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ACTAS ESTUDIANTILES DE
EDUCACIÓN MATEMÁTICA
MATEMÁ
Vol. 1
2008
Editores:
Jhony Alexander Villa Ochoa
Yadira Marcela Mesa
Mónica Marcela Parra Zapata
Mònica Mercedes Zapata
ACTAS ESTUDIANTILES DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA
Vol. 1
Editores:
Jhony Alexander Villa Ochoa
Yadira Marcela Mesa
Mónica Marcela Parra Zapata
Mònica Mercedes Zapata.
Diseño de portada
Cristian Sucerquia y Jhony Alexander Villa Ochoa
Imagen de fondo: Escher, recuperado de:
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http://bp2.blogger.com/_reqmCbUQ6Y4/RgxrEHFUE1I/AAAAAAAAJbQ/xqtHr2E3BGE/s1600-h/Cubo_con_cintas_magicas.jpg
Edición:
Grupo de Investigación en Educación Matemática e Historia (UdeA-Eafit)
(UdeA
Se autoriza la reproducción
n parcial o total de las publicaciònes citando la fuente
Facultdad de Educación
2008
PRESENTACIÓN
Asumir el reto de convocar a los estudiantes de la licenciatura para reunirse, con el ánimo de
intercambiar y difundir sus reflexiones, ideas y trabajos en el área de la Educación Matemática, fue uno
de los propósitos que el grupo de investigación en Educación Matemática e Historia (UdeA-Eafit)
asumió desde 2006 apoyando la idea que desde aquel entonces de los Estudiantes Olmar Gómez y John
Alexander Londoño habían propuesto. A partir de allí el grupo de estudiantes pertenecientes al semillero
continuaron con propósito de realizar el evento anual y, el presente año con el apoyo de la Facultad de
Educación y la Dirección de Bienestar universitario, se desarrolló el tercer encuentro.
En esta oportunidad, queremos presentar a la comunidad las Actas Estudiantiles de Educación
Matemática Vol 1, la cual pretendemos posicionar como una publicación académica construida a partir
del esfuerzo, que tanto ponentes como organizadores, invirtieron durante el III encuentro de estudiantes
de la Licenciatura en Educación Básica con énfasis en Matemáticas. Si bien los artículos que la integran
provienen de trabajos que fueron presentados en dicho encuentro, en esta publicación son presentados en
forma de artículos académicos y fueron sometidos a la evaluación de especialistas en el campo de la
Educación Matemática.
Esta publicación se compone de trabajos en los que los estudiantes de la Licenciatura y algunos invitados
especiales de la maestría en Educación (matemática) exponen sus reflexiones, experiencias, propuestas e
investigaciones, intentando promover el desarrollo de nuestra disciplina a nivel local, de esta manera,
pretendemos posicionar esta publicación como un producto de una comunidad activa que busca su
profesionalización y desarrollo investigativo.
Los miembros del Comité Académico y del Grupo de investigación en Educación Matemática e Historia
(UdeA-Eafit), agradecemos a todos los estudiantes y a sus respectivos profesores por hacer sometido sus
trabajos a la evaluación, a nuestro criterio y por haber seguido o contrargumentado las indicaciones que
se les hicieron en sus artículos; gracias a su empeño y voluntad logramos realizar el evento y materializar
esta publicación. Colocamos nuestra mayor atención y dedicación en la edición de este documento y
esperamos que en futuras oportunidades logremos contar con sus trabajos y mejorar algunos procesos, de
tal manera que nos sintamos, así como ahora, orgullosos de participar en la organización del evento y
edición de su publicación.
Con sentimiento de aprecio,
Jhony Alexander Villa Ochoa, Yadira Marcela Mesa, Mónica Marcela Parra Zapata,
Mónica Mercedes Zapata.
Editores.
1
EL CONCEPTO DE CONTINUIDAD EN EL MARCO DEL MODELO EDUCATIVO
DE VAN HIELE
Ledys Llasmin Salazar Gómez
Pedro Vicente Esteban Duarte
Resumen:
En este documento presentamos las primeras reflexiones en torno al modelo
educativo de van Hiele como una herramienta para caracterizar la
comprensión del concepto de continuidad propio del cálculo diferencial. Estas
reflexiones se convierten en un avance del proyecto de investigación
enmarcado en la Maestría en Educación (Matemática) de la Universidad de
Antioquia, realizada con el apoyo del grupo de investigación en Educación
Matemática e Historia (UdeA-Eafit).
Palabras clave:
Continuidad, Modelo educativo de van Hiele, fases de aprendizaje
INTRODUCCIÓN
La realidad educativa muestra que existen muchas falencias en el proceso de enseñanza y
aprendizaje de las Matemáticas, esto nos lleva a indagar el por qué de dichas falencias y tratar
de hacer aportes que contribuyan al mejoramiento de la Educación de los estudiantes.
Desde la experiencia docente hasta las investigaciones realizadas sobre la comprensión de
conceptos en el Cálculo, se encuentran algunos factores que influyen en esto: Falta de
motivación, falta de disciplina de estudio, visiones esquematizadas en la enseñanza, entre
otras. Cuando nos referimos a visiones esquematizadas en la enseñanza nos remitimos a
aquellos esquemas de uso empleados en la enseñanza, donde se puede presentar la posibilidad
de enseñar visiones erradas que no permitan comprender lo que se desea sino simplemente se
EL CONCEPTO DE CONTINUIDAD EN EL MARCO DEL MODELO EDUCATIVO DE VAN HIELE
Ledys Llasmin Salazar Gómez
Pedro Vicente Esteban Duarte
aparente el acercamiento a la comprensión del concepto estudiado, lo que podría resultar en la
comprensión de un concepto errado.
EL CONCEPTO DE CONTINUIDAD Y EL MODELO EDUCATIVO DE VAN HIELE
En este documento queremos enfocarnos en uno de los vacíos en la enseñanza de las
Matemáticas, en especial el Cálculo y es aquella forma cómo se introducen o enseñan algunos
conceptos en el aula, en este caso el concepto de continuidad.
Nos centraremos en la forma cómo es llevado el concepto de continuidad al aula y una posible
estrategia que permita enseñar dicho concepto.
Algunos aspectos que valen la pena indagar son los siguientes:
1. Aspectos metodológicos del concepto de continuidad al presentarlo en el aula de clase:
 Presentación como aplicación del concepto de límite.
 Visualización como la huella que deja la tiza al deslizarla por la pizarra.
 Presentación operativa.
 Sin relación con el contexto.
2. El modelo educativo de van Hiele:
 Niveles de razonamiento.
 Fases de aprendizaje.
 El insight.
3. Aspectos geométricos del concepto de continuidad:
 El estiramiento horizontal.
 Aspecto kinestésico.
4. El modelo de van Hiele y el concepto de continuidad puntual.
 Los niveles de razonamiento.
 La visualización obtenida a partir del estiramiento horizontal.
EL CONCEPTO DE CONTINUIDAD EN EL MARCO DEL MODELO EDUCATIVO DE VAN HIELE
Ledys Llasmin Salazar Gómez
Pedro Vicente Esteban Duarte
5. Trabajo futuro
 Las fases de aprendizaje.
 El paso del nivel II al nivel III.
SOBRE ALGUNOS ASPECTOS METODOLÓGICOS. PRIMERAS
APROXIMACIONES.
Cuando se trata de hablar de Continuidad con frecuencia encontramos algunas explicaciones
en el aula de clase que se refieren a la “visualización como la huella que deja la tiza al
deslizarla por la pizarra” o “la curva que se obtiene al deslizar la tiza o el lápiz sobre un
tablero o papel es continua”. Estas afirmaciones no tienen en cuenta aspectos que son
fundamentales cuando se traza dicha curva, como por ejemplo, al hacer un zoom o colocar
una lupa al trazo se observará que efectivamente la línea no es continua. Pero, es peor aun
cuando se trata de hablar de enseñanza del concepto de continuidad, porque la gran mayoría
de docentes de matemática lo enseñamos de una forma que hace énfasis en los aspectos
procedimentales descuidando los aspectos relativos a su comprensión.
En el siguiente esquema mostramos como la enseñanza del concepto de continuidad se
convierte en un ciclo en el cual el estudiante se limita sólo a los aspectos procedimentales.
PRESENTACIÓN OPERATIVA
EL CONCEPTO DE CONTINUIDAD EN EL MARCO DEL MODELO EDUCATIVO DE VAN HIELE
Ledys Llasmin Salazar Gómez
Pedro Vicente Esteban Duarte
Cuando se fortalece sólo los aspectos procedimentales los estudiantes adquieren destrezas
para: Determinar un límite, evaluar una función en un punto, clasificar funciones en continuas
o discontinuas y aplicar diferentes teoremas relacionados con la continuidad, pero los efectúan
en forma mecánica, calculando simplemente un resultado o memorizando los teoremas.
A la hora de analizar el concepto de continuidad con otros a los que le sirve de base no lo
interpretan adecuadamente o les parece que no es necesario.
Frente a las falencias anteriormente nombradas menciono la implementación de el modelo
educativo de van Hiele como una posible ayuda que contribuya a mejorar este aspecto.
EL MODELO DE VAN HIELE
El modelo educativo de Van Hiele inicialmente fue propuesto para la Geometría, pero en la
actualidad se ha extendido a otros campos como es el Análisis matemático (Jaramillo 2000;
Esteban, 2000; Vasco & Bedoya, 2005), este modelo es muy importante porque aporta en la
enseñanza para la comprensión.
El modelo está formado por: El insight, los niveles razonamiento y las fases de aprendizaje.
 EL INSIGHT.
 NIVELES:
Nivel O: Pre descriptivo.
Nivel 1: Reconocimiento visual.
Nivel 2: Análisis.
Nivel 3: Clasificación y relación.
Nivel 4: Deducción formal.
 FASES:
Fase1: Información.
Fase 2: Orientación dirigida.
Fase 3: Explicitación.
Fase 4: Libre orientación.
Fase 5: Integración.
EL CONCEPTO DE CONTINUIDAD EN EL MARCO DEL MODELO EDUCATIVO DE VAN HIELE
Ledys Llasmin Salazar Gómez
Pedro Vicente Esteban Duarte
El modelo posee un alto componente visual y geométrico, de allí que me permita analizar
algunos aspectos geométricos del concepto de continuidad como: Una goma ideal, el
estiramiento horizontal y el aprendizaje kinestésico.
CONSIDERACIONES FINALES
Algunas aproximaciones respecto al concepto de continuidad en el marco del modelo
educativo de van Hiele se observan en Campillo & Pérez (1998) los cuales hacen énfasis en la
caracterización de una serie descriptores de nivel, los cuales actúan como una forma para
determinar en nivel en el cual razonan los estudiantes.
En la literatura se observen diversos trabajos que se han desarrollado usando los niveles del
de van Hiele, sin embargo son pocos los desarrollos que implementan una estrategia donde el
estudiante atraviese las fases de enseñanza para el aprendizaje y la comprensión del concepto.
Es acá donde nuestra investigación pretende desarrollarse involucrando el concepto de
Continuidad.
BIBLIOGRAFÍA
Campillo P. & Pérez P (1998). La Noción de Continuidad desde la óptica de los Niveles de
van Hiele. Divulgaciones Matemáticas, 6 (1). p. 69-80
Jaramillo C. M (2000). La noción de serie convergente desde la óptica de los niveles de van
Hiele. Tesis de Doctorado en Ciencias Matemáticas no publicada. Valencia: Universidad
Politécnica de Valencia
Esteban P. V. (2000) Estudio comparativo del concepto de aproximación local vía el modelo
de van Hiele. Tesis de Doctorado en Ciencias Matemáticas no publicada. Valencia:
Universidad Politécnica de Valencia
EL CONCEPTO DE CONTINUIDAD EN EL MARCO DEL MODELO EDUCATIVO DE VAN HIELE
Ledys Llasmin Salazar Gómez
Pedro Vicente Esteban Duarte
Vasco E. D & Bedoya J. A. (2005). Diseños de Módulos de instrucción para el concepto de
aproximación local en las fases del modelo educativo de Van Hiele. Tesis de Maestría en
Educación no publicada. Medellín: Facultad de Educación-Universidad de Antioquia
Ledys Llasmin Salazar Gómez: Es licenciada en Matemáticas y Física de la Universidad de
Antioquia.
Estudiante de Maestría en Educación (Matemática) de la Universidad de
Antioquia. Integrante del grupo de Investigación en Educación Matemática e Historia (UdeAEafit). Correo: [email protected]
Pedro Vicente Esteban Duarte: Es Doctor en Ciencias Matemáticas de la Universidad
Politécnica de Valencia (España). Profesor de tiempo completo del Departamento de Ciencias
Básicas de la Universidad Eafit e investigador del grupo de Investigación en Educación
Matemática e Historia (UdeA-Eafit). Correo: [email protected]
Para citar este artículo sugerimos la siguiente fuente:
Salazar L. L. & Esteban P. V. (2008). El concepto de continuidad en el marco del modelo
educativo de van Hiele. En J. A. Villa, Y. M. Mesa, M. M. Parra, & M. M. Zapata (Ed.),
Actas estudiantiles de Educación Matemática. 1, pp. 1-6. Medellín: Facultad de EducaciónUniversidad de Antioquia
7
EL PROCESO DE MODELACIÓN MATEMÁTICA EN EL AULA DE CLASE.
Carlos Alberto Bustamante Quintero
Diego Alexander Ocampo Bedoya
Jhony Alexander Villa Ochoa
Resumen
El proceso de Modelación Matemática tiene su génesis en las propuestas
educativas colombianas con la publicación de los Lineamientos Curriculares
de Matemática por parte del Ministerio de Educación Nacional en 1998, sin
embargo algunas investigaciones reportan poca aproximación de estas
disposiciones al aula de clase (Agudelo-Valderrama, 2006). En el caso de la
Modelación no escapa a ese panorama (Villa, et al, 2008), por tanto en este
trabajo retómanos la modelación como una estrategia didáctica que permite la
(re)construcción de conceptos matemáticos en particular presentamos una
serie de situaciones con las cuales se pretende que los maestros en formación
construyan reflexiones sobre los fenómenos y contextos que pueden ser
susceptibles de ser modelados matemáticamente y sobre las fases que se
sugiere desde la literatura para la implementación en el aula de clase.
Palabras clave
Modelación Matemática, procesos, conceptos matemáticos
INTRODUCCIÓN
En la actualidad en el sistema educativo colombiano se vienen experimentando diversos
cambios, algunos de ellos sustentados en los Lineamientos Curriculares y los Estándares
Básicos de Competencias, la gran mayoría con mirar a mejorar calidad de la Educación
actual. En este sentido, nuestro trabajo se muestra como una propuesta que, alternativa a la
tradicional, pretende abordar la construcción de conceptos matemáticos a partir del análisis
de fenómenos que se presentan en los contextos sociales, cotidianos y culturales de los
estudiantes. Las actividades que se presentan son producto de reflexiones construidas dentro
del proyecto de investigación “El proceso de modelación en las aulas escolares del suroeste
antioqueño” está financiado mediante acta 559 por la Dirección de regionalización y el
Comité para el Desarrollo de la Investigación - CODI de la Universidad de Antioquia.
El Proceso de Modelación Matemática en el Aula de Clase
Carlos Alberto Bustamante Quintero
Diego Alexander Ocampo Bedoya
Jhony Alexander Villa Ochoa
Consideramos que el conocimiento de aspectos relativos al proceso de modelación
matemática son importantes para los maestros en formación, puesto que hace parte de las
bases epistemológicas de las matemáticas, además que se convierten en argumentos de tipo
didáctico en las aulas del clase promoviendo una educación en la que se fortalezca reflexión,
autocrítica y razonamiento entre otras aptitudes en el ámbito académico. De igual manera, con
la implementación de la modelación se propone trascender de una enseñanza que hace énfasis
en los desarrollos procedimentales a una enseñanza en donde se fortalezcan diferentes
estrategias en la construcción de su propio conocimiento.
REFERENTES TEÓRICOS.
Durante los últimos años se han venido realizando diferentes trabajos e investigaciones
en cuanto a la modelación matemática desde distintos autores (Bassanezi, 2002; Biembengut
& Hein, 2004) las cuales han permitido incluir la modelación matemática como una estrategia
que posibilita la adaptación de esta actividad científica en la enseñanza de las matemáticas de
tal manera que permita abordar conceptos matemáticos dentro del aula de clase.
Igualmente Crouch, R. & Haines, C, (2004), Hein, N., Bienbengut, M, (2006), Giordano
F., Weir M., Fox W., (1997) han abordado con gran éxito el proceso de modelación como una
estrategia didáctica que permite construir conceptos matemáticos de una forma más
comprensiva que al tiempo ofrece elementos para aumentar la motivación de los estudiantes.
Para la implementación de la modelación matemática como proceso proponemos cinco fases,
que son equivalentes a las presentadas en la literatura, con las cuales se espera transformar
una situación real en un problema matemático cuyas soluciones deben ser interpretadas en un
lenguaje común a través de la construcción de un modelo.
En la siguiente figura, mostramos de una manera diagramática, los diferentes momentos por
los que atraviesa en la modelación en el aula de clase. Dicho proceso se considera como un
ciclo que parte de una situación del mundo real (extra-matemático) la cual es representada
matemáticamente por medio un proceso de experimentación, abstracción, simplificación e
interpretación. Dicha representación o construcción matemática (modelo) permite al
modelador solucionar el problema, para posteriormente realizar todos los análisis posteriores
El Proceso de Modelación Matemática en el Aula de Clase
Carlos Alberto Bustamante Quintero
Diego Alexander Ocampo Bedoya
Jhony Alexander Villa Ochoa
de los resultados y verificar la validación del modelo, revisar el fenómeno en cuestión, las
simplificaciones y la coherencia entre el modelo resultante y el fenómeno mismo.
En la búsqueda de la coherencia entre las conclusiones del modelo, del fenómeno y en el
fenómeno mismo se plantean estrategias de evaluación y validación. En caso de que el
modelo satisfaga el fenómeno o problema finaliza el ciclo, en caso contrario comienza de
nuevo partiendo de la evaluación del fenómeno enriquecido con los análisis, se hace una
observación, se ajustan los datos, las variables y se continúa la reforma del modelo… y así
sucesivamente. En la siguiente figura se esquematiza el procedimiento.
Fenómeno
o problema
del mundo
real
Modificación
o refinación…
Conclusion
es del
fenómeno
Construcci
ón del
modelo
Conclusion
es del
modelo
Solución
Matemática
Se espera que los estudiantes en el aula de clase se apropien de alguna manera de este
proceso para la construcción de conceptos matemáticos. (Villa, 2007)
El Proceso de Modelación Matemática en el Aula de Clase
Carlos Alberto Bustamante Quintero
Diego Alexander Ocampo Bedoya
Jhony Alexander Villa Ochoa
ELEMENTOS DE NUESTRA PROPUESTA.
En este documento socializamos un problema real con el cual los lectores podrán construir
modelos matemáticos. Se iniciará con la búsqueda de un problema o fenómeno del mundo
real y el cual deberá pasar por algunos filtros hasta llegar a la validación y evaluación de
resultados, y si los resultados no son lo suficientemente satisfactorios llegar a la
restructuración del problema. El propósito de esta actividad taller hacer explícito la
importancia que tiene para los profesores la reflexión, crítica y análisis del contexto
sociocultural de los estudiantes los cuales en muchos casos son susceptibles de ser modelados
y usados como herramienta en la construcción significativa del conocimiento matemático en
el aula de clase. En el desarrollo de cada actividad, el modelador podrá determinar los
diferentes momentos por los cuales traviesa el acto de modelar matemáticamente.
A continuación se presenta una situación
real susceptibles de ser modeladas
matemáticamente.
Un grupo de personas desean adquirir un plan de telefonía celular, teniendo en
cuenta cada una de sus necesidades, para ello se debe analizar los diferentes
planes y precios que existen en el mercado. Con la información suministrada
los usuarios podrán establecer de forma crítica cuál de ellos es el más
conveniente.
Se espera que los estudiantes indaguen en los diferentes medios de comunicación la
información de las empresas que ofrecen el servicio de telefonía móvil (Tigo, Comcel y
Movistar, para el caso de Colombia) y a partir de allí se extraigan los datos para la
construcción del modelo y cumplir el ciclo de la modelación anteriormente mencionado. Para
ilustrar la implementación de este ciclo sugerimos al lector remitirse a Villa, (2007) o
Biembengut & Hein (2004)
El Proceso de Modelación Matemática en el Aula de Clase
Carlos Alberto Bustamante Quintero
Diego Alexander Ocampo Bedoya
Jhony Alexander Villa Ochoa
A MODO DE CIERRE.
Entender la modelación como una relación entre la matemática y el mundo real, es una tarea
que una gran comunidad a nivel internacional (i.e. ICTMA), sin embargo caracterizar lo que
significa esa realidad y atender a las necesidades particulares que los contextos
socioculturales ofrecen a cada región es una tarea de los investigadores actualmente.
Reflexionar sobre la realidad que imprime el contexto sociocultural, posibilita al profesor,
reconocer acerca de los fenómenos que pueden ser modelados matemáticamente y su
implementación en el aula de clase, de manera tal que el aula de clase se convierte en un
espacio para la formación de un espíritu creativo e inquieto y posicionado críticamente frente
a las demandas de la sociedad.
BIBLIOGRAFÍA
Agudelo-Valderrama, C. (2006). The growing gap between colombian education policy,
official claims and classroom realities: Insights from mathematics teachers' conceptions of
beginning algebra and its teaching purpose. International Journal of Science and Mathematics
Education , 4, 513-544.
Bassanezi, R. (2002). Ensino-aprendizagem com modelagem matemática. São Paulo:
Contexto.
Biembengut, M., Hein, N. (2004). Modelación matemática y los desafios para enseñar
matemática. Educación Matemática, 16 (002), 105-125.
Crouch, R. and Haines, C. (2004). Mathematical modelling: transitions between the real
world and the mathematical model. International Journal of Mathematical Education in
Science & Technology , 35 Issue 2, 197-206.
Giordano F., Weir M., Fox W. . (1997). A first Course in Mathematical Modeling.
Brooks/Cole Publishing Company.
Hein, N., Biembengut, M. (2006). Modelaje matemático como método de investigación en
clases de matemáticas. In M. Murillo (Ed.), Memorias del V festival internacional de
matemática (pp. 1-25). Puntarenas: Colegio universitario de Puntarenas.
Ministerio de Educación Nacional. (1998). Lineamientos Curriculares: Matemáticas. Bogotá:
Magisterio.
Villa, J. A. (2007). La modelación como proceso en el aula de matemáticas. Un marco de
referencia y un ejemplo. Tecno Logicas. 19. 51- 81
El Proceso de Modelación Matemática en el Aula de Clase
Carlos Alberto Bustamante Quintero
Diego Alexander Ocampo Bedoya
Jhony Alexander Villa Ochoa
Villa, J. A., Berrio, M., Bustamante, C., Ocampo, D., & Osorio, A. (2008). El proceso de
modelación matematica en las aulas escolares del suroeste antioqueño. Informe de
Investigación no publicado, Universidad de Antioquia, Medellín
Carlos Alberto Bustamante Quintero y Diego Alexander Ocampo Bedoya: Son
estudiantes de la Licenciatura en Educación Básica con énfasis en Matemáticas de la
seccional suroeste de la Universidad de Antioquia. Actualmente son coinvestigadores del
proyecto “El proceso de modelación en las aulas escolares del suroeste antioqueño”
financiado por la Dirección de Regionalización y el CODI de la Universidad de Antioquia.
Correo: [email protected]; [email protected]
Jhony Alexander Villa Ochoa: Es Candidato a Doctor en Educación (Matemática) de la
Universidad de Antioquia. Actualmente se desempeña como investigador principal del
proyecto “El proceso de modelación en las aulas escolares del suroeste antioqueño” y es
miembro del Grupo de Investigación en Educación Matemática e Historia (UdeA-Eafit)
Correo: [email protected]
Para citar este artículo sugerimos la siguiente fuente:
Bustamante, C. A., Ocampo, D. A. & Villa, J.A. (2008). El proceso de modelación en el aula
de clase. En J. A. Villa, Y. M. Mesa, M. M. Parra, & M. M. Zapata (Ed.), Actas estudiantiles
de Educación Matemática. 1, pp. 7-13. Medellín: Facultad de Educación-Universidad de
Antioquia.
14
ALGUNAS REFLEXIONES SOBRE LA RELACIÓN ENTRE LA MODELACIÓN
MATEMÁTICA Y LA TECNOLOGÍA EN EL AULA DE CLASE
Jesús Aníbal Osorio Castaño
Mario de Jesús Berrío Arboleda
Jhony Alexander Villa Ochoa
Resumen:
Este documento discutimos los avances de la investigación en ejecución “El proceso
de modelación matemática en las aulas escolares del suroeste antioqueño” desarrolla
por los autores y financiada por el Comité para el Desarrollo de la Investigación
(CODI) y la Dirección de Regionalización de la Universidad de Antioquia. En
particular, centramos la atención en papel de la modelación y la tecnología en las
aulas de clase de matemáticas. El propósito de este taller, es resaltar la importancia
que tienen avances tecnológicos en el proceso de construcción del conocimiento
matemático, centrando la atención en la modelación de fenómenos de la realidad. Se
espera que los participantes analicen las posibilidades que brinda la tecnología y
desplieguen su creatividad e imaginación para encontrar la mejor forma de llevarlas
al aula y utilizarlas para potenciar el desarrollo integral de los estudiantes.
Palabras clave:
Modelación matemática, tecnología, re-significación, Realidad
INTRODUCCIÓN
En los últimos años nuestra sociedad ha experimentado cambios en diversos sectores; de una
sociedad industrial se ha avanzado hacia una sociedad basada en la información. En este
sentido las matemáticas escolares no pueden escapara a dicha realidad ya que medio no es
suficiente con poseer gran cantidad de conocimientos específicos ni ejercer su mera
transmisión en el aula de clase; consideramos como fundamental que el nuevo conocimientos
posibilite el desarrollo de habilidades en la aplicación e interpretación de fenómenos tanto
cotidianos como de otras ciencias. Con base en este argumento, modelación matemática viene
siendo defendida como un método de enseñanza que recrea en cierta forma los procesos de
construcción del conocimiento que se presentaron en la historia, y que posibilita un
acercamiento al desarrollo del espíritu científico de los estudiantes (Bassanezi, R. 2002;
Biembengut, M.& Hein, N. 2004; Crouch, R. & Haines, C 2004). Además, la vida de hoy se
Algunas reflexiones sobre la relación entre la modelación matemática y la tecnologia en el aula de clase
Jesús Anibal Osorio Castaño
Mario de Jesús Berrio Arboleda
Jhony Alexander Villa Ochoa
lleva a cabo en un mundo multicultural e interconectado; hecho que exige a los sistemas
educativos orientar la educación para el desarrollo de capacidades, competencias, actitudes y
valores que habiliten a los ciudadanos a actuar en ambientes abiertos que exigen el
aprovechamiento de los avances tecnológicos.
REFERENTES TEÓRICOS.
Para el desarrollo de esta propuesta, tuvimos en cuenta los aportes que la modelación tiene como
un método de enseñanza. En palabras de Biembengut & Hein (2004):
La modelación matemática está siendo fuertemente defendida, como método de
enseñanza en todos los niveles de escolaridad, ya que permite al alumno aprender
las matemáticas aplicadas a las otras áreas del conocimiento y mejorar su
capacidad para leer, interpretar, formular y solucionar situaciones problema.
(p.105)
La modelación es considerada como un proceso al interior del aula de clase. En este sentido
retomamos los planteamientos de Bustamante, Ocampo y Villa en el capítulo anterior de este
volumen y nos concentraremos en el desarrollo de una perspectiva de la modelación y su
relación con la tecnología desde una mirada de los mexicanos Suarez (2008) y de Arrieta (2003).
Para estos mexicanos el proceso de modelación matemática es referido a establecer vínculos
entre fenómenos, situaciones problemas y otras construcciones llamadas modelos para diferentes
fines, en la cual existe una correspondencia entre el objeto que se investiga y su modelo. Arrieta
(2003) hace referencia a dos tipos de secuencia, uno centrado en las practicas sociales a las que
han llamado “la figuración del devenir de las cualidades”1 y otro basado en las practicas que le
llamaron “la numerización de los fenómenos”2; ambos tipos de secuencia cobran vida, tienen
1
Los diseños referidos se centran, no en los contenidos matemáticos en sí o en las producciones de los
participantes, sino en las prácticas sociales ejercidas por los participantes utilizando herramientas, situadas en un
contexto social; en este caso las prácticas sociales que hemos llamado “la figuración del devenir de las
cualidades” en referencia a los trabajos de
Oresme. (Arrieta, J., 2003, pág. 29)
2
Las secuencias diseñadas tomando como base las prácticas sociales que hemos llamado “la
Algunas reflexiones sobre la relación entre la modelación matemática y la tecnologia en el aula de clase
Jesús Anibal Osorio Castaño
Mario de Jesús Berrio Arboleda
Jhony Alexander Villa Ochoa
sentido, en contextos sociales concretos. El contexto social es determinante en la utilización de
las estrategias, herramientas y procedimientos para el desarrollo de la actividad de modelación.
“Los estudiantes construyen diferentes versiones de los fenómenos y argumentan, en un contexto
discursivo, sobre su validez. Estos argumentos son contextuales, reforzando la idea de que la
matemática cobra vida en ellos. ” (Arrieta, 2003, p. 126)
Adicionalmente Arrieta (2003) identifica algunas actividades involucradas, dentro de lo que
llaman practicas sociales de modelación, como lo son:
 Emplear herramientas específicas (las graficas y/o tablas numéricas) y formas
particulares para describir los hechos (lo lineal, lo cuadrático, etc.) construyendo
versiones de estos.
 Construir argumentos a través de conjeturas y confirmaciones, basadas en la inducción
como práctica.

Argumentar y validar versiones utilizando una coordinación de múltiples herramientas.
 Desarrollar formas de predicción.
 Elaborar descripciones y explicaciones de nuevas experiencias utilizando conocimientos
que tienen, derivados de otros contextos y frente a otras experiencias.
Por su parte Suárez (2008) dentro de su investigación adopta la modelación como una
construcción teórica (construcción que le sirve para interpretar o representar la realidad o una
parte de ella) que un individuo realiza al enfrentar una tarea matemática en la que pone en juego
sus conocimientos. Desde esta perspectiva la modelación posee su propia estructura, está
constituida por un sistema dinámico, es un medio que soporta el desarrollo del razonamiento y
de la argumentación que busca explicaciones, trae una idea en una realización para satisfacer un
conjunto de condiciones. Estas siete etapas no necesitan ser implementadas en una única clase,
se pueden planificar para diversas clases dentro de un periodo lectivo.
numerización de los fenómenos”. Las prácticas referidas son prácticas de modelación que parten de la
recolección de datos numéricos de un fenómeno para construir modelos numéricos y se toma, como base, su uso.
Estas prácticas ponen en el centro el uso de modelos numéricos, mientras que en el caso de las secuencias del
capítulo IV lo hacen más bien en el uso
de modelos gráficos. (Arrieta, J., 2003, pág. 29)
Algunas reflexiones sobre la relación entre la modelación matemática y la tecnologia en el aula de clase
Jesús Anibal Osorio Castaño
Mario de Jesús Berrio Arboleda
Jhony Alexander Villa Ochoa
Son muchos los autores que trabajan con la articulación de la tecnológia con la actividad
matemática, pero son muy pocos los que se enfocan al estudio de la modelación matemática y su
relación con la tecnología. Son muchas las quejas y dudas de los estudiantes en comprender la
importancia de las matemáticas como conocimiento productivo en su que hacer cotidiano.
Debido a este problema muchos de los estudiantes preguntan a menudo a sus maestros ¿Para qué
me sirven las matemáticas?, pero el problema se agudiza cuando el maestro no sabe dar una
respuesta clara a dicha pregunata, tal situación conlleva a muchos estudiantes a la desmotivación
de aprender matemáticas. Por ejemplo Cordero (2006, p.1) hace referencia a este problema
afirmando que “una de las creencias frecuentes en las prácticas de enseñanza de la matemática
consiste en que la modelación es una aplicación de la matemática. Ello conlleva, primero, a
enseñar matemáticas y después, a buscar la aplicación de tal conocimiento”.
La matemática vista desde la modelación y a su vez ampliamente relacionada con la tecnología
cobra vida y sentido para los estudiantes cuando se entiendo que el conocimiento preexiste en la
realidad de nuestro entorno. Por ejemlo cordero aclara sobre que se entiende por realidad:
Uno abraza la idea de que el conocimiento es una representación de
la realidad, y la otra que el conocimiento es una producción material
que cambia y transforma la naturaleza y la sociedad. Estas ideas
ponen en tensión dos nociones de realidad, la primera, admite que la
realidad preexiste al conocimiento y la segunda, admite que la
realidad se construye a la par del conocimiento. (Cordero, F. ,2006,
p. 2)
En siguiente figura pretendemos ilustrar esa divergencia entre la realidad que el
profesor plantea en el aula de clase y el imaginario que muchas veces se hace el
estudiante referente a dicha realidad.
Algunas reflexiones sobre la relación entre la modelación matemática y la tecnologia en el aula de clase
Jesús Anibal Osorio Castaño
Mario de Jesús Berrio Arboleda
Jhony Alexander Villa Ochoa
Presisamente en este sentido sugerimos al igual que Cordero (2006) que todos los objetos
matemáticos deben estar ligados a una didáctica que ayude al estudiante a reconstruir dicho
objeto, contrario a como presentamos en la figura anterior, esa reconstrucción debe permitir el
establecimeinto de relaciones entre el objeto de estudio y con algun campo de la ciencia la
sociedad o la cultira que le sirva de intermediario.
Para tal fin, la modelación interviene como un medio (herramienta)
facilitador en tal tránsito. Este medio viene a ser el conjunto de las
situaciones representadas por la parábola. Tales situaciones se
convierten en sitios geométricos o de la física, como el movimiento de
una partícula. (Cordero, F. ,2006, p. 2)
Para ejemplifiar el uso de la tecnología y la modelación matemática, remitimos al lector para que
observe algunas situaciones reportadas en Villa (2008).
Algunas reflexiones sobre la relación entre la modelación matemática y la tecnologia en el aula de clase
Jesús Anibal Osorio Castaño
Mario de Jesús Berrio Arboleda
Jhony Alexander Villa Ochoa
CONSIDERACIONES FINALES.
Consideramos que la implementación de la modelación matemática a través de la tecnología
en el aula de clase, debe estar fundamentada principalmente en situaciones que involucre las
representaciones, por tanto lo software graficadores se convierten herramientas que permiten
una simulación y por tanto mayor posibilidad de entendimiento. En este sentido, vale la pena
reflexionar sobre el concepto de realidad se evidencia a partir de la simulación con tecnología
y sus diferencias con ese concepto de realidad que se imprime a la modelación de fenómenos
socioculturales sin tecnología.
BIBLIOGRAFÍA
Arriteta, J. (2003). Las prácticas de modelación como proceso de matematización en el aula.
Tesis de doctorado en Matemática Educativa no publicada. México D.F: CINVESTAV-IPN.
Bassanezi, R. (2002). Ensino-aprendizagem com modelagem matemática. São Paulo:
Contexto.
Biembengut, M., Hein, N. (2004). Modelación matemática y los desafios para enseñar
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Brooks/Cole Publishing Company.
Cordero, F. (2006). La modellazione e la rappresentazione grafica nell´
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Ministerio de Educación Nacional (1998). Lineamientos Curriculare: Matemática. Bogotá:
Magisterio.
Algunas reflexiones sobre la relación entre la modelación matemática y la tecnologia en el aula de clase
Jesús Anibal Osorio Castaño
Mario de Jesús Berrio Arboleda
Jhony Alexander Villa Ochoa
Suarez, L (2008). Modelación – Graficación, Una Categoría para la Matemática Escolar.
Resultados de un Estudio Socioepistemológico. Tesis de Doctorado en Matemática Educativa.
México D.F: CINVESTAV-IPN
Villa, J. A. (2008). El concepto de función. Una mirada desde las matemáticas escolares. En
P. Lestón (Ed.), Acta Latinoamericana de Matemática Educativa. 21, págs. 245-254. México:
Colegio Méxicano de Matemática Educativa. Con acceso a través de
http://www.clame.org.mx/alme.htm
Jesús Anibal Osorio Castaño y Mario de J. Berrío Arboleda: Son estudiantes de la
Licenciatura en Educación Básica con énfasis en Matemáticas de la seccional suroeste de la
Universidad de Antioquia. Actualmente son coinvestigadores del proyecto “El proceso de
modelación en las aulas escolares del suroeste antioqueño” financiado por la Dirección de
Regionalización y el CODI de la Universidad de Antioquia. Correo: [email protected];
[email protected]
Jhony Alexander Villa Ochoa: Es Candidato a Doctor en Educación (Matemática) de la
Universidad de Antioquia.
Actualmente se desempeña como investigador principal del
proyecto “El proceso de modelación en las aulas escolares del suroeste antioqueño” y es
miembro del Grupo de Investigación en Educación Matemática e Historia (UdeA-Eafit)
Correo: [email protected]
Para citar este artículo sugerimos la siguiente fuente:
Osorio, J. A., Berrio, M. J. & Villa, J.A. (2008). Algunas reflexiones sobre la relación
modelación matemática y tecnologia en el aula de clase. En J. A. Villa, Y. M. Mesa, M. M.
Parra, & M. M. Zapata (Ed.), Actas estudiantiles de Educación Matemática. 1, pp. 14-20
Medellín: Facultad de Educación-Universidad de Antioquia.
21
UNA APROXIMACIÓN DIDÁCTICA ACERCA DEL ESTUDIO DE LAS CÓNICAS
COMO LUGARES GEOMÉTRICOS EN CABRI 3D
Edward James Macías Zapata
Jimmy Alberto Caicedo Hernández
Resumen:
Esta propuesta surge con motivo del 9 Encuentro Colombiano de Matemática Educativa
realizado en la Universidad Popular del Cesar en la que se pretende mostrar a los
maestros en formación la importancia de la historia de las matemáticas al abordar las
Secciones Cónicas como objeto de estudio, al mismo tiempo en que pueden apreciarse
como construcción geométrica apoyándose en la noción de lugar geométrico. Además se
proponen algunas actividades y problemas mediados por el software Cabri 3 D.
Palabras clave:
Secciones cónicas, lugar geométrico, nuevas tecnologías, didáctica, educación.
INTRODUCCIÓN
Una de las demandas de las investigaciones en Matemática Educativa es la recurrencia a la
historia de las matemáticas con el fin de comprender la construcción epistemológica de los
objetos matemáticos y por ende que al maestro le ofrezca herramientas para el diseño de sus
situaciones didácticas que pretende llevar a cabo en el aula. A la luz de esta premisa, este
trabajo pretende reflexionar el por qué en nuestras actividades académicas, aunque se trabajan
las cónicas, algunos textos sugieren intervenirlas desde lo geométrico y lo algebraico más
que abordarlas como secciones de un cono tal y como la historia nos muestra que fueron
emergidas.
REFERENTES TEÓRICOS.
Construcción de la parábola según Menecmo y Apolonio
La Historia muestra como uno de los primeros en trabajar con las secciones cónicas fue
Menecmo de la escuela Platónica, González afirma:
Partiendo de un cono circular recto de una sola hoja con ángulo recto
en el vértice, Menecmo descubrió que al cortar el cono por un plano
perpendicular a una de sus generatrices, la curva intersección es tal que su
Una Aproximación Didáctica acerca del Estudio de las Cónicas como Lugares Geométricos en Cabri 3D
Edward James Macías Z.
Jimmy Alberto Caicedo H.
ecuación (utilizando de nuevo un anacronismo en términos de Geometría
Analítica moderna) puede escribirse en la forma y2=lx, donde l es una
constante, que depende exclusivamente de la distancia del vértice del cono
al plano de la sección. Ignoramos como obtuvo exactamente Menecmo esta
propiedad, pero como quiera que depende nada más de algunos teoremas
de Geometría elemental, se supone que Menecmo utilizaría los
conocimientos geométricos familiares a los matemáticos de la Academia
platónica1.
Tiempo después Apolonio Perga realizó su tratado de las secciones cónicas en él realizó un
estudio de los lugares geométricos por medio de ejes, por su contribución intelectual era
conocido como “el gran geómetra”, introdujo los nombres para las secciones tan familiares
hoy en día como parábola, elipse, hipérbola y circunferencia. A continuación se da las
definiciones de estas curvas , claro está de manera retrospectiva.
1. Una cónica o sección cónica es una de las curvas (círculo, parábola, hipérbola o
elipse) que pueden obtenerse interceptando un plano y un cono (de doble lado).
2. Una parábola es una de las secciones cónicas. Se puede definir como el lugar
geométrico de todos los puntos que se encuentran a la misma distancia de una recta
fija (directriz) y de un punto fijo (foco). También se puede definir usando coordenadas
cartesianas como el conjunto de puntos en un plano que satisfacen la ecuación y = x2.
3. Una elipse es una de las secciones cónicas. Puede definirse como el lugar geométrico
de todos los puntos tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos (focos) es
siempre igual a una constante e que es < 1. A el se le llama la excentricidad de la
elipse. También se le puede definir mediante coordenadas cartesianas como el
conjunto de puntos en un plano que satisfacen la ecuación ax2 + by2 = 1.
Una hipérbola es una de las secciones cónicas. Se puede definir como el lugar geométrico de
todos los puntos tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos (focos) es siempre igual
a una constante e > 1, o mediante coordenadas cartesianas como el conjunto de puntos en un
plano que satisfacen la ecuación ax2 - by2 = 1.
1
Extraído de http://divulgamat.ehu.es/weborriak/historia/MateOspetsuak/Apolonio3.asp el 18 de
noviembre de 2008
Una Aproximación Didáctica acerca del Estudio de las Cónicas como Lugares Geométricos en Cabri 3D
Edward James Macías Z.
Jimmy Alberto Caicedo H.
ELEMENTOS DEL TALLER.
La utilización de las herramientas informáticas son de gran importancia pues como dice la
NCTM (1990) en los Estándares Curriculares y de Evaluación “Una docencia que se centre
en entramados de ideas matemáticas en lugar de y exclusivamente los puntos del entramado
por separado contribuirá a que los estudiantes lleguen a comprender y a apreciar tanto el
poder como la belleza de las matemáticas”.
Con base en la referencia anterior se ha propuesto esta actividad usando el software Cabri 3 D
que permita la realización de un cono circular recto y otro oblicuo. Con base en estos dos
objetos seccionarlos con un plano y clasificar de acuerdo a sus propiedades las cónicas según
Menecmo y Apolonio.
CONCLUSIONES.

La representación de los objetos ha sido uno de los obstáculos para la consolidación de
un concepto, por ello la Geometría Euclidiana sólo pudo trabajar las cónicas a partir
de su estudio mediante las razones y las proporciones por su “imposibilidad” de
construirlas con regla y compás. Sin embargo con las nuevas tecnologías puede
facilitarse su construcción e inspirar el aprendizaje y la creatividad de la matemática
en los educandos, en la medida en que desarrolla experiencias de aprendizaje, modela
el razonamiento sobre el problema que está abordando, el aprendizaje y evaluaciones
propias de la era digital, de ahí la relevancia para nosotros como maestros en
formación
BIBLIOGRAFÍA

García, A., Martínez A. y Miñano, R. (2000). Nuevas Tecnologías y Enseñanza de
las Matemáticas. Madrid: Síntesis.
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NTCM. (1990). Estándares Curriculares y de Evaluación para la Educación
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
Del Rio, J. (1996). Lugares geométricos: Las Cónicas. Madrid: Síntesis.
CIBERGRAFÍA


http://ciencia.astroseti.org/matematicas/articulo.php?num=3893
González,
P.
Apolonio
¿262
a.C.
190
http://divulgamat.ehu.es/weborriak/historia/MateOspetsuak/Apolonio3.asp
extraído el 28 de novembro de 2008
a.C?.
Una Aproximación Didáctica acerca del Estudio de las Cónicas como Lugares Geométricos en Cabri 3D
Edward James Macías Z.
Jimmy Alberto Caicedo H.

http://www.eduteka.org/estandaresmaes.php3
Jimmy Alberto Caicedo Hernández; Edward James Macías Zapata: Son estudiantes de la
Licenciatura en Educación Básica con énfasis en Matemáticas de la Universidad de
Antioquia. Correo: [email protected]
Para citar este artículo sugerimos la siguiente fuente:
Caicedo J. A., & Macías, E. J. (2008). Una aproximación didáctica acerca del estudio de las
cónicas como lugares geométricos en Cabri 3D. En J. A. Villa, Y. M. Mesa, M. M. Parra, &
M. M. Zapata (Ed.), Actas estudiantiles de Educación Matemática. 1, pág. 21-24. Medellín:
Facultad de Educación-Universidad de Antioquia
25
UN ACERCAMIENTO A PROCESOS DE FORMALIZACIÓN MATEMÁTICA
MEDIADA POR LAS TIC EN LOS ESTUDIANTES DE BASICA SECUNDARIA
Liceth Paola Alzate Montero
Aledis Janeth Cuitiva Valencia
Sor Ángela Jiménez Castro
Elizabet Larrea Mazo
Diana Inés Pérez Vargas
Jaime Anibal Acosta
Resumen
En este documento socializamos los avances de un proyecto de investigación
enmarcado en el programa de licenciatura en Educación Básica con énfasis en
matemáticas. En dicho proyecto se indaga por el papel que tienen las TIC en la
formalización de conceptos matemáticos, en particular, las homotecias,
semejanzas y congruencias de triángulos.
Palabras clave
TIC, formalización matemática, homotecias, semejanzas y congruencias de triángulos
INTRODUCCIÓN
La implementación de tecnologías en el aula de clase ha cambiado profundamente las
prácticas educativas y por su gran importancia ha permitido hacer reajustes al currículo de
matemáticas en los procesos de enseñanza, de tal manera que sean más flexibles,
participativos, dinámicos e interactivos. Mediante este proyecto trataremos de dar una
perspectiva de cómo favorece la implementación de nuevas tecnologías en la enseñanza de las
matemáticas, el aprendizaje de los alumnos, en beneficio de la construcción del pensamiento
espacial de los estudiantes de básica Secundaria.
En la literatura se reportan diversas dificultades en los procesos de enseñanza y de aprendizaje
de la geometría a partir de tópicos como:
o
La construcción de conceptos
Un acercamiento a procesos de formalización matemática mediada por las TIC en los Estudiantes de
Básica Secundaria.
Liceth Paola Alzate Montero, Aledis Janeth Cuitiva Valencia, Sor Ángela Jiménez Castro, Elizabet Larrea Mazo y Diana Inés
Pérez Vargas
o
La aplicación para la generalización y formalización
o
La abstracción
o
La transmisión con métodos tradicionales dejando a un lado los avances
tecnológicos que nos ofrece el medio.
En este sentido este proyecto se abordan las necesidades, intereses y motivaciones de los
estudiantes con el mejorar las estrategias implementadas, utilizando los recursos que la
institución educativa ofrece, para analizar la contribución que estas herramientas
proporcionan a la enseñanza matemática en el aula de clase.
LA INVESTIGACIÓN
Planteamiento del Problema
Con base en todos los elementos presentados anteriormente en esta investigación pretendemos
abordar dar respuesta a la siguiente pregunta:
¿Cuál es el papel que
tienen las TIC en los procesos de formalización matemática de
conceptos como las homotecias, semejanzas y congruencias de triángulos, en los grados
octavo y noveno? De esta manera nuestro propósito central es analizar como la incorporación
de tecnologías como; sofware (R&C), calculadoras graficadoras, regla y compás y el
geoplano en la enseñanza de la geometría, permiten encaminar hacia procesos de
formalización matemática. En particular, nos proponemos movilizar, a través de situaciones
problemas, habilidades de visualización, argumentación, y simbolización
Induciendo a la
generalización a través del razonamiento lógico en relaciones de homotecia, semejanza y
congruencia de triángulos por medio del geoplano y las tecnologías (software, calculadoras
graficadoras) de manera que permitan la visualización de
triángulos.
El Contexto
propiedades en diferentes
Un acercamiento a procesos de formalización matemática mediada por las TIC en los Estudiantes de
Básica Secundaria.
Liceth Paola Alzate Montero, Aledis Janeth Cuitiva Valencia, Sor Ángela Jiménez Castro, Elizabet Larrea Mazo y Diana Inés
Pérez Vargas
La investigación se desarrollará en dos instituciones educativas, a saber: la I.E Técnico
Industrial Jorge Eliécer Gaitan y el Seminario Menor Juan Pablo II.
La Institución Educativa Técnico Industrial Jorge Eliécer Gaitán se encuentra ubicada en el
municipio El Carmen de Viboral, es de carácter público, mixto, calendario A, jornada diurna,
se imparte educación formal de manera presencial en el nivel de básica y media técnica a
través de un currículo estructurado en el desarrollo de competencias. En dicha institución se
cuenta con el apoyo de cuerpo directivo y docente, material didáctico y tecnológico que
facilitan la aplicación de las actividades a desarrollar y un espacio adecuado para la
implementación de las actividades investigativas.
El seminario Menor Juan Pablo II está ubicado en la cabecera del municipio de Girardota. Es
una Institución Educativa de orientación católica y de carácter privado, aprobada legalmente
por el Ministerio de Educación Nacional y la Secretaria de Educación y Cultura de Antioquia
mediante resolución 10569 del 18 de Diciembre de 2001, para prestar un servicio educativo
de calidad en los niveles de Básica
y Media, a la par que apostólico y social, en el
discernimiento vocacional y profesional de los jóvenes, mediante acciones metodológicas de
tipo presencial, con un acompañamiento personal.
El Diseño
Se está realizando mediante un diseño etnográfico de investigación, el cual permite un análisis
de los aspectos cualitativos dados por los comportamientos de los individuos, de sus
relaciones.
Mediadores y Estrategias
Se utilizan herramientas tecnológicas que facilitan el aprendizaje de la matemáticas en la
descripción de estos mediadores están: calculadoras TI – 92, VOYAGE, computadores con
SOFWARE ( R&C), regla y compás y el geoplano físico.
Estas herramientas se utilizan mediante la implementación de guías que se complementan con
el planteamiento de situaciones problemas y preguntas que motivan al estudiante a que
indague y deduzca a partir de su propio conocimiento.
Un acercamiento a procesos de formalización matemática mediada por las TIC en los Estudiantes de
Básica Secundaria.
Liceth Paola Alzate Montero, Aledis Janeth Cuitiva Valencia, Sor Ángela Jiménez Castro, Elizabet Larrea Mazo y Diana Inés
Pérez Vargas
Modelo Pedagógico
El modelo pedagógico a utilizar en el avance de este proyecto de investigación es el holístico,
el cual pretende desarrollar por medio de la experimentación, la transversalización de los
saberes y la creación de conceptos a partir de las experiencias surgidas de la interacción con
las herramientas tecnológicas.
Además, mediante guías los estudiantes deben hacer sus propias inferencias, descubrimientos
y conclusiones, en busca del desarrollo de un pensamiento racional y lógico.
CONSIDERACIONES FINALES
Esta investigación aporta a la educación matemática un acercamiento tanto de docentes como
estudiantes a las nuevas tecnologías, cambiando así la perspectiva que tienen para la
formalización de conceptos y construcciones en la matemática.
Mejorar las dinámicas de aprendizaje en el aula de clase, por medio de la integración de
nuevos mediadores, logrando así despertar el interés y la motivación de los participantes en
este proceso de enseñanza y aprendizaje, encaminados hacia el cambio y el mejoramiento
continuo en la educación matemática.
BIBLIOGRAFIA
Ministerio de Educación Nacional (1999) Serie Lineamientos Curriculares (Nuevas
Tecnologías y Currículo de Matemáticas). Bogotá.
Ministerio de Educación Nacional (1992) Lineamientos Curriculares Matemáticas. Bogotá:
Magisterio.
Un acercamiento a procesos de formalización matemática mediada por las TIC en los Estudiantes de
Básica Secundaria.
Liceth Paola Alzate Montero, Aledis Janeth Cuitiva Valencia, Sor Ángela Jiménez Castro, Elizabet Larrea Mazo y Diana Inés
Pérez Vargas
Ministerio de Educación Nacional (2007) Estándares Básicos de Competencia. Bogotá:
Magisterio
Liceth Paola Alzate Montero, Aledis Janeth Cuitiva Valencia, Sor Ángela Jiménez Castro,
Elizabet Larrea Maz, Diana Inés Pérez Vargas_ Son estudiantes de la Licenciatura en
Educación Básica con énfasis en Matemáticas de la Universidad de Antioquia. Correo:
[email protected]
Jaime Anibal Acosta: Es profesor de la Facultad de Educación de la Universidad de
Antioquia: Correo: [email protected]
Para citar este artículo sugerimos la siguiente fuente:
Alzate, L., Cuitiva, A., Jiménez, S., Larrea, E., Pérez, D. & Acosta, J.A. (2008). UN
acercamiento a los procesos de formalización matemática mediada por las TIC en estudiantes
de Educación Báscia Secundaria.. En J. A. Villa, Y. M. Mesa, M. M. Parra, & M. M. Zapata
(Ed.), Actas estudiantiles de Educación Matemática. 1, pp. 25-29. Medellín: Facultad de
Educación-Universidad de Antioquia.
30
DIFERENCIAS ENTRE EL APRENDIZAJE DE LA GEOMETRIA CON Y SIN LA
UTILIZACIÓN DE LAS TIC
Alexandra Alzate Correa
Ferney Bran David
Paula Andrea Castañeda
José Manuel González
Juan Camilo Lopera
William David Molina
Jhon Mario Moncada
Sandra Milena Restrepo
Gustavo Gallego G.
Resumen
El aprendizaje de la geometría, como base para la construcción del pensamiento
matemático, se viene transformando sustancialmente con la implementación de
software como RyC y Geogebra: sin embargo poco se ha hecho por validar su
eficacia, por ésto se pretende identificar diferencias entre el aprendizaje de la
geometría con la ayuda y sin la ayuda de ellos. Para tal fin se utiliza como muestra
grupos: experimental y de contro,l de los grados 6º a 9º de la Institución Educativa
INEM José Félix de Restrepo, en la que se realiza la práctica pedagógica. El análisis
de estas diferencias se pretende hacer desde el modelo de razonamiento geométrico de
van Hiele, a través de sus cinco niveles y sus fases de aprendizaje
Palabras clave:
Tic, RyC, Geogebra, aprendizaje, geometría, pensamiento espacial.
INTRODUCCIÓN
Con el presente trabajo se pretende validar la importancia de las TIC en el aprendizaje de las
matemáticas, específicamente la geometría mediante los softwares interactivos RyC y
Geogebra, ambos programas permiten crear un micro-mundo de experimentación que
propicia la interacción concreta del alumno con los objetos geométricos, y que podría facilitar
la construcción del conocimiento.
31
Además se pretende mostrar las diferencias y/o similitudes más significativas entre el
aprendizaje por medio de un método convencional de enseñanza y un método cuya
herramienta principal sean las TIC.
REFERENTES TEÓRICOS.
Incorporar las tecnologías de información y comunicación en el currículo de matemáticas,
específicamente en el aprendizaje de la geometría, suministra un ambiente en el que los
educandos se animan a establecer conjeturas, afirmaciones, crear imágenes, entre otras.
Además de ello permite que los estudiantes puedan valerse de sus errores para dinamizar
constructivamente su aprendizaje.
Teniendo en cuenta lo anterior, se toma como referente teórico los Lineamientos Curriculares
de las nuevas tecnologías y currículo de matemáticas, realizados por el Ministerio de
Educación Naciona (MEN), los cuáles dan cuenta de la importancia que tienen los recursos
tecnológicos en los procesos educativos.
Para establecer las diferencias entre los aprendizajes generados por los diferentes métodos se
tendrá en cuenta el modelo de van Hiele, que propone cinco niveles de desarrollo del
pensamiento geométrico que muestran “…un modo de estructurar el aprendizaje de la
geometría” (MEN 1998, p.38). Estos niveles son:
Nivel Uno: Es de visualización, llamado también de familiarización, en el que el alumno
percibe las figuras como un todo global, sin detectar relaciones entre tales formas o entre sus
partes.
Nivel Dos: Es de análisis, de conocimiento de componentes de las figuras de sus propiedades
básicas.
Nivel Tres: Llamado de ordenamiento o de clasificación. Las relaciones y definiciones
empiezan a quedar clarificadas, pero sólo con ayuda y guía,
Nivel Cuatro: Es de razonamiento deductivo; en él se entiende el sentido de los axiomas, las
definiciones, los teoremas, pero aún no se hacen razonamientos abstractos.
32
Nivel Cinco: Es el de rigor, cuando el razonamiento se hace rigurosamente deductivo. En él
los estudiantes razonan formalmente sobre sistemas matemáticos manipulando enunciados
geométricos tales como axiomas, definiciones y teoremas.
METODOLOGÍA.
El modelo de investigación cuasi-experimental fue propuesto en principio por Campbell y
Stanley (1963; 1966), como una metodología experimental, pero aplicada en un contexto
determinado. su relevancia radica en la posibilidad de su ejecución en ambientes naturales, en
nuestro caso el aula de clase. Hernández (2002).
Este trabajo es de tipo Cuasi-experimental, ya que la muestra no se ha asignado de manera
aleatoria, sino que el grupo de personas está elegido con respecto alguna característica de
importancia para el estudio, por ejemplo: conocer el efecto que provoca en los estudiantes de
sexto a noveno grado de la institución educativa INEM “José Félix de Restrepo” el empleo de
software como el Geogebra y RyC en la enseñanza de las matemáticas, en especial, la
geometría, que mediante un grupo experimental y otro control permita validar la eficacia de
estos software educativos. En la investigación se utilizan instrumentos tales como: el diario
de campo, memos analíticos, las pruebas y las guías.
El cronograma a desarrollar es el siguiente:
Para la construcción del diagnóstico, se inicia con la observación y la apropiación de los
conceptos fundamentales plasmados en el PEI de la Institución Educativa, que permita un
mayor conocimiento acerca del estado y las circunstancias en las que se halla el
establecimiento educativo.
Para ello se realizan las siguientes actividades:
 Conocer la planta física, la organización académica y administrativa de la Institución,
haciendo énfasis en la parte académica y más específicamente en la estructura del
Departamento de matemáticas y las unidades docentes de los grados 6º, 7º, 8º y 9º.
33
 Indagar y apropiarse del Proyecto Educativo Institucional (PEI), del proyecto de la unidad
docente de cada grado, del proyecto de formación en ética y valores, del currículo del
Departamento de matemáticas, del manual de convivencia y otros proyectos institucionales
mediante las actividades con el maestro cooperador.
 Colaborar en la elaboración de las guías temáticas que se desarrollarán en los periodos de
clase en compañía y orientación del maestro cooperador.
 Conocer las aulas de informática para implementar y colaborar con el maestro cooperador
en la utilización adecuada de ellas.
La segunda y tercera etapa del proyecto, consiste en la intervención por parte de los docentes
en formación, y para ello se crean estrategias y acuerdos de intervención individuales y
autónomos frente a los alumnos del grado respectivo aplicando las teorías vistas por parte de
los maestros en formación.
Aquí el trabajo se desarrolla con cada grupo de acuerdo a lo establecido anteriormente, y se
analizan los resultados a la luz de los cinco niveles de entendimiento establecidos por van
Hiele.
Por último, se trabaja en la parte de sistematización y elaboración del proyecto de grado,
donde se evidencie el trabajo realizado durante la práctica.
NUESTRA PROPUESTA
La propuesta de práctica profesional busca complementar la enseñanza de la matemática en la
utilización de las tecnologías de la información y la comunicación, centrando sus esfuerzos
en el aspecto formativo, elemento fundamental en la escuela y tiene entre sus propósitos
principales, que los maestros en formación utilicen, elaboren y validen en sus prácticas, la
eficacia de los software interactivos RyC y Geogebra para el aprendizaje de la geometría.
También se basa en el fortalecimiento del desarrollo de habilidades comunicativas y de
pensamiento matemático en los maestros en formación, que les posibilite mejorar su
didáctica, mediante “didactizaciones” de software matemático, audio, video y recursos de
34
Internet que les permita orientar a los estudiantes en los procesos de aprendizaje matemático;
que a su vez ofrezacan herramientas necesarias para solucionar problemas dentro de la misma
matemática y de la vida real.
CONCLUSIONES.
Se espera encontrar diferencias en la utilización de los software Regla y Compás (RyC) y
Geogebra en el proceso de enseñanza y aprendizaje de la geometría, con respecto a la forma
tradicional de cómo se ha abordado en el aula de clase, verificando que estos programas
potencialicen la capacidad de aprendizaje por ser dinámicos y estimular procesos de
abstracción, o si sólo sirven como herramientas para la ejercitación y
aplicación de
conceptos.
La utilización de las tecnologías de la información y la comunicación, permite a los
estudiantes valorar la importancia que tiene la matemática en la solución de problemas dentro
de su contexto actual, puesto que les permite jugar un papel protagónico en el aprendizaje, en
la elaboración de conocimientos y en la comprensión de lo que hacen.
El empleo de los software RyC y Geogebra permite a los estudiantes la comprensión y uso de
las propiedades de las figuras y las interacciones entre ellas así como el efecto que ejerce
sobre ellas las diferentes transformaciones, el reconocimiento de propiedades, relaciones e
invariantes a partir de la observación de regularidades que conduzcan al establecimiento de
conjeturas y generalizaciones, el análisis y resolución de situaciones problemáticas que
propicien diferentes miradas desde lo analítico, lo sintético y lo transformacional.
BIBLIOGRAFÍA
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Zangara, M. (1998). La incorporación de las nuevas tecnologías de la información y la
comunicación a los diseños curriculares. Algunos temas críticos. [Versión electrónica]. IV
Congreso iberoamericano de informática Educativa. Brasilia: RIBIE
Alexandra Alzate Correa, Ferney Bran David, Paula Andrea Castañeda, José Manuel
González, Juan Camilo Lopera, William David Molina, Jhon Mario Moncada, Sandra
Milena Restrepo: Son estudiantes de la Licenciatura en Educación Básica de la Universidad
de
Antioquia.
Correos:
[email protected];
[email protected]
[email protected];
[email protected];
[email protected];
[email protected]
36
Gustavo Gallego G: Profesor del INEM José Feliz de Restrepo del Municipio de Medellín y
de la Facultad de Educación de la Universidad de Antioquia. Correo: [email protected]
Para citar este artículo sugerimos la siguiente fuente:
Alzate, A, Bran. F., Castañeda, P., Gonzalez, J. M., Lopera, J. C. Molina, W. D., Moncada, J.
M. Restrepo, S. M. & Gallego, G. (2008). Diferencias entre el aprendizaje de la geometría
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(Ed.), Actas estudiantiles de Educación Matemática. 1, pp.30-36. Medellín: Facultad de
Educación-Universidad de Antioquia
37
CALCULADORAS PARA PRIMARIA
Vianella Montoya Zapata
Alexander Jiménez
Resumen:
Hoy en día las Tecnologías de la Información y Comunicación (TIC) con
aplicaciones en la educación contienen una gran cantidad de propuestas para
enseñar las matemáticas desde diferentes tipos de representaciones ya sean
gráficas, dinámicas, algebraicas, etc. Entre dichas aplicaciones encontramos
los sistemas computacionales algebraicos (CAS) los cuales ofrecen además de
la representación gráfica y algebraica, un mundo de manipulación, en el cual
el alumno tiene a su disposición una fuente rica de variación. En este
documento se pretende dar un vistazo a algunas actividades para trabajar en el
aula mediadas por CAS
Palabras clave:
Educación, TIC, CAS, Mediación, Adaptación curricular.
INTRODUCCIÓN
Las Tecnologías de la Información y Comunicación (TIC) en educación han tomado un
camino hacia la masificacion1, actualmente existen oportunidades para ofrecerles a los
maestros en formación instrumentos2 que le faciliten avanzar en sus procesos de enseñanza y
de aprendizaje. Según Herrera (2002) gran parte de la comunidad educativa, no esta lista para
incorporar las TIC, algunas de estas razones son: inexperiencia, analfabetismo tecnológico, y
gestión por parte de las instituciones educativas.
1
Medellín digital (Alcaldía de Medellín), A que te cojo ratón (Gobernación de Antioquia), aprende en línea (u de
a), entre otras.
2
Calculadoras voyage 200, de la Facultad de Educación de la Universidad de Antioquia.
Calculadoras para primaria
Vianella Montoya
Para mejorar este aspecto el MEN inició un proceso de consulta, reflexión, discusión, y
búsqueda de estrategias, posibilidades, experiencias y recursos para incorporar las TIC al
currículo de matemáticas en las instituciones educativas. Dentro de este proceso, se adelanto
un proyecto con apoyo de la OEA en el cual participaron expertos de México, Chile, Gran
Bretaña y Colombia el cual tenia como objetivo dar a conocer las experiencias y trabajos
nacionales e internacionales para construir las orientaciones iniciales para trabajar con la
tecnología. Este proyecto mostró la importancia de los instrumentos en el aula y dimensionó
la construcción de un proyecto nacional nombrado como: Incorporación de las nuevas
tecnologías al currículo de matemáticas de la educación media de Colombia. 3
Como consecuencia, el Ministerio de Educación Nacional (MEN) llevo a cabo en marzo de
2000, el desarrollo de la fase piloto del Proyecto “Incorporación de Nuevas Tecnologías al
Currículo de Matemáticas de la Educación Básica y Media” en 60 instituciones educativas de
17 departamentos y 3 distritos capitales. Este proyecto dirigido por maestros de matemáticas y
asesorado en el doctor Luís Moreno Armella investigador del Centro de Investigaciones y
Estudios Avanzados (CINESTAV) de México.
Esta fase piloto tenía como componente principal la formación de docentes en Tecnologías de
la Información y Comunicación, especialmente en el uso de los Sistemas Algebraicos
Computacionales (CAS) en el aula de matemáticas para producir cambios en las prácticas
docentes que permitan modificar sustancialmente el currículo. Para cumplir con estos
objetivos del MEN implementó una serie de capacitaciones en seminarios y cursos de
formación de docentes, apoyados y acompañados continuamente, haciendo a los maestros
estar más involucrados en su proceso de formación, también dio lugar a crear grupos de
estudios regionales generando un trabajo colaborativo entre los participantes de este proceso.
Otra componente del proyecto es la producción y diseño de materiales, algunos los
encontramos en los libros de la Serie Memorias del MEN titulado: “Seminario Nacional de
Formación de Docentes: Uso de las Nuevas Tecnologías en el Aula de Matemáticas” donde
encontramos la experiencias, actividades artículos que apoyan la incorporación de los
3
Castiblanco Paiba Ana Cecilia 2001, “Incorporación de las nuevas tecnologías al currículo de matemáticas de la
educación media de Colombia” MEN. Conferencia plenaria. Tecnologías computacionales en el currículo de
matemáticas. Pág. 16
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sistemas algebraicos computacionales (CAS) al aula, también conocidos como las
calculadoras algebraicas (TI 92 Plus).
El incorporar las CAS hace que sea necesario que los maestros en formación estén preparados
para afrontar los retos tecnológicos, didácticos, etc. que les permita estar en condiciones de
conocer y manipular conceptos y funciones asociadas a las tecnologías de la información y
comunicación (TIC), diseñar materiales apoyados en los instrumentos para facilitar los
procesos de enseñanza y aprendizaje, tener un plan estructurado de formación permanente de
maestros, la cooperación intra e inter institucional, motivación y compromiso personal y
profesional por parte de los maestros y gestión hacia la dotación y la infraestructura necesaria.
En la actualidad (2008) la formación de docentes en TIC no ha cambiando; se han
realizado investigaciones4 en la construcción de modelos de formación y el impacto de su uso
en el aula, pero no se han incluido dentro de los planes de formación de docentes las
estrategias para incorporar las TIC en sus procesos de enseñanza y proceso de aprendizaje. El
proyecto impulsado por el MEN fue un buen comienzo para hablar de formación de docentes
en TIC, solo que no fue suficiente, no generó el impacto necesario para que se incluyera
dentro de los planes de formación de maestros de las instituciones encargadas.
REFERENTES TEÓRICOS.
Hoy en día existe una cantidad considerable de estudios sobre las ventajas y desventajas del
uso de los instrumentos en el aula escolar, especialmente en la enseñanza y aprendizaje de las
matemáticas, algunos ejemplos se pudieron vivenciar en el primer y segundo encuentro
europeo de conferencias sobre la investigación en educación matemática (Gutiérrez, 1999;
Jones, 2001). Los documentos sobre dichos estudios fueron recopilados y analizados por Jean
Baptiste Lagrange y Keith Jones, quienes clasificaron la información en niveles según sus
objetos de estudio. Entre los estos encontramos:
4
Modelo de Formación de Docentes en el Uso de las TIC en Educación con Fundamento en Constructivismo -
Herramientas tecnológicas y su uso. http://www.educar.org/MFDTIC/index.asp . Visitada el día 4 de junio de
2008.
Calculadoras para primaria
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
De la interacción entre el instrumento y el conocimiento matemático.

De las interacciones entre el conocimiento, instrumento y el alumno de matemáticas.

De integración del instrumento a un programa de matemáticas y el aula de
matemática.
También clasificaron los documentos del II y III congreso ICME en tres temas que describen
los objetos centrales de dichas investigaciones presentadas en el congreso. Estos son:

Tema 1: Ideas teóricas y recursos para el diseño de la investigación y análisis.

Tema 2: Diseño, función de las herramientas tecnológicas y actividades de enseñanza.

Tema 3: Tecnología y maestro, y la formación de maestros.
En consecuencia, según Lagrange, el tema de este trabajo esta identificado con Tecnología y
Maestro, y Formación de Maestros. Las investigaciones realizadas sobre esta temática nos
muestra que hay un camino largo hasta que los alumnos estén utilizando estos instrumentos
para aprender matemáticas. Algunos de los documentos nos ofrecen detalles sobre cómo los
maestros integran las tecnologías de la información y comunicación (TIC), dándonos una
pista hacia las investigaciones futuras, incluyendo más el trabajo experimental vinculado a
estudio de casos.
Para sustentar el objeto de estudio de este trabajo “Incorporación de TIC a la formación de
maestros” recurrimos a los trabajos realizados por Verillon y Rabardel, los cuales nos
presentan en una nueva versión de la teoría de Vigotsky sobre los instrumentos psicológicos
(Teoría de los instrumentos psicológicos).
La teoría de la actividad instrumentada concibe dos conceptos: Artefacto e Instrumento. El
artefacto son todos lo objetos de la cultura material con los que el niño se relaciona durante su
desarrollo y los instrumentos son una construcción psicológica, este no existe en si, este
resulta de la existencia de una relación, hecha por el sujeto, entre el sujeto y el artefacto, físico
o no, elaborado por otros o no (Verillon y Rabardel, 1995).
Calculadoras para primaria
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Para ofrecer una idea clara sobre la función del instrumento en esta teoría, Verillon y
Rabardel (1995) plantean el siguiente modelo de Situaciones de la Actividad Instrumentada
(IAS) que tiene en cuanta las actividades que producen dichas relaciones:
En este modelo se puede observar las relaciones sujeto-instrumento, instrumento-objeto,
objeto-sujeto y viceversa. Estas relaciones no muestran la parte fundamental de la teoría, la
relación que hace la diferencia es la que esta indicada por la línea roja, que trata de manifestar
como el sujeto de apodera del objeto mediado por el instrumento (Ballesteros, 2007). El
interactuar con un artefacto no tiene ningún sentido instrumental al principio, este se va
adquiriendo por medio de un proceso. Artigue (2002) denomina a este proceso Génesis
Instrumental y que viene acompañado de dos fases que trabajan e dos trayectorias: la
instrumentalización y la instrumentación.
La instrumentalización es un proceso externo en el cual el sujeto conoce las ventajas y
desventajas del artefacto y sus usos específicos, este proceso es muy importante por que de
acuerdo al nivel de manejo del artefacto se da la segunda parte, le instrumentación. Según
Artigue (2001) “En la instrumentación, la génesis instrumental está dirigida hacia el sujeto,
conduciendo al desarrollo o la apropiación de los esquemas de la acción instrumentada, la
cual progresivamente toma forma de técnicas que permite una respuesta efectiva hacia las
tareas dadas”(p.250).
Para hacer un análisis de una situación con el modelo anterior (IAS) Verillon y Rabardel
(1995) proponen tener en cuenta tres aspectos:
1. Manejo de las limitaciones y la actividad requerida: la actividad requerida es un
concepto referente a una tensión entre dos extremos: las limitaciones resultantes desde
la relación del artefacto con la acción y el sujeto psicológico, como un simple y
premeditado actor. En otras palabras el sujeto puede presentar dificultades propias del
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uso del artefacto en la actividad o no tiene la formación previa para utilizar este
artefacto.
2. Expansión del campo de posibilidades de acción: no solo se tiene en cuesta las
limitaciones si no que también las nuevas posibilidades originadas por el sujeto. Los
artefactos pueden suministrar a los sujetos nuevos contextos para realizar su actividad.
3. Esquemas sociales de la utilización de artefactos: esta reorganización de la actividad
lleva a nuevos esquemas de uso del instrumento. Esto es calificado como constantes
representativas y operativas de las clases de esquemas de uso del instrumento.
El uso de esquemas para Verillon y Rabardel tiene una dimensión sujetiva, pero al mismo
tiempo es social. Esto por que surgen de un proceso colectivo entre el artefacto y el sujeto.
ELEMENTOS DE LA PROPUESTA.
La metodología a utilizar en el taller esta basada en el Aprendizaje Basado en Problemas
(ABP) que es un enfoque pedagógico multi-metodológico y multididáctico, orientado a
facilitar el proceso de enseñanza, el proceso de aprendizaje y de formación del alumno. En
este enfoque se enfatizan el auto-aprendizaje y la auto-formación, procesos que se facilitan
por la dinámica del enfoque y su concepción constructivista. En el enfoque de ABP se
promueve la autonomía cognoscitiva, se enseña y se aprende partiendo de problemas que
tienen significado para los estudiantes (Dueñas V.)
El objetivo del taller es dar un vistazo a las actividades propuestas para trabajar los conceptos
de las operaciones aritméticas (suma, resta, multiplicación, división) que son mediadas por la
calculadora estándar. Además de Afianzar las habilidades para sumar, restar, multiplicar y
dividir por medio de actividades, a los alumnos de grados iniciales y desarrollar los estándares
propuestos para la educación primaria. También el dar a conocer que no es simplemente llevar
un instrumento al aula si no que es compromiso de nosotros como docentes generar
actividades que medien conocimiento y competencia matemática.
Algunos de los objetivos del taller son:

Dar a conocer algunas actividades mediadas por CAS para el aula escolar.
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
Compartir actividades en las que el uso de las CAS potencie la competencia
matemática y el saber matemático.

Discutir sobre las fortalezas y debilidades del uso de CAS en el aula escolar.
Entre algunas de las actividades publicadas en el cuadernillo del Department for Education
and Employment. (1999). The National Numeracy Strategy. Calculator Activities de Gran
Bretaña tenemos:
1. Triples.
Utilice sólo estas cifras y el signo
47
17
39
.
23
38 .Complete estos.
Este ejercicio fomenta la competencia de resolver problemas haciendo uso de los
conocimientos previos a la actividad generando relaciones entre ellos para llegar a la solución.
2. Productos.
Un juego para dos jugadores o equipos, cada uno con su propio lápiz de color.
Por turnos, elegir dos de estos números: 7, 16, 27, 31, 46, 56, 67, 71.
Multiplique juntos. Encierre la respuesta con un círculo si la respuesta se encuentra en el
cuadro.
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El ganador es el primer equipo con cuatro círculos en una línea, en cualquier dirección.
3. Seis claves.
Investigue con su calculadora. Utilice sólo seis teclas para conseguir 20 en la pantalla.
Encuentra las combinaciones que hagan posible que el resultado sea 20. Escríbelas.
Estos ejercicios fomentan la habilidad para resolver problemas haciendo uso de los
conocimientos previos a la actividad generando relaciones entre ellos para llegar a la solución.
La diferencia al realizarlo con lápiz y papel, es la facilidad de abarcar actividades que le
desarrollen esas competencias que le generen dudas y que lleguen a anticipar la solución.
Sabemos que no se puede reemplazar al maestro y su labor en el aula pues como lo proponen
Calculadoras para primaria
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los lineamientos curriculares (1998) el maestro es guía en este proceso de enseñanza y
aprendizaje.
CONCLUSIONES.

El uso de las CAS en el aula escolar requiere de una gestión que incluya tanto al
maestro como a la institución educativa.

Iniciar un proceso de autocrítica y cuestionamiento en los estudiantes de pregrado y
egresados, que sea la base para la modificación de sus visiones y creencias sobre qué
son las matemáticas, y cómo se enseñan actualmente.

De acuerdo con los avances tecnológicos que a diario son presentados al mundo, estos
exigen de todos los campos profesionales una adaptación a sus medios y objetos de
estudio. Así la educación no se puede quedar atrás puesto que el objeto de estudio de
la educación es formar individuos capaces de desenvolverse en el mundo actual, lo
cual implica la adaptación de las tecnologías y de su incorporación al aula. Una de
estas propuestas viene dada en la utilización de los objetos computacionales, bien sean
la calculadora o el ordenador. Estos nuevos sistemas de representación permiten al
alumno tener un campo de visualización más amplio que el del lápiz y el papel.
Además que estos sistemas son ejecutables lo que significa que el alumno puede
manipular los objetos matemáticos según las necesidades.
BIBLIOGRAFÍA
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M. (2002). Learning mathematics in a CAS environment: the genesis of a reflection
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P & Rabardel, P. (1995). Cognitions and artifacts: a contribution to thestudy
ofthought in relation to instrument activity. European Journal of Psychologyof
Education, 10 (1), 77-101.
Vianella Montoya Zapata: Estudiante de la licenciatura en Educación Básica con énfasis en
Matemáticas de la Universidad de Antioquia. Correos: [email protected];
[email protected]
Alexander Jiménez: Magister en Educación (Matemática) de la Universidad de Antioquia,
investigador en el área de las tecnologías miembros de los grupos GECEM y Educación
Matemática e Historia (UdeA-Eafit). Correo: [email protected]
Para citar este artículo sugerimos la siguiente fuente:
Montoya, V. & Jiménez, A. (2008). Calculadoras para primaria. En J. A. Villa, Y. M. Mesa,
M. M. Parra, & M. M. Zapata (Ed.), Actas estudiantiles de Educación Matemática. 1, pp. 3746. Medellín: Facultad de Educación-Universidad de Antioquia.
47
LAS INVESTIGACIONES MATEMÁTICAS EN EL AULA DE CLASE COMO
METODOLOGÍA DE INTERVENCIÓN EN LA PRÁCTICA PEDAGÓGICA
Walter Hernando Gómez
Diego Alejandro Pérez
Diana Victoria Jaramillo Quiceno
Resumen
Es el objetivo de este trabajo realizar una discusión teórica en torno a las
investigaciones matemáticas en el aula de clase como metodología en la
Práctica Pedagógica. Para ello, se tendrá en cuenta un referente teórico
desde Ponte (2003), así como las experiencias que hemos tenido a lo
largo de un año de seminarios de práctica y el trabajo desarrollado en la
institución educativa Ramón Múnera Lopera
Palabras clave
Pensamiento espacial, trabajo grupal, formación investigativa, conocimiento
matemático
INTRODUCCIÓN
¿Cómo y para qué investigar en matemáticas? Es la pregunta que se realizan algunos de
los estudiantes que participan de los seminarios de Práctica en la Licenciatura en
Educación Básica con énfasis en Matemáticas a la cual pertenecemos ahora. Tal vez la
respuesta parezca inmediata, sin embargo de lo que nos encargaremos en el presente
texto es dar a conocer al lector una mirada sobre dicha investigación en la cual se
muestra una alternativa para que el estudiante de matemáticas ejerza un rol de
investigador en el aula de clase con una intervención determinante del maestro, además
de un alto contenido de motivación y dedicación en la tarea propuesta por ambos.
Lo primero a discutir es la concepción que tenemos en cuanto a investigar en
matemáticas, para ello hemos acudido a los trabajos del profesor da Ponte (2003) el
cual, en su libro “Investigações matemáticas na sala de Aula”, muestra un panorama
48
favorable a dicha temática, junto con un aporte importante en cuanto a la necesidad de
establecer trabajos de investigación matemática desde el currículo y la cotidianidad.
¿QUÉ ES INVESTIGAR EN MATEMÁTICAS?
Según el Diccionario de la Real Academia de la Lengua Española (Incluido en el
paquete Microsoft Student 2008), investigar (Del latín Investigāre) se puede entender
de tres maneras básicas:
1. Hacer diligencias para descubrir algo.
2. Realizar actividades intelectuales y experimentales de modo sistemático con el
propósito de aumentar los conocimientos sobre una determinada materia.
3. Aclarar la conducta de ciertas personas sospechosas de actuar ilegalmente1
Teniendo esto claro entenderemos que, como lo afirma da Ponte (2003)
La investigación en matemática asume características muy propias,
conduciendo rápidamente a la formulación de conjeturas que se pretende
probar si fuera el caso. Las investigaciones matemáticas envuelven,
naturalmente,
conceptos,
procedimientos
y
representaciones
matemáticas, pero lo que más las caracteriza fuertemente es el estilo
conjetura- prueba-demostración. (p. 10)
La actividad de investigar en el aula de clase consiste en la realización de búsquedas
que dan origen a conjeturas, unas pruebas a estas y una demostración final a partir de
una problemática que se genera en la clase desde los planteamientos de situaciones, en
las cuales no hay respuestas inmediatas y que demandan una búsqueda exhaustiva por
parte de los participantes. Al aclarar esto, parece útil implementar dicha metodología en
las clases de matemáticas; por tanto es de aclarar que las investigaciones matemáticas,
al tener unos componentes establecidos (que veremos más adelante) y favorables para el
aprendizaje significativo de los estudiantes, no pretendemos que se convierta en la única
herramienta de la que se valga un maestro, antes bien creemos que le corresponde al
profesor implementar unas actividades curriculares que involucren tanto problemas y
1
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49
ejercicios como investigaciones plasmadas de manera formal y que sean de carácter
público, de modo que los estudiantes asuman al interior del aula el rol de
“exploradores” de las matemáticas y no apenas de ente pasivo.
En diferentes escenarios de enseñanza y de aprendizaje, investigar no es trabajar con
problemas de nivel elevado con respecto al umbral de conocimiento de los estudiantes.
Hay que entender que la sola formulación de cuestiones que le interesen a ellos y en los
cuales no hay una respuesta inmediata o que le demanden una búsqueda sistemática, ya
se puede entender como una labor investigativa productiva; así, para que una
investigación sea satisfactoria para el maestro y el estudiante, la temática debe ser
interesante para ambos desde el principio; además, como en cualquier investigación, se
puede saber desde dónde empezar, pero difícilmente se puede predecir a qué conclusión
llegar. Esta situación es muy característica de los matemáticos al realizar
investigaciones, es esto precisamente lo que nos compete discutir ahora.
MATEMÁTICO
Y
ESTUDIANTE:
DOS
INVESTIGADORES
POR
NATURALEZA
Para un matemático, investigar es encontrar las relaciones existentes entre objetos
matemáticos con el fin de establecer e identificar sus propiedades. A nuestro parecer, en
el acto de investigar, el matemático se da cuenta del carácter “caótico” de las
matemáticas, pues en la búsqueda que realiza dicho investigador, encuentra una serie de
propiedades que se desconocían por separado y que dan origen a cosas totalmente
nuevas que al mismo tiempo llevan a otras. Un ejemplo citado por Ponte (2003), es el
del matemático Henri Poincaré, el cual, al tratar de demostrar que no existían funciones
con ciertas características, concluyó demostrando que efectivamente existían y las
bautizó “Fuchsianas”. En el relato que el
mismo Poincaré realizó, veremos un
acercamiento a las fases que tiene una investigación, a las cuales Ponte (2003, p. 14)
llamó: “Compilación de información y experimentación sin resultados palpables,
seguida de una “iluminación súbita” y una fase de sistematización o verificación de los
resultados.
Hacía ya quince días que me esforzaba por demostrar que no podía
existir ninguna función análoga a las que después llamaría funciones
Fuchsianas. Estaba entonces en la más completa ignorancia; me sentaba
50
todos los días a mi mesa de trabajo y allí permanecía una o dos horas
ensayando un número grande de combinaciones y no llegaba a ningún
resultado. Una tarde, contra mi costumbre, tomé un café negro y no
conseguí dormir; las ideas surgían en tropel, sentía que se me escapaban,
hasta que dos de ellas, por así decirlo, se encajaban formando una
combinación estable. De madrugada tenía establecida la existencia de
funciones fuchsianas, que se derivan de la serie hipergeométrica. No tuve
más que redirigir los resultados, lo que apenas me llevó algunas horas.
Ponte (2003, p. 14)
El relato que acabamos de ver da cuenta de que en principio la matemática no es el
cuerpo ordenado que a veces les mostramos a los estudiantes. Otro matemático que se
refiere a la matemática como un ente cambiante y frágil es George Polya, el cual en su
libro “Cómo plantear y resolver problemas” (1945), afirma que “La matemática tiene
dos caras; es la ciencia rigurosa de Euclides, pero es algo más…La matemática en
construcción aparece como una ciencia experimental, inductiva. Ambos aspectos son
tan antiguos como la matemática”- Polya (1945, p. vii)
Frente a estas opiniones de los matemáticos, aparece el estudiante como el llamado a
hacer investigaciones con el fin de realizar descubrimientos que lo lleven a establecer
propiedades que no fueron adquiridas directamente desde el maestro. El estudiante de
matemáticas, de cualquier nivel de escolaridad, posee las herramientas conceptuales y
actitudinales para investigar; de hecho, investigar es una de nuestras acciones
cotidianas, pues como se puede ver día a día, no todo problema al que nos enfrentamos
tiene respuesta inmediata. Insistimos entonces que desde la práctica pedagógica como
punto de partida en la intervención escolar con los estudiantes, es importante el
reconocer la investigación matemática como una alternativa eficiente para despertar el
“investigador” que hay en cada niño, joven o adulto y así contribuir con su formación
intelectual y procedimental.
LA INVESTIGACIÓN MATEMÁTICA COMO TAREA
Ponte (2003) establece cuatro momentos básicos en el marco de las investigaciones
matemáticas en el aula de clase, estos son
51
“El primero es el arranque o reconocimiento de la situación, la
exploración preliminar y la formulación de cuestiones; un segundo
momento referido a la formulación de conjeturas. El tercero incluye la
realización de pruebas y la eventual refinación de la o las conjeturas. Y
finalmente, el último es respecto a la argumentación, la demostración y la
evaluación del trabajo realizado. (Ponte, 2003, p. 20)
Polya (1945) distingue entre lo que es un problema y un ejercicio, pues para él un
problema es una cuestión para la cual el estudiante no tiene las herramientas necesarias
para darle solución inmediata, en cambio, el ejercicio relaciona una cuestión establecida
con un procedimiento que le ha de ayudar para obtener una respuesta inmediata. Las
investigaciones matemáticas tienen problemas a los cuales el estudiante ha de dar una
respuesta válida que dé cuenta de un procedimiento no establecido con anterioridad.
Ponte (2003) afirma al respecto que:
Los ejercicios y los problemas tienen una cosa en común. En ambos
casos, su enunciado indica claramente o que es dado y lo que es pedido.
No hay margen de ambigüedades. La solución es sabida de antemano por
el maestro, y la respuesta del estudiante o está cierta o errada. En una
investigación, las cosas son un poco diferentes. Se trata de situaciones
mas abiertas – la cuestión no esta bien definida en el inicio, dando
cabida a quien investiga un papel fundamental en su definición. (p. 23)
De manera que las actitudes y los conocimientos de los estudiantes han de ser
fundamentales en la realización de una investigación, ya que el ejercitar un algoritmo
requiere relativamente poco y solucionar un problema solo por encontrar una solución
de antemano conocida no genera resultados muy grandes a futuro. El investigar para un
estudiante debe ser algo que motive, que le dé al estudiante el status de matemático
investigador, lo cual favorece su autoestima, su acertividad en otras disciplinas y
contribuirá en el aprendizaje de una manera menos tediosa que la normalmente ejercida
en algunas clases.
Investigar es entonces una tarea constante en la que tanto el estudiante como el maestro
deben esclarecer las dudas durante el proceso, de manera que al final las soluciones
tengan una evaluación satisfactoria.
52
LA INVESTIGACIÓN MATEMÁTICA Y LA PRÁCTICA PEDAGÓGICA
Los elementos precedentes dan una visión general de la importancia de las
investigaciones matemáticas en el aula, la cuestión ahora es ver el papel del maestro en
esta actividad. Al parecer el estudiante tiene el papel principal en el aula a la hora de
realizar investigaciones, pero aunque esto es cierto en parte, el maestro no deja de ser un
elemento importante y determinante en el acto de investigar.
Ponte (2003) determina cuatro aportes básicos del maestro dentro del aula de clase:

Desafiar a los estudiantes: desde el principio el maestro debe garantizar que los
estudiantes se sientan motivados a realizar las actividades de investigación, por
lo tanto, en la etapa inicial, fundamental en la investigación, el maestro debe
saber escoger las preguntas adecuadas para que la investigación sea un desafío
constructivo para los estudiantes y no una carga que no los motivará.

Evaluar el progreso de los estudiantes: constantemente el maestro debe estar
atento a que los estudiantes estén comprendiendo la tarea investigativa a
realizar; debe recoger información suficiente para intervenir de la manera más
eficiente y no causar ambigüedades al momento de responder una pregunta.
Según el criterio del maestro y de la temática a investigar, el maestro dispone
que el trabajo sea en grupos o de manera individual, de manera que
constantemente debe apoyar el trabajo de cada uno y no dejarlos solos con las
posibles dudas que acontecen en el acto investigativo.

Razonar Matemáticamente: no se puede determinar en una investigación las
preguntas que puedan surgir por parte de los estudiantes, por lo tanto es
determinante que el profesor se encuentre en las condiciones de razonar
matemáticamente al momento de recibir una pregunta con la que no contaba
desde el principio. Sabemos que un problema posee muchos caminos que llevan
a dicha respuesta. La labor del maestro que practique esta metodología debe
estar encaminada a tener un modo de expresar matemática y pedagógicamente la
respuesta a preguntas que surgen de conjeturas que no sospechaba para
encontrar la solución a cierto problema.

Apoyar el trabajo de los estudiantes: el apoyo adecuado del maestro de
matemáticas es un aspecto fundamental para que el estudiante sienta la
53
confianza de hacer un buen trabajo. El maestro, como intelectual de la educación
y de la matemática, debe saber realizar preguntas directas que le ayude al
estudiante a tener una visión más general y no se “pierda” en la investigación. Si
el trabajo propuesto es en grupo, lo más recomendable es que el maestro sepa
cuándo preguntar sobre el avance de cada estudiante frente a una conjetura
realizada; debe reconocer los aportes de cada grupo para la sistematización de un
resultado, en fin, debe encontrar los ambientes de aprendizaje necesarios para un
resultado favorable.
UN EJEMPLO DE INVESTIGACIÓN MATEMÁTICA EN EL AULA
La actividad que presentaremos a continuación fue adaptada del capítulo IV del libro
“Investigações matemáticas na sala de aula” de Ponte (2003). En este encontramos
una actividad en cuanto a la exploración de conjeturas respecto al número de cortes que
hay que hacer para que después de un número dado de dobleces se obtuviera el polígono
de mayor número de lados. La actividad fue realizada con el grupo 5-3 de la institución
educativa Ramón Múnera Lopera. Los niños de este grado se han planteado las
siguientes preguntas orientadoras para su proyecto de investigación matemática en el
aula: ¿por qué están todas las formas geométricas y para qué sirven? y ¿qué relación
existe entre las figuras geométricas trabajadas en el aula y la que vemos en nuestro
entorno? Esta actividad fue realizada durante el mes de noviembre de 2008.
La actividad consistía en nuestro caso el explorar las características que los estudiantes
descubrían de los cuadriláteros cuando cortaban triángulos sobre el lomo de una hoja
que
ha
sido
doblada,
un
ejemplo se puede apreciar en la
figura adjunta:
Los niños empezaron a cortar
de
diferentes
obteniendo
cuadriláteros.
maneras
diversos
Para
que
la
actividad quedara lo suficientemente organizada, les propusimos algunas cuestiones que
debían explorar como guía en su trabajo:

Recordando la clasificación hecha, has recortes que te permitan obtener
54
1. Un cuadrilátero convexo.
2. Un cuadrilátero no convexo
3. Un triángulo isósceles
4. Un triángulo equilátero

Investiga si es posible hacer cortes que genere un triángulo escaleno.

Recuerda que todo paso realizado debes consignarlo o tabularlo.
De manera muy atenta los estudiantes comenzaron a cortar y a dibujar los triángulos
cortados junto con su cuadrilátero obtenido. Como sólo estaban cortando triángulos
obtusángulos y acutángulos estaban obteniendo cuadriláteros no convexos y convexos
respectivamente. Los niños llegaron a conjeturar el hecho de que no era posible obtener
triángulos, pero a partir de la observación, se dieron cuenta de la simetría existente en
la figuras.
Los niños demostraron que son muy experimentados en hacer figuras cortando papel
por medio de la simetría pues antes de comenzar la actividad, algunos niños estaban
distraídos cortando patrones hasta con cuatro dobleces para obtener figuras llamativas.
Este hecho favoreció nuestra labor pues los estudiantes no mostraban dificultad: aparte
de que recordaban la mayoría de las definiciones, eran muy habilidosos para recortar.
Al final de la sesión, los resultados de la investigación fueron.
1. Las figuras obtenidas tenían simetría con respecto al lomo de la hoja. Al
principio pensaban que eran rombos, pero con los conceptos estudiados,
concluyeron que solo es posible si se corta un triángulo isósceles cuya base esté
sobre el lomo de la hoja.
2. El cuadrilátero convexo se obtenía cortando triángulos acutángulos, ya que el
ángulo que resultaba sobre el lomo era menor que 180º.
3. El cuadrilátero no convexo se obtuvo cortando triángulos obtusángulos, ya que
por la simetría, el ángulo sobre el lomo medía más de 180º, lo cual, según lo
estudiado, les dio garantía de que el cuadrilátero tenía una “Entrada”
4. El análisis del triángulo isósceles no fue tan sencillo dado que
los
niños
no
reconocían la relación entre el corte a realizar y el ángulo (que debía ser de 90°)
que este forma con el lomo del doblez. Al principio algunos niños lograron
obtenerlo pero no podían explicar qué condición debía cumplir uno de los cortes
sobre el lomo para que se formara el triángulo. Al final llegaron a la conclusión
55
de que el triángulo se forma cuando el corte es perpendicular al lomo, esto se da
porque por la simetría existente, los ángulos de 90º sumaban 180º, es decir,
estaban en línea.
5. No fue fácil descubrir que para obtener el triángulo equilátero el corte
perpendicular tenía que medir la mitad del oblicuo. ¡Claro! Como hay simetría,
la mitad de un lado mas la mitad del otro sumaban el lado oblicuo formando los
tres lados iguales.
6. No se puede hacer un triángulo escaleno, ya que la simetría hace el corte forme
segmentos congruentes sobre las dos hojas en el lomo.
A MODO DE CIERRE
Aunque apenas estamos aproximándonos, desde la teoría y la práctica, a la metodología
de investigaciones matemáticas en el aula, desde esta experiencia en la institución
educativa y las lecturas que hemos referenciado, comenzamos a notar que:
 Los alumnos están evidenciando un claro progreso dentro de sus procesos de
aprendizajes a través de las actividades desarrolladas en el aula. Se destacó la
importancia de las relaciones matemáticas con el contexto en el que se
desenvuelven.
 Las conclusiones mostradas antes durante la etapa de la investigación por parte
de los estudiantes, dan cuenta de la importancia de relacionar los conceptos y
definiciones trabajadas en el aula con el entorno, tanto en el campo educativo
como sociocultural, logrando así que los estudiantes se inquieten por encontrar
respuestas que sacien su curiosidad.
 Se logró que los estudiantes aprendieran a diferenciar los tipos de pregunta, ya
que al distinguir estas
percibieron la importancia de ellas dentro de una
investigación además, que una pregunta bien formulada o llamada de alto nivel
nos puede llevar a una investigación real sobre algo que nos inquieta de nuestro
entorno.
Un punto que vale la pena mencionar en este texto es la importancia que en algunos
países se le está dando a las investigaciones matemáticas en el aula de clase. Solo por
citar algunos ejemplos, en países como Inglaterra, Estados Unidos, Portugal, Francia y
56
Brasil se implementa el contexto investigativo como aporte de una educación en la que
el estudiante puede reconocer las capacidades exploratorias que posee en términos
matemáticos. Desde el punto de vista curricular, en estos países hay conciencia de la
importancia de la matemática como ciencia de la precisión pero también de
incertidumbre, es por esto que el estudiante debe retomar el papel de investigador para
descubrir propiedades y relaciones entre objetos matemáticos que no han sido ofrecidos
de antemano por el maestro.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Polya, G. (1945). Como Plantear y resolver problemas. México D.F.: Trillas.
Ponte, J. P. (2003). Investigaçoes Matemáticas na Sala de Aula. Belo Horizonte:
Auténtica.
Walter Hernando Gómez y Diego Alejandro Pérez: Son estudiantes de la
Licenciatura en Educación Básica con énfasis en Matemáticas de la Universidad de
Antioquia. Correos: [email protected], [email protected]
Diana Victoria Jaramillo Quiceno: Es doctora en Educación Matemática de la
Universidad de Campinas (Brasil). Es investigadora en el área de Educación
Matemática desde una perspectiva sociocultural. Profesora de la Facultad de Educación
de la Universidad de Antioquia y coordinadora del Grupo de Investigación
“Matemática,
Educación
y
Sociedad”
de
la
UdeA..
Correos:
[email protected]; [email protected]
Para citar este artículo sugerimos la siguiente fuente:
Gómz, W. H., Pérez, D.A & Jaramillo, D. (2008). Las investigaciones matemáticas en
el aula de clase como metodología de intervención en la práctica pedagógica. En J. A.
Villa, Y. M. Mesa, M. M. Parra, & M. M. Zapata (Ed.), Actas estudiantiles de
Educación Matemática. 1, pp. 47-56. Medellín: Facultad de Educación-Universidad de
Antioquia.
57
El CONOCIMIENTO MATEMÁTICO EN UN CONTEXTO DE ESCUELA
INDÍGENA: primeras aproximaciones
Katerinne Berrío Londoño
Jaime Mejía Betancur
Diana Victoria Jaramillo Quiceno
Resumen:
En el presente trabajo pretendemos discutir cómo se establece la relación entre
el maestro, el alumno y conocimiento matemático en un contexto de escuela
indígena. Para ello nos apoyaremos en algunos referentes teóricos sobre
Etnomatemática y en las visitas de campo que hemos realizado en instituciones
escolares de tres resguardos indígenas de Antioquia: La María (Valparaiso),
Caimán Alto (Turbo) y El Volao (Necoclí)
Palabras clave:
Etnomatemática – Cultura – Prácticas ancestrales – Prácticas cotidianas – Conocimiento
matemático- Escuela indígena
INTRODUCCIÓN
Las comunidades indígenas del país a lo largo de la historia han venido perdiendo poco a
poco su identidad, sus costumbres y sus creencias milenarias. Nuestra cultura, una cultura
heredada de nuestros colonizadores ha ido colonizando las culturas indígenas matando poco a
poco su historicidad, volviéndolos más “de aquí que de allá”.
Es frecuente escuchar que el futuro del país está en los niños y es educándolos como podemos
sembrar la semillita para mejorar al menos un poco la situación de nuestra nación, debido a
esto se está en constante búsqueda del mejoramiento de la calidad educativa; por ello, desde
hace unos años se ha implementado nuevas formas para optimizar la educación tales como los
Lineamientos Curriculares (1998) y los Estándares Básicos de Competencias (2006). Sin
embargo en estos documentos se habla de una comunidad general que es la comunidad de las
grandes ciudades, difícilmente se menciona a los diferentes grupos étnicos que habitan en las
zonas rurales del país, es por estas razones que decidimos indagar sobre ¿qué hacemos con la
El CONOCIMIENTO MATEMÁTICO EN UN CONTEXTO DE ESCUELA INDÍGENA: primeras aproximaciones
Katerinne Berrío Londoño
Jaime Mejía Betancur
educación de estos grupos étnicos?, ¿será que sus niños no ayudarán a mejorar el país?, ¿será
que sus conocimientos no podrán aportar al desarrollo de nuestro país?
El mundo actual nos presenta una educación donde se pretende homogeneizar a los
estudiantes, fomentando la exclusión, la discriminación cultural, de sexo o de clase, sin tener
en cuenta que vivimos en una sociedad donde hay muchos tipos de personas, comunidades
indígenas, comunidades afrodescendientes, campesinos que sufren desplazamientos,
violencia, miseria y destrucción, clases sociales bajas, medias y altas. En esta homogenización
se pretende llegarle a las diferentes comunidades y grupos socioculturales con un mismo
formato de educación, con una misma escuela, y por tanto, con una misma matemática.
Lizcano (2002) nos plantea que debemos invertir la mirada “¿Qué vemos si, en lugar de mirar
las prácticas populares desde la matemática, miramos la matemática desde las prácticas
populares?” Las matemáticas siempre han sido vistas como una sola, la matemática
académica, o como la llama Lizcano en su texto “la matemática burguesa” que es la que se
encarga de legitimar o deslegitimar las demás matemáticas que surgen de las prácticas
populares.
Y es que la matemática que nos han enseñado siempre en la escuela, “la matemática
occidental” es la que legitima o deslegitima alguna otra matemática que surja de las prácticas
cotidianas no formales, ya que esta se da el carácter de modelo al ocultar los perjuicios y
supersticiones en los que se basa, imponiéndose como la única matemática legitima para
enseñar.
Si lográramos invertir la mirada nos daríamos cuenta que existen muchas matemáticas, según
las prácticas cotidianas que desarrolle determinada comunidad, en donde estas matemáticas
estarían al servicio de sus prácticas dependiendo de la utilidad que se le dé.
MATEMÁTICAS: OTRA MIRADA DESDE LO SOCIOCULTURAL
La matemática siempre ha sido conceptualizada como una ciencia que se caracteriza por su
rigor y exactitud, por lo cual no se concibe que en ella se pueda tener en cuenta la
El CONOCIMIENTO MATEMÁTICO EN UN CONTEXTO DE ESCUELA INDÍGENA: primeras aproximaciones
Katerinne Berrío Londoño
Jaime Mejía Betancur
multiculturalidad
en
la
cual
vivimos.
Comunidades
indígenas,
comunidades
afrodescendientes, comunidades de desplazados, campesinos, y diferentes clases sociales,
entre la alta, media y la baja, que viven en medio de la violencia, la miseria y destrucción son
excluidas por sus diferentes formas de concebir el pensamiento de acuerdo a sus condiciones
sociales y culturales.
No debemos pensar entonces, en para qué impartir la matemática en otras culturas, sino más
bien en contextualizarlas de acuerdo a su entorno, a las necesidades que exige el contexto
cultural. Es el acceso a otros instrumentos y técnicas las que posibilitan esta contextualización
y la capacidad para enfrentar problemas y situaciones nuevas, los que nos imparten un
aprendizaje no sólo como el dominio de técnicas o habilidades de ciertas teorías.
En algunos países se viene trabajando sobre una nueva propuesta de educación matemática,
una propuesta liderada por D´Ambrosio (2008), quien junto con otros teóricos importantes se
han interesado por la investigación en etnomatemática. Según este autor, la etnomatemática es
una matemática realizada por grupos culturales, como son comunidades urbanas y rurales,
grupos de trabajadores, clases profesionales, sociedades indígenas, y muchos otros grupos que
se identifican por objetivos y tradiciones comunes a ellos. Sin embargo, en nuestro medio es
muy poco lo que se sabe al respecto debido a que el tema no es de mucho interés, todavía,
para los matemáticos y los científicos envueltos en el paradigma de la ciencia moderna, tal
vez ellos piensan que la matemática es una sola, la que siempre se ha enseñado en la escuela
tradicional y que las otras formas de concebir el pensamiento matemático en las prácticas
cotidianas están aisladas de ellas.
D’Ambrosio (2008) realiza una fundamentación teórica donde explica todo lo referente al
comportamiento del hombre en su relación con conocimiento (hacer/saber), que es lo que le
permite sobrevivir y trascender en la realidad en la que está inmerso. Es desde aquí entonces
de donde proviene la etnomatemática, reconociéndose como un campo de saber en la
matemática que se desarrolla con la finalidad de explicar, de conocer, aprender y de hacer.
Desde esta perspectiva, nos dice D’Ambrosio (2008) que debemos pensar entonces en la
posibilidad de impartir una “educación que estimule el desarrollo de la creatividad
El CONOCIMIENTO MATEMÁTICO EN UN CONTEXTO DE ESCUELA INDÍGENA: primeras aproximaciones
Katerinne Berrío Londoño
Jaime Mejía Betancur
desinhibida conociendo nuevas formas de relaciones interculturales’’, eliminando con esto la
desigualdad discriminatoria y dando un origen a una matemática como una disciplina que
genere y preserve la diversidad.
Independientemente del saber específico que se maneje, este debe impartirse de una forma
humanizante, o como lo plantea Freire (2003) “…el educador debe hacer de su trabajo una
especificidad humana.” Porque, precisamente, las personas con las que trabajamos tienen
diferentes formas de concebir el mundo, diferentes perspectivas y diferentes formas de
aprender.
Vemos aquí la importancia de las relaciones interculturales en la educación, ya que todavía se
ofrece un currículo nacional, pretendiendo una estandarización de conocimiento en el
aprendizaje de los individuos. Es aquí donde entra a tomar importancia la educación
intercultural, abriendo paso a las diferencias entre los seres humanos a través de una ética de
respeto mutuo, solidaridad y cooperación.
Etimológicamente hablando, el término “etnomatemática” está compuesta por tres raíces que
son ETNO – MATEMA- TICA, donde ETNO significa grupo, comunidad; MATEMA se
entiende como explicar, entender y compartir; y, TICA como las herramientas y técnicas. Es
decir, etnomatemática podría ser comprendido como las herramientas o técnicas que ayudan a
explicar o entender los conocimientos culturales de los diferentes grupos o comunidades.
La etnomatemática es, según Lizcano (2002) “procurar entender el saber/hacer matemático
a lo largo de la historia de la humanidad, contextualizado en diferentes grupos de interés,
comunidades, pueblos y naciones.”
LA ETNOMATEMÁTICA EN LAS COMUNIDADES INDÍGENAS
En el marco del proyecto que estamos desarrollando en la práctica pedagógica, se realizaron
algunas salidas de campo donde tuvimos la oportunidad de visitar algunas escuelas indígenas
de tres comunidades diferentes. Visitamos un resguardo indígena que está situado cerca al
El CONOCIMIENTO MATEMÁTICO EN UN CONTEXTO DE ESCUELA INDÍGENA: primeras aproximaciones
Katerinne Berrío Londoño
Jaime Mejía Betancur
municipio de Valparaiso llamado “La Maria”; en este resguardo habitan indígenas Embera1.
Estuvimos también en otro resguardo indígena llamado “Cristianía” cerca del municipio de
Jardín, donde también habitan los Embera. Otro resguardo indígena visitado fue el ubicado
cerca de Turbo llamado “Caimán Alto” conformado por los indígenas Tules2 y, finalmente,
estuvimos en el resguardo indígena ubicado en Necoclí llamado “El Volao” conformado por
los indígenas Senu3.
En estas visitas pretendíamos visualizar cómo se establece la relación entre los maestros, los
estudiantes y las interrelaciones que se establecen en el aula de clase, mediada por el
conocimiento matemático. En las charlas sostenidas con los maestros, ellos nos expresaban
grandes interrogantes sobre el trabajo que se desarrolla con los niños; para ellos es difícil
tratar de enseñar a los niños una matemática desde sus prácticas cotidianas, fundamentalmente
porque no encuentran la articulación con la matemática que exige el ministerio de educación y
que es evaluada en diferentes pruebas estandarizadas; evaluaciones donde los niños llegan con
desventajas por su poca preparación.
Es la intención de nuestro trabajo, a mediano plazo, poder plantear de manera conjunta, con el
maestro indígena y la comunidad a la que pertenece, alguna propuesta curricular que, al
tiempo que ayude al desarrollo del conocimiento y pensamiento matemático en los alumnos,
revierta beneficios a la comunidad. Para ello, estamos indagando un poco sobre cuáles son
esas prácticas cotidianas que desarrollan los indígenas en las cuales se evidencia el
pensamiento matemático.
1
Los Embera son un pueblo amerindio del occidente de Colombia y el oriente de Panamá. Son unas 60 mil
personas. Se conocen como emberá katío a los que habitan en el alto Sinú y el alto San Jorge, departamento de
Córdoba y en Urabá; en Colombia, embera chamí a los que viven en las cordilleras occidental y central de los
Andes colombianos, departamentos de Antioquia, Caldas, Risaralda, Quindío y Valle; Chocoes o simplemente
Emberá a los que habitan las cuencas del río Baudó y del bajo San Juan, municipios de Istmina, Alto Baudó y
Pizarro; el río Curiche, municipio de Juradó en el Chocó (Colombia); y en la Comarca Emberá-Wounaan en el
Darién (Panamá); y como eperara siapidara o epená, a los de la costa Pacífica de los departamentos de Valle,
Cauca y Nariño en Colombia (OIA, 2008).
2
El pueblo Tule encuentra ubicado en el golfo de Urabá y la región del Darién, específicamente en la
zona de Arquía (Chocó) y el municipio de Necoclí (Antioquia), donde reciben la denominación
Ipkikuntiwala. Pero la mayor parte de la población se halla en las islas de San Blas (Panamá), lugar
considerado como el "territorio madre". Allí reciben la denominación Makilakuntiwala (OIA, 2008).
3
Los Senu senues o sinú son un pueblo amerindio cuyo territorio ancestral está constituido por los valles del río
Sinú y el San Jorge y el litoral Caribe en los alrededores del Golfo de Morrosquillo, en los actuales
departamentos colombianos de Córdoba y Sucre (OIA, 2008).
El CONOCIMIENTO MATEMÁTICO EN UN CONTEXTO DE ESCUELA INDÍGENA: primeras aproximaciones
Katerinne Berrío Londoño
Jaime Mejía Betancur
En las comunidades indígenas donde realizamos el trabajo de campo pudimos aclarar un poco
la visión de las matemáticas de estas comunidades. El trabajo se dividió en dos partes, un
trabajo con los estudiantes y un conversatorio con los docentes. En el trabajo con los
estudiantes desarrollamos una lectura sobre un cuento que hablaba de la matemática con los
animales de la selva llamado “La nada siempre sirve”, como una actividad inicial para el
trabajo que pretendíamos desarrollar con los niños.
Luego les entregamos, marcadores, crayolas y papel con la idea que ellos por medio de unos
ideogramas nos contaran cómo veían las matemáticas en su comunidad y en su cultura, y en
qué momentos de la comunidad se veían enfrentados a las matemáticas. En sus dibujos, los
niños identificaron que la matemática está en todas partes: en la naturaleza; en las labores de
sembrado y recolección; en la construcción de tambos4; en la realización de sus artesanías
como collares, manillas y el sombrero “vueltiao5”; en la distribución del alimento para los
animales; en la medición del territorio para su distribución.
Después del trabajo con los niños, realizamos el diálogo con los maestros, para empezar a
identificar cómo es su trabajo en la escuela y en particular en el área de matemáticas. Ellos
expresaron que la experiencia que realizada con los niños, desde el ideograma, les da claros
indicios de que en la escuela, la matemática con tiza y tablero están mandadas a recoger y por
tanto se necesita de experiencias producidas desde las prácticas cotidianas que ayuden a los
niños y a la comunidad a ver más allá de un simple “uno más uno”. Uno de los maestros
compartió una pequeña pesquisa que realizó con uno de los sabios de la comunidad acerca de
las matemáticas en tiempos ancestrales. El sabio, al igual que los niños, identifica la
matemática en el entorno cultural de la comunidad
Una preocupación general de las comunidades indígenas, manifestada a través de los maestros
y los líderes es la necesidad de construir un currículo propio de comunidades. Currículo que
posibilite que, al tiempo que los niños desarrollan y construyen conocimiento matemático, la
comunidad pueda transformarse desde las prácticas escolares.
4
Tambo: vivienda de los indígenas Embera.
El sombrero Vueltiao es una artesanía típica de la comunidad Senu.
5
El CONOCIMIENTO MATEMÁTICO EN UN CONTEXTO DE ESCUELA INDÍGENA: primeras aproximaciones
Katerinne Berrío Londoño
Jaime Mejía Betancur
A MODO DE CIERRE
La escuela indígena y, en particular, la matemática que allí se enseña, tiene grandes
limitaciones debido a la falta de reconocimiento del pensamiento matemático desde las
prácticas cotidianas, a la pérdida de identidad por parte de las comunidades de los saberes
propios de la cultura y de su conocimiento ancestral.
Bajo la mirada de la etnomatemática podemos intentar mejorar la educación indígena de
nuestro país; no rechazando la matemática académica, sino potencializando la matemática de
las comunidades, sus saberes y sus creencias para poder poner, en un diálogo de saberes, tanto
su matemática como la académica.
Las matemáticas, según lo percibimos en cada una de nuestras visitas, se ven en dos formas
diferentes dentro de las comunidades, pues en las aulas de clase se intenta ver las matemáticas
como lo plantea el Ministerio de Educación bajo los Lineamientos Curriculares y los
Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas, pero en la cotidianidad se ve la
matemática de una manera diferente, no se ponen de acuerdo ambas matemáticas. En este
sentido, dice Chavellard citado por Knijnik (2002), pareciera que la lógica profana se quedara
en las puertas de la escuela y adentro del aula sólo se viera la lógica sagrada. Es decir, las
prácticas cotidianas y el conocimiento matemático que desde allí se genera se quedan afuera
del salón y al interior solo entra la matemática presentada de forma descontextualizada
sociocultural e históricamente.
REFERENCIAS BILIOGRÁFICAS
D’Ambrosio, U. (2008). Etnomatemática: Eje entre las tradiciones y la modernidad. Mexico.
D.F.: Limusa, S.A.
Freire, P. (2003). Pedagogía de la autonomía. Madrid: siglo XXI editores. S.A.
El CONOCIMIENTO MATEMÁTICO EN UN CONTEXTO DE ESCUELA INDÍGENA: primeras aproximaciones
Katerinne Berrío Londoño
Jaime Mejía Betancur
Lizcano, E. (2002). Las matemáticas de la tribu europea: un estudio de caso. Conferencia
proferida en el Segundo Congreso Internacional de Etnomatemática, Brasil.
(OIA)Organización Indígena de Antioquia (2008). www.oia.org.co Recuperado el 20 de
noviembre
Knijnik, G. (2002). Etnomatemática y educación en el movimiento sin tierra. Revista
Reflexión y Acción , 5-20.
Katerinne Berrio Londoño; Jaime Mejía Betancur: son estudiantes de la Licenciatura en
Educación Básica con énfasis en Matemáticas e integrantes del semillero “Diverser” de la
Universidad de Antioquia. Correos: [email protected] [email protected]
Diana Victoria Jaramillo Quiceno: Es doctora en Educación Matemática de la Universidad
de Campinas (Brasil). Es investigadora en el área de Educación Matemática desde una
perspectiva sociocultural. Profesora de la Facultad de Educación de la Universidad de
Antioquia y coordinadora del Grupo de Investigación “Matemática, Educación y Sociedad”
de la UdeA.. Correos: [email protected]; [email protected]
Para citar este artículo sugerimos la siguiente fuente:
Berrio, K., Mejia J. & Jaramillo D. V. (2008). El conocimiento matemático en un contexto de
escuela indígena: primeras aproximaciones. En J. A. Villa, Y. M. Mesa, M. M. Parra, & M.
M. Zapata (Ed.), Actas estudiantiles de Educación Matemática. 1, pp. 57-64. Medellín:
Facultad de Educación-Universidad de Antioquia.
65
CAMINO HACIA LA INVESTIGACIÓN:
DEL LENGUAJE NATURAL AL SIMBÓLICO EN LA
CONCEPTUALIZACIÓN DE ECUACIÓN
Natalia Múnera Escobar
Jaime Esteban Ríos Restrepo
Jadir Alfonso Alzate Marín
Diana Victoria Jaramillo Quiceno
“El reto de la enseñanza en la formación inicial es darle
al niño o al preadolescente los medios para comprender
y aprender por el mismo. se trata pues de formar sujetos autónomos
en sus caminos intelectuales incluido las matemáticas.” (Duval, 1999)
Resumen
Este trabajo tiene la intención de mostrar cómo hemos venido
consolidando, poco a poco, el camino hacia el proyecto de investigación,
el cual viene siendo desarrollado en la Institución Educativa Ramón
Múnera Lopera con el apoyo de nuestra maestra cooperadora Claudia
Quintero en los grados novenos.
Para ello iniciaremos narrando la metodología y estrategias que la
maestra cooperadora implementaba durante nuestras observaciones, la
temática que estaba siendo desarrollada en el momento de las visitas y
algunos autores relevantes en el tema; aspectos todos que nos han venido
mostrando el camino investigativo a seguir. El trabajo concluirá con la
especificación del tema, problema, pregunta que pretendemos desarrollar
en nuestro proyecto de investigación.
Palabras Clave
Simbolización, representación, problemas, ecuación, álgebra.
66
DESDE EL AULA
En las observaciones que hemos venido realizando en la Institución Ramón Múnera
Lopera, empezamos a notar cómo los estudiantes tenían dificultades para pasar de un
lenguaje natural a un lenguaje simbólico o, dicho de otra manera, para representar
simbólicamente lo enunciado en lenguaje natural. Por ejemplo, cuando la profesora
cooperadora propuso las siguientes situaciones:
Representar simbólicamente:
a. Un número aumentado en seis.
b. Tengo $5000 en monedas de $100 y $200. Si la cantidad de monedas de $100 es
la mitad de las de $200. ¿Cuántas monedas de cada una tengo?
c. La edad de Juan es tres veces la edad de María.
d. La semi suma de la edad de Juan y María.
La diferencia de la edad de Juan y María.
En el intento de solucionar las anteriores situaciones, observamos que las principales
dificultades de los estudiantes podrían ser derivadas de:

Una interpretación no adecuada del enunciado (problema)

Hay una dificultad en la codificación de lo expresado en un enunciado para
transformarlo en un simbolismo matemático.
De igual forma, en este camino de simbolización, es notorio en algunos estudiantes que
por causa de la dificultades que presentan para hacer una buena representación de los
planteamientos que les ofrece un problema, tienen una interpretación, simbolización,
solución y argumentación no adecuado
DESDE LA MAESTRA
El diario reflexivo viene constituyéndose en nuestra principal fuente para dar inicio al
trabajo de investigación; esto porque consideramos que la investigación del maestro
debe estar fundamentada en el trabajo en el aula y así poder aportarle a los propios
procesos de enseñanza. De esta manera, venimos plasmando en este diario nuestras
apreciaciones sobre la maestra, los estudiantes y el ambiente escolar como tal.
67
Desde esta perspectiva, se hace necesario que revisemos como la maestra desde el aula
genera y aplica pruebas que le ayuden en los procesos de enseñanza-aprendizaje que
lidera.
Es de las lecturas constantes del diario y de las observaciones en las visitas realizadas,
que podemos decir lo siguiente de la profesora Claudia:
Es una profesora reflexiva y crítica, consciente de su inacabamiento (una
muestra de ello es su asistencia a los diferentes seminarios de
investigación en la Universidad de Antioquia); es una profesora que
interpreta y propone estrategias y metodologías educativas que le
faciliten al alumno y a ella misma los procesos de enseñanza y de
aprendizaje, analizando y tratando de argumentar los por qué de las
situaciones vividas en clase y preguntándose las consecuencias de las
cosas que propone.
Es una profesora que no hace énfasis en “transmitir” a sus estudiantes sus
conocimientos matemáticos, sino que mediante la didáctica que implementa (los
métodos que utiliza están enfatizados no solo en el algoritmo, también trata de generar
discusión frente a las diferentes interpretaciones que los estudiantes dan del objeto
matemático trabajado), pretende que entre todos lo construyan, preguntándose y
preguntando sobre los conocimientos previos que tienen los estudiantes, y así
contextualizando las actividades a sus “realidades”.
Además del saber específico que trabaja (matemáticas) con los estudiantes, enfatiza
constantemente en el desarrollo de valores éticos y morales que les ayude a ser más
responsables, respetuosos, honestos, humildes; valores que son mencionados en el
manual de convivencia, y es que ella desde su ejemplo está dejando huella en el aula,
como persona humilde, respetuosa, responsable, honesta que es.
DESDE LOS AUTORES
Entre los autores que plantean teoría sobre el paso del lenguaje natural al simbólico nos
encontramos con Pochulu (2007) trabajando sobre los errores más comunes y sus
68
contextos, y Duval (1999) trabajando sobre representaciones semióticas y sus
transformaciones.
Pochulu (2007) en su artículo muestra algunas de las dificultades que se presentan en
los estudiantes en el momento de transformar un enunciado en un lenguaje natural a un
lenguaje lleno de símbolos y significados matemáticos, como son:
1. Los estudiantes tiene tanta confianza frente a los resultados que arrojan sus
procedimientos, que no realizan pruebas para confirmas sus afirmaciones.
2. Realizan generalizaciones de problemas y enunciados donde no se pueden hacer.
3. No hay una clara comprensión sobre los conceptos que se están manejando.
4. Hay una mala simbolización de los enunciados matemáticos.
5. Generan una transposición de resultados, pues el problema que tratan de
solucionar les recuerda un problema que anteriormente ya han solucionado,
suponiendo su idéntico procedimiento, donde solo cambian los datos.
Según este autor, es importante resaltar que no siempre el estudiante va a cometer los
mismos errores, ya que estos se vuelven comunes en unos espacios y situaciones
específicas. Algunas situaciones, plantea el autor, donde se generan estos errores son:

Cuando el enunciado requiere que se exprese una variable en términos de otra.

Cuando le piden al estudiante que halle soluciones a ecuaciones lineales.
El autor además de manifestar situaciones en los que los errores se dan con mayor
frecuencia, presenta algunas posibles causas de ello, tanto por parte del docente como
por parte del alumno, como son:
1. Hay una mala lectura de los enunciados.
2. Los problemas que se plantean no van más allá de un tratamiento numérico a lo
propuesto.
3.
El maestro pocas veces deja expresar frente a los estudiantes cómo razona los
enunciados y cuáles son los caminos que sigue (aunque no siempre funcionen)
para la solución de los mismos. Esta posición en la que el maestro se presenta
ante los estudiantes como el “omnipotente”, impide en cierta medida que los
estudiantes comprendan la exigencia del razonamiento que requieren las
matemáticas. Esta causa también desencadena que el estudiante no pueda
conocer todos los “trucos” de los cuales se vale el maestro para la solución de
los problemas y la representación de los diferentes enunciados.
69
4. La preocupación del estudiante, en la mayoría de los casos, se centra en saber el
algoritmo que lleva a la solución del problema, no teniendo en cuenta los
conceptos que involucra el tema.
5. Es posible que el estudiante cometa errores porque no tiene los conocimientos
previos necesarios para la solución de los problemas.
Por otro lado Duval (1999) basa su trabajo en las representaciones semióticas que el
sujeto hace sobre los objetos matemáticos que maneja, por esta razón, a continuación,
mostraremos algunos elementos importantes que nos interesan frente al tema que
queremos tratar (el paso del lenguaje natural al simbólico en la conceptualización de
ecuación).
En primer lugar se hace necesario definir lo que es una representación. Entendemos por
representación, apoyándonos en Duval (1999), que es un esquema mental que ya esta
interiorizado y que no es necesario que se materialice para que el sujeto sepa de lo que
se trata. Es muy importante tener en cuenta el porqué se producen las representaciones
que tiene el sujeto.
Duval (1999) define lo que es un registro o “sistema semiótico, como un sistema:
[el] cual comporta reglas, más o menos explicitas que permiten combinar
los signos entre si de tal manera que la asociación formada tenga
también un sentido. Las posibilidades de combinación son las que le dan
a un sistema semiótico su potencia inventiva y le permiten efectuar a su
interior transformaciones de expresión o de representación (p. 43)
En otras palabras, el sistema semiótico es un conjunto de reglas, transformaciones y
relaciones que se pueden hacer con algunas representaciones. Estas transformaciones
son básicamente dos: el tratamiento (es pasar de una representación a otra dentro de un
mismo registro) y la conversión (es pasar de una representación a otra que es de otro
registro); en la medida que se realizan estas transformaciones es que el sujeto puede
comprender e interiorizar representaciones cada vez más complejas.
En la siguiente ilustración retomamos un ejemplo de conversión, presetado en Duval
(1999)
70
M es la
semisuma de a
y de b
+
M= a + b
2
/2
Ilustración Nº 1. Ejemplo de un proceso de conversión Duval (1999, p. 45)
Para ejemplificar un poco más lo que son los registros, el autor nos muestra cuáles son
los registros más usados en matemáticas, estos son: discursivos (son proposiciones y
transformaciones de expresiones donde se razona, describe, infiere, calcula), los no
discursivos (no se muestran de manera visual, estos son disposiciones gráficas que se
usan para una mejor comprensión), los monofuncionales (son los registros que se
aprenden con las matemáticas, estos ayudan a desarrollar algoritmos) y los
plurifuncionales (son los registros que el sujeto utiliza en todo los contextos de su vida).
Duval (1999) plantea una categorización (importante en nuestra investigación) sobre
cómo se puede interpretar una gráfica que representa una ecuación, la cual es: se puede
ver de una manera puntual (dando cabida a que se interprete de esta que quiere decir en
un punto determinado), de una manera icónica (dando cabida a que se interprete de esta
el que hayan puntos en los que sube y baja, su forma general) y de manera que
demuestre una aprehensión global cualitativa (dando cabida a que se hagan
interpolaciones, relaciones entre variables, análisis de datos son respecto a resultados).
Duval (1999) plantea sobre por qué los estudiantes se pueden quedar solo en una mirada
de la gráfica desde una manera puntual y no llegar a una aprehensión global cualitativa
(que sería lo ideal), los cuales son: limitarse a la simple codificación y decodificación de
una expresión, mirar la tabla de datos como una lista de valores para construir un
71
gráfico a partir de una expresión algebraica y leer sus coordenadas, no discriminan
información o variables de la situación.
Para concluir, el autor señala que los enunciados son la interacción entre la lingüística y
el objeto matemático a tratar, y que la dificultad en su comprensión, y posteriormente en
su simbolización, es porque el sujeto no hace fácilmente una conversión. Esta dificultad
radica en la conversión, porque esta no se aprende con que el maestro haga un ejemplo
en el tablero y ya, esta requiere de toda una comprensión de las representaciones que
están involucradas.
LA PREGUNTA DE INVESTIGACIÓN
Desde las observaciones en la institución escolar y la lectura de autores Pochulu (2007)
y Duval (1999) empezamos a aproximarnos y a delimitar nuestro tema y pregunta de
investigación. La primera aproximación a la pregunta es ¿Cuáles son las estrategias
metodológicas, que pueden ayudar a superar algunas de las dificultades que presentan
los estudiantes en el paso del lenguaje natural al simbólico en la conceptualización de
ecuación? Así, la temática en la que estará enmarcada nuestra investigación es “Del
lenguaje natural al simbólico en la conceptualización de ecuación”.
Podemos decir que este es sólo el inicio de todo un rastreo sobre lo que los teóricos
plasman referente al paso del lenguaje natural al simbólico para que, consecuentemente,
produzcamos apreciaciones propias nutridas de nuestra práctica pedagógica e del
proceso investigativo en cuestión.
BIBLIOGRAFÍA

DUVAL, R. (1999). Los problemas fundamentales en el aprendizaje de las
matemáticas y las formas supriores en el desarrollo cognitivo. Santiago de Cali:
Universidad del Valle.

FREIRE, P. (2003). Pedagogía de la autonomía: saberes necesarios para la
práctica educativa. Buenos Aires: Siglo XXI.
72

POCHULU, M.D. (2007). Análisis y categorización de errores en el aprendizaje
de la matemática en alumnos que ingresan a la universidad. Villa María
(Argentina): Universidad Nacional de Villa María.
Natalia Múnera Escobar, Jaime Esteban Ríos Restrepo, Jadir Alfonso Alzate
Marín: son estudiantes de la Licenciatura en Educación Básica con énfasis en
Matemáticas de la Universidad de Antioquia. Correos: [email protected];
[email protected]; [email protected]
Diana Victoria Jaramillo Quiceno: Es doctora en Educación Matemática de la
Universidad de Campinas (Brasil). Es investigadora en el área de Educación
Matemática desde una perspectiva sociocultural. Profesora de la Facultad de Educación
de la Universidad de Antioquia y coordinadora del Grupo de Investigación
“Matemática,
Educación
y
Sociedad”
de
la
UdeA.
Correos:
[email protected]; [email protected]
Para citar este artículo sugerimos la siguiente fuente:
Múnera N., Ríos J. E., Alzate J. A. & Jaramillo D. V. (2008). Camino hacia la
investigación: del lenguaje natural al simbólico en la conceptualización de ecuación. En
J. A. Villa, Y. M. Mesa, M. M. Parra, & M. M. Zapata (Ed.), Actas estudiantiles de
Educación Matemática. 1, pp. 65-72. Medellín: Facultad de Educación-Universidad de
Antioquia.
73
GEOMETRÍA Y DOBLADO DE PAPEL.
Zaida Margot Santa Ramírez
Carlos Mario Jaramillo López
Resumen
Se pretende que tanto estudiantes como profesores puedan visualizar la
geometría del doblado de papel, es decir, los seis axiomas propuestos por el
ítalo-japonés Humiaki Huzita y su relación con los axiomas de la geometría
euclidiana. Posterior a su reconocimiento, se presentará como aplicación, la
construcción de una elipse, para identificar sus elementos y definirla como
lugar geométrico
Palabras clave:
Doblado de papel, Geometría, Axiomas de Huzita
INTRODUCCIÓN
El presente taller, refleja simultáneamente dos preocupaciones: la actividad gratificante del
doblado de papel de un lado y sus implicaciones pedagógicas para ayudarle a los estudiantes,
desde los primeros años escolares, a acercarse en forma intuitiva a muchos conceptos
matemáticos implícitos en dicha actividad lúdica.
De acuerdo con lo anterior, los profesores deberán delimitar muy claramente, los niveles de
aplicación de lo acá propuesto y controlar los dos tipos diferentes de actividades a realizar con
sus estudiantes; vale la pena decir que en el nivel primario se justifica programar toda una
serie de actividades papirofléxicas por la diversidad implícita de conceptos matemáticos que
ella brinda.
Si en la secundaria se retoman todos los conceptos matemáticos trabajados inconscientemente
en el Origami, estamos seguros de que ya los estudiantes estarán mejor equipados para
GEOMETRÍA Y DOBLADO DE PAPEL
Zaida Margot Santa Ramírez
Carlos Mario Jaramillo L
entender la segunda parte de estas sugerencias y empezar a superar esa primera aproximación
intuitiva para enfrentarse a una etapa más cualificada de asimilación racional del
conocimiento matemático
Sólo así trascenderemos la actividad lúdica como un simple pasar un rato agradable que no
pasa a mayores perdiéndose así, gran parte del potencial cognoscitivo implícito en la misma.
El arte del origami es una disciplina que permite desarrollar aspectos como:

Memoria visual geométrica

Memoria a corto y mediano plazo

Destreza manual

Discriminaciones multisensoriales de tipo grueso, fino y refinado (psicomotricidad).
LOS PROPÓSTOS
Con el desarrollo de esta propuesta se espera que los maestros en formación alcancen a:

Relacionar los distintos modelos o figuras con principios o leyes de las matemáticas y en
particular, de la geometría.

Desarrollar la imaginación y la creatividad.

Promover el desarrollo del pensamiento a través de la geometría del doblado de papel.

Utilizar el método de doblado de papel en la enseñanza de muchos conceptos
matemáticos.

Desarrollar habilidades manuales propias de la motricidad fina.

Desarrollar la capacidad de observación.

Desarrollar habilidades del lenguaje.

Desarrollar la capacidad individual para establecer relaciones entre las cosas.

Estimular el desarrollo de operaciones concretas del pensamiento en una actividad
racional de orden lógico y creativo.

Plantear alternativas en el campo de la didáctica de la geometría y las matemáticas.

Realizar mostraciones geométricas.

Desarrollar habilidades para seguir instrucciones en la elaboración de modelos.

Desarrollar habilidades algorítmicas.

Desarrollar la capacidad de deducción.
GEOMETRÍA Y DOBLADO DE PAPEL
Zaida Margot Santa Ramírez
Carlos Mario Jaramillo L
ALGUNAS ACTIVIDADES
Actividad 1:
Axiomas de Huzita.
Se pretenden construir los seis axiomas que postuló el ítalo-japonés Humiaki Huzita para la
geometría del doblado de papel. Durante la actividad, se mencionarán algunas relaciones con
la geometría euclidiana y con la analítica.
Estos axiomas son:

Dados dos puntos p1 y p2, existe un único doblez que pasa a través de ellos.

Dados dos puntos p1 y p2, existe un único doblez que pone el punto p1 sobre el punto p2.

Dados dos dobleces l1 y l2, existe un único doblez que pone a l1 sobre l2.

Dados un punto p1 y un doblez l1, existe un doblez único que pone a l1 sobre sí misma y
pasa por p1.

Dados dos puntos p1 y p2 y un doblez l1, existe un único doblez que pone a l1 sobre p1 y
pasa por p2.

Dados dos puntos p1 y p2 y dos dobleces l1 y l2, existe un doblez único que pone a p1 sobre
l1y a su vez, p2 sobre l2.
Actividad 2:
Construcción de la elipse.
Para la construcción de la elipse, es necesario partir de una hoja de papel de forma circular.
Se considera fundamental tener en cuenta el centro de la circunferencia inicial. Señale un
punto P dentro del círculo y doble de tal manera que ese punto se coloque sobre puntos
marcados de la circunferencia (X).
Repita el procedimiento unas 30 veces variando la
posición de X a lo largo de la circunferencia.
GEOMETRÍA Y DOBLADO DE PAPEL
Zaida Margot Santa Ramírez
Carlos Mario Jaramillo L
Zaida Margot Santa Ramírez: Es licenciada en Matemáticas y Física de la Universidad de
Antioquia. Estudiante de Maestría en Educación en la Universidad de Antioquia. Integrante
del grupo de Investigación en Educación Matemática e Historia (UdeA-Eafit). Correo:
[email protected]
Carlos Mario Jaramillo López: Es Doctor en Ciencias Matemáticas de la Universidad
Politécnica de Valencia (España). Profesor de tiempo completo del Departamento de
Matemáticas de la Universidad de Antioquia y coordinador del grupo de Investigación en
Educación Matemática e Historia (UdeA-eafit). Correo: [email protected]
Para citar este artículo sugerimos la siguiente fuente:
Santa Z. M. & Jaramillo C. M. (2008). Geometría y doblado de papel. En J. A. Villa, Y. M.
Mesa, M. M. Parra, & M. M. Zapata (Ed.), Actas estudiantiles de Educación Matemática. 1,
pp. 73-76. Medellín: Facultad de Educación-Universidad de Antioquia.
77
LAS FRACIONES COMO DECIMALES Y PORCENTAJES TRABAJADAS DESDE
EL CONTEXTO DE LOS ESTUDIANTES
Sirley Astrid Quinchía
Edison Sucerquia Vega
Resumen
En Colombia, la última versión de los Estándares de matemáticas plantea que
uno de los propósitos de las matemáticas escolares es el desarrollo de
competencias lo cual implica una nueva mirada a los procesos de enseñanza
en donde se retomen los saberes previos de los estudiantes y se valore el papel
de los contextos extraescolares en la construcción del conocimiento.
En este documento, presentamos los avances de un trabajo de investigación que
se centra en la creación de una Unidad Didáctica que permita la construcción
de la noción de fracción, representada por medio de sus relaciones
equivalentes, decimales y porcentajes, contribuyendo de esta manera al
desarrollo de algunas competencias matemáticas que permitan al estudiante
desempeñarse mejor en su contexto.
Palabras Clave
Situaciones didácticas, unidades didácticas, noción de fracción, porcentajes y decimales.
INTRODUCCIÓN
Este trabajo tiene en cuenta algunas de las dificultades que presentan los estudiantes de grado
séptimo de la Institución Educativa Fe y Alegría Luis Amigó ubicada en el barrio Moravia.
Con base en dichas dificultades observamos la necesitad de una Unidad didáctica, que
promueva la comprensión de la noción de fracción y sus relaciones equivalentes como
decimales y porcentajes de manera significativa, de tal manera que disminuya la creciente
brecha entre los temas abordados por los profesores en la clase y el aprendizaje de los
estudiantes, lo cual se hace evidente en la falta de interés y de motivación frente al concepto
en mención.
LAS FRACIONES COMO DECIMALES Y PORCENTAJES TRABAJADAS DESDE EL CONTEXTO DE LOS
ESTUDIANTES
Sirley Quinchia
Edison Sucerquia
REFERENTES TEÓRICOS
Situaciones Didácticas
Brousseau (1986) presenta unos elementos en didáctica que se pueden considerar como una
pauta para entender las necesidades e intereses de los estudiantes, dichos elementos son:
-El Contrato Didáctico: se entiende como las reglas que se establecen entre el profesor y el
estudiante, definido por Brousseau (1986) como:
[…] una relación [establecida] que determina –explícitamente en parte pero
sobre todo implícitamente- lo que cada protagonista, el enseñante y el
enseñado, tiene la responsabilidad de administrar y de lo que será
responsable delante del otro de una forma o otra. Este sistema de
obligaciones recíprocas se parece a un contrato. (p. 15)
-Situación a-didáctica: hace referencia a una situación donde el profesor no interviene y el
estudiante es capaz de realizar una determinada tarea. Además, es donde el estudiante aplica
ese conocimiento nuevo que ya adquirió a cualquier situación fuera del contexto de
enseñanza, que en palabras de Brousseau:
El alumno sabe bien que el problema ha sido elegido para hacerle adquirir
un conocimiento nuevo, pero debe saber también que este conocimiento está
enteramente justificado por la lógica interna de la situación y que puede
construir sin atender a razone didácticas. No solo puede, sino que también
debe, pues solo habrá adquirido este nuevo conocimiento cuando el mismo
sea capaz de ponerlo en acción, en situaciones que encontrara fuera de
todo contexto de enseñanza, y en ausencia de toda indicación intencional,
tal situación es llamada a-didáctica. (Brousseau 1986, p. 14)
-La Situación didáctica: es definida como:
[…] el maestro busca devolver al alumno una situación a-didáctica que
provoque en él una interacción lo, más independiente y lo más fecunda
posible. Para ello, comunica o se abstiene de comunicar, según el caso,
informaciones, preguntas, métodos de aprendizajes, heurísticas, etc. En
consecuencia, el enseñante está implicado en un juego con el sistema de
interacciones del alumno con los problemas que él le ha planteado. Este
LAS FRACIONES COMO DECIMALES Y PORCENTAJES TRABAJADAS DESDE EL CONTEXTO DE LOS
ESTUDIANTES
Sirley Quinchia
Edison Sucerquia
juego o esta situación más amplia es la situación didáctica. Brousseau,
(1986, p. 15)
-El trabajo del profesor: consiste en realizar una verificación las tareas hechas con los
estudiantes, esto será un punto de partida para la adquisición de los conceptos de manera
natural, además, debe estructurarlas de manera secuencial acorde al proceso del estudiante,
que definidas por Brousseau (1986)
El trabajo del profesor es en cierta medida inverso al del investigador, debe
producir una recontextualización y una repersonalización de los
conocimientos. Estos van a convertirse en conocimientos del alumno, es
decir una respuesta natural, en unas condiciones relativamente
particulares, condiciones indispensables para que tengan un sentido para
él. (p. 7)
-El trabajo del estudiante: a esta actividad Brousseau (1986) se refiere de la siguiente
manera:
Una buena reproducción por el alumno de una actividad científica exigiría
que intervenga, que formule, que pruebe, que construya modelos, lenguajes,
conceptos, Teorías, que los intercambie con otros, que reconozca los que
están conformes con la cultura, que tome los que le son útiles, etc. (p. 6)
De esta manera podemos decir que el estudiante debe encaminar la actividad matemática a la
investigación, formulación, planteamiento de hipótesis, verificación de los procedimientos
realizados y la toma de las cosas útiles que la cultura le ofrece.
Las Unidades Didácticas
En este trabajo de investigación se considera que una unidad didáctica va mucho más allá de
un conjunto de actividades, donde el estudiante puede interactuar con lo que ya sabe y a partir
de ahí construir un nuevo conocimiento. Se considera que una unidad didáctica mantiene una
secuencia jerarquizada según los temas a enseñar, teniendo en cuenta que su diseño no es un
mero recetario que se propone para la elaboración de un modelo, no hay un determinado
esquema para su construcción.
Según García (1994) las unidades didácticas las podemos definir como una:
LAS FRACIONES COMO DECIMALES Y PORCENTAJES TRABAJADAS DESDE EL CONTEXTO DE LOS
ESTUDIANTES
Sirley Quinchia
Edison Sucerquia
[…] unidad de trabajo, relativa a un proceso de enseñanza –aprendizaje,
articulado y completo; precisándose en ellos los contenidos, los objetivos,
las actividades de enseñanza aprendizaje y las actividades por la evaluación
y especificando que en estos elementos deben tenerse en cuenta los
diferentes niveles de la clase y desarrollar en función de ellos las necesarias
adaptaciones curriculares. (p.56)
METODOLOGÍA
Con la población objeto de estudio de este trabajo se ejecutó como una fase del mismo un
diagnóstico que como resultado nos permitió determinar que los estudiantes presentaban una
desmotivación frente a las actividades matemáticas y la aplicación de los conceptos a su
contexto. Además, presentan algunas dificultades en la comprensión de otros temas y las
metodología utilizadas por los profesores no abarcaban sus necesidades e intereses.
A partir de este diagnóstico se diseñó un pre-test, que permitió hacer un análisis de las
falencias conceptuales y necesidades, que tenían los estudiantes frente a la noción de fracción
y sus relaciones de equivalencia. Esto permitió que la unidad didáctica diseñada para la
intervención se enfocara en que el estudiante comprendiera y aplicará estas nociones a su
propio contexto.
Luego del desarrollo de la unidad didáctica se dará un post-test, que busca evaluar los
conocimientos y nociones que los estudiantes habían adquirido a través del proceso de
intervención.
Actualmente, el proceso de investigación se encuentra en su fase de análisis de resultados de
la metodología implementada y los alcances obtenidos.
SOBRE LA UNIDAD DIDÀCTICA
La propuesta se presenta en tres momentos:
El primer momento: se indagan con algunas preguntas orientadoras sobre las nociones que
tienen los estudiantes sobre la fracción como decimal, y algunas actividades.
 ¿Cómo podemos definir una fracción como decimal?
 ¿Cómo defines una fracción en porcentaje?
LAS FRACIONES COMO DECIMALES Y PORCENTAJES TRABAJADAS DESDE EL CONTEXTO DE LOS
ESTUDIANTES
Sirley Quinchia
Edison Sucerquia
 ¿La fracción, la fracción decimal y la fracción como porcentaje representan diferentes
cantidades?
 ¿Podemos identificar en situaciones de nuestro colegio y fuera de él donde se
evidencia la utilización de las fracciones?
En un segundo momento: se comprende dos actividades desarrolladas sobre la noción de
fracción como porcentaje, esto aplicado desde el mismo contexto de los estudiantes.
SITUACIÓN
El total del dinero de cada
estudiante es de $ 91.000
en billetes y $ 4.300 en
monedas. Dinero que
podrán invertir en la
tienda del colegio, pero
solo si se acogen a las
condiciones
que
el
profesor impuso para
poderlo gastar.
CONDICIONES
-Los hombres solo podrán
gastar en líquidos (gaseosa,
jugos y yogures) y mecato
en paquete (papitas, chitos,
etc.)
-Las mujeres solo podrán
comprar de los líquidos
jugos y comidas rápidas
(pasteles, empanadas, papas
rellenas, etc.)
-Lo único que podrán
comprar libremente son caja
de chicles, mentas y
confites
ACTIVIDAD
-Si cada uno de los hombres
del grupo 7º2 gasta el dinero
comprando 5 gaseosas y 6
paquetes de papitas ¿Qué
fracción de dinero se gasto?
-Representa esta cantidad en
facción decimal y en
porcentaje.
-¿Qué cantidad de dinero le
queda a cada hombre?
Representa esta cantidad
como fracción, fracción
decimal y como porcentaje.
El tercer momento: se dan dos actividades desarrolladas en una sola sesión, que buscan la
aplicación de los conceptos a situaciones de la cotidianidad del estudiante, donde la fracción
es comprendida y trabajada como decimal y como porcentaje.
Total estudiantes
del grado 7º2
38
Reggaetón
Vallenato
Balada
Salsa
Rock
15
6
4
7
6
Representa como decimal y como porcentaje la cantidad de estudiantes que le gusta el
reggaetón, la salsa, el vallenato, la balada y el rock.
LAS FRACIONES COMO DECIMALES Y PORCENTAJES TRABAJADAS DESDE EL CONTEXTO DE LOS
ESTUDIANTES
Sirley Quinchia
Edison Sucerquia
CONCLUSIONES
 La utilización de situaciones didácticas en el aprendizaje y enseñanza de la noción de
fracción y sus relaciones equivalentes, permite que el estudiante interactué entre los
conocimientos matemáticos y su contexto, motivándose hacia el estudio de las
matemáticas.
 La Unidad didáctica, confronta al estudiante con lo que sabe, y la manera en que lo
relaciona en su contexto, dándose un mayor acercamiento a la construcción de la
noción de fracción y su manifestación como decimal y porcentaje.
Bibliografía
 Brousseau, G. (1986). Fundamentos y didáctica de las matemáticas. Universidad de
Burdeos.
 García, F. (1994). Cómo elaborar Unidades Didácticas en la Educación. Barcelona:
Escuela Española.

Vasco, C. (1998). Constructivismo en el aula ¿Ilusiones o realidad?. Bogotá: Centro
Editorial Javeriano. .
Sirley Astrid Quinchía: es estudiante de la Licenciatura en Educación Básica con énfasis en
Matemáticas de la Universidad de Antioquia. Correo: [email protected]
Edison Sucerquia Vega: Es estudiante de maestría en Educación (Matemática) de la
Universidad de Antioquia y profesor de la Facultad de Educación de la misma Universidad.
Actualmente se desempeña como investigador del Grupo de investigación en Educación
Matemática e Historia (UdeA-Eafit) Correo: [email protected]
Para citar este artículo sugerimos la siguiente fuente:
Quinchía, S. A., & Sucerquia, E. (2008). Las fracciones como decimales y porcentajes
trabajadas desde el contexto de los estudiantes. En J. A. Villa, Y. M. Mesa, M. M. Parra, &
M. M. Zapata (Ed.), Actas estudiantiles de Educación Matemática. 1, pp. 77-82. Medellín:
Facultad de Educación-Universidad de Antioquia.
83
UN ACERCAMIENTO A LA ASTRONOMÍA Y A LAS MATEMÁTICAS A TRAVÉS
DE LA CARTA CELESTE
Lina López
Leidy Gutiérrez
María Milena Bedoya E.
Carlos Julio Echavarría Hincapié
Resumen
La utilización de herramientas como la Carta celeste, tuvieron gran
importancia en culturas como la egipcia para la determinación de la posición
de las estrellas y como referencia para navegar. En la actualidad estas
herramientas siguen siendo de uso frecuente por astrónomos y navegantes. En
este artículo mostraremos su uso como “herramienta didáctica” en la
construcción de conceptos matemáticos tales como la proporcionalidad y la
noción de variable. En nuestra práctica profesional docente hemos observado
que un trabajo de este tipo permite que los estudiantes puedan aproximarse a
los conceptos ya mencionados de una manera alterna a la tradicional,
permitiendo la identificación de regularidades y el establecimiento de
generalizaciones a partir de las maravillas del cielo.
Esperamos que con esta propuesta el maestro en formación adquiera una
visión cosmogónica que le permita reencontrarse con el origen de muchas
ideas matemáticas a través de la observación, la descripción y verbalización de
los elementos asociados al cielo, por medio de experiencias enmarcadas en la
metodología de Aula Taller.
Palabras clave
Proporcionalidad, Medición, Geometría, Constelaciones, Mitología, Tiempo, Latitud,
Orientación, Espacio, Perpendicularidad, Coordenadas Polares, Variable, Astronomía, Cielo
INTRODUCCIÓN
Varias fuentes relacionan el nacimiento de la astronomía con las primeras civilizaciones, un
ejemplo de ellas fue la babilónica de la que han encontrado algunos elementos arqueológicos
que permiten vincularlos con observaciones astronómicas registradas por medio de tablas. Es
como que es posible afirmar que:
Un acercamiento a la astronomía y a las matemáticas a través de la carta celeste
Lina López, Leidy Gutierrez, María Milena Bedoya E
Muchos años de observación sentaron las bases científicas de la astronomía
con explicaciones más aproximadas sobre el universo. Sin embargo, las
creencias geocentristas apoyadas por los grupos religiosos y políticos
impusieron durante muchos siglos un sistema erróneo, impidiendo además
el análisis y estudio de otras teorías1.
En esta ocasión daremos a conocer los principales elementos de la carta y el mapa celeste o
planisferio, elemento cartográfico más antiguo. Esta experiencia sobre la utilización de la
carta celeste nos permitirá comprender la formación que existe en el cielo y que se relaciona
en gran parte con las matemáticas. Una intervención en el aula usando estas herramientas
permite que los estudiantes tengan una experiencia diferente, de manera que logren acercasen
a un estudio del cielo y que es posible desde un punto de vista conceptual y didáctico,
teniendo en cuenta expresiones matemáticas en la medida en que reconocen las constelaciones
tanto en la carta celeste como en el cielo.
REFERENTES TEÓRICOS
La astronomía como ciencia tiene objetos de estudios que, al hacer un tratamiento didáctico
adecuado, pueden convertirse en objetos de enseñanza al interior del aula de clase.
La astronomía es la ciencia que pone al hombre en contacto directo con la inmensidad del
Universo y las maravillas que él contiene, indaga por la naturaleza física de los astros e
intenta comprender sus interacciones con las matemáticas. Su objeto de estudio son los
cuerpos celestes que a todos fascinan. Como disciplina científica, la astronomía se forjó
varios milenios antes de Cristo cuando se descubrieron ciertas regularidades en los
movimientos de los astros y se sacó provecho de ellas. Siglos antes de Cristo se diseñaron
sencillos métodos trigonométricos para calcular los tamaños del Sol y la Luna y distancias a
ellos, además de acertar con admirable precisión en el cálculo del tamaño de la Tierra. Se
Tomado de http://www.astromia.com/historia/ . consultado el 15 de noviembre de
2008
1
Un acercamiento a la astronomía y a las matemáticas a través de la carta celeste
Lina López, Leidy Gutierrez, María Milena Bedoya E
necesitó avanzar hasta el siglo XVII para iniciar el estudio de los aspectos físicos de los
cuerpos celestes y solo en el XX el hombre pisó una superficie extraterrestre2.
Algunos datos útiles.
Para empezar a utilizar una carta celeste, sólo debe tenerse un par de cosas en consideración.
Dado que las observaciones deben ser idealmente en sitios oscuros, la lectura de una carta
precisa necesariamente de una fuente de luz. En astronomía aficionada, la única luz
"permitida" es la que puede darnos una linterna roja (o bien una común que le hayamos
adaptado un celofán rojo); en pocas palabras, esto se debe a que la luz roja no afecta
mayormente la sensibilidad de nuestros ojos, y por tanto no nos "encandilaremos" (algo muy
molesto cuando se está en plena observación). El otro punto a considerar, es aprender unos
sencillos trucos para desplazarse en el cielo mediante los dedos de la mano o usando estrellas
de referencia. Tal como se dijo al principio, el aficionado sólo debe familiarizarse con las
estrellas más brillantes y comprender que la clave para ubicar las constelaciones radica en
simple geometría; la mayoría de las veces uno debe formar "triángulos", "rombos" o "curvas"
con las estrellas, y así fácilmente se llega a armar el conglomerado final, la constelación.
La carta celeste estándar muestra las constelaciones y principales estrellas del cielo, aunque
también es posible adaptarla para mostrar el cielo en una fecha, hora y ubicación
determinadas. Las constelaciones visibles en el cielo van variando a lo largo del año, y es
conveniente que el aficionado se familiarice con estos cambios mediante distintas cartas
estelares, así como con los múltiples programas astronómicos. Las únicas nociones básicas
que deben conocerse para sacar el máximo provecho a una carta estelar, son las relacionadas
con coordenadas celestes: además de ser muy simples de aprender, las coordenadas son un
pilar básico para entender una carta celeste que de por sí utiliza estos recursos (ej. líneas de
declinación, ascensión recta, zénit, etc.). Aunque a primera vista esto parezca difícil, no hay
que olvidar que la observación a cielo abierto es prácticamente análoga a estar observando
nuestra propia geografía terrestre; al igual que la Tierra, el cielo (o más bien la bóveda
2
Extraído de http://atlas.puj.edu.co:8080/ingenieria1/Cursos/Fisica/300FIH001.html, el 17 de
noviembre de 2008.
Un acercamiento a la astronomía y a las matemáticas a través de la carta celeste
Lina López, Leidy Gutierrez, María Milena Bedoya E
celeste) está seccionado en líneas. En otras palabras, nuestra carta celeste es el mapa
geográfico de un enorme país que es la bóveda celeste3.
Figura No. 1.Representación de las constelaciones en el cielo terrestre.
ELEMENTOS DE NUESTRA PROPUESTA.
La carta celeste nos permite acercarnos a algunos elementos de la Astronomía, a través de
procesos de experimentación y darle un sentido a las ideas matemáticas que hemos venido
desarrollando en los diferentes espacios de conceptualización, propiamente en la práctica
profesional I y II donde se ponen en escena ideas del Universo en el desarrollo de la física, la
matemática y otras ciencias como la meteorología y la astronomía, que se han aplicado de
diversas maneras en los diferentes centros de práctica en los que hemos intervenido;
actividades como ésta, nos permiten la interacción del estudiante con su entorno y además una
investigación acerca de la proporcionalidad y abordar la idea de variable dentro del campo de
las matemáticas, haciendo referencia a las Didácticas de las Matemáticas enmarcadas en los
procesos de variación y cambio, comprendidos en el Pensamiento variacional y sistemas
algebraicos y analíticos. así también como
los de medición,
retomando autores como
Dickson (1991), Mason (1999), entre otros.
3
extradído de http://74.125.45.132/search?q=cache:CsgWRS6JroJ:www.austrinus.com/12/mapas.html+Para+empezar+a+utilizar+una+carta+celeste,+s%C3%B3lo+debe+tene
rse+un+par+de+cosas+en+consideraci%C3%B3n.+Dado+que+las+observaciones+deben+ser+idealmente+en+si
tios+oscuros,+la+lectura+de+una+carta+precisa+necesariamente+de+una+fuente+de+luz.+En+astronom%C3%
ADa+aficionada,+la+%C3%BAnica+luz+%22permitida%22+es+la+que+puede+darnos+una+linterna+roja+(o+
bien+una+com%C3%BAn+que+le+hayamos+adaptado+un+celof%C3%A1n+rojo)%3B+en+pocas+palabras,+e
sto+se+debe+a+que+la+luz+roja+no+afecta+mayormente+la+sensibilidad+de+nuestros+ojos,+y+por+tanto+no
+nos+%22encandilaremos%22+(algo+muy+molesto+cuando+se+est%C3%A1+en+plena+observaci%C3%B3n)
.&hl=es&ct=clnk&cd=1&gl=co&client=firefox-a el 29 de noviembre de 2008
Un acercamiento a la astronomía y a las matemáticas a través de la carta celeste
Lina López, Leidy Gutierrez, María Milena Bedoya E
Además, se utilizaron instrumentos como: La observación directa, los cuadernos de los
estudiantes, las encuestas realizadas a estudiantes y docentes, el diario de campo, el
diagnóstico inicial, los talleres dirigidos enmarcados a la astronomía.
A MODO DE CIERRE.
Con la implementación de esta propuesta en las aulas de clase, hemos comprendido la utilidad
de la geometría en el momento en que consideramos la representación de las constelaciones
en la carta Celeste. De igual manera alcanzamos a visualizar una forma de concebir ideas de
las matemáticas y la astronomía a través de este tipo de experiencias.
Rescatamos el valor y aprovechamiento del saber cotidiano, ya que nos permite diseñar
experiencias que nos ayudan a comprender algunos de los principios que se rigen en el cielo.
Finalmente con este trabajo se han impulsado y fortalecido los grupos de astronomía de las
diferentes instituciones en las cuales estamos realizando nuestra práctica docente (CEFA,
Bello, Girardota y Rionegro) donde la astronomía ha sido una actividad permanente y de
mayor alcance académico.
Bibliografía
 Valverde Ramírez, Lourdes. (2000) Sistematización de experiencias significativas en
didáctica de las matemáticas. Cuaderno pedagógicos, (13).
MEN. (2004). “Pensamiento variacional y tecnologías computacionales”. Bogotà
 MEN. (1998). Lineamientos curriculares de matemáticas. Santafé de Bogotá:
Magisterio.
 Dickson, Linda (1991) El Aprendizaje de las Matemáticas. Barcelona: P. imprenta
Un acercamiento a la astronomía y a las matemáticas a través de la carta celeste
Lina López, Leidy Gutierrez, María Milena Bedoya E

García. José Antonio. Astronomía Básica Ediciones. científicas universitarias.
Universidad de Antioquia.
 http://www.mailxmail.com/curso/excelencia/astronomia/capitulo76.html
 http://www.austrinus.com/12/mapas.html
Lina López, Leidy Gutiérrez, María Milena Bedoya E: Son estudiantes de la Licenciatura
en Educación Básica con énfasis en Matemáticas de la Universidad de Antioquia. Correos:,
[email protected], [email protected]
Carlos Julio Echavarría Hincapié: Es profesor de la Facultad de educación de la
Universidad de Antioquia. Correo: [email protected]
Para citar este artículo sugerimos la siguiente fuente:
López, L. M., Gutiérrez, L, Bedoya, M.. M. & Echavarría, C. J. (2008). Un acercamiento a la
astronomía y a las matemáticas a través de la carta celeste. En J. A. Villa, Y. M. Mesa, M. M.
Parra, & M. M. Zapata (Ed.), Actas estudiantiles de Educación Matemática. 1, pág.83-88.
Medellín: Facultad de Educación-Universidad de Antioquia.
89
NUESTRA EXPERIENCIA EN LA PRÁCTICA DOCENTE
Catalina Bermúdez
Maribel Zuluaga
Carlos Julio Echavarría
Resumen
En este documento presentamos algunas consideraciones producto de la
reflexión realizada en nuestra práctica profesional en modalidad de
pasantía, en ella hemos indagado sobre la forma en que aprenden los
estudiantes en diferentes Instituciones Educativas y municipios del
departamento, entre ellas: Institución Educativa Santo Tomás de Aquino
(Titiribí), Presbítero Eduardo Arias Reynel, Presbítero Luis Eduardo
Pérez Molina, Manuel José Caicedo, El Yarumito, El Hatillo (Barbosa),
Andrés Bello (Bello), Colegio Campestre Horizontes (Rionegro) y el
Centro Formativo de Antioquia (Medellín), además de identificar las
diferentes variables sociales y cognitivas que se pueden presentar.
Durante este año de práctica docente, en las instituciones que se
visitaron se desarrollaron actividades matemáticas relacionadas con la
meteorología y la astronomía en los grados de 3° a 11º, donde los
estudiantes por medio de la orientación docente y el material tangible
construyen su conocimiento. En estas instituciones educativas pudo
observarse contextos, los cuales nos permitieron diseñar diferentes
actividades utilizando además la metodología de Aula Taller.
Palabras clave
Contextos, conceptos matemáticos, meteorología, astronomía, variable, Aula Taller
INTRODUCCIÓN
La multiplicidad de contextos en los cuales se ven inmersos los procesos educativos en
las instituciones escolares de nuestra región, parecen validar la aserción “La
educación no es un estándar”, esta afirmación, conjugada con la experiencia que
hemos tenido en los diferentes lugares y contextos escolares, nos permite confirmar la
importancia de los contextos socioculturales en el desarrollo de una matemática en la
escuela; además, gracias a la integración de las matemáticas con otras ciencias, hemos
visto estrategias de enseñanza y de aprendizaje realmente significativos en los
estudiantes, en el momento de desarrollar las actividades propuestas.
90
ALGUNOS CONTEXTOS EN LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA.
Nuestra práctica ha estado enmarcada en su mayor parte, en la modalidad de pasantía,
en los Municipios de Barbosa, La Ceja, Titiribí, Rionegro, Bello y Medellín. Dicha
modalidad consiste en vivir diferentes contextos tanto sociales como escolares, por
semanas no consecutivas durante toda la jornada escolar. En dichos espacios nuestro
deber es apoyar las diferentes actividades académicas y no académicas de las
instituciones. En la narrativa de este documento, cuando hablamos de contextos
escolares o educativos, nos referimos al conjunto de vivencias presentadas en la
institución en cada jornada.
Hablaremos entonces un poco de cada institución a la que hemos tenido la oportunidad
de asistir y conocer su contexto.
Es importante mencionar además que algunas de dichas instituciones son de carácter
oficial mientras que otras de carácter privado, con algo en común, todas ubicadas en el
departamento de Antioquia.
En cuanto a las instituciones privadas podemos decir que cuentan con una gran
estructura física y grupos máximo de 24 estudiantes como es el caso del Colegio
Campestre Horizontes, es además un colegio donde nos permitieron realizar pequeñas
“locuras educativas” que implicaron la participación de algunos estudiantes. Tomando
en cuenta ésto realizamos un proyecto donde pretendíamos crear una estación
meteorológica con los estudiantes de 5°, cumpliendo con la planeación realizada por la
profesora cooperadora.
Otra institución enmarcada en el sector privado es la I.E. San Francisco de Asís del
municipio de Bello, de la que podemos decir cuenta con 35 estudiantes por aula
aproximadamente, Es una institución con una estructura administrativa un poco más
rígida en la medida que sólo se puede realizar lo que está diseñado en el Proyecto
Educativo Institucional (PEI), por lo tanto no se permitió realizar estas “locuras
educativas".
Dentro del sector oficial tenemos la I.E. Santo Tomás de Aquino del municipio de
Titiribí, es la única institución de la cabecera municipal. Esta tiene tres sedes, en la
primera se encuentran los grados primero, segundo y tercero, en la segunda están los
grados preescolar, cuarto y quinto; en la tercera está el bachillerato. Estas sedes son
relativamente amplias, en cada grupo hay entre 45 y 50 estudiantes, también
encontramos un grado quinto que es llamado el grupo de aceleración; en éste se
encuentran los estudiantes de diferentes edades que por algún motivo desertaron
anteriormente de la institución.
91
Una de las problemáticas de esta institución radica la dificultad de sus egresados para
continuar sus estudios de educación Superior. Cerca de 200 estudiantes viven en un
hogar juvenil campesino donde duermen y comen durante la semana, al llegar el fin de
semana se van para sus casas ubicadas en las veredas del pueblo. La principal
alternativa de trabajo que se les presenta luego de terminar su periodo escolar es trabajar
en las minas.
Dentro de las Instituciones del municipio de Barbosa los estudiantes tienen diferentes
expectativas de vida, entre algunas: continuar sus estudios en la universidad a través del
programa de minorías o empezar su actividad laboral en las fincas de la región.
La dinámica de nuestra pasantía se desarrolló de la siguiente forma: mientras una
compañera se encontraba en la I.E Santo Tomas de Aquino del municipio de Titiribí
otra se encontraba en el Colegio Campestre Horizontes del municipio de Rionegro.
Ambas con un mismo propósito, acompañar las docentes enlaces de cada institución,
vivir cada contexto y finalmente enriquecernos a partir de las experiencias vividas en el
momento de la socialización.
Ahora describiremos algunas de las actividades que se realizaron en las instituciones
educativas y compararemos las diferentes formas de aprender de algunos estudiantes de
cada institución.
En el área de Matemáticas se trabajó la Geometría fractal, en la Institución Educativa
Santo Tomás de Aquino y María Josefa Marulanda de los municipios de Titiribí y la
Ceja respectivamente, con esta actividad trabajamos alrededor de la proporcionalidad y
con ésta los conceptos de semejanza (autosemejanza), iteración, dimensión y
escalamiento, también pudimos observar como los niños de Santo Tomás de Aquino
pueden establecer con mayor facilidad relaciones de proporcionalidad a partir de la
razón mientras que las niñas de La Ceja lo hacían por estimación. Ésto debido a que en
la primera Institución su docente tenía motivación y disponibilidad de tiempo para
dedicarle a sus estudiantes en actividades extracurriculares en modalidad de semillero,
mientras que en la segunda sólo se trabaja lo planeado por la docente en sus clases que
implicaba una falencia en el desarrollo del concepto de proporción o razón.
En Astronomía se trabajó el sistema solar a escala, sus distancias con respecto al sol, en
las instituciones educativas El Hatillo y Andrés Bello de los municipios de Barbosa y
Bello respectivamente. Aquí se trabajaron procesos de medición, escalamiento y
relaciones de proporcionalidad. En la I.E. el Hatillo los niños lograron realizar las
medidas sin mayor dificultad mientras que en la I.E. Andrés Bello se les presentó mayor
dificultad para realizar este trabajo necesitaron la ayuda de las profesoras, en cuanto las
relaciones de proporcionalidad, en ambos grupos pudimos observar que algunos logran
establecer relaciones y decir cuántas veces es una distancia en otra, ésto debido a que en
el Municipio de Barbosa los estudiantes están interesados en los procesos de medición
porque ellos viven en ambientes de la agricultura, mientras que los niños de Bello están
92
más interesados en la vida sociocultural y es poca la relación que le encuentran de lo
que se hace con su entorno. En la institución el Hatillo los niños presentan menos
problemas en los procesos de medición ya que en su contexto tienen mayor posibilidad
de medir desde sus terreno, hasta cultivos e incluso a la hora de trabajar la madera,
mientras que la I.E. Andrés Bello las posibilidades de medir son pocas ya que no se ven
en esta necesidad de manera tan directa, debido a que su entorno está mas permeado de
situaciones y productos que previamente ya encuentran medidos. En Meteorología se
realizó el estudio de las variables del tiempo atmosférico, en el Colegio Campestre
Horizontes (de carácter privado, del municipio de Rionegro) y Nuestra Señora del
Carmen (de carácter público, en la vereda Encenillos del municipio de Girardota).
En cada una de estas Instituciones se realizó la construcción de los instrumentos de
medida, como: la veleta, el anemómetro, el pluviómetro, el barómetro y se trabajaron
las ideas de presión atmosférica, clasificación y cuantificación de nubes, velocidad y
dirección del viento, cantidad de lluvia que cae en un lugar, la humedad relativa y la
temperatura, todas estas ideas relacionadas con la matemática.
En Encenillos se trabaja con 15 estudiantes que hacen parte de un semillero que ellos
mismos formaron, con los que querían pertenecer a éste. Ellos viven alrededor de la
Institución por lo que gracias a la “cercanía”, aunque hay un estudiante que debe
caminar una hora y cuarto para llegar al colegio. Mientras que en el Colegio Horizontes
son 34 estudiantes. Este trabajo fue tomado como un proyecto de aula, todos estos
estudiantes llegan en transporte o sus padres los llevan en carros particulares.
Los fines de semana en la institución de Encenillos, el estudiante que vive más cerca a
la institución toman los datos, mientras que en el colegio Campestre es el mayordomo el
que realiza esta toma.
Cuando se trabajaban los conceptos relacionados con estas variables, en la institución de
Encenillos, los estudiantes realizaban preguntas que se respondían por medio de
experiencias y construían con éstas sus propias conclusiones, que eran socializadas entre
todos los asistentes, mientras que en el colegio Horizontes se realizaban las
experiencias, que tenían relación con cada concepto, pero no llegaban a las conclusiones
que pretendíamos lo hicieran por sí sólo, siempre había que realizar preguntas
orientadoras para llegar a las ideas que se desarrollan, esto es debido a que los niños de
Encenillos viven más cerca lo del clima, pues la relación es directa por los cultivos de
sus hogares y también porque ellos caminan hacia la Institución, mientras que los
estudiantes de Rionegro, no viven tan cerca éste porque viven en un mundo más ficticio,
por medio de la rumba y los medios de comunicación tales como el internet, pues es
para ellos es màs valioso saber cual es el clima de Europa o Estados Unidos para saber
que ropa utilizar en sus vacaciones, además todos llegan en carros al Colegio.
Con estos dos grupos se vivieron cosas interesantes pero con diferencias, por ejemplo la
buena permanencia de los niños de la institución rural en asistir a jornadas contrarias a
93
las de estudio, para el desarrollo de este proyecto y resaltar en ellos la toma de datos
constante para así encontrar la historia del clima de este lugar. En el privado éste
proyecto se realizó para los 34 estudiantes del grado quinto, éste se desarrollaba en sus
clases regulares de matemáticas, pero la constancia en la toma de datos no era tan
frecuente como en la rural, pues estos niños no tuvieron la disciplina de tomar los
datos todos los días a la misma hora, pues ellos expresan que ésto es muy monótono,
ésto se puede dar porque en la institución de Encenillos hay más motivación y
compromiso, mientras que en el colegio Horizontes los estudiantes debían verlos por ser
un proyecto de aula, donde incluían a todos los estudiantes. La propuesta en este colegio
es seguir con el proyecto, pero desarrollándolo en forma de semillero con los
estudiantes que realmente quieran estar en estas actividades extracurriculares.
CONCLUSIONES
La práctica hecha en modalidad de pasantía es significativa para nosotros, los maestros
en formación, porque nos permite vivir las realidades de las Instituciones Educativas.
Esta experiencia ha sido muy agradable ya que nos ha permitido aprender de cada
institución sus problemáticas académicas, su contexto social y su influencia en la
escuela. Además ver cómo a pesar de las diferencias también tienen puntos en común
por ejemplo, la matemática escolar en cada institución difiere de la matemática formal
enseñada en la Universidad.
En cuanto al desarrollo de un pensamiento matemático, siempre será posible trabajar
sobre él, sin embargo será diferente según el lugar y las personas que acompañen los
procesos, pues como se ha podido observar, los estudiantes aprenden a diferentes
ritmos ya que su contexto influye en los procesos matemáticos.
Catalina Bermúdez y Maribel Zuluaga: Son estudiantes de la Licenciatura en
Educación Básica con énfasis en Matemáticas de la Universidad de Antioquia. Correos:,
[email protected] , [email protected]
Carlos Julio Echavarría Hincapié: Es profesor de la Facultad de educación de la
Universidad de Antioquia. Correo: [email protected]
Para citar este artículo sugerimos la siguiente fuente:
Bermúdez C., Zuluaga M & Echavarría, C. J. (2008).Nuestra experiencia en la práctica
docente. En J. A. Villa, Y. M. Mesa, M. M. Parra, & M. M. Zapata (Ed.), Actas
estudiantiles de Educación Matemática. 1, pp. 89-93. Medellín: Facultad de EducaciónUniversidad de Antioquia.
94
UN ACERCAMIENTO A LOS PROCESOS DE MEDICIÓN, A PARTIR DE LA
METEOROLOGÍA: PLUVIÓMETRO Y ANEMÓMETRO.
Yeni Marcela Betancur
Lina Álvarez Ríos
Susana Hernández C.
Carlos Julio Echavarría
Resumen
En este documento presentamos una propuesta surge de la experiencia que
hemos venido realizando en diferentes contextos, especialmente con los grados
quintos del colegio campestre Horizontes del municipio de Rionegro. Con la
propuesta, pretendemos acercar a los estudiantes a los procesos geométricos,
de medición, toma y sistematización de datos, procesos de generalización y
modelación matemática, mediados por el estudio de las ciencias del cielo: la
Meteorología y la Astronomía.
El desarrollo de la propuesta permite acercar a los maestros en formación a
nuevas metodologías (Aulas Taller) que incluye el estudio de las ciencias
dentro de los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas.
Esperamos generar reflexiones e inquietudes en los maestros en formación,
para que se cuestionen y busquen nuevas metodologías encaminadas al
desarrollo de las ideas matemáticas y al mismo tiempo, que conozcan un poco
sobre el pluviómetro, el anemómetro y la rosa de los vientos y todas los
conceptos matemáticos inmersos en los mismos.
Palabras clave
Procesos de medición, Aula Taller, Meteorología, Pluviómetro, Anemómetro
INTRODUCCIÓN
La propuesta que presentaremos surge de las diferentes reflexiones y experiencias que se han
llevado a cabo dentro de la práctica profesional, enmarcada en el programa de Licenciatura en
Educación Básica con énfasis en matemáticas de la UdeA. En dicho espacio surge la
propuesta y desarrollo de un proyecto de meteorología, dirigido a desarrollar en los
estudiantes procesos geométricos, de medición, toma y sistematización de datos, a la vez
procesos de generalización y modelación matemática.
Un acercamiento a los procesos de medición a partir de la Meteorología; El fluviómetro y en Anemómetro
Yeni Marcela Betancur, Lina Álvarez Ríos y Susana Hernández C.
Con la presentación de este taller, pretendemos que los maestros en formación de la
licenciatura construyan visiones alternativas que les permita acercarse de una manera
experimental y didáctica al saber matemático, estableciendo relaciones con otras áreas del
conocimiento y propiciando en los estudiantes niveles de pensamiento encaminados al
desarrollo de los procesos variacionales a partir de la metodología de Aula Taller.
Este taller hará énfasis en el análisis y estudio de la Meteorología a partir del manejo del
pluviómetro y el anemómetro, el cual se llevara acabo en cuatro momentos:
1. Breve descripción de la propuesta.
2. Análisis y estudio del Pluviómetro y el Anemómetro, asociados a las ideas
matemáticas.
3. Actividad a desarrollar: Rosa de los vientos.
4. Discusión y conclusiones.
REFERENTES TEÓRICOS.
Para este avance del trabajo, hemos retomado algunos elementos que caracterizan la
meteorología como una ciencia y algunas implicaciones para su incorporación en el aula de
clase: Al respecto en Ministerio de Educación Nacional afirma que:
La meteorología entendida como la ciencia encargada del estudio de los fenómenos
atmosféricos; ha tomado gran importancia en la actualidad debido a los fenómenos
climáticos que se presentan y es generadora de grandes inquietudes en los estudiantes,
quienes se cuestionan por aspectos tales como: ¿Por qué llueve?, ¿se pueden
cuantificar las nubes?, ¿Qué es el viento?, entre otras. Es por esta razón que la
consideramos como un medio generador de motivaciones y de ideas matemáticas, en
donde adquiere sentido muchas actividades que se realizan dentro del aula de clase,
como son los procesos de medición; pues tal como lo plantea los lineamientos
curriculares estos procesos solo han sido abordados desde la aritmética dejando a un
lado la experiencia misma de medir y de construir los conceptos de cada magnitud, al
respecto dice Osborne. (Retomado por MEN 1998)
Un acercamiento a los procesos de medición a partir de la Meteorología; El fluviómetro y en Anemómetro
Yeni Marcela Betancur, Lina Álvarez Ríos y Susana Hernández C.
En las escuelas actuales, gran parte de lo que se aprende sobre medición es de
naturaleza puramente incidental. Los conceptos de medida aparecen en situaciones
cuyo propósito es enseñar y aprender sobre el número. Se supone que la medida es
intuitiva y está lo suficientemente poseída y comprendida por los alumnos como para
servir de marco intuitivo en cuyo seno explicar las operaciones aritméticas. Tal
presunción ha de ser puesta en tela de juicio. Además, la naturaleza de la forma en
que los niños aprenden a medir y se valen de medidas en el contexto de esta
transferencia exige cuidadosa atención. (p. 62)
Las principales reflexiones sobre la incorporación de la meteorología en el aula de clase, han
sido producto de grupo Ábaco del a Universidad Nacional sede Medellín. Al respecto afirman
que:
Donde el conocimiento se adquiere por descubrimiento y asimilación propios (no por
imposición), despertando curiosidad en torno al tema o problema planteado. En el
taller, los jóvenes tienen la oportunidad de construir estrategias de pensamiento de
forma colectiva y participativa colocándose en el doble papel de beneficiario y
constructor del conocimiento. Esta es la semilla para la construcción de una
metodología de trabajo interdisciplinario y de trabajo en grupo.
A partir del estudio del pluviómetro y el anemómetro los cuales son considerados como
instrumentos de medición de la cantidad de lluvia y la velocidad del viento respectivamente se
pueden abordar conceptos matemáticos como unidades de volumen, unidades de área,
longitud de la circunferencia, procesos de conservación, el tiempo, cuerpos geométricos, las
coordenadas polares entre otros. Invitamos a los lectores para que visiten el sitio
http://abaco.unalmed.edu.co/aulas/ donde podrán acceder a mayor información sobre este
proceso.
METODOLOGÍA.
La metodología a utilizar será la de Aula Taller, la cual consistirá en explicar conceptos
básicos que le permita al asistente comprender y realizar la actividad (Rosa de los vientos).
Posteriormente se le entregará a cada participante, una fotocopia con las coordenadas polares
Un acercamiento a los procesos de medición a partir de la Meteorología; El fluviómetro y en Anemómetro
Yeni Marcela Betancur, Lina Álvarez Ríos y Susana Hernández C.
y se proyectará, en diapositivas unos datos referentes a la dirección del viento, los cuales
deberán localizar en la rosa de los vientos y permitirles concluir el comportamiento de los
vientos en un tiempo determinado en la ciudad de Medellín.
A MANERA DE CIERRE.
Con la implementación de este taller se espera lograr en los asistentes, una disposición hacia
nuevas propuestas de intervención en el aula, construyendo el conocimiento matemático a
partir de la interdisciplinaridad con otras áreas del saber. De igual manera, nos proponemos
lograr que los asistentes se acerquen a conceptos e ideas meteorológicas a partir de
experiencias sobre el Pluviómetro y el Anemómetro. Evidenciar ideas matemáticas desde
otras ciencias del conocimiento que están relacionadas netamente con la experimentación,
observación y construcción de aprendizajes significativos que involucra los contextos de los
estudiantes.
BIBLIOGRAFÍA
Dickson, L.; Brown, M & Gibson, (1991). El aprendizaje de las matemáticas, Barcelona:
Labor S. A 1991.
Un acercamiento a los procesos de medición a partir de la Meteorología; El fluviómetro y en Anemómetro
Yeni Marcela Betancur, Lina Álvarez Ríos y Susana Hernández C.
Ministerio de Educación Nacional (1998). Lineamientos Curriculares de Matematicas.
Bogotá: Magisterio
Historia del grupo Ábaco.con acceso a través de_ http://abaco.unalmed.edu.co/aulas/
Yeni Marcela Betancur, Lina Álvarez Ríos y Susana Hernández C. Son estudiantes de la
Licenciatura en Educación Básica con énfasis en Matemáticas de la Universidad de
Antioquia. Correos: [email protected], [email protected];
[email protected]
Carlos Julio Echavarría Hincapié: Es profesor de la Facultad de educación de la
Universidad de Antioquia. Correo: [email protected]
Para citar este artículo sugerimos la siguiente fuente:
Betancur Y. M., Álvarez, L., Hernández, S & , Echavarría, C. J. (2008). Un acercamiento a
los procesos de medición a partir de la Meteorología; El fluviómetro y en Anemómetro. En J.
A. Villa, Y. M. Mesa, M. M. Parra, & M. M. Zapata (Ed.), Actas estudiantiles de Educación
Matemática. 1, pp. 94-98. Medellín: Facultad de Educación-Universidad de Antioquia.
99
DE LO CONCRETO A LO ABSTRACTO
Tanith Ibarra Muñoz
Vanessa Moreno Yepes
Natalia Ramírez Agudelo
Mauricio Ruíz Vahos
Resumen:
El presente artículo pretende mostrar a los maestros en formación, una
propuesta para implementar en el aula en la que se pueda desarrollar
procedimientos para que los estudiantes, al tener referentes para los símbolos,
puedan llegar a generalizar las reglas básicas de la aritmética dentro de un
sistema de símbolos abstractos que comprendan los Números Enteros. Tal fin
se ha materializado en la elaboración de una guía que permita la conexión de
Números Enteros con referentes concretos, en este caso con cuadros de dos
colores. Finalmente, se presentan unas conclusiones que se esperan lograr al
terminar el taller, mostrando a los futuros docentes cómo crear ambientes de
aprendizaje significativo.
Palabras clave:
Símbolo, Referentes, Números enteros, Generalización, Operaciones básicas.
INTRODUCCIÓN
El paso de los sistemas concretos a los abstractos ha generado un interés especial de la
comunidad en Educación Matemática gracias a que de éste depende del significado que
represente el álgebra escolar. Una mirada a la historia permite otorgarle estatus de
“dificultuoso” el trabajo con los Números Enteros gracias a su pobreza en lo que a
representación de los mismos se refiere. En la escuela el panorama no varía mucho, por tal
razón asumimos como base los elementos abordados en el espacio de Seminario Integrativo V
– Didáctica del álgebra de nuestra licenciatura, para tomar la iniciativa de compartir nuestra
reflexión y propuesta didáctica que tiene como fin la construcción de las operaciones básicas
con números enteros por medio del diseño de una guía de trabajo referenciados en la
producción de James Hiebert (1988), reflexionando en el proceso que requiere el estudiante
De lo concreto a lo abstracto
Tanith Ibarra Muñoz
Vanessa Moreno Yepes
Natalia Ramírez Agudelo
para dotar de significado a un símbolo matemático y la importancia que éste reviste en otros
procesos propios de la matemática.
De aquí vemos la importancia de proyectar esta experiencia significativa a docentes en
formación y en ejercicio, para que adquieran estrategias didácticas para que proporcionen a
sus estudiantes herramientas necesarias para el desarrollo del pensamiento matemático.
REFERENTES TEÓRICOS.
Este trabajo toma como marco de referencia la teoría para desarrollar competencia con
símbolos matemáticos de Hiebert (1988), por sus aportes al campo de la didáctica del álgebra,
y en ella afirma que:
Los símbolos son entidades que representan o toman el lugar de algo. Las
entidades mismas pueden tomar una variedad de formas, desde objetos
concretos hasta marcas en un papel. Los símbolos que se pretenden trabajar son
las marcas establecidas escritas que representan cantidades y operaciones sobre
las cantidades. (p. 2)
Por otro lado Hiebert (1988, p.2) se refiere a Goodman (1968), para
[proponer] una distribución entre símbolos que se pueden copiar exactamente y
aquellos que no. Los símbolos copiables pueden ser reproducidos por personas
diferentes en diferentes ocasiones, sin perder su identidad. Ejemplos de estos
son las partituras musicales, el idioma español y las notaciones matemáticas.
Símbolos no copiables pierden su identidad cuando se producen leves cambios
en su apariencia física.
Es importante notar que los sistemas de símbolos escritos son sólo uno de los lenguajes
de las matemáticas (Goldin, 1982; Lesh, Landan y Hamilton, 1983). El lenguaje
natural y los modelos concretos tales como los bloques de Dienes y las barras de
Cuisenaire, son ejemplos de otros sistemas de representación que pueden ser usados
De lo concreto a lo abstracto
Tanith Ibarra Muñoz
Vanessa Moreno Yepes
Natalia Ramírez Agudelo
para describir ideas matemáticas. Sin embargo, es importante notar que la matemática
escolar, depende en última instancia de los símbolos escritos (Woodrow; 1982,
retomado por Hiebert (1988, p. 3).
La teoría propone una sucesión de procesos cognitivos que se acumulan para
producir competencia con símbolos matemáticos escritos. Se pueden identificar
cinco tipos de procesos. Cada tipo de proceso debe ser abordado en una
secuencia. El resultado de un proceso previo hecha las bases del siguiente
proceso. De esta manera, el conocimiento previo y la práctica, parecen ser
cruciales para el aprendizaje posterior. Hiebert (1988, p. 4)
1. Conectar los símbolos con los referentes: Para conectar los
símbolos escritos con referentes cuantitativos apropiados, los
estudiantes deben familiarizarse con cantidades relevantes y
acciones sobre las cantidades, y deben familiarizarse con los
caracteres escritos que van a representar las cantidades y las
acciones. Entonces ellos deben crear una correspondencia entre
caracteres escritos y las cantidades o acciones a las cuales ellos se
refieren. Hiebert (1988, p. 4)
En aritmética existen dos tipos de signos escritos: aquellos que representan cantidades (2,
31/2, 1.6) y aquellos que representan acciones u operaciones sobre cantidades (+, -)
Existen dos tipos de conexiones:
 Conexión de los símbolos que representan cantidades con los referentes: en el ejemplo
que se presenta a continuación vemos como buscan darle significado a símbolos a
partir de referentes como lo son los cuadrados de colores, donde cada cuadrado va a
representar una unidad de medida y dependiendo del color es positiva o negativa.
De lo concreto a lo abstracto
Tanith Ibarra Muñoz
Vanessa Moreno Yepes
Natalia Ramírez Agudelo
Ejemplo: Consideremos a los cuadrados oscuros como unidades positivas y a los blancos
como unidades negativas y a partir de esto construye en cartulina, 20 cuadrados que
representen unidades negativas y positivas como se muestra en la figura.
Unidades Negativas
Unidades Positivas
El cero es un equilibrio, entonces se representa como:
También los números enteros tienen representaciones diferentes, por ejemplo +1 ó -1 pueden
representarse así:
 Conexión que se da entre los símbolos de operaciones y de acciones sobre cantidades:
aquí se trata es darle un significado al símbolo que representa una acción sobre las
cantidades y establecer entre ellos una conexión. En el caso siguiente dotamos de
significado al símbolo de la adición relacionándolo con el hecho de unir y al de la
sustracción con el de quitar, estableciendo una conexión entre el símbolo de cantidad y
el símbolo de operación.
Así, los símbolos numéricos deben tener conexiones bien establecidas con cantidades
referentes, antes de que el símbolo operacional pueda ser conectado con acciones
sobre cantidades (Hiebert, 1988).
Ejemplo:
Para sumar (+1) + (-2) procedemos así:
Para restar (-1) – (-2), a (-1) se le quita (-2).
Le quito
-1
-2
De lo concreto a lo abstracto
Tanith Ibarra Muñoz
Vanessa Moreno Yepes
Natalia Ramírez Agudelo
2. Desarrollo de los procedimientos para manipular los símbolos: Los
procedimientos son formulados manipulando los referentes de los símbolos
individuales, observando los resultados y entonces llevando a cabo la acción
sobre los referentes paralelamente con la acción sobre los símbolos ( …). El
criterio primordial para el éxito en el desarrollo de los procedimientos de
símbolos es la validez, cuando la validez es cierta en el mundo de los
referentes. “Una regla es válida, y genera una respuesta correcta con
símbolos si ésta refleja fielmente la validez de los referentes” Hiebert (1988,
p.4)
Para sumar (+1) + (-2) procedemos así:
Para restar (-1) – (-2), a (-1) se le quita (-2).
Le quito
-1
me queda
-2
+1
En este proceso hemos establecido procedimientos para la adición y sustracción de números
enteros y hemos logrado a partir de conexiones establecidas anteriormente llegar a resultados.
3. Elaborando procedimientos para los símbolos: La elaboración de
procedimientos para los símbolos, que ya han sido desarrollados, y
extenderlos a situaciones nuevas o más complejas requiere de un proceso de
reflexión en las reglas o procedimientos. Hiebert (1988, p.11)
El poder de la Matemática proviene no de las conexiones entre símbolos y
referentes, sino del hecho que los símbolos pueden ser manipulados sin relación
a los referentes. Ellos se pueden deslastrar de referentes particulares y de ésta
De lo concreto a lo abstracto
Tanith Ibarra Muñoz
Vanessa Moreno Yepes
Natalia Ramírez Agudelo
forma generalizarse, representando una infinita variedad de situaciones de
cantidades específicas. Hiebert (1988, p.10).
El tercer proceso en la teoría consiste en analizar y elaborar reglas de manipulación de los
símbolos. La elaboración de reglas puede tomar dos formas distintas:
 La elaboración puede ser en forma directa si el problema nuevo es equivalente al viejo
en todos los aspectos importantes (Hiebert, 1988).
En ésta etapa del proceso el estudiante debe ser capaz de establecer reglas para los signos de
operación de los números enteros, desligando los referentes concretos, para ser capaz de
realizar operaciones con números más grandes.
Ejemplo: A partir de las reglas para los signos de operación de los números enteros realiza la
siguiente operación:
(8452) + (- 4263) = 4189
 La elaboración puede trascender a un nivel más avanzado. En los procesos anteriores
construimos reglas para la adición y sustracción de números enteros, en este momento
a partir de esas reglas establecidas se construirá el sistema multiplicativo.
Ejemplo:
Teniendo en cuenta el manejo que le dimos a la adición y sustracción de números enteros,
construyamos el sistema multiplicativo: el cual se piensa como agregar o quitar, n veces, un
valor determinado.
Multiplicar (2) (-3)
Multiplicar (-2) (-2)
De lo concreto a lo abstracto
Tanith Ibarra Muñoz
Vanessa Moreno Yepes
Natalia Ramírez Agudelo
Quitando 2 veces (-2) se obtiene
Por lo tanto
= 4
En este proceso se evidencia un cambio en el criterio para el éxito. Como se indicó antes, el
criterio para el éxito en el desarrollo de los procedimientos es la validación. Por el contrario,
el criterio para el éxito en la elaboración de procedimientos es la consistencia (Goldin, 1987,
retomado por Hiebert 1988, p. 12). Las reglas que se extienden a nuevos contextos no pueden
contradecir las reglas que se aplican en contextos familiares equivalentes. En otras palabras,
(1) Todas las reglas que se aplican a los mismos problemas deben producir los mismos
resultados; (2) Una regla individual puede ser aplicable a todos los problemas que son
equivalentes en maneras relevantes (Hiebert, 1988).
4. Haciendo una rutina de los procedimientos de los símbolos: El sistema
de los símbolos se emplea en forma más eficiente si los procedimientos son
bien repasados. Cuando los procedimientos han sido practicados tan a
menudo que se ejecutan automáticamente, con poca atención mental,
entonces el estudiante obtiene la máxima eficiencia Hiebert (1988, p.13).
Lo que se pretende en este proceso es que el estudiante interiorice las operaciones y pueda
llegar a una condensación de éstas. A partir de ejercicios repetitivos como los siguientes:
 (+9) + (+1) = 10
 (+4) + (-5) = -1
 (-8) – (-2) = -6
 (-2) – (-4) = 2
 (-5) + (-3) = -8
 (+6) – (-2) = 8
 (-2) (-3) = 6
 (+5) (-2) = -10
 (-4) (-1) = 4
De lo concreto a lo abstracto
Tanith Ibarra Muñoz
Vanessa Moreno Yepes
Natalia Ramírez Agudelo
 (+8) (+2) = 16
Ventajas de rutinizar:
 Rutinizar o automatizar reglas permiten que ellas pueden ser ejecutadas con muy poco
esfuerzo mental.
 Es difícil imaginarse a los estudiantes aumentando su competencia con los símbolos
matemáticos sin automatizar ciertos hechos y habilidades.
 La rutinización se basa en la hipótesis de que ésta facilita un posterior entendimiento
del sistema.
5. Creando más sistemas de símbolos abstractos: Los estudiantes pueden
transferir significado de un sistema familiar de símbolos a un nuevo sistema
más abstracto, si ellos han establecido significados para el sistema familiar
(los primeros dos procesos se han consumado efectivamente), y si ellos
reconocen una aplicación entre los sistemas de tal forma que el sistema
familiar de símbolos y sus reglas pueden servir como referentes para el
nuevo sistema. Hiebert. (1988, p. 14)
En nuestra guía de trabajo lo que se pretende es a través de la interiorización de
procedimientos aritméticos llegar a construir sistemas algebraicos que involucran un nivel de
abstracción más avanzado por parte de los estudiantes.
En el siguiente proceso algebraico se trabajó con base en las propiedades y procedimientos
construidos anteriormente con los números enteros y utilizando, además, elementos
geométricos tangibles y didácticos los cuales consistían en recortar y formar rectángulos en
papel, en los que se podían observar algunos casos de factorización, relaciones de
equivalencia, áreas y otros.
Los números o literales pueden representarse mediante figuras geométricas: segmentos o
áreas. Por ejemplo: el número 2 puede representar un segmento de dos unidades de longitud,
el 4 un área de un cuadrado de 2 por 2, el 6 un área de un rectángulo de base 1 y altura 6 o de
altura 2 y de base 3, etc.
De lo concreto a lo abstracto
Tanith Ibarra Muñoz
Vanessa Moreno Yepes
Natalia Ramírez Agudelo
Las literales cuyos valores sean positivos representan segmentos o áreas de cualquier
magnitud o cantidad desconocida.
Los coeficientes numéricos representan múltiplos o submúltiplos de la magnitud geométrica
(segmento o área de un rectángulo o cuadrado). Así por ejemplo: 2x puede representar dos
veces la longitud del segmento x o el área de un rectángulo de altura 2 y de base x; o bien de
base 2 y altura x.
Los números negativos se pueden representar mediante segmentos punteados o áreas con
líneas punteadas, al ser sumadas se restan de las áreas con líneas continuas, las cuales
representan los números positivos; o bien, si se suman áreas de líneas punteadas se obtienen
regiones de líneas punteadas de mayor magnitud.
Esto nos permite factorizar polinomios y obtener soluciones negativas de ecuaciones
cuadráticas.
Geometría de cortar y pegar. Este método se usa para construir figuras geométricas y en
cortar y mover las figuras recortadas a cualquier otra posición y adherirla o pegarla a la figura,
De lo concreto a lo abstracto
Tanith Ibarra Muñoz
Vanessa Moreno Yepes
Natalia Ramírez Agudelo
para formar otra figura (rectángulos), este procedimiento no altera el área el área de la figura
original aunque esta cambie de forma. Este método es muy antiguo y como sabemos fue
usado por civilizaciones antiguas para resolver problemas relacionados con áreas (Morales &
Sepúlveda).
Ejemplificaremos este método con el ejemplo:
+bx=c, supongamos que b y c, son
positivos.
2
El polinomio x + bx se representa por medio de una figura rectangular rectilínea de base x +
b y de altura x.
2
2
Factorización de diferencia de cuadrados: a – b
2
1) x – 4 :
Obtenemos
Dando como resultado
2
Por lo tanto x – 4 = (X – 2) (X + 2)
Ahora tú tarea es tratar de hallar la factorización de los siguientes polinomios recortando las
áreas que te piden y realizando, de acuerdo a lo que ya hemos construido, las operaciones
De lo concreto a lo abstracto
Tanith Ibarra Muñoz
Vanessa Moreno Yepes
Natalia Ramírez Agudelo
indicadas (tenga en cuenta que siempre deben formarse rectángulos, sin importar los
movimientos que realices y que las áreas se pueden sobreponer).
2
 x + 5x + 4

2
x + 3x - 4
2
 x + 7x + 10
2
 2x - 5x + 2
2
 x -1
Además de las actividades mencionadas anteriormente podemos encontrar más actividades en
las cuales se pueden encontrar y poner en práctica los cinco procesos para desarrollar
competencias con símbolos matemáticos, algunas de éstas son: Bloques Lógicos de Dienes y
las Regletas de Cussenaire.
METODOLOGÍA.
La metodología que se pretende utilizar, iniciará con la realización de la guía “De lo concreto
a lo abstracto”
con la cual se busca vivenciar los cinco procesos con el
desarrollar
competencias con símbolos matemáticos, a través de una serie de actividades con cuadrados
de dos colores que representen unidades positivas y negativas con el fin de mostrar algunas de
las operaciones aritméticas básicas (suma, resta y multiplicación) de una manera
más
tangible. Seguida de ésta se hará una explicación de los cinco procesos plateados por James
Hiebert, con el propósito de que los participantes (asistentes) al taller, logren relacionar tales
procesos con cada una de las actividades propuestas en la guía.
Algunos ejemplos de las actividades mencionadas son:
De lo concreto a lo abstracto
Operaciones básicas con números enteros: Los cuadrados de colores blancos y negros,
pueden ayudar a entender la regla de los signos.
De lo concreto a lo abstracto
Tanith Ibarra Muñoz
Vanessa Moreno Yepes
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Actividad:
Consideremos a los oscuros como unidades positivas y a los blancos como unidades
negativas.
Unidades Negativas
Unidades Positivas
El cero es un equilibrio, entonces se representa como:
También los números enteros tienen representaciones diferentes, por ejemplo +1 ó -1 pueden
representarse así:
Ahora realicemos adiciones y sustracciones con números enteros:
Para sumar (+1) + (-2) procedemos así:
Para restar (-1) – (-2), a (-1) se le quita (-2).
Le quito
-1
me queda
-2
+1
Ahora teniendo tu propio material concreto realiza las siguientes operaciones:
 (+9) + (+1) =
 (+4) + (-5) =
 (-8) – (-2) =
 (-2) – (-4) =
 (-5) + (-3) =
De lo concreto a lo abstracto
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Vanessa Moreno Yepes
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 (+6) – (-2) =
¿Qué reglas para operar con números enteros podrías enunciar a partir de las operaciones
anteriores?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
A partir de las reglas enunciadas realiza la siguiente operación:
(8452) + (- 4263) =
Teniendo en cuenta el manejo que le dimos a la adición y sustracción de números enteros,
construyamos el sistema multiplicativo: el cual se piensa como agregar o quitar, n veces, un
valor determinado.
Trata de multiplicar, utilizando el material,
 (2)(3)
 (6)(5)
 (8)(3)
Ahora números negativos
Multiplicar (2) (-3)
Multiplicar (-2) (-2)
Quitando 2 veces (-2) se obtiene
Obtenemos:
= 4
De lo concreto a lo abstracto
Tanith Ibarra Muñoz
Vanessa Moreno Yepes
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Con tu material concreto realiza las siguientes multiplicaciones
 (-2) (-3)=
 (+5) (-2)=
 (-4) (-1)=
 (+8) (+2)=
Establece reglas para la multiplicación de números enteros:
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________
Es importante que los estudiantes conozcan esta metodología (guía), ya que les puede servir
como herramienta, para relacionar de una manera más concreta y fácil símbolos matemáticos
con operaciones básicas y/o algebraicas.
CONCLUSIONES.
 En el ejercicio docente se han creado diferentes estrategias para lograr vincular los
símbolos matemáticos con referentes concretos, este trabajo muestra la idea de cómo
los futuros docentes y/o docentes en ejercicio, pueden aplicar una metodología
diferente para que los estudiantes aprendan las reglas básicas de la aritmética con
números enteros. Lo que los estudiantes aprenden de una manera mecánica, como lo
son las llamadas ´´reglas de los signos´´ las cuales dan paso a la comprensión del
álgebra, y en el caso de cualquier otro tipo de asistentes al taller (no docentes), les
permitirá evaluar un conocimiento que ya tienen y visualizarlo de otra manera.
 También se quiere que los asistentes al taller, logren conocer y comprender la
importancia de los procesos para adquirir o construir competencias1 con símbolos
matemáticos, hasta llegar a generalizaciones y conceptos más abstractos.
1
Esta idea en el documento se entiende como fue tomada inicialmente por el MEN en los lineamientos
curriculares en la cual se utilizaban los conceptos, proposiciones, sistemas y estructuras matemáticas como
De lo concreto a lo abstracto
Tanith Ibarra Muñoz
Vanessa Moreno Yepes
Natalia Ramírez Agudelo
BIBLIOGRAFÍA
Hiebert, J. (1988). A theory of developing competence with written mathemetical symbols.
Educational Studies in Mathematics .
Mancera , E. El papel de la geometría como herramienta para la didáctica de las
matemáticas. [versión electrónica] México: Comité Interamericano de Educación
Matemática. disponible en: http://www.uned.ac.cr/MemEncMate/Ponencias/procesoensenanza/El%20papel%20de%20la%20geometr%C3%ADa%20%20Eduardo%20Mancera.pdf
Morales, I., & Sepúlveda, A. (2006) Propuesta para la enseñanza de la factorización en el
curso de álgebra. en XIV Encuentro de Profesores de Matemáticas. México
Moriana Cabrera, B., & Bravo Cano, R. (n.d.). Regletas de Cuissinaire em Infantil de 5 años.
[versión electrónica] extraído de:
http://www.juntadeandalucia.es/averroes/vertie/createaching/TUCCI_WEBS/TCregletas_inf0
5/TCregletas0.htm marzo 17 de 2008
Tanith Ibarra Muñoz, Vanessa Moreno Yepes, Natalia Ramírez Agudelo: Estudiantes de la
Licenciatura en Educación Básica con énfasis en Matemáticas de la Universidad de
Antioquia. Correos: [email protected];
Mauricio Ruíz Vahos: Licenciado en Matemáticas y Física de la Universidad de Antioquia,
Profesor de la Facultad de Educación y estudiante de la Maestría en Educación (Matemática)
herramientas eficaces mediante las cuales se llevaban a la práctica determinados tipos de pensamiento lógico y
matemático dentro y fuera de la institución educativa.
De lo concreto a lo abstracto
Tanith Ibarra Muñoz
Vanessa Moreno Yepes
Natalia Ramírez Agudelo
de la Universidad de Antioquia. Miembro del grupo de Investigación en Educación
Matemática e Historia (UdeA-Eafit). Correo: [email protected]
Para citar este artículo sugerimos la siguiente fuente:
Ibarra, T., Moreno, V., Ramírez, N & Ruiz, M. (2008). De los concreto a lo abstracto. En J.
A. Villa, Y. M. Mesa, M. M. Parra, & M. M. Zapata (Ed.), Actas estudiantiles de Educación
Matemática. 1, pp. 99-114. Medellín: Facultad de Educación-Universidad de Antioquia.
115
INCORPORACIÓN DE TECNOLOGÍAS DE LA INFORMÁTICA Y LA
COMUNICACIÓN AL AULA DE MATEMÁTICAS DE LA EDUCACIÓN BÁSICA
PRIMARIA
Adriana María Vásquez Arroyave.
Ana Cecilia Sanín Tabón.
Yined Zoé Vergara Sánchez
Alexander Jiménez Guzmán.
Resumen:
Presentamos una propuesta de
Incorporación de las
tecnologías de la
información y comunicación (TIC) al aula de matemáticas, la cual se
implementó en el grado cuarto de la institución Educativa
Monseñor
Francisco Cristóbal Toro, a través de una unidad didáctica de sólidos
platónicos. En ella se analizaron las siguientes preguntas: ¿Cómo la
incorporación de TIC y nuevos ambientes de aprendizaje favorecen la
comparación, clasificación y construcción de objetos tridimensionales como los
sólidos platónicos?, ¿Qué impacto tienen estas en los procesos de enseñanza y
de aprendizaje del pensamiento geométrico? y
¿Es apropiado apoyar la
construcción del concepto de los sólidos platónicos mediante el uso de las TIC?
Palabras clave:
Incorporación, TIC, didáctica, geometría, sólidos, ambientes de aprendizaje.
INTRODUCCIÓN
El impacto de las Tecnologías de la Información y la Comunicación (TIC), en la
educación es un campo amplio de investigación, por ello se plantea un marco teórico que dará
un respaldo al análisis de los resultados que se obtengan en la implementación de la unidad
didáctica, cuyo diseño se construido a partir de la propuesta de incorporación de las TIC al
aula de matemáticas por Jímenez (2005). De igual forma este retoma la escuela francesa con
INCORPORACIÓN DE TECNOLOGÍAS DE LA INFORMÁTICA Y LA COMUNICACIÓN AL AULA DE
MATEMÁTICAS DE LA EDUCACIÓN BÁSICA PRIMARIA
Adriana María Vásquez Arroyave, Ana Cecilia Sanín Tabón, Yined Zoé Vergara Sánchez
autores como: Artigue (2004) con la teoría de génesis instrumental y Ballesteros (2007) quien
explica desde Verillon y Rabardel, instrumento y artefacto, por otro lado tiene en cuenta lo
planteado por Duarte (2003) sobre ambientes de aprendizaje y por último se contextualiza
sobre unidad didáctica. En una segunda parte se plantea el problema y la metodología, estas
junto con la categorización permitirán delimitar y orientar la investigación. En una tercera
parte se presentan los registros de información en los diferentes momentos de la
implementación de la unidad didáctica y por último se hace una evaluación y conclusión del
trabajo realizado.
REFERENTES TEÓRICOS.
La teoría de Verillon y Rabardel (1995) quienes plantean el artefacto como un objeto material
hecho por el hombre, mientras que el instrumento es considerado como un constructor
psicológico; el instrumento no existe en sí mismo, una máquina o un sistema técnico no
constituyen inmediatamente una herramienta para el sujeto. Así, un instrumento resulta desde
el establecimiento, por el sujeto, de una relación instrumental con un artefacto, ya sea
material o no, producido por otros o por sí mismo.
Nuevos Ambientes de Aprendizaje
Esta propuesta requiere una mirada a los ambientes de aprendizaje, que no se limite a la sola
descripción de lugares donde se realizan las clase, para atender a este requerimiento Duarte
(2003) instaura los ambientes de aprendizaje en las dinámicas que constituyen los procesos
educativos y que involucran acciones, experiencias y vivencias por cada uno de los
participantes; actitudes, condiciones materiales y socioafectivas, múltiples relaciones con el
entorno y la infraestructura necesaria para la concreción de los propósitos culturales que se
hacen explícitos en toda propuesta educativa.
METODOLOGÍA.
El tipo de investigación abordado es el estudio de caso, pues es apropiado en situaciones en
las que se desea estudiar intensivamente características básicas, la situación actual, e
interacciones con el medio de una o unas pocas unidades tales como individuos, grupos,
INCORPORACIÓN DE TECNOLOGÍAS DE LA INFORMÁTICA Y LA COMUNICACIÓN AL AULA DE
MATEMÁTICAS DE LA EDUCACIÓN BÁSICA PRIMARIA
Adriana María Vásquez Arroyave, Ana Cecilia Sanín Tabón, Yined Zoé Vergara Sánchez
instituciones o comunidades. En este sentido asumimos como estudio de caso al “método
empleado para estudiar a un individuo o una institución en un entorno o situación única y de
una forma lo más intensa o detallada posible” Salkind (1999, p. 211). Adicionalmente
Sandoval (1996, p. 91) apoyado en Yin (1994) establece un estudio de caso como una
indagación empírica que: “Investiga un fenómeno contemporáneo dentro de su contexto real
de existencia, cuando los límites entre el fenómeno y el contexto no son claramente evidentes
y en los cuales existen múltiples fuentes de evidencia que pueden usarse”. El diseño a que se
realizó a nivel general fue el siguiente:

Método: el método de investigación que se utilizó es de corte cualitativo para analizar
los cambios generados en el aprendizaje del estudiante al implementar las TIC en el
aula de matemáticas.

Muestra poblacional: se implementó una unidad didáctica donde se incorpora las
TIC a los estudiantes del grado cuarto, ubicada en el barrio Aranjuez del municipio de
Medellín.
CONCLUSIONES
Con el desarrollo de esta investigación pudimos determinar el uso que el estudiante le da al
computador durante la clase es fuertemente implicado por el diseño por parte del docente. De
allí, que para incorporar TIC en el aula de clase, se hace necesario construir propuestas
alternativas a la tradicional que involucren el desarrollo de unidades didácticas de tal manera
que se orienten de forma efectiva un aprendizaje que contemple tres partes: adaptación
curricular, documentos para el alumno y documentos para el docente; a la vez que permita
una evaluación apropiada.
Los nuevos ambientes de aprendizaje (Duarte, 2003) generan cambios en los procesos de
enseñanza pues estos dinamizan notablemente la metodología, posibilitando al estudiantes
nuevas formas de representación de objetos geométricos como en el caso particular los
sólidos platónicos.
INCORPORACIÓN DE TECNOLOGÍAS DE LA INFORMÁTICA Y LA COMUNICACIÓN AL AULA DE
MATEMÁTICAS DE LA EDUCACIÓN BÁSICA PRIMARIA
Adriana María Vásquez Arroyave, Ana Cecilia Sanín Tabón, Yined Zoé Vergara Sánchez
La propuestas evaluativas que se realizaron durante la intervención, fueron pertinentes, pues
esta permitió hacer un proceso que potenciara el aprendizaje en los estudiantes, mas sin
embargo la evaluación en una propuesta de incorporación de TIC es un aspecto que exige ser
estudiado más a fondo.
BIBLIOGRAFÍA
ANDER-EGG, E. (1991) El taller Una alternativa De Renovación Pedagógica.. Buenos
Aires: Editorial Magisterio del Rio de la Plata
Artigue, M. (2004) Problemas y desafíos en Matemática. Educación Matemática,16 (003).
pp. 5-28
Ballestero, E. (2007) Instrumentos psicológicos y la teoría de la actividad
instrumentada: Fundamento teórico para el estudio del papel de los recursos
tecnológicos en los procesos educativos. Cuadernos de investigación y formación en
educación matemática.,4. pp.125-137.
Domenech, J. (1998). Poliedros Regulares. España: Editorial Universidad de Alicante
Duarte, J. (2003). Ambientes de aprendizaje una aproximación conceptual. Revista
Estudios Pedagógicos.29. pp. 97-113.
Jiménez, A. (2006). Incorporación de tecnologías al aula de matemáticas. Tesis de
Maestría en Educación Matemática no publicada. Medellín: Universidad de Antioquia
Marín, M. (2001). Poliedros. Medellín: Editorial Universidad de Antioquia.
MINISTERIO DE EDUCACIÓN NACIONAL. (2007)
competencias en matemáticas. Bogotá: Magisterio
Estándares básicos de
INCORPORACIÓN DE TECNOLOGÍAS DE LA INFORMÁTICA Y LA COMUNICACIÓN AL AULA DE
MATEMÁTICAS DE LA EDUCACIÓN BÁSICA PRIMARIA
Adriana María Vásquez Arroyave, Ana Cecilia Sanín Tabón, Yined Zoé Vergara Sánchez
MINISTERIO DE EDUCACIÓN NACIONAL. (1998) Lineamientos Curriculares en
matemáticas. Santa fe de Bogotá: Magisterio
Sandoval, C. (1996). Investigación Cualitativa (Vol. 4). Bogotá: ICFES-ASCUN.
Salkind, N. (1999). Métodos de Investigación. México: Prentice Hall
Adriana María Vásquez Arroyave, Ana Cecilia Sanín Tabón, Yined Zoé Vergara Sánchez:
Estudiantes de la licenciatura en Educación Básica con énfasis en Matemáticas de la
Universidad de Antioquia. Correos: [email protected]; [email protected]
[email protected]
Alexander Jiménez: Magister en Educación (Matemática) de la Universidad de Antioquia,
investigador en el área de las tecnologías miembros de los grupos GECEM y Educación
Matemática e Historia (UdeA-Eafit). Correo: [email protected]
Para citar este artículo sugerimos la siguiente fuente:
Vásquez, A. M.; Sanín, A. C., Vergara, Y, Z. & Jiménez, A. (2008). Incorporación de
tecnologías de la informática y la comunicación al aula de matemáticas de la Educación
Básica Primaria. En J. A. Villa, Y. M. Mesa, M. M. Parra, & M. M. Zapata (Ed.), Actas
estudiantiles de Educación Matemática. 1, pág. 115-119. Medellín: Facultad de EducaciónUniversidad de Antioquia.
120
EXPERIENCIAS EN CONTEXTOS DE VULNERABILIDAD: EBN
Carolina Tamayo Osorio , Mary Cuartas Jiménez ; Héctor
Alberto García Marín; Johvanny Eliécer Daza ; Tanith Celeny
Ibarra Muñoz ; Vanessa Moreno Yépes Jaime Andrés Úsuga
Sepúlveda , Yolanda Beltrán de C.z
Resumen
En este documento presentamos los avances de nuestro proyecto de
investigación en la relación entre las matemáticas y los contextos de
vulnerabilidad (EBN). En particular caracterizamos los contextos en los cuales
participamos y algunas reflexiones sobre las experiencias vividas en este
proyecto.
Palabras clave
Contexto de Vulnerabilidad, Educación matemática.
INTRODUCCIÓN
En los últimos años se ha venido desarrollando en a nivel internacional diferentes teorías que
rescatan el papel de la cultura, y los contextos sociales en el aprendizaje de las matemáticas,
en este sentido, nosotros venimos adelantando una serie de reflexiones sobre el papel que
tienen los contextos de vulnerabilidad en el aprendizaje de las matemáticas. Estas reflexiones
hacen parte de nuestro trabajo de práctica docente que se desarrolla en el marco del proyecto
“La escuela busca al niño”
CONTEXTO
Para realizar una caracterización de los contextos en los cuales vamos a desarrollar nuestros
proyectos, realizamos un fuerte pesquisa en los trabajos publicados en la Web por
EXPERICIENCIAS EN CONTEXTOS DE VULNERABILIDADL
García et al. .
corporaciones y entidades que se han dedicado a trabajar por estas comunidades: Al respecto
hemos encontrado que según la Corporación Región:
Hasta 1900, la expansión de Medellín hacia el sur oriente se acentuaba en las
salidas de la ciudad, más que en el propio centro”1. Es así como la sociedad
católica de la época vio la necesidad de lugares para pedir, rogar a Dios y
enterrar a sus muertos. Ubicado en el barrio Colón, barrio de los ricos de
aquel entonces, el cementerio de San Lorenzo fundado en 1826, era donde las
comunidades religiosas arraigadas en la ciudad tenían los panteones para la
inhumación de los cuerpos de las monjas.
Se reportaron asentamientos en la ladera del camino de Guarne llamado
"Callejón del Mico" y alrededor del Cementerio, desde donde se fueron
extendiendo hasta formar el barrio Guanteros y La Asomadera. A medida que
se construían nuevas moradas alrededor de Niquitao y el Camellón del
Cementerio, se fueron dando nombres a las agrupaciones de vivienda: Las
Palmas, La Victoria, San Diego, Potosí y Barrio Colón. De esta forma el
camellón se convirtió para estos barrios en la calle principa”2.
El sector de Guayaquil, con la construcción de la plaza de mercado y la estación del
ferrocarril, inauguró un nuevo desarrollo de tipo comercial y social para el presente siglo. Este
sector era un poco alejado del marco de la Villa, o mejor, del Parque Berrío, entre uno y otro,
aún existían extensas mangas baldías. “A Guayaquil convergían de manera obligada las vías
principales: las férreas, las carreteables y los caminos de herradura. Además de abastecedor
de productos, este sector se comportó entonces como sitio de llegada, distribución y
congregación de la ciudad dando cabida a otra serie de servicios, como cantinas, hoteles,
depósitos, cacharrerías”3, salas de billar y juego, entre otros.
Continuando con la indagación sobre los orígenes de estos contextos, hemos encontrado que:
1
Tomado con ligeras modificaciones que aparecen en: http://www.region.org.co/elem_prov/pdf/LIBROMedell%C3%ADn-en-zonas.pdf
2
Idem
3
Idem
EXPERICIENCIAS EN CONTEXTOS DE VULNERABILIDADL
García et al. .
El proceso de expansión de la ciudad originaria hasta 1930 generó un mayor crecimiento de la
periferia del centro tradicional y del sector sur oriental del mismo.
La migración campesina, principalmente del oriente en los años 20 y 30, se
generó por diversos factores, entre ellos la crisis minera y la depresión
económica en el oriente antioqueño, especialmente en la agricultura. A su vez,
Medellín constituía un atractivo para esta población migrante debido a las
expectativas de crecimiento que se venían insinuando. Esta población migrante
es acogida en gran medida en la zona centroriente. Los inquilinatos de
Niquitao por ejemplo, comenzaron a jugar un papel importante para aquella
población transeúnte y comerciante.
En las décadas de los 60 y 70, con la construcción de edificaciones y la
ampliación de vías: la Avenida Oriental, Bolívar, Carabobo, La Alhambra,
Amador y San Juan, la proliferación del subempleo en Guayaquil llegó a un
tope incontrolable, literalmente, la gente ya no cabía allí.
Niquitao ya se estaba deteriorando con la instalación de las flotas Magdalena,
Occidental, Arauca y Rápido Ochoa en la carrera Pedro de Castro y con el
fenómeno del subempleo de Guayaquil, se convirtió en el inquilinato de
celadores, chóferes, lustrabotas, campesinos, atracadores, prostitutas y
comerciantes menores4.
Este sector que hoy está constituido por los barrios San Lorenzo (también conocido como
Niquitao), San Diego, Las Palmas y Barrio Triste sirvió en estas décadas, de refugio y pasaje
de los campesinos que venían de las zonas aledañas de la cuidad a comercializar sus
productos, como también de aquellos que llegaban de lejanos lugares a buscar un mejor
futuro. Más adelante durante los años 80, tras la explosión urbanística, crecimiento
económico y demográfico, esta zona tendió a convertirse en hospedaje de indigentes y
personas con muy bajos recursos, favoreciendo la posterior caracterización de los
4
Tomado con ligeras modificaciones que aparecen en: http://www.region.org.co/elem_prov/pdf/LIBROMedell%C3%ADn-en-zonas.pdf
EXPERICIENCIAS EN CONTEXTOS DE VULNERABILIDADL
García et al. .
inquilinatos, como lugares inundados de mugre, vicio y resquebrajadas paredes que no pueden
abrigar otra cosa que los desechos de una modernidad fracasada sin políticas administrativas
claras por parte del estado en este sector. Alimentó esta concepción el arraigamiento del
consumo, fabricación, oferta y demanda de alucinógenos en las llamadas plazas y en medio,
por supuesto, de la Medellín estereotipada por la proliferación de bandas al servicio del
narcotráfico con Pablo Escobar a la cabeza.
Así se fue conformando un sector con diferencias socio-culturales, económicas y educativas,
muy demarcadas y separadas unas de otras, sólo por una calle. Estos barrios: San Lorenzo
(Niquitao), San Diego, Las Palmas y Barrio Triste son hoy día parte de una zona de Medellín
denominada comuna 10.
Con base en las visitas domiciliaras y demás trabajos de campo realizados en las zonas de
implementación del proyecto, podemos afirmar que los sectores de San Lorenzo y barrio triste
son los de mayor vulnerabilidad de esta zona, puesto que los niños y las familias que los
habitan, por lo general provienen de grupos disfuncionales a nivel relacional, ya que no
cumplen con las condiciones necesarias, respecto al cuidado y a la educación de sus
integrantes; aunque pagar una pieza les puede costar más que un arriendo, entre 5.000 y
12.000 pesos diarios, las personas que recurren a estos barrios son de una alta vulnerabilidad
económica
Adicionalmenete, hemos encontrado que “Sólo en Niquitao hay 102 inquilinatos, muchos en
precarias condiciones. Hay problemas de salud pública, saneamiento, hacinamiento, riesgo
de drogadicción, alcoholismo y explotación sexual”5y que
Las familias llegan a estos inquilinatos huyendo de la violencia en barrios
periféricos de la ciudad o municipios cercanos, o en algunos casos viven allí
cuando pasan por dificultades económicas y no pueden pagar el alquiler de sus
casas. En esos casos ellos encuentran en estos lugares una opción de refugio
que puede pagarse diariamente con el dinero que recogen en sus actividades
informales. Estas residencias tienen bajos niveles de iluminación, ventilación y
condiciones sanitarias. Todos los habitantes comparten baños y lavaderos y no
5
Tomado de http://agora.unalmed.edu.co/docs/Inquilinatos-ElColombiano-Oct.31-06.PDF
EXPERICIENCIAS EN CONTEXTOS DE VULNERABILIDADL
García et al. .
existe un espacio donde las personas puedan preparar sus alimentos bajo unas
mínimas condiciones de higiene6.
En habitaciones que miden entre 12 y 30 m2, residen familias constituidas por dos y hasta
siete personas que duermen, cocinan, comen, juegan y guardan sus pertenencias bajo esas
condiciones. En la mayoría de los casos no hay una regulación legal para la convivencia
interna, ocasionalmente se generan algunas reglas que impiden que el micromundo sea
perturbado. Incluso ha habido espacios en los que afirman que “Las personas que podrían
llamarse habitantes de este sector, son en realidad una población flotante que va de paso. La
población que está en el día no es la misma que habita en la noche”7
Una de las principales características observadas en nuestro trabajo de campo es que la
comunidad está conformada en su mayoría por recicladores, indigentes, vendedores
ambulantes y familias indígenas pertenecientes a los Emberá Katios. Por este motivo las
personas de estos grupos familiares tienen condiciones socioeconómicas bastante precarias y
por lo tanto se encuentran en alto riesgo o ejercicio de la prostitución, la mendicidad y/o
drogadicción. La mayoría de la población vive en los inquilinatos y casas dedicadas al
expendio y consumo de sustancias psicoactivas, que se ubican en este sector. Las madres son
en su mayoría quienes sostienen el hogar con ayuda de sus hijos e hijas quienes desde muy
pequeños deben comenzar a trabajar.
Los sectores de Guayaquil y Barrio Triste tienen una característica especial y es la facilidad
que tienen los niños para acceder al centro de la ciudad, exponiéndolos a situaciones de alto
riesgo. Debido a que los niños permanecen gran parte del tiempo solos, empiezan a pasar
mucho tiempo por fuera de la casa sin reparo de nadie y paulatinamente van estableciendo
contacto con la calle que los conduce a adquirir conductas como consumo de drogas, robo,
prostitución y por último pueden convertirse en niños habitantes de calle.
En los pobladores de este sector se puede observar el abandono en términos de nutrición,
salud y educación. Parece como si el Estado no se preocupara por estas personas o por lo
menos así parece pues evidente lo infrahumano de su situación, no obstante, es muy común
6
7
Tomado de http://www.poderjoven.org/problematicas_es.php
Tomado de http://lengua-niquitao.blogspot.com/
EXPERICIENCIAS EN CONTEXTOS DE VULNERABILIDADL
García et al. .
ver numerosas fundaciones, de carácter privado, sin ánimo de lucro que ayudan, alimentan,
dan albergue y protección a muchos niños de esta comunidad, puesto que son la población
más vulnerable del sector. Uno de los puntos críticos de esta población infantil está
relacionado con el maltrato, la prostitución y la mendicidad obligada, problemática que las
últimas administraciones municipales han querido enfrentar con programas sociales y de
atención a la niñez abandonada.
En cuanto a los barrios San Diego y Las Palmas, ese conglomerado de casas con espacios
verdes sin estética, se han venido transformando con el tiempo, en un barrio ordenado, limpio
y sano. Pero de un momento a otro estos barrios pasaron de ser tranquilos y sin sobresaltos a
ser objeto de algunas inversiones importantes en infraestructura y espacio público en los
últimos años. Primero fue el parque San Lorenzo, una audaz obra en un sector dominado por
las sombras y la delincuencia, aprovechando la cercanía a un cementerio; luego fue la
ampliación de la avenida Girardot desde San Juan hasta la vía de las Palmas, lo que posibilitó
una salida del centro más rápida hacia el sur del Valle de Aburrá y finalmente, el colegio que
ya se encuentra en la etapa final de construcción en el sector conocido como Niquitao. Estas
tres obras le han cambiado la cara a barrios como el propio Niquitao, Las Palmas y San
Diego. Lo que más agradece la gente con estas obras es la valorización de sus viviendas:
"La importancia de esas obras es que convirtieron a los barrios San Diego y Las Palmas en un
sector con mejores posibilidades. (El Colombiano, 11 de Noviembre de 2008)
Los problemas más predominantes de esta zona son:
– En educación, la carencia de locales o el mal estado en que se tienen, la falta de recursos
propios para el mantenimiento y dotación de ayudas didácticas, el poco cubrimiento de la
demanda educativa especialmente en secundaria y la falta de maestros.
– Problemáticas referidas a la ausencia de lugares adecuados para la práctica del deporte e
inseguridad en los que existen y la falta de un compromiso serio de las diferentes
autoridades para el apoyo a jóvenes deportistas.
EXPERICIENCIAS EN CONTEXTOS DE VULNERABILIDADL
García et al. .
– Gran concentración del desempleo, el empleo informal y el subempleo, situación que se
enfatiza para las nuevas generaciones. Desmotivación del sector empresarial para generar
empleo y escasa presencia estatal en la creación y ampliación de empresas.
– El espacio público en el área central presenta problemas que tienen que ver, entre otros, con
la localización indiscriminada de ventas ambulantes, con la saturación de avisos de forma
incontrolada, así como por la congestión vehicular, la carencia de espacios públicos que
alberguen las necesidades colectivas, incremento de población con graves problemas
sociales como: prostitución, drogadicción y alcoholismo.
- La inseguridad: Sus causas se pueden vincular a la inexistencia o deficiencia en la obtención
de algunas condiciones mínimas de vida digna por parte de un grueso de población,
muchos de ellos indigentes definidos; pero igualmente otra enorme cantidad de sectores
pobres y marginales provenientes de diversos lugares de la ciudad, del departamento y del
país.
Pensar la educación a partir de estas condiciones significa considerar ciertas facultades
inherentes al maestro tales como ser un detonante del deseo de aprender y saber por parte de
los niños, esto implica de alguna manera que aquellos niños supervivientes de aquellos
lugares, no se sientan en la escuela como de pronto sí en su casa, pues debido a las
condiciones familiares en que viven, lo mejor que les puede pasar que los golpes, abusos y
demás tipos de violencia no se presenten en el espacio escolar ya que “se trata de que el
alumno entienda que es amado y estimado por sus maestros. Nunca el temor infunde amor a
la virtud”8 dice Isabel de Larrañaga.
Las versiones anteriores de la EBN muestran que al cabo de la intervención en las zonas es
necesario hacer vigilancia a los niños que participaron del proyecto para apoyarlos a no
desertar si acaso pretenden hacerlo, pues las condiciones económicas que son las que más
agobian obligan a las familias a demandar de sus hijos algún dinero para el sustento de las
mismas y desde luego esto degenera en una educación más mediocre y así la familia termina
casi que prescindiendo de la escuela por atender la comida.
8
Tomado de http://www.telefonica.net/web2/eseducativa/frases8.html el 3 de diciembre de 2008
EXPERICIENCIAS EN CONTEXTOS DE VULNERABILIDADL
García et al. .
EXPERIENCIAS EN SAN LORENZO
Cuando pensamos que la educación es la clave del futuro y le posibilita a los seres humanos
actuar sobre su mundo como agentes activos y obtener mejores posibilidades de vida,
miramos no muy lejos de nuestros hogares, lugares invisibilizados y percibimos una sociedad
maltratada, solitaria y en especial una sociedad donde la palabra justicia9 perdió el sentido que
se le otorgo siglos atrás; es así como inmediatamente sentimos que los afanes del mundo
moderno se hacen evidentes en un pueblo arraigado a sus raíces y cultura.
Muchos miedos y muchos prejuicios han pasado por nuestra cabeza cada vez que estamos en
aquel lugar que hace poco conocimos, aquel frio y cruel lugar que alberga tristezas, maltrato,
prostitución, drogadicción y aquellos pequeños que tal vez son en estos momentos la razón y
el centro de toda nuestra práctica pedagógica y que poco a poco han ido dejando su huella en
nuestra experiencia no solo como maestros que muy pronto seremos sino como seres
humanos que somos.
Estas calles muestran carencias (sociales, políticas, culturales, económicas…), soledad y
tristeza y por un momento nos detenemos a pensar cómo modelos e ideologías sociales han
marcado diferencias abismales entre las clases sociales hasta el punto de conocer lo que
significa la marginación e indiferencia de quienes resultan afectados con las ganancias de
otros.
El barrio San Lorenzo, más conocido como Niquitao sólo lo conocíamos por medio de una
pantalla de televisor donde nos pintan la realidad de una forma; sólo oíamos mentar el nombre
de Niquitao después de una gran tormenta, la cual arrasó dejando sin vivienda a tantos; que se
desbordó una quebrada o asesinaron a tantos más. En un principio –durante nuestro primer
trabajo de campo-, mientras caminábamos por el barrio, tratábamos de aislar estos malos
9
“La política para los griegos es la forma más elevada de lo social y esto es la condición de la vida
humana. Pero el relacionar la política con el bien común, el definir la vida individual como resultado
de la vida social, el determinar las formas y sistemas de gobierno y el tratar de justificar el poder
como una forma necesaria de cohesión social regida por la voluntad comunitaria y el derecho…”
Caldera, Serrano Alejandro. “Relación entre filosofía y política. Esta es la versión en caché de
http://www.laprensa.com.ni/archivo/2005/enero/16/opinion/opinion-20050116-06.html de Google. Se
trata de una captura de pantalla de la página tal como esta se mostraba el 9 Oct. 2008 08:23:39 GMT
EXPERICIENCIAS EN CONTEXTOS DE VULNERABILIDADL
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pensamientos que fueron desapareciendo al ver una construcción monumental, se veía tan
grande, a la vez tan imponente, como queriéndonos decir ¡Oe aquí estoy yo!, ¡mírame, soy tu
nuevo colegio!, pronto estaré listo para brindar educación, protección y amor a todo el sector.
El siguiente apartado corresponde a una experiencia particular del compañero Héctor García,
durante la visita al Descanso del Pasajero en el sector Barrio Triste el día 4 de Noviembre de
2008.
“Haciendo un invierno tremendo en un día en el que se preveía no ocurrir mayor cosa,
ingresamos a lo que anteriormente se mostraba como un hotel, el conocido “Descanso del
Pasajero”, que hoy es un inquilinato donde su fachada no se muestra muy atractiva para
efectos de entrar en sus recintos, pues además de un azul claro y triste, se vislumbra un
serie de habitaciones teloneadas por sábanas aparentemente mugrosas que invitan a todo
menos a entrar en aquellos aposentos.
Al ingresar en aquella esfera mi olfato comienza a hacerse muy sensible ante el
advenimiento de una esencia propia de las calles cual mendigo aquel que sólo conoce el
agua de los ríos o cañadas de la ciudad. Ante espectro me sorprendo intrigado por el
origen o causa de ese agudo olor. Luego de permanecer por poco tiempo en el segundo
piso subimos al tercer piso y esa desproporcionada fragancia hace retorcijar mis
intestinos y garganta, pero como la causa se justifica acoplo mi estado de ánimo con el
movimiento de mi cuerpo a lo largo de un lánguido pasillo cuya visibilidad se muestra por
las hendijas de luz provenientes del exterior; y por la abundancia de habitaciones en cada
costado de aquel callejón, parece que no hubiera una salida evidente o por lo menos
verosímil.
Con todo y esto, una abundante masa de niños jugando a lo largo de este oscuro pasillo,
entre golpes bruscos o cariñosos, y movidas rápidas y hasta peligrosas por la presencia de
aquella oscuridad tan recalcitrante que parece que no hubiera otra salida que la que nos
permitió subir a estas alturas y en la que más o menos en la mitad se evidencia una luz
intensa que atraviesa un pequeñísimo pasillo que además de putrefactamente cochino,
muestra paredes deformes, igualmente azuladas y que llevan a una especie de terraza
cuyas habitaciones son las más baratas y pequeñas, además de estar sostenidas por
EXPERICIENCIAS EN CONTEXTOS DE VULNERABILIDADL
García et al. .
paredes impregnadas de un espeso olor, como espesa es la vida de esta vecindad indígena
obligada a abandonar su milenaria tierra.
Dichos muros se ven empañados por moscos o moscas por lo menos cuatro veces más
grandes que las que habitan las casas en condiciones dignas. Ante esta plaga tan
depresiva, rápida, cochina, lógica, evidente, aerodinámicamente estable y naturalmente
proliferada, todo lo que me circunda me huele mal, quiero irme, salir a probar el
acostumbrado aire que aspiro a diario y que ahora añoro, pero como me considero un
profesional sin título en lo que respecta a la responsabilidad que exige mi práctica, no
puedo volarme porque hay algo que me llama: la necesidad de los necesitados,
necesitados que inundados por moscas gigantes, maltrato a los niños, mugre, humildad, y
mucha capacidad para decidir por sus hijos en lo que los abuelos de aquellos fueron
incapaces de sufrir cuando eran pequeños”.
Las personas que podríamos llamar habitantes de San Lorenzo, en su mayoría, son población
flotante que va de paso. La población que está de día no es la misma que habita en la noche.
En San Lorenzo la mayoría de niños trabajan, piden limosna o se dedican a la prostitución, en
los inquilinatos, a los niños les toca presenciar a los adultos teniendo sexo y consumiendo
drogas y licor. Son niños que no han sido formados en las mejores condiciones ni con el
mejor ejemplo, de alguna manera esto los ha llevado a refugiarse en ambientes de vicio,
violencia y prostitución.
Con tristeza recordamos algunos episodios que van marcando nuestro día a día, recordamos
como al ir en búsqueda de uno de los niños para que asistiera a las actividades
correspondientes, se encontró con unas características similares a las de una persona que ha
permanecido durante varios días en la calle sin condiciones de aseo y con un fuerte olor a
sacol. También recordamos una escena movida, estrepitosa, triste y muy violenta, que
protagonizaron dos reconocidos niños del sector, los cuales reaccionaron, el uno cogiendo un
pedazo de vidrio y el otro una piedra para agredirse. ¿Qué debe hacer un licenciado en
educación básica ante una situación como ésta?, ¿Cómo revertir el efecto familiar de
responder a la violencia con violencia?, ¿Qué hacer con la violencia de los niños? ¿Tratarla
con la autoridad del amor?
EXPERICIENCIAS EN CONTEXTOS DE VULNERABILIDADL
García et al. .
Aun más triste fue evidenciar en una de las visitas domiciliarias, una pequeña de
aproximadamente 13 años quien vestía una ropa muy insinuante y que sería ella misma la que
más tarde le confesaría a uno de nuestros compañeros que se rebuscaba la plata como
trabajadora sexual.
Vemos cierta esperanza en que esto puede cambiar, no creemos que vivamos para vivirlo,
pero tampoco muertos para no intentarlo porque los niños no son el futuro sino el presente de
esta sociedad. Estamos muy orgullosos de pertenecer al proyecto La Escuela Busca al Niño,
ya que pretende que los menores que por algún motivo desertaron de la escuela o que nunca
han ido a ella, la conozcan y mejor aún, se enamoren de ella; es un proyecto y una labor
social muy bonita, que nos ayuda, en nuestra labor como futuros docentes, a conocer
problemáticas de sectores en situación de vulnerabilidad que muchas veces se desconocen en
la escuela o simplemente se evaden.
CIBERGRAFÍA:
1. http://www.region.org.co/elem_prov/pdf/LIBRO-Medell%C3%ADn-en-zonas.pdf
2. http://www.region.org.co/elem_prov/pdf/LIBRO-Medell%C3%ADn-en-zonas.pdf
3. http://agora.unalmed.edu.co/docs/Inquilinatos-ElColombiano-Oct.31-06.PDF
4. http://www.poderjoven.org/problematicas_es.php
5. http://lengua-niquitao.blogspot.com/
6. http://www.telefonica.net/web2/eseducativa/frases8.html
7. http://www.laprensa.com.ni/archivo/2005/enero/16/opinion/opinion-2005011606.html
Héctor Alberto García Marín; Carolina Tamayo Osorio, Mary Cuartas Jiménez; Johvanny
Eliécer Daza ; Tanith Celeny Ibarra Muñoz ; Vanessa Moreno Yépes y Jaime Andrés
Úsuga Sepúlveda: Son estudiantes de la Licenciatura en Educación Básica con énfasis en
EXPERICIENCIAS EN CONTEXTOS DE VULNERABILIDADL
García et al. .
Matemáticas de la Universidad de Antioquia. Actualmente pertencen al proyucto “La escuela
busca al niño”. Correo [email protected]
Yolanda Beltrán de C: Profesora de tiempo completo de la Facultad de Educación y
coordinadora del programa de Licenciatura en Educación Básica con énfasis en Matemáticas
de la Universidad de Antioquia y coordinador del grupo de Investigación en Educación
Matemática e Historia (UdeA-eafit). Correo: [email protected]
Para citar este artículo sugerimos la siguiente fuente:
García, H.m Tamayo, C., Cuartas, M., Daza, J., Ibarra, T., Yepes, V., Úsuga, T & Beltrán, Y.
(2008). Expericnias en contextos de vulnerabilidad ENB. En J. A. Villa, Y. M. Mesa, M. M.
Parra, & M. M. Zapata (Ed.), Actas estudiantiles de Educación Matemática. 1, pp. 120-131.
Medellín: Facultad de Educación-Universidad de Antioquia.
14
LA SEMEJANZA COMO EXPRESION DEL RAZONAMIENTO PROPORCIONAL.
Yineth Aguirre Marin
Viviana Alzate Velasquez
Luz Marina Diaz
Resumen:
Nuestro trabajo tiene como objetivo identificar las estrategias del razonamiento
proporcional que utilizan los estudiantes en el desarrollo de situaciones en torno a la
semejanza.Profundizar en el concepto de la proporcionalidad desde la geometría, en
los primeros años de escolaridad tiene una importancia definitiva en la formación de
los estudiantes ya que al abordarla de manera adecuada podemos potenciar en los
estudiantes desde el reconocimiento de las relaciones entre los objetos hasta la
aplicación de la función lineal. Escogimos la semejanza porque desde las edades más
tempranas los niños por la constante exploración del espacio que los rodea, tienen
una mayor sensibilidad hacia la geometría, aspecto que en muchas ocasiones no es
tomado en cuenta ya que se utiliza esta etapa del niño para trabajar lo aritmético. La
pregunta que da sentido a este trabajo es: ¿cuáles son las estrategias de
razonamiento proporcional que usan los estudiantes de grado sexto ante situaciones
de semejanza? La metodología utilizada en esta investigación fue la investigación
cualitativa estudio de casos, donde se eligieron 4 estudiantes de la I.E Héctor Abad
Gómez de la ciudad de Medellín, y con la cual se hará un análisis a la luz de las
respuestas de los estudiantes, las opiniones de las investigadoras y con base en los
referentes teóricos.
Palabras clave:
Razonamiento, proporcionalidad, semejanza, campos conceptuales.
INTRODUCCIÓN
El trabajo de investigación hace referencia a la semejanza como expresión del razonamiento
proporcional, dicha investigación se realiza debido a la importancia que tiene para las
maestras en formación conocer las diferentes estrategias del razonamiento proporcional que
usan los estudiantes para resolver actividades relacionadas con la semejanza, resaltando de
igual manera la importancia de proponer actividades geométricas para desarrollar este
concepto. La semejanza se encuentra enmarcada dentro de la proporcionalidad y esta a su vez
hace parte del campo conceptual de las estructuras multiplicativas el cual es fundamental para
los estudiantes en la formalización y abstracción de diversos conceptos matemáticos, la
metodología utilizada en las actividades propuestas a los estudiantes fue el taller, que fueron
realizados en los grados 6-1 y 6-2 de la Institución Educativa Héctor Abad Gómez.
LA SEMEJANZA COMO EXPRESION DEL RAZONAMIENTO PROPORCIONAL.
Yineth Aguirre Marin
Viviana Alzate Velasquez
Luz Marina Diaz
REFERENTES TEÓRICOS.
El aprendizaje de cualquier tipo de concepto matemático no es espontáneo en los estudiantes,
si no que esta mediado por actividades pensadas desde diferentes aspectos como los
disciplinares, didácticos y cognitivos que rodean al estudiante, al profesor y al contexto en el
que se encuentran.
De esta manera vemos como los autores, Vergnaud, Piaget; Duval, Lesh, Gloria García, por
medio de sus teorías sustentan las actividades y propósitos seguidos por las investigadoras
para dar sentido a su trabajo.
Vergnaud con la teoría de los campos conceptuales, nos ubica en tratar a la proporcionalidad
como perteneciente al campo conceptual de las estructuras multiplicativas y siendo coherentes
con su teoría asumimos a este concepto (proporcionalidad) como parte de una estructura de
conceptos y situaciones que interactúan, para complementarse, modificarse y representarse de
diversas maneras. Retomando lo dicho por Moreira un Campo conceptual es, para él, un
conjunto informal y heterogéneo de problemas, situaciones, conceptos, relaciones, estructuras,
contenidos y operaciones del pensamiento, conectados unos a otros y, probablemente,
entrelazados durante el proceso de adquisición; (Moreria, (s.f) la teoría de los campos
conceptuales de Vergnaud), teniendo en cuenta de igual manera que el proceso de adquisición
no esta determinado por un tiempo especifico, ya que un conocimiento nunca es construido
totalmente, si no que va evolucionando en el estudiante. De esta manera se pensó en trabajar
la proporcionalidad unida a otro concepto que hace parte de ella como es la semejanza entre
figuras.
Piaget afirma que la construcción de un concepto se da por medio de procesos de asimilación
y acomodación, así mismo con la elaboración de esquemas, concepto que también desarrolla
Verganud pero profundizando mas en la importancia de este. De igual manera piaget afirma
en su libro psicología del niño Se ve aparecer, a los once-doce años, la noción de las
proporciones en ámbitos muy diferentes, y siempre en la misma forma inicialmente
cualitativa. Estos ámbitos son entre otros: las proporciones espaciales (figuras semejantes);
Piaget, Psicologia del niño 1978.
Lesh y otros 1998 nos habla de la identificación de 5 fases en el proceso de construcción del
razonamiento proporcional.
La fase inicial es cuando el estudiante solo esta considerando una variable a la vez, en la fase
siguiente identifica varias variables pero la correlación que establece entre estas es de tipo
cualitativo. En el tercer momento o fase el estudiante utiliza estrategias centradas en el
reconocimiento de patrones de correlación entre las cantidades pero desde una perspectiva
aditiva.
En la fase 4 reconoce estructuras y relaciones que coordinan la variación de dos cantidades
desde un análisis escalar. En la quinta fase puede establecer una constante de
proporcionalidad como una razón que relaciona cualquier par de valores.
LA SEMEJANZA COMO EXPRESION DEL RAZONAMIENTO PROPORCIONAL.
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Luz Marina Diaz
Desde los lineamientos curriculares se resalta la importancia que tiene la geometría como
"fuente de modelación y un ámbito por excelencia para desarrollar procesos de nivel superar y
en particular diversas forma de argumentación.", teniendo en cuenta que las actividades del
pensamiento espacial como moverse, dibujar, construir y producir deben potenciarse en los
estudiantes desde los niveles iníciales, por medio de gestos y el lenguaje común, para luego
afianzar conceptos y que logren proponer posibles definiciones y simbolismos formales. De
igual manera los estándares proponen una interrelación entre otros pensamientos y entre los
diferentes grados, que posibilitaría en los estudiantes la propuesta que hace los lineamientos
sobre el desarrollo del pensamiento espacial.
METODOLOGIA
En un contexto escolar la investigación a realizar debe ser de carácter cualitativa ya que los
aspectos del entorno del estudiante y como se relaciona con ellos, son fundamentales para el
análisis, para tal caso se ha optado por el METODO DE CASOS, ya que este permite
acercarnos y conocer los diferentes fenómenos que están alrededor del caso que se pretende
estudiar y a la luz de los diferentes referentes teóricos, aportar un análisis de este. Se
realizaron 6 actividades de intervención de las cuales la primera tuvo como intención dar una
mirada general las relaciones de proporcionalidad que establecían los estudiantes, las 4
intervenciones siguientes tuvieron la intención de profundizar en aspectos relacionados con la
semejanza entre figuras, y la intervención final se realizo con el propósito de cerrar el proceso
realizado con los estudiantes puntualizando los aspectos que definen a dos figuras como
semejantes.
ALTERNATIVA
Al comenzar nuestro proceso de practica docente, nos encontramos con el tema de la
proporcionalidad y, tras una búsqueda de diferentes referentes teóricos encontramos que de
acuerdo con Gilberto Obando y Olga Botero(2006), en la escuela se visualiza una dificultad
con referencia al concepto de “proporcionalidad” ya que actualmente no es abordado con la
suficiente importancia en los planes de área de las instituciones, debido a esto, al momento en
que se enseña, se presentan dificultades en los estudiantes para la comprensión y por esto
LA SEMEJANZA COMO EXPRESION DEL RAZONAMIENTO PROPORCIONAL.
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muchos docentes deciden enseñarlo como una simple regla de tres o como un tema aislado de
otras temáticas con las que tiene relación.
La proporcionalidad es un concepto que hace parte del campo conceptual de la estructura
multiplicativa, y como perteneciente a un campo la proporcionalidad debe estar articulada con
otros conceptos y situaciones, como afirma Vergnaud retomado por Moreira (Moreria, (s.f) la
teoría de los campos conceptuales de Vergnaud) un conjunto de situaciones cuyo dominio
requiere, a su vez, el dominio de varios conceptos, por esto para un concepto debe tratarse
desde varias situaciones y en una situación deben haber involucrados varios conceptos,
también es importante resaltar que. Por este motivo es de gran importancia para las maestras
en formación encontrar otras formas en que pueda tratarse la proporcionalidad o algún aspecto
que la involucre, para nuestro caso será el concepto de semejanza.
De acuerdo con Piaget (1978), “la proporcionalidad comienza siempre de una forma
cualitativa y lógica antes de estructurarse cuantitativamente”, la importancia de la
proporcionalidad es definitiva en la formación de los estudiantes ya que al abordarla de
manera adecuada desde los primeros años de escolaridad podemos potenciar en los
estudiantes desde el reconocimiento de las relaciones entre los objetos hasta la aplicación de
la función lineal. Por este motivo deseamos por medio de nuestra alternativa de intervención
en el aula conocer Cuales son las estrategias que emplean los estudiantes de sexto grado, ante
situaciones de semejanzas y como se visualiza en ellas el razonamiento proporcional para
poder lograr esto debemos establecer unas prioridades en nuestra observación como
Identificar las estrategias del razonamiento proporcional que utilizan los estudiantes, en el
desarrollo de situaciones en torno a las semejanzas, que se lograra por medio de las diferentes
actividades de intervención que se llevaran a cabo con los estudiantes, las cuales serán
analizadas teniendo en cuenta el punto de vista de las investigadoras y los referentes teóricos.
Al realizar esta investigación se deben tener en cuenta las situaciones y contexto en el que se
ven involucrados los estudiantes, de igual manera las acciones que este realiza, y las
representaciones que crea y utiliza en el proceso de formación de un concepto. Debido a esto
se deben proponer actividades en las que se involucren diversos conceptos y diversas
situaciones que permitan al estudiante dar un paso en la complejidad con la que pueda
responder ante este concepto.
Desde los campos conceptuales según Vergnaud, el conocimiento se adquiere dentro de un
campo o campos conceptuales, que es una red de relaciones de conceptos en diferentes
situaciones. Basándonos en esto nuestra alternativa de investigación se centra en la
proporcionalidad como un concepto del campo conceptual de la estructura multiplicativa y
desde diversas situaciones que involucren semejanzas reconocer el razonamiento
proporcional que los estudiantes ponen de manifiesto.
El proyecto de investigación se llevo a cabo en la Institución Educativa Héctor Abad Gómez
“la escuela de la inclusión”, esta ubicada en el centro de la ciudad de Medellín; los estudiantes
son procedentes de todo el Vallé de Aburra, de todos los estratos socioeconómicos. La
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alternativa de intervención se realizo en los grados sexto 1 y sexto 2 de la institución
educativa, en grupos compuestos aproximadamente por 40 estudiantes, los niños y niñas de
estos grupos están entre los 10 y 14 años de edad y pertenecen a estratos socioeconómico 1,2
y 3.
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CONSIDERACIONES FINALES.
Las conclusiones presentadas son iníciales ya que aun no se ha realizado análisis profundo de
las intervenciones realizadas, por ser el objeto de trabajo del siguiente semestre de práctica.
El proceso realizado con los estudiantes permitió visualizar en sus respuestas que reconocen
figuras semejantes y las describen su relación con algunas características cualitativas.
En algunas de las actividades propuestas a los estudiantes que trataban la variación de
magnitudes, se encontró muy marcada como estrategia de solución la estructura aditiva.
En la mayoría de las ocasiones los estudiantes expresaban en forma verbal o escrita las
relaciones de cambio que se presentaron en algunas actividades, y muy pocas veces de manera
simbólica matemática.
BIBLIOGRAFÍA
Chamorro, María del Carmen. Didáctica de las matemáticas para primaria. Madrid: Pearson
educación, 2003.
Garcia, Gloria y Cerrano, Celly. La comprensión de la proporcionalidad, una perspectiva
social y cultural. Cuaderno tres de matemática educativa. Bogotá: Grupo Editorial Gaia,
1999.
Latorre, Antonio. Bases metodológicas de la investigación educativa. España, 1996.
MEN. Estándares básicos de competencias en matemáticas. Bogotá, 2007.
MEN. Lineamientos curriculares del área de matemáticas. Bogotá, 1998.
Moreira, Marco Antonio. La teoría de los campos conceptuales de Vergnaud, la enseñanza de
las ciencias y la investigación en el área.
http://www.if.ufrgs.br/~moreira/vergnaudespanhol.pdf
Piaget, Jean. Psicología del niño. Octava edición. Madrid: ediciones Morata, 1978.
LA SEMEJANZA COMO EXPRESION DEL RAZONAMIENTO PROPORCIONAL.
Yineth Aguirre Marin
Viviana Alzate Velasquez
Luz Marina Diaz
Rodriguez Diaz, Alejandra y Perez García, Jesús Roberto. La noción de proporcionalidad.
Ethos educativo, n° 28 (sep-dic). Morelia, 2003.
Ruiz, Elena y Valdemoros, Marta. Vinculo entre el pensamiento proporcional cualitativo y
cuantitativo: el caso de paulina. Relime, vol 9, n°2 (julio). México, 2006
Grupo Beta, Proporcionalidad geométrica y semejanza. España; editorial síntesis, 1998
Universidad de Antioquia y Gobernación de Antioquia. Pensamiento variacional y
razonamiento algebraico: Modulo 2, secretaria de educación para la cultura. 2006
Universidad de Antioquia y Gobernación de Antioquia. Pensamiento métrico y sistema de
medidas: modulo 3, secretaria de educación para la cultura. 2006
Yined Aguirre y Viviana Alzate: Son estudiantes de la Licenciatura en Educación Básica
con énfasis en Matemáticas de la Universidad de Antioquia. Correo: [email protected]
[email protected]
Lux Marina Díaz: Profesora de la Facultad de Educación de la Universidad de Antioquia.
Correo: [email protected]
Para citar este artículo sugerimos la siguiente fuente:
Aguirre, Y., Alzate, V. & Díaz, L. M. (2008). La semejanza como expresion del razonamiento
proporcional. En J. A. Villa, Y. M. Mesa, M. M. Parra, & M. M. Zapata (Ed.), Actas
estudiantiles de Educación Matemática. 1, pp. 14-20 Medellín: Facultad de EducaciónUniversidad de Antioquia.
DIFICULTADES CONCEPTUALES EN ESTUDIANTES REFERENTES A
OPERACIONES CON ENTEROS, CONCEPTOS DE ÁLGEBRA Y
TRIGONOMETRÍA
Mónica Marcela Parra Zapata
Lina María Monsalve Valderrama
Jorge Andrés Toro Uribe
Juliana Andrea Zapata Montoya
Liliana Margarita Marulanda García
Sandra Milena Vanegas
Deisy Yolima Cadavid
Mónica Mercedes Zapata Jaramillo
John Henry Durango Urrego
Resumen
En este artículo se presentan los avances de una investigación en ejecución que
se realiza en el Programa de Educación de Adultos del Instituto Tecnológico
Metropolitano de Medellín con estudiantes de 8º, 9º y 10º. En la investigación
se asume como referente teórico el reconocimiento de los procesos de prueba
propuesto por Nicolás Balacheff, con el cual se analiza la manera como los
estudiantes asumen la producción de pruebas en el aula, de tal manera que se
logre identificar las causas por las cuales dichos procesos se encuentra
presentes o ausentes en los razonamientos de los estudiantes. Se realiza una
categorización de los errores y las dificultades que comenten los estudiantes;
basados en el marco de la Enseñanza para la Comprensión, por último se
establecerán estrategias didácticas que permitan a los estudiantes superar las
dificultades, mejorando el dominio de los conceptos matemáticos, y de buenas
elaboraciones de procesos de validación al interior del aula de clase.
Palabras clave
Procesos de prueba, conjeturas, argumentación, categorización, Errores y dificultades,
enseñanza para la comprensión.
INTRODUCCIÓN
Adentrarnos en el universo escolar carecería de sentido si limitáramos nuestro trabajo a la
transmisión repetitiva de conocimientos, es labor fundamental del maestro construir
situaciones que les permitan a los estudiantes el desarrollo y el fortalecimiento de verdaderos
esquemas de conceptos matemáticos. Por esta razón este trabajo tiene como objetivo
identificar las dificultades que presentan los estudiantes al momento de enfrentarse a los
conceptos matemáticos de aritmética, álgebra y trigonometría, y el obstáculo que éstas
representan en la producción de pruebas y conjeturas en el aula de clase; finalmente basados
DIFICULTADES CONCEPTUALES EN ESTUDIANTES REFERENTES A OPERACIONES CON ENTEROS, CONCEPTOS
DE ÁLGEBRA Y TRIGONOMETRÍA
Mónica Marcela Parra Zapata, Lina María Monsalve Valderrama, Jorge Andrés Toro Uribe, Juliana Andrea Zapata
Montoya, Liliana Margarita Marulanda García, Sandra Milena Vanegas, Deisy Yolima Cadavid, Mónica Mercedes Zapata
Jaramillo, John Henry Durango Urrego.
en los elementos teóricos de la enseñanza para la comprensión (Blythe 1999.) se elaborarán
estrategias que permitan enfrentar y superar estas dificultades, para lograr desarrollar procesos
de conjetura y validación al interior del aula de clase.
REFERENTES TEÓRICOS.
Los referentes teóricos de la investigación están situados desde las teorías de la prueba
de Nicolás Balacheff (2000), Que realiza una categorización sobre los procesos de prueba en
la clase de matemáticas.
El marco de Enseñanzas para la comprensión es empleado en la investigación teniendo en
cuenta que los procesos de validación y profundización en la elaboración de mejorías de
conjeturas en el aula de clase tienen que ver con procesos de comunicación y de discusión,
pues bien en el marco de Enseñanzas para la Comprensión desarrollado por en el Proyecto
cero de la universidad de Harvard, se tienen como dimensiones para la Comprensión: el
método, el contenido, la praxis o propósitos y las formas de comunicación.
PARADIGMA DE INVESTIGACIÓN:
La investigación es de corte cualitativa, en ella se realizan categorizaciones que se han
construido a partir de los registros evaluativos de los estudiantes y el respectivo análisis e
interpretación de los mismos, teniendo presente los criterios de rigor de la investigación
cualitativa propuestos Guba , & Lincoln (1985).
PROPUESTA:
Se mostrará la categorización realizada de los errores y las dificultades que comenten los
estudiantes, a partir de la cual se analizaron las respuestas, procedimientos y justificaciones
que realizan los estudiantes, en las evaluaciones y/o socializaciones grupales, para identificar
las dificultades que presentan, al momento de enfrentarse a los conceptos matemáticos de
aritmética, álgebra y trigonometría, y el obstáculo que éstas representan al momento de
argumentar, establecer pruebas y conjeturas en el aula de clase.
DIFICULTADES CONCEPTUALES EN ESTUDIANTES REFERENTES A OPERACIONES CON ENTEROS, CONCEPTOS
DE ÁLGEBRA Y TRIGONOMETRÍA
Mónica Marcela Parra Zapata, Lina María Monsalve Valderrama, Jorge Andrés Toro Uribe, Juliana Andrea Zapata
Montoya, Liliana Margarita Marulanda García, Sandra Milena Vanegas, Deisy Yolima Cadavid, Mónica Mercedes Zapata
Jaramillo, John Henry Durango Urrego.
CONSIDERACIONES FINALES
 La puesta en escena de la propuesta evidencia que los procesos de prueba que realizan
los estudiantes, se pueden incluir en el primer nivel de la categorización realizada por
Nicolás Balacheff, pues ellos realizan pruebas en un nivel inicial; pruebas
pragmáticas, que no superan el empiricismo ingenuo.
Referencias bibliográficas

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Balacheff, Nicolás, (2000). Los Procesos de Prueba en los Alumnos de Matemáticas,
Una Empresa Docente, Santa Fe de Bogotá.
BLYTHE, Tina. (1999). La enseñanza para la comprensión: Guía para el docente.
Paidos. Buenos Aires.
Lincoln, Y., & Guba, E. (1985). Naturalistic inquiry. New York: Sage
Ministerio de Educación Nacional (1998).Lineamientos Curriculares de Matemáticas.
Bogotá D. C.
Mónica Marcela Parra Zapata, Lina María Monsalve Valderrama, Jorge Andrés Toro
Uribe, Juliana Andrea Zapata Montoya, Liliana Margarita Marulanda García, Sandra
Milena Vanegas, Deisy Yolima Cadavid, Mónica Mercedes Zapata Jaramillo: son
estudiantes de la Licenciatura en Educación Básica con énfasisi en Matem{aticas de la
Universidad de Antioquia. Correo: [email protected], [email protected];
[email protected]
John Henry Durango U: Es estudiante de Maestría en Educación (Matemática) de la
Universidad de Antioquia. Profesor del ITM sede Castilla y de la Facultad de Educación {on
de la Universidad de Antioquia. Correo: [email protected]
Para citar este artículo sugerimos la siguiente fuente:
Parra, M., Monsalve, L., Vanegas, M., Toro, J., Cadavid, D., Marulanda, L. Zapata, J.,
Zapata, M., & Durango, J. (2008). Dificultades conceptuales en estudiantes referentes a
operaciones con enteros, conceptos de álgebra y trigonometría. En J. A. Villa, Y. M. Mesa,
DIFICULTADES CONCEPTUALES EN ESTUDIANTES REFERENTES A OPERACIONES CON ENTEROS, CONCEPTOS
DE ÁLGEBRA Y TRIGONOMETRÍA
Mónica Marcela Parra Zapata, Lina María Monsalve Valderrama, Jorge Andrés Toro Uribe, Juliana Andrea Zapata
Montoya, Liliana Margarita Marulanda García, Sandra Milena Vanegas, Deisy Yolima Cadavid, Mónica Mercedes Zapata
Jaramillo, John Henry Durango Urrego.
M. M. Parra, & M. M. Zapata (Ed.), Actas estudiantiles de Educación Matemática. 1, pp.
137-140 Medellín: Facultad de Educación-Universidad de Antioquia.
141
¿Qué estrategias de razonamiento proporcional usan los estudiantes en
situaciones donde se involucre la fracción como razón?
Margarita Álvarez
Cristina Taborda
Luz Marina Díaz G.
Resumen
La experiencia presentada a continuación se basa en una estrategia
didáctica, a partir del diseño de situaciones problema, que permitieron
identificar los sistemas de representación empleados por los estudiantes
de grado séptimo, donde involucran el razonamiento proporcional,
entendido éste como un proceso cognitivo, que involucra ambos métodos
de pensamiento: el cualitativo y el cuantitativo. El análisis será el
resultado de una triangulación entre las voces de los estudiantes, la voz
de las autoras de esta experiencia y las voces de los autores que validan
el referencial teórico del trabajo.
Palabras clave
Razón, proporción, razonamiento proporcional, cualitativo, cuantitativo, campos conceptuales,
proporcionalidad.
INTRODUCCIÓN
Antes de iniciar nuestra práctica pedagógica pensamos en muchos temas que podrían ser
de gran importancia para desarrollar nuestra propuesta de investigación, aún no
conocíamos las necesidades de los estudiantes que por año y medio estarían prestos a
trabajar con nuestras propuestas, pero aún así tomamos la decisión de trabajar “la
proporcionalidad”. Esta surge después de realizar un seguimiento a los textos escolares
del área de matemáticas, los planes de área y los estándares del grado séptimo, donde
encontramos que la razón es enseñada de forma aislada de la fracción, es decir parten de
actividades donde el estudiante realiza comparaciones y le muestran de forma inmediata
la expresión matemática que corresponde a la razón, sin explorar los diferentes sistemas
de representación que [email protected] emplean y que les permite llegar a la construcción del
concepto.
Haciendo un rastreo bibliográfico encontramos que son muchas las investigaciones
cuyo tema central es la proporcionalidad, pero indagando un poco más, fue posible
142
evidenciar que son pocas las investigaciones que existen sobre el razonamiento
proporcional.
“Decir que un estudiante posee un razonamiento proporcional sugiere además del
manejo de la proporcionalidad, un desarrollo cualitativo y cuantitativo de la proporción,
siendo el cualitativo el aspecto más importante ya que como lo afirma Piaget en las
primeras etapas el pensamiento hace uso de correspondencias y seriaciones cualitativas
necesarias para el paso a otras etapas de un nivel más avanzado y en las cuales se aplica
el razonamiento proporcional (cimiento del álgebra y síntesis de la aritmética).”1
Una de las dificultades que se presentan en los y las estudiantes es la falta de estrategias
que emplean para solucionar cualquier tipo de problema y es en este momento donde
tomamos la decisión de elegir el razonamiento proporcional como tema central y para
esto proponemos
la siguiente pregunta:
¿Qué estrategias de razonamiento
proporcional usan los estudiantes en situaciones donde se involucre la fracción como
razón? Pero aún no era suficiente faltaba algo que marcará nuestro norte, lo que
queríamos lograr y para esto nos planteamos el siguiente objetivo: Identificar las
estrategias utilizadas por los estudiantes para realizar situaciones donde se involucra
la fracción como razón.
En el proceso de solución de problemas o situaciones matemáticas contextualizadas se
requiere que el estudiante siga una serie de “pasos” que satisfagan la exigencia del
problema, que lo transformen. Detenernos en el análisis e interpretación de aquellas
expresiones que vistas desde diferentes niveles de interpretación, irán reflejando dichas
transformaciones cualitativas que se harán evidentes en la medida que las pruebas se
vayan desarrollando.
REFERENTES TEÓRICOS.
En relación a lo cognitivo, nombramos a Piaget quien señala que “el niño adquiere la
identidad cualitativa antes que la conservación cuantitativa. Desde una perspectiva
Piagetiana, el razonamiento proporcional es indicador de la operaciones formales del
pensamiento, e implica el tratamiento consistente de las relaciones de covariación entre
variables. Y está estrictamente relacionado con la inferencia y la predicción e involucra
1
Noción de la proporcionalidad
143
tanto métodos de razonamiento cualitativo como cuantitativo"2. A su vez también se
nombra a Vergnaud en su teoría de campos conceptuales, al considerar la estructura
multiplicativa como un campo conceptual, en el cual la proporcionalidad es una
pequeña parte de este.
En cuanto a lo disciplinar,
se pretende retomar las ideas propuestas por Gloria Garcia
y Celly Serrano en lo referente al impacto social y cultural que ha tenido la razón y las
definiciones propuestas por María del Carmen Chamorro.
Haciendo referencia a lo didáctico, se debe reconocer la importancia de la razón ya que
se constituye en una herramienta útil en la resolución de problemas, es por esta razón
que nos centramos en lo expuesto por Freudenthal al considerar que: “La razón en
cuanto a concepto e incluso en cuanto objeto mental, requiere un nivel de desarrollo,
considerablemente alto, por ello su sentido y visión, se presentan en el desarrollo
notablemente pronto3”.
Documentos rectores como los Lineamientos curriculares de Matemáticas y los
estándares curriculares de matemáticas, también hacen parte de estos antecedentes
teóricos.
METODOLOGÍA.
El método de casos que muestra esta experiencia, integra los resultados que tuvieron los
estudiantes elegidos en una actividad inicial de diagnóstico, otras cuatro actividades
basadas en situaciones problema y una última que fue evaluativa, permitiendo de forma
particular recoger, organizar y analizar datos. Como el diseño empleado es el caso
único, permitió confirmar, cambiar, modificar o ampliar el conocimiento sobre el objeto
de estudio, que en nuestro caso es el razonamiento proporcional desde el estudio de la
razón como fracción, analizando la información de cuatro estudiantes: María Andrea,
Marlon, Brandon y Gabriel, elegidos por su forma de responder y argumentar las
respuestas.
2
Relime Vol 9. Núm.2 Vinculo entre el pensamiento proporcional cualitativo y cuantitativo: el caso de
Paulina
3
Razón y proporcionalidad. Freudenthal hans
144
En esta investigación la información recopilada la hemos obtenido a partir de
entrevistas, escritos, talleres enmarcados en situaciones problema, observaciones,
registros fotográficos, diarios pedagógicos y videos. Dicha información se ha obtenido
por medio del desarrollo de acciones realizadas en diferentes etapas:
 Observación: En la cual se obtuvo información referente al contexto escolar y
socio cultural de la institución intervenida, a través del diálogo con docentes del
área de matemáticas en los grados donde se llevó a cabo la intervención
pedagógica de los maestros en formación.
 Diagnóstico: para ello se diseñó una actividad diagnóstica inicial. Con este
diagnóstico se pretendía, indagar el nivel en que se encuentran las estudiantes
respecto al razonamiento cualitativo, cuando resuelven tareas que requieren de la
proporcionalidad. Y a su vez, identificar los conocimientos previos, los niveles
de razonamiento, análisis, interpretación, argumentación, comunicación y
abstracción de los conceptos matemáticos adquiridos por los estudiantes.
 Intervención: Teniendo en cuenta tanto las dificultades como los conocimientos
previos de los estudiantes observados en la actividad diagnóstica, se diseñan y
aplican situaciones problema que permitieran evidenciar el razonamiento
proporcional en los estudiantes. Dichas situaciones, al hacer alusión al contexto
y a la fundamentación teórica, contenían los siguientes elementos: justificación,
objetivo general, objetivos específicos, estándares, recursos utilizados,
conocimientos básicos inmersos en dicha situación,
metodología,
y
bibliografía.
PROPUESTA
Para el desarrollo de esta investigación planteamos una serie de actividades las cuales
diseñamos teniendo en cuenta algunas de las cinco fases propuestas por Lesh y otros4
para la construcción del razonamiento proporcional, las cuales son:
1. El estudiante, ante una situación problema centra su atención en una parte de la
información relevante del problema, es decir, solo considera una variable a la vez y por
lo tanto, su análisis de la situación es parcial.
4
Pensamiento variacional y razonamiento algebraico, modulo 2.
145
2. Se identifican las variables del problema, y su correlación, pero se establecen de
manera cualitativa de tal forma que situaciones que implican tratamiento numérico
quedan por fuera del alcance de las posibilidades de solución. Este tipo de análisis son
importantes pues dan herramientas de control sobre los procesos cuantitativos propios
de la fase siguiente.
3. Esta fase se caracteriza por el uso de estrategias centradas en el reconocimiento de
patrones de correlación entre las cantidades, pero desde una perspectiva adictiva, más
que multiplicativa. En esta fase se utilizan reglas que permiten comparar, incrementar,
decrecer, o hacer relaciones parte todo.
4. En esta fase se reconocen estructuras y relaciones que coordinan la variación de dos
cantidades, fundamentalmente a partir de estrategias de reconocimiento de
coordinación, de regularidades decrecientes y decrecientes.
Esta experiencia es desarrollada en un grupo de 41 estudiantes, 20 mujeres y 21
hombres, del grado séptimo de la Institución Educativa Héctor Abad Gómez, la cual se
encuentra ubicada por la plaza de Flórez de Medellín, rodeada de Instituciones
Educativas y centros culturales. La Institución Educativa Héctor Abad Gómez está
adscrita a los Colegios de Calidad de la ciudad de Medellín y presta el servicio a la
comunidad en general, ya que se dedica a la educación de los más chicos hasta los
adultos, permitiendo así la posibilidad de que todos y todas puedan hacer parte del
proceso educativo.
CONCLUSIONES.
Si bien no sea realizado un análisis de los resultados obtenidos en las pruebas ES
posible llegar a las siguientes conclusiones:
 Se puede evidenciar en los estudiantes los inicios del desarrollo del campo
conceptual multiplicativo, ya que en las intervenciones propuestas en algunas
ocasiones recurren a la multiplicación como estrategia para dar solución a
problemas de tipo comparación multiplicativa.
146
 Según lo propuesto por Vergnaud en la teoría de los campos conceptuales es
importante estructurar un concepto desde diferentes situaciones para dar sentido
y significado al concepto.

Uno de los logros más significativos que se puede destacar en [email protected] estudiantes es
el hecho de que llegaron a designar a la razón como la relación entre dos
magnitudes, esto se hace evidente en el uso de las diferentes representaciones
que hacen de la razón, verbal o escrita (del algoritmo y en palabras), así como lo
menciona Chamorro:"Los alumnos deben desarrollar un lenguaje apropiado
para explicarse en este tipo de situaciones" (en cuanto a la noción de razón).
 De acuerdo a la caracterización realizada por Piaget en cuanto al razonamiento
proporcional fue posible evidenciar que los estudiantes realizan seriaciones de
tipo cualitativo a partir de las comparaciones entre magnitudes y solucionan
situaciones basadas en la proporcionalidad teniendo en cuenta la estructura
aditiva.
 Los estudiantes logran acercasen al concepto de proporción a partir de la
amplificación y simplificación en la comparación de razones.
BIBLIOGRAFÍA
 Chamorro, M., Belmonte, J. M., Lianeres, S. Higueras, L., Vecina, F (2003) Didáctica d
elas matemáticas para primaria. España: Pearson Educación
 Garcia, G (1999). La comprensión de La proporcionalidad, una perspectiva social y cultural.
Bogotá: Universidad Pedagógica Nacional
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 Obando, G. & Botero, Olga (2006). Módulo 2. Pensamiento Variacional y Razonamiento
Algebraico. Medellín: Gobernación de Antioquia.
 MEN. (1998). Lineamientos Curriculares de Matemáticas. Santafé de Bogotá: magisterio
 Rodriguez, A. (2003). “La noción de la proporcionalidad”. Ethos educativo Vol. 28
 Ruiz, Elena (2006). “Vinculo entre El pensamiento proporcional cualitativo y
cuantitativo: El caso de Paulina” Relime Vol.9
 Vergnaud, G. (1985). El niño, las matemáticas y la realidad. Editorial Trillas.
 Vergnaud, G. (1993). Teoría de los Campos Conceptuales. En: Lecturas en Didáctica de las
Matemáticas Escuela Francesa. Sección de Matemática Educativa del CINVESTAV- IPN.
México. Pg. 88-117.
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Margarita Alvarez y Cristina Tabora: Son estudiantes de la Licenciatura en
Educación Básica con énfasis en Matemáticas de la Universidad de Antioquia. Correo:
[email protected]; [email protected]
Luz Marina Díaz: Profesora de la Facultad de Educación de la Universidad de
Antioquia. Correo: [email protected]
Para citar este artículo sugerimos la siguiente fuente:
Álvarez, M., Taborda, C. & Díaz, L. M. (2008). ¿Qué estrategias de razonamiento
proporcional usan los estudiantes en situaciones donde se involucre la fracción como
razón? En J. A. Villa, Y. M. Mesa, M. M. Parra, & M. M. Zapata (Ed.), Actas
estudiantiles de Educación Matemática. 1, pp. 141-146 Medellín: Facultad de
Educación-Universidad de Antioquia.
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