1. COLUMNAS CORTAS CARGADAS AXIALMENTE Cuando concreto y acero trabajan unidos, la proporción de la carga tomada por ambos varía durante el tiempo de acción de la carga misma. Inicialmente en el estado elástico depende de la relación modular n, pero cuando el concreto alcanza su deformación máxima, que usualmente es un valor de c entre 0.002 y 0.003, se alcanza la resistencia máxima del concreto, f 'c. La máxima resistencia que puede tomar la columna es teóricamente cuando el esfuerzo en el concreto es máximo (cuando c 0.002). Sin embargo, es posible conseguir mayores incrementos de carga si hay endurecimiento del acero, con niveles de deformación unitaria del concreto cu = 0.003, en donde la resistencia del concreto corresponde a la resistencia de falla y tiene un valor aproximado de 0.85* f 'c. (Ver Figura 6.6). La espiral participa poco en el aumento de resistencia final de la columna, pero provee ductilidad expresado en una deformación amplia antes de la falla. Cuando se alcanza el punto de fluencia, el recubrimiento en concreto de la columna se desprende y el acero en espiral empieza a actuar para confinar el concreto que ha fallado en el interior. Bajo la misma deformación, una columna con estribos simples puede haber fallado totalmente, mientras que una columna con espiral puede estar ampliamente dañada, pero aún soportando carga. Fluencia del acero fy Endurecimiento del acero Columna con espiral, deforma mas antes de falla f 'c Falla de una columna con estribos simples 0.85*f 'c y acero c cu concreto Se puede obtener la capacidad máxima de carga axial para la columna sumando la contribución del concreto, con la del acero proveniente de las barras longitudinales y acero transversal en espiral a partir de la siguiente expresión: Po 0.85 * f c' * Ac f y * Ast k s * As p * f ys donde, Ast = es el área del acero en toda la sección de la columna igual al acero de compresión As mas el acero de tensión, As + A's. Ac = es el área neta del concreto igual a (Ag - Ast). Asp = volumen de acero en espiral por unidad de longitud. ks = constante que varia entre 1.5 y 2.5 con un promedio de 1.95 fys = esfuerzo de fluencia del acero en espiral. Igualmente la anterior expresión se puede escribir: Po 0.85 * f c' * ( Ag Ast ) f y * Ast k s * As p * f ys en la cual Ag es la sección bruta de la columna b*h. Definiendo la cuantía de acero de la sección como la relación del acero total sobre el área de la sección bruta, g = Ast / Ag, y sustituyendo este valor en la ecuación anterior se obtiene: Po Ag * 0.85 * f c' * ( 1 g ) f y * g k s * As p * f ys En términos generales, el término representando la contribución del espiral debe ser omitido, por lo cual la compresión pura del elemento está determinada por la siguiente expresión: Po 0.85 * f c' * ( Ag Ast ) f y * Ast Ag * 0.85 * f c' g * ( f y 0.85 * f c' ) El valor anterior es la capacidad nominal de carga axial máxima que puede resistir la columna. Se puede notar que la carga axial produce una deformación uniforme en toda la sección transversal (ver Figura 6.7.a). El valor de Po está compuesto por una parte que toma el concreto y otra que aporta el acero, Pc = 0.85*f 'c*(Ag - Ast) del concreto y Ps = Ast * fy del acero, ambas desarrollando resistencia en el estado plástico. Considerando el estado elasto-plástico del acero, la columna falla cuando el concreto alcanza aproximadamente su deformación unitaria u. En la práctica actual no se especifican excentricidades mínimas, pero fácilmente estas se pueden presentar por diferencia en el alineamiento superior e inferior de la columna, asimetría de las cargas o por presencia de cargas pequeñas o rigideces residuales no tratadas en el análisis inicial. Se estipula especificar una reducción del 20% de la resistencia última por carga axial para columnas con estribos y del 15% para columnas con espirales. La capacidad nominal de diseño para carga axial con excentricidad mínima no puede tomarse mayor que: Pn (max) . * . * f c' * Ag Ast f y * Ast para elementos no preesforzados con refuerzo en espiral, ni mayor que: Pn (max) . * . * f c' * Ag Ast f y * Ast para elementos no preesforzados, reforzados con estribos cerrados. Como recomendación adicional, se sugiere utilizar la anterior formula para excentricidades e mínimas (momento mínimo sobre carga axial máxima, Mn /Pn) menores a 0.1*h para columnas con estribos o menores a 0.05*h para columnas con espirales, para momentos pequeños o no calculados. En otras palabras, las columnas cortas pueden diseñarse con la anterior expresión siempre y cuando los valores de la excentricidad e ( Mn /Pn) estén dentro de estos valores. La capacidad de diseño para las columnas cortas cargadas axialmente debe estar modificada por el coeficiente de reducción estudiado en la Sección 6.1.4 del presente capitulo. El valor de es igual a 0.75 para columnas con espiral y tiene un valor de 0.70 para columnas con estribos simples. Por lo tanto, la capacidad de carga (capacidad última) de una columna no debe ser mayor que los valores obtenidos de aplicar las siguientes expresiones: Para elementos no preesforzados con estribos cerrados: * Pn ( max) . * . * . * f c' * Ag Ast f y * Ast * Pn ( max) . * . * f c' * Ag Ast f y * Ast y en términos de la cuantía de acero: * Pn(max) . * Ag * . * f c' g * ( f y . * f c' ) Para elementos no preesforzados con refuerzo en espiral: * Pn ( max) . * . * . * f c' * Ag Ast f y * Ast * Pn ( max) . * . * f c' * Ag Ast f y * Ast y en términos de la cuantía de acero: * Pn(max) . * Ag * . * f c' g * ( f y . * f c' ) As1 As2 Po As3 Pn Ps1 = f y*As1 As1 = As3 Ps2 = f y*As2 Ps3 = f y*As3 Pc = O.85*f ‘c*(Ag - Ast ) Columna cargada axialmente Ejemplo 1: Diseño de una columna cuadrada. Diseñar una columna cuadrada con estribos similar a la de la figura 6.7, para soportar una carga muerta aplicada de 1000 Kn y una carga viva de 808 Kn. Asumir un refuerzo máximo longitudinal del 2%. Diseñar con f 'c = 28 Mpa y fy = 420 Mpa. Asumir estribos con diámetro 3/8". La carga última de diseño es: Pu . * . * Kn Partiendo de esta carga y con la expresión de la resistencia última para una columna con excentricidad mínima se encuentran las dimensiones de la sección: * Pn ( max) . * . * f c* Ag Ast f y * Ast * . * . * * ( Ag . * Ag ) * . * Ag * . * . |* Ag . * Ag * Ag Ag mm * . Lado L mm Usar mm x mm Seleccionamos las barras longitudinales a partir del área de acero: * . * . * * ( Ast ) * Ast Ast mm . cm Usar # # ( . cm ) Estribos # 3 @ 35 cm Barras # 7 6 cm 14 cm 40 cm 14 cm 6 cm Figura 6.8. Sección columna del ejemplo No. 1. 2. COLUMNAS CORTAS CON CARGA AXIAL Y FLEXIÓN Elementos estructurales sometidos a carga axial y momento deben diseñarse para que resistan ambas solicitaciones. Al flexionarse las columnas hay esfuerzos de tensión en un lado de la columna y compresión en el otro lado, dependiendo de la magnitud del momento. Cuando la carga axial es grande y el momento prácticamente nulo, la falla por solicitación a grandes cargas axiales se produce por aplastamiento de la columna. A medida que la solicitación de carga axial disminuye y el momento requerido de diseño aumenta, la sección pasa de ocupar toda el área transversal a compresión a experimentar esfuerzos de tensión que son resistidos únicamente por el acero en la misma cara de tensión, sin que necesariamente sean esfuerzos de fluencia. La falla todavía puede ocurrir por aplastamiento del concreto. A partir de la carga balanceada las donde las barras de tensión alcanzan su esfuerzo de fluencia en el mismo instante en que el concreto a compresión falla, se considera que la columna puede resistir momentos mayores, mientras las cargas axiales disminuyen. Desde este momento la falla se inicia por fluencia de las barras a tensión. Finalmente, para momentos muy grandes con cargas axiales muy pequeñas la falla ocurre como una viga. Para el cálculo de las fuerzas internas de una columna cumplen los mismos principios que se aplicaron al análisis de vigas rectangulares: la misma distribución de esfuerzos basada en el bloque rectangular sin incluir el aporte del concreto en el lado de la tensión, la posición de las cargas de tensión y compresión dependiendo de la posición del eje neutro y las cargas del acero basadas en la multiplicación del área de las barras por el esfuerzo desarrollado. La diferencia radica en que se añade una fuerza nominal Pn que actúa simultáneamente con una excentricidad e con respecto al centroide plástico (ver Figura 6.9.b) de la sección transversal. Basados en el equilibrio de la sección en la misma figura, la fuerza axial nominal se calcula como sigue: Pn Cc Fs2 - Fs1 0.85* f c' * a * b As2 * f s 2 As1 * f s1 Estableciendo la ecuación de momentos con respecto al centroide plástico, se puede obtener el momento Mn = Pn* e , para columnas con refuerzo en ambas caras, de acuerdo a la siguiente expresión: M n C c * (h/2 - a/2) Fs2 * (h/2 - d' ) Fs1 * ( d h / ) 0.85* f c' * a * b * (h/2 - a/2) As2 * f s * ( h / d' ) As1 * f s * ( d h / ) donde los valores de fs1 y fs2 pueden estar o no en fluencia. La máxima deformación unitaria en la fibra extrema a compresión del concreto debe suponerse igual a 0.003. El esfuerzo en el acero fs para valores menores al de fluencia fy debe tomarse como el producto de Es por la deformación unitaria del acero s correspondiente. Para deformaciones unitarias mayores que y = fy / Es, el esfuerzo en el refuerzo debe considerarse independiente de la deformación e igual a fy. e c.p. = Centro Plastico Pn Mn b c.p. Pn (b) (a) Centro Plastico h/2 h/2 Centro Plastico h/2 h/2 As2 As1 e.n. s1 As1 a/2 a/2 Cc = O.85*f ‘c*(Ag - Ast ) Cc Fs1 = f s1*As1 c Fs2 = f s2*As2 h/2 - d’ d' d' h/2 d - h/2 d h As2 u s2 h/2 - d’ Mn = e * P n (c) d (d) (a) y (b) Columna excéntrica con carga axial y momento equivalentes. (c) Deformaciones unitarias. (d) Fuerzas internas. El centroide plástico es el sitio donde se concentra la resultante de las fuerzas producidas por concreto y acero. Es el punto a través del cual debe pasar la carga axial resultante para que la deformación unitaria sea uniforme en el momento de la falla. Para calcular el centroide plástico se supone que todo el concreto trabaja con un esfuerzo de compresión de 0.85* f 'c y todo el acero con fy en compresión. En secciones simétricas el centroide plástico coincide con el centroide geométrico. Considerando el centroide plástico ubicado a una distancia y de la cara de compresión y replanteando las ecuaciones para la carga y el momento nominal resistente, se obtiene: Pn 0.85* f c' * a * b As2 * f s 2 As1 * f s1 M n Pn * e 0.85* f c' * a * b * ( y - a/2) As2 * f s 2 * ( y d' ) As1 * f s1 * ( d y ) En las ecuaciones expresadas en esta sección se supone que el acero a compresión no desplaza el concreto ocupado por lo que el área neta de compresión (Ag - As2) es aproximada a Ag = b*h. Se supone, también, que la profundidad del eje neutro es menor que la distancia d en la sección. Para secciones en que la excentricidad e es muy pequeña y toda la sección trabaja a compresión, asimismo todo el acero trabaja a compresión y el termino negativo de Pn debe asumirse positivo. Las relaciones entre esfuerzo y deformación unitaria se pueden establecer utilizando el diagrama de deformaciones unitarias en la Figura 6.9.c. Por definición, siempre se tomará fsi = fy cuando se obtenga que si y. Para el acero a tensión, As1: d c c s1 0.003* f s1 Es * s1 , si se cumple que s1 y Para el acero a compresión, As2: c d' c s 2 0.003* f s 2 Es * s 2 , si se cumple que s 2 y 3. DISEÑO CON AYUDA DE CURVAS DE INTERACCIÓN. Cada vez que se varían las dimensiones de la sección transversal de una columna, la cantidad y colocación de las barras de acero o la resistencia del concreto o acero, es necesario realizar un nuevo diagrama de interacción para encontrar las combinaciones de carga y momento que determinen un diseño satisfactorio. Es imaginable la cantidad de diagramas de interacción con las innumerables combinaciones que deberían ser construidos para llevar a cabo un proyecto. En la practica el diseño se realiza con la ayuda de curvas preestablecidas de diseño que consideran los ejes como funciones adimensionales en función de las cargas, resistencia del concreto y cotas de la sección. El número de curvas se reduce considerablemente y sirven para cualquier dimensión de la sección que cuente con una resistencia determinada del concreto. Las curvas de interacción comprenden los casos más típicos como son las columnas cuadradas, rectangulares y circulares, además que se construyen para diferentes cuantías de refuerzo dentro de una resistencia especifica del concreto (ver Figura 6.19). Las curvas son presentadas de acuerdo a los valores nominales de diseño Pn y Mn o de acuerdo a las disposiciones de seguridad de las normas que especifican multiplicar estos valores por el factor de reducción para obtener las cargas de diseño. Existen curvas como las mostradas en la siguiente figura, para diferentes tipos de secciones y distribución de barras que además de presentar las abscisas y ordenas en función de los parámetros adimensionales K y K(e/h) presentan diferentes soluciones para cuantías de acero hasta del 1%. Gráficos como estos también se consiguen para secciones rectangulares con refuerzo en las cuatro caras, secciones circulares y diferentes resistencias f 'c y fy del concreto y acero respectivamente. El procedimiento de diseño utilizando las curvas de ayuda que puede ser seguido incluye el siguiente procedimiento: a) Se seleccionan las dimensiones tentativas de la sección. b) Se calculan adimensionales K= Pn / (*f 'c *b*h) y K*(e/h) = Mn / (*f 'c *b*h2). c) Se calcula la relación = (h - 2*d') / h, basada en los requisitos de recubrimiento. d) A partir de la gráfica se lee la cuantía *t donde: fy f c' ; t Ast b* h 0.85 * e) Finalmente se despeja Ast a partir de la expresión de t. Igualmente, se puede entran a las gráficas de interacción conociendo (e/h), y el valor de K, a partir de los cuales se pude igualmente conocer *t y por ende el valor de Ast. Si se conoce la cuantía de acero y se desea obtener la capacidad resistencia de la sección, se encuentran los valores K y K*(e/h), y a partir de estos las variables Pn y Mn. Pn o Pn Po Pn(max) = Resistencia Nominal 0.0 1 0.0 = 2 0.0 3 = Resistencia de Diseño Po Mo Mo Mn o Mn Curvas de interacción para diferentes cantidades de acero. Disposiciones de seguridad del código con factor Diagrama de interacción. Sección rectangular con = 0.7, fy = 420 Mpa, f 'c = 28 Mpa. Diagrama de interacción. Sección rectangular con = 0.8, fy = 420 Mpa, f 'c = 28 Mpa. Ejemplo 2: Diseño de una columna cuadrada con diagramas de ayuda. Para una columna cuadrada con una cuantía aproximada de refuerzo del 2%, con una carga axial de compresión de 850 kN y un momento de 75 kN-mt para carga muerta mas una carga axial de 580 kN y un momento de 38 kNmt para carga viva, encontrar: a) Las dimensiones b y h de la columna. Las dimensiones definitivas deben ser un poco mayores pues se deben ajustar a un múltiplo de 5 cm por encima del teórico encontrado. b) La cantidad definitiva de acero una vez encuentre los valores de b y h definitivos. La cuantía de refuerzo debe ser entonces, un poco menor a t = 0.02 debido a que ahora se tiene una sección mayor a la del diseño teórico. Para el diseño se debe tomar en consideración que: Todos estos valores corresponden a cargas sin mayorar. Usar f’c = 28 N/mm2 y fy =420N/mm2. Usar d’ = 6.0 cm. Usar tabla con h 2 * d' 0.70, e / h 0.2 y t 0.020 h Los valores de diseño para la sección para b y h deben cumplir con la cuantía asumida. Asumir la resistencia última del concreto f 'c = 28 Mpa y el esfuerzo de fluencia del acero fy = 420 Mpa. Usar para el modulo elástico del acero el valor Es = 2.04 x 105 Mpa. Solución: a) Encontramos las dimensiones de la columna cuadrada utilizando las curvas de interacción. Inicialmente encontramos la carga y momento últimos y la excentricidad e: Pu . * . * kN M u . * . * kN mt e M u / Pu / . mt . cm Para entrar en el diagrama de interacción (Figura 6.20.a) definimos: γ . ; e / h . ; ρt . ; . . * ρt * . * . . Con el valor ρt * . hallamos K en el diagrama de int eraccion respectivo Se ha estimado e/h = 0.2 y con t * = 0.35, se obtienen del diagrama de interacción respectivo ( = 0.70) los valores de K y K(e/h). K 0.68 K Pu * f c' * b * h 0.68 b * h 195* 10 3 1463.1 cm 2 0.7 * 280* 0.68 b h 38.3 cm Así mismo, K * (e/h) . K * (e/h) b h . cm Usar Mu * f'c * b * h . b* h . * . cm . * * . b h cm b) La cantidad definitiva de acero una vez encuentre los valores de b y h definitivos. Nuevo e/h . / . . Nuevo - . Usar cm de recubrimiento. Es de anotar que e/h = 0.194 casi que coincide con el valor asumido inicialmente de e/h=0.2. En caso cotrario ajustar e/h inicial y recomenzar una nueva iteración para seleccionar b y h. K definitivo Pu * f c' * b * h K * (e/h)definitivo * . . * * * Mu * f'c * b * h . * . * * . Igualmente se podría encontrar el valor de K*(e/h) utilizando el nuevo e/h = 0.194 encontrado: K * (e/h) 0.622* 0.194 0.1206 Este valor es muy similar al encontrado utilizando el valor de Mu = 15.1 Tn-mt, por lo que se puede concluir que por ambos procedimientos los valores de K*(e/h) coinciden. A continuación, con los valores encontrados de K=0.622 y K*(e/h)=0.1204 buscamos la correspondiente cuantía de acero en el diagrama de interacción de la Figura 6.20.a: ρt * m 0.21 m 17.65 ρt 0.21 / 17.65 0.012 Ast 0.012* 1600 19.2 cm 2 La combinación de las barras de acero y sus respectivas denominaciones que más aproximadamente cumplen con esta cantidad de acero son: Ast As1 As2 4 # 6 2#7 2 # 6 1 #7 en cada cara de la sec cion.
