Solucion parcial 2015-2

ESCUELA DE INGENIERIA DE ANTIOQUIA.
FISICA DE CAMPOS. Parcial (05-09-2015)
Nombre:
Solución
1) Fuerza y Campo Eléctrico. En la figura se muestra un aro de radio R y una varilla
delgada de longitud L. Cada uno de los cuerpos tiene una carga +Q uniformemente
distribuida. Para este sistema:
a) (1.0) Determinar el campo total que se genera en el origen de coordenadas O. Dar la
respuesta en términos de R, L, a, b y constantes conocidas.
Para el aro: Por la simetría de la situación (igual distancia de toda la carga al punto
de medición y carga uniforme) , sólo se tendrá campo en la dirección paralela al eje
del aro, esto es, en dirección x:
Para la barra:
Así que el campo total es:
b) (0.5) Suponga que a=R y que b=R. Entonces la expresión para el campo toma la forma:
Para que la aceleración esté a 45°
la fuerza también debe tener esa misma dirección. Así que el campo también debe formar un ángulo de 45° (aunque en
el cuarto cuadrante). Esto se logra si las componentes del campo eléctrico son iguales:
2) Potencial eléctrico, Energía eléctrica. En la figura se muestran un aro de radio R y
una varilla delgada de longitud L. Cada uno de los cuerpos tiene una carga +Q
uniformemente distribuida. Para este sistema:
a)
(1.0) Determinar el potencial total que estos cuerpos generan en un punto P que está a
una distancia arbitraria x0 sobre el eje x. Dar la respuesta en términos de R, L, x0 y
constantes conocidas. Suponga que el potencial se anula para x→∞.
Para el aro:
Para la barra:
Asi que el potencial total es:
b) (0.5) En el cálculo anterior x0 es una distancia arbitraria, entonces se puede reemplazar simplemente por la variable
x.
Dada la simetría de la situación, el campo solo tendrá componente en dirección x.
[
⃗
E=∇ V total=−
]
∂V tot ( x ) ∂ V tot ( x ) ∂ V tot ( x )
−∂V tot ( x )
^i+
^j+
^i=− kQ − kQ − kQx
^i
k^ =
∂x
∂y
∂z
∂x
Lx L ( x−L ) ( R 2 +x 2 ) 3/2
[
;
c) (0.5) La velocidad de escape. La carga debe ser lanzada tal que llegue a un punto en el que ya no sea atraída por el
aro y la barra, esto es, que la energía potencial no exista. Supongamos además que a ese punto llega justo sin
velocidad, esto nos dará la mínima velocidad de lanzamiento.
Como sólo actúa la fuerza eléctrica, la energía total mecánica se conserva. Sean: A, y B el punto donde la partícula
escapa. Entonces: EA=EB:
luego
v=
√
[
]√
[
2 kQq
2R
kQ
2 kQq
1
ln
+
=
ln2+
mR
R √5 R ²
mR
√5
]
Así que cualquier velocidad mayor o igual que esta hará que la carga escape.
]
3) (1.0) Flujo eléctrico y Ley de gauss. En la figura se muestran una superficie esférica de radio r centrada en el
origen de coordenadas y una barra de longitud 2R con carga +Q uniformemente distribuida y que se encuentra
sobre el eje x.
a) (1.0) Flujo a través de la superficie esférica:
Para r<R:
En este caso la superficie esférica no logra encerrar carga,
luego:
Para r=3R:
En este caso la superficie esférica encierra media barra,
luego:
Para r=5R:
En este caso la superficie esférica encierra toda la barra, luego:
b) (0.5)
Para r<R no se encierra carga. Para r>4R se encierra toda la barra. Y para valores de r tales que 2R<r<4R, como el
radio crece linealmente se tiene que:
R
2R
3R
4R
5R
6R
r
⃗
⃗
GMm
GMm
dq
 GM
ˆ
ˆ
ˆr,
F 
u
;
g

u
;
E


;
d
E
k e 2 u
r
r
p
2
2
r
r
r
r
⃗
⃗ Q
⃗
⃗
⃗
⃗
dV  E dr , E dA  E dS  N
o
W  E p ; V Va  Vb ,
⃗
⃗
F qE., U E p qV , V  IR
dV k e
dq
,
r