Apuntes de lógica proposicional: tablas de verdad

TABLAS DE VERDAD
A la hora de establecer los valores de verdad de los enunciados moleculares hacemos uso del método
de las tablas de verdad, que establecen todos los posibles valores de verdad que puede tener un enunciado
complejo a partir de las combinaciones de verdad de sus componentes.
La tabla de verdad de una proposición atómica, que solo puede ser verdadera o falsa, es muy sencilla.
Si decimos que p es verdadero, lo expresamos mediante el símbolo V. Si decimos que es falso, mediante
el símbolo F. Si la completamos con la tabla de su negación y el de sus diversas composiciones con q,
tenemos la siguiente tabla:
⌝p
F
F
V
V
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p∧q
V
F
F
F
p∨q
V
V
V
F
p→q
V
F
V
V
p↔q
V
F
F
V
Como vemos, las proposiciones moleculares pueden tener múltiples combinaciones de valores de
verdad, dependiendo del número de proposiciones atómicas que las compongan. Para saber exactamente cuántas combinaciones hay en cada caso, lo único que debemos hacer es aplicar la fórmula 2n, donde
el número 2 corresponde al número de valores de verdad diferentes que tenemos (V y F) y la n debe ser
sustituida en cada caso por el número de enunciados atómicos diferentes que tenga cada proposición
molecular.
Si, tal como se puede ver en el ejemplo, tenemos dos variables de enunciado (p y q), cada una de los
cuales puede tener dos valores (V o F), el número de combinaciones posibles es 2 2 = 4.
En el caso de que tengamos tres variables de enunciado diferentes (p, q y r), el número de posibles
combinaciones de valores de verdad será e! resultado de elevar el número de valores de verdad, es decir 2,
al número de variables de enunciado, es decir 3. Dicho de otro modo, 2 3 = 8.
Además de conocer las posibles combinaciones, debemos saber cómo se comportan los valores de
verdad de una proposición molecular, dependiendo de la conectiva que una sus proposiciones, que es lo
que hemos hecho en la misma tabla que nos sirvió de ejemplo. A partir de ahí, a la hora de calcular la
tabla de verdad de cualquier proposición molecular, solo habrá que averiguar las proposiciones a las
que afecta cada conectiva que aparezca y aplicar la regla general válida para ella. Veamos, como ejemplo,
la tabla correspondiente al enunciado (1) Eres inteligente y eres simpático si y solo si o bien no eres
inteligente o bien no eres simpático.
p = Eres inteligente
q = Eres simpático
(1) (p ∧ q) ↔ (⌝ p ∨ ⌝q)
p
q
⌝p
⌝q
p∧q
⌝p ∨ ⌝q
(p ∧ q) ↔ (⌝p ∨ ⌝q)
V
V
F
F
V
F
V
F
F
F
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
F
V
V
V
F
F
F
F
Esta tabla nos ayuda a ilustrar la clasificación de los enunciados, en lo referente a sus propiedades
semánticas, en tres tipos generales, dependiendo de la combinación de valores de verdad que
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obtengamos en su columna correspondiente. Así, toda proposición podrá ser una indeterminación, una
tautología o una contradicción.
― Indeterminación: en algunas combinaciones se obtiene que la proposición molecular es
verdadera y en otras, falsa. En este tipo de fórmulas, la verdad o falsedad depende del valor de verdad de
sus componentes simples.
― Tautología: en todas las posibles combinaciones la proposición molecular es verdadera.
Independientemente del valor de verdad de sus componentes simples, cualquier enunciado que
presente esta estructura será formalmente válido.
― Contradicción: en todas las posibles combinaciones, el enunciado es siempre falso. Independientemente del valor de verdad de sus componentes simples, un enunciado que presente esta estructura no será nunca válido. En nuestro ejemplo, el enunciado (p ∧ q) ↔ (⌝ p ∨ ⌝q) es lógicamente contradictorio.
Son particularmente valiosos los enunciados necesariamente verdaderos (tautológicos), porque pueden ser
considerados como leyes lógicas. Ofrecemos un compendio de las más importantes:
EQUIVALENCIAS
"PRIMEROS PRINCIPIOS" E IMPLICACIONES
LEYES SOBRE VARIABLES ISOMORFAS
p↔p
⌝⌝ p ↔ p
p ∨p ↔p
p ∧p ↔p
"PRIMEROS PRINCIPIOS"
Principio de identidad
Principio de doble negación
1ª ley de tautología
2ª ley de tautología
⌝(p ∧⌝p)
p ∨⌝p
LEYES CARACTERÍSTICAS DE LA IMPLICACIÓN
LEYES DE LA DISYUNCIÓN
(p ∨q) ↔ (⌝p→q)
(p ∨q) ↔⌝(⌝p ∧⌝q)
(p ∨q) ↔(q ∨p)
p ∨(q ∨r) ↔(p ∨q) ∨r
p ∨(q ∧r) ↔(p ∨q) ∧(p ∨r)
⌝(p ∨q) ↔(⌝p ∧⌝q)
Principio de no contradicción
Principio de Tercio Excluso
p→(q→p)
1ª Ley Paradójica (Verum sequitur ad quodlibet)
⌝p→(p→q)
2ª Ley paradójica (Ex falso sequitur quodlibet)
(p →⌝p) →⌝p
1ª reducción al absurdo
p →(⌝p→q)
2ª reducción al absurdo
(p →(q ∧⌝q)) →⌝p
3ª reducción al absurdo
p →(p ∨q)
Ley de adición
(p ∧q) →p [oq]
Ley del a fortiori
(p ↔q) →(p→q) [o q→p]
3ª ley de De Morgan
Ley conmutativa de la disy.
Ley asociativa de la disy.
Ley distributiva de la d.
1ª ley de De Morgan
LEYES DE LA CONJUNCIÓN
p ∧q ↔⌝(⌝p ∨⌝q)
p ∧q ↔⌝( p→⌝q)
(p ∧q) ↔(q ∧p)
p ∧(q ∧r) ↔(p ∧q) ∧r
p ∧(q ∨r) ↔(p ∧q) ∨(p ∧r)
⌝(p ∧q) ↔⌝p ∨⌝q
LEYES DEL LOGISMO
4ª Ley de De Morgan
((p →q) ∧ (q→r)) →(p→r)
((p ∨q) ∧⌝p) → q
(⌝(p ∧q)) ∧p → ⌝q
Ley conmutativa de la c.
Ley asociativa de la conj.
Ley distributiva de la c.
2ª ley de De Morgan
logismo hipotético
logismo disyuntivo
logismo conjuntivo
MODOS DEL LOGISMO HIPOTÉTICO
LEYES DE LA IMPLICACIÓN
((p→q) ∧p) → q
((p→q) ∧⌝q) →⌝p
(p→q) ↔(⌝p ∨q)
(p→q) ↔⌝(p ∧⌝q)
(p→q) ↔(⌝q→⌝p)
Ley de contrapoción (del contrarrecíproco)
(p→( q→r)) ↔ (q→( p→r))
Ley de conmutación
⌝( p→q) ↔(p ∧⌝q)
Modus ponendo ponens
Modus tollendo tollens
LEYES DE COMPOSICIÓN Y DILEMAS
(p ∧q)→p [oq]
((p →r) ∧(q→r)) →((p ∨q) →r)
((p →r) ∧(q→s)) → (p ∨q) →(r ∨s))
((p →q) ∧(p →⌝q)) →⌝p
REGLAS DE TRANSFORMACIÓN
1.Todas las leyes son conmutativas (pueden permutarse)
2.Todas las leyes válidas como equivalencias lo son también como
implicaciones (sustituyendo ‘↔’ por ‘’)
2
Amplificación
1er Dilema
2º Dilema
4ª red. al absurdo