Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 1 ÍNDICE CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN............................................................................... 9 1.1.- Antecedentes ............................................................................................................................. 9 1.2.- Objetivos .................................................................................................................................. 11 1.3.- Método seguido ...................................................................................................................... 12 CAPÍTULO 2. ESTADO DEL CONOCIMIENTO EN EL CÁLCULO DE DEPÓSITOS DE AGUA .................................................................. 16 2.1.- Introducción............................................................................................................................. 16 2.2.- Elementos de cálculo y diseño preliminares .................................................................. 18 2.2.1.- Exposición ambiental y recubrimiento ......................................................... 18 2.2.1.1.- Exposición ambiental ........................................................................... 18 2.2.1.2.- Recubrimiento ...................................................................................... 19 2.2.2.- Clase de hormigón y armaduras ................................................................... 19 2.2.2.1.- Clase de hormigón................................................................................ 19 2.2.2.2.- Clase de armaduras............................................................................... 20 2.2.3.- Acciones a considerar en el cálculo de la pared ........................................... 21 2.2.3.1.- Depósitos de hormigón armado ........................................................... 23 2.2.3.2.- Depósitos de hormigón pretensado ...................................................... 24 2.2.4.- Preliminares al cálculo de la solera .............................................................. 25 2.2.5.- Acciones a considerar en el cálculo de la solera .......................................... 26 2.2.6.- Estado Límite de Servicio de fisuración....................................................... 28 2.2.6.1.- Cálculo de la abertura característica de fisura wk ................................ 29 2.2.6.2.- Evaluación de la abertura máxima de fisura permitida wmáx ............... 31 Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 2 2.2.6.2.1.- Abertura máxima de fisura permitida wmáx en la pared de depósitos de hormigón armado..................................................... 32 2.2.6.2.2.- Abertura máxima de fisura permitida wmáx en la pared de depósitos de hormigón pretensado ................................................ 32 2.2.6.2.3.- Abertura máxima de fisura permitida wmáx en la solera de depósitos ....................................................................................... 33 2.2.6.3.- Particularidades del Estado Límite de Servicio de Fisuración en los depósitos ............................................................................................... 33 2.2.7.- Armaduras mínimas en depósitos................................................................. 34 2.2.8.- Elementos de diseño en depósitos de agua................................................... 36 2.2.8.1.- Diseño de las paredes ........................................................................... 36 2.2.8.2.- Diseño de la solera ............................................................................... 36 2.2.8.3.- Diseño de la cubierta ............................................................................ 38 2.2.8.4.- Otros elementos de diseño ................................................................... 39 2.3.- Depósitos rectangulares de hormigón armado .............................................................. 40 2.3.1.- Cálculo de la pared en Estado Límite Último de flexión ............................. 40 2.3.1.1.- Determinación del momento flector..................................................... 40 2.3.1.2.- Cálculo de la armadura de flexión........................................................ 41 2.3.2.- Cálculo de la pared en Estado Límite Último de esfuerzo cortante ............. 42 2.3.3.- Cálculo de la pared en Estado Límite Último de tracción simple ................ 42 2.3.4.- Comprobación de la pared en Estado Límite de fisuración.......................... 43 2.3.5.- Disposición de las armaduras en la pared del depósito ................................ 45 2.3.5.1.- Armadura de la pared en la posición vertical interior .......................... 45 2.3.5.2.- Armadura de la pared en la posición vertical exterior ......................... 45 2.3.5.3.- Armadura de la pared en la posición horizontal interior...................... 45 2.3.5.4.- Armadura de la pared en la posición horizontal exterior ..................... 46 2.3.5.5.- Armadura de cortante ........................................................................... 46 2.4.- Depósitos cilíndricos de hormigón armado .................................................................... 53 2.4.1.- Campo de desplazamientos y esfuerzos en la pared..................................... 53 2.4.2.- Cálculo de la pared en Estado Límite Último de flexión ............................. 56 2.4.2.1.-Determinación del momento flector...................................................... 57 2.4.2.2.- Cálculo de la armadura de flexión........................................................ 58 2.4.3.- Cálculo de la pared en Estado Límite Último de esfuerzo cortante ............. 59 Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 3 2.4.3.1.- Determinación del esfuerzo cortante.................................................... 59 2.4.3.2.- Cálculo de la armadura de cortante:..................................................... 60 2.4.4.- Cálculo de la pared en Estado Límite Último de tracción simple ................ 60 2.4.5.- Comprobación de la pared en Estado Límite de Servicio de fisuración....... 61 2.4.6.- Disposición de las armaduras en la pared del depósito ................................ 61 2.4.6.1.- Armadura de la pared en la posición vertical interior .......................... 61 2.4.6.2.- Armadura de la pared en la posición vertical exterior ......................... 62 2.4.6.3.- Armadura de la pared en la posición horizontal interior...................... 62 2.4.6.4.- Armadura de la pared en la posición horizontal exterior ..................... 63 2.4.6.5.- Armadura de cortante ........................................................................... 63 2.5.- Depósitos cilíndricos pretensados ..................................................................................... 64 2.5.1.- Unión pared-solera ....................................................................................... 64 2.5.1.1.- Unión monolítica.................................................................................. 64 2.5.1.2.- Unión articulada flexible...................................................................... 65 2.5.1.3.- Unión articulada fija............................................................................. 66 2.5.2.- Función óptima de pretensado...................................................................... 67 2.5.2.1.- Definición de la Función Hidrostática de Pretensado (FHP) ............... 68 2.5.2.2.- Definición de la Función Uniforme de Pretensado (FUP) ................... 69 2.5.3.- Eficacia del pretensado................................................................................. 71 2.5.4.- Pérdidas del pretensado ................................................................................ 73 2.5.4.1.- Pérdidas instantáneas............................................................................ 73 2.5.4.1.1.- Pérdidas de fuerza por rozamiento ................................................ 73 2.5.4.1.2.- Pérdidas por penetración de cuñas ................................................ 74 2.5.4.1.3.- Pérdidas por acortamiento elástico del hormigón..........................67 2.5.4.2.- Pérdidas diferidas ................................................................................. 75 2.5.5.- Optimización de la secuencia de tesado ....................................................... 77 2.5.6.- Optimización del número de contrafuertes................................................... 77 2.5.7.- Posición de los tendones de pretensado........................................................ 78 2.5.8.- Comprobación de la pared en Estado Límite de Servicio (armadura activa horizontal) .................................................................................................... 79 2.5.9.- Cálculo de la pared en Estado Límite Último de flexión (armadura pasiva vertical) ........................................................................................................ 80 2.5.9.1.- Determinación del momento flector..................................................... 80 Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 4 2.5.9.2.- Cálculo de la armadura de flexión........................................................ 81 2.5.10.- Cálculo de la pared en Estado Límite Último de esfuerzo cortante ........... 82 2.5.10.1.- Determinación del esfuerzo cortante.................................................. 82 2.5.10.2.- Cálculo de la armadura de cortante .................................................... 83 2.5.11.- Comprobación de la pared en Estado Límite de Servicio de fisuración..... 83 2.5.12.- Disposición de las armaduras en la pared del depósito .............................. 84 2.5.12.1.- Armadura activa de la pared en la posición horizontal ...................... 84 2.5.12.2.- Armadura pasiva de la pared en la posición vertical interior............. 84 2.5.12.3.- Armadura pasiva de la pared en la posición vertical exterior ............ 85 2.5.12.4.- Armadura pasiva de la pared en la posición horizontal ..................... 85 2.5.12.5.- Armadura de cortante ......................................................................... 85 2.5.13.- Análisis de la interacción pared-solera-terreno en uniones monolíticas .... 86 2.5.14.- Cálculo del campo de desplazamientos y esfuerzos en la pared en uniones monolíticas con análisis de interacción pared-solera-terreno: ................... 88 2.6.- Análisis de la solera .............................................................................................................. 90 2.6.1.- Cálculo de la solera en estado Límite Último de flexión ............................. 90 2.6.1.1.- Determinación del momento flector..................................................... 90 2.6.1.2.- Cálculo de la armadura de flexión........................................................ 92 2.6.2.- Cálculo de la solera en estado Límite Último de esfuerzo cortante ............. 92 2.6.3.- Cálculo de la solera en Estado Límite Último de tracción simple................ 92 2.6.4.- Comprobación de la solera en Estado Límite de Servicio de fisuración ...... 93 2.6.5.- Disposición de las armaduras en la solera del depósito................................ 93 2.6.5.1.- Soleras rectangulares............................................................................ 93 2.6.5.1.1.- Armadura de la solera en la cara superior ..................................... 93 2.6.5.1.2.- Armadura de la solera en la cara inferior.......................................95 2.6.5.1.3.- Armadura de cortante .................................................................... 94 2.6.5.2.- Soleras circulares ................................................................................. 95 2.6.5.2.1.- Armadura radial de la solera en la cara superior........................... 95 2.6.5.2.2.- Armadura radial de la solera en la cara inferior ............................ 95 2.6.5.2.3.- Armadura circunferencial de la solera en la cara superior............97 2.6.5.2.4.- Armadura circunferencial de la solera en la cara inferior ............. 96 2.6.5.2.5.- Armadura de cortante .................................................................... 96 Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 5 CAPÍTUL0 3. HERRAMIENTAS PARA FACILITAR EL CÁLCULO DE DEPÓSITOS CILÍNDRICOS ......................................................... 97 3.1.- Introducción............................................................................................................................. 97 3.2.- Pared solicitada por el empuje hidrostático.................................................................... 98 3.2.1.- Unión monolítica .......................................................................................... 99 3.2.2.- Unión articulada flexible .............................................................................. 99 3.2.3.- Unión articulada fija ................................................................................... 101 3.3.- Pared solicitada por empuje de tierras con Ht = H ..................................................... 103 3.3.1.- Unión monolítica ........................................................................................ 103 3.3.2.- Unión articulada flexible ............................................................................ 104 3.3.3.- Unión articulada fija ................................................................................... 105 3.4.- Pared solicitada por empuje de tierras con Ht < H ..................................................... 107 3.4.1.- Unión monolítica ........................................................................................ 107 3.4.2.- Unión articulada flexible ............................................................................ 109 3.4.3.- Unión articulada fija ................................................................................... 110 3.5.- Pared solicitada por el pretensado................................................................................... 113 3.5.1.- Unión monolítica ........................................................................................ 113 3.5.2.- Unión articulada flexible ............................................................................ 115 3.5.3.- Unión articulada fija ................................................................................... 116 CAPÍTULO 4. EJEMPLOS DE CÁLCULO DE DEPÓSITOS ............................ 119 4.1.- Introducción........................................................................................................................... 119 4.2.- Ejemplo de cálculo de la pared de un depósito rectangular de hormigón armado .................................................................................................................................... 120 4.2.1.- Enunciado ................................................................................................... 120 4.2.2.- Datos preliminares...................................................................................... 121 4.2.3.- Acciones a considerar en el cálculo de la pared ......................................... 122 4.2.4.- Armaduras mínimas en las paredes ............................................................ 122 4.2.5.- Cálculo de la pared en Estado Límite Último de flexión ........................... 122 4.2.6.- Cálculo de la pared en Estado Límite Último de esfuerzo cortante ........... 126 4.2.7.- Cálculo de la pared en Estado Límite Último de tracción simple .............. 127 Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 6 4.2.8.- Comprobación de la pared en Estado Límite de fisuración........................ 127 4.2.9.- Disposición de armaduras en la pared del depósito.................................... 131 4.3.- Ejemplo de cálculo de la pared de un depósito cilíndrico de hormigón armado.............................................................................................................. 133 4.3.1.- Enunciado ................................................................................................... 133 4.3.2.- Datos preliminares...................................................................................... 134 4.3.3.- Características mecánicas ........................................................................... 135 4.3.4.- Acciones a considerar en el cálculo de la pared ......................................... 135 4.3.5.- Armaduras mínimas en las paredes ............................................................ 135 4.3.6.- Cálculo de la pared en Estado Límite Último de flexión ........................... 135 4.3.7.- Cálculo de la pared en Estado Límite Último de esfuerzo cortante ........... 138 4.3.8.- Cálculo de la pared en Estado Límite Último de tracción simple .............. 139 4.3.9.- Comprobación de la pared en Estado Límite de fisuración........................ 140 4.3.10.- Disposición de las armaduras en la pared del depósito ............................ 141 4.4.- Ejemplo de cálculo de la pared de un depósito cilíndrico de hormigón pretensado ............................................................................................................................. 143 4.4.1.- Enunciado ................................................................................................... 143 4.4.2.- Datos preliminares...................................................................................... 144 4.4.3.- Características mecánicas ........................................................................... 145 4.4.4.- Acciones a considerar en el cálculo de la pared ......................................... 145 4.4.5.- Armaduras mínimas en las paredes ............................................................ 146 4.4.6.- Cálculo de la armadura activa de la pared en la posición horizontal ......... 146 4.4.7.- Pérdidas del pretensado .............................................................................. 147 4.4.8.- Posición en altura de los tendones de pretensado....................................... 149 4.4.9.- Cálculo de los coeficientes reductores en la interacción pared-solera-terreno ................................................................................... 150 4.4.10.- Cálculo del campo de esfuerzos en la pared............................................. 152 4.4.11.- Comprobación de los axiles anulares ....................................................... 154 4.4.12.- Secuencia de tesado .................................................................................. 154 4.4.13.- Comprobación de la pared del depósito en Estado Límite de Servicio (armadura activa horizontal) .................................................................... 154 4.4.14.- Cálculo de la pared en Estado Límite Último de flexión (armadura pasiva vertical) ......................................................................................... 155 Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 7 4.4.15.- Cálculo de la pared en Estado Límite Último de esfuerzo cortante: ........ 157 4.4.16.- Comprobación de la pared en Estado Límite de fisuración...................... 158 4.4.17.- Disposición de las armaduras en la pared del depósito ............................ 161 4.5.- Ejemplo de cálculo de la solera de un depósito rectangular de hormigón armado .................................................................................................................................... 162 4.5.1.- Enunciado ................................................................................................... 162 4.5.2.- Datos preliminares...................................................................................... 163 4.5.3.- Acciones a considerar en el cálculo de la solera ........................................ 164 4.5.4.- Armaduras mínimas en la solera ................................................................ 164 4.5.5.- Discretización de la solera.......................................................................... 164 4.5.6.- Cálculo de la solera en Estado Límite Último de flexión........................... 166 4.5.7.- Cálculo de la solera en Estado Límite Último de esfuerzo cortante........... 168 4.5.8.- Cálculo de la solera en Estado Límite Último de tracción simple.............. 169 4.5.9.- Comprobación de la solera en Estado Límite de fisuración ....................... 169 4.5.10.- Disposición de las armaduras en la solera del depósito............................ 171 CAPÍTULO 5. ELECCIÓN ÓPTIMA DE UN DEPÓSITO DE AGUA ............... 172 5.1.- Introducción........................................................................................................................... 172 5.2.- Precios de mercado adoptados ......................................................................................... 175 5.3.- Análisis de paredes y solera en la muestra de depósitos .......................................... 178 5.3.1.- Depósitos rectangulares de hormigón armado............................................ 178 5.3.2.- Depósitos cilíndricos de hormigón armado ................................................ 180 5.3.3.- Depósitos cilíndricos pretensados con hormigón moldeado. ..................... 182 5.3.4.- Depósitos cilíndricos pretensados con hormigón proyectado .................... 183 5.3.5.- Depósitos prefabricados ............................................................................. 185 5.4.- Análisis de los pilares y zapatas interiores en la muestra de depósitos................ 185 5.4.1.- Pilares interiores ......................................................................................... 185 5.4.2.- Zapatas interiores........................................................................................ 186 5.5.- Análisis de la cubierta en la muestra de depósitos ..................................................... 186 5.5.1.- Placas de cubierta ....................................................................................... 186 5.5.2.- Vigas principales de cubierta...................................................................... 187 5.6.- Resumen de la muestra de depósitos analizados ........................................................ 187 Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 8 5.7.- Relaciones D/Hω óptimas en depósitos cilíndricos .................................................... 196 5.8.- Estudio del número de contrafuertes óptimo ............................................................... 197 5.9.- Estudio del campo de validez para las fórmulas simplificadas en depósitos cilíndricos .............................................................................................................................. 197 CAPÍTULO 6. CONCLUSIONES ............................................................................ 199 6.1.- Introducción........................................................................................................................... 199 6.2.- Conclusiones relativas al cálculo .................................................................................... 200 6.3.- Conclusiones relativas a la elección óptima de un depósito de agua.................... 203 6.4.- Conclusiones específicas...................................................................................208 6.4.1.- Relaciones D/Hω óptimas en depósitos cilíndricos......................................208 6.4.2.- Estudio del número de contrafuertes óptimo...............................................209 6.4.3.- Estudio del campo de validez para las fórmulas simplificadas en depósitos cilíndricos.....................................................................................209 CAPÍTULO 7. BIBLIOGRAFÍA .............................................................................. 210 Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 9 CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN 1.1.- ANTECEDENTES Los depósitos de agua son unas estructuras habituales en nuestra geografía, debido a su misión reguladora de caudal y de presión en las redes de abastecimiento de agua a poblaciones y regadíos. En cuanto a su forma geométrica distinguiremos los depósitos rectangulares y los cilíndricos. En el caso rectangular, su comportamiento estructural es predominantemente de flexión vertical. Por su parte, en el caso cilíndrico, la estructura es más flexible, al tener un comportamiento combinado según dos direcciones y con la posibilidad de pretensar la pared del depósito según la dirección circunferencial. Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 10 En cuanto al proceso constructivo podemos distinguir entre los depósitos armados y los pretensados. Y dentro de los pretensados, los de hormigón moldeado in situ y los de hormigón proyectado. Por otra parte, también existen los depósitos prefabricados. Pueden existir innumerables combinaciones entre todos los tipos mencionados, pero en nuestra latitud, lo más habitual, es tener: - Depósitos rectangulares de hormigón armado moldeado. - Depósitos cilíndricos de hormigón armado moldeado. - Depósitos cilíndricos de hormigón pretensado moldeado. - Depósitos cilíndricos de hormigón pretensado proyectado. - Depósitos rectangulares prefabricados de hormigón armado. - Depósitos circulares prefabricados de hormigón pretensado. Los depósitos podrán tener cubierta (abastecimiento de agua) o no tenerla (regadío y depuración). En caso de tenerla, es habitual en nuestro país que esta sea plana y que el contacto de la cubierta con la pared sea mediante un apoyo flexible, de manera que se independizan los movimientos de ambos elementos estructurales en el punto de unión. Por otro lado, para la unión entre la pared y la solera existe una mayor variedad de soluciones, que se distinguen por la capacidad de movimientos (desplazamiento radial y giro meridional) de la primera con respecto a la segunda. Estas soluciones son: - Unión monolítica, en la que la que el movimiento radial y el giro meridional del pie de la pared son iguales a los del perímetro de la solera. De uso habitual en depósitos rectangulares y cilíndricos de hormigón armado y también cilíndricos pretensados de volumen inferior a 10.000 m3. - Unión articulada flexible, definida con apoyos de neopreno, y que permite un movimiento relativo del pie de la pared con respecto a la solera. De uso habitual y muy aconsejado en depósitos cilíndricos pretensados de más de 10.000 m3. - Unión articulada fija, con el desplazamiento radial de la base de la pared impedido. Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 11 La revisión del estado del conocimiento refleja que el número de normas y publicaciones dedicadas a estas estructuras es muy inferior al correspondiente a otros tipos estructurales, como pueden ser los puentes y los edificios. Las normas específicas para depósitos más conocidas pertenecen a países de influencia anglosajona, como el Reino Unido, USA y Nueva Zelanda. A nivel nacional, no hay en estos momentos normas ni recomendaciones específicas para depósitos. La vigente Instrucción de Hormigón Estructural EHE (1999) tampoco contempla el caso particular de los depósitos. Este vacío normativo ha contribuido a crear una aureola de confusión y complejidad a la hora de calcular un depósito de agua. A ello se suma la particularidad de que en el cálculo de un depósito se une la metodología de cálculo en Estado Límite Último (flexión y cortante), en Estado Límite de Servicio de fisuración, que en general, será más restrictivo, y también el método clásico de emplear una tensión admisible del acero muy reducida (tracción). Por otro lado, no existe una colección amplia de depósitos que permita dar la posibilidad a una persona sin conocimientos ingenieriles a hacer la elección óptima del depósito que más se adecue a sus necesidades particulares. 1.2.- OBJETIVOS El presente trabajo se centra en el ámbito de los depósitos para almacenamiento de agua no elevados, es decir, aquellos que apoyan superficialmente sobre el terreno, o bien, aquellos que están total o parcialmente enterrados. En concreto, se han estudiado los depósitos rectangulares de hormigón armado, los cilíndricos de hormigón armado y también los cilíndricos de hormigón pretensado. Este estudio se ha dirigido hacia la consecución de dos objetivos principales, los cuales se exponen seguidamente: Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 12 i) Facilitar al técnico las herramientas necesarias para que pueda calcular un depósito de agua de manera totalmente satisfactoria, tanto en la tipología armada como pretensada, al amparo de los principales estudios y recomendaciones realizados hasta el momento, y adaptándonos a la vigente Instrucción de Hormigón Estructural EHE (1999). ii) Facilitar a la persona sin conocimientos ingenieriles las herramientas necesarias para que pueda escoger de manera sencilla y cómoda aquella tipología de depósito que más se acomode a sus necesidades particulares; que en general, será la búsqueda de la tipología más competitiva a nivel económico. 1.3.- MÉTODO SEGUIDO Para conseguir los objetivos propuestos se han desarrollado distintos trabajos, los cuales dan contenido a los diferentes capítulos de esta tesina. A continuación se describe brevemente el método seguido en cada uno de ellos. En el capítulo 2 se presenta una revisión exhaustiva del estado del conocimiento en el cálculo de depósitos de agua. Destacamos la importancia de ordenar las acciones a considerar en el cálculo de la pared de un depósito de agua, la manera de combinarlas y los coeficientes parciales de seguridad a emplear. Es básico seguir la metodología del Estado Límite Último y el Estado Límite de Servicio de fisuración que establece EHE. Conocer de una manera clara el tratamiento de los esfuerzos de flexión y cortante, combinado con la tracción y también la limitación en la abertura de las fisuras es de una enorme trascendencia. Todo ello nos lleva a plantear la mejor manera de disponer las armaduras en las paredes y solera del depósito. Uno de los elementos básicos sobre el que se edifica toda la teoría de depósitos es la Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 13 abertura máxima de fisura permitida wmáx. Desgraciadamente no hay normativa que evite la siempre peligrosa subjetividad. Pero haciendo un compendio de toda la información disponible en el estado del conocimiento hemos podido establecer los valores más idóneos que deben emplearse en cada caso. También resaltamos la peculiaridad en el tratamiento de los depósitos de hormigón armado, al buscar de manera independiente las armaduras de flexión y de tracción por caminos totalmente diferentes para al final sumarlas. Las paredes de los depósitos rectangulares de hormigón armado se tratan como placas triempotradas, en la solera y en las dos paredes laterales, y con el borde superior libre, con lo que aparecen esfuerzos en las direcciones vertical y horizontal. Por contra, las paredes de los depósitos cilíndricos van acompañadas por toda la teoría de láminas circulares cilíndricas. En cuanto a los depósitos cilíndricos de hormigón pretensado se empieza centrando al lector en un tema tan básico como es la unión pared-solera, que sin duda condiciona los esfuerzos sobre la pared. También se ha buscado ordenar de manera sencilla todos sus aspectos de cálculo y diseño más importantes, a fin de que cualquier técnico se pueda enfrentar a un depósito de hormigón pretensado sin problemas. También se han adaptado a los parámetros de la vigente Instrucción EHE, siendo especialmente meticulosos en la mejor manera de limitar tanto la fisuración vertical, de la que se ocupa la armadura activa circunferencial, como la también muy peligrosa fisuración horizontal, de la que se ocupa la armadura pasiva. Finalmente, para el cálculo de la solera de un depósito precisamos de un sencillo programa de pórticos que nos permita discretizarla en un conjunto de nudos y barras, que apoyada sobre un lecho elástico que simula el terreno se encuentra sometida a las acciones que la solicitan. En el capítulo 3 se ha realizado un enorme esfuerzo encaminado a facilitar la resolución de los sistemas de ecuaciones lineales que cubren todas las posibilidades de unión pared-solera, y necesarios para poder encontrar el campo de esfuerzos en una pared Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 14 cilíndrica. En el capítulo 4 se presentan cuatro ejemplos de aplicación de los distintos criterios empleados en el cálculo de depósitos de agua, a fin de reforzar y clarificar al máximo todo lo expuesto en los capítulos anteriores. Se calcula de manera detallada y con todos los pasos necesarios la pared de un depósito rectangular de hormigón armado, la pared de un depósito cilíndrico de hormigón armado, la pared de un depósito cilíndrico de hormigón pretensado, y finalmente la solera de un depósito rectangular. En el capítulo 5 ya se entra en la segunda parte de la tesina, que consiste en dar la posibilidad a una persona sin conocimientos ingenieriles a que pueda escoger aquel depósito que más se adecue a sus necesidades particulares. Para ello se estudia una población de 672 depósitos diferentes (la mitad con cubierta y la otra mitad sin ella), repartidos en un amplio espectro de volúmenes, desde 100 hasta 50.000 m3, y con alturas de agua muy habituales comprendidas entre los 2,0 y los 8,0 m. En la muestra no se ha incluido el estudio de los depósitos cilíndricos pretensados con hormigón proyectado y tampoco los depósitos prefabricados, por entender que su precio presenta oscilaciones en función de condicionantes de mercado de unas pocas empresas que a ello se dedican; y también porque parece más lógico que una vez se conozcan las dimensiones óptimas del depósito, se consulte el precio en las dos tipologías mencionadas y se compare con otras ofertas disponibles. En el capítulo 6 se exponen las conclusiones que se derivan de los distintos estudios desarrollados a lo largo de la tesina. Las conclusiones responden al cumplimiento de los objetivos principales que han guiado el desarrollo de la misma. Por una parte, dándole al técnico todo lo necesario para que calcule el depósito con la confianza de estar amparado por las principales normativas, recomendaciones y estudios realizados hasta el momento, con la seguridad de estar siguiendo la misma filosofía de cálculo de la vigente Instrucción de Hormigón Estructural EHE (1999) y también con la tranquilidad de estar diseñando una estructura que no tendrá problemas de funcionalidad o durabilidad con el tiempo. Y por otra parte, dándole facilidades a la persona sin conocimientos ingenieriles para que pueda escoger el depósito que más se acomode a Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 15 sus necesidades particulares. En la parte final de este capítulo se llega a conclusiones específicas, como son las relaciones D/Hω óptimas en depósitos cilíndricos, el número de contrafuertes óptimo o el campo de validez para las fórmulas simplificadas en el cálculo de la pared de un depósito cilíndrico. Por último, en el capítulo 7 se recogen las referencias más significativas consultadas a lo largo del desarrollo de este trabajo. Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 16 CAPÍTULO 2 ESTADO DEL CONOCIMIENTO EN EL CÁLCULO DE DEPÓSITOS DE AGUA 2.1.- INTRODUCCIÓN Los depósitos de agua son unas estructuras muy habituales debido al importante papel que desempeñan en temas tan trascendentales como son el abastecimiento de agua potable a las poblaciones. A pesar de ello, la revisión del estado del conocimiento refleja que el número de normas y publicaciones dedicadas a estas estructuras es muy inferior al correspondiente a otros tipos estructurales, como pueden ser los puentes y los edificios. La falta de normas y recomendaciones específicas para depósitos a nivel nacional, provoca una situación de cierta confusión para los técnicos que quieren abordar su cálculo. Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 17 En el presente capítulo se ha buscado ordenar los diferentes criterios y recomendaciones que existen en el estado del conocimiento de cálculo de depósitos, adaptandolos a la vigente Instrucción de Hormigón Estructural EHE (1999), a fin de que el técnico pueda abordar el cálculo de un depósito de manera sencilla y sin problemas. Independientemente de que este sea rectangular o cilíndrico, y de hormigón armado o pretensado. En la primera parte del capítulo se situa al depósito dentro de un contexto de exposición ambiental, recubrimiento y clase de hormigón y armaduras que preconiza la Instrucción EHE. Seguidamente se analizan las acciones que deben considerarse en el cálculo del depósito y especialmente la manera de combinarlas a fin de poder cumplir con el Estado Límite Último y también, con el en general más restrictivo, Estado Límite de Servicio de fisuración. Se exponen los criterios a emplear en un tema tan sensible como es la abertura máxima de fisura permitida en el depósito. Así como las armaduras mínimas que debemos considerar con objeto de prevenir posibles fisuraciones debidas a retracción del fraguado, variaciones de temperatura y otras acciones no contempladas en el cálculo. También se exponen diferentes criterios y recomendaciones para el diseño que conviene tener en cuenta al proyectar el depósito, ya que sin duda van a revertir en una mejor funcionalidad y durabilidad del mismo. Seguidamente se aborda el cálculo de la pared de depósitos rectangulares de hormigón armado. La manera de evaluar los esfuerzos de flexión, cortante y tracción combinados con la fisuración, para al final, poder disponer las armaduras de manera correcta. Después los depósitos cilíndricos de hormigón armado. En este caso la evaluación de los esfuerzos de la pared es más compleja, ya que nos encontramos frente una lámina circular cilíndrica, dónde la solución del campo de desplazamientos y esfuerzos lleva implicita la necesidad de encontrar el valor de cuatro constantes de integración que dependen de las condiciones de contorno. Para dar el máximo de facilidades al técnico hemos dedicado todo el tercer capítulo a plantear los sistemas de cuaciones que en cada caso han de permitir encontrar estas constantes de integración. Ahora bien, también es cierto que en muchos casos prácticos de depósitos cilíndricos de hormigón armado se dan las condiciones suficientes para poder simplificar el cálculo, cosa que también Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 18 planteamos detalladamente. Los depósitos de hormigón pretensado presentan nuevas dificultades. A la complejidad ya comentada de estar frente una lámina cilíndrica, se une la necesidad de tratar correctamente la armadura activa circunferencial, a fin de evitar a toda costa la fisuración vertical de la pared. Pero también, otro tema de enorme trascendéncia, como son los esfuerzos verticales de flexión, originados por los propios tendones de pretensado, presión hidrostática y fenomenos reológicos, que originan una fisuración horizontal que también debe tratarse correctamente. Y finalmente se explica la mejor manera de calcular la solera de un depósito, ya sea en el caso rectangular o en el caso cilíndrico; empleando unos criterios y un desarrollo totalmente análogos a los casos dedicados al estudio de las paredes. 2.2.- ELEMENTOS DE CÁLCULO Y DISEÑO PRELIMINARES 2.2.1.- Exposición ambiental y recubrimiento 2.2.1.1.- Exposición ambiental La vigente Instrucción de Hormigón Estructural EHE (1999), en su apartado 8.2. nos muestra la necesidad de identificar el tipo de ambiente que defina la agresividad a la que va a estar sometido cada elemento estructural. Para los depósitos de agua, al estar en un ambiente de grado de humedad alto y con gases de cloro, adoptaremos una clase general de exposición del tipo IV. En determinados casos, será necesario asignar también una clase específica de exposición. Así por ejemplo, en el caso de que el depósito se encuentre ubicado en zonas de alta montaña adoptaremos el tipo IV+H; y en el caso de que el líquido Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 19 contenido por el depósito sea químicamente agresivo adoptaremos el tipo IV+Q (con el subíndice a, b ó c). 2.2.1.2.- Recubrimiento El recubrimiento de hormigón es la distancia entre la superficie exterior de la armadura (incluyendo cercos) y la superficie del hormigón más cercana. En un depósito convencional de agua, dado que la clase de exposición es del tipo IV, se prescribe (según EHE) un valor nominal del recubrimiento en las armaduras pasivas de: - Elementos “in situ”: 40 mm. - Elementos prefabricados: 35 mm. En el caso de las armaduras postesas adoptaremos como recubrimiento el siguiente valor: - Mín (40 mm; diámetro de la vaina). 2.2.2.- Clase de hormigón y armaduras 2.2.2.1.- Clase de hormigón Una forma de garantizar la durabilidad del hormigón, así como su colaboración a la protección de las armaduras frente a la corrosión, consiste en obtener un hormigón con una permeabilidad reducida. Es esencial obtener in situ una compactación completa sin segregación. Para ello, la Instrucción EHE fija unos valores de calidad del hormigón, que adaptados al caso de depósitos de agua quedan expresados según la tabla 2.1. En cuanto al tipo de cemento, se recomienda utilizar cementos de bajo calor de hidratación. Proponemos el uso de CEM I para depósitos de hormigón armado y CEM II/A-D cuando el depósito sea de hormigón pretensado, con la característica adicional BC (bajo calor de hidratación) siempre que no se hormigone con tiempo frío. Se utilizaran áridos con coeficientes de expansión térmica bajos, y evitando el uso de Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 20 áridos que puedan presentar retracción. TIPO DE MÁXIMA MÍN. CONTENIDO MÍN. RESISTENCIA HORMIGÓN RELACIÓN A/C DE CEMENTO CARACTERÍSTICA H. armado 0,50 325 kg/m3 30 N/mm2 H. pretensado 0,45 325 kg/m3 35 N/mm2 Tabla 2.1.- Valores fijados por EHE adaptados al caso de depósitos de agua. 2.2.2.2.- Clase de armaduras Las armaduras pasivas a utilizar serán barras corrugadas del tipo: - B 400 S de límite elástico fyk = 400 N/mm2. - B 500 S de límite elástico fyk = 500 N/mm2. Siendo más habituales las B 500 S, por ser las más fáciles de encontrar en el mercado. En cuanto a las armaduras activas, en general se emplearan cordones de 7 alambres trenzados, existiendo en el mercado de muy diferentes tipos, tal y como se pone de manifiesto en la tabla 2.2. El conjunto de un determinado número de cordones constituye el tendón. La vaina es el conducto del tendón donde se alojan los cordones a lo largo de todo su trazado. Permite que los cordones deslicen en su interior durante el enfilado y el tesado y permite, también, su inyección con lechada de cemento u otro material. La vaina más común es la corrugada cilíndrica y metálica con espesores de pared entre 0,3 mm. y 0,4 mm. Su diámetro interior va de los 51 mm. (en el caso de tendones de 3 a 5 cordones) hasta 130 mm. (en el caso de tendones de 37 cordones). Los valores más habituales que proponen los fabricantes de armaduras activas para el Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 21 coeficiente de fricción angular µ (rad-1) y para el coeficiente de fricción parásito k (m-1) se exponen en la tabla 2.3. Por otro lado, en los tendones lubrificados el cordón de pretensado se imprime con grasa, mientras que en los llamados tendones “unbonded” es cada uno de los 7 alambres trenzados del cordón que se imprime con grasa. Finalizado el tesado de un tendón, se procede al clavado hidráulico de cuñas, que al tomar la fuerza del tendón, se introducen unos milímetros más adentro de sus alojamientos, hasta lograr un equilibrio de tensiones y deformaciones. Dicho desplazamiento se conoce como “penetración de cuña” y tiene un valor de 4 a 6 mm. CORDÓN DIÁMETRO SECCIÓN MASA fpmáxk fpk P0 s/EHE (mm) (mm2) (g/m) (N/mm2) (N/mm2) (kN) Y 1860S7 16,0 (0,6”) 150 1.170 1.860 ~ 1.674 209,3 Y 1860S7 15,2 (0,6”) 140 1.095 1.860 ~ 1.674 195,0 Y 1860S7 13,0 (0,5”) 100 781 1.860 ~ 1.674 139,5 Y 1770S7 15,7 (0,6”) 150 1.180 1.770 ~ 1.593 198,8 Tabla 2.2.- Características de los cordones de pretensado más corrientes. µ (rad-1) K (m-1) Tendones sin lubrificar 0,22 0,0025 Tendones lubrificados 0,15 0,0018 Tendón tipo “unbonded” 0,07 0,0007 TIPO DE TENDÓN Tabla 2.3.- Valores más habituales de los coeficientes µ y k para las armaduras activas 2.2.3.- Acciones a considerar en el cálculo de la pared Las acciones básicas que solicitan la pared de un depósito de agua son las siguientes: Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 22 - Empuje hidrostático. - Empuje de tierras. - Pretensado. - Acción térmica, sismo, viento y efectos diferidos (retracción, fluencia y relajación). El empuje hidrostático qh (x) actúa sobre el lado interior del muro y sobre la solera. La presión sobre la pared es triangular, con un máximo en la base de valor: qh (x=0) = γω·Hω (2.1) siendo γω el peso específico del agua y Hω la altura del agua. Yges (1991) aconseja adoptar la carga hidrostática en toda la altura del muro, suponiendo que por fallos en el sistema de aliviaderos nos quedamos sin el resguardo (que en general, será del orden de 0,50 m.). Aunque en realidad, esta hipótesis al tener un carácter accidental y estar acompañada de un coeficiente de mayoración de las acciones unitario, en general, será menos desfavorable que tener el nivel de agua en la posición normal. El empuje de tierras qt (x) se aplica exclusivamente sobre el lado exterior de la pared. La ley de cargas es triangular, con el máximo en la base de valor: qt (x=0) = γt·tg2(45º-ø/2)·Ht (2.2) siendo γt el peso específico natural de las tierras, Ht la altura de tierras y ø el ángulo de rozamiento interno de las mismas. El pretensado horizontal tiene como misión comprimir circunferencialmente la pared, de manera que se compensen parcial o totalmente las tracciones originadas por la carga de agua y, en menor medida, las debidas a otras solicitaciones (gradiente térmico, retracción...). Se materializa con armaduras postesas ancladas en los contrafuertes. Se trata de un conjunto discreto de cargas puntuales de valor Pk/Rtendón, situadas respectivamente a una altura xi de la solera, y siendo Pk la fuerza total de pretensado en una sección y Rtendón el radio de la circunferencia que describe el tendón de pretensado. Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 23 Debido al hecho de llevar a cabo la operación de pretensado de forma puntual y discreta, aparecen momentos flectores verticales y esfuerzos cortantes adicionales. La acción térmica, el sismo, el viento y los efectos diferidos, en general no se calcularan, y solo se tendrán en cuenta adoptando mayores cuantías geométricas de las armaduras, o bien, incrementando la compresión anular de la pared con más pretensado. De acuerdo con la Instrucción EHE, la clasificación de acciones será la siguiente: - Empuje hidrostático: acción permanente, dado que se admite el nivel del líquido prácticamente constante. - Empuje de tierras: acción permanente de valor no constante. - Pretensado y sus efectos: acción de pretensado. En cuanto a los coeficientes parciales de seguridad, se deben escoger en función del nivel de control adoptado. En el caso de depósitos de hormigón armado, en los que es muy posible que sean contratados a constructores locales, adoptaremos un control de ejecución de nivel normal. En cambio, en el caso de depósitos pretensados, dónde se hace necesaria una tecnología mucho más compleja, impondremos un control de ejecución de nivel intenso. La combinación de acciones, según la Instrucción EHE, quedará de la siguiente manera: 2.2.3.1.- Depósitos de hormigón armado i) Cálculo de la pared del depósito en Estado Límite Último de flexión y de esfuerzo cortante: C1: 1,50x(Empuje hidrostático) C2: 1,60x(Empuje de tierras) Estamos considerando que con el depósito lleno de agua no actúa el empuje de tierras, Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 24 lo cual nos deja en una posición conservadora, pero en la misma línea propuesta por Jiménez Montoya et al (1987) y la norma británica BS 8007 (1987). ii) Cálculo de la pared del depósito en Estado Límite Último de tracción simple: C3: 1,00x(Empuje hidrostático) No se mayora la acción debido a que se adopta una tensión en el acero de tan sólo σs = 130 ó 100 N/mm2. iii) Comprobación de la pared del depósito en Estado Límite de Servicio de fisuración: C4: 1,00x(Empuje hidrostático) C5: 1,00x(Empuje de tierras) Dado que la determinación del ancho de fisura en elementos sometidos al mismo tiempo a flexión y tracción no está resuelta de manera satisfactoria, sólo se calculará la fisuración provocada por la flexión, y al final sumaremos la armadura necesaria por tracción. 2.2.3.2.- Depósitos de hormigón pretensado i) Comprobación de la pared del depósito en Estado Límite de Servicio (armadura activa horizontal): C6: 1,10x(Pretensado a tiempo inicial) C7: 0,90x(Pretensado a tiempo final) + 1,00x(Empuje hidrostático-tracción simple) Es necesario garantizar que se cumple este Estado Límite de Servicio preconizado por la Instrucción EHE. Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 25 ii) Cálculo de la pared del depósito en Estado Límite Último de flexión (armadura pasiva vertical) y de esfuerzo cortante: C8: 1,35x(Empuje hidrostático) + 1,00x(Esfuerzos adicionales debidos al pretensado a tiempo inicial ó a tiempo final) C9: 1,50x(Empuje de tierras) + 1,00x(Esfuerzos adicionales debidos al pretensado a tiempo inicial ó a tiempo final) Interesa que los esfuerzos adicionales de pretensado en el tesado de cada uno de los tendones no superen el valor final de los mismos al terminar la fase de tesado. De ahí la necesidad de tener una buena secuencia de tesado. iii) Comprobación de la pared del depósito en Estado Límite de Servicio de fisuración: C10: 1,00x(Empuje hidrostático) + 1,00x(Esfuerzos adicionales debidos al pretensado a tiempo inicial ó a tiempo final) C11: 1,00x(Empuje de tierras) + 1,00x(Esfuerzos adicionales debidos al pretensado a tiempo inicial ó a tiempo final). 2.2.4.- Preliminares al cálculo de la solera El modelo más simple de comportamiento de la solera es el elástico formulado por Winkler, según el cual, se adopta la hipótesis de que la flecha en un punto es proporcional a la carga actuando sobre el terreno, e independiente de las cargas aplicadas en otras zonas, y donde el coeficiente de proporcionalidad es el módulo de balasto del terreno k. Ello nos permite tratar el suelo como si fueran unos muelles de constante de rigidez vertical Kx = k·A, siendo k el módulo de balasto del terreno y A el área de influencia del muelle. Para poder analizar la solera considerando su interacción con el terreno, deberemos discretizarla en una estructura de nudos y barras apoyada sobre unos muelles, y para Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 26 simplificar el problema proponemos: - Cuando la solera sea rectangular, hacer dos discretizaciones, una para el lado largo, y la otra para el lado corto, adoptando una anchura de cálculo unidad. - Cuando la solera sea circular, hacer una única discretización, tomando como longitud el diámetro y la anchura de cálculo unidad. Luego extender los resultados obtenidos al resto de la solera. Por su parte, Girkmann estudió el comportamiento de una placa circular de radio R descansando sobre un medio indeformable, solicitada por una carga uniforme q en toda su superficie y por un momento Ms y un axil de tracción Ns en su perímetro. Observó que ante este estado de carga, la placa tiende a despegarse del medio indeformable según un anillo perimetral de radio interior B. Es decir, que solo un anillo central de diámetro 2·B queda apoyado sobre el terreno, y su valor es: 2·B = 2·R − 4· Ms q (2.3) 2.2.5.- Acciones a considerar en el cálculo de la solera Las acciones básicas que solicitan la solera de un depósito de agua son las siguientes: - Peso propio de la solera. - Carga hidrostática y empuje hidrostático contra la pared. - Empuje de tierras contra la pared. - Pretensado de la pared. - Acción térmica, sismo y efectos diferidos (retracción y fluencia). - Subpresión del agua. El peso propio es una parte de la carga uniforme q que recibe la solera. Su valor es de: qs = γhormigón·hs (2.4) Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 27 siendo γhormigón el peso específico del hormigón, de valor 25 KN/m3, y hs el espesor de la solera. La carga hidrostática es la otra parte de la carga uniforme q que recibe la solera. Su valor es de: qh(x=0) = qω = γω·Hω (2.5) siendo γω el peso específico del agua y Hω la altura de agua. Por otro lado, el empuje hidrostático que solicita la pared provoca un momento flector de eje vertical en su base que se transmite a la solera, y el esfuerzo cortante también se transmite a la solera en forma de axil de tracción. Proponemos la siguiente nomenclatura: Mx(x=0) provocado por el empuje hidrostático = Msh Qx(x=0) provocado por el empuje hidrostático = Nsh El empuje de tierras que solicita la pared también produce un momento flector en su base que se transmite a la solera. Igualmente el esfuerzo cortante en la base debido al empuje de tierras se transmite a la solera en forma de axil de compresión. Proponemos la siguiente nomenclatura: Mx(x=0) provocado por el empuje de tierras = Mst Qx(x=0) provocado por el empuje de tierras = Nst El pretensado horizontal de la pared también provoca esfuerzos adicionales de flexión y cortante en la base del muro que se transmiten a la solera. En este caso, proponemos la siguiente nomenclatura: Mx(x=0) provocado por el pretensado horizontal de la pared = Msp Qx(x=0) provocado por el pretensado horizontal de la pared = Nsp Igual como pasaba en el cálculo de la pared del depósito, solo vamos a considerar la acción térmica, el sismo y los efectos diferidos en la solera adoptando mayores cuantías Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 28 geométricas de las armaduras. Finalmente respecto la subpresión del agua, se adoptarán las medidas más convenientes para evitar que las filtraciones del depósito pasen al terreno de cimentación y generen nuevos esfuerzos sobre la solera. En cuanto a los coeficientes parciales de seguridad de la solera, al tratarse siempre de un elemento de hormigón armado y del que es susceptible no ser especialmente meticuloso en su construcción, proponemos adoptar un control de ejecución de nivel normal. La combinación de acciones, según EHE, quedará de la siguiente manera: i) Cálculo de la solera del depósito en Estado Límite Último de flexión y de esfuerzo cortante: C12: 1,50x(Peso propio) + 1,50x(Carga hidrostática) + 1,50x(Msh) + 1,00x(Msp) C13: 1,50x(Peso propio) + 1,60x(Mst) + 1,00x(Msp) ii) Cálculo de la solera del depósito en Estado Límite Último de tracción simple: C14: 1,00x(Nsh) + 1,00x(Nsp) iii) Comprobación de la solera del depósito en Estado Límite de Servicio de fisuración: C15: 1,00x(Peso propio) + 1,00x(Carga hidrostática) + 1,00x(Msh) + 1,00x(Msp) C16: 1,00x(Peso propio) + 1,00x(Mst) + 1,00x(Msp) 2.2.6.- Estado Límite de Servicio de fisuración Se trata de un Estado Límite de Servicio, que en el caso de los depósitos adquiere una enorme trascendencia, ya que de su correcto cumplimiento depende la funcionalidad y durabilidad del mismo. Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 29 Respecto a la fisuración por solicitaciones normales, la Instrucción EHE nos impone que las tensiones de compresión en el hormigón cumplan: σc ≤ 0,60 fckj (2.6) siendo fckj la resistencia característica a j días (edad del hormigón en el momento considerado). Respecto a la fisuración por solicitaciones de tracción, EHE nos obliga a satisfacer la inecuación: wk ≤ wmáx (2.7) siendo: wk la abertura característica de fisura. wmáx la abertura máxima de fisura permitida. 2.2.6.1.- Cálculo de la abertura característica de fisura wk La abertura característica de fisura se calculará mediante la siguiente expresión: wk = β·sm·εsm (2.8) siendo: β: coeficiente del cuantil 95% en la distribución gaussiana de anchos de fisura, que vale 1,64 sm: separación media entre fisuras, en mm: sm = 2·c + 0,2·s + 0,4·k1· con: φ . Ac , eficaz As , eficaz (2.9) Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 30 c: espesor del recubrimiento, en mm. s: separación entre ejes de barras, en mm. Si s>15ø se introduce en la fórmula s=15ø. (2.9.a) k1: coeficiente que vale 0,125 para flexión simple. ø: diámetro de las barras en mm. Si se emplean barras de distintos diámetros, se toma el diámetro de la mayor. Ac,eficaz: área de hormigón allí donde las barras influyen en la abertura de fisuras: Si s≤15ø, entonces Ac,eficaz = b(ancho unitario) · h/4 (2.9.b) Si s>15ø, entonces Ac,eficaz = 15ø · h/4 (2.9.c) As,eficaz: área total de las armaduras situadas dentro del área Ac,eficaz. εsm: alargamiento medio de las armaduras: εsm = 2 σs σs σsr 2 1 − k ≥ 0,4 Es Es σs (2.10) con: σs = Mk 0,88·d · As (2.10.a) Es: módulo de deformación longitudinal de las barras de acero; Es = 200.000 N/mm2. k2: coeficiente de valor 0,5 (pues las cargas son de larga duración). b·h 2 fctm · σsr = 6 0,9·d · As (2.10.b) con: Mk: momento flector por unidad de anchura bajo la combinación para la que se comprueba la fisuración. d: canto útil de la sección; d = h – c – ø/2 (2.10.b.1) As: área total de la armadura de tracción existente en el Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 31 ancho unitario de cálculo. b: ancho unitario de la sección. h: canto total de la sección. fctm: resistencia media a tracción del hormigón, en N/mm2; fctm = 0,30· 3 fck 2 (2.10.b.2) 2.2.6.2.- Evaluación de la abertura máxima de fisura permitida wmáx El ancho máximo de fisura permitido por la Instrucción EHE en los casos de estanqueidad no está contemplado. Se hace necesario seguir las recomendaciones que figuran en la mayor parte de tratados de depósitos y preconizadas por los especialistas en el tema. Así, para Jiménez Montoya et al (1987), en los depósitos de hormigón armado sometidos a alternancias humedad-sequedad, o expuestos a heladas o agentes agresivos, la abertura máxima de fisuras debe limitarse a wmáx = 0,1 mm. En depósitos permanentemente sumergidos puede admitirse wmáx = 0,2 mm. Para la norma británica BS 8007 (1987), cuando la superficie del depósito de hormigón armado esté expuesta a unas condiciones muy severas debe diseñarse para una abertura máxima de fisura de 0,2 mm. Mientras que en los casos de apariencia estética crítica, donde se consideren inaceptables la eflorescencia y oxidación de la superficie, se adoptará una abertura máxima de fisura de 0,1 mm. Vilardell (1990) basando su estudio en criterios tensionales y constructivos en depósitos de hormigón pretensado con unión pared-solera monolítica, acepta que la pared fisure, limitando el máximo ancho de fisura a 0,2 mm. para la cara exterior y a 0,1 mm. para la cara interior de la pared. Todo ello, nos lleva a plantear las siguientes consideraciones: Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 32 2.2.6.2.1.- Abertura máxima de fisura permitida wmáx en la pared de depósitos de hormigón armado i) Cara exterior de la pared: Si el depósito se encuentra enterrado, o bien es superficial, pero está protegido de la radiación solar directa con árboles u otro sistema, y no son de esperar heladas importantes, entonces adoptaremos para la cara exterior de la pared wmáx = 0,2 mm. Si el depósito es superficial con la cara exterior de la pared claramente expuesta a agentes climáticos severos. O se quiere evitar por razones estéticas el que no haya ningún tipo de fluorescencia, entonces adoptaremos wmáx = 0,1 mm. ii) Cara interior de la pared: Si el depósito se encuentra tapado con una cubierta, que además con una capa de grava reflectante minimiza los efectos térmicos, y el líquido contenido no es químicamente agresivo, entonces adoptaremos para la cara interior de la pared wmáx = 0,2 mm. Si el depósito no tiene cubierta y hay numerosas variaciones de nivel con una clara exposición a unas acciones climáticas severas. O bien, el líquido contenido es químicamente agresivo o de elevada temperatura, entonces adoptaremos para la cara interior de la pared wmáx = 0,1 mm. 2.2.6.2.2.- Abertura máxima de fisura permitida wmáx en la pared de depósitos de hormigón pretensado Para depósitos de hormigón pretensado, la pared debe estar permanentemente comprimida anularmente, e incluso con una tensión de compresión residual mínima σres, que en general se fija entre 0,5 i 2,0 N/mm2, una vez desarrolladas todas las pérdidas de pretensado y con el depósito lleno. Con ello se quiere evitar a toda costa la fisuración vertical de la pared. Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 33 Por su parte, los esfuerzos verticales de flexión en las paredes (debidos a la acción de los tendones de pretensado, presión hidrostática del agua y fenómenos reológicos) originan una fisuración horizontal, que debe solucionarse con armadura pasiva vertical. En este último caso, se exige un ancho de fisura que seguirá los mismos criterios que hemos establecido para el caso anterior de depósitos de hormigón armado. 2.2.6.2.3.- Abertura máxima de fisura permitida wmáx en la solera de depósitos i) Cara superior de la solera: En la cara superior de la solera se adoptará un valor de la abertura máxima de fisura de wmáx = 0,2 mm, a no ser que, por diferentes razones, la solera se encuentre expuesta a acciones climáticas severas, o el líquido contenido sea químicamente agresivo o de elevada temperatura, que entonces adoptaremos wmáx = 0,1 mm. ii) Cara inferior de la solera: En la cara inferior de la solera se adoptará un valor de la abertura máxima de fisura de wmáx = 0,2 mm, a no ser, que el terreno de cimentación sea químicamente agresivo, que entonces adoptaremos wmáx = 0,1 mm. 2.2.6.3.- Particularidades del Estado Límite de Servicio de Fisuración en los depósitos La determinación de la abertura de fisura en elementos superficiales sometidos al mismo tiempo a flexión y tracción, como es el caso de las paredes y solera de un depósito, no está satisfactoriamente resuelta. Por esta causa, la abertura de fisuras se determina solamente considerando la flexión simple, aplicando las fórmulas del apartado 2.2.6.1 anterior. En depósitos de hormigón armado y en concordancia con la norma británica BS 8007 Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 34 (1987), se determina independientemente las armaduras de flexión y tracción simple, y se suman. La armadura de flexión se determina en función del Estado Límite Último y de la abertura máxima admitida para la fisura; y la de tracción simple, adoptando un valor muy bajo para la tensión admisible del acero, que se fija en: - σs = 100 N/mm2 para el caso de wmáx = 0,1 mm. - σs = 130 N/mm2 para el caso de wmáx = 0,2 mm. En depósitos de hormigón pretensado las armaduras activas horizontales son las encargadas de absorber los esfuerzos de tracción simple; mientras que las armaduras pasivas verticales deben absorber los esfuerzos de flexión que también se determinan en función del Estado Límite Último y con los criterios de máxima abertura de fisura permitida, que ya han sido expuestos anteriormente. 2.2.7.- Armaduras mínimas en depósitos Llombart y Antón (1985) exponen claramente que muchos fallos de estanquidad en los depósitos con costosas impermeabilizaciones “a posteriori” se deben a la existencia de fisuras horizontales en las paredes. Y haciendo un riguroso análisis estructural llegan a mostrar que diferentes efectos no tenidos en cuenta pueden ocasionar esfuerzos de flexión del orden de tres veces superiores a los que se determinan con la sola consideración de la presión que el agua ejerce sobre la pared. De ahí la necesidad de disponer unas cuantías mínimas de las armaduras con objeto de prevenir posibles fisuraciones debidas a la retracción del fraguado, variaciones de temperatura e incluso otras acciones que en general no serán contempladas en el cálculo del depósito. Nada dice la Instrucción EHE sobre armaduras mínimas en depósitos, de ahí que seguiremos las recomendaciones expuestas por Jimenez Montoya et al (1987) para hacer la siguiente propuesta de cuantías mínimas, siempre referidas a la sección total de hormigón : Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 35 - Paredes en depósitos de hormigón armado: o Para armadura vertical con wmáx = 0,1 mm; ρmín,flexión = 0,0020 o Para armadura vertical con wmáx = 0,2 mm; ρmín,flexión = 0,0015 o Para armadura horizontal con wmáx = 0,1 mm; ρmín,flexión = 0,0020 o Para armadura horizontal con wmáx = 0,2 mm; ρmín,flexión = 0,0015 - Paredes en depósitos cilíndricos de hormigón armado: o Para armadura vertical con wmáx = 0,1 mm; ρmín,flexión = 0,0020 o Para armadura vertical con wmáx = 0,2 mm; ρmín,flexión = 0,0015 o Para armadura horizontal con wmáx = 0,1 mm; ρmín = 0,0020 o Para armadura horizontal con wmáx = 0,2 mm; ρmín = 0,0015 - Paredes en depósitos cilíndricos de hormigón pretensado: o Para armadura vertical con wmáx = 0,1 mm; ρmín,flexión = 0,0020 o Para armadura vertical con wmáx = 0,2 mm; ρmín,flexión = 0,0015 o Para armadura horizontal con wmáx = 0,1 mm; ρmín = 0,0008 o Para armadura horizontal con wmáx = 0,2 mm; ρmín = 0,0008 - Solera en cualquier tipo de depósito: o Para armadura superior con wmáx = 0,1 mm; ρmín,flexión = 0,0020 o Para armadura superior con wmáx = 0,2 mm; ρmín,flexión = 0,0015 o Para armadura inferior con wmáx = 0,1 mm; ρmín,flexión = 0,0020 o Para armadura inferior con wmáx = 0,2 mm; ρmín,flexión = 0,0015 En depósitos pretensados la pared debe estar permanentemente comprimida anularmente, de ahí que la armadura horizontal mínima que hemos reflejado sea de un valor mucho menor, y coincidente con la que figura en EHE para muros convencionales. Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 36 2.2.8.- Elementos de diseño en depósitos de agua 2.2.8.1.- Diseño de las paredes Referente al espesor de pared a considerar en un depósito de hormigón armado, Jiménez Montoya et al (1987) aconseja que en los casos más frecuentes de altura de agua Hω ≤ 6,0 m, se adopte un valor en el entorno de: - Para depósitos rectangulares: h = 0,10·Hω (2.11) - Para depósitos cilíndricos h = 0,05·Hω+0,01·R (2.12) En cualquier caso, se desaconseja por razones constructivas que este espesor sea menor de 30 cm, ya que de otra manera no entraría el tubo de la bomba de hormigonado. Referente al espesor de pared a considerar en un depósito cilíndrico de hormigón pretensado, Vilardell (1994) expone los valores más habituales de proyecto: - Cuando la unión es monolítica y el volumen comprendido entre 2.000 y 15.000 m3: 15 cm ≤ h ≤ 30 cm. - Cuando la unión es articulada flexible o articulada fija, y el volumen comprendido entre 15.000 y 60.000 m3: 30 cm ≤ h ≤ 45 cm. Aunque en el caso de hormigón moldeado, también debe mantenerse el mínimo constructivo de 30 cm. para poder entrar la bomba de hormigonado. Por contra, en el caso de hormigón proyectado, el espesor acostumbra a oscilar entre los 18 y los 22 cm. 2.2.8.2.- Diseño de la solera Realizada la excavación para la solera, pondremos una capa de 10 cm. de hormigón de limpieza del tipo HM-15. Para evitar las subpresiones del agua del terreno sobre la solera, previamente al hormigón de limpieza habremos dispuesto una capa de gravas o Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 37 zahorra drenante protegidas con geotextil de 20 cm. de espesor, colocando en dicha capa unos tubos dren con salida de los mismos a la arqueta de llaves. Sobre el hormigón de limpieza se hormigonará la solera, que como mínimo tendrá 20 cm. de espesor y estará armada con dos capas de armadura en forma de malla. A la solera se le debe dar una pendiente de al menos el 1% hacia la arqueta de llaves para facilitar las limpiezas. Esta pendiente se debe dar con el hormigón de la solera y no echando un mortero posteriormente. En depósitos rectangulares y cilíndricos de hormigón armado, con la unión pared-solera monolítica, tenemos tres opciones diferentes para solucionar la solera: - Solera de espesor constante. Es una solución habitual cuando la solera es de pequeñas dimensiones y no existen pilares centrales. En general se adoptará: hs≈0,10-0,12·Hω - (2.13) Muros perimetrales del depósito y pilares centrales con zapata independiente del resto de la solera. Se dispondrá una junta de dilatación y estanqueidad entre zapata y solera. Se adoptaran las siguientes medidas: el canto de la zapata hz expuesto en (2.13) y el espesor de la solera hs=0,20 m. - Muros perimetrales del depósito y pilares centrales con zapata unida solidariamente al resto de la solera. Se evita la junta de estanqueidad. La continuidad se materializa por medio de una cuña estructural dispuesta a 30º que permite pasar del mayor canto de la zapata al menor espesor de la solera. En depósitos de cualquier tipo con la unión pared-solera articulada flexible o articulada fija, se dispondrá una solera de espesor constante hs=20 cm. En el caso de que existan pilares centrales, estos tendrán una zapata de canto el valor mencionado en (2.13), y se podrá independizar o no del resto de solera. Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 38 En la junta de hormigonado existente entre la solera y el arranque del muro, se dispondrá una junta de estanqueidad tipo “water-stop”, así como dos elementos hidroexpansivos a ambos lados de la junta, a fin de evitar al máximo la pérdida de agua por este punto débil. 2.2.8.3.- Diseño de la cubierta Existen varios tipos de cubierta de uso extendido en depósitos de agua, que pueden clasificarse principalmente según tres grupos: i) Cubiertas constituidas por forjados unidireccionales: Se apoyan en el contorno superior de la pared del depósito y en pilares interiores. La unión de las jácenas con la pared se suele materializar con un apoyo elástico, que independiza en gran medida el comportamiento de la cubierta del de la pared. Existen asimismo referencias sobre depósitos con apoyo directo de la jácena sobre la pared. ii) Cubiertas constituidas por losas continuas: Estas losas pueden ser armadas o pretensadas. Las condiciones de sustentación suelen ser parecidas a las indicadas para el caso anterior. El reparto de las cargas según dos direcciones permite reducir el número de pilares. iii) Cubiertas laminares de hormigón armado: Cuando el radio del depósito no es muy grande, se suele disponer una sola cúpula (usualmente de tipo esférico o cónico) que únicamente se apoya en el contorno superior de la pared. Así, en función entre otros del diámetro del depósito, del proceso constructivo y de las condiciones térmicas, la unión entre la cubierta y la pared puede diseñarse con un apoyo flexible o bien monolítica, incorporándose muchas veces un anillo de borde pretensado Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 39 para controlar la tensión circunferencial y minimizar los efectos de flexión de borde. Cuando la cubierta es un forjado plano, su análisis se suele llevar a cabo según la teoría de vigas o de placas. En el caso de cubierta laminar, su análisis es más complejo. Cuando la cubierta sea de pequeñas dimensiones, podrá apoyar exclusivamente sobre los muros perimetrales del depósito. En el caso de grandes cubiertas, será necesario disponer unas vigas principales soportadas por pilares interiores, con un cerramiento a base de un forjado, que por ejemplo, puede resolverse con placas prefabricadas. Yges (1991) propone por razones económicas disponer los pilares interiores separados una distancia de 10 m. Unir su cabeza con unas vigas principales, y mediante otras vigas secundarias y unas losas armadas de 3,0 m. de luz solucionar la cubierta. El mismo autor recomienda emplear una sobrecarga para el cálculo de la cubierta de 4,0 KN/m2. Lo que en todos los casos será muy importante es minimizar la expansión térmica de la cubierta mediante grava reflectante u otra protección contra la radiación solar. 2.2.8.4.- Otros elementos de diseño Conviene disponer juntas de retracción (con armadura pasante y junta de estanqueidad tipo “water-stop”) cada 7,50 m, tanto en el alzado de los muros como en la solera. También conviene disponer juntas de dilatación (con armadura interrumpida y junta de estanqueidad) aproximadamente cada 20 ó 25 m, a fin de facilitar los movimientos de la estructura. En los depósitos cilíndricos, uno de los esfuerzos predominantes debidos a la presión el líquido es el esfuerzo horizontal de tracción. Por motivos estructurales, la armadura horizontal deberá ser continua en las juntas verticales. En los depósitos cerrados es obligatoria la existencia de accesos para que el personal pueda realizar las tareas de limpieza, inspecciones y pruebas. Los registros tienen que ser lo suficientemente grandes como para que pueda entrar el personal sin problemas (por ejemplo, 600x900 mm). Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 40 También pueden acumularse gases nocivos o inflamables, y por ello deben instalarse los dispositivos de ventilación adecuados para limitar hasta niveles aceptables posibles acumulaciones peligrosas. 2.3.- DEPÓSITOS RECTANGULARES DE HORMIGÓN ARMADO 2.3.1.- Cálculo de la pared en Estado Límite Último de flexión 2.3.1.1.- Determinación del momento flector Trataremos la pared del depósito como una placa triempotrada, en la solera y en las dos paredes laterales, y con el borde superior libre. Aparecen momentos flectores en las direcciones vertical y horizontal, y para determinar sus leyes proponemos hacer uso de las tablas de placas de Bares (1970) que adjuntamos al final del presente apartado. Para resolver la primera combinación de acciones C1: 1,50x(Empuje hidrostático), ya mencionada en el anterior apartado 2.2.3.1, usaremos la tabla 2.5, y procederemos así: - Hallar el valor de γ función de los lados de la placa. - Calcular el valor de la máxima carga mayorada en la base: qhd = γf·qh = 1,50·γω·Hω - (2.14) Buscar en la tabla, los momentos flectores horizontales, tanto los máximos negativos (Mx1d, Mx7d), como los máximos positivos (Mx6d, Mx10d). - Buscar en la tabla, los momentos flectores verticales, tanto los máximos negativos (My28d), como los máximos positivos (My14d,My18d). Que no nos confunda el distinto criterio de ejes y signos empleado, claramente distinto Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 41 al del resto de la tesina, y que no se ha cambiado para facilitar el correcto uso de las tablas. Para resolver la segunda combinación de acciones C2: 1,60x(Empuje de tierras), usaremos las tablas 2.5, 2.6 ó 2.7, en función de cuál sea la altura de tierras, y procederemos igual que en el caso anterior, pero dónde el máximo valor de la base será: qtd = γf·qt = 1,60·γt·tan2(45-ø/2)·Ht (2.15) 2.3.1.2.- Cálculo de la armadura de flexión Para conocer la armadura de flexión en la posición vertical interior, se busca la envolvente de la ley de momentos flectores verticales del lado interior en la unión de las combinaciones C1 y C2 (dado que ambas pueden dejar una parte de su ley en el lado interior), y se calcula la armadura necesaria Av1 con el método parábola rectángulo. Para conocer la armadura de flexión en la posición vertical exterior, se busca la envolvente de la ley de momentos flectores verticales del lado exterior en la unión de las combinaciones C1 y C2 (dado que ambas pueden dejar una parte de su ley en el lado exterior), y se calcula la armadura necesaria Av3 con el método parábola rectángulo. Para conocer la armadura de flexión en la posición horizontal interior, se busca la envolvente de la ley de momentos flectores horizontales del lado interior en la unión de las combinaciones C1 y C2 (dado que ambas pueden dejar una parte de su ley en el lado interior), y se calcula la armadura necesaria Ah1 con el método parábola rectángulo. Finalmente, para conocer la armadura de flexión en la posición horizontal exterior, se busca la envolvente de la ley de momentos flectores horizontales del lado exterior en la unión de las combinaciones C1 y C2 (dado que ambas pueden dejar una parte de su ley en el lado exterior), y se calcula la armadura necesaria Ah4 con el método parábola rectángulo. Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 42 2.3.2.- Cálculo de la pared en Estado Límite Último de esfuerzo cortante Emplearemos los mismos criterios y tablas de Bares (1970) del caso anterior, buscando los valores máximos para Rxd y Ryd. Adoptaremos el criterio de que el máximo esfuerzo cortante pueda ser absorbido por la contribución del hormigón Vcu, sin necesidad de disponer ningún tipo de cerco o armadura de cortante. Lógicamente, ello nos va a permitir acotar inferiormente el espesor de pared del depósito. Recordemos que la contribución del hormigón a la resistencia a esfuerzo cortante es, según EHE: ( ) Vcu = 0,12.ξ .3 100.ρ l . f ck .b0 .d (en N/m) (2.16) siendo: ξ = 1+ 200 siendo d el canto útil de la sección en mm. d ρl: cuantía geométrica armadura long traccionada; ρl = As (< 0,02) b0 ·d (2.16.a) (2.16.b) fck: resistencia característica expresada en N/mm2. b0: ancho unitario de la sección en mm. d: canto útil en mm. 2.3.3.- Cálculo de la pared en Estado Límite Último de tracción simple Se trata de resolver el Estado Límite Último de tracción simple, recogido en la combinación C3: 1,00x(Empuje hidrostático). De una forma simplificada puede admitirse que los esfuerzos de tracción que se originan en las paredes del depósito, como consecuencia de la presión hidrostática son: Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 43 Napd = 1,00.βp.1/2.γω· H ω2 .b, en la pared de lado a. (2.17) Nbpd = 1,00.βp.1/2.γω. H ω2 .a, en la pared de lado b. (2.18) y se distribuyen según los porcentajes βp indicados en la tabla 2.4 propuesta por Jiménez Montoya et al (1987). Tabla 2.4.- Valores del coeficiente de distribución del esfuerzo de tracción en depósitos rectangulares (Jiménez Montoya et al, 1987) También se expuso que la no mayoración de esta acción se debe al hecho de adoptar una tensión en el acero de tan solo σs = 130 ó 100 N/mm2. Con todo ello obtendremos una armadura de: Ah3 = N apd óN bpd σ s ·H ω (2.19) 2.3.4.- Comprobación de la pared en Estado Límite de fisuración Se trata de resolver este Estado Límite de Servicio, según las combinaciones C4: 1,00x(Empuje hidrostático) y C5: 1,00x(Empuje de tierras), que ya hemos mencionado Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 44 en el anterior apartado 2.2.3.1. Para resolver la combinación de acciones C4: 1,00x(Empuje hidrostático) usaremos los mismos momentos flectores horizontales y verticales que ya hemos encontrado en la combinación C1, pero en este caso, sin mayorar. Análogamente, para resolver la combinación de acciones C5: 1,00x(Empuje de tierras) usaremos los momentos flectores horizontales y verticales sin mayorar de la combinación C2. Para conocer la armadura de fisuración en la posición vertical interior, se busca la armadura Av2 necesaria para que la envolvente de momentos flectores verticales del lado interior en la unión de las combinaciones C4 y C5 produzca una abertura de fisura wk ≤ 0,2 ó 0,1 mm. según el criterio de fisuración adoptado. Para conocer la armadura de fisuración en la posición vertical exterior, se busca la armadura Av4 necesaria para que la envolvente de momentos flectores verticales del lado exterior en la unión de las combinaciones C4 y C5 produzca una abertura de fisura wk ≤ 0,2 ó 0,1 mm. según el criterio de fisuración adoptado. Para conocer la armadura de fisuración en la posición horizontal interior, se busca la armadura Ah2 necesaria para que la envolvente de momentos flectores horizontales del lado interior en la unión de las combinaciones C4 y C5 produzca una abertura de fisura wk ≤ 0,2 ó 0,1 mm según el criterio de fisuración adoptado. Finalmente, para conocer la armadura de fisuración en la posición horizontal exterior, se busca la armadura Ah5 necesaria para que la envolvente de momentos flectores horizontales del lado exterior en la unión de las combinaciones C4 y C5 produzca una abertura de fisura wk ≤ 0,2 ó 0,1 mm. según el criterio de fisuración adoptado. Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 45 2.3.5.- Disposición de las armaduras en la pared del depósito 2.3.5.1.- Armadura de la pared en la posición vertical interior 1) La armadura necesaria por flexión es Av1. 2) Con la armadura Av2 se garantiza una abertura de fisura wk ≤ 0,2 ó 0,1 mm según el criterio de fisuración adoptado. 3) La armadura mínima Avmín1 cumple la cuantía establecida de ρmín,flexión = 0,0015 ó 0,0020 según el criterio de fisuración adoptado. Entonces, la armadura vertical que deberemos disponer en la cara interior será el máx(Av1;Av2;Avmín1). 2.3.5.2.- Armadura de la pared en la posición vertical exterior 1) La armadura necesaria por flexión es Av3. 2) Con la armadura Av4 se garantiza una abertura de fisura wk ≤ 0,2 ó 0,1 mm. según el criterio de fisuración adoptado. 3) La armadura mínima Avmín2 cumple la cuantía establecida de ρmín,flexión = 0,0015 ó 0,0020 según el criterio de fisuración adoptado. Entonces, la armadura vertical que deberemos disponer en la cara exterior será el máx(Av3;Av4;Avmín2). 2.3.5.3.- Armadura de la pared en la posición horizontal interior 1) La armadura necesaria por flexión es Ah1. Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 46 2) Con la armadura Ah2 se garantiza una abertura de fisura wk ≤ 0,2 ó 0,1 mm. según el criterio de fisuración adoptado. 3) La armadura mínima Ahmín1 cumple la cuantía establecida de ρmín,flexión = 0,0015 ó 0,0020 según el criterio de fisuración adoptado. 4) La armadura necesaria por tracción simple es Ah3. Entonces, la armadura horizontal que deberemos disponer en la cara interior será el máx(Ah1;Ah2;Ahmín1) + Ah3/2. 2.3.5.4.- Armadura de la pared en la posición horizontal exterior 1) La armadura necesaria por flexión es Ah4. 2) Con la armadura Ah5 se garantiza una abertura de fisura wk ≤ 0,2 ó 0,1 mm. según el criterio de fisuración adoptado. 3) La armadura mínima Ahmín2 cumple la cuantía establecida de ρmín,flexión = 0,0015 ó 0,0020 según el criterio de fisuración adoptado. 4) La armadura necesaria por tracción simple es Ah3. Entonces, la armadura horizontal que deberemos disponer en la cara exterior será el máx(Ah4;Ah5;Ahmín2) + Ah3/2. 2.3.5.5.- Armadura de cortante Se tomará un espesor de pared que nos garantice que tan sólo con la contribución del hormigón ya se puede absorber el esfuerzo cortante sin necesidad de disponer cercos. Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 47 Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 48 Tabla 2.5.- Tabla de Bares (1970) para distribución hidrostática en toda la altura Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 49 Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 50 Tabla 2.6.- Tabla de Bares (1970) para distribución hidrostática en 2/3 de la altura Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 51 Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 52 Tabla 2.7.- Tabla de Bares (1970) para distribución hidrostática en 1/3 de la altura Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 53 2.4.- DEPÓSITOS CILÍNDRICOS DE HORMIGÓN ARMADO 2.4.1.- Campo de desplazamientos y esfuerzos en la pared Tal como plantea Timoshenko y Woinowsky-Krieger (1959) todos los problemas de deformación simétrica de láminas circulares cilíndricas se reducen a la integración de la ecuación: d2 dx 2 d 2ω E·h D 2 + 2 ·ω = Z dx R (2.20) La aplicación más sencilla de esta ecuación se obtiene cuando el espesor h de la lámina es constante. En este caso la ecuación anterior toma la forma: d 4ω ( x ) Z ( x) + 4λ4ω ( x) = 4 D dx (2.21) siendo: ω(x): ley de corrimientos radiales. λ: constante llamada coeficiente cilíndrico de forma, en m-1; λ= 4 E·h = 4·R 2 ·D 4 ( 3· 1 − ν 2 R 2 ·h 2 ) (2.21.a) con: E: módulo de deformación longitudinal del hormigón, en N/mm2; E = 8500.3 f ck + 8 (2.21.a.1) h: espesor de la pared. R: radio interior del depósito. ν: coeficiente de Poisson, que en el hormigón es de valor medio 0,20. Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 54 D: rigidez a flexión de la lámina, en N.m; D = E·h 3 12· 1 − ν 2 ( ) (2.21.a.2) Z(x): presión de revolución que solicita a la pared. La solución general de la ecuación (2.21) es: ω(x) = C1.eλx.cos(λx) + C2.eλx.sin(λx) + C3.e-λx.cos(λx) + C4.e-λx.sin(λx) + f(x) (2.22) dónde C1, C2, C3 y C4 son constantes de integración que dependen de las condiciones de contorno, y f(x) es una solución particular, que cuando Z(x) es una ley rectangular, triangular o trapecial vale: f(x) = - - Z ( x)·R 2 ; y en el caso de: E·h empuje hidrostático: f(x) = empuje de tierras: f(x) = − γ ω ·( H ω − x)·R 2 E·h (2.22.a) γ t ·tg 2 (45º −φ / 2)·( H t − x)·R 2 (2.22.b) E ·h Una vez conocida la ley de desplazamientos radiales ω(x), se determinan fácilmente la ley de giros θx(x) y las leyes de esfuerzos en la lámina mediante las expresiones: i) En el caso de empuje hidrostático (con el nivel de agua Hω coincidente con la altura total de la pared H): θx(x) = dω ( x ) = C1.λ.eλx.(cos(λx)-sin(λx)) + C2.λ.eλx.(cos(λx)+sin(λx)) + dx C3.λ.e-λx.(-cos(λx)-sin(λx)) + C4.λ.e-λx.(cos(λx)-sin(λx)) + Nφ(x) = γ ω ·R 2 E ·h (2.23) − E ·h·ω ( x) − E·h λx λx -λx = · [C1.e .cos(λx) + C2.e .sin(λx) + C3.e .cos(λx) + R R Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 55 C4.e-λx.sin(λx) - Mx(x) = -D· γ ω ·( H ω − x)·R 2 E·h ] (2.24) d 2ω ( x ) = 2.D.λ2.[C1.eλx.sin(λx) – C2.eλx.cos(λx) – C3.e-λx.sin(λx) + 2 dx C4.e-λx.cos(λx)] (2.25) Mφ(x) = ν.Mx(x) Qx(x) = -D· (2.26) d 3ω ( x ) = 2.D.λ3.[C1.eλx.(cos(λx)+sin(λx)) + C2.eλx.(-cos(λx)+sin(λx)) + dx 3 C3.e-λx.(-cos(λx)+sin(λx)) + C4.e-λx.(-cos(λx)-sin(λx))] (2.27) ii) Y en el caso de empuje de tierras (con el nivel de tierras Ht coincidente con la altura total de la pared H): dω ( x ) = C1.λ.eλx.(cos(λx)-sin(λx)) + C2.λ.eλx.(cos(λx)+sin(λx)) + C3.λ.e-λx. dx θx(x) = (-cos(λx)-sin(λx)) + C4.λ.e-λx.(cos(λx)-sin(λx)) - Nφ(x) = γ t ·tg 2 (45º −φ / 2)·R 2 E·h (2.28) − E ·h·ω ( x) − E·h λx λx -λx = · [C1.e .cos(λx) + C2.e .sin(λx) + C3.e .cos(λx) + R R C4.e-λx.sin(λx)+ γ t ·tg 2 (45º −φ / 2)·( H t − x)·R 2 E ·h ] (2.29) Mx(x), Mφ(x) y Qx(x) tendrán la misma expresión que para el caso de empuje hidrostático. Todo ello con el convenio de signos de la figura 2.1 Por otra parte conviene aclarar que en el caso de tener el nivel de agua o el nivel de tierras por debajo la coronación de la pared, el problema se complica con la resolución de un sistema lineal de dies ecuaciones con dies incógnitas, que desarrollamos en el tercer capítulo de la tesina. Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 56 Figura 2.1.- Esfuerzos actuantes en una lámina con simetría de revolución y criterio de signos adoptado (Timoshenko et al, 1959) 2.4.2.- Cálculo de la pared en Estado Límite Último de flexión Para calcular los esfuerzos que solicitan la pared de un depósito cilíndrico tendremos que encontrar, en primer lugar, las constantes de integración C1, C2, C3 y C4, que dependen de las condiciones de contorno. Ello nos conduce a un sistema lineal de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas que desarrollamos ampliamente en el capítulo 3. Seguidamente tendremos que sustituir los valores obtenidos en las ecuaciones del apartado anterior. Ahora bien, en algunos casos prácticos podremos simplificar enormemente la resolución del problema haciendo nulas las constantes C1 y C2. Ello será posible solo cuando el Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 57 espesor de la pared sea pequeño en comparación tanto con el radio como con la altura del depósito y podamos considerar la lámina como infinitamente larga. No hemos encontrado en el estado del conocimiento una acotación clara que nos permita saber en que casos podremos hacer esta simplicación con errores despreciables, y en que casos conviene no hacerla. Es por ello, que uno de los resultados de la presente tesina será conocer de manera precisa el campo de validez para la hipótesis anterior. Y suponiendo además que el borde inferior de la pared está empotrado en una cimentación absolutamente rígida, que es lo habitual en depósitos de hormigón armado, las otras dos constantes son: i) En el caso de empuje hidrostático: C3 = C4 = γ ω ·R 2 ·H ω (2.30) E·h γ ω ·R 2 E·h 1 ·( H ω − ) λ (2.31) ii) En el caso de empuje de tierras: C3 = − C4 = γ t ·tg 2 (45º −φ / 2)·R 2 ·H t E·h γ t ·tg 2 (45º −φ / 2)·R 2 1 ·( − H t ) E·h λ (2.32) (2.33) 2.4.2.1.-Determinación del momento flector Para resolver la primera combinación de acciones C1: 1,50x(Empuje hidrostático) ya mencionada en el anterior apartado 2.2.3.1, podemos hacer uso de la ley de momentos Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 58 flectores (2.25) y las constantes C3 y C4 que ya conocemos, obteniendo: Mxd(x) = 1,50· h 2 ·λ2 ·γ ω ·R 2 1 ·(− H ω ·e −λx ·sin(λx) + ( H ω − )·e −λx ·cos(λx)) 2 λ 6·(1 − ν ) (2.34) y su valor máximo que se da en el empotramiento vale: h 2 ·λ2 ·γ ω ·R 2 1 Mxdmáx = Mxd(x=0) = 1,50· ·( H ω − ) 2 λ 6·(1 − ν ) (2.35) Para resolver la segunda combinación de acciones C2: 1,60x(Empuje de tierras), procederemos de forma análoga: Mxd(x)=1,60· h 2 ·λ2 ·γ t ·tg 2 (45º −φ / 2)·R 2 1 ·( H t ·e −λx ·sin(λx) + ( − H t )·e −λx ·cos(λx)) (2.36) 2 λ 6·(1 − ν ) y su valor máximo que se da en el empotramiento vale: Mxdmáx = Mxd(x=0) = 1,60· h 2 ·λ2 ·γ t ·tg 2 (45º −φ / 2)·R 2 1 ·( − H t ) λ 6·(1 − ν 2 ) (2.37) 2.4.2.2.- Cálculo de la armadura de flexión Para conocer la armadura de flexión en la posición vertical interior, se busca la envolvente de la ley de momentos flectores verticales del lado interior en la unión de las combinaciones C1 y C2 (dado que ambas pueden dejar una parte de su ley en el lado interior), y haciendo uso de las ecuaciones (2.34) y (2.36) que nos proporcionan los diferentes valores de Mxd(x), se calcula la armadura necesaria Av1 con el método parábola rectángulo. Para conocer la armadura de flexión en la posición vertical exterior, se busca la envolvente de la ley de momentos flectores verticales del lado exterior en la unión de Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 59 las combinaciones C1 y C2 (dado que ambas pueden dejar una parte de su ley en el lado exterior), y haciendo uso de las mismas ecuaciones (2.34) y (2.36) que nos proporcionan los diferentes valores de Mxd(x), se calcula la armadura necesaria Av3 con el método parábola rectángulo. 2.4.3.- Cálculo de la pared en Estado Límite Último de esfuerzo cortante 2.4.3.1.- Determinación del esfuerzo cortante Para resolver la primera combinación de acciones C1: 1,50x(Empuje hidrostático), podemos hacer uso de la ley de esfuerzos cortantes (2.27) y las constantes C3 y C4 que ya conocemos, obteniendo: Qxd(x) = 1,50·Qx(x) = (2.38) h 2 ·λ3 ·γ ω ·R 2 1 ·( H ω ·e −λx ·(− cos(λx) + sin(λx)) + ( − H ω )·e −λx ·(cos(λx) + sin(λx))) =1,50· 2 λ 6·(1 − ν ) y su valor máximo que se da en el empotramiento vale: Qxdmáx = Qxd(x=0) = 1,50· h 2 ·λ3 ·γ ω ·R 2 1 ·( − 2 H ω ) 6·(1 − ν 2 ) λ (2.39) Para resolver la segunda combinación de acciones C2: 1,60x(Empuje de tierras), procederemos de forma análoga: Qxd(x) = 1,60·Qx(x) = (2.40) h 2 ·λ3 ·γ t ·tg 2 (45º −φ / 2)·R 2 1 1,60· ·( H t ·e −λx ·(cos(λx) − sin(λx)) + ( H t − )·e −λx ·(cos(λx) + sin(λx))) 2 λ 6·(1 − ν ) y su valor máximo que se da en el empotramiento vale: Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 60 Qxdmáx = Qxd(x=0) = 1,60· h 2 ·λ3 ·γ t ·tg 2 (45º −φ / 2)·R 2 1 ·(2 H t − ) 2 λ 6·(1 − ν ) (2.41) 2.4.3.2.- Cálculo de la armadura de cortante En depósitos cilíndricos también adoptaremos el criterio de que el máximo esfuerzo cortante pueda ser absorbido por la contribución del hormigón Vcu, con lo que no será necesario disponer cercos, y además, acotaremos inferiormente el espesor de la pared. 2.4.4.- Cálculo de la pared en Estado Límite Último de tracción simple Se trata de resolver el Estado Límite Último de tracción simple, recogido en la combinación C3: 1,00x(Empuje hidrostático). Podemos hacer uso de la ley de esfuerzos de tracción (2.24) y las constantes C3 y C4 que ya conocemos, obteniendo: sin(λx) − H ω ·(cos(λx) + sin(λx) ) + ( H ω − x) Nφd (x) = 1,00·γ ω .R·e −λx · λ (2.42) Démonos cuenta que justo en el empotramiento el valor del esfuerzo de tracción es nulo, y en general, el valor máximo se dará algo por debajo la mitad de la pared del depósito. Empleando una tensión en el acero de σs = 100 ó 130 N/mm2 obtendremos una armadura de: Ah1 = N ϕd σs (2.43) Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 61 2.4.5.- Comprobación de la pared en Estado Límite de Servicio de fisuración Se trata de resolver este Estado Límite de Servicio, según las combinaciones C4: 1,00x(Empuje hidrostático) y C5: 1,00x(Empuje de tierras), que ya hemos mencionado en el anterior apartado 2.2.3.1 Para resolver la combinación de acciones C4: 1,00x(Empuje hidrostático) usaremos los mismos momentos flectores verticales que ya hemos encontrado en la combinación C1, pero en este caso, sin mayorar. Análogamente, para resolver la combinación de acciones C5: 1,00x(Empuje de tierras) usaremos los momentos flectores verticales sin mayorar de la combinación C2. Para conocer la armadura de fisuración en la posición vertical interior, se busca la armadura Av2 necesaria para que la envolvente de momentos flectores verticales del lado interior en la unión de las combinaciones C4 y C5 produzca una abertura de fisura wk ≤ 0,2 ó 0,1 mm. según el criterio de fisuración adoptado. Para conocer la armadura de fisuración en la posición vertical exterior, se busca la armadura Av4 necesaria para que la envolvente de momentos flectores verticales del lado exterior en la unión de las combinaciones C4 y C5 produzca una abertura de fisura wk ≤ 0,2 ó 0,1 mm. según el criterio de fisuración adoptado. 2.4.6.- Disposición de las armaduras en la pared del depósito 2.4.6.1.- Armadura de la pared en la posición vertical interior 1) La armadura necesaria por flexión es Av1. 2) Con la armadura Av2 se garantiza una abertura de fisura wk ≤ 0,2 ó 0,1 mm. según el criterio de fisuración adoptado. Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 62 3) La armadura mínima Avmín1 cumple la cuantía establecida de ρmín,flexión = 0,0015 ó 0,0020 según el criterio de fisuración adoptado. Entonces, la armadura vertical que deberemos disponer en la cara interior será el máx(Av1;Av2;Avmín1). 2.4.6.2.- Armadura de la pared en la posición vertical exterior 1) La armadura necesaria por flexión es Av3. 2) Con la armadura Av4 se garantiza una abertura de fisura wk ≤ 0,2 ó 0,1 mm. según el criterio de fisuración adoptado. 3) La armadura mínima Avmín2 cumple la cuantía establecida de ρmín,flexión = 0,0015 ó 0,0020 según el criterio de fisuración adoptado. Entonces, la armadura vertical que deberemos disponer en la cara exterior será el máx(Av3;Av4;Avmín2). 2.4.6.3.- Armadura de la pared en la posición horizontal interior 1) La armadura necesaria por tracción simple es Ah1. 2) La armadura mínima Ahmín1 cumple la cuantía establecida de ρmín = 0,0015 ó 0,0020 según el criterio de fisuración adoptado. Entonces, la armadura horizontal que deberemos disponer en la cara interior será el máx(Ah1/2; Ahmín1). Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 63 2.4.6.4.- Armadura de la pared en la posición horizontal exterior 1) La armadura necesaria por tracción simple es Ah1. 2) La armadura mínima Ahmín2 cumple la cuantía establecida de ρmín = 0,0015 ó 0,0020 según el criterio de fisuración adoptado. Entonces, de manera análoga al caso anterior, la armadura horizontal que deberemos disponer en la cara exterior será el máx(Ah1/2; Ahmín2). 2.4.6.5.- Armadura de cortante Definiremos un espesor de pared tal que los valores del esfuerzo cortante Qxd(x) que nos proporcionan las ecuaciones (2.38) y (2.40) sean inferiores a la contribución del hormigón, y por tanto, evitemos disponer cercos. Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 64 2.5.- DEPÓSITOS CILÍNDRICOS PRETENSADOS 2.5.1.- Unión pared-solera Uno de los aspectos principales que debe plantearse el ingeniero durante el proyecto de depósitos cilíndricos de hormigón es el diseño de la unión entre la pared y la solera. El comportamiento estructural del depósito está muy relacionado con el diseño de esta unión. La elección del tipo de unión depende de la experiencia del proyectista, de la tradición constructiva del país, de la geometría y de las acciones actuantes. 2.5.1.1.- Unión monolítica Es una solución ampliamente aceptada en depósitos, donde la unión se caracteriza por la continuidad de movimientos (desplazamiento radial y giro meridional) entre el borde inferior de la pared y el perímetro de la solera. Ventajas de la unión monolítica: - Facilidad constructiva: de la que, por ejemplo, se aprovechan los depósitos de hormigón proyectado, al poder hormigonar de manera continua la unión. - Estabilidad: rigidez ante acciones horizontales como terremotos o fuertes vientos. - Importantes garantías de estanqueidad. - Poco mantenimiento: se evitan las operaciones de control de los aparatos de apoyo. Inconvenientes de la unión monolítica: - A partir de ciertas alturas de pared, la fuerza necesaria de pretensado y los esfuerzos de flexión vertical empiezan a ser importantes. Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 65 - Poca eficacia del pretensado de los tendones próximos a la unión, donde la fuerza de pretensado apenas comprime anularmente a la pared. - Unión muy sensible a las acciones indirectas: acción térmica, retracción y fluencia, con lo que pueden aparecer fisuras a cortas edades en la zona de la lámina cercana a la base. Recomendaciones de su uso: - Se recomienda usar la unión monolítica pared-solera para depósitos con capacidades V < 10.000 m3. - También se podría usar en el rango comprendido entre 10.000 m3 < V < 15.000 m3, si empleamos unos criterios de tensión de compresión residual mínima menos exigentes (del orden de σres= 0,5 N/mm2), y una función de pretensado óptima. 2.5.1.2.- Unión articulada flexible La pared descansa sobre la solera por medio de unos apoyos de neopreno, que pueden estar centrados o desdoblados. Permite un movimiento relativo del pie de la pared con respecto a la solera. Ventajas de la unión articulada flexible: - Comportamiento estructural óptimo: los esfuerzos de flexión no son relevantes y la fuerza de pretensado se traduce casi íntegramente en comprimir anularmente a la pared. - Se requiere poca armadura: es una consecuencia del punto anterior. Inconvenientes de la articulada flexible: - Mayor complejidad constructiva. - Falta de tradición y experiencia, especialmente en el caso de constructores Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 66 locales. - No puede contener líquidos que por sus características químicas pudieran degradar a los aparatos de apoyo. - Necesidad de un control y mantenimiento de los aparatos de apoyo para garantizar la estanqueidad del depósito. Recomendaciones de su uso: - La unión articulada flexible es la solución más recomendable cuando la capacidad del depósito supera la barrera de los 25.000 m3. 2.5.1.3.- Unión articulada fija La pared se introduce en una muesca de la solera con lo que tiene coartado su desplazamiento horizontal. Ventajas de la unión articulada fija: - Comportamiento estructural superior a la unión monolítica, aunque por debajo de la articulada flexible. - Menor coste global que la unión articulada flexible. - Facilidad para adaptarse a los depósitos cilíndricos prefabricados. - Recomendable para almacenar fluidos a altas o bajas temperaturas. Inconvenientes de la articulada fija: - Mayor complejidad constructiva que la unión monolítica. - Falta de tradición y experiencia. Recomendaciones de su uso: - La unión articulada fija es la solución más recomendable cuando la Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 67 capacidad del depósito supera la barrera de los 10.000-15.000 m3, pero siempre por debajo de los 25.000 m3. 2.5.2.- Función óptima de pretensado La carga de agua genera un estado de tracciones en la pared del depósito, que ya hemos visto anteriormente sigue la función (2.24), con las constantes de integración C1, C2, C3 y C4 que se obtienen resolviendo el sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas que planteamos en el tercer capítulo de la tesina. Por su parte, el pretensado horizontal tiene por misión principal comprimir circunferencialmente la pared, a fin de compensar las tracciones originadas por la carga de agua, reduciendo así su fisuración vertical. Ahora bien, no existe una relación biunívoca entre la ley de tracciones y la fuerza de pretensado Pk aplicada. Es decir, si en un determinado tramo de pared, la integral de la ley Nφ(x) vale N0, no se compensarán totalmente las tracciones solo por el hecho de adoptar Pk= N0. No olvidemos que los tendones más bajos son poco eficaces para comprimir la pared, y por tanto, se requiere un volumen de pretensado superior a la integral de los axiles anulares hidrostáticos. Llegado a este punto, se hace necesario definir una función óptima de pretensado, es decir, una función que defina el mínimo volumen de pretensado necesario para obtener el estado de tensiones anulares deseado. Para ello, seguiremos las recomendaciones de Vilardell (1994), que propone descomponer la función óptima de pretensado en dos funciones: - Función Hidrostática de Pretensado (FHP): es aquella función que compensa las tracciones anulares hidrostáticas en toda la pared y durante la vida útil de la estructura. - Función Uniforme de Pretensado (FUP): es aquella función que genera Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 68 adicionalmente una tensión de compresión circunferencial mínima en la pared (llamada σres), con el objeto de evitar, cuando el depósito está lleno, fisuración vertical debida a otras acciones, tales como las reológicas, la acción térmica o el sismo. 2.5.2.1.- Definición de la Función Hidrostática de Pretensado (FHP) La fuerza de pretensado total en la función FHP, independientemente del tipo de unión en la base, es: Ptot,FHP = γ ω ·R·H ω2 2 (2.44) siendo γω el peso específico del fluido, R el radio interior del depósito, y Hω la altura libre de agua. La forma que tiene esta función FHP es: i) En el caso de unión monolítica y unión articulada fija: Es un trapecio truncado verticalmente en su base. La base inferior mide B, la base superior mide c1·B, y la altura del tramo inferior truncado mide (1-e1)·Hω. El área de toda esta figura será precisamente Ptot,FHP. Los valores de los coeficientes c1 y e1, se obtienen de la tabla 2.8. ii) En el caso de unión articulada flexible: Es un trapecio normal. La base inferior mide B, la base superior mide c1·B, la altura del trapecio es lógicamente Hω y su área Ptot,FHP. El valor del coeficiente c1 se obtiene de la tabla 2.9. Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 69 UNIÓN VOLUMEN (m3) c1 e1 Monolítica 2.000 0,01 0,75 Monolítica 5.000 0,01 0,78 Monolítica 8.000 0,01 0,81 Monolítica 15.000 0,01 0,86 Articulada fija 15.000 0,01 0,82 Articulada fija 25.000 0,01 0,86 Articulada fija 40.000 0,01 0,89 Articulada fija 60.000 0,01 0,91 Tabla 2.8.- Valores propuestos por Vilardell (1994) para los parámetros c1 y e1 de la F.H.P en unión monolítica y articulada fija. TIPO DE UNIÓN VOLUMEN (m3) c1 Articulada flexible 15.000 0,04 Articulada flexible 25.000 0,02 Articulada flexible 40.000 0,02 Articulada flexible 60.000 0,01 Tabla 2.9.- Valores propuestos por Viulardell (1994) para el parámetro c1 de la F.H.P en unión articulada flexible. 2.5.2.2.- Definición de la Función Uniforme de Pretensado (FUP) La fuerza de pretensado total en la función FUP es: Ptot,FUP = β·σres·h·Hω (2.45) siendo β un coeficiente corrector, σres la tensión de compresión circunferencial adicional mínima, h el espesor de la pared y Hω la altura libre de agua. Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 70 Hay que tener en cuenta que cuando la unión en la base es fija, no es posible obtener un estado uniforme de tensiones, debiéndose definir un tramo inicial de pared de altura Hinf, en la que se admiten compresiones inferiores a σres. Con todo ello, se recomiendan los valores de la tabla 2.10. UNIÓN DOMINIO VOLUMEN 3 Monolítica 3 ≤ D/Hω ≤ 7 σres Hinf: 2 (m ): (N/mm ): < 2.000 1,0 COEFICIENTE β: 0,05·Hω 0,53·(D/Hω) + 0,15 Monolítica 3 ≤ D/Hω ≤ 7 2.000 a 0,5 0,05·Hω 8.000 Monolítica 3 ≤ D/Hω ≤ 7 8.000 a 0,15 1,0 0,10·Hω 15.000 Articulada fija 3 ≤ D/Hω ≤ 9 < 2.000 0,53·(D/Hω) + 0,28·(D/Hω) + 0,38 1,0 0,05·Hω 0,42·(D/Hω) + 0,12 Articulada fija 3 ≤ D/Hω ≤ 9 2.000 a 0,5 0,05·Hω 8.000 Articulada fija 3 ≤ D/Hω ≤ 9 8.000 a 0,12 1,0 0,10·Hω 15.000 Articulada fija 3 ≤ D/Hω ≤ 9 > 15.000 0,42·(D/Hω) + 0,17·(D/Hω) + 0,62 0,5 0,10·Hω 0,17·(D/Hω) + 0,62 Articulada 3 ≤ D/Hω ≤ 9 Cualquiera flexible 0,5 a 2,0 0 0,03·(D/Hω) + 0,96 Tabla 2.10.- Diferentes valores propuestos por Vilardell (1994) para la función F.U.P. En las uniones articuladas flexibles el rango de validez para la tensión residual se mueve entre 0,5 y 2,0 N/mm2; aunque como criterio general se adopta un valor de la tensión residual de σres = 1,0 N/mm2, aumentandose en el caso de prever gradientes térmicos importantes. La forma que tiene esta función FUP es: Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 71 i) En el caso de unión monolítica y unión articulada fija: Es un rectángulo en el tramo superior de pared y un triangulo en el tramo inferior, de tal manera que la función es nula en el pie de la pared. La base total del triangulo mide B’, y su altura a1·Hω; mientras que el rectángulo tiene un ancho de a5·B’. El área de toda esta figura será Ptot,FUP. Los valores de los coeficientes a1 y a5, se obtienen de la tabla 2.11. UNIÓN DOMINIO Hinf: a1 : a5 : Monolítica 3 ≤ D/Hω ≤ 5 0,10·Hω 0,27 0,21 Monolítica 5 ≤ D/Hω ≤ 7 0,10·Hω 0,32 0,15 Monolítica 3 ≤ D/Hω ≤ 5 0,05·Hω 0,15 0,06 Monolítica 5 ≤ D/Hω ≤ 7 0,05·Hω 0,17 0,04 Articulada fija 3 ≤ D/Hω ≤ 5 0,10·Hω 0,25 0,28 Articulada fija 5 ≤ D/Hω ≤ 7 0,10·Hω 0,31 0,21 Articulada fija 7 ≤ D/Hω ≤ 9 0,10·Hω 0,38 0,17 Articulada fija 3 ≤ D/Hω ≤ 5 0,05·Hω 0,17 0,11 Articulada fija 5 ≤ D/Hω ≤ 7 0,05·Hω 0,20 0,08 Articulada fija 7 ≤ D/Hω ≤ 9 0,05·Hω 0,23 0,06 Tabla 2.11.- Valores propuestos por Vilardell para los parámetros a1 y a5 de la F.U.P en unión monolítica y articulada fija. ii) En el caso de unión articulada flexible: Es un rectángulo con una ligera concentración de fuerza de pretensado cerca del apoyo. En concreto, a 0,03·Hω se dispone un valor de 0,15·Ptot,FUP; en el resto del rectángulo dispondremos 0,85·Ptot,FUP. 2.5.3.- Eficacia del pretensado El empuje hidrostático del agua genera un estado de tracciones en la pared del depósito Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 72 que sigue la ley Nφ(x) (ecuación 2.24). Para hacer frente a ella, aplicamos fuerzas puntuales de pretensado, cuya magnitud y distribución vendrán fijadas por la función óptima de pretensado. Esta función óptima determina un volumen total de pretensado de: Ptot,FHP + Ptot,FUP, que siempre será superior a la integral de Nφ(x). Por su parte, cuando se aplica una fuerza de pretensado Pk en la ordenada xi, se genera un estado de esfuerzos de compresión en la pared del depósito, que sigue una ley análoga a Nφ(x); en concreto, sigue las leyes Nφ(x)=Nφ1(x) ∪ Nφ2(x) que exponemos en el apartado 3.5 del tercer capítulo. Repitiendo la misma operación para cada tendón y superponiendo los resultados, podremos encontrar la ley de axiles anulares de compresión originados por el pretensado, que llamaremos Nφpret(x). Llamamos eficacia del pretensado a la relación entre la integral de los axiles anulares de compresión originados por el pretensado y la fuerza total de pretensado aplicada, o sea: Eficacia = ∫ Nϕ pret ( x)dx Ptot , FHP + Ptot , FUP (2.46) A mayor eficacia, más se garantiza que el pretensado se invierta en comprimir anularmente la pared y menor será el comportamiento de flexión de la misma, que en definitiva, es lo que interesa. Se ha encontrado una relación entre la eficacia y la esbeltez D/Hω del depósito. Cuanto mayor es la esbeltez de un depósito, menor es la eficacia. De ahí, la necesidad de limitar la esbeltez a valores de D/Hω ≤ 7 en el caso de unión monolítica, y D/Hω ≤ 9 en el caso de unión articulada fija y unión articulada flexible. Boixereu (1988) ha encontrado las siguientes relaciones D/Hω que minimizan el coste del depósito: - Para depósitos de V=1.000 m3 el valor óptimo de D/Hω es aproximadamente de 3,7. Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 73 - Para depósitos de V=4.000 m3 el valor óptimo de D/Hω es aproximadamente de 4,5. - Para depósitos de V=7.000 m3 el valor óptimo de D/Hω es aproximadamente de 5,5. Por otra parte, los máximos valores de la eficacia se encuentran claramente en los depósitos con unión articulada flexible. 2.5.4.- Pérdidas del pretensado Supongamos un tendón de pretensado situado en la ordenada xi. Si los cordones son del tipo Y 1860S7 se le puede tirar con una fuerza máxima de P0 = (209,3 ó 195,0 ó 139,5)·n KN; mientras que si los cordones son del tipo Y 1770S7, la fuerza máxima será de P0 = 198,8·n KN, siendo n el número de cordones que constituyen el tendón. Ahora bien, esta fuerza no se mantiene indefinida en el tiempo, pues existen pérdidas que rebajan su valor, y que debemos ser capaces de evaluar correctamente. Para ello seguiremos la vigente Instrucción EHE. 2.5.4.1.- Pérdidas instantáneas Las pérdidas instantáneas son aquellas que se producen durante la operación de tesado y en el momento del anclaje de las armaduras activas. 2.5.4.1.1.- Pérdidas de fuerza por rozamiento Se deben al rozamiento de los cordones con la vaina. Suelen ser las pérdidas más importantes, y se evaluan con la siguiente expresión: ∆P1(α) = P0 ·(1 − e − µ ·α − k ·α · R ) (2.47) Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 74 siendo: P0: fuerza de tesado en el anclaje. µ: coeficiente de fricción angular, en rad-1. Para una orientación sobre sus valores ver la tabla 2.3. α: valor del ángulo girado por el tendón entre el anclaje y la sección considerada, en rad. k: coeficiente de fricción parásito, en m-1. Para una orientación sobre sus valores ver la tabla 2.3. R: radio de la circunferencia descrita por el tendón ≈ radio del depósito, en m. 2.5.4.1.2.- Pérdidas por penetración de cuñas Aparecen al liberar la fuerza del gato y transferir la tensión del acero al hormigón mediante el elemento de anclaje. La transferencia produce, inevitablemente, un cierto deslizamiento de éste (penetración de cuña), que provoca una distensión en el tendón. Se trata de un triangulo de pérdida de fuerza situado en el anclaje, cuya base mide: ( ∆P2(α=0) = 2· P0 · 1 − e − µ ·α p − k ·α p · R ) (2.48) y cuya altura es R·αp, o sea, la longitud de influencia de la penetración de cuña. Y precisamente el valor de αp, se obtiene de manera iterativa de la siguiente ecuación: a= ∆P2 ·R·α p 2·E p · A p (2.49) siendo: a: penetración de la cuña. Se adopta entre 4 y 6 mm. Ep: módulo de deformación longitudinal de la armadura activa; Ep = 190.000 Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 75 N/mm2. Ap: sección de la armadura activa. 2.5.4.1.3.- Pérdidas por acortamiento elástico del hormigón Son pérdidas debidas al acortamiento elástico de la lámina al dar tensión sucesivamente a los tendones. Se pueden estimar mediante la siguiente expresión que figura en la Instrucción EHE: ∆P3 = σ cp · n − 1 A p ·E p · 2·n E cj (2.50) Aunque en general, como valor medio se puede adoptar: ∆P3 = 0,025·P0. (2.51) 2.5.4.2.- Pérdidas diferidas Las pérdidas diferidas surgen como consecuencia del comportamiento reológico de los materiales en el tiempo, interviniendo en su valoración parámetros de difícil cuantificación. Se evalúan con la siguiente expresión de EHE: ∆Pdif = n·ϕ ·σ cp + E p ·ε cs + 0,8·∆σ pr Ap Ac · y 2p 1 + n· ·1 + Ac Ic ·(1 + χ ·ϕ ) · Ap (2.52) Al estar frente un elemento estructural con atmósfera húmeda (que se traduce en menor retracción y fluencia), y al hecho de que hasta el momento de puesta en tensión de los tendones ya se ha desarrollado una parte de la retracción; en general, como valor medio se puede adoptar: ∆Pdif = 0,10·(P0 - (∆P1 ∪ ∆P2) - ∆P3) (2.53) Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 76 Figura 2.2.- Variación de la fuerza de pretensado en un tendón Si a la fuerza de tesado en el anclaje P0 le restamos las pérdidas instantáneas, obtendremos la que llamaremos fuerza de pretensado inicial Pki. De ella nos interesa su valor más grande. O sea, Pki = P0 - mín(∆P1 ∪ ∆P2) - ∆P3 (2.54) Es fácil comprobar que el valor de mín(∆P1 ∪ ∆P2) coincide con el valor de ∆P1 (α=αp). Y si a la fuerza de tesado en el anclaje P0 le restamos las pérdidas instantáneas y las pérdidas diferidas, obtendremos la que llamaremos fuerza de pretensado final Pk∞. De ella nos interesa su valor más pequeño. O sea, Pk∞ = 0,90 · [P0 - máx(∆P1 ∪ ∆P2) - ∆P3] (2.55) En general, se cumplirá que el valor de máx(∆P1 ∪ ∆P2) coincide con el valor de ∆P1 en la sección más alejada del anclaje. A la ley de compresiones anulares que genera la fuerza de pretensado inicial en la Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 77 superposición de todos los tendones le llamaremos Nφpret,i(x), y a la generada por la fuerza de pretensado final Nφpret,∞(x). 2.5.5.- Optimización de la secuencia de tesado Durante el proceso de tesado de los tendones circunferenciales, puede darse la circunstancia de que los esfuerzos máximos de flexión generados superen el valor final de los mismos al final de la fase de tesado. Este fenómeno puede ocasionar diferencias ostensibles entre el valor crítico de los esfuerzos durante la construcción y el valor final de los mismos en servicio. Llombart y Antón (1985) definen un criterio óptimo generalizado, consistente en tesar inicialmente el tendón más próximo al borde superior. A continuación, proponen tesar el tendón en cuya sección el momento flector vertical acumulado sea mínimo. Ahora bien, este criterio se suele incumplir con frecuencia en la práctica, debido a la incomodidad que representa para los operarios. Boixereu (1988) refleja que en depósitos de pequeña capacidad (entre 500 y 8.000 m3) con unión monolítica, el orden de tesado que minimiza los momentos flectores verticales y las operaciones de tesado, consiste en tesar al 100% de arriba a abajo en un contrafuerte y posteriormente en el otro. De todas formas, el tesado óptimo será aquel que en ninguna fase de tesado se superen los esfuerzos máximos alcanzados en la fase de tesado total del depósito. Para ello deberemos analizar cuidadosamente las leyes de esfuerzos Mx(x)=Mx1(x) ∪ Mx2(x), Qx(x)=Qx1(x) ∪ Qx2(x) generadas por cada una de las fuerzas puntuales de pretensado que exponemos en el apartado 3.5 del siguiente capítulo. 2.5.6.- Optimización del número de contrafuertes El trazado en planta de los tendones tiene que presentar el suficiente número de anclajes Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 78 para evitar pérdidas excesivas en la fuerza de pretensado. Es por ello que el número de contrafuertes (recrecido localizado de la pared donde se anclarán los tendones) suele aumentar con el diámetro del depósito. Los depósitos pequeños, de hasta 1.000 m3 de volumen, suelen ejecutarse con 1 solo contrafuerte donde se anclan todos los tendones. Boixereu (1988) sugiere que en depósitos de pequeña capacidad (entre 500 y 8.000 m3) se dispongan dos contrafuertes con trazado de los tendones de 360º, y anclajes alternos entre alturas consecutivas. Para depósitos de mayor capacidad, una solución ampliamente aceptada consiste en disponer cuatro contrafuertes, con el trazado de los tendones a 180º y alternando los anclajes en alturas consecutivas. Figura 2.3.- Diferentes posibilidades de disposición de los contrafuertes y trazado de los tendones de pretensado 2.5.7.- Posición de los tendones de pretensado Siempre deberemos disponer los tendones de pretensado lo más al exterior del núcleo central de la pared que sea posible. Ello es para minimizar los efectos del llamado Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 79 empuje al vacío que podrían romper el recubrimiento de hormigón. Así pues, el valor de “e”, o sea, la distancia entre el c.g. de las armaduras activas y el c.g. de la sección, vendrá acotado por el Estado Límite de Servicio, que analizaremos en el siguiente apartado. Por otra parte, no se aceptaran separaciones entre tendones adyacentes superiores al triple del espesor de la pared. 2.5.8.- Comprobación de la pared en Estado Límite de Servicio (armadura activa horizontal) En este apartado abordaremos la resolución de la combinación de acciones C6 y C7 que ya mencionamos en 2.2.3.2 Gracias a la función óptima de pretensado podemos determinar el volumen total de pretensado a disponer en la pared del depósito: Ptot,FHP + Ptot,FUP. Ahora bien, para cada uno de los tendones de la pared, se deberá garantizar que se cumple el Estado Límite de Servicio preconizado por la Instrucción EHE. Así pues: σ(x=xi) = σ(x=xi) = 1,10·N ϕpret ,i ( x = xi ) h + 0,90·N ϕpret ,∞ ( x = xi ) h 1,10·6· N ϕpret ,i ( x = xi )·e − h2 > -0,60·fckj 0,90·6·N ϕpret ,∞ ( x = xi )·e h2 + N ϕ ( x = xi ) h (2.56) <0 (2.57) siendo: σ(x = xi): valor de la tensión en la pared del depósito en la posición del tendón situado en la ordenada x=xi. Nφpret,i(x = xi): valor del axil de compresión generado por la superposición de las fuerzas de pretensado inicial Pki, en el tendón de ordenada xi. Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 80 Nφpret,∞(x = xi): valor del axil de compresión generado por la superposición de las fuerzas de pretensado final Pk∞, en el tendón de ordenada xi. Nφ(x = xi): valor del axil de tracción generado por el empuje hidrostático, en el tendón de ordenada x = xi. h: espesor de la pared. e: distancia del c.g. de las armaduras activas al c.g. de la sección. fckj: resistencia característica del hormigón para la edad j correspondiente al momento de puesta en carga de las armaduras activas. Y en el caso que no se cumpla el Estado Límite de Servicio tendremos que incrementar el volumen de pretensado respecto a lo marcado por la función óptima con sus valores de Ptot,FHP + Ptot,FUP. De esta manera podremos encontrar el valor más adecuado de “e”, y por tanto, determinar la posición de los tendones de pretensado en el sentido radial. 2.5.9.- Cálculo de la pared en Estado Límite Último de flexión (armadura pasiva vertical) Los esfuerzos verticales de flexión en las paredes, así como los esfuerzos de cortante, son debidos a la acción de los tendones de pretensado, presión hidrostática del agua y fenómenos reológicos. Originan una fisuración horizontal, que debe solucionares con armadura pasiva vertical. 2.5.9.1.- Determinación del momento flector Para resolver la combinación de acciones C8: 1,35x(Empuje hidrostático) + 1,00x(Esfuerzos adicionales debidos al pretensado a tiempo inicial ó a tiempo final) ya mencionada en el anterior apartado 2.2.3.2, procederemos así: Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 81 Mxd(x) = 1,35·Mx(x) del apartado 3.2 + n ∑ 1,00·Mx(x) del apartado 3.5 para los n i =1 tendones tesados con Pki, o bien tesados con Pk∞ (según sea más desfavorable) (2.58) Para resolver la combinación de acciones C9: 1,50x(Empuje de tierras) + 1,00x(Esfuerzos adicionales debidos al pretensado a tiempo inicial ó a tiempo final) procederemos de forma análoga: i) En el caso de tener el nivel de tierras Ht = H: Mxd(x) = 1,50·Mx(x) del apartado 3.3 + n ∑ 1,00·Mx(x) del apartado 3.5 para los n i =1 tendones tesados con Pki, o bien tesados con Pk∞ (según sea más desfavorable) (2.59) ii) En el caso de tener el nivel de tierras Ht < H: n Mxd(x) = 1,50·Mx(x) del apartado 3.4 + ∑ 1,00·Mx(x) del apartado 3.5 para los n i =1 tendones tesados con Pki, o bien tesados con Pk∞ (según sea más desfavorable) (2.60) 2.5.9.2.- Cálculo de la armadura de flexión Para conocer la armadura de flexión en la posición vertical interior, se busca la envolvente de la ley de momentos flectores verticales del lado interior en la unión de las combinaciones C8 y C9 (dado que ambas pueden dejar una parte de su ley en el lado interior), y haciendo uso de las ecuaciones (2.58) y (2.59) ó (2.60) que nos proporcionan los diferentes valores de Mxd(x), se calcula la armadura necesaria Av1 con el método parábola rectángulo. Para conocer la armadura de flexión en la posición vertical exterior, se busca la envolvente de la ley de momentos flectores verticales del lado exterior en la unión de las combinaciones C8 y C9 (dado que ambas pueden dejar una parte de su ley en el lado Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 82 exterior), y haciendo uso de las mismas ecuaciones (2.58) y (2.59) ó (2.60) que nos proporcionan los diferentes valores de Mxd(x), se calcula la armadura necesaria Av3 con el método parábola rectángulo. 2.5.10.- Cálculo de la pared en Estado Límite Último de esfuerzo cortante 2.5.10.1.- Determinación del esfuerzo cortante Para resolver la combinación de acciones C8: 1,35x(Empuje hidrostático) + 1,00x(Esfuerzos adicionales debidos al pretensado a tiempo inicial ó a tiempo final), procederemos así: Qxd(x) = 1,35·Qx(x) del apartado 3.2 + n ∑ 1,00·Qx(x) del apartado 3.5 para los n i =1 tendones tesados con Pki, o bien tesados con Pk∞ (según sea más desfavorable) (2.61) Para resolver la combinación de acciones C9: 1,50x(Empuje de tierras) + 1,00x(Esfuerzos adicionales debidos al pretensado a tiempo inicial ó a tiempo final) procederemos de forma análoga: i) En el caso de tener el nivel de tierras Ht = H: Qxd(x) = 1,50·Qx(x) del apartado 3.3 + n ∑ 1,00·Qx(x) del apartado 3.5 para los n i =1 tendones tesados con Pki, o bien tesados con Pk∞ (según sea más desfavorable) (2.62) ii) En el caso de tener el nivel de tierras Ht < H: n Qxd(x) = 1,50·Qx(x) del apartado 3.4 + ∑ 1,00·Qx(x) del apartado 3.5 para los n i =1 tendones tesados con Pki, o bien tesados con Pk∞ (según sea más desfavorable) (2.63) Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 83 2.5.10.2.- Cálculo de la armadura de cortante En depósitos cilíndricos pretensados también adoptaremos el criterio de que el máximo esfuerzo cortante pueda ser absorbido por la contribución del hormigón Vcu, con lo que no será necesario disponer cercos, y además, acotaremos inferiormente el espesor de la pared. Recordemos que la contribución del hormigón a la resistencia a esfuerzo cortante es, según EHE: P Vcu = 0,12.ξ .3 100.ρ l . f ck − 0,15· k∞ Ac .b0 .d (en N/m) (2.64) 2.5.11.- Comprobación de la pared en Estado Límite de Servicio de fisuración Se trata de resolver este Estado Límite de Servicio, según las combinaciones C10: 1,00x(Empuje hidrostático) + 1,00x(Esfuerzos adicionales debidos al pretensado a tiempo inicial ó a tiempo final) y C11: 1,00x(Empuje de tierras) + 1,00x(Esfuerzos adicionales debidos al pretensado a tiempo inicial ó a tiempo final) que ya hemos mencionado en el anterior apartado 2.2.3.2 Para resolver la combinación de acciones C10 usaremos los mismos momentos flectores verticales que ya hemos encontrado en la combinación C8, pero en este caso, sin mayorar. Análogamente, para resolver la combinación de acciones C11 usaremos los momentos flectores verticales sin mayorar de la combinación C9. Para conocer la armadura de fisuración en la posición vertical interior, se busca la armadura Av2 necesaria para que la envolvente de momentos flectores verticales del lado interior en la unión de las combinaciones C10 y C11 produzca una abertura de fisura wk ≤ 0,2 ó 0,1 mm. según el criterio de fisuración adoptado. Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 84 Para conocer la armadura de fisuración en la posición vertical exterior, se busca la armadura Av4 necesaria para que la envolvente de momentos flectores verticales del lado exterior en la unión de las combinaciones C10 y C11 produzca una abertura de fisura wk ≤ 0,2 ó 0,1 mm. según el criterio de fisuración adoptado. 2.5.12.- Disposición de las armaduras en la pared del depósito 2.5.12.1.- Armadura activa de la pared en la posición horizontal 1) Se busca la función óptima de pretensado, con lo que podremos determinar el volumen total de pretensado a disponer en la pared del depósito: Ptot,FHP + Ptot,FUP, así como la distribución de los tendones en altura. 2) Se comprueba que cada uno de los tendones cumple el Estado Límite de Servicio según las ecuaciones (2.56) y (2.57). 2.5.12.2.- Armadura pasiva de la pared en la posición vertical interior 1) La armadura necesaria por flexión es Av1. 2) Con la armadura Av2 se garantiza una abertura de fisura wk ≤ 0,2 ó 0,1 mm. según el criterio de fisuración adoptado. 3) La armadura mínima Avmín1 cumple la cuantía establecida de ρmín,flexión = 0,0015 ó 0,0020 según el criterio de fisuración adoptado. Entonces, la armadura vertical que deberemos disponer en la cara interior será el máx(Av1;Av2;Avmín1). Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 85 2.5.12.3.- Armadura pasiva de la pared en la posición vertical exterior 1) La armadura necesaria por flexión es Av3. 2) Con la armadura Av4 se garantiza una abertura de fisura wk ≤ 0,2 ó 0,1 mm. según el criterio de fisuración adoptado. 3) La armadura mínima Avmín2 cumple la cuantía establecida de ρmín,flexión = 0,0015 ó 0,0020 según el criterio de fisuración adoptado. Entonces, la armadura vertical que deberemos disponer en la cara exterior será el máx(Av3;Av4;Avmín2). 2.5.12.4.- Armadura pasiva de la pared en la posición horizontal Se busca la armadura mínima Ahmín que cumpla la cuantía establecida de ρmín = 0,0008, tanto para la cara exterior como para la cara interior. Recordemos que en un depósito pretensado la pared debe estar permanentemente comprimida anularmente, de ahí que la armadura horizontal mínima sea un valor pequeño, y coincidente con la que figura en EHE para muros convencionales 2.5.12.5.- Armadura de cortante Definiremos un espesor de pared tal que los valores del esfuerzo cortante Qxd(x) que nos proporcionan las ecuaciones (2.61) y (2.62) ó (2.63) sean inferiores a la contribución del hormigón, y por tanto, evitemos disponer cercos. Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 86 2.5.13.- Análisis de la interacción pared-solera-terreno en uniones monolíticas Cuando la unión pared-solera es articulada flexible o articulada fija, el giro de la pared es prácticamente independiente del de la solera. Ante esta situación, variaciones en el espesor de la solera o la rigidez del terreno no afectan apenas al comportamiento estructural de la misma. Cuando la unión es monolítica, el comportamiento de la pared del depósito es mucho más sensible a variaciones en el espesor de la solera o la rigidez del terreno. Suponer que el terreno es indeformable equivale a definir un empotramiento perfecto del giro en la base de la pared. Esta condición de contorno conduce a resultados poco precisos en relación a los esfuerzos realmente existentes en la pared. Un aumento del espesor de la solera conlleva un aumento del grado de empotramiento de la pared en su base, disminuyendo la integral de axiles anulares, y aumentando los esfuerzos de flexión (momento y cortante) en la base. Por tanto, considerar un empotramiento perfecto de las paredes del depósito en la base nos conduce a un sobredimensionamiento de la armadura pasiva vertical. Con un modelo de interacción que contemple el comportamiento conjunto pared-soleraterreno, el momento flector puede llegar a disminuirse hasta un 80% del correspondiente a la hipótesis de contorno de empotramiento perfecto, mientras que el esfuerzo cortante puede disminuirse hasta un 45%. Un método desarrollado para los casos de empuje hidrostático y pretensado circunferencial (en la función FHP), de uso muy extendido, consiste en idealizar la unión en la base de la pared con un empotramiento perfecto, y aplicarle un coeficiente reductor que contemple la interacción pared-solera-terreno, acercando los resultados a la realidad. Así pues: Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 87 i) Para el empuje hidrostático: M xω(real ) = ηh· M xω( empotramientoperfecto ) (2.65) Qrω(real ) = ξh· Qxω( empotramientoperfecto ) (2.66) ii) Para el pretensado circunferencial (en la función FHP): , FHP Pk , FHP M xPk( real ) = ηp· M x ( empotramientoperfecto ) (2.67) , FHP Pk , FHP Q xPk( real ) = ξp· Q x ( empotramientoperfecto ) (2.68) siendo: ηh = A·e B ·( hs ) C (2.69) ξh = D·e E ·( hs ) F (2.70) I (2.71) L (2.72) ηp = G·e H ·( hs ) ξp = J ·e K ·( hs ) con: 0 , 48 1 + 2,27·e −1, 26·k A= 0,97 − 3,46·10 − 4 ·h1,99 0 , 21 (2.73) 1 + 12,58·e −3,81·k D= 0,52 + 0,20·h 0,19 (2.76) B = − (3,55·10 −2 + 4,38·10 −4 ·h) −1 (2.74) E = − (0,15 + 4,51·10 −4 ·h) −1 (2.77) C = − 3,08 + 0,66·h 0,34 (2.75) F = − 2,33 + 0,76·h 0,18 (2.78) 3,78·e −2,32·k G= 0,63 − 3,90·10 −6 ·h 2,91 (2.79) 4,05·e −1,86·k J= 0,52 + 1,96·10 − 4 ·h1,88 (2.82) H = − (1,09·10 −2 + 8,62·10 −4 ·h) −1 (2.80) K = − (0,36 + 1,29·10 −3 ·h) −1 (2.83) I = − 3,57 + 0,90·h 0,30 (2.81) L = − 1,05 + 0,51·h 0,0539 (2.84) −0 , 0966 con: −0 , 0638 Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 88 h: espesor de la pared expresado en cm. hs: espesor de la solera expresado en cm. k: módulo de balasto de la explanada expresado en kp/cm3. De manera muy orientativa podemos adoptar los siguientes valores: para una explanada de calidad mala k≈1,0 kp/cm3; para una explanada de calidad media k≈2,5 kp/cm3; y si la explanada es de calidad buena k≈5 a 10 kp/cm3. 2.5.14.- Cálculo del campo de desplazamientos y esfuerzos en la pared en uniones monolíticas con análisis de interacción pared-solera-terreno Debemos ser capaces de evaluar el campo de desplazamientos y esfuerzos en la pared del depósito, en el caso desechar una unión monolítica perfecta y suponer un comportamiento conjunto pared-solera-terreno: i) Pared solicitada por el empuje hidrostático: Resolveremos el sistema de ecuaciones planteado en el apartado 3.2.1 del siguiente capítulo, obteniendo el campo de desplazamientos y esfuerzos correspondiente a un empotramiento perfecto. Al valor del máximo momento flector y esfuerzo cortante de la base le aplicaremos la reducción establecida en las ecuaciones (2.65) y (2.66). ii) Pared solicitada por el empuje de tierras: Resolveremos el sistema de ecuaciones planteado en los apartados 3.3.1 ó bien 3.4.1, del siguiente capítulo, obteniendo el correspondiente campo de desplazamientos y esfuerzos, y sin aplicar ningún tipo de reducción. iii) Pared solicitada por el pretensado: La solución no es tan inmediata, debido a la discontinuidad de las cargas puntuales a lo largo de la pared. El procedimiento más rápido para conocer el comportamiento de la Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 89 pared consiste en: iii.1) Para los tendones correspondientes a la función FUP no se aplicará ninguna reducción, y se tendrá que resolver el sistema de ecuaciones planteado en el apartado 3.5.1 del siguiente capítulo para cada tendón individual, y superponiendo posteriormente los resultados. En este caso, aceptamos una unión pared-solera perfecta. iii.2) Para los tendones correspondientes a la función FHP se superpondrán dos estados: en primer lugar se calculará la pared suponiendo la unión perfectamente empotrada y resolviendo el mismo sistema del apartado 3.5.1; y seguidamente, se superpondrá a lo anterior, el estado de tener la pared con ambos bordes libres y solicitada en su borde inferior por: , FHP ∆M = (ηp-1)· M xPk( empotramie ntoperfecto ) (2.85) , FHP ∆Q = (ξp-1)· QxPk( empotramie ntoperfecto ) (2.86) Para encontrar los desplazamientos y esfuerzos de este segundo estado, será necesario conocer el desplazamiento radial: ω(x) = C1.eλxcos(λx) + C2.eλx.sin(λx) + C3.e-λx.cos(λx) + C4.e-λx.sin(λx) con la resolución del siguiente sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas: M x ( x = 0) = ∆M Q ( x = 0) = ∆Q x M x ( x = H ω ) = 0 Q x ( x = H ω ) = 0 (2.87) Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 90 a11 a12 a13 a14 C1 ∆M / 2·D·λ2 a 21 a 22 a 23 a 24 C 2 ∆Q / 2·D·λ3 a a a a · C = 31 32 33 34 3 0 a a a a C 0 41 42 43 44 4 a11 = 0 a12 = -1 a13 = 0 a22 = -1 a23 = -1 a21 = 1 λHω a31 = e .sin(λHω) a14 = 1 a24 = -1 λHω a32 = -e .cos(λHω) a33 = -e-λHω.sin(λHω) a41 = eλHω.(cos(λHω)+sin(λHω)) a43 = e-λHω.(-cos(λHω)+sin (λHω)) a34 = e-λHω.cos(λHω) a42 = eλHω.(-cos(λHω)+sin(λHω)) a44 = e-λHω.(-cos(λHω)-sin (λHω)) Démonos cuenta que con la superposición de estos dos estados, los esfuerzos que tendremos en la base serán precisamente: , FHP Pk , FHP Mx(x=0) = M xPk( real ) = ηp· M x ( empotramientoperfecto ) (2.88) , FHP Pk , FHP Qx(x=0) = Q xPk( real ) = ξp· Q x ( empotramientoperfecto ) (2.89) 2.6.- ANÁLISIS DE LA SOLERA 2.6.1.- Cálculo de la solera en estado Límite Último de flexión 2.6.1.1.- Determinación del momento flector En el caso de que los muros perimetrales y los pilares centrales tengan la zapata independiente del resto de la solera, está se calculará por los procedimientos habituales de cálculo de zapatas en muros o pilares. Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 91 Cuando la solera sea de espesor constante la discretizaremos por medio de una estructura de nudos y barras apoyada sobre un lecho elástico. La discretización más simple, ya hemos visto anteriormente que puede consistir en una viga de ancho unidad. Asignaremos a las barras de la estructura sus correspondientes características mecánicas de área e inercia. En cuanto a las coacciones, los dos nudos del extremo estarán simplemente apoyados, mientras que los nudos centrales, que según Girkmann son los únicos que permanecen apoyados sobre el terreno (ver apartado 2.2.4) estarán descansando sobre un muelle de rigidez vertical Kx = k·A, siendo k el módulo de balasto del terreno y A el área de influencia del muelle. Y finalmente, las acciones a contemplar serán: 1) Para resolver la primera combinación de acciones C12: 1,50x(Peso propio) + 1,50x(Carga hidrostática) + 1,50x(Msh) + 1,00x(Msp), ya mencionada en el anterior apartado 2.2.5, aplicaremos sobre la estructura: - qsd = γf·qs = 1,50·qs aplicado en todas las barras. (2.90) - qωd = γf·qω = 1,50·qω aplicado en todas las barras. (2.91) - Mshd = γf·Msh = 1,50·Msh aplicado en los dos nudos extremos. (2.92) - Mspd = γf·Msp = 1,00·Msp aplicado en los dos nudos extremos. (2.93) 2) Para resolver la segunda combinación de acciones C13: 1,50x(Peso propio) + 1,60x(Mst) + 1,00x(Msp), aplicaremos sobre la estructura: - qsd = γf·qs = 1,50·qs aplicado en todas las barras. (2.94) - Mstd = γf·Mst = 1,60·Mst aplicado en los dos nudos extremos. (2.95) - Mspd = γf·Msp = 1,00·Msp aplicado en los dos nudos extremos. (2.96) La resolución de esta estructura con el uso de las combinaciones C12 y C13 nos permitirá encontrar los momentos flectores de la solera del depósito. Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 92 2.6.1.2.- Cálculo de la armadura de flexión Para conocer la armadura de flexión en la cara superior, se busca la envolvente de la ley de momentos flectores de la cara superior en la unión de las combinaciones C12 y C13 (dado que ambas pueden dejar una parte de su ley en la cara superior), y se calcula la armadura necesaria As1 con el método parábola rectángulo. Para conocer la armadura de flexión en la cara inferior, se busca la envolvente de la ley de momentos flectores de la cara inferior en la unión de las combinaciones C12 y C13 (dado que ambas pueden dejar una parte de su ley en la cara inferior), y se calcula la armadura necesaria As4 con el método parábola rectángulo. 2.6.2.- Cálculo de la solera en estado Límite Último de esfuerzo cortante Haciendo uso de la discretización de la solera mencionada en el apartado anterior, buscaremos el máximo valor del esfuerzo cortante Qsdmáx, y comprobaremos que puede ser absorbido por la contribución del hormigón Vcu sin necesidad de cercos. 2.6.3.- Cálculo de la solera en Estado Límite Último de tracción simple Se trata de resolver el Estado Límite Último de tracción simple, recogido en la combinación C14: 1,00x(Nsh) + 1,00x(Nsp), que ya mencionamos en el apartado 2.2.5. El esfuerzo de tracción que se origina en la solera del depósito será: Nsd = γf·Nsh+ γf·Nsp = 1,00·Nsh+ 1,00·Nsp (2.97) La no mayoración de esta acción se debe al hecho de adoptar una tensión en el acero de tan solo σs = 100 ó 130 N/mm2. Con todo ello obtendremos una armadura de: Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 93 As3 = N sd σs (2.98) 2.6.4.- Comprobación de la solera en Estado Límite de Servicio de fisuración Se trata de resolver este Estado Límite de Servicio, según las combinaciones C15: 1,00x(Peso propio) + 1,00x(Carga hidrostática) + 1,00x(Msh) + 1,00x(Msp) y C16: 1,00x(Peso propio) + 1,00x(Mst) + 1,00x(Msp), que ya hemos mencionado en el anterior apartado 2.2.5. Para resolver la combinación de acciones C15 usaremos los mismos momentos flectores que ya hemos encontrado en la combinación C12, pero en este caso, sin mayorar. Análogamente, para resolver la combinación de acciones C16 usaremos los momentos flectores sin mayorar de la combinación C13. Para conocer la armadura de fisuración en la cara superior, se busca la armadura As2 necesaria para que la envolvente de momentos flectores de la cara superior en la unión de las combinaciones C15 y C16 produzca una abertura de fisura de wk ≤ 0,2 ó 0,1 mm. según el criterio de fisuración adoptado. Para conocer la armadura de fisuración en la cara inferior, se busca la armadura As5 necesaria para que la envolvente de momentos flectores de la cara inferior en la unión de las combinaciones C15 y C16 produzca una abertura de fisura de wk ≤ 0,2 ó 0,1 mm. según el criterio de fisuración adoptado. 2.6.5.- Disposición de las armaduras en la solera del depósito 2.6.5.1.- Soleras rectangulares 2.6.5.1.1.- Armadura de la solera en la cara superior Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 94 1) La armadura necesaria por flexión es As1. 2) Con la armadura As2 se garantiza una abertura de fisura wk ≤ 0,2 ó 0,1 mm. según el criterio de fisuración adoptado. 3) La armadura mínima Asmín1 cumple la cuantía establecida de ρmín,flexión = 0,0015 ó 0,0020 según el criterio de fisuración adoptado. 4) La armadura necesaria por tracción simple es As3 Entonces, la armadura que deberemos disponer en la cara superior de la solera será el máx(As1;As2;Asmín1) + As3/2. 2.6.5.1.2.- Armadura de la solera en la cara inferior 1) La armadura necesaria por flexión es As4. 2) Con la armadura As5 se garantiza una abertura de fisura wk ≤ 0,2 ó 0,1 mm. según el criterio de fisuración adoptado. 3) La armadura mínima Asmín2 cumple la cuantía establecida de ρmín,flexión = 0,0015 ó 0,0020 según el criterio de fisuración adoptado. 4) La armadura necesaria por tracción simple es As3 Entonces, la armadura que deberemos disponer en la cara inferior de la solera será el máx(As4;As5;Asmín2) + As3/2. 2.6.5.1.3.- Armadura de cortante En soleras rectangulares definiremos un espesor de solera tal que los valores del Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 95 esfuerzo cortante que se obtienen con la combinación de acciones C12 y C13 sea menor que la contribución del hormigón Vcu, y por tanto, evitemos disponer cercos. 2.6.5.2.- Soleras circulares 2.6.5.2.1.- Armadura radial de la solera en la cara superior 1) La armadura necesaria por flexión es As1. 2) Con la armadura As2 se garantiza una abertura de fisura wk ≤ 0,2 ó 0,1 mm. según el criterio de fisuración adoptado. 3) La armadura mínima Asmín1 cumple la cuantía establecida de ρmín,flexión = 0,0015 ó 0,0020 según el criterio de fisuración adoptado. 4) La armadura necesaria por tracción simple es As3 Entonces, la armadura radial que deberemos disponer en la cara superior de la solera será el máx(As1;As2;Asmín1) + As3/2. 2.6.5.2.2.- Armadura radial de la solera en la cara inferior 1) La armadura necesaria por flexión es As4. 2) Con la armadura As5 se garantiza una abertura de fisura wk ≤ 0,2 ó 0,1 mm. según el criterio de fisuración adoptado. 3) La armadura mínima Asmín2 cumple la cuantía establecida de ρmín,flexión = 0,0015 ó 0,0020 según el criterio de fisuración adoptado. 4) La armadura necesaria por tracción simple es As3 Entonces, la armadura radial que deberemos disponer en la cara inferior de la solera será Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 96 el máx(As4;As5;Asmín2) + As3/2. 2.6.5.2.3.- Armadura circunferencial de la solera en la cara superior Coincide con la armadura mínima Asmín1 que cumple la cuantía de ρmín,flexión = 0,0015 ó 0,0020 según el criterio de fisuración adoptado. 2.6.5.2.4.- Armadura circunferencial de la solera en la cara inferior Coincide con la armadura mínima Asmín2 que cumple la cuantía de ρmín,flexión = 0,0015 ó 0,0020 según el criterio de fisuración adoptado. 2.6.5.2.5.- Armadura de cortante Igualmente en soleras circulares definiremos un espesor de solera tal que los valores del esfuerzo cortante que se obtienen con la combinación de acciones C12 y C13 sea menor que la contribución del hormigón Vcu, y por tanto, evitemos disponer cercos. Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 97 CAPÍTULO 3 HERRAMIENTAS PARA FACILITAR EL CÁLCULO DE DEPÓSITOS CILÍNDRICOS 3.1.- INTRODUCCIÓN Al estudiar los depósitos cilíndricos de hormigón armado ya planteamos las leyes de desplazamientos radiales ω(x), giros θx(x) y esfuerzos Nφ(x), Mx(x), Mφ(x) y Qx(x). Recordemos que se trata de las ecuaciones (2.22), (2.23), (2.24), (2.25), (2.26) y (2.27) para el caso de empuje hidrostático, y de las ecuaciones (2.22), (2.28), (2.29), (2.25), (2.26) y (2.27) para el caso de empuje de tierras. Seguidamente y para simplificar la resolución del problema, se hicieron unas hipótesis Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 98 consideradas aceptables en depósitos convencionales de hormigón armado, como eran suponer la lámina infinitamente larga, con lo que las constantes C1 y C2 eran nulas; y que la pared estaba empotrada en una cimentación absolutamente rígida. En el siguiente capítulo se quiere abordar aquel mismo problema, pero de una manera más generalista, sin suponer nulas las constantes C1 y C2 y contemplando todos los posibles casos de unión pared-solera. Queremos dar todas las herramientas que ayuden al técnico a calcular la pared de un depósito cilíndrico (armado o pretensado), en el caso más general y con las máximas facilidades. 3.2.- PARED SOLICITADA POR EL EMPUJE HIDROSTÁTICO Figura 3.1.- Esquema de la acción del empuje hidrostático contra la pared Ya conocemos el campo de desplazamientos radiales ω(x) para esta hipótesis de carga: ω(x) = C1.eλx.cos(λx) + C2.eλx.sin(λx) + C3.e-λx.cos(λx) + C4.e-λx.sin(λx) - γ ω ·( H ω − x)·R 2 E·h (3.1) Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 99 3.2.1.- Unión monolítica El empotramiento entre la pared y la solera nos lleva a plantear las siguientes condiciones de contorno: ω ( x = 0) = 0 θ ( x = 0) = 0 x M x ( x = H ω ) = 0 Q x ( x = H ω ) = 0 Que supone tener el siguiente sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas (C1,C2,C3 y C4): a11 a12 a13 a14 C1 γ ω ·H ω ·R 2 / E ·h a 21 a 22 a 23 a 24 C 2 − γ ω ·R 2 / E ·h·λ a a a a · C = 0 3 31 32 33 34 a a a a C 41 42 43 44 4 0 a11 = 1 a12 = 0 a13 = 1 a21 = 1 a22 = 1 a23 = -1 a31 = eλHω.sin(λHω) a14 = 0 a24 = 1 a32 = -eλHω.cos(λHω) a33 = -e-λHω.sin(λHω) a41 = eλHω.(cos(λHω)+sin(λHω)) a43 = e-λHω.(-cos(λHω)+sin (λHω)) a34 = e-λHω.cos(λHω) a42 = eλHω.(-cos(λHω)+sin(λHω)) a44 = e-λHω.(-cos(λHω)-sin (λHω)) 3.2.2.- Unión articulada flexible La pared apoya sobre la solera mediante apoyos de neopreno. En este caso, las condiciones de contorno son: M x ( x = 0) = K 2 ·θ x ( x = 0) Q ( x = 0) = K ·ω ( x = 0) x 1 M x ( x = H ω ) = 0 Q x ( x = H ω ) = 0 Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 100 Que supone tener el siguiente sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas (C1,C2,C3 y C4): a11 a12 a13 a14 C1 K 2 ·γ ω ·R 2 / E ·h·λ 2 a a a a C 21 22 23 24 2 K 1 ·γ ω ·H ω ·R / E ·h a a a a · C = 31 32 33 34 3 0 a a a a C 41 42 43 44 4 0 a11 = -K2 a12 = -(2.D.λ + K2) a21 = K1- 2.D.λ3 a31 = eλHω.sin(λHω) a22 = 2.D.λ3 a13 = K2 a14 = (2.D.λ - K2) a23 = K1 + 2.D.λ3 a24 = 2.D.λ3 a32 = -eλHω.cos(λHω) a33 = -e-λHω.sin(λHω) a41 = eλHω.(cos(λHω)+sin(λHω)) a43 = e-λHω.(-cos(λHω)+sin (λHω)) a34 = e-λHω.cos(λHω) a42 = eλHω.(-cos(λHω)+sin(λHω)) a44 = e-λHω.(-cos(λHω)-sin (λHω)) Siendo: K1 la rigidez al desplazamiento radial, en N/m·m, que vale: K1 = a·b·G si hay un único apoyo centrado en la pared. t ·n·s (3.2) K1 = 2·a·b·G si hay dos apoyos separados una distancia d entre ejes. t ·n·s (3.3) Por su parte, K2 es la rigidez al giro, en N·m/m y vale: a 5 ·b·G K2 = si hay un único apoyo centrado en la pared. 75·t 3 ·n·s (3.4) a·b·d 2 ·E n K2 = si hay dos apoyos separados una distancia d entre ejes. 2·t ·n·s (3.5) con: a: dimensión en planta del neopreno según la dirección radial. Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 101 b: dimensión en planta del neopreno según la dirección circunferencial. d: distancia entre ejes en el caso de disponer dos neoprenos. n: número de capas de neopreno. t: espesor de una de las capas de neopreno. G: módulo de rigidez tangencial del neopreno (G≈0,90 N/mm2). En: módulo de deformación del neopreno (En≈600 N/mm2). s: separación entre ejes de neoprenos en la dirección circunferencial. 3.2.3.- Unión articulada fija La pared se introduce en una muesca de la solera, con lo que tiene coartado su desplazamiento horizontal. En este caso, las condiciones de contorno son: ω ( x = 0) = 0 M ( x = 0) = 0 x M x ( x = H ω ) = 0 Q x ( x = H ω ) = 0 Que supone tener el siguiente sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas (C1,C2,C3 y C4): a11 a12 a13 a14 C1 γ ω ·H ω ·R 2 / E·h a 21 a 22 a 23 a 24 C 2 0 a a a a · C = 0 31 32 33 34 3 a a a a C 0 41 42 43 44 4 a11 = 1 a12 = 0 a21 = 0 a22 = -1 a13 = 1 a23 = 0 a14 = 0 a24 = 1 a31 = eλHω.sin(λHω) a32 = -eλHω.cos(λHω) a41 = eλHω.(cos(λHω)+sin(λHω)) a43 = e-λHω.(-cos(λHω)+sin (λHω)) a33 = -e-λHω.sin(λHω) a34 = e-λHω.cos(λHω) a42 = eλHω.(-cos(λHω)+sin(λHω)) a44 = e-λHω.(-cos(λHω)-sin (λHω)) Sea cual sea la unión pared-solera que tengamos, una vez resuelto el sistema, y por Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 102 tanto, conocidas las cuatro constantes de integración C1,C2,C3 y C4, ya nos queda totalmente determinado el campo de desplazamientos y el campo de esfuerzos en la totalidad de la pared solicitada por el empuje hidrostático, solo con aplicar las ecuaciones que ya conocemos: ω(x) = C1.eλx.cos(λx) + C2.eλx.sin(λx) + C3.e-λx.cos(λx) + C4.e-λx.sin(λx) - γ ω ·( H ω − x)·R 2 (3.6) E·h θx(x) = C1.λ.eλx.(cos(λx)-sin(λx)) + C2.λ.eλx.(cos(λx)+sin(λx)) + .λ.e-λx.(-cos(λx)-sin(λx)) + C4.λ.e-λx.(cos(λx)-sin(λx)) + γ ω ·R 2 E ·h (3.7) − E·h λx λx -λx Nφ(x) = · [C1.e .cos(λx) + C2.e .sin(λx) + C3.e .cos(λx) + R -λx C4.e .sin(λx) - γ ω ·( H ω − x)·R 2 E·h ] Mx(x) = 2.D.λ2.[C1.eλx.sin(λx) - C2.eλx.cos(λx) - C3.e-λx.sin(λx) + C4.e-λx.cos(λx)] (3.8) Mφ(x) = ν.Mx(x) (3.9) Qx(x) = 2.D.λ3.[C1.eλx.(cos(λx)+sin(λx)) + C2.eλx.(-cos(λx)+sin(λx)) + C3.e-λx.(-cos(λx)+sin(λx)) + C4.e-λx.(-cos(λx)-sin(λx))] (3.10) Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 103 3.3.- PARED SOLICITADA POR EMPUJE DE TIERRAS CON Ht=H Figura 3.2.- Esquema de la acción del empuje de tierras contra la pared con el nivel del terreno llegando hasta la coronación del muro El campo de desplazamientos radiales ω(x) para esta hipótesis de carga ya es conocido: ω(x) = C1.eλx.cos(λx) + C2.eλx.sin(λx) + C3.e-λx.cos(λx) + C4.e-λx.sin(λx) + γ t ·K a ·( H t − x)·R 2 E·h (3.11) siendo Ka el coeficiente de empuje activo de Rankine que vale: Ka = tg2(45º-ø/2) 3.3.1.- Unión monolítica El empotramiento pared-solera nos lleva a plantear las siguientes condiciones de contorno: Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 104 ω ( x = 0) = 0 θ ( x = 0) = 0 x M x ( x = H t ) = 0 Q x ( x = H t ) = 0 Que supone tener el siguiente sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas (C1,C2,C3 y C4): a11 a12 a13 a14 C1 − γ t ·K a ·H t ·R 2 / E ·h a 21 a 22 a 23 a 24 C 2 γ t ·K a ·R 2 / E ·h·λ a a a a · C = 31 32 33 34 3 0 a a a a C 41 42 43 44 4 0 a11 = 1 a12 = 0 a13 = 1 a21 = 1 a22 = 1 a23 = -1 a31 = eλHt.sin(λHt) a14 = 0 a24 = 1 a32 = -eλHt.cos(λHt) a41 = eλHt.(cos(λHt)+sin(λHt)) a43 = e-λHt.(-cos(λHt)+sin (λHt)) a33 = -e-λHt.sin(λHt) a34 = e-λHt.cos(λHt) a42 = eλHt.(-cos(λHt)+sin(λHt)) a44 = e-λHt.(-cos(λHt)-sin (λHt)) 3.3.2.- Unión articulada flexible La pared apoya sobre la solera mediante apoyos de neopreno. Las condiciones de contorno son: M x ( x = 0) = K 2 ·θ x ( x = 0) Q ( x = 0) = K ·ω ( x = 0) x 1 M x ( x = H t ) = 0 Q x ( x = H t ) = 0 Que supone tener el siguiente sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas (C1,C2,C3 y C4): Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 105 a11 a12 a13 a14 C1 − K 2 ·γ t ·K a ·R 2 / E ·h·λ a 21 a 22 a 23 a 24 C 2 − K 1 ·γ t ·K a ·H t ·R 2 / E ·h a a a a · C = 31 32 33 34 3 0 a a a a C 0 41 42 43 44 4 a11 = -K2 a12 = -(2.D.λ + K2) a21 = K1- 2.D.λ3 a22 = 2.D.λ3 a31 = eλHt.sin(λHt) a13 = K2 a23 = K1 + 2.D.λ3 a32 = -eλHt.cos(λHt) a41 = eλHt.(cos(λHt)+sin(λHt)) a14 = (2.D.λ - K2) a24 = 2.D.λ3 a33 = -e-λHt.sin(λHt) a34 = e-λHt.cos(λHt) a42 = eλHt.(-cos(λHt)+sin(λHt)) a43 = e-λHt.(-cos(λHt)+sin (λHt)) a44 = e-λHt.(-cos(λHt)-sin (λHt)) 3.3.3.- Unión articulada fija La pared se introduce en una muesca de la solera. Las condiciones de contorno son: ω ( x = 0) = 0 M ( x = 0) = 0 x M x ( x = H t ) = 0 Q x ( x = H t ) = 0 Que supone tener el siguiente sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas (C1,C2,C3 y C4): a11 a12 a13 a14 C1 − γ t ·K a ·H t ·R 2 / E·h a 21 a 22 a 23 a 24 C 2 0 a a a a · C = 0 31 32 33 34 3 a a a a C 0 41 42 43 44 4 a11 = 1 a12 = 0 a21 = 0 a22 = -1 a31 = eλHt.sin(λHt) a13 = 1 a14 = 0 a23 = 0 a24 = 1 a32 = -eλHt.cos(λHt) a41 = eλHt.(cos(λHt)+sin(λHt)) a43 = e-λHt.(-cos(λHt)+sin (λHt)) a33 = -e-λHt.sin(λHt) a42 = eλHt.(-cos(λHt)+sin(λHt)) a44 = e-λHt.(-cos(λHt)-sin (λHt)) a34 = e-λHt.cos(λHt) Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 106 También en este caso, sea cual sea la unión pared-solera que tengamos, una vez resuelto el sistema, y por tanto, conocidas las cuatro constantes de integración C1,C2,C3 y C4, ya nos queda totalmente determinado el campo de desplazamientos y el campo de esfuerzos en la totalidad de la pared solicitada por el empuje de tierras con Ht=H, solo con aplicar las ecuaciones que ya conocemos: ω(x) = C1.eλx.cos(λx) + C2.eλx.sin(λx) + C3.e-λx.cos(λx) + C4.e-λx.sin(λx) + γ t ·K a ·( H t − x)·R 2 (3.12) E·h θx(x) = C1.λ.eλx.(cos(λx)-sin(λx)) + C2.λ.eλx.(cos(λx)+sin(λx)) + C3.λ.e-λx. -λx (-cos(λx)-sin(λx)) + C4.λ.e .(cos(λx)-sin(λx)) - γ t ·K a ·R 2 E ·h (3.13) − E·h λx λx -λx Nφ(x) = · [C1.e .cos(λx) + C2.e .sin(λx) + C3.e .cos(λx) + R C4.e-λx.sin(λx)+ γ t ·K a ·( H t − x)·R 2 E·h ] (3.14) Mx(x) = 2.D.λ2.[C1.eλx.sin(λx) - C2.eλx.cos(λx) - C3.e-λx.sin(λx) + C4.e-λx.cos(λx)] (3.15) Mφ(x) = ν.Mx(x) (3.16) Qx(x) = 2.D.λ3.[C1.eλx.(cos(λx)+sin(λx)) + C2.eλx.(-cos(λx)+sin(λx)) + C3.e-λx.(-cos(λx)+sin(λx)) + C4.e-λx.(-cos(λx)-sin(λx))] (3.17) Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 107 3.4.-PARED SOLICITADA POR EMPUJE DE TIERRAS CON Ht <H Figura 3.3.- Esquema de la acción del empuje de tierras contra la pared con el nivel del terreno por debajo la coronación del muro Tenemos que subdividir la pared en dos anillos: el anillo inferior 1 hasta dónde llega el nivel de tierras Ht, y el anillo superior 2, situado por encima. El campo de desplazamientos radiales será: ω1(x) = C1.eλxcos(λx) + C2.eλx.sin(λx) + C3.e-λx.cos(λx) + C4.e-λx.sin(λx) + γ t ·K a ·(H t − x )·R 2 E·h ω2(x) = C5.eλxcos(λx) + C6.eλx.sin(λx) + C7.e-λx.cos(λx) + C8.e-λx.sin(λx) (3.18) (3.19) 3.4.1.- Unión monolítica El empotramiento pared-solera nos lleva a plantear las siguientes condiciones de Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 108 contorno: ω1 ( x = 0) = 0 θ ( x = 0) = 0 x1 M x1 ( x = H t ) = M 1 Q x1 ( x = H t ) = Q1 M x 2 ( x = H t ) = M 1 Q ( x = H ) = Q ω ( x = H ) = ω ( x = H ) x2 2 t t 1 1 t M x 2 ( x = H ω ) = 0 θ x1 ( x = H t ) = θ x 2 ( x = H t ) Q x 2 ( x = H ω ) = 0 que supone tener el siguiente sistema de 10 ecuaciones con 10 incógnitas (C1,C2,C3,C4,C5,C6,C7,C8,M1 y Q1): a11 a12 a13 a14 a15 a16 a17 a18 a19 a110 C1 − γ t ·K a ·H t ·R 2 / E·h 2 a a a a a a a a a a C 21 22 23 24 25 26 27 28 29 210 2 γ t ·K a ·R / E·h·λ a a a a a a a a a a C 31 32 33 34 35 36 37 38 39 310 3 0 a 41 a 42 a 43 a 44 a 45 a 46 a 47 a 48 a 49 a 410 C4 0 a51 a52 a53 a54 a55 a56 a57 a58 a59 a510 · C 5 = 0 a 61 a62 a 63 a 64 a 65 a 66 a 67 a 68 a 69 a610 C6 0 C a a a a a a a a a a 0 71 72 73 74 75 76 77 78 79 710 7 a a a a a a a a a a C 0 81 82 83 84 85 86 87 88 89 810 8 a91 a92 a93 a94 a95 a96 a97 a98 a99 a910 M1 0 2 a101 a102 a103 a104 a105 a106 a107 a108 a109 a1010 Q1 γ t ·K a ·R / E·h·λ a11 = 1 a12 = 0 a13 = 1 a14 = 0 a15 = 0 a16 = 0 a17 = 0 a18 = 0 a19 = 0 a110 = 0 a21 = 1 a22 = 1 a23 = -1 a24 = 1 a25 = 0 a26 = 0 a27 = 0 a28 = 0 a29 = 0 a210 = 0 a31 = eλHt.sin(λHt) a35 = 0 a36 = 0 a32 = -eλHt.cos(λHt) a37 = 0 a38 = 0 a41 = eλHt.(cos(λHt)+sin(λHt)) a39 = a33 = -e-λHt.sin(λHt) −1 2·D·λ 2 a310 = 0 a42 = eλHt.(-cos(λHt)+sin(λHt)) a43 = e-λHt.(-cos(λHt)+sin (λHt)) a44 = e-λHt.(-cos(λHt)-sin (λHt)) −1 2·D·λ3 a45 = 0 a46 = 0 a47 = 0 a48 = 0 a49 = 0 a51 = 0 a52 = 0 a53 = 0 a54 = 0 a55 = eλHt.sin(λHt) a410 = a56 = -eλHt.cos(λHt) a57 = -e-λHt.sin(λHt) a58 = e-λHt.cos(λHt) a61 = 0 a62 = 0 a63 = 0 a34 = e-λHt.cos(λHt) a64 = 0 a59 = a65 = eλHt.(cos(λHt)+sin(λHt)) −1 2·D·λ 2 a510 = 0 Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 109 a66 = eλHt.(-cos(λHt)+sin(λHt)) a67 = e-λHt.(-cos(λHt)+sin (λHt)) a68 = e-λHt.(-cos(λHt)-sin (λHt)) a71 = 0 a72 = 0 a73 = 0 a76 = -eλHω.cos(λHω) a81 = 0 a82 = 0 a69 = 0 a74 = 0 a610 = a75 = eλHω.sin(λHω) a77 = -e-λHω.sin(λHω) a83 = 0 a84 = 0 −1 2·D·λ3 a78 = e-λHω.cos(λHω) a87 = e-λHω.(-cos(λHω)+sin (λHω)) a88 = e-λHω.(-cos(λHω)-sin (λHω)) a89 = 0 a95 = -eλHt.cos(λHt) a99 = 0 a710 = 0 a85 = eλHω.(cos(λHω)+sin(λHω)) a86 = eλHω.(-cos(λHω)+sin(λHω)) a91 = eλHt.cos(λHt) a79 = 0 a92 = eλHt.sin(λHt) a96 = -eλHt.sin(λHt) a810 = 0 a93 = e-λHt.cos(λHt) a94 = e-λHt.sin(λHt) a97 = -e-λHt.cos(λHt) a98 = -e-λHt.sin(λHt) a910 = 0 a101 = eλHt.(cos(λHt)-sin(λHt)) a102 = eλHt.(cos(λHt)+sin(λHt)) a103 = e-λHt.(-cos(λHt)-sin(λHt)) a104 = e-λHt.(cos(λHt)-sin(λHt)) a105 = -eλHt.(cos(λHt)-sin(λHt)) a106 = -eλHt.(cos(λHt)+sin(λHt)) a107 = -e-λHt.(-cos(λHt)-sin(λHt)) a108 = -e-λHt.(cos(λHt)-sin(λHt)) a109 = 0 a1010 = 0 3.4.2.- Unión articulada flexible La pared apoya sobre la solera mediante apoyos de neopreno. Las condiciones de contorno son: M x1 ( x = 0) = K 2 ·θ x1 ( x = 0) Q ( x = 0) = K ·ω ( x = 0) x1 1 1 M x1 ( x = H t ) = M 1 Q x1 ( x = H t ) = Q1 M x 2 ( x = H t ) = M 1 Q ( x = H ) = Q ω ( x = H ) = ω ( x = H ) x2 2 t t 1 1 t M x 2 ( x = H ω ) = 0 θ x1 ( x = H t ) = θ x 2 ( x = H t ) Q x 2 ( x = H ω ) = 0 que supone tener el siguiente sistema de 10 ecuaciones con 10 incógnitas (C1,C2,C3,C4,C5,C6,C7,C8,M1 y Q1): Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 110 a11 a12 a13 a14 a15 a16 a17 a18 a19 a110 C1 − K 2 ·γ t ·K a ·R 2 / E·h·λ a 21 a 22 a 23 a 24 a 25 a 26 a 27 a 28 a 29 a 210 C 2 − K 1 ·γ t ·K a ·H t ·R 2 / E·h a a a a a a a a a a C 31 32 33 34 35 36 37 38 39 310 3 0 a 41 a 42 a 43 a 44 a 45 a 46 a 47 a 48 a 49 a 410 C4 0 a a a a a a a a a a C 0 51 52 53 54 55 56 57 58 59 510 5 · = a 61 a 62 a63 a 64 a65 a66 a 67 a 68 a 69 a610 C6 0 a 71 a 72 a73 a 74 a75 a76 a 77 a 78 a 79 a710 C7 0 a a a a a a a a a a C 0 81 82 83 84 85 86 87 88 89 810 8 a91 a92 a93 a94 a95 a96 a97 a98 a99 a910 M1 0 2 a101 a102 a103 a104 a105 a106 a107 a108 a109 a1010 Q1 γ t ·K a ·R / E·h·λ a11 = -K2 a16 = 0 a12 = -(2.D.λ + K2) a17 = 0 a18 = 0 a19 = 0 a21 = K1- 2.D.λ3 a22 = 2.D.λ3 a26 = 0 a28 = 0 a27 = 0 a13 = K2 a14 = (2.D.λ – K2) a110 = 0 a23 = K1 + 2.D.λ3 a29 = 0 a15 = 0 a24 = 2.D.λ3 a25 = 0 a210 = 0 a31 hasta a1010 quedan igual que en el caso anterior. 3.4.3.- Unión articulada fija La pared se introduce en una muesca de la solera. Las condiciones de contorno son: ω1 ( x = 0) = 0 M ( x = 0) = 0 x1 M x1 ( x = H t ) = M 1 Q x1 ( x = H t ) = Q1 M x 2 ( x = H t ) = M 1 Q ( x = H ) = Q ω ( x = H ) = ω ( x = H ) x2 2 t t 1 1 t M x 2 ( x = H ω ) = 0 θ x1 ( x = H t ) = θ x 2 ( x = H t ) Q x 2 ( x = H ω ) = 0 que supone tener el siguiente sistema de 10 ecuaciones con 10 incógnitas (C1,C2,C3,C4,C5,C6,C7,C8,M1 y Q1): Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 111 C1 − γ t ·K a ·H t ·R 2 / E·h a11 a12 a13 a14 a15 a16 a17 a18 a19 a110 C2 0 a 21 a 22 a 23 a 24 a 25 a 26 a 27 a 28 a 29 a 210 C 0 a a a a a a a a a a 3 31 32 33 34 35 36 37 38 39 310 C4 0 a 41 a 42 a 43 a 44 a 45 a 46 a 47 a 48 a 49 a 410 · C 5 = 0 a51 a52 a53 a54 a55 a56 a57 a58 a59 a510 C6 0 a 61 a 62 a 63 a 64 a 65 a 66 a 67 a 68 a 69 a 610 C7 0 a 71 a 72 a 73 a 74 a 75 a 76 a 77 a 78 a 79 a 710 C 0 a a a a a a a a a a 8 81 82 83 84 85 86 87 88 89 810 M1 0 a91 a92 a93 a94 a95 a96 a97 a98 a99 a910 2 a101 a102 a103 a104 a105 a106 a107 a108 a109 a1010 Q1 γ t ·K a ·R / E·h·λ a11 = 1 a12 = 0 a13 = 1 a14 = 0 a15 = 0 a16 = 0 a17 = 0 a18 = 0 a19 = 0 a110 = 0 a21 = 0 a22 = -1 a23 = 0 a24 = 1 a25 = 0 a26 = 0 a27 = 0 a28 = 0 a29 = 0 a210 = 0 a31 hasta a1010 quedan igual que en el caso anterior También en este caso, sea cual sea la unión pared-solera que tengamos, una vez resuelto el sistema, y por tanto, conocidas las ocho constantes de integración C1,C2,C3,C4,C5,C6,C7 y C8, ya nos queda totalmente determinado el campo de desplazamientos y el campo de esfuerzos en los dos anillos solicitados por el empuje de tierras con Ht ≤ H, y por tanto, en la totalidad de la pared, solo con aplicar las ecuaciones que ya conocemos: ω1(x) = C1.eλx.cos(λx) + C2.eλx.sin(λx) + C3.e-λx.cos(λx) + C4.e-λx.sin(λx) + γ t ·K a ·( H t − x)·R 2 (3.20) E·h θx1(x) = C1.λ.eλx.(cos(λx)-sin(λx)) + C2.λ.eλx.(cos(λx)+sin(λx)) + C3.λ.e-λx. (-cos(λx)-sin(λx)) + C4.λ.e-λx.(cos(λx)-sin(λx)) - γ t ·K a ·R 2 E ·h (3.21) − E·h λx λx -λx Nφ1(x) = ·[C1.e .cos(λx) + C2.e .sin(λx) + C3.e .cos(λx) + R -λx C4.e .sin(λx)+ γ t ·K a ·( H t − x)·R 2 E·h ] (3.22) Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 112 Mx1(x) = 2.D.λ2.[C1.eλx.sin(λx) - C2.eλx.cos(λx) - C3.e-λx.sin(λx) + C4.e-λx.cos(λx)] (3.23) Mφ1(x) = ν.Mx1(x) (3.24) Qx1(x) = 2.D.λ3.[C1.eλx.(cos(λx)+sin(λx)) + C2.eλx.(-cos(λx)+sin(λx)) + C3.e-λx.(-cos(λx)+sin(λx)) + C4.e-λx.(-cos(λx)-sin(λx))] ω2(x) = C5.eλxcos(λx) + C6.eλx.sin(λx) + C7.e-λx.cos(λx) + C8.e-λx.sin(λx) (3.25) (3.26) θx2(x) = C5.λ.eλx.(cos(λx)-sin(λx)) + C6.λ.eλx.(cos(λx)+sin(λx)) + C7.λ.e-λx. (-cos(λx)-sin(λx)) + C8.λ.e-λx.(cos(λx)-sin(λx)) (3.27) − E·h λx λx -λx -λx Nφ2(x)= ·[C5.e .cos(λx)+C6.e .sin(λx)+C7.e .cos(λx)+C8.e .sin(λx)] (3.28) R Mx2(x) = 2.D.λ2.[C5.eλx.sin(λx) - C6.eλx.cos(λx) - C7.e-λx.sin(λx) + C8.e-λx.cos(λx)] (3.29) Mφ2(x) = ν.Mx2(x) (3.30) Qx2(x) = 2.D.λ3.[C5.eλx.(cos(λx)+sin(λx)) + C6.eλx.(-cos(λx)+sin(λx)) + C7.e-λx.(-cos(λx)+sin(λx)) + C8.e-λx.(-cos(λx)-sin(λx))] (3.31) Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 113 3.5.- PARED SOLICITADA POR EL PRETENSADO Figura 3.4.- Esquema de la acción del pretensado contra la pared Cuando la acción es el pretensado, el problema se resuelve fácilmente estudiando independientemente cada uno de los tendones, y superponiendo posteriormente los resultados. Subdividimos la pared en dos anillos: el anillo inferior 1 hasta la posición xi del tendón de pretensado, y el anillo superior 2, situado por encima. El campo de desplazamientos radiales será: ω1(x) = C1.eλxcos(λx) + C2.eλx.sin(λx) + C3.e-λx.cos(λx) + C4.e-λx.sin(λx) (3.32) ω2(x) = C5.eλxcos(λx) + C6.eλx.sin(λx) + C7.e-λx.cos(λx) + C8.e-λx.sin(λx) (3.33) 3.5.1.- Unión monolítica El empotramiento pared-solera nos lleva a plantear las siguientes condiciones de Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 114 contorno: ω1 ( x = 0) = 0 θ ( x = 0) = 0 x1 M x1 ( x = xi ) = M 1 Q x1 ( x = xi ) = Q1 M x 2 ( x = xi ) = M 1 Q ( x = x ) = Q − Pk ω ( x = x ) = ω ( x = x ) x2 1 i 2 i i 1 Rtendón M ( x = H ) = 0 θ x1 ( x = xi ) = θ x 2 ( x = xi ) ω x2 Qx 2 ( x = H ω ) = 0 siendo Pk la fuerza de pretensado aplicada en la ordenada xi, y Rtendón el radio de la circunferencia descrita por el tendón de pretensado. Todo ello supone tener el siguiente sistema de 10 ecuaciones con 10 incógnitas (C1,C2,C3,C4,C5,C6,C7,C8,M1 y Q1): a11a12 a13 a14 a15 a16 a17 a18 a19 a110 C1 0 a21a22 a23 a24 a25 a26 a27 a28 a29 a 210 C2 0 a a a a a a a a a a C 0 31 32 33 34 35 36 37 38 39 310 3 a 41a 42 a 43 a 44 a 45 a 46 a 47 a 48 a 49 a 410 C4 0 0 a51a52 a53 a54 a55 a56 a57 a58 a59 a510 · C5 = 3 a61a62 a63 a64 a65 a66 a67 a68 a69 a610 C6 − P /(2·R tendón ·D·λ ) k a71a72 a73 a74 a75 a76 a77 a78 a79 a710 C7 0 a a a a a a a a a a C 0 81 82 83 84 85 86 87 88 89 810 8 a91a92 a93 a94 a95 a96 a97 a98 a99 a910 M1 0 a101a102 a103 a104 a105 a106 a107 a108 a109 a1010 Q1 0 a11 = 1 a12 = 0 a13 = 1 a14 = 0 a15 = 0 a16 = 0 a17 = 0 a18 = 0 a19 = 0 a110 = 0 a21 = 1 a22 = 1 a23 = -1 a24 = 1 a25 = 0 a26 = 0 a27 = 0 a28 = 0 a29 = 0 a210 = 0 a31 = eλxi.sin(λxi) a32 = -eλxi.cos(λxi) a35 = 0 a37 = 0 a36 = 0 a38 = 0 a41 = eλxi.(cos(λxi)+sin(λxi)) a33 = -e-λxi.sin(λxi) a39 = −1 2·D·λ 2 a310 = 0 a42 = eλxi.(-cos(λxi)+sin(λxi)) a43 = e-λxi.(-cos(λxi)+sin (λxi)) a44 = e-λxi.(-cos(λxi)-sin (λxi)) −1 2·D·λ3 a45 = 0 a46 = 0 a47 = 0 a48 = 0 a49 = 0 a51 = 0 a52 = 0 a53 = 0 a54 = 0 a55 = eλxi.sin(λxi) a410 = a34 = e-λxi.cos(λxi) Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 115 a56 = -eλxi.cos(λxi) a61 = 0 a62 = 0 a57 = -e-λxi.sin(λxi) a63 = 0 a64 = 0 a58 = e-λxi.cos(λxi) a59 = a67 = e-λxi.(-cos(λxi)+sin (λxi)) a68 = e-λxi.(-cos(λxi)-sin (λxi)) a69 = 0 a72 = 0 a73 = 0 a76 = -eλHω.cos(λHω) a81 = 0 a82 = 0 a74 = 0 a610 = a84 = 0 a78 = e-λHω.cos(λHω) a87 = e-λHω.(-cos(λHω)+sin (λHω)) a88 = e-λHω.(-cos(λHω)-sin (λHω)) a89 = 0 a95 = -eλxi.cos(λxi) a99 = 0 a92 = eλxi.sin(λxi) a96 = -eλxi.sin(λxi) a710 = 0 a85 = eλHω.(cos(λHω)+sin(λHω)) a86 = eλHω.(-cos(λHω)+sin(λHω)) a91 = eλxi.cos(λxi) a79 = 0 −1 2·D·λ3 a75 = eλHω.sin(λHω) a77 = -e-λHω.sin(λHω) a83 = 0 a510 = 0 a65 = eλxi.(cos(λxi)+sin(λxi)) a66 = eλxi.(-cos(λxi)+sin(λxi)) a71 = 0 −1 2·D·λ 2 a810 = 0 a93 = e-λxi.cos(λxi) a94 = e-λxi.sin(λxi) a97 = -e-λxi.cos(λxi) a98 = -e-λxi.sin(λxi) a910 = 0 a101 = eλxi.(cos(λxi)-sin(λxi)) a102 = eλxi.(cos(λxi)+sin(λxi)) a103 = e-λxi.(-cos(λxi)-sin(λxi)) a104 = e-λxi.(cos(λxi)-sin(λxi)) a105 = -eλxi.(cos(λxi)-sin(λxi)) a106 = -eλxi.(cos(λxi)+sin(λxi)) a107 = -e-λxi.(-cos(λxi)-sin(λxi)) a108 = -e-λxi.(cos(λxi)-sin(λxi)) a109 = 0 a1010 = 0 3.5.2.- Unión articulada flexible La pared apoya sobre la solera mediante apoyos de neopreno. Las condiciones de contorno son: M x1 ( x = 0) = K 2 ·θ x1 ( x = 0) Q ( x = 0) = K ·ω ( x = 0) x1 1 1 M x1 ( x = xi ) = M 1 Q x1 ( x = xi ) = Q1 M x 2 ( x = xi ) = M 1 Qx 2 ( x = xi ) = Q1 − Pk ω1 ( x = xi ) = ω 2 ( x = xi ) Rtend M ( x = H ) = 0 θ x1 ( x = xi ) = θ x 2 ( x = xi ) ω x2 Qx 2 ( x = H ω ) = 0 que supone tener el siguiente sistema de 10 ecuaciones con 10 incógnitas (C1,C2,C3,C4,C5,C6,C7,C8,M1 y Q1): Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 116 a11a12 a13 a14 a15 a16 a17 a18 a19 a110 C1 0 a21a 22 a 23 a 24 a 25 a26 a27 a 28 a29 a 210 C2 0 a a a a a a a a a a C 0 31 32 33 34 35 36 37 38 39 310 3 a41a 42 a 43 a 44 a 45 a46 a47 a 48 a49 a 410 C4 0 a51a52 a53 a54 a55 a56 a57 a58 a59 a510 · C5 = 0 a61a62 a63 a64 a65 a66 a67 a68 a69 a610 C6 − Pk /(2·Rtendón ·D·λ3 ) a71a72 a73 a74 a75 a76 a77 a78 a79 a710 C7 0 a a a a a a a a a a C 0 81 82 83 84 85 86 87 88 89 810 8 a91a92 a93 a94 a95 a96 a97 a98 a99 a910 M1 0 a101a102 a103 a104 a105 a106 a107 a108 a109 a1010 Q1 0 a11 = -K2 a16 = 0 a12 = -(2.D.λ + K2) a17 = 0 3 a18 = 0 a19 = 0 3 a21 = K1- 2.D.λ a22 = 2.D.λ a26 = 0 a28 = 0 a27 = 0 a13 = K2 a14 = (2.D.λ – K2) a110 = 0 a23 = K1 + 2.D.λ3 a29 = 0 a15 = 0 a24 = 2.D.λ3 a25 = 0 a210 = 0 a31 hasta a1010 quedan igual que en el caso anterior. 3.5.3.- Unión articulada fija La pared se introduce en una muesca de la solera. Las condiciones de contorno son: ω1 ( x = 0) = 0 M ( x = 0) = 0 x1 M x1 ( x = xi ) = M 1 Q x1 ( x = xi ) = Q1 M x 2 ( x = xi ) = M 1 Qx 2 ( x = xi ) = Q1 − Pk ω1 ( x = xi ) = ω 2 ( x = xi ) Rtendón M ( x = H ) = 0 θ x1 ( x = xi ) = θ x 2 ( x = xi ) ω x2 Qx 2 ( x = H ω ) = 0 que supone tener el siguiente sistema de 10 ecuaciones con 10 incógnitas (C1,C2,C3,C4,C5,C6,C7,C8,M1 y Q1): Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 117 a11a12 a13 a14 a15 a16 a17 a18 a19 a110 C1 0 a21a 22 a 23 a 24 a 25 a26 a27 a 28 a29 a 210 C2 0 a a a a a a a a a a C 0 31 32 33 34 35 36 37 38 39 310 3 a41a 42 a 43 a 44 a 45 a46 a47 a 48 a49 a 410 C4 0 a51a52 a53 a54 a55 a56 a57 a58 a59 a510 · C5 = 0 a61a62 a63 a64 a65 a66 a67 a68 a69 a610 C6 − Pk /(2·Rtendón ·D·λ3 ) a71a72 a73 a74 a75 a76 a77 a78 a79 a710 C7 0 a a a a a a a a a a C 0 81 82 83 84 85 86 87 88 89 810 8 a91a92 a93 a94 a95 a96 a97 a98 a99 a910 M1 0 a101a102 a103 a104 a105 a106 a107 a108 a109 a1010 Q1 0 a11 = 1 a12 = 0 a13 = 1 a14 = 0 a15 = 0 a16 = 0 a17 = 0 a18 = 0 a19 = 0 a110 = 0 a21 = 0 a22 = -1 a23 = 0 a24 = 1 a25 = 0 a26 = 0 a27 = 0 a28 = 0 a29 = 0 a210 = 0 a31 hasta a1010 quedan igual que en el caso anterior. También en este caso, sea cual sea la unión pared-solera que tengamos, una vez resuelto el sistema, y por tanto, conocidas las ocho constantes de integración C1,C2,C3,C4,C5,C6,C7 y C8, ya nos queda totalmente determinado el campo de desplazamientos y el campo de esfuerzos en los dos anillos solicitados por el pretensado, y por tanto, en la totalidad de la pared, solo con aplicar las ecuaciones que ya conocemos: ω1(x) = C1.eλx.cos(λx) + C2.eλx.sin(λx) + C3.e-λx.cos(λx) + C4.e-λx.sin(λx) (3.34) θx1(x) = C1.λ.eλx.(cos(λx)-sin(λx)) + C2.λ.eλx.(cos(λx)+sin(λx)) + C3.λ.e-λx. (-cos(λx)-sin(λx)) + C4.λ.e-λx.(cos(λx)-sin(λx)) (3.35) − E·h λx λx -λx -λx Nφ1(x)= ·[C1.e .cos(λx)+C2.e .sin(λx)+C3.e .cos(λx)+C4.e .sin(λx)] (3.36) R Mx1(x) = 2.D.λ2.[C1.eλx.sin(λx) - C2.eλx.cos(λx) - C3.e-λx.sin(λx) + C4.e-λx.cos(λx)] (3.37) Mφ1(x) = ν.Mx1(x) (3.38) Cálculo y elección óptima de un depósito de agua _______________________________________ 118 Qx1(x) = 2.D.λ3.[C1.eλx.(cos(λx)+sin(λx)) + C2.eλx.(-cos(λx)+sin(λx)) + C3.e-λx.(-cos(λx)+sin(λx)) + C4.e-λx.(-cos(λx)-sin(λx))] ω2(x) = C5.eλxcos(λx) + C6.eλx.sin(λx) + C7.e-λx.cos(λx) + C8.e-λx.sin(λx) (3.39) (3.40) θx2(x) = C5.λ.eλx.(cos(λx)-sin(λx)) + C6.λ.eλx.(cos(λx)+sin(λx)) + C7.λ.e-λx. (-cos(λx)-sin(λx)) + C8.λ.e-λx.(cos(λx)-sin(λx)) (3.41) − E·h λx λx -λx -λx Nφ2(x)= ·[C5.e .cos(λx)+C6.e .sin(λx)+C7.e .cos(λx)+C8.e .sin(λx)] (3.42) R Mx2(x) = 2.D.λ2.[C5.eλx.sin(λx) - C6.eλx.cos(λx) - C7.e-λx.sin(λx) + C8.e-λx.cos(λx)] (3.43) Mφ2(x) = ν.Mx2(x) (3.44) Qx2(x) = 2.D.λ3.[C5.eλx.(cos(λx)+sin(λx)) + C6.eλx.(-cos(λx)+sin(λx)) + C7.e-λx.(-cos(λx)+sin(λx)) + C8.e-λx.(-cos(λx)-sin(λx))] (3.45)
