ACTAS ESTUDIANTILES DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA MATEMÁ Vol. 1 2008 Editores: Jhony Alexander Villa Ochoa Yadira Marcela Mesa Mónica Marcela Parra Zapata Mònica Mercedes Zapata ACTAS ESTUDIANTILES DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA Vol. 1 Editores: Jhony Alexander Villa Ochoa Yadira Marcela Mesa Mónica Marcela Parra Zapata Mònica Mercedes Zapata. Diseño de portada Cristian Sucerquia y Jhony Alexander Villa Ochoa Imagen de fondo: Escher, recuperado de: http://bp2.blogger.com/_reqmCbUQ6Y4/RgxrEHFUE1I/AAAAAAAAJbQ/xqtHr2E3BGE/s1600 http://bp2.blogger.com/_reqmCbUQ6Y4/RgxrEHFUE1I/AAAAAAAAJbQ/xqtHr2E3BGE/s1600-h/Cubo_con_cintas_magicas.jpg Edición: Grupo de Investigación en Educación Matemática e Historia (UdeA-Eafit) (UdeA Se autoriza la reproducción n parcial o total de las publicaciònes citando la fuente Facultdad de Educación 2008 PRESENTACIÓN Asumir el reto de convocar a los estudiantes de la licenciatura para reunirse, con el ánimo de intercambiar y difundir sus reflexiones, ideas y trabajos en el área de la Educación Matemática, fue uno de los propósitos que el grupo de investigación en Educación Matemática e Historia (UdeA-Eafit) asumió desde 2006 apoyando la idea que desde aquel entonces de los Estudiantes Olmar Gómez y John Alexander Londoño habían propuesto. A partir de allí el grupo de estudiantes pertenecientes al semillero continuaron con propósito de realizar el evento anual y, el presente año con el apoyo de la Facultad de Educación y la Dirección de Bienestar universitario, se desarrolló el tercer encuentro. En esta oportunidad, queremos presentar a la comunidad las Actas Estudiantiles de Educación Matemática Vol 1, la cual pretendemos posicionar como una publicación académica construida a partir del esfuerzo, que tanto ponentes como organizadores, invirtieron durante el III encuentro de estudiantes de la Licenciatura en Educación Básica con énfasis en Matemáticas. Si bien los artículos que la integran provienen de trabajos que fueron presentados en dicho encuentro, en esta publicación son presentados en forma de artículos académicos y fueron sometidos a la evaluación de especialistas en el campo de la Educación Matemática. Esta publicación se compone de trabajos en los que los estudiantes de la Licenciatura y algunos invitados especiales de la maestría en Educación (matemática) exponen sus reflexiones, experiencias, propuestas e investigaciones, intentando promover el desarrollo de nuestra disciplina a nivel local, de esta manera, pretendemos posicionar esta publicación como un producto de una comunidad activa que busca su profesionalización y desarrollo investigativo. Los miembros del Comité Académico y del Grupo de investigación en Educación Matemática e Historia (UdeA-Eafit), agradecemos a todos los estudiantes y a sus respectivos profesores por hacer sometido sus trabajos a la evaluación, a nuestro criterio y por haber seguido o contrargumentado las indicaciones que se les hicieron en sus artículos; gracias a su empeño y voluntad logramos realizar el evento y materializar esta publicación. Colocamos nuestra mayor atención y dedicación en la edición de este documento y esperamos que en futuras oportunidades logremos contar con sus trabajos y mejorar algunos procesos, de tal manera que nos sintamos, así como ahora, orgullosos de participar en la organización del evento y edición de su publicación. Con sentimiento de aprecio, Jhony Alexander Villa Ochoa, Yadira Marcela Mesa, Mónica Marcela Parra Zapata, Mónica Mercedes Zapata. Editores. 1 EL CONCEPTO DE CONTINUIDAD EN EL MARCO DEL MODELO EDUCATIVO DE VAN HIELE Ledys Llasmin Salazar Gómez Pedro Vicente Esteban Duarte Resumen: En este documento presentamos las primeras reflexiones en torno al modelo educativo de van Hiele como una herramienta para caracterizar la comprensión del concepto de continuidad propio del cálculo diferencial. Estas reflexiones se convierten en un avance del proyecto de investigación enmarcado en la Maestría en Educación (Matemática) de la Universidad de Antioquia, realizada con el apoyo del grupo de investigación en Educación Matemática e Historia (UdeA-Eafit). Palabras clave: Continuidad, Modelo educativo de van Hiele, fases de aprendizaje INTRODUCCIÓN La realidad educativa muestra que existen muchas falencias en el proceso de enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas, esto nos lleva a indagar el por qué de dichas falencias y tratar de hacer aportes que contribuyan al mejoramiento de la Educación de los estudiantes. Desde la experiencia docente hasta las investigaciones realizadas sobre la comprensión de conceptos en el Cálculo, se encuentran algunos factores que influyen en esto: Falta de motivación, falta de disciplina de estudio, visiones esquematizadas en la enseñanza, entre otras. Cuando nos referimos a visiones esquematizadas en la enseñanza nos remitimos a aquellos esquemas de uso empleados en la enseñanza, donde se puede presentar la posibilidad de enseñar visiones erradas que no permitan comprender lo que se desea sino simplemente se EL CONCEPTO DE CONTINUIDAD EN EL MARCO DEL MODELO EDUCATIVO DE VAN HIELE Ledys Llasmin Salazar Gómez Pedro Vicente Esteban Duarte aparente el acercamiento a la comprensión del concepto estudiado, lo que podría resultar en la comprensión de un concepto errado. EL CONCEPTO DE CONTINUIDAD Y EL MODELO EDUCATIVO DE VAN HIELE En este documento queremos enfocarnos en uno de los vacíos en la enseñanza de las Matemáticas, en especial el Cálculo y es aquella forma cómo se introducen o enseñan algunos conceptos en el aula, en este caso el concepto de continuidad. Nos centraremos en la forma cómo es llevado el concepto de continuidad al aula y una posible estrategia que permita enseñar dicho concepto. Algunos aspectos que valen la pena indagar son los siguientes: 1. Aspectos metodológicos del concepto de continuidad al presentarlo en el aula de clase: Presentación como aplicación del concepto de límite. Visualización como la huella que deja la tiza al deslizarla por la pizarra. Presentación operativa. Sin relación con el contexto. 2. El modelo educativo de van Hiele: Niveles de razonamiento. Fases de aprendizaje. El insight. 3. Aspectos geométricos del concepto de continuidad: El estiramiento horizontal. Aspecto kinestésico. 4. El modelo de van Hiele y el concepto de continuidad puntual. Los niveles de razonamiento. La visualización obtenida a partir del estiramiento horizontal. EL CONCEPTO DE CONTINUIDAD EN EL MARCO DEL MODELO EDUCATIVO DE VAN HIELE Ledys Llasmin Salazar Gómez Pedro Vicente Esteban Duarte 5. Trabajo futuro Las fases de aprendizaje. El paso del nivel II al nivel III. SOBRE ALGUNOS ASPECTOS METODOLÓGICOS. PRIMERAS APROXIMACIONES. Cuando se trata de hablar de Continuidad con frecuencia encontramos algunas explicaciones en el aula de clase que se refieren a la “visualización como la huella que deja la tiza al deslizarla por la pizarra” o “la curva que se obtiene al deslizar la tiza o el lápiz sobre un tablero o papel es continua”. Estas afirmaciones no tienen en cuenta aspectos que son fundamentales cuando se traza dicha curva, como por ejemplo, al hacer un zoom o colocar una lupa al trazo se observará que efectivamente la línea no es continua. Pero, es peor aun cuando se trata de hablar de enseñanza del concepto de continuidad, porque la gran mayoría de docentes de matemática lo enseñamos de una forma que hace énfasis en los aspectos procedimentales descuidando los aspectos relativos a su comprensión. En el siguiente esquema mostramos como la enseñanza del concepto de continuidad se convierte en un ciclo en el cual el estudiante se limita sólo a los aspectos procedimentales. PRESENTACIÓN OPERATIVA EL CONCEPTO DE CONTINUIDAD EN EL MARCO DEL MODELO EDUCATIVO DE VAN HIELE Ledys Llasmin Salazar Gómez Pedro Vicente Esteban Duarte Cuando se fortalece sólo los aspectos procedimentales los estudiantes adquieren destrezas para: Determinar un límite, evaluar una función en un punto, clasificar funciones en continuas o discontinuas y aplicar diferentes teoremas relacionados con la continuidad, pero los efectúan en forma mecánica, calculando simplemente un resultado o memorizando los teoremas. A la hora de analizar el concepto de continuidad con otros a los que le sirve de base no lo interpretan adecuadamente o les parece que no es necesario. Frente a las falencias anteriormente nombradas menciono la implementación de el modelo educativo de van Hiele como una posible ayuda que contribuya a mejorar este aspecto. EL MODELO DE VAN HIELE El modelo educativo de Van Hiele inicialmente fue propuesto para la Geometría, pero en la actualidad se ha extendido a otros campos como es el Análisis matemático (Jaramillo 2000; Esteban, 2000; Vasco & Bedoya, 2005), este modelo es muy importante porque aporta en la enseñanza para la comprensión. El modelo está formado por: El insight, los niveles razonamiento y las fases de aprendizaje. EL INSIGHT. NIVELES: Nivel O: Pre descriptivo. Nivel 1: Reconocimiento visual. Nivel 2: Análisis. Nivel 3: Clasificación y relación. Nivel 4: Deducción formal. FASES: Fase1: Información. Fase 2: Orientación dirigida. Fase 3: Explicitación. Fase 4: Libre orientación. Fase 5: Integración. EL CONCEPTO DE CONTINUIDAD EN EL MARCO DEL MODELO EDUCATIVO DE VAN HIELE Ledys Llasmin Salazar Gómez Pedro Vicente Esteban Duarte El modelo posee un alto componente visual y geométrico, de allí que me permita analizar algunos aspectos geométricos del concepto de continuidad como: Una goma ideal, el estiramiento horizontal y el aprendizaje kinestésico. CONSIDERACIONES FINALES Algunas aproximaciones respecto al concepto de continuidad en el marco del modelo educativo de van Hiele se observan en Campillo & Pérez (1998) los cuales hacen énfasis en la caracterización de una serie descriptores de nivel, los cuales actúan como una forma para determinar en nivel en el cual razonan los estudiantes. En la literatura se observen diversos trabajos que se han desarrollado usando los niveles del de van Hiele, sin embargo son pocos los desarrollos que implementan una estrategia donde el estudiante atraviese las fases de enseñanza para el aprendizaje y la comprensión del concepto. Es acá donde nuestra investigación pretende desarrollarse involucrando el concepto de Continuidad. BIBLIOGRAFÍA Campillo P. & Pérez P (1998). La Noción de Continuidad desde la óptica de los Niveles de van Hiele. Divulgaciones Matemáticas, 6 (1). p. 69-80 Jaramillo C. M (2000). La noción de serie convergente desde la óptica de los niveles de van Hiele. Tesis de Doctorado en Ciencias Matemáticas no publicada. Valencia: Universidad Politécnica de Valencia Esteban P. V. (2000) Estudio comparativo del concepto de aproximación local vía el modelo de van Hiele. Tesis de Doctorado en Ciencias Matemáticas no publicada. Valencia: Universidad Politécnica de Valencia EL CONCEPTO DE CONTINUIDAD EN EL MARCO DEL MODELO EDUCATIVO DE VAN HIELE Ledys Llasmin Salazar Gómez Pedro Vicente Esteban Duarte Vasco E. D & Bedoya J. A. (2005). Diseños de Módulos de instrucción para el concepto de aproximación local en las fases del modelo educativo de Van Hiele. Tesis de Maestría en Educación no publicada. Medellín: Facultad de Educación-Universidad de Antioquia Ledys Llasmin Salazar Gómez: Es licenciada en Matemáticas y Física de la Universidad de Antioquia. Estudiante de Maestría en Educación (Matemática) de la Universidad de Antioquia. Integrante del grupo de Investigación en Educación Matemática e Historia (UdeAEafit). Correo: [email protected] Pedro Vicente Esteban Duarte: Es Doctor en Ciencias Matemáticas de la Universidad Politécnica de Valencia (España). Profesor de tiempo completo del Departamento de Ciencias Básicas de la Universidad Eafit e investigador del grupo de Investigación en Educación Matemática e Historia (UdeA-Eafit). Correo: [email protected] Para citar este artículo sugerimos la siguiente fuente: Salazar L. L. & Esteban P. V. (2008). El concepto de continuidad en el marco del modelo educativo de van Hiele. En J. A. Villa, Y. M. Mesa, M. M. Parra, & M. M. Zapata (Ed.), Actas estudiantiles de Educación Matemática. 1, pp. 1-6. Medellín: Facultad de EducaciónUniversidad de Antioquia 7 EL PROCESO DE MODELACIÓN MATEMÁTICA EN EL AULA DE CLASE. Carlos Alberto Bustamante Quintero Diego Alexander Ocampo Bedoya Jhony Alexander Villa Ochoa Resumen El proceso de Modelación Matemática tiene su génesis en las propuestas educativas colombianas con la publicación de los Lineamientos Curriculares de Matemática por parte del Ministerio de Educación Nacional en 1998, sin embargo algunas investigaciones reportan poca aproximación de estas disposiciones al aula de clase (Agudelo-Valderrama, 2006). En el caso de la Modelación no escapa a ese panorama (Villa, et al, 2008), por tanto en este trabajo retómanos la modelación como una estrategia didáctica que permite la (re)construcción de conceptos matemáticos en particular presentamos una serie de situaciones con las cuales se pretende que los maestros en formación construyan reflexiones sobre los fenómenos y contextos que pueden ser susceptibles de ser modelados matemáticamente y sobre las fases que se sugiere desde la literatura para la implementación en el aula de clase. Palabras clave Modelación Matemática, procesos, conceptos matemáticos INTRODUCCIÓN En la actualidad en el sistema educativo colombiano se vienen experimentando diversos cambios, algunos de ellos sustentados en los Lineamientos Curriculares y los Estándares Básicos de Competencias, la gran mayoría con mirar a mejorar calidad de la Educación actual. En este sentido, nuestro trabajo se muestra como una propuesta que, alternativa a la tradicional, pretende abordar la construcción de conceptos matemáticos a partir del análisis de fenómenos que se presentan en los contextos sociales, cotidianos y culturales de los estudiantes. Las actividades que se presentan son producto de reflexiones construidas dentro del proyecto de investigación “El proceso de modelación en las aulas escolares del suroeste antioqueño” está financiado mediante acta 559 por la Dirección de regionalización y el Comité para el Desarrollo de la Investigación - CODI de la Universidad de Antioquia. El Proceso de Modelación Matemática en el Aula de Clase Carlos Alberto Bustamante Quintero Diego Alexander Ocampo Bedoya Jhony Alexander Villa Ochoa Consideramos que el conocimiento de aspectos relativos al proceso de modelación matemática son importantes para los maestros en formación, puesto que hace parte de las bases epistemológicas de las matemáticas, además que se convierten en argumentos de tipo didáctico en las aulas del clase promoviendo una educación en la que se fortalezca reflexión, autocrítica y razonamiento entre otras aptitudes en el ámbito académico. De igual manera, con la implementación de la modelación se propone trascender de una enseñanza que hace énfasis en los desarrollos procedimentales a una enseñanza en donde se fortalezcan diferentes estrategias en la construcción de su propio conocimiento. REFERENTES TEÓRICOS. Durante los últimos años se han venido realizando diferentes trabajos e investigaciones en cuanto a la modelación matemática desde distintos autores (Bassanezi, 2002; Biembengut & Hein, 2004) las cuales han permitido incluir la modelación matemática como una estrategia que posibilita la adaptación de esta actividad científica en la enseñanza de las matemáticas de tal manera que permita abordar conceptos matemáticos dentro del aula de clase. Igualmente Crouch, R. & Haines, C, (2004), Hein, N., Bienbengut, M, (2006), Giordano F., Weir M., Fox W., (1997) han abordado con gran éxito el proceso de modelación como una estrategia didáctica que permite construir conceptos matemáticos de una forma más comprensiva que al tiempo ofrece elementos para aumentar la motivación de los estudiantes. Para la implementación de la modelación matemática como proceso proponemos cinco fases, que son equivalentes a las presentadas en la literatura, con las cuales se espera transformar una situación real en un problema matemático cuyas soluciones deben ser interpretadas en un lenguaje común a través de la construcción de un modelo. En la siguiente figura, mostramos de una manera diagramática, los diferentes momentos por los que atraviesa en la modelación en el aula de clase. Dicho proceso se considera como un ciclo que parte de una situación del mundo real (extra-matemático) la cual es representada matemáticamente por medio un proceso de experimentación, abstracción, simplificación e interpretación. Dicha representación o construcción matemática (modelo) permite al modelador solucionar el problema, para posteriormente realizar todos los análisis posteriores El Proceso de Modelación Matemática en el Aula de Clase Carlos Alberto Bustamante Quintero Diego Alexander Ocampo Bedoya Jhony Alexander Villa Ochoa de los resultados y verificar la validación del modelo, revisar el fenómeno en cuestión, las simplificaciones y la coherencia entre el modelo resultante y el fenómeno mismo. En la búsqueda de la coherencia entre las conclusiones del modelo, del fenómeno y en el fenómeno mismo se plantean estrategias de evaluación y validación. En caso de que el modelo satisfaga el fenómeno o problema finaliza el ciclo, en caso contrario comienza de nuevo partiendo de la evaluación del fenómeno enriquecido con los análisis, se hace una observación, se ajustan los datos, las variables y se continúa la reforma del modelo… y así sucesivamente. En la siguiente figura se esquematiza el procedimiento. Fenómeno o problema del mundo real Modificación o refinación… Conclusion es del fenómeno Construcci ón del modelo Conclusion es del modelo Solución Matemática Se espera que los estudiantes en el aula de clase se apropien de alguna manera de este proceso para la construcción de conceptos matemáticos. (Villa, 2007) El Proceso de Modelación Matemática en el Aula de Clase Carlos Alberto Bustamante Quintero Diego Alexander Ocampo Bedoya Jhony Alexander Villa Ochoa ELEMENTOS DE NUESTRA PROPUESTA. En este documento socializamos un problema real con el cual los lectores podrán construir modelos matemáticos. Se iniciará con la búsqueda de un problema o fenómeno del mundo real y el cual deberá pasar por algunos filtros hasta llegar a la validación y evaluación de resultados, y si los resultados no son lo suficientemente satisfactorios llegar a la restructuración del problema. El propósito de esta actividad taller hacer explícito la importancia que tiene para los profesores la reflexión, crítica y análisis del contexto sociocultural de los estudiantes los cuales en muchos casos son susceptibles de ser modelados y usados como herramienta en la construcción significativa del conocimiento matemático en el aula de clase. En el desarrollo de cada actividad, el modelador podrá determinar los diferentes momentos por los cuales traviesa el acto de modelar matemáticamente. A continuación se presenta una situación real susceptibles de ser modeladas matemáticamente. Un grupo de personas desean adquirir un plan de telefonía celular, teniendo en cuenta cada una de sus necesidades, para ello se debe analizar los diferentes planes y precios que existen en el mercado. Con la información suministrada los usuarios podrán establecer de forma crítica cuál de ellos es el más conveniente. Se espera que los estudiantes indaguen en los diferentes medios de comunicación la información de las empresas que ofrecen el servicio de telefonía móvil (Tigo, Comcel y Movistar, para el caso de Colombia) y a partir de allí se extraigan los datos para la construcción del modelo y cumplir el ciclo de la modelación anteriormente mencionado. Para ilustrar la implementación de este ciclo sugerimos al lector remitirse a Villa, (2007) o Biembengut & Hein (2004) El Proceso de Modelación Matemática en el Aula de Clase Carlos Alberto Bustamante Quintero Diego Alexander Ocampo Bedoya Jhony Alexander Villa Ochoa A MODO DE CIERRE. Entender la modelación como una relación entre la matemática y el mundo real, es una tarea que una gran comunidad a nivel internacional (i.e. ICTMA), sin embargo caracterizar lo que significa esa realidad y atender a las necesidades particulares que los contextos socioculturales ofrecen a cada región es una tarea de los investigadores actualmente. Reflexionar sobre la realidad que imprime el contexto sociocultural, posibilita al profesor, reconocer acerca de los fenómenos que pueden ser modelados matemáticamente y su implementación en el aula de clase, de manera tal que el aula de clase se convierte en un espacio para la formación de un espíritu creativo e inquieto y posicionado críticamente frente a las demandas de la sociedad. BIBLIOGRAFÍA Agudelo-Valderrama, C. (2006). The growing gap between colombian education policy, official claims and classroom realities: Insights from mathematics teachers' conceptions of beginning algebra and its teaching purpose. International Journal of Science and Mathematics Education , 4, 513-544. Bassanezi, R. (2002). Ensino-aprendizagem com modelagem matemática. São Paulo: Contexto. Biembengut, M., Hein, N. (2004). Modelación matemática y los desafios para enseñar matemática. Educación Matemática, 16 (002), 105-125. Crouch, R. and Haines, C. (2004). Mathematical modelling: transitions between the real world and the mathematical model. International Journal of Mathematical Education in Science & Technology , 35 Issue 2, 197-206. Giordano F., Weir M., Fox W. . (1997). A first Course in Mathematical Modeling. Brooks/Cole Publishing Company. Hein, N., Biembengut, M. (2006). Modelaje matemático como método de investigación en clases de matemáticas. In M. Murillo (Ed.), Memorias del V festival internacional de matemática (pp. 1-25). Puntarenas: Colegio universitario de Puntarenas. Ministerio de Educación Nacional. (1998). Lineamientos Curriculares: Matemáticas. Bogotá: Magisterio. Villa, J. A. (2007). La modelación como proceso en el aula de matemáticas. Un marco de referencia y un ejemplo. Tecno Logicas. 19. 51- 81 El Proceso de Modelación Matemática en el Aula de Clase Carlos Alberto Bustamante Quintero Diego Alexander Ocampo Bedoya Jhony Alexander Villa Ochoa Villa, J. A., Berrio, M., Bustamante, C., Ocampo, D., & Osorio, A. (2008). El proceso de modelación matematica en las aulas escolares del suroeste antioqueño. Informe de Investigación no publicado, Universidad de Antioquia, Medellín Carlos Alberto Bustamante Quintero y Diego Alexander Ocampo Bedoya: Son estudiantes de la Licenciatura en Educación Básica con énfasis en Matemáticas de la seccional suroeste de la Universidad de Antioquia. Actualmente son coinvestigadores del proyecto “El proceso de modelación en las aulas escolares del suroeste antioqueño” financiado por la Dirección de Regionalización y el CODI de la Universidad de Antioquia. Correo: [email protected]; [email protected] Jhony Alexander Villa Ochoa: Es Candidato a Doctor en Educación (Matemática) de la Universidad de Antioquia. Actualmente se desempeña como investigador principal del proyecto “El proceso de modelación en las aulas escolares del suroeste antioqueño” y es miembro del Grupo de Investigación en Educación Matemática e Historia (UdeA-Eafit) Correo: [email protected] Para citar este artículo sugerimos la siguiente fuente: Bustamante, C. A., Ocampo, D. A. & Villa, J.A. (2008). El proceso de modelación en el aula de clase. En J. A. Villa, Y. M. Mesa, M. M. Parra, & M. M. Zapata (Ed.), Actas estudiantiles de Educación Matemática. 1, pp. 7-13. Medellín: Facultad de Educación-Universidad de Antioquia. 14 ALGUNAS REFLEXIONES SOBRE LA RELACIÓN ENTRE LA MODELACIÓN MATEMÁTICA Y LA TECNOLOGÍA EN EL AULA DE CLASE Jesús Aníbal Osorio Castaño Mario de Jesús Berrío Arboleda Jhony Alexander Villa Ochoa Resumen: Este documento discutimos los avances de la investigación en ejecución “El proceso de modelación matemática en las aulas escolares del suroeste antioqueño” desarrolla por los autores y financiada por el Comité para el Desarrollo de la Investigación (CODI) y la Dirección de Regionalización de la Universidad de Antioquia. En particular, centramos la atención en papel de la modelación y la tecnología en las aulas de clase de matemáticas. El propósito de este taller, es resaltar la importancia que tienen avances tecnológicos en el proceso de construcción del conocimiento matemático, centrando la atención en la modelación de fenómenos de la realidad. Se espera que los participantes analicen las posibilidades que brinda la tecnología y desplieguen su creatividad e imaginación para encontrar la mejor forma de llevarlas al aula y utilizarlas para potenciar el desarrollo integral de los estudiantes. Palabras clave: Modelación matemática, tecnología, re-significación, Realidad INTRODUCCIÓN En los últimos años nuestra sociedad ha experimentado cambios en diversos sectores; de una sociedad industrial se ha avanzado hacia una sociedad basada en la información. En este sentido las matemáticas escolares no pueden escapara a dicha realidad ya que medio no es suficiente con poseer gran cantidad de conocimientos específicos ni ejercer su mera transmisión en el aula de clase; consideramos como fundamental que el nuevo conocimientos posibilite el desarrollo de habilidades en la aplicación e interpretación de fenómenos tanto cotidianos como de otras ciencias. Con base en este argumento, modelación matemática viene siendo defendida como un método de enseñanza que recrea en cierta forma los procesos de construcción del conocimiento que se presentaron en la historia, y que posibilita un acercamiento al desarrollo del espíritu científico de los estudiantes (Bassanezi, R. 2002; Biembengut, M.& Hein, N. 2004; Crouch, R. & Haines, C 2004). Además, la vida de hoy se Algunas reflexiones sobre la relación entre la modelación matemática y la tecnologia en el aula de clase Jesús Anibal Osorio Castaño Mario de Jesús Berrio Arboleda Jhony Alexander Villa Ochoa lleva a cabo en un mundo multicultural e interconectado; hecho que exige a los sistemas educativos orientar la educación para el desarrollo de capacidades, competencias, actitudes y valores que habiliten a los ciudadanos a actuar en ambientes abiertos que exigen el aprovechamiento de los avances tecnológicos. REFERENTES TEÓRICOS. Para el desarrollo de esta propuesta, tuvimos en cuenta los aportes que la modelación tiene como un método de enseñanza. En palabras de Biembengut & Hein (2004): La modelación matemática está siendo fuertemente defendida, como método de enseñanza en todos los niveles de escolaridad, ya que permite al alumno aprender las matemáticas aplicadas a las otras áreas del conocimiento y mejorar su capacidad para leer, interpretar, formular y solucionar situaciones problema. (p.105) La modelación es considerada como un proceso al interior del aula de clase. En este sentido retomamos los planteamientos de Bustamante, Ocampo y Villa en el capítulo anterior de este volumen y nos concentraremos en el desarrollo de una perspectiva de la modelación y su relación con la tecnología desde una mirada de los mexicanos Suarez (2008) y de Arrieta (2003). Para estos mexicanos el proceso de modelación matemática es referido a establecer vínculos entre fenómenos, situaciones problemas y otras construcciones llamadas modelos para diferentes fines, en la cual existe una correspondencia entre el objeto que se investiga y su modelo. Arrieta (2003) hace referencia a dos tipos de secuencia, uno centrado en las practicas sociales a las que han llamado “la figuración del devenir de las cualidades”1 y otro basado en las practicas que le llamaron “la numerización de los fenómenos”2; ambos tipos de secuencia cobran vida, tienen 1 Los diseños referidos se centran, no en los contenidos matemáticos en sí o en las producciones de los participantes, sino en las prácticas sociales ejercidas por los participantes utilizando herramientas, situadas en un contexto social; en este caso las prácticas sociales que hemos llamado “la figuración del devenir de las cualidades” en referencia a los trabajos de Oresme. (Arrieta, J., 2003, pág. 29) 2 Las secuencias diseñadas tomando como base las prácticas sociales que hemos llamado “la Algunas reflexiones sobre la relación entre la modelación matemática y la tecnologia en el aula de clase Jesús Anibal Osorio Castaño Mario de Jesús Berrio Arboleda Jhony Alexander Villa Ochoa sentido, en contextos sociales concretos. El contexto social es determinante en la utilización de las estrategias, herramientas y procedimientos para el desarrollo de la actividad de modelación. “Los estudiantes construyen diferentes versiones de los fenómenos y argumentan, en un contexto discursivo, sobre su validez. Estos argumentos son contextuales, reforzando la idea de que la matemática cobra vida en ellos. ” (Arrieta, 2003, p. 126) Adicionalmente Arrieta (2003) identifica algunas actividades involucradas, dentro de lo que llaman practicas sociales de modelación, como lo son: Emplear herramientas específicas (las graficas y/o tablas numéricas) y formas particulares para describir los hechos (lo lineal, lo cuadrático, etc.) construyendo versiones de estos. Construir argumentos a través de conjeturas y confirmaciones, basadas en la inducción como práctica. Argumentar y validar versiones utilizando una coordinación de múltiples herramientas. Desarrollar formas de predicción. Elaborar descripciones y explicaciones de nuevas experiencias utilizando conocimientos que tienen, derivados de otros contextos y frente a otras experiencias. Por su parte Suárez (2008) dentro de su investigación adopta la modelación como una construcción teórica (construcción que le sirve para interpretar o representar la realidad o una parte de ella) que un individuo realiza al enfrentar una tarea matemática en la que pone en juego sus conocimientos. Desde esta perspectiva la modelación posee su propia estructura, está constituida por un sistema dinámico, es un medio que soporta el desarrollo del razonamiento y de la argumentación que busca explicaciones, trae una idea en una realización para satisfacer un conjunto de condiciones. Estas siete etapas no necesitan ser implementadas en una única clase, se pueden planificar para diversas clases dentro de un periodo lectivo. numerización de los fenómenos”. Las prácticas referidas son prácticas de modelación que parten de la recolección de datos numéricos de un fenómeno para construir modelos numéricos y se toma, como base, su uso. Estas prácticas ponen en el centro el uso de modelos numéricos, mientras que en el caso de las secuencias del capítulo IV lo hacen más bien en el uso de modelos gráficos. (Arrieta, J., 2003, pág. 29) Algunas reflexiones sobre la relación entre la modelación matemática y la tecnologia en el aula de clase Jesús Anibal Osorio Castaño Mario de Jesús Berrio Arboleda Jhony Alexander Villa Ochoa Son muchos los autores que trabajan con la articulación de la tecnológia con la actividad matemática, pero son muy pocos los que se enfocan al estudio de la modelación matemática y su relación con la tecnología. Son muchas las quejas y dudas de los estudiantes en comprender la importancia de las matemáticas como conocimiento productivo en su que hacer cotidiano. Debido a este problema muchos de los estudiantes preguntan a menudo a sus maestros ¿Para qué me sirven las matemáticas?, pero el problema se agudiza cuando el maestro no sabe dar una respuesta clara a dicha pregunata, tal situación conlleva a muchos estudiantes a la desmotivación de aprender matemáticas. Por ejemplo Cordero (2006, p.1) hace referencia a este problema afirmando que “una de las creencias frecuentes en las prácticas de enseñanza de la matemática consiste en que la modelación es una aplicación de la matemática. Ello conlleva, primero, a enseñar matemáticas y después, a buscar la aplicación de tal conocimiento”. La matemática vista desde la modelación y a su vez ampliamente relacionada con la tecnología cobra vida y sentido para los estudiantes cuando se entiendo que el conocimiento preexiste en la realidad de nuestro entorno. Por ejemlo cordero aclara sobre que se entiende por realidad: Uno abraza la idea de que el conocimiento es una representación de la realidad, y la otra que el conocimiento es una producción material que cambia y transforma la naturaleza y la sociedad. Estas ideas ponen en tensión dos nociones de realidad, la primera, admite que la realidad preexiste al conocimiento y la segunda, admite que la realidad se construye a la par del conocimiento. (Cordero, F. ,2006, p. 2) En siguiente figura pretendemos ilustrar esa divergencia entre la realidad que el profesor plantea en el aula de clase y el imaginario que muchas veces se hace el estudiante referente a dicha realidad. Algunas reflexiones sobre la relación entre la modelación matemática y la tecnologia en el aula de clase Jesús Anibal Osorio Castaño Mario de Jesús Berrio Arboleda Jhony Alexander Villa Ochoa Presisamente en este sentido sugerimos al igual que Cordero (2006) que todos los objetos matemáticos deben estar ligados a una didáctica que ayude al estudiante a reconstruir dicho objeto, contrario a como presentamos en la figura anterior, esa reconstrucción debe permitir el establecimeinto de relaciones entre el objeto de estudio y con algun campo de la ciencia la sociedad o la cultira que le sirva de intermediario. Para tal fin, la modelación interviene como un medio (herramienta) facilitador en tal tránsito. Este medio viene a ser el conjunto de las situaciones representadas por la parábola. Tales situaciones se convierten en sitios geométricos o de la física, como el movimiento de una partícula. (Cordero, F. ,2006, p. 2) Para ejemplifiar el uso de la tecnología y la modelación matemática, remitimos al lector para que observe algunas situaciones reportadas en Villa (2008). Algunas reflexiones sobre la relación entre la modelación matemática y la tecnologia en el aula de clase Jesús Anibal Osorio Castaño Mario de Jesús Berrio Arboleda Jhony Alexander Villa Ochoa CONSIDERACIONES FINALES. Consideramos que la implementación de la modelación matemática a través de la tecnología en el aula de clase, debe estar fundamentada principalmente en situaciones que involucre las representaciones, por tanto lo software graficadores se convierten herramientas que permiten una simulación y por tanto mayor posibilidad de entendimiento. En este sentido, vale la pena reflexionar sobre el concepto de realidad se evidencia a partir de la simulación con tecnología y sus diferencias con ese concepto de realidad que se imprime a la modelación de fenómenos socioculturales sin tecnología. BIBLIOGRAFÍA Arriteta, J. (2003). Las prácticas de modelación como proceso de matematización en el aula. Tesis de doctorado en Matemática Educativa no publicada. México D.F: CINVESTAV-IPN. Bassanezi, R. (2002). Ensino-aprendizagem com modelagem matemática. São Paulo: Contexto. Biembengut, M., Hein, N. (2004). Modelación matemática y los desafios para enseñar matemática. Educación Matemática, 16 (002), 105-125. Crouch, R. and Haines, C. (2004). Mathematical modelling: transitions between the real world and the mathematical model. International Journal of Mathematical Education in Science & Technology , 35 Issue 2, 197-206. Giordano F., Weir M., Fox W. . (1997). A first Course in Mathematical Modeling. Brooks/Cole Publishing Company. Cordero, F. (2006). La modellazione e la rappresentazione grafica nell´ insegnamentoapprendimento della matematica. La Matematica e la sua Didattica, 20, 1, 5979. Ministerio de Educación Nacional (1998). Lineamientos Curriculare: Matemática. Bogotá: Magisterio. Algunas reflexiones sobre la relación entre la modelación matemática y la tecnologia en el aula de clase Jesús Anibal Osorio Castaño Mario de Jesús Berrio Arboleda Jhony Alexander Villa Ochoa Suarez, L (2008). Modelación – Graficación, Una Categoría para la Matemática Escolar. Resultados de un Estudio Socioepistemológico. Tesis de Doctorado en Matemática Educativa. México D.F: CINVESTAV-IPN Villa, J. A. (2008). El concepto de función. Una mirada desde las matemáticas escolares. En P. Lestón (Ed.), Acta Latinoamericana de Matemática Educativa. 21, págs. 245-254. México: Colegio Méxicano de Matemática Educativa. Con acceso a través de http://www.clame.org.mx/alme.htm Jesús Anibal Osorio Castaño y Mario de J. Berrío Arboleda: Son estudiantes de la Licenciatura en Educación Básica con énfasis en Matemáticas de la seccional suroeste de la Universidad de Antioquia. Actualmente son coinvestigadores del proyecto “El proceso de modelación en las aulas escolares del suroeste antioqueño” financiado por la Dirección de Regionalización y el CODI de la Universidad de Antioquia. Correo: [email protected]; [email protected] Jhony Alexander Villa Ochoa: Es Candidato a Doctor en Educación (Matemática) de la Universidad de Antioquia. Actualmente se desempeña como investigador principal del proyecto “El proceso de modelación en las aulas escolares del suroeste antioqueño” y es miembro del Grupo de Investigación en Educación Matemática e Historia (UdeA-Eafit) Correo: [email protected] Para citar este artículo sugerimos la siguiente fuente: Osorio, J. A., Berrio, M. J. & Villa, J.A. (2008). Algunas reflexiones sobre la relación modelación matemática y tecnologia en el aula de clase. En J. A. Villa, Y. M. Mesa, M. M. Parra, & M. M. Zapata (Ed.), Actas estudiantiles de Educación Matemática. 1, pp. 14-20 Medellín: Facultad de Educación-Universidad de Antioquia. 21 UNA APROXIMACIÓN DIDÁCTICA ACERCA DEL ESTUDIO DE LAS CÓNICAS COMO LUGARES GEOMÉTRICOS EN CABRI 3D Edward James Macías Zapata Jimmy Alberto Caicedo Hernández Resumen: Esta propuesta surge con motivo del 9 Encuentro Colombiano de Matemática Educativa realizado en la Universidad Popular del Cesar en la que se pretende mostrar a los maestros en formación la importancia de la historia de las matemáticas al abordar las Secciones Cónicas como objeto de estudio, al mismo tiempo en que pueden apreciarse como construcción geométrica apoyándose en la noción de lugar geométrico. Además se proponen algunas actividades y problemas mediados por el software Cabri 3 D. Palabras clave: Secciones cónicas, lugar geométrico, nuevas tecnologías, didáctica, educación. INTRODUCCIÓN Una de las demandas de las investigaciones en Matemática Educativa es la recurrencia a la historia de las matemáticas con el fin de comprender la construcción epistemológica de los objetos matemáticos y por ende que al maestro le ofrezca herramientas para el diseño de sus situaciones didácticas que pretende llevar a cabo en el aula. A la luz de esta premisa, este trabajo pretende reflexionar el por qué en nuestras actividades académicas, aunque se trabajan las cónicas, algunos textos sugieren intervenirlas desde lo geométrico y lo algebraico más que abordarlas como secciones de un cono tal y como la historia nos muestra que fueron emergidas. REFERENTES TEÓRICOS. Construcción de la parábola según Menecmo y Apolonio La Historia muestra como uno de los primeros en trabajar con las secciones cónicas fue Menecmo de la escuela Platónica, González afirma: Partiendo de un cono circular recto de una sola hoja con ángulo recto en el vértice, Menecmo descubrió que al cortar el cono por un plano perpendicular a una de sus generatrices, la curva intersección es tal que su Una Aproximación Didáctica acerca del Estudio de las Cónicas como Lugares Geométricos en Cabri 3D Edward James Macías Z. Jimmy Alberto Caicedo H. ecuación (utilizando de nuevo un anacronismo en términos de Geometría Analítica moderna) puede escribirse en la forma y2=lx, donde l es una constante, que depende exclusivamente de la distancia del vértice del cono al plano de la sección. Ignoramos como obtuvo exactamente Menecmo esta propiedad, pero como quiera que depende nada más de algunos teoremas de Geometría elemental, se supone que Menecmo utilizaría los conocimientos geométricos familiares a los matemáticos de la Academia platónica1. Tiempo después Apolonio Perga realizó su tratado de las secciones cónicas en él realizó un estudio de los lugares geométricos por medio de ejes, por su contribución intelectual era conocido como “el gran geómetra”, introdujo los nombres para las secciones tan familiares hoy en día como parábola, elipse, hipérbola y circunferencia. A continuación se da las definiciones de estas curvas , claro está de manera retrospectiva. 1. Una cónica o sección cónica es una de las curvas (círculo, parábola, hipérbola o elipse) que pueden obtenerse interceptando un plano y un cono (de doble lado). 2. Una parábola es una de las secciones cónicas. Se puede definir como el lugar geométrico de todos los puntos que se encuentran a la misma distancia de una recta fija (directriz) y de un punto fijo (foco). También se puede definir usando coordenadas cartesianas como el conjunto de puntos en un plano que satisfacen la ecuación y = x2. 3. Una elipse es una de las secciones cónicas. Puede definirse como el lugar geométrico de todos los puntos tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos (focos) es siempre igual a una constante e que es < 1. A el se le llama la excentricidad de la elipse. También se le puede definir mediante coordenadas cartesianas como el conjunto de puntos en un plano que satisfacen la ecuación ax2 + by2 = 1. Una hipérbola es una de las secciones cónicas. Se puede definir como el lugar geométrico de todos los puntos tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos (focos) es siempre igual a una constante e > 1, o mediante coordenadas cartesianas como el conjunto de puntos en un plano que satisfacen la ecuación ax2 - by2 = 1. 1 Extraído de http://divulgamat.ehu.es/weborriak/historia/MateOspetsuak/Apolonio3.asp el 18 de noviembre de 2008 Una Aproximación Didáctica acerca del Estudio de las Cónicas como Lugares Geométricos en Cabri 3D Edward James Macías Z. Jimmy Alberto Caicedo H. ELEMENTOS DEL TALLER. La utilización de las herramientas informáticas son de gran importancia pues como dice la NCTM (1990) en los Estándares Curriculares y de Evaluación “Una docencia que se centre en entramados de ideas matemáticas en lugar de y exclusivamente los puntos del entramado por separado contribuirá a que los estudiantes lleguen a comprender y a apreciar tanto el poder como la belleza de las matemáticas”. Con base en la referencia anterior se ha propuesto esta actividad usando el software Cabri 3 D que permita la realización de un cono circular recto y otro oblicuo. Con base en estos dos objetos seccionarlos con un plano y clasificar de acuerdo a sus propiedades las cónicas según Menecmo y Apolonio. CONCLUSIONES. La representación de los objetos ha sido uno de los obstáculos para la consolidación de un concepto, por ello la Geometría Euclidiana sólo pudo trabajar las cónicas a partir de su estudio mediante las razones y las proporciones por su “imposibilidad” de construirlas con regla y compás. Sin embargo con las nuevas tecnologías puede facilitarse su construcción e inspirar el aprendizaje y la creatividad de la matemática en los educandos, en la medida en que desarrolla experiencias de aprendizaje, modela el razonamiento sobre el problema que está abordando, el aprendizaje y evaluaciones propias de la era digital, de ahí la relevancia para nosotros como maestros en formación BIBLIOGRAFÍA García, A., Martínez A. y Miñano, R. (2000). Nuevas Tecnologías y Enseñanza de las Matemáticas. Madrid: Síntesis. NTCM. (1990). Estándares Curriculares y de Evaluación para la Educación Matemática. Ed. S. A. M. THALES. España. Del Rio, J. (1996). Lugares geométricos: Las Cónicas. Madrid: Síntesis. CIBERGRAFÍA http://ciencia.astroseti.org/matematicas/articulo.php?num=3893 González, P. Apolonio ¿262 a.C. 190 http://divulgamat.ehu.es/weborriak/historia/MateOspetsuak/Apolonio3.asp extraído el 28 de novembro de 2008 a.C?. Una Aproximación Didáctica acerca del Estudio de las Cónicas como Lugares Geométricos en Cabri 3D Edward James Macías Z. Jimmy Alberto Caicedo H. http://www.eduteka.org/estandaresmaes.php3 Jimmy Alberto Caicedo Hernández; Edward James Macías Zapata: Son estudiantes de la Licenciatura en Educación Básica con énfasis en Matemáticas de la Universidad de Antioquia. Correo: [email protected] Para citar este artículo sugerimos la siguiente fuente: Caicedo J. A., & Macías, E. J. (2008). Una aproximación didáctica acerca del estudio de las cónicas como lugares geométricos en Cabri 3D. En J. A. Villa, Y. M. Mesa, M. M. Parra, & M. M. Zapata (Ed.), Actas estudiantiles de Educación Matemática. 1, pág. 21-24. Medellín: Facultad de Educación-Universidad de Antioquia 25 UN ACERCAMIENTO A PROCESOS DE FORMALIZACIÓN MATEMÁTICA MEDIADA POR LAS TIC EN LOS ESTUDIANTES DE BASICA SECUNDARIA Liceth Paola Alzate Montero Aledis Janeth Cuitiva Valencia Sor Ángela Jiménez Castro Elizabet Larrea Mazo Diana Inés Pérez Vargas Jaime Anibal Acosta Resumen En este documento socializamos los avances de un proyecto de investigación enmarcado en el programa de licenciatura en Educación Básica con énfasis en matemáticas. En dicho proyecto se indaga por el papel que tienen las TIC en la formalización de conceptos matemáticos, en particular, las homotecias, semejanzas y congruencias de triángulos. Palabras clave TIC, formalización matemática, homotecias, semejanzas y congruencias de triángulos INTRODUCCIÓN La implementación de tecnologías en el aula de clase ha cambiado profundamente las prácticas educativas y por su gran importancia ha permitido hacer reajustes al currículo de matemáticas en los procesos de enseñanza, de tal manera que sean más flexibles, participativos, dinámicos e interactivos. Mediante este proyecto trataremos de dar una perspectiva de cómo favorece la implementación de nuevas tecnologías en la enseñanza de las matemáticas, el aprendizaje de los alumnos, en beneficio de la construcción del pensamiento espacial de los estudiantes de básica Secundaria. En la literatura se reportan diversas dificultades en los procesos de enseñanza y de aprendizaje de la geometría a partir de tópicos como: o La construcción de conceptos Un acercamiento a procesos de formalización matemática mediada por las TIC en los Estudiantes de Básica Secundaria. Liceth Paola Alzate Montero, Aledis Janeth Cuitiva Valencia, Sor Ángela Jiménez Castro, Elizabet Larrea Mazo y Diana Inés Pérez Vargas o La aplicación para la generalización y formalización o La abstracción o La transmisión con métodos tradicionales dejando a un lado los avances tecnológicos que nos ofrece el medio. En este sentido este proyecto se abordan las necesidades, intereses y motivaciones de los estudiantes con el mejorar las estrategias implementadas, utilizando los recursos que la institución educativa ofrece, para analizar la contribución que estas herramientas proporcionan a la enseñanza matemática en el aula de clase. LA INVESTIGACIÓN Planteamiento del Problema Con base en todos los elementos presentados anteriormente en esta investigación pretendemos abordar dar respuesta a la siguiente pregunta: ¿Cuál es el papel que tienen las TIC en los procesos de formalización matemática de conceptos como las homotecias, semejanzas y congruencias de triángulos, en los grados octavo y noveno? De esta manera nuestro propósito central es analizar como la incorporación de tecnologías como; sofware (R&C), calculadoras graficadoras, regla y compás y el geoplano en la enseñanza de la geometría, permiten encaminar hacia procesos de formalización matemática. En particular, nos proponemos movilizar, a través de situaciones problemas, habilidades de visualización, argumentación, y simbolización Induciendo a la generalización a través del razonamiento lógico en relaciones de homotecia, semejanza y congruencia de triángulos por medio del geoplano y las tecnologías (software, calculadoras graficadoras) de manera que permitan la visualización de triángulos. El Contexto propiedades en diferentes Un acercamiento a procesos de formalización matemática mediada por las TIC en los Estudiantes de Básica Secundaria. Liceth Paola Alzate Montero, Aledis Janeth Cuitiva Valencia, Sor Ángela Jiménez Castro, Elizabet Larrea Mazo y Diana Inés Pérez Vargas La investigación se desarrollará en dos instituciones educativas, a saber: la I.E Técnico Industrial Jorge Eliécer Gaitan y el Seminario Menor Juan Pablo II. La Institución Educativa Técnico Industrial Jorge Eliécer Gaitán se encuentra ubicada en el municipio El Carmen de Viboral, es de carácter público, mixto, calendario A, jornada diurna, se imparte educación formal de manera presencial en el nivel de básica y media técnica a través de un currículo estructurado en el desarrollo de competencias. En dicha institución se cuenta con el apoyo de cuerpo directivo y docente, material didáctico y tecnológico que facilitan la aplicación de las actividades a desarrollar y un espacio adecuado para la implementación de las actividades investigativas. El seminario Menor Juan Pablo II está ubicado en la cabecera del municipio de Girardota. Es una Institución Educativa de orientación católica y de carácter privado, aprobada legalmente por el Ministerio de Educación Nacional y la Secretaria de Educación y Cultura de Antioquia mediante resolución 10569 del 18 de Diciembre de 2001, para prestar un servicio educativo de calidad en los niveles de Básica y Media, a la par que apostólico y social, en el discernimiento vocacional y profesional de los jóvenes, mediante acciones metodológicas de tipo presencial, con un acompañamiento personal. El Diseño Se está realizando mediante un diseño etnográfico de investigación, el cual permite un análisis de los aspectos cualitativos dados por los comportamientos de los individuos, de sus relaciones. Mediadores y Estrategias Se utilizan herramientas tecnológicas que facilitan el aprendizaje de la matemáticas en la descripción de estos mediadores están: calculadoras TI – 92, VOYAGE, computadores con SOFWARE ( R&C), regla y compás y el geoplano físico. Estas herramientas se utilizan mediante la implementación de guías que se complementan con el planteamiento de situaciones problemas y preguntas que motivan al estudiante a que indague y deduzca a partir de su propio conocimiento. Un acercamiento a procesos de formalización matemática mediada por las TIC en los Estudiantes de Básica Secundaria. Liceth Paola Alzate Montero, Aledis Janeth Cuitiva Valencia, Sor Ángela Jiménez Castro, Elizabet Larrea Mazo y Diana Inés Pérez Vargas Modelo Pedagógico El modelo pedagógico a utilizar en el avance de este proyecto de investigación es el holístico, el cual pretende desarrollar por medio de la experimentación, la transversalización de los saberes y la creación de conceptos a partir de las experiencias surgidas de la interacción con las herramientas tecnológicas. Además, mediante guías los estudiantes deben hacer sus propias inferencias, descubrimientos y conclusiones, en busca del desarrollo de un pensamiento racional y lógico. CONSIDERACIONES FINALES Esta investigación aporta a la educación matemática un acercamiento tanto de docentes como estudiantes a las nuevas tecnologías, cambiando así la perspectiva que tienen para la formalización de conceptos y construcciones en la matemática. Mejorar las dinámicas de aprendizaje en el aula de clase, por medio de la integración de nuevos mediadores, logrando así despertar el interés y la motivación de los participantes en este proceso de enseñanza y aprendizaje, encaminados hacia el cambio y el mejoramiento continuo en la educación matemática. BIBLIOGRAFIA Ministerio de Educación Nacional (1999) Serie Lineamientos Curriculares (Nuevas Tecnologías y Currículo de Matemáticas). Bogotá. Ministerio de Educación Nacional (1992) Lineamientos Curriculares Matemáticas. Bogotá: Magisterio. Un acercamiento a procesos de formalización matemática mediada por las TIC en los Estudiantes de Básica Secundaria. Liceth Paola Alzate Montero, Aledis Janeth Cuitiva Valencia, Sor Ángela Jiménez Castro, Elizabet Larrea Mazo y Diana Inés Pérez Vargas Ministerio de Educación Nacional (2007) Estándares Básicos de Competencia. Bogotá: Magisterio Liceth Paola Alzate Montero, Aledis Janeth Cuitiva Valencia, Sor Ángela Jiménez Castro, Elizabet Larrea Maz, Diana Inés Pérez Vargas_ Son estudiantes de la Licenciatura en Educación Básica con énfasis en Matemáticas de la Universidad de Antioquia. Correo: [email protected] Jaime Anibal Acosta: Es profesor de la Facultad de Educación de la Universidad de Antioquia: Correo: [email protected] Para citar este artículo sugerimos la siguiente fuente: Alzate, L., Cuitiva, A., Jiménez, S., Larrea, E., Pérez, D. & Acosta, J.A. (2008). UN acercamiento a los procesos de formalización matemática mediada por las TIC en estudiantes de Educación Báscia Secundaria.. En J. A. Villa, Y. M. Mesa, M. M. Parra, & M. M. Zapata (Ed.), Actas estudiantiles de Educación Matemática. 1, pp. 25-29. Medellín: Facultad de Educación-Universidad de Antioquia. 30 DIFERENCIAS ENTRE EL APRENDIZAJE DE LA GEOMETRIA CON Y SIN LA UTILIZACIÓN DE LAS TIC Alexandra Alzate Correa Ferney Bran David Paula Andrea Castañeda José Manuel González Juan Camilo Lopera William David Molina Jhon Mario Moncada Sandra Milena Restrepo Gustavo Gallego G. Resumen El aprendizaje de la geometría, como base para la construcción del pensamiento matemático, se viene transformando sustancialmente con la implementación de software como RyC y Geogebra: sin embargo poco se ha hecho por validar su eficacia, por ésto se pretende identificar diferencias entre el aprendizaje de la geometría con la ayuda y sin la ayuda de ellos. Para tal fin se utiliza como muestra grupos: experimental y de contro,l de los grados 6º a 9º de la Institución Educativa INEM José Félix de Restrepo, en la que se realiza la práctica pedagógica. El análisis de estas diferencias se pretende hacer desde el modelo de razonamiento geométrico de van Hiele, a través de sus cinco niveles y sus fases de aprendizaje Palabras clave: Tic, RyC, Geogebra, aprendizaje, geometría, pensamiento espacial. INTRODUCCIÓN Con el presente trabajo se pretende validar la importancia de las TIC en el aprendizaje de las matemáticas, específicamente la geometría mediante los softwares interactivos RyC y Geogebra, ambos programas permiten crear un micro-mundo de experimentación que propicia la interacción concreta del alumno con los objetos geométricos, y que podría facilitar la construcción del conocimiento. 31 Además se pretende mostrar las diferencias y/o similitudes más significativas entre el aprendizaje por medio de un método convencional de enseñanza y un método cuya herramienta principal sean las TIC. REFERENTES TEÓRICOS. Incorporar las tecnologías de información y comunicación en el currículo de matemáticas, específicamente en el aprendizaje de la geometría, suministra un ambiente en el que los educandos se animan a establecer conjeturas, afirmaciones, crear imágenes, entre otras. Además de ello permite que los estudiantes puedan valerse de sus errores para dinamizar constructivamente su aprendizaje. Teniendo en cuenta lo anterior, se toma como referente teórico los Lineamientos Curriculares de las nuevas tecnologías y currículo de matemáticas, realizados por el Ministerio de Educación Naciona (MEN), los cuáles dan cuenta de la importancia que tienen los recursos tecnológicos en los procesos educativos. Para establecer las diferencias entre los aprendizajes generados por los diferentes métodos se tendrá en cuenta el modelo de van Hiele, que propone cinco niveles de desarrollo del pensamiento geométrico que muestran “…un modo de estructurar el aprendizaje de la geometría” (MEN 1998, p.38). Estos niveles son: Nivel Uno: Es de visualización, llamado también de familiarización, en el que el alumno percibe las figuras como un todo global, sin detectar relaciones entre tales formas o entre sus partes. Nivel Dos: Es de análisis, de conocimiento de componentes de las figuras de sus propiedades básicas. Nivel Tres: Llamado de ordenamiento o de clasificación. Las relaciones y definiciones empiezan a quedar clarificadas, pero sólo con ayuda y guía, Nivel Cuatro: Es de razonamiento deductivo; en él se entiende el sentido de los axiomas, las definiciones, los teoremas, pero aún no se hacen razonamientos abstractos. 32 Nivel Cinco: Es el de rigor, cuando el razonamiento se hace rigurosamente deductivo. En él los estudiantes razonan formalmente sobre sistemas matemáticos manipulando enunciados geométricos tales como axiomas, definiciones y teoremas. METODOLOGÍA. El modelo de investigación cuasi-experimental fue propuesto en principio por Campbell y Stanley (1963; 1966), como una metodología experimental, pero aplicada en un contexto determinado. su relevancia radica en la posibilidad de su ejecución en ambientes naturales, en nuestro caso el aula de clase. Hernández (2002). Este trabajo es de tipo Cuasi-experimental, ya que la muestra no se ha asignado de manera aleatoria, sino que el grupo de personas está elegido con respecto alguna característica de importancia para el estudio, por ejemplo: conocer el efecto que provoca en los estudiantes de sexto a noveno grado de la institución educativa INEM “José Félix de Restrepo” el empleo de software como el Geogebra y RyC en la enseñanza de las matemáticas, en especial, la geometría, que mediante un grupo experimental y otro control permita validar la eficacia de estos software educativos. En la investigación se utilizan instrumentos tales como: el diario de campo, memos analíticos, las pruebas y las guías. El cronograma a desarrollar es el siguiente: Para la construcción del diagnóstico, se inicia con la observación y la apropiación de los conceptos fundamentales plasmados en el PEI de la Institución Educativa, que permita un mayor conocimiento acerca del estado y las circunstancias en las que se halla el establecimiento educativo. Para ello se realizan las siguientes actividades: Conocer la planta física, la organización académica y administrativa de la Institución, haciendo énfasis en la parte académica y más específicamente en la estructura del Departamento de matemáticas y las unidades docentes de los grados 6º, 7º, 8º y 9º. 33 Indagar y apropiarse del Proyecto Educativo Institucional (PEI), del proyecto de la unidad docente de cada grado, del proyecto de formación en ética y valores, del currículo del Departamento de matemáticas, del manual de convivencia y otros proyectos institucionales mediante las actividades con el maestro cooperador. Colaborar en la elaboración de las guías temáticas que se desarrollarán en los periodos de clase en compañía y orientación del maestro cooperador. Conocer las aulas de informática para implementar y colaborar con el maestro cooperador en la utilización adecuada de ellas. La segunda y tercera etapa del proyecto, consiste en la intervención por parte de los docentes en formación, y para ello se crean estrategias y acuerdos de intervención individuales y autónomos frente a los alumnos del grado respectivo aplicando las teorías vistas por parte de los maestros en formación. Aquí el trabajo se desarrolla con cada grupo de acuerdo a lo establecido anteriormente, y se analizan los resultados a la luz de los cinco niveles de entendimiento establecidos por van Hiele. Por último, se trabaja en la parte de sistematización y elaboración del proyecto de grado, donde se evidencie el trabajo realizado durante la práctica. NUESTRA PROPUESTA La propuesta de práctica profesional busca complementar la enseñanza de la matemática en la utilización de las tecnologías de la información y la comunicación, centrando sus esfuerzos en el aspecto formativo, elemento fundamental en la escuela y tiene entre sus propósitos principales, que los maestros en formación utilicen, elaboren y validen en sus prácticas, la eficacia de los software interactivos RyC y Geogebra para el aprendizaje de la geometría. También se basa en el fortalecimiento del desarrollo de habilidades comunicativas y de pensamiento matemático en los maestros en formación, que les posibilite mejorar su didáctica, mediante “didactizaciones” de software matemático, audio, video y recursos de 34 Internet que les permita orientar a los estudiantes en los procesos de aprendizaje matemático; que a su vez ofrezacan herramientas necesarias para solucionar problemas dentro de la misma matemática y de la vida real. CONCLUSIONES. Se espera encontrar diferencias en la utilización de los software Regla y Compás (RyC) y Geogebra en el proceso de enseñanza y aprendizaje de la geometría, con respecto a la forma tradicional de cómo se ha abordado en el aula de clase, verificando que estos programas potencialicen la capacidad de aprendizaje por ser dinámicos y estimular procesos de abstracción, o si sólo sirven como herramientas para la ejercitación y aplicación de conceptos. La utilización de las tecnologías de la información y la comunicación, permite a los estudiantes valorar la importancia que tiene la matemática en la solución de problemas dentro de su contexto actual, puesto que les permite jugar un papel protagónico en el aprendizaje, en la elaboración de conocimientos y en la comprensión de lo que hacen. El empleo de los software RyC y Geogebra permite a los estudiantes la comprensión y uso de las propiedades de las figuras y las interacciones entre ellas así como el efecto que ejerce sobre ellas las diferentes transformaciones, el reconocimiento de propiedades, relaciones e invariantes a partir de la observación de regularidades que conduzcan al establecimiento de conjeturas y generalizaciones, el análisis y resolución de situaciones problemáticas que propicien diferentes miradas desde lo analítico, lo sintético y lo transformacional. BIBLIOGRAFÍA Aldana, E. & otros. (1995). Colombia al filo de la oportunidad. Bogotá: Colciencias. Azinian, H. (1998). Capacitación docente para la aplicación de tecnologías de la información en el aula de geometría.[versión electrónica]. IV Congreso iberoamericano de informática Educativa. Brasilia: RIBIE. Crowley, M. (1989). El modelo Van Hiele de Desarrollo De Pensamiento Geométrico. 35 De Corte, E. (1996). Aprendizaje apoyado en el computador: Una perspectiva a partir de la investigación acerca del aprendizaje y la instrucción. .[versión electrónica]. III Congreso Iberoamericano de Informática Educativa . Barranquilla: RIBIE. Henao, O. (1997). Pedagogía y didáctica en el contexto de las nuevas tecnologías. Educación y ciudad, No. 4, pp.99 - 107. Hernández M. Antonio. (2002) Investigando con la realidad en Psicosociología del Deporte: El Uso De Diseños Cuasi-Experimentales. Universidad de Málaga (España). Revista Digital Buenos Aires - Año 8 - N° 46 Ministerio de Educación Nacional. (2002) Congreso Internacional Tecnologías Computacionales en el Currículo de Matemáticas. Santa fé de Bogotá. Ministerio de Educación Nacional. (1999) Nuevas tecnologías y currículo de matemáticas. Santafé de Bogotá. Ministerio de Educación Nacional. (1998). Lineamientos Curriculares de Matemáticas. Santafé de Bogotá: Magisterio. Zangara, M. (1998). La incorporación de las nuevas tecnologías de la información y la comunicación a los diseños curriculares. Algunos temas críticos. [Versión electrónica]. IV Congreso iberoamericano de informática Educativa. Brasilia: RIBIE Alexandra Alzate Correa, Ferney Bran David, Paula Andrea Castañeda, José Manuel González, Juan Camilo Lopera, William David Molina, Jhon Mario Moncada, Sandra Milena Restrepo: Son estudiantes de la Licenciatura en Educación Básica de la Universidad de Antioquia. Correos: [email protected]; [email protected] [email protected]; [email protected]; [email protected]; [email protected] 36 Gustavo Gallego G: Profesor del INEM José Feliz de Restrepo del Municipio de Medellín y de la Facultad de Educación de la Universidad de Antioquia. Correo: [email protected] Para citar este artículo sugerimos la siguiente fuente: Alzate, A, Bran. F., Castañeda, P., Gonzalez, J. M., Lopera, J. C. Molina, W. D., Moncada, J. M. Restrepo, S. M. & Gallego, G. (2008). Diferencias entre el aprendizaje de la geometría con y sin la utilización de las TIC. En J. A. Villa, Y. M. Mesa, M. M. Parra, & M. M. Zapata (Ed.), Actas estudiantiles de Educación Matemática. 1, pp.30-36. Medellín: Facultad de Educación-Universidad de Antioquia 37 CALCULADORAS PARA PRIMARIA Vianella Montoya Zapata Alexander Jiménez Resumen: Hoy en día las Tecnologías de la Información y Comunicación (TIC) con aplicaciones en la educación contienen una gran cantidad de propuestas para enseñar las matemáticas desde diferentes tipos de representaciones ya sean gráficas, dinámicas, algebraicas, etc. Entre dichas aplicaciones encontramos los sistemas computacionales algebraicos (CAS) los cuales ofrecen además de la representación gráfica y algebraica, un mundo de manipulación, en el cual el alumno tiene a su disposición una fuente rica de variación. En este documento se pretende dar un vistazo a algunas actividades para trabajar en el aula mediadas por CAS Palabras clave: Educación, TIC, CAS, Mediación, Adaptación curricular. INTRODUCCIÓN Las Tecnologías de la Información y Comunicación (TIC) en educación han tomado un camino hacia la masificacion1, actualmente existen oportunidades para ofrecerles a los maestros en formación instrumentos2 que le faciliten avanzar en sus procesos de enseñanza y de aprendizaje. Según Herrera (2002) gran parte de la comunidad educativa, no esta lista para incorporar las TIC, algunas de estas razones son: inexperiencia, analfabetismo tecnológico, y gestión por parte de las instituciones educativas. 1 Medellín digital (Alcaldía de Medellín), A que te cojo ratón (Gobernación de Antioquia), aprende en línea (u de a), entre otras. 2 Calculadoras voyage 200, de la Facultad de Educación de la Universidad de Antioquia. Calculadoras para primaria Vianella Montoya Para mejorar este aspecto el MEN inició un proceso de consulta, reflexión, discusión, y búsqueda de estrategias, posibilidades, experiencias y recursos para incorporar las TIC al currículo de matemáticas en las instituciones educativas. Dentro de este proceso, se adelanto un proyecto con apoyo de la OEA en el cual participaron expertos de México, Chile, Gran Bretaña y Colombia el cual tenia como objetivo dar a conocer las experiencias y trabajos nacionales e internacionales para construir las orientaciones iniciales para trabajar con la tecnología. Este proyecto mostró la importancia de los instrumentos en el aula y dimensionó la construcción de un proyecto nacional nombrado como: Incorporación de las nuevas tecnologías al currículo de matemáticas de la educación media de Colombia. 3 Como consecuencia, el Ministerio de Educación Nacional (MEN) llevo a cabo en marzo de 2000, el desarrollo de la fase piloto del Proyecto “Incorporación de Nuevas Tecnologías al Currículo de Matemáticas de la Educación Básica y Media” en 60 instituciones educativas de 17 departamentos y 3 distritos capitales. Este proyecto dirigido por maestros de matemáticas y asesorado en el doctor Luís Moreno Armella investigador del Centro de Investigaciones y Estudios Avanzados (CINESTAV) de México. Esta fase piloto tenía como componente principal la formación de docentes en Tecnologías de la Información y Comunicación, especialmente en el uso de los Sistemas Algebraicos Computacionales (CAS) en el aula de matemáticas para producir cambios en las prácticas docentes que permitan modificar sustancialmente el currículo. Para cumplir con estos objetivos del MEN implementó una serie de capacitaciones en seminarios y cursos de formación de docentes, apoyados y acompañados continuamente, haciendo a los maestros estar más involucrados en su proceso de formación, también dio lugar a crear grupos de estudios regionales generando un trabajo colaborativo entre los participantes de este proceso. Otra componente del proyecto es la producción y diseño de materiales, algunos los encontramos en los libros de la Serie Memorias del MEN titulado: “Seminario Nacional de Formación de Docentes: Uso de las Nuevas Tecnologías en el Aula de Matemáticas” donde encontramos la experiencias, actividades artículos que apoyan la incorporación de los 3 Castiblanco Paiba Ana Cecilia 2001, “Incorporación de las nuevas tecnologías al currículo de matemáticas de la educación media de Colombia” MEN. Conferencia plenaria. Tecnologías computacionales en el currículo de matemáticas. Pág. 16 Calculadoras para primaria Vianella Montoya sistemas algebraicos computacionales (CAS) al aula, también conocidos como las calculadoras algebraicas (TI 92 Plus). El incorporar las CAS hace que sea necesario que los maestros en formación estén preparados para afrontar los retos tecnológicos, didácticos, etc. que les permita estar en condiciones de conocer y manipular conceptos y funciones asociadas a las tecnologías de la información y comunicación (TIC), diseñar materiales apoyados en los instrumentos para facilitar los procesos de enseñanza y aprendizaje, tener un plan estructurado de formación permanente de maestros, la cooperación intra e inter institucional, motivación y compromiso personal y profesional por parte de los maestros y gestión hacia la dotación y la infraestructura necesaria. En la actualidad (2008) la formación de docentes en TIC no ha cambiando; se han realizado investigaciones4 en la construcción de modelos de formación y el impacto de su uso en el aula, pero no se han incluido dentro de los planes de formación de docentes las estrategias para incorporar las TIC en sus procesos de enseñanza y proceso de aprendizaje. El proyecto impulsado por el MEN fue un buen comienzo para hablar de formación de docentes en TIC, solo que no fue suficiente, no generó el impacto necesario para que se incluyera dentro de los planes de formación de maestros de las instituciones encargadas. REFERENTES TEÓRICOS. Hoy en día existe una cantidad considerable de estudios sobre las ventajas y desventajas del uso de los instrumentos en el aula escolar, especialmente en la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, algunos ejemplos se pudieron vivenciar en el primer y segundo encuentro europeo de conferencias sobre la investigación en educación matemática (Gutiérrez, 1999; Jones, 2001). Los documentos sobre dichos estudios fueron recopilados y analizados por Jean Baptiste Lagrange y Keith Jones, quienes clasificaron la información en niveles según sus objetos de estudio. Entre los estos encontramos: 4 Modelo de Formación de Docentes en el Uso de las TIC en Educación con Fundamento en Constructivismo - Herramientas tecnológicas y su uso. http://www.educar.org/MFDTIC/index.asp . Visitada el día 4 de junio de 2008. Calculadoras para primaria Vianella Montoya De la interacción entre el instrumento y el conocimiento matemático. De las interacciones entre el conocimiento, instrumento y el alumno de matemáticas. De integración del instrumento a un programa de matemáticas y el aula de matemática. También clasificaron los documentos del II y III congreso ICME en tres temas que describen los objetos centrales de dichas investigaciones presentadas en el congreso. Estos son: Tema 1: Ideas teóricas y recursos para el diseño de la investigación y análisis. Tema 2: Diseño, función de las herramientas tecnológicas y actividades de enseñanza. Tema 3: Tecnología y maestro, y la formación de maestros. En consecuencia, según Lagrange, el tema de este trabajo esta identificado con Tecnología y Maestro, y Formación de Maestros. Las investigaciones realizadas sobre esta temática nos muestra que hay un camino largo hasta que los alumnos estén utilizando estos instrumentos para aprender matemáticas. Algunos de los documentos nos ofrecen detalles sobre cómo los maestros integran las tecnologías de la información y comunicación (TIC), dándonos una pista hacia las investigaciones futuras, incluyendo más el trabajo experimental vinculado a estudio de casos. Para sustentar el objeto de estudio de este trabajo “Incorporación de TIC a la formación de maestros” recurrimos a los trabajos realizados por Verillon y Rabardel, los cuales nos presentan en una nueva versión de la teoría de Vigotsky sobre los instrumentos psicológicos (Teoría de los instrumentos psicológicos). La teoría de la actividad instrumentada concibe dos conceptos: Artefacto e Instrumento. El artefacto son todos lo objetos de la cultura material con los que el niño se relaciona durante su desarrollo y los instrumentos son una construcción psicológica, este no existe en si, este resulta de la existencia de una relación, hecha por el sujeto, entre el sujeto y el artefacto, físico o no, elaborado por otros o no (Verillon y Rabardel, 1995). Calculadoras para primaria Vianella Montoya Para ofrecer una idea clara sobre la función del instrumento en esta teoría, Verillon y Rabardel (1995) plantean el siguiente modelo de Situaciones de la Actividad Instrumentada (IAS) que tiene en cuanta las actividades que producen dichas relaciones: En este modelo se puede observar las relaciones sujeto-instrumento, instrumento-objeto, objeto-sujeto y viceversa. Estas relaciones no muestran la parte fundamental de la teoría, la relación que hace la diferencia es la que esta indicada por la línea roja, que trata de manifestar como el sujeto de apodera del objeto mediado por el instrumento (Ballesteros, 2007). El interactuar con un artefacto no tiene ningún sentido instrumental al principio, este se va adquiriendo por medio de un proceso. Artigue (2002) denomina a este proceso Génesis Instrumental y que viene acompañado de dos fases que trabajan e dos trayectorias: la instrumentalización y la instrumentación. La instrumentalización es un proceso externo en el cual el sujeto conoce las ventajas y desventajas del artefacto y sus usos específicos, este proceso es muy importante por que de acuerdo al nivel de manejo del artefacto se da la segunda parte, le instrumentación. Según Artigue (2001) “En la instrumentación, la génesis instrumental está dirigida hacia el sujeto, conduciendo al desarrollo o la apropiación de los esquemas de la acción instrumentada, la cual progresivamente toma forma de técnicas que permite una respuesta efectiva hacia las tareas dadas”(p.250). Para hacer un análisis de una situación con el modelo anterior (IAS) Verillon y Rabardel (1995) proponen tener en cuenta tres aspectos: 1. Manejo de las limitaciones y la actividad requerida: la actividad requerida es un concepto referente a una tensión entre dos extremos: las limitaciones resultantes desde la relación del artefacto con la acción y el sujeto psicológico, como un simple y premeditado actor. En otras palabras el sujeto puede presentar dificultades propias del Calculadoras para primaria Vianella Montoya uso del artefacto en la actividad o no tiene la formación previa para utilizar este artefacto. 2. Expansión del campo de posibilidades de acción: no solo se tiene en cuesta las limitaciones si no que también las nuevas posibilidades originadas por el sujeto. Los artefactos pueden suministrar a los sujetos nuevos contextos para realizar su actividad. 3. Esquemas sociales de la utilización de artefactos: esta reorganización de la actividad lleva a nuevos esquemas de uso del instrumento. Esto es calificado como constantes representativas y operativas de las clases de esquemas de uso del instrumento. El uso de esquemas para Verillon y Rabardel tiene una dimensión sujetiva, pero al mismo tiempo es social. Esto por que surgen de un proceso colectivo entre el artefacto y el sujeto. ELEMENTOS DE LA PROPUESTA. La metodología a utilizar en el taller esta basada en el Aprendizaje Basado en Problemas (ABP) que es un enfoque pedagógico multi-metodológico y multididáctico, orientado a facilitar el proceso de enseñanza, el proceso de aprendizaje y de formación del alumno. En este enfoque se enfatizan el auto-aprendizaje y la auto-formación, procesos que se facilitan por la dinámica del enfoque y su concepción constructivista. En el enfoque de ABP se promueve la autonomía cognoscitiva, se enseña y se aprende partiendo de problemas que tienen significado para los estudiantes (Dueñas V.) El objetivo del taller es dar un vistazo a las actividades propuestas para trabajar los conceptos de las operaciones aritméticas (suma, resta, multiplicación, división) que son mediadas por la calculadora estándar. Además de Afianzar las habilidades para sumar, restar, multiplicar y dividir por medio de actividades, a los alumnos de grados iniciales y desarrollar los estándares propuestos para la educación primaria. También el dar a conocer que no es simplemente llevar un instrumento al aula si no que es compromiso de nosotros como docentes generar actividades que medien conocimiento y competencia matemática. Algunos de los objetivos del taller son: Dar a conocer algunas actividades mediadas por CAS para el aula escolar. Calculadoras para primaria Vianella Montoya Compartir actividades en las que el uso de las CAS potencie la competencia matemática y el saber matemático. Discutir sobre las fortalezas y debilidades del uso de CAS en el aula escolar. Entre algunas de las actividades publicadas en el cuadernillo del Department for Education and Employment. (1999). The National Numeracy Strategy. Calculator Activities de Gran Bretaña tenemos: 1. Triples. Utilice sólo estas cifras y el signo 47 17 39 . 23 38 .Complete estos. Este ejercicio fomenta la competencia de resolver problemas haciendo uso de los conocimientos previos a la actividad generando relaciones entre ellos para llegar a la solución. 2. Productos. Un juego para dos jugadores o equipos, cada uno con su propio lápiz de color. Por turnos, elegir dos de estos números: 7, 16, 27, 31, 46, 56, 67, 71. Multiplique juntos. Encierre la respuesta con un círculo si la respuesta se encuentra en el cuadro. Calculadoras para primaria Vianella Montoya El ganador es el primer equipo con cuatro círculos en una línea, en cualquier dirección. 3. Seis claves. Investigue con su calculadora. Utilice sólo seis teclas para conseguir 20 en la pantalla. Encuentra las combinaciones que hagan posible que el resultado sea 20. Escríbelas. Estos ejercicios fomentan la habilidad para resolver problemas haciendo uso de los conocimientos previos a la actividad generando relaciones entre ellos para llegar a la solución. La diferencia al realizarlo con lápiz y papel, es la facilidad de abarcar actividades que le desarrollen esas competencias que le generen dudas y que lleguen a anticipar la solución. Sabemos que no se puede reemplazar al maestro y su labor en el aula pues como lo proponen Calculadoras para primaria Vianella Montoya los lineamientos curriculares (1998) el maestro es guía en este proceso de enseñanza y aprendizaje. CONCLUSIONES. El uso de las CAS en el aula escolar requiere de una gestión que incluya tanto al maestro como a la institución educativa. Iniciar un proceso de autocrítica y cuestionamiento en los estudiantes de pregrado y egresados, que sea la base para la modificación de sus visiones y creencias sobre qué son las matemáticas, y cómo se enseñan actualmente. De acuerdo con los avances tecnológicos que a diario son presentados al mundo, estos exigen de todos los campos profesionales una adaptación a sus medios y objetos de estudio. Así la educación no se puede quedar atrás puesto que el objeto de estudio de la educación es formar individuos capaces de desenvolverse en el mundo actual, lo cual implica la adaptación de las tecnologías y de su incorporación al aula. Una de estas propuestas viene dada en la utilización de los objetos computacionales, bien sean la calculadora o el ordenador. Estos nuevos sistemas de representación permiten al alumno tener un campo de visualización más amplio que el del lápiz y el papel. Además que estos sistemas son ejecutables lo que significa que el alumno puede manipular los objetos matemáticos según las necesidades. BIBLIOGRAFÍA Artigue, M. (2002). Learning mathematics in a CAS environment: the genesis of a reflection about instrumentation and dialectics between technical and conceptual work. International Journal of computer for Mathematical Learning, 7, 245- 274. Ballesteros E. (2007). Instrumentos psicológicos y la teoría de la actividad instrumentada fundamento teórico para el estudio de los recursos tecnológicos en los procesos educativos. (documento PDF). cuadernos de investigación y formación en educación matemática 2007, Año 3, Número 4, pp. 125-137. Department for Education and Employment. (1999). The National Numeracy Strategy. Calculator Activities. Gran Bretaña. Pág. 1-16. Calculadoras para primaria Vianella Montoya Dueñas V. H. El aprendizaje basado en problemas como enfoque pedagógico en la educación en salud. Revista Colombia médica (homepage). Visitada el día 23 de agosto de 2008 de la World Wide Web: http://colombiamedica.univalle.edu.co/VOL32NO4/aprendizaje.htm Lagrange B. & Jones K. (2001). Tools and technologies in mathematical didactics: research findings and future directions. (Documento en PDF). Articulo presentado en la Primera y segunda conferencia europea de investigación en educación matemática. Herrera Daza Eddy 2002, el uso de las nuevas tecnologías en aula, articulo de Internet, http://basicamente.usta.edu.co/anteriores/numero1/Articulos/Tecnolog%EDas/Tecnolog %EDas.htm . Visitada el 24 de marzo de 2008. Gutiérrez, A., Laborde, G., Noss, R. and Rakov, S. (1999), Tools and Technologies. In: Inge Schwank (Ed), European Research in Mathematics Education I. Osnabrueck, Germany: Forschungsinstitut fur Mathematik-didaktik (pp183-188). Jones, K., Lagrange, J-B. and Lemut, E. (2001), Tools and Technologies in Mathematical Didactics. In: J. Novotna (Ed), European Research in Mathematics Education II. Prague: Charles University (pp125-127). Verillon, P & Rabardel, P. (1995). Cognitions and artifacts: a contribution to thestudy ofthought in relation to instrument activity. European Journal of Psychologyof Education, 10 (1), 77-101. Vianella Montoya Zapata: Estudiante de la licenciatura en Educación Básica con énfasis en Matemáticas de la Universidad de Antioquia. Correos: [email protected]; [email protected] Alexander Jiménez: Magister en Educación (Matemática) de la Universidad de Antioquia, investigador en el área de las tecnologías miembros de los grupos GECEM y Educación Matemática e Historia (UdeA-Eafit). Correo: [email protected] Para citar este artículo sugerimos la siguiente fuente: Montoya, V. & Jiménez, A. (2008). Calculadoras para primaria. En J. A. Villa, Y. M. Mesa, M. M. Parra, & M. M. Zapata (Ed.), Actas estudiantiles de Educación Matemática. 1, pp. 3746. Medellín: Facultad de Educación-Universidad de Antioquia. 47 LAS INVESTIGACIONES MATEMÁTICAS EN EL AULA DE CLASE COMO METODOLOGÍA DE INTERVENCIÓN EN LA PRÁCTICA PEDAGÓGICA Walter Hernando Gómez Diego Alejandro Pérez Diana Victoria Jaramillo Quiceno Resumen Es el objetivo de este trabajo realizar una discusión teórica en torno a las investigaciones matemáticas en el aula de clase como metodología en la Práctica Pedagógica. Para ello, se tendrá en cuenta un referente teórico desde Ponte (2003), así como las experiencias que hemos tenido a lo largo de un año de seminarios de práctica y el trabajo desarrollado en la institución educativa Ramón Múnera Lopera Palabras clave Pensamiento espacial, trabajo grupal, formación investigativa, conocimiento matemático INTRODUCCIÓN ¿Cómo y para qué investigar en matemáticas? Es la pregunta que se realizan algunos de los estudiantes que participan de los seminarios de Práctica en la Licenciatura en Educación Básica con énfasis en Matemáticas a la cual pertenecemos ahora. Tal vez la respuesta parezca inmediata, sin embargo de lo que nos encargaremos en el presente texto es dar a conocer al lector una mirada sobre dicha investigación en la cual se muestra una alternativa para que el estudiante de matemáticas ejerza un rol de investigador en el aula de clase con una intervención determinante del maestro, además de un alto contenido de motivación y dedicación en la tarea propuesta por ambos. Lo primero a discutir es la concepción que tenemos en cuanto a investigar en matemáticas, para ello hemos acudido a los trabajos del profesor da Ponte (2003) el cual, en su libro “Investigações matemáticas na sala de Aula”, muestra un panorama 48 favorable a dicha temática, junto con un aporte importante en cuanto a la necesidad de establecer trabajos de investigación matemática desde el currículo y la cotidianidad. ¿QUÉ ES INVESTIGAR EN MATEMÁTICAS? Según el Diccionario de la Real Academia de la Lengua Española (Incluido en el paquete Microsoft Student 2008), investigar (Del latín Investigāre) se puede entender de tres maneras básicas: 1. Hacer diligencias para descubrir algo. 2. Realizar actividades intelectuales y experimentales de modo sistemático con el propósito de aumentar los conocimientos sobre una determinada materia. 3. Aclarar la conducta de ciertas personas sospechosas de actuar ilegalmente1 Teniendo esto claro entenderemos que, como lo afirma da Ponte (2003) La investigación en matemática asume características muy propias, conduciendo rápidamente a la formulación de conjeturas que se pretende probar si fuera el caso. Las investigaciones matemáticas envuelven, naturalmente, conceptos, procedimientos y representaciones matemáticas, pero lo que más las caracteriza fuertemente es el estilo conjetura- prueba-demostración. (p. 10) La actividad de investigar en el aula de clase consiste en la realización de búsquedas que dan origen a conjeturas, unas pruebas a estas y una demostración final a partir de una problemática que se genera en la clase desde los planteamientos de situaciones, en las cuales no hay respuestas inmediatas y que demandan una búsqueda exhaustiva por parte de los participantes. Al aclarar esto, parece útil implementar dicha metodología en las clases de matemáticas; por tanto es de aclarar que las investigaciones matemáticas, al tener unos componentes establecidos (que veremos más adelante) y favorables para el aprendizaje significativo de los estudiantes, no pretendemos que se convierta en la única herramienta de la que se valga un maestro, antes bien creemos que le corresponde al profesor implementar unas actividades curriculares que involucren tanto problemas y 1 Microsoft® Encarta® 2008. © 1993-2007 Microsoft Corporation. Reservados todos los derechos. 49 ejercicios como investigaciones plasmadas de manera formal y que sean de carácter público, de modo que los estudiantes asuman al interior del aula el rol de “exploradores” de las matemáticas y no apenas de ente pasivo. En diferentes escenarios de enseñanza y de aprendizaje, investigar no es trabajar con problemas de nivel elevado con respecto al umbral de conocimiento de los estudiantes. Hay que entender que la sola formulación de cuestiones que le interesen a ellos y en los cuales no hay una respuesta inmediata o que le demanden una búsqueda sistemática, ya se puede entender como una labor investigativa productiva; así, para que una investigación sea satisfactoria para el maestro y el estudiante, la temática debe ser interesante para ambos desde el principio; además, como en cualquier investigación, se puede saber desde dónde empezar, pero difícilmente se puede predecir a qué conclusión llegar. Esta situación es muy característica de los matemáticos al realizar investigaciones, es esto precisamente lo que nos compete discutir ahora. MATEMÁTICO Y ESTUDIANTE: DOS INVESTIGADORES POR NATURALEZA Para un matemático, investigar es encontrar las relaciones existentes entre objetos matemáticos con el fin de establecer e identificar sus propiedades. A nuestro parecer, en el acto de investigar, el matemático se da cuenta del carácter “caótico” de las matemáticas, pues en la búsqueda que realiza dicho investigador, encuentra una serie de propiedades que se desconocían por separado y que dan origen a cosas totalmente nuevas que al mismo tiempo llevan a otras. Un ejemplo citado por Ponte (2003), es el del matemático Henri Poincaré, el cual, al tratar de demostrar que no existían funciones con ciertas características, concluyó demostrando que efectivamente existían y las bautizó “Fuchsianas”. En el relato que el mismo Poincaré realizó, veremos un acercamiento a las fases que tiene una investigación, a las cuales Ponte (2003, p. 14) llamó: “Compilación de información y experimentación sin resultados palpables, seguida de una “iluminación súbita” y una fase de sistematización o verificación de los resultados. Hacía ya quince días que me esforzaba por demostrar que no podía existir ninguna función análoga a las que después llamaría funciones Fuchsianas. Estaba entonces en la más completa ignorancia; me sentaba 50 todos los días a mi mesa de trabajo y allí permanecía una o dos horas ensayando un número grande de combinaciones y no llegaba a ningún resultado. Una tarde, contra mi costumbre, tomé un café negro y no conseguí dormir; las ideas surgían en tropel, sentía que se me escapaban, hasta que dos de ellas, por así decirlo, se encajaban formando una combinación estable. De madrugada tenía establecida la existencia de funciones fuchsianas, que se derivan de la serie hipergeométrica. No tuve más que redirigir los resultados, lo que apenas me llevó algunas horas. Ponte (2003, p. 14) El relato que acabamos de ver da cuenta de que en principio la matemática no es el cuerpo ordenado que a veces les mostramos a los estudiantes. Otro matemático que se refiere a la matemática como un ente cambiante y frágil es George Polya, el cual en su libro “Cómo plantear y resolver problemas” (1945), afirma que “La matemática tiene dos caras; es la ciencia rigurosa de Euclides, pero es algo más…La matemática en construcción aparece como una ciencia experimental, inductiva. Ambos aspectos son tan antiguos como la matemática”- Polya (1945, p. vii) Frente a estas opiniones de los matemáticos, aparece el estudiante como el llamado a hacer investigaciones con el fin de realizar descubrimientos que lo lleven a establecer propiedades que no fueron adquiridas directamente desde el maestro. El estudiante de matemáticas, de cualquier nivel de escolaridad, posee las herramientas conceptuales y actitudinales para investigar; de hecho, investigar es una de nuestras acciones cotidianas, pues como se puede ver día a día, no todo problema al que nos enfrentamos tiene respuesta inmediata. Insistimos entonces que desde la práctica pedagógica como punto de partida en la intervención escolar con los estudiantes, es importante el reconocer la investigación matemática como una alternativa eficiente para despertar el “investigador” que hay en cada niño, joven o adulto y así contribuir con su formación intelectual y procedimental. LA INVESTIGACIÓN MATEMÁTICA COMO TAREA Ponte (2003) establece cuatro momentos básicos en el marco de las investigaciones matemáticas en el aula de clase, estos son 51 “El primero es el arranque o reconocimiento de la situación, la exploración preliminar y la formulación de cuestiones; un segundo momento referido a la formulación de conjeturas. El tercero incluye la realización de pruebas y la eventual refinación de la o las conjeturas. Y finalmente, el último es respecto a la argumentación, la demostración y la evaluación del trabajo realizado. (Ponte, 2003, p. 20) Polya (1945) distingue entre lo que es un problema y un ejercicio, pues para él un problema es una cuestión para la cual el estudiante no tiene las herramientas necesarias para darle solución inmediata, en cambio, el ejercicio relaciona una cuestión establecida con un procedimiento que le ha de ayudar para obtener una respuesta inmediata. Las investigaciones matemáticas tienen problemas a los cuales el estudiante ha de dar una respuesta válida que dé cuenta de un procedimiento no establecido con anterioridad. Ponte (2003) afirma al respecto que: Los ejercicios y los problemas tienen una cosa en común. En ambos casos, su enunciado indica claramente o que es dado y lo que es pedido. No hay margen de ambigüedades. La solución es sabida de antemano por el maestro, y la respuesta del estudiante o está cierta o errada. En una investigación, las cosas son un poco diferentes. Se trata de situaciones mas abiertas – la cuestión no esta bien definida en el inicio, dando cabida a quien investiga un papel fundamental en su definición. (p. 23) De manera que las actitudes y los conocimientos de los estudiantes han de ser fundamentales en la realización de una investigación, ya que el ejercitar un algoritmo requiere relativamente poco y solucionar un problema solo por encontrar una solución de antemano conocida no genera resultados muy grandes a futuro. El investigar para un estudiante debe ser algo que motive, que le dé al estudiante el status de matemático investigador, lo cual favorece su autoestima, su acertividad en otras disciplinas y contribuirá en el aprendizaje de una manera menos tediosa que la normalmente ejercida en algunas clases. Investigar es entonces una tarea constante en la que tanto el estudiante como el maestro deben esclarecer las dudas durante el proceso, de manera que al final las soluciones tengan una evaluación satisfactoria. 52 LA INVESTIGACIÓN MATEMÁTICA Y LA PRÁCTICA PEDAGÓGICA Los elementos precedentes dan una visión general de la importancia de las investigaciones matemáticas en el aula, la cuestión ahora es ver el papel del maestro en esta actividad. Al parecer el estudiante tiene el papel principal en el aula a la hora de realizar investigaciones, pero aunque esto es cierto en parte, el maestro no deja de ser un elemento importante y determinante en el acto de investigar. Ponte (2003) determina cuatro aportes básicos del maestro dentro del aula de clase: Desafiar a los estudiantes: desde el principio el maestro debe garantizar que los estudiantes se sientan motivados a realizar las actividades de investigación, por lo tanto, en la etapa inicial, fundamental en la investigación, el maestro debe saber escoger las preguntas adecuadas para que la investigación sea un desafío constructivo para los estudiantes y no una carga que no los motivará. Evaluar el progreso de los estudiantes: constantemente el maestro debe estar atento a que los estudiantes estén comprendiendo la tarea investigativa a realizar; debe recoger información suficiente para intervenir de la manera más eficiente y no causar ambigüedades al momento de responder una pregunta. Según el criterio del maestro y de la temática a investigar, el maestro dispone que el trabajo sea en grupos o de manera individual, de manera que constantemente debe apoyar el trabajo de cada uno y no dejarlos solos con las posibles dudas que acontecen en el acto investigativo. Razonar Matemáticamente: no se puede determinar en una investigación las preguntas que puedan surgir por parte de los estudiantes, por lo tanto es determinante que el profesor se encuentre en las condiciones de razonar matemáticamente al momento de recibir una pregunta con la que no contaba desde el principio. Sabemos que un problema posee muchos caminos que llevan a dicha respuesta. La labor del maestro que practique esta metodología debe estar encaminada a tener un modo de expresar matemática y pedagógicamente la respuesta a preguntas que surgen de conjeturas que no sospechaba para encontrar la solución a cierto problema. Apoyar el trabajo de los estudiantes: el apoyo adecuado del maestro de matemáticas es un aspecto fundamental para que el estudiante sienta la 53 confianza de hacer un buen trabajo. El maestro, como intelectual de la educación y de la matemática, debe saber realizar preguntas directas que le ayude al estudiante a tener una visión más general y no se “pierda” en la investigación. Si el trabajo propuesto es en grupo, lo más recomendable es que el maestro sepa cuándo preguntar sobre el avance de cada estudiante frente a una conjetura realizada; debe reconocer los aportes de cada grupo para la sistematización de un resultado, en fin, debe encontrar los ambientes de aprendizaje necesarios para un resultado favorable. UN EJEMPLO DE INVESTIGACIÓN MATEMÁTICA EN EL AULA La actividad que presentaremos a continuación fue adaptada del capítulo IV del libro “Investigações matemáticas na sala de aula” de Ponte (2003). En este encontramos una actividad en cuanto a la exploración de conjeturas respecto al número de cortes que hay que hacer para que después de un número dado de dobleces se obtuviera el polígono de mayor número de lados. La actividad fue realizada con el grupo 5-3 de la institución educativa Ramón Múnera Lopera. Los niños de este grado se han planteado las siguientes preguntas orientadoras para su proyecto de investigación matemática en el aula: ¿por qué están todas las formas geométricas y para qué sirven? y ¿qué relación existe entre las figuras geométricas trabajadas en el aula y la que vemos en nuestro entorno? Esta actividad fue realizada durante el mes de noviembre de 2008. La actividad consistía en nuestro caso el explorar las características que los estudiantes descubrían de los cuadriláteros cuando cortaban triángulos sobre el lomo de una hoja que ha sido doblada, un ejemplo se puede apreciar en la figura adjunta: Los niños empezaron a cortar de diferentes obteniendo cuadriláteros. maneras diversos Para que la actividad quedara lo suficientemente organizada, les propusimos algunas cuestiones que debían explorar como guía en su trabajo: Recordando la clasificación hecha, has recortes que te permitan obtener 54 1. Un cuadrilátero convexo. 2. Un cuadrilátero no convexo 3. Un triángulo isósceles 4. Un triángulo equilátero Investiga si es posible hacer cortes que genere un triángulo escaleno. Recuerda que todo paso realizado debes consignarlo o tabularlo. De manera muy atenta los estudiantes comenzaron a cortar y a dibujar los triángulos cortados junto con su cuadrilátero obtenido. Como sólo estaban cortando triángulos obtusángulos y acutángulos estaban obteniendo cuadriláteros no convexos y convexos respectivamente. Los niños llegaron a conjeturar el hecho de que no era posible obtener triángulos, pero a partir de la observación, se dieron cuenta de la simetría existente en la figuras. Los niños demostraron que son muy experimentados en hacer figuras cortando papel por medio de la simetría pues antes de comenzar la actividad, algunos niños estaban distraídos cortando patrones hasta con cuatro dobleces para obtener figuras llamativas. Este hecho favoreció nuestra labor pues los estudiantes no mostraban dificultad: aparte de que recordaban la mayoría de las definiciones, eran muy habilidosos para recortar. Al final de la sesión, los resultados de la investigación fueron. 1. Las figuras obtenidas tenían simetría con respecto al lomo de la hoja. Al principio pensaban que eran rombos, pero con los conceptos estudiados, concluyeron que solo es posible si se corta un triángulo isósceles cuya base esté sobre el lomo de la hoja. 2. El cuadrilátero convexo se obtenía cortando triángulos acutángulos, ya que el ángulo que resultaba sobre el lomo era menor que 180º. 3. El cuadrilátero no convexo se obtuvo cortando triángulos obtusángulos, ya que por la simetría, el ángulo sobre el lomo medía más de 180º, lo cual, según lo estudiado, les dio garantía de que el cuadrilátero tenía una “Entrada” 4. El análisis del triángulo isósceles no fue tan sencillo dado que los niños no reconocían la relación entre el corte a realizar y el ángulo (que debía ser de 90°) que este forma con el lomo del doblez. Al principio algunos niños lograron obtenerlo pero no podían explicar qué condición debía cumplir uno de los cortes sobre el lomo para que se formara el triángulo. Al final llegaron a la conclusión 55 de que el triángulo se forma cuando el corte es perpendicular al lomo, esto se da porque por la simetría existente, los ángulos de 90º sumaban 180º, es decir, estaban en línea. 5. No fue fácil descubrir que para obtener el triángulo equilátero el corte perpendicular tenía que medir la mitad del oblicuo. ¡Claro! Como hay simetría, la mitad de un lado mas la mitad del otro sumaban el lado oblicuo formando los tres lados iguales. 6. No se puede hacer un triángulo escaleno, ya que la simetría hace el corte forme segmentos congruentes sobre las dos hojas en el lomo. A MODO DE CIERRE Aunque apenas estamos aproximándonos, desde la teoría y la práctica, a la metodología de investigaciones matemáticas en el aula, desde esta experiencia en la institución educativa y las lecturas que hemos referenciado, comenzamos a notar que: Los alumnos están evidenciando un claro progreso dentro de sus procesos de aprendizajes a través de las actividades desarrolladas en el aula. Se destacó la importancia de las relaciones matemáticas con el contexto en el que se desenvuelven. Las conclusiones mostradas antes durante la etapa de la investigación por parte de los estudiantes, dan cuenta de la importancia de relacionar los conceptos y definiciones trabajadas en el aula con el entorno, tanto en el campo educativo como sociocultural, logrando así que los estudiantes se inquieten por encontrar respuestas que sacien su curiosidad. Se logró que los estudiantes aprendieran a diferenciar los tipos de pregunta, ya que al distinguir estas percibieron la importancia de ellas dentro de una investigación además, que una pregunta bien formulada o llamada de alto nivel nos puede llevar a una investigación real sobre algo que nos inquieta de nuestro entorno. Un punto que vale la pena mencionar en este texto es la importancia que en algunos países se le está dando a las investigaciones matemáticas en el aula de clase. Solo por citar algunos ejemplos, en países como Inglaterra, Estados Unidos, Portugal, Francia y 56 Brasil se implementa el contexto investigativo como aporte de una educación en la que el estudiante puede reconocer las capacidades exploratorias que posee en términos matemáticos. Desde el punto de vista curricular, en estos países hay conciencia de la importancia de la matemática como ciencia de la precisión pero también de incertidumbre, es por esto que el estudiante debe retomar el papel de investigador para descubrir propiedades y relaciones entre objetos matemáticos que no han sido ofrecidos de antemano por el maestro. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Polya, G. (1945). Como Plantear y resolver problemas. México D.F.: Trillas. Ponte, J. P. (2003). Investigaçoes Matemáticas na Sala de Aula. Belo Horizonte: Auténtica. Walter Hernando Gómez y Diego Alejandro Pérez: Son estudiantes de la Licenciatura en Educación Básica con énfasis en Matemáticas de la Universidad de Antioquia. Correos: [email protected], [email protected] Diana Victoria Jaramillo Quiceno: Es doctora en Educación Matemática de la Universidad de Campinas (Brasil). Es investigadora en el área de Educación Matemática desde una perspectiva sociocultural. Profesora de la Facultad de Educación de la Universidad de Antioquia y coordinadora del Grupo de Investigación “Matemática, Educación y Sociedad” de la UdeA.. Correos: [email protected]; [email protected] Para citar este artículo sugerimos la siguiente fuente: Gómz, W. H., Pérez, D.A & Jaramillo, D. (2008). Las investigaciones matemáticas en el aula de clase como metodología de intervención en la práctica pedagógica. En J. A. Villa, Y. M. Mesa, M. M. Parra, & M. M. Zapata (Ed.), Actas estudiantiles de Educación Matemática. 1, pp. 47-56. Medellín: Facultad de Educación-Universidad de Antioquia. 57 El CONOCIMIENTO MATEMÁTICO EN UN CONTEXTO DE ESCUELA INDÍGENA: primeras aproximaciones Katerinne Berrío Londoño Jaime Mejía Betancur Diana Victoria Jaramillo Quiceno Resumen: En el presente trabajo pretendemos discutir cómo se establece la relación entre el maestro, el alumno y conocimiento matemático en un contexto de escuela indígena. Para ello nos apoyaremos en algunos referentes teóricos sobre Etnomatemática y en las visitas de campo que hemos realizado en instituciones escolares de tres resguardos indígenas de Antioquia: La María (Valparaiso), Caimán Alto (Turbo) y El Volao (Necoclí) Palabras clave: Etnomatemática – Cultura – Prácticas ancestrales – Prácticas cotidianas – Conocimiento matemático- Escuela indígena INTRODUCCIÓN Las comunidades indígenas del país a lo largo de la historia han venido perdiendo poco a poco su identidad, sus costumbres y sus creencias milenarias. Nuestra cultura, una cultura heredada de nuestros colonizadores ha ido colonizando las culturas indígenas matando poco a poco su historicidad, volviéndolos más “de aquí que de allá”. Es frecuente escuchar que el futuro del país está en los niños y es educándolos como podemos sembrar la semillita para mejorar al menos un poco la situación de nuestra nación, debido a esto se está en constante búsqueda del mejoramiento de la calidad educativa; por ello, desde hace unos años se ha implementado nuevas formas para optimizar la educación tales como los Lineamientos Curriculares (1998) y los Estándares Básicos de Competencias (2006). Sin embargo en estos documentos se habla de una comunidad general que es la comunidad de las grandes ciudades, difícilmente se menciona a los diferentes grupos étnicos que habitan en las zonas rurales del país, es por estas razones que decidimos indagar sobre ¿qué hacemos con la El CONOCIMIENTO MATEMÁTICO EN UN CONTEXTO DE ESCUELA INDÍGENA: primeras aproximaciones Katerinne Berrío Londoño Jaime Mejía Betancur educación de estos grupos étnicos?, ¿será que sus niños no ayudarán a mejorar el país?, ¿será que sus conocimientos no podrán aportar al desarrollo de nuestro país? El mundo actual nos presenta una educación donde se pretende homogeneizar a los estudiantes, fomentando la exclusión, la discriminación cultural, de sexo o de clase, sin tener en cuenta que vivimos en una sociedad donde hay muchos tipos de personas, comunidades indígenas, comunidades afrodescendientes, campesinos que sufren desplazamientos, violencia, miseria y destrucción, clases sociales bajas, medias y altas. En esta homogenización se pretende llegarle a las diferentes comunidades y grupos socioculturales con un mismo formato de educación, con una misma escuela, y por tanto, con una misma matemática. Lizcano (2002) nos plantea que debemos invertir la mirada “¿Qué vemos si, en lugar de mirar las prácticas populares desde la matemática, miramos la matemática desde las prácticas populares?” Las matemáticas siempre han sido vistas como una sola, la matemática académica, o como la llama Lizcano en su texto “la matemática burguesa” que es la que se encarga de legitimar o deslegitimar las demás matemáticas que surgen de las prácticas populares. Y es que la matemática que nos han enseñado siempre en la escuela, “la matemática occidental” es la que legitima o deslegitima alguna otra matemática que surja de las prácticas cotidianas no formales, ya que esta se da el carácter de modelo al ocultar los perjuicios y supersticiones en los que se basa, imponiéndose como la única matemática legitima para enseñar. Si lográramos invertir la mirada nos daríamos cuenta que existen muchas matemáticas, según las prácticas cotidianas que desarrolle determinada comunidad, en donde estas matemáticas estarían al servicio de sus prácticas dependiendo de la utilidad que se le dé. MATEMÁTICAS: OTRA MIRADA DESDE LO SOCIOCULTURAL La matemática siempre ha sido conceptualizada como una ciencia que se caracteriza por su rigor y exactitud, por lo cual no se concibe que en ella se pueda tener en cuenta la El CONOCIMIENTO MATEMÁTICO EN UN CONTEXTO DE ESCUELA INDÍGENA: primeras aproximaciones Katerinne Berrío Londoño Jaime Mejía Betancur multiculturalidad en la cual vivimos. Comunidades indígenas, comunidades afrodescendientes, comunidades de desplazados, campesinos, y diferentes clases sociales, entre la alta, media y la baja, que viven en medio de la violencia, la miseria y destrucción son excluidas por sus diferentes formas de concebir el pensamiento de acuerdo a sus condiciones sociales y culturales. No debemos pensar entonces, en para qué impartir la matemática en otras culturas, sino más bien en contextualizarlas de acuerdo a su entorno, a las necesidades que exige el contexto cultural. Es el acceso a otros instrumentos y técnicas las que posibilitan esta contextualización y la capacidad para enfrentar problemas y situaciones nuevas, los que nos imparten un aprendizaje no sólo como el dominio de técnicas o habilidades de ciertas teorías. En algunos países se viene trabajando sobre una nueva propuesta de educación matemática, una propuesta liderada por D´Ambrosio (2008), quien junto con otros teóricos importantes se han interesado por la investigación en etnomatemática. Según este autor, la etnomatemática es una matemática realizada por grupos culturales, como son comunidades urbanas y rurales, grupos de trabajadores, clases profesionales, sociedades indígenas, y muchos otros grupos que se identifican por objetivos y tradiciones comunes a ellos. Sin embargo, en nuestro medio es muy poco lo que se sabe al respecto debido a que el tema no es de mucho interés, todavía, para los matemáticos y los científicos envueltos en el paradigma de la ciencia moderna, tal vez ellos piensan que la matemática es una sola, la que siempre se ha enseñado en la escuela tradicional y que las otras formas de concebir el pensamiento matemático en las prácticas cotidianas están aisladas de ellas. D’Ambrosio (2008) realiza una fundamentación teórica donde explica todo lo referente al comportamiento del hombre en su relación con conocimiento (hacer/saber), que es lo que le permite sobrevivir y trascender en la realidad en la que está inmerso. Es desde aquí entonces de donde proviene la etnomatemática, reconociéndose como un campo de saber en la matemática que se desarrolla con la finalidad de explicar, de conocer, aprender y de hacer. Desde esta perspectiva, nos dice D’Ambrosio (2008) que debemos pensar entonces en la posibilidad de impartir una “educación que estimule el desarrollo de la creatividad El CONOCIMIENTO MATEMÁTICO EN UN CONTEXTO DE ESCUELA INDÍGENA: primeras aproximaciones Katerinne Berrío Londoño Jaime Mejía Betancur desinhibida conociendo nuevas formas de relaciones interculturales’’, eliminando con esto la desigualdad discriminatoria y dando un origen a una matemática como una disciplina que genere y preserve la diversidad. Independientemente del saber específico que se maneje, este debe impartirse de una forma humanizante, o como lo plantea Freire (2003) “…el educador debe hacer de su trabajo una especificidad humana.” Porque, precisamente, las personas con las que trabajamos tienen diferentes formas de concebir el mundo, diferentes perspectivas y diferentes formas de aprender. Vemos aquí la importancia de las relaciones interculturales en la educación, ya que todavía se ofrece un currículo nacional, pretendiendo una estandarización de conocimiento en el aprendizaje de los individuos. Es aquí donde entra a tomar importancia la educación intercultural, abriendo paso a las diferencias entre los seres humanos a través de una ética de respeto mutuo, solidaridad y cooperación. Etimológicamente hablando, el término “etnomatemática” está compuesta por tres raíces que son ETNO – MATEMA- TICA, donde ETNO significa grupo, comunidad; MATEMA se entiende como explicar, entender y compartir; y, TICA como las herramientas y técnicas. Es decir, etnomatemática podría ser comprendido como las herramientas o técnicas que ayudan a explicar o entender los conocimientos culturales de los diferentes grupos o comunidades. La etnomatemática es, según Lizcano (2002) “procurar entender el saber/hacer matemático a lo largo de la historia de la humanidad, contextualizado en diferentes grupos de interés, comunidades, pueblos y naciones.” LA ETNOMATEMÁTICA EN LAS COMUNIDADES INDÍGENAS En el marco del proyecto que estamos desarrollando en la práctica pedagógica, se realizaron algunas salidas de campo donde tuvimos la oportunidad de visitar algunas escuelas indígenas de tres comunidades diferentes. Visitamos un resguardo indígena que está situado cerca al El CONOCIMIENTO MATEMÁTICO EN UN CONTEXTO DE ESCUELA INDÍGENA: primeras aproximaciones Katerinne Berrío Londoño Jaime Mejía Betancur municipio de Valparaiso llamado “La Maria”; en este resguardo habitan indígenas Embera1. Estuvimos también en otro resguardo indígena llamado “Cristianía” cerca del municipio de Jardín, donde también habitan los Embera. Otro resguardo indígena visitado fue el ubicado cerca de Turbo llamado “Caimán Alto” conformado por los indígenas Tules2 y, finalmente, estuvimos en el resguardo indígena ubicado en Necoclí llamado “El Volao” conformado por los indígenas Senu3. En estas visitas pretendíamos visualizar cómo se establece la relación entre los maestros, los estudiantes y las interrelaciones que se establecen en el aula de clase, mediada por el conocimiento matemático. En las charlas sostenidas con los maestros, ellos nos expresaban grandes interrogantes sobre el trabajo que se desarrolla con los niños; para ellos es difícil tratar de enseñar a los niños una matemática desde sus prácticas cotidianas, fundamentalmente porque no encuentran la articulación con la matemática que exige el ministerio de educación y que es evaluada en diferentes pruebas estandarizadas; evaluaciones donde los niños llegan con desventajas por su poca preparación. Es la intención de nuestro trabajo, a mediano plazo, poder plantear de manera conjunta, con el maestro indígena y la comunidad a la que pertenece, alguna propuesta curricular que, al tiempo que ayude al desarrollo del conocimiento y pensamiento matemático en los alumnos, revierta beneficios a la comunidad. Para ello, estamos indagando un poco sobre cuáles son esas prácticas cotidianas que desarrollan los indígenas en las cuales se evidencia el pensamiento matemático. 1 Los Embera son un pueblo amerindio del occidente de Colombia y el oriente de Panamá. Son unas 60 mil personas. Se conocen como emberá katío a los que habitan en el alto Sinú y el alto San Jorge, departamento de Córdoba y en Urabá; en Colombia, embera chamí a los que viven en las cordilleras occidental y central de los Andes colombianos, departamentos de Antioquia, Caldas, Risaralda, Quindío y Valle; Chocoes o simplemente Emberá a los que habitan las cuencas del río Baudó y del bajo San Juan, municipios de Istmina, Alto Baudó y Pizarro; el río Curiche, municipio de Juradó en el Chocó (Colombia); y en la Comarca Emberá-Wounaan en el Darién (Panamá); y como eperara siapidara o epená, a los de la costa Pacífica de los departamentos de Valle, Cauca y Nariño en Colombia (OIA, 2008). 2 El pueblo Tule encuentra ubicado en el golfo de Urabá y la región del Darién, específicamente en la zona de Arquía (Chocó) y el municipio de Necoclí (Antioquia), donde reciben la denominación Ipkikuntiwala. Pero la mayor parte de la población se halla en las islas de San Blas (Panamá), lugar considerado como el "territorio madre". Allí reciben la denominación Makilakuntiwala (OIA, 2008). 3 Los Senu senues o sinú son un pueblo amerindio cuyo territorio ancestral está constituido por los valles del río Sinú y el San Jorge y el litoral Caribe en los alrededores del Golfo de Morrosquillo, en los actuales departamentos colombianos de Córdoba y Sucre (OIA, 2008). El CONOCIMIENTO MATEMÁTICO EN UN CONTEXTO DE ESCUELA INDÍGENA: primeras aproximaciones Katerinne Berrío Londoño Jaime Mejía Betancur En las comunidades indígenas donde realizamos el trabajo de campo pudimos aclarar un poco la visión de las matemáticas de estas comunidades. El trabajo se dividió en dos partes, un trabajo con los estudiantes y un conversatorio con los docentes. En el trabajo con los estudiantes desarrollamos una lectura sobre un cuento que hablaba de la matemática con los animales de la selva llamado “La nada siempre sirve”, como una actividad inicial para el trabajo que pretendíamos desarrollar con los niños. Luego les entregamos, marcadores, crayolas y papel con la idea que ellos por medio de unos ideogramas nos contaran cómo veían las matemáticas en su comunidad y en su cultura, y en qué momentos de la comunidad se veían enfrentados a las matemáticas. En sus dibujos, los niños identificaron que la matemática está en todas partes: en la naturaleza; en las labores de sembrado y recolección; en la construcción de tambos4; en la realización de sus artesanías como collares, manillas y el sombrero “vueltiao5”; en la distribución del alimento para los animales; en la medición del territorio para su distribución. Después del trabajo con los niños, realizamos el diálogo con los maestros, para empezar a identificar cómo es su trabajo en la escuela y en particular en el área de matemáticas. Ellos expresaron que la experiencia que realizada con los niños, desde el ideograma, les da claros indicios de que en la escuela, la matemática con tiza y tablero están mandadas a recoger y por tanto se necesita de experiencias producidas desde las prácticas cotidianas que ayuden a los niños y a la comunidad a ver más allá de un simple “uno más uno”. Uno de los maestros compartió una pequeña pesquisa que realizó con uno de los sabios de la comunidad acerca de las matemáticas en tiempos ancestrales. El sabio, al igual que los niños, identifica la matemática en el entorno cultural de la comunidad Una preocupación general de las comunidades indígenas, manifestada a través de los maestros y los líderes es la necesidad de construir un currículo propio de comunidades. Currículo que posibilite que, al tiempo que los niños desarrollan y construyen conocimiento matemático, la comunidad pueda transformarse desde las prácticas escolares. 4 Tambo: vivienda de los indígenas Embera. El sombrero Vueltiao es una artesanía típica de la comunidad Senu. 5 El CONOCIMIENTO MATEMÁTICO EN UN CONTEXTO DE ESCUELA INDÍGENA: primeras aproximaciones Katerinne Berrío Londoño Jaime Mejía Betancur A MODO DE CIERRE La escuela indígena y, en particular, la matemática que allí se enseña, tiene grandes limitaciones debido a la falta de reconocimiento del pensamiento matemático desde las prácticas cotidianas, a la pérdida de identidad por parte de las comunidades de los saberes propios de la cultura y de su conocimiento ancestral. Bajo la mirada de la etnomatemática podemos intentar mejorar la educación indígena de nuestro país; no rechazando la matemática académica, sino potencializando la matemática de las comunidades, sus saberes y sus creencias para poder poner, en un diálogo de saberes, tanto su matemática como la académica. Las matemáticas, según lo percibimos en cada una de nuestras visitas, se ven en dos formas diferentes dentro de las comunidades, pues en las aulas de clase se intenta ver las matemáticas como lo plantea el Ministerio de Educación bajo los Lineamientos Curriculares y los Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas, pero en la cotidianidad se ve la matemática de una manera diferente, no se ponen de acuerdo ambas matemáticas. En este sentido, dice Chavellard citado por Knijnik (2002), pareciera que la lógica profana se quedara en las puertas de la escuela y adentro del aula sólo se viera la lógica sagrada. Es decir, las prácticas cotidianas y el conocimiento matemático que desde allí se genera se quedan afuera del salón y al interior solo entra la matemática presentada de forma descontextualizada sociocultural e históricamente. REFERENCIAS BILIOGRÁFICAS D’Ambrosio, U. (2008). Etnomatemática: Eje entre las tradiciones y la modernidad. Mexico. D.F.: Limusa, S.A. Freire, P. (2003). Pedagogía de la autonomía. Madrid: siglo XXI editores. S.A. El CONOCIMIENTO MATEMÁTICO EN UN CONTEXTO DE ESCUELA INDÍGENA: primeras aproximaciones Katerinne Berrío Londoño Jaime Mejía Betancur Lizcano, E. (2002). Las matemáticas de la tribu europea: un estudio de caso. Conferencia proferida en el Segundo Congreso Internacional de Etnomatemática, Brasil. (OIA)Organización Indígena de Antioquia (2008). www.oia.org.co Recuperado el 20 de noviembre Knijnik, G. (2002). Etnomatemática y educación en el movimiento sin tierra. Revista Reflexión y Acción , 5-20. Katerinne Berrio Londoño; Jaime Mejía Betancur: son estudiantes de la Licenciatura en Educación Básica con énfasis en Matemáticas e integrantes del semillero “Diverser” de la Universidad de Antioquia. Correos: [email protected] [email protected] Diana Victoria Jaramillo Quiceno: Es doctora en Educación Matemática de la Universidad de Campinas (Brasil). Es investigadora en el área de Educación Matemática desde una perspectiva sociocultural. Profesora de la Facultad de Educación de la Universidad de Antioquia y coordinadora del Grupo de Investigación “Matemática, Educación y Sociedad” de la UdeA.. Correos: [email protected]; [email protected] Para citar este artículo sugerimos la siguiente fuente: Berrio, K., Mejia J. & Jaramillo D. V. (2008). El conocimiento matemático en un contexto de escuela indígena: primeras aproximaciones. En J. A. Villa, Y. M. Mesa, M. M. Parra, & M. M. Zapata (Ed.), Actas estudiantiles de Educación Matemática. 1, pp. 57-64. Medellín: Facultad de Educación-Universidad de Antioquia. 65 CAMINO HACIA LA INVESTIGACIÓN: DEL LENGUAJE NATURAL AL SIMBÓLICO EN LA CONCEPTUALIZACIÓN DE ECUACIÓN Natalia Múnera Escobar Jaime Esteban Ríos Restrepo Jadir Alfonso Alzate Marín Diana Victoria Jaramillo Quiceno “El reto de la enseñanza en la formación inicial es darle al niño o al preadolescente los medios para comprender y aprender por el mismo. se trata pues de formar sujetos autónomos en sus caminos intelectuales incluido las matemáticas.” (Duval, 1999) Resumen Este trabajo tiene la intención de mostrar cómo hemos venido consolidando, poco a poco, el camino hacia el proyecto de investigación, el cual viene siendo desarrollado en la Institución Educativa Ramón Múnera Lopera con el apoyo de nuestra maestra cooperadora Claudia Quintero en los grados novenos. Para ello iniciaremos narrando la metodología y estrategias que la maestra cooperadora implementaba durante nuestras observaciones, la temática que estaba siendo desarrollada en el momento de las visitas y algunos autores relevantes en el tema; aspectos todos que nos han venido mostrando el camino investigativo a seguir. El trabajo concluirá con la especificación del tema, problema, pregunta que pretendemos desarrollar en nuestro proyecto de investigación. Palabras Clave Simbolización, representación, problemas, ecuación, álgebra. 66 DESDE EL AULA En las observaciones que hemos venido realizando en la Institución Ramón Múnera Lopera, empezamos a notar cómo los estudiantes tenían dificultades para pasar de un lenguaje natural a un lenguaje simbólico o, dicho de otra manera, para representar simbólicamente lo enunciado en lenguaje natural. Por ejemplo, cuando la profesora cooperadora propuso las siguientes situaciones: Representar simbólicamente: a. Un número aumentado en seis. b. Tengo $5000 en monedas de $100 y $200. Si la cantidad de monedas de $100 es la mitad de las de $200. ¿Cuántas monedas de cada una tengo? c. La edad de Juan es tres veces la edad de María. d. La semi suma de la edad de Juan y María. La diferencia de la edad de Juan y María. En el intento de solucionar las anteriores situaciones, observamos que las principales dificultades de los estudiantes podrían ser derivadas de: Una interpretación no adecuada del enunciado (problema) Hay una dificultad en la codificación de lo expresado en un enunciado para transformarlo en un simbolismo matemático. De igual forma, en este camino de simbolización, es notorio en algunos estudiantes que por causa de la dificultades que presentan para hacer una buena representación de los planteamientos que les ofrece un problema, tienen una interpretación, simbolización, solución y argumentación no adecuado DESDE LA MAESTRA El diario reflexivo viene constituyéndose en nuestra principal fuente para dar inicio al trabajo de investigación; esto porque consideramos que la investigación del maestro debe estar fundamentada en el trabajo en el aula y así poder aportarle a los propios procesos de enseñanza. De esta manera, venimos plasmando en este diario nuestras apreciaciones sobre la maestra, los estudiantes y el ambiente escolar como tal. 67 Desde esta perspectiva, se hace necesario que revisemos como la maestra desde el aula genera y aplica pruebas que le ayuden en los procesos de enseñanza-aprendizaje que lidera. Es de las lecturas constantes del diario y de las observaciones en las visitas realizadas, que podemos decir lo siguiente de la profesora Claudia: Es una profesora reflexiva y crítica, consciente de su inacabamiento (una muestra de ello es su asistencia a los diferentes seminarios de investigación en la Universidad de Antioquia); es una profesora que interpreta y propone estrategias y metodologías educativas que le faciliten al alumno y a ella misma los procesos de enseñanza y de aprendizaje, analizando y tratando de argumentar los por qué de las situaciones vividas en clase y preguntándose las consecuencias de las cosas que propone. Es una profesora que no hace énfasis en “transmitir” a sus estudiantes sus conocimientos matemáticos, sino que mediante la didáctica que implementa (los métodos que utiliza están enfatizados no solo en el algoritmo, también trata de generar discusión frente a las diferentes interpretaciones que los estudiantes dan del objeto matemático trabajado), pretende que entre todos lo construyan, preguntándose y preguntando sobre los conocimientos previos que tienen los estudiantes, y así contextualizando las actividades a sus “realidades”. Además del saber específico que trabaja (matemáticas) con los estudiantes, enfatiza constantemente en el desarrollo de valores éticos y morales que les ayude a ser más responsables, respetuosos, honestos, humildes; valores que son mencionados en el manual de convivencia, y es que ella desde su ejemplo está dejando huella en el aula, como persona humilde, respetuosa, responsable, honesta que es. DESDE LOS AUTORES Entre los autores que plantean teoría sobre el paso del lenguaje natural al simbólico nos encontramos con Pochulu (2007) trabajando sobre los errores más comunes y sus 68 contextos, y Duval (1999) trabajando sobre representaciones semióticas y sus transformaciones. Pochulu (2007) en su artículo muestra algunas de las dificultades que se presentan en los estudiantes en el momento de transformar un enunciado en un lenguaje natural a un lenguaje lleno de símbolos y significados matemáticos, como son: 1. Los estudiantes tiene tanta confianza frente a los resultados que arrojan sus procedimientos, que no realizan pruebas para confirmas sus afirmaciones. 2. Realizan generalizaciones de problemas y enunciados donde no se pueden hacer. 3. No hay una clara comprensión sobre los conceptos que se están manejando. 4. Hay una mala simbolización de los enunciados matemáticos. 5. Generan una transposición de resultados, pues el problema que tratan de solucionar les recuerda un problema que anteriormente ya han solucionado, suponiendo su idéntico procedimiento, donde solo cambian los datos. Según este autor, es importante resaltar que no siempre el estudiante va a cometer los mismos errores, ya que estos se vuelven comunes en unos espacios y situaciones específicas. Algunas situaciones, plantea el autor, donde se generan estos errores son: Cuando el enunciado requiere que se exprese una variable en términos de otra. Cuando le piden al estudiante que halle soluciones a ecuaciones lineales. El autor además de manifestar situaciones en los que los errores se dan con mayor frecuencia, presenta algunas posibles causas de ello, tanto por parte del docente como por parte del alumno, como son: 1. Hay una mala lectura de los enunciados. 2. Los problemas que se plantean no van más allá de un tratamiento numérico a lo propuesto. 3. El maestro pocas veces deja expresar frente a los estudiantes cómo razona los enunciados y cuáles son los caminos que sigue (aunque no siempre funcionen) para la solución de los mismos. Esta posición en la que el maestro se presenta ante los estudiantes como el “omnipotente”, impide en cierta medida que los estudiantes comprendan la exigencia del razonamiento que requieren las matemáticas. Esta causa también desencadena que el estudiante no pueda conocer todos los “trucos” de los cuales se vale el maestro para la solución de los problemas y la representación de los diferentes enunciados. 69 4. La preocupación del estudiante, en la mayoría de los casos, se centra en saber el algoritmo que lleva a la solución del problema, no teniendo en cuenta los conceptos que involucra el tema. 5. Es posible que el estudiante cometa errores porque no tiene los conocimientos previos necesarios para la solución de los problemas. Por otro lado Duval (1999) basa su trabajo en las representaciones semióticas que el sujeto hace sobre los objetos matemáticos que maneja, por esta razón, a continuación, mostraremos algunos elementos importantes que nos interesan frente al tema que queremos tratar (el paso del lenguaje natural al simbólico en la conceptualización de ecuación). En primer lugar se hace necesario definir lo que es una representación. Entendemos por representación, apoyándonos en Duval (1999), que es un esquema mental que ya esta interiorizado y que no es necesario que se materialice para que el sujeto sepa de lo que se trata. Es muy importante tener en cuenta el porqué se producen las representaciones que tiene el sujeto. Duval (1999) define lo que es un registro o “sistema semiótico, como un sistema: [el] cual comporta reglas, más o menos explicitas que permiten combinar los signos entre si de tal manera que la asociación formada tenga también un sentido. Las posibilidades de combinación son las que le dan a un sistema semiótico su potencia inventiva y le permiten efectuar a su interior transformaciones de expresión o de representación (p. 43) En otras palabras, el sistema semiótico es un conjunto de reglas, transformaciones y relaciones que se pueden hacer con algunas representaciones. Estas transformaciones son básicamente dos: el tratamiento (es pasar de una representación a otra dentro de un mismo registro) y la conversión (es pasar de una representación a otra que es de otro registro); en la medida que se realizan estas transformaciones es que el sujeto puede comprender e interiorizar representaciones cada vez más complejas. En la siguiente ilustración retomamos un ejemplo de conversión, presetado en Duval (1999) 70 M es la semisuma de a y de b + M= a + b 2 /2 Ilustración Nº 1. Ejemplo de un proceso de conversión Duval (1999, p. 45) Para ejemplificar un poco más lo que son los registros, el autor nos muestra cuáles son los registros más usados en matemáticas, estos son: discursivos (son proposiciones y transformaciones de expresiones donde se razona, describe, infiere, calcula), los no discursivos (no se muestran de manera visual, estos son disposiciones gráficas que se usan para una mejor comprensión), los monofuncionales (son los registros que se aprenden con las matemáticas, estos ayudan a desarrollar algoritmos) y los plurifuncionales (son los registros que el sujeto utiliza en todo los contextos de su vida). Duval (1999) plantea una categorización (importante en nuestra investigación) sobre cómo se puede interpretar una gráfica que representa una ecuación, la cual es: se puede ver de una manera puntual (dando cabida a que se interprete de esta que quiere decir en un punto determinado), de una manera icónica (dando cabida a que se interprete de esta el que hayan puntos en los que sube y baja, su forma general) y de manera que demuestre una aprehensión global cualitativa (dando cabida a que se hagan interpolaciones, relaciones entre variables, análisis de datos son respecto a resultados). Duval (1999) plantea sobre por qué los estudiantes se pueden quedar solo en una mirada de la gráfica desde una manera puntual y no llegar a una aprehensión global cualitativa (que sería lo ideal), los cuales son: limitarse a la simple codificación y decodificación de una expresión, mirar la tabla de datos como una lista de valores para construir un 71 gráfico a partir de una expresión algebraica y leer sus coordenadas, no discriminan información o variables de la situación. Para concluir, el autor señala que los enunciados son la interacción entre la lingüística y el objeto matemático a tratar, y que la dificultad en su comprensión, y posteriormente en su simbolización, es porque el sujeto no hace fácilmente una conversión. Esta dificultad radica en la conversión, porque esta no se aprende con que el maestro haga un ejemplo en el tablero y ya, esta requiere de toda una comprensión de las representaciones que están involucradas. LA PREGUNTA DE INVESTIGACIÓN Desde las observaciones en la institución escolar y la lectura de autores Pochulu (2007) y Duval (1999) empezamos a aproximarnos y a delimitar nuestro tema y pregunta de investigación. La primera aproximación a la pregunta es ¿Cuáles son las estrategias metodológicas, que pueden ayudar a superar algunas de las dificultades que presentan los estudiantes en el paso del lenguaje natural al simbólico en la conceptualización de ecuación? Así, la temática en la que estará enmarcada nuestra investigación es “Del lenguaje natural al simbólico en la conceptualización de ecuación”. Podemos decir que este es sólo el inicio de todo un rastreo sobre lo que los teóricos plasman referente al paso del lenguaje natural al simbólico para que, consecuentemente, produzcamos apreciaciones propias nutridas de nuestra práctica pedagógica e del proceso investigativo en cuestión. BIBLIOGRAFÍA DUVAL, R. (1999). Los problemas fundamentales en el aprendizaje de las matemáticas y las formas supriores en el desarrollo cognitivo. Santiago de Cali: Universidad del Valle. FREIRE, P. (2003). Pedagogía de la autonomía: saberes necesarios para la práctica educativa. Buenos Aires: Siglo XXI. 72 POCHULU, M.D. (2007). Análisis y categorización de errores en el aprendizaje de la matemática en alumnos que ingresan a la universidad. Villa María (Argentina): Universidad Nacional de Villa María. Natalia Múnera Escobar, Jaime Esteban Ríos Restrepo, Jadir Alfonso Alzate Marín: son estudiantes de la Licenciatura en Educación Básica con énfasis en Matemáticas de la Universidad de Antioquia. Correos: [email protected]; [email protected]; [email protected] Diana Victoria Jaramillo Quiceno: Es doctora en Educación Matemática de la Universidad de Campinas (Brasil). Es investigadora en el área de Educación Matemática desde una perspectiva sociocultural. Profesora de la Facultad de Educación de la Universidad de Antioquia y coordinadora del Grupo de Investigación “Matemática, Educación y Sociedad” de la UdeA. Correos: [email protected]; [email protected] Para citar este artículo sugerimos la siguiente fuente: Múnera N., Ríos J. E., Alzate J. A. & Jaramillo D. V. (2008). Camino hacia la investigación: del lenguaje natural al simbólico en la conceptualización de ecuación. En J. A. Villa, Y. M. Mesa, M. M. Parra, & M. M. Zapata (Ed.), Actas estudiantiles de Educación Matemática. 1, pp. 65-72. Medellín: Facultad de Educación-Universidad de Antioquia. 73 GEOMETRÍA Y DOBLADO DE PAPEL. Zaida Margot Santa Ramírez Carlos Mario Jaramillo López Resumen Se pretende que tanto estudiantes como profesores puedan visualizar la geometría del doblado de papel, es decir, los seis axiomas propuestos por el ítalo-japonés Humiaki Huzita y su relación con los axiomas de la geometría euclidiana. Posterior a su reconocimiento, se presentará como aplicación, la construcción de una elipse, para identificar sus elementos y definirla como lugar geométrico Palabras clave: Doblado de papel, Geometría, Axiomas de Huzita INTRODUCCIÓN El presente taller, refleja simultáneamente dos preocupaciones: la actividad gratificante del doblado de papel de un lado y sus implicaciones pedagógicas para ayudarle a los estudiantes, desde los primeros años escolares, a acercarse en forma intuitiva a muchos conceptos matemáticos implícitos en dicha actividad lúdica. De acuerdo con lo anterior, los profesores deberán delimitar muy claramente, los niveles de aplicación de lo acá propuesto y controlar los dos tipos diferentes de actividades a realizar con sus estudiantes; vale la pena decir que en el nivel primario se justifica programar toda una serie de actividades papirofléxicas por la diversidad implícita de conceptos matemáticos que ella brinda. Si en la secundaria se retoman todos los conceptos matemáticos trabajados inconscientemente en el Origami, estamos seguros de que ya los estudiantes estarán mejor equipados para GEOMETRÍA Y DOBLADO DE PAPEL Zaida Margot Santa Ramírez Carlos Mario Jaramillo L entender la segunda parte de estas sugerencias y empezar a superar esa primera aproximación intuitiva para enfrentarse a una etapa más cualificada de asimilación racional del conocimiento matemático Sólo así trascenderemos la actividad lúdica como un simple pasar un rato agradable que no pasa a mayores perdiéndose así, gran parte del potencial cognoscitivo implícito en la misma. El arte del origami es una disciplina que permite desarrollar aspectos como: Memoria visual geométrica Memoria a corto y mediano plazo Destreza manual Discriminaciones multisensoriales de tipo grueso, fino y refinado (psicomotricidad). LOS PROPÓSTOS Con el desarrollo de esta propuesta se espera que los maestros en formación alcancen a: Relacionar los distintos modelos o figuras con principios o leyes de las matemáticas y en particular, de la geometría. Desarrollar la imaginación y la creatividad. Promover el desarrollo del pensamiento a través de la geometría del doblado de papel. Utilizar el método de doblado de papel en la enseñanza de muchos conceptos matemáticos. Desarrollar habilidades manuales propias de la motricidad fina. Desarrollar la capacidad de observación. Desarrollar habilidades del lenguaje. Desarrollar la capacidad individual para establecer relaciones entre las cosas. Estimular el desarrollo de operaciones concretas del pensamiento en una actividad racional de orden lógico y creativo. Plantear alternativas en el campo de la didáctica de la geometría y las matemáticas. Realizar mostraciones geométricas. Desarrollar habilidades para seguir instrucciones en la elaboración de modelos. Desarrollar habilidades algorítmicas. Desarrollar la capacidad de deducción. GEOMETRÍA Y DOBLADO DE PAPEL Zaida Margot Santa Ramírez Carlos Mario Jaramillo L ALGUNAS ACTIVIDADES Actividad 1: Axiomas de Huzita. Se pretenden construir los seis axiomas que postuló el ítalo-japonés Humiaki Huzita para la geometría del doblado de papel. Durante la actividad, se mencionarán algunas relaciones con la geometría euclidiana y con la analítica. Estos axiomas son: Dados dos puntos p1 y p2, existe un único doblez que pasa a través de ellos. Dados dos puntos p1 y p2, existe un único doblez que pone el punto p1 sobre el punto p2. Dados dos dobleces l1 y l2, existe un único doblez que pone a l1 sobre l2. Dados un punto p1 y un doblez l1, existe un doblez único que pone a l1 sobre sí misma y pasa por p1. Dados dos puntos p1 y p2 y un doblez l1, existe un único doblez que pone a l1 sobre p1 y pasa por p2. Dados dos puntos p1 y p2 y dos dobleces l1 y l2, existe un doblez único que pone a p1 sobre l1y a su vez, p2 sobre l2. Actividad 2: Construcción de la elipse. Para la construcción de la elipse, es necesario partir de una hoja de papel de forma circular. Se considera fundamental tener en cuenta el centro de la circunferencia inicial. Señale un punto P dentro del círculo y doble de tal manera que ese punto se coloque sobre puntos marcados de la circunferencia (X). Repita el procedimiento unas 30 veces variando la posición de X a lo largo de la circunferencia. GEOMETRÍA Y DOBLADO DE PAPEL Zaida Margot Santa Ramírez Carlos Mario Jaramillo L Zaida Margot Santa Ramírez: Es licenciada en Matemáticas y Física de la Universidad de Antioquia. Estudiante de Maestría en Educación en la Universidad de Antioquia. Integrante del grupo de Investigación en Educación Matemática e Historia (UdeA-Eafit). Correo: [email protected] Carlos Mario Jaramillo López: Es Doctor en Ciencias Matemáticas de la Universidad Politécnica de Valencia (España). Profesor de tiempo completo del Departamento de Matemáticas de la Universidad de Antioquia y coordinador del grupo de Investigación en Educación Matemática e Historia (UdeA-eafit). Correo: [email protected] Para citar este artículo sugerimos la siguiente fuente: Santa Z. M. & Jaramillo C. M. (2008). Geometría y doblado de papel. En J. A. Villa, Y. M. Mesa, M. M. Parra, & M. M. Zapata (Ed.), Actas estudiantiles de Educación Matemática. 1, pp. 73-76. Medellín: Facultad de Educación-Universidad de Antioquia. 77 LAS FRACIONES COMO DECIMALES Y PORCENTAJES TRABAJADAS DESDE EL CONTEXTO DE LOS ESTUDIANTES Sirley Astrid Quinchía Edison Sucerquia Vega Resumen En Colombia, la última versión de los Estándares de matemáticas plantea que uno de los propósitos de las matemáticas escolares es el desarrollo de competencias lo cual implica una nueva mirada a los procesos de enseñanza en donde se retomen los saberes previos de los estudiantes y se valore el papel de los contextos extraescolares en la construcción del conocimiento. En este documento, presentamos los avances de un trabajo de investigación que se centra en la creación de una Unidad Didáctica que permita la construcción de la noción de fracción, representada por medio de sus relaciones equivalentes, decimales y porcentajes, contribuyendo de esta manera al desarrollo de algunas competencias matemáticas que permitan al estudiante desempeñarse mejor en su contexto. Palabras Clave Situaciones didácticas, unidades didácticas, noción de fracción, porcentajes y decimales. INTRODUCCIÓN Este trabajo tiene en cuenta algunas de las dificultades que presentan los estudiantes de grado séptimo de la Institución Educativa Fe y Alegría Luis Amigó ubicada en el barrio Moravia. Con base en dichas dificultades observamos la necesitad de una Unidad didáctica, que promueva la comprensión de la noción de fracción y sus relaciones equivalentes como decimales y porcentajes de manera significativa, de tal manera que disminuya la creciente brecha entre los temas abordados por los profesores en la clase y el aprendizaje de los estudiantes, lo cual se hace evidente en la falta de interés y de motivación frente al concepto en mención. LAS FRACIONES COMO DECIMALES Y PORCENTAJES TRABAJADAS DESDE EL CONTEXTO DE LOS ESTUDIANTES Sirley Quinchia Edison Sucerquia REFERENTES TEÓRICOS Situaciones Didácticas Brousseau (1986) presenta unos elementos en didáctica que se pueden considerar como una pauta para entender las necesidades e intereses de los estudiantes, dichos elementos son: -El Contrato Didáctico: se entiende como las reglas que se establecen entre el profesor y el estudiante, definido por Brousseau (1986) como: […] una relación [establecida] que determina –explícitamente en parte pero sobre todo implícitamente- lo que cada protagonista, el enseñante y el enseñado, tiene la responsabilidad de administrar y de lo que será responsable delante del otro de una forma o otra. Este sistema de obligaciones recíprocas se parece a un contrato. (p. 15) -Situación a-didáctica: hace referencia a una situación donde el profesor no interviene y el estudiante es capaz de realizar una determinada tarea. Además, es donde el estudiante aplica ese conocimiento nuevo que ya adquirió a cualquier situación fuera del contexto de enseñanza, que en palabras de Brousseau: El alumno sabe bien que el problema ha sido elegido para hacerle adquirir un conocimiento nuevo, pero debe saber también que este conocimiento está enteramente justificado por la lógica interna de la situación y que puede construir sin atender a razone didácticas. No solo puede, sino que también debe, pues solo habrá adquirido este nuevo conocimiento cuando el mismo sea capaz de ponerlo en acción, en situaciones que encontrara fuera de todo contexto de enseñanza, y en ausencia de toda indicación intencional, tal situación es llamada a-didáctica. (Brousseau 1986, p. 14) -La Situación didáctica: es definida como: […] el maestro busca devolver al alumno una situación a-didáctica que provoque en él una interacción lo, más independiente y lo más fecunda posible. Para ello, comunica o se abstiene de comunicar, según el caso, informaciones, preguntas, métodos de aprendizajes, heurísticas, etc. En consecuencia, el enseñante está implicado en un juego con el sistema de interacciones del alumno con los problemas que él le ha planteado. Este LAS FRACIONES COMO DECIMALES Y PORCENTAJES TRABAJADAS DESDE EL CONTEXTO DE LOS ESTUDIANTES Sirley Quinchia Edison Sucerquia juego o esta situación más amplia es la situación didáctica. Brousseau, (1986, p. 15) -El trabajo del profesor: consiste en realizar una verificación las tareas hechas con los estudiantes, esto será un punto de partida para la adquisición de los conceptos de manera natural, además, debe estructurarlas de manera secuencial acorde al proceso del estudiante, que definidas por Brousseau (1986) El trabajo del profesor es en cierta medida inverso al del investigador, debe producir una recontextualización y una repersonalización de los conocimientos. Estos van a convertirse en conocimientos del alumno, es decir una respuesta natural, en unas condiciones relativamente particulares, condiciones indispensables para que tengan un sentido para él. (p. 7) -El trabajo del estudiante: a esta actividad Brousseau (1986) se refiere de la siguiente manera: Una buena reproducción por el alumno de una actividad científica exigiría que intervenga, que formule, que pruebe, que construya modelos, lenguajes, conceptos, Teorías, que los intercambie con otros, que reconozca los que están conformes con la cultura, que tome los que le son útiles, etc. (p. 6) De esta manera podemos decir que el estudiante debe encaminar la actividad matemática a la investigación, formulación, planteamiento de hipótesis, verificación de los procedimientos realizados y la toma de las cosas útiles que la cultura le ofrece. Las Unidades Didácticas En este trabajo de investigación se considera que una unidad didáctica va mucho más allá de un conjunto de actividades, donde el estudiante puede interactuar con lo que ya sabe y a partir de ahí construir un nuevo conocimiento. Se considera que una unidad didáctica mantiene una secuencia jerarquizada según los temas a enseñar, teniendo en cuenta que su diseño no es un mero recetario que se propone para la elaboración de un modelo, no hay un determinado esquema para su construcción. Según García (1994) las unidades didácticas las podemos definir como una: LAS FRACIONES COMO DECIMALES Y PORCENTAJES TRABAJADAS DESDE EL CONTEXTO DE LOS ESTUDIANTES Sirley Quinchia Edison Sucerquia […] unidad de trabajo, relativa a un proceso de enseñanza –aprendizaje, articulado y completo; precisándose en ellos los contenidos, los objetivos, las actividades de enseñanza aprendizaje y las actividades por la evaluación y especificando que en estos elementos deben tenerse en cuenta los diferentes niveles de la clase y desarrollar en función de ellos las necesarias adaptaciones curriculares. (p.56) METODOLOGÍA Con la población objeto de estudio de este trabajo se ejecutó como una fase del mismo un diagnóstico que como resultado nos permitió determinar que los estudiantes presentaban una desmotivación frente a las actividades matemáticas y la aplicación de los conceptos a su contexto. Además, presentan algunas dificultades en la comprensión de otros temas y las metodología utilizadas por los profesores no abarcaban sus necesidades e intereses. A partir de este diagnóstico se diseñó un pre-test, que permitió hacer un análisis de las falencias conceptuales y necesidades, que tenían los estudiantes frente a la noción de fracción y sus relaciones de equivalencia. Esto permitió que la unidad didáctica diseñada para la intervención se enfocara en que el estudiante comprendiera y aplicará estas nociones a su propio contexto. Luego del desarrollo de la unidad didáctica se dará un post-test, que busca evaluar los conocimientos y nociones que los estudiantes habían adquirido a través del proceso de intervención. Actualmente, el proceso de investigación se encuentra en su fase de análisis de resultados de la metodología implementada y los alcances obtenidos. SOBRE LA UNIDAD DIDÀCTICA La propuesta se presenta en tres momentos: El primer momento: se indagan con algunas preguntas orientadoras sobre las nociones que tienen los estudiantes sobre la fracción como decimal, y algunas actividades. ¿Cómo podemos definir una fracción como decimal? ¿Cómo defines una fracción en porcentaje? LAS FRACIONES COMO DECIMALES Y PORCENTAJES TRABAJADAS DESDE EL CONTEXTO DE LOS ESTUDIANTES Sirley Quinchia Edison Sucerquia ¿La fracción, la fracción decimal y la fracción como porcentaje representan diferentes cantidades? ¿Podemos identificar en situaciones de nuestro colegio y fuera de él donde se evidencia la utilización de las fracciones? En un segundo momento: se comprende dos actividades desarrolladas sobre la noción de fracción como porcentaje, esto aplicado desde el mismo contexto de los estudiantes. SITUACIÓN El total del dinero de cada estudiante es de $ 91.000 en billetes y $ 4.300 en monedas. Dinero que podrán invertir en la tienda del colegio, pero solo si se acogen a las condiciones que el profesor impuso para poderlo gastar. CONDICIONES -Los hombres solo podrán gastar en líquidos (gaseosa, jugos y yogures) y mecato en paquete (papitas, chitos, etc.) -Las mujeres solo podrán comprar de los líquidos jugos y comidas rápidas (pasteles, empanadas, papas rellenas, etc.) -Lo único que podrán comprar libremente son caja de chicles, mentas y confites ACTIVIDAD -Si cada uno de los hombres del grupo 7º2 gasta el dinero comprando 5 gaseosas y 6 paquetes de papitas ¿Qué fracción de dinero se gasto? -Representa esta cantidad en facción decimal y en porcentaje. -¿Qué cantidad de dinero le queda a cada hombre? Representa esta cantidad como fracción, fracción decimal y como porcentaje. El tercer momento: se dan dos actividades desarrolladas en una sola sesión, que buscan la aplicación de los conceptos a situaciones de la cotidianidad del estudiante, donde la fracción es comprendida y trabajada como decimal y como porcentaje. Total estudiantes del grado 7º2 38 Reggaetón Vallenato Balada Salsa Rock 15 6 4 7 6 Representa como decimal y como porcentaje la cantidad de estudiantes que le gusta el reggaetón, la salsa, el vallenato, la balada y el rock. LAS FRACIONES COMO DECIMALES Y PORCENTAJES TRABAJADAS DESDE EL CONTEXTO DE LOS ESTUDIANTES Sirley Quinchia Edison Sucerquia CONCLUSIONES La utilización de situaciones didácticas en el aprendizaje y enseñanza de la noción de fracción y sus relaciones equivalentes, permite que el estudiante interactué entre los conocimientos matemáticos y su contexto, motivándose hacia el estudio de las matemáticas. La Unidad didáctica, confronta al estudiante con lo que sabe, y la manera en que lo relaciona en su contexto, dándose un mayor acercamiento a la construcción de la noción de fracción y su manifestación como decimal y porcentaje. Bibliografía Brousseau, G. (1986). Fundamentos y didáctica de las matemáticas. Universidad de Burdeos. García, F. (1994). Cómo elaborar Unidades Didácticas en la Educación. Barcelona: Escuela Española. Vasco, C. (1998). Constructivismo en el aula ¿Ilusiones o realidad?. Bogotá: Centro Editorial Javeriano. . Sirley Astrid Quinchía: es estudiante de la Licenciatura en Educación Básica con énfasis en Matemáticas de la Universidad de Antioquia. Correo: [email protected] Edison Sucerquia Vega: Es estudiante de maestría en Educación (Matemática) de la Universidad de Antioquia y profesor de la Facultad de Educación de la misma Universidad. Actualmente se desempeña como investigador del Grupo de investigación en Educación Matemática e Historia (UdeA-Eafit) Correo: [email protected] Para citar este artículo sugerimos la siguiente fuente: Quinchía, S. A., & Sucerquia, E. (2008). Las fracciones como decimales y porcentajes trabajadas desde el contexto de los estudiantes. En J. A. Villa, Y. M. Mesa, M. M. Parra, & M. M. Zapata (Ed.), Actas estudiantiles de Educación Matemática. 1, pp. 77-82. Medellín: Facultad de Educación-Universidad de Antioquia. 83 UN ACERCAMIENTO A LA ASTRONOMÍA Y A LAS MATEMÁTICAS A TRAVÉS DE LA CARTA CELESTE Lina López Leidy Gutiérrez María Milena Bedoya E. Carlos Julio Echavarría Hincapié Resumen La utilización de herramientas como la Carta celeste, tuvieron gran importancia en culturas como la egipcia para la determinación de la posición de las estrellas y como referencia para navegar. En la actualidad estas herramientas siguen siendo de uso frecuente por astrónomos y navegantes. En este artículo mostraremos su uso como “herramienta didáctica” en la construcción de conceptos matemáticos tales como la proporcionalidad y la noción de variable. En nuestra práctica profesional docente hemos observado que un trabajo de este tipo permite que los estudiantes puedan aproximarse a los conceptos ya mencionados de una manera alterna a la tradicional, permitiendo la identificación de regularidades y el establecimiento de generalizaciones a partir de las maravillas del cielo. Esperamos que con esta propuesta el maestro en formación adquiera una visión cosmogónica que le permita reencontrarse con el origen de muchas ideas matemáticas a través de la observación, la descripción y verbalización de los elementos asociados al cielo, por medio de experiencias enmarcadas en la metodología de Aula Taller. Palabras clave Proporcionalidad, Medición, Geometría, Constelaciones, Mitología, Tiempo, Latitud, Orientación, Espacio, Perpendicularidad, Coordenadas Polares, Variable, Astronomía, Cielo INTRODUCCIÓN Varias fuentes relacionan el nacimiento de la astronomía con las primeras civilizaciones, un ejemplo de ellas fue la babilónica de la que han encontrado algunos elementos arqueológicos que permiten vincularlos con observaciones astronómicas registradas por medio de tablas. Es como que es posible afirmar que: Un acercamiento a la astronomía y a las matemáticas a través de la carta celeste Lina López, Leidy Gutierrez, María Milena Bedoya E Muchos años de observación sentaron las bases científicas de la astronomía con explicaciones más aproximadas sobre el universo. Sin embargo, las creencias geocentristas apoyadas por los grupos religiosos y políticos impusieron durante muchos siglos un sistema erróneo, impidiendo además el análisis y estudio de otras teorías1. En esta ocasión daremos a conocer los principales elementos de la carta y el mapa celeste o planisferio, elemento cartográfico más antiguo. Esta experiencia sobre la utilización de la carta celeste nos permitirá comprender la formación que existe en el cielo y que se relaciona en gran parte con las matemáticas. Una intervención en el aula usando estas herramientas permite que los estudiantes tengan una experiencia diferente, de manera que logren acercasen a un estudio del cielo y que es posible desde un punto de vista conceptual y didáctico, teniendo en cuenta expresiones matemáticas en la medida en que reconocen las constelaciones tanto en la carta celeste como en el cielo. REFERENTES TEÓRICOS La astronomía como ciencia tiene objetos de estudios que, al hacer un tratamiento didáctico adecuado, pueden convertirse en objetos de enseñanza al interior del aula de clase. La astronomía es la ciencia que pone al hombre en contacto directo con la inmensidad del Universo y las maravillas que él contiene, indaga por la naturaleza física de los astros e intenta comprender sus interacciones con las matemáticas. Su objeto de estudio son los cuerpos celestes que a todos fascinan. Como disciplina científica, la astronomía se forjó varios milenios antes de Cristo cuando se descubrieron ciertas regularidades en los movimientos de los astros y se sacó provecho de ellas. Siglos antes de Cristo se diseñaron sencillos métodos trigonométricos para calcular los tamaños del Sol y la Luna y distancias a ellos, además de acertar con admirable precisión en el cálculo del tamaño de la Tierra. Se Tomado de http://www.astromia.com/historia/ . consultado el 15 de noviembre de 2008 1 Un acercamiento a la astronomía y a las matemáticas a través de la carta celeste Lina López, Leidy Gutierrez, María Milena Bedoya E necesitó avanzar hasta el siglo XVII para iniciar el estudio de los aspectos físicos de los cuerpos celestes y solo en el XX el hombre pisó una superficie extraterrestre2. Algunos datos útiles. Para empezar a utilizar una carta celeste, sólo debe tenerse un par de cosas en consideración. Dado que las observaciones deben ser idealmente en sitios oscuros, la lectura de una carta precisa necesariamente de una fuente de luz. En astronomía aficionada, la única luz "permitida" es la que puede darnos una linterna roja (o bien una común que le hayamos adaptado un celofán rojo); en pocas palabras, esto se debe a que la luz roja no afecta mayormente la sensibilidad de nuestros ojos, y por tanto no nos "encandilaremos" (algo muy molesto cuando se está en plena observación). El otro punto a considerar, es aprender unos sencillos trucos para desplazarse en el cielo mediante los dedos de la mano o usando estrellas de referencia. Tal como se dijo al principio, el aficionado sólo debe familiarizarse con las estrellas más brillantes y comprender que la clave para ubicar las constelaciones radica en simple geometría; la mayoría de las veces uno debe formar "triángulos", "rombos" o "curvas" con las estrellas, y así fácilmente se llega a armar el conglomerado final, la constelación. La carta celeste estándar muestra las constelaciones y principales estrellas del cielo, aunque también es posible adaptarla para mostrar el cielo en una fecha, hora y ubicación determinadas. Las constelaciones visibles en el cielo van variando a lo largo del año, y es conveniente que el aficionado se familiarice con estos cambios mediante distintas cartas estelares, así como con los múltiples programas astronómicos. Las únicas nociones básicas que deben conocerse para sacar el máximo provecho a una carta estelar, son las relacionadas con coordenadas celestes: además de ser muy simples de aprender, las coordenadas son un pilar básico para entender una carta celeste que de por sí utiliza estos recursos (ej. líneas de declinación, ascensión recta, zénit, etc.). Aunque a primera vista esto parezca difícil, no hay que olvidar que la observación a cielo abierto es prácticamente análoga a estar observando nuestra propia geografía terrestre; al igual que la Tierra, el cielo (o más bien la bóveda 2 Extraído de http://atlas.puj.edu.co:8080/ingenieria1/Cursos/Fisica/300FIH001.html, el 17 de noviembre de 2008. Un acercamiento a la astronomía y a las matemáticas a través de la carta celeste Lina López, Leidy Gutierrez, María Milena Bedoya E celeste) está seccionado en líneas. En otras palabras, nuestra carta celeste es el mapa geográfico de un enorme país que es la bóveda celeste3. Figura No. 1.Representación de las constelaciones en el cielo terrestre. ELEMENTOS DE NUESTRA PROPUESTA. La carta celeste nos permite acercarnos a algunos elementos de la Astronomía, a través de procesos de experimentación y darle un sentido a las ideas matemáticas que hemos venido desarrollando en los diferentes espacios de conceptualización, propiamente en la práctica profesional I y II donde se ponen en escena ideas del Universo en el desarrollo de la física, la matemática y otras ciencias como la meteorología y la astronomía, que se han aplicado de diversas maneras en los diferentes centros de práctica en los que hemos intervenido; actividades como ésta, nos permiten la interacción del estudiante con su entorno y además una investigación acerca de la proporcionalidad y abordar la idea de variable dentro del campo de las matemáticas, haciendo referencia a las Didácticas de las Matemáticas enmarcadas en los procesos de variación y cambio, comprendidos en el Pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos. así también como los de medición, retomando autores como Dickson (1991), Mason (1999), entre otros. 3 extradído de http://74.125.45.132/search?q=cache:CsgWRS6JroJ:www.austrinus.com/12/mapas.html+Para+empezar+a+utilizar+una+carta+celeste,+s%C3%B3lo+debe+tene rse+un+par+de+cosas+en+consideraci%C3%B3n.+Dado+que+las+observaciones+deben+ser+idealmente+en+si tios+oscuros,+la+lectura+de+una+carta+precisa+necesariamente+de+una+fuente+de+luz.+En+astronom%C3% ADa+aficionada,+la+%C3%BAnica+luz+%22permitida%22+es+la+que+puede+darnos+una+linterna+roja+(o+ bien+una+com%C3%BAn+que+le+hayamos+adaptado+un+celof%C3%A1n+rojo)%3B+en+pocas+palabras,+e sto+se+debe+a+que+la+luz+roja+no+afecta+mayormente+la+sensibilidad+de+nuestros+ojos,+y+por+tanto+no +nos+%22encandilaremos%22+(algo+muy+molesto+cuando+se+est%C3%A1+en+plena+observaci%C3%B3n) .&hl=es&ct=clnk&cd=1&gl=co&client=firefox-a el 29 de noviembre de 2008 Un acercamiento a la astronomía y a las matemáticas a través de la carta celeste Lina López, Leidy Gutierrez, María Milena Bedoya E Además, se utilizaron instrumentos como: La observación directa, los cuadernos de los estudiantes, las encuestas realizadas a estudiantes y docentes, el diario de campo, el diagnóstico inicial, los talleres dirigidos enmarcados a la astronomía. A MODO DE CIERRE. Con la implementación de esta propuesta en las aulas de clase, hemos comprendido la utilidad de la geometría en el momento en que consideramos la representación de las constelaciones en la carta Celeste. De igual manera alcanzamos a visualizar una forma de concebir ideas de las matemáticas y la astronomía a través de este tipo de experiencias. Rescatamos el valor y aprovechamiento del saber cotidiano, ya que nos permite diseñar experiencias que nos ayudan a comprender algunos de los principios que se rigen en el cielo. Finalmente con este trabajo se han impulsado y fortalecido los grupos de astronomía de las diferentes instituciones en las cuales estamos realizando nuestra práctica docente (CEFA, Bello, Girardota y Rionegro) donde la astronomía ha sido una actividad permanente y de mayor alcance académico. Bibliografía Valverde Ramírez, Lourdes. (2000) Sistematización de experiencias significativas en didáctica de las matemáticas. Cuaderno pedagógicos, (13). MEN. (2004). “Pensamiento variacional y tecnologías computacionales”. Bogotà MEN. (1998). Lineamientos curriculares de matemáticas. Santafé de Bogotá: Magisterio. Dickson, Linda (1991) El Aprendizaje de las Matemáticas. Barcelona: P. imprenta Un acercamiento a la astronomía y a las matemáticas a través de la carta celeste Lina López, Leidy Gutierrez, María Milena Bedoya E García. José Antonio. Astronomía Básica Ediciones. científicas universitarias. Universidad de Antioquia. http://www.mailxmail.com/curso/excelencia/astronomia/capitulo76.html http://www.austrinus.com/12/mapas.html Lina López, Leidy Gutiérrez, María Milena Bedoya E: Son estudiantes de la Licenciatura en Educación Básica con énfasis en Matemáticas de la Universidad de Antioquia. Correos:, [email protected], [email protected] Carlos Julio Echavarría Hincapié: Es profesor de la Facultad de educación de la Universidad de Antioquia. Correo: [email protected] Para citar este artículo sugerimos la siguiente fuente: López, L. M., Gutiérrez, L, Bedoya, M.. M. & Echavarría, C. J. (2008). Un acercamiento a la astronomía y a las matemáticas a través de la carta celeste. En J. A. Villa, Y. M. Mesa, M. M. Parra, & M. M. Zapata (Ed.), Actas estudiantiles de Educación Matemática. 1, pág.83-88. Medellín: Facultad de Educación-Universidad de Antioquia. 89 NUESTRA EXPERIENCIA EN LA PRÁCTICA DOCENTE Catalina Bermúdez Maribel Zuluaga Carlos Julio Echavarría Resumen En este documento presentamos algunas consideraciones producto de la reflexión realizada en nuestra práctica profesional en modalidad de pasantía, en ella hemos indagado sobre la forma en que aprenden los estudiantes en diferentes Instituciones Educativas y municipios del departamento, entre ellas: Institución Educativa Santo Tomás de Aquino (Titiribí), Presbítero Eduardo Arias Reynel, Presbítero Luis Eduardo Pérez Molina, Manuel José Caicedo, El Yarumito, El Hatillo (Barbosa), Andrés Bello (Bello), Colegio Campestre Horizontes (Rionegro) y el Centro Formativo de Antioquia (Medellín), además de identificar las diferentes variables sociales y cognitivas que se pueden presentar. Durante este año de práctica docente, en las instituciones que se visitaron se desarrollaron actividades matemáticas relacionadas con la meteorología y la astronomía en los grados de 3° a 11º, donde los estudiantes por medio de la orientación docente y el material tangible construyen su conocimiento. En estas instituciones educativas pudo observarse contextos, los cuales nos permitieron diseñar diferentes actividades utilizando además la metodología de Aula Taller. Palabras clave Contextos, conceptos matemáticos, meteorología, astronomía, variable, Aula Taller INTRODUCCIÓN La multiplicidad de contextos en los cuales se ven inmersos los procesos educativos en las instituciones escolares de nuestra región, parecen validar la aserción “La educación no es un estándar”, esta afirmación, conjugada con la experiencia que hemos tenido en los diferentes lugares y contextos escolares, nos permite confirmar la importancia de los contextos socioculturales en el desarrollo de una matemática en la escuela; además, gracias a la integración de las matemáticas con otras ciencias, hemos visto estrategias de enseñanza y de aprendizaje realmente significativos en los estudiantes, en el momento de desarrollar las actividades propuestas. 90 ALGUNOS CONTEXTOS EN LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA. Nuestra práctica ha estado enmarcada en su mayor parte, en la modalidad de pasantía, en los Municipios de Barbosa, La Ceja, Titiribí, Rionegro, Bello y Medellín. Dicha modalidad consiste en vivir diferentes contextos tanto sociales como escolares, por semanas no consecutivas durante toda la jornada escolar. En dichos espacios nuestro deber es apoyar las diferentes actividades académicas y no académicas de las instituciones. En la narrativa de este documento, cuando hablamos de contextos escolares o educativos, nos referimos al conjunto de vivencias presentadas en la institución en cada jornada. Hablaremos entonces un poco de cada institución a la que hemos tenido la oportunidad de asistir y conocer su contexto. Es importante mencionar además que algunas de dichas instituciones son de carácter oficial mientras que otras de carácter privado, con algo en común, todas ubicadas en el departamento de Antioquia. En cuanto a las instituciones privadas podemos decir que cuentan con una gran estructura física y grupos máximo de 24 estudiantes como es el caso del Colegio Campestre Horizontes, es además un colegio donde nos permitieron realizar pequeñas “locuras educativas” que implicaron la participación de algunos estudiantes. Tomando en cuenta ésto realizamos un proyecto donde pretendíamos crear una estación meteorológica con los estudiantes de 5°, cumpliendo con la planeación realizada por la profesora cooperadora. Otra institución enmarcada en el sector privado es la I.E. San Francisco de Asís del municipio de Bello, de la que podemos decir cuenta con 35 estudiantes por aula aproximadamente, Es una institución con una estructura administrativa un poco más rígida en la medida que sólo se puede realizar lo que está diseñado en el Proyecto Educativo Institucional (PEI), por lo tanto no se permitió realizar estas “locuras educativas". Dentro del sector oficial tenemos la I.E. Santo Tomás de Aquino del municipio de Titiribí, es la única institución de la cabecera municipal. Esta tiene tres sedes, en la primera se encuentran los grados primero, segundo y tercero, en la segunda están los grados preescolar, cuarto y quinto; en la tercera está el bachillerato. Estas sedes son relativamente amplias, en cada grupo hay entre 45 y 50 estudiantes, también encontramos un grado quinto que es llamado el grupo de aceleración; en éste se encuentran los estudiantes de diferentes edades que por algún motivo desertaron anteriormente de la institución. 91 Una de las problemáticas de esta institución radica la dificultad de sus egresados para continuar sus estudios de educación Superior. Cerca de 200 estudiantes viven en un hogar juvenil campesino donde duermen y comen durante la semana, al llegar el fin de semana se van para sus casas ubicadas en las veredas del pueblo. La principal alternativa de trabajo que se les presenta luego de terminar su periodo escolar es trabajar en las minas. Dentro de las Instituciones del municipio de Barbosa los estudiantes tienen diferentes expectativas de vida, entre algunas: continuar sus estudios en la universidad a través del programa de minorías o empezar su actividad laboral en las fincas de la región. La dinámica de nuestra pasantía se desarrolló de la siguiente forma: mientras una compañera se encontraba en la I.E Santo Tomas de Aquino del municipio de Titiribí otra se encontraba en el Colegio Campestre Horizontes del municipio de Rionegro. Ambas con un mismo propósito, acompañar las docentes enlaces de cada institución, vivir cada contexto y finalmente enriquecernos a partir de las experiencias vividas en el momento de la socialización. Ahora describiremos algunas de las actividades que se realizaron en las instituciones educativas y compararemos las diferentes formas de aprender de algunos estudiantes de cada institución. En el área de Matemáticas se trabajó la Geometría fractal, en la Institución Educativa Santo Tomás de Aquino y María Josefa Marulanda de los municipios de Titiribí y la Ceja respectivamente, con esta actividad trabajamos alrededor de la proporcionalidad y con ésta los conceptos de semejanza (autosemejanza), iteración, dimensión y escalamiento, también pudimos observar como los niños de Santo Tomás de Aquino pueden establecer con mayor facilidad relaciones de proporcionalidad a partir de la razón mientras que las niñas de La Ceja lo hacían por estimación. Ésto debido a que en la primera Institución su docente tenía motivación y disponibilidad de tiempo para dedicarle a sus estudiantes en actividades extracurriculares en modalidad de semillero, mientras que en la segunda sólo se trabaja lo planeado por la docente en sus clases que implicaba una falencia en el desarrollo del concepto de proporción o razón. En Astronomía se trabajó el sistema solar a escala, sus distancias con respecto al sol, en las instituciones educativas El Hatillo y Andrés Bello de los municipios de Barbosa y Bello respectivamente. Aquí se trabajaron procesos de medición, escalamiento y relaciones de proporcionalidad. En la I.E. el Hatillo los niños lograron realizar las medidas sin mayor dificultad mientras que en la I.E. Andrés Bello se les presentó mayor dificultad para realizar este trabajo necesitaron la ayuda de las profesoras, en cuanto las relaciones de proporcionalidad, en ambos grupos pudimos observar que algunos logran establecer relaciones y decir cuántas veces es una distancia en otra, ésto debido a que en el Municipio de Barbosa los estudiantes están interesados en los procesos de medición porque ellos viven en ambientes de la agricultura, mientras que los niños de Bello están 92 más interesados en la vida sociocultural y es poca la relación que le encuentran de lo que se hace con su entorno. En la institución el Hatillo los niños presentan menos problemas en los procesos de medición ya que en su contexto tienen mayor posibilidad de medir desde sus terreno, hasta cultivos e incluso a la hora de trabajar la madera, mientras que la I.E. Andrés Bello las posibilidades de medir son pocas ya que no se ven en esta necesidad de manera tan directa, debido a que su entorno está mas permeado de situaciones y productos que previamente ya encuentran medidos. En Meteorología se realizó el estudio de las variables del tiempo atmosférico, en el Colegio Campestre Horizontes (de carácter privado, del municipio de Rionegro) y Nuestra Señora del Carmen (de carácter público, en la vereda Encenillos del municipio de Girardota). En cada una de estas Instituciones se realizó la construcción de los instrumentos de medida, como: la veleta, el anemómetro, el pluviómetro, el barómetro y se trabajaron las ideas de presión atmosférica, clasificación y cuantificación de nubes, velocidad y dirección del viento, cantidad de lluvia que cae en un lugar, la humedad relativa y la temperatura, todas estas ideas relacionadas con la matemática. En Encenillos se trabaja con 15 estudiantes que hacen parte de un semillero que ellos mismos formaron, con los que querían pertenecer a éste. Ellos viven alrededor de la Institución por lo que gracias a la “cercanía”, aunque hay un estudiante que debe caminar una hora y cuarto para llegar al colegio. Mientras que en el Colegio Horizontes son 34 estudiantes. Este trabajo fue tomado como un proyecto de aula, todos estos estudiantes llegan en transporte o sus padres los llevan en carros particulares. Los fines de semana en la institución de Encenillos, el estudiante que vive más cerca a la institución toman los datos, mientras que en el colegio Campestre es el mayordomo el que realiza esta toma. Cuando se trabajaban los conceptos relacionados con estas variables, en la institución de Encenillos, los estudiantes realizaban preguntas que se respondían por medio de experiencias y construían con éstas sus propias conclusiones, que eran socializadas entre todos los asistentes, mientras que en el colegio Horizontes se realizaban las experiencias, que tenían relación con cada concepto, pero no llegaban a las conclusiones que pretendíamos lo hicieran por sí sólo, siempre había que realizar preguntas orientadoras para llegar a las ideas que se desarrollan, esto es debido a que los niños de Encenillos viven más cerca lo del clima, pues la relación es directa por los cultivos de sus hogares y también porque ellos caminan hacia la Institución, mientras que los estudiantes de Rionegro, no viven tan cerca éste porque viven en un mundo más ficticio, por medio de la rumba y los medios de comunicación tales como el internet, pues es para ellos es màs valioso saber cual es el clima de Europa o Estados Unidos para saber que ropa utilizar en sus vacaciones, además todos llegan en carros al Colegio. Con estos dos grupos se vivieron cosas interesantes pero con diferencias, por ejemplo la buena permanencia de los niños de la institución rural en asistir a jornadas contrarias a 93 las de estudio, para el desarrollo de este proyecto y resaltar en ellos la toma de datos constante para así encontrar la historia del clima de este lugar. En el privado éste proyecto se realizó para los 34 estudiantes del grado quinto, éste se desarrollaba en sus clases regulares de matemáticas, pero la constancia en la toma de datos no era tan frecuente como en la rural, pues estos niños no tuvieron la disciplina de tomar los datos todos los días a la misma hora, pues ellos expresan que ésto es muy monótono, ésto se puede dar porque en la institución de Encenillos hay más motivación y compromiso, mientras que en el colegio Horizontes los estudiantes debían verlos por ser un proyecto de aula, donde incluían a todos los estudiantes. La propuesta en este colegio es seguir con el proyecto, pero desarrollándolo en forma de semillero con los estudiantes que realmente quieran estar en estas actividades extracurriculares. CONCLUSIONES La práctica hecha en modalidad de pasantía es significativa para nosotros, los maestros en formación, porque nos permite vivir las realidades de las Instituciones Educativas. Esta experiencia ha sido muy agradable ya que nos ha permitido aprender de cada institución sus problemáticas académicas, su contexto social y su influencia en la escuela. Además ver cómo a pesar de las diferencias también tienen puntos en común por ejemplo, la matemática escolar en cada institución difiere de la matemática formal enseñada en la Universidad. En cuanto al desarrollo de un pensamiento matemático, siempre será posible trabajar sobre él, sin embargo será diferente según el lugar y las personas que acompañen los procesos, pues como se ha podido observar, los estudiantes aprenden a diferentes ritmos ya que su contexto influye en los procesos matemáticos. Catalina Bermúdez y Maribel Zuluaga: Son estudiantes de la Licenciatura en Educación Básica con énfasis en Matemáticas de la Universidad de Antioquia. Correos:, [email protected] , [email protected] Carlos Julio Echavarría Hincapié: Es profesor de la Facultad de educación de la Universidad de Antioquia. Correo: [email protected] Para citar este artículo sugerimos la siguiente fuente: Bermúdez C., Zuluaga M & Echavarría, C. J. (2008).Nuestra experiencia en la práctica docente. En J. A. Villa, Y. M. Mesa, M. M. Parra, & M. M. Zapata (Ed.), Actas estudiantiles de Educación Matemática. 1, pp. 89-93. Medellín: Facultad de EducaciónUniversidad de Antioquia. 94 UN ACERCAMIENTO A LOS PROCESOS DE MEDICIÓN, A PARTIR DE LA METEOROLOGÍA: PLUVIÓMETRO Y ANEMÓMETRO. Yeni Marcela Betancur Lina Álvarez Ríos Susana Hernández C. Carlos Julio Echavarría Resumen En este documento presentamos una propuesta surge de la experiencia que hemos venido realizando en diferentes contextos, especialmente con los grados quintos del colegio campestre Horizontes del municipio de Rionegro. Con la propuesta, pretendemos acercar a los estudiantes a los procesos geométricos, de medición, toma y sistematización de datos, procesos de generalización y modelación matemática, mediados por el estudio de las ciencias del cielo: la Meteorología y la Astronomía. El desarrollo de la propuesta permite acercar a los maestros en formación a nuevas metodologías (Aulas Taller) que incluye el estudio de las ciencias dentro de los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. Esperamos generar reflexiones e inquietudes en los maestros en formación, para que se cuestionen y busquen nuevas metodologías encaminadas al desarrollo de las ideas matemáticas y al mismo tiempo, que conozcan un poco sobre el pluviómetro, el anemómetro y la rosa de los vientos y todas los conceptos matemáticos inmersos en los mismos. Palabras clave Procesos de medición, Aula Taller, Meteorología, Pluviómetro, Anemómetro INTRODUCCIÓN La propuesta que presentaremos surge de las diferentes reflexiones y experiencias que se han llevado a cabo dentro de la práctica profesional, enmarcada en el programa de Licenciatura en Educación Básica con énfasis en matemáticas de la UdeA. En dicho espacio surge la propuesta y desarrollo de un proyecto de meteorología, dirigido a desarrollar en los estudiantes procesos geométricos, de medición, toma y sistematización de datos, a la vez procesos de generalización y modelación matemática. Un acercamiento a los procesos de medición a partir de la Meteorología; El fluviómetro y en Anemómetro Yeni Marcela Betancur, Lina Álvarez Ríos y Susana Hernández C. Con la presentación de este taller, pretendemos que los maestros en formación de la licenciatura construyan visiones alternativas que les permita acercarse de una manera experimental y didáctica al saber matemático, estableciendo relaciones con otras áreas del conocimiento y propiciando en los estudiantes niveles de pensamiento encaminados al desarrollo de los procesos variacionales a partir de la metodología de Aula Taller. Este taller hará énfasis en el análisis y estudio de la Meteorología a partir del manejo del pluviómetro y el anemómetro, el cual se llevara acabo en cuatro momentos: 1. Breve descripción de la propuesta. 2. Análisis y estudio del Pluviómetro y el Anemómetro, asociados a las ideas matemáticas. 3. Actividad a desarrollar: Rosa de los vientos. 4. Discusión y conclusiones. REFERENTES TEÓRICOS. Para este avance del trabajo, hemos retomado algunos elementos que caracterizan la meteorología como una ciencia y algunas implicaciones para su incorporación en el aula de clase: Al respecto en Ministerio de Educación Nacional afirma que: La meteorología entendida como la ciencia encargada del estudio de los fenómenos atmosféricos; ha tomado gran importancia en la actualidad debido a los fenómenos climáticos que se presentan y es generadora de grandes inquietudes en los estudiantes, quienes se cuestionan por aspectos tales como: ¿Por qué llueve?, ¿se pueden cuantificar las nubes?, ¿Qué es el viento?, entre otras. Es por esta razón que la consideramos como un medio generador de motivaciones y de ideas matemáticas, en donde adquiere sentido muchas actividades que se realizan dentro del aula de clase, como son los procesos de medición; pues tal como lo plantea los lineamientos curriculares estos procesos solo han sido abordados desde la aritmética dejando a un lado la experiencia misma de medir y de construir los conceptos de cada magnitud, al respecto dice Osborne. (Retomado por MEN 1998) Un acercamiento a los procesos de medición a partir de la Meteorología; El fluviómetro y en Anemómetro Yeni Marcela Betancur, Lina Álvarez Ríos y Susana Hernández C. En las escuelas actuales, gran parte de lo que se aprende sobre medición es de naturaleza puramente incidental. Los conceptos de medida aparecen en situaciones cuyo propósito es enseñar y aprender sobre el número. Se supone que la medida es intuitiva y está lo suficientemente poseída y comprendida por los alumnos como para servir de marco intuitivo en cuyo seno explicar las operaciones aritméticas. Tal presunción ha de ser puesta en tela de juicio. Además, la naturaleza de la forma en que los niños aprenden a medir y se valen de medidas en el contexto de esta transferencia exige cuidadosa atención. (p. 62) Las principales reflexiones sobre la incorporación de la meteorología en el aula de clase, han sido producto de grupo Ábaco del a Universidad Nacional sede Medellín. Al respecto afirman que: Donde el conocimiento se adquiere por descubrimiento y asimilación propios (no por imposición), despertando curiosidad en torno al tema o problema planteado. En el taller, los jóvenes tienen la oportunidad de construir estrategias de pensamiento de forma colectiva y participativa colocándose en el doble papel de beneficiario y constructor del conocimiento. Esta es la semilla para la construcción de una metodología de trabajo interdisciplinario y de trabajo en grupo. A partir del estudio del pluviómetro y el anemómetro los cuales son considerados como instrumentos de medición de la cantidad de lluvia y la velocidad del viento respectivamente se pueden abordar conceptos matemáticos como unidades de volumen, unidades de área, longitud de la circunferencia, procesos de conservación, el tiempo, cuerpos geométricos, las coordenadas polares entre otros. Invitamos a los lectores para que visiten el sitio http://abaco.unalmed.edu.co/aulas/ donde podrán acceder a mayor información sobre este proceso. METODOLOGÍA. La metodología a utilizar será la de Aula Taller, la cual consistirá en explicar conceptos básicos que le permita al asistente comprender y realizar la actividad (Rosa de los vientos). Posteriormente se le entregará a cada participante, una fotocopia con las coordenadas polares Un acercamiento a los procesos de medición a partir de la Meteorología; El fluviómetro y en Anemómetro Yeni Marcela Betancur, Lina Álvarez Ríos y Susana Hernández C. y se proyectará, en diapositivas unos datos referentes a la dirección del viento, los cuales deberán localizar en la rosa de los vientos y permitirles concluir el comportamiento de los vientos en un tiempo determinado en la ciudad de Medellín. A MANERA DE CIERRE. Con la implementación de este taller se espera lograr en los asistentes, una disposición hacia nuevas propuestas de intervención en el aula, construyendo el conocimiento matemático a partir de la interdisciplinaridad con otras áreas del saber. De igual manera, nos proponemos lograr que los asistentes se acerquen a conceptos e ideas meteorológicas a partir de experiencias sobre el Pluviómetro y el Anemómetro. Evidenciar ideas matemáticas desde otras ciencias del conocimiento que están relacionadas netamente con la experimentación, observación y construcción de aprendizajes significativos que involucra los contextos de los estudiantes. BIBLIOGRAFÍA Dickson, L.; Brown, M & Gibson, (1991). El aprendizaje de las matemáticas, Barcelona: Labor S. A 1991. Un acercamiento a los procesos de medición a partir de la Meteorología; El fluviómetro y en Anemómetro Yeni Marcela Betancur, Lina Álvarez Ríos y Susana Hernández C. Ministerio de Educación Nacional (1998). Lineamientos Curriculares de Matematicas. Bogotá: Magisterio Historia del grupo Ábaco.con acceso a través de_ http://abaco.unalmed.edu.co/aulas/ Yeni Marcela Betancur, Lina Álvarez Ríos y Susana Hernández C. Son estudiantes de la Licenciatura en Educación Básica con énfasis en Matemáticas de la Universidad de Antioquia. Correos: [email protected], [email protected]; [email protected] Carlos Julio Echavarría Hincapié: Es profesor de la Facultad de educación de la Universidad de Antioquia. Correo: [email protected] Para citar este artículo sugerimos la siguiente fuente: Betancur Y. M., Álvarez, L., Hernández, S & , Echavarría, C. J. (2008). Un acercamiento a los procesos de medición a partir de la Meteorología; El fluviómetro y en Anemómetro. En J. A. Villa, Y. M. Mesa, M. M. Parra, & M. M. Zapata (Ed.), Actas estudiantiles de Educación Matemática. 1, pp. 94-98. Medellín: Facultad de Educación-Universidad de Antioquia. 99 DE LO CONCRETO A LO ABSTRACTO Tanith Ibarra Muñoz Vanessa Moreno Yepes Natalia Ramírez Agudelo Mauricio Ruíz Vahos Resumen: El presente artículo pretende mostrar a los maestros en formación, una propuesta para implementar en el aula en la que se pueda desarrollar procedimientos para que los estudiantes, al tener referentes para los símbolos, puedan llegar a generalizar las reglas básicas de la aritmética dentro de un sistema de símbolos abstractos que comprendan los Números Enteros. Tal fin se ha materializado en la elaboración de una guía que permita la conexión de Números Enteros con referentes concretos, en este caso con cuadros de dos colores. Finalmente, se presentan unas conclusiones que se esperan lograr al terminar el taller, mostrando a los futuros docentes cómo crear ambientes de aprendizaje significativo. Palabras clave: Símbolo, Referentes, Números enteros, Generalización, Operaciones básicas. INTRODUCCIÓN El paso de los sistemas concretos a los abstractos ha generado un interés especial de la comunidad en Educación Matemática gracias a que de éste depende del significado que represente el álgebra escolar. Una mirada a la historia permite otorgarle estatus de “dificultuoso” el trabajo con los Números Enteros gracias a su pobreza en lo que a representación de los mismos se refiere. En la escuela el panorama no varía mucho, por tal razón asumimos como base los elementos abordados en el espacio de Seminario Integrativo V – Didáctica del álgebra de nuestra licenciatura, para tomar la iniciativa de compartir nuestra reflexión y propuesta didáctica que tiene como fin la construcción de las operaciones básicas con números enteros por medio del diseño de una guía de trabajo referenciados en la producción de James Hiebert (1988), reflexionando en el proceso que requiere el estudiante De lo concreto a lo abstracto Tanith Ibarra Muñoz Vanessa Moreno Yepes Natalia Ramírez Agudelo para dotar de significado a un símbolo matemático y la importancia que éste reviste en otros procesos propios de la matemática. De aquí vemos la importancia de proyectar esta experiencia significativa a docentes en formación y en ejercicio, para que adquieran estrategias didácticas para que proporcionen a sus estudiantes herramientas necesarias para el desarrollo del pensamiento matemático. REFERENTES TEÓRICOS. Este trabajo toma como marco de referencia la teoría para desarrollar competencia con símbolos matemáticos de Hiebert (1988), por sus aportes al campo de la didáctica del álgebra, y en ella afirma que: Los símbolos son entidades que representan o toman el lugar de algo. Las entidades mismas pueden tomar una variedad de formas, desde objetos concretos hasta marcas en un papel. Los símbolos que se pretenden trabajar son las marcas establecidas escritas que representan cantidades y operaciones sobre las cantidades. (p. 2) Por otro lado Hiebert (1988, p.2) se refiere a Goodman (1968), para [proponer] una distribución entre símbolos que se pueden copiar exactamente y aquellos que no. Los símbolos copiables pueden ser reproducidos por personas diferentes en diferentes ocasiones, sin perder su identidad. Ejemplos de estos son las partituras musicales, el idioma español y las notaciones matemáticas. Símbolos no copiables pierden su identidad cuando se producen leves cambios en su apariencia física. Es importante notar que los sistemas de símbolos escritos son sólo uno de los lenguajes de las matemáticas (Goldin, 1982; Lesh, Landan y Hamilton, 1983). El lenguaje natural y los modelos concretos tales como los bloques de Dienes y las barras de Cuisenaire, son ejemplos de otros sistemas de representación que pueden ser usados De lo concreto a lo abstracto Tanith Ibarra Muñoz Vanessa Moreno Yepes Natalia Ramírez Agudelo para describir ideas matemáticas. Sin embargo, es importante notar que la matemática escolar, depende en última instancia de los símbolos escritos (Woodrow; 1982, retomado por Hiebert (1988, p. 3). La teoría propone una sucesión de procesos cognitivos que se acumulan para producir competencia con símbolos matemáticos escritos. Se pueden identificar cinco tipos de procesos. Cada tipo de proceso debe ser abordado en una secuencia. El resultado de un proceso previo hecha las bases del siguiente proceso. De esta manera, el conocimiento previo y la práctica, parecen ser cruciales para el aprendizaje posterior. Hiebert (1988, p. 4) 1. Conectar los símbolos con los referentes: Para conectar los símbolos escritos con referentes cuantitativos apropiados, los estudiantes deben familiarizarse con cantidades relevantes y acciones sobre las cantidades, y deben familiarizarse con los caracteres escritos que van a representar las cantidades y las acciones. Entonces ellos deben crear una correspondencia entre caracteres escritos y las cantidades o acciones a las cuales ellos se refieren. Hiebert (1988, p. 4) En aritmética existen dos tipos de signos escritos: aquellos que representan cantidades (2, 31/2, 1.6) y aquellos que representan acciones u operaciones sobre cantidades (+, -) Existen dos tipos de conexiones: Conexión de los símbolos que representan cantidades con los referentes: en el ejemplo que se presenta a continuación vemos como buscan darle significado a símbolos a partir de referentes como lo son los cuadrados de colores, donde cada cuadrado va a representar una unidad de medida y dependiendo del color es positiva o negativa. De lo concreto a lo abstracto Tanith Ibarra Muñoz Vanessa Moreno Yepes Natalia Ramírez Agudelo Ejemplo: Consideremos a los cuadrados oscuros como unidades positivas y a los blancos como unidades negativas y a partir de esto construye en cartulina, 20 cuadrados que representen unidades negativas y positivas como se muestra en la figura. Unidades Negativas Unidades Positivas El cero es un equilibrio, entonces se representa como: También los números enteros tienen representaciones diferentes, por ejemplo +1 ó -1 pueden representarse así: Conexión que se da entre los símbolos de operaciones y de acciones sobre cantidades: aquí se trata es darle un significado al símbolo que representa una acción sobre las cantidades y establecer entre ellos una conexión. En el caso siguiente dotamos de significado al símbolo de la adición relacionándolo con el hecho de unir y al de la sustracción con el de quitar, estableciendo una conexión entre el símbolo de cantidad y el símbolo de operación. Así, los símbolos numéricos deben tener conexiones bien establecidas con cantidades referentes, antes de que el símbolo operacional pueda ser conectado con acciones sobre cantidades (Hiebert, 1988). Ejemplo: Para sumar (+1) + (-2) procedemos así: Para restar (-1) – (-2), a (-1) se le quita (-2). Le quito -1 -2 De lo concreto a lo abstracto Tanith Ibarra Muñoz Vanessa Moreno Yepes Natalia Ramírez Agudelo 2. Desarrollo de los procedimientos para manipular los símbolos: Los procedimientos son formulados manipulando los referentes de los símbolos individuales, observando los resultados y entonces llevando a cabo la acción sobre los referentes paralelamente con la acción sobre los símbolos ( …). El criterio primordial para el éxito en el desarrollo de los procedimientos de símbolos es la validez, cuando la validez es cierta en el mundo de los referentes. “Una regla es válida, y genera una respuesta correcta con símbolos si ésta refleja fielmente la validez de los referentes” Hiebert (1988, p.4) Para sumar (+1) + (-2) procedemos así: Para restar (-1) – (-2), a (-1) se le quita (-2). Le quito -1 me queda -2 +1 En este proceso hemos establecido procedimientos para la adición y sustracción de números enteros y hemos logrado a partir de conexiones establecidas anteriormente llegar a resultados. 3. Elaborando procedimientos para los símbolos: La elaboración de procedimientos para los símbolos, que ya han sido desarrollados, y extenderlos a situaciones nuevas o más complejas requiere de un proceso de reflexión en las reglas o procedimientos. Hiebert (1988, p.11) El poder de la Matemática proviene no de las conexiones entre símbolos y referentes, sino del hecho que los símbolos pueden ser manipulados sin relación a los referentes. Ellos se pueden deslastrar de referentes particulares y de ésta De lo concreto a lo abstracto Tanith Ibarra Muñoz Vanessa Moreno Yepes Natalia Ramírez Agudelo forma generalizarse, representando una infinita variedad de situaciones de cantidades específicas. Hiebert (1988, p.10). El tercer proceso en la teoría consiste en analizar y elaborar reglas de manipulación de los símbolos. La elaboración de reglas puede tomar dos formas distintas: La elaboración puede ser en forma directa si el problema nuevo es equivalente al viejo en todos los aspectos importantes (Hiebert, 1988). En ésta etapa del proceso el estudiante debe ser capaz de establecer reglas para los signos de operación de los números enteros, desligando los referentes concretos, para ser capaz de realizar operaciones con números más grandes. Ejemplo: A partir de las reglas para los signos de operación de los números enteros realiza la siguiente operación: (8452) + (- 4263) = 4189 La elaboración puede trascender a un nivel más avanzado. En los procesos anteriores construimos reglas para la adición y sustracción de números enteros, en este momento a partir de esas reglas establecidas se construirá el sistema multiplicativo. Ejemplo: Teniendo en cuenta el manejo que le dimos a la adición y sustracción de números enteros, construyamos el sistema multiplicativo: el cual se piensa como agregar o quitar, n veces, un valor determinado. Multiplicar (2) (-3) Multiplicar (-2) (-2) De lo concreto a lo abstracto Tanith Ibarra Muñoz Vanessa Moreno Yepes Natalia Ramírez Agudelo Quitando 2 veces (-2) se obtiene Por lo tanto = 4 En este proceso se evidencia un cambio en el criterio para el éxito. Como se indicó antes, el criterio para el éxito en el desarrollo de los procedimientos es la validación. Por el contrario, el criterio para el éxito en la elaboración de procedimientos es la consistencia (Goldin, 1987, retomado por Hiebert 1988, p. 12). Las reglas que se extienden a nuevos contextos no pueden contradecir las reglas que se aplican en contextos familiares equivalentes. En otras palabras, (1) Todas las reglas que se aplican a los mismos problemas deben producir los mismos resultados; (2) Una regla individual puede ser aplicable a todos los problemas que son equivalentes en maneras relevantes (Hiebert, 1988). 4. Haciendo una rutina de los procedimientos de los símbolos: El sistema de los símbolos se emplea en forma más eficiente si los procedimientos son bien repasados. Cuando los procedimientos han sido practicados tan a menudo que se ejecutan automáticamente, con poca atención mental, entonces el estudiante obtiene la máxima eficiencia Hiebert (1988, p.13). Lo que se pretende en este proceso es que el estudiante interiorice las operaciones y pueda llegar a una condensación de éstas. A partir de ejercicios repetitivos como los siguientes: (+9) + (+1) = 10 (+4) + (-5) = -1 (-8) – (-2) = -6 (-2) – (-4) = 2 (-5) + (-3) = -8 (+6) – (-2) = 8 (-2) (-3) = 6 (+5) (-2) = -10 (-4) (-1) = 4 De lo concreto a lo abstracto Tanith Ibarra Muñoz Vanessa Moreno Yepes Natalia Ramírez Agudelo (+8) (+2) = 16 Ventajas de rutinizar: Rutinizar o automatizar reglas permiten que ellas pueden ser ejecutadas con muy poco esfuerzo mental. Es difícil imaginarse a los estudiantes aumentando su competencia con los símbolos matemáticos sin automatizar ciertos hechos y habilidades. La rutinización se basa en la hipótesis de que ésta facilita un posterior entendimiento del sistema. 5. Creando más sistemas de símbolos abstractos: Los estudiantes pueden transferir significado de un sistema familiar de símbolos a un nuevo sistema más abstracto, si ellos han establecido significados para el sistema familiar (los primeros dos procesos se han consumado efectivamente), y si ellos reconocen una aplicación entre los sistemas de tal forma que el sistema familiar de símbolos y sus reglas pueden servir como referentes para el nuevo sistema. Hiebert. (1988, p. 14) En nuestra guía de trabajo lo que se pretende es a través de la interiorización de procedimientos aritméticos llegar a construir sistemas algebraicos que involucran un nivel de abstracción más avanzado por parte de los estudiantes. En el siguiente proceso algebraico se trabajó con base en las propiedades y procedimientos construidos anteriormente con los números enteros y utilizando, además, elementos geométricos tangibles y didácticos los cuales consistían en recortar y formar rectángulos en papel, en los que se podían observar algunos casos de factorización, relaciones de equivalencia, áreas y otros. Los números o literales pueden representarse mediante figuras geométricas: segmentos o áreas. Por ejemplo: el número 2 puede representar un segmento de dos unidades de longitud, el 4 un área de un cuadrado de 2 por 2, el 6 un área de un rectángulo de base 1 y altura 6 o de altura 2 y de base 3, etc. De lo concreto a lo abstracto Tanith Ibarra Muñoz Vanessa Moreno Yepes Natalia Ramírez Agudelo Las literales cuyos valores sean positivos representan segmentos o áreas de cualquier magnitud o cantidad desconocida. Los coeficientes numéricos representan múltiplos o submúltiplos de la magnitud geométrica (segmento o área de un rectángulo o cuadrado). Así por ejemplo: 2x puede representar dos veces la longitud del segmento x o el área de un rectángulo de altura 2 y de base x; o bien de base 2 y altura x. Los números negativos se pueden representar mediante segmentos punteados o áreas con líneas punteadas, al ser sumadas se restan de las áreas con líneas continuas, las cuales representan los números positivos; o bien, si se suman áreas de líneas punteadas se obtienen regiones de líneas punteadas de mayor magnitud. Esto nos permite factorizar polinomios y obtener soluciones negativas de ecuaciones cuadráticas. Geometría de cortar y pegar. Este método se usa para construir figuras geométricas y en cortar y mover las figuras recortadas a cualquier otra posición y adherirla o pegarla a la figura, De lo concreto a lo abstracto Tanith Ibarra Muñoz Vanessa Moreno Yepes Natalia Ramírez Agudelo para formar otra figura (rectángulos), este procedimiento no altera el área el área de la figura original aunque esta cambie de forma. Este método es muy antiguo y como sabemos fue usado por civilizaciones antiguas para resolver problemas relacionados con áreas (Morales & Sepúlveda). Ejemplificaremos este método con el ejemplo: +bx=c, supongamos que b y c, son positivos. 2 El polinomio x + bx se representa por medio de una figura rectangular rectilínea de base x + b y de altura x. 2 2 Factorización de diferencia de cuadrados: a – b 2 1) x – 4 : Obtenemos Dando como resultado 2 Por lo tanto x – 4 = (X – 2) (X + 2) Ahora tú tarea es tratar de hallar la factorización de los siguientes polinomios recortando las áreas que te piden y realizando, de acuerdo a lo que ya hemos construido, las operaciones De lo concreto a lo abstracto Tanith Ibarra Muñoz Vanessa Moreno Yepes Natalia Ramírez Agudelo indicadas (tenga en cuenta que siempre deben formarse rectángulos, sin importar los movimientos que realices y que las áreas se pueden sobreponer). 2 x + 5x + 4 2 x + 3x - 4 2 x + 7x + 10 2 2x - 5x + 2 2 x -1 Además de las actividades mencionadas anteriormente podemos encontrar más actividades en las cuales se pueden encontrar y poner en práctica los cinco procesos para desarrollar competencias con símbolos matemáticos, algunas de éstas son: Bloques Lógicos de Dienes y las Regletas de Cussenaire. METODOLOGÍA. La metodología que se pretende utilizar, iniciará con la realización de la guía “De lo concreto a lo abstracto” con la cual se busca vivenciar los cinco procesos con el desarrollar competencias con símbolos matemáticos, a través de una serie de actividades con cuadrados de dos colores que representen unidades positivas y negativas con el fin de mostrar algunas de las operaciones aritméticas básicas (suma, resta y multiplicación) de una manera más tangible. Seguida de ésta se hará una explicación de los cinco procesos plateados por James Hiebert, con el propósito de que los participantes (asistentes) al taller, logren relacionar tales procesos con cada una de las actividades propuestas en la guía. Algunos ejemplos de las actividades mencionadas son: De lo concreto a lo abstracto Operaciones básicas con números enteros: Los cuadrados de colores blancos y negros, pueden ayudar a entender la regla de los signos. De lo concreto a lo abstracto Tanith Ibarra Muñoz Vanessa Moreno Yepes Natalia Ramírez Agudelo Actividad: Consideremos a los oscuros como unidades positivas y a los blancos como unidades negativas. Unidades Negativas Unidades Positivas El cero es un equilibrio, entonces se representa como: También los números enteros tienen representaciones diferentes, por ejemplo +1 ó -1 pueden representarse así: Ahora realicemos adiciones y sustracciones con números enteros: Para sumar (+1) + (-2) procedemos así: Para restar (-1) – (-2), a (-1) se le quita (-2). Le quito -1 me queda -2 +1 Ahora teniendo tu propio material concreto realiza las siguientes operaciones: (+9) + (+1) = (+4) + (-5) = (-8) – (-2) = (-2) – (-4) = (-5) + (-3) = De lo concreto a lo abstracto Tanith Ibarra Muñoz Vanessa Moreno Yepes Natalia Ramírez Agudelo (+6) – (-2) = ¿Qué reglas para operar con números enteros podrías enunciar a partir de las operaciones anteriores? ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ A partir de las reglas enunciadas realiza la siguiente operación: (8452) + (- 4263) = Teniendo en cuenta el manejo que le dimos a la adición y sustracción de números enteros, construyamos el sistema multiplicativo: el cual se piensa como agregar o quitar, n veces, un valor determinado. Trata de multiplicar, utilizando el material, (2)(3) (6)(5) (8)(3) Ahora números negativos Multiplicar (2) (-3) Multiplicar (-2) (-2) Quitando 2 veces (-2) se obtiene Obtenemos: = 4 De lo concreto a lo abstracto Tanith Ibarra Muñoz Vanessa Moreno Yepes Natalia Ramírez Agudelo Con tu material concreto realiza las siguientes multiplicaciones (-2) (-3)= (+5) (-2)= (-4) (-1)= (+8) (+2)= Establece reglas para la multiplicación de números enteros: ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________ Es importante que los estudiantes conozcan esta metodología (guía), ya que les puede servir como herramienta, para relacionar de una manera más concreta y fácil símbolos matemáticos con operaciones básicas y/o algebraicas. CONCLUSIONES. En el ejercicio docente se han creado diferentes estrategias para lograr vincular los símbolos matemáticos con referentes concretos, este trabajo muestra la idea de cómo los futuros docentes y/o docentes en ejercicio, pueden aplicar una metodología diferente para que los estudiantes aprendan las reglas básicas de la aritmética con números enteros. Lo que los estudiantes aprenden de una manera mecánica, como lo son las llamadas ´´reglas de los signos´´ las cuales dan paso a la comprensión del álgebra, y en el caso de cualquier otro tipo de asistentes al taller (no docentes), les permitirá evaluar un conocimiento que ya tienen y visualizarlo de otra manera. También se quiere que los asistentes al taller, logren conocer y comprender la importancia de los procesos para adquirir o construir competencias1 con símbolos matemáticos, hasta llegar a generalizaciones y conceptos más abstractos. 1 Esta idea en el documento se entiende como fue tomada inicialmente por el MEN en los lineamientos curriculares en la cual se utilizaban los conceptos, proposiciones, sistemas y estructuras matemáticas como De lo concreto a lo abstracto Tanith Ibarra Muñoz Vanessa Moreno Yepes Natalia Ramírez Agudelo BIBLIOGRAFÍA Hiebert, J. (1988). A theory of developing competence with written mathemetical symbols. Educational Studies in Mathematics . Mancera , E. El papel de la geometría como herramienta para la didáctica de las matemáticas. [versión electrónica] México: Comité Interamericano de Educación Matemática. disponible en: http://www.uned.ac.cr/MemEncMate/Ponencias/procesoensenanza/El%20papel%20de%20la%20geometr%C3%ADa%20%20Eduardo%20Mancera.pdf Morales, I., & Sepúlveda, A. (2006) Propuesta para la enseñanza de la factorización en el curso de álgebra. en XIV Encuentro de Profesores de Matemáticas. México Moriana Cabrera, B., & Bravo Cano, R. (n.d.). Regletas de Cuissinaire em Infantil de 5 años. [versión electrónica] extraído de: http://www.juntadeandalucia.es/averroes/vertie/createaching/TUCCI_WEBS/TCregletas_inf0 5/TCregletas0.htm marzo 17 de 2008 Tanith Ibarra Muñoz, Vanessa Moreno Yepes, Natalia Ramírez Agudelo: Estudiantes de la Licenciatura en Educación Básica con énfasis en Matemáticas de la Universidad de Antioquia. Correos: [email protected]; Mauricio Ruíz Vahos: Licenciado en Matemáticas y Física de la Universidad de Antioquia, Profesor de la Facultad de Educación y estudiante de la Maestría en Educación (Matemática) herramientas eficaces mediante las cuales se llevaban a la práctica determinados tipos de pensamiento lógico y matemático dentro y fuera de la institución educativa. De lo concreto a lo abstracto Tanith Ibarra Muñoz Vanessa Moreno Yepes Natalia Ramírez Agudelo de la Universidad de Antioquia. Miembro del grupo de Investigación en Educación Matemática e Historia (UdeA-Eafit). Correo: [email protected] Para citar este artículo sugerimos la siguiente fuente: Ibarra, T., Moreno, V., Ramírez, N & Ruiz, M. (2008). De los concreto a lo abstracto. En J. A. Villa, Y. M. Mesa, M. M. Parra, & M. M. Zapata (Ed.), Actas estudiantiles de Educación Matemática. 1, pp. 99-114. Medellín: Facultad de Educación-Universidad de Antioquia. 115 INCORPORACIÓN DE TECNOLOGÍAS DE LA INFORMÁTICA Y LA COMUNICACIÓN AL AULA DE MATEMÁTICAS DE LA EDUCACIÓN BÁSICA PRIMARIA Adriana María Vásquez Arroyave. Ana Cecilia Sanín Tabón. Yined Zoé Vergara Sánchez Alexander Jiménez Guzmán. Resumen: Presentamos una propuesta de Incorporación de las tecnologías de la información y comunicación (TIC) al aula de matemáticas, la cual se implementó en el grado cuarto de la institución Educativa Monseñor Francisco Cristóbal Toro, a través de una unidad didáctica de sólidos platónicos. En ella se analizaron las siguientes preguntas: ¿Cómo la incorporación de TIC y nuevos ambientes de aprendizaje favorecen la comparación, clasificación y construcción de objetos tridimensionales como los sólidos platónicos?, ¿Qué impacto tienen estas en los procesos de enseñanza y de aprendizaje del pensamiento geométrico? y ¿Es apropiado apoyar la construcción del concepto de los sólidos platónicos mediante el uso de las TIC? Palabras clave: Incorporación, TIC, didáctica, geometría, sólidos, ambientes de aprendizaje. INTRODUCCIÓN El impacto de las Tecnologías de la Información y la Comunicación (TIC), en la educación es un campo amplio de investigación, por ello se plantea un marco teórico que dará un respaldo al análisis de los resultados que se obtengan en la implementación de la unidad didáctica, cuyo diseño se construido a partir de la propuesta de incorporación de las TIC al aula de matemáticas por Jímenez (2005). De igual forma este retoma la escuela francesa con INCORPORACIÓN DE TECNOLOGÍAS DE LA INFORMÁTICA Y LA COMUNICACIÓN AL AULA DE MATEMÁTICAS DE LA EDUCACIÓN BÁSICA PRIMARIA Adriana María Vásquez Arroyave, Ana Cecilia Sanín Tabón, Yined Zoé Vergara Sánchez autores como: Artigue (2004) con la teoría de génesis instrumental y Ballesteros (2007) quien explica desde Verillon y Rabardel, instrumento y artefacto, por otro lado tiene en cuenta lo planteado por Duarte (2003) sobre ambientes de aprendizaje y por último se contextualiza sobre unidad didáctica. En una segunda parte se plantea el problema y la metodología, estas junto con la categorización permitirán delimitar y orientar la investigación. En una tercera parte se presentan los registros de información en los diferentes momentos de la implementación de la unidad didáctica y por último se hace una evaluación y conclusión del trabajo realizado. REFERENTES TEÓRICOS. La teoría de Verillon y Rabardel (1995) quienes plantean el artefacto como un objeto material hecho por el hombre, mientras que el instrumento es considerado como un constructor psicológico; el instrumento no existe en sí mismo, una máquina o un sistema técnico no constituyen inmediatamente una herramienta para el sujeto. Así, un instrumento resulta desde el establecimiento, por el sujeto, de una relación instrumental con un artefacto, ya sea material o no, producido por otros o por sí mismo. Nuevos Ambientes de Aprendizaje Esta propuesta requiere una mirada a los ambientes de aprendizaje, que no se limite a la sola descripción de lugares donde se realizan las clase, para atender a este requerimiento Duarte (2003) instaura los ambientes de aprendizaje en las dinámicas que constituyen los procesos educativos y que involucran acciones, experiencias y vivencias por cada uno de los participantes; actitudes, condiciones materiales y socioafectivas, múltiples relaciones con el entorno y la infraestructura necesaria para la concreción de los propósitos culturales que se hacen explícitos en toda propuesta educativa. METODOLOGÍA. El tipo de investigación abordado es el estudio de caso, pues es apropiado en situaciones en las que se desea estudiar intensivamente características básicas, la situación actual, e interacciones con el medio de una o unas pocas unidades tales como individuos, grupos, INCORPORACIÓN DE TECNOLOGÍAS DE LA INFORMÁTICA Y LA COMUNICACIÓN AL AULA DE MATEMÁTICAS DE LA EDUCACIÓN BÁSICA PRIMARIA Adriana María Vásquez Arroyave, Ana Cecilia Sanín Tabón, Yined Zoé Vergara Sánchez instituciones o comunidades. En este sentido asumimos como estudio de caso al “método empleado para estudiar a un individuo o una institución en un entorno o situación única y de una forma lo más intensa o detallada posible” Salkind (1999, p. 211). Adicionalmente Sandoval (1996, p. 91) apoyado en Yin (1994) establece un estudio de caso como una indagación empírica que: “Investiga un fenómeno contemporáneo dentro de su contexto real de existencia, cuando los límites entre el fenómeno y el contexto no son claramente evidentes y en los cuales existen múltiples fuentes de evidencia que pueden usarse”. El diseño a que se realizó a nivel general fue el siguiente: Método: el método de investigación que se utilizó es de corte cualitativo para analizar los cambios generados en el aprendizaje del estudiante al implementar las TIC en el aula de matemáticas. Muestra poblacional: se implementó una unidad didáctica donde se incorpora las TIC a los estudiantes del grado cuarto, ubicada en el barrio Aranjuez del municipio de Medellín. CONCLUSIONES Con el desarrollo de esta investigación pudimos determinar el uso que el estudiante le da al computador durante la clase es fuertemente implicado por el diseño por parte del docente. De allí, que para incorporar TIC en el aula de clase, se hace necesario construir propuestas alternativas a la tradicional que involucren el desarrollo de unidades didácticas de tal manera que se orienten de forma efectiva un aprendizaje que contemple tres partes: adaptación curricular, documentos para el alumno y documentos para el docente; a la vez que permita una evaluación apropiada. Los nuevos ambientes de aprendizaje (Duarte, 2003) generan cambios en los procesos de enseñanza pues estos dinamizan notablemente la metodología, posibilitando al estudiantes nuevas formas de representación de objetos geométricos como en el caso particular los sólidos platónicos. INCORPORACIÓN DE TECNOLOGÍAS DE LA INFORMÁTICA Y LA COMUNICACIÓN AL AULA DE MATEMÁTICAS DE LA EDUCACIÓN BÁSICA PRIMARIA Adriana María Vásquez Arroyave, Ana Cecilia Sanín Tabón, Yined Zoé Vergara Sánchez La propuestas evaluativas que se realizaron durante la intervención, fueron pertinentes, pues esta permitió hacer un proceso que potenciara el aprendizaje en los estudiantes, mas sin embargo la evaluación en una propuesta de incorporación de TIC es un aspecto que exige ser estudiado más a fondo. BIBLIOGRAFÍA ANDER-EGG, E. (1991) El taller Una alternativa De Renovación Pedagógica.. Buenos Aires: Editorial Magisterio del Rio de la Plata Artigue, M. (2004) Problemas y desafíos en Matemática. Educación Matemática,16 (003). pp. 5-28 Ballestero, E. (2007) Instrumentos psicológicos y la teoría de la actividad instrumentada: Fundamento teórico para el estudio del papel de los recursos tecnológicos en los procesos educativos. Cuadernos de investigación y formación en educación matemática.,4. pp.125-137. Domenech, J. (1998). Poliedros Regulares. España: Editorial Universidad de Alicante Duarte, J. (2003). Ambientes de aprendizaje una aproximación conceptual. Revista Estudios Pedagógicos.29. pp. 97-113. Jiménez, A. (2006). Incorporación de tecnologías al aula de matemáticas. Tesis de Maestría en Educación Matemática no publicada. Medellín: Universidad de Antioquia Marín, M. (2001). Poliedros. Medellín: Editorial Universidad de Antioquia. MINISTERIO DE EDUCACIÓN NACIONAL. (2007) competencias en matemáticas. Bogotá: Magisterio Estándares básicos de INCORPORACIÓN DE TECNOLOGÍAS DE LA INFORMÁTICA Y LA COMUNICACIÓN AL AULA DE MATEMÁTICAS DE LA EDUCACIÓN BÁSICA PRIMARIA Adriana María Vásquez Arroyave, Ana Cecilia Sanín Tabón, Yined Zoé Vergara Sánchez MINISTERIO DE EDUCACIÓN NACIONAL. (1998) Lineamientos Curriculares en matemáticas. Santa fe de Bogotá: Magisterio Sandoval, C. (1996). Investigación Cualitativa (Vol. 4). Bogotá: ICFES-ASCUN. Salkind, N. (1999). Métodos de Investigación. México: Prentice Hall Adriana María Vásquez Arroyave, Ana Cecilia Sanín Tabón, Yined Zoé Vergara Sánchez: Estudiantes de la licenciatura en Educación Básica con énfasis en Matemáticas de la Universidad de Antioquia. Correos: [email protected]; [email protected] [email protected] Alexander Jiménez: Magister en Educación (Matemática) de la Universidad de Antioquia, investigador en el área de las tecnologías miembros de los grupos GECEM y Educación Matemática e Historia (UdeA-Eafit). Correo: [email protected] Para citar este artículo sugerimos la siguiente fuente: Vásquez, A. M.; Sanín, A. C., Vergara, Y, Z. & Jiménez, A. (2008). Incorporación de tecnologías de la informática y la comunicación al aula de matemáticas de la Educación Básica Primaria. En J. A. Villa, Y. M. Mesa, M. M. Parra, & M. M. Zapata (Ed.), Actas estudiantiles de Educación Matemática. 1, pág. 115-119. Medellín: Facultad de EducaciónUniversidad de Antioquia. 120 EXPERIENCIAS EN CONTEXTOS DE VULNERABILIDAD: EBN Carolina Tamayo Osorio , Mary Cuartas Jiménez ; Héctor Alberto García Marín; Johvanny Eliécer Daza ; Tanith Celeny Ibarra Muñoz ; Vanessa Moreno Yépes Jaime Andrés Úsuga Sepúlveda , Yolanda Beltrán de C.z Resumen En este documento presentamos los avances de nuestro proyecto de investigación en la relación entre las matemáticas y los contextos de vulnerabilidad (EBN). En particular caracterizamos los contextos en los cuales participamos y algunas reflexiones sobre las experiencias vividas en este proyecto. Palabras clave Contexto de Vulnerabilidad, Educación matemática. INTRODUCCIÓN En los últimos años se ha venido desarrollando en a nivel internacional diferentes teorías que rescatan el papel de la cultura, y los contextos sociales en el aprendizaje de las matemáticas, en este sentido, nosotros venimos adelantando una serie de reflexiones sobre el papel que tienen los contextos de vulnerabilidad en el aprendizaje de las matemáticas. Estas reflexiones hacen parte de nuestro trabajo de práctica docente que se desarrolla en el marco del proyecto “La escuela busca al niño” CONTEXTO Para realizar una caracterización de los contextos en los cuales vamos a desarrollar nuestros proyectos, realizamos un fuerte pesquisa en los trabajos publicados en la Web por EXPERICIENCIAS EN CONTEXTOS DE VULNERABILIDADL García et al. . corporaciones y entidades que se han dedicado a trabajar por estas comunidades: Al respecto hemos encontrado que según la Corporación Región: Hasta 1900, la expansión de Medellín hacia el sur oriente se acentuaba en las salidas de la ciudad, más que en el propio centro”1. Es así como la sociedad católica de la época vio la necesidad de lugares para pedir, rogar a Dios y enterrar a sus muertos. Ubicado en el barrio Colón, barrio de los ricos de aquel entonces, el cementerio de San Lorenzo fundado en 1826, era donde las comunidades religiosas arraigadas en la ciudad tenían los panteones para la inhumación de los cuerpos de las monjas. Se reportaron asentamientos en la ladera del camino de Guarne llamado "Callejón del Mico" y alrededor del Cementerio, desde donde se fueron extendiendo hasta formar el barrio Guanteros y La Asomadera. A medida que se construían nuevas moradas alrededor de Niquitao y el Camellón del Cementerio, se fueron dando nombres a las agrupaciones de vivienda: Las Palmas, La Victoria, San Diego, Potosí y Barrio Colón. De esta forma el camellón se convirtió para estos barrios en la calle principa”2. El sector de Guayaquil, con la construcción de la plaza de mercado y la estación del ferrocarril, inauguró un nuevo desarrollo de tipo comercial y social para el presente siglo. Este sector era un poco alejado del marco de la Villa, o mejor, del Parque Berrío, entre uno y otro, aún existían extensas mangas baldías. “A Guayaquil convergían de manera obligada las vías principales: las férreas, las carreteables y los caminos de herradura. Además de abastecedor de productos, este sector se comportó entonces como sitio de llegada, distribución y congregación de la ciudad dando cabida a otra serie de servicios, como cantinas, hoteles, depósitos, cacharrerías”3, salas de billar y juego, entre otros. Continuando con la indagación sobre los orígenes de estos contextos, hemos encontrado que: 1 Tomado con ligeras modificaciones que aparecen en: http://www.region.org.co/elem_prov/pdf/LIBROMedell%C3%ADn-en-zonas.pdf 2 Idem 3 Idem EXPERICIENCIAS EN CONTEXTOS DE VULNERABILIDADL García et al. . El proceso de expansión de la ciudad originaria hasta 1930 generó un mayor crecimiento de la periferia del centro tradicional y del sector sur oriental del mismo. La migración campesina, principalmente del oriente en los años 20 y 30, se generó por diversos factores, entre ellos la crisis minera y la depresión económica en el oriente antioqueño, especialmente en la agricultura. A su vez, Medellín constituía un atractivo para esta población migrante debido a las expectativas de crecimiento que se venían insinuando. Esta población migrante es acogida en gran medida en la zona centroriente. Los inquilinatos de Niquitao por ejemplo, comenzaron a jugar un papel importante para aquella población transeúnte y comerciante. En las décadas de los 60 y 70, con la construcción de edificaciones y la ampliación de vías: la Avenida Oriental, Bolívar, Carabobo, La Alhambra, Amador y San Juan, la proliferación del subempleo en Guayaquil llegó a un tope incontrolable, literalmente, la gente ya no cabía allí. Niquitao ya se estaba deteriorando con la instalación de las flotas Magdalena, Occidental, Arauca y Rápido Ochoa en la carrera Pedro de Castro y con el fenómeno del subempleo de Guayaquil, se convirtió en el inquilinato de celadores, chóferes, lustrabotas, campesinos, atracadores, prostitutas y comerciantes menores4. Este sector que hoy está constituido por los barrios San Lorenzo (también conocido como Niquitao), San Diego, Las Palmas y Barrio Triste sirvió en estas décadas, de refugio y pasaje de los campesinos que venían de las zonas aledañas de la cuidad a comercializar sus productos, como también de aquellos que llegaban de lejanos lugares a buscar un mejor futuro. Más adelante durante los años 80, tras la explosión urbanística, crecimiento económico y demográfico, esta zona tendió a convertirse en hospedaje de indigentes y personas con muy bajos recursos, favoreciendo la posterior caracterización de los 4 Tomado con ligeras modificaciones que aparecen en: http://www.region.org.co/elem_prov/pdf/LIBROMedell%C3%ADn-en-zonas.pdf EXPERICIENCIAS EN CONTEXTOS DE VULNERABILIDADL García et al. . inquilinatos, como lugares inundados de mugre, vicio y resquebrajadas paredes que no pueden abrigar otra cosa que los desechos de una modernidad fracasada sin políticas administrativas claras por parte del estado en este sector. Alimentó esta concepción el arraigamiento del consumo, fabricación, oferta y demanda de alucinógenos en las llamadas plazas y en medio, por supuesto, de la Medellín estereotipada por la proliferación de bandas al servicio del narcotráfico con Pablo Escobar a la cabeza. Así se fue conformando un sector con diferencias socio-culturales, económicas y educativas, muy demarcadas y separadas unas de otras, sólo por una calle. Estos barrios: San Lorenzo (Niquitao), San Diego, Las Palmas y Barrio Triste son hoy día parte de una zona de Medellín denominada comuna 10. Con base en las visitas domiciliaras y demás trabajos de campo realizados en las zonas de implementación del proyecto, podemos afirmar que los sectores de San Lorenzo y barrio triste son los de mayor vulnerabilidad de esta zona, puesto que los niños y las familias que los habitan, por lo general provienen de grupos disfuncionales a nivel relacional, ya que no cumplen con las condiciones necesarias, respecto al cuidado y a la educación de sus integrantes; aunque pagar una pieza les puede costar más que un arriendo, entre 5.000 y 12.000 pesos diarios, las personas que recurren a estos barrios son de una alta vulnerabilidad económica Adicionalmenete, hemos encontrado que “Sólo en Niquitao hay 102 inquilinatos, muchos en precarias condiciones. Hay problemas de salud pública, saneamiento, hacinamiento, riesgo de drogadicción, alcoholismo y explotación sexual”5y que Las familias llegan a estos inquilinatos huyendo de la violencia en barrios periféricos de la ciudad o municipios cercanos, o en algunos casos viven allí cuando pasan por dificultades económicas y no pueden pagar el alquiler de sus casas. En esos casos ellos encuentran en estos lugares una opción de refugio que puede pagarse diariamente con el dinero que recogen en sus actividades informales. Estas residencias tienen bajos niveles de iluminación, ventilación y condiciones sanitarias. Todos los habitantes comparten baños y lavaderos y no 5 Tomado de http://agora.unalmed.edu.co/docs/Inquilinatos-ElColombiano-Oct.31-06.PDF EXPERICIENCIAS EN CONTEXTOS DE VULNERABILIDADL García et al. . existe un espacio donde las personas puedan preparar sus alimentos bajo unas mínimas condiciones de higiene6. En habitaciones que miden entre 12 y 30 m2, residen familias constituidas por dos y hasta siete personas que duermen, cocinan, comen, juegan y guardan sus pertenencias bajo esas condiciones. En la mayoría de los casos no hay una regulación legal para la convivencia interna, ocasionalmente se generan algunas reglas que impiden que el micromundo sea perturbado. Incluso ha habido espacios en los que afirman que “Las personas que podrían llamarse habitantes de este sector, son en realidad una población flotante que va de paso. La población que está en el día no es la misma que habita en la noche”7 Una de las principales características observadas en nuestro trabajo de campo es que la comunidad está conformada en su mayoría por recicladores, indigentes, vendedores ambulantes y familias indígenas pertenecientes a los Emberá Katios. Por este motivo las personas de estos grupos familiares tienen condiciones socioeconómicas bastante precarias y por lo tanto se encuentran en alto riesgo o ejercicio de la prostitución, la mendicidad y/o drogadicción. La mayoría de la población vive en los inquilinatos y casas dedicadas al expendio y consumo de sustancias psicoactivas, que se ubican en este sector. Las madres son en su mayoría quienes sostienen el hogar con ayuda de sus hijos e hijas quienes desde muy pequeños deben comenzar a trabajar. Los sectores de Guayaquil y Barrio Triste tienen una característica especial y es la facilidad que tienen los niños para acceder al centro de la ciudad, exponiéndolos a situaciones de alto riesgo. Debido a que los niños permanecen gran parte del tiempo solos, empiezan a pasar mucho tiempo por fuera de la casa sin reparo de nadie y paulatinamente van estableciendo contacto con la calle que los conduce a adquirir conductas como consumo de drogas, robo, prostitución y por último pueden convertirse en niños habitantes de calle. En los pobladores de este sector se puede observar el abandono en términos de nutrición, salud y educación. Parece como si el Estado no se preocupara por estas personas o por lo menos así parece pues evidente lo infrahumano de su situación, no obstante, es muy común 6 7 Tomado de http://www.poderjoven.org/problematicas_es.php Tomado de http://lengua-niquitao.blogspot.com/ EXPERICIENCIAS EN CONTEXTOS DE VULNERABILIDADL García et al. . ver numerosas fundaciones, de carácter privado, sin ánimo de lucro que ayudan, alimentan, dan albergue y protección a muchos niños de esta comunidad, puesto que son la población más vulnerable del sector. Uno de los puntos críticos de esta población infantil está relacionado con el maltrato, la prostitución y la mendicidad obligada, problemática que las últimas administraciones municipales han querido enfrentar con programas sociales y de atención a la niñez abandonada. En cuanto a los barrios San Diego y Las Palmas, ese conglomerado de casas con espacios verdes sin estética, se han venido transformando con el tiempo, en un barrio ordenado, limpio y sano. Pero de un momento a otro estos barrios pasaron de ser tranquilos y sin sobresaltos a ser objeto de algunas inversiones importantes en infraestructura y espacio público en los últimos años. Primero fue el parque San Lorenzo, una audaz obra en un sector dominado por las sombras y la delincuencia, aprovechando la cercanía a un cementerio; luego fue la ampliación de la avenida Girardot desde San Juan hasta la vía de las Palmas, lo que posibilitó una salida del centro más rápida hacia el sur del Valle de Aburrá y finalmente, el colegio que ya se encuentra en la etapa final de construcción en el sector conocido como Niquitao. Estas tres obras le han cambiado la cara a barrios como el propio Niquitao, Las Palmas y San Diego. Lo que más agradece la gente con estas obras es la valorización de sus viviendas: "La importancia de esas obras es que convirtieron a los barrios San Diego y Las Palmas en un sector con mejores posibilidades. (El Colombiano, 11 de Noviembre de 2008) Los problemas más predominantes de esta zona son: – En educación, la carencia de locales o el mal estado en que se tienen, la falta de recursos propios para el mantenimiento y dotación de ayudas didácticas, el poco cubrimiento de la demanda educativa especialmente en secundaria y la falta de maestros. – Problemáticas referidas a la ausencia de lugares adecuados para la práctica del deporte e inseguridad en los que existen y la falta de un compromiso serio de las diferentes autoridades para el apoyo a jóvenes deportistas. EXPERICIENCIAS EN CONTEXTOS DE VULNERABILIDADL García et al. . – Gran concentración del desempleo, el empleo informal y el subempleo, situación que se enfatiza para las nuevas generaciones. Desmotivación del sector empresarial para generar empleo y escasa presencia estatal en la creación y ampliación de empresas. – El espacio público en el área central presenta problemas que tienen que ver, entre otros, con la localización indiscriminada de ventas ambulantes, con la saturación de avisos de forma incontrolada, así como por la congestión vehicular, la carencia de espacios públicos que alberguen las necesidades colectivas, incremento de población con graves problemas sociales como: prostitución, drogadicción y alcoholismo. - La inseguridad: Sus causas se pueden vincular a la inexistencia o deficiencia en la obtención de algunas condiciones mínimas de vida digna por parte de un grueso de población, muchos de ellos indigentes definidos; pero igualmente otra enorme cantidad de sectores pobres y marginales provenientes de diversos lugares de la ciudad, del departamento y del país. Pensar la educación a partir de estas condiciones significa considerar ciertas facultades inherentes al maestro tales como ser un detonante del deseo de aprender y saber por parte de los niños, esto implica de alguna manera que aquellos niños supervivientes de aquellos lugares, no se sientan en la escuela como de pronto sí en su casa, pues debido a las condiciones familiares en que viven, lo mejor que les puede pasar que los golpes, abusos y demás tipos de violencia no se presenten en el espacio escolar ya que “se trata de que el alumno entienda que es amado y estimado por sus maestros. Nunca el temor infunde amor a la virtud”8 dice Isabel de Larrañaga. Las versiones anteriores de la EBN muestran que al cabo de la intervención en las zonas es necesario hacer vigilancia a los niños que participaron del proyecto para apoyarlos a no desertar si acaso pretenden hacerlo, pues las condiciones económicas que son las que más agobian obligan a las familias a demandar de sus hijos algún dinero para el sustento de las mismas y desde luego esto degenera en una educación más mediocre y así la familia termina casi que prescindiendo de la escuela por atender la comida. 8 Tomado de http://www.telefonica.net/web2/eseducativa/frases8.html el 3 de diciembre de 2008 EXPERICIENCIAS EN CONTEXTOS DE VULNERABILIDADL García et al. . EXPERIENCIAS EN SAN LORENZO Cuando pensamos que la educación es la clave del futuro y le posibilita a los seres humanos actuar sobre su mundo como agentes activos y obtener mejores posibilidades de vida, miramos no muy lejos de nuestros hogares, lugares invisibilizados y percibimos una sociedad maltratada, solitaria y en especial una sociedad donde la palabra justicia9 perdió el sentido que se le otorgo siglos atrás; es así como inmediatamente sentimos que los afanes del mundo moderno se hacen evidentes en un pueblo arraigado a sus raíces y cultura. Muchos miedos y muchos prejuicios han pasado por nuestra cabeza cada vez que estamos en aquel lugar que hace poco conocimos, aquel frio y cruel lugar que alberga tristezas, maltrato, prostitución, drogadicción y aquellos pequeños que tal vez son en estos momentos la razón y el centro de toda nuestra práctica pedagógica y que poco a poco han ido dejando su huella en nuestra experiencia no solo como maestros que muy pronto seremos sino como seres humanos que somos. Estas calles muestran carencias (sociales, políticas, culturales, económicas…), soledad y tristeza y por un momento nos detenemos a pensar cómo modelos e ideologías sociales han marcado diferencias abismales entre las clases sociales hasta el punto de conocer lo que significa la marginación e indiferencia de quienes resultan afectados con las ganancias de otros. El barrio San Lorenzo, más conocido como Niquitao sólo lo conocíamos por medio de una pantalla de televisor donde nos pintan la realidad de una forma; sólo oíamos mentar el nombre de Niquitao después de una gran tormenta, la cual arrasó dejando sin vivienda a tantos; que se desbordó una quebrada o asesinaron a tantos más. En un principio –durante nuestro primer trabajo de campo-, mientras caminábamos por el barrio, tratábamos de aislar estos malos 9 “La política para los griegos es la forma más elevada de lo social y esto es la condición de la vida humana. Pero el relacionar la política con el bien común, el definir la vida individual como resultado de la vida social, el determinar las formas y sistemas de gobierno y el tratar de justificar el poder como una forma necesaria de cohesión social regida por la voluntad comunitaria y el derecho…” Caldera, Serrano Alejandro. “Relación entre filosofía y política. Esta es la versión en caché de http://www.laprensa.com.ni/archivo/2005/enero/16/opinion/opinion-20050116-06.html de Google. Se trata de una captura de pantalla de la página tal como esta se mostraba el 9 Oct. 2008 08:23:39 GMT EXPERICIENCIAS EN CONTEXTOS DE VULNERABILIDADL García et al. . pensamientos que fueron desapareciendo al ver una construcción monumental, se veía tan grande, a la vez tan imponente, como queriéndonos decir ¡Oe aquí estoy yo!, ¡mírame, soy tu nuevo colegio!, pronto estaré listo para brindar educación, protección y amor a todo el sector. El siguiente apartado corresponde a una experiencia particular del compañero Héctor García, durante la visita al Descanso del Pasajero en el sector Barrio Triste el día 4 de Noviembre de 2008. “Haciendo un invierno tremendo en un día en el que se preveía no ocurrir mayor cosa, ingresamos a lo que anteriormente se mostraba como un hotel, el conocido “Descanso del Pasajero”, que hoy es un inquilinato donde su fachada no se muestra muy atractiva para efectos de entrar en sus recintos, pues además de un azul claro y triste, se vislumbra un serie de habitaciones teloneadas por sábanas aparentemente mugrosas que invitan a todo menos a entrar en aquellos aposentos. Al ingresar en aquella esfera mi olfato comienza a hacerse muy sensible ante el advenimiento de una esencia propia de las calles cual mendigo aquel que sólo conoce el agua de los ríos o cañadas de la ciudad. Ante espectro me sorprendo intrigado por el origen o causa de ese agudo olor. Luego de permanecer por poco tiempo en el segundo piso subimos al tercer piso y esa desproporcionada fragancia hace retorcijar mis intestinos y garganta, pero como la causa se justifica acoplo mi estado de ánimo con el movimiento de mi cuerpo a lo largo de un lánguido pasillo cuya visibilidad se muestra por las hendijas de luz provenientes del exterior; y por la abundancia de habitaciones en cada costado de aquel callejón, parece que no hubiera una salida evidente o por lo menos verosímil. Con todo y esto, una abundante masa de niños jugando a lo largo de este oscuro pasillo, entre golpes bruscos o cariñosos, y movidas rápidas y hasta peligrosas por la presencia de aquella oscuridad tan recalcitrante que parece que no hubiera otra salida que la que nos permitió subir a estas alturas y en la que más o menos en la mitad se evidencia una luz intensa que atraviesa un pequeñísimo pasillo que además de putrefactamente cochino, muestra paredes deformes, igualmente azuladas y que llevan a una especie de terraza cuyas habitaciones son las más baratas y pequeñas, además de estar sostenidas por EXPERICIENCIAS EN CONTEXTOS DE VULNERABILIDADL García et al. . paredes impregnadas de un espeso olor, como espesa es la vida de esta vecindad indígena obligada a abandonar su milenaria tierra. Dichos muros se ven empañados por moscos o moscas por lo menos cuatro veces más grandes que las que habitan las casas en condiciones dignas. Ante esta plaga tan depresiva, rápida, cochina, lógica, evidente, aerodinámicamente estable y naturalmente proliferada, todo lo que me circunda me huele mal, quiero irme, salir a probar el acostumbrado aire que aspiro a diario y que ahora añoro, pero como me considero un profesional sin título en lo que respecta a la responsabilidad que exige mi práctica, no puedo volarme porque hay algo que me llama: la necesidad de los necesitados, necesitados que inundados por moscas gigantes, maltrato a los niños, mugre, humildad, y mucha capacidad para decidir por sus hijos en lo que los abuelos de aquellos fueron incapaces de sufrir cuando eran pequeños”. Las personas que podríamos llamar habitantes de San Lorenzo, en su mayoría, son población flotante que va de paso. La población que está de día no es la misma que habita en la noche. En San Lorenzo la mayoría de niños trabajan, piden limosna o se dedican a la prostitución, en los inquilinatos, a los niños les toca presenciar a los adultos teniendo sexo y consumiendo drogas y licor. Son niños que no han sido formados en las mejores condiciones ni con el mejor ejemplo, de alguna manera esto los ha llevado a refugiarse en ambientes de vicio, violencia y prostitución. Con tristeza recordamos algunos episodios que van marcando nuestro día a día, recordamos como al ir en búsqueda de uno de los niños para que asistiera a las actividades correspondientes, se encontró con unas características similares a las de una persona que ha permanecido durante varios días en la calle sin condiciones de aseo y con un fuerte olor a sacol. También recordamos una escena movida, estrepitosa, triste y muy violenta, que protagonizaron dos reconocidos niños del sector, los cuales reaccionaron, el uno cogiendo un pedazo de vidrio y el otro una piedra para agredirse. ¿Qué debe hacer un licenciado en educación básica ante una situación como ésta?, ¿Cómo revertir el efecto familiar de responder a la violencia con violencia?, ¿Qué hacer con la violencia de los niños? ¿Tratarla con la autoridad del amor? EXPERICIENCIAS EN CONTEXTOS DE VULNERABILIDADL García et al. . Aun más triste fue evidenciar en una de las visitas domiciliarias, una pequeña de aproximadamente 13 años quien vestía una ropa muy insinuante y que sería ella misma la que más tarde le confesaría a uno de nuestros compañeros que se rebuscaba la plata como trabajadora sexual. Vemos cierta esperanza en que esto puede cambiar, no creemos que vivamos para vivirlo, pero tampoco muertos para no intentarlo porque los niños no son el futuro sino el presente de esta sociedad. Estamos muy orgullosos de pertenecer al proyecto La Escuela Busca al Niño, ya que pretende que los menores que por algún motivo desertaron de la escuela o que nunca han ido a ella, la conozcan y mejor aún, se enamoren de ella; es un proyecto y una labor social muy bonita, que nos ayuda, en nuestra labor como futuros docentes, a conocer problemáticas de sectores en situación de vulnerabilidad que muchas veces se desconocen en la escuela o simplemente se evaden. CIBERGRAFÍA: 1. http://www.region.org.co/elem_prov/pdf/LIBRO-Medell%C3%ADn-en-zonas.pdf 2. http://www.region.org.co/elem_prov/pdf/LIBRO-Medell%C3%ADn-en-zonas.pdf 3. http://agora.unalmed.edu.co/docs/Inquilinatos-ElColombiano-Oct.31-06.PDF 4. http://www.poderjoven.org/problematicas_es.php 5. http://lengua-niquitao.blogspot.com/ 6. http://www.telefonica.net/web2/eseducativa/frases8.html 7. http://www.laprensa.com.ni/archivo/2005/enero/16/opinion/opinion-2005011606.html Héctor Alberto García Marín; Carolina Tamayo Osorio, Mary Cuartas Jiménez; Johvanny Eliécer Daza ; Tanith Celeny Ibarra Muñoz ; Vanessa Moreno Yépes y Jaime Andrés Úsuga Sepúlveda: Son estudiantes de la Licenciatura en Educación Básica con énfasis en EXPERICIENCIAS EN CONTEXTOS DE VULNERABILIDADL García et al. . Matemáticas de la Universidad de Antioquia. Actualmente pertencen al proyucto “La escuela busca al niño”. Correo [email protected] Yolanda Beltrán de C: Profesora de tiempo completo de la Facultad de Educación y coordinadora del programa de Licenciatura en Educación Básica con énfasis en Matemáticas de la Universidad de Antioquia y coordinador del grupo de Investigación en Educación Matemática e Historia (UdeA-eafit). Correo: [email protected] Para citar este artículo sugerimos la siguiente fuente: García, H.m Tamayo, C., Cuartas, M., Daza, J., Ibarra, T., Yepes, V., Úsuga, T & Beltrán, Y. (2008). Expericnias en contextos de vulnerabilidad ENB. En J. A. Villa, Y. M. Mesa, M. M. Parra, & M. M. Zapata (Ed.), Actas estudiantiles de Educación Matemática. 1, pp. 120-131. Medellín: Facultad de Educación-Universidad de Antioquia. 14 LA SEMEJANZA COMO EXPRESION DEL RAZONAMIENTO PROPORCIONAL. Yineth Aguirre Marin Viviana Alzate Velasquez Luz Marina Diaz Resumen: Nuestro trabajo tiene como objetivo identificar las estrategias del razonamiento proporcional que utilizan los estudiantes en el desarrollo de situaciones en torno a la semejanza.Profundizar en el concepto de la proporcionalidad desde la geometría, en los primeros años de escolaridad tiene una importancia definitiva en la formación de los estudiantes ya que al abordarla de manera adecuada podemos potenciar en los estudiantes desde el reconocimiento de las relaciones entre los objetos hasta la aplicación de la función lineal. Escogimos la semejanza porque desde las edades más tempranas los niños por la constante exploración del espacio que los rodea, tienen una mayor sensibilidad hacia la geometría, aspecto que en muchas ocasiones no es tomado en cuenta ya que se utiliza esta etapa del niño para trabajar lo aritmético. La pregunta que da sentido a este trabajo es: ¿cuáles son las estrategias de razonamiento proporcional que usan los estudiantes de grado sexto ante situaciones de semejanza? La metodología utilizada en esta investigación fue la investigación cualitativa estudio de casos, donde se eligieron 4 estudiantes de la I.E Héctor Abad Gómez de la ciudad de Medellín, y con la cual se hará un análisis a la luz de las respuestas de los estudiantes, las opiniones de las investigadoras y con base en los referentes teóricos. Palabras clave: Razonamiento, proporcionalidad, semejanza, campos conceptuales. INTRODUCCIÓN El trabajo de investigación hace referencia a la semejanza como expresión del razonamiento proporcional, dicha investigación se realiza debido a la importancia que tiene para las maestras en formación conocer las diferentes estrategias del razonamiento proporcional que usan los estudiantes para resolver actividades relacionadas con la semejanza, resaltando de igual manera la importancia de proponer actividades geométricas para desarrollar este concepto. La semejanza se encuentra enmarcada dentro de la proporcionalidad y esta a su vez hace parte del campo conceptual de las estructuras multiplicativas el cual es fundamental para los estudiantes en la formalización y abstracción de diversos conceptos matemáticos, la metodología utilizada en las actividades propuestas a los estudiantes fue el taller, que fueron realizados en los grados 6-1 y 6-2 de la Institución Educativa Héctor Abad Gómez. LA SEMEJANZA COMO EXPRESION DEL RAZONAMIENTO PROPORCIONAL. Yineth Aguirre Marin Viviana Alzate Velasquez Luz Marina Diaz REFERENTES TEÓRICOS. El aprendizaje de cualquier tipo de concepto matemático no es espontáneo en los estudiantes, si no que esta mediado por actividades pensadas desde diferentes aspectos como los disciplinares, didácticos y cognitivos que rodean al estudiante, al profesor y al contexto en el que se encuentran. De esta manera vemos como los autores, Vergnaud, Piaget; Duval, Lesh, Gloria García, por medio de sus teorías sustentan las actividades y propósitos seguidos por las investigadoras para dar sentido a su trabajo. Vergnaud con la teoría de los campos conceptuales, nos ubica en tratar a la proporcionalidad como perteneciente al campo conceptual de las estructuras multiplicativas y siendo coherentes con su teoría asumimos a este concepto (proporcionalidad) como parte de una estructura de conceptos y situaciones que interactúan, para complementarse, modificarse y representarse de diversas maneras. Retomando lo dicho por Moreira un Campo conceptual es, para él, un conjunto informal y heterogéneo de problemas, situaciones, conceptos, relaciones, estructuras, contenidos y operaciones del pensamiento, conectados unos a otros y, probablemente, entrelazados durante el proceso de adquisición; (Moreria, (s.f) la teoría de los campos conceptuales de Vergnaud), teniendo en cuenta de igual manera que el proceso de adquisición no esta determinado por un tiempo especifico, ya que un conocimiento nunca es construido totalmente, si no que va evolucionando en el estudiante. De esta manera se pensó en trabajar la proporcionalidad unida a otro concepto que hace parte de ella como es la semejanza entre figuras. Piaget afirma que la construcción de un concepto se da por medio de procesos de asimilación y acomodación, así mismo con la elaboración de esquemas, concepto que también desarrolla Verganud pero profundizando mas en la importancia de este. De igual manera piaget afirma en su libro psicología del niño Se ve aparecer, a los once-doce años, la noción de las proporciones en ámbitos muy diferentes, y siempre en la misma forma inicialmente cualitativa. Estos ámbitos son entre otros: las proporciones espaciales (figuras semejantes); Piaget, Psicologia del niño 1978. Lesh y otros 1998 nos habla de la identificación de 5 fases en el proceso de construcción del razonamiento proporcional. La fase inicial es cuando el estudiante solo esta considerando una variable a la vez, en la fase siguiente identifica varias variables pero la correlación que establece entre estas es de tipo cualitativo. En el tercer momento o fase el estudiante utiliza estrategias centradas en el reconocimiento de patrones de correlación entre las cantidades pero desde una perspectiva aditiva. En la fase 4 reconoce estructuras y relaciones que coordinan la variación de dos cantidades desde un análisis escalar. En la quinta fase puede establecer una constante de proporcionalidad como una razón que relaciona cualquier par de valores. LA SEMEJANZA COMO EXPRESION DEL RAZONAMIENTO PROPORCIONAL. Yineth Aguirre Marin Viviana Alzate Velasquez Luz Marina Diaz Desde los lineamientos curriculares se resalta la importancia que tiene la geometría como "fuente de modelación y un ámbito por excelencia para desarrollar procesos de nivel superar y en particular diversas forma de argumentación.", teniendo en cuenta que las actividades del pensamiento espacial como moverse, dibujar, construir y producir deben potenciarse en los estudiantes desde los niveles iníciales, por medio de gestos y el lenguaje común, para luego afianzar conceptos y que logren proponer posibles definiciones y simbolismos formales. De igual manera los estándares proponen una interrelación entre otros pensamientos y entre los diferentes grados, que posibilitaría en los estudiantes la propuesta que hace los lineamientos sobre el desarrollo del pensamiento espacial. METODOLOGIA En un contexto escolar la investigación a realizar debe ser de carácter cualitativa ya que los aspectos del entorno del estudiante y como se relaciona con ellos, son fundamentales para el análisis, para tal caso se ha optado por el METODO DE CASOS, ya que este permite acercarnos y conocer los diferentes fenómenos que están alrededor del caso que se pretende estudiar y a la luz de los diferentes referentes teóricos, aportar un análisis de este. Se realizaron 6 actividades de intervención de las cuales la primera tuvo como intención dar una mirada general las relaciones de proporcionalidad que establecían los estudiantes, las 4 intervenciones siguientes tuvieron la intención de profundizar en aspectos relacionados con la semejanza entre figuras, y la intervención final se realizo con el propósito de cerrar el proceso realizado con los estudiantes puntualizando los aspectos que definen a dos figuras como semejantes. ALTERNATIVA Al comenzar nuestro proceso de practica docente, nos encontramos con el tema de la proporcionalidad y, tras una búsqueda de diferentes referentes teóricos encontramos que de acuerdo con Gilberto Obando y Olga Botero(2006), en la escuela se visualiza una dificultad con referencia al concepto de “proporcionalidad” ya que actualmente no es abordado con la suficiente importancia en los planes de área de las instituciones, debido a esto, al momento en que se enseña, se presentan dificultades en los estudiantes para la comprensión y por esto LA SEMEJANZA COMO EXPRESION DEL RAZONAMIENTO PROPORCIONAL. Yineth Aguirre Marin Viviana Alzate Velasquez Luz Marina Diaz muchos docentes deciden enseñarlo como una simple regla de tres o como un tema aislado de otras temáticas con las que tiene relación. La proporcionalidad es un concepto que hace parte del campo conceptual de la estructura multiplicativa, y como perteneciente a un campo la proporcionalidad debe estar articulada con otros conceptos y situaciones, como afirma Vergnaud retomado por Moreira (Moreria, (s.f) la teoría de los campos conceptuales de Vergnaud) un conjunto de situaciones cuyo dominio requiere, a su vez, el dominio de varios conceptos, por esto para un concepto debe tratarse desde varias situaciones y en una situación deben haber involucrados varios conceptos, también es importante resaltar que. Por este motivo es de gran importancia para las maestras en formación encontrar otras formas en que pueda tratarse la proporcionalidad o algún aspecto que la involucre, para nuestro caso será el concepto de semejanza. De acuerdo con Piaget (1978), “la proporcionalidad comienza siempre de una forma cualitativa y lógica antes de estructurarse cuantitativamente”, la importancia de la proporcionalidad es definitiva en la formación de los estudiantes ya que al abordarla de manera adecuada desde los primeros años de escolaridad podemos potenciar en los estudiantes desde el reconocimiento de las relaciones entre los objetos hasta la aplicación de la función lineal. Por este motivo deseamos por medio de nuestra alternativa de intervención en el aula conocer Cuales son las estrategias que emplean los estudiantes de sexto grado, ante situaciones de semejanzas y como se visualiza en ellas el razonamiento proporcional para poder lograr esto debemos establecer unas prioridades en nuestra observación como Identificar las estrategias del razonamiento proporcional que utilizan los estudiantes, en el desarrollo de situaciones en torno a las semejanzas, que se lograra por medio de las diferentes actividades de intervención que se llevaran a cabo con los estudiantes, las cuales serán analizadas teniendo en cuenta el punto de vista de las investigadoras y los referentes teóricos. Al realizar esta investigación se deben tener en cuenta las situaciones y contexto en el que se ven involucrados los estudiantes, de igual manera las acciones que este realiza, y las representaciones que crea y utiliza en el proceso de formación de un concepto. Debido a esto se deben proponer actividades en las que se involucren diversos conceptos y diversas situaciones que permitan al estudiante dar un paso en la complejidad con la que pueda responder ante este concepto. Desde los campos conceptuales según Vergnaud, el conocimiento se adquiere dentro de un campo o campos conceptuales, que es una red de relaciones de conceptos en diferentes situaciones. Basándonos en esto nuestra alternativa de investigación se centra en la proporcionalidad como un concepto del campo conceptual de la estructura multiplicativa y desde diversas situaciones que involucren semejanzas reconocer el razonamiento proporcional que los estudiantes ponen de manifiesto. El proyecto de investigación se llevo a cabo en la Institución Educativa Héctor Abad Gómez “la escuela de la inclusión”, esta ubicada en el centro de la ciudad de Medellín; los estudiantes son procedentes de todo el Vallé de Aburra, de todos los estratos socioeconómicos. La LA SEMEJANZA COMO EXPRESION DEL RAZONAMIENTO PROPORCIONAL. Yineth Aguirre Marin Viviana Alzate Velasquez Luz Marina Diaz alternativa de intervención se realizo en los grados sexto 1 y sexto 2 de la institución educativa, en grupos compuestos aproximadamente por 40 estudiantes, los niños y niñas de estos grupos están entre los 10 y 14 años de edad y pertenecen a estratos socioeconómico 1,2 y 3. LA SEMEJANZA COMO EXPRESION DEL RAZONAMIENTO PROPORCIONAL. Yineth Aguirre Marin Viviana Alzate Velasquez Luz Marina Diaz CONSIDERACIONES FINALES. Las conclusiones presentadas son iníciales ya que aun no se ha realizado análisis profundo de las intervenciones realizadas, por ser el objeto de trabajo del siguiente semestre de práctica. El proceso realizado con los estudiantes permitió visualizar en sus respuestas que reconocen figuras semejantes y las describen su relación con algunas características cualitativas. En algunas de las actividades propuestas a los estudiantes que trataban la variación de magnitudes, se encontró muy marcada como estrategia de solución la estructura aditiva. En la mayoría de las ocasiones los estudiantes expresaban en forma verbal o escrita las relaciones de cambio que se presentaron en algunas actividades, y muy pocas veces de manera simbólica matemática. BIBLIOGRAFÍA Chamorro, María del Carmen. Didáctica de las matemáticas para primaria. Madrid: Pearson educación, 2003. Garcia, Gloria y Cerrano, Celly. La comprensión de la proporcionalidad, una perspectiva social y cultural. Cuaderno tres de matemática educativa. Bogotá: Grupo Editorial Gaia, 1999. Latorre, Antonio. Bases metodológicas de la investigación educativa. España, 1996. MEN. Estándares básicos de competencias en matemáticas. Bogotá, 2007. MEN. Lineamientos curriculares del área de matemáticas. Bogotá, 1998. Moreira, Marco Antonio. La teoría de los campos conceptuales de Vergnaud, la enseñanza de las ciencias y la investigación en el área. http://www.if.ufrgs.br/~moreira/vergnaudespanhol.pdf Piaget, Jean. Psicología del niño. Octava edición. Madrid: ediciones Morata, 1978. LA SEMEJANZA COMO EXPRESION DEL RAZONAMIENTO PROPORCIONAL. Yineth Aguirre Marin Viviana Alzate Velasquez Luz Marina Diaz Rodriguez Diaz, Alejandra y Perez García, Jesús Roberto. La noción de proporcionalidad. Ethos educativo, n° 28 (sep-dic). Morelia, 2003. Ruiz, Elena y Valdemoros, Marta. Vinculo entre el pensamiento proporcional cualitativo y cuantitativo: el caso de paulina. Relime, vol 9, n°2 (julio). México, 2006 Grupo Beta, Proporcionalidad geométrica y semejanza. España; editorial síntesis, 1998 Universidad de Antioquia y Gobernación de Antioquia. Pensamiento variacional y razonamiento algebraico: Modulo 2, secretaria de educación para la cultura. 2006 Universidad de Antioquia y Gobernación de Antioquia. Pensamiento métrico y sistema de medidas: modulo 3, secretaria de educación para la cultura. 2006 Yined Aguirre y Viviana Alzate: Son estudiantes de la Licenciatura en Educación Básica con énfasis en Matemáticas de la Universidad de Antioquia. Correo: [email protected] [email protected] Lux Marina Díaz: Profesora de la Facultad de Educación de la Universidad de Antioquia. Correo: [email protected] Para citar este artículo sugerimos la siguiente fuente: Aguirre, Y., Alzate, V. & Díaz, L. M. (2008). La semejanza como expresion del razonamiento proporcional. En J. A. Villa, Y. M. Mesa, M. M. Parra, & M. M. Zapata (Ed.), Actas estudiantiles de Educación Matemática. 1, pp. 14-20 Medellín: Facultad de EducaciónUniversidad de Antioquia. DIFICULTADES CONCEPTUALES EN ESTUDIANTES REFERENTES A OPERACIONES CON ENTEROS, CONCEPTOS DE ÁLGEBRA Y TRIGONOMETRÍA Mónica Marcela Parra Zapata Lina María Monsalve Valderrama Jorge Andrés Toro Uribe Juliana Andrea Zapata Montoya Liliana Margarita Marulanda García Sandra Milena Vanegas Deisy Yolima Cadavid Mónica Mercedes Zapata Jaramillo John Henry Durango Urrego Resumen En este artículo se presentan los avances de una investigación en ejecución que se realiza en el Programa de Educación de Adultos del Instituto Tecnológico Metropolitano de Medellín con estudiantes de 8º, 9º y 10º. En la investigación se asume como referente teórico el reconocimiento de los procesos de prueba propuesto por Nicolás Balacheff, con el cual se analiza la manera como los estudiantes asumen la producción de pruebas en el aula, de tal manera que se logre identificar las causas por las cuales dichos procesos se encuentra presentes o ausentes en los razonamientos de los estudiantes. Se realiza una categorización de los errores y las dificultades que comenten los estudiantes; basados en el marco de la Enseñanza para la Comprensión, por último se establecerán estrategias didácticas que permitan a los estudiantes superar las dificultades, mejorando el dominio de los conceptos matemáticos, y de buenas elaboraciones de procesos de validación al interior del aula de clase. Palabras clave Procesos de prueba, conjeturas, argumentación, categorización, Errores y dificultades, enseñanza para la comprensión. INTRODUCCIÓN Adentrarnos en el universo escolar carecería de sentido si limitáramos nuestro trabajo a la transmisión repetitiva de conocimientos, es labor fundamental del maestro construir situaciones que les permitan a los estudiantes el desarrollo y el fortalecimiento de verdaderos esquemas de conceptos matemáticos. Por esta razón este trabajo tiene como objetivo identificar las dificultades que presentan los estudiantes al momento de enfrentarse a los conceptos matemáticos de aritmética, álgebra y trigonometría, y el obstáculo que éstas representan en la producción de pruebas y conjeturas en el aula de clase; finalmente basados DIFICULTADES CONCEPTUALES EN ESTUDIANTES REFERENTES A OPERACIONES CON ENTEROS, CONCEPTOS DE ÁLGEBRA Y TRIGONOMETRÍA Mónica Marcela Parra Zapata, Lina María Monsalve Valderrama, Jorge Andrés Toro Uribe, Juliana Andrea Zapata Montoya, Liliana Margarita Marulanda García, Sandra Milena Vanegas, Deisy Yolima Cadavid, Mónica Mercedes Zapata Jaramillo, John Henry Durango Urrego. en los elementos teóricos de la enseñanza para la comprensión (Blythe 1999.) se elaborarán estrategias que permitan enfrentar y superar estas dificultades, para lograr desarrollar procesos de conjetura y validación al interior del aula de clase. REFERENTES TEÓRICOS. Los referentes teóricos de la investigación están situados desde las teorías de la prueba de Nicolás Balacheff (2000), Que realiza una categorización sobre los procesos de prueba en la clase de matemáticas. El marco de Enseñanzas para la comprensión es empleado en la investigación teniendo en cuenta que los procesos de validación y profundización en la elaboración de mejorías de conjeturas en el aula de clase tienen que ver con procesos de comunicación y de discusión, pues bien en el marco de Enseñanzas para la Comprensión desarrollado por en el Proyecto cero de la universidad de Harvard, se tienen como dimensiones para la Comprensión: el método, el contenido, la praxis o propósitos y las formas de comunicación. PARADIGMA DE INVESTIGACIÓN: La investigación es de corte cualitativa, en ella se realizan categorizaciones que se han construido a partir de los registros evaluativos de los estudiantes y el respectivo análisis e interpretación de los mismos, teniendo presente los criterios de rigor de la investigación cualitativa propuestos Guba , & Lincoln (1985). PROPUESTA: Se mostrará la categorización realizada de los errores y las dificultades que comenten los estudiantes, a partir de la cual se analizaron las respuestas, procedimientos y justificaciones que realizan los estudiantes, en las evaluaciones y/o socializaciones grupales, para identificar las dificultades que presentan, al momento de enfrentarse a los conceptos matemáticos de aritmética, álgebra y trigonometría, y el obstáculo que éstas representan al momento de argumentar, establecer pruebas y conjeturas en el aula de clase. DIFICULTADES CONCEPTUALES EN ESTUDIANTES REFERENTES A OPERACIONES CON ENTEROS, CONCEPTOS DE ÁLGEBRA Y TRIGONOMETRÍA Mónica Marcela Parra Zapata, Lina María Monsalve Valderrama, Jorge Andrés Toro Uribe, Juliana Andrea Zapata Montoya, Liliana Margarita Marulanda García, Sandra Milena Vanegas, Deisy Yolima Cadavid, Mónica Mercedes Zapata Jaramillo, John Henry Durango Urrego. CONSIDERACIONES FINALES La puesta en escena de la propuesta evidencia que los procesos de prueba que realizan los estudiantes, se pueden incluir en el primer nivel de la categorización realizada por Nicolás Balacheff, pues ellos realizan pruebas en un nivel inicial; pruebas pragmáticas, que no superan el empiricismo ingenuo. Referencias bibliográficas Balacheff, Nicolás, (2000). Los Procesos de Prueba en los Alumnos de Matemáticas, Una Empresa Docente, Santa Fe de Bogotá. BLYTHE, Tina. (1999). La enseñanza para la comprensión: Guía para el docente. Paidos. Buenos Aires. Lincoln, Y., & Guba, E. (1985). Naturalistic inquiry. New York: Sage Ministerio de Educación Nacional (1998).Lineamientos Curriculares de Matemáticas. Bogotá D. C. Mónica Marcela Parra Zapata, Lina María Monsalve Valderrama, Jorge Andrés Toro Uribe, Juliana Andrea Zapata Montoya, Liliana Margarita Marulanda García, Sandra Milena Vanegas, Deisy Yolima Cadavid, Mónica Mercedes Zapata Jaramillo: son estudiantes de la Licenciatura en Educación Básica con énfasisi en Matem{aticas de la Universidad de Antioquia. Correo: [email protected], [email protected]; [email protected]. John Henry Durango U: Es estudiante de Maestría en Educación (Matemática) de la Universidad de Antioquia. Profesor del ITM sede Castilla y de la Facultad de Educación {on de la Universidad de Antioquia. Correo: [email protected] Para citar este artículo sugerimos la siguiente fuente: Parra, M., Monsalve, L., Vanegas, M., Toro, J., Cadavid, D., Marulanda, L. Zapata, J., Zapata, M., & Durango, J. (2008). Dificultades conceptuales en estudiantes referentes a operaciones con enteros, conceptos de álgebra y trigonometría. En J. A. Villa, Y. M. Mesa, DIFICULTADES CONCEPTUALES EN ESTUDIANTES REFERENTES A OPERACIONES CON ENTEROS, CONCEPTOS DE ÁLGEBRA Y TRIGONOMETRÍA Mónica Marcela Parra Zapata, Lina María Monsalve Valderrama, Jorge Andrés Toro Uribe, Juliana Andrea Zapata Montoya, Liliana Margarita Marulanda García, Sandra Milena Vanegas, Deisy Yolima Cadavid, Mónica Mercedes Zapata Jaramillo, John Henry Durango Urrego. M. M. Parra, & M. M. Zapata (Ed.), Actas estudiantiles de Educación Matemática. 1, pp. 137-140 Medellín: Facultad de Educación-Universidad de Antioquia. 141 ¿Qué estrategias de razonamiento proporcional usan los estudiantes en situaciones donde se involucre la fracción como razón? Margarita Álvarez Cristina Taborda Luz Marina Díaz G. Resumen La experiencia presentada a continuación se basa en una estrategia didáctica, a partir del diseño de situaciones problema, que permitieron identificar los sistemas de representación empleados por los estudiantes de grado séptimo, donde involucran el razonamiento proporcional, entendido éste como un proceso cognitivo, que involucra ambos métodos de pensamiento: el cualitativo y el cuantitativo. El análisis será el resultado de una triangulación entre las voces de los estudiantes, la voz de las autoras de esta experiencia y las voces de los autores que validan el referencial teórico del trabajo. Palabras clave Razón, proporción, razonamiento proporcional, cualitativo, cuantitativo, campos conceptuales, proporcionalidad. INTRODUCCIÓN Antes de iniciar nuestra práctica pedagógica pensamos en muchos temas que podrían ser de gran importancia para desarrollar nuestra propuesta de investigación, aún no conocíamos las necesidades de los estudiantes que por año y medio estarían prestos a trabajar con nuestras propuestas, pero aún así tomamos la decisión de trabajar “la proporcionalidad”. Esta surge después de realizar un seguimiento a los textos escolares del área de matemáticas, los planes de área y los estándares del grado séptimo, donde encontramos que la razón es enseñada de forma aislada de la fracción, es decir parten de actividades donde el estudiante realiza comparaciones y le muestran de forma inmediata la expresión matemática que corresponde a la razón, sin explorar los diferentes sistemas de representación que ell@s emplean y que les permite llegar a la construcción del concepto. Haciendo un rastreo bibliográfico encontramos que son muchas las investigaciones cuyo tema central es la proporcionalidad, pero indagando un poco más, fue posible 142 evidenciar que son pocas las investigaciones que existen sobre el razonamiento proporcional. “Decir que un estudiante posee un razonamiento proporcional sugiere además del manejo de la proporcionalidad, un desarrollo cualitativo y cuantitativo de la proporción, siendo el cualitativo el aspecto más importante ya que como lo afirma Piaget en las primeras etapas el pensamiento hace uso de correspondencias y seriaciones cualitativas necesarias para el paso a otras etapas de un nivel más avanzado y en las cuales se aplica el razonamiento proporcional (cimiento del álgebra y síntesis de la aritmética).”1 Una de las dificultades que se presentan en los y las estudiantes es la falta de estrategias que emplean para solucionar cualquier tipo de problema y es en este momento donde tomamos la decisión de elegir el razonamiento proporcional como tema central y para esto proponemos la siguiente pregunta: ¿Qué estrategias de razonamiento proporcional usan los estudiantes en situaciones donde se involucre la fracción como razón? Pero aún no era suficiente faltaba algo que marcará nuestro norte, lo que queríamos lograr y para esto nos planteamos el siguiente objetivo: Identificar las estrategias utilizadas por los estudiantes para realizar situaciones donde se involucra la fracción como razón. En el proceso de solución de problemas o situaciones matemáticas contextualizadas se requiere que el estudiante siga una serie de “pasos” que satisfagan la exigencia del problema, que lo transformen. Detenernos en el análisis e interpretación de aquellas expresiones que vistas desde diferentes niveles de interpretación, irán reflejando dichas transformaciones cualitativas que se harán evidentes en la medida que las pruebas se vayan desarrollando. REFERENTES TEÓRICOS. En relación a lo cognitivo, nombramos a Piaget quien señala que “el niño adquiere la identidad cualitativa antes que la conservación cuantitativa. Desde una perspectiva Piagetiana, el razonamiento proporcional es indicador de la operaciones formales del pensamiento, e implica el tratamiento consistente de las relaciones de covariación entre variables. Y está estrictamente relacionado con la inferencia y la predicción e involucra 1 Noción de la proporcionalidad 143 tanto métodos de razonamiento cualitativo como cuantitativo"2. A su vez también se nombra a Vergnaud en su teoría de campos conceptuales, al considerar la estructura multiplicativa como un campo conceptual, en el cual la proporcionalidad es una pequeña parte de este. En cuanto a lo disciplinar, se pretende retomar las ideas propuestas por Gloria Garcia y Celly Serrano en lo referente al impacto social y cultural que ha tenido la razón y las definiciones propuestas por María del Carmen Chamorro. Haciendo referencia a lo didáctico, se debe reconocer la importancia de la razón ya que se constituye en una herramienta útil en la resolución de problemas, es por esta razón que nos centramos en lo expuesto por Freudenthal al considerar que: “La razón en cuanto a concepto e incluso en cuanto objeto mental, requiere un nivel de desarrollo, considerablemente alto, por ello su sentido y visión, se presentan en el desarrollo notablemente pronto3”. Documentos rectores como los Lineamientos curriculares de Matemáticas y los estándares curriculares de matemáticas, también hacen parte de estos antecedentes teóricos. METODOLOGÍA. El método de casos que muestra esta experiencia, integra los resultados que tuvieron los estudiantes elegidos en una actividad inicial de diagnóstico, otras cuatro actividades basadas en situaciones problema y una última que fue evaluativa, permitiendo de forma particular recoger, organizar y analizar datos. Como el diseño empleado es el caso único, permitió confirmar, cambiar, modificar o ampliar el conocimiento sobre el objeto de estudio, que en nuestro caso es el razonamiento proporcional desde el estudio de la razón como fracción, analizando la información de cuatro estudiantes: María Andrea, Marlon, Brandon y Gabriel, elegidos por su forma de responder y argumentar las respuestas. 2 Relime Vol 9. Núm.2 Vinculo entre el pensamiento proporcional cualitativo y cuantitativo: el caso de Paulina 3 Razón y proporcionalidad. Freudenthal hans 144 En esta investigación la información recopilada la hemos obtenido a partir de entrevistas, escritos, talleres enmarcados en situaciones problema, observaciones, registros fotográficos, diarios pedagógicos y videos. Dicha información se ha obtenido por medio del desarrollo de acciones realizadas en diferentes etapas: Observación: En la cual se obtuvo información referente al contexto escolar y socio cultural de la institución intervenida, a través del diálogo con docentes del área de matemáticas en los grados donde se llevó a cabo la intervención pedagógica de los maestros en formación. Diagnóstico: para ello se diseñó una actividad diagnóstica inicial. Con este diagnóstico se pretendía, indagar el nivel en que se encuentran las estudiantes respecto al razonamiento cualitativo, cuando resuelven tareas que requieren de la proporcionalidad. Y a su vez, identificar los conocimientos previos, los niveles de razonamiento, análisis, interpretación, argumentación, comunicación y abstracción de los conceptos matemáticos adquiridos por los estudiantes. Intervención: Teniendo en cuenta tanto las dificultades como los conocimientos previos de los estudiantes observados en la actividad diagnóstica, se diseñan y aplican situaciones problema que permitieran evidenciar el razonamiento proporcional en los estudiantes. Dichas situaciones, al hacer alusión al contexto y a la fundamentación teórica, contenían los siguientes elementos: justificación, objetivo general, objetivos específicos, estándares, recursos utilizados, conocimientos básicos inmersos en dicha situación, metodología, y bibliografía. PROPUESTA Para el desarrollo de esta investigación planteamos una serie de actividades las cuales diseñamos teniendo en cuenta algunas de las cinco fases propuestas por Lesh y otros4 para la construcción del razonamiento proporcional, las cuales son: 1. El estudiante, ante una situación problema centra su atención en una parte de la información relevante del problema, es decir, solo considera una variable a la vez y por lo tanto, su análisis de la situación es parcial. 4 Pensamiento variacional y razonamiento algebraico, modulo 2. 145 2. Se identifican las variables del problema, y su correlación, pero se establecen de manera cualitativa de tal forma que situaciones que implican tratamiento numérico quedan por fuera del alcance de las posibilidades de solución. Este tipo de análisis son importantes pues dan herramientas de control sobre los procesos cuantitativos propios de la fase siguiente. 3. Esta fase se caracteriza por el uso de estrategias centradas en el reconocimiento de patrones de correlación entre las cantidades, pero desde una perspectiva adictiva, más que multiplicativa. En esta fase se utilizan reglas que permiten comparar, incrementar, decrecer, o hacer relaciones parte todo. 4. En esta fase se reconocen estructuras y relaciones que coordinan la variación de dos cantidades, fundamentalmente a partir de estrategias de reconocimiento de coordinación, de regularidades decrecientes y decrecientes. Esta experiencia es desarrollada en un grupo de 41 estudiantes, 20 mujeres y 21 hombres, del grado séptimo de la Institución Educativa Héctor Abad Gómez, la cual se encuentra ubicada por la plaza de Flórez de Medellín, rodeada de Instituciones Educativas y centros culturales. La Institución Educativa Héctor Abad Gómez está adscrita a los Colegios de Calidad de la ciudad de Medellín y presta el servicio a la comunidad en general, ya que se dedica a la educación de los más chicos hasta los adultos, permitiendo así la posibilidad de que todos y todas puedan hacer parte del proceso educativo. CONCLUSIONES. Si bien no sea realizado un análisis de los resultados obtenidos en las pruebas ES posible llegar a las siguientes conclusiones: Se puede evidenciar en los estudiantes los inicios del desarrollo del campo conceptual multiplicativo, ya que en las intervenciones propuestas en algunas ocasiones recurren a la multiplicación como estrategia para dar solución a problemas de tipo comparación multiplicativa. 146 Según lo propuesto por Vergnaud en la teoría de los campos conceptuales es importante estructurar un concepto desde diferentes situaciones para dar sentido y significado al concepto. Uno de los logros más significativos que se puede destacar en l@s estudiantes es el hecho de que llegaron a designar a la razón como la relación entre dos magnitudes, esto se hace evidente en el uso de las diferentes representaciones que hacen de la razón, verbal o escrita (del algoritmo y en palabras), así como lo menciona Chamorro:"Los alumnos deben desarrollar un lenguaje apropiado para explicarse en este tipo de situaciones" (en cuanto a la noción de razón). De acuerdo a la caracterización realizada por Piaget en cuanto al razonamiento proporcional fue posible evidenciar que los estudiantes realizan seriaciones de tipo cualitativo a partir de las comparaciones entre magnitudes y solucionan situaciones basadas en la proporcionalidad teniendo en cuenta la estructura aditiva. Los estudiantes logran acercasen al concepto de proporción a partir de la amplificación y simplificación en la comparación de razones. BIBLIOGRAFÍA Chamorro, M., Belmonte, J. M., Lianeres, S. Higueras, L., Vecina, F (2003) Didáctica d elas matemáticas para primaria. España: Pearson Educación Garcia, G (1999). La comprensión de La proporcionalidad, una perspectiva social y cultural. Bogotá: Universidad Pedagógica Nacional Obando, G. & Botero, Olga (2006). Módulo 2. Pensamiento Variacional y Razonamiento Algebraico. Medellín: Gobernación de Antioquia. MEN. (1998). Lineamientos Curriculares de Matemáticas. Santafé de Bogotá: magisterio Rodriguez, A. (2003). “La noción de la proporcionalidad”. Ethos educativo Vol. 28 Ruiz, Elena (2006). “Vinculo entre El pensamiento proporcional cualitativo y cuantitativo: El caso de Paulina” Relime Vol.9 Vergnaud, G. (1985). El niño, las matemáticas y la realidad. Editorial Trillas. Vergnaud, G. (1993). Teoría de los Campos Conceptuales. En: Lecturas en Didáctica de las Matemáticas Escuela Francesa. Sección de Matemática Educativa del CINVESTAV- IPN. México. Pg. 88-117. 147 Margarita Alvarez y Cristina Tabora: Son estudiantes de la Licenciatura en Educación Básica con énfasis en Matemáticas de la Universidad de Antioquia. Correo: [email protected]; [email protected] Luz Marina Díaz: Profesora de la Facultad de Educación de la Universidad de Antioquia. Correo: [email protected] Para citar este artículo sugerimos la siguiente fuente: Álvarez, M., Taborda, C. & Díaz, L. M. (2008). ¿Qué estrategias de razonamiento proporcional usan los estudiantes en situaciones donde se involucre la fracción como razón? En J. A. Villa, Y. M. Mesa, M. M. Parra, & M. M. Zapata (Ed.), Actas estudiantiles de Educación Matemática. 1, pp. 141-146 Medellín: Facultad de Educación-Universidad de Antioquia.