ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA
DE CHIMBORAZO
FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA
ESCUELA DE INGENIERÍA MECÁNICA
RESISTENCIA DE MATERIALES I
PARCIAL No: 02
INVESTIGACIÓN NO: 02
CARRERA:
INGENIERÍA MECÁNICA
TEMA:
VIBRACIONES CON DOS 2° DE LIBERTAD
DATOS GENERALES:
NOMBRES:
CÓDIGOS:
LUIS HERNÁNDEZ
8064
STALYN ZAMBRANO
797
HERNÁN CALERO
7907
HENRY GARCÍA
8053
DOCENTE:
ING. ISAIAS CAICEDO
FECHA DE REALIZACIÓN:
12/12/2019
SEPTIEMBRE 2019 – FEBRERO 2020
Contenido
1.0.
INTRODUCCIÓN ............................................................................................................. 1
2.0.
IMPORTANCIA ................................................................................................................ 1
3.0.
OBJETIVOS ...................................................................................................................... 2
3.1.
GENERAL ..................................................................................................................... 2
3.2.
ESPECIFICOS ............................................................................................................... 2
MARCO TEÓRICO ........................................................................................................... 3
4.0.
4.1.
VIBRACIONES DE 2 GRADOS DE LIBERTAD .......................................................... 3
4.2.
VIBRACIONES LIBRES ............................................................................................... 4
4.2.1.
MOVIMIENTO ARMÓNICO ................................................................................ 4
4.2.2.
VIBRACIÓN LIBRE NO AMORTIGUADA. ......................................................... 5
4.3. ECUACIONES DE MOVIMIENTO PARA VIBRACIONES DE 2 GRADOS DE
LIBERTAD ............................................................................................................................... 7
4.4.
MÉTODO PARA LA SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE MOVIMIENTO .................. 7
4.4.1.
MÉTODO DE LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA........................................... 8
4.5.
ANÁLISIS MODAL. ..................................................................................................... 9
4.6.
VIBRACIONES FORZADAS ...................................................................................... 13
4.6.1.
TIPOS DE VIBRACIONES FORZADAS ............................................................. 13
4.6.2.
VIBRACIONES FORZADAS CON DOS GRADOS DE LIBERTAD .................. 14
4.6.3.
ECUACIONES DE MOVIMIENTO PARA VIBRACIÓN FORZADA ................. 14
4.7.
5.0.
INSTRUMENTOS DE MEDICION DE LAS VIBRACIONES .................................... 16
4.7.1.
TRANSDUCTOR ................................................................................................. 16
4.7.2.
TRANSDUCTOR DE DESPLAZAMIENTO O SONDA DE PROXIMIDAD ...... 17
4.7.3.
TRANSDUCTOR SÍSMICO DE VELOCIDAD O SONDA DE VELOCIDAD .... 17
4.7.4.
TRANSDUCTOR PIEZOELÉCTRICO O ACELERÓMETRO............................. 18
4.7.5.
VIBRÓMETROS DE VALOR GLOBAL ............................................................. 18
BIBLIOGRAFIA.............................................................................................................. 18
Ilustración 1Ejemplos de sistemas de 2 grados de libertad .............................................................. 3
Ilustración 2 Ejemplo de movimiento armónico.............................................................................. 4
Ilustración 3 Ejemplo de movimiento armónico sin considerar el centroide .................................... 5
Ilustración 4 Ejemplo típico de un sistema libre no amortiguado..................................................... 5
Ilustración 5 sistema de vibraciones libres de 2 grados ................................................................... 5
Ilustración 6Sistema de resorte-masa-amortiguador de dos grados de libertad. ............................. 8
1.0. INTRODUCCIÓN
Las vibraciones están presentes en todos los sistemas ya sean mecánicos o estructurales con los que
convivimos día a día y estos no solo con un grado de libertad ya que esto se da cuando existen varios
solidos rígidos unidos por elementos elásticos, en estos casos a excepción de condiciones de
movimiento específicos su estudio del comportamiento no bastara con modelos tan simples como los
de un grado de libertad.
Para unos sistemas serán suficientes modelos de varios grados de libertad, mientras que para otros los
modelos deben tener cientos de ellos, o incluso miles. La complejidad del modelo necesario
dependerá de la complejidad de la geometría y las cargas aplicadas y de las frecuencias de estas
últimas. El comportamiento de los sistemas lineales con un número finito de grados de libertad puede
representarse mediante un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden. El número
de ecuaciones será igual al de grados de libertad del sistema.
En el caso de vibraciones libres, se tendrá un sistema de ecuaciones homogéneas, de cuya solución
se obtendrá un número de frecuencias naturales igual al de grados de libertad del sistema mecánico.
Los de N grados de libertad tienden a vibrar libremente a las frecuencias naturales. A cada una de las
frecuencias naturales el sistema vibrará con una deformada determinada. A esas deformadas se les
denomina modos naturales de vibración. Dependiendo de las condiciones iniciales, el sistema vibrará
a una u otra frecuencia natural, el planteamiento de las ecuaciones del movimiento de los sistemas de
N grados de libertad se puede realizar empleando las mismas técnicas que se han aplicado para los
sistemas de un grado de libertad. En otros casos es más conveniente el uso de los métodos basados
en la dinámica analítica.
2.0. IMPORTANCIA
Se deberá tener en cuenta que es de sumo interés el calculo de estas vibraciones ya que en muchas
situaciones laborales y educativas se presentan los casos que elementos de maquinas y estructurales
vibran a varias fuerzas externas y en ocasiones pueden llegar a entrar en resonancia lo que no solo es
peligroso ya que en tal punto la falla de los elementos es inevitable, lo que lleva a que el estudio de
este tema no solo es aprender a identificar y calcular las vibraciones a las que los elementos de
maquinas y estructurales pueden llegar a estar sometidos.
Es también muy importante poder evitar que los elementos de maquina y estructurales lleguen a entrar
en resonancia, es de suma importancia para un ingeniero poder calcular e identificar las fuerzas que
puede soportar estos elementos y mas si se pueden producir por fuerzas externas y así evitar que la
frecuencia natural de los mismos entren en resonancia, de esta forma se podrán construir tales
elementos de maquina y estructurales de manera que puedan ser capases de soportar estas vibraciones
y ser totalmente seguras en general para cualquier persona o trabajo.
1
3.0. OBJETIVOS
3.1. GENERAL
Comprender las vibraciones con dos grados de libertad como parte de la mecánica de solidos;
indagando en información de referencia bibliográfica, para determinar sus características y
aplicaciones en la ciencia, la industria y la vida diaria.
3.2. ESPECIFICOS
•
Determinar las propiedades físicas y mecánicas de las vibraciones presentes en la naturaleza,
y su relación con la mecánica.
•
Identificar los diferentes principios, ecuaciones matemáticas y antecedentes que rigen el
comportamiento de las vibraciones con dos grados de libertad.
•
Describir la teoría indagada con dos ejercicios de aplicación sobre las vibraciones y su
aplicación en cuerpos mecánicos.
2
4.0. MARCO TEÓRICO
4.1. VIBRACIONES DE 2 GRADOS DE LIBERTAD
Estos sistemas tienes dos coordenadas independientes que describen su movimiento (una coordenada
por cada grado de libertad independiente una de la otra) el numero de grados de libertad usualmente
se podrán determinar por la siguiente formula.
#𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑙𝑖𝑏𝑒𝑟𝑡𝑎𝑑 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 = #𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 × #𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑚𝑜𝑣𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑠𝑎
Por lo general se describirá una coordenada independiente o un grado de libertad por cada masa que
exista en el sistema, y así mismo se tendrán dos ecuaciones de movimiento para cada grado de
libertad, estas ecuaciones por lo general estarán acopladas ya que cada una de las ecuaciones deberá
involucrar todas las coordenadas. Llegado al caso que una solución sea harmónica para cada
coordenada, dichas ecuaciones de movimiento llevarán a una ecuación que permitirá determinar dos
frecuencias naturales para el sistema y en el caso de considerar condiciones iniciales apropiadas todo
el sistema vibrara a estas frecuencias naturales.
Durante la vibración libre de estas frecuencias naturales, sus amplitudes estarán relacionadas de forma
específica y su configuración se denomina modo normal, modo principal o modo natural de vibración.
Estos sistemas de dos grados de libertad tienen dos modos normales de vibración correspondientes a
las frecuencias naturales.
Si se considerara condiciones iniciales arbitrarias, la vibración libre será el resultado de la
superposición de los modos normales de vibración. Si este sistema llegase a vibrar bajo la acción de
una fuerza harmónica externa su vibración resultante será a la frecuencia de esta fuerza aplicada. Bajo
estas condiciones de movimiento harmónico llegara a ocurrir resonancia, cuando la frecuencia
aplicada sea igual a alguna de las frecuencias naturales.
En casos ocasionales existe la posibilidad que las ecuaciones de movimiento de un sistema de dos
grados de libertad no estén acopladas y se podrán resolver de forma independiente, a este conjunto
de coordenadas se las conoce como coordenadas principales. («VI. Sistemas de dos grados de libertad
2» [sin fecha])
Ilustración 1Ejemplos de sistemas de 2 grados de libertad
3
4.2. VIBRACIONES LIBRES
Todos los sistemas que poseen masa y elasticidad son capaces de vibrar libremente, también las
vibraciones pueden darse en la ausencia de fuerzas externas. Por ello es necesario determinar la
frecuencia natural de vibración, y aprender a escribir la ecuación de movimiento y evaluar su
frecuencia natural ya que esta es una función de la masa y la rigidez del sistema.
El amortiguamiento en cantidades moderadas ejerce poca influencia sobre la frecuencia natural del
sistema y puede considerarse despreciable en su determinación ya que se puede considerar
conservativo al sistema y gracias al principio de conservación de la energía ofrece otra aproximación
para el cálculo de la frecuencia natural.
Aunque los sistemas vibratorios generalmente trabajan como sistemas forzados el análisis de sistemas
libres adquiere importancia debido a que uno de los problemas a los que "las maquinas temen" es la
resonancia. Consideremos el caso general en que existe un amortiguamiento, y luego se analizara
para diferentes valores de amortiguamiento incluyendo el despreciable.
4.2.1.
MOVIMIENTO ARMÓNICO
Esto es importante de estudiar ya que es similar con muchos movimientos de sistemas vibratorios,
todo movimiento periódico deberá regirse a.
𝑥 (𝑡) = 𝑋 (𝑡 + 𝑡)
Los movimientos periódicos son repetitivos en un intervalo de tiempo que se los denomina periodos.
Estos también poseen una frecuencia la cual es el número de ciclos por unidad de tiempo y es dada
por el inverso del periodo.
𝐹=
1
𝑇
Ilustración 2 Ejemplo de movimiento armónico
Se puede observar en el ejemplo una partícula (P) en función del ángulo que se muestra, y su máximo
valor denominado amplitud (A). En el caso de no considerar el centroide, el cálculo se lo podrá hacer
de forma sencilla aprovechando el equilibrio estático ya que permanece así en el centro de gravedad
que se encuentra por una línea imaginaria vertical al pivote.
4
Ilustración 3 Ejemplo de movimiento armónico sin considerar el centroide
4.2.2.
VIBRACIÓN LIBRE NO AMORTIGUADA.
Este modelo se lo considera más simple ya que una ecuación matemática denotara su
comportamiento. Es conocido como el modelo típico y la ecuación que determina su comportamiento
se la conoce como la forma canónica de un sistema libre no amortiguado.
Ilustración 4 Ejemplo típico de un sistema libre no amortiguado
Se muestra un sistema de masa (m) y una constante elástica (k), se procederá a realizar un estudio
estático y cinético con el fin de determinar las ecuaciones diferenciales que serán las encargadas de
determinar el movimiento. Se logrará hallar así también la ecuación diferencial que en el tiempo del
sistema determinará la frecuencia natural.(«Introducción, definición y clasificación Monografias.com» [sin fecha])
Análisis de vibración libre de un sistema de dos grados de libertad no amortiguado
Considerando en el sistema mostrado F1(t)= F2(t)= c1= c2= c3= 0 teniendo así un sistema masa y
resorte no amortiguado en vibraciones libres.
Ilustración 5 sistema de vibraciones libres de 2 grados
5
Bajos las condiciones antes mostradas, las ecuaciones diferenciales de movimiento pueden ser
expresadas de la siguiente manera.
𝑚1 𝑥̈ 1 + (𝑘1 + 𝑘2 )𝑥1 − 𝑘2 𝑥2 = 0
𝑚1 𝑥̈ 1 − (𝑘1 + 𝑘2 )𝑥1 − 𝑘2 𝑥2 = 0
El interés que se tiene en este punto es determinar si 𝑚1 y 𝑚2 pueden oscilar harmónicamente con la
misma frecuencia y ángulo de fase, pero con amplitudes diferentes. Si esto se asume se podrá suponer
las siguientes soluciones.
𝑥1 (𝑡) = 𝑥1 cos(𝑤𝑡 + ∅)
𝑥2 (𝑡) = 𝑥2 cos(𝑤𝑡 + ∅)
Donde 𝑥1 y 𝑥2 representan las máximas amplitudes de 𝑥1 (𝑡) y 𝑥2 (𝑡) y ∅ es el ángulo de fase,
reemplazándolas en las ecuaciones diferenciales se obtendrá:
{[(−𝑚1 𝑤 2 ) + (𝑘1 + 𝑘2 )]𝑥1 − 𝑘2 𝑥2 } cos(𝑤𝑡 + ∅) = 0
{−𝑘2 𝑥1 [(−𝑚1 𝑤 2 ) + (𝑘2 + 𝑘3 )]𝑥2 } cos(𝑤𝑡 + ∅) = 0
Estas ecuaciones se deberán satisfacer con cualquier tiempo arbitrario por lo que desaparecerán los
cosenos.
{[(−𝑚1 𝑤 2 ) + (𝑘1 + 𝑘2 )]𝑥1 − 𝑘2 𝑥2 } = 0
{−𝑘2 𝑥1 [(−𝑚1 𝑤 2 ) + (𝑘2 + 𝑘3 )]𝑥2 } = 0
Lo que resulta en un sistema de dos ecuaciones algebraicas que al resolverlas simultáneamente
obtendremos 𝑥1 y 𝑥2 . Para hallar una solución no trivial estas incógnitas deberán ser diferentes de
cero y su determinando se igualará a cero.
(−𝑚1 𝑤 2 ) + (𝑘1 + 𝑘2 )
−𝑘2
𝑑𝑒𝑡[
∗
]=0
2
−𝑘2
(−𝑚2 𝑤 ) + (𝑘2 + 𝑘3 )
(𝑚1 𝑚2 )𝑤 4 − [𝑚2 (𝑘1 + 𝑘2 ) + 𝑚1 (𝑘2 + 𝑘3 )]𝑤 2 + [(𝑘1 + 𝑘2 )(𝑘2 + 𝑘3 ) − 𝑘2 2 ] = 0
Obteniendo así la ecuación característica o ecuación de la frecuencia ya que la resolución de la mismo
nos dará ese dato o valores característicos del sistema. Al resolver dicha ecuación nos generará las
siguientes raíces.
𝑤1 2 , 𝑤2 2 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑎 = 𝑚1 𝑚2
𝑏 = −[𝑚2 (𝑘1 + 𝑘2 ) + 𝑚1 (𝑘2 + 𝑘3 )]
𝑐 = [(𝑘1 + 𝑘2 )(𝑘2 + 𝑘3 ) − 𝑘2 2 ]
Estas soluciones de la ecuación característica muestran que es muy posible que el sistema no tenga
soluciones triviales cuando w sea igual a w1 o w2. Donde estos valores representan las frecuencias
naturales del sistema, los valores 𝑥1 y 𝑥2 deberán ser determinados los cuales dependerán de las
frecuencias naturales.(«VI. Sistemas de dos grados de libertad 2» [sin fecha])
6
4.3. ECUACIONES DE MOVIMIENTO PARA VIBRACIONES DE 2 GRADOS DE LIBERTAD
Considere un sistema de resorte-masa viscosamente amortiguado de dos grados de libertad, como el
que se muestra en la figura 5.5(a). Las coordenadas x_1(t) Y x_2 (t) describen totalmente el
movimiento del sistema. Las cuales definen las posiciones de las masas m_1 y m_2en cualquier
momento t con respecto a las posiciones de equilibrio respectivas.
La fuerza externas F_1 (t) y〖 F〗_2 (t) actúan en las masas m_1 y m_2 respectivamente. Los
diagramas de cuerpo libre de las masas m_1 y m_2 se muestran en la figura 5.5 (b).
La aplicación de la segunda ley de movimiento de Newton a cada una de las masas proporciona las
ecuaciones de movimiento:
Se ve que la ecuación (5.1) contiene términos que implican x_2 (es decir, - c_2 x ̇_2 y -k_2 x_2) en
tanto que la ecuación (5.2) contiene términos que implican x_1 (es decir, -c_2 x ̇_1 y -k_2 x_1). Por
consiguiente, representan un sistema de dos ecuaciones diferenciales acopladas de segundo orden. De
este modo, se puede esperar que el movimiento de la masa m_1 influya en el movimiento de la masa
m_2 y viceversa. Las ecuaciones (5.1) y (5.2) se pueden escribir en forma matricial como:
Donde [m], [c] y [k] se conocen como matrices de masa, amortiguamiento y rigidez, respectivamente,
y se expresa como:
Y x ⃗(t) y f ⃗(t) son los vectores de desplazamiento y fuerza respectivamente y se expresan como:
Se ve que [m], [c] y [k] son matrices de 2 X 2 cuyos elementos son las masas, coeficientes de
amortiguamiento y rigidez conocidos del sistema.
Además, se ve que estas matrices son simétricas, de modo que:
Donde el superíndice T indica la transpuesta de la matriz.
Observe que las ecuaciones de movimiento (5.1) y (5.2) se desacoplan (se vuelven independientes
una de otra) sólo cuando c_2=k_2=0, lo que implica que las dos masas m_1 y m_2 no están
físicamente conectadas. En ese caso, las matrices [m]. [c] y [k] se vuelven diagonales.
La solución de las ecuaciones de movimiento (5.1) y (5.2) con cualesquiera fuerzas arbitrarias f_1 (t)
y〖 f〗_2 (t) es difícil de obtener, sobre todo por el acoplamiento de las variables x_1 (t) y〖 x〗_2
(t). La solución de las ecuaciones (5.1) y (5.2) implica cuatro constantes de integración (dos por cada
ecuación).
Los desplazamientos y velocidades iniciales de las dos masas se suelen especificar como x_1 (t=0)=
〖 x〗_1 (0), x ̇_1 (t=0)= 〖 x ̇〗_1 (0) y x_2 (t=0)= 〖 x〗_2 (0), x ̇_2 (t=0)= 〖 x ̇〗_2 (0).
4.4. MÉTODO PARA LA SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE MOVIMIENTO
Una regla general para determinar el número de grados de libertad es la siguiente: Números de grados
de libertad de un sistema = Número de masas en el sistema × Número de posibles tipos de movimiento
de cada masa
7
4.4.1.
MÉTODO DE LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA
La función de transferencia de una ecuación diferencial indica la relación de la transformada de
Laplace de la función de respuesta (salida) a la transformada de Laplace de la función forzada
(entrada), suponiendo condiciones iniciales cero. Para el sistema de dos grados de libertad que se
muestra en la figura, las ecuaciones de movimiento son las.
Ilustración 6Sistema de resorte-masa-amortiguador de dos grados de libertad.
𝑚1 𝑥̈ 1 + (𝑐1 + 𝑐2 )𝑥̇ 1 − 𝑐2 𝑥̇ 2 + (𝑘1 + 𝑘2 )𝑥1 − 𝑘2 𝑥2 = 𝑓1
𝑚2 𝑥̈ 2 + (𝑐2 + 𝑐3 )𝑥̇ 2 − 𝑐2 𝑥̇ 1 + (𝑘2 + 𝑘3 )𝑥2 − 𝑘2 𝑥1 = 𝑓2
Considerando las transformadas de Laplace de las ecuaciones, y suponiendo condiciones iniciales
cero, obtenemos
𝑚1 𝑠 2 𝑥1 (𝑠) + (𝑐1 + 𝑐2 )𝑠𝑥1 (𝑠) − 𝑐2 𝑠𝑥2 (𝑠) + (𝑘1 + 𝑘2 )𝑥1 (𝑠) − 𝑘2 𝑥2 (𝑠) = 𝐹1 (𝑠)
𝑚2 𝑠 2 𝑥2 (𝑠) + (𝑐2 + 𝑐3 )𝑠𝑥2 (𝑠) − 𝑐2 𝑠𝑥1 (𝑠) + (𝑘2 + 𝑘3 )𝑥2 (𝑠) − 𝑘2 𝑥1 (𝑠) = 𝐹2 (𝑠)
Las ecuaciones se reordenan para obtener
[𝑚1 𝑠 2 + (𝑐1 + 𝑐2 )𝑠 + (𝑘1 + 𝑘2 )]𝑥1 (𝑠) − (𝑐2 𝑠 + 𝑘2 )𝑥2 (𝑠) = 𝐹1 (𝑠)
[𝑚2 𝑠 2 + (𝑐2 + 𝑐3 )𝑠 + (𝑘2 + 𝑘3 )]𝑥2 (𝑠) − (𝑐2 𝑠 + 𝑘2 )𝑥1 (𝑠) = 𝐹2 (𝑠)
Las ecuaciones indican dos ecuaciones algebraicas lineales simultáneas en 𝑥1 (𝑠) y 𝑥2 (𝑠). Éstas se
pueden resolver con la regla de Cramer.
8
𝑋1 (𝑠) =
𝐷1 (𝑠)
𝐷(𝑠)
𝑋2 (𝑠) =
𝐷2 (𝑠)
𝐷(𝑠)
Donde:
𝐷1 (𝑠) = |
𝐹1 (𝑠)
−(𝑐2 𝑠 + 𝑘2 )
|
2
𝐹2 (𝑠) 𝑚2 𝑠 + (𝑐2 + 𝑐3 )𝑠 + (𝑘2 + 𝑘3 )
= [𝑚2 𝑠 2 + (𝑐2 + 𝑐3 )𝑠 + (𝑘2 + 𝑘3 )]𝐹1 (𝑠) + (𝑐2 𝑠 + 𝑘2 )𝐹2 (𝑠)
𝐷2 (𝑠) = |
𝑚1 𝑠 2 + (𝑐1 + 𝑐2 )𝑠 + (𝑘1 + 𝑘2 )
−(𝑐2 𝑠 + 𝑘2 )
𝐹1 (𝑠)
|
𝐹2 (𝑠)
= [𝑚1 𝑠 2 + (𝑐1 + 𝑐2 )𝑠 + (𝑘1 + 𝑘2 )]𝐹2 (𝑠) + (𝑐2 𝑠 + 𝑘2 )𝐹1 (𝑠)
𝑚 𝑠 2 + (𝑐1 + 𝑐2 )𝑠 + (𝑘1 + 𝑘2 )
−(𝑐2 𝑠 + 𝑘2 )
|
𝐷2 (𝑠) = | 1
2
−(𝑐2 𝑠 + 𝑘2 )
𝑚2 𝑠 + (𝑐2 + 𝑐3 )𝑠 + (𝑘2 + 𝑘3 )
= 𝑚1 𝑚2 𝑠 4 + [𝑚2 (𝑐1 + 𝑐2 ) + 𝑚1 (𝑐2 + 𝑐3 )]𝑠 3
+ [𝑚2 (𝑘1 + 𝑘2 ) + 𝑚1 (𝑘2 + 𝑘3 ) + 𝑐1 𝑐2 + 𝑐2 𝑐3 + 𝑐3 𝑐1 ]𝑠 2
+ [(𝑘1 + 𝑘2 )(𝑐2 + 𝑐3 ) + 𝑐1 𝑘2 + 𝑐1 𝑘3 − 𝑐2 𝑘2 + 𝑐2 𝑘3 ]𝑠 + (𝑘1 𝑘2 + 𝑘2 𝑘3 + 𝑘3 𝑘1 )
4.5. ANÁLISIS MODAL.
El análisis modal se utiliza para determinar los modos de vibración de una estructura. Estos modos
son útiles para entender el comportamiento de la estructura. También se puede utilizar como la base
para la superposición modal en respuesta al espectro y casos de análisis modal en la historia del
tiempo.
9
Cuando en un sistema de varios grados de libertad actúan fuerzas externas, el sistema experimenta
vibración forzada, Para un sistema con n coordenadas o grados de libertad, las ecuaciones que rigen
el movimiento son un sistema de n ecuaciones diferenciales ordinarias acopladas de segundo orden.
La solución de estas ecuaciones se complica cuando el grado de libertad (n) del sistema es grande y/o
cuando las funciones forzadas son no periódicas.10 En tales casos, se puede utilizar un método más
conveniente conocido como análisis modal para resolver el problema. En este método se utiliza el
teorema de expansión, y los desplazamientos de las masas se expresan como combinaciones lineales
de los modos normales del sistema. Esta transformación lineal desacopla las ecuaciones de
movimiento de modo que obtenemos un sistema de n ecuaciones diferenciales desacopladas de
segundo orden. La solución de estas ecuaciones, la cual equivale a la solución de las ecuaciones de n
sistemas de un solo grado de libertad, es fácil de obtener. A continuación, consideraremos el
procedimiento de análisis modal
Análisis modal. Las ecuaciones de movimiento de un sistema de varios grados de libertad sometido
a fuerzas externas están dadas por:
[𝑚]𝑥́ + [𝑘]𝑥⃗ = 𝐹́
donde 𝐹⃗ es el vector de fuerzas externas arbitrarias. Para resolver la ecuación mediante análisis modal
primero se tiene que resolver el problema de valor exigen.
𝜔2 [𝑚]𝑥⃗ = [𝑘]𝑥⃗
y encontrar las frecuencias naturales 𝜔1 , 𝜔2 ,…, 𝜔𝑛 y los modos normales correspondientes 𝑥⃗ (1) ,
𝑥⃗ (2) ,…, 𝑥⃗ (𝑛) . De acuerdo con el teorema de expansión, el vector de solución de la ecuación se expresa
como una combinación lineal de los modos normales
𝑥⃗ (𝑡) = 𝑞1 (𝑡)𝑋⃗ (1) + 𝑞2 (𝑡)𝑋⃗ (2) + ⋯ + 𝑞𝑛 (𝑡)𝑋⃗ (𝑛)
donde 𝑞1 (𝑡), 𝑞2 (𝑡), … , 𝑞𝑛 (𝑡) son coordenadas generalizadas dependientes del tiempo, también
conocidas como coordenadas principales o coeficientes de participación modal. Si definimos una
matriz modal [X] en la cual la columna j-ésima es el vector 𝑋⃗ (𝑗) , es decir,
[𝑋] = [𝑋⃗ (1) 𝑋⃗ (2) … 𝑋⃗ (𝑛) ]
10
La ecuación se puede reescribir como:
𝑥⃗ (𝑡) = [𝑋]𝑞⃗(𝑡)
Donde:
𝑞1 (𝑡)
𝑞2 (𝑡)
.
𝑞⃗(𝑡) =
.
.
(𝑞𝑛 (𝑡))
𝑥⃗̈ (𝑡) = [𝑋]𝑞⃗̈(𝑡)
[𝑚][𝑋]𝑞⃗̈ + [𝑘][𝑋]𝑞⃗ = 𝐹⃗
[𝑋]𝑇 [𝑚][𝑋]𝑞⃗̈ + [𝑋]𝑇 [𝑘][𝑋]𝑞⃗ = [𝑋]𝑇 𝐹⃗
La ecuación denota un sistema de ecuaciones diferenciales desacopladas de segundo orden
𝑞̈ 𝑖 (𝑡) + 𝜔𝑖2 𝑞𝑖 (𝑡) = 𝑄𝑖 (𝑡),
𝑖 = 1,2, . . . , 𝑛
Se puede representar el vector de solución 𝑥⃗(𝑡) con sólo los r primeros (r < n) vectores modales (en
lugar de n vectores como en la ecuación):
𝑥⃗ (𝑡) = [𝑋]𝑞⃗(𝑡)
𝑛𝑥1
𝑛𝑥1 𝑟𝑥1
Donde:
𝑞1 (𝑡)
𝑞2 (𝑡)
.
(𝑟)
(1) (2)
[x]=[ 𝑥⃗ 𝑥⃗ … 𝑥⃗ ] 𝑦 𝑞⃗(𝑡) =
.
.
(𝑞𝑛 (𝑡))
11
Los desplazamientos generalizados iniciales 𝑞𝑖 (0) y las velocidades generalizadas iniciales 𝑞𝑖 (0)) se
obtienen con los valores iniciales de los desplazamientos físicos 𝑥𝑖 (0) y las velocidades físicas 𝑥𝑖 (0).
𝑞⃗(0) = [𝑋]𝑇 [𝑚]𝑥⃗(0)
𝑞⃗(0) = [𝑋]𝑇 [𝑚]𝑥⃗(0)
Donde:
𝑞1 (0)
𝑞2 (0)
.
𝑞⃗(0) =
.
.
(𝑞𝑛 (0))
𝑞̇ 1 (0)
𝑞̇ 2 (0)
.
𝑞⃗̇(0) =
.
.
(𝑞̇ 𝑛 (0))
𝑥1 (0)
𝑥2 (0)
.
𝑥⃗(0) =
.
.
(𝑥𝑛 (0))
𝑥̇ 1 (0)
𝑥̇ 2 (0)
.
𝑥⃗̇(0) =
.
.
(𝑥̇ 𝑛 (0))
El análisis modal es una técnica de análisis dinámico de estructuras. Tiene como objetivo la
estimación de propiedades dinámicas como las frecuencias y los modos naturales al igual que el
amortiguamiento. El análisis modal puede ser teórico o experimental. El teórico se basa en técnicas
analíticas o simulaciones. El experimental se basa en ensayos y tiene 4 pasos fundamentales:
Excitación de la estructura; medición mediante acelerómetros; tratamiento digital y análisis de las
señales y aplicación de modelos.
Esta metodología también se utiliza como método monitorización de la vida estructural (SHM).
Cuando una estructura se daña, su rigidez disminuye y eso afecta a sus frecuencias y sus modos
naturales, es decir, afecta a su manera de vibrar. Este cambio es detectable y comparable con un
12
estado de referencia inicial de la estructura libre de daño. Además, mediante técnicas de análisis es
posible detectar la localización e intensidad de los daños, y en el futuro, incluso prever el resto de la
vida en servicio del componente o estructura.
4.6. VIBRACIONES FORZADAS
Una vibración mecánica es el movimiento de una partícula o cuerpo que oscila alrededor de una
posición de equilibrio. La mayoría de las vibraciones en máquinas y estructuras son indeseables
debido al aumento de los esfuerzos y a las pérdidas de energía que las acompañan. Por lo tanto, es
necesario eliminarlas o reducirlas en el mayor grado posible mediante un diseño apropiado. El análisis
de vibraciones se ha vuelto cada vez más importante en los últimos años debido a la tendencia actual
para producir máquinas de más alta velocidad y estructuras más ligeras.
Una característica fundamental de los sistemas excitados por fuerzas externas es que su respuesta está
conformada por un estado transitorio y un estado permanente. El transitorio se debe a la acción
conjunta de la respuesta libre y la respuesta forzada, pero debido a que la respuesta libre es decreciente
en el tiempo, después de alcanzado un cierto tiempo la respuesta del sistema estará únicamente dada
en función de la respuesta forzada.
4.6.1.
TIPOS DE VIBRACIONES FORZADAS
Tanto las vibraciones libres como las forzadas pueden ser amortiguadas, que es el término usado para
indicar que se produce una disipación de energía en el medio. La vibración forzada amortiguada es
un movimiento forzado exteriormente en tanto que se disipa su energía. Cuando parte del movimiento
desaparece después de un período de tiempo, se conoce a esa parte como transitoria.
•Vibraciones forzadas sin amortiguamiento:
son aquellas que no poseen sistema de amortiguamiento de ningún tipo, pero son producidas por
fuerzas externas (taladros neumáticos, cinceles, troqueles, etc.)
•Vibraciones forzadas con amortiguamiento:
Son sistemas que poseen un sistema de amortiguamiento, se producen igualmente por fuerzas
externas, pero son amortiguadas por algún sistema mecánico, hidráulico o neumático (resortes,
suspensión neumática, suspensión hidráulica).
13
4.6.2.
VIBRACIONES FORZADAS CON DOS GRADOS DE LIBERTAD
Se tendrán dos ecuaciones de movimiento para un sistema de dos grados de libertad,
masa (más precisamente, una por cada grado de libertad). Dichas ecuaciones
generalmente están acopladas (cada ecuación involucra todas las coordenadas). Sí
harmónica es supuesta para cada coordenada, la ecuación de movimiento lleva a una
permite determinar dos frecuencias naturales para el sistema.
una por cada
diferenciales
una solución
ecuación que
Aquí si consideramos condiciones iniciales apropiadas, el sistema vibrará a alguna de estas
frecuencias naturales. Durante la vibración libre a alguna de estas frecuencias naturales, las
amplitudes del sistema de dos grados de libertad están relacionadas de una manera específica y la
configuración es llamada modo normal, modo principal, o modo natural de vibración.
Un sistema de dos grados de libertad tiene dos modos normales de vibración que corresponden a las
dos frecuencias naturales. Si por el contrario se considera una excitación inicial arbitraria
(condiciones iniciales arbitrarias), la vibración libre resultante será una superposición de los dos
modos normales de vibración. En tanto, sí el sistema vibra bajo la acción de una fuerza harmónica
externa, la vibración harmónica resultante se da a la frecuencia de la fuerza aplicada. Bajo
movimiento harmónico, ocurre resonancia (las amplitudes alcanzarán un máximo) cuando la
frecuencia de excitación sea igual a alguna de las frecuencias naturales del sistema.
4.6.3.
ECUACIONES DE MOVIMIENTO PARA VIBRACIÓN FORZADA
Considere un sistema masa-resorte-amortiguador de dos grados de libertad, en donde el
amortiguamiento es viscoso.
Aquí el movimiento del sistema está completamente descrito por las coordenadas 𝑥1(𝑡) y 𝑥2(𝑡), las
cuales definen la posición de las masas 𝑚1 y 𝑚2 en cualquier tiempo 𝑡 desde sus respectivas
posiciones de equilibrio.
Las fuerzas externas 𝐹1(𝑡) y 𝐹2(𝑡) actúan en las masa 𝑚1 y 𝑚2 , respectivamente. El diagrama de
cuerpo libre de las masas 𝑚1 y 𝑚2 se muestra a continuación.
14
Aplicando la segunda ley de Newton para cada masa da las ecuaciones diferenciales de movimiento:
Las ecuaciones anteriores también pueden ser obtenidas a partir de la ecuación de Lagrange:
15
En todo caso, las ecuaciones de este sistema de dos grados de libertad están acopladas. Lo anterior
implica que el movimiento de la masa 𝑚1 influenciará el movimiento de la masa 𝑚2, y viceversa.
Las expresiones anteriores pueden ser escritas de forma matricial de la siguiente manera:
Donde 𝑚, 𝑐, 𝑘 son llamadas las matrices de masa, amortiguamiento, y rigidez, de forma respectiva.
Y para la situación estudiada están dadas por:
Y 𝑥 𝑡 es llamado el vector desplazamiento, en tanto que 𝑓 𝑡 es llamado el vector fuerza:
Observe también que las ecuaciones diferenciales se desacoplarían solo cuando 𝑐2 = 𝑘2 = 0, lo que
implica que las dos masas no estarían conectadas. En este caso las matrices de masa,
amortiguamiento, y rigidez sería diagonales. Las soluciones a las ecuaciones de movimiento para las
fuerzas arbitrarias 𝐹1(𝑡) y 𝐹2(𝑡) son difíciles de obtener, principalmente producto del acoplamiento
de las variables 𝑥1(𝑡) y 𝑥2(𝑡) en las ecuaciones.
4.7. INSTRUMENTOS DE MEDICION DE LAS VIBRACIONES
4.7.1.
TRANSDUCTOR
Es el elemento que transforma la vibración mecánica en una señal eléctrica analógica, para ser
procesada, medida y analizada. Atendiendo a su principio constructivo, hay transductores de
vibración de desplazamiento, velocidad y aceleración.
Todos los transductores deben ser precisos a la hora de tomar las lecturas de amplitud. Los
transductores también deben ser muy precisos en la información de frecuencias de la señal mecánica.
Esto es fundamental, debido a que, en muchos defectos mecánicos, la relación entre sus frecuencias
y la frecuencia del eje de giro que se toma como referencia, proporciona al analista la información
precisa para determinar la naturaleza del defecto mecánico que genera la vibración.
16
4.7.2.
TRANSDUCTOR DE DESPLAZAMIENTO O SONDA DE PROXIMIDAD
Las lecturas de velocidad son generalmente las de mayor campo de aplicación, ya que la velocidad
es directamente proporcional al esfuerzo y al desgaste de un sistema mecánico. Pueden ser tomadas
con un sensor sísmico de velocidad, si bien se suele emplear con más continuidad acelerómetros por
su mejor respuesta en frecuencia y menor coste. La señal del acelerómetro es procesada para ser
convertida a unidades de velocidad.
4.7.3.
TRANSDUCTOR SÍSMICO DE VELOCIDAD O SONDA DE VELOCIDAD
Las medidas de desplazamiento son especialmente adecuadas en vibración a baja frecuencia, o cuando
el analista necesita conocer el movimiento completo de un eje determinado. Estas medidas se toman
directamente con transductores de desplazamiento. También es conocido como "transductor de
corriente Eddy" o "Proxímetro".
17
4.7.4.
TRANSDUCTOR PIEZOELÉCTRICO O ACELERÓMETRO
Las lecturas de aceleración son las mejores para analizar fenómenos a altas frecuencias. La
aceleración es el parámetro que ofrece la mejor medida de la fuerza asociada a una fuente particular
de vibración.
Su señal de salida se puede integrar fácilmente una o dos veces para mostrar velocidad o
desplazamiento. La integración no es adecuada para señales con una frecuencia muy bajo, ya que esta
área de nivel de ruido se haya incrementado.
4.7.5.
VIBRÓMETROS DE VALOR GLOBAL
Los vibrómetros son instrumentos que reciben la señal eléctrica de un transductor y la procesan,
llevando a cabo el filtrado e integración, para obtener el valor del nivel global de vibración en
velocidad. La mayoría de ellos están diseñados para tomar medidas según determinadas
normativas de severidad de vibración. Por ejemplo, según la norma ISO 2372 se debe medir el
valor de vibración en velocidad RMS, en un rango de frecuencia entre 10 y 1.000 Hz.
5.0. BIBLIOGRAFIA
•
•
•
•
Introducción, definición y clasificación - Monografias.com. [en línea], [sin fecha].
[Consulta: 22 diciembre 2019]. Disponible en:
https://www.monografias.com/trabajos14/vibraciones/vibraciones.shtml#LIBRE.
VI. Sistemas de dos grados de libertad 2. , [sin fecha]. S.l.:
Becerra, N. (s. f.). Vibraciones forzadas. Recuperado de
https://www.academia.edu/1105860/vibraciones
Clase_6_sistemas_de_dos_grados_de_libertad.pdf.
(s.
f.).
Recuperado
de
https://www.academia.utp.ac.pa/sites/default/files/docente/72/clase_6_sistemas_de_dos_gra
dos_de_libertad.pdf
18
•
•
•
dalmy la rosa. (23:57:39 UTC). Vibraciones forzadas. Ingeniería. Recuperado de
https://es.slideshare.net/dalmylarosa/vibraciones-forzadas
Instrumentos de medida de vibración. (2017, enero 10). Recuperado 14 de diciembre de 2019,
de Power-MI website: https://power-mi.com/es/content/instrumentos-de-medida-devibraci%C3%B3n
Instrumentos Para Medir Vibraciones. (s. f.). Recuperado 14 de diciembre de 2019, de
Prezi.com website: https://prezi.com/e0_hj6nljnog/instrumentos-para-medir-vibraciones/
19
