2.2.-)BOMBAS CENTRÍFUGAS

BOMBAS CENTRÍFUGAS
Dr. –Ing. R. Iñaki Ponce De La Cruz Herrera
[email protected]
INTRODUCCIÓN
2
Bombas centrífugas
El flujo llega al rodete a través de un conducto perpendicular al él. Entra en el mismo sin
energía y sale con energía de presión (𝑝2 Τ𝛾) y de velocidad(𝑐22 Τ2𝑔). Fuera del rodete, ésta
ha de pasar también a energía de presión en la voluta, lo que va a originar pérdidas;
interesan pues 𝑐2 pequeñas.
S
difusor
impulsor
voluta
E
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3
TRIÁNGULOS DE VELOCIDADES
4
Triángulos de velocidades
r 2 =D 2 /2
sección
meridional
b2
r1
álabe
c m2 = cr 2
c m1
b1
c a1
c r1
cu 2
(a)
sección
transversal
c2
w2
c m2
2
u2
2'
w1
c m2 = cr 2
2
2
2'
A la resultante de ca y cr se le llama velocidad
meridiana cm:
2 = 𝑐2 + 𝑐2
𝑐𝑚
𝑎
𝑟
c m1
1
(b)
Entra el flujo en el rodete con la velocidad
absoluta c1 (ca1 cr1 cu1) y sale con la velocidad
c2 (cr2 cu2).
c1
1
1
u1
c u1
Si no hay componente axial:
cm = cr
Si no hay componente radial
r2
r1
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cm = ca
5
Triángulos de velocidades
Caudal
𝑄r = 𝑆1 ⋅ 𝑐𝑚1 = 𝑆2 ⋅ 𝑐𝑚2
Si D2 es el diámetro, o diámetro medio, del rodete (k = 0,95):
𝑄r = 𝑆2 ⋅ 𝑐𝑚2 = 𝑘 ⋅ 𝜋 ⋅ 𝐷2 ⋅ 𝑏2 ⋅ 𝑐𝑚2
flujo mixto
centrífuga
D2
b2
flujo axial
c m 2 = c a2
b2
b2
c m2
cm 2 = cr 2
D2
D2
Do
De
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De
Do
De
6
Triángulos de velocidades
Caudal
𝑄r = 𝑆1 ⋅ 𝑐𝑚1 = 𝑆2 ⋅ 𝑐𝑚2
Si D2 es el diámetro, o diámetro medio, del rodete (k = 0,95):
𝑄r = 𝑆2 ⋅ 𝑐𝑚2 = 𝑘 ⋅ 𝜋 ⋅ 𝐷2 ⋅ 𝑏2 ⋅ 𝑐𝑚2
flujo mixto
centrífuga
D2
b2
flujo axial
c m 2 = c a2
b2
b2
c m2
cm 2 = cr 2
D2
D2
Do
De
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De
Do
De
7
Triángulo de entrada.
Generalmente, la bomba se calcula para que cuando trabaje con el caudal Q* de
diseño, el líquido entre en el rodete sin rotación previa en el conducto de acceso:
cu1 = 0
a1 90o c1 = cm1
Q=
perfi
l
álab
e
c1*
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w1
1
b1’
Q*
1
1
u1
8
Triangulo de velocidades
Si la bomba trabajara con mayor o menor caudal que el Q* de diseño, tendría que ocurrir:
➢ cuando Q > Q*, cm1 tiene que aumentar (Qr = S1cm1)
➢ cuando Q < Q*, cm1 tiene que disminuir.
Planteemos dos posibles hipótesis: a) y b)
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Hipótesis a
El líquido sigue sin rotar en el conducto de acceso (a1  90o): b1 del triángulo puede
variar bastante respecto al b1' que tienen los álabes del rodete a la entrada. Se
producirían choques contra el adverso o el reverso de los álabes.
Q
Q=
c1
perfi
l
c1*
b1’ 1
1
*
Q*
Q < Q*
c1
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>Q
w1
w1 w1
1
u1
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Hipótesis b
El líquido entra tangente a los álabes (b1  b1'): a1 varía respecto de los 90o de diseño.
El flujo sufre una rotación previa en la tubería de acceso (cu1  0), en el sentido de
si Q < Q* (Qr = S1cm1)
y en sentido contrario
si Q > Q*
c m1
c1
1'
usualmente,
c1*
𝜷𝟏 ′ = 𝟏𝟓 ÷ 𝟓𝟎𝐨 .
c1
c m1
1
c u1 1 cu1
Q > Q* Q < Q*
1
u1
El flujo busca siempre el camino menos resistente (el de menos pérdidas), que resulta ser
la hipótesis b (prerrotación en el conducto de acceso).
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Triángulo de velocidad a la salida
a)
𝑢2 es
lógicamente la misma para cualquier caudal.
b) b2 es casi el mismo para cualquier caudal:
b2 = b2' si z = ∞; b2 < b2′ si z = finito
b2' es el mismo en todo el ancho b2 en bombas centrífugas, y diferente en bombas hélice o
hélicocentrífuga.
c) c2 y a2 varían cuando varía el caudal: 𝑄r = 𝑆2 ⋅ 𝑐𝑟2
c
(2 Q
>
*)
Q
2
c *2
*)
Q
<
Q
c2 (
cr 2
2
2
cu2
u2
2'
cr 2
cr 2
perfil álabe
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ECUACIÓN DE EULER
13
Ecuación de Euler
𝑔 ⋅ 𝐻𝑡,∞ = 𝑢2 ⋅ 𝑐2 ⋅ cos 𝛼2 − 𝑢1 ⋅ 𝑐1 ⋅ cos 𝛼1
En general, en condiciones de diseño, no hay prerrotación:
a1* = 90o
𝑔 ⋅ 𝐻𝑡,∞ = 𝑢2 ⋅ 𝑐2 ⋅ cos 𝛼2 = 𝑢2 ⋅ 𝑐𝑢2
S
difusor
impulsor
voluta
E
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Ecuación de Euler
𝐻𝑡,∞
S
𝑢2 ⋅ 𝑐𝑢2
=
𝑔
difusor
impulsor
voluta
E
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15
ANÁLISIS DE UNA
BOMBA CENTRIFUGA
16
Análisis de una bomba centrífuga
Se puede así analizar una bomba centrífuga de dos funciones implícitas:
𝐻 = 𝑓 𝛽2
𝐺𝑅 = 𝑓 𝛽2
En una bomba centrífuga opera con las condiciones siguientes:
𝑉𝑅1
𝑉𝑢1 = 0
= 𝑉𝑅2 = 𝑉𝑅
𝛽1 = 45° → 𝑈1 = 𝑉1 = 𝑉𝑅
𝑈2 = 2𝑈1 = 2𝑉1 = 2𝑉𝑅
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17
Análisis de una bomba centrífuga
La energía transferida es la ecuación Euler:
1
𝐸 = 𝑉𝑢2 ⋅ 𝑈2 − 𝑉𝑢1 ⋅ 𝑈1
𝑔
𝑉𝑢1 = 0
𝐻𝑡,∞
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𝑢2 ⋅ 𝑉𝑢2
=
𝑔
18
Análisis de una bomba centrífuga
𝑉
𝑉𝑢
𝑈
𝛽
𝑉𝑟
𝑉𝑚
𝑉
2
= 𝑉𝑎
2
+ 𝑉𝑟
2
+ 𝑉𝑢
𝑈 − 𝑉𝑢
𝑉𝑢
𝑉𝑚
𝑉𝑚
𝑉
2
= 𝑉𝑢
𝑉𝑟
𝑉
2
2
+ 𝑉𝑚
2
𝑉𝑟
2
= 𝑉𝑚
𝑉𝑚
2
+ 𝑈 − 𝑉𝑢
2
𝑉𝑅
sin 𝛽 =
𝑉𝑟
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Análisis de una bomba centrífuga
Observando el triangulo de velocidad a la salida:
𝑉𝑟2
2
= 𝑉𝑚2
2
+ 𝑈2 − 𝑉𝑢2
2
𝑉𝑅2
𝑉𝑟2 =
sin 𝛽2
Obtenemos:
𝑉𝑚2 = 𝑉𝑅2
𝑉𝑅2
sin 𝛽2
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sin 𝛽2
𝑉𝑅2
=
𝑉𝑟2
2
= 𝑉𝑅2
2
+ 𝑈2 − 𝑉𝑢2
2
20
Análisis de una bomba centrífuga
𝑉𝑅2
sin 𝛽2
𝑉𝑅2
sin 𝛽2
2
= 𝑉𝑅2
2
+ 𝑈2 − 𝑉𝑢2
2
− 𝑉𝑅2
2
= 𝑈2 − 𝑉𝑢2
2
2
2
𝑉𝑅2
2
−
𝑉
= 𝑈2 − 𝑉𝑢2
𝑅2
2
sin 𝛽2
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2
21
Análisis de una bomba centrífuga
Nota:
sin2 𝛽 + cos 2 𝛽
=
2
sin 𝛽
sin2 𝛽
1
sin2 𝛽
cos 2 𝛽
=
+
2
2
sin 𝛽
sin 𝛽
sin2 𝛽
1
1
sin2 𝛽
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= 1 + cot 2 𝛽
22
Análisis de una bomba centrífuga
2
𝑉𝑅2
2
−
𝑉
= 𝑈2 − 𝑉𝑢2
𝑅2
2
sin 𝛽2
2
𝑉𝑅2
1
sin2 𝛽2
1
Si:
sin2 𝛽
2
𝑉𝑅2
1 + cot 2 𝛽2
2
2
− 𝑉𝑅2
= 𝑈2 − 𝑉𝑢2
2
= 1 + cot 2 𝛽
2
− 𝑉𝑅2
= 𝑈2 − 𝑉𝑢2
2
2
2
2
𝑉𝑅2
+ 𝑉𝑅2
cot 2 𝛽2 − 𝑉𝑅2
= 𝑈2 − 𝑉𝑢2
2
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23
Análisis de una bomba centrífuga
2
2
2
𝑉𝑅2
− 𝑉𝑅2
+𝑉𝑅2
cot 2 𝛽 = 𝑈2 − 𝑉𝑢2
2
𝑉𝑅2
cot 2 𝛽 = 𝑈2 − 𝑉𝑢2
2
𝑉𝑅2
cot 2 𝛽 =
2
2
𝑈2 − 𝑉𝑢2
2
𝑉𝑅2 cot 𝛽 = 𝑈2 − 𝑉𝑢2
𝑉𝑢2 = 𝑈2 − 𝑉𝑅2 cot 𝛽2
Si:
𝑈2 = 2𝑉𝑅2
𝑉𝑢2 = 2𝑉𝑅2 − 𝑉𝑅2 cot 𝛽2
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24
Análisis de una bomba centrífuga
𝑉𝑢2 = 2𝑉𝑅2 − 𝑉𝑅2 cot 𝛽2
𝑉𝑢2 = 𝑉𝑅2 2 − cot 𝛽2
La energía transferida es la ecuación Euler:
𝐻𝑡,∞
𝑈2 ⋅ 𝑉𝑢2
=
𝑔
𝑈2 = 2𝑉𝑅2
𝑉𝑢2 = 𝑉𝑅2 2 − cot 𝛽2
2𝑉𝑅2 ⋅ 𝑉𝑅2 2 − cot 𝛽2
𝐻=
𝑔
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25
Análisis de una bomba centrífuga
2𝑉𝑅2 ⋅ 𝑉𝑅2 2 − cot 𝛽2
𝐻=
𝑔
2
2𝑉𝑅2
𝐻=
2 − cot 𝛽2
𝑔
2
2𝑉𝑅2
𝐾=
𝑔
Para un valor constante de 𝑉𝑅 entre la entrada y la salida, queda la energía transferida
en función de 𝛽2 solamente, quedando la ecuación de Euler en una bomba centrífuga:
𝐻 = 𝐾 ∙ 2 − cot 𝛽2
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26
Análisis de una bomba centrífuga
En cuanto al grado de reacción:
𝑯𝑬𝒔𝒕á𝒕𝒊𝒄𝒂
𝑮𝑹 =
𝑯
2
2
𝑈22 − 𝑈12 𝑉𝑟1
− 𝑉𝑅2
2𝑔 +
2𝑔
𝐺𝑅 =
𝑈2 ⋅ 𝑉𝑢2
𝑔
Con las condiciones establecidas:
2
𝑉
𝑉𝑅
𝑅
2
𝑉𝑟2
=
𝑉𝑟2 =
sin2 𝛽2
sin 𝛽2
2
𝑉𝑟1
= 𝑈12 + 𝑉𝑅2 = 2𝑉𝑅2
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27
Análisis de una bomba centrífuga
2
2
𝑈22 − 𝑈12 𝑉𝑟1
− 𝑉𝑅2
2𝑔 +
2𝑔
𝐺𝑅 =
𝑈2 ⋅ 𝑉𝑢2
𝑔
𝐺𝑅 =
1
2
2
− 𝑉𝑅2
2𝑔 𝑈22 − 𝑈12 + 𝑉𝑟1
1
𝑈2 ⋅ 𝑉𝑢2
𝑔
2
2
1 𝑈22 − 𝑈12 + 𝑉𝑟1
− 𝑉𝑅2
𝐺𝑅 =
2
𝑈2 ⋅ 𝑉𝑢2
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28
Análisis de una bomba centrífuga
2
2
1 𝑈22 − 𝑈12 + 𝑉𝑟1
− 𝑉𝑅2
𝐺𝑅 =
2
𝑈2 ⋅ 𝑉𝑢2
𝑈2 = 2𝑉𝑅
𝑈1 = 𝑉𝑅
𝑉𝑢2 = 𝑉𝑅2 2 − cot 𝛽2
𝑉𝑅2
𝑉𝑟2 =
sin 𝛽2
𝑉𝑟1 = 2𝑉𝑅
1
sin2 𝛽
= 1 + cot 2 𝛽
𝑉𝑅
2− 𝑉 2+
2𝑉
2𝑉
−
𝑅
𝑅
𝑅
1
sin 𝛽2
𝐺𝑅 =
2
2𝑉𝑅 ∙ 𝑉𝑅2 2 − cot 𝛽2
2
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2
29
Análisis de una bomba centrífuga
𝑉𝑅
2− 𝑉 2+
2𝑉
2𝑉
−
𝑅
𝑅
𝑅
1
sin 𝛽2
𝐺𝑅 =
2
2𝑉𝑅 ∙ 𝑉𝑅2 2 − cot 𝛽2
2
𝐺𝑅 =
2
2
𝑉
𝑅
4𝑉𝑅2 − 𝑉𝑅2 + 2𝑉𝑅2 −
2
sin 𝛽2
1
2
2𝑉𝑅2 ∙ 2 − cot 𝛽2
5𝑉𝑅2
−
𝑉𝑅2
1
sin2 𝛽2
𝐺𝑅 =
4𝑉𝑅2 ∙ 2 − cot 𝛽2
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30
Análisis de una bomba centrífuga
5𝑉𝑅2
− 𝑉𝑅2
1
sin2 𝛽2
𝐺𝑅 =
4𝑉𝑅2 ∙ 2 − cot 𝛽2
5𝑉𝑅2 − 𝑉𝑅2 1 + cot 2 𝛽2
𝐺𝑅 =
4𝑉𝑅2 ∙ 2 − cot 𝛽2
5𝑉𝑅2 − 𝑉𝑅2 1 + cot 2 𝛽2
𝐺𝑅 =
4𝑉𝑅2 ∙ 2 − cot 𝛽2
5𝑉𝑅2 − 𝑉𝑅2 − 𝑉𝑅2 cot 2 𝛽2
𝐺𝑅 =
4𝑉𝑅2 ∙ 2 − cot 𝛽2
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31
Análisis de una bomba centrífuga
5𝑉𝑅2 − 𝑉𝑅2 − 𝑉𝑅2 cot 2 𝛽2
𝐺𝑅 =
4𝑉𝑅2 ∙ 2 − cot 𝛽2
4𝑉𝑅2 − 𝑉𝑅2 cot 2 𝛽2
𝐺𝑅 =
4𝑉𝑅2 ∙ 2 − cot 𝛽2
𝑉𝑅2 ∙ 4 − cot 2 𝛽2
𝐺𝑅 =
4𝑉𝑅2 ∙ 2 − cot 𝛽2
4 − cot 2 𝛽2
𝐺𝑅 =
4 ∙ 2 − cot 𝛽2
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32
Análisis de una bomba centrífuga
4 − cot 2 𝛽2
𝐺𝑅 =
4 ∙ 2 − cot 𝛽2
2 − cot 𝛽2 2 + cot 𝛽2
𝐺𝑅 =
4 ∙ 2 − cot 𝛽2
2 − cot 𝛽2 2 + cot 𝛽2
𝐺𝑅 =
4 ∙ 2 − cot 𝛽2
2 + cot 𝛽2
𝐺𝑅 =
4
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33
Influencia del ángulo de salida del álabe
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34
Variación de H, GR y eficiencia
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35
Variación de H, GR y eficiencia
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36
Análisis de una bomba centrífuga
Veamos cómo varían en una bomba centrífuga c2 (cm2 = cr2) según la forma de los álabes
del rodete:
➢ b2' < 90o (álabe curvado hacia atrás)
➢ b2' = 90o (álabe radial)
o no interesa: c resulta mayor.
➢ b2' > 90o (álabe curvado
hacia
adelante)
b
'
>
90
2
2
Suponiendo, = ' (infinitos álabes)
2
w2
2
cr 2
c2
2'
2
2'
álabe
2
c2 cr 2
u2
2
2'
2
c2
u2
cr
álabe
álabe
Suponiendo,
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w2 De La Cruz Herrera
c2
w2
w2
u2
2
2
c
2=
w2
2'
(infinitos álabes)
w2
c
c
c2
c
37
Análisis de una bomba centrífuga
𝐻𝑡,∞ = 𝐻(𝑄)
𝑢2 ⋅ 𝑐𝑢2
𝐻 = 𝐻𝑡,∞ =
𝑔
No hay pérdidas: H = Ht y Q = Qr.
𝐻𝑡,∞ es doblemente teórica (b2 = b2'):
cr 2
cu 2
u2
c r 2 ·cotg
c2
w2
2'
2
2
2
2
2'
u2
perfil álabe
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38
Análisis de una bomba centrífuga
𝑐𝑢2 = 𝑢2 − 𝑐𝑟2 ⋅ cotg 𝛽2
𝑄r = 𝑆2 ⋅ 𝑐𝑟2 = 𝑘 ⋅ 𝜋 ⋅ 𝐷2 ⋅ 𝑏2 ⋅ 𝑐𝑟2
𝑐𝑢2
𝑄r
= 𝑢2 −
⋅ cotg 𝛽2
𝑘 ⋅ 𝜋 ⋅ 𝐷2 ⋅ 𝑏2
cr 2
cu 2
u2
c r 2 ·cotg
c2
w2
2'
2
2
2
2
2'
u2
perfil álabe
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39
Análisis de una bomba centrífuga
𝑐𝑢2 = 𝑢2 − 𝑐𝑟2 ⋅ cotg 𝛽2
𝑄r = 𝑆2 ⋅ 𝑐𝑟2 = 𝑘 ⋅ 𝜋 ⋅ 𝐷2 ⋅ 𝑏2 ⋅ 𝑐𝑟2
𝑐𝑢2
𝑐𝑢2
𝑄r
= 𝑢2 −
⋅ cotg 𝛽2
𝑘 ⋅ 𝜋 ⋅ 𝐷2 ⋅ 𝑏2
𝑄r
= 𝑢2 −
⋅ cotg 𝛽2
𝑘 ⋅ 𝜋 ⋅ 𝐷2 ⋅ 𝑏2
𝐻 = 𝐻𝑡,∞
cr 2
cu 2
u2
c r 2 ·cotg
c2
w2
2'
2
2
2
2
2'
u2
perfil álabe
𝑢2 ⋅ 𝑐𝑢2
=
𝑔
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40
Análisis de una bomba centrífuga
𝐻 = 𝐻𝑡,∞
𝑢2 ⋅ 𝑐𝑢2
=
𝑔
cr 2
Sustituimos:
𝐻 = 𝐻𝑡,∞
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c2
w2
2'
2
2
2
2
𝑢22
𝑢2 ⋅ cotg 𝛽2 ′
=
−
⋅𝑄
𝑔 𝑔 ⋅ 𝑘 ⋅ 𝜋 ⋅ 𝐷2 ⋅ 𝑏2
cu 2
u2
c r 2 ·cotg
2'
u2
perfil álabe
41
Análisis de una bomba centrífuga
𝛽2 ′
> 90o,
𝛽2 ′
= 90o
𝛽2 ′ < 90o:
H t , = H (sin rozamiento)
8
Pudiera que,
2' >
90º
2' =
90º
2'
< 90º
u 22
2g
0
Q
No conviene una curva motriz creciente, pues la resistente lo es siempre, y podrían cortarse
en dos puntos: oscilaciones de bombeo. Lo habitual es que varíe entre 15o y 35o, y más
frecuentemente entre 20o y 25o.
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42
Curva motriz teórica para z álabes
Con z álabes, b 2 < b 2': menor cu2 (cu2 < cu2') . Y como,
𝑢2 ⋅ 𝑐𝑢2
𝐻𝑡 =
𝑔
c u 2<c u 2'
H t ,z<H t ,
8
𝐻𝑡,z < 𝐻𝑡,∞ .
c2
cr 2
c2'
2
2'
cu2
c u2'
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u2
43
Curva motriz teórica para z álabes
Con z álabes, b 2
< b 2': menor cu2 (cu2 < cu2') . Y como,
𝑢2 ⋅ 𝑐𝑢2
𝐻𝑡 =
𝑔
𝐻𝑡,z < 𝐻𝑡,∞ .
𝐻𝑡,z = 𝜇 ⋅ 𝐻𝑡,∞
c u 2<c u 2'
H t ,z<H t ,
8
Podemos escribir,
c2
cr 2
c2'
2
2'
cu2
c u2'
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u2
44
Curva motriz teórica para z álabes
H t = H (sin rozamiento)
Según Pfleiderer,
H
8
,z
1
𝜇=
1,2 ⋅ (1 + sen 𝛽2 ′ )
1+
𝐷1 2
z⋅ 1− 𝐷
2
t,
H t , z = ·H t ,
8
Ht
𝐻𝑡,z
La menor
con relación a
prestaciones diferentes.
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𝐻𝑡,∞ ,
Q
no es una pérdida; se trataría simplemente de
45
EJERCICIO
46
Ejercicio
Si, D1 = 200 mm, D2 = 500 mm y b2' = 25o, determínese el coeficiente m de Pfleiderer
para un impulsor de 6 álabes.
Solución
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47
Ejercicio
Si, D1 = 200 mm, D2 = 500 mm y b2' = 25o, determínese el coeficiente m de Pfleiderer
para un impulsor de 6 álabes.
Solución
1
𝜇=
=
1,2 ⋅ (1 + sen 𝛽2 ′ )
1+
𝐷1 2
z⋅ 1−
𝐷2
1
=
= 0,747
1,2 ⋅ (1 + sen 25o )
1+
0,2 2
6⋅ 1−
0,5
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48
CURVA MOTRIZ REAL
49
Curva motriz real
Para z álabes,
H
2' >
90º
2' =
𝐻=𝜇⋅
𝑢22
𝑢2 ⋅ cotg 𝛽2 ′
−
⋅𝑄
𝑔 𝑔 ⋅ 𝑘 ⋅ 𝜋 ⋅ 𝐷2 ⋅ 𝑏2
2'
8
Ht,
H t ,z
u 22
g
u
·g
H
2
2
Ho
curva motriz
=
90º
< 90º
f (Q
Hr
)
Hc
Q= Q*
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Q
50
Curva motriz real
Para z álabes,
𝑢22
𝑢2 ⋅ cotg 𝛽2 ′
𝐻=𝜇⋅
−
⋅𝑄
𝑔 𝑔 ⋅ 𝑘 ⋅ 𝜋 ⋅ 𝐷2 ⋅ 𝑏2
H
2' >
90º
2' =
• teórica,
Ht,
H t ,z
álabes:
𝐻𝑄=0 = 𝑢22 Τ𝑔
• teórica, z álabes:
𝐻𝑄=0 = 𝜇 ⋅
𝑢22 Τ𝑔
u 22
g
u
·g
H
2
2
Ho
curva motriz
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𝑢22 Τ𝑔
=
< 90º
f (Q
Hr
)
Hc
• real, z álabes (Qr = q):
𝐻𝑄=0 < 𝜇 ⋅
2'
8
A válvula cerrada (Q = 0),
90º
Q= Q*
Q
51
Curva motriz real
A válvula abierta (Q > 0),
a) pérdidas por rozamiento: 𝐻𝑟 = 𝐾𝑟 ⋅ 𝑄2
2' >
𝐻𝑐 = 𝐾𝑐 ⋅ (𝑄 − 𝑄 ∗)2
2' =
Ht,
u 22
g
u
·g
2
2
H
curva motriz
=
90º
< 90º
f (Q
Hr
)
Ho
Hc
Q= Q*
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2'
H t ,z
Esta última es nula en condiciones de diseño
(Q = Q*); y aumenta con la diferencia (Q - Q*).
No es posible computar
por separado estas
dos pérdidas.
90º
8
b) pérdidas por choques:
H
Q
52
Curva motriz real
Restando a la altura teórica las pérdidas por rozamiento y las pérdidas por choques,
obtenemos la curva real o curva motriz:
H
2' >
𝐻 = 𝐻𝑡,z − 𝐻𝑟 − 𝐻𝑐
90º
2' =
2'
8
Ht,
H t ,z
u 22
g
u
·g
2
2
H
curva motriz
=
90º
< 90º
f (Q
Hr
)
Ho
Hc
Q= Q*
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Q
53
Curva motriz real
Restando a la altura teórica las pérdidas por rozamiento y las pérdidas por choques,
obtenemos la curva real o curva motriz:
H
2' >
𝐻 = 𝐻𝑡,z − 𝐻𝑟 − 𝐻𝑐
2' =
2'
8
Ht,
H t ,z
𝐻 = (𝑐′ + 𝑎′ ⋅ 𝑄) − 𝐾𝑟 ⋅ 𝑄2 − 𝐾𝑐 ⋅ (𝑄 − 𝑄 ∗)2
𝐻 = 𝑐 + 𝑏 ⋅ 𝑄 + 𝑎 ⋅ 𝑄2
90º
u 22
g
u
·g
2
2
H
curva motriz
=
90º
< 90º
f (Q
Hr
)
Ho
Es una parábola; su gráfica se obtiene en un banco
de ensayos.
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Hc
Q= Q*
Q
54
Curva motriz real
Una vez conocida mediante ensayos la curva real, tendríamos una tabla de
valores.
Si se precisa la expresión matemática podría hacerse un ajuste mediante el método
de los mínimos cuadrados.
𝐻 = 𝑐 + 𝑏 ⋅ 𝑄 + 𝑎 ⋅ 𝑄2
Si sólo necesitamos ajustar el trozo de curva en el que nos vayamos a mover en cada
caso, es suficiente ajustar a la expresión,
𝐻 = 𝑐 + 𝑎 ⋅ 𝑄2
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55
AJUSTE DE MÍNIMOS
CUADRADOS
56
Ajuste por mínimos cuadrados
Se trata de calcular los parámetros a y c de la expresión,
𝐻 = 𝑐 + 𝑎 ⋅ 𝑄2
La diferencia [H - (c + a · Q2)] es pequeña (teóricamente nula) para cualquier punto;
más aún el cuadrado de la misma,
[H - (c + a · Q2)]2
Se toman n (5 ó 6) puntos reales, se sustituyen en la expresión anterior y se suman:
S = S [Hi - (c + a · Qi2)]2
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57
Ajuste por mínimos cuadrados
S = S [Hi - (c + a · Qi2)]2
Derivamos respecto a c y respecto a a, e igualamos ambas a cero:
S/c = 0
S/a = 0
Σ𝐻i − n ⋅ 𝑐 − 𝑎 ⋅ Σ𝑄i2 = 0
Σ(𝐻i ⋅ 𝑄i2 ) − 𝑐 ⋅ Σ𝑄i2 − 𝑎 ⋅ Σ𝑄i4 = 0
Resolviendo este sistema de ecuaciones, se obtienen los coeficientes a y c.
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58
Ejercicio
De la curva característica H = H(Q) de una bomba tomamos los siguientes puntos:
Q m3/h 50 100 150 200 250 275 300
Hm
53
50
47 42,5
36
32 27,5
Ajústese a la expresión,
𝐻 = 𝑐 + 𝑎 ⋅ 𝑄2
Solución
Σ𝐻i − n ⋅ 𝑐 − 𝑎 ⋅ Σ𝑄i2 = 0
Σ(𝐻i ⋅ 𝑄i2 ) − 𝑐 ⋅ Σ𝑄i2 − 𝑎 ⋅ Σ𝑄i4 = 0
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59
Ejercicio
𝐻i
𝑄i2 ⋅ 103
𝐻i ⋅ 𝑄i2 ⋅ 103
𝑄i4 ⋅ 106
53,0
50,0
47,0
42,5
36,0
32,0
27,5
0,193
0,772
1,736
3,086
4,822
5,835
6,944
10,23
38,60
81,59
131,15
173,59
186,72
190,96
0,037
0,595
3,014
9,526
23,257
34,050
48,225
S=812,84
S=118,70
S=288,0 S=23,388
Σ𝐻i − n ⋅ 𝑐 − 𝑎 ⋅ Σ𝑄i2 = 0
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Σ(𝐻i ⋅ 𝑄i2 ) − 𝑐 ⋅ Σ𝑄i2 − 𝑎 ⋅ Σ𝑄i4 = 0
60
Ejercicio
𝐻i
𝑄i2 ⋅ 103
𝐻i ⋅ 𝑄i2 ⋅ 103
𝑄i4 ⋅ 106
53,0
50,0
47,0
42,5
36,0
32,0
27,5
0,193
0,772
1,736
3,086
4,822
5,835
6,944
10,23
38,60
81,59
131,15
173,59
186,72
190,96
0,037
0,595
3,014
9,526
23,257
34,050
48,225
S=812,84
S=118,70
S=288,0 S=23,388
Σ𝐻i − n ⋅ 𝑐 − 𝑎 ⋅ Σ𝑄i2 = 0
Σ(𝐻i ⋅ 𝑄i2 ) − 𝑐 ⋅ Σ𝑄i2 − 𝑎 ⋅ Σ𝑄i4 = 0
288,0 − 7 ⋅ 𝑐 − 23,388 ⋅ 10−3 ⋅ 𝑎 = 0
ቊ
812,84 − 23,388 ⋅ 𝑐 − 118,7 ⋅ 10−3 ⋅ 𝑎 = 0
𝑎 = −368
𝑐 = 53,44
𝐻 = 53,44 − 3680 ⋅ 𝑄2 (𝑄 en m3 Τs)
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61
Ejercicio
Las alturas obtenidas con la ecuación,
𝐻 = 53,44 − 3680 ⋅ 𝑄2 (𝑄 en m3 Τs)
están, como puede verse, muy próximas a las reales:
Q m3/h 50
Hm
Hm
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100 150 200 250 275 300
53
50 47 42,5 36 32
52,7 50,6 47,1 42,1 35,7 32
27,5
27,9
62
Potencias
Potencia útil P
𝑃 =𝛾⋅𝑄⋅𝐻
Q se mide con un caudalímetro y H con dos manómetros:
𝐻 = (𝑝S − 𝑝E )Τ𝛾 .
Potencia exterior en el eje Pe
𝑃𝑒 = 𝑀 ⋅ 𝜔
El par motor M se mide con un dinamómetro y la velocidad angular w con un
tacómetro.
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63
Rendimiento global
𝑃
𝜂=
𝑃𝑒
H = H (Q )
Con un w concreto, obtenemos Q, H y Pe en
varios puntos. Con ello obtenemos las curvas:
H = H(Q), P = P(Q),
Pe = Pe(Q), h = h(Q).
máx
=
)
(Q
(Q )
e
P
=
Pe
De estas cuatro curvas, el fabricante suele dar
H = H(Q) y Pe = Pe(Q)
o bien,
H = H(Q) y h = h(Q)
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P
0
)
(Q
P
=
Q*
Q
64
Rendimiento global
Si no nos dieran h = h(Q), conviene obtenerla para conocer los rendimientos en los que
nos estamos moviendo:
𝛾⋅𝑄⋅𝐻
𝜂=
𝑃𝑒
La curva h = h(Q) puede ajustarse a,
𝜂 = 𝑑 ⋅ 𝑄 + 𝑒 ⋅ 𝑄2
también por el método de mínimos cuadrados:
S = S(hi - d  Qi - e  Qi2 ) 2
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65
Rendimiento global
Derivamos e igualamos a cero:
S/d = 0
S/c = 0
Σ(𝜂i ⋅ 𝑄i ) − 𝑑 ⋅ Σ𝑄i2 − 𝑒 ⋅ Σ𝑄i3 = 0
ቋ
2
3
4
Σ(𝜂i ⋅ 𝑄i ) − 𝑑 ⋅ Σ𝑄i − 𝑒 ⋅ Σ𝑄i = 0
Resolviendo este sistema de ecuaciones, se obtienen los coeficientes d y e.
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66
Ejercicio
En la bomba del ejercicio anterior, tenemos:
Q m3/h 50 100 150 200 250 275 300
Hm
53 50 47 42,5 36 32 27,5
Pe CV 35 38 40,5 43 45,5 46,5 48
a) Calcúlense P = P(Q) y h = h(Q). Estímese también el caudal Q* de diseño.
b) Determínense los coeficientes d y e:
𝜂 = 𝑑 ⋅ 𝑄 + 𝑒 ⋅ 𝑄2
ajustados a los 5 últimos puntos, y obténgase el caudal Q* de diseño.
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67
Ejercicio
a) Mediante las fórmulas,
𝑃 =𝛾⋅𝑄⋅𝐻
𝑃
𝜂=
𝑃𝑒
se obtiene:
Q m3/h 50
Hm
53
Pe CV
P CV
h
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100
50
150 200 250
47 42,5 36
275 300
32 27,5
35 38 40,5 43 45,5 46,5 48
9,8 18,5 26,1 31,5 33,3 32,6 30,6
0,28 0,49 0,64 0,73 0,73 0,70 0,64
68
Ejercicio
Hm
n = 2900 rpm
55
0,8
= (Q )
50
0,7
45
0,6
H = H (Q )
40
0,5
35
0,4
30
0,3
25
50
CV
Pe= Pe
20
(Q)
P
P=
40
)
(Q
30
20
m3/h 50
Dr. Ing. R. Iñaki Ponce De La Cruz Herrera
100
150
200
250
300
10
350
69
Ejercicio
Hm
n = 2900 rpm
55
0,8
= (Q )
50
0,7
45
0,6
H = H (Q )
40
0,5
35
0,4
30
0,3
25
50
CV
Pe= Pe
20
(Q)
P
P=
Caudal de diseño
Q*  230 m3/h
40
)
(Q
30
20
m3/h 50
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100
150
200
250
300
10
350
70
Ejercicio
b) Σ(𝜂i ⋅ 𝑄i ) − 𝑑 ⋅ Σ𝑄i2 − 𝑒 ⋅ Σ𝑄i3 = 0
ቋ
2
3
4
Σ(𝜂i ⋅ 𝑄i ) − 𝑑 ⋅ Σ𝑄i − 𝑒 ⋅ Σ𝑄i = 0
Para los 5 últimos puntos:
𝜂 ⋅ 𝑄i ⋅ 103
𝑄i4 ⋅ 106
𝜂 ⋅ 𝑄i2 . 103
𝑄i2 ⋅ 103
𝑄i3 ⋅ 103
26,7
1,111
1,736
0,0723
3,014
40,6
2,253
3,086
0,1715
9,526
50,7
3,520
4,822
0,3349
23,257
53,5
4,085
5,835
0,4457
34,050
53,3
4,444
6,944
0,5787
48,225
S=224,8
S=15,41
S=22,42
S=1,603
S=118,1
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71
Ejercicio
224,8 − 22,423 ⋅ 𝑑 − 1,6031 ⋅ 𝑒 = 0
ൠ
15,413 − 1,6031 ⋅ 𝑑 − 0,11807 ⋅ 𝑒 = 0
𝑒 = −190 𝑑 = 23,63
𝜂 = 23,63 ⋅ 𝑄 − 190 ⋅ 𝑄2 (𝑄 en m3 Τs)
Los valores obtenidos con la ecuación están, como puede verse, muy próximos a los
reales:
Q m3/h
150
200
250 275 300
h (real)
h (ecuación)
0,64 0,73 0,73 0,70 0,64
0,655 0,726 0,725 0,696 0,650
El caudal Q* de diseño es el correspondiente al máximo valor de h. Analíticamente,
𝑑𝜂
= 23,63 − 380 ⋅ 𝑄 ∗= 0
𝑑𝑄
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𝑄 ∗= 0,0622 m3 Τs = 224 m3 Τh
72
Velocidad angular variable
Las características de una bomba varían con la velocidad. Esto tiene interés, por
ejemplo:
a) Cuando la bomba es arrastrada por un motor térmico y su velocidad pueda
cambiarse según necesidad.
b) Cuando el caudal de la instalación es variable, puede interesar colocarle al
motor eléctrico un variador de frecuencia.
c) Una misma bomba con motores diferentes da prestaciones también
diferentes; como si fuera otra bomba.
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73
LEYES DE SEMEJANZA
74
Leyes de semejanza
𝑄
𝑛
𝐻
𝑛
3
2
=𝜆 ⋅
;
=𝜆 ⋅
𝑄1
𝑛1
𝐻1
𝑛1
2
𝑃𝑒
𝑛
5
;
=𝜆 ⋅
𝑃𝑒1
𝑛1
3
Para l = 1:
𝑄
𝑛
=
𝑄1 𝑛1
𝐻
𝑛
=
𝐻1
𝑛1
2
𝑃𝑒
𝑛
=
𝑃𝑒1
𝑛1
3
Las tres han de cumplirse simultáneamente y sólo serán válidas para comparar
situaciones análogas, o de igual rendimiento.
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75
Curvas isorrendimiento
=
2
1
=
𝐻1
2 = 𝐾 ⋅ 𝑄2
; 𝐻=
⋅
𝑄
1
𝑄12
Son parábolas que pasan por el origen. Cada
valor de K da lugar a una curva diferente.
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H
𝐻 =𝐾⋅𝑄
2
=K
2 ·Q
𝐻
𝑄
=
𝐻1
𝑄1
2
H
2
Eliminamos n/n1 entre las dos primeras:
2
·Q
H=
K1
Q
76
20
H = H (Q )
,68
= 0 = 0,71
=0,73
= 0,75
15
24
22
0
0
0 r 0 rpm
200
n=
pm
0r
174
pm
0r
n=
pm
145
0 rp
m
n=
5
Pe CV
m
rp
0
00
Las curvas isorrendimiento han de
obtenerse mediante ensayos; son más
bien elipses.
65
0r
pm
n=
n=
29
10
7
,5
=0
n=
2
n=
Las leyes de semejanza no se cumplen
para caudales pequeños.
=0
,63
,63
=0
=0
,68
=0
,57
H m 25
= 0,7
1
Curvas isorrendimiento
9
n = 2900 rpm
8
7
6
5
n=2650 rpm
)
(Q
= Pe
Pe
n=2400 rpm
4
n = 2200 rpm
3
n=2000 rpm
2
n = 1740 rpm
1
n = 1450 rpm
0
500
Dr. Ing. R. Iñaki Ponce De La Cruz Herrera
1000
1500
2000
Q l/min
77
Ejercicio
Los datos de la bomba,
Q m3/h 50 100 150 200 250 275 300
Hm
53 50 47 42,5 36 32 27,5
Pe CV 35 38 40,5 43 45,5 46,5 48
son para 2400 rpm. Calcularlos para 2900 rpm.
Solución
Dr. Ing. R. Iñaki Ponce De La Cruz Herrera
78
Ejercicio
Los datos de la bomba,
Q m3/h 50 100 150 200 250 275 300
Hm
53 50 47 42,5 36 32 27,5
Pe CV 35 38 40,5 43 45,5 46,5 48
son para 2400 rpm. Calcularlos para 2900 rpm.
Solución
n/n1 = 2900/2400 = 1,208:
𝑄
𝑛
𝐻
𝑛
=
= 1,208
=
𝑄1 𝑛1
𝐻1
𝑛1
3
𝑃𝑒
𝑛
=
= 1,764
𝑃𝑒1
𝑛1
Dr. Ing. R. Iñaki Ponce De La Cruz Herrera
2
= 1,460
79
Ejercicio
Los datos de la bomba,
Q m3/h 50 100 150 200 250 275 300
Hm
53 50 47 42,5 36 32 27,5
Pe CV 35 38 40,5 43 45,5 46,5 48
son para 2400 rpm. Calcularlos para 2900 rpm.
Nuevos valores:
Q m3/h 60,4 120,8 181,2 241,7 302,1 332,3 362,5
Hm
77,4 73,0 68,6 62,1 52,7 46,7 40,2
Pe CV 61,7 67,0 71,5 75,9 80,3 82,0 84,7
Dr. Ing. R. Iñaki Ponce De La Cruz Herrera
80
Velocidad específica y tamaño
= 0,95
0,90
0,85
• bombas centrífugas:
nq = 10  100 (nq* 50)
• bombas mixtas:
nq = 75  200 (nq* 130)
• bombas hélice:
nq = 200  320 (nq* 250)
0,80
0,75
bomba centrífuga de voluta
flujo mixto
0,70
flujo
axial
0,65
0,60
10
15
20
25 30
40
50 60 70
100
150
200 250 300 n q
eje de rotación
Dr. Ing. R. Iñaki Ponce De La Cruz Herrera
81
Rendimiento de cinco bombas centrífugas semejantes
q = 40
0,9
q= 20
q = 16
0,8
q = 12
0,7
q = 10
0,6
0,5
0,45
0,4
0,6 0,8 1
Dr. Ing. R. Iñaki Ponce De La Cruz Herrera
2
3
5
10
20
30
Q m 3 /min
82
Rendimiento de cinco bombas centrífugas semejantes
q = 40
0,9
q= 20
q = 16
0,8
q = 12
0,7
q = 10
0,6
0,5
0,45
0,4
0,6 0,8 1
2
3
5
10
20
30
Q m 3 /min
• Es mejor en mayores tamaños (mayores caudales).
• Es mejor para mayores velocidades específicas (por supuesto, en bombas centrífugas
hasta el valor 50, a partir del cual comienza a disminuir).
Dr. Ing. R. Iñaki Ponce De La Cruz Herrera
83
Proporciones y factores de diseño
4,0
15
20 25 30
40 50
70
100
150
200 250 300
flujo mixto
centrífuga
3,0
D2
b2
2,5
2,0
·
10
1,5
10
a
1,0 U 2 par
/
·c m 2
b
/D o
2
U2
en
uo
U
5º
2' = 2
b2
Do
D2
n D2
e
2
Do / D 2
U2 =
u2
2 · g ·H
Uo =
uo
2 · g ·H
D2 D2
0,6
De/
0,5
Do
b2
Do
De
mixto
flujo
flujo mixto
centrífuga
centrífuga
0,8
b c2 m 2 = c mr 22 = c r 2
b 2b 2
c cmm2 2
15
20 25 30
flujo mixto
40 50
70
Dr. Ing. R. Iñaki Ponce De La Cruz Herrera
100
150
D2 D2
D
D22
0,3
0,2
flujo axial
flujo axial
Do
flujo
axial
De
c mc2m=2c=a2c a2
b2 b2
0,4
flujo radial
c m2
cm 2 = cr 2
Do
De
De
De
De
Do D
o
De
De
200 250 300 n q
84
Gracias
Por su Atención
A.M.D.G.
85