S O L U C I O N A R I
matemàtiques
1
Autors del llibre de l’alumne
Àngela Jané i Sanahuja
Jordi Besora i Torradeflot
Josep M. Guiteras i Piella
BARCELONA – MADRID – BOGOTÀ – BUENOS AIRES – CARACAS – GUATEMALA
MÈXIC – NOVA YORK – PANAMÀ – SAN JUAN – SANTIAGO – SÃO PAULO
AUCKLAND – HAMBURG – LONDRES – MILÀ – MONT-REAL – NOVA DELHI – PARÍS
SAN FRANCISCO – SYDNEY – SINGAPUR – SAINT LOUIS – TÒQUIO – TORONTO
Matemàtiques 1 · Batxillerat · Solucionari
No està permesa la reproducció total o parcial d’aquest llibre, ni el seu tractament informàtic, ni la transmissió de cap forma o per qualsevol mitjà, ja sigui electrònic, mecànic,
per fotocòpia, per registre o d’altres mitjans. Adreceu-vos a CEDRO (Centro Español de
Derechos Reprográficos, www.cedro.org) si necesiteu fotocopiar o escanejar algun fragment d’aquesta obra.
Drets reservats
© 2012, respecte a la segona edició en català per:
McGraw-Hill/Interamericana de España, S.L.
Edificio Valrealty, 1.ª planta
Basauri, 17
28023 Aravaca (Madrid)
Editors del projecte: Xavi Juez, Alícia Almonacid
Editor: Teo Prat
Disseny d’interiors: dfrente.es
Fotografies: COVER, GETTY images, AGE FOTOSTOCK
Il·lustracions: Luis Bogajo, Sergi Media i Jordi Soto
Composició: Digitalscreen
Índex
LA
3
Solucionari del Llibre
de l’alumne
Comencem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Activitats finals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
BLOC 1. Nombres i trigonometria
Unitat 1. Nombres reals . . . . . . . . . . . . .
11
Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Activitats finals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Avaluació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
19
21
Unitat 2. Polinomis . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Activitats finals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Avaluació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
32
37
Unitat 3. Trigonometria . . . . . . . . . . . . .
37
Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Activitats finals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Avaluació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
44
47
Unitat 4. Nombres complexos . . . . . . .
48
Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Activitats finals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Avaluació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
53
56
Unitat 7. L
a circumferència i altres
llocs geomètrics . . . . . . . . . .
89
Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Activitats finals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
Avaluació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
BLOC 3. Funcions
Unitat 8. Funcions . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Activitats finals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Avaluació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
Unitat 9. Successions . . . . . . . . . . . . . . 114
Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Activitats finals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
Avaluació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
Unitat 10. Límits i continuïtat
de funcions . . . . . . . . . . . . . . 123
Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
Activitats finals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
Avaluació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
Unitat 11. Funcions exponencial
i logarítmica. . . . . . . . . . . . . . 140
Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
Activitats finals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
Avaluació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
BLOC 2. Geometria
Unitat 5. Vectors en el pla . . . . . . . . . . .
58
Unitat 12. Funcions
trigonomètriques. . . . . . . . . . 156
Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Activitats finals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Avaluació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
65
68
Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
Activitats finals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
Avaluació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
Unitat 6. Rectes en el pla . . . . . . . . . . .
69
Unitat 13. Introducció a les derivades. 167
Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Activitats finals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Avaluació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
78
88
Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
Activitats finals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
Avaluació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
4
LA
Índex
BLOC 4. Estadística
Unitat 14. Distribucions
bidimensionals. . . . . . . . . . . . 177
Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
Activitats finals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
Avaluació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
Unitat 15. Probabilitat . . . . . . . . . . . . . . . 189
Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
Activitats finals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
Avaluació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
Unitat 16. Distribució de probabilitat. . . 203
Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
Activitats finals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
Avaluació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
MATEMÀTIQUES 1
jComencem
Activitats finals
1. Determina el valor de la lletra en cadascuna d’aquestes fraccions per tal que represen­tin el mateix nombre racional que
4
la fracció —:
9
r
a) ——
63
68
b) ——
s
52
c) ——
t
5
138
138 : 6
23
d) 2—— 5 ———— 5 2——
174
174 : 6
29
4. Calcula l’expressió decimal d’aquestes fraccions i clas­sifica
els nombres decimals que obtinguis en exactes, periòdics
purs o periòdics mixtos:
17
a) ——
6
27
b) ——
11
117
c) ——
50
245
d) ———
7
17
a) —— 5 2,83 nombre decimal periòdic mixt.
6
(
u
d) ———
2171
la
27
b) —— 5 20,63 nombre decimal periòdic pur.
11
(
r
4
63 ? 4
a) —— 5 —— f r 5 ——— 5 28
63
9
9
68
4
68 ? 9
b) —— 5 —— f s 5 ——— 5 153
s
9
4
117
c) —— 5 2,34 nombre decimal exacte.
50
245
d) —— 5 26, 428571 nombre decimal periòdic pur.
7
(
52
4
52 ? 9
c) —— 5 —— f t 5 ——— 5 117
t
9
4
52
a) ——
91
121
b) 2——
77
c) 20,48
d) 1,441
(
3. Simplifica les fraccions següents:
b) 1,023
(
Sí, perquè 17 ? 247 5 13 ? 323 5 4 199
a) 2,63
(
17
323
2. Són equivalents les fraccions —— i ———?
13
247
5. Determina la fracció generatriu dels nombres decimals següents:
(
u
4
24 ? 171
d) ——— 5 —— f u 5 ———— 5 276
2171
9
9
a) f 5 2,63 5 2,6363...
100 f 5 263,63...
2f 5 22,63...
————————
261
29
99 f 5 261 f f 5 —— 5 ——
99
11
(
350
c) ——
300
138
d) 2——
174
b) f 5 1,023 5 1,0233...
1 000 f 5 1 023,3...
2100 f 5 2102,3...
—————————
921
307
900 f 5 921 f f 5 —— 5 ——
900
300
48
212
c) f 5 20,48 f 100 f 5 248 f f 5 2—— 5 ——
100
25
121
121 : 11
11
b) 2—— 5 ———— 5 2——
77
77 : 11
7
d) f 5 1,44 1 5 1,441441...
(
52
52 : 13
4
a) —— 5 ———— 5 ——
91
91 : 13
7
350
350 : 50
7
c) —— 5 ————— 5 ——
300
300 : 50
6
1 000 f 5 1 441,441...
2f 5 21,441...
—————————— 1 440
160
999 f 5 1 440 f f 5 ——— 5 ——
999
111
6
LA
COMENCEM
(
6. El 63,63 % dels 88 alumnes de 1r de batxillerat d’un institut van aprovar totes les matèries. A quants alumnes els va
quedar alguna matèria pendent?
(
f 5 63,63 5 63,6363...
100 f 5 6 363,63...
2f 5 263,63...
—————————
6 300
700
99 f 5 6 300 f f 5 ——— 5 ——
99
11
(
700
El 63,63 % és el —— %
11
Van aprovar:
1
11
11
3 ? —— 2 —— 2 1
6
12
43
5 ———————— 5 ——
1
12
2
7
8. Quin és el nombre que multiplicat per — dóna —?
3
4
4
1
I el que sumat a — dóna —?
5
2
700
——
11
7
7 ? 88
——— de 88 5 —— de 88 5 ——— 5 56 alumnes
100
11
11
2
7
7
2
21
— x 5 — f x 5 — : — 5 ——
3
4
4
3
8
4
1
1
4
3
— 1 y 5 — f y 5 — 2 — 5 2——
5
2
2
5
10
A 88 2 56 5 32 alumnes els va quedar alguna matèria pendent.
7. Calcula el resultat de les operacions següents:
3
1
3
a) — 1 — : —
5
2
4
22
1
1
1
1
1
Es ven — del que queda f es ven — de — 5 — ? — 5
2
2
3
2 3
1 2
4
2
1
c) — : — 2 —
3
3
2
3
(
(
1
5 —.
6
0,36 2 0,227
d) ———————
17
1 2 ——
22
1
2
1
5
En total s’ha venut — 1 — 5 — de la peça de roba. Encara
3
6
6
2
1
11
12
3 2 2 — 2 —— : —— 2 1
6
17
17
e) —————————————————
2
3
5
— 1 — 2 ——
3
4
12
3
1
3
3
2
19
a) — 1 — : — 5 — 1 — 5 ——
5
2
4
5
3
15
1
2
b) 2 1 — ? —
3
3
1 2
22
1
9
3
11
5 2 1 — ? — 5 2 1 — 5 ——
3
4
4
4
1 2
4
2
1
c) — : — 2 —
3
3
2
2
9. Es venen els — d’una peça de roba i després, la meitat del
3
que quedava. Quina fracció de peça s’ha venut? Quina fracció en queda encara per vendre?
2
1
Es venen — de la peça f queda per vendre’n —.
3
3
1 2
1
2
b) 2 1 — ? —
3
3
2
1
11
12
3 2 2 — 2 —— : —— 2 1
6
17
17
e) ————————————— 5
2
3
5
— 1 — 2 ——
3
4
12
3
1
15
5 2 2 — 5 ——
8
8
(
(
4
5
—— 2 ——
0,36 2 0,227
11
22
3
5
3
d) ———————— 5 ——————— 5 —— : —— 5 —
17
5
22
22
5
——
1 2 ——
22
22
1
queda per vendre —.
6
10. Una aixeta omple un dipòsit en 3 hores i una altra l’omple
en 4. Quina part del dipòsit omplen en una hora les dues
aixetes obertes alhora? Si el dipòsit està buit i s’obren simultàniament les dues aixetes, quant trigaran a omplir-lo?
1
1
7
En una hora les dues aixetes omplen — 1 — 5 —— del dipò3
4
12
12
sit. Trigaran a omplir-lo —— h, que és 1 h 42 min 51 s.
7
11. Una pastilla conté un 20 % d’aspirina, un 40 % de vitamina C i la resta és excipient. Si té una massa de 2,5 grams,
quants mil.li­grams conté de cada component?
2,5 g 5 2 500 mg
20 % de 2 500 mg 5 500 mg d’aspirina
40 % de 2 500 mg 5 1 000 mg de vitamina C
2 500 2 (500 1 1 000) 5 1 000 mg d’excipient
la
MATEMÀTIQUES 1
4
12. Un tipus de llet produeix —— de la seva massa en nata, i la
15
7
nata els —— de la seva masa en mantega. Quina fracció de
25
la masa de la llet representa la mantega? Quants quilograms de
mantega es poden obtenir a partir de 175 kg d’aquesta llet?
f 28 2 3 1 3 x 5 2 x 1 6 f x 5 219
x25
2x 1 3
c) ———— 5 ———— f
2x 1 1
4x 1 7
f (x 2 5) (4 x 1 7) 5 (2 x 1 1) (2 x 1 3) f
f 4 x2 1 7x 2 20 x 2 35 5 4 x2 1 6 x 1 2 x 1 3 f
7
4
28
La mantega representa —— ? —— 5 —— del pes de la llet.
25 15
375
28
28 ? 175
Els —— de 175 kg 5 ———— 5 13,07 kg de mantega.
375
375
13. L es accions d’una empresa que cotitza a la borsa van pujar
un 2,5 % dilluns i un 4,8 % dimarts. Si quan va començar la
sessió borsària de dilluns una acció d’aquesta empresa costava 12,84 €, quin era el seu preu quan es va tancar la
sessió de dimarts? Quants diners va guanyar en aquests dos
dies un accionista que tenia títols de l’empresa per valor de
10 000 €?
En tancar la sessió de dimarts, una acció d’aquesta empresa
costava:
12,84 ? 1,025 ? 1,048 5 13,79 €
En aquests dos dies, els 10 000 € invertits es van transformar en:
10 000 ? 1 025 ? 1,048 5 10 742 €
L’accionista va guanyar:
10 742 2 10 000 5 742 €
14. Es col.loquen 2 500 € en una llibreta a termini que garan­
teix un 4,2 % de rèdit anual durant 3 anys. Si en cap moment se’n retiren els interessos, quants diners hi haurà a la
llibreta un cop hagin transcorregut 3 anys des que es va fer
la imposició?
A la llibreta hi haurà 2 500 ?1,0423 5 2 828,42 €.
15. Resol les equacions següents:
a) (2 x 2 1)2 2 (2 x 1 1)2 5 24
3 (1 2 x)
x13
b) 2 2 ———— 5 ———
14
7
x25
2x 1 3
c) ———— 5 ————
2x 1 1
4x 1 7
d)
Îã
2 x 2 1 5 x 2 Îã
2
4 1 2x
e) 1 2 ———— 5 0
13
a) (2 x 2 1)2 2 (2 x 1 1)2 5 24 f
f 4 x2 2 4 x 1 1 2 4 x2 2 4 x 2 1 5 24 f
f 28 x 5 24 f x 5 23
3 (1 2 x)
x13
b) 2 2 ————— 5 ——— f
14
7
7
38
f 213 x 2 35 5 8 x 1 3 f 221 x 5 38 f x 5 2——
21
d)
Îã
2 x 2 1 5 x 2 Îã
2 f Îã
2 x 2 x 5 1 2 Îã
2 f
f (Îã
2 2 1) x 5 1 2 Îã
2 f
1 2 Îã
2
2(Îã
2 2 1)
f x 5 ———— 5 —————— 5 21
Îã
Îã
221
221
4 1 2x
13 2 4 2 2 x
e) 1 2 ———— 5 0 f —————— 5 0 f
13
13
9
f 9 2 2x 5 0 f 2x 5 9 f x 5 —
2
16. Soluciona aquestes equacions, escrivint prèviament els seus
primers membres en forma de producte de factors:
a) x2 2 6 x 5 0
b) x (x 2 5) 2 2 (x 2 5) 5 0
c) (x 1 2)2 2 (x 1 2) (3 x 2 1) 5 0
a) x2 2 6 x 5 0 f x (x 2 6) 5 0
b) x (x 2 5) 2 2 (x 2 5) 5 0 f
f (x 2 5) (x 2 2) 5 0
x50
x2650 f x56
x2550 f x55
x2250 f x52
c) (x 1 2)2 2 (x 1 2) (3 x 2 1) 5 0 f
f (x 1 2) (x 1 2 2 3 x 1 1) 5 0 f
x 1 2 5 0 f x1 5 22
3
3 2 2 x 5 0 f x2 5 —
2
f (x 1 2) (3 2 2 x) 5 0 f
17. Sabem que x 5 2 i y 5 23 és una de les solucions de l’equa­
ció 3 x 1 b y 5 10. Calcula b i troba una altra solució de
l’equació.
x 5 2, y 5 23
3 x 1 b y 5 10 f 3 ? 2 1 b ? (23) 5 10 f
4
f 6 2 3 b 5 10 f b 5 2—
3
10
Resposta oberta. Per exemple: x 5 ——, y 5 0.
3
18. Determina tres solucions de l’equació:
2 x 2 3 y 1 z 5 15
Resposta oberta. Per exemple: x 5 0, y 5 0, z 5 15.
8
LA
COMENCEM
ã
b 6 Îã
b2ãã
2 36
x2 2 b x 1 9 5 0 f x 5 ———————
2
19. Resol les equacions següents:
a) 5 x 2 75 5 0
2
b) 7 x 2 1 15 x 5 0
a) b2 2 36 5 0 f b 5 66
c) 2 x2 2 x 2 1 5 0
b) b2 2 36 . 0 f b , 26 o b . 6
2 (x 1 2)
d) ———— 5 x (x 2 3)
3
c) b2 2 36 , 0 f 26 , b , 6
21. Quantes solucions reals té l’equació x2 1 y2 5 0? I l’equació
x 1 y 5 0? Raona les respostes.
e) (3 x 2 5)2 5 0
f) x3 2 5 x2 1 6 x 5 0
L’equació x2 1 y2 5 0 té una sola solució real: x 5 y 5 0.
4
x
g) — 5 —
x
9
En canvi, qualsevol parell de nombres reals oposats, x 5 2y, és
una solució de l’equació x 1 y 5 0.
h) x 2 1 4 x 1 5 5 0
a) 5 x 2 2 75 5 0 f 5 x 2 5 75 f x 2 5 15 f x 5 6 Îã
1ã
5
b) 7 x2 1 15 x 5 0 f
x1 5 0
f x (7 x 1 15) 5 0
15
7x 1 15 5 0 f x 5 2——
7
ãã8
1 6 Îã
1ã
1
c) 2 x2 2 x 2 1 5 0 f x 5 ——————— 5
4
1 6 Îã
9
163
x1 5 1
5 ————— 5 ———— 1
4
4
x2 5 2—
2
2 (x 1 2)
d) ————— 5 x (x 2 3) f 2 x 1 4 5 3 x2 2 9 x f
3
ããã
ã
121
1 48
11 6 Îã
f 3 x2 2 11 x 2 4 5 0 f x 5 ————————— 5
6
11 6 13
x1 5 4
5 ————— 1
6
x2 5 2—
3
5
e) (3 x 2 5)2 5 0 f 3 x 2 5 5 0 f x 5 — (solució doble).
3
22. Resol aquestes equacions:
a) x 4 2 13 x 2 1 36 5 0
b) (3 x 1 1) (x 4 2 16) 5 0
c) 6 x 4 1 7 x 2 1 2 5 0
d) (x2 2 4)2 5 1
x2 5 t
a) x 4 2 13 x2 1 36 5 0 f t 2 2 13 t 1 36 5 0
ããã2ãã
ã
169
144
13 6 5
13 6 Îã
t 5 —————————— 5 ————
2
2
t f x 5 63; x 5 62
x 5 6Îã
1
3 x 1 1 5 0 f x 5 2—
3
16ã 5 62
x 4 2 16 5 0 f x 4 5 16 f x 5 6 4Îã
x2 5 t
c) 6 x 4 1 7 x2 1 2 5 0 f 6 t 2 1 7 t 1 2 5 0
1
t 5 2—
ãã48
ã
27 6 Îã
49ã2
27 6 1 1
2
t 5 ———————— 5 ————
12
122
t2 5 2—
3
x1 5 0
x2 2 5 x 1 6 5 0
ã
25ããã
2 24
561
5 6 Îã
x 5 ———————— 5 ———
2
2
x2 5 3
ã 24 6 Îã
16ããã
2 20
2ã
4
24 6 Îã
h) x2 1 4 x 1 5 5 0 f x 5 ———————— 5 —————.
2
2
L’equació no té solucions reals.
20. Determina el valor o els valors de b per als quals l’equació
x2 2 b x 1 9 5 0 té:
a) Una solució doble.
b) Dues solucions reals diferents.
c) No té solucions reals.
t f l’equació no té solucions reals.
x 5 6Îã
x3 5 2
4
x
g) — 5 — f x2 5 36 f x 5 66
x
9
t2 5 4
b) (3 x 1 1) (x 4 2 16) 5 0
f) x3 2 5 x2 1 6 x 5 0 f
f x (x2 2 5 x 1 6) 5 0
t1 5 9
d) (x2 2 4)2 5 1 f x2 2 4 5 61 f
f
x2 2 4 5 1 f x2 5 5 f x 5 6Îã
5
3
x2 2 4 5 21 f x2 5 3 f x 5 6Îã
23. Troba la solució d’aquestes equacions:
25 2 x2 5 1
a) x 2 Îããããã
b)
Îããããã
36 1 x 5 2 1 Îã
x
Îããããã
2x 2 1 1 2 5 x
3 x 2 12
2 x 2 4 2 Îãããããã
d) Îããããã
c)
5 x 2 16
5 Îãããããã
la
MATEMÀTIQUES 1
ããxã2 5 1 f x 2 1 5 Îã
ããxã2 f
a) x 2 Îã
25ã2
25ã2
f (x 2 1) 5 25 2 x f x 2 2 x 1 1 5
ã
ã 862
6Îãã
64 ã
2ã60
√8 ã
x 5 ————————— 5 ———
2
2
5 25 2 x f 2 x 2 2 x 2 24 5 0 f x 2 x 2 12 5 0 f
Si x 5 5 f y 5 3, i si x 5 3 f y 5 5
2
2
2
2
2
2
ã
1ã
1ã48
167
1 6 Îã
f x 5 ———————— 5 ————
2
2
x2 5 23
b)
c)
Îã
36ãã
1ã
x 5 2 1 Îã
x f 36 1 x 5 (2 1 Îã
x)
x 1x f
f 36 1 x 5 4 1 4 Îã
x f 8 5 Îã
x f x 5 64
f 32 5 4 Îã
2
Îã
2 xãã
2ã
1 125x
f
Îã
2 xãã
2ã
1
f
5x22 f
f 2 x 2 1 5 (x 2 2)2 f 2 x 2 1 5
5 x2 2 4 x 1 4 f x2 2 6 x 1 5 5 0
ã
36ãã
2ã20
664
6 6 Îã
x 5 ———————— 5 ————
2
2
x1 5 5
x2 5 1
La solució és x 5 5.
d)
Îã
ã 5 Îã
ãf
2 xãã
2ã
4 2 Îã
3 xãã
2ã12
5 xãã
2ã16
2
ã ) 5 5 x 2 16 f
2 xãã
2ã
4 2 Îã
3 xãã
2ã12
f (Îã
ãã
ãã12)
ã 1 3 x 2 12 5
(2ãã
x2
4)ããã
(3 x 2
f 2 x 2 4 2 2 Îã
ãã
ãã12)
ã50 f
(2ãã
x2
4)ããã
(3 x 2
5 5 x 2 16 f 22 Îã
f (2 x 2 4) (3 x 2 12) 5 0 f
f
b)
xy 5 6 i
y
3t
x 1 y 5 3 Îã
y 5 3 Îã
32x
x (3 Îã
3 2 x) 5 6 f 3 Îã
3 x 2 x2 5 6 f
f x2 2 3 Îã
3x 1 6 5 0
ãã24ã
3 Îã
3 6 Îã
2ã
72
3 Îã
3 6 Îã
3
x 5 ————————— 5 ——————
2
2
2 Îã
3
Îã
3
Si x 5 2 Îã
3 f y 5 Îã
3 ; si x 5 Îã
3 f y 5 2 Îã
3
x 5 2 Îã
3, y 5 Îã
3 ; x 5 Îã
3, y 5 2 Îã
3
2x 2 y 5 6
c)
y11
x 2 ——— 5 1
4
i
e
y
u
t
2 x 2 y 5 6 f 2y 5 6 2 2 x f y 5 2 x 2 6
y11
x 2 ——— 5 1 f 4 x 2 y 2 1 5 4 f 4 x 2 y 5 5
4
4 x 2 (2 x 2 6) 5 5 f 4 x 2 2 x 1 6 5 5 f 2 x 5 21 f
3 x 2 12 5 0 f x 5 4
1
1
f x 5 2— f y 5 2 2— 2 6 5 27
2
2
2 x 1 7 y 5 23 i
y és compatible determinat.
24. El sistema
4 x 1 k y 5 26 t
Quins valors pot tenir k?
2
7
Si és compatible determinat, — Þ —. Per tant, k Þ 14.
4
k
25. Troba la solució dels sistemes següents:
x1y58 i
y
a)
x y 5 15 t
1
2
26. Quants nombres de quatre xifres diferents es poden escriure
amb les 9 xifres significatives?
V9, 4 5 9 ? 8 ? 7 ? 6 5 3 024
27. Resol l’equació:
Vx, 3 2 VRx, 3 1 65 5 0
Recorda que x només pot ser un nombre natural.
Vx, 3 2 VRx, 3 1 65 5 0 f x (x 2 1) (x 2 2) 2 x3 1 65 5 0
x1 5 5
23 x 2 1 2 x 1 65 5 0 f x 5 13
x2 5 2——
3
xy 5 6 i
y
x 1 y 5 3 Îã
3t
2x 2 y 5 6
c)
y11
x 2 ——— 5 1
4
a)
x2 5 3
2x 2 4 5 0 f x 5 2
La solució és x 5 4.
b)
x1 5 5
x 5 5, y 5 3; x 5 3, y 5 5
x1 5 4
La solució de l’equació és x 5 4 (x 5 23 és solució fictícia).
9
i
e
y
u
t
x1y58 i
y
x y 5 15 t
y582x
x ? (8 2 x) 5 15 f 8 x 2 x2 5 15 f x2 2 8 x 1 15 5 0
Només és solució de l’equació proposada x 5 5.
28. Per fer l’alineació d’un equip de futbol necessitem 11 jugadors i en tenim 22. Quantes alineacions es poden fer si cada
jugador pot ocupar qualsevol posició? I si dos d’ells només
poden jugar de porters i sis només poden fer de defenses?
C22, 11 5 705 432 alineacions diferents.
Si 8 estan fixats, en queden 14 dels quals cal triar-ne 5:
C14, 5 5 2 002
10
LA
COMENCEM
29. En una cursa participen 8 corredors. De quantes maneres
diferents poden creuar la línia d’arribada tenint en compte
que no n’arriben dos al mateix temps? I en cas que dos arribin al mateix temps?
P8 5 8! 5 40 320 maneres diferents de creuar la línea d’arri­
bada.
Si dos arriben al mateix temps serà:
P7 5 7! 5 5 040
30. Forma totes les paraules possibles, tinguin o no sentit, amb
les lletres de la paraula PERA. Quantes n’hi ha?
Hi ha: P4 5 4! 5 24 paraules possibles. Són:
AEPR, AERP, APER, APRE, AREP, ARPE, EAPR, EARP, EPAR, EPRA,
ERAP, ERPA, PAER, PARE, PEAR, PERA, PRAE, PREA, RAEP, RAPE,
REAP, REPA, RPAE, RPEA.
31. Escriu totes les ordenacions possibles de les lletres de la
paraula PASSADA. Quantes n’hi ha?
7!
Hi ha: P 72, 3, 1, 1 5 ——— 5 420 ordenacions possibles.
2! 3!
32. 20 persones van a una festa i totes es donen la mà per saludar-se. Quantes encai­xades de mà s’han fet?
Cada encaixada és la tria de 2 persones d’entre 20.
C20, 2 5 190 encaixades.
33. D’una baralla de 40 cartes se’n reparteixen 3 a cada jugador.
Quants jocs dife­rents pot rebre un qualsevol dels jugadors?
Tria de 3 cartes de 40:
40 ? 39 ? 38
C40, 3 5 —————— 5 9 880 jocs diferents
3?2
LA
MATEMÀTiQUES 1
jUnitat 1. Nombres reals
Activitats
4. El costat més petit d’un rectangle auri mesura 2 cm. Quant
mesura l’altre costat? Expressa’n el resultat de manera exacta
i amb una aproximació arrodonida a les dècimes.
Mesura 2, és a dir,
1. En un problema de física es demana el temps que triga una
pilota a assolir una certa altura. Un estudiant, que ha resolt
el problema correctament, arriba a la solució t 3 s. La
resposta que dóna és t 1,732050808 s. Et sembla que és
correcta aquesta resposta?
No té cap sentit expressar el resultat amb tantes xifres decimals,
ja que no hi ha cap aparell de mesura de temps que pugui apreciar fins a la milmilionèsima de segon.
1 5
2 1
2
5 cm 3,2 cm
5. Sabent que PQ PS 1 dm, demostra que el segment QR
1 5
mesura dm (fig. 1.5).
2
2. Si a 5,325 i b 2,434
a) Calcula a b i ab
b) Indica en cada cas les xifres decimals cor­rectes.
a 5,325 b 2,434
5,3245
2,4335
a
b
5,3255
2,4345
7,7580 a b 7,7600 → a b 7,76
QR =
Si en lloc de sumar multipliquem ordenadament, s’obté:
12,95717075 a b 12,96492975
1 2
12 + =
2
QR = QO + OR =
Per tant, a b 12,96.
a) La diagonal d d’un rectangle de costats 3 i 5 cm.
5
5
=
dm
4
4
5
1
=
=
2
2
5 +1
dm
2
6. Classifica els nombres següents en racionals i irracionals:
(
3. Calcula la longitud dels segments indicats a continuació.
Expressa’n el resultat de manera exacta i utilitza la calculadora per obtenir-ne una aproximació arrodonida a les centèsimes:
a) 2,045
Racional.
b) 3,88080080008...
Irracional.
Diagonal: d
(
32 + 52 =
=
9 + 25 =
34 cm � 5, 83 cm
b) El diàmetre D d’una circumferència la longitud de la qual
és 10 cm.
Diàmetre: D
11
c) 1,9
Racional.
113
d) ——
114
Racional.
L
10
——
D—
cm 3,18 cm
c) L’altura h d’un triangle equilàter de 4 cm de costat.
e) 4,3131131113...
Irracional.
f) 0,58421
(
Altura: h
2
2
4 −2 =
12 cm =
= 2 3 cm � 3, 46 cm
d) L’altura h' d’un con que mesura 6 cm de radi i 9 cm de
generatriu.
Altura: h'
h' =
92 − 62 =
45 cm =
= 3 5 cm � 6, 71 cm
Racional.
7. Indica quins d’aquests nombres són irracionals:
a)
25
Racional.
b) 1
Irracional.
LA
12
c)
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
c) El volum d’un con de 5 cm de radi i 13 cm de generatriu
5 3
L’altura del con mesura:
Irracional.
h =
d) 5e
V =
Irracional.
e) 3 2 49
f) 7 5
Irracional.
16 + 9
25 + 36
En canvi, només podem saber un valor aproximat de l’àrea del
cercle corresponent, ja que
Irracional.
i)
r 2h
·52· 12
=
= 100 cm3
3
3
3
3
La longitud de la circumferència es pot conèixer amb exactitud,
perquè:
4
L 2r 2 — 8 cm
Racional.
h)
132 − 52 = 12 cm
11. S’ha aconseguit determinar que el radi d’una circumfe
4
rència mesura —— cm. Se’n pot conèixer amb exactitud la
longitud? I l’àrea del cercle que limita? Justi­fica la resposta
fent els càlculs corresponents.
Racional.
g)
g2 − r 2 =
2(16 + 9)
16
cm
——
4
A r2 —
Irracional.
(
1,2 0,25
8. Per què el nombre no pot ser irracional?
0,16
No pot ser irracional perquè és el resultat de sumar i dividir
nombres que són racionals.
9. Calcula l’àrea d’un cercle de 4 cm de radi prenent els següents valors de :
a) L’aproximació per defecte 3,1415.
A r2 3,141542 50,264 cm2
2
2
16
i —— és un nombre irracional.
16
A —— cm2 5,09 cm2
12. Quant mesura la diagonal D d’un cub de 2 cm d’aresta?
Expressa’n el resultat de manera exacta i aproxima’l a les
centèsimes.
Diagonal: D
D =
22 + 22 + 22 =
12 cm � 3, 16 cm
13. La longitud d’una circumferència mesura 10 cm.
b) L’aproximació per excés 3,1416.
A r2 3,141642 50,2656 cm2
En quin dels dos casos has obtingut una millor aproximació
a la mesura real de la superfície d’aquest cercle? Per què?
La segona aproximació és més bona que la primera, ja que
l’aproximació per excès del nombre és millor que l’aproximació
per defecte.
10. Expressa de manera exacta:
a) Expressa’n el resultat aproximat a les centèsimes.
L 31,42 cm
b) Quant mesura el radi d’aquesta circumferència?
L
r —— 5 cm
2
c) Calcula l’àrea del cercle que limita i ex­pressa-la de manera
exacta.
A r2 25 cm2
a) La longitud d’una circumferència de 6 cm de diàmetre.
L 6 cm
b) L’àrea lateral d’un cilindre de 2 cm de radi i 5 cm de generatriu.
Alat 2rg 20 cm
2
1
2
14. Troba cinc nombres racionals compresos entre — i —, i
2
3
ordena’ls del més petit al més gran.
Resposta oberta. Per exemple:
0,51 0,54 0,6 0,63 0,65
LA
MATEMÀTiQUES 1
15. Entre quins nombres enters consecutius es troba cadascun
d’aquests nombres ir­ra­cionals?
a)
10
d) 1,9 i 2
1,9 2
2
e) 6 i √ 7
1i2
d) 1 2
4,9 5
e) 3√ 2
10
10
g) ——— i ———
8
9
4i5
5
1
f) — ——
2
2
10
10
—— ——
8
9
(
1i2
h) 1,39 ; i 1,4
(
226
1,39 ; 1,4
15 i 16
18. Ordena del més petit al més gran els nombres reals següents
i col.loca el signe de desigualtat que correspongui:
h) 123
12 i 11
2
13
d)
8
19. Escriu dos nombres racionals compresos entre:
Resposta oberta. Per exemple:
h)
a)
6
f) 3
g) 2 2
ik
b) 2 i 3
1,5 i 1,6
c) 4 i
0
1
2
ba
f
d) e i
3
17. Compara aquests parells de nombres reals:
2
17
4,05 i 4,1
g
j h ed
l
6 5 4 3 2 1
6
2,41 i 2,42
l) 17 + 3
c
5 i
3
6
i) 20
j) ——
2
k) 18
(
c) 29
b)
5
1,42 √ 2 0 2,45 — 2,99 2,9
2
(
16. Representa a la recta numèrica els nombres irracionals següents:
17
(
8i9
7
a) — i
5
5
2,45; 2,99; 2,9 ; √ 2; 1,42; 0; —
2
(
i) 3e
e) 1
6 √ 7
f) 4,9 i 5
7i8
a)
10
8 i 7
c) 3
3 0,73
1
c) i
b) 54
g)
3 i 0,73
b) 1
21
4i5
13
4
5
2,9 i 3
6
20. Expressa de manera exacta:
a) L’àrea d’un triangle equilàter de 4 cm de costat.
7
—
5
2
c2
16
A —— 3 ——
4
4
3 4
3 cm2
LA
14
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
b) La longitud de la diagonal d’un rectangle els costats del
qual mesuren 4 i 6 cm.
a2 + b2 =
=
16 + 36 =
b) (15 2 3 )(15 2 3 )
(15 2 3 )(15 2 3 ) 225 12 213
c) (3 7 )2
52 cm = 2 13 cm
(3 7 )2 97 63
c) El volum d’un cilindre de 2 cm de radi i 3 cm d’altura.
V r2h 12 cm3
d) L’àrea d’un hexàgon regular inscrit en una circumferència
de 8 cm de dià­metre.
d
Costat de l’hexàgon: c — 4 cm
2
32c2 3
342 3
A ——
———
24
2
2
3 cm2
21. Aproxima per defecte i per excés fins a les mil.lèsimes cadascun dels nombres irracionals següents:
a)
3
b) e
d) (7 2) : 3
5
(7 2) : 3 5 : 3 —
3
2
e) ( 6 )2 —
3
2
2
16
( 6 )2 — 6 — ——
3
3
3
(7 −
f)
2) (7 +
c) p
(7 −
Resposta oberta. Per exemple, prenent 4 xifres decimals per a
cada nombre:
Per defecte
Per excés
1,732
1,733
e
2,718
2,719
3,141
3,142
3
2) − 11
2) (7 +
2) − 11
49 − 2 − 11 =
36 = 6
24. Si x, y, z i t representen quatre nombres reals, escriu cadascuna d’aquestes expressions com un producte de dos factors:
a) x2y xy2
x2y xy2 xy(x y)
b) x(y z) t(y z)
22. Extreu factor comú de:
x(y z) t(y z) (y z)(x t)
a) 3 2 5 2
c) z3 z2 z
(3 5)
2
z3 z2 z z(z2 z 1)
d) x2 2xy y2 t(x y)
b) 7 3
(7 3 1)
x2 2xy y2 t(x y)
(x y)2 t(x y) (x y)(x y t)
c) 4 a 5 a 2 a
(4 5 2)
d)
a a
5 b
a
e) z(x t) x2 2xt t2
z(x t) x2 2xt t2
a c
z(x t) (x t)2 (x t)(z x t)
5 (a b c)
25. Calcula sense utilitzar la calculadora:
23. Les operacions amb nombres irracionals que s’indiquen
a continuació donen com a resultat un nombre racional.
Calcula’l en cada cas.
a)
( 10 )2 10
1000
10
b)
a) ( 10 )2
3
4
1296
6
LA
MATEMÀTiQUES 1
25
81
c)
e)
66
5
—
9
1
f)
5
5
d) √1
1
—
5
1
—
2
1
28. Expressa en forma d’arrel:
3
e) √0,001
5
65
5
—
f)
6
15
1
—
0,1
a) 25 3
1
32
3
√25
1
—
1
—
2
b) 12 4
26. Tot i que a primer cop d’ull no ho sembli, els resultats de les
arrels següents són tots racionals. Calcula’ls.
c) a 5
4
√12
3
—
8
18
a)
4
2
9
3
8
18
b)
3
25
5
49
7
3
81
4
3
81
1
1
27
3
3
7
(a 2)2
1
—
1
—
1
1
— —
3
5
—
26
1
—
b) 3 3 : 3 4
2
—
1
—
2
1
— —
4
33:3433
5
—
3 12
1
— 2
1
— 2
53
1
— 2
53
2
—
53
2 √4
d) ———
5
√8
3
—
4
10
5
1
—
c) 5 3
1
—
3
10
d)
1
—
a) 2 2 2 3
3
a3
a
c)
29. Les potències d’exponent fraccionari verifiquen totes i cadascuna de les propietats de les potències d’exponent enter.
Aplica aquestes propietats per expressar en funció d’una
sola potència:
2
—
7
b)
√b2
1
1
8
2
27. Expressa en forma de potència:
3
3
√22
22 2322
3
a)
7
50
98
3
2
—
—
3
e) b 7
50
98
d)
1
d) —
2
2
—
2
16
2
16
c)
5
√a3
3
2
—
2
2 2
223
234
—––—— —––—— —––—
—
3
5
—
5 3
8
25
2
1
—
2
2
—
(a 2) 5
2
2
3
3
5
1 — —
16
—
2 15
LA
16
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
30. Utilitza la calculadora i aproxima fins a les centèsimes
aquests nombres irracionals:
a)
3
c)
3
3
10
3
2,15
b)
5
12
4
1
12
4
3
3
1
32 ⋅ 62
d)
15
2,76
1,23
3 ⋅ 6
15
1
—
c) 4
18
15
18
15
6
5
1,33
d)
3
e) ( 7 23 )4
50
7
3,68
e)
6
f) 36 ⋅
3
3 ⋅
4,45
1
5
a)
b)
3
6
2
6
3 ⋅
6
32 ⋅
10
a
6
i)
310
3
64
j)
32
4
26
23
b) 3 a3
b3
a
10 2 10 −
a)
b
1
—
b) 2 2
3⋅5
2
15
5
c)
4
5⋅32
5 ⋅ 12 24 = 12 53 ⋅ 24 = 12 2000
12 3
d)
7⋅35
10
12
12 6
2
1
10
2
= (6 − 10 + 7) 3 = 3 3
3
5
3
a5
6 3 − 10 3 + 7 3 =
3
33. Expressa en forma d’una sola arrel:
3
5
b) 3 12 − 2 75 + 7 3
La de l’apartat b), ja que (a b) a b .
3 ⋅
a5 =
34. Expressa de la manera més senzilla possible:
a2 2ab b2 a b
3
13
1
5
10
1 + 2 − 10 =
2
2
3
a)
20
a 3 a2
(a b)2 a b
c)
54
13
4
32. Esbrina quina de les igualtats següents és incorrecta:
a)
6
a2 − b2
4⋅5
3
4
32 ⋅
h) 2 5
a
d)
6
2 =
(a + b) (a − b) =
a5
a12
15
6
a − b
4
c)
212
1
g) (a + b)2 ⋅
0,45
n
31. Per simplificar una arrel del tipus √am, cal aconseguir que m
i n siguin nombres primers entre ells. Simplifica:
12
7
1
65
f)
23 ⋅ 4 =
5 10
7 ⋅ 12 54 12 76 ⋅ 54
=
12
10
10
LA
MATEMÀTiQUES 1
35. Racionalitza les expressions fraccionàries següents:
1
5
a)
b)
1
5
5
⋅
5
5
5
1
2− 3 2− 3
2− 3
⋅
4 −3
2+ 3 2− 3
c)
d)
12
2 12
⋅
2 6 2
2
2
2
22
4 + 5 22(4 + 5
⋅
=
=
16 − 5
4− 5 4+ 5
3(4 2 ) 12 3 2
————— ——————
7
7
7
6
————— —————
4 2
4 2
12
2
22
4 – 5
6
4 2 6(4 2
———— ———— —————
4 2 4 2
14
1
2+ 3
=
4 2
12 3 2
4 13 2
———— —————— ——————
2
7
14
37. Representa a la recta real els conjunts de nombres següents.
Després, defineix-los mitjançant desigualtats:
a) [4, )
0
22(4 + 5 )
= 2(4 + 5)
11
36. Efectua les operacions indicades racionalitzant prèviament
cada expressió fraccio­nària:
4
4x
b) (, 2)
1
2
a) ———— ————
5 3
5 3
1
5 3
5 3
———— ———— ————;
5 3 5 3
22
2
x 2
c) [1, 3]
0 1
2(5 3
2
5 3
———— ———— —————
5 3 5 3
22
5 3
————
11
d) (2, 5)
0
7
4 2
7(4 2 )
———— ———— ——————
4 2 4 2
14
4 2
————
2
2
5
2x5
e) [3, 0)
7
6
b) ———— ————
4 2
4 2
3
1x3
1
2
———— ————
5 3
5 3
5 3
5 3
15 3
———— ———— ————
22
11
22
17
0
3
3 x 0
f) (0, 3]
0
3
0x3
0
18
LA
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
g) (5, )
0
5
5x
h) [2, 2)
0
2
2
2 x 2
i) (, 0)
0
x0
j) (3,4]
0
3
4
3 x 4
0
4
2
4 x 2
3
l) [1, —)
2
41. Efectua aquestes operacions amb l’ajut de la calculadora.
Expressa’n els resultats utilitzant la notació científica:
a) 2,5104 105 6,25103 5 1,1875105
b) (106 : 4103) : 5107 5 5
1,251012 1012
c) ———————— 5 1,6 10
1010 5109
d) (104 107)2 5 9,981013
(
k) (4,2)
40. Escriu en notació científica:
a) 0,00345 · 108
b) 126,78 · 10-5
13
c)
5789680
d) 756423987
e) 0,00000002854
a) 0,00345 · 108 5 3,45 · 105
b) 126,78 · 10-5 1,26678 · 10-3
13
5 2,2245374528 · 10-6
c)
5789680
d) 756423987 5 7,56423987 · 108
e) 0,00000002854 5 2,854 · 10-8
42. Una estrella es troba a 4 anys llum de la Terra. Quina es la
distància en quilòmetres que la separa del nostre planeta?
Un any llum és la distància que recorre la llum en un any a la
velocitat de 300 000 km/s.
1 0 1 2
3
1 x —
2
38. Expressa utilitzant la nova notació els conjunts de nombres
reals que verifiquen:
a) x 3
365 dies 24 h
3 600 s
1 any ———— ——— ———— 3 1536 000 s
1 any
1 dia
1h
300 000 km
1 any llum 3 153 6000 s —————— 9,46081012 km
1s
[3, )
b) x 4
4 anys llum 4 9,46081012 3,784321013 km
(, 4)
c) 2 x 3
43. Sabent que un mol d’àtoms de ferro conté 6,021023 àtoms
d’aquest metall i que té una massa de 55,8 g, esbrina:
[2, 3]
d) 5 x 1
(5, 1)
e) 4 x 6
a) La massa en grams d’un àtom de ferro.
(4, 6]
f) x 7
1 mol àtoms Fe
55,8 g Fe
1 àtom Fe —————————
————————
6,021023 átoms Fe 1 mol àtoms Fe
(7, )
9,271023 g Fe
39. Les inequacions 1 3x 5 i 3x 5 2 tenen solucions
comunes. Troba-les, representa-les gràficament i expressales de dues maneres diferents.
1 3x 5 → 6 3x → x 2
3x 5 2 → 3x 3 → x 1
2
1
0
2 x 1, o també, x [2, 1).
b) El nombre d’àtoms continguts en 1 g de ferro.
1 mol àtoms Fe 6,021023 àtoms Fe
1 g Fe ———————— —————————
55,8 g Fe
1 mol àtoms Fe
1,081022 àtoms Fe
44.Expressa en notació científica la longitud en metres del radi
de la Terra, sabent que un quadrant d’un meridià terrestre
mesura 104 km.
L
4· 104 km
40 000 km
r5
5
5 6 366,2 km 5
5
2
5 789 680
6,283184
3
6
5 6,3662 · 10 km 5 6,3662 · 10 m
LA
MATEMÀTiQUES 1
Activitats finals
1. Demostra, sense utilitzar la calculadora, que el número
1764 és racional. Realitza prèviament la descomposició
en factors primers de 1764.
1764 22 32 72
5. Quina condició han de verificar els coeficients a, b i c de
l’equació de segon grau ax2 bx c 0, per tal que les
seves solucions siguin nombres reals?
Les solucions de l’equació ax2 bx c 0 són de la forma:
b √b2 4ac
x ————————
2a
1764 = 22 ⋅ 32 ⋅ 72 = 2 ⋅ 3 ⋅ 7 = 42
2. Calcula el costat, el perímetre i l’àrea d’un quadrat inscrit en
una circumferència de 2 cm de radi. Quina de les tres mesures s’expressa mitjançant un nombre racional? Expressa les
altres dues de manera exacta i amb una aproximació fins a
les centèsimes.
El diàmetre de la circumferència coincideix amb la diagonal del
quadrat i mesura 4 cm.
Si representen per c el costat del quadrat, es verifica:
c2 c2 42 → 2c2 16 → c2 8 →
→ c 2 2 cm 2,83 cm
19
Per tant, perquè aquestes solucions siguin nombres reals s’ha de
verificar que:
b2 4ac 0
6. El perímetre d’un rectangle mesura 16 cm i una de les seves
diagonals, 2√10 cm. Calcula’n l’àrea.
Anomenem x i y les dimensions del rectangle expressades en
centímetres. Es verifica:
2x 2y 16
2
x y (2√10)
2
2
xy8
x2 y2 40
x8y
El perímetre p del quadrat mesura:
(8 y)2 y2 40 →
p 4c 4 2 2 8 2 cm 11,31 cm
i l’àrea A del quadrat és:
→ 64 16y y2 y2 40 →
→ 2y2 16y 24 0 → y2 8y 12 0
A c2 8 cm2
L’única mesura que s’expressa mitjançant un nombre racional és
la superficie del quadrat.
3. Dibuixa un quadrat de 2 cm de costat. Determina els punts
mitjans dels seus costats i uneix-los successivament. Quina
figura n’obtens? Per què? Calcula’n l’àrea i el perímetre.
y1 6
8 √64 48
84
y ——————— ———
2
2
y2 2
Si y 6 → x 2, i si y 2, x 6.
En qualsevol cas, l’àrea del rectangle és
A 12 cm2
7. Troba quatre nombres racionals compresos entre 2
2 √ 6.
√5 i
Resposta oberta. Per exemple: 4,25; 4,3; 4,42; 4,4.
8. Representa a la recta numèrica els nombres reals següents:
(
3
a) —
4
b) 1,16
S’obtè un altre quadrat: els seus costats són iguals i els quatre
angles són rectes.
c) √34
Àrea: A ( 2 )2 2 cm2
Representació aproximada:
Perímetre: P 4 2 cm
d
4. Considera un nombre positiu, eleva’l al quadrat, multiplica’l
per 2 i, finalment, extreu-ne l’arrel quadrada. Demostra que
el quocient de la divisió entre l’últim nombre i el primer és
igual a √2 .
x → x2 → 2x2 → x
d) √ 8
2 →
L’últim pas és possible perquè x 0.
2
a b
3 2 1
0
1
c
2
3
4
9. Calcula:
2
a) (3√ 5)
(3√ 5)2 95 45
5
6
7
8
LA
20
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
4
b) (√10)
4
13. L’arrel quadrada de l’arrel cúbica d’un nombre positiu x té dos
possibles resultats. Per què? Si un d’aquests és 2, quin és
l’altre? Calcula x.
2
(√10) 10 100
Perquè es tracta d’una arrel d’índex parell (índex 6)
c) (√5 √3)(√5 √3)
(√5 √3 )(√5 √3 ) 5 3 2
2
3
√ √x
6
√x
L’altre resultat és 2, l’oposat de 2.
2
d) (√7 ) (√2 )
6
√x 2 → x (2)6 64
(√7 )2 (√2 )2 7 2 5
14. Calcula:
10. Calcula:
a)
2
a) (1 √2 )
(1 √2 )2 1 2√2 2 3 2√2
√
200
—
—
—
450
√
200
—
—
—
450
2
b) (3 √3 )
(3 √3 )2 9 6√3 3 12 6√3
2
c) (2√5 1)
b)
√
3
—
27
(2√5 1) 20 4√5 1 21 4√5
√ √
2
√
10
2
200
—
—
— —— ——
15
3
225
3
—
27
1
1
— —
9
3
2
d) (4√2 2√3 )
(4√2 2√3 )2 32 16√6 12
c)
√
242
—
338
√
44 16√6
11. En quins casos el resultat d’una potència de base 3 és més
petit que 3? Justifica la resposta amb exemples.
Sempre que l’exponent és més petit que 1.
1
1
—
Per exemple: 3 2 1,73; 30 1; 31 —.
3
242
—
338
√
11
121
— ——
169
13
15. Escriu com una única arrel:
2
–1
—
—
a) 10 3 10 2
2
–1
—
1
—
—
6
10 3 10 2 10 6 √10
3
—
b) 7 4 : 70,5
12. Expressa com una sola potència:
a) √2
3
3
—
√2
2
1
1
—
—
√2 √2 2 2 2
2
3
5
—
6
—
c) 2 3
4
√7
3
5
2
2
—
4
b) √5 : √5
1
3
1
1
—
4
—
1
—
√5 : √5 5 3 : 5 4 5 12
—
3
2
—
—
1
—
1
—
1
—
3
3
3
√2 √3 √6
2
—
7
√a2 a 7
16. Quines de les desigualtats següents no són certes? Per què?
2
d) ( √b3)
4
5
d) 2 3 3 3
7
√a2
5
2 5 √22 √4
5
23 33
4
—
—
3
c)
1
—
3
3
3
1
—
7 4 : 70,5 7 4 : 7 2 7 4
4
3
—
( √b3)2 √b6 √b3 b 2
a)
√9 25 3 5
b) √7 6 √7 √6
LA
MATEMÀTiQUES 1
c) √a2 b2 a b
1
b) ————
√ 7 √ 5
√ 45
d) √5 ——
3
a) Perquè 34 82
c) Perquè a2 b2 (a b)2
17. Expressa de la manera més senzilla possible el resultat de
les operacions següents:
a) √ 7 √ 28 √ 63
√7 √28 √63 √7 2√7 3√7
(1 2 3) √3 0
b) √121 √169 √225
√121 √169 √225 11 13 15 9
3
c) √ a √a2
1
2
—
3
21
7
—
—
6
6
√a √a2 a 2 a 3 a 6 √a7 a √a
1
√7 √5
———— ————
√7 √5
√7 √5
√7 √5
√7 √5
———— ————
75
2
6 √6
c) ———
6 √ 6
6 √6
6 √6
36 12√ 6 6
———— ———— ———————
6 √6
6 √6
36 6
7 2√ 6
42 12√ 6
————— ————
30
5
20. Les solucions d’una inequació es troben a l’interval [5,2],
i les d’una altra inequació, a l’interval [0, 4). Expressa mitjançant un interval les solucions comunes a totes dues inequacions. Ajuda’t d’un gràfic.
4
d) √b 3 : √b
3
—
4
1
—
1
—
4
√b3 : √b b 4 : b 2 b 4 √b
5
18. Justifica aquestes igualtats:
0
2
4
Les solucions comunes són les que es troben a l’interval: [0, 2].
a) 2 √12
2√3 √ 22 3 √ 12
Avaluació
b) 5√ 2 √50
5√ 2 √ 52 2 √ 50
1
— √3
c) —
2
1
— √ 3
2
n
√
3
— 4
√—2 3 √—4 3 √—4
1
1
2
3
n
d) a2 √ a √ a 2n 1
a2
n
n
n
√ a √ a 2n a √ a 2n 1
19. Racionalitza:
a) 3√2343 és un nombre irracional.
Fals, perquè 3√2343 2 7.
21p
b) El nombre real ——— està comprès entre els nombres
5
naturals 1 i 2.
21p
Cert, ja que ——— 1,03.
5
c) 24 és un nombre racional.
Cert, concretament es tracta d’un nombre enter.
d) El resultat de √ 12 1 3√ 3 2 √75 és 0.
20
a) ——
√ 10
1. Digues, de manera raonada, si les afirmacions següents són
certes o falses:
Cert.
20
20√ 10
√10
—— —— ——— 2√ 10
10
√10 √10
√ 12 1 3√ 3 2 √ 75 5 2√ 3 1 3√ 3 2 5√ 3 5
5 (2 1 3 2 5)√ 3 5 0
LA
22
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
2. Expressa de manera exacta:
4. Calcula i expressa de la manera més senzilla possible:
a) (3√ 2 1 7√ 3)(3√ 2 2 7√ 3)
a) El volum d’un cub de 3 cm de diagonal.
Si d representa la diagonal d’un cub i a la seva aresta, es
verifica:
d2
3√3
d√3
d2 5 3a2 → a2 5 — → a 5 —— → a 5 —— 5 √3 cm
3
3
3
V 5 a3 5 (√3)3 5 3√3 cm3
(3√ 2 1 7√ 3)(3√ 2 2 7√ 3) 5 18 2 147 5 2129
1
b) 2√75 2 √ 300 1— √ 12
2
1
2√75 2 √ 300 1— √ 12 5 10√ 3 2 10√ 3 1 √ 3 5
2
b) L’àrea lateral d’un con de 5 cm de radi de la base i 12 cm
d’altura.
5 (10 2 10 1 1)√ 3 5√ 3
√ 52 1 122 5 13 cm, i
c) (5 1 2√ 7) 2 (5 2 2√ 7)
La generatiu del con mesura g 5
l’àrea lateral:
(5 1 2√ 7) 2 (5 2 2√ 7) 5 5 1 2√ 7 2 5 1 2√ 7 5 4√ 7
Alat 5 prg 5 65 p cm2
d) √ (a 1 b)2 2 4ab
c) El radi d’una esfera de 27 cm de volum.
3
4
3
3V
Volum d’una esfera de radi r : V 5 — pr3 → r 5 —
—
—
3
4p
3
3
3 · 27
3
r5 —
—
—
—
— 53
—
—
— cm
4p
4p
√
√
√
d) La hipotenusa d’un triangle rectangle, un dels catets del
qual mesura el doble que l’altre.
Si representem per c la mesura del catet més petit, l’altre catet mesurarà 2c. La mesura de la hipotenusa d’aquest triangle
rectangle s’expresarà:
h 5 √ c2 1 (2c)2 5 √5c2 5 c√ 5
3. a) Expressa en forma d’una sola arrel:
7
6 3
6
x3
x
x
√
√
—
—— 5 —— 5 —
3 2
6 4
y4
√y
√y
4
4
4
√
12
12
√ 2 · √ 3 5 √24 · √33 5 √24 · 33
5 2 1 √3 2 2 1 √3 5 2√3
b) Expressa en forma d’una sola potència:
1
3
b) √ 2 · — 1 ——
√ 8 √32
1
5
√2 x2
3
2 3
a · √ a; √2 √2 √2; ( √ b2)2; ——
√x
1
–
7
–
a2·3√ a 5 a2 · a 3 5 a3
7
–
√2√2 √2 5 √√2 3√2 5 √√√ 27 5 √27 5 28
8
3
3
(√b ) 5 √ b 5b
5
2 2
√ x2
4
10
9 1 6√3 1 3
12 1 6√3
3 1 √3
3 1 √3
——— · ——— 5 ————— 5 ———— 5
3 1 √3
923
6
3 2 √3
3 2 √3
3 1 √3
——— 2 ——— 5 2 1 √3 2 (2 2 √3) 5
3 2 √3
3 1 √3
4
12
a) 3 1 √3
3 2 √3
——— 2 ———
3 1 √3
3 2 √3
5 2 2 √3
(p √ p3)5 5 (√p7)5 5 √ p35
3
5. Fes les operacions indicades, racionalitzant prèviament les
expressions fracionàries:
3 2 √3
9 2 6√3 1 3
12 2 6√3
3 2 √3
——— · ——— 5 ————— 5 ———— 5
3 2 √3
923
6
3 1 √3
7
√ a · √ b2 5 √ ab2
5 √ (a 2 b)2 5 a 2 b
5 2 1 √3
√x
7
7
4
3
4
(p √ p3)5; √ 2 · √3
√ a · √ b2; ——;
3
2
√y
7
√(a 1 b)2 2 4ab 5 √a2 2 2ab 1 b2 5
4
–
3
1
√ x4
10
2 ––
—— 5 —— 5 √ x21 5 x 10
10
√x
√ x5
2
1 √ 8
2√ 2
√8
√2
— · — 5—— 5 —
—5—
—
8
8
4
√8 √8
3
√ 32 3√ 32
—
— ·—
— 5——
32
√ 32 √32
1
3
5
1
3
√ 2 3√32
√ 2 · — 1 —— 5 √ 2 — 1 —— 5— 1— 5—
4
32
2
4
4
√ 8 √32
1
2
1
2
MATEMÀTIQUES 1
jUnitat 2. Polinomis
la
23
Les expressions a) c) e) i f) no són polinomis, ja que la indeterminada x apareix elevada a 2 i a 1, respectivament. En l’expressió d) s’obté x , que sí és un polinomi.
3
Activitats
4. Calcula, per a x 1, el valor numèric del polinomi:
1. Indica el grau i els coeficients de cadascun d’aquests polinomis:
a) A(x) x 3x 2
3
2
A(1) 2
1
b) B(x) x4 √2 x2 —x
3
5. Determina els coeficients a, b i c perquè els polinomis següents siguin idèntics:
1
Grau 4; coeficients: 1, 0, √2, — i 0.
3
B(x) x4 x2 1 i
C(x) x4 ax3 bx2 cx 1
5
8
c) C(x) 3x2 —x —
4
5
Identificar dos polinomis de quart grau és igualar els coeficients del mateix grau:
5
8
Grau 2; coeficients: 3, — i —.
4
5
a 0 b 1 c 0
d) D(x) x4 x3 x2 x 1
6. Donats els polinomis:
3
A(x) x3 3x2 5x —
4
7
B(x) x3 —x 3
2
Grau 4; coeficients: 1, 1, 1, 1 i 1.
2. Escriu un polinomi que sigui:
Respostes obertes. Per exemple:
C(x) 2x2 4x
a) De tercer grau i amb dos termes.
2x3 7
Calcula:
b) De quart grau i amb cinc termes.
a) A(x) B(x)
x 3x 2x 7x 1
3
2
3
A(x) B(x) x3 3x2 5x —
4
c) De segon grau i amb un terme.
5x2
d) Hi ha algun polinomi de tercer grau amb cinc termes? Per
què?
No hi ha cap polinomi de 3r grau amb 5 termes. Com a màxim
en pot tenir 4.
3. Indica quines de les expressions algèbriques següents no
són polinomis. Justifica les respostes.
5
a) — 1
x2
El valor numéric s’obté en substituir x per 1:
A(1) (1)3 1(1)2 (1) 1 2
Grau 3; coeficients: 1, 3, 0 i 2.
4
A(x) x3 x2 x 1
b)
x2 1
———
5
√
c) x3 x2 x 1
d ) x x 2
e) —————
x
f)
2
√x 4
9
x3
x2
1
———
3
2
x
7
17
9
x3 —x 3 3x2 —— x —
2
2
4
b) A(x) B(x)
A(x) B(x)
3
7
x3 3x2 5x — x3 —x 3
4
2
3
15
2x3 3x2 —x ——
2
4
c) C(x) B(x) A(x)
9
9
C(x) B(x) A(x) x2 —x —
2
4
LA
24
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
2 x2 4 x
C (x)
g) B(x) C(x)
B(x)C(x)
7
—x 3
2
B (x) x3
A (x)
3
x3 3 x 2 5 x —
4
C (x) B (x) A (x)
9
9
x — x —
4
2
2x5 4x4 7x3 8x2 12x
C (x)
3
A (x) x 3 3 x 2 5 x —
4
B (x) A (x) C (x)
2 x2 4 x
11
15
2 x 3 5 x 2 — x —
2
4
e) x2 [B(x) C(x)]
x2
15
x2 x3 2x2 ——x 3
2
15
x 2x —— x3 3x2
2
4
1
f) 3A(x) 5B(x) —C(x)
2
[C(x)]3 (2x2 4x)3
(2x2 4x)2 (2x2 4x)
8x6 48x5 96x4 64x3
[C (x)]2
C (x)
4 x 4 16 x 3 16 x 2
2 x2 4 x
16 x 5 64 x 4 64 x 3
8 x 32 x 5 32 x 4
6
Contesta les qüestions següents i justifica les respostes:
7
x3 —x 3 2x2 4x
2
5
6 x2
[C (x)]3 8 x 6 48 x 5 96 x 4 64 x 3
x2 [B(x) C(x)]
7x
3
h) [C(x)]3
7
—x 3
2
B (x) x 3
5
B (x) C (x) 2 x 5 4 x 4 7 x 3 8 x 2 12 x
11
15
2x3 5x2 ——x ——
2
4
C (x)
2 x2 4 x
14 x 2 12 x
4 x4
2 x
B(x) [A(x) C(x)]
3
2
d) B(x) [A(x) C(x)]
7
x 3 — x
2
B (x)
El grau del polinomi A(x) B(x) no és 3 perquè els coeficients de 3r grau són oposats.
b) Quin és el grau del polinomi x2 [B(x) C(x)]?
El grau del polinomi x2 [B(x) C(x)] és 5.
c) Per què el grau del polinomi [C(x)]3 és 6?
El grau del polinomi [C(x)]3 és 6, ja que (2x2)3 8x6.
1
3A(x) 5B(x) —C(x)
2
9
69
8x3 8x2 —x ——
2
4
9
3 A (x) 3 x 3 9x 2 15 x —
4
35
— x 15
5 B (x) 5 x 3
2
1
— C (x)
x 2 2x
2
1
3 A (x) 5 B (x) — C (x)
2
a) Per què el grau del polinomi A(x) B(x) no és 3?
69
9
8 x3 8 x2 — x —
2
4
d) És cert que: B(x) [A(x) C(x)] B(x) A(x) C(x)?
B(x) [A(x) C(x)]
B(x) A(x) C(x)
És certa la igualtat.
7. Si A(x) 3x3 2x2 7 i B(x) x4 5x3 2x, determina:
a) El polinomi C(x) que verifica A(x) C(x) B(x).
C(x) B(x) A(x)
x4 8x3 2x2 2x 7
x4 5x3
2x
7
3x3 2x2
x4 8x3 2x2 2x 7
la
MATEMÀTIQUES 1
b) El polinomi D(x) que verifica B(x) D(x) A(x).
D(x) A(x) B(x)
c) (2x3 x2 3x) : (x 1)
Per Ruffini:
x 8x 2x 2x 7
4
3
2
2 1 3 0
1 2 1 4
Aquest polinomi és oposat a l’anterior.
1 2 1 4 4
c) La relació que hi ha entre els polinomis C(x) i D(x).
Quocient: 2x2 x 4
Residu: 4
La relació: D(x) C(x)
8. Realitza la divisió (3x4 x3 1) : (x2 1). Comprova que
es verifica la propietat fonamental.
3x x
3x4
4
1
3
x3
x3
3x2
Per Ruffini:
x 1
2
1 0 0 0 1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 0
3x2 x 3
3x2
x
Quocient: x3 x2 x 1
Residu: 0
3x x 1
3x2
3
2
d) (x4 1) : (x 1)
e) x3 : (x 2)
x4
Per Ruffini:
Quocient: 3x2 x 3
1 0 0 0
2 2 4 8
1 2 4 8
Residu: x 4
Comprovació:
(3x2 x 3)(x2 1) (x 4)
3x4 x3 1
9. Efectua aquestes divisions. Aplica la regla de Ruffini quan
sigui possible.
a) (6x5 3x4 2x 1) : (3x3 2x 4)
Quocient: x2 2x 4
Residu: 8
f) (x6 1) : (x2 1)
x6 1 x2 1
x4 x4 x2 1
x6
x4
x4
2x 1
6x5 3x4
3x3 2x 4
6x5
4x3 8x2
4
3x4 4x3 8x2 2x
2x2 x —
3
4
2
2x 4x 3x
4x3 6x2 2x 1
8
16
4x3
—x —
3
3
1
—
2
1
—
2
x4 x2 2
x2 1
2
2
Quocient: x2 1
Residu: 3x2 2
Per Ruffini:
b) x6 : (x4 x2 2)
3x2
2
1
1
1
1
g) —x2 —x — : x —
2
3
4
2
2
19
Residu: 6x2 —x ——
3
3
x4 2x2
x4 x2
x2 1
x2 1
Quocient: x4 x2 1
Residu: 2
2
19
6x2 —x —
3
3
4
2
Quocient: 2x x —
3
x6
x6 x4 2x2
x2
1
—
2
1
1
Quocient: —x ——
2
12
5
Residu: ——
24
1
—
3
1
—
4
1
—
4
1
——
24
1
——
12
5
——
24
25
LA
26
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
10. En una divisió, el divisor és el polinomi x3 2x2 3, el quocient és x2 2x 1 i el residu és 8x 2. Quin és el grau
del dividend? Pots calcular-lo? Fes-ho.
Dividend:
(x3 2x2 3)(x2 2x 1) (8x 2)
x5 3x3 x2 2x 1
El dividend és de grau 5.
x 2x
3
x2 2x 1
3
2
x3 2x2
3
4
6x
2x 4x3
3x2
x5 2x4
x5
3x3 x2 6x 3
8x 2
x5
3x3 x2 2x 1
11. Determina els valors de a i b, de manera que quan dividim
1
3x4 12x2 ax b per x3 2x2 3 el residu sigui —.
2
12x2ax b
3x4
9x
3x4 6x3
x3 2x2 3
3x 6
6x3 12x2 (a 9)x b
18
6x3 12x2
1
(a 9)x b 18 — →
2
a90 → a9
→
1
37
b 18 — → b ——
2
2
5
12. En una divisió exacta, el dividend és x5 1 i el quocient,
x4 x3 x2 x 1. Calcula’n el divisor.
x5 1
x5 x4 x3 x2 x
x4 x3 x2 x 1
x1
x4 x3 x2 x 1
x4 x3 x2 x 1
14. Tria el mètode que consideris més convenient per trobar el
valor numèric d’aquests polinomis per al valor que s’indica:
3
a) —x4 5x3 4x 2 per a x 12
2
Pel teorema del residu:
12
3
—
2
3
—
2
5
0
18
276
3312 39696
23
276
3308 39698
b) x6 x4 √ 2x
3 x2 per a x √ 2 Substituint:
(√2 )6 (√2 )4 √2 (√2 )3 (√2 )2
8 4 4 2 10
Valor numèric: 10
2
1
3
c) —x3 —x2 —x 1 per a x 5
5
5
5
Substituint:
2
1
3
—(5)3 —(5)2 —(5) 1
5
5
5
50 5 3 1 47
Valor numèric: 47
15. Calcula el residu de la divisió (2x3 3) : (x 2). Fes-ho
mitjançant els dos procediments que hem analitzat. Explica
quin és el més ràpid.
Fent la divisió:
3
2x3
2x3 4x2
x 2
2x2 4x 8
4x2
3
4x2 8x
3
16
13
13. Determina el valor de k per tal que la divisió
R 13
(2x3 x2 k): (x 2) sigui exacta.
Pel teorema del residu: 223 3 13
2x3 x2
k x 2
2x3 4x2
2x2 5x 10
És més ràpid fer-ho pel teorema del residu.
5x2
k
5x2 10x
10x k
10x 20
k 20 0 → k 20
2
Valor numèric: 39698
8x
8x
Divisor: x 1
4
16. Determina el valor de k per tal que la divisió
(x3 3x2 5x k) : (x 3) sigui exacta.
Valor numèric 0 per a x 3:
(3)3 3(3)2 5(3) k 0 →
→ k 69
la
MATEMÀTIQUES 1
17. Troba el residu de la divisió (x9 1) : (x 1). Pots obtenirlo sense necessitat de fer la divisió.
27
e) x 3 és divisor de x3 27.
Falsa, (3)3 27 54
R (1) 1 0
9
18. Comprova que P(x) x3 3x2 6x 8 és divisible per
x 2. Expressa el polinomi P(x) com a producte de dos
polinomis.
Si P(2) 0, P(x) és divisible per x 2.
2
Dividim P(x) per x 2 per trobar l’altre factor:
1
3
22
1
5
6
10
8
8
4
0
P(x) (x 5x 4)(x 2)
2
Substituir per x 1
1
2
20. Un polinomi P(x) només té els divisors 3, x2 1 i —x —.
3
9
Troba P(x).
1
2
P(x) 3(x2 1) —x —
3
9
2
2
x3 —x2 x —
3
3
21. Calcula k perquè el polinomi x3 3x2 k sigui múltiple de
x 1.
Cal que (1)3 3(1)2 k 0 → k 4
22. Indica si són certes o falses aquestes afirmacions:
a) x 1 és divisible per x 1.
4
Certa, ja que (1)4 1 0
b) x5 1 és múltiple de x 1.
Certa, 15 1 0
c) x 2 és divisor de x3 8.
Certa, (2)3 8 0
d) x7 1 és múltiple de x 1.
Certa, (1)7 1 0
x1 0
x2 5x 6 0 →
→ x2 3, x3 2
B(x) 6x3 7x2 9x 2
B(2) 0 → x 2 és l’única arrel entera.
C(x) 2x3 2
→ x3 1 → x 1
D(x) x3 7x2 6x
D(x) x(x2 7x 6) 0 →
(1)4 k 0 → k 1
A(x) x(x2 5x 6)
C(x) 0 → 2x3 2 0 →
19. Troba el valor de k perquè el polinomi x4 k sigui divisible
per x 1.
Les arrels enteres, si n’hi ha, cal que siguin divisors del terme
independent.
A(x) x3 5x2 6x
P(2) (2) 3(2) 6(2) 8 0
3
23. Determina, si és possible, les arrels enteres d’aquests polinomis:
→
x1 0
x2 7x 6 0 → x2 1, x3 6
E(x) x3 2x2 x 2
E(2) 0 → x 2
F(x) x4 x2 2
F(1) F(1) 0 → x1 1 i x2 1
24. Esbrina si x 3 és una arrel del polinomi P(x) x3 2x2 9.
x 3 és una arrel de P(x), ja que:
P(3) 33 232 9 0
25. Determina les arrels del polinomi:
A(x) (x2 9)(2x 1)
x2 9 0 → x1 3, x2 3
A(x) 0
1
2x 1 0 → x3 —
2
26. Calcula les arrels del polinomi P(x) (x2 4)(3x 1).
P(x) 0
x2 4 0 → x1 2, x2 2
1
3x 1 0 → x3 —
3
LA
28
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
27. El polinomi B(x) (x2 4)(x 1) només té una arrel real.
Per què?
x2 4 0 → (no té solució)
B(x) 0
x10 → x1
1
3
2
2
3
10
11
14
6
6
1
5
3
3
7
6
3
3
0
1
0
1
28. Factoritza el polinomi P(x) x x 8x 12. Troba una
arrel entera entre els divisors del terme independent. Determina totes les seves arrels.
3
2
Té les arrels 3 i 2 (doble).
30. Troba les arrels d’aquests polinomis mitjançant la seva factorització:
a) x3 3x2 13x 15
x3 3x2 13x 15
(x 1)(x 3)(x 5)
P(x) (x 3)(x 2)2
Arrels: 1, 3 i 5
29. Factoritza aquests polinomis:
b) 2x4 6x3 8x
a) x4 1
2x4 6x3 8x 2x(x 1)(x 2)2
x4 1 (x2 1)(x2 1)
Arrels: 0, 1 i 2 (doble).
(x2 1)(x 1)(x 1)
3
c) 3x2 3x —
4
b) x5 x4 x 1
x5 x4 x 1
(x 1)(x 1)2(x2 1)
1
1
0
0
1
1
1
2
2
2
1
2
2
2
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
1
1
0
1
Arrel: — (doble)
2
2
d) x3 3x2 4x
x3 3x2 4x x(x 4)(x 1)
x4 x3 2x2 x2(x 2)(x 1)
Arrels: 0, 2 i 1
f) x4 3x3 3x2 11x 6
3
2
2
2
x2(x 2)2
1
31. Les arrels d’un polinomi de segon grau són 2 i — i el
3
coeficient de x2 és 6. Quin és aquest polinomi?
9x 30x 25 (3x 5)
2
Arrels: 1 (doble), 3 i 2
x4 3x3 + 11x 6 (1)2 (x3) (x + 2)
d) 9x2 30x 25
2
1
P(x) 6(x 2) x — 6x2 10x 4
3
x2
e) —— 9
9
e) x4 x3 2x2
x 4x 4x x (x 4x 4)
4
3
1
3x2 3x — 3 x —
4
2
Arrels: 0, 4 i 1
c) x4 4x3 4x2
2
x2
x
x
—— 9 — 3 — 3
9
3
3
f) x4 3x3 3x2 11x 6
x4 3x3 3x2 11x 6
(x 2)(x 3)(x 1)2
32. Calcula el m.c.d. i el m.c.m. dels polinomis:
a) P(x) x2 9 i R(x) x2 6x 9
P(x) x2 9 (x 3)(x 3)
R(x) x2 6x 9 (x 3)2
m.c.d.: x 3; m.c.m.: (x 3)(x 3)2
MATEMÀTIQUES 1
b) P(x) x2 1 i R(x) 3x2 6x 3
P(x) x2 1 (x 1) (x 1)
R(x) 3x2 6x 3 3(x 1)2
m.c.d.: x 1; m.c.m.: 3 (x 1) (x 1)2
B(x) 3x2 3 3(x 1)(x 1)
m.c.d.: 3(x 1)(x 1) B(x)
m.c.m.: 3(x2 1)(x 1)(x 1) A(x)
d) A(x) x2 2x 3, B(x) x3 2x2 x i
C(x) x 8x 21x 18
3
2
A(x) x2 2x 3 (x 1)(x 3)
B(x) x3 2x2 x x(x 1)2
C(x) x3 8x2 21x 18 (x 3)2(x 2)
m.c.d.: 1
m.c.m.: (x 1)2(x 3)2(x 2)x
33. Troba el m.c.d. i el m.c.m. de S(x) (x 2)2 i T(x) x2 4.
Comprova que el producte dels dos polinomis que acabes de
trobar és igual al producte dels polinomis S(x) i T(x).
29
1
x1
b) ———— i ————
x 1 x2 2
1
x1
———— ————, ja que:
x1
x2 2
(x2 2) x2 1
c) A(x) 3x4 3 i B(x) 3x2 3
A(x) 3x4 3 3(x2 1)(x 1)(x 1)
la
P(x)
36. Considera la fracció ———. Indica quines d’aquestes frac
Q(x)
cions són equivalents a la fracció donada:
4P(x)
a) ————
4Q(x)
4P(x)
P(x)
———— ———
4Q(x)
Q(x)
10P(x)
b) ————
5Q(x)
3 P(x)
c) —————
3 Q(x)
[P(x)]2
d) ————
[Q(x)]2
P(x)
La resta de fraccions no són equivalents a ——.
Q(x)
S(x) (x 2)2; T(x) (x 2)(x 2)
m.c.d.: x 2; m.c.m.: (x 2)2(x 2)
Efectivament:
37. Indica per a quins valors de x no té valor numèric la fracció
algèbrica:
2x 7
——————
2
2x x 1
(x 2)(x 2)2(x 2) S(x)T(x)
34. El m.c.d. de dos polinomis A(x) i B(x) és 1. Quin és el seu
m.c.m.?
Si el m.c.d. de A(x) i B(x) és 1, els factors que formen el m.c.m.
són els dels dos polinomis; és a dir, el m.c.m. A(x)B(x)
35. Determina si els parells de fraccions següents són equivalents:
x5
x2 25
a) ——————— i ————
x2 7x 10 x 2
x2 25
x5
——————— ————, ja que:
x2 7x 10
x2
La fracció no té valor numèric per a aquells nombres que anul.lin
el denominador:
2x2 x 1 0
x1 1
1
x2 —
2
38. Simplifica aquestes fraccions algèbriques:
x2 7x 10
a) ———————
2x2 50
(x2 25)(x 2)
(x2 7x 10)(x 5)
x2 7x 10
(x 2)(x 5)
——————— —————————
2
2x 50
2(x 5)(x 5)
x2
—————
2x 10
30
LA
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
x3 1
b) ——————
x2 3x 2
(x 1)(x x 1)
x 1
—————— ——————————–––
2
(x 1)(x 2)
x 3x 2
3
2
x 5x 4
—————————
x3 3x2 3x 1
x x4
(x 1)(x x 4)
——————————–––– —————
(x 1)(x2 2x 1)
x2 2x 1
2
2
(x2 4)(x 2)(x 2)
——————————— x 2
(x2 4)(x 2)
3x2 5x 2
e) ———————
4x2 4
a) (AB)C
x4 16
—————————
x3 2x2 4x 8
Calcula:
x4 16
d) —————————
x3 2x2 4x 8
(3x 2)(x 1)
3x 5x 2
——————— —————————
2
4(x 1)(x 1)
4x 4
3x 2
—————
4(x 1)
2
2
f) 2x –2 4x + 2 2x –2 4x + 2 = 2 (x2 – 1)
x –1
x –1
x –1
2x 1
1
3x
a) ———— ———— ———
2x 4
x2 4
x2
(2x 1)(x 2) 2 (3 x)2(x 2)
——————————————————––––
2(x 2)(x 2)
4x 7x 8
———————
2(x2 4)
1 x2
3x
b) ———— ———
2
x x x1
3x
1 x2
———— ———
2
x x x1
1
x2 4x 3
——— ——————
x5
x5
x2 4x 4
——————
x5
x2 4x 4 x2 25
—————— ————
x5
x3
(x 2)2(x 5)(x 5)
———————————
(x 5)(x 3)
(x 2)2(x 5)
————————
x3
c) 3A : C
2x 1
1
3x
———— ———— ———; m.c.m.
2
x2
2x 4
x 4
dels denominadors: 2(x 2)(x 2):
2
(x 5) (x 1)
———————––
x5
b) (A C)B
39. Calcula:
(x 5)(x 5)(x 3)(x 1)
——————————————––
(x 5)(x 3)(x 5)
2
1
x2 25 x2 4x 3
——— ———— ——————
x5
x3
x5
x2 4x 3
i C ——————
x5
3
1
x2 25
A ———, B ————
x5
x3
x3 5x 4
c) —————————
x3 3x2 3x 1
40. Donades les fraccions:
x2 x 1
—————
x2
(1 x)(1 x)3x
3(1 x)
————————— ——————
x(x 1)(x 1)
x1
3
x2 4x 3
——— : ——————
x5
x5
3(x 5)
——————————
(x 5)(x2 4x 3)
3
——————
2
x 4x 3
2x 1
41. Quina fracció hem de sumar a ———— per obtenir la fracció
x4
zero?
2x 1
Serà la fracció oposada: ————.
x4
MATEMÀTIQUES 1
3x
42. Per quina fracció hem de multiplicar la fracció ——— per
x3
obtenir el polinomi de grau zero i de coeficient 1, és a dir,
U(x) 1?
x3
Serà la fracció inversa: ———.
3x
3
5x
2x
a) ———— ——— ———
x1
x1
x2 1
3
5x
2x
———— ——— ———
2
x1
x1
x 1
x2 4 x2 4x 4
———— : ——————
3x
x2
(x 2)(x 2)(x 2)
(x 2)2
——————————— —————
3x(x 2)2
3x(x 2)
3x
2x 2 3x
2x
2 ——— —————— ———
x1
x1
x1
46. Per quina fracció algèbrica cal multiplicar
2x 1
1
———— per obtenir ———————?
2x2 5x 2
x2 4
La fracció s’obté en fer la divisió:
1
2x 1
——————— : ————
2
x2 4
2x 5x 2
(x 2)(x 2)
————————————
(x 2)(2x 1)(2x 1)
x2
————————
(x 2)(4x2 1)
47. Calcula els nombres combinatoris següents:
15 15
,
100 , 805 ,
7
8
6
,
2
6
6·5
15
———
2
2
10
1
80
80!
15
15!
15
15!
24 040 016
———
5
75!5!
15·14·13·12·11·10·9
——————————— 6 435
———
7
8!7!
7·6·5·4·3·2
6 435
———
8
7!8!
x2 3
d) ———— 5
x2 1
(x 2)(x 2)(x 1)(x 1)
—————————————— 1
(x 1)(x 1)(x 2)(x 2)
0
3x
c) 2 ———
x 1
3x2 7x 3
———————
x2 1
x2 4 x2 4x 4
b) ———— : ——————
3x
x2
x1
x2 4 x 1
———— ——— ———
2
x 1 x2
x2
x1
x2 4 x 1
———— ——— ———
x2 1 x 2
x2
3 5x(x 1) 2x(x 1)
—————————————
x2 1
45. Comprova que el resultat d’aquesta multiplicació és 1:
43. Calcula:
la
x2 3 5x2 5
x2 3
———— 5 —————————
x2 1
x2 1
4x2 2
—————
x2 1
44. Quina condició ha de verificar una fracció algèbrica per tal
que sigui equivalent a un polinomi?
Una fracció algèbrica és equivalent a un polinomi si el polinomi
numerador és múltiple del polinomi denominador.
48. Simplifica aquestes fraccions:
10!
a) ———
2!8!
10!
10·9
——— ——— 45
2!8!
2
15!
b) ———
3!12!
15!
15·14·13
——— ————— 455
3!12!
3·2
31
LA
32
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
50!
c) ———
2!48!
50!
50·49
——— ———— 1 225
2!48!
2
x4 2√2x3 2x2
1
3x3 x2
c) — —————
x
1 3x
5
5
1
x (2) 1 x (2) 1
2
3
5
5
1
x (2) 1 (2) 5
4
5
2
4
x3(1 x)2 x3(1 2x x2)
x5 2x4 x3
3
2. Considera els polinomis A(x) x2 2x 3 i B(x) (x 1)
(x 3). Calcula’n el valor numèric per a x 1 i x 2.
Poden ser iguals aquests dos polinomis? Raona la teva resposta i comprova-ho.
5 x5 10x4 1 40x3 2 80x2 1 80x 2 32
b) (3x 1 y)6
6
6
(3x)6 1
(3x y)6
0
1
x2(3x 1)
1
3x3 x2
— ————— —————— x
x
1 3x
x(1 3x)
d) x3 (1 x)2
5
A(1) 1 2 3 4
(3x)5 y 1
A(2) (2)2 2(2) 3 5
B(1) 2(2) 4
6
6
1
(3x)4 y2 1
(3x)3 y3 1
2
3
B(2) 1(5) 5
6
6
6
1
(3x)2 y4 1
(3x) y51
y6 5
4
5
6
Amb això no hi ha prou per què 2 polinomis siguin iguals.
5 729 x6 1 1458 x5y 1 1215 x4y2 1
1 540 x y 1 135 x y 1 18 xy 1 y
3 3
2
4
(x √2)2 x2 (x2 2√ 2x 2) x2
49. Desenvolupa les potències següents:
a) (x 2)5
5
5
x5 1
x4 (2) 1
(x 2)5
0
1
2
b) (x √2)2 x2
1000!
d) ———
3!997!
1000!
1000·999·998
——— ———————— 166 167 000
3!997!
3·2
3
1
20
8
4(x 2) x — 4x2 —— x —
3
3
3
5
3. Escriu dos polinomis de tercer grau la suma dels quals sigui
un polinomi de segon grau.
6
50. Calcula el quart terme del desenvolupament de:
(x 2 1)12
Quart terme:
Resposta oberta. Per exemple:
A(x) 2x3 3x2 1
B(x) 2x3 x2 x
→
→ A(x) B(x) 2x2 x 1
12
12!
x9 (1)3 5 2——— x9 5 2220 x9
3
9!3!
51. Donat el polinomi C(x) 2x2 4x, calcula [C(x)]3.
4. Troba el polinomi que sumat a P(x) x4 3x2 5x dóna
com a resultat el polinomi R(x) x3 1.
El polinomi que es busca és: R(x) P(x).
(2x2 –4x)3 5
3
3
3
3
(2x2)3 +
(2x2)2(–4x) +
(2x2)(–4x)2 +
(–4x)3 5
5
0
1
2
3
5 8x6 – 48x5 + 96x4 – 64x3
Activitats finals
1. Expressa en forma de polinomi ordenat en potències decreixents de x els resultats d’aquestes operacions:
1
a) 4(x 2) x —
3
R(x) P(x) x3 1 x4 3x2 5x
x4 x3 3x2 5x 1
5. Calcula a, b i c per tal que es verifiqui la igualtat:
(x3 2x a)(bx c)
3x4 2x3 6x2 x 2
(x3 2x a)(bx c)
bx cx3 2bx2 (ba 2c)x ca
4
Igualant els coeficients del mateix grau:
b 3; c 2; ba 2c 1 → a 1
la
MATEMÀTIQUES 1
6. Explica la relació que hi ha entre els graus dels polinomis
factors i el grau del polinomi producte. Quina relació hi ha
entre els graus dels polinomis dividend, divisor i residu en
una divisió de polinomis?
3
c) C(x) 2B(x) —A(x)
2
El grau del polinomi producte és la suma dels graus dels factors.
4x 6
9
— x2
2
3
—x 3
4
El grau del dividend és la suma dels graus del divisor i del quocient. El grau del residu és menor que el grau del divisor.
7. La potència de polinomis es defineix com a productes repetits de la base tantes vegades com indica l’exponent.
(3x2 2)5 és un polinomi. De quin grau? Quin és el coeficient que acompanya el terme de grau més gran? Quin és el
terme independent?
En la potència (3x2 2)5, el primer terme del polinomi és
(3x2)5 243x10 i el terme independent: (2)5 32. Per tant,
el grau del polinomi és 10.
1
8. Si A(x) 3x2 — x 2, B(x) 2x 3 i C(x) x3 3,
2
calcula:
a) B(x)3A(x) C(x)
9x
27x2
18x3 3x2
3
C(x) 2B(x) —A(x)
2
9
13
x3 — x2 —— x 12
2
4
d) [C(x) 3A(x)]B(x)
x3
3
—x 6
2
2x 3
9
— x 18
2
12x
2
B(x)3A(x) C(x)
15
17x3 24x2 —— x 21
2
3x2
27x
2
18x3 3x2
1
—x 2
2
6x 9
9
— x 18
2
12x
15
18x 24x —— x 18
2
2x3
6
2
15
16x3 24x2 —— x 24
2
3B(x)A(x) 2C(x)
15
16x3 24x2 —— x 24
2
9x2
x3 9x2
3
9
13
x3 — x2 —— x 12
2
4
15
17x3 24x2 —— x 21
2
15
18x 24x —— x 18
2
x3
3
3
b) 3B(x)A(x) 2C(x)
2
3
x3
3
3
—x 6
2
3
—x 9
2
2x 3
9
— x 27
2
4
3
2
2x 18x 3x 18x
3x3 27x2
27
2x4 15x3 24x2 2 —— x 27
2
[C(x) 3A(x)]B(x)
27
2x4 15x3 24x2 —— x 27
2
9. Desenvolupa la potència (2x y)7.
7
7
(2x)7
(2x)6 (y) 1
(2x y)7
0
1
7
7
(2x)5 (y)2 1
(2x)4 (y)3 1
1
2
3
7
7
(2x)3 (y)4 1
(2x)2 (y)5 1
1
4
5
7
7
2x (y)6 1
(y)7 5
1
6
7
5 128 x7 448 x6y 1 672x5y2 2 560 x4y3 1
1 280 x3y4 84 x2y5 1 14 xy6 2 y7
33
LA
34
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
10. Calcula el coeficient de x5 en el desenvolupament de (x 1 2)12.
El coeficient de x5 és el terme del desenvolupament:
12
x12 2 h · 2h → 12 h 5 5 → h 5 7
h
14. Troba el dividend d’una divisió en què el quocient és
3x2 2x 1; el divisor, 2x2 x i el residu, x 1.
D(x) (2x2 x)(3x2 2x 1) (x 1)
6x4 x3 2x 1
3x2 2x
2x2
1
x
3x3 2x2
6x 4x3 2x2
x
6x4 x3
x
x 1
6x4 x3
2x 1
12
Coeficient: · 27 5 101 376
7
11. Determina el coeficient de x14 en el desenvolupament de
(x2 x)10.
De la mateixa manera que a l’exercici anterior:
10h (x )
2 10 2 h
· (2x)h →
→ x20 2 2h · xh 5 x20 2 h 5 x14 →
4
15. Calcula m per tal que la divisió següent sigui exacta:
→ 20 2 h 5 14 → h 5 6
(x4 x3 2x2 x 7m) : (x2 x 1)
10
Coeficient: (21)6 5 210
6
x4 x3 2x2 x 7m
x4 x3 x2
x2 x 7m
x2 x 1m
12. Hi ha algun polinomi que multiplicat per x 4 doni com a
resultat el polinomi 2x2 5x 12? Si la resposta és afirmativa, quin és?
El polinomi és el quocient de la divisió:
Si és exacta, existirà aquest polinomi:
2
3
7m 1m
1
7m 1 0 → m —
7
(2x2 5x 12) : (x 4)
2
5
4 8
12
12
0
El polinomi és:
2x 3
16. Efectua aquestes divisions. Aplica la regla de Ruffini sempre
que sigui possible.
a) (x3 3x2 2x) : (2x 1)
x3 3x2 2x2x 1
1
1
5
3
x3 —x2
—x2 —x —
2
2
4
8
5
—x2 2x
2
5
5
—x2 —x
2
4
13. Donat el polinomi A(x) 2x3 x2 4x 1, determina,
si existeix, un altre polinomi C(x) tal que el quocient de la
divisió A(x) : C(x) sigui 2x 3 i el residu, 4.
A(x)
...
...
C(x)
2x 3
4
A(x) C(x)(2x 3) (4)
C(x) [A(x) 4] : (2x 3) x2 2x2 1
2x3 x2 4x 3
2x3 3x2
4x2 4x 3
4x2 6x
2x 3
2x 3
x2 x 1
x2 1
2x 3
x 2x 1
2
3
—x
4
3
—x
4
3
—
8
3
—
8
1
5
3
Quocient: —x2 —x —
2
4
8
3
Residu: —
8
MATEMÀTIQUES 1
b) x5 : (x2 1)
x2 1
x3 x
Fes-ho pel procediment més curt.
x
Quocient: x3 x
Residu: x
Cal buscar el valor numèric del polinomi per a cada una de les
suposades arrels.
Per Ruffini:
1
0
2
2
1
2
4
0
4
1
8
2
4
9
2
Quocient: x 2x 2x 4
3
2
d) (x6 x3 x 1) : (x 1)
Per Ruffini:
21. Quines són les arrels enteres del polinomi x8 1? Raona la
resposta. Té alguna arrel entera el polinomi x8 1? Per què?
22. Factoritza els polinomis següents:
1
0
11
0
1
1
1
0 1
2
2
1
1
1
1
2
2
2
1
1
Quocient: x5 x4 x3 2x2 2x 1
Residu: 2
a) A(x) 3x3 75x
A(x) 3x3 75x
A(x) 3x(x2 25) 3x(x 5)(x 5)
b) B(x) 3x3 18x2 27x
B(x) 3x3 18x2 27x
17. Calcula c per tal que el residu de la divisió següent sigui 2:
[2(c 1) x3 3x2 5 (1 2c)x
c 2] : (x 3)
Pots fer-ho de dues maneres. Explica-les.
Es pot fer calculant el residu de la divisió i trobant el valor
numèric del polinomi en substituir x 3.
2(c 1)33 332 5 (1 2c)3
c22
El valor numèric és zero i, per tant, són arrels: 1, 2 i 4. La
resta no ho són.
Les arrels enteres de x8 1 són 1 i 1 que fan zero el valor
numèric del polinomi. x8 1 no té arrel ja que 18 1 (1)8
1 2.
Residu: 9
1
3
7
—(2)3 —(2)2 —(2) 8
2
4
2
4 3 7 8 8
20. Dels nombres enters 1, 1, 2, 2, 4 i 4, quins són arrels
del polinomi A(x) x3 3x2 6x 8? Quins no ho són?
c) (x 2x 1) : (x 2)
2
1
3
7
—x3 —x2 —x 8
2
4
2
x3
x3 x
35
19. Calcula el valor numèric del polinomi següent per a x 2.
x5
x5 x3
4
la
8
c ——
85
B(x) 3x(x2 6x 9) 3x(x 3)2
c) C(x) 2x4 12x3 18x2
C(x) 2x4 12x3 18x2
C(x) 2x2 (x 3)2
1
d) D(x) —x2 3x 9
4
1
D(x) —x2 3x 9
4
1
D(x) —x 3
2
2
23. Determina el m.c.d. i el m.c.m. dels polinomis:
18. Esbrina si el polinomi 6x2 6x 12 és divisible per
2x 4. Pots donar la resposta sense fer la divisió?
El polinomi és múltiple de 2.
6x2 6x 12 6(x2 x 2)
2x 4 2(x 2)
2 2 2 0. Sí, és divisible.
2
A(x) 2x5 6x4 8x2, B(x) x3 x i C(x) x4 x3 x2 x
A(x) 2x2(x 1)(x 2)2
B(x) x(x 1)(x 1)
C(x) x(x 1)2(x 1)
m.c.d. (x 1)x
m.c.m. 2x2(x 1)2 (x 1) (x 2)2
LA
36
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
24. Calcula:
1x
x1
x2 1
——— ——— ———
1x
1x
x2 1
Cal tenir en compte que 1 x (x 1). m.c.m. x2 1.
(1 x)(x 1)
(x 1)(1 x)
——————— ———————
2
x2 1
x 1
3x2 3
x2 1
——— ——————
x2 1
x2 1
25. Donades les fraccions següents:
x2
x3
A(x) —————— i B(x) ———,
x2 4
x2 6x 9
calcula:
A(x)B(x), A(x) : B(x) i B(x) : A(x)
(x 2)(x 3)
A(x)B(x) ———————————
(x 3)2(x 2)(x 2)
1
———————
(x 3)(x 2)
(x 2)(x 2)(x 2)
A(x) : B(x) ———————————
(x 3)2(x 3)
(x 2)2(x 2)
———————
(x 3)3
(x 3)3
B(x) : A(x) ———————
(x 2)2(x 2)
26.Indica, sense fer la divisió, el residu de cadascuna de les divisions següents:
a) (x3 + 8) : (x + 2)
R = (-2)3 + 8 = 0
b) (x10 – 1) : (x – 1)
R = 110 - 1 = 0
c) (x4 + 81) : (x – 3)
R = 34 + 81 = 162
d) (x5 – 32) : (x + 2)
R = (-2)5 - 32 = -64
e) (x65 + 1) : (x – 1)
R = 165 + 1 = 2
27. Efectua les operacions següents:
2
a) x + 2 − x − 2 + 5
x2 − 2 x + 2 x2 − 4
2
( x + 2)
2
− ( x − 2) + 5
x2 − 4
c)
1
1
:
x 2 − 7 x + 10 x 2 − 5 x
x ( x − 5)
x
( x − 2) ( x − 5) x − 2
28.Donat el polinomi P(x) = 2x3 − (m − 2)x2 + mx + 3, determina el valor de m per tal que en dividir-lo per x + 2 doni de
residu −10.
6
P(-2) = -10 → -16 - 4(m - 2) + (-2)m + 3 = -10 → m =
6
29. Si A(x) + B(x) = 1 i A(x) =
a) B(x)
B(x) = 1 - A(x) = 1 b) A(x) : B(x)
A(x) : B(x) =
x–2
, calcula:
x+3
x–2
5
x+3
x+3
(x – 2) (x + 3)
x–2
5(x + 3)
5
30.Determina el polinomi P(x) que verifica les condici­ons següents:
a) És de tercer grau.
b) P(2) = P(−1) = P(0) = 0.
c) El coeficient del monomi de grau màxim és 2.
P(x) = 2(x - 2)(x + 1)x = 2x3 - 2x2 - 4x
31.Donats els polinomis P(x) = x4 − 10x2 + 9 i Q(x) = 3x2 − 12x + 9:
a) Efectua’n la factorització.
P(x) = 0 → x1 = 3, x2 = -3, x3 = 1, x4 = -1 → P(x) = (x - 3)
(x + 3)(x - 1)(x + 1)
Q(x) = 0 → x1 = 3, x2 = 1 → Q(x) = 3(x - 3)(x - 1)
P(x)
.
Q(x)
P(x)
(x + 3) (x + 1)
x2 + 4x + 3)
=
=
Q(x)
3
3
b) Simplifica la fracció algèbrica
32.Troba per a quins valors de m el polinomi P(x) = x2 − mx + 9
té una arrel entera doble. Facto­ritza P(x) per als valors de m
trobats.
x2 - mx + 9 = 0 → ∆ = m2 - 36 = 0 → m = 6
m = 6 → l’arrel doble és x = 3 → P(x) = (x - 3)2
8x + 5
x2 − 4
2
x 2 −4
b) x −1 ⋅
x + 2 x 2 −3 x + 2
( x + 1) ( x −1) ( x −2) ( x −2)
x +1
( x + 2) ( x −1) ( x −3)
m = -6 → l’arrel doble és x = -3 → P(x) = (x + 3)2
33.Sabent que m.c.d. [A(x), B(x)] = x − 2, m.c.m. [A(x), B(x)] =
= (x − 2)2(x + 3)(x − 1) i A(x) = x2 + x − 6, calcula B(x).
B( x ) =
m.c.d. [ A( x ),B( x )] • m.c.m. [ A( x ),B( x )]
2
= ( x − 2) ( x − 1)
A( x )
la
MATEMÀTIQUES 1
2 −5
5
6 x −15 −5 ( x + 3) 6 x −15 −5 x −15
x −30
=
+
=
= 2
2
2
3 ( x −3) ( x + 3)
x −9 3 x −9
3 x −27
3 x −27
Avaluació
1. Contesta raonadament les qüestions següents:
a) Si en restar dos polinomis de tercer grau obtenim un polinomi de segon grau, quina relació hi ha entre els coeficients de
( 7 x − 2 )( x − 1 )( x − 1 )
grau més gran dels dos polinomis?
2
( 7 x − 2 )( x − 1 )( x − 1 )
b) 7 x2 − 2 ⋅ x − 22 x + 1
3 x − 3 49 x − 4
3 ( x + 1 )( x − 1 )( 7x − 2 )( 7 x + 2 )
x −1
3 ( x + 1 )( 7x + 2 )
x + oposats.
1 )( x − 1 )( 7x − 2 )( 7 x + 2)
Els dos coeficients de grau més alt3 (són
b) Un polinomi P(x) és divisible per x + 3. Quin és el valor de
P(–3)?
P(-3) = 0
c) El grau d’un polinomi P(x) és 3. Quin és el grau [P(x)]2?
37
c)
11
:
x −1
21 x2 + 27 x + 6
22
− 4x
x − 2x
1
11 x ( x − 2 )
2x + 4
22 x ( x − 2 )( x + 2 )
x
3
2
El grau de [P(x)]2 és 6 = 3 · 2.
d) Si x = 2 és una arrel de P(x), quin factor trobarem amb tota
seguretat en la descomposició factorial de P(x)?
El factor x → –2.
2.Donats els polinomis P(x) = 2x5 – 7x2 + 3x – 10, Q(x)= –x3 +
5x2 – 7 i R(x) = x + 2, calcula:
a) P(x) – 2Q(x)
P(x) – 2Q(x) = 2x5 + 2x3 - 17x2 + 3x + 4
b) Q(x)· R(x)
jUnitat 3. Trigonometria
Activitats
1. Dibuixa una circumferència de 2 cm de radi, uns eixos de
coordenades amb origen en el centre de la circumferència, la
bisectriu del primer i del tercer quadrants i la bisectriu del
segon i del quart quadrants.
Q(x)·R(x) = -x4 + 3x3 + 10x2 - 7x - 14
c) Q(x) : R(x)
Per Ruffini: Q(x) = -x2 + 7x - 14; R = 21
3. Determina el valor de k per tal que P(x) = x4 – 2x3 + 7x + k
sigui divisible per x + 1.
Si P(x) és divisible per x + 1, llavors P(–1) = 0 i per tant
1 + 2 – 7 + k = 0 → k = 4.
4. Troba les arrels del polinomi
P(x) = x4 – 6x3 + 10x2 + 6x – 11 i realitza’n La factorització.
P(x) = (x – 1) (x + 1)(x2 – 6x + 11); arrels: 1,–1.
5.Factoritza els polinomis P(x) = 5x2 - 35x + 60 i Q(x) = 10x2
P(x)
.
– 160. Simplifica la fracció algèbrica
Q(x)
P(x) = 5x2 - 35x + 60 = 5(x2 - 7x + 12) = 5(x - 4)(x - 3)
Q(x) = 10x2 – 160 = 10(x2 - 16) = 10(x + 4)(x - 4)
P(x)
5(x – 4) (x – 3)
x–3
=
=
Q(x) 10(x + 4) (x – 4) 2x + 8
6. Realitza les operacions següents:
2x – 5
5
a) 2
=
x –9
3x – 9
Un cop hagis dibuixat aquesta circumferència, respon el següent:
a) Indica la mesura de cadascun dels quatre angles que determinen aquestes bisectrius a partir de l’origen d’angles,
el semieix positiu OX.
Els angles que determinen aquestes bisectrius són:
45°, 135°, 225° i 315°
b) Pren les mesures necessàries per calcular les raons trigonomètriques de cadascun d’aquests angles. Compara els
resultats que obtinguis amb els que et dóna la calcula­
dora.
Cal mesurar l’ordenada i l’abscissa de cadascun dels 4 punts
que en la circumferència determinen els 4 angles. I aplicar
les definicions de les tres raons trigonomètriques per a cada
angle tot considerant la longitud del radi de la circumferència
traçada.
3
38
LA
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
2. Dibuixa un angle de 135°. Quin és el signe de cadascuna de
les tres raons trigono­mètriques d’aquest angle?
7. Relaciona les raons trigonomètriques de l’angle de 210°
amb les d’un angle del primer quadrant.
Relacionem 210° amb 30°, ja que 210° 180° 30°:
sin 210° sin 30°; cos 210° cos 30°;
tg 210° tg 30°
8. Considera un angle de 850°. Redueix-lo a un angle més petit de 360° i relaciona’n les raons trigonomètriques amb les
d’un angle del primer quadrant.
L’equivalent a 850° en la circumferència unitat és 130°, ja que:
850° 2 360° 130°
En el primer quadrant, el relacionem amb 50° 180° 130°:
sin 135° 0; cos 135° 0;
sin 130° sin 50°; cos 130° cos 50°;
tg 135° 0
tg 130° tg 50°
3. Si tg 1,5, en quin quadrant pot estar l’angle ?
Justifica’n la resposta.
La tangent d’un angle és negativa en el segon i en el quart quadrants, ja que en aquests quadrants el sinus i el cosinus tenen
signes diferents.
4. Explica per què la tangent d’un angle pot ser un nombre més
gran que 1.
sin
Com que sabem que tg ———, sempre que sin cos ,
cos
es verifica: tg 1.
5. En una circumferència trigonomètrica dibuixa tots els angles
tals que sin 0,5.
9. Un angle tal que 0° 360° verifica:
sin sin 30° i cos cos 30°
a) A quin quadrant pertany l’angle ?
Les condicions de l’enunciat indiquen que l’angle és del tercer quadrant.
b) Quant mesura ?
La seva mesura és:
180° 30° 210°
4
10. Sabent que cos — i 90° 180°, calcula sin
5
i tg . Quany mesura ? Utilitza la calculadora per comprovar que els resultats que has obtingut són, efectivament,
correctes.
Ens indiquen que l’angle és del segon quadrant. Hi apliquem les
fórmules:
sin2 cos2 1 →
Hi ha dos angles que tenen sin 0,5. Són els angles: 30° i 150°.
6. Esbrina quin és el signe de cadascuna de les raons tri­go­no­
mètriques dels angles:
45°, 230°, 315°, 720° i 1 000°
45°
230°
315°
720°
1 000°
Sinus
0
Cosinus
Tangent
0
Cal esbrinar en quin quadrant es troba cada angle i obtenir:
1 000° 2 360° 280°
4 2
3
→ sin2 — 1 → sin —
5
5
sin
3
4
3
tg ———— — : — —
cos
5
5
4
Amb l’ajut de la calculadora trobem l’angle:
143,13°
11. Determina tots els angles compresos entre 0° i 360° la tangent dels quals sigui igual a 1.
Els angles tals que tg 1 verifiquen sin cos . En el
primer quadrant, 45°, i en el tercer, 225°.
12. Utilitza les relacions entre les raons trigonomètriques per determinar els angles positius més petits de 360° el sinus dels
1
quals sigui igual a —.
2
la
MATEMÀTIQUES 1
1
sin —. L’angle és del tercer quadrant o del quart qua
2
drant. Les seves raons trigonomètriques es relacionen amb les
1
de l’angle 30°, ja que sin 30° —.
2
Els angles són:
180° 30° 210° i 360° 30° 330°
1
sin 210° sin 330° —
2
13. Si sin 0,6 i 90° 180°, calcula: sin (180° ),
cos , tg , cos (180° ) i .
L’angle és del segon quadrant:
sin (180° ) sin 0,6
2
cos 1 sin2 1 0,62 0,64 →
→ cos 0,8
0,6
tg ——— 0,75
0,8
cos (180° ) cos 0,8
Fent la inversa del sinus 0,6 amb la calculadora obtenim: 36,87°,
però sabem que és del segon quadrant; per tant,
180° 36,87° 143,13°
14. a)Dedueix una expressió que et permeti calcular cos 3 en
funció de cos i sin .
cos 3 cos ( 2 )
cos cos 2 sin sin 2
Substituïm els dobles:
cos 3 cos (cos2 sin2 )
sin 2 sin cos
cos3 3 sin2 cos
b) Expressa sin 4 en funció de cos i sin .
sin 4 sin 2 2 2 sin 2 cos 2
2 2 sin cos · (cos2 sin2 )
sin 4 4 sin cos3 4 sin3 cos
15. Sabent que cos 0,8, amb que veri­fica 0° 90°
i sin 0,6, amb 90° 180°, calcula:
39
b) cos ( )
cos ( ) cos cos sin sin 0,8 (0,8)
0,6 0,6 1
c) sin ( )
sin ( ) sin cos cos sin 0,6 0,8
(0,8 ) 0,6 0,96
d ) cos ( )
cos ( ) cos cos sin sin (0,8 0,8)
0,6 0,6 0,28
e) sin 2
sin 2 2 sin cos 2 0,6 0,8 0,96
f ) cos 2
cos 2 cos2 sin2 (0,8)2 0,62 0,28
1
16. Utilitza sin 30° 5 — per calcular les raons trigonomètriques
2
de 15°. No utilitzis la calculadora i expressa els resultats en
forma exacta. Calcula prèviament cos 30°.
cos 30°
√
30°
sin 15° sin ——
2
3
2
√3
√
1 cos 30°
———––——
2
√
√3
1 ——
2 √3
2
√
————— ————
2
2
30°
cos 15° cos ——
2
√—4 ——2
1
1 —
2
√
1 cos 30°
——————
2
2 √3
√
—————
2
sin 15°
tg 15° ————
cos 15°
2 √3
—————
2 √3
√
a) sin ( )
sin ( ) sin · cos cos
Cal calcular prèviament sin i cos :
sin √10,82 0,6; com que és del primer quadrant, és sin 0,6.
cos √1 0,62 0,8; com que és del segon quadrant, cos 0,8.
Si substituïm:
sin ( ) 0,6 (0,8) 0,8 0,6 0
17. Sense utilitzar la calculadora, determina les raons trigonomètriques dels angles de 75° i 15° a partir de les raons
trigonomè­triques dels angles de 45° i 30°. Recorda que:
√2
cos 45° sin 45° ——
2
1
√3
sin 30° — cos 30° ——
2
2
sin 75° sin (45° 30°)
sin 45° cos 30° cos 45° sin 30°
40
LA
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
√2 √3
√2 1
sin 75° —— —— —— —
2
2
2
2
√6 √2
—————
4
cos 75° cos (45° 30°)
cos 45° cos 30° sin 45° sin 30°
√2 √3
√2 1
cos 75° —— —— —— —
2
2
2
2
√6 √2
————
sin —
2
18. Si tg 2 i tg 3, calcula tg ( ), tg ( ), tg 2
i tg 2 .
tg tg
23
tg ( ) —————— ———— 1
1 tg tg 1 2 3
√
√
√
1 cos
—————
2
√
4
1—
5
————
2
1
——
10
4
1—
1 cos
5
—————
————
cos —
2
2
2
√
4
sin 75°
√6 √2
tg 75° ———— —————
cos 75°
√6 √2
tg —
2
√
9
——
10
1
√
1
——
9
3
21. Transforma en producte:
a) 1 sin
tg tg
23
1
tg ( ) —————— ———— ——
1 tg tg
1 23
7
Es verifica: 1 sin 90° i 1 cos 0°. Si hi apliquem les fórmules:
2 tg
22
4
4
tg 2 ————— ——— —— —
1 tg2
1 22
3
3
2 tg
23
6
3
tg 2 ————— ——— —— —
1 tg2
1 32
8
4
19. Demostra que sin 90° 1 utilitzant l’expressió que obtinguis de
sin 3 a a partir de sin i cos i substituint després per 30°.
sin 90° sin (3 30°)
sin 3 sin ( 2 )
sin cos 2 cos sin 2
sin (cos2 sin2 )
cos 2 sin cos sin3 3 sin cos2
1 3
1 √3 2
sin 90° — 3 — ——
2
2
2
1
9
— — 1
8
8
√
1
b) 1 cos
1 cos cos 0° cos
0
0
2 cos ——— cos ——— 2 cos2 —
2
2
2
c) 1 sin
1 sin sin 90° sin
90°
90°
2 sin ———— cos ————
2
2
22. Expressa en forma de producte:
105° 15°
105° 15°
2 sin ————— cos —————
2
2
2 sin 60° cos 45°
L’angle és el del primer quadrant i — també. Per tant, les
2
tres raons trigonomètriques són positives:
3
; cos
5
sin 105° sin 15°
sin —, cos — i tg —
2
2
2
sin
90°
90°
2 cos ———— sin ————
2
2
a) sin 105° sin 15°
3
20. Sabent que sin — i 0° 90°, troba:
5
1 sin sin 90° sin
35 45
2
b) sin 105° sin 15°
sin 105° sin 15°
105° 15°
105° 15°
2 cos ————— sin —————
2
2
2 cos 60° sin 45°
MATEMÀTIQUES 1
23. Considera dos angles i tals que sin 5sin . Comprova
que es verifica la igualtat:
tg ———
sin sin 2
——————— —————
sin sin
tg ———
2
Desenvolupem la segona part de la igualtat:
2 sin ——— cos ———
sin sin
2
2
——————— ———————————–––––
sin sin
2 cos ——— sin ———
2
2
cos ———
sin ———
2
2
—————— ——————
sin ———
cos ———
2
2
La segona fracció és la inversa de tg ———.
2
Per tant, es verifica:
tg ———
sin sin
2
——————— —————
sin sin
tg ———
2
24. Si coneixem els tres angles d’un triangle, està determinat?
Per què? Com són entre ells els diferents triangles que pots
dibuixar amb aquestes dades?
Si es coneixen els tres angles d’un triangle, aquest no és únic.
Es poden dibuixar molts triangles tots semblants entre ells.
25. Un dels costats d’un triangle és a i els altres dos són 2 a i
3 a. Està determinat el triangle? Intenta dibuixar-lo.
3a 2a a. La longitud del costat més gran és igual a la suma
dels altres dos. Per poder determinar el triangle cal que aquesta
longitud sigui més petita.
26. Dibuixa dos segments de longituds 3 i 5 cm i un angle de
60°. Construeix tots els triangles possibles en cadascuna
d’aquestes situacions:
a) Quan l’angle és el que determinen els dos costats.
la
41
b) Quan no ho és. Raona cada construcció.
27. Resol el triangle en què coneixem a 4 cm, c 8 cm i
B 75°.
Hi apliquem la fórmula del teorema del cosinus:
b2 a 2 c 2 2 ac cos B
b2 42 82 2 4 8 cos 60° → b 6,93 cm
Per calcular un angle del triangle cal aïllar el cosinus en la fórmula:
6,932 82 42
b2 c 2 a 2
cos A —————— ————————
2bc
2 6,93 8
0,867 → A 30°
B 180° 60° 30° 90° (aproximacions a les centèsimes).
28. Els costats d’un triangle mesuren a 24 cm, b 30 cm
i c 45 cm. Està determinat el triangle? En cas afirmatiu,
calcula’n els tres angles.
El triangle està determinat, ja que:
45 24 30
Per calcular els angles del triangle, hi apliquem dues vegades la
fórmula anterior:
302 452 242
b2 c 2 a 2
cos A —————— ————————
2bc
2 30 45
0,87 → A 29,54°
c 2 a 2 b2
452 242 302
cos B —————— ————————
2ca
2 45 24
0,79 → B 38,05°
C 180° (29,54° 38,05°) 112,41°
29. Realitzant el mínim nombre de càlculs possible, classifica
aquests triangles segons els seus angles:
a) a 8 cm, b 7 cm i c 6 cm
82 72 62 → El triangle és acutangle.
b) a 5 cm, b 13 cm i c 12 cm
132 52 122 → El triangle és rectangle.
Cal comparar el quadrat del costat més llarg amb la suma dels
quadrats dels altres dos.
c) a 20 cm, b 10 cm i c 6 cm
No formen triangle, ja que 20 10 6.
42
LA
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
30. Construeix un triangle en què B 56°, C 80° i b 12 cm.
Resol aquest triangle calculant-ne les mesures dels altres
elements.
Com que sin 90° 1, aleshores:
6
a ———— 10,46 cm
sin 35°
c a sin 55° 10,46 0,82 8,58 cm
Són les mateixes expressions que les dels triangles rectangles.
33. Resol el triangle en què a 24 cm, b 15 cm i A 125°.
Calcula’n l’àrea.
24
15
15 sin 125°
——— ——— → sin B ——————
sin 125° sin B
24
0,51 → B 30,8°
Els elements que hi falten són A 180° (56° 80°) 44°
i els costats a i c que surten d’aplicar-hi el teorema del sinus:
a
12
c
→ ———— ———— ————
sin 44°
sin 56°
sin 80°
12 sin 44°
a ————— 10,05 cm
sin 56°
12 sin 80°
c ————— 14,25 cm
sin 56°
5
8
c
———— ——— ——— →
sin 35,5°
sin B
sin C
8 sin 35,5°
→ sin B ————— 0,93 → B 68,3°
5
L’angle C 180° (35,5° 68,30°) 76,2°
5
c
———— ———— →
sin 35,5°
sin 76,2°
5 sin 76,2°
→ c —————— 8,36 cm
sin 35,5°
S’hi pot aplicar també el teorema del cosinus, però els càlculs
són més llargs.
32. Un dels angles aguts d’un triangle rec­tangle mesura 35° i un
dels catets, 6 cm. Utilitza el teorema del sinus per resoldre
aquest triangle i comprova que obtens els mateixos resultats
que amb el procediment que coneixes de l’etapa anterior.
A 90°, b 6 cm, B 35°, C 55°
a
b
c
——— ——— ——— →
sin A
sin B
sin C
31. Utilitza el teorema del sinus per resoldre un triangle en què
a 5 cm, b 8 cm i A 35,5°. Pots resoldre’l mitjantçant
el teorema del cosinus?
C 180° (125° 30,8°) 24,2°
a
6
c
———— ———— ————
sin 90°
sin 35°
sin 55°
24
c
————— ————— →
sin 125°
sin 24,2°
24 sin 24,2°
→ c ——————— 12 cm
sin 125°
Per a l’àrea:
1
S — b c sin A
2
1
— 15 12 sin 125° 73,8 cm2
2
34. Dos motoristes surten d’un encreuament de dues carreteres
sense corbes i que formen un angle de 55°. Els motoristes es
desplacen amb velocitats constants de 90 i 120 km/h, respectivament. Quina dis­tància els separarà després de tres minuts?
Cal calcular les distàncies recorregudes per cada motorista en 3
minuts. Aquestes distàncies són dos costats d’un triangle en el
qual l’angle comprès és de 55° C.
km
1h
a 90 —— ——— 3 min 4,5 km
h 60 min
km
1h
b 120 —— ——— 3 min 6 km
h 60 min
c 2 a2 b 2 2 a b cos C
4,52 62 2 4,5 6 cos 55°
c 5,03 km
35. Una sequoia de Califòrnia es veu des d’un cert punt sota un
angle de 36° i, si ens hi acostem 35 m, es veu sota un angle
de 44°. Calcula l’alçària de l’arbre.
la
MATEMÀTIQUES 1
a
35
———— ——— → a 147,82 m
sin 36°
sin 8°
h
— sin 44° →
a
→ h a sin 44° 102,68 m
La sequoia fa 102,68 m.
36. Calcula l’àrea d’un polígon regular de 15 costats si cada costat mesura 2 cm.
Descomponem el polígon en 15 triangles isòsceles iguals. En
360°
cada triangle, l’angle desigual fa ——— 24°, i cadascun dels
15
180° 24°
altres dos fa —————— 78°.
2
43
b 13,17 cm
P = 2a + 2b = 36,62 cm
38.Un avió vola entre dues ciutats A i B que disten l’una de l’altra 800 km. Les visuals de l’avió a les ciutats A i B formen
amb l’horitzontal angles de 29° i 43°, respectivament.
Calcula:
a) L’altitud a què vola l’avió.
b)La distància a què es troba de cadascuna de les dues ciutats.
C = 180º - (29º + 43º) = 108º
a
b
=
sin 29º sin 43º 3 4
2
b
———— ———— →
sin 24°
sin 78°
a=
→ b 4,8 cm
2 4,8 sin 78°
A ——————— 4,7 cm2
2
Àrea del polígon: 15 4,7 70,5 cm2
37. Les diagonals d’un paral.lelogram mesuren 16 cm i 12 cm,
respectivament. Un dels angles que determinen és de 40°.
Calcula la longitud dels costats del paral.lelogram i el seu
perímetre. Recorda que les diagonals dels paral.lelograms es
tallen en el seu punt mitjà.
800 sin 29º
sin 108º
3
3
4
4
=
800
sin 108º
3
4
→b=
800 sin 43º
sin 108º
3
4
3
4
= 573, 7 km,
= 407, 8 km
h = b sin 49º = a sin 43º = 278,1 km
39.Des d’un cert punt s’observa la part més alta del parallamps
d’una casa amb un angle de 30°. Si ens allunyem de la vertical del parallamps fins a una distància doble de l’anterior,
amb quin angle el veurem?
a2 82 62 2 8 6 cos 40°
b 2 82 62 2 8 6 cos 140°
a 5,14 cm
1
tg 30 4
=
tg 30º = h i tg α = h → tg 30º = 2tg α → tg α =
2
d
2d
= 0,29 → α = 16,1º
44
LA
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
Activitats finals
cos () cos 0,8
sin () sin 0,6
1. Un angle agut és tal que tg 3. Re­presenta’l a la circumferència unitat i troba
sin i cos sense utilitzar la
6
calculadora.
tg () tg 0,75
4. Quins angles del segon, tercer i quart quadrant tenen les
raons trigonomètriques relacionades amb les de l’angle
35°? Escriu totes les relacions possibles entre les raons trigonomètriques de cadascun d’aquests angles i les de 35°.
Segon quadrant: 180° 35° 145°
sin 145° sin 35°; cos 145° cos 35°;
tg 145° tg 35°
Tercer quadrant: 180° 35° 215°
sin 215° sin 35°; cos 215° cos 35°;
tg 215° tg 35°
sin
tg 3 ——— → sin 3 cos
cos
Quart quadrant: 360° 35° 325°
sin 325° sin 35°; cos 325° cos 35°;
tg 325° tg 35°
sin cos 1 →
2
2
→ (3 cos ) cos 1
2
2
9 cos2 cos2 1 →
1
→ 10 cos2 1 → cos ——
√10
5. Calcula les raons trigonomètriques de l’angle de 15° en funció
de les de l’angle de 30°. Després, comprova amb la calculadora
que els resultats que has obtingut són correctes.
1
3
sin 3 ——— ———
√10
√10
2. Representa tots els angles positius més petits de 360°
tals que sin 0,5.
30°
15° ——
2
Utilitzem les fórmules de l’angle unitat:
sin 15°
√
√
1 cos 30°
—————— 0,259
2
cos 15°
1 cos 30°
—————— 0,966
2
0,259
tg 15° ——— 0,268. Cal fer-ne la comprovació amb la
0,966
calculadora.
Es representa y 0,5 en el gràfic de la circumferència unitat.
3. Si 90° 180° i cos 0,8, calcula: sin , tg ,
cos (), sin () i tg ().
L’angle és del segon quadrant: sin 0 i tg 0.
cos 0,8 → sin2 1 cos2
1 (0,8) 0,36 → sin 0,6
2
0,6
tg ——— 0,75
0,8
6. Considera un angle del tercer quadrant tal que tg 2.
Indica a quin quadrant es troben els angles 2 i —. Calcula
2
cos , sin 2 i cos —.
2
tg 2 i del tercer quadrant indica que 225° 270°,
ja que tg 225° 1. N’hi ha prou de fer operacions en la desigualtat:
450° 2 540°. Si restem 360°:
90° 2 180° → segon quadrant
112,5° — 135° → — és del segon quadrant.
2
2
MATEMÀTIQUES 1
la
45
10. A un fuster li han encarregat un tauler triangular. Dos dels
costats d’aquest triangle han de mesurar 1 m i 1,75 m i
l’angle oposat al primer costat, 30°. Té dades suficients el
fuster per fer el tauler? Raona la resposta.
sin
tg 2 ——— → sin 2 cos i
cos
sin2 cos2 1 → (2 cos )2 cos2 1
1
2
5 cos2 1 → cos ——; sin —— →
√5
√5
→ és del tercer quadrant.
2 1
4
sin 2 2 sin cos 2 —— —— ——
5
√5 √5
cos —
2
√
1 cos
————— 0,53
2
7. Demostra que sin 40° sin 20° cos 10°, aplicant la corresponent fórmula de transformació de suma en producte.
Hi apliquem:
AB
AB
sin A sin B 2 sin ——— cos ———
2
2
Amb les dades del problema no es pot fer un únic tauler, tal com
es pot comprovar en la figura.
11. El radar d’un vaixell detecta un objecte en direcció est a 8
km de distància i un altre objecte en direcció nord-est a 6
km. Quina distància separa els dos objectes?
Les dues direccions formen un angle de 45°. Cal calcular el costat d’un triangle oposat a l’angle de 45°. Sabem que els altres
dos són 8 km i 6 km.
sin 40° sin 20° 2 sin 30° cos 10°
1
2 — cos 10° cos 10°
2
a 2 82 62 2 8 6 cos 45° → a 5,67 km
8. Demostra que la constant de proporcionalitat del teorema del sinus és 2 R, essent R el radi de la circumferència
circumscrita al triangle. Per fer-ho, inscriu el triangle en
una circumferència i compara’n els angles inscrits amb els
d’un triangle en què un costat sigui un diàmetre de la circumferència.
12. Per fixar un pal a terra se’l subjecta mitjançant dos cables
per dos punts separats 20 m. Els cables formen amb el terra
angles de 75° i 60°. Determina l’altura del pal.
El triangle ABC és rectangle perquè AB és un diàmetre. A A
perquè comprèn el mateix arc.
a
a
sin A sin A — → ——— d 2 R
d
sin A
9. Mirant des d’un cert punt, veiem el terrat d’un gratacels sota
un angle de 60°. Amb quin angle el veuríem des d’una distància doble de l’anterior?
h
Si h és l’altura i d la distància: tg 60° —
d
h
h
d ——— i tg —— →
tg 60°
2d
h
h
h
→ 2 d —— → 2 ——— ——
tg
tg 60°
tg
a
20
——— ——— → a 27,32 m
sin 75° sin 45°
h
sin 60° — →
a
→ h a sin 60° 23,66 m
L’altura del pal és: 23,66 m.
13. Un jugador de golf colpeja la pilota des de la posició de
sortida per tal d’introduir-la al forat, que es troba a 350 m.
El cop no ha estat gaire precís i la pilota, que s’ha desviat
20° de la direcció correcta, només ha assolit una distància
de 180 m. A quina distància del forat s’ha aturat la pilota?
2 tg tg 60° →
tg 60°
→ tg ——— → 40,89°
2
d 2 1802 3502 2 180 350 cos 20°
d 191,05 m
46
LA
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
14. Construeix un triangle de costats 10, 35 i 39 cm. Quant mesuren els seus angles?
17. Construeix el triangle ABC tal que B 40°, C 63° i
a 12 cm. Resol el triangle i calcula’n l’àrea.
Considerem:
A 180° (40° 63°) 77°
a 10 cm, b 35 cm i c 39 cm.
102 352 392 2 35 39 cos A →
→ A 14,25°
Podem repetir el teorema del cosinus o aplicar el del sinus per
trobar l’angle B:
35
10
——— ————— → B 59,49°
sin B
sin 14,25°
12
b
c
——— ——— ——— →
sin 77°
sin 40°
sin 63°
12 sin 40°
→ b ————— 7,92 cm
sin 77°
12 sin 63°
c ————— 10,97 cm
sin 77°
C 180° (14,25° 59,49°) 106,26°
15. Dues persones, separades una distància de 5 km, observen
alhora un avió sota angles de 80° i 65°, respectivament.
Suposant que les persones i l’avió es troben en el mateix pla
vertical, calcula l’altura a què vola l’avió.
La figura seria com la de l’exercici 12. El tercer angle és 35°:
a
5
———— ———— → a 8,58 km
sin 80°
sin 35°
18. Explica el procediment que seguiries per calcular la longitud
d’un pont que cal construir per salvar un barranc.
h
sin 65° — →
a
→ h a sin 65° 7,78 km
16. Dibuixa el triangle ABC en què a 12 cm, b 15 cm i
A 48°. Resol aquest triangle.
Des dels punts B i C qualssevol de la figura es mesuren els angles
B i C. A partir de la longitud a es pot mesurar l’amplada que cal
que tingui el pont un cop resolt el triangle de la figura.
19. Una parcel.la de 6 ha té forma de trapezi rectangle. Un dels
costats paral.lels del trapezi mesura 500 m i l’angle adjacent,
60°. Calcula quants metres de tanca es necessiten per cercar
la parcel.la.
a
b
c
——— ——— ——— →
sin A
sin B
sin C
12
15
15 sin 48°
→ ——— ——— → sin B —————
sin 48°
sin B
12
B 68,27°
C 180° (68,27° 48°) 63,73°
12
c
———— ————— →
sin 48°
sin 63,73°
12 sin 63,73°
→ c ——————— 14,48 cm
sin 48°
Amb les incògnites de la figura es poden plantejar les equacions
següents:
Àrea: 6 ha 60 000 m2 →
(500 z) y
→ —————— 60 000
2
y
— sin 60° 0,87
k
500 z
1
———— cos 60° —
k
2
6
la
MATEMÀTIQUES 1
En resoldre el sistema s’obté:
k 149,78 m
y 129,71 m
z 425,11 m
cos B 5
47
x
1
5 → B 570,53
3x
3
C 5 90º 2 B 5 90º 2 70,53º 5 19,47º
Càlcul del catet c: Apliquem el teorema de Pitàgores:
2
2
2
2
=b2b+2 +c2c→
→(3x)
3 x2 )
→9x92x5
=x2x 2+ +c2c 2
5=x2x+2 +c2c→
a2 a5
(
2
Cal calcular el perímetre per tenir els metres de tanca:
P k y z 500 1204,6 m
20. Es vol construir un túnel que travessi una muntanya en
línia recta. Per tal de determinar-ne la longitud, es considera un punt A d’una de les boques del túnel i un altre punt B de l’altra boca, i es mesura la distància de cadascun d’aquests punts a un altre punt O. S’obtenen 315 m i
375 m, respectivament. Si les direccions OA i OB formen un
angle de 46,9°, quina és la longitud del túnel?
L’amplada del túnel és el costat oposat a l’angle 46,9° i les longituds donades corresponen als altres dos costats:
a 2 3152 3752 2 315 375 cos 46,9°
a 280,05 m
21. Una torre de telecomunicacions es troba situada a la part
més alta d’una muntanya. Situats en una plataforma, l’extrem
de l’antena es veu sota un angle de 60°. Si ens apropem
13 m, l’extrem de l’antena es veu sota un angle de 68° i, des
d’aquest mateix punt, es veu la base de la torre sota un angle
de 57°. Amb aquestes dades, calcula l’alçada de la torre.
2
2
2
8 x22 →
→cc 5
= 8 x2 = 2 2x
c2 c5 =9x92x2−xx2 5= 8x
Relació entre la hipotenusa i l’altre catet:
h
3x
3
3
2 3 2
=
=
=
⋅
=
c 2 2x 2 2 2 2 2
4
2.Sabem que cos α =
a) sin α
5
i 0° < α < 90°. Calcula el valor de:
13
5 2
12
sin2 α + = 1 → sin α =
13
13
b) cos (180° α)
cos (180º −α ) − cos α − 5
13
c) tg (α)
sinα
12
tg (−α ) = −tg α = −
=−
cos α
5
d) cos (180° + α)
5
cos (180º +α ) − cos α −
13
e) sin (360° α)
12
sin (360º −α ) = − sinα = −
13
3. Les longituds dels costats d’un triangle són de 8 cm, 11 cm i
13 cm. Calcula el valor del sinus de l’angle més petit d’aquest
triangle.
Anomenem: a = 8 cm, b = 11 cm, c = 13 cm
Apliquem el teorema del cosinus per trobar l’angle A:
a2 5 b2 1 c2 22bc·cos A
82 5 112 1 132 22·11·13·cos A
13
a
——— ——— → a 80,89 m
sin 8°
sin 60°
h
80,89
——— ———— → h 28,34 m
sin 11°
sin 147°
64 5 290 2 286·cos A
L’altura de la torre és de 28,34 m.
290 2 64
226
cos A 5 —————— ——— 0,79020979 → A 37,8º
286
286
Avaluació
Trobem l’angle B amb el teorema del sinus:
1. La longitud de la hipotenusa d’un triangle rectangle és el
triple que la d’un dels dos catets. Determina:
a) La mesura dels angles d'aquest triangle.
b) la raó entre la hipotenusa i l'altre catet.
Angles:
A 5 90º(angle recte).
B (angle agut entre els costats 3x i x):
a
b
——— ———
sin A
sin B
8
11
11· sin 37,8º
————— ——— → sin B ——————
8
sin 37,8º
sin B
11·0,612907 6,74197759
—————— —————— 0,842747198 → B 57,4º
8
8
Deduïm que l’angle més petit és l’ A i llavors sin A 0,612907
48
LA
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
1
4. Si a — i l’angle pertany al primer quadrant, expressa de
3
manera exacta el valor de:
a) tg a
Apliquem la igualtat fonamental de la trigonometria:
2
2
1
1
sin2 α + cos2 α = 1 → + cos2 α = 1 → cos2 α = 1 −
3
3
1 8
8
8
cos α = 1 − = → cos α = +
=+
=
9 9
9
3
2 2
(primer quadrant)
=+
3
2
1
sin α
1
1
2
2
tg
tg α =
= 3 =
=
⋅
=
cos α 2 2 2 2 2 2 2
4
3
3
6. Dos angles α i β són complementaris. Si sin α 5 , calcula
5
el valor de:
a) sin β
sin = cos =
sin2 + cos2 = 1 → sin = cos =
5. D’un triangle sabem que la suma de les longituds de dos
costats a i b és d’11 m, que l’angle C oposat al tercer costat
val 30º i que l’area és de 7 m2. Calculeu:
a) La longitud de cadascum dels costats del triangle.
Tenim que a 1 b 5 11. Si designem per h l’altura sobre el
costat a es compleix:
b 11 − a
h = b ⋅ sin30º = =
2
2
de forma que la condició sobre l’àrea del triangle, que es
posarà inicialment com
a⋅h
=7
2
dóna finalment
a2 − 11a + 28 = 0
que té com a solucions a 5 7 i b 5 4. Totes dues solucions
són equivalents, intercanviant els papers de a i b, de forma
que triarem a 5 7 i b 5 4.
El tercer costat c es pot obtenir aplicant el teorema del cosinus:
c 2 = a2 + b2 − 2 ⋅ a ⋅ b ⋅ cos 30º ⇔ c = 65 − 28 3 4,062336443m
b) La mesura dels dos angles desconeguts del t.
Si es designa per α l’angle entre els costats b i c el teorema
del cosinus també dóna:
b2 2 c2 2 a2
cos 5
, 20,5076334412,
2·b·c
de forma que a . 120,51º. L’angle que resta serà
b 5 180º 2 30º 2 a 29,49º
4
5
b) sin (α + β )
sin (α + β) 1, ja que α + β 90º
c) cos (α + β)
cos (α + β) cos α cos β –sin α sin β 90º
d) tg 2α
tg 2α
b) sin (2a)
Apliquem la fórmula d’addició de l’angle doble:
1 2 2 4 2
sin(2α) = 2sin α ⋅ cos α = 2 ⋅ ⋅
=
3 3
9
3
5
3
24
2tg α
sin α
→ tg 2α
, amb tg α
2
4
7
1 tg α
cos α
j
Unitat 4. Nombres complexos
Activitats
1. Identifica la part real i la part imaginària de cadascun dels
nombres complexos següents:
3
a) — √ 3i
7
3
a —, b √ 3
7
b) 5 i
a 5, b 1
2
c) —
5
2
a —, b 0
5
d )3 i
a 0, b 3
e) 0,2 i
a 0,2, b 1
f)1 i
a 1, b 1
2. Quin ha de ser el valor de p perquè el nombre complex
1
— (p 2) i sigui un nombre real?
5
Cal que p 2 0 → p 2
la
MATEMÀTIQUES 1
3. Quin valor té r si sabem que el nombre complex
1
(r 3) — i és imaginari pur?
7
Cal que r 3 0 → r 3
4. Escriu les arrels quadrades de cadascun d’aquests nombres:
a) 81
−81 ± 9i
9
b) ——
25
√
9
3
— — i
25
5
c) 2
√2 √2i
d ) 25
−25 = ±5i
1
e) —
9
√
1
1
— — i
3
9
49
7. Representa els afixos dels nombres complexos:
3
z 1 8, z2 — i, z3 4 i
2
3
z1 és el punt (8, 0); z2 és el punt —, 1
2
i z3 és el punt (0, 4), representats en una referència cartesiana.
8. Escriu tres nombres complexos que tinguin els seus afixos a
la bisectriu del primer i el tercer quadrants. Quina relació hi
ha entre la part real i la part imaginària de cadascun d’ells?
Resposta oberta. Per exemple: z1 2 2 i; z2 1 i,
z3 √ 2 √ 2 i. Tots aquests nombres tenen la part real igual
a la part imaginària.
9. És possible trobar un valor de k perquè els nombres
z 1 3 2 i i z 2 2 (1 k) i siguin iguals? Raona la
resposta.
No és possible perquè tenen la part real diferent: 3 2.
10. Representa els afixos dels nombres complexos següents:
2
7
z1 1 i, z 2 —— — i, z 3 2 i,
3
3
z4 2 3 i, z5 10
5. Resol, en el conjunt dels nombres complexos, les equacions
següents:
a) x 2 49 0
—3 , —3
2
x 2 49 0 → x 2 49 →
7
→ x 7i
b) 16 x 2 25 0
16 x 2 25 0 →
25
5
→ x 2 —— → x — i
16
4
c) x 2 x 1 0
x2 + x + 1 = 0 →
−1 ± 1 − 4
→x=
=
2
1
3
=− ±
i
2 2
d ) x 18 0
2
x 2 18 0 → x 2 18 →
→ x 3 √ 2 i
6. Compara les dues solucions obtingudes per a cadascuna de
les equacions de l’exercici anterior. Quina o quines relacions
hi trobes?
En els apartats a), b) i d) les dues solucions són dos nombres
imaginaris purs oposats. En l’apartat c) les dues solucions tenen
oposada la part imaginària.
11. Escriu els nombres complexos z 1 5 i z2 1 i en
forma polar i en forma trigonomètrica.
z1 5 5180° 5 (cos 180° i sin 180°)
z2 1 i √ 2225°
√ 2 (cos 225° i sin 225°)
−1
= 1 en el tercer
ja que r = (−1)2 + (−1)2 = 2 i tg α =
−1
quadrant.
12. Troba el mòdul i l’argument del nombre complex z 2
(cos 225° i sin 225°). Expressa’l en forma binòmica.
z 2 (cos 225° i sin 225°) 2225°
√2 , sin 225° ——
√2
cos 225° ——
2
2
√2
√2
z 2 —— i —— √2 √2 i
2
2
50
LA
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
13. Comprova que les expressions binòmiques dels nombres
2 180°, 2180° i 2 540° coincideixen.
Raona per què els tres nombres complexos són iguals.
2180° 2
2540° 2180° 2 (540° 360° 180°)
Els tres nombres tenen el mateix mòdul i el mateix argument
principal.
14. Donats els nombres complexos:
4
z 2 i; z2 3 i i z 3 — 3 i
1
3
comprova que es verifiquen les propietats associativa de la
suma i associativa de la multiplicació.
Propietat associativa de la suma:
igual
4
[(2 i) (3 i)] — 3 i
3
4
(3 6 i) — 3 i 22 i
3
2 i (1 4 i)
1
a) —————— ———
1 2 4 i
2i
15. Calcula:
(2 i) (9 4 i) 22 i
3 5 i 4 3 i
————— —————
4 3i
4 3i
3 29i
3
29
————— —— —— i
25
25
25
3i
4 2i
———— —————
4 2i
4 2i
10 10 i
1
1
————— — — i
20
2
2
3
29
1
1
—— i — — i
——
25
25
2
2
31
33
—— —— i
50
50
1 3 i
3i
c) ———— ————
1
1
4 2i
— —i
2
2
4
(2 i) 3 i — 3 i
3
Propietat associativa de la multiplicació:
1
(2 3 i) (5 2 i)
————————————
4 3i
4
[(2 i) (3 i)] — 3 i
3
4
2
(2 4 i) — 3 i — i
3
3
2
(2 3 i) (5 2 i)
3i
b) ————————— ————
4 3i
4 2i
igual
6
69
47
—— —— i
85
85
4
2
(2 i) — — i
3
3
7
—— i — — i
——
17
17
5
5
2180° 2180° 2
4
(2 i) (3 i) — 3 i
3
2 i (1 4 i)
1 2i
—————— ————
1 2 4i
1 4 i
(1 2 i) (1 4 i)
7
6
————————— —— —— i
(1 4 i) (1 4 i)
17
17
1
2i
2i
2
1
——— ——— ——— — — i
2i 2i
5
5
5
1
1
— —i
1 3i
2
2
————— ——————
1
1
1
1
— —i — —i
2
2
2
2
2i
2i
————— ———— 4 2 i
1
1
1
——
—
4
4
2
3i
4 2i
————— —————
4 2i
4 2i
10 10 i
1
1
—————— — — i
20
2
2
1
1
7
3
(4 2 i) — — i — — i
2
2
2
2
2 ri
16. Se sap que el quocient ———— és un nombre real. Troba
1i
el valor de r. Quin hauria de ser el valor de r perquè aquest
quocient fos imaginari pur?
la
MATEMÀTIQUES 1
2 ri 1 i
2r
2r
———— ———— ———— ———— i
1i 1i
2
2
c) (2 i)6
(2 i)6 ((2 i)2)3 (3 4 i)3
(3 4 i)2 (3 4 i)
Per tal que sigui un nombre real:
2r
———— 0 → r 2
2
Per tal que sigui imaginari pur:
2r
——— 0 → r 2
2
17. Efectua:
a) (2 i)5
(2 i) 32 i 32 i
5
5
b) (4 i)3
(4 i)3 64 i
2
c) — i
5
4
16
—25 i ——
625
4
i
d) —
2
10
—2i
10
i2
1
i 10
——
——
———
10
2
210
1 024
e) ( √2
i)2
( √2
i)2 2
f ) (3 i 2)2
(3 i 2)2 9 i 4 9
g) (√3i )6
51
(7 24i) (3 4 i) 117 44i
4
1
d) — 2 i
2
1
— 2i
2
—12 2 i
15
161
—— 2 i —— 15 i
4
16
4
2 2
2
19. Calcula (1 2 i)4. Recorda que com que es tracta d’un
1
exponent negatiu, z4 —.
z4
1
1
(1 2 i)4 —————
——————
(1 2 i)4
((1 2 i)2)2
1
1
—————
—————
(3 4 i)2
7 24i
1
7 24i
————— —————
7 24i
7 24i
7 24i
7
24
————— —— —— i
625
625
625
20. Comprova mitjançant l’exemple 290° 1180° que no és certa la
igualtat r s (r s) .
290° 1180° 2 i 1 1 2 i ⇒
213
5
r √5 3
tg 2
90° 180° 270° → tg 270° no existeix.
21. Calcula:
(√ 3i )6 (3 i)3 27i
h) i 225
i 225 i, ja que el residu de dividir 225 entre 4 és 1.
18. Troba el nombre complex que resulta de les potències següents:
a) (1 2 i)
5
(1 2 i)5 (1 2 i)2 (1 2 i)2 (1 2 i)
(3 4 i)2 (1 2 i)
(7 24 i ) (1 2 i) 41 38 i
b) (1 i)
7
(1 i)7 ((1 i)2)3 (1 i)
(2 i)3 (1 i) 8 i (1 i) 8 8 i
1
1
√3 —
√3
i —— — i
——
2
2 2
2
Efectua l’operació amb les expressions bi­nòmiques i amb les
polars. Compara’n els resultats.
En forma binòmica:
1
1
√3 —
√3
——
i —— — i
2
2
2
2
3
1
— — 1
4
4
En forma polar:
√ 3
1
1
√3 —
—— — i 130°; ——
i 130° ⇒
2
2
2
2
⇒ 130° 130° 10° 1
Evidentment els dos resultats coincideixen.
52
LA
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
1i
22. Troba el quocient ———— utilitzant les expressions polars
1 i
dels dos nombres complexos.
1 i √2 45° 315° , 1 i √2 135°
1i
———— √2 15° : √2 135° 1180° 1
1 i
23. Calcula (1 i)5 de dues maneres diferents. Comprova que
n’obtens el mateix resultat.
Si passem de la forma binòmica a la forma polar tenim:
(1 i)5 (√2 315°)5
4 √2 1 575° 4 √2 135°
28. Una de les arrels cúbiques d’un nombre complex és 160°.
Calcula aquest nombre complex i les altres dues arrels.
3
√ z 160° → (160°)3 z 1180°
3
1180º ⇒ mòdul : 1. Els arg uments són:
180° k 360
———————, k 0, k 1 i k 2
3
Les arrels són:
160° (ja la teníem); 1180°; 1300°
29. Resol les equacions:
a) x 4 16 0
x 4 16 0 →
Per la potència del binomi:
4
5
5
5
(1 i)5 i i 2
0
1
2
5
5
5
i 3 i 4 i 5
3
4
5
1 5 i 10 10 i 5 i
4
mòdul √16 2
Arguments:
180° k 360°
————————, k 0, k 1,
4
k 2 i k 3 → 45°, 135°, 225°, 315°.
4 4 i 4 √2 135°
24. Comprova que (160°)6 1.
L’equació té 4 arrels complexes:
245°, 2135°, 2225° i 2315°
(160°)6 1360° 10° 1
25. Expressa en forma binòmica el resultat de (130°)15.
(130°)15 1450° 190° i
26. Expressa en forma binòmica les arrels quartes de z 4.
4
4
4
√4 √40° ⇒ mòdul √4 √2. Els arguments surten d’aplicar
0° k 360°
——————— donant a k els valors 0, 1, 2, i 3. Són: 0°, 90°,
4
180° i 270°.
b) x 6 i
6
x6 i ⇒ x √ i
mòdul:
√ 190° →
6
√11
Arguments:
90° k 360°
——————— → k 0, k 1,
6
k 2, k 3, k 4 i k 5
115°, 175°, 1135°, 1195°, 1255°, 1315°.
√ 20° √ 2; √ 290° √ 2i;
√ 2180° √ 2; √ 2270° √ 2i
27. Troba les arrels vuitenes d’1. A continuació, comprova que el
producte de dues qualssevol d’aquestes arrels és també una
arrel.
8
6
Les sis arrels:
En forma binòmica:
8
4
→ x √16 √16180° →
8
√ 1 √10° ⇒ mòdul: √ 1 1. Per trobar els arguments proce
0° k 360°
dim com en l’exercici anterior: ——————— amb k 0, k 1,
8
k 2, k 3, k 4, k 5, k 6 i k 7. Les arrels són: 10°, 145°,
190°, 1135°, 1180°, 1225°, 1270°, 1315°. Multiplicant dues arrels qualssevol
se n’obté una de mòdul 1 i d’argument un múltiple de 45°.
c) x 3 8 i
3
x3 8i ⇒ x √8i
mòdul:
3
√ 8270° →
3
√82
Arguments:
270° k 360°
————————, k 0, k 1 i k 2 →
3
→ 90°, 210°, 330°
Les tres arrels són:
290°, 2210°, 2330°
MATEMÀTIQUES 1
la
53
Activitats finals
1. Resol les equacions següents en el conjunt dels nombres
complexos:
a) x 2 2 x 2 0
2 √48
x 2 x 2 0 → x ——————
2
2 √4 2 2i
x1 1 i
————— ————
x2 1 i
2
2
2
x − 3 x + 6 = 0 → x =
3 ± 9 − 24
=
2
3
√15
x1 — —— i
2
2
3
√15
x2 — —— i
2
2
z1 z2 (1 2 i) (1 2 i)
1 4 i2 1 4 5
5. Donats el nombres complexos z1 1 3 i, z2 2 i i
z 3 2 i, comprova que es verifica la propietat distributiva
de la multiplicació respecte de la suma.
z1 (z2 z3) (1 3 i) (2 i 2 i)
x 25 0 → x 25 →
(1 3 i) 2 i (5 5 i) (6 2 i) 1 7i
S’obté el mateix resultat.
6. Calcula en forma binòmica:
2
→ x √25 5 i
2. Donats els nombres complexos z 1 2 (3 p) i i
z2 5 4 i, troba el valor de p sabent que z1 z2 és un
nombre real.
z1 z2 2 (3 p) i (5 4 i)
3 (7 p) i
Si ha de ser un nombre real, 7 p 0 → p 7.
3. Calcula:
1
a) — 3 i (3 i) (2 5 i)
3
1
— 3 i (3 i) (2 5 i)
3
1
— 3 2 (3 1 5) i
3
(z1 z2) (z1 z3) (1 3 i) (2 i)
(2 i)2 4 4 i i 2 3 4 i
2
(1 3 i) (2 i) 1 7i
a) (2 i)2
c) x 2 25 0
z1 z2 (1 2 i) (1 2 i) 2
3 √15
3 √15i
————— ————
2
2
Siguin, per exemple, z1 1 2 i; z2 1 2 i.
2
b) x 2 3 x 6 0
4. Comprova amb un exemple que quan se suma i quan es multiplica un nombre complex pel seu conjugat s’obté un nombre real en cada cas.
2
— i
3
b) 10 i [(1 i) (4 3i)]
10 i [(1 i) (4 3i)]
10 i (3 4 i) 3 6 i
b) (2 3 i)2
(2 3 i)2 4 12 i 9 i 2 5 12 i
c) (1 i)2
(1 i)2 1 2 i i 2 2 i
7. Efectua les operacions del numerador i del denominador en
les expressions fraccionàries següents i després, calcula’n el
quocient:
(4 7 i) (1 i) (2 i)
a) ——————————————
(5 i)2
(4 7 i) (1 i) (2 i)
—————————————
(5 i)2
(4 7i) (1 3 i)
5 4i
—————————— —————
2
24 10 i
25 10 i i
Calculem el quocient:
(5 4 i) (24 10 i)
160 46 i
——————————— —————
(24 10 i) (24 10 i)
676
40
23
—— —— i
169
338
10 [(1 4 i) (2 3 i)]
b) —————————————
3 i (2 √ 3 i) (2 √ 3 i)
54
LA
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
10 [(1 4 i) (2 3 i )]
—————————————
3i (2 √3i) (2 √ 3i)
11 i
11 i
—————— ———
3 i (4 3)
7 3i
11. Donat el nombre complex 160°, escriu-lo en forma binòmica.
Troba’n l’oposat, el con­jugat i l’invers.
1
160° a b i; a cos 60° 1 —;
2
1
√3
√3
b sin 60° 1 ——; z — —— i
2
2
2
Calculem el quocient:
L’oposat:
(11 i) (7 3 i)
80 26 i
————————— ——————
(7 3 i) (7 3 i)
49 9
40
13
—— ——i
29
29
z z
8. Demostra que si z és un nombre complex, el quocient ———
z z
en què z és el conjugat de z, és sempre un nombre complex
imaginari pur.
Sigui z a b i; z a b i:
z z
(a b i) (a b i)
———
——————————
zz
(a b i) (a b i)
2b
b
—— i — i
2a
a
Efectivament, és un nombre imaginari pur.
9. Escriu en forma polar els nombres complexos que tenen per
afixos els vèrtexs de l’hexàgon regular de la figura 4.6.
1
√3
z — —— i
2
2
El conjugat:
1
√3
z — —— i
2
2
L’invers:
1
1
— ——————
z
1
√3
— —— i
2
2
1
√3
— —— i
2
2
——————————————
1
1
√3
√3
— —— i — —— i
2
2
2
2
1
√3
— —— i
2
2
1
√3
——————— — —— i
1
2
2
1i 6
12. Calcula ——— . Efectua primer la divisió i després la potència. 1 i
1i 6
(1 i) (1 i) 6
2 i 6
——— ———————— ——
1i
(1 i) (1 i)
2
(i)6 i 6 i 2 1
13. Comprova que la suma de les arrels vuitenes de la unitat
dóna com a resultat zero.
El vèrtexs de l’hexàgon corresponen als nom­bres complexos de
mòdul 1 i argument un angle múltiple de 60°. Són els següents:
10°, 160°, 1120°, 1180°, 1240°, 1300°.
10. Descriu la figura que s’obtindria en representar gràficament
tots els nombres complexos de mòdul 2.
Tots els punts de la circumferència de centre l’origen de coordenades i de radi dos corresponen a tots els nombres complexos
de mòdul 2.
Calculem les arrels vuitenes d’1:
8
8
8
√ 1 √10° → mòdul: √ 1 1. Arguments:
0° k 360°
——————, k 0, k 1, k 2, k 3,
8
k 4, k 5, k 6 i k 7.
Les arrels són:
10°, 145°, 190°, 1135°, 1180°, 1225°, 1270°, 1315°
MATEMÀTIQUES 1
la
55
En forma binòmica:
18. Troba les arrels quartes de z 8 8 √ 3i.
10° 1
1
1
145° —— —— i
√2
√2
Passem a forma polar:
r 82 (8 √ 3)2 256; tg √ 3, 60°
4
60° k 360°
———————, k 0, k 1, k 2 i k 3.
4
1
1
1135° —— —— i
√2
√2
Arrels: 415°; 4105°; 4195°; 4285°.
1180° 1
1
1
1225° —— —— i
√2
√2
19. Dibuixa el triangle que té per vèrtexs els afixos de les arrels
cúbiques de 8 i. De quin tipus de triangle es tracta?
3
3
90° k 360°
——————, k 0, k 1 i k 2.
3
1
1
1315° —— —— i
√2
√2
Arrels: 230°; 2150°; 2270°. Els afixos són els punts que tenen de
coordenades els components en forma binòmica.
La suma:
1
1
1
1
1 —— —— i i —— —— i 1
√2
√2
√2
√2
1
1
1
1
—— —— i i —— —— i 0
√2
√2
√2
√2
3
√8i √ 890°→ mòdul √ 8 2; arguments:
1270° i
4
√ 25660° → mòdul √ 2 56 4, arguments:
190° i
14. Descriu la figura que s’obtindria en representar gràficament
tots els nombres complexos l’argument dels quals és 60°.
Tots els nombres complexos d’argument 60° formen una semirecta d’origen l’origen de coordenades i que forma un angle de
60° amb el semieix positiu OX.
15. Determina el valor de la suma següent:
Vèrtex A → 230°
2 (cos 30° i sin 30°) √ 3 i → (√ 3, 1)
Vèrtex B → 2150° 2 (cos 150° i sin 150°)
√ 3 i → (√ 3, 1)
Vèrtex C → 2270° 2 i → (0, 2)
Recta AB: y 1
3
Recta BC: y 2 —— x
√3
3
Recta AC: y 2 ——x
√3
El triangle és equilàter.
1 i i 2 ... i 125
Cal tenir en compte que:
i i2 i3 i4 i 1 i 1 0
Separant 1, la suma de les 125 potències successives de i contenen 31 grups que sumen 0 i queda i 125, ja que 125 31 4 1.
1 i i 2 ... i 125 1 i 125 1 i
16. Expressa en forma binòmica el resultat de la divisió:
6120° : 330°.
6120° : 330° 290°. Passant a forma binòmica: 290° 2 i.
17. Calcula el mòdul i l’argument de la tercera potència de √ 3 i.
(√ 3 i)3 →
√ 3 i → r 2
1
tg —— → 30°
√3
(230°)3 2 33 30° 890°
20. Calcula la suma dels quadrats de les ar­rels cúbiques de 8.
3
3
3
√8 √ 8180° → mòdul √ 8 2; arguments:
180° k 360°
———————, k 0, k 1 i k 2.
3
Arrels: 260°; 2180°; 2300°. Calculem els quadrats:
(260º)2 4120° 4 (cos 120° i sin 120°)
LA
56
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
1
√3
4 — ——i 2 2 √ 3i
2
2
(2180°)2 4360° 4
25. Representa gràficament les arrels quartes de 16.
Les arrels quartes de 16 s’han obtingut en l’exercici 22. Els seus
afixos són els punts (2, 0); (0, 2); (2, 0) i (0, 2).
(2300°)2 4600° 4240°
4 (cos 240° i sin 240°)
1
√3
4 — ——i 2 2 √ 3i
2
2
Suma: (2 2 √ 3i) 4 (2 2 √ 3i) 0
Avaluació
1. Resol les equacions següents en el conjunt dels nombres
complexos:
a) x2 25 0
21. Troba les arrels cúbiques de 27. Comprova que una d’aques­
tes arrels és el nombre real 3.
3
3
3
√ 27 √ 27180° → mòdul: √ 27 3.
Arguments:
180° k 360°
———————, k 0, k 1 i k 2.
3
Les arrels: 360°; 3180° 3; 3300°.
x2 25 0 → x2 225 → x √ 225
5i
b) 9x2 1 0
1
9x2 1 0 → x2 2— → x
9
4
4
√16 √160° → mòdul: √16 2;
21 √1 24
21 √ 3i
x2 x 1 0 → x ——————— ————
2
2
Arguments:
0° k 360°
——————, k 0, k 1, k 2 i k 3.
4
Arrels: 20° 2; 290°; 2180° 2; 2270°.
√
1
2—— —i
9
3
c) x2 x 1 0
22. Calcula les arrels quartes de 16 i comprova que dues d’aques­
tes arrels són nombres reals.
4
1
1
√3
2 —— 1 —— i
2
2
1
√3
2 —— 2 —— i
2
2
d) x2 2 4x 5 0
4 √ 16 2 20
4 2i
x2 2 4x 5 0 → x ——————— ———
2
2
Les arrels 2 i 2 són nombres reals.
2i
23. Una de les arrels cúbiques del nombre complex z és 2130°.
Calcula z i les altres dues arrels.
3
√ z 2130° → z (2130°)3 8390° 830°
3
√ 830° → mòdul: 2.
30° k 360°
Arguments: ——————
3
Arrels: 210°; 2130°; 2250°.
24. Utilitza el mètode més senzill per calcular (1 i)10.
Per què creus que el mètode que has utilitzat és el més
senzill?
El mètode més senzill és passar el nombre complex a la forma
polar:
1 i √ 2225°
(√2225°)10 √210
2250° 3290° 32 i
22i
2. Donats els nombres complexos z1 1 22i i z2 24 1 6i,
calcula’n:
a) z1 1 z2
(1 – 2i) + (–4 + 6i) = –3 + 4i
b) z1 2 z2
(1 – 2i) – (–4 + 6i) = (1 – 2i) + (4 – 6i) = 5 – 8i
c) z1 z2
(1 – 2i) · (–4 + 6i) = –4 + 6i + 8i + 12 = 8 + 14i
d) el quocient z1 : z2
1 − 2i
1 − 2i −4 − 6i −4 − 6i + 8i − 12 −16 + 2i
=
⋅
=
=
=
−4 + 6i −4 + 6i −4 − 6i
16 + 36
52
−16 2
−4 1
=
+ i=
+ i
52 52
13 26
MATEMÀTIQUES 1
3. Expressa els nombres complexos z1 21 1 i i z2 1 2 √3i
en forma polar i calcula z14 : z2.
z1 21 1 i √ 2135º; z2 1 2
(z1)5 1√ 2135º25 5
√ 3 2300º
√25 675º 4√ 2315º
z14 : z2 = ( 2135º ) : 2300º = 2−120º = 2240º
4
4.
Considera els nombres complexos z1{2 = 3i i z2 { 3 4 ki.
Troba el valor de k per tal que el quocient z1 : z2 sigui:
a) Un nombre real.
3 + 3i 3 + ki 6 − 3k + (2k + 9)i 6 − 3k 2k + 9
+
=
=
⋅
3 − ki 3 + ki
9 + k2
9 + k2 9 + k2
9
2k + 9 = 0 → k = −
2
b) Un nombre complex imaginari pur.
6 3k 0 → k 2
la
57
5. Una de les arrels quadrades d’un nombre complex z és z1 {
{ 3 = 5i. Calcula z i l’altra arrel quadrada, z2.
z z12 (3 1 5i)2 16 30i
z2 z1 3 5i
6. Determina les arrels quartes de 416 i expressa el resultat
en forma polar i en forma binòmica.
4
−16 = 4 16180º = 245º + k ⋅ 90º , k = 0, 1, 2, i 3
k = 0 → z1 = 245º = 2 + 2 i
k = 1 → z2 = 2135º = − 2 + 2 i
k = 2 → z3 = 2225º = − 2 − 2 i
k = 0 → z4 = 2315º = 2 − 2 i
LA
58
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
jUnitat 5. Vectors en el pla
→
d) GH amb G(1, 2) i H(4, 9)
→
GH (4 (1), 9 (2)) (3, 7)
Activitats
→
GH √(3)2 (7)2 √58
1. Compara els sentits dels parells de vectors (fig. 4.2) següents:
→ →
piq
→
→
→
→
qir
qis
→
→
→ →
→ →
p i q sentit contrari; q i r sentit contrari; q i s mateix sentit.
2. Dibuixa dos vectors que tinguin el mateix mòdul, la mateixa
direcció i els sentits contraris.
5. Es pot definir el vector nul com aquell que té l’origen i
l’extrem en el mateix punt. Quins són els components cartesians i el mòdul del vector nul?
Els components cartesians del vector nul són (0, 0) i el mòdul
és 0.
→
6. Sabent que RS (4, 7) i R(6, 2), determina les coordenades del punt S analíticament i gràficament.
Anomenem S(x, y)
→
RS (4, 7), amb R(6, 2)
(4, 7) (x 6, y 2) →
→
3. Dibuixa dos vectors que tinguin diferent mòdul i diferent
direcció. Pots comparar-ne els sentits?
4 x 6 → x 10 →
7 y 2 → y 5
→ S (10, 5)
No, perquè els sentits de dos vectors només són comparables si
tenen la mateixa direcció.
4. Determina els components cartesians i el mòdul de cadascun
dels vectors següents. En cada cas fes-ne la representació
gràfica.
→
a) AB amb A(2, 4) i B(6, 10)
→
AB (6 (2), 10 4) (8, 6)
→
AB √82 62 10
→
b) CD amb C(6, 2) i D(3, 2)
→
CD (3 6, 2 2) (3, 4)
→
CD √(3)2 (4)2 5
7. Donats els punts P(5, 2) i Q(8, 2), troba els components
→
→
PQ (8 5, 2 (2)) (3, 4)
→
42 5
PQ √ 32 →
c) EF amb E(0, 0) i F(1, 3)
→
→
cartesians i el mòdul dels vectors PQ i QP . Representa’ls
gràficament i compara’n el mòdul, la direcció i el sentit.
→
EF (1, 3)
QP (5 8, 2 2) (3, 4)
EF √(1)2 (3)2 √10
QP √(3)2 (4)2 5
→
→
MATEMÀTIQUES 1
LA
59
→
c) RS (2, 3) amb R(1, 4)
Anomenem S(x, y)
(2, 3) (x 1, y 4)
x 1; y 7
S(1, 7)
→
→
Els vectors PQ i QP tenen el mateix mòdul, la mateixa direcció
i sentits contraris.
→
8. Les coordenades de l’extrem del vector AB (5, 3) són
(1, 4). Determina’n les coordenades de l’origen. Fes la resolució gràfica i l’analítica.
Anomenem A(x, y)
(5, 3) (1 x, 4 y)
5 1 x → x 4
3 4 y → y 7
A(4, 7)
→
10. Si F 40 N, troba els components cartesians d’aquesta
força (fig. 5.13).
9. Representa gràficament els vectors:
→
a) MN (5, 3) amb M(1, 2)
Anomenem N (x, y)
(5, 3) (x 1, y 2)
x 4; y 5
N (4, 5)
→
b) PQ (1, 4) amb Q(2, 5)
Anomenem P(x, y)
(1, 4) (2 x, 5 y)
x 3; y 9
P(3, 9)
→
√2
Fx F cos 45° 40 —— 20 √2
2
→
√2
Fy F sin 45° 40 —— 20 √2
2
→
F (20 √2, 20 √2) N
6
60
LA
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
11. Expressa en forma polar el vector posició de cadascun dels
punts següents:
a) (1, 1)
Argument: tg 1 → 315°
6
Mòdul: √2
1
→
rx r cos 240° 2 — 1
2
√3
→
ry r sin 240° 2 —— √3
2
b) (1, 1)
1
→
sx s cos 300° 10 — 5
2
6
Argument: tg 1 → 135°
6
R(1, √3)
√2315°
Mòdul: √2
√3
→
sy s sin 300° 10 —— 5 √3
2
√2135°
S(5, 5 √3)
c) (1, √3 )
6
→
Mòdul: 2
Argument: tg √3 → 240°
13. El vector r té l’origen
en el punt (0, 1) i l’extrem en el punt
→
(2, 3). El vector t, equipol·lent a l’anterior, té l’origen en
el punt (2, 4). Troba’n les coordenades de l’extrem.
6
→
r (2 0, 3 1) (2, 4)
2240°
Representem
per (x, y) les coordenades de l’extrem del vec→
tor t:
→
t (x 2, y 4)
d) (√3, √3)
Mòdul: 2
Argument: tg 1 → 45°
245°
6
→
→
Com que r i t són equipol·lents, es verifica:
(2, 4) (x 2, y 4) → x 4, y 8
→
L’extrem del vector t és el punt (4, 8).
e) (5, 12)
Mòdul: 13
12
Argument: tg —— → 67,38°
5
1367,38°
→
→
14. Dibuixa els vectors r i t de l’exercici anterior i uneix-ne,
mitjançant segments, els punts origen i els punts extrem.
Quina figura obtens?
6
f) (8, 6)
Mòdul: 10
3
Argument: tg — → 143,13°
4
10143,13°
6
12. Calcula les coordenades cartesianes dels punts M, N, R i S els
vectors posició dels quals són, respectivament:
→
→
→
→
m 645° n 4150° r 2240° s 10300°
√2
→
mx m cos 45° 6 —— 3 √2
2
√2
→
my m sin 45° 6 —— 3 √2
2
6
M(3 √2, 3 √2)
S’obté un paral.lelogram.
√3
→
nx n cos 150° 4 —— 2 √3
2
1
→
ny n sin 150° 4 — 2
2
N(2 √3, 2)
6
15. Considera els punts A(3, 2), B(5, 4), C(1, 5) i D(x, y).
Calcula les coordenades del punt D sabent que els vectors
→
→
AB i CD són equipol·lents.
→
AB (5 3, 4 2) (2, 6)
→
CD (x 1, y 5)
6
LA
MATEMÀTIQUES 1
(2, 6) (x 1, y 5) → x 3, y 1
→
Les coordenades del punt D són D(3, 1).
→
Mòdul: 3 v 3 v
→
Direcció: la mateixa que v
→
Sentit: el mateix que v
→
3v
D(3, 1)
61
→
4 v 4 (3, 2) (12, 8)
16. Els punts A, B i C de la figura 5.15 són tres vèrtexs consecutius
d’un paral.lelogram. Troba les coordenades del quart vèrtex D.
→
→
Mòdul: 4 v 4 v
→
→
4 v
Direcció: la mateixa que v
→
Sentit: l’oposat a v
→
→
19. Si p (4, 2) i q (2, 3), quins són els components del
→
→
→
→
→
vector s p q? Dibuixa els vectors p i q amb origen
→
a l’origen de coordenades i troba gràficament el vector s.
Comprova que coincideix amb el resultat que havies obtin→ →
→
gut. Calcula el mòdul dels vectors p, q i s, i comprova que es
→
→
→
verifica s p q .
→
→
→
s p q (4, 2) (2, 3) (2, 5)
Anomenem D(x, y).
A(2, 3); B(2, 6); C(4, 4)
Es compleix que:
→
→
AB DC → (4, 3) (4 x, 4 y) →
→ x 0, y 1
El quart vèrtex del paral.lelogram se situa en el punt D(0, 1).
17. Donats els vectors:
→
→
→
a (2, 4), b (5, 7) i c (7, 1)
p √42 22 √20 2 √5
→
comprova que es verifica:
→
→
→
q √(2)2 32 √13
→
→
a) a b b a
→
→
→
→
→
→
s
→
b) a (b c) (a b) c
→
→
→
→
→
√29 2 √5 √13
→
d) (3 4) c 3 c 4 c
→
→
→
→
e) a b (b a)
→
→
2 c 3 d 2 (2, 7) 3 (5, 3)
Els resultats que s’obtenen en els dos membres de cadascuna de
les igualtats són:
a) (3, 3); b) (4, 2); c) (6, 6); d) (49, 7); e) (7, 11);
f) (4, 8)
→
→
18. Determina els components dels vectors 3v i 4v si
→
v (3, 2). Compara el mòdul, la direcció i el sentit de cadascun dels dos vectors amb el mòdul, la direcció i el sentit
→
del vector v.
→
→
→
20. Donats els vectors c (2, 7) i d (5, 3), troba els
→
→
→
→
components dels vectors 2 c 3 d i 3 c 2 d.
1
→
→
f) — (4 a) 2 a
2
3 v 3 (3, 2) (9, 6)
6
Es compleix que:
c) 2 (a b) 2 a 2b
→
√22 52 √29
(4, 14) (15, 9) (11, 5)
→
→
3 c 2 d 3 (2, 7) 2 (5, 3)
(6, 21) (10, 6) = (–16, 27)
21. S’anomenen vectors unitaris els vectors que tenen mòdul 1.
→
Quin és el mòdul del vector v (3, 4)?
3 4
→
Comprova que el vector u —, — és unitari i que té la
5 5
→
mateixa direcció i el mateix sentit que el vector v. Hi ha un
→
altre vector unitari en la mateixa direcció que v? Quin?
LA
62
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
→
2
2
→
u
√ —5 —5 1
3
→
4
→
→
→
→
→
22. Raona per què el vector
1
1
→
→
→
→
v, u —
v 1.
Si u —
→
→
v
v
→
→
3 (4, 1) 2 (2, 3) (8, 9)
1 →
2 →
b) — a — b
2
3
1 →
2 →
1
2
— a — b — (4, 1) — (2, 3)
2
3
2
3
10 3
——, —
3
2
→
és un vector unitari que té la mateixa direcció i el mateix
→
sentit que el vector v.
→
→
c) a 5 b
→
→
a 5 b (4, 1) 5 (2, 3) (6, 16)
24. Esbrina si són linealment dependents o independents els
parells de vectors següents:
→
→
Es compleix que v vu, amb v 0. Per tant, el vector u
és unitari i té la mateixa direcció i el mateix sentit que el vec→
tor v.
Determina els vectors unitaris en la direcció i el sentit dels
vectors:
a) (4, 7) i (8, 14)
4
7
—— —— → linealment independents
8
14
b) (3, 0) i (1, 0)
(3, 0) 3 (1, 0) → linealment dependents
→
a) a (5, 12)
a √52 (12)2 13 →
→
5
12
→
→ u ——, ——
13
13
→
→
1 →
→
u —
v
→
v
→
3 a 2 b 3 a 2 (b)
3
4
→
→
El vector u —, — u té també la mateixa direcció
5
5
→
que el vector v i també és unitari.
→
a) 3 a 2 b
Es verifica que v 5 u. Per tant, els vectors v i u tenen la mateixa direcció i el mateix sentit (5 0).
→
→
23. Donats els vectors a (4, 1) i b (2, 3), troba’n les
combinacions lineals següents:
v √32 42 5
1
—
2
3
—— —— → linealment independents
2
4
—
3
√(6)2 82 10 →
5
2
—— —— → linealment dependents
5
5
1
4
d) —, 3 i 2, —
2
3
b) b (6, 8)
→
3 4
→
→ u —, —
5 5
c) (5, 2) i (5, 2)
→
c) c (2, 4)
c √(2)2 (4)2 √20 2 √5 →
→
2 √5
→ u ——, ———
5
5
→
√5
5
4
8
—— — → 5a 8 → a —
2
a
5
26. Els vectors (4, 7) i (x, 14) són linealment independents.
Quins valors pot tenir x?
d) d (1, √3)
→
→
25. Els vectors (5, 4) i (2, a) són linealment dependents. Calcula a.
d √12 (√3)2 2 →
1 √3
→
→ u —, ——
2
2
4
7
4
1
— —— → — — → x 8
x
14
x
2
x pot prendre qualsevol valor real diferent de 8.
LA
MATEMÀTIQUES 1
27. Demostra que els vectors (1, 2), (2, 4) i (2, 1) són linealment dependents.
N’expressem un en combinació lineal dels altres dos:
(2, 4) k (1, 2) h (2, 1)
2 k 2h
4 2k h
6
63
31. Quins dels parells de vectors següents són una base del pla?
Justifica’n la resposta.
a) (1, 4) i (2, 8)
b) (2, 0) i (1, 4)
c) (3, 2) i (1, 5)
d) (1, 0) i (3, 0)
Els dels apartats b) i c), ja que són parells de vectors linealment
independents.
k 2, h 0
2
0
b) — —
1
4
Llavors es compleix que
3
2
c) —— —
1
5
(2, 4) 2 (1, 2) 0 (2, 1) 2 (1, 2)
és a dir, els tres vectors són linealment dependents.
28. Representa gràficament els vectors de l’exercici anterior
prenent per a tots ells el mateix origen.
→
32. Els components del vector p en la base:
B {(4, 1), (5, 2)}
→
són (3, 1). Determina els components de p en la base
canònica.
→
p 3 (4, 1) (1) (5, 2)
(12, 3) (5, 2) (7, 5)
→
Els components de p en la base canònica són (7, 5).
33. Troba els components del vector (7, 7) en la base
→
→
→
→
B {u1, u2}, on u1 (3, 1) i u2 (1, 2). Comprova gràficament el resultat obtingut prenent un origen comú per als
tres vectors.
29. Expressa el vector (2, 7) en combinació lineal dels vectors
(1, 3) i (2, 1).
(2, 7) k (1, 3) h (2, 1)
6
2 k 2 h
7 3 k h
Expressem el vector (7, 7) en combinació lineal dels vectors de
la base B:
(7, 7) ku1 hu2 k (3, 1) h (1, 2)
16
1
k ——, h ——
7
7
(7, 7) (3k, k) (h, 2h)
(7, 7) (3k h, k 2h)
16
1
(2, 7) —— (1, 3) —— (2, 1)
7
7
→
→
→
30. Sense fer cap càlcul, expressa els vectors c, d i e en combi→
→
nació lineal dels vectors a i b (fig. 5.24).
7 3k h
7 k 2h
6
k 3; h 2
Els components del vector (7, 7) en la base B són (3, 2)
→
→
(7, 7) 3u1 2u2
→
→
c2a
→
→
→
d4a2b
→
→
→
e 2 a 2 b
64
LA
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
34. Indica tots els parells de vectors de la figura 5.29 que són
una base del pla. Raona la resposta.
Segon membre:
→
→
→
→
abac
(1, 2) (3, 4) (1, 2) (2, 5)
5 12 17
→
→
→
→
→
→
→
a (b c) a b a c
→
→
→
nombre real→o un vector? Per
37. El resultat de (v w)t, és un
→
què? Fes els càlculs per a v (2, 4), w (1, 1) i
→
t (4, 3).
És→ un→ vector, ja que és→el resultat de multiplicar un nombre real
(v w) per un vector (t).
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
a i c; a i d; a i e; b i c; b i d; b i e;
→
→
→
→
(v w)t [(2, 4) (1, 1)](4, 3)
→
2(4, 3) (8, 6)
→
c i d; c i e; d i e
→
En tots els casos es tracta de parells de vectors linealment independents (tenen diferent direcció).
Primer membre:
→
→
→
→
(ka) b [3 (2, 1)] (3, 4)
→
35. Donats els vectors p (3, 4) i q (2, 1), calcula:
a) El seu producte escalar.
(6, 3) (3, 4) 18 12 6
Segon membre:
→
p q 3 2 (4) 1 6 4 2
→
→
k(a b) 3 [(2, 1) (3, 4)]
3(2) 6
b) L’angle que formen.
pq
2
2 √5
cos ————
———— ——— →
→
→
25
5 √5
p q
→
→
→ 79,7°
→
→
→
180°
→
→
d) L’angle que formen els vectors p i q.
→
→
L’angle que formen els vectors p i q és el mateix que el
→
→
que formen els vectors p i q:
79,7°
→
→
36. Donats els vectors a (1, 2), b (3, 4) i c (2, 5),
comprova que es verifica la igualtat:
→
→
→
→
→
a (b c) a b a c
Primer membre:
→
→
→
→
a (b c) (1, 2) [(3, 4)(2, 5)]
(1, 2) (1, 9) 1 18 17
→
→
BC (3, 5); BA (5, 3)
→
→
BC BA 15 15 0
→
→
Com que els catets BC i BA són iguals, BC BA √34,
el
triangle rectangle és isòsceles i, per tant, A C 45°.
180° 79,70° 100,3°
→
→
Si és rectangle en B, B 90°.
Aleshores
els vectors BC i BA
→
→
han de ser perpendiculars → BC BA 0.
→
L’angle que formen els vectors p i q és el suplementari de
l’angle . Si el representem per :
→
39. Demostra que el triangle de vèrtexs els punts A(1, 2),
B(6, 5) i C(3, 10) és rectangle en B. Quant mesuren els altres dos angles del triangle?
c) L’angle format pels vectors p i q. Resol aquest apartat de
diferents maneres i compara’n els resultats obtinguts.
→
→
4)
i el nombre
real
38. Donats els vectors a (2, 1), b (3,
→
→
→
→
k 3, comprova que es verifica (ka) b k(a b).
40. Troba
un vector de mòdul 2 que sigui ortogonal al vector
→
v (4, 3). Analitza les diferents solucions que has obtingut.
→
Hi ha dos vectors perpendiculars
al vector v→ que tenen el mateix
→
mòdul que
aquest
vector:
w
(3, 4) i w2 (3, 4). Els
1
→
→
vectors w1 i w2 tenen la mateixa direcció i sentit contrari.
→
→
Com que w1 w2 5, els vectors que ens demanen són:
2 →
2
6 8
→
t1 — w1 — (3, 4) —, —
5
5
5 5
→
2 →
2
6
8
t2 — w2 — (3, 4) —, —
5
5
5
5
El problema té, doncs, dues solucions.
LA
MATEMÀTIQUES 1
41. Els punts A(1, 2), B(3, 5) i C(7, 4) són tres vèrtexs consecutius d’un paralel.logram. Troba les coordenades del quart
vèrtex i les del punt intersecció de les diagonals. Fes-ne la
representació gràfica.
65
43. Troba les coordenades dels punts que divideixen el segment
d’extrems A(12, 6) i B(0, 9) en tres parts iguals.
Anomenem D(x, y) el quart vèrtex del paral·lelogram.
→
→
AB DC → (2, 3) (7 x, 4 y) →
→ x 5, y 1 → D(5, 1)
→
→
AB 3 AC , amb C(x1, y1)
(12, 3) 3 (x1 12, y1 6)
Les coordenades del punt intersecció de les diagonals del paral.lelogram són les coordenades del punt mitjà del segment
d’extrems A i C, o bé, B i D.
17
24
M ————, ———— (4, 3)
2
2
(12, 3) (3x1 36, 3y1 18)
12 3x1 36 → x1 8
3 3y1 18 → y1 7
Les coordenades del punt C són (8, 7).
→
→
AB 3 DB , amb D(x2, y2)
(12, 3) 3 (x2, 9 y2) →
→ (12, 3) (3x2, 27 3y2)
12 3x2 → x2 4
3 27 3y2 → y2 8
Les coordenades del punt D són (4, 8).
42. Els punts P(3, 7) i Q(5, 13) són els extrems d’un dels diàmetres d’una circumferència. Determina’n les coordenades
del centre i calcula’n el radi.
44. Els punts A(2, 5), B(3, 2) i C(1, p) estan alineats.
Calcula p.
→
(1, 7) k(4, p 2)
Dibuixa aquesta circumferència.
El centre C de la circumferència és el punt mitjà d’un qualsevol
dels seus diàmetres.
3 5 7 13
C ————, ————— (4, 3)
2
2
El radi és la distància del centre a un punt qualsevol de la circumferència.
→
→
S’ha de verificar que: AB k BC :
→
r CP ; CP (1, 10)
r √(1)2(10)2 √100
1
1 k (4) → k —
4
1
7 k(p 2) → 7 — (p 2) →
4
→ p 26
45. Determina les coordenades del baricentre del triangle de vèrtexs els punts P(3, 4), Q(2, 6) i R(4, 10).
Les coordenades del baricentre G del triangle són:
y1 y2 y3
x1 x2 x3
G ———————, ———————
3
3
5
—, 0
3
Activitats finals
1. Donats
els punts A(2, 3) i B(5, q), troba q sabent que
→
5.
AB
→
AB (3, q 3) →
→
→ AB √32(q 3)2 5
66
LA
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
32 (q 3)2 52 →
→ (q 3)2 25 9 16 →
q34 → q7
→ q 3 √16
→
1 →
→
→
→
2. Els vectors AB i BC verifiquen AB —BC . Si A(6, 2)
2
i B(0, 4), quines són les coordenades de C?
Anomenem C(x, y)
1 →
1
→
AB — BC → (6, 2) — (x, y 4) →
2
2
→
→
→
(5, 7) 2 (3, 6) 3 (10, 4)
(41, 31)
→
1 →
b) 4 a — c
2
1
4 (5, 7) — (10, 4) (15, 26)
2
→
→
c) a b
(5, 7) ⋅ (3, 6) 57
→
→
→
d) b (c a)
(3, 6) ⋅ [(10, 4) (5, 7)]
→ (12, 4) (x, y 4) → x 12, y 8
(3, 6) ⋅ (5, 3) 3
Les coordenades del punt C són (12, 8).
3. Calcula els components cartesians del vector 10210°, donat
en forma polar.
→
Representem per v aquest vector:
vx 10 cos 210° 5 √3
→
v 10210°
vy 10 sin 210° 5
Per tant, v (5 √3, 5).
→
→
6. Calcula els components cartesians del vector u que verifica
les condicions següents:
a) És unitari.
→
b) Té la mateixa direcció que el vector v (6, 8), però
sentit contrari.
v √(6)2 82 10
→
1
3
4
→
u —— (6, 8) —, —
10
5
5
→
→
→
4. Sabent que F 1 60 N i F 2 40 N, calcula p
­ erquè el cos
de la figura (fig. 5.49) es mogui en la direcció de l’eix X.
→
a) a 2 b 3 c
q 3 4 → q 1
Hi ha dues solucions per al problema: q1 7 i q2 1.
→
5. Donats els vectors a (5, 7), b (3, 6) i c (10, 4),
calcula:
→
7. Els vectors v i w són ortogonals
i tenen→el mateix mòdul. Es→
brina els components de w sabent que v (5, 2). Quantes
solucions has trobat? Raona-ho.
→
→
Si→ els
vectors→ v i →w tenen el mateix mòdul i són ortogonals,
→
v ⋅ w 0 i v w √29.
→
→
El problema té dues solucions: w1 (2, 5) i w2 (2, 5).
(5, 2) ⋅ (wx, wy) 0
√wx wy √29
2
2
6
5wx 2wy 0
wx2 wy2 29
6
wx 2 → wy 5
→
Perquè el cos es mogui en la direcció de l’eix→ OX,→cal que la suma dels
components segons l’eix OY de les forces F 1 i F 2 sigui igual a zero.
1
→
F1y F 1 sin 30° 60 — 30
2
→
F2y F 2 sin 40 sin
F1y F2y 0 → 30 40 sin 0 →
3
→ sin — → 48,59°
4
8. Els components del vector a en la base B {(1, 3), (2, 1)}
són (5, 2). Quins són els components d’aquest mateix vector
en la base B {(4, 1), (3, 2)}?
→
a 5 (1, 3) 2 (2, 1) (9, 13)
(9, 13) k (4, 1) h (3, 2)
94k3h
13 k 2 h
6
21
61
k —— ; h ——
11
11
→
Els components de a en la base B són:
21
61
, ——
——
11 11
LA
MATEMÀTIQUES 1
9. Calcula els components del vector (5, 7) en la base
B {(2, 3), (1, 2)}.
b) El punt C2 situat a la recta determinada pels punts A i B i a
la dreta del punt A (C2 (x2, y2)).
3 C2A 2 AB →
→ 3 (3 x2, 6 y2) 2 (9, 9) →
→ x2 9, y2 12 → C2 (9, 12)
6
5 2k h
17
1
k ——; h —
7 3k 2h
7
7
17 1
Els components del vector (5, 7) en la base B són ——, — .
7 7
10. Donat el segment d’extrems els punts P(3, 5) i Q(6, 8),
troba les coordenades del punt R d’aquest segment que verifica.
3
PR —— PQ.
10
Representem per (x, y) les coordenades de R:
→
→
10 PR 3 PQ →
→ 10 (x 3, y 5) 3 (3, 13) →
→ (10x 30, 10y 50) (9, 39) →
39
11
x ——; y ——
10
10
39 11
Les coordenades de R són ——, —— .
10 10
11. El baricentre d’un triangle se situa en el punt G(2, 0) i dos
dels seus vèrtexs, en els punts A(3, 4) i B(6, 5). Troba les
coordenades de l’altre vèrtex C del triangle.
Anomenem C(x, y) el tercer vèrtex.
3 (6) x
2 ——————––– → x 3
3
4 5 y
0 ————— → y 9
3
Les coordenades de C són (3, 9).
12. Donat el segment que té com a extrems els punts A(3, 6) i
B(6, 3), troba les coordenades del punt C, alineat amb A i B,
2
que verifiqui AC —AB. Quants punts hi ha que verifiquen
3
aquesta condició?
Hi ha dos punts que verifiquen aquesta condició:
a) El punt C1 situat entre A i B(C1 (x1, y1))
→
→
3 AC 1 2 AB →
→ 3 (x1 3, y1 6) 2 (9, 9) →
→ x1 3, y1 0 → C1 (3, 0)
→
→
(5, 7) k (2, 3) h (1, 2)
67
Els punts que verifiquen les condicions de l’enunciat del problema són C1(3, 0) i C2(9, 12).
13. Determina la mesura de cadascun dels angles del triangle de
vèrtexs els punts A(0, 0), B(5, 1) i C(4, 2).
→
Angle A → el més petit dels angles que formen els vectors AB
→
i AC .
→
→
AB (5, 1); AC (4, 2)
→
→
AB ⋅ AC
22
—————— →
cos A ——————
→
→
AB AC
√26 √20
→ A 15,26°
→
Angle B → el més petit dels angles que formen els vectors BC
→
i BA .
→
→
BC (1, 1); BA (5, 1)
→
→
BC ⋅ BA
4
————— → B 56,31°
cos B —————
→
→
BC BA
√2 √26
Angle C → C 180° ( A B) 108,43°
14. Dues rectes perpendiculars r i s es tallen en el punt
P(2, 3). Sabent que el punt Q(3, 5) pertany a la recta r,
calcula t perquè la recta s passi pel punt R(t, 1).
→
→
→ →
Els vectors PQ i PR han de ser perpendiculars → PQ •PR 0
→
→
PQ (1, 8); PR (t 2, 1 3)
→
→
PQ ⋅ PR t 2 8 (1 3) 0 →
→ t 14 0 → t 14
3
→
→
15. Sabent que v w 10 i sin ­ —, calcula els compo5
→
→
nents cartesians del vector v w (fig. 5.50).
LA
68
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
→
→
PQ 5 Q 2 P 5 (3, 2) 2 (x, y) 5 (3 2 x, 2 2 y)
v (10 cos , 10 sin );
→
w (10 cos (), 10 sin ())
(10 cos , 10 sin )
→
→
a1 b1 c1 a2 b2 c2
——————
, ——————
3
3
→
→
S’ha de complir: 3 PQ 2 2 QR 5 0
16. Demostra que el baricentre G d’un triangle de vèrtexs els
punts A(a1, a2), B(b1, b2) i C(c1, c2) es troba en el punt de
coordenades:
QR 5 R 2 Q 5 (21, 5) 2 (3, 2) 5 (24, 3)
→
vw
(10 cos 10 cos , 10 sin 10 sin )
(20 cos , 0)
3
4
Si sin — → cos √1 sin2
5
5
4
→
→
Aleshores, v w 20 —, 0 (16, 0)
5
→
→
3(3 2 x, 2 2 y) 22 (24, 3) 5 0
→
(9 2 3x, 6 2 3y) 2 (28, 6) 5 0
→
(9 2 3x 1 8,6 2 3y 2 6) 5 0
→
(17 2 3x, 2 3y) 5 0
Tenim el sistema:
17 − 3 x = 0
−3 y = 0
La solució del sistema és x =
17
Llavors P , 0
3
17
i y = 0.
3
1 →
→
→ v és unitari. Si u 5 (5-12),
v
→
troba el vector unitari u que té la mateixa direcció i el mateix
2.Demostra que el vector u 5 →
sentit que el vector v .
→
�
� 1 � v
�
u = � v = � = 1 , amb v ≠ 0
v
v
�
� 1
5 12
v 52 + (−12)2 13; u (5, −12) , −
13 13
13
→
→
GC 2 MG → (c1 x, c2 y)
a2 b2
a1 b1
2 x ————, y ————
2
2
(c1 x, c2 y)
(2x a1 b1, 2y a2 b2)
c1 x 2x a1 b1 →
a1 b1 c1
→ x ——————––
3
c2 y 2y a2 b2 →
a2 b2 c2
→ y ——————
3
3. Indica de manera raonada si els vectors u 5 (0,2) i v 5 (21,1)
formen una base del pla.
→
En cas afirmatiu, expressa el vector a 5 (5,2) en combinació
→
→
lineal de u i v .
→
Només ens cal veure si els dos vectors són linealment independents:
0
2
→ → u k·v perquè — —
21
1
Per tant, els dos vectors són linealment independents i, en conseqüència, són una base del pla.
Expressem el vector (5, 2) en combinació lineal dels vectors de
la base:
(5, 2) h · (0, 2) t (1, 1)
(5, 2) (0, 2h) (t, t)
(5, 2) (t, 2h t)
Avaluació
1. Donats els punts Q(3, 2) i R(21, 5), determina les coordenades (x, y) del punt P per tal que es verifique la igualtat
→
→
Tenim el sistema:
(5 t
2 2h t
La solució del sistema és h =
→
3 PQ 22 QR 5 0.
Anomenem el punt P(x, y).
→
Per tant, (5, 2)
7
i t = −5 .
2
7
(0, 2) 5 ·(1, 1)
2
LA
MATEMÀTIQUES 1
→ → → → → → 69
jUnitat 6. Rectes en el pla
4. Calcula a·a sabent → que→ a·b 5 3, b·b 5 4 i que l’angle que
formen els vectors a i b mesura 60º.
���
���
���
2 ���
→
→ → → ABb =5 4
DC ⇔ BAB
A5 4
=
DCC ⇔
− DBb⇔
−5 2
A()
5,3
= C −− D()
1,2
⇔ ()
=5,3
6,5− ()
−1,2
x , =y ()
6,5
⇔ 4,1
− ()()
x ,=y (
6⇔
− x4,1
,5 − y=)
6 − x ,5 − y )
()
()()
(
b·
b− =
Activitats
���→ ���
��� ���
→ → → ABb =5 3
DC ⇔ Ba −·A =
DAB
⇔
5,3
DC ⇔
− ()
B1,2
− D−60º
⇔
x ,()
5,3
y ⇔− ()
4,1
1,2 1.
=(
66,5
− x−,5()()
−x ,yydiferents
⇔ 4,1 equacions
=(
6 − x ,5de
− yla)
()
()()
()
)
a·
b C·−cos
a =5 3
a −·A=2=()
·C6,5
cos
5 3
Escriu
les
recta que passa pel punt
→
P(4, 1) i té com a vector director el vector v (2, 5).
3
3
→ Indica’n el pendent i l’abscissa i l’ordenada a l’origen.
a 5 ————— ——— 5 3
2 cos 60º
1
Vectorial: (x, y) (4, 1) k (2, 5)
2·—
2
2
→ → → x 4 2k
a·a 5 a 5 32 5 9
Paramètriques:
y 1 5k
→ 5
5. Els punts A(1, 2), B(5, 3) i C(6, 5) són tres vèrtexs consecutius d’un paral·lelogram. Troba les coordenades del quart
vèrtex D i les del punt d’intersecció de les diagonals.
→
→
x4
y1
Contínua: ——— ———
2
5
Els vectors AB i DC són equipol·lents.
General: 5x 2y 22 0
Anomenem D(x, y)
5
Explícita: y —x 11
2
Llavors
��� →
���
��� ���
AB
AB5= DC ⇔ BB −2 A
A =5 C
AB
C −=2 D
D DC
⇔⇔
5,3
(5,
B −−3)
A()
1,2
=2 (1,
C −= D()
2)
6,5
⇔5()
−5,3
x ,−y ()
1,2
⇔ =4,1
6,5= (
−6 ()()
−x ,x ,5
y −⇔y )
4,1
=(
6y − x ,5 − y )
x
()
()()
()
��� ���
Canònica: —— —— 1
1)=5 (6
55,3
2 y)
5 (6, 5) 2 (x,
y) ⇔ B(4,
AB = DC
−A
C − D2 x,
⇔ ()
− ()
1,2 = ()
6,5 − ()()
x , y ⇔ 4,1 = (
6 −22
x ,5 − y11
)
—
5
Tenim el sistema:
→
4 = 6 − x
1 = 5 − y
La solució és: x 5 2 i y 5 4.
5
m—
2
22
p ——
5
n 11
El punt buscat és D(2, 4).
El punt d’intersecció de les diagonals és el punt mig M dels
segments AC o BD:
M=
A + C (1, 2) + (6, 5) (7, 7 7 7
=
=
= ,
2 2
2
2
2
6Els vèrtexs d’un triangle estan situats en els punts A(1, 2),
B(3, 4) i C(7, 4).
a) Demostra que el triangle és rectangle en el vèrtex A.
AB = (2, 6) , AC = (6, −2)
AB ⋅ AC = 12 − 12 = 0 → AB ⊥ AC → Aˆ = 90º
b)Comprova que els costats del triangle verifiquen el teorema de Pitàgores.
AB = AB = 40 = 2 10 u
AC = AC = 40 = 2 10 u
BC = ( 4, − 8) → BC = BC = 80 = 4 5 u
Es verifica: BC = AB + AC → 80 = 40 + 40 → triangle rectangle isòsceles
2
2
2
c) Calcula l’àrea del triangle.
AB ⋅ AC 40
40
20 u2 20 u2
Àrea
2
2
2
2. Considera la recta d’equació vectorial:
(x, y) (3, 2) k (2, 1)
Determina quin és el valor de b per tal que el vector
→
v (3, b) sigui un vector director de la recta.
→
v (3, b)
→
u (2, 1)
6
→
→
vku →
3
b
3
→ —— —— → b —
2
1
2
x
y
3. Per a la recta d’equació —— — 1, escriu les equacions
4
2
general i explícita. Indica’n un vector director.
x
y
—— — 1 → x 2y 4 →
4
2
→ x 2y 4 0
1
x 4
2y x 4 → y ——— → y —x 2
2
2
1
→
m — → v (2, 1)
2
70
LA
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
4. El punt A(3, 1) és de la recta que passa pel punt P(2, 2) i
→
té com a vector director v (1, 3)? Justifica la resposta.
P(2, 2)
→
v (1, 3)
6
y 2
x 2 ——— →
3
→ 3x y 4 0
A (3, 1) → 33 1 4 9 1 4 12 0. No és de
la recta.
5. Quin és el pendent de la recta x 3? Per què?
No té pendent real, ja que és una recta vertical i, per tant,
m tg 90° .
6. Escriu l’equació canònica de la recta que té per equació explícita:
1
3
y — x ——
5
10
1
3
3
y —x —— → n ——
5
10
10
1
3
y 0 → —x —— 0 →
5
10
3
3
→ x — → p —
2
2
x
y
—— —— 1
3
3
—
—
2
10
y
2 x
7. Considera la recta d’equació: ——— —
3
2
Es demana: un vector director, el pendent i els punts de tall
amb els eixos de coordenades.
2 x
y
x 2
y
——— — → ——— — →
3
2
3
2
→
→ v (3, 2)
2
→ m —
3
x 2
y 0 → ——— 0 → x 2 →
3
→ P(2, 0) a l’eix OX
2
y
4
x 0 → — — → y — →
3
2
3
a l’eix OY
4
→ Q 0, —
3
8. Esbrina si el punt P(5, 1) pertany o no a cadascuna de les
rectes. Justifica les respostes.
a) (x, y) (1, 1) k(2, 1)
(x, y) (1, 1) k(2, 1) →
→ x 1 2k
5
y 1 k
5
5 1 2k → k 2
P(5, 1) → 1 1 k → k 2
Sí és de la recta.
x 3 2k
b)
y 1 k
5 3 2k → k 1
P(5, 1) → 11k → k0
5
5
No és de la recta.
c) x 2y 3 0
P(5, 1) → 5 2 3 4 0
No és de la recta.
x1
y1
d) ——— ———
4
2
51
——— 1
4
P(5, 1) → 11
——— 1
2
Sí és de la recta.
1
3
e) y —x —
2
2
1
3
5
3
P(5, 1) → — 5 — — — 1
2
2
2
2
Sí és de la recta.
5
x
y
f) — —— 1
3
3
—
2
5
1
5
2
7
P(5, 1) → — —— — — — 1
3
3
3
3
3
—
2
No és de la recta.
9. Escriu l’equació general de la recta que passa pels punts
P(4, 5) i Q(3, 2).
P(4, 5)
Q(3, 2)
→
6
v (7, 3)
P(4, 5)
→
→
→
→ PQ q p (7, 3) →
x4
y5
——— →
6 ———
7
3
→ 3x 7y 23 0
LA
MATEMÀTIQUES 1
10. Sense fer-ne la representació gràfica, esbrina si A(1, 2),
B(3, 3) i C(1, 1) estan alineats.
A(1, 2)
B(3, 3)
→
6
→
→
→
→
AB b a (2, 1) → v (2, 1)
v (2, 1)
→ A(1, 2)
6
x1
——— y 2 →
2
→ x 2y 3 0
C(1, 1) → 1 2 3 0
Estan alineats.
3
y mx n → y —x n
4
3
9
A(1, 3) → 3 — (1) n → n —
4
4
13. Comprova que els punts A(2, 3), B(2, 1) i C(5, 1) no
estan alineats. Troba les equacions de les rectes que determinen el triangle, els vèrtexs del qual són els punts A,
B i C.
→
→
→
AB b a (4, 2)
→
→
→
AC c a (3, 4)
3
9
y —x —
4
4
6
→
→
AB k AC
No estan alineats.
Costat AB:
→
→
A(2, 3)
AB (4, 2) → v (2, 1)
3
11. Determina l’equació de la recta de pendent m — que
4
passa pel punt A(1, 3). Tot seguit representa-la gràficament.
71
6
x2
——— y 3 → x 2y 4 0
2
Costat AC:
→
→
A (2, 3)
AC (3, 4) → u (3, 4)
6
x2
y3
——— ——— → 4x 3y 17 0
3
4
Costat BC:
→
→
→
→
BC c b (7, 2) → w (7, 2)
B (2, 1)
6
x2
y1
——— ——— → 2x 7y 3 0
7
2
14. Determina l’equació explícita de la recta que passa pels
punts P(0, 2) i Q(5, 1). Quin és el seu pendent?
→
→
→
PQ q p (5, 3)
3
→
v (5, 3) → m —
5
→ P(0, 2) → n 2
12. Troba l’equació de la recta que passa per l’origen i té un
angle d’inclinació ­ 45°. Dibuixa-la.
m tg tg 45° 1 → y x n
0(0, 0) → y x
6
3
y —x 2
5
15. Escriu l’equació canònica de la recta an­terior.
3
y —x 2 → n 2
5
3
10
y 0 → —x 2 0 → x — →
5
3
10
p—
3
x
y
—— — 1
10
2
—
3
6
LA
72
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
16. Troba la mesura dels angles del triangle que formen les rectes r: x y 7 0; s: 2x 3y 6 0 i t: y 0. Fes-ne
el dibuix corresponent.
→
v (2, 1)
M(0, 2)
6
x
y2
— ——— → x 2y 4 0
2
1
Mediana des de C.
9 3
N punt mitjà del segment BC → N —, —
2 2
A(3, 0)
→
15
3
NA ——, —
2
2
→
u (5, 1)
A(3, 0)
x y 7 0 → m 1 → tg 1 →
→ 135° → 45°
2
2
2x 3y 6 0 → m — → tg — →
3
3
→ 33,7°
180° ( ) 180° 78,7° 101,3°
17. Troba l’equació de la recta que passa pel punt de tall de les
rectes 3x 2y 8 0 i 5x 7y 3 0, i és paral.lela a
8x
y2
la recta ——— ——— .
5
7
3x 2y 8 0
5x 7y 3 0
→
v (5, 7)
P(2, 1)
6
x 2, y 1 → P(2, 1)
8x
y2
x8
y2
——— ——— → ——— ———
5
7
5
7
6
6
Mediana des de A.
x 2y 4 0
x 5y 3 0
6
x 2, y 1 → G(2, 1)
20. Classifica aquests parells de rectes en incidents, coincidents
o paral.leles. En cas que siguin incidents, troba’n el punt on
es tallen.
1
y2
a) y — x 3,
x 3 ———
22
1
y — x 3 → x 2y 6 0
2
→
y2
x 3 ——— → 2x y 8 0
2
22 20
→ Incidents; P ——, ——
3
3
6
2x 6y 6 0
x 3y 3 0
2x6y60 → x3y30
7x 5y 9 0
6
x3
——— y → x 5y 3 0
5
b) x 3y 3 0,
x2
y1
——— ———
5
7
6
→
→ Coincidents
18. Esbrina si les tres rectes 2x y 0, x y 3 0 i
5x 4y 3 0 es tallen o no en un mateix punt.
2x y 0
xy30
6
2x y 0
5x 4y 3 0
x 1, y 2 → P(1, 2)
6
x 1, y 2 → P(1, 2)
19. Troba el baricentre del triangle de vèrtexs A(3, 0), B(3, 4)
i C(6, 1).
→
MC (6, 3)
3x 3y 7 0
x y 3 0 → 3x 3y 9 0
→ Paral.leles
d) (x, y) (1, 2) k(2, 3),
3x 2y 6 0
Sí, es tallen en el punt P(1, 2).
M punt mitjà del segment AB → M (0, 2)
C (6, 1)
c) 3x 3y 7 0, x y 3 0
6
(x, y) (1, 2) k(2, 3) →
x1
y2
→ ——— ——— →
2
3
→ 3x 2y 7 0
3x 2y 6 0
6
Paral.leles
6
→
LA
MATEMÀTIQUES 1
21. Determina el punt d’intersecció de les rectes:
x
y
— — i (x, y) (1, 2) k(1, 1)
2
3
x
y
— — → 3x 2y 0
2
3
(x, y) (1, 2) k(1, 1) →
x 1
→ ——— y 2 → x y 3 0
1
6
9
x —, y —
5
5
6
d) La recta que passa per P i és paral.lela a r.
r: 3x 4y 12 0
Paral.lela → 3x 4y C 0
P(3, 1) → 9 4 C 0 → C 5
3x 4y 5 0
Determina també les coordenades del punt on es tallen les
rectes corresponents als apartats c) i d).
6
x y 3 0
17
4
x ——, y —
3x 4y 5 0
7
7
6 9
P —, —
5 5
17
23. Calcula els valors de q per tal que les rectes r i s siguin paralleles:
r: 3x 4y 12 0 i s: x y 1 0
r: qx 2y 4 0
Troba l’equació de:
s: x (q 3) y 7 0
a) La recta paral.lela a r que passi pel punt mitjà del segment PQ.
3
M, punt mitjà del segment PQ → M 2, —
2
r: 3x 4y 12 0
Paral.lela → 3x 4y C 0
3
M 2, — → 6 6 C 0 → C 0
2
3x 4y 0
b) La recta que passa pel punt d’intersecció de r i s i té pendent m 2.
3x 4y 12 0
xy10
6
8
15
x —, y ——;
7
7
8
15
A —, ——
7
7
m 2 → y 2x n
8
15
15
16
A —, —— → —— —— n →
7
7
7
7
31
→ n ——
7
31
y 2x —— → 14x 7y 31 0
7
c) La recta que passa per Q i és paral.lela a s.
s: x y 1 0
Paral.lela → x y C 0
Q(1, 2) → 1 2 C 0 → C 3
x y 3 0
4
——7 , —7
B
22. Considera els punts P(3, 1) i Q(1, 2) i les rectes
73
2
q ———
q3
q2 3q 2 0 → q1 1, q2 2
24. Comprova que els punts A(1, 2), B(1, 0) i C(3, 4) són els
vèrtexs d’un triangle rectangle. En quin dels tres punts està
el vèrtex corresponent a l’angle recte? Justifica la resposta.
→
→
→
→
→
AB b a (2, 2)
→
AC c a (2, 6)
→
6
→
AB ⋅ AC 4 12 8 0 → A 90°
→
→
BA AB (2, 2)
→
→
→
BC c b (4, 4)
→
6
→
BA ⋅ BC 8 8 0 → B 90°
25. Determina l’equació de la recta perpendicular a la recta
3
y — x 6 i que passa pel punt on es tallen les rectes
4
x y 9 0 i x 2y 3 0.
xy90
x 2y 3 0
6
x 7, y 2 →
→ P(7, 2)
3
y —x 6
4
4
Perpendicular: y —x n
3
4
P(7, 2) → 2 — (7) n →
3
LA
74
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
34
→ n ——
3
4
34
y —x —— → 4x 3y 34 0
3
3
26. Classifica els següents parells de rectes incidents segons
siguin o no perpendiculars. Justifica’n les respostes.
28. Determina les coordenades del circumcentre i de l’ortocentre
del triangle de vèrtexs A(2, 5), B(1, 1) i C(3, 2). El circumcentre és el punt on es tallen les mediatrius del triangle.
L’ortocentre és el punt on es tallen les rectes que determinen les altures del triangle.
3
M, punt mitjà del segment AB → M —, 3
2
→
6
→
→
→ u ⋅ v 25 9 16 0
No són perpendiculars.
1
y1
b) y —x 4
x 2 ———
7
7
y1
x2
x 2 ——— → ———
7
1
y 1
→
——— → v (1, 7)
7
→
6
6
27
x 4y —— 0 → 2x 8y 27 0
2
Mediatriu AB.
3
N, punt mitjà del segment BC → N 2, —
2
→
→
→ u (2, 5)
(x, y) k(5, 2) → v (5, 2)
3
3
11
N 2, — → 4 — C 0 → C ——
2
2
2
6
11
2x y —— 0 → 4x 2y 11 0
2
2x 8y 27 0
17
43
x ——, y ——
14
4x 2y 11 0 14
6
17 43
Circumcentre: ——, ——
14 14
Són perpendiculars.
9x 3y 13 0
→
x 3y 8 0 → u (3, 1)
→
9x 3y 13 0 → v (1, 3)
6
Paral.lela: 2x 8y C 0
C(3, 2) → 6 16 C 0 → C 22
2x 8y 22 0 → x 4y 11 0
→
Alçada desde C.
→
4x 2y 11 0
→ u ⋅ v 3 3 0
Paral.lela: 4x 2y C 0
Són perpendiculars.
27. Determina l’equació de la mediatriu del segment d’extrems
els punts A(2, 3) i B(6, 1). Recorda que la mediatriu
d’un segment és la recta perpendicular pel punt mitjà.
M, punt mitjà del segment AB → M(2, 1)
→
→
→
2x 8y 27 0
→
u ⋅ v 10 10 0
→
→
→ 2x y C 0
(x, y) k(5, 2)
d) x 3y 8 0
→
Mediatriu BC.
→
→
BC c b (2, 1) → n2 (2, 1) →
No són perpendiculars.
x 7 2h
y 1 5h
→
5
3
3
27
M —, 3 → — 12 C 0 → C ——
2
2
2
→
u ⋅ v 7 7 14 0
x 7 2h
c)
y 1 5h
→
→ x 4y C 0
→
→
1
1
y —x 4 → m — →
7
7
→
→ u (7, 1)
→
AB b a (1, 4) → n1 (1, 4) →
a) 3x 5y 3 0 3x 5y 7 0
3x 5y 3 0 → u (5, 3)
→
3x 5y 7 0 → v (5, 3)
→
→
AB b a (8, 4) → n (2, 1) →
→ 2x y C 0
M(2, 1) → 4 1 C 0 → C 3
2x y 3 0
A(2, 5) → 8 10 C 0 → C 18
4x 2y 18 0 → 2x y 9 0
Alçada desde A.
x 4y 11 0
25
13
x ——, y ——
4x 2y 18 0 7
7
6
25 13
Ortocentre: ——, ——
7
7
LA
MATEMÀTIQUES 1
29. Donat el punt P(3, 4):
a) Determina la projecció ortogonal de P sobre la recta
r: 4x y 1.
r: 4x y 1 0
s r → s: x 4y C 0
6
→
→
2 2m2 → 2m2 8m 2 0
6
A(2, 4)
B(3, 1)
30. Dedueix els valors de q perquè les rectes r i s siguin perpendiculars:
r: qx y 2 0
s: (q 2) x (2q 1) y 0
→
s: (q 2) x (2q 1) y 0 →
→
→ v (2q 1, q 2)
→
→
u • v 0 → 2q 1 q 2q 0 →
r: x y 4 0
→
6
u • v
14
5
————— ——— →
cos ————
→
→
u v
√2 √17
√34
5
→ arc cos ——— 30,96°
√34
15 10
AB • AC
—————
cos A ——————
→
→
√50 √13
AB AC
5
1
————— ——— →
5 √2√13
√26
1
→ A arc cos ——— 78,7°
√26
→
s: y 4x 2
→
→
→
→
→
→
→
→
B(3, 1)
C(1, 6)
31. Calcula l’angle que formen les rectes:
→
BA AB (5, 5)
→ q 1 0 → q1 1, q2 1
2
→
6
→
AB b a (5, 5)
6 AC c a (3, 2)
2
r: x y 4 0 → u (1, 1)
→
s: y 4x 2 → m 4 → v (1, 4)
1
y — (2 √3)(x 2)
2
A(2, 4)
C(1, 6)
6
r: qx y 2 0 → u (1, q)
6
6
1
y — (2 √3)(x 2)
2
33. Quant mesuren els angles del triangle de vèrtexs els punts
A(2, 4), B(3, 1) i C(1, 6)?
69 38
S ——, ——
17 17
m2 2 √3
1
P 2, —
2
6
4y
53
38
——— —— → y ——
2
17
17
m2 4m 1 0 → m 2 √3
m1 2 √3
1
P 2, —
2
3 x
9
69
——— —— → x ——
2
17
17
6
1
1 m
u • v
———— cos 60° → ——————— —
→
→
1
√2 √1 m2
u v
b) Troba les coordenades del punt simètric de P respecte de
la recta r.
P(3, 4)
9 53
P ——, ——
17 17
S(x, y)
1 2m m2
1
——————— — → 4 8m 4m2
4
2 (1 m2)
9 53
→ P ——, ——
17 17
→
x 4y 13 0
9
53
x ——, y —— →
4x y 1 0
17
17
1
32. Considera la recta r: x y 4 0 i el punt P 2, — .
2
Troba l’equació de les rectes que passen per P i formen un
angle de 60° amb la recta r.
r: x y 4 0 → u (1, 1)
→
v (1, m)
P(3, 4) → 3 16 C 0 → C 13
75
6 BC (2, 7)
→
→
→
10 35
BA • BC
—————
cos B ——————
→
→
√50√53
BA BC
45
9
————— ——— →
5 √2√53
√106
9
→ B arc cos ——— 29°
√106
C 180° ( A B) 180° 107,7° 72,3°
76
LA
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
34. Determina les equacions de les rectes que formen un angle de
30° amb la recta 5x 2y 3 0 i passen pel punt P(x, 6),
on P és un punt de la recta donada. Troba l’angle que formen
aquestes rectes.
P(x, 6) → 5x 2y 3 0
P(x, 6) → 5x 12 3 0 → x 3 →
→ P(3, 6)
→
5x 2y 3 0 → u (2, 5)
→
v (1, m)
→ →
u•v
2 5m
√3
———
cos 30° → ———————
——
→
→
2
2
uv
√29 √1 m
3
4 20m 25m2
————————— — →
29 (1 m2)
4
2
→ 16 80m 100m 87 87m2
13m2 80m 71 0 →
40 29 √3
→ m ———————
13
40 29 √3
m1 ———————
13
P(3, 6)
40 29 √3
y 6 ——————— (x 3)
13
40 29 √3
m2 ———————
13
P(3, 6)
40 29 √3
y 6 ——————— (x 3)
13
6
6
6
35. Donades les rectes
y
x3
r: x 2 — i s: y 3 ———,
3
2
determina l’angle que formen.
y
→
r: x 2 — → u (1, 3)
3
x3
x3
y3
s: y 3 ——— → ——— ——— →
2
2
1
→
→ v (2, 1)
→
s r → s: 3x y C 0
O (0, 0) → C 0 →
→ s: 3x y 0
r: x 3y 7 0
6
a) r: x 3y 7 0
O (0, 0)
6
7
7 √10
7
d(0, r) ———— ——— ———— u
10
√1 9
√10
→
d(O, r) d(O, O) OO
√
49
441
—— ——
100
100
√
490
7 √10
—— ———— u
100
10
37. Troba la distància entre les rectes:
2x 3y 5 0 i 4x 6y 3 0
r: 2x 3y 5 0
s: 4x 6y 3 0
6
r i s són paralel.les
P(2, 3) és un punt de r, aleshores:
8 18 3
d(r, s) d(P, s) ———————
√16 36
7
7
7 √13
——— ———— ———— u
2 √13
26
√52
38. Els punts de la mediatriu d’un segment equidisten dels seus
extrems. Tenint en compte aquesta propietat, determina
l’equació de la mediatriu del segment d’extrems A(2, 5)
i B(4, 7).
B(4, 7)
X(x, y)
6
6
→
→
→
AX x a (x 2, y 5)
→
→
→
BX x b (x 4, y 7)
→
→
2
2
AX BX → √(x 2) (y 5)
2
2
√(x 4) (y 7)
x2 4x 4 y2 10y 25
→
36. Calcula de dues maneres diferents la dis­tància de l’origen de
coordenades a la recta x 3y 7 0.
7
21
x ——, y ——
10
10
6
7
21
O ——, —— és el projectat de O sobre r.
10
10
7
21
→
OO ——, ——
10
10
A(2, 5)
X(x, y)
1
2 3
u•v
cos ———
————— ——— →
→
→
√10 √5
5 √2
uv
1
→ arc cos ——— 81,87°
5 √2
b) r: x 3y 7 0
x2 8x 16 y2 14y 49
12x 24y 36 0 → x 2y 3 0
39. Determina les equacions de les bisectrius dels angles que
formen les rectes r: x 2y 5 0 i s: 2x y 3 0.
Comprova que són perpendiculars.
r: x 2y 5 0
s: 2x y 3 0
6
x 2y 5
2x y 3
—————— ——————
√5
√5
MATEMÀTIQUES 1
x 2y 5 2x y 3 →
→
→ x y 8 0 → u (1, 1)
x 2y 5 2x y 3 →
→
→ 3x 3y 2 0 → v (3, 3)
→
LA
77
41. L’incentre d’un triangle és el punt on es tallen les bisectrius
dels angles interiors del triangle. Troba les coordenades de
l’incentre del triangle determinat per les rectes:
6
r: 3x 4y 5 0, s: 3x 4y 7 0 i t: 4x 3y 6 0.
→
u•v330
40. Demostra que les dues bisectrius dels angles que formen
dues rectes que es tallen són perpendiculars.
Ax By C
Ax By C
——————— ————————
B2
B2
√ A2 √ A2 A√ A2 B2 x B √ A2 B2 y
B2
C √ A2 B2 x B√ A2 B2 y
A√ A2 B2
C√ A2 (A√ A2 B2 A√ A2 B2) x
B2 B√ A2 B2) y
(B √ A2 B C√ A B 0
C √ A 2
2
2
2
→
u (B √ A2 B2 B√ A2 B2,
r: 3x 4y 5 0
t: 4x 3y 6 0
3x 4y 5
4x 3y 6
——————— ———————
5
5
3x 4y 5 4x 3y 6
x 7y 1 0 → m 0 → no
B2 A√ A2 B2)
A√ A2 2
B2 x B√ A B2 y
A√ A2 3x 4y 5 4x 3y 6
7x y 11 0 → m 0
B2
C √ A2 B2 x B√ A2 B2 y
A√ A2 B
C√ A 2
2
s: 3x 4y 7 0
t: 4x 3y 6 0
(A√ A2 B2 A√ A2 B2)x
B2 B√ A2 B2)y
(B√ A2 3x 4y 7 4x 3y 6
x y 13 0 → m 0 → no
→
v (B √ A2 B2 B√ A2 B2,
3x 4y 7 4x 3y 6
7x 7y 1 0 → m 0
B2 A√ A2 B2)
A√ A2 →
→
B2 B√ A2 B2 )
(B√ A2 7x y 11 0
7x 7y 1 0
B2 A√ A2 B2 )
(A√ A2 B2 A√ A2 B2 )
(A√ A2 B2)2 (B√ A2 B2 )2
(B√A2 B2)2 (A√ A2 B2 )2
(A√ A2 B2(A2 B2) B2(A2 B2)
A2(A2 B2) A2(A2 B2)
6
3x 4y 7
4x 3y 6
———————— ———————
5
5
B2 C√ A2 B2 0
C√ A2 u • v (B √ A2 B2 B√ A2 B2 )
6
6
19
3
x ——, y —
14
2
19
3
Incentre: ——, —
14
2
42. Donades dues rectes de pendents m 2 i m 3, calcula
els pendents de les dues rectes bisectrius dels angles que
determinen.
B2 A2 B2 B2 B2 A2
m 2 → y 2x n → 2x y n 0
B2 B2 A2 A2 A2 B2
m 3 → y 3x n →
→ 3x y n 0
A A A B 0
2
2
2
2
6
78
LA
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
d) Les coordenades de l’incentre.
2x y n
3x y n
—————— —————— →
√5
√10
3x y n
→ 2x y n ——————
√2
El sistema que resulta de considerar dues qualssevol de les bisectrius del triangle té per solució x y 1. Incentre I (1, 1).
e)La distància de l’incentre a cadascun dels costats del
triangle.
b1: 2 √ 2 x √ 2 y √ 2 n 3x y n
La distància és d 1 u.
b1: (3 2√ 2)x (1 √ 2)y √ 2 n n 0
2 √ 2 3
(2 √ 2 3) (1 √ 2)
m1 ————— ——————————
12
1 √ 2
Activitats finals
1. Donada la recta d’equació 4x + 5y + 20 = 0, indica’n:
5 √2 7
————— 7 5 √ 2
1
a) El pendent i un vector director.
�
m − A − 4 , v (5,–4 )
B
5
b2: 2 √ 2 x √ 2 y √ 2 n 3x y n
b) Les equacions explícita i canònica.
4
4x + 5y + 20 0 → y x 5 equació explícita
5
4x + 5y + 20 0 → x 0, y 4 q i y 0, x 5
x
y
p→
+
1 equació canònica.
−5 −4
b2: (3 2√ 2)x (1 √ 2)y √ 2 n n 0
(3 2 √ 2) (√ 2 1)
3 2 √ 2
m2 ————— ——————————
21
√ 2 1
7 5 √2
43.Donades les rectes x = 0, y = 0 i 3x + 4y − 12 = 0, determina:
a)Les coordenades dels vèrtexs del triangle que determinen.
Fent la intersecció de les rectes que determinen els costats del
triangle, en trobem els vèrtexs: O(0, 0), P(4, 0) i Q(0, 3). Es
tracta d’un triangle rectangle.
b) L’àrea d’aquest triangle.
A = 4 ⋅ 3 = 6 u2
2
c)Les equacions de les bisectrius dels angles del triangle.
Bisectriu de l’angle amb vèrtex en O: x y = 0
Bisectriu de l’angle amb vèrtex en P:
3 x + 4 y − 12
−y → x +3y − 4 0
5
Bisectriu de l’angle amb vèrtex en Q:
3 x + 4 y − 12
−x → 2x + y − 3 0
5
c)Una equació vectorial, una de paramètrica i una de canònica.
Per exemple, si prenem P(0, 4) i v = (5, 4):
x
y+4
equa(x, y) = (0, 4) + k(5, 4) equació vectorial
5
−4
ció contínua
2
2.El punt P(t, −5) pertany a la recta de pendent m = − que
3
passa pel punt Q(4, −2). Calcula el valor de t.
Equació de la recta donada:
2
y + 2 − ( x − 4) → 2 x + 3 y − 2 0
3
El punt P(t, 5) pertany a aquesta recta: 2t 15 2
17
0→t
2
3.La recta d’equació x + 2y − 1 = 0 dista 2 unitats de la recta y
1
x − n. Calcula el valor de n.
2
Considerem un punt qualsevol de la primera recta, per exemple
P(1, 0), i imposem la condició que la distància d’aquest punt a
la segona recta és √5:
d=
1 + 2n
√5
√5 → 1 + 2n = 5 → n = 2, n = 3
4.Troba l’equació de la recta que conté el punt P(1, −6) i és
x y
paral·lela a la recta + 1.
2 5
x y
+ 1 → 5 x + 2 y − 10 0
2 5
L’equació d’una recta paral·lela a la recta que ens donen és de la
forma 5x + 2y + C 0. Imposem la condició que passi pel punt
P(1, 6):
5 12 + C = 0 → C 7
La recta que ens demanen és: 5x + 2y + 7 = 0
LA
MATEMÀTIQUES 1
5.Les rectes 2x + 3y − 5 0 i Ax + By − 4 0 són perpendiculars. Calcula el valor de A i de B sabent que la segona recta
passa pel punt P(2, 1).
79
9. C alcula l’àrea del triangle de vèrtexs els punts A(1, 1), B(3, 4)
i C(5, 2).
Les dues rectes són perpendiculars: 2A + 3B 0
La segona recta passa per P(2, 1): 2A + B 4
Resolem el sistema format per aquestes dues equacions: A 3,
B 2
6.Determina l’equació de la recta que passa pel punt (3, 2) i
25 2
u.
forma amb els eixos de coordenades un triangle d’àrea
12
Considerem l’equació de la recta en la seva forma canònica. Es
3 2
verifica: + 1 i, simultàniament, pq = 25.
p q
2
2
El sistema format per aquestes dues equacions té dues solucions:
x y
p1 q 1 5 → + 1 → x + y − 5 0
5 5
15
10
→ 4x + 9y 30 0
p 2 , q2
2
3
→
→
→
AC c a (4, 3)
→
b AC √162 9 √25 5 u
→
v (4, 3)
A(1, 1)
6
x1
y1
——— ——— → r: 3x 4y 7 0
4
3
7.Considera les rectes r: recta de pendent −2 que passa pel
punt (1, −4), i s: recta que conté el punt (−2, 3) i forma un
angle de 45° amb el sentit positiu de l’eix de les abscisses.
Escriu l’equació de les rectes r i s i calcula l’angle que formen.
9 16 7
18
h d(B, r) —————— —— u
5
√25
Recta r: y + 4 = 2(x 1) → 2x + y + 2 = 0
1
1
18
S — b h — 5 —— 9 u2
2
2
5
Recta s: m = tg 45º = 1; y 3 = x + 2 → x y + 5 = 0
Vectors directors: v = (1, 2) i v = (1, 1)
cos α
v • v
1–2
vr vs
√5√2
√10 → α = 71,6º
10
8.Donada la recta r d’equació 3x − 2y + 7 = 0 i el punt P(2, 0),
determina:
a)L’equació de la recta r’ que passa per P i és perpendicular
a r.
3
2
2
mr → mr' − ; y − ( x − 2) → 2 x + 3 y − 4 0
2
3
3
10. Determina el valor de k per tal que les rectes: r: kx (k 1)
y 2 0 i s: 3kx (3k 1) y 5 0 siguin:
a) Paral.leles.
k
k1
—— —————
3k
3k 1
3k2 k 3k2 3k
6k2 2k 0 → 2k (3k 1) 0 →
1
→ k1 0, k2 —
3
b)El punt d’intersecció de les rectes r i r’.
Resolent el sistema format per les equacions 3x − 2y + 7 0
i 2x + 3y 4 0 s’obté la solució x 1, y 2. Les rectes
r i r’ es tallen en el punt P’(1, 2).
c) El punt simètric de P respecte de r.
P’ és el punt mitjà del segment que determinen el punt P i el
punt P’’(x, y) les coordenades del qual hem de determinar.
Per tant:
2+ x
y
→ x −4; 2 → y 4
−1
2
2
El punt simètric de P respecte de r és P’’(4, 4).
b) Perpendiculars.
→
u (1 k, k)
→
v (3k 1, 3k)
→
6
→
u•v 0 → (1 k) (3k 1) k3k 0
3k2 2k 1 3k2 0 →
1
→ 2k 1 0 → k —
2
LA
80
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
11. Determina l’equació de la recta que passa pel punt P(2, 4),
tal que la seva perpendicular per l’origen de coordenades
forma un angle de 45° amb l’eix d’abscisses.
c) La distància de C a cada vèrtex és la mateixa.
→
→
CO (1, 3), d (C, O) CO
√1
9 √ 10 u
→
→
CP (3, 1), d (C, P) CP
√9
1 √ 10 u
→
→
CQ (1, 3), d (C, Q) CQ
√1
9 √ 10 u
45° → m tg tg 45° 1
O (0, 0)
6
yx
r: x y 0
s r, s: x y C 0
P (2, 4) → 2 4 C 0 → C 6
xy60
12. Els punts O(0, 0), P(4, 2) i Q(2, 6) són els vèrtexs d’un
triangle. Troba el baricentre (B), el circumcentre (C) i
l’ortocentre (A).
→
6
PO (4, 2)
→
PQ (2, 4)
→
13. Escriu l’equació de la recta perpendicular a x 3y 1 0
que es troba a distància 3 del punt P(1, 1).
→
PO • PQ 8 8 0 →
→ P 90°
És un triangle rectangle en P.
42 26
8
Baricentre: B ———, ——— → B 2, —
3
3
3
Circumcentre: punt mitjà del segment OQ → C(1, 3)
Ortocentre: vèrtex P → A(4, 2)
r: x 3y 1 0
Comprova que:
s r, s: 3x y C 0
a) B, C i A estan alineats.
→
2
AB 2, —
3
→
AC (3, 1)
Són linealment dependents, per tant els punts A, B i C estan
alineats.
→
4C
→ ———— 3
√ 10
b) AB 2BC .
→
→
1
BC 1, — → 2 BC
3
1
2
2 1, — 2, —
3
3
6
C1 3 √ 10 4
C2 3 √ 10
4
s1 3x y 3 √10 4 0
→
→
2
AB 2, —
3
3 1 C
d(P, s) 3 → —————— 3 →
√ 10
s2 3x y 3 √ 10 4 0
→
→
AB 2 BC
14. Els punts A(0, 2) i B(4, 0) són dos vèrtexs d’un triangle rectangle isòsceles d’hipotenusa AB. Calcula les coordenades
del tercer vèrtex C i l’àrea del triangle.
A(0, 2), B(4, 0), C(x, y)
→
CA (x, 2 y)
→
CB (4 x, y)
LA
MATEMÀTIQUES 1
→
→
CA CB →
→
→
r: 2x y 3 0 → u (1, 2)
→
2
(2 y)2 √(4 x)2 (y)2
√ (x)
v (1, m)
→
x2 4 4y y2 16 8x x2 y2 →
→ 8x 4y 12 0 → 2x y 3 0
→
→
CA • CB 0 → x (4 x) (2 y)(y) 0
→ x y 4x 2y 0
2x y 3 0
x2 y2 4x 2y 0
Dues solucions:
x1 3, y1 3 → C1(3, 3)
6
P(3, 3)
8 5 √ 3
m1 ——————
11
→
CA (3, 1) →
→
→ CA √ 9
1 √ 10 u
→
→
CB CA √ 10 u
1 → →
1
S — CA CB —
2
2
√ 10 √ 10 5 u2
1 4m 4m2
1
———————— — →
2
5 (1 m )
4
8 5 √ 3
11m2 16m 1 0 → m ——————
11
x2 1, y2 1 → C2(1, 1)
C(3, 3)
A(0, 2)
→
→ 4 16m 16m2 5 5m2
2
6
6
1
u•v
1 2 m
———
cos 60° → ——————— —
→
→
uv
m2
2
√ 5 √1
4x x2 2y y2 0 →
2
81
6
8 5 √ 3
y 3 —————— (x 3)
11
P(3, 3)
8 5 √ 3
m2 ——————
11
6
8 5 √ 3
y 3 —————— (x 3)
11
16. Troba l’incentre del triangle determinat per les rectes
2x 3y 8 0, 3x 2y 25 0 i 2x 3y 4 0. Comprova que l’incentre equidista dels tres costats del triangle.
15. Determina les equacions de les rectes que tallen la recta
2x y 3 0 en el punt d’abscissa x 3 i formen amb
ella un angle de 60°.
x3 → 6y30 → y3
P(3, 3)
s: 3x 2y 25 0
t: 2x 3y 4 0
6
3x 2y 25
2x 3y 4
——————— ———————
√ 13
√13
3x 2y 25 2x 3y 4
x y 29 0 →
→ m 0 → no
82
LA
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
→
→
→
AC c a (3, 1)
3x 2y 25 2x 3y 4
→
5x 5y 21 0 m 0
b AC √9
1 √ 10 u
r: 2x 3y 8 0
s: 3x 2y 25 0 6
11
2 9 4
h d(B, s) ——————— —— u
√ 10
√ 10
1
1
11
11
S — bh — √ 10—— —— u2
2
2
2
√ 10
2x 3y 8
3x 2y 25
——————— ———————
√ 13
√ 13
2x 3y 8 3x 2y 25
x 5y 17 0
m 0 → no
2x 3y 8 3x 2y 25
5x y 33 0
m0
6
5x 5y 21 0 31
x ——, y 2
5x y 33 0 5
31
Incentre: I ——, 2
5
4 √ 13
52
52 √ 13
——— ——— ——— u
5 √ 13
513
5
4 √ 13
——— u
5
93
52
—— 4 25
——
5
5
d(I, s) ———————— ——
√ 13
√ 13
62
52
—— 6 8
——
5
5
d(I, r) ———————— ——
√ 13
√ 13
62
52
—— 6 4
——
5
5
d(I, t) ———————— ——
√ 13
√ 13
4 √ 13
——— u
5
17. Calcula l’àrea del triangle determinat per les rectes:
r: 4x y 5 0; s: x 3y 4 0 i t: 3x 2y 12 0.
r: 4x y 5 0
s: x 3y 4 0
6
r: 4x y 5 0
t: 3x 2y 12 0
x 1, y 1 → A(1, 1)
6
x 2, y 3 →
→ B(2, 3)
s: x 3y 4 0
t: 3x 2y 12 0
6
x 4, y 0 →
→ C(4, 0)
18. Determina l’equació de les rectes paral.leles a la recta:
2x y 3 0 que es troben a distància 5 del punt P(1, 2).
r: 2x y 3 0
s paral.lela a r → s: 2x y C 0
2 2 C
d(P, s) 5 → ——————— 5 →
√5
→ C 5 √5 → C 5 √5
s1: 2x y 5 √5 0
s2: 2x y 5 √5 0
LA
MATEMÀTIQUES 1
19. El centre d’un quadrat és el punt C(0, 3) i el punt P(2, 6)
n’és un vèrtex. Troba els tres vèrtexs restants, el perímetre
i l’àrea del quadrat.
83
→
OA (3, 1)
6
C(1, 2)
B(x, y)
→
→
→
CB b c (x 1, y 2)
→
→
CB OA → (x 1, y 2) (3, 1)
x13 → x4
y21 → y3
6
B(4, 3)
→
b OA √ 9
1 √ 10 u
→
→
u OA (3, 1) x
— y → r: x 3y 0
O(0, 0)3
x2
P(2, 6)
——— 0 → x 2
2
C(0, 3)
6y
——— 3 → y 0
R(x, y) 2
6
→
→
6
5
1 6
h d(C, r) → ———— —— u
√ 10
√ 10
R(2, 0)
→
C(0, 3)
→
u (3, 2)
Q(x, y)
6
→
→
CQ u → (x, y 3) (3, 2)
x3
y 3 2 → y 1
21. Determina l’equació de les rectes que contenen les altures
del triangle de vèrtexs A(2, 1), B(0, 2) i C(4, 0).
6
A(2, 1)
B(0, 2)
6
→
→
→
AB b a (2, 1)
→
n1 (2, 1) → 2x y C 0
C(4, 0) → 8 C 0 → C 8
hc: 2x y 8 0
Q(3, 1)
3x
Q(3, 1) ——— 0 → x 3
2
C(0, 3) 1 y
S(x, y)
——— 3 → y 5
2
6
→
5
S bh √ 10—— 5 u2
√ 10
→
u PC → u (3, 2)
→
PC c p (2, 3)
→
6
→
6
B(0, 2)
C(4, 0)
S(3, 5)
→
PQ q p (1, 5) →
→
25 √ 26 u
→ PQ √ 1
→
p 4 PQ 4√ 26 u
→
S PQ 2 √262 26 u2
20. Un paral.lelogram OABC té els seus vèrtexs en els punts
O(0, 0), A(3, 1) i C(1, 2). Calcula les coordenades del vèrtex B
i l’àrea del paral.lelogram.
6
→
→
→
BC c b (4, 2)
→
n2 (2, 1) → 2x y C 0
A(2, 1) → 4 1 C 0 → C 5
hA: 2x y 5 0
A(2, 1)
C(4, 0)
6
→
→
→
AC c a (6, 1)
→
n3 (6, 1) → 6x y C 0
B(0, 2) → 2 C 0 → C 2
hB: 6x y 2 0
84
LA
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
22. Dos dels vèrtexs oposats d’un rombe es troben situats en
els punts A(2, 4) i C(0, 2) i el vèrtex B és un punt de l’eix
d’abscisses. Determina les coordenades dels vèrtexs B i D i
calcula l’àrea del rombe.
M, punt mitjà del segment AC → M(1, 3)
→
→
→
→
AC c a (2, 2), n (1, 1)
xyC0
M(1, 3) → 1 3 C 0 → C 4
xy40
x 4, y 0 → B(4, 0)
y0
4x
B(4, 0)
——— 1 → x 2
2
M(1, 3) D(2, 6)
y
D(x, y)
—3 → y6
2
6
6
6
→
→
r: x y 4 0
y0
6
x 4, y 0 → A(4, 0)
r: x y 4 0
1
11
x —, y —— →
3
s: 2x y 3 0 3
6
1 11
→ B —, ——
3
3
s: 2x y 3 0
x0
6 x 0, y 3 → C(0, 3)
1 11
→
→
OB —, —— → u (1, 11)
3
3
O (0, 0)
6
→
AC c a → (2, 2)
→
4 √ 8 2 √ 2 u;
d AC √ 4 →
O(0, 0)
→
→
BD d b (6, 6)
→
36 √ 72 6 √ 2 u
d BD √ 36 1
1
S — dd — 2 √ 2 6 √ 2 12 u2
2
2
y
x —— → 11x y 0
11
→
→
→
→
AC c a (4, 3) → v (4, 3)
A(4, 0)
x4
y
——— — → 3x 4y 12 0
4
3
11x y 0
3x 4y 12 0
6
6
12
132
x ——, y —— →
47
47
12 132
→ D ——, ——
47
47
24. Calcula l’àrea del quadrilàter de vèrtexs els punts: A(3, 2);
B, simètric del punt A respecte de la recta x y; C, simètric
del punt B respecte de l’eix d’ordenades, i D, simètric de C
respecte de l’eix d’abscisses.
23. Troba el punt en què es tallen les diagonals del quadrilàter que està format pels eixos de coordenades i les rectes
x y 4 0 i 2x y 3 0.
A(3, 2) → B(2, 3) → C(2, 3) →
→ D(2, 3)
LA
MATEMÀTIQUES 1
→
→
→
→
→
→
AD d a (5, 5)
AB b a (1, 1)
1 → →
1
S1 — AD AB — √50 √ 2 5 u2
2
2
→
→
→
→
→
→
CB b c (4, 0)
CD d c (0, 6)
√
6
441 + 11 025 √11 466
=
=
22
222
21√ 26
———— u
22
6
1
S — bh
2
1 → →
1
S2 — CB CD —46 12 u2
2
2
85
273
1
21 √ 26
— √ 26 ———— —— u2
2
22
22
S S1 S2 5 12 17 u2
25. Els vèrtexs corresponents al costat des­igual d’un triangle
isòsceles se situen en els punts A(1, 1) i B(4, 0). El tercer vèrtex C és un punt de la recta x 2y 8 0. Troba les
coordenades de C i calcula el perímetre i l’àrea del triangle.
A(1, 1)
B(4, 0)
6 →
AB (5, 1)
M, punt mitjà del segment AB, →
3
1
→ M —, —
2
2
→
n (5, 1) → 5x y C 0
3
1
15
1
M —, — → —— — C 0 → C 7
2
2
2
2
5x y 7 0
r: x 2y 8 0
26. Determina les bisectrius interiors dels angles del triangle de
vèrtexs A(4, 5), B(5, 7) i C(4, 7).
6
6
47
6
47
x ——, y —— → C ——, ——
11
11
11 11
17 58
→
→
AC c a ——, ——
11 11
→
→
AC
√—11 —11
17
58
2
2
√
289 3 364
√3 653
—————— ———— u
2
11
11
→
b AB √ 25
1 √ 26 u
→
→
h MC
2
2
√
→
→
6 2x 8 9y 45 → r: 2x 9y 53 0
→
21 105
→
→
MC c m ——, ——
22
22
→
AB b a (9, 2) →
y5
→ u (9, 2) x 4
——— ———
A(4, 5)
9
2
2 √3 653
√ 26 —————— u
11
6 →
→
p AB 2AC
A(4, 5)
B(5, 7)
21
105
—— ——
22
22
A(4, 5)
C(4, 7)
→
6 AC c a (0, 2) →
→
→
→
→ v (0, 1)
s: x 4 0
A(4, 5)
6 86
LA
B(5, 7)
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
6 →
→
→
C(4, 7) BC c b (9, 0) →
→
→ w (1, 0)
B(5, 7)
6 t: y 7 0
r: 2x 9y 53 0
s: x 4 0
2x 9y 53
——————— (x 4)
√ 85
2x 9y 53 √ 85 (x 4)
2x 9y 53 √ 85x 4 √ 85
(√ 85 2)x 9y 4 √ 85 53 0 →
→ m 0 → no
28. Determina les coordenades de l’ortocentre, el baricentre i el
circumcentre del triangle que té per vèrtexs els punts A(4, 2),
B(10, 6) i C(6, 1).
2x 9y 53 √ 85 (x 4)
2x 9y 53 √ 85x 4 √ 85
(√ 85 2)x 9y 4 √ 85 53 0
m0
r: 2x 9y 53 0
t: y 7 0
6 2x 9y 53
——————— (y 7)
√ 85
2x 9y 53 √ 85 (y 7)
2x 9y 53 √ 85y 7 √ 85
2x (9 √ 85)y 53 7 √ 85 0 m 0
s: x 4 0
t: y 7 0
6 x 4 (y 7)
x 4 y 7 → x y 11 0 →
A(4, 2)
B(10, 6)
6 AB b a (6, 4)
A(4, 2)
C(6, 1)
6 AC c a (2, 3)
→ x y 3 0 m 0
27. Dos dels vèrtexs d’un triangle rectangle són els punts B(5, 2)
i C(1, 5). Calcula l’ordenada de l’altre vèrtex A sabent que la
seva abscissa és x 3 i que A 90°.
A(3, y) → → →
AB b a (2, 2 y)
B(5, 2)
6 A(3, y)
C(1, 5)
→
→
→ →
→ 4 10 7y y2 0 →
→ y2 7y 6 0 → y1 1, y2 6
A1(3, 1), A2(3, 6)
→
6
→
4 10 6 2 6 1
Baricentre: ——————, ————— →
3
3
20 7
→ G ——, —
3
3
Circumcentre: punt mitjà del segment BC →
5
→ M 8, —
2
→
A 90° → AB •AC 0 →
→
→
Ortocentre: el vèrtex A(4, 2)
6 AC c a (2, 5 y)
→
→
→
AB • AC 12 12 0 → A 90°
→ m 0 no
x 4 y 7 →
→
29. Les equacions de les rectes que contenen dos dels costats
d’un paral.lelogram de centre el punt C(2, 2) són y 2x i
x 2y. Troba’n les coordenades dels quatre vèrtexs.
r: y 2x
s: x 2y
6 x 0, y 0 →
LA
MATEMÀTIQUES 1
x
→ O(0, 0) —— 2 → x 4
2
C(2, 2)
y
Q(x, y)
—— 2 → y 4
2
6 yx → xy0
6
Q(4, 4)
Perpendicular: x y C 0
C(0, 4) → 4 C 0 → C 4
xy40
xy40
x 2, y 2 → M(2, 2)
xy0
6 y 2x → 2x y 0
Paral.lela: 2x y C 0
Q(4, 4) → 8 4 C 0 → C 4
2x y 4 0
A(x, x)
M(2, 2)
6 →
→
x)2 (2 x)2 2
√(2 2 (4 4x x2) 4
4 4x x2 2
2x y 0
4
8
x —, y — →
3
3
x 2y 4 0 6 4
8
→ R —, —
3
3
x 2y 0
8
4
x —, y — →
3
3
2x y 4 0 6 8 4
→ P —, —
3 3
→
AM 2
Q (4, 4) → 4 8 C 0 → C 4
x 2y 4 0
→
AM m a (2 x, 2 x)
x 2y → x 2y 0
Paral.lela: x 2y C 0
87
x2 4x 2 0 → x 2 √ 2
A(2 √ 2, 2 √ 2), B(2 √ 2, 2 √ 2)
31. El catet AB d’un triangle rectangle en A es troba sobre la
recta 2x 5y 4 0 i el punt C(4, 2) és un vèrtex del
triangle. Calcula les coordenades del vèrtex A i la longitud
del catet AC.
r: 2x 5y 4 0
Perpendicular s: 5x 2y C 0
C(4, 2) → 20 4 C 0 → C 16
s: 5x 2y 16 0
5x 2y 16 0
2x 5y 4 0
88
12
88
12
x ——, y —— → A ——, ——
29
29
29
89
→
30. El costat desigual d’un triangle isòsceles mesura 4 i es troba so­
bre la recta d’equació y x. El vèrtex oposat és el punt C(0, 4).
Determina les coordenades dels vèrtexs A i B del triangle.
6 14
8 10 4
AC d(C, r) ——————— ——
29
√
√ 29 14 √ 29 ———— u
29
LA
88
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
32. Els punts A(1, 1), B(0, 1) i C(3, 2) són tres vèrtexs
consecutius d’un paral.lelogram. Determina’n el vèrtex D i
calcula’n el perímetre i l’àrea.
x −2 y −5
=
4
3
El punt C compleix aquesta equació:
22 − 2 d − 5
20 d − 5
60
=
→
=
→d =
+ 5 = 15 + 5 = 20
4
3
4
3
4
2.Determina l’equació general de cadascuna de les rectes següents:
a)La recta r de pendent m = −2 que conté el punt P(1, −4).
y + 4 −2 ( x − 1) → 2 x + y + 2 0
b) La recta s que passa pels punts A(4, −3) i B(1, 2).
v AB (−3, 5)
3
M, punt mitjà del segment AC, → M 1, —
2
x
B(0, 1) — 1 → x 2
2
3
M1, —
2
1 y
3
———— — → y 4
D(x, y)
2
2
6
6
x −4 y +3
→ 5 x + 3 y − 11 0
−3
5
c) La recta t l’equació canònica de la qual és
3x + 2y 6 0
x y
+ 1 .
2 3
d)La recta u que passa pel punt Q(−3, 5) i és paral·lela a la
recta 4x − 3y + 17 0.
4x 3y + C 0 → 4 · (3) 3 · 5 + C 0 → C 27 → 4x
3y + 27 0
D (2, 4)
→
→
→
AB b a (1, 2) →
→
→ AB √ 1 4 √5 u
→
→ →
AD d a (3, 3) →
→
→ AD √ 9 9 √18 3 √ 2 u
→
→
p 2 AB 2 AD (2 √ 5 6 √ 2) u
→
b AD 3 √ 2 u
→
AD (3, 3) → u (1, 1)
A(1, 1)
→
6
x 1 y 1 → r: x y 2 0
3 2 2 3
h d(C, r) —————— —— u
√2
√2
3
S bh 3 √ 2—— 9 u2
√2
Avaluació
1. Els punts A(2, 5), B(6, 8) i C(22, d) estan alineats. Calcula el
valor de d.
Primerament trobem la recta AB:
→ Un vector director és v B A (6,8) (2,5) (4,3).
L’equació contínua és:
3. Considera r la recta d’equació 3x 2 5y 1 2 5 0. Troba les
equacions de les rectes paral·lela i perpendicular a r que
passen pel punt (215, 4).
Recta paral·lela: és de la forma 3x 2 5y 1 C 5 0. Substituint
el punt:
3 · (−15)−5 (4) + C = 0 → −45 − 20 + C = 0 → = 65 .
L’equació de la recta paral·lela és 3x 2 5y 1 65 5 0.
Recta perpendicular: és de la forma 5x 1 3y 1 C 5 0. Substituint el punt:
5 · (−15) + 3 · 4 + C = 0 → −75 + 12 + C = 0 → C = 63.
L’equació de la recta perpendicular és 5x 1 3y 1 63 5 0.
4. Donades les rectes x22ay 5 1 i x13y 5 8 calcula el valor
de a perquè siguin:
a) Paral·leles.
La condició de paral·lelisme és:
A B
C
= ' ≠ '
'
A B
C
1 −2a −1
3
=
≠
→ 3 = −2a → a = − .
En el nostre cas:
1
3
2
−8
b) Perpendiculars.
La condició de perpendicularitat és:
A ⋅ A' + B ⋅ B' = 0
1
En el nostre cas: 1 ⋅ 1 − 2a ⋅ 3 = 0 → 1 − 6a = 0 → a = .
6
MATEMÀTIQUES 1
5.El punt P(2, q) dista 2 unitats de la recta 3x + 4y − 12 0.
a) Calcula q.
3 ⋅ 2 + 4q − 12
2 → 4q − 6 10 → 4q − 6 10
32 + 42
→ q 4, q2 −1
1
b)Troba l’àrea limitada per la recta i els eixos de coordenades.
Punts d’intersecció amb els eixos de coordenades: (0, 3) i
(4, 0).
4⋅3
6 u2
Àrea del triangle: A
2
LA
89
jUnitat 7. La circumferència
i altres llocs geomètrics
Activitats
1. Escriu l’equació de la circumferència de centre el punt
(2, 0) i radi 2. Dibuixa-la.
Hi apliquem la fórmula directament:
(x a)2 (y b)2 r2 → (x 2)2 y2 4
6. a) Representa gràficament les rectes 3x 2 y 2 1 5 0 i
x 1 3y 2 12 5 0.
Fem el gràfic. La recta 3x 2 y 2 1 5 0 talla els eixos en els
1
punts (0, –1) i ,0 . La recta x 1 3y 5 12 talla en els
3
punts (12, 0) i (0, 4).
2. Identifica el centre i el radi de la circumferència d’equació
(x 3)2 (y 1)2 4 i tot seguit representa-la gràficament.
Si comparem l’equació (x 3)2 (y 1)2 4 amb l’equació
general, tenim el següent:
a 3, b 1 i r 2, és a dir, la circumferència té centre (3, 1)
i radi 2.
b) Demostra que són perpendiculars.
Els vectors perpendiculars a la primera i segona rectes són (3, 21) i (1, 3). Fem el producte escalar i tenim
3 · 1 1 (21) · 3 5 0, i per tant són perpendiculars.
c) Calcula’n el punt d’intersecció.
La intersecció l’obtenim resolent el sistema:
3x − y = 1
x + 3 y = 12
3 7
que dóna com a resultat el punt , .
2 2
d) Determina l’àrea del triangle que limiten aquestes dues
rectes i l’eix d’ordenades.
El triangle ABC té base CB 5 4 2(21) 5 5 i altura sobre A de
longitud
3
(abscissa de A). Per tant la seva superfície és
2
1
3 15
S = ⋅5⋅ =
= 3,75 u2
2
2 4
3. L’equació d’una circumferència és x2 y2 16. Determina’n
el centre i el radi.
De la mateixa manera que en l’exercici anterior es dedueix: centre, (0, 0) i radi, 4.
4. Escriu l’equació de la circumferència de centre C(3, 1) i
radi r 4. Esbrina si el punt P(3, 4) pertany a aquesta
circumfe­rència.
Hi apliquem la fórmula:
(x 3)2 (y 1)2 16
Per saber si el punt P(3, 4) pertany a la circumferència cal substituir les coordenades del punt a l’equació:
(3 3)2 (4 1)2 36 9 45 16
El punt P no és de la circumferència.
90
LA
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
5. Determina l’equació de la circumferència que té per diàmetre el segment d’extrems els punts A(1, 4) i B(3, 0).
El centre C de la circumferència en qüestió és el punt mitjà del
1 3 4 0
diàmetre, és a dir, del segment AB → C ————–, ———– →
2
2
→ C(1, 2).
El radi de la circumferència és:
5
5
— 2a → a —; 3 2b →
3
6
3
5 3
→ b —— → C —, ——
2
6
2
5
3
9
5
—6 —
r 4— → r 6—
2
2
2
2
→
AC (2, 2) √8 r
8. Determina el centre i el radi de la circumferència:
Equació: (x 1)2 (y 2)2 8
(x 2)2 (y 3)2 9
6. Escriu l’equació de la circumferència de centre (1, 3) i que
passa per l’origen de coordenades.
C(1, 3). El radi és el mòdul del segment determinat per
l’origen de coordenades i el centre:
→
r OC (1, 3) √ 10 Troba si hi ha algun punt de la circumferència que tingui
abscissa 2.
De manera immediata: C(2, 3) i r 3.
Per trobar si hi ha algun punt de la circumferència d’abscissa 2
cal substituir x per 2:
(2 2)2 (y 3)2 9 → (y 3)2 7
Equació: (x 1)2 (y 3)2 10
7. Les equacions següents són de circumfe­rències. Troba’n el
centre i el radi.
9. Esbrina quines d’aquestes equacions no corresponen a una
circumferència. Raona la resposta.
En cada cas cal aplicar les fórmules
2a m, 2b n i a2 b2 r2 p,
per tal de trobar el centre C(a, b) i el radi r.
b) 3x2 2y2 5x 9y 2 0
8 2a → a 4;
No és una circumferència perquè els coe­ficients de x2 i y2 són
diferents.
6 2b → b 3 → C(4, 3)
42 32 r2 20 → r √ 5
c) x2 y2 3 0
És una circumferència de centre C(0, 0) i radi r √ 3.
b) x2 y2 4x 7y 0
4 2a → a 2;
a) x2 y2 8x 3xy 5 0
No és una circumferència perquè té el terme 3xy.
a) x2 y2 8x 6y 20 0
Aquesta equació no té solució real, per tant no hi ha cap punt
de la circumferència que tingui abscissa 2.
d) x2 y2 4x 8y 20 0
7
7
7 2b → b — → C 2, —
2
2
Podria ser l’equació d’una circumferència. Per estar-ne segurs, en calculem el centre i el radi:
√
r 0 → r ——
2
7
(2)2 —
2
2
2
65 4 2a → a 2;
8 2b → b 4 → C(2, 4)
(2)2 (4)2 r2 20 → r 0
c) x2 y2 6y 7 0
6 2b → b 3;
0 2a → a 0 → C(0, 3)
02 (3)2 r2 7 → r 4
27
d) 3x2 3y2 5x 9y —— 0
4
Cal dividir tota l’equació per 3:
5
9
x2 y2 —x 3y — 0
3
4
No és una circumferència.
4
8
e) x2 y2 —x —y 2 0
5
3
Hi apliquem les fórmules:
4
2
— 2a → a —;
5
5
8
4
2
4
— 2b → b — → C —, —
3
3
5
3
LA
MATEMÀTIQUES 1
2
—
5
4
—
3
2
14
r 2 → r ——
225
2
2
2
No hi ha radi, per tant aquesta equació no correspon a una
circumferència.
10. Escriu les equacions de les circumferències següents:
En cada cas aplicarem l’equació general:
(x a)2 (y b)2 r2
a) C(0, 2), r 2
5
6
El radi (centre, C)
√
1
4
y —x —
3
3
3
y—
2
91
—2 , —2 (centre)
1 3
25
——
2
Equació de la circumferència:
x —2 y —2 ——2
1
3
2
2
25
x2 (y 2)2 4
b) C(2 ,0), r 2
(x 2)2 y2 4
c) C(2, 2), r 4
Substituir cadascun dels punts a x2 y2 mx ny p 0.
(x 2) (y 2) 16
2
2
d) C(1, 1), r √2
(x 1)2 (y 1)2 2
11. Determina l’equació de la circumferència circumscrita al
triangle de vèrtexs A(2, 0), B(0, 4) i O(0, 0).
El circumcentre d’aquest triangle es pot trobar gairebé d’una
manera immediata. Recordes com fer-ho? Representa els
punts en uns eixos cartesians i ho veuràs.
Els tres punts determinen un triangle rectangle d’hipotenusa
AB. El circumcentre del trian­gle és el punt mitjà de AB.
13. Expressa en la forma x2 y2 mx ny p 0 l’equació
de la circumferència que passa pels punts (0, 3), (3, 0)
i (1, 1).
2 4
C —, — →
2 2
→
→ C(1, 2) i radi OC √5 r
Equació: (x 1)2 (y 2)2 5
9p
(0, 3) → 9 3n p 0 → n ———
3
9p
(3, 0) → 9 3m p 0 → m ———
3
(1, 1) → 1 1 m n p 0
9p
9p
2 ——— ——— p 0 →
3
3
24
→ p ———
5
7
Substituint: n m ——
5
7
7
24
Equació: x2 y2 —— x —— y —— 0
5
5
5
14. Dibuixa la circumferència de centre l’origen de coordenades
i tangent a la recta y 2. Escriu-ne també l’equació.
12. Una circumferència passa pels punts A(2, 1), B(2, 4)
i C(0, 2). Determina’n el centre i el radi i escriu-ne
l’equació.
Per determinar el circumcentre cal trobar la intersecció de dues
mediatrius.
3
Mediatriu del costat AB: y —
2
6
Mediatriu del costat BC: pendent de BC → m — 3; el
2
1
pendent de la perpendicular: m — i passa pel punt mitjà
3
de BC: (1, 1).
1
4
y —x —
3
3
Intersecció de les dues mediatrius:
El radi és 2 i l’equació, x2 y2 4.
15. La recta que passa pels punts A(1, 3) i B(3, 0) és tangent a una circumferència de centre C(3, 4). Troba l’equació
d’aquesta circumferència.
El radi de la circumferència és la distància del centre a la recta
tangent. Cal trobar primer l’equació d’aquesta recta. El pendent és
3
m ——
4
LA
92
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
i, per tant, l’equació de la recta tangent és:
3
9
y —x — → 3x 4y 9 0
4
4
El radi de la circumferència és la distància del centre (3, 4) a la
recta:
33 44 9 16
r ———————— ——
42
5
√ 32 Equació de la circumferència:
256
(x 3)2 (y 4)2 ——
25
16. Troba l’equació de la circumferència de centre (1, 1) i tangent a la recta y 2x 3.
3 √7
x1 ————
2
6 √36 8
→ x ———————
4
3 √7
x2 ————
2
Es pot afirmar que la recta és secant a la circumferència, ja que
té dos punts en comú:
√
√
√
√
———, ——— i ———, ———
2
2
2
2
3 7
3 7
3 7 3 7
19. Determina la posició relativa de les circumferències d’equacions:
x2 y2 12x 35 0 i
(x 3)2 y2 4
6 Com en l’exercici anterior. Equació de la recta tangent:
x2 y2 12x 35 0
x2 y2 6x 5 0
2x y 3 0.
Restem les dues equacions:
4
2(1) 1 3
r ———————— ——
2
12
√ 2 √5
6x 30 0 → x 5
Substituïm x 5 en una de les dues equacions:
25 y2 30 5 0 → y 0
Equació de la circumferència:
16
(x 1)2 (y 1)2 ——
5
1 9
17. Una circumferència de centre C —, — és tangent a la bi
2 4
sectriu del primer i tercer quadrants. Escriu l’equació de la
circumferència.
La bisectriu del primer i del tercer quadrants és la recta d’equació x y 0.
Les dues circumferències són tangents en el punt (5, 0). Cal
esbrinar, però, si són tangents exteriors o interiors:
Centres: (6, 0) i (3, 0)
Radis: 1 i 2
La distància entre els centres és la suma dels dos radis, és a dir,
1 2 3. Per tant, les circumferències són tangents exteriors.
20. Una circumferència amb centre en el punt (2, 3) és tangent a l’eix de les abscisses. Determina’n el radi i l’equació.
Ajuda’t d’un dibuix.
1
9
7
——
—
2
4
4
7
r —————— —— ———
2
2
1
4 √2
√ 1 √2
Equació de la circumferència:
1
x—
2
2
49
——
32
9
y—
4
2
18. Troba la posició relativa de la recta x y 0 i la circumferència x2 y2 4x 2y 1 0.
La posició relativa es determina resolent el sistema format per
les dues equacions, la de la recta i la de la circumferència:
5 x y 4x 2y 1 0
xy0
2
2
5 x x 4x 2x 1 0
xy
2
2
2x2 6x 1 0 →
El radi és la distància del centre a l’eix de les abscisses:
r3
Equació: (x 2) (y 3)2 9
2
21. Expressa, per mitjà d’una inequació, la condició per tal que
un punt P(x, y) sigui exterior a una circumferència de centre
(1, 0) i radi √ 3.
Els punts exteriors a una circumferència es troben a una distància del centre més gran que el radi. La inequació és:
(x 1)2 y2 3
MATEMÀTIQUES 1
22. Dibuixa la circumferència de centre l’origen de coordenades i radi 3. Sense fer cap càlcul localitza un punt interior,
un d’exterior i un de la circumferència. Hi pot haver algun
punt de la circumferència amb abscissa 4? Raona la resposta.
LA
93
25. Considera el feix de rectes que passen pel punt P(0, 2).
Troba les dues rectes del feix que són tangents a la circumferència de centre C(1, 1) i radi √ 2.
El feix de rectes que passa per P és
y mx 2
Resposta oberta.
Equació de la circumferència:
Per exemple:
(x 1)2 (y 1)2 2 →
→ x2 y2 2x 2y 0
Procedim com en l’exercici anterior:
x2 (mx 2)2 2x 2(mx 2) 0 →
→ 0 → m1 1, m2 7
Punt interior: (1, 1); punt exterior (4, 3); punt de la circumferència: (3, 0).
No hi pot haver cap punt d’abscissa 4, ja que tots els punts de
la circumferència verifiquen 3 x 3.
Les rectes són: y x 2 i y 7x 2.
26. Una circumferència té com a tangents els eixos de coordenades. En quina recta es troba el seu centre?
El centre es troba en una de les dues bisectrius d’equacions:
23. Escriu l’equació de la recta tangent a la circumferència C en
el punt P que pertany a aquesta circumferència en els casos
següents:
En cada cas cal trobar l’equació de la recta perpendicular al radi
en el punt de tangència. Cal recordar que mm 1.
a) x2 y2 2x 4y 3 0 i P(0, 1)
Centre: (1, 2); pendent CP → m 1; pendent perpendicular: 1; equació de la recta: y x 1.
b) x2 y2 2x 10y 13 0 i P(1, 2)
3
Centre: (1, 5); pendent CP → m —; pendent per
2
2
2
4
pendicular: —; equació de la recta: y —x —.
3
3
3
c) x2 y2 6 0 i P(√ 3, √ 3)
Centre: (0, 0). Pendent CP → m 1; pendent perpendicular: 1; equació de la recta: y x 2 √ 3.
24. Troba k per tal que la recta x y k 0 sigui tangent a la
circumferència x2 y2 2.
El sistema format per les dues equacions cal que tingui només
una solució; és a dir, el discriminant ha de ser igual a zero.
xyk0
x2 y2 2
6 y x k
x2 (x k)2 2 →
→ x2 x2 2kx k2 2 0
2x2 2kx k2 2 0
(2k)2 8(k2 2) 0 → k 2
Hi ha dues rectes tangents.
y x i y x
27. Calcula la potència del punt P(2, 3) respecte d’una circumferència de centre l’origen de coordenades i radi 4. Quina és la posició del punt respecte de la circumfe­rència?
La potència es calcula substituint les coordenades del punt en
l’equació de la circumferència, ja que correspon a l’expressió
p d2 r2.
Equació de la circumferència:
x2 y2 4 0
p 22 (3)2 4 9
El punt és exterior a la circumferència, ja que p 9 0.
28. Considera la circumferència tangent a la bisectriu del segon i quart quadrants i de centre el punt (0, 3) i la circumferència d’equació x2 y2 14x 8y 56 0.
Troba l’equació de l’eix radical de les dues circumferències.
Comprova que l’eix ra­dical és perpendicular a la recta que
determinen els centres de les dues circumferències. Fes-ne
un dibuix.
Cal trobar el radi de la circumferència que és tangent a la recta
y x 0:
Equació:
3
3
r —————— ——
2
2
1
√1 √2
9
(x 0)2 (y 3)2 — →
2
9
→ x2 y2 6y — 0
2
94
LA
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
L’equació de l’eix radical es troba igualant les dues equacions:
9
x2 y2 6y —
2
x2 y2 14x 8y 56 →
→ 28x 4y 103 0
1
La recta dels centres (0, 3) i (7, 4) té pendent ——, l’eix ra7
1
dical té pendent 7. Com que 7 — 1, les dues rectes
7
són perpendiculars.
29. Intenta trobar l’eix radical de dues circumferències concèntriques de centre el punt (1, 1) i de radis 3 i 4, respectivament. Què observes? Raona la resposta.
5
5
Focus: 0, —— ; directiu: y —
2
2
33. Determina l’equació de la paràbola que té el vèrtex a l’origen
de coordenades, l’eix és la recta y 0 i conté el punt
(1, 4).
La paràbola serà de la forma x2 ay si conté el punt (1, 4) →
1
1
→ 1 a(4) → a — → x2 —y.
4
4
34. Troba el valor del paràmetre p de la pa­ràbola d’equació
x2 2py, sabent que el punt P(4, 2) pertany a la paràbola.
Les dues circumferències tenen equacions:
(x 1) (y 1) 9 0 i
(x 1)2 (y 1)2 16 0
2
P(4, 2) → (4)2 2p2 → p 4
2
En igualar-les obtindríem 9 16. Com que no es verifica la
igualtat, no existeix l’eix radical.
30. Determina l’equació que verifiquen tots els punts P(x, y)
del pla que tenen po­tència 12 respecte de la circumferència
x2 y2 4x 2y 1 0. Quina figura determinen?
35. Representa gràficament aquestes paràboles i determina’n
els diferents elements:
a) y2 4x
F(1, 0)
d: x 1
Els punts P(x, y) cal que verifiquin:
x2 y2 4x 2y 1 12 →
→ x2 y2 4x 2y 11 0
Formen una circumferència concèntrica amb la donada i de radi 4.
31. Fes una construcció geomètrica de l’eix radical de dues circumferències tangents, exteriors i secants.
b) x2 6y
3
F 0, —
2
3
d: y —
2
L’eix radical és la recta perpendicular a la dels centres pel punt
de tan­gència. Si les circumfe­rències són secants, és la recta
determinada pels dos punts d’intersecció.
32. Determina el focus i la directriu de les pa­ràboles d’equa­
cions:
y2 6x i x2 10y
Cal determinar el paràmetre p per obtenir el focus i la directriu.
y2 6x → 2p 6 → p 3
3
3
Focus: F —, 0 ; directiu: x —
2
2
x2 10y → 2p 10 → p 5
c) y x2 4x
15
F 2, ——
4
17
d: y ——
4
LA
MATEMÀTIQUES 1
36. Escriu l’equació de les dues paràboles que verifiquen aquestes condicions: tenen el vèrtex a l’origen de coordenades,
els eixos coincideixen amb els eixos de coordenades i ambdues passen pel punt (4, 4). Representa gràficament
aquestes paràboles i indica’n el focus i la directriu.
16
27
—— —— 1 i
2
a
b2
a2 b2 (2 √ 7)2 b2 28
Resolem el sistema, amb incògnites a2 i b2.
La paràbola que té com a eix el d’abscisses té una equació del tipus y2 2px. Si passa pel punt (4, 4) tindrem:
16 8p → p 2.
Equació: y2 4x. Focus: (1, 0); directriu: x 1.
La paràbola que té com a eix el de les or­denades té una equació del tipus x2 2py. Si passa pel punt (4, 4) tindrem:
16 8p → p 2.
Les solucions són: b2 36 i a2 64
Equació: x 4y. Focus (0, 1); directriu: y 1.
2
37. Determina els semieixos, els vèrtexs, els focus i l’excentricitat de l’el.lipse d’equació:
x2
y2
——1
9
4
a2 b2 28
x2
y2
L’equació: —— —— 1
64
36
41. Escriu l’equació de la circumferència principal de l’el.lipse
de l’exercici anterior.
Equació: x2 y2 64
2
a 3 i b 2. Si tenim en compte que a2 b2 c2 → c √ 5.
Vèrtexs: (3, 0), (3, 0), (0, 2) i (0, 2)
Focus: (√ 5, 0) i (√ 5, 0)
c
√5
Excentricitat: e — ——
a
3
38. Escriu l’equació de l’el.lipse centrada a l’origen de coordenades, amb un focus en el punt (12, 0) i de semieix gran 13.
Si un focus és (12, 0) → c 12 i a 13. Per trobar b hi
apliquem:
132 b2 122 → b2 25
x2
y2
Equació: —— —— 1
169
25
42. Determina els paràmetres a, b i c i l’excentricitat de la hipèrbola que té l’equació següent:
Dividim l’equació 9x2 16y2 144 per 144 i la simplifiquem:
x2
y2
—— —— 1 → a 4 i b 3;
16
9
a2 b2 c2 → 16 9 c2 → c √ 7
√7
e ——
4
40. Troba l’equació de l’el.lipse de centre l’origen de coordenades sabent que un dels focus se situa en el punt (2 √ 7, 0) i
que pas­sa pel punt (4, 3 √3).
F(2 √ 7, 0) i F(–2 √ 7, 0), P(4, 3 √ 3). En ser P un punt de l’ellipse es verifica:
x2
y2
—— — 1
16
9
x2
y2
En l’equació —— —— 1,
16
9
a 4 i b 3;
c a b2 25 → c 5.
2
2
c
5
Excentricitat: e — —
a
4
43. Determina l’equació d’una hipèrbola equi­làtera un dels focus
de la qual se situa al punt (√2,
0). Calcula’n l’excentricitat.
En una hipèrbola equilàtera, a b i l’equació és: x2 y2 a2.
F(√2, 0) → c √ 2 →
→ c2 a2 b2 2a2 →
→ (√ 2)2 2a2 → a 1
39. Calcula els paràmetres a, b, c i e de l’el.lipse d’equació
9x2 16y2 144.
6
16
27
—— —— 1
2
a
b2
La circumferència principal té centre (0, 0) i r a 8.
x
y
Si identifiquem l’equació amb —— —— 1 obtenim:
2
b2
a
2
95
Equació: x2 y2 1
44. Troba els valors de a, b, c i e a la hipèrbola d’equació
2x2 3y2 12.
Dividim els termes de l’equació per 12 i simplifiquem:
x2
y2
2x2 3y2 12 → —— —— 1 →
6
4
→ a √6 i b 2
c2 a2 b2 6 4 10 →
√ 10 √5
→ c √ 10 i e —— ——
√6
√3
96
LA
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
45. El semieix real d’una hipèrbola és 3 i la semidistància focal, 10.
Escriu-ne l’equació reduïda.
b) Escriu l’equació de la circumferència de centre (1, 2)
i tangent a l’eix de les ordenades.
Les dades que ens dóna l’enunciat ens permeten deduir que
a 3 i c 10.
La circumferència de centre (1, 2) i tangent a l’eix dels
ordenades té radi r 1. L’equació és:
(x 1)2 (y 2)2 1 →
102 32 b2 → b2 91
→ x2 y2 2x 4y 4 0
x2
y2
Equació: —— —— 1
9
91
c) Troba l’eix radical de les dues circumferències que has
determinat en els apartats a) i b).
46. Demostra que l’excentricitat de totes les hipèrboles equilàteres és e √2.
c
Excentricitat: e —. En una hipèrbola equilàtera, c2 2a2 →
a
√2 a
→ c √ 2a
→ e —— √2. a
Activitats finals
1. Esbrina si els punts P(1, 2), Q(2, 1) i R(0, 0) es troben en
una mateixa circumferència. Si és així, determina’n el centre, el radi i l’equació.
Els tres punts no estan alineats i, per tant, es troben en una mateixa circumferència. Podem substituir cada punt en l’equació:
x2 y2 mx ny p 0
L’equació de l’eix radical s’obté igualant les dues equacions:
x2 y2 6x 4y 9
5
x2 y2 2x 4y 4 → x —
8
d) Comprova que l’eix radical és perpendicular a la recta determinada pels dos centres.
La recta determinada pels dos centres (3, 2) i (1, 2) és
la recta d’equació y 2 que és perpendicular a la recta
d’equació
5
x —.
8
4. Determina l’equació de la circumferència de radi 4 i que
passa pels punts A(1, 2) i B(3, 4).
La distància del centre (x, y) a cada punt és el radi de la circumferència:
(1, 2) → 1 4 m 2n p 0
1)2 (y 2)2 4 i
√ (x (2, 1) → 4 1 2m n p 0
3)2 (y 4)2 4
√(x (0, 0) → p 0
6 5
Resolem el sistema i trobem: m n —
3
5
5
Equació: x2 y2 —x — y 0
3
3
5 5
5 √2
Centre —, — i radi r ———
6 6
6
x2 2x 1 y2 4y 4 16
x2 6x 9 y2 8y 16 16
6 Restant i simplificant s’obté: x y 5
Substituint en una de les dues equacions s’ob­tenen dos valors.
Hi ha dues circumfe­rències de centres:
(2 √ 7, 3 √ 7)
i (2 √ 7, 3 √ 7) Les equacions són:
2. Determina el centre i el radi de la circumferència
2x2 y2 4x 12y 12 0.
L’equació 2x2 y2 4x 12y 12 0 no és la d’una circumferència, ja que els coeficients dels termes de segon grau
són diferents.
3. a)E scriu l’equació de la circumferència de centre (3, 2)
i tangent a l’eix de les abscisses.
La circumferència de centre (3, 2) i tangent a l’eix de les
abscisses té radi r 2. L’equació és:
(x 3)2 (y 2)2 4 →
→ x2 y2 6x 4y 9 0
(x (2 √ 7)
)2 (y (3 √ 7) )2 16
(x (2 √ 7)
)2 (y (3 √ 7) )2 16
5. Una circumferència és tangent a la recta y x 1 en el punt
d’abscissa 3. Se sap que la circumferència també passa pel
punt A(3, 1). Troba l’equació d’aquesta circumferència.
El centre de la circumferència es troba en la intersecció de la
recta perpendicular a la tangent en el punt (3, 4) i la mediatriu del segment determinat per aquest punt i el (3, 1). Les
equacions d’aquestes rectes són, respectivament: y x 7 i
3
y —.
2
LA
MATEMÀTIQUES 1
11 3
El centre és el punt ——, — . El radi és el mòdul del vector
2
2
5
entre el centre i el punt (3, 4) → r ——
√ 2
11 2
3
Equació: x —— y —
2
2
2
25
——
2
6. L’incentre d’un triangle és el centre de la circumferència
inscrita en el triangle. Si els vèrtexs d’un triangle són els
punts (0, 0), (0, 4) i (4, 0), quina és l’equació de la circumferència inscrita? Fes-ne un dibuix.
97
1
—
Equació de la recta: y x 2
3
Intersecció amb la circumferència:
x2 y2 6x 6y 9 0
1
y —x 2
3
6 9 · √10
3 √10
x 3 ———— → y1 3 ———
1
10
10
9 √10
3 √10
x 3 ——— → y2 3 ———
2
10
10
El primer parell de valors correspon al punt més proper i l’altre
al més llunyà.
8. Escriu les equacions de les rectes tangents a la circumferència x2 y2 6x 4y 4 0 en els punts en què talla els
eixos de coordenades.
L’incentre és la intersecció de les bisectrius. Una de les bisectrius és la recta y x. Cal trobar-ne una altra.
Considerem les rectes y x 4 i x 0. La bisectriu de l’an
xy4
gle que formen ambdues rectes és ————— x, ja que és
√ 2 la que correspon al pendent negatiu. El punt d’intersecció és
(4 2 √2, 4 2 √2 ), que és el centre. La distància d’aquest
punt a la recta x 0, per exemple, ens dóna el radi r 4 2 √ 2. Equació:
(x (4 2 √ 2 ))2 (y (4 2 √ 2 ))2
(4 2 √ 2 )2
7. Dibuixa la circumferència que té com a equació
x y 6x 6y 9 0
2
2
Considera el punt P(3, 1). Troba la potència i la posició
d’aquest punt respecte de la circumferència. Troba el punt
més proper i el més llunyà a P que pertanyin a la circumferència.
Els punts de tall amb els eixos de coordenades s’obtenen fent
x 0 i y 0, respectivament:
x2 y2 6x 4y 4 0
x0
6 →
x2 y2 6x 4y 4 0
6→
y0
(0, 2)
(3 √5, 0)
(3 √5, 0)
La tangent en el punt (0, 2) és la recta x 0.
Per trobar les altres dues tangents caldrà buscar la recta perpendicular a la que determina el centre amb cada punt, per a
aquest punt. Les rectes que se n’obtenen són:
√5
Per a (3 √5, 0) → y —— (x (3 √5))
2
√5
Per a (3 √5, 0) → y —— (x (3 √5))
2
9. Els punts que són d’un cercle tenen una inequació que els
representa. Escriu la inequació del cercle de centre l’origen
de coordenades i radi 3.
Els punts d’un cercle són els de la circumferència que el limita i
tots els interiors. Verifiquen la inequació x2 y2 9.
10. Troba la posició relativa de la recta d’equació 2x 3y 4 0
i la circumferència de centre (4, 3) i radi 5.
Potència: p 3 1 63 61 9 31. Com que p 0,
el punt és exterior a la circumferència.
2
2
La recta determinada pel centre (3, 3) i el punt (3, 1) conté
un diàmetre de la circumferència. Els extrems d’aquest diàmetre
són els punts que es demanen.
Cal determinar quins són els punts que tenen en comú la recta
i la circumferència.
Equació de la circumferència:
(x 4)2 (y 3)2 25
Cal resoldre el sistema d’equacions per substitució:
LA
98
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
2x 4
2x 3y 4 0 → ———— y
3
5 x2 y2 8x 6y 0 →
2x 4 2
→ x2 ———— 8x 2(2x 4) 0
3
L’equació 13x2 92x 56 0 té dues solucions, per tant, la
recta és secant a la circumferència.
11. Considera la circumferència x2 y2 2x 8y 12 0.
Escriu l’equació de la circumferència concèntrica que té de
radi √5 unitats més que la primera.
La circumferència d’equació x2 y2 2x 8y 12 0 té com
a centre el punt (1, 4) i de radi, r √5. La circumferència concèntrica té de radi:
√5 √5 2 √5 13. Calcula la potència de l’origen de coordenades respecte de la circumferència que té el centre a la recta d’equació 2x y 0 i és
tangent a l’eix d’ordenades i a la recta d’equació x y 3 0.
En primer lloc, cal trobar l’equació de la circumferència.
Si té el centre en la recta 2x y 0 significa que el centre té
com a coordenades (x, 2x).
Si és tangent a l’eix d’ordenades significa que r x i per
trobar r calculem la distància del centre a la recta x y 3 0:
x 2x 3
r x ——————
√ 2 √2 x x 3
√2 x x 3
Se n’obtenen dos valors per al radi:
x1 3 (√2 1) i x2 3 (√2 1)
Per tant, hi ha dues circumferències:
2
C1: (x 3 (√2 1)) (y 6 (√2 1))2
Equació:
(x 1)2 (y 4)2 (2 √5 )2 20 →
→ x2 y2 2x 8y 3 0
12. Des d’un punt exterior a una circumferència es poden traçar
dues rectes tangents a la circumferència. Considera el punt
P(2, 0) i la circumferència x2 y2 6x 4y 9 0.
Traça les rectes tangents a la circumferència des del punt P.
Determina les equacions d’aquestes dues rectes.
(3 (√2 1))2 0
C2: (x 3 (√2 1))2 (y 6 (√2 1))2
(3 (√2 1))2 0
Per calcular la potència, substituïm per (0, 0) en el primer membre de cada equació:
p1: 108 72 √2; p2: 108 72 √2 14. Fes la interpretació geomètrica de la potència del punt P
respecte d’aquesta circumferència. Observa el triangle rectangle que es forma a la figura 7.27 i calcula la longitud del
segment PT.
Una de les tangents és la recta y 0, com es pot comprovar en
la figura. L’altra tangent s’obté en fer que la intersecció de les
rectes y m(x 2), que passen pel punt (2, 0), tinguin una
única intersecció amb la circumferència:
y m(x 2)
5 x y 6x 4y 9 0 →
2
2
→ x2 [m(x 2)]2 4m(x 2)
6x 9 0 →
→ x2 m2x2 4m2x 4m2 4mx
8m 6x 9 0
20
0 → m1 0 i m2 ——
21
20
20
m2 —— ens dóna la recta y —— (x 2); m1 ens dóna la
21
21
recta y 0.
El segment PT és un segment de la tangent en el punt T. En el
triangle rectangle: PT2 d2 r2, que és l’expressió de la potència del punt P respecte de la circumferència:
2
r2 √p PT √ d 15. Considera les circumferències:
C: x2 y2 4x 10y 20 0 i C que té el centre en el
punt (3, 7) i passa pel punt (2, 7).
Cal trobar l’equació de la circumferència C que té centre en el
punt (3, 7) i radi el mòdul del vector que determinen els dos
punts: (5, 0) 5 r.
C: (x 3)2 (y 7)2 52 → x2 y2 6x 14y 33 0
LA
MATEMÀTIQUES 1
a) Troba la posició relativa de les dues circumferències.
Intersecció de C i C:
5 x2 y2 4x 10y 20 0
x2 y2 6x 14y 33 0
Restant:
13 10x
10x 4y 13 0 → y —————
4
13 10x 2
x2 ————— 6x
4
13 10x
14 ————— 33 0
4
L’equació que en resulta, 116x2 204x 31 0, té dues
solucions; per tant, les circumferències són secants.
b) Escriu l’equació de l’eix radical de C i C.
L’eix radical es troba restant les dues equacions que ja hem
resolt en l’apartat anterior.
Eix radical: 10x 4y 13 0
c) Troba la intersecció de l’eix radical amb C. Què observes?
Explica-ho.
La intersecció de l’eix radical amb C i amb C és la mateixa,
ja que l’eix radical està determinat pels punts d’intersecció
de les dues circumferències.
d) Calcula la longitud de la corda que determina l’eix radical
amb C.
La longitud de la corda ve determinada per la distància dels
dos punts d’intersecció.
De manera aproximada, aquests punts són (1,9, 6) i (0,14, 2,9).
La longitud de la corda és 3,7.
16. Determina k per tal que la recta 3x y k 0 sigui tangent a la circumferència d’equació x2 y2 6x 0. Hi ha
més d’una solució? Raona la resposta.
La recta és tangent si només hi té un punt en comú. Busquem
la intersecció: y 3x k.
x2 (3x k)2 6x 0 →
→ 10x2 (6k 6)x k2 0
Per tal que aquesta equació només tingui una solució, el discriminant ha de ser 0:
(6k 6) 40k 0 →
18 √360
→ k2 18k 9 0 → k ——————–– 9 3 √10
2
Hi ha dos valors de k que corresponen a dues rectes paral.leles
2
2
tangents a la circumferència.
17. El punt P(0, 1) és de la circumferència:
x2 y2 3x 2y 3 0? Troba l’equació de la recta
tangent a la circumferència per aquest punt.
99
El punt pertany a la circumferència perquè en substituir en
l’equació se satisfà la igualtat. Cal trobar el centre de la circumferència que amb el punt P(0, 1) determinen una recta.
La perpendicular per aquest punt és la recta tangent.
3
Centre de x2 y2 3x 2y 3 0 → C —, 1
2
4
Pendent de la recta CP: m —
3
3
pendent de la perpendicular: m — →
4
3
→ y —x 1 és l’equació de la recta tangent.
4
18. Determina l’equació del lloc geomètric dels punts del pla
tals que la distància al punt (2, 0) és sempre la meitat de la
dis­tància a la recta y x 8.
Donat un punt P(x, y) posem la condició següent:
1 x y 8
2)2 y2 — ——————
√ (x 2
√2 Si elevem aquesta expressió al quadrat obtenim:
1 (x y 8)2
(x 2)2 y2 — ——————,
4
2
que és l’equació del lloc geomètric.
19. Calcula m per tal que la recta d’equació y x m sigui
tangent a l’el.lipse x2 2y2 6.
Procedim com en l’exercici 16:
x2 2(x m)2 6 →
→ 3x2 4mx 2m2 6 0
(4m)2 12(2m2 6) 0 → m 3
Hi ha dues rectes tangents a l’el.lipse.
20. Dibuixa de manera aproximada la paràbola d’equació
x2 6y.
Indica’n:
a) Les coordenades del focus.
3
Focus: F 0, ——
2
b) Les equacions de la directriu i de l’eix.
3
Directriu: y ——; eix: x 0
2
100
LA
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
c) La longitud de la corda perpendicular a l’eix pel focus.
3
Cal trobar la intersecció de la paràbola amb la recta y —— :
2
x2 6y
3
→ x2 9 → x 3
y ——
2
6 La longitud de la corda és: 3∙2 6.
21. Troba l’equació de l’el.lipse els focus de la qual són els punts
(6, 0) i (6, 0) sabent que la suma de distàncies d’un punt
qualsevol de l’el.lipse als focus és constant i igual a 20.
A partir de les dades podem deduir que c 6 i a 10.
a2 b2 c2 → b2 100 36 64
x
y
Equació de l’el.lipse: —— —— 1
100
64
2
2
22. Escriu l’equació de la hipèrbola centrada a l’origen de coordenades sabent que un dels focus és el punt (6, 0) i que
el semieix real és 5.
A partir de les dades podem deduir que c 6 i a 5.
c2 a2 b2 → b2 36 25 11
x2
y2
Equació de la hipèrbola: —— —— 1
25
11
23. Els focus d’una el.lipse centrada a l’origen de coordenades
es troben situats a l’eix d’abscisses. Determina’n l’equació
sabent que e 0,6 i b 8.
Per escriure l’equació ens cal trobar a. Relacionem les dades:
c
2
2
2
2
2
e 0,6 —
a i a b c → a 64 c
c 0,6a → a2 64 0,36a2 →
→ 0,64a2 64 → a2 100
x2
25. Dibuixa la paràbola y —— i determina’n:
4
a) El focus.
Focus: de x2 4y → p 2
i el focus F(0, 1)
b) L’equació de la directriu.
Directriu: y 1
c) El vèrtex.
Vèrtex: (0, 0)
x2
26. Identifica el vèrtex de la paràbola d’equació y —— x 6.
4
Relaciona el seu gràfic amb el de la paràbola de l’exercici
anterior. Dóna’n el focus i la directriu.
x2
El vèrtex de la paràbola y —— x 6 és el punt (2, 5) →
4
b
→ xv —— .
2a
El gràfic d’aquesta paràbola és el mateix que el de l’exercici
anterior traslladant el vèrtex (0, 0) al punt (2, 5). També hi
traslladem el focus i la directriu:
Focus: (2, 6)
Directriu: y 4
4
27. L’excentricitat d’una el.lipse és e —. Escriu la seva equació
5
sabent que a 10. Representa-la gràficament.
x2
y2
Equació de l’el.lipse: —— —— 1
100
64
24. Identifica els focus i els vèrtexs de la hi­pèr­bola d’equació
y2
x2
—— —— 1. Calcula’n l’excentricitat.
144
25
y2
x2
De l’equació —— —— 1 es dedueix: a 12 i b 5.
144
25
Els vèrtexs són: (12, 0) i (12, 0).
c2 a2 b2
144 25 169 → c 13
Focus: (13, 0) i (13, 0)
c
13
Excentricitat: e — ——
a
12
c
4
c
e — — —— → c 8
a
5
10
a2 b2 c2 → b2 100 64 36
y2
x2
Equació de l’el.lipse: —— —— 1
100
36
MATEMÀTIQUES 1
28. Dibuixa de manera aproximada una hipèrbola que tingui com
a vèrtex A(0, 3) i A(0, 3) i un dels seus focus sigui F(0, 5).
Escriu-ne l’equació.
LA
101
b)
Correspon a la paràbola d’equació y2 8x.
31. La circumferència principal d’una el.lipse té d’equació x2 y2
16. Escriu l’equació de l’el.lipse sabent que l’excentricitat és
1
e —.
2
La circumferència principal és la que verifica: r a.
Per les dades: a 3 i c 5
c2 a2 b2 → b2 25 9 16
En ser l’eix d’ordenades el de la hipèrbola, l’equació ha de ser
tal que es correspongui amb el dibuix, és a dir, que contingui
els vèrtexs.
y2
x2
Equació de la hipèrbola: —— —— 1
9
16
29. Compara les excentricitats d’una el.lipse i d’una hipèrbola
amb el número 1.
c
L’excentricitat és e — en totes les còniques.
a
En l’el.lipse: c a → e 1
En la hipèrbola: c a → e 1
En la circumferència
x2 y2 16 → r a 4
c
c
1
e——— → c2 →
a
4
2
→ a2 b2 c2 → b2 16 4 12
x2
y2
Equació de l’el.lipse: —— —— 1
16
12
y2
x2
32. Considera l’el.lipse d’equació —— —— 1. Representa-la
36
9
gràficament i traça la recta perpendicular a l’eix de les abscisses per a un dels focus. Troba la longitud del segment d’aquesta
recta determinat per la seva intersecció amb l’el.lipse.
30. Identifica les paràboles següents sabent que les seves equacions són:
a) y2 8x
b) x2 8y
a)
Correspon a la paràbola d’equació x2 8y.
a6 i b3
a2 b2 c2 → c2 27 → c √ 27
Cal buscar la distància PP 2PF. El punt P té abscissa
l’ordenada la trobarem en substituir en l’equació:
(√ 27
y2
9
3
)2
——— —— 1 → y2 — → y —
36
9
4
2
3
La distància PP és 2— 3.
2
√ 27
i
102
LA
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
33. Una circumferència té el centre en la bisectriu dels segon i quart quadrants i passa pels punts (0, 3) i (1, 2).
Determina’n el centre i el radi. Quina és l’equació d’aquesta
circumferència?
El centre es troba a la mateixa distància dels dos punts. Es troba en
la mediatriu del segment que determinen. La intersecció d’aquesta
recta amb la que té com a equació y x ens dóna el centre.
El pendent de la recta que passa pels punts (0, 3) i (1, 2) és
m 1; el de la perpendicular és m 1, i passa pel punt
1 5
mitjà —, — → y x 2.
2 2
yx2
C(1, 1)
y x
Radi: mòdul del vector (1, 2) → r √ 5 Equació de la circumferència:
(x 1)2 (y 1)2 5
6 34. Traça les dues tangents a la circumferència d’equació
x2 y2 4 des del punt P(5, 5). Troba les equacions
d’aquestes dues rectes.
Considerem per comoditat els dos costats del triangle rectangle
que determinen l’angle recte. Les equacions de les dues mediatrius són x 3 i y 2.
b) Determina’n el circumcentre.
Naturalment, el circumcentre del triangle se situa en el punt (3, 2).
c)Calcula la distància del circumcentre a cadascun dels vèrtexs del triangle.
La distància del circumcentre a cada vèrtex és la mateixa:
d √13 u.
d)Escriu l’equació de la circumferència circumscrita.
Equació de la circumferència de centre C(3, 2) i radi
r d √13:
2
( x − 3)
2
+ ( y − 2) 13 → x 2 + y 2 − 6 x − 4 y 0
2
2
36. Donada l’el·lipse d’equació x + y 1 , determina:
7
9
a) Les coordenades dels vèrtexs.
Considerem el feix de rectes que passen pel punt (5, 5) i imposem
la condició que la seva distància a (0, 0) sigui igual al radi 2.
Recta:
y 5 m(x 5) → mx y 5m 5 0
5m 5
2 ——————
2
1
√ m → 4 (m2 1)
(5m 5)2 → 21m2 50m 21 0
b2 7 → b √7; a2 = 9 → a = 3
Vèrtexs: (√7, 0), (√7, 0), (0, 3) i (0, 3)
b) Les coordenades dels focus.
a2 b2 + c2 → 9 7 + c2 → c = √2; focus: (0, √2) i (0, √2).
c) L’excentricitat.
c √2
e
3
a
50 √736
m —————— ⇒ m1 1,84; m2 0,54
42
(de manera aproximada)
37.Calcula l’àrea del cercle limitat per la circumferència de centre C(1, −1) i tangent a la recta que té per equació 12x − 5y
+ 9 = 0.
Les rectes:
El radi és la distància del centre C(1, 1) a la recta tangent 12x
5y + 9 = 0:
y 5 1,84 (x 5) i
y 5 0,54 (x 5)
35.Considera el triangle de vèrtexs els punts O(0, 0), P(6, 0) i
Q(0, 4).
a)Escriu l’equació de la mediatriu de dos dels cos­tats del
triangle.
r
12 + 5 + 9
2 u
13
38.Troba l’equació de la paràbola que té el vèrtex a l’ori­gen de
coordenades, és simètrica respecte de l’eix de les abscisses i
conté el punt (6, 6). Determina les coordenades del focus
i l’equació de la directriu.
LA
MATEMÀTIQUES 1
L’equació de la paràbola és del tipus y2 2px. Si conté el punt (6, 6),
es verifica: 36 12p → p 3. Per tant, l’equació és y2 6x.
3
3
Focus: F( , 0); directriu: x .
4
2
39.Considera la hipèrbola equilàtera que passa pel punt (3, 2).
a) Escriu-ne l’equació.
x2 y2 = a2 → 9 4 = a2 → a = b =√5 → x2 y2 = 5
b) Indica les coordenades dels vèrtexs i les dels focus.
Vèrtexs: (√5, 0) i (√5, 0)
a2 + b2 10 → c √10; focus: (√10, 0) i (√10, 0)
Avaluació
1.Escriu l’equació de cadascuna de les circumferències següents:
a)De centre C el punt mitjà del segment d’extrems els punts
A(5, 2) i B(1, −6).
C(3, 2); r dAC dCB √20
(x 3)2 + (y + 2)2 20 → x2 + y2 6x + 4y 7 0
b)De centre C(0, 2) i tangent a la bisectriu dels quadrants
primer i tercer.
– 2
= √2
C(0, 2); equació bisectriu: x y = 0 → r
√2
x2 + (y 2)2 2 → x2 + y2 4y + 2 0
2. Donades les circumferències:
x2 1 y2 2 9 5 0 i x2 1 y2 2 2x 1 6y 2 35 0.
a) Calcula la potència del punt P(1, –3) respecte a la primera
cincumferència i indica’n la posició relativa.
103
b) Identifica les coordenades dels vèrtex i dels focus de l’el·
lipse.
2
b2 2 √5
a2 36 → a 6; b2 16 → b 4; c √a Vèrtex: (6, 0), ( 6, 0), (0, 4) i (0, 4)
Focus: (2 √5, 0) i ( 2 √5, 0)
c) Calcula’n l’excentricitat.
e 5 c
√5
a
3
4. Escriu l’equació reduïda de la hipèrbola que té un vèrtex en
el punt (212, 0) i un focus en el punt (13, 0). Determina’n
l’excentricitat.
a 12, c 13; c2 a2 1 b2 → b
x2
y
−
=1
Equació de la hipèrbola:
144 25
Excentricitat: e =
2
a2 5
√c c 13
=
a 12
5. L’eix d’una paràbola se situa en la recta y 5 0 i el focus, en
5
el punt F( ). Esbrina:
2
a) El valor del paràmetre i l’equació de la directriu.
p 5
5
= → p = 5; directriu : x = −
2 2
2
b) L’equació de la parábola.
b) Troba l’ecuació de l’eix radical de les dues circumferències.
y2 2px → + y2 10x
c) Comprova que l’eix radical és perpendicular a la recta que
contè els centres de les dues circumfèrencies.
6. Determina les equacions de les rectes tangents a la circumferència x2 1 y2 2 10x + 16 5 0 en els punts en què s’intersecta amb els eixos de coordenades.
a) p 12 (3)2 9 1 9 9 1 0. Punt exterior.
2
Intersecció eix X: y = 0 → x → 10 x + 16 = 0 → x1 = 2 i x2 = 8
b) Igualem les dues equacions:
(8,−0x) + 3 y + 3 = 0
x 2 + y 2 − 9 = x 2 + y 2 − 2 x + 6 y − 3 → −9 = −2 x + 6 y − 3 → −2 x + 6 y→+(62,=0)0 i→
−9 = −2 x + 6 y − 3 → −2 x + 6 y + 6 = 0 → − x + 3 y + 3 = 0
c) Els centres són: C1(0, 0) i C2(1, 3).
Un vector director de la recta que uneix els centres és
→ v (1, 3).
→
Un vector director de l’eix radical és w (3, 1).
Intersecció eix Y : x = 0 → y 2 + 16 = 0 → y ∉ R → no talla l’eix
d’ordenades
Centre circumferència: a = 5, b = 0 → C (5, 0)
Radi circumferència: r 3
y
Si fem el producte escalar:
→ →
v • w 5 (1, 23) • (3, 1) 5 1 · 3 1 (23) · 1 5 3 2 3 5 0.
Aleshores, són perpendiculars ambdues rectes.
2
5
8 x
3. L’equació d’una el·lipse es 4x2 1 9y2 2 144 5 0.
a) Expressa-la en forma reduïda.
4 x 2 + 9 y 2 = 144 →
x 2 y2
+
=1
36 16
y
Les rectes tangents i la circumferència pels punts (2, 0) i (8, 0)
són perpendiculars a l’eix de les abscisses i les seves equacions
són x 2 i x 8.
104
LA
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
jUnitat 8. Funcions
d) La longitud de l’aresta d’un cub és funció del volum.
f(x)
Activitats
3
√ 3; Df
4. Determina el domini de les funcions:
1. Defineix la variable independent i la variable dependent en
els casos següents:
a) L’import que cal pagar en una benzinera i els litres de
benzina que hi comprem.
x: litres de benzina
y: import en euros
b) El pes d’una persona i la seva edat.
1
f(x) 3 x 7, g(x) 2 x2 7 x 11 i h(x) ———
x1
Df
Dg
Dh {x x 1 0} {1}
5. Troba el domini de les funcions següents:
x1
a) f (x) ——————
2
x 6x 5
x: edat
y: pes
c) L’espai recorregut per un cotxe i la velocitat a què circula.
Df {x x2 6 x 5 0} {1, 5}
b) g(x) √ 4 3x
x: velocitat
y: espai recorregut
d) El volum d’una esfera i la longitud del diàmetre.
x: longitud del diàmetre
y: volum de l’esfera
4
Dg {x 4 3 x 0} —,
3
7x 8
c) h (x) ————
x2 5
Dh
2. Representa la variable independent per x i la variable dependent per f (x) i troba, sempre que sigui possible, l’expressió algèbrica de cadascuna de les funcions de l’exercici
anterior.
a) f (x) p x, essent p el preu d’un litre de benzina en €.
b) No és possible.
d ) k (x)
√
3
3
4
x 5
2
e) p (x) — x 3 5 x 2
3
c) Caldria saber el tipus de moviment.
d) f (x) — x3
6
3. Escriu l’expressió algèbrica i troba el domini de les funcions
següents:
a) A cada valor del radi d’una esfera li assignem la seva
superfície.
f (x) 4 x2; Df
b) La diagonal d’un quadrat depèn de la longitud del costat.
f (x) √ 2 c; Df
c) Al radi d’una circumferència li assignem l’àrea de
l’hexàgon regular inscrit.
3 √3
f (x) ——— x2; Df
2
Dk
Dp
f ) t (x)
5
x2 4
————
x
si x < 2
2x
———
x3
si x 2
Dt {x x 0 i x 3 0}
{0, 3}
6. Amb les funcions f, g i h dels exemples anteriors, comprova
que es verifiquen les propietats de la suma i del producte de
funcions.
Suma
Commutativa:
x3 x2 x 2
f (x) g (x) g (x) f (x) ————————
x2 1
la
MATEMÀTIQUES 1
Associativa:
f (x) [g (x) h (x)] [f (x) g (x)] h (x)
2 x 4 4 x 3 x2 5 x 6
————————————––
(x2 1) (x 3)
Element neutre:
O (x) 0 per a les tres funcions.
x2 2
2 x2
f: f (x) ———— ————
x1
x1
x
g: g (x) ———
x2 1
x 2
h: h (x) ———
x3
x 3 (x 2 2)
———————————
(x 1) (x 1)2 (x 3)
Element simètric:
1
x 1
Per a la funció g: — (x) ———
g
x
1
x3
Per a la funció h: — (x) ———
h
x
1
x1
Per a la funció f : — (x) ———
f
x2 2
2
2
Propietat distributiva de la multiplicació respecte de la suma:
f (x) [g (x) h (x)] f (x) g (x) f (x) h (x)
(x 2 2) (x 4 3 x)
———————————––
(x 1)2 (x 1) (x 3)
7. A partir de les funcions f i k dels exemples, escriu l’expressió
1 1
1 1
algèbrica de les funcions — , — , ——i ——. Troba’n el domini.
f k f k
—
f
{√2, √2}
———
—f (x) ——
f (x) x 2
1
1
x1
2
1
1
————
—1k (x) ——
k(x)
√x 1
1
—
k
{x x 1 0}
2x 4
x2
f (x) ———— i g (x) ————
x3
3x 9
1
—
f
g
f
1
Determina l’expressió de les funcions — , — , — i —
g
f
g
g
i troba’n el domini.
—
f
Element neutre: I (x) 1 per a les tres funcions.
1
8. Donades les funcions:
f (x) [g (x) h (x)] [f (x) g (x)] h (x)
1
(1, )
Propietat associativa:
1
—
k
Propietat commutativa:
x (x 2 2)
f (x) g (x) g (x) f (x) ———————––
(x 1) (x 1)2
—k (x) —k (x) ————
√x 1
D1 D
Producte
2
—
f
1
1
x1
(x) — (x) ———
——
f
f
x 2
D 1 D 1 {x x2 2 0}
Element simètric:
105
2x 4
————
f
f (x)
x3
— (x) ——– —————
g
g (x)
x2
————
3x 9
(2 x 4) (3 x 9)
6 x 2 30 x 36
————————— ————————
(x 3) (x 2)
x2 5 x 6
x2
————
g
g (x)
3x 9
— (x) —— —————
f
f (x)
2x 4
————
x3
(x 2) (x 3)
x2 5 x 6
————————— ————————
(3 x 9) (2 x 4)
6 x2 30 x 36
1
—
f
—
g
1
——
f (x)
1
(x) ——— —————
g (x)
f (x) g (x)
1
1
—————————— ——————
2x 4 x 2
2 x2 8
————
———— ————
x 3 3x 9
3 x 2 27
3 x2 27
————
2 x2 8
LA
106
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
1
—
g
—
f
1
f (x)
(x) ——— ——
g (x)
g (x)
——
f (x)
3x3x
6 x 2 30 x 36
————————
x2 5 x 6
1
3
1
3
f — x — 3 2 — x —
2
2
2
2
f (x) 3 2 x
D f D 1 {x x2 5 x 6 0}
—
g
—
f
—
g
{3, 2}
D g {x 6 x2 30 x 36 0}
—
f
1
—
f
D—
g
1
3
g (x) — x —
2
2
{2, 3}
{x 2 x2 8 0} {2, 2}
1
11. Comprova que la funció inversa de f (x) — és ella max
teixa.
9. Amb les funcions f (x) 7 x 4, g (x) 2 x 2 1 i
h (x) x 9, comprova les propietats associativa i de
l’element neutre de la composició de funcions.
Propietat associativa:
[h (g f )] (x) h [(g f ) (x)] h [g (f (x))]
h [g (7 x 4)] h (2 (7 x 4) 1)
2
h (98 x2 112 x 31)
98 x2 112 x 31 9
98 x2 112 x 22
[(h g) f ] (x) (h g) (f (x)) h [g (f (x))]
98 x2 112 x 22
Element neutre:
(f I) (x) f (I (x)) f (x) 7 x 4
(I f ) (x) I (f (x)) f (x) 7 x 4
x4
3x
12. Amb les funcions f (x) ——— i g (x) ——— :
x2
x1
a) Troba l’expressió algèbrica i el domini de: g f, f g, f f,
g g, f 1 i g 1.
1
3
f (x) 3 2 x i g (x) — x — ,
2
2
comprova que són inverses l’una de l’altra. Fes-ho també
gràficament.
(g f ) (x) g (f (x)) g (3 2 x)
1
3
3
3
— (3 2 x) — — x — x
2
2
2
2
(f g) (x) f (g (x))
x4
(g f ) (x) g (f (x)) g ———
x2
x4
3 (x 4)
————
3 ———
x2
x2
—————— ————————
x4
x4x2
——— 1
——————
x2
x2
3 (x 4)
3 x 12
———— ————
2x 6
2x 6
Dg f {3, 2}
10. Donades les funcions:
1
1
(f f ) (x) f (f (x)) f — — x →
x
1
—
x
1
→ f 1 (x) f (x) —
x
3x
(f g) (x) f (g (x)) f ———
x1
3x
3x 4x 4
——— 4
——————
x1
x1
—————— ————————
3x
3x 2x 2
——— 2
——————
x1
x1
7x 4
————
5x 2
la
MATEMÀTIQUES 1
2
Df g 1, —
5
x4
(f f ) (x) f (f (x)) f ———
x2
x4
x 4 4x 8
——— 4
————————
x2
x2
—————— —————————
x4
x 4 2x 4
——— 2
————————
x2
x2
5 x 12
—————
3x 8
8
Df f 2, —
3
3x
(g g) (x) g (g (x)) g ———
x1
3x
9x
———
3 ———
x1
x1
—————— ———————
3x
3x x 1
——— 1
—————
x1
x1
9x
————
4x 1
1
Dg g 1, —
4
x4
y ——— → x y 2 y x 4 →
x2
4 2y
4 2x
x ———— → f 1 (x) ————
y1
x1
x4
4 2 ———
x2
——————
x4
——— 1
x2
4x 8 2x 8
————————
x2
————————
x4x2
——————
x2
2x
—— x
2
4 2x
(f f 1) (x) f (f 1 (x)) f ————
x1
4 2x
4 2x 4x 4
——— 4
————————–
x1
x1
—————— —————————
4 2x
4 2x 2x 2
——— 2
————————–
x1
x1
2x
—— x
2
3x
(g1 g) (x) g1 (g (x)) g1 ———
x1
3x
3x
———
———
x1
x1
—————— ———————
3x
3x 3 3x
—————
3 ———
x1
x1
3x
—— x
3
x
(g g 1) (x) g (g 1 (x)) g ———
3x
x
3x
———
3 ———
3x
3x
—————— —————
x
x3x
——— 1
————
3x
3x
3x
—— x
3
Activitats finals
y
x
x ——— → g1 (x) ———
3y
3x
b) Comprova que les funcions f 1 i g 1 són les inverses de
f i g respectivament.
3x
y ——— → x y y 3 x →
x1
(f 1 f ) (x) f 1 (f (x)) f 1
D g1 {3}
→ 3 x x y y → x (3 y) y
D f 1 {1}
→ x (y 1) 4 2y
→ xy x 4 2y →
107
x4
———
x2
1. En una certa zona, la quantitat de sofre que hi ha a l’atmosfera,
en parts per milió, evoluciona d’acord amb la funció
s (t) 2,1 0,2 t 0,03 t 2, on t és el temps expressat en anys.
Determina la presència de sofre en l’actualitat i quants anys
han de transcórrer perquè s’assoleixi novament el valor actual.
s (0) 2,1. Actualment hi ha 2,1 parts per milió de sofre.
s (t) 2,1 → 2,1 0,2 t 0,03 t 2 2,1 →
→ 0,03 t 2 0,2 t 0
LA
108
t0
t (0,03 t 0,2) 0 → 0,03 t 0,2 0 →
0,2
→ 0,03 t 0,2 → t ——— 6,6 anys
0,03
(
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
3,75 105 3 r 3 →
3,75 105
375 000
→ r 3 ———— ————
3
3
125 000 cm3 → r 50 cm
2. Defineix la funció que expressa la suma de dos nombres
enters tals que el seu producte és 18. Troba’n el domini.
D v (0, 50)
18
x 2 18
S (x) x —— ————
x
x
7. Dos nombres naturals sumen 20. Expressa’n el producte
en funció d’un d’ells. Troba el domini d’aquesta funció.
Comprova que 15 és del domini, i que 28 no ho és.
Ds {18, 9, 6, 3, 2, 1, 1, 2, 3, 6, 9, 18}
P (x) x (20 x) 20 x x 2
3. En un triangle, la suma de les longituds de la base i l’altura
és 15 cm. Expressa l’àrea del triangle en funció de la longitud
de la base. Troba el domini d’aquesta funció.
x (15 x)
1
15
S (x) ————— — x 2 ——x en cm2
2
2
2
Ds (0, 15)
Dp {x 1 x 19}
15 Dp, 28 Dp
8. Es vol construir una finestra formada per un quadrat i un
semicercle de radi x (fig. 9.10). Troba les expressions del
perímetre i de l’àrea de la finestra en funció de x. Indica el
domini de cadascuna d’aquestes funcions.
4. Volem construir una capsa sense tapa amb una cartolina
quadrada de 12 cm de costat. Per fer-ho, retallem quadrats
iguals de costat x cm en cadascuna de les quatre cantonades
de la cartolina. Determina l’expressió algèbrica que ens dóna
el volum de la capsa (fig. 8.9), en funció del valor de x.
Indica el domini d’aquesta funció.
2x
p (x) 6 x ——— 6 x x (6 ) x
2
V (x) (12 2 x)2 x (144 48 x 4 x2) x
4 x 48 x 144 x en cm
3
2
3
x2
x2 8
S (x) (2 x)2 —— 4 x2 —— —— x2
2
2
2
Dv (0, 6)
D p D s (0, )
5. Troba el domini de la funció que expressa l’àrea d’un
rectangle de 30 cm de perímetre en funció de la longitud
d’un dels costats.
9. El radi d’una taca d’oli circular creix a un ritme de 3 cm per
minut i el centre es troba a 9 cm del marge de la taula.
2 x 2 y 30 → x y 15 → y 15 x
S x y x (15 x) 15 x x 2
S (x) 15 x x 2 en cm2, D s (0, 15)
6. L’altura d’un cilindre és el triple del radi de la base. Escriu
l’expressió del volum del cilindre en funció del radi de la
base. Quin serà el volum del cilindre per a un radi de 5 cm?
Quin és el valor del radi de la base si el volum del cilindre
és de 24 cm3? Troba el domini de la funció suposant que
el volum màxim és de 3,75 105 cm3.
V r 2 h r 2 3 r 3 r 3 → V (r) 3 r 3
V (5) 3 53 375 cm3
3
24 3 r 3 → r 3 8 → r √8 2 cm
a) Expressa la funció que assigna a cada instant t el valor
del radi de la taca.
r (t) 3 t, t en min i r (t) en cm.
b) Quant trigarà la taca d’oli a arribar al marge de la taula?
3 t 9 → t 3 min
c) Escriu l’expressió algèbrica de la funció que assigna a cada
instant t el valor de l’àrea de la taca d’oli.
S r 2 (3 t )2 9 t 2 9 t 2
S (t) 9 t 2 en cm2
d) Calcula l’àrea en l’instant en què la taca arriba al marge
de la taula.
S (3) 9 32 81 cm2
la
MATEMÀTIQUES 1
10. Suposem que establir una trucada telefònica costa 0,50 € i,
a partir d’aquest moment, el preu és de 0,30 € per minut.
Troba l’expressió algèbrica de la funció que ens determina
l’import d’una trucada telefònica en funció de la seva durada.
Quant costarà una trucada de 8 minuts? Quants minuts ha
durat una trucada l’import de la qual és de 5,30 €?
f (t) 0,5 0,3 t, t en min, f (t) en €
f (8) 0,5 0,3 8 0,5 2,4 2,9 €
√3
√3
—— x 2 —— (100 20 x x 2)
4
4
√3
√3
—— x 2 25 √3 5 √3 x —— x 2
4
4
√3
—— x 2 5 √3 x 25 √3 en cm2
2
Ds (0, 10)
0,5 0,3 t 5,3 → 0,3 t 4,8 → t 16 min
14. Troba el domini de les funcions següents:
11. La funció f (t) 2 t 2 5 t expressa la distància recorreguda
per un mòbil en funció del temps, on t s’expressa en segons
i f (t), en metres. Troba la distància recorreguda pel mòbil
entre els instants t 1 s i t 2 s. Quant de temps trigarà el
mòbil a recórrer una distància de 75 m?
f (2) f (1) 2 22 5 2 2 5
8 10 2 5 11 m
2 t 2 5 t 75 → 2 t 2 5 t 75 0 →
→ t 5s
12. En mesurar la temperatura a diferents alçades, s’ha observat
que la temperatura disminueix 1 °C cada 200 m d’alçada.
Si en un dia determinat la temperatura arran de terra és de
12 °C, escriu l’expressió algèbrica de la funció t (h), essent
h l’alçada en metres i t (h) la temperatura en °C. Quina
temperatura hi haurà a 6 km d’alçada? A quina alçada hi
haurà una temperatura de 50 °C?
h
t (h) 12 ——
200
6 000
t (6 000) 12 ——— 12 30 18 °C
200
h
12 —— 50 →
200
→ h 12 400 m 12,4 km
13. Dividim un segment de 10 cm de longitud en dues parts.
Expressa la suma de les àrees dels triangles equilàters construïts sobre cadascuna d’aquestes dues parts (fig. 8.11), en
funció del costat d’un dels triangles. Troba’n el domini.
2
a) f (x) ————————
2
x 10 x 16
Df {x x 2 10 x 16 0}
{2, 8}
b) g (x)
√
2
— x 8
3
2
Dg x — x 8 0
3
(, 12]
c) h(x)
3
√ 8 x5
Dh
7x
d) k (x) ————
3 x2 3
Dk
15. Defineix una funció que tingui per domini els conjunts:
Respostes obertes, per exemple:
a) Df {2, 7}
1
f (x) ———————
x2 9 x 14
b) Dg {x x 0}
1
g (x) ———
√x
c) Dh (, 3]
h(x) √x 3
d) Dq
q (x) x2 x 4
e) Dp {x x 2, x 0}
√3
√3
S (x) —— x 2 —— (10 x)2
4
4
10
p (x) ————
x2 2 x
109
LA
110
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
16. Determina el domini de cadascuna de les funcions següents:
e) (f g) (x)
2x
a) f (x) ————
(f g) (x) f (g (x)) f (3 (x 1)2)
√3 x
3 (3 (x 1)2)2 4 3 9 (x 1)4 4
Df {x 3 x 0} (, 3)
27(x 4 4 x 3 6 x 2 4 x 1) 4
27 x 4 108 x 3 162 x 2 108 x 23
4x 1
b) g (x) ————
x2 7 x
Dg {x x2 7 x 0} {0, 7}
f ) (g f ) (x)
(g f ) (x) g (f (x)) g (3 x 2 4)
2x 1
c) h (x) —————
3
3 (3 x 2 4 1)2 3 (3 x 2 5)2
√ 8 x3
3 (9 x 4 30 x 2 25)
Dh {x 8 x3 0} {2}
d ) k (x)
5
x
———
x1
27 x 4 90 x 2 75
si x 0
3x 1
————
2x 5
18. Troba el domini de la funció representada en cadascuna de
les gràfiques (fig. 8.12).
si x 0
Dk {x x 1 0 i 2 x 5 0}
5
1, —
2
a)
b)
17. Donades les funcions f (x) 3 x2 4 i g (x) 3 (x 1)2,
troba:
a) (f g) (x)
(f g) (x) f (x) g (x)
3 x 2 4 3 (x 1)2
a) Df [3, 1] [0, 3)
3 x2 4 3 x2 6 x 3
b) Dg (3, 2]
6 x2 6 x 1
b) g (x 2)
19. Defineix una funció a trossos que tingui per domini
g (x 2) 3 (x 2 1) 3 (x 3)
2
2
3 (x 2 6 x 9) 3 x 2 18 x 27
Df {x x 0}.
Resposta oberta, per exemple:
c) (f g) (x)
(f g) (x) f (x) g (x)
(3 x 2 4) 3 (x 1)2
(3 x 2 4) 3 (x 2 2 x 1)
1
—
x
f (x)
x
5
si x 1
si x 1
(3 x 2 4) (3 x 2 6 x 3)
9 x 4 18 x 3 3 x 2 24 x 12
g
d ) — (x)
f
g (x)
—gf (x) ——
f (x)
3 x2 6 x 3
3 (x 1)2
—————
———————
2
3x 4
3 x2 4
20. Calcula f (3), f (1), f (0), f (1) i f (2), i troba el domini de:
f (x)
5
2 x 3
x 1
x2 1
———
x2
1 x 1
√x 3
x1
la
MATEMÀTIQUES 1
f (3) 2 (3) 3 6 3 9
(1)2 1
2
f (1) ————— —
1 2
3
c (t ) c (n (t )) c (t 2 20 t)
5 6 (t 2 20 t) 5 6 t 2 120 t
6 t 2 120 t 5
Dc (0, 8]
2x 1
x2 1
22. Siguin f (x) ———— i g (x) ————
x1
3x
f
a) Troba les funcions: f g, f g, — , f f, g g, f 1.
g
(f g) (x) f (x) g (x)
2x 1
x2 1
———— ————
x1
3x
3 x (2 x 1) (x 1) (x2 1)
——————————————–––
3 x (x 1)
6 x2 3 x x3 x2 x 1
—————————————–
3 x (x 1)
x3 7 x2 4 x 1
—————————
3 x (x 1)
x 7x 4x 1
—————————
3 x2 3 x
3
3 x (2 x 1)
6 x2 3 x
———————— ———————
(x 1) (x2 1) x3 x2 x 1
2x 1
(f f ) (x) f (f (x)) f ————
x1
2x 1
4x 2 x 1
2 ———— 1 ——————–
x1
x1
——————— ————————
2x 1
2x 1 x 1
———— 1
——————–
x1
x1
3x 3
x1
———— ———
3x
x
x2 1
(g g) (x) g (g (x)) g ———
3x
x2 1 2
——— 1
3x
———————
x2 1
3 ———
3x
x4 2 x2 1 9 x2
—————————
9 x2
———————————
x2 1
———
x
x 4 11 x 2 1
x 4 11 x 2 1
——————— ———————
9 x (x 2 1)
9 x3 9 x
2x 1
y ———— → x y y 2 x 1 →
x1
→ 2 x xy y 1 → x (2 y) y 1
y1
x1
x ——— → f 1 (x) ———
2y
2x
2
(f g) (x) f (x) g (x)
2
11
f (1) ——— 2
12
21. El nombre d’articles n produïts en una empresa un
dia qualsevol, t hores després de l’inici de la feina, és
n (t) t 2 20 t, amb una jornada laboral de vuit hores
diàries. Si el cost de producció de n articles és, en euros, c(n)
5 6 n, determina l’expressió de la funció c(t) que en
dóna el cost en funció del temps. Indica’n el domini.
2x 1
Df
————
f
f (x)
x1
— (x) —— —————
g
g (x)
x 1
———
3x
1
f (0) —
2
f(2) √ 5
111
2 x 1 x2 1
———— ————
x1
3x
(2 x 1) (x 2 1) (2 x 1) (x 1)
————————– ————————––
(x 1) 3 x
3x
2 x2 3 x 1
———————
3x
b) Troba el domini de cadascuna de les funcions anteriors.
Df g Df g Df f
{x x 0, x 1 0} {0, 1}
D f {x x 2 1 0} {1, 1}
—
g
D g g {x x 0, x 2 1 0}
{1, 0,1}
D f 1 {x 2 x 0} {2}
112
LA
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
c) Comprova que f 1 és la funció inversa de f.
(f
1
f ) (x) f (f (x)) f
1
1
2x 1
————
x1
2x 1
———— 1
x1
————————
2x 1
2 ————
x1
x1
2 ——— 1
2x
————————
x1
——— 1
2x
2x 2 2 x
————————
2x
3x
—————————— —— x
x12x
3
———————
2x
x 2 2x 2
————————
x2
3x
—————————— —— x
x2x1
3
———————
x2
1 2x
(f f 1) (x) f (f 1 (x)) f ————
1x
x
x
———
———
x1
x1
—————— —————— x
x
xx1
——— 1
—————
x1
x1
1 2x 1 x
————————
1x
3x
—————————— —— x
1 2x 2 2x
3
—————————
1x
b) g(x) √ x2 2
y √ x2 2 → y2 x2 2 →
→ x2 y2 2 → x √ y2 2 →
→ g1(x) √ x2 2
(g1 g) (x) g1 (g (x))
g1 (√ x2 2)
x2
x1
y ——— → x y 2 y x 1 →
x2
→ x x y 1 2 y → x (1 y) 1 2 y
1 2y
1 2x
x ———— → f 1 (x) ————
1y
1x
2
2)2 2
(g g1) (x) g (g1 (x))
g (√ x2 2)
24. Troba la funció inversa i fes-ne la comprovació en cada cas,
per a cadascuna de les funcions següents:
√(√ x
√ x2 2 2 √ x2 x
Perquè f 1 (x) f (x), és a dir, és la inversa d’ella mateixa.
x1
a) f (x) ———
1 2x
———— 1
1x
——————
1 2x
———— 2
1x
x
(f f ) (x) f (f (x)) f ———
x1
x1
1 2 ———
x2
———————
x1
1 ———
x2
x
23. Donada la funció f (x) ———, comprova que (f f ) (x) x.
x1
Per què creus que passa això? Justifica’n la resposta.
x1
(f f 1) (x) f ———
2x
x1
(f 1 f ) (x) f 1 (f (x)) f 1 ———
x2
2x 1 x 1
————————
x1
3x
—————————— —— x
2x 2 2x 1
3
—————————
x1
√(√ x
2
2)2 2
√ x2 2 2 √ x2 x
1
c) h (x) — x 3
2
1
y — x 3 → 2y x 6 →
2
→ x 2 y 6 → h1 (x) 2 x 6
(h1 h) (x) h1 (h (x))
la
MATEMÀTIQUES 1
6
1
1
h1 — x 3 2 — x 3
2
2
113
b) Df 5 R , Rf 5 R
y
x66x
(h h1) (x) h (h 1 (x))
1
h (2 x 6) — (2 x 6) 3
2
x33x
x
Avaluació
1. Troba el domini de les funcions següents. Representa també
gràficament les funcions dels apartats a, b i c i indica’n el
recorregut.
c) Df 5 R , Rf 5 [2, +∞)
y
a) f(x) 5 5
b) f(x) 5 22x + 1
c) f(x) 5 x2 2 2x + 3
d) f(x) 5
5x − 4
x2 − 4 x
2x − 7
e) f(x) 5
f) f(x) 5
3
g) f(x) 5
4x +7
2x
h) f(x) 5
x
x2 − 1
d) R 2 {0, 4}
x2 + 5
7
e) , +∞ )
2
x + 3 x ≤ 0
i) f(x) 5
x 2
x >1
x2 + 1
j) f(x) 5 1
x
f) R
g) (0, +∞)
si x < −1
h) R
si x > −1
i) Df 5 (−∞, 0] U (1, +∞), Rf 5 R
El domini és tot R.
2. Siguin f ( x ) =
a) Df 5 R , Rf 5 {5}
a) f + g
y
x2
3x − 2
, g( x ) =
i h(x) = x2 – 1. Calcula:
x +3
x +3
b) f · g
c) f : g
d) f h
x
x2 + 3x − 2
x +3
(3 x − 2) x 2
3x 3 − 2x2
= 2
b) ( f·g) (x) =
2
x + 6x + 9
( x + 3)
a) ( f + g) (x) =
114
LA
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
f
(3 x − 2)( x + 3) 3 x 2 + 7 x − 6
=
c) ( x ) =
x 2 (x + 3)
x 3 + 3x 2
g
d) (f(of h)
� g )(
(x)x )5=
3( x 2 − 1) − 2 3 x 2 − 5
= 2
( x 2 − 1) + 3
x +2
3. I) Troba la funció inversa de:
x −1
a) f(x) 5
3x + 2
b) 1, 4, 9, 16, 25, 36...
n2
c) 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128...
(2 )n
b) g(x) 5 2x 2 5
2. Troba els termes que falten fins arribar al 10è de les
successions de l’exercici 1.
II) Comprova que (g–1o g) (x) 5 x
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
a) , , , , , , , , ,
x −1
y −1
→x=
→ 3 xy + 2 x = y − 1 → 3 xy − y = −2 x − 1 → 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
a) y =
3x + 2
3y + 2
b) 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100
x −1
y − 1 2x + 1
2
x
+
1
−1
xy +→
2 x f= y( x−) 1= → 3 xy − y = −2 x − 1 →
−xy2 x−−=y1=→−2yx =−→1 3→
c) −2,4, −8,16, −32,64, −128,256, −512,1024
→ 3 xy + 2 x =y(3=yx−−11)→=3→
3x + 2
3 y + 2 1 − 3x
1 − 3x
2
x +−21x − 1 → y = 2 x + 1 → f −1 ( x ) = 2 x + 1
2x + 1
1 x − 1)2=
n 2
=
→ fy−(3
( x) =
1 − 3x
1 − 3x
3.an ——— és l’expressió del terme general d’una succes1 − 3x
1 − 3x
n1
sió. Calcula els termes a 7 i a 100. Pots determinar l’expressió
x +5
x +5
del terme an 1 en funció de n?
b) y = 2 x − 5 → x = 2 y − 5 → y =
→ g −1 ( x ) =
2
2
(2 x − 5) + 5 2 x
−1
49
72
g 21
=
=x
� g )( x ) =
c) ((g
a 7 ——— ——
2
2
71
8
4. Un venedor té un salari mensual que està determinat per un
1002
10 000
sou fix més un cert percentatge sobre el volum de vendes a 100 ———— ————
que ha fet durant el mes. Si ven per valor de 2 000 €, el seu 100 1
101
salari és de 1 200 € i, si ven per valor de 2 500 €, el salari és
(n 1)2
(n 1)2
de 1 300 €. Trobeu el percentatge que guanya sobre el total a n 1 ————— ————
de vendes i el sou fix.
n11
n
b, sou fix
a, % del volum de vendes
Busquem una funció de la forma y = ax + b
1200 = 2000a + b
Sabem
1300 = 2500a + b
Resolent per reducció, restant les equacions −100 5 2500a →
→ a 5 1/5 5 0,2 5 20 % i b 5 800.
Així, el percentatge que guanya sobre el total de vendes és del
20 % i el sou fix són 800 €.
n1
4. El terme general d’una successió és: an ————. Calcula
n
els termes a 100 i a 1 000.
Substituïm n pel terme que s’indica:
jUnitat 9. Successions
Activitats
101
a 100 —— 1,01
100
1001
a 1 000 ——— 1,001
1000
5. Representa a la recta real els deu primers termes de la suc
2n
cessió a n ——— .
n1
1. Intenta deduir l’expressió del terme general de cadascuna
d’aquestes successions:
1 1 1 1 1
a) — , — , — , — , ——...
2 4 6 8 10
1
——
2n
6. Estudia la monotonia de les successions següents:
1
a) a n ——
n 2
MATEMÀTIQUES 1
1
1
n2 n2 2 n 1
——— —— ——————————
(n 1)2
n2
n 2 (n 1)2
2 n 1
—————— 0 per a tot n
n 2 (n 1)2
Successió monòtona decreixent.
Hi apliquem el criteri de restar un terme de l’anterior i observar
el signe de la diferència.
b) bn n 3
(n 1)3 n 3
n3 3 n2 3 n 1 n3
3 n 2 3 n 1 0 per a tot n
Monòtona creixent.
n 1
c) c n ———
n
(n 1) 1
n1
n2 n2 1
————— ——— ———————
n1
n
(n 1) n
1
————— 0 per a tot n
(n 1) n
Monòtona creixent.
la
115
b) Fites inferiors: k 1.
No té fita superior.
c) Fites inferiors: k 0.
Fites superiors: K 1.
1
d) Fites inferiors: k — .
3
No té fita superior.
e) No té fita inferior.
Fites superiors: K 0.
f ) Fites inferiors: k 23.
No té fita superior.
8. Escriu el terme general de la successió dels múltiples de 5. El
nombre 6 000 és una fita superior d’aquesta successió? Raona
la resposta. Està fitada inferiorment aquesta successió?
an 5 n; a 1 200 6 000
Amb n 1200, an 6 000.
No és una fita superior.
La fita inferior és 5 i qualsevol k 5.
n
d ) dn ———
n 2
2
(n 1)
n
————— ———
(n 1) 2
n2
2
2
n 5n 2
——————— 0 per a tot n
(n 3) (n 2)
2
Monòtona creixent.
9. Calcula termes avançats d’aquestes successions per poderne establir el límit en cada cas:
En cadascun dels apartats cal calcular 2 o 3 termes avançats:
1
a) a n ——
n2
a 100 0,0001;
a 1 000 0,000001 → 0
e) e n n n
2
3
(n 1)2 (n 1)3 [n 2 n 3]
3 n 2 n 0 per a tot n
Monòtona decreixent.
f) f n 2 n 25
2 (n 1) 25 (2 n 25) 2 0
per a tot n
Monòtona creixent.
n
b) bn ———
n8
n 2 1
c) c n ———
n 2 1
a) Fites inferiors: k 0.
Fites superiors: K 1.
9 999
c 100 ————;
10 001
7. Determina, si existeixen, les fites superior i inferior de
cadascuna de les successions de l’activitat anterior.
100
1000
b 100 ——; b 1 000 ——— → 1
108
1008
999 999
c 1 000 ————— 0,999... → 1
1000 001
100
d ) d n ———
n
116
LA
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
100
d 1000 ——— 0,1;
1000
100
d 100 000 ———— 0,001 → 0
100 000
e) e n n 2 100
e 100 9 900; e 10 000 99 999 900 →
f ) f n n 3 100
f 100 999 900;
f 1000 999 999 900 →
Quan el nombre de decimals es preveu il.limitat és millor deixar
els resultats en forma de fracció.
14.Considera les successions {an }: 1, 4, 9, 16, 25... i
1 1 1 1
{bn }: 1, — , — , — , — ...
2 3 4 5
a) Troba el terme general de an i bn.
1
an n 2; bn —
n
b) Determina els cinc primers termes i el terme general de
cadascuna de les successions següents:
g) g n n 2 50 n 125
g 100 5 125;
g 10 000 99 500 125 →
2 n 2 1
h) h n ————
n2
h 100 1,9999; h 1 000 1,999999 → 2
10. Classifica les successions anteriors en convergents i divergents.
{an bn} {an bn} {an bn}
an
{n bn } —— {bn an}
bn
n3 1
{an bn} ———— →
n
9 28 65 126
→ 2, — , ——, ——, ——
2
3
4
5
Són convergents les que tenen límit numéric: a), b), c), d) i h).
Són divergents les que tenen límit del tipus infinit: e), f ) i g).
n3 1
{an bn} ———— →
n
7 26 63 124
→ 0, — , ——, ——, ——
2
3
4
5
11. Troba els cinc primers termes de la successió an (2)n 1.
{an bn} n → 1, 2, 3, 4, 5
Substituïm n per 1, 2... 5:
a 1 4; a 2 8; a 3 16;
a 4 32; a 5 64
12. Escriu el terme general de dues successions divergents de
límit .
Resposta oberta. Per exemple:
an n 2 100; bn n 2 3 n 3
13. Calcula els termes que ocupen les posicions 100 i 1 000 en
les successions de terme general:
n 10
n 2 100
an ———— i bn —————
n
n 10
Pots intuir quin és el límit de cadascuna?
110
1 010
a 100 —— 1,1; a 1 000 ——— 1,01 → 1
100
1 000
10 100
1010
b 100 ——— ——;
110
11
1000 100
100 010
b 1000 ———— ——— →
1 010
101
{n bn} 1 → 1, 1, 1, 1, 1
——ba n
n
3
→ 1, 8, 27, 64, 125
n
1 n3
{bn an} ——— →
n
7
26
63
124
→ 0, ——, ——,——, ——
2
3
4
5
15. Escriu els deu primers termes de la successió {an} n, en què
n1
an ——— .
n
n1
———
n
n
9 64 625
7 776
→ 2; — ; ——; ——; ————;
4 27 256
3 125
2,522; 2,546; 2,565; 2,581; 2,594...
16. Calcula quin és el límit de cadascuna de les successions
següents:
2 n 1
n
a) an ——— ———
n
n1
MATEMÀTIQUES 1
2n 1
n
——— ——— ⇒
n
n1
⇒ 2 1 3 (suma de límits)
lim {an bn}
lim {an bn}
lim {an bn} lim (n 2 1 35 n)
1
1
n
1
——
: — ——
— → 0
n
n2
n
n2
1
1
n n2
1n
——
— ———
———
→ 0
2
n
n3
n2
n
1
d ) dn 5 : —
n
n2 1
lim {an : bn} lim ———
35 n
lim {bn an} lim (35 n n 2 1)
1
1
—
c) cn ——
n2
n
117
lim (n 2 1) ; lim 35 n
1
1
:—
b) b n ——
n2 n
la
1
5 : — 5n →
n
35 n
lim {bn : an} lim ——— 0
2
n 1
3n
5 n 2
20. Calcula el límit de les successions an ——— i bn ———.
150
n 1
Són divergents? Calcula el límit de cadascuna de les successions següents:
{an bn} {an bn} {an bn}
17. Escriu els termes generals de dues successions convergents
el límit de les quals sigui zero. Calcula el límit de les dues
possibles successions quocient.
Resposta oberta. Per exemple:
2
2n
an — i bn ———
n
n2 1
2 n2 2
an
——
————
→ 1;
2 n2
bn
bn
2 n2
——
————
→ 1
2 n2 2
an
{an : bn} {bn an} {bn : an}
an
5 000 n 5 000
lim —— lim ——————— 0
bn
n 2 5 000 n
ja que el grau del polinomi denominador és més gran que el del
numerador.
n 5 000 n
bn
lim —— lim ———————
an
5 000 n 5 000
2
19. Considera les successions an n 2 1 i bn 35 n. Comprova
que són successions divergents. Calcula el límit de cadascuna
de les successions següents:
5 n 2
lim bn lim ———
n1
Són divergents.
3 n 2 3 n 750 n 2
lim {an bn} lim ————————
150 n 150
an
5 000
n 5 000
18. Donades an ———— i bn ——————, calcula lim ————
n
n
1
bn
bn
i lim ——.
an
3n
lim an lim —— ;
150
15 n 3
lim {an bn} lim —————
150 n 150
3 n 2 3 n 750 n 2
lim {an bn} lim ————————
150 n 150
3 n2 3 n
3
1
lim {an : bn} lim ———— —— ——
2
750 n
750
250
lim {bn an}
750 n 2 3 n 2 3 n
lim —————————
150 n 150
750 n 2
lim {bn : an} lim ———— 250
3 n2 3 n
21. Calcula el límit de cadascuna de les successions següents:
{an bn} {an bn}
2n
a) an ————
3 n 5
{an bn} {an : bn}
{bn an} {bn : an}
2n
2n
2
lim ———— lim ——— —
3 n 5
3 n
3
118
LA
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
1 √ n
b) b n ———
n
1 √n
1
√n
lim ——— lim —— lim —— 0
n
n
√n
d ) dn n 2 n n 3
lim (n 2 n n 3) lim (n 3)
800
e) en ———
2n3
800
lim —— 0
2 n3
22. Troba, si existeixen, els límits següents:
n3
n2
lim —— lim ——
2n
2
2 n
1
lim 0,2 n lim —— lim —— → 0
10
5n
c) lim (1)
n
No existeix, ja que és una successió oscil.lant.
1
d ) lim —
3
1
lim —
3
2 n 2
e) lim ———
n3
1
n
1
lim 1 ——
n
n 1
n (1)
———
21
5n
1
lim —— 0
35n
n
——
n1
2n 2
lim ———
n3
n
——
n1
1
e 1 —
e
n 2
n2
lim ——— lim 1 ——— 1
n 1
n1
n 2
a) lim ———
n 1
n
n
1
1 ———
n1
n
———
n1
e1 e
3n
3n
n1
n (n 1)
———
n1
n3
lim 1 1 ———
n1
2
lim 1 ———
n1
n3
b) lim 2 ———
n1
1
lim 1 ———
n1
21 2, ja que:
24. Determina els límits següents:
3n
5n
lim 1 ——
n
1
lim 1 —
n
lim
b) lim 0,2n
n
n 3
a) lim ——
2 n
10 1, ja que:
1 n
23. Calcula: lim 1 — .
n
1
1
Tingues en compte que: 1 — 1 ——.
n
n
n 1
n
1
lim ———— lim —— lim —— 0
2
2
n
n
n
1
—
n
n
1
lim ———— 1 i lim — 0
n5
n
n 1
f ) f n ————
n2
1
—
n
n
lim ———
n5
1
lim 100 — lim 100 100
n
n
f ) lim ———
n 5
1
c) cn 100 —
n
2n 2
n
lim ———— 2 i lim ——— 1
n3
n1
lim
n1
22
3 n ——— ———
22
n1
1
lim 1 ———
n1
———
2
1
1 ———
n1
———
2
e 6
n1
———
22
26n
———
n1
la
MATEMÀTIQUES 1
1
c) lim 1 ——
2n
3n 1
1
lim 1 ——
2n
1
lim 1 ——
2n
lim
3n
d ) lim 4 ———
n5
2n (3n11)
————
2n
2n
3n11
——
2n
15
lim 1 ———
n5
3
—
2
n2
15
(n15)
n 2 —— ——
n15
15
1
1 ———
n5
———
15
n2
1
lim 1 ———
n5
———
15
lim
e
3n
lim 1 3 ———
n5
n2
Calcula els termes a2, a4 i a7 de la successió de les àrees.
Pots escriure l’expressió del terme general an d’aquesta
successió? Té límit la successió d’aquestes àrees? Quin és?
3n 1
1
1 ——
2n
119
n15
——
15
15 n2
——
n15
h
√
1
1—
4
√
3
√3
— ——
4
2
√3
√3
a1 1 —— : 2 —— cm2
2
4
1
L’àrea de cada triangle és — de la del triangle anterior:
4
√3
√3
√3
a 2 —— cm2; a 4 —— cm2; a 7 —— cm2;
42
44
47
e
Activitats finals
1. La successió 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34... és la successió
de Fibonacci. Aquesta successió té una regla recurrent
que permet, a partir d’un cert valor de n, determinar-ne
qualsevol terme si es coneixen els anteriors. Escriu-ne cinc
termes més i indica la recurrència enunciada.
A partir del segon terme, cadascun dels termes és la su­ma dels
dos anteriors.
√3
lim an lim —— 0
4n
3. Esbrina si aquesta afirmació és certa: 2 és una fita inferior
de la successió
2n 2
an ———
2
Quin és el límit d’aquesta successió?
2 no és una fita inferior de la successió, ja que a 1 0 2.
2n 2
2n
lim ——— lim ——
2
2
Cinc termes més:
55, 89, 144, 233, 377
an an 1 an 2 per a tot n 2
2. Dibuixa triangles equilàters successius a partir dels punts
mitjans del triangle equi­làter immediatament anterior. Si el
primer triangle mesura 1 cm de costat, comprova que la seva
√3
àrea és —— cm2.
4
4. Considera la successió de terme general an ( √ 3)n. Té fites
inferiors aquesta successió? A partir de quin terme tots el
que el segueixen són més grans que 81? Té fita superior
aquesta successió?
a 1 √ 3 i qualsevol k √ 3 és una fita inferior.
n
(√ 3 ) n 81 → 3 2 34 ⇒
n
⇒ —4 → n8
2
120
LA
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
Aquesta successió no té fita superior:
lim (√ 3 ) n
k n2 3
lim ————
1 n2
5. Calcula els límits següents:
a) lim (3 n 5) (2 3 n)
lim (3n 5)(2 3n)
lim (9 n 2 21n 10)
lim (9 n 2)
n
n
lim ——— —
n1
2
n2 n
n2
lim ———— lim ——
2n 2
2n
n
lim —
2
n
n2
b) lim ——— —
n 1
2
2
2n
√ 4n2 n lim ——
lim —————
1
2n 3
2n
5
lim — √n 0
n
5
d ) lim — √ n
n
n n 311
e) lim ————
n2
3 n n2
f ) lim ————
1 n2
lim
1n
3 n n2
2
7. Determina aquests límits:
1
a) lim —
5
5n
1
lim —
5
5n
1
lim —— 0
55 n
n 3 3 n 2 1
b) lim ——————
n5 2 n
n3
n3 3 n2 1
lim —————— lim ——
n5 2 n
n5
1
lim — 0
n2
n1
n
lim ——— lim —— lim √n
√n
√n
√5 n 3 3 n 2
d ) lim ——————
√n 3 5 n 1
√5 n 3 3 n 2
√5 n3
lim —————— lim ———
3
3
2
n
5
n
1
n
√
n n 311
lim —————
n2
3
n
lim —— lim (n)
n2
n 1
c) lim ———
√ n
√ 4n2 n
c) lim —————
2 n 3
k n2
lim —— k 2 → k 2
n 2
n2 1
e) lim ———
n
2n
——
n1
2n
——
n1
n2 1
lim ———
n
2
3 n2
3 n2 2
f ) lim ——— ————
n 1
n1
n2
lim
1
n 2
3 n2 2
3 n2
lim ——— ————
n1
n1
6 n 2
6 n 2 2 n 2
lim ——————— lim ——— 6
n2 1
n2
6. Troba el valor de k per tal que es verifiqui:
k n2 3
lim ———— 2
1 n2
g) lim (√ 3n √ n )
lim (√3n √ n) lim √ n (√ 3 1)
la
MATEMÀTIQUES 1
h) lim 300n
1
lim 300n lim ——— 0
300 n
és del tipus del número e:
n 3
i ) lim ———
n 5
n 3
lim ———
n 5
n
n 5
n
1
1 ———
n5
———
2
n5
——
22
n
22
——
n5
5n 3
lim ————
n
2
3
—
n
2
5 1
Els polinomis numerador i denominador són del mateix grau i els
coeficients dels respectius termes de major grau són iguals.
Tots aquests límits són del tipus del número e:
n
n 2 1 n
lim 1 ————
n3 1
lim
1
1 ———
n5
———
3
6
b) lim 1 —
n
2n
n5
——
3
1
1 ————
3
n 1
————
n 2 1
lim e
2n
d) lim 3 ———
n1
n1
n1
2n
lim 1 2 ———
n1
1
e 1 —
e
2n
lim 3 ———
n1
n
2n2 2 1
n ———
n3 1
n3 1
———
2n2 2 1
2n3 2 n
———
n3 1 1
2
lim 1 ———
n1
3
lim 1 ———
n5
1
lim 1 ————
3
n 1
————
n 2 1
1
n 1
9. Calcula els límits següents:
1
2
0
n3 1
n 3
8. El límit d’una successió, el terme general de la qual és una
fracció algèbrica, és 1. Explica la relació que hi ha entre els
graus dels polinomis numerador i denominador, i entre els
coeficients dels termes que determinen aquests graus.
lim
e 12
n
3
a) lim 1 ———
n5
n3 n2
3
—
n
5 n 3
j) lim ————
n2
n3 n2
lim ————
n3 1
1
e 2 —
e2
6
2n —
n
Dividim la fracció:
1
n
—
26
n
n5
2
lim 1 ———
n5
1
1 ——
n
——
6
n 3 n 2
c) lim ————
n3 1
2
2
2n
n
n3
lim
lim
6
lim 1 —
n
Dividim la fracció:
n1
n1
e2
n
3
n ——
n5
e3
n1
lim 2 ———
n
n1
lim 1 1 ———
n
n1
e) lim 2 ———
n
2 n
2 n
2 n
121
122
LA
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
1
lim 1 ——
n
1
lim 1 ——
n
lim e
n2 5
f ) lim ————
n2 1
22n
—
2n
c) Calcula’n a1 000 i a10 000 i indica el nombre real al qual sembla
que s’apropen els termes de la successió suficientment
avançats.
e2
a1000 =
n 5
lim ————
n2 1
5n
4
lim 1 ———
2
n 1
1
lim 1 ———
2
n 1
———
4
20 n
—
—
—
n2 1
d) Es tracta d’una successió fitada? Explica-ho.
La successió està fitada inferiorment per a qualsevol nombre
real més petit o igual que 1, i està fitada superiorment per
qualsevol nombre real més gran o igual que 1,5. Es compleix,
doncs, 1 ≤ an ≤ 1,5.
5n
n2 1
—
—
—
4
1
1 ———
2
n 1
———
4
5n
4
5n —
—
—
n2 1
e0 1
r
Ct lim C 0 1 ———
100 n
lim
e
d) lim
lim
tn
an
4 n2 + 4 n + 1
4 n2
= lim
= lim 2 = −4
2
bn
1−n
−n
3. Considera la successió an =
100 n
—
—
—
r
→ Ct C 0 e
an
bn
tr
—
—
100
c) lim (an + bn)
lim (an 1 bn) 5 lim (3n2 1 4n + 2) 5 lim 3n2 = ∞
1
1 ———
100 n
———
r
tn
b) lim bn
lim bn 5 lim (1 2 n)(1 1 n) 5 lim (1 2 n2) 5 lim (2n2) 5
5 -∞
tn
1
lim 1 ———
100 n
———
r
r
lim 1 ———
100 n
2. Donades les successions an 5 (2n 1 1)2 i bn 5 (1 1 n) (1 2 n),
calcula:
a) lim an
lim an 5 lim (2n 1 1)2 5 lim (4n2 1 4n 1 1) 5 lim 4n2 5 ∞
10. Expressa en funció del número e la fórmula de l’interès
continu que ve donada per:
3000
30 000
≈ 1, 49925...; a1000 =
≈ 1, 499925...
2001
20 001
Sembla que s’apropen a 1,5.
lim e
∀ n. Per tant, la successió és monò-
5n
2
lim
Es verifica an + 1 - an > 0,
tona creixent.
1
— (2 n)
2n
n
b) Indica raonadament si és monòtona o no.
2 n
r
tn—
—
—
100 n
3n k − 5 n + 7
. Indica’n els pos(4 n2 − 1)2
sibles límits segons els valors de l’exponent k.
tr
—
—
100
Avaluació
3n
:
1. Donada la successió de terme general an =
2n + 1
a) Escriu-ne els sis primers termes.
6
9
12 4
15
18
a1 = 1; a2 = ; a3 = ; a4 =
= : a5 = ; a6 =
5
7
9 3
11
13
lim an = lim
3nk − 5n + 7
3n4
= lim
4
2
16n − 8n + 1
16n4
Si k > 4, lim an = ∞; si k = 4, lim an =
3
; si k < 4, lim an = 0.
16
1 n
1 n
4. Donades les successions an = i bn = , determina:
2
3
a) lim an
1 n
1
lim = 0, ja que < 1
2
2
b) lim bn
1 n
1
lim = 0, ja que < 1
3
3
la
MATEMÀTIQUES 1
jUnitat 10. Límits i continuïtat
de funcions
an
bn
c) lim
3 n
an
3
= lim = ∞, ja que > 1
bn
2
2
lim
d) lim
Activitats
x2
1. Donada la funció f (x) ——— :
x1
bn
an
a) Troba el límit de la funció per a x 4, x 1 i x 2.
2 n
bn
2
= lim = 0, ja que < 1
an
3
3
lim
x 4,
x → 4; f (x) → 2
x → 4; f (x) → 2
∞
c) lim
x→4
5n + 3
2–n
n2 – n + 1
2n – 5
b) lim
2n – + 3
n3 – 1
d) lim (√n2 – √n2 + 1 )
−5
0
6
lim f(x) 2
5. Calcula els límits següents:
a) lim
x 1,
x → 1; f (x) →
x → 1; f (x) →
6
No existeix lim f (x) perquè els límits laterals són diferents
x→1
multiplicant i dividint pel conjugat, 0
2n2 + 1
⎛
⎛
e) lim ⎜ n + 5 ⎜
⎝ n–1 ⎝
x 2,
x → 2; f (x) → 0
x → 2; f (x) → 0
lim f(x) 0
2n2 + 1
6
lim 1 +
n −1
b) Indica si es creixent o decreixent per a x 4 i x 2.
1
= lim 1 +
n − 1
6
n−1
6
6
2n2 + 1·
n −1
x 4, x → 4; f (x) → 2
= e∞ = ∞
+1
⎛ n + 5 ⎛2n
2n – 5
⎜
f) lim ⎜
⎝ n–1 ⎝
2
2
És decreixent ja que x ↑, f (x) ↓
x → 4; f (x) → 2
És decreixent ja que x ↓, f (x) ↑
x 2, x → 2; f (x) → 0
x → 2; f (x) → 0
6. Quina és la suma dels cent primers nombres naturals? I la
dels dos-cents primers nombres parells?
Els nombres naturals són una progressió aritmètica de d 5 1, i
per tant
1 + 100
· 100
5 050
.100
= 5050
2
És decreixent ja que x ↓, f (x) ↑
x2 2 x
2. Donada la funció f (x) ———— :
3x
a) Troba el límit de la funció en x 0.
x → 0; f (x) → 0,6
2 + 400
· 200
5 40 200.
·200
= 40200
2
6
2
lim f(x) 0,6 —
x→0
3
(
La suma dels dos-cents primers nombres és
x → 0; f (x) → 0,6
(
2, 4, 6, 8, 10…
6
→ Decreixent.
(
La successió dels nombres parells també és una progressió
aritmètica de d 5 2
6
→ Decreixent.
És decreixent ja que x ↑, f (x) ↓
2
S200 =
6
x → 2
és de nombre e,
S100 =
123
b) Què pots dir del creixement de la funció en el punt x 0?
Justifica’n la resposta.
x 0 Df . No poden parlar de creixement en x 0.
LA
124
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
3. Calcula els límits següents:
e) lim (3x3 2 √ 5x4 3x2 7)
x → 2
2 x 5 x 2
a) lim ——————
x→
3 x2 1
lim (3x3 2 √ 5x4 3x2 7)
x →2
5 x2
5
2 x 5 x2
lim —————— lim ——— —
2
2
x→
x
→
3x 1
3x
3
7 x 3
b) lim ————
2
x→ 4x 2
7x 3
7x
lim ———— lim ——
2
x
→
x
→
4x 2
4 x2
7
lim —— 0
x→ 4x
c) lim (√ 3x2 5x 9 √ 3x2 x 1)
x →1
lim (√ 3x2 5x 9 √ 3x2 x 1)
x →1
(√3x2 5x 9)2 (√3x2 x 1)2
lim ——————————————————
x →1
√3x 5x 9 √ 3x x 1
2
2
3x2 5x 9 3x2 x 1
lim ————————————————
x →1
√ 3x2 5x 9 √ 3x2 x 1
lim (3 x 3)
x →2
1 3 x3
f) lim ————
2
x → 2 5 x 2
x →2
lim
x →1
6x
lim ————————
x→
√3 x 2 √3 x 2
6x
—————— lim
√3 x √3 x
x→
6x
————
2√3 x
6
3
3 √3
——— —— ——— √ 3
2 √3
√3
3
x → 1
lim (√ x2 1 x 2)
x3
x5
———
x2
lim
x →1
lim
x →1
3
1 ———
x2
3(x 3)
—
—
—
x 2
lim
e x →
x 2
—
—
—
3
x3
3
—
—
— (x 3)
x 2
lim
e x →
3x
—
—
x
e3
x2 x 2
1 x3
h) lim ————— ————
x → 1
2x 3
x2 5
lim
x →1
x2 x 2
1 x3
————— ————
2x 3
x2 5
x 4 2 x 3 7 x 2 7 x 13
lim ———————————————
x →1
2 x 3 3 x 2 10 x 15
d) lim (√x 2 1 x 2)
x5
g) lim ———
x → 1
x2
6x 10
lim ————————————————
x →1 √3x2 5x 9 √ 3x2 x 1
3 x3
1 3 x3
———— lim ———
x →2
5 x2 2
5 x2
3 x
lim ——
x →2
5
lim
lim
x →1
x
x 4
——— lim ——
3
x →1
2x
2
x →1
lim [√ x2 1 (x 2)]
x →1
(√ x2 1 )2 (x 2)2
——————————
lim
x →1
√ x2 1 x 2
6 x 4 5 x 3 2 x 2 3
i) lim ———————————
x→
2 x3 x2 2 x 7
x2 1 x2 4 x 4
lim ———————————
x →1
√ x2 1 x 2
4 x 3
lim —————————
2
x →1
√x 1 x 2
4 x
4 x
lim ———— lim ———
x →1
√ x2 x
x →1
xx
4 x
lim ——— 2
x →1
2x
6 x 4 5 x 3 2 x2 3
lim ———————————
x→
2 x3 x2 2 x 7
6 x4
lim ——— lim 3 x
x→
x→
2 x3
2 2x
j) lim 3 ————
x→
x4
lim
x→
x 1
—
—
—
2
2 2x
3 ————
x4
x 1
—
—
—
2
la
MATEMÀTIQUES 1
lim
x→
lim
x →
6
1 ———
x4
x 24
—
—
—
26
1 ———
x4
6
k) lim
x → 2
3x 2
x →
4x 1
————
————
x 5
6x 3
3x 2
2
12 x
lim ——— 2
4
x → 6 x
4
3 x 3x
l ) lim ——————
x →
1 2 x2
2
lim
x √ 3 x 10
lim ———————
x→5
x2 25
4x 1
2
x √3 x 10
a) lim ————————
x→5
x 2 25
2
x2 (√3x 10)
————————————
lim 2
12 x 4 3 x 3 8 x 2
lim ———————————
x →
6 x 4 33 x 2 15
5. Calcula els següents límits de funcions:
e3
2
lim
x3 5 x2 6 x
0
lim ——————— — 0
3
2
x→3 x 3x 2x
6
3
23x 2 3
x 24
2
————
————
x 5 6x 3
3
2
x2 3 x
lim ————— —— 1
2
x→2
x x
2
26 · x 1
—
—
— —
—
—
x 24
2
lim
—
—
x → —
e
x 1
—
—
—
2
x →
lim ——————
1 2x
3 x 3x
2
3
—
2
2
—
3
(x 5)(x 5)(x √ 3x 10)
x→5
(3 x)
x →
lim
x→5
lim
x →
(3 x)
0
4. Troba el límit de la funció
b) lim
x→0
x1
2x 3
————
———
6x
3x
2
x3 5 x2 6 x
lim ———————
3
2
x→0 x 3x 2x
x (x 2 5 x 6 )
lim ———————
2
x → 0 x (x 3 x 2)
6
x2 5 x 6
lim —————— — 3
2
x→0 x 3x 2
2
2
x3 5 x2 6 x
lim ——————— —
3
2
x→1
x 3x 2x
0
x3 5 x2 6 x
lim ———————
x→2
x3 3 x2 2 x
(x 2) (x2 3 x)
lim ————————
2
x → 2 (x 2) (x x)
3
lim
(x 5)(x √3x 10)
7
7
——— ——
10 10
100
x→0
————
———
6x
3x
x1
2
2x 3
3
x (x 1) 2 (2 x 3)
lim ———————————
x→0
6 x3
x2 x 4 x 6
lim ————————
x→0
6 x3
x3 5 x2 6 x
f (x) ——————— en x 0, x 1, x 2 i x 3.
x3 3 x2 2 x
(x 25)(x √3x 10)
x2
lim ———————————
3x
2
3x 2
lim ———
2
x → 2 x
x→5
(x 5) (x 2)
lim ———————————————
3 x 3x 2
——————
1 2 x2
(x 25)(x √3x 10)
x2 3 x 10
lim ————————————
2
3x
x →
x→5
c) lim
x→1
x2 3 x 6 6
lim —————— ——
x→0
6 x3
0
: ————
————
x 1
x1
2x 3
2x 2
2
lim
x→1
2x 3
2x 2
: ————
————
x 1
x1
2
(2 x 3) (x 1)
lim ————————
2
x → 1 (x 1) (2 x 2)
(2 x 3) (x 1)
lim ———————————
x → 1 (x 1) (x 1) (2 x 2)
2x 3
5
5
lim ———————— ——— —
x → 1 (x 1) (2 x 2)
24
8
125
126
LA
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
x2 2 x 1
d) lim —————————
x → 1
x3 3 x2 3 x 1
2 x3 5 x 2 7 x
e) lim ————————
x→0
3 x2 4 x
lim
x→0
7
——
4
1
—
3
lim
x→2
3
7
7
— —
4
4
4
———————
x 2x 2
x3
1
—
x
x2 x 2
4
lim —————— ——
2
x → 3
x 5x 6
0
x2 x 2
4
lim —————— ——
2
x → 31
x 5x 6
0
2
x3 4
lim ———————
2
x→2 x 2x 2
6
—
5
1
—
2
1
lim
x→2 —
x
√
6
—
5
3 x 2 9 x 30
lim ————————
x → 2
16 2 x 3
3 x 15
7
lim ——————— —
2
x → 2 2 x 4 x 8
8
x1
lim ——— 3
x → 2
x3
x2 x 2
lim ———————
x → 2
x2 5 x 6
(x 2) (x 1)
lim ————————
x → 2 (x 2) (x 3)
x1
lim ——— 3
x → 2
x3
x2 x 2
lim ——————— 3
x → 2
x2 5 x 6
x2 x 2
lim —————— 0
2
x → 1 x 5 x 6
x 3 2 x 2 3 x
h) lim ———————
x→3
27 x 3
x2 x 2
lim —————— 0
x → 11
x2 5 x 6
6
x2 x 2
lim ——————
2
x → 2 x 5 x 6
(x 2)(x 1)
lim ————————
x → 2 (x 2)(x 3)
(x 2) (3 x 15)
lim ———————————
2
x → 2 (x 2) (2 x 4 x 8)
3
1
lim —————— —
2
x → 3 x 3 x 9
9
No existeix el límit.
3 x 2 9 x 30
g) lim ————————
x → 2
16 2 x 3
3 (x 3)
lim ———————————
2
x → 3 (x 3) (x 3 x 9)
x2 x 2
6. Donada la funció f (x) ———————, calcula’n el límit
x2 5 x 6
quan x tendeix a: 3, 3, 3, 2, 2, 2, 1, 1 i 1.
√
√
1
—
x
x3 4
f ) lim ——————
x→2
x2 2 x 2
3
lim
8x 1
—
——
x →0 —
3
2 x2 5 x 7
lim ————————
x→0
3x 4
lim x(8x 1)
—
——
x →0 —
3x
8x2 x
—
—
—
3x
3x 9
lim ————
3
x → 3 x 27
4
x2 x
lim ——————— —
2
x → 3 x 3 x 9
9
2 x3 5 x 2 7 x
————————
3 x2 4 x
(x 3) (x2 x)
lim ———————————
2
x → 3 (x 3) (x 3 x 9)
3x 9
i) lim ————
3
x → 3 x 27
8x2 x
—
—
—
3x
x (2 x 2 5 x 7)
lim ————————
x → 0
x (3 x 4)
1
1
lim ——— —
x → 1
x1
0
(x 1)2
lim ————
3
x → 1 (x 1)
x2 2 x 1
lim —————————
3
2
x → 1 x 3 x 3 x 1
x3 2 x2 3 x
lim ———————
x→3
27 x3
6
x2 x 2
lim —————— 0
x→1
x2 5 x 6
6
la
MATEMÀTIQUES 1
7. Donada la funció f ( x ) = x − 4 , indica’n el domini i
dedueix-ne el límit quan x tendeix a: 4, 4, 4.
Df {x x 4 0} [4, )
∃
/ lim
x → 4
√x 4
ja que els valors més petits de 4 no són del domini.
lim
x → 4
√ x 4 0, i per tant:
∃
/ lim
x→4
√x 4
5
x2 1
————
2x 2
x1
quan x tendeix a 0, 0, 0, 1, 1, 1, 3, 3, 3.
6
x2 x
lim f (x) lim —————
2 x2 2 x
x→0
x→0
x (x 1)
lim —————
x → 0 2 x (x 1)
x1
1
lim ————— —
2
x → 0 2 (x 1)
—————
x2 x
lim f (x) lim
2
x → 0
x → 0 2 x 2 x
—————
x (x 1)
lim
x → 0 2 x (x 1)
—————
x1
1
—
lim
2
x → 0 2 (x 1)
1
d’on: lim f (x) —
x → 0
2
x2 x
lim f (x) lim —————
0
2
2x
2
x
x→1
x→1
x2 1
lim f (x) lim ————
2
x2
x→1
x→1
(x
1) (x 1)
lim ———————
2 (x 1)
x → 1
———
x1
1
lim
2
x → 1
∃
/ lim f (x)
x→1
x2 1
lim f (x) lim ———— 2
x → 3
x → 3 2 x 2
x2 1
lim f (x) lim ———— 2
x → 3
x → 3 2 x 2
6
lim f (x) 2
x→3
9. Donades les funcions:
2 x2 2 x
f (x) ————— i
x x3
5 x
———
x1
g (x)
x2
———
x1
5
si x 0
si x 0
Estudia’n la continuïtat en x 1, x 0 i x 1.
8. Calcula el límit de la funció definida a trossos:
x2 x
———
——
x1
2x2 2x
f(x)
127
6
Df {x x x3 0} {1, 0, 1}
2 x2 2 x
lim f (x) lim —————
x → 1
x → 1
x x3
2 x (x 1)
lim ————————
x → 1 (x x 2) (x 1)
2x
lim ———— 1
x → 1 x x 2
2 x2 2 x
lim f (x) lim —————
x → 1
x → 1
x x3
2 x (x 1)
lim ————————
x → 1 (x x 2) (x 1)
2x
lim ———— 1
x → 1 x x 2
6
d’on: ∃
/ f (1), ja que x 1 Df. Discontinuïtat evitable en
x 1.
2 x2 2 x
lim f (x) lim —————
x → 0
x → 0
x x3
x (2 x 2)
lim —————
x → 0 x (1 x2)
2 x 2
lim ———— 2
x → 0 1 x 2
2 x2 2 x
lim f (x) lim —————
x → 0
x → 0
x x3
x (2 x 2)
lim —————
x → 0 x (1 x2)
2x 2
lim ———— 2
x → 0 1 x2
6
d’on: ∃
/ f (0), ja que x 0 Df . Discontinuïtat evitable en
x 0.
128
LA
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
S’eviten les dues discontinuïtats definint una nova funció:
h (x)
5
f (x)
1
2
x 1 i x 0
x 1
x0
2 x2 2 x
4
lim f (x) lim ————— —
3
x
→
1
x
→
1
xx
0
2 x2 2 x
4
lim f (x) lim ————— —
3
x→1
x→1
0
xx
6
∃
/ f (1), ja que x 1 Df
Discontinuïtat asimptòtica en x 1.
Dg {x x 1 0 i x 1 0}
{1, 1}
5 x
5
lim g (x) lim ——— —
x → 1
x → 1
x1
0
5 x
5
lim g (x) lim ——— —
x → 1
x → 1 x 1
0
6
Discontinuïtat asimptòtica en x 1. ∃
/ g (1), ja que
x 1 Dg .
5 x
lim g (x) lim ——— 0
x→0
x→0
x1
x2
lim g (x) lim ——— 0
x → 0 x 1
x → 0
6
Contínua en x 0.
x2
1
lim g (x) lim ——— —
x → 1
x → 1 x 1
0
6
Discontinuïtat asimptòtica en x 1. ∃
/ g (1), ja que x 1 Dg .
2 x 2 6 x 4
f (x) ————————
1 x4
Df {x 1 x 4 0} {1, 1}
2 x 2 6 x 4 12
lim ———————— ——
x → 1
1 x4
0
2 x 2 6 x 4 12
lim ———————— ——
x → 1
0
1 x4
∃
/ f (1), ja que x 1 Df
Discontinuïtat asimptòtica en x 1.
2 x 4
1
lim ———————— —
3
2
x→1
x x x 1
2
2 x2 6 x 4
lim ————————
x → 1
1 x4
(x 1) (2 x 4)
lim —————————————
x → 1 (x 1) (x 3 x 2 x 1)
2 x 4
1
lim ———————— —
x → 1 x 3 x 2 x 1
2
6
∃
/ f (1), ja que x 1 Dg
Discontinuïtat evitable en x 1. S’evita definint una nova funció:
5
f (x)
g (x)
1
—
2
f (x)
5
px 1
————
x4
si x 1
x1
————
x2 1
si x 1
x1
x1
a) Troba el valor de p perquè sigui contínua en x 1.
px 1
p1
lim f (x) lim ———— ———
x
→ 1
x → 1 x 4
3
x1
lim f (x) lim ————
x
→1
x→1
x2 x
10. Estudia la continuïtat de la funció:
Cal estudiar-la en x 1 i x 1.
(x 1) (2 x 4)
lim —————————————
x → 1 (x 1) (x 3 x2 x 1)
11. En la funció
f (0) 0
x2
1
lim g (x) lim ——— —
x → 1
x → 1 x 1
0
2 x 2 6 x 4
lim ————————
x → 1
1 x4
6
x1
lim ————
x → 1 x (x 1)
1
lim — 1
x → 1 x
p1
f (1) ———
3
Si ha de ser contínua en x 1 →
p 1
→ ——— 1 → p 4
3
6
la
MATEMÀTIQUES 1
b) Hi ha algun altre punt en què la funció és discontínua?
Justifica’n la resposta.
129
13. A partir de la gràfica:
No, perquè Df . Per a p 4 f (x) és contínua en tots els
reals.
12. Estudia la continuïtat de la funció:
g(x)
5
2x 1
si x 1
x3
———
2x
si 1 x 1
x
———
x2
si x 1
Df
Dg {x 2 x 0 i x 2 0} {0, 2}.
Cal estudiar la continuïtat en x 1, x 0, x 1 i x 2.
lim g (x) lim (2 x 1) 1
x → 1
x → 1
x3
lim g (x) lim ——— 1
x → 1
x → 1
2x
g (1) 1
lim
6
x3
3
lim g (x) lim ——— —
x → 0
x → 0
2x
0
x3
3
lim g (x) lim ——— —
x→0
x→0
2x
0
∃
/ g (0) ja que x 0 Dg
∃/
g (1) 2
x → 1
lim f (x)
x→
lim f (x) 2; lim f (x) ;
x → 4
6
x → 4
lim f (x); f (4) 2
x → 4
lim f (x) 1; lim f (x) 1;
x → 2
x → 2
lim f (x) 1; f (2) 0
x → 2
lim f (x) ; lim f (x) 2;
x → 0
∃/ lim
x → 0
f (x); f (0) 2
x→0
Discontinuïtat asimptòtica en x 0.
x
lim g (x) lim ——— 1
x→1
x→1
x2
f (x) 0; lim f (x) ;
x →
∃/
Contínua x 1.
x3
lim g (x) lim ——— 2
x→1
x→1
2x
a) Indica quin és el límit de la funció quan x tendeix a ,
, , 4, 4, 4, 2, 2, 2, 0, 0, 0, 1, 1,
1, 2, 2, 2.
lim f (x) 0; lim f (x) 0;
6
x → 1
lim f (x) 0; f (1) 0
x → 1
lim f (x) 2; lim f (x) 1;
x → 2
x
2
lim g (x) lim ——— —
x → 2
x → 2 x 2
0
∃
/ g (2) ja que x 2 Dg
Discontinuïtat asimptòtica en x 2.
x → 2
∃
/ lim f (x); f (2) 1
x→2
b) Justifica i classifica les discontinuïtats de la funció
representada gràficament.
Discontinuïtat de salt en x 1.
x
2
lim g (x) lim ——— —
x → 2
x → 2 x 2
0
x → 1
6
Discontinuïtat asimptòtica en x 4.
Discontinuïtat evitable en x 2. S’evita
definint g (x)
5
f (x)
x 2
1
x 2
Discontinuïtat asimptòtica en x 0.
Discontinuïtat de salt x 2.
130
LA
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
14. Dibuixa una gràfica d’una funció que verifiqui les condicions
següents:
2. Troba el límit quan x → , x → i x → de les
funcions racionals:
7x 3
a) f (x) —————
2 x3 x
a) Df {0};
b) lim f (x) 0;
x→
c) Presenti aquestes discontinuïtats: asimptòtica en x 0,
evitable en x 2 i de salt en x 4.
Resposta oberta, per exemple:
7x 3
lim f (x) lim ————
x →
x →
2 x3 x
7x
lim ——
x → 2 x3
7
lim —— 0
x → 2 x2
7 x 3
lim f (x) lim ————
x →
x →
2 x3 x
7 x
lim ——
x → 2 x3
7
lim —— 0
x → 2 x2
lim f (x) 0
6
x→
Activitats finals
1. Calcula els límits a l’infinit de les funcions polinòmiques
següents:
a) p (x) 4 x 4 x 3 12 x 2 x 3
lim
p (x)
x →
lim
(4 x4 x3 12 x 2 x 3)
x →
lim
4 x4
x →
lim
p (x)
x →
lim (4 x 4 x3 12 x 2 x 3)
x →
lim 4 x 4
x →
6
d’on: lim p (x)
x→
b) q (x) 2 x 3 6 x 2 8
lim
q (x) lim (2 x3 6 x2 8)
x →
x →
lim (2 x3)
x →
lim q (x) lim (2 x 6 x 8)
3
x →
x →
lim
(2 x )
3
x →
d’on: ∃
/ lim q (x)
x→
2
6
12 x 2 2 x 5
b) g (x) ———————
6 x2 8 x
12 x2 2 x 5
lim g (x) lim ————————
x
→
x →
6 x2 8 x
12 x2
lim —— 2
x → 6 x2
12 x2 2 x 5
lim g (x) lim ————————
x →
x →
6 x2 8 x
12 x2
lim —— 2
x →
6 x2
6
lim g (x) 2
x→
x4 2
c) h (x) ———————
7 x 3 20 x 1
x4 2
lim h (x) lim ————————
x →
x →
7 x 3 20 x 1
x 4
lim ——
x → 7 x 3
x
lim —
x → 7
x4 2
lim h (x) lim ————————
x
→
x →
7 x 3 20 x 1
x 4
lim ——
x →
7 x3
x
lim —
x →
7
∃
/ lim h (x)
x→
6
la
MATEMÀTIQUES 1
x3 4 x2 3 x
3. Donada la funció f (x) ——————— :
x2 x 2
a) Calcula el límit de f (x) quan x → 2 i x → 1.
x3 4 x2 3 x
30
lim ——————— ———
2
x → 2
0
x x2
2
x3 4 x2 3 x
30
lim ——————— ——— 1
2
x → 2
02
x x2
1
∃
/ lim f(x)
x3 4 x2 3 x
lim ———————
x→1
x2 x 2
(x 1) (x2 3 x)
lim ————————
x→1
(x 1) (x 2)
x → 22
1
b) Determina el límit de la funció — (x) quan x → 0,
f
x → 1 i x → 3.
x x2
2
lim ——————— ——
3
2
x→0 x 4x 3x
0
2
x2 6 x x2 2 x 8
lim —————————————
x → 2
x (x 2) (x 2)
4x 8
lim —————————
x → 2
x (x 2) (x 2)
4 (x 2)
lim —————————
x → 2 x (x 2) (x 2)
4
4
1
lim ————— ———— —
x → 2
x (x 2)
2 (4)
2
x √4 x 3
lim ———————
x→3
x2 3 x
(x 6) x (x 4) (x 2)
lim ———————————————
x → 2
x (x 2) (x 2)
x √ 4 x 3
b) lim ———————
x→3
x2 3 x
2
x2 3 x
lim ———— —
x→1
x2
3
131
2
x2 (√4x 3)
lim —————————————
x→3
(x2 3x)(x √4x 3)
x2 4 x 3
lim —————————————
x→3
(x2 3x)(x √4x 3)
2
∃
/ lim f(x)
1
x→0
x2 x 2
lim ———————
x → 1 x3 4 x2 3 x
(x 1) (x 2)
lim ————————
x → 1 (x 1) (x2 3 x)
x2
3
lim ———— —
x → 1 x2 3 x
2
10
x2 x 2
lim ——————— ——
3
2
x→3 x 4x 3x
0
2
x2 x 2
10
lim ———————— —— 1
3
2
x→3 x 4x 3x
01
x x2
2
lim ——————— —— 2
3
2
x→0 x 4x 3x
01
2
1
∃
/ lim f(x)
c) lim
x→1
(x 3) (x 1)
lim —————————————
x(x 3)(x √4x 3)
x→3
x1
2
1
lim ———————— ——— —
x→3
x(x √4x 3)
36
9
————
————
2x 2 2x 3
3 x 1 x2 x
lim
x→1
3 x 1 x2 x
———— ————
2x 2 2x 3
(3 x 1) (x 2 x)
lim —————————
x → 1 (2 x 2) (2 x 3)
(3 x 1) x (x 1)
lim —————————
x → 1 2 (x 1) (2 x 3)
x (3 x 1)
4
2
lim —————— ——— —
x→1
2 (2 x 3)
25
5
x→3
4. Calcula:
5. Per calcular alguns límits cal utilitzar el mètode del doble conjugat. Consisteix a multiplicar el numerador i el denominador
pel conjugat de cadascun d’ells. Tot emprant el mètode del doble conjugat, calcula:
x6
x4
a) lim ———— ————
2
x
→
2
x 4
x2 2 x
lim
x → 2
————
————
x 2x
x 4
x6
2
x4
2
3x √ x2 32
lim ————————
x→2
√x 2 x
LA
132
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
[(3x)2 (√ x2 32)2](√x 2 x)
lim ——————————————————
2
2
2
[(√ x 2) x ](3x √ x 32)
x→2
(9x2 x2 32)(√ x 2 x)
lim ————————————————
2
2
Per tant, lim (1 x) x e.
√x2x
x→2
1
—
3x √x2 32
lim ————————
(x 2 x )(3x √ x 32)
x→2
(8x2 32)(√x 2 x)
lim ——————————————————
2
2
(x x 2)(3x √ x 32)
x→2
8(x 2)(x 2)(√ x 2 x)
lim ——————————————————
2
(x 2)(x 1)(3x √ x 32)
x→2
8 (x 2)(√ x 2 x)
lim ——————————————
2
(x 1)(3x √ x 32)
x→2
844
32
———— ——
3 12
9
6. a) Mitjançant una taula de valors comprova que:
1
—
lim (1 x) x e
x→0
1
—
—
b) Sabent que lim [1 f (x)] f(x) e si
x→a
x
calcula:
1 ———
x1
x1
lim
a)
x→1
g (x) (1 x)
→ a
1
—
—
1,01100 2,7048138
1
—
—
g (0,001) (1 0,001) 0,001
2,7169239
lim g (x) e
x → 0
1
—
—
g (0,1) (1 0,1) 20,1 0,910
(
1 10
—— 1,110 2,867972
0,9
1
g (0,01) ——
0,99
100
(
1,01100 2,731999
1
g (0,001) ———
0,999
1 000
(
x→1
lim
x→1
1 ———
x1
x1
x 11
—
—
—
x 21
x1
1 ———
x1
e
2
x 21 —
—
—
—
— —
x 1 1 3x 2 3
2
—
—
—
lim —
2 (x 2 1)
lim —
—
—
—
—
—
—
—
x → 1 (x 1 1) 3(x 2 1)
2
—
—
—
3x23
x → 1 3(x 1 1)
e
e
1
—
3
x21
ja que lim f(x)5 lim ——— 0
x→1 x 1 1
x → 1
x x
7. Raona per què la funció f (x) ———— no té límit quan
x
x → 0.
xx
x x
lim ———— lim ——— 0
x→0
x→0
x
x
x x
xx
lim ———— lim ———
x→0
x→0
x
x
2x
lim —— 2
x → 0 x
6
x x
————
∃
/ xlim
→0
x
8. Calcula el límit de:
1
—
x
g (0,01) (1 0,01) 0,01
lim
1
—
1,001
x→0
2
—
—
—
3x23
g (0,1) (1 0,1) 0,1 1,110 2,5937425
1000
lim f (x) 0,
b)
1,0011 000
2,7196422
lim g (x) e
x → 0
6
6
f (x)
5
x
———
2
x x
si x 0
3x 9
———
x2 9
si 0 x 3
3x
———
x3
si x 3
quan x tendeix a , , , 1, 1, 1, 0, 0, 0, 3,
3, 3.
x
lim f (x) lim ———
x →
x → x 2 x
x
1
lim —— lim — 0
2
x →
x →
x
x
3x
3x
lim f (x) lim ——— lim — 3
x →
x → x 3
x →
x
6
∃
/ lim f (x)
x→
lim f (x) lim
x → 1
x → 1
lim f (x) lim
x → 1
x → 1
x
1
——— ——
2
0
x x
x
1
——— ——
2
x x 0
∃
/ lim f (x)
x → 1
6
la
MATEMÀTIQUES 1
x
lim f (x) lim ———
2
x→0
x→0
x x
x
lim —————
x → 0 x (x 1)
1
lim ——— 1
x → 0 x 1
3x 9
lim f (x) lim ———— 1
x → 0
x → 0 x 2 9
10. La funció
6
f (x)
3 (x 3)
lim ———————
x → 3 (x 3) (x 3)
3
1
lim ——— —
x → 3 x 3
2
3x
3
lim f (x) lim ——— —
x → 3
x → 3 x 3
2
1
si x 0
x2
si x 0
lim f (x) 1
x → 0
lim f (x) lim (x 2) 2
x → 0
x → 0
f (0) 1
6
lim f (x) lim (x 2) 3
x → 1
x → 1
lim f (x) lim (x 2) 3
x → 1
x → 1
f (1) 3
11. Justifica raonadament per què una funció polinòmica és
contínua per a tot x .
Sigui p (x) una funció polinòmica.
x→3
1
9. Les funcions f (x) x, g (x) — i h (x) √x són contíx
nues en x 0? Justifica’n les respostes.
lim f (x) lim x 0
x → 0
lim f (x) lim x 0
x → 0
x → 0
f (0) 0
1
1
lim g (x) lim — ——
x→0
x→0
x
0
∃
/ g (0) ja que x 0 Dg
6
g (x) és discontínua en x 0. És una disconti­nuïtat asimptòtica.
lim h (x) lim √ x 0
x → 0
f (0) 0
h (x) és discontínua en x 0.
x → a
1
1
lim f (x) lim ——— ——
x → 3
x → 3 x 3
0
1
1
lim g (x) lim — ——
x → 0
x → 0
x
0
x → 0
lim p (x) lim p (x) p (a) → és contínua a .
x → a
1
a) f (x) ——— en x 3
x3
f (x) és contínua en x 0.
x → 0
Dp
12. Classifica les discontinuïtats de cada funció per al valor de
x que s’indica:
6
∃
/ lim h (x) ja que Dh [0, )
6
En x 1 la funció f (x) és contínua.
∃
/ lim f (x)
x → 0
6
En x 0 la funció f (x) presenta una discontinuïtat de salt.
x→0
3x 9
lim f (x) lim ————
x → 3
x → 3 x 2 9
5
és contínua en x 0? I en x 1? Raona les respostes.
lim f (x) 1
133
6
1
1
lim f (x) lim ——— ——
x
→3
x→3
x3
0
6
∃
/ f (3), ja que x 3 Df
Discontinuïtat asimptòtica en x 3.
b) g (x)
5
x
si x 1
x 2 2 si x 1
lim
g (x) lim
x 1
lim
g (x) lim
(x 2 2) 3
x → 1
x → 1
x → 1
x → 1
g (1) 3
Discontinuïtat de salt en x 1.
en x 1
6
134
LA
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
13. Estudia la continuïtat de la funció
15. Troba el domini i estudia la continuïtat de les funcions
irracionals:
2x 8
f (x) ————— en x 0 i x 2.
x3 2 x2
2
2 x 2 8
8
lim ————— ——
x → 0 x 3 2 x 2
0
2 x 2 8
8
lim ————— ——
3
2
x→0
x 2x
0
∃
/ f (0), ja que x 0 Df
a) f (x) √ x 1
6
Df {x x 1 0} [1, )
x → 1
lim (√ x 1) 0
x → 1
f (1) 0
És discontínua en x 1.
b) g (x) √ 4 x 2
Discontinuïtat asimptòtica en x 0.
2 x 8
2 (x 2) (x 2)
lim ————— lim —————————
3
2
x→2
x→2
x 2x
x 2 (x 2)
2
2 (x 2)
lim ————— 2
x→2
x2
2 x 2 8
2 (x 2) (x 2)
lim ————— lim —————————
x → 2
x 3 2 x 2 x → 2
x 2 (x 2)
2 (x 2)
lim ————— 2
x → 2
x2
6
Dg {x 4 x 2 0} [2, 2]
∃/
lim √ 4 x 2
lim √ 4 x2 0
x → 2
g (2) 0
És discontínua en x 2.
lim
√ 4 x2 0
∃
/ lim
√ 4 x2
x → 2
x → 2
g (2) 0
5
S’evita definint g (x)
f (x) si x 2
2
si x 2
14. Explica per què té una discontinuïtat evitable en x 1 la
funció:
5
f (x)
x3
———
2
6
3x 9
f (x) —————
2 x 2 18
Df {x 2 x 2 18 0} {3, 3}
3x 9
18
lim ————— ——
2
x → 3
0
2 x 18
si x 1
3x 9
18
lim ————— ——
2
x → 3
2 x 18
0
si x 1
∃
/ f (3) ja que x 3 Df
lim f (x) 2
x → 1
x3
lim f (x) lim ——— 2
x→1
x→1
2
∃
/ f (1)
3 x 9
3 (x 3)
lim ————— lim —————————
x → 3 2 x 2 18
x → 3 2 (x 3) (x 3)
6
3
1
lim ————— —
x→3
2 (x 3)
4
Efectivament, és una discontinuïtat evitable.
S’evita definint g (x)
5
2
x3
———
2
6
Discontinuïtat asimptòtica en x 3.
Com es pot evitar la discontinuïtat?
6
16. Estudia la continuïtat de la funció següent:
Discontinuïtat evitable en x 2.
2
x → 2
És discontínua en x 2.
∃
/ f (2) ja que x 2 Df
6
∃
/ lim (√ x 1)
si x 1
si x 1
3 x 9
3 (x 3)
lim ————— lim —————————
x → 3 2 x 2 18
x → 3 2 (x 3) (x 3)
3
1
lim ————— —
x → 3
2 (x 3)
4
∃
/ f (3), ja que x 3 Df .
6
la
MATEMÀTIQUES 1
Discontinuïtat evitable en x 3, s’evita definint:
g (x)
5
f (x)
1
—
4
x3
3 x 15
3 (x 5)
lim ———— lim —————
2
x → 5
x 5 x x → 5 x (x 5)
x3
3
3
lim — —
x → 5 x
5
17. A partir de la gràfica, descriu tots els punts de discontinuïtat
de la funció part entera, definida per a tot nombre real x com
la funció f (x) que hi fa correspondre el nombre enter més
gran n tal que n x.
6
3 x 15
3 (x 5)
lim ———— lim —————
2
x→ 5 x 5 x
x→ 5 x (x 5)
3
3
lim — —
x→ 5 x
5
∃
/ g (5), ja que x 5 Dg
Discontinuïtat evitable en x 5.
S’evita definint q(x)
5
g(x)
3
—
5
si x 5
si x 5
x3 x2
c) h (x) ————
x 2
A partir de la gràfica s’observa que x , hi ha una
discontinuïtat de salt i és contínua en els altres punts.
18. Descriu el domini i les discontinuïtats de les funcions següents:
Dh {x x 2 0} {0}
x 3 x 2
x 2 (x 1)
lim ———— lim —————
x→ 0
x→ 0
x 2
x 2
lim (x 1) 1
x→ 0
x3
a) f (x) ———
x
Df {x x 0} {0}
x3
3
lim ——— ——
x
→0
x
0
x3
3
lim ——— ——
x → 0
x
0
∃
/ f (0) ja que x 0 Df
x 3 x 2
x 2 (x 1)
lim ———— lim —————
x → 0
x → 0
x 2
x 2
lim (x 1) 1
x → 0
6
∃
/ h (0), ja que x 0 Dh
Discontinuïtat evitable en x 0.
S’evita definint r (x)
Discontinuïtat asimptòtica en x 0.
5
6
h (x)
si x 0
1
si x 0
d) p (x) x 2 9
3 x 15
b) g (x) ————
x2 5 x
p (x) x 2 9 és pot definir així:
Dg {x x 5 x 0} {0, 5}
2
3 x 15
15
lim ———— ——
2
x
→0
x 5x
0
3 x 15
15
lim ———— ——
2
x
→0
0
x 5x
∃
/ g (0), ja que x 0 Dg
6
Discontinuïtat asimptòtica en x 0.
p (x)
5
x 2 9 si
x 3 o x 3
9 x 2 si 3 x 3
Dp
lim p (x) lim (x 2 9) 0
x → 3
x → 3
x → 3
x → 3
lim p (x) lim (9 x 2) 0
p (3) 0
Contínua en x 3.
6
135
LA
136
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
lim p (x) lim (9 x 2) 0
x → 3
x → 3
lim p (x) lim (x 9) 0
2
x → 3
x → 3
p (3) 0
6
3
x1
lim f (x) lim ——— ——
x → 2
x → 2 2 x
0
Contínua en x 3.
3
x1
lim f (x) lim ——— ——
x→
x → 2 2 x
2
0
19. Troba el domini i estudia la continuïtat de la funció:
∃
/ f (2) ja que x 2 Df
f (x)
5
x2 3 x 1
——————
x2
6
Discontinuïtat asimptòtica en x 2.
si x 1
x2 1
———
x1
si 1 x 1
x1
———
2x
si x 1
20. Estudia la continuïtat de la funció f (x) x 2 1 en els
punts x 1 i x 1.
f (x) x 2 1 es pot definir:
f (x)
Df {x x 2 0 i 2 x 0}
{2, 2}
x2 3 x 1
lim f (x) lim ——————
x
→ 2
x → 2
x2
1
——
0
∃
/ f (2), ja que x 2 Df
f (1) 0
lim f (x) lim (1 x 2) 0
x → 1
x → 12
lim f (x) lim (x 2 1) 0
x → 1
x → 1
f (1) 0
6
Contínua en x 1.
21. El novembre de 1999, el preu del franqueig d’una carta en
funció del seu pes era:
6
(x 1) (x 1)
lim ———————— lim (x 1) 2
x → 1
x → 1
x1
Contínua en x 1.
6
Contínua en x 1.
x2 1
lim f (x) lim ———
x → 1
x → 1
x1
f (1) 2
x → 1
f (1) 0
Fins a 20 g
0,21
Més de 20 g fins a 50 g
0,27
Més de 50 g fins a 100 g
0,45
Discontinuïtat de salt en x 1.
x1
lim f (x) lim ——— 2
x
→ 1
x → 1 2 x
x → 1
lim f (x) lim (1 x 2) 0
x → 1
Discontinuïtat asimptòtica en x 2.
x2 1
lim f (x) lim ———— 0
x
→ 1
x → 1 x 1
x 1 o x 1
lim f (x) lim (x 2 1) 0
6
x2 3 x 1
lim f (x) lim ——————— 1
x → 1
x → 1
x2
si
1 x 2 si 1 x 1
x → 1
x2 3 x 1
lim f (x) lim ———————
x
→ 2
x → 2
x2
1
——
0
5
x2 1
6
Més de 100 g fins a 200 g
0,75
Més de 200 g fins a 350 g
1,35
Més de 350 g fins a 1 kg
1,95
Més d’1 kg fins a 2 kg
3,01
la
MATEMÀTIQUES 1
a)Representa per x la variable pes i per f (x) la variable
preu i escriu l’expressió algèbrica de la funció.
f (x)
5
0,21 si 0 x 20
0,27 si 20 x 50
0,45 si 50 x 100
0,75 si 100 x 200
1,35 si 200 x 350
1,95 si 350 x 1 000
3,01 si 1 000 x 2 000
x en g i f (x) en euros.
a) Troba els valors de k i h que fan que la funció f (x) sigui
contínua en els punts x 2 i x 1.
Df (0, 2 000]
3x h
6h
lim f (x) lim ———— ———
4
x
→ 2
x → 2 x 2
f (2) 2 k
6h
Contínua en x 2 → 2 k ———
4
6
x1
lim f (x) lim ——— 1
2x
x → 1
x → 1
f (1) 1
c) Fes-ne la representació gràfica.
6
kx
lim f (x) lim ——— 2 k
x
3
x → 2
x → 2
3x h
lim f (x) lim ———— h 3
x2
x → 1
x→1
b) Indica’n el domini.
137
Contínua en x 1 → h 3 1
h31 → h4
6h
64
10
5
2 k ——— ——— —— — →
4
4
4
2
5
→ k —
4
b) Hi ha algun valor de x per al qual la funció és discontínua?
Justifica-ho.
d ) Estudia les discontinuïtats.
És discontínua de salt en x 20, x 50, x 100, x 200,
x 350 i x 1 000.
22. Troba el valor de k per tal que la funció
5
f (x)
xk
si x 0
2x kx 6
si x 0
2
sigui contínua en el punt x 0.
lim f (x) lim (x k) k
x → 0
x → 0
lim f (x) lim (2 x 2 k x 6) 6
x → 0
x → 0
f (0) k
6
Contínua en x 0 → k 6.
23. Sigui la funció:
f (x)
5
kx
———
x3
si x 2
3x h
————
x2
si 2 x 1
x1
———
2x
si x 1
Df {x x 3 0} {3}
5 x
lim f (x) lim ————
4 (x 3)
x
→ 3
x → 3
15
——
0
5 x
lim f (x) lim ———
4 (x 3)
x
→ 3
x → 3
15
——
0
∃
/ f (3), ja que x 3 Df
6
Discontinuïtat asimptòtica en x 3.
24. Donada la gràfica d’una funció (fig. 10.11):
LA
138
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
a) Indica’n el domini.
Df {1}
x → 3
b) Digues-ne el límit quan x tendeix a
lim f(x) 3
c) Descriu-ne les discontinuïtats. Justifica-les.
x → 5
lim f (x) 3
b) i c)
x → 5
x →
lim
x → 1
lim
x → 1
6
6
S’evita definint g (x)
6
lim f (x) 1
x → 1
lim f (x)
x → 1
6
5
f (x)
x5
3
x5
1. Calcula els límits següents:
lim f (x)
x→1
∃
/ f (1), ja que x 1 Df
6
3x3 4
a) x lim
→∞
x 2 16
lim
x →
∞
Discontinuïtat asimptòtica en x 1.
punts
x = −5
imatges
f(−5) =
càlcul de límits
laterals
6
Avaluació
Contínua en x 1.
x → 1
lim f (x) 3
x→5
f (1) 1
lim f (x)
6
Discontinuïtat evitable en x 5.
x→
f (x) 1
6
f (5) 2
∃
/ lim f (x)
f (x) 1
x→3
Discontinuïtat de salt en x 3.
1, 1, 3, 3, 3, 5, 5, 5.
lim f (x) 0
lim f (x) 1
∃
/ lim f (x)
f (3) 1
, , , 1, 1, 1, 1,
x →
6
lim f (x) 2
lim f(x) 1
x → 3
lim f ( x ) =
x = −3
f(−3) =
lim f ( x ) =
3x3 4
x 16
2
x=0
x=3
f(0) =
f(3) =
lim f ( x ) =
lim f ( x ) =
x →−5−
x →−5−
x → 0−
x → 0−
x →−5−
x →−5−
x → 0−
x → 0−
x →−5
x →−3
lim f ( x ) =
lim f ( x ) =
lim f ( x ) =
lim f ( x ) =
lim f ( x ) =
lim f ( x ) =
x →0
lim f ( x ) =
lim f ( x ) =
x →3
tipus de
discontinuïtat
punts
x = −5
imatges
f(−5) = 1
càlcul de límits
laterals
lim f ( x ) = −∞
f(−3) = 2
lim f ( x ) = 0
x=0
x=3
f(0) = –2
f(3) no existeix
lim f ( x ) = 0
lim f ( x ) = +∞
x →−5−
x →−5+
x →−5+
x → 3+
x →−5+
x →−5+
x →−5+
x → 3+
x →−3
x →0
lim f ( x ) = 0
v A (0) = s '(0) = 0
v B (0) = e '(0) = 27 km/h
tipus de
discontinuïtat
x = −3
disc. asimptòtica
lim f ( x ) = 0
lim f ( x ) = no ∃
disc. de salt
lim f ( x ) = 0
lim f ( x ) = −1
disc. evitable
lim f ( x ) = +∞
lim f ( x ) = +∞
x →3
disc. asimptòtica
MATEMÀTIQUES 1
b) xlim
→3
lim
139
3. A partir de la gràfica de la funció següent, fes l’estudi de la
continuïtat en els punts que s’indiquen en la taula:
x2 6
x 3x
x2 6
la
2
3
, però el límit per l’esquerra és
0
x 3x
− π i el límit per la dreta és + .
x→3
2
⎛ x2 – 5 2x3 – 1 ⎛
–
⎜
⎜
c) x lim
→+ ⎝
x
x2 ⎝
x 2 − 5 2 x23 − 51 2 x 3 − 1
x x3 2−−55x 22xx33 −− 11
− x 3 − 5 x + 1 −∞
−
=
∞
−
∞
lim
lim
lim
lim
−
=
= −∞
lim− 2 − = ∞ 2− ∞ == ∞
−
∞
=
=
=
2
→+∞∞
x →+ ∞
xx→+
xx22 x →+∞
x2
+∞
xx →+ ∞ xx x
xx
x 3 − 5 x 2 x 3 − 1 lim − x 3 − 5 x + 1 −∞
−
= −∞
= xlim
=
+
2
→+∞
x2 x →
x2
x
+∞
⎛ x2 + 7x ⎛3x – 2
c) x lim
⎜
⎜
→+
2
⎝ 2+x ⎝
2
2 + x 2 7 2x +−2x 2 7 x −2
3 x −2 3 x −·2
·
7x −2 27+xx−2 2 2+ x2
3 x −2 3 x −2
2
2 3 x −2 3 x −2
21 x 3 −20
21xx+34−20 x + 4
x + 7x x + 7 x ∞ ∞ 7 x − 72x − 2
1 1
lim
lim
= lim
= lim
= e = ex2 +2 x2 +=2 e21= e21
lim lim
lim 2 2 = 1 ==1lim
lim
1 + 1 + 2 2 = lim
1 + 1 + 2 2
x →+∞x x→
→+∞
x →+∞ 2 + x2 + x
+2+ x2 + x
x x→
+8
x →+∞ x →+∞ 2 + x2 + x
→+∞
7 x − 72x− 2
2 + x2 7 x − 2
3x −2
·
7 x − 2 2 + x2
21 x 2 − 20 x + 4
1
lim
21
21
lim
=
e
+
=
1
x→+
e x2 + 2 = e
4. Troba el domini i estudia la continuïtat de la funció
2 + x2
7x − 2
2x – 6
.
f (x) 5 2
x –9
2. Estudia la continuïtat de la funció següent en x 5 21 i en
x 5 2.
La funció és discontínua en x 5 3 i x 5 23, que són els punts
que anul·len el denominador i que per tant no pertanyen al
5 x + si x ≤
domini. El domini és R 2 {23, 3}.
f ( x ) = 4
si − 1 < x 2
2
En x 5 23 els límits laterals són 2π i 1π i la imatge no
si x > 2
x
existeix, així que tenim una disc. asimptòtica.
En x 5 21 la imatge val 23, i els límits laterals són 23 i 4, per
tant tenim una discontinuïtat de salt. En x 5 2 la imatge i els límits
En x 5 3 la imatge no existeix però el límit sí i val 1/3, per tant
laterals coincideixen i valen 4, per tant és contínua en aquest punt.
la discontinuïtat és evitable.
140
LA
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
jUnitat 11. Funcions
exponencial i logarítmica
1
1
—— ————— 0,0331836
30,135326
33,1
1
1
—— ————— 0,0317570
31,489136
33,14
Activitats
1
1
—— ————— 0,0317221
31,523749
33,141
1. Calcula les potències d’exponent racional següents:
3
—
4
; 3,24,5; 70,3; 10
3
—
4
2
—
3
3
—
2
3,2
1
—
8
; e
1
1
——— ————— 0,0317047
33,1415
31,54107
.
1
1
——— ————— 0,0317016
31,544189
33,14159
1,50,75 1,355403
0,037 ; 0,0331836; 0,0317570; 0,0317221;
187,57498
4,5
1
70,3 —
7
3
—
4
2
—
5
)
2
—
3
0,3
1
1
—— ————
70,3
1,79279
0,5577898
0,0317047; 0,0317016
4. Troba les cinc primeres aproximacions per defecte de les
potències:
a) 2e
2e 22,7182818
2
—
5
22 4; 22,7 6,4980192;
10 100,4 2,5118864
1
—
8
e
1
—
e
1
—
8
1
—
e
1
0,125
———
e0,125
1
————— 0,8824969
1,1331485
22,71 6,5432165; 22,718 6,5796006;
22,7182 6,5805127 4; 6,4980192; 6,5432165; 6,5796006;
6,5805127
b) 3√ 2
3√ 2 31,4142136
31 3; 31,4 4,6555367;
2. Escriu i calcula els sis primers termes d’una successió que
tingui per límit
4√ 3.
4√ 3
4
1,7320508
31,4142 4,7287339 3; 4,6555367; 4,706965; 4,727695;
4,7287339
41 4; 41,7 10,556063; 41,73 11,004335;
41,732 11,034887; 41,7320 11,034887;
41,73205 11,035652 4; 10,556063; 11,004335; 11,034887;
11,034887; 11,035652
3. Repeteix l’activitat anterior per a 3.
1
3 —
3
31,41 4,706965; 31,414 4,727695;
1
1
—— ————
33,415927
3
)
1
1
—— —— 0,037
33
27
5
c) —
4
5
—4 1,25
3,1415927
1,253 1,953125; 1,253,1 1,9971976;
1,253,14 2,0151039;
1,253,141 2,0155536;
1,253,1415 2,0157785
1,953125; 1,9971976; 2,0151039;
2,0155536; 2,0157785
la
MATEMÀTIQUES 1
5. Representa gràficament les funcions exponencials f(x) ex
i g(x) ex.
f(x) ex
x
141
b) y 2x 1
A partir de la gràfica de y 2x, es trasllada una unitat cap
amunt.
ex
1
e 2,7182818
2
e2 7,3890561
0
1
1
1 e1 — 0,3678794
e
f(x) ex, per simetria respecte de l’eix OY de la funció f(x) ex.
c) y 2x 1 1
A partir de la gràfica de y 2x, es trasllada una unitat cap a
l’esquerra i una unitat cap avall.
6. A partir de la gràfica de la funció y 2x, dibuixa, fent les
translacions necessàries, la gràfica de les funcions:
y 2x
x
2x
1
2
2
4
0
1
1
0,5
a) y 2x 1
1
5
7. Determina les antiimatges de —— ; 0,125; 512 i √8 en la
16
funció f(x) 2x. Has d’expressar cadascun d’aquests
nombres com una potència de base 2.
1
1
2x —— → 2x — →
16
24
x
4
→ 2 2 → x 4
1
1
2x 0,125 → 2x — → 2x — →
8
23
x
3
→ 2 2 → x 3
A partir de la gràfica de y 2x, es trasllada una unitat cap a
la dreta.
2x 512 → 2x 29 → x 9
2x
5
√8 → 2x
5
√23 → 2x 2
3
—
5
3
→ x—
5
8. Comprova que es verifiquen les propietats dels apartats j),
k), l) i m) amb les funcions exponencials següents:
1
f(x) 2x, g(x) 3x, h(x) —
2
x
1
i p(x) —
3
j) g(x) 3x; g(1) 3, g(2) 32 9 →
→ g(1) g(2)
x
142
LA
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
1 x
1
p(x) — ; p(1) —,
3
3
1
p(2) —
3
2
2
1
2
2
4
0
1
f(1) 2
g(1) 3
1
— → p(1) p(2)
9
k) f(x) 2x
x
m) f(x) 2x i g(x) 3x
x
1
h (x) —
2
1
f(1) 21 —
2
g(1) f(1)
1
—
2
x
g(1) 31 —
3
1
—
2
1
—
4
1
2
4
1
9. La gràfica de la funció f(x) ax passa pel punt (1, —).
5
Determina el valor de a.
1
2
0
1
2
1
2 —
4
g(1) f(1)
x
x
1
1 —
2
6
1
6
f(x) ax
f(1) 0,2
1
— 0,2 → a 5
1
a
f(1) a1 —
a
6
10. Quan es defineix la funció exponencial de base a, per quin
motiu s’imposa la condició que aquesta base sigui positiva?
Si a 0 hi hauria valors de x que no tindrien imatge, per exemple:
1
—
(2) 2 √2
11. Resol aquestes equacions exponencials:
a) 2x2x 12x 1 64
l) f(x) 2x
1
1
f(1) 21 —, f(2) 22 —,
2
4
1
f(3) 23 —
8
f(1) 2, f(2) 22 4, f(3) 23 8
2x2x 12x 1 64 →
→ 2x x 1 x 1 26 → 23x 26 →
→ 3x 6 → x 2
b) 73x 2 √ 7x 1
x1
1
p(x) —
3
→
73x 2 √ 7x 1 → 73x 2 7 ———
2
x
1
p(1) —
3
x1
3
→ 3x 2 ——— → x —
2
5
1
3,
c) 1 3 9 27 ... 3x 364
32 9,
33 27
1
p(2) —
3
1
p(3) —
3
2
1 3 9 27 ... 3x 364,
—9 ,
1
1
p(1) —, p(2) —
3
3
1
p(3) —
3
1 3 9 27 81 243 364,
3
3
2
1
——
27
1
3x 243 → 3x 35 → x 5
2
d) 11x
3x 2
2
11x
1
3x 2
1 → x2 3x 2 0 →
→ x1 2, x2 1
la
MATEMÀTIQUES 1
1
e) ——
16
1
——
16
1
c) —
2
x 3
323x 2
1
—
24
x 3
323x 2 →
x 3
x
143
7
0,52,81 7,0128458
0,52,80 6,9644045
6
x 2,81
(25)3x 2 → (24)x 3 (25)3x 2
24x 12 215x 10 →
2
→ 4x 12 15x 10 → x ——
11
13. Elabora una taula de valors i dibuixa les gràfiques de les
funcions:
a) f(x) ln x
f) 9x 43x 3 0
1
0
e
1
2
e
2
1
— 1
e
9x 43x 3 0 →
→ (32)x 43x 3 0 →
→ (3x)2 43x 3 0
Si 3x t → t2 4t 3 0 →
→ t1 3, t2 1 → x1 1, x2 0
b) g(x) log 1 x
—
4
151
g) 5x 1 5x 2 5x ——
25
x
151
5x 1 5x 2 5x —— →
25
1
4
1
—
4
1
—
2
5x
151
55x —— 5x ——
25
25
5
x
1
151
5 —— 1 —— →
25
25
151
151
→ 5x—— —— → 5x 1 → x 0
25
25
2
h) ax
2x 4
a11
——
a8
2
a11
2
ax 2x 4 —— → ax 2x 4 a3 →
8
a
→ x2 2x 4 3 →
→
x2
f
ln x
x
2x 1 0 → x 1
log
1
4
x
0
1
1
1
—
2
1
1
14. Utilitzant les funcions logarítmiques en base 2, 3, — i —,
2
3
comprova les propietats dels apartats i), j) i k) de la funció
logarítmica.
i) f(x) log2 x, f(2) log22 1,
f(4) log2 4 2 → f(2) f(4)
g(x) log 1 x, g(2) log 1 2 1,
—
2
a) 3x 17
32,57 16,834554
32,58 17,020521
6
x 2,58
b) 5x 0,8
50,14 0,7982597
50,13 0,8112111
6
x 0,14
—
2
g(4) log 1 4 2 → g(2) g(4)
—
2
12. Calcula, aproximant-la fins a les centèsimes, la solució de
cadascuna de les equacions:
g
j)
144
LA
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
15. A partir de la gràfica y log2x, dibuixa, aplicant les
translacions corresponents, les gràfiques:
lim (log2 x) ,
x → 0
lim (log2 x)
y log2 x
x →
lim (log 1 x) ,
—
2
x → 0
lim (log 1 x)
—
2
x →
k) f(x) log2x, h(x) log3x
f(8) log28 3,
h(8) log38 2 → log28 log38
1
1
h — log — 1, →
3
3
1
1
f — log2 — 1,
3
3
x
log2 x
1
0
2
1
4
2
1
—
2
1
1
—
4
2
a) y log2 (x 1)
A partir de la gràfica de y log2x, es trasllada una unitat cap
a l’esquerra.
3
1
1
→ log2 — log3 —
3
3
k(x) log 1 x, g(x) log 1 x
—
3
—
2
k(4) log 1 4 2,
—
3
g(4) log 1 4 2 →
—
2
→ log 1 4 log 1 4
—
3
—
2
1
g — log
2
b) y log2 x 1
A partir de la gràfica de y log2x, es trasllada una unitat cap
avall.
1
1
k — log 1 — 1,
—
2
3 2
1
—
2
1
—1 →
2
1
1
→ log 1 — log 1 —
— 2
— 2
3
2
g(x) log 1 x, f(x) log2 x
—
2
g(2) log 1 2 1,
—
2
f(2) log2 2 1 → log 1 2 log2 2
—
2
1
1
f — log — 2 →
4
4
1
1
g — log 1 — 2,
—
4
2 4
2
1
1
→ log 1 — log2 —
— 4
4
2
16. Demostra les igualtats:
1
loga b loga — log 1 b
—
b
a
Suposem que loga b p → ap b
1
1
1
loga — loga — loga —
a
b
ap
p
loga ap (p) p loga b
1
log 1 b log 1 ap log 1 —
—
—
—
a
a
a
a
(p) p loga b
p
la
MATEMÀTIQUES 1
17. Troba, sense utilitzar la calculadora, els logaritmes següents:
a) log7 49
log7 49 log7 72 2
log3 729 log3 36 6
1
c) log9 —
9
logx 63 3 → x3 63 →
1
log9 — log9 91 1
9
3
3
1
→ x—
6
1
d) log x —
2
3
√ 121 log11 √112
2
2
—
log11 11 3 —
3
e) log234 1
log 1 27 log 1 3 log 1
3
—
3
—
3
—
3
—
1
2
log x — → x 10 → x √ 10
2
2
e) ln x —
3
log234 1 0
—
3
1
f) log 1 27
1
—
3
3
3
f) log
√7
log 1 125 log 1 53
—
5
1
log 1 —
—
5
5
1 2
1
1
—— — → x —
7
7
√7
—
5
x 2 → x (√7 )
2
√7
—
5
2
—
2
ln x — → x e 3
3
x 2
log
g) log 1 125
—
6
1
→ x3 —
6
√ 121
h) log 1
3
log11
1
1
→ — —— → x2 25 → x 5
2
x
25
c) logx 63 3
1
1
logx —— 2 → x2 —— →
25
25
b) log3 729
d) log11
1
b) logx —— 2
25
3
3
19. Si log 3 m, escriu en funció de m:
a) log 8 100
7
√ 216
log 1
log 8 100 log (81100)
7
—
6
7
log 81 log 100 log 34 2
√ 216 log—1 √63 log—1 6
6
log 1
3
—
7
—
6
—6
1
4 log 3 2 4 m 2
6
3
—
7
3
—
7
b) log √ 3 000
1
log √ 3 000 — log 3 000
2
1
— log(31 000)
2
1
1
— (log 3 log 1 000) — (m 3)
2
2
i) log225 15
log225 15 log225 √ 225
1
1
—
log225 225 2 —
2
18. Calcula x en cadascuna d’aquestes igualtats:
a) log3 x 1
log3 x 1 → x 31
c) log
7
√0,27
log
1
→ x—
3
7
1
√ 0,27 — log 0,27
7
1
27
1
— log —— — (log 27 log 100)
7
100
7
145
146
LA
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
1
1
— (log 33 2) — (3 log 3 2)
7
7
1
— (3 m 2)
7
1
d) log ——
729
1
log —— log 729 log 36
729
6 log 3 6 m
1
e) log ——
2,43
6
1
1
log —— 6 log ——
2,43
2,43
6
243
6 (log 2,43) 6 log ——
100
6 (log 243 log 100)
6 (log 35 2) 6 (5 log 3 2)
6 (5 m 2) 12 30 m
0,9
f) log ——
7,29
0,9
90
10
log —— log —— log ——
7,29
729
81
log 10 log 81 1 log 34
1 4 log 3 1 4 m
b) Escriu sense logaritmes decimals:
5
log p — (3 log a 2 log b log c 7 log d)
2
5
log p — (log a3 log b2 log c log d7)
2
5
a3c
— log ———
2
b2d7
a3c
log ———
b2d7
5
—
2
a3c
→ p ———
b2d7
h) log 0,3
log 0,3 log — log 3 m
3
10
i) log ——
81
1
)
10
log —— 1 4 m
81
20. a)Desenvolupa l’expressió següent aplicant logaritmes
neperians als dos membres de la igualtat següent:
1
—
(a2 b3 c) 3
p ——————
d5 m2
1
—
3
(a b c)
ln p ln ——————
d5 m2
2
3
5
—
2
21. Expressa la relació que hi ha entre log 2 i ln 2.
ln 2
log 2 ——— → ln 2 ln 10log 2
ln 10
log 2
o ln 2 ——— → log 2 log eln 2
log e
22. Utilitza la calculadora per trobar:
log5,2 12,45, log13 87, log0,3 0,675, ln , log e
)
g) log 0,3
3
log 0,3 log — log 3 log 10 m 1
10
1
—
ln (a2 b3 c) 3 ln (d5 m2)
1
— ln (a2 b3 c) ln (d5 m2)
3
1
— (ln a2 ln b3 ln c)
3
(ln d5 ln m2)
1
— (2 ln a 3 ln b ln c)
3
(5 ln d 2 ln m)
2
1
— ln a ln b — ln c 5 ln d 2 ln m
3
3
log 12,45
log5,2 12,45 —————
log 5,2
1,0951694
—————— 1,529559
0,7160033
log 87
log13 87 ————
log 13
1,9395193
—————— 1,7411292
1,1139434
log 0,675
log0,3 0,675 —————
log 0,3
0,1706962
—————— 0,3264547
0,5228787
ln 1,1447299
log e 0,4342945
MATEMÀTIQUES 1
23. Quina relació hi ha entre loga b i logb a?
logb b
1
loga b ——— ——— →
logb a
logb a
la
b) 2 [1 log (2x 3)] 4 log √ 5x 3
2 [1 log (2x 3)] 4 log √ 5x 3
1 log (2x 3) 2 log √ 5x 3
→ loga blogb a 1
log 10 log (2x 3) 2 log √ 5x 3
1
24. Donats els números √21, —, 2, 0,2 i 123, ordena’ls del més
3
petit al més gran:
10
2
log ———— log (√ 5x 3 )
2x 3
a) Els seus logaritmes en base 7.
10
———— 5x 3;
2x 3
10 10x2 9x 9
1
log7 0,2 log7 — log7 2
3
log7 √ 21 log7 123
log 2 log (11 x2)
c) ——————————— 2
log (5 x)
1
b) Els seus logaritmes en base —.
3
log 1 123 log 1
—
3
—
3
10x2 9x 19 0 → x 1
√ 21 log—1 2
3
log 2 log (11 x2) 2 log (5 x)
1
log 1 — log 1 0,2
— 3
—
3
3
log 2 log (11 x2)
——————————— 2
log (5 x)
log [2 (11 x2)] log (5 x)2
2 (11 x2) (5 x)2;
25. Per què log1 x no és una funció?
22 2x2 25 10x x2
log x
log x
log1 x ——— ———
log 1
0
26. Dues de les quatre expressions següents són equivalents.
Indica quines són i demostra-ho.
a) ln (ab) ln (ac)
b) ln (ab) ln (ac)
c) ln (ab ac)
d) ln a ln (b c)
ln (ab ac) ln [a(b c)]
ln a ln (b c)
c) i d)
27. Determina la solució de les equacions logarítmiques
següents:
3
a) log2 x2 log2 x — 2
4
1
3x2 10x 3 0 → x1 3, x2 —
3
28. Resol els sistemes:
5
log x log y 2
a)
x y 15
Soluciona’l de dues maneres diferents.
5
log x log y 2 →
→ log (xy) log 100 → xy 100
x y 15
5
xy 100
x y 15 → x 15 y
3
log2 x2 log2 x — 2 →
4
2
x
→ log2 ———— log2 4
3
x—
4
x2
———— 4 → x2 4x 3 →
3
x—
4
→ x 4x 3 0 → x1 3, x2 1
2
(15 y) y 100 → 15 y y2 100 →
→ y2 15 y 100 0 → y 5
x 15 y 15 5 20 →
→ x 20
5
2 log y 3 log x 1
b)
log x log y 3
Soluciona’l de dues maneres diferents.
5
2 log y 3 log x 1
log x log y 3
147
LA
148
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
31. El pH d’una dissolució és 11,25. Quina és la concentració d’ions
hidrogen que hi ha a la dissolució? I la d’ions hidroxil?
b1) 2 log y 3 log x 1
3 log y 3 log x 9
5 log y 3 log x 10
pH 11,25 → log [H3O] 11,25 →
→ log [H3O] 11,25
log y 2 → y 100
[H3O] 1011,25 5,62341331012 mol/L
log x log y 3 →
pOH 14 pH 14 11,25 2,75 →
→ log [OH] 2,75
→ log x 3 log y 3 2 1 →
→ x 10
y2
b2) log — log 10
x3
log (xy) log 1 000
[OH] 102,75 1,7783103 mol/L
5
5
o [H3O][OH] 1014 →
1014
1014
→ [OH] ———— —————————
[H3O]
5,62341331012
1,7783103 mol/L
y
— 10
x3
1 000
xy 1 000 → y ———
x
2
———
x
1 000
Activitats finals
10
——
x2
————— 10; ——— 10;
x3
x3
106
—— 10; x5 105 → x 10
x5
2
6
1. Dibuixa en uns mateixos eixos de coordenades les funcions
3 x
2 x
exponencials — i — i les funcions logarítmiques
2
3
log 3 x i log 2 x.
—
2
—
3
3
y —
2
1 000
1 000
y ——— ——— 100 →
x
10
→ y 100
x
53x 1 17 → 3x 1 log5 17 →
→ 3x log5 17 1
1
1 log 17
x — (log5 17 1) — ——— 1
3
3 log 5
1 1,2304489
— ————— 1
3
0,69897
1
1
— (1,7603744 1) —2,7603744
3
3
0,9201248; x 0,9201248
30. En una entitat bancària es dipositen 15 025 al 3 % d’interès
compost anual. Quin és el benefici que s’obtindrà al cap de
cinc anys? Repeteix el problema suposant que l’interès sigui
continu. Compara’n els resultats obtinguts.
Compost → C C0 (1 r)t 15 025 (1 0,03)5
15 0251,035 17 418,09
b 17 418,09 15 025 2 393,09
Continu → C C0 ert 15 025e0,035
15 025e0,15 17 456,56
b 17 456,56 15 025 2 431,56
x
0
1
3
—
1
2
9
—
2
4
2
—
1
3
29. Aplicant logaritmes, resol l’equació exponencial 53x 1 17.
3
—
x
2
A partir de la taula de valors es dibuixa la gràfica de la funció
3 x
— ; a partir d’aquesta, per simetria amb l’eix OY, es dibuixa
2
2 x
la de — .
3
Per dibuixar les logarítmiques n’hi ha prou amb la simetria de
les dues exponencials respecte de la recta y x.
la
MATEMÀTIQUES 1
2. Es considera la funció exponencial f(x) ax. Demostra que
si el punt (p, q) és un punt de la seva gràfica, també ho és
1
el punt p, — .
q
c) 3x5x 1 10 125
3x5x
3x5x 1 10 125 → —— 10 125 →
5
→ 3x5x 10 1255
f(x) ax
3x5x 34535 → 3x5x 3454 →
Sabem que f(p) q, per tant ap q
1
1
f(p) ap —— — →
p
q
a
1
→ p, — també és de la gràfica.
q
→ 15x 154 → x 4
d)
√√ 7 6√ 7 49
x
—
√
√ 7 6√ 7 49 2 →
3. Determina el punt en què la gràfica de cadascuna de les
funcions següents talla l’eix de les ordenades:
→
→ 7
a) f(x) 5ex
f(0) 5e0 5 → (0, 5)
h(0) 3 2a0 3 2 1 →
→ (0, 1)
1
c) g(x) 2 —
3
x1
1
→ x ——
15
→ (52x)2 352x 10 0
t 52x, t2 3t 10 0 → t 5
1
52x 5 → 2x 1 → x —
2
4. Resol aquestes equacions:
3
g) 5x 1 2 ———
x2
5
3
5x
352
5x 1 2 ——— → — 2 ——
5x 2
5
5x
a) x4 256
x4 256 → x4 44 →
1
→ x4 —
4
4
(5x)2 105x 375 →
1
→ x—
4
→ (5x)2 105x 375 0
t 5x, t2 10t 375 0 → t 25
5x 25 → 5x 52 → x 2
1x
√3 √3 √ 3 √ 3 —13
1
h) (ax 3)x —
a
1x
→ 3
3
54x 352x 10 0 →
p(0) 1 30 1 1 0 → (0, 0)
15
——
16
1
1
27x3 —— → x3 ———— →
125
27125
1
→ x3 ———
3 3
3 5
f) 54x 352x 10 0
d) p(x) 1 32x
√ √3 √ 3 √
3
7x → x —
4
1
3 —
3
√
3
—
4
1
1
x3 —— → x3 ——
3
15
15
1 01
g(0) 2 —
3
1
2
2— — →
3
3
2
→ 0, —
3
x
—
7 √ 7 49 2 →
1
e) 27x3 ——
125
b) h(x) 3 2ax
b) 3
x
—
2
→
3x 1 →
15
31
→ —— x 1 → x ——
16
16
2x
1 2x
2
(ax 3)x —
→ ax 3x a2x →
a
→ x2 3x 2x
x2 5x 0 → x (x 5) 0 →
→ x1 0, x2 5
149
150
i)(2x)
LA
2
—
5
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
5
√ e4
c) h(x) log3 √3x
2
—
5
(2x)
5
2
—
5
√ e4 → (2x)
→ 2x e
e
4
—
5
h(x) 0 → log3 √3x 0 →
→
→
4
5
— —
5
2
1
1
2x e2 → 2x — → x ——
2e2
e2
j) 7x 7x 1 7x 2 2 793
7x 7x 1 7x 2 2 793 →
→ 7x 77x 497x 2 793
7x 49 → 7x 72 → x 2
—3 , 0
1
→ x— →
3
1
5
d) p(x) log5 —
x
5
5
p(x) 0 → log5 — 0 → — 1 →
x
x
→ x 5 → (5, 0)
7x (1 7 49) 2 793 →
2 793
→ 577x 2 793 → 7x ——— 49
57
√3x 1 → 3x 1 →
8. Calcula els logaritmes següents sense utilitzar la calculadora:
1
1
3
a) log4 —; b)log5 √25; c) log 1 a√ 3 ; d) log ——;
—
a
16
5. Demostra que si f(x) 3x, aleshores
f(x)
f(x 2) —— i f(x 3) 27f(x).
9
f(x) 3x
1
e) log 1 2, f) log9 —; g) log0,001 0,1
—
3
2
1
1
a) log4 — log4 — log4 42 2
16
42
f(x 2) 3(x 2) 3x 2
3x
f(x)
3x
—— —— ——
9
9
32
f(x 3) 3(x 3) 3x 3 3x33
273x 27f(x)
6. Hem rebut a casa una carta que ens augura bona sort si
n’enviem una fotocòpia a cinc persones. En cas contrari,
si trenquem la cadena, la sort se’ns girarà en contra. Quina
funció expressa el nombre de persones que rebran la carta
successivament, si no es trenca la cadena?
50 ,51 ,52 ,...,5 x
f ( x) = 5x
b) log5
3
2
—
3
3
1
c) log 1 a√ 3 log 1 —
—
—
a
a
a
f(x) 0 → log (x 3) 0 →
→ x 3 1 → x 2 → (2, 0)
1
log —
10
1
—
2
→ 2x 5 1 → 2x 6 →
→ x 3 → (3, 0)
√ 3
1
—
2
log 10
1
—
2
1
1
1
1
1
f) log9 — log9 —— log9 ——
1
3
—
√9
2
9
1
log9 —
9
1
—
2
1
—
2
log9 9
b) g(x) ln (2x 5)
g(x) 0 → ln (2x 5) 0 →
√ 3
1
1
d) log —— log ——
1
—
√10
10 2
a) f(x) log (x 3)
2
√25 log5 √ 52 log5 5 3 —
1
e) log 1 2 log 1 —
—
—
2
2
2
7. Determina el punt en què la gràfica de cadascuna d’aquestes
funcions talla l’eix de les abscisses:
√10
g) log0,001 0,1 log0,001
3
1
1
—
log0,001 0,001 3 —
3
1
—
2
√0,001
la
MATEMÀTIQUES 1
9. Calcula:
3(log 1,28) 3 log 1,28
128
3 log —— 3 (log 128 log 100)
100
a) loga blogb a
logb b
loga blogb a ———logb a
logb a
1
———logb a 1
logb a
3 (log 27 2) 3 (7 log 2 2)
3 (7 m 2) 21 m 6
e) log 12,5
100
log 12,5 log —— log 100 log 8
8
3
2 log 2 2 3 log 2 2 3m
1
b) log 1 a logb —
—
a
b
1
log 1 a logb —
—
b
a
1
log 1 —
—
a
a
f) log 0,87
8
log 0,87 7 log 0,8 7 log ——
10
7 (log 8 log 10) 7 (log 23 1)
1
logb b1 1 1 2
7 (3 log 2 1) 7 (3 m 1) 21 m 7
10. Si log 2 m, expressa en funció de m:
a) log 1600
log 1600 log (16100)
log 16 log 100 log 24 2
4 log 2 2 4 m 2
b) log
11. Determina l’expressió de log x que correspon a cadascuna de
les igualtats següents:
1
5
1
log √ 0,0064 — log 0,0064
2
log b (3 log c log d)] 2 log 3
4 log a 2 log b 6 log c 2 log d
b) x
√
4
a (b c)
—————
d5
log x log
1
— {log [a(b c)] log d5}
4
1
— [log a log (b c) 5 log d]
4
1
— (6 m 4) 3 m 2
2
1
1
5
— log a — log (b c) — log d
4
4
4
3
1
—
3
1
3 log ——
1,28
a (b c)
—————
d5
1
a (b c)
— log —————
4
d5
1
1
— (log 26 4) — (6 log 2 4)
2
2
√
4
1
— (log 64 log 10 000)
2
1
log ——
1,28
3a2b
2 log ———
c3d
(log c3 log d)] 2 [log 3 2 log a
1
64
— log ———
2
10 000
1
d) log ———
1,28
2
2 [log 3 log a2 log b
1
2
— log ———
5
10 000
1
1
— (log 2 log 10 000) — (m 4)
5
5
c) log √ 0,0064
2 [log (3a2b) log (c3d)]
√0,0002 — log 0,0002
log
2
3a2b
log x log ———
c 3d
√ 0,0002
5
3a2 b
a) x ———
c3 d
5
151
a3 b4 c 6
c) x ——————
2
—
m 3 n √p
152
LA
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
1
—
m
1
—
6
—
3
a
——
5
b2
√ a3
log ————— log —————
→
5
5
n √p
log (a3 b4 c ) log (m
2
—
3
5
1
—
(log m
√ a3
→ x —————
5
√ b2c7d28
log n log √ p )
1
3 log a 4 log b — log c
6
2
1
— log m log n — log p
3
2
1
3 log a 4 log b — log c
6
2
1
— log m log n — log p
3
2
√ b2c7d28
(cd4)7
n √p )
log a3 log b4 log c 6
2
—
3
3
√
a3 b4 c 6
log x log —————
2
c) log4x
log4 c log4 d
3 log4 a 2 log4 b ————————
3
log4x log4 a3 log4 b2
1
— (log4 c log4 d)
3
1
log4 (a3b2) — log4 (cd)
3
log4 (a3b2) log4
h
d) x —————
m n p q r
h
log x log ————
mnpqr
log h log (mnpqr) log h
(log m log n log p log q log r)
log h log m log n
log p log q log r
12. Estableix l’expressió de x corresponent a:
a3b2
a3b2
log4 ——— → x ———
3
3
√c d
√c d
1
d) ln x — (3 ln a ln b ln c 5 ln d)
2
1
ln x — (ln a3 ln b ln c ln d5)
2
1
— [ln a3 ln b (ln c ln d5)]
2
1
a 3b
— ln ——
2
cd5
ln x ln a3 ln b2 ln √ c
ln (a3 b2) ln √ c
a3b2
a3b2
ln —— → x ——
√c
b) log x
1
— (3 log a 2 log b) 7 (log c 4 log d)
5
1
log x — (log a3 log b2)
5
7 (log c log d4)
1
a3
— log —— 7 log (cd4)
5
b2
log
3
√
5
√c d
1
— [ln (a3 b) ln (cd5)]
2
1
a) ln x 3 ln a 2 ln b — ln c
2
√c
3
a
—— log (cd4)7
b2
3
ln
√
ab
—— → x
cd5
3
√
ab
——
cd5
13. Calcula logx (logx x√ x).
1
1
—
logx (logx x√ x ) logx √ x logx x 2 —
2
14. Es consideren les quatre expressions següents:
loga (p2 q2); 2 loga p 2 loga q
2 loga (p q); loga (p q) loga (p q).
A totes elles es verifica que p q 0.
la
MATEMÀTIQUES 1
a) Demostra que dues d’aquestes expressions són equivalents.
e) 73x 2 140
3x 2 log7 140 →
loga (p2 q2)
→ 3x log7 140 2 →
loga [(p q)(p q)]
1
→ x — (log7 140 2)
3
loga (p q) loga (p q)
1 log 140
— ———— 2
3
log 7
b) Calcula el valor de la primera expressió per a a 2, p 3
i q 1.
loga (p2 q2) log2 (32 1)
1
2,146128
— ————— 2
3
0,845098
log2 (9 1) log2 8 log2 2 3
3
1
1
— (2,5395018 2) —0,5395018
3
3
15. Resol aquestes equacions:
0,1798339 → x 0,1798339
a) 2 log x 4 log 2 3 log x
x2
x2
log — log x3 → —— x3 →
16
24
→ x2 16x3 → 16x3 x2 0
16. Calcula x en cadascuna de les igualtats següents:
1
a) log3 √ x —
2
x2 (16x 1) 0 → 16x 1 0 →
1
log3 √ x — →
2
x0
1
→ x ——
16
1
—
1
—
√x 3 2 →
1
—
→ x2 32 → x3
x
b) 3 log2 x 2 log2 — 2 log2 3 1
3
b) logx 2x 2
logx 2x 2 → x2 2x →
x3
log2 ——— log2 (322) →
x 2
→ x2 2x 0 → x(x 2) 0 →
3
x0
→ x 2 0 → x 2
—
x0
x3
x3
→ ——— 18 → —— 18
x 2
x2
—
—
3
9
9x3
—— 18 → 9x 18 → x 2
x0
x2
1
—
2
1
1
log 1 x — → x —
—
2
3
3
ln [2 (11 x )] ln(5 x) →
2
→ 2(11 x2) (5 x)2 →
→ 22 2x2 25 10x x2
1
3x2 10x 3 0 → x1 3, x2 —
3
1
10logx
d) —————— —
1 102logx
2
1
—
32
√3 → x √3
d) logx √ 2 3
c) ln 2 ln(11 x2) 2 ln (5 x)
2
1
c) log 1 x —
—
3
2
1
—
logx √ 2 3 → x3 √ 2 → x3 2 2 →
→ x 2
1
1 —
— 3
2
1
—
→ 26
6
6
√2 → x √2
1
e) logx ——— 3
2√2
1
1
logx ——— 3 → x3 ——— →
2√ 2
2√ 2
x
1
——— — → 2x 1 x2 →
2
1 x2
1
1
1
1
→ — —— → — ———3 →
→ x2 2x 1 0 → x 1
→ x √2
x3
√ 23
x3
(√ 2 )
153
LA
154
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
3
f) log4x —
2
3
—
3
log4x — → x 4 2 √ 43 √ 26
2
23 8 → x 8
17. Determina el valor de a per tal que quan incrementem en
tres unitats el logaritme en base a de 6, obtinguem el
logaritme en base a de 48.
loga6 3 loga48 →
→ loga6 logaa loga48
3
loga(6a3) loga48 → 6a3 48 →
→ a3 8 → a 2
18. En el país dels nombres es poden escoltar converses molt
estranyes. Fixa’t en aquesta i intenta identificar-ne els dos
personatges.
y: Sóc el teu logaritme decimal.
x: Ep! Sóc deu vegades més gran que tu.
x 10, y 1
19. Resol els sistemes d’equacions següents:
5
log x log y 3
a)
2 log x 2 log y 1
5
—
5
4 log x 5 → log x — → x 10 4
4
x2 y 18
√ y x 3
x: edat de l’Albert; y: edat del Jordi; x, y naturals.
2y 85 x
logx 64 y
6
6
2y 215 3x
xy 64
6
6
21. La taxa de despoblació d’una ciutat és del 1,5 % anual.
Suposant que aquesta taxa no es modifica, quants anys
hauran de transcórrer perquè la població actual es redueixi a
la meitat? Si actualment aquesta ciutat té 100 000 habitants,
quants en tindrà d’aquí a set anys?
h h0 (1 r)t
1,5% → r 0,015
h h00,985t
1
— h0 h00,985t
2
0,5 0,985t →
log 0,5
→ t log0,985 0,5 ————
log 0,985
0,30103
—————— 45,862365
0,0065638
t 46 anys
h h00,985t 100 0000,9857
89 961 habitants
x 10, y 1
log x 3 log y 5
c)
x2
log — 3
y
5
7 log x 14 → log x 2 → x 100
7 log y 7 → log y 1 → y 10
logx (y 18) 2
d)
1
logy (x 3) —
2
5
2y (23)5 x
xy 64
x 4 anys, y 3 anys
5
6
y 15 3x
xy 64
log x log y 1
b)
3x 5y 35
3x 5y 35
81
20. El pare de l’Albert i el Jordi és matemàtic. Quan li
pregunten les edats dels seus fills, respon: «La potència
de base 2 i exponent l’edat del Jordi és igual a la potència
de base 8 i exponent 5 menys l’edat de l’Albert. D’altra
banda, el logaritme en base l’edat de l’Albert de 64 és
igual a l’edat del Jordi». Quina és l’edat de cadascun dels
dos nois?
7
—
7
4 log y 7 → log y — → y 10 4
4
x
— 10
y
6
3
x —, y ——
2
4
Avaluació
1. Fes una taula de valors i representa gràficament en els mateixos eixos de coordenades cadascuna de les funcions següents:
f(x) 5 3x
g(x) 5 log3 x
Elabora també una llista de les característiques de cada corba i compara-les.
MATEMÀTIQUES 1
x
22
21
0
1
2
3
f(x) 5 3x
1/9
1/3
1
3
9
27
x
g(x) 5 log3 x
1
2
3
9
0
0,631
1
2
la
155
c) 9x 2 3x+1 2 54 5 0
32x 2 3·3x 2 54 5 0 → canvi t 5 3x, t2 2 3t 2 54 5 0 →
→ t 5 9, t 526 (no té sentit) → x 52
d) 2x 1 2x+1 1 2x+2 1 2x+3 5 480
canvi t 52x, t 1 2t 1 4t 1 8t 5 480 → 15t 5 480 →
t 5 32 → x 5 5
e) 2 log x 5 log (3 2 x) 1 log 4
log x2 5 log (12 2 4x) → x24x212 5 0 → x 5 2,
x 5 26 (no té sentit)
f) log xlog
1 xlog
(y (
1y +12)5
+ log
12)
=11
2x 22 xy −5y4= 4
y 5 2x 2 4 → substituint a la primera equació
log x 1 log (2x 1 8) 51 → log (2x2 1 8x) 5 log 10 →
2x2 1 8x 2 10 5 0 → x 5 1, x 5 25 (no té sentit)→ y 522.
3. Si log3 p 5 5 i log3 q 5 22, calcula els resultats de les operacions següents aplicant les propietats dels logaritmes:
a) log3 (p · q)
log3 p 1 log3 q 5 5 2 2 5 3
b) log3 p2
2 log3 p 5 10
c) log3 (p · q3 )
log3 p 1 3 log3 q 5 5 2 6 5 21
p5
d) log3 ——
q
5 log3 p 2 log3 q 5 25 1 2 5 27
Característiques de y 53x:
Dy 5 R, Ry 5 R1, contínua, creixent, passa per (0, 1),
lim y = 0, lim y = +∞
x →−∞
x →+∞
Característiques de y = log3 x:
Dy 5 R1, Ry 5 R, contínua, creixent, passa per (1, 0),
v A (t ) = v B (t ) →
3t 2 = 27 → t = 3 h
Les dues funcions són creixents i contínues. A més són simètriques respecte la bisectriu del primer quadrant ja que són inverses una de l’altra.
2. Resol les equacions o sistemes següents:
a) log5 x 5 23
5–3 5 x → x 51/125
b) 3x+1 5 150
4. La datació de restes arqueològiques es pot fer a partir de la
quantitat de carboni 14 (14C) que contenen. La quantitat residual de 14C que trobem al fòssil segueix la llei exponencial:
t
q(t) 5 q0 · 2 5700
on q0 és la quantitat inicial de 14C que contenia el fòssil
quan era viu, q és la quantitat de 14C que trobem al fòssil i
t el temps en anys.
a) Escriu la funció que es fa servir per datar restes arqueològiques, és a dir, la funció que s’utilitza per determinar
l’edat d’un fòssil en funció de la quantitat de 14C que
conté en relació amb la d’un ésser viu.
−t
q(t )
q(t )
−t
q(t )
= 25700 → log2
→ t = −5700·log2
=
5700
q0
q
0
q0
b) Quina és l’edat d’una mòmia si la quantitat de 14C que
presenta és la meitat de la que tindria si la persona fos
viva?
q 0q/0 2/ 2
1 1 = −5700·(−1) = 570
−5700·log
=t t= =−5700·log
−5700·log
t t= =−5700·log
= −5700·(−1) = 5700
=→
2 2
2 2
q
q
2 2
0 0
q /2
1
x 1 1 5 log3 150 → x 1 1 5
150/log23 →0 x 5 3,5609
−5700·log
= t = −5700·log2 = −5700·(−1) = 5700 anys
t =log
2
q0
156
LA
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
jUnitat 12. Funcions
trigonomètriques
c) y sin x — 1
2
Activitats
1. Representa gràficament la funció y sin x en l’interval
[, ]. Elabora’n una taula de valors i dibuixa-la amb
detall.
Taula de valors:
x
0
—
2
—
2
sin x
0
1
0
1
0
Translació de x, — a la dreta i 1 cap amunt.
2
d)
2. Tenint en compte la gràfica de la funció sinus, dibuixa les
gràfiques de les funcions següents:
a) y sin x 2
Els valors de sin x es multipliquen per 3, per a cada x.
3. Representa gràficament les funcions:
a) f(x) sin 3x
Translació de la funció 2 unitats negatives.
b) y sin x —
4
Translació de la variable x a x —.
4
2
Període ——
3
la
MATEMÀTIQUES 1
b) f(x) sin x
Període 2
5. Dibuixa la gràfica de la funció y cos x en l’interval [2, 2].
Elabora’n una taula de valors i pren com a model la gràfica del
text.
Taula de valors:
x
3
3
2 —— — 0 — —— 2
2
2
2
2
cos x
1
0
1
0
1 0 1
c) f(x) sin 4x
Període —
2
6. Representa gràficament aquestes funcions:
a) y cos x 1
d) f(x) sin (2x)
Període
Translació de la funció 1.
b) y cos x —
4
4. Representa gràficament la funció y 2 sin x. Indica’n el
recorregut i el pe­ríode.
El recorregut és [2, 2] i el període és 2.
157
Translació de x, — a la dreta.
4
0
1
158
LA
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
c) y cos x 2
b) f(x) cos x
Període 2
Translació de la funció 2.
d) y cos x —
4
La funció f(x) cos x té de període 2 ja que només és la
simètrica de cos x respecte de l’eix de les abscisses.
8. Determina el recorregut de les funcions:
a) f(x) 2 cos x
Recorregut: [2, 2]
b) f(x) 2 cos x
Recorregut: [2, 2]
c) f(x) 3 cos x
Translació de x, — a l’esquerra.
4
7. Construeix la gràfica i indica el període de cadascuna
d’aquestes funcions:
a) f(x) cos 4x
Recorregut: [3, 3]
d) f(x) cos 3x
Recorregut: [1, 1]
9. Indica quins d’aquests angles no pertanyen al domini de la
funció f(x) tg x:
Període —
2
7 32
——, ——, 324°, 32,
4
5
15
——, 900° i 990°
2
No pertanyen al domini de la funció els angles tals que el seu
15
cosinus és 0. Són els múltiples imparells de —. Són: —
2
2
i 990°.
La funció f(x) cos 4x té de període:
2
—— —
4
2
10. Utilitza la calculadora per elaborar una taula de valors que
et permeti representar amb precisió la gràfica de la funció
f(x) tg x en l’interval —, — .
2 2
MATEMÀTIQUES 1
Taula:
—
2
x
tg x
—
4
0
—
4
1
0
1
—
2
11. Aplica a la gràfica de l’exercici anterior una translació de
dues unitats en la direcció de l’eix d’ordenades i en el sentit
positiu d’aquest eix. Quina és l’expressió algèbrica de la
funció que correspon a aquesta gràfica?
la
159
15. Representa a la circumferència trigono­mètrica l’angle que
2
mesura —— rad. Dibuixa les sis raons trigonomètriques
3
d’aquest angle i mesura-les. Compara els resultats experi­
mentals amb els que obtens amb la calculadora. En cas que
hi hagi diferències, justifica-les.
2
L’angle —— és del segon quadrant. Els valors aproximats que es
3
poden obtenir en la circumferència de radi 1 són:
sin 0,8; cos 0,5; tg 1,7;
cotg 0,5;
sec 2; cosec 1,1
3
16. Considera un angle tal que —— i sin 0,6.
2
Determina’n les altres cinc raons trigonomètriques.
L’angle és del tercer quadrant.
sin 0,6 →
→ cos √ 1 (0,6)2 0,8
L’expressió de la funció és: f(x) tg x 2.
0,6
1
4
tg ——— 0,75; cotg —— —;
0,8
tg
3
13
12. Determina els límits laterals de la funció y tg x en x ——.
2
13
x —— no és del domini de la funció.
2
tg x
lim
13
1
5
cosec ——— —
0,6
3
lim tg x
132
x → ——
2
1
x → ——
2
13. Raona per què les funcions y arc sin x i y arc cos x tenen
el domini restringit a l’interval [1, 1].
Les funcions y arc sinus x i y arc cos x tenen el domini
restringit a [1, 1] perquè són les funcions respectivament
inverses de y sin x i y cos x que tenen de recorregut [1, 1].
14. Considera la funció y arc tg x. Indica l’interval en què els
valors que assoleix la funció són més grans que 1.
1
5
sec ——— —
0,8
4
180
180
L’interval és: ——, , ja que arc tg —— 1.
17. Explica les particularitats que observes en calcular la secant
i la cosecant de cadascun d’aquests angles:
a) —
2
— → sin 1,
2
1
cos 0 → sec ——— → No existeix
cos
1
cosec ——— 1
sin
160
LA
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
3
b) 3 i ——
2
tg 1. Això indica el següent:
√2
√2
sin cos ——; cos ——
2
2
3 → sin 0,
1
cos 1 → sec ——— 1
cos
1
cosec ——— → No existeix
sin
cotg 1; cosec √2; sec √2
22. Quins són els valors reals que no pot pren­
dre la funció
f(x) cosec x? Per què?
f(x) cosec x no està definida per a tots els valors que fan
sin x 0 → x k, on k és qualsevol nombre enter.
3
c) f ——
2
3
3
—— → sin —— 1,
2
2
3
1
cos —— 0 → sec —— →
2
cos
→ No existeix
23. Dibuixa un angle tal que tg 2. Hi ha més d’un angle
més petit que 2 que verifica aquesta condició? Raona la
resposta.
1
cosec ——— 1
sin
3
18. Si cotg — i és un angle que ve­rifica — ,
4
2
calcula les altres cinc raons trigonomètriques.
és un angle del segon quadrant.
3
4
cotg — → tg —
4
3
—43 1
2
tg2 1 sec2 →
5
sec2 → sec α —
3
3
cos —;
5
√
—45 ;
3
1 ——
5
5
cosec —
4
sin
2
1
19. Per què no és possible la igualtat sec —?
3
1
La igualtat sec — implicaria cos 3,
3
cosa que no és possible.
20. Explica el motiu pel qual hi ha angles que no tenen cosecant.
No tenen cosecant els angles tals que sin 0. Són tots els
angles de la forma: k amb k un nombre enter.
3
21. Considera un angle tal que —— 2 i tg 1.
2
Determina el valor de les altres raons trigonomètriques
d’aquest angle.
L’angle és del quart quadrant.
Hi ha un angle del segon quadrant i un del quart que verifiquen
tg 2.
24. Indica tots els angles compresos entre 0 i 2 que
compleixen cosec 1. Representa’ls gràficament a la
circumferència unitat.
3
Si cosec 1 → sin 1. Només l’angle —— verifica
2
aquesta condició.
25. Identifica tots els angles compresos entre 0 i 2 que no
tenen cotangent.
Els angles que no tenen cotangent són els que tenen els sinus igual
cos
a 0 → cotg ———.
sin
sin 0 → 0 i
26. Expressa el domini de cadascuna de les funcions f(x) cosec x,
f(x) sec x i f(x) cotg x. Indica’n les discontinuïtats i
classifica-les. Quin és el recorregut de cada funció?
Domini són tots els valors de la variable que permeten calcular
f(x).
1
f(x) cosec x ——— →
sin x
→ Df {x k, k }
la
MATEMÀTIQUES 1
En els punts que no són del domini, les discontinuïtats són
asimptòtiques.
1
f(x) sec x ——— →
cos x
(2k 1)
→ Df {x —————, k }
2
Les discontinuïtats són asimptòtiques.
b) 2 cos x 1 0
2 cos x 1 0 →
1
2
→ cos x —— ; x1 —— ,
2
3
4
però també hi ha un altre angle del tercer quadrant: x2 ——.
3
c) 2 sin2 x sin x 1
En les dues funcions el recorregut és:
2 sin2 x sin x 1. Cal prendre una in­cògnita auxiliar:
(, 1] [1, )
cos x
f(x) cotg x ——— →
sin x
→ Df {x k, k }
El recorregut és .
27. Verifica la identitat:
1 cos
sin
2
————— ————— ———
sin
1 cos
sin
Desenvolupem el primer membre de la igualtat:
1 cos
sin
————— —————
sin
1 cos
(1 cos )2 sin2
——————————––
sin (1 cos )
1 2 cos cos sin
——————————————––
sin (1 cos )
2
161
2
2 (1 cos )
2
————————– ———
sin (1 cos )
sin
En obtenir el segon nombre de la igualtat, queda comprovada la
identitat.
28. Comprova la identitat:
cos 2 2 cos2 1
cos 2 cos2 sin2
cos (1 cos2 ) 2 cos2 1
2
Desenvolupant el primer nombre s’obté el segon. Per tant, és una
identitat.
sin x t → 2t2 t 1 0 →
1 √ 1 8
→ t ——————
4
Substituint els valors de t:
sin x 1 → x1 —
2
1
1
—
2
11
—— —— x2
16
6
sin x — → x
2
7
—— x3
6
d) 2 sin x tg x
sin x
2 sin x tg x → 2 sin x —— →
cos x
sin x
→ 2 sin x ——— 0
cos x
1
sin x 2 ——— 0 →
cos x
sin x 0 → x 0 i p
→ x1 0, x2
→
1
1
2 ——— 0 → cos x — →
cos x
2
5
→ x3 —, x4 ——
3
3
e) 2 cos2 x cos 2x 1
2 cos2 x cos 2x 1
29. Resol aquestes equacions trigonomètriques:
Les solucions es donen en l’interval [0, 2 ].
a) sin x — 1
2
Substituïm cos 2x cos2 x sin2 x.
2 cos2 x cos2 x sin2 x 1; com que 1 sin2 x cos2 x,
la igualtat és una identitat.
f) cos x sin 2x (sin x cos x)2
sin x — 1 →
2
→ x—— → x0
2
2
cos x sin 2x (sin x cos x)2
cos x 2 sin x cos x
sin2 x 2 sin x cos x cos2 x
cos x 1 → x 0
162
LA
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
30. Les equacions trigonomètriques següents tenen solució
immediata. Expressa, en cada cas, totes les solucions.
a) tg x √ 3
2
5
tg x √ 3 → x1 ——, x2 ——
3
3
b) cotg x 1
3
7
cotg x 1 → x1 ——, x2 ——
4
4
c) sec x 2
sec x 2 →
1
7
11
→ sin x — → x1 ——, x2 ——
2
6
6
a) Quin és el seu domini?
Df {x k, k }
b) Presenta discontinuïtats? Quines?
Les discontinuïtats en els punts que no són del domini són
asimptòtiques.
c) Passa pel punt —, 0 ?
2
No passa pel punt —, 0 →
2
→ f — cotg — 2 2 0
2
2
d) Quin és el seu període?
El període és .
d) cosec x 2
cosec x 2 →
1
5
→ cos x — → x1 —, x2 ——
2
3
3
31. Comprova que les igualtats següents són identitats:
1
1
a) tg —— —————
tg
sin cos
1
sin
cos
tg —— ——— ———
tg
cos
sin
sin2 cos2
1
———————— ——————
cos sin
cos sin
33. Resol l’equació següent:
tg2 x 3 tg x 2 0
Considera primer que la incògnita és tg x.
tg2 x 3 tg x 2 0
Cal fer el canvi tg x t:
t2 3t 2 0 →
3 √ 32 8
→ t ———————
2
2
1
tg x 2 → x1 arc tg 2 1,11 rad
5
tg x 1 → x2 —; x3 ——.
4
4
b) sin 2 sin — cos —
2
2
És la igualtat del sinus de l’angle doble,
ja que 2—.
2
Activitats finals
1. Defineix la funció f(x) cotg x. Indica’n el domini, el
recorregut i les característiques més importants. Dibuixa’n
la gràfica.
32. Representa gràficament la funció f(x) cotg x 2.
cos x
f(x) cotg x ———
sin x
la
MATEMÀTIQUES 1
Df {x k, k }. Contínua en tot el seu domini.
Presenta discontinuïtats asimptòtiques en els punts que no són
del domini. El període és .
2. Dibuixa la gràfica de les funcions següents. Per a cada
funció, especifica’n el domini, el recorregut i el període.
163
(2k 1)
Dy x —————, k ;
2
recorregut: . Període: .
d) y cotg x 1
a) y 3 sin x
y cotg x 1:
y 3 sin x: Dy ; recorregut: [3, 3].
Període: 2.
Dy {x k, k };
recorregut: . Període: .
3. Considera la funció f(x) tg x. Troba els límits laterals
en els valors de x de l’interval [, ] en què la funció és
discontínua.
b) y 3 cos x
La funció f(x) tg x presenta discontinuïtats asimptòtiques
en els punts x — i x —.
2
2
lim
f(x)
lim
f(x)
1
x → 2—
2
1
x→ —
2
y 3 cos x: Dy ; recorregut: [3, 3].
Període: 2.
lim
2
x → 2—
2
lim
2
x→ —
2
f(x)
f(x)
4. El període de la funció f(x) cos kx és —. Calcula k.
2
El període de f(x) cos x és 2; el període de f(x) cos kx
serà:
2
2
—— → —— — → k 4
k
k
2
c) y tg x 2
5. Se sap que cotg 2. A quins quadrants pot situar-se
l’angle ? Determina les restants raons trigonomètriques
de l’angle per a cadascun dels possibles quadrants.
Si cotg 2, pot ser del primer i del tercer quadrants.
1
sin
tg — ——— → cos 2 sin →
2
cos
→ sin2 (2 sin2 ) 1
y tg x 2:
1
sin2 —
5
164
LA
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
En el primer quadrant:
1
2
1
sin ——; cos ——; tg —;
√5
√5
2
√5
3
Ampliant: x —— k, k .
4
sec x 1 → cos x 1 → x 0
Ampliant: x 2k, k .
sec ——; cosec √ 5
2
8. Esbrina si la igualtat
En el tercer quadrant:
1
2
1
sin ——; cos ——; tg —;
√5
√5
2
√5
sec ——; cosec √ 5
2
6. Defineix la funció f(x) arc cotg x com la funció inversa de
la funció f(x) cotg x i indica’n el domini i el recorregut.
Dibuixa la gràfica de la primera funció a partir de la gràfica
de la segona tenint en compte que, pel fet de ser funcions
inverses, aquestes gràfiques han de ser simètriques respecte
de les bisectrius del primer i tercer quadrants.
El domini de la funció és , que és el recorregut de la funció
f(x) cotg x.
El recorregut és l’interval (0, ) que correspon al període de la
funció f(x) cotg x.
1 sin 2x (sin x cos x)2
és una identitat o una equació.
1 sin 2x 1 2 sin x cos x
(cos x sin x)2
cos2 x 2 sin x cos x sin2 x
1 2 sin x cos x
És una identitat.
9. Aquestes igualtats, són identitats?
1 sin
cos
a) ———— ————
cos
1 sin
1 sin
cos
————— ————— →
cos
1 sin
→ (1 sin )(1 sin )
1 sin2 cos2
És una identitat.
1 sec
1 cos
b) ———— ————
1 sec
1 cos
No és una identitat:
1
1
: 1 ———
1 ———
cos
cos
7. Resol aquestes equacions trigonomètriques:
cos x 1, tg x √ 3,
cotg x 1 i sec x 1
cos x 1 → x
Si ampliem: x (2k 1), k .
4
tg x √ 3 → x1 — i x2 ——
3
3
Ampliant: x — k, k .
3
3
7
cotg x 1 → x1 —— i x2 = ——
4
4
cos 1
1 cos
————— —————
cos 1
1 cos
cotg2 1
c) ————— cotg
1 tg
No és una identitat:
1
cotg2 1
—————— ——
1 tg
tg
10. Comprova que aquestes igualtats són identitats:
cotg cotg
a) tg ( ) ————————
cotg cotg 1
sin ( )
tg ( ) ——————
cos ( )
la
MATEMÀTIQUES 1
sin cos
cos sin
—————— ——————
sin sin
sin sin
———————————————
cos cos
sin sin
—————— ——————
sin sin
sin sin
cotg cotg
—————————
cotg cotg 1
1
1
b) ———— ———— 2 sec2
1 sin 1 sin
1
1
———— ————
1 sin
1 sin
1 sin 1 sin
——————————–—
1 sin2
2
———— 2 sec2
cos2
11. Resol les equacions trigonomètriques següents:
Les solucions es donen en l’interval [0, 2).
5
a) sin x cos2 x —
4
1
→ sin x 2 sin x ——— 0
cos x
sin cos cos sin
————————————
cos cos sin sin
sin x 0 → x1 0, x2 i
1
2 sin x ——— 0 → 2 sin x cos x 1
cos x
2 sin x cos x sin 2x 1 →
→ 2x — → x — → x3 —
2
4
4
x
d) 6 cos2 — cos x 1
2
x
1 cos x
Cal substituir cos2 — —————.
2
2
1 cos x
6 ———— cos x 1 →
2
→ 3 3 cos x cos x 1 →
→ 4 cos x 2
1
2
4
cos x — → x1 —— i x2 ——
2
3
3
1
e) sin x cos x ——
√2
Cal canviar: cos x √ 1 sin2 x:
5
sin x cos x — →
4
2
5
→ sin x 1 sin2 x —
4
5
Fem sin x t → t 1 t2 — →
4
→ 4t2 4t 1 0 →
1
4 √ 16 16
→ t ———————— —
8
2
1
5
sin x — → x1 —, x2 ——
2
6
6
b) cos x 1 sin x
cos x 1 sin x. Les solucions són immediates, només
poden ser:
3
cos x 0 → x1 —, x2 ——,
2
2
o sin x 0 → x3 0, x4 .
c) 2 sin2 x tg x 0
2 sin2 x tg x 0 →
sin x
→ 2 sin2 x ——— 0 →
cos x
1
sin x (√ 1 sin2 x) —— →
√2
1
→ √ 1 sin2 x —— sin x
√2
Elevem al quadrat:
1 sin2 x
1
2
— —— sin x sin2 x →
2
√2
2
1
→ 2 sin2 x —— sin x — 0
2
√2
Utilitzem el canvi:
2
1
sin x t → 2t2 —— t — 0
2
√2
2
—— √ 6
√2
t —————— sin x
4
Prenem valors aproximats:
sin x 0,966 →
→ x1 1,3 rad, x2 1,84 rad
sin x 0,26 →
→ x3 3,4 rad, x4 6,02 rad
165
LA
166
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
cotg x tg x
f) —————— 2
cotg x tg x
13. Resol l’equació tg x 2 en l’interval [0, ].
cotg x tg x
—————— 2
cotg x tg x
Multipliquem el numerador i el denominador de la fracció per
tg x 0.
1 tg2 x
———— 2 →
1 tg2 x
→ 1 tg2 x 2 2 tg2 x →
1
→ 3 tg2 x 1 → tg x ——
√3
5
7
11
x1 —, x2 ——, x3 ——, x4 ——
6
6
6
6
3 sin x cos y 2
g)
sin x 3 cos y 1
5
5
sin x 3 cos y 1
→
9 sin x 3 cos y
x arc tg 2 1,107 rad
14. En un examen de matemàtiques es de­
manaven totes les
√3
solucions de l’equació tg x ——. Indica raonadament quina
3
d’aquestes respostes és la correcta:
a) x — k, k
6
7
b) x — k, k i x —— k,
6
6
k
→
√3
Les solucions de l’equació tg x —— només poden ser dos
3
angles, un del primer quadrant i un del tercer, menors de 2.
Per tant, totes les solucions ja estan expressades en l’apartat
a) que ja inclou les de l’apartat b).
6
15. Resol les equacions:
Resolem el sistema per reducció:
3 sin x cos y 2 tg x 2. En l’interval [0, ], només hi ha un angle del primer
quadrant que verifiqui la igualtat:
sin x 3 cos y 1
1
10 sin x 5 → sin x —
2
3
1
cos y 2 — —
2
2
Els únics angles que tenen el sinus igual al cosinus són els
angles complementaris en el primer quadrant i els corresponents
en el tercer.
→ xx—— →
3
2
→ 2x — → x1 ——
6
12
Combinant els valors de x i de y s’obtenen quatre solucions
diferents.
(sin sin )(cos cos )
1 sin 2
Substituïm sin 2 2 sin cos i tenim en compte que si
— → sin cos i cos sin :
2
(sin cos )(cos sin )
(sin cos )2
sin2 2 sin cos cos2
1 2 sin cos 1 sin 2
→
sin x cos x —
3
5
Els valors de x: — i ——;
6
6
5
els de y: — i ——.
3
3
12. Si —, demostra que:
2
a) sin x cos x —
3
13
El corresponent del tercer quadrant és x2 = ——
12
b) cos2 x sin2 x
cos2 x sin2 x → cos2 x sin2 x 0 →
→ cos 2x 0 → 2x
—
2
3
——
2
3
x1 —, x2 ——
4
4
la
MATEMÀTIQUES 1
c) 6 cos2 x cos 2x 1
6 cos x cos 2x 1
2
Substituïm cos 2x:
6 cos2 x cos2 x sin2 x 1 →
→ 7 cos2 x (1 cos2 x) 1 →
→ 8 cos2 x 2 →
1
1
→ cos x — → cos x —
4
2
2
1
5
cos x — → x1 —, x2 ——;
2
3
3
1
2
4
cos x — → x3 ——, x4 ——
2
3
3
Avaluació
p
1. El període de la funció f(x) 5 sin kx és —. Calcula k.
2
2π
.
El període d’aquest tipus de funció és
k
2π π
= → 4 π = k π → k = 4.
Aleshores,
k
2
2. Donada la funció f(x) 5 tg x 1 1.
a) Determina quin és el seu domini?
ππ
Domini: R
Z
�−−xx ==((
�.
(
)
¡�
22kk++11))
/,/kk∈∈¢�
22
b) Presenta discontinuïtats? Quines?
π
Discontinuïtats asimptòtiques
� −a x = (
(2k + 1)
) ,/ k ∈ �¢Z.
2
π
c) Passa pel punt ,0 ?
4
π
π
005tg
= tg + 1 → 0 = 1 + 1 → 0 ≠ 2. No passa pel punt ,0 .
4
4
d) Quin és el seu període?
Període: π.
3. Resol l’equació següent a l’interval [0,2p]: sin x 5 1 2 cos x.
sin x = 1 − cos x
Ho elevem tot al quadrat:
sin2 x = (1 − cos x )
2
rad
2
2
cos x 1 0 → x 1 → x3 0 rad, x4 2 rad
cos x 0 → x1
rad, x2
4. Comprova que la igualtat següent és una identitat:
cos (a2b) 2 cos (a1b)
———————————— 5 tg b.
sin (a1b) 1 sin (a2b)
cos (α − β ) − cos (α + β )
= tg
tgβb.
sin (α + β ) + sin (α − β )
Substituïm les fórmules trigonomètriques:
cos α ⋅ cos β + sin α ⋅ sin β − cos α ⋅ cos β + sin α ⋅ sin β
= tg β
sinα ⋅ cosβ + sinβ ⋅ cosα + sinα ⋅ cosβ − sinβ ⋅ cosα
2sin α ⋅ sin β
= tg β
2sin α ⋅ cos β
tg β = tg β
5.Dibuixa a la circumferència trigonomètrica tots els angles
1
més petits de 2π que verifiquen cos α = – . Calcula, en cada
2
cas, les altres cinc raons trigonomètriques d’aquests angles.
1
El valor cos α
correspon a dos angles del segon i ter2
2
cer quadrant, respectivament. Són els angles α1 120o
i
3
4
α2 240o .
3
Les altres cinc raons trigonomètriques d’aquests angles les obtenim
aplicant la igualtat fonamental i les definicions corresponents:
sin α1
α1
2
tg α1 √3 cotg α1
2
√3
sin α2
α2
√3
√3
2
tg α2 √3 cotg α2
2
1
√3
1
√3
sec α1 2 cosec
sec α2 2 cosec
√3
jUnitat 13. Introducció
a les derivades
2
1 − cos2 x = 1 − 2cos x + cos2 x
2cos2 x − 2cos x = 0
Ara podem extreure factor comú:
2cos x (cos x − 1) = 0
Les solucions són:
Activitats
sin x = 1 − 2cos x + cos x
2
167
1. La gràfica velocitat-temps corresponent a dos mòbils és la
que pots veure a la dreta (fig. 13.2).
a) Quina és la velocitat de cada mòbil a l’instant inicial,
quan t 0?
A l’instant inicial, v1 v2 0.
168
LA
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
b) Com pots veure, la velocitat de cada mòbil augmenta a
mesura que passa el temps. En quin cas augmenta més de
pressa? Per què?
La velocitat del mòbil 2 augmenta més de pressa, ja que per
a qualsevol valor t . 0, es compleix v2 . v1.
c) Quin dels dos mòbils haurà recorregut una distància més
gran després de 5 s d’haver començat el moviment?
El mòbil 2, ja que en tot moment t . 0 la seva velocitat és
més gran.
2. Quina és la velocitat mitjana del ciclista de l’exemple
anterior durant els 10 s?
120 0
120
vm[0,10] ——— —— 12 m/s
10 0
10
3. A partir de la gràfica distància-temps següent (fig. 13.4),
calcula en km/h:
a) La velocitat mitjana del mòbil en cadascun dels intervals
de temps [0, 2], [2, 3,5] i [3,5, 4,5].
120 0
120
vm[0, 2] ———— —— 60 km/h
20
2
6. Quant val la variació mitjana de la funció f(x) 5 en
qualsevol interval [x1, x2]?
Val zero, ja que es tracta d’una funció constant.
7. Calcula la variació mitjana de la funció f(x) x2 1 4x
a l’interval [2,9, 3,1]. Creix o decreix aquesta funció al
voltant de x 3?
f(3,1) f(2,9)
2,79 3,19
0,4
———————— —————— ——— 2
3,1 2,9
0,2
0,2
Fes-ne la representació gràfica i tot seguit comprova la teva
resposta.
Podem esperar que la funció f(x) x2 1 4x decreixi al voltant
de x 3. Ho comprovem a la gràfica de la funció.
320 120 180
vm[2, 3,5] ————— —— 120 km/h
3,5 2
1,5
387 300
87
vm[3,5, 4,5] ————— —— 87 km/h
4,5 3,5
1
b) La velocitat mitjana del mòbil durant les 4,5 h que ha
durat el trajecte.
387 0
vm[0,4,5] ————— 86 km/h
4,5 0
8. Representa gràficament la funció d 40t 5t2 corresponent
al moviment del cos de l’exemple anterior. Quant triga a
assolir l’altura màxima? Quin és el valor d’aquesta altura?
Quant triga a tornar al punt de llançament?
4. La funció f(x) x3 1 2 sempre és creixent. Calcula’n la
variació mitjana a cadascun dels intervals següents:
[3, 1], [0, 2] i [5, 7].
En quin dels tres intervals té un creixement més ràpid?
f(1) f(3) 1 (25)
26
Interval [3, 1]: ——————— ————— —— 13
1 (3)
1 1 3
2
f(2) f(0)
10 2
8
Interval [0, 2]: —————— ———— —— 4
20
2
2
f(7) f(5)
345 127 218
Interval [5, 7]: —————— ———— —— 109
75
2
2
3
La funció f(x) x 1 2 té el creixement més ràpid en l’interval
[5, 7].
5. Demostra que la variació mitjana de la funció f(x) 3x 1 1
sempre és la mateixa, independentment de l’interval [x1, x2]
considerat.
3x2 1 1 (3x1 1 1)
3x2 3x1
f(x2) f(x1)
—————— ——————————
—————
x2 x1
x2 x1
x2 x1
3(x2 x1)
————— 3
x2 x1
En qualsevol interval [x1, x2] la variació mitjana de la funció és 3.
El cos que es considera:
– Triga 4 s a assolir l’altura màxima.
– El valor d’aquesta altura és 80 m.
– Triga 8 s a tornar altre cop al punt de llançament.
9. Calcula la velocitat d’aquest cos en els instants t 4 s i
t 8 s. Interpreta’n els resultats obtinguts.
f(t) f(4)
40t 5t2 80
v(4) lim —————— lim ———————
t→4
t→4
t4
t4
5(t 4)2
5(t2 8t 1 16)
lim ———————— lim —————
t→4
t→4
t4
t4
MATEMÀTIQUES 1
lim[5(t 4)] 0
t→4
t 4s → v(4) 0
la
169
12. Fes el mateix estudi de l’activitat anterior per a x 3.
Fixa’t en la gràfica de la funció i interpreta el valor que has
obtingut.
f(t) f(8)
40t 5t2 0
v(8) lim —————— lim ———————
x→8
t→8
t8
t8
5t(t 8)
lim —————— lim(5t) 40
x→8
t→8
t8
t 8 s → v(8) 40 m/s
Per a t 4 s, el cos canvia el sentit del seu moviment. Passats
8 s, el cos torna a la posició de sortida. Fixa’t que hi arriba a la
mateixa velocitat amb què ha estat llançat, però movent-se en
sentit contrari. D’aquí el signe menys de v (8).
10. On es troba el cos en els instants t 3 s i t 5 s? Quina és
la seva velocitat en cadascun d’aquests instants?
t 3 s → d f(3) 75 m.
t 5 s → d f(5) 75 m.
t 3 s i t 5 s → el cos es troba a la mateixa posició: a 75 m
del punt de llançament.
f(t) f(3)
40t 5t2 75
v(3) lim —————— lim ————————
t→3
t→3
t3
t3
5(t2 8t 1 15)
5(t 3)(t 5)
lim ———————— lim ————————
t→3
t→3
t3
t3
lim[5(t 5)] 5 · (2) 10 m/s
t→3
f(x) f(3)
x2 1 6x 9
lim —————— lim ——————
x→3
x→3
x3
x3
2
(x 3)
lim ————— lim(3 x) 0
x→3
x→3
x3
Als voltants de x 3, la funció pràcticament no varia.
13. Representa gràficament la funció f(x) 2x 1 3. Calcula
f(2), f(0) i f(3). Interpreta’n els resultats.
f(t) f(5)
40t 5t2 75
v(5) lim —————— lim ————————
t→5
t→5
t5
t5
5(t 3)(t 5)
lim ———————— lim[5(t 3)]
t→5
t→5
t5
5 · 2 10 m/s
Naturalment, per a t 3 s, el cos està en trajectòria ascendent
(v . 0). En canvi, quant t 5 s, el cos ja està en trajectòria
descendent (v , 0). En ambdós instants, el mòdul de la
velocitat és el mateix: 10 m/s.
11. Sabem que la funció f(x) x2 1 6x és decreixent al
voltant de x 4. Quantifica aquest decreixement a partir del
f(x) f(4)
càlcul de lim —————— . Interpreta’n el resultat obtingut.
x→4
x4
f(x) f(4)
x2 1 6x 8
lim —————— lim ———————
x→4
x→4
x4
x4
(x 2)(x 4)
lim ———————— lim(2 x) 2
x→4
x→4
x4
Per a valors de x pròxims a 4, la funció f(x) disminueix de l’ordre
de dues vegades el que augmenta x.
f(2 1 h) f(2)
f(2) lim ——————————
h→0
h
2(2 1 h) 1 3 7 4 2h 1 3 7
lim —————————— lim ———————
h→0
h→0
h
h
2h
lim —— lim 2 2
h→0
h→0
h
També es verifica: f(0) f(3) 2.
La funció f(x) 2x 1 3 decreix sempre de la mateixa manera,
és a dir, presenta un decreixement uniforme. En general,
f(x0) 2, x0 ∈R.
14. Donada la funció f(x) ax 1 b, demostra que f(x0) a,
independentment del valor x0 considerat.
f (x0 1 h) f(x0)
f(x0) lim ————————
h→0
h
170
LA
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
a(x0 1 h) 1 b (ax0 1 b)
lim —————————————
h→0
h
ax0 1 ah 1 b ax0 b
lim ————————————
h→0
h
ah
lim —— lim a a
h→0
h→0
h
15. Calcula, si és possible:
a) f(8) si f(x) √ x 1 1
f(8 1 h) f(8) √ 8 1 h 1 1 3
f(8) lim ———————— lim ————————
h→0
h→0
h
h
√ 9 1 h 3 (√ 9 1 h 3)(√ 9 1 h 1 3)
lim —————— lim —————————————
h→0
h
h (√ 9 1 h 1 3)
h→0
9 1 h 9 h
lim ———————— lim ————————
h→0
h→0
h (√9 1 h 1 3)
h (√ 9 1 h 1 3)
1
1
lim —————— —
h→0
√9 1 h 1 3 6
1
b) f — si f(x) 4 x2
2
1
1
f —1 h f —
1
2
2
f — lim ——————————
h→0
h
2
2
1
1
4 —1 h 4 —
2
4
lim ————————————
h→0
h
1
1
4 — 2 h 2 h2 2 4 1—
4
4
h(212 h)
lim ————————————— lim ——————
h→0
h→0
h
h
2
2
2 2
2
2
lim (212h) 21
1
c) f(0) si f(x) —
x
h→0
f(1 1 h) f(1)
f(1) lim ————————
h→0
h
(1 1 h)2 2(1 1 h) 1 4 3
lim ——————————————
h→0
h
2
1 1 2h 1 h 2 2h 1 4 3
lim ————————————————
h→0
h
h2
lim — lim h 0
h→0 h
h→0
17. Sense fer-ne la representació gràfica, indica si la funció f(x)
(2 x)2 és creixent o decreixent en x 6. Fes el mateix
estudi en x 1.
f(6 1 h) f(6)
f(6) lim ——–––––––––––—
h→0
h
4 4(6 1 h) 1 (6 1 h)2 16
lim —–––––––––––––––––––––––––––––——
h→0
h
4 24 4h 1 36 1 12h 1 h2 16
lim —––––––––––––––––––––––––––––––––––——
h→0
h
h2 1 8hh(h 1 8)
lim ——–––— lim ——–––—— lim(h 1 8) 8
h→0
h→0
h
h
h→0
→ f(6) . 0 → creixent en x 6.
f(1 1 h) f(1)
f(1) lim —–––––––––––––––——
h→0
h
4 4(1 1 h) 1 (1 1 h)2 9
lim —––––––––––––––––––––––––––––––––——
h→0
h
4 1 4 4h 1 1 2h 1 h2 9 h2 6h
lim —––––––––––––––––––––––––––——— lim ———–—
h→0
h
h
h→0
h(h 6)
lim —–––––— lim(h 6) 6 → f(1) , 0
h→0
h
h→0
→ decreixent en x 1.
18. Com ha de ser una funció perquè la derivada sigui nul·la en
tots i cadascun dels punts del seu domini? Per què?
La funció ha de ser constant, f(x) K, K∈R. És així perquè si
una funció és constant, la seva variació és zero per a qualsevol
valor de x ∈ Df R.
No existeix f(0), ja que x 0 no pertany al domini de la funció
1
f(x) — → no existeix f(0).
x
19. Calcula si és possible:
16. Representa gràficament la funció f(x) x2 2x 1 4
i indica’n, a partir de la gràfica, els intervals de creixement i
decreixement. Comprova que f(1) 0.
No és possible, ja que no existeix
a) f(4) si f(x) √ x
f(4) : f(4) √4 ∈ R
2
b) f(1) si f(x) —
x
2
––––––– 2
f(1 1 h) f(1)1 1 h
f(1) lim ——–––––––––––––— lim ——––––––—
h→0
h→0
h
h
Decreixent: (∞, 1)
Creixent: (1, 1∞)
2 2 2h
—–––––––––—
1 1 h
2h
2
lim —–––––––––— lim —––––––— lim —––— 2
h→0
h→0
h→0
h
h(1 1 h)
11h
MATEMÀTIQUES 1
c) f(0) si f(x) 2x2 1 1
f(0 1 h) f(0)f(h) f(0)
f(0) lim ——–––––––––––— lim ——––––––––—
h→0
h→0
h
h
2
2
2h 1 1 1 2h
lim —–––––––—— lim –––––– lim 2h 2 · 0 0
h→0
h→0
h→0
h
h
d) f(2) si f(x) 10x 1 3
f(2 1 h) f(2)
f(2) lim —–––––––––––—––––—
h→0
h
10(2 1 h) 1 3 (17)
lim ——––––––––––––––––––––––—
h→0
h
20 1 10h 1 3 1 17
lim —–––––––––––––––––——
h→0
h
10h
lim –––– lim 10 10
h→0
h→0
h
20. Calcula la funció derivada de cadascuna de les funcions
següents:
a) f(x) x 1 7
(x 1 h) 1 7 (x 1 7)
f(x) lim —––––––––––––––––––––––––——
h→0
h
x h 1 7 1 x 7 h
lim ——–––––––––––––––––— lim –––– lim 1 1
h→0
h→0
h→0
h
h
b) f(x) 1 2x2
1 2(x 1 h)2 (1 2 x2)
f(x) lim —–––––––––––––––––––––––––——
h→0
h
1 2(x2 1 2xh 1 h2) 1 1 2 x2
lim —––––––––––––––––––––––––––––––——
h→0
h
1 2x 4xh 2h 1 1 2 x
lim —––––––––––––––––––––––––––––––——
h→0
h
2
2
2
2h (2x 1 h)
lim ——–––––––— lim 2(2x 1 h) 4 x
h→0
h
h→0
1
c) f(x) —, x ≠ 0
x
1
1
xxh
––––––––––––
––––––– —
x1h
x
(x 1 h) · x
f(x) lim ——––––––––––— lim —–––––––——
h→0
h→0
h
h
h
1
1
lim —––––––––— lim —–––––— ––––
h→0
h→0 x(x 1 h)
h(x 1 h)x
x2
1
d) f(x) —, x ≠ 0
x2
1
1
x2 (x 1 h)2
—–––––––––––—
––––––––– –––
x2(x 1 h)2
(x 1 h)2 x2
f(x) lim —–––––––––—— lim ——––––––-––—
h→0
h→0
h
h
x2 x2 2xh h2
h(2x 1 h)
lim ——––––––––––––––— lim —––––––––——
2
2
h→0
h→0
hx (x 1 h)
hx2 (x 1 h)2
la
171
(2x 1 h)
2x
2
lim —––––––— –––– –––––
h→0 2
2
4
x (x 1 h)
x
x3
e) f(x) √ x, x . 0
√ x 1 h √ x
f(x) lim ——––––––––––—
h→0
h
(√ x 1 h √ x )(√ x 1 h 1 √ x )
lim ———–––––––––––––––––––––––––—
h→0
h(√ x 1 h 1 √ x )
x 1 h x h
lim —–––––––––––—— lim ——––––––––––––—
h→0 h(√ x 1 h 1 √ x ) h→0 h(√ x 1 h 1 √ x )
1
1
lim —–––––––––––—— —–––—
h→0
2√ x
√ x 1 h 1 √x
f) f(x) 3
3 3 0
f(x) lim –––––––– lim — 0
h→0
h→0 h
h
g) f(x) 3x2 1 2x 1
3(x 1 h)2 1 2(x 1 h) 1 (3x2 1 2x 1)
f(x) lim ————––––––––––––––––––––––––––––––———
h→0
h
3x2 1 6xh 1 h2 1 2x 1 2h 1 3x2 2x 1 1
lim ————––––––––––––––––––––––––––––––––––————
h→0
h
h(h 1 6x 1 2)
lim ——–––––––––— lim(h 1 6x 1 2) 6x 1 2
h→0
h
h→0
h) f(x) p
π π 0
f(x) lim –––––––– lim — 0
h→0
h→0 h
h
21. Sense fer-ne la representació gràfica, determina els intervals
de creixement i decreixement de la funció
f(x) 2 x2 1 6x 8. Quant val f(3)?
(x 1 h)2 1 6(x 1 h) 8 (x2 1 6x 8)
f(x) lim ——–––––––––––––––––––––––––––––––——————
h→0
h
x2 2xh h2 1 6x 1 6h 8 1 x2 6x 1 8
lim ———–––––––––––––––––––––––––––––––––––————
h→0
h
h2 2xh 1 6hh(h 2x 1 6)
lim ——––––––––––—— lim ——––––––––––––—
h→0
h→0
h
h
lim (h 2x 1 6) 2x 1 6
h→0
f(x) . 0 → 2x 1 6 . 0 → 2x . 6 → 2x , 6 → x , 3
(∞, 3) funció creixent
f(x) , 0 → 2x 1 6 , 0 → 2x , 6 → 2x . 6 →
(3, 1∞) funció decreixent
f(3) 2 · 3 1 6 0
172
LA
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
22. Donada la funció f(x) 6 x2, calcula f(2) i f(4). Indica si
la funció és creixent o decreixent en x 2 i en x 4.
6 (x 1 h) (6 x )
f(x) lim —–––––––––––––––————
h→0
h
2
2
6 x2 2xh h2 6 1 x2h(2x h)
lim ——–––––––––––––––––––––—— lim —–––––––——
h→0
h→0
h
h
f(x) 0
1
f) f(x) —
x6
6
f(x) 6x7 —
x7
lim (2x h) 2x
h→0
f(2) 2 · ( 2) 4 . 0 →
la funció és creixent en x 2
f(4) 2 · 4 8 , 0 →
la funció és decreixent en x 4
23. Donada la funció f(x) x4, calcula f(x) de dues maneres
diferents:
a) Aplicant la definició de funció derivada.
(x 1 h)4 x4
f(x) lim —–––––––———
h→0
x
x4 1 4x3h 1 6x2h2 1 4xh3 1 h4 x4
lim ———–––––—––——––––––––––––––——
h→0
h
h(4x3 1 6x2h 1 4xh2 1 h3)
lim ———––––––––––––––––––——
h→0
h
5
e) f(x) √2
lim (4x3 1 6x2h 1 4xh2 1 h3) 4x3
25. Donada la funció f(x) x3, calcula f(1) i f(1). Indica si
la funció és creixent o decreixent en aquests dos punts, i en
cas que hi presenti el mateix tipus de variació, digues on és
més ràpida aquesta variació.
(x 1 h)3 x3
f(x) lim —–—––––——
h→0
h
x3 1 3x2h 1 3xh2 1 h3 x3
lim ———–––––––––––––––––———
h→0
h
h(3x2 1 3xh 1 h2)
lim ——––––––––––—— lim (3x2 1 3xh 1 h2) 3x2
h→0
h→0
h
f(1) 3 · 12 3; f(1) 3 · ( 1)2 3
f(1) f(1) 3 . 0 → la funció és creixent en x 1 i en
ambdós punts creix amb la mateixa rapidesa.
26. Pot decréixer en algun punt la funció de l’exercici anterior?
Per què?
No, perquè f(x) 3x2 $ 0 per a qualsevol x ∈R
h→0
b) A partir de la segona regla que acabem de veure.
27. Considera la funció:
3
f(x) 4x3
f(x) √ x. Calcula f(1) i f(8). Interpreta’n els resultats
obtinguts.
24. Calcula la funció derivada de cadascuna de les funcions
següents:
1
a) f(x) —
x4
4
f(x) 4x5 —
x5
b) f(x) x7
f(x) 7x6
1
c) f(x) ––––
√x
1
1
1
f(x) — x3/2 —––— —––—
3
2x√ x
2
2√ x
3
d) f(x) √x2
1
1
1
1
f(1) –––––––
––– ; f(8) ––––––––
––––
3
3
3√ 1
3
3√64
12
f(1) . 0 i f(8) . 0 → la funció és creixent en x 1 i també
en x 8.
f(1) . f(8) → la funció creix amb més rapidesa prop de x 1
que prop de x 8.
28. Calcula la funció derivada de cadascuna de les funcions
següents:
1
1
f(x) — x2/3 ––––––––
3
3
3√x2
2
2
f(x) — · x1/3 ––––––
3
3
3√ x
a) f(x) 3x3 5x2 1 7
f(x) 9x2 10x
1
b) f(x) x 1 — 3
x
1
f(x) 1 —
x2
MATEMÀTIQUES 1
x4
3x2
c) f(x) –– ––––
5
7
4
6
f(x) — x3 — x
5
7
la
173
33. Troba l’equació d’una funció f(x) que tingui per derivada
la funció f(x) representada en la gràfica (fig. 13.12). Pots
trobar-ne més d’una? Per què?
Compleixen la condició que s’estableix a l’enunciat totes les
funcions del tipus f(x) x 1 K, amb K∈R.
d) f(x) √10 1 √ x
1
f(x) ––––––
2√ x
e) f(x) (2x 1 3)2
f(x) 8x 1 12
1 2
f) f(x) — 1 — 1 7
x3
x
3
2
f(x) —– –––
4
x2
x
29. Indica per a quins valors de x s’anul·la la derivada de la
funció f(x) x3 5x2 1 3x 1 4.
f(x) 3x 10x 1 3
2
1
f(x) 0 → 3x2 10x 1 3 0 → x 3 i x —
3
30. Determina els intervals de creixement i decreixement de la
funció f(x) x2 1 4x 7.
f(x) 2x 1 4
f(x) , 0 → 2x 1 4 , 0 → x , 2
f(x) . 0 → x . 2
(∞, 2) funció decreixent
(2, 1∞) funció creixent
31. Demostra que la derivada de la funció polinòmica de segon
grau f(x) ax2 1 bx 1 c s’anul·la per al valor de x corresponent al vèrtex de la paràbola que en resulta de representarla gràficament.
f(x) 2ax 1 b
b
f(x) 0 → 2ax 1 b 0 → 2ax b → x = –––
2a
32. La distància d’un mòbil a un punt de referència ve donada
per l’expressió d f(t) 10 1 12t 1 t2, d en metres i t en
segons.
a) Determina l’expressió de la funció que permet calcular la
velocitat del mòbil en qualsevol instant.
v f(t) 12 1 2t m/s.
b) Indica raonadament si en algun moment aquest mòbil
canvia el sentit del seu moviment.
El mòbil no canvia el sentit del moviment, ja que v(t) ≠ 0 per a
t > 0 → la velocitat d’aquest mòbil no s’anul·la per a t $ 0.
Activitats finals
1. Aplicant la definició, calcula la derivada de cadascuna de les
funcions següents en x 3:
a) f(x) x2 1 1
(3 1 h)2 1 1 (8)
f(3) lim —-––––––––––––––––––––––—
h→0
h
9 1 6h h2 1 1 1 8 h(6 h)
lim ——–––––––––––––––––––––— lim —–––——
h→0
h
h
h→0
lim(6 h) 6
h→0
b) f(x) √1 x
√1 (3 1 h) 2 √ 4 h 2
f(3) lim ——––––––––––––––––— lim ——–––––––—
h→ 0
h→0
h
h
(√ 4 h 2)(√ 4 h 1 2) 4 h 4
lim ———––––––––––––––––––—— lim —––––––––––——
h→ 0
h→ 0 h(√ 4 h 1 2)
h(√ 4 h 1 2)
h
1
1
lim ————–––––— lim ——–––––––— ––––
4
h→ 0 h(√ 4 h 1 2) h→ 0 √ 4 h 1 2
1
c) f(x) —
x
1
1 3 3 1 h
––––––––– 1 ––––
——–––––—
3 1 h
3
3(3 1 h)
f(3) lim –––––––––––––––– lim –––––––––––––
h→0
h→0
h
h
h1
1
lim ——––––––— lim —–––––—— —
9
h→0 3h(3 1 h) h→0 3(3 1 h)
1
2. Donada la funció f(x) —––—, és possible calcular f(2)?
x2
Per què?
No, perquè x 2 ∉ Df
3. Sense fer-ne la representació gràfica, indica si la funció f(x)
(x 4)2 és creixent o decreixent en x 3,5.
f(x) (x 4)2 x2 8x 1 16 → f(x) 2x 8
f(3,5) 2 · 3,5 8 7 8 1
f(3,5) , 0 → la funció és decreixent en x 3,5
174
LA
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
4. En la gràfica (fig. 13.15) hem representat la funció f(x),
derivada d’una certa funció f(x). Quina és l’expressió
algèbrica de f(x)? I la de f(x)? Pots trobar-ne més d’una?
f(x) 2x → f(x) x2 1 C, amb C ∈R
Per tant hi ha infinites funcions, la funció derivada de les quals
és f(x) 2x.
5. Compara la rapidesa del creixement de la funció
f(x) x3 1 2x en els punts d’abscisses x 2 i x 2.
f(x) x3 1 2x → f(x) 3x2 1 2
f(2) 3 · (2)2 1 2 14 . 0
f(2) 3 · 22 1 2 14 . 0
x ∈ (∞, 1) → la funció és creixent → f(x) . 0
x ∈ (1, 1) → la funció és decreixent → f(x) , 0
x ∈ (1, 1∞) → la funció és creixent → f(x) . 0
8. Indica els intervals de creixement i decreixement de la fun­
ció f(x) 3x 1 5. Verifica la teva resposta fent-ne la
representació gràfica.
f(x) 3x 1 5 → f(x) 3
f(x) , 0 per a qualsevol x∈R → la funció és decreixent en tot
el seu domini.
Com que f(2) f(2), la funció creix amb la mateixa rapidesa
en x 2 que en x 2.
6. Aplicant la definició, calcula la funció derivada de:
a) f(x) x3 1 3
(x 1 h)3 1 3 (x3 1 3)
f(x) h→0
lim —––––––––––––––––––———
h
x3 1 3x2h 1 3xh2 1 h3 1 3 x3 3
lim ————–––––––––––––––––––––––––––——
h
h→0
9. Calcula la funció derivada de cadascuna de les funcions
següents:
a) f(x) 2x4 3x2 1 1
h(3x 1 3xh 1 h )
——–––––––––––—— lim (3x2 1 3xh 1 h2) 3x2
lim
h→0
h→0
h
2
2
b) f(x) x 1 3x2
x 1 h 1 3(x 1 h)2 (x 1 3x2)
f(x) h→0
lim ——––––––––––––––––––––––––———
h
x 1 h 1 3x2 1 6xh 1 3h2 x 3x2
lim ————––––––––––––––––––––––––———
h
h→0
h(1 1 6x 1 3h)
h→0
lim ———–––––––––— lim(1
1 6x 1 3h) 1 1 6x
h→0
h
c) f(x) 5√ x
5√ x 1 h 5√ x
f(x) lim ——–––––––––——
h→0
h
5(√ x 1 h √ x )(√ x 1 h 1 √ x )
lim ————–––––––––––––––––———
h→0
h(√ x 1 h 1 √ x )
5(x 1 h x) 5h
lim ———–––––––––— lim ——––––—–––––—
h→0 h(√ x 1 h 1 √ x ) h→0 h(√ x 1 h 1 √ x )
5
5
lim ——––––––––––— —––—
h→0
√ x 1 h 1 √x
2√ x
7. Indica raonadament el signe de la funció f(x) corresponent
a la funció f(x) representada en la gràfica de la figura 13.16,
en cadascun dels intervals següents:
(∞, 1) (1, 1) (1, 1∞)
f(x) 8x3 6x
3
b) f(x) √ x3 1 √ x2
3
2
3
2
f(x) — x1/2 1 ––––– x1/3 — √ x 1 ––––
3
√x
2
3
2
2
c) f(x) 1 —
x2
4
f(x) 2 · (2)x3 –––
x3
d) f(x) 3(x2 1 7x 12)
f(x) 6x 1 21
e) f(x) √ 5x
√5
f(x) —–—
2√x
f) f(x) (2 6x)2
f(x) 24 1 72x
10. Per a un determinat mòbil, la distància d en metres a un
punt de referència en funció del temps t en segons ve
donada per l’expressió:
d f(t) 10t 2t2
MATEMÀTIQUES 1
a)
Troba l’expressió algèbrica que et permeti calcular la
velocitat d’aquest mòbil en qualsevol instant.
v f(t) 10 4t, en m/s
b) Indica a quina distància del punt de referència es troba
quan canvia el sentit del moviment.
v 0 → 10 4t 0 → t 2,5 s
d f(2,5) 10 · 2,5 2 · 2,52 12,5 m.
c) Interpreta físicament el signe de la velocitat per a
t . 2,5 s.
t . 2,5 s → v , 0 → el mòbil es mou en sentit negatiu cada
cop més de pressa.
la
175
13.Calcula la funció derivada de cadascuna de les funcions següents:
a) f(x) 3x2 5x + 3x + 7
f’(x) 6x 5
1
b) f’(x) x + 2
2 x
f’(x) 3
x
x2 3x2
c) f(x)
5
8
f’(x)
x3 3x
5
4
d) f(x) (2x + 3)2
11. A conseqüència de la dilatació, la longitud L d’una barra
metàl·lica augmenta amb la temperatura T d’acord amb
l’expressió:
L 8(1 1 104 · T), on L s’expressa en centímetres i T, en
graus centígrads.
a) Quina és la longitud de la barra a 0 ºC? I a 100 ºC?
L (0 ºC) 8 cm; L (100 ºC) 8,08 cm
b) Quan augmenta més bruscament la longitud d’aquesta
barra, si T 50 ºC o si T 80 ºC? Per què?
L (T) 8 1 8 · 104 T → L (T) 8 · 104 cm/ºC
Com que L (T) no depèn de la temperatura, la longitud de la
barra augmenta amb la mateixa rapidesa independenment de
la temperatura.
12. Representa gràficament les funcions f(x) 2x 1 3 i
g(x) 2x 3. Què obtens?
Quina de les dues funcions creix més de pressa al voltant
de x 0? I al voltant de x 10? Procura respondre les
dues últimes qüestions sense fer cap càlcul i argumenta’n la
resposta.
f’(x) 8x + 12
e) f(x) √10 + √x + √
1
f’(x)
1 −2
1
x =
2
2√x
f) f(x)
f’(x)
3
x3
5
+7
x2
14.Demostra que la derivada de la funció f(x) ax2 + bx + c
s’anul·la per al valor de x que correspon al vèrtex de la paràbola que resulta de la seva representació gràfica.
b
La derivada és: f’(x) 2ax + b, que s’anul·la per a x = , que és
2a
l’abscissa del vèrtex de la paràbola.
x2 + 1
15.Donada la funció f(x)
2x
i f’(0).
si x < 0
calcula f’(2)
si x ≥ 0
Cada derivada es calcula en l’expressió que correspon al domini
del valor de la variable: f’(2) = 4 i f’(0) = 2.
16.Troba els valors que anul·len la derivada de la funció f(x)
3x5 5x3 + 7. Quin és el valor de f’(0)?
f’(x) 15x4 15x2 → 15x4 15x2 0 → 15x2 (x2 1) 0. Les
solucions són: 0, 1 i 1. Aquests són els valors que anul·len la
derivada.
f’(0) = 0
17.Considera la funció f(x) x2 4x + 4 i, a partir de la seva
derivada, determina els intervals en els quals la funció és
creixent i els intervals en què és decreixent. Raona el comportament de la funció en l’entorn de x 2.
S’obtenen dues rectes paral·leles.
f ’(x) 2x 4 → 2x 4 0 → x 2. Per a aquests valors la
funció és creixent.
Es compleix que f(x) g(x) 2 → la funció f i la funció g
creixen amb la mateixa rapidesa, independenment del valor de
la variable x.
Per a x 2 → (2) 0. Abans del 2, la funció és decreixent; i
després del 2, és creixent.
La funció és decreixent per a 2x 4 0 → x 2.
176
LA
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
18.Donada la funció f(x) x5 + 1, calcula f’(1) i f’(2). Indica si la
funció és creixent en aquests punts i en quin dels dos el creixement és més ràpid. Pot decréixer en algun punt aquesta funció?
f’(x) 5x → f’(1) 5 i f’(2) 80. La funció és creixent en els
dos punts, la derivada és positiva, i creix més ràpidament en el
punt x 2.
La funció no és decreixent en cap punt, ja que l’expressió de la
derivada dóna positiu per a qualsevol valor de x.
4
a) Calcula la variació mitjana de f(x) en l’interval [2, 5].
b) Calcula, aplicant la definició de derivada, la derivada de
f(x) en x 5 1.
a) interval [2, 5]: f (5) − f (2) = 80 − 17 = 63 = 21
5−2
5−2
3
2
2
3(x + h) + 5 − (3x + 5)
=
b) f’( x ) = lim
h →0
h
6 xh + 3h2
= lim
= lim (6x + 3h) = 6x
h →0
h →0
h
b) f
f (1)
'(1) = 6 ⋅ 1 = 6
a) f(x) x4 2x3 3x 7
f(x) 4x3 6x2 3
5
b) f(x) √x3
3 53 −1 3 − 52
3
x = x =
5
5
5
5 x2
x
2
1
1
11 −− 2
11⋅⋅ xx −−xx⋅⋅ xx 2
22
f'('(xx))==
ff
==
8
xx8
xx
xx −−
2
xx
2 xx ==
==
8
88
x
x
22 xx ⋅⋅xx8
1
x
ff'( x ) = −6 x −3 − x −2 =
f′(0) = 5 > 0 → la funció és creixent en aquest punt.
f′(3) = 5 − 6 ⋅ 32 > 0 → la funció és decreixent en aquest punt.
4. Comencem a observar dos mòbils A i B que tenen trajectòries
que segueixen, respectivament, les equacions següents:
A: s(t) 5 t3 i B: e(t) 5 27t
on s i e són les distàncies recorregudes en km des del moment
en què comencem a observar i t és el temps transcorregut en
hores.
a) Calcula les funcions velocitat de cadascun dels dos mòbils.
vA (t) = s′(t) = 3t2
vB (t) = e′(t) = 27
2. Calcula, aplicant les regles de derivació, les derivades de les
següents funcions, simplificant al màxim:
3
x4
f′(x) = 5 − 6x2
1. Donada la funció: f(x) 5 3x2 1 5,
c) f(x)
√x
3. Donada la funció f(x) 5 5x 2 2x3, indica raonadament si és
creixent o decreixent en els punts x 5 0 i x 5 3.
Avaluació
ff'( x ) =
d) f(x)
−6 1
−
x 3 x2
mesurades en km/h
b) Calcula la velocitat inicial de cadascun dels dos mòbils.
vA (0) = s′(0) = 0
vB (0) = e′(0) = 27 km/h
c) En un cert instant de temps, els dos mòbils tenen la
mateixa velocitat. Calcula aquest instant de temps.
v A (t ) = v B (t ) →
v A (t ) = v B (t ) → 3t 2 = 27 → t = 3 h
3t 2 = 27 → t = 3 h
d) Calcula els km que han recorregut cadascun d’ells des
que comencem a observar fins al moment en què tenen la
mateixa velocitat.
s(3) = 33 = 27 km
e(3) = 27 ⋅ 3 = 81 km
la
MATEMÀTIQUES 1
jUnitat 14. Distribucions
bidimensionals
3. Troba la mitjana, la variància i la desviació típica de les
variables X i Y de la taula 14.6.
Nombre d’hores
veient
la televisió
Nombre
d’hores
dormint
Nombre
de persones
4
3
3
2
1
6
7
8
9
10
3
16
20
10
1
Activitats
1. En una població de 25 famílies s’ha estudiat la variable X:
«nombre de cotxes que té la família», i s’han obtingut les
dades següents:
0, 1, 2, 3, 1, 0, 1, 1, 1, 2, 3, 2, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 1
5
x n
Construeix la taula de freqüències i de per­centatges cor­
responent.
xi
ni
Ni
fi
Fi
pi
2
2
0,08
0,08
8 %
8 %
1
12
14
0,48
0,56
48 %
56 %
2
8
22
0,32
0,88
32 %
88 %
3
3
25
0,12
1,00
12 %
100 %
25
1,00
i i
141
i1
x ——— ——— 2,82 h
n
50
5
Pi
0
x n
413
x2 ———— x 2 —— 7,9524
n
50
0,3076 h2
5
x n
Freqüència
relativa
Suspens
—
0,375
Aprovat
20
—
Notable
Excel.lent
16
—
—
—
a) Completa la taula amb les freqüències absolutes i relati­
ves que falten.
b) Elabora la taula de freqüències i de percentatges cor­
responent.
a) i b)
pi
Ni
Fi
xi
ni
S
30 0,375
A
20 0,25
25 %
50 0,625
62,5 %
N
16 0,2
20 %
66 0,825
82,5 %
E
14 0,175
37,5 % 30 0,375
i1
2
i i
———— x 2
n
x
100 %
Freqüència
absoluta
fi
2
i i
i1
√0,3076 0,55462 h
2. La taula 14.2, que apareix incompleta, representa les qua­
lificacions obtingudes per 80 alumnes de primer de batxille­
rat d’un institut.
Qualificació
5
yi ni
390
i1
y ————
—— 7,8 h
n
50
5
y n
2
i i
3 082
y2 ————— y2 ——— 60,84 0,8 h2
n
50
i1
5
y n
i1
2
i i
———— y2 √ 0,8 0,89443 h
n
y
4. Calcula la variància de la variable de la taula 14.3 utilitzant
la primera expressió.
Número de calçat
Nombre d’alumnes
35
36
37
38
40
42
4
15
17
20
10
4
Pi
37,5 %
6
80 1
17,5 % 80 1
100 %
100 %
177
(x x ) n
i
2
i
209,443
—————— ————— 2,992
n
70
2
i1
178
LA
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
5. Amb les dades de la taula 14.3, comprova les propietats
de la mitjana, la variància i la desviació típica. Per fer-ho,
suma 2 i multiplica per 3 cada valor de la variable.
Completa la taula amb les columnes necessàries per calcular
x i x.
Consum
Número de calçat
Nombre d’alumnes
35
36
37
38
40
42
4
15
17
20
10
4
yx2
x i2
x i2 n i
xi
ni
xi · n i
(0, 10]
5
8
40
25
200
(10, 20]
15
12
180
225
2 700
(20, 30]
25
10
250
625
6 250
(30, 40]
35
14
490
1225
17150
(40, 50]
45
21
945
2 025
42 525
(50, 60]
55
16
880
3 025
48 400
(60, 70]
65
9
585
4 225
38 025
90
3 370
6
yi ni
2 777
i1
y ————
——— 39,67 x 2
n
70
6
7
y n
i1
2
i i
x n
(
7
√
110 377
———— 1 573,8222 2,992 y2
70
x
y √2,992 1,73 x
z 3x
6
6
2
j
i
895 941
———— 12 772,23 26,9271
70
2
2
2
i
i
———— x 2
n
–1 402,0864
322,9136 17,97
7. A partir de la taula següent, en què s’indica l’alçada i el pes
de 24 alumnes de primer de batxillerat:
i1
z ———— z 2
n
2
i1
155 250
90
7 911
i1
z ————
——— 113,01 3x
n
70
z n
x n
√
√
zi2 ni
i
i
3 370
i1
x ————
——— 37,4
n
90
y2 ————— y 2
n
155 250
2
9x 3 x
z √ 26,9271 5,19 3x
6. Les dades del consum de carburant d’una flota de camions
al llarg d’un dia es poden observar a la taula de freqüències
següent (taula 14.5):
Consum de carburant
Nombre de camions
(0, 10]
(10, 20]
(20, 30]
(30, 40]
(40, 50]
(50, 60]
(60, 70]
8
12
10
14
21
16
9
Pes
en kg
68
Alçada
en cm
177 170 173 164 176 174 165
59
62
63
71
59
55
Pes
en kg
51
Alçada
en cm
165 172 174 188 153 158 161
Pes
en kg
70
Alçada
en cm
177 174 170 167 174 173 162
Pes
en kg
59
Alçada
en cm
179 163 156
58
66
55
83
58
52
80
58
49
72
58
57
64
55
la
MATEMÀTIQUES 1
a) Calcula la mitjana i la desviació típica de cadascuna de
les dues variables.
X: «pes», Y: «alçada»
179
8. La classificació final de la lliga de futbol de primera divi­
sió de la temporada 1998-1999, després de 38 jornades,
va ser:
24
xi
1 482
i1
x ———
——— 61,75 kg
n
24
24
√
i1
2
i
——— x 2
n
x
√
x
93 232
3 813,0625
24
√ 71,6042 8,4619 kg
24
y
i
4 065
i1
y ——— ——— 169,375 kg
n
24
24
√
y
√
y
i1
2
i
———— y2
n
690 043
28 687,8906
24
√ 63,9011 7,9938 cm
Equips
PG
PE
PP
1. Barcelona
30
6
2
2. R. Madrid
29
5
4
3. València
21
8
9
4. Vila-real
18
8
12
5. Sevilla
17
7
14
6. Athlètic
18
4
16
7. Atlético
17
7
14
8. Espanyol
15
4
19
9. Osasuna
13
8
17
10. Sporting
11
14
13
11. Màlaga
13
7
18
12. Racing
12
10
16
13. Saragossa
12
9
17
14. R. Societat
14
3
21
15. Llevant
12
9
17
16. Getafe
12
8
18
17. Mallorca
12
8
18
18. Deportivo
10
13
15
19. Hèrcules
9
8
21
20. Almeria
6
12
20
b) Dibuixa el diagrama de dispersió.
Representa el diagrama de dispersió de les distribucions
bidimensionals següents. Quin tipus de relació, directa o
inversa, hi ha entre les dues variables en cadascun dels tres
casos?
a) Lloc a la classificació-partits guanyats.
És inversa.
c) La relació entre les dues variables, és directa o inversa?
Raona la resposta.
És directa, ja que el núvol de punts segueix una trajectòria
creixent.
d) Indica les coordenades del punt mitjà de la distribució.
M(x, y) → M(61,75; 169,375)
e) Comprova que el punt mitjà no forma part del diagrama
de dispersió.
Tal com s’observa a la gràfica de l’apartat b), el punt M no
forma part del diagrama de dispersió.
b) Lloc a la classificació-partits empatats.
No es pot assegurar.
180
LA
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
11. A partir d’aquest experiment amb dues variables:
xi
0
4
6
8
12
14
16
22
26
yi
4
3
8
6
7
13
2
11
0
a) Calcula la covariància i el coeficient de correlació lineal.
9
x y
i
i
648
i1
xy ———— x y —— 126
n
9
c) Lloc a la classificació-partits perduts.
72 72 0
Directa.
xy
0
xy
xy
r ——— ——— 0
b) Dibuixa el diagrama de dispersió.
9. Calcula xy de l’exemple de la taula 14.6 utilitzant la prime­
ra de les expressions de la covariància.
5
(x x)(y y)n
i
i
i
21,8
xy ———————— ———
n
50
i1
c) Relaciona el valor del coeficient amb els punts del diagra­
ma de dispersió.
No hi ha relació, ja que r 0.
0,436
12. Les alçades en polzades de 12 pares i els seus fills són les
següents:
10. Donada la taula:
xi
4
6
8
12
Pares
65
63
67
64
68
62
yi
2
3
4
6
Fills
68
66
68
65
69
66
Pares
70
66
68
67
69
71
Fills
68
65
71
67
68
70
Justifica mitjançant el càlcul de r, i sense dibuixar el núvol
de punts, que els punts del diagrama de dispersió de la dis­
tribució se situen en una línia recta creixent.
xy
4,375
xy
2,9580399 1,4790199
r ——— ———————————
4,375
——— 1
4,375
El núvol de punts són els punts d’una recta creixent.
Calcula el coeficient de correlació lineal i extreu conclusions
sobre la relació entre les dues variables estudiades.
xy
3,3611111
xy
2,6562 1,80085
r ——— ———————— 0,7027
La relació entre les dues variables és lineal directa i bastant
forta.
la
MATEMÀTIQUES 1
13. A partir de la taula de valors següent:
ty
4,65
ty
5,766282,64764
181
rty ——— —————————
xi
2
4
5
6
8
11
yi
18
12
10
8
7
5
0,30458
20
t z
c)
a) Calcula el coeficient de correlació lineal.
i1
i i
tz ———— t z
n
(
xy
11,16
xy
2,886754,20317
r ——— ————————
3 413
——— 10,514,15 22,075
20
0,9203
22,075
x
rtz ——— —————————
5,766284,36205
tz
b) Multiplica cada valor de xi de la taula per 2 i suma-li 6;
multiplica cada valor de yi per 3 i resta-li 15. Troba el
coe­ficient de correlació entre els dos nous sistemes de
valors i explica per què s’obté o no el mateix resultat que
abans.
x i 2 x i 6
10
14
16
18
22
28
y i 3 yi 15
39
21
15
9
6
0
xy
67
xy
5,773512,6095
r ——— ————————
0,87764
15. S’ha observat l’alçada X en metres i el pes Y en quilograms
de 9 nadons i s’han obtingut aquests resultats:
x 0,5; 0,026;
y 3,4;
x
y 0,392, i xy 0,01
Calcula el coeficient de correlació lineal i escriu l’equació de
la recta de regressió de Y sobre X.
0,01
xy
r ——— —————— 0,98116
0,0260,392
xy
0,9203
A causa de les propietats de la mitjana, de la desviació tipus
i de la covariància, el valor de r no varia.
14. Calcula la covariància i el coeficient de cor­relació lineal en
els tres casos de l’exercici 8.
T: «lloc en la classificació», X: «partits gua­nyats», Y: «partits
empatats», Z: «partits perduts».
20
a)
t x
i i
i1
tx ———— t x
n
x
0,01
y 3,4 ————— (x 0,5) →
0,000676
→ y 14,793x 3,996
16. Cinc nens de 2, 3, 5, 7 i 8 anys d’edat pesen, respectiva­
ment, 14, 20, 30, 35 i 42 kg.
X: «edat», Y: «pes»
a) Calcula el coeficient de correlació lineal.
2 437
——— 10,514,15 26,725
20
xy
22,8
r ——— ————————
2,2803510,0876
xy
tx
26,725
rtx ——— —————————
5,766284,70399
tx
0,99116
0,98527
20
b)
xy
y y ———
(x x)
2
t y
i i
i1
ty ———— t y
n
2 130
——— 10,59,7 4,65
20
b) Escriu l’equació de la recta de regressió que expressa el
pes en funció de l’edat.
xy
y y ———
(x x)
2
x
22,8
y 28,2 —— (x 5) →
5,2
→ y 4,385x 6,277
182
LA
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
c) Estima quant pesarà un nen de 6 anys.
d) Estima el pes d’un o d’una alumna que mesura 162 cm.
x 6 anys →
y 162 cm
→ y 4,3856 6,277 32,6 kg
x 0,23162 31,11 68,6 kg
17. Els pesos i les alçades de 12 alumnes són els que figuren en
la taula següent:
18. Un centre comercial sap els clients que el poden visitar en
funció de la distància, en quilòmetres, a què se situï d’un
nucli de població, segons les dades que figuren a la taula
següent:
Pes en kg
Alçada en cm
70
63
72
60
66
70
74
65
62
67
65
68
155
150
180
135
156
168
178
160
132
145
139
152
Nre. de clients
(centenars)
8
7
6
4
2
1
Distància
(quilòmetres)
15
19
25
23
34
40
X: «distància», Y: «nombre de clients»
a) Calcula la covariància i el coeficient de correlació lineal.
6
x y
i1
X: «pes», Y: «alçada»
51,361275
xy
r ——— ————————
3,9965314,88754
xy
xy ———— x y
n
603
—— 264,6 20,8333
6
(
a) Calcula el coeficient de correlació lineal.
i i
xy
rxy ———
xy
20,8333
———————— 0,95017
0,8632
8,56352,5604
b) Escriu l’equació de cadascuna de les dues rectes de re­
gressió.
b) Dibuixa el diagrama de dispersió.
xy
y y ——— (x x)
x2
(
(
51,361113
y 154,16 ———— (x 66,83 ) →
15,9723
→ y 3,22x 60,75
xy
x x ——— (y y)
y2
(
(
51,361113
x 66,83 ———— (y 154,16 ) →
221,639
→ x 0,23y 31,11
c) Dedueix l’alçada d’un alumne o una alumna que pesa 64 kg.
x 64 kg
y 3,2264 60,75 145,1 cm
c) Si el centre comercial se situa a 30 km, quants clients pot
tenir?
xy
y y ———
(x x)
2
x
la
MATEMÀTIQUES 1
b) Calcula r.
(
20,8333
y 4,6 ———— (x 26) →
73,333
2,6
xy
r ——— ————————
→ y 0,284x 12,053
1,612451,75784
xy
0,9173
x 30 km →
→ y 0,28430 12,053 3,53 →
→ 353 clients
c) Quina nota de matemàtiques es pot esperar que tregui un
alumne o una alumna que té un 7,5 de física? És fia­ble la
predicció?
xy
x x ———
(y y)
2
19. La taula següent recull les qualificacions de 40 alumnes a
les matèries de matemàtiques i física:
Matemàtiques X
3 4
5
6 6 7 7 8 10
Física Y
2 5
5
6 7 6 7 9 10
Nre. d’alumnes
4 6 12 4 5 4 2 1
2
a) Troba les mitjanes i les desviacions típiques, escrivint
prèviament les distribucions marginals de X i Y.
y
2,6
x 5,5 —— (y 5,6) →
3,09
→ x 0,84y 0,788
y 7,5 → x 0,847,5 0,788 7,1
És fiable perquè la relació entre les dues variables és lineal
forta.
20. L’alçada mitjana d’una mostra de pares és d’1,68 m, amb una
desviació tipus de 5 cm, i l’alçada mitjana d’una mostra dels
seus fills és d’1,70 m, amb una desviació tipus de 7,5 cm. El
coeficient de correlació entre les alçades de pares i fills és 0,7.
xi
3
4
5
6
7
8
10
ni
4
6
12
9
6
1
2
yj
2
5
6
7
9
10
r 0,7
nj
4
18
8
7
1
2
a) Calcula la covariància de la distribució.
X: «alçada dels pares», Y: «alçada dels fills»
x 1,68; 0,05;
y 1,7; 0,075
x
xy
xini
220
i1
x ——— ——— 5,5
n
40
7
√
x 2ni
i1
i
———— x 2
n
xy
0,70,050,075 0,002625
b) Estima l’alçada d’un fill sabent que la del seu pare és
d’1,66 m.
Y sobre X:
xy
y y ———
(x x)
2
√
1314
——— 30,25 √2,6 1,61245
40
6
y n
x
0,002625
y 1,7 ———— (x 1,68) →
0,0025
→ y 1,05x 0,064
j j
224
j1
y ——— ——— 5,6
n
40
6
√
y
y n
2
j1
√
j
j
———— y 2
n
y
r ——— → xy r xy
7
x
183
1378
——— 31,36 √ 3,09 1,75784
40
x 1,66 m →
→ y 1,051,66 0,064 1,68 m
c) Quina podem esperar que sigui l’alçada d’un pare si la del
seu fill és d’1,72 m?
X sobre Y:
xy
x x ———
(y y)
2
y
184
LA
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
0,002625
x 1,68 ———— (y 1,7) →
0,005625
23. Les equacions de les rectes de regressió d’una distribució
bidimensional són:
(
(
11y 7x 6, la de Y sobre X
→ x 0,46 y 0,886
2x 3y 1, la de X sobre Y
y 1,72 →
(
(
→ x 0,46 1,72 0,886 1,69 m
21. En una fàbrica de components electrònics s’han seleccionat
12 treballadors, entre els que havien entrat a treballar du­
rant els tres últims mesos, s’ha observat el nombre de peces
defectuoses que havien produït, i se n’ha obtingut la taula
següent:
Nombre de setmanes
treballades ( X)
Nombre de peces
defectuoses ( Y)
7
9
6
14
8
12
10
4
2
11
1
8
26
20
28
16
23
18
24
26
38
22
32
25
a) Determina l’equació de la recta de regressió y ax b.
xy
y y ———
(x x)
2
x
a) Troba r i indica el tipus de relació que hi ha entre les dues
variables.
11y 7x 6 →
→ a ——
——
2
2x 3y 1 →
3
1
→ x —y — →
2
2
xy
3
→ c ——
—
2
6
7
6
y —— x ——
11
11
3
1
x — y —
2
2
3
7
6
1
x — —— x —— —
2
11
11
2
21
9
1
x —— x —— —
22
11
2
1
29
—— x —— → x 29 → y 19
22
22
x 29, y 19
(
x2 y2 → x y
21
—— 0,977
22
b) Calcula la mitjana de cadascuna de les variables.
c) Dedueix quina de les dues variables té una desviació típi­
ca més gran.
xy
7
——
2
——
——
—
a
x
11
14
— ———
——— —— →
3
33
c
xy
y2
2
y2
14
y
x
33
x
0,65134
d’on:
x y
√
→ ——
—— → ——
2
a
y2
— 1 → —— 1
2
x
7
3
—— —
11
2
La relació és lineal directa molt forta.
Les dues variables tindrien la mateixa desviació tipus:
c
√
√
(
(
Perquè els coeficients a i c tenen el mateix signe.
r √ ac
b) Estima el nombre de peces defectuoses que produiria un
treballador amb cinc setmanes d’experiència.
22. Per què els quocients de les divisions entre els coeficients
de x i de y de les rectes de regressió donen sempre com a
resultat un nombre positiu? Què passaria en el cas que tots
dos quocients fossin iguals a 1? Raona les respostes.
2
y
→ y 1,39 x 35,46
29 peces defectuoses
11
x
19,72
y 24,83 ——— (x 7,6 ) →
14,2219
x 5 → y 1,39 5 35,46
6
7
6
→ y —— x —— →
11
11
xy
7
14
——
33
la
MATEMÀTIQUES 1
24. De dues variables, X i Y, es té la infor­mació següent: la
variància de X és 3, la mitjana i la desviació tipus de Y són
1 i 2, respectivament, i l’equació de la recta de regressió de
Y sobre X és 2x 3y 6.
x2 3, y 1, y 2,
185
La primera nota de cada parell correspon a la primera prova,
que està puntuada sobre 100 punts, i la segona nota és de
la segona prova, puntuada sobre 50 punts.
a) Dibuixa el diagrama de dispersió.
2
2x 3y 6 → y —x 2
3
Troba:
a) La mitjana de X.
2
y 1 → 1 —
x2 →
3
3
3
→ x — → x —
2
2
b) La covariància de X i Y.
xy
2
x
3
a ——
— →
2
2
2
→ xy —x2 —3 2
3
3
c) El coeficient de correlació lineal.
xy
1
2
r —— ——— —— 0,57735
xy
√ 32
√3
d) L’equació de la recta de regressió de X sobre Y.
xy
x x ———
(y y) →
2
y
3
2
→ x — —— (y 1)
2
4
3
1
x — — (y 1) →
2
2
3
1
1
→ x — — y — →
2
2
2
1
→ x — y 2
2
Activitats finals
1. Els 30 alumnes d’una classe de primer de batxillerat van
obtenir les notes següents en dues proves diferents de ma­
temàtiques:
(73, 29), (41, 24), (83, 34), (71, 27), (39, 24),
(60, 26), (51, 35), (41, 18), (85, 33), (88, 39),
(44, 27), (71, 35), (52, 25), (74, 29), (50, 13),
(42, 13), (85, 40), (53, 23), (85, 42), (44, 22),
b) Calcula el coeficient de correlació lineal.
xy
103,36779
xy
17,61917,5828
r —— ———————— 0,7737
c) Compara els dos resultats per donar la màxima informa­
ció sobre la relació existent entre les dues notes.
La relació entre les dues notes és lineal, directa i bastant
forta.
2. A partir de la taula de valors següent, calcula el coeficient
de correlació lineal i analitza’n el significat. Escriu l’equació de
cadascuna de les dues rectes de regressió.
y
x
1
2
3
4
1
5
1
2
6
1
4
3
2
1
4
1
1
3
xy
0,425
xy
1,071210,74162
r —— —————————
0,53497 → relació indirecta dèbil
Y sobre X:
xy
y y ———
(x x)
2
x
(66, 25), (60, 21), (33, 26), (43, 19), (76, 29),
0,425
y 2,5 ———— (x 2,55) →
1,1475
(51, 25), (57, 19), (25, 17), (40, 17) i (76, 35).
→ y 0,37x 3,44
186
LA
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
X sobre Y:
a) Anys-Accions.
xy
x x ———
(y y)
2
xy
14,728
xy
2,872287,19553
y
rxy —— —————————
0,425
x 2,55 ——— (y 2,5) →
0,55
0,7126
→ x 0,773y 4,48
3. En una distribució bidimensional s’han obtingut els paràme­
tres estadístics següents:
x 5,
y 6, 2 5; 2 8,5 i r 0,997
x
Existeix una relació lineal directa bastant forta entre els
anys i les accions.
b) Anys-Obligacions.
y
Calcula la covariància i escriu l’equació de la recta de regres­
sió que expressa la variable X en funció de la variable Y.
xy
r ——— → xy r xy
xy
0,997√5 √8,5 6,5
xy
x x ———
(y y)
2
4. La taula següent expressa el preu mitjà dels preus en dòlars
de les accions i obligacions a la borsa de Nova York entre els
anys 1950 i 1959:
Anys
Accions
Obligacions
1950
32,22
102,43
1951
39,87
1952
xz
2,872283,06096
La relació entre els anys i les obligacions és lineal inversa i
bastant forta.
c) Accions-Obligacions.
yz
10,9416
yz
7,195533,06096
ryz —— —————————
y
6,5
x 5 —— (y 6) → x 0,765y 0,412
8,5
7,111
0,8088
X sobre Y:
xz
rxz —— —————————
0,4968
La relació és lineal inversa força dèbil entre les accions i les
obligacions.
5. El consum d’energia per càpita en milers de kWh i la renda
per càpita en milers de dòlars en sis països de la UE són els
següents:
Consum
Renda
Alemanya
5,7
11,1
100,93
Bèlgica
5,0
8,5
41,85
97,43
Dinamarca
5,1
11,3
1953
43,23
97,81
Espanya
2,7
4,5
1954
40,06
98,32
França
4,6
9,9
1955
53,29
100,07
Itàlia
3,1
6,5
1956
54,14
97,08
1957
49,12
91,59
1958
40,71
94,85
1959
55,15
94,65
X: «renda»; Y: «consum»
a) Calcula r i interpreta’n el resultat.
xy
r ——
xy
A partir d’aquestes dades calcula el coe­fi­cient de correlació
lineal entre les variables. Interpreta cadascun dels resul­
tats.
X: «anys»; Y: «accions»; Z: «obligacions»
2,5078
———————— 0,93179
2,46491,0919
Existeix una relació lineal directa i forta entre les dues variables.
la
MATEMÀTIQUES 1
b) Quina predicció podem fer sobre el consum d’energia per
càpita a Grècia si sabem que en aquest país la renda és de
4,4 milers de dòlars? És fiable la predicció obtinguda?
a) Quina és la mitjana del nombre de llibres prestats en el
conjunt de totes les biblioteques?
6
y
Y sobre X:
i
1710
i1
y ——— ——— 285 llibres
n
6
xy
y y ——— (x x)
x2
b) Escriu la recta de regressió que expressa el nombre de llibres
que hi ha en préstec en funció de l’afluència de lectors.
(
2,5078
y 4,36 ———— (x 8,63) →
6,0755
(
187
Y sobre X:
→ y 0,413x 0,803
xy
y y ———
(x x)
2
x
x 4,4 → y 0,4134,4 0,803
(
46,6
y 285 ——— (x 1,5) →
0,43
2,6 milers de kWh
La predicció és molt fiable, ja que r 1.
→ y 108,53x 122,21
6. A partir d’un estudi estadístic realitzat a una mostra de 100
estudiants, s’ha observat una alçada mitjana de 155 cm,
amb una desviació tipus de 15,5 cm. A més, es va obtenir la
recta de regressió de X (pes en quilograms) sobre Y (alçada
en centímetres):
2
160
c) Si acudissin 1 500 lectors a una biblioteca, quants llibres
es deixarien en préstec?
x 1,5 és la mitjana de la variable X; per tant, y 285
llibres.
8. La creixent inclinació de la torre de Pisa ha generat nom­
brosos estudis sobre la seva futura estabilitat. En la tau­
la següent es presenten les mesures de la seva inclinació
entre els anys 1978 i 1982. Les dades d’inclinació s’han
codificat com a dècimes de mil.límetre que depassen
els 2,9 m, de manera que la inclinació l’any 1978, que
va ser de 2,9667 m, apareix en la taula com a 667.
x —y ——
3
3
Determina:
a) El pes mitjà dels 100 estudiants.
y 155 cm →
2
160
→ x —155 —— 50 →
3
3
→ x 50 kg
b) La covariància de X i Y.
2
xy
— —— →
3
y2
Any
Inclinació
Any
Inclinació
1978
1979
1980
1981
1982
667
673
688
696
698
1983
1984
1985
1986
1987
713
717
725
742
757
X: «anys»; Y: «inclinació»
(
2
2
→ xy —y2 —15,52 160,16
3
3
a) Creus que la inclinació de la torre té una tendència lineal
que augmenta amb el temps? Justifica’n la resposta.
c) El signe del coeficient de correlació en­­
tre el pes i
l’alçada.
xy
77,8
xy
2,8722827,38686
r —— ——————————
r 0 perquè xy 0.
0,98903
7. A les biblioteques de sis poblacions s’ha analitzat l’afluència
de lectors (X en milers de persones) i el nombre de llibres
prestats (Y). Les dades es recullen en la taula següent:
X
0,5
1
1,3
1,7
2
2,5
Y
180
240
250
300
340
400
Efectivament, existeix una tendència lineal creixent, ja que
r 1.
b) Calcula la recta de regressió de la inclinació sobre el
temps.
Y sobre X:
xy
y y ———
(x x)
2
x
188
LA
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
77,8
y 707,6 ——— (x 1 982,5) →
8,25
→ y 9,43x 17 987,976
c) El 1918 la inclinació de la torre era de 2,9071 m. Quin
seria el valor ajustat segons la recta que has obtingut en
l’apartat anterior? A què és deguda la diferència entre els
dos valors?
x 1 918 →
→ y 9,431 918 17 987,976
10. Les equacions de les rectes de regressió d’una distribució
bidimensional són:
2
26
y —x ——, la de Y sobre X.
3
3
x 0,5y 7, la de X sobre Y.
a) Calcula la mitjana de cada variable.
2
26
y —x ——
3
3
x 0,5y 7
La inclinació estimada seria de 2,9099 m. La diferència entre
els dos valors es produeix perquè l’any 1918 és molt més petit que el primer any que apareix a la taula, per tant, el valor
estimat no és fiable.
9. Durant un mes s’han observat les despeses de manutenció i
l’ingrés total de 6 famílies, i els resultats obtinguts són:
Ingressos en milers d’
1,5
1,8
2,4
2,8
3,2
3,2
2,4
3,2
3,6
4,2
4,4
4,5
a) Calcula el coeficient de correlació lineal.
xy
0,4769
xy
0,74480,65426
b) Determina l’equació de la recta de regressió que expressa
les despeses en funció dels ingressos.
x
y
√ √
2
1
— —
3
2
1
—
3
c) Quina de les dues variables té una desviació típica més
gran? Justifica’n la resposta.
2
xy
——
2
—
——
2
—
a
x
3
4
— ———
——— — →
1
3
c
xy
2
y
2
xy
y
4
y
x
3
x
d’on:
x
0,4769
y 2,483 ———— (x 3,716 ) →
0,55472
√
4
—
3
y
——
1,1547 →
x
c) Quines despeses tindria una família amb un ingrés men­
sual de 3 800 ?
x 3,8 → y 0,86 3,8 0,712
x y
d) Calcula el valor de n tal que x ny.
→ y 0,86 x 0,712
2,6 milers d’
1,1547
y y ———
(x x)
2
(
√
xy
xy
——
——2
2
→ ——
— → ——
2
(
r
r —— ————————— 0,97867
Y sobre X:
b) Troba el coeficient de correlació lineal.
0,57735
X: «ingresos»; Y: «despeses»
2
1
26
y — —y 7 ——
3
2
3
1
14
26
y —y —— ——
3
3
3
2
—y 4 → y 6
3
1
x —6 7
2
3 7 4 → x 4
98,764 99
Despeses en milers d’
6
x
1
y
1,1547
→ —— ——— 0,866 →
→ x 0,866y
Per tant:
n 0,866
la
MATEMÀTIQUES 1
11. En una mostra de dotze individus s’han estudiat dues varia­
bles, de les quals sabem que: 12
x 6, x √ 6,
y
i1
2
i
380
Al mateix temps, se sap que l’equació de la recta de regres­
sió que expressa X en funció de Y és:
x 0,89y 1,55
Calcula:
a) La mitjana i la variància de la variable Y.
x 6 → 6 0,89y 1,55 →
4,45
→ 0,89y 4,45 → y ——— 5 →
0,89
→ y 5
i
n
2
380
—— 25 6,6
(
y
—— y
2
2
y
12
b) La covariància i el coeficient de correlació lineal.
xy
xy
c ——
→ 0,89 ——
→
2
2
y
y
(
(
xy
4. En 4 viatges del trajecte Barcelona-Girona un conductor ha
observat les velocitats mitjanes i els consums de gasolina se­
güents:
Velocitat x (km/h)
Consum y (L/100 km)
105
6,5
117
7,5
90
6
120
8,2
a) Calcula les variàncies de les variables x i y, la covariància
i el coeficient de correlació. Escriu les expressions algè­
briques corresponents.
11,8110
X = 108 σ x = 13,6382
0,8559
Y = 7,05 σ y = 1,6295
σ xy = 9,6
r = 0,9497
b) Escriu la recta de regressió de y respecte x.
y 5 0,00688x 0,382
c) Quin consum es podria esperar d’un viatge fet a 130 km/h
de mitjana?
D’un viatge fet a 130 km/h de mitjana es podria esperar un
consum de 8,562 L cada 100 km.
(
→ xy 0,89y2 0,896,6 5,93
189
5,93
(
r —— —————— 0,93814
xy
√6 √6,6
c) L’equació de la recta de regressió de Y sobre X.
xy
y y ———
(x x) →
2
x
5. En l’estudi de quatre distribucions entre dues variables,
s’han obtingut els coeficients de correlació següents: a) 0,2;
b) –0,8; c) 0,001; d) 0,7. Raona, en cada cas, el tipus i la
intensitat de la correlació entre les variables.
a) 0,2: correlació feble positiva.
b) –0,8: correlació forta negativa.
c) 0,001: pràcticament no hi ha correlació entre les dues variables.
(
5,93
→ y 5 ——— (x 6)
6
d) 0,7: correlació forta positiva.
(
y 5 0,98(x 6) →
(
(
→ y 5 0,98x 5,93
jUnitat 15. Probabilitat
(
(
y 0,98x 0,93
Avaluació
1. Si estudiem les qualificacions de matemàtiques i educació
física dels alumnes d’un centre obtenim un coeficient de
correlació entre dues variables igual a 20,02. Com interpre­
taries aquest resultat?
El signe negatiu indica una posició decreixent dels punts, el
valor tan proper a 0 indica molt poca correlació lineal.
2. Explica què significa distribució bidimensional, posa’n un
exemple.
Activitats
1. Escriu l’espai de successos S associat a l’experiment aleatori
E: «llançar una moneda enlaire».
S {{c}, {x}, {c, x}, ∅}
2. Utilitzant nombres combinatoris, demostra que el nombre
de successos associats a un experiment aleatori de 3, 4 i n
elements és, respectivament, 8, 16 i 2n.
Resposta oberta.
3. La mitjana dels pesos d’una població és de 65 kg i la de les altu­
res és de 170 cm, les desviacions típiques són de 5 kg i 10 cm,
respectivament, i la covariància d’ambdues variables és de 40.
Calcula la recta de regressió dels pesos respecte de les altures.
Què pots preveure que pesarà un individu de 180 cm d’alçada?
y 5 0,4x­­2 3
Per un individu de 180 cm d’alçada el pes seria 69 kg.
0123
3
3
0
3
13318
4
4
4
4
4
0
1
2
3
4
1 4 6 4 1 16
n
n
n
n
...
1
2
n1
n
(1 1)n 2n
n
3
LA
190
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
3. Es consideren els successos A: «obtenir un nombre primer»
i B: «obtenir un nombre més petit que 10» de l’experiment
alea­tori E: «treure una bola d’una urna amb 20 boles nume­
rades de l’1 al 20».
a) Defineix A i B per extensió.
A {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}
B {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
5. Demostra que A B i B A constitueixen successos incom­
patibles.
(A B) (B A) (A B) (B A)
A ( B B) A A A
6. Justifica mitjançant diagrames les igualtats següents:
a) A B A (A B) A B
b) Troba els successos.
A, B, A B, A B, A B,
A B, A B i B A
A {1, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20}
b) B A B (A B) A B
B {10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}
A B {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 13, 17, 19}
A B {2, 3, 5, 7}
A B {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16,
18, 20}
A B {2, 3, 5, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18,
7. Demostra gràficament la propietat 7 de les operacions amb
successos.
19, 20}
A B {11, 13, 17, 19}
B A {1, 4, 6, 8, 9}
c) Defineix els successos de l’apartat b) per comprensió.
A: «obtenir un nombre compost»
B: «obtenir un nombre major que 9»
A B: «obtenir un nombre primer o més petit que 10»
A B: «obtenir un nombre compost o més petit que 10»
A B: «obtenir un nombre compost o més petit que 10»
A B: «obtenir un nombre primer o major que 9»
A B: «obtenir un nombre primer o major que 10»
B A: «obtenir un nombre més petit que 10 i no primer»
8. Si A i B són dos successos tals que A B, justifica que:
a) A B A
4. Justifica raonadament:
a) A B A i A B B
Sempre que es verifica A B es verifica A i es verifica B,
aleshores A B A i A B B.
b) A B B
b) A A B i B A B
Sempre que es verifica A es verifica A B, aleshores A A
B, i sempre que es verifica B es verifica A B; per tant,
B A B.
c) A B A B
Sempre que es verifica A B es verifica A i es verifica B, aleshores també es verifica A B; per tant, A B A B.
d) A A, A i B
Qualsevol succès està inclos en si mateix. El succès impossible esta inclòs sempre en qualsevol succès.
c) B A
MATEMÀTIQUES 1
d) A B
la
191
D: «extreure una carta que sigui copes» → Card (D) 12.
12
1
p(D) —— —
48
4
11. D’una classe on hi ha 20 noies i 15 nois escollim dos alum­
nes a l’atzar.
e) A B
Calcula la probabilitat que:
a) Siguin dues noies.
A: «que siguin dues noies»
9. En l’experiment aleatori E: «llançar dos dardells a la dia­
na», considerem els successos A: «fa diana amb el primer» i
B «fa diana amb el segon». Expressa en funció d’A i B els
successos:
a) Fa diana amb el primer, però no amb el segon.
A B
b) Fa diana amb algun dels dos.
AB
c) Falla tots dos.
A B
d) Fa diana amb només un.
(A B) (B A)
10. En l’experiment aleatori «extreure una carta d’una baralla de
48 cartes», calcula la probabilitat dels successos següents:
a) Treure una carta que sigui un nombre primer.
A: «extreure una carta que sigui un nombre primer» →
Card (A) 20.
20
5
p(A) —— ——
48
12
b) Que la carta que extraiem no sigui un as.
B: «extreure una carta que no sigui as» → Card (B) 44.
44
11
p(B) —— ——
48
12
c) Que sigui una figura d’espases.
C: « extreure una figura d’espases» → Card (C) 3.
3
1
p(C) —— ——
48
16
d) Treure una carta de copes.
20 19
———
C20,2
2
10 19
p(A) ——— ———— ———
35 34
35 17
C35,2
———
2
219
38
——— ——
717
119
b) Siguin un noi i una noia.
B: «que siguin un noi i una noia»
20 15
20 15
20 15
p(B) ——— ———— ———
35 34
35 17
C35,2
———
2
20 3
60
——— ——
7 17
119
c) Entre els escollits hi hagi un alumne o una alumna deter­
minats.
C: «que hi hagi l’alumne x»
34
34
2
p(C) ——— ———— ——
35 34
35
C35,2
———
2
12. A la cua de la taquilla d’un cinema hi ha 14 persones. Quina
és la probabilitat que dues persones determinades estiguin
juntes?
A: «que dues persones determinades estiguin juntes»
13 P2
13 2
p(A) ——— ———
14!
P14
13 2
1
————— ———
14 13 12! 7 12!
13. Calcula la probabilitat que quan girem una fitxa de dòmino
s’obtingui:
a) Un nombre de punts més gran que 8.
A: «obtenir més de 8 punts»
6
3
p(A) —— ——
28
14
LA
192
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
b) Un nombre de punts que sigui múltiple de 3.
B: «obtenir un nombre de punts que sigui múltiple de 3»
9
p(B) ——
28
c) Un nombre de punts que sigui més gran que 8 i múltiple
de 3.
3
C A B → p(C) ——
28
d) Una fitxa doble.
D: «obtenir una fitxa doble»
a) Suma de punts igual a 10.
A: «obtenir 10 punts»
3
1
p(A) —— ——
36
12
b) Suma de punts senars.
16. Donats dos successos A i B, tals que
3
1
5
p(A) —, p(B) — i p(A B) —,
8
2
8
calcula:
p(A B), p( A), p( B), p( A B), p(A B),
p( A B) i p(A B).
p(A B) p(A) p(B) p(A B)
p(A B) p(A) p(B) p(A B)
18
1
p(B) —— —
36
2
c) Almenys un 6 en un dels daus.
C: «obtenir almenys 6 punts en un dau»
11
p(C) ——
36
d) Només un 6 en un dau.
D: «obtenir només un 6 en un dau»
3
1
5
2
1
—————
8
2
8
8
4
3
5
p( A) 1 p(A) 1 — —
8
8
1
1
p( B) 1 p(B) 1 — —
2
2
p( A B) p(A B) 1 p(A B)
B: «obtenir un nombre senar de punts»
11
p(C) ——
16
7
1
p(D) —— —
28
4
14. Llancem dos daus enlaire. Calcula la probabilitat d’obtenir:
C: «obtenir almenys 2 cares»
5
3
1——
8
8
1
3
p(A B) 1 p(A B) 1 — —
4
4
1
1
1
p( A B) p(B) p(A B) — — —
2
4
4
3
1
1
p(A B) p(A) p(A B) — — —
8
4
8
10
5
p(D) —— ——
36
18
17. Sabem que la probabilitat que demà plogui és 0,4; que
plogui demà passat és 0,3 i que plogui cadascun dels dos
dies, 0,2.
15. Es tira una moneda enlaire 4 vegades. Quina és la probabilitat
que surtin 4 cares? I que surtin 2 cares i 2 creus? I almenys
2 creus?
p(A) 0,4, p(B) 0,3 i p(A B) 0,2
a) Plogui, com a mínim, un dels dos dies.
A: «obtenir 4 cares»
1
p(A) ——
16
B: «obtenir 2 cares i 2 creus»
Calcula la probabilitat que:
6
3
p(B) —— —
16
8
p(A B) p(A) p(B) p(A B)
0,4 0,3 0,2 0,5
b) No plogui cap dia.
p( A B) p(A B) 1 p(A B)
1 0,5 0,5
MATEMÀTIQUES 1
c) Només plogui demà.
p(A B) p(A) p(A B)
0,4 0,2 0,2
d) Plogui només un dels dos dies.
p[(A B) ( A B)]
p(A B) p( A B)
p(A) p(A B) p(B) p(A B)
p(A) p(B) 2p(A B)
0,4 0,3 20,2 0,3
18. Un dau està trucat, de manera que les probabilitats d’obtenir
les diferents cares són proporcionals als nombres que hi fi­
guren.
Sigui Si {i}, i 1, 2, 3, 4, 5, 6
Tenim que:
193
19. Llancem dos daus i considerem el nombre de punts de les
cares superiors.
Calcula la probabilitat dels successos següents:
a) A: «el nombre de punts de les dues cares superiors suma 7».
6
1
p(A) —— —
36
6
b) B: «el producte dels nombres de les cares superiors és 12».
4
1
p(B) —— —
36
9
c) A B; A B; A; B.
2
1
p(A B) —— ——;
36
18
8
2
p(A B) —— —;
36
9
p(S6) 6p(S1), p(S5) 5p(S1),
p(S4) 4p(S1), p(S3) 3p(S1),
p(S2) 2p(S1)
la
1
5
p( A) 1 p(A) 1 — —;
6
6
1
8
p( B) 1 p(B) 1 — —
9
9
i per tant:
p(S6) p(S5) p(S4) p(S3) p(S2)
p(S1) 6p(S1) 5p(S1) 4p(S1)
3p(S1) 2p(S1) p(S1)
1
21p(S1) 1 → p(S1) ——
21
Si llancem el dau una vegada, calcula la probabilitat de:
a) Cadascun dels successos elementals.
1
2
p(S1) ——, p(S2) ——,
21
21
3
1
4
p(S3) —— —, p(S4) ——,
21
7
21
5
6
2
p(S5) —— i p(S6) —— —
21
21
7
b) Obtenir un nombre més gran que 4.
B: «obtenir més de 4 punts»
5
2
11
p(B) p(S5) p(S6) —— — ——
21
7
21
c) Aconseguir un nombre senar.
C: «obtenir un nombre senar de punts»
p(C) p(S1) p(S3) p(S5)
1
1
5
9
3
—— — —— —— —
21
7
21
21
7
20. Demostra que, efectivament, la independència de successos
és simètrica.
Si B és independent de A → p(B/A) p(B)
D’on:
p(A B) p(A)p(B/A) p(A)p(B)
i també
p(A B) p(B A) p(B)p(A/B)
→ p(A)p(B) p(B)p(A/B)
6
Per tant:
p(A/B) p(A) → A és independent de B
21. Sabent que:
p(A) 0,3; p( B) 0,6 i p(A/B) 0,32
calcula: p(A B), p(A B), p(A/ B), p(B/A)
p(A B) i p( B/ A)
p(A B) p(B A) p(B)p(A/B)
0,40,32 0,128
p(A B) p(A) p(B) p(A B)
0,3 0,4 0,128 0,572
194
LA
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
p(A B)
p(A) p(A B)
————————
p(A/ B) —————
p( B)
p( B)
0,3 0,128
0,172
—————— ——— 0,287
0,6
0,6
p(A B)
0,128
p(B/A) ————— ——— 0,427
p(A)
0,3
p(A B) 1 p(A B)
1 0,572 0,428
p( B A)
p(B A)
—————
p( B/ A) —————
p( A)
p( A)
0,428
p(A B)
——— 0,61143
—————
0,7
p( A)
b) Que sigui defectuós, si sabem que és de capçal rodó.
25. Disposem de 2 bosses amb boles blanques, vermelles i negres.
En una bossa hi ha 3 boles blanques, 4 de vermelles i 5 de
negres. L’altra bossa conté 5 de boles blanques, 7 de vermelles
i 2 de negres. Si agafem una bola de cada bossa, quina proba­
bilitat hi ha que siguin del mateix color?
B: «obtenir bola blanca»
V: «obtenir bola vermella»
N: «obtenir bola negra»
S: «obtenir les dues boles del mateix color»
22. Indica la probabilitat de la unió de dos successos indepen­
dents.
p(S)
p(B1 B2) p(V1 V2) p(N1 N2)
p(A B) p(A) p(B) p(A B)
p(A) p(B) p(A) p(B/A)
p(A) p(B) p(A)p(B)
23. Calcula la probabilitat p(B/A) en aquests casos:
p(B1)p(B2) p(V1)p(V2)
a) A B
AB → ABA →
→ p(A B) p(A)
D’on:
p(A B)
p(B/A) ————— 1
p(A)
b) A B
A B → p(A B) 0
D’on:
p(A B)
p(B/A) ————— 0
p(A)
24. Tenim una caixa amb 5 cargols de capçal rodó, dos dels quals
són defectuosos, i 8 cargols de capçal quadrat, dels quals
només 3 són correctes. Escollim un cargol a l’atzar. Calcula
la probabilitat:
Q: «obtenir un cargol de capçal quadrat»
D: «obtenir un cargol defectuós»
1 5
1 1
p(N1)p(N2) ——— ——
4 14
3 2
5 1
—— —
12 7
5
1
5
53
—— — —— ——
56
6
84
168
26. A les últimes eleccions municipals, a la ciutat A els grocs
han obtingut el 20 % dels vots; els verds el 30 %, i els gri­
sos el 50 %. A la ciutat B, els percentatges respectius han
estat: 40 %, 45 % i 15 %. Escollim una de les dues ciutats a
l’atzar i una persona que hi visqui. Quina probabilitat hi ha
que aquesta persona hagi votat el partit groc? Suposant que
la persona escollida hagi votat efectivament el partit groc,
quina probabilitat hi ha que visqui a la ciutat A?
A: «escollir la ciutat A»
B: «escollir la ciutat B»
G: «escollir una persona que hagi votat el partit groc»
p(G) p(A G) p(B G)
p(A)p(G/A) p(B)p(G/B)
0,50,2 0,50,4 0,1 0,2 0,3
p(A)p(G/A)
0,50,2
p(A/G) ——————— ————
p(G)
0,3
0,1
——— 0,3
0,3
(
a) Que sigui de capçal quadrat, si sabem que és correcte.
3
——
13
1
p(Q D)
——— —
p(Q/ D) —————
p( D)
6
2
——
13
2
——
13
2
p(D Q)
——— —
p(D/ Q) —————
p( Q)
5
5
——
13
la
MATEMÀTIQUES 1
27. Un joier compra els rellotges a dues cases proveïdores. La
primera li serveix el 60 % dels rellotges, dels quals el 0,4 %
són defectuosos. La segona li proporciona la resta, essentne defectuosos l’1,5 %. Un dia, el joier, quan es disposa a
vendre un rellotge, observa que no funciona. Troba la proba­
bilitat que el rellotge procedeixi de la segona casa proveïdora.
Si el rellotge venut funcionés correctament, troba la probabili­
tat que provingui del primer proveïdor.
A: «escollir un rellotge de la primera casa proveïdora»
B: «ídem de la segona casa proveïdora»
D: «escollir un rellotge defectuós»
p(B) p(D/B)
p(B/D) ——————————————
p(A)p(D/A) p(B)p(D/B)
0,40,015
———————————
0,60,004 0,40,015
0,006
——— 0,7143
0,0084
p(A)p( D/A)
p(A/ D) ——————————————
p(A)p( D/A) p(B)p( D/B)
0,60,996
0,5976
——————————— ——— 0,6027
0,60,996 0,40,985
0,9916
28. En un institut s’organitza una excursió a una estació d’esquí.
El 65 % dels alumnes viatjarà en un autobús gran i la resta
ho farà en un de petit. Es coneix que el 90 % dels alumnes
que viatja a l’autobús petit sap esquiar, mentre que dels
alumnes que viatgen a l’autobús gran saben esquiar el 60 %.
S’escull un o una alumne/a a l’atzar i resulta que no sap
esquiar. Quina probabilitat hi ha que viatgi a l’autobús pe­
tit? I si sap esquiar, quina probabilitat hi ha que viatgi al
gran?
G: «escollir un alumne de l’autobús gran»
p(G)p(S/G)
p(G/S) ——————————————
p(G)p(S/G) p( G)p(S/ G)
0,650,6
0,39
—————————— ———— 0,553
0,650,6 0,350,9
0,705
Punt final
Aplicant els continguts de la probabilitat estudiats en aques­
ta unitat, calcula les probabilitats dels successos plantejades
pel cavaller De Méré a Blaise Pascal, és a dir, la probabilitat
d’obtenir almenys un sis quan llancem un dau quatre vegades, i
la probabilitat d’obtenir almenys un doble sis quan llancem dos
daus 24 vegades.
En llançar un dau quatre vegades, es defineix:
A: «obtenir almenys un sis»
453 652 45 1
p(A) ———————————
64
500 150 20 1
671
—————————— ——— 0,5177
1 296
1 296
En llançar dos daus 24 vegades es defineix:
B: «obtenir almenys un doble sis»
35
p(B) 1 ——
36
1 0,5086 0,4914
Activitats finals
1. Si A i B són dos successos tals que p(A) 0,4;
p( A B) 0,9 i p(A B) 0,8; A i B són incompatibles?
Són independents? Justifica ambdues respostes.
p( A B) p(A B) 0,9 → p(A B)
1 p(A B) 1 0,9 0,1
Com que:
S
S
p(A B) 0 → A B → A i B
no són incompatibles.
S
p(A B) p(A) p(B) p(A B) →
S
24
p(A) p(B)
S: «escollir un alumne que sap esquiar»
0,6
G
0,65
0,4
0,9
0,35
G
0,1
→ p(B) p(A B) p(A B) p(A)
0,8 0,1 0,4 0,5
p( G)p( S/ G)
p( G/ S) ——————————————
p(G)p( S/G) p( G)p( S/ G)
0,350,1
0,035
—————————— ———— 0,1186
0,650,4 0,350,1
0,295
195
p(A)p(B) 0,40,5 0,2
p(A B) 0,1
6
p(A B) p(A)p(B) → A i B
no són independents.
196
LA
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
2. Suposem que A i B són dos successos independents tals que
la probabilitat que succeeixi algun dels dos és de 0,7 i la
probabilitat que succeeixin tots dos alhora és de 0,2. Calcu­
la p(A) i p(B).
p(A B) p(A) p(B) p(A B) →
→ p(A) p(B) p(A B) p(A B)
e) p( A/B)
p( A/B) 1 p(A/B)
7
8
1 —— ——
15
15
f) p(A/ B)
0,7 0,2 0,9
En ser independents:
p(A B) p(A)p(B) →
→ p(A)p(B) 0,2
p(A) p(B) 0,9
p(A)p(B) 0,2
6
p(A) 0,5, p(B) 0,4
o
p(A) 0,4, p(B) 0,5
3. Dels successos A i B sabem que
1
p( A B) —;
5
2
3
p(A) —; p( B) —
3
4
p(A B)
p(A/ B) —————
p( B)
2
7
— ——
p(A) p(A B)
3
60
——————
—————————
3
p( B)
—
4
11
——
20
11
——— ——
3
15
—
4
4. Demostra que, si A i B són dos successos independents, tam­
bé ho són els successos A i B.
p( A B) p(A B) 1 p(A B)
1 [p(A) p(B) p(A B)]
1 [p(A) p(B) p(A)p(B)]
Calcula:
1
4
1 p( A B) 1 — —
5
5
b) p(A B)
p(A B) p(A) p(B) p(A B) →
→ p(A B)
p(A) p(B) p(A B)
c) p(B/A)
2
1
4
7
— — — ——
3
4
5
60
7
——
p(A B)
60
7
p(B/A) ————— ——— ——
p(A)
2
40
—
3
d) p(A/B)
p(A B)
p(A/B) —————
p(B)
7
——
60
7
——— ——
1
15
—
4
[1 p( A)][1 p( B)]}
p(A B) 1 p(A B)
1 {1 p( A) 1 p( B)
a) p(A B)
p( A) 1 p( B) [1 p( A)][1 p( B)]
p( A) 1 p( B) 1 p( A) p( B)
p( A)p( B) p( A)p( B)
5. Calcula la probabilitat que en llançar quatre vegades un ma­
teix dau la suma dels punts obtinguts sigui diferent de 4 i
de 24.
A: «obtenir una suma de punts igual a 4 o 24»
A {(1, 1, 1, 1), (6, 6, 6, 6)}
2
2
1
p(A) — ——— —— →
1296
648
64
1
647
→ p( A) 1 p(A) 1 —— ——
648
648
6. En una sala en què hi ha 20 persones, 14 de les quals llegei­
xen el diari, 10 prenen cafè i 8 fan totes dues coses. Si selec­
cionem dues persones a l’atzar, calcula la probabilitat que:
la
MATEMÀTIQUES 1
a) Totes dues prenguin cafè i no llegeixin el diari.
A: «dues persones prenguin cafè i no llegeixin el diari»
1
C2,2
p(A) ——— ————
2019
C20,2
———
2
1
1
——— ——
1019
190
b) Totes dues només facin una de les dues coses.
B: «les dues només facin una cosa»
C6,2 C2,2 62
p(B) —————————
C20,2
65
—— 1 12
2
15 1 12
———————— ——————
1019
190
28
14
—— ——
190
95
c) Cap de les dues no faci res.
8. Calcula la probabilitat que en llançar un dau la suma dels
punts de les cares visibles sigui més gran que 18.
A: «suma de punts de les cares visibles sigui més gran que 18»
B: «punts de la cara no visible sigui 1 o 2» → B {1, 2}
2
1
p(A) p(B) — —
6
3
9. D’una caixa que conté 5 boles numerades de l’1 al 5:
a) Extraiem una bola rere l’altra fins a treure-les totes. Qui­
na probabilitat hi ha que surtin en l’ordre natural?
A: «que surtin en ordre natural»
1
1
1
p(A) —— — ——
P5
5!
120
b) S’extreu una bola i es retorna a la caixa, i es repeteix
això cinc vegades. Quina és ara la probabilitat que surtin en
l’ordre natural? Quina probabilitat hi ha que surti les cinc
vegades la mateixa bola?
1
1
1
p(A) ——— — ———
5
VR5,5
5
3 125
C: «cap de les dues no faci res»
B: «que surti la mateixa bola»
43
——
C4,2
2
23
p(C) ——— ———— ————
1019
1019
C20,2
3
3
——— ——
519
95
d) Totes dues facin ambdues coses.
D: «les dues facin les dues coses»
87
——
C8,2
2
47
p(D) ——— ———— ————
1019
1019
C20,2
27
14
——— ——
519
95
7. Determina la probabilitat d’obtenir a la Loteria primitiva 6
encerts, 5 encerts i el complementari, i 4 encerts jugant una
sola combinació de 6 nombres.
A: «6 encerts»
1
1
p(A) ——— —————
C49,6
13 983 816
B: «5 encerts i el complementari»
6
1
C6,51
p(B) ——— ————— ————
C49,6
13 983 816
2 330 636
5
5
1
1
p(B) ——— — — ——
5
4
VR5,5
5
5
625
10. Cinc persones es troben a l’interior d’un ascensor situat a la
planta baixa d’un edifici que consta de planta baixa i sis pisos.
Suposant que totes tenen la mateixa probabilitat de baixar en
qualsevol dels sis pisos, calcula les probabilitats següents:
a) Que totes les persones baixin al mateix pis.
A: «que totes baixin al mateix pis»
1 5
6
1
p(A) 6 — — —
6
65
64
1
——— 0,000772
1 296
b) Que no baixi ningú als tres primers pisos.
B: «que no baixi ningú als tres primers pisos»
5
— 0,0649
6
5 5 5 5 5
p(B) — — —
6
6
6
5
15
c) Que als cinc primers pisos baixi una persona a cada pis.
C: «que baixi una persona a cada pis dels cinc primers pisos»
C: «4 encerts»
13 545
645
C6,4C43,2
p(C) ————— ————— ————
13 983 816
665 896
C49,6
197
1
5 4 1
5 3 1
5 2
p(C) — — — — — —
6
6
6
6
6
6
1 5 1
1 5 5
——— — —
6 6 6
6
6
10
0,0000207
198
LA
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
11. Un estudiant s’ha preparat 22 temes d’un programa compost
de 30 temes, dels quals surten 3 per sorteig. Calcula la pro­
babilitat que:
a) Respongui correctament dos temes.
A: «respongui correctament 2 temes»
2221
——— 8
C22,2C8,1
2
p(A) ————— ——————
C30,3
302928
—————
32
11218
1132
66
—————— ———— ——
102914
529
145
b) No respongui correctament cap dels tres temes.
B: «no respongui correctament cap dels 3 temes»
876
————
32
C8,3
p(B) ——— ——————
C30,3
302928
—————
32
87
2
2
————— ——— ——
102914
529
145
13. En una facultat universitària, el 25 % dels estudiants ha
suspès les matemàtiques, el 15 % ha suspès la química i el
10 % ha suspès totes dues assignatures. Si seleccionem un
alumne o una alumna a l’atzar, determina la probabilitat
que:
M: «hagi suspès les matemàtiques»
Q: «hagi suspès la química»
1
3
1
p(M) —, p(Q) ——, p(M Q) ——
4
20
10
a) Suspengui les matemàtiques, si ha suspès la química.
1
——
p(M Q)
10
2
p(M/Q) ————— ——— —
p(Q)
3
3
——
20
b) Suspengui la química, si ha suspès les matemàtiques.
1
——
p(M Q)
10
2
p(Q/M) ————— ——— —
p(M)
1
5
—
4
c) Suspengui les matemàtiques o la química.
p(M Q) p(M) p(Q) p(M Q)
12. a)Quan llancem dos daus, quina probabilitat hi ha d’obtenir
un nombre de punts la suma dels quals sigui 9? I que la
suma sigui múltiple de 3?
A: «suma de punts igual a 9»
4
1
p(A) —— —
36
9
B: «suma sigui múltiple de 3»
12
1
p(B) —— —
36
3
b) Si en llançar dos daus ha sortit un nombre de punts la
suma dels quals és un múltiple de 3, calcula la probabili­
tat que la suma sigui 9.
4
——
p(A B)
36
p(A/B) ————— ———
p(B)
12
——
36
4
1
—— —
12
3
1
3
1
6
3
— —— —— —— ——
4
20
10
20
10
14. Un automòbil, abans de sortir al mercat, se sotmet a tres
controls de qualitat: mecànic, elèctric i de planxa. La pro­
babilitat que fallin els controls és, respectivament, 0,02,
0,01 i 0,07. Si la fàbrica treu al mercat 500 cotxes cada any,
quants automòbils sortiran amb algun defecte?
M: «que falli el control mecànic»
p(M) 0,02 → p(M) 0,98
E: «que falli el control elèctric»
p(E) 0,01 → p(E) 0,99
X: «que falli el control de planxa»
p(X) 0,07 → p(X) 0,93
S: «que falli almenys un dels controls»
p(S) p(M)p(E)p(X)
p(M)p(E)p(X) p(M)p(E)p(X)
p(M)p(E)p(X) p(M)p(E)p(X)
p(M)p(E)p(X) p(M)p(E)p(X)
0,020,990,93
la
MATEMÀTIQUES 1
0,000186 0,001386 0,000686
0,000014 0,097714
6
p(C) p(X) 1
p(C) 2p(X)
2p(X) p(X) 1 → 3p(X) 1 →
2 2
1 2
——— ———
3 11
3 11
d) Surtin una bola vermella i una altra de blanca, en aquest
ordre.
M: «surtin una de vermella i l’altra de blanca, en aquest ordre»
2
5
3
1 1 2
p(M) ————— ————
3 12 11
3 3 11
5
2
19
—— —— ——
66
99
198
16. Un ordinador personal està contaminat per un virus i està
carregat amb dos programes antivirus P1 i P2, que actuen
independentment, l’un després de l’altre. El programa P1 de­
tecta la presència del virus amb una probabilitat de 0,9 i el
programa P2 el detecta amb una probabilitat de 0,8. Quina
probabilitat hi ha que no es detecti el virus?
1 3
1
1 3
——— — ———
3 11
3
3 11
1 1
1 5
——— ———
6 11
2 11
a) La segona bola sigui negra.
2 19
1 1
19
1
——— —— —— —
3 66
3 3
99
9
30
10
—— ——
99
33
1
2 5
1 2
p(S) — —— ——
2
3 9
3 3
3 2
5 3
—— ——
8 7
8 7
1 10
2
3
15
— —— — —— ——
2 27
9
28
56
1 1 463
1 209
209
———— ——— ——
2 1 512
2 216
432
b) La primera sigui negra i la segona blanca.
2
1 4
1 3
p(T) — ——— ———
3
4 11
3 11
T: «surtin una bola blanca i l’altra groga»
17. Disposem de dues caixes A i B. La caixa A conté 4 boles
blanques i 2 boles negres i a la caixa B hi ha 3 boles blan­
ques i 5 de negres. Escollim una caixa a l’atzar i traiem una bola,
a continuació, la introduïm a la caixa no escollida i traiem una
altra bola d’aquesta caixa. Calcula la probabilitat que:
1
1
1
5
——— —— ——
3 11
66
22
c) Surtin una bola blanca i l’altra groga.
S: «la segona bola sigui negra»
2
5
1
1
— —— —— ——
3 33
22
11
0,10,2 0,02
p(A) p( P1 P2) p( P1)p( P2)
2
5
4
1 2
p(S) — —— —— ———
3
12 11
4 11
A: «no es detecti el virus» → A P1 P2
1
2
→ p(X) —, p(C) —
3
3
S: «les dues boles del mateix color»
2
1
2
2
— — —— ——
3
3
11
11
b) Surtin dues boles del mateix color.
0,018414 0,009114 0,067914
a) Surti creu quan llancem la moneda.
15. Disposem d’una moneda trucada, en la qual la probabilitat
que surti cara és el doble de la probabilitat que surti creu;
una caixa A amb 5 boles vermelles, 3 de blanques i 4 de gro­
gues i una altra caixa B amb 4 boles vermelles, 2 de blanques
i 6 de grogues. Llancem la moneda enlaire, si surt cara traiem
2 boles consecutivament de la caixa A, i si surt creu les
traiem de la caixa B. Calcula la probabilitat que:
0,980,010,07 0,020,010,07
5000,097714 48,857 49 automòbils
0,020,010,93 0,020,990,07
2
1
1
1
1
1
— —— —— — —— ——
3 11
11
3 11
11
0,980,010,93 0,980,990,07
199
1
1 6
1 2
— ——— ———
3
6 11
2 11
T: «la primera sigui negra i la segona blanca»
1 1 1
5 4
p(T) — —— ——
2 3 3
8 7
1 1
5
1 59
59
— — —— ——— ——
2 9
14
2 126
252
200
LA
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
b) Un senyor ha llançat un nombre desconegut de daus, en­
tre 1 i 4, i la suma dels punts obtinguts ha estat 4. Quina
probabilitat hi ha que hagi llançat dos daus?
c) Totes dues boles siguin blanques.
D: «les dues boles siguin blanques»
1 2 4
3 5
p(D) — —— ——
2 3 9
8 7
1
8
15
— —— ——
2 27
56
1 853
853
———— ———
2 1512
3024
18. Es realitza un sorteig entre tres alumnes. Per establir-ne el
guanyador, s’escriu en un paper la paraula premi i es deixen
dos paperets en blanc. Què és preferible, escollir primer,
segon o tercer?
Si: «treure premi escollit en el lloc i», i 1, 2, 3
1
1r → p(S1) —
3
2n → p( S1 S2)
2 1
1
p( S1)p(S2/ S1) —— —
3 2
3
3r → p( S1 S2 S3)
p( S1 S2)p(S3/( S1 S2))
p( S1)p( S2/ S1)p(S3/( S1 S2))
2 1
1
——1 —
3 2
3
No importa, ja que la probabilitat és la mateixa.
19. a)Calcula la probabilitat que la suma dels punts obtinguts
sigui 4 quan llancem un dau, quan en llancem 2, quan en
llancem 3 i, finalment, quan en llancem 4.
A: «obtenir 4 punts»
B: «ha llançat dos daus»
p(A B)
p(B/A) —————
p(A)
1
——
12
——————————————
1
1
1
1
— —— —— ———
6
12
72
1 296
1
——
12
1 296
108
———— ———— ——
343
12343
343
———
1 296
20. D’una cistella en què hi ha 20 pomes, 4 de les quals estan
macades, en cau una en una altra cistella en què hi havia 6
pomes macades i 18 en bon estat. Escollim una poma de la
segona cistella i no està macada. Quina probabilitat hi ha
que la poma que ha caigut de la primera cistella fos bona?
B: «que sigui una poma bona»
p(B1)p(B2 /B1)
p(B1 /B2) ————————————––––––—
p(B1)p(B2 /B1) p( B1) p(B2 / B1)
4 19
76
——
——
5 25
125
————————— ————————
4 19
1 18
76
18
—— ——
—— ——
5 25
5 25
125
125
76
——
125
76
38
———— — —
94
94
47
——
125
21. En un institut el 65 % dels alumnes són noies. El 10 % dels
nois no practica cap esport, mentre que el 70 % de les noies
fa esport. Escollim un o una alumne/a a l’atzar i resulta
que fa esport. Quina probabilitat hi ha que sigui noia? I que
sigui noi si no fa esport?
1
En llançar un dau: P(A) —
6
S: «que l’alumne escollit faci esport»
3
1
En llançar dos daus: P(A) —— ——
36
12
N: «que sigui noia»
p(N)p(S/N)
p(N/S) ——————————————
p(N)p(S/N) p( N)p(S/ N)
3
1
En llançar tres daus: P(A) —— ——
216
72
0,650,7
0,455
—————————— ———— 0,590
0,650,7 0,350,9
0,77
1
En llançar quatre daus: P(A) ———
1 296
(
p( N)p( S/ N)
p( N/ S) ——————————————
p( N)p( S/ N) p(N)p( S/N)
la
MATEMÀTIQUES 1
0,350,1
——————————
0,350,1 0,650,3
0,035
———— 0,152174
0,23
22. Disposem de tres monedes. La primera té dues cares; a la
segona la probabilitat de sortir cara i de sortir creu és la ma­
teixa, i a la tercera la probabilitat que surti cara és del 30 %.
S’escull una d’aquestes tres monedes a l’atzar i es llança en­
laire. Sabent que ha sortit cara, calcula la probabilitat que
la moneda escollida hagi estat la primera.
24. En una població, el 30 % dels habitants pateix una malaltia.
Es realitza una prova per diagnosticar-la i s’anomenen A i B
els dos únics resultats possibles de la prova. Se sap que si la
prova es fa a un individu que té la malaltia, la probabilitat
que el resultat sigui A és del 90 %, però si es fa a un indivi­
du sa, la probabilitat que el resultat sigui A és del 5 %.
M: «que tingui la malaltia»
a) Es fa la prova a un individu seleccionat a l’atzar. Quina
probabilitat hi ha que el resultat sigui B?
p(B) p(M B) p( M B)
0,30,1 0,70,95
p(M1)p(C/M1)
——————————————————————
p(M1)p(C/M1) p(M2)p(C/M2) p(M3)p(C/M3)
1
—1
3
——————————————
1
1 1
1 3
—1 —— ———
3
3 2
3 10
1
1
—
—
3
3
5
————————— —— —
1
1
1
3
9
— — ——
—
3
6
10
5
23. En una determinada fàbrica d’electrodo­mèstics s’ha detectat
que un de cada 100 frigorífics té un defecte al sistema de
congelació. Per solucionar el problema, es posa en marxa un
dispositiu per poder detectar aquest defecte abans que el
frigorífic surti al mercat. No obstant això, aquest dispositiu
no és fiable del tot, concretament, si el frigorífic té el de­
fecte, el dispositiu el detecta en el 95 % dels casos, mentre
que si no el té, el dispositiu el dóna com a defectuós en un
2 % de les vegades. Si el dispositiu de control indica que
un frigorífic és defectuós, quina probabilitat hi ha que el
frigorífic no tingui cap defecte?
D: «que sigui defectuós»
b) Es fa la prova a una persona i s’obté com a resultat B.
Quina probabilitat hi ha que no tingui la malaltia?
p( M B)
p( M/B) —————
p(B)
p( M)p(B/ M)
0,70,95
——————— —————
p(B)
0,695
0,665
——— 0,95683
0,695
25. En un institut, el 30 % de l’alumnat són noies. Se sap que el
40 % de les noies ha anat al cinema l’últim cap de setmana
i que el 70 % dels nois també hi ha anat. Es tria un alumne
a l’atzar. Quina és la probabilitat que hagi anat al cinema?
La probabilitat que sigui noia que hagi anat al cinema és:
3
10
4
10
12
100
La probabilitat que sigui noi que hagi anat al cinema és:
7
10
7
10
49
100
La probabilitat que un alumne hagi anat al cinema és la suma de
totes dues:
100
49
100
61
0,61
100
p( D)p(S/ D)
p( D/S) ——————————————
p( D)p(S/ D) p(D)p(S/D)
0,03 0,665 0,695
12
S: «que detecti el defecte»
p(M)p(B/M) p( M)p(B/ M)
p(M1 /C)
201
0,990,02
———————————
0,990,02 0,010,95
0,0198
———— 0,675768
0,0293
26. En una competició esportiva de tir amb arc, un arquer té una probabilitat de 0,6 de fer diana cada cop que dispara una fletxa.
Se sap que ha fet tres dianes en sis intents. Calcula la proba­
bilitat que hagi fet diana en el primer dels sis intents.
Es tracta d’una probabilitat a priori i hem d’aplicar la fórmula de
Bayes:
P
10 0,6 0,62 0,63
10 0,6 0,6 0,6 10 0,4 0,6 0,4
2
3
3
2
1
2
LA
202
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
27. En un examen tipus test, una pregunta consta de 5 respostes
possibles i cal marcar la correcta. Se sap que la probabilitat
que un alumne determinat sàpiga la resposta és 2/3 i la pro­
babilitat que encerti la resposta correcta és 1/3. Calcula la
probabilitat que l’alumne sabés la resposta si se sap que ha
triat la correcta.
Els successos són:
A2 = «l’alumne no coneix la resposta»
B = «l’alumne ha triat la resposta correcta»
P(A1 /B) [P(A1)·P(B/A1)] : [P(A1)·P(B/A1) P(A2)·P(B/A2)]
2
31
2
3
1
36 .
7
1
n
b)Quantes vegades cal llançar els daus per poder apostar a
guanyar que surti el 6 en els dos daus?
6
Per poder guanyar, la probabilitat ha de ser més gran que ; és
7
a dir:
12
6
La probabilitat d’obtenir el doble 6 almenys una vegada és
12
A1 = «l’alumne coneix la resposta correcta»
La probabilitat que no obtinguem un doble 6 en una tirada és
1
35
12
36
36
36
35
n
.
6
7
, o el que és el mateix:
36 . 2
35
n
1
Si es prenen logaritmes en aquesta expressió: n .
9
28. Tres urnes contenen boles de diferents colors amb la compo­
sició següent:
Urna A: 3 boles blanques i 5 de vermelles.
Urna B: 6 de vermelles i 4 de negres.
Urna C: 6 de blanques, 2 de vermelles i 3 de negres.
Es llança un dau. Si surt 1 o 2, s’extreu una bola de l’urna A;
si és un 3 o un 4, s’extreu de l’urna B, i si surt un 5 o un 6,
s’agafa de l’urna C. Se sap que s’ha extret una bola vermella.
Calcula la probabilitat que en el dau hagi sortit un 5 o un 6.
Els successos són:
log2
log36 2 log35
.
Aproximadament, n . 24. Si es tira el dau almenys 25 vegades,
és més probable que surti el doble 6.
31. Un banc ha comprovat que la probabilitat que un client amb
fons escrigui la data equivocada en un xec és 0,001. En canvi,
la probabilitat que un client sense fons ho faci, és 1. El 90 %
dels clients del banc té fons. A la caixa s’ha presentat un xec
amb la data equivocada. Quina és la probabilitat que sigui
sense fons?
P {data equivocada/amb fons} = 0,001
P { data equivocada/sense fons} = 1
P {client amb fons} = 0,9
A1 = «En el dau surt un 1 o un 2»
P {client sense fons} = 0,1
A2 = «En el dau surt un 3 o un 4»
P { sense fons/data equivocada} 2
A3 = «En el dau surt un 5 o un 6»
1
1 1 0,009
5 0,99
B = «Extreure bola vermella»
P(A3 /B) [P(A3)·P(B/A3)] : [P(A3)·P(B/A3) P(A1)·P(B/A1)
P(A2)·P(B/A2)]
80
1. S’agafen dues cartes d’una baralla de 48. Troba les probabili­
tats dels esdeveniments següents:
169
29. El cap d’estudis d’un institut, abans de posar un càstig als
seus alumnes, els concedeix una oportunitat. Els presenta
dues urnes idèntiques, A i B. L’urna A conté 4 boles negres i
2 de blanques, i l’urna B, en conté 2 de negres i 3 de blan­
ques. L’alumne tria una urna i n’extreu una bola, i si és blan­
ca és perdonat. Un alumne s’ha salvat del càstig. Quina és la
probabilitat que hagi triat l’urna A?
P
2 3 2
1
·
1
:
1
·
1
3
Avaluació
1
2
·
5
3
5
14
30. Es llancen dos daus n vegades.
a)Calcula la probabilitat que surti el 6 en els dos daus al­
menys una vegada.
1 1
1
.
La probabilitat que surti un doble 6 en una tirada és
6 6
36
a) Que siguin dos asos.
El nombre de casos possibles en extreure dues cartes d’una baralla de 48 és:
C248 5 1 128
Casos favorables 2 asos de 4 C24 5 6 ? P 5
6
1 128
b) Que siguin dues figures.
Casos favorables 2 figures de 12: C212 5 66 ? P 5
5
1
188
6
1 128
5
11
188
c) Que siguin dues cartes del mateix número.
Casos favorables 6 en extreure 2 de 4 iguals multiplicat per 12
números diferents: 72.
P5
6
1 128
5
1
188
la
MATEMÀTIQUES 1
d) Que siguin dos reis.
Quin és el percentatge de soldadures defectuoses? Si esco­
llim una peça i és defectuosa en la soldadura, quina és la
probabilitat que l’hagi soldat el robot C?
La probabilitat és la mateixa de l’apartat a).
2. D’una baralla espanyola de 48 cartes en traiem una a l’atzar.
Són independents els esdeveniments “treure un rei” i “treu­
re una espasa”? Raona la resposta.
4
1
p(rei) 5
=
48 12
p(espasa) 5
203
12 1
= ∩ p(rei) · p(espasa) 5 p(rei ∩ espasa)
48 4
Sí, els dos esdeveniments són independents.
1
p(rei ∩ espasa) 5
48
3. Tenim una urna amb 4 boles blanques, 4 de negres i 2 de
vermelles. En traiem 3 consecutivament, i retornem cada ve­
gada la bola a l’urna abans de treure la següent. Calcula la
probabilitat que almenys dues siguin blanques.
Dues boles blanques ens poden sortir: bbx; bxb; xbb.
a) Si anomenem d: esdeveniment defectuós en la soldadura
p(d) 5 p(A) · p(d|A) 1 p(B) · p(d|B) 1 p(C) · p(d|C) 5
5 0,18 · 0,002 1 0,42·0,005 1 0,40·0,001 5 0,00286
b) Aplicant el teorema de Bayes
p(C ) ⋅ p (d | C )
=
p (C ) ⋅ p (d | C ) + p (A) ⋅ p (d | A ) + p (B ) ⋅ p (d | B )
0,40 ⋅ 0,001
0,0004
⋅
=
= 0,1399
0,4 ⋅ 0,001 + 0,18 ⋅ 0,002 + 0,42 ⋅ 0,005 0,00286
p(C | d ) =
jUnitat 16. Distribució
de probabilitat
Tres boles blanques només poden aparèixer d’una manera: bbb
p(2blanques U 3blanques) 5 p(2blanques) 1 p(3blanques) 5
4 4 6
4 4 4
288
64
352
+
=
= 0,352
5 3⋅ · · + · · =
10 10 10 10 10 10 1 000 1 000 1 000
4. Un producte està format per tres parts A, B i C. En el procés
de fabricació s’ha comprovat que la probabilitat que apare­
gui un defecte a A és 0,03, un defecte a B és 0,02 i un de­
fecte a C és 0,01. Si sabem que els tres esdeveniments són
independents, calcula la probabilitat que un producte elegit
a l’atzar no tingui cap dels defectes.
Activitats
1. Llancem una moneda enlaire quatre vegades. Definim la va­
riable aleatòria X com el nombre de cares que surtin.
a) Determina la funció de probabilitat i la funció de distri­
bució de la variable X.
DA: esdeveniment tenir un defecte en A
–
p(DA) 5 0,03 i p (Dc) 5 0,97
1
1
p[X 0] ——; p[X 1] —;
16
4
3
1
p[X 2] —; p[X 3] —;
8
4
DB: esdeveniment tenir un defecte en B
–
p(DB) 5 0,02 i p (Dc) 5 0,98
DC: esdeveniment tenir un defecte en C
–
p(DC) 5 0,01 i p (Dc) 5 0,99
−
−
−
p (DA ∩ DB ∩ DC) 5 0,97 · 0,98 · 0,99 5 0,9411
5. En una cadena de muntatge hi ha una etapa on 3 robots A,
B i C solden peces. La probabilitat que la soldadura sigui
defectuosa i el percentatge de peces que solda ens la dóna
la taula següent:
Robots
A
B
C
Probabilitat de soldadura
defectuosa
0,002
0,005
0,001
Peces que solda
el robot
18 %
42 %
40 %
5
1
p[X 4] ——
16
0 si x 0
1
——
16
F(x)
si 0 x 1
5
——
16
si 1 x 2
11
——
16
si 2 x 3
15
——
16
si 3 x 4
1
si x 4
LA
204
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
b) Representa gràficament la funció de probabilitat i la fun­
ció de distribució.
1
6
1
5
2—— 3——
x p 1——
36
12
36
i
i1
i
7
1
11
1
1
4—— 5— 6—— —— —
36
4
36
36
6
5
7
5
11
161
—— — — —— —— 4,472
12
9
4
6
36
(
3. La funció de probabilitat d’una variable alea­tòria discreta
està expressada en aquesta taula:
xi
2
1
0
2
4
pi
1
—
8
1
—
6
1
—
8
1
—
4
1
—
3
a) Determina la funció de distribució i representa-la gràfi­
cament.
c) Calcula l’esperança matemàtica i la desviació típica.
5
i1
1
3
1
xi pi — 2— 3—
4
8
4
F(x)
1
1
3
3
1
4—— — — — —
16
4
4
4
4
8
—2
4
5
0
si x 2
1
—
8
si 2 x 1
7
——
24
si 1 x 0
5
——
12
si 0 x 2
2
—
3
si 2 x 4
1
si x 4
5
√
i1
x2i pi 2
√
√
1
3
1
1
— 4— 9— 16—— 4
4
8
4
16
1
3
9
———14
4
2
4
√
11
2. En l’experiment aleatori de llançar dos daus enlaire definim
la variable aleatòria X com X(a, b) max(a, b), on (a, b) són
els resultats que mostren els dos daus. Determina la funció
de probabilitat i calcula l’esperança matemàtica.
1
2
3
4
5
6
pi
1
——
36
1
——
12
5
——
36
7
——
36
1
—
4
11
——
36
1
5
1
1
x p 2—8 1—6 0—
8
i1
i
i
1
1
2— 4—
4
3
1
1
1
4
17
— — — — —— 1,416
4
6
2
3
12
(
xi
b) Troba l’esperança, la variància i la desviació típica.
la
MATEMÀTIQUES 1
5
2
x p
2
i1
i
2
i
5. A partir de la variable aleatòria de l’exemple 2:
a) Comprova la segona propietat de la funció de probabilitat
de la distribució binomial.
1
1
1
(2)2— (1)2— 02—
8
6
8
1
1
17
2 — 42— ——
4
3
12
2
6
2
p[X i] p[X 0] p[X 1]
i0
p[X 2] p[X 3] p[X 4]
1
1
16
289
— — 1 —— ——
2
6
3
144
p[X 5] p[X 6]
719
—— 4,99305
144
(
√
719
√719
—— ——— 2,2345
144
12
b) Defineix la funció de distribució.
4. La variable aleatòria discreta uniforme és aquella que pren
valors 1, 2, 3… n, amb probabilitats:
1
pi — i 1, 2, 3... n
n
5
F(x)
0
si 1 x 2
n1
———
n
1
si n 1 x n
si x n
1
n
1
1
1
2— 3— ... n—
x p 1—
n
n
n
n
i1
i
i
1
— (1 2 3 ... n)
n
x p
2
i1
i
i
2
1
1
1
1
n1
12— 22— 32— ... n2— ———
n
n
n
n
2
1
(n 1)2
— (1 4 9 ... n2) ————
n
4
n2 1
1 [n(2n 3) 1]n
(n 1)2
— ———————— ———— ————
n
6
4
12
2
√
n 1
1
———— —
12
2
2
√
n 1
————
3
4 096
———
15 625
si 0 x 1
2 048
———
3 125
si 1 x 2
2 816
———
3 125
si 2 x 3
3 072
———
3 125
si 3 x 4
624
——
625
si 4 x 5
15 624
———
15 625
si 5 x 6
1
si x 0
si x 6
1
a) p[X 5], en B 7, —
3
57 31 32
5
p[X 5]
n
2
5
0
6. Calcula:
1 n1
1 (n 1)n
n1
— ——— — ————— ———
n
2
n
2
2
F(x)
si x 1
1
—
n
...
Calcula la funció de distribució, l’esperan­ça i la desviació
típica d’aquesta variable.
15 625
56
——— —— 1
56
56
205
2
1 4
214
74
28
21—— —— ——— —— ——
5
2
7
6
3 3
3
3
729
2
1
b) p[X 2], en B 5, —
2
p[X 2] p[X 0] p[X 1] p[X 2]
50 12 51 12 52 12
5
5
5
1
1
5
10
16
24
—— —— —— —— —— —
5
5
5
5
5
2
2
2
2
2
2
206
LA
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
2
c) p[X 3], en B 8, —
3
d) Cap creu.
100
1
p[X 100] —— —
100
2
p[X 3] 1 p[X 3]
1 (p[X 0] p[X 1] p[X 2] p[X 3])
1
80 13 81 23 13 82 23 13
8
2
5
3
d) , 2 i , en B 10, —
5
√ npq
√
12
—— 2
5
1
X: «nombre de cares» → B 100, —
2
√
3
—
5
50,04100630,55 0,11277
1 (p[X 0] p[X 1])
1
100
1
—— —
1
2
5
p[X 0] — 0,555 0,05033
0
1
X: «número d’articles defectuosos» → B 10 000, ——
50
p[X 2] 1 p[X 2]
100
5
p[X 4] — 0,4540,55
4
9. El 2 % dels articles produïts en una fàbrica és defectuós. Cal­
cula el nombre esperat i també la desviació tipus d’articles
defectuosos en una comanda de 10 000 unitats.
100
1
—— —
0
2
c) Almenys 2 cares.
0,0503284 0,205889 0,3369094
0,59313
d) Cap nen.
100
1 100
p[X 65] —— —
65
2
100
—— 2100 0,000864
35
100,0911250,3025 0,27565
c) Una sola nena.
b) 35 creus.
5
p[X 3] — 0,4530,552
3
100
1 100
p[X 47] —— —
47
2
100
—— 2100 0,0666
47
5
5
5
— 0,555 — 0,450,554 — 0,4520,553
0
1
2
7. Llancem una moneda enlaire 100 vegades. Estableix la pro­
babilitat d’obtenir:
a) 47 cares.
a) Tres nens i dues nenes.
p[X 2] p[X 0] p[X 1] p[X 2]
3 2
12
2 npq 10—— ——
5 5
5
8. Una família de Tarragona té cinc fills. Suposant que la pro­
babilitat que un dels fills sigui nen és 0,45, calcula la
probabilitat que siguin:
b) Menys nens que nenes.
3
np 10— 6
5
7,889 · 1031
X: «número de nens» → B (5; 0,45)
1
16
112
448
1 —— —— —— ——
8
8
8
3
3
3
38
577
577
5 984
1 —— 1 ——— ———
38
6 561
6 561
2100
6
83 23 13
3
7
100
1
10 000
np 10 000—— ———
50
50
200 articles defectuosos
√
√npq
100
1 (2100 1002100)
1 [2100 (1 100)] 1 1012100
1 49
10 000—— ——
50 50
√
1027
1007
10472
———— ——— ———
2
50
50
50
14 articles defectuosos
la
MATEMÀTIQUES 1
10. Determina el nombre esperat de nenes en una família de
vuit fills, si suposem igualment probable la distribució de
sexes. Quina és la probabilitat que la família tingui el nom­
bre esperat de nenes?
1
X: «nombre de nenes» → B 8, —
2
8
8
1
5
p[X 0] —
0
3
—
4
5
35
243
—— ———
45
1 024
1
—
4
2
3
—
4
3
270
135
1 33
10———— ——— ——
2
3
4 4
1 024
512
5
p[X 3] —
3
1
—
4
3
3
—
4
2
1 32
90
45
10—— —— ——— ——
3
2
4
4
1 024
512
—14 —34
4
5
p[X 4] —
4
1 3
15
5—— — ———
4
4 4
1 024
1
——41 ———
1 024
5
p[X 5] —
5
1
—
4
459
45
504
63
—— —— —— ——
512
512
512
64
F(4) p[X 4]
p[X 0] p[X 1] p[X 2] p[X 3] p[X 4]
63
15
1 023
—— ——— ———
64
1 024
1 024
F(5) p[X 5]
5 1
3 4
p[X 1] — — —
1 4
4
405
1 34
5——— ———
4 44
1 024
5
p[X 2] —
2
F(3) p[X 3] p[X 0] p[X 1] p[X 2] p[X 3]
p — → B 5, —
4
4
b) Defineix les funcions de probabilitat i de distribució.
81
135
459
—— —— ——
128
512
512
7
a) Estudia la distribució binomial corresponent.
1
243
405
648
81
——— ——— ——— ——
1 024
1 024
1 024
1 28
11. Tenim un dau en forma de tetràedre, és a dir, amb quatre
cares que són triangles equilàters. Numerem les cares de l’1
al 4 i considerem la variable aleatòria X: «nombre d’1» per
a n 5.
70
35
35
—— ——
—21 ——
2
2
128
8
p[X 4] —
4
F(1) p[X 1] p[X 0] p[X 1]
F(2) p[X 2] p[X 0] p[X 1] p[X 2]
1
np 8— 4 nenes
2
207
p[X 0] p[X 1] p[X 2] p[X 3]
p[X 4] p[X 5]
1 023
1
1 024
——— ——— ——— 1
1 024
1 024
1 024
d’on s’obté la funció de distribució:
F(x)
5
0
243
———
1 024
81
——
128
459
——
512
63
——
64
1 023
———
1 024
1
si x 0
si 0 x 1
si 1 x 2
si 2 x 3
si 3 x 4
si 4 x 5
si x 5
c) Calcula’n l’esperança i la desviació típica.
1
5
np 5— — 1,25
4
4
5
5
243
F(0) p[X 0] p[X 0] ———
1 024
√ npq
√
1 3
5——
4 4
√15
—— 0,968246
4
208
LA
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
12. El 3 % de les peces elaborades per una màquina és defec­
tuós. Les peces es venen en caixes de 25 unitats cadascu­
na. Quina és la probabilitat que una caixa contingui com a
màxim una peça defectuosa?
3
X: «nombre de peces defectuoses» → B 25, ——
100
p[X 1] p[X 0] p[X 1]
25
97
—— ——
0
100
25
24
25 3
97
—— —— ——
1 100 100
0,4669747 0,3610629 0,82804
13. Una determinada malaltia té un índex de mortalitat del
20 %. Si en un hospital hi ha sis persones afectades, calcula la
probabilitat que almenys la meitat dels pacients sobrevisqui.
4
X: «nombre de persones que sobreviuen» → B 6, —
5
p[X 3] 1 p[X 3]
15. Si X representa una variable aleatòria contínua:
a) Demostra que f(x) és una funció de densitat:
1
—
si 0 x 2
f(x)
2
5
0
si x [0, 2]
1. Per la mateixa definició de f(x), tenim que f(x) 0,
x .
2. L’àrea del recinte que determina la gràfica de f(x) amb
l’eix OX és:
1
1
A (2 0)— 2— 1 u2
2
2
Per 1 i 2 tenim que f(x) és una funció de densitat.
b) Representa-la gràficament.
1 (p[X 0] p[X 1] p[X 2])
1
6
—
0
1
—
5
6
6 4
1
— — —
1 5
5
5
2
4
6
4
1
— — —
2
5
5
1 (0,000064 0,001536 0,01536)
1 0,01696 0,98304
14. El 55 % dels treballadors d’un organisme oficial són dones.
Per llei, el 25 % dels alts càrrecs han de ser dones. Si es trien
5 funcionaris a l’atzar, quina és la probabilitat que 3 siguin
dones? I si la elecció només es fa entre els alts càr­recs?
5
11
9
p[X 3] ——— ——
3
20
20
11
X: «nombre de dones» → B 5, ——
20
3
2
113 92
1 078 110
10—— —— ————
3
2
20 20
205
1 078 110
107 811
————— ———— 0,33691
3 200 000
320 000
5
1
3
p[X 3] —— —
3
4
4
1
X: «nombre de dones» → B 5, —
4
3
2
1 32
90
90
10—— —— —— ———
3
2
5
4 4
4
1 024
45
—— 0,08789
512
16. Per a la funció de densitat de l’exercici anterior, calcula:
a) p[X 1]
1
p[X 1] —
2
1
b) p X —
2
1
3
p X— —
2
4
1
3
p— X —
4
2
3
1
pX — pX —
2
4
1
3
c) p — X —
4
2
3
1
5
———
4
8
8
17. En una variable aleatòria contínua X es defineix la funció:
f(x)
5
kx
si x [0, 5]
0
si x [0, 5]
MATEMÀTIQUES 1
a) Calcula el valor de k per tal que la funció f(x) sigui una
funció de densitat.
la
209
c) p[Z 1,03]
p[Z 1,03] p[Z 1,03] 0,8485
d) p[Z 0,82]
p[Z 0,82] 1 p[Z 0,82]
1 0,7939 0,2061
e) p[1,5 Z 3]
p[1,5 Z 3] p[Z 3] p[Z 1,5]
0,99865 0,9332 0,06545
55k
25k
A ——— ———
2
2
25k
2
——— 1 → k ——
2
25
b) Troba p[2 X 3,5] per al valor de k calculat en l’apartat
anterior.
p[2 X 3,5] p[X 3,5] p[X 2]
7 7
4
———
2——
2 25
25
—————— ————
2
2
49
4
33
—— —— ——
100
25
100
18. Contesta raonadament cadascuna d’aquestes qüestions a
partir de la taula de la distribució normal reduïda:
a) Per què el primer valor de probabilitat que es troba a la
taula és 0,5?
Perquè la gràfica de la funció de densitat de la distribució
normal N(0, 1) és simètrica respecte del valor z 0 i sabem
que p[Z 0] 0,5.
b) Quin és el valor de p[Z 4,5]? I el valor de p[Z 5]?
p[Z 4,5] 1
perquè segons la taula:
p[Z 4] 1
p[Z 5] 0
perquè: p[Z 5] p[Z 5]
i p[Z 5] 1 p[Z 5] 1 1 0
19. Si Z és una variable N(0, 1), calcula:
a) p[Z 2,38]
p[Z 2,38] p[Z 2,38]
1 p[Z 2,38] 1 0,9913
0,0087
b) p[Z 1,64]
p[Z 1,64] 0,9495
f) p[0,79 Z 0,79]
p[0,79 Z 0,79]
2(p[Z 0,79] 0,5)
2(0,7852 0,5) 20,2852 0,5704
20. A partir de la taula, comprova a la distribució N(0, 1) que:
a) A l’interval (1, 1) es troba el 68,26 % del total de la
probabilitat.
p[1 Z 1] 2(p[Z 1] 0,5)
2(0,8413 0,5) 20,3413
0,6826
p[1 Z 1] 0,6826 → 68,26 %
b) A l’interval (2, 2) es troba el 95,44 % del total de la
probabilitat.
p[2 Z 2] 2(p[Z 2] 0,5)
2(0,9772 0,5) 20,4772 0,9544
p[2 Z 2] 0,9544 → 95,44 %
c) L’interval (3, 3) inclou el 99,74 % del total de la proba­
bilitat.
p[3 Z 3] 2(p[Z 3] 0,5)
2(0,9987 0,5) 20,4987 0,9974
p[3 Z 3] 0,9974 → 99,74 %
21. Considerem X una variable N(8, 3). Calcula:
a) p[X 9]
p[X 9] p[Z 0,33] 0,6293
b) p[X 7]
p[X 7] p[Z 0,33]
p[Z 0,33] 0,6293
c) p[6 X 7,5]
p[6 X 7,5]
p[0,67 Z 0,17]
p[0,17 Z 0,67]
p[Z 0,67] p[Z 0,17]
0,7486 0,5675 0,1811
210
LA
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
d) p[7,2 X 8,7]
p[7,2 X 8,7]
p[0,27 Z 0,23]
p[Z 0,23] p[Z 0,27]
p[Z 0,23] (1 p[Z 0,27])
24. Suposem que el pes dels atletes de marató segueix una dis­
tribució normal N(62, 3,4).
X: «pes en kg»
a) Calcula la probabilitat que un atleta pesi més de 65 kg.
p[X 65] p[Z 0,88]
p[Z 0,23] p[Z 0,27] 1
0,5910 0,6064 1 0,1974
22. Tenint en compte que l’àrea que es dóna fa referència a una
distribució normal N(0, 1), determina el valor o els valors
de la variable Z en cadascun dels casos següents:
1 p[Z 0,88] 1 0,8106 0,1894
b) El 70 % dels atletes no supera un determinat pes. Quin és
aquest pes?
p[X x] 0,7
a) L’àrea entre 0 i z és 0,3770.
p[Z z] 0,7 → z 0,52 →
p[0 Z z] 0,3770 →
→ p[Z z] 0,8770 → z 1,16
→ x z 3,40,52 62
63,768 kg
b) L’àrea a l’esquerra de z és 0,8621.
p[Z z] 0,8621 → z 1,09
c) L’àrea entre 1,5 i z és 0,0217.
p[1,5 Z z] 0,0217 →
→ p[Z z] p[Z 1,5] 0,0217
p[Z 1,5] p[Z 1,5]
1 p[Z 1,5] 1 0,9332 0,0668
p[Z z] 0,0668 0,0217 →
→ p[Z z] 0,0885 →
→ p[Z z] 0,0885
p[Z z] 1 0,0885 0,9115 →
→ z 1,35 → z 1,35
25. Calcula la probabilitat d’obtenir entre 4 i 7 creus, ambdues
incloses, en fer 12 llançaments d’una moneda utilitzant:
X: «nombre de creus»
a) La distribució binomial.
1
B 12, —
2
p[4 X 7] p[X 4] p[X 5] p[X 6] p[X 7]
——5 —2 ——6 —2 ——
—2
7
1
12
12
12
12
—— —— —— —— ——
2
4
5
6
7
12
1
—— —
4
2
12
12
1
12
12
1
12
12
1
12
12
23. En una població s’estableixen dos grups A i B. Els quo­
cients intel.lectuals d’ambdós grups es distribueixen segons
N(100, 30) i N(120, 35), respectivament. S’escull un individu
de cada grup de manera alea­tòria i independent. Calcula:
X: «quocient intel.lectual grup A»
Y: «quocient intel.lectual grup B»
a) La probabilitat que l’individu del grup A tingui un quo­
cient intel.lectual superior a 90.
p[X 90] p[Z 0,33]
p[Z 0,33] 0,6293
b) La probabilitat que l’individu del grup B tingui un quo­
cient intel.lectual superior a 90.
p[Y 90] p[Z 0,86]
p[Z 0,86] 0,8051
c) La probabilitat que ambdós tinguin un quocient intel.lec­
tual superior a 90.
1
3 003
3 003
—— (495 792 924 792) ——— ———
12
12
2
2
4 096
0,73315
b) L’aproximació normal de la distribució binomial.
1
1
B 12, — ; np 12— 6;
2
2
√ npq
√
1 1
12—— √3 1,732
2 2
N(6; 1,732)
p[3,5 X 7,5]
p[1,44 Z 0,87]
p[Z 0,87] p[Z 1,44]
p[Z 0,87] p[Z 1,44]
p[Z 0,87] (1 p[Z 1,44])
p[X 90]p[Y 90]
0,8078 (1 0,9251)
0,62930,8051 0,50665
0,8078 0,0749 0,7329
la
MATEMÀTIQUES 1
26. Es llança un dau 180 vegades. Troba la probabilitat d’obtenir
el número 6 entre 29 i 32 vegades (ambdues incloses).
1
B 180, — ; X: «nombre de 6»
6
√
√
1 5
180—— √25 5
6 6
p[X 14,5] p[Z 1,35]
p[Z 1,35] 1 p[Z 1,35]
1 0,9115 0,0885
p[Z 0,5] p[Z 0,3]
p[Z 0,5] (1 p[Z 0,3])
0,6915 (1 0,6179)
0,6915 0,3821 0,3094
√
p[23,5 X 24,5] p[0,86 Z 1,1]
p[Z 1,1] p[Z 0,86]
0,8643 0,8051 0,0592
p[28,5 X 32,5] p[0,3 Z 0,5]
p[Z 0,5] p[Z 0,3]
1 5
600
——
120——
6 6
36
5
— √ 6 4,08
3
N(20; 4,08)
1
np 180— 30;
6
6
√npq
N(30, 5)
√npq
211
29. Troba la probabilitat d’obtenir més de 36 vegades el número
6 en 50 tirades d’un parell de daus no trucats.
(
11
X: «nombre de 6» → B 50, ——
36
11
np 50—— 15,27 ;
36
27. Tirem enlaire 500 vegades una moneda que ha estat trucada,
2
de manera que la probabilitat d’obtenir creu és —. Calcula
5
la probabilitat que el nombre de cares no difereixi de 300:
√npq
√
3 2
500——
5 5
√120 10,95
N(300; 10,95)
a) En més de 10 tirades.
p[289,5 X 310,5]
p[0,96 Z 0,96]
2(p[Z 0,96] 0,5)
2(0,8315 0,5) 20,3315 0,663
p[279,5 X 320,5]
p[1,87 Z 1,87]
2(p[Z 1,87] 0,5)
2(0,9693 0,5) 20,4693 0,9386
28. Quan llancem 120 vegades un dau normal, quina és la pro­
babilitat que la cara 4 surti exactament 24 vegades? I que
surti 14 vegades com a màxim?
√
11 25
50—— —— 3,26
36 36
N(15,27 ; 3,26)
p[X 35,5] p[Z 6,2] 0
30. Es llança 2500 vegades el dau de l’exercici 11. Calcula la
probabilitat d’obtenir el número 3:
1
X: «nombre de 3» → B 2 500, —
4
1
np 2 500— 625;
4
√
1 3
√npq 2 500—— 21,65
4 4
N(625; 21,65)
a) 400 vegades.
b) En més de 20 tirades.
1
X: «nombre de 4» → B 120, —
6
1
np 120— 20;
6
(
3
X: «nombre de cares» → B 500, —
5
3
np 500— 300;
5
√npq
p[399,5 X 400,5]
p[10,42 Z 10,37]
p[10,37 Z 10,42]
p[Z 10,42] p[Z 10,37] 0
b) La meitat de les vegades que es llança.
p[1249,5 X 1250,5]
p[28,84 Z 28,89]
p[Z 28,89] p[Z 28,84] 0
c) Més de 1 000 vegades.
p[X 999,5] p[Z 17,3] 0
LA
212
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
31. Calcula p[X 8] per a una variable que segueix una distribució
1
binomial B 40, — .
5
Compara-ho amb el resultat que s’obté fent ús de l’aproximació
normal. És bona aquesta aproximació? Per què?
40
1 8 4
p[X 8] —— — —
8
5
5
32
0,15598
1
B 40, —
5
1
np 40— 8;
5
√npq
N(8; 2,53)
√
1 4
40—— 2,53
5 5
p[7,5 X 8,5] p[0,2 Z 0,2]
2(p[Z 0,2] 0,5)
2(0,5793 0,5) 20,0793 0,1586
Tot i que n 30, no és molt bona aproximació perquè p 0,2
no és un valor proper a 0,5.
32. La probabilitat que un vaporitzador d’insecticida mati un
mosquit és 0,75. Si dirigim el vaporitzador contra 100 mos­
quits, quina és la probabilitat de matar-ne almenys 75? I de
matar-ne menys de 50?
µ np 1 000 ·
√187,5 13,7
1
4
250 i s √npq
√
1 3
1 000· · ·
4 4
La distribució normal aproximada és: N(250, 13,7)
p[X ≥ 280] p[Z ≥ 2,1 9] 1 ] p[Z ≤ 2,19] 1 ] 0,9857 0,0143
b) p[X ≤ 240]
p[X ≤ 240] p[Z ≤ ] 0,73] p[Z ≥ 0,73] 1 ] p[Z ≤ 0,73]
1 ] 0,7673 0,2327
c) p[245 ≤ X ≤ 265]
p[245 ≤ X ≤ 265] p[] 0,36 ≤ Z ≤ 1,09]
p[Z ≤ 1,09] ] p[Z ≤ ] 0,36 p[Z ≤ 1,09] ] p[ Z ≥ 0,36]
p[Z ≤ 1,09] ] (1 ] p[Z ≤ 0,36]) 0,8621 ] (1 ] 0,6406)
0,8621 ] 0,3594 0,5027
d) p[X 260]
p[259,5 ≤ X ≤ 260,5] p[0,69 ≤ Z ≤ 0,77]
p[Z ≤ 0,77] ] p[Z ≤ 0,69] 0,7794 ] 0,7549 0,0245
34. Per una distribució binomial B(400, 0,4), calcula:
a) p[X ≤ 150]
µ np 400·0,4 160; s √npq √400·0,4·=,6 √96 98
La distribució normal corresponent és: N(160, 9,8)
p[X ≤ 150] p[Z ≤ ] 1,02] p[Z ≥ 1,02] 1 ] p[Z ≤ 1,02]
1 ] 0,8461 0,1539
B(100; 0,75); X: «nombre de mosquits morts»
b) p[140 ≤ X ≤ 175]
p[140 ≤ X ≤ 175] p[] 2,04 ≤ Z ≤ 1,53]
p[Z ≤ 1,53] ] p[Z≤ −2,04] p[Z ≤ 1,53] ] p[Z ≥ 2,04]
p[Z ≤ 1,53] ] (1 ] p[Z ≤ 2,04]) 0,937 ] (1 ] 0,9793)
0,937 ] 0,0207 0,9163
np 1000,75 75;
c) p[X ≤ 165]
√npq √1000,750,25 √ 18,75 4,33
p[164,5 ≤ X ≤ 165,5] p[0,46 ≤ Z ≤ 0,56]
p[Z ≤ 0,56] ] p[Z ≤ 0,46] 0,7123 ] 0,6772 0,0351
N(75; 4,33)
p[X 74,5] p[Z 0,12]
p[Z 0,12] 0,5478
p[X 50,5] p[Z 5,66] 0
a) p[X 280
La probabilitat que surtin 3 cares en llançar quatre monedes és
p4
2 4.
1
4
1
La variable aleatòria X definida segueix una distribució binomial
B 1 000,
1
4
, d’on:
35. Troba la probabilitat que una variable discreta prengui va­
lors entre 380 i 420 en una distribució binomial B(n, p), per
2
n 600 i p .
3
µ np 600 ·
2
3
√133,3 11,5
(
33. En l’experiment aleatori E: «llançar quatre monedes a la ve­
gada», considera la variable X: «que surtin 3 cares». Realit­
zant 1 000 vegades l’experiment i cal­culant prèviament la
probabilitat per a n = 1, calcu­la aproximant per una distribu­
ció normal:
d) p[X ≥ 180]
p[X ≥ 180] p[Z ≥ 2,04] 1 ] p[Z ≤ 2,04] 1 ] 0,9793 0,0207
400; s √npq
√
2 1
600· ·
3 3
La distribució normal aproximada és: N(400, 11,55)
p[380 ≤ X ≤ 420] p[] 1,73 ≤ Z ≤ 1,73] 2(p[Z ≤ 1,73] ] 0,5)
2(0,9582 ] 0,5) 2·0,4582 0,9164
36. Es llança 300 vegades un dau. Calcula la probabilitat d’obte­
nir un número parell de punts:
a) Menys de 120 vegades.
La probabilitat d’obtenir un nombre parell de punts en llançar un
dau una vegada és:
la
MATEMÀTIQUES 1
p
3
6
1
2
c) Calcula el valor de l de l’interval de confiança per a a 5 2,5 %.
, d’on s’obté:
√
1
1 1
µ np 300· 150; s √npq 300· · √75 8,66
2
2 2
La distribució normal aproximada és: N(150, 8,66)
p[X ≤ 120] p[Z ≤ ] 3,46] p[Z ≥ 3,46] 1 ] p[Z ≤ 3,46]
1 ] 0,99973 0,00027
b) Més de 150 vegades.
p[X ≥ 150] p[Z ≥ 0] 0,5
Punt final
1
Llancem una moneda p q —
200 vegades (n 200) i
2
definim la variable X: «nombre de cares».
1
X: «nombre de cares» → B 200, —
2
1
np 200— 100
2
N(100; 7,07)
√
√npq
2,5 % → p[X 100 2] 0,9875
per a 2 z2
p[Z z2] 0,9875 →
→ z2 2,24 →
→ 2 7,072,24 15,84
Activitats finals
c) Exactament 140 vegades.
p[139,5 ≤ X ≤ 140,5] p [] 1,21 ≤ Z ≤ ] 1,09]
p[1,09 ≤ Z ≤ 1,21] p[Z ≤ 1,21] ] p[Z ≤ 1,09]
0,8869 ] 0,8621 0,0248
213
1 1
200—— 7,07
2 2
1. Troba la probabilitat d’obtenir:
a) Dos èxits mitjançant la distribució
1
B 4, — .
3
X: «nombre d’èxits»
4
1 2 2
—
p[X 2] — —
2
3
3
1 22
24
8
8
6—— —— — ——
2
2
4
3
3 3
3
3
27
1
b) Més de tres èxits mitjançant la distribució B 6, — .
2
p[X 3]
p[X 4] p[X 5] p[X 6]
—12 —65 —12 —66 —12
1
22
11
11
— (15 6 1) —— —— ——
2
2
2
32
1
c) Menys de dos fracassos mitjançant la distribució B4, —.
4
6
—
4
6
6
6
6
6
a) Quin serà el risc per a un interval de confiança d’amplitud
2l 20?
2
5
p[X 2] p[X 3] p[X 4]
2 20 → 10
p[90 X 110] p[1,41 Z 1,41]
2(p[Z 1,41] 0,5) 2(0,9207 0,5)
20,4207 0,8414 →
→ 1 0,8414 0,1586
d’on tenim que 15,86%.
b) Si fem una predicció amb un risc del 5 %, quin serà l’interval
de confiança?
5 % → p[100 1 X 100 1]
—14 —34 —44 —14
4
—
3
3
4
1 3
1
12
1
4—— — —— —
3
4
4
4 4
4
4
44
13
13
—— ——
44
256
2
2. Un equip A té una probabilitat p — de guanyar un partit.
3
Si l’equip juga 6 partits, calcula la probabilitat que:
0,95 per a 1 z1
p[X 100 1] 0,975
2
X: «nombre de partits guanyats» → B 6, —
3
p[Z z1] 0,975 →
a) Guanyi dos partits.
→ z1 1,96 →
→ 1 7,071,96 13,86
L’interval de confiança és:
(86,14; 113,86)
6
2 2 1 4
p[X 2] — — —
2
3
3
22 1
60
20
20
15—— —— —— ——
32 34
36
35
243
LA
214
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
4 possibles respostes, de les quals, només una és correcta i
se suposa que cada pregunta es contesta a l’atzar.
b) Perdi més de la meitat dels partits.
p[X 3]
6
—
0
1 6
6
2
1 5
— — — —
3
1
3
3
5. Se sap que un determinat medicament millora els símptomes
d’una malaltia en dos de cada tres pacients. Si administrem
aquest medicament a set malalts, calcula la probabilitat que:
X: «nombre de persones que milloren amb el medicament» →
2
→ B 7, —
3
—23 —13
6
—
2
2
4
1
12
60
73
73
— —— —— —— ——
6
6
6
6
3
3
3
3
729
3. Llancem 10 daus alhora. Definim la variable aleatòria X:
«nombre de daus en què s’obté la cara 1». Calcula:
1
B 10, —
6
a) Millorin quatre persones.
—32 —31
7
p[X 4] —
4
a) p[X 3]
1
B 10, — ; per X: «nombre de respostes correctes»
4
1
np 10— 2,5 respostes correctes
4
p[X 0] p[X 1] p[X 2]
1
—
6
3
5 7
—
6
560
——— 0,25606
2187
b) Millorin tres persones com a mínim.
1 57
120—— 0,15505
6 3 67
p[X 3] 1 p[X 3]
1 (p[X 0] p[X 1]
p[X 2])
b) p[X 7]
p[X 7] p[X 7]
p[X 8] p[X 9] p[X 10]
—61 —65 —108 —61 —65
10
1
5
10
1
— — — — —
9
6
6
10
6
10
—
7
7
3
8
9
2
10
0,000248 0,0000186 0,0000008
0,00000002 0,0002674
p[X 2] p[X 3] p[X 4]
10
—
0
5
—
6
10
1
5 9
— — —
1
6
6
10
—61 —65 —103 —61 —65
10
—
2
2
8
3
7
10
—
4
1
—
6
4
5 6
—
6
0,1615056 0,3230112 0,29071
0,1550454 0,0542659 0,98454
4. Determina el nombre esperat de respostes correctes en un
examen tipus test de 10 preguntes. Cada pregunta consta de
6
2
5
1 (0,0004572 0,0064015 0,0384088)
1 0,0452675 0,95473
c) Millorin les set persones.
p[X 5] p[X 0] p[X 1]
—70 —13 —71 —23 —13
7
2
1
— — —
2
3
3
7
1
c) p[X 5]
3
24 1
3524
35—— ————
34 33
37
10
p[X 3] —
3
4
—23 0,05853
7
p[X 7] —
7
7
6. Estudis recents han confirmat que el 70 % dels portadors del
virus de la SIDA ha consumit algun tipus de droga. A la sala
d’espera d’una consulta especialitzada en aquesta malaltia
s’hi troben, en un cert moment, sis persones portadores del
virus. Determina la probabilitat que cap de les sis persones
hagi consumit drogues.
X: «nombre de persones que han consumit droga»
B(6; 0,7)
6
p[X 0] — 0,36 0,000729
0
7. Se sap que només el 5 % de les persones que visiten un logo­
peda són de classe social baixa. Si a la consulta d’un logopeda
hi ha cinc persones, troba la probabilitat que:
X: « nombre de persones de classe social baixa»
B(5; 0,05)
la
MATEMÀTIQUES 1
a) Cap sigui de classe social baixa.
5
p[X 0]
0,955 0,773781
0
b) Almenys dues no siguin de classe social baixa.
a) Entre 60 i 75 kg.
p[60 X 75] p[3,33 Z 1,67]
p[Z 1,67] p[Z 3,33]
p[Z 1,67] p[Z 3,33]
p[Z 1,67] (1 p[Z 3,33])
0,9525 (1 0,99957)
0,9525 0,00043 0,95207
p[X 3] 1 p[X 3]
1 (p[X 4] p[X 5])
1
45 0,05 0,95 55 0,05
4
5
1 (0,0000297 0,0000003)
1 0,0000300 0,99997
8. Sigui X una variable aleatòria contínua que segueix una dis­
tribució normal N(, ). Determina:
3
p — X 2
2
3
p— Z 2
2
5000,95207 476 persones pesen entre 60 i 75 kg.
b) Més de 90 kg.
p[X 90] p[Z 6,67] 0
5000 0 → cap persona pesa més de 90 kg.
c) Menys de 64 kg.
3
p — X 2
2
p[Z 2] p[Z 1,5]
p[Z 2] p[Z 1,5] p[Z 2] (1 p[Z 1,5])
0,9772 (1 0,9332) 0,9772 0,0668
0,9104
p[X 64] p[Z 2] p[Z 2]
1 p[Z 2] 1 0,9772 0,0228
5000,0228 11 persones pesen menys de 64 kg.
13. La nota mitjana de les proves d’accés a una facultat va ser
de 5,8 amb una desviació típica d’1,75. Si van ser admesos
tots els estudiants amb una nota superior a 6 i considerant
que la distribució és normal:
X: «notes» → N(5,8; 1,75)
a) Quin va ser el percentatge d’estudiants admesos?
p[X 6] p[Z 0,11]
1 p[Z 0,11]
9. Demostra que el 99,74 % del total de l’àrea de recinte que
determina la funció de densitat amb l’eix OX en una distri­
bució normal N(, ) es troba a l’interval:
( 3, 3)
p[ 3 X 3] p[3 Z 3]
2(p[Z 3] 0,5) 2(0,9987 0,5)
20,4987 0,9974 → 99,74 %
10. Troba la probabilitat que una variable cotínua prengui valors
compresos entre 32 i 40 en una distribució N(50, 5).
p[32 X 40] p[3,6 Z 2]
p[2 Z 3,6] p[Z 3,6] p[Z 2]
0,99984 0,9772 0,02264
11. La durada de l’embaràs de les dones segueix una distribució
normal, amb una mitjana de 266 dies i una desviació tipus
de 16 dies. Calcula el percentatge d’embarassos amb una
durada màxima de 244 dies.
X:«durada de l’embaràs en dies» → N(266, 16)
p[X 244] p[Z 1,38] p[Z 1,38]
1 p[Z 1,38] 1 0,9162 0,0838
El 8,38 % d’embarassos.
12. La mitjana de pes de 500 persones és 70 kg i la desviació
típica, 3 kg. Suposant que el pes es distribueix normalment,
determina el nombre de persones que pesa:
X: «pes en kg» → N(70, 3)
215
1 0,5438 0,4562 → 45,62 %
b) Quina és la probabilitat que exactament quatre de cada
deu estudiants fossin admesos?
B(10; 0,4562); Y: «nombre d’estudiants admesos»
p[Y 4]
104 0,4562 0,5438
4
6
0,23522
c) Si haguessin admès el 55 % dels estudiants, quina hauria
estat la nota de tall en aquesta facultat?
p[X x] 0,55 → p[Z z] 0,55 →
→ p[Z z] 0,55 → z 0,13
z 0,13 → x z
1,75(0,13) 5,8 5,57
14. La data de caducitat d’un medicament és el 31 de desembre
d’un determinat any. Sabem que, després d’aquesta data,
l’efectivitat del medicament segueix una distribució normal
la mitjana de la qual és de 300 dies i la desviació típica, de
100 dies.
X: « dies que passen de la data de caducitat» → N(300, 100)
a) Calcula la probabilitat que no sigui efectiu el 31 de desem­
bre de l’any següent.
p[X 365] p[Z 0,65] 0,7422
LA
216
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
b) Quin dia s’haurà de consumir si volem tenir un 80 % de
probabilitat que sigui efectiu?
p[X x] 0,8 → p[Z z] 0,8 →
→ p[Z z] 0,8 → z 0,84
b) L’aproximació normal a la binomial.
np 80,35 2,8
√ npq √80,350,65 1,35
B(8; 0,35) → N(2,8; 1,35)
z 0,84 → x z
100(0,84) 300 216 dies
216 dies després de la data de caducitat.
p[2,5 X 5,5] p[0,22 Z 2]
p[Z 2] p[Z 0,22]
p[Z 2] p[Z 0,22]
p[Z 2] (1 p[Z 0,22])
0,9772 (1 0,5871)
0,9772 0,4129 0,5643
15. En un estadi esportiu es volen instal.lar focus per il.luminar
el terreny de joc. El temps de funcionament dels focus se­
gueix una distribució normal, amb una mitjana de 40 hores
i una desviació típica de 4 hores.
X: «temps de funcionament dels focus en hores» → N(40, 4)
a) Si escollim un focus a l’atzar, quina és la probabilitat que
il.lumini un mínim de 30 hores?
p[X 30] p[Z 2,5]
p[Z 2,5] 0,9938
b) Si es compren 1 500 focus, quants podem esperar que
funcionin 30 hores com a mínim?
18. El nombre de fulls que empaqueta una màquina segueix una
distribució normal, amb una mitjana de 1000 fulls i una
desviació típica de 10 fulls. Un paquet de fulls s’accepta si
en té entre 995 i 1005. Es demana:
X: «nombre de fulls» → N(1000, 10)
a) La probabilitat que un paquet sigui acceptat.
p[995 X 1005]
p[0,5 Z 0,5]
2(p[Z 0,5] 0,5)
2(0,6915 0,5) 20,1915 0,383
1 5000,9938 1 490,7 1 491 focus
16. Per aprovar unes oposicions es necessita obtenir en una pro­
va 100 punts com a mínim. Sabem que la distribució dels
punts obtinguts és normal, amb una mitjana de 110 punts i
una desviació típica de 15 punts.
X: «nombre de punts obtinguts» → N(110, 15)
b) La probabilitat que exactament dos paquets de cada deu
siguin acceptats.
B(10; 0,383); Y: «nombre de paquets acceptats»
a) Quina és la probabilitat que aprovi un opositor?
p[X 100] p[Z 0,67]
p[Y 2]
p[Z 0,67] 0,7486
b) Si es presenten 1 000 opositors i només es disposa de 300
places, quants punts s’hauran d’aconseguir per gua­
nyar
una d’aquestes places?
p[X x] 0,65 → p[Z z] 0,65 →
→ p[Z z] 0,65 → z 0,39
z 0,39 → x z
10(0,39) 1 000 996 fulls
x z
150,52 110 117,8 punts
17. El percentatge d’espanyols amb estudis mitjans és del 35 %.
Si triem vuit persones a l’atzar, calcula la probabilitat que en­
tre 3 i 5 (ambdós inclosos) tinguin estudis mitjans, aplicant:
X: «nombre d’espanyols que tenen estudis mitjans»
(
3 0,35 0,65 4 0,35 0,65 5 0,35 0,65
5
4
4
1
np 100— 16,6
6
p[3 X 5]
p[X 3] p[X 4] p[X 5]
3
X: «nombre de vegades que surt el 5»
B(8; 0,35)
19. Es llança 100 vegades un dau. Calcula la probabilitat d’obtenir
el número 5:
1
B 100, —
6
a) La distribució binomial.
8
8
c) Si el 65 % dels paquets té més d’un determinat nombre
de fulls, quants fulls té cadascun d’aquests paquets?
→ p[Z z] 0,7 → z 0,52
8
2
0,13864
p[X x] 0,3 → p[Z z] 0,3 →
8
102 0,383 0,617
5
√
1 5
100—— 3,73
6 6
(
0,2785858 0,1875097 0,0807734 0,5468689
3
√ npq
N(16,6 ; 3,73)
6
la
MATEMÀTIQUES 1
a) Menys de 18 vegades.
a) La nota mitjana de l’examen.
p[X 18,5] p[Z 0,49] 0,6879
p[Z z1] 0,175 →
→ p[Z z1] 0,825 → z1 0,93
b) Més de 14 vegades.
p[Z z2] 0,157 →
p[X 13,5] p[Z 0,85]
p[Z 0,85] 0,8023
→ p[Z z2] 0,843 →
→ z2 1,01 → z2 1,01
c) Exactament 20 vegades.
p[19,5 X 20,5]
p[0,76 Z 1,03]
p[Z 1,03] p[Z 0,76]
0,8485 0,7764 0,0721
20. El temps que es necessita perquè una ambulància arribi a
l’hora a un hospital es distribueix normalment amb una mi­
tjana de 12 minuts i una desviació típica de 3 minuts.
X: «temps que necessita l’ambulància» → N(12,3)
a) Determina la probabilitat que el temps que trigui a arribar
es trobi entre 10 i 19 minuts.
p[10 X 19] p[0,67 Z 2,33]
p[Z 2,33] p[Z 0,67]
p[Z 2,33] p[Z 0,67]
p[Z 2,33] (1 p[Z 0,67])
0,9901 (1 0,7486)
0,9901 0,2514 0,7387
b) Calcula el temps en minuts per al qual la probabilitat que
l’ambulància es retardi sigui del 15 %.
p[X x] 0,15 → p[Z z] 0,15 →
→ p[Z z] 0,85 → z 1,04
z 1,04 → x z
3(1,04) 12 8,88 minuts
21. La mitjana del pes dels habitants d’una ciutat és de 65 kg,
amb una desviació típica de 5 kg. Suposant una distribució
normal dels pesos, és zero la probabilitat que en escollir
una persona a l’atzar pesi més de 100 kg? Justifica’n la res­
posta.
X: «pes en kg» → N(65, 5)
p[X 100] p[Z 7] 0. Sí, és zero.
6
7
0,93 ———
5
1,01 ———
7
———
0,93
5
———
1,01
6
d’on s’obté:
7
5
——— ——— → 6,04
0,93
1,01
b) El percentatge d’alumnes que van obtenir una nota compresa
entre 5 i 7 punts.
p[5 X 7] p[X 7] p[X 5]
1 p[X 7] p[X 5]
1 0,175 0,157 0,668
23. Llancem una moneda 50 vegades. Troba la probabilitat que
el nombre de cares que obtinguem es trobi entre 12 i 16
(ambdues incloses). Utilitza:
X: «nombre de cares»
a) La distribució binomial corresponent.
1
B 50, —
2
p[12 X 16]
p[X 12] p[X 13] p[X 14] p[X 15] p[X 16]
50
1
50
1
50
1
—— —— ——
14
2
15
2
16
2
50
—
12
1
—
2
50
—
13
50
50
1
—
2
50
0,00763
22. Se sap que les notes d’un determinat examen segueixen una
distribució normal. El 17,5 % dels alumnes que s’han exami­
nat ha obtingut una nota que supera els 7 punts, mentre que
la nota del 15,7 % no arriba als 5 punts. Calcula:
X: «notes» → N(, )
217
b) L’aproximació normal a la binomial.
1
np 50— 25
2
p[X 7] 0,175
√ npq
p[X 5] 0,157
N(25; 3,54)
√
1 1
50—— 3,54
2 2
50
50
218
LA
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
p[11,5 X 16,5]
p[3,81 Z 2,4]
p[2,4 Z 3,81]
p[Z 3,81] p[Z 2,4]
0,99993 0,9918 0,00813
24. Suposem una distribució normal N(50, ) en què
p[X 70] 0,0228. Determina el valor de i calcula p[X 45].
p[X 70] 0,0228
p[Z z] 0,0228 → p[Z z] 0,9772 →
→ z2
70 50
70 50
2 ———— → ———— 10
2
N(50, 10)
p[X 45] p[Z 0,5] p[Z 0,5]
1 p[Z 0,5] 1 0,6915 0,3085
25. Dues variables aleatòries contínues X i Y segueixen una
distribució normal la mitjana de la qual és zero. A més,
p[X 2] p[Y 3] 0,1587. Calcula’n les variàncies
corresponents.
0 en ambdues.
p[X 2] 0,1587
p[Z z] 0,1587 → p[Z z] 0,8413 →
→ z1
p[Y 3] 0,1587
2
1 — → 1 2 → 12 4, de la variable X
1
3
1 — → 2 3 → 22 9, de la variable Y
2
Avaluació
1. Quina diferència hi ha entre variable estadística i variable
aleatòria? Quines condicions ha de complir una distribució
perquè segueixi el model binomial?
Resposta oberta.
2. Tenim una moneda trucada de manera que la probabilitat
de treure cara és quatre vegades la de treure creu. Tirem 6
vegades la moneda. Calcula la probabilitat de:
a) Treure dues vegades creu.
b) Treure com a màxim dues vegades creu.
a) p[x 5 2] 5 0,24576
b) p[x ≤ 2] 5 0,90112
3. De 1 000 mesures de talles se’n va obtenir una mitjana de
165 cm i una desviació típica de 8 cm. Se suposa que la
distribució és normal i es demana:
a) Quantes mesures són més petites de 157 cm?
b) Quantes estan entre 167 i 181 cm?
a) 1 000·p [x ≤ 157] 5 1 000 · 0,1587 ≈ 159
b) 1 000· p[167 ≤ x ≤ 181] 5 1 000 · 0,3785 5 378
4. En un gran estadi esportiu es volen instal·lar focus per
il·luminar el camp de joc. El subministrador assegura que
el temps de vida dels focus segueix, aproximadament, una
distribució normal amb mitjana de 40 h i desviació tipus
de 4 h.
a) Escollim un focus a l’atzar. Quina és la probabilitat que
duri com a mínim 30 h?
b) Si es compren 1 500 focus, quants es pot esperar que
durin com a mínim 30 h?
c) Si es comprova que només 1 400 focus dels 1 500 com­
prats duren més de 30 h, és cert el que assegura el sub­
ministrador?
a) p[x ≥ 30] 5 0,9938
b) 1 500 · 0,9938 5 1 490,7. És a dir, aproximadament 1 491
focus.
c) El percentatge de focus que no funcionen desprès de 30 h és
1 400
= 0,9333.
1 500
Busquem a les taules de la normal quantes hores de vida
tindria una bombeta amb aquesta probabilitat:
p[z ≥ –zo] 5 p[z ≤ zo] 5 0,9333 → zo5 1,50 →
→
30 − X
= −1,5 → X 5 36 hores. Per tant, la mitjana és
4
de 36 hores de durada i no de 40 hores, com diu el fabricant.
