)
v = (−3.464, −5)
v = (7.794, 4.5)
v = (−4.33 + 8.5)
v = (−6.062, −9.5)
v = (12.99 − 0.5)
v = (−6.928, 13)
v = (−8.76, −14)
v = (18.286, −0.5)
v = (−9.526, 17.5)
(0.86 + 2.592t, −0.5 − 0.5t)
(1.732 − 1.732t, −1 + 4t)
(0 − 3.464t, 3 − 5t)
(−3.464 + 7.794t, −2 + 4.5t)
(4.33 − 4.33t, −2.5 + 8.5t)
(0 − 6.062, 6 − 9.5t)
(−6.062 + 12.99t, −3.5 − 0.5t)
(−6.928 − 6.928t, −4 + 13t)
(0 − 8.76t, 9 − 14t)
(−8.76 + 18.286t, −5 − 0.5t)
(9.526 − 9.526t, −5.5 + 17.5t)
Calculamos el vector unitario en la dirección del eje 2 considerando el ángulo
de 210°
cos 210`= 0.866
sin 210` = -0.5
entonces el vector unitario es
u2= ( -0.866,-0.5 )
punto A = ( -0.866,-0.5 )
punto D = ( -3.464,-2 )
punto G = ( -6.062,-3.5 )
punto J = ( -8.66,-5 )
Calculamos el vector unitario en la dirección del eje 3 considerando el ángulo
de 330°
cos 330` = 0.866
sen 330` = -0.5
( 0.866,-0.5 )
punto B = ( 1.732,-1 )
punto E = ( 4.33,-2.5 )
punto H = ( 6.928,-4 )
punto K = ( 9.526,-5.5 )
Calculamos el vector unitario en la dirección del eje 1 considerando el ángulo
de 90°
cos 90`=0
sen 90`=1 ( 0 , 1 )
punto C = ( 0,3 )
punto F = ( 0,6 )
punto I=( 0,9 )
punto L=( 0,12 )
Para obtener los puntos utilizaremos la ecuacion
r(t) = (vo − t(v))
respecto a los puntos encontrado.
Ecuacion para el segmento
AB
A = (−0.86, −0.5)
B = (1.732, −1)
r(v) = AB = (1.732, −1) − (−0.86, −0.5) = (2.592, −0.5)
r(t) = (0.86, −0.5) + t(2.592, −0.5)
(x, y) = (0.86, −0.5) + (2.592t, −0.5t)
x = (0.86 + (2, 592t)
y = (−0.5, −0.5t)(0.86 + 2.592t, −0.5 − 0.5t)t ∈ [0, 1]
Ecuacion para el segmento BC
r(t) = (vo − rv)
B = (1.732, −1)
C = (0, 3)
r(v) = BC = (0, 3) − (1.732, −1) = (−1.732, 4)
r(t) = (1.732, −1) + t(−1.732, 4)
(x, y) = (1.732, −1) + (−1.732t, 4t)
x = (1.732 − 1.732t)
y = (−1 + 4t)(1.732 − 1.732t, −1 + 4t)t ∈ [0, 1]
con
Ecuacion para el segmento
CD
r(t) = (vo − rv)
C = (0, 3)
D = (−3.464, −2)
r(v) = CD = (−3.464, −2) − (0, 3) = (−3.464, −5)
r(t) = (0, 3) + t(−3.464, −5)
(x, y) = (0, 3) + (−3.464t, −5t)
x = (0 − 3.464t)
y = (3 − 5t)(0 − 3.464t, 3 − 5t)t ∈ [0, 1]
Ecuacion para el segmento DE
r(t) = (vo − rv)
r(v) = DE = (−3.464 + 7.794t, −2 + 4.5t)
Ecuacion para el segmento EF
r(t) = (vo − rv)
r(v) = EF = (4.33 − 4.33t, −2.5 + 8.5t)
Ecuacion para el segmento F G
r(t) = (vo − rv)
r(v) = F G = (0 − 6.062, 6 − 9.5t)
Ecuacion para el segmento GH
r(t) = (vo − rv)
r(v) = GH = (−6.062 + 12.99t, −3.5 − 0.5)
Ecuacion para el segmento HI
r(t) = (vo − rv)
r(v) = HI = (−6.928 − 6.928t, −4 + 13t)
Ecuacion para el segmento IJ
r(t) = (vo − rv)
r(v) = IJ = (0 − 8.76t, 9 − 14t)
Ecuacion para el segmento JK
r(t) = (vo − rv)
r(v) = JK = (−8.76 + 18.286t, −5 − 0.5t)
Ecuacion para el segmento KL
r(t) = (vo − rv)
r(v) = KL = (9.526 − 9.526t, −5.5 + 17.5t)
Figure 1:
Conclusión
Este proyecto podemos observar algunas relaciones del cálculo vectorial con un
ejemplo sobre un diseño de un disipador de calor con geometría espiral triangular.
Con la ayuda del cálculo obtuvimos las ecuaciones vectoriales que denen
a dicha geometría, basándonos en vértices, sus coordenadas, ángulos entre las
tres diferentes líneas de trazado de vértice, así como en número de vueltas.
También podemos utilizar esta metodología para otros nes como puede ser
un sistema de riego donde por el límite de dicha área de siembra tenga forma
triangular y así podemos utilizar este proyecto con las ecuaciones dadas.
Referencias
https://es.wikipedia.org/wiki/Disipador
Agradecimientos
Los autores agradecemos las ideas y el asesoramiento del profesor Jose Enrique
Salinas Carrillo en la redacción de este escrito.
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