UNIVERSIDAD PRIVADA DEL NORTE Lauréate International Universities® FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL CURSO: RESISTENCIA DE MATERIALES I TEMA: DEFORMACIONES TRANSVERSALES, LEY GENERALIZADA DE HOOKE, ECUACIONES DE LAMÉ DOCENTE: ING. WILBER M. CHILET CAMA Deformación Transversal ey = - m ex m: coeficiente de deformación transversal o de Poisson ey m=ex Ley de Hooke generalizada PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN O DE INDEPENDENCIA DE EFECTOS: - Efecto de un sistema de fuerzas: suma de efectos de fuerzas por separado -tensiones, deformaciones: independiente orden de aplicación de fuerzas SÓLIDO ELÁSTICO: relación entre componentes de tensor de tensiones y deformaciones Ley de Hooke generalizada (Esfuerzos Triaxiales ex = sx -m( E sy E + sz ) + a.DT + E E ez = Vf -Vi Vi = e = sox sz E -m( ey = sy E + sx sy sx -m( E + E ) + a.DT + E sz ) + a.DT + E soz E Lx (1+ ex ).Ly (1+ ey ).Lz (1+ ez ) -Lx Ly Lz Lx Ly Lz e = ex + ey + ez Invariante lineal de Deformaciones 1 Invariante lineal de Tensiones q= sx + sy + sz 1 soy E Ecuaciones de Lamé Q = sx + sy + sz e = ex + ey + ez e = Q (1 - 2m ) E Cálculo de las Tensiones conociendo las deformaciones snx = sny = snz = m.E.e (1 + m ) (1 - 2 m ) m.E.e (1 + m ) (1 - 2 m ) + + m.E.e (1 + m ) (1 - 2 m ) + E ex (1 + m ) E ey (1 + m ) Módulo volumétrico de un cuerpo sumergido K= E 3·(1 - 2 m ) E ez (1 + m ) ex = ey = ez = -p K Ejemplo 1 La placa de acero que se muestra en la figura tiene 12 mm de espesor, su ancho varía uniformemente desde 50 mm en el lado izquierdo hasta 100mm en el lado derecho, la longitud de la placa es de 450 mm. Si se aplica en cada extremo una fuerza axial de tracción de 5 000 kg, determinar el alargamiento de la placa. Considerar el módulo de elasticidad del acero E = 2,1x10 6 kg / m 2 Solución: Datos: carga aplicada P= 5 000 kg (tracción), espesor e= 12 mm, longitud L=450 mm, ancho menor 50 mm, ancho mayor 100 mm PL Fórmula: DL = AE Solución: teniendo en cuenta la fórmula dada y expresándola en PL ) forma diferencial se tendrá: d (DL) = d ( PL ) , entonces; DL = d (DL) = d ( AE L AE 0 Luego: para expresar de forma explícita la integral anterior y poderla integrar debemos expresar el área del elemento diferencial en función de la variable x, entonces, si “e” es el espesor “y” la a A-a x ( e )[ + 2 ( ) ] altura, el área del elemento diferencial será: A=ey= 2 2 L Donde “a” es el ancho menor y A el ancho mayor, simplificando y reemplazando en la expresión integral tenemos: DL = a Pdx x L 0 E[ 2 + ( A - a) L ]e Reemplazando los datos queda: 9P DL = Ee 45 dx 0 45 + x la misma que dx 1 integrando ( = ln( a + bx) + C ) y reemplazando valores a + bx b resulta: ∆L=0,0124 cm. Resultado: el alargamiento de la placa por acción de las cargas de tracción es: ∆L=0,0124 cm. ∆L=0,0124 cm Ejemplo 2 Un alambre vertical de 5 m de largo y 0.0088 cm2 de área de sección transversal, tiene un módulo de Young E=200 GPa. Un objeto de 2 kg se sujeta a su extremo y alarga el alambre elásticamente. Si ahora se tira de objeto hacia abajo un poco y se suelta, el objeto experimentará un MAS vertical. Encuentre el periodo de vibración. Datos: alambre Lo= 5 m, A= 0.088 cm2, E = 200GPa.; masa m= 2 kg Formulas: Ley de Hooke F = k.DL k= F/ DL y s= Ee F/A =E (DL /L) k= AE/Lo= (8.8x10-7 m2)(2x1011Pa)/(5 m) = 35 kN/m T= 2 (m/k)½ = 2(2/35000) ½ = 0.047 s Ejemplo 3: Una barra de 2m de longitud y 100 x 50 mm de sección, es sometida a una carga axial en sus extremos como indica la figura. Ejercicios Propuestos Ejercicio 1: Ejercicio 2:
