EJERCICIOS-RESUELTOS GEOTECNIA I

FUNDACIONES
PROBLEMAS RESUELTOS
INDICE
I
Pág.
Fundaciones Superficiales......................................................................................3
- Capacidad de soporte del suelo..........................................................................4
- Dimensionamiento por Capacidad de soporte....................................................33
- Asentamiento y Giro.........................................................................................49
- Dimensionamiento por Asentamiento y Giro.....................................................67
- Capacidad de soporte con Asentamiento y Giro................................................71
- Dimensionamiento por C. de soporte , Asentamiento y Giro.............................78
II
Dimensionamiento y diseño de zapatas aisladas..................................................93
III
Dimensionamiento y diseño de zapatas combinadas..........................................121
IV
Viga en medio elástico.........................................................................................156
V
Fundaciones Profundas........................................................................................207
I
FUNDACIONES SUPERFICIALES
CAPACIDAD DE SOPORTE
1.1.) Se desea fundar un muro sobre el terreno indicado.
a) Determine la carga máxima P ton por metro lineal de muro, en el corto plazo.
b) Idem, en el largo plazo
P
relleno de hormigón pobre
NF
= 2.2 t/m3
relleno heterogéneo
= 1.7 t/m2
2m
qadm
B=1.2m
= 2.7 t/m3
e = 0.5
qu = 2 kgf/cm2 (*)
‟ = 25o
c‟= 1 t/m2
s
manto arcilloso saturado
de espesor indefinido
(*) Resistencia media a la compresión simple
Desarrollo:
a) Carga por metro lineal de muro en el corto plazo.
qult =qhundimiento = cNc+qNq+0.5 BN
qNq= resistencia debido a la sobrecarga que rodea a la cimentación
0.5 BN = resistencia por el peso del terreno (empuje pasivo)
El estado inicial de tensiones en una arcilla saturada se representa por un ensayo
triaxial
no consolidado sin drenaje (UU).
= 0o
C
resistencia al corte sin drenaje
c = u =1/2*qu
resistencia a la compresión simple
c = 10 t/m2
=0
Nq = 1 , Nc = 5.5 y N = 0
luego
qult = cNc+qNq
qadm = qult/FS = cNc/FS1+qNq/FS2 ( )
FS1 = 3
FS2 = 1
q = *Df=1.7*2=3.4 t/m2
qadm = P/(B*1)+ horm*Df*1 ( )
donde
P/(B*1) es la presión máxima considerando 1 m lineal de muro
Igualando ( ) y ( ) se obtiene que:
P = 20.8 ton
b) Idem en el largo plazo.
c‟ y ‟ obtenido de ensayo triaxial consolidado drenado.
Al disiparse las presiones de poros, tendremos un ángulo de roce:
c‟ = 1 t/m2
, ‟ = 25o
qult = cNc+qNq+0.5 BN = 1*21+1.7*2*11+0.5* b*1.2*7.2
donde
b
entonces
=
sat.- w
= (Ps+Pw)/Vt = (2.7+0.5)/1.5
= 2.13 t/m3
3
b = 2.13-1=1.13 t/m
sat
qadm = qult / FS = 21/FS1+37.4/FS2+4.88/FS3
con
FS1 = 3
y FS2 = FS3 = 1
qadm = 49.3 t/m2
qadm = P/B+ horm*Df*1 =49.3
P = (49.3-2.2*2)*1.2
P = 53.9 ton
1.2.) Dado un terreno con un material de fundación conformado por un profundo estrato
arcilloso saturado. Determine la “capacidad de soporte última” para una zapata corrida,
puesta en la superficie.
Ensayos en condiciones no drenadas, sobre muestras tomadas en una profundidad
representativa, entregaron valores promedios de:
c = 6 t/m2
= 0o
Desarrollo:
qult = cNc+qNq+0.5 BN
puesto que en la superficie
= 0o
N =0
q = *H = 0
qult = cNc = 6*5.14 = 30.84 t/m2
1.3.) Determine qult por capacidad de soporte en la fundación corrida indicada en la figura
para : a) caso en que la presión de poros en la arena aumenta en 30% por sobre la presión
hidrostática debido a un sismo y b) caso normal.
1.5m
Arena seca = 1.8 t/m2
1.5 m
qult=?
NF
Zp
* P
Desarrollo:
a)
qult = 0.5 b‟BN +qsNq
Arena saturada
2
sat = 2.2 t/m
c=0
= 35o
Presión de poros en P = 1.3 wZp
para
= 35o
N = 42
Nq= 41
‟=
Peso
boyante
equivalente=
-1.3
=
0.9
t/m2
b
sat
w
qult = 0.5*0.9*1.5*42 + 1.8*1.5*41 = 28.4 + 110.7 139 t/m2
qult = 14 kgf/cm2
b) Para el caso normal.
qult = 0.5*(2.2-1)*1.5*42+1.8*1.5*41 = 37.8+110.7
= 148.5 t/m2 = 15 kgf/cm2
1.4.) Un galpón de una estructura metálica de 50 metros de longitud, tiene en un extremo un
eje resistente cercano a un talud.
a) Determine capacidad de soporte del suelo para zapatas ubicadas en las vecindades del
talud.
b) Determine capacidad de soporte del suelo para zapatas ubicadas en el extremo más
alejado del talud.
b
B
b=4m
B=2m
D=1m
do= 0.5 m
= 2.2 t/m3
H=7 m
do
= 40°
c = 3 t/m2
Desarrollo:
a) Determinación de la carga última del suelo, zapata continua.
B = 2 m < H = 7m
D/B = 1/2 = 0.5
NF
= 40°
do= 0.5 m
B H implica caso I de ábaco No =0
do B implica interpolar entre ecuación (1) y (2)
Ecuación (1) qult = cNcq+0.5 tBN q
Cálculo de Ncq:
b/B = 2
= 40o
D/B = 1
Ncq = 6.6
D/B = 0
Ncq = 5.2
D/B = 0.5
Ncq = (6.6+5.2)/2= 5.9
Cálculo de N q:
b/B = 2
= 40o
D/B = 1
N q = 120
D/B = 0
N q = 60
D/B = 0.5
N q = (120+60)/2= 90
En (1) do > B
qult = cNcq+0.5 bBN q
Ncq y N q no cambian
do = 2
do = 0
do = 0.5
qult = 3*5.9+(2.2-1)*2/2*90 = 126 t/m2
qult = 216 t/m2
qult = 126 t/m2
qult = 149 t/m2
b) Idem sin efecto del talud, sacar un equivalente
= 40o
qult = cNc+ DNq+0.5 eqBN
supuesto zapata continua
Nc = 85
Nq = 70
eq*B
= t*do+ b*(B-do)
N = 100
eq
= 1.45 t/m3
qult = 3*85+2.2*1*70+1/2*1.45*2*100 = 554 t/m2
qadm = 185 t/m2
1.5.) Determinar la capacidad de soporte del suelo para las siguientes condiciones.
= 33o
P = 60 ton
2
c = 0.9 t/m
Mx = 15 t*m
P
3
= 1.85 t/m
My = 24 t*m
My
Df = 2 m
2m
35*40cm
L=3m
x
2.5m
Desarrollo :
qult = cNcScdc +qNqSqdq+0.5 BN S d
Como existe excentricidad:
A‟ = B‟*L‟
B‟ = 2.5-2.24/60 = 1.7 m
L‟ = 3-2.15/60 = 2.5 m
Se debe usar la ecuación de Hansen, con B‟ en vez de B, y los factores también,
excepto D/B
= 33o
Nc = 38.6
Nq = 26.1
N = 35.2
Sc = 1+(Nq/Nc)*(B‟/L‟) = 1+(26.1/38.6)*(1.7/2.5) = 1.46
dc = 1+0.4*2/2.5 = 1.32
Sq = 1+(B‟/L‟)*tg = 1+(1.7/2.5)*tg33= 1.44
dq = 1+2*tg *(1-sen )2*D/B = 1.22
S = 1-0.4*B‟/L‟ = 1-0.4*1.7/2.5 = 0.73
qult = 0.9*38.6*1.46*1.32+2*1.82*26.1*1.44*1.22+0.5*1.85*1.7*35.2*0.73
= 66.95+169.65+40.41 = 277 t/m2
qadm = 277/3 = 92.34 t/m2
b) Vult = qult*B‟*L‟ = 277*1.7*2.5 = 1177 ton
Vadm = 392 ton
1.6.) Se ensaya un suelo cohesivo a compresión no confinada, obteniéndose los siguientes
valores:
qu : ensayo de compresión no confinada (unconfined)
= 3.93
4.34
3.72
4.48
4.83
4.27
4.07
t/m2
Estime la capacidad de soporte para una zapata corrida en la superficie.
Desarrollo:
qu(promedio) = 4.2 t/m2
= 0o
qult = capac. de soporte última = cNc
en que:
c = qu/2
y
Nc = 5.7 (Terzaghi)
qult = 12.1 t/m2
1.7.) Una zapata corrida se funda en un estrato de arcilla saturada.
c = 5.4 t/m2
Df = 2 m
= 1.76 t/m3
Determinar la capacidad de soporte última.
Desarrollo:
El peso del suelo a los lados de la zapata, incrementan la capacidad del suelo para
soportar la presión de la zapata sin que ocurra falla plástica.
qult = cNc+ ZNq
en que:
c= 5.4 t/m2
Nc( =0)= 5.7
= 1.76 t/m3
Z=Df= 2 m
Nq( =0)= 1
qult = 30.78+3.52 = 34.3 t/m2
1.8.) Estime la capacidad de soporte última para una zapata corrida de las siguientes
características:
B = 1.5 m
= 1.76 t/m3
Df = 4 m c = 13.8 t/m2
=0
Desarrollo:
=0
Nc= 5.7 Nq= 1
N=0
qult = c*Nc+q*Nq
en que q= *Df=1.76*4 =7.04 t/m2
qult = 78.7 + 7.04 = 85.7 t/m2
1.9.) Para la zapata corrida mostrada, determine las características de soporte a partir de la
teoría de Terzaghi y compare los resultados con la teoría de Meyerhof.
Datos:
= 1.7 t/m3
B = 1.2 m
c = 2.6 t/m2
Df = 2 m
o
= 28
Desarrollo:
Cuando existe fricción entre partículas, el peligro de la falla por corte se reduce.
qult = cNc +qNq+0.5 BN
en que :
= 28o ( Terzaghi )
Nc = 34
Nq = 18
N = 18
qult = 88.4+61.2+194.4 = 344 t/m2
= 28o ( Meyerhof )
Nc = 28
Nq = 18
qult = 72.8+61.2+14.3 = 148.3 t/m2
N = 14
1.10.) Determinar la capacidad de soporte última para el siguiente caso:
B = 1.5 m
c = 8.38 t/m2
Df = 9 m
= 15o
= 1.84 t/m3
zapata corrida
Desarrollo:
qult = cNc +qNq+0.5 BN
q = *Df = 9*1.84 = 16.56 t/m2
= 15o ( Meyerhof )
Nc = 33
Nq = 9.5
N = 6.2
qult = 276.54+157.32+8.56 = 442 t/m2
1.11.) Determinar la capacidad de soporte última para el siguiente caso:
B = 1.2 m
c=0
Df = 7 m
= 30o
= 1.71 t/m3
zapata corrida
Desarrollo :
Por tratarse de un suelo cohesivo el primer término de la ecuación de soporte es
nulo (cNc = 0):
qult = ZNq+0.5 BN
Para suelos granulares Meyerhof combinó los efectos de Nq y N e introdujo un
factor de soporte N q
q = 0.5 BN q
El valor de N q es directamente proporcional a la profundidad y al coeficiente de
empuje del suelo en reposo Ko
3000
Df/B = 7/1.2 = 5.8
6
2000
Nq
Nq
300
1000
qult = 0.5*1.71*1.2*300 = 310 t/m2
0
10
20
30
40
Df/B
Factores de soporte para suelos
granulares ( = 30o)
1.12.) Determinar en que % disminuye la capacidad de soporte para la zapata corrida para
las condiciones de suelo seco y saturado por inundación.
B = 1.5 m
= 1.84 t/m3
Df = 0 m
= 17o
Desarrollo:
La reducción en la capacidad soporte debido a inundaciones temporales es propia
de suelos granulares. Para suelos cohesivos , debido a su baja permeabilidad el
proceso
de saturación es muy lento y menor que el tiempo en que se produce la inundación.
Para suelos granulares el agua no tiene un gran efecto en , pero si lo tiene en las
presiones efectivas que dan la resistencia al corte del suelo.
Como la fundación está en la superficie Df= 0
*Df= 0
qult = 0.5 BN
en que: N ( =17o) = 3
qultseco=0.5*1.84*1.5*3 = 4.14 t/m2
Para suelo saturado:
2
qultsat = 0.5*0.84*1.5*3 =1.89 t/m2
b = 0.84 t/m
4.14/100 = 1.89/x
x = 45.6 % 46 %
hay una reducción de un 54 %
En general la saturación produce una disminución de un 50 % en la capacidad de
soporte de un suelo granular.
1.13.) Determine el qadm de una zapata corrida para las siguientes condiciones :
Df = 0.9 m
= 1.56 t/m3
c = 4.7 t/m2
La edificación no es sensible ante asentamientos diferenciales.
Desarrollo :
qult = cNc+ DfNq+0.5 BN
= 0o ( Meyerhof )
Nc = 5.53
Nq = 1.0
N =0
Como la edificación no es sensible ante asentamientos diferenciales es razonable
adoptar un F.S. = 3.
qadm = qult/3 = (cNc+ DfNq)/3 = (4.7*5.53+1.68*0.9)/3
qult = 8.66+0.50 = 9.2 t/m2
1.14.) Un ensayo (CU) entrega las siguientes propiedades para un suelo de fundación.
c = 0.96 t/m2
= 1.93 t/m3
= 20o
Este suelo soporta una pila circular
= 4.5 m a una profundidad de 2.4 m
La carga sobre la pila es concéntrica P = 310 ton
Determinar el F.S. una vez que haya finalizado el proceso de consolidación.
Desarrollo:
La consolidación de un estrato de arcilla toma varios años. Al final las propiedades
son las medidas en una probeta ensayada en condiciones CU
Para
= 20o (Terzaghi)
Nc = 18
Nq = 9
N =4
Para una fundación circular, los factores 1.3 y 0.3 se usan en el primer y último
término en vez de 1.0 y 0.5 respectivamente.
qult = 1.3cNc+ ZNq+0.3 BN
La carga última neta es :
qultn = 1.3cNc+ ZNq - Z+0.3 BN
= 1.3*0.96*18+1.93*2.4*9-2.4*1.93+0.3*4.5*1.93*4
= 22.46+41.69+4.63+10.42
n
qult = 69.9 t/m2
Agregando la fricción del suelo contra la superficie de la pila, en que la fricción es
aproximadamente c/2
Q = 69.9* /4*4.52+0.5*0.96*2 *4.5*2.4
= 1111.7+32.57 =1144.3 ton
La carga neta en la fundación es :
Qn = P-2.4* /4*4.52*1.93 = 310-73.7 = 236.3 ton
FS 1144.3/236.3 =4.84 5
Un valor suficiente si el asentamiento está controlado.
1.15.) Determinar la capacidad de soporte admisible si el suelo es arcilla con un coeficiente
de compresibilidad:
mv = 0.000522 m2/0.1ton = 0.00522 m2/ton
Se acepta sólo un pequeño asentamiento.
c = 4.8 t/m2
= 1.8 t/m3
= 8o
Df= 2 m
B = 1.2 m
L=6m
Desarrollo:
Skempton propone:
Nc(rectang.)= (1+0.2B/L)Nc(corrida)
= (1+0.2*1.2/6)*Nc = 1.04*Nc
El recíproco del producto de c y mv es :
(4.8*0.00522)-1=39.9 40
esto coloca el material en el tipo de “blando” o N.C. y el F:S. para un asentamiento
de 1” está en la región de 8.
Usando los coeficientes de Terzaghi:
= 8o
Nc = 8
Nq = 3
N =2
qult = 1.04cNc+ ZNq - Z+0.5 BN
= 4.8*8*1.04+1.8*2*3-1.8*2+0.5*1.8*1.2*2
= 39.9+10.8-3.6+2.2 = 49.3 t/m2
La capacidad de soporte admisible , considerando la sobrecarga de 2 m:
qadm = 49.3/8 + 1.8*2 = 9.8 t/m2
Si usamos valores aproximados de Meyerhof, para fundaciones profundas
(Df >B): Nc = 18
Nq = 3
N = 1.8
ref p195
La capacidad de carga neta:
qultn = cNc+ ZNq- Z+0.5 BN
= 4.8*18+1.8*2*3-1.8*2+0.5*1.8*1.2*1.8 = 86.4+10.8-3.6+1.94
qultn = =95.5 t/m2
1.16.) Para los siguientes datos:
B = 28 ft = 8.5 m
= 105 lb/ft3 = 1.68 t/m3
= 0o
L = 84 ft = 25.5 m
Zw = 8 ft = 2.4 m
Df = 10 ft = 3.0 m
cu = 0.22 ton/ft2 = 2.37 t/m2
a) Determinar la capacidad de soporte si la velocidad de aplicación de la carga es rápida
en relación a la disipación de la presión de poros.
Desarrollo:
= 0o
Nc = 5.14
Nq = 1
N =0
qult = cNc c+qNq q+0.5 BN
en que:
= 1+(B/L)(Nq/Nc) = 1+(8.5/25.5)(1/5.14)
c = 1.06
q=1
q = *D = 1.68*2.4 + (3-2.4)*0.68 = 4.44 t/m2
qult = 2.37*5.14*1.06+4.44*1
qult = 17.4 t/m2
b) Idem si la construcción es lenta y permite una disipación de presión.
o
cd = 0.04 t/ft2 0.43 t/m2
d = 23
c
qult = cNc c+qNq q+0.5 BN
Nc = 18.05
c = 1.16
Nq = 8.66
q = 1.14
N = 8.20
= 0.87
qult = 0.43*18.05*1.16+4.44*8.66*1.14+0.5*0.68*8.5*8.2*0.87
= 9.0+43.83+20.62
qult = 73.5 t/m2
1.17.) Resuelva el problema 1.16.) si ahora el suelo está constituido por arena
medianamente densa.
3
3
sat = 118 lb/ft = 1.89 t/m
3
3
hum = 100 lb/ft = 1.60 t/m
Se analizaron muestras, y se sometieron a ensayo triaxial:
= 1-5.5o*log( / 1)
en que :
= 38 o es el ángulo de fricción para un esfuerzo normal
medio 1 = 10.8 t/m2
Desarrollo :
qult = cNc c+qNq q+0.5 BN
en que :
c=0
q = 1.60*2.4+0.89*(3-2.4) = 4.4 t/m2
1
Para determinar el esfuerzo normal medio, es necesario una estimación preliminar
de la capacidad de soporte.
Para este análisis preliminar suponemos :
= 34 o
Nc =42.16
Nq = 29.44
N = 41.06
q = 1+(B/L)tg = 1+(8.5/25.5)*tg34
= 1.22
= 1-0.4B/L = 0.87
qult = 4.4*29.44*1.22+0.5*0.89*8.5*41.06*0.87
= 158+135 = 293 t/m2
El esfuerzo normal promedio a lo largo de la superficie de falla:
o = 1/4(qo+3q)(1-sen ) = 0.25*(293+3*4.4)*(1-sen34)
= 33.74 t/m2
entonces representativo:
= 38-5.5*log(33.74/10.8) = 35 o
se repite el análisis con = 35 o:
Nq = 33.30
N = 48.03
= 0.87
q = 1.23
qult = 4.4*33.30*1.23+0.5*0.89*8.5*48.03*0.87
= 180+158 = 338 t/m2
Como difiere poco del valor anterior, se acepta este valor.
1.18.) Para las características del problema 1.16.) (condiciones no drenadas), determinar la
capacidad de soporte si el estrato de arcilla blanda está sobre un gran estrato de arcilla
rígida (cu = 0.53 t/ft2 = 5.7 t/m2 ) que comienza a 4.9 m de profundidad.
Desarrollo:
qult= c1Nm+q
= 1.68 t/m2
2.4m
en que:
c1 = 2.4 t/m2
3.0m
NF
B=8.5m
Razón de soporte K
L=25.5m
1.9m
K = c2/c1 = 5.7/2.4 = 2.4
B/H = 8.5/1.9 = 4.5
Cu=2.4 t/m2
Cu=5.7 t/m2
2
4
5.43
6
5.69
Nm = 5.72
3
2.4
5.59
5.49
6.00
5.81
qult = 2.4*5.72+4.44 = 18.2 t/m2
Nota: para el caso sin estrato rígido el qult = 17.4 t/m2
5 % de incremento
1.19.) Resuelva el problema 1.18.) suponiendo que la resistencia al corte del estrato
superior es cu = 5.7 t/m2 y el estrato inferior es 2.4 t/m2
Desarrollo :
qo= c1Nm+q
en que :
Nm = 1/ +K cNc
= índice de punzonamiento
= BL/ 2(B+L)H = 1.68
K = c2/c1 = 2.4/5.7 = 0.42
c = 1.06
Nc = 5.14
Nm = 1/1.68+0.42*1.06*5.14 = 2.88
qo = 5.7*2.88+4.44 = 20.9 t/m2
qo 21 t/m2
16 % de aumento con respecto al caso 1.18.)
1.20.) Para la siguiente situación , determine qo.
= 1.60 t/m3
= 1.89 t/m3
3m
B=8.5 L=25.5
= 35 o
2m
9m
H=6 m
Arcilla dura cu = 0.53 t/ft2 = 5.7 t/m2
Desarrollo:
qo = qo”*exp 0.67(1+B/L)(H/B)
qo” = capacidad de soporte que tendría una fundación similar desplantada
en la interfase de los estratos
qo” = cNc c+qNq
q
= 5.7*5.14*1.06+(1.6*2.4+0.898(9-2.4))*1
= 31.06+9.71 = 40.8 t/m2
qo
41 t/m2
El espesor crítico del estrato superior:
(H/B)crít = 3ln(qo‟/qo”)/(2(1+B/L))
en que qo‟ = capacidad de soporte del estrato superior
= 338 t/m2 ( del problema 1.43.)
Hcrit = 3*ln(338/41)/(2*(1+8.5/25.5))*8.5 = 20.2 m
20 m > 9 m
qo = 41*exp 0.67*(1+8.5/25.5)*(6/8.5)
qo = 77 t/m2
1.21.) Problemas ( Terzaghi pgs.220-221)
1) Zapata continua
B=2.4m
c=2 t/m2
= 17o
= 1.9 t/m3
Curva de asentamiento falla por corte general
Df = 1.8 m
qult = cNc+ DfNq+0.5 BN
= 17o ( Terzaghi )
Nc = 12.34
Nq = 4.77
N = 2.08
qult = 2*12.34+1.9*1.8*4.77+0.5*1.9*2.4*2.08
= 24.68+16.31+3.99 = 45 t/m2
2) Zapata cuadrada
B=3.0 m
= 37o
= 2 t/m3
Df = 0 , 0.6 , 1.5 , 3.0 , 4.5
qult = 1.3cNc+ DfNq+0.4 BN
= 37o ( Terzaghi )
Nc = 55.63
qult = 2*Df*42.92+0.4*2*3*56.86
= 85.84*Df+136.45 t/m2
Df
qult
0
13.6
0.6
18.8
1.5
26.5
3.0
39.3
Nq = 42.92
N = 56.86
4.5
52.3
= 1.76 t/m3
Ensayo de carga con una placa de 0.3*0.3 m2
La curva de asentamiento llegó a una tangente vertical para una carga
de Q = 1600 kgf = 1.6 ton
Determinar .
17.8 t/m2
q
2
qult = 0.5 BN = 17.8 t/m
3)
N = 67.3
38 o
4) Arena densa = 1.8 t/m2
Se efectúa un ensayo de carga usando una placa de 0.3*0.3m
(sobrecarga = 0.6 m de suelo )
La rotura se produjo para P = 6 ton
¿Cual será la carga de rotura por unidad de área para una zapata cuadrada de 1.5 m
situada a la misma cota ?
0.3m
qult = DfNq+0.4 BN
6ton
0.6m
qult = 6/0.32 = 66.7 t/m2
66.7 = 0.6*1.8*Nq+0.4*1.8*0.3*N
= 1.08*Nq+0.216*N
30o
35o
37o
40o
Nq
18.4
33.3
42.9
64.2
N
18.1
40.7
56.9
95.5
qult
23.8
44.8
58.6
89.9
38o
38o
48.93
67.41
67.4
qult =1.08*48.9+0.4*1.8*1.5*67.4
= 52.81+72.79
= 126.6 t/m2
5) Losa de 30*30m
Capa uniforme de arcilla blanda de 45 m de espesor.
Para q= 22.5 t/m2 se produce la rotura del suelo.
Se desea saber cual es el valor medio de la cohesión c de la arcilla.
Dada la gran profundidad de la zona de equilibrio plástico se puede despreciar la
consolidación de la arcilla producida antes de la rotura y suponer además que = 0
qds = 6.2*c
c 0 3.6 t/m2
(Ec. 33.15)
1.22.) Para la fundación cuadrada de la figura, determine la capacidad de soporte admisible
usando las ecuaciones de :
a) Terzaghi
V
b) Hansen
c) Meyerhof
=1.76t/m3
Usar factor de seguridad igual a 3.0
=20o
D=1.2m
c=1.95t/m2
Desarrollo:
Terzaghi
Hansen
Meyerhof
Nc
17.7
14.83
15
Nq
7.4
6.4
6.8
N
5.0
2.9
2.9
N‟c
11.8
N‟q
3.9
B
N‟
1.7
Fórmula gral. de Terzaghi:
qult = cNc+qNq+0.5 BN
para zapatas cuadradas:
qult = 1.3cNc+qNq+0.4 BN
El 0.4 sale de un factor de corrección tabla 6.3, lect. Shallow Foundation (Sowers)
0.5*0.9 = 0.45 0.4
qult = 1.3*1.95*17.7+1.76*1.2*7.4+0.4*1.76*B*5 t/m2
= 44.87+15.63+3.52*B = 60.5+3.52*B t/m2
qadm = qult/F.S. = qult/3 = 20.2+1.17*B t/m2
Si el suelo es suelto o muy blando c‟, N‟c , N‟q , N‟ en que;(p220 Terzaghi.)
c‟ = 2c/3 = 2*1.95/3 = 1.3
qult = 1.3*1.3*11.8+1.76*1.2*3.9+0.4*1.76*B*1.7
= 19.94+8.24+1.2*B = 28.2+1.2*B
qadm = qult/3 = 9.39 + 0.4*B t/m2
(corte local)
a) Terzaghi:
b) Hansen
qult = cNcScdcicgcbc +qNqSqdqiqgqbq+0.5 BN S d i g b
en que:
S : factor de forma
d : factor de profundidad
i : factor de inclinación
g : ground factor, factor de inclinación del suelo
b : factor de base
qult = 57.7+26.77/B+1.53*B
= 59.73+22.3*tg-1(1.2/B)+1.53*B
(D B)
(D>B)
qadm = 19.2+8.9/B+0.5*B
(D B)
c) Meyerhof :
qult = 1.2cNc+ DfNq+0.4 BN
= 1.2*1.95*15+1.76*12.2*6.8+0.4*1.76*B*2.9
= 35.1+14.36+2.04*B = 49.5+2.04*B
qadm = 16.5+0.7*B
1.23.) Si la fundación del problema 1.22.) es de 1.5*1.5m y se somete a un momento que da
una excentricidad de la resultante igual a 0.15 m, calcule la tensión de contacto admisible
usando:
a) el concepto de ancho útil B‟ y Meyerhof
b) usando Hansen
Usar un factor de seguridad igual a 3.0.
Desarrollo:
a) Concepto de ancho útil. Calcular la tensión de contacto admisible.
B‟=B-2e = 1.5-2*0.15 = 1.2 m
qult = cNc(1+0.3B/L)+ DNq+0.4 BN
pero al usar el concepto de ancho útil:
e
V
V
B‟
B
qult = cNc(1+0.3B‟/B)+ DNq+0.4 B‟N
ult
contacto
=Vult/(B‟L) = qult
qult = 1.95*15*(1+0.3*1.2/1.5)+1.76*1.2*6.8+0.4*1.76*1.2*2.9
= 36.27+14.36+2.45 = 53.08 t/m2
qadm = 17.7 t/m2 (Meyerhof)
b) Concepto de ancho útil usando Hansen
qult = cNcScdcicgcbc +qNqSqdqiqgqbq+0.5 BN S d i g b
ii=gi=bi=1
Para D B :
Sc = 1+(Nq/Nc)*(B‟/B) = 1+(6.4/14.83)*(1.2/1.5) = 1.35
dc = 1+0.4*D/B‟ = 1+0.4*1.2/1.2 = 1.4
Sq = 1+(B‟/B)*tg = 1+(1.2/1.5)*tg20= 1.29
dq = 1+2*tg *(1-sen )2*D/B‟ = 1+2*tg20*(1-sen20)2*1.2/1.2=1.32
S = 1-0.4*B‟/B = 1-0.4*1.2/1.5 = 0.68
d =1
qult = 1.95*14.83*1.35*1.4+1.76*1.2*1.29*1.32*6.8
+0.5*1.76*1.2*2.9*0.68*1 = 54.66+24.45+2.08
= 81.19 t/m2
qadm = 27.1 t/m2
(Hansen)
1.24.) Para las condiciones del problema 1.22.), pero para un = 22.5o calcular la capacidad
de soporte.
Desarrollo:
Se aplica una interpolación lineal a los valores tabulados, de donde se obtienen los
siguientes datos:
= 22.5o
Nc = 21.4
Nq = 10
N = 7.9
qult = 1.3*1.95*21.4+1.2*1.76*10+0.4*1.76*7.9*B
= 54.3+21.1+5.6*B = 75.4+5.6*B
qadm = 25.1+1.9*B
Este problema ilustra la alta sensibilidad del qadm al ángulo de fricción.
1.25.) De un ensayo a escala real, con los datos indicados, resultó un P = 186.3 ton.
Compárelo con el resultado teórico, usando Hansen.
Datos:
3
:
B = 0.5 m
b = 0.9 t/m
c=0
Df = 0.5 m
o
= 42.7 (triaxial)
L = 2.0 m
Desarrollo:
o
plane strain = 1.1*42.7 = 47
Nq = 187
N = 300
qult = qNqSqdq+0.5 bBN S d
2
q= 0.93*0.5 = 0.47 t/m
Sq = 1+(B/L)*tg = 1+(0.5/2)*tg47= 1.27
dq = 1+2*tg *(1-sen )2*D/B = 1+2*tg47*(1-sen47)2*0.5/0.5=1.15
S = 1-0.4*B/L = 1-0.4*0.5/2 = 0.90
d =1
qult = 0.47*187*1.15*1.27+0.5*0.93*0.5*300*1*0.9
= 128.4+62.8 = 191.1 t/m2
Pult = 191.1*0.5*2
Pult = 190 ton
1.26.) Determine la carga última que transmite un muro a una zapata corrida considerando
el peso propio de la zapata,
a) en el corto plazo
Pu(t/m)=?
b) en el largo plazo
Datos:
B= 0.8 m
Df= 1.5 m
3
=
1.7
t/m
(peso
unitario
seco)
d
3
= 10%
1m
sat = 2.1 t/m
2
o
c= 1.5 t/m
drenado = 25
o
no drenado = 0
Desarrollo:
qult = cNc+qNq+0.5 BN
Corto plazo
1o) en el corto plazo tenemos un caso no drenado
=0
Nc = 5.5
Nq = 1
N =0
2o)
qult = cNc+qNq
en que: q = h*Df = 1.7*(1+ )*1.5 = 1.7*(1+0.1)*1.5
= 2.81 t/m2
3o) qult = 1.5*5.5+2.81*1 = 11.06 t/m2
qult = Pult/A
A= 1*0.8 = 0.8 m2
Pult = 0.8*11.06 = 8.84 t/m2
4o) Considerando el peso propio, hay que descontar el q por peso propio de la zapata y
sumar el q por peso propio del suelo.
q(ppzapata)= (0.8*1.0*1.0*2.4)/(1*0.8) = 2.4 t/m2
q(ppsuelo) = (0.8*1*1)*1.7*1.1 /(1*0.8) = 1.87 t/m2
q = 1.87-2.4 = 0.53
5o) Teníamos qult = 11.06 t/m2
qultneto = 11.06-0.53 = 10.53 t/m2
6o) qultneto = Pult/A = Pult/0.8
Largo plazo
1o) En el largo plazo,
0
partículas
0
= 25o
Nc = 21
2o)
Pult=0.8*10.53 = 8.42 t/m
aumento de la presión efectiva de contacto entre
Nq = 11
N =7
qult = cNc+qNq+0.5 bBN
= 1.5*21+1.87*1.5*11+0.5*(2.1-1)*0.8*7
= 31.5+30.9+3.1 = 65.51 t/m2
3o) qultneto = 65.5+1.87-2.4 = 64.95 65 t/m2
4o) Pult = qultneto*A = 65*0.8
Pult = 52 t/m
1.27.) Calcule la capacidad de soporte admisible para la fundación indicada en la figura.
V
= 1.76 t/m3
= 20o
1.2 m
c = 1.95 t/m2
1.5m
B
Desarrollo:
Ya que los parámetros del suelo se ajustan bien a la teoría de Balla (cohesión baja),
se usará su ecuación. Supondremos además que los parámetros del suelo no cambian en
el suelo sumergido.
Ya que el método de Balla requiere para su uso el conocer las dimensiones de la
fundación, presentamos los resultados en curvas q v/s B , V v/s B, (V=qadmB2).
Para B = 1.2 m
D/b = 2 , c/b = 1.95/(0.6*1.76) = 1.85
se obtiene = 3.8
= 3.8 y = 20o :
Nc = 26
Nq = 10
N = 21
y para este caso se tiene W‟ = 0.62 ya que d/B = 0.3/1.2 = 0.25
para
1 .0
0 .9
V
W‟
0 .8
0 .7
0 .6
Df
a
0 .5
0 .2
0 .4
0 .6
0 .8
1 .0
d /B
B
d
B
1 .0
0 .9
F a c to re s d e re d u c c ió n p o r u b ic a c ió n
d e l n iv e l fre á tic o
0 .8
W
0 .7
0 .6
0 .50
0
0 .2
0 .4
0 .6
0 .8
1 .0
a /D f
qult = cNc+qNqW+ bN W‟
W=1
= 1.95*26+1.76*1.2*10+0.6*1.76*21*0.62
= 50.7+21.1+13.7 = 85.5 t/m2
qadm = 28.5 t/m2
Para B = 1.8 m:
D/b = 1.2/0.9 = 1.33
c/b = 1.95/(0.9*1.76) = 1.23
de los ábacos, interpolando para D/b = 1 y 2 resulta = 3.5
con = 3.5 y = 20o :
Nc = 23
Nq = 9
N = 18
qult = 1.95*23+1.76*1.2*9+0.9*1.76*18*0.58 = 44.9+19+16.5
= 80.4 t/m2
qadm = 26.8 27 t/m2
Para B = 3 m:
D/b = 1.2/1.5 = 0.8
c/b = 1.95/(1.5*1.76) = 0.74
de los ábacos, interpolando para D/b = 0 y 1 resulta = 2.8
con = 2.8 y = 20o :
Nc = 19
Nq = 8
N = 11
d/B = 0.3/3.0 = 0.1
W‟= 0.55
qult = 1.95*19+1.76*1.2*8+1.5*1.76*11*0.55 = 37.1+16.9+16
= 70 t/m2
qadm = 23.3 t/m2
qadm (t/m2)
28.5
27
23.3
B (m)
1.2
1.8
3.0
qadmB2=V (ton)
41
87
210
3.0
qadm
(t/m 2 )
2.5
2.0
0
1
2
3
B (m)
1.28.) Determine la longitud de la fundación para una carga de 1000 ton, aplicada a una
inclinación de 10o con respecto a la vertical.
Arcilla sobre-consolidada
= 1.72 t/m3
c = 1.34 kgf/cm2
3m
Desarrollo:
B=4m
o
Para una inclinación de 10 la capacidad de soporte se reduce.
Meyerhof desarrolló una teoría basada en resultados experimentales.
para 10o
Ncq 6
Si suponemos que se trata de una zapata corrida:
qult = c*Ncq = 13.4*6 = 80.4 t/m2
cepa de
puente
Agregando la presión ejercida por 3 m de suelo, la capacidad de soporte última
queda:
qult = 80.4 +3*1.72 = 85.6 t/m2
Usando un F.S. = 6 (Skempton)
qadm = 80.4/6+3*1.72 = 18.56 t/m2
L = 1000/(18.56*4) = 13.5 m 14 m
La capacidad de soporte de una fundación rectangular es mayor a la de una zapata
corrida en el factor (1+0.2B/L) (Skempton)
1+0.2B/L = 1+0.2*4/14 = 1.06
como se trata de un pequeño aumento nos quedamos con L = 14 m
1.29.) a) Determinar la capacidad de soporte para la situación indicada:
L>>B
=27o
o
= 35
c = 10 t/m2
3
1.5m
w = 1.95 t/m
(Ref. fig.3a Navfac p.133)
1.2m
D/B = 1.5/1.2
1.0
qult = cNcq+0.5 BN q
en que: Ncq = 3.3 y N q = 48
= 10*3.3+0.5*1.95*1.2*48
= 33+56.2 = 89.2 t/m2
qult 90 t/m2
b) Idem a a) pero carga vertical.
qult = cNc+ DNq+0.5 BN
en que : Nc = 52
Nq = 36
N = 40
qult = 10*52+1.95*1.5*36+0.5*1.95*1.2*40
= 520+105.3+46.8 = 672 t/m2
c) Usando la fig. 3a del Navfac resuelva.
B=1.2m
qult = cNcq+0.5 BN q
en que:
Ncq = 6.1 y N q = 80
1.5m
= 18o
qult=10*6.1+0.5*1.95*1.2*80
= 61+93.6 = 154.6 t/m2
qult 155 t/m2
1.30.) Determinar la capacidad de carga del pilote de la figura:
c= 7.2 t/m2
= 1.73 t/m3
= 10o
Desarrollo :
Meyerhof propone fórmulas
semi-empíricas para Nc y Nq para pilas
pilas.
De fig. 8.15:
Nc = 25
Nq = 3.2
15 m
qult = cNc+qNq
= 7.2*25+1.73*15*3.2
40 cm
= 180+83 = 263 t/m2
Experimentalmente se ha encontrado que para el caso de pilas de hormigón
0.8c y para pilas de acero = 0.6 a 0.8c
Qu = 263*0.42+4*0.4*15*0.8*7.2 = 41.2+138.2
Qu = 180 ton
1.31.) Un grupo de pilotes: L = 9 m
c = 8.9 t/m2
=5o
= 1.72 t/m3
= 0.25 m
1m
1m
Determinar F.S. mínimo para evitar “tilting collapse”·por falla por corte del grupo
Desarrollo :
=5
Nc = 15 y
Nq = 1.7
(fig.8.15 p207)
La carga última de cada pilote:
qult = cNc+qNq
= 8.9*15+9*1.72*1.7 =133.5+26.3 = 159.8 t/m2
Qult = D4/4*qult = 7.84 ton
Si agregamos el roce en el manto del pilote:
= 0.8c = 7.1 t/m2
Q( ) = 7.1* *0.25*9 = 50.3 ton
Q(grupo) = 58.1*25 = 1454 ton
= 58.1 ton
Pero la capacidad de carga última de un grupo de pilotes se obtiene tratando al conjunto
como una fundación cuadrada.
Nc = 8
y Nq = 1.6 (fig.8.15)
cNc+ ZNq = 8.9*8+1.72*9*1.6 = 71.2+24.8 =96 t/m2
Agregando la resistencia por fricción se tiene:
Qult = 96.0*c.s.área del grupo+ *Asgrupo
= 96.0*42+7.1*4*9 = 1536+256 = 1792 ton
Terzaghi y Perk han señalado que la carga de diseño (carga admisible en cada pilote
multiplicada por el número de pilotes) debe ser 1/3 si se desea evitar el colapso.
1792/3 = 597
F.S.mín = 1454/597 = 2.4
1.32.) a) Determinar la carga última suponiendo que la zapata se carga rápidamente y que el
suelo está saturado.
= 47 %
= 2.72 t/m3
Usar ecuación de Hansen
NF
suelo arcilloso saturado
c = 11.4 t/m2
= 0o
1.5m
=3.0m
b) Suponga que la carga obtenida en a) se aplica muy lentamente. Se pide calcular el
F.S. para esta situación considerando que ahora el suelo de fundación posee:
c= 4.6 t/m2
= 20o
Desarrollo:
2
a) Sr = 1
= 47 %
P /Ps = 0.47
s = 2.72 t/m
= P/V
P
Vt
Vt = 1 m3
Vt = Vv+Vs
Ps
1= P / +Ps/ s = 0.47*Ps+Ps/2.72 0.837*Ps
Ps = 1.194 y
P = 0.561
Vs = 1 m3
Ps = 2.72 ton
P = 0.47*2.72 = 1.28
Vv = V = 1.28
3
sat = (2.72+1.28)/(1+1.28) = 1.755 t/m
El suelo actúa como si su densidad tuviera el valor de la densidad sumergida.
Para condiciones no drenadas la ecuación de Hansen:
qult = 5.14*c*(1+S‟c+d‟c-i‟c-b‟c-g‟c) + q
en que:
c = 11.4 t/m2
S‟c = 0.2B/L = 0.2*1 = 0.2
d‟c = 0.4D/B = 0.4*1.5/3 = 0.2
i‟c = 0
(H=0)
b‟c = 0
g‟c = 0
qult=qhundimiento = 5.14*11.4*(1+0.2+0.2) = 82.03 t/m2
Phundimiento= 82.03*32 = 738 ton
b)
738*F.S./A = cNcScdc+qNqSqdq+0.5 BN S d
en que:
c = 4.6 t/m2
Nc = 82
Nq = 72
N = 100
Sc = 1+(Nq/Nc)*(B/L) = 1+(72/82)*(3/3) = 1.88
dc = 1+0.4*D/B = 1+0.4*1.5/3 = 1.4
Sq = 1+(B/L)*tg = 1+(3/3)*tg40= 1.84
dq = 1+2*tg *(1-sen )2*Df/B = 1+2*tg40*(1-sen40)2*1.5/3=1.11
S = 1-0.4*B/L = 1+0.4*3/3 = 0.6
d =1
0.5 B = 0.5*(1.755-1)*3 = 1.13
sustituyendo:
738*F.S./(3*3)=4.6*82*1.88*1.4+0.755*1.5*72*1.84*1.11+1.13*100*0.6*1
82*F.S. = 992.8+166.5+67.8
F.S. = 15
c) Considere ahora que la arcilla está fisurada.
Desarrollo:
Es posible que a largo plazo las fisuras se abran y desaparezca la cohesión a
lo largo de ellas.
c=0
738*F.S./9 = 166.5+67.8
F.S. = 2.9
1.33.) Calcule la máxima presión que puede transmitir la base de la zapata al terreno para
tener un coeficiente de seguridad al hundimiento igual a 3.
Suponga que todo el estrato tiene un grado de saturación Sr = 30 %= cte.
Datos:
3
e = 0.5
= 35o
= 1.83 t/m3
s = 2.6 t/m
c=0
Df = 0.8 m
B=2m
L=2m
Desarrollo:
= 35 o
Nq = 35
N = 40
la ec. de Hansen:
qult = qNqSqdq+0.5 BN S d
en que :
q = *D = 1.83*0.8 = 1.46
Sq = 1+(B/L)*tg = 1+(2/2)*tg35= 1.7
dq = 1+2*tg *(1-sen )2*Df/B = 1+2*tg35*(1-sen35)2*0.8/2=1.10
S = 1-0.4*B/L = 1-0.4*2/2 = 0.6
d =1
qult = 1.46*35*1.7*1.1+0.5*1.83*2*40*0.6*1
= 95.82+43.92 = 139.7 t/m2
qadm(F.S.=3) = 46.58
47 t/m2
1.34.) a)Repetir el problema 1.33.) pero con la variación que una vez construida se le coloca
un relleno compactado de 0.8 m de altura y = 1.8 t/m3.
b) Repetir el cálculo anterior suponiendo que el nivel freático sube hasta la base de la
zapata.
c) Repetir b) usando la Fig. 2 del Nafvac DM7.2 p132, con la napa a 0.4 m bajo el
sello de fundación.
d) Suponer la napa a 0.5 m bajo la base de la zapata.
Desarrollo: (Nafvac p131)
qult = cNc(1+0.3B/L)+ DNq+0.4 BN
Determinación de hum
h=0.8m
Vt = Vo = Vv+Vs
e = Vv/Vs = 0.5
=1.8t/m3
Sr = V /Vv
Vs = 1 m3
Ps = 2.6 ton
Vv = 0.5 m3
V = 0.3*Vv = 0.15 m3
P = 0.15 ton
3
hum = Ptot/Vtot = (2.6+0.15)/1.5 = 1.83 t/m
= 35
Nq = 35
2.0 m
N = 40
qhun = qult = 1DNq+0.4 2BN
en que:
3
= 1.8 t/m3
D = 0.8 m
2 = 1.83 t/m
qhun = 1.8*0.8*35+0.4*1.83*2*40 = 50.4+58.6
= 109 t/m2
qadm(F.S.=3) = 36.3 t/m2
Notas:
1) En arenas la carga admisible está dada por los asentamientos y no por el qult.
2) En terrenos blandos o muy sueltos, la rotura será parcial. En terrenos densos la
rotura será total ( = 40o). En nuestro caso asumimos rotura total.
1
b)
qult = 1DNq+0.4 2BN = 50.4+0.4* b*2*40
Determinación de b
3
3
sat = (Pa+P )/Vt = 2.07 t/m
b = 1.07 t/m
qult = 50.4+0.4*1.07*2*40 = 50.4+34.2
= 84.6 t/m2
qadm(F.S.=3)= 28.2 t/m2
c) d = 0.4+0.8 = 1.2 m
d/B = 1.2/2 = 0.6
Identifiquemos las fórmulas a usar en la figura 2:
1o) En una zapata cuadrada.
2o) Se cumple Df B
0.8 2.0
o
3 ) Se cumple: Df <d < (Df+do)
Df = 0.8 m
d = 1.2 m
Determinación de do:
¡tomar = 30o como un valor extremo!
d/B = 1.2/2 = 0.6
= 35
d/do = 0.65
do = 0.65*1.2 = 0.78
Df+do = 1.6
qult = cNc(1+0.3B/L)+ tDfNq+ b+F( t- b) 0.4BN
F 0.8
evaluación de términos:
c=0
el primer término de qult vale 0
3
3
sub = b = 1.07 t/m
t = hum = 1.83 t/m
qult = 1.83*0.8*35+ 1.07*0.8*(1.83-1.07) *0.4*2*40
= 51.24 20.82
qult = 72.1 t/m2
qadm = 24.03 t/m2
d)
eq*B
= h*do+ b*(B-do)
eq = h*do/B+ b- b*do/B = do/B*( h- b)+
= 5/20*(1.83-1.07)+1.07 = 1.26 t/m3
b
qh = DNq+0.4 eqBN = 1.8*0.8*35+0.4*1.26*2*40
= 50.4+40.3 = 90.7 t/m2
qadm = qh/3 = 30.2 t/m2
1.35.) Se aplica una carga uniformemente repartida sobre una franja muy larga de 6 m de
ancho.
a) Determinar la presión de hundimiento(según Terzaghi)
b) Se desea un F.S.=3 con respecto a la carga de hundimiento. Determinar el F.S. con
respecto a la resistencia al corte.
c= 3 t/m2
= 30o
Desarrollo:
a)
qult = qhundimiento =cNc+ DNq+0.5 BN
en que:
D=0
qhundimiento = cNc = 3*37.2
qhundimiento = 111.6 t/m2
b) Hay que calcular el número por el cual hay que dividir la cohesión y la tangente de
para que el terreno esté en equilibrio bajo la presión minorada.
qadm = 111.6/3 = 37.2 t/m2
hay que determinar F
c* = c/F
tg * = tg /F
qadm= DNq( *) + c*Nc( *)
como q = D = 0
qadm = c*Nc( *)
*
c = 3/F
tg * = tg30/F = 0.58/F
*
= arctg(0.58/F)
Nc = (228+4.3 )/(40- )
( <35o Krizek)
Nc( *) = (228+4.3*(arctg(0.58/F)))/(40-arctg(0.58/F)
(A)
(ver p811 G y C II)
sustituyendo en (A):
37.2 = 3/F*(228+4.3*(arctg(0.58/F)))/(40-arctg(0.58/F)
F
qadm
2
18.7
1.5
33.8
1.4
39.8
1.45
36.6
1.44
37.2
t/m2
F = 1.44
1.36.) Calcule la fatiga de contacto admisible para una fundación cuadrada para las
condiciones indicadas en la figura, usando la teoría de Balla y un F.S. = 3 (cargas
permanentes).
= 1.76 t/m3
= 30o
c=0
V
2.4 m
B=2.4 m
Desarrollo :
b = B/2 = 2.4/2 = 1.2 m , D/b = 2.4/1.2 = 2 ,
De ábacos se tiene:
para D/b = 2
Con
,
c/b = 0 y
= 30o
c/b = 0
=4
= 4 y = 30o se obtienen:
Nc = 40
Nq = 24
N = 68
qult = cNc+qNq+ bN
= 0+1.76*2.4*24+1.2*1.76*68 =101.4+143.6
qult = 245 t/m2
qadm = 81.7 t/m2
1.37.) Repita el problema 1.36.) para = 25o y c = 27 t/m2 (0.27 kgf/cm2)
Desarrollo:
D/b = 2 , c/b = 2.7/(1.2*1.76) = 1.28 , = 25o
Usando ábacos se obtiene :
= 4.04
4
y con = 4 y = 25o :
Nc = 33
Nq = 17
N = 39
qult = 2.7*33+2.4*1.76*17+1.2*1.76*39=89.1+71.8+82.4
= 243.3 t/m2
qadm = 81.1
80 t/m2
DIMENSIONAMIENTO POR CAPACIDAD DE SOPORTE
1.38.) Para el estanque de acero de la figura determine el ancho de la zapata considerando
que está ubicado en un talud con pendiente 1:3 . La altura del estanque es 10 metros con un
radio de 9 metros. El estanque almacena un líquido con una densidad de 1.1 ton/m3. El
anillo interior del estanque se apoya en una cama de arena suelta. Considere que el 60% de
la carga se transmite a la cama de arena y el 40% a las zapatas. Considere un sello de
fundación promedio a 1.5 metros de profundidad.
planta
elevación
r
e=1cm
corte AA
= 27o
c = 2 ton/m2
=1.9 ton/m3
3
acero=7.9 gr/cm
3
H =10 m
horm=2.4 ton/m
talud
9m
eje sim.
0.9m
Corte A-A
Usar Hansen o Nfac
V
Desarrollo:
Hipótesis: Como es un anillo
se resuelve considerando zapata
corrida.
Df=1.5m
=arctg(1/3)=18.5o
- Determinación de las solicitaciones sobre la zapata:
V = peso del manto + peso del contenido + peso de la zapata
Pmanto = 0.1dm*10*10dm*10dm*7.9kgf/dm3 =100dm3*7.9kgf/dm3
= 0.79 ton/m
Pcontenido = *Vol*0.4
= 1.1 t/m3
Vol= *D2/4*h = *182/4*10
m3
= 2545 m3
Pcontenido =1.1*2545*.4=1120 ton que se reparten en la longitud del perímetro
2* *r = 56.5 m
por lo tanto
Pcontenido = 1120/56.5 = 19.8 ton/m
Pzapata = B*h*L* horm =B*0.9*1*2.4
= 2.16*B (ton/m)
luego
V = 0.79+19.8+2.16*B
Hay que darse un valor de B e iterar:
1a iteración: B=1 m
V = 22.75 t/m
-Determinar qadm usando Hansen
qult = cNcScdcgc +qNqSqdqgq+0.5 BN S d g
c=2 t/m2
Nc = 24
(Bowles p190)
Sc =1+(Nq/Ncd)*(B/L)=1+(13.25/24)*(1/56.5) 1.0
dc = 1+0.4*k
(k=tg-1(Df/B)=0.983)
= 1.39
gc = 1- /147o = 0.874
entonces:
cNcScdcgc =2*24*1*1.39*0.847=58.3 t/m2
q = *H = 1.9*1.5 =2.85 t/m2
Nq= 13.25
Sq = 1+(B/L)*tg =1+(1/56.5)*tg27 1.0
dq = 1+2*tg27*(1-sen27)*0.983 = 1.55
gq = (1-0.5*tg18.5)5 = 0.40
entonces:
qNqSqdqgq =2.85*13.25*1.0*1.55*0.40 = 23.6 t/m2
2
= 1.9 t/m
N = (7.9*10.9)/2= 9.4
S =1-0.4*B/L = 1-0.4*1/56.5 = 0.99
d = 1.0
g = (1-0.5*tg18.4)5 = 0.40
entonces:
0.5 BN S d g = 0.5*1.9*1*9.4*0.99*1*0.4 = 3.54 t/m2
por lo tanto:
qult = 58.3+23.6+3.54 = 85.44 t/m2
qadm = qult/3 = 85.44/3 = 28.48 t/m2ç
Verificación de la capacidad de soporte
qsolic = V/(B*L) = 22.75/(1*1) = 22.75 t/m2
qadm = 28.5 t/m2
qsolic qadm
O.K.
2a iteración: B = 0.5 m
V = 21.7 t/m
-Determinación del qadm por Hansen
los parámetros que varían son:
Sc =1+(13.25/24)*(0.5/56.5) 1.0
dc = 1+0.4*1.25 = 1.5
k= tg-1(1.5/0.5) = 1.25
entonces:
cNcScdcgc =2*24*1*1.5*0.874 = 62.9 t/m2
Sq = 1+(0.5/56.5)*tg27 1.0
dq = 1+2*tg27*(1-sen27)*1.25 = 1.696
entonces:
qNqSqdqgq = 2.85*13.25*1*1.696*0.40 = 25.6 t/m2
S = 1-0.4*0.5/56.5 1.0
luego:
0.5 BN S d g = 0.5*1.9*0.5*9.4*1*1*0.4 = 1.77 t/m2
por lo tanto:
qult= 62.9+25.6+1.77 = 90.27 t/m2
qadm = 30.1 t/m2
Verificación de la capacidad de soporte
qsolic = V/(B*L) = 21.7/(0.5*1) = 43.4 t/m2
qadm qsolic
no cumple
B = 1 m o ajustar realizando nuevas iteraciones
1.39.) Un silo de 5 metros de altura y 2 metros de diámetro externo, se apoya sobre una
zapata circular de 2.4 metros de diámetro. El espesor de las paredes de hormigón es de
30 cm. El material a almacenar tiene un peso unitario de 1.5 ton/m2. Considere un evento
sísmico que tiene una aceleración máxima de 0.25g que produce una fuerza horizontal a
2.5 metros de la superficie. Las características del suelo son similares a las del problema
1.2.).
Determine la profundidad del sello para:
a) asegurar la estabilidad del silo y
b) cumplir con las exigencias de soporte del suelo
Desarrollo:
Se modela como zapata de sección circular. Considere que la zapata es rígida.
Asumiendo Df 1 m
- Solicitaciones
Carga vertical
V = Vsilo+Vrelleno+Vzapata
Vsilo = H* *(22-1.42)/4* horm = 5*3.85 =19.2 ton
Vrelleno = ( *1.42/4)*5*1.5 = 11.54 ton
Vzapata = ( *2.42/4)*1*2.4 = 10.86 ton
V = 19.22+11.54+10.86 = 41.6 ton
= V/A =41.6/( *2.42) = 2.3 ton/m2
Momento
Sea Df = 1 m
M = H*(2.5+Df)
H = 0.25*(19.22*11.54) = 7.96 ton
M = 26.92 t*m
e = M/V = 26.92/41.6 = 0.65 m
B/6=2.4/6 = 0.40
e B/6
Reacción del suelo:
qM,m = V/A M/W
W = *D4/(64*R) = *2.44/(64*1.2) = 1.36 m3
qM,m = 2.3 26.92/1.36 = 2.3
19.8 ton/m2
Ep,Ea
kp v = (1+sen27)/(1-sen27)*1.9*1 = 5.06 ton/m2
Ep =1/2*5.06*1 = 2.53 ton/m
considerando los 2.4 m de ancho
= 2.53*2.4 =6.07 ton
ka = 1/kp = 0.38
Ea = 0.86 ton
Ea
Ep
ka
v
kp
v
a) Estabilidad del silo
Volcamiento
MR
MV
2
MR = V*D/2+(Ep-Ea)*1/3*1 = 49.92+1.74 = 51.7 t*m
MV = 26.92 t*m
FSV = 51.7/26.92 = 1.92 2
O.K.
b) No cumple con las exigencias de soporte del suelo, ya que m es negativo.
Determinación de la capacidad de soporte del suelo (Meyerhof).
Sea Df =1 m
qult (Meyerhof, carga inclinada, referencia p188 Bowles)
qult = cNcdcic+qNqdqiq+0.5 BN d i
= Fc + Fq + F
c = 2 t/m2
Nc = 23.9
Nq = 13.2
N = 9.5
dc =1+0.2*√kp*D/B
kp = 2.66
= 1+0.2*1.63*1/2.4 = 1.13
ic = (1- o/90o)2
tg = 769/41.6
= 0.2 rad
= 10.5o
ic = 0.78
Fc = 2*23.9*1.13*0.78 = 42.1 t/m2
q = *D = 1.9*1 = 1.9 t/m2
dq = 1
iq = ic = 0.78
V = 41.6 ton
H = 7.69 ton
Fq = 1.9*13.2*1*0.78 = 19.56 t/m2
d =1
i = (1-10.5/27)2 = 0.37
F = 0.5*1.9*2.4*9.5*1*0.37 = 8.01 t/m2
qult = 42.1+19.56+8.01= 69.67 t/m2
qadm =69.67/3 = 23.2 t/m2
2
M = (2.3 + 19.8)*1.2 = 26 t/m
qadm
M
qult
(Meyerhof, sin carga inclinada)
Sc = 1+0.2*kp*B/L = 1.51
Sq = 1+0.1*kp*B/L = 1.27
S = 1.27
qult = cNcScdc +qNqSqdq+0.5 B‟N S d
qult = 2*23.9*15.1*1.13*+1.9*13.2*1.27*1+0.5*1.9*2.15*9.5*1.27*1
= 81.56+31.85+24.64=138 t/m2
qadm = 46 t/m2 v/s 23.2 t/m2
1.40.) Diseñe las fundaciones para el estanque de la figura considerando que :
a) la capacidad de soporte del suelo controla el diseño.
b) usar ecuación de Hansen
(Tablas 4.1 a 4.5 del Bowles).
c) estados de carga:
EC(1) = normal + viento + estanque vacío
EC(2) = normal + viento + estanque lleno
d) e/B < 0.3 (el estanque está ubicado en un campo abierto y su colapso no es
crítico)
e) puede usar método alternativo propuesto por Meyerhof con un factor de
reducción
Re = 1 - (e/B)0.5
5m
t = 1.91 t/m3
c = 0.5 t/m2
= 23°
vol=45 m3
=3m
pv=
120
kgf/m2
= 0.7m
9m
1.4 m
Sr = 95 %
1.1 m
NF
Sr = 100 %
=B
Desarrollo:
- Determinación de solicitaciones
H1 = 3*3m2*0.12t/m2 = 1.08 ton
H2 = 0.7*9m2*0.12t/m2 = 0.76 ton
H = 1.08+0.76= 1.84 ton
MSF = H1*(3/2+9+1.4+1.1)+H2*(9/2+2.5) =1.08*13 + 0.76*7
= 14.04+5.29 = 19.33 t*m
V = Vo + 1.1*B2* horm
Vo = 10.4*0.72*2.4+(5*3*3-4.9*2.9*2.9)*2.4 = 21 ton
V = 21 + 1.1*B2*2.4 = V(B)
- Determinación de B tentativo:
e/B < 0.3
e = M/V = 19.33/V
B(m)
V(ton)
3
2.5
2.0
2.1
2.2
2.3
2.4
44.76
37.5
31.6
32.64
33.78
35.0
36.2
19.33/V=e
0.43
0.51
0.60
0.59
0.57
0.55
0.53
e/B
0.14
0.21
0.31>0.3
0.28<0.3
0.26
0.24
0.22
(estanque vacío)
Tentar con
B = 2.1 m
Capacidad de soporte según Hansen.(Fórmula general p188 Bowles)
qult = cNcScdcicgcbc + .........
Como no debe usarse el factor de forma Si en combinación con el de inclinación
ii (p191 Bowles Tabla 4-5)
qult = cNcdcic +qNqdqiq+0.5 ‟B‟N d i
en que
‟ = t-1 = 1.91-1 = 0.91 t/m2
B‟ = B-2*e =2.1-2*0.59 = 0.92 m
Nc = 18
dc = 1.35
ic = 0.86
Nq = 8.7
dq = 1.45
iq = 0.8
N = 4.9
d = 1.0
i = 0.83
Fc= cNcdcic = 10.4 t/m2
Fq = qNqdqiq= 52.8 t/ m2
2
F = 0.5 ‟B‟N d i =1.69 t/m
qult = 64.9 t/m2
Verificaciones:
M < qadm
M(B=2.1m)
M
= 4*V/(3*L*(B-2*e))
= 4*32.64/(3*2.1*(2.1-2*0.59)) = 22.53 t/m2
aumentar B
Volcamiento:
qadm = qult/3 = 21.6 t/m2
> qadm
B = 2.2 m
FS = MR/MV = (V*B/2)/19.33
= (32.64*2.1/2)/19.33 = 1.77 < 2
aumentar B
Deslizamiento
FS = (c*A+N*tg )/H = (0.5*B‟*B+V*tg23)/1.84
= (0.5*0.92*2.1+32.64*tgt23)/1.84 = 14.82/1.84
FS = 8.1
O.K.
2a Iteración
B = 2.3 m
B‟ = B-2*e = 2.3-2*0.55 = 1.19 m
V = 35.0 ton
k = 0.83
dc = 1.33
ic = 0.87
dq = 1.43
iq = 0.89
d = 1.0
i = 0.84
Fc = 10.4
Fq = 52.5
F = 2.2
2
qult = 65.2 t/m
qadm = 21.7 t/m2
Verificar qadm
e/B = 0.24 > 0.17
2
< qadm
M = 4*35/(3*2.3*(2.3-2*0.55)) = 17.1 t/m
Volcamiento:
(B = 2.3 m)
FS = MR/MV = (35*2.3/2)/19.33 = 2.1 > 2
O.K.
Con el estanque vacío B = 2.3 m
¡ Controla el volcamiento !
EC(2) = N + V + estanque lleno:
B(m)
V(ton)
3
2.5
2.4
2.3
2.1
89.8
82.5
81.2
80.0
77.6
19.33/V=e
0.22
0.23
0.24
0.24
0.25
e/B
0.07 < 0.3
0.09 < 0.3
0.10 < 0.3
0.11 < 0.3
0.12 < 0.3
O.K.
1a Iteración
B = 2.3 m
B‟ = 1.82 m
V = 80 ton
k = 0.83
dc = 1.33
ic = 0.94
dq = 1.43
iq = 0.95
d = 1.0
i = 0.93
Fc = 11.26
Fq = 56.17
F = 3.75
qult = 71.2 t/m2
qadm = 23.7 t/m2
Verificación qadm
e/B = 0.11 < 0.17
M = V/A*(1+6*e/B)
= 80/2.32*(1+6*0.11)
=25.1 t/m2
no cumple
M > qadm
2a Iteración
B = 2.4 m
B‟ = 1.92 m
V = 81.2 ton
k = 0.81
dc = 1.32
ic = 0.94
dq = 1.42
iq = 0.95
d = 1.0
i = 0.93
Fc = 11.20
Fq = 55.80
F = 3.98
2
qult = 70.98 t/m
qadm = 23.66 t/m2
Verificación qadm
2
2
M = V/A*(1+6*e/B) = 81.2/2.4 *(1+6*0.1) = 22.56 t/m
O.K.
M < qadm
Verif. Volcamiento:
FS = MR/MV = (81.2*2.4/2)/19.33 = 5.0 > 2
O.K.
Conclusión:
Usando Hansen EC(1)
EC(2)
B 2.3 m
B 2.4 m
B = 2.4 m
controla volcamiento
adm del suelo
3.b) Capacidad de soporte según Meyerhof alternativo con un factor de reducción
Re = 1-(e/B)0.5
Para carga inclinada:
qult = cNcdcic +qNqdqiq+0.5 BN d i
(p188 Bowles)
kp ( =23) = 2.28
i = f( )
V
tg = H/V = 1.84/V
H
Estanque vacío :
1a Iteración
B = 2.3 m
B‟ = 1.19 m
V = 35 ton
= 3.01o
Nc = 18
Nq = 8.7
N = 4.9
dc = 1.35
dq = 1.16
d = 1.16
ic = 0.93
iq = 0.93
i = 0.76
Fc = 11.17
Fq = 45.18
qult = 60.85 t/m2
e/B = 0.24 <0.3 O.K.
Re = 0.51
qult*Re = 31.0 t/m2
e/B = 0.24 > 1/6
M
F = 4.51
qadm = 10.3 t/m2
zonas en tracción
= 4*V/(3*L*(B-2*e)) = 4*35/(3*2.3*(1.19)) = 17.1 > 10.3 t/m2
> adm
hay que aumentar B
2 Iteración
B = 2.6 m
e = 0.50
B‟ = 1.60 m
V = 38.85 ton
e/B = 0.19 > 0.17
zonas en tracción
M
a
dc = 1.29
ic = 0.94
Fc = 10.92
dq = 1.15
iq = 0.94
Fq = 44.75
d = 1.15
i = 0.78
F = 5.11
2
qult = 60.79 t/m
Re = 0.56
qult = 34.19 t/m2
2
qadm = 11.4 t/m
e/B = 0.24 > 1/6
zonas en tracción
M
= 4*V/(3*L*(B-2*e)) = 4*38.85/(3*2.6*(1.6)) = 12.45 > 11.4 t/m2
no cumple se debe aumentar B
3a Iteración
B = 2.7 m
e = 0.48
B‟ = 1.74 m
e/B = 0.18
= 2.6o
V = 40.25 ton
dc = 1.28
ic = 0.94
Fc = 10.86
dq = 1.14
iq = 0.94
Fq = 44.64
d = 1.14
i = 0.79
F = 5.33
qult = 60.82 t/m2
Re = 0.58
qult = 35.17 t/m2
qadm = 11.72 t/m2
Verif. qadm:
e/B > 0.166 = 1/6
zonas en tracción
M
= 4*40.25/(3*2.7*(1.74)) = 11.42 < 11.72 t/m2
O.K.
El volcamiento ya está O.K. puesto que el FS (B = 2.3) = 2.1 > 2
B = 2.7 m para estanque vacío
Estanque lleno:
1a Iteración
B = 2.7 m
e = 0.23
B‟ = 2.25 m
e/B = 0.08 < 1/6
V = 85.25 ton
= 1.24o
dc = 1.28
ic = 0.97
Fc = 11.20
dq = 1.14
iq = 0.97
Fq = 46.06
d = 1.14
i = 0.90
F = 6.08
qult = 63.34 t/m2
Re = 0.71
qult = 44.48 t/m2
qadm = 15.0 t/m2
Verificación qadm
2
2
2
M = V/A*(1+6*e/B) = 82.25/2.7 *(1+6*0.08) = 17.6 t/m > 15 t/m
M
> qadm
2a Iteración
B = 2.8 m
e = 0.22
B‟ = 2.35 m
e/B = 0.0796 < 1/6
dc = 1.27
ic = 0.97
dq = 1.13
iq = 0.97
d = 1.13
i = 0.90
2
qult = 63.29 t/m
Re = 0.72
qadm = 15.14 t/m2
aumentar B
V = 86.70 ton
= 1.22o
Fc = 11.12
Fq = 45.88
F = 6.29
qult = 45.43 t/m2
Verificación qadm
2
2
2
M = 86.7/2.8 *(1+6*0.0796) = 16.34 t/m > 15.14 t/m
3a Iteración
B = 2.9 m
e = 0.22
B‟ = 2.46 m
e/B = 0.0755 < 1/6
dc = 1.26
ic = 0.97
dq = 1.13
iq = 0.97
d = 1.13
i = 0.90
2
qult = 63.25 t/m
Re = 0.73
qadm = 15.29 t/m2
no cumple
V = 88.2 ton
= 1.20o
Fc = 11.04
Fq = 45.71
F = 6.50
qult = 45.87 t/m2
Verificación qadm
2
2
2
M = 88.2/2.9 *(1+6*0.0755) = 15.24 t/m < 15.29 t/m
Con el estanque lleno se requiere B = 2.9 m
O.K.
(usando Meyerhof alternativo)
1.41.) Diseñar Df y B , a la capacidad de soporte, de la zapata cuadrada de un pilar
sometido a una carga vertical de 250 ton y un momento de 25 t*m:
El suelo es una arcilla residual compuesta de dos estratos.
El primer estrato es arcilla residual CH de 1 m de profundidad, blanda y con material
orgánico.
El segundo estrato es arcilla residual CH consistente y dura.
c = 0.41 kgf/cm2 = 41 t/m2
250ton
= 1.8 t/m3
= 19o
25t*m
F.S.= 3
Df
Desarrollo:
Suponiendo que la carga se encuentra
dentro del tercio central, con un diagrama
de tensiones del tipo:
= V/BL+M/W
= V/BL+M/(BL2/6)
2
3
(zapata cuadrada)
M=V/B +6M/B
= 250/B2+6*25/B3 = (250*B+450)/B3
Además: F.S.=qult/ máx
qult=3 máx =(750*B+450)/B3
m
M
en que
B
M
Asi:
qult = cNcFc+ DfNqFq+0.5 BN F
donde Fc , Fq y F son factores de corrección debido a la forma de la zapata.
qult= 4.1*Nc*1.2+1*1.8*Nq+0.5*1.8*B*N *0.6
se supuso Df = 1 m ya que a esta profundidad se encuentra un suelo mejor que
el primer estrato.
= 19o
Nc = 16.74
Nq = 6.8
N = 4.5
qult = 82.36+14.69+2.43*B = 97.05+2.43*B t/m2
Igualando:
(750*B+450)/B3=97.05+2.43*B desarrollando .....
B4+39.94*B3-308.6*B-185.2=0
tanteando con B=2.94 se tiene (-2.81=0)
B 3m
Verificación:
e = M/V = 25/250 = 0.1 m = 10 cm
B/6 = 3/6 = 0.5 m = 50 cm
carga coincide dentro del tercio central
(250*3+150)/27 = 33.3 t/m2
qult = 97.05+2.43*3 = 104.34 t/m2
máx=
F.S.= 104.34/33.3 = 3.13
se acepta este valor ya que asegura el desconocimiento y la mala calidad del
primer estrato.
= V/A(1 6e/B)
= 250/9(1 6*0.1/3)
V = 250 ton
= 27.8(1 0.2)
2
2
2
A=B 9m
M = 33.36 t/m
e = M/V = 225/250 = 0.1 m
m
= 22.24 t/m2
1.42.) Hallar las dimensiones para que la zapata mostrada tenga un F.S.= 3, según fórmula
de Hansen.
Datos:
N=1000ton
corte AA
3
:
b = 2.2 t/m
c = 2 t/m2
= 30 o
Df
1.4B
L = 1.4B m
A
A
B
Desarrollo:
qult = cNcScdcicgcbc +qNqSqdqiqgqbq+0.5 BN S d i g b
Suponer Df B
Nq = tg2(45+ /2)e tg =18.40
Nc = 30.14
Sc = 1+(Nq/Nc)*(B/L) = 1+(18.4/30.14)*(B/1.4B) = 1.44
dc = 1+0.4*Df/B = 1+0.4*1.5/B = 1+0.6B
ic =1
gc = 1 ( = 0)
bc = 1 ( = 0)
q = Df = 2.2*1.5 = 3.3 t/m2
Sq = 1+(B/L)*tg = 1+(B/1.4B)*tg30= 1.41
dq = 1+2*tg *(1-sen )2*Df/B = 1+2*tg30*(1-sen30)2*1.5/B=1+0.433B
iq = 1 (H=0)
gq = 1 ( = 0)
bq = 1 (terreno horizontal)
N = 15.1
S = 1-0.4*B/1.4B = 0.714
d =1
i = 1 (H=0)
g = 1 ( =0)
b =1
sustituyendo:
qult = N*F.S./(B*L) = 1000*3/1.4B2
además
qult=2*30.14*1.44*(1+0.6/B)+3.3*18.4*1.41*(1+0.433/B)+1.1B*15.1*0.714
luego :
2143/B2=86.8(1+0.6/B)+85.62(1+0.433/B)+11.86B
2143=86.8B2+52.08B+85.62B2+37.07B+11.86B3
11.86B3+172.42B2+89.15B-2143=0
B1= -12.86
B2= 3.0 m
B3= -4.6
B = 3.0 m
L = 1.4*3 = 4.2 m
Df
B
O.K.
la suposición inicial.
1.43.) Si al problema 1.42.) se le agrega una componente horizontal H = 200 ton que forma
un ángulo de 20o con respecto al eje menor del rectángulo.
Hallar el F.S. de la zapata proyectada.
corte AA
N=1000ton
4.2m x
A
200 ton
x
20
A
3.0m
Desarrollo:
Tenemos la siguiente situación:
Caso I
1000ton
188ton
Caso II
68ton
3.0m
1000ton
4.2m
suponemos aplicación en el sello de fundación
Análisis del caso I
Varían los coeficientes y, de inclinación de la carga:
ic = f(iq)
iq = 1-0.5*188/(1000+3*4.2*2*cotg30) 5 = 0.624
ic = iq-(1-iq)/(Nq-1) = 0.624-(1-0.624)/(18.4-1) = 0.602
i = 1-0.7H/(V+A*c*cotg ) 5
= 1-0.7*188/(1000+3*4.2*2/tg30) 5 = 0.51
Volviendo a la fórmula de Hansen:
F.S.*1000/(4.2*3) = 86.8(1+0.6/3)*ic+85.62(1+0.433)*iq+11.86*3*i
79.365*F.S.=62.704+61.138+18.146
F.S. = 1.79
1.8
1.44.) Si en el problema 1.42.) se agrega un momento de 500 t*m, que tiene como eje una
de las diagonales, determinar el F.S. para esta situación.
Desarrollo:
Mx = 500*cos = 290.6 t*m
My = 500*sen = 407.1 t*m
M
=54.5o
Tenemos la siguiente situación:
Caso I
1000ton
407t*m
Caso II
1000ton
291t*m
3.0m
4.2m
ey = 0.41 m
ex = 0.29 m
La carga de 1000 ton está descentrada y produce un momento de 500 t*m con
respecto a la diagonal.
e = M/N = 500/1000 = 0.5 m
Hemos de considerar un área equivalente que tenga como centro de gravedad G.
3.0m
35.5
18.9
71.1
= 35.5o
L‟=(L/2-0.5*sen35.5)*2 = 4.2/2-0.29 = 3.6 m
B‟ =(B/2-0.5*cos35.5)*2 = 3/2-0.41 = 2.2 m
Aplicando Hansen a este nuevo rectángulo:
1000*F.S./(2.2*3.6) = cNcScdcicgcbc +.....
ic = i = 1
(carga vertical )
D/B‟ = 1.5/2.2 < 1
d =1
dc = 1+0.4D/B‟ = 1+0.4*1.5/2.2 = 1.27
dq = 1+2*tg30*(1-sen30)2*1.5/2.2=1.20
Sc = 1+(18.4/30.14)*(2.2/3.6) = 1.37
Sq = 1+(2.2/3.6)*tg30= 1.35
S = 1-0.4*2.2/3.6 = 0.76
sustituyendo:
qult = 2*30.14*1.37*1.27+3.3*18.4*1.35*1.2+1.1*2.2*15.1*0.76
= 104.88+98.37+27.77 = 231.0 t/m2
qult = N*F.S./A
F.S.=231*2.2*3.6/1000
F.S.= 1.83
F.S.= qult/(N/A) es un factor de seguridad supuesto sólo para cargas verticales en
que qult se obtiene con el área reducida y (N/A) es la carga solicitante dividida por el
área reducida.
1.45.) Se hace un ensayo de carga sobre una placa de 1*1m, en un suelo arenoso. El
hundimiento se produce para q= 20 t/m2 y arena = 1.8 t/m2. Se requiere construir un zapata
de 3*3 m aplicando una presión q= 60 t/m2.
Es necesario aumentar la resistencia al corte del suelo y se elige como método,
inyecciones de cemento. Para dosificar el cemento se hacen una serie de pruebas
consistentes en romper a compresión simple muestras del terreno inyectado. Se observa que
la resistencia a compresión simple está ligada a la cantidad de cemento mediante la
expresión:
R = 160c
R (kgf/cm2)
c(t/m3)
a) Determinar la dosificación a emplear si se quiere obtener un coeficiente de seguridad
al hundimiento igual a 2 con respecto a las cargas a emplear.
b) Resolver usando el coeficiente de Prandtl (Ref.tabla 13.1 G. y C. II)
Desarrollo:
Hansen:
qult = cNcScdc+qNqSqdq+0.5 BN S d
ii=gi=bi=1
q=0
(zapata superficial)
c=0
(arena)
qult = 20 t/m2
20 = 0.5 BN S d
en que:
= 1.8
B=1m
N = ? S = 1-0.4B/L = 0.6
20 = 0.5*1.8*1*N *0.6*1
N = 37.04
= 35 o
( gráfico Nafvac)
d =1
Adoptamos = 35 o , que se mantiene constante con la inyección de cemento,
sin embargo ahora el suelo adquiere cohesión de modo que la fórmula de Hansen:
qult = cNcScdc+0.5 BN S d = F*P/A
(*)
en que:
F = 2 (enunciado) P/A = 60 t/m2 (enunciado)
c= a partir de (*)
Nc = 51
Nq = 33
N = 40
(Nafvac)
Sc = 1.65
dc = 1.4
entonces sustituyendo en (*)
2*60 = c*5.1*1.65*1.4+0.5*1.8*3*40*0.6*1
120 = 117.6*c+64.8
c = 0.47 t/m2
Usando el círculo de Mohr, aplicado a un ensayo de comprensión simple.
R
c
R
1
L
tg = c/L
L = 0.47/tg35 = 0.67
t/m2
R/c*cos = (L+R)/L
LR/(c*cos ) = L+R
2
R = 0.91
1 = 2R = 1.81 t/m
0.181 = 160*c
1 = 160*c
c = 0.00113 t/m2 = 1.13 kgf/m2
b)
= 35o
Nc = 46.12
Nq = 33.3
Sc = 1+(33.3/46.1)*1 = 1.72
dc = 1.4
S = 0.6
2*60 = c*46.1*1.72*1.4+0.5*1.8*3*32*0.6
120 = 111*c+51.8
c = 0.61 t/m2
N = 32
tg = c/L
L = 0.61/tg35 = 0.88
LR/(c*cos ) = L+R
R = 1.15
2R = 2.3
2
1 = 2.3 t/m
1 = 160*c
0.23 = 160*c
c = 1.44 kgf/m3
ASENTAMIENTO Y GIRO
1.46.) Un edificio se apoya en dos líneas de zapatas aisladas, como se muestra en la planta
indicada. Determine “mín” de modo de asegurar que no se producirá agrietamiento en el
edificio.
Datos: -Zapatas cuadradas rígidas
-Es = 1000 kgf/cm2
- Suelo de fundación:Arena densa
- Cargas incluyen peso propio de las zapatas
V=21ton

V=96ton

eje A
B=1.5m
eje B
B=0.7m
eje A
eje B
Desarrollo:
Para que no se produzcan grietas, la distorsión angular está limitada a:
/ < 1/500
Por tratarse de un suelo de fundación constituido por arena densa, los asentamientos
serán inmediatos y se pueden calcular usando teoría de elasticidad.
q*B*
2
2
1
*I
Es
2
qA = VA/B = 9.33 t/m
BA= 150 cm
= (Tabla p44 0.3 )
Es=1000 kgf/cm2
I = (zapata cuadrada rígida)= 0.99 (p36b)
qB = 195.9 t/m2
= VA/B*(1- 2)*I /Es= 21000*(1-0.32)*0.99/(150*1000)
= 0.13 cm
2
B = 96000*(1-0.3 )*0.99/(70*1000)= 1.24 cm
A
 / > 500
 > 500*( B- A)
 > 555 cm
min = 5.6 m

= /  < 1/500
1.47.) a) Determine el giro que tendrá la fundación rígida de la figura considerando que el
módulo de reacción (K) en carga es igual al K en desgarga.
b) Determine además la posición del eje de rotación si
Edescarga =2Ecarga (K prop. a E)
Ecarga = 500 kgf/cm2
= 0.3
M
vista lateral
V
Datos:
-M = 5 t*m
-N = 20 ton (incluye pp zapata)
Nota:
Verificar mín de contacto < 0
(usar teoría de elasticidad)
L = 3m
B=1m
Desarrollo:
a) Giro de fundación para la zapata rígida mostrada.
N M
e=min=0.25 m e/B < 1/6
min
A W
0.25/3=0.5/6 < 1/6 O.K.
2
2
3
= 20ton/3m - 5 t*m/(1/6*1*3 )m
2
O.K.
min = 3.33 t/m > 0
M
1 2
*
*I
E
B2 * L
en este caso , para la fórmula B = 3 m y L = 1 m
I
0.2
3.3
M = 5 t*m
I = 4.17
E = 5000 t/m2
0.4
4.6
1/3
4.17
1- 2 = 1-0.32 = 0.91
L*B2 = 1*32 = 9 ( L // vector momento)
= 5*0.91*4.17/(9*5000) = 0.42*10-3 rad
= 0.042
b) Eje de rotación
Ecarga = 500 kgf/cm2
Edescarga = 1000 kgf/cm2
Kcarga = E/((1- 2)*B*I )
x
zona desc.
Kdescarga = 2*E/((1- 2)*B*I )
zona carga
( Fv = 0 )
dFizq
dFder
dF = q*d
= K* *x* d
Kdescarga* *x* d
=
Kcarga* *x* d
I
D
R
3m
1m
2K
K
dx
R
0
3
2*K* *x* d
=
I
K* *x* d
D
2
x* d
=
x* d
2(M.est.)izq = (M.est.)der
2*x*x/2 = (x-3)*1*1/2*(x-3)
x2 = 1/2*(x-3)2
desarrollando se llega a:
x2+6*x-9 = 0
donde x = 1.24 m
1.48.) Se desea calcular el asentamiento para la cepa de puente indicada para:
t = 1, 2, 3, 5, 7 y 10 años.
2.6m
Tabla de resistencias obtenidas
con cono dinámico (qc)
qc (kgf/cm2)
0
20
40
60
80
3
=1.6t/m
Df 2.0m

B/2
1
NF

q=20t/m2
2
Arena


L = 23 m
3
El módulo propuesto por
Schmertmann (1970) es:
Es = 2*qc
4
5
Z


(m)
0.2
0.4
0.6
0.8
Desarrollo:
Capa
Z
(m)
qc
(kgf/cm2)
Es
(kgf/cm2)
Zc
(m)
Iz
(Iz/E) Z
(cm3/kgf)
Iz
1
2
3
4
5
6
1.0
0.3
1.7
0.5
1.0
0.7
25
35
35
70
30
85
50
70
70
140
60
170
0.5
1.15
2.15
3.25
4.0
4.85
0.23
0.53
0.47
0.30
0.19
0.055
0.46
0.23
1.14
0.11
0.32
0.023
2.283
Sabemos que :
H = C1*C2* p* (Iz/Es)* Z
en que
p = incremento neto de presión
C1 = 1-0.5*ps/ p
ps = sobrecarga a nivel de sello de fundación
= 1.6*2 = 3.2 t/m2 = 0.32 kgf/cm2
p = 20-3.2 = 16.8 t/m2 = 1.6 kgf/cm2
C1 = 1-0.5*0.32/1.68 = 0.9
C2 = 1+0.2*log(10t)
H = 0.9* C2*1.68*2.283 = 3.452*C2
t
C2
H
1
1.2
4.1
2
1.26
4.35
0
3
5
7
1.295 1.340 1.369
4.47 4.63 4.73
2
4
6
8
10 (años)
1.4
4.83 (cm)
10
0
-1
-2
-3
-4
-5
1.49.) Se tiene una probeta confinada saturada de las siguientes características:
= 5.56 (cm)
Ho = 10.06 (cm)
eo = 0.7
H
Si se le aplica una carga vertical de 6 kgf/cm2 el índice de huecos se reduce a 0.45 ;
calcule H.
Desarrollo:
e = Vv/Vs
e = Vv/Vs
Vt = Vv = e*Vs
Vt = H*Area
H = Vv/Area
= H/Ho =( Vv/ Area)/(Vo/Area)
e
= Vv/Vo = e*Vs/Vo
Vo = Vv +Vs
= Vs*(es+1)
/ *(Vs/Vs)
1
eo
e
Cr
H/Ho = e*Vs/(Vs*(1+es)
H = e*Ho/(1+es)
Cc = - e/ log
log f
e = -Cr(log f-log o)
log
etc.....
H = ((0.7-0.45)/1.7)*10.06 = 1.5 cm
1.50.) Determine el asentamiento instantáneo para una zapata continua, apoyada sobre un
suelo fino arcilloso no saturado.
Datos:
LL = 58%
Tipo de suelo: Arcilla moderadamente consolidada
IP = 25%
OCR < 3
c = 5 t/m2
= 0.5
Fundación rígida
qult = 35 t/m2
q = 12 t/m2
B = 2.0 m
Desarrollo :
2
D = q*B*(1- )*I/Eu
en que:
q = 12 t/m2 B = 2 m
= 0.5
Eu/c=600 Eu = 600*5 =3000 t/m2
(Tabla 2 )
I=2
(Tabla 1 , length/width 10 )
D
= 12*2*(1-0.52)*2/3000 = 1.2 cm
1.51.) Una losa de fundación de 21*55m, soporta una estructura cuyo peso produce una
carga uniforme a transmitir q= 6.1 t/m2. El suelo de fundación (arcilla saturada) posee un
E = 3900 t/m2 y = 0.5. Estime el asentamiento inmediato al centro y en la esquina de la
losa.
Desarrollo:
= q*B*(1- 2)*I/E
en que:
q = 0.61 kgf/cm2
L/B = 55/21 = 2.62
= 0.5
E = 390 kgf/cm2
2 ....... 1.52
3 ....... 1.78
2.62...... 1.68
= 0.61*(1-0.52)*2100*Y/390
= 2.463*I
I = f( L/B, flex)
0.76
0.88
0.83
= 4.1 cm ( centro )
= 2.0 cm ( esquina )
1.52.) Estime el asentamiento al centro, para la losa del problema 1.51.) y para el perfil
estratigráfico que se indica.
NF
Arcilla dura E = 3900 t/m
2
4.6 m
Arcilla blanda E = 1200 t/m2
10.7 m
ROCA
(Enquisto)
Desarrollo:
Considere a la roca como un estrato rígido y sobre esta un estrato único de 15.3m
de espesor.
H/B = 15.3/21 = 0.73
L/B = 2.62
H/B
L/B
0.5
1.0
2
3
0.47
0.83
0.47
0.83
I = 0.64
(centro) = 0.61*2100*(1-0.52)*0.64/E = 615/E (cm)
1.6 < < 5.1 cm
Una primera aproximación es determinar un E equivalente:
(390*4.6+120*10.7)/15.3= 200 kgf/cm2
= 3.1 cm
1.53.) a) Determinar el levantamiento que experimenta la zapata.
(h=2m) = 7%
(h=3m) = 5%
1.5m
1.8m
Desarrollo:
(fig.22 Nafvac DM 7.1)
T
= 0.5
1o) Se confecciona un gráfico
máx(h2-h1)
(%) v/s Z(m)
=Z
Z(m)
La ecuación : Z = -0.5 +5.5
máx=
h2 = 5.5 m (altura para la que el peso del
suelo más la sobrecarga compensa
la expansión)
8%
1.5 = 5.5-0.5 máx
= 0.5*0.08*(5.5-1.5) = 0.16 m = 16 cm
b) Si el asentamiento diferencial admisible es 2.5 cm, determinar la cantidad de suelo a
remover.
0.5* máx*(5.5-hi) = 2.5 cm
hi (m)
(cm)
máx (%)
2
4.5
0.1
3
4.0
2.25
3.1
3.95
2.40
3.2
3.9
2.56
hi a remover = 3.9 m
en forma analítica
= -2*Z + 11 = 0.11-0.02*Z
5.5
=
5.5
(Z)dZ
h
0.025 =
(0.11-0.02*Z)dZ
h
0..025 = 0.11*(5.5-h)-0.5*0.02*(5.52-h2)
H = 3.92 m
1.54.) Determine para los siguientes datos:
-pp(silo) = 4000 ton
-peso grano= 8000 ton
-arcilla saturada
Cc = 0.2
Cs = 0.04
- esta arcilla ha sido preconsolidada por estratos que desaparecieron por erosión cuya
presión sobre el terreno era 3 kgf/cm2.
- en la rama virgen la humedad de la arcilla consolidada con esa presión es
16%,siendo
la densidad de las partículas 2.7.
a) Si la placa distribuye la carga sobre el terreno de manera uniforme, hallar el asiento
edométrico del punto central. Divida la masa de arcilla en estratos virtuales de 3 m de
espesor.
b) Determinar el asentamiento por consolidación probable, según el método de
Bjerrum-Skempton. (ver p859 G. y C. II).
c) Calcular el movimiento del punto central cada vez que se llena o desocupa el silo.
Esta operación es muy rápida y no da tiempo a consolidación. La arcilla se compacta
como un sólido elástico (E = 160 kgf/cm2).
Desarrollo:
30
PC
Determinación de ePC
Vt=Vv+Vs
Vs=1 m3
Ps=2.7 ton
P = 0.16*2.7 = 0.43 ton
3
Vv=0.43 m
ePC = 0.43/1 = 0.43
e
e
0.43
Cs
Cc
log
log
log
c
Rama recarga:
ePC = 0.43
m = Cs = 0.04 (pendiente)
30
PC
e = 0.43+m*log c /log = 0.43+0.04*log( c /
e=0.43+0.04*log(30/ )
Rama origen:
e = 0.43-0.2*log(
/
c
e=0.43-0.2*log(
)
)
/30)
Determinación de la variación de presiones efectivas en la vertical del centro, antes de
la
colocación de la carga:
3
sat = (Ps+P )/Vt = (2.7+0.43)/1.43 = 2.19 t/m
3
sum = b = 1.19 t/m
Variación de presiones con la profundidad:
- presiones efectivas antes de colocar la estructura:
= bZ = 1.19*Z
- presiones inducidas por la estructura:
según Steinhenner (G. y C. II, p221)
o
= q*Ir
(esquina)
Ir = coeficiente de influencia ( del ábaco de Fadum)
( centro del rectángulo )
Z = 4*q*Ir
Z
Z
(m)
0
3
6
9
12
15
18
L/Z
L=20m
6.67
3.33
2.22
1.67
1.33
1.11
Z
B/Z
B=7.5m
Ir
Z
2
(t/m )
20
19.2
17.6
13.8
11.2
9.6
8.4
0.25
0.24
0.22
0.173
0.14
0.12
0.105
2.5
1.25
0.83
0.63
0.50
0.42
o
(t/m2)
0
3.57
7.14
10.71
14.28
17.85
21.42
= 80*Ir (t/m2)
15 m
L=20m

3
B=15

6

9

12

15

18
z
A continuación se toman valores medio representativos de cada capa:
m
m
(*)
Capa
z
o






(t/m2)
(t/m2)
(t/m2)
19.6
18.4
15.7
12.5
10.4
9.0
1.79
5.36
8.93
12.50
16.07
19.64
21.39
23.76
24.63
25.00
26.47
28.64
(*)Presiones medias de cada capa que se obtendrán una vez que hayan disipado
las presiones de poros.
= Vv/Vt = H/H
(1)
e = Vv/Vs
(2)
Vt = Vv+Vs = Vs(1+eo)
(3)
eo = índice de huecos asociado al peso propio.
de (1), (2) y (3) :
*Vt = e*Vs
*Vs*(1+eo) = e*Vs
e = (1+eo) = H/H
H = e*H/(1+eo)
Como 28.64 < 30 t/m2
estamos en la rama de recompresión:
(**) e = 0.43+0.04*log(30/ )
(1)
eo
(2)
e
e
0.4790
0.4600
0.4510
0.4452
0.4408
0.4374
0.4379
0.4361
0.4354
0.4352
0.4342
0.4328
0.0411
0.0239
0.0156
0.0100
0.0066
0.0046
H (cm)
8.34
4.91
3.23
2.08
1.37
0.96
19.9
(1) obtenido con (**) y el correspondiente valor de
(2) obtenido con (**) y el correspondiente valor de
H = 20 cm
b)
m
o
m
z
+
m
o
= * H
= A+ *(1-A)
A = 0.35 (arcilla sobreconsolidada)
H/B = 18/15 = 1.2
= 0.35
=
0.58*
H
=
11.6
cm
c
c) Suponemos = 0.5 , arcilla saturada (incompresible)
(ver G. y C. II p224)
(centro) = 2 (esquina)
(esquina)=qB(1- 2)K/E
silo vacío: q = 4000/(15*40) = 6.67 t/m2 = 0.667 kgf/cm2
silo lleno: q = 12000/(15*40) = 20 t/m2 = 2.0 kgf/cm2
L/B = 40/15 = 2.67
K = 0.88
Centro:
(q) = 1.2375*q (cm)
(lleno) = 24.75 (cm)
(vacío) = 8.25 (cm)
c
= 16.5 (cm)
1.55.) Una cimentación tiene forma de cubo (arista=2 m), con paredes de 0.3 m de espesor
(hormigón; =2.5 t/m3). El terreno es un estrato de arena de gran espesor.
3
3
3
Napa profunda
máx=2.1 t/m
mín = 1.4 t/m
s = 2.65 t/m
Los reconocimientos geotécnicos han dado los siguientes valores:
Z(m)
Nspt
Rp (kgf/cm2)
1
20
50
2
30
100
4
45
130
8
rechazo
200
(Rp=resistencia estática del cono)
Un ensayo de placa de 30*30cm, realizado a 2 m de profundidad, ha dado un asiento
de 1/2” para q=3.5 kgf/cm2.
Se pide:
a)Estimar la densidad aparente media del estrato de arena, clasificando la arena según
su densidad relativa.
b) Estimar Padm por criterios de asentamiento según Terzaghi y Meyerhof.
c)¿Cual sería el asiento correspondiente a la carga media entre ambos métodos, según
el criterio de Terzaghi suponiendo proporcionalidad entre presiones y asientos en la
placa de carga.
Desarrollo:
a)
P
0
0.3
1
2
3
(m)
Representación gráfica de los resultados obtenidos
en los reconocimientos geotécnicos
10
20
30
40
Nspt
50
1
1
3
3
5
5
7
7
z(m)
z(m)
100 150 200
Consideremos z = 3 m:
N (z=3)= 37
R p(z=3)= 125 kgf/cm2
De tabla:
N = 37
Id = 0.67
Id = 0.61
R p= 125
Tomemos Id = 0.65
arena densa
= 1.79 t/m3
b) B= 2 m = 6.67 pies
suponemos máx.adm(arena) = 1”
Según Terzaghi:
de tabla (p212 BIS) se tiene:
B=6.7 pies y N=37
Padm 3.7 ton/pie2
1 ton/pie2 10.8 t/m2
3.7 ton/pie2 4 kgf/cm2
2
qadm 4 kgf/cm
Según Meyerhof (1965)
(p881 G. y C: II )
B=2 m > 1.2 m
= 0.19p/N(B/(B+0.3))2
=cm
p=KN/m2
B=m
2
2.54=0.19p/37(2/2.3)
p= 654 KN/m2 = 65.4 t/m2 = 6.5 kgf/cm2
(cm)
qadm = 6.5 kgf/cm2
qadm=(Padm+ppfund)/Area
(usemos Terzaghi)
qadm = 4 kgf/cm2 = 40 t/m2
Área = 4 m2
ppfund = (23-1.43)*2.5 = 13.14 ton
Padm = 40*4-13.1 = 147 ton
Nota: La gráfica de Terzaghi fue propuesta analíticamente por Meyerhof:
qadm = N /12((B+1)/B)2
= pulg
B=pies
qadm=kgf/cm2
c)
q = (4.0+6.5)/2 = 5.25 kgf/cm2 = 52.5 t/m2
35 t/m2/52.5 t/m2 = 0.5 pulg/x pulg
S/So = 4/(1+Bo/B)2
S = 4*0.75/(1+0.3/2)2 = 2.26”
x = 0.75 pulg
1.56.) Determinar el módulo de deformación del suelo a partir de los resultados del ensayo
de placa. Utilizando como placa circular rígida de = 60 cm. Determinar los módulos en
carga y descarga.(Módulo de deformación = Módulo de elasticidad)
Pr
(kgf/cm2)
Módulo de Poisson del suelo
=0.3
desca
rga
ca
rg
a
2
0
1
1.5
Desplazamiento
(mm)
Desarrollo :
= q*D*(1- 2)*I /E
E
-E en carga
= 0.3
q( =1.5 mm) = 20 t/m2
D = placa = 0.6 m
I = /4
E = 20*(1-0.32)* *0.6/(0.0015*4)
= 5718 t/m2 = 572 kgf/cm2
t*m/(m2*m)
-E en descarga
= 1.5-1 = 0.5 mm
E = 20*(1-0.32)* *0.6/(0.0005*4)
= 17156 t/m2 = 1715 kgf/cm2
1.57.) Calcular los asentamientos diferenciales y los diagramas de momentos y corte de la
fundación de la figura. Todas las zapatas cuadradas.
Eh= 200000 kgf/cm2.
15ton
30ton
3.0m
sección AA
15ton
3.0m
A
0.6
A
1.0m
0.3
1.5m
0.8m
1.1m
0.8m
Considerar que fundaciones bajan sin girar.
Zapata
N golpes/pie (representativo)
0.8*0.8
32
1.1*1.1
36
Desarrollo:
q = 0.36(N-3) ((B+1)/(2B))2R‟w(1+Df/B)
Cálculo del coeficiente de balasto:
k = q/ = 0.36(N-3)((B+1)/(2B))2R‟w(1+Df/B)
R‟w= 0.5(1+d/B)
d= 0.5 m = 1.64 pie
Df= 1.0 m = 3.28 pie
Zapata
N
B (pie)
R‟w
0.8*0.8
1.1*1.1
32
36
2.62
3.61
0.813
0.727
(1+Df/B) ((B+1)/(2B))2 0.36(N-3)
2.25
1.91
k1 = 3.19 kg/cm3 = 3190 t/m3
k2 = 2.65 kg/cm3 = 2650 t/m3
0.477
0.408
10.44
11.88
k
(kgf/(cm2pulg)
8.1
6.73
15ton
30ton
15ton
1:asentamiento
1
1
2
EI
M
Q
zapata 0.8*0.8
2:asentamiento zapata 1.1*1.1
asentamiento diferencial
Q=12EI / L3
M
Q
M=6EI /L 2
15ton
30ton
Q
2Q
k1
k2
15ton
Q
k1
Ecuaciones:
(15+Q)/A1 = k1 1
15+Q = A1k1 1
(1)
(30-2Q)/A2 = k2 2
30-2Q = A2k2 2
(2)
2
2
con A1 = 80*80 = 6400 cm = 0.64 m
con A2 = 110*110 = 12100 cm2 = 1.21 m2
I=30*603/12 = 540000 cm4
L3 = 3003 = 27*106 cm3
Q = (12*2*105*54*104/27*106)* = 48*103*
kgf
= 48* ton
reemplazando en (1) y (2):
(1) 15000+48*103* = 3.19*6400* 1
(2) 30000-2*48*103* = 2.65*12100* 2
15+48 = 20.42
30-96 = 32.07
1
pero
2
15+48 2-48 1-20.42
30-96 2+96 1-32.07
=
2- 1
=0
2=0
1
15+48 2-68.42 1 = 0
30- 128.07 2+96 1 = 0
/*96
/*68.42
1440+4608 2+2052.6-8762.55 2 = 0
2 = 3492.6/4154.55
2 = 0.84 cm
1 = 0.81 cm
= 2- 1 = 0.84-0.81 = 0.03 cm
Q = 48*103 = 1.44 ton
M = 6EI /L2 =QL/2 = 2.16 t*m
Diagrama de corte
Diagrama de momento
1.44t
2.16 t*m
+
-
-
+
1.44t
2.16 t*m
2.16 t*m
1.58.) Determinar el asentamiento total en las fundaciones de la figura. Considerar la
influencia de la carga de una fundación en el asentamiento de las otras (considerar zapatas
flexibles).
15m
15m
50 ton
1.5

1.8
1.5
1.5



1.5
1.8
1.8
1.5
1.5
100 ton

1.5


1.5
1.5
1.8
1.8
50 ton
8m

1.5
1.5
1.8
Datos del suelo:
= 0.4
2
E = 3000 kgf/cm
8m

1.5
Desarrollo:
(1- 2)/E = (1-0.16)/30000 = 0.28*10-4
(1- 2)/E = (1-.16)/(3.14*30000 = 8.9*10-6
m2/T
Cálculo asentamiento debido a peso propio (en el centro)
Fundación L (m)
B(m)
A(m2)
P(ton)
tipo a
tipo b
1.5
1.8
1.5
1.8
2.25
3.24
50
100
q (t/m2)
22.2
30.85
I (centro) = 1.12 (tabla coeficiente de influencia)
= q*B*(1- 2)*I /E
Fundación tipo a
(centro)=22.2*1.5*0.28*10-4*1.12 =10.42*10-4 m = 0.1042 cm
Fundación tipo b)
(centro)=30.85*1.8*0.28*10-4*1.12=17.8*10-4 m = 0.178 cm
Fundación 5 :
= Q/(r* )*(1- 2)/E
Fund
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Q(carga)
50
100
50
50
—
50
50
100
50
r
17
8
17
15
0
15
17
8
17
r : distancia entre zapatas
Q/r
2.94
12.50
2.94
3.33
—
3.33
2.94
12.50
2.94
(cm)
26.15
111.20
20.15
29.60
1700.00
29.60
29.15
111.20
126.15
= 2086.2*10-4 cm
Asentamiento total de la fundación 5 = 0.2086 cm
(es decir el asentamiento propio más el asentamiento debido a la influencia
de las otras zapatas)
Idéntico para las otras zapatas:
Tabla de asentamientos
Fund.
Asentamiento (cm) (flexible)
1
0.1318
2
0.2019
3
0.1318
4
0.1359
5
0.2086
6
0.1359
7
0.1318
8
0.2019
9
0.1318
DIMENSIONAMIENTO POR ASENTAMIENTO Y GIRO
1.59.) La figura muestra la sección transversal de un muro corrido para socalzar las
fundaciones de un edificio. Considerando que el muro es infinitamente rígido, que la unión
entre la fundación y el muro es una rótula y que debido a que un movimiento sísmico se
produce un desplazamiento H = 2 cm se pide dimensionar la zapata del muro de modo que
no produzcan tracciones a nivel del sello de fundación (SF).
25 ton/ml (incluye ppmuro)
Propiedades del suelo
de apoyo:
Fundación corrida
existente
0.0m
2
E = 1500 t/m
0.15 0.35
4m
Muro corrido
rígido
= 0.25
-3.0m
B=?
Desarrollo:
M‟
e‟ = (0.35+0.02)-0.5*B
V
M
M‟ = V*e‟
CR
M = kv* *I
Caso 0.5*B 0.37 m
Debe verificarse:
(kv) = E/((1- 2)*B*I )
e‟
(M + M‟)/V = B/6
(1)
I = 0.88
(kv) = 15000/(0.94*B*0.88) = 18133/ B
(kv) = (kv) / 1.5 = 12089 / B
= 2/300 = 0.0067
I= B3/12 = 0.083*B3
(L=1 m)
Reemplazando en (1)
(12089*0.0067*0.083*B3/B+25*(0.37-0.5*B))/25 = B/6
0.269*B2 + 0.3-0.5*B = 0.167*B
0.27*B2 -0.667*B + 0.3 = 0
B1 = 1.88 m
B2 = 0.59 m
0.5*B=0.37 O.K.
B = 0.59 m
1.60.) El esquema adjunto ilustra las solicitaciones actuantes sobre las zapatas de un galpón.
El caso (A) corresponde a apoyo rotulado en la base de las columnas y el caso (B) a apoyo
empotrado. Se pide encontrar la dimensión B de la zapata para cumplir con las condiciones
de diseño especificadas en cada caso.
3t (incluye ppzapata)
5.8t (incluye ppzapata)
1.3t*m
0.9t
0.9t
1.5m
1.5m
B=?
B=?
0.5m
1.0m
Planta de Fund.
Caso (A)
Condición de diseño
qmáx = 25 t/m2
Caso (B)
Condición de diseño
qmáx = 25 t/m2
giro admisible=1/300 rad
Constante de balasto k = 4 kgf/cm3
Desarrollo:
a) Caso(A)
qmáx = 2V/(3L(0.5B-e))
considerando que se produce tracción en el sello de fundación
e=M/V = 0.9*1.5/3 = 0.45 m
qmáx (t/m2)
B (m)
1.5
1.2
1.25
Adoptar
y
L = 0.5 m
B/6 (m)
13.3
26.6
23
0.25
0.20
0.21
( hay tracción) e>B/6
”
”
”
”
B = 1.3 m está bien
b) Caso (B)
considerando que se produce tracción
qmáx = 2V/(3L(0.5B-e))
con L = 1.0 m
0.5B
B‟= 3*(0.5*B-e)
centro de rotación
Giro
= qmáx/(k*B‟)
e= (1.3+0.9*1.5)/5.8 = 0.46 m
qmáx
0.5B‟
B‟
B (m)
qmáx(t/m2)
B/6 (m)
B‟ (m)
rad
1.5
1.6
13.3
11.4
0.25 (trac.)
0.27 (trac.)
0.87
1.02
0.0038 =1/263
0.0028 =1/357
B = 1.6 m está bien.
1.61.) La figura muestra la planta de fundación y un corte típico del edificio.
Se pide determinar:
a) El ancho B de la losa de fundación de modo que no se produzca giro de fundación.
b) El asentamiento vertical experimentado por la fundación
Planta losa de fundación
(rígida)
B=?
20m
0.30
20m
20m
6.0m
CORTE TIPICO
V=100t/m
ST 0.00
0
SF-1.50m
0 200 400 600 800 1000 1200
E(kgf/cm2)
2
Losa de fundación
4
6
8
= 0.30
10
12
14
16
18
20
Profundidad (m)
a) Usar B = 2*6.3 = 12.6 m 13 m hace que V coincida con el centro de gravedad del
paño de losa respectivo , con lo cual no se inducen momentos volcantes , es decir , no se
produce giro.
b) Utilizando teoría de la elasticidad
= (q*(1- 2)*B*I )/E
q = 100/13 = 7.7 t/m2
E @ prof.= Df+B = 1.50+13 = 14.5 m
es de 760 kgf/cm2 = 7600 t/m2
I para L/B = 60/13
5 vale 1.70
= (7.7*(1-0.09)*13*1.70)/7600 = 0.02 m = 2 cm
1.62.) Determine el ancho B de la zapata del pilar de socalzado. Se espera un movimiento
horizontal H = 2 cm por efecto de las máquinas que trabajan en la excavación.
pilar de 35 ton
socalzado
zapata
edificio
vecino
3m
Datos:
V + pp =35 ton
I = 0.9
Kv= E/((1- 2 )BI )
L=1m
B=?
0.2
2
0.4 E = 10 000 t/m
= 0.3
B=?
2
= 90 t/m
ad
Desarrollo:
Caso B/2 < 0.4+ H
B < 2*0.42 = 0.84
e
B
o
1 ) Condición de diseño
B 6e
(por que no existen tracciones )
e = Mt/V
2o)
Mt = M+M
M = V*e‟
M = kv* *I
B/2
3o) Determinación de M
V = 35 ton
e‟ = 0.4+ H-B/2 = 0.4+0.02-B/2
= 0.42-B/2
M = 35*(0.42-B/2)
4o) Determinación de M
kv = E / (1- 2)B*I = 10000/((1-0.32)*B*0.9)
= 12210/B
= H/H = 2/300 = 1/150
M = (12210/B)*(1/150)*(LB3/12) = 6.78B2 t*m
5o) Sustituyendo en B 6(Mt/V)
B 6*(35*(0.42-B/2)+6.78B2)/35
B 6*(0.42-B/2)+1.16B2
0 2.52-4B+1.16B2
B1 = 2.62 m
y
B2 = 0.83 m
B1 = 2.62 < 0.84
No
B2 = 0.83 < 0.84
O.K.
6o) Verificación M, m
= 35/(1*0.83) (35*(0.42-0.83/2)+6.78*0.832)/(L*0.832/6)
= 42.2 (1.52+40.70)
= 84.4 t/m2
m=0
M
(L=1m)
O.K.
O.K.
CAPACIDAD DE SOPORTE CON ASENTAMIENTO Y GIRO
1.63.) Una fundación cuadrada de 1m*1m, se apoya en un estrato de arcilla de 3 m de
espesor
Para los datos indicados se pide:
a) Determinar la capacidad de soporte admisible según Hansen.
b) Asentamiento para la carga determinada en parte a) F.S.=3.0
c) Asentamiento para la carga última determinada según Meyerhof (Cv=0.3)
0.5m
Datos:
- b =1.1 t/m2
- =0
-eo = 1.02
-cc = 0.2
-qu = 0.3 kgf/cm2
1 1m
Arcilla N.C.
Desarrollo:
a)
qult = 5.14*c*(1+S‟c+d‟c-i‟c-b‟c-g‟c) + q
c= 1/2*qu =0.15 kgf/cm2
S‟c =0.2*B/L = 0.2
d‟c = 0.4*D/B = 0.4*0.5/1 = 0.2
i‟c = 0 , g‟c = 0 , b‟c = 0
qult = 5.14*0.15*(1+0.2+0.2)+0.5*1.1*0.1 = 1.13 kgf/cm2
qadm = qult/3 = 0.38 kgf/cm2
b) Como se trata de un suelo N.C., significa que a través de su historia geológica no
ha tenido cargas mayores.
0
= H/(1+eo)* Cv*log( vm/ vo)+Cc*log( vr/ vm)
pues vm = vo
po , calculado a 1.25 m bajo el sello de fundación.
po = (0.5+1.25)*1.1 = 1.925 t/m2
El aumento de presión
B
B
p , se calcula a partir de la regla del trapecio.
vi = p = q * B/(B+2) 2 = 0.38*(1/(1+1.25))2
vi = 0.075 kgf/cm2
= 0.2*250/(1+1.02)*log (0.1925+0.075)/0.1925
= 3.5 cm
1.64.) Para una zapata rectangular apoyada sobre un estrato de arcilla saturada de 3 m de
espesor, se pide:
a) Capacidad de soporte admisible (Meyerhof)
b) Asentamiento para una carga de hundimiento y para una carga máxima
admisible.
Df=1.5 m
=1.7 t/m3 =0° eo=1.02 Cc=0.2 Cr=0.15
2
c'= 4 t/m (presión de preconsolidación)
2
cnc = 3t/m (ensayo de compresión no conf)
ancho = 0.5 m
largo = 1.3 m
Desarrollo:
a) Capacidad de soporte (Meyerhof)
qult = cNc(1+0.3B/L)+ DNq+0.5 BN
c = cnc/2 = 3/2 = 1.5 t/m2
=0
Nc = 5.53
Nq = 1
N =0
1+0.3B/L = 1.12
cNc(1+0.3B/L) = 1.5*5.53*1.12 =9.25 t/m2
DNq = bDNq = (1.7-1)*1.5*1 = 1.05 t/m2
qult = 9.25 + 1.05 = 10.3 t/m2
qadm = qult/3 = 3.4 t/m2
b) Se considerará sólo asentamiento por consolidación:
= H/(1+eo)* Cp*log(
c
/ o)+Cc*log( ( o+
)/
c)
Determinación de H
L/B = 1.3/0.5 = 2.6
B=0.5m
1.5 m
L/B = 1
Zbulbo = 2B
L/B >> 1
Zbulbo = 5B
Se considera que el bulbo afecta a todo el espesor : H = 150 cm
Nota: En rigor debiera considerarse 3 estratos de 50 cm de espesor cada uno y
determinar el asentamiento para cada uno.
Determinación de o:
2
o = b * Z = (1.7-1)*(1.5+1.5/2) = 1.6 t/m
Determinación de o para Z = 1.5/2 = 0.75 m
Usando la regla del trapecio se obtiene un factor de disipación:
Fdisipación= BL/( (B+Z)*(L+Z) )
= 0.5*1.3/((0.5+1.5/2)*(1.3+1.5/2)) = 0.254
(qult) = 10.3*0.254 = 2.6 t/m2
(qadm) = 3.4*0.254 = 0.86 t/m2
(1.6+2.6 = 4.2 > 4
ambas ramas)
(q=qult) = 1.5/(1+1.02)*(0.15+log(4/1.6)+0.2*log((1.6+2.6)/4))
(q=qult) = 4.7 cm
(qadm) = (1.6+0.86 < 4 implica una rama )
(qadm) = 1.5/(1+1.02)*0.15*log((1.6+0.86)/1.6) = 2.4 cm
1.65.) Una columna de un edificio estructurado en base a marcos, tiene las solicitaciones que
se indican para un sismo xx y un sismo yy, analizados en forma independiente.
eje x: My = 5 t*m, N = 20 ton
eje y: Mx = 3 t*m, N = 21 ton
= 35°
Es = 1500 t/m2
= 0.3
Df = 1.7m
= 1.8 t/m3
I = 1.5 (zapata rectangular flexible)
Lx=3 m Ly=1 m
Determinar para el sismo más desfavorable :
a) giros de fundación,
b) capacidad de soporte y
c) factor de seguridad al hundimiento
Desarrollo:
a) Giro de la fundación.
Determinación de la solicitación más desfavorable.
En X tenemos:
M = 5 t*m
N = 20 ton
L=3m
B=1m
M/W = 5/(1/6*B*L2) = 3.33 t/m2
En Y tenemos:
M = 3 t*m
N = 21 ton
L=1m
B=3m
M/W = 5/(1/6*B*L2) = 6 t/m2
> xx implica que el sismo en Y es más desfavorable
Determinación de asentamientos máximos y mínimos.
= 4 q/kv (B/(B+30))2 cm
kv = 1099 t/m3
2
M;m = N/(B*L) M/W = 21/(1*3) 3/(1/6*3*1 ) = 7 6
2
2
M = 13 t/m
m = 1 t/m
yy
máx =4*13/1099*(100/(100+30))2 = 2.8 cm
mín = 4*1/1099*(100/(100+30))2 = 0.22 cm
= ( máx - mín)/L = (2.8-0.22)/100 = 0.026 rad = 1.5o
Otra forma:
Análisis del sismo YY: M = 3 t*m
N = 21 ton
2
K = E /((1- )*I *B) = q/
= ( máx - mín)/Ly
= q*(1- 2)*I *B/E = q/K
= q/(Ly*K)
a) giro
Determinación de qmáx y qmín:
qM;m = N/A M/W = N/(B*L) *(1 6*e/B)
= 7* (1 0.857)
qM = 12.99 t/m2
qm = 1.00 t/m2
K = 1500/((1-0.32)*1.5*1) = 1099 t/m3
máx = 12.99/1099 = 1.18 cm
mín = 1.00/1099 = 0.91 cm
= 1.099/100 = 0.011 rad = 0.6o
b) Capacidad de soporte
= 33o implica Nq = 36 y N „ = 40
qult = cNc(1+0.3B/L)+ ‟DNq+0.4 ‟BN
= 1.8*1.7*36+0.4*1.8*1*40 = 139 t/m2
Como existe M = 3 t*m hay que determinar B‟ y L‟
B‟ = B-2*e
L‟ = L puesto que estamos calculando para cada dirección por separado
entonces:
B‟ = 1-2*M/N = 0.714 m
qult = 1.8*1.7*36+0.4*1.8*0.714*40 = 131 t/m2
Qult = 131*3*0.714 = 280 t
c) FS al hundimiento
FS = 280/20 = 14
1.66.) El terreno de cimentación de un edificio, está formado por los siguientes estratos:
- capa de relleno arenoso sin compactar ( = 1.8 t/m2) de 3 m de espesor.
- capa de arcilla con las siguientes características:
3
eo = 0.8
qu= 1.6 kgf/cm2 (resist. a compresión simple)
s = 2.7 t/m
Resultados de un triaxial consolidado con drenaje:
= 20o
Cc = 0.15 (coeficiente de compresibilidad)
c = 0.2 kgf/cm2
Espesor del estrato = 4 m
Las características señaladas corresponden al punto central del estrato.
- capa de grava indeformable e indefinida.
Se construye un edificio excavando 3 m de terreno y apoyando en el estrato de arcilla
un losa con muros que transmite una carga total máxima de 1 kgf/cm2, incluido el
peso de la losa.
La losa tiene un ancho de 16 m y una longitud que permite considerarla indeformable.
La napa está ubicada a 3 m de la superficie.
a) Determinar la carga neta que actúa sobre el estrato arcilloso.
b) Determinar el coeficiente de seguridad al hundimiento a corto plazo según Terzaghi.
c) Determinar el coeficiente de seguridad al hundimiento a largo plazo según Terzaghi.
d) Determinar el asentamiento por consolidación en el centro de la losa, con las
siguientes hipótesis:
-durante la construcción no se producen asentamientos hasta que la carga neta
comienza a ser positiva.
- sólo produce asentamiento la carga neta que actúa en el estrato arcilloso,suponiendo
que este incremento de presión vertical es constante en todo el espesor del estrato
arcilloso.
Desarrollo:
a) q(neto) = q(edificio)-q(suelo)
= 10 t/m2 -3*1.8 t/m2 = 4.6 t/m2
(la carga neta es el incremento de presión inducida a nivel del sello de fundación)
b)
qult = cNc+ D
en que:
c= qu/2 = 0.8 kgf/cm2 = 8 t/m2
Nc = 5.14
= 1.8 t/m3
qult = qhun = 8*5.14+1.8*3 = 41.12+5.4 = 46.5 t/m2
10 = qhun/F = 41.12/F +5.4
Ps= 2.7 ton
Vs= 1 m3
Vv= eo*Vs = 0.8 m3
3
sat = (2.7+0.8)/1.8 = 1.94 t/m
c)
F = 8.94
0.8 m3
P
1 m3
Ps
qhun = qult = cNc+qNq+0.5 BN
arena
arcilla
grava
figura(a)
figura (b)
La cuña no puede entrar en el estrato de grava indeformable, se produce indicado en la
figura (b).
En función de la naturaleza de la arcilla, se puede adoptar el siguiente criterio:
qult < 1 kgf/cm2 (arcilla blanda)
qult > 1 kgf/cm2 (arcilla dura)
Consideremos se produce un falla parcial:
c ‟= 2/3* c = 2*2/3 = 1.33 t/m2
tg ‟ = 2/3*tg = 13.64o
Nq = tg2(45+ /2)e tg = 3.47
Nc = (Nq-1)cotg = 10.16
N = 1.8(Nq-1)tg = 1.08
qhun = 1.33*10.16+1.8*3*3.47+0.5*0.94*16*1.08 = 13.5+18.7+8.12
qhun = 40.3 t/m2
10= 40.3/F
d)
F=4
= Vv/Vt = H/H
e = Vv/Vs
Vt = (Vv+Vs)*(Vs/Vs)
*Vt = e*Vs
e = (1+eo) = H/H
Vt = Vs(1+eo)
*Vs*(1+eo) = e*Vs
H = e*H/(1+eo)
Cc=0.15
e
1
eo
Cc
ef
log
log f
log
Considerando un estrato (pues la carga se supone constante en el estrato)
e = Cc*log (
o
o
+
)/
o
= arena*Darena+ b arcilla*Darcilla
= 1.8*3+0.94*2 = 7.28 t/m2
= qneto = 4.6 t/m2
Sustituyendo se tiene:
e = 0.15*log (7.28+4.6)/7.28 = 0.032
H = 0.032*400/1.8
H = 7.1 cm
DIMENSIONAMIENTO POR C. DE SOPORTE, ASENTAMIENTO Y GIRO
1.67.) a) Dimensionar las fundaciones de la estructura de la figura para un asentamiento
máximo de 1” y F.S. a la ruptura igual a 3.0.
Datos del suelo:
-Ncorregido= 15 golpes/pie
6m
- = 31o
-DR = 50 %
- c = 0 (arena)
6m
- t = 1.65 t/m3
Cargas:
-Peso propio= 100 kgf/m2
-S.carga = 250 kgf/m2
2m
-Puente grúa= 25 ton
Conclusión:
Es lo mismo que lo planteado
por Terzaghi y Bowles de revista de Idiem.
( válido para arenas)
25t
2.5m
NF
16m
Cálculo de solicitaciones en cada fundación
El área de influencia es 6*16 = 96 m2
cada zapata está solicitada por P = (pp+sc)/2*Ainf=100+250*96/2
P = 16.8 ton
Debemos dimensionar con Pt= 16.8+25 = 41.8 ton
( + desfavorable)
Leonards considera que para suelo incoherente con DR entre 20 y 70 %, es
recomendable interpolar entre Terzaghi corte general y Terzaghi corte local.
Se tiene que :
= 31o
N = 22
Nq = 24
Terzaghi corte general
Para Terzaghi corte local corregiremos el ángulo usando relación:
tg ‟ = 2/3*tg = 2/3*tg31 = 2/3*0.6 =0.4
‟ = 21.8 N ‟ = 2.0
Nq‟ = 8.0
Interpolando: N = 12
y Nq = 16
N : no de golpes/pie
k1 = kgf/cm2/pulgada (de zapata de B=1 pie)
k =k1*((1+B)/2B)2*(1+Df/B)*R‟w
B=pies
k1 = 0.36*(N-3)
w‟ (Idiem)
adm
=
R‟w = 0.5*(1+dw/B)
r
Tabla de tanteo:
/ FS
r
=
adm/
= 0.5 BN + DfNq
k
pulgada
(para zap.corrida)
B
A
s=P/A
0.5 BN
DfNq
1.38
1.90
22.0
13.16
52.8
B = 1.38 m
FS
r
66.46
3.0
0.7
y A = 1.90 m
b) Repetir la parte a) pero con = 30o y sat = 1.8 t/m3
-solicitación de diseño Pt = 41.8 ton
-Determinación de la capacidad de soporte
Dado que DR= 50%
usar corte local
qult = qN‟q+0.4
tg ‟= (2/3)tg
en tabla 4.1
=30o
N‟q = 8.3
N‟ = 5.7
eqBN‟
= b+( - b)*d/B
= 1.8-1 = 0.8 t/m3
b = sat- b = 1.65-0.8 = 0.85 t/m3
eq = 0.8+0.5*0.85/B = 0.8+0.425/B
eq
q = *D = 1.65*2 = 3.3 t/m2
qult = 3.3*8.3+0.4*5.7*B*(0.8+0.425/B)
= 27.39+1.824*B+0.969 = 28.36+1.824*B
qadm = qult/F.S.
(I)
F.S.= qult/qadm
Determinación por asentamiento
q = 1.5*720*(N-3)* *((B+1)/(2*B))2*R‟w*(1+Df/B)
q = lb/pie2= 4.8824*10-4 kgf/cm2
= pulgada
Df,B = pies
d = 0.5 m = 1.64 pie
Df = 2 m = 6.56 pie
R‟w = 0.5*(1+d/B) = 0.5*(1+1.64/B)
q = 1.5*750*(15-0.3)* *((B+1)/(2*B))2*0.5*(1+1.64/B)*(1+6.56/B)
= 6480*((B+1)/(2*B))2* *(1+1.64/B)*(1+6.56/B)
( II )
De ( I )
qt = P/A = 41.8/A
(28.36+1.824*B)/3 = qadm
3*41.8/(28.36+1.824*B) B*B
125.4 28.36*B2+1.824*B3
Tabla de tanteo:
B
m
2.0
28.36B2+1.824B3
128.03
qt = P/A qult =t/m2 F.S.
B
2
t/m
de ( I )
pie
10.45
32.01
3.06 6.56
qt
lb/pie2 de II pulg
2140.34 0.398 *
0.597 **
Luego zapatas de 2.0*2.0 m.
* : considerando término 1.5 de ec. II .
**: sin considerar término 1.5 de ec. II.
1.68.) Las propiedades de un suelo, medidas con ensayos de corte no drenado son:
c = 9 t/m2
= 0o
Una zapata cuadrada fundada a 3 m debe soportar una carga de 300 ton
= 1.92 t/m3
Arcilla P.C.
Determinar B.
Desarrollo:
El recíproco del producto del coeficiente de compresibilidad (mv), y la cohesión para
un suelo de esta resistencia está en la región 100-200
De la tabla de F.S de Skempton (p200), para fundaciones sobre arcilla, hay un
abanico
de factores, entre 3 y 24 dependiendo del asentamiento permitido.
Sup.:
= 25 mm y qadm = 32 t/m2
B=3m
El F.S. según la tabla variará en 3 y 6 . Un F.S. = 4 parece adecuado para una
investigación preliminar
qult = 13.*5.7*c = 71.1 t/m2
qadm = qult/4 = 17.8 t/m2
Agregando el peso del suelo : 3*1.92 = 5.8 t/m2
qadm = 17.8 + 5.8 = 23.6 t/m2
Areq = 300/23.6 = 12.7 m2
B = 3.6 m
1.69.) A que profundidad deberá fundarse una zapata cuadrada de 2*2 m si ha de soportar
una carga de 180 ton.
c = 11.2 t/m2
= 1.99 t/m3
B=2m
arcilla sobre-consolidada
Desarrollo:
Nc(rectg)= (1+0.2*2/2)*Nc(corrida) = 1.2
qult = 1.2*11.2*Nc = 13.44*Nc
Para arcilla sobre-consolidada y un adm = 75 mm, que es aceptable para un
Warehouse shed
F.S. = 3
180.0/4 = 13.44*Nc/3+1.91*Z
45 = 4.48*Nc +1.91*Z = Z+2.35*Nc-23.5 = 0
(*)
Skempton propone valores para Nc en función de la profundidad.
La ecuación (*) se resuelve por tanteos
Z
Z/B
Nc
2.35Nc
Z+2.35Nc
2
1
7.7
18.1
18.5
Z
2.5
1.25
8
18.8
21.3
3
1.5
8.2
19.3
22.3
3.5
1.75
8.3
19.5
23.0
4
2
8.4
19.7
23.7
3.8 m
1.70.) Determinar el ancho de la zapata de modo de limitar el asentamiento a 1”.
91 ton
1.2m
= 1.76 t/m3
B=?
2.4m
3m
NF
sat
3
= 1.96 t/m
Arcilla Blanda
2
cc=0.5 t/m
s=2.7
t/m3
n=45
%
2.4m
Arena Densa
Desarrollo:
q = po (10m -1)
(15.6)
en que :
po = sobrecarga a la profundidad en que se tomó la muestra
m = (1+eo)/(ccH)
(*)
= 1” = 2.5 cm = 0.025 m
Determinación de eo:
eo = Vv/Vs
Vt = Vv+Vs
Vs = 1 m3
Ps = 2.7 ton
n = 45 % = Pw/Ps
Pw = 0.45*2.7 = 1.215 ton
Vw = Vv = 1.215 m3 1.22 m3
3
sat = (1.215+2.7)/(1.215+1) = 1.77 t/m
3
eo = 1.22
sat = 1.77 t/m
Determinación de po( al centro del estrato de arcilla)
po = 1.76*(1.2+2.4)+0.92*(3-2.4)+1.2*0.77= 7.81 t/m2
Sustituyendo en (*)
m = (1+1.22)/(0.5*2.4) = 1.85
¡Debiera tomarse H= 2.4/2 pues el estrato de arcilla está encerrado por dos
estratos permeables !
q = 7.81(t/m2)*(101.85*0.025 - 1) = 0.88 t/m2 = q
q = 0.88 es el incremento de carga producido por la zapata a la
profundidad considerada para el asentamiento de 2.5 cm.
Determinación de q promedio en el estrato de arcilla :
( repartición trapezoidal)
5.4
q = 1/H (P/(B+z)2)dz = 1/2.4
(91/(B+z))dz
3.0
u = B+z
du = dz
u2
= 1/2.4 (91/u2)dz = -91/2.4*(u)-1
......
u1
q = -91/2.4 1/(B+5.4)-1/(B+3.0)
q = 0.88
por tanteo:
B
1
7
q
3.55 0.73
B = 6.0 m
6.5
0.80
6
0.89
1.71.) El esquema ilustra las solicitaciones que actúan sobre las zapatas de un galpón. El
caso A corresponde a un apoyo rotulado en la base de la columna, y el caso B a un apoyo
empotrado. Determinar el ancho de la fundación en cada caso de modo que:
- máx 25 t/m2
- giro adm. 1/300 rad (3.33*10-3)
- K = 4000 t/m3
Caso A:
1o) Determinar la excentricidad.
V =3t (incl.pp)
H=0.9t
e=M/N = H*h/V
= 0.9*1.5/32
1.5m
B=?
e = 0.45 m
Planta
2o) Determinación de
máx
0.5m
= P/A +M/W
W = I/C = LB2/6
2
máx = P/A +6M/(LB )
= 3/0.5B+6*0.9*1.5/0.5B2 = 6/B + 16.2/B2
= máx/KB
e < B/6
B > 6e
B
2.7
m
4.44
t/m2
4.11*10-4
= 1/2430 rad
máx
3o) Estamos muy sobredimensionados
máx = 4V/(3L(B-2e))
aceptaremos tracciones
25 = 4*3/(3*0.5*(B-0.9))=8/(B-0.9)
B = 1.22 m
B‟ = 3*(1.22/2-0.45) = 0.48
B‟/B = 0.39
B‟= 3*(B/2-e)
B‟/B
0.8
B
B‟
máx
2.0
1.5
1.3
7.28
13.33
20.00
1.65
0.90
61% tracciones
B‟/B
0.82
0.60 < 0.8
B = 2 m para cumplir con (B‟/B) > 0.8
= 7.28/(4000*1.65) = 1/906
q = 7.28 < 25 O.K.
Caso B:
1o) Determinar la excentricidad.
V =3t (incl.pp)
M=1.3t*m
H=0.9t
e=M/N = (M+H*h)/V
= (1.3+0.9)*1.5/32
1.5m
B=?
e = 0.883 m
Planta
2o) Determinación de máx
máx = P/A +M/W
2
máx = P/A +LB /6 = P/A(1+6e/B)
= 3/0.5B(1+6*0.883B)
Si hacemos
mín
=0
e= B/6
B = 6e = 5.3 m
máx = 3/(0.5*5.3)*(1+6*0.883/5.3) = 2.26 t/m2
0.5m
máx << 25 t/m2
3o) Estamos muy sobredimensionados
máx
aceptaremos tracciones
= 4V/(3L(B-2e)) = 8/(B-1.77)
B
3
2.5
2.0
3.5
4.0
B‟
2.00
1.25
0.50
2.60
3.35
máx
6.00
9.60
24.0
4.36
3.59
B‟/B
0.67
0.50
0.25
0.74
0.84
Usar B = 4 m
= máx/KB = 3.6/(4000*3.4) = 1/3778
Con B = 4.0 m se cumplirá con:
< 25 t/m2
< 1/300 rad
B‟/B 0.8
Caso A
Caso B
B=2m
B=4m
2
2
máx=7.28t/m
B‟=1.65m
máx=3.6t/m
B‟=3.4m
1.72.) Determine B1 y B2 óptimos considerando las siguientes restricciones.
- adm = 10 t/m2
- máx = 1/750
- zona tracción hasta 20%
Datos:
V1=V2= 3 ton
H1=H2= 0.9 ton
M2=1.3 t*m
3.8 m
2
1
Df=1.5m
B1
K=4000 t/m3
B2
0.9 m
caso A
caso B
Desarrollo :
Caso A
1o) Determinación de B1 considerando mín = 0 con 100% de apoyo.
M,m = P/A M/W
2o)
M/W=(H*Df)/(0.9*B12/6)=9/B12
P/A = 3/(0.9*B1)
3o) P/A-M/W = 0
P/A=M/W
2
3/(0.9*B1) = 9/B1
B1 = 2.7 m
4o)
B1=2.7 m
máx = 3/(0.9*2.7)+9/2.72 =2.47 < 10 O.K.
5o) Determinación de
= máx/(k*B1) = (qmáx-qmín)/(k*B1) = 2.47/(4000*2.7)
1/4400 < 1/500
O.K.
B1=2.7 m cumple con las restricciones pero no es el óptimo.
6o) El óptimo se determina aceptando un 20% de tracciones
B‟/B1 = 0.8
B‟ = 3*(B/2-e)
7o)
máx
= 4V/(3L(B1-2e))
e=M/V = H*Df/V = 0.45
máx = 4/(0.9*(B1-2*0.45)) = 4/(0.9*B1-0.81)
8o)
B1
2.5
2.4
2.3
2.2
2.0
1.9
B‟
2.4
2.25
2.10
1.95
1.65
1.50
máx
2.78
2.96
3.17
3.42
4.04
4.44
< 10
B‟/B1
0.96
0.94
0.91
0.88
0.83
0.79
> 0.8
= máx/(k*B‟)
1/3456
1/3033
1/2646
1/2280
1/1634
1/1350
< 1/500
B1 = 2.0 m
Caso B:
Es similar al caso A, con la diferencia de que aumenta la excentricidad.
Usaremos la misma tabla que en A en que:
máx = 4V/(3L(B2-2e))
e = (0.9*1.5+1.3)/3 = 0.883
máx = 4/(0.9*(B2-2*0.883)) = 4/(0.9*B2-1.59)
B‟ = 3*(B2/2-0.833)
B2
máx
B‟
B‟/B2
6e=0.53
4
3.9
3.8
1.26
1.99
2.08
2.19
< 10
5.3
3.35
3.20
3.05
1
0.84
0.82
0.80
0.8
1/16825
1/6733
1/6144
1/5582
< 1/500
B2 = 3.8 m
máx
= 1/750
máx/(k*B‟)
1/750
B‟ 750* máx/k
B‟ = 750*10/4000 = 1.875 m
B‟= 0.8*B
B = 2.34 m
1.73.) a) Determine la altura mínima para que la fundación se comporte como zapata rígida
b) Dibuje el diagrama de presiones sobre el suelo, considerando el pp de la zapata
c) Determine el momento en la sección crítica
Datos : K = 15 kgf/cm3
Corte AA
2
E = 250000 kgf/cm
Mu=11t*m
Nu=40t
0.2
3.0m
0.3
20*30cm
A
A
Desarrollo:
Debe cumplirse que
2.0m
L < /4 , en que:
3* K
= (3*15000/2.5*106*h3)1/4
3
E *h
= 0.366/h3/4
L < /4
0.366*2/h3/4 < /4
h > 0.91 m
=
4
Chequeo:
= (3*15000/2.5*106*0.913)1/4 = 0.3931
L = 0.786 < 0.78
b)
= P/A*(1 6*e/B)
e = 0.275
Nu = 40 ton
Mu = 11 t*m
qu = (2*3*0.91)*2.4/2 = 6.55 t/m
Nutot = 40+6.55*2 = 53.1 ton
M,m
= Nutot/A M/W
= 8.85 5.5 t/m2
0.5
3.35 t/m2
W = I / Y = (3*23/12)/(2/2)= 2
M / W = 11 / 2 = 5.5 t/m2
máx = 14.35 t/m2
mín = 3.35 t/m2
1.0
1.5
2.0
14.35 t/m2
c)
B/2-bp/2 = 1-0.1 = 0.9
0.9m
9.4
14.35
Para simplificar el cálculo, separaremos
en dos diagramas:
0.9 m
M(q=9.4) = 0.5*9.4*0.92 = 3.81 t*m
M(qvar) = 0.5*4.95*2*0.92/3 = 1.34 t*m
9.4 t/m2
4.95 t/m2
Mudis = 5.15 t*m
Mudistotal = 5.15*3 = 15.45 t*m
1.74.) Un pilar metálico se empotra en una zapata cuadrada de 2*2*1 m, la que se apoya en
un estrato de arena.
Admitiendo leyes de reparto de presiones de tipo lineal debajo de la zapata, indicar
las
presiones máximas y mínimas transmitidas al terreno y los esquemas de presión
correspondientes para las siguientes solicitaciones transmitidas por el pilar a la cara
superior de la zapata.
a) Compresión centrada N= 90 ton
90ton
2m
2
q = cte. = 90/2
= 22.5 t/m2
2m
pp= 2*2*1*2.5 = 10 ton
1m
q(pp)=10/4 = 2.5 t/m2
= 25 t/m2
b) N=40 ton
Mx= 10 t*m
pp= 10 ton
= P/A M/W
(1)
3
W = I/C = (bh /12)/(h/2) = bh2/6 = 1.333
máx = 50/4+10/1.333 = 20 t/m2
mín = 50/4-10/1.333 = 5 t/m2
c) N=40 ton
Mx= 25 t*m
pp=10ton/50ton
2
P/A= 50/4 = 12.5 t/m
M/W = 25/1.333 = 18.75 t/m2
como
M/W > P/A
20
5
no es aplicable (1) ya que el suelo no acepta tracciones
Deducción:
e
R = 0.5*B‟* máx*L = P
P
B/2-e = B‟/3
B‟= 3(B/2-e)
máx= 2P/(B‟L) = 2P/(2*3(B/2-e))
máx
máx = 4P/ 3L*(B-2e)
sustituyendo:
máx=4*50/(3*2-6*0.5) = 33.3 t/m2
B‟= 1.5 m
d) N=40 ton
Mx=10 t*m
ex= 10/50 = 0.2 m
e=
ex2
R
B
B‟
My = 10 t*m
ey= 10/50 = 0.2 m
e y2 = 0.2828
Tenemos un caso de flexión esviada:
máx = P/A+Mx/Wx+My/Wy
(válida si P cae dentro del núcleo central)
(2)
B/3
emáx
0.33
L/3
0.33
1m
1m
emáx = e máximo para caer dentro del núcleo central.
= 0.236 m
(emáx = 0.5*(0.332+0.332 )0.5
e > emáx
se cae fuera del núcleo central
Wx=Wy= Bh2/6 = 22/6 = 8/6
como en este caso e emáx , usaremos (2):
máx = 50/4+10/(4/3)+10/(4/3) = 27.5 t/m2
Otra forma:
q= ax+by+c
a=My/Iyy = 10/(2*23/12) = 7.5 t/m3
b=Mx/Ixx = 7.5 t/m3
c=P/A
qmáx= axmáx+bxmáx+c = 7.5*1+7.5*1+50/4
qmáx = 27.5 t/m2
1.75.) Un pilar de H.A. de 40*60 cm transmite una carga vertical de (40+N/2) ton. y está
dispuesto en la medianería de un edificio.
40+N/2
60cm
60
40
B
Características del terreno:
adm= 20 t/m2 = máx
N = 45 ton
L
planta
a) Calcular la longitud L y el ancho B de la zapata, suponer ley lineal de presiones
bajo la zapata, de modo que máx = 20 t/m2 y mín = 0 t/m2.
b) Idem a) pero con un machón de 60*90 cm, N=50 ton y qadm = 50 t/m2.
Desarrollo:
a)
M/W
M,m = P/A
(suponer que el peso del terreno excavado se compensa con el peso propio de la
zapata)
m=0
M
( Fv= 0)
de (1):
P/A M/W = 20 t/m2
(1)
en que:
P = 62.5 ton
A = B*L
M = P*e
e = B/2-0.3 (m)
W = (LB3/12)/(B/2) = LB3/6
= 62.5 ton
B*L= 6.25 m2
impongo m = 0
62.5/6.25+62.5*(B/2-0.3)/((BL/6)*B) = 20
10+60*(B/2-0.3)/B = 20
6*(B/2-0.3)/B = 1
3B-1.8=B
B=0.9 m y L=6.9 m
e=0.9/2-0.3 = 0.15 m
M = 9.37 t*m
M*B*L/2
Chequeo:
m
= 62.5/(0.9*6.9)-9.375/(6.9*0.93/6)
(2)
= 10.06-10.06 = 0
N=50 ton
b)
O.K.
(1)
M
= N/BL*(1 6*e/B)
50
e = B/2-0.3
(1+6(B/2-0.3)/B)/BL = 1
70cm
0.9 m
(2) ( Fv= 0)
M*B*L/2 = 50 ton
50*B*L/2 = 50
B*L = 2.0 m2
M
sustituyendo en (1):
1/2*(1+(3B-1.8)/B)=1
1+(3B-1.8)/B=2
(3B-1.8)/B=1
3B-1.8=B
B=0.9 m
y L=2.2 m
1.76.) Determinar :
a) la presión de contacto máxima para la fundación rígida indicada.
b) la presión de contacto mínima.
V=20 ton (incluye pp)
H1
H1 = 1.5 ton
H2 = 4 ton
H2
Y
h=1 m
3m
1m
1m
X
Desarrollo:
a= My/Iyy
b= Mx/Ixx
c= V/A
Iyy = 2*33/12 = 27/6
Ixx = 3*23/12 =2
A = 3*2 = 6
a = 24/27
b = 0.75
c = 3.33
qmáx = axmáx+bymáx+c = (24/27)*1.5+0.75*1+3.33 = 5.42 t/m2
qmín = axmín+bymín+c = (24/27)*-1.5+(-0.75)*1+3.33 = 1.25 t/m2
1.77.) Determine el esfuerzo de corte en el centro de la fundación.(sección c-c)
25 ton
25 ton
10 t*m
10 t*m
Fundación
muy rígida
c
Ancho fund.= 1 m
0.25
2.25 m
2.25 m
c
0.25
Nota: Considere peso propio de la fundación incorporado en las solicitaciones
verticales.
Desarrollo :
25 ton
25 ton
10 t*m
10 t*m
L=1m
+
20 t*m
50 ton
5.0 m
e = M/N = 20/50 = 0.4 < B/6 = 5/6 = 0.833
t
diagrama trapecial
= V/(BL)*(1 6*e/B) = 50/(1*5)*(1 6*0.4/5)
2
2
y
tmáx = 14.8 t/m
tmín = 5.2 t/m
25 ton
10 t*m
25 ton
10 t*m
c
14.8*L
= 14.8 t/m
y
c
2.5 m
(14.8-5.2)/5 = Y/2.5
Q
Y = 4.8 t/m
= 5.2+4.8 = 10 t/m
Qc-c = (14.8-10)*2.5/2+10*2.5-25 = 6+25-25
c-c
5.2*L
= 5.2 t/m
Qc-c = 6 ton
II
DIMENSIONAMIENTO Y DISEÑO
DE ZAPATAS AISLADAS
2.1.) Dimensione la fundación del pilar izquierdo considerando:
f‟c = 300 kgf/cm2
qv(pp) = 5 t/m
2
fy = 2800 kgf/cm
qv(sc) = 2 t/m
adm = 30 t/m2
qh(sc) = 0.9 t/m
L1= 0.75L2
a) L1 , L2 y h (aproximar L1 y L2 cada 10 cm, h=d+10cm por acción de viga solamente)
b) armadura principal.
qv
qh
V1
2m
H1
Df=1.5m
5m
0.3
15 m
H1
V1
0.2
V2
L1
L2
Desarrollo :
1º) Determinación de las cargas sobre la zapata.
a) Para determinar L1 y L2.
qv = 5+2 = 7 t/m
qh = 0.5 t/m
Fv = 0
Fh = 0
M1 = 0
V1+V2 = 7*15 = 105 ton
H1 = 0.9*7 = 6.3 ton
V2*15 = 0.9*7*7/2+7*15*15/2
V2 = 53.97 ton
V1 = 105-53.97 = 51.03 ton
51.03/(L1*L2)+9.45/(L1*L22/6) 30 t/m2
51.03/(0.75*L22)+9.45/(0.75*L23/6) 30
68.04/L22+75.6/L23 30
/*L23
3
68.04*L2+75.6 = 30*L2
-30*L23+68.04*L2+75.6 = 0
L2 = 1.897 1.9 m
L1 = 0.75L2 = 0.75*1.9 = 1.4 m
b) Cargas para determinación de h :
qv = 1.4*5+1.7*2 = 10.4 t/m
qh = 1.7*0.9 = 1.53 t/m
Fv = 0
V1+V2 = 10.4*15 = 156.0 ton
Fh = 0
H1 = 1.53*7 = 10.71 ton
M1 = 0
V2*15 = 1.53*7*7/2+10.4*15*15/2
P/A+M/W
adm
V2 = 80.50 ton
V1 = 75.50 ton
Acción de viga :
 = 0.8-d
 =L2/2-0.3-d = 0.8-d
0.3
L1=1.4m
0.2
d
A = L1- 
qusd = P/A M/W = 75.5/(1.4*1.9) 10.71*1.5/(1.4*1.92/6)
= 28.38 19.07
2
M = 47.45 t/m
2
9.31
m = 9.31 t/m
Sea d = 30 cm
q(x= 0.8-0.3) = 37.41 t/m2
Determinación de vu (solicitación)
vu = Vu/Asc
Vu = qusd*A = qusd* *L1
= 0.5*(47.45+37.41)*0.5*1.4 = 29.7 ton
vu = Vu/(L1*d) = 29.7/(1.4*0.3) = 70.72 t/m2
Determinación de vn (resistencia)
vn = 0.85*0.53* f‟c = 0.85*0.53* 300 = 7.8 kgf/cm2
= 78 t/m2
vu < vn
d = 30 cm O.K.
h = 40 cm
2º) Determinación de la armadura.
Armadura principal (d = 30 cm)
085
. *
f 'c
*1
fy
1 2 * Ru / (085
. * f ' c)
Ru= Mu/( bd2)
b=B
Determinación de Mu:
Ru= Mu/(0.9*1.4*0.32)
47.45
c=0.3
f = L2 /2- c/2 = 1.9/2-0.3/2 = 0.8 m
x
2
q(x=0.8)= 31.4 t/m2
q = 31.4 t/m2
1
2
9.31t/m
47.45 t/m
q2 =47.45-31.4 = 16.05t/m2
2
31.4t/m
f
2/3 f
R
q2 =16.05 t/m2
q1 = 31.4 t/m2
Mu = q1*B* f2/2+q2*B*( f/2)*2*  f/3
= 31.4*1.4*0.82/2+16.05*1.4*0.82/3
= 14.07+4.79 = 18.86 t*m
B= 1.4 m
Ru = 18.86/(0.9*1.4*0.32) = 166.3 t/m2
= 0.85*300/2800* 1-(1-2*166.3/(0.85*3000))1/2 = 6.15*10-3
= As/(b*d) = As/(L1*d)
As = 6.15*10-3*140*30 = 25.83 cm 2
mín
= 14.1/fy = 5.04*10-3
>
mín
O.K.
2.2.) Una columna de 60*40 cm, transmite a una zapata rectangular un estado de cargas:
pp = 200 ton
sc= 130 ton
Determine B, L y H de la zapata, considerando que por razones constructivas
B 2.5 m.
Datos: f‟c = 300 kgf/cm2 fy = 4200 kgf/cm2
qadm = 30 t/m2
Desarrollo:
1º) Determinación de B y L.
B, L se obtiene con las cargas no mayoradas, de modo que:
qt qadm
(pp+sc)/(B*L) 30 t/m2
B
2.5 m por razones de espacio (200+130)/(2.5L) 30
L = 4.4 m
y B = 2.5 m
2º) Determinación de h.
h se calcula con las cargas mayoradas de modo que no sea necesario usar
armadura al corte
vs = 0
vu
vn
a) h necesario para acción de viga (Beam action)

L = 4.4m
0.6
A
B=2.5m
0.4
d
sección crítica
Determinación de vu :
vu = Vu/Asc
Vu = qusd*A
Asc=Area secc. crítica
= B*d
qusd = (1.4pp+1.7sc)/(B*L) = (1.4*200+1.7*130)/(2.5*4.4) = 45.6 t/m2
A = B*  = B*(L-L/2- c/2-d)
= 2.5*(4.4-4.4/2-0.6/2-d) = 2.5*(1.9-d)
Vu = 45.6*2.5*(1.9-d) = 114*(1.9-d)
vu = 114*(1.9-d)/(2.5*d)
Asc = 2.5*d
Determinación de vn
vn = 0.53* f‟c = 0.85*9.18 = 7.8 kgf/cm2
= 78 t/m2
vu
vn
114*(1.9-d)/(2.5*d) 78 d
d = 70 cm
Vu = 136.8 ton
Vn = 136.5 ton
0.70 m
ac+d= 0.4+d
b) Verificación del punzonamiento (Two way action).
vu
vn
vn = vc
vu
vc
d/2
c+d = 0.6+d
c
ac
d=0.7cm
bo = longitud sección crítica = (0.6+d)*2+(0.4+d)*2
= 1.3*2+1.1*2 = 4.8 m
Determinación de vu :
vu = Vu/(bo*d)
Vu = qusd*(B*L-(c+d)*(ac+d))
= 45.6*(2.5*4.4-(0.6+0.7)*(0.4*0.7) = 436 ton
vu = 436/(4.8*0.7) = 130 t/m2
Determinación de vn = vc
Vc / f‟c *bo*d)
= ac / c = 0.4/0.6 = 2/3 > 0.5
vc/ f‟c = 1.06
vc = 1.06* f‟c = 18.36 kgf/m2
vc = 0.85*1.06* f‟c
= 15.6 kgf/cm2
vn=156*4.8*0.7 = 524 ton
vu = 130 < vc = 156 t/m O.K.
1/
Vc = (0.53+1.06/ c) f‟c *bo*d
1.06
0.53
1/
0.5
c
c
luego d = 70 cm y h = 75 cm.
2.3.) Determinar la armadura a flexión para la zapata de la figura.
f‟c = 300 kgf/cm22
fy = 4200 kgf/cm
0.3 m
pp = 150 ton
s/c = 90 ton
h = 0.7 m
0.2 m
L=3m
B=2m
Desarrollo:
Pu = 1.4DL+1.7LL = 1.4pp+1.7sc
= 1.4*150+1.7*90 = 363 ton
qusd = Pu/(B*L) = 363/(3*2) = 60.5 t/m2
c f
Determinación de la armadura principal (d = 65 cm)
085
. *
f 'c
*1
fy
1 2 * Ru / (085
. * f ' c)
Ru= Mu/( bd2)
L
Determinación de Mu:
Mu= qusd* 2*B/2
f = L/2- c/2 = 1.5-0.15 = 1.35 m
Mu = 60.5*1.352*2/2 = 110.3 t*m
Ru = 110.3/(0.9*2*0.652)=145 t/m2
= 0.85*300/4200* 1-(1-2*145/(0.85*3000))0.5 = 3.56*10-3
-3
<
mín = 14.1/fy = 3.6*10
-3
mín = 1.33 = 4.73*10
-3
(A63-42) <
retracc.= 1.8*10
máx
= 0.75
b
= 2.2*10-2
>
O.K.
As = 3.56*10-3*200*65 = 46.28 cm2
46.28/200 = 23.14 cm2/cm
Determinación de la armadura secundaria (d = 62 cm)

 = B/2-ac/2 = 1-0.1 = 0.9 m
Mu = 60.5*0.92*3/2 = 73.5 t*m
Ru = 73.5/(0.9*3*0.622) = 70.82 t/m2
B
-3
= 1.71*10
-3
mín = 3.36*10
-3
-3
>
mín = 1.33*1.71*10 = 2.27*10
-3
se coloca mín
As = 2.27*10 *300*62 = 42.22 cm2
42.22/3 = 14.1 cm2/m
2.4.) Para una zapata aislada se pide el área Af = B2 para las siguientes condiciones de
diseño:
Service DL = 350 k = 159 ton
” LL = 275 k = 125 ton
Service sc = 100 psf = 0.5 t/m2
Suponer un peso unitario promedio para el suelo y el hormigón sobre el sello
= 130 pcf = 2.08 t/m3.
sc
P
2
qadm(suelo)= 4.5 ksf = 22 t/m
Desarrollo :
1o) Peso total para la sobrecarga
Df=1.5m
q = 2.08*1.5+0.5 = 3.62 t/m2
q 3.6 t/m2
o
2 ) Presión neta admisible para el suelo :
qadmneto = 22-3.6 =18.4 t/m2
col.de 75*30cm
(12*30in)
B
(pues en general la compactación
aumenta con respecto al suelo in situ).
3o) Determinación de Af :
qadmneto P/B2 = 18.4 t/m2
B = ((159+125)/18.4)0.5 = 3.9 m
4.0 m
o
4 ) Para efectos de armar, cargas mayoradas y reacción del suelo debido a ellas.
Pu = U = 1.4*159+1.7*125 = 435 ton
qs = qusd = 435/42 = 27.2 t/m2
2.5.) Determinar la altura de la zapata del problema 2.4.)
f‟c= 3000 psi = 210 kgf/cm2
Pu = 435 ton (mayorado)
qs = qusd = 27.2 t/m2
B/2-(0.3-d)/2
1.5 m
Desarrollo :
bo(two way action)
0.30
0.75
d
d/2
0.3+d
0.75+d
bw(beam action)
2-0.15-d
=1.85-d
4.0m = bw
(ACI 11.11) Determinación de la altura sin armadura al corte . El h requerido por corte
generalmente controla el diseño. “Beam action and Two way action”, deben chequearse.
Suponemos h = 80 cm y d = 70 cm
1º) Beam action:
Vu
Vn
Vn = *0.53* f‟c*bw*d = 0.85*0.53*2100.5*400*70 = 183 ton
Vu = qusd*(1.85-d)*bw = 27.2*(1.85-0.9)*4 = 125 ton
(vn = vc+vs) vs = 0
(vc = 0.53*2100.5 = 7.7 kgf/cm2)
Vu(solic.) = 125 ton Vu (resist.) = 183 ton
O.K.
2º) Two way action
Vu
Vn
Vn = *(0.53+1.06/ c)* f‟c*bo*d
pero (0.53+1.06/ c)
=
0.75/0.3
=
2.5
>
2
O.K.
c
c
1.06
Vu(solic.) = qusd*(4*4-(0.75+0.7)*(0.3+0.7)) = 27.2*14.55
= 396 ton
Vu(resist.) = Vn = f(vc)
bo = 2*(0.75+d)+2*(0.3+d) = 4.9 m
vc = (0.53+1.06/2.5)* f‟c = 0.954* f‟c 1.06* f‟c
= 13.8 kgf/cm2
Vu(resist.) = 0.85*0.954*2100.5*490*70 = 403 ton
396 < 403 O.K.
h = 80 cm
2.6.) Determine para las condiciones del problema 2.4.), la cantidad de armadura requerida.
0.3m
f‟c=3000 psi = 210 kgf/cm2 2
fy =60000 psi = 4200 kgf/cm
Pu= 435 ton (mayorado)
2
qs = qusd = 27.2 t/m (mayorado)
B=4m
L=4m
sección crítica
0.7m
0.8m
qusd=27.2 t/m2
1.85 m
Desarrollo :
1º) Determinaciones de Mu solicitante :
Mu = 0.5*q*  2*B = 0.5*27.2*1.852*4 = 186 t*m
2º) Determinación de As :
Se define el coeficiente de resistencia nominal Rn :
Rn = Mn/(b*d2) = *fy*(1-0.5* *fy/(0.85*f‟c))
Ru= Mu/( bd2) = 186/(0.9*4*0.72) = 105 t/m2
085
. *
f 'c
*1
fy
1 2 * Ru / (085
. * f ' c)
= 0.85*210/4200* 1-(1-2*105/(0.85*2100))0.5 = 0.0026
Chequeo
:
mín = 0.0018 (contracción) A63-42 (7.12.2)
0.0018 < 0.0026
O.K.
mín
As = *b*d = 0.0026*400*70 = 73 cm 2
14 26 = 74.34 cm2
Nota: En el otro sentido se requiere una cantidad menor, pero para facilidad en la
construcción usar la misma cantidad.
3º) Chequeo del desarrollo de la armadura (ACI 15.6)
La sección crítica es la misma que para el momento.(ACI 15.6.3)
d( 26) = 0.06*Ab*fy/ f‟c = 92 cm
B/2- p /2 = 2-0.375 = 1.625 m
en que p = 0.75 m en el lado más corto
92 < 162.5 cm
O.K.
2.7.) Diseño de las barras para transferir la fuerza a la base de la columna. Se pide para las
condiciones del problema 2.4.), chequear la transferencia de esfuerzos en la interfase
columna-fundación.
f‟c(columna)= 5000 psi = 350 kgf/cm2
f‟c(zapata)= 3000 psi = 210 kgf/cm2
fy = 60000 psi = 4200 kgf/cm2
Pu = 957.5 kips = 435 ton
Desarrollo :
1º) Resistencia del hormigón de la columna (15.8.1.1)
Pnb = (0.85f‟cA1)
(10.15.1)
= 0.7 (bearing on concrete 9.3.2.4)
en que :
*0.85*f‟c*A1 = 0.7*0.85*0.350*75*30
(0.85f‟c = 298
= 469 ton
Pu = 435 ton < 469
O.K.
(9.3.2.4.)
300 kgf/cm2)
2º) Aplastamiento del hormigón de la zapata: f‟c = 210 kgf/cm2
La resistencia al aplastamiento se incrementa dado que el tamaño de la fundación
permite una distribución de la carga de la columna. El incremento permitido varía
entre 1 y 2, según la expresión A2 A1 2 , en que :
A1 = área de la columna.
A2 = área máxima de aquella parte geométricamente similar y concéntrica con el
área de la columna.
4m
2
x = 4-0.75+0.3 = 3.55 m
A1
A2 /A1 = 3.65/(0.75*0.3)
2
A2 = 14.2 m
o
45
A1 = 0.225 m 2
x = 3.55 m
A2 /A1 = 7.94 > 2
A2
Pnb
2 (0.85f‟cA1) = 2*(0.7*0.85*0.210*30*75)= 562 ton
Pnb = 435 < 562 O.K.
(193 < 250 kgf/cm2)
3º) Barras de traspaso (interfase columna-fundación) (15.8.2)
As(mín) = 0.005*Areal del elemento que se apoya
= 0.005*75*30 = 11.25 cm2
usar 6 16 = 12.06 cm2
4º) Longitud de desarrollo de barras comprimidas de la armadura de traspaso.
(12.3.2)
- En la columna:
db = 0.0754*db*fy/ f‟c
= 0.0754*1.6*4200/ 350 = 27.1 cm
pero no debe ser menor que:
 mín = 0.0043*db*fy = 0.0043*1.6*4200 = 29 cm
por lo tanto en la columna las barras miden 29 cm 30 cm.
- En la zapata :
 db = 0.0754*1.6*4200/ 210 = 35 cm >  mín O.K.
longitud disponible para el desarrollo de la armadura:
h-rec.-nºbarra* barra = 80-5-2*2.6-1.6 = 68.2 cm > 35 cm O.K.
16
Nota:
16
No se verifica la longitud
de anclaje a tracción pues
las barras están comprimidas
26
5cm recub.
2.8.) Verificar la transferencia de esfuerzos en la interfase columna-zapata. Para las
condiciones de diseño dadas, disponga la armadura necesaria para la transferencia de
esfuerzos entre la columna y la zapata.
= 30 cm
Datos :
- Columna cuadrada de 30*30 cm con 4 barras 36
- f‟c= 4000 psi = 280 kgf/cm2 (columna y zapata)
2
- fy = 60000 psi = 4200 kgf/cm
- PD = 200 k = 90 ton
46 cm
- PL = 100 k = 45 ton
36
26
= 2.75 m
Desarrollo :
1º) Aplastamiento (Bearing Strength) en la columna de concreto. (15.8.1.1)
Pnb = (0.85f‟cA1) = 0.7*0.85*0.28*302 = 150 ton
Pu = 1.4*90+1.7*45 = 126+76.5 = 202.5 ton
Pu > Pnb
no cumple!
2
2
(202.5*1000/30
c = 225 kgf/cm )
La carga de la columna no puede ser resistida sólo por el hormigón. El exceso ha de
ser transferido a la armadura.
2
exceso = 202.5-150 = 52.5 ton
(52.5*1000/302
c = 58.4 kgf/cm )
2º) Aplastamiento en el concreto de la zapata.
(A2/A1) > 2
Pnb = 2*150 = 300 ton > Pu = 200 ton para efectos de la fundación : O.K.
3º) Barras de traspaso requeridas.
As(req) = (Pu-Pnb)/( *fy)
(9.3.2.4)
2
= (202.5-150)/(0.7*4.2) = 18 cm
As(mín) = 0.005*302 = 4.5 cm2
(15.8.2.1)
armadura adicional a la existente !
Usar 4 26 = 21 cm2
como barras de traspaso (dowel bars)
21 > 18 O.K.
4º) Desarrollo de la armadura de traspaso (dowel reinforcement)
a) En la columna : Ha de haber un traslapo entre la armadura longitudinal ( 36) y las
barras de traspaso ( 26), las que han de extenderse en el interior de la columna una
distancia igual a la longitud de desarrollo de las barras ( 36), o la longitud de traslapo
de las barras ( 26), la que sea mayor.
Para las 36 :
 d = 0.0754*db*fy/ f‟c
(12.3.2)
0.5
= 0.0754*3.6*4200/280 = 68 cm
pero no menor que :
 mín = 0.0043*db*fy = 0.0043*3.6*4200 = 65 cm < 68 O.K.
Para las 26 :
 d = 0.0754*db*fy/ f‟c
(12.3.2)
0.5
= 0.0754*2.6*4200/280 = 49 cm
pero no menor que :
 mín = 0.0043*db*fy = 0.0043*2.6*4200 = 47 cm
las barras 26 deben extenderse 68 cm en el interior de la columna.
b) En la fundación :
El desarrollo de las barras 26 en el interior de la fundación:
 d = 0.0754*2.6*4200/2800.5 = 49 cm
>  mín = 0.0043*2.6*4200 = 47 cm
(12.3.2)
 d puede reducirse si se considera el área en exceso :
(12.3.3.1)
factor de reducción = As(requerida)/As(proporcionada)
= 18/21 = 0.857
 d = 0.86*49 = 42 cm
Si las barras de traspaso se doblan, la parte doblada no se considera para efectos de
anclaje de la barra en compresión.
La longitud disponible para el desarrollo de la armadura en el interior de la zapata :
 = hzapata-recub.-nºbarras* barras
recub.+ nºbarras* barras 10
 = 46-10 = 36 cm < 42 cm
no cumple!
luego deberá aumentarse la altura de la zapata o usarse una mayor cantidad de barras
de menor diámetro.
Probemos con 6 22 = 22.8 cm2
 d = 0.0754*(18/21)*2.2*4200/2800.5 = 33 cm < 36 cm O.K.
>  mín = 0.0043*2.2*4200 = 40 cm
donde
Disponer 6 22, que penetren 68 cm en la columna, dobladas en 90º para su colocación
sobre la armadura de la zapata.
Longitud vertical total = 68+33 = 98 cm
es decir:
Long.total = 68+35 = 100 cm
2.9.) Para las condiciones de diseño del problema 2.8.) más una fuerza horizontal mayorada
de 43 ton, que actúa en la base de la columna.
Datos:
f‟c = 280 kgf/cm2
fy = 4200 kgf/cm2
Vu = 43 ton
Desarrollo :
1º) Se usará el método “corte-fricción” (secc.11.7.4), para diseñar la transferencia
de la fuerza horizontal.
Vu
Vn
(11-1)
Vu
(Avf*fy* )
(11-26)
en que :
Avf = área de la armadura que resiste el corte
= coeficiente de fricción
= 0.6 cuando es hormigón sin rugosidad previa intencional (11.7.4.3)
= 0.85 (corte)
Avf = 43000/(4200*0.6*0.85) = 20 cm2
2º) Las 6 22 (22.8 cm2) dispuestas para la transferencia vertical funcionan como el
plano de falla a considerar. No se requiere armadura adicional. Si acaso, las 6 22
hubiesen sido insuficientes se permite una reducción de un 40 % en Avf requerido
siempre y cuando el hormigón de la zapata en contacto con el de la columna sea de
una rugosidad de ¼ de pulgada. Para esta rugosidad = 1.0.
A‟vf = 43000/(4200*1*0.85) = 12 cm2
Chequeo del desarrollo a tracción de las barras de traspaso
(12.2.2)
para 22 :
(Ab = 3.8 cm2)
 d = 0.0594*Ab*fy/ f‟c
0.0057*db*fy
 d = 57 cm
53 cm
dado que existe un exceso de armadura :
 d = 57*A‟vf/Avf = 57*12/22.8
= 30 cm
O.K.
(12.2.4.2)
3º) Chequeo del máximo esfuerzo de corte permitido:
(11.7.5)
La resistencia al corte nominal Vn no deberá ser mayor que 0.2*f‟c*Ac
Vu
Vn
Vu 0.2*0.280*302*0.85 = 42.8 43 ton
( vn = 0.2*280*0.85 = 47.6 kgf/cm2 y vsolic = 43/302 = 47.8 kgf/cm2)
2.10.) Se pide el diseño de una zapata cuadrada, para las siguientes condiciones:
Datos: (sin armar)
DL = 40 k = 18 ton
qadm = 20 t/m2
LL = 60 k = 27 ton
f‟c = 3000 psi = 210 kgf/cm2
columna de 30*30 cm
(f‟c para columna y zapata)
Desarrollo :
1º)
Af = (18+27)/20 = 2.25 m2
B = (2.25)0.5
B = 1.5 m
¡ El área de la base se determina con las cargas no mayoradas !
Para efectos de resistencia de los materiales se determina qusd con cargas mayoradas:
qusd = (18*1.4+27*1.7)/2.25 = 31.6 t/m2
2º) Altura de la zapata.
Para el hormigón simple (sin armar), el espesor lo controla la resistencia a
flexión habitualmente. La sección crítica queda en la cara del pilar.
Mu = 0.5*qusd*((1.5-0.3)/2)2 = 5.7 t*m/m
= 8.5 t*m (=5.7*1.5)
ff
Mu/(b*h2/6) = 8.5*105/(150*h2/6) = 3.4*104/h2
resistencia admisible a flexión (6.2.2)
ff (adm) = 1.33* * f‟c = 1.33*0.65* 210 = 12.5 kgf/cm2
luego :
12.5 3.4*104/h2
h 52 cm
Para hormigón vertido directamente sobre el suelo, los primeros 5 cm no se
consideran en la resistencia.
h = 60 cm
d 55 cm
3º) Verificación de la resistencia al corte (hefectivo)
hefectivo = 60-5 = 55 cm
Beam action:
La sección crítica queda a d = 55 cm del borde externo de la zapata, por lo tanto no
es crítica.
Two way action:
vu = 1.5*Vu/(bo*hefectivo)
en que:
Vu = qusd*(B2-(0.3+0.55)2) = 31.6*(1.52-0.852) = 48.3 ton
bo = (0.3+0.55)*4 = 3.4 m
vu = 1.5*48.3/(3.4*0.55) = 38.7 t/m2
(tensión de corte solicitante)
vn = tensión de corte resistente
= vc = *(0.53+1.06/ c)* f‟c = 0.65*1.06* 210
= 9.98 kgf/cm2 100 t/m2
Se cumple:
vu
vn (38.7 100 )
por lo tanto
h = 55 cm efectivos está O.K.
4º) Aplastamiento en la columna.
fb = 0.85* *f‟c = 0.85*0.65*210 = 116 kgf/cm2
(18*1.4+27*1.7)/0.32 = 71.1/0.09
= 79 kgf/cm2
< 116 kgf/cm2
O.K.
2.11.) Se pide chequear la transferencia de esfuerzos entre la base de una columna
prefabricada y su pedestal, para una carga mayorada de 476 ton.
f‟c = 350 kgf/cm2 (columna)
f‟c = 210 kgf/cm2 (pedestal)
fy = 4200 kgf/cm2
placa base de
60*60 cm
columna de
45*45 cm
8 32
pedestal
P/C 45*45 cm
(P/C= pre-cast = pre-fabricado)
Desarrollo :
1º) Aplastamiento en la columna de hormigón (entre P/C y placa base)
Pnb = *(0.85*f‟c*A1)
(10.15.1)
= 0.7*0.85*0.350*45*45 = 421 ton < 476 ton no cumple!
2º) Aplastamiento en el pedestal entre este y la placa base.
Pnb = 0.7*0.85*0.210*60*60 = 450 ton
< 476 ton
no cumple!
3º) No es posible transferir la carga por aplastamiento del hormigón ni para la
columna
ni para el pedestal. La carga en exceso (476-421) para la columna y (476-420) el
pedestal, debe transferirse mediante el uso de armadura.
En la manufactura de columna prefabricada es práctica habitual incorporar la placa
a la columna ya sea mediante “bar anchors” o mediante barras soldadas a la placa
base.
El área requerida para las barras de anclaje :
As(req) = Pu/( *fy) = (476000-421000)/(0.7*4200)
= 18.71 cm2
(9.3.2.4)
Además, la conexión entre la columna prefabricada y la placa base deberá
tener una resistencia a tracción no menor que 14.06Ag en kgf, en que Ag es el
área de P/C columna.
As(mín) = 14.06Ag/fy = 14.06*452/4200 = 6.8 cm2 < 18.71 cm2
Se requiere barras 16.
18.71/2.01 = 9.3
9 16 = 18.09 cm2
Desarrollo de anclajes :
d = 0.075*db*fy* f‟c
= 0.075*1.6*4200/ 350
d = 26.9 cm
pero, d no debe ser menor que :
 mín = 0.0043*db*fy = 0.0043*1.6*4200 = 28.9 cm
usar d = 28.9 cm
4º) El exceso de carga entre la placa base y el pedestal (476-450=26 ton), debe ser
tomado por una cantidad de armadura mínima:
14.06*Ag*fy
Probemos con 4 pernos ASTM A36 (fy=36000 psi = 2530 kgf/cm2)
As(req) = 26000/2530 = 10.3 cm2
As(mín) = 14.06*45*45/2530 = 11.3 cm2
4 22 = 15.216 cm2
Los pernos deben estar embebidos en el pedestal para desarrollar su resistencia
(por adherencia),  d es el doble dado que los pernos son lisos.
 d = 2*0.075*db*fy/ f‟c
= 2*0.0075*2.2*2530/ 210 = 57.6 cm
 d(mín) = 2*0.0043*db/fy = 2*0.0043*2.2*2530= 48 cm
 d = 60 cm
2.12.) Dimensionar y armar la zapata que se propone.
Datos:
DL = 120 ton
LL = 90 ton
H = 20 ton
h
2
qadm = 4 kgf/cm
3
pilar 30*50cm
suelo = 1.95 t/m (compactado)
Suelo originalmente suelto
f‟c = 300 kfd/cm2 (zapata y columna)
fy = 4200 kgf/cm2
Desarrollo :
1º) Determinación de la planta.
P/(B*L) qadmneto
en que :
P = 120+90 = 210 ton
qadmneto = 40-3*1.95 = 34.15 t/m2 34 t/m2
sustituyendo :
B = 2.03 m
210/(B*1.5B) 34
B = 2 m y L = 3m
H
3m
B
1.5B
2º) Determinación de la altura de la zapata (h).
qusd = (120*1.4+90*1.7)/6 = 53.5 t/m2
a) Punzonamiento :
vn = vc = *(0.53+1.06/ c)* f‟c
c = 50/30 = 1.67 < 2
vn = 0.85*(0.53+1.06/2)* 300 = 15.6 kgf/cm2
Vn = vc*bo*d
Determinación de bo
bo = (0.3+d)*2+(0.5+d)*2 = 0.6+2d+1+2d = 1.6+4d
Vu = qusd*(B*L-(0.3+d)*(0.5+d))
= 53.5*(2*3-(0.3+d)*(0.5+d)) = 321-53.5*(0.3+d)*(0.5+d))
Se debe cumplir :
Vu
Vn
321-53.5*(0.3+d)*(0.5+d)) 156*d*(1.6+4d)
d = 0.498 m
d = 50 cm y h = 60 cm
b) Chequeo por acción de viga :
2
1 = 3/2-0.5/2-0.5 = 0.75 m
2 = 2/2-0.3/2-0.5 = 0.35 m
y
0.3
0.5
x
1
chequeo para 1 :
Vu = qusd*  1*B = 53.5*0.75*2 = 80.25 ton
Vn = vc*B*d
vc = 0.85*0.53* f‟c = 7.8 kgf/cm2
Vn = 78*2*0.5 = 78 ton
< 80 ton
no cumple!
Probar con d = 0.52 m
 1 = 3/2-0.5/2-0.52 = 0.73 m
Vu = 53.5*0.73*2 = 78.11 ton
Vn = 78*2*0.52 = 81 ton
d = 0.52 m
y h = 0.80 m
3º) Determinación de la cantidad de armadura :
Mux (solicitante)
Mu = 0.5*qusd*(3/2-0.5/2)2*B
= 0.5*53.5*1.252*2 = 83.6 t*m
Determinación de As :
Se define un coeficiente de resistencia nominal Rn :
Rn = Mn/(b*d2)
Ru= Mu/( bd2) = 83.6/(0.9*2*0.522) = 171.7 t/m2
085
. *
f 'c
*1
fy
1 2 * Ru / (085
. * f ' c)
= 0.85*300/4200* 1-(1-2*171.7/(0.85*3000))0.5
= 4.24*10-3 > mín = 1.18*10-3
As = *b*d = 4.24*10-3*200*52 = 44.1 cm2
12 22 = 45.6 cm2
( 22 @15 cm aproximadamente)
(Faltaría chequear en la otra dirección)
Chequeo del anclaje para armadura en tracción.
d ( 22)= 0.06*Ab*fy/ f‟c = 0.06*3.8*4200/ 300
= 55.3 cm
< 200/2-50/2 = 75 cm
4º) Verificación del aplastamiento.
- En la columna:
Pnb = *0.85*f‟c*A1 = 0.7*0.85*300*50*30
= 178*50*30 = 268 ton
268 ton < Pu = 321 ton
no cumple!
colocar armadura
As(req) = (Pu- Pnb)/( *fy) = (321-268)/(0.7*4200)
= 18.03 cm2
As(mín) = 0.005*50*30 = 7.5 cm2
Controla As = 18.03 cm2
4 25 = 19.63 cm2
Longitud de desarrollo a compresión.
d = 0.075*2.5*4200/ 300 = 45.5 cm
d(mín) = 0.0043*2.5*4200 = 45.2 cm < 45.5
Reducción por mayor cantidad de área proporcionada.
d = (18.03/19.63)*45.5 = 41.47 cm
d(mín) = 45 cm (para la columna y la zapata
O.K.
 =45+45=90 cm)
5º) Transferencia de la fuerza horizontal.
Método de “corte-fricción” (secc.11.7.4)
Vu
Vn
Vn = Avf *fy*
(11-26)
Avf = área de la armadura que resiste el corte.
= 0.6 (sin rugosidad previa)
= 0.85
Avf = H/( *fy* ) = 20000/(0.85*4200*0.6) = 9.3 cm2
con los 4 25 = 19.63 cm2 estamos O.K.
Chequeo del máximo esfuerzo de corte permitido :
(15.8.2.1)
Vn = *0.2*f‟c*Ac = 0.85*0.2*4200*30*50
= 51*30*50 = 76.5 ton > 20 ton O.K.
2.13.) Determinar la armadura para la fundación cuadrada de la figura :
f‟c= 3000 psi = 210 kgf/cm2
fy = 50000 psi = 3500 kgf/cm2
D = 45.4 ton
qadm = 4 ksf = 20 t/m2
L = 54.5 ton
35*35cm
Desarrollo :
1º) Determinación de B :
Pu = 1.4D+1.7L
= 1.4*45.4+1.7*54.5 = 156 ton
P = D+L = 45.4+54.5 = 99.9 ton 100 ton
despreciando el peso de la zapata
P/A qadm
100/B2 20
B 50.5
B = 2.2 m
Calculando la presión equivalente del suelo para que sea consistente con el
diseño por resistencia última.
qusd = 156/2.22 = 32 t/m2
2º) Determinación de la altura mínima para tensión diagonal (punching shear)
(ec.15.2.1)
2
d *(vc+qs/4)+d*(vc+qs/2)*a-(Af-Ac)*qs/4 = 0
vc = 4* * f‟c
(f‟c en psi)
= 1.1* * f‟c
(f‟c en kgf/cm2)
vc = 1.1*0.85* 210 = 13.5 kgf/cm2 = 135 t/m2
Ac = 352 = 1225 cm2
en la ecuación se usa qusd:
d2*(13.5+32/4)+d*(135+32/2)*0.35-(2.22-0.352)*32/4 = 0
14.3*d2+52.9*d-37.7 = 0
d2+0.37*d-0.264 = 0
d = 0.36 m
3º) Chequeo de la resistencia y si la profundidad de traspaso puede controlar
qbrg = 0.85* *f‟c = 0.85*0.7*210 = 125 kgf/cm2
Pu = 0.125*352 = 154 ton 156 ton
use 4 “dowels”(barras de traspaso) para amarrar la columna a la zapata y para
proveer anclaje a las barras de acero.(ver fig.15.22a)
4º) Determinación de la cantidad de acero As :
Mu = *As*fy*(d-a/2)
en que:
= 0.85
Mu = q*L‟2/2
L‟ = B/2-a/2 = 2.2/2-0.35/2= 0.925 m
q = qusd = 32 t/m2
entonces:
Mu = 32*0.9252/2 = 13.7 t*m/m (30.1 t*m) total
fy = 3500 kgf/cm2 = 35000 t/m2
a = As*fy/(0.85*f‟c*b) = As*35000/(0.85*2100*100)
= 0.196*As
sustituyendo :
13700/(0.85*3.5) = As*(35-0.196*As)
460.5 = 35*As-0.196*As2
As = 164 cm2/m
As = 14.3 cm2/m
As(total) = As*2.2 = 31.5 cm2
= As/(b*d) = 31.5/(2.2*0.36) = 0.004 > 0.002
(Falta chequear mín y máx)
2.14.) Diseñar la zapata cuadrada de la figura para las cargas indicadas, por el método de la
resistencia según el código ACI 318-83.
columna cuadrada
de 30 cm
Cargas en la columna:
d h
DL = 38 ton
LL = 34.2 ton
2.8 m
Materiales:
f‟c = 250 kgf/cm2 (Hormigón H25)
fy = 4200 kgf/cm2 (Acero A63-42H)
Condición:
dmín 30 cm
recubrimiento 5 cm
0.3
2.8 m
0.3
Desarrollo :
vc = 1.06* f‟c = 16.8 kgf/cm2
(tracción diagonal, punzonamiento)
vc = 0.53* f‟c = 8.38 kgf/cm2 (corte como viga)
U = 1.4*DL+1.7*LL
= 1.4*38+1.7*34.2 = 111.3 ton
qtu = U/B2 = 111.3/2.82 = 14.2 t/m2
qtu : tensión de trabajo mayorada.
(chequear qt < qadm)
Determinación de Vu y d :
(sección crítica para el corte = de)
a
Sección de punzonamiento
Vu =(de+B)*  *qtu/2
d
en que : de = (0.3+d) en m.
B = 2.8 m
 =B/2-0.3/2-d/2=(2.5-d)/2
qtu =1.42 kgf/cm2
Vu
Vc
d/2

e
Vc=vc*b*d
b
Vc= vc*(0.3+d)*d
en que :
Vu = ((3.1+d)*(2.5-d))*14.2/4
Vu/( *(0.3+d)*d) vc
((3.1+d)*(2.5-d))*14.2/(0.85*4*(0.3+d)*d)
((3.1+d)*(2.5-d))/(0.3*d+d2) 40.2
d
31 cm
d = 0.35 m
168 t/m2
no necesita armadura al corte, que es
la condición que queremos.
Determinación de As a flexión.
(sección crítica = ab)
L = 1.25 m
L = (2.8-0.3)/2 = 1.25 m
qtu = 14.2*2.8 = 39.76 t/m
Mu = qtu*L /(2*B)
= 39.76*1.25 /(2*2.8)= 11.09 t*m/m
qtu
Determinación de Mud (Momento último dúctil)
Mud = Kmáx*f‟c*b*d2
en que:
Kmáx = 0.9*qmáx*(1-0.59*qmáx)
qmáx = máx*fy/f‟c
(interpolando en tabla 1, dada por J.M.T.)
máx = 0.75* b = 0.019
entonces:
qmáx = 0.019*4200/250 = 0.321
Kmáx = 0.9*0.321*(1-0.59*0.321) = 0.234
Mud = 0.234*250*100*352 = 7.17*106 kgf/cm = 71.7 t*m/m
Mu < Mud
sólo armadura a tracción.
Mu = 11.09 t*m/m
En la tabla están tabulados los valores Mu/( *f‟c*b*d2)
11.09*105/(0.9*250*100*502) = 0.0197
= 0.02 (Tabla 9.2)
= *f‟c/fy = 1.19*10-3
= As/(b*d)
As = *b*d
-3
2
As = 1.19*10 *100*50 = 6 cm /m de ancho
8 10/m de ancho
(6.28 cm2)
6 12/m de ancho
(6.79 cm2)
Observaciones:
1º) = Q/(7*b*d/8) (válido para teoría clásica)
2º) Para determinar la resistencia admisible del hormigón:
Vc = vc*b*d
vc = 1.06* f‟c (para tracción diagonal, con sección crítica de)
3º) Además debe chequearse el corte puro, con sección crítica, d‟e‟ y
vc = 0.53* f‟c
Vc = vc*b*d
4º) Vu
Vc
= 0.85 para el corte.
2.15.) Para la estructura de la figura, diseñe y dimensione ambas fundaciones.
pp = 5 t/m
sc = 3 t/m
viento = 1.1 t/m
B1/B2 = B3/B4 = 0.75
f‟c = 300 kgf/cm2
qadm = 5 kgf/cm2
fy = 2800 kgf/cm2
sc
pp
12.5 m
B
C
U = 1.4D+1.7L
U = 0.75(1.4D+1.7L+1.7W)
6.0 m
viento
A
D
pilar 20*20
pilar 30*20
Df
h1
zapata 1
h2
zapata 2
B1
B2
B3
B4
a) Determine acciones D y L sobre cada zapata
b) Determine B1,B2,h1 (h1 por punzonamiento)
c) Determine armadura principal para la zapata 1
d) Determine B3,B4,h2 (h2 por corte por acción de viga)
e) Determine armadura principal para la zapata 2
Aproximar Bi a los 5 cm más cercanos.
Suponer que cada zapata con su sobrecimiento pesa 1.25 ton
Desarrollo:
a) Determinación de las cargas que actúan sobre las zapatas.
a.1) por efecto de la sobrecarga
V1L+V2L = 3*12.5 = 37.5 ton
MA = 0
1.1*6*6/2+3*12.5*12.5/2 = V2L*12.5
H1L = 6.6 ton
V2L = 20.33 ton
V1L = 17.17 ton
a.2) por efecto del peso propio
V1D+V2D = 5*12.5 = 62.5 ton
V1D = 31.25 + ppzap
V2D = V1D = 32.5 ton
D = 32.5 t
L = 17.17 t

D = 32.5 t
L = 20.33 t
L = 6.6 t

M = 6.6*2 = 13.2 t*m
b) Dimensionamiento en planta de cada zapata
b.1) zapata 1
qt < qadm
(32.5+17.17)/( B1*B2 ) < 50 t/m2
49.67/(0.75*B22) < 50
B2 = 1.15 m
B1 = 0.86 0.85 m
d.1) zapata 2
qt < qadm
(32.5+20.33)/(B1*B2) + M/W < qadm
52.83/(0.75*B42) + 79.2/(0.75*B43) < 50
5060 LIB
Verificación
37.5* B43-52.83* B4-79.2=0
B4 = 1.64 m 1.65 m
B3 = 1.23 m 1.25 m
min > 0
52.83/(0.75*1.652)-79.2/(0.75*1.652)= 2.37 t/m2
O.K.
b.2) Determinación de h1
La zapata 1 se dimensiona su h para cumplir con punzonamiento
B2
-Determinación de qusd
0.2+d
qusd =(1.4D+1.7L)/A
B1
0.2+d
= (1.4*32.5+1.7*17.17)/(1.15*0.85)
qusd = 76.41 t/m2 (zapata 1)
- Debe cumplirse por el
punzonamiento que:
Vu
Vn
Vu = qusd*(B1*B2-(0.2+d)2
qusd
Vn = 0.85*(0.53+1.06/ c)* f‟c
en este caso :
c = 0.2/0.2= 1
Vn = 0.85*(0.53+1.06/2)* 300
= 15.6 kgf/cm2 = 156 t/m2
y
Vn = 15.6*bo*d
donde
= dim.mayor/dim.menor
c>2
c=2
c
bo = 2*(0.2+d)+2*(0.2+d)
= 0.8+4*d
Vu
Vn
d
76.41*(0.85*1.15-(0.2+d)2) 156*(0.8+0.4*d)*d
0.49*(0.98-(0.2+d)2) 0.8*d+4*d2
0.48-0.49*(0.2+d)2-0.8*d-4*d2 0
d = 23 25 cm
h1 = 30 cm
d.2) Por enunciado se pide dimensionar la zapata 2 para que cumpla con acción de
viga.
U = 0.75*(1.4*D+1.7*L+1.7*W) = 1.05*D+1.275*L+1.275*W
Determinación del diagrama de presiones sobre el suelo.
P M 105
. * 32.5 1275
. * 20.33 1275
. * 6.6 2
u
1
A W
125
. * 165
.
* 125
. * 165
. 2
6
= 29.11 29.67 t/m2
máx
= 58.78 t/m2
u
mín
= -0.56
0
u
vu = 1/2*(58.78+
y)*
1.65 m
d  = 1.65/2-0.15-d
/(B3*d)
h2
vn = 0.85*0.53* 300 = 78 t/m
2
B4
58.78 t/m2
y
d
0.30
0.25
0.23

0.375
0.425
0.445
y
45.42
43.64
42.93
vn
52.10 < 78
69.65 < 78
78.71 78
d = 24 cm
h2 = 30 cm
c) Determinación de la armadura principal de la zapata 1
d = 25 cm
B1 = 0.85 m
B2 = 1.15 m
= As/(B*d)
085
. *
f 'c
*1
fy
Ru = Mu/( *B*d2)
1 2 * Ru / (085
. * f ' c)
t/m2
(qusd = 76.41 t/m2)
Determinación de Mu :
0.20 m
0.475 m
(B2-0.2)/2 = 0.475
Mu = 0.5* B1*0.4752*76.41
B1=0.85m
B2=1.15 m
76.41
As = 12.01 cm2
Mu = 7.33 t*m
Ru = 153.31 t/m2
= 0.57*10-2
As/B1 = 14.13 cm2/m de ancho
e) Determinación de la armadura principal de la zapata 2
Determinación de Mu:
0.30m
= B4/2-0.3/2=0.675m
=0.675m
MU1(carga uniforme)=1/2* y*B3*2
B3=1.25m
= 0.5*34.73*1.25*0.6752
MU1 = 9.89 t*m
34.73
B4=1.65m
58.78 t/m2
MU2(carga triangular)=R*2/3*
24.05
y
= 34.73 t/m2
R = 1/2*24.05*0.675*0.25= 10.15 ton
MU2 = 10.15*2/3*0.675 = 4.57 t*m
MU =MU1+MU2 = 14.46 t*m
d = 0.24
Ru = 223.15 t/m2
= 0.84*10-2
As = 25.06 cm2
As/B3 = 20.05 cm2/m de ancho
2.16.) a) Aplicando conceptos de viga en medio elástico, determine la altura necesaria para
que la de la figura se comporte como un cuerpo rígido en la dirección de las solicitaciones
indicadas en la figura.
b) Determine sólo la armadura a flexión requerida.
Datos : K = 5 kgf/cm3
f‟c = 300 kgf/cm2
E = 300000 kgf/cm2
fy = 2800 kgf/cm2
Corte AA
Mu=11t*m
Vu=40t
0.2
3.0m
20*30cm
A
0.3
A
Desarrollo:
a) Determinación de la altura.
L < /4
zapata rígida
3* K
=4
= (3*5000/3*106*h3)1/4
3
E *h
= 0.266/h3/4
2.0m
L < /4
0.266*2/h3/4 < /4
h = 0.60 m
h
0.59 m
Verificación :
= (3*5000/3*106*0.913)1/4*2= 0.78
0.78 < /4 = 0.785
O.K.
b) Determinación de la armadura a flexión.
b.1 Determinación del diagrama de presiones bajo la zapata para determinar el
momento en
la sección crítica.
Vutot = 40+pp = 40+2.4*2*3*0.6 = 40+8.64 = 48.64 ton
= P/A M/W = 48.64/(2*3) 11/(3*22/6)
= 8.11 5.5 t/m2
máx = 13.61 t/m2
mín = 2.61 t/m2
M,m
2/2-0.2/2 = 0.9 m
2.61 t/m2
8.66
13.61 t/m2
b.2) Determinación del momento de diseño Mu
Modelo considerando 1 m de ancho.
0.9 m
M1 = 0.5*8.66*0.92 = 3.51 t*m
M2 = 0.5*4.95*0.92*2/3 = 1.34 t*m
9.4 t/m2
Mudis = 4.85 t*m
4.95 t/m2
b.3) Determinación de la armadura.
Ru= Mu/( bd2) = 485/(0.9*200*552) = 0.891 kgf/cm2
085
. *
f 'c
*1
fy
1 2 * Ru / (085
. * f ' c)
= 0.85*300/2800* 1-(1-2*0.891/(0.85*300))0.5
= 3.188*10-4
= 14.1/fy = 0.00504
mín
= 1.33* cálculo = 0.00041
= retracc. = 0.002
As( =0.00504) = (5.04/1000)*200*55 = 55.44 cm2/m
III
DIMENSIONAMIENTO Y DISEÑO
DE ZAPATAS COMBINADAS
Análisis de zapatas “combinadas”
Por ejemplo zapatas sobre la cual descansan dos o más pilares.
V1
V2
R=V1 + V2
c1
c2
h
L
L/2
L/2
c.g.
B
Para simplificar el problema supondremos sólo cargas verticales.
Zapata rígida ( L
/4
0.8 )
( se puede elegir h de modo que se cumpla L
/4 ).
En lo posible se trata que R carga sobre el centro de gravedad de la zapata
( para que no haya momento).
Condición de diseño :
a) Resultante R pase por c.g. de la zapata.
b) qt = R/(L*B) qadm
Estas zapatas superficiales en general son infinitamente rígidas con lo que tendremos.
V1 /c1
x
A
V2 /c2
MA =(R/L)*x 2 /2
B
R/L
MB =(R/L)*x 2/2-V1 *(x-a)
a
Para calcular Q se procede en forma análoga. Las zonas más solicitadas serán las que
están al borde de los pilares y el centro.
Ejemplo de aplicación (extraído del Bowles)
Trabajaremos con pies y kips (1 kips= 1000 lb 0.5 ton )
130 kips
200 kips
R
1‟
1.25‟
1.33‟
x
15‟
R
9.59‟
L
qadm = 2 k/ft2
R* x = 200*15
R = 330 kips
x = 9.09‟
Encontramos las dimensiones de la fundación.
L = 2*9.59‟ = 19.2‟
qt = qadm = 2 = 330/(B*19.2)
B = 8.59‟
qt
B = 9‟
Se aproxima a B = 9‟ ya que no se ha incluido el peso propio de la zapata que en este
caso es despreciable.
130/1=130 k/ft
200/1.25=160 k/ft
130 k
200 k
1‟
1.25‟
53.5
(65)
(160)
(130)
93.5 kf
83.5 kf
125
422 kf
(355)
40 kf (120)
113
(100)
56.4 kf
(120)
6.6‟
(110)
330/19.2=17 k/ft
El mismo problema se podría haber resuelto considerando que la viga no es rígida.
200 k
130 k
k =130 k/ft 3
19.2‟
Se considera EI = cte.. entre paréntesis (en diagrama de Q y M), los valores obtenidos
con esta modelación.
Si se quiere que la viga sea realmente rígida la altura de 1.33‟ debería ser de 6.5‟ para
que L = /4.
Cuando por motivos de espacio no se puede agrandar (o achicar) la zapata a gusto
para que R pase por el c.g. se recurre a una zapata que en planta tiene forma de trapecio.
Planta
L
Edificio
existente
c
V1
R=V1+V2
V2
a
b
d
x‟
L-x‟
Hay que buscar a y b para que R=V1+V2 pase por el centro de gravedad de la zapata.
R*x‟ = V2*(L-c/2)+V1*d/2
R=V1+V2
x‟ = (V2*(L-c/2)+V1*d/2)/(V1+V2)
x‟ debe coincidir con el c.g. del trapecio.
xcg = (L/3)*((2*a+b)/(a+b)) = x‟
qt = qadm = R/((a+b)*L/2)
Para que se pueda materializar este tipo de zapata.
L/3 < x‟ < L/2
(para trapecio)
si
L/3 = x‟
se tendría un triángulo (a=0)
si
L/2 = x‟
se tiene un rectángulo
(a=b)
si
x‟ < L/3
a<0
 =2x‟
x‟
L/3
Y
R
L/2
M
+
R
P(x,y)
S.F.
+
dp
R
R-R eje de rotación
que pasa por C.G.
Planta
C.G.
rígida
P‟
dR
X
p
d‟
+
Fatiga debido al momento
+
M =R*dR
R
= M/(k*IRR) = R*dR/(k*IRR)
(qt)p = R/
+ *dp*k
Desplazamiento vertical
del punto P
(qt)p = R/ +R*dR*dp/IRR
Para un punto P‟(d‟p-).
(qt)p‟ = R/ +R*dR*d‟p-/IRR
(qt)p‟ = R/ - R*dR*d‟p/IRR
En general la determinación de IRR puede no ser sencilla. Para analizar este problema
veremos otra metodología.
Hipótesis : Zapata rígida
Cama de resortes con k constante.
Y
+
x, y se eligen paralelos a los
lados de la fundación.
R
(I)
Mx+ =R*ey
ey
C.G.
X
fatiga de contacto, ecuación
del plano.
+
ex
rígida
qt = a*x+b*y+c
My+ =R*ex
( Fv = 0)  R =
qtd
= a xd +b yd +c d
0
0
0
=c d
0
0
Las 2 primeras son cero porque x,y pasan por C.G..
( Mx-x = 0)  Mx =
qtyd
0
( My-y = 0)  My =
0
qtxd
0
Luego de 


= a xyd +b y2d +c yd
R = c*
Mx = a*Ixy+b*Ix
My = a*Iy+b+Ixy
0
0
= a x2d +b xyd +c xd
0
0
0
se encuentra a y b,
y reemplazando en (I)
qt = R/ + My-Mx*(Ixy/Ix) /(Iy* 1-Ixy2/(Ix*Iy) ) *X
+ Mx-My*(Ixy/Iy) /(Ix* 1-Ixy2/(Ix*Iy) ) *Y
Ecuaciones válidas para zapatas de todas las formas.
Para una zapata cuadrada Ixy = 0 (también para zapata rectangular)
En general X o Y es eje de simetría (ejes principales).
qt = R/ +(My/Iy)*X+(Mx/Ix)*Y
Si se tiene :
y
R
x
qt = (My/Iy-y)*X+R/
ex
My=R*ex
/2 /2
3.1.) Determine B1,B2 y h para la zapata combinada. Use método ACI aplicando sección
crítica. Considere sólo acción de viga.
1.5 m
1.5 m
3m
V2
V1
Datos
pp1=60 ton
s/c1=40 ton
V1
pp2=70 ton
s/c2=50 ton
V2
d
d
0.4
B1
f‟c=250 kgf/cm 2
2
adm=30 t/m
d
(1)
(2)
Desarrollo:
1o) Determinación de xR:
R*xR = 100*1.5+120*4.5
2o) Determinación de A:
B2
0.3
(3)
d
(4)
xR = 3.136 m
P/A
A
adm
A = 7.33 m
3o)
L
P/
2
adm=220/30
3xR = 9.41 m
B2 = 2A/L 3xR/L-1 = 1.389 m
B1 = 2A/L-B2 = 1.056 m
Chequeo del área:
A = 0.5*(B1+B2)/L = 7.33 m2
O.K.
4o) Determinación de h:
4.1) Diagrama de presiones:
qusd = 1.4*(60+70)+1.7*(40+50) /7.33
= 335/7.33 = 45.68 t/m2
152 ton
183 ton
45.68*1.056
45.68*1.387
48.24 t/m
65.45 t/m
4.2) Diagrama de corte:
0 x 1.5 :
Q(x) = (48.24+q(x))/2 *x = 0.5*(48.24+q(x))*x
q(x) = 48.24+(63.45-48.24)*x/6 = 48.24+2.535*x
1.5
4.5
x
Q(x)
Q(x) = 48.24+48.24+2.535*x *x/2
= 48.24*x+1.268*x2
x 4.5 :
Q(x) = 48.24*x+1.268*x2-152
x
0
0
6:
Q(x) = 48.24*x+1.268*x2-152-18
= 48.24*x+1.268*x2-335
1.575.21
1.5+
-76.79
sección crítica
1.06m
d
4.590.8
4.5+
-92.24
planta
Q(x)
x = 4.5
90.8
75.2
+
1
+
-
2
3
76.8
4
-
92.2
Resistencia al corte nominal :
(Suponer “beam action”)
5
6
x
modelo
vc = vn = 0.85*0.53* f‟c
= 7.12 kgf/cm2
= 71.2 t/m2
Debe cumplirse:
Vu
Vn
vubwd
vubwd
Del diagrama de corte se concluye que la sección crítica para el corte está a la derecha
del segundo pilar, a una distancia d.
vu = Q(x)/(bwd)
d
x
bw
Q(x)
vu
0.2
4.9
1.33
-68.2
-257
x = 4.7+d
0.3
0.4
0.5
5.0
5.1
5.2
1.33 1.34 1.34
-62.1 -56 -49.9
-155 -105 -74.2
bw=1.056+(1.389-1.056)*x/6
0.6
5.3
1.35
-43.7
-54.0
0.7
5.4
1.36
-37.5
-39.5
m
m
m
ton
t/m2
vu (d=0.52)= 69.5 t/m2
71.2 t/m2
d=0.52
x = 4.7+0.52 = 5.22
d = 0.52 m
h = 0.60 a 0.70 m
Nota 1:
Faltaría chequear el punzonamiento ( two way action), pero por razones de tiempo
para la prueba y, porque en general controla acción de viga se acepta.
Nota 2:
=4
3* K
E * h3
0.432
L = 2.6 > /4
3.2.) Determinar B1 , B2 y h para la zapata combinada de la figura .Determinar h por
acción de viga.
Datos:
4m
variable
DL1 = 90 ton
P1
P2
LL1 = 80 ton
DL2 = 65 ton
0.4m
0.4m
LL2 = 55 ton
adm = 20 t/m2
h
f‟c = 300 kgf/cm2
-restricción : existe un muro vecino al pilar izquierdo.
Desarrollo :
1º) Determinación de xr :
R*x = (65+55)*4
x = 120*4/(170+120) = 1.655 m
xr = x +0.2 = 1.855 m
2º) Determinación de A :
(P1+P2)/A 20
A (170+120)/20
A 14.5 m2
3º) Determinación de L :
i) L 3*xr = 5.56 m
ii) L > 2* x = 2*1.855 = 3.71 m
iii) L 4.4 m
L = 4.4 m
B1 = 2*A/L-B2 = 2*A/L-2*A/L*(3*xr/L-1)
= 2*A/L* 1-(3*xr/L-1) = 2*A/L* 2-3*xr/L
= 2*14.5/4.4* 2-3*1.855/4.4 = 4.85 m
B2 = 2*A/L* 3*xr/L-1 = 2*14.5/4.4* 3*1.855/4.4-1
= 1.75 m
Usaremos B1 = 4.85 m
y B2 = 1.75 m
Chequeo :
A = (4.85+1.75)*4.4/2 = 14.5 m2
O.K.
4º) Diagrama de presiones.
qusd = (1.4*(90+65)+1.7*(80+55))/14.5
= 446.5/14.5 = 30.8 t/m2
0.4*0.4m
B1
0.4*0.4m
B2
q1 = 30.8*4.85 = 149 t/m
q2 = 30.8*1.75 = 54 t/m
q2
q1
Diagrama de corte:
P=262 ton
P=184.5 ton
d sección
crítica
q(x) = 149-(149-54)*x/4.4
= 149-21.59*x
149 t/m
q(x)
54 t/m
q(x=0.2)= 144.68 t/m
q(x=4.2)= 58.32 t/m
x
4.4 m
173.4
29.4
11.1
232.63
Qu(x) = (149+q(x))*x/2
(corte útil, cargas mayoradas)
Q(x=0.2)= (149+144.68)*0.2/2 = 29.37
(-232.63)
Q(x=4.2)= (149+58.32)*4.2/2-262 = 173.37
(-11.13)
Q(x=4.4)= (149+54)*4.4/2-262-184.5 = 0
b(x) = 4.85-(4.85-1.75)*x/4.4 = 4.85-0.7045*x
vu = Qu(x)/(b(x)*d)
x
d*vu(x)
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9 1.0
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6
3.7
-42.88 -40.5 -37.9 -35.3 -32.6 -29.9 62.4 69.4 76.9 84.7 93.0 101.8 111.2
x
3.8
3.9
4.0
d*vu(x) 121.1 131.8 143.1 t/m
Qu(x)= (149+149-21.59*x)*x/2-262
vu(x)= (149-10.795)*x/(4.85-0.7045*x)
La sección crítica se produce a x=0.4+d, a la derecha del pilar izquierdo.
Determinación de la altura h :
vn = 0.53* * f‟c = 0.53*0.85* 300
= 7.8 kgf/cm2
Determinación de Vu:
Vu
Vn
vu
vn
Tanteos:
d = 0.5 m
q(x=0.4+0.5) = 129.6 t/m
Q(x=0.9)=262-0.5*(149+129.6)*0.9
= 262-125.36 = 136.6 ton = Vu
Vn = Bd*d* vn
Bd = b(x) = 4.216 m
d = 0.5 m
vn = 78 t/m2
Vn = 4.216*0.5*78 = 164.4 ton > Vu
d = 0.5 m
y
O.K.
h = 0.6 m
Si chequeamos la columna de la izquierda, claramente se aprecia que controla este
sector.
d
0.5 0.6
0.7
0.8 0.9
(m)
vu(x) 186 141.2 109.9 86.8 69.3 (t/m2)
vn
< 78 (t/m2)
d = 0.9 m
b(x=3.1) = 4.85-0.7045*3.1 = 2.66 m
Vn = 2.66*0.9*78 = 186.7 ton
Vu = 2.66*0.9*69.3 = 165.9 ton
d = 0.9
y h = 1.0 m
3.3.) Para las solicitaciones señaladas diseñe la zapata combinada según ACI 318.
Datos :
DL=63.5ton
DL=85.1ton
2
f‟c = 210 kgf/cm
LL=41.0ton
LL=50.0ton
2
4.9
m
fy= 4200 kgf/cm
2
qadm = 17 t/m
0.35 m
0.4 m
fundación rígida
Desarrollo :
1º) Determinación de las dimensiones de la fundación (L y B)
i) El centro de gravedad del área en contacto con el suelo, debe coincidir con la
línea de acción de la resultante.
R* x = (81.5+50)*4.9
R = 63.5+41+81.5+50 = 236 ton
x = (81.5+50)*4.9/236 = 2.73 m
L = (2.73+0.32/2)*2 = 5.81 m
5.8 m
P/A = qadm
P = 236 ton
236/(B*5.8) = 17
B = 2.39 m
2.4 m
2º) Determinación de qusd del suelo :
qusd = Pult/A
Pult = 1.4*(63.5+81.5)+1.7*(41+50)= 203+155 = 358 ton
entonces:
qusd = 358/(5.8*2.4) = 25.7 t/m2
3º) Diagramas de fuerzas de corte y de momentos.
158.6
q1
194.1
q1 = (1.4*63.5+1.7*41)/0.35=453.1 t/m
q2 = (1.4*81.5+1.7*50)/0.4=498 t/m
q3 = 358/5.8 = 61.7 t/m (ancho=2.4m)
(qusd*B=25.7*2.4=61.7 t/m)
q2
q3
x‟
x
0 < x < 0.35 m
q(0 < x < 0.35)= 61.7-453.1 = -391.4 ton/m
(V= qdx )
V(x=0.35)= -391.4*0.35 = -137.0 ton
M(x=0.35)= -0.5*q*x2 = -0.5*391.4*0.352 = -23.97 t*m
0.35< x < 4.875 m
q = q3= 61.7 t/m
V(x) = 61.7*x-158.6
chequeo: V(x=0.35)=61.7*0.5-158.6 = -137.01 O.K.
M = Vdx = 0.5*61.7*x2-158.6*(x-0.35/2)
( x varía entre 0.35 y 4.875 m)
x
V(x)
M(x)
x
V(x)
(m)
(ton)
(t*m)
(m)
(ton)
2.7
3.0
3.5
4.0
4.5
7.99
26.5
57.4
88.2
119.1
0
0.35
0.50
1.0
1.5
0
-137.0
-127.8
-96.9
-66.1
0
-24.0
-43.8
-100.0
-140.7
M(x)
(t*m)
-175.6
-170.4
-149.4
-113.05
-61.2
2.0
2.5
2.6
-35.
-4.4
1.82
-166.05
-175.9
-176.06
4.875
5.275
142.2
32.39
-12.3
8.5
Chequeo:
0 < x‟ < (4.9+0.35/2+0.2)-5.8 = 0.505 m
V(x= 0.525) = q3dx = -61.7*0.525 = -32.39 ton
M(x= 0.525) =q*x2/2 = 8.5 t*m
0.525 < x‟ < 0.525+0.4= 0.925 m
q = 61.7-498 = -463.3 t/m
V(x=0.925)= -32.39+463.3*0.4 = 142.1 ton
M(x=0.925)= 61.7*x2/2-498*(-498*0.4*0.4/2)
= 26.4-39.84 = -13.4 t*m
142.2 ton
- = M(x=2.6)= -176.1 t*m
Mmáx
32.2ton
139 ton
+
Mmáx
= 0.5*(5.81-4.9-(0.4+0.35)*61.72/2)
= 8.83 t*m
176.1t*m
8.8t*m
4º) Determinación de la altura de la fundación.
vn = 0.53* * f‟c = 0.53*0.85* 210
= 6.53 kgf/cm2 = 65.3 t/m2
Vu = 142.2-61.7*d
Vn = B*d* *vn = 2.4*d*65.3 = 156.7*d
Vu
Vn
142.2-61.7*d = 156.7*d
d = 0.65 m
luego h = 0.75 m
Chequeo de tensiones diagonales (Punzonamiento)
vn = 1.06* * f‟c = 13.06 kgf/cm2 = 130.6 t/m2
0.35m
1
0.4m 0.525m
0.35+0.65
=1m
2
0.35+0.65/2
= 0.675 m
0.4+0.65
=1.05m
Para la columna 1, el perímetro de corte es :
bo1 = 1+0.675*2 = 2.35 m
La fuerza resistente :
Vn = vn*bo1*d = 130.6*2.35*0.65 = 199.5 ton
Vu = 158.6-A*qusd = 158.6-0.675*25.7 = 141.2 ton
Para la columna 2, el perímetro de corte es:
bo2 = 1.05*4 = 4.2 m
O.K.
La fuerza resistente :
Vn = vn*bo2*d = 130.6*4.2*0.65 = 365.5 ton
Vu = 199.1-1.052*25.7 = 170.8 ton
O.K.
Tratemos de aclarar
199.1ton
h/L = 0.75/4.9 < 4/5
no es un componente
a flexión alto
h
máx F=356.5 ton
qusd=27.5
5º) Determinación del área de acero requerida.
a) Para momento negativo:
M-u(máx) = -176.1 t*m para un ancho de 2m.
Mu/( *fy) = As*(d-a/2)
a = As*fy/(0.85*f‟c*b) = As*3500/(0.85*210*240) = 0.0817*As
176.1*105/(0.9*3500) = As*(65-0.04085*As)
5590.5 = 65*As-0.04085As2
As = 1500 ¡NO!
As = 91.2 cm2
Ru = Mu/( *b*d2) = 176.1/(0.9*2.4*0.652) = 193.0 t/m2
085
. *
f 'c
*1
fy
1 2 * Ru / (085
. * f ' c)
= 0.85*210/3500* 1-(1-2*193/(0.85*2100))0.5 = 5.85*10-3
= As/(b*d)
As = 5.85*10-3*240*65 = 91.3 cm2
(7.12.2)
mín = 0.002
0.00585 > mín
O.K.
Usar 19 25 = 93.3 cm2 > 91.3 cm2
Anclaje:
d( 25) = 0.06*Ab*fy/ f‟c = 0.06*4.9*3500/ 210 = 71.1 cm
se produce aproximadamente al centro del tramo O.K.
b) Para momento positivo:
M+u(máx) = 8.8 t*m
Ru = Mu/( *b*d2) = 8.8/(0.9*2.4*0.652) = 9.64 t/m2
= 0.85*210/3500* 1-(1-2*9.64/(0.85*2100))0.5 = 2.76*10-4
< mín = 0.002
As = 0.002*240*65 = 31.2 cm2
mín = As/(b*d)
Usar 13 18 = 33.02 cm2
Anclaje:
d( 18) = 0.06*Ab*fy/ f‟c = 0.06*2.54*3500/ 210
= 36.9 cm < 52.5
O.K.
d mín = 30 cm
(12.2.5)
c) Diseño de la armadura transversal :
qusd= 25.7 t/m2
por 1 m de ancho q= 25.7 t/m
d = 65-1.8/2-1 63 cm
Longitud en voladizo : L = (2.4-0.35)/2 = 1.025 m
M = qL2/2 = 25.7*1.0252/2 = 13.5 t*m/m
Mu/( *fy) = As*(d-a/2)
a = As*fy/(0.85*f‟c*b) = As*3500/(0.85*210*240) = 0.0817*As
13.5*105/(0.9*3500) = As*(63-0.04085*As)
428.6 = 63*As-0.04085As2
As = 1535 ¡NO!
As = 6.83 cm2
= As/(b*d) = 6.83/(100*63) = 1.08*10-3 < 0.002
Asmín = 0.002*100*63 = 12.6 cm2/m
Usar 5 18 = 12.7 cm2 (arriba y abajo)
4.9 m
0.725m
0.525m
0.35m
2
12.6 cm /m
19 25
0.4m
18@20
93.3cm
2
0.75m
2
12.6 cm /m
18
33.3cm
2
18@20
5.8 m
3.4.) Dimensione la zapata trapezoidal considerando :
qadm(suelo)= 20 t/m2
f‟c= 300 kgf/cm2
pp=115 ton
sc= 91 ton
=0.6m
5.6m
pp=82 ton
sc= 63 ton
=0.4m
h
Determine h para acción de viga (elija un pilar para definir la sección crítica)
Desarrollo :
1º) Posición de la resultante :
R*x= (82+63)*6.1
x = (82+63)*6.1/(82+63+115+91) = 2.52 m
xr = 2.52+0.3 = 2.82 m
El centro de gravedad está desplazado hacia la izquierda, luego ese lado será el más
ancho.
2º) El área del trapecio el tal que :
(206+145)/A = 20 t/m2
A = 17.55 m2
B2 = 2*A/L*(3*xr/L-1) = 2*17.55/6.6*(3*2.82/6.6-1)
B2 = 1.5 m
B1 = 2*A/L-B2 = 2*17.55/6.6-1.5 = 3.82 m 3.85 m
B1 = 3.85 m en que B1 es el lado derecho.
Determinación de qusd :
qusd = Pult/A = (1.4*(115+82)+1.7*(91+63))/((1.5+3.85)*6.6/2)
= (275.8+261.8)/17.655 = 537.6/17.655
qusd = 30.45 t/m2
315.7
221.9
q1 = 30.45*3.85 = 117.2 t/m
q2 = 30.45*1.5 = 45.7 t/m
q3 = 113.95 t/m q4 = 47.87 t/m
q = 117.2-(117.2-45.7)*x/6.6
q1
q3
q4
q2
Diagrama de corte (suponiendo una variación lineal)
34.67 ton
x‟
212.5 ton
x”
-247
-9.38
-281 ton
Mejor sacar el diagrama de corte en función de x para obtener Q(x=d)
0.6/2 < x < 6.6-0.2
Q(x‟) = (117.2+117.94)*0.3/2-315.7+(113.95+(113.95-10.83*x‟))*x‟/2
= -281+(227.9-10.83*x‟)*x‟/2
= -281+113.95*x‟-5.42*x‟2
x‟
0
0.5
1
1.5
2
2.5 3
3.5
4
4.5
5
5.5 6.1
Q(x‟) -281 -225 -172 -122 -74.8 -30 12.1 51.4 88.1 122 153 182 212
Determinación de h para acción de viga en el pilar izquierdo.
vn = *0.53* f‟c = 0.85*0.53* 300 = 7.8 kgf/cm2
Vu(x‟=0.3+d)= -281+113.95*(0.3+d)-5.42*(0.3+d)2
= -247+113.95*d-5.42*(0.3+d)2
d
0.5
0.7
0.65
Vu
-193.3
-172.5
-177.6
vu = Vu/(B*d)
B
3.46
3.39
3.41
vu
-111.79
-72.7
-80.3
> 78
< 78
> 78
B(x) = 3.85-(3.85-1.5)*x/6.6
= 3.85-0.356*x
x‟ = x-0.3
x = 0.6+d
usar d = 0.7 m
y h = d+0.05 = 0.75 m
Determinación de la sección crítica para el pilar izquierdo.
Q(x‟) = -281+113.95*x‟-5.42*x‟2
Vu(x‟=6.1-(0.2+d))= -281+113.95*(5.9-d)-5.42*(5.9-d)2
d
0.5
0.6
0.9
0.95
0.96
Vu
B
176.3
170.7
153.3
150.2
149.6
1.82
1.86
1.96
1.98
1.984
vu = Vu/(B*d)
vu
193.7
153.3
86.7
79.8
78.5
vn
78
78
78
78
78
B(x”) = 1.5-(3.85-1.5)*x”/6.6
= 1.5-0.356*x”
x = 0.4+d
d = 0.95 m
y h = 1.00 m
3.5.) Determine las dimensiones de la zapata de la figura para las condiciones indicadas:
1º) Existe un muro vecino al pilar izquierdo.
5m
1.15m
2º) DL1= 130 ton, LL1= 110 ton
50cm
30cm
DL2= 60 ton, LL2= 50 ton
3º) adm(suelo)= 3 kgf/cm3
4º) Ambos pilares son cuadrados.
Desarrollo :
1º) Determinación de xr :
x = 110*6/R = 110*6/(240+110) = 1.886 m
xr = x+0.5/2 = 1.886+0.25 = 2.136 m
2º) Determinación de A :
adm P/A
A P/ adm = (240+110)/30
A 11.67 m2
3º) Determinación de B1 y B2 :
B1 = 2*A/L*(3*xr/L-1) = 2*11.67/6.4*(3*2.136/6.4-1) = 0.0046
B2 = 2*A/L-B1 = 2*11.67/6.4-0 = 3.65 m
asumimos B1 = 0.5 m
3.6.) Para la fundación combinada de la figura se pide:
a) Dimensionar la fundación : B, L
b) Diagrama de corte.
30cm
c) Diagrama de momento.
qadm = 2.5 kgf/cm2
h
Nota: h es tal que la fundación es rígida.
R=170 ton
60 ton
110 ton
3.24m
50cm
5m
Desarrollo :
1º) Determinación de L :
R* x = 110*5
R = 170 ton
x = 3.24 m
Para que R actúe en el centro de gravedad de la zapata :
L = (3.24+0.15)*2 = 6.77 m
2º) Determinación de B :
R/A qadm
170/(B*L) 25 t/m2
170/(25*L)
B 1.0 m
se adopta este valor
B
La viga queda sometida a las siguientes solicitaciones.
60/0.3=200 t/m
110/0. 5=220 t/m
q = 25 t/m
6.77m
0 0.3
x
4.9 5.4
6.77
Diagrama de corte :
62.5
Q(x)
52.5
x
34.25
0 -5.25 62.5 -35
0
0.3
4.9
5.4
0
Q(x) = q1(x)-q2(x)
Q(x) = 52.5-25*x
Q(x) = 62.5-(220-25)*0.5
Q(x) = 40-25*x
(0 < x < 0.3 )
( 0.3 < x < 4.9 )
( 4.9 < x < 5.4 )
( 5.4 < x < 6.77 )
Diagrama de momento :
0 < x < 0.3
M(x) = -(200-25)x2/2 = -175*x2/2
x
M(x)
0.1 0.875
0.2
3.50
0.3
7.90
0.3 < x < 4.9
M(x) = -200*0.3*(x-0.15)+25*x2/2
x
0.3
0.5
1
M(x) -7.875 -17.875 -38.5
2
-61
3
-58.5
4
-31
4.9
15.185
Partiendo por el otro extremo:
0 < x1 < (6.77-5.4)=1.37
M(x1) = 25*x2/2
x1
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
1.2 1.37
M(x1) 0.5 2 4.5 8 12.5 18
23.5
0.37 < x1 < 1.87
M(x1)=23.5-(220-25)*x12/2 = 23.5-97.5*x2 (0 < x <0.5)
Mmáx=
- 65 t*m
+
Mmáx= 23.5 t*m
3.7.) Para la fundación combinada (fundación ligada) de la figura se pide:
medianero
0.4
0.6
0.4
0.6m
54ton
0.4
4.0m
columna A
2.5m
1.6m
90ton
10t*m
5ton
Materiales:
Hormigón H25 f‟c=250 kgf/cm2
Acero A44-28H fy=2400 kgf/cm2
columna B
20t*m
15ton
1.5m
Datos del suelo:
= 20
c=0
3
= 1.7 t/m
0.6m
2.0m
6.2m
a) Determinar el factor de seguridad por capacidad de soporte de la fundación.
b) Diseñar la zapata a flexión (No se pide armarla al corte) y dibujar un esquema claro
de las armaduras a colocar por flexión.
Nota: - Cargas verticales son debidas a carga muerta (D).
- Momento y fuerzas horizontales son debido a sismo (E).
- Diseñar la fundación para el estado de carga U=1.05D+1.4E.
- Recubrimiento de armaduras 5 cm.
- No considerar peso propio de fundaciones.
Desarrollo:
a)
X1
54
17.5
R1 90
4.0
144ton
42.5
60t*m
20ton
3.10
3.10
R1*X1=90*4+42.5+17.5 = 420
54
X2
17.5
R2
R1=144 ton
X1= 2.92 m
90
144ton
42.5
60t*m
20ton
R2*X2=90*4-42.5-17.5 = 300
Ecuación de Hansen:(para este caso)
qult = qNqSqdqiq+0.5 BN S d i
R2=144 ton
X2= 2.92 m
reemplazar B por B‟ = B-2e
e=M/V=60/144=0.417 m
B‟=6.2-2*0.417 = 5.37 m
q = *D = 1.7*2.0 = 3.4 t/m2 , L = L‟ = 2.5 m
= 20o
Nc = 14.83
Nq = 6.4
N = 2.9
Nq/Nc = 0.43
2*tg *(1-sen )2 = 0.315
Factores de forma:
Sq = 1+(B‟/L‟)*tg = 1+(5.37/2.5)*tg20 = 1.78
S = 1-0.4*B‟/L‟ = 1-0.4*5.37/2.5 = 0.141
Factores de profundidad:
dq = 1+2*tg *(1-sen )2*D/B = 1+0.315*2.0/6.2= 1.102
d =1
Factores de inclinación:
iq = (1-0.5H/(V+Af*c*cotg ))5
c=0
iq = (1-0.5H/V)5 = (1-0.5*20/144)5 = 0.698
i = (1-0.7H/(V+Af*c*cotg ))5 = (1-0.7*20/144)5 = 0.60
Luego
qult = 3.4*6.4*1.78*1.102*0.698+0.5*1.7*5.37*2.9*0.141*1*0.6
= 29.79+1.12 = 30.91 t/m2
Vult = qult*A‟ = qult*B‟*L‟ = 30.91*5.37*2.5 = 414.97 ton
F.S. = Vult/V = 414.97/144 = 2.88
luego el factor de seguridad por capacidad de soporte es 2.88
b) Diseño de la armadura
b.1.Estado de carga:
Columna A
Columna B
1.05*54 = 56.7 ton
1.05*90 = 94.5 ton
1.40*10 = 14 t*m
1.40*20 = 28 t*m
1.40*5 = 7.0 ton
1.40*15 = 21 ton
R1*X1= 94.5*4+28+21*1.5+14+7*1.5 = 462
X1 = 462/(56.7+94.5) = 3.06 m
e1 = (94.5*1.5-56.7*2.5+24.5+59.5)/(56.7+94.5) = 0.56 m
R2*X2= 94.5*4-28-21*1.5-14-7*1.5 = 294
X2 = 294/(56.7+94.5) = 1.94 m
e2 = 0.56 m
b.2.Presión en el suelo:
151.2 ton
84.67 t*m
28 ton
M=151.2*0.56 = 84.67 t*m
q = R/LB*(1±6e/L)
e= 84.67/151.2= 0.56 < L/6
trapecio
qmáx = 151.2/(6.2*2.5)*(1+6*0.56/6.2) = 15.04 t/m2
qmín = 151.2/(6.2*2.5)*(1-6*0.56/6.2) = 4.47 t/m2
b.3. Datos del hormigón y el acero:
Factores de reducción de la capacidad : = 0.90 (flexión) , = 0.85 (corte)
f‟c= 250 kgf/cm2
fy= 2800 kgf/cm2
máx = 0.75 b
b = 0.85 1f‟c/fy*6000/(6000+fy)
= 0.85*0.85*250/2800*6000/8800
b = 0.04398
máx = 0.03299
mín = 14.4/2800 = 0.005
contracción = 0.002
b.4. Lecho inferior:
d = 0.06Abfy/ f‟c = 0.06*2800*Ab/(250)0.5 = 10.63*Ab
dmín 0.006fydb = 0.026*2800*db = 16.8*db
Lecho superior:
d = 1.4*10.63Ab = 14.88*Ab
dmín 1.4*16.8*db = 23.52*db
b.5. Diagrama de momentos:
Sismo izquierda a derecha
0.6m
a
4.0m
b
c
1.6m
d
e
1.05m
2.5m
a
b
c
0.4 0.4
3.5
24.5t*m
d
11.18
14.59
e
0.6
141.75t
1.3
59.5t*m
15.04*2.5=37.6 t/m
236.25t
29.5
MA=14+7*1.5=24.5 t*m
qA=56.7/0.4=141.75 t/m
MB=28+21*1.5=59.5 t*m
qB=94.5/0.6=236.25 t/m
32.05
37.6
(37.6-11.18)/6.2=Y/X
Y=4.26*X
q= 11.18+4.26*X
12.88
x
0.8
x
4.30
M(x) = 24.5-56.7*(x-0.6)+11.18*x2/2+4.26*x3/6
= 0.71*x3+5.59*x2-56.7*x+58.52
dM(x)/dx = 2.13*x2+11.18*x-56.7 = 0
x= (-11.18 (11.182+4*2.13*56.7)0.5)/4.26 = (-11.18 24.66)/4.26
x1 = 3.164 m
y
x2 = (-)
M(x=3.164) = 24.5-145.38+55.96+22.49 = -42.43 t*m
Mc-c = -42.43 t*m
Ma-a = 11.18*0.4*0.2+0.34*0.4/3 = 0.94 t*m
Mb-b = 11.18*0.8*0.4+3.41*0.8*0.8/6+24.5-56.7*0.2
= 3.58+0.364+24.5-11.34 = 17.1 t*m
Md-d = 29.5*1.9*1.9/2-59.5-94.5*0.3
= 53.25-59.5-28.35= -34.6 t*m
Me-e = 5.55*1.3*1.3/3+32.05*1.3*0.65= 30.21 t*m
17.1t*m
+
30.21
t*m
+
_
0.94
t*m
34.6t*m
42.43
t*m
Sismo derecha a izquierda:
b
c
0.4 0.4
a
3.5
24.5t*m
d
141.75t
37.6
34.18
35.89
e
0.6
1.3
59.5t*m
236.25t
19.27
16.72
11.18
(37.6-11.18)/6.2=Y/X
Y=4.26*X
q= 11.18+4.26*X
x
Ma-a = 35.89*0.4*0.2+0.71*0.4*0.4*2/3 = 2.87+0.18 = 3.05 t*m
Mb-b = 34.18*0.8*0.4+3.41*0.8*0.8*2/3-24.5-56.7*0.2 = -23.44 t*m
Md-d = 29.5*1.9*1.9/2+8.09*1.9*1.9/6 = 25.05 t*m
Me-e = 11.18*1.3*1.3/3+5.54*1.3*1.3/6 = 11.00 t*m
Mc-c = -24.5-56.7*(x-0.6)+(11.18+4.26*x)*x2/2+(26.42-4.26*x)*x2*2/3
= -24.5-56.7*x+34.02+5.59*x2+2.13*x3+17.61*x2-2.84*x3
= -0.71*x3+23.2*x2-56.7*x+9.52
dM(x)/dx = -2.13*x2+46.4*x-56.7 =0
x = (-46.4 (46.42-4*2.13*56.7))/-4.26 = (-46.4 40.86)/-4.26
x1 = 1.3 m
y x2 = 20.5 m (NO)
Mc-c = -0.71*1.33+23.2*1.32-56.7*1.3+9.52 = -26.54 t*m
Por lo tanto los momentos de diseño son:
Ma-a = 3.05 t*m
Mb-b = -23.44 t*m y 17.10 t*m
M(b-d) = -42.43 t*m
Md-d = 34.6 t*m y 25.05 t*m
Me-e = 30.21 t*m
b.6. Armadura a flexión
- Armadura longitudinal:
i) Barras del lecho superior entre b y d
Mu = -42.43 t*m
Mu/( f‟cbd2) = 42430/(0.9*250*2.5*552) = 0.0244
= 0.025
= f‟c/fy = 0.00223 < máx
< mín
poner mín = 1.33 = 0.002966 > contracción
As = bd = 40.78 cm2
No de barras de 16 = 40.78/2.01 = 20.29
20 barras
Espaciamiento = (250-10)/19 = 12.6
a 12 cm
Luego 16 @ 12
( 20 barra 16 )
ii) Mu= -34.6 t*m (d-d) (barras lecho superior)
= 34600/(0.9*250*2.5*552) =0.0203
= 0.02
= 0.001786 < máx
< mín
poner mín = 1.33 = 0.002375 > contracción
As = bd = 32.7 cm2
No de barras de 16 = 32.7/2.01 = 16.26
17 barras
iii) Mu= -23.44 t*m (b-b) (barras lecho superior)
= 23440/(0.9*250*2.5*552) =0.0138
= 0.014
= 0.00125 < máx
< mín
mín = 1.33 = 0.00166 < contracción
poner contracción
As = 27.5 cm2
No de barras de 16 = 27.5/2.01 = 13.68
14 barras
Barras en lecho inferior
i) en e-e
Mu = 30.21 t*m
2
Mu/( f‟cbd ) = 30210/(0.9*250*2.5*552) = 0.01775
= 0.018
= 0.0016 < máx
< mín
poner mín = 1.33 = 0.002128 > contracción
As = bd = 29.26 cm2
o
N de barras de 16 = 29.26/2.01 = 14.56
15 barras
ii) en d-d
Mu = 25.05 t*m
Mu/( f‟cbd2) = 25050/(0.9*250*2.5*552) = 0.0147
= 0.00134 < máx
< mín
poner mín = 1.33 = 0.00178 <
colocar
As = 27.5 cm2
contracción = 0.002
No de barras de 16 = 14 barras
iii) en b-b y a-a
colocar
contracción
= 0.015
contracción
14 barras 16
Colocación de barras longitudinales
14 barras
16
20 barras
16
17 barras
16
F‟
F
Detalle de F‟
14 barras
16
14 barras
16
3 barras
16
3 barras
16
15 barras
16
Detalle de F
14 barras
16
1 barras
16
- Armadura transversal
Mu = ((qmáx+qmín)/2)*6.2*1.05*1.05/2
= (15.04+4.47)*0.5*6.2*1.052*0.5= 33.34 t*m
Este momento total se debe tomar con un ancho
b = 2*B = 2*250=500cm = 5 m
Mu/( f‟cbd2) = 33340/(0.9*250*2.5*502) = 0.01185
= 0.012
= 0.00107 < máx
< mín
mín = 1.33 = 0.00142 < contracción
colocar
contracción = 0.002
As(bajo columnas) = 0.002*2*B*50 = 50 cm2
en columna izquierda : Pizq*As/Pt = 56.7*50/151.2 = 18.75 cm2
en columna izquierda : Pder*As/Pt = 94.5*50/151.2 = 31.25 cm2
En la zona central tomar Mu = 20% Mu longitudinal
= 0.20*42.43 = 8.49 t*m
mín
= 0.002
As = 0.002*50*(6.2-5) = 12 cm2
(6 16)
10 16
16 16
Distribución de la armadura transversal
2.5m
1.2m
2.5m
10 16
6 16
16 16
16 @25
16 @25
16 @15
3.8.) Una estructura industrial se cimenta en un emparrillado indicado en la figura, en la que
se indican las cargas de las cuatro columnas, se pide:
a) Calcular las presiones sobre el terreno (sin contar las debidas al peso del propio del
cimiento), suponiendo que las vigas de cimentación son rígidas y la estructura también.
b) Armar la viga de cimentación del eje  .
Considerar hormigón H25, acero A44-28H.
Factor de amplificación de las cargas considerar igual a 1.0.
Recubrimiento 5 cm.
A
B
65ton
1m

100ton
Nota:Todas las columnas son
de 50*50 cm.
En la parte b) se pide sólo
armar a flexión para el momento
máximo que existe. Considerar
altura total igual a 6 cm.
Despreciar pequeños volados
en dicha viga de cimentación.
1m
6m

100ton
6m
65ton
Desarrollo:
Y
65ton
100ton
1m
1
2
1m
6m
3
100ton
4
6m
X
65ton
Condición:
N1X+N1Y = 65 ton
N2X+N2Y = 100 ton
N3X+N3Y = 100 ton
N4X+N4Y = 65 ton
Por simetría :
1X = 4X
1Y = 4Y
2X = 3X
2Y = 3Y
En la viga 1-2
=
2X =
3X =
4X =
1X
1Y
2Y
3Y
4Y
N1X = N4X
N1Y = N4Y
N2X = N3X
N2Y = N3Y
eX R1-2
XG1-2 = 6N2X/(N1X+N2X) = 3.64
ex = XG1-2 -3 = 0.64
N1X
N2X
6.0m
ex = 6N2X/(N1X+N2X) -3
= 3(N2X-N1X)/(N1X+N2X)
XG1-2
Con luz L y ancho b, las tensiones , vienen dadas por:
Xi
Xi
Xi
= NiX/BL 1+12e/L2(xi-L/2)
1X
L
= ((N1X+N2X)/6)*(1-6e/L)
= ((N1X+N2X)/6)*(1-ex)
L=6 m
1-ex = 1-3(N2X-N1X)/(N1X+N2X)
= (4N1X-2N2X)/(N1X+N2X)
1X
2X
= (4N1X-2N2X)/6
1X
= 0.67N1X-0.33N2X
(1)
= ((N1X+N2X)/6)* 1+12e/L2(L-L/2) = ((N1X+N2X)/6)*(1+ex)
1+ex = 1+3(N2X-N1X)/(N1X+N2X)
= (4N2X-2N1X)/(N1X+N2X)
= (4N2X-2N1X)/6
En la viga 1-3
2X
2X
= 0.67N2X-0.33N1X
(2)
eY R1-3
YG1-2 = 6N3Y/(N1Y+N3Y) = 3.64
ey = YG1-3-3 = 0.64
N1Y
N3Y
6.0m
ey = 6N3Y/(N1Y+N3Y)-3
= 3(N3Y-N1Y)/(N1Y+N3Y)
YG1-3
por simetría: N3Y = N2Y
ey = 3(N2Y-N1Y)/(N1Y+N2Y)
1Y
= ((N1Y+N2Y)/6)* 1+12e/L2(-L/2) = ((N1Y+N2Y)/6)*(1-6e/L)
= ((N1Y+N2Y)/6)*(1-ey)
1-ey = 1-3(N2Y-N1Y)/(N1Y+N2Y)
= (4N1Y-2N2Y)/(N1Y+N2Y)
1Y
2Y
= (4N1Y-2N2Y)/6
1Y
= 0.67N1Y-0.33N2Y
(3)
= ((N1Y+N2Y)/6)* 1+12e/L2(L-L/2) = ((N1Y+N2Y)/6)*(1+ey)
1+ey = 1+3(N2Y-N1Y)/(N1Y+N2Y)
= (4N2Y-2N1Y)/(N1Y+N2Y)
(4)
2Y = (4N2Y-2N1Y)/6
2Y = 3Y = 0.67N2Y-0.33N1Y
=
2X =
0.67N1X-0.33N2X = 0.67N1Y-0.33N2Y
0.67N2X-0.33N1X = 0.67N2Y-0.33N1Y
2Y
N1X+N1Y = 65
N2X+N2Y = 100
N1X = 32.5 ton
N2X = 50 ton
N1Y = 32.5 ton
N2Y = 50 ton
2
2
1X = 1Y = 5.28 t/m
2X = 2Y = 22.78 t/m
Luego:
2
2
1 = 4 = 5.28 t/m
2 = 3 = 22.78 t/m
1X
1Y
Por simetría la tensión bajo la columna 4 es igual a la de la columna 1 y la de
la columna 3 es igual a la de la 2.
35.2ton
V
M(z)
VIGA 1-2 EJE1
50ton
(de acuerdo a simplificaciones del
enunciado del problema)
0.60m
6.0m
5.28 t/m
Z
z
22.78 t/m
(22.78-5.28)/6=y/z
y=2.92z
Z = 2.92z+5.28
M(z) = 5.28*z2/2+0.5*2.92*z3/3-32.5*z = 2.64*z2+0.49*z3-32.5*z
dM(z)/dz = 5.28*x+1.47*z2-32.5 = 0
z = (-5.28 (5.282+4*1.47*32.5)1/2)/(2*1.47) = (-5.28 14.8)/2.94
z = 3.24 m
Mmáx = 2.64*3.242+0.49*3.243-32.5*3.24
= 27.71+16.67-105.3 = -60.92 t*m
f‟c = 250 kgf/cm2
d = 60-5 = 55 cm
fy = 2800 kgf/cm2
f = 1.0 (amplif.carga)
Mu = -60.92 t*m
Mu/( f‟cbd2) = 60920/(0.9*250*1.0*552) = 0.0895
= 0.095
= f‟c/fy = 0.095*250/2800=0.00848 > mín
mín = 14.1/fy = 0.005
máx = 0.75 b
b = 0.85 (f‟c/fy)(6000/(6000+fy))
= 0.852*(250/2800)*6000/8800
b = 0.044
máx = 0.033
< máx
usar = 0.00848
= As/(bd)
As = 0.00848*100*55= 46.64 cm2
o
N de barras( 25) = 46.64/4.91 = 9.5 10 barras
Espaciamiento = (100-10)/9 = 10 cm
10 barras 25 o 25 @ 10 cm ubicadas en lecho superior.
3.9.) Dimensione la zapata y diseñe su armadura para las condiciones señaladas.
qadm = 17 ton/m2 (suelo)
( considere zapata rectangular )
2
f‟c = 200 kgf/cm
f‟c = 4200 kgf/cm2
pp = 65 ton
sc = 40 ton
pp = 80 ton
sc = 50 ton
5m
35 cm
40 cm
h
NOTAS
1) Determine h considerando acción de viga solamente
2) Considere min (A63-42) = 1.8 por mil
Considere max = 0.75* b
3) No verifique longitudes de desarrollo, de traslapo, ni anclaje.
Desarrollo:
1o) Dimensionamiento (L,B,h)
- Determinación de L
Condición:el c.g. del área en contacto (B*L) coincide con la posición de la resultante.
Ma fuerzas no mayoradas = 0
R*x = (80+50)*5
y R = (65+40)+(80+50)
luego
x = 2.77 m  L =(35/2+277)*2 = 589 cm
L = 590 cm
x
cg
B
L = 2*xR
xR
L
- Determinación de B
Condición: no se puede superar qadm del suelo
qadm
(65+40)+(80+50)/(B*L) 17 ton/m2
c
luego
B
2.34 m
entonces
235 ton/(B*5.9 m2)
17 ton/m2
B = 235 cm
- Determinación de h
Condición: usar cargas mayoradas y determinar diagrama de corte para diferentes
secciones críticas.
14
. * (65 80) 17
. * (40 50)
ton/m2
qusd
2.35 * 5.90
= 25.68 ton/m2
Diagrama de corte:
V1 = 1.4*65+1.7*40 = 159 ton
V2 = 1.4*80+1.7*50 = 197 ton
q = 25.68 ton/m2*2.35m =60.35 ton/m
159 ton
197 ton
60.35 t/m
x
x`
x‟‟
153 ton
10.6 ton
(+)
4.4 ton
148 ton (-)
Q(x=0.175) = 10.56 y (-148)
Q(x=5.175) = 10.56-159+60.35*5
= 153.3 y (-43.7)
Q(x=5.9) = 153.3-197+60.35*0.725
= 0.065 0
O.K.
Por simple inspección se puede considerar una sección crítica a la izquierda del pilar
derecho ( a “d” metros )
Q(x‟) = 153-(153+148)*x‟/5 = 153-60.2*x‟
Sección crítica:
x‟=0.4/2+d = 0.2+d
Vu = Q(x‟)/B*d =(153-60.2*(0.2+d))/(2.35*d)
Vn = 0.53* f‟c = 63.7 ton/m2
Vu = Vn
209.9*d 140.96
d 0.67 m
d = 67 cm
Verificación de la sección crítica derecha del pilar izquierdo.
x‟ = 5-0.35/2-0.67 = 4.16 m
Q(x‟= 4.16) = -97 ton
Q(x‟= 0.87) = 100.6 ton
100.6 97
es correcto la sección crítica tomarla a la izquierda del pilar derecho,
luego:
h= 75 cm
- Determinación de la armadura.
Hay que determinar la armadura superior , inferior y transversal.
Diagrama de momentos:
M(x) = 0.5*60.44*x2
M(x) = 0.5*60.44*x2-159*(x-0.175)
M(x) = 0.5*60.44*(x‟‟)2
x (m)
0.175
0.50
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5.175
5.5
M(x) (t*m)
0.926
-44.12
-101.0
-142.7
-169.3
-180.8
-177.2
-158.5
-124.7
- 75.7
15.65
4.8
(x 0.175 m)
(x 5.175 m)
¡Para que el diagrama de momentos cierre
hay que trabajar con las dimensiones exactas!
M+max = 15.7 t*m
M-max = 181 t*m
Momento para calcular la armadura transversal
35 100
Asmin=1.8/1000*100*67
= 12.1 cm2/m
h = 75 cm
B=2.35 m
d = 67 cm
q=qusd*1m
25.68 t/m
M = 0.5*25.68t/m*1.02m = 12.84 t*m
Ru =31.8 t/m2
= 0.76*10-3
min
- Cálculo de la armadura longitudinal.
Asmin = (1.8/1000)*B*d = (1.8/1000)*235*67
Asmin = 28.3 cm2
a) Armadura inferior
M(x=4.65+0.35)= -10.4 baja mucho
tomemos M+ = 15.65 t*m
Ru=16.48 t/m2
= 0.039*10-2
Asmin=6.21 cm2
usar Asmin 28.3 cm2
max = 0.075 b
b=(0.85*0.85*200/4200)*(6000/(6000+4200))
-2
=2.023*10
b
max = 1.52*10-2
b) Armadura superior
M- =181 t*m
Ru = 190.6 t/m2
= 0.483*10-2
As = 76 cm2
IV
VIGA EN MEDIO ELASTICO
4.1.) Para la viga de la figura, determinar, la elástica, el momento flector y el corte para
x = 1.0 m y x = 5.0 m. Los pernos inducen un momento de 30 t*m.
pernos de anclaje
L
L=5m
3
K = 15 kgf/cm
E = 3*10 kgf/cm2
h = 0.3 m
b = 0.25 m
x
y
Desarrollo :
=
4
K *b
=
4*E *I
4
3* K
E * h3
L>
viga infinita
3 * 15000
= 0.863 1/m
3 * 10 6 * 0.33
L*0.863 >
L > 3.6 m
sea L = 5 m (para tener viga muy flexible)
=
4
L = 4.32 >
Los pernos de anclaje significan un momento aplicado de 30 t*m
1º) Modelo :
M1
M1
=
+
+
A
y
R
R
2º) Determinación de R :
y = (-2M1 2/k)*C X + (2R /k)*D
y(x=0)= 0
C 0=1, D 0=1
R = M1 = 25.89 ton
3º) Determinación de y(x), Q(x) y M(x).
X
y(x) = -(2M1 2/k)*C X + (2(M1 ) /k)*D X = (2M1 2/k)*(D X-C X)
= (2M1 2/k)*B X
k = K*B = 3750
Q(x) = -2M1 B X-RC
Q(x) = -M1 A X
M(x) = M1 A X-R/ B
M(x) = M1D X
X
X
= -2M1 B X-M1 C
X
= M1 A X-(M1 / )B
= -M1 *(B X+C X)
X
= M1(A X-B X)
4º) Resultados numéricos :
y(x) = (2*30*0.8632/3750)*B X = 11.92* B X (mm)
Q(x) = -30*0.863*A X = -25.89*A X (ton)
M(x) = 30* D
x
y(x)
X
(t*m)
Q(x)
M(x)
m
mm
ton
t*m
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
4.5
5.0
3.24
3.82
-22.31
-15.40
-8.76
-3.84
-0.84
-0.63
1.10
1.03
-0.75
0.45
17.7
8.2
2.2
-0.825
-1.92
-1.92
-1.45
-0.91
-0.46
-0.16
-0.17
-0.15
4.2.) Para la zapata corrida de la figura (ancho= 1 m) se pide:
Usando tablas Hahn
a) Calcular las presiones transmitidas al terreno en los puntos A, B y C.
b) Calcular asentamiento en A, B y C.
c) Diagrama de momento para armar la viga.
100 ton
K = 5000 t/m3
E = 2*106 t/m2 (hormigón)
1.2 m
A B C
2 2 2
2
Desarrollo:
Determinación de la rigidez relativa de la viga.
Para una viga de sección rectangular se tiene:
3* K
=4
= (3*5000/(2*106*1.23))1/4 = 0.26
3
E *h
L = 2.05
/4 < L <
viga de longitud intermedia
(Hahn, Tabla 7)
po = p*P/(b*)
Mo = M*P* /100
P
xi / =0.5
xi
A
Pto.
A
B
C
xo
0
2
4
xo/
0.0
0.25
0.5
B
p
C
M
0.74
0
1.02 2.73
1.18 11.51
po(A) = 0.74*100/(1*8) = 9.25 t/m2
po(B) = 1.02*100/8 = 12.75 t/m2
(0.257)
po(C) = 1.18*100/8 = 14.75 t/m2
b) q = K*y = K*
A = po(A)/K = (9.25/5000)*100 = 0.19 cm
A
= 1.9 mm
,
B
= 2.6 mm
c) Diagrama de momento (M(x)=
xo/
M
M(x)
0.1
0.39
3.12
0.2
1.63
13.04
,
C
= 3 mm.
M*P*)
0.3
3.83
30.64
0.4
7.1
56.80
0.5
11.51
92.08
P
(+)
M(x)
4.3.) Para la viga en medio elástico de la figura, determinar :
a) la elástica.
b) el diagrama de momento.
M
A
corte A-A
0.25m
A
2.5 m
1m
2.5 m
Desarrollo :
Para una viga de sección rectangular :
3* K
=4
= (3*5000/(106*0.253))1/4 = 0.99
3
E *h
L = 4.95 >
viga larga
a) Elástica :
M = 3 t*m 3
K = 5000 t/m
E = 100000 kgf/cm2
6
2
= 10 t/m
y = (Mo 2/K)*B
X
en que :
2
Mo = 3 t*m
= 0.98
y = 0.588*B X (mm)
M = 1.5*D X (t*m)
x
(m)
0
0.3
0.6
0.9
1.2
1.5
1.8
2.1
2.5
x
0
0.297
0.594
0.891
1.188
1.485
1.782
2.079
2.475
F2
BX
0.0000
0.2175
0.3090
0.3190
0.2828
0.2257
0.1646
0.1093
0.0520
K = 5000 t/m3
y
(mm)
0
0.13
0.18
0.19
0.17
0.13
0.10
0.06
0.03
F4
DX
1.0000
0.7105
0.4575
0.2579
0.1139
0.0194
-0.0353
-0.0609
-0.0661
x 0
0.3
0.9
1.5
2.1
2.5
M 1.5 1.07 0.69 0.39 0.17 0.02 -0.05 -0.09 -0.07
4.4.) Determinar el diagrama de momento y de corte para un pilote de acero sometido a
un momento M = 5 t*m
M
L=6m
Suelo granular, compacto
K = Kx = 7 kgf/cm3
constante
A
A
32cm
corte A-A
40cm
3 cm
Desarrollo :
=
4
k
=
4*E *I
4
K *b
4*E *I
en que :
I = 0.4*0.43/12-0.32*0.323/12 = 0.00126
= (7000*0.4/(4*2.1*107*0.00126))1/4 = 0.4033 1/m
L = 0.4033*6 = 2.42
1º) La rigidez relativa indica que es una viga de longitud intermedia.
/4 < L <
2º) Modelación :
M
R
M
P0A
=
P0B
+
R‟
M0A
M0B
3º) Determinación de R en la viga infinita; aplicando la condición de borde:
y(x=L)=0.
y(x=L) = (-M 2/k)*B X - (R‟ /2k)*1 = 0
(-5*0.40332/(7000*0.4))*B(2.42) = (R‟*0.4033/(2*7000*0.4))*1000
- 0.017 = R‟*0.072
R‟ = -0.236 ton
El signo (-) indica que R‟ va hacia abajo, luego la viga infinita queda.
0.24 ton
5 t*m
¡ muy largo!.....
Nota:
1. Lo que ocurre en un extremo influye en toda la viga.
2. Use fórmulas para viga infinita.
3. Determinar así el corte y el momento en los extremos de la viga.
4. Superponer en la viga cargada, cargas P0A, P0B, M0A y M0B en los extremos,
se resuelve la viga finita.
4.5.) Resolución de un canal semi-enterrado.
situación favorable
K = 5.5 kgf/cm3
3m
e=0.2m
TIP
E = 300000 kgf/cm2
0.2m
5.5 m
situación crítica
Se pide :
a) Diagrama de presiones en el suelo.
b) Diagrama de momento.
Desarrollo:
La viga a resolver es la siguiente.(no se considera el efecto de enterramiento)
P= 2.4*3*0.2*1 = 1.44 ton
P
q= 3 t/m
P
M=3*3*1*1/2 = 4.5 t*m
M
b=1m
M
q = 3.5 t/m
3* K
= (3*5500/(3*106*0.23))1/4 = 0.911 1/m
3
E *h
L = 0.911*5.5 = 5.0 >
se comporta como viga larga.
- para las cargas en los extremos usamos las fórmulas para vigas semi-infinitas.
- para la carga que solo se produce asentamiento pues está uniformemente repartida
a lo largo de la viga.
=
4
y = (2P1 /k)*D
M = (-P1/ )*B
X
y = (2M1 2/k)*C
M = -M1*A
P1=1.44 ton
X
M1=4.5 t*m
X
X
y = (2*1.44*0.911/(5500*1))*D X+(2*4.5*0.9112/(5500*1))*C
= 0.477* D X+1.358*C X (mm)
M = (-1.44/0.911)* B X-4.5*A
X
= -(1.581*B X+4.5*A X)
X
(t*m)
x
0
0.2
0.4
0.5
0.6
0.8

y(q=3.5 t/m2)=q/K = 3.5/5.5 = 0.64 mm
x
DX
CX
y
BX
1000
1000
mm
1000
0
1000
1000
1.835
0
1.002 197.8 -111.6 -0.057 309.3
2.004 -56.6 -178.9 -0.270 122.3
2.505 -65.7 -114.2 -0.186 48.6
3.006 -49.0
-55.7 -0.099
6.7
4.008 -11.8
2.1
-0.003 -13.8
5.011
2.0
8.3
0.012 -6.4
AX
1000
1000
507.1
65.8
-17.1
-42.3
-25.6
-4.4
M
t*m
-4.500
-2.771
-0.489
0.008
0.180
0.137
0.030
Superponiendo y aplicando simetría.
y (mm)
1.835+0.012+0.636= 2.48
-0.057-0.003+0.636= 0.58
-0.270-0.099+0.636= 0.27
-0.186-0.186+0.636= 0.26
1.1
p=K*y (kgf/cm2)
M (t*m)
1.36
-4.500+0.030 = -4.47
0.32
-2.771+0.137 = -2.63
0.15
-0.489+0.180=-0.31
0.14
0.008+0.008=0.016
2.2 2.75
3.3
4.4
5.5 m
ymáx 0.25 cm
pmáx = 1.4 kgf/cm2
(-)
(-)
Mmáx = -4.47 t*m
4.6.) Para la viga de fundación del estanque elevado, determine :
a) Presión máxima
b) Asentamiento máximo.
estanque de 4 m3
K = 9 kgf/cm 3
losa 2*0.7*0.2 m
0.2m
E = 200000 kgf/cm2
columna = 0.3 m
h=5m
A
A
corte A-A
viga
0.25m
0.25*0.2*0.3m
0.3 TIP
2m
¡Desprecie colaboración de la viga transversal!
Desarrollo :
3* K
=4
= (3*9000/(2*106*0.253))1/4 = 0.964 1/m
3
E *h
> L = 1.928 > /4
viga de longitud intermedia
1º) Modelación :
P
= 0.964 1/m
A
B
Determinación de P
peso estanque
4.0
ton
peso losa =2*0.7*2*2.4= 0.672 ton
peso pilar =5*0.32*2.4= 1.080 ton
P = 5.75 ton
2º) Se reemplaza por una viga infinita.
P0A
5.75 ton
M0A
P0B
M0B
3º) Determinación de P0A, M0A, P0B y M0B.
QA = (P/2)*D X = (5.75/2)*D(2.41) = -0.192 ton
MA = (P/4* )*C X = (5.75/3.856)*C(2.41) = -0.189 t*m
QB =-(P/2)*D X = 0.192 ton
MB = (P/4* )*C X = -0.189 t*m
C(2.41)= -0.1268
D(2.41)= -0.0668
A(2.41)= -0.0068
B(2.41)= 0.0600
1/(4* ) = 0.259
0.192
0.192
C( ) = C(1.928)= -0.1871
D( ) = D(1.928)= -0.0509
A( ) = A(0.482)= 0.0854
/2 = 0.482
-0.189+0.259*P0A+0.5M0A-48.46*10-3*P0B-25.45*10-3*M0B = 0
-0.192-0.5*P0A-0.482*M0A-25.45*10-3*P0B+41.16*10-3*M0B = 0
-0.189-48.46*10-3*P0A-25.45*10-3*M0A+0.259*P0B+0.5M0B = 0
0.192+25.45*10-3*P0A-41.16*10-3*M0A+0.5*P0B+0.482*M0B = 0
P0A = -1.1143
P0B = -1.1143
4º) Se resuelven por sustitución :
M0A = 0.893
M0B = 0.893
1.114
A
1.114
C
B
K*yc = -K*(P* /(2*k))*A X*2
= -9000*1.114*0.964*-0.0068/(9000*0.3)=24.34*10-3 t/m2
0.843
0.843
+
A
C
B
2
K*yc = K*(Mo* /(K*b))*B X*2 = 0.843*0.9642*0.06*2/0.3 = 331.9*10-3 t/m2
5.75
+
A
C
B
K*yc = K*P* /(2*k) = 5.75*0.964/(2*0.3) = 9.238 t/m2
pmáx = 9.6 t/m2
y
ymáx = p/K = 9.6/9000 = 1.07 mm
Chequeo ¡ Ver tabla correspondiente del Hansen !
4.7.) Determinar el momento (MD) al centro de la viga :
b = 1.73 m
I = 0.9*108 cm4
3
K = 4 kgf/cm
E = 210000 kgf/cm2
8 ton
A
8 ton
C
3m
D
B
8m
22m
Desarrollo :
K *b
= (4000*1.93/(4*2.1*106*0.9))1/4 = 0.174 1/m
4*E *I
L = 0.174*22 = 3.83 >
Implica que las solicitaciones en un extremo no influyen en el otro extremo.
El cálculo de los esfuerzos debido a las cargas interiores viga .
El cálculo de los esfuerzos debido a las cargas Po y Mo viga semi- .
=
4
1º) La viga que hay que resolver :
P0A
8ton
8ton
P0B
M0A
M0B
A
x=
0.522
B
x=1.914
3.306
8ton
MA
=
MA
8ton
QB
QB
+
QA
MB
QA
2º) Determinación de P0A, M0A, P0B y M0B :
-Debido a la 1ª carga de 8 ton.:
QA = (P/2)*D X = 4*D(0.522) = 2.056
MA = (P/(4 )*C X = 8/(4*0.174)*C(0.522) = 2.506
QB = -(P/2)*D X = -4*D(3.306) = 0.144
MB = (P/4 )*C X = 8/(4*0.174)*C(3.306) = -0.345
- Debido a la carga de 8 ton. centrada :
QA = (P/2)*D X = 4*D(1.914) = -0.200
MA = (P/(4 )*C X = 8/(4*0.174)*C(1.914) = -2.115
QB = -(P/2)*D X = -4*D(1.914) = 0.200
MB = (P/4 )*C X = 8/(4*0.174)*C(1.914) = -2.115
MB
x
0.522
3.306
1.914
3.83
D
0.514
-0.036
-0.050
-0.017
C
0.218
-0.030
-0.184
-0.003
A
B
-0.031
-0.014
QA = 2.056-0.2 = 1.856
QB = 0.144+0.2 = 0.344
MA = 2.506-2.115 = 0.391
MB = -0.345-2.115 = -2.430
0.391+P0A/0.696+M0A/2-0.0043*P0B-0.0085*M0B = 0
1.856-P0A/2-M0A/11.494-0.0085*P0B-0.0027*M0B = 0
-2.43-0.0043*P0A-0.0085*M0A+1.437*P0B+M0B/2 = 0
0.344-0.0085*P0A+0.0027*M0A+P0B/2+0.087*M0B = 0
P0A = 7.594
P0B = -2.457
Como
L>
M0A = -22.432
M0B = 11.606
se podría plantear 2 sistemas de ecuaciones de 2*2;
0.391+1.437*P0A+0.5*M0A = 0
1.856-0.5*P0A-0.087*M0A = 0
P0A = 7.697
M0A = -22.904
-2.43+1.437*P0B+0.5*M0B = 0
0.344+0.5*P0B+0.087* M0B = 0
P0B = -3.068
M0B = 13.68
Se observa que las dos primeras ecuaciones dan similares pero no asi las
segundas.
3º) Superposición :
P0A = 7.59
M0A = -22.43
P0B = -2.46
M0B = 11.61
1.39= x
8t
MD = (2/ )*C(1.39)= -2.3
D
8t
MD = 2/ = 11.494
+
D
7.59
1.914
+
D
MD = (7.59/(4*0.174))*C(1.914)
= -2.061
1.194
MD = -(22.43/2)*D(1.914)= 0.56
+
22.43
D
2.46
1.914
MD = -(2.46/(4*0.174))*C(1.914)
= 0.688
+
D
1.914
11.61
MD = (11.61/2)*D(1.914)=-0.29
+
D
x
1.39
1.914
C
-0.2
-0.189
D
0.045
-0.05
MD = -2.3+11.49-2.061+0.56+0.688-0.29 = 8.09 t*m
La tabla 11 resuelve para
O.K. (Hahn p297)
 = 4 (  = 3.83 rad)
xi = 3 m
xi/ = 3/22 = 0.136
xo = 11 m xo/ = 11/22 = 0.5
MD =
M*P*
= -2.05*8*22/100 = -3.6
xi = 11 m
xo = 11 m
MD =
M*P*
= 6.59*8*22/100 = 11.6
xi/ = 0.5
xo/ = 0.5
MD = 8 t*m
4.8.) Determinar diagrama de momento en la viga de fundación (achurada), considerando
peso propio de la viga de fundación es cero.
muro
muro
E = 250000 kgf/cm2
rígido
rígido
I = 0.94 m4
K = 5 kgf/cm 3
V=1000 t
V=1000 t
no se considera
las losas como elementos
arriostradores
c a
4m
d
20m
0.25m
3m
b
3m
c.g
4m
0.3m
b=1.2 m
Desarrollo :
Descomposición
V
V
Q1
Q1
c
M1
a
M1
Q1
1
b
1
Q1
M1
M1
a
d
b
2
Ecuaciones de compatibilidad :

y1a = y2a
y
1a
=
para determinar Q1 y M1
2a
Elemento  :
En el sistema , este es infinitamente rígido
K *b
rígido
I=
0
1= 4
4*E *I
V
L < /4
1L1
V-Q1
Mc
Q1
M1
Mc= Q1*L1/2+M1
=
c
c
L1=4 m
L1=4 m
= q/K
=
0 < /4
Hipótesis : no hay tracción
+
*L1/2
= Mc/(K*IRR)
*L1/2
y1a = - *L1/2 = q/K- *L1/2
q = (V-Q1)/
= (Q1*L1/2+M1)/(K*IRR)
y1a = (V-Q1)/(L1*b*K)-((M1+Q1*L1/2)/(K*IRR)*L1/2
= L1*b = 4*1.2 m
IRR = B*L13/12 = 1.2*43/12 = 6.4 m4
= L1*b
R
1.2m
R
L1
y1a = V/(L1*b*K)-(1/(L1*b*K)+L1 /(4*K*IRR))*Q1-(L1/(2*K*IRR))*M1
K = 5000 t/m3
2
y1a = 1000/(4.8*5000)-(1/(4.8*5000)+42/(4*5000*6.4))*Q1-(4/(2*5000*6.4))*M1
y1a = 4166*10-5-16.7*10-5*Q1-6.25*10-5*M1
= -(M1/(K*IRR)+L1/(2*K*IRR)*Q1)= - 3.13*10-5*M1-6.25*10-5*Q1
Elemento  :
K *b
=(5000*1.2/(4*2500000*0.94))1/4 = 0.16 1/m
2= 4
4*E *I
se puede considerar viga semi-infinita.
2L2 = 0.16*20 = 3.2 >
1a
M1
Q1
Q1
M1
+
=
a

x
y2a = (2*Q1* /k)*F4( x)-(2*M1* 2/k)*F3( x)
y2a = 5.33*10-5*Q1-0.85*10-5*M1
2a
k =6000 t/m2
= -(2*Q1* 2/k)*F1( x)+(4*M1* 3/k)*F4( x)
-5
-5
2a = -0.85*10 Q1+0.21*10 *M1
no se considera el efecto de las cargas M1 y Q1 del otro extremo pues producen
e y aproximadamente cero en el punto a.
Por ecuaciones de compatibilidad :
y1a = y2a
y
1a = 2a
4166.7-16.7*Q1-6.25*M1 = 5.33*Q1-0.85*M1

-3.13*M1-6.25*Q1 = -0.85*Q1+0.27*M1


22.03*Q1+5.4*M1 = 4166.7
5.4*Q1+3.4*M1 = 0
Resolviendo el sistema:
M1 = -491.89 t*m
309.71
y
Q1 = 309.71 ton
309.71
491.84
491.84
a
d
b
20 m
Solo se consideran las secciones extremas y media.
En a)
Ma = -491.89 t*m
En d) debido a una carga vertical:
Md = -(Q1/ )*F2(1.6) = -(309.71/0.16)*0.2018 = -390.62 t*m
debido a un momento :
Md = -M1*F1(1.6) =-491.89*0.1954 = -96.36 t*m
luego
d
=
d
+
Md = -390.62*2
= -781.24 t*m
Md = -2*96.36
= -192.72 t*m
Md = -(781.24+192.72) = -973.96 t*m
Luego :
Diagrama de momento
+ a
d
- 491.89
-(1428.56)
[+1700
b
+
-973.96
-(4999.86)
[-800
Comentario:
Con rojo valores obtenidos si se considera la viga también infinitamente rígida.
Esto es por el lado de la seguridad pero es antieconómico.
Entre paréntesis cuadrados valores obtenidos si se consideran tirantes que unen los
muros (losas o vigas conectando los muros).
Solución: no hay giro en los puntos a y b.
En realidad los tirantes pueden ceder permitiendo un giro en a y b. Una solución
sería armar en a con 1700 t*m y con -491.89 t*m (para ponerse a cubierto).
Observación :
Si se hubiese supuesto que el elemento 2 también es infinitamente rígido implica
que
todo el sistema es infinitamente rígido, luego es una zapata rígida.(Este procedimiento
es válido si L < /4 )
24 m
2m 2m
a
d
28 m
2000 ton
2m
=
a
d
1000 ton
71.43 t/m
1428.56 t*m
Ma
71.43 t/m
= 2000/(28*1.2) = 59.52 t/m2 6 kgf/cm2
Ma = -1000*2+71.43*4*4/2 = -1428.86 t*m
Md = -1000*12+71.43*14*7 = -4999.86 t*m
El hecho de considerar el elemento como infinitamente rígido implica que se sobreestima mucho los momentos flectores.
En la realidad los tirantes (losas), impiden el giro
2a = 0
los pilares  (los elementos ), sólo descienden verticalmente.
2a
= -0.85*10-5*Q1+0.27*10-5*M1 = 0
y1a = y2a
(V-Q1)/(b*K*L1) = 5.33*10-5*Q1-0.85*10-5*M1
resolviendo las ecuaciones :
590 ton
590 ton
M1 = 1730 t*m
Q1 = 590 ton
1730 t*m
1730 t*m
a
d
Ma = 1730 t*m
Md = -800 t*m
Resumen :
M
Ma (t*m)
Md (t*m)
Rígido
-1428.56
-4999.86
VME con
-491.89
-973.96
VME sin
1730
-800
En el último cálculo se usó 2a = 0 . Si se hubiese tomado
mucho más difícil por la fuerza de los tirantes.
4.9.) Resuelva la viga de la figura.
1a
= 0, hubiese sido
x
P
A
Desarrollo :
1º) Se reemplaza por una viga infinita con las mismas solicitaciones de la viga dada,
más cargas Po y Mo que restituyen en las condiciones de borde en el extremo finito.
Po
x
Mo
P
2º) Determinación de Po y Mo
Po
=
Q= Po/2
M = Po/(4 )
Mo
+
Q= Mo /2
M = Mo/2
x
P
+
A
Q= (P/2)*D X
M = (P/(4 ))*C X
-Po/2-Mo* /2+(P/2)*D X = ?
Po/(4* )+Mo/2+(P/4* )*C X = 0
y(x=0) = Po* /(2*k)+0+P* /(2*k)*A
X
=0
Po=-P*A
Po= P*A
X
X
Mo/2 = (-P/(4* ))*C X-Po/(4* )
= (-P/(4* ))*C X+P*A X/(4* )
Mo = P*A X(2* )-(P/(2* ))*C X
= (P/(2* ))*(A X-C X)
A X-C
X
= e- X(sen x+cos x-cos x+sen x) = e- X2sen x = 2*B
X
Po = -P*A
X
y
Mo = (P/ )*B
X
3º) Encontrados Po y Mo, se resuelve por superposición :
P*A X (0.508P)
=
A
(P/ )*B
X
(0.31P/ )
+
x
P
+
y = -( /(2*k))*A X*P*A X+( 2/k)*B X*P*B X+(P* /(2*k))*A
X
y(x=0)= P* /(2*k)*(A X-A X2)+2*P* /(2*k)*B X2
= P* /(2*k)*(A X-A X2+B X2)
válido sólo en el origen.
Chequeo:
y(x=0)=0
O.K.
(1-120)=0
4º) Determinación de la flecha y momento en k.
x=1
P
x=0.6
k
B( x= 0.6) = 0.310
A( x=0.6)= 0.763
A( x=0.4)= 0.878
B( x=1)= 0.310
A( x=1)= 0.508
y = -(P* /(2*k))*0.763*0.508+(2*P* /(2*k))*0.3102+(P* /(2*k))*0.878
= (P* /(2*k))*0.683 = 0.341*P* /k
O.K.
(idem Hahn p303)
Si queremos determinar la presión en el punto k :
p = K*y = K*0.341*P* /k = 0.341*P* /b
Momento en el punto k ( x= 0.6)
Debemos suponer :
0.508*P
=
A
k
0.31*P/
+
A
k
x=1
P
+
A
k
M= -0.508*P/(4* )*C( x=0.6)+0.31*P/(2* )*D( x=0.6)+ P/(4* )*C( x=0.6)
= P/ *(-0.508*0.143/4+0.31*0.453/2+0.356/4)
= 0.141*P/
(O.K. Hahn p303)
5º) Determinación de la reacción en A.
RA se determina conociendo el corte en A:
Q(x=0)= 0.508*P/2-0.31*P/(2* )* +(P/2)*D( x=1)
= P*(0.508/2-0.31/2+0.199/2
= 0.199*P
(O.K. Hahn p302)
4.10.) Resuelva la viga semi-infinita de la figura. Determine y, M y Q para :
x= 0, 0.5, 1, 2, 3 y 5 m.
Datos:
P= 3 ton
b= 15 cm (ancho de la viga)
h= 20 cm (altura de la viga)
E = 300000 kgf/cm2
K = 5 kgf/cm3
Desarrollo :
k
3* K
=4
= (3*5000/(3*106*0.23))1/4 = 0.889 1/m
3
4*E *I
E *h
k = 5000*0.15 = 750 t/m2
De figura 10 Nafvac:
y = (2*P1* /k)*D X = 2*3*0.889/750*D X = 7.112*D X
(mm)
=
4
M = (-P1/ )*B
Q = -P1*C
x
x
m
0
0.5
1
2
3
5
0
0.445
0.889
1.778
2.667
4.446
X
X
= -3/0.889*B
= -3*C
y
X
= -3.375*B
(t*m)
X
(ton)
X
DX
*1000
mm
BX
*1000
1000
578
259
-35
-62
-3
7.1
4.1
1.8
-0.2
-0.4
0
0
276
319
165
32
-11
M
t*m
C
X
*1000
0
1000
-0.93
303
-1.08 -60
-0.56 -200
-0.11
-94
0.04
8
Q
ton
-3
-0.91
0.18
0.60
0.28
-0.02
3 ton
1
2
3
4
5
x
y (mm)
(-)
M (t*m)
x
Q (ton)
-1
(-)
x
-2
-3
4.11.) Se tiene un pórtico (marco) cimentado en una zapata corrida de hormigón armado de
10 m de longitud, 2 m de ancho, un canto (altura) de 1.5 m y una densidad de 2.4 t/m3.
Cada pilar transmite en su eje geométrico situado a 40 cm del extremo de la viga, una carga
vertical de P= 100 ton. y un momento hacia afuera de la zapata de M= 50 t*m. El
coeficiente de balasto del terreno se supone igual a 6 kgf/cm3 y el módulo de elasticidad del
hormigón de 200000 kgf/cm2.
Se pide calcular las presiones debajo del eje de cada pilar.
eje pilar
P
pórtico
o marco
P
M
M
1.5m
A
10 m
B
Desarrollo:
100 ton
100 ton
50 t*m
50 t*m
1.5m
0.4
A C
0.0908
0.1
=
4
K *b
4*E *I
9.2
2.088
2.1
0.4
(m)
D
B
0.0908
0.1
K = 6 kgf/cm3 = 6000 t/m3
E = 200000 kgf/cm2 = 2*106 t/m2
I = 2*1.53/12 = 0.5625 m4
=
6000 * 2
= 0.227 1/m
 = 0.227*10 = 2.27 <
4 * 2 * 10 6 * 0.5625
Se debe tratar como viga finita (es viga de longitud media)
4
100t
100t
50t*m
P0A
50t*m
A
B
100t
50t*m
-
M0A
=-
100t
A
100t
50t*m
P0B
M0B
A
B
P0A
P0B
50t*m
B
100t
M0A
+-
A
Caso Cargas reales
(Caso A)
=
M0B
B
Caso Cargas ficticias
(Caso B)
Condiciones de borde: en A MAT= 0
en B MBT= 0
con esto se encuentra P0A, M0A, P0B, M0B
QAT= 0
QBT= 0
a) Caso A se puede descomponer en la suma de los siguientes casos:
100 ton
-
+
A
B
0.1
2.2
MA=100/(4*0.227)*F3(0.1)= 110.13*0.81=89.21 t*m
QA=100/2*F4(0.1)=50*0.9003=45.02 ton
MB=100/(4*0.227)*F3(2.2)= 110.13*-0.1548= -17.05 t*m
QB=-100/2*F4(2.2)=-50*-0.0652=3.26 ton
50 t*m
+
A
B
0.1
2.2
MA=-(-50/2)*F4(0.1)= 22.51 t*m
QA= -(-50*0.227/2)*F1(0.1)=5.62 ton
MB==-(-50/2)*F4(2.2)= 1.63 t*m
QB=-(-50*0.227/2)*F1(2.2)=10.138 ton
100 ton
-
+
A
B
2.2
0.1
MA=100/(4*0.227)*F3(2.2)= -17.05 t*m
QA=100/2*F4(2.2)= -3.26 ton
MB=100/(4*0.227)*F3(0.1)= 89.21 t*m
QB=-100/2*F4(0.1)=-45.02 ton
50 t*m
A
B
2.2
0.1
MA= (-50/2)*F4(2.2)= 1.63 t*m
QA= (-50*0.227/2)*F1(2.2)=-0.138 ton
MB==(50/2)*F4(0.1)= 22.51 t*m
QB=-(-50*0.227/2)*F1(0.1)=-5.62 ton
Luego del caso A:
MA=89.21+22.51-17.05+1.63= 96.3 t*m
MB=-17.05+1.63+89.21+22.51= 96.3 t*m
QA=45.02-3.26+5.62-0.138= 47.24 ton
QB=3.26+0.138-45.02-5.62= -47.24 ton
A
B
A
B
b) Caso B se puede descomponer en la suma de los siguientes casos:
P0A
+
A
B
2.3
M‟A= P0A/(4*0.227)*F3(0)= 1.10P0A
Q‟A= -P0A/2*F4(0)=-0.5P0A
M‟B= P0A/(4*0.227)*F3(2.3)= -0.156P0A
Q‟B= -P0A/2*F4(2.3)=0.0334P0A
M0A
+
A
B
2.3
M‟A= M0A/2*F4(0)= 0.5M0A
Q‟A= -M0A*0.227/2*F1(0)=-0.1135M0A
M‟B= M0A/2*F4(2.3)= -0.0334M0A
Q‟B= -M0A*0.227/2*F1(2.3)= -0.004M0A
P0B
+
A
B
2.3
M‟A= -0.156P0B
Q‟A=-P0B/2*F4(2.3)= 0.0334P0B
M‟B=1.10P0B
Q‟B=-P0B/2*F4(0)= -0.5P0B
M0B
A
B
2.3
M‟A= -M0B/2*F4(2.3)= 0.0334M0B
Q‟A= M0B*0.227/2*F1(2.3)= 0.004M0B
M‟B== -M0B/2*F4(0)= -0.5M0B
Q‟B= M0B*0.227/2)*F1(0)= 0.1135M0B
Luego
M‟A= 1.1P0A+0.5M0A-0.156P0B+0.0334M0B
Q‟A= -0.5P0A-0.1135M0A+0.0334P0B+0.004M0B
M‟B= -0.156P0A-0.0334M0A+1.1P0B-0.5M0B
Q‟B= 0.0334P0A-0.004M0A-0.5P0B+0.1135M0B
MAT=0
MBT=0
QAT=0
QBT=0
Por simetría:
P0A = P0B = P0
MA+M‟A = 0
MB+M‟B = 0
QA+Q‟A = 0
QB+Q‟B = 0
y
M‟A = 0.944P0+0.47M0
Q‟A = -0.47P0-0.1174M0
M‟B = 0.944P0+0.47M0
Q‟B = -0.47P0-0.1175M0
M‟A = -96.3
M‟B = -96.3
Q‟A = -47.24
Q‟B = 47.24
M0A = -M0B = M0
96.3+0.944P0+0.47M0 =0
47.24-0.47P0-0.1175M0 =0
11.32+0.111P0+0.055M0 = 0
22.2-0.22P0-0.055M0 = 0
33.52-0.11P0 = 0
P0 = 305 ton
11.32+0.111*305+0.055M0 = 0
M0 = -821.4 t*m
* 0.1175
* 0.47
Luego:
305ton
-
100ton
100 ton
50 t*m
50 t*m
305ton
820t*m
820t*m
0.1
2.1
0.1
820t*m
Y1
Y2
y
1
305ton
y2
100ton
Y3
y3
50t*m
Y4
y4
820t*m
Y5
y5
305ton
Y6
y6
100ton
Y7
y7
Y8
50t*m
y8
4.12.) Determine el momento flector en A y B para la tubería indicada en la figura.
Para tal efecto desprecie el peso propio de la tubería.
V=10ton
E=2.1*10 6 kgf/cm2
A
B
I= 1.5*10 6 cm4
B = 1.0 m(ancho equiv.)
2.5m 2.5m
K=20 kgf/cm 3
Nota: Para una viga simplemente apoyada con una carga concentrada aplicada
en el centro del vano se tiene :
P
E,I
B
A
A
L/2
A=
PL2 /(16EI)
B=
- PL2/(16EI)
L/2
Para una viga simplemente apoyada con momentos aplicados en sus extremos:
E,I
M
A
B M
A
A=
ML/2EI
B=
- ML/2EI
L
Desarrollo :
q
V
q
L
q : sobrecarga debido al pp
del suelo sobre la tubería
(no da momento)
V
MA
MB
V/2
I
V/2
V/2
V/2
MA
MB
II
Por simetría MA = MB = M
=
4
b=B
K *b
= (20*100)/(4*2.1*106*1.5*106)1/4 = 3.5495*10-3 1/cm
4*E *I
Compatibilidad de deformaciones
Determinación de
B
I
B
I
=
B
II
:
V
B1
B1=
- VL2/(16EI)
B2
M
M
Luego
B
I
=
B1+ B2=
Determinación de
B
II
B2=
-VL2/16EI-ML/2EI
- ML/2EI
(1)
:
V/2
M
x
V/2
=
+
M
x
x





= -2(V/2) 2/k A
= 4M 3/k D X
x=0
A X=1
X

y
D
X
=1
Luego:
B
= +  = -V 2/k+4M 3/k
-VL2/16EI-ML/2EI = -V 2/k+4M 3/k
4
4
= k/4EI
/k = 1/4EI
2 2
-VL /4+V = 4M +2ML 2
M = V(1-L2 2/4)/(4 +2L 2)
= 10*(1-5002*(3.5495*10-3)2/4)/(4*3.5495*10-3+2*500*(3.5495*10-3)2)
B
I
II
=
B
II
M = 79.32 t*cm
4.13.) Se requiere una viga de fundación muy flexible con cargas P=3 ton aplicadas en un
extremo y al centro.
a) Diseñe la viga (ancho, longitud y altura)
b) Calcule y dibuje la posición deformada de la viga a intervalos de 1 metro.
k= 3 kgf/cm3
E = 200000 kgf/cm2
P
P
L=?
Nota: Exprese los resultados de la deformación en mm.
Desarrollo:
a) Una viga muy flexible significa: L >
K *b
=4
4*E *I
para una viga de sección rectangular:
3* K
=4
E * h3
K = 3 kgf/cm3
E = 200000 kgf/cm2 (en el rango de trabajo del hormigón)
i) Sea b= 30 cm
L= 600 cm y h= 30 cm
L=6.39*10-3*600
= 3.83 >
O.K.
ii) Sea b= 30 cm
L= 600 cm y h= 25 cm
L=7.33*10-3*600
= 4.4 >
O.K.
3 ton
3 ton
6m
b) Determinación de la deformada:
2* P*
y1 =
*D X
(carga en el extremo)
K *b
P*
y2 =
*A X
(carga en el centro)
2 * K *b
x (cm)
0
100
200
300
400
500
600
y1 (mm)
4.88
1.75
0.12
-0.32
-0.26
-0.11
-0.02
y2 (mm)
0.03
0.31
0.83
1.22
0.83
0.31
0.03
y=y1+y2 (mm)
4.91
2.06
0.95
0.90
0.57
0.20
0.01
0
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
4.14.) Las zapatas rígidas transmiten a la viga de fundación, un momento de 0.7 t*m.
Calcule y dibuje el diagrama de presiones de contacto en la base de las zapatas.
V = 25 ton (incluye peso propio)
=0.8 (1/m)
K z=3kg/cm3
Kv=4kg/cm3
25 ton
25 ton
0.8
Kv
1m
5m
1m
1.0 m
Kz
0.3 m
Desarrollo:
Q1,M1
Q1,M1
kv,bv
A
1o)
q = (V-2Q1)/A
B
kz,bz
q=?
el problema se reduce a determinar Q1
2o) Determinación de Q1 aplicando teoría VME (y compatibilidad yA=yB)
yA = 2Q1 /(kvbv)-2M1 2/(kvbv)
= 2*Q1*0.8/(4000*0.3)-2*0.7*0.82/(4000*0.3)
1000*yA = 1.33*Q1-0.75
3o) Determinación de yB
yB = q/kz = (V-2Q1)/A /kz = (25-2Q1)/1 /3000
1000yB = 25/3-2Q1/3
4o)
yA=yB
Q1
1.33Q1-0.75 =25/3-2Q1/3
2Q1 = 9.08
Q1 = 4.54 ton
5o) Sustituyendo Q1 en 1o:
q = (25-2*4.54)/1 = 15.92 t/m2
6o) La determinación de M1 se hace considerando que
viga.
v
= 0 en el extremo de la
y
v
= -2Q1 2/k+4M1 3/k = 0
M1 = 0.63Q1
y
7o) Lo correcto es considerar que por agrietamiento de la sección. M1
0
4.15.) Para la viga semi-infinita, con apoyo rotulado en el extremo, indicada en la figura,
se pide :
a) Encontrar y, M, Q para un caso general.
b) Encontrar y, M, Q para las siguientes condiciones :
b = 30 cm
h = 20 cm
K = 3 kgf/cm3 = 3000 t/m3
E = 200000 kgf/cm2
M1 = 1 t*m
Graficar para : x = 0 , 0.5 , 1 , 1.5 , 2 , 3 , 5 , 7 , 10 (m)
M1
Desarrollo :
a)
M1
R
M1
=
+
R
Ambos casos están resueltos en figura 10 Nafvac.
2 * M1 * 2
2*R*
y=*C X+
*D X
k
k
Determinación de R:
Se aplican condiciones de borde : y(x=0)=0
C 0=D 0=1
R = M1* = 1*0.866 = 0.87 ton
2 * M1 * 2
2 * M1 * 2
2 * M1 *
*C X+
*D X =
k
k
k
D X-C X = e- X*(cos x-cos x+sen x) = B X
2 * M1 * 2
y=
*B X
k
M = M1*A X-(M1* / )*B X = M1*(A X-B X)
M = M1*D X
y=-
Q = -2*M1* *B X-M1* *C X = -M1* *(2*B X+C X)
2*B X+C X = e- X*(2*sen x+cos x-sen x) = A
Q = -M1* *A X
X
b) Para una viga de sección rectangular :
3* K
=4
= (3*3000/(2*106*0.23))1/4 = 0.866
3
E *h
k = K*b = 3000*0.3 = 900 t/m2
x
x
m
1000
B
X
1000
mm
y
D
X
1000
0
0.5
1
1.5
2
3
5
7
0
433
866
1299
1732
2598
4330
6062
0
272
320
263
175
38
-12
-1
0.00
0.45
0.53
0.44
0.29
0.06
-0.02
0
1000
589
273
73
-28
-64
-5
2
M
t*m
A
X
1000
1
1000
0.59
861
0.27
593
0.073
336
-0.028
146
-0.064
-25
-0.005
-17
0.002
2
Q
ton
-0.087
-0.75
-0.51
-0.29
-0.13
0.02
0.015
0
2
*(D X-C X)
10
8660
0
0
0
y = (2*M1* 2/k)*B
X
M = M1*D
X
X
=1*D
0.2
2
3
0
= (2*1*0.8662/900)*B
Q = -M1* *A X = 0.866*A
M= 1 t*m
1
0
0
X
= 1.667*B
X
X
5
7
10
x
0.4
y (mm)
x
0.5
M(t*m)
1
Q (ton)
x
-1
4.16.) Una fundación bajo la cepa de un puente, tiene un ancho b = 2 m.
a) Modele el sistema de cargas que recibe la fundación.
b) Determine el momento, el corte, el asentamiento y la presión de contacto al centro
de la fundación.
7 m
36 ton
Cepa
e = 0.8 m
= 2.4 t/m3
1.3m
18 ton
Fundación
18 ton
K = 12 kgf/cm 3
E = 250000 kgf/cm2
¡ No considere el peso propio
de la fundación !
12 m
15 m
Desarrollo :
=
4
k
=
4*E *I
4
3* K
= (3*12000/(2.5*106*1.33))1/4 = 0.2845 1/m
E * h3
L = 15*0.2845 = 4.268 >
a) Modelación :
Peso cepa/m = 7*1*0.8*2.4 = 13.44 t/m
Cargas puntuales :
(18+36+18)/12 = 6 t/m
viga larga
12 m
q=19.44t/m
1.3
Carga total : q = 19.44 t/m
A
15 m
B
b) Se deben determinar P0A, P0B, M0A y M0B para usar las fórmulas de viga
infinita.
P0A
P0B
M0A
M0B
A
x
x= x
0.42675
3.8408
4.2680
1.7070
2.1338
B
0.42675
F1
0.8642
-0.303
-0.0187
0.1551
0.0369
3.4140
F2
0.2701
-0.0138
-0.0126
0.1797
0.1001
0.42675
F3
0.3240
-0.00262
0.0066
-0.2044
-0.1633
F4
0.5941
-0.0164
-0.0060
-0.0246
-0.0632
MA = -q/(4* 2)*(F2(0.4268)-F2(3.8408)) = -19.44/(4*0.28452)*(0.2701+0.0138)
= -17.05 t*m
MB = q/(4* 2)*(F2(3.8408)-F2(0.4268)) = 19.44/(4*0.28452)*(-0.0138-0.2701)
= - 17.05 t*m
QA = q/(4* )*(F3(0.4268)-F3(3.8408)) = 19.44/(4*0.2845)*(0.324+0.00262)
= 5.58 ton
QB = q/(4* )*(F3(3.8408)-F3(0.4268)) = 19.44/(4*0.2845)*(-0.00262-0.324)
= -5.58 ton
1/(4* ) = 0.8787
17.05 = 0.8787*P0A+0.5*M0A+0.0058P0B-0.003*M0B
-5.58 = -0.5*P0A-0.1423*M0A-0.003*P0B-0.0027*M0B
17.05 = 0.0058*P0A-0.003*M0A*0.8787*P0B+0.5*M0B
5.58 = 0.003*P0A+0.0027*M0A+0.5*P0B+0.1423*M0B
P0A = 2.4726
P0B = 2.4726
M0A = 29.9054
M0B = 29.9054
La viga infinita equivalente que hay que resolver es lo siguiente :
2.47
2.47
29.91
29.91
q=19.44 t/m
Cargas
Momento
Reales
M0A
M0B
Q0A
Q0B
0.795
1.1048
1.1048
-0.8693
-0.8693
1.266 t*m
Centro
Corte
Asentam.
0
-1.704
1.704
0.403
-0.403
0
0.79
0.07
0.07
0
0
q3
(t/m2)
0.93 mm 11.16
Cargas reales :
Mc = q/(4* 2)*(F3(0.2845*6)+F3(0.2845*6))
= q/(4* 2)*(F3(1.707)+F3(1.707)) = -24.54 t*m
Qc = q/(4* )*(F3(1.707)-F3(1.707)) = 0
Vc = q/(2*K)*(2-F4(1.707)-F4(1.707)) = 0.79 mm
M0A:
Mc = M1*F1(2.1338) = 29.91*0.0369 = 1.1048
Qc = -(2*M1* )*F2(2.1338) = -2*29.91*0.2845*0.1001 = -1.704
yc = -(2*M1* 2/K)*F3(2.1338) = (-2*29.91*0.28452/12)*(-0.1633)= 0.07
P0A :
Mc = (-P1/ )*F2(2.1338) = (-2.47/0.2845)*0.1001 = -0.8693 t*m
Qc = -P1*F3(2.1338) = -2.47*(-0.1633) = 0.403
yc = (2*P1* /K)*F4(2.1338) = 2*(2.47*0.2845/12)*(-0.0632)= -0.007
4.17.) Determinar la deformación y la presión de contacto en A, B, y C de la viga en
medio elástico.
0.75 m
1.2 m
0.5 m
P = 2.27 ton
P
q = 1.78 t/m
q
0.25m
K= 5500 t/m3
0.2m
6
2
E = 10 t/m
A
C
B
corte
1.5 m
1.5 m
Desarrollo :
Viga finita en medio elástico.
Se resuelve usando viga infinita.
P0A
P
P0B
q
M0A
A
M0B
B
En A y B, debido a P0A, P0B, M0A y M0B se pierde continuidad de la viga
infinita.
MA+P0A/(4* )+P0B/(4* )*C L+M0A/2+(M0B/2)*D L = 0
QA-P0A/2+(P0B/2)*D L- *M0A/2+( *M0B/2)*A L = 0
MB+P0A/(4* )*C L+P0B/(4* )+(M0A/2)*D L+M0B/2 = 0
QB-(P0A/2)*D L+P0B/2-( *M0A/2)*A L+ *M0B/2 = 0
k = K*b = 5500*0.25 = 1375 t/m2
I = b*h3/12 = 0.25*0.23/12 = 1.66*10-4 m4
=
4
k
= (1375/(4*106*1.66*10-4))1/4 = 1.2 1/m
4*E *I
L = 1.2*3 = 3.6 >
Debido a P :
podemos utilizar el sistema de resolución
mediante viga infinita
M = P/(4* )*C
X
Q = (-P/2)*D
X
En el extremo A :
x = 0.76 m
x = 1.2*0.76 = 0.912, entramos con este valor a tabla
o gráfico y determinamos C X y D X :
C X = -0.0718
y
D X = 0.2459
(interpolación lineal en tablas)
MAP = 2.27/(4*1.2)*(-0.0718) = -0.0339 t*m
QAP = (2.27/2)*(0.2459) = 0.279 ton
En el extremo B :
x = 2.24 m
x = 1.2*2.24 = 2.688
C X = -0.0910
y
D X = -0.0612
MBP = 2.27/(4*1.2)*(-0.0910) = -0.043 t*m
QBP = -(2.27/2)*(-0.0612) = 0.0695 ton
Debido a q :
En el extremo A :
MAq = (-q/(4* 2))*(B a-B b)
a
b
QAq = (q/(4* ))*(C a-C b)
a = 1.3 m
a = 1.56
b = 2.5 m
b = 3.00
En la tabla:
B a = 0.2101
C a = -0.2079
B b = 0.0071
C b = -0.0563
MAq = -1.78/(4*1.22)*(0.2101-0.0071) = -0.0627 t*m
QAq = 1.78/(4*1.2)*(-0.2079-(-0.0563)) = -0.0562 ton
En el extremo B :
MBq = (q/(4* 2))*(B a-B b)
QBq = (q/(4* ))*(C a-C b)
a = 1.7 m
a = 2.04
b = 0.5 m
b = 0.6
En la tabla:
B a = 0.116
C a = -0.1748
B b = 0.3099
C b = 0.143
MAq = 1.78/(4*1.22)*(0.116-0.3099) = -0.0599 t*m
QAq = 1.78/(4*1.2)*(-0.1748-0.143) = -0.1178 ton
Calculamos MA, MB, QA y QB para reemplazar en sistema de ecuaciones.
MA = MAP+MAq = -0.0966 t*m
QA = QAP+QAq = 0.2228 ton
MB = MBP+MBq = -0.1029 t*m
QB = QBP+QBq = -0.0483 ton
Reemplazando en el sistema se obtiene lo siguiente :
208*P0A-3*P0B+500*M0A-12*M0B = 97
500*P0A+12*P0B+600*M0A+22*M0B = 223
-3*P0A+208*P0B-12*M0A+500*M0B = 103
12*P0A+500*P0B+22*M0A+600*M0B = 48
luego se obtiene :
P0A = 0.37 ton
P0B = -0.33 ton
0.37 ton
M0A = 0.02 t*m
M0B = 0.35 t*m
0.33 ton
P
q
0.02 t*m
A
carga
C
0.35 t*m
B
yb (*10-5 m)
ya
yc
P
q
P0A
P0B
M0A
M0B
56
2
16
1
0
0
57
73
2
-2
0
6
-3
33
0
-14
0
0
y
75
136
16
pc
4.13
7.48
0.88
(*10-5 m)
(t/m2)
4.18.) Determinar Mmáx, Ymáx y los puntos donde se producen.
5.6 m
P1
P2
P1 = 30 ton
P2 = 50 ton
1
H.A.
K = 5000 t/m3
E = 230*104 t/m2
0.3
0.6m
5m
0.6m
Desarrollo :
=
4
K *b
4*E *I
I = 1*0.33/12 = 0.00225 =2.25*10-3
= (5000*1/(4*230*104*2.25*10-3))1/4 = 0.701
L = 0.701*5.6 = 3.93 >
semi-infinita
1º) Cálculo de P1‟ y P2‟ :
P1‟ = P1+1*1*2.4*0.3 = 30.72 ton
P2‟ = P2+1*1*2.4*0.3 = 50.72 ton
2º) Momento:
30.72
50.72
M = (-P/ )*B X = (-V/ )*F2( x)
M(P1) = -(30.72/0.7)*B X = -43.89*B
M(P2) = -(50.72/0.7)*B X = -72.46*B
Cálculo B
x
X
yD
x
0
0
0.25L 0.9814
0.5L 1.9628
0.75L 2.944
1L
3.926
+
X
=
X
X
B
X
0
0.3116
0.1298
0.0103
-0.0131
D
1
0.208
-0.054
-0.051
-0.0139
X1/L
0
0.25
0.5
0.75
1
X2/L
1
0.75
0.5
0.25
0
M(P1)
M(P2)
M(Pi)
luego Mmáx
0
-13.68
1.007 -0.746
1.007 -14.43
23.05 t*m en x
-5.696
-9.405
-15.1
-0.452
-22.58
-23.05
0.061
0
0.061
4.2 m
y = (2*P* /K)*D X = (2*V* /K)*F4( x)
y(P1) = (2*30.72*0.701/5000)*D X = 0.00861*D
y(P2) = (2*50.72*0.701/5000)*D X = 0.01422*D
X
X
X1/L
0
0.25
0.5
0.75
1
X2/L
1
0.75
0.5
0.25
0
8.4*10-3
13*10-3
y(q) = q/K = 0.3*1*2.4/5000 = 0.72/5000 = 1.44*10-4
y(P1)
y(P2)
8.61
-0.2
1.8
-0.72
-0.46
-0.76
-0.44
3
-0.11
14
8.4
1.08
-1.2
2.96
12.9
(*10-3)
(*10-3)
(*10-3)
Ymáx = 13.0*10-3 en x = 5.6 m (bajo P2).
4.19.) Para la viga de hormigón armado, se pide determinar el asentamiento en A.
K = 7 kgf/cm3
q = 5 t/m
2
E = 300000 kgf/cm
h = 0.5 m
A
B
b = 0.7 m
2m
Desarrollo :
4m
=
4
3* K
= (3*7000/(3*106*0.53))1/4 = 0.4865
3
E *h
L = 1.946
/4 <
L <
viga de longitud intermedia.
1º) La viga es igual a :
P0A
x= 0.973
P0B
M0A
+
A
B
2º) Determinación de P0A , P0B , M0A y M0B.
2.a) Momento y corte producidos por las cargas reales.
MA = q/(4* 2)*(B a+B b)
QA = q/(4* )*(C a-C b)
en que a = 0 y b = 2 m
MA = 5/(4*0.48652)*(0+B(0.973)) = 5.281*0.3124 = 1.65 t*m
QA = 5/(4*0.4865)*(1-C(0.973)) = 2.569*(1.0997) = 2.83 ton
MB = q/(4* 2)*(B a-B b)
M0B
QB = q/(4* )*(C a-C b)
en que a = 4 m y b = 2 m
MB = 5.281*(B(1.946)-B(0.973)) = 5.281*(0.1329-0.3124) = -0.948 t*m
QB = 2.569*(C(1.946)-C(0.973)) = 2.569*(-0.1853-(-0.0997)) = -0.22 ton
Recordemos que MA , QA , MB y QB , son los momentos y cortes producidos por las
cargas reales (q=5 t/m) en la viga infinita.
2.b) Ecuaciones :
1/(4* ) = 0.5139
/2 = 0.2433
D(1.946) = -0.0523
( /2)*A(1.946) = 0.2433*0.0806 = 19.61*10-3
(1/(4* )*C(1.946) = 0.5139*(-0.1853) = -95.23*10-3
1.65+0.5139*P0A+0.5*M0A-95.23*10-3*P0B-26.15*10-3*M0B = 0
2.83-0.5*P0A-0.2433*M0A-26.15*10-3*P0B+19.61*10-3*M0B = 0
-0.948-95.23*10-3*P0A-26.15*10-3*M0A+0.5139*P0B+0.5*M0B = 0
-0.2226.15*10-3*P0A-19.61*10-3*M0A+0.5*P0B+0.2433*M0B = 0
Resolviendo el sistema :
P0A = 16.68 ton
P0B = -6.38 ton
M0A = -21.106 t*m M0B = 10.53 t*m
3º) Se resuelve por superposición (Veamos 0 < x < 2 , y1)
Determinación de la elástica en el tramo cargado.
3.a) Debido a la viga infinita con carga uniforme.
y1 = q/(2*k)*(2-D a-D b)
0<x<2
y2 = -q/(2*k)*(D a-D b)
2<x<4
q/(2*k) = 5/(2*7*0.7) = 0.51
a
0
0.5
1.0
1.5
2.0
b
a
2
1.5
1.0
0.5
0.0
0.0
0.2433
0.4865
0.7298
0.793
b
0.973
0.7298
0.4865
0.2433
0.0
3.b) Debido a P0A :
y1 = P* /(2*k)*A
Debido a M0A :
y1 = -(Mo* 2/k)*B
X
D a
0 < x < 0.973
0.973 < x < 1.946
D b
1.00
0.2127
0.7609 0.3592
0.5434 0.5434
0.3592 0.7609
0.2127
1.00
0.7873
0.8799
0.9132
0.8799
0.7873
= 16.68*0.4865/(2*7*0.7)*A
X
y1 mm
2-D a-D b
X
0.402
0.449
0.466
0.449
0.402
= 0.828*A
= -(21.106*0.48652/(2*7*0.7))*B
X
X
= -1.0195*B
X
x
0
0.5
1.0
1.5
2.0
x
0
0.2433
0.4865
0.7298
0.973
AX
1.0000
0.9498
0.8309
0.6806
0.5251
3.c) Debido a P0B :
y1 = -P* /(2*k)*A
Debido a M0B :
y1 = (Mo* 2/k)*B
z
x
2
1.5
1.0
0.5
0
0
0.5
1.0
1.5
2.0
z
0.973
0.7298
0.4865
0.2433
0
Z
Z
BX
0.0000
0.1889
0.2874
0.3214
0.3124
y1 = 0.828*A X-0.10195*B
= -4.09*0.4865/(2*7*0.7)*A
Z
= (8.09*0.48652/(2*7*0.7))*B
A
Z
0.5251
0.6806
0.8309
0.9498
1.0000
B
X
0.828
0.594
0.395
0.236
0.116
Z
0.3124
0.3214
0.2874
0.1889
0.0000
Z
= -0.203*A
Z
= 0.391*B
Z
y1 = -0.203*A Z+0.391*B
Z
0.016
-0.012
-0.056
-0.119
-0.203
3.d) Sumando todos los efectos anteriores :
x
0
0.5
1.0
1.5
2.0
y1 (mm)
1.25
1.0
0.81
0.57
0.32
Chequear: Debiera cumplirse MA = 0
4.20.) Se tiene la siguiente viga flotante :
P=80 ton
P=80 ton
Despreciar peso propio de viga.
Ancho de viga b= 1.5 m
= 0.002 1/cm
2m
6m
2m
Encontrar la presión en el suelo y el momento flector bajo las cargas.
(Usar tablas del Hahn)
Nota: En el libro se utiliza la siguiente notación con respecto a la del curso.
Hahn a
C
J
= a*
Curso
K
I
L
P1
P2
Desarrollo :

L = 0.002*1000 = 2
es decir: (Hahn) = 2.0
Tabla 7
i) Cálculo de presión y momento en 
con P1 = 80 ton
xi/L = 2/10=0.2
p = 2.11
xo/L = 2/10=0.2
100 M = 5.15
con P2 = 80 ton
xi/L = 8/10=0.8
xo/L = 2/10=0.2

= -0.08
100 M = -1.04
p
p1-1= -2.11*80/(1.5*10) = 11.253
M1-1= 5.15*80*10/100=41.2
p1-2= -0.08*80/(1.5*10) = -0.427
M1-2= -1.04*80*10/100=-8.32
= 11.253-0.427 = 10.826 t/m2
M1 = 41.2-8.32 = 32.88 t*m
Luego:
1
ii) Cálculo de presión y momento en 
con P1 = 80 ton
xi/L = 2/10=0.2
p = -0.08
xo/L = 8/10=0.8
100 M = -1.04
con P2 = 80 ton
xi/L = 8/10=0.8
xo/L = 8/10=0.8
p = -2.11
100 M = 5.15
p2-1= -0.08*80/(1.5*10) =-0.427
M2-1= -1.04*80*10/100=-8.32
p2-2= 2.11*80/(1.5*10) = 11.253
M2-2= 5.15*80*10/100= 41.2
= -0.427+11.253= 10.826 t/m2
M2 = -8.32+41.2= 32.88 t*m
Luego:
2
P = 80 ton
P = 80 ton

2
con

6
2
= 2 Usando tabla 20
L = 10 m
0.2*L = 2 m
b = 1.5 m
= 2.0 , xi/L = 0.2
0.2L
P
L

x/L = 0.2

=
-2.11
p
100 M = 5.15
x/L =0.8
= -0.08
100 M = -1.04
( en )
( en )
p
Luego :
= (2.11*80)/(1.5*10)+(-0.08*80)/(1.5*10) = 10.826 t/m2
2= 1
M1 = M2 = 5.15*80*10/100-1.04*80*10/100 = 32.88 t*m
1
4.21.) Se tiene la siguiente viga en medio elástico.
Despreciar peso propio de viga y suponer = 0.3 1/m
70 ton
A
100 ton
1
1.5
2
3
4.5
130 ton
4
5
60 ton
6
3.0
B
7
4.5
1.5
15 m
Se pide determinar valor de momento flector y hacer diagrama de él.
Determine los valores del momento flector en A, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y B.
Hacer uso de tablas del Hahn.
¿Cómo lo resolverían analíticamente?. Encuentre el momento en 3 analíticamente.
Desarrollo :
70 ton
100 ton
130 ton
60 ton
1
1.5
2
3
4.5
4
5
3.0
4.5
15 m
L = 0.3*15 = 4.5
6
tabla 12
7
1.5
xo/L
Cargas
0
0.1
0.25
0.40
0.50
0.60
0.75
0.90
A
1
2
3
4
5
6
7
1.0
B
0
-0.21
0
0
-3.3
0
0
-0.78
0
0
21.42
0
0
17.13
xi/L=0.9
0.0238 -0.0004 -0.0022 -0.0002
60 ton 0 0
-14.85 34.13 26.25 -17.33
-0.0232 0.0557 -0.0021 -0.0096
74.51 -20.88 108.62 -3.15 -10.08
130 ton 0 0
xi/L=0.6
28.2
ton 0 0
xi/L=0.4
-0.0165 0.0175 0.0175 -0.0165
0 0
-0.0096 -0.0021 0.0557 -0.0232
83.55 -24.36
46.45 -8.64
-4.1
xi/L=0.1
-0.01905
-20
70 ton
-0.0002 -0.0022 -0.0004 0.0238
-0.6
24.99
19.92 -0.18 -4.29
Coef. Mom Coef. Mom Coef. Mom Coef. Mom Coef. Mom Coef. Mom Coef. Mom Coef. Mom Coef. Mom
0
4.22.) Para la viga semi-infinita mostrada :
a) Encuentre una expresión para la elástica (y) (para puntos dentro del intervalo cargado)
b) Evalúe la elástica en el origen para :
K = 2 kgf/cm3
q = 7 t/m
E = 250000 kgf/cm2
h = 15 cm
b = 20 cm
=2m

Desarrollo :
1º) Se reemplaza por una viga infinita con las mismas solicitaciones de la viga semiinfinita más cargas Po y Mo que restituyan las condiciones existentes en el extremo
finito.
MA(result)=0
QA(result)=0
P0
M0
2º) Determinación de P0 y M0.
=
M
Q
Q = q/(4* )*(1-C )
M = q/(4* 2)*(B )
Po
Mo
+
M
Q
Q = Po/2+Mo* /2
M = Po/(4* )+Mo/2
aplicando condiciones de borde :
(1)
q/(4* )*(1-C )-Po/2-Mo* /2 = 0
(2)
q/(4* 2)*B +Po/(4* )+Mo/2 = 0
de (1) :
Po = q/(2* )*(1-C )-Mo*
sustituyendo en (2) :
Mo = q/(4* 2)* C -2*B -1
Po = (q/ )* 1+B -C 
3º) Encontrados Po y Mo se resuelve por superposición.
a
b
q
=
(q/ )* 1+B -C

+
q/(4* 2)* C -2*B -1
+
Para 0
x
 :
y = (q/2k)*(2-D a-D b)+( *2k)*(q/ )*(1+B -C )*A X
+( 2/k)*(q/2 2)*(C -2*B -1)*B X
y = (q/2k)*(2-D a-D b+A X+B *A X-C *A X+C *B X-2*B *B X-B X)
M = q/(4* 2)*(B a-B b)+(C X/4* )*(q/ )* 1+B -C
+(D X/2)*(q/(4* 2))* C -2*B -1
Q = q/(4* )*(C a-C b)-(D X/2)*(q/ )* 1+B -C


-( /2)*(A X*q/(2* 2))* C -2*B -1
b) Evalúe la elástica para x = o y x = 
x
-5
-1
-0.5
0.5
1
5
=
4
A
184.416
-0.819
0.656
0.823
0.508
-0.005
B
142.317
-2.287
-0.79
0.291
0.310
-0.006
C
-100.218
3.750
2.237
0.241
-0.111
0.008
D
42.099
1.469
1.447
0.532
0.199
0.002
3* K
= (3*2000/(2.5*106*0.153))1/4 = 0.9183
3
E *h
y (x=0) = q/(2*k)*(2-1-D )+q/(2*k)*(C -2*B -1)*0+q/(2*k)*(1+B -C )*1
= q/(2*k)*(1-D +1+B -C ) = q/(2*k)*(2+B -C -D )
B -C -D  = e- *(sen -(cos -sen )-cos )
= e- *(2*sen -2*cos )
= 2*e- *(sen -cos ) = -2*e- *(cos -sen )
= -2*C 
y(x) = q/(2*k)*(2-2*C ) = q/k*(1-C )
= 0.7/(2000*0.2)*(1-C )
=2m
 = 1.8366
C  = -0.196
A  = 0.112
B  = 0.154
D  = -0.042
y(x=0)= 2.09 m
y(x=) = q/(2*k)*((1.042)+(1+0.154+0.196)*0.112
+(-0.196-2*0.154-1)*0.154)
= q/(2*k)*(1.042-0.2316+0.1512) = 0.9616*0.7*1000/400
= 1.68 mm
x
0
0.2
0.4
0.6
y
C1 A X
1
0.965
0.878
0.763
M
C2 C X
1
0.640
0.356
0.143
Q
C3 D X
-1
-0.802
-0.617
-0.453
P* /(2*k) = C1
P/(4* ) = C2
P/2 =C3
0.8
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
4.0
5.0
0.635
0.508
0.238
0.067
-0.017
-0.042
-0.026
-0.005
-0.009
-0.111
-0.207
-0.179
-0.115
-0.056
0.002
0.008
0
Diagrama de corte :
0.2
-0.313
-0.199
-0.016
0.056
0.066
0.049
0.012
-0.002
0.4
0.6
0.8
1.0
1.5
2
2.5
+
-
4.23.) Resuelva la fundación para el muro de contención. Se pide diagrama de
deformaciones, de momento y de corte. El muro es muy largo en la dirección perpendicular
al plano de la hoja.
Ka = 1/3
= 1.95 t/m3
K = 11 kgf/cm3
2
E = 300000 kgf/cm
0.2 m
9m
0.2 m
5m
Desarrollo :
1º) Chequeo del volcamiento.
Ea = ½* *H*Ka*H*1
= 0.5*1.95*8.82*1/3 = 25.17 ton
q
q = *H*1 = 17.16 t/m
Fq = 17.16*5 = 85.8 ton
F.S.V. = 85.8*2.5/(25.17*(0.2+8.8/3)) = 2.7
O.K.
2º) Determinación de
3* K
=4
= (3*11000/(3*106*0.23))1/4 = 1.083
3
E *h
L = 1.083*4.9 = 5.31 >
viga larga
3º) Modelación
P1
q = 17.2 t/m
M1
+
5m
P1 = 2.4*8.8*0.2*1 = 4.22 ton
M1 = 25.17*(0.2+8.8/3) = 78.87 t*m
4º) Aplicando la teoría de VME se tiene :
(figura 10 Nafvac)
2
2 * P1 *
2 * M1 *
*D X+
k
k
P1
M=
*B X-M1*A X
k
Q = -P1*C X+2*M1* *B X
y=
*C X+q/K
y = (2*4.22*1.083/(11000*1))*D X+(2*78.87*1.0832/(11000*1))*C
= 0.831*D X+16.818*C X
(mm)
M = (-4.22/1.083)*B X-78.87*A
= -(3.897*B X+78.87*A X)
X
Q = -4.42*C X+2*78.87*1.083*B
= -4.42*C X+170.832*B X
x
(m)
0
0.5
1.0
1.5
x
0.000
0.542
1.083
1.625
A
*1000
1000
798.2
457.8
186.0
B
*1000
0.000
300.0
299.1
196.6
X
C
*1000
1000
198.2
-140.4
-207.3
D
*1000
1000
498.2
158.7
-10.7
X
2.0
2.5
3.0
4.0
5.0
2.166
2.708
3.249
4.332
5.415
30.6
-32.5
-42.8
-17.1
-0.5
94.9
28.0
-4.2
-12.2
-3.4
-159.2
-88.5
-34.4
7.3
6.3
-64.3
-60.5
-38.6
-4.9
2.9
Diagrama de deformaciones ( = 1.083)
y = y(P1)+y(M1)+y(q)
y(q) = q/K = (17.16/11000)*1000 = 1.56 mm
= 0.831*D X+16.818*C X+1.56
(mm)
x
0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
y(P1) 0.83 0.41 0.13 -0.009 -0.053
y(M1) 16.82 3.33 -2.36 -3.49 -2.677
y(q) 1.56 1.56 1.56 1.56
1.56
19.2 5.3
0.7 -1.9
-1.2
p (kgf/cm2) 21.1 5.8 -0.77 -2.1
-1.3
0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.0
-0.050
-1.488
1.56
0.0
0
4.0
4.0
5.0
-0.032 -0.004 -0.002
-0.579 0.123 0.106
1.56
1.56
1.56
0.9
1.7
1.7
1.0
1.9
1.9
5.0
p=K*y
Diagrama de momento y corte
x
0.0
M
Q
-78.87
-4.42
0.5
1.0
-64.12 -37.27
50.37 51.72
1.5
2.0
2.5
-15.44 -2.78 2.45
34.5 16.92 5.17
3.0
4.0
5.0
3.39 1.40 0.05
-0.57 -2.12 -0.61
Q(x)
(+)
0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
4.0
5.0
2.5
3.0
4.0
5.0
M(x)
(-)
0
0.5
1.0
1.5
2.0
4.24.) Determinar el diagrama de momento para un pilote de H.A. de sección cuadrada con
25 cm de arista.
H= 3 ton
2
E = 200000 kgf/cm
K = 3 kgf/cm3
L=8m
Desarrollo :
Modelación.
3 ton
R
1º) Determinación de L.
3* K
=4
= (3*3000/(2*106*0.253))1/4 = 0.7326 1/m
E * h3
L = 5.86 >
se modela como viga larga.
2º) Determinación de la reacción.
y( L=5.8605)=0
2 * P1 *
2*R*
y=
*D X+
*1 = 0
k
k
= (2*3*0.7326/3000)*1000*0.0026+(2*R*0.7326)/3 = 0
y = 0.00381+0.4884*R = 0
R = -7.8*10-3 ton = -7.8 kgf
P
M = - 1 *B X = -(3/0.7326)*B X = -4.095*B X
x
x
BX
M
x
x
BX
M
0
0
0
0
0.5
0.3663
0.2483
-1.02
5
3.6630
-0.0128
0.05
1
0.7326
0.3215
-1.32
6
4.3956
-0.0117
0.05
1.5
1.0989
0.2968
-1.22
7
5.1282
-0.0054
0.02
2
1.4652
0.2297
-0.94
3
2.1978
0.0899
-0.37
8
5.8608
-0.0012
0
¡ El momento debido a la carga R, es despreciable !
(-)
Mmáx
-1.4 t*m
4.25.) Repetir el problema 4.24.) pero con E = 300000 kgf/cm2
Desarrollo :
1º) Determinación de L.
3* K
=4
= (3*3000/(3*106*0.253))1/4 = 0.6620 1/m
E * h3
L = 5.3 >
viga larga.
2º) Modelación.
3 ton
4
2.9304
0.0112
-0.05
R
3º) Determinación de la reacción.(a priori se puede esperar que R=0)
2 * P1 *
2*R*
y( L=5.3) =
*D L*1 = 0
k
k
= (2*3*0.662/3000)*1000*0.0028+(2*R*0.662)/3 = 0
y = 0.0037-0.4884*R = 0
(mm)
-3
R = 8.4*10 ton = 8.4 kgf
O.K.
4º) Determinación del momento de la carga H (no se considera el momento de la
carga R).
P
M = - 1 *B X = -(3/0.662)*B X = -4.5317*B X
x
x
BX
M
x
x
BX
M
0
0
0
0
0.5
0.331
0.2334
-1.06
6
3.972
-0.0139
0.06
1
0.662
0.3171
-1.44
7
4.6340
-0.0097
0.04
(-)
Mmáx
-1.5 t*m
2
1.324
0.258
-1.17
8
5.2960
-0.0042
0.02
3
1.986
0.1256
-0.57
4
2.648
0.0335
-0.15
5
3.31
-0.0061
0.03
V
FUNDACIONES PROFUNDAS
5.1) Dimensionar la pila sometida a las solicitaciones indicadas,
a) Considerando restricciones del suelo de fundación,
b) Sin considerar restricciones del suelo de fundación.
Datos :
V
c = 1 t/m2
M
= 30º
H
3
= 1.9 t/m
Eo = 1300 t/m2
K = 700 t/m3
qadm = 20 t/m2
2.5 m
V = 1.5 ton
H = 2.0 ton
M = 17 t*m
=?
Desarrollo :
a) Con restricción lateral del suelo.
a.1) Determinación de la altura crítica para ver si se considera el peso propio del suelo.
Hcr = 2/3*((4c/ )*tg(45+ /2))
= 2/3*((4*1/1.9)*tg(45+30/2)) = 2*3.65/3
= 2.4 m
2.5 m
no se considera el peso propio del suelo (en la fórmula de )
a.2) Determinación de Eº = módulo de deformación equivalente entre la superficie y la
base de la pila (no depende de B).
Eº = Eo+K*Df*(0.068+0.014* ‟)/(0.295+0.015* ‟)
‟ = L2/L1 = 1
Eº = 1300+700*2.5*(0.068+0.014)/(0.295+0.015) = 1763 t/m2
a.3) Diseño : debe cumplirse que B
e = M /V
Programa
B
V
EB
I
m
ton
t/m2
2
2.1
25.5
28.0
4450
4520
máx
mín
13.3
12.7
-0.6
-0.06
0.93
0.89
6e
2.19
2.12
6e (
no hay tracciones)
M
10-3rad
t*m
1.63
1.48
9.29
9.89
B = 2.1 m
Nota: cuando hay restricción lateral del suelo, el momento que llega a la base llega
atenuado.
b) Sin considerar restricción lateral del suelo.
= P/A M/W = V/(B*L2) 6*M/(L2*B2)
Mb = M+H*Df
Vb = 1.5+pp = 1.5+ *h*B*L2
= 1.5+2.4*(2.5*B*2)
B
2
2.5
2.6
2.8
Vb
25.5
39.0
42.1
48.5
Mb
22
22
22
22
máx
22.9
14.7
13.7
12.2
mín
-10
-2.2
-1.3
1.8
6e
5.18
3.4
3.14
2.7
B = 2.75 m
Verificaciones
1) Verificación de M para a).
M = 0.16*B2*EB*L2*
= 9.89 t*m
(según fórmula 5 del artículo de R.del Idiem, Vol.16 Sept. 1977)
M = R*c
B = 2.1 m
C.R.
c
R
m
0
M
= 12.7 t/m2
R = 0.5* M*B*B = 0.5*12.7*2.1*2.1 = 28 ton
c = B/2-B/3 = B/6 = 2.1/6 = 0.35 m
R*c = 9.8 t*m 9.9 O.K.
5.2.) Para la pila de la figura se pide :
a) Determinar el giro
b) Calcular las solicitaciones resultantes indicando las restricciones correspondientes.
Datos :
c = 0.9 t/m2
V=3 ton
= 25º
M=16 t*m
H=2.5 ton
= 1.7 t/m3
qadm = 20 t/m2
Eo = 1700 t/m2
3m
3
K = 650 t/m
=1.5m
Desarrollo :
a) Determinación del giro
1º) Hay que determinar si existe acción del peso propio sobre la pila (diagrama azul
p83b CF).
Si la altura crítica es que Df, no existe acción del peso propio del suelo.
Hcr = 2/3*((4c/ )*tg(45+ /2))
= 2/3*((4*0.9/1.7)*tg(45+25/2)) = 2*3.32/3
= 2.2 m
se puede despreciar el efecto del peso propio del suelo, ya que éste actúa en
menos de un tercio de la pila.
2º) Determinación de (ec.20)
para ‟ = L2/L1 = 1
= (M+0.87*Df*H-pp)/(L1*Eº*B2*I )
L1 = B = 1.5 m
Eº = módulo de deformación equivalente entre la superficie y Df.
= Eo+K*Df*(0.068+0.014* ‟)/(0.295+0.015* ‟)
= 1300+650*3*(0.068+0.014)/(0.295+0.015) = 2216 t/m2
I = 0.31* 2+0.01* * 2+0.157*
= D/B = 3/1.5 = 2
EB = Eo+K*z = Eo+K*(D+B) = 1700+650*(3+1.5) = 4625 t/m2
= L2/L1*(EB/Eº) = 1.5/1.5*(4625/2216) = 2.08
I = 0.31*22+0.01*2.08*22+0.157*2.08 = 1.656
= (16+0.87*3*2.5)/(1.5*2216*1.52*1.66) = 22.53/12415
= 1.82*10-3 rad
b) Cálculo de las solicitaciones.
1º) Determinación de resultante de la pila y
M
= (V+pp)/B2+6*M /(B2*L2)
en que :
M = 0.16*B2*EB*L2*
= 0.16*1.52*4625*1.5*1.82/1000 = 4.54 t*m
M
M
= (3+2.4*(1.52*3))/1.52+6*4.54/1.53
= 19.2/1.52+8.07 t/m2
= 16.6 t/m2
2
m = 0.46 t/m
M
< qadm
> 0
Nota : se puede verificar que
M = R*c
O.K.
O.K.
c = B/2-B/3 = B/6
R2 = 0.5*( M- m)*1.5*1.5
R2*c = 4.54 t*m O.K.
2º)
T = 0.604*EB*L2* *(D-ZR)
= 0.604*4625*1.5*1.82/1000*(3-0.87*3)
= 2.98 ton
Debe verificarse que no se sobrepase la resistencia obtenida.
T /B2
2.88/1.52 0.9+ *tg25
1.28 0.9+( M+ m)/2*tg25
1.28 4.88 t/m2
O.K.
3º) Td = 0.626*Eo*L1* *ZR+0.23*K*L1* *ZR2
= 0.626*1700*1.5*1.82/1000*0.87*3+0.23*650*1.5*1.82/1000*(0.87*3)2
= 7.58+2.78
Td = 10.36 ton
Debe verificarse que
zdmáx
<
p
(empuje pasivo)
zdmáx
zimáx
4º)
Ti = 1.1*Ei*L2* *0.13*D
Ei = Eo+0.935*K*D = 1700+0.935*650*3 = 3523 t/m2
Ti = 1.1*3523*1.5*1.82/1000*0.13*3 = 4.13 ton
Debe verificarse que zimáx < p (empuje pasivo)
5º) La última verificación se refiere a que no debe producirse el volcamiento de la pila.
5.3.) Determinar la longitud “L” del grupo de pilotes considerando que el grupo debe
resistir una carga última de 200 ton.
Datos :
Suelo cohesivo duro (stiff)
(Figura 2 entregada en clase)
L A
50 cm
Radio(pilote) = 12.5 cm
s = 50 cm
Corte A-A
50 cm
Desarrollo :
1º) Qult = c*Nc* *R2+cA*2* *R*L
A
Ge*n*Qult = 200 ton
n=9
Ge*Qult = 200/9 ton
QG = Ge*Qult = 200/9 ton
2º) Suelo stiff
c = 7.3 t/m2
cA = 3.9 t/m2
3º) Sea L = 9 m
z=9m
(figura 2 p196)
z/B = 9/0.25
Nc = 10
Qult = 7.3*10* *0.1252+3.9*2* *0.125*L
= 3.58+3.06*L
(c/pilote)
L
m
6
7
8
9
10
Qult
ton
21.94
25.00
28.06
31.12
34.18
Ge
0.74
0.73
0.72
0.71
0.70
Ge*n*Qult
ton
146
164
182
199
215
L=9m
5.4.) Considerando restricción lateral del suelo, determine la fuerzas que actúan sobre la
pila verificando y comentando valores admisibles.
Dibuje a mano alzada diagramas de esfuerzos que actúan sobre la pila.
Datos :
= 25º
V=3 ton
3
= 1.7 t/m
M=16 t*m
H=2.5 ton
qadm = 20 t/m2
Eo = 1700 t/m2
K = 650 t/m3
3m
=1.5m
Desarrollo :
1º) Hay que determinar si existe acción del peso propio sobre la pila.
Determinación de la altura crítica.
Como no hay cohesión la altura crítica teóricamente es cero.
Hcr < Df
se considera acción del peso propio del suelo.
en la fórmula para determinación de se considera el término -15* *D3*L1
2º) Determinación de
:
= (M+0.87*Df*H-15* *D3*L1)/(L1*Eº*B2*I )
en que :
L1 = B = 1.5 m
Eº = módulo de deformación equivalente entre la superficie y Df.
Eº = Eo+K*Df*(0.068+0.014* ‟)/(0.295+0.015* ‟)
‟ = L2/L1 = 1.5/1.5 = 1
Eº = 1300+650*3*(0.068+0.014)/(0.295+0.015) = 2216 t/m2
I = 0.31* 2+0.01* * 2+0.157*
= D/B = 3/1.5 = 2
EB = Eo+K*z = Eo+K*(D+B) = 1700+650*(3+1.5) = 4625 t/m2
= L2/L1*(EB/Eº) = 1.5/1.5*(4625/2216) = 2.09
I = 0.31*22+0.01*2.08*22+0.157*2.08 = 1.66
= (16+0.87*3*2.5-15* *33*1.5)/(1.5*2216*1.52*1.66)
= (22.53-607.5* )/12415 = 1.815*10-3-48.93*10-3*
*(1+48.93*10-3) = 1.815*10-3
= 1.73*10-3 rad
3º) Determinación de esfuerzos.
a) En la base de la pila :
M,m
= (V+pp)/B2 6*M /B3
en que :
M = 0.16*B2*EB*L2*
= 0.16*1.52*4625*1.5*1.73/1000 = 4.32 t*m
= (3+2.4*(1.52*3))/1.52 6*4.32/1.53
= 8.53 7.68 t/m2
M,m
M
= 16.2 t/m2
y
m
= 0.85 t/m2
b) Fuerza T rasante en la base de la pila.
T = 0.604*EB*L2* *(D-ZR)
= 0.604*4625*1.5*1.73/1000*(3-0.87*3)
= 2.83 ton
Verificación :
T /B2
2.83/1.52
*tg25
1.26 ( M+ m)/2*tg25
1.26 3.97 t/m2
O.K.
c) Td = 0.626*Eo*L1* *ZR+0.23*K*L1* *ZR2
= 0.626*1700*1.5*1.73/1000*0.87*3+0.23*650*1.5*1.73/1000*(0.87*3)2
= 7.21+2.64
Td = 9.85 ton
Zd = (0.237*Eo*ZR+0.126*K*ZR2)/(0.626*Eo+0.23*K*ZR)
= 1.11 m
d)
Ti = 1.1*Ei*L2* *(D-ZR)
Ei = Eo+0.935*K*D = 1700+0.935*650*3 = 3523.25 t/m2
Ti = 1.1*3523.25*1.5*1.73/1000*(3-0.87*3) = 3.92 ton
Zi = 0.785*D+0.215*ZR = 2.92 m
Tensiones :
Eo *
1 u K * * ZR
1 u
+
* *
2 *
2
1 u
1 u
1
1
1 u
1 u
= 3.23*
+3.23*u*
1 u
1 u
u'
EZ *
u = Z/ZR
zi =
2 *
1
1 u' 2
u'
= 6.70*
u‟ = Z‟/(D-ZR)
1 u' 2
zd
=
ZR = 0.87*D = 2.61
Z
0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.61
5
u
0
0.19
0.38
0.57
0.77
0.96
1
4
3
2
Z‟
2.61
2.65
2.67
2.70
2.75
2.80
2.85
2.90
2.95
3.00
zd
3.23
3.17
2.98
2.64
2.07
0.93
0
1
1
1
2
u‟
0
0.10
0.15
0.23
0.36
0.49
0.62
0.74
0.87
1
3
4
5
zi
0
0.69
1.04
1.59
2.57
3.74
5.23
7.45
11.92
6
Td
2
Ti
p = kp* y
kp = (1+sen )/(1-sen )
p = 2.46* *Z = 2.46*1.7*Z
p = 4.19*Z
5.5.) Mediante la fórmula de Hiley (fórmula general), determine la longitud de hincado de
los pilotes de la figura. Las características del martinete son :
Energía = 1500 kg*m
Wp = 400 kg
Wr = 500 kg
Deformación elástica cabeza de golpes = 0.2 cm
Eh = 80 %
Factor de seguridad diseño = 5
n = 0.4 = coef. de resistencia
0
1.5
0
Long.hincado (m)
V = 100 ton
M = 60 t*m
3
s (cm/golpe)
Cabezal
rígido
10
3.5m
3.5m
20
Cabeza golpes
0.5cm
Registro
hincado
0.5cm
0.5cm
s
Desarrollo :
1º) Escribamos la fórmula de Hiley.
Pu = (Eh*Wr*h/(s+c))*(Wr+n2*Wp)/(Wr+Wp)
2º) Datos :
Energía = 1500 kg*m = 150000 kg*cm = Wr*h
Peso Martinete = Wr = 500 kg
Factor de ef. = Eh = 0.8
Coef. de resistencia = n = 0.4
Peso propio = 400 kg
3º) Determinación de c
c = 0.5*(k1+k2+k3)
k1 = deformación elástica cabeza = 0.2 cm
k2 =
”
” p.
k3 =
”
” s.
k2+k3 = 0.5 cm (del registro de hincado)
c = 0.5*0.7 = 0.35 cm
4º) Solicitación en los pilotes.
V=100 ton
M=60 t*m
100 ton
8.575 ton
8.575 ton
=
7m
un pilote izquierdo
un pilote derecho
13.808 ton
19.525 ton
Sustituyendo los datos en la fórmula :
Pu = (0.8*150000/(s+0.35))*(500+0.42*400)/(500+400)
= 7.52*104/(s+0.32)
(kg)
Padm = Pu/F.S. = Pu/5 = 1.504*104/(s+0.35)
Pilote derecho (más desfavorable)
1.504*104/(s+0.35) = 19525
1.504*104/19525-0.35 = s = 4.203*10-1
Del gráfico de hincado :
y = mx+n
m = y/ x = -20/3
L = -20*s/3+20 = 17.2 m
Pilote izquierdo :
1.504*104/(s+0.35) = 13808
1.504*104/13808-0.35 = s = 7.392*10-1
L = 15.07 m
y considerando el caso más desfavorable. L = 17.2 m
5.6.) Para un pilote cañería hincado (driven pipe pile), relleno con concreto (cement filled),
con un diámetro de 30 cm y un largo de 9.2 m, encontrar Qadm (Qall) y Tadm (Tall).
Qult
= 1.28 t/m3
= 0.40 t/m3
b
0.6 m
1.0 m
= 0.40 t/m3
7.6 m
b
= 30 o
30 cm
Desarrollo :
0.6 m
1.0 m
V
= 0.77 t/m2
V
= 1.17 t/m2
6.0 m
V
= 7.41 t/m2
= PT
1.6 m
po(máx) ocurre a 6 m (20*30 cm = 6m)
Nq ( =30º) = 21
s = 2* *r*1 = 0.94 m2/m
KHC = H / V = 1.5
tabla en p194 Nfac.
= (3/4)*30 = 22.5º
AT = 7.069*10-2 m2
Qult = PT*Nq*AT+ KHC* Po *tg *s*h
= 7.41*21*7.069*10-2+1.5*(1.17+7.41)/2*tg22.5*0.94*6
+1.5*7.41*tg22.5*0.94*6
= 11.0+15.03+6.92 = 32.95 ton
Qadm(F.S.=3)= 11 ton
Tult = KHT*Po*tg *s*h
KHT = 1.0
Tult = 1.0*(1.17+7.41)/2*tg22.5*0.94*6+1.0*7.41*1.6*tg22.5*0.94
= 10.02+4.62 = 14.64 ton
Tadm = Tult/3+Wp
Wp = horm.*Vhorm.+ acero*Vacero
2
VT = 0.3*( /4)*9.2 = 0.65 m3
suponiendo que :
Vhorm. = 70%VT = 0.7*0.65 = 0.455 m3
Vacero = 30%VT = 0.3*0.65 = 0.195 m3
Wp = 2.4*0.455+8*0.195 = 2.65 ton
Tadm = 14.64/3+2.65 = 7.53 ton
5.7.) Un grupo de pilotes desplantado en suelo cohesivo, tiene las siguientes características :
1.2 m
= 0.3 m
L=7m
c = 2.0 t/m2
2
c A= 1.5 t/m
Determinar el F.S. con que está trabajando el grupo si la estructura le transmite una
carga de 70 ton.
Desarrollo :
7*B = 2.1 m > 1.2 m
grupo
Qult = c*Nc* *R2+cA*2* *R*L = carga que resiste cada pilote individual
Qultgrupo = n*QG = n*Ge*Qult
(s = 4B Fig.3)
Ge (3*3) = 0.87
Ge (9*9) = 0.86
Ge (5*5) = 0.866
QG = Ge*Qult
Qult = 2*9.3* *(0.3/2)2+1.5*2* *(0.3/2)*7
= 1.31+9.90 = 11.21 ton
(c/pilote)
QG = 0.866*11.21 = 9.71 ton
Qultgrupo = 25*9.71 = 243 ton
F.S. = 243/70 = 3.47
3.5