NÚMEROS COMPLEJOS ALUMNO: SANDOVAL CASTRO LUIS ANGEL 19520433 DOCENTE: ARRELLANO GARCÍA YURIDIA INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CHILPANCINGO 23 DE SEPTIMBRE DEL 2019 INDICE. ¿Qué son los números complejos? Página 2 Características de los números complejos. Página 2 Propiedades de los números complejos. Página 3 El plano complejo. Página 4 Historia de los números complejos. Página 4 ¿Para qué sirven los números complejos? Página 5 Bibliografía. Página 6 pág. 1 1. ¿Qué son los números complejos? Los números complejos conforman un grupo de cifras resultantes de la suma entre un número real y uno de tipo imaginario. Un número real, de acuerdo a la definición, es aquel que puede ser expresado por un número entero (4, 15, 2686) o decimal (1,25; 38,1236; 29854,152). En cambio, un número imaginario es aquél cuyo cuadrado es negativo. Están compuestos por toda la extensión de los números reales que conforman el mínimo cuerpo algebraicamente cerrado, esto quiere decir que están formados por todos aquellos números que pueden ser expresados por medio de los números enteros. Los números reales incluyen, además, todos los números conocidos con el nombre de números complejos los cuales incluyen todas las raíces de los polinomios. 2. Características de los números complejos. Entre las principales características que los números complejos poseen, podemos mencionar las siguientes: • En matemáticas constituyen un cuerpo. • Son considerados como puntos en el plano complejo. • Contiene números reales y números imaginarios • La unidad imaginaria de los números complejos se reconoce con la letra i. • Son representados por medio de la letra • El primer componente es representado con la letra a, y pertenece a la parte real, el segundo componente es representado por la letra b, y corresponde a la parte imaginaria. • pág. 2 No son capaces de mantener un orden como los números reales. 3. Propiedades de los números complejos. Los números completos tienen diferentes propiedades, que a continuación se detallan. Propiedad transitiva Si z1=z2 y z2=z3 entonces z1=z3 Propiedades de la suma Se define la suma de dos números complejos z1=a + bi y z2=c + di como (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i Entre las propiedades de la suma tenemos las siguientes: • Propiedad de cierre o cerradura para la suma: Para z1, z2 ∈ C se tiene que z1+z2∈C • Propiedad conmutativa: Para cualesquiera z1, z2 ∈ C se cumple que: z1+z2=z2+z1 • Propiedad asociativa: Para cualesquiera z1, z2, z3∈C se cumple que: (z1+z2) + z3=z1+(z2+z3) • Existencia del elemento neutro para la suma: 0 + 0i, abreviado por 0, es el elemento neutro para la suma. • Existencia del inverso aditivo u opuesto: Todo número complejo z tiene un único inverso aditivo, denotado por −z. Propiedades de la multiplicación Se define el producto de dos números complejos z1= a + bi y z2= c + di como (a + bi)⋅(c + di)=(ab − bd)+(ad + bc) i Entre las propiedades de la multiplicación tenemos las siguientes: • Propiedad de cierre o cerradura para la multiplicación: Para z1, z2∈C se tiene que z1⋅ z2 ∈ C pág. 3 • Propiedad conmutativa: Para cualesquiera z1, z2 ∈ C se cumple que: z1⋅z2=z2⋅z1 • Propiedad asociativa: Para cualesquiera z1, z2, z3∈C se cumple que: (z1⋅z2) ⋅z3=z1⋅(z2⋅z3) • Existencia del elemento neutro para la multiplicación: 1 + 0i, abreviado por 1, es el elemento neutro para la multiplicación. • Existencia del inverso multiplicativo o recíproco: Todo número complejo z, distinta de 0, tiene un único inverso multiplicativo, denotado por z−1 • Propiedad distributiva: Para cualesquiera z1, z2, z3∈C se cumple que: z1⋅(z2+z3) = z1⋅z2+z1⋅z3 4. El plano complejo Para interpretar de manera geométrica los números complejos es necesario valerse de un plano complejo. En el caso de su suma, ésta puede ser relacionada con la de los vectores, mientras que su multiplicación es posible expresarla mediante coordenadas polares, con las siguientes características: * la magnitud de su producto es la multiplicación de las magnitudes de los términos; * el ángulo que va desde el eje real del producto resulta de la suma de los ángulos de los términos. A la hora de representar las posiciones de los polos y los ceros de una función en un plano complejo, a menudo se utilizan los denominados diagramas de Argand. 5. Historia de los números complejos. Ya desde el siglo I antes de Cristo, algunos matemáticos griegos, como Herón de Alejandría, comenzaron a esbozar el concepto de números complejos, ante dificultades para construir una pirámide. Sin embargo, recién en el siglo XVI pág. 4 empezaron a ocupar un lugar importante para la ciencia; en ese momento, un grupo de personas buscaba fórmulas para obtener las raíces exactas de los polinomios de grados 2 y 3. En primer lugar, su interés era dar con las raíces reales de las ecuaciones antes mencionadas; sin embargo, también debieron enfrentarse a las raíces de números negativos. El famoso filósofo, matemático y físico de origen francés Descartes fue quien creó el término de números imaginarios en el siglo XVII, y recién más de 100 años más tarde sería aceptado el concepto de los complejos. Sin embargo, fue necesario que Gauss, científico alemán, lo redescubriera un tiempo después para que éste recibiera la atención que merecía. 6. ¿Para qué sirven los números complejos? Los números reales son incapaces de abarcar todas las raíces del conjunto de números negativos, característica que sí la pueden realizar los números complejos. Esta particularidad permite que los números complejos se utilicen en diferentes campos de las matemáticas, la ingeniería y la física matemática. Esto, porque tienen la capacidad de poder representar la corriente eléctrica y las diferentes ondas electromagnéticas. Son muy utilizados en electrónica y también en el campo de las telecomunicaciones. Son usados para diferentes trabajos algebraicos, en la matemática pura, en la solución de ecuaciones diferenciales, en la rama de la aerodinámica, hidrodinámica y en el electromagnetismo. Son esenciales en la mecánica cuántica. pág. 5 Bibliografía. https://www.euston96.com/numeros-complejos/ https://www.problemasyecuaciones.com/complejos/num eros-complejos-imaginarios-definicion-representacionraiz-negativos-i.html https://definicion.de/numeros-complejos/ http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cursoJava/numerico/c omplejo/complejo.htm pág. 6
