Programación lineal - Portafolio Digital

UNIVERSIDAD MARIANO GÁLVEZ DE GUATEMALA
FACULTAD DE CIENCIAS DE LA ADMINISTRACIÓN
DIRECCIÓN DE POSTGRADOS
MAESTRÍA EN DIRECCIÓN Y GESTIÓN DEL RECURSO HUMANO
SEDE: ESCUINTLA
CURSO: MODELOS PARA LA TOMA DE DECISIONES
CATEDRÁTICA: INGA. M.A. CLAUDIA ESMERALDA MARISOL VILLELA
CERVANTES
Programación lineal:
Método gráfico y por computadora.
Licda. Nora Hilda Zacarías Velázquez
Licda. Elva Leticia Argueta Solis
Lic. Juan Francisco Alvarez Paz
Ing. Genaro Emmanuel López Salomón
Escuintla, 28 de marzo 2015
2728-06-13924
2728-02-14708
2728-02-11488
2728-07-16985
INDICE
INTRODUCCION
PROGRAMACIÓN LINEAL ..............................................................................................................1
Funcion Objetivo .................................................................................................................. 2
Programacion Lineal: metodo grafico ................................................................................. 3
Metodologia ......................................................................................................................... 4
Analisis ................................................................................................................................ 4
Pasos del Metodo Grafico.................................................................................................... 5
Trasladar la Informacion Relevante del Problema a una Tabla........................................... 5
Describir el Objetivo del Problema, Formular las Restriciones y Nombrar las Variables .. 5
Formular la Funcion Objetivo ............................................................................................. 5
Realizar el Modelo Matematico .......................................................................................... 5
Remplazar por 0 los Valores de A y B en cada una de las Ecuaciones ............................... 6
Graficar los Puntos Encontrados ................................................................................. 7 - 9
PROGRAMACION LINEAL : POR COMPUTACION ................................................................9
PROGRAMACION LINEAL EN TORA ...........................................................................................9
Solucion de un Problema de Programacion Lineal con Otra .............................................. 9
El Problema ...................................................................................................................... 10
Modelo Matematico......................................................................................................... 10
Ingresando los Datos a Otra ...................................................................................... 11 - 14
PROGRAMACION LINEAL EN SOLVER ............................................................................ 14
Algoritmos y Metodos utilizados por Solver ........................ Error! Bookmark not defined.
Ingresando los Datos a Excel........................................Error! Bookmark not defined. - 22
CONCLUSION
BIBLIOGRAFIA
i
INTRODUCCIÓN
La Programación Lineal utiliza un modelo matemático para describir el problema. El
objetivo lineal significa que todas la funciones del modelo matemático deben se funciones
lineales.
Muchas personas clasifican el desarrollo de la programación Lineal entre los avances
científicos más importantes del siglo XX su impacto desde 1950 ha sido extraordinario, en la
actualidad es una herramienta de uso normal que ha ahorrado miles o millones a muchas
compañías, en los países industrializados del mundo, su aplicación a otros sectores de la
sociedad se ha ampliado con rapidez.
Las funciones con las cuales trabaja la programación lineal están relacionadas con
procesos de producción a nivel de tiempos de fabricación, cantidad de mano de obra,
materiales, equipos utilizados y costos de operación entre muchos otros aspectos.
Todos los problemas de programación lineal incluidos de tipo grafico demandan
maximización o minimización de los diferentes recursos invertidos a fin de obtener el mayor
beneficio, como función de los objetivos que persigan tanto el área donde se presenta el
problema o necesidad.
ii
I.
PROGRAMACIÓN LINEAL
La programación lineal es una de las más importantes herramientas de la investigación de
operaciones, se utiliza cuando un problema se puede describir utilizando ecuaciones y
desigualdades que son todas lineales.
La Programación Lineal es una técnica matemática de optimización. Por técnica de
optimización se entiende un método que trata de maximizar o minimizar un objetivo; por
ejemplo, maximizar las utilidades o minimizar los costos. La programación lineal es un
subconjunto de un área más extensa de procedimientos de optimización matemática llamada
programación matemática.
La Programación Lineal trata la planeación de las actividades para obtener un resultado
óptimo, esto es, el resultado que mejor alcance la meta específica (según el modelo
matemático) entre todas las alternativas de solución.
La Programación Lineal no da espacio para que haya incertidumbre en ninguna de las
relaciones; no incluye ninguna probabilidad o variable aleatoria. Por consiguiente, el problema
de maximizar la función objetivo, sujeta a las distintas restricciones, es conceptualmente
simple.
Cuando hay sólo unas pocas variables, el sentido común algo de aritmética pueden
dar una solución, y es que así se han resuelto esos problemas por generaciones. Sin embargo,
como es frecuente, la intuición es poco válida cuando el problema es más complejo; ya que
cuando el número de variables de decisión aumenta de tres a cuatro a cientos de miles, el
1
problema desafía los procedimientos empíricos. La programación lineal ha hecho posible
manejar de una manera ordenada, problemas con grandes cantidades de restricciones.
Esta técnica tiene excepcional poder y aplicación general. Es aplicable a una gran variedad
de problemas organizacionales de los negocios modernos y puede manejarse como una rutina
con la ayuda de los computadores actuales. Es una de las técnicas cuantitativas que se le ha
dado a la gerencia elementos eficaces para abordar un conjunto de problemas que admitían
sólo soluciones parciales hasta hace pocos años.
En todo problema de programación lineal hay que tomar ciertas decisiones. Estas se
representan con variables de decisión xj que se utilizan en el modelo de programación lineal.
La estructura básica de un problema de este tipo es maximizar o minimizar la función
objetivo, satisfaciendo al mismo tiempo un grupo de condiciones restrictivas o restricciones
(que limitan el grado en que se puede perseguir algún objetivo).
(Ruben
Dario
Estrella
Sanchez, 2008)
La función objetivo.
La función por maximizar o minimizar se llama función objetivo. Aunque por lo regular
existe un número infinito de soluciones para el sistema de restricciones (llamadas soluciones
factibles o puntos factibles), la meta es encontrar una que se una solución óptima (esto es, una
que dé el valor máximo o mínimo de la función objetivo).
2
A.
PROGRAMACIÓN LINEAL: MÉTODO GRÁFICO:
El método gráfico es la forma más sencilla que existe para resolver un problema, pero
tiene la limitación de que el máximo número de variables de decisión o dimensiones de
problema que se pueden manejar son dos y en algunas veces se puede extender a tres
dimensiones, para más de dos dimensiones es necesario recurrir al método analítico como
única forma de resolver este tipo de problemas.(programacion Lineal Investigacion de
Operaciones)
Método de Solución Gráfica al problema de programación Lineal:
Un problema de programación lineal de dos dimensiones se puede resolver
gráficamente, considerando que la solución obtenida puede estar en el espacio de actividades
o bien en el espacio de recursos.
Cuando la solución está en el espacio de actividades se obtiene directamente los
valores de las variables de decisión y posteriormente se determina la cantidad de cada uno de
los recursos que se van a consumir.
En el segundo caso es que la solución está en el espacio de recursos, el valor óptimo
de las variables de decisión se determinan indirectamente por cuanto la solución óptima que
se obtiene representa la cantidad de recursos que han de consumirse.
Solución Gráfica en el Espacio de Actividades
En este método los valores de las variables de decisión se representan en un sistema de
coordenadas cartesianas X, Y. En el eje de las coordenadas (eje y) se representan una de las
variables, por ejemplo a X2, y en el eje de las abscisas (eje x) se representará a la otra
variable, en este caso a X1. También hay que considerar que si las variables tienen que ser no
negativas, entonces la solución gráfica debe, necesariamente, estar en el primer
cuadrante.(Landeta).
3
Metodología
Un procedimiento dividido en pasos del presente método puede ser el siguiente:
Paso 1. Plantear el problema. Esto es convertir los datos e información que se tiene del
problema en un sistema de ecuaciones debidamente planeadas como programación lineal.
Paso 2. Representar una variable del problema en cada eje cartesiano.
Paso 3. Trazar ecuaciones de la función objetivo dándole diferentes valores a Z, viendo
cuáles de ellas quedan dentro de la zona factible de solución.
Paso 4. Hallar la solución del problema. Aquí debemos comentar que pueden existir varias
soluciones óptimas de un problema si alguna de las rectas correspondientes a las restricciones
es paralela a la recta de la función objetivo; en caso contrario, existirá una solución óptima
única, que será aquella que maximice o minimice la Z, según sea el caso.
Este paso también puede llevarse a cabo hallando el valor de Z de cada uno de los vértices
de la región factible de solución, aquella Z que sea máxima o mínima según el tipo de
problema en cuestión, será la solución del mismo.
Análisis
Este método puede ser aplicado cuando se trata de no más de dos variables. Consiste en
representarlos en un plano o espacio de dos dimensiones.
En el eje de las ordenadas se ubica las cantidades de una de las variables y en el de las
abscisas la segunda variable, la elección de los ejes para las variables es indistinta puesto que
la solución será la misma,
Luego se grafican las restricciones de los recursos una a una, y se obtiene así el polígono
de solución factibles. Este determina el área de las posibles soluciones. Para el caso de
maximización el área será del polígono hacia abajo y para minimización estará del polígono
hacia arriba. (Programación Lineal y Evaluación de Proyecto de Inversión)
4
Pasos del método Grafico
1. Trasladar la información relevante del problema a una tabla
2. Describir el objetivo del problema, formular las restricciones y nombrar las
variables
Objetivo: Satisfacer los requerimientos con un costo mínimo.
Restricciones:
1. Producir para el cliente 125 gal. de A
2. Producción combinada 350 gal.
3. 2 horas para producir A por cada B contando en total con 600 horas
A = Cantidad de galones del producto A.
B = Cantidad de galones del producto B.
3. Formular la función objetivo
MIN = 2A + 3B
4. Realizar el modelo matemático
MIN = 2A + 3B
5
sujeto a:
1A >= 125 Ecuación 1
1A+1B >= 350 Ecuación 2
2A+1B <= 600 Ecuación 3
A,B >= 0
5. Reemplazar por 0 los valores de A y B en cada una de las ecuaciones
En ecuación 1
Si B=0 entonces:
(A=125,B=0)
En ecuación 2
Si A es 0
1B = 350
(A=0,B=350)
Si B es 0
1A = 350
(A=350,B=0)
En ecuación 3
Si A=0 entonces
1B = 600
(A=0,B=600)
Si B=0 entonces
6
2A = 600
A = 600/2
A = 300
(A=300,B=0)
6. Graficar los puntos encontrados
Para realizar la gráfica es necesario tomar en cuenta las siguientes recomendaciones:
1. Preparar una gráfica para cada restricción que muestre las soluciones que satisfagan
la restricción.
2. Determinar la región factible identificando las soluciones que satisfacen
simultáneamente todas las restricciones.
3. Trazar líneas de función objetivo que muestren los valores de las variables de
decisión que producen valores especificados para la misma.
4. Mover líneas de función objetivo paralelas hacia valores más pequeños de la
función objetivo hasta que un movimiento mayor a la línea por completo de la
región factible.
5. Cualquier solución factible en la línea de función objetivo con el valor más pequeño
es una solución óptima.
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Del anterior gráfico podemos deducir que las líneas celestes representan cada una
de las restricciones del problema, la línea roja es la función objetivo, la parte de la gráfica
sombreada con puntos rojos representa el área factible y el punto blanco la solución
óptima.
8
B.
PROGRAMACIÓN LINEAL: POR COMPUTACIÓN
En la práctica, donde los modelos típicos de programación Lineal implican cientos, o
incluso miles de variables y restricciones, la única forma de resolver estos problemas es
utilizando un programa apropiado de computadora. En el mercado informático existen
softwares que tienen módulos de programación lineal (PL) tal como el Tora, Storm,
Programas como el lindo, lingo, etc. También se puede hacer uso de Solver en Excel para
resolver problemas de PL.
C.
Programación lineal en Tora.
El software TORA de optimización es un programa basado en Windows® que tiene por
objeto usarse con muchas de las técnicas presentadas en el libro Investigación de Operaciones
de TAHA . TORA es una aplicación muy simple, con una interfaz gráfica de baja calidad. Una
de las ventajas de TORA es que puede utilizarse en procesadores de 32 y 64 bits, hoy por hoy
su principal desventaja es que deberá ajustarse la configuración de pantalla para adecuarse a
sus ajustes de presentación de 800 x 600 y 1024 x 768 pixeles. Se recomienda el segundo
ajuste, porque produce una distribución más proporcionada de la pantalla.
1.
Solución de un problema de programación lineal con Tora.
Al igual que para cualquier otro método de resolución, el primer paso para resolver un
problema de programación lineal (PL) consiste en el modelamiento matemático, y es en esta
fase en la que el profesional de Ingeniería Industrial debe desarrollar su mayor habilidad y
9
destreza. Los pasos para resolver un problema de PL se encuentran en el módulo de
programación lineal.
2.
Problema
Un herrero con 80 Kg. de acero y 120 Kg. de aluminio quiere hacer bicicletas de paseo y de
montaña que quiere vender, respectivamente a 20.000 y 15.000 pesos cada una para sacar el
máximo beneficio. Para la de paseo empleará 1 Kg. De acero y 3 Kg. de aluminio, y para la de
montaña 2 Kg. de ambos metales. ¿Cuántas bicicletas de paseo y de montaña deberá fabricar
para maximizar las utilidades?
3.
MODELO MATEMÁTICO
Acero
Aluminio
Precio de Venta
Bicicleta de paseo (x)
1 kg
3 kg
$ 20.000
Bicicleta de montaña (y)
2 kg
2 kg
$ 15.000
Disponibilidad
80 kg
120 kg
Declaración de variables
x = Cantidad de bicicletas de paseo a producir
y = Cantidad de bicicletas de montaña a producir
Restricciones de capacidad
Aluminio:
x + 2y <= 80
Acero:
10
3x + 2y <= 120
Función Objetivo
Zmax = 20000x + 15000y
Ingresando los datos a Tora
Una vez iniciado TORA nos mostrará su menú principal de opciones, en él seleccionamos la
opción "Linear Programming":
Una vez seleccionada la opción de programación lineal, nos
mostrará un menú desde el cual podemos elegir si iniciar un
nuevo modelo, o abrir un archivo existente; además de
seleccionar el formato de ingreso de datos, en el cual
recomendamos el formato decimal:
El siguiente paso consiste en completar la información solicitada en la nueva ventana,
correspondiente al nombre del problema, la cantidad de variables y restricciones:
Una vez consignada la información anterior, y luego de teclear ENTER, nos mostrará la
siguiente interfaz, en la cual debemos consignar la información del modelo, se trata de un
formato tipo matricial muy similar al utilizado por WinQSB:
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Una vez completa la información de la matriz, procedemos a resolver el modelo,
presionando el botón SOLVE. Una vez hagamos esto nos mostrará un menú en el que
podemos modificar el formato numérico de la solución. Luego de esto, nos mostrará un menú
emergente en el que podemos elegir el tipo de solución que queremos visualizar, se encuentra
la solución gráfica y la algebraica, elegimos la algebraica en este caso y seleccionamos que se
nos muestre el tabulado final:
En el tabulado solución podemos observar como la función objetivo toma el mismo valor
obtenido con los programas de solución de Solver y WinQSB. A partir de este tabulado
podemos efectuar un análisis de sensibilidad teniendo en cuenta que:
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Objective Value: Nos muestra el resultado de nuestra función objetivo, en este caso la
solución óptima tiene una función objetivo (utilidad) de $ 850.000.
Value: El valor que toman las variables de decisión.
Obj Val Contrib: Es la contribución unitaria de las variables de decisión en la función
objetivo.
Slack-/Surplus+: Cuando la restricción en cuestión tiene el operador <=, corresponde a una
holgura, es decir, se puede interpretar como el recurso no utilizado. Cuando la restricción en
cuestión tiene el operador >=, corresponde a un exceso, es decir, se puede interpretar como el
recurso utilizado por encima de la restricción de mínimo uso.
Min and Max Obj Coeff: Para un coeficiente de la función objetivo en particular. Este es el
rango en que la base actual de la solución sigue siendo la misma.
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Dual price: Llamado en WinQSB como Shadow Price, y en Solver como Multiplicador de
Lagrange, corresponde al cambio marginal de la función objetivo cuando el valor del lado
derecho de la restricción aumenta en una unidad. En nuestro ejemplo sería así: por cada kg de
acero adicional que tengamos disponible, la función objetivo aumentará en $1250.
D.
PROGRAMACIÓN LINEAL EN SOLVER
Solver es una herramienta que forma parte de una serie de comandos a veces denominados de
"análisis Y si". Con Solver, puede buscarse el valor óptimo para una fórmula de celda,
denominada celda objetivo, en una hoja de cálculo. Solver funciona en un grupo de celdas que
estén relacionadas, directa o indirectamente, con la fórmula de la celda objetivo. Solver ajusta
los valores en las celdas cambiantes que se especifiquen, denominadas celdas ajustables, para
generar el resultado especificado en la fórmula de la celda objetivo. Pueden aplicarse
restricciones para restringir los valores que puede utilizar Solver en el modelo y las
restricciones pueden hacer referencia a otras celdas a las que afecte la fórmula de la celda
objetivo, lo cual lo constituyen en una herramienta adecuada para solucionar problemas de
programación lineal, y programación lineal entera.
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1.
ALGORITMOS Y MÉTODOS UTILIZADOS POR SOLVER
La herramienta Microsoft Excel Solver utiliza el código de optimización no lineal (GRG2)
desarrollado por la Universidad Leon Lasdon de Austin (Texas) y la Universidad Allan Waren
(Cleveland).
2.
INGRESANDO LOS DATOS A EXCEL
Tal cómo se mencionó, la importancia de una correcta organización de la información es vital,
proponemos la siguiente plantilla para ingresar los datos de nuestro problema:
El siguiente paso corresponde a registrar la información en la plantilla, de acuerdo a los datos
que tenemos en el problema:
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El siguiente paso consiste en formular la plantilla, para ello debemos considerar ¿qué pasaría
si cambiaran las variables de decisión?... Pues, en caso tal de que las variables sufrieran
cambios se alteraría la contribución total, y el inventario de recursos. Por ello, debemos
formular en consecuencia:
Ahora que ya tenemos nuestra plantilla formulada, el siguiente paso consiste en utilizar Solver
para resolver el modelo, para ello, vamos a la pestaña Datos (En cualquier versión de Office),
y seleccionamos el complemento Solver:
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Una vez iniciemos Solver se abrirá una ventana emergente llamada "Parámetros de Solver", en
ella como primera medida seleccionaremos nuestra celda objetivo (Contribución Total) y
seleccionaremos el criterio Maximizar:
El siguiente paso, es indicarle a Solver que debe alcanzar el máximo valor para la celda
objetivo mediante la variación de las siguientes celdas (Cambiando las celdas), es decir, le
indicaremos cuales son las variables de decisión:
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El siguiente paso consiste en asignarle las restricciones a las que el modelo está sujeto, las
cuales son restricciones de disponibilidad de recursos:
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Lo que nos muestra la imagen anterior es la forma de indicarle la restricción a Solver, para que
el inventario usado sea menor o igual al inventario disponible. De igual forma debe hacerse
para el recurso de Aluminio.
La siguiente restricción es la de no negatividad, es decir, que las variables de decisión no
puedan tomar valores menores que cero.
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Si quisiéramos resolver el modelo tal cual como está pudiésemos hacerlo, y obtendríamos
quizá una respuesta que distaría de su aplicación práctica, dado que es probable que la
respuesta nos de variables continuas, y en la práctica vender 0,6 bicicletas es un poco
complicado. Por tal razón, agregaremos una restricción que hace que el ejercicio se resuelva
mediante programación lineal entera, indicando que las variables de decisión deban ser
enteras:
Hecho esto, damos clic en Aceptar y en Resolver... Podemos observar como las variables de
decisión, las restricciones (inventario usado) y la contribución total (celda objetivo) han
tomado valores, estos son los valores óptimos según el modelo formulado. Ahora nos
aparecerá un cuadro de diálogo que nos preguntará si deseamos utilizar la solución de Solver y
unos informes que debemos seleccionar para obtener una tabla resumen de la respuesta y un
análisis de sensibilidad que se insertarán como hojas al archivo de Excel:
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El informe de sensibilidad arrojado por Solver es mucho más básico que el que nos puede
proporcionar WinQSB, sin embargo destacamos la información referente al "Multiplicador de
Lagrange" que corresponde al "Shadow Price de WinQSB" conocido como el precio sombra,
es decir, el cambio marginal de la función objetivo cuando el valor del lado derecho de la
restricción aumenta en una unidad, en este caso, por cada kg de Acero adicional que
dispongamos, la función objetivo aumentaría en $ 1250.
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22
CONCLUSIÓN

En conclusión se puede decir que el método gráfico es la forma más sencilla que
existe para resolver un problema, pero tiene la limitación de que el máximo número de
variables de decisión o dimensiones de problema que se pueden manejar son dos y en
algunas veces se puede extender a tres dimensiones, para más de dos dimensiones es
necesario recurrir al método analítico como única forma de resolver este tipo de
problemas.

Es un enfoque de solución de problemas elaborado para ayudar a tomar decisiones. Es
un modelo matemático con una función objetivo lineal, un conjunto de restricciones
lineales variables no negativas. En el ambiente de negocios actual, pueden encontrarse
gran cantidad de aplicaciones.
iii
BIBLIOGRAFIA
Ruben Dario Estrella Sanchez. (2008). Modelos para la Toma de Decisiones. Novena
Edicicion 2008.
Landeta, J. M. (s.f.). Fundamentos de investigacion de operaciones para administracion.
UASLP.
programacion Lineal Investigacion de Operaciones. (s.f.). Euned.
Programacion Lineal y Evaluacion de Proyecto de Inversion. (s.f.). IICA Biblioteca
Venezuela.
iv
Anexos.
Link a video.
https://www.youtube.com/watch?v=ZR8VlauIYoo
https://www.youtube.com/watch?v=EQbXSpuNM9k
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