Momento angular

ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL
Trabajo autónomo #4
Tema:
Momento angular
Nombre:
Daniel Alexander Salazar Plúa
Carrera:
Ingeniería civil
Término:
2019 – 1S
Lugar y fecha:
Guayaquil, 2 de agosto de 2019
Índice
1. Objetivo …………………………………………………………………………………….. 2
2. Desarrollo del trabajo autónomo ………………………………………………………........ 2
2.1 Demonstrate the general angular momentum equation and explain each of its terms...... 2
2.2 Define what is a deformable control volume and deduce the angular momentum equation
for this case.……………………....................................................................................... 2
2.3 Define what is a non-deformable control volume and deduce the angular momentum
equation for this case.……………………………………………………………………. 3
2.4 Aplicaciones de la ecuación de momento angular en mecánica de fluidos ………...….... 3
2.5 ¿Cómo se relaciona el momento angular con el funcionamiento de una turbomáquina? .. 4
3. Bibliografía ………………………………………………………………………………….. 4
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1. Objetivo
Investigar acerca de la ecuación de cantidad de movimiento angular con el propósito de ampliar
nuestro conocimiento y entendimiento acerca de este, a través de la demostración matemática
de la fórmula. Además, reconocer su gran importancia en problemas de mecánica de fluidos
aplicados a la ingeniería y sus afines.
2. Desarrollo del trabajo autónomo
2.1 Demonstrate the general angular momentum equation and explain each of its terms.
The analysis of a control volumes can be applied to de angular momentum equation. To do
this, we must consider the variable Β as the kinetic momentum vector H. However, how
the system we consider it’s a group of non-rigid fluid particles with variable velocity, we
must to integrate over each elementary mass dm.
If O is the point on which we want to know the momentums, the kinetic momentum will
be:
⃗⃗ ) 𝑑𝑚
𝑯𝑂 = ∫ (𝑟⃗ × 𝑉
𝑠𝑦𝑠
Where:
𝑟: 𝑃𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑜𝑓 𝑡ℎ𝑒 𝑚𝑎𝑠𝑠 𝑑𝑚 𝑤𝑖𝑡ℎ 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡 𝑡𝑜 𝑂
𝑉: 𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑡𝑦 𝑜𝑓 𝑡ℎ𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑟𝑦 𝑚𝑎𝑠𝑠
So, the kinetic momentum per unit of mass is:
𝑑𝑯𝑂
⃗⃗
𝛽=
= 𝑟⃗ × 𝑉
𝑑𝑚
⃗⃗
Using the Reynolds transport theorem whit 𝐵 = 𝐻, and 𝛽 = 𝑟⃗ × 𝑉
𝑑𝑯𝑂
𝑑
⃗⃗ )𝜌𝑑𝒱 ] + ∫ (𝑟⃗ × 𝑉
⃗⃗ )𝜌(𝑉
⃗⃗ ∙ 𝑛⃗⃗)𝑑𝐴
= [ ∫ (𝑟⃗ × 𝑉
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑉𝐶
𝑆𝐶
The first term to the right of the equal of the equation represents the variation of the angular
momentum in the control volume for a given time. And the second term to the right of the
equal of the equation represents the angular momentum flow in the control sections.
2.2 Define what is a deformable control volume and deduce the angular momentum
equation for this case.
A deformable control volume occurs when the control volume deforms arbitrarily, and it
can move or not.
For the case of a deformable control volume the Reynolds transport tell us:
𝑑𝑯𝑂
𝑑
⃗⃗ )𝜌𝑑𝒱] + ∬(𝑟⃗ × 𝑉
⃗⃗ )𝜌(𝑉
⃗⃗𝑟 ∙ 𝑛⃗⃗)𝑑𝐴
| = [∭(𝑟⃗ × 𝑉
𝑑𝑚 𝑠𝑦𝑠 𝑑𝑡
𝑉𝐶
𝑆𝐶
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Because of the kinetic momentum conservation its rhythm of variation must be equal to
the sum of the momentums with respect to the point O of the all forces applied to the control
volume.
𝑑𝑯𝑂
= ∑ 𝑀𝑂 = ∑(𝑟⃗ × 𝐹⃗ )𝑂
𝑑𝑡
However, the kinetic momentum conservation depends of the velocity V of the particle,
which it’s relative to an inertial coordinate system. If it not, we must include the momentum
produce by the terms of the drag acceleration with respect of the point O.
∑ 𝑀𝑂 = ∑(𝑟⃗ × 𝐹⃗ )𝑂 − ∭(𝑟⃗ × 𝑎⃗𝑟𝑟𝑟 )𝑑𝑚
𝑉𝐶
So, the most general case of the angular momentum theorem for a deformable control
volume and a non-inertial coordinate system is:
∑(𝑟⃗ × 𝐹⃗ )𝑂 − ∭(𝑟⃗ × 𝑎⃗𝑟𝑟𝑟 )𝑑𝑚 =
𝑉𝐶
𝑑
⃗⃗ )𝜌𝑑𝒱 ] + ∬(𝑟⃗ × 𝑉
⃗⃗ )𝜌(𝑉
⃗⃗𝑟 ∙ 𝑛⃗⃗)𝑑𝐴
[∭(𝑟⃗ × 𝑉
𝑑𝑡
𝑉𝐶
𝑆𝐶
2.3 Define what is a non-deformable control volume and deduce the angular momentum
equation for this case.
A non-deformable control volume occurs when the control volume isn’t deformed
arbitrary, but it can move or not.
For a non-deformable control volume, the equation it reduces to:
∑ 𝑀𝑂 =
𝜕
⃗⃗ )𝜌𝑑𝒱] + ∬(𝑟⃗ × 𝑉
⃗⃗ )𝜌(𝑉
⃗⃗𝑟 ∙ 𝑛⃗⃗)𝑑𝐴
[∭(𝑟⃗ × 𝑉
𝜕𝑡
𝑉𝐶
𝑆𝐶
Also, if there are only one-dimensional inputs and outputs, the terms of the angular
momentum flow are in the form:
⃗⃗ )𝜌(𝑉
⃗⃗𝑟 ∙ 𝑛⃗⃗)𝑑𝐴 = ∑(𝑟⃗ × 𝑉
⃗⃗ ) 𝑚̇𝑠𝑎𝑙 − ∑(𝑟⃗ × 𝑉
⃗⃗ ) 𝑚̇𝑒𝑛𝑡
∬(𝑟⃗ × 𝑉
𝑠𝑎𝑙
𝑒𝑛𝑡
𝑆𝐶
2.4 Aplicaciones de la ecuación de momento angular en mecánica de fluidos.
• El principio de cantidad de movimiento se usa para determinar la magnitud y el punto
de aplicación de fuerzas dinámicas que ejercen los fluidos en movimiento sobre
estructuras rígidas o estructuras en movimiento. (Duarte Agudelo & Niño Vicente,
2004)
• La ecuación de momento angular también es usada para resolver problemas que
involucran turbomáquinas como las turbinas, ventiladores, compresores.
• También se utiliza para conocer el efecto de un fluido en máquinas hidráulicas como
las turbobombas, en las cuales se aumenta la energía cinética del fluido mediante un
rodete giratorio, que en el interior de la bomba se transforma en energía de presión. Las
turbobombas se clasifican en bombas centrífugas, helio centrífugas y axiales en función
3
de la trayectoria que siga el fluido a través del rodete giratorio. (Martin, Salcedo, &
Font, 2011)
2.5 ¿Cómo se relaciona el momento angular con el funcionamiento de una
turbomáquina?
Las turbomáquinas son elementos mecánicos que extraen (turbinas) o entregan (bombas)
energía de o a un fluido respectivamente, como resultado de una interacción dinámica entre
el fluido y la máquina. La interacción dinámica entre el fluido y la turbomáquina se lleva
a cabo en los álabes. Los álabes se encuentran unidos al eje de rotación mediante el rodete.
Es en esta parte en la que entra la conservación del momento angular, lo que nos permite
conocer el cambio de momento dentro de un volumen de control, y a su vez por medio de
las ecuaciones de energía determinar cuanta energía pasa de energía cinética a energía de
presión.
3. Bibliografía
•
Duarte Agudelo, C. A., & Niño Vicente, J. R. (2004). Introducción a la mecánica de
fluidos. Bogotá: Universidad Nacional de Colombia - Sede Bogotá.
•
Martin, I., Salcedo, R., & Font, R. (2011). Universitat d'Alacant. Obtenido de Universidad
de Alicante: https://rua.ua.es/dspace/bitstream/10045/20299/4/tema2_impulsion.pdf
•
U-Cursos.
(2011).
U-Cursos.
Obtenido
de
https://www.ucursos.cl/ingenieria/2007/2/ME33A/2/material_docente/bajar?id_material=138207
•
White, F. M. (2016). Fluid Mechanics. New York: Mc Graw Hill Education.
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