Hojas de trabajo 1 2019 - Calculo vectorial y multivariable

Facultad de Ingeniería, Matemática y Ciencias Físicas
Carrera: 012: Ingeniería Industrial
Docente: Lic. Yasmin Portillo
Curso: Calculo Vectorial y Multivariable
Código del curso: 823
Sección: A
Ciclo: Quinto
Horario: 17:30-18:50
Días: Lu, Mie, vie 1o. y 3o
Salón: CS-3
Laboratorio No. 1
Instrucciones: En una hoja aparte, resuelva los ejercicios que se presentan a continuación. Deje evidencia
de su procedimiento.
1. Representar la parábola 𝑦 = 𝑥 2 + 1 mediante una función vectorial.
2. Encuentre una función vectorial para el segmento de recta del punto 𝑃0 = (3, 2, −1) al punto
(1, 4, 5).
3. Encuentre las ecuaciones paramétricas de la recta tangente a la curva C cuyas ecuaciones
paramétricas son 𝑥 = 𝑡 2 , 𝑦 = 𝑡 2 − 𝑡, 𝑧 = −7𝑡 en el punto correspondiente a 𝑡 = 3.
4. Analizar la continuidad de la función vectorial 𝒓(𝑡) = 𝑡𝒊 + 𝑎𝒋 + (𝑎2 − 𝑡 2 )𝒌 cuando 𝑡 = 0.
5. Para la función vectorial dada por 𝒓(𝑡) = cos 𝑡 𝒊 + sen 𝑡 𝒋 + 2𝑡𝒌, hallar:
a. 𝒓′(𝑡)
c. 𝒓′′(𝑡)
b. 𝒓′(𝑡) ∙ 𝒓′′(𝑡)
d. 𝒓′(𝑡) × 𝒓′′(𝑡)
1 3
1
6. Evaluar la integral ∫0 ( √𝑡𝒊 + 𝑡+1 𝒋 + 𝑒 −𝑡 𝒌) 𝑑𝑡
7. Si 𝒓(𝑡) = 6𝑡 2 𝒊 + 4𝑒 −2𝑡 𝒋 + 8 cos 4𝑡 𝒌, encuentre ∫ 𝒓(𝑡)𝑑𝑡.
8. Dibujar la trayectoria de un objeto que se mueve a lo largo de la curva plana dada por
𝒓(𝑡) = (𝑡 2 − 4)𝒊 + 𝑡𝒋 y hallar los vectores velocidad y aceleración cuando 𝑡 = 0 y 𝑡 = 2.
9. Suponga que la función vectorial 𝒓(𝑡) = 2cos 𝑡 𝒊 + 2sen 𝑡 𝒋 + 3𝒌 representa la posición de una
partícula que se mueve en una órbita circular. Determine los vectores de velocidad y aceleración
𝜋
en 𝑡 = 4.
10. Una pelota de béisbol es golpeada 3 pies sobre el nivel del suelo a 100 pies por segundo y con un
ángulo de 45° respecto al suelo, como se muestra en la figura 12.19. Hallar la altura máxima que
alcanza la pelota de béisbol. ¿Pasará por encima de una valla de 10 pies de altura localizada a 300
pies del plato de lanzamiento?
11. Hallar 𝑻(𝑡) y hallar después un conjunto de ecuaciones paramétricas para la recta tangente a la
hélice dada por
𝜋
𝒓(𝑡) = 2 cos 𝑡 𝒊 + 2 sen 𝑡 𝒋 + 𝑡𝒌 en el punto (√2, √2, 4 ).
12. En el espacio tridimensional la posición de una partícula en movimiento está dada por la función
vectorial 𝒓(𝑡) = 2 𝑐𝑜𝑠 𝑡𝒊 + 2 𝑠𝑒𝑛 𝑡𝒋 + 3𝑡𝒌. Encuentre los vectores T(t), N(t) y B(t). Determine
la curvatura 𝜅(𝑡).
4
1
13. Hallar la longitud de arco de la curva dada por 𝒓(𝑡) = 𝑡𝒊 + 3 𝑡 3⁄2 𝒋 + 2 𝑡 2 𝒌 desde 𝑡 = 0 hasta
𝑡 = 2.
2𝑥+3𝑦+𝑧
14. Encuentre el dominio de 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 4−𝑥 2 −𝑦2 −𝑧 2
15. ¿Cuál es el rango de 𝑓(𝑥, 𝑦) = √16 − 4𝑥 2 − 𝑦 2 ?
16. Calcular
lim
5𝑥 2 𝑦
(𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 2 +𝑦 2
17. Demuestre que
lim
𝑥 2 −3𝑦2
(𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 2 +2𝑦2
no existe.
𝑥 4 −𝑦4
18. Identifique las discontinuidades de 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 +𝑦2
Facultad de Ingeniería, Matemática y Ciencias Físicas
Carrera: 012: Ingeniería Industrial
Docente: Lic. Yasmin Portillo
Curso: Calculo Vectorial y Multivariable
Código del curso: 823
Sección: A
Ciclo: Quinto
Horario: 17:30-18:50
Días: Lu, Mie, vie 1o. y 3o
Salón: CS-3
Laboratorio No. 2
Instrucciones: En una hoja aparte, resuelva los ejercicios que se presentan a continuación. Deje evidencia
de su procedimiento.
2𝑦
1. Dada 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑒 𝑥 , hallar 𝑓𝑥 y 𝑓𝑦 , y evaluar cada una en el punto (1, 𝑙𝑛2)
2. Si 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 5 𝑦10 cos(𝑥𝑦 2 ), encuentre 𝑓𝑦
3. Hallar las derivadas parciales de segundo orden de 𝑓(𝑥, 𝑦) = 3𝑥𝑦 2 − 2𝑦 + 5𝑥 2 𝑦 2 y determinar el
valor de 𝑓𝑥𝑦 (−1,2)
4. Mostrar que la función dada por 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 + 3𝑦 es diferenciable en todo punto del plano.
5. Si 𝑧 = 𝑥 2 − 𝑥𝑦, encuentre la diferencial total.
6. Utilizar la diferencial 𝑑𝑧 para aproximar el cambio en 𝑧 = √4 − 𝑥 2 − 𝑦 2 cuando (𝑥, 𝑦) se
desplaza del punto (1, 1) al punto (1.01, 0.97). Comparar esta aproximación con el cambio
exacto en 𝑧.
7. Si 𝑧 = 𝑢2 𝑣 3 𝑤 4 y 𝑢 = 𝑡 2 , 𝑣 = 5𝑡 − 8, 𝑤 = 𝑡 3 + 𝑡, determine
8. Utilizar la regla de la cadena para encontrar
𝜕𝑤
𝜕𝑠
y
𝜕𝑤
𝜕𝑡
𝑑𝑧
𝑑𝑡
.
, dada 𝑤 = 2𝑥𝑦 donde 𝑥 = 𝑠 2 + 𝑡 2 y 𝑦 = 𝑠⁄𝑡 .
1
9. Hallar la derivada direccional de 𝑓(𝑥, 𝑦) = 4 − 𝑥 2 − 4 𝑦 2 en (1, 2) en la dirección de
𝜋
𝜋
𝒖 = (cos 3 ) 𝒊 + (sen 3 ) 𝒋
10. Considere el plano que es perpendicular al plano 𝑥𝑦 y que pasa por los puntos 𝑃(2, 1) 𝑦 𝑄(3, 2).
¿Cuál es la pendiente de la recta tangente a la curva de intersección de este plano con la
superficie 𝑓(𝑥, 𝑦) = 4𝑥 2 + 𝑦 2 en (2, 1, 17) en la dirección de 𝑄?
11. Hallar el gradiente de 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦 ln 𝑥 + 𝑥𝑦 2 en el punto (1,2).
12. Si 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦 2 + 3𝑥 2 − 𝑧 3 , determine ∇f(x, y, z) en (2, −1, 4).
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Carrera: 012: Ingeniería Industrial
Docente: Lic. Yasmin Portillo
Curso: Calculo Vectorial y Multivariable
Código del curso: 823
Sección: A
Ciclo: Quinto
Horario: 17:30-18:50
Días: Lu, Mie, vie 1o. y 3o
Salón: CS-3
Laboratorio No. 3
Instrucciones: En una hoja aparte, resuelva los ejercicios que se presentan a continuación. Deje evidencia
de su procedimiento.
1. Encuentre una ecuación del plano tangente a la gráfica de la esfera 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 3 en (1,1,1).
1
1
2. Hallar la ecuación del plano tangente al paraboloide 𝑧 = 1 − 10 (𝑥 2 + 4𝑦 2 ) en el punto (1,1, 2).
3. Describir la recta tangente a la curva de intersección de las superficies
𝑥 2 + 2𝑦 2 + 2𝑧 2 = 20 y 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 = 4 en el punto (0, 1, 3).
4. Encuentre los extremos para 𝑓(𝑥, 𝑦) = 4𝑥𝑦 − 𝑥 2 − 𝑦 2 − 14𝑥 + 4𝑦 + 10.
5. Hallar los extremos absolutos de la función 𝑓(𝑥, 𝑦) = sen 𝑥𝑦 en la región cerrada dada por
0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋 y 0 ≤ 𝑦 ≤ 1.
6. Hallar la recta de regresión de mínimos cuadrados para los puntos (−3, 0), (−1, 1), (0, 2)
y (2, 3).
7. Hallar el valor mínimo de 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑥 2 + 𝑦 2 + 3𝑧 2 sujeto a la restricción de ligadura
2𝑥 − 3𝑦 − 4𝑧 = 49.
8. Encuentre el punto sobre la curva C de intersección de la esfera 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 9 y
el plano 𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 6 que está más alejada del plano 𝑥𝑦. Luego determine el punto sobre C
que está más cercano al plano 𝑥𝑦.
Facultad de Ingeniería, Matemática y Ciencias Físicas
Carrera: 012: Ingeniería Industrial
Docente: Lic. Yasmin Portillo
Curso: Calculo Vectorial y Multivariable
Código del curso: 823
Sección: A
Ciclo: Quinto
Horario: 17:30-18:50
Días: Lu, Mie, vie 1o. y 3o
Salón: CS-3
Laboratorio No. 4
Instrucciones: En una hoja aparte, resuelva los ejercicios que se presentan a continuación. Deje evidencia
de su procedimiento.
4
2𝑦
1. Evalúe ∫0 ∫𝑦 (8𝑥 + 𝑒 𝑦 ) 𝑑𝑥𝑑𝑦
2. Utilizar una integral iterada para hallar el área de la región limitada o acotada por las gráficas de:
𝑓(𝑥) = sen 𝑥 y 𝑔(𝑥) = cos 𝑥 entre 𝑥 = 𝜋⁄4 y 𝑥 = 5𝜋⁄4
3. Evalúe la integral doble ∬𝑅 𝑒 𝑥+3𝑦 𝑑𝐴 sobre la región R acotada por las gráficas de
𝑦 = 1, 𝑦 = 2, 𝑦 = 𝑥 y 𝑦 = −𝑥 + 5
1
1
4. Una lámina tiene la forma de la región R acotada por la gráfica de la elipse 4 𝑥 2 + 16 𝑦 2 = 1,
0 ≤ 𝑦 ≤ 4 y 𝑦 = 0. Encuentre su centro de masa si la densidad es 𝜌(𝑥, 𝑦) = |𝑥|𝑦.
5. Encuentre el volumen del sólido que está bajo el hemisferio 𝑧 = √1 − 𝑥 2 − 𝑦 2 y sobre la región
acotada por la gráfica de la circunferencia 𝑥 2 + 𝑦 2 − 𝑧 = 0.
2
6. Hallar el volumen de la región sólida R acotada por la superficie 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒 −𝑥 y
los planos 𝑧 = 0, 𝑦 = 0, 𝑦 = 𝑥 y 𝑥 = 1 , como se muestra en la figura
7. Encuentre el área de la superficie de las porciones de la esfera 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 4 que están dentro
del cilindro (𝑥 − 1)2 + 𝑦 2 = 1.
8. Sea R la región anular comprendida entre los dos círculos 𝑥 2 + 𝑦 2 = 1 y 𝑥 2 + 𝑦 2 = 5. Evaluar
la integral ∬𝑅 (𝑥 2 + 𝑦) 𝑑𝐴.
9. Hallar el centro de masa de la lámina que corresponde a la región parabólica 0 ≤ 𝑦 ≤ 4 − 𝑥 2
donde la densidad en el punto (𝑥, 𝑦) es proporcional a la distancia entre (𝑥, 𝑦) y el eje 𝑥.
10. Calcule la integral triple que produce el volumen del sólido que tiene la forma determinada por el
cono de un manto 𝑥 = √𝑦 2 + 𝑧 2 y el paraboloide 𝑥 = 6 − 𝑦 2 − 𝑧 2 .
√𝜋⁄2
11. Evaluar ∫0
√𝜋⁄2
∫𝑥
2
∫1 sen(𝑦 2 ) 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥
12. Hallar el volumen de la región sólida Q limitada o acotada inferiormente por la hoja superior del
cono 𝑧 2 = 𝑥 2 + 𝑦 2 y superiormente por la esfera 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 9
13. Un sólido en el primer octante tiene la forma determinada por la gráfica del cono de un solo
manto 𝑧 = √𝑥 2 + 𝑦 2 y los planos 𝑧 = 1, 𝑥 = 0 y 𝑦 = 0. Determine el centro de masa si la
densidad está dada por 𝜌(𝑟, 𝜃, 𝑧) = 𝑟.
14. Evalúe ∫𝑅 sen(𝑥 + 2𝑦) cos(𝑥 − 2𝑦) 𝑑𝐴 sobre la región R que se muestra en la figura
15. Sea R la región limitada o acotada por el cuadrado cuyos vértices son (0, 1), (1, 2)(2, 1) y (1, 0).
Evaluar la integral ∬𝑅 (𝑥 + 𝑦)2 sen(𝑥 + 𝑦) 𝑑𝐴.
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Carrera: 012: Ingeniería Industrial
Docente: Lic. Yasmin Portillo
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Ciclo: Quinto
Horario: 17:30-18:50
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Laboratorio No. 5
Instrucciones: En una hoja aparte, resuelva los ejercicios que se presentan a continuación. Deje evidencia
de su procedimiento.
1. Evalúe ∫𝐶 𝑦𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑦 + 𝑧𝑑𝑧, donde C es la hélice 𝑥 = 2 cos 𝑡 , 𝑦 = 2 sen 𝑡, 𝑧 = 𝑡,
0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋.
2. Demuestre que el campo vectorial bidimensional 𝑭(𝑥, 𝑦) = 𝑦𝒊 + 𝑥𝒋 es conservativo.
1. Demuestre que la integral de línea ∫𝐶 (𝑦 + 𝑦𝑧)𝑑𝑥 + (𝑥 + 3𝑧 3 + 𝑥𝑧)𝑑𝑦 + (9𝑦𝑧 2 + 𝑥𝑦 − 1)𝑑𝑧
(2,1,4)
es independiente de la trayectoria entre (1, 1, 1) y (2, 1, 4). Evalúe ∫(1,1,1) 𝑭 ∙ 𝑑𝒓.
2. Hallar rot F para el campo vectorial dado por 𝑭(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2𝑥𝑦𝒊 + (𝑥 2 + 𝑧 2 )𝒋 + 2𝑦𝑧𝒌
¿Es F irrotacional? Halle la función potencial.
3. Hallar la divergencia en (2,1,-1) para el campo vectorial 𝑭(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 3 𝑦 2 𝑧𝒊 + 𝑥 2 𝑧𝒋 + 𝑥 2 𝑦𝒌
4. Hallar la masa de un resorte que tiene la forma de una hélice circular
𝒓(𝑡) =
5. Evalúe, ∮𝐶
−𝑦
𝑥 2 +𝑦2
𝑥
1
√2
(cos 𝑡 3 𝒊 + sen 𝑡 𝒋 + 𝑡𝒌), 0 ≤ 𝑡 ≤ 6𝜋.
𝑑𝑥 + 𝑥 2 +𝑦 2 𝑑𝑦, donde 𝐶 = 𝐶1 ⋃𝐶2 es la frontera de la región sombreada R que
se presenta en la figura
1
1
1
6. Hallar el trabajo realizado por el campo de fuerzas 𝑭(𝑥, 𝑦, 𝑧) = − 2 𝒊 − 2 𝒋 + 4 𝒌 sobre una
partícula que se mueve a lo largo de la hélice dada por 𝒓(𝑡) = cos 𝑡 𝒊 + sen 𝑡 𝒋 + 𝑡𝒌desde el
punto (1,0,0) hasta el punto (−1,0,3𝜋)
7. Evaluar la integral de línea ∫𝐶 𝑦 3 𝑑𝑥 + 3𝑥𝑦 2 𝑑𝑦.
8. Hallar una ecuación para el plano tangente al paraboloide dado por
𝒓(𝑢, 𝑣) = 𝑢𝒊 + 𝑣𝒋 + (𝑢2 + 𝑣 2 )𝒌 en el punto (1, 2, 5)
9. Encuentre el área del cono 𝒓 = (𝑢 cos 𝑦)𝒊 + (𝑢 𝑠𝑒𝑛 𝑦)𝒋 + 𝑢𝒌, donde 0 ≤ 𝑢 ≤ 1,
0 ≤ 𝑣 ≤ 2𝜋.
10. Sea S la porción del paraboloide 𝑧 = 𝑔(𝑥, 𝑦) = 4 − 𝑥 2 − 𝑧 2 que se encuentra sobre el plano xy,
orientado por medio de un vector unitario normal dirigido hacia arriba. Un fluido de densidad
constante 𝜌 fluye a través de la superficie S de acuerdo con el campo vectorial
𝑭(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝒊 + 𝑦𝒋 + 𝑧𝒌. Hallar la tasa o ritmo de flujo de masa a través de S.
11. Considere que 𝑭(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑧𝒋 + 𝑧𝒌 representa el flujo de un líquido. Determine el flujo de F a
través de la superficie S dada por la parte del plano 𝑧 = 6 − 3𝑥 − 2𝑦 en el primer octante
orientado hacia arriba.
12. Un líquido es agitado en un recipiente cilíndrico de radio 2, de manera que su movimiento se
describe por el campo de velocidad 𝑭(𝑥, 𝑦, 𝑧) = −𝑦√𝑥 2 + 𝑦 2 𝒋 + 𝑥√𝑥 2 + 𝑦 2 𝒌.
Hallar ∬𝑆 (𝑟𝑜𝑡 𝑭) ∙ 𝑵 𝑑𝑆 donde S es la superficie superior del recipiente cilíndrico.
13. Evalúe ∮𝐶 𝑧𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑦 + 𝑦𝑑𝑧, donde C es la traza del cilindro 𝑥 2 + 𝑦 2 = 1 en el plano 𝑥 + 𝑦 = 2.
Oriente C en el sentido contrario al de las manecillas del reloj cuando se observe desde arriba.