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Educación Matemática y planificación curricular-3

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EDUCACIÓN MATEMÁTICA Y
PLANIFICACIÓN CURRICULAR
3. Fracciones y números racionales
Mg. Luis Miguel MARAVÍ ZAVALETA
[email protected]
I.
E. Nº 80915 “Miguel Grau Seminario”
El Pallar, Huamachuco
1. Conceptos matemáticos sobre
fracción
Etapas de la planificación
curricular según el CNEB
1
• Determinar
propósito
aprendizaje
(competencias,
capacidades
estándares,
desempeños,
enfoques) sobre
base
de
necesidades
aprendizaje
el
de
y
la
las
de
2
3
• Establecer
los
criterios para recoger
evidencias
de
aprendizaje sobre el
progreso
• Diseñar y organizar
situaciones
y
estrategias
pertinentes
al
propósito
Algunos conceptos matemáticos
importantes – 1 (Carranza, 1999)
• “Las fracciones aparecen mucho antes de
conocer los números negativos, junto a la
necesidad de medir” (p. 44).
• “Sabemos que en el sistema de los números
enteros, la suma, la diferencia y el producto
de dos números enteros siempre existe y es
otro número entero. En cambio el cociente
de dos números enteros no siempre es un
número entero, por ejemplo ½ o ¾” (p. 44).
Algunos conceptos matemáticos
importantes – 2 (Obersteiner, Dresler,
Bieck, & Moeller, 2019, p. 139)
• Las fracciones son las representaciones
simbólicas
de
los
números
racionales.
Constituyen extensión del conjunto de números
enteros.
• Cada número racional es definido como la clase
de equivalencia 𝑎, 𝑏 , de enteros 𝑎 𝑦 𝑏, con
𝑏 ≠ 0 . La relación de equivalencia es la
siguiente: dos pares 𝑎, 𝑏
y 𝑐, 𝑑
son
considerados equivalentes, si y solo si 𝑎𝑑 = 𝑏𝑐.
• Después de definir las operaciones de adición y
multiplicación, se tiene el campo de los números
racionales.
Algunos conceptos matemáticos
importantes – 3 (Carranza, 1999)
• El conjunto de los racionales (donde se
encuentran las fracciones) posee las
propiedades de orden y densidad.
a) Orden: Sean 𝑎 y 𝑏 dos números
racionales. Se dice que 𝑎 < 𝑏 si y sólo si,
existe el número racional positivo 𝑐, tal que
𝑎 + 𝑐 = 𝑏.
b) Densidad: Dados los números racionales 𝑎
y 𝑏, con 𝑎 < 𝑏, siempre existe un número
racional 𝑐 tal que 𝑎 < 𝑐 < 𝑏.
Sobre el concepto de orden
(Carranza, 1999)
• En términos de fracciones,
𝑚 𝑝
< ↔ 𝑚𝑞 < 𝑛𝑝; 𝑛, 𝑞 𝑠𝑜𝑛 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠
𝑛 𝑞
• Ejemplo:
1 2
< ↔ 1 5 < 6(2)
6 5
Algunos conceptos matemáticos
importantes – 4 (Carranza, 1999)
• “La propiedad de densidad no se cumple en
el conjunto de números naturales. Por
ejemplo, para 3 ∈ 𝑁, no existe 𝑘 ∈ 𝑁 tal que
3 < 𝑘 < 4“ (p. 47)
• Así mismo, dentro de los números naturales
existe el concepto de “sucesor”: todo número
natural tiene un único sucesor. Esto no se
cumple en el conjunto de los números
racionales.
Propiedad fundamental de la fracción
(Kudriavtsev, 1983)
• Cualquiera que sea la fracción
tiene lugar la igualdad
𝑎 𝑎𝑐
=
𝑏 𝑏𝑐
2
5
Ejemplo: =
2(6)
5(6)
=
𝑎
,𝑏
𝑏
≠ 0, 𝑐 ≠ 0,
12
30
• De hecho, se dice que
0, 𝑑 ≠ 0.
𝑎
𝑏
=
2
5
𝑐
𝑑
Ejemplo: del caso anterior, =
↔ 𝑎𝑑 = 𝑏𝑐, 𝑏 ≠
12
30
↔ 2 30 = 5(12)
Diferencias entre números naturales y fracciones
(Obersteiner, Dresler, Bieck, & Moeller, 2019, p. 140)
2. El sesgo del número natural (o
del número entero)
Definición (Zazkis & Mamolo, 2016, p. 49)
• Ocurre cuando los estudiantes, al operar con
fracciones, se basan en procedimientos e
intuiciones adquiridas mientras trabajaban con
los números naturales.
1
3
1
,
4
• Por ejemplo, alguien podría decir que <
porque 3 < 4.
• También aparece cuando los estudiantes
interpretan a la fracción como dos enteros
12
7
19
separados. Por ejemplo, en
+ =
13
8
21
(Obersteiner, Dresler, Bieck, & Moeller, 2019, p.
138)
3. Significados de la fracción
Diferentes interpretaciones para las
fracciones (Llinares & Sánchez, 1997. p. 51)
Relación parte-todo y medida (Llinares &
Sánchez, 1997)
• “Se presenta esta situación cuando un “todo” (continuo o
discreto) se divide en partes “congruentes” (equivalentes
como cantidad de superficie o cantidad de “objetos”). La
fracción indica la relación que existe entre un número de
partes y el número total de partes” (p. 55).
• Para comprender este significado se necesita:
a) Haber interiorizado la noción piagetiana de inclusión de
clases.
b) Haber identificado la unidad (cuál es el “todo” que se va a
dividir).
c) Poder realizar divisiones (conservación del todo, aún
cuando sea dividido)
d) Manejar la idea de área (si la representación es
continua).
Ejemplos de relación parte-todo
(Llinares & Sánchez, 1997, pp. 56 –
57)
La relación parte-todo permite introducir a las fracciones decimales.
También permite la ubicación de fracciones en la recta numérica.
Las fracciones como cociente (Llinares
& Sánchez, 1997)
• “En esta interpretación se asocia la fracción
a la operación de dividir un número natural
por otro” (p. 63). Pero, según T. Kieran,
“dividir una unidad en cinco partes y coger
tres (3/5) resulta bastante diferente del
hecho de dividir tres unidades entre cinco
personas, aunque el resultado sea el mismo”
(p. 63).
• Doble aspecto: reparto y estructura
algebraica.
Las fracciones como cociente (Llinares &
Sánchez, 1997) – Primer aspecto: reparto
• “Tenemos tres barras de chocolate y hay
que repartirlas de forma equitativa entre
cinco niños, ¿cuánto le tocará a cada
niño?” (p. 63).
• Algunos autores señalan dificultades para
el manejo de este aspecto. Sin embargo,
existe un desarrollo peruano interesante y
exitoso en la tesis de Ordoñez (2014).
Las fracciones como cociente (Llinares &
Sánchez, 1997) – Segundo aspecto: estructura
algebraica
• De acuerdo con este aspecto, “se conciben las
fracciones
(números
racionales)
como
elementos de la forma 𝑎 𝑏 , siendo 𝑎 y 𝑏
naturales (para 𝑄+ , 𝑏 ≠ 0) que representan la
solución de la ecuación 𝑏. 𝑥 = 𝑎” (p. 67).
• Sin
embargo,
según
Kieren,
“esta
interpretación de las fracciones (números
racionales) como elementos de un cuerpo
(estructura algebraica) no está estrechamente
vinculada al pensamiento natural del niño al
desarrollarse en forma deductiva las
operaciones y propiedades” (p. 67).
Las fracciones como razón (Llinares &
Sánchez, 1997)
• Bajo este significado, “las fracciones son
usadas como un ‘índice comparativo’ entre
dos
cantidades
de
una
magnitud
(comparación de situaciones) (…) En este
caso no existe de forma natural una unidad
(un “todo”) como podía ocurrir en los otros
casos (…) En esta situación, la idea de par
ordenado de números naturales toma nueva
fuerza (…) se escribe como 𝑎: 𝑏" (pp. 67-68).
Ejemplos de fracción como razón
(Llinares & Sánchez, 1997, pp. 68 – 69)
También se emplea este significado
cuando se compara “parte-parte”:
Relacionados con este significado de la fracción se encuentran la
representación de las probabilidades y los porcentajes.
Fracciones como operadores
(Llinares & Sánchez, 1997)
• En esta situación, las fracciones son vistas
como “algo que actúa sobre una situación
(estado) y la modifica. Se concibe aquí la
fracción
como
una
sucesión
de
multiplicaciones y divisiones, o a la inversa”
(p. 72).
• Por ejemplo, al calcular los 2/3 de 36 niños
(que es igual a 24), hubo que dividir por 3 a
36 y, luego, multiplicar el cociente por 2.
Recomendaciones para enfrentar
los problemas de los estudiantes
con las fracciones
Primera (Obersteiner, Dresler, Bieck,
& Moeller, 2019, p. 152)
• Conectar representaciones visuales de las
fracciones con sus expresiones simbólicas
(Rau & Matthews, 2017).
Más recomendaciones (Obersteiner, Dresler,
Bieck, & Moeller, 2019, pp. 153-154)
• Fomentar el empleo de fracciones para representar
magnitudes numéricas, vía el uso de rectas numéricas.
• Inhibir potenciales confusiones provenientes del sesgo
del número natural, mediante procesos de pruebas y
refutaciones que los estudiantes podrían hacer por sí
mismos.
• Ofrecer suficientes oportunidades para adquirir
conceptos sobre fracciones y las operaciones con ellas.
De este modo, se atacarían problemas como considerar
que la multiplicación de dos números siempre produce un
número mayor a los dos primeros (obstáculo
epistemológico).
• Los estudiantes podrían explicar qué aspectos en común
tienen las fracciones con los naturales y cuáles no.
• Brindar a los profesores el conocimiento necesario
para enseñar fracciones en forma efectiva.
¡Y ahora, a diseñar nuestro
borrador de plan de clase, con foco
en el problema detectado! Sin
embargo…
Referencias
•
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•
Carranza, C. (1999). Matemática 1. Lima, Perú: Metrocolor.
Obersteiner, A., Dresler, T., Bieck, S., & Moeller, K. (2019). Understanding
Fractions: Integrating Results from Mathematics Education, Cognitive
Psychology, and Neuroscience. En Norton, A., & Alibali, M.(Eds.) (2019).
Constructing Number: merging perspectives from Psychology and Mathematics
Education, 135-162. Cham, Suiza: Springer
Llinares, S., Sánchez, M. (1997). Fracciones, la relación parte –todo. Madrid,
España: Síntesis.
Kudriavtsev, L. (1983). Curso de análisis matemático. Moscú, URSS: Mir.
Rau, M. A., & Matthews, P. G. (2017). How to make ‘more’ better? Principles for
effective use of multiple representations to enhance students’ learning about
fractions.
ZDM
Mathematics
Education,
49(4),
531–544.
https://doi.org/10.1007/s11858-017-0846-8.
Zazkis, R. & Mamolo, A. (2016). On numbers: concepts, operations and structure.
En Gutiérrez, A., Leder, G., & Boero, P. (Eds.) (2016). The Second Handbook of
Research on the Psychology of Mathematics Education, 39-71. Rotterdam,
Países Bajos: Sense.
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