ACFrOgBLe9Vg837N5SHvyubBqMCPrV87SDFeBRkcABJtmnAPKpaw57wByGhqc7mIMRPECEMebwnwRorjY5a7ppCybESAx7KpVyVtOYCaOcSK6cQDBq9F5f-c4bzjtmw=

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN ANTONIO ABAD DEL CUSCO
FACULTAD DE CIENCIAS
DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE MATEMÁTICAS Y
ESTADÍSTICA
Distribución de probabilidades
Psicología
Estadística I
Contenido:
 Variable aleatoria.
 Distribuciones de probabilidad
discretas.
 Distribuciones de probabilidad
continuas.
Profesor:
Edgar Centeno Huamaní
Cusco – Perú
2018
Distribución de probabilidades
Semestre 2017-II
Capítulo VII
Distribución de probabilidades
7.1 Variable Aleatoria(v.a.)
El concepto de variable aleatoria v.a. es fundamental en las probabilidades y en las posteriores
aplicaciones de la inferencia estadística. A partir de las v.a. modelizaremos los resultados de un
experimento aleatorio en el conjunto de los números reales.
Definición
Se denomina variable aleatoria, a una variable estadística cuantitativa definida en un espacio muestral
, esto es, una variable aleatoria X es una función que cuantifica los posibles valores de un
experimento aleatorio.
X

RXIR
x =X(w)
w
Según el tipo de valores que puede tomar x, la variable aleatoria puede ser discreta o continua. Las
variables aleatorias discretas generalmente provienen de conteos, mientras que las variables aleatorias
continuas provienen de mediciones.
Ejemplo 1:
Consideremos el experimento aleatorio:
E = “Lanzar una moneda 3 veces”
  CCC, CCS, CSC, SCC, CSS, SCS, SSC, SSS
Se define luego la variable aleatoria
X = Número de caras obtenidas en los tres lanzamientos
X(SSS)  0
X(CSS)  X(SCS)  X(SSC)  1
X(CCS)  X(CSC)  X(SCC)  2
X(CCC)  3
 R X  x x  0, 1, 2, 3
UNSAAC
-2-
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Semestre 2017-II
7.2 Variables aleatorias discretas y continua
7.2.1 Variable aleatoria discreta
1) Función de probabilidad
Se llama función de probabilidad o función masa de probabilidad (f.m.p.) de una variable
aleatoria discreta X, a una función f(x) que cumple las siguientes condiciones:
1. P X  x i   f (x i )
2. 0  f (xi )  1
3.

x i R X
x i  R X
xi  R X
f (x i )  1
2) Función de probabilidad acumulada
Sea X una v.a. discreta con función de probabilidad f(x), entonces, la función de probabilidad
acumulada de la v.a. X se define por:
F(x)  P X  x    f (x i )
xi x
A esta función también se le conoce como función de distribución acumulada y tiene las siguientes
propiedades.
1. F(x)  0 x  m , donde m  mí nx  R X
2.
F(x)  1 x  M , donde M  máx x  R X
0  F(x)  1 x  R X
4. F(x) es una función no decreciente.
3.
Ejemplo 2:
Si en el ejemplo anterior sobre el lanzamiento de una moneda tres veces le asignamos a cada suceso
elemental la misma probabilidad, entonces:
1
3
1
; P X  1  P X  2 
; P  X  3 
8
8
8
Como la variable aleatoria X es discreta entonces la función masa de probabilidad se define por:
P  X  0 
x
f(x)=P[X=x]
0
1/8
1
3/8
2
3/8
3
1/8
 1 ; si x  0, 3
8


f (x)  P X  x    83 ; si x  1, 2

0 ; en otros casos


Cuya representación gráfica es:
f(x)
3/8
1/8
0
UNSAAC
1
2
-3-
3
x
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La función distribución acumulada de X es:
0
1
8

F(x)   48
7
8

1
; si x  0
; si 0  x  1
; si 1  x  2
; si 2  x  3
; si x  3
Cuya representación gráfica es:
F(x)
1
7/8
4/8
1/8
0
1
2
X
3
7.2.2 Variable aleatoria continua
1) Función de probabilidad
Se llama función de probabilidad o función de densidad de probabilidad (f.d.p.) de una
variable aleatoria continua X, a una función f(x) que cumple las siguientes condiciones:
1. f (x)  0
2.
x  IR

 f (x)dx  1
b
3. Sea el evento A  x a  x  b , luego P A   Pa  x  b   f (x)dx
a
2) Función de probabilidad acumulada
Sea X una v.a. continua con función de probabilidad f(x), entonces, la función de probabilidad
acumulada de la v.a. X se define por:
F(x)  P X  x   
x

f (t )dt
Esta función conocida como la función de distribución acumulada tiene las siguientes propiedades.
1. F()  0
2. F()  1
3. 0  F(x)  1
x  R X
4. F(x) es una función no decreciente
5. f (x) 
UNSAAC
dF(x)
dx
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Ejemplo 3:
Consideremos el experimento aleatorio de seleccionar un número al azar del intervalo [0,1]. Sea la
variable aleatoria X : [0,1]  IR dada por X(w)  w ,  w  [0,1] ; entonces la función de densidad
asociada a la variable aleatoria continua X, es:
1 ; si 0  x  1
f ( x)  
0 ; en otro caso
Cuya representación gráfica es:
f(x)
1
0
1
X
Su función de distribución asociada:
 0 ; si x  0

F(x)   x ; si 0  x  1
1 ; si x  1

Cuya representación gráfica es:
F(x)
1
0
1
X
7.3 Características de una una variable aleatoria
7.3.1 Valor esperados o esperanza matemática
El valor esperado, es el valor promedio que esperaríamos encontrar mediante la observación repetida
de una variable aleatoria.
Sea X una v.a. con función de probabilidad f(x); entonces, el valor esperado o esperanza matemática
de la v.a. X, se define por:
1. Si X es una variable aleatoria discreta:
E X    xf (x)
xR X
2. Si X es una variable aleatoria continua:
E X   


UNSAAC
xf (x)dx
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Si X es una v.a. con función de probabilidad f(x); y sea Y=g(X) una función real de la variable X;
entonces, el valor esperado o esperanza matemática de g(X), se define por:
1. Si X es una variable aleatoria discreta:
E Y   E g(X) 

g(x)f (x)
xR X
2. Si X es una variable aleatoria continua:
E Y   E g(X)   


g(x)f (x)dx
7.3.1 Media y varianza de una variable aleatoria
Sea X una v.a. con función de probabilidad f(x); entonces, la media  X y la varianza 2X de la
variable aleatoria X, se define por:
 X  E[X]
2
2X  Var[X]  E  X   X  


Propiedades del valor esperado y varianza
Sea X y Y dos variables aleatorias y a, b dos constantes reales cualesquiera, entonces se cumple:
1.
E[a]  a
2.
E[aX]  aE[X]
3.
E[aX  b]  aE[X]  b
4.
E[aX  bY]  aE[X]  bE[Y]
5.
Var[a]  0
6.
7.
Var[aX]  a2Var[X]
Si X y Y son variables independientes
Var[aX  bY]  a 2Var[X]  b2Var[Y]
8.
2X  Var[X]  E X 2   2X
 
7.4 Distribuciones discretas de probabilidad
Ensayo o prueba de Bernoulli
Un experimento es llamado ensayo o prueba de Bernoulli si se cumple las siguientes
condiciones:
1º) Para cada ensayo se define un espacio muestral con sólo dos resultados posibles: Éxito (E)
y Fracaso (F), donde:
P(E)  p
y
P(F)  1 p  q
2º) La probabilidad de éxito (p) se mantiene constante de ensayo a ensayo.
3º) Los ensayos se consideran que son independientes.
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7.4.1 Distribución Binomial
Definición.
Una variable aleatoria discreta X se distribuye como una Binomial, el cual se denota por X
si su función de probabilidad está dada por:
B(n, p) ,
n
f(x)  P  X  x     px (1  p)n  x ; si x  0,1, 2,..., n
 
x
donde:
X = Número de éxitos en n ensayos de Bernoulli.
p = Probabilidad de éxito en cada ensayo de Bernoulli.
n = Número de ensayos de Bernoulli o tamaño de una muestra con reemplazo.
Características:
Si X  B  n, p  , entonces:
a) Media:
x  E  X   np
b) Varianza:
2x  Var(X)  np(1  p)
7.4.2 Distribución de Poisson
Definición.
Una variable aleatoria discreta X se distribuye como una Poisson, el cual se denota por X  Po(), si su
función de probabilidad está dada por:
f(x)  P  X  x  
e  x
; si x  0,1, 2,...
x!
donde: X = Número de éxitos obtenidos en un periodo de tiempo o espacio.
 = Razón media o promedio de ocurrencias por unidad de tiempo o espacio.
t = Periodo de tiempo o espacio.
 = Número promedio de ocurrencias de eventos en el periodo o espacio t.
 = t
Ejemplos








Número de llamadas telefónicas en un minuto.
Número de personas que llegan a una ventanilla en dos horas.
Número de accidentes laborales por semana.
Numero de bacterias en un cm3 de agua.
Número de cursos desaprobados durante estudios de pre grado.
Número de veces que un fumador ha intentado dejar de fumar.
Número de recaídas en pacientes bulímicos tras la aplicación de un tratamiento.
Número de errores de digitado por página.
Características:
Si X  Po () , entonces:
a) Media:
x  E  X   
b) Varianza:
2x  Var(X)  
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NOTAS:
Para la utilización de la distribución de Poisson es necesario tener en cuenta los siguientes supuestos:
1. La probabilidad de éxito se mantiene constante y es pequeña.
2. El número de éxitos en cualquier intervalo, periodo o espacio es independiente del número de
éxitos en cualquier otro intervalo, periodo o espacio.
3. La distribución de Poisson se puede utilizar para aproximar las probabilidades de una distribución
Binomial cuando “n” tiende al infinito (n  ) y “p” tiende a cero (p  0); es decir cuando
n  p  5 . Para esta aproximación considerar:
  n  p (n  t , p  )
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Si lanzamos un dado 7 veces y contamos el número de cincos que obtenemos. ¿Cuál es la
probabilidad de obtener tres cincos?
2. La probabilidad que un alumno apruebe el curso de Estadística es 0,7. Si se elige 8 alumnos de
un grupo que lleva Estadística, ¿cuál es la probabilidad que:
a) al menos 6 alumnos aprueben Estadística?
b) ningún alumno apruebe Estadística?
c) aprueben entre 2 y 5 alumnos.
d) ¿Cuántos alumnos se espera que aprueben estadística?
3. En un determinado país, el 30% de sus habitantes tienen sangre tipo O. Si se analiza la sangre de
10 personas:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que haya exactamente cinco personas con sangre tipo O, entre los
examinados?
b) ¿Cuál es la probabilidad que menos de la mitad tenga sangre de dicho tipo?
c) ¿Cuántos cabe esperar que tengan sangre tipo O?.
4. Un estudiante se presenta a un examen de selección múltiple que contiene 8 preguntas las cuales
tienen 4 alternativas opcionales donde sólo una es la respuesta correcta. Si el estudiante está
adivinando al responder las preguntas y además se sabe que para aprobar el examen debe
responder correctamente 6 preguntas o más.
a) ¿Cuál es la probabilidad que tiene el alumno para aprobar el examen?
b) ¿Cuál es la probabilidad que el alumno responda entre 3 y 6 preguntas correctamente?
c) ¿Cuántas preguntas se espera que el alumno responda correctamente?
5. Para estudiar la regulación hormonal de una línea metabólica se inyectan a ratas albinas con un
fármaco que inhibe la síntesis de proteínas del organismo. En general, 4 de cada 20 ratas mueren
a causa del fármaco antes de que el experimento haya concluido. Si se trata a 10 animales con el
fármaco: ¿cuál es la probabilidad de que:
a) ninguno llegue vivo al final del experimento?.
b) al menos 8 lleguen vivas al final del experimento
6. En una población grande de drosophila, el 25% de las moscas tiene una mutación de alas. Se
selecciona aleatoriamente 200 moscas de la población para un examen de mutación de alas.
Defina X como el número de moscas que tienen mutación de alas en la muestra. Determine el
valor esperado, la varianza y el coeficiente de variación.
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7. Suponga que una estación de bomberos recepciona llamadas telefónicas a razón de 3 llamadas
cada 4 minutos. Hallar la probabilidad que en un intervalo de 2 minutos, la estación reciba:
a) exactamente 1 llamada.
b) no reciba ninguna llamada.
c) al menos 3 llamadas.
8. Un grupo de personas llegan aleatoriamente a la ventanilla de un banco a razón de 24
personas/hora. ¿Cuál es la probabilidad que exactamente 6 personas lleguen durante un periodo
de tiempo de 12 minutos?
9. Se sabe que un líquido contiene ciertas bacterias a razón de 4 bacterias por cm3 . Si se toma una
muestra de 0,5 cm3, ¿cuál es la probabilidad que la muestra:
a) no contenga bacterias?
b) contenga por lo menos 2 bacterias?
10. El número de accidentes por semana en una fábrica sigue una distribución Poisson de parámetro
 = 2. Calcular:
a) La probabilidad que una semana haya algún accidente.
b) La probabilidad que haya 4 accidentes en dos semanas
c) La probabilidad que haya 2 accidentes en una semana y otras 2 en la semana siguiente.
11. La oficina de estadística del ministerio de salud afirma que una región del país se presenta una
alta incidencia de cáncer al estómago (120 casos por cada 100 000 habitantes). Suponga que se
realizan exámenes a 1000 habitantes de dicha región.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna de las personas examinadas tenga cáncer?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 3 personas tengan cáncer?
12. Cierta enfermedad tiene una probabilidad muy baja de ocurrir p = 0,00001.
a) Calcular la probabilidad de que en una ciudad con 500 000 habitantes haya más de tres
personas con dicha enfermedad.
b) Calcular el número esperado de habitantes que la padezcan.
13. La proporción de alumnos de una universidad con calificaciones sobresalientes es de 0,05%.
Determinar la probabilidad que entre 5000 alumnos seleccionados al azar haya 2 con
calificaciones medias sobresalientes.
14. Una vacuna produce inmunidad contra la polio en un 99,99%. Suponga que la vacuna ha sido
administrado a 10 000 personas.
a) ¿Cuál es el probabilidad que menos de 2 personas no hayan sido inmunizados?
b) ¿Cuántas personas se esperan que no hayan sido inmunizados?.
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7.5 Distribuciones de probabilidad continuas
1. Distribución Normal
Definición.
Una v.a. X sigue una distribución normal con parámetros  y 2, con  ,   IR ,   0 y lo


N  , 2 , si su función de densidad, es:
denotamos por X
2
1
f(x) 
 2
Representación gráfica de f(x)
La gráfica de f(x) de una v. a. X
1  x  
 

e 2   , x 
;


N  , 2 cumple con las siguientes propiedades:
a)
Es simétrica respecto de x   , esto es f(  x)  f(  x) .
b)
Tiene asíntota horizontal en y  0 , cuando x   
c)
d)
e)
f)
Alcanza un máximo absoluto en x   .
Es creciente para x   y decreciente para x   .
Los puntos de abscisas    y    son puntos de inflexión.
El área comprendida entre la curva f(x) y el eje X es 1.
f(x)
1
2
-3
e1 2
0-2
-1
-
0
1+ 
2
3
X
Características


Si X  N  , 2 , entonces:
a)
La Mediana y Moda de la v. a. X es .
b)
 Media:
x  E  X   
 Varianza:
2x  Var  X   2

d) Sea Y  aX  b (a  0) , entonces Y  N a  b,a 22
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
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Tipificación de una variable aleatoria normal


X
se le llama tipificación o

estandarización de la v.a. X, pues transforma X en la variable aleatoria Z  N  0,1 . El resultado
Si una v.a. X  N  , 2 , entonces al cambio de variable Z 
anterior permite utilizar la tabla de valores de la función de distribución de una N(0,1) para calcular


probabilidades y cuantiles de la normal N  , 2 .
Aproximación de la Binomial a la Normal (Teorema Central del Límite)


La distribución binomial B  n; p  se aproxima a una distribución normal N  ; 2 cuando n tiende
a infinito ( n   ) y cuando n  p  5 y n  (1  p)  5 . La aproximación es buena cuando n es
grande, en concreto cuando n  30 . Para ello considere:
  np
2  np(1  p)
En esta aproximación se debe tener en cuenta que se está pasando de una variable discreta
(binomial) a una continua (normal), y por tanto debemos de usar un “factor de corrección” que
consiste en hacer determinados ajustes para que la probabilidad sea la más precisa posible. Así por
ejemplo:





P  X binomial  k   P k  0,5  X normal  k  0,5
P  X binomial  k   P X normal  k  0,5
P  X binomial  k   P X normal  k  0,5
P a  X binomial  b  P a  0,5  X normal  b  0,5
P a  X binomial  b  P a  0,5  X normal  b  0,5
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.
Hallar las probabilidades que se indican:
a) P  Z  2,36
b) P  Z  1,89
c) P  Z  1,17
d) P  Z  0,05
e) P  1,23  Z  3,12
f) Hallar k, si P  Z  k   0,5948
k  Z 0,5948 
2.
Los pesos de un grupo de personas siguen una distribución N(67,26). Si se selecciona una
persona, calcular la probabilidad de que su peso sea:
a) mayor de 80 kg.
b) 50 kg o menos.
c) entre 60 y 70 kg inclusive.
3.
Un alumno obtuvo un puntaje de 72 en una prueba de biología en la que los estadísticos para la
muestra son X1  63 y S1  5 . En una prueba del mismo tipo pero sobre química obtuvo 82
siendo X2  74 y S2  4 . ¿En cuál de las dos asignaturas es un alumno más destacado?
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4.
Si X es una variable aleatoria normal que representa las notas obtenidas por un grupo de
alumnos en la asignatura de Estadística, donde la media es 13 y la varianza 24, si se elige al azar
un alumno del grupo, hallar:
a) La probabilidad que tenga al menos 10 puntos.
b) Hallar la nota debajo del cual se encuentran el 89,62% de los alumnos.
5.
En una empresa, las ventas Y de unos artículos se distribuyen normalmente. Si se sabe que el
27,09% de ellos es superior a 1000 soles y que el 32,28% sobrepasa los 800 soles.
a) Determine la media y varianza de la distribución de ventas.
b) Si los gastos G de la empresa están relacionados con las ventas según la expresión
G  450  Y  0,00015  Y 2 , hallar el gasto esperado.
6.
En un examen de rendimiento académico cuya media fue de 78 puntos y la desviación estándar
de 10, determinar:
a) Las calificaciones estandarizadas de dos estudiantes cuyas notas fueron de 93 y 62.
b) Los puntajes cuyas calificaciones estandarizadas fueron de –0,6 y 1,2.
c) La probabilidad de encontrar alumnos que se sacaron entre 62 y 93 puntos.
d) Si un alumno sacó 89 puntos, ¿en qué percentil se encuentra?
7.
En un test de inteligencia la distribución es normal con media 100 puntos y una varianza de 400
puntos2. Se pide calcular.
a) El porcentaje de individuos que obtuvieron 85 y 125 puntos.
b) ¿Qué puntaje corresponde al percentil 25 y percentil 75?.
c) ¿Qué percentil corresponde a un puntaje de 80 y 120?
8.
El origen de los tests de coeficiente intelectual se remonta al año 1912, cuando el psicólogo
germano William Stern lo aplicó como un flamante método para comprender diferentes
cuestiones en el campo de la psicología de la personalidad y el desarrollo de la inteligencia. Hoy
en día, el test ha caído un tanto en descrédito, aunque todavía hay quienes creen que tiene una
relación 100% fiable con la inteligencia del individuo y aunque ciertas variantes y mejora se le
han hecho, haciéndolo más fiable.
Se midió CI de un grupo de sujetos, asumiendo que las puntuaciones del test de inteligencia se
distribuyen normalmente con media 100 y desviación típica 15. Se pide:
a) El porcentaje de sujetos que obtuvieron un valor inferior o igual a 95.
b) El porcentaje de sujetos que obtuvieron un valor superior a 95.
c) ¿Qué puntuación habría que sacar en el test para estar en el 30% inferior?
d) ¿Qué puntuación habría que sacar en el test para estar en el 10% superior?
e) ¿Entre que valore de CI se encuentra el 50% central de los sujetos?
9.
Al evaluar el rendimiento de un grupo de 125 alumnos en aptitud para la aritmética, los
resultados se distribuyeron de manera normal con una media de 50 puntos y un desviación
típica de 10. Determinar:
a) Los puntajes en el que se encuentra el 68% central de los casos.
b) El porcentaje de alumnos que obtuvieron entre 43 y 62 puntos.
c) El porcentaje de alumnos que obtuvieron por debajo de -1z. ¿Qué cantidad de alumnos
resultaron?
10. Uno laboratorio farmacéutico sabe que el 2% de los habitantes de una gran ciudad padecen de
gripe. Ellos están analizando los efectos de una vacuna, y para tal fin diagnostican a 2000
vecinos. Calcular la probabilidad que más de 50 vecinos padezcan de gripe.
11. La probabilidad de que un paciente se recupere de una rara enfermedad de la sangre es de 0,4.
Si se sabe que 100 personas han contraído esta enfermedad, ¿Cuál es la probabilidad de que:
a) al menos 30 sobrevivan?.
b) más de 46 sobrevivan?,.
c) menos de 50 no sobrevivan?
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