1 Vibración Armónicamente Excitada Abel Nohpal Briones [email protected] DEPARTAMENTO METAL-MECÁNICA INSTITUTO TECNOLOGÍCO DE APIZACO Resumen — En este documento se abordará inicialmente sobre las vibraciones más importantes desde el punto de vista de las aplicaciones de ingeniería, siendo estas las vibraciones forzadas. Éstas ocurren cuando un sistema se sujeta a una fuerza periódica o cuando se le conecta elásticamente a un soporte que tiene un movimiento alternante. Asimismo, se abordará en este documento sobre temas específicos tales como: Desbalanceo rotativo, cabeceo de flechas rotatorias, además del aislamiento de una vibración. dinámico a excitaciones no periódicas repentinamente aplicadas se llama respuesta transitoria. Índice de términos— Métodos de balanceo; Métodos para balanceo de momentos; Frecuencia natural; Factor de amortiguamiento; Liberalización; Biomecánica: Vibraciones menos probable que la periódica u otros tipos de excitación, un entendimiento de la conducta de un sistema que sufre excitación armónica es esencial para comprender cómo el sistema responderá a tipos más generales de excitación. La excitación armónica puede ocurrir en la forma de una fuerza o desplazamiento de algún punto del sistema. Primero consideraremos un sistema de un grado de libertad con amortiguamiento viscoso, excitado por una fuerza armónica 𝐹0 𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑡, como en la Fig. 3.1 -1. Su ecuación de movimiento es 𝑚𝑥 + 𝑐𝑥̇ + 𝑘𝑥 ̈ = 𝐹0 𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑡 (3.1-1) I. INTRODUCCIÓN uando un sistema está sometido a una excitación armónica forzada, su respuesta de vibración tiene lugar a la misma frecuencia de excitación. Fuentes comunes de excitación armónica son el desbalance en máquinas rotatorias, fuerzas producidas por máquinas reciprocantes o el movimiento de la máquina misma. Estas excitaciones pueden ser indeseables para equipo cuya operación puede ser perturbada o, para la seguridad de la estructura si se desarrollan grandes amplitudes de vibración. La resonancia debe ser evitada en la mayoría de los casos y, para evitar que se desarrollen grandes amplitudes, se usan frecuentemente amortiguadores. La discusión de su comportamiento es de importancia para un uso inteligente. Finalmente, la teoría de los instrumentos medidores de vibraciones se presenta como una herramienta para el análisis de vibraciones. Se dice que un sistema mecánico o estructural experimenta vibración forzada que se suministra energía externa al sistema durante la vibración. La energía externa se puede suministrar ya sea mediante una fuerza aplicada o por una excitación de desplazamiento impuesta. La fuerza aplicada o la excitación de desplazamiento pueden ser armónica, no armónica pero periódica, no periódica, o aleatoria. La respuesta de un sistema C Balakumar Balachandran, University of Maryland Edward B. Magrab University of Maryland; Authors of the book Vibrations. 1 Este enunciado también se conoce como Principio de D`Alembert. De acuerdo con la forma generalizada de este principio, cuando un conjunto de los llamados desplazamientos virtuales se impone en el sistema de interés, el trabajo neto que realizan las fuerzas externas y de inercia es cero. 10 A.A. Ferri, “Friction Damping and Isolation Systems”, ASME J. Vibrations Acoustics, Special 50th Anniversary Design Issue, vol. 177, pp. 196-206 (junio de 1995). II. VIBRACIÓN ARMÓNICA FORZADA La excitación armónica es frecuentemente en sistemas de ingeniería. Son comúnmente producidos por desbalances en maquinaria rotatoria. Aunque la pura excitación armónica es Fig. 3.1-1. Sistema con amortiguamiento viscoso y excitación armónica. La solución de esta ecuación consta de dos partes, la función complementaria, que es la solución de la homogénea y; la integral particular. La función complementaria en este caso, una vibración libre amortiguada. La solución particular es una oscilación estacionaria de la misma frecuencia w de la excitación. Podemos suponer que la solución particular es de la forma 𝑥 = 𝑋𝑠𝑒𝑛 (𝑤𝑡 − 𝜑) (3.1-2) En donde X es la amplitud de la oscilación y φes la fase del desplazamiento con respecto a la fuerza excitatriz. La amplitud y fase en la ecuación de arriba se calculan sustituyendo la Ec. (3.1-2) en la ecuación diferencial (3.1-1). Recordando que en el movimiento armónico las fases de la velocidad y aceleración están adelante del desplazamiento en 2 90° y 180° respectivamente, los términos de la ecuación diferencial se pueden desplegar gráficamente como en la Fig. 3.1-2. Se ve fácilmente que 𝑥 = 𝐹0 ⁄√(𝑘 − 𝑚𝑤 2 )2 + (𝑐𝑤)2 𝑐𝑤 ∅ = tan−1 (3.1-3 y 3.1-4) 𝑘−𝑚𝑤 2 Expresaremos ahora las Ecs. (3.1-3) y (3.1-4) en forma adimensional que permite una concisa representación gráfica de estos resultados. Dividiendo numerador y denominador de las Ecs. (3.1-3) y (3.1-4) por k, obtenemos 𝑋= 𝐹0 𝑘 2 2 2 √(1 − 𝑚𝑤 ) + (𝑐𝑤 ) 𝑘 𝑘 𝑐𝑤 𝑘 tan ∅ = 𝑚𝑤 2 1− 𝑘 (3.1-5) amplitud y el ángulo de fase, en la región de frecuencia próxima a resonancia. Un entendimiento adicional sobre el comportamiento del sistema puede obtenerse estudiando el diagrama de fuerzas 𝜔 correspondientes a la Fig. 3.1-2 en las regiones pequeño, 𝜔𝑛 𝜔⁄𝜔𝑛 = 1 𝑦 𝜔⁄𝜔𝑛 grande. Para pequeños valores de 𝜔⁄𝜔𝑛 ≪ 1, tanto las fuerzas de inercia como las de amortiguamiento son pequeñas, lo que se traduce en un pequeño ángulo de fase ∅. La magnitud de la fuerza global es entonces casi igual a la fuerza de resorte como se muestra en la Fig. 3.1-4a. (3.1-6) Las expresiones de arriba pueden expresarse en términos de las cantidades siguientes: 𝑤𝑛 = √ 𝑘 𝑚 = Fn de oscilación no amortiguada. 𝐶𝑐 = 2𝑚𝑤𝑛 = amortiguamiento crítico 𝑐 𝜁= = Factor de amortiguamiento 𝐶𝑐 Las expresiones no dimensionales de amplitud y fase quedan como 𝑋𝐾 1 = 𝐹𝑜 2 2 2 (3.1-7) √[1 − ( 𝑤 ) ] + [2𝜁 ( 𝑤 )] 𝑤𝑛 𝑤𝑛 𝑤 2𝜁 ( ) 𝑤𝑛 tan ∅ = (3.1-8) 𝑤 2 1−( ) 𝑤𝑛 Para 𝜔⁄𝜔 = 1, el ángulo de fase es 90° y el diagrama de 𝑛 fuerzas aparece como en la Fig. 3.1-4b. La fuerza de inercia, que ahora es mayor, es equilibrada por la fuerza de resorte; mientras que la fuerza aplicada supera a la fuerza de amortiguación. La amplitud y la resonancia pueden calcularse bien de las Ecs. (3.1-5) o (3.1-7) o de la Fig.- 3.1-4b como 𝐹0 𝐹0 𝑥= = 3.1-9 𝑐𝜔𝑛 2𝜁𝑘 A valores grandes de 𝜔⁄𝜔𝑛 ≫ 1, 𝜃 se aproxima a 180° y la fuerza aplicada se emplea casi enteramente en vencer la gran fuerza de inercia, como se muestra en la Fig. 3.1-4c. En resumen, podemos escribir la ecuación diferencial y su solución, incluyendo el término transitorio como 𝐹0 (3.1-10) 𝑥̈ = 2𝜁𝜔𝑛 𝑥̇ + 𝜔𝑛 2 𝑥 = 2𝜁𝑘 𝐹0 sin(𝜔 − 𝛷) 𝑥(𝑡) = 2 𝑘 𝜔 2 𝜔 2 [1 − ( ) ] + [2𝜁 ] 𝜔𝑛 𝜔𝑛 −𝜁𝜔𝑛 𝑡 +𝑋 𝑒 sin (√1 − 𝜁 2 𝜔 𝑡 + 𝛷 ) (3.1-11) 1 Estas ecuaciones indican que la amplitud adimensional 𝑋𝑘⁄ y la fase ∅ son funciones solamente de la razón de 𝐹0 frecuencias 𝑤⁄𝑤𝑛 y del factor de amortiguación ζ y pueden ser representadas como en la Fig. 3.1-3. Estas curvas muestran que el factor de amortiguación tiene gran influencia sobre la 𝑛 1 3 𝑥(𝑡) = 𝑋1 𝑒 −𝜁𝜔𝑛 𝑡 sin (√1 − 𝜁 2 𝜔𝑛 𝑡 + 𝛷1 ) + 𝑚𝑒𝜔2 √(𝑘 − 𝑀𝜔 2 )2 + (𝑐𝜔)2 sin(𝜔𝑡 − 𝛷) III. DESBALANCE ROTATORIO El desbalance en máquinas rotatorias es una fuente común de excitación vibratoria. Consideramos aquí un sistema resortemasa restringido a moverse en la dirección vertical y excitado por una máquina rotatoria no balanceada, como muestra la Fig. 3.2-1. El desbalance está representado por una masa excéntrica m con excentricidad 𝑒 que rota con velocidad angular 𝜔. Si x representa el desplazamiento de la masa no rotante (M-m), desde la posición de equilibrio, el desplazamiento de m es 𝑥 + 𝑒 sin 𝜔𝑡 Fig. 3.2-1. Fuerza perturbadora armónica que resulta de un desbalance. La ecuación de movimiento es entonces 𝑑2 ̇ ) = −𝑘𝑥 − 𝑐𝑥̇ (𝑀 − 𝑚)𝑥̈ + 𝑚 2 (𝑥 + 𝑒𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 𝑑𝑡 Que puede escribirse como 𝑀𝑥̈ + 𝑐𝑥̇ + 𝑘𝑥 = (𝑚𝑒𝜔2 ) sin 𝜔𝑡 (3.2-1) Es evidente que la ecuación de arriba es idéntica a la Ec. (3.1-1) en donde 𝐹0 ha sido reemplazada por 𝑚𝑒𝜔2 y, de aquí, que la solución estacionaria de la sección pueda ser reemplazada por 𝑚𝑒𝜔2 3.2-2 𝑋= √(𝑘 − 𝑀𝜔 2 )2 + (𝑐𝜔)2 𝑐𝜔 𝑘 − 𝑀𝜔 2 Esto puede reducirse a forma no dimensional 𝜔 2 ( ) 𝑀𝑋 𝜔𝑛 = 𝑚𝑒 2 2 2 √[1 − ( 𝜔 ) ] + [2𝜁 𝜔 ] 𝜔𝑛 𝜔𝑛 tan 𝛷 = EJEMPLO 3.2-1 Se utiliza un peso excéntrico excitador para producir oscilaciones forzadas en el sistema de la Fig. 3,2-3. Variando la velocidad de rotación, se registró una amplitud resonante e 0,60 cm. Cuando se aumentó la velocidad de rotación, la amplitud mostró tendencia hacia un valor fijo de 0,80 cm. Determine el factor de amortiguamiento del sistema. Solución: De la Ec. (3.2-4) obtenemos: 𝑀 𝑋= = 0,60 𝑐𝑚 2𝜁 Cuando 𝜔 es mucho mayor que 𝜔𝑛 , la misma ecuación se convierte en 𝑚𝑒 𝑋= = 0,08 𝑐𝑚 𝑀 Resolviendo las dos ecuaciones simultáneamente, el factor de amortiguación del sistema es 0,08 𝜁= = 0,0666 2(0,60) 3.2-3 3,2-4 𝜔 ) 𝜔𝑛 3.2-5 tan 𝛷 = 𝜔 2 1−( ) 𝜔𝑛 Y presentando gráficamente como en la Fig. 3.2-1. La solución completa está dada por 2𝜁 ( IV. BALANCEO DE ROTORES En la Sec. 3.2 el sistema fue idealizado como una unidad resorte masa-amortiguador, con un desbalance rotatorio que 4 actúa en un plano. Es más probable que el desbalance de un rotor esté distribuido en varios planos. Queremos distinguir entre dos tipos de desbalance rotatorio y mostrar cómo pueden corregirse. Desbalance estático. Cuando las masas no balanceadas yacen en un plano singular, como en el caso de un rotor de disco delgado, el desbalance resultante es una fuerza radial. Como se muestra en la Fig. 3.3-1, tal desbalance puede detectarse por medio de una prueba estática en la cual el conjunto eje-rueda es colocado sobre un par de rieles horizontales. La rueda rodará hasta una posición en donde el punto pesado estará directamente debajo del eje, Como tal desbalance puede detectarse sin necesidad de hacer girar la rueda, se le llama desbalance estático. V. CABECEO DE EJES ROTATORIOS Los ejes rotatorios tienden a arquearse a ciertas velocidades y cabecear de una manera complicada. Whirling es la rotación del plano formado por el eje flexionado y la línea de centros de los cojinetes. El fenómeno es el resultado de varias causas como desbalance de masa, amortiguamiento de histéresis en el eje, fuerzas giroscópicas, fricción fluida en los cojinetes, etc. El “cabeceo” del eje puede tener lugar en la misma dirección de rotación del eje o, en dirección contraria y la velocidad de cabeceo puede ser o no, igual a la velocidad de rotación. Consideremos aquí un disco singular de masa m simétricamente localizada en el eje soportado por dos cojinetes como los mostrados en la Fig. 3.4-1. El centro de masa G del disco está a una distancia 𝑒 (excentricidad) del centro geométrico S del disco. La línea central de los cojinetes intersecta el plano del disco en O y el centro del árbol es reflectado en 𝑟 = 𝑂𝑆. Supondremos siempre que el eje (es decir, la línea 𝑒 = 𝑆𝐺) está rotando a velocidad constante 𝜔. Para la ecuación de movimiento, podemos desarrollar la aceleración del centro de masa como: 𝘢𝐺 = 𝘢𝑆 + 𝘢𝐺/𝑆 (3.4-1) Desbalance dinámico. Cuando el desbalance aparece en más de un plano, la resultante es una fuerza y un momento de balanceo que constituyen el llamado desbalance dinámico. Como se describió previamente, una prueba puede detectar la fuerza resultante, pero el momento de balanceo no puede detectarse sin hacer girar el motor. Por ejemplo, consideremos un eje con dos discos como en la Fig. 3.3-2. Si las dos masas no balanceadas son iguales y están a 180ª, el rotor estará estáticamente balanceado con respecto al eje del árbol. Sin embargo, cuando el rotor está girando, cada disco no balanceado establecerá una fuerza centrífuga rotante que tiende a mecer el árbol en sus cojinetes. En donde 𝖺, es la aceleración de S y 𝘢𝐺/𝑠 es la aceleración de G con respecto a S. El último término está dirigido de G a S puesto que 𝜔 es constante. Descomponiendo 𝘢𝐺 en las direcciones radial y tangencial, tenemos En general, un rotor tal como una armadura de motor o el cigüeñal de un motor de automóvil, puede considerarse como una serie de discos delgados, cada uno, con algún desbalance. Tales rotores deben ser ensayados rotando para poder detectar el desbalance. Las máquinas de balanceo. Esencialmente la máquina de balanceo consta de cojinetes portantes montados sobre resortes a fin de detectar las fuerzas no balanceadas por su movimiento, como muestra la Fig. 3.3-3. Conociendo la amplit5ud de cada cojinete y su fase relativa, es posible determinar el desbalance y corregirlo. Aparte de la fuerza restauradora del eje, supondremos una fuerza de amortiguamiento viscoso en S. Las ecuaciones de movimiento en las direcciones radial y tangencial se convierten en −𝑘𝑟 − 𝑐𝑟̇ = 𝑚[𝑟̈ − 𝑟𝜃̇ 2 − 𝑒𝜔2 cos(𝜔𝑡 − 𝜃)] −𝑐𝑟 = 𝑚 [𝑟𝜃̈ + 2𝑟̇ 𝜃̇ − 𝑒𝜔2 sin(𝜔𝑡 − 𝜃)] Lo que puede ordenarse como 𝘢𝐺 = [(𝑟̈ − 𝑟∅̇2 ) − 𝑒𝜔2 cos(𝜔𝑡 − 𝜃)]𝒊 + [(𝑟𝜃̈ + 2𝑟̇ 𝜃̈ ) − 𝑒𝜔2 sin(𝜔𝑡 − 𝜃)]𝒋 (3.4-2) 𝑟̈ + 𝑐 𝑘 𝑟̇ + ( − 𝜃̇ 2 ) 𝑟 = 𝑒𝜔2 cos(𝜔𝑡 − 𝜃) 𝑚 𝑚 3.4-3 3.4-4 5 𝑐 𝑟 + 2𝑟̇ ) 𝜃̇ = 𝑒𝜔2 sin(𝜔𝑡 − 𝜃) 𝑚 El caso general de cabeceo descrito en las ecuaciones de arriba, viene bajo la clasificación de movimiento de excitación propia en donde las fuerzas que producen el movimiento estás controladas por el movimiento mismo. Algunos aspectos de este movimiento serán tratados en la Sec. 5.8; este sección consideraremos solamente el caso más simple de cabeceo estacionario sincrónico en donde 𝜃̇ = 𝜔 𝑦 𝜃̈ = 𝑟̈ = 𝑟̇ = 0. 𝑟𝜃̈ + ( Cabeceo sincrónico. Para el cabeceo sincrónico, la velocidad de cabeceo 𝜃 es igual a la velocidad de rotación 𝜔, que hemos supuesto constante. Así tenemos 𝜃̇ = 𝜔 e integrando obtenemos 𝜃 = 𝜔𝑡 − 𝜑 en donde 𝜑 es el ángulo de fase entre 𝑒 y 𝑟 que es ahora una constante como se muestra en la Fig. 3.4-1. Con 𝜃̈ = 𝑟̇ = 𝑟̇ = 0, las ecuaciones (3.4-3) y (3.4-4) se reducen a 𝑘 ( − 𝜔2 ) 𝑟 = 𝑒𝜔2 cos 𝜑 𝑚 𝑐 (3.4-5) 𝜔𝑟 = 𝑒𝜔2 sin 𝜑 𝑚 Dividiendo obtenemos la ecuación para el ángulo de fase 𝜔 𝜔𝑛 (3.4-6) tan 𝜑 = = 𝑘 𝜔 2 ( − 𝜔2) 1 − ( ) 𝑚 𝜔𝑛 en donde 𝜔𝑛 = √𝑘⁄𝑚 es la velocidad crítica y 𝜁 = 𝑐 ⁄𝑐𝑐𝑟 . Observando el triángulo vectorial de la Fig. 3.4-1, tenemos 𝑘 − 𝜔2 𝑚 cos 𝜑 = 2 2 √( 𝑘 − 𝜔 2 ) + ( 𝑐 𝜔) 𝑚 𝑚 y sustituyendo en la primera de las Ecs. (3.4-5) la ecuación de la amplitud será 𝜔 2 𝑒( ) 𝑚𝑒𝜔2 𝜔𝑛 𝑟= = √(𝑘 − 𝑚𝜔 2 )2 + (𝑐𝜔)2 2 2 2 √[1 − ( 𝜔 ) ] + [2𝜁 𝜔 ] 𝜔𝑛 𝜔𝑛 (3.4-7) 𝑐 𝜔 𝑚 2𝜁 La Fig. 3.4-3 muestra el sistema disco-eje bajo tres condiciones diferentes de velocidad. A velocidades muy altas 𝜔 ≫ 𝜔𝑛 , el centro de masa G tiende hacia el punto fijo O y el centro del árbol S rota alrededor de él en un círculo de radio 𝑒. Debe notarse que las ecuaciones para el cabeceo estacionario sincrónico son idénticas a las de la Sec. 3.2, lo que no debe sorprendernos puesto que en ambos casos la fuerza excitatriz está rotando y es igual a 𝑚𝑒𝜔2 . Las curvas de respuesta de la Fig. 3.3-2 son, por tanto, aplicables a esta sección. EJEMPLO 3.4-1 Las turbinas que operan por encima de la velocidad crítica deben pasar por la peligrosa velocidad de resonancia cada vez que arrancan o se detienen. Suponiendo que la velocidad crítica 𝜔𝑛 es alcanzada con amplitud 𝑟0 , determine la ecuación para el incremento de amplitud con el tiempo. Suponga amortiguamiento nulo. Solución: Supondremos cabeceo sincrónico como antes, lo que hace 𝜃̇ = 𝜔 = 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 y 𝜃̈ = 0. Sin embargo, 𝑟̈ y 𝑟̇ deben ser retenidos a menos que se muestre que son nulos. Con 𝑐 = 0 para el caso no amortiguado, las ecuaciones generales de movimiento se reducen a 𝑘 𝑟̈ + ( − 𝜔2 ) 𝑟 = 𝑒𝜔2 cos 𝜑 𝑚 (a) 2𝑟̇ 𝜔 = 𝑒𝜔2 = 𝑒𝜔2 cos 𝜑 La solución de la segunda ecuación, con deflexión inicial igual a 𝑟0 es 𝑟= 𝑒𝜔 2 𝑡 sin 𝜑 + 𝑟0 (b) Estas ecuaciones indican que la línea de excentricidad 𝑒 = 𝑆𝐺 precede a la línea de desplazamiento 𝑟 = 𝑂𝑆 en el ángulo de fase 𝜑 que dependerá del amortiguamiento y de la razón de velocidades 𝜔⁄𝜔𝑛 . Cuando la velocidad de rotación coincide con la velocidad crítica 𝜔𝑛 = √𝑘⁄𝑚 o sea con la frecuencia natural del eje en vibración lateral, se llega a una condición de resonancia en que la amplitud es restringid solamente por el amortiguamiento. 𝑐 𝜔 𝑚 Fig. 3.4-4. Relación de amplitud y fase del cabeceo sincrónico con amortiguación viscosa. 𝜑 6 Diferenciando esta ecuación dos veces encontramos que 𝑟̈ = 0; así que la primera ecuación con la solución de arriba para r se convierte en 𝑘 𝑒𝜔 ( − 𝜔2 ) ( 𝑡 sin 𝜑 + 𝑟0 ) = 𝑒𝜔2 cos 𝜑 𝑚 2 𝐹0 𝑘 𝑋= 2 2 2 √[1 − 𝑚𝜔 ] + [𝑐𝜔 ] 𝑘 𝑘 la amplitud X es reducida debido al mayor valor de k. (c) Como el lado derecho de esta ecuación es constante, se satisface solamente si el coeficiente de t es cero 𝑘 ( − 𝜔2 ) sin 𝜑 = 0 𝑚 (d) que nos deja con: EJEMPLO 3.6-1 Una máquina de 100 Kg de masa está soportada por resortes con rigidez total de 700 KN/m y tiene un elemento rotatorio no balanceado que se traduce en una fuerza perturbadora de 350 N a una velocidad de 3. 000 rpm. Suponiendo un factor de movimiento debida al desbalance, (b) la transmisibilidad y (c) la fuerza transmitida. 𝑘 (e) ( − 𝜔2 ) 𝑟0 = 𝑒𝜔2 cos 𝜑 𝑚 Con 𝜔 = √𝑘⁄𝑚 se satisface la primera ecuación pero, la segunda ecuación se satisface sólo si cos 𝜑 = 0 o 𝜑 = 𝜋⁄2. Solución: La deflexión estática del sistema es Así hemos mostrado que 𝜔 = √𝑘⁄𝑚,o en resonancia, el ángulo de fase es 𝜋⁄2 como antes para el caso amortiguado y, la amplitud se incrementa linealmente, de acuerdo con la ecuación mostrada en la Fig. 3.4-4. y su frecuencia natural es 100 𝑥 9,81 = 1,401 𝑥 10−3 𝑚 = 1,401 𝑚𝑚 700 𝑥 103 𝑓𝑛 = (a) Sustituyendo en la Ec. (3.1.5), la amplitud de vibración es 350 ( ) 700 𝑥 103 𝑋= VI. AISLAMIENTO VIBRATORIO Las fuerzas vibratorias generadas por máquinas y motores son a menudo inevitables; sin embargo, su efecto en un sistema dinámico puede reducirse sustancialmente mediante resortes diseñados apropiadamente, llamados aisladores. En la Fig. 3.6-1 sea 𝐹0 sin 𝜔𝑡 la fuerza excitatriz que actúa sobre el sistema con un grado de libertad. La fuerza transmitida a través de los resortes y del amortiguados es 𝑐𝜔 2 2 2 2 √[1 − ( 50 ) ] + [2𝑥0,20 𝑥 50 ] 13,32 13,32 = 3,79 𝑥 10−5 𝑚 = 0,0379 𝑚𝑚 (b) La transmisibilidad de la Ec. (3.6-2) es (3.6-1) 𝐹𝑇 = √(𝑘𝑋)2 + (𝑐𝜔𝑋)2 = 𝑘𝑋√1 + ( ) 𝑘 √1 + (2 𝑥 0,20 𝑥 Como la amplitud X desarrollada bajo la fuerza 𝐹0 sin 𝜔𝑡 está dada por la Ec. (3.1-5), la ecuación de arriba se reduce a: 𝐹𝑇 = 𝐹0 √1 + (𝑐𝜔 ) 𝑘 2 𝑚𝜔 2 2 𝑐𝜔 2 √[1 − ] +[ ] 𝑘 𝑘 1 9,81 √ = 13,32 𝐻𝑧 2𝜋 1,401 𝑥 10−3 √1 + (2𝜁 = 𝑇𝑅 = = 0,137 2 2 √[1 − ( 50 ) ] + [2 𝑥 0.20 𝑥 50 ] 13,32 13,32 𝜔 2 ) 𝜔𝑛 2 2 2 √[1 − ( 𝜔 ) ] + [2𝜁 𝜔 ] 𝜔𝑛 𝜔𝑛 2 50 2 ) 13,32 𝐹𝑇𝑅 (c) La fuerza transmitida es la fuerza perturbadora por la transmisibilidad. = 350 𝑥 0,137 = 47,87 𝑁 (3.6-2) Es deseable algún amortiguamiento cuando es necesario que 𝜔 pase por la región de resonancia aunque, las grandes amplitudes de resonancia pueden ser limitadas por detenciones. Es posible reducir la amplitud de vibración apoyando la máquina sobre una gran masa M como se muestra en la Fig. 3.6-1. Para mantener la transmisibilidad 𝐹𝑇 ⁄𝐹0 igual, k debe ser incrementada en la misma razón de manera que 𝑚 + 𝑀⁄ permanece igual. Sin embargo, como 𝑘 VII. INSTRUMENTOS MEDIDORES DE VIBRACIONES El elemento básico de muchos instrumentos medidores de vibraciones, es la unidad sísmica de la Fig. 3.12-1. Dependiendo del rango de frecuencia utilizado, desplazamiento, velocidad o aceleración están indicados por el movimiento relativo de la masa suspendida, con respecto a la caja. 7 El movimiento relativo z es usualmente convertido en un voltaje eléctrico haciendo que la masa sísmica sea un magneto que se mueve relativamente a bobinas fijas a la caja, como se muestra en la Fig. 3.12-3. Como el voltaje generado es proporcional a la rata de corte del campo magnético, la salida del instrumento será proporcional a la velocidad del cuerpo vibrante. Tales instrumentos se llaman velocímetros. Un instrumento típico de esta clase puede tener una frecuencia natural de 1 a 5 Hz y, un rango útil de frecuencia de 10 a 2.000 Hz. Fig. 3.12-1. Para determinar el comportamiento de tales instrumentos consideremos la ecuación de movimiento de m que es 𝑚𝑥̈ = −𝑐 (𝑥̇ − 𝑦̇ ) − 𝑘(𝑥 − 𝑦) (3.12-1) en donde y e x son los desplazamientos de la masa sísmica y del cuerpo vibrante, respectivamente, ambos medidos con respecto a una referencia inercial. Llamando al desplazamiento relativo de la masa m y la carga unida al cuerpo vibrante 𝑧 = (𝑥 − 𝑦) (3.12-2) y suponiendo un movimiento sinusoidal 𝑦 = 𝑌 sin 𝜔𝑡 del cuerpo vibrante, obtenemos la ecuación 𝑚𝑧̈ + 𝑐𝑧̇ + 𝑘𝑧 = 𝑚𝜔2 𝑌 sin 𝜔𝑡 (3.12-3) Sismómetro- Instrumento de baja frecuencia natural. Cuando la frecuencia natural 𝜔𝑛 del instrumento es baja con respecto a la frecuencia de vibración 𝜔 que se va a medir, la razón 𝜔⁄𝜔𝑛 es un número grande y, el desplazamiento relativo Z se aproxima a Y, sin importar el valor del amortiguamiento, como se indica en la Fig. 3.12-2. La masa m permanece entonces estacionaria mientras que la carga portante se mueve con el cuerpo vibrante. Tales instrumentos se denominan sismómetros. FIG. 3.12-3. La sensibilidad de tales instrumentos puede estar en el rango de 20 mV por cm/seg a 350 mV por cm/seg con el desplazamiento máximo limitado a cerca de 0,5 cm, pico a pico. Tanto el desplazamiento como la aceleración están disponibles con el transductor tipo velocidad, por medio de un integrador o diferenciador disponible en la mayoría de las unidades condicionadoras de señales. Acelerómetro- Instrumento de alta frecuencia natural. Cuando la frecuencia natural del instrumento es alta comparada con la de la vibración que se va a medir, el instrumento indica aceleración. Un examen de la Ec. (3.12-4) muestra que el factor 2 𝜔 2 𝜔 2 ) ] + [2𝜁 ] 𝜔𝑛 𝜔𝑛 tiende a uno para 𝜔⁄𝜔𝑛 = 0 , de modo que √[1 − ( (𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛) 𝜔2 𝑌 (3.12-6) = 2 𝜔𝑛 𝜔𝑛 2 Así que z se vuelve proporcional a la aceleración del movimiento que se va a medir, con un factor 1⁄𝜔𝑛 2 . El rango útil del acelerómetro 𝑍= Fig. 3.12-2. Respuesta de un instrumento medidor de vibraciones. Una de las desventajas del sismómetro es un gran tamaño. Como 𝑍 = 𝑌, el movimiento relativo de la masa sísmica debe ser del mismo orden de magnitud que se va a medir. 8 Fig. 3.12-5. Error de aceleración versus frecuencias con ζ como parámetro. puede verse en la fig.3.12-5 que es un gráfico ampliado de 1 2 2 2 √[1 − ( 𝜔 ) ] + [2𝜁 𝜔 ] 𝜔𝑛 𝜔𝑛 Para varios valores del amortiguamiento ζ. El gráfico muestra que el rango de frecuencia útil del acelerómetro no amortiguado está limitado. Sin embargo, con 𝜁 = 0.7, el rango de frecuencia útil es 0 ≤𝜔⁄𝜔𝑛 ≤ 0.20 con un error máximo del 0.01 por cierto. Distorsión de fase. Para reproducir un onda compleja tal como la mostrada en la Fig. 3.12-7, sin cambiar su forma, la fase de todas las componentes armónicas. Debe permanecer invariable con respecto a la fundamental. Esto requiere que el ángulo de fase sea cero o que todas las componentes armónicas deben ser desplazadas igualmente. El primer caso de cero desplazamiento de fase, corresponde a 𝜁 = 0 para 𝜔⁄𝜔𝑛 =1. El segundo caso, de igual desplazamiento en el tiempo, de todos los armónicos es casi satisfecho para 𝜁 = 0,70 y 𝜔⁄𝜔𝑛 < 1. Como se muestra en la Fig. 3.12-2.
