GUÍA N°1 DE ÁLGEBRA Modelo Lineal Forma Algebraica 𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑛, donde 𝑚 y 𝑛 son constantes 𝑛: Corresponde a la intersección con el eje 𝑌. 𝑚: Pendiente de la recta. Si los puntos 𝐴 = (𝑥1 , 𝑦1 ) y 𝐵 = (𝑥2 , 𝑦2 ) pertenecen a la recta, entonces 𝑚 = 𝑦2 −𝑦1 𝑥2 −𝑥1 . Si conocemos un punto 𝐴 = (𝑥1 , 𝑦1 ) de la recta y su pendiente 𝑚, podemos encontrar la forma alegebraica de la función despejando 𝑦 en la ecuación 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 ). Forma Gráfica La gráfica de una función lineal es una recta, cuya inclinación dependerá del valor de la pendiente. Pendiente Positiva 𝑚>0 Pendiente Negativa 𝑚<0 1. La altura promedio 𝐻(𝑎) de un niño (en centímetros), durante su primer año de vida, se puede estimar mediante la función 𝐻(𝑎) = 2,3 ∙ 𝑎 + 48, donde 𝑎 es la edad expresada en meses. a) Defina la variable dependiente e independiente, indicando unidad de medida. b) Escriba el dominio contextualizado de la función. c) Interprete las coordenadas del punto E que aparece en el gráfico. d) Determine e interprete 𝐻(0). Escriba las coordenadas del punto (0, 𝐻(0)) en la gráfica. e) ¿Es posible determinar a qué edad los niños miden en promedio 60,65 cm? Justifique su respuesta f) ¿Es posible determinar a qué edad los niños miden en promedio 80 cm? Justifique su respuesta g) ¿Cuánto crecen, en promedio, los niños mensualmente hasta el año de vida? 2. Los alumnos de recursos naturales modelaron la población de abejas en la ciudad de Santiago con la función lineal 𝐴(𝑡) = −9.780𝑡 + 997.560, donde 𝑡 es el tiempo transcurrido en meses desde el inicio de la investigación. a) Defina la variable dependiente e independiente, indicando unidad de medida. b) ¿Con cuántas abejas se inició el estudio? c) ¿Cuánto disminuye la cantidad de abejas por mes? d) Los alumnos concluyen que las abejas desaparecerán transcurridos 100 meses. ¿Qué opinas de esta conclusión? Argumente matemáticamente. e) Al terminar el estudio había 381.420 abejas. ¿Cuántos meses duró la investigación? f) Otro grupo de estudiantes realizó el mismo estudio en el norte del país, identificando que la disminución de las abejas por mes es el doble que en el estudio anterior. Encuentre el modelo que obtuvo este segundo grupo de estudiantes y, si es lineal, determine e interprete el valor de la pendiente del modelo. 3. Un electricista necesita comprar cable para las casas de una villa. La función que calcula el total de metros de cable a utilizar es 𝐶(𝑥) = 20 ∙ (9𝑥 + 1), donde 𝑥 corresponde a la cantidad de viviendas a cablear. a) Escriba en la gráfica el nombre de la variable que le corresponde a cada eje coordenado, indicando su unidad de medida. b) Interprete las coordenadas del punto E que aparece en el gráfico. c) Si 𝐶(𝑥) = 9.560 determine el valor de 𝑥. Escriba las coordenadas del punto (𝑥, 9.560) en la gráfica e interprete resultados. d) Determine el valor de la pendiente de la función lineal. e) Interprete el valor dela pendiente de la función lineal. 4. La función 𝑓(𝑥) = 3(𝑥 + 6) − 6𝑥 modela las utilidadesNota 1(millones de pesos) de una empresa, donde 𝑥 es el tiempo (en años) transcurrido desde el inicio del 2012. a) Escriba, en la gráfica, nombre de la variable que le corresponde a cada eje coordenado, indicando unidad de medida. b) Determine e interprete 𝑓(0). Escriba las coordenadas del punto (0, 𝑓(0)) en la gráfica. c) ¿Cuándo la empresa deja de tener utilidades? d) Determine e interprete el valor de la pendiente de la función lineal. 5. En un taller mecánico se analizan los ingresos (en pesos) obtenidos por la reparación de bujías en autos. Estos ingresos están modelados por una función lineal 𝑓(𝑥) donde la variable 𝑥 representa la cantidad de autos reparados. a) Determine la forma algebraica de la función que mejor se ajusta al gráfico. b) Utilizando la forma algebraica de la función, determine los ingresos al reparar 10 y 30 autos. Contraste sus resultados con el gráfico. Nota 1 Utilidad = Ingresos - Costos 6. Al lanzar una pelota hacia arriba con una velocidad inicial de 49 m/s, la velocidad disminuye a medida que aumenta el tiempo. Esta situación se modela con en el siguiente gráfico: a) Estime la forma algebraica de la función lineal que mejor se ajusta al gráfico. b) Utilizando la forma algebraica de la función, determine velocidad inicial y la velocidad transcurrido 5 segundos. Contraste sus resultados con el gráfico y enunciado del problema. c) Si han transcurrido 1,5 segundos, ¿qué velocidad tiene la pelota? d) Interprete el valor de la pendiente de la función. e) ¿Cuánto tiempo pasará para que la pelota llegue a su altura máxima? 7. El costo de arriendo de un local comenzó en $230.000, acordando un incremento de $15.000 anualmente. El contrato de arriendo duró 7 años: a) Determine la forma algebraica de la función lineal que determina el costo del arriendo después de transcurridos 𝑥 años desde que se inicia el contrato. b) Defina la variable dependiente e independiente, indicando unidad de medida. c) Determine el dominio contextualizado de la función. d) ¿Cuál fue el costo de arriendo al cumplir 5 años? e) Interprete el valor de la pendiente de la función. f) ¿Después de cuántos años desde la apertura el costo de arriendo del local fue de $365.000? 8. Una empresa importadora de autos modela sus utilidades mediante una función lineal. La utilidad por importar vehículos de marca CAR modelo exa, están dados por la siguiente tabla: Cantidad de Vehículos 5 7 8 10 Utilidad $3.000.000 $4.000.000 4.500.000 $5.500.000 a) Determine la forma algebraica de la función que modela el problema. b) Defina la variable dependiente e independiente, indicando unidad de medida. c) ¿Cuántos autos debe vender para que la utilidad sea de $7.500.000? d) Determine e interprete el valor de la pendiente de la función. 9. Una empresa de limpieza de automóviles ofrece una tarifa especial a los clientes frecuentes que laven su vehículo como mínimo 8 veces en el mes y como máximo 15 veces. La tarifa “Cliente Frecuente” es de $2.000 por cada lavado, considerando un costo fijo mensual de $4.000. a) Determine la forma algebraica 𝑓(𝑥) de la función que modela el problema. b) Determine el dominio contextualizado de la función. c) ¿Cuál es la tarifa a cancelar si se lava el vehículo 10 veces en el mes? d) ¿Cuál es el valor de 𝑥 si 𝑓(𝑥) es 34.000? Interprete resultados. 10. Dos amigas emprendedoras quieren sacar una innovadora agenda al mercado. Realizaron el diseño y necesitan mandarlas a imprimir. La imprenta C&V cobra $3.800 por agenda más $24.000 por costos de despacho. La empresa C&P cobra $4.000 por agenda más $18.000 por costos de despacho. a) Determine la forma algebraica de la función Costo para cada imprenta. b) Si cancelaron $430.000 en la imprenta C&P, ¿Cuántas agendas mandaron a imprimir? c) ¿Cuándo conviene la imprenta C&V? 11. Luis está cursando el último semestre de Técnico en Mecánica y tiene dos ofertas para comenzar su práctica profesional. En el primer taller recibiría una comisión de $4.500 por cada auto que repare más un sueldo base mensual de $200.000, mientras que en el otro taller recibiría una comisión de $2.500 por auto más un sueldo base mensual de $250.000. a) Determine la forma algebraica de la función sueldo para cada taller. b) ¿Cuándo la cantidad de autos y sueldo son los mismos en ambos talleres? Indique valores. c) ¿En qué taller le conviene trabajar a Luis? 12. Una fábrica de neumáticos dispone de dos precios de venta para sus neumáticos del tipo 185/65 R15 T88 para un Peugeot 207. El precio de cada neumático al detalle es de 40 mil pesos, mientras que el precio unitario del mismo neumático al por mayor es de 30 mil pesos, considerando en este último caso un costo fijo adicional de 40 mil pesos por el total de la compra. a) Encuentre la forma algebraica de las funciones que modelan los distintos precios. b) ¿Cuántos neumáticos se deben comprar para que el precio al por mayor sea más conveniente? Sistemas de ecuaciones con rectas Consideremos el sistema de ecuaciones siguiente: 2𝑥 + 𝑦 = 19 } 5𝑥 + 𝑦 = 34 Al despejar la variable como sigue: 𝑦 en ambas ecuaciones, el sistema puede quedar expresado 𝑦 = 19 − 2𝑥 } 𝑦 = 34 − 5𝑥 De esta forma, cada ecuación del sistema puede ser vista como una función lineal, y por lo tanto se puede graficar: 30 20 10 1 2 3 4 5 6 7 La solución del sistema es 𝑥 = 5 e 𝑦 = 9. Si miramos el gráfico, las rectas se encuentran precisamente cuando 𝑥 = 5 e 𝑦 = 9. Esto nos muestra dos cosas: 1. Así como podemos ver las ecuaciones al graficarlas, también podemos ver su solución en el punto donde se encuentran. 2. Hay que tener un poco de cuidado con los gráficos, porque quizás no podamos ver con exactitud el punto donde se encuentran las rectas. 13. Representa gráficamente los siguientes sistemas de ecuaciones, encuentra su solución de esa manera y comprueba que la solución sea la correcta. 𝑦 = 2𝑥 2𝑥 + 4𝑦 = 6 a. } e. } 𝑦 = 3−𝑥 𝑥 + 2𝑦 = 3 𝑦 = 2𝑥 − 1 } 2𝑦 = 𝑥 − 2 𝑥 + 𝑦 = 53 c. } −𝑥 + 𝑦 = 3 3𝑥 + 𝑦 = 15 d. } 𝑥 + 2𝑦 = 10 b. 𝑥 − 2𝑦 = 0 } 𝑥 + 3𝑦 = 5 3𝑥 + 𝑦 = −7 g. } −𝑥 + 𝑦 = 9 f. 14. Encuentra el sistema de ecuaciones representado en el gráfico y resuélvelo. a. 12 9 6 3 2 4 6 8 10 -3 -6 b. 40 30 20 10 0 2 4 6 8 10 c. 15 10 5 2 4 6 8 10 6 8 10 -5 d. 6 4 2 2 4 e. 8 7 6 5 4 3 2 0 2 4 6 8 SIGUE PRACTICANDO: 15. Resuelva los siguientes ejercicios a) b) c) d) 7𝑥 2 𝑓(14) Valor de 𝑥, dado 𝑓(𝑥) = −20,45 Si 𝑓(𝑥) = 4(−12 + 𝑥) − 1 + 2𝑥, 𝑓(−4) determine: Valor de 𝑥, dado 𝑓(𝑥) = 28 𝑓(8) Valor de 𝑥, dado 𝑓(𝑥) = −1,1 𝑓(0) Valor de 𝑥, dado 𝑓(𝑥) = 22 Si 𝑓(𝑥) = Si 𝑓(𝑥) = − 25, determine: −4𝑥+3 , 2 determine: 9 Si𝑓(𝑥) = 2 (2x + ) − 3x, determine: 2 16. Se analizaron las ventas de una empresa que comenzó a funcionar a inicios del 9 año 1998. La función 𝑉(𝑡) = 4 (2t + ) − 6t es el mejor modelo matemático que 2 permite estimar los ingresos en miles de dólares por las ventas de la empresa, donde 𝑡 representa el tiempo transcurrido medido en años a partir del año 2.000. a) Defina la variable dependiente e independiente, indicando unidad de medida. b) Escriba el Dominio Contextualizado de la función. c) Determine e interprete el valor de la Pendiente de la función. d) ¿Cuál es el valor de 𝑡 si 𝑉(𝑡) es 37? Interprete resultados. 17. Un estudio medioambiental sugiere que el nivel promedio de monóxido de carbonoNota 2 en el aire depende de la cantidad de habitantes, según la siguiente tabla: Monóxido de carbono, partículas por millón (ppm) 1,05 1,45 1,5 1,75 100 900 1000 1500 Cantidad de habitantes a) Determine la forma algebraica 𝑀(𝑝), de la función que modela el problema, donde 𝑝 es la cantidad de habitantes. b) Determine e interprete el valor de la pendiente de la función. c) Determine e interprete 𝑀(0). 18. Una compañía de electricidad detalla en su cuenta que el precio mensual a cancelar está determinado por el consumo de cada kwh, más un cargo fijo base de $900 por concepto de medidor. Considerando que el consumo puede variar desde 0 hasta 250 kwh mensuales, y que el precio de un kwh es de $130: a) Determine la forma algebraica 𝑓(𝑥), de la función que modela el problema. b) Escriba dominio contextualizado. c) Si 𝑓(𝑥) = 26.900, determine el valor de 𝑥 e interprete resultados. d) Determine e interprete 𝑓(150). 19. En un sitio de internet donde no cobran gastos de envío ofrecen un Tablet con procesador Nvidia Tegra 50 Dual Core 1GHz y pantalla LCD de 10,1” en 350 dólares, mientras que en otro sitio de internet ofrecen el mismo Tablet en 275 dólares, considerando en este caso un gasto fijo de envío y de internación de 150 dólares. Nota 2 El monóxido de carbono es un gas inodoro, incoloro, altamente tóxico, cuya fórmula química es CO. Puede causar la muerte cuando se respira en niveles elevados. Se produce por la combustión incompleta de sustancias como gas, gasolina, keroseno, carbón, petróleo, tabaco o madera. a) Determine la forma algebraica de las funciones que modelan el problema, para cada tipo de envío. b) Determine la cantidad de Tablet que debe comprar para que le convenga utilizar el sitio que cobra gastos de envío.