Ecuaciones Diferenciales en la practica

V.V. Amelkin
ECUACIONES
DIFERENCIALES
[¿ N ECES ITA N LOS IN G E N IER O S
lío s 'T E O R E M AS
[DE EXISTENC IA
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M O D E L O S DIFERENCIALES
O P E R A C IO N E S MILITARES
PRACTICA
Se rie d e
d iv u lg a c ió n
cie n tífic a
M a t e m á t ic a
URSS
HaynHOn on yn n p H a H
ce p n «
MateMaTMKa
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V .V . A m elkin
ECUACIONES
DIFERENCIALES
en la PRÁCTICA
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T r a d u c id o d e l r u s o p o r
e l d o c t o r e n C ie n c ia s F ís ic o - m a t e m á t ic a s
J a ir o C o rre a R o d ríg u e z
b a jo la d ir e c c ió n d e
G u ille r m o P e ñ a F e r ia
Moscú • 2 0 0 3
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Amelkin Vladímir Vasílievich
Ecuaciones diferenciales en la práctica
T raducido d e ¡a ed ició n ru sa
E l lib r o d e s c r ib e d e u n m o d o s e n c illo la s p o s ib ilid a d e s d e a p lic a c ió n d e la s e c u a c io n e s
d if e r e n c ia l e s o r d in a r ia s a l e s tu d io d e fe n ó m e n o s y p r o c e s o s r e a le s . L o s m é to d o s de
c o n s t r u c c ió n d e la s e c u a c i o n e s d ife r e n c ia le s y d e su a n á lis is c u a lita tiv o s e ilu stran
m e d ia n t e p r o b le m a s q u e a b a r c a n la s m á s d iv e rs a s r a m a s d e l sab er.
D ire cto r
D ir e c to r fin anciero
D ir e c to r d e sistem as
D ir e c to r d e p rod u cció n
D ir e c to r co m ercial
Traducción
D om in go M arín R icoy
V iktoria M a lish en ko
VOaor R om án ov
trin a M a k léev a
N a ta lia F in ogu iénova
G u illerm o P eñ a F e r ia i J a ir a C o r r e a R odríguez
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r. Mocita»,
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O o p -a r 60x90/16. T u p a* 2000 3 t í . riev. a . 15.
OrncsiraHO a OOO •no/impcRa». 113054, r. M ockb», CtpcmdhmmR nep.. a. 10, crp.1.
Editorial U RSS
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TcL/fax: 7 (095) 135-44-23
Teiytax: 7 (095) 135-42-46
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© O r ig in a l: V .V . A m e lk in , 1 9 8 7 , 2 0 0 3
© E d ic ió n e n e s p a ñ o l:
E d it o r ia l U R S S , 2 0 0 3
© D is e ñ o d e t e x t o y e n c u a d e m a c ió n :
E d it o r ia l U R S S , 2 0 0 3
Reservados to d o s lo s d e re ch o s e n tod o s los idiom as y en tod o s los países d e l m undo. Q uedan
rigurosam ente prohibidas, s in la a u to rizació n escrita d e los titu lares del “C o p y rig h t", b ajo las
san cio n es establecidas e n las leyes, la rep ro d u cción to ta l o parcial de esta o bra p o r cu alquier medio
o p roced im ien to, co m prend id o s la reprografía y e l tratam iento in form ático , y la distribución de
e jem p lares d e e lla m ed ian te alquiler o préstam o público.
índice
. ..............................................................................................
5
Construcción y solución de modelos d ife ren ciales . ......................
9
P ró lo g o
C a p itu lo 1
1.
¿Cuál cafó está m ás c a lle n t e ? ..................................................
2.
F lujoestacionariodec a l o r . ......................................................
11
3.
M uerte en la re s e rv a . .....................................................................
4.
F ugad eunliq u id op o runorificio .R eloj
d ea g u a ...............
5.
Eficacia d e la p u b licid a d
. ...........................................................
27
6.
O ferta y d e m a n d a ...........................................................................
29
7.
Reacciones q u ím ic a s . ....................................................................
31
8.
M odelos diferenciales en e c o lo g ía . ............................................
34
14
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9. Un pro b le m a d e la te o ría m ate m á ticade e p id e m ia s
10.
17
24
C urva d e l perro (curva d e p e rs e c u c ió n ) .................................
40
47
11. M odelos d e operaciones m ilit a r e s ..............................................
50
12. ¿ P or q u é lo s relojes d e pé n du lo no son e x a c to s ? . ................
63
13. R eloj c ic lo id a l. ..................................................................................
66
14. P roblem a d e la b ra q u is to c ro n a . ................................................
73
15. M e d ia a ritm ética, m edia geom étrica
y ecuaciones d ife re n c ia le s . ..........................................................
78
16. Vuelo p a ra b ó lic o ..............................................................................
82
. ......................................................
85
17. Ingravidez o gravedad ce ro
18. Leyes d e K e p le r del m ovim iento p la n e ta r io ...........................
89
19. F lexióndeunav ig a ............................................................................100
20. T ra n sp o rte d e m a d e r a . ....................................................................105
C a p itu lo 2
M étodos cualitativos d e análisis de m odelos d ife re n c ia le s
117
1. C urvas a lo la rgo de la s cuales la dirección d e la aguja
m agnética no v a r í a .............................................................................119
2. ¿Necesitan los ingenieros lo s teorem as de existencia
y u n ic id a d ? ..........................................................................................124
3. Interpretación d inám ica de la s ecuaciones diferenciales
de segundo o rd e n ...............................................................................134
4. S istem as m ecánicos c o n s e rv a tiv o s ............................................ 139
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5. E stabilidad d e lo s puntos de equilibrio
y d e lo s m ovim ientos p e r ió d ic o s ...................................................150
6. F uncionese n e rg é tic a s ....................................................................156
7. E stados sim ples de e q u ilib r io . .......................................................160
8. M ovim iento en un m e d io con rozam ientolin e a l.......................... 165
9. F lujoad ia b áticoenunat o b e r a .......................................................171
10. P untos de e q u ilib rio de ord e n s u p e rio r .......................................177
11. Inversión y coo rd e n a d a s h o m o g é n e a s ........................................182
12. F lujo de un gasidealen unconducto rotatorio
d e d iá m e tro c o n s ta n te . .....................................................................186
13. Trayectorias ce rra d a s a is la d a s . ...................................................197
14. R egím enes pe rió d ico s en circuitos e lé c tric o s ...........................207
15. C u rvas sin contacto
. .......................................................................215
16. S istem a to p og rá fico d e curvas. Curvasd e c o n t a c t o
217
17. D ivergencia del cam po vectorial y ciclos lí m it e s . ......................223
A p é n d ic e
................................................................................................... 228
ín d ic e d e m a t e r i a s . ................................................................................. 233
Prólogo
U no d e lo s co n cep tos m atem ático s m ás im p o rta n tes e s el d e ecu ació n
d iferen cial. A p a rtir d e una ecu ació n d iferen cial se p u ed en h a llar fu n ­
cio n es cu y a s d eriv a d a s (o d iferen ciales) sa tisfa cen cie rta s co n d icio n es
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p reestablecid as. U na e cu ació n d iferen cial o b ten id a co m o resu lta d o de
la investigación de un fe n ó m en o o p ro ceso real cu a lq u ie ra , se llam a
m od elo d iferen cial d e l fen ó m en o o p ro ceso . Es cla ro q u e lo s m o d elo s
d iferen ciales son caso s p articu lares d el co n ju n to d e to d o s lo s m o d elo s
m atem ático s q u e p u ed en co n stru irse al e stu d ia r e l m u n d o q u e nos
rodea. D eb em os su b ray ar q u e lo s m o d elo s d iferen cia le s tien en su
propia clasificació n . N o so tros exa m in a rem o s ú n ica m en te lo s m o d elo s
d iferen ciales rep resen ta d o s p o r las llam ad as ecu acion es d iferen ciales
ordinarias, la s cu a les se caracterizan p o r e l hecho d e q u e la s fu n cio n es
in có g n itas p re sen tes e n e lla s d ep en d en d e u n a so la variab le.
Al co n stru ir lo s m o d elo s d iferen ciales ord in ario s (y n o só lo ellos)
e s d e g ra n im p o rtan cia, y a v e ce s tien e u n v a lo r p rim ord ial, el
co n o cim ien to d e las le y es p ro p ia s d e la ram a d e la cien cia c o n la
cu al está relacion ad o e l p roblem a exa m in a d o . P or ejem p lo , e n la
m ecánica tales ley es p u ed en se r la s ley es d e N ew to n ; en la teoría
d e circu ito s eléctrico s, las ley es d e K irch h off; en la teoría d e las
reacciones q u ím ica s, la ley d e a cció n d e m asas; etcétera.
m
Prólogo
P or supuesto, en la práctica se suelen presentar problem as para
lo s que n o se conocen ley es que permitan construir las ecuaciones
diferenciales que los describen. En eso s casos, una alternativa es
recurrir a suposiciones (hipótesis) sobre el com portam iento del pro­
ceso para variaciones pequeñas d e los parám etros (variables) que lo
determ inan. Pasando posteriorm ente al lím ite se llega a una ecuación
d iferencial. Si al actuar d e esta m anera los resultados obtenidos del
análisis d e la ecu ación diferencial concuerdan con los datos experi­
m entales, entonces se puede afirm ar que las hipótesis hechas sobre
el problem a inicial reflejan correctam ente su estado re a l1*.
Al elaborar este libro, e l autor se fijó dos objetivos. El prim ero
e s m ostrar m ediante ejem p los tom ados de diferentes ram as de la
ciencia (ejem plos con contenido y no m eram ente ilustrativos) las
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posibilidades d el em pleo de las ecuaciones diferenciales ordinarias
en el estud io d e la realidad que nos rodea. C laro está, los ejem plos
exam inad os están lejos de abarcar todo el conjunto de preguntas que
se pueden contestar utilizando ecuaciones diferenciales ordinarias.
P ero, en prim er lugar, "nad ie puede abarcar lo inabarcable", y en
segundo, las situaciones analizadas aqu í ya dan una idea del papel que
desem peñan las ecuaciones diferenciales ordinarias en la resolución
d e problem as prácticos.
El segu nd o objetivo es dar a conocer al lector las técnicas y m étodos
m ás sim ples de investigación d e las ecuaciones diferenciales ordi­
narias. En realidad, nos referim os a las técnicas y m étodos propios
11 U n e s t u d io p o r m e n o r iz a d o d e m o d e lo s m a te m á tic o s s e p u e d e e n c o n t r a r e n lo s c a u ­
tiv a n t e s lib r o s d e A .N .T i jo n o v y D . P. K o s to m á r o v " R e la t o s d e m a te m á tic a a p lic a d a " ,
M o s c ú , 1 9 7 9 (e n r u s o ) y d e N . N . M o is ié e v " L a m a te m á tic a h a c e u n e x p e r im e n to " ,
M o s c ú , 1 9 7 9 ( e n r u s o ).
Prólogo
d e la teoría cu alitativa d e la s ecu acion es d iferen ciales, p u es, sa lv o en
a lg u n o s ca so s, ca si n u n ca e s p o sib le re so lv e r u n ecu ació n d iferen cial
e n fo r m a cerrada, e s d ecir, o b te n e r su so lu ció n e n form a analítica
m ed ian te u n n ú m ero fin ito d e op era cio n es elem e n tales co n fun ciones,
¡aun sab ien d o q u e la ecu ació n d iferen cial tien e so lu ció n ! D ich o de
o tro m od o, en tre la g ra n varied ad d e e cu a cio n e s d iferen cia les m u ch as
d e ellas n o p o seen so lu cio n es re p re se n ta b a s e n form a cerrad a por
m ed io de u n n ú m ero fin ito d e o p era cio n es an alíticas. E sta situ ación
e s sem e ja n te a la q u e se ob serv a en la teoría d e las ecu a cio n es con
p o lin om io s alg ebraico s: las so lu cio n es de la s ecu a cio n es a lg eb raicas
d e p rim er y seg u n d o g rad o s se p u ed en o b ten er fácilm en te en ra­
d icales; inclu so las so lu cio n es d e las ecu a cio n e s d e tercer y cu arto
g ra d o s p u ed e n se r ex p resad as en rad icales, p ero las fó rm u las y a son
m uy co m p licad as; en cu a n to a la s ecu a cio n es a lg eb raicas d e g rad o
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m ayo r q u e cu atro, s u s so lu cio n es n o se p u ed en , en g en eral, o b ten er
en radicales.
R egresan d o a las ecu a cio n e s d iferen ciales, su b ra y em o s e l h e ch o de
q u e e l e m p le o d e serie s in fin itas d e u n o u otro tip o p erm iten
reso lv er u n a can tid ad co n sid erab lem en te m a y o r d e ecu a cio n es q u e
los m éto d o s analíticos. D esafo rtu n ad am en te, c o n m ucha frecu en cia
las p ro p ied a d es esen ciales y m ás in teresa n tes d e las so lu cio n es n o se
p u ed en "sa ca r a la lu z " cu a n d o está n rep resen tad as m ed ian te series
d e este tipo. E s m ás, en m u ch os ca so s, cu a n d o se log ra resolver
la ecu a ció n d iferen cial e n form a cerrad a, la so lu ció n resu lta tan
co m p licad a q u e n o e s su scep tib le de análisis.
L o an terio r ev id en cia la necesidad d e u tilizar m éto d o s y técnicas
q u e p erm itan o b ten e r la in form ación n e cesaria so bre tales o cu a les
p ro p ied ad es de las so lu cio n es sin ten er q u e reso lv er las ecu acio n es
d iferen ciales co rresp on d ien tes. Pues b ien , d ich o s m éto d o s y técn icas
existen , ello s co n stitu y en e l co n ten id o d e la teoría cu a litativ a d e las
Prólogo
ecu acio n es d iferen ciales, en cu y a b a se está n lo s teorem as generales
d e existen cia y u n icid ad d e las so lu cio n es, y lo s teorem as sobre la
d ep en d en cia co n tin u a d e las so lu cio n es resp ecto a las co nd icio nes
iniciales. E n la secció n "¿N e cesita n lo s in g en iero s lo s teo rem as de
existen cia y u n icid a d ?" se habla d e l p a p e l q u e d esem p eñ an los
teo rem a s d e existen cia y un icidad d e las solucion es. En lo referente
a la teoría cu a lita tiv a d e las ecu a cio n es d iferen ciales ord in arias en
g en era l, iniciad a a fin ales d el sig lo X IX c o n lo s trabajo s d e H . Poincaré
y A . M . Liapunov, h o y sig u e d esarrollán d o se intensam en te, y sus
m éto d o s se usan a m p liam en te en e l estu d io d e la realid ad circu nd ante.
E l a u to r exp resa su g ratitu d a lo s p ro fesores Iu. S. B o g d án o v y
M . V. F ed o riu k p o r su s co n sejo s y ob servacion es ú tiles d u ran te la
elabo ración d el libro.
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V. V A m elk in
CAPÍTULO 1
Construcción
y solución
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de modelos
diferenciales
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1. ¿Cuál café está más caliente?
Anatoli y Vladím ir llegaron a una cafetería y p idieron café y crem a
de leche. Tan pronto les sirvieron el ped id o, A natoli ag reg ó al café
un poco de crem a, cu brió la taza co n una servilleta d e papel y salió
a hacer una llam ada telefónica. A d iferencia de A natoli, V ladím ir
tapó su taza con una servilleta y a l cabo d e 10 m inutos, cuando
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regresó A natoli, agregó al café la m ism a cantidad d e crem a que
A natoli; y am bos com enzaron a tom ar café. ¿Q uién tom ó e l café m ás
caliente?
Resolvam os el problem a partiend o d e un conjun to de suposiciones
naturales que reflejan la esencia física d e los procesos ocurridos:
vam os a considerar que el intercam bio de calo r a través d e las
superficies de la m esa y d e la servilleta e s m ucho m eno r que el
intercam bio de calor a través de las paredes d e las tazas, y que
la tem peratura del vapor en la taza e s igual a la tem peratura del
líquido.
D eduzcam os prim ero la expresión que describe có m o varía con el
tiem po la tem peratura del café en la taza d e V ladím ir antes d e
ponerle crema.
En virtud d e las suposiciones hechas, la cantidad de ca lo r que el aire
obtiene de la taza d e V ladím ir está d ad a p o r la fórm ula
m
Capítulo 1. Construcción y solución de modelos diferenciales
T -0
dQ = V— ;— 8 dt>
W
donde T e s la tem peratura del café en el instante t, 0 e s la tem peratura
del aire en la cafetería, r/ e s la conductividad de calor d el material
de la taza, l e s e l grosor d e la pared de la taza y s , e l área de la
superficie lateral de la taza. P or otra parte, la cantidad de calor que
entrega el café se determ ina por la fórm ula
dQ = - c m dT ,
(2)
d ond e c y m so n , respectivam ente, e l calor específico y la m asa del
café en la taza. C om parand o las ecuaciones (1) y (2), llegam os a la
ecu ación
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T -0
r]— -— s dt = - c m dT ,
o , sep arand o las variables,
dT
rjs
T -0
Io n
dt.
(3)
S i denotam os con T0 la tem peratura inicial del café e integram os la
e cu ación (3), hallam os
T = 9 + (T o -9 )e x p | -^ í| .
(4)
La fórm ula (4) constituye la expresión analítica de la ley de variación
d e la tem peratura del café de V ladím ir antes d e m ezclarlo con la
crem a.
12
1.
¿Cuál café está más caliente?
Busquem os ahora la ley de variación de la tem peratura del café de
V ladím ir después de agregarle la crem a. C on este fin, valgám onos
d e la ecuación del balance térm ico. En nuestro caso tenem os
c m (T - 0V) =
-
^ i),
(5)
donde 0\ e s la tem peratura d e la m ezcla en el instante t, T\ e s la
tem peratura de la crem a, q e s el calor específico de la crem a, y m i es
la masa de la crema agregada al café.
D e la ecuación (5) hallamos
9v= c'm' r, +——— t.
c m + C \r r i\
c m - r C \iri\
(6)
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Teniendo en cu enta la igualdad (4), la expresión (6) adopta la forma
C im ,
cm
= — L J— r, +
cm + q m i
cm + q m i
0 + (T0 - 0 ) exp
• (7)
La fórm ula (7) representa la ley d e variación d e la tem peratura del
café de V ladím ir d espués de ponerle crem a.
Para d educir la ley de variación d e la tem peratura d el café en la taza
d e Anatoli, utilicem os nuevam ente la ecu ación del balance térm ico:
cm(To - 90) = Cim i(0o - T\),
(8)
donde 0o e s la tem peratura d e la m ezcla. D e la igualdad (8) obtenem os
C apitulo 1. Construcción y solución de modelos diferenciales
H aciendo la tem peratura inicial igual a 0O en la ecu ación (4), y el
producto cm igual a la sum a cm + 4 m i, obtenem os la ley de
variación d e la tem peratura 0\ del café en la taza de Anatoli:
Para responder a la pregunta planteada en el problem a só lo nos queda
recurrir a las fórm ulas (7) y (9) y efectuar los cálculos respectivos
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y / = 2 •10 3 m . L o s cálculos m uestran que Anatoli tom ó el café más
caliente q u e Vladímir.
2. Flujo estacionario de calor
C om en cem os po r recordar q u e se habla de flu jo estacionario d e calor
cu and o la tem peratura en cu alquier punto de un cu erpo n o varía con
e l tiem po.
En la resolución d e problem as relacionados con los flujos de ca­
lor, las denom inad as superficies isotérm icas desem peñan un papel
sustancial. Para aclarar q u é e s una superficie isotérm ica considere­
m os, por ejem plo, u n tubo cond uctor de calo r (fig. 1) de 20 cm de
,4
2. Flujo estacionario óe calor
I
d iám etro fabricado d e un m aterial hom og éneo y protegid o p o r un
recubrim iento de m agnesio d e 10 cm de espesor. Su p on g am o s q u e la
tem peratura del tubo e s igual a 160° C y la d el recu brim iento exterior
e s igual a 30° C . In tuitivam ente e s claro que existe u n a su perficie
(su sección se m uestra en la figura 2 con u n a línea d iscontinua)
e n cada pu nto de la cu al la tem peratu ra e s la m ism a, d igam os,
igual a 95° C . La cu rva d iscon tin ua d e la figura 2 se llam a curva
isotérm ica, y la superficie correspon d iente, su perficie isotérm ica. En
general, las cu rv as isotérm icas p u ed en tener form as m u y variad as,
d ebido, e n particular, al carácter n o estacion ario del flujo d e calor
y a la heterogeneidad del m aterial. En e l caso exam inad o aquí,
las cu rv as (superficies) isotérm icas so n circu nferen cias co ncén tricas
(cilindros concéntricos).
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F ig . 1
F ig .2
O bten gam os la ley d e d istribución d e la tem peratu ra en e l interior
d el recubrim iento y hallem os la cantid ad d e ca lo r lib erad o d u ran te
24 horas p o r un tram o d e tubo d e 1 m de lon gitud , sabiend o q u e el
coeficiente d e cond uctivid ad calorífica e s k = 1 ,7 •10- 4 .
Valgám onos d e la ley d e cond ucción d e ca lo r d e Fourier, segú n la cual
la can tidad d e calor liberada en una u n idad d e tiem po p o r un cu erpo
qu e s e encuentra en estado térm ico in v ariab le y cuya tem peratura T
15
C apítulo 1. Construcción y solución de m odelos diferenciales
en ca d a pun to d ep en d e solam en te d e una coorden ada x está dad a p or
la fórm u la
dT
Q = - k F ( x ) — = co n st,
ax
(10)
don d e F ( x ) es el á rea d e la sección perpen dicu lar a la dirección de
p ro p a g ación del calor, y k es e l coeficien te d e conductividad calorífica.
D e las co n d icio n es d el p roblem a se d ed u ce qu e F ( x ) = 2irx l, d ond e l
es la lon g itu d del tubo e n cen tím etro s y i e s e l rad io d e la base del
cilin d ro interior. A partir d e la fórm u la (10), llegam os a las igualdades
30
20
f
Q
f dx
J
(11 )
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d T ~ ” 0,00017 - 2» !
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160
x '
10
*
T
f J r _
J
Q
f ñ
0,00017 l u í J
i'
(12)
C alcu lan d o las integrales (11) y (12), obtenem os
160 - T
ln 0,1a;
l g 0 ,l x
130
ln 2
lg 2
#
d e d ond e
T = 591 ,8 - 4 3 1 ,8 l g * .
Esta ú ltim a fórm ula e s la ley d e d istribución d e la tem peratura en
e l in terio r d el recubrim iento. C o m o vem os, la longitud del tubo no
tien e nin g u n a im portancia.
16
3. M uerte en la reserva
P ara resp o n d er a la se g u n d a p reg u n ta recu rram o s a la ecu a ció n (11).
P ara / = 100 cm resulta
130 •0,00 0 1 7 •2 * •100
ln 2
_ 2 0 0 * •130 •0 ,0 0 0 1 7
0,69315
p o r lo cu a l la can tid ad d e c a lo r lib erad a d u ra n te 2 4 h o ra s e s ig u al a
24 •60 •60 •Q = 72 6 8 5 2 J.
3. M u erte e n la reserva
D u ran te u n a rond a d e in sp ecció n p o r un a reserv a , d o s g u a rd a b o sq u es
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d escu b riero n el ca d á v e r d e u n ja b a lí. U n exam en p relim in ar p erm itió
co n clu ir q u e e l an im a l fa lleció in sta n tá n ea m en te a cau sa d e u n b alazo
d e un ca z a d o r fu rtivo. S o sp ech an d o q u e e l ca z a d o r d eb ía reg resar
a reco g e r su presa, lo s g u a rd a s d ecid iero n esp era rlo e sco n d id o s n o
le jo s d el lu g ar d el crim en. Al p o co tiem p o a p a re ciero n d o s su je to s y se
d irig iero n sin ro d eo s hacia e l jabalí. A l se r d eten id o s, lo s d e sco n o cid o s
n egaron ro tu n d am en te su p a rticip a ció n en e l d elito. A u n q u e los
g u a rd a b o sq u es te m a n p ru eb as in d irectas d e su cu lp ab ilid ad , p ara
o b te n er un a p ru eb a feh acien te era n e cesario d e te rm in a r e l in stan te
exacto en q u e el ja b a lí fu e m uerto.
P o r fortu n a, ese in stan te se lo g ró calcu la r u tilizan d o la le y de
ra d ia ció n d e calor. M o strem o s lo s p o sib les m o d o s d e razo n am ien to
a p lica b les en este caso.
C o n fo rm e a ley d e ra d iació n d e calor, la v elo cid ad d e en friam ien to
d e u n cu erp o e n e l m ed io a m b ien te e s p ro p o rcio n a l a la d iferen cia
Capítulo 1. Construcción y solución d e modelos diferenciales
entre la tem peratura del cu erpo y la tem peratura del medio:
(13)
d ond e x e s la tem peratura del cu erpo en el instante t, a es la
tem peratura d el m edio am biente y k
es u n factor positivo de
proporcionalidad.
La solución del problem a se puede obtener a partir del análisis de
la integral d e la ecu ación diferencial (13). Al integrar no se debe
olvid ar qu e, d espués de m uerto el jabalí, la tem peratura del aire bien
p u d o perm anecer invariable, bien pudo cam biar con el transcurso del
tiem po. En el p rim er caso, la ecu ación (13) e s una ecu ación diferencial
d e variables separables que se puede integrar fácilmente:
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ln
x - a
x0 - a
= - kt,
x ¿ a,
(14)
d ond e Xo e s la tem peratura del cu erpo en el instante t = 0 . Si en el
instante en que fueron d etenidos los sospechosos la tem peratura x
del cu erpo del jabalí era igual a 31° C y pasada una hora era
x = 37° C y a = 21° C , y tom ando e l instante del arresto co m o t = 0
e s posible d eterm inar el m om ento del disparo. De hecho, utilizando
los d ato s disponibles, de la igualdad (14) resulta
k = ln
= ln 1,25 = a 2 2 3 1 4 ‘
(15)
Su stitu yend o ahora en la fórm ula (14) el valor de k de la igualdad (15)
y e l valor x = 3 7 , hallam os
18
3. M uerte en la reserva
1
37 - 21
0,22314 " 31 - 21
1
0,22314
ln 1,6 = - 2 ,1 0 6 3 0 .
A sí, en tre el instan te d el d isp aro y el instan te en q u e fu ero n d eten id os
lo s sosp ech osos transcurrieron 2 h o ras y 6 m inutos.
En el ca so cu a n d o la tem peratu ra d el aire varía co n el tiem po,
la ley (13) d e en friam ien to d el cu erp o se co n v ierte e n la ecu ación
d iferen cial lin eal n o hom ogénea
— + k x = k a (t),
(16)
d o n d e a (f) e s la tem peratu ra d el aire e n e l in sta n te t.
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Para ilu strar uno d e lo s m éto d o s d e d eterm in ació n del instan te en
q u e fue m u erto e l ja b a lí, h ag am os alg u n as co n jetu ras: en e l instan te
de la d eten ción d e los so sp ech o so s la tem p eratu ra d el cu erp o del
ja b a lí era igual a 30° C ; e l d ía d el aco n tecim ien to la tem p eratu ra
d el aire d escen d ió cad a hora d e sp u é s d el m ed iod ía en I o C y era
igual a 0 o C en e l instan te d el h allazg o d el cad áv er; finalm ente,
su p on gam os que a l ca b o d e u n a hora de se r d etecta d o e l anim al,
su tem peratu ra b a jó hasta 25° C . T om an d o t = 0 co m o e l instan te
del d isp aro, asu m ien d o q u e e n to n ces la tem p eratu ra co rp oral del
jabalí era xq = 37° C y d en o tan d o co n f* e l in stan te en q u e los
guard abosq ues d escubrieron e l cad áver, o b ten em o s a (t) = f* — t.
In teg rand o ahora la e cu a ció n (16), hallam os
Capitulo 1. Construcción y solución de modelos diferenciales
Teniendo en cuenta que x = 30 para t = V , y que x = 25 para
t = ( ’ + 1, d e la últim a expresión obtenem os las igualdades
(3
7
! = 3a
~ ) e “ *<í' +l> + -^ = 26,
(—
9
y a partir d e éstas, la siguiente ecu ación respecto a k :
( 3 0 - I ) e- ‘ - 2 6 + i = 0 .
(17)
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A la ecu ación (17) se p u ede llegar partiendo de otras premisas. En
efecto, sea t = 0 e l instante de la detección del cadáver. Entonces
a (t) = - t y llegam os a la ecuación diferencial
^
dt
+ kx = -k t
(18)
(con la condición inicial x0 = 30 para t = 0 ), de la cu al hay que
d espejar x.
R esolviendo la ecuación (18), obtenem os
( . 9)
H aciendo í = 1 y
1
= 25 en la ecuación (19), llegam os a la
ecu ación (17).
¡IP :
I
3. M uerte en la reserva
Aunque, com o se sabe, la ecuación (17) n o se puede resolver alge­
braicam ente respecto a * , podem os resolverla fácilm ente utilizando
m étodos num éricos de aproxim ación d e raíces de ecuaciones trascen­
dentes, digam os, el m étodo de aproxim aciones sucesivas de Newton.
El m étodo d e New ton, al igual que otros m étodos d e aproxim aciones
sucesivas, parte de una estim ación inicial de la raíz exacta para ob­
tener aproxim aciones m ás precisas. El procedim iento continúa hasta
lograr e l grado de precisión requerido.
Para m ostrar cóm o se em plea el m étodo d e New ton, transform em os
la ecuación (17) en
3 0 * - 1 + (1 - 26fc)e* = 0 ,
(20)
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y la ecuación (19), d espués de tom ar x = 3 7 , tom a la forma
(3 7 * - 1 + k t)ekl - 3 0 * + 1 = 0.
(21)
Las ecuaciones (20) y (21) pertenecen al tip o de ecuaciones
( a i + b)ex‘ + c i + d = 0 .
(22)
Si denotam os con <p{x) el prim er m iem bro de la ecu ación (22)
y derivam os dos veces consecutivas respecto a x , resulta
<p\x) = (Aa x + A6 + a je * * + c,
*>"(i ) = (AJ a i + X2b + 2\ a)ex‘ .
Entonces e l m étodo de aproxim ación de N ew ton de cálculo d e una
raíz de la ecuación (22) consiste en que, si la t-ésim a aproxim ación x¿
2.
Capítulo 1. Construcción y solución de modelos diferenciales
cum ple la desigualdad
<p{Xi)ipn{Xi) > 0,
entonces la aproxim ación siguiente x,+ i se calcula con la fórmula
<P(Xi)
X
M
~
X i
✓<*,)•
A pliquem os el m étodo de N ew ton a la ecuación (20) y calculem os
una raíz con una precisión, po r ejem plo, de 10~6 . Derivando el primer
m iem bro <p{k) respecto a k , resulta
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<p'(k) = 30 - (25 - 26 k )e k.
Verificando directam ente se comprueba que y>(0) = 0 , <p(1) < 0,
y>'(0) > 0. Esto indica que la función <p crece en un entorno pequeño
del origen de coordenadas y luego decrece hasta tom ar un valor
negativo para k = 1. De aqu í se deduce que en el intervalo (0,1)
existe una raíz de la ecuación <p(k) = 0.
Tom ando com o aproximación inicialk$ = 0,5
que a — - 2 6 ,
6 = 1, c = 30, d = - 1
y
y teniendo presente
A = 1, calculam os las
aproxim aciones sucesivas de la raíz k de la ecuación (20) en el
intervalo (0,1), hasta alcanzar la precisión requerida. En la tabla
siguiente se m uestran lo s resultados d e los cálcu lo s11.
l) N . d e l T. E n e l o r ig in a l s e e la b o ra u n a ru tin a p a r a e l c á lc u lo d e b r a íz u tiliz a n d o b
c a lc u la d o ra c ie n tífic a d e b o ls illo "E L E K T R O N IK A B Z -3 4 ".
22
3. M uerte en la reserva
n
kn
<P(kn)
¥>'(*„)
V>"(*n)
0
0,500000
-5 ,7 8 4 6 5 5
-3 2 ,6 5 1 4 0 8
- 1 0 5 ,5
1
0,322835
-1 ,5 2 5 9 5 6
-1 6 ,1 1 8 0 4 3
- 8 2 ,0
2
0,228162
-0 ,3 5 1 4 2 4
- 8,859807
- 7 1 ,5
3
0,188497
-0 ,0 5 5 1 9 4
- 6,103385
- 6 7 ,5
4
0,179453
-0 ,0 0 2 7 4 7
- 5,497019
- 6 6 ,6
5
0,178953
- 0 ,0 0 0 0 0 8
- 5,463736
- 6 6 ,5
6
0,178952
0
El últim o paso del proceso de resolución d el problem a co n siste en
sustitu ir e l v alor calculad o d e k (k b % 0,178952) en la ecu ación (21)
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y resolverla respecto a t (el instante en q u e fu e m u erto e l jabalí). C on
el fin d e ap licar e l m étodo d e N ew ton a la ecu ación (21) denotem os
su p rim er m iem bro co n g(t). H acien do í„ = - 1 , a = fc, 6 = 3 7 k - 1,
c = 0, d = - 3 0 k + 1 , y A = k , o b ten em os la tabla
n
0
tn
9(tn)
-1 ,0 0 0 0 0 0
0,1819720
g'(tn)
/ (*« )
0,963962
0,19
1
-1 ,1 8 8 7 7 5
0,0035050
0,927054
0,19
2
-1 ,1 9 2 5 5 7
0,0000010
0,926329
0,19
3
-1 ,1 9 2 5 5 8
0,0000002
0,926329
0,19
4
-1 ,1 9 2 5 5 8
-0 ,0 0 0 0 0 0 3
D e los resultados se ded u ce q u e el jabalí fue m uerto aproxim ad am ente
1 hora y 12 m inutos a n tes de que los guardabosques lo encontraran.
C apítulo 1. Construcción y solución de modelos diferenciales
4.
Fuga de un líquido
por un orificio. Reloj de agua
L o s d o s problem as q u e se exam inan a contin uación ilustran la relación
d e su s co n ten id o s físicos con la geom etría.
D etengám onos previam ente en e l an álisis de
alg u n os aspectos teóricos generales. C o nsi­
d erem os un recipiente (fig. 3) d ond e e l área
H
d e cu a lq u ier sección transversal e s una fun­
ció n de la d istancia en tre la sección y el
fon d o del recipiente. Sea h la altura en me­
F ig .3
tros d el nivel d el líqu ido en e l recipiente
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e n e l instan te inicial t = 0 . D enotem os me-
d ia n te 5 ( s ) el área d e la sección transversal en el pu nto x y con s
e l área d e un orificio practicad o en el fon d o del recipiente.
C o m o se sab e, la velocidad v d e salida del líquido en el instante cuando
la altu ra d e su nivel es igual a x se determ ina m ediante la igualdad
sa lid a d el líquido p o r e l orificio.
En un interv alo infinitam en te p equeñ o d e tiem po d i, la salida del
líqu ido se p u ede co n sid erar uniform e, d e m od o q u e durante el tiem po
dt sa le una pequeña colu m n a d e líqu ido d e altura v dt y área de
secció n igual a s , prov ocand o un d escen so - d x del nivel d el líquido
en e l recipiente.
C o m o resu ltad o de e sto s razonam ientos obtenem os la ecu ación d ife­
rencial
4.
Fuga de un líquido p o r un orificio. Reloj d e agua
k s ^ / í g x dt = - S ( x ) d x ,
(22)
que p u ede escribirse com o
dt =
dx.
(23)
Resolvam os ahora e l problem a sig u ien te. U n d ep ósito cilin d rico de
6 m de altura y 4 m d e diám etro descansa sobre su base. Su p on g am o s
q u e inicialm ente el d ep ósito está lleno de agua y se p ractica en su
b ase un orificio circular de — m radio. S e p id e h allar có m o varía
e l nivel del agua e n e l d ep ósito co n e l tiem po t, a sí co m o e l tiem po
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q u e transcurre hasta q u e e l d ep ósito se vacía.
7T
P or las co nd icio nes del problem a, 5 ( i ) = 4 jt y s = — . D ad o que
144
para el agua k = 0 ,6 , la ecu ación (23) se co n v ierte en
217'——
152 dx.
^
dt = -------v/í
Integrando, obtenem os la fórm ula
í = 434,304 ( V 6 - v ^ )
(0 s* x < 6),
la cu al expresa la relación en tre e l nivel d e ag u a y e l tiem po t . Si en la
últim a igualdad hacem os x = 0 , ob ten em os q u e el tiem po necesario
para que el d ep ósito se vacíe p o r co m p leto e s aproxim ad am ente
18 m inutos.
m
C apítulo 1. Construcción y solución d e m odelos diferenciales
X
-ül.___ —
T—TV """"
P asem os al seg u n d o p ro blem a. Es sa­
b id o q u e la clep sid ra (reloj d e ag u a
—
\
/
an tig u o ) e s un sistem a para m ed ir el
tiem p o m ed ian te el ag u a q u e sa le por
un p eq u eñ o orificio e n e l fon d o de
//
//
u n recip ien te (fig. 4). L as clep sid ras se
o
em p leaban en lo s tribu nales g rie g o s y
F ig . 4
so s de lo s ab o g ad o s y así e v ita r in ter­
X
ro m an os para cro n o m etrar lo s d iscu r­
ven cion es m uy exten sas. D eterm in ar la
fo rm a q u e d e b e ten er u n a clep sid ra para q u e e l n ivel d el ag u a en el
recip ien te d escien d a co n velocid ad constan te.
P ara reso lv er el p roblem a u tilizarem o s la ecu ación (23). E scribám osla
d e la m anera siguien te:
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V í = -
S (x )
dx
k s ^ 2 ¿ d t'
(24)
S u p o n ie n d o q u e e l recip ien te e s u n a su p erficie de revolu ción , y ate­
n ién d o n o s a las n o tacio n es in tro d u cid as en la figura 4 , a partir d e la
e cu a ció n (24) o b ten em os
'- ■ '- C
v S -
< *>
dx
d o n d e a = vx = — e s la p ro y ección d e la velocid ad de la su perficie
dt
lib re d el líq u id o so bre e l e je x . Segú n las co n d icio n es d el problem a
d ich a p ro y ecció n es co n stan te. E levan d o a l cu a d ra d o a m b o s m iem bros
5 . Eficacia d e la p u b lic id a d
e n (2 5 ), lle g a m o s a la e cu a ció n
X = cr\
(26)
/I
donde c =
* ^ s to inc*ica 9 u e
r e *°¡ d e a S u a tie n e *a fo rm a d e
la su p e rfic ie g e n e ra d a p o r la ro ta c ió n d e la c u rv a (2 6 ) a lr e d e d o r d el
e je x .
5. E ficacia de la p u b lic id a d
U n a e m p re s a co m e rc ia l v e n d e cie rta m e rca n cía D , s o b r e c u y a e x is te n ­
cia e n el in sta n te t e s tá n e n te r a d o s so la m e n te x d e lo s N c o m p r a d o re s
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p o te n cia le s . C o n e l fin im p u lsa r la s v e n ta s d e e s t e p r o d u c to la firm a
e m p re n d e u n a ca m p a ñ a p u b lic ita ria p o r ra d io y te le v is ió n . P o ste rio r­
m en te, m u c h o s c o m p r a d o re s p o te n c ia le s se e n te r a n d e la e x iste n c ia
d el p ro d u c to p o r m e d io d e o tr a s p e r so n a s. C o n u n g ra d o a l t o d e
fia b ilid a d se p u e d e a fir m a r q u e , c o m o re s u lta d o d e la c a m p a ñ a p u b li­
cita ria , la v e lo cid a d d e v a ria c ió n d e l n ú m e ro d e p e r s o n a s q u e c o n o c e n
e l p ro d u c to D e s p ro p o rc io n a l ta n to a l n ú m e ro d e c o m p r a d o r e s q u e
y a e stá n e n te r a d o s c o m o a l n ú m e ro d e c o m p r a d o r e s q u e a ú n n o lo
están .
S i c o n v e n im o s e n m e d ir e l tie m p o a p a rtir d e l in s ta n te c u a n d o ,
un a v e z in icia d a la c a m p a ñ a p u b lic ita ria , la c a n tid a d d e p e r so n a s
q u e sa b ía n d e la e x iste n c ia d e l p ro d u c to e r a ig u a l a
o b te n e m o s la e c u a c ió n d iferen cia l
N
— , e n to n c e s
C apítulo 1. Construcción y solución d e m odelos diferenciales
co n la co n d ició n inicial x = — p a ra t = 0 . En la ecu a ció n (27), k e s un
co eficien te p o sitiv o d e p ro p orcion alid ad . In teg ran d o la ecu ación (27)
hallam os
¿ ln
N
N -x
= k t + C.
Tom and o N C = C\, resulta la igualdad
N -x
= Ae
N kt
A = e c '.
donde
R eso lv ien d o e sta ú ltim a ecu a ció n resp ecto a x , obtenem os
A e Nkt
N
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x = N
A e Nkt 4- 1 "
(28)
1 + P e -**'
donde P = — .
A
E n la literatu ra d e eco n o m ía, la ecu ació n (28) se co n o ce co n el nom bre
d e ecu ación d e la cu rva logística.
P artien do d e la s co n d icio n es ini­
ciales, la ecu ación (28) se trans­
form a en
x =
N
1 \p-Nkt’
l+ (7 -l)e
-
E n la figura 5 se m uestra la curva
logística p a ra
7
= 2 . C o n la ecu a­
ció n (27) tam b ién s e p u ede rep resen tar el p roblem a d e d ifu sió n de
n o v ed ad e s tecnológicas.
I
6. O ferta y demanda
6. O ferta y demanda
La oferta y la d em anda so n categorías económ icas d e la producción
de bienes y serv icio s, categ orías q u e su rgen y se d esarrollan e n el
m ercado, en la esfera d el intercam bio com ercial. La d em an d a e s la
expresión en el m ercado de la necesidad d e m ercan cías y la oferta es
el producto dispon ible o su scep tible d e se r co n seg u id o en el m ercado.
Una de las leyes económ icas d e la producción d e bien es y servicios
es la ley d e la oferta y la dem anda , cu y a esen cia e s la unidad d e la
oferta y la dem anda y su tend encia ob jetiva a equ ilibrarse.
Veam os e l problem a siguien te. Su pon gam os que to d o s los d om ingos
de una tem porada su ficientem ente larga, un cam pesin o va a l m ercado
del pu eblo a ven d er las m anzanas recolectadas d u ran te la sem ana.
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Si e l inventario d e m anzanas e s gran d e, la oferta sem anal d epend erá
tanto del precio d e venta esp erad o para la p resente sem ana co m o de
la variación pronosticada para las sem anas sig u ien tes
d igam os,
se espera que esta sem ana el precio sea b a jo y q u e en las sig u ien tes
aum ente, en tonces la oferta se m antendrá o d ism inuirá b a jo la
condición de q u e la su bida esp erada co m p en se las pérd id as p o r no
venta. A dem ás, la oferta d e la m ercancía esta sem ana será tanto
m enor, cu an to m ayor sea e l au m en to esp erad o d el p recio d e venta
en las sem anas siguientes. Y viceversa, si esta sem ana se esp era que
el precio sea alto y que caerá luego, en tonces la oferta aum entará
tanto m ás cu an to m ayor sea la d ism inu ción de p recios esperada.
Si d enotam os co n p e l p recio d e la fruta esta sem ana, y con p
la
tendencia (la derivada del precio respecto al tiem po), en to n ces tanto
la dem anda co m o la oferta serán fun ciones d e esta s variab les. C o m o
m uestra la práctica, las form as concretas d e estas fun ciones dep en d en
de m uchos factores; en particular, la d ep end encia d e la oferta y de la
29
C apitulo 1. Construcción y solución de modelos diferenciales
dem anda resp ecto a p y p' puede ser lineal, e s decir, puede tener la
form a
y = a p + b p + c,
donde a , b y c son ciertas constantes reales. Suponiendo, por ejem plo,
que e l p recio inicial d e la fruta era igual a 1 rublo p o r 1 k g , dentro d e t
sem anas será p(t) rublos p o r 1 kg, y las fórm ulas para d eterm inar el
com portam iento d e la dem anda q y de la oferta s son
q = 4p - 2 p + 39,
s = 44p ' + 2p - 1,
respectivam ente, en tonces para garantizar el equ ilibrio entre la de­
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m anda y la oferta, d ebe cu m plirse la igualdad
4 p - 2p + 39 = 44 p + 2 p - 1.
D e a q u í llegam os a la ecu ación diferencial
p-10
10
Integrand o hallam os p = C e " '/10 + 10. D e la condición inicial (p = 1
para t = 0 ) resulta
p = - 9 e “</10 + 10.
(29)
R esum iend o, si se quiere m antener tod o el tiem po una situación de
equ ilibrio entre la dem anda y la oferta, e s necesario q u e el precio
varíe de acu erd o co n la fórm ula (29).
■
7. Reacciones químicas
7. R eaccion es q u ím icas
L as e cu a cio n e s q u ím ica s m u estra n c ó m o se fo rm a u n a su sta n cia
(p ro d u cto ) a p artir d e o tra s su sta n cia s (reactan tes). P or e je m p lo , la
ecu ación
2H 2 + 0 2 -
2H 20
m uestra q u e e l resu ltad o d e la reacció n e n tre d o s m o lécu la s de
hid ró g en o y una d e o x íg e n o e s la o b te n ció n d e d o s m o lécu la s
de agua.
La form a g en e ra l d e u n a ecu a ció n q u ím ic a es
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aA + bB + c C + . . . - * m M + n N + p P + . . . ,
d o n d e A, B , C , . . .
so n lo s reactan tes;
so n la s su sta n ­
cia s q u e se o b tien en co m o resu ltad o d e la re a c ció n q u ím ic a ; y las
co n sta n tes a ,b , c , . . .
...
so n e n te ro s p o sitiv o s q u e in d ica n
las con cen tracion es (n ú m ero d e m o lécu las) d e la s su sta n cia s q u e
in terv ien en e n la reacción.
La m agn itu d q u e cara cteriza e l cu rso d e u n a reacció n co n e l tiem p o
se llam a v elo cid a d d e reacción . L as co n ce n tra cio n e s d e lo s rea cta n tes
se m id en e n m oles p o r u n id ad d e volu m en .
U na d e la s ley es fu n d am en tales d e la teoría d e la s v elo cid a d es
d e la s reaccio n es q u ím ica s e s la ley d e a cció n d e m asas, se g ú n la
cu a l la v elo cid a d d e una reacción qu ím ica, p a r a un sistem a h o m o ­
g én eo a tem peratu ra constante, es p ro p o rcio n a l a l p ro d u cto d e las
con cen tracion es d e la s su stan cias reaccionantes.
C apítulo 1. Construcción y solución de modelos diferenciales
V eam os c ó m o u tilizar la ley d e acción d e m asas e n la resolu ció n de
u n p ro b lem a co n cre to d e u n a reacció n qu ím ica. El resu ltad o de la
reacció n d e 10 litro s d e la su stan cia A co n 20 litro s d e la su stancia B
e s u n a n u ev a su stan cia C . S u p o n g a m o s q u e A , B y C son líqu idos,
q u e la tem p era tu ra d u ran te la reacció n p erm an ece co n stan te, y q u e la
re a cció n d e d o s vo lú m en es d e la su stan cia A co n un vo lu m en d e la
su stancia B p ro d u ce tres v o lú m en es d e la sustancia C . D eterm inar
la can tid ad d e su stancia C en un in stan te arb itrario t sab ien d o que
d u ra n te 2 0 m in u to s se fo rm an 6 litros.
R ep resen tem o s co n x e l vo lu m en (en litro s) d e la su stancia C obtenida
h asta el in stan te t (en ho ras). D e las co n d icio n es del p roblem a se
2x
d ed u ce q u e , a l lle g a r a l in stan te t , h an reaccio n ad o —
litros d e la
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su stancia A y ^ litro s de la su stancia B o, lo q u e e s equ ivalente,
2 j
a ú n q u e d a n 10 — — litro s d e A y 2 0 -
x
-
litro s de B . C onform e
co n la ley d e acción de m asas
o b ien
^
= * 1 5 - x )(6 0 - x),
(
d o n d e k e s u n a co n sta n te d e prop orcion alid ad I k =
1K \
J . R ecor­
d em o s q u e e n e l instan te inicial / = 0 la can tid ad d e su stan cia C es
x = 0 , y en e l in sta n te t = - se tien e x = 6.
32
7. Reacciones químicas
m
m
Partiendo d e esta inform ación, p o d em os plan tear e l llam ad o problem a
d e contonto
% = * ( 1 5 - x )(6 0 - x),
at
x(0) = 0,
* Q
) =6.
A nte todo, integrem os la ecu ación d iferen cial y u tilicem o s la co n d ició n
i ( 0 ) = 0 para ob tener e l valor de la co n stan te d e integración:
6 0 - 1 = 4 e 45«
1 5 -i
A hora, para hallar el valor d e la co n stan te d e p roporcion alid ad * ,
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su stituim os lo s valores i = 6 y t = - e n esta últim a exp resión . El
resultado es e 15* = - . P or consiguiente,
o , d esp ejan d o x ,
La últim a igualdad representa la cantid ad x d e su stan cia C form ada
hasta e l instan te t p o r la reacción d e A y B .
C a p itu lo 1. Construcción y solución d e m odelos diferenciales
H a g a m o s u n a ob serv ación final. P artien do de co n sid eracio n es prác­
ticas s e co m p ren d e q u e e l v o lu m en d e su stancia C form ad o d u ran te
la rea cció n q u ím ica d e 10 litro s d e su stan cia A y d e 2 0 litros de
su stan cia B e s finito. Al m ism o tiem p o , un an álisis form al de la
e cu a ció n ( * ) ind ica q u e existe un v a lo r fin ito d e t, co ncretam ente
/ 2 \ *
cu and o ( - J
= 4 , para e l cu a l la variab le x se h ace infinitam ente
g ra n d e. N o ob stan te, e ste hecho n o co n trad ice las co n sid eracion es
í 2\ *
p rá ctica s, p u es la ig u ald ad 1 - 1
= 4 e s p o sib le ú n icam en te si el
tiem p o t tom a v a lo res n eg ativ os, y las reaccio n es qu ím icas tienen
sen tid o só lo para t ^ 0.
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8. M o d elo s d iferenciales
en ecología
La eco lo g ía estu d ia la s relacion es e n tre lo s org an ism os v iv o s y su
m ed io a m bien te. S u ob jeto p rin cip al d e estu d io e s la ev o lu ción d e las
p o blacion es.
E n esta se cció n an alizarem os alg u n o s m od elos d iferen ciales d e creci­
m ien to y ex tin ció n de las p o b lacion es y o tro s m o d elo s relacion ad os
co n la co n v iv en cia d e org an ism os v iv o s en situ a cio n es " d e p r e d a d o r p re sa " 2).
21 Murray /. D.
S o m e s i m p l e m a t h e m a t ic a l m o d e ls in e c o lo g v / / M a t h . S p e c t m m
1 9 8 3 - 1 9 8 4 . V. 1 6 . N ® 2. P. 4 8 - 5 4 .
8. M odelos diferenciales en ecología
Sea z (¿) el núm ero d e ind ivid uos d e cierta p o blación en e l in stan te t .
D enotando con A y B , respectiv am en te, lo s nú m eros d e ind ivid uos
que nacen y m ueren po r unidad d e tiem po, tend rem os u n a base
bastante sólid a para afirm ar q u e la velocid ad d e varia ció n d e x
resp ecto al tiem po e s
dx
= A -B .
dt
(30)
El problem a ahora co n siste en esta b lecer la d ep en d en cia d e A y B
respecto a x . El ca so m ás sim p le se presenta cuando
A = ax,
d ond e o y ó
B = bx,
(31)
son la tasa d e n atalid ad y la tasa d e m ortalid ad po r
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unidad d e tiem po, respectivam ente. Su stitu y en d o las exp resion es de
A y B d e (31) e n la ecu ación diferencial (30), se obtien e
dx
— = ( a - b)x.
dt
Ko¿)
Sea x = x 0 e l n ú m ero de ind ivid uos en e l instan te t = f0 . E nton ces
de la ecu ación (32) sig u e que
D e esta igualdad se d ed u ce que si a > 6 , en to n ces el n ú m ero de
ind iv id uos x — oo cu an d o t —* oo . P or otra p arte, si a < fe, en tonces
x —►0 cu and o t —* oo , e s decir, la p o blación co m ien za exting u irse.
A pesar d e que e l m od elo q u e acab am o s d e ex p o n er e s sim plificado,
en una serie de caso s co rresp o n d e a la realidad . Sin em bargo,
C apitulo
1 . Construcción y
solución de modelos diferenciales
•
prácticam ente todos lo s m odelos de fenóm enos y procesos reales son
no lineales, p o r lo que, en lugar d e la ecu ación (32), se hace necesario
considerar ecuaciones d e la forma
i
d onde f { x ) e s una función no lineal. Suponiendo, por ejemplo, que
f ( x ) = o x - bx2, tenem os la ecuación
dx
2
— = f {x) = o x - bx ,
donde
a > 0,
6 > 0.
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Dado que en el instante t = t0 el tamaño d e la población e s x = x0,
se obtiene
a
X° h
x ( t ) = -------- 7 ^ — ^ ------------ .
(33)
En la igualdad (33) se ve que cuando t - » oo, el tamaño de la
población x(t) —»
CL
y -
a
a
Ahora bien, se pueden dar los casos - > x 0
< x 0, cu yas diferencias se ilustran en la figura 6. Destaquemos
que la igualdad (33) describe, en particular, el com portam iento d e las
poblaciones d e algunos tip os d e parásitos d e las frutas y de ciertas
clases d e bacterias.
Exam inem os un ca so de coexistencia de especies. Específicamente,
considerem os d o s tip os de peces, grandes (depredadores) y pequeños
I. M odelosdirérencialesenecologl
(presas), donde los últimos sirven de
alimento a los primeros. Si construi­
mos la ecuación diferencial para cada
clase, se obtiene el sistema de ecua­
ciones
^
= / ¿(*i
Xn)'
* = 1 , 2 , . . . , n.
Estudiemos con mayor detenim iento el llam ado m odelo "depreda­
d o r -p r e s a " para dos especies de peces. Este m odelo fue estudiado
por primera vez por Voltérra para explicar las oscilaciones en la
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aparición de diferentes tipos de peces en el M ar Adriático, las cuales
mostraban un mismo período, pero diferentes fases.
Denotemos con x e l núm ero de depredadores y con y la cantidad de
presas. El núm ero de depredadores crecerá m ientras haya suficiente
cantidad de alimento, o sea, de peces pequeños, pero al fin y al
cabo llegará un m om ento cuando com ience a escasear al alimento,
y el núm ero de peces grandes comenzará a disminuir. En este caso,
el núm ero de peces pequeños d e nuevo crecerá, creándose así las
condiciones para que el núm ero de peces grandes vuelva a aumentar,
y el ciclo se repetirá de nuevo. He aqu í el m odelo construido por
Volterra:
dx
— = - a i + bxy,
dt
(34)
<
^ = c y - dxy,
(35)
donde a , b, c, d son constantes positivas.
37
Capitulo 1. Construcción y solución de modelos diferenciales
En la ecuación (34) (para los peces grandes), el sum ando b xy
expresa
la dependencia del
grandes
respecto al
aum ento d e la población
de peces
tamaño de la población de peces pequeños.
El sumando - d x y de la ecuación (35) expresa la reducción del
núm ero d e peces pequeños en función del número de peces grandes.
Sim plifiquem os el aspecto de las ecuaciones (34) y (35) introduciendo
las siguientes variables adimensionales:
ti(r ) =
d
-x ,
c
v (t) =
b
-y ,
a
a
t = d ,
a
=
- .
c
C on estas notaciones las ecuaciones diferenciales (34) y (35) se
convierten en
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u=
qu { v
- 1),
v = v (l -
tí),
(36)
donde a > 0, y la tilde indica la derivada respecto a r .
Supongam os que en un instante determ inado r = r0 se conoce el
núm ero de ejem plares de ambas especies, es decir,
u (r0) = u0,
V(T0) = v0.
(37)
En el futuro nos interesarán solam ente las soluciones positivas. Para
revelar la relación entre u y t) dividam os la primera ecuación del
sistem a (36) por la segunda e integremos la ecuación diferencial
obtenida. El resultado es
av
+ u -
ln
v“ tí
= a t »0 + t í 0 - l n t £ u
0 = H,
8. M odelos diferenciales en ecología
donde H es una constan te determ inada p o r las cond iciones inicia­
les (37) y e l parám etro a .
En la figura 7 se m uestran los gráficos d e ti co m o función d e v
para d iferentes valores de H . O bsérvese que las cu rv as en e l plano
(u, v ) son cerradas. Supongam os ahora
que a los valores iniciales ti0 y v0 les
corresponde el punto A en la trayecto­
ria para e l valor H = i f 3. P uesto que
u0 >
1 y v0 <
1, la prim era ecu ación del
sistem a (36) m uestra que inicialm ente la
variable u d ecrece. Un hecho análogo
tiene lugar para la variable t». Luego,
cuando la variable ti se h ace igual a la
F ig.7
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unidad, v' = 0 , y d espués en e l trans­
curso d e un tiem po prolongado r la variable v crece. Y viceversa,
cuando v = 1, u ' = 0 y la variable u com ienza a crecer. D e esta
m anera, tanto la variable u co m o la variable v d escriben trayectorias
cerradas, lo que significa q u e las soluciones son funciones periódi­
cas respecto al tiem po. A dem ás, los puntos d e m áxim o d e u y v
no coinciden, e s decir, las oscilaciones d e las poblaciones d e peces
F ig .8
■■
C a p ítulo 1. C onstrucción y solución d e m odelos diferenciales
g ra n d es y p ece s p e q u e ñ o s tie n e n fases d iferen tes. La fig u ra 8 m uestra
u n g rá fico típ ic o d e la d ep en d en cia d e ti y v resp ecto ai tiem p o r
(en e l c a so v0 > 1 , u 0 < 1).
A m o d o d e co n clu sió n , su b ra y em o s q u e e l estu d io d e co m u n id ad es
c o n in terre la cio n es m á s co m p leja s co n d u ce a resu ltad os p ráctico s
m á s in teresan tes. A sí, p o r ejem p lo , si d o s p o b la cio n es co m p iten
p o r u n a m ism a fu e n te d e a lim en ta ció n (una tercera p o blación ), se
p u e d e m o stra r q u e u n a d e la s e sp e cie s tien d e a e x tin g u irse . B ajo esta s
c o n d icio n e s e s cla ro q u e si la p o b la ció n q u e se extin g u e e s la fu en te de
a lim en ta ció n , e n to n ce s la s o tra s d o s esp e cie s co rrerán la m ism a su erte.
9. U n p ro b lem a de la teoría
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m atem ática de epid em ias
A n a lice m o s u n m o d e lo d iferen cial d e la teoría d e ep id e m ia s. Su ­
p o n g a m o s q u e en cie rta p o b lació n d e ta m a ñ o N se d istin g u en tres
g ru p o s: e l p rim e r g ru p o está fo rm a d o p o r lo s in d iv id u o s san os, p ero
su sce p tib le s d e a d q u irir cierta en ferm ed ad co n tag io sa. S e a S {t) el
n ú m ero d e tales in d iv id u o s en e l in sta n te t . El seg u n d o g ru p o lo co n ­
fo rm a n lo s in d iv id u o s in fectad o s, o sea, a q u éllo s in d iv id u o s q u e están
en ferm o s y so n fu en te d e p ro p a g a ció n d e la en ferm ed ad . D en otem os
co n I( t ) e l n ú m e ro d e ta les in d iv id u o s e n e l in sta n te t. Finalm en te,
el te rce r g ru p o lo co n stitu y en lo s in d iv id u o s sa n o s q u e tien en inm u ­
nid ad co n tra la e n fe rm ed a d d ad a. U tilicem o s e l sím b o lo R {t) para
re p re sen ta r su n ú m ero en e l in stan te t. D e tal m anera,
S (t) + I ( t ) + R (t) = N .
■
(38)
9. Un pro b le m a d e la teoría m atem ática d e epidem ias
H a g a m o s v a ria s su p o sic io n e s q u e, si b ien sim p lifica n la situ ació n
rea l, e n m u ch os ca so s reflejan la esen cia d e lo s aco n te cim ien to s.
A su m a m o s, p o r ejem p lo , q u e c u a n d o e l n ú m ero d e in d iv id u o s
in fectad o s e x c e d e cierto n ú m ero fijo / *, la v e lo cid a d d e v a ria ció n del
n ú m ero d e in d iv id u o s su sce p tib le s a la e n ferm ed a d en e l in sta n te t
e s p ro p orcion al a su n ú m ero e n e l in stan te t . V am os a co n sid e ra r q u e
la velocid ad d e v a ria ció n d el n ú m ero d e in d iv id u o s in fecta d o s, pero
co n v a lecien tes, e s p ro p o rcio n a l a l n ú m e ro d e in d iv id u o s in fectad o s.
En relación co n la p rim era su p o sició n , co n sid e re m o s q u e c u a n d o el
n ú m e ro d e in d iv id u o s in fe cta d o s e s I ( t ) > /’ , é sto s so n ca p a c e s de
c o n ta g ia r a lo s in d iv id u o s p ro p e n so s a la e n ferm ed a d . L o ú ltim o
sig n ifica q u e a ce p ta m o s e l h e ch o d e u n p o sib le a isla m ie n to (h asta
cierto m o m en to ) d e lo s in d iv id u o s c o n ta g ia d o s (m e d ia n te cu aren ten a
o m a n ten ién d o lo s lejo s d e lo s in d iv id u o s p ro p en so s al co n ta g io ). C on
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e sta s restriccio n es lle g a m o s a la e cu a ció n d iferen cia l
d s = ( - a s
si
m
> r ,
dt
si
m
^ r .
\
o
A hora, p u esto q u e ca d a in d iv id u o su sce p tib le d e co n ta g io , e l c u a l al
fin y a l c a b o co n tra e la in fecció n , s e co n v ie rte e n ag e n te transm iso r
d e la en fe rm e d a d , e n to n ces la v elo cid ad d e v a ria ció n d e l n ú m e ro d e
in d iv id u o s in fe ctad o s e s la d iferen cia en la u n id ad d e tiem p o en tre
lo s in d iv id u o s q u e h a n ca íd o en ferm o s p o r p rim e ra v e z y lo s q u e
e stá n e n recuperación:
d ± = ( Qs - p i
si
i(t) > r ,
dt
si
m ^ r .
\
-p i
L as co n sta n tes d e p ro p o rcio n alid ad a y 0 s e d en o m in an co eficien te
d e m orbilid a d y coeficien te d e co n v a lecen cia , resp ectiv am en te.
4,
Capítulo 1. Construcción y solución de m odelos diferenciales
F in alm en te, la v elocid ad d e v ariación d el n ú m ero d e ind ivid uos
co n v ale cien te s se da m ed ian te la ecu ación
Para q u e las so lu cio n es d e las ecu acio n es co rresp on d ientes sean
ú n icas, h ace falta p refijar las co n d icio n es iniciales. P or com odidad ,
su p on g am o s q u e en e l in stan te t = 0 en la población n o hay indivi­
d u o s in m u n es a la en ferm ed ad , e s d ecir, R ( 0 ) = 0 , y qu e inicialm ente
e l n ú m ero d e in d iv id u o s infectados e s igual a /(O). Su pon gam os
a d em ás q u e lo s co eficien tes d e m orbilid ad y de convalecen cia son
ig u ales, o sea , o = p (le p ropon em os al lector analizar el caso cu an d o
esto s co eficien tes n o so n iguales). D ebem os exam in ar d o s casos.
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C a so 1. El n ú m e ro 1(0) ^ V . En este caso, co n e l au m en to del
dS
tiem p o la in fección n o se propaga, ya q u e — * = 0 y, p o r consiguiente,
dt
co n form e a la ecu a ció n (38) y a la co n d ició n inicial R ( 0 ) = 0 , para
to d o t e s válida la igualdad
S (t) = 5 ( 0 ) = N - 1(0).
U na situ a ció n sim ila r se presenta cu and o una cantid ad su ficien tem en­
te g ran d e de in d iv id u o s in fectad o s se so m ete a cu arenten a. E ntonces
d e la e cu a ció n (40) tom a la form a
D e aqu í
/ « ) = / ( 0 ) e - '.
42
9. Un problem a d e la teoría m atem ática d e epidem ias
Por tanto,
w ) =
n
- 5 (o - m
= m
• ( i - e _ a f ).
En la figura 9 se m uestra có m o cam bia e l n ú m ero d e in d iv id u o s en
cad a u n o d e lo s tres g ru p o s resp ecto a l tiem p o t .
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C a s o 2. E l n ú m e ro 7 (0 ) > 7 ’ . En esta s co n d icio n es, d e b e existir
un intervalo de tiem po 0 ^ t < T d o n d e e s válid a la d esiguald ad
7 (0 > I\
y a qu e, d e acu erd o co n e l sen tid o d el p ro blem a, la
función I d eb e se r una fun ción co n tin u a d e t. D e a q u í se infiere
q u e p ara tod o t del intervalo [ 0 ,T ) la en ferm ed ad será ad qu irid a
po r tod os lo s in d iv id u o s su scep tibles d e co n tag io . E n ton ces d e la
ecu ación (39) se d ed u ce que
5 ( f ) = 5 (0 )e~ °*
para 0 < t < T .
C apítulo 1. Construcción y solución de modelos diferenciales
S u stitu y en d o el v alor d e S (¿) d e la ú ltim a igualdad en la ecu ación (40),
llegam os a la e cu a ció n diferencial
~ + a l = a S (0 )e~ a l.
dt
(41)
M u ltip licand o a m b o s m iem bros de la ecu ación (41) po r e at resulta
l ( / e" ) = a S ( 0 ),
de d ond e
I e at = q 5 ( 0 ) í + C
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y, con sig u ien tem en te, el conjun to de tod as las so lu cion es d e la
ecu ación (41) qu ed a d eterm in ad o p o r la fórm ula
/(<) = C e~ "‘ + a S ( 0 ) te ~ n'.
(42)
H acien d o t = 0 en (42) o b ten em os C = /(O), y la ecu ación (42) toma
la form a
I ( t ) = (1(0) + a S (0 )t) e ~ ° '
(43)
para 0 ^ t < T .
D ed iqu ém o n os ahora a la bú sq u ed a d e un valor co ncreto d e T y del
instan te tm¡tx cu a n d o e l n ú m ero d e ind ivid uos infectados alcanza su
v alo r m áxim o.
La resp u esta a la prim era pregu nta e s im portante, p orqu e en el
in stan te T cesa e l co n ta g io d e lo s ind ivid uos p ropen sos a en ferm arse.
44'
9. Un problem a d e la teoría matem ática de epidemias
D e lo anterior se d ed u ce q u e para t = T , el seg u n d o m iem b ro de la
ecu ación (43) tom a el valor V , e s decir,
/* = (/(O) + a S { 0 ) T ) e ~ oT .
(44)
Pero
S (T ) = lim S (t) = 5 (o o )
t —oo
es el núm ero d e individuos su scep tibles d e co n tag io q u e n o ad qu ieren
la enferm ed ad , y para lo s cu ales se cum ple
5 ( T ) = 5 (o o ) = S ( 0 ) e “o 7 .
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D e a q u í resulta
En esta igualdad se v e q u e si ind icam o s un v a lo r exp lícito d e 5 (o o ),
en tonces con la ecu ación (45) podrem os p red ecir e l instan te en que
se d etien e la epidem ia. Su stitu y en d o T d e la exp resión (45) en la
ecu ación (44), obtenem os la igualdad
o bien
r
no)
5 (0 )
:— - = -T77T + ln — — ;
5 (o o )
5 (0 )
5 (o o )'
m
C apitulo 1. Construcción y solución d e m odelos diferenciales
q u e p u ed e escrib irse en la form a
r
+ ln 5 ( o o ) = ^
+ ln S (0 ) .
5 (o o )
S ( 0)
(46)
P or cu an to /* y tod os los térm in os en e l seg u n d o m iem bro d e la
ecu a ció n (46) son co n ocid os, a partir d e ella podem os d eterm inar sin
d ificultad 5 (o o ).
Para resp on d er a la seg u nd a pregu nta, partiend o d e la ecu ación (43)
llegam os a la igualdad
^
= (o S (0 ) - a / ( 0 ) - a 2S (0 )í)e ~ ° ' = 0.
al ca b o del cu al I alcanza su valor
D e aqu í hallam os el tiem po
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m áxim o:
«
Si su stitu im os e l valor
V
S (0 )J
d e esta igualdad e n la ecu ación (43),
obtenem os
Esta exp resión m uestra, en particular, q u e en el instante ¿max el
n ú m ero d e ind iv id uos su sceptibles de en ferm arse coincide con el
n ú m ero de in d iv id u o s infectados.
Para t > T , lo s ind ivid uos su scep tibles d e contagio n o ad quieren la
infección, p o r lo que
m
= / • e - |,- T).
« i
10. Curva d e l perro (curva d e persecución)
En la figura 10 se ilustran las variaciones d e los tres gru pos respecto al
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tiempo.
10.
Curva del perro
(curva de persecución)
El siguiente ejem plo m uestra có m o utilizar las ecuaciones diferenciales
para elegir una estrategia correcta en un problem a de búsqueda.
Supongam os que un torpedero persigue un subm arino en la bruma.
En cierto instante la brum a se disipa y e l subm arino qu ed a al
descubierto sobre la superficie d el agua, a u n a distancia d e 3 m illas
del torpedero. Conociendo que la velocidad del torpedero e s dos
veces superior a la del subm arino y que este últim o se sum ergió
inm ediatam ente después de se r d escubierto y partió a tod a velocidad
siguiendo un cu rso rectilíneo en dirección d esconocid a, determ inar
47
C a p ítulo 1. C onstrucción y solución de m odelos diferenciales
la tra y ecto ria (cu rv a d e p ersecu ció n ) q u e d e b e seg u ir e l torp ed ero
p a ra p a sa r e x a cta m e n te p o r arrib a d el su bm arin o .
In tro d u z ca m o s u n siste m a d e co o rd e n a d a s p o lares r , 0 d e tal m anera
q u e e l p o lo O co in cid a co n e l p u n to d o n d e s e en co n trab a el su b ­
m a rin o en e l in stan te en q u e fue
d escu b ierto , y q u e e l e je p o lar r
p a se p o r e l p u n to d o n d e se hallaba
e l torp ed ero e n e s e m ism o instan te
(fig. 11). L o s razo n am ien to s p o ste­
rio re s se b asan e n la s co n sid era ­
cio n e s sig u ien tes. L o p rim ero que
d e b e h a c e r e l to rp ed ero e s situarse
F ig . 11
a la m ism a d ista n cia d el p o lo O
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q u e e l su b m a rin o ; d esp u é s el tor­
p e d e ro se d e b e m o v e r a lred ed o r d el p o lo O sig u ien d o u n a tray ectoria
tal q u e a m b o s e stén to d o el tiem p o a la m ism a d ista n cia d el p u n to O .
S ó lo a sí, m o v ié n d o s e a lre d e d o r d e l p o lo O , e l torp ed ero p asará p o r
en cim a d el su b m a rin o . P or tan to, al p rin cip io e l torp ed ero se d eb e
d e sp la z a r e n lín e a recta h asta q u e d a r situ a d o a la m ism a d istan cia x
d el p o lo O q u e e l su b m a rin o . La d istan cia x p u ed e h alla rse co n
alg u n a d e las ecu a cio n es
3 -x
2v
3 + x
'
2v '
d o n d e t; e s la v elo cid a d del su b m a rin o , y 2v e s la velocid ad
d el to rp ed ero . R eso lv ien d o la s ú ltim a s ecu a cio n e s h a lla m o s q u e la
d istan cia x p u e d e se r ig u a l a u n a o tres m illas.
S i d u ra n te e s te d esp la z a m ien to rectilín eo e l torp ed ero y e l su bm arino
n o se " e n c o n tr a ro n ", e n lo su ce siv o e l to rp e d e ro d e b e m overse
■
10. Curva d e l p e rro (curva d e persecución)
alred ed o r d el p o lo O (en e l sen tid o d el m ovim ien to d e la s ag u jas
del reloj o en sen tid o contrario), alejánd ose d e éste a la velocid ad v
(velocidad radial) del su bm arino. D escom pon gam os la velocid ad 2v
del torp ed ero en su s co m p o n en tes rad ial vr y tan g en cial vT (fig. 11).
La com ponen te radial e s la velocid ad a la q u e e l torp ed ero se aleja
del p o lo O , e s decir,
dr
La com ponen te tangen cial e s la velocid ad lin eal d e ro tació n del
torpedero alred ed or d el polo. C o m o se sab e, esta velocid ad es
de
,
,•
igual a l p ro d u cto d e la velocid ad ang u lar — p o r el rad io r :
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d6
vT=r7f
C o m o vr = v , entonces
vT = s / ( 2 v )2 - v 2
=
V 3 v.
A sí, el problem a inicial se red uce a resolver el sistem a d e dos
ecu aciones diferenciales
dr
7
d6
^
T7
r
^
v-
Elim inando la variab le t , este sistem a se red u ce a la ecu ación
dr _
d0_
V ~ y/3'
BB
C apítulo 1. Construcción y solución d e m odelos diferenciales
q u e tien e por solución
d o n d e C e s una constan te arbitraria.
P uesto q u e el torpedero com ienza a m overse alred edor del polo O
d esd e e l eje polar r a una distancia d e x m illas del punto O ( r = 1
para 9 = 0 y r = 3 para 9 = - i r ) , concluim os que en el prim er
caso C = 1 y e n e l seg u n d o C = 3 e * /v/\ Dicho con otras palabras,
para cu m p lir su tarea e l torp ed ero se d ebe m over d o s o seis m illas
en línea recta hacia el lugar d ond e fue d escubierto el su bm arino y
d esp u és nav egar p o r alguna de las espirales
r = e " '*
6
r = 3e(,+"'-/S.
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11. M odelos de operaciones
militares
E n los tiem pos de la Prim era G uerra M undial, el ingeniero y m ate­
m ático ing lés F. W. Lanchester constru yó varios m odelos m atem áticos
d e op eracion es m ilitares aéreas. M ás tarde esto s m odelos se genera­
lizaron y exten dieron a los caso s d e op eracion es m ilitares d e tropas
regulares, agru paciones g u errilleras y operaciones com bin ad as de
am bos tipos. Exam inem os lo s tres m odelos.
Su p on g am o s que en un conflicto arm ad o participan d o s partes con­
trincantes x e y . D enotem os con x ( t ) e y ( t) , respectivam ente, las
fu erzas n u m éricas d e las partes en el instante t (el tiem po t se m ide
en días, com en zand o p o r el p rim er d ía de op eraciones). L as variables
m
11. Modelos de operaciones militares
x{t) e y(t) d esem peñarán un papel d ecisivo en la constru cción d e los
m odelos m encionados, pu es en la práctica e s m uy d ifícil d efin ir cri­
terios de com paración de las partes qu e, ad em ás, co n sid eren el grado
de preparación m ilitar y de pertrecham iento, e l nivel y la experiencia
del personal de m ando, e l estad o m oral, y m uchos otros factores.
Supongam os tam bién que x{t) e y(t) v arían contin uam en te y, más
aún, que son d erivables respecto al tiem po. Es m enester aclarar que
tales su posiciones son una sim plificación d e la situ ación real, ya
que de hecho x ( t ) e y (t) son núm eros enteros. Al m ism o tiem po,
si la fuerza num érica d e cad a p arte es su ficien tem ente g ra n d e, el
increm ento de la cantidad e n una o dos p erson as e s, d esd e el pu nto
d e vista práctico, una m agnitud infinitésim a en com p aración co n la
fuerza num érica existente. P or eso se p u ede consid erar q u e durante
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intervalos pequeñ os d e tiem po la fuerza num érica tam bién varía en
cantidades pequeñas (no enteras). P or su puesto, esto s acu erd o s no
son suficientes para d educir fórm ulas que exp resen x (t) e y(t) com o
funciones de t, aunqu e sí e s posible ind icar una serie de factores que
perm itan definir la velocidad de variación del tam año nu m érico de
las partes contrincantes. C oncretam ente, d en otem os m ediante O L R
la velocidad con la q u e la parte x su fre pérd id as a cau sa d e en ferm e­
dades y otros factores no vinculados directam ente co n las op eracion es
m ilitares; m ediante C L R la velocidad con la q u e la parte x su fre pér­
d id as debido a lo s encuentros d irectos en el cu rso d e las operaciones
m ilitares co n la parte y ; y co n R R la velocidad co n la q u e llegan los
refuerzos de la parte x . Entonces la velocid ad d e variación d e x{t) es
^
dt
= - (O L R + C L R ) + R R .
(47)
P ara y(t) la ecu ación e s análoga. El problem a ahora consiste en indi­
car las fórm ulas correspondientes para las m agn itu d es O L R , C L R
Capítulo 1. Construcción y solución de modelos diferenciales
y R R , y lu eg o investigar las ecuaciones diferenciales construidas. Las
dedu cciones que se infieren del análisis perm itirán responder a la
pregunta acerca del posible vencedor.
En ad elante, usarem os las notaciones siguientes: a, b , c , d , g y h son
constantes n o negativas q u e caracterizan el g rad o de influencia de
d iferen tes factores en las bajas de am bas partes x e y ; P {t) y Q(t)
son térm inos que expresan la posibilidad d e refuerzos para las
tropas x e y en el transcurso del día; x 0 e y0 son las fuerzas
num éricas de x e y antes d e com enzar las operaciones militares.
E scribam os los tres m o d elo s3’ construidos p o r Lanchester. El prim er
m od elo se refiere a la descripción d e operaciones m ilitares entre
trop as regulares, y su forma es
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dxlt)
dt
dy(t)
dt
= - a x ( t ) - b y ( t ) + P (t)>
= - c x ( t ) - dy(t) + Q(t).
Este sistem a se denom inará sistem a diferencial tipo (A).
El segu nd o m odelo
dx(t)
dt
dy(t)
dt
= - a x ( t ) - gx{t)y{t) + P{t),
= -d y (t ) - hx(t)y(t) 4- Q(t)
En el artículo de Coleman C.S. "Combat models" (Diíferential equations models,
New York. 1983. P. 109-131) se citan ejemplos concretos de operaciones militares y se
muestra su grado de concordancia con los modelos diferenciales examinados.
52
11. M odelos d e op e ra cio n e s m ilitares
d escrib e o p era cio n e s m ilita res e n tre g ru p o s g u e rrille ro s. L lev ém o slo
sistem a d iferen cia l tipo (B ). F in a lm en te, e l te rce r m od elo
—
= - a x { t ) - g x (t)y {t) + P (t),
^
= - c x ( t ) - d y ( t ) + Q (t),
dt
llam ad o sistem a d iferen cia l tip o (C ), d escrib e o p era cio n es m ilitares
m ixtas, en las cu a le s tom an p a rte tan to trop as reg u lares c o m o g ru p o s
guerrilleros.
C ad a ecu a ció n d iferen cia l d e lo s m o d e lo s q u e a ca b a m o s d e p la n tea r
rep resen ta la velocid ad d e variació n d e las fu e rz a s n u m é rica s d e
las p a rtes en em ig a s co m o u n a fu n ció n d e d ife re n te s fa cto re s q u e
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influ y en e n el d e sa rro llo d el co n flicto . N ó tese q u e esta s ecu a cio n es
tien en la estru ctu ra (47). L as b a ja s d e e fe ctiv o s n o lig a d a s d irecta m en te
co n las o p era cio n e s m ilitares (d ich as b a ja s e stá n d e fin id a s p o r los
térm in o s - a x ( t ) y - d y ( t ) ) p erm iten o b te n e r las v e lo cid a d e s rela tiv a s
co n stan tes d e p érd id a s (en au sen cia d e o p e ra cio n e s m ilita re s y d e
refuerzos) a p a rtir d e las ecu acion es
1 dx
x dt
Si e n lo s m o d e lo s d e L an ch ester fig u ran so la m e n te lo s térm in o s
co rresp o n d ien tes a lo s refu erz o s y a la s p érd id a s n o relacio n ad as
co n las o p e ra cio n es m ilitares, sig n ifica q u e, e n g en era l, n o hay
co m b ates. P o r e l co n tra rio , la p resen cia d e lo s térm in o s - b y ( t ) , —cx {t),
- g x (t) y (t) y
- h x ( t ) y(t) sig n ifica q u e tien en lu g a r o p era cio n es
m ilitares.
53
C apítulo 1. Construcción y solución de m odelos diferenciales
C o n sid erem o s e l sistem a diferencial tip o (A). Su p on g am o s q u e cada
una d e la s p artes en fren tad as se en cuen tra en la zon a d e alcance
d e la o tra p arte y q u e e l fu eg o se d irig e só lo co n tra la fuerza viva
q u e p a rticip a d ire cta m e n te en la s o p eracio n es m ilitares. Bajo estas
su p osicio n es L an ch ester p ro p on e in tro d u cir un térm in o - b y { t ) que
refleje la s p érd id a s d e u n id ad es de trop as regulares d e la p arte x
d u ra n te lo s co m b a te s. El co eficien te b ind ica la eficien cia d e las
a ccio n es m ilitares d e la p arte y . E nton ces la ecu ación
- — = -6
y dt
m u estra q u e la co n sta n te b m id e la eficien cia m edia de cad a unidad
d e las fu erzas d e co m b ate d e la parte y . A sí m ism o se exp lica el
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térm in o - c x { t ) . En g en eral, n o e s n ad a fácil calcu lar lo s co eficientes
d e eficien cia 6 y c . U n ca so particular relativam en te sim ple se
presenta cu an d o
6= V »'
c = T‘ v‘'
(48)
d o n d e r y, r x so n lo s coeficien tes d e p oten cia d e artillería d e las partes
y y x , resp ectiv am en te, y p y, px son las p ro bab ilid ad es d e q u e cada
d isp aro d e las p a rte s y y x resu lte certero.
N ó tese q u e e n el sistem a d iferen cial tip o (A ) los térm in os co rres­
p o n d ie n tes a las pérd id as en co m b ate so n lineales. En cu an to a los
sistem a s tip o (B), lo s térm in os a n á lo g o s y a n o son lin eales. Efec­
tivam en te, su p o n g a m o s q u e una fu erza nu m érica g uerrillera x(t)
o cu p a cie rto territorio R p erm an ecien d o invisib le al en em ig o. A un
m an ten ien d o b a jo fu eg o e l territorio R , e l en em ig o n o p u ede sa b er la
eficien cia d e s u s p ro p ia s op eracion es. E n este ca so e s m uy p robable
q u e las b a ja s d e la g u errilla x sean proporcionales, po r un lado,
54
11. M odelos d e operaciones m ilitares
fe
a su fuerza nu m érica x { t ) y, p o r o tro lad o , a la fuerza n u m érica y{t)
del en em ig o. D e esta m an era , e l térm in o co rresp o n d ien te a las bajas
d e la g u errilla x tien e la form a - g x ( t ) y ( t ) , d o n d e e l co eficien te de
eficien cia d e las o p era cio n es m ilitares d e la p a rte y , h a b la n d o en
g en eral, e s m ás d ifícil d e estim ar q u e e l co eficien te b d e la prim era
igualdad d e (48). Sin em b arg o , para h a lla rlo p o d em o s em p le a r el
co eficien te de potencia d e a rtillería r y, así co m o lo s ra z o n am ien to s
de L an ch ester d e q u e la probabilid ad d e un d isp aro certero d e la
p arte y e s d irectam en te proporcion al a la d en om in ad a efica cia terri­
torial Ary de u n d isp a ro d e la p arte y e in v ersam en te p roporcion al
al área
d el territorio R ocu p ad o p o r las fu erzas x . A q u í Ary
representa e l área q u e o cu p a un g u errillero . D e e sta m an era, las
fórm ulas p ro bab ilísticas para d eterm in a r g y h son las sig u ien tes:
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9 = r* v
A= r' V
<49>
E xam inem os co n m ayo r d eta lle ca d a u n o d e lo s tres m o d elo s d ife­
renciales in tro d u cid os anterio rm ente.
S i s t e m a s d i f e r e n c i a l e s t i p o (A ). M o d e l o c u a d r á t i c o
Su p on g am o s q u e las trop as reg u lares d e d o s fu erzas en em ig as
so stien en co m b a tes en una situ a ció n sim p lificad a, en la q u e n o hay
p érd id as no relacion ad as d irectam en te co n lo s co m b a tes. S i n in g u na
d e las d o s p artes recibe refuerzos, e l m od elo m atem ático se red u ce
a l sistem a diferencial
C a p ítu lo 1. C o n stru cció n y so lu ció n d e m o d e lo s d iferenciales
Al d iv id ir la se g u n d a e c u a c ió n p o r la p rim era , resu lta
d y _ ex
dx
(51)
by
In te g ra n d o la ecu a ció n d ife re n cia l (51), o b te n e m o s
b [ y 2( t ) - y ■ ) = c ( x 2( t ) - x 20 ).
(52)
La ig u a ld ad (52) e x ­
p lica p o r q u é e l s is ­
tem a (50) co rresp o n d e
a u n m o d e lo cu a d rá tico . S i s e d e n o ta co n K
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la co n sta n te b y l - e x ],
e n to n ce s la ecu ació n
by2 - c x 2 = K ,
(53)
o b te n id a d e la ig u a l­
d ad
u n a h ip é rb o la (u n p a r d e re c ta s si
K
(5 2 ),
rep resen ta
= 0 ) , lo q u e n o s d a la
p o sib ilid a d d e cla sific a r e l siste m a (50) d e u n a m a n era m á s exacta.
C o n c re ta m e n te , lo p o d e m o s d e n o m in a r sistem a d ife ren cia l con ley
h ip erb ó lic a .
E n la fig u ra 12 se ilu stra n las h ip é rb o la s p a ra d ife re n te s v a lo res d e K .
P o r c o n sid e ra c io n e s o b v ia s se ex am in a ú n ica m en te e l p rim e r cu a ­
d ra n te { x ^ 0 , y ^ 0 ). L as fle c h a s en la s cu rv a s in d ican la d irecció n
d e v a ria ció n d e la s fu e rz a s n u m é rica s co n e l tra n scu rso d el tiem po.
11. M o d e lo s d e o p e ra c io n e s m ilita re s
P ara re s p o n d e r a la p re g u n ta s o b r e q u ié n v e n c e e n e l m o d e lo (50),
co n v e n g a m o s, p rim e ra m e n te , q u e la p a rte y (la p a rte x ) v e n c e si
ella e s la p rim e ra e n d e s tru ir las fu e rz a s d e c o m b a te d e la p a r te x
(d e la p a rte y ). E n n u e s tro c a so v e n c e la p a rte y s i K > 0 , p u e s to q u e
co n fo rm e a la e c u a c ió n (53) la v a ria b le y n u n c a s e a n u la , m ie n tra s q u e
le
la v a ria b le a: se h a c e ig u a l a c e r o p a ra e l v a lo r y (t) = y — . P o r esto ,
p ara v en ce r, la s fu e rz a s y d e b e n tra ta r d e lo g r a r u n a s itu a c ió n e n la
q u e K > 0 , e s d ecir,
by¡ > c x l
(54)
S u stitu y e n d o e n (5 4 ) la s e x p r e sio n e s (4 8 ) d e b y c, o b te n e m o s
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\* 0 /
T y P y
<55>
El p rim e r m ie m b ro d e la d e sig u a ld a d (5 5 ) m u e stra q u e la s v a ria c io n e s
en la rela ció n d e fu e rz a s — le d a n u n a v e n ta ja “c u a d r á tic a " a u n a d e
las p a rte s. A sí, p o r e je m p lo , un a v a ria ció n d e la re la c ió n d e fu e rz a s
d e sd e —
= 1 h a sta
—
= 2 le d a u n a v e n ta ja c u á d ru p le a las
xo
xo
fu e rz a s y . N ó te s e q u e la e c u a c ió n (5 3 ) d e te rm in a la c o rre la c ió n d e
fu e rz a s d e las p a rte s e n co n flicto , p e r o n o to m a e n c o n s id e ra c ió n
ex p líc ita m e n te e l tie m p o . P ara d e d u c ir las fó rm u la s q u e c o n tie n e n
ex p líc ita m e n te a l
tie m p o , p ro c e d e re m o s d e la m a n e ra sig u ie n te .
D eriv em o s re sp e cto a t la p rim e ra e c u a c ió n d e l siste m a (5 0 ) y
u tilice m o s la se g u n d a e c u a c ió n d e E sc m is m o siste m a . A s í lle g a m o s
a la e c u a c ió n d iferen cia l
Capítulo 1. Construcción y solución d e m o d e lo s diferen ciales
S i co m o co n d icio n e s in iciales tom am o s
dx
I(0) =
7t
a t t=0 =
-**» '
la so lu ció n p articu lar co rresp on d ien te d e la ecu a ció n (56) es
x ( í) = i 0 c h / ? í - 7 j/0 s h ^ .
Vbc, y
d o n d e (3 =
=
(57)
A n álo g am en te resulta
y (í) = y0 c h / 3 f - ^
sh (3t.
(58)
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E n la fig u ra 13 se rep resen tan lo s g ráficos d e las so lu cio n es (57) y (58)
p ara
K> 0
(e s d ecir, cu an d o
byl > ex] ó cu an d o yy0 > x0).
X y
*0 V
\ x (t)
Vo
iKO
d“A/
i.* / 0L
O
í
R g. 13
m
11. M od e lo s d e operaciones m ilitares
En co n clu sió n , p ara q u e la p a rte y ven za n o e s im p rescin d ible
q u e e l n ú m e ro y0 sea su p erio r a l n ú m ero x 0 . S e req u iere só lo el
cu m p lim ien to d e la d esig u ald ad y y 0 > x„.
Sistemas diferenciales tipo (B). M odelo lineal
L as ecu acio n es d in ám icas q u e sim u lan la s o p era cio n es m ilitares de
d o s p artes en co n flicto , p u ed en resolverse fácilm en te si, co m o en el
caso anterio r, se ignoran las p érd id as n o relacio n ad as d irectam en te
con la s o p era cio n es m ilitares y n in g u n a d e las p a rte s recib e refuerzos.
B ajo ta le s restriccio n es e l sistem a d iferen cial tip o (B ) a d q u ie re la
apariencia
dx
dv
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T t = ~yxy■
D ividiendo
Tt = ~ b x y
la seg u n d a ecu a ció n d el siste m a (59) p o r la
(59)
p rim era,
o b ten em os la ecu ación
dy _ h
dx
g'
cu ya integ ración n o s da
9 (y (t) - y „ ) = h (x (t ) - x 0) .
(60)
La d ep en d en cia lin eal exp resa d a e n (60) a cla ra p o r q u é el sistem a no
lin eal (59) co rresp o n d e a u n m o d elo lin eal d e co m b ate. E scribam o s
la ig u ald ad (60) en la form a
gy - h x = L,
(61)
C apítulo 1. Construcción y solución de m odelos diferenciales
d o n d e L = gy0 - h x 0 . D e a qu í, en particular, se d ed u ce q u e si L > 0,
e l resu ltad o de las op eracion es m ilitares e s el triu n fo d e la parte y.
En cam bio, si L < 0 e l v en ced o r será la p arte x.
En la figura 14 se ilustra la d ep en d en cia funcional lineal (61) para
d iferen te s valores de L .
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E xam in em o s co n m ás d eta lle la situ ación en q u e hay u n vencedor.
Su p o n g a m o s q u e v e n ce la p arte y . C o m o ya sabem os, d eb e cu m plirse
la d esig u ald ad gy0 - h x 0 >
0,
e s decir,
0o > 5
*o
9
'
V aliénd onos d e las fórm u las (49), p o d em os escribir la co n d ició n de
v icto ria d e la parte y d e la m an era siguiente:
11. M odelos de operaciones m ilitares
I
D e a q u í se d ed u ce q u e la estrateg ia d e las fu erzas y co n siste e n hacer
m áxim a la relación — y m ínim a la relación —- . D esd e un p u n to de
y
*0
vista p ráctico e s m ejo r escribir la d esig u ald ad (62) en la form a
A, xo
r , A' t '
pues a sí se v e q u e lo s p ro d u ctos Avy 0 y A xx Q so n , en cierto sen tid o,
m agn itu d es críticas.
Señalem o s fin alm en te que u tilizan d o la igualdad (61) n o e s difícil
ob tener a partir del sistem a (59) las fórm u las q u e m u estran có m o
varían las fu erzas d e am b as p artes co n el tiem po.
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S i s t e m a s d i f e r e n c i a l e s t i p o (C ). M o d e l o p a r a b ó l i c o
En e l m od elo (C ), fu erzas gu errilleras se op on en a u n id ad es regulares.
Igual que en los m o d elo s anteriores, sim p lifiqu em o s la situ ación
asu m iendo q u e ninguna d e las p artes ob tien e refu erzos y las bajas
están d irectam ente relacion ad as co n las op eracion es m ilitares. E n este
caso tenem os e l sistem a diferencial
dx
- = -g x y .
d ond e x (t) e
dy
- = -cx ,
(63)
y(t) son la s fu erzas n u m éricas g u errilleras y del
ejército regular, respectiv am en te. D ivid ien d o la seg u n d a ecu ació n del
sistem a (63) p o r la prim era, llegam os la ecu a ció n diferencial
Capítulo 1. Construcción y solución de m odelos diferenciales
Integrand o en los lím ites co rrespon dientes, obtenem os
g y 2(t) = 2 cx{t) + M ,
(64)
d o n d e M = gy^it) - 2cx 0. Vem os pu es q u e el sistem a diferencial (63)
co rresp on d e a un m od elo parabólico de d esarrollo d e las operaciones
m ilitares. Si M < 0 , vence la guerrilla, pero si M > 0 , en tonces el
ven ced o r e s la fuerza regular.
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En la figura 15 se rep resentan esquem áticam ente las parábolas deter­
m inadas po r la ecu ación (64) para d istintos valores d e M . La expe­
rien cia m uestra q u e las tropas regulares pueden infligir una derrota
a la guerrilla sólo en e l caso, cu and o la razón — e s considerable-
xo
m ente su p erior a la unidad. B asánd onos en e l m odelo parabólico d e
desarrollo d e las op eracion es m ilitares y tom ando e n consideración
la cond ición M >
0,
podem os inferir que la victoria d e las unidades
regulares qu ed a garantizad a co n el cum plim iento d e la desigualdad
62
12. ¿P or qué lo s relojes de pé n du lo n o son exactos?
T enien d o en cu en ta b s fó rm u las (48) y (49), esta d esig u a ld ad tom a
la form a
(i)
>
2 r , A, P , 1
r,
A r ,
* o
12. ¿Por qué los relo jes de pénd ulo
no son exactos?
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Para resp on d er a la interrog ante form u lad a, ex am in em o s e l m od elo
idealizado d e un reloj de p én d u lo form ad o p o r u n a varilla d e lon­
g itu d l y u n a p esa d e m asa m en su extrem o. La m asa d e la
varilla se co n sid era d esp reciab le en co m p aració n co n la d e la pesa
(fig. 16). Si la pesa se d esv ía d e m o d o que
la v arilla form e u n án g u lo a co n la v ertical
y lu eg o se suelta, en tonces, seg ú n la ley de
conserv ación de la en ergía,
mv
~~2~ =
co s ^ “ * co s Q)'
(65)
d ond e v e s la velocid ad d e la p esa, y g es
la a celera ció n d e la g raved ad.
Si tenem os en cu en ta ú n icam en te las o scilacio n es p eq u eñ a s resp ec­
to a la posición d e eq u ilib rio, p o d em o s co n sid era r q u e la lo n g itu d 8
m
C a p itu lo 1. Construcción y solución d e m odelos diferenciales
d el arco q u e d escrib e la pesa cu a n d o se d esvía en un án g u lo peque­
ñ o 0 satisface la relación s = 10. S ien d o así,
ds
dd
v = T t= lü '
y d e la fórm ula (65) llegam os a la ecu ación diferencial
g (co s 6 - eos a ) .
m
-
( 66)
P uesto q u e 0 d ecrece co n e l au m en to de t (para valores pequeños
d e t), la ecu ación ( 66) p u ed e escribirse en la form a
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2
d0
dt = -
g v 'c o sfl - eo s Q
Si T e s el p eríod o d e las oscilaciones d el péndulo, en tonces
i—
o
T
l f
4
\ 2g J
d0
V cos0 ^ ~ cosa'
o bien
d0
-
f
2g J
u
o
v eos 0 - eo s a
(67)
C o m o se ad v ierte en la ú ltim a fórm ula, e l períod o d e las oscilaciones
d el p én d u lo d ep en d e del á n g u lo a . E ste hecho e s la cau sa principal
p o r la q u e e l relo j d e p én d u lo n o e s exacto , p u es, en la práctica, cada
vez qu e la p esa alcanza la posición extrem a e l án g u lo e s d iferen te d e a .
m
12. ¿Por qué los relojes de péndulo no son exactos?
La fórm ula (67) se puede reescribir en una form a m ás sim ple.
En efecto, ya que
eos $ —
1 — 2 sen
■> 9
-,
eos a =
2 Q
1 - 2 sen"
—,
entonces
1
o
y sen - - - sen 2 -
J k 2 - sen - -
o
d ond e k = sen —.
C am biem os ahora
la
variable
9
p o r la
variable
<p haciendo
0
sen - = k sen ip. D e la últim a igualdad se d educe que cu and o 0
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0
0
crece d esde
hasta a , la variable <p crece d e
a —; ad em ás, tiene
lugar la igualdad
l
9
- eos - d9 = k e o s <p d<p,
o bien
2 j Vk 2 - sen 2 r 2 J
2 k e o s tp dtp
d9 = ---------- -— = —- = = = = = dtp.
cos e_
\/\ - k 2 sen 2 p
En virtud d e la últim a expresión podem os transform ar la fórm ula (68)
C apítulo 1. C onstrucción y solución de m odelos diferenciales
La función
F ( k , V) =
J
o
d<p
\/\ - k 2 sen 2 ip
s e llam a integral elíptica d e prim era esp ecie. L as integrales elípticas
d e segu n da esp ecie tien en la form a
En vista d e q u e las integrales elíp ticas n o se pueden calcu lar por
m ed io d e fu n cio n es elem en tales, u tilizarem os otro en fo qu e, e l cual
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será co n sid era d o cu a n d o estu d iem o s lo s sistem as co n serv ativ o s en
la m ecánica. A qu í só lo señ alarem os q u e el p u n to d e p artid a en el
a n álisis p o ste rio r será la ecu ación diferencial
la cu a l se ob tien e d e la ecu ación (66) d eriv a n d o resp ecto a t.
13. R elo j cicloidal
E n e l p ro b lem a an terio r h em o s estab lecid o que e l relo j d e péndulo
sim p le (circu lar) n o p u ede fu n cio n ar co n precisión. P or eso surge
u n a p regu nta natu ral: ¿existe alg ú n otro p én d u lo cu y o tiem po de
oscilació n n o d ep en d a d e la a m p litu d ? P or p rim era vez este problem a
fu e p lantead o y resu elto en el sig lo XV II. M ás ad elan te presentarem os
66
13. R e lo j ciclo id a l
la so lu ció n , p e ro p o r a h o ra n o s o c u p a re m o s d e la d e d u c c ió n d e
la ecu a ció n d e u n a cu rv a ex tra o rd in a ria , a la q u e G a lile o d e n o m in ó
ciclo id e (d e la p a la b ra g rie g a c iclo id es, q u e sig n ifica circu lar, re d o n d o ).
La cic lo id e e s u n a cu rv a p lan a q u e rep resen ta la tra y ecto ria d escrita
po r u n p u n to d e la circu n feren cia d e u n círc u lo (lla m a d o circu lo g e n e ­
rador) q u e ru ed a sin
d esliz a m ie n to so bre
un a recta.
Su p o n g a m o s q u e la
recta so b re la cu al
ru ed a e l círc u lo e s
el
e je
de
a b scisa s
(fig. 17) y q u e e l ra -
Fl9 - 17
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d io d e l círc u lo g e n e ­
rad or e s ig u a l a r . A su m a m o s
q u e e l p u n to q u e d e s c rib e la ciclo id e
está s itu a d o ¡n icia lm e n te e n e l o r ig e n d e c o o rd e n a d a s , y q u e o cu p a
la p o sició n M
c u a n d o e l círc u lo g ira e n u n á n g u lo 0 . E n to n ces,
p artien d o d e la c o n stru cció n g e o m é trica , o b te n e m o s
x = OS = O P - SP,
y = M S = C P —C N ;
pero
O P = M P = re,
CP
= r,
SP = M N = rsen 0,
C N = r e o s 0,
p o r c o n sig u ie n te , la s e c u a c io n e s p a ra m é trica s d e la cic lo id e so n
x = r (0 - s e n 0),
y = r ( l - e o s 0).
(69)
C a p ítu lo 1. C o n stru cció n y solución d e m odelos diferenciales
S i ex clu im o s e l p a rá m etro 6 d e las ecu acio n es (69), e n to n ce s la
ecu a ció n d e la cic lo id e to m a la fo rm a sig u ien te en e l sistem a de
co o rd e n a d a s re c ta n g u la re s O x y :
x = r árceo s
“ \/ 2r y - y2.
D el p ro ce d im ie n to d e co n stru cció n d e la cic lo id e s e d e d u ce q u e ésta
d e b e e sta r fo rm a d a p o r a rco s co n g ru en tes, ca d a u n o d e lo s cu a les
co rre sp o n d e a u n a re v o lu ció n co m p leta d el círcu lo g e n e ra d o r4*. C ada
a rco se u n e c o n su v e cin o e n e l p u n to d o n d e p o seen u n a tang en te
v e rtica l co m ú n . E sto s p u n to s, co n o c id o s c o m o pu n tos d e retroceso
d e la cic lo id e , c o rre sp o n d e n a la s p o sicio n e s m ás b a ja s del pu nto
q u e d e scrib e la ciclo id e . L as p o sicio n e s m á s a lta s d e e s te p u n to se
e n cu e n tra n e n e l m ed io e n tre lo s p u n to s d e retro ceso y s e d enom inan
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2
vértices d e la cic lo id e ; e l se g m e n to d e recta q u e u n e cad a p a r de
p u n to s d e re tro ce so v ecin o s, y cu y a lo n g itu d e s ig u al a
?rr, se co n o ce
c o n e l n o m b re d e b a s e d e l a r c o d e la cicloide.
L a cic lo id e tien e la s p ro p ie d a d e s sig u ien tes:
a ) e l á r e a lim ita d a p o r un a r c o d e la ciclo id e y la b a s e d e Esc a r c o es
ig u a l a l trip le d e l á r e a d e l circu lo g en er a d o r (teo rem a d e G alileo );
b ) la lon gitu d d e un a r c o d e la ciclo id e es ig u a l a l cu ád ru p le del
d iá m etro d el círcu lo g en er a d o r (teo re m a d e W ren).
El ú ltim o resu lta d o e s in esp era d o : in clu so p ara ca lcu la r la lon g itu d de
u n a cu rv a tan sim p le co m o la circu n feren cia , fu e n e ce sa rio in tro d u cir
41 E n e l l i b r o d e G . N . B e r m a n " C i c l o i d e s ” , M o s c ú , 1 9 8 0 ( e n r u s o ) , p o r c i t a r u n e je m p lo ,
s e p u e d e n h a lla r m a t e r ia le s m u y in te r e s a n te s s o b r e la c ic lo id e y o tr a s c u r v a s a fín e s
a e lla .
13. R eloj cicloidal
e l núm ero irracional
tt,
que n o e s tan fácil d e calcular, m ien tras que
la longitud de un arco d e cicloid e se expresa ¡m ed ian te un núm ero
entero d e radios (diám etros)! La cicloid e p o see tam bién m u ch as otras
p ropied ad es interesantes que tienen una im portancia esp ecial en la
física y e n las ap licacion es técnicas. En particular, lo s p erfiles d e los
d ientes de alg u n os piñones, la configu ración d e m u ch os tip o s de
excéntricas, lev a s y otras piezas d e m áquin as tien en precisam en te
form a d e cicloide.
R em itám onos a l problem a cu ya so lu ción p erm itió a l cien tífico h o ­
land és C . H u ygens co n stru ir en 1673 u n relo j exacto . El problem a
consiste en co n stru ir en u n plano vertical una cu rv a tal q u e un
pu nto m aterial pesad o que se en cuen tra en rep oso en e l instan te
inicial t = t0 b a je po r ella hasta cierto horizon te fijo en u n tiem po
que n o d ep end e de la posición inicial d el p u n to en d ich a cu rv a.
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Com o d em o stró H u ygens, esta cu rv a isócron a (d el g rieg o iso — igual
y chorros — tiem po) o tautocrona e s la cicloide.
La solución d e este problem a se pu ed e ob tener p ro ced ien d o d e la
m anera siguien te. Su p on g am o s q u e en el bo rd e su p erior d e u n a ta­
bla co lo cad a ver­
ticalm ente se la­
bra una concavi­
d ad alargad a en
Fig. 18
form a d e cicloid e
(fig. 18). Sin tom ar
en consid eración e l ro zam ien to d e la m adera, tratem o s d e d eterm inar
el tiem po d u ran te el cu al una bola m etálica rodará d esd e el p u n to M
hasta el pu nto m ás bajo K .
Sean x 0, y 0 las co ord en ad as d e la posición inicial d e la b o la (del
pu nto M ) y 0O, el v alor co rresp on d ien te d el parám etro. C u an d o
69
C a p itu lo 1. Construcción y solución de m odelos diferenciales
la b o la ru ed a d e sd e la p o sició n M h asta cierta p o sición N {0 ), la d is­
ta n cia v ertica l recorrid a e s h . E n v irtu d d e la se g u n d a e cu a ció n (69)
tenem os:
h = y - y Q = r(\ - c o s 0) - r ( l - co s B0) = r ( c o s 00 - co s 0).
S e sa b e q u e la v elo cid a d d e ca íd a d e u n cu erp o es
v = y /lg h ,
d o n d e g e s la a celera ció n d e la g ra v e d a d . S u stitu y en d o en esta
fó rm u la la e x p resió n d e h a n te s o b ten id a, hallam os
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P o r o tra p arte, co m o la v e lo cid a d e s la d eriv a d a d el ca m in o reco rrid o s
resp ecto a l tie m p o T , hallam os
ds
P ara la ciclo id e , d s = 2 r s e n - d 0 . P or tan to, la ú ltim a ecu ación
d iferen cial to m a la form a
2r sen - dO
dT =
y /2 g r { co s 0O - co s 6)
In te g ra n d o esta ecu a ció n d en tro d e los lím ites co rresp on d ien tes,
o b ten em o s
13. R e lo j cicloidal
t
\/2g r ( c o s 0o - c o s 0)
En resu m en , e l tie m p o T
q u e d em o ra la b o la e n ro d ar d e la
p o sición M a la p o sició n K es
E n esta fórm u la se p u ed e v er q u e e l p erío d o T n o d e p e n d e d e 0 O, e s
d ecir, n o d ep en d e d e la p o sición inicial M d e la b o la y, p o r ta n to , p o­
d em o s a seg u ra r q u e d o s b o la s q u e h an co m en z a d o sim u ltá n ea m en te
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a ro d a r p o r la co n ca v id a d d e sd e d o s p u n to s d ife re n te s M
y N,
lleg arán a l p u n to K a l m ism o tiem po.
P uesto q u e co n v en im o s d esp reciar e l ro z a m ien to , d e sp u é s d e llegar
al p u n to K la bola co n tin u ará su m o v im ie n to p o r in ercia, y al cab o
del in terv a lo d e tiem p o in d icad o en la ú ltim a fórm u la a lca n zará un
p u n to A i, situ a d o a la m ism a a ltu ra q u e e l p u n to A i. L u eg o la bola
realiza to d o el reco rrid o d e reg reso , c o m p le ta n d o a s í e l m o v im ien to
del d en o m in a d o p én d u lo c iclo id a l c o n p erío d o d e o scila c ió n
(70)
Una p ro p ied ad d istin tiv a d el p én d u lo ciclo id a l e n co m p a ra ció n co n
e l p én d u lo sim p le (circu lar) co n siste e n q u e e l p erío d o d e su s
oscilacio n es n o d e p e n d e d e la a m p litu d .
7'
C a p ítulo 1. C onstrucción y solución d e m odelos diferenciales
V eam os c ó m o se p u ed e o b lig a r a u n p én d u lo circu lar sim p le a m overse
d e m a n e ra isó cron a sin recu rrir a la co n stru cció n anterior, n i a otros
d isp o sitiv o s se m e ja n te s co n m u ch o ro zam ien to . Para lo g ra r n u estro
co m etid o e s su ficie n te fabricar u n a plantilla (p o r ejem p lo , d e m adera)
fo rm a d a p o r d o s sem in a rio s d e cicloid e
ig u a le s con u n p u n to d e retro ceso com ú n
(fig. 19). La p la n tilla se fija v erticalm en te
y e n e l p u n to d e retro ceso O se su sp en d e
un a bola d e u n h ilo cu y a lon g itu d es
ig u a l a l d o b le d el d iá m e tro d el círcu lo
F|9 - 19
g e n e ra d o r d e la cicloide.
S i ah o ra d e sv ia m o s la b o la d e la v ertical h asta u n p u n to a rb itra ­
rio M
y la so lta m o s, e n to n ce s la b o la co m en zará a o scila r co n un
p erío d o q u e n o d e p e n d e d e la e le cció n d el p u n to M . In clu so si la
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am p litu d d e las o scila cio n e s d ism in u y e b a jo la a cció n d e l ro zam ien to
y d e la resisten cia d el a ire, ¡el tiem p o d e o scila ció n d el pén d u lo
p erm an ecerá in v ariab le! El m o v im ien to d e
u n p én d u lo c ircu la r q u e s e m u eve p o r un
a rco d e circu n feren cia e s ap ro xim ad am en te
isó cro n o p ara am p litu d e s p eq u eñ as, cu an d o
e l a rco d e circu n feren cia e s ca si igual a l arco
d e la ciclo id e .
A m o d o d e e je m p lo , ex am in em o s la s o scila­
cio n e s p eq u eñ as d e u n p én d u lo p o r un arco
d e ciclo id e A B
(fig. 20 ). S i las o scila cio n es
Fig. 20
so n m uy p e q u e ñ a s, la in flu en cia d e la p la n ­
tilla p rá ctica m e n te n o se sie n te y e l p én d u lo oscila c a si c o m o un
p én d u lo c ircu la r sim p le c o n un h ilo d e longitud 4 r . La tray ecto ­
ria A B d el p é n d u lo ciclo id a l e s m u y sim ila r a la tray ectoria C E
d e u n p én d u lo c ircu la r co n un h ilo d e lon g itu d l = 4 r . P or eso el
72
14. Problem a d e la braquistocrona
períod o d e la s oscilacio n es p eq u eñ a s d el p én d u lo c ircu la r c o n hilo
de lon gitud / = 4 r e s casi igual al p eríod o d e las o scila c io n e s d el
p én d u lo cicloidal.
S i ah o ra en la fórm u la (70) h acem o s r =
e l p erío d o d e las
4
oscilaciones p eq u eñ a s d el p én d u lo circu lar se p u ed e ex p resa r en
fun ción de la lon g itu d l d e su hilo:
Para conclu ir, d estaq u em o s q u e la ciclo id e e s la ú n ica cu rv a q u e se
caracteriza p o r e l h e ch o d e q u e u n p u n to m aterial p esa d o q u e se
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m ueva a lo larg o d e ella realizará o scila c io n e s isócron as.
14. Problem a de la b raqu istocron a
El problem a d e la b raq u isto cro n a (d el g rie g o brach istos — m ás co rto ,
y chronos — tiem p o), o d e la cu rv a d el d escen so m ás ráp id o, fue
p lantead o p o r p rim era vez po r e l m a tem á tico su iz o 1. B ern o u lli en
1696 y co n sistía en lo siguien te.
En u n p la n o v ertical se to m an dos
p u n tos A y D (fig. 21) n o p erten e­
cientes a u n a m ism a v ertical. S e p i­
d e d ete rm in a r en tre to d a s las cu rv as
q u e pasan p o r A y B aqu élla co n la
p ro p ied ad d e q u e u n p u n to m aterial
m
C apítulo 1. Construcción y solución d e m odelos diferenciales
so m etid o a la a cció n d e la fuerza d e graved ad em p lee e l m enor
tiem p o posible e n ro d ar d esd e e l p u n to A hasta e l p u n to B .
L o s m ejores m atem ático s d e d istin ta s ép o cas intentaron resolver este
pro blem a, y fue resu elto tanto p o r e l p ropio I. B em o u lli co m o po r
G . W. L eib niz, I. N ew to n , G . L'H ospital y J. B em ou lli. Su fam a se d ebe
p rin cip alm en te a qu e, a d em ás de la im portancia d e su so lu ción d esd e
el p u n to d e vista d e las cie n c ia s natu rales, sirvió d e inspiración para
la creació n de u n ca m p o co m p letam en te n u ev o d e la s m atem áticas,
el cálcu lo d e variacion es o cálcu lo variacion al.
L a so lu ción d el p roblem a de la braqu istocrona se p u ede asociar con
la so lu ción d e otro p roblem a q u e su rg e en la óp tica. En la figura 22 se
rep resen ta esq u em áticam en te u n ray o d e lu z q u e p arte del pu nto A
e incid e e n e l p u n to P
co n una velocid ad v , , y lu eg o atraviesa
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un m ed io m ás d en so d esd e e l p u n to P h asta e l p u n to B co n una
velocid ad m eno r v2. El tiem po total T q u e necesita e l ra y o de luz
p ara lle g a r d esd e e l p u n to A h asta e l pu nto B se halla d e la igualdad
Si su p on em o s q u e el ray o d e luz re­
co rre e l cam in o in d icad o en el m enor
tiem po p o sib le T , en tonces
F ig . 2 2
P or co nsig u ien te,
c - x
v, V a1 + x 2
v2y /ti2 + ( c - x )2'
m
14. Problem a d e la braquistocrona
o bien
sen a , _ se n a ,
V]
~
v2
La últim a igualdad exp resa la co nocid a ley d e refracció n d e Sn ell,
cuya form a inicial obtenida exp erim en talm en te e s
sen a ,
sen a 2
= a,
d ond e a = const.
La suposición acerca d e q u e e l ray o d e lu z p a sa d el p u n to A al
pu nto B e n un tiem po m ínim o se co n o c e co m o p rin cip io d e Fennat
d e l tiem po m ínim o. La im portancia d e este p rin cip io rad ica n o só lo
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e n q u e proporciona un fu n d am ento racio n al para d ed u cir la ley
d e Sn ell, sin o tam bién en q u e, en
particular, se p u ede em p lear para
hallar la trayectoria (en g en eral, no
rectilínea) de un ray o d e luz que
atraviesa un m ed io d e d ensidad
variable.
Veam os, p o r ejem p lo , e l m ed io es-
p¡g
23
tratificado rep resen tad o en la fi­
gura 23. E n ca d a estrato p o r sep arad o , la velocid ad d e la lu z es
constan te, y d ecrece al p asar d e una ca p a su p erior a la su by acen te.
A l pasar d e una ca p a a otra, el ray o in cid en te se refracta, tend iend o
cada vez m ás a la d irección vertical. A p licand o la ley d e S n ell a las
fronteras en tre las capas, obtenem os
sen a,
v,
sen a,
“
v2
sen a3
"
75
t>3
sen a4
“
C apitulo 1. Construcción y solución d e modelos diferenciales
A hora su pongam os que los esp esores de las cap as d ism inu yen ilim i­
tadam ente y que el núm ero d e cap as crece ilim itadam ente. Entonces
e n lím ite la velocidad d e la luz d ecrece con­
tinuam ente, por lo que podem os escribir
(fig-24)
sen
q
= a,
(71)
d ond e a = co n st. U na situación sem ejante
se observa (con las salved ades debidas)
en e l caso d e un rayo de luz solar que
incide sobre la Tierra: la velocidad del
ray o d ism inuye a m edida q u e aum enta la
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densidad de la atm ósfera.
R egresando a l problem a d e la braquistocrona, introduzcam os un
sistem a de coord enad as en un plano vertical (fig. 25) e im aginem os
q u e una bola e s cap az de eleg ir (com o
A
u n ray o d e luz) una trayectoria d e
d escen so d esd e el pu nto A hasta el
pu nto D de tal m anera q u e el tiem po
d e d escen so sea m ínim o. Entonces,
co m o se infiere de los razonam ientos
anteriores, e s válida la fórm ula (71).
Partiendo d e la ley d e conservación
d e la en erg ía, concluim os q u e la ve­
F ig . 25
locidad alcanzad a p o r la bola en un
nivel prefijado, d ep end e só lo d e la pérdida de energía potencial al
alcanzar este nivel y n o d ep end e de la form a d e la trayectoria de
m ovim iento. E sto significa q u e v = > flg y .
14. Problema de la braquistocrona
Por otro lado, las construcciones geom étricas m uestran que
sen q = eos (3 =
1
1
1
sec/J
y/\ + tg 2 p
v7' +(V')2
Sustituyendo en (71) las expresiones halladas de sen a y v, obtenem os
J/[l + (y ')2] = C .
(72)
La ecu ación (72) es la ecu ación diferencial de la braquistocrona.
M ostrem os ahora que la única cu rva braquistocrona e s la cicloide.
Efectivam ente, separando variables en la ecu ación (72) (recordem os
dy
que y = — ), llegam os a la ecu ación de variables separadas
di
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dx = ( - ? - )
'
dy.
Introduzcam os una nueva variable <p m ediante el cam bio d e variable
\
C -y
1 /2
1
= t g¥>-
Entonces
y = C sen 2 y ,
d y = 2 C sen <p eos y? d<p,
dx = tg <p d y = 2 C sen 2 ipdip = C (1 - eos 2 <p) dy?.
La integración de la últim a ecu ación conduce a la solución
*=
y (2 y ? - s e n 2 y > ) + C ,,
77
C apítulo 1. Construcción y solución de modelos diferenciales
dond e, en virtud de las condiciones iniciales, x = y =
0 para
y? =
0
y C , = 0.
A sí,
C
* = ~(2<p - sen 2<p),
y = C sen
2 = C
—{1
- eos 2<p).
C‘
H acien do — = r , 2ip = 0, llegam os a las ecuaciones param étricas
estándares (69) d e la cicloide. ¡La cicloide e s una curva asom brosa:
n o só lo e s isócrona, sino, tam bién, braquistocrona!
15.
M edia aritmética,
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m edia geométrica
y ecuaciones diferenciales
E studiem os un problem a curioso, resuelto por prim era vez po r el
científico alem án C . F. G auss.
Sean m 0 y nQ d o s núm eros positivos arbitrarios (m 0 > n 0). Escriba­
m o s la m edia aritm ética m , y la m edia geom étrica n , d e m 0 y n0 :
m, —
m0 + tIq------------ ------
,
« j — \ /m 0n 0.
E scribam os ahora las m edias aritm ética v geom étrica d e m , y n ,:
15. Media aritmética, media geométrica y ecuaciones diferenciales
C ontinuando
este
proceso
cas j m t ¡ , { n fc} (k =
obtenem os
0, 1, 2, . . . )
dos
su cesiones
num éri-
convergentes, com o se dem uestra
fácilm ente. Surge la pregunta siguiente: ¿a qué e s igual la diferencia
entre los lím ites d e estas sucesiones?
Expongam os una solución elegante de este problem a, perteneciente
al m atem ático alem án C . W. Borchardt y q u e está relacionada con la
construcción de una ecu ación diferencial d e segu nd o orden. Sea a
la diferencia buscada. No e s difícil concluir q u e a d ep end e de
m 0 e y0. Sim bólicam ente dicha dependencia se expresa escribiendo
a = / (m 0, n 0), donde / e s cierta función. P or la form a en que
definim os el núm ero a vem os que tam bién a = / ( r a ^ n ,) . A hora, si
m ultiplicam os m 0 y n 0 por un m ism o núm ero k , en tonces cada uno
de los núm eros m ,, n ,, m 2, n 2, . . . , incluido a , tam bién tend rán com o
factor a l núm ero fc. E sto significa que a e s una función hom ogénea
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de prim er grado respecto a m Q y n 0; p o r consiguiente,
y denotando
m,
1
1+ x
Ya que i , está relacionado co n x p o r m edio de la ecuación
7 con y>
(73)
C a p itu lo 1. C o n stru c ció n y so lu ció n d e m o d e lo s d iferenciales
e n to n ce s
dx¡ _
dx
1- x
_
( l + x ) 2v/5
( x , - x * ) ( l + x )z
2 ( x - x 3)
D e riv a n d o la e c u a c ió n (73) re sp e cto a x lle g a m o s a q u e
dy _
dx
2
(1 + x
)2^1
2 dyx dxx
1 + x d x , dx
dx.
S u stitu y e n d o a q u í la d e riv a d a —— p o r su v a lo r d e la ig u ald ad ( * )
y sim p lific a n d o e l d e n o m in a d o r x - x 3, o b ten em o s
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D e riv a n d o a m b o s m ie m b ro s d e esta ig u a ld a d re sp e cto a x , h a llam o s
¿(i
D e s p u é s d e a lg u n a s tra n sfo rm a cio n e s a lg e b ra ica s la ú ltim a ecu a ció n
to m a la fo rm a
S i e n la e c u a c ió n re c ié n o b te n id a su stitu im o s x p o r x , , e n to n ce s x ,
p a sa a se r x 2 . S i lu e g o su stitu im o s x , p o r x 2, e n to n ce s x 2 p asa
80
15. Media aritmética, media geométrica y ecuaciones diferenciales
a ser x 3, etcétera. Por esto, haciendo
llegam os a la igualdad
y
Ü W
^ ~ *^2
X2)y /X ¡
]~ x
(1 +
X )/X
(1 +
X jy /z ;
(1 +
1~ xn
' "
(1 +
X jy /3 %
./
\
{yn +l ) '
Si ahora hacem os que n tienda a oo , en tonces 1 - x n tenderá a 0
y obtendrem os que
o * (y) =
0.
Esta igualdad significa q u e y satisface la ecu ación diferencial
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( * - x
3)
^ + ( 1 _
3i
j ) £ - x s = °.
(74)
Teniendo presente que
« = /
K
n
, )
=
^
.
podem os hallar e l valor d el núm ero a . En efecto, co m o y d ebe ser
una solución constan te de la ecu ación (74), su único valor posible
e s y = 0 . D e esta m anera, la d iferencia de los lím ites de las sucesiones
{ m fc} Y { n * } e s
a o.
A dem ás de q u e nos perm itió resolver e l problem a inicial, la ecu ación
diferencial (74) representa gran interés por su relación directa con la
solución del problem a del períod o de las oscilaciones pequeñas del
péndulo circular.
C a p itu lo 1. Construcción y solución de m odelos diferenciales
C o m o h e m o s visto, e l p eríod o d e la s oscilacio n es p eq u eñ as del
p én d u lo circu la r se halla p o r m ed io d e la fórm ula
donde
x /2
dip
te )P u es b ie n , resu lta q u e si 0 ^ k <
y /\ - k 2 se n 2 ip
1 , en to n ces
x/2
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J \/l k2 ip
n)f
o
dV
-
sen2
» [
y
2L
¿ í
l ! -3i -5i . . . ( 2 » - l ) ¡
2* - 4* - 6* . . . (2
J
J'
donde
E00 l 2 •3O2 •5D2 . . .
^
( 2n - l )2 2n
X
" 72
2 2 •4 2 •62 . . . (2 n )2
e s la so lu c ió n d e la ecu a ció n d iferen cia l (74).
16. V uelo parabólico
U n cu erp o e s la n zad o c o n u n a velocid ad in icia l vQ fo rm an d o un
án g u lo a
co n e l h o riz o n te. D esp recian d o e l ro zam ien to d el aire,
d e d u cir la e cu a ció n d e m o v im ien to d el cu erpo.
16. Vuelo parabólico
Elijam os lo s e je s d e co or­
d en a d a s co m o se ilu stra en
la figura 2 6. S i d enotam os
la m asa del cu e rp o co n la
letra m , en to n ces la única
fuerza q u e actúa en tod o
F ig . 2 6
instan te so bre e l cu erp o es
su p ro p io p eso P = m g , in d ep en d ien tem en te de la p o sició n M q u e
e l cu e rp o o cu p e d u ran te e l m ovim ien to . P o r e so , en v irtu d d e la
segund a ley d e N ew to n , las ecu a cio n e s d iferen cia les d e l m ov im ien to
del cu erp o en las p ro y eccion es so b re lo s e je s co o rd en a d o s x e y son
d rx
<¡2y
m ^ = ° -
= -m g .
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Sim p lificand o m o b ten em os
d2x
dP "
—
d t2
'
=
(75)
~8*
con las co n d icio n es iniciales
x =
dx
0,
y =
- = tic o s a ,
dy
dt
0,
para
t =
0.
(76)
= t/n se n ct
In teg rand o la s ecu a cio n es (75) y tom an d o e n co n sid eració n las
co n d icio n es in iciales (7 6 ), llegam os a las ecu a cio n es d el m ov im ien to
d el cu erpo:
x = (v0 eo s a ) t,
gt
y = {v0 s e n a ) t - — .
83
(77)
Capítulo 1. Construcción y solución de modelos diferenciales
A partir d e las ecu aciones (77) se pueden sacar varias conclusiones
so bre e l m ovim ien to d el cu erp o lanzado. P or ejem p lo , es posible
resp on d er a las pregu ntas siguientes: ¿cuánto tiem po transcurre
d esd e e l instan te e n que fu e lanzad o e l cu erp o hasta q u e llegó
a tierra? ¿a qué d istancia d el p u n to de lanzam iento ca e e l cuerpo?
¿cuál e s la altu ra m áxim a q u e alcan za? ¿cu ál e s la trayectoria del
m ovim iento?
A la prim era pregunta se p u ede responder hallando el valor d e t
para e l cu a l y = 0 . H aciendo y = 0 en la segund a ecu ación (77),
resulta
t (v 0sen a -
=
0,
2v sen a
e s d ecir, bien t = 0 , bien t = — --------- . El segu nd o valor d a la
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8
respuesta a la p rim era pregunta.
Para resp on d er a la segund a pregu nta, calculem os e l valor de x
2v sen ct
co rresp on d ien te al tiem po total t = — ---------- d el m ovim iento.
8
Su stitu yend o e ste v alor en la prim era ecu ación de (77) obtenem os
q u e la d istancia p o r la horizontal está dada p o r la fórm ula
(v0 eo s a ) ( 2v0 sen a ) _ v20 sen 2a
8
8
D e la ú ltim a ig u ald ad se d ed u ce, en particular, qu e e l desplazam iento
v2
horizontal m áxim o — se logra cuando a = 45°.
S
La resp u esta a la tercera pregunta se ob tien e inm ediatam ente si
ind icam o s la cond ición para q u e y alcance e l m áxim o. Com o se sabe,
84
e l v a lo r m á x im o d e y se a lca n z a en e l p u n to t d o n d e la d e riv a d a se
dy
an u la, e s d ecir, d o n d e — = 0 . T e n ien d o en c u e n ta q u e
dy
— = - g t + v0 se n a ,
lleg am o s a la ig u a ld a d —g t + v0 se n a =
0,
de donde
t _ «o s e n a
g
S u stitu y e n d o ah o ra e l v a lo r o b te n id o d e t e n la se g u n d a ig u ald ad
de (7 7 ), h a lla m o s q u e la altu ra m áxim a es
sen2 a
2
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*
La resp u esta a la c u a rta p reg u n ta y a se o b tu v o a rrib a. D e h e ch o ,
la tra y ecto ria d e ! m o v im ie n to e s u n a p a rá b o la , p u e sto q u e las
ecu a cio n es (7 7 ) so n las e cu a cio n e s p a ra m é trica s d e u n a p a rá b o la . E n
co o rd e n a d a s ca rte sia n a s ten em o s
y = x tg a -
gx2
2
se c a .
17. In g rav id ez o g rav ed a d cero
El e sta d o d e in g ra v id e z se p u e d e lo g ra r d e d ife re n te s m an eras,
a u n q u e casi sie m p re se aso cia (co n scie n te o in co n scie n te m e n te ) co n
lo s co sm o n a u ta s flo ta n d o e n las ca b in a s d e la s n a v e s c ó sm ic a s o en
e l in terio r d e la s e sta cio n e s esp aciales.
C a p ítu lo 1. C onstrucción y solución de m odelos diferenciales
C o n e l fin de a clarar e l sen tid o físico d el fen ó m en o d e la ingravi­
d ez , a n alice m o s e l p roblem a siguien te. U na person a d e p eso P se
en cu en tra e n la cab in a de un ascen so r que se m u ev e hacia abajo
co n aceleració n u> = a g , d ond e g e s la aceleració n d e la gravedad
y 0 < a <
1.
D eterm in ar la presión q u e ejerce la person a so bre el
fon d o d e la cabin a, así co m o la aceleració n d el ascensor p ara la cu al
e l valor d e d ich a presión e s igual a cero.
E n e l in terio r d el ascensor, sobre la person a actú an dos fuerzas
(fig. 27 ): su propio peso P y la fu erza Q de reacció n d el fondo de
la cab in a, la cu al e s igual en m agnitu d a la presión q u e la persona
e jerce so b re el fon d o d e la cabin a. La ecu ación diferencial
q
d el m ov im ien to de la person a es
d2x
m^¡2= p -Q
<78)
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P or cu an to
t-r
= u = ag
y
m = — , a partir d e la
ecu a ció n (78) se d ed u ce
F i9 -27
2
Q = P - m ^
= P (1 - a ) .
a l­
(79)
l o m a n d o en co n sid eración que 0 < a < 1 , conclu im os q u e Q < P .
A sí pu es, la p re sió n q u e ejerce la person a so bre el fon d o d e la cabina
d e u n ascen so r q u e se m u ev e hacia a b a jo es
Q = P ( 1- a ) .
E n e l e n q u e e l a scen so r su b e co n a celeració n u = a g , donde
0
< a <
1,
la p resió n d e la person a so bre el fon d o de la cabina es
Q = P (l+ a ).
17. Ingravidez o g ra v e d a d c e ro
C a lc u le m o s a h o ra la a c e le ra c ió n d e l a s c e n s o r p a ra la c u a l la p e rso n a
n o e je rc e n in g u n a p re sió n so b re e l fo n d o d e la c a b in a . P ara e llo e s
su ficie n te h a c e r Q = 0 e n la ig u a ld a d (7 9 ). C o m o re s u lta d o o b te n e m o s
q u e ct =
1,
e s d e cir, la a c e le r a c ió n d e l a s c e n s o r d e b e s e r ig u a l a la
a c e le ra ció n d e la g ra v e d a d p a ra q u e Q = 0.
E n o tr a s p a la b r a s, si e l a s c e n s o r c a e lib re m e n te c o n a c e le ra c ió n
ig u a l a la a c e le ra c ió n g d e la g ra v e d a d , e l p a s a je r o n o h a c e p re sió n a l­
g u n a s o b r e e l fo n d o d e la c a b in a . P re c is a m e n te e s t e e s ta d o se d e n o m i­
na e s ta d o d e in g ra v id ez o e s ta d o d e g r a v e d a d c er o . E n e s ta d o d e in g ra ­
v id e z n o h a y p re sio n e s m u tu a s e n tr e la s d ife re n te s p a rte s d e l c u e rp o
h u m a n o , y e s t o p ro v o c a e n la p e r s o n a se n s a c io n e s e x tra ñ a s . E n e s ta d o
d e in g ra v id e z to d o s lo s p u n to s d e l cu e r p o tie n e n la m ism a a ce le ra ció n .
P o r su p u e s to , e l e s ta d o d e in g ra v id e z p u e d e te n e r lu g a r n o só lo
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d u ra n te la c a íd a lib re. V eam o s e l e je m p lo sig u ie n te .
¿C o n q u é v e lo c id a d d e b e g ira r u n a n a v e c ó s m ic a a lr e d e d o r d e la
T ierra p a ra q u e u n a p e rso n a e n su in te rio r s e e n c u e n tr e e n e s ta d o d e
in g ra v id e z ?
R e so lv a m o s e l p ro b le m a su p o n ie n d o q u e
la n a v e có sm ica s e m u e v e p o r u n a ó rb ita
circu la r d e ra d io r + h , d o n d e r e s el
rad io d e la T ierra y h , la a ltu ra d e v u elo
d e la n a v e so b re la su p e rfic ie te rre stre .
D el p ro b le m a a n te r io r s e d e d u c e q u e en
e sta d o d e in g ra v id e z la p re sió n d e l a s ­
tro n a u ta s o b r e e l fo n d o d e la ca b in a d e
la n a v e y, p o r c o n sig u ie n te , la re a c c ió n Q
d e l fo n d o d e la ca b in a s o n ig u a le s a c e ­
ro . A sí p u es, Q = 0 . R e c u rr a m o s a h o ra
87
C a p ítu lo 1. C o n stru cció n y s o lu c ió n d e m o d e lo s d ife re n cia le s
a la fig u ra 2 8 . E l e je x e stá o rie n ta d o a lo la rg o d e la n o rm al
p rin cip a l n a la tra y e cto ria c irc u la r d e la n av e.
R e c o rd e m o s q u e la e c u a c ió n d ife re n cia l d el m o v im ie n to d e u n p u n to
m a te ria l a lo la rg o d e la n o rm a l p rin cip a l es
—
n
-
*» '
H
4=1
n
donde p = r + h , £
F kn = F , y la fu erz a F e stá o rie n ta d a a lo la rg o
4=1
d e la n o rm a l p rin cip a l a la tra y e cto ria d e l m o v im ie n to . V alién d o n o s
d e la e c u a c ió n d e m o v im ie n to in d ic a d a o b te n e m o s
2
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mv
d2x
_
7 7 h = F = m M ¡'
o b ie n
d 2x
d t2
S u s titu y e n d o
r + h
(7 8 ), lle g a m o s a la ig u a ld a d
r + h
= P -Q .
(80)
A q u í la fu erz a P e s ig u a l a la fu erz a F d e a tra c c ió n d e la T ie rra . A su
v e z , c o n fo rm e a la le y d e la g ra v ita c ió n u n iv e rs a l, F e s in v ersa m en te
p ro p o rc io n a l a l c u a d ra d o d e la d ista n cia r + h d e s d e la n a v e h a sta e l
c e n tr o d e la T ie rra , e s d ecir,
88
18. Leyes d e K e p le r d e l m ovim ie n to p la netario
km
~ if+ W '
d o n d e m e s la m a sa d e la n av e, y la co n sta n te k s e d e te rm in a
p a rtie n d o d e la s c o n sid e ra cio n e s sig u ien tes.
la su p e rficie d e
la Tierra (p ara h = 0 ) la fu erz a d e a tra c c ió n e s F = m g . E n to n ce s d e
la fórm u la ( * ) sig u e q u e k = g r 2 y, c o n sig u ie n te m e n te ,
P = F =
^
(r + ft)2 '
d o n d e g e s la a ce le ra ció n d e la g ra v e d a d e n la su p e rfic ie d e la T ierra.
S u stitu y en d o a h o ra e l v a lo r o b te n id o d e P e n la fó rm u la (8 0 ) y te­
n ie n d o e n cu e n ta q u e Q = 0 , c o n c lu im o s q u e la v e lo cid a d req u erid a
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p ara q u e e l c o sm o n a u ta p e rm a n e z ca e n e sta d o d e in g ra v id e z e s
* = r\/-K
V r + h
18.
L ey e s de K e p le r
del m o v im ie n to p la n e ta rio
C o n fo rm e a la ley d e g ra v ita ció n u n iv ersa l, d o s cu erp o s d e m a sa s
m y M s e p a r a d o s a un a d ista n cia r s e a tra en m u tu a m en te con una
fu erz a
<M>
donde
7 e s la con stan te d e g ra v itación u n iversal.
C a p ítulo 1. C onstrucción y solución d e m odelos diferenciales
A p o y é m o n o s e n e sta ley para d e scrib ir e l m ov im ien to planetario.
Supongam os que m
e s la m asa d e u n p lan eta q u e se m ueve
a lre d e d o r d e l S o l y M e s la m asa d el S o l. P ara sim p lificar e l m od elo
n o te n d re m o s en cu e n ta la in flu en cia d e o tro s p lan etas.
In tro d u z ca m o s u n sistem a d e co o rd en a d a s cartesian as rectan g u lares
O x y (fig. 29) d e m o d o q u e e l Sol se en cu en tre e n e l o rig en del
sistem a. F ig u ré m o n o s q u e en e l in stan te t e l p lan eta s e en cu en tra en
e l p u n to A d e co o rd en a d a s v a ria b les x , y . La co m p o n en te en e l e je x
d e la fu erza d e a tracció n F que
actú a so bre e l p lan eta e s ig u al a
F eo s <p, y la co m p o n en te en el
e je y e s ig u a l a F s e m p . Por
esto , em p lea n d o la fórm ula (81)
y e l seg u n d o p rin cip io de la d i­
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n ám ica, o b te n e m o s las ecu acio ­
n es d iferen ciales d e m ovim ien to
d el p lan eta resp ecto a lo s ejes
co ord en ad os:
7 mM
m it = - F eo s <p = --------; — eo s <p,
7M7/ = - F
7 7 7 1 A/
se n <p = --------^—
y
T o m a n d o en co n sid e ra ció n q u e se n <p = -
560 'P-
x
ky
y = —Ir3
T’
d o n d e la co n sta n te k =
7M
.
90
(83)
y eo s p = —, las ecu acio ­
n e s (82) y (83) p u e d e n escrib irse e n la form a
kx
(82)
18. Leyes d e K e p le r d e l m o v im ie n to p la n e ta rio
F in a lm e n te , d a d o q u e r =
y / x 2 + y2, lle g a m o s a la s e c u a c io n e s
d ife re n cia le s
kx
ky
í = - 7( x¡2-+ ¡yS2) 5'
V=
(84)
( x 2 + y 2)
N o s e p ie rd e g e n e ra lid a d s i s u p o n e m o s q u e s e c u m p le n la s c o n d i­
cio n e s sig u ie n te s :
x = a,
x =
y =
0,
0,
c,
cu an d o
y = v0
t = 0
.
(85)
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D e e sta fo rm a , e l p ro b le m a s e h a r e d u c id o a l e s tu d io d e la s e c u a ­
c io n e s (84) c o n la s c o n d ic io n e s in icia le s (8 5 ). A n a liz a n d o la s e c u a ­
c io n e s (8 4 ) se c o m p r e n d e q u e e s m á s c ó m o d o c a m b ia r d e c o o r d e ­
n a d a s re c ta n g u la re s a p o la r e s m e d ia n te la s fó rm u la s x = r e o s y?,
y = r se n tp. C o m o re s u lta d o s e o b tie n e
x = f e o s p - ( r s e n p)tp,
(86)
y = r se n <p -F ( r e o s y>)<p,
it — f e o s ip - 2( f s e n <p)<p — ( r s e n ip)(p — ( r e o s <p)<p2,
y = r se n p + 2 { t e o s <p)<p + ( r e o s p ) p - ( r se n p)tp2.
** N . d e l T . D i c h o d e o t r a m a n e r a , e s t a m o s a s u m i e n d o q u e e n e l i n s t a n t e i n i c i a l e l
p la n e ta s e e n c u e n t r a s o b r e e l e je
v e lo c id a d e s e n x e y s o n
0 y
x e n e l p u n to d e co o rd e n a d a s ( a ,0 ) , y q u e su s
vq, r e s p e c t i v a m e n t e .
91
C a p itu lo 1. C o n stru cció n y so lu ció n d e m o d e lo s d iferenciales
D e aquí
£ = (f* - r<p2) co s ip -
(2f ip
+ r<p) se n <p,
y = {? - Tip)2 se n ip + (2+tp + r<p) c o s p .
C o n a y u d a d e e s ta s d o s ig u a ld a d e s las e c u a c io n e s d ife re n cia le s (84)
p u e d e n e sc rib irse e n la fo rm a
(f -
r <p2)
cos p - (2tip + rtp) sen p
(f -
rtp2)
sen ip +
{2tip
+
r(p)
= -
(87)
cosy? = —- —
(88)
M u ltip lic a n d o la e c u a c ió n (8 7 ) p o r c o s <p, la e c u a c ió n ( 88) p o r se n p ,
y su m a n d o lo s re su lta d o s, h a lla m o s
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k
= - -
r - r f
(89)
S i m u ltip lica m o s (87) p o r s e n ^ y ( 88) p o r co s <p,y d e la p rim era
e x p r e s ió n o b te n id a re s ta m o s la se g u n d a , o b te n e m o s la ecu ació n
2 t<p + r<? = 0 .
(90)
E scrib a m o s en co o rd e n a d a s p o la re s la s c o n d icio n e s in icia les (85):
r = a,
p — 0,
r = 0,
<P=—.
a
vn
cu and o
t= 0.
(91)
A sí, e l e s tu d io d e la s e c u a c io n e s (8 4 ) c o n la s c o n d ic io n e s in icia les (85)
s e re d u jo a l a n á lis is d e la s e c u a c io n e s (89) y (90) c o n las co n d icio n es
92
18. Leyes d e K e p le r d e l m ovim iento p la netario
in iciales (91). N o e s d ifícil v er q u e la ecu a ció n (90) se p u e d e escrib ir
co m o
| (*-V )= 0 ,
(92)
r V = C ,.
(93)
d e donde
La co n sta n te C l tien e u n sen tid o g e o m é trico in teresa n te. A saber,
im a g in em o s q u e u n cu erp o se d esp la z a d e u n p u n to P a u n p u n to Q
p o r u n a rco
P Q (fig. 30 ). S e a 5 e l área d el se c to r
lim ita d o p o r los
se g m en to s O P , O Q y e l a rco f f y . E n tal ca so , d el c u rs o d e an álisis
m atem ático se sabe q u e
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= \ I r2dy,
o bien
dS = - r
Fig. 30
d<p.
P or en d e ,
í ■ r ’S - 'i *
dS
La d eriv a d a —
dt
rep resen ta la llam ad a v elo c id a d a reo la r . Y c o m o la
m agn itu d r 2<p e s co n sta n te en v irtu d d e la ig u ald ad (9 3 ), d ed u cim o s
q u e la velocid ad a re o la r tam b ién e s co n sta n te. E sto ú ltim o sig n ifica
m
C apítulo 1. Construcción y solución de modelos diferenciales
q u e e l cu erp o se m u eve de tal m anera q u e e l vector de posición
d escrib e áreas ig u ales en intervalos d e tiem po iguales. Esta ley d e las
á rea s e s ju stam ente una d e las tres leyes d e Kepler, y su enunciado
com p leto e s e l siguien te: en intervalos d e tiem po iguales, el vector de
posición d e un p lan eta barre área s iguales.
Para d ed u cir la ley d e K epler sobre la form a d e las trayectorias
d escritas p o r los planetas, reg resem os a las ecu aciones (89) y (90)
co n las co nd icio nes iniciales (91). En las cond iciones iniciales (91) se
tiene, en particular, q u e r = a y ip =
para t = 0 . Entonces d e la
ig u ald ad (93) sig u e q u e C , = a v 0. P or tanto,
r V = av0
ó
'P = -^ r
(95)
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y la ecu ación (89) se transform a en
H acien do f = p p o d em os escribir la últim a ecu ación así:
dp _ d p d r _
dt
d r dt
dp _ a 2^
Pdr
r3
k
r2'
o bien
d p _ a 2v ¡
r3
Pdr
k
r2 '
Sep aran d o las variables en esta ecu ación diferencial e integrando,
obtenem os
P2
*
* 2»o2
18. Leyes d e K e p le r d e l m ovim ie n to p la n e ta rio
Ya q u e p = f = 0 p a ra r = a , d e la ú ltim a ig u a ld a d resu lta
r
_
2~
vo
*
7 ~ a'
D e e sta m a n era , lle g a m o s a la ecu a ció n
t1
k
a 2v ]
v]
2
r
2r 2
2
k
a'
o, c o n sid e ra n d o so la m e n te la ra íz cu a d ra d a p o sitiv a , a la ecu a ció n
d iferen cial
dr
\(
2k\
2k
a2vo
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Si a h o ra d iv id im o s la ecu a ció n (9 6 ) p o r la (9 5 ), o b te n e m o s
d tp
= ry /a r 2+ 2pr -
1,
1
k
d ond e
a ~ a2
2k
a.3Vg'
a
~ o 2Vq
P ara in teg rar esta ú ltim a e cu a ció n , h a c e m o s e l ca m b io d e v a ria b le
r = —, resu ltan d o
u
a W jk
1+
e eo s ( p + C 3) '
95
C a p ítu lo 1. C on stru cció n y solución d e m odelos diferenciales
d o n d e e = ------
fj
= -—-1 . La co n sta n te C 3 se d eterm in a d e la
k
co n d ició n r = a p ara <p = 0 . N o e s d ifíc il co m p ro b a r q u e C 3 = 0 .
D e esta m a n e ra , h a lla m o s fin alm en te que
a 2v l / k
r =
1+
c e o s ip
•
(97)
D el c u rs o d e g e o m e tría an a lítica se sa b e q u e (97) e s la e cu a ció n en
co o rd e n a d a s p o la re s d e u n a secció n có n ica d e ex ce n tricid a d e . Por
e so , la e c u a c ió n (97) p u e d e ser:
e lip se
si
e< l,
es d ecir, si
2k
v0 < -
2
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si
e> l,
paráb ola
si
e =
1,
es d ecir, si
¡3I«
ii
es d ecir, si
2fc
h ip érb o la
circu n feren cia
si
e =
0,
es d ecir, si
2 k
V° = a
* > T
D e la s o b se rv a cio n e s a stro n ó m ica s se d e d u c e q u e p ara to d o s los
p la n e ta s d e l siste m a so la r la m agn itu d
2
2k
sie m p re e s m en o r q u e — .
A sí p u es, lle g a m o s a o tra ley d e K ep ler: la s ó rb ita s d e lo s p la n eta s
so n elip s e s en las q u e e l S o l o c u p a un o d e los fo c o s .
L as ó rb ita s d e la L u na y d e lo s s a té lite s artificiales d e la Tierra
ta m b ié n s o n e lip s e s , p ero c o n ex ce n tricid a d e s e m u y ce rca n a s a cero
e n la m a y o ría d e lo s ca so s, e s d ecir, so n e lip se s q u e m á s b ien p arecen
circu n feren cia s.
96
18. Leyes d e K e p le r d e l m o vim ie n to p la n e ta rio
E n c u a n to a lo s c o m e ta s p e r ió d ic o s , ta le s c o m o e l c o m e ta H a lley , s u s
ó r b ita s tie n e n fo rm a s d e e lip s e s a la rg a d a s c o n e x c e n tr ic id a d e s m u y
ce rc a n a s a la u n id a d . E n p a rtic u la r, e l c o m e ta H a lle y a p a r e c e e n la
z o n a d e v isib ilid a d d e la T ie rra a p ro x im a d a m e n te c a d a 7 6 a ñ o s . F u e
v is to p o r ú ltim a v e z a fin a le s d e l a ñ o 1 9 8 5 y c o m ie n z o s d e 1986.
L o s c u e r p o s c e le s te s c o n ó r b ita s p a ra b ó lic a s o h ip e r b ó lic a s s e p u e d e n
o b s e r v a r s ó lo u n a v e z , p u e s n u n c a reg resa n .
A v erig ü e m o s a h o ra e l se n tid o fís ic o d e la e x c e n tric id a d e . P re v ia ­
m e n te , n ó te s e q u e la m a g n itu d v d e l v e c t o r V
d e v e lo c id a d d e l
p la n e ta y la s c o m p o n e n te s x e y d e d ic h o v e c to r e n lo s e je s x e y ,
sa tisfa ce n la ig u a ld a d
v 2 = x 2 + y 2,
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la c u a l, en v irtu d d e la s fó rm u la s (86), p u e d e e s c rib irs e e n la fo rm a
v2 = r V
+ r 2.
D e a q u í se in fie re q u e la e n e rg ía c in é tic a d e u n p la n e ta d e m a sa m
se p u e d e h a lla r m e d ia n te la fó rm u la
j m t ;2 = ^ m ( r 2v?2 + f 2) .
(9 8 )
E n c u a n to a la e n e rg ía p o te n cia l d e l s is te m a , é sta e s ig u a l a l tra b a jo
(to m a d o c o n sig n o " m e n o s " ) n e c e s a rio p a ra d e s p la z a r e l p la n e ta
h asta e l in fin ito , d o n d e la e n e rg ía p o te n c ia l e s ig u a l a c e r o . P o r
c o n sig u ie n te ,
C a p itu lo 1. C o n s tru cció n y so lu ció n d e m o d e lo s d ife re n cia le s
S i d e n o ta m o s c o n E
la e n e rg ía to tal d e l siste m a , la cu al e s un a
m a g n itu d co n sta n te e n v irtu d d e la ley d e co n se rv a ció n d e la en erg ía ,
e n to n c e s d e la s fó rm u la s (9 8 ) y (99) o b te n e m o s
^ m ( r 2<p2 + f 2) - ^ = E .
( 100)
H a c ie n d o <p = 0 y u tiliz a n d o la s e x p re sio n e s (9 7 ) y (1 0 0 ), h a lla m o s
a 2v l / k
1+
m r 2a 2v l
km
2r 4
r
e
E lim in a n d o r d e la s d o s ú ltim a s ig u a ld a d e s, lle g a m o s a la sig u ie n te
e x p re sió n p a ra la e x ce n tricid a d :
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F in a lm e n te , la e c u a c ió n (9 7 ) d e la s ó rb ita s p la n e ta ria s to m a la fo rm a
alvVk
1 +
r.
E
-y
m k-
COS
D e a q u í s e d e d u c e q u e la ó rb ita e s u n a e lip se , u n a h ip é rb o la , un a p a ­
rá b o la o u n a c ircu n fe re n cia si £7 < 0 , £ > 0 , E = 0 ó E =
—r,
2a ‘ v 0
re s p e c tiv a m e n te . D e e s t e m o d o , la ó rb ita d e u n p lan eta e s tá co m p le ­
ta m e n te d e te r m in a d a p o r su e n e rg ía to ta l E .
E n p a rticu la r, si u n p la n e ta , p o r e je m p lo , la T ie rra , p u d ie ra o b te n e r
d e l e x te r io r u n im p u lso q u e le p e rm itie ra a u m e n ta r su en erg ía
98
18. Leyes d e K e p le r d e l m ovim ie n to p la n e ta rio
total E h asta u n a m a g n itu d p o sitiv a , e n to n c e s p a sa ría a u n a órbita
h ip e rb ó lica y ab a n d o n a ría n u estro siste m a solar.
D ed iq u ém o n o s a h o ra a la tercera ley d e K ep ler, la cu al s e refiere
a lo s p e río d o s d e la s ó rb ita s p lan etarias. P a rtie n d o d e la se g u n d a
ley d e K e p le r n o s restrin g irem o s, n a tu ra lm e n te , a la ó r b ita e líp ti­
ca, cu y a e cu a ció n e n co o rd e n a d a s
ca rte sia n a s es
? + ? - > ■
La e x ce n tricid a d
d e la e lip se e s
C
e = — , p e ro c o m o C
2
= £
2 - r¡2
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(fig. 31 ), e n to n ces
e 2 = L -Z -U l
o b ien
(
101)
A p a rtir d e la s ig u a ld a d e s (9 7 ), (101) y d e la s p ro p ie d a d e s d e la
elip se, c o n c lu im o s q u e
*
1
2
/ a 2v l / k
y
1+
e
a 2t>¿/fc\ _
1-
e J
a 2v l
k ( 1 - e 2)
= a 2t>fc2
k r?
e s d ecir,
v2 =
*Se
m
( 102 )
C a p ítu lo 1. C o n stru cció n y solución d e m odelos diferenciales
D en o tem o s c o n T e l p erío d o d e rev o lu ció n d e u n p lan eta, o se a , el
tie m p o q u e n e ce sita e l p lan eta para reco rrer co m p letam en te la órbita.
D a d o q u e e l á re a d e la reg ió n lim itad a p o r la e lip se e s igual a n^r¡,
b a sá n d o n o s en las fó rm u la s (94) y (9 5 ) d ed u cim o s q u e
.
F in a lm e n te , te n ien d o e n cu en ta la ig u ald ad (102), hallam os
T2
4 * W
a%2
_ 4 ^
k
3
4 '
E sta ú ltim a fó rm u la e s la exp resió n form al d e la tercera ley d e
K ep ler: los cu ad rad os d e los p erío d o s d e revolución d e los p la n eta s son
p ro p o rcio n a les a los cu bos d e los sem iejes m ay o res d e sus órbitas.
19. F lexió n de una viga
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C o n sid e re m o s u n a v ig a h o m o g én ea A B d e secció n tran sversal co n s­
tan te, co lo ca d a h o riz o n ta lm en te (fig. 32). El eje d e sim etría d e la viga
se in d ica en la fig u ra 3 2 co n un a lín ea d iscon tin u a. A su m a m o s q u e la
v ig a s e fle x io n a b a jo la a cció n d e las fu erzas q u e actú a n so b re ella en
e l p la n o v ertical q u e co n tie n e al e je d e sim etría (fig. 33). Las fu erzas
Fig. 32
Fig. 33
a las q u e n o s referim o s p u e d e se r e l p eso d e la p ro p ia v ig a, u n a
fu erza e x te rio r a p lica d a a é sta o u n a co m b in ació n d e a m b a s fuerzas.
E s c la ro q u e co m o re su lta d o d e d ich a s fu erzas e l e je d e sim etría se
a rq u ea . A l e je d e sim etría flex io n ad o se le llam a u su alm en te lín ea
100
19. F lexión d e una viga
I
e lá stic a . E l e s tu d io d e la s fo rm a s d e la s lín e a s e lá s tic a s d e se m p e ñ a
u n p a p e l im p o rta n te e n la te o ría d e la e la sticid a d .
m
P
U I
Q
Fig. 35
F ig . 3 4
S e ñ a le m o s q u e la s v ig a s s e p u e d e n d ife re n c ia r s e g ú n la fo rm a e n q u e
se su je ta n o a p o y a n . P o r e je m p lo , e n la fig u ra 3 4 s e m u e stra u n a v ig a
c o n e l e x tre m o A fijo y e l e x tre m o B lib re. T a le s v ig a s s e d e n o m in a n
v ig as d e c o n s o la ( ca n tile v e r ). E n la fig u ra 3 5 s e ilu stra u n a v ig a q u e
y a c e lib re m e n te so b r e lo s a p o y o s A y B . O tr o tip o d e v ig a c o n a p o y o s
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se m u e stra e n la fig u ra 3 6. T a m b ié n
e x iste u n a c la s ific a c ió n d e la s fo rm a s
d e a p lic a c ió n d e la s fu e rz a s e x te rio res s o b r e la v ig a . P o r e je m p lo , e n la
fig u ra 3 4 la s fu e rz a s e s tá n d is tr ib u í-
•
.^
- I --------------
‘4L —-------------------------------^
F¡9 -36
d a s u n ifo rm e m e n te . E v id e n te m e n te ,
la fu erz a p u e d e s e r v a r ia b le a lo la rg o d e to d a la v ig a o e n u n a p a rte
d e é sta (fig. 3 5 ). E n la fig u ra 3 6 se m u e s tra e l c a s o d e u n a fu erz a
co n ce n tra d a e n u n p u n to .
A n a licem o s u n a v ig a h o riz o n ta l O A (fig . 37). S u p o n g a m o s q u e su eje
d e sim etría (lín e a d is co n tin u a e n la fig u ra) s e e n c u e n tr a s o b r e e l e je x .
O rie n te m o s e l e je x h a c ia la d e re c h a d e l o r ig e n d e c o o rd e n a d a s O
y e l e je y h a c ia a b a jo . B a jo la a c c ió n d e la s fu e rz a s e x te r n a s F X, F 2, . . .
(y d e l p e s o d e la v ig a si é s t e e s g ra n d e ) e l e je d e s im e tr ía se
flex io n a fo rm a n d o u n a lín e a e lá stic a c o m o la in d ic a d a e n la fig u ra 38.
El d e sp la z a m ie n to y d e la lín e a e lá stic a r e s p e c to a l e je x se c o n o c e
.01
C apítulo 1. Construcción y solución d e m odelos diferenciales
Fig. 37
F ig . 3 8
co m o fle x ió n d e la v ig a en la posición x . D e esta d efinición se induce
q u e para h allar la flexión d e una viga e s su ficien te conocer la ecu ación
d e su línea elástica. M ás ad elan te m ostrarem os có m o hacerlo en la
práctica.
R ep resen tem o s co n M {x ) e l m om ento flecto r en una secció n trans­
v ersal v ertical d e abscisa x d e la viga. El m om ento flector e s igual a
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la su m a alg ebraica de lo s m om entos de las fu erzas que actú an sobre
u n o d e los lad o s d e la viga resp ecto al p u n to x . A l calcu lar los
m om en tos co n sid erarem os q u e las fu erzas que actú an so bre la viga
d e a bajo hacia arriba tienen m om en tos negativos, y las q u e actúan
d e arriba h a cia ab a jo , m om entos positivos.
E n la teoría d e resistencia d e m ateriales se d em u estra q u e el m om ento
flecto r e n la p o sició n x está relacionado co n e l rad io d e cu rvatura de
la lín ea elástica m ediante la expresión
E J 7-------“
3 7 ! = M (x ),
[ i + (v ')2] 3/2
donde E
(103)
e s el m ód ulo de elasticid ad de Young y d ep end e del
m aterial d el cu a l está hecha la v ig a , J
e s e l m om ento de inercia
d e la secció n transversal d e la viga en la posición x respecto a la
recta horizontal q u e p asa p o r el cen tro d e graved ad d e d ich a sección
19. Flexión d e una viga
I
tra n sv ersa l. El p ro d u cto E J s e lla m a c o m ú n m e n te rig id ez fle x u r a l;
e n lo su c e siv o a su m ire m o s q u e su m a g n itu d e s c o n sta n te .
Su p o n ien d o q u e la v ig a se flex io n a s ó lo u n p o c o , lo q u e e s m u y
frecu en te e n la p rá c tica , e n to n c e s la p e n d ie n te y' d e la lín e a elá stica
e s m u y p e q u e ñ a y, e n lu g a r d e la e c u a c ió n (1 0 3 ), p o d e m o s to m a r la
ecu a ció n a p ro xim a d a
E J y " = M {x ).
(104)
P ara m o stra r c ó m o s e u tiliza la e c u a c ió n (104) e n la p rá c tic a , e x a ­
m in em o s e l p ro b le m a sig u ie n te . U n a b a rra h o m o g é n e a d e a c e r o d e
lo n g itu d l , la cu al e stá a co sta d a lib re m e n te s o b r e d o s a p o y o s , se
flex io n a b a jo la a cció n d e su p ro p io p e s o , ig u al a p k ilo g ra m o s d e
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fu erza p o r u n id a d d e lo n g itu d . S e p id e h a lla r la e c u a c ió n d e la lín e a
e lá stica y la flex ió n m á x im a d e la viga.
La lín ea d isco n tin u a d e la fig u ra 3 9 re p re se n ta la lín ea e lá stic a . C ad a
u n o d e lo s d o s a p o y o s p ro d u c e u n a rea cció n o rie n ta d a h a c ia a rrib a e
p//2
ig u al a la m itad d el p e s o
pl
d e la v ig a (ig u a l a — ). El
2
m o m e n to fle c to r M { x ) e s
la su m a a lg e b ra ica d e lo s
m o m e n to s d e e s ta s fu er­
X
*1 *
O
\a
'
♦
px
Q
z a s a u n la d o d el p u n -
"
i
\
pil-X )
Fig. 3 9
to Q (fig. 3 9 ). C a lcu le m o s
p rim ero la a c c ió n d e la s fu e rz a s a la iz q u ie rd a d el p u n to Q . A u n a
pl
d ista n cia x d el p u n to Q la fu erz a — a c tú a s o b r e la v ig a d e a b a jo
h a cia a rrib a g e n e ra n d o u n m o m e n to n e g a tiv o , a la v e z q u e la fu erz a
x
p x , q u e a c tú a so b re la v ig a d e arrib a h acia a b a jo a u n a d is ta n c ia —
103
C a p ítulo 1. C o n s tru cció n y solución d e m odelos diferenciales
d e l p u n to Q , g e n era u n m o m e n to p o sitiv o . A sí, e l m o m en to flecto r
re su lta n te e n e l p u n to Q es
S i to m a m o s la a c c ió n d e la s fu e rz a s a la d e re ch a d el p u n to Q ,
l —x
e n to n c e s a u n a d is ta n c ia ——
d e l p u n to Q , so b re la v ig a actúa
u n a fu erza p (l - i ) d e a rrib a h acia a b a jo g e n e ra n d o u n m o m en to
pl
p o sitiv o , m ie n tra s q u e la fu erz a — , q u e a c tú a so b re la v ig a d e ab ajo
h a cia a rrib a a u n a d ista n cia l - x d e l p u n to Q , g en era un a m o m en to
n e g a tiv o . El m o m e n to fle c to r re su lta n te e s
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l —x
vi
vx2
p lx
M (x ) = p (l - x ) —
- V
- ( l - x) =
- V
— .
(106)
C o m o se ap re cia e n la s fó rm u la s (105) y (1 0 6 ), lo s m o m e n to s flectores
so n ig u a le s en a m b o s ca so s. S a b ie n d o y a c ó m o se ca lc u la e l m o m en to
flecto r, p o d e m o s e sc rib ir la ecu a ció n fu n d a m en ta l (104) p ara n u estro
caso:
(107)
T en ien d o p re se n te q u e la v ig a n o s e flex io n a e n s u s e x tre m o s O y A ,
p a ra re so lv e r la ecu a ció n d iferen cia l (107), e s d ecir, p ara h a llar y
u tiliz a re m o s las c o n d ic io n e s en lo s e x tre m o s d e la viga:
y =
0
p a ra
x =
0
e
104
y =
0
p a ra
x = 1.
20. Transpone d e m adera
In teg rand o (107) y h acien d o uso d e la s co n d icio n es e n lo s extrem o s
de la v ig a , ob ten em os
y = 2¿ 7 (l 4- 2' l3 + í3l)-
(108)
La ecu a ció n (108) e s la ecu a ció n d e la línea elá stica . E n la s ap licacion es
prácticas la fórm u la (108) se usa p ara calcu la r la flex ió n m áxim a de
la viga. E n e ste ejem p lo co n cre to , v alién d o n o s d e la sim etría del
problem a hallam os q u e la flexión m áxim a se d a c u a n d o z =
igua| a
d o n d e E = 21 • 10 5
y es
J = 3 - 10 4 cm 4 .
1 Transporte de m adera
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A l tran sp ortar tro n co s d e árb o les d e sd e lo s a serra d ero s h asta las
em p resas m ad ereras, lo s v eh ícu lo s tran sp ortad ores p a sa n o b lig ato ­
riam ente p o r cam in os forestales. C o m ú n m en te e l an ch o d e u n cam in o
forestal n o p erm ite e l p aso d e m ás d e u n v eh ícu lo . C o n e l fin d e
que p u ed a n pasar d o s v e h ícu lo s q u e se m u ev en al en cu en tro , en
e l cam in o se co n stru y en v a ria s v ía s m u ertas. E lu d am os la p regu nta
acerca d el h o rario ó p tim o d e tra b a jo q u e g aran tiza q u e lo s v eh ícu lo s
que van y v ien en se en cu en tren p recisam en te e n las v ías m uertas,
y d ed iq u ém o n o s a e sta b lece r cu á n a n ch as d e b e n se r las cu rv a s y q u é
tray ectoria d e b e se g u ir e l ch o fe r e n las cu rv a s p ara q u e p u e d a trans­
portar, p o r ejem p lo , tron cos d e treinta m etro s d e lon g itu d . A l m ism o
tiem po, vam os a su p o n er q u e la ca p a cid a d d e m a n io b rab ilid ad d el
veh ícu lo e s su ficien te p ara q u e se p u ed a d esp la z a r c o n facilid ad en
tram os d e ca m in o bastan te lim itados.
105
C apítulo 1. Construcción y solución d e m odelos diferenciales
C o m ú n m en te, un veh ícu lo tran sp ortad or de m adera se co m p o n e de
un tractor y de un rem olq u e, los cu ales están en gan ch ad os d e tal
m an era q u e p u ed en g irar librem ente u n o respecto al otro. El tractor
tien e u n e je d elan te ro lib re y d o s e je s traseros fijo s, so bre lo s cuales
se instala u n so p o rte q u e g ira lib rem en te so bre su p ropio eje e n un
p la n o horizon tal, y cu y a fu n ció n e s so sten er lo s tron cos p o r uno de
lo s extrem os. El rem olque, su je to al tractor m ed ian te u n eje, posee
só lo d o s e je s traseros fijos y u n so p o rte sim ilar a l d el tractor para
su je ta r e l seg u n d o e x trem o d e lo s troncos. El chasis d el rem olque
co n sta d e d o s tu b o s m etálicos, uno d e lo s cu ales p u ed e en trar e n el
otro , p erm itien d o d e esta m anera que la longitud del chasis cam bie
d u ra n te e l m ov im ien to y q u e e l tractor y e l rem olque se m uevan
ind ep en d ien tem en te. En la figura 4 0 se ilustra el esquem a d e un
veh ícu lo co m o e l q u e acab am o s d e describir. En el esq u em a, los
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S
p u n to s A y B
R
rep resen tan lo s ejes de g iro d e lo s d o s soportes,
situ ad os a u n a d istan cia h u n o del otro . M ed iante X Y denotam os
lo s tron cos de á rb o l (p ara ello s A X = \ h). E l p u n to C ind ica e l eje
q u e u n e e l tractor co n e l rem olque, sien d o A C = a h (usualm ente
a = 0 ,3 y e n e l ca so m ás sim p le, a = 0 ). A dem ás, F F e s e l eje
d elan te ro d el tractor, P P , Q Q son su s e je s traseros, y R R , S S son
106
I
2 0 . T ra n sp o rte d e m a d e ra
lo s e je s d e l re m o lq u e . T o d o s lo s e je s t ie n e n la m ism a lo n g itu d 2 L .
S u p o n g a m o s q u e e l a n c h o d e l v e h íc u lo ta m b ié n e s ig u a l a 2 L .
F in a lm e n te , a s u m ire m o s q u e e l a n c h o d e la p a r te tra s e r a d e la c a rg a
e s 2 W . M á s a d e la n te n e c e s ita r e m o s e l c o n c e p to d e en v e r g a d u r a d e
ca rg a d el v e h íc u lo . C o m ú n m e n te s e d e fin e la e n v e r g a d u r a d e c a rg a
c o m o la d e s v ia c ió n m á x im a d e su p a r te tra s e r a (d e l p u n to X
d el
e s q u e m a ) re s p e c to a la tr a y e c to r ia d e l v e h íc u lo . C o n s id e r e m o s q u e
e l a n c h o d e l c a m in o e s 2 f3 h y la s c u r v a s t ie n e n la fo rm a d e un
a r c o d e c irc u n fe re n c ia d e ra d io — y c e n tr o e n e l p u n to O (fig . 41).
P a ra s im p lific a r a s u m ire m o s q u e el
v e h íc u lo c a r g a d o d e tro n c o s en tra
e n la c u rv a d e ta l m a n e ra q u e e l
tr a c to r y e l re m o lq u e s e e n c u e n ­
tra n e n lín e a re c ta , y e l e je d el
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s o p o r te d e la n te ro (p u n to A ) e stá
e x a c ta m e n te s o b r e la lín e a m e d ia
d e l c a m in o . C o m o se a p re cia en
la fig u ra 4 1 , e l p u n to A e stá d e ­
te rm in a d o p o r e l á n g u lo
x
q ue
fo rm a e l tr a c to r A C c o n la d ir e c ­
ció n in ic ia l. D e fin a m o s u n siste m a
d e c o o rd e n a d a s c a rte s ia n a s re c ta n ­
g u la r e s O x y d e m a n e ra q u e e l eje
d e la s a b s c is a s se a p a ra le lo a la d ir e c c ió n in icia l e s c o g id a . D e n o te m o s
c o n 0 e l á n g u lo q u e fo rm a al h a z d e tro n c o s c o n la d ir e c c ió n in ic ia l.
P o r ú ltim o , re p re s e n ta n d o c o n u a l á n g u lo B A C
e n la fig u ra 4 1 ,
o b te n e m o s q u e u = x ~ 0- G e n e r a lm e n te e l á n g u lo u s e c o n o c e c o n e l
n o m b r e d e á n g u lo d e re tra so d e l v e h íc u lo . E l s e m ia n c h o r e q u e r id o p h
d e l c a m in o s e d e n o m in a s e m ia n c h o d e l c a m in o en e l la d o ex terio r
d e la cu rv a. E s te s e m ia n c h o d e te r m in a la e n v e r g a d u r a d e c a r g a d e l
107
C a p ítu lo 1. C o n stru cció n y so lu ció n d e m o d e lo s d ife re n cia le s
v e h íc u lo e n la cu rv a y e s ig u a l a la s u m a a lg e b ra ica O X - O A + W .
E l s e m ia tic h o d e l c a m in o en e l la d o in ter io r d e la cu rva e s la su m a
a lg e b ra ic a O A + L - O P , d o n d e O P e s la d ista n cia d e s d e e l p u n to O
h a s ta A B .
S u p o n g a m o s q u e c u a n d o e l v e h íc u lo s e d e sp la z a la s lla n ta s n o
re s b a la n h a c ia lo s la d o s o q u e , e n c a so c o n tra rio , la d e sv ia c ió n
e s m u y p e q u e ñ a . E sta co n d ic ió n g a ra n tiz a q u e la lín e a m e d ia del
tra c to r A C s e a ta n g e n te al a rc o d e la c ircu n fe re n cia e n e l p u n to A
y, p o r lo ta n to , O A s e a p e r p e n d ic u la r a A C y e l á n g u lo \ q u e d e
d e fin id o to d o e l tie m p o p o r e l m o v im ie n to d e l p u n to A so b re e l
a rc o d e la c ircu n fe re n cia . A l c o n stru ir lo s c a m in o s , la cu rv a tu ra
d e la s c u r v a s e stá d e te r m in a d a p o r e l á n g u lo N co rre s p o n d ie n te
a u n a lo n g itu d d e a rc o d e la c u rv a a p ro x im a d a m e n te ig u a l a 3 0 m .
D e a c u e rd o c o n la n o ta c ió n q u e h e m o s a d o p ta d o ,
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180° 3 0 a
N = ----------- ,
7T
(109)
h
d o n d e h s e m id e e n m e tro s. P o r e je m p lo , p ara fc = 9 m y a = 0,1
re s u lta N «
1 9 ° . S i h = 12 y a = 1,0 , e n to n c e s N ~ 1 4 2 °. C o m o
in d ic a la p rá c tic a , s e d e b e n c o n s id e ra r s o la m e n te lo s v a lo re s d e a
q u e s a tis fa g a n la c o n d ic ió n
0
< a <
1,
p e r o ta n c e r c a n o s a
1
co m o
se p u e d a , c o n e l fin d e a u m e n ta r la p o sib ilid a d d e m a n io b ra b ilid a d
d e l v e h ícu lo .
La lo n g itu d Ah d e c a d a tro n co e s m a y o r q u e h , p ero p artien d o
n u e v a m e n te d e c o n s id e ra c io n e s p rá c tica s, n o d e b e su p e ra r 3 h . A sí,
lo s v a lo re s d e A sa tisfa ce n la co n d ic ió n 1 < A < 3 . E n c u a n to a la
c o n s ta n te a , se s u p o n e q u e 0 ^ a < 0 ,5 . F in a lm e n te , la m a g n itu d
d e h d e p e n d e d e c a d a c a s o c o n c re to , a u n q u e v a ría d e n tro d e los
lím ite s 9 - 1 2 m .
108
20. Transporte d e m adera
P u esto q u e la s llan tas d el tra cto r n o resb alan late ra lm e n te , las
co o rd e n a d a s d el p u n to A en la fig u ra 41 son
x = - se n X/
y = - eos
y las del p u n to B son
h
X = — se n \ - n e o s d,
110)
(
Y = - e o s y + h se n 6.
Q
C o m o las lla n ta s d el rem o lq u e ta m p o co resb alan , e l p u n to B
se
m u ev e e n la s d irecció n B C y
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dY
(1U )
3(La? = - * g *
d ond e ^ e s e l á n g u lo q u e fo rm a B C c o n la d ire cció n in icia l. C on
a y u d a d e la ig u ald ad \
u +
0 / d el
trián g u lo ¿ B C o b te n e m o s las
iguald ad es
sen ( x - V») _
h
donde 0 <
6
sen (0 - V») _
ah
se n u
bh
'
< 1 y lo s á n g u lo s ip ,0 y u so n fu n cio n e s d e X-
V aliénd on os d e (110) y (111), o b te n e m o s
C a p ítu lo 1. C o n s tru cció n y so lu ció n d e m odelos d iferenciales
S im p lific a n d o la ú ltim a ig u a ld a d resu lta
de
s e n ( X -1 > ) = a — c o s ( 9 - i P ) .
dX
S u stitu y e n d o
(113)
d e (1 1 2 ) e n la ecu a ció n (113) y te n ie n d o p re se n te la
ig u a ld a d % = u + 0 y q u e 6 = 0 p a ra x =
0,
lle g a m o s a la ecu ació n
d ife re n c ia l6)
£
dx
. i -
„ " n “
,
a(l-acostí)
c o n l a co n d ic ió n in icia l u (0) = 0 . E n esta e cu a ció n , e l á n g u lo de
retra so u c u m p le e l p a p e l d e fu n ció n incó g nita.
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L a e c u a c ió n d ife re n cia l (1 1 4 ) s e p u e d e in teg ra r c o n a y u d a d e l cam b io
u
d e v a ria b le tg -
= v , p ero la rela ció n e n tre la s v a ria b le s u y X q ue
s e o b tie n e e n la re sp u e sta e s ta n co m p leja q u e e l a n á lisis sig u ien te
s e d ific u lta co n sid e ra b le m e n te . P o r esta ra z ó n , s e rec o m ien d a u tilizar
a lg ú n m é to d o n u m é ric o d e re so lu ció n p a ra o b te n e r u n a so lu ció n ,
a u n q u e sea a p ro x im a d a 7'.
E n la fig u ra 4 2 se m u e stra n lo s g rá fico s d e la so lu c ió n co rre sp o n d ie n ­
te s a d ife re n te s v a lo res d e a ( a = 0 ,3 ). E n e llo s s e v e c ó m o v a ría el
h)
T a y le r A B . T h e S w e e p o í a L o g g i n g T r u c k / / M a t h . S p e c t r u m . 1 9 7 4 - 1 9 7 5 . V. 7 , N® 1.
P. 1 9 -2 6 .
^ N . d e l T. E n e l o r i g i n a l e n r u s o e l a u t o r r e s u e l v e la e c u a c i ó n ( 1 1 4 ) p o r e l m é t o d o d e
R u n g e — K u t t a d e s e g u n d o o r d e n , u t i l i z a n d o p a r a e l l o la c a l c u l a d o r a " E L E K T R O N 1 K A
B Z - 3 4 " . E n l u g a r d e e s t o , s e p u e d e h a c e r u s o d e a l g u n o d e lo s p r o g r a m a s m a t e m á t ic o s
d is p o n ib le s e n e l m e r c a d o , ta le s c o m o M A P L E , M A T H E M A T 1 C A , e tc é te r a .
110
2 0 . T ra n sp o rte d e m a d e ra
I
á n g u lo d e re tr a s o u r e s p e c to a l á n g u lo x - P a ra u n a m e jo r ilu s tra c ió n ,
se h a n to m a d o e s c a la s d ife r e n te s e n lo s e je s u y
F ig . 4 2
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H a lle m o s a h o ra la e n v e rg a d u ra d e c a rg a d e l v e h íc u lo , e m p le a n d o
p a ra e llo e l s e m ia n c h o d e l c a m in o e n e l la d o e x te r io r d e la c u rv a ,
e l c u a l, c o m o v im o s , e s ig u a l a la s u m a a lg e b r a ic a O X - O A + W
(fig. 4 1 ). H a lle m o s a n te to d o
OX2=
sen x - X h c o s B ^
+ ^
e o s x + Afc s e n 0 ^
=
= ',2( ¿ +A2- 2í sen“)D e a q u í se d e d u c e q u e la e n v e rg a d u ra d e c a rg a d e c r e c e c o n e l a u m e n ­
to d e
x» ya
9 u e c r e c e e l á n g u lo d e re tr a s o t í . C o n s ig u ie n te m e n te , e l
s e m ia n c h o m á x im o d e l c a m in o (3h s e c a lc u la c o n la fó rm u la
C a p ítu lo 1. C o n s tru cció n y so lu ció n d e m o d e lo s d iferenciales
L a s lín e a s c o n tin u a s e n la fig u ra 4 3 c o rre s p o n d e n a lo s d ia g ra m a s
W
q u e re la c io n a n la s v a ria b le s P - —
y a p a ra d ife re n te s v a lo re s d e A.
L a s lín e a s d is c o n tin u a s m u e stra n c u á l d e b e s e r e l v a lo r d e p -
L
—
h
'- 7
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p a ra o b te n e r la " h o lg u r a " n e ce sa ria e n e l la d o in te rio r d e la cu rv a.
A d e m á s , e n c u a lq u ie r p o sició n q u e o c u p e e l v e h ícu lo e n la cu rv a
d e b e v e rific a rse la co n d ició n
1
L
1
L
P = - ( 1 - eo s u) + — < —(1 - eo s C ) + — ,
a
h a
h
(115)
d o n d e C e s e l v a lo r lím ite d e la so lu ció n . E l n ú m e ro C se halla
a p a rtir d e la c o n d ició n
a ( l — a e o s C ) = se n C ,
2 0 . T ra n sp o rte d e m adera
q u e c o n d u c e a la fó rm u la
q f l -
d y /l
-
o 2 +
a 2o 2 )
C = a r c s e n --------------------
r - r ----------- .
1 + a 2a 2
D a d o q u e e l v a lo r d e C d e c re c e a l d is m in u ir a , e n to n c e s e n e l c a s o
sim p le, c u a n d o e l v e h íc u lo c o n s ta d e u n a s o la p ie z a ( a =
0 ),
el
án g u lo d e re tra s o e s m á x im o , y d e la c o n d ic ió n (1 1 5 ) h a lla m o s
L
_
1
f 3 - Th < -a U - c o s C )
o=o ~~
1-
v/T^á1
a
F in a lm en te , v e a m o s la s c o n c lu s io n e s q u e s e in fie re n d e lo s ra z o n a ­
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m ien to s e x p u e s to s h a sta e l m o m e n to . P rim e r o q u e to d o , p a s e m o s a
u n c a so típ ic o q u e ilu stra lo s re s u lta d o s o b te n id o s.
S i la d is ta n c ia e n tr e lo s s o p o r te s d e lo s tro n c o s e s ig u a l a 1 2 m y e l
v e h ícu lo p a sa p o r u n a c u rv a e n fo rm a d e a rc o d e c irc u n fe re n c ia d e
60 m d e ra d io , e n to n c e s a = 0 ,2 y , e n v ir tu d d e la fó rm u la (1 0 9 ),
la cu rv a e s d e a p ro x im a d a m e n te 2 8 ° . S i b a jo e s ta s c o n d ic io n e s el
a n c h o d e l v e h íc u lo e s 2 ,4 m y e l a n c h o d e la p a rte p o s te r io r d e l h a z d e
tro n co s e s
1,2 m ,
e n to n c e s , d a d o q u e lo s tro n c o s tie n e n u n a lo n g itu d
d e 2 4 m (u n e x tre m o d e l h a z re p o sa s o b r e e l s o p o r te d e la n te ro ),
W
c o n c lu im o s q u e A = 2 , —
h
L
= 0 ,0 5 y — = 0 , 1 . A s í, d e la fig u ra 4 3 se
h
in fiere q u e p ara to d o v a lo r d e a s e tie n e q u e (3 = 0 ,4 5 p a ra e l la d o
e x te rio r d e la c u r v a y (3 = 0 ,2 p a ra e l la d o in terio r. T e ó ric a m e n te ,
e l se m ia n c h o n e c e sa rio d e l c a m in o e n e l la d o e x te r io r d e la cu rv a
e s 5 ,4 m y e n e l la d o in te rio r e s 2 ,4 m . S i lo s tro n c o s m id e n 1 4 ,4 m
d e lo n g itu d a p a rtir d e l s o p o r te d e la n te ro y e l a n c h o d e l e x tre m o
p o s te rio r d e l h a z d e tro n c o s e s ig u a l a 1 ,8 m , e n to n c e s A = 1,2 .
C a p ítulo 1. C on stru cció n y solución d e m odelos diferenciales
E l v a lo r d e p e n e s te c a s o e s igual a 0 ,2 2 p ara lo s la d o s e x te rio r e
in te rio r d e la cu rv a . P o r esto , e l sem ian ch o n e ce sa rio d el ca m in o en
e l la d o e x te rio r d e la cu rv a e s ig u al a 2 ,6 4 m y e n el lad o interior,
co m o su c e d ió e n e l c a so a n terio r, a 2,4 m . D e e sto s razo n a m ien to s se
d e d u ce q u e m ien tra s m ás larg a sea la ca rg a , m á s a n c h o d eb erá se r el
ca m in o e n la s cu rv a s. En p articular, co m p a ra n d o lo s d o s ca so s recién
ex a m in a d o s v em o s q u e u n a u m en to d e la lon g itu d d e lo s tro n co s
en 9 ,6 m e x ig e u n a u m e n to d el a n c h o d e las c u rv a s en 2 ,7 6 m para
q u e e l c h o fe r p u e d a co n d u cir e l v eh ícu lo e n la cu rv a sig u ien d o una
lín e a cu y a lo n g itu d e s a p ro x im a d a m en te igual a la lo n g itu d d e la
lín e a m e d ia d el ca m in o . La p rá ctica d em u estra q u e para un ch o fe r
co n p o ca e x p e rie n cia e l a n c h o total d el ca m in o en la cu rv a d e b e se r
d e 1 0 ,8 m c o m o m ín im o (p ara u n a ca rg a d e 2 4 m d e lon g itu d y un
a n c h o d e l v e h ícu lo ig u a l a 2 ,4 m ).
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La teoría d esa rro lla d a a q u í m u estra q u e la m áxim a e n v erg a d u ra d e
la ca rg a s e o b tie n e c u a n d o e l v eh ícu lo en tra e n la cu rv a, y a q u e p re­
cisa m e n te e n e s te m o m e n to e l á n g u lo d e retraso au m en ta. La m ism a
a firm a ció n e s v á lid a en u n p u n to d e in flexió n cu a n d o e l v eh ícu lo
p a sa e n z ig z a g d e u n a cu rv a a otra. L o s resu lta d o s ilu strad o s e n la
fig u ra 4 3 c o rre sp o n d e n a l ca so e n q u e el tractor y e l rem o lq u e están
e n lín ea recta a n te s d e e n tra r e n la cu rv a . P ero si h a y un á n g u lo inicial
d e retra so C 0 d e b id o a u n zig zag d e la cu rv a, e n to n ce s la co n d ició n
in icia l e n la e cu a ció n d iferen cia l (114) d e b e te n e r la fo rm a u (0) = - C 0 .
E n e s t e c a so , e l a n c h o n e ce sa rio d e l ca m in o se halla co n la fórm ula
D esta q u e m o s q u e e n e l c a s o d e u n rem o lq u e sim p le, o sea, cu an d o
a = 0 , e s im p o sib le v e n c e r la cu rv a si o
114
> 1. S in em b arg o , pa-
2 0 . T ra n sp o rte d e m adera
ra valores relativamente grandes de a el parámetro a ya puede
tomar valores mayores que 1, siempre que satisfagan la igualdad
a ( l - a cos C ) = sen C . Así pues, a tiene el valor máximo
.
v i -
a2
y para el valor práctico extremo a = 0,5 tenemos a = 1,25.
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A modo de conclusión, señalemos que para los valores de a mayores
que 0,5 es posible lograr una economía considerable del ancho del
camino aumentando el valor de a (fig. 43), y para una carga tal que A
sea no mucho mayor que A = 1, el valor de a se elige de manera
que el semiancho requerido del camino en el lado interior de toda
curva siempre sea menor que en el lado exterior.
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CAPÍTULO 2
Métodos cualitativos
de análisis
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de modelos
diferenciales
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En la primera parte del libro formulamos algunos problem as y
construimos sus m odelos diferenciales. Y gracias a que pudim os
integrar las ecuaciones diferenciales obtenidas, logram os responder
satisfactoriamente a las preguntas planteadas. Sin embargo, com o se
indicó en el prólogo, la gran mayoría de las ecuaciones diferenciales
no pueden se integradas mediante funciones elementales. Por esta
razón, al examinar muchos m odelos diferenciales de fenóm enos y
procesos reales, es necesario recurrir a m étodos que proporcionen
la información necesaria a partir de las propiedades de la ecuación
diferencial, sin tener que resolverla.
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En este capítulo mostraremos ejem plos concretos de aplicación de
los procedimientos y métodos elem entales de la teoría cualitativa de
las ecuaciones diferenciales ordinarias a la resolución de problemas
prácticos.
1. Curvas a lo largo de las cuales
la dirección de la aguja
m agnética no varía
En los procesos de integración cu alitativ a, cuya esencia consiste en
esclarecer el com portamiento de las soluciones de las ecuaciones
C a p ítu lo 2. M é to d o s cu a lita tivo s d e análisis d e m o d e lo s d ife re n cia le s
d ife re n c ia le s o r d in a r ia s , a v e c e s resu lta p ro v e c h o so u tiliz a r u n a p ro ­
p ie d a d c o m ú n d e la s e c u a c io n e s d ife re n c ia le s , a n á lo g a a la p ro p ied a d
q u e p o s e e e l c a m p o m a g n é tic o e n la su p e rfic ie d e la T ie rra : so b r e
la s u p e r fic ie terrestre s e p u e d en in d ic a r cu rv a s a lo la r g o d e la s cu ales
la d irec c ió n d e la a g u ja m a g n ética e s con stan te.
A n a lic e m o s la e c u a c ió n d ife re n c ia l o rd in a ria d e p rim e r o rd en
d o n d e la fu n c ió n / e s u n ív o c a y c o n tin u a re s p e c to a la s v a ria b les
x e y e n cie rta re g ió n D d e l p la n o ( x , y ) . La e c u a c ió n d ife re n c ia l (116)
le a s ig n a a c a d a p u n to M ( x , y ) d e l d o m in io D d e la fu n c ió n f
el
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v a lo r ~
dx
, e s d e cir, la p e n d ie n te K d e la ta n g e n te a la c u rv a in te g ra l
e n e l p u n to M ( x , y ) . E n v ista d e e s to , s e d ic e q u e la e c u a c ió n
d ife re n c ia l (1 1 6 ) d e te r m in a u n a d irec c ió n o e lem en to lin e a l e n tod o
p u n to M ( x , y ) d e la re g ió n D . E l c o n ju n to d e to d o s lo s e le m e n to s
lin e a le s e n D s e c o n o c e c o n e l n o m b re d e c a m p o d irec c io n a l o ca m p o
d e ele m e n to s lin e a le s . G rá fic a m e n te , u n e le m e n to lin e a l s e p u e d e
re p re s e n ta r m e d ia n te u n s e g m e n to (d e l q u e M ( x , y ) e s u n p u n to
in te rio r) c u y o á n g u lo 0 c o n la d ir e c c ió n p o sitiv a d e l e je x sa tisfa ce la
re la c ió n K = tg 6 = / ( x , y ). D e a q u í s e in fie re q u e , g e o m é tric a m e n te ,
la e c u a c ió n d ife re n c ia l (1 1 6 ) e x p r e s a e l h e ch o d e q u e la d irec ció n d e la
ta n g en te c o in c id e c o n la d e l c a m p o en c a d a p u n to d e la cu rv a in teg ral.
L o s c a m p o s d ir e c c io n a le s s e p u e d e n c o n stru ir c o n a y u d a d e iso clin a s
(d e l g rie g o is o s — ig u a l, y k lin o — in c lin a r), las c u a le s so n c o n ju n to s
de
p u n to s d e l p la n o
( x , y ) e n lo s q u e la d ir e c c ió n d e l ca m p o
d e te r m in a d o p o r la e c u a c ió n d ife re n cia l (1 1 6 ) p e r m a n e c e c o n sta n te .
E n e l c a s o d e l c a m p o m a g n é tic o e n la s u p e rfic ie te rre s tr e , u n a iso clin a
120
1. C u rvas e n la s q u e la d ire c c ió n d e la a g u ja m a g n é tic a n o varía
e s u n a c u rv a a lo la r g o d e la c u a l la d ir e c c ió n d e la a g u ja m a g n é tic a
s e m a n tie n e in v a ria b le .
L a fa m ilia d e is o c lin a s d e la e c u a c ió n d ife r e n c ia l (1 1 6 ) e s tá d a d a p o r
la e c u a c ió n
f( x , y) = v,
d o n d e v e s u n p a rá m e tro re a l v a ria b le .
C o n o c ie n d o la s is o c lin a s d e u n a e c u a c ió n d ife re n c ia l p o d e m o s o b te n e r
u n a in fo r m a c ió n a p ro x im a d a d e l c o m p o r ta m ie n to d e s u s c u r v a s in te ­
g ra le s . E x a m in e m o s , p o r e je m ­
p lo , la e c u a c ió n d ife re n c ia l
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n o in te g ra b le m e d ia n te fu n c io ­
n e s e le m e n ta le s . L a fam ilia
x 2 + y2 = v
[y > 0 )
d e is o c lin a s d e la e c u a c ió n d a ­
d a e s tá c o n s titu id a p o r c ir c u n ­
fe re n c ia s c o n c é n tr ic a s d e l p la n o
( x , y ) , d e ra d io s y /v y c e n tro s
e n e l o r ig e n d e c o o rd e n a d a s . La p e n d ie n te d e la ta n g e n te a c a d a
c u r v a in te g ra l e n to d o p u n to d e to d a iso c lin a e s ig u a l a l c u a d r a d o
d e la lo n g itu d d e l ra d io d e d ic h a is o c lin a . E sta in fo r m a c ió n e s s u fi­
c ie n te p a ra h a c e m o s u n a id e a s o b r e e l c o m p o r ta m ie n to d e la s c u r v a s
in te g r a le s d e la e c u a c ió n d ife re n c ia l e x a m in a d a (fig . 44).
G ra c ia s a q u e e s t e e je m p lo e s
b a s ta n te s e n c illo h e m o s lo g r a d o
e s ta b le c e r s in m u ch a d ific u lta d c ó m o s e c o m p o r t a n la s s o lu c io n e s
121
C a p ítu lo 2. M é to d o s cualitativos d e análisis d e m o d e lo s d ife re n cia le s
d e la e c u a c ió n d ife re n c ia l; p e r o a u n e n c a s o s d e e c u a c io n e s m ás
c o m p lic a d a s p u e d e re s u lta r ú til c o n o c e r s u s iso clin a s.
V e a m o s a h o ra u n m é to d o g e o m é tric o d e in te g ra c ió n d e la s e cu a cio n e s
d ife re n c ia le s d e l tip o (1 1 6 ), m é to d o q u e e stá b a s a d o e n la s p ro p ie d a d e s
g e o m é tric a s d e la s cu rv a s
f ( x , y ) = 0,
<J0)
T o d o s lo s p u n to s d e las c u r v a s c o n iso clin a s n u la s d e fin id a s p o r la
dy
e c u a c ió n (/„) c u m p le n la c o n d ic ió n —
dx
= 0 . E s to sig n ific a q u e lo s
p u n to s d e d ic h a s c u r v a s b ie n p o d ría n s e r p u n to s d e m á x im o o de
m ín im o d e la s c u r v a s in te g ra le s d e la e c u a c ió n d ife re n cia l in icial.
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É sta e s p re c is a m e n te la ra z ó n p o r la q u e v a le la p en a a n a liz a r p o r
s e p a r a d o e l c o n ju n to d e iso clin a s n u la s.
C o n e l fin d e m e jo ra r la a p ro x im a c ió n e n la c o n stru c c ió n d e las
c u r v a s in te g ra le s s e s u e le h a lla r ta m b ié n e l c o n ju n to d e s u s p u n to s
d e in fle x ió n (si e s q u e e x iste n ). C o m o s e sa b e , lo s p u n to s d e in flexió n
s e d e b e n b u s c a r h a c ie n d o u s o d e la co n d ic ió n y " = 0 . D e riv a n d o la
e c u a c ió n (1 1 6 ) y d e s p e ja n d o y ", s e o b tie n e
„
d/(x.y) . d f(z ,y ) ,
df(x,y)
d j { x , y ) st
v
v =~ár~+~ á ry =s r - +- n r nx'y)E sto in d ic a q u e la s lín e a s d a d a s p o r la e c u a c ió n ( L ) s o n la s p o sib les
lín e a s d e p u n to s d e in f le x ió n 1*. E n p a rticu la r, s e d e d u c e q u e tod o
]) E s t a m o s s u p o n i e n d o q u e l a s c u r v a s i n t e g r a l e s q u e l l e n a n c ie r t a r e g ió n p o s e e n la
p r o p i e d a d d e q u e p o r c a d a p u n t o d e d i c h a r e g i ó n p a s a u n a s o l a c u r v a i n t e g r a l.
122
1. C u rvas e n la s q u e la d ire c c ió n d e la a g u ja m a g n é tic a n o varia
p u n to d e in fle x ió n d e u n a cu rv a in teg ra l e s u n p u n to d e ta n g en cia d e
la cu rv a in teg ra l c o n u n a iso clin a .
L a s c u r v a s d e e x tre m o s (d e p u n to s d e m á x im o o m ín im o ) y d e p u n to s
d e in fle x ió n d e la s c u r v a s in te g ra le s d iv id e n e l c a m p o d e d e fin ic ió n
d e la fu n c ió n f
e n s u b r e g io n e s S v S2, ■•• , S m d o n d e la p rim e ra y
se g u n d a d e riv a d a s d e la s o lu c ió n d e la e c u a c ió n d ife re n c ia l tien en
sig n o s d e te r m in a d o s . E n c a d a c a s o c o n c re to , h a lla n d o e s ta s r e g io n e s
p o d e m o s c o n s tr u ir u n e s q u e m a d e l c o m p o rta m ie n to d e la s c u r v a s
in te g ra le s.
C o m o e je m p lo , c o n s id e re m o s la e c u a c ió n d ife re n c ia l y' = x + y .
La e c u a c ió n c o rre s p o n d ie n te d e la c u rv a ( J 0) e s x + y = 0 , ó y = - x .
C o m p r o b a n d o d ir e c ta m e n te v e m o s q u e la c u rv a (J 0) n o e s u n a cu rv a
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in te g ra l. E n c a m b io , la cu rv a ( L ), cu y a e c u a c ió n e s y + s + l = 0 ,
s í e s u n a cu rv a in te g ra l d e la e c u a c ió n d a d a y, p o r ta n to , n o e s u n a
lín e a d e p u n to s d e in flexió n .
L a s re c ta s ( J 0) y ( L ) d iv id e n e l p la n o ( x , y ) e n tr e s su b r e g io n e s
(fig . 4 5 ): la re g ió n 5 , (y ' > 0 , y" > 0 ) a la d e re c h a d e la re c ta ( J 0 ) ; la
r e g ió n S 2 (y' < 0 , y" > 0 ) e n tre la s re c ta s ( I 0) y ( L ) , y la re g ió n S 3
(y 1 < 0 , y" < 0 ) a la iz q u ie rd a d e la re c ta ( L ). L o s p u n to s d e la re c ta
(/0) so n p u n to s d e m ín im o d e la s c u r v a s in te g r a le s . A la d e re c h a
d e (J 0) la s c u r v a s in te g r a le s cre c e n y a la iz q u ie r d a , d e c re c e n (e n la
fig u ra 4 5 d e iz q u ie rd a a d e re c h a ). N o h a y p u n to s d e in fle x ió n . A la
d e re c h a d e la re c ta ( L ) la s c u rv a s so n c o n v e x a s h a c ia a b a jo , y a la
iz q u ie r d a , c o n v e x a s h a c ia a rrib a . E l c o m p o r ta m ie n to g e n e r a l d e las
c u r v a s in te g ra le s s e ilu stra e n la fig u ra 4 5 .
N ó te s e e n e s t e e je m p lo q u e la re c ta in te g ra l ( L ) e s u n a e s p e c ie d e
c u rv a " d iv is o r ia " , p u e s to q u e se p a ra u n a fa m ilia d e c u r v a s in te g ra le s
m
C a p ítulo 2. M éto d o s cualitativos de análisis d e m odelos diferenciales
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d e la o tra . T ales cu rv a s se su elen llam ar separatrices (del térm ino
la tin o separator).
2. ¿N ecesitan lo s ingenieros
los teorem as de existencia
y unicidad?
E n la secció n anterio r, a l re fe rim o s a las isoclin as y líneas d e puntos
d e inflexión su p u sim o s tácitam en te q u e la ecu ación d iferen cial co n si­
d era d a tien e solu ción . La respuesta a la pregu nta so bre la existencia
y la u n icid ad d e las so lu cio n es se en cu en tra en los d en om inad os
teorem as d e existen cia y u n icidad, im p o rtan tes n o só lo e n la teoría,
sin o e n la práctica.
124
2. ¿Necesitan lo s ingenieros los teorem as d e existencia y unicidad?
La im portancia d e lo s teorem as d e existen cia y un icidad rad ica en
q u e n o s d icen si tien e o n o sen tid o a p lica r lo s m éto d o s cu alitati­
vo s d e la teoría de las ecu acion es d iferen ciales en e l p ro ceso de
resolución d e p roblem as co n cre to s (d e las cie n c ia s n a tu rales o de
la técnica) cu y o s m od elos m atem áticos co n tien en ecu acio n es d ife­
renciales; tam b ién son im portantes p o rq u e sirv en d e b a se para la
o b ten ción de n u ev os m éto d o s y teorías. A m enu d o , las d em o stra­
cio n es d e los teorem as d e existen cia y u n icid ad tien en im p lícitos
m éto d o s d e bú squed a aproxim ad a d e las so lu cio n es con cu a lq u ier
g rad o de precisión. P or esto e s q u e lo s teo rem a s d e existen cia y
unicidad ju eg a n u n papel fun dam ental tanto en la teoría cu alitati­
v a d e las ecu acion es d iferen ciales co m o en lo s m éto d o s nu m éricos
d e resolución.
En la actualidad existe u n a g ra n varied ad d e m éto d o s n u m érico s
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d e resolución d e ecu aciones d iferen ciales. A p esar d e q u e estos
m éto d o s tien en el d efecto de q u e cad a v e z q u e se a p lican d a n una
sola solución nu m érica concreta — lo q u e restrin g e su u so — , ello s
so n u tilizad os a m p liam en te e n la p ráctica. Señ alem o s, ad em ás, que
co n e l fin d e e v itar in terp retacio n es y co n clu sio n es erró n ea s en los
p rocesos d e integ ración nu m érica d e las ecu acio n es d iferen ciales, ésta
d eb e e sta r p recedida po r la v erificación d e lo s teorem as d e existen cia
y unicidad.
A ntes d e m ostrar d o s ejem p lo s sen cillo s21 q u e ilu stran y exp lican
lo s co m en ta rio s anterio res, en u n ciem o s u n a d e las v arian tes d e los
teorem as d e existen cia y unicidad.
2)
R oberts C . £ . , Jr, W h y t e a c h e x is t e n c e a n d u n iq u e n e s s t h e o r e m s in t h e f ir s t c o u r s e
i n o r d in a r v d iff e r e n t ia l e q u a t io n s ? / / I n t . J . M a th . E d u c . S c i . T e c h n o l. 1 9 7 6 . V .7 , N o 1.
P 4 1 -4 4 .
125
Capítulo 2. M étodos cualitativos de análisis de modelos diferenciales
Si la fun ción f ( x , y ) de la ecuación (116)
T eo re m a de e xiste n cia .
está defin ida y es continua en cierta región acotada D del plan o (x, y),
entonces para todo pun to (x Q, y 0) 6 D existe una solución y(x) del
p roblem a d e v alores in iciales 31
=
/(*. y)~
» ( * o ) = »o-
<117)
definida en cierto intervalo qu e contiene el punto x 0.
Teorem a d e e x is te n c ia y u n icid a d .
S i en cierta región acotada D
d el p lan o (x , y) la fu n ción f { x , y ) d e la ecuación (116) está definida,
es continua y satisface la condición de Lipschitz
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respecto a la v a riab le y, donde L es una constante positiva, entonces
para todo punto {x0,y 0) £ D existe una única solución y(x) del
p roblem a d e v alores in iciales (117) definida en cierto intervalo que
contiene a l pun to x Q.
T eo re m a d e p ro lo n g a ció n .
Bajo la s condiciones del teorem a de
existencia o del teorem a d e existencia y unicidad, toda solución d e la
ecuación (116) con las condiciones in iciales (x0, y 0) 6 D , pu ede ser
prolon gada hasta un pun to tan cercano com o s e quiera d e la frontera
d e la región D . En el p rim er caso la prolongación no es necesariam ente
unívoca, m ientras qu e en el segundo caso s i lo es.
3)
U n p r o b le m a c o n s is t e n te e n h a lla r la s o lu c ió n d e u n a e c u a c ió n d ife r e n c ia l q u e
s a t is f a g a c ie r ta
condición in icial (e n e s t e c a s o , la c o n d ic ió n y (x o ) = y o ), s e lla m a
problem a d e valores in iciales o problem a d e Cauchy.
126
2. ¿ N e c e s ita n lo s in g e n ie ro s lo s te o re m a s d e e xiste n cia y u n ic id a d ?
A h o ra s í v e re m o s u n e je m p lo . R e s o lv e r e l p ro b le m a d e v a lo re s
in icia le s
y
y
2 / ( - l ) = 0 ,2 1 ,
(1 1 8 )
e n e l in te rv a lo [ - 1 , 3 ] p o r e l m é to d o ite r a tiv o d e E u le r
J/(+i = y i + h j [ x i , y i )
c o n p a s o h = 0 ,1 .
L a e c u a c ió n y 1 =
—
y
sirv e d e m o d e lo d ife re n c ia l, e n tr e o tr o s , al
p ro b le m a q u e s e e x a m in a rá e n la p á g in a 1 4 0 y q u e e s tá re la c io n a d o
a u n siste m a c o n s e r v a tiv o c o n s titu id o p o r u n c u e r p o q u e s e m u e v e
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sig u ie n d o tra y e c to ria s h o riz o n ta le s e n e l v a c ío b a jo la a c c ió n de
re s o rte s lin e a les.
P ara re s o lv e r e l p ro b le m a (118) p o r e l m é to d o d e E u le r se p u e d e
e s c rib ir u n p ro g ra m a e n a lg ú n le n g u a je d e p r o g r a m a c ió n o u tiliz a r
u n o d e lo s m u c h o s p ro g ra m a s m a te m á tic o s d is p o n ib le s e n e l m e rca d o .
E n ú ltim a in s ta n c ia se p u e d e a c u d ir a u n p ro c e s o m a n u a l. E n to d o
c a s o o b te n d r e m o s u n a ta b la c o m o la sig u ie n te :
X
-1 ,0
- 0 ,9
- 0 ,6
- 0 ,5
- 0 ,4
- 0 ,3
-0 ,2
y(x)
0,210
0,686 0,817 0,915 0,992
1,052
1,100
1,136
1,163
X
- 0 ,1
0,0
0,4
0,5
0,6
0,7
y(x)
1,180
1,188
1,137
1,102
1,056
1,000
- 0 ,8
0,1
- 0 ,7
0,2
0,3
1,188 1,180 1,163
127
C a p ítulo 2. M é to d o s cualitativos d e análisis d e m odelos diferenciales
X
o»
y (2 )
0,930
X
1,7
y (*)
-0 ,1 4 6
0,9
1,0
1,1
U
0,844 0,737 0,601 0,418
1,8
1,9
2,0
2,1
1,014 0,837 0,609 0,281
U
1,4
13
1,6
0,131
-0 ,8 5 9
-0 ,6 9 6
-0 ,4 8 0
2,2
23
2,4
-0 ,4 6 5
0,007
-3 1,625
E n la fig u ra 4 6 se ilu stra n lo s resu ltad os.
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R em itám o n o s ah o ra a l teorem a d e ex isten cia . La fun ción f { x , y ) = —
d e l p ro b lem a d e v a lo res in icia les (118) e stá d efin id a y e s co n tin u a en
to d o e l p la n o ( x , y ), sa lv o e n lo s p u n to s d el eje O x . P or co n sig u ien te,
128
2. ¿Necesitan los ingenieros los teorem as de existencia y unicidad?
conform e a l teorem a de existen cia, existe una solución y {x ) del
problem a inicial (118) definida en cierto intervalo que co n tien e al
p u nto £ 0 = —1 ; de acu erd o con e l teorem a de p rolon gación, dicha
solución pu ed e ser prolongad a hasta un valor y(x) cercan o a y {x ) = 0.
El m étodo d e E uler nos perm itió hallar u n a solución del problem a
de valores iniciales (118) en cierto intervalo (a , b) (d ond e a < - 1
y 1 3 < b < 1/4). N o obstante, e l intervalo real d e existen cia d e la
solución del problem a inicial (118) se p u ed e esta b lecer partiend o de
las características concretas d e la ecu ación d iferen cial. D e hecho, por
cu anto la ecu ación e s d e variables sep arables, tenem os
v
X
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Integrand o hallam os la solución
y = v^ l.0441 - z 2.
S e pu ed e apreciar q u e la solución del problem a (118) existe so lam en te
en e l intervalo abierto |x| < >/l,0441 % 1,0218.
D e este m odo, g racias al teorem a de existen cia (y al teorem a de
prolongación) p u d im o s elim in ar e l intervalo d ond e e l problem a
d ad o n o tien e solución. E sto m uestra q u e utilizan do so lam en te
la integración num érica p o d em os llegar a resultados incorrectos.
Lo q u e ocurre en este ejem p lo e s q u e cerca del eje x la pendiente
d e la solución y = y{x ) se aproxim a m u ch o a 180°. A causa de
esto, m ientras la variable ind ependiente x cam bia 0,1 unidad es, la
función y logra " s a lta r " al otro lad o d el e je x y ca e so bre u n a curva
integral d iferente de la inicial. E sto su ced e porque en cad a iteración
129
C a p itu lo 2. M étodos cualitativos de análisis d e m odelos diferenciales
e l m éto d o d e E u ler co n sid era ú nicam ente la pendiente en e l pu nto
analizado.
El eje m p lo sig u ien te e s aú n m ás aleccionador.
R esolver e l problem a d e v alores iniciales
y =
y {-\ ) = - 1
(119)
e n e l intervalo ( - 1 ,1 1 , prim ero p o r e l m éto d o d e E u ler co n paso h = 0,1
y, d esp u é s, p o r e l m éto d o m ejo rad o d e Euler, co n e l m ism o paso.
R ecord em os que la su cesión de aproxim aciones d el m étodo m ejorado
d e E u ler se calcu la co n la fórm ula recurrente
yM=v¡ + hf(xMvy¡+\n>'
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d ond e
.
h J ( * i* y ¡ )
y,-+i/2 = y i + —
2—
‘
La tabla sig u ien te presenta lo s resultad os ob ten id o s p o r el m étodo
d e Euler:
X
- 1 ,0
- 0 ,9
-0 3
- 0 ,7
- 0 ,6
-0 3
-0 ,4
y»(*)
-1 ,0 0 0
-0,7000
-0 ,4 6 0
-0,275
-0,138
-0,04 5
-0,008
X
-0 3
-0 3
-0 ,1
0,0
0,1
03
03
y\(x)
-0 ,0 1 6
0,007
-0,005
0,000
0,000
0,003
0,011
2. ¿ N ecesitan los ingenieros lo s teorem as d e existencia y unicidad?
X
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
yi(*)
0,031
0,068
0,129
0,220
0347
0316
0,732
En la fig u ra 4 7 se p u ed e a p re cia r la so lu ció n a p ro x im a d a d el p ro ble­
m a (118).
L o s c á lcu lo s co rre sp o n d ie n te s a l m é to d o m ejo ra d o d e E u le r se ex p o ­
nen e n la ta b la sig u ien te:
x
-1,0
-0,9
-0,8
-0,7
-0,6
-0 3
-0,4
-1,000 -0,730 -0314 -0,346 -0,219 -0,129 -0,068
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-0,1
0,0
X
-0 3
0,1
-0 3
03
03
yj(*) -0,031 -0,012 -0,004 -0,002 -0,004 -0,013 -0,033
X
0,4
03
0,6
0,7
03
0,9
1,0
in(*) -0,071 -0,133 -0,225 -0352 -0,522 -0,739 -1,010
El g ráfico d e la so lu ció n o b te n id a p o r e l m é to d o m e jo ra d o d e
E u ler se m u estra e n la fig u ra 4 8. U n h e ch o aso m b ro so q u e se
p ercib e in m ed ia ta m en te e s la g ra n d iferen cia e n tr e la s so lu cio n es
rep resen tad a s en las fig u ra s 4 7 y 48.
C o n el o b je to d e a cla ra r la ca u sa d e tal d ife re n cia , in te g re m o s la
ecu a ció n in icia l. S e p a ra n d o las v a ria b les, ten em o s
131
2 . M é to d o s cualitativos d e análisis de m odelos diferenciales
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Í5 2
2. ¿ N ece sita n lo s ingenieros lo s teorem as d e existencia y u n icid a d ?
j v-'/3dr,= J ídi.
3
-1
d e donde
A q u í se v e cla ra m e n te q u e c o n e l m éto d o d e E u ler a p ro x im a m o s la
fu n ció n y , ( i ) = x 3, m ie n tra s q u e c o n e l m éto d o m e jo ra d o d e E u ler,
la fu n ció n
si
a; ^ 0 ,
si
x > 0.
P ero ta n to y , c o m o y 2 s o n s o lu cio n e s d e l p ro b le m a in icia l (1 1 9 ), a s í
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q u e e n e l in terv a lo [1 , - 1 J la so lu ció n d e e s te p ro b le m a n o e s ú n ica.
U tiliz a n d o ah o ra e l te o re m a d e e x iste n cia y u n icid a d , lo p rim e ro q u e
n o ta m o s e s q u e e l p ro b lem a (119) tie n e s o lu c ió n e n c ie r to in te rv a lo q u e
co n tie n e al p u n to x 0 = - 1 , p u e sto q u e la fu n ció n f ( x , y ) = 3 x t y y e s
co n tin u a e n to d o e l p la n o (x , y ). P o r e l teo re m a d e p ro lo n g a c ió n , d ich a
so lu ció n se p u e d e p ro lo n g a r e n u n in terv a lo cu a lq u ie ra . A d em á s,
co m o
^
^
= x y ~ 2^ , la fu n ció n f ( x , y ) = 3 x ^ /y sa tisfa ce la
dy
co n d ició n d e L ip sch itz re sp e cto a la v a ria b le y e n to d a re g ió n q u e n o
co n te n g a p u n to s d e l e je x . S e p u e d e d e m o s tra r q u e la fu n c ió n f ( x , y)
n o sa tisfa ce la co n d ic ió n d e L ip sch itz e n re g io n e s q u e co n tie n e n
p u n to s d e l e je x . R e su m ie n d o , d el teo re m a d e e x iste n cia y u n icid ad
(y d e l teo re m a d e p ro lo n g a c ió n ) se d e d u c e q u e la so lu ció n d el
p ro b lem a (119) s e p u e d e p ro lo n g a r d e m a n era ú n ica , a l m e n o s hasta
e l e je x . S in e m b a rg o , y a q u e la re c ta y = 0 e s u n a so lu c ió n sin g u la r
d e la e c u a c ió n d ife re n cia l y ' = 3 x t y y , a p e n a s y se ig u a le a cero ,
133
2 . M é to d o s cualitativos d e análisis d e m odelos d iferenciales
la so lu ció n d e l p ro b le m a (1 1 9 ) y a n o p o d rá se r p ro lo n g a d a d e m an era
ú n ica m á s a llá d e l p u n to 0 ( 0 , 0 ) .
A s í p u e s, c o n a y u d a d e l teo re m a d e e x iste n cia y u n icid ad (y del
te o re m a d e p ro lo n g a c ió n ) p u d im o s in te rp re ta r co rre cta m e n te lo s
re s u lta d o s d e la a p lic a c ió n d e l m é to d o n u m é ric o d e E u ler. C o n cre­
ta m e n te , c o n c lu im o s q u e só lo e n e l in terv a lo ( - 1 , 0 ] e l p ro b lem a de
v a lo re s in ic ia le s (1 1 9 ) tie n e u n a so lu ció n ú n ica.
3.
In te rp re ta c ió n d in ám ica
de las e cu a cio n e s d ife re n c ia le s
d e se g u n d o orden
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C o n s id e re m o s la e c u a c ió n d ife re n cia l n o lineal
u n o d e c u y o s c a s o s p a rtic u la re s e s la e c u a c ió n d iferen cia l d e seg u n d o
o r d e n o b te n id a en la p á g in a 6 6 c u a n d o a n a liz a m o s e l p ro b le m a del
relo j d e p é n d u lo .
L a e c u a c ió n (1 2 0 ) ta m b ié n s irv e d e m o d e lo d ife re n cia l d e u n sistem a
d in á m ic o s im p le c o n s titu id o p o r u n a p a rtícu la d e m asa u n id a d q u e
s e d e sp la z a a lo la rg o d e l e je x (fig. 4 9 ) b a jo la a c c ió n d e u n a
/
dx \
dx
fu e rz a / 1 x , — J A ca d a p a r d e v a lo re s d e la s m a g n itu d e s x y —
q u e ca ra c te r iz a n e l e sta d o d el siste m a e n to d o in sta n te , le c o rre sp o n d e
3. In te rp re ta ció n d inám ica d e las e cu aciones d e s e g u n d o ord e n
ds
di
O
O
F ig . 4 9
Fig. 50
u n p u n to d el p la n o d e estad o s o p la n o d e f a s e
^x, — J
x
(fig . 50).
El p la n o d e fase e s u n a rep resen ta ció n d el co n ju n to d e to d o s lo s
e sta d o s p o sib le s d el sistem a d in á m ico , co n la p ro p ie d a d d e q u e
a ca d a n u e v o e s ta d o d el sistem a le c o rre s p o n d e u n p u n to d iferen te
d el p la n o d e fa se. A sí p u es, a la v a ria ció n d e e sta d o s d e u n sistem a
se le p u e d e p o n e r e n co rresp o n d e n cia e l m o v im ie n to d e c ie rto p u n to
e n e l p la n o d e fa se. T al p u n to recib e e l n o m b re d e p u n to im ag en .
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La tra y ecto ria d el p u n to im ag en se d e n o m in a trayectoria d e f a s e y la
v elo cid a d d el p u n to , v elo c id a d d e fa s e .
dx
M e d ia n te e l ca m b io d e v a ria b le s y = —
dt
la e c u a c ió n (1 2 0 ) se red u ce
al sistem a d e d o s e cu a cio n e s d ife re n cia le s
( 121)
C o n sid e ra n d o la v a ria b le t c o m o u n p a rá m etro , la so lu ció n d el
sistem a (1 2 1 ) e s u n p a r d e fu n cio n e s x (t), y (t) q u e d e te rm in a n cierta
cu rv a ( trayectoria d e fa s e ) en e l p la n o d e fa se ( x , y).
E l sistem a (121), a l ig u a l q u e e l siste m a m á s g en era l
C a p ítu lo 2 . M é to d o s cu a lita tivo s d e a n á lisis d e m o d e lo s d ife re n cia le s
d o n d e la s fu n c io n e s X e Y s o n c o n tin u a s ju n to c o n s u s d e riv a d a s
p a rc ia le s e n c ie r ta r e g ió n D , s e c a ra c te r iz a p o r la p ro p ie d a d sig u ie n te :
s i x ( t ) , y (t) e s s o lu c ió n d e l s is te m a ( 1 2 1 ), e n to n c e s
x = x (t + C ),
y = y (t + C ) ,
(123)
d o n d e C e s u n a c o n s ta n te a rb itra r ia re a l, ta m b ié n e s s o lu c ió n d e (1 2 1 ).
S in e m b a r g o , a to d a la fa m ilia d e s o lu c io n e s d e (1 2 3 ) le c o rre s p o n d e
u n a s o la tr a y e c to r ia e n e l p la n o d e fa se ( x , y ) . E s m á s, d o s tra y e c to ria s
d e fa se c o n p u n to s c o m u n e s co in c id e n . P o r o tra p a rte , a l c re c im ie n to
y d e c r e c im ie n to d e l p a rá m e tro t l e c o rre s p o n d e n s e n tid o s d ife re n te s
d e m o v im ie n to d e l p u n to im a g e n p o r s u tra y e c to ria . D ich o d e otra
fo rm a , la tr a y e c to r ia d e fa se e s u n a c u rv a o rie n ta d a . E n la s fig u ra s
e s t e h e c h o se ilu s tra r á c o n a y u d a d e fle c h a s s o b r e lo s g rá fic o s d e las
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tr a y e c to r ia s d e lo s p u n to s im a g e n .
L o s s is te m a s tip o (1 2 2 ) p e r te n e c e n a la fa m ilia d e lo s d e n o m in a d o s
s iste m a s d ife r e n c ia le s a u tó n o m o s o s iste m a s d ife r e n c ia le s esta c io n a rio s ,
q u e n o s o n m á s q u e s is te m a s d e e c u a c io n e s d ife re n c ia le s o r d in a ­
ria s c o n s e g u n d o s m ie m b r o s q u e n o d e p e n d e n e x p líc ita m e n te d el
tie m p o t. S i a l m e n o s u n o d e lo s s e g u n d o s m ie m b r o s d e l sistem a
d e p e n d e e x p líc ita m e n te d e l tie m p o t , e l siste m a s e d e n o m in a sistem a
n o a u tó n o m o o s is te m a n o es ta cio n a rio .
A c a d a s o lu c ió n p e r ió d ic a n o c o n s ta n te x ( t ) d e la e c u a c ió n (120)
le c o r r e s p o n d e u n a c u rv a s im p le c e r ra d a (u n a c u rv a c e r ra d a sin
a u to in te r s e c c io n e s ) e n e l p la n o d e fa se ( x , y ). E l re c íp ro c o d e esta
a fir m a c ió n ta m b ié n e s cie rto .
S u p o n g a m o s q u e e l siste m a d ife re n c ia l (1 2 2 ) e s tá d a d o e n to d o el
p la n o ( x , y ). E n to n c e s , e n g e n e r a l, la s tra y e c to ria s d e fa se c u b re n
c o m p le ta m e n te e l p la n o d e fa se sin c o rta rs e la u n a c o n la otra.
m
3. In te rp re ta ció n d in á m ica d e las e cu a cio ne s d e s e g u n d o o rd e n
E n c a s o d e q u e e n c ie r to p u n to A/0( x 0, y0) s e c u m p la n la s ig u a ld a d e s
X ( x 0, y 0) = Y { x 0, y 0) = 0,
la tra y e cto ria d e g e n e ra e n u n p u n to . A lo s p u n to s c o n e sta p ro p ied a d
se le s d e n o m in a p u n tos sin g u lares. E n a d e la n te tra ta re m o s b á sica ­
m e n te c o n p u n to s sin g u la re s a isla d o s. U n p u n to sin g u la r M 0(x 0, y0)
s e lla m a a is la d o si s e p u e d e in d ic a r u n e n to rn o d o n d e é l e s e l ú n ico
p u n to sin gu lar.
T o d o p u n to M 0( x 0, 0 ) d o n d e y = 0 , f { x 0, 0 ) = 0 , e s u n p u n to sin g u la r
d e la e c u a c ió n (1 2 0 ). D e s d e e l p u n to d e v ista d e la fís ic a , e s t e p u n to
sin g u la r c o rre s p o n d e
dx
al e s ta d o d e
dy
u n a p a rtícu la
de
m a sa
u n id a d
d2x
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c o n v e lo cid a d
—
— =-ig u a le s a c e r o sim u ltá d t *■
n e a m e n te . D ich o d e o tr o m o d o , c o rre s p o n d e a u n e s ta d o d e re p o so
dt
y a c e le ra c ió n
—
dt
=
(d e e q u ilib rio ) d e la p a rtícu la . P o r e sta ra z ó n , lo s p u n to s sin g u la re s
ta m b ié n s e c o n o c e n c o m o p u n to s d e r e p o s o o p u n to s d e eq u ilib rio .
P u e sto q u e lo s e sta d o s d e e q u ilib rio d e u n siste m a físico c a ra c te riz a n
lo s p u n to s sin g u la re s d e su e s ta d o , la c la s ific a c ió n y e l e s tu d io d e
ta le s p u n to s o c u p a n u n lu g a r d e s ta c a d o e n la te o ría d e la s e c u a c io n e s
d ife re n cia le s.
El p ro b le m a d e la c la s ific a c ió n y e l e s tu d io d e lo s p u n to s sin g u la re s
d e lo s s iste m a s d ife re n c ia le s tip o (1 2 2 ) tie n e s u s o r íg e n e s e n la teoría
d e la s v e lo c id a d e s y a c e le ra c io n e s d e lo s líq u id o s , y fu e c o n s id e ra d o
c o n d e ta lle p o r p rim e ra v e z p o r e l c ie n tífic o ru s o N . E . Z h u k o v sk i
e n su te sis d e m a e stría "C in e m á tic a d e lo s c u e r p o s líq u id o s " (1876).
L o s n o m b re s d e lo s d ife re n te s tip o s d e p u n to s s in g u la re s fu ero n
p ro p u e s to s in ic ia lm e n te p o r e l m a te m á tic o fra n c é s H . P o in ca ré.
137
C apítulo 2. M éto d o s cualitativos d e análisis d e m odelos diferenciales
T ratem o s d e e sta b lece r q u é sig n ifica d o físico se le p u ed e atribu ir
a la s tray ecto rias d e fase y a lo s p u n tos sin gu lares de lo s sistem as
d iferen ciale s tip o (122). Para u n a m ejo r co m p ren sió n , introdu zcam os
u n ca m p o v ecto ria l b id im en sion al (fig. 51) d efin id o p o r la función
V ( s , y ) = X ( x , y ) i + Y { x , y) j,
d o n d e i y j so n lo s v erso res (v ectores u n itario s) d e lo s e je s de
co o rd e n a d a s ca rte sia n a s x e y , resp ectiv am en te. E ste cam p o tiene
d o s co m p o n en te s en to d o p u n to P { x ,y ) : u n a h o rizon tal X { x ,y )
dx
y u n a v ertica l Y { x ,y ) . P u esto q u e —
dy
= X (x , y) y —
= Y ( x ,y ) ,
e l v ecto r lig ad o a to d o p u n to n o sin g u lar P { x , y ) e s tan g en te a la
tray ecto ria d e fase en d ich o punto.
S i in terp reta m o s la v a riab le t co m o el tiem p o , e n to n ce s a l v ecto r V se
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le p u ed e a sig n a r e l p ap el d e v e cto r d e velocid ad d el m ov im ien to del
p u n to im a g e n a lo la rg o d e la tray ectoria. D e esta m an era, p o d em os
co n sid e ra r q u e to d o e l plan o d e fase está co lm ad o d e p u n tos im agen y
q u e u n a tray ectoria d e fase e s la h u ella q u e d eja cierto p u n to im agen
e n m ov im ien to . C o m o resu lta d o de tal in terp retació n llegam os a una
a n a lo g ía co n e l m ov im ien to p la n o d e u n líq u id o incom presible.
D a d o q u e e l sistem a (122) e s au tó n o m o , e l v ecto r V en cad a pu nto
fijo P ( x , y ) n o cam bia co n e l tiem p o , p o r lo q u e e l m ov im ien to del
líq u id o e s estacio n ario . L as tray ecto rias d e fase so n , en to n ces, las
tray ecto rias d e m o v im ien to d e las p a rtícu la s d el líq u id o , y los puntos
sin g u la res O , O', O " (fig. 51) rep resen ta n p a rtícu la s inm óviles.
L o s h e ch o s m á s ca ra cterístico s d el m ov im ien to rep resen tad o en la
fig u ra 51 son:
1) la e x isten cia d e p u n to s sin gu lares;
2) la v a ried a d d e las tray ecto rias cerca d e lo s p u n tos singulares;
138
3) la existen cia sim ultánea d e puntos estab les e inestables;
4) la presencia de trayectorias cerradas, q u e e n este caso co rres­
p ond en a m ovim ien tos periódicos.
Las características q u e acabam os d e en u m erar co n stitu y en la p arte
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m ás im portante del retrato d e f a s e , q u e n o e s m ás q u e el cu ad ro
com pleto del com portam iento de las tray ectorias d e fase del sistem a
general (122). D ebido a qu e, co m o se ind icó antes, m u ch as ecu acio ­
nes d iferen ciales n o se integ ran m ed ian te fun ciones elem e n tales, el
o b jetiv o d e la teoría cu alitativa d e las ecu acio n es d iferen ciales del
tip o (122) e s procurar constru ir un retrato d e fase lo m ás com p leto
posible a p a rtir d e las fun ciones X (x , y ) e Y (x , y).
4. Sistem as m ecánicos conservativos
Es b ie n sabido d e la práctica que en lo s sistem as d in ám ico s reales
la energía se d isip a. C o m ú nm ente, la d isip ación d e en erg ía es
ocasionada p o r alg ú n tip o d e rozam iento. Al m ism o tiem po, en
alg u n os ca so s concretos la d isip ación ocu rre tan lentam ente q u e la
podem os d espreciar si n os lim itam os a co n sid erar u n intervalo d e
139
C a p ítu lo 2 . M é to d o s c u a lita tiv o s d e a n á lis is d e m o d e lo s d ife re n c ia le s
t ie m p o n o m u y p r o lo n g a d o . E n e s o s c a s o s c o n c r e to s , a l e s tu d ia r
e l s is te m a
d in á m ic o s e p u e d e a s u m ir q u e s e c u m p le la le y d e
c o n s e r v a c ió n d e la e n e r g ía , e s d e c ir , q u e la s u m a d e la s e n e rg ía s
c in é t ic a y p o te n c ia l e s c o n s t a n te . L o s s is te m a s c o n e s ta p ro p ie d a d
s e d e n o m in a n c o n s e r v a tiv o s . S e p u e d e c o n s id e r a r c o n s e r v a tiv o , e n tr e
o t r o s , e l g lo b o te r r á q u e o e n ro ta c ió n si s e to m a u n in te r v a lo d e
t ie m p o d e u n o s p o c o s a ñ o s . P e r o s i e s tu d ia m o s s u m o v im ie n to
d u r a n te v a r io s m illo n e s d e a ñ o s , s e r á n e c e s a r io t e n e r e n c u e n ta la
d is ip a c ió n r e la c io n a d a c o n la s m a r e a s e n lo s o c é a n o s y m a re s.
m m M
m m
%
x
Fig. 52
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U n e je m p lo e le m e n ta l d e s is te m a c o n s e r v a tiv o e s e l s is te m a fo rm a d o
p o r u n cu e rp o d e m asa m
q u e s e m u e v e h o r iz o n ta lm e n te e n e l
v a c ío b a jo la a c c ió n d e d o s r e s o r te s (fig . 5 2 ). D e n o te m o s c o n x e l
d e s p la z a m ie n to d e l c u e r p o r e s p e c to a la p o s ic ió n d e e q u ilib r io y
s u p o n g a m o s q u e la fu e r z a q u e lo s r e s o r te s e je r c e n s o b r e e l c u e rp o
{f u e r z a r e s ta u r a d o r a ) e s p r o p o r c io n a l a x . E n to n c e s la e c u a c ió n d e
m o v im ie n to e s
d2x
m — - + kx = 0,
k > 0.
L o s r e s o r t e s d e e s t e t ip o s e lla m a n r e s o r te s l in e a le s , d e b id o a q u e la
fu e r z a r e s ta u r a d o r a e s u n a fu n c ió n lin e a l d e a;. S i e l c u e r p o o s c ila en
u n m e d io q u e o p o n e u n a f u e r z a re s is te n te p r o p o r c io n a l a la v e lo c id a d
d e l m o v im ie n to , e n to n c e s la e c u a c ió n d e m o v im ie n to d e l s is te m a
c o n s e r v a t iv o e s
140
4. S iste m a s m e cá n ico s conservativos
d2x
m—
dx
+ c—
+ / :x = 0 ,
c > 0.
(124)
É ste e s u n c a so d e m o v im ie n to a m o rtig u a d o , p u e sto q u e la fu erza
dx
re siste n te e s u n a fu n ció n lin ea l d e la v e lo c id a d — .
dt
E n g e n e r a l, u n a e c u a c ió n d e la fo rm a
d2x
v
( dx \
+sU
) + / ( I ,= 0 '
(125)
d o n d e / y g s o n fu n c io n e s a rb itra r ia s ta les q u e /(O) = 0 y <7(0) = 0 ,
se p u e d e in te rp re ta r c o m o la e c u a c ió n d e m o v im ie n to d e u n c u e rp o
d e m asa m s o m e tid o a la a c c ió n d e u n a fu erz a re s ta u ra d o ra f { x )
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f dx\
y u n a fu erz a re siste n te - g I —
I . E n g e n e ra l, e s ta s fu e rz a s n o son
lin ea les, d e m a n e ra q u e la e c u a c ió n (125) s e p u e d e c o n s id e ra r c o m o
la e c u a c ió n fu n d a m e n ta l d e la m e cá n ica n o lin ea l.
E stu d ie m o s b re v e m e n te e l sistem a c o n se r v a tiv o e sp e c ia l s in fu erz a
re siste n te d e s c rito p o r la ecu a ció n
C o m o la fu e rz a re s is te n te e s ig u a l a ce ro , p o d e m o s s u p o n e r q u e n o
h a y d is ip a c ió n d e e n e rg ía . D e la e c u a c ió n (126) se p u e d e p a s a r a l
siste m a a u tó n o m o
C a p ítu lo 2. M é to d o s cu a lita tivo s d e análisis d e m o d e lo s d ife re n cia le s
E x c lu y e n d o e l tie m p o t d e l siste m a (1 2 7 ) o b te n e m o s la e cu a ció n de
la tra y e cto ria d e l siste m a e n e l p la n o d e fase:
dx my
= - M
.
(128)
S e p a re m o s la s v a ria b les:
mydy= f{x)dx.
y =y0 x=x0 t t0,
t0 t
-
S u p o n ie n d o q u e
y
e c u a c ió n (1 2 7 ) d e s d e
p a ra
h a sta
=
(129)
d e sp u é s d e in te g ra r la
o b te n e m o s
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Jmy
J
X
2-
= -
/ « ) d i,
*0
o , lo q u e e s lo m ism o ,
^ J
X
m y2 +
J
Xo
/ (í) d { = I m jj* +
J(x )d x .
(130)
1)
2
dt)
Com o - m y 2 = \ m ( ^
2
2
\
s is te m a d in á m ic o y
)
e s la fó rm u la d e la e n erg ía c in é tica d el
X
V (x ) =
j
0
/ ({)d í
(131)
4. Sistem as m ecánicos conservativos
es la e n e rg ía p o ten cia l, p o d em os afirm ar q u e la ecu ació n (130) expresa
la ley d e co n serv ación d e la en ergía:
U n y 2 + V (x ) = E ,
d onde E = —
(132)
+ V ( x 0) e s la e n erg ía to tal d el sistem a. L a ecu a ­
ció n (132) e s la e cu a ció n d e las tra y e cto ria s d e fase d el sistem a (127),
p u es se ob tu v o d e in teg rar la e cu a ció n d iferen cia l (128). D e esta
m anera, a d iferen te s v alores d e E le co rresp o n d en d iferen te s cu rv as
d e e n e rg ía co n sta n te e n e l plano d e fase. L o s p u n tos sin g u lares del
sistem a (127) so n lo s p u n tos M ¥(x v,Q ), d o n d e x v so n las ra íc e s de
la ecu ació n / ( x ) = 0 . C o m o se esta b leció a n tes, lo s p u n to s sin g u la­
res so n lo s p u n to s d e rep o so d el sistem a d in á m ico d escrito p o r la
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ecu ació n (126). D e la e cu a ció n (128) se d e d u ce q u e las tray ecto rias
d e fase co rtan p erp en d icu larm en tc al e je x y h o rizo n talm en te a las
rectas x = x „ . A d em ás, la ecu ación (132) m uestra q u e la s tray ecto rias
d e fase son sim étricas resp ecto a l e je x .
E scribien d o la e cu a ció n (132) en la form a
y =
V (i)),
(133)
resulta fácil co n stru ir la s tray ecto rias d e fase. E n efe cto , in tro d u zcam o s
e n n u estro a n á lisis e l "p la n o d e balan ce d e e n e rg ía " ( x , z ), c u y o e je z
se en cu en tra en la m ism a v ertical q u e e l eje y d e l p lan o d e fase
(fig. 53). R ep resen tem o s e n e l p lan o ( x , z ) la fu n ció n z =
V {x )
y varias recta s h o rizon tales z — E (en la figura 53 s e m u estra una
d e ella s). In d iqu em o s en la figura e l v a lo r d e la d iferen cia E - V (x).
Se g u id a m en te m u ltip licam o s E - V (x ) p o r — , lo cu al p erm ite
C a p ítu lo 2 . M é to d o s cualitativos d e a n á lisis d e m odelos d ife re n cia le s
ca lcu la r lo s v a lo r e s d e y a
p a rtir d e la fó rm u la (133) y
c o n stru ir su g rá fic o e n e l pla-
dx
n o d e fa se. C o m o
—
dt
= y,
la d ir e c c ió n p o sitiv a a lo lar­
go
d e to d a
tra y e cto ria c o ­
rr e sp o n d e al m o v im ie n to d el
p u n to im a g e n d e izq u ierd a
a
d e re ch a
p o r e n c im a
d el
e je x , y d e d e re c h a a iz q u ie r­
d a p o r d e b a jo .
L o s ra z o n a m ie n to s g e n e ra le s
que
acab am o s
de
exp oner
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p e rm ite n in v e s tig a r la e c u a ­
ció n
d x + k sen x = 0
—
d t-
(134)
d e l m o v im ie n to d e u n p é n d u lo e n u n m e d io sin re s is te n cia , d o n d e k
e s u n a c o n s ta n te p o sitiv a (v é a s e la p á g in a 66).
L a e c u a c ió n (1 3 4 ) e s u n c a s o p a rtic u la r d e la e c u a c ió n (1 2 6 ). P o r
c o n s ig u ie n te , p o d e m o s c o n s id e ra r q u e e lla d e s c rib e e l m o v im ie n to
re c tilín e o s in re s is te n c ia d e u n a m a sa u n id a d b a jo la a c c ió n d e u n
re s o rte n o lin e a l c o n fu e rz a re s ta u ra d o ra - k s e n x . E n e s te c a so , e l
siste m a a u tó n o m o c o rre s p o n d ie n te a la e c u a c ió n (1 3 4 ) e s
A qu í lo s p u n tos sin gu lares son ( 0 ,0 ), (± ? r, 0 ), ( ± 2 ir , 0 ), . . y la
ecu ación diferencial d e las tray ecto rias d e fase tien e la form a
dy _
ksen x
dx
y
S e p a ra n d o v ariab les e integ ran d o, o b ten em o s la ecu a ció n d e las
tray ectorias d e fase:
^j/2 + k ( 1 - eo s x ) = E ,
la cu al e s u n c a s o p a rticu lar d e la ecu ació n (132) para m = 1.
La en erg ía total d ad a p o r la fórm u la (131) es
z
J
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V {x ) =
d£ = k ( \ - e o s x).
o
C o n stru y a m o s e n el p lan o ( x , z ) e l g ráfico d e la fu n ció n z = V (x)
y v arias rectas z = E
(en la figura 54 se presenta só lo la recta
z = E = 2k ). C alcu lan d o lo s valores E - V (x ) p o d e m o s lu eg o
esb o z a r e l cu a d ro del co m p o rta m ien to d e la s tray ecto rias e n e l plano
d e fase u tilizan d o la fórm ula
y = ± s /2 {E -V {x )).
El retra to de fase o b te n id o (fig. 5 4 ) m uestra q u e si la e n erg ía E
cam bia d e 0 a 2 k , e n to n ces la s tray ecto rias d e fase respectiv as
resultan cerra d a s y la e cu ació n (134) tien e so lu cio n es p erió d icas.
P or otra p arte, si E > 2 k , las tray ecto rias d e fase co rresp on d ien tes
n o son ce rra d a s y la e cu ació n (134) n o tien e so lu cio n es p erió d icas.
145
C a p itu lo 2. M é to d o s cu a lita tivo s d e análisis d e m o d e lo s d iferenciales
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A l v a lo r E = 2 k e n e l p la n o d e fa s e le c o rre s p o n d e u n a tra y e cto ­
ria d e fa se q u e se p a ra d o s tip o s d e m o v im ie n to d ife re n te s (e s u n a
se p a r a tr iz ). L as tra y e c to ria s d e f a s e o n d u la d a s s itu a d a s fu era d e la
se p a ra triz c o rre s p o n d e n a lo s m o v im ie n to s d e ro ta c ió n d el p én d u lo ,
m ie n tra s q u e la s tra y e c to ria s c e r r a d a s q u e se e n c u e n tr a n e n la s re­
g io n e s lim ita d a s p o r la s s e p a ra tric e s c o rre s p o n d e n a lo s m o v im ien to s
o s cila to rio s.
E n la fig u ra 5 4 s e p u e d e v e r q u e e n lo s e n to rn o s d e lo s p u n to s
sin g u la re s ( ± 2 t t m , 0 ) , m = 0 , 1 , 2 , . . el c o m p o rta m ie n to d e la s tra­
y e c to ria s d e f a s e s e d ife re n c ia d e l c o m p o rta m ie n to d e la s tra y e cto ria s
d e fa se e n lo s e n to r n o s d e lo s p u n to s ( ± ( 2 n - 1 ) t , 0 ) , n = 1 , 2 , . . . .
4. S istem as m e cá n ico s conservativos
S o b re la cla sific a c ió n d e lo s p u n to s sin g u la re s tra ta re m o s m á s a d e ­
la n te . P o r e l m o m e n to s ó lo d ir e m o s q u e lo s p u n to s (± 2 7 r r a , 0 ) , m =
0 , 1 , 2 , . . d e e s te e je m p lo p e r te n e c e n al g ru p o d e lo s lla m a d o s c en ­
tros, m ie n tra s q u e lo s p u n to s sin g u la re s ( ± ( 2 n - 1 ) jt , 0 ) , n = 1 , 2 , . . . ,
s o n pu n tos d e s illa . U n p u n to sin g u la r d e l s is te m a d ife re n c ia l a u tó n o ­
m o (1 2 2 ) s e d e n o m in a cen tro si e x is te a lg ú n e n to rn o s u y o d e n sa m e n te
p o b la d o d e tra y e c to ria s d e fase q u e lo ro d e a n y q u e n o se c o r ta n la una
c o n la o tra . S e lla m a p u n to d e s illa a to d o p u n to s in g u la r h a c ia e l c u a l
c o n v e r g e u n n ú m e ro fin ito d e tra y e c to ria s d e fa se q u e d iv id e n c ie rto
e n to rn o d el p u n to e n re g io n e s d o n d e la s tra y e c to ria s s e co m p o rta n
c o m o u n a fa m ilia d e h ip é rb o la s d e fin id a s p o r la e c u a c ió n x y = co n st.
V e a m o s a h o ra c ó m o in flu y e u n a resiste n cia lin eal e n e l c o m p o rta ­
m ie n to d e las tra y e c to ria s d e fa se d e u n siste m a c o n se r v a tiv o . E n este
ca so , la e c u a c ió n d ife re n cia l d e l p é n d u lo e s
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d2x
dx
— + c-— + k s e n x = 0,
d tdt
c > 0.
S i la re s is te n cia e s su ficie n te m e n te p e q u e ñ a c o m o p a ra p e r m itir q u e el
p én d u lo o s c ile re s p e c to a la p o sició n d e e q u ilib rio , s e p u e d e m o stra r
q u e la s tra y e c to ria s d e fa se s e c o m p o rta n c o m o e n la fig u ra 55. Si
la resiste n cia n o d e ja o s c ila r a l p é n d u lo a lr e d e d o r d e la p o s ic ió n d e
e q u ilib rio , e n to n c e s las tra y e c to ria s d e fa se te n d rá n la fo rm a q u e se
m u estra e n la fig u ra 56.
C o m p a ra n d o e l re tra to d e fa se d e u n sistem a c o n se r v a tiv o c o n lo s
d o s ú ltim o s re tra to s d e fa se , v e m o s q u e lo s p u n to s d e s illa s ig u e n
s ie n d o p u n to s d e s illa (e sta m o s c o n s id e ra n d o e n to r n o s s u fic ie n te ­
m e n te p e q u e ñ o s d e lo s p u n to s sin g u la re s), en c a m b io e n lo s e n to rn o s
d e lo s p u n to s ( ± 2 * m , 0 ) , m = 0 , 1 , 2 , . . . , la s tra y e c to ria s d e fase
c e r ra d a s s e co n v ie rte n e n e sp ir a le s c u a n d o la re s is te n cia e s p e q u e ñ a ,
Fig. 55
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y e n tr a y e c to r ia s q u e " e n t r a n " e n lo s p u n to s s in g u la r e s s ig u ie n d o
d ir e c c io n e s d e te r m in a d a s c u a n d o la re s is te n c ia e s g ra n d e . S i s e trata
d e u n a e s p ir a l, lle g a m o s a u n p u n to s in g u la r d e n o m in a d o f o c o . E n el
o t r o c a s o e l p u n to s in g u la r s e lla m a n odo.
m
4. Sistemas m ecánicos conservativos
U n pu nto singular (si existe) del sistem a autónom o bidim ensional
general (122) se llam a f o c o si posee un en torno d ensam ente poblado
d e trayectorias de fase que n o se co rtan y que se asem ejan a espirales
que se enrollan hacia el pu nto sin gu lar cuando t —
t — -
00).
+00
(o cuando
Un pu nto singular se denom ina nodo si tien e u n entorno
en el que toda trayectoria d e fase se com porta co m o una parábola o
una sem irrecta q u e llega a é l siguiendo una d irección determ inada.
Subrayem os q u e ningún sistem a conservativo p u ede tener soluciones
p eriódicas aisladas. M ás aún, si T es una trayectoria d e fase cerrada,
correspondiente a una solución periódica de u n sistem a conservativo,
entonces cierto entorno de T está d ensam ente p oblad o de trayectorias
d e fase cerradas.
A lgunas de las d efiniciones d e p u n tos singulares form ulad as arriba
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tienen carácter pu ram ente cu alitativo, d escriptivo. E n cu an to a los
criterios analíticos q u e establecen sus diferencias, desafortunadam ente
n o existen para el caso general d e lo s sistem as tipo (122), aun qu e
s í se pueden ob tener para algun as clases particulares d e ecuaciones
d iferenciales. El ejem p lo m ás sencillo lo constitu yen los sistem as de
la forma
dx
— = a xx + 6 ,y ,
d ond e a , ,
dy
— = a 2x + b2y,
dt
a 2 y b2 son constantes reales.
Si la m atriz d e los co eficientes de este sistem a e s regular, e s decir, si
el determ inante
149
Capítulo 2. M étodos cualitativos de análisis d e m odelos diferenciales
e n to n ces e l o rig en d e co o rd en ad as 0 ( 0 , 0 ) del plano d e fase e s el
ú n ico p u n to sin g u la r d el sistem a d iferencial.
S u p o n g am o s q u e e l d eterm inan te del sistem a es d iferen te d e cero,
y q u e A, y A2 rep resen tan los valores propios d e la m atriz de
co eficien tes. S e p u ed e m ostrar que
1 ) si Aj y A, son reales y del m ism o signo, en to n ces e l punto
sin g u lar e s u n nodo;
2 ) si A, y A2 son reales y d e sig no s d iferentes, el pu nto singular
e s un p u n to d e silla;
3 ) si Aj y A2 n o son reales n i im aginarios p u ros, en to n ces el punto
sin g u lar e s u n foco;
4 ) si At y A, so n im ag inarios p u ros, el p u n to sin gu lar e s un centro.
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L os tres p rim ero s tip os d e puntos perten ecen al g ru po d e los
d en om in ad os p u n tos sin gu lares "g ro sero s". Los puntos singulares
g ro sero s n o cam bian su ca rá cte r b a jo pertu rbaciones peq u eñ as de los
p rim ero s m iem b ro s d el sistem a diferencial inicial. Los cen tros son
p u n tos " n o g ro se ro s": su carácter cam bia inclu so p ara pertu rbaciones
m ínim as d e lo s seg u n d o s m iem bros d el sistem a diferencial.
5.
Estabilidad
de los puntos de equ ilib rio
y de los m ovim ientos periódicos
C o m o v im o s, lo s d iferen tes tip os d e pu n tos sin gu lares se caracterizan
p o r e l h e ch o d e q u e en p eq u eñ os en to rn o s su y o s las trayectorias
150
5. E stabilidad d e lo s p u n to s d e e q u ilib rio y m ovim ientos p e rió d ico s
d e fase so n d ife re n te s. P ero h a y u n a ca ra c te rística m á s: la estab ilid ad
d e u n p u n to sin g u la r, la c u a l p erm ite o b te n e r in fo rm a ció n a d icio n a l
so b re e l co m p o rta m ie n to d e la s tra y e c to ria s d e fa se d e lo s p u n to s
sin g u la re s. C o n s id e re m o s u n p én d u lo c o m o e l re p re se n ta d o
@
e n la fig u ra 5 7 . E n e l d ib u jo se m u estra n d o s e sta d o s
d e e q u ilib rio : a ) u n c u e rp o d e m asa m se e n c u e n tr a en
e s ta d o d e e q u ilib rio e n e l p u n to su p e rio r; b ) u n c u e rp o d e
m a sa m se e n cu e n tra e n e sta d o d e e q u ilib rio e n e l p u n to
«
inferior. El p rim e r e sta d o es in es ta b le y el se g u n d o e s estable.
A cla re m o s q u é sig n ifica q u e e l e sta d o d el c u e rp o sea esta b le
o in esta b le : si u n c u e rp o d e m asa m se e n cu e n tra e n e sta d o
d e eq u ilib rio en e l p u n to su p erio r, e n to n ce s e s su ficien te
e m p u ja rlo lig e ra m e n te p ara q u e co m ie n c e a d e sv ia rse d e
Fjg 57
la p o sició n d e e q u ilib rio , a le já n d o se d e ella c o n v elo cid ad
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cre cien te. P ero si e l c u e rp o está e n e sta d o d e e q u ilib rio e n e l p u n to
in ferio r, d e sp u é s d e em p u ja rlo s e m o v e rá c o n v e lo cid a d d ecre cie n te ,
y m ien tra s m á s su a v e sea e l e m p u jó n , m en o r se rá la d e sv ia ció n
re sp e cto a la p o sició n in icial.
C a d a e sta d o d e eq u ilib rio d e u n sistem a c o rre s p o n d e a u n p u n to
e n e l p la n o d e fa se. L a s p e rtu rb a cio n e s p eq u eñ a s d e u n p u n to de
e q u ilib rio in e sta b le p ro d u cen g ra n d e s d e sv ia c io n e s re sp e cto al p u n to
d e eq u ilib rio ; e n e l c a s o d e u n p u n to d e e q u ilib rio e s ta b le , las
p e rtu rb a cio n e s p e q u e ñ a s p ro v o ca n d e sv ia c io n e s p e q u e ñ a s. P artien d o
d e e s ta s id e as in tu itiv a s, e x a m in e m o s u n p u n to sin g u la r a isla d o
d e l siste m a ( 122), su p o n ie n d o p ara m a y o r co m o d id a d q u e e l p u n to
a n a liz a d o s e en cu e n tra e n e l o r ig e n d e co o rd e n a d a s 0 ( 0 , 0 ) d e l p la n o
d e fase. D ire m o s q u e e s te p u n to e s e s t a b le si p a ra to d o n ú m ero
p o sitiv o R e x iste u n n ú m e ro p o sitiv o r ^ R tal q u e to d a tra y ecto ria
d e fa se q u e e n e l in sta n te in icia l t = t0 p a rta d e u n p u n to P situ a d o
e n e l círc u lo x 2 + y2 = r 2, p erm a n ecerá e n d ic h o círc u lo p a ra to d o
m
C apitulo 2. M étodos cualitativos d e análisis de m odelos diferenciales
t > t0 (fig. 58). Sin entrar en definicio­
nes m uy form ales, se p u ede afirm ar
que un pu nto e s estable si todas las
trayectorias de fase que en el ins­
tante inicial se encontraban cerca de
é l, contin uarán estan do cerca co n el
transcurso del tiem po. U n pu nto se
denom ina asintóticam ente estable si es
estable y existe un círculo x 2+ y 2 = r J
ta l que toda trayectoria q u e en e l ins­
tan te t = t0 se encuentra en dicho
círcu lo tien d e a l o rig en d e coord enad as cuando t - » + 00. Un punto
sin gu lar n o estable se llam a inestable.
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U n cen tro siem pre e s estable (p ero no asintóticam ente estable). Un
pu nto d e silla siem p re e s inestable. En la figura 55, donde se m uestra
e l com portam iento de las trayectorias de fase en e l caso de las
oscilaciones d e u n p én d u lo en u n m edio con p o co rozam iento, los
puntos sin gu lares (focos) son asintóticam ente estables; lo s nodos
(figura 56) tam bién son asin tóticam ente estables.
El co n cep to q u e acabam os d e introducir d e estabilidad de un punto
d e equ ilib rio es cu alitativo, y a q u e no se m enciona ninguna propiedad
referente a l com p ortam ien to de las trayectorias d e fase. C om parando
el co n cep to d e estabilidad asintótica con el de estabilidad, vem os que
se exig e ad icionalm en te q u e toda trayectoria d e fase tienda al origen
d e co ord enad as co n el transcurso del tiem po. A un así, tam poco se
h ace alu sión a ninguna cond ición so bre la form a en que las trayectoria
se d eben acercar a l punto 0 ( 0 , 0 ) .
El co ncep to de estabilidad (y de estabilidad asintótica) juega un
p ap el im portante en las aplicaciones. D e hecho, un dispositivo
152
5. Estabilidad d e lo s puntos de equilibrio y m ovim ientos periódicos
constru ido sin ten er en cu en ta la estab ilid ad , e s sen sible, incluso,
a las influen cias exterio res m ás pequeñ as, y al final de cu en tas ello
p u ede traer co n secu en cias ind eseables. R efirién d ose a la im portancia
d el co ncep to d e estabilid ad , el co n ocid o m atem ático y m ecánico
soviético N .G .C h e tá e v e sc rib ió 41:
" ...a l co n stru ir u n av ión d e p asajeros se d e b e g aran tizar estabilidad
en su m ovim iento, d e m anera q u e resu lte u n ap arato tranq u ilo en
el v u elo y seg u ro en e l d esp eg u e y el aterrizaje. El cig ü eñ al se d eb e
calcu lar d e m o d o q u e n o se a v eríe a cau sa d e la s vibracio n es que
pueden su rg ir en co nd icio nes reales d e fu n cio nam iento d el motor.
C o n e l ob jeto d e g aran tizar e l m áxim o posible d e precisión en un
arm a d e artillería, tan to e l arm a co m o las m u n iciones s e d eben
fabricar teniend o e n cu en ta la estabilidad d e las tray ecto rias de v u elo
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d e lo s proyectiles.
P od ríam os se g u ir citand o ejem p lo s, pero e llo so lam en te confirm aría
q u e al reso lv er un problem a so bre m ov im ien to s reales, en tre todas
las so lu cion es de las ecu acio n es e s n ecesario d eten erse en las que
co rrespon d en a estad os estables, y q u e en lo s ca so s e n q u e se
d esee e v ita r cierta solución , lo m ás razonable e s hacer lo s cam bios
pertinentes en la constru cción del sistem a co n e l fin de q u e e l estad o
de m ovim iento co rresp on d ien te a esa so lu ció n q u e q u erem o s ignorar
sea in estab le."
R egresando al p én d u lo rep resen tad o en la figura 57, d estaq u em o s un
hecho cu rio so y, en cierto m od o, inesperad o: resulta q u e la posición
su p erior de equ ilib rio inestable d el p én d u lo se p u ed e v o lv er estable
m ediante oscilacio n es verticales d el p u n to A d e su spen sión . Es m ás,
41 Chetáev N. G . E stab ilid ad d e l m o v im ien to , M oscú , 1965 (e n ruso).
153
C a p ítu lo 2. M é to d o s cualitativos d e análisis d e m odelos diferenciales
n o só lo la p o sic ió n su p e rio r d el p én d u lo , sin o cu a lq u iera otra p o sición
(en p a rticu lar, la h o riz o n ta l) s e p u e d e v o lv e r e sta b le a cu en ta d e las
v ib ra cio n e s d e l p u n to d e su sp en sió n ' 1.
P a se m o s a h o ra a l c o n c e p to (n o m en o s im p o rtan te q u e e l co n ce p to de
esta b ilid a d d e un p u n to d e eq u ilib rio ) d e estab ilid ad d e lo s m ov im ien ­
to s (so lu cio n e s) p e rió d ico s. C o n sid e re m o s u n sistem a co n serv ativ o
c o n so lu cio n e s p erió d ica s. A e s ta s so lu cio n es les co rresp o n d en tra­
y e c to ria s c e r ra d a s q u e p u eb la n d e n sa m en te cierta reg ió n d el plano
d e fa se. A to d o m o v im ie n to p e rió d ico d e u n siste m a co n se rv a tiv o le
co rre sp o n d e u n m o v im ie n to d e l p u n to im a g en p o r u n a trayectoria
ce rra d a d el p la n o d e fase.
E n e l c a so g e n e ra l, el p e río d o d e rec o rrid o d e lo s p u n to s im ag en po r
d ife re n te s tra y e cto ria s e s d istin to . D ich o d e otra m an era , e l p eríod o
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d e las o s c ila c io n e s e n u n sistem a co n se rv a tiv o d e p en d e d e las
c o n d icio n e s in icia les. G eo m étrica m en te, e s to sig n ifica q u e d o s p u n tos
im a g e n ce rca n o s q u e co m ie n z a n a m o v erse e n e l in stan te t = t Q,
p o r eje m p lo , d e s d e e l e je x , co n e l tra n scu rso d el tiem p o se sep aran
a u n a d ista n cia fin ita . Sin em b a rg o , p u ed e su ce d e r q u e co n e l tiem p o
e sto s p u n to s n o s e se p a ren . P ara d iferen ciar e s ta s d o s v a ria n te s se
in tro d u ce e l co n ce p to d e estab ilid ad d e la s so lu cio n es p erió d icas
s e g ú n L iap u n o v. S e d ic e q u e la so lu ció n p erió d ica co rresp on d ien te
a la tra y e cto ria ce rra d a T e s es ta b le segiín L iap u n ov si p ara un
£ -e n to r n o 6* ta n p eq u e ñ o c o m o s e q u iera d e u n p u n to M
q u e se
b> E n e l lib ro d e T. G . S tr iz h a k "M é to d o s d e in v e s tig a c ió n d e lo s s is te m a s d in á m ic o s tip o
p é n d u lo " , A lm á -A tá , 1981 (e n ru so ), s e p r e s e n ta n m u c h o s e je m p lo s d e e sta b iliz a c ió n
d e d is tin ta s c la s e s d e p é n d u lo s.
6) P o r r - e n t o r n o d e l p u n to M
s e e n tie n d e u n c irc u lo d e rad io c co n c e n tro e n el
p u n to M .
,5 4
5. E stabilidad d e lo s p u n to s d e e q u ilib rio y m ovim ientos p e rió d ico s
m u ev e p o r la tra y ecto ria cerra d a T (fig . 5 9 ), e x is te u n «5(f)-en tom o
m óvil d e M ta l q u e to d o p u n to im a g en q u e en e l in sta n te in icial se
e n cu e n tre e n e l ¿ (c )-e n to m o nu nca
sald rá d el c -e n to m o . Si u n a so lu ­
ció n p e rió d ica n o e s e sta b le seg ú n
L iapu nov, se d ice q u e e s n o esta b le
seg ú n Liapun ov.
L a s so lu cio n e s p e rió d ica s no estab les
se g ú n L ia p u n o v p o se e n d e tod as
m a n eras cierta cla se d e e stab ilid ad ,
llam a d a e s ta b ilid a d o rb ita l. La e sta ­
b ilid a d o rb ita l co n siste en q u e , a p e ­
q u e ñ o s ca m b io s d e la s c o n d ic io n e s in icia les, e l p u n to im ag en p asa
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d e u n a tra y e cto ria d e fase a o tra tan c e rca n a c o m o se d e s e e de
la tra y ecto ria in icial.
U n e je m p lo d e so lu cio n e s p erió d ica s n o e sta b le s se g ú n L ia p u n o v son
la s so lu cio n es q u e a p a re cen , p o r eje m p lo , a l e x a m in a r la ecu a ció n
d iferen cia l d e l m o v im ie n to h o rizo n tal e n e l v a c ío d e u n a m asa m
s o m e tid a a la a c c ió n d e d o s reso rtes lin e a le s (fig . 52). O tro e je m p lo d e
s o lu cio n e s p e rió d ica s n o e sta b le s se g ú n L iap u n o v , p e r o q u e p o seen
e sta b ilid a d o rb ital, s o n las s o lu cio n e s d e la e c u a c ió n d iferen cia l (134)
d e l m o v im ie n to d e u n p én d u lo c irc u la r e n u n m ed io sin resiste n cia.
E n e l p rim e r c a so , e l p e río d o d e las o s cila c io n e s n o d e p e n d e de
la s co n d icio n e s in icia le s y se calcu la c o n la fó rm u la T = 2ir
E n el se g u n d o c a so , e l p e río d o d e la s o scila c io n e s d e p e n d e d e las
c o n d icio n e s in iciales y s e ex p resa , c o m o sa b e m o s, p o r m e d io d e una
in teg ra l e líp tica d e p rim era e sp e c ie calcu la d a d e s d e 0 h a sta —.
155
C a p ítu lo 2 . M é to d o s c u a lita tiv o s d e a n á lisis d e m o d e lo s d ife re n c ia le s
F in a lm e n te , d e b e m o s s e ñ a la r q u e e l p r o b le m a
d e la e s ta b ilid a d
s e g ú n L ia p u n o v d e lo s m o v im ie n to s p e r ió d ic o s e stá d ir e c ta m e n te
r e la c io n a d o c o n e l p r o b le m a d e la s o s c ila c io n e s is ó c ro n a s ".
6. F u n c i o n e s e n e r g é t ic a s
E s fá c il in t u ir q u e s i la e n e r g ía to ta l d e c ie r t o s is te m a m e c á n ic o a lca n z a
e l m ín im o e n u n p u n t o d e e q u ilib r io , e s t e ú lt im o e s u n p u n to de
e q u ilib r io e s t a b le . E s ta id e a y a c e e n la b a s e d e u n o d e lo s d o s m é to d o s
d e a n á lis is d e e s ta b ilid a d p ro p u e s to s p o r e l c o n o c id o m a te m á tic o y
m e c á n ic o r u s o A . M . L ia p u n o v . E l m é to d o se c o n o c e c o m ú n m e n te co n
e l n o m b r e d e m é to d o d ir e c to o se g u n d o m é to d o d e L ia p u n o v 81.
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P a r a ilu s tr a r e l m é to d o d ir e c to d e L ia p u n o v , c o n s id e r e m o s u n siste m a
tip o (1 2 2 ) p a r a e l c a s o e n q u e e l o r ig e n d e c o o r d e n a d a s e s u n p u n to
s in g u la r.
S e a T u n a tr a y e c to r ia d e f a s e d e l s is te m a (1 2 2 ). S u p o n g a m o s q u e
dV
c ie r t a f u n c ió n V = V (x , y ) y s u s d e r iv a d a s p a r c ia le s —
ox
dV
y —
ay
so n
c o n t in u a s e n u n a r e g ió n d e l p la n o d e f a s e q u e c o n tie n e a I\ S i e l
p u n t o im a g e n ( x ( t ), y ( t )) s e m u e v e a lo la rg o d e la c u rv a T , e n to n c e s
la fu n c ió n V ( x , y ) s e p u e d e v e r c o m o u n a fu n c ió n d e t a lo la rg o
71 V e r , p o r e je m p l o , e l
lib r o d e
V. V. A m e lk in , N . A . L u k a s h é v ic h , A . P. S a d o v s k i
" O s c ila c i o n e s n o lin e a le s e n s i s t e m a s d e s e g u n d o o r d e n " , M in s k , 1 9 8 2 ( e n ru so ).
8) S e p u e d e n e n c o n t r a r m u c h o s e je m p lo s in t e r e s a n t e s s o b r e in v e s t ig a c ió n d e m o d e lo s
d i f e r e n c i a le s e n e l l i b r o d e N . R o u c h e , P. H a b e ts y M . L a lo y , " S t a b i l i t y T h e o r y b y
L y a p u n o v ’s D ir e c t M e t h o d " , S p r in g e r -V e r la g . N e w Y o r k , 1 9 7 7 .
flfl
6. Funciones energéticas
d e T ; p o r co n sig u ien te , la v elo cid a d d e v a ria ció n d e V (x , y ) a lo
la rg o d e T e s
dv
d v dx
a v dy
d í= te d i + ñ
*
dv v
e v wr/
v
= t e X ( x ' y ) + e ¿ Y { x ' y)'
(136)
d o n d e X (x , y) e Y ( x , y ) so n lo s seg u n d o s m iem b ro s d el sistem a (122).
La fórm ula (1 3 6 ) ju e g a u n p ap el fu n d am en ta l en e l m éto d o d irecto
d e Liapunov. P ara p o d e r a p licar e n la p ráctica e l m éto d o d ire cto de
L iap u no v so n im p o rtan tes lo s sig u ien tes co n cep to s.
Su p o n g a m o s q u e V = V ( x ,y ) e s co n tin u a ju n to co n s u s d eriv ad as
p arciales
8V
y
dV
e n cierta reg ió n G q u e co n tie n e e l o rig e n d e
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co o rd en a d a s, y q u e V”( 0 ,0 ) = 0 . S e d ice q u e la fu n ció n V ( x ,y )
e s d efin id a p ositiv a (d efin id a n eg ativ a) si e n to d o s lo s p u n to s de
la reg ió n G , sa lv o en e l o rig e n d e co o rd e n a d a s, se cu m p le la
d esig u ald ad V ( x ,y ) > 0 ( V ( x ,y ) < 0 ). Si V { x ,y ) ^ 0 (V (x , y) ^ 0 ),
e s d ecir, si la d esig u ald ad n o e s estricta, se d ic e q u e V (x , y) e s una
fu n ció n d e sign o p o sitiv o (función d e sig n o negativo). P o r ejem p lo ,
en el plano (x , y) la fu n ció n V (x , y) = x 2 + y 2 e s d efin id a p o sitiv a,
m ie n tra s q u e la fu n ció n V (x , y ) = x 2 e s d e sig n o p o sitiv o , pu esto
q u e se anu la en tod o e l e je y.
Si
p ara u n a
fu n ció n d efinid a
p o sitiv a
V ( x ,y )
se cu m p le que
/dV \2
(d V \ 2
\ ~dx) + \
^ ^ e n lo ^ o s l0 8 P u n to s d e G \ 0 , e n to n ces
la su p erficie z = V (x , y) e s u n a e sp ecie d e p a rab o lo id e ta n g en te al
p la n o ( x , y ) e n e l p u n to 0 ( 0 , 0 ) (fig. 60). E n g en era l, la su p erficie
z = V ( x ,y ) (para V d efin id a po sitiv a) p u e d e te n e r una estru ctu ra
m ás co m p leja . U n eje m p lo d e este tip o d e su p erficie e s e l d e la
figura 6 1 , d o n d e la p ro y ecció n so b re el p la n o ( x , y) d e la in tersección
157
C a p ítu lo 2. M é to d o s cualitativos d e análisis d e m odelos diferenciales
d e la su p e rfic ie co n e l p la n o z = C
n o e s u n a c u rv a , sin o una
a ra n d ela .
S i la fu n ció n d e fin id a p o sitiv a V ( x , y ) e s tal q u e la fu n ció n
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W ( x , y ) = d- Vj - - - y ) X ( x , y ) + 9- ^ ^ - Y ( x , y )
dx
dy
(137)
e s d e sig n o n e g a tiv o , e n to n c e s V (x , y) se d e n o m in a fu n ció n de
L ia p u n o v o fu n c ió n en erg ética d e l sistem a (122). E n v irtu d d e la ig u al­
d a d (1 3 6 ), la co n d ició n d e q u e W sea d e sig n o n e g a tiv o sig n ifica que
dV
y, c o n se c u e n te m e n te , la fu n ció n V n o cre ce a lo la rg o d e la tray ecto ­
ria T ce rca d e l o rig e n d e co o rd en ad as.
E n u n cie m o s u n o d e lo s re su lta d o s o b ten id o s p o r A . M . L iap u n o v: si
p a r a e l siste m a (1 2 2 ) ex iste u n a fu n c ió n en ergética V (x , y ), en ton ces
e l o rig en d e c o o rd en a d a s, e l c u a l e s un pu n to singular, es estable.
S i la fu n c ió n d efin id a p o sitiv a es tal q u e la fu n c ió n W d a d a p o r la
ig u a ld a d (1 3 7 ) es d efin id a n egativa, en ton ces e l orig en d e coord en a d a s
es a sin tó tica m en te estab le.
158
I
6. Funciones energéticas
M o strem o s co n un e je m p lo có m o a p lica r e s te resu lta d o e n la p ráctica.
E xam in em o s la e cu a ció n d e m o v im ien to d e u n cu erp o d e m asa
u n id ad so m etid o a la a cció n d e d o s reso rtes. E n v irtu d d e (124),
d ich a ecu a ció n tien e la form a
d?x
dx
~dfi + c7t + kx = °' c > °‘
(138)
R eco rd em o s q u e e l co e ficien te c > 0 ca ra cteriz a la resisten cia d el
m ed io y la co n sta n te k > 0 , las p ro p ied a d es d e lo s reso rtes. El
sistem a a u tó n o m o co rre sp o n d ien te a la ecu a ció n (138) e s
—
— = - k x - cy .
= y,
(139)
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dt
9
dt
El o rig e n d e co o rd e n a d a s d el
y
p lan o d e fase
(x , y) e s e l ú n ico p u n to
y2
sin g u la r d e e s te sistem a . L a e n erg ía cin ética d e l c u e rp o e s ig u al a — ,
m ien tra s q u e la e n e rg ía p o ten cial (en erg ía acu m u la d a p o r e l resorte)
está d a d a p o r la ig u ald ad
J
fcí< ¿í = l f c z 2.
o
C o n sig u ie n te m en te , la e n erg ía total d el sistem a es
V { x , y ) = l- y 2 + \ k x 2.
159
(140)
C a p ítu lo 2. M é to d o s cualitativos d e análisis d e m odelos d iferenciales
L a fu n ció n V d e te rm in a d a p o r m ed io d e la fó rm u la (140) e s u n a
fu n ció n d e fin id a p o sitiv a . Y co m o
dV
dV
dx
dy
— X (x , y) + —
Y {x , y ) = k x y + y ( - k x - cy ) = - c y
,
^ 0,
e n to n c e s V ( x ,y ) e s u n a fu n ció n e n e rg é tica d el sistem a (139), im p li­
c a n d o q u e e l p u n to sin g u la r 0 ( 0 , 0 ) e s esta b le.
D a d o q u e e l c rite rio d e L ia p u n o v q u e a ca b a m o s d e e n u n c ia r p o se e un
c a r á c te r p u ra m e n te cu a lita tiv o , n o to d a s la s v e c e s se lo g ra o b te n e r el
re s u lta d o ta n rá p id a m e n te c o m o e n e s te eje m p lo . P a rtie n d o d el criterio
d e L ia p u n o v n o sie m p re s e p u e d e c o n stru ir u n a fu n ció n en erg ética,
a u n sa b ie n d o q u e e x iste . E ste h e ch o d ificu lta n o ta b le m e n te e l p ro ceso
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d e d e te rm in a c ió n d e la e sta b ilid a d e n c a d a c a so co n cre to .
D e b e m o s te n e r p re se n te q u e e l c rite rio d e L iap u n o v s e d e b e ob serv ar
c o m o u n p rin c ip io d e o b te n c ió n d e c rite rio s d e esta b ilid a d . E n la
a c tu a lid a d e x is te u n a s e r ie d e re su lta d o s in te re s a n te s9) e n tr e e l gran
n ú m e ro d e in v e s tig a c io n e s d e d ic a d a s a e s te tem a.
7. E sta d o s s im p le s de e q u ilib rio
D e s d e la p ro p ia in te rp re ta c ió n d in á m ica d e las e cu a cio n e s d ife re n ­
c ia le s d e se g u n d o o r d e n y a e s c la ro q u e e l e s tu d io d e lo s e sta d o s de
9 ) V e r , p o r e je m p l o , e l l i b r o d e E . A . B a r b a s h i n " F u n c i o n e s d e L i a p u n o v " , M o s c ú , 1 9 7 0
( e n r u so ).
160
I
7. E stados sim p le s d e e q u ilib rio
e q u ilib rio o , lo q u e e s lo m ism o , d e lo s p u n to s sin g u la re s, p ro p o rcio ­
n a la c la v e p a ra la co m p re n sió n d e l c o m p o rta m ie n to d e la s cu rv a s
in teg ra les.
T a m b ién e stá c la ro q u e , c o m o n o e s p o sib le in te g ra r e n fu n cio n e s
e le m e n ta le s to d a s la s e c u a c io n e s d ife re n cia le s , n e c e s ita m o s c rite rio s
q u e n o s d e n la p o sib ilid a d d e cla sific a r lo s p u n to s sin g u la re s a p artir
d e la fo rm a d e la e c u a c ió n d ife re n cia l. A p e sa r d e q u e c a si sie m p re la
re so lu ció n d e e s te p ro b lem a e s m u y d ifíc il, sie m p re s e p u e d e n h a lla r
cla se s d e e c u a c io n e s d ife re n cia le s p a ra la s q u e e l p ro b le m a se re s u e lv e
fá cilm en te. M á s a d e la n te a n a liz a re m o s e l p ro b lem a d e l m o v im ie n to
d e u n c u e rp o d e m a sa u n id ad so m e tid o a la a c c ió n d e d o s re s o rte s
e n u n m ed io c o n resiste n cia , y m o stra re m o s c ó m o u tiliz a r a lg u n o s
re su lta d o s d e la te o ría c u a lita tiv a d e las e c u a c io n e s d ife re n cia le s . P ero
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a h o ra n o s d e te n d re m o s a a n a liz a r lo s siste m a s tip o (1 2 2 ). R e su lta q u e
al cla sifica r lo s p u n to s sin g u la re s d e lo s s is te m a s d e e s te tip o , e l c a s o
m á s s e n cillo se p re se n ta c u a n d o e l d e te rm in a n te d e J a c o b i (ja co b ia n o )
dx
J ( x , y) =
dx
dx
dy
dY
dY
dx
dy
es d ife re n te d e c e r o e n e l p u n to a n a liz a d o .
S i {x \ y ‘ ) e s u n p u n to sin g u la r d el sistem a (122) y J * = J ( x \ y ’ ) ^ 0 ,
en to n ce s e l tip o d e e s te p u n to sin g u la r, lla m a d o p u n to s in g u la r sim p le,
d e p e n d e b á s ica m e n te d e l sig n o d e J \
A sab er, si J ' < 0 , e l p u n to
sin g u la r (z *,t/ *) e s u n p u n to d e silla . S i J * > 0 , e l p u n to sin g u la r
p u e d e se r u n ce n tro , un n o d o o u n fo co . E s u n c e n tr o s o la m e n te si
161
C a p ítu lo 2. M é to d o s cualitativos d e análisis d e m o d e lo s d iferenciales
e n é l la d iv erg en cia
D (x , y) =
dX
dY_
~dx
dy
s e a n u la ( D * = D ( x “, y ’ ) = 0 ). S in e m b a rg o , s e d e b e s e ñ a la r q u e la
c o n d ic ió n D * = 0 n o e s, e n g e n e ra l, su ficie n te p a ra q u e e l p u n to
s in g u la r ( x * , y “) s e a u n ce n tro . P ara q u e h a y a u n c e n tr o s e d eb en
c u m p lir c ie r ta s c o n d ic io n e s a d ic io n a le s e n la s q u e p a rticip an las
d e riv a d a s p a rc ia le s d e ó r d e n e s su p e rio re s; y e l n ú m e ro d e esta s
c o n d ic io n e s p u e d e n s e r in fin ito . A l m is m o tie m p o , si la s fu n cio n es
X e Y so n lin e a le s re s p e c to a la s v a ria b le s x e y , la co n d ic ió n D %= 0
s e v u e lv e s u fic ie n te p a ra q u e e l p u n to sin g u la r ( x ' r y *) s e a u n cen tro .
S i J ‘ > 0 , p e ro e l p u n to s in g u la r ( x \ y ' ) n o e s u n ce n tro , e n to n ces
e x is te u n e n to rn o s u fic ie n te m e n te p e q u e ñ o d e { x ' , y ‘ ) d en sa m en te
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p o b la d o d e tra y e c to ria s q u e tie n d e n a l p u n to sin g u la r sig u ie n d o b ien
e sp ir a le s , b ie n u n a d ir e c c ió n d e te rm in a d a . E n e s t e c a so , s i D * > 0 , el
p u n to s in g u la r s e a lc a n z a c u a n d o t —♦ - o o y e s in e s ta b le . S i D * < 0 ,
e l p u n to s in g u la r s e a lc a n z a c u a n d o t —* + o o y e s e sta b le . S i las
tra y e c to ria s d e fa se q u e a lc a n z a n el p u n to sin g u la r so n esp ira le s, d ich o
p u n to e s u n fo co . S i to d a s la s lín e a s in te g ra le s e n tr a n a l p u n to sin g u la r
c o n u n a p e n d ie n te d e te r m in a d a , e n to n ce s e l p u n to e s u n n o d o (fig. 62).
%
O
F ig . 6 2
162
7. Estados sim p le s d e equilibrio
In d e p e n d ie n tem en te d el sig n o d e l ja c o b ia n o J \
la s ta n g e n te s a las
tra y e cto ria s d el sistem a d iferen cia l (122) e n e l p u n to sin g u la r (x \ y ’ )
s e h a lla n a p a rtir d e la ecu ació n característica
y
V
x
d Y (x \ y ')_
d Y ( x ' ,y ' ) _
------------------ x -H--------------------- v
dx
dy
(141)
d X {x \ y ')„
- ^
^
d X {x \ y )„
X+ —
d ¡—
y
d onde
x = x -x \
y = y - y .
(142)
S i X e Y co n tie n e n té rm in o s lin ea les, e n to n c e s la s d e riv a d a s p a rcia les
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e n la e c u a c ió n (141) so n lo s co e fic ie n te s d e x e y e n e l sistem a
q u e s e o b tien e d el sistem a (122) d e sp u é s d e h a c e r lo s c a m b io s de
v a ria b les (142).
La e cu a ció n (141) e s h o m o g én ea . P o r tan to, h a c ie n d o e l c a m b io d e
y
v a ria b le A = —, d o n d e A e s la p en d ien te d e la s lla m a d a s direccio n es
ex cep cion ales, o b ten e m o s la e c u a c ió n cu a d rá tica
+ ( x' x - y; ) a - y ; = o
< i43)
re sp e cto a A. El d iscrim in an te d e la ecu a ció n (143) e s
a = (x'¿ +
y;
) 2-
4r
=
d
-
4r .
S i J * < 0 (o se a , e l p u n to sin g u la r e s u n p u n to d e s illa ), e n to n c e s la
ecu a ció n (1 4 3 ) sie m p re p ro d u ce d o s d ire ccio n e s e x ce p cio n a le s reales.
C a p ítu lo 2. M é to d o s cualitativos d e análisis d e m od e lo s diferenciales
S i J ' > 0 , e n to n c e s b ie n n o h a y d ire ccio n e s ex c e p c io n a le s reales, b ien
h a y d o s d ire c c io n e s e x c e p c io n a le s re a le s o u n a d ire cció n excep cio n al
re a l m ú ltip le . E n el p rim e ro d e lo s c a s o s in d ic a d o s el p u n to sin g u lar
e s u n c e n tr o o u n foco.
La e x iste n cia d e d ire c c io n e s e x c e p c io n a le s re a le s im p lica (si J ' > 0 )
la e x iste n c ia d e u n n o d o . E n p articu lar, si e x iste n d o s d ireccion es
ex c e p c io n a le s re a le s , s e p u e d e d e m o stra r q u e ex isten ex actam en te
d o s tra y e cto ria s (u n a p o r c a d a lad o ) ta n g en tes e n e l p u n to sin g u lar
a u n a d e la s re c ta s e x c e p c io n a le s , m ie n tra s q u e la s d e m á s tray ecto rias
e n tr a n a l p u n to sin g u la r ta n g en cia lm en te a la o tra recta exce p cio n a l
(fig. 6 2 a).
S i A = 0 y la e c u a c ió n (1 4 3 ) n o e s u n a id e n tid a d , e n to n ce s ten em o s
u n a so la re c ta e x c e p c io n a l (el g rá fico d e l co m p o rta m ie n to d e las tra­
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y e c to ria s se ilu stra e n la fig u ra 6 2 b ). E ste c a so se o b tien e del a n terio r
c u a n d o d o s d ire c c io n e s e x c e p c io n a le s co in cid en . El p u n to sin g u la r
d iv id e la re c ta e x ce p cio n a l e n d o s sem irrecta s /, y ¿2 . El e n to rn o del
p u n to sin g u la r s e d iv id e e n d o s se c to re s, u n o d e n sa m e n te p o b lad o
d e tra y e c to ria s q u e " e n t r a n " en e l p u n to sin g u la r tan g en cialm en te
a la re c ta /,, y o tro d e n sa m e n te p o b la d o d e tra y e cto ria s q u e " e n tr a n "
e n e l p u n to sin g u la r ta n g e n cia lm e n te a la re c ta l2. La fro n te ra en tre
lo s d o s se c to re s e stá co m p u e sta p o r d o s tra y e cto ria s, u n a d e las
cu a le s e s ta n g e n te a la se m irre c ta /, e n e l p u n to sin g u lar, y la o tra ,
a la se m irre c ta l 2 .
S i e n la e c u a c ió n (1 4 3 ) to d o s lo s co e fic ie n te s se an u la n , o b te n e m o s
u n a id e n tid a d , y to d a s la s re c ta s q u e p asan p o r e l p u n to sin g u la r
s o n e x ce p cio n a le s . E n e s te c a so , e x iste n e x a cta m e n te d o s tray ecto rias
(u n a a c a d a la d o ) ta n g e n te s a ca d a u n a d e e s ta s rectas en e l p u n to
sin g u lar. E ste p u n to sin g u la r (fig. 62 c) e s se m e ja n te a un p u n to co n
u n a recta e x c e p c io n a l real d o b le.
164
8. M o vim ie n to en u n m e d io con roza m ie n to lin e a l
8. M o v im ie n to e n u n m ed io
con ro z a m ie n to lin e a l
A n te rio rm e n te se d e m o stró q u e la e c u a c ió n d ife re n cia l d e l m o v im ie n ­
to d e u n c u e rp o d e m a sa u n id a d s o m e tid o a la a c c ió n d e re s o rte s
lin e a le s e n u n m ed io c o n ro z a m ie n to lin eal tien e la form a
d‘x
dx
^
+ c - + k x = 0.
( .4 4 )
C o n e l o b je to d e in v e stig a r e x h a u s tiv a m e n te e l m o d e lo d ife re n ­
cial (1 4 4 ), fije m o s u n a d ir e c c ió n d e a c c ió n d e la s fu e rz a s c ^
y kx.
A n te s ta m b ié n se in d ic ó q u e a la e c u a c ió n (1 4 4 ) se le p u e d e p o n e r e n
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co rre sp o n d e n cia e l siste m a a u tó n o m o
^
dt
= y.
^
dt
= - k x - cy.
(145)
S i e x c lu im o s e l c a so triv ia l k = 0 , o b te n e m o s q u e e l o r ig e n de
co o rd e n a d a s e s u n p u n to sin g u la r d el siste m a d ife re n cia l (1 4 5 ). El
sistem a (1 4 5 ) e s u n c a s o p a rtic u la r d e l siste m a g e n e r a l (1 2 2 ) para
X (x , y) = y,
Y {x , y ) = - k x - cy .
E scrib a m o s e l ja co b ia n o , la d iv e rg e n cia y la e c u a c ió n ca ra c te rístic a
d el siste m a (145):
J ( x , y) = k ,
D {x , y ) = - c ,
A" + cA + k = 0.
165
C a p ítu lo 2 . M é to d o s cu a lita tiv o s d e análisis d e m o d e lo s d ife re n cia le s
E l d is c r im in a n te d e la e c u a c ió n c a ra c te r ís tic a e s
A = c 2 - 4k .
E n c o r r e s p o n d e n c ia c o n lo s re s u lta d o s d e la s p á g in a s 1 6 0 -1 6 4 se
p u e d e n p r e s e n ta r lo s c a s o s s ig u ie n te s :
1.
S i k < 0 , e n to n c e s e l p u n to s in g u la r e s u n p u n to d e s illa c o n d o s
d ir e c c io n e s e x c e p c io n a le s , u n a p o s itiv a y u n a n e g a tiv a . El c o m p o rta ­
m ie n to d e la s tr a y e c to r ia s d e fa se s e ilu stra e n la fig u ra 6 3 . C o m o se
p u e d e o b s e r v a r, e s p o s ib le d ife re n c ia r tre s tip o s d e m o v im ie n to . C u a n ­
d o la s c o n d ic io n e s in icia le s c o rre s­
p o n d e n a l p u n to a (e n e s te p u n to
e l v e c t o r d e v e lo c id a d e stá d irig i­
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d o h a c ia e l o r ig e n d e co o rd e n a d a s
y la v e lo c id a d e s s u fic ie n te m e n te
g ra n d e ), e l p u n to im a g e n se m u ev e
c o n v e lo c id a d d e c re c ie n te p o r u n a
tra y e c to ria d ir ig id a h a c ia e l p u n to
s in g u la r y , d e s p u é s d e p a s a r cerca
Fig. 6 3
d e l o r ig e n d e c o o rd e n a d a s , s e a le ja
c o n v e lo c id a d c re c ie n te . S i la v e lo ­
c id a d in ic ia l d e c re c e h a s ta e l v a lo r c r ític o c o rre s p o n d ie n te a l p u n to b,
e n to n c e s e l p u n to im a g e n s e a ce rca al p u n to s in g u la r c o n v e lo cid a d
d e c r e c ie n te y " a l c a n z a " e l o r ig e n d e c o o rd e n a d a s al c a b o d e un
tie m p o in fin ito . F in a lm e n te , si la v e lo c id a d in icia l e s m e n o r q u e el
v a lo r c r ític o y c o r r e s p o n d e , d ig a m o s , al p u n to c , e n to n c e s e l p u n to
im a g e n s e m u e v e h a c ia e l o r ig e n d e c o o rd e n a d a s c o n u n a v e lo cid a d
d e c r e c ie n te q u e s e a n u la a u n a d is ta n c ia i ,
d e l p u n to sin g u la r. E n
e l p u n to ( £ , , 0 ) e l v e c to r v e lo c id a d c a m b ia d e d ir e c c ió n y e l p u n to
im a g e n s e a le ja c o n v e lo c id a d c r e c ie n te d e l o r ig e n d e c o o rd e n a d a s.
166
8. M o vim ie n to en un m e d io co n roza m ie n to lineal
S i e l p u n to im a g e n co rre s p o n d ie n te al e s ta d o in icia l d e l sistem a
d in á m ic o s e e n cu e n tra e n u n o d e lo s tres c u a d ra n te s re s ta n te s , la
in te rp re ta c ió n d e l m o v im ie n to e s e v id e n te .
2 . S i k > 0 , e n to n ce s J * > 0 y e l v a lo r d el c o e fic ie n te c d e te rm in a
e l tip o d e l p u n to sin gu lar.
V eam os to d a s la s p o sib le s varian tes.
2 a ) Si c = 0 , e s d e cir, si n o h a y ro z a ­
m ie n to , e l p u n to sin g u la r e s u n ce n tro
(fig . 6 4 ). L o s m o v im ie n to s s o n p e rió ­
d ic o s y su a m p litu d d e p e n d e d e las
c o n d ic io n e s in icia le s.
F¡9- 6 4
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2 6 ) S i c > 0 , e s d e cir, si e l a m o rtig u a m ie n to e s p o sitiv o , e n to n c e s
la d iv e rg e n cia
D =
dX
—
dY
+ —
e s n e g a tiv a y, n a tu ra lm e n te , e l
p u n to im a g e n se m u e v e p o r tra y e c to ria s d ir ig id a s h a c ia e l o r ig e n de
c o o rd e n a d a s, a d o n d e lle g ará a l ca b o d e u n tie m p o in fin ito .
S e a m o s m á s p reciso s:
2 6 , ) S i A < 0 , e s d e cir, si c2 < 4A:, e n to n c e s e l p u n to s in g u la r
e s u n fo co (fig . 6 5 ), lo q u e sig n ific a q u e e l siste m a d in á m ic o realiza
o s cila c io n e s a m o rtig u a d a s co n a m p litu d d e c re c ie n te re s p e c to al e sta d o
d e eq u ilib rio .
262 ) S i A = 0 , e s d e cir, si <? = 4& , e n to n c e s e l p u n to s in g u la r e s u n
n o d o c o n u n a d ir e c c ió n e x ce p cio n a l d e p e n d ie n te n e g a tiv a (fig . 6 6 ). El
m o v im ie n to e s a p e r ió d ic o y co rre s p o n d e a u n a m o rtig u a m ien to crítico.
263 ) S i A > 0 , e s d e cir, si c 2 > 4A:, e n to n c e s e l p u n to s in g u la r e s
u n n o d o co n d o s d ire c c io n e s e x c e p c io n a le s d e p e n d ie n te s n e g a tiv a s
167
C apítulo 2. M éto d o s cualitativos d e análisis d e m odelos diferenciales
(fig. 67 ).
C u alitativa­
m en te, e l m ovim iento
d el sistem a d inám ico
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e s e l m ism o q u e en
e l ca so an terio r y co ­
rresp o nd e a un am or­
tig u am ien to d e las o s­
cilaciones.
D e lo s resu ltad os ob­
tenidos se infiere que
para c > 0 y k > 0
(el ro zam ien to e s p o­
sitiv o y la fuerza res­
tau rad o ra e s d e a tracció n ), e l sistem a d in ám ico tien d e al esta d o de
eq u ilib rio y e l m ov im ien to e s estab le.
2 c ) S i c < 0 , e s d ecir, e n c a so d e am ortig u am ien to n egativo, el
esq u em a cu a lita tiv o d el co m p o rtam ien to d e las tray ecto rias d e fase
168
8. M ovim ie n to e n un m e d io con roza m ie n to lin e a l
e s se m e ja n te a l e sq u e m a d e l c a so 2b), co n la ú n ica d ife re n c ia d e q u e
aq u í e l sistem a d in á m ico d eja d e s e r e sta b le .
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El d ia g ra m a e n la fig u ra 6 8 re ú n e lo s re su lta d o s o b te n id o s y m u estra
c ó m o se cla sifica n lo s p u n to s sin g u la re s e n fu n ció n d e lo s p a rá m e tro s
c y k . E ste d ia g ra m a s e p u ed e u tiliz a r c o m o u n re s u m e n d e lo s
re su lta d o s d e la in v e s tig a ció n s o b r e la cla sific a c ió n d e lo s p u n to s sin ­
g u la re s d el sistem a (1 2 2 ), c u a n d o e l ja c o b ia n o J ' ¿ 0 p ara c = - D '
y k = J\
S in e m b a rg o , en e l c a so g e n e r a l, la ig u a ld a d c = 0 n o
im p lica q u e e l sistem a (122) tien e u n c e n tro , y d e la ig u a ld a d k = 0
n o se p u e d e c o n c lu ir q u e el sistem a n o tien e u n p u n to sin g u lar. E stos
ca so s c o rre sp o n d e n a lo s p u n to s sin g u la re s co m p u e sto s , lo s c u a le s se
e x a m in a n m ás a d ela n te .
V o lvien d o a l siste m a d in á m ico a n a liz a d o e n e sta se c c ió n , s u b ra y e m o s
q u e si k = 0 ( c ¿ 0 ) , e l siste m a a u tó n o m o (145) co rre s p o n d ie n te a la
e c u a c ió n (1 4 4 ) a d o p ta la form a
C apítulo 2. M étodos cualitativos de análisis de modelos diferenciales
D e aqu í se d e d u ce q u e la recta y = 0 está d ensam ente poblada de
p u n tos singulares. El com portam iento de las trayectorias de fase se
m uestra e n la figura 69.
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Finalm ente, si A; = c = 0,
V = i
la
ecu ación
(144)
se
transform a en
X
d x
~dP
= 0,
y su sistem a correspon­
F ig . 7 0
dien te es
dx
dy
dt ~ y¡
dt~
Igual que en el ca so anterior, el eje x está d ensam ente poblado de
p untos singulares. El esquem a del com portam iento d e las trayectorias
d e fase se m uestra en la figura 70.
9. F lujo ad ia b ático e n una tobera
9. F lu jo a d ia b á tico e n u n a to b era
E l e s tu d io d e lo s flu jo s d e su sta n cia s v isco sa s c o m p r e s ib le s tien e u n a
g ra n im p o rta n c ia p rá c tica . E n p a rticu la r, lo s flu jo s d e e s te tip o se o ri­
g in a n a lre d e d o r d e las a la s y fu se la je s d e lo s a v io n e s; c o n e s to s flu jo s
está re la cio n a d o e l fu n cio n a m ie n to d e la s tu rb in a s d e g a s y v a p o r, de
lo s m o to re s d e p ro p u lsió n a c h o rr o y d e lo s re a c to re s n u clea res.
A n a lice m o s e l flu jo d e un g a s id e a l d e c a lo r e sp e c ífic o cp q u e p asa
p o r u n a tob era d e se c ció n v a ria b le A (fig. 7 1 ). V am os a su p o n e r q u e
e l flu jo e s u n id im e n sio n a l, e s d ecir, q u e to d a s s u s p ro p ie d a d e s so n
u n ifo rm e s e n u n a m ism a se c ció n d e la to b e ra . La fric c ió n e n la cap a
fro n te riz a e stá co n d icio n a d a p o r la
te n s ió n ta n g en cia l
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T = 9Py,
(146)
d o n d e q e s e l c o e ficie n te d e ro z a -
Fig. 71
m ie n to , e l cu a l d e p e n d e b á s ic a m e n ­
te d el n ú m e ro d e R e y n o ld s, p e r o s e su p o n e co n sta n te a lo la rg o de
la to b e ra ; p e s la d en sid a d d e m asa d el flu jo; y v , la v e lo c id a d d el
flu jo . P o r ú ltim o , a su m ire m o s q u e e l flu jo e s a d ia b á tic o , o se a , q u e n o
h a y resiste n cia in tern a a l m o v im ie n to , n o h a y co m b u stió n , c a m b io s
q u ím ic o s, e v a p o ra c ió n o c o n d e n sa c ió n , etcétera.
U n a d e la s e c u a c io n e s fu n d a m e n ta le s d el flu jo e s la ecu a c ió n d e
con tin u id ad , q u e e n e s te c a s o tien e la form a
w = pA v,
(147)
d o n d e la v elo cid a d w d e v a ria ció n d e la m a sa d e l flu jo e s c o n sta n te .
171
C a p itu lo 2. M é to d o s cualitativos de análisis de m odelos diferenciales
D e la ig u a ld a d (1 4 7 ) se d e d u ce que
dp
dA
p
A
— + —
dv
+ — = 0.
v
(148)
A n te s d e e sc rib ir la ecu a ció n d e la e n e rg ía total d el flu jo estacio n ario ,
su b ra y e m o s q u e e n e l c a so g e n e ra l e sta ecu a ció n relacion a la acción
d el tra b a jo e x te rio r y
de
la s
in flu en cias térm ica s ex terio res co n e l au m e
la e n ta lp ia y d e las en e rg ía s cin ética y p o ten cial d e l flujo. En el
c a so c o n sid e ra d o e l flu jo e s ad iab ático , p o r lo q u e la ecu ació n de
e n erg ía e s
0 = w (h + d h ) - w h +
f v2
( v2\ \
v2
— + d( — 1 ) - w —,
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o bien
dh + d (^ -\ = 0 ,
(149)
d o n d e h e s la e n ta lp ia d e l flu jo (p oten cial term od in ám ico ) a la
tem p e ra tu ra a b so lu ta T . C o m o d h = cp d T , la ecu a ció n (149) d e
e n e rg ía d e l flu jo to m a la form a
Cpd T + d ( j ^ \ = 0 .
(150)
O c u p é m o n o s ah o ra d e la o b te n ció n d e la ecu a ció n (d e can tid ad )
d e m o v im ie n to d e l flu id o. E n lo s p ro b lem as relacio n ad o s co n flujos
e sta cio n a rio s , u su a lm en te se em p lea la seg u n d a ley d e N ew ton .
172
9. R u jo adiabático e n una tobera
Su p on ien d o q u e e l án g u lo de d iv erg en cia d e la s p ared es d e la tobera
e s p eq u eñ o, la ecu ación d e m ovim ien to se pu ed e escrib ir así:
p A + p (LA - (p + dp)(A + dA ) - r dA = w dv,
o bien
—A d p - d A d p -
t
dA = w dv,
(151)
d ond e p e s la presión estática.
C o m o e l térm ino d A d p e s e l in finitésim o d e m ayo r ord en en la
ecu ación (151), siem p re se p u ede su p o n er q u e la ecu ación d e m ovi­
m ien to e s
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—A d p -
t
dA = w dv.
(152)
La variación del diám etro h idráu lico D a lo larg o d el e je d e la tobera
está d ad o p o r la fun ción D = F ( x ) , d o n d e x e s la co ord en ad a
en e l e je d e la tobera. D e la d efin ició n d e d iám etro h id ráu lico se
d ed u ce que
tA = HD rT eniendo en cuenta q u e
pV~
2
— 7 p M “, d o n d e
(153)
7
e s e l co eficien te d e
co n d u cción calorífica, y M e s e l n ú m ero d e M ach, la fórm u la (146)
se p u ede escrib ir en la form a
r = 9 7 p M -.
m
(154)
Capítulo 2. M étodos cualitativos de análisis d e m odelos diferenciales
Tom ando en consid eración la s igualdades (147), (153) y (154), a partir
d e (152) resulta la sig u ien te ecu ación d e m ovim iento del flujo:
D en otand o con y el cu adrad o del núm ero de M ach, en virtud de las
ecu aciones (148), (150) y (155), y tras una serie d e transform aciones
algebraicas, lle g a m o s10) a la ecu ación diferencial
dx
(1 - y )F (x )
(el apóstrofo indica la d erivada respecto a x).
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El d enom inad or del segu nd o m iem bro de la ecu ación (156) se anula en
y = 1, e s decir, cu an d o el núm ero d e M ach M = 1. E sto quiere decir
q u e las cu rv as integrales d e la últim a ecu ación cortan la llam ada linea
d e so n id o co n tang en tes verticales. P or cu anto e l segu nd o m iem bro de
la ecu ación (156) cam bia d e signo al pasar la línea de sonido, las líneas
integrales "d a n la v u elta", evitand o así los puntos d e inflexión. Del
sen tid o físico del fenóm eno se deduce que e l valor de x d ebe crecer
contin uam en te a lo largo d e las líneas integrales. Consiguientem ente,
la secció n d ond e las líneas integrales cortan la línea d e sonid o con
tang en tes v erticales d ebe ser la sección d e salida de la tobera. Así
p u es, e l paso d e un flujo subsónico a uno supersónico, y viceversa,
10) Kestin /., Zaremba S. K. One-dimensional high-speed flows. Flow pattems derived
for the flow oí gases through nozzles, including compressibilitv and viscosity effects //
Aircraft Engin. 1 9 5 3 . V .2 5 , N & 292. P. 1 7 2 - 1 7 5 ,1 7 9 .
174
9. Flujo ad ia b ático e n una to b era
p u e d e o c u rrir e n e l in te rio r d e la to b e ra ú n ica m e n te a tra v é s d e u n
p u n to sin g u la r c o n d ire c c io n e s e x c e p c io n a le s re a le s , e s d e cir, a tra v és
d e u n p u n to d e silla o d e u n n o d o .
L a s co o rd e n a d a s d e lo s p u n to s sin g u la re s d e la e c u a c ió n (156) se
d e te rm in a n a p a rtir d e la s ig u a ld a d e s
y' =
1,
F V ) =
79,
las c u a le s in d ic a n q u e lo s p u n to s sin g u la re s e s tá n d is p u e s to s en
la p a rte d e la to b era q u e se e n sa n c h a . U n p u n to d e s illa ap a re ce
c u a n d o J * < 0 , e s d e cir, c u a n d o F " ( x ' ) > 0 . E n v ista d e q u e q e s
u n a co n sta n te su ficie n te m e n te p e q u e ñ a , ce rca d e l c u e llo d e la to b e ra
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a p a re ce u n p u n to d e silla . U n n o d o a p a re ce s ó lo c u a n d o s e c u m p le la
co n d ic ió n F " ( i * ) < 0 . D e tal m a n e ra , u n n o d o se fo rm a e n la p arte
d e la to b e ra q u e s e e n cu e n tra d e sp u é s d e u n p u n to d e in flex ió n d el
perfil o , e n la p rá c tica , a cie rta d ista n cia d e l c u e llo d e la to b e ra , b a jo
la co n d ic ió n d e q u e el p erfil tie n e u n p u n to d e in flexió n .
D e la e c u a c ió n ca ra c te rística
F ( x ') \2 +
297(7 +
1)A -
2(7 +
1 )F V ) = 0
s e p u e d e v e r q u e la s d o s d ire ccio n e s e x c e p c io n a le s tie n e n p e n d ie n te s
c o n sig n o s c o n tra rio s e n e l c a so d e u n p u n to d e s illa , y c o n u n m ism o
s ig n o (n e g a tiv o ) en e l c a so d e u n n o d o . E s to sig n ific a q u e lo s p u n to s
d e silla s o n lo s ú n ico s q u e p e rm ite n e l p a so ta n to d e v e lo c id a d e s
s u b s ó n ic a s a su p e rs ó n ic a s c o m o d e su p e rs ó n ic a s a su b s ó n ic a s (fig . 72).
E n u n n o d o e s p o sib le s o la m e n te e l p a so c o n tin u o d e u n flu jo
su p e rs ó n ico a u n o s u b s ó n ic o (fig . 73).
175
C a p ítu lo 2. M é to d o s cu a lita tivo s d e análisis d e m o d e lo s d iferenciales
o
x
Fig. 72
Fig. 73
A h o ra b ie n , c o m o la e c u a c ió n (156) n o se p u e d e in te g ra r e n form a
c e r ra d a , p a ra las in v e s tig a c io n e s p o ste rio re s se h a c e n e ce sa rio em p le a r
m é to d o s d e in te g ra c ió n n u m érica . E n rela ció n co n e s to , d e sta q u e m o s
q u e lo m e jo r e s c o m e n z a r la c o n stru cció n d e la s cu a tro se p a ra trice s
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d e l p u n to d e s illa c o m o lín e a s in te g ra le s su p o n ie n d o q u e e lla s p arten
d e l p u n to sin g u la r. Y e sta c o n stru cció n se p u e d e re a liz a r p u e sto q u e
a p a rtir d e la e c u a c ió n ca ra c te rístic a p o d e m o s a v e rig u a r la d irecció n
d e la s d o s ta n g e n te s e n e l p u n to sin g u la r S ( x \ 1). Si n o to m a m o s en
c o n s id e ra c ió n e sta o b s e r v a c ió n y c o m e n z a m o s a se g u ir el m o v im ien to
to m a n d o c o m o p u n to s in ic ia le s, p o r e je m p lo , lo s p u n to s a y 6 de
la fig u ra 7 2 (s itu a d o s a la d o s d ife re n te s d e la se p a ra triz ), e n to n ce s
v e re m o s q u e lo s p u n to s c o rre s p o n d ie n te s s e m o v e rá n a lo la rg o d e
la s c u r v a s a y (3, la s c u a le s d iv e rg e n fu e rte m e n te y, p o r tan to, no
p ro p o rcio n a n n in g u n a in fo rm a c ió n so b re la lín e a in te g ra l q u e " e n tr a "
e n e l p u n to s in g u la r 5 . E n ca m b io , si n o s m o v e m o s p o r la línea
in te g ra l " p a r t ie n d o " d e l p u n to S y to m a n d o c o m o se g m e n to inicial
d e la lín e a in te g ra l u n se g m e n to d e la re c ta e x ce p cio n a l, e n to n ce s
e l e r r o r se p u e d e m in im iz a r si s e tien e e n c u e n ta la co n v erg en cia
d e la s lín e a s in te g ra le s e n
la d ir e c c ió n d e d e cre cim ie n to d e la
v a ria b le x .
176
10. Puntos d e equilibrio d e ord e n superior
En la fig u ra 7 2 se m uestra la d isp o sició n d e las líneas in teg rales en
u n en to rn o d el p u n to singular. La línea q u e pasa p o r el p u n to x ( del
cu ello d e la tobera co rresp on d e a lo s valores d o n d e e l nu m erad or
d el seg u n d o m iem bro d e la ecu a ció n (156) se an u la, m ostran d o la
existen cia d e p u n tos d e extrem o.
10. Puntos de e q u ilib rio
de orden superior
En las seccio nes p reced en tes h em o s estu d iad o lo s tip o s d e p u n tos
sin gu lares q u e se p resentan cu a n d o e l ja co b ia n o e s d iferen te d e
cero ( J *
0 ). Pero cu an d o, p o r ejem p lo , tod as las d eriv a d a s p arciales
hasta de ord en n inclu sive d e las fun ciones X e Y q u e ap arecen en
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lo s seg u n d os m iem bros d el sistem a (122) se anu lan, en u n en to rn o d e
u n p u n to sin gu lar so n po sibles infinitos esq u em as d e co m p o rtam ien to
d e las tray ectorias d e fase. Al m ism o tiem po, si exclu im os d el an álisis
lo s p u n tos d e equ ilib rio tip o s cen tro y foco, en to n ces resulta q u e el
en to rn o del pu nto sin g u lar se p u ed e d iv id ir en un n ú m ero finito
de sectores p erten ecien tes a lo s tres tip o s están d ar: h ip erbó lico s,
p arab ólicos y elíp ticos. A ntes d e estu d ia r co n m a y o r d e ta lle esto s
secto res, h arem o s una serie d e su p osicio n es q u e sim p lificarán la
inv estigación posterior.
A nte todo, vam os a co n sid erar q u e e l o rig en d e co o rd en ad as ha
sid o traslad ad o al pu nto singu lar, o sea , x ‘ = y ' = 0 ; lo s seg u n d os
m iem bros del sistem a (122) se p u ed en escribir e n la form a
X (x , y ) = X n(x , y) + $ ( z , y),
Y {x , y ) = Yn{x , y ) + '¡’(x l y),
C a p ítu lo 2 . M é to d o s cualitativos d e análisis d e m odelos d ife re n cia le s
d o n d e X n e Yn so n p o lin o m io s h o m o g é n e o s d e g ra d o n re sp e cto a las
v a r ia b le s x e y (u n o d e e s to s p o lin o m io s p u e d e se r id é n tico a cero );
y e n u n e n to rn o d el o r ig e n d e co o rd e n a d a s la s fu n cio n e s $
y ^
p o s e e n d e r iv a d a s p a rc ia le s c o n tin u a s d e p rim e r o rd e n . S u p o n d rem o s,
a d e m á s , q u e e n e s e m is m o e n to rn o d e l o r ig e n d e co o rd e n a d a s la s
fu n c io n e s
■fr(s-y)
y)
(X2 + y2)(n+l)/2'
(g.2 _j_ y2yi/2'
*¿x,y)
- f y 2)n! 2'
M x .y )
9 J x .y )
9 f ( x .y )
( i 2 + v 2)<"+D/2'
( x 2 + y 2)"/1 '
( i 2 + y 2)"'2
e s tá n a c o ta d a s.
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B a jo e s ta s c o n d ic io n e s s o n v á lid a s la s s ig u ie n te s a firm a cio n e s:
1.
P a ra e l siste m a d e e c u a c io n e s (1 2 2 ) c o n s e g u n d o s m ie m b ro s d e la
fo rm a (1 5 7 ), to d a tra y e c to ria q u e " e n t r e " e n e l o r ig e n d e co o rd e n a d a s
c o n ta n g e n te d e fin id a e s ta n g e n te a un a d e la s re c ta s e x ce p cio n a le s
x Y n( x , y ) - y X n( x , y ) = 0.
(158)
D a d o q u e la s fu n cio n e s X n e Yn s o n h o m o g é n e a s , la e c u a c ió n (158)
s e p u e d e e s c rib ir c o m o u n a e c u a c ió n re s p e c to a la p e n d ie n te A =
E n e s t e c a so la re c ta e x c e p c io n a l se lla m a sin g u la r si se cu m p le n las
ig u a ld a d e s
X n{x , y ) = Yn{x , y ) = 0.
L a s re c ta s d e la fig u ra 6 2 so n e je m p lo s d e e s te tip o d e re c ta . L as
re c ta s (1 5 8 ) n o sin g u la re s s e d e n o m in a n regu lares.
178
10. Puntos d e e q u ilib rio d e ord e n su p e rio r
2. P ara in v e stig a r e l co m p o rtam ien to d e las tra y e cto ria s d e fase
d el sistem a (122) en u n en to rn o d e u n o d e lo s d o s h aces q u e
"p a r te n " d el o rig e n d e co o rd en a d a s y fo rm a n la recta e x ce p cio n a l,
basta co n sid e ra r u n círcu lo su ficien tem e n te p eq u eñ o (co n ce n tro en
e l o rig e n d e co o rd en ad a s) en e l q u e s e e lig e un se c to r aco ta d o
p o r d o s rad ios situ a d o s su ficien tem en te ce rca a am b o s la d o s d e la
sem irrecta. E ste se cto r se co n o ce co m ú n m en te c o n e l n o m b re de
d om in io n orm al d e From m er. Se am o s m á s p reciso s: en e l c a so d e
u n a recta exce p cio n a l regu lar, co rresp o n d ien te a u n fa cto r lin eal
e n la ecu a ció n (1 5 8 ), e l d o m in io n o rm a l v isto en un círc u lo de
rad io su ficien tem en te p eq u eñ o p u ed e se r a tray en te (d o m in io norm al
d e p rim er tipo) o repelen te (d om in io n o rm a l d e segu n do tipo).
2 a ) U n d om in io norm al de p rim e r tip o se ca ra cteriz a p o r e l h e ch o de
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q u e to d a tra y ecto ria q u e p ase p o r é l alcan za e l o rig e n d e co o rd en a d a s
e n la d irecció n d e la ta n g en te q u e c o in cid e co n la recta exce p cio n a l
(fig. 74).
F ig . 7 4
Fig. 75
2 6 ) U n d o m in io n o rm al d e seg u n d o tip o se ca ra cteriz a p o r el h e ch o
de q u e só lo u n a d e las tra y ecto ria s d e fa se q u e p asa p o r é l alcanza
e l p u n to sin g u lar e n la d irecció n d e la tan g en te q u e co in cid e c o n la
recta excep cion al. L as d em á s tray ecto rias d e fase d el sistem a (122)
q u e e n tra n en el d o m in io n o rm al a tra v és d e la fron tera d el círcu lo
lo aban d o n an atrav esan d o u n o d e lo s rad io s q u e lo a co ta n (fig. 75).
C a p ítu lo 2. M é to d o s c u a lita tiv o s d e análisis d e m o d e lo s d ife re n cia le s
P r e s te m o s a te n c ió n a l sig u ie n te h e ch o . S i e l c ír c u lo c o n c e n tr o e n e l
o r ig e n d e c o o r d e n a d a s e s s u fic ie n te m e n te p e q u e ñ o , e n to n c e s lo s d o s
tip o s d e d o m in io s n o r m a le s c o n s id e ra d o s se p u e d e n c la s ific a r se g ú n
e l c o m p o r ta m ie n to d e l v e c to r ( X , Y ) e n la fro n te ra d e l d o m in io .
A d e m á s , e l c o m p o rta m ie n to d e l v e c to r ( X , Y ) se p u e d e id e n tifica r
c o n e l d e l v e c to r ( X n,Y n). In c lu s o se p u e d e m o stra r q u e si, c o m o
s e h a s u p u e s to , la d ir e c c ió n e x c e p c io n a l d a d a n o c o rre s p o n d e a u n a
r a íz m ú ltip le d e la e c u a c ió n c a r a c te r ís tic a , e n to n c e s e l v e c to r v is to en
u n o d e lo s r a d io s q u e lim ita n e l d o m in io n o rm a l e s tá d ir ig id o b ie n
h a c ia e l in te rio r, b ie n h a c ia e l e x te r io r d e l d o m in io . S i e n e l p rim e r
c a s o e l v e c to r, v is to e n e l a r c o d e circ u n fe re n c ia d e la fro n te ra , e stá
d ir ig id o h a c ia e l in te rio r, y e n e l se g u n d o c a s o e stá d ir ig id o h a c ia
e l e x te rio r, e n to n c e s e l d o m in io n o rm a l e s d e p rim e r tip o . S i tien e
lu g a r la s itu a c ió n c o n tr a r ia , e l d o m in io n o rm a l e s d e se g u n d o tip o.
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E n c u a lq u ie r c a s o , e l v ecto r, v is to e n e l a r c o d e c ircu n fe re n cia d e
la fro n te ra , sie m p re e stá d ir ig id o b ie n h a c ia e l in te rio r b ie n h a c ia e l
e x te r io r d e l d o m in io , p u e s to q u e e s c a s i p a ra le lo a l rad io.
L o s d o m in io s n o rm a le s c o rre s p o n d ie n te s a d ir e c c io n e s e x c e p c io n a le s
s in g u la r e s o a ra íc e s m ú ltip le s d e la e c u a c ió n c a ra c te r ís tic a , s o n d e
n a tu r a le z a m á s c o m p le ja , y e n v ista d e q u e c a si n u n c a se p resen tan ,
n o lo s c o n s id e r a r e m o s e n e l p re se n te trab ajo .
U n p u n to d e silla a d m ite c u a tr o d o m in io s n o rm a le s d e p rim e r tip o.
E n u n e n to r n o d e u n n o d o h a y d o s d o m in io s n o rm a le s d e p rim e r
t ip o y d o s d e s e g u n d o tip o.
3.
S i e x is te n re c ta s e x c e p c io n a le s re a le s , e n to n c e s e l e n to rn o d e l p u n to
s in g u la r s e p u e d e d iv id ir e n u n n ú m e ro fin ito d e s e c to re s , c a d a u n o
lim ita d o p o r d o s tra y e c to ria s d e fa se d e l siste m a (1 2 2 ) q u e e n tr a n en
e l o r ig e n d e c o o rd e n a d a s c o n ta n g e n te d e fin id a . C a d a u n o d e e sto s
s e c to r e s p e r te n e c e a u n o d e lo s tr e s tip o s sig u ie n te s :
m
10. P untos d e e q u ilib rio d e o rd e n s u p e rio r
3 a ) U n se c to r e líp tic o q u e c o n tie n e in fin ita s tra y e c to ria s d e fa se c o n
fo rm a d e b u c le , la s c u a le s p a sa n p o r e l o r ig e n d e c o o rd e n a d a s y so n
ta n g e n te s a lo s la d o s d e la fro n te ra d e l s e c to r (fig . 76).
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36)
U n se c to r p a ra b ó lic o d e n sa m e n te p o b la d o d e tra y e c to ria s d e fa se
q u e u n e n e l p u n to sin g u la r c o n la fro n te ra d e l e n to rn o (fig . 77).
3 c ) U n se c to r h ip e r b ó lic o d e n sa m e n te p o ­
b la d o d e tra y e c to ria s q u e s e a c e r c a n a la
fro n te ra e n a m b a s d ire c c io n e s (fig . 78).
H a b le m o s c o n m á s p re cisió n :
4 a ) L o s se c to re s e líp tic o s s e fo rm a n e n tre
d o s tra y e c to ria s p e r te n e c ie n te s a d o s d o m i­
n io s n o rm a le s c o n se c u tiv o s d e p rim e r tip o.
4 6 ) L o s s e c to re s p a ra b ó lic o s se fo rm a n e n tr e d o s c u r v a s d e fase
p e r te n e c ie n te s a d o s d o m in io s n o rm a le s c o n s e c u tiv o s , u n o d e p rim e r
tip o y o tr o d e s e g u n d o tip o . T o d a s la s c u rv a s d e fa se q u e p a s a n p o r
e s te se c to r s o n ta n g e n te s e n e l p u n to s in g u la r a la re c ta e x c e p c io n a l
q u e d e fin e e l d o m in io d e p r im e r tip o.
181
C apítulo 2. M éto d o s cualitativos d e análisis de m odelos diferenciales
4 c ) Los secto res hip erbó lico s se form an en tre d o s tray ectorias p erte­
n e cien tes a d o s d om in ios n o rm ales co n secu tiv os d e seg u n d o tipo.
Se p u ed en d istin g u ir cu atro secto res hiperbólicos en un p u n to de
silla y cu a tro secto res p arab ólicos en u n nodo. L o s secto res elípticos
n o ap a recen e n e l ca so de lo s p u n tos sin gu lares sim ples, cu and o el
jacob ian o e s d iferen te d e cero ( J * jé
0 ).
En un en to rn o d e u n p u n to sin gu lar q u e n o perm ite la existen­
cia d e d ireccion es e xce p cio n ales reales, las cu rv a s d e fase tienen
o b lig a to ria m en te estru ctu ra d e cen tro o de fo c o n ) .
11. Inversión y coordenadas
hom ogéneas
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En las seccio n es a n terio res exp u sim os a lg u n o s m éto d o s p ara d eterm i­
n ar e l co m p o rtam ien to local d e las tray ectorias de fase d e lo s sistem as
d iferen ciales tip o (122) en u n en to rn o d e un p u n to singular. A unque
en m u ch os caso s toda la inform ación necesaria se p u ede ob tener de
esta m an era, e s posible q u e ten g am os q u e exam in ar e l com p orta­
m ien to d e las tray ecto rias e n sitios d el p la n o d e fase infinitam ente
alejad os, cu a n d o x 2 + y2 — oo . El m éto d o m ás sim p le d e estudio
d el co m p o rta m ien to asin tó tico de las tray ectorias d el sistem a ( 122)
co n siste en transform ar e l sistem a inicial, p o r ejem p lo , m ed ian te la
inversión
U ) L o s m é t o d o s p a r a d if e r e n c ia r u n c e n t r o d e u n fo c o s e p u e d e n %'er, p o r e je m p lo , en
e l lib r o d e V. V. A m e lk in , N . A . L u k a s h é v ic h y A . P. S a d o v s k i " O s c i la c io n e s n o lin e a le s
e n s is t e m a s d e s e g u n d o o r d e n " , M in s k , 1 9 8 2 ( e n r u s o ).
182
11. Inversión y coordenadas hom ogéneas
i.
V
« ,,
s ’ + y2 ' *
i
\
(159)
*2 + 3, 2/ '
la cu a l p erm ite a n a liza r e l p u n to e n e l in finito . La tra n sfo rm a ­
c ió n (159) tran sfo rm a
el o rig e n d e co o rd e n a d a s
e n e l p u n to del
in finito , y vicev ersa. C u a lq u ier p u n to fin ito M ( x ,y )
d e l p la n o d e
fase se tran sfo rm a m ed ian te (159) e n u n p u n to M '(£ , tj) d e l m ism o
p la n o , v e rificá n d o se q u e M y M ' está n
e n u n a m ism a sem irrecta q u e p arte del
o rig e n d e co o rd e n a d a s, d e m an era que
O M •O A i ' = r 2 (fig. 79). C o m o se sab e,
d ich a s in v ersio n e s tran sfo rm an la s cir­
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cu n feren cia s e n circu n feren cia s (las lín e­
a s re cta s so n circu n feren cias q u e pasan
p o r e l p u n to d el in finito ). E n p a rticu ­
Fig. 79
lar, las lín ea s recta s q u e p a sa n p o r e l
o rig e n d e co o rd en a d a s so n in v arian tes
resp ecto a la tran sfo rm a ció n (159). P o r esto , la s p e n d ie n te s d e las
d ire ccio n e s asin tó tica s so n las p e n d ie n te s d e las ta n g e n te s e n el n u ev o
o rig en d e co o rd e n a d a s ^ = rj = 0 . E n la g ra n m a y o ría d e lo s caso s
e l n u ev o o rig en d e co o rd en ad as e s u n p u n to sin gu lar. L a s ca u sa s d e
e s te h e ch o será n exa m in a d a s p o steriorm en te.
E n lo referen te a la co n stru cció n e n el p la n o inicial ( x , y ) d e un a cu rv a
q u e p o se a u n a d ire cció n asin tó tica d e te rm in a d a , es d ecir, u n a tan g en te
d efinid a en e l o rig e n d e co o rd e n a d a s e n
d e b e co m e n z a r p o r su co n stru cció n e n
e l n u e v o p la n o (£ , tj), se
e l p lan o (£, rj), d ig a m o s, en
u n círcu lo u n id ad d e (£ , rj). D e h e ch o , d a d o q u e (159) tran sfo rm a
to d o círcu lo u n id ad e n s í m ism o , e n to n ces sie m p re se p u e d e h a lla r
183
C a p ítu lo 2. M é to d o s cu a lita tivo s d e análisis d e m o d e lo s d ife re n cia le s
u n p u n to d e in te rs e c c ió n d e la cu rv a c o n la c ircu n fe re n cia u n id a d en
e l p la n o ( x , y ); e l a n á lis is p o ste rio r se re aliza d e la m a n era u su al.
N ó te s e q u e e l co m p le ta m ie n to d el p la­
n o ( x , y ) c o n e l p u n to d el in fin ito es
to p o ló g ic a m e n te e q u iv a le n te a la in ­
v e rs ió n d e la p ro y e cció n e stereo g rá fica
(fig . 80), la c u a l tra n sfo rm a lo s p u n to s
d e la e s fe ra e n e l p la n o ta n g e n te a ella
e n e l p u n to 5 . El ce n tro N d e la p ro­
y e c c ió n e s d ia m e tra lm e n te o p u e s to al
p u n to 5 . E s e v id e n te q u e e l c e n tr o N
d e la p ro y e cció n c o rre s p o n d e al p u n to
d e l in fin ito e n e l p la n o ( x ,y ) . R ecíp ro ­
c a m e n te , si tra n s fo rm a m o s e l p la n o e n la e sfe ra , e n to n c e s u n ca m p o
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v e c to ria l e n e l p la n o s e tra n s fo rm a e n u n c a m p o v e c to ria l e n la e sfe ra ,
y e l p u n to d e l in fin ito p u e d e re s u lta r u n p u n to sin g u la r e n la e sfe ra .
S in e m b a rg o , se d e b e te n e r p re se n te q u e a p e sa r d e q u e e l m éto d o
d e in v e rsió n e s m u y ú til, é l resu lta m u y in có m o d o y re q u ie re cá l­
c u lo s v o lu m in o s o s c u a n d o e l p u n to sin g u la r e n e l in fin ito tien e una
e stru c tu ra co m p lic a d a . E n e s to s c a s o s s e p u e d e u tiliz a r o tra tra n sfo r­
m a c ió n m á s c ó m o d a d e l p la n o ( x , y ), la s d e n o m in a d a s co ord en a d a s
hom ogén eas
E sta tra n s fo rm a c ió n le p o n e en co rre s p o n d e n cia a c a d a p u n to ( x , y)
u n a te rn a d e n ú m e ro s re a le s { i , i } , z ) n o to d o s ig u a le s a c e ro si­
m u ltá n e a m e n te ; a d e m á s , p a ra to d o real k
( , krj, k z ) n o se d ife re n c ia n e n tr e sí.
184
^
0,
la s te m a s (£ , t¡ ,
z
) y
11. Inversión y coordenadas homogéneas
Si ( x , y ) e s un p u n to finito, en to n ces z
0 . S i z = 0 , o b ten em o s una
recta en e l infinito. El p la n o (x , y) co m p letad o co n u n a recta e n el
infinito se llam a p latio proyectivo. D icha recta p u ed e co n te n e r v ario s
p u n tos sin gu lares, cu y a natu raleza es, po r lo gen eral, m ás sim p le qu e
la d e los p u n tos sin gu lares o b ten id o s m ed ian te una inversión .
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S i co n sid eram os un h a z d e rectas y d escrib im os alred ed o r d e su
cen tro una esfera de rad io ig u al, p o r ejem p lo , a la un idad , en to n ces
cad a recta d el haz se co rtará co n la esfera en d o s p u n tos d iam e­
tralm en te op uestos. D e a q u í se d ed u ce q u e to d o p u n to d el plano
p ro y ectiv o se transform a d e m o d o b iu n ív o co y co n tin u o en un par
d e p u n tos d iam etralm en te o p u esto s de la esfera un idad . D e este
m od o, e l p la n o p royectivo se p u ed e v er co m o e l co n ju n to d e tod os
lo s p are s de p u n tos d iam etralm en te o p u esto s de la esfera unidad.
Para im ag in am os el plano p ro y ectiv o e s su ficien te co nsid erar, po r
ejem p lo , la m itad inferior d e la esfera y v er su s p u n to s co m o pun­
tos d el p la n o p royectivo. P roy ectan d o orto g o n alm en te la sem iesfera
inferior en el plano a tang en te a la esfera e n e l p o lo 5 (fig. 81), el
plano p ro y ectiv o se transform a en un círcu lo unidad e n el q u e lo s
p u n tos d iam etralm en te o p u esto s d e la frontera se id en tifican. C ada
185
C apítulo 2. M éto d o s cualitativos d e análisis de m odelos diferenciales
p a r d e p u n to s d ia m etra lm en te o p u esto s de la frontera correspon­
d e a u n a recta im p rop ia (in fin itam ente alejad a), cu ya u n ión co n el
p la n o e u c líd e o lo tran sfo rm a e n u n a su p erficie cerra d a : e n e l plano
p ro y ectiv o .
12. F lu jo de un gas ideal
en un conducto rotatorio
de diám etro constante
En a lg u n o s sistem a s d e h elicó p teros y av io n es tu rb oh élice, a s í co m o
e n las tu rb in as d e reacció n , la m ezcla g aseo sa d e co m b u stible se
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h a c e p a sa r p o r c o n d u cto s ro ta to rio s d e se cció n transversal constan te
situ a d o s en la p aletas d el co m p reso r y unidos m ed ian te un eje
v ertica l h u eco . P ara e sta b lece r la s co n d icio n es óp tim a s d e rotación
e s n e ce sario a n a liz a r e l p aso d e la m ezcla p o r el co n d u cto rotatorio
y rela cio n a r la so lu ció n co n las co n d icio n es d e co n to rn o pro p ias del
co n d u cto . En la p a le ta , e l g a s g ira ju n to co n ésta alred ed o r del eje
co n v elocid ad an g u lar co n stan te a; y se m u ev e resp ecto al co nd u cto
dv
co n a celera ció n v — , d o n d e v e s la velocid ad d e una p artícu la de
g a s resp ecto a l co n d u cto , y r , la co o rd en ad a, m ed id a a lo larg o d e la
paleta ro tatoria d el com presor.
En la figura 8 2 se presenta e l esq u em a del co n d u cto ro tatorio de
un a p a leta d el co m p re so r 12\ S e su p o n e q u e la m ezcla de estado
1:1 Kestín /., Zaremba S . K.
A d ia b a t ic o n e - d im e n s io n a l flovv o f a p e r f e c t g a s th ro u g h
a r o t a t ir ig t u b e o f u n if o r m c r o s s - s e c t io n / / A e r o n a u t . Q u a r t . 1 9 5 4 . V .4 . P. 3 7 3 - 3 9 9 .
12. Flujo en un conducto rota to rio d e diá m e tro constante
inicial co n o cid o se su m in istra p o r u n eje h u eco a la ca v id a d en
e l e je d e ro tació n , y q u e la velocid ad del flu jo en la ca v id a d es
d esp reciab le. D en otem os co n a la fron tera d e p erm an en cia del gas
e n la ca v id a d . Su p o n d rem o s q u e e l g a s e s u n g as id e a l co n calo r
esp ecífico co n stan te. El co eficien te d el p ro ceso iso en tró p ico (e s decir,
7
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del p ro ceso a d ia b á tico reversible) se rep resen tará co n la letra
.
A d em ás, se su p o n e q u e e l g a s se d ilata e n la tob era q u e term in a
e n la se cció n
6,
secció n q u e, a su v ez, e s la en trad a a l co n d u cto de
d iám etro co n stan te. A su m am os q u e la d ila ta ció n d el g a s d el e sta d o a
a l estad o b e s iso en tróp ica; rep resen tem o s co n u , la v elo cid ad d el gas
d esp u és d e la d ilatación , y la d ista n cia d e sd e el eje d e ro tació n O ,
hasta la secció n
6,
m ed ian te r , .
A l p a sa r a través d el can al d e secció n tran sversal co n sta n te de
área A y d iá m etro h id rá u lico D , e l g a s se acelera b a jo la acción
co m b in ad a d el g rad ien te d e p re sió n y d e la a celera ció n d in ám ica en
la paleta ro tatoria d el co m p resor. D esp reciarem o s tanto la influen cia
d el ca m b io de n iv el d e presió n (si existe ta l ca m b io ) co m o la v ariación
d e lo s g ra d ie n te s d e p resió n q u e a ctú a n so bre e l p la n o d e la secció n
transversal y q u e so n co n secu en cias d e las aceleracio n es d e C o riolis.
Esta últim a su p o sició n req u iere, en g en e ra l, v erificación exp erim en tal,
187
C a p ítu lo 2. M é to d o s cualitativos d e análisis d e m odelos diferenciales
y a q u e la e x iste n cia d e g ra d ie n te s tra n sv e rsa le s d e p re sió n p u ed e
s e r la ca u sa d e la a p a rició n d e flu jo s ad icio n a les. S in em b a rg o , si el
d iá m e tro d el co n d u c to e s p e q u e ñ o e n co m p a ra ció n c o n su lon g itu d ,
d ic h a su p o s ic ió n e s v álid a.
A h o ra e s cla ro q u e las e c u a c io n e s d e m o v im ie n to y d e e n erg ía d e la
m e z cla c o m p rim id a q u e p a sa p o r u n co n d u cto d e se c ció n tran sversal
co n sta n te y e n e s ta d o d e rep o so , d e b e n c a m b ia r su fo rm a en virtud
d e la fu erz a d e in ercia . E n c u a n to a la e c u a c ió n d e co n tin u id a d , su
fo rm a n o v a ría .
S u p o n g a m o s ta m b ié n q u e a p a rtir d e la secció n c situ a d a al fin al del
co n d u c to , e l g a s se co m p rim e d e m o d o iso en tró p ico al p a sa r p o r la
to b e ra q u e s e e n sa n c h a . E l g a s p a sa a l e sta d o d e rep o so re sp e cto a la
p a le ta d e l c o m p r e so r e n la se g u n d a ca v id a d a u n a d ista n cia r 3 d el eje
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d e ro ta c ió n , y a lca n z a u n a p re sió n igual a P d y un a tem p e ra tu ra Td.
D e s d e la se g u n d a ca v id a d e l g a s se d ila ta iso e n tró p ica m e n te p o r la
to b era d e se c ció n tra n sv ersal d e cre cie n te (o d e cre cie n te -cre cie n te ), de
m o d o q u e a b a n d o n a la ca v id a d fo rm a n d o u n á n g u lo recto co n e l eje
d el c o n d u c to . A sí, a p a re ce u n a fu erz a d e e m p u je co n d icio n a d a po r
la e x iste n cia d e u n m o m e n to d e torsió n.
E n lo su c e siv o , p ara sim p lifica r la e x p o sició n co n sid era rem o s que
la to b e ra se e stre c h a y q u e e l área d e la se c ció n tra n sv ersal de
sa lid a e s A '. D e n o te m o s la p re sió n e x te rio r (p resió n atm o sférica)
m e d ia n te P a , y a n a lic e m o s d o s c a s o s d el p a so d e la m ezcla p o r
P
la to b e ra . P rim e ro , c u a n d o la rela ció n
su p era e l v alo r crítico ,
PA
e s d e cir, cu a n d o
5 . > (
2 V /(T" 1>
Pt
V 7 + 1)
188
12. Flujo e n un conducto rota to rio d e d iá m e tro constante
E n e s te caso , el flu jo en la sa lid a d e la tob era e s su b só n ico , im p lican d o
q u e la presión P 3 e s igual a la p resió n atm o sférica :
P.
El se g u n d o c a so se p re sen ta cu an d o la rela ció n ~
e s m en o r q u e el
Pd
v a lo r crítico , o sea , cu a n d o
A q u í la p re sió n P 3 e n la sa lid a d e la tob era tien e u n v alo r fijo q u e
d e p e n d e d e la p re sió n P d, p ero n o d e la p re sió n P a . D e este m o d o ,
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En e ste ú ltim o ca so , e l flu jo e n la salid a d e la tob era p o se e la v elocid ad
d el so n id o
d o n d e e l v a lo r d e la m agn itu d a d d ep en d e ú n icam en te d e la tem p e­
ratura Td.
E n e l an á lisis fu tu ro su p o n d rem o s q u e e l flu jo e s a d ia b á tico en
tod as p artes, y q u e e s iso en tró p ico sa lv o en e l tram o d el co n d u cto
co m p ren d id o e n tre las seccio n es b y c.
A l igual q u e e n el c a s o d e la d e d u cció n d e la ecu a ció n d iferen cial del
flu jo a d ia b á tico d e u n gas id eal en u n a tob era d e d iám etro variab le,
189
C a p ítu lo 2. M é to d o s cualitativos d e análisis d e m od e lo s diferenciales
n o s d e te n d re m o s e n la s e cu a cio n e s d e co n tin u id a d , d e m o v im ien to y
d e e n erg ía . La e c u a c ió n d e co n tin u id a d e n e s te caso tien e la form a
v
v , A*
* = K = ^ T
(160)
= c o n st'
d o n d e V e s e l v o lu m e n e sp e cífico y ^ e s la d en sid ad d e m asa del
flu jo. E scrib ie n d o (1 6 0 ) d e o tra m a n era , resulta
m
* mTd o n d e m ! e s la m asa d el flujo.
P a ra o b te n e r la e cu a ció n d e m o v im ie n to h arem o s uso d e la fi­
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g u ra 8 3 . N ó te s e q u e la a c c ió n d in á m ica d el m ov im ien to ro tatorio
d e la p aleta d el co m p reso r se
^ .v + dv
p u ed e u tilizar p a ra d escrib ir el
m o v im ien to d el flu jo resp ecto al
Z- r + d p
rZ
r
V
'7 7 7 7 7 T ?y?7 Sy y 7 S/ 77
r. + dr
co n d u cto e n m ovim ien to , d o n ­
d e , d e a cu e rd o c o n e l p rin cip io
d e D 'A lem b ert, s e su p o n e que
. .
la fu erz a d e inercia
Fig. 83
d i = — t/Tr d r
a ctú a e n la d ire cció n p o sitiv a r . E n to n ce s e l elem e n to d e m asa
A
dv
d m = — d r se m u e v e c o n a celera ció n v — b a jo la a cció n d e la fuerza
V
dr
d e in ercia d i , d e la p re sió n A d P y d e la fu erza d e ro zam ien to
dF =
4A
A quí r =
v2
A — , d o n d e A d e p e n d e d el n ú m ero de
190
12. Flujo en un conducto rotatorio de diám etro constante
R eyn old s. E n u n a p rim era a p ro xim ació n se p u ede co n sid erar q u e A
e s una m agnitu d co n stan te a lo larg o d e tod o e l co n d u cto. T eniendo
en cu en ta esto, la ecu a ció n d e m ovim ien to se escribe en la form a
A
dv
2A A v2
V
dr
VD
— d r v — = —A d P
A ,
d r + — to r d r,
V
o , d esp u és d e sim plificar,
V d P + v dv + ^ t >2 d r - w3r d r = 0 .
(161)
La ecu ación d e en erg ía se ob tien e fácilm ente co n ayu d a del prim er
principio d e la term od in ám ica para sistem as cerra d o s y ten ien d o
p resente que la can tid ad de trabajo realizad o p o r e l sistem a e s w 2r d r .
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0
D e este m odo,
d h + v d v - w 2r d r =
,
d o n d e h e s la entalpia.
D eterm inan do la velocid ad a d el so n id o co n la fórm ula
7 -1
obtenem os que
7 _ 1
a d a + —- — v d v
D e aq u í, la ecu ación d e en erg ía es
7 - 1
— w2r d r =
0.
C a p ítu lo 2. M é to d o s cu a lita tivo s d e análisis d e m o d e lo s d iferenciales
In tr o d u c ie n d o la s m a g n itu d e s a d im e n s io n a le s
v
M„ = — ,
x —
tv2D 2
G2= — r - ,
r
(163)
D
lle g a m o s a la ig u a ld a d
2
0
2
'
g
V .
(164)
D e s p e ja n d o la p re sió n y e l v o lu m e n e sp e c ífic o d e la s e cu a cio n e s
fu n d a m e n ta le s (1 6 0 ), (1 6 1 ) y (1 6 4 ), e s p o sib le o b te n e r u n a e c u a ­
c ió n q u e re la c io n e la m a g n itu d a d im e n s io n a l Afg co n la d istan cia
a d im e n s io n a l. E sta e c u a c ió n e s p re cisa m e n te la e c u a c ió n d ife re n ­
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c ia l fu n d a m e n ta l p a ra la re so lu ció n d e l p ro b lem a a n a liz a d o . D e la
e c u a c ió n d e co n tin u id a d (1 6 0 ) s ig u e q u e
V =
T o m a n d o e n c o n s id e ra c ió n la s ig u a ld a d e s
í . r P
r .
a p a rtir d e la e c u a c ió n (162) o b te n e m o s
(165)
12 .
R u jo en un co n d u cto rota to rio d e d iá m e tro constante
V d e la e c u a c ió n (165) y
S u stitu y e n d o e l v a lo r d e
dP
—
d e la
ecu a ció n (1 6 6 ) e n la e cu a ció n d e m o v im ie n to (1 6 1 ) y te n ie n d o en
cu en ta las e x p re sio n e s (163), re su lta la e c u a c ió n d iferen cia l
(167)
H acien d o
Mq = y,
m = 2 X j,
P = ^ (7 + 1)/
í = j ( 7 “ *)>
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la e cu a ció n (1 6 7 ) s e p u e d e e s c rib ir co m o
dy _
2 y ( m y - G 2z )
dx
1 - p y + q G 2x 2
(168)
La ecu a ció n d ifere n cia l (168) e s n u e stro o b je to d e in v e s tig a ció n
p o sterio r. E l ca m b io d e v a ria b le (159) re d u c e la e c u a c ió n (168) a la
form a
dn
^ [ t e W
)
( í 2- ^ ) [ ( í
2- P q U
W ) + < ? G 2¿ 2] + ^ ( T72- ¿
2+ V 2) 2- p - / ( í 2+>/2) + ? G 2í 2] +
2) ( m ,7
- G 2£ )
4 í^ (m ^ -G
2í )
'
(169)
Es cla ro q u e e l o r ig e n d e co o rd e n a d a s e s u n p u n to sin g u la r d e la
ecu a ció n (169). T a n to e n e l n u m e ra d o r c o m o e n e l d e n o m in a d o r, lo s
térm in o s d e m e n o r o r d e n so n lo s d e se g u n d o o rd e n . Si d e sp re c ia m o s
lo s térm in o s d e ó rd e n e s su p e rio re s (co m o se d e s c rib e e n la p á g in a 177,
193
C a p itu lo 2. M é to d o s cualitativos d e análisis d e m odelos diferenciales
c u a n d o a n a liz a m o s lo s p u n to s d e eq u ilib rio d e o rd en su p erio r),
o b te n em o s q u e
Y<(í, v) =2qG2? V+2 V(V2- í2) (mi) - G2(),
Xtf.v) =?G2í2(í2- !?2) +4í-r(rm, - G2().
lo q u e sig n ifica q u e e l o rig e n d e co o rd e n a d a s e s u n p u n to sin g u la r de
o r d e n su p erio r. La ecu a ció n ca ra cterística sim p lificad a d e la ecu ación
d ife re n cia l (1 6 9 ) e s
W t 2 + V2) [ ( ? + 2 )G 2Í - 2m V\ = 0.
(170)
D e a q u í resu lta n las re c ta s e x ce p cio n a le s reales
0
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a) { =
,
b )i? = 0,
c ) (q + 2 )G 2í -
(171)
2m i)
=
0,
ca d a u n a d e la s c u a le s e s re g u la r y co rresp o n d e a u n o d e lo s factores
d e la e c u a c ió n (170).
P ara lo s v a lo re s p o sitiv o s d e £ y rj, e l v a lo r X A(£, rj) e s p o sitiv o en
u n e n to rn o d e to d a s la s tre s rectas e x ce p cio n a les; co n sig u ien tem en te,
e n e l p rim e r cu a d ra n te y e n u n e n to rn o d e d ich a s recta s la exp resió n
Y tf'V ) _ V =
X4K.9)í
S v ( t 2 + q 2) [ ( q + 2)G 2í - 2 m V]
í[</G2í2(í2-*72)+4í»72(".'?-G2í)]
1 '
tie n e e l m is m o sig n o q u e e l p rim er m ie m b ro d e la ig u a ld ad (171 c),
e s d e cir, tie n e s ig n o n e g a tiv o p o r d e b a jo d e la recta (171 c) y sig n o
12. Flujo e n un conducto rota to rio d e d iá m e tro constante
p o sitiv o p o r en cim a d e ella. L o ú ltim o se d e b e a q u e la e x p re sió n (172)
p u ed e c a m b ia r d e sig n o so la m e n te al p a sa r a tra v é s d e u n a recta
e xcep cio n a l. G eo m étrica m en te, e s to sig n ifica q u e so b re lo s ra d io s
situ a d o s en e l p rim er cu a d ra n te e n tre la s rectas (171 b ) y (171 c), el
se g u n d o m iem b ro d e la ecu a ció n d iferen cial
dy _
y 4( C v )
di
X A( i , y ) '
la cu al d eterm in a e l co m p o rta m ien to d e las cu rv a s in te g ra le s e n un
círcu lo c o n cen tro en e l o rig e n d e co o rd e n a d a s y ra d io su ficie n te m e n ­
te p eq u eñ o , d efin e un á n g u lo m ayo r
q u e e l á n g u lo d e in clin ació n de los
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rad ios. So b re lo s ra d io s d isp u esto s
e n tre las re ctas (171 c) y (171 a ), el
se g u n d o m iem b ro d e la ú ltim a ecu a ­
ció n d iferen cia l d efin e u n á n g u lo
m e n o r q u e e l á n g u lo d e inclinació n
d e lo s ra d io s (fig. 84 ). E n co n secu en ­
cia, e l d o m in io n o rm al q u e co n tie n e
a la re c ta (171 c) e s d e seg u n d o tip o .
Fig. 84
E n v irtu d d e la sim e tría d el cam p o
d efin id o p o r e l v e cto r ( X 4, K4) , e s to s re su ltad o s so n v á lid o s tam b ién
para lo s d o m in io s n o rm a les o b ten id o s d e lo s a n te rio re s m ed ian te un
g iro d e 180° a lre d ed o r d el p u n to singular.
A sí p u e s, ex isten ex a cta m en te d o s cu rv a s in teg ra les q u e " e n tr a n " en
e l p u n to sin g u la r p o r la ta n g e n te (171 c) e in fin ita s c u rv a s in teg ra les
q u e so n ta n g en te s a lo s e je s co o rd en a d o s (171 a ) y (171 b) e n e l p u n to
d e reposo.
C a p ítu lo 2. M é to d o s cualitativos d e análisis d e m o d e lo s d iferenciales
C o m o s e v e , e l se g u n d o y cu a rto cu a d ra n te s co n tie n e n sec to res
e líp tic o s , y a q u e e s tá n d is p u e s to s e n tr e d o s d o m in io s n o rm a le s co n ­
se c u tiv o s d e p rim e r tip o (fig. 85).
C a d a u n o d e lo s cu a d ra n te s p ri­
m ero y tercero e s d iv id id o en
d o s se c to re s p o r c u rv a s inte­
g ra le s ta n g e n te s a la re c ta ex­
c e p cio n a l (171 c) e n e l o rig en
d e co o rd e n a d a s. D ich o s sec to ­
re s so n p a ra b ó lico s, p u e sto q u e
s e e n cu e n tra n e n tre d o s d o m i­
n io s n o rm a le s co n se c u tiv o s, u n o
F|g
85
d e lo s c u a le s e s d e p rim e r tip o,
y e l o tro , d e se g u n d o . A d em ás,
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to d a s la s lín e a s in te g ra le s, sa lv o a q u é lla s q u e s o n ta n g e n te s a la
re c ta (171 c), so n ta n g e n te s a lo s e je s d e co o rd e n a d a s (171 a ) y (171 b)
en e l p u n to sin g u la r.
D e s d e u n p u n to d e v ista físico , la
e c u a c ió n d ife re n cia l (1 0 8 ) tie n e se n ­
tid o s o la m e n te e n e l p rim e r cu a ­
d ra n te d e l p la n o {x , y ). R e g re sa n ­
d o a e s t e p la n o , v e m o s q u e e x iste
ú n ic a m e n te u n a c u rv a in te g ra l co n
d ire c c ió n a sin tó tic a d e p e n d ie n te
<? + 2 ) | -
« 9 -8 6
L a c u r v a s in te g ra le s re s ta n te s a d m ite n c o m o d ire cció n asin tó tica a
u n o d e lo s e je s d e co o rd e n a d a s. D e h e ch o , se p u e d e d em o stra r
q u e to d a s e s ta s c u r v a s s e a ce rca n a sin tó tica m e n te a u n o d e lo s ejes
196
13. T ra ye cto ria s ce rra d a s aisladas
c o o rd e n a d o s , e s d e cir, q u e al te n d e r a in fin ito n o s ó l o
y
x
*
. x
y
0ó
0
e n c a d a un a d e e lla s, s in o q u e e n re a lid a d y - * 0 ó x —♦ 0 . E ste
h e ch o se ilu stra e n la fig u ra
86,
d o n d e a p a re c e n a lg u n a s d e las
c u r v a s in te g ra le s p ara v a lo r e s g ra n d e s d e x
e y . El c u a d ro d e
c o m p o rta m ie n to d e la s c u r v a s in te g ra le s a u n a d is ta n c ia fin ita d el
o r ig e n d e c o o rd e n a d a s d e p e n d e , a n te to d o , d e la d is p o s ic ió n d e lo s
p u n to s sin g u la re s, y e x ig e u n e x a m e n e sp e c ia l. S e p u e d e d e m o stra r,
a d e m á s , q u e la s c u r v a s in te g ra le s q u e s e a c e r c a n a s in tó tic a m e n te
a lo s e je s d e co o rd e n a d a s (fig . 86), a b a n d o n a n e l p rim e r c u a d ra n te
a u n a d is ta n c ia fin ita d e l o r ig e n d e c o o rd e n a d a s.
13. T ray ecto rias cerra d a s a isla d a s
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Ya s a b e m o s q u e e n e l c a s o d e u n c e n tr o c ie r ta re g ió n d e l p la n o d e
fase e stá d e n sa m e n te p o b la d a d e tra y e c to ria s ce r ra d a s . S in e m b a rg o ,
s e p u e d e p re se n ta r u n a s itu a c ió n m á s c o m p le ja c u a n d o se tien e
u n a tra y e cto ria c e r ra d a a is la d a , e s d e cir, u n a tra y e c to ria c e r ra d a q u e
p o s e e u n e n to rn o d o n d e n o s e c o n tie n e n o tr a s tra y e c to ria s ce r ra d a s .
E ste ú ltim o c a so e stá d ir e c ta m e n te re la c io n a d o c o n la c u e s tió n de
la e x iste n c ia d e so lu c io n e s p e r ió d ic a s a isla d a s . Y re s u lta in te re s a n te
q u e la s tra y e c to ria s c e r ra d a s a is la d a s só lo p u e d e n te n e r e c u a c io n e s y
s iste m a s d e e c u a c io n e s d ife re n c ia le s n o lin ea les.
L a s s o lu c io n e s p e r ió d ic a s a is la d a s e s tá n re la c io n a d a s c o n u n a g ra n
v a rie d a d d e p ro p ie d a d e s d e lo s fe n ó m e n o s y p ro c e s o s q u e tie n e n
lu g a r en la b io lo g ía y la ra d io fís ic a , e n la te o ría d e o s c ila c io n e s y en
la a stro n o m ía , e n la m e d ic in a y e n la te o ría d e c o n s tr u c c ió n d e in s­
tru m e n to s. L a s s o lu c io n e s d e e s te tip o ta m b ié n a p a re c e n al e s tu d ia r
lo s m o d e lo s d ife re n c ia le s e n e c o n o m ía , e n la re s o lu c ió n d e m u c h o s
197
C a p ítulo 2. M éto d o s cualitativos d e análisis d e m odelos diferenciales
p ro b le m a s d e co n tro l a u to m á tico , d e co n stru cció n d e av io n es, etcétera.
M ás ad e la n te estu d ia rem o s la p o sib ilid a d d e su rg im ien to d e so lu cio ­
n e s p e rió d ica s a isla d a s a l in v estig a r lo s p ro ceso s en red es eléctricas.
C o m o m o d e lo co n sid e ra re m o s e l sistem a d iferen cia l n o lin eal
y2),
■£=x+y(\-x2-y2).
^
= —y + x ( l — i 2 —
“
(173)
P ara re so lv e r el sistem a (1 7 3 ), in tro d u zcam o s las co o rd en a d a s polares
r , 9 m e d ia n te la s fó rm u las x = r e o s 0 , y = r s e n 0 . D eriv an d o las
e x p re sio n e s x 2 + y 2 = r 2 y 6 = a rctg -
resp ecto a t, o b ten em os las
ig u a ld a d e s
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dx
dy
dr
x — + u— = r — ,
dt
y dt
d t'
x
dy
dt
dx
2d0
v— = r
y dt
dt
(174)
M u ltip lica n d o la p rim era ecu a ció n d el sistem a (173) p o r x y la
se g u n d a p o r y , su m a n d o las ecu a cio n e s resu ltan tes, y ten ien d o en
cu en ta la p rim e ra ig u a ld ad d e (1 7 4 ), hallam os
(175,
S i ah o ra m u ltip lica m o s la se g u n d a ecu a ció n d e (173) p o r x y la p ri­
m era p o r y , y la s resta m o s ten ien d o en cu en ta la seg u nd a ecu ación
d e (1 7 4 ), o b te n em o s
r 2§ = r 2.
dt
(176)
El siste m a (1 7 3 ) p o se e u n ú n ico p u n to sin g u la r 0 ( 0 , 0 ) . Ya que
p o r a h o ra n o s in teresa so la m en te la co n stru cció n d e la tray ectoria.
198
13. Trayectorias cerradas aisladas
po d em os asu m ir q u e r > 0 . E n ton ces las ecu a cio n e s (175) y (176)
ind ican q u e e l sistem a (173) se red u jo a la form a
£
= r(l-r> ),
(177)
In teg ran d o las ecu acio n es d el sistem a (177) o b ten em o s to d a la fam ilia
d e su s solucion es:
r = 7 F + c ^ í'
* = £ + í°'
(178)
o, reg resand o a las variab les in icia les x e y,
eos
{t +
¿0)
se n (t +
10)
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* "
V i + C e-» '
V ~ V l + C e -5 -'
H acien d o C = 0 en la p rim era ecu a ció n d e (1 7 8 ), lleg a m o s a las
ecu acio n es
r = l,
9 =
t + tn.
E stas ig u ald ad es d e fin en u n a tray ectoria cerra d a : la circu n feren cia
x 2 + y 2 = 1. S i C < 0 , e n to n ces e s ev id en te q u e r > 1 y r - * 1
cu a n d o t - * + o o . S i C > 0 , e n to n ces r < 1 y n u ev am en te r —*
1
cu a n d o t —* -fo o . E sto qu iere d ecir q u e e x iste una ú n ica tray ectoria
cerrad a ( r =
1)
a la cu al las d em á s tray ecto rias se a p ro x im a n c o n el
tiem p o fo rm an d o e sp ira les (fig. 87).
L as tray ecto rias d e fase c e rra d a s q u e p o seen e sta p ro p ied a d se
co n o cen con e l nom bre d e ciclos lím ites o , co n m ás p recisió n , ciclos
lím ites (o rbitalm en te) estab les. El h e ch o co n siste en q u e e x iste n otros
d o s tip o s d e ciclo s lím ites. U n ciclo lím ite se d e n o m in a ( orbitalm en te)
C a p ítu lo 2 . M é to d o s cu a lita tivo s d e análisis d e m o d e lo s d iferenciales
in e s ta b le s i to d a s s u s tra y e c to ria s v e c in a s se a le ja n d e é l p o r e sp ira le s
c u a n d o t —♦ +
s i, c u a n d o
00 .
U n c ic lo lím ite se lla m a (o r b ita lm en te ) s e m ie s ta b le
t —* +
00 ,
to d a s la s tra y e c to ria s a u n la d o d e l c ic lo
(p o r e je m p lo , la s d e a d e n tro ) s e e n ro lla n te n d ie n d o h a c ia é l, y al o tro
la d o (la s d e a fu e ra ) s e d e s e n r o lla n a le já n d o s e d el c ic lo lím ite.
E n e l e je m p lo e stu d ia d o a rrib a p u d im o s
h a lla r la e c u a c ió n d e u n a tra y e cto ria de
f a s e c e r r a d a , p e ro e n e l c a so g en eral
e s t o n o e s p o sib le . P o r tal ra z ó n , en
la te o ría d e la s e c u a c io n e s d ife re n cia le s
o r d in a r ia s ju e g a n u n p a p e l im p o rta n te
lo s c rite rio s q u e p e rm ite n , al
m en o s,
in d ic a r la s r e g io n e s q u e p u e d e n co n te n e r
c ic lo s lím ite s. N ó te s e q u e u n a tra y ecto ria
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122
c e rra d a d e l siste m a (
Fig. 87
), e n c a so de
e x istir, n e c e s a ria m e n te c o n tie n e e n su
in te r io r a l m e n o s u n p u n to sin g u la r d e
d ic h o sis te m a . D e a q u í, e n p a rtic u la r, s e d e d u c e q u e , si e n cie rta re g ió n
d e l p la n o d e fa se n o h a y p u n to s s in g u la re s d e l sistem a d ife re n cia l,
e n to n c e s e n e sta r e g ió n n o h a y tra y e c to ria s ce rra d a s .
S u p o n g a m o s q u e u n a re g ió n D d e l p la n o d e fa se e stá a co ta d a ju n to
c o n s u fro n te ra y n o c o n tie n e p u n to s s in g u la re s d el sistem a ( 122).
E n to n c e s s e v e rific a e l c riterio d e P oin caré— B en d ix son q u e afirm a
q u e s i T es u n a tra y ec to ria d e l s is te m a ( 122) q u e en e l in sta n te in ic ia l
t = t0 p a r t e d e un p u n to d e D y p e r m a n e c e en D p a r a to d o t ^ t Q,
en to n c es b ie n V es u n a tra y ecto ria cerra d a , b ie n con e l tra n scu rso d el
tie m p o r s e a p r o x im a p o r u n a e s p ir a l a u n a tra y ecto ria cerra d a.
Ilu s tr e m o s e s t e h e ch o u tiliz a n d o la fig u ra
88. A q u í la re g ió n D
2 y la re g ió n an u la r
e s tá c o m p u e s ta p o r la s c u r v a s c e r ra d a s f , y f
loo
13. T ra ye cto ria s c e rra d a s aisladas
c o m p r e n d id a e n tr e e lla s. A s ig n e ­
m o s a c a d a p u n to fro n te ra ( x , y)
d e la re g ió n D e l v e c to r
V ( x , y ) = X { x , y ) i + Y ( x , y ) j.
Fig. 88
Si la tra y e c to ria I\ q u e e n e l in s ta n ­
t e in icia l t = t 0 p a rte d e u n p u n to
fro n te ra d e D , e n tr a e n D y p e r m a n e c e a llí p a ra t ^ t Qf e n to n c e s , d e
a c u e r d o c o n e l c rite rio q u e a c a b a m o s d e fo rm u la r, la tr a y e c to r ia T
s e a p ro x im a rá p o r u n a e s p ir a l h a c ia c ie r ta tra y e c to ria c e r ra d a r o
c o n te n id a e n la re g ió n D . A d e m á s , la cu rv a r o d e b e rá a b a r c a r u n
p u n to s in g u la r d el s is te m a d ife re n c ia l (p u n to P ) n o c o n te n id o e n D .
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E l siste m a d ife re n c ia l (1 73) p ro p o r c io n a u n e je m p lo s im p le d e a p li­
c a c ió n d e l c rite rio d e P o in c a r é — B e n d ix s o n d u r a n te la b ú s q u e d a d e
c ic lo s lím ite s. E n e fe c to , e l ú n ic o p u n to s in g u la r d e l s is te m a (173)
e s 0 ( 0 , 0 ) . P o r c o n s ig u ie n te , e n la re g ió n D , e n tr e la s c irc u n fe re n c ia s
d e ra d io s r =
-
y r = 2 n o h a y p u n to s s in g u la re s . P a rtie n d o d e
la p rim e ra e c u a c ió n d e l s is te m a (1 7 7 ) v e m o s q u e
circ u n fe re n c ia in te rio r, m ie n tra s q u e
dr
—
dt
<
0
dr
—
> 0 e n la
e n la circ u n fe re n c ia
e x te rio r. El v e c to r V a s o c ia d o a lo s p u n to s fro n te ra d e la r e g ió n D
sie m p re e s tá o r ie n ta d o h a c ia e l in te r io r d e D . E sto sig n ific a q u e e n la
re g ió n a n u la r e n tr e la s c irc u n fe re n c ia s d e r a d io s r = - y r = 2 d e b e
h a b e r u n a tra y e c to ria c e r ra d a d e l siste m a d ife re n c ia l (1 7 3 ). D ich a
tra y e cto ria re a lm e n te e x is te y, e n e s t e c a s o , e s la c irc u n fe re n c ia d e
ra d io r =
1.
201
C a p ítulo 2. M étodos cualitativos d e análisis de m odelos diferenciales
E n la p ráctica e s m uy d ifícil a p lica r el criterio d e P o in caré—B end ixson
al sistem a g en e ra l ( 122), p u esto q u e n o existen m éto d o s generales
d e co n stru cció n d e las reg ion es co rresp on d ien tes y, p o r tanto, el
éx ito d ep e n d e tan to d e la fo rm a d el sistem a co m o d e la habilid ad
d el in v estig ad or. A l m ism o tiem p o , e s necesario ten er p resente que
la bú sq u ed a de crite rio s d e au sen cia d e ciclo s lím ites e s n o m enos
im p o rtan te q u e la b ú sq u ed a d e criterio s d e existen cia. El criterio d e
au sen cia d e ciclo s E m ites m ás d ifu n d id o e s e l criterio d e D ulac, el
cu al a firm a q u e si existe una fu n d ó n D {x , y ) >
0 continua ju n to con
su s d eriv a d a s p a rciales, y ta l q u e en á e r t a región sim p lem en te conexa
d e l p la n o d e f a s e la fu n d ó n
d (B X )
0 {B Y )
dx
dy
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es d e sig n o d e fin id o 13), en ton ces en la región D no h a y d c lo s lím ites
d e l sistem a d iferen cial ( 122).
Para B ( x ,y ) = 1 , e l criterio d e D u lac se co n o ce co m o criterio de
Bendixson.
En e l c a so d e la e cu ació n d iferen cial (156), la cu al d escrib e un
flu jo a d ia b á tico u n id im en sio n al d e u n g as ideal co n calo r esp ecífico
co n stan te e n un co n d u cto co n ro zam ien to , tenem os
X ( x ,y ) = (1 - y )F {x ),
,3 ) D e f in id a p o s i t i v a o d e f in id a n e g a tiv a .
202
13. Trayectorias cerradas aisladas
I
H acien d o
-1
B ( x , y) =
4 y F (x )
resulta
d (X B )
dx
d (X B ) _
dy
yq
F (x )
lo q u e sig n ifica q u e la ecu a ció n (150) n o tien e c u rv a s in teg rales
cerrad as.
D efin am os e l co n ce p to d e ín d ice d e un p u n to sin g u lar , c o n c e p to que
será u tiliz a d o c u a n d o n o s cu estio n em o s la e x iste n cia d e lo s ciclo s
lím ites.
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S e a T u n a cu rv a cerrad a sim p le (o sea, sin a u to in terseccio n es) que
n o e s n e cesariam e n te u n a tray ecto ria d e l sistem a d iferen cia l ( 122).
S u p o n g a m o s q u e T p erten ece a l p ía -
v
n o d e fase y n o p asa p o r lo s p u n tos
sin gu lares d e e s te sistem a . S i P ( x , y)
e s u n p u n to d e la cu rv a T , en to n ces
el vector
V (® , y ) = X { x , y ) i + Y (x , y ) j,
donde i , j
so n lo s v e rso re s d e los
e je s d e co o rd en a d a s ca rtesian as, no
e s nu lo y, co n sig u ie n tem en te, tien e u n a d ire cció n d eterm in ad a, la
cu al está d a d a po r cierto á n g u lo 0 (fig. 8 9 ). S i e l p u n to P ( x , y ) da
una v u e lta co m p le ta a l m o v e rse p o r la cu rv a T en a lg ú n sen tid o
fijo (p o r ejem p lo , en co n tra d el m ov im ien to d e la s a g u ja s d el relo j),
Capítulo 2. M étodos cualitativos de análisis de modelos diferenciales
en tonces e l vector V realiza un núm ero entero d e vueltas, e s decir, el
ángulo 9 se increm enta en
A0 =
fyrn, donde n e s un núm ero entero
p ositivo, n egativo o igual a cero. El núm ero n se denom ina índice de
la curva cerrada V (índice del ciclo T).
Si com enzam os a contraer continuam ente e l ciclo T d e m odo que
d u ran te la d eform ación é l no pase p o r un punto singular d e un
cam po vectorial dado, en tonces el ín d ice del ciclo d ebe, por una
parte, cam biar contin uam en te y, p o r otra, perm anecer igual a un
núm ero en tero. E sto significa que durante una deform ación continua
e l ín d ice del ciclo n o cam bia. Partiendo de esta propiedad, p o r índice
d e un pun to singu lar se en tien d e el índice de una curva cerrada sim ple
q u e rodea a dicho pu nto. Veam os algunas propiedad es d e los índices:
1) e l ín dice d e una trayectoria cerrada d el sistem a ( 122) es igual a + 1 ;
2) e l ín dice d e una curva cerrada qu e abarca varios puntos singulares
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es igual a la sum a d e los índices d e dichos puntos ;
3 ) e l ín dice d e una curva cerrada qu e no abarca ningiin punto
singu lar es igual a cero.
D e aq u í, se ded u ce en particular que co m o el índice de una trayectoria
cerrada d el sistem a ( 122) siem pre e s igual a
1 , en tonces una trayectoria
+1 ó varios
cerrada d eb e en cerrar un pu nto sin gu lar co n índice
puntos sin gu lares con índice total igual a + 1 . E ste hecho se utiliza
co n m ucha frecuencia para d em ostrar la ausencia de ciclos límites.
El ín d ice d e un pu nto sin gu lar se calcula m ediante la fórm ula
n = 1+
(179)
d o n d e e es e l núm ero de sectores elípticos y h es el núm ero de sectores
hiperbólicos. En la práctica se puede em p lear la siguiente técnica
204
\
13. T ra ye cto ria s c e rra d a s a isla d a s
s e n c illa p a ra c a lc u la r e l ín d ic e d e u n p u n to
sin g u la r. S e a L u n c ic lo q u e n o p a s a p o r n in ­
g ú n p u n to s in g u la r d e l siste m a d ife re n c ia l ( 122)
y q u e t ie n e a lo s u m o u n n ú m e r o fin ito d e
p u n to s c o m u n e s c o n c u a lq u ie r tr a y e c to r ia d e
d ic h o s is te m a (la s tr a y e c to r ia s p u e d e n c o r t a r la
c u rv a L o s e r t a n g e n te s a e lla ). E n c a s o d e q u e
h a y a ta n g e n c ia (fig . 9 0 ) , s e c o n s id e r a n s o la m e n ­
te lo s p u n to s d e ta n g e n c ia e x te r n o s (c o m o e l
p u n to A ) e in te r n o s (c o m o e l B ) . L a s ta n g e n c ia s e n lo s p u n to s d e
in fle x ió n (c o m o e l p u n to C ) n o s e c o n s id e r a n . P a ra c a lc u la r e l ín d ic e
d e l p u n to sin g u la r, s e u tiliz a la fó rm u la (1 7 9 ), d o n d e e y h so n ,
re s p e c tiv a m e n te , la s c a n tid a d e s d e p u n to s in te r n o s y e x te r n o s d e
ta n g e n c ia d e la s tr a y e c to r ia s d e l s is te m a (1 2 2 ) c o n e l c ic lo L .
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2
E n la fig u ra 91 s e m u e s tra n p u n to s s in g u la r e s c o n ín d ic e s 0 , + 2 , + 3 , + 1
y -
, re s p e c tiv a m e n te .
S e ñ a la m o s q u e la c o n s tr u c c ió n d e l c u a d r o c o m p le to d e l c o m p o r ta ­
m ie n to d e la s tr a y e c to r ia s d e fa se d e l s is te m a d ife r e n c ia l ( 122) se
fa c ilita in tro d u c ie n d o e l p u n to d e l in fin ito m e d ia n te la tra n s fo r m a ­
c ió n (1 5 9 ). E n to p o lo g ía e x is te u n te o re m a b a s ta n te g e n e r a l q u e afirm a
q u e c u a n d o u n c a m p o v e c to r ia l c o n t in u o q u e p o s e e u n n ú m e r o fin ito
d e p u n to s s in g u la re s se d e fin e s o b r e u n a e s fe r a , la s u m a d e s u s
ín d ic e s e s ig u a l a + 2 . A s í p u e s , s i la s u m a d e lo s ín d ic e s d e to d o s
lo s p u n to s s in g u la r e s d e u n s is te m a d ife re n c ia l ( c o n u n n ú m e r o fin ito
d e p u n to s s in g u la r e s ) p e r te n e c ie n te s a u n a p a r te fin ita d e l p la n o d e
fa se , e s d ife re n te d e +
2,
e n to n c e s e l p u n to d e l in fin ito e s u n p u n to
s in g u la r c o n ín d ic e n o n u lo .
P e ro si e n lu g a r d e u n a in v e r s ió n s e u tiliz a n c o o r d e n a d a s h o m o g é n e a s ,
e n to n c e s la s u m a d e lo s ín d ic e s d e t o d o s lo s p u n to s s in g u la r e s se rá
■ i
C a p itu lo 2. M é to d o s cu a lita tiv o s d e a n ó lisis d e m o d e lo s d ife re n c ia le s
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ig u a l a + 1 . D e h e c h o , s i s e p r o y e c ta e l p la n o s o b r e u n a e s fe ra co n
c e n tr o d e p r o y e c c ió n e n e l c e n tr o d e la e s fe r a , e n to n c e s d o s p u n to s
d e la e s fe r a c o r r e s p o n d e n a u n p u n to d e l p la n o p ro y e c tiv o , y la
c ir c u n fe r e n c ia d e l c ír c u lo m á x im o , p a r a le lo al p la n o , c o rre s p o n d e
a u n a r e c ta e n e l in fin ito .
S i n o s r e m itim o s a la e c u a c ió n (1 6 8 ), la c u a l d e s c r ib e u n flu jo u n i­
d im e n s io n a l a d ia b á tic o d e u n g a s id e a l p o r u n c o n d u c to ro ta to rio
d e d iá m e tr o c o n s ta n te , e n to n c e s , c o m o s e v e e n la fig u ra 8 5 , p a r a el
p u n to s in g u la r d e l in fin ito te n e m o s q u e e =
q u e e l ín d ic e d e e s t e p u n to e s ig u a l a
+2
2, h
=
0,
re s u lta n d o
y n o d e p e n d e d e lo s
v a lo r e s d e la s c o n s t a n te s e n la e c u a c ió n (1 6 8 ). D e lo a n te r io r sig u e ,
e n p a rtic u la r, q u e la s u m a d e lo s ín d ic e s d e lo s p u n to s s in g u la re s
14. R egím enes p e rió d ic o s e n c irc u ito s e lé c tric o s
fin ito s e s ig u a l a ce ro . S e p u e d e d e m o s tra r q u e e n d e p e n d e n c ia d e si
la re c ta m y - G 2x = 0 se c o rta e n d o s p u n to s, e n u n p u n to d e m u lti­
p licid a d d o s o e n n in g ú n p u n to c o n la p a rá b o la 1 - p y 4- q G 2x 2 = 0
(lo q u e eq u iv a le , re sp e ctiv a m e n te , al c u m p lim ie n to d e la s c o n d ic io n e s
G > G 0, G = G 0, G < G 0, d o n d e G Q = — — )/ e n to n c e s tien en
lu g a r la s s ig u ie n te s co m b in a c io n e s d e p u n to s s in g u la re s fin ito s:
a ) G > G 0. U n p u n to d e s illa y u n n o d o .
b ) G = G 0. U n p u n to sin g u la r d e o r d e n s u p e rio r c o n d o s se c to re s
h ip e rb ó lico s ( h =
2)
y d o s s e c to re s p a ra b ó lic o s ( e =
0 ).
c ) G < G 0. N o h a y p u n to s sin g u la re s.
C o m o e ra d e esp e ra r, e n to d o s lo s c a s o s la s u m a d e lo s ín d ic e s e s
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ig u a l a cero .
14. R e g ím e n e s p e rió d ic o s
en circu ito s e lé ctric o s
A n a lice m o s e l su rg im ie n to d e c ic lo s lím ite s en e l e je m p lo d e l fu n cio ­
n a m ie n to d e u n o s c ila d o r d e Van d e r P ol (fig . 9 2 ), lla m a d o ta m b ié n
o s c ila d o r d in a tró n . A u n q u e e l fe n ó m e n o re la c io n a d o c o n la a p a ric ió n
d e lo s cic lo s lím ite s s e p u e d e ilu stra r c o n e je m p lo s d e la m e cá n ica ,
la b io lo g ía , la e co n o m ía , e tc é te ra , n o so tro s m o stra r e m o s c ó m o e s q u e
e llo s su rg e n e n lo s c irc u ito s e lé ctrico s .
E n la fig u ra 9 2 se m u e stra e l e sq u e m a d e u n o s c ila d o r d e Van d e r P ol,
c u y a s c a ra c te r ístic a s i a , va se re p re se n ta n m e d ia n te la lín e a co n tin u a
d e la fig u ra 9 3 . A q u í
¿0
e s la co rrie n te y vQ e s la te n s ió n e n la v álv u la
207
C a p itu lo 2 . M éto d o s cualitativos de análisis de m odelos diferenciales
F ig . 9 3
d e vacío . El circu ito tie­
n e resistencia r , ind uctan d a L y capacid ad C
1
C
co n ectad as e n p aralelo y
e n se rie co n e l d inatrón.
El circu ito real p u ede
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ser su stitu id o p o r el cir­
Fig. 94
cu ito d e la figura 94. En
e s te caso , p o d em o s a p ro xim a r la ca racterística d e la válvula con un
p o lin o m io d e te rce r g ra d o i = q v +
7tr
(línea d iscon tin ua d e la
fig u ra 93). A q u í i y v so n las co o rd en ad as en e l sistem a co n origen
en e l p u n to d e inflexión O . C o m o se p u ed e v er en la figura 9 3, son
vá lid a s las d esig u ald ad es
a > 0,
7 > 0.
En co n co rd an cia co n u n a d e las ley es d e Kirchhoff,
i + ir + i L + ic =
v
d o n d e ir = - ,
d i.
0,
= v , ic = Ci). T ras una se rie d e op eracion es
se n cilla s, lle g a m o s a la e cu a ció n diferencial
208
14. R egím enes p e rió d ic o s e n c irc u ito s elé ctrico s
H a cien d o
a .
C
1
tC
_
37
a'
-
C
k
1
'
LC
_
2
W° '
la ecu a ció n (* ) s e co n v ie rte en la d e n o m in a d a ecu ació n d e Van d e r Pol
i) + ( a + b v 2) v + J qV =
0.
H acien d o u so d e la tra n sfo rm a ció n
dy
i> = y - ,
v = y.
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la e cu a ció n d e Van d e r Pol se p u e d e p o n e r en co rre sp o n d e n cia co n
la ecu a ció n d iferen cia l d e p rim er o rd en
dy _
( a + b v 2) y + u>lv = Y (v , y )
dv
y
V (v , y )'
E l ú n ico p u n to sin g u la r fin ito a q u í e s e l o r ig e n d e co o rd en a d a s,
v erificá n d o se que
J ' ( 0 ,0 ) = ü £ > 0 ,
D { v ,y ) = - ( a + bv2) .
C o m o b > 0 , su p o n ie n d o q u e a > 0 , co n clu im o s q u e la d iv e rg e n cia D
n o ca m b ia d e sig n o , y, p o r tan to, la ú ltim a ecu a ció n n o p u e d e ten er
c u rv a s in te g ra le s ce rra d a s . P or e s to , v a m o s a co n sid e ra r ú n ica m e n te e l
c a so a < 0 , e s d ecir, a < - - . D e a qu í se in fiere q u e £ > (0 ,0) = - a > 0,
209
C a p ítu lo 2 . M é to d o s cualitativos d e análisis d e m odelos diferenciales
lo q u e sig n ific a q u e e l p u n to sin g u la r e s u n n o d o o u n foco.
S i a n a liz a m o s e l siste m a d iferen cia l
dv
í
= ^ v .y ) .
dv
l t = v ^ y ).
a s o c ia d o a la e c u a c ió n (1 8 0 ), p o d re m o s n o ta r q u e c u a n d o t cre c e el
p u n to im a g e n se a le ja d el p u n to sin gu lar. P o r tan to, u n a tray ectoria
q u e p a rta d e l p u n to d el in fin ito n o p o d rá a lca n z a r e l p u n to sin g u la r
e n e l o r ig e n d e co o rd e n a d a s p a ra n in g ú n v a lo r d e t , in clu id o t = +
00.
D e a q u í se in fie re q u e si d e m o stra m o s q u e u n a tra y ecto ria q u e p arte
d e l p u n to d e l in fin ito tien e fo rm a d e esp iral q u e se e n ro lla alred ed o r
d e l o r ig e n d e co o rd e n a d a s c u a n d o t —* +
00,
e n to n ce s g a ra n tiz a m o s
la e x iste n c ia d e , a l m e n o s, u n ciclo lím ite.
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L a e x iste n c ia d e ta l ciclo s e p u e d e d e m o stra r n u m érica o a n a lítica ­
m e n te . E l m é to d o n u m é ric o d e d e m o stra ció n , p ro p u e sto p o r p rim era
v e z p o r e l físico y m a te m á tico h o la n d é s B a lth azar Van d e r P o l, c o n sis­
te e n c o n stru ir u n a tra y e cto ria q u e p arta d e u n p u n to su ficien tem en te
a le ja d o d e l o r ig e n d e c o o rd e n a d a s, y lu e g o v e rifica r si p o se e la
p ro p ie d a d q u e a ca b a m o s d e ind icar. E ste p ro ce d im ie n to p ro p orcion a
u n a a p ro x im a c ió n a u n c ic lo lím ite , p ero se p u e d e u tiliz a r so la m en te
p a ra v a lo r e s n u m é rico s co n cre to s.
E x p o n g a m o s u n e sq u e m a a n a lític o d e d e m o stra ció n b a sa d o e n el
a n á lisis d e sin g u la rid a d e s e n e l in fin ito ,4). A d iferen cia d el m éto d o
d e a n á lisis d e la e c u a c ió n (1 6 8 ), u tiliz a re m o s u n a tra n sfo rm a ció n de
U|
K estin ]., Z a r c m b a S. E . G e o m e t r i c a l m e t h o d s i n t h e a n a l y s i s o í o r d i n a r y d if f e r e n t ia l
e q u a tio n s // A p p l. S d . R e s ., s e c t. B. 1 9 5 3 . V .3 . P. 1 4 4 - 1 8 9 .
14. R e g ím e n e s p e rió d ic o s e n c irc u ito s e lé c tric o s
c o o rd e n a d a s h o m o g é n e a s m á s c ó m o d a :
(181)
A q u í la re c ta e n e l in fin ito tie n e e c u a c ió n
2
= 0 . P ara re d u cir el
n ú m e ro d e in c ó g n ita s a d o s , e lim in e m o s p rim e ra m e n te e l p u n to
{ = z =
0,
h a c ie n d o £ =
1:
E n e s te ca s o , e l siste m a d ife re n cia l c o rre s p o n d ie n te a la e c u a c ió n (180)
s e tra n s fo rm a en
dz
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2
dr¡ _
di ~ “
(* )
( a z 2 + b )r j + u f a 2 _
z2
V
P o r c o m o d id a d , in tro d u z ca m o s u n n u e v o p a rá m e tro 0 h a c ie n d o
(182)
dt = z 2 d e,
c o n lo q u e e l siste m a ( * ) to m a la fo rm a
2
= - ( a z 2 + 6 b - * 0V - , , V
= 3>,
(183)
N ó te s e , a n te to d o , q u e la re c ta e n e l in fin ito z = 0 e s u n a tra y e cto ria
d e l siste m a d ife re n cia l (1 8 3 ), y c u a n d o t a u m e n ta (c o n sig u ie n te m e n te ,
C a p ítu lo 2 . M é to d o s cualitativos d e análisis d e m o d e lo s d iferenciales
0 a u m e n ta ), e l p u n to im a g e n se m u e v e p o r ella e n la d ire cció n del
ú n ico p u n to sin g u la r
z
= tj = 0 . La ecu a ció n ca ra c te rística , q u e en
e s t e c a s o es
-b rjz
= 0,
d e te r m in a la d ir e c c ió n e x c e p c io n a l re g u la r
z = 0, a la q u e co rres-
p o n d e n d o s d o m in io s d e se g u n d o tip o , lo c u a l se p u e d e d e d u cir
a n a liz a n d o e l c a m p o v e c to ria l (fig. 9 5 ). La se g u n d a d ire cció n e x c e p ­
c io n a l tj =
0 es
sin g u la r, p o r lo q u e a q u í s e re q u ie re n raz o n a m ien to s
ad icio n a le s.
E l lu g a r g e o m é tr ic o d e lo s p u n to s y
ta n g e n te a la re c ta r¡ =
0 en
= 0 e s u n a cu rv a q u e es
e l o r ig e n d e c o o rd e n a d a s y q u e p a s a p o r
lo s c u a d ra n te s se g u n d o y tercero
z
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(fig . 9 5 ), p e rm itie n d o d e te rm in a r
tr e s d ire c c io n e s I, II y III a a m b o s
la d o s d e l e je d e sim etría z =
L a re g ió n e n tr e la cu rv a y
jj
y e l e je tj =
0
0.
= 0
e s to p o ló g ica m en te
e q u iv a le n te a d o s d o m in io s d e se ­
g u n d o tip o. D e e s te m o d o , existe
a l m e n o s u n a tra y ecto ria a ca d a
la d o d e la re c ta tj =
0,
la s cu a le s
s o n ta n g e n te s a e sta ú ltim a e n el
Fig. 95
o rig e n d e co o rd en a d a s.
S i c o n s id e ra m o s a h o ra la e c u a c ió n d iferen cia l
drj
a
dz
z
+
14. R e g ím e n e s p e rió d ic o s e n c irc u ito s e lé c tric o s
p o d e m o s n o ta r q u e e n e l s e g u n d o c u a d r a n te , e n tr e la c u rv a y
= 0
y e l e je r¡ = 0 ,
p a r a v a lo r e s p e q u e ñ o s d e \r¡\. C o n s e c u e n te m e n te , si s e to m a n d o s
tra y e c to ria s d e fa se c o n e l m is m o v a lo r d e
tj,
se p u ede v er que
lo s p u n to s im a g e n q u e s ig u e n e s ta s tr a y e c to r ia s d iv e r g e n c u a n d o
d is m in u y e z . E s to sig n ific a q u e a c a d a la d o d e la re c ta rj =
0
e x is te s ó lo u n a tra y e c to ria d e fa s e , y q u e e s t a s tr a y e c to r ia s s o n
ta n g e n te s a rj = 0 e n e l o r ig e n d e c o o r d e n a d a s y e s t á n c o n te n id a s
e n e l d o m in io d a d o . T a m b ié n e s tá c la r o q u e e l c u a d r o c u a lita tiv o e s
s im é tr ic o r e s p e c to a l e je z = 0 . A d e m á s , p o r c u a n to
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y
Z
> A .
' \Vz\
p a ra v a lo r e s p e q u e ñ o s d e z y v a lo r e s p o s itiv o s d e rj, e n to n c e s n o
e x is te n c u r v a s q u e s e a n ta n g e n te s a l e je rj =
0 e n e l o r ig e n d e
c o o r d e n a d a s y q u e p a s e n p o r e l p r im e r o p o r e l c u a r to c u a d ra n te s .
E n la re g ió n a la iz q u ie r d a d e la c u rv a y
d e é s ta s , p u e s e n e s e c a s o
y
>
0, y
= 0 ta m p o co h a y cu rv a s
Z
tie n e e l m is m o sig n o
q u e z (fig . 9 5 , fle c h a s IV ). E ste a n á lis is p e r m ite c o n c lu ir q u e e l p u n to
s in g u la r rj = z = 0 e s u n p u n to d e s illa . L a s d o s tr a y e c to r ia s d e
fa se q u e a lc a n z a n e s t e p u n to c u a n d o t —* + 0 0 s o n s e g m e n to s d e la
re c ta e n e l in fin ito ( z = 0 ) q u e u n e n e l p u n to a n te r io r c o n e l p u n to
¿ = 2 = 0 . L a s o tr a s d o s tr a y e c to r ia s d e f a s e a lc a n z a n e l p u n t o d e
s illa c u a n d o t —* - 0 0 .
E n e s t e a n á lis is n o h e m o s e x a m in a d o e l p u n to ¿ = 2 =
c o n d u ir la in v e s tig a c ió n , h a g a m o s rj =
0 . P a ra
1 e n la s fó rm u la s (1 8 1 ).
C apítulo 2. M étodos cualitativos d e análisis d e m odelos diferenciales
E n ton ces e l sistem a d iferen cial aso ciad o a la ecu ación diferencial (180)
ad op ta la form a
|
=
2 ’ + í ( a z 2 + 6 í 2 + (, 0V
) = ^
~ = z [ a z 2 + b(.2 + u l ( z 2) = Q,
d o n d e la variab le 0 está d efinida p o r la fórm ula (182). El pu nto
{ = z = 0 e s singular, y la ecu ació n característica e s z 3 = 0 . Por
tan to, la d ire cció n excep cio n a l z = 0 e s singular. La cu rva P ( { , z ) = 0
e s tang en te a l e je z =
0
en e l o rig en d e co ord enad as y tiene allí
un p u n to d e retro ceso (fig. 96). La cu rva Q ( {, z) = 0 tien e un punto
m ú ltip le en e l o rig en d e co ord en ad as. In vestigan d o lo s sig no s d e las
fu n cio n es P y Q p o d em o s d eterm in ar el carácter d el cam p o vectorial
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2=0
(fig. 96 ), a sí co m o el cu ad ro del co m p o rtam ien to de la s trayectorias
de fase e n u n en to rn o d el p u n to sin g u la r { =
(fig. 97).
En e l p rim e r y cu a rto cu ad ran tes se cu m p le la d esigualdad
15. Curvas sin contacto
e s t o sig n ifica q u e le jo s d el e je £ =
0
n o h a y tra y e c to ria s d e fase q u e
en tren e n e l p u n to sin g u la r p o r la d erech a.
L o s ra z o n a m ie n to s e x p u e sto s m u e stra n q u e la e c u a c ió n d e Van d e r
Pol n o tien e tra y e cto ria s d e fase q u e tie n d a n a in fin ito c u a n d o t
a u m en ta . D ich o d e o tro m o d o , la e c u a c ió n d e V an d e r P o l tien e al
m e n o s u n c ic lo lím ite.
15. C u rv as s in con tacto
E n ca so s re la tiv a m e n te sen cillo s, e l c u a d ro c o m p le to d e l co m p o rta ­
m ie n to d e la c u rv a s in te g ra le s d e la e c u a c ió n d ife re n cia l d a d a o , lo
q u e e s lo m ism o , d e la s tra y e cto ria s d e fa se d el siste m a d iferen cial
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a so cia d o , e stá d e fin id o p o r e l tip o d e p u n to s sin g u la re s y p o r las
c u rv a s in te g ra les c e rra d a s (tra y e c to ria s d e fase), si e s to s e x is te n . A v e ­
c e s e l c u a d ro cu a lita tiv o s e p u e d e c o n stru ir si, a d e m á s d e cla sifica r
lo s p u n to s sin g u la re s, s e lo g ra n h a lla r la s c u rv a s (se p a ra trice s ) q u e
"re la c io n a n " lo s p u n to s sin g u la re s. D e s a fo rtu n a d a m e n te , n o h a y m é ­
to d o s g e n e ra le s d e re so lu ció n e fe ctiv a d e e s te p ro b lem a . A p ro p ó sito ,
en la in te g ra ció n cu a lita tiv a p u e d e re s u lta r ú til e l e m p le o d e las
d en o m in a d a s cu rv as sin con tacto. R e co rd e m o s q u e u n a cu rv a o un
a rco d e cu rv a c o n ta n g e n te c o n tin u a se d e n o m in a cu rva (arco) sin
con tacto s i n o tie n e p u n to s d e ta n g en cia co n e l v e c to r ( X , Y ) del
sistem a (112). D e e sta d e fin ició n se in fie re q u e e l v e c to r ( X , Y ) d e b e
e sta r d irig id o en la cu rv a sie m p re h a c ia un m is m o la d o . D e este
m o d o , u n a cu rv a sin co n ta c to p u e d e s e r c o rta d a p o r las c u rv a s d e
fase d el siste m a ( 122) e n u n se n tid o c u a n d o t a u m e n ta , y e n e l o tro
c u a n d o t d ism in u y e. E s p o r e s o q u e e l c o n o c im ie n to d e la s cu rv a s
s in co n ta c to re sp e ctiv a s p u e d e p ro p o rcio n a r la in fo rm a c ió n n e cesaria
s o b r e e l co m p o rta m ie n to d e la tra y ecto ria d e fase eleg id a .
215
C a p ítu lo 2. M é to d o s cu a lita tivo s d e análisis d e m odelos diferenciales
A I in te g ra r c u a lita tiv a m e n te la s e c u a c io n e s d ife re n cia le s se p u ed en
u tiliz a r d iv e r s a s d e sig u a ld a d e s a u x ilia re s. P o r e je m p lo , si ten em o s
d o s e c u a c io n e s d ife re n cia le s
t x = f{X -y l
Tx = 9 M
y s e sa b e q u e e n cie rta re g ió n D s e c u m p le la d e sig u a ld a d / ( x , y ) ^
g { x , y ), e n to n c e s , d e n o ta n d o c o n y , ( x ) la so lu ció n d e la p rim era
e c u a c ió n q u e s a tis fa c e la c o n d ic ió n y i ( x 0) = y0, {x 0, y 0) € D , y co n
y2{x ) la s o lu c ió n d e la se g u n d a e c u a c ió n c o n la s m ism a s co n d icio n es
in ic ia le s, se p u e d e d e m o s tra r q u e y , ( x ) ^ y2(x) p a ra x ^ x 0 e n la
re g ió n D . S i s e c u m p le la d e sig u a ld a d e stric ta / ( x , y ) < g ( x ,y ) en
la re g ió n D , e n to n c e s y , ( x ) < y2{x ) p ara x > x 0 en la re g ió n D ,
y la c u rv a y = y2[x ) e s u n a cu rv a s in co n ta cto .
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C o m o e je m p lo , v e a m o s la e c u a c ió n d ife re n cia l (168). N o so tro s ya
m o s tra m o s q u e si
G > G 0, e n to n c e s e sta e c u a c ió n a d m ite d o s
p u n to s sin g u la re s fin ito s (u n p u n to d e s illa y u n n o d o ) q u e so n lo s
p u n to s d e in te rs e c c ió n d e la re c ta m y -
G 2x = 0 c o n la p aráb ola
1 - p y + q G 2x 2 = 0 . L o s se g m e n to s d e re c ta y d e p aráb o la q u e u n en
e s to s d o s p u n to s sin g u la re s fin ito s s o n c u rv a s sin co n ta c to y lim itan
cie rta re g ió n d e l p la n o q u e d e n o ta re m o s m e d ia n te A . T om an d o
X { x , y ) = 1 - p y + q G 2x 2,
Y ( x , y ) = 2 y ( m y - G 2x ) ,
e s fácil v e r q u e e n la fro n te ra d e la re g ió n A e l v e c to r {X , Y ) está
o rie n ta d o h a c ia a fu e ra , e x c e p to e n lo s p u n to s sin g u la re s. C o n s ig u ie n ­
te m e n te , u n p u n to im a g e n q u e p a rta d e cu a lq u ie r p u n to in terio r
d e A s ig u ie n d o u n a cu rv a in teg ral c u a n d o t d is m in u y e , n o p o d rá
a b a n d o n a r la re g ió n A sin p a sa r p o r u n o d e lo s p u n to s sin g u lares.
16. Sistem a to p og rá fico d e curvas. C urvas d e co n ta cto
P ero co m o en e l in te rio r d e A s e cu m p le la d esig u a ld a d X ( x , y ) < 0 ,
e n to n ces e l p u n to sin g u la r a tra y e n te e s n e ce sa ria m e n te u n nodo.
H a lla n d o la s p en d ie n tes d e la s d ire ccio n e s e x c e p c io n a le s p a ra el
p u n to d e silla , se p u ed e v er q u e u n a d e las re c ta s e x ce p cio n a le s p asa
p o r A . D e a q u í se d e d u ce q u e to d a cu rv a in teg ral q u e se a tan g en te
a e sta recta e n e l p u n to d e silla en tra e n e l in te rio r d e A y d e s d e allí
d e b e a lca n z a r e l nodo.
16. S iste m a topográfico de curvas.
Curvas de contacto
C o m o v im o s en la se cció n an terio r, e n la in te g ra ció n c u a lita tiv a de
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e cu a cio n e s d iferen cia les e s d e m u ch a u tilid ad e l e m p le o d e la s cu rv a s
sin co n ta cto . Sin em b a rg o , d eb em o s se ñ a la r q u e n o e x iste n m é to d o s
g e n e ra le s d e c o n stru cció n d e se m e ja n te s cu rv a s, e s d ecir, n o hay
m éto d o s q u e p erm ita n c o n stru ir c u rv a s sin co n ta c to e n c a d a caso
co n cre to . E n v ista d e esto , e l p ro b lem a d e la b ú sq u e d a d e la s cu rv a s
sin co n ta cto p o se e u n in te ré s esp e cia l. U n o d e lo s m é to d o s ex isten tes
e stá re la cio n a d o c o n la e le cció n y e l u so a d e c u a d o s d e lo s sistem as
to p o g ráfico s d e cu rv as.
U n sistem a to p og rá fico d e
<J>(z, y ) = C , d o n d e C
cu rvas d e te rm in a d o p o r la ecu a ció n
e s u n p a rá m etro real, e s u n a fam ilia d e
cu rv a s sim p le s ce rra d a s, d is ju n ta s y d e riv a b le s c o n c o n tin u id a d , las
cu a le s se ab a rca n u n as a o tra s y llen an co m p le ta m e n te cie rta re g ió n G
d el p lan o d e f a s e 1'’1.
l5) E n l a l it e r a t u r a m a t e m á t ic a e x i s t e n o t r a s d e f i n i c i o n e s d e s i s t e m a t o p o g r á f i c o q u e s e
d if e r e n c ia n e n f o r m a , p e r o n o e n c o n t e n i d o , d e l a d e f i n i c i ó n d a d a a q u í .
217
C a p itu lo 2. M éto d o s cualitativos d e análisis d e m odelos diferenciales
S u p o n g a m o s q u e e l sistem a to p o g rá fico se elig e d e tal m an era que
a ca d a v a lo r d el p a rá m etro C le co rresp o n d e una ú n ica cu rva, y q u e
la cu rv a c o rre sp o n d ie n te a cierto v a lo r d e C co n tie n e tod as la s cu rv as
co rre sp o n d ie n te s a v a lo res m en o res d e C (o se a , al cre cer C aum en ta
e l " ta m a ñ o " d e la s cu rv as). S u p o n g a m o s a d em á s q u e las cu rv as
d el sistem a to p o g ráfico n o tien en p u n to s sin g u la res d el sistem a
d ifere n cia l exa m in a d o . C o n sid erem o s ah o ra la fun ción
d o n d e x = <p(t), y = tp(t) so n las ecu a cio n es p aram étricas d e las
tra y e cto ria s d el sistem a d iferen cia l (122). H a llem o s la d eriv ad a d e 4>
resp ecto a t. A p a rtir d el sistem a (122) o b ten em o s
d*(<p(t), i¡>(t))
d $ (x , y)
dt
dx
d * ( x , y)
X ( x , y) + —
Y (x , y).
dy
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L as cu rv a s (e n e l c a so d a d o , lo s ciclo s ) sin co n ta cto so n aqu ellas
c u rv a s d el sistem a to p o g rá fico e n las q u e la d erivad a —
dt
tien e signo
d efin id o. A d em á s, toda cu rv a sin co n ta cto d el sistem a to p o g ráfico
d<b
q u e satisfag a la d e sig u a ld a d —
dt
>
0 p o se e
la p ro p ied ad d e q u e, co n
e l tra n scu rso d el tie m p o t, to d a tray ecto ria d e fa se qu e la co rte sa le de
t d$
la reg ió n fin ita lim itad a po r esta cu rv a . E n ca m b io , si — < 0 , d ich a s
dt
tra y e cto ria s d e fase e n tra n e n la reg ió n in d icad a. D e a q u í se d ed u ce
d$
q u e si la d eriv a d a —
tien e sig n o co n stan te e n cierta reg ió n an u lar
(circu la r) llen a co m p le ta m e n te d e cu rv a s d el sistem a topográfico,
e n to n ce s e n e sta reg ió n n o p u ed en h a b er n i tray ecto rias cerrad as
n i, e n p articu lar, c iclo s lím ite s del sistem a d iferen cia l exam in ad o.
L o s c ic lo s lím ite s p u ed en e x istir ú n icam en te en reg io n es circu lares
d$
d o n d e la d e riv a d a —
dt
e s d e sig n o variab le.
16. S istem a to p o g rá fico d e curvas. Curvas d e co n ta cto
A m o d o d e eje m p lo e x a m in e m o s e l siste m a d iferen cia l
£ =
, - «
dt
+ *» .
Jd L = - X - y + y \
dt
(184)
c o n u n ú n ico p u n to sin g u la r (co n cre ta m en te, u n fo co esta b le) e n el
p u n to 0 ( 0 , 0 ) . E lija m o s co m o sistem a to p o g rá fico d e cu r v a s la fam ilia
d e circu n feren cia s co n cé n tric a s co n ce n tro e n e l p u n to
0 ( 0, 0) ,
es
d ecir, la fa m ilia x 2 + y2 = C , d o n d e C e s u n p a rá m e tro p o sitiv o .
E nton ces,
^
= - 2 ( x 2 + y 2) + 2(x* + y \
o , e n co o rd e n a d a s p o la re s x = r e o s 0 , y = r se n 0,
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^
dt
= -
2r 2 + 2r 4 (eo s 4 0 +
'
se n 4 0 ) = - 2 r 2 +
2r 4
\4
\ eos 4 0 ^ .
4
/
D a d o q u e lo s v a lo re s m á x im o y m ín im o d e la e x p re sió n e n tre
p a ré n tesis son
r > v
r
2,
1
y
resp ectiv a m en te, p o d e m o s c o n c lu ir q u e si
d$
e l v a lo r d e la d eriv ad a —
dt
e s m a y o r q u e c e r o , y si r <
1,
e n to n ce s e s m e n o r q u e ce ro . D e a q u í, e n v irtu d d e l c rite rio d e
P o in ca ré — B en d ix so n y ca m b ia n d o t p o r —t en e l sistem a (1 8 4 ),
in ferim o s q u e en e l a n illo lim itad o p o r la s circu n fe re n cia s x 2 + y 2 =
1
y x 2 + y 2 = 2 h a y u n ú n ico c ic lo lím ite d el siste m a (184).
P ara d em o stra r la u n icid a d , b a s ta recu rrir al criterio d e D u lac p ara
re g io n e s d o b lem en te c o n e x a s : s i ex iste u n a fu n c ió n
B { x ,y ) > 0
con tin u a ju n to con sus d eriv a d a s p a r c ia le s y ta l q u e en cierta región
d o b lem en te con ex a G d e la región d e d efin ición d el sistem a (122)
219
C apitulo 2. M étodos cualitativos d e análisis d e modelos diferenciales
la fu n ción
d (B X )
d (B Y )
dx
8y
es d e sign o constante, en ton ces en la región G no pu ede existir m ás de
una curva sim p le cerrada fo rm a d a p o r trayectorias del sistem a ( 122)
y q u e conten ga a la fro n tera interior d e la región G.
E n e l ca so con sid erad o aquí, tom ando B ( x ,y ) = 1 para el siste­
m a (184) obtenem os
dX
dY
~dx + H y
, 2
(
2.
+ ® ) -
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p o r lo q u e en e l anillo de fronteras x 2 + y2 =
1
y x 2 + y2 =
2,
la
exp resión 3 ( x 2 + y2) - 2 conserva e l signo. T eniendo presente el tipo
d e sin gu larid ad en 0 ( 0 , 0), conclu im os que el ciclo e s un ciclo lím ite
inestable.
R egresan d o al problem a d e la constru cción de las cu rvas sin contacto
para e l ca so g en eral, veam os có m o utilizar de otra m anera lo s sistem as
topográficos. La base d el n u ev o m éto d o e s e l co ncep to d e cu rva de
d*
co ntacto. Si la d eriv ad a —
dt
a
se anula en cierto conjun to de puntos del
p la n o de fa se, en to n ces d ich o co n ju n to e s el lu g ar geom étrico de los
p u n tos d o n d e las trayectorias del sistem a diferencial son tangentes
a las cu rv as d el sistem a topográfico. D e hecho, la pendiente d e
la tang en te a la trayectoria del sistem a diferencial e s igual a — ,
m ien tras q u e la pendiente d e la tangente a la cu rva del sistem a
220
16. Sistem a to p og rá fico d e curvas. Curvas d e co n ta cto
d*
to p o g rá fico e s - —
/d *
n
/ — . P o r esto , cu an d o
d x / dy
— X + — r = 0,
dx
(185)
dy
esta s p e n d ie n te s co in cid en , e s d ecir,
r
X
_ _d$
dx /
/0£
dy
S e d e n o m in a cu rva d e contacto al lu g a r g e o m é trico d e lo s p u n to s en
lo s qu e las tra y ecto ria s d el sistem a d iferen cia l ( 122) so n ta n g e n te s a las
c u rv a s d el sistem a to p o g rá fico $>(x, y ) = C . L a ecu a ció n (185) e s la
ecu a ció n d e la cu rv a d e co n ta cto . E s e sp e cia lm e n te in teresan te e l caso
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cu a n d o se log ra ele­
g ir e l siste m a top o­
g ráfico d e tal m a n e­
ra q u e la cu rv a de
co n ta cto , o alg u n a
ram a su y a , e s una
cu rv a sim p le cerra ­
d a , p u e s e n to n ce s el
sistem a to p o g ráfico
p o se e c u rv a s " m á ­
Pig g 8
x im a " y " m ín im a " ,
a las c u a le s so n tan­
g e n te s la cu rva d e co n ta cto o la ram a real su y a (en la fig u ra 9 8 la cu rv a
d4>
d e co n ta cto se in d ica co n u n a lín ea d isco n tin u a). S i — ^ 0
dt
e n la cu rv a "m á x im a " <J>(x,y) = C , , y —
dt
■
^0
(d*
\
\ dt
/
— ^ 0
/d$
\
1 — ^O
e n l a cu rv a
\ dt
/
C a p ítu lo 2 . M é to d o s cualitativos d e análisis d e m o d e lo s d iferenciales
y ) = C 2, e n to n c e s e n la re g ió n c ircu la r a co ta d a po r
"m ín im a "
la s c u r v a s in d ic a d a s e x iste a l m e n o s u n ciclo lím ite d e l sistem a
d ife re n cia l a n a liz a d o .
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D e e s te m o d o , e n e l e je m p lo d e l siste m a (184) la cu rv a d e co n ta cto
x 2 + y 2 = x 4+
2/4 e s c e rra d a
(fig. 9 9 ). L a s c u rv a s "m á x im a " y "m ín im a "
(ta n g e n te s a la cu rv a d e c o n ta c to ) d el sistem a to p o g rá fico e le g id o se
p u e d e n h a lla r d e la m a n era sig u ie n te : c o m o e n co o rd e n a d a s p o lares
la e c u a c ió n d e la cu rv a d e co n ta c to e s r 2 = — r—---------- 7 —, e n to n ces
eo s 4 9 + se n 4 9
s u s e c u a c io n e s p a ra m é tric a s son
eo s 9
se n 9
X ~ V e o s 4 9 + se n 4 9 '
V ~ V e o s 4 9 + sen 4 9'
222
17. Divergencia d e l cam po vectorial y c ic lo s lim ites
D a d o q u e lo s v a lo re s m á x im o y m ín im o p a ra r 2 so n 2 y 1, res­
p ectiv a m en te, co n clu im o s q u e la s cu rv a s "m á x im a " y "m ín im a " del
sistem a to p o g ráfico x 2 + y 2 = C so n las circu n feren cia s x 2 + y2 = 1
y x 2 + y 2 = 2 . C o m o v im o s a n tes, esta s circu n feren cia s fo rm an el
a n illo q u e co n tien e a l ciclo lím ite d e l sistem a (184).
17. Divergencia del campo vectorial
y ciclos límites
A l co n stru ir u n sistem a to p o g rá fico de cu rv a s, en a lg u n o s c a s o s se
p u ed e u tilizar e l se g u n d o m iem b ro d el sistem a (1 2 2 ). E l sistem a
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d iferen cia l exam in ad o p u e d e s e r tal q u e la ecu ació n
ldTx + ld yf = X'
m )
d o n d e A e s u n p arám etro real, p ro p orcion a e l sistem a to p o g rá fico de
cu rvas.
P or ejem p lo , p ara e l sistem a d iferen cial (184) la ecu a ció n (186) to m a la
fo rm a 3 ( x 2+ y 2) - 2 = A. H a cien d o A = —
d o n d e A € ( - 2 , + o o ),
o b ten em o s e l sistem a to p o g rá fico d e cu rv a s x 2 + y2 = A u tilizad o
a nterio rm ente.
D eb em os d esta ca r q u e si se tie n en e n cu en ta la s cu rv a s "m á x im a " y
"m ín im a ", e s d ecir, si la cu rv a d e co n ta cto o alg u n a d e s u s ram as
reales co in cid e c o n u n a d e las cu rv a s d el sistem a to p o g ráfico , e n to n ces
d ich a cu rv a e s la tra y ecto ria d el sistem a d iferen cial.
223
C a p ítu lo 2 . M é to d o s cu a lita tiv o s d e a n á lisis d e m o d e lo s d ife re n c ia le s
C o n s id e r e m o s , p o r e je m p lo , e l s is te m a d ife re n c ia l (173)
^
= - y + x { l - x 2 - y 2),
P a r a e s t e siste m a
dX
Ȓ
. 2
dY
+
i
* =
2.
2 - 4< * +»>•
y la e c u a c ió n (1 8 6 ) to m a la fo rm a 2 - 4 ( x 2 4- y 2) = A. S i a h o ra , en
2 —A
lu g a r d e l p a r á m e tr o A in tr o d u c im o s e l p a r á m e tr o A = — - — , d o n d e
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A € ( - o o , 2 ) , e n to n c e s la ú ltim a e c u a c ió n , x 2 + y 2 = A , d e te r m in a el
s is te m a t o p o g r á fic o d e c u rv a s. E n e l c a s o d a d o , la cu rv a d e co n ta c to
e s ( x 2 + y 2) ( x 2 + y 2 - l ) = O y, c o m o v e m o s , su ra m a re a l x 2 + y 2 = 1
c o in c id e c o n u n a d e la s c u r v a s d e l siste m a to p o g rá fic o . E sta ra m a ,
c o m o s e d e m o s tr ó e n la s p á g in a s 1 9 8 - 1 9 9 , e s e l c ic lo lím ite d el
s is te m a (1 7 3 ).
A u n q u e lo s ú lt im o s d o s e je m p lo s m u e s tr a n c a s o s p a rtic u la re s , la
id e a d e la c o n s tr u c c ió n d e l s is te m a to p o g rá fic o d e c u n a s m e d ia n te
la d iv e r g e n c ia n o s p u e d e p r o p o r c io n a r re s u lta d o s m á s g e n e ra le s.
S in d e te n e m o s e n e s t o s re s u lta d o s , m o s tre m o s c o m o fu n c io n a e n un
e je m p lo c o n c re to . S i e l s is te m a d ife r e n c ia l (122) tie n e u n c ic lo lím it e L ,
en to n c es ex iste n u n a c o n sta n te r e a l A y un a fu n c ió n p o s itiv a B ( x , y)
d e r iv a b le c o n c o n tin u id a d en e l p la n o d e f a s e , ta le s q u e
d (B X )
dx
d (B Y ) _
+
224
dy
17. Divergencia d e l cam po vectorial y ciclos lim ites
es la ecu ación d e la curva con una ram a real fin ita q u e co in cid e con
e l ciclo L .
In trod uzcam os el co n cep to d e ciclo lím ite d iv erg en te. Se llam a ciclo
lim ite divergente al d c lo lím ite d el sistem a d iferen cia l (122) que
co in cid e con la cu rva (186) o que e s u n a ram a real finita d e ésta.
De acu erd o co n esta d efin ición , m ed ian te un cam b io ap ro p iad o de
la velocid ad d e recorrid o d e lo s p u n tos im ag en a lo la rg o d e las
tray ectorias del sistem a d iferen cial exam in ad o , siem p re se pu ed e
log rar q u e un ciclo lím ite cu alquiera d el sistem a (122) sea un ciclo
d iv erg ente d el sistem a m odificado.
Exam in em os, p o r ejem p lo , el sistem a diferencial
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^
dt
dy
-
= 2 x - 2x3 + x 2y - 3 x y 2 + y 3,
= - *
3 ,2
2
+ x y - x y ,
co n ciclo lím ite x 2 + y 2 = 1.
La d iverg encia del ca m p o v ecto rial de este sistem a e s
dX
dY
„
r 2
.
Se p u ed e co m p rob ar q u e la ecu ació n 2 — 5x2 - 3y 2 = A n o e s una
trayectoria d el sistem a diferencial inicial p ara n in g ú n A real. A su v ez,
si co nsid eram os la fun ción B ( x , y ) = 3 x 2 - 4 x y + 7 ^ + 3 , en to n ces
d (B X )
d (B Y )
. ?
7
w
?
7
= ( x 2 + y2 - 1 ) ( - 2 3 x + 1 6 x y - 25 y 2 - 2 0 ) - 14
225
C apítulo 2. M étodos cualitativos d e análisis de m odelos diferenciales
y la ecu a ció n
d (B X )
d {B Y )
dx
dy
14
pro p orcion a la cu rv a cu y a ram a real finita x 2 + y 2 - 1 = 0 e s el
ciclo lím ite. E vid entem ente, e l ciclo lím ite obtenido e s u n ciclo lím ite
d iverg en te d el sistem a diferencial
dx
— = ( 2 x - 2 x 3 + x 2y - 3 x y 2 + y 3) ( 3 x 2 - i x y + 7y2 + 3 ) ,
^
= (-x
3 + x 2y - x y 2) ( 3 x 2 - i x y
+ 7y2 + 3 ) .
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En g en e ra l, la fun ción B (positiva y d erivable con co ntin u id ad ) no
e s la ú n ica p osible. P or ejem p lo , en e l ú ltim o ejercicio se puede
tom ar co m o fun ción B (ad em ás d e B ( x , y ) = 3 x 2 - 4 x y + 7y2 + 3 ) el
p o lin om io
4
B (x , y) =
2 3 x 2 - 2 0 x y + 43¡f2 + 7
;
en tonces,
d {B X )
dx
f l( B Y ) _
dy
+
=
7 (*2 + y 2 -
l ) ( - 1 8 7 x 2 + 8 0 x y - 149y2 - 8 4 ) - 10.
La ecu ación
d(BX)
d(BY)
dx
dy
17. D ive rg en cia d e l ca m p o v e c to ria l y c ic lo s lim ite s
re p re se n ta la cu rv a c u y a ra m a x 2 + y 2 - 1 = O e s u n c ic lo lím ite
d e l siste m a d ife re n c ia l (c ic lo lím ite d iv e r g e n te d e l siste m a d ife re n cia l
m o d ifica d o ).
P a ra co n clu ir, se ñ a le m o s q u e d u r a n te e l e s tu d io d e m o d e lo s d ife ­
re n cia le s co n cre to s, fre c u e n te m e n te s u rg e la n e c e s id a d d e a p lic a r
m é to d o s q u e n o h a n s id o tra ta d o s e n e l p re se n te lib ro . T o d o d e p e n d e
d e l n iv e l d e co m p le jid a d d el m o d e lo d ife re n c ia l, d e c u á n d e s a rr o lla d o
e stá e l a p a ra to m a te m á tic o re s p e c tiv o y, p o r s u p u e s to , d e la e ru d ic ió n
y e x p e rie n c ia d e l in v estig a d o r.
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Apéndice
D e r iv a d a s de la s fu n c io n e s
e le m e n t a le s
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F u n c ió n
C
D e riv a d a
0
(c o n s ta n te )
X
1
x "
n i " ’ 1
1
—
----1
X
X 2
n
i
*•
x n+l
Vi
1
V
Vi
i
1
'228
A p é n d ice
F u n c ió n
D e r iv a d a
e*
e*
ax
az in a
1
ln x
X
1 .
“ to g * e =
x
08
lo g .*
1 ,
1
— T—
x In a
0 ,4 3 4 3
• s*
sen x
co sx
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C O SI
— sen x
tg x
1
2
------r — = s e c X
eos2 X
c tg x
-------- y — =
sen2 x
sec x
sen x
— —
CSC X
co sx
----------=— =
sen2 x
eos2 X
= tg x sec x
1
a rcse n x
V l - x *
1
á rc e o s x
n /1
229
- CSC2 X
—
x2
— c t g X CSC X
A p é n d ic e
I
Derivada
F u n c ió n
arctg x
1 + *2
arcctg x
1+x2
arcsec x
xV x2- 1
arccsc x
-y /x 2 - 1
sh z
ch x
ch x
sh x
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th x
c tíx
cth x
sh 2 x
A rcsh x
y /T + x 2
A rcch x
y /x ^ l
Arcth x
1 —x2
A rccth x
1 — X2
230
A p é n d ic e
In te g r a le s b á s ic a s
F u n c io n e s p o te n c ia le s
x n+l
/
= _
( „ *
d
=1n W
F u n c io n e s trig o n o m é tric a s
J
sen x d x = - cos x
J
cos x d x = sen x
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J
tg x d x = — l n |c o s x\
J
ct g x d x = l n |s e n x|
f
dx
J
=
cos- X
sen - x
F u n c io n e s ra c io n a le s
/
/
f
dx
a2 + x2
“r
dx
1
= T
x
T
1
x
1
a + x
r = - A rc th - = — l n
a2 - x2
a
a
dx
1
x
2a
m
1
a -x
x —a
( x
< a)
A p é n d ic e
F u n c io n e s e x p o n e n c ia le s
J e*dx = ex
J
í az dx = p —
ln a
F u n c io n e s h ip e r b ó lic a s
J
sh
x dx =
ch
x
J
ch
x dx =
sh
x
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J x dx
x
th
Í
= ln |c h
C
t^x dx
Ií
J
í
J
F u n c io n e s ir r a c io n a le s
= ln |sh
dx
— =— = th x
ch
x
dx
sh2 x
cth
x
x
índice de m aterias
A m o rtigu am ien to crítico 167
— de oscilaciones 168
condición inicial 126
constante d e gravitación universal
ángulo d e retraso 107
89
coordenada hom ogénea 184
criterio d e Bendixson 202
B a s e del arco d e una cicloide 68
— d e Dulac 202, 219
— d e P oincaré— Bendixson 200
curva d e contacto 221
— isócrona 69
Bendixson, criterio 202
Bendixson—Poincaré, 200
braquistocrona 73
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— isotérm ica 15
— sin contacto 215
— tautocrona 69
C á lc u lo d e variaciones 74
cam po direccional 120
centro 147
ciclo lím ite 199
D iá m e tr o hid ráulico 173
dirección 120
— excepcional 163
divergente 225
estable 199
inestable 200
divergencia 162
dom inio norm al de From m er 179
sem iestable 200
cicloide 67
círculo generador 67
clepsidra 26
d e p rim er tipo 179
d e segu nd o tipo 179
d e p rim er tipo 179
Dulac, criterio 202, 219
coeficiente de convalecencia 41
— de m orbilidad 41
coeficientes de potencia
de artillería 54
concentración de una sustancia 31
E cu a ció n característica 163
— de continuidad 171, 188
;233
índice d e m aterias
— de la curva logística
28
— de Van der Pol 209
de segunda especie 66
isoclina 120
eficacia territorial 55
estabilidad orbital 155
Jacobiano 161
estado de gravedad cero 87
— de ingravidez 87
K ep ler, leyes 94
— estable 151
— inestable 151
Ferm at, principio del tiempo
mínim o 75
flexión de una viga
102
flujo estacionario de calor 14
foco 149
Fourier, ley de conducción
L e y de acción d e masas 31
— de conducción de calor
de Fourier 15
— de gravitación universal 89
— de la oferta y la demanda 29
— de las áreas 94
leyes de Kepler 94
Liapunov, función 158
—, método directo 156
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de calor 15
Frommer, dom inio norm al 179
fuerza resistente 140
—, solución estable 154
— restauradora 140
—, — no estable 155
línea de sonido 174
función de Liapunov 158
— elástica 100
— de signo negativo 157
positivo 157
— definida negativa 157
positiva 157
— energética del sistema 158
M é to d o de aproximaciones
sucesivas de Newton 21
— directo de Liapunov 156
modelo cuadrático de combate 55
— depredador—presa 34
G a lile o , teorema 68
— lineal de combate 59
índice de un punto singular
203, 204
— parabólico de combate 61
— de una curva cerrada 204
N ew ton , método
d e aproximaciones
Integral elíptica de primera
especie 66
sucesivas 21
nodo 149
ín d ic e d e m a te ria s
núm ero d e M ach 173
resorte lineal 140
— d e R eynold s 171
retrato d e fase 139
rigidez flexural 103
O s c ila d o r de Van d er Pol 207
S e p a ra triz 124, 146
P é n d u lo cicloid al 71
sistem a co n serv ativ o 140
plano de estad os 135
— d iferen cial au tó n om o 136
co n ley hip erbó lica 56
— de fase 135
— estacion ario 136
— proyectivo 185
P oincaré— B end ixson, criterio 200
— n o a u tó n om o 136
prin cip io d e Ferm at del tiem po
— n o estacion ario 136
— topográfico d e cu rv as 217
m ín im o 75
problem a d e co n to m o 33
— d e v alores iniciales
126
solución esta b le seg ú n Liapunov
154
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producto d e u n a reacción 31
— n o estab le segú n L iapu nov 155
pu nto de equ ilib rio 137
su perficie isotérm ica 14, 15
— d e inflexión 122
— d e rep oso 137
T a s a de m ortalid ad 35
— de retroceso 68
— d e natalidad 35
— de silla 147
tend encia d el p recio 29
— im agen 135
teorem a d e G a lileo 68
— sin gu lar 137
a isla d o 137
— d e W ren 68
trayectoria d e fase 135
asin tó ticam en te estab le 152
estab le 151
grosero 150
V a n d er P ol, ecu a ció n 209
inestable 152
velocidad areolar 93
sim ple 161
— d e fase 135
— d e reacción 31
R e c ta excepcional 164
— im propia 186
v értice d e u n a cicloid e 68
viga d e consola 101
— regular 178
— sin gu lar 178
W r e n , teorem a 68
E D IT O R IA L U R SS
D E R E C IE N T E E D IC IÓ N
R oz en d óm
P r o b le m a s d e g e o m e t r ía d ife r e n c ia l
Este libro contiene una colección d e problema* de alto nivel, relacionado» con lo* principales
tem as que componen un curso completo d e geometría diferencial. Al resolver le s problemas
planteado», el lector habrá efectuado un recorrido minucioso por la geometría diferencial y de
las curvas espaciales y de la* superficies. En lo* problema* * e tocan aspectos de la geometría
diferencia) que tienen innumerable* aplicaciones en la física y en la ingeniería. Este libro fue
autorizado por el Ministerio d e Educación Media y Superior de la URSS para su uso en la*
facultades d e física y d e matemáticas.
D u b ro v in ,
G e o m e t r ía m o d e r n a ( p r im e r y s e g u n d o to m o )
F om en ko,
En este libro se abarcan lo» siguiente* tema*: geometría del espacio euclideo, del espacio
d e M lnkowski. y d e su * respectivo* grupos de transformaciones; geometría clásica de cursas
y superficies; análisis tensorial y geometría de Riemann; cálculo variacional y teoría del
cam po; fundamentos de teoría d e la relatividad, geometría y topología de variedades, y. m is
concretamente, elementos d e la teoría de homotopías y de la teeeia d e los espado* fibrado» y
alguna* de su * aplicaciones, en particular, a la teoría de los cam pos d e gauge.
N ó v ik o v
S a m a r s k i,
M é t o d o s n u m é r ic o s . G u ia d e r e s o lu c ió n d e p r o b le m a s
V a b is c h é v ic h ,
La presente gula práctica d e estudio pretende ser un complemento de los cursos de método*
numéricos que se imparten en las instituciones d e educadón superior con un programa de
matemáticas de nivel elevado. Los problemas y «Tercióos abarcan lo* tema* príndpales del
análisis matemático: interpoladón, integración numérica, método» directos e iterativos del álgebra
lineal, problemas espectrales, sistemas de ecuaciones no lin é alo , problema* d e minimización de
fu n cio n o , ecuaciones integrales, problemas de contom o y d e valore* ¡nidales para ecuadones
diferenciales ordinarias y en derivada* pardales En cada sección se expone brevemente el
material teórico necesario, ejercido» resueltos y una colecdón d e ejercidos propuestos.
S am árskay a
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S hapukov
G r u p o s y á l g e b r a s d e L i e e n e je r c i c io s y p r o b le m a s
Este libro ayudará al lector a familiarizarse con los grupos y álgebras de Lie. disdpllnas que
presentan un gran interés tanto para matemáticos com o para físicos. El material del libro abarca
todas las ramas fundamentales de lo» grupos y álgebras d e L ie representadones lineales d e lo»
grupos y álgebras d e lúe, homomorftsmo» de lo» grupo» y álgebras de Lie. form as invariantes,
espado» homogéneo*, órbitas, grupo» d e L ie de transformaciones d e variedades difcrendable».
etc. La exposición teórica viene acom pasada de una gran cantidad d e ejemplos resueltos.
L ia s h k ó ,
"A n t i D e m i d ó v i c h M a t e m á t i c a s u p e r io r . P r o b le m a s r e s u e lto s . T. 1 -1 0 .
B o ia r c h u k ,
Esta serie consta do d iez volúmenes y contiene más de 2803 problemas resuelto» d e las más
variadas ramas de las matemática» superiores. Lo* cuatro primeros tomo», con lo* que se abre
esta obra, están dedicados al estudio práctico d e las fundones, las sucesiones, las series, el cálculo
difcrendal e integral de la» fundones d e una y varia» variables; en ello* se presentan solucione*
completamente detallada* de problemas expuestos en e l famoso libro d e B. P. Demidóvkh.
G a i,
G o lo v a c h
C u r s o d e m a t e m á t ic a s s u p e r io r e s (nueva edición, modificada y ampliada).
K rasnov,
C M S/:
K is e lio v ,
La primera edidón d e este libro vio la luz en editorial MIR en do» tomos y simultáneamente en
tres idioma» (español. inglés y francés) a comienzo* d e lo» aAo» 90. Desde ese momento, este
libro ha conquistado un lugar destacado entre los libro* de texto d e matemáticas superiores en
los países de habla hispana. Paradójicamente, el original en ruso no fue editado por una sendlla
razón: en didem bre del 1991 la Unión Soviética fue liquidada en contra del deseo popular
expresado en referéndum en la primavera d e ese mismo aAo. La edidón rusa (reelaborada y
muy notablemente ampliada) fu e publicada por editorial URSS en el aAo 2000. En d aAo 1999
este libro fue premiado en el concurso "N uevos libro» de texto" organizado por d Ministerio
d e Educadón d e Rusia con la consiguiente recomendadón oficial para ser usado como tal en
todo* los centros d e educadón superior.
M akáren ko,
S h ik in ,
Z a lia p in
En com paradón con la anterior ed id ó n espaAola. la obra no sólo ha sido redaborada sino
q u e ha sido completada con ramas tan im portantes como: teoría de probabilidades, estadística
matemática, teoría de juego», control óptimo, matemática» discreta», métodos numéricos, etc.
P ietrá sh eñ ,
T rífo n o v
S u rd ín
T eoría d e g r u p o s y s u a p l ic a c ió n a l a m e c á n ic a c u á n t ic a
En <-»lr libro se exponen lo» fundamento» d e la teoría de lo» grupo» finito» r Infinito»; el
uto de la teoría d e la» representaciones de grupo» te ilustra tomando como ejemplo diversa»
aplicaciones y cuestione» referentes a la mecánica cuántica: teoria de loa átomo», química
cuántica, teoria d d estado «Mido y mecánica cuántica relativista
F o r m a c ió n e s te la r
Comenzando can una breve excursión histórica a través del desarrollo d e la» idea» sobrr d
origen de las estrella», el libro presenta un punto de vista moderno de la estructura y la dinámica
del medio Interestelar donde se forman la» estrella». Se describen k » proceso» fundamentales
que llevan a l nacimiento de estrella», sistema* y asociaciones estelare», asi como agregados
estelare» de distinto» tipo».
J ló p o v
E l u n iv e r s o y la b ú s q u e d a d e la te o r ía u n ific a d a d e l c a m p o
Este libro está dedicado a las más palpitantes cuestiones situadas a caballo entre la astrofísica
y la fiska de la» partícula» e lem en tal» S e discuten hipótesi* y posible» variante» d e obtención
de información sobro las partículas deméntale» a partir de dato» astrofísica».
C h e m in
L a n a tu r a le z a f í s i c a d e la s e str e lla s
Lo» pulsare», la» bu rilen , la fuente asombrosa SS433. la» corona» galácticas, lo» cuisare*. la
radiación d e fondo, los agujeros negros Ésto» son los tema* fundam éntalo que abarca d
presente libro. S e describen lo» proceso* físicos que determinan lo» fenómeno» astronómico»
observados, se analizan las nueva* hipótesi» y modela», y * e profundiza en los misterio» d e la
astrofísica que «iguen Inquietando la imaginación d d hombre.
L ip u n o v
E s tr ella s d e n eu tro n es
El libro es una introducción completa a la física de la evolución de la * estrella» de neutrones,
una de las ram a* de la astrofísica que en la actualidad se desarrolla con más ímpetu. S e hace
un recuento histórico d e los descubrimiento» y se explican todo» lo» fenómeno» observad o El
análisis se expone d e una manera amena, utilizando los conocimiento» básico» de matemática»
y física.
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L ip u n o v
E l m u n d o d e la s e s t r e lla s d o b le s
En el libro se describen los nuevo» descubrimiento», ideas e hipóte*» relacionados con el estudio
de la» estrellas doble». La secuencia d e la exposición corresponde a lo* estadio» sucesivo» de
evolución de las estrella» dobles. Pero en la descripción d e cada etapa siempre se analiza un
sistema doble concreto y »e cuenta la historia de »u descubrimiento e investigación, revelándose
en cada ejemplo la esencia de lo» método* astrofísico* d e investigación de los sistemas doble».
L ogunov
C u rs o d e te o r ía d e l a r e la t iv id a d y d e l a g r a v ita c ió n
En este libro, siguiendo la* idea» de Minkowski, * e ha demostrado que la esencia y el contm ido
principal de la teoria de la relatividad radican en la unidad conceptual del espado-tiemfKi, la
geometría del cual e» seudoeuclídea. Dentro d e lo» limites de la leona de la relatividad y del
principio d e geometrtzadón se ha construido unívocamente la teoria relativista de la gravitación,
la cual explica todo» lo» experimento» gravita torio» llevados a cabo hasta la actualidad y
proporciona idea» básicamente nuevas sobre el desarrollo del universo y el colapso gravitatorio.
G a n t m á je r
M e c á n ic a a n a lít ic a
□ material de este libro presenta la siguiente estructura: exposición d e lo* principio» m i»
generales de la mecánica, deducción a partir de ello* d e la» ecuaciones diferencíale, de
movimiento e investigación de ésta» y de su» método» d e integración. El rigor de lis
deducciones de lo* principales momento* de la mecánica analítica y d laconismo d d texto se
conjugan magistralmente con la extrema claridad de la exposición.
B a tig u in ,
P r o b le m a s d e e le c t r o d in á m ic a y te o r ía e s p e c ia l d e l a r e la t iv id a d
T optigu in
Este libro, una de la» más completas colecciono de problemas de electrodinámica y de la teoria
especial d e la relatividad, está pensado tanto para lo* estudiantes universitarios como para lo*
de centros técnico» superiores. Todos los problemas están detalladamente resueltos En cada
sección se anteponen breve» introducciones teórica» y se exponen los métodos de resolución de
lo» problema» que se enuncian a continuación. Se presta especial atención a l aparato matemático.
Esta obra, ya clásica, publicada reiteradas vece» en ruso (original) y en inglés, aparece por
primera vez en espaAol.
B ielokú rov,
G u ia d e l a te o r ía cu án tica d e cam p o s
S h ir k o v
El elemento «Uve de b (tuca contvtnperiné* es el cwurepHo de campo cuántico. Hoy en
d b ie considera que éste constituye U forma universal de U materia que aubyace a toda»
sus manifestaciones tísica». Este libro puede ser recomendado como una primera lectura para
aquello» estudiantes y tísicos de otra» especialidades que quieran comprender la» ideas y
métodos más importantes de la teoría cuántica del campo, una de las rama» má* matematizada*
y abstracta» de la física teórica.
Faddéev,
In troducción a l a teoría cu án tica d e lo s c a m p o s d e gau ge
Slavnov
En este libro de los prominentes físicos soviéticas se expone, por una parte, el método general
de b cuantificaóón de las teorías invariantes de gauge en términos de b integral fundonal.
y, por otra, su renormalizadón. Se analizan también b formulación de las teorías de gauge
reticulares y los método» explícitamente covariantes de cuantificaóón (cuantifkactón BRS)
M atv iéev ,
P rob lem as resu eltos d e f í s i c a g e n e r a l p a r a los m á s in quietos
Petersón,
Z h ú kariev
Este libro constituye una completa colección de problema» detalladamente resuelto» que fueron
propuesto» a los alumnos más avanzado» de lo» primero» curso» de b facultad de física de
b Universidad E*tatal Lomooósov de Moscú en seminario» especiales Los problema» abarcan
las siguiente» disciplinas: mecánica, física estadística, termodinámica, electricidad, magnetismo
y óptica. Además de problemas completamente originales se han incluido también lo» prtWema»
más característico» y difíciles que se proponen generalmente en el curso de física general
ó s ip o v
A u toorg an ización y caos
En este libro se describe de forma amena una de las nueva» ramas de b termodinámica
fmomenológica: b termodinámica de los procesa» inevendbles. Tras una breve introducción
a b dinámica de lo» procesos de equilibrio, el autor rxpcrw detalladamente los postulado»
fundamentales de b termodinámica del desequilibrio. Se presta una atención especial a lo»
efecto» de b termodinámica no lineal, a b autoorganización en los sistema» de desequilibrio,
todo lo cual se ilustra con ejemplo» de b hidrodinámica, b finca de los láseres v b cinética
química.
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S h ep e lio v
ó p tic a
Este libro ha sido preparado por el profesor A. V. Shepeliov partiendo de su extrnu experiencia
pedagógica en los centro» de mseftanza superior El libro abarca Indo el programa de 'óptica'
del curso de fiska general para estudiantes de «wAanza superior. Leu tema» están dividido»
por secciones y terminan con un resumen. Esto b a lita el trabafo regular con el libro y ayuda a
b preparación rápida para lo» exámenes.
S h ep e lio v
E lectricid ad y m agn etism o
Este libro abarca casi todo el programa de 'Electricidad y magnetismo' del curso de fiska
general para estudiantes de «ueóanza superior, lo cual »e ha logrado gradas a b exposición
concisa, pero exacta, del material. Lo* conodmientos matemático! necesarias para b comprensión
del libro son Ic» del nivel escolar Incluyendo los elementa» del cálculo diferencial e integral
Los tema» están dividido» por seccioné» y terminan con un resumen Esto facihta el trabajo
regular con el libro y ayuda a b preparación rápida para k a exámenes.
Tarásov,
P regun tas y p ro b le m a s d e fís ic a
Tarásova
Lo» autores de este libro han sabido, en b forma má» expresiva d d diálogo, analizar
profundamente casi todas la» pregunta» del programa y en espedal aquellas que son de difícil
comprensión. En el libro re hace un análisis detallado de k>» errores más característicos que
cometen lo» estudiante». El texto ha sido escrito de manera stngubr, rencilla y amena, bs
preguntas difíciles se discuten desde diferente» punto» de vísta, los dibujos bien detallado* (que
en d libro son numeroso») ayudan a comprender má» profundamente b idea de les autores
B a sk á k o v
T eoría d e circuitos
En d presente libro se expone slstrmáticamente d material del curso •Fundamento» d r b teoría
de circuito*.. Se estudian los método» de análisis de los regímenes armónico» estacionarios de
lo* circuitos lineales, b teoría de los cuadripok» las características de las filtros, las fundamento»
de b teoría de circuito» no linéale». Se lleva a cabo un estudio detallado de lo» método* para
hallar b» reaccione» de los sistemas lineales a lo* Impulsos. En d libro también re presenta b
teoría de los circuito* con parámetros distribuidos, y se discuten los métodos de síntesis de los
d ip o l» lineales. El último capítulo está dcdkado a b aplicación de los ordenadores al cálculo
de circuito* complejas
K ir ílo v
R e s o lu c ió n d e p r o b le m a s d e f í s i c a
y otr o s
El libro e s t i rtcn to en correspondencia ccn el programa del corso de fisicn general. En el
libro se incluyen problemas resueltas de fundamentos físicos d e la mecánica, termodinámica y
física molecular, electricidad y magnetismo, oscilaciones y ondas, ópdca, teoría especial de la
relatividad y física cuántica.
F eo d ó s ie v
P r o b le m a s d e r e s is te n c ia d e m a te r ia le s
Esta monografía contiene una colección de problemas seleccionadas d e alto nivel detalladamente
resueltos, los cuales proporcionarán al lector, sin duda alguna, la posibilidad de ampliar su
conocimiento sobre la ciencia de la resistencia de materiales y mejorar su comprensión en lo
que respecta a la relación existente entre dicha disciplina y varias otras.
D E P R Ó X IM A E D IC IÓ N : F ÍS IC A
• S a z h in
I n tr o d u c c ió n a la c o s m o lo g ía m o d e r n a
• S u rd ín
P r o b le m a s r e s u e lto s d e a s tr o n o m ía
• Tiemov y otros
C am pos de gauge
• Bólojov
G r u p o s d e s im e tr ía y p a r tíc u la s e le m e n ta le s
• Vizguin
T e o ría s d e c a m p o u n ific a d o e n e l p r im e r te r c io d e l s ig lo X X
• Ivanenko
G r a v ita c ió n
• Galtsov, Grats,
Zhukovski
• Galitski y otros
C a m p o s c lá s ic o s : t e o r ía g e n e r a l, c a m p o s e le c t r o m a g n é t ic o s ,
• K v á s n ik o v
T e r m o d in á m ic a y m e c á n ic a e s ta d ís tic a . P r o c e s o s r e v e r s ib le s
c a m p o s d e Y a n g — M ills y c a m p o s g r a v ita to r io s
P r o b le m a s r e s u e lto s d e m e c á n ic a c u á n tic a
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e ir r e v e r s ib le s . T e o r ía y p r o b le m a s r e s u e lt o s ( 2 t o m o s )
• Baskákov
S e ñ a le s y c ir c u ito s
• Denísov
E le c tr o d in á m ic a d e lo s m e d io s c o n tin u o s
• Lipunov
P r o b le m a s r e s u e lto s d e a s tr o fís ic a
• Shvilkin y otros
P r o b l e m a s r e s u e l t o s d e e l e c t r ó n i c a f í s ic a
• Z v ia g u in y o tr o s
P r o b le m a s r e s u e lto s d e te o r ía d e s e m ic o n d u c to r e s
• B o g o liú b o v ,
C a m p o s c u á n tic o s
S h ir k o v
• Jlópov
C o s m o m ic r o fís ic a
• Chemin
F ís ic a d e l tie m p o
• Chemín
R o ta c ió n d e la s g a la x ia s
• K u lik o v s k i
M a n u a l d e l a stró n o m o
• Kononóvichy
Moroz
• Vilf
C u r s o d e a s tr o n o m ía g e n e ra l
S o b r e e l e s p í n , la fó r m u la d e E in s te in y la e c u a c ió n r e la tiv is ta
d e D ir a c
• Kondrátiev,
Románov
• Dmítriev
P r o b le m a s r e s u e lto s d e m e c á n ic a e s ta d ís tic a
• Rozental
G e o m e tr ía . D in á m ic a . U n iv e r s o
F r id m a n
E l b a ú l d e l a b u e lo
E l m u n d o c o m o e s p a c io -tie m p o
• Shelepin
Lejos del equilibrio
• Shelepin
Coherencia
£
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■S
0
1
1
1
• Guriévich,
El origen de las galaxias y las estrellas
Chemín
• Matviéev y otros
Síntesis nuclear fría
• Kuzmín,
Shvilkin
• Matviéev y otros Problemas resueltos de mecánica
• Frenkel
De la desintegración
• Jeller
En los orígenes de la cosmología: Fridman y Lemetre
• Jlópov
Cosmomicrofísica
q
a la Gran Explosión
D E P R Ó X IM A E D IC IÓ N : M A T E M Á T IC A
• Krasnov y otros
Ecuaciones integrales
• Krasnov y otros
Problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias
• Krasnov y otros
Funciones de varible compleja. Cálculo operacional. Teoría
de la estabilidad
www.fullengineeringbook.net
• Krasnov y otros
Análisis vectorial
• Krasnov y otros
Cálculo variacional
• Ríbnikov
Historia de las matemáticas (nueva edición completamente
modificada)
• Dubrovin,
Fomenko,
Nóvikov
• Samarski,
Vabischévich
Geometría moderna. Métodos y aplicaciones. Tomo 3: Méto­
do de la teoría de las homologías
• Kubyshin
Geometría diferencial, álgebras de Lie y sus aplicaciones
Métodos numéricos para la resolución de problemas de
convección-difusión
Sus opiniones, sugerencias
pueden ser enviadas a:
y proposiciones
Rusia, 117312 Moscú
Instituto de Análisis de Sistemas
de la Academia de Ciencias de Rusia
Prospiekt 60-letia Octiabriá, 9; k. 203
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