LA LIBERTAD EDUCACIÓN MATEMÁTICA Y PLANIFICACIÓN CURRICULAR 5. Algebra temprana y funciones Mg. Luis Miguel MARAVÍ ZAVALETA [email protected] I. E. Nº 80915 “Miguel Grau Seminario” Conceptos necesarios Características del álgebra temprana (Blanton & Kaput, 2011) • Es el conjunto de “actos de deliberada generalización y expresión de generalidad, así como el razonamiento basado sobre las formas de acciones sintácticamente guiadas a partir de aquellas expresiones” (p. 7). • Existen diversas formas de desarrollar álgebra temprana. En este caso, se elegirá el pensamiento funcional como vía para construir generalizaciones. Demandas curriculares e investigación (Blanton & Kaput, 2011, p. 8) • La propuesta del NCTM (y nuestro CNEB) consideran que los niños deberían ser capaces de: a) Comprender patrones, relaciones y funciones. b) Representar y analizar situaciones matemáticas o estructuras mediante el uso de símbolos algebraicos. c) Usar modelos matemáticos para representar y comprender relaciones cuantitativas. d) Analizar el cambio en contextos diferentes. • De acuerdo con Smith (2008), existen tres modos de analizar patrones y relaciones: a) Patrones recursivos: encontrar la variación en un conjunto de valores. b) Pensamiento covariacional: analizar cómo dos cantidades varían simultáneamente. (“mientras x aumenta en uno, x aumenta en tres”) c) Relación de correspondencia: identificar la correlación entre dos variables (“y es 3 veces x más 2”) Desarrollo del simbolismo (Blanton & Kaput, 2011, p. 12) • La transición del lenguaje natural hacia el empleo de símbolos apareja el empleo de seudoconceptos (Vygotsky). De este modo, los niños son capaces de operar con los conceptos aunque no sean claramente conscientes de dichas operaciones. • Dicha conciencia será desarrollada en tanto los niños tengan oportunidad de desarrollar notación simbólica mediante vías significativas. Problema de los apretones de mano (Blanton & Kaput, 2011, p. 12) • “Yo pregunte, “¿puedo etiquetar un lado de la tabla con ‘personas’ y el otro con ‘apretones de mano’?” Un niño dijo “solo escriba ‘p’ y ‘a’”. Inmediatamente deje de hacer lo que estaba haciendo y le pregunté qué dijo. El repitió lo que había dicho. “Fantástico, ¿de dónde lo sacaste?”. El continuó, “Bien, ‘personas’ inicia con p y ‘apretones’ con a”. Problema de la oruga que crece (Blanton & Kaput, 2011, p. 13) 1 2 3 Recomendaciones para la enseñanza (Blanton & Kaput, 2011) • Transformar el material instruccional existente para incluir la exploración de relaciones covariacionales o de correspondencia (ejm.: en el problema de la oruga, no se pidió simplemente su longitud). • Identificar ocasiones en las que los niños tienden a extender conversaciones sobre la aritmética hacia aquellas que exploran la generalización. Llevar un registro y aprovecharlas. • Crear cultura de práctica del pensamiento funcional en el aula. Patrones Funciones ¿Qué es una función matemática? (Vallejo, 2015) • Dados los conjuntos A y B, una función f:A→B es una regla que dice cómo asociar a cada elemento x en A, un elemento y = f(x) en B. • El conjunto A se llama DOMINIO de f, y B es el contradominio de f. • Para cada x en A, el elemento f(x) en B se llama la imagen de x por la función x → f(x) • El conjunto de todas las imágenes f(x) de los elementos x en A, por la función f , se llama RANGO de f. En una carrera de 100 metros planos (Gaita, 2009) • “Dominio” de la función: el grupo de atletas que compite en la carrera. • “Rango” de la función: el lugar que ocupa el deportista en el cuadro de calificaciones tras la competencia. NO PUEDE HABER EXCEPCIONES: todos los atletas tienen su lugar en el cuadro. NO HAY AMBIGUEDADES: un deportista tiene un solo lugar en el cuadro. Pero dos atletas si pueden compartir un lugar en este. Formas de expresar la regla de correspondencia (Azcarate & Deulofeu, 1996, p. 27) 1. Tabla Primera fila: elementos del dominio Segunda fila: Elementos del conjunto de llegada 2. Gráfica cartesiana Conjunto de puntos del plano cuyas coordenadas se expresan mediante pares ordenados (x,y) Función lineal La proporcionalidad directa como función: la función lineal (Azcárate & Deulofeu, 1996) Observemos estos dos casos: En la última tabla ocurre que: 𝑘, cuya consecuencia es: 𝑓 𝑥 = 𝑘𝑥 𝑦1 𝑥1 = 𝑦2 𝑥2 = 𝑦3 𝑥3 =⋯= 𝑦𝑛 𝑥𝑛 = Gráfica de la función lineal: 𝑦 = 𝑘𝑥 Función lineal afín Función lineal afín • Martín paga S/2 en su consumo de agua por metro cúbico, mientras que su cargo fijo es de S/8. Representar esta situación mediante una función. • Obsérvese que los aumentos sufridos por f(x) son proporcionales a los aumentos dados a 2 2 2 2 2 x. 2 2 2 f(x) 8 10 12 14 16 18 20 22 24 x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 1 1 1 1 1 1 1 1 Gráfica de la función lineal afín: 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑏 En el caso anterior: 𝑘 = 2 (pendiente de una recta) 𝑏 = 8 (intersección con el eje Y) ¿Qué significado tiene la intersección de la gráfica con el eje X? Caso particular de la función lineal afín: la progresión aritmética (Lages, 1992; Lages, Pinto, Wagner & Morgado, 2000) • Una fábrica de automóviles produjo 400 vehículos en enero y aumenta mensualmente su producción en 30 vehículos. ¿Cuántos vehículos produjo en junio? f(n) 400 430 460 490 520 550 580 610 640 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Una progresión aritmética es un tipo de función (llamada sucesión), donde n solo puede tomar valores correspondientes a números naturales. Gráfica de los puntos pertenecientes a y = 30𝑥 + 370 En el caso anterior: 𝑘 = 30 (pendiente de una recta) 𝑏 = 370 (intersección con el eje Y) Más aspectos teóricos sobre la enseñanza del álgebra El ciclo operacional-estructural en álgebra (Kieran, 1992, p. 392) • La psicóloga Anna Sfard sugiere que las nociones matemáticas abstractas pueden ser concebidas como objetos (en forma estructural) o como procesos (en forma operacional). La transición de lo segundo a lo primero puede ser muy difícil. • Ante ello, la investigadora creó un modelo de tres fases para el desarrollo conceptual: interiorización (donde algunos procesos son ejecutados sobre la base de objetos matemáticos ya conocidos), condensación (la operación o proceso es exprimida en unidades más manejables) y reificación (súbita habilidad para ver algo familiar bajo una nueva luz). • El álgebra escolar puede ser comprendida como un ciclo de evolución procedimental-estructural. El ciclo operacional-estructural en álgebra (Kieran, 1992, p. 393) • En el caso de la función, Sfard afirma: “la reificación puede ser evidenciada en la proficiencia al resolver ecuaciones en las cuales las incógnitas son funciones (ecuaciones funcionales, ecuaciones con parámetros), por la habilidad de referirse a propiedades generales de diferentes procesos ejecutados sobre funciones (como la composición e inversión), (…)” Sugerencias para la enseñanza del álgebra desde el punto de vista funcional (Kieran, 1992, pp. 411412) • Deberían destinarse grandes esfuerzos (en los textos, en el aula, en la enseñanza, etc.) para desarrollar la parte estructural del álgebra. Con ella se necesita más tiempo que con la procedimental. • Así mismo, más atención debería ser prestada a la transición de lo procedimental hacia lo estructural. Elementos para un borrador de planificación Tema Problema principal Construcción del número natural Subitizing Construcción del número entero Comprensión del número negativo Fracciones Sesgo del número natural/entero Funciones (como resultado de generalización) Problemas de simbolismo y de relación estructuraloperacional Propósito Evidencia Plan de clase Empleo del esquema de seis columnas (por ahora) Referencias • • • • • • • • Azcárate, C. & Deloufeu, J. (1996). Funciones y gráficas. Madrid, España: Síntesis. Blanton, M. & Kaput, J. (2011). Functional Thinking as a Route Into Algebra in the Elementary Grades. En Cai, J., & Knuth, E. (Eds.) Early Algebraization: A Global Dialogue from Multiple Perspectives, pp. 5-24. Berlín, Alemania: Springer. Bressan, A. & Gallego, M. (2010). El proceso de matematización progresiva en el tratamiento de patrones. Correo del Maestro, 168, pp. 5 – 21. Gaita, C. (Coord.) (2009). Matemáticas para no matemáticos. Lima, Perú: Estudios Generales Letras – Pontificia Universidad Católica del Perú. Grupo Azarquiel (1993). Ideas y actividades para enseñar álgebra. Madrid, España: Síntesis. Kieran, C. (1992). The learning and teaching of school Algebra. En Grouws, D. (Ed.). Handbook of research on mathematics teaching and learning, pp. 390419. Reston, VA: NCTM. Lages, E. (1992). Curso de análise, vol. 1. Rio do Janeiro, RJ: Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico. Lages, E., Pinto, P., Wagner, E., & Morgado, C. (2000). La Matemática de la Enseñanza Media, vol. 2. Lima, Perú: Instituto de Matemáticas y Ciencias Aplicadas.
