ECUACIONES DIFERENCIALES. EL ALUMNO UTILIZARÁ LOS CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE ECUACIONES DIFERENCIALES, DE MANERA EFICIENTE, EN LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS EN LOS DISTINTOS CAMPOS DE LA INGENIERÍA. CONTENIDO SINTÉTICO: • I. INTRODUCCIÓN. • II. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN. • III. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE N-ÉSIMO ORDEN CON COEFICIENTES CONSTANTES. • IV. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE N-ÉSIMO ORDEN CON COEFICIENTES VARIABLES. • V. SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES CON COEFICIENTES CONSTANTES. • VI. TRANSFORMADA DE LAPLACE. BIBLIOGRAFÍA: Martín Golubitsky, Michel Dellnitz, Álgebra Lineal y Ecuaciones Diferenciales con uso de Matlab, Internacional Tomson, 2001. Dennis G. Zill, Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones de Modelado, Thomson, 7ª Edit. 438 pp. Boyce-Diprima. Ecuaciones Diferenciales y Problemas con Valores en la Frontera, Limusa, 4ª Edit. Campbell – Haberman. Introducción a las Ecuaciones Diferenciales con Problemas de Valor de Frontera. Mc Graw Hill. 1999 FUNDAMENTACIÓN DE LA ASIGNATURA El estudio de las ecuaciones diferenciales facilitará a los alumnos de Ingeniería la comprensión de los sistemas físicos en términos de modelos matemáticos; diseñar además le permitirá y optimizar sistemas en base al conocimiento científico del mismo, esto solamente puede lograrse teniendo una comprensión adecuada del sistema. Contribuye en la formación y desarrollo del razonamiento analítico, lógico, deductivo y crítico del alumno. Las materias que le anteceden son cálculo diferencial e integral, fundamentos de álgebra, álgebra lineal y cálculo vectorial; y las consecuentes son análisis numérico, variable compleja y análisis de Fourier. OBJETIVO DE LA ASIGNATURA El alumno utilizará los conceptos fundamentales de ecuaciones diferenciales, de manera eficiente, en la solución de problemas en los distintos campos de la ingeniería. No. UNIDAD I NOMBRE: Introducción. El alumno identificará los principales elementos de las ecuaciones diferenciales No. TEMA TEMAS HORAS T 1.1 1.2 1.3 Conceptos fundamentales y terminología. Clasificación de las ecuaciones diferenciales. Ecuaciones diferenciales como expresiones de modelos matemáticos. P 3.0 PROCEDIMIENTO DE EVALUACIÓN El contenido de esta unidad será evaluado en el primer examen departamental. Ejercicios realizados en clase y extra clase. Exposición de temas de investigación en forma grupal o individual. CLAVE BIBLIOGRÁFICA EC 3.0 No. UNIDAD II NOMBRE: Ecuaciones diferenciales de primer orden. El alumno resolverá ecuaciones diferenciales de primer orden por diversos métodos. No. TEMA TEMAS HORAS T 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.5.1 2.5.2 2.5.3 2.6 Variables separables y reducibles a éstas. Variables homogéneas y reducibles a éstas. Exactas. Factores integrantes. Lineales. No lineales a lineales. Bernoulli. Ricatti. Clairaut. Aplicaciones. P 18.0 PROCEDIMIENTO DE EVALUACIÓN El contenido de esta unidad será evaluado en el primer examen departamental. Ejercicios realizados en clase y extra clase. Exposición de temas de investigación en forma grupal o individual. CLAVE BIBLIOGRÁFICA EC 18.0 No. UNIDAD III NOMBRE: Ecuaciones diferenciales de n-ésimo orden con coeficientes constantes. El alumno resolverá ecuaciones diferenciales lineales de n-ésimo orden, por diversos métodos. No. TEMA TEMAS HORAS T 3.1 3.2 3.3 3.3.1 3.3.2 3.4 Introducción. Solución de ecuaciones diferenciales homogéneas con coeficientes constantes. Solución de ecuaciones diferenciales no homogéneas con coeficientes constantes. Método de los coeficientes indeterminados. Método de variación de parámetros. Aplicaciones. 18 P CLAVE BIBLIOGRÁFICA EC 18 PROCEDIMIENTO DE EVALUACIÓN El contenido de esta unidad será evaluado en el segundo examen departamental. Ejercicios realizados en clase y extra clase. Exposición de temas de investigación en forma grupal o individual. NOMBRE: Ecuaciones diferenciales lineales de n-esimo orden con coeficientes variables. El alumno resolverá ecuaciones diferenciales con coeficientes variables, por los métodos correspondientes. No. UNIDAD IV No. TEMA TEMAS HORAS T 4.1 4.2 4.3 4.4 Método de Cauchy-Euler. Método por series de potencias. Método de Fröbenius. Aplicaciones. 15 P CLAVE BIBLIOGRÁFICA EC 15 PROCEDIMIENTO DE EVALUACIÓN El contenido de esta unidad será evaluado en el segundo examen departamental. Ejercicios realizados en clase y extra clase. Exposición de temas de investigación en forma grupal o individual. No. UNIDAD V NOMBRE: Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes. El alumno resolverá sistemas de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes. No. TEMA TEMAS HORAS T 5.1 5.2 Método de operadores. Método de la matriz exponencial. P 12.0 PROCEDIMIENTO DE EVALUACIÓN El contenido de esta unidad será evaluado en el tercer examen departamental. Ejercicios realizados en clase y extra clase. Exposición de temas de investigación en forma grupal o individual. CLAVE BIBLIOGRÁFICA EC 12.0 No. UNIDAD VI NOMBRE: Transformada de Laplace El alumno resolverá ecuaciones diferenciales a través de las transformadas de Laplace. No. TEMA TEMAS HORAS T 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 Concepto de la Transformada de Laplace. Transformada Inversa. Teoremas y Propiedades. Solución de ecuaciones diferenciales. Aplicaciones. P 15.0 PROCEDIMIENTO DE EVALUACIÓN El contenido de esta unidad será evaluado en el tercer examen departamental. Ejercicios realizados en clase y extra clase Exposición de temas de investigación en forma grupal o individual. CLAVE BIBLIOGRÁFICA EC 15.0 Conceptos fundamentales y terminología. Una ecuación que establece una relación entre la variable independiente x, la función buscada y = y(x) y sus derivadas y, y´, y´´, ..., y) se llama ecuación diferencial. • Es una ecuación que contiene derivadas o diferenciales. • Es una igualdad que relaciona a una función desconocida con sus variables y sus derivadas. Notación: 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑦´, 𝑦´´, … , 𝑦 𝑛 =0 𝑑𝑦 𝑑 2 𝑦 𝑑𝑛 𝑦 𝐹 𝑥, 𝑦, , 2 , … , =0 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑛 Llamamos integrar la ecuación diferencial al proceso por el que se encuentra, a partir de la ecuación diferencial dada, la relación directa entre x e y Clasificación de las ecuaciones diferenciales. Las ecuaciones diferenciales se clasifican según su tipo, orden y linealidad: Según su tipo distinguimos entre: • Ecuaciones diferenciales ordinarias: estas ecuaciones contienen únicamente derivadas ordinarias respecto a una sola variable independiente. 𝑑𝑥 𝑑2 𝑥 𝑥=𝑥 𝑡 a= 2 𝑉= 𝑑𝑡 𝑑𝑡 • Ecuaciones diferenciales en derivadas respecto de dos o más variables independientes. 𝜕2𝑇 𝜕2𝑇 + =0 𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2 parciales: contienen derivadas parciales 𝑇 = 𝑥, 𝑦 Se llama orden de una interviene en la ecuación. F= F= F= 𝑑3 𝑃 𝑑𝑠 3 𝑑3 𝑃 𝑑𝑠 3 2 + + 𝑑3 𝑃 𝑑𝑠 3 𝑑2 𝑃 𝑑𝑠 2 𝑑2 𝑃 𝑑𝑠 2 3 + − 𝑑𝑃 𝑑𝑠 Orden 2 − 𝑑𝑃 𝑑𝑠 Orden 1 𝑑𝑃 Orden 3 2 𝑑2 𝑃 𝑑𝑠 2 ecuación diferencial al orden de la derivada superior que − 𝑑𝑠 Ecuaciones diferenciales lineales Se dice que una ecuación diferencial 𝑦 𝑛 = 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑦´, … , 𝑦 es lineal cuando f es una función lineal de 𝑦, 𝑦´, … , 𝑦 𝑛−1 𝑛−1 Se puede escribir: 𝑔 𝑥 = 𝑎𝑛 𝑥 𝑦 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑦 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 𝑥 y´+ 𝑎0 𝑥 y • Se trata de una ecuación diferencial de grado 1 en y y en todas sus derivadas. • Cada coeficiente sólo depende de x.
