[Escribir texto] GUÍA DE ESTUDIO DE LA ASIGNATURA GRADO FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES II 2ª PARTE | PLAN DE TRABAJO Y ORIENTACIONES PARA SU DESARROLLO 2015-20 16 Esta guía contiene información reservada sólo para los estudiantes de esta asignatura (estudiantes matriculados). Su objetivo es presentarles el plan de trabajo de la asignatura, es decir, lo que se espera de ellos así como proporcionarles orientaciones sobre el estudio de los temas y contenidos de la asignatura que faciliten su comprensión y asimilación y sobre la realización de las actividades o prácticas previstas. Prof. Dr. Ángel Garrido Bullón GRADO EN MATEMATICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES II O.- INTRODUCCIÓN La información que se aporta en esta segunda parte de la Guía equivale al conjunto de orientaciones concernientes al desarrollo de la asignatura que los profesores proporcionan a sus estudiantes en el aula. De esta forma, la guía incluye las orientaciones fundamentales que necesita un estudiante a distancia, es decir, aquellos elementos que se han considerado necesarios para promover un aprendizaje autónomo a distancia y de calidad. Las Matemáticas adquieren cada vez más importancia en la formación de cualquier científico, y en particular, del propio matemático. Para ejercitarse en el tratamiento matemático de los problemas el estudiante necesita enfrentarse a la resolución de una gran cantidad de ejercicios. Los libros propuestos quieren hacer frente a dicha necesidad. El libro de texto describe buena parte del Análisis Matemático necesario para una carrera universitaria de Matemáticas o de otra ciencia aplicada cualquiera Los temas se desarrollan de forma lógica y consistente, requiriendo pocos conocimientos previos de Matemáticas. Los temas y contenidos se distribuyen en tres partes muy bien diferenciadas: Los Extremos Condicionados y el Método de los Multiplicadores de Lagrange (cap. 1), Teoremas de la Función Inversa y de la Función Implícita (cap. 2), Funciones con varias variables (cap. 3), Integrales dobles (cap. 4), Integrales triples (cap. 5), Teorema del Cambio de Variable, con sus aplicaciones a la integral (cap. 6), Integrales Impropias (cap. 7), que siguen una secuenciación coincidente con la del libro de texto. Una característica de dicha obra es el uso constante de ejemplos para ilustrar todos los conceptos y métodos importantes del libro. Además, existe el libro de problemas resueltos que proponemos, y que completa estas múltiples aplicaciones. Algunos de estos ejemplos se usan para mostrar aplicaciones de las Matemáticas en distintos conceptos básicos de Física y de la Computación, que son muy necesarios para el avance de la ciencia. Los ejercicios del final de cada capítulo resultan un elemento muy importante del desarrollo de los temas, y han sido ideados para dar al estudiante un conocimiento operativo del material del texto. Se proporcionan todas las soluciones de todos los ejercicios numéricos. Asimismo, el texto se acompaña de comentarios sobre Historia de las Matemáticas en algunas notas a pie de página. Esto vendrá muy bien para complementar el trabajo sobre la Historia del Cálculo, que el alumno puede preparar como parte importante de su formación matemática. Lógicamente, algunos de los temas reciben un tratamiento más extenso que otros, por su importancia teórico o su aplicabilidad. Para poder aplicar las Matemáticas han de ser entendidas en su generalidad, lo que sólo se puede conseguir a través del análisis de situaciones que se nos plantean en la ciencia. Además, el amplio campo de las Matemáticas no está cubierto suficientemente sólo por los ejemplos concretos, que impiden enfrentarse bien preparado a nuevas y cambiantes situaciones, como las que aparecen en el mundo real. Asimismo, los resultados matemáticos importantes vienen siempre acompañados de su correspondiente y detallada demostración, ya que esta es una pieza clave de la formación matemática. Dado el carácter en buena parte instrumental de las Matemáticas, es muy conveniente presentar abundantes aplicaciones al mundo que nos rodea. Siguiendo estas ideas se han presentado primero en cada capítulo problemas de Matemáticas “puras” o fundamentales, y a continuación, ejemplos proporcionados por las distintas ciencias. En cuanto al libro complementario, este contiene ejercicios y sus soluciones. Éstas van precedidas de las correspondientes explicaciones, con lo que se remite al lector a las partes más importantes de lo dado previamente en el curso o aprendido anteriormente en cursos anteriores. El libro se puede considerar por ello como una especie libro de repaso y apoyo. 1.- PLAN DE TRABAJO Cuando el estudiante accede por primera vez a la UNED, en general, no tiene experiencia de las características especiales de la enseñanza a distancia, ni de cómo debe distribuir su tiempo según sus 2 Ángel Garrido Bullón necesidades y conveniencia. Para facilitar la forma de transmitir los conocimientos adquiridos en su formación es muy conveniente planificar las etapas a seguir desde el principio. Con este objetivo, se incluye en este apartado el plan de actividades a realizar, así como el cronograma previsto para su realización. El plan contempla una descripción ordenada y secuenciada temporalmente de las actividades que tendrá que realizar el estudiante a lo largo del curso, incluyendo el estudio de los distintos temas, la realización de las actividades propuestas o la preparación de los exámenes, de forma que se ajuste convenientemente a los ECTS asignados. Nuestro propósito es ayudar al estudiante a adquirir los conocimientos y competencias reflejados en la guía general para esta asignatura, que tiene asignados 6 ECTS (créditos europeos), teniendo en cuenta que cada uno de ellos corresponde aproximadamente de 25 a 30 horas de trabajo real del estudiante. Es común a todos los estudiantes la necesidad de alcanzar unos objetivos y disponer de un tiempo tasado, aunque cada uno lleve su propio ritmo. Por ello es conveniente personalizar la “hoja de ruta” de cómo debe ir avanzando de acuerdo con su propia situación. El cuadro siguiente muestra un cronograma que marca unas pautas adecuadas para que el alumno medio alcance los objetivos propuestos. SEMANAS Primera BLOQUES TEMÁTICOS Los Extremos Condicionados y el ACTIVIDADES HORAS ACTIVIDADES HORAS TOTAL HORAS Lectura de orientaciones 3 3 Lectura comprensiva 9 Estudio, intervención en el curso virtual y preparación de Pruebas Presenciales 16 25 Lectura comprensiva 9 Estudio, intervención en el curso virtual y preparación de Pruebas Presenciales 12 21 Lectura comprensiva 6 Estudio, intervención en el curso virtual y preparación de Pruebas Presenciales 12 18 Estudio, intervención en el curso virtual y preparación de Pruebas Presenciales Estudio, intervención en el curso virtual y preparación de Pruebas Presenciales Realización de ejercicios de auto evaluación Búsqueda de información adicional en Biblioteca, Internet, etc. 14 20 12 18 7 13 Método de los Multiplicadores de Lagrange Segunda Teoremas de la Función Inversa e Implícita Tercera Funciones con valores vectoriales Cuarta Integrales dobles Lectura comprensiva 6 Quinta Integrales triples Lectura comprensiva 6 Sexta Repaso PEC UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA 3 3 3 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES II Séptima Integrales Impropias Novena Repaso Lectura comprensiva 6 Realización de pruebas de evaluación continua en línea y/o presenciales Estudio, intervención en el curso virtual y preparación de Pruebas Presenciales Realización de ejercicios de autoevaluación Búsqueda de información adicional en Biblioteca, Internet, etc. Realización de pruebas de evaluación continua en línea y/o presenciales TRABAJO 12 18 2 4 1 1 Realización de pruebas presenciales 1 TOTAL 150 2.- ORIENTACIONES PARA EL ESTUDIO DE LOS CONTENIDOS La finalidad de este apartado es guiar a los estudiantes durante el desarrollo del curso, supliendo las orientaciones presenciales que los profesores dan antes de explicar los temas o bien antes de comenzar una actividad. De cara a la homogeneización de todas estas orientaciones para el conjunto de los estudiantes, es el equipo docente de la asignatura quien será responsable de su elaboración. A continuación se presenta una estructura de elementos de orientación y apoyo, que son útiles para el estudiante, siguiendo una organización por temas o bloques temáticos. En el caso de esta asignatura, que contempla el estudio de textos o de lecturas específicas, estos elementos, de orientación y apoyo están convenientemente organizados en contenidos por temas/bloques temáticos o lectura a la hora de su estudio. 2.1 Contenido 1: Extremos Condicionados. Multiplicadores de Lagrange. Este tema está dedicado al estudio de las ideas y las técnicas más avanzadas para el Cálculo de Extremos de funciones, dentro del Cálculo Diferencial de Varias Variables, métodos que son esenciales para la buena utilización de esta potente herramienta matemática, como el estudio de extremos de funciones, hessiano, jacobiano, los distintos criterios, extremos condicionados o con ligaduras (Multiplicadores de Lagrange), etc. 2.1.1 Introducción. La Matemática, en común con la Física, la Computación y otras ciencias, comprende: Problemas-Cuestiones: El planteamiento y resolución de problemas, que modelizan de modo abstracto diversas situaciones del mundo real. 4 Ángel Garrido Bullón Teoría: La interpretación de los resultados y demostración de dichos teoremas y corolarios propios de la Matemática. Ambos, los problemas y la teoría, suponen la consideración detallada de funciones de varias variables y su evolución con el tiempo. 2.1.2. Resultados de aprendizaje: Los principales contenidos que trataremos de consolidar son los siguientes: Contenidos: Extremos condicionados. Multiplicadores de Lagrange. Campos escalares y vectoriales. Gradiente, Divergencia y Rotacional. Integrales dobles. Integrales triples. Integrales Impropias Conocimientos teóricos: Comprender contextos y situaciones, para hacerlas interpretables mediante la herramienta matemática. Comprender los procesos simbólicos y los procesos analíticos. Entender las distintas heurísticas, o estrategias, para el correcto planteamiento y resolución de los problemas, así como de las cuestiones planteadas. Conocimientos prácticos o destrezas: Dominar los fundamentos de la optimización desde el punto de vista del Análisis Matemático, así como sus aplicaciones a diversas disciplinas. Actitudes: Apreciar el valor formativo y cultural del Análisis Matemático, con una revisión rápida, pero suficiente, de su contenido más aplicable para la interpretación del mundo real. Asimismo, entender cómo se puede aplicar en diversas situaciones y cómo se modeliza a través de esta poderosa herramienta matemática como es el Calculus en Varias Variables. 2.2 Contenido 2: Teoremas de la Función Inversa y de la Función Implícita. En este tema se presentan y analizan dos resultados fundamentales del Análisis, acompañados, asimismo, de ejemplos relacionados con la Física, la Química y la Técnica en general. 2.2.1 Introducción UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA 5 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES II Muchos de los problemas que nos plantea el mundo real pueden resolverse mediante el uso de resultados conocidos, tanto sobre la inversa de una función como de aquellas definidas de modo implícito. 2.2.3 Resultados de aprendizaje: Los principales contenidos que trataremos de consolidar son los siguientes: Contenidos: Idea del problema Teorema de la Función Inversa Teorema de la Función Implícita Aplicaciones en las diversas situaciones donde se presentan. Conocimientos teóricos: Comprender contextos y situaciones, para hacerlas interpretables mediante la herramienta matemática. Comprender los procesos simbólicos y los procesos numéricos. Entender las distintas heurísticas, o estrategias, para el correcto planteamiento y resolución de este tipo de problemas. Conocimientos prácticos o destrezas: Dominar los fundamentos analíticos desde un punto de vista demostrativo y racional, así como sus aplicaciones a otras disciplinas. Actitudes: Apreciar el valor formativo y cultural del Cálculo Vectorial. Asimismo, entender cómo se puede aplicar en situaciones concretas y por tanto, cómo se puede modelizar a través de tan poderosa herramienta matemática. 2.3 Contenido 3: Funciones con valores vectoriales. En este tema nos ocupamos de un tipo particular de funciones (las Funciones con valores vectoriales), que son aquellas cuyo recorrido es el conjunto de las n-úplas de números reales, actuando asimismo en general sobre vectores. 2.3.1 Introducción Muchos problemas de la Ciencia dan lugar cuando los modelizamos a este tipo de funciones de varias variables. Operar con estas funciones no suele presentar demasiadas dificultades, siendo muchas veces una simple generalización de los resultados obtenidos para funciones más usuales, que son las de una variable. No obstante, esa generalización añade complejidad al tratamiento de muchos de los problemas, como puede ser, por ejemplo, el de las integrales, que ahora –como veremos más adelante- pueden ser múltiples. 2.3.2 Resultados de aprendizaje: Los principales contenidos que trataremos de consolidar son los siguientes: Contenidos: 6 Ángel Garrido Bullón Campos Escalares. Ejemplos. Campos Vectoriales. Ejemplos. Gradiente. Divergencia. Rotacional. Relaciones matemáticas entre dichos operadores. Conocimientos teóricos: Comprender contextos y situaciones, para hacerlas interpretables mediante la herramienta matemática. Comprender los procesos simbólicos y los procesos numéricos. Entender las distintas heurísticas, o estrategias, para el correcto planteamiento y resolución de los problemas químicos. Conocimientos prácticos o destrezas: Dominar los fundamentos analíticos de la Matemática, así como sus aplicaciones a otras disciplinas. Actitudes: Apreciar el valor formativo y cultural de ambos Teoremas dentro del ámbito de la ciencia. Asimismo, entender cómo se pueden aplicar en situaciones concretas y cómo se puede modelizar la realidad a través de estas poderosas herramientas matemáticas. 2.4 Contenido 4: Integrales dobles. Este tema está dedicado al estudio de un campo que puede ser verdaderamente complejo, el que se dedica a describir, aplicar y resolver las integrales dobles, así como las propiedades que se pueden observar en ellas. Pero siempre apoyándonos sobre ejemplos, y también tratando de mostrar cómo estas surgen al tratar diversas situaciones, muchas veces bastante complejas. 2.4.1 Introducción Como hemos comentado anteriormente, las Integrales Múltiples forman una parte de las Matemáticas que trata aquí del caso de las Integrales Dobles. Es una herramienta básica para la formulación, el análisis teórico y la resolución de muchos problemas básicos en las ciencias, que dan lugar a la necesidad de tales herramientas. 2.4.2 Resultados de aprendizaje: Los principales contenidos que trataremos de consolidar son los siguientes: Contenidos: Introducción a las integrales múltiples. Integrales dobles. Ejemplos. Aplicaciones a la Ciencia. Ejemplos. Las integrales dobles sobre el rectángulo. Las integrales dobles sobre regiones más generales. UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA 7 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES II Cambio del orden de integración. Teorema de Fubini. Conocimientos teóricos: Comprender contextos y situaciones, para hacerlas interpretables mediante la herramienta matemática. Comprender los procesos simbólicos y los procesos numéricos. Demostración de los resultados disponibles. Entender las distintas heurísticas, o estrategias, para el correcto planteamiento y resolución de los problemas propios de esta parte de la Matemática. Conocimientos prácticos o destrezas: Dominar los fundamentos de Análisis desde un punto de vista del Cálculo Vectorial, así como algunas de sus numerosas aplicaciones a otras disciplinas. Actitudes: Apreciar el valor formativo y cultural del Cálculo Integral de funciones de varias variables. Asimismo, entender cómo se puede aplicar en situaciones concretas y cómo se puede modelizar a través de tan poderosa herramienta matemática. 2.5 Contenido 5: Integrales dobles. Este tema está dedicado al estudio de un campo que puede ser verdaderamente complejo, el que se dedica a describir, aplicar y resolver las integrales triples, así como las propiedades que se pueden observar en ellas. Pero siempre apoyándonos sobre ejemplos, y también tratando de mostrar cómo estas surgen al tratar diversas situaciones, muchas veces bastante complejas. 2.5.1 Introducción Como hemos comentado anteriormente, las Integrales Múltiples forman una parte de las Matemáticas que trata aquí del caso de las Integrales Triples. Es una herramienta básica para la formulación, el análisis teórico y la resolución de muchos problemas básicos en las ciencias, que dan lugar a la necesidad de tales herramientas. 2.5.2 Resultados de aprendizaje: Los principales contenidos que trataremos de consolidar son los siguientes: Contenidos: Introducción a las integrales múltiples. Integrales triples. Ejemplos. Aplicaciones a la Ciencia. Ejemplos. Las integrales triples sobre el cubo. Las integrales triples sobre regiones más generales. Cambio del orden de integración. Teorema de Fubini. 8 Ángel Garrido Bullón Conocimientos teóricos: Comprender contextos y situaciones, para hacerlas interpretables mediante la herramienta matemática. Comprender los procesos simbólicos y los procesos numéricos. Demostración de los resultados disponibles. Entender las distintas heurísticas, o estrategias, para el correcto planteamiento y resolución de los problemas propios de esta parte de la Matemática. Conocimientos prácticos o destrezas: Dominar los fundamentos de Análisis desde un punto de vista del Cálculo Vectorial, así como algunas de sus numerosas aplicaciones a otras disciplinas. Actitudes: Apreciar aún más el valor formativo y cultural del Cálculo Integral de funciones de varias variables. Asimismo, entender cómo se puede aplicar en situaciones concretas y cómo se puede modelizar a través de tan poderosa herramienta matemática. 2.6 Contenido 6: Fórmula del Cambio de Variables. Aplicaciones al Cálculo Integral. En este tema tratamos de introducir (siempre sobre los ejemplos más clásicos) el llamado Teorema o Fórmula del Cambio de Variable, para funciones vectoriales de variable vectorial, así como acerca de su necesidad en ciencias como la Física, la Química, la Computación o para la Técnica en general. Así, por ejemplo, en el estudio de la evolución de diversos procesos, como es el caso de los conocidos Sistemas Dinámicos. 2.5.1 Introducción El planteamiento de los problemas que impliquen una integración de la función vectorial de variable vectorial que hayamos obtenido es bastante usual, y lo es asimismo que convenga para su resolución introducir un cambio de variable, operación que tiene mucho de heurística y no siempre es fácil. 2.5.2 Resultados de aprendizaje: Los principales contenidos que trataremos de consolidar son los siguientes: Contenidos: Geometría de las aplicaciones de R2 en R2. La idea del Cambio de Variables. Problemas que presenta. El Teorema del Cambio de Variable. Aplicaciones de dicho resultado. Conocimientos teóricos: Comprender contextos y situaciones, para hacerlas interpretables mediante la herramienta matemática. UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA 9 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES II Comprender los procesos simbólicos y los procesos numéricos. Entender las distintas heurísticas, o estrategias, para el correcto planteamiento y resolución de los problemas de la ciencia. Conocimientos prácticos o destrezas: Dominar los fundamentos del cambio de variables desde un punto de la Matemática, así como sus diversas aplicaciones a otras disciplinas. Actitudes: Apreciar el valor formativo y cultural de esta parte del Análisis Matemático. Asimismo, entender cómo se puede aplicar en situaciones concretas y cómo se puede resolver problemas a través de tan poderosa herramienta matemática. 2.7 Contenido 7: Integrales Impropias. Este tema está dedicado al estudio de la teoría aplicable, así como de los métodos con que se puede resolver este tipo de integrales, que surgen con frecuencia en las ecuaciones matemáticas. 2.7.1 Introducción Dentro de la búsqueda de métodos generales para la resolución de estas integrales impropias. Así surgió todo un amplio e ingenioso conjunto de técnicas y habilidades notacionales, que deben conocerse y manejarse con soltura por parte de todo matemático. 2.7.2 Resultados de aprendizaje: Los principales contenidos que trataremos de consolidar son los siguientes: Contenidos: La integral impropia como límite de integrales propias. Tipos de integrales impropias. Métodos de resolución en la práctica. Problemas representativos. Diversas aplicaciones en Física y en otras ciencias. Conocimientos teóricos: Comprender contextos y situaciones, para modelizarlas mejor, y así hacerlas interpretables mediante esta herramienta matemática. Comprender los procesos simbólicos y los procesos de cálculo utilizados. Entender las distintas heurísticas, o estrategias, para el correcto planteamiento y resolución mediante las mismas de diversos problemas científicos y técnicos. Conocimientos prácticos o destrezas: 10 Ángel Garrido Bullón Dominar los fundamentos teórico-analíticos de los modelos que representan los distintos sistemas, cómo se aplican y resuelven, tanto desde un punto de vista de la Matemática como de sus aplicaciones a otras disciplinas. Actitudes: Apreciar el valor formativo y cultural de las Integrales de Curvas y Superficies, así como conocer su amplia aplicabilidad. Asimismo, entender cómo se puede aplicar en situaciones concretas y cómo se modeliza a través de estas poderosas herramientas matemáticas. 3.- ORIENTACIONES PARA LA REALIZACIÓN DEL PLAN DE ACTIVIDADES 3.1 Orientaciones acerca de la realización de actividades en cada una de sus fases Antes de abordar el plan de actividades de la asignatura, creemos conveniente hacer algunas consideraciones para el estudio de las Matemáticas, en general, y de esta asignatura, en particular. Los tiempos son orientativos, como es natural depende de cada persona, del día, del capítulo, de la proposición o el ejemplo que estudie en cada momento. 3.2 Tiempo estimado de realización BLOQUES TEMÁTICOS Los Extremos Condicionados y el Método de los Multiplicadores de ACTIVIDADES HORAS TOTAL HORAS Lectura de orientaciones 2 2 Lectura comprensiva del material didáctico Estudio, intervención en el curso virtual y preparación de Pruebas Presenciales 3 14 11 Lagrange Lectura comprensiva del material didáctico Función Inversa e Estudio, intervención en el curso virtual y preparación Implícita de Pruebas Presenciales Funciones con valores Lectura comprensiva del material didáctico Estudio, intervención en el Teoremas de la UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA 2 12 10 2 12 10 11 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES II vectoriales Integrales dobles Integrales Triples Repaso La Fórmula del Cambio de Variable. Aplicaciones. Integrales Impropias Repaso curso virtual y preparación de Pruebas Presenciales Lectura comprensiva del material didáctico Estudio, intervención en el curso virtual y preparación de Pruebas Presenciales Lectura comprensiva del material didáctico Estudio, intervención en el curso virtual y preparación de Pruebas Presenciales Realización de ejercicios de auto evaluación Búsqueda de información adicional en Biblioteca, Internet, etc. Realización de pruebas de evaluación continua en línea y/o presenciales Lectura comprensiva del material didáctico Estudio, intervención en el curso virtual y preparación de Pruebas Presenciales Lectura comprensiva del material didáctico Estudio, intervención en el curso virtual y preparación de Pruebas Presenciales Realización de ejercicios de auto evaluación Búsqueda de información adicional en Biblioteca, Internet, etc. Realización de pruebas de evaluación continua en línea y/o presenciales 4 28 24 3 12 9 6 12 3 3 4 18 14 4 29 25 5 11 3 3 3.3 Medios y recursos 1. Bibliografía básica: o J. Marsden y A. Tromba: Cálculo Vectorial. Ed. Pearson-Prentice Hall-UNED. Barcelona, 2006. 2. Bibliografía Complementaria: 12 Ángel Garrido Bullón - Angel Garrido: “Fundamentos de Análisis”. Eds. UNED - Sanz y Torres. Madrid, 2005 [se trata de una obra con muchos ejemplos y problemas resueltos, que puede ser bastante útil para repasar conceptos]. 3. Editor Geogebra. Programa de Matemáticas y Geometría dinámica: http://maxima. Sourceforge.net/es/ 4. Programa Maxima, de cálculo simbólico libre: http://www.geogebra.org/cms/ 3.4 Criterios de evaluación El equipo docente de esta asignatura pretende hacer una apuesta por institucionalizar lo más posible el proceso de evaluación continua. Por ello la calificación de cada alumno se realizará a través de un examen presencial obligatorio, y alguno de los siguientes cauces no obligatorios, que podrían ser accesibles a través de la plataforma virtual: Evaluación continua o formativa. Evaluación final: El alumno podrá elegir voluntariamente uno de estos dos sistemas de evaluación: - Presentarse solamente al examen final, en cuyo caso obtendría como calificación final la de esa prueba. - Si el alumno opta por la evaluación continua, debe realizar el trabajo y la PEC, y entonces, su nota final será la del siguiente polinomio: 0´8 E + 0´1 P + 0´1 T con E la nota del examen presencial; P, la de la PEC; y T, la del trabajo. En cualquier caso, el examen final, de tipo presencial, es obligatorio para todos los alumnos. Entre 7 y 9 puntos se obtiene notable, y a partir de 9 puntos, sobresaliente. Las matrículas de honor se asignarán entre aquellos alumnos que tengan la máxima puntuación tanto en la Prueba Presencial como en el Trabajo y en la PEC. UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA 13