Solución del primer parcial El gerente general de SOFASA, al percibir los excelentes resultados obtenidos por la toma de decisiones basadas en el modelo que usted le proporcionó, acude de nuevo a usted por un asunto importante en su planta de Bogotá. La planta tiene dos líneas de ensamble con las mismas características, tienen cuatro estaciones de trabajo cada una con una máquina que puede procesar una unidad a la vez y que termina su trabajo en una hora (salvo la última estación que no siempre lo hace). Considere la siguiente información sobre el proceso productivo: • La primera estación, si se encuentra vacía, recibe láminas de acero fase doble (DP), donde es cortada con chorro de agua, termoformada y soldada para convertirse en la estructura de los vehículos (carrocería). El proceso es llevado acabo correctamente con una probabilidad del 80% y con la probabilidad restante el producto debe desecharse. • La segunda estación, si se encuentra vacía, recibe tubos estructurales STALA 4003, donde son cortados con plasma, doblados a presión y soldados por resistencia formando el chasis. El 60% de los chasis fabricados son adecuados para montaje y el 40% debe enviarse a reciclaje en otra bodega. • La tercera estación ensambla el chasis y la carrocería por medio de robots especializados, lo que permite que el 95% de los ensambles salgan con la calidad requerida. Los restantes deben desarmarse por completo y enviarse a otra bodega para su correcta disposición final. • La cuarta estación realiza el trabajo de pintura por horneado, 80% de las veces termina el proceso por completo en una hora y el 20% restante debe continuar en pintura. La siguiente figura explica el flujo de producto: Hasta el momento sólo se han presentado dificultades en la Línea 2 y es en ésta en la que se pide enfocar sus esfuerzos. Lo que en esta línea ha resultado particularmente problemático es la coordinación de flujos entre las estaciones que trabajan en serie (ensamble y pintura). Se le pide modelar este subsistema como una CMTD determinando: • • Variable de estado y espacio de estados Matriz (o grafo) de transición. Sea 𝑋𝑡 , 𝑡 ≥ 0 una CMTD. 𝑋𝑡 es el estado del sistema formada por la dupla (Estado de la estación 3, estado de la estación 4) (0 representa vacía, 1 representa ocupada). Espacio de estados: 𝑆= 0,0 , 1,0 , 0,1 , 1,1 Matriz de transición: (0,0) P= (1,0) (0,1) (1,1) (0,0) (1,0) (0,1) (1,1) 0,52 0 0,416 0 0,48 0,05 0,384 0 0 0,494 0,104 0,3952 0 0,456 0,096 0,6048 Espacio de estados: 𝑆 = 0,1,2,3,4,5 Matriz de transición: 0 1 P= 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 0,52 0,08 0 0 0 0 0,48 0,44 0,08 0 0 0 0 0,48 0,44 0,08 0 0 0 0 0,48 0,44 0,08 0 0 0 0 0,48 0,44 0,08 0 0 0 0 0,48 0,92 1. ¿Cuáles se esperan que sean sus costos globales diarios en el largo plazo? ෝ: Vector 𝝅 0 1 2 3 4 5 0,0001 0,0006 0,0039 0,0231 0,1389 0,8334 Vector 𝑪: 0 1 2 3 4 5 20000 21200 22400 23600 24800 26000 Costo esperado por unidad de tiempo: $ ෝ 𝑪 = 𝟐𝟓𝟕𝟓𝟎 𝝅 𝒅í𝒂 2. Sabiendo que hoy empecé con 2 réplicas en el inventario, ¿Cómo se espera que sea el costo de mantener inventario para los próximos 5 días (sin considerar el actual)? Vector 𝒂𝟎 : 0 1 2 3 4 5 0 0 1 0 0 0 1,1776 1,7056 1,1340 0,2836 0,0310 0,0034 0,5653 1,1124 1,7014 1,1346 0,2889 0,0504 Matriz 𝑴 𝟓 = σ𝟓𝒊=𝟏 𝑷 𝒊 : 1,2499 0,3013 0,0327 0,0026 0,0001 0,0000 M(5) = 1,8076 1,1449 0,2843 0,0309 0,0025 0,0002 0,1741 0,5406 1,1159 1,7333 1,2511 0,5711 Vector 𝑪: 0 1 2 3 4 5 0 1200 2400 3600 4800 6000 2. Sabiendo que hoy empecé con 2 réplicas en el inventario, ¿Cómo se espera que sea el costo de mantener inventario para los próximos 5 días (sin considerar el actual)? 𝒂𝟎 ∙ 𝑴 𝟓 ∙ 𝑪 = $𝟏𝟖𝟗𝟑𝟒 3. ¿Cuál es el tamaño promedio del inventario por día? ෝ: Vector 𝝅 0 1 2 3 4 5 0,0001 0,0006 0,0039 0,0231 0,1389 0,8334 Vector 𝑪: 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 Inventario promedio: 𝒖𝒏𝒅 ෝ 𝑪 = 𝟒, 𝟖 𝝅 𝒅í𝒂 4. Si el inventario está vacío, ¿Cuántos días se espera que pasen para que se llene por primera vez? Calcular el tiempo de primera pasada del estado 0 al estado 5. Sistema de ecuaciones (en forma matricial): 0,48 -0,48 0 0 0 m 05 1 -0,08 0,56 -0,48 0 0 m 15 1 0 -0,08 0,56 -0,48 0 0 0 -0,08 0,56 -0,48 m 35 1 0 0 0 -0,08 0,56 m 45 1 Resolviendo: 𝒎𝟎𝟓 = 𝟏𝟐 𝒅í𝒂𝒔 . m 25 = 1 Modelar como CMTD: Sea 𝑋𝑡 , 𝑡 ≥ 0 una CMTD, donde 𝑋𝑡 es la clasificación en la que se encuentra un cliente al finalizar el 𝑡-ésimo mes. Espacio de estados 𝑆 = 𝑁𝑢𝑒𝑣𝑜, 1, 2, 3, 4, 5 + Matriz de transición: P= Nuevo 1 2 3 4 5+ Nuevo 0 0 0 0 0 0 1 0,9 0,5 0 0 0 0 2 0,1 0,4 0,7 0,2 0,25 0 3 0 0,1 0,3 0,3 0,25 0 4 0 0 0 0,25 0,25 0,1 5+ 0 0 0 0,25 0,25 0,9 1. Cuál es la probabilidad de que un cliente que contrata un vuelo en febrero, también contrate un solo vuelo en mayo? P(3) = Nuevo 1 2 3 4 5+ Nuevo 0 0 0 0 0 0 1 0,225 0,125 0 0 0 0 2 0,505 0,49625 0,46375 0,266875 0,28125 0,05125 𝟑 3 0,21 0,24125 0,27375 0,183125 0,1875 0,04375 𝑷𝟏,𝟏 = 𝟎, 𝟏𝟐𝟓 4 0,03 0,05875 0,10125 0,13 0,125625 0,1185 5+ 0,03 0,07875 0,16125 0,42 0,405625 0,7865 2. En este momento (finales de febrero) hay 10% de clientes nuevos, 30% de clientes que contratan cinco o más vuelos y los clientes restantes se reparten en partes iguales en las demás categorías. ¿Qué porcentaje de clientes se espera que haya en la categoría de cuatro vuelos dentro de dos bimestres? a0 = P(4) = a4 = Nuevo 1 2 3 4 5+ 0,1 0,15 Nuevo 0 0 0 0 0 0 1 0,1125 0,0625 0 0 0 0 0,0000 0,0206 𝟒 0,15 0,15 0,15 0,3 2 3 4 5+ 0,493 0,2445 0,063 0,087 0,4603125 0,2484375 0,082875 0,145875 0,4046875 0,2465625 0,109875 0,238875 0,2559375 0,1675 0,12028125 0,45628125 0,26578125 0,17203125 0,11884375 0,44334375 0,07425 0,058125 0,1192125 0,7484125 0,2796 𝒂𝟒 = 𝟎, 𝟏𝟎𝟔𝟖 0,1671 0,1068 0,4259 Modelar como CMTD: Sea 𝑋𝑡 , 𝑡 ≥ 0 una CMTD, donde 𝑋𝑡 es la clasificación en la que se encuentra un cliente al finalizar el 𝑡-ésimo mes. Espacio de estados 𝑆 = 𝑁𝑢𝑒𝑣𝑜, 1, 2, 3, 4, 5+, 𝑆𝑖𝑙𝑣𝑒𝑟, 𝐺𝑜𝑙𝑑, 𝑃𝑙𝑎𝑡𝑖𝑛𝑢𝑚 Matriz de transición: 3. ¿Cuántos años se espera que pasen para que un nuevo cliente alcance una de las categorías Premium definitivas (Gold o Platinum)? Q= Nuevo 1 2 3 4 5+ Silver 1 1,8 5,571821 3,003436 1,254296 3,608247 3,333333 0 2 5,505155 3,003436 1,254296 3,608247 3,333333 0 0 6,171821 3,003436 1,254296 3,608247 3,333333 0 0 2,838488 3,003436 1,254296 3,608247 3,333333 0 0 2,432990 1,621993 2,027491 3,092784 3,333333 0 0 0,577320 0,384880 0,481100 4,123711 3,333333 0 0 0,144330 0,096220 0,120275 1,030928 3,333333 𝑄1,𝑗 = 19,5711 𝑚𝑒𝑠 𝑗 𝑸𝟏,𝒋 = 𝟏, 𝟔𝟑𝟎𝟗 𝒂ñ𝒐 𝒋 4. Se puede decir que hay menos de 20% de probabilidad de que un cliente nuevo termine en categoría Platinum. T= Nuevo 1 2 3 4 5+ Silver Respuesta: No Gold Platinum 0,666667 0,666667 0,666667 0,666667 0,666667 0,666667 0,666667 0,333333 0,333333 0,333333 0,333333 0,333333 0,333333 0,333333
