EJERCICIOS RESUELTOS DE TRANSFORMADA DE

Universidad Nacional Experimental del Táchira.
Departamento de Ingeniería Electrónica.
Núcleo de Instrumentación y Control.
Profesor: Tito González.
San Cristóbal, Jueves 15 de Octubre del 2009.
EJERCICIOS RESUELTOS DE TRANSFORMADA DE
LAPLACE DE ECUACIONES DIFERENCIALES
INTRODUCCION.
A continuación se obtiene la solución de tres ecuaciones diferenciales por medio de la utilización
de transformada directa e inversa de Laplace con el objeto de establecer las técnicas básicas para la
aplicación de la herramienta en esta clase de problemas.
Los ejercicios se inician hallando la solución completa o respuesta total, y posteriormente se
desarrollan los conceptos de respuesta libre, respuesta forzada, la respuesta total como suma algebraica de
la respuesta libre y la respuesta forzada, para finalmente desarrollar el concepto de función de
transferencia.
Por otra parte, cada uno de los ejercicios se acompaña de sus respectivas gráficas tanto en el
dominio de la frecuencia compleja “S” como en el dominio del tiempo, para mostrar el significado y
valores característicos de la transformación, en particular la relación que hay entre la posición de los polos
y el comportamiento en tiempo.
Estos gráficos, se realizaron por medio de scripts en Matlab versión 5.3, los cuales están a
disposición del publico en otro apartado, a objeto de que el interesado en el área experimente con la
modificación de los parámetros que se encuentran identificados para tal fin al inicio del script.
Cada ejercicio se encuentra identificado en su inicio con un nombre código como: TLEDE01, el
cual significa: Transformada de Laplace de Ecuaciones Diferenciales Ejercicio 01, de manera tal de no
perder el enlace entre el ejercicio resuelto y la codificación en Matlab.
UNET, Dpto. Electrónica, Nuc. Inst. y Control, Tito González, [email protected], 15 Oct 2009.
Ejercicios Resueltos de Transformada de Laplace de Ecuaciones Diferenciales.
1 / 28
Ejercicio: TLEDE01
Obtenga la ecuación que es solución de la siguiente ecuación diferencial por el método de la Transformada
de Laplace, haciendo uso de tablas y propiedades.
d 2 g( t )
+ 4 g( t ) = sen( 4t ) con g( 0) = 0 y g ′ ( 0) = 15
dt 2
Solución:
Aplicando Transformada Directa de Laplace
L {D
2
g ( t ) + 4 g ( t )} = L
L {D
2
g( t )} + 4L
{sen( 4t )}
{ g( t )} = L {sen( 4t )}
⎧⎪
⎫⎪
4
2
(
)
(
)
(
)
(
)
{
}
−
−
+
=
S
G
s
Sg
g
G
s
0
0
4
′
{
}
⎨ 2
⎬
⎪⎩ ( S + 4 2 ) ⎪⎭
4
S 2 G( s) − 0 − 15 + 4G( s) = 2
(S + 4 2 )
4
G ( s ) ( S 2 + 4 ) − 15 = 2
(S + 4 2 )
2
2
S 2 + 36
1 20 + ( S + 4 )
+ =
G ( s) ( S + 4 ) = 2
=
(S + 4 2 ) 5 5(S 2 + 4 2 ) 5(S 2 + 4 2 )
2
G ( s) =
4
(S 2 + 62 )
5( S 2 + 2 2 )( S 2 + 4 2 )
1 (S 2 + 62 )
⇒ G( s) = 2 5 2 2
(S + 2 )(S + 4 2 )
Aplicando Transformada Inversa de Laplace
L {G( s)} = L
−1
−1
1 (S 2 + 62 ) ⎫
⎧⎪
⎪
5
=L
⎨ 2
2
2
2 ⎬
⎪⎩ ( S + 2 )( S + 4 ) ⎪⎭
−1
[
]
1 ( S + 0) 2 + 6 2
⎧⎪
⎫⎪
5
⎬
⎨
2
2
( S + 0) 2 + 4 2 ⎪⎭
⎪⎩ ( S + 0) + 2
[
][
UNET, Dpto. Electrónica, Nuc. Inst. y Control, Tito González, [email protected], 15 Oct 2009.
Ejercicios Resueltos de Transformada de Laplace de Ecuaciones Diferenciales.
]
2 / 28
L {G( s)} = L
−1
L {G( s)} = L
−1
−1
−1
L {G( s)} =
−1
⎧⎪
M 1∠ ϕ 1
M2∠ ϕ 2
+
⎨
2
2
( S + 0) 2 + 4 2
⎪⎩ ( S + 0) + 2
[
] [
⎧
M 1∠ ϕ 1
⎪
⎨
2
⎪ ( S + σ 1 ) + ω 12
⎩
[
]
⎫
⎪
⎬ +L
⎪
⎭
M 1 − σ 1 ⋅t
M2
sen(ω 1 ⋅ t + ϕ 1 ) +
e
ω1
ω2
−1
⎧
M2∠ ϕ 2
⎪
⎨
2
⎪ (S + σ 2 ) + ω 2 2
⎩
eσ
−
]
⎫⎪
⎬
⎪⎭
[
2 ⋅t
sen(ω 2 ⋅ t + ϕ 2 )
]
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
forma de la
respuesta
Hallando los coeficientes
{ [
M 1 ∠ ϕ 1 = G ( s) ⋅ ( S + σ 1 ) + ω
{ [
2
2
1
M 2 ∠ ϕ 2 = G ( s) ⋅ ( S + σ 2 ) + ω
2
]}
2
2
1 ( S 2 + 36)
5
=
S = − σ 1 + jω 1
(S 2 + 16)
]}
S = − σ 2 + jω 2
S = 0+ 2 j
1 ( S 2 + 36)
5
=
( S 2 + 4)
=
S = 0+ 4 j
8
= 0.5333∠ 0 = M 1∠ ϕ 1
15
= −
1
= 0.3333∠ π = M 2 ∠ ϕ 2
3
sustituyendo en la forma de la respuesta
L {G( s)} = g( t ) = 0.5333
e
2
−1
0⋅t
sen( 2t + 0) +
( − 0.3333)
4
e
0⋅t
sen( 4t + π )
L {G( s)} = g( t ) = 0.2667sen( 2t ) + 0.0834sen( 4t + π )
−1
UNET, Dpto. Electrónica, Nuc. Inst. y Control, Tito González, [email protected], 15 Oct 2009.
Ejercicios Resueltos de Transformada de Laplace de Ecuaciones Diferenciales.
3 / 28
UNET, Dpto. Electrónica, Nuc. Inst. y Control, Tito González, [email protected], 15 Oct 2009.
Ejercicios Resueltos de Transformada de Laplace de Ecuaciones Diferenciales.
4 / 28
UNET, Dpto. Electrónica, Nuc. Inst. y Control, Tito González, [email protected], 15 Oct 2009.
Ejercicios Resueltos de Transformada de Laplace de Ecuaciones Diferenciales.
5 / 28
Ejercicio: TLEDE02
Obtenga la ecuación que es solución de la siguiente ecuación diferencial por el método de la Transformada
de Laplace, haciendo uso de tablas y propiedades.
D 2 h( t ) − 2 Dh( t ) + 10h( t ) =
e
− 2⋅t
con h( 0) = 0 y h ′ ( 0) = 1 / 2
Solución:
Aplicando Transformada Directa de Laplace.
L {D ′′ h( t )} − 2L {D ′ h( t )} + 10L {h( t )} = L {e }
− 2⋅ t
{S
2
⎧ 1 ⎫
H ( s) − Sh( 0) − h ′ ( 0)} − 2{SH ( s) − h( 0)} + 10{H ( s)} = ⎨
⎬
⎩ ( S + 2) ⎭
1
S 2 H ( s) − 1 2 − 2 SH ( s) + 10 H ( s) =
( S + 2)
1
H ( s)[ S 2 − 2 S + 10] − 1 2 =
( S + 2)
H ( s)[ S 2 − 2 S + 10] =
( S + 4)
1
1 2 + ( S + 2)
+ =
=
( S + 2) 2
2( S + 2)
2( S + 2)
1 ( S + 4)
2
H ( s) =
( S + 2)( S 2 − 2 S + 10)
Aplicando Transformada Inversa de Laplace.
{H ( s)} = L
−1
L
L {H( s)} = L
−1
−1
−1
1 ( S + 4)
⎧⎪
⎫⎪
2
⎬=L
⎨
2
⎪⎩ ( S + 2)( S − 2 S + 10) ⎪⎭
−1
1 ( S + 4)
⎧⎪
⎫⎪
2
⎨
⎬
⎪⎩ ( S + 2)( S − 1 + 3 j )( S − 1 − 3 j ) ⎪⎭
1 ( S + 4)
⎧⎪
⎫⎪
2
⎨
⎬
(
)(
)2 2
⎩⎪ S + 2 S − 1 + 3 ⎪⎭
[
]
UNET, Dpto. Electrónica, Nuc. Inst. y Control, Tito González, [email protected], 15 Oct 2009.
Ejercicios Resueltos de Transformada de Laplace de Ecuaciones Diferenciales.
6 / 28
L {H ( s)} = L
−1
{H ( s)} = L
−1
−1
L
−1
⎧⎪ k 1
+
⎨
⎪⎩ ( S + 2)
[
⎫⎪
⎬
( S − 1) 2 + 32 ⎪⎭
M∠ ϕ
⎧⎪ k 1 ⎫⎪
⎨
⎬ +L
⎪⎩ ( S + σ 1 ) ⎪⎭
−1
]
⎧
M∠ ϕ
⎪
⎨
2
⎪ ( S + σ 2 ) + ω 22
⎩
[
]
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
forma de la
L {H ( s)} = k1 ⋅ e
−1
− σ 1 ⋅t
+
M − σ 2 ⋅t
⋅e
⋅ sen(ω 2 ⋅ t + ϕ )
ω2
respuesta
Hallando los Coeficientes
[
]
k 1 = H ( s) ⋅ ( S + σ 1 )
{
[
⎡ 1 ( S + 4) ⎤
⎥
=
= ⎢ 22
S = − σ1
⎢ ( S − 2 S + 10) ⎥ S = −2
⎣
⎦
M∠ ϕ = H ( s) ⋅ ( S + σ 2 ) + ω 22
2
]}
S = − σ 2 + jω 2
1 ( − 2 + 4)
⎡
2
⎢
2
⎢ ( − 2) − 2( − 2) + 10
⎣
(
)
⎤ 1
⎥=
= 0.0556 = k 1
⎥ 18
⎦
⎡ 1 (1 + 3 j + 4) ⎤ 2.5 + 15
⎡ 1 ( S + 4) ⎤
. j
⎥=
⎥
= 0.667 − 01667
=⎢ 2
=⎢ 2
j
.
3+ 3j
⎢ ( S + 2) ⎥ S =1+ 3 j ⎢ (1 + 3 j + 2) ⎥
⎣
⎦
⎣
⎦
M∠ ϕ = 0.6872∠ − 0.245
sustituyendo en la forma de la respuesta
L {H ( s)} = h(t ) = 181 e
−1
− 2⋅ t
+
0.6872 t
e sen(3 ⋅ t − 0.245)
3
h(t ) = 0.0556e − 2⋅t + 0.2291 ⋅ e t sen(3 ⋅ t − 0.245)
UNET, Dpto. Electrónica, Nuc. Inst. y Control, Tito González, [email protected], 15 Oct 2009.
Ejercicios Resueltos de Transformada de Laplace de Ecuaciones Diferenciales.
7 / 28
UNET, Dpto. Electrónica, Nuc. Inst. y Control, Tito González, [email protected], 15 Oct 2009.
Ejercicios Resueltos de Transformada de Laplace de Ecuaciones Diferenciales.
8 / 28
UNET, Dpto. Electrónica, Nuc. Inst. y Control, Tito González, [email protected], 15 Oct 2009.
Ejercicios Resueltos de Transformada de Laplace de Ecuaciones Diferenciales.
9 / 28
UNET, Dpto. Electrónica, Nuc. Inst. y Control, Tito González, [email protected], 15 Oct 2009.
Ejercicios Resueltos de Transformada de Laplace de Ecuaciones Diferenciales.
10 / 28
Ejercicio: TLEDE03
Halle la respuesta total de la siguiente ecuación diferencial por el método de la Transformada de Laplace,
haciendo uso de tablas y propiedades.
y ′′(t ) + 2 y ′(t ) + 5 y (t ) = x(t ) con x(t ) = u(t ); y(0) = 0; y ′(0) = 1 2
Solución:
Aplicando Transformada Directa de Laplace
L { y ′′(t ) + 2 y ′(t ) + 5y(t )} = L {x(t )}
L { y ′′(t )} + L {2 y ′(t )} + L {5y(t )} = L {u(t )}
{S Y ( s) − Sy(0) − y ′(0)} + 2{SY ( s) − y(0)} + 5{Y ( s)} = ⎧⎨⎩ S1 ⎫⎬⎭
2
S 2Y ( s) − 1 2 + 2SY ( s) + 5Y ( s) =
[
]
[
]
1
S
1
Y ( s) S 2 + 2S + 5 − 1 2 =
S
1 1 2+ S S +2
=
Y ( s) S 2 + 2S + 5 = + =
2S
2S
S 2
1 ( S + 2)
S + 2)
(
2
⇒ YT ( s) =
Y ( s) =
2
2S S + 2S + 5
( S + 0) S 2 + 2S + 5
[
]
[
]
Aplicando Transformada Inversa de Laplace
L {Y ( s)} = L
−1
L {Y ( s)} = L
−1
−1
T
−1
T
1 ( S + 2)
⎧⎪
2
⎨
2
⎪⎩ ( S + 0) S + 2S + 5
[
⎧ 1 ( S + 2)
⎪
2
⎨
2
2
⎪⎩ S ( S + 1) + 2
[
]
]
⎫⎪
⎬ =L
⎪⎭
−1
1 ( S + 2)
⎧⎪
⎫⎪
2
⎨
⎬
⎪⎩ S ( S + 1 + 2 j )( S + 1 − 2 j ) ⎪⎭
⎫
⎪
⎬
⎪⎭
UNET, Dpto. Electrónica, Nuc. Inst. y Control, Tito González, [email protected], 15 Oct 2009.
Ejercicios Resueltos de Transformada de Laplace de Ecuaciones Diferenciales.
11 / 28
L
−1
{YT ( s)} = L
L {Y ( s)} =
−1
T
−1
⎧⎪ k
⎫⎪
M∠ ϕ
1
⎨ +
⎬=L
( S + 1) 2 + 2 2 ⎪⎭
⎪⎩ S
[
]
−1
⎧ k1 ⎫
⎨ ⎬ +L
⎩S⎭
M −1⋅t
e sen( 2 ⋅ t + ϕ )
2
y T ( t ) = k1u( t ) +
−1
⎧⎪
⎫⎪
M∠ ϕ
⎨
⎬
2
2
⎪⎩ ( S + 1) + 2 ⎪⎭
[
]
forma de la
respuesta
Hallando coeficientes
⎧⎪ 1 ( S + 2) ⎫⎪
1
k1 = {YT ( s) ⋅ S} = ⎨ 22
= = 0.2 = k1
⎬
S=0
⎪⎩ ( S + 2 S + 5) ⎪⎭ S = 0 5
{
[
M∠ ϕ = YT ( s) ⋅ ( S + 1) + 2
2
2
]}
1 ( − 1 + 2 j + 2)
⎧⎪ 1 ( S + 2) ⎫⎪
2
2
= ⎨
=
⎬
S = − 1+ j 2
S
− 1+ 2 j
⎪⎩
⎪⎭ S = −1+ j 2
1 + j
M∠ ϕ = 2
= 0.3 − 0.4 j = 1 2 ∠ − 0.9273 = M∠ ϕ
− 1+ 2 j
Sustituyendo en la forma de la respuesta
L {Y ( s)} =
y T ( t ) = 0.2u( t ) +
L {Y ( s)} =
y T ( t ) = 0.2u( t ) + 0.25e − t sen( 2 ⋅ t − 0.9273)
−1
T
−1
T
1 −t
e sen( 2 ⋅ t − 0.9273)
4
UNET, Dpto. Electrónica, Nuc. Inst. y Control, Tito González, [email protected], 15 Oct 2009.
Ejercicios Resueltos de Transformada de Laplace de Ecuaciones Diferenciales.
12 / 28
UNET, Dpto. Electrónica, Nuc. Inst. y Control, Tito González, [email protected], 15 Oct 2009.
Ejercicios Resueltos de Transformada de Laplace de Ecuaciones Diferenciales.
13 / 28
UNET, Dpto. Electrónica, Nuc. Inst. y Control, Tito González, [email protected], 15 Oct 2009.
Ejercicios Resueltos de Transformada de Laplace de Ecuaciones Diferenciales.
14 / 28
Ejercicio: TLEDE04
Halle la respuesta libre de la siguiente ecuación diferencial por el método de la Transformada de Laplace,
haciendo uso de tablas y propiedades.
y ′′(t ) + 2 y ′(t ) + 5 y(t ) = x (t ) con x(t ) = u(t ); y(0) = 0; y ′(0) = 1 2
Solución:
Aplicando Transformada Directa de Laplace y considerando que x (t ) y todas
sus condiciones iniciales son cero
L { y ′′(t ) + 2 y ′(t ) + 5y(t )} = L {x(t )}
L { y ′′(t )} + 2L { y ′(t )} + 5L { y(t )} = L {0}
{S Y ( s) − Sy(0) − y ′(0)} + 2{SY ( s) − y(0)} + 5{Y ( s)} = 0
2
S 2Y ( s) − 1 2 + 2SY ( s) + 5Y ( s) = 0
[
[
]
]
Y ( s) S 2 + 2S + 5 − 1 2 = 0
1
Y ( s) S 2 + 2S + 5 =
2
1
1
Y ( s) =
⇒ YL ( s) = 2 2
2
2 S + 2S + 5
S + 2S + 5
[
]
[
]
Aplicando Transformada Inversa de Laplace
L {Y ( s)} = L
−1
L {Y ( s)} = L
−1
−1
L
−1
L
1
⎧⎪
2
⎨ 2
⎪⎩ S + 2S + 5
[
]
⎧
1
⎪
2
⎨
2
2
⎪⎩ ( S + 1) + 2
[
⎫⎪
⎬ =L
⎪⎭
]
−1
1
⎧⎪
⎫⎪
2
⎨
⎬
⎪⎩ ( S + 1 + 2 j )( S + 1 − 2 j ) ⎪⎭
⎫
⎪
⎬
⎪⎭
UNET, Dpto. Electrónica, Nuc. Inst. y Control, Tito González, [email protected], 15 Oct 2009.
Ejercicios Resueltos de Transformada de Laplace de Ecuaciones Diferenciales.
15 / 28
L {Y ( s)} = L
−1
L
L
−1
−1
⎧⎪
⎫⎪
M∠ ϕ
⎨
⎬
2
2
⎪⎩ ( S + 1) + 2 ⎪⎭
{YL ( s)} = y L ( t ) =
[
]
M −1⋅t
e sen( 2 ⋅ t + ϕ )
2
forma de la
respuesta
Hallando coeficientes
{
[
2
M∠ ϕ = YL ( s) ⋅ ( S + 1) + 2 2
]}
{ }
= 12
S = − 1+ j 2
= 12
S = − 1+ j 2
M∠ ϕ = 1 2 ∠ 0
Sustituyendo en la forma de la respuesta
L {Y ( s)} =
yL (t) =
L {Y ( s)} =
y L ( t ) = 0.25e − t sen( 2t )
−1
L
−1
L
1 −t
e sen( 2 ⋅ t )
4
UNET, Dpto. Electrónica, Nuc. Inst. y Control, Tito González, [email protected], 15 Oct 2009.
Ejercicios Resueltos de Transformada de Laplace de Ecuaciones Diferenciales.
16 / 28
UNET, Dpto. Electrónica, Nuc. Inst. y Control, Tito González, [email protected], 15 Oct 2009.
Ejercicios Resueltos de Transformada de Laplace de Ecuaciones Diferenciales.
17 / 28
UNET, Dpto. Electrónica, Nuc. Inst. y Control, Tito González, [email protected], 15 Oct 2009.
Ejercicios Resueltos de Transformada de Laplace de Ecuaciones Diferenciales.
18 / 28
Ejercicio: TLEDE05
Halle la respuesta forzada de la siguiente ecuación diferencial por el método de la Transformada de
Laplace, haciendo uso de tablas y propiedades.
y ′′(t ) + 2 y ′(t ) + 5 y(t ) = x (t ) con x (t ) = u(t ); y (0) = 0; y ′(0) = 1
2
Solución:
Aplicando Transformada Directa de Laplace y considerando que todas
las condiciones iniciales son cero
L { y ′′(t ) + 2 y ′(t ) + 5y(t )} = L {x(t )}
L { y ′′(t )} + 2L { y ′(t )} + 5L { y(t )} = L {u(t )}
{S Y ( s) − Sy(0) − y ′(0)} + 2{SY ( s) − y(0)} + 5{Y ( s)} = ⎧⎨⎩ S1 ⎫⎬⎭
2
S 2Y ( s) + 2SY ( s) + 5Y ( s) =
[
]
Y ( s) S 2 + 2 S + 5 =
Y ( s) =
1
S
1
S
1
1
⇒ YF ( s) =
2
S S + 2S + 5
S S + 2S + 5
[
2
]
[
]
Aplicando Transformada Inversa de Laplace
L {Y ( s)} = L
−1
L {Y ( s)} = L
−1
−1
F
−1
F
⎧⎪
1
⎨
2
⎪⎩ S S + 2S + 5
[
]
⎧
1
⎪
⎨
2
2
⎪⎩ S ( S + 1) + 2
[
⎫⎪
⎬ =L
⎪⎭
]
−1
⎧
⎫
1
⎨
⎬
⎩ S ( S + 1 + 2 j )( S + 1 − 2 j ) ⎭
⎫
⎪
⎬
⎪⎭
UNET, Dpto. Electrónica, Nuc. Inst. y Control, Tito González, [email protected], 15 Oct 2009.
Ejercicios Resueltos de Transformada de Laplace de Ecuaciones Diferenciales.
19 / 28
L {Y ( s)} = L
−1
F
L {Y ( s)} =
−1
F
−1
⎧⎪ k
⎫⎪
M∠ ϕ
1
+
⎨
⎬=L
2
2
S
(
)
S
+
+
1
2
⎪⎩
⎪⎭
[
]
−1
⎧ k1 ⎫
⎨ ⎬ +L
⎩S⎭
M −1⋅t
e sen( 2 ⋅ t + ϕ )
2
y F ( t ) = k1u( t ) +
−1
⎧⎪
⎫⎪
M∠ ϕ
⎨
⎬
2
2
⎪⎩ ( S + 1) + 2 ⎪⎭
[
]
forma de la
respuesta
Hallando coeficientes
k1 = {YF ( s) ⋅ S}
{
1
1
⎪⎧
⎪⎫
= ⎨ 2
= = 0.2 = k1
⎬
S=0
⎪⎩ ( S + 2 S + 5) ⎪⎭ S = 0 5
[
2
M∠ ϕ = YF ( s) ⋅ ( S + 1) + 2 2
]}
1
⎧ 1⎫
= ⎨ ⎬
=
S = − 1+ j 2
⎩ S ⎭ S = −1+ j 2 − 1 + 2 j
M∠ ϕ = − 0.2 − 0.4 j = 0.447∠ − 2.034 = M∠ ϕ
Sustituyendo en la forma de la respuesta
L {Y ( s)} =
y F ( t ) = 0.2u( t ) +
L {Y ( s)} =
y F ( t ) = 0.2u( t ) + 0.2235 ⋅ e − t sen( 2 ⋅ t − 2.034)
−1
F
−1
F
0.447 − t
e sen( 2 ⋅ t − 2.034)
2
UNET, Dpto. Electrónica, Nuc. Inst. y Control, Tito González, [email protected], 15 Oct 2009.
Ejercicios Resueltos de Transformada de Laplace de Ecuaciones Diferenciales.
20 / 28
UNET, Dpto. Electrónica, Nuc. Inst. y Control, Tito González, [email protected], 15 Oct 2009.
Ejercicios Resueltos de Transformada de Laplace de Ecuaciones Diferenciales.
21 / 28
UNET, Dpto. Electrónica, Nuc. Inst. y Control, Tito González, [email protected], 15 Oct 2009.
Ejercicios Resueltos de Transformada de Laplace de Ecuaciones Diferenciales.
22 / 28
Ejercicio: TLEDE06
Demostración de que la respuesta total es la suma de la respuesta libre con la respuesta forzada.
y T ( t ) = 0.2u( t ) + 0.25e − t sen( 2t − 0.9273)
y T ( t ) = 0.2u( t ) + 0.25e − t [ sen( 2t ) ⋅ cos( 0.9273) − cos( 2t ) ⋅ sen( 0.9273) ]
y T ( t ) = 0.2u( t ) + 0.25 ⋅ cos( 0.9273) ⋅ e − t ⋅ sen( 2t ) − 0.25 ⋅ sen( 0.9273) ⋅ e − t ⋅ cos( 2t )
. ⋅ e − t ⋅ sen( 2t ) − 01999
.
y T ( t ) = 0.2u( t ) + 015
⋅ e − t ⋅ cos( 2t )
. ⋅ e − t ⋅ sen( 2t ) − 0.2 ⋅ e − t ⋅ cos( 2t )
y T ( t ) = 0.2u( t ) + 015
y L ( t ) = 0.25 ⋅ e − t ⋅ sen( 2t )
y F ( t ) = 0.2u( t ) + 0.2235e − t sen( 2t − 2.034)
y F ( t ) = 0.2u( t ) + 0.2235e − t [ sen( 2t ) ⋅ cos( 2.034) − cos( 2t ) ⋅ sen( 2.034) ]
y F ( t ) = 0.2u( t ) + 0.2235 ⋅ cos( 2.034) ⋅ e − t ⋅ sen( 2t ) − 0.2235 ⋅ sen( 2.034) ⋅ e − t ⋅ cos( 2t )
y F ( t ) = 0.2u( t ) − 0.099863 ⋅ e − t ⋅ sen( 2t ) + 0199949
⋅ e − t ⋅ cos( 2t )
.
y F ( t ) = 0.2u( t ) − 01
. ⋅ e − t ⋅ sen( 2t ) + 0.2 ⋅ e − t ⋅ cos( 2t )
yT ( t ) = y L ( t ) + y F ( t )
y T ( t ) = 0.25 ⋅ e − t ⋅ sen( 2t ) + [ 0.2u( t ) − 01
. ⋅ e − t ⋅ sen( 2t ) + 0.2 ⋅ e − t ⋅ cos( 2t ) ]
y T ( t ) = 0.25 ⋅ e − t ⋅ sen( 2t ) + 0.2u( t ) − 01
. ⋅ e − t ⋅ sen( 2t ) + 0.2 ⋅ e − t ⋅ cos( 2t )
. ⋅ e − t ⋅ sen( 2t ) + 0.2 ⋅ e − t ⋅ cos( 2t )
y T ( t ) = 0.2u( t ) + 0.25 ⋅ e − t ⋅ sen( 2t ) − 01
y T ( t ) = 0.2u( t ) + 015
. ⋅ e − t ⋅ sen( 2t ) − 0.2 ⋅ e − t ⋅ cos( 2t )
UNET, Dpto. Electrónica, Nuc. Inst. y Control, Tito González, [email protected], 15 Oct 2009.
Ejercicios Resueltos de Transformada de Laplace de Ecuaciones Diferenciales.
23 / 28
UNET, Dpto. Electrónica, Nuc. Inst. y Control, Tito González, [email protected], 15 Oct 2009.
Ejercicios Resueltos de Transformada de Laplace de Ecuaciones Diferenciales.
24 / 28
Ejercicio: TLEDE07
Halle la función de transferencia de la siguiente ecuación diferencial por el método de la Transformada de
Laplace, haciendo uso de tablas y propiedades.
y ′′(t ) + 2 y ′(t ) + 5 y (t ) = x(t ) con x (t ) = u(t ); y(0) = 0; y ′(0) = 1 2
Solución:
Aplicando Transformada Directa de Laplace y la condición de que la
Función de transferencia se halla para todas las condiciones iniciales iguales
a cero y sin sustituir a X(s) por su transformación
L { y ′′(t ) + 2 y ′(t ) + 5y(t )} = L {x(t )}
L { y ′′(t )} + 2L { y ′(t )} + 5L { y(t )} = { X ( s)}
{S Y ( s) − Sy(0) − y ′(0)} + 2{SY ( s) − y(0)} + 5{Y ( s)} = X ( s)
2
S 2Y ( s) + 2SY ( s) + 5Y ( s) = X ( s)
[
]
Y ( s) S 2 + 2S + 5 = X ( s)
Y ( s) =
[S
X ( s)
2
]
+ 2S + 5
⇒ F ( s) =
Y ( s)
1
= 2
X ( s) S + 2S + 5
[
]
Aplicando Transformada Inversa de Laplace
L {F ( s)} = L
−1
L {F ( s)} = L
−1
−1
−1
⎧⎪
1
⎨ 2
⎪⎩ S + 2S + 5
[
]
⎧
1
⎪
⎨
2
2
⎪⎩ ( S + 1) + 2
[
⎫⎪
⎬ =L
⎪⎭
]
−1
⎧
⎫
1
⎨
⎬
⎩ ( S + 1 + 2 j )( S + 1 − 2 j ) ⎭
⎫
⎪
⎬
⎪⎭
UNET, Dpto. Electrónica, Nuc. Inst. y Control, Tito González, [email protected], 15 Oct 2009.
Ejercicios Resueltos de Transformada de Laplace de Ecuaciones Diferenciales.
25 / 28
L {F ( s)} = L
−1
L {F ( s)} =
−1
−1
⎫⎪
⎧⎪
M∠ ϕ
⎬
⎨
2
2
(
)
S
+
+
1
2
⎪⎭
⎪⎩
[
]
M −1⋅t
e sen( 2 ⋅ t + ϕ )
2
f (t) =
forma de la
respuesta
Hallando coeficientes
{
[
2
M∠ ϕ = F ( s) ⋅ ( S + 1) + 2 2
]}
S = − 1+ j 2
= {1}
S = − 1+ j 2
=1
M∠ ϕ = 1∠ 0
Sustituyendo en la forma de la respuesta
L {F ( s)} =
f (t) =
L {F ( s)} =
f ( t ) = 0.5e − t sen( 2t )
−1
−1
1 −t
e sen( 2 ⋅ t )
2
UNET, Dpto. Electrónica, Nuc. Inst. y Control, Tito González, [email protected], 15 Oct 2009.
Ejercicios Resueltos de Transformada de Laplace de Ecuaciones Diferenciales.
26 / 28
UNET, Dpto. Electrónica, Nuc. Inst. y Control, Tito González, [email protected], 15 Oct 2009.
Ejercicios Resueltos de Transformada de Laplace de Ecuaciones Diferenciales.
27 / 28
UNET, Dpto. Electrónica, Nuc. Inst. y Control, Tito González, [email protected], 15 Oct 2009.
Ejercicios Resueltos de Transformada de Laplace de Ecuaciones Diferenciales.
28 / 28