Subido por Wilsinho Hilasaca

Relaciones y funciones Lazaro

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RELACIONES
Y FUNCIONES
DE IR EN IR
RELACIONES BINARIAS
RELACIONES DE R EN R
FUNCIONES O APLICACIONES
FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
FUNCIONES EXPONENCIALES
Y LOGARÍTMICAS
MISCELÁNEA
MOISES LAZARO CARRION
iÍiEoD OI T TO m
n i
R IA L l
U V IJU ü M
Sólo fines educativos - FreeLibros
Autor
:
Moisés Lázaro Carrión
Estudios : Lic. en Matemáticas Puras, Lic. en Educación, Maestría (Métodos
Cuantitativos de la Economía U.N.M.S.M.), Maestría (Matemáticas
Puras P.U.C.P.).
Experiencia Docente:
Pontificia Universidad Católica del Perú
Universidad Ricardo Palmti
Universidad Nacional Mayor de San Marcos
Universidad Nacional de Ancash Santiago Antúnez de Mayolo
Universidad Nacional del Callao
Universidad Particular San Martín de Porres
La presentación y disposición en conjunto de:
RELACIONES ^Y FUNCIONES DE R EN R
Autor: Moisés Lázaro Carrión
Son propiedad del autor.
Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, por cualquier medio, sin auto­
rización escrita del autor:
.......
: 822
Decreto Legslativo...
Hecho el Deposito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú ... : 2009-13284
International Standard Book Number ISBN N°......................... : 978-9972-813-61-0
Derechos reservados O
Primera edición: Octubre 2009
Obra editada, impresa y distribuida por:
Distribuidora, Imprenta, Editorial, Librería
MOSHERA S.R.L.
RUC:20101220584
Jr. Tacna 2975 - San Martín de Porres
Lima - Perú / Telefax: 567-9299
e-mail: [email protected]
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T elefax: 5 6 7 -9 2 9 9
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Ú . m i q u a h id o h s ü u n a rw :
J u liá n , p o A A u v a lio A a
a y u d a , y c o la b o h a c ió n .
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ÍNDICE
E
RELACIONES BINARIAS
Introducción
.....
............
,.....
Par Ordenado
Igualdad de pares ordenados .............................................
Productos de Conjuntos.............
.......y..........
....
Propiedades
Producto Cartesiano..
....
El Plano Cartesiano
...................
Relaciones Binarias. ......
.........................
Tipo de Relaciones: Reflexiva, Simétrica, Transitiva,
de Equivalencia, Asimétrica, Antisimétnca, de prden parcial,
Comparable, de Orden Total.
..........
Problemas..
.........................................
Clase de Equivalencia y Conjuntó Cociente
.......................
Propiedad del Dominio y rango de una relación
....................
Relación Inversa, Dominio y rango ..... ....... :.¡...........
Propiedades
Composición de relaciones
.....................................
Problemas................................................................
1
2
2
4
5
6
7
9
17
19
20
2
RELACIONES DE R EN R
..........
Plano Cartesiano
Dominio y rango de unaxelación de R en R. ..
........
Gráfica de una relación de R en R .....
Problemas.!
....
Relación de R en R con valor absoluto
.......
Gráfica de relaciones lineales con dos
Variables, rectas, semiplanos y planos en R2 .........................
Método práctico.. ..............
Ecuaciones de l&s cónicas:
Ecuación de la Circunferencia........
..........
.r........
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33
34
37
39
49
53
56
68
,■........
71
75
.
La Parábola ................
La Elipse
........... ........................
La Hipérbola..,.......;....■.......................................
77
m
FUNCIONES O APLICACIONES
Introducción
........ .............,.......
Función de A en B.......
Definición
Gráfico de una Función............
Dominio y rango de una Función ........
Igualdad de Funciones
Función restringida
....
....................
Composición de Funciones..
Propiedades de la Composición de funciones
.............
Función Inyectiva
Función Subyectiva.....................
Función Biyectiva
......................................
Función Inversa
.....................................
Imagen directa e inversa de un conjunto
.....................
propiedades ...................................................
Función característica...........
...............................
Problemas.......
............................................
81
83
84
89
90
95
97
105
s
FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
Introducción ......
Función real de variable real
-Forma intuitiva de percibir gráficamente una.
función real de variable real .....
Gráfico de una función
......
Problemas resueltos ...............
Forma de expresar la variable dependiente
en función de la variable independiente
......
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117
118
123
125
^ ..........
129
Definición geométrica de función
......
Tres formas de expresar una función cuando se conoce su regla de
correspondencia y dominio
........................
Imagen directa e imagen inversa de un conjunto
...........
Cálculo del dominio de funciones usuales .......
Función restringida..........
....
Cálculo del rango de una función .....
Funciones especiales
...........
Algebra de funciones: suma, producto y cociente
....
Composición de funciones.............
Función Inyectiva, Subyectiva y biyectiva .....
Función Inversa
............
Propiedades ........... .........
Problemas.......................
Funciones Monótonas: creciente y decreciente....
.....
Función periódica, par e impar
.....
Funciones Trigonométricas .................
Funciones Trigonométricas I n v e r s a s
.......
............
Amplitud, período,Tase, frecuencia.
131
............132
133
138
141
142
144
146
150
157
168
176
179
181
182
188
189
191
E
FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS
Función Exponencial...
.........
La Función Logaritmo ....
Inecuaciones Logarítmicas..................
Inecuaciones Hiperbólicas
.....
197
198
201
203
E
MISCELÁNEA
Problemas relativos a composición de funciones
e inversa de funciones .........
Gráfico de funciones con valor absoluto,
Máximo entero y signo dé X
.........
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205
225
■0
RELACIONES
-
BINARIAS
0. INTRODUCCION
En motemoti eos lo relocton entre dos elementos de un solo conjunto
o de dos conjuntos diferentes , es muy importonte t de I cyol se deseen los
conceptos* de * relaciones binarios tf unciones
y operociones binorios.
Estos, conceptos lo i remos definiendo poulotivomente.
1. PAR ORDENADO
# E FíttICION —
Dodo dos conjuntos A y i
definimos el PAR
ORDENADO DE COMPONEN TES o y b , o! conjunto.
( o , b ) « { { o } , {o,b}|
tol que a 6 A
i o} § f ( A y I )
L— 2ro
1*“ componente
. {o.b}}
EJEMPLO • Seon los conjuntos
Se tiene
e
b6 i.
a
a
{o,b} €
^(Au! )
(P(í?{Au8))
A ~ { o,b}
, 8 22 {ej
Au8 •* { o j b . c j
Au B > = { 0 , { o} . { b J , {c} , {o.bj ,{a,c} , {to, c} , { A u § í ]
? (? (A u B | )
= { 0
, {0 },{M }
•• 4 ( c }
.lo .c }} ,
}{o } J o , c }}
, {fe } ,
{Ü,cj|
H
tiene 28 » 256 elementos
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{{b } , { b , c } [
Moisés Lázaro C.
E n el conjunto
P (9 (A
u
B))
» ( o, c ) 6
not amos
){o }
,
{o,c)\
[{b }
,
{b ,c | J
=* ( b , c ) 6
|{c j ,
{o ,c }}
= { c ,o ) e
8 xA
| {c }
|b|c| j
= ( c,b ) 6
B xA
%
A x B í p es
to primero componente
.
{o}
porque
{ o , el
A xB .
r
,
2. IG U A LD A D DE P A R E S
TEOREMA.
(o ,b )=
Demost rae ion .* Se
(c,d )
ORDENADOS
s í ,y solov si . o » c
hoce a p l i c a n d o
3. PRODUCTO
b = d.
definición 1 •
lo
DE C O N JU N TO S
DEFI NIC ION .
As 9
=
^ El
^ ( o , b ) £ ( P f ¡P( A u B ) ) / o 6 A
producto
ordenados
toles que
de
A por
( o, b*)
o 6 A
Por lo gene rol , ob vi om o s
que
Ax
8
=
b 6
b
}
B , es el co nju nto de todos
b 6 8.
el
| (o ,b ) / o € A
» e)>
conjunto.
a
b
y sóto ofirmomos
6 |J
Por lo tonto *
s :i
los pares
al co nju nto P (< P l A u B » )
pertenecientes
y
a
( o rb ) §
Ax i
£=>
fo/b) ^
Ax©
<=>
o 6 A
o ^
A
a
b 6 8.
v
b ¿
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8
Relaciones Binarias
EJEMPLO 1 - Seon los conjuntos A = { o , b } , 8 = {e, d,e}
Definimos .'
A x B =
{ ( o , c ), ( o , d ), (o,e } , ( b , c ), ( b , d ) , ( b ,e ) }
i
[ { c,o ) , ( d , a ) , (e., o ) , ( c , b ) , ( d , b ) , (e ,b ) }
x A *
A x A * A* = | (a,o) , ( o, b) , ( b , o ) , ( b. dj j
8x8
=* 8** { ( c,c ), (c,d ) ,(c,e), (d,c), (d,d ), (d,e),(e,c) ,(e,d), (e,e ) }
EJEMPLO
2 . Seo
A=jo,b}.
Se tiene
1) fP(A.) = { 0 , l o í , { bV , A\
2)
9 ( A) xf>( A ) = { ( 0 > ) . {0 ,{o l ) , ( 0 ,{b V ) , (0 .A ),
í lo| .0
), ( ( • ' » , . « • * >
( i b) , 0 ) , a b } , / o M , í i
) ,
. t bf ) , ( Jbf . A ) ,
( A , 0 ) , (A,|o| ) , ( A ,{b> ) , ( A , A ) } •
EJEMPLO 3* Seo
A = |o,1 ,2}
tenemos
(Ax A ) x A = A*x A = | ( (o,o),O ) , ( (0,01,1 ) , ( (0,01,* ) ,( (0,i) ,o) ,
( (o,*) ,i ¡
A3 =
( ( *,*i , * ) y
| ( 0 , 0 , 0 ) , ( 0 , 0 , 1 )• ,.......... . . , ( 2 , 2 , 2 ) }
t—tiene 18 elementos .
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-
Moisés -Lázaro C.
4. P R O P IE D A D E S
p1
A
•
X
i
A x 6
pr P3 •
==
f P( í P{ A u B })
*
8x A
= 0 x*/3i'
'A x 0
A x 8 = 0
P4 ,
}
si
A ^
A = "0
V
¿
=*>
0
(Ax 8 ) u { A x C )
/
A x ( B n C ) -■
( A x8 ) n
( A x C )
.
A x (
( A x8 ) -
( A * C)
'
pe
P
7
si
V -
8-
C ) ss
8
A «*
A x 8
P9 .
( A x E ) u
P
si
.
NOTA:
A
«a
( i x F
A
8
Se dem u e stra n
4 .1
8
;
Propiedades
x8
x A
)«
C
«=
A x 8
( A 11 8
.
«a D
»>
a p lic a n d o l as
)
x
A
d e f i ni c i o n e s
dadas en
f » * 0 8 L É lÍ Á S
D e m o s tra r cada
uno de tas siguientes pro p o sicjones
1.
[ ( A * 8 ) -
2.
^ Á x
3.
( =jgA u g ’ B ) * € c
4.
( A x f B
Si A «
^ B
( A x C ) J
C
CZ
( A x B ) - ( Ax C
y
d
(C x g O
D n
5 g ( ( A n B ) xC
) €
=
a
x ( 0 - B ) ] u [ Ax o j
u
)
( A u C } x £ f .( B n 0
)
0
De mo s t r ar usando p r o piedades
[
)
C < g (A x B )
) U
Distribu tiv os
=*> '
A
. 5.
8 a
A x ( BuC ) a
P3
10
8
que
{
( A-G ) x
d
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] =
C x B
3.1
Relaciones Binarias
■ © —
6. Seon los conjuntos A, 8y C. Si A« C y 8«S |SC , demostró r
aplicando definiciones que!
[ i x ( Aü ) J n [ ( - ) x ] *■ x
C
8
C
A
7. Demostrar que : «P { A x ( B n C | J »
8
A
íP ( A x i ) n f P ( A n C )
8.Demostror £ ( M -A ) x n J y [Mx (N- 8) j C [ (MxN)-{AxÉ) J
9 Demostrar : 0 ( C xD ) CT
(jgCxD) u Í C x g D )
y
C*C
x<g 0 )
10.
{ A ? x 8 1 ) n ( Agx §2) « ( A1n A ? ) x ( 8f n ®? )
sabiendo que Ai y A* son subconjuntos de X y 8i , B? subconjuntos
de Y.
D e m o s t r a r que
5. PRODUCTO C A R TE S IA N O
Si ' A S
(í
C A R TE S IA N O
* J 8 , entonces *A x 8
de A por 8 .
y 8
tomo
el nomfe re de
PRODUCTO
P o r tanto
Ax 8 = | ( o , b )6
fft x IR / o e A
A
be-ej
EJEMPLO T
EJEMPLO 2.
Seon A = { 1,2, 3}
B ={ 2, 3}
Luego
Seon A = |x e .R /- 3<x ¿2}
8 = { y 6 I R /1 * y < 3 }
Graficar A x i
A x B = { ( f , 2 ) ,( 1 , 3 ) , < Í , Í ) , < 1 , 3 ) , { 3 1U{3, 3>
REPRESENTACION GRAFICA I
JR x j r .
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Moisés Lázaro C.
OBSERVACION
En el
ejemplo 1 , los conjuntos A y B ^ón fin itos, por tanto Ax 8 también
es f i n i t o .
En e I e j e m p l o
2 . t los
consecuencia
AxB
5.1
o )
il
PLANO
conjunte»
estom bíe n
8
Ay
son
in fin ito
infinitos no numerables, e n
no n u m e r a b l e .
C ARTE SI A NO
\2
R X JR = m * - a | ( x , y ) / x
6IR A
y i JR )
es el
PLANO
C A R TESIA N O
en e I que .*
X
.* es el efe de los obscisos
Y
: e s el ej e de los ordenodps
Los ejes
X e
Y
se
perpendicularmente
(0,0)
es el o r i g e n
b ) f? x ft x IR ~
intercepton
en ( 0 , 0 )
que
de c o o r d e n a d a s .
I R * * | ( x #y , z ) / x 6 R , * y e j R , z € i J
e s el
ESPACIO
T R I - 01 M E N S I O N A L .
c ) Hx 1
x IR x . . . . . x IR » fRn ~ | '(X|,x2l x 3 l.... , xftJ / x j 6 IR |
es el espacio
n - dimensional
n veces
9.2 PROBL EMAS
1. D e t e r m i n a r
dad
los valores d e x é y
a) (x+6y , 7x-3y> = (27,9)
R:
b)
x- 3
Hr-4 , Vs-5
(3x+Sy, 2x-y) = (7-4)
R *. x s - j
d) (7x+ 9 y, »2x+iOy) = («,-4 )
R:
f y- 4
U x - l y . , 5 x * 8 y ) = (-*,- 60 )
R
c)
} d e m odo q u e s e c u m p l a kt tqaal
e n cqdtx c a s o :
x=- 1Z ; y =
i4
*) (tx -I8 y , 14 x - sy ) s (-85, - 5)
ft- x r | , y =5
H
( x - s y ,-7 x + 8 y > s ( 8 , 2S)
" y *=2
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R; x = - 7 , y = - 3
Relaciones Binarias
&
R e l a c io n e s
G.1
DEFINICION
b in a r ia s
Dados dos conjuntos A y 8 } llam am os d e la c ió n B in a
r ía de A en B a todo suboon ju n to R de A xB * e s t o e s :
R
e s una relación de A en 8
s il
R c: A xB
Según kx definición 6.1
dados dos conjuntos A y B
ce un " vínculo'" entre los elem entos de A y Q
EJEMPLOS •
En cada uno d e la s s ie te s preposición e s
lo e n tre los e le m e n to s d e dos ju n to s
P R O P O S IC IO N
N0T4CKW
es h ijo d e
a
b
se estable
s e e s ta b l e c e u n vm a j
RELACION A
SOBRE LOS«4A
C O N JU N T O S LESSEDBstNfiA
ser hijo
& €A = conjunto de hijos
xR. y
Ser ca pita l
a ítb
ser m e n o r
x € X - conj. de ciudades
y c y r conj. de países
a e A =conj. 4e números
x íy
d iv id e a
aR b
ser m ú ltip lo
a R b
8 x conjunto 3e pad^s
X
es
c a p ita l
de y
a
es
menor gue b
X
d iv id e a
a
es
A
e s tá in c lu id o en 8
V
m ú ltip lo d e b
b e 8 = conJ - Je mímeros
« e X = oeyij. éenúm.taiwB
y e y = conj. d e tom» tniwos
estar in c lu id o
A A 8
cl€
A c 2Z
b e B c l
e íP(u)
8 e 5*W>
A
E JE M P LO S n u m é r i c o s :
1.
Dado los
conjuntos
?
A =t °>
■ 8 = {2,4}
se tiene :
A x 8 = j (o,z,, <o,A), ( t,« , (1^), (2i2); (^41, (3,*), U,4) }
•
a
t ie n e 2
subcon juntos .
Todos los subconjuntos de AxB son re la cio n e s de A en 8
filguflGSréloicionesde A en Q son :
El con jun to
A xB
Jfcf ={(0^2j}
R3 = j(a,fe)€AxS/aabJ ={(2,2)}
Rz - \ «>,*>,(1,2), l ',4 ) j
ft4 = | u , Y ) € A * 8 / y - x i 3 }
nota
:
\j
y AxB son relaciones d e A en 8
<£ e s la relación vacCq de A x B
AxB es la relación totaí de A x g
0
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Moisés Lázaro G.
6. 2
DEFINICION
Sea A un conjunto *. Decimos que R es uncí, relación en A
Sí ; y sólo si } R es uno relación de A en A .
£s decir
R
Dado
EJEM PLO :
Son
6 .3
es una relación en A
fN^= 10 , 1, 2 , * , . . .... J
re la c io n e s
e n IN
•
lo s
R
:
cl R b
4=>
a -b
S
:
a. S b
¿o
b-n 2 K - 1
3"
*.
a T
b
a
R d A xA
Su
s i g u i e n t e s s u b co n juntos '•
es m ú ltip lo
de 3
es p rim o r e l a t i v o
con b .
NOTACION
(a,b)€ R
a ft b
Son equivalentes las notaciones :
t
r,
6 .4
c o n ju n to
oe
p a rtid a
v
c o n ju n to
f
*
Q. e s t á e n te fe
ctóh c o n b ^ m f
d ia n te .R
oe
Se lee :
Cl par ordenado
( a ,b ) p e r t e n e c e a la reía cáoñ R .
l l e g a d a m u n a n M \M m
Si R es una relación de A en B. ;} es decir R c A x g ■ <%_
cintos que :
A es «I conjunto de partida y
Q es ei conjunto de llegada .
6.5*
y
d o m in io
S ed R
|EL Do m i n i o
de
Ra n g o
o e u n a r e l a c ió n
uno relación
R|
de A en 8
y es el con^un
(A c Ax B) - definimos :
E L Ra n g o
de
R|
, e s el conjun
to de t o s p r i m e r a s c o m p o n e n ­
t e s d e lo s p a r e s l * > y ) p e rt e
to JormadLo por tas segundas
componentes ( ^ y ) pertenecien
n e c ie n t e s
te s a
a
A
*
dom(Jí.) = |x 6 A / Jy 68^ (*,¥>€*}
R
rang(R) ={ ye B / 5 x e A , C*,y)€R J
x e dom (R)
3 y e B / Oc,y>€ R
y<= ra n g lR ) «¿>
x
*+ y € 8
y^ mngCR)^
4 dom
,
(%,?>£ J2
t
A /< x ,y)6 £
;
M
nanglRlci B
domlR)czA
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Relaciones Binarias
7. T IP O S OE R E L A C IO N E S
Los
siguientes
de f i n i c i o n e s
sedan
de
soto en " r e l a c i o n e s
un conjunto
sobre sí mismo.
D EFIN IC IO N
R es
uno
relació n
D e c i r ". R
en
A
sii
R d
AxA
es uno r e l ac i ó n en A
es equi val e nt e a
d e c i r R es uno relocio'n de
O)
Diremos
o
(2)
que
es uno relación
R
/V\ x € A
implica
( x, x ) € R
t x C
im plica
x Rx
A
Se dice que R es u no r e t ac i o ' n
(x,y )€ R
implico
REFLEXIVA
<=>
S IM E TR IC A
( y ,x ) €
R
,
A en A .
en A s í f y
solo s í
D ( A ) *= R
*
«-•* 81conjunto diácono 1 é§ A
si',y solo si
(x,y)
6 R
que es e qu i va le n te a
x R y
(3)
Se
d ic e
im p lica
que
R
y Rx
es una
f ( x , y ) € R ■a
a
[ x Ry
(4 )
D i r e mo s q u e
R
,
( x, y ) €
relación
( y , z ) €R j
y Rz
J
R
TRANSITIVA
implica
implico
es uno reioeion de
(
s í , y s o lo
x, Z ) ^
si
R
xR 2
EQ U IVA LEN CIA
Sólo fines educativos - FreeLibros
sí ,
y
solo
Moisés Lázaro C.
<5)Se
di c e que R es un© relocicín
I m
M
L
f j e m p l o 1 seo
impltco
A »
sol© si
íxt y }
R
j •hombres j
Ñ m J ( x ,y ) €
y
si',y
ASIMETRICA
Ax A /x es hijo de
y}
^ es ©sime'trico
(i>
R es A N T I S I M E T R I C A
[ ( x, y ) C R *
si,
solo si
( y . x J C R ] . «>■
x= y , -r ( x,y )
E jem plos :
1.
Lo
relocidn
H &
en l o s numer o s
p orque.
2.
Lo rel oci dn de in c lu s ió n / '«e "
trico
(7 )
A &'£.© J
porque:
Diremos
Ejem plo*
Lo
Diremos
que
solo s i
[y~ x
y
© «
a
qu e
a J
de
b .
es uno re loe ion
im p lico
A=
antis i me
8.
P A R C I A L , si es reflexivo
ORDEN
tra n s itiv o .
R
e$ uno r e l a c i ó n
# A
a
a
R tsm m
A = IR ,
V y € IrJ
relacio'n
ontisim etnca , transitivo
y
**<= M en c o n j u n t o s .
COM PARABLE
[
*¥•y € A
conjunto
p o r q u e [ *V* x € IR
Di r e mo s
i
o=
en conjuntos
r e l o c i d n de in c lu s ió n
Ej e mpl o : E n e l
(f)
A *
es uña relocio'n antistmétrtca
implico
que R e s una r e l o c i o ' n
ontísimefrico
( &)
[
reoles
( x, y )
€R
v
( y, x ) i
lo re la c ió n " &
im p lico
de
( © conexo ) s i,
[ x¿
ORDEN
c o m p a ra ble .
Sólo fines educativos - FreeLibros
y
8
y
]
es c o m p a r a b l e ,
v
TOTAL,
y - x ]
si es re f le x i v o ,
Retaciones Binarias
En el conjunto
Ej e mpl o:
oréen
00}
R es uno
de
el
R « ^ ( x , y )
/
uno
o)
R
R
*
A « {
x d iv id e o y }
a
de
P R E -O R O E N
o, b , C j d j
de
relación
equivolencio
en
A
,
pu e s'
es re f le x iv a , por Que
es
\ { o , o ), ( b , b }, { c , e ), ( d, t í ) }
«=
R
s im é tric o , porque
( X, y ) 6 R
im p lico
(o ,o )6 R
=>
( o, o ) e R
(b,b) € R
»>
( b, b ) € R
( c,c ) 6 R
=>
( c,c ) 6 R
(d,d )6 R
=>
( d, d ) 6 R
( y , x ) 6 R , -V-
( x,y ) 6 R
( c, a ) r R
r
=>
( b,d ) € R
s>
{ d, b ) 6 R
(d,b)£ R
=t>
( b,d ) € R
( c ,o ) e
R
O
T I O RI C O S
(o,c )6 R
c)
x
t ronsitivo.-.
R * j ( o , o M M T , (c, e ) , ( d Éd > ,í ó tc ) , ( c fa ) , ( b, d }, ( d , b ) |
P ( A ) b)
€ 22 x2
cumple I R es uno relocion
c o n ju n t o
Lo r e l a c i ó n
es
y
, d e fin im os lo r e l a c i ó n
*>*00 L I M A S
Seo
P R E - OROEN, sí es r ef l exi v o
Si en el conjunto &
se
7.1
M es uno re l o c i ó n de
TOTAL.
relación
E je m p lo .'
A ~ IR , lo relocion
■
{ o, c ) i
R
és ' t r a n s i t i v o porque
{ o ,o ) € R
a
{ o ,c ) i
R
»>
( o ,c )
€
Sólo fines educativos - FreeLibros
R
Moisés Lázaro C.
( b , b ) e R
a
=>
( b , d ) € R
) € R
a
( c,o ) 6
R
- > { c, o ) 6
R
( d,d ) € R
a
( d, b
R
=> ( d , b ) 6
R
( c,c
( o, c ) € R
,
a
) €
( c, o )6
R
=>
( o ,o) 6
R
( c , o )€ R
a
( o ,c
) 6
R
=> ( c , c ) 6
R
( b, d )€ R
a
( d ,b
)6
R
®> ( b , b ) 6
R
( d, b )€ R
a ( b,d) €
R
»> ( d , d ) £
R
N O T A .*
t ) Po ro
p r o b l e m a s t e ó r i c o s no se
So lo
se o p l i c o
olvidar
2 ) No
son
(2 )
( b , d ) 6 R
Seo
los
¿ Es
R
uno
INx JN ,
de los r e l a c i o n e s
b in o rio s
definido por
o + d =s b + c
relación
S o lu c ió n
m añero
ORDENADOS.
R una re loe ion en
( o ,b 1 R { c , d ) <*>
de "esto
definiciones correctam ente,
que los ele mentos
PARES
procede
de equi v o le a cio f
A
A
Tenemos *
Los elementos de R
o ) ¿
Es R
son
de lo f o rm o
re fle xivo ?
Se cumpl e
que
:
^ ( a, b ) , ( a , b ) ^
x
porque
^ (o ,b ) , ( c , d ) J •
0 + b ~ b +o
€
ü
if* ( o , b ) i
x
es
x
verdadero
Sólo fines educativos - FreeLibros
-V* o tb €
H
x ^
A
IN .
Relaciones Binarias
b ) d E s R simétrico ?
Si pruebo que
o f i r m a ra'
Veamos
( ( 0,b) , ( c ,d ) ) € R
que R es s i m é t r i c a .
!
L o h ip ó t e s i s
Pero
implico ( t c , d ) , { c , b) ) 6 R
es
.* (
,4))-f
( (o ,b ) , < c , d ) ) €
R <» >
R
o fd
»
b+c
f
operamos
c *
La s u m a es Gonrnutat^iva . . .
Por
c)
¿Es
tonto í
R
...c
o + d
, la igualdad es stméfnca.
b m d■+ © indico
( ( ,ct d ) , ( 0 , b | )S R
es r e f l e x i v o .
R s i mé t r i c o ?
Si pruebo Que
[ ( ( o , b ), ( c, d)) 6 R
í ( o , b ) , ( m , n ) } € R , afirmaré
a
que
( ( c ^ d) , ( 01,0 ) ) € R ]
implico
R es s i m é t r i c o .
Veamos
Por
hipo'fesis, tenemos : [ ( < o , b ) , ( c , d ) k R * ( ( c , d ) , ( m, n) )
o -f d s b + c
6 r J
c +n = d + m
4
4
I•
J
s u m a r m Lmmbro a mi embr o
L.
( o t d ) + { c 4 n } es'
( o*n } + ( d X ¿ )
o 4 o
( ( o , b) .( r n .o ) )
Lo
cuoi prueba
que
R
es
*
(b +c } * { d+m )
( b + m ) 4- ( c \ d )
* * b4 m
i
R .
transitiva.
Sólo fines educativos - FreeLibros
Moisés Lazara"€ .
Porque
es re f l e x i v a , s i m é t r i c a
R
y t r a n s i t i v a , afirmamos que R es
una
relación de equivalencia .
De igual monero t pro c eda
Se o
R
uno r e l a c e n
( a ,b
a)
)
Anotizor
d)
en las s i g u i e n t e s
R
( c ,d )
si R
NoWor
definido
los
<«>
pores
2 + x 2 * , por
en
o d «
es uno r e l a c i ó n
( c #dP)
problemas :
be
e q u i v a l e n c i a ...
de
que
cumplen
( 2,3)
R ( c td )
So lu cion
4)
o )
R
es
b)
( e . d ) * K ( 2,3 )
Seo
R
uno rel aci ón
cion de
e q u i v a le n c i a
( b tc ) €
Dado el conjunto
sigu ie nte
X R Y
Mollar
t ^
K € M ,
uno retare ¡--oh. re f le x i v o
entonces
de l
de equivalencia
R
sí , y
K # 0 '
en A. Demostrar que R
solo si
(a,b) € R y
es una r e í a -
( o,c ) € R
R .
A
a , b - , c j • D e fina m os la r e l a c i ó n
R
en
modo
<~>
X u
Y =
A
a
X n Y =
0
por e x t e n s i ó n .
Respuesta ’
R » | Í 0 . A ) , f A , 0 > , ( { o } , í b, c } ), ( { M } .1*»!)
M R N
<=>
f ( N ) «*
f (M )
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{ o . c } ) , ( { o , c } , { bj }
Relaciones Binarias
Analizar si "fl " es uno relocio'n
a)
reflexiva,
h ) arrti simétrico.
c ) tronsitivo .
d ) de orden par c i a l .
©
S e a A = { p / p es una proposición \ 3 s e a
d ada por :
( p , q j € J l S L f y so lam ente s i
A n a liz a r s i SL e s una re la ció n .
(a) reflexiva
u n a re la c ió n en A
( p =^q) e s ve rd a d e ra .
? ib) simétrica } (c) transitiva ^ y (d) ant¿simétrica .
( f ) S e a A s j P / p e s una proposición j y se a J l ; una re la c ió n e n A
d efinida por *.
(P,q) * ^
St, y
Analizar s i «R e s una re la c ic ít :
(a) reflexiva
(b) sim é tric o ^ le)
®
Sea
£
una rela ció n
en
J í. =| (a ; b )€
Z
so lam ente S¿
e s v e rd a d e ro .
t r a n s it iv a , ¿e e q u iv a le n c ia ..
d e fin id a , p o r :
(a -b ) e s m últip lo de 7 }
/
¿ £s .R una relación d e e q u iv a le n c ia ?
®
Pag
P ro b a rlo .
Sea
T el conjunto de trián g u lo s en e l plano IR*
«íj 'sea. S una relación en T
definida, del sigte modo ‘
(x ; y) € S
x e s se m e ja n te a. y .
•Demostrar qu e S e s u n a relación d e e q u iv a le n c ia .
©
Sea
i
e l conjunto de rectas en el plano íR x ÍR
una rdacton en «£ d e fin id a por *.
(Lf, U ) * 5
¿ Es S
®
Sea
íP(A)
(X ,Y)
e) conjunto
©
€5*
¿
Es
¿
E s JL
S-
sea
es paralelo a Lz
una relación d e equivalencia en f
Definimos U*
y
?
Rfobarlo .
p o te n c ia d el co njunto A .
relación & en íP(A) del siguiente modo *.
<=*
X
C
una relQ cion
Y
e q u iv a le n c ia \
una relaacñ antisim étrica ?
P ro b a r .
Ju stifiq u e .
Sea # una relocio'n en IR deftntdo por *. Ó. R b
A n alizar s i .R es una relació n *,
ta) re fle x iv a } Ib) s im é t r ic a y c<c)t r a n s it iv a .
Sólo fines educativos - FreeLibros
a <b
S
Moisés Lázaro C.
—
®
©
-
Saa S una retorcton en ÍR definido por *. a.Sb <=> a £ b
Analizar si S es una relación :
(a) reflexivo
y Cb)sim etó ca ,
(c> t ra n s it iv o , Cd) antis i métrica ^
l«> comparable , (*> de orden total
.
(§) La igualdad de conjuntos ¿ es una relación d e equivalencia J
Probarlo .
*
d§) La igualdad de números reates é es una relación de e q ui ­
valencia 7 Probarlo .
© S ea una función
f : IR —» SM®} cualquiera . De finamos en IR
la siguiente relación S :
<x 5 b
i) Demostrar que
ti) -% i
f(o ) < O
numero O *
(§) Sea
S
7 ^
flb)
>O
e s de equivalencia»
}c a ra cte riza r Icl c la s e
una relación
(a,b) € f (
<=❖
de equivalen cia del
en TL por :
definida
s í y sólo s í
e ü .
a) Analizar si 51 es relación de equivalencta
b) Si iR. es de equivalencia } caracterizar las
quivalencia. ^ por comprensión .
(§) Sccx.
A » | 3 k / K£ 2 L }
Se
define en A
la relación ¿R siguiente :
l*,v) £ ¿R
y
sí
**) Demostrar que :
b)
Analizar
c)
(jj)
solo sí i ílíl? € A
2
(x , y) £3 1 a
(v,x)ejR
D e m o s tra r q u e la rela ció n
(S ) S e a
^ ^
te
relación :
f; A-vA
^
^
Re f l e x iv a .
una función . S<z define en íP(A) la stguten
,
M 51 N ta> f (N) d f(M)
Si **
t r a n s i t iv a -
e $ u n a relación
d)
d e o rd e n
S e a 6 ^ =-| S u cesion es
<2) Sean
clases de e -
(& n )€ fí$
- = { ■ bn
a) r e f le x iv a -
ó) a n tis im é tric a ^
p a rc ia l •
reates que son acdtaalas
y (bn) € 6 ^ . Se define la suce sió n (c n) m ediarle;
? n tnipar
Probar que (Cn) c e #
Para fan) £
y (t>n)€e# ^ s e define la relacton
en
de
la si^tre manera. *.
(bn)) e-R. <=» (a.n-bn) e s convergenteDemostrar que
es relacton de eqtnvalencia. %
b)
Nota :
(ctn) y I b * )
no
son n e c e s a r i a m e n t e « r o n v e r s ^ r it e s »
Sólo fines educativos - FreeLibros
Relaciones Binarias
« C L A S E DE EQUIVALENCIA Y CONJUNTO COCIENTE
a ) si
R
es uno
definimos
de
relación
equivolencio
en A , p o r o codo x 6 A #
el conjunto :
[ x ] = i y 0 A V ( y , x ) € R]
Lnio
llomodo
b)
CLASE
E l conjunto
OE
dé todos los ' closes
dé CON JUNTO
denoto
E Q U IV A L E N C IA
A
C O C IE N TE
de x .
de equivolencio de A.tomo el nombre
con respecto- o lorelocioV
R
A /R .
C < lC M P L Ü
I •
seo
A S | o , b , c , dJ
R “ | ( o, o) , { b , b ) , ( c , c ) , ( d.d ) , { o , c ) , ( c,o ) , ( b,d ) , (d , b ) J
En este coso se tiene que R
es
uno relación de e q u i v o l e n c i o en A
Se tiene•;
1)
[o]
= j o , c) = j y
eA
/ ( y ,o ) 6 R }
= j z 6 A / ( z . b ) e fí}
[b }
={b,d|
[ c ]
= í c» ° }
= { me A
/ (m.c ) € R }
[d ]
= { d , ’b}
= jn6A
/ ( n, c ) 6 R )
Donde i [ o ]
es lo
clase
de equivolencio
de
a
£b ]
ii
ii
ir
ii
»
ii b ,
[c ]
II II
II
l
II
n c .
[d ]
ii ii
II
H
í
2 ) El con junto
cociente
A
con respecto
n
d.
o
R
es
Sólo fines educativos - FreeLibros
!
y se
Moisés Lázaro C.
EJEMPLO 2 -
Se o
Z* =
Z -|0}
y «o
Definomos en S lo re la c ió n
(
(o,b), (c,d ) )
o)
Dem ostra r que
b)
Hallar
6
S
R
<=>
R
= Z » 2#'
por
od «b e
R* es una re la ció n dee q u i v o le n c i o
[ (0,2) ] y
en S.
[ (3,1) ]
S O L U C IO N :
o ) E s similar al problemo
b )
i)
[(0,2)]*
Pero :
(7 )
{ (o,b ) C 5 /
( í o , b ), ( 0 , 2 ) ) £ R ¡
( ( o , b ) , ( 0 , 2 ) ) 6 R <=>
{ o ) ( 2 ) =( b ) ( Ó)
2o = O
0
«S O
e
r }
Luego : [ ( 0 , 2 ) ] * { (O.b ) e £ /.b S Z * }
«)
[ í 3. 1) ] * : I ( x , y ) e S / ( ( *,y ) , (
Pero :
( ( * , y ), (3,1) ) 6
R
<=>
3,1
))
( x ) (1 ) = ( y ) ( 3 )
x
Luego:
[(3,1)]*
| (3y,y)€S
= 3y
/ y £ Z * }
= | y (3,1) e s / y € Z * j
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Relaciones Binarias
9. PROPIEDADES DEL DOMINIO Y RANGO DE UNA
RELACION.
Seon R y $
OEL
dos relociones
de A en 8 , se cumplen los siguientes propiedades 1
DOMINIO
DEL
RANGO
Df ) D o m ( R u S ) = Dom { R )u Dom( S )
Rt ) R o n g ( R u S ) = Rong( R ) u Rong( S )
0? ) Dom ( R n S
R?) Rong ( R n S ) <£ R ong( R ) n Ron g { S )
Oom( R) n Dom { S )
R3) R o n g ( R - S >31 Rong { R ) - Rong ( S )
D j ) Dom (RHS ) s> D o m ( R ) - O o m ( S }
S U G E R E N C IA .*
Poro hocer demos tro ció n es
Ud.
los conjuntos y sus elementos
representor en un diogromo de Venn
debe
poro
aplicar correctamente los definiciones
respectivos .
Por ejemplo
Los definiciones gue debe opiicor son ‘
a ) x 6 Dom (R)<=>ly 6 8 / { x , y ) € R
o ) y £ Rong (R ) <*> 3 x 6 A / { x , y ) £ IR
b ) x ^ 0 o m (R )< »> -V y £ 8 , ( x , y ) f R
b)
y j^R ong (R )< a > -^x £ A, { x , y ) ^ R
Ademos tener en cuenta la siguiente implicación
Lo proposición verdodero
"
y £ 8 , ( x , y ) j í R " implico ** 3 y € 8 " f(x,y
Iguolmente . " *V* x 6 A , f x, y ) f. R "implico “ 3 x £ A , ( x , y ) j , R "
10. RELACION
INVERSA
DEFINICION
Si R es uno relocidn de A en 8
entonces
R E LAC IO N
(es decir R c
R-1 es uno relocion de 8 en A (es decir
INVERSA
Ax8
R 1c
DE R .
Sólo fines educativos - FreeLibros
)
8 x A )
llomodo
R
Moisés Lázaro C.
Oe m o d o
que
‘
eq u iv a len tem en te :
E J E M P L O . Sean
Seon
ñ « (
re la c io n e s
( y , x ) € R ~ '« * >
( x , y )
{ y , x ) 6
( x , y ) 6
R * 1 <=>
Jo s ^ o n j u n t o s
6 R
R
A - |o , b , c , d | , 8 » {
( a , f n ) , (g ,ft )•,( b » p ) } y
q, r }
S = { { b ,m ) #( c * n ), ( d , p ) |
de A e n 8 .
Lo reíocio'n inverso de R e s
cz
8 xA
L o re la c ió n inverso de S es $**« | ( m , * ) , ( n tc ) , ( p Id ) y € -
8 xA
R es
uno rela ción
Oom ( R )
R~* = ^ { m,o ) , ( n , d ) , ( p , d ) }
de A e n 8
= { a ,b |
Rong( R ) * { m, n , p j
Oom (R-1) » R o n g l R ) = { m, n , p }
Rong (
dos
R* 1 ) = Oom ( R ) * { o,b}
S es
uno r e l a c i ó n d e A en @
06m { S )
= | b ,c , d J
R o n g í S ) ss \ m . n , ? } -
O om ( S "*)
Rong( S
)* { m ^ p j
R on g { S"f > « Oom ( S ) » f b , c , d j
Sólo fines educativos - FreeLibros
Relaciones Binarías
DOMINIO Y RAN60 DE UNA RELACION INVERSA
KM
-
Si
R es uno
deR , se
re ío c io V » d e
A en
( R"*1 ) ast
Rong { R " 1) »
10.2 PROPIEOAOES
R y S
p,
pí
'
P3 •
d o s re k ic io n e s
Dom
{R )
S"1
(R -S T
S"1
1 “
-
= fi "1 ¿
re lo e i¿ n
de estos
C u m p le n
propiedodes se hoce con los de finic io nes
R “ 1 <=> { x , y ) 6 R
) / R'\<=>
{ x , y) ^ R
OE
RELACIONES
uno
re loción de A en 8
S
uno
reloción de 8
lo re loción
“
y
en C
S o R *
(R
compuesto con S )
del sigoiente
* modo :
S o
R
v_y
35 i
in v e rs o
s”
R
Definimos
lo
IN V E RS A
A e n 8 t Se
de
( R n S I*1 * R ‘ r n
10.3 COMPdSIClON
Seon
( R )
s -
• ( y, x ) 6
,x
R ong
( R U S i *’ * R 1 u
Lo demostrocion
•{ y
*
R 1 es
DE LA RELACION
( Rá S ) ■’
P4
,
‘
y
c u m p le n ‘
D om
Seon
8
(x , z )
€
A x G / 1
i
y 6
8,
( x , y ) € R
a
' ( y t z
•
R c o m p ue st o con S o
" R e loe ion
)
S
$ }
j
c o m p ue s to
Sólo fines educativos - FreeLibros
de R y S
Moisés Lázaro C.
Lo
S = S 0
retocion ” R compuesto c o n
NOTA'
Lo r el ac i ón
EJEMPLO 1.
S©R
Seon los
de
8
R = {
S
Hollar
a)
perm ite
hocer ef siguiente
existe si', y soto si
R o ng(R )
ft O o m { S ) ^ ^ f
conju ntos
C= | b , c,g , h j
S
nos
|o,b,c,d j
A-
definí mos
en
C
del
las r e l a c i o n e s
^
fJ ,
de A en 8
y
siguiente m o d o '
( b , c ) , ( c , d ) , ( d, e ) , { d , d ) , ( d , f ) )
= [ ( c , c í , ( t , c ) , ( d, b ) , í f , g j
Se
c, d , e,
, 8
R
b )
I
'
R o S
Solución
a)
Hollemos
R c o mp u e s t o
E n l o n o t ac i ón
§ © R-
con S , es
decir
tener en cuento que ' el de
r e l a c i ó n de PARTI DA
retmio'n
Con di ogro mos
S© R .
de f lechos
SoR
dé
lo derecho
es lo
y el de lo izquierdo
llegada .
es !
A
Sólo fines educativos - FreeLibros
R
—— -♦ 8
S
— —♦ C
.
es la
Relaciones Binarias
Este
dio gromo de f le chos nos indico
.*
de A
d i r i g i m o s o 8 y de 8
gimos.
Con esto nooiod es muy
sencillo
R0 S .
obtener
Veomos
R » I
( b t c ) f { c , d ) , { d,e ) , ( d # d ) f Cd , f ) i
l
(
S
/
^
a | { t, e ) , ( < c
Los flechos
) , C * 0 ) , ( f¡ g ) |
nos indicon que
SoR = {
b ) Hollé m os
S 0R , is !
{ b, c ) , ( c , b ) , ( d, b ) , ( d , c ) , ( á , g ) }
Ro S
8
• Róog { S ) n
S *
{ ( c , e ) , ( e ,9 )
R =
( ( b*7c
(
R o S
— |
EJEM P LO 2
nos
Dom ( R ) — - — -*■ 8
, ( d j b ) , ( f, g ) V
\
Las flechas
•
'
T,
ht, d }
indican
, ( d, e ) , í d, d ) , ( d , f ) }
R© S
que
( c , d ) , ( e, d ) ,
( d,c ) j
Dado
los conjuntos
h allar
1
A
UoT
es
A (?© >c ; D
? VoU
,
VoU oT
y
la s
.
t
Observando e í diagrama, obtenemos directamente *
i)VJoT
= ^ a , b ) > Ib,*»), (C,S>,<CA>}
« ) V o U . = $ < «,«),.(d ,n ^ e ,p ),
tti) V o U o T
= ^ (a ,n T )
tcVP>,
j -
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relactjones
diri­
Moisés lázaro C.
PROBLEMAS
I. Seo.
y sea
una relación de A2 en A dada, por
R = { feV),*) € A2 X A : 2 = x-t-y-1
a x*yf
Determinar por 'extensión el domirno d e & *. ■'
Z. Sea la siguiente^ relación en 2 * Jt r {(x,y) e 2 x 2 ¡ 3 K e 2 * x —*•y J
Analizar *s í
B.
5.
S
tra n sitiv a 9 y
m ediarte ■C*,Y)€ Jt <=» ^
C t?A
€ A 2 / * tY = 4 }
Determ inar todos los elem entos del conjunto S
Dado o! conjunto A = | a 7fc>,cj . Definamos la relación íR en íPca)
d€i l u i e n t e modo : X $ y ** X u 7 ■= A
a 7 LO T = 0
Hallar J?. por extensión «
Sea
tra r
Si
una relación binaria cualquiera de A en B .
íR
R ’1
6.
o-) ref lexiva - b) sim étrica ^
d) aniisim étrica .
Sea @l oonjunto . u n iv e rsa l‘U =
un Subconjunto de U .
Definimos en A una relación í t
y
A.
5 ?. e s *.
e s la
re la ció n
de
B
que
es
s im é tric a
A -$-z,-);o,t,2}
8 = Í - i,
o
e n A 0 in v e r s a d e
S t y seto s i
J?. -
R
^ dem os­
.
^2, 3 }
Se definen los siguientes relacióneos S de A en B y T de BenA
mediante
c x ; y )€
S
C*, y ) € T
7.
(x+y) e A
<=*
( 2 x - y - l ) € JB
3)
Hallar
( Dom S - Oom T )
b)
H a lla r
(S A T )
c)
d)
HaUar gg ( RanT) n ^ (Ron S )
D e fin a una relación K s im é tric a
Dom ( R )
(AnB) .
en AHB
tal. que
S e d e fin e en IN
la siguiente relación
R ? m e d ia n te
<x-,v> e R
( x*f y ) e s par .
Averiguar SÍ
R
e § . reflexiva ; s im é 'tric o ? tran sitivex .
¿ E s de e q u iv a le n c ia ?
8. S i
^ JR. y S dos relaciones tra n s it iv a s en A a) D em ostrar que ( R O S ) e s tra n sitiv a . .
b) ¿ E s R u S ? una relación t r a n s it iv a 7 ^
Fbr q u é ?
S. Sean R
a)
Bi
b> S i
y
R
R
3
relaciones
A
.
Dem ostrar
> ta m b ié n
*.
y S
son
re fle x iv a s
yS
son
s im é tric a s ? también lo son R n S
Sólo fines educativos - FreeLibros
lo s a n f t O S ’ g
y
R ü S *
RuS .
Relaciones Binarias
Si R
e s s im é tric o ^ ta m b ié n t e es R ‘ l y 7 § R
R
e s sim étrica.
Si
y solo s i R~' = R. .
O)
d)
10.
S e d e fin e e n 1N *La s ig u ie n te
(:>c, y) £ R
4=^
X-y~5K
^
a) D e m o s tra r que- R
es relación
b) D e s c rib ir ; por co m p re n s ió n ^
r e la c i ó n R V
para algún K € Z •
d e e q u iv a le n c ia .
tas c la s e s d e e q u iva le n cia
Sean ios conjuntos I A = j 2 , 3 , 8 ,.9-J
binaria d e A en B , d e fin id a por
H a lla r la relacia’h inversa de R .
11-
12.
Sean
R y S
relactones
y B =| 4 ,7,c ] y R una relación
: R = | (x,y) g A x B / *<v } *
definidas en A ^
•
/Diga cuáles de las siguientes proposiciones son v e r d a d e r a s o- j a l so s :
P :
S i R e s reflexiva yS e s s im é t r ic a R u S és simétrico.,
g. :
S i R- es transitiva y S* és tra n s itiva => R u S es tr a n s itiv a ,
r : 3 i lx,v) e R
a- (y ,z )£ R
*/y>2 G A d ife re n te s
R e s tá n
13.
s it iv a .
Sea A = { - 3 , - 1
¿ Cuales
P :
,3/6 , 5 }
de las s ig u ie n te s proposiciones son -v e r d a d e r a s ?
R , r | u ; y) e A x A '/ xy
fle x iv a ,} s im é t r ic a y
divisible por 2 } e s u n a
tm n s itiv e x ,
;
S r j ÍX/V) e A* A / x+.y.
divisible por B J
equivalencia en A .
.
r :
T = f Oqy)£ A * A / x -y
divisible por B \
flexiva y transitiva en A .
14.
D e finim o s
en el
c o n ju n to
re la ció n no re ­
e s una relación de
e s una relación re­
A =| 1 , 2 , 3 j
la
s ig u ie n te re ía
cion
R =1 ( ' / ) ((3,2); C2,2),(S,S),(4>?),14<4 ) ; ( 3 ,X ) ^ 3 ^ )^ (y,X) , l *,*)_,
Bi
R
es
relación
de
equivalencia en A
|
h allar 2 x + 3 y - 2
Solución ; 8
15.
A c | 1, 2 , 3 ^
Sea
, vof
s e 'd é f t n e n .la s
s ig u ie n t e s r e la c io n e s
én A
*■ R , . c | CX,y? e A 2 / 2 x * Y 2 }
R 2 = { i X, y ) £ a V
X - 1 - 2y j
R v = j ( x , y ) e A 2/
V «s }‘
R4 - { (x ,y )€ A2/ 5 x < 3 y -Q }
¿Cuales
p : Ri
v
r :
R2
R4
de
las’ siguientes afirm aciones son verdaderas ?
es reflexiva
y
R/* « s
s im é t r i c a
y r 3
Son f u n c io n e s d e
t r a n s it iv a .
A
en
A .
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Moisés Lázaro C.
^ * Pora relaciones binarias definidas
afirmaciones *.
0)
(2)
A ^ ^ } de las siguientes
S i R es s im é tric a ,
y tr a n s ítiv a . en to n ce s R es re flexiva.
P a ra E ^
^ .S e a
A = fP(E)'- . D a d o B c E ,
la re la c ió n :
( X , Y ) € R <=^ X O B r Y O B
es de e q u iv a le n c ia en A ».
13) S t A ttfd.,
^
? la rela ció n V
^ (a , b ) , (c ,d ) 5(d ,d )
, Ccs^o ^ (d ,c) ^ es t r a n s it iv a
pero n o e s
S im é tric a .
¿C u á les
son v e r d a d e r a s
?
"W* S e d el conjunto A = ^ 1,2,3.,4f y c o n s id e re m o s la S ig u ie n te re ­
lación tran sitiv a en A :
J t = ^ (1 ,» i(1 ,3 ),(3 ,l) , ( 3 , 3 1 , U , 2 ) , <2 ,4) , (4,2) ( 4 ,4 ) }
d)
Probar que
es reflexiva,
y sunétricoi . ¿ E.s ít de equiva
le n c ia ?
b)
c.)
Para tó e lo
* €. A ^ definimos : C*3- = { Ve A / (y >x> € vR }
Según e s ta d e f i n i c i ó n ; h alla r
L i 1 5 C.21 ; L B 3
yLA} .
Decir s i e s v erd a d ero», cr f a l s a , cqdex u n o d e la s s i ­
g u ie n te s a fir m a c io n e s ^ ju s t i f i c a n d o
c o d a r e s p u e s ta * ,
ít)
tfc.
Sea
C l ] n C A l = S ¿ >7 ( ii) L 3 1 = C 4 1
la
*
j tot) I i l u U l = A
s e g u ie n te r e la c ió n : e n
. í l é \ lx,y) e 2 x 2
1L
/ ^ k.€ 2
\
: x-*y }
A nalizar s i IR e s ;
a) R eflexiva 9
b) Simétrica c) Transitiva y d) Antí simétrica.
Sea A •={ xe 2 / x e s múltiplo d e 3 ]• . S e define- en A
la relación
siguiente I
*R y
<=» <x'- y) es m ú ltip lo de A ..
a.)Demostrar que íR es u n a re la c ió n de e q u i v a l e n c i a .
b)
D e t e r m i n a r e l c o n ju n t o
cociente
A / f t ; esto e s , el con
#
J u n t o de t o d a s l a s c l a s e s d e e q u i v a l e n c i a .
*0. Sea R la celactoln d e f in id a p o r . R= j ( x , Y) €- 2 x 2 / 2 divide a (x-y.) f ,
e q u iv a le n t e m e n te :
* R y < = » x = y(m ód2.)
.
h
Analizar s i la
v a le n cta .
l«e
x. es congruente con y md
dato 2 ”
congruencia, m odulo 2
e s una relación, de equi
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Relaciones Binarias
—
21
Se on
A - c = [ - 1, 0 , 1 ; 2 }
lo s conjuntos
lación d e A e n B
y
S
R = f lx,y) / Cx+y) e A J
y 8
una re la ció n d e
y
—
—
©
—
- H , un a r e ­
B
en C
7 daofcxs p o r ;
5 = \ U , y ) / Y 2= x }
Belcrminar por exten sión ;
a> S O R
^ b)
-
(rang ( S o R ) ' 1) ñ ( d o m R ) .
.
•
'
22. Seqn
A
=| X€ ÍN / *
[unción tal que
no e s mayor que 12 }
y .í : A —*_IN. > uno.
J(x) = m á xim o del conjunto {1,X}
(asi por ejem p lo : f(z > = m á x im o del conjunto { i ,2 }^e s 2 ^
Se
de|Lne en A la r e la c ió n R m e o l i a n t e
(*,y) G R <í=£ *f(Y) = 3 fC x ).
:
D e t e r m i n a r t o d o s lo s p a r e s d e R .
23.
Sea
t r ic o
Si
A = [i,2 ,3 J
. R , S y T
son re la c io n e s
t ra n s it iv a 5 r e s p e c t iv a m e n t e •
y
.
e n A , r e f le x iv a } s im e
-
R - [ ( 1 , 1 ) ,(2,3) , (ol,2) } ( S , b ) V
S = \ (1,3), ( c , d ) }
T = [ ( 3 , e ) , (2 ,3 )}
Hallar :
( b- cxj 4- ( c - d h + e
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Moisés Lázaro € ,
1. Problemas Resueltos
©
Se a n
los conjuntos
Donde: Áx B
A
= {1 ^ 3 }
8 =
{ A,s ; G¿7 \
= { ( I A ) ) (1<5))(l,(,) ) C 1 ,7 );(2 ,4 ),U ,'5 ),(2 ,« ,U m
Ahora } ve a m o s
D IA G R A M A D e
,l ,z ,b ) ,<.-*,!)}
^ 3 ,* .)
los siguientes conjuntos :
O.) S ls ={<1,4), (1,5) ,0 , 4 ) } v A g u í
b)
y
fii d
AxB
=>es una relación
d e A en B .
VENN
R z = { ( 4 , i ) >(4 *2),(5j)/(5,2)}.'-/A qui
Bx A
es una relación de Ben A.
! •' / * *
OomCRj) = {4 ,5 } cz B
R a n g (R 2y = \i,2\ o
D IA G R A M A
d e
•4 .5 (m 7
A
d ia g r a m a
VEN N
Considerando el universo U
A } > tabular y
cas de caolo uno de Las Siguientes retactones *.
©
r e c t a n g u l a r
construir las 9r á ^
J f,-{lV ltU * Ú /y = x j
S O L U C IO N
■
1o Tabulando
2o
*
el c o n j u n t o . - , obtenemos íti - \0^),O,2),(t3,3); l14,4)^
El gráfico : ver Jig j
^
a de m a s
:
Dom (#i) = { l , 2>3,4}
Rang(R*i) r { 1,2,3,4}
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______________________________ Relaciones Binarias
( 5 ) A z ~ {(* ,* )« U * l/ / x t -y
r 3)
So l u c i O m
t*) Tabulando el conjunto M i
obtenemos :
J l z - { U ,4 ) ' (<•,!), ( 2,3 ), (3,2 ) J
Oom( * , )
: \ i ,A ,2 ,1 S }
Banjo (X i) = J * , 1 . 3 , l j
2?) £1 jfo/zco de J l z
.£3
@
v* ' fty -2 .
r | (* ,3 ) « U x U / * = 2 }
s o l u c ió n
j*) Ta bu lan do
<zl conjunto
D w n& tf r i 2J
}
2?) El gráfico de JZ 3
®
obtenemos :
-
j ( 1 , - j ) , ( i ti ) ? ( 1 , 3 ) , ( 2 , 4 ) }
;£»*9DC#3) ¿s I 1,2,3,¿} \
ver f 'S - 3 .
ftt, z { (*, *) € U x U /
y =3 J
SOLUCION
J*) Tabulando el conjunto
O om
)
*•) £/ gráfico
obtenemos : JZi, r j (1,3) f (2 ,3 ) t (3 , 3 ) , (A ,3^ j
= j J, 2 , 3, A } ■j R a n g o £ £ 4 ) r J 3 }
^2 4
ate
ver fig./t .
= { ( * , y ) « ü*U / y < x .j
(o )
SOLUCION
1») Tabulando Cl conjunto
Domí. 8 5 ) = { 2 , 3 , A )
?*) £/ gra fito
(7 )
^6
ver
o b te n em os:fís - {(* , 1) , Í3,l>, < 4 ,1 ),( 3, 21, ( 4.,2) , ( A , » }
) Ftan<j0 ( $ s ) - { i,2 ,3 ) .
//^. 5 .
= {(* ,y ) € U x tf / y ¿
x
j
S O LU C IO N
i») Antes de
ta b u la r , tener en cuenta <fue
y ( x
O
y
x
Zueyo : -»6 = | ( * , y ) € U x t / / y ^ x J
= { ( i , j y , ( i , 2 ) , ( i , 3 ) , ( l , Z ) , ( 2 , 2 ) , ( í , 3 ) 1( 2 , Z ) , ( j >s ) )(3 ^ ) j ( A ) M |
DomC*c) =
R o n jo ( jl G) = { 1 , 2 , 3 , A}
2*) £7 g rá fic o
de
vér f ig 6 .
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Moisés Lázaro C.
u
:
;
t
....4 - I - —
1 i Í
¡
.....^
5
'
j
:
•
i
V
i
!
t
.
:
i
- -r
«
i
:
:
1
i
3
*
t ~ : ■
4
i
3
4
i
J
?
!
4
¿
(
2 .. J . - - L
•
•
:
►
i
3
,
V
w
1
2
U
;
.....f - r - f - r
—
»
’• J
i
4**1...... .
•
'
¿
»
¿
H-
*u
4 -J -4 4 '
i -é_L.
1
2
}
i
i
2
3
A
-►U
/*>.5
figJ,
_L
2 2
/*?.6
£ n cacfo uno de ¿os fijara dos del' 8 al U } asió dardo una re lerdón <¿n al
coa'jua^o ^ 1 , Z 3 4 S 6 7 .^ ^ Cuá/as de astas retardones son reflexivos ?
©
|C 3 ,7 1 , ( 7 , 2 1 , ( 6 , n , n , ( 7 , 7 y ¡
©
j ( * , y ) / x 2 ■fy2 ^
( £ ) | ( * , y ) / y es un factor de oc J
@
25}
j ( * , v ) / y - x es múltiplo de 3 J
A/OTA : " & **25 cofís/dtfcréo como, un multrp o
de cualquier número •
SOLUCION
©
>vo #s r e fle x iv a
7 porque poro serlo as na cosario que estén ¿os pares .* (1,1),
r Z 2 ;,(3 ¡3 ),C ¿ ,6 ),(5 ,5 l,(6 ,6 )
©
1 a , i ) , á , 2 ) , ( i , }),(/ ,6 ), (2,1.) ,(2 ,2 ),(i, 3 )', (2,Z), (3,1) , 0,2) , (3 ,3 ), (3,2.) ,(4 ,l) ,(4 ,2 l, (4,1) j
NO ES R E FLEX IV A
@
}
U
fÓ lto n ¿OS
Í4 ,4 ), (5,5) ; (G,6) f (7,7) .
| u , j 1 ,(2, J ) ,U ,21 , ( 3 , í ) , ( í , i ) , ( 4 , J 1, (4 ,2 ) , (4,6 1 ,(5 ,l1 ,(S ,5 l,(6 ,ll,(6 ,l),(6 ,3 ),fc ,6 ),(T ,l),(7 ,7 )
£5 Reflexiva
.©
y (7 , 7 ) .
j
.
I (3,J l.f i ,21,a ,6 ) , tí,71 ,(2,71,(2,3),(7,s i,(3 ,31,(3,61,(3,61,(4,61,16,51,(4,71,(5,51,(5,61,(6,61,(6,71,(7,71}
ES aeFLEKtVA.
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Relaciones Binarías
En codo uno de los e/erac/ós del 2? ot 25 esto dado uncrre/aaon en ei conjunto lo i i 3 .
4,s} .
' *
d Cuates ote ¿wtm relaciones son simétrica*
©
{ ( I . r t , ( í > n , { 3 ,« I(5l*><( l,f l,( * 1J ) ,n l3 ^
(b )
{ ( * , » ) / 7 a. 2 * + 5 }
@
|(*,y) / * > + y í =
©
j < *> *)/
23 }
*7 > O J
S o l u c ió n :
@ £ S smárncA
@ no ss smérmcA
@ s s smmmtcá
£rt codo uno de tos ejereJobs det ig al 19
@ &s simétrica .
esto dado uno relación en t i conjunto
de los e n te ro s ¿ Cuates de estas relaciones son transitivas ?
{(* ,y )/ y r x 2 |
®
@
¡(x ,y) / x > y j
@
\ <*,vV/ x < * }
(j* )
SI E S
@
{ <*,?) / x + y : 6
@
> 0 FS
SOLUCION
®
@ S/F5
H0 £ S
.
Cí/oies de los siguientes relaciones en ei conjunto j 1,2,3,4]
son : feo £¿*¿£x/vas ■
(te) simeTQtcAg t (q) transitivas ? i Cuates son relaciones de equivalencia ?
M x 2 { (x,Y) / X +y = 5 |
2?3
= j (x,y) / y ¿ x j
.£5 = { <x,y) / | y - x I CS múltiplo d e 2 }
M i z | <x,y) / y < X }
£4
r | (x/y) / x : 2 j
Me - |(x,V>/
|x-y | ± J j
SOLUCION
J lk Z
|0 ,0 ;
U , 3 > ,1^,2') }
£S
x 2 = | u , n /(3; n , ( 4 , n >(3,2Y) (A J2 ^ ( C , 3 ' ) }
SIMETRICA
É S TR & N S /T/V A
# 3 = | 0 , 11, 0 ,2^ , íi í 3 ) /0 , 4 ) } '<2,2^(2>3 ) ; { 2^ ^ 13;3 ); (3>A 3 , (A , 0 1 .£S mcLExtvA Y £3 transitiva .
Lo notación : y d t x
Jtl, ~ { (2,1) ,(*,?) ,(2,3) , (2,A) J
se lee *f y no es menor oue x
NO £S nePLÍtlYA , NI $fM .
; además y f x
y V*
/V/ TR&NS .
J ?5 ; j ( i . l l / ' . l ) , ( 2, 1) , ( 2 ,I I , (Z,31, (3 , 2 > , U , i , •),('.,!>, (1,31, (3,1), (3,M , (<,,3) , (¿.,¿.1 ¡
£ 5 R E F L E X IV A } £ 5 S IM E T R IC A
Me
Y
N O E S T R A N S IT IV A
= { (1,2) ,(2;!) , ( 3 , 2 ) , ( 2,3) , ( 4 , 3 ) , t t , 4 ) j
£S SIMETRICA .
(5 ^ Dem ostrar Que lo rela ción M z j ( a , a ) } íb tb \ t (c ,c ) , ( ¿ , 4 ) , (o , c ) , { c , g )
el conjunto ) a ; b , C , d }
es uno relación de equivalencia .
DEMOSTRACION
Sólo fines educativos - FreeLibros
(tu
Moisés Lázaro C.
i) es a e rie x iv A , porqué: (a,a) < R
ifl e s StmtTOKA) porqut:
í
• (b,bl tR. ■ (c ,o s X
( a ,O E J 2
¡ (<*,«)£ X
(c,a) f £
=*
(.4 ,b )tR
(b,eDí X
til) es t r a n s it iv a ¡ porquz:
<«,») « X
A «x,c) e X .
=»
(a,c) s X
(c,c)«R
A (c,Oi) £ A
=>
(c.a )ÍJl¿
fa ,c ) e A
A (e ,a )s í
=»
(a ,a )e R
(c^aiíB
A (a.aleR
=0
(c,a|(S
{c,ayeJ?
A (a,ey eR
=> ( c , c ) í J?
A (cr,b)É tf
<&,b) Í R
A
=*
(b,d ) £ X
t b, d) <J l
A (<*,<í)e.R
=>
(b ,c n € R
<b,d)C«
(b,d)*A
A ( í , 6) í j e
=4
(b ,b > c £
(d.byíR‘ A ( b ^ s R
= * (d .b u R
(d ,b )íR
=*
( S ) Deinosiror t/ut lo relación J i - j (*,y) / y* = x* j
A (b ,d )€ R
(d ,b líR
en el conjunto dé los enteros ¡ es
uno rilación de zgutv ofenda .
D e m o s t /z a c / o a j
i)
jQ. e s fíE^LE x/va J porque 5i (x.#x ) c l x l
n)
es
stM¿TwcA t porqua
Si
/Y/o
y2
A
X2 r x*
(x,y) €
z^>
y2 r x 2
x2
x2
- y2
w ) JQ. es TQAfi/smva ; po^fue St (*,y) € £
A
y 2 r X2
A
r $ (*,<*)€ ^ .
; antonez* ( y , x ) € ^
(v ^ ií,
Z2 r V
(*¿£)€.R
1
'
t
2 = X2
( 23) Considerando' <?/ universo U - j o i , 2,3,4 r -.,9j , 5e p/bfc : ía) Tabular y construir los
gráficos de codo uno de las relaciones de V nn U } ib) Hattoi el dominio y rango de
codo relación; fe) t C úál dé las relaciones es
reflexiva i simé trio o transitiva l
5 i= | < * , « / r - x
- oj
5tó =l(*,v)/s’ + y ^ s í S j n.
St9 =|w,A / x - y =5 |
S2 = ¡ ( « Á > / X 4 y
= 4.}
S„ =1«M0/ *2+y2s<25}
520 = ¡<*,y)/ lx-y| = 5 }
5 } = ( (* ,v l/ xy ; I )
5b = |<* , « / **♦>* > »}■'
Su = ) i W
l* - y | í5¡
5¿, = j (*,v) / x = 3 }
5,3 - | <*,vV A - y 3 = 4 }
SM
y1 = x 1 -9 |
S5 : | ( V ) / y = 5 j
514 =
Su
SG = }(*,y>/x =o|
515 = ¡ »*>») / y > x j
S2A
57
Sií : 1t*iY)/ y1 r 4xj
Sas x |lx,Yí/ 1*1 +y = 1 ]
517 = |( x , y '/ *J ; 4 y |
sl t = i'*<v'/ |y-* l = 3|
518 = l u *v ) / x + * =10}
5 jy :) t* ,Y )/
58
r | Ujy’) / y - oj
_ { ( * , y) /
*y í 4 j
5 9 = j<x,y)/ yJ -* 2 :flj
y<x}
Sólo fines educativos - FreeLibros
:| (* ,Y 1 /
|X| 4 3 }
yV
lv | < 3 }
xl +yz Z ¿ }
—
—
@
—
«^.elaciones de IR en IR
1.
a rr/ M c io iv
E l p ro d u c to c a r te s ia n o
ml rMxfR
do.
se cfe fin e
íR x /R
s| ( * , y ) / x € / R
como s ig u e :
A y £/£ J
1.2
PLANO CARTESI ANO
Él píono Cartesiano S€ /oz/jto por la intersección de dos recias
perpendiculares llamados ejes.
Donde :
El eje H om m N ThL f se lla m a
El e je v e r t i c a l }
e je p e la s o r de /v a da 5 : y
se lla m a
E l punto de in te rs e c c ió n
e je d e la s a b s c is a s : X
se lla m a
Ca d a .punto d e l p la n o «s un Pa r
Gráficamente at
p la n o c a r t e s ia n o
fkxfU
o r ig e n
;
(o,oy
ordenado
:
(*,y)
«s
como s^oe •/
«¿a >&y efe AOTTesfaondenua. biumívoca. M :
-A cacto puntó del plano Iz correspondí un par ordenado:
y fctcijarc>cetrneint& **
-
| ^ ^ AF/CA ° g p a r e s O Q O fM A D Q S
p
<*>y )
Gro/icor los siguientes puntos:/© ( 1 , 2 ) ;
P2(-fer .O ; P j K r 5/2) .
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(~5; 3 ) }
Moisés Lázaro C.
2.
m i & c /O N g s d e
M en M
® § r Í N Í c i®N~s* E l conjunto J l
es
sí
uño reloaon efe fR
c
&
Se tu :* 0$ t í <//> 5«/óccwyt//^o
n ».
en
Í&
f k x ik
producto Cortesano de 0 por
Tombién " jk esto conierudo ó es yt/el a Mxffl
2.1
D O M IN IO
Y PANGO
D E U N A Q£L AC IO N D E fñ £ N ífí.
£s el conjunto de valores reales
JDOMiNtoy
que toma (a variable, independíente
x
RAA/<aO> £ s
e¿ conjun to de v a lo r e s re
oXos que to m o ¿o v a r ia b le d e p e n d ie n t e y
( j - componente). Dt'cfios valores por ¿o yenerd
(2 -
pertenecía, in te r v a lo s que son subconjvntos
g e mrai perten ecen a in t e r v a lo s que son:
del
Sobconjuntos del
£/£ PEAL
X .
e je
por b
REAL V.
N O T A C IO N '.
NOTACION:
D o m (M )
c o m p o n e n te ). D ic h o s valores
-
Jx . €
$ / 3
y€/£
a
(x , y )€ . f t j
E J E M P L O : S e o Jo re la c ió n
Do/n (S) -
Ronqo(n) = { y c ^ / 3 x/k A( x, y) e £ j
S r(í*/yi€¿Sx¿R/ xa>4y1-4 =o)
X € [-2,2]
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«a /? g o ( S ) -
y€
[-1 ,1 ]
Relaciones de IR en IR
2 .2
ID E A
í n un Plano Cartesiano se pueden %tof/car: rectos
IN T U IT IV A F U N D A M E N T A L
7 corvos ; planos y samipíanos . Por lo tonto *} (a s rectas } ¿as curvas } ¿os píanos y l&S
mi pía nos son relaciones d e /& en fl¿.
c ff l^ e h r a ic a m e n t e
/af recta y las curvas
v a r i a b l e s Mx ,* e M>/“ rfa Lo fo rm o
E JE M P LO
G P Á T IC O
d e
son e c u a c io n e s a lg e b r a ic a s
con %
F C ^ y l ^ O -
LAPEC TA
y
C U Ñ V A S C O N O C I D A S ( cQ N Í C A S )
LA PEC TA f tiene como e cuación oí : A x f 8 y + C z O LA PAO AMÓLA } p u e ¿/étfe como ecuación
D o n d e • 0 = *n?vto Ot/ncü'oocióq
)
m r- ^
o
: p e n o ib n t e
d o s • fo fm o s ;
( x -h )2 = 4 p ( y - K )
ÍP ;
LAÓK.UNTE¡UNCÍA;tízn<¿ como ect/oc/on <?; (x-hUíy-Kl1 z r*
( y -K ) 1 = A p ( x - h )
ce/tfro : ÍN*)
Donde V (h,K ) es et v é r t ic e y p e s la cfrM_
3a O/O : T
tanda. ¿írigicíá c/cí vftr^'cc al foco p.
LA ELIPSE, i teñe Como ecuación
Q . <x-/»?
a*
jy-K )1 _ i
b1 “
XJdndcM,*) €S «/ centro^ay b longitud de ¿ossemiejes
LAHlPERmoLA^tem como Ccuauon
<*0
™
'
Cx-h^
o1
(y -k )2 _ »
”b* ~
Do/>de {*,k) es el emim^ a y b Longitud de ios
Semiejes.
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Moisés Lázaro C.
- ®
—
—
Jfh jG b rtx tC o tm € n tZ ¿os planos y szrniplonos son c/QS/yuatdadescon Z *o n'a b/cs} pt/e
paeáv) s e r de ¿as jormas : í ^
V
* < ^
l F (*, y ) > O
E JEM P LO
G P E F/C Ó
V
DE PLEN O S
y S E M /P ¿ A A FO $
<>4
x * +• y Z
F (*,Y ) £ O
F (x,y) ^ O
2 x - 3y - G £ O
PLANO: circulo de radio rs 2
S£A^/p¿>a/vo
y2 t C x - A <0
y2 ^ 4 x - 4
Sem
4 x + 5 y -2 0 í o
<o
r 'L A N O
iplen o
rínter secc ión de cin-y
V co s e m ip lo n o s . )
3 X “ 4y * J2
3x _2y _ 6 <-0
X
>„0
Y >,0
£S/<?
¿¿PO ote l#£CUACtQAl£S LIN EELES
mos var/ob/cs
d e dos Ó
pertenecen al estudio de la Pqogaa
MACION LINSAL O CUrSOS C0/700/0^05 CO/7 €/ OOftlbrC
de
IN V ES T IG A C IO N O PEHúTlVA
OBC/3 ION £ S .
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O T£OQ/& O T LdS
________
3.
._________
Relaciones de ÍR en JR
¿ jrá f ic a
de a n a
| Q g f / M i c i O N |Sz Llama
f \ < i ! o t c i o n d<¿
¡R
g r Áe ic a oe c/a/a /^¿ a c/O/y d e
m
IR
/p en IR al conjunto de pun
lo s cuyos coordenadas sa tis /a ja n dicha retoc/oh. Donde no olyidemos
quz una re ia u d n puede ser de la form a : F l ^ , y ) : 0
i
n e s d e io s J o r / n a s : F (*¿Y) < O } F ( x ^ ) £ 0
3.1
■• "
d is c u s ió n
V
P (x ,v ) > 0
in zc u a u a
¡ F (x ,y )> ,0 .
.
d e la g r á f ic a
de
i
una
(C O N S TR U C C /O N 0 £ CURVA s }
r e l a c ió n
fZoclemod sdefA xir Q
JP/xrv- Jra z o r ¿ t /om/iccr xte Jpnxx Jt<Á40.uUñ%. F ( X; V ) “ O
pa sos :
‘
‘
*
( j f ) DETEQMlNáCfÓN P E ÍAS INTERSECCIONES CON LOS EJES COOR D&NAOQS
Intersección con el eje X
! Sz hdez
; 5
in te rs e c c ió n con et eje y
@ ) D ^
e
hacz
Se rzs u e lv t la ecuación
x -o
A
a
lo s
x •
" 2)éte aumpjir/ii Je yoropoáiUcm.
<*/ e/e Y
S-tSe ¿ju.mp&r¿t Jo. yorryocrúcum.
Simetría con
respecté
Simetría con
respecto ai origen: 2)eóe /xtmplirAz Ja . ^moyooixciem.
d l t e p m in a c iq n
d e la e x t e n s i ó n
d e la c u P va
F ( x ; o.)
se resuelve la ecuación
R -M IN & c í Ó n . d e l a s i m e r n í a o e l a c u r v a c o n r e s p e c t o
Simetría con respecto o i rtjz
@ )
y ro A
e je s
y
- O
F (o , y ) z Q
al o r ig e n
F ( X f~V )
- F (* y y)
F (-x ;y) - FCX, Y)
F ( - x , - y ) “ F ( x ; y)
y Consto de dos pasos:
C a lc u lo del D o m i n i o .
C a n u to del R o n y o .
©
ACION DE LAS P C u a q / q n c S Ü E ¿AS A S IN T O T A S : ye/tf/co/és, horizonta les y
ñfdtrtnc q u e ¿a curve* p u e d e te n e r.
^5)
TABULA c/Ó/v ‘ Sg c a lc u lo
/ico.
(g )
tr a z a d o
áPara Los
d e la
un num ero s u fic ie n te de pun tos p a ra ob tener u n a g/q
adecuado.
curva
: M o p e o d e p a r e s o rd e n a d o s .
zfe c io s de ¿os/ eyevc/c/'as p ráctico s
tos m a s ¿mp>or ¿ a n te s s o n ;
Cal cu/o de/ dominio
C álcu lo del r a n q o
T a b u la c / o h
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Moisés Lázaro C.
—
®
-
¿Por ro z o m s
CQ/cu/or e l
Q ) t d & i t i z o s J Sugiero
D o m /n io
y
zl
seguir <¿t criterio de l siguiente
Q o n g o de u ñ ó r e la c ió n
F ( x ; vl : 0
cuadro p á n x
a lg e b r a ic a . :
CÁLCUJjO DEL D O M INIO 'D E UNA RELACIÓN DE ¡R EN ¡R
5c despeja uy *
en términos
d *"x».
CASOS
DOMINIO
FÓPMA
y
0POI//VOM/O
=
a 0f
O j* bo.2%1*-■4aftx71
08S£GVAC/0#£S
X € <-oo,oo>
Q/C/3Q , 77CZ*
® PA/Z CUADRA&A
A ¿ x € / R / P f x j 0.
Los valores reales de
' y -'2 2
“ <?<*)
g>PAC/0/VAL
X f íR - {*€ W /q
m
=o J
j*(x) A Q(x) $on polinomios
primos entra s í .
Se obtienen efe
M3c**
Q{x) - O Son /os ASin TÓ
TOTAS VEPT/CALES.
CÁLCULO D E L RANGO DE UN A RELACION DE IR EN1R
5 c
u X
d esp eja
n o s c te i'y ”
*' e n /e > /n i'
.
FORMA
CASOS
D O M IN IO
o a s f P v A c /o /v fs
-
X z b o + b / y + h j y 1 + ■■ + b n y *
®
Y € < -0 0 , 00)
P O LINO M IO
b t € /0 ,
® « 4 / Z C i/OOPAO .
x x
/> € '2 f
z s/p(y)
f
^
N
Y € m / P ( Y )> ,0
X.
■*
Z ííl
-
¿os v ó b n s
**y u 9 ^ « j a
x
Q (y >
0
P ac io n
a
y € f R “ |y€«/Q m roj
i
P /y )
Caso 6CNÉQAL
:
A
Q (y )
E n general
Dominio
y z
pm
C |(y )= o
As í n t o t a s
son polinomM
.sF
de
+ GW * P(x) $cx) ^ zntonczs :
r Dom ( p ) f) Dom ( Q ) 0 D o m ( R ) fj D o m ( s )
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rea fes d e
o b tie ne n
son la s
horizontales
.
Relaciones de IR en R
3.2
PROBLEMAS
RESUELTOS
Discutir ¿o groj/co efe ÍO relación J l z f (x}y) £ fRxfU / 3? f x y2 - / 2 r o j
Q
•
S OL UC ION
( I ) EXTENSION
( g ) fN 7 £& S E C C tO N £ S
a ) c á lc u lo d e l Dom inio y ¿ j z despeja, " y
De
X 3 + xy2 i y 2 - Q
cC)Intersección con ai EJEX ; Se hoce
x- x3
y2 ( x - i)
CON ¿OS E JE S
*n
lo ecuacrpn
u<*/$jrr :.
x
x1 f 0 -0
entonces
y2 = *
¿ x y 2- y 2
yro
-o
'■
zO
x :0
Cste despeje Sirve
paró obtener el
y =íx\
DOnnñtQ y porO-
b)
in t e r s e c c ió n
con e í
e /e
y
:
h o c z x -o
tabular.
en la
Por ser ai caso B :
e c u a c ió n :
x 3 f x y 2 - y2 z 0 }
entonces :
o f o
y
x e Dom(&) o
(H )
-
a)
^ X £ [ 0 ; l)
Por Se/ C¿ CASO n
nociendo
S/iHrrg/AS ;
Simetría con re spe cto o / e j e X : De
be ser :
♦
P(*,-y)
! 7) ene como denominador x- 1 ,
x - j z 0 obtenemos í'o ecuación d e lo
z O .
Z
x 3 *-x{-y}2 _ (-y)2 - x 3 f x y 2 - y 2
Por lo tonto ;
*
F ( X; Y)
.
es simétrica con raspé cío ai
2/eX.
manto v e r t ic a l .
fbr lo tanto
b ) Simetría con respecto-al ejé Y
; D o m (ñ ) z j *€/»/_ x c [o;l
J
cumplirs* gue\
con una ASINTOTA V£ñT/CóL: X -l -O .
.
ti
i)
b ) C a lc u lo det Pongo r* 5c despeja .x
D z :
x 3 + xy2 -y2
Co/77o vemos
to m o "y >}
itS
c u e n ta , q u e ;
r -x3-xy2_ y 2
r PU;V*'
P f -x ,-y )
(jv )' TEButAcroru
p ( x ;y) . .
y
g p o f íz o
.
=+\jE
Z
**-1
es ve/ qué valores
asignam os a " x ” valo
9 ue pertenecen al intervalo
ad rem o s
te} pues
no podemos despejar “ x ”
Cuando /£
(-x)3 + [-x )y 2 - y 2
/Vo fe simétrico con y e Y.
P (x ,y ) -
c) S//77ef^á co/7 /-especio Qtf Q r i ^ e n ; N o exj§
z O
csifo/Jces ¿o 9 ue hocemos
P i” * ,* )
: Debe •
y nos
£a/?qó ( £ ) z ‘ y e
Sólo fines educativos - FreeLibros
Q.3
í o.S
í 0.5
0.7
Í2.G
0.9
í 2.7
Moisés Lázaro C.
¿o
^2^ D is c u t ir
g r á f ic a
de la
S 2 j (x,y)
r e l a c ió n
€
foX/R /
yx-x2 -l
20 }
SOLUCIOM
el eje y .
(I) E X T E N S IO N
a)
Calculo del dominio £ Se despejo 'y *
yx - x z - J
Da
~o
Por
set
el
caso
ÉL:
*
a ) Simetría con respecto al eje X :
<=* yx z x* + 1
cDam(
x
x€
5 ^
ti)
De
Cálculo d e l rango
yx - x 2 -1
=o
W
xz -
y'x
- o
- -b t\/b2-QQC
2á
v
(V )
y é- 2
5 z hace
o - x 2- i
y z o e/>
ro
x* + J : o
&
x-tJ-T
$
imaginario
que no h o y
intersección
con
X .
ti) In te rs e c c ió n con el eje Y
en (a e c u a c ió n
entonces
:
S e /? a c e
x :0
y x - x 2— J - 0
0- 0
-í
X
' - * 2*1
V x -x 2 - l ro
,
e /e
m -l
zo
b
:0
$$ m - 1
-1
qs
y z lx
:o
&
-1 2 O
.Lo cual in d ic a Que no hoty intersección con
Sólo fines educativos - FreeLibros
-hO
yr x :
TA S O LA C/O/v
X
a ) In te rs e c c ió n con el e/e X
e/
D£
y2>, V
IN T E R S E C C IO N E S
Lo c u a l in d ic a
mx2 +bx - x 2 -i= 0
.<**►
c=$ ye. [ 2^ 0 0 ) 0 < - o o ; - z ]
€/7&>/?ces:
z m x + b yes
yx - x 2 - i = o ,
E n to n c e s ¿a' a s ín to ta
y >/ 2
¿ó e cu a ció n
y
<=> {m -J )x 2 +bx - I z o
<=£
O
(H )
de la curva
Sí//7jxy*¿)x - x 2- j ro
don
y 6 #0/790 (S)
ol e/e y :
F .(x; y) . //O e x i s t e
asíntota : La recta
asíntota
<=}
£
ofespey'o‘*x *’
r' $e
Usa/ /o {ármi/lo :
Simetría con respecto
P ( - x ; y)
/R - { ° )
C Q n ASIN TOTA V£fZTtCaL XzO
tr}
P { xt y ) . Nú ix is r c
£
- -* 1 t L
y
7
&
(m ) SthñTñtAS
-2
-3‘/3
-J
-2
-y? -yj
-3*
-*/4
Yi n
Vi
A% Vb 2 ^
Relaciones de IR en IR
(3 )
D/scut/r /o gráfica
de La relación
S = J (x,v) € /fe2/ yx2 - x - 4 y
ro j .
SOLUCION!
( l ) ¿XT£/>/S/OA/
a)
cálculo de/ dom inio ~ /3e despe/a y
D e fot licuación y *2 - x - <4 y r O
-
<=> y (x 2- 4 ) - *
*
**-4
D o m (<5 ) <=> x € /R - \ x2- 4 = 0 }
Enionces,
* € . ÍR
c o n cfos a s im to t& s v e n r tc & L e s
J•
r^c = -2.
(xs2
6) Cal cu/o de/ rango •*' /&e /de^peyo. “ x 3>
D e /a e c u a c ió n
yx2 - * - A y
Luego: y € £q/?^o(S) <=>
<z>
<=*
« O
O
i - 4(yK -4y) >, 0
A
2y
a
i -/■ 16 y 2
y € /$ .
1 í >/l- 4 ( y ) M y )
x
2y p o
£s¿a proposición es Verdadera
y £ o
con t//?o asíntota horizontal y - O
<=>
( H ) ///ífg S gC C /O A /fS
a') C 0/7
£ 7 e X h/accr
e/
y r o e /7/o e c u a c ió n :
yx2 -x - A y r O
O
£>) C 0/7
e/
e je
Con <zi atiben
La curva poecl por (op) .
( m ) $ i m e t p ./a s : 7^0 c d s t c s is e ó n o s con r e s p e c t o
'Pacto ol oripn. Pues F ( x ; - y ) t / í x ; y)
CS)
ta b u l
&c
io n
:
.
O
x r O.
^
y :0 .
y - o e n ¿a e c u a c ió n :y x 2 - x - A y - O
Y :P la c e r
.
c)
- x - O - Ó
- 4 |-3
*/.5
O
- o - Ay = 0
* •
*
o l eje X , 0 / e/e Y
/?/’ con- /es.
• R -x /y ) ¿
J.5
Sólo fines educativos - FreeLibros
£ { - x ,- y ) :£ P (x ,y ).
Moisés Lázaro C.
— - ^ 4 2 ) — ------- — --- -----------------------------
( 4)
D¡SCutif I q
La ecuación ; ^ : ¡ (x;y) € /R2 y^yx2 - 4 y - x 2 =0 j
gráfico de
S O LU C IO N
(I)
E X TE N S IO N
/
a ) Co/cu/o
:
£)e La ecuación
Entonces'.
<í
d e / dominio
y íe d e s p y a y
yx2 - 4 y - x2 : o
3c € D o m (R i)
>•>
y=
<=> y(x*- 4 ) z: x 2 4=£
x £ ÍR - | *?-4 - ° }
a-\
JC£ J R - { - 2 , 2 1 con dos a s í n t o t a s
yx 2 - 4 y - x 2x o
Entonces'. y € R a n g o )
V- J
£:
°)
>;o
*=>
, con A S IN T O T A
v- 1 = 0 .
*
Con et E J E X : hacemos y r 0 e/7 /a ect/oc/’on
e je
Y : h acem os x : 0 e/7 ¿á-ecuación
(f f l)
C0/7 el orig e n : 4 a
5iM£m/As
:
ccrK a
-x 2 :0
<=> x : 0 .
O - 4 y -0 =O
soasa. &or ( 0, 0)
F ( * ,y ) z y x 2 -
sói
HORIZONTAL
yx2 - 4 y - x 2 : o
=>
c)
4 y -x 2
.
entonces., P ( x , - y ) r - y x 2 ¿ ¿ y - x 2 .
£ f-x ,y ) z yí-x )2 - 4 y á)
(U )
í-x )2
- y x 2- 4 y - x 2 .
^ ( - ^ y ) ~ £“(Xj Y) ? e n to n ce s s/m etrico co n /e s p e c io a /
x< “ 2
T A B U L A C/O/v ;
X
-2 4 x < 2
-A , -3
-25 -1-5 - J
0
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2.7 -1:2 - 0.3
O
Sólo fines educativos - FreeLibros
e je
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2.5
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y x 2- 4 y o -O
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x2
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y e <-00 ,►
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v e r t ic a l e s
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2
h ) Co/cu/o o/e/ s o n g o .** jd e d & ip y O L '* x **
D e /q ecwc/cv?
x 2-4
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3.5
y .
y - 0.
Relaciones de IR en
(5 ) o istu t/f la g rá fica efe ¿o re la c ió n
S = j C*,y) € ffi2/ y2x - 3y2 - i r o j
S O LU C IO N
(I)
E x t e n s í Óh •
o ) Cálculo del o lp m tn / o /b e . ¿¿edpyiaf* y *
Z)€ fa eci MuÓn: y2x - 3 y 2 - l ' = 0
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Entonces: x € Z ) o m ( s ) <=>
^ o
O
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<=> Y - í " ^ ¿ 5
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X € < 3 ,+ o o >
Con «/no A$tf<tTOTA vean c a l : x - 3 z o
6)
Calculo del rango /° X Íe
De Inecuación:
“ x >>
y 2x - 3 y z - i
Entonces: y € Rango ( S )
:0
y2x = 3y 2 + l
<=>
y € / R - \ y 2r-o}'
^
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R -| o j-
x' -
c o n (//vü as/a/tota wo«/20/wtaíl:
.
y =0
Ca) //yrgA sgcc'/o/vg s:
o ) Con ai ñjs x : -Se toce y r o
en /o e c u a c ió n . y2x - 3 y 2 - i “ o
o -o
6)
Con e l- e j e Y : 5c Aace x : o
F ( * ty) r
. /Vo ex/s¿e.
en to ecuación y 2 x - 3y2- 1 zo
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BU) stMETÑ/A: / í ¿
- 1r o
O
- O - I ro
. Ato «x/sfe'.
y2 x - 3 y 2 - i
P(Xj-y) r f*y)2x -3f-yJ2- i = y2x - 3 y 2 - i
E n to n c e s
:•
Pí - x , y) z: y 2(-x) - 3 y 2- j r - y 2x - 3 y 2- l .
S e c u m p le qutt
^ (x ^ -y ) —
e n to n c e s
e s s / ' n e t o ’c o con r e s p e c t o o i c j f X .
J D T&eULACtOM
x>3
X
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. 3.2
í 2.1
3.5
4.5
£1
5
+ a8 £0.7
Sólo fines educativos - FreeLibros
Moisés Lázaro C.
(g)
D'Sut/r ¿a gráfica de ¿a relación
S : | <*,v) € /fc2 / x2y2 - Ax2 - A y2 r O J
SOLUCfQlM
( I ) gxrf/vS/O/V :
a)
Cafe uto ote/ dominio r~ ¿ U /de4/oyioJr y *’
-D* la ecuación # 2 y 2 - 4 x 2 - 4 y 1 — o C=^ y2(x2- 4 ) n 4 x 2
<=0 .y2
¿í/e<^o: x € Dom (S) <=¿
c=*
2
,A*
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*
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x <- 2
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"
,
j
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X
í - 2
I x r
2
¿>) Cd/ca/o ate¿ ran^o r* /dz Jc¿e¿f>y'a. ** x 5>
I X Zae c u a c ió n x 2 y
2- 4 x 2 - 4 y 2 — O
^ X2 ( y 2 - 4 ) . 3 L y 2
‘
E n t o n c e s '. Y
€
R .a h g o ( S )
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v2
_
X —
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< = > ( Y - 2 ) ( y +■ 2 1)
>
^
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X,
y^-i.
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S^£JA/A
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2 ,+ o o> ..
2
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©
F (* ,v }
-
F (x ,-y)
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©
x2 y 2 - 4 x 2 - 4 y 2
x2y2 _ 4 x 2 _ A y 2 .
F ( - x , y ) iz ( - x ) 2 y 2 - 4 ( - x ) 2 - A y 2 z x2 y 2 - 4 x 2 - A y,2 .
a;
F f x ^ y ) = p fx ,y)
£>) F ( - x , y ) c)
F tX jY )
•
e/tfooces e s
s im é t r ic a con / - e s p e c io o í e/e X
-
e n to n c e s es
s i m é t r i c a con r e s p e c t o a l eje Y
F f x r y \ r F Íx ;y )
(in ) IN T E R SgCC/Q/V^S :
e n to n c e s es
5f
xro
s im é tr ic a
} e n to n c e s
Sólo fines educativos - FreeLibros
y r
con r e s p e c t o
t'mof^inorr/b
ai
.
a ríg e n .
Relaciones de IR en ÍR
-0
( J ) Discutir
la
yrófico
d é la
siguiente relación ; 5 = j (*>?)€ ffíx/ñ /
-
-x 2 - 4xy-h4 y=o|
X2/
SOlucioM
( I ) E XT E M S ÍÓ n
d ) Cate uto del dom inio A /Ój¿ dcópeja.u y **
x * y - x 2 - ¿txy + U y
De ÍCf ecuación
- O
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y:
<=>
entonces :
b)
* e D o m (S )
C=$
x c /R - ¡ x-2 z o }
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x €/£ ~ j 2'J
Cálculo del ñ anga /*
j
con una Asiruroro
ye
P - t /c a l
: * - 2\
xíe dedpe/xx ír x **
D e l a e c u a c ió n x2 y - x 2 - 4xy * 4 y : Q
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(Y - i)x 2
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c - 4^
- 4 yx * 4 y = o
- B±s/a2‘-^AC
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x : ------ — ------------ ---- —
2 (y-j)
x-
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^
2(7-0
Entonces :
(jO
y c^ o/ ?^o Í S )
IN T £ & S E C C /O f V E S \
( n i ) S/M £TX2/4S :
(15)
Ta
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S«
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j con u n a a s í n t o t a
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0.36 0.25 0.1 0
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2.7 2.2
y=i
C *5 *4 -J -Z i
Y1- i
h o q ./ z o n t a i :
¿ o c í/z 'v q
/yo e x is te n .
X
27 t 2>^
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Y - i :£ o
:
b u l a c ió n
x -
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Sólo fines educativos - FreeLibros
pa sa , p o r
y -i -o .
( 0, 0 )
Moisés Lázaro C.
E C U A C IO N E S
E n coa*» uno efe/os sgtes ajarc/cios,
F A C T O Q IZ A B L B S
foclonzor lazcuac/on
Correspondiente y trotar Id
%r áj /’c a .
(ñ )
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Zxy1 z o j .
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X ( x * - x y - 2 y 2) r O
x (x - J y ) ( n f v ) : o
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* =°
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e c u a c ió n
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re c ta q u e p a s a
p o r e / o rig e n ,
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e c u a c ió n
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p o r e l o rig e n
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S O LU C IO N
p a c to r/c e m c s
¿a
e c u a c ió n :
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+ x 2
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*2 (x + iy
4
2x y 2
f 2y2 - 4 x - A
2y 2 ( x 4 l )
-
(x + l ) ( x 2 4 2y2 - A )
A (x +i )
-
O
± O'
- o
x +•
1
- O
v
x 2+ Z y 2- ^ ^ 0
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'L a e c u & c / o n
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La
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(I )
e c u a c ió n
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v e rtic a l
:
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x f i
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x : - l .
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De
la
e c u a c ió n
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¿ y 2 z: 4 - x ?
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¿í/epo / ace Don)
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4 - x 2 )>,o
»
x € [-2 , 2 ]
<=>
Sólo fines educativos - FreeLibros
-2íx£2
®
Relaciones Jde (R en R
1.47.
£>) Cálculo del Rancp y J e despejo, *' x n
De /o ecuación x2 4- 2y2 - 4 r o
Luegot y e P ango &
x 2 z A -Zy2
A - 2 y 2 >,
«.
0
^
x = i\/4-2y2
ty 2 ¿4
->fé¿x¿váP
x 6 H *\, / f )
( j i ) INTERSECCtONE s
OL) Con aleje X
* Se hace
y - o a n ia
ecuación
x2 * 2y2 - 4 ~o
' =$
6)
Con el y e y
( m ) S í m é t q /a
hocé x z o
:
A l
P { * , v) z
^ (x ,-y) r
Entonces :
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<zn laituaci&n
x * + 2 y 2- 4
ro
=>
0 -4-2y2 - 4
:0
x2 + 2 y2 - 4
. P t/ts¿ a
x2 4-2 ( - y ) 2 - 4
P C-xr y) - (-x)1 + 2 (-y )2 - 4
r x 2 4-2 y 2— 4
; entonces 2 $ simétrico
-f í *,»).
con respecto al E/E X .
entonces es simétrico
con respecto al EJE y .
Como P - x •- y ■= r x,y ^ ■entonces es s>me trica con respecto a i OMiGEn
c m El Gr á f ic o
de Las ecuaciones
x + 1 :o
,V
x2 + 2 y ^ - 4 - 0
, s e ra :
SOLUCION
POc toncamos ta ecuación
9x
( 3 X 4*2y
-2 y
( 2x -
6x2> xy - 2y2 + 7x 4- 7y - 3 ~ O
$um*n¿o : 7x
4 3)
(Jy
-3x y
4xy
-O
y *»-
*
3x+2y-]rO v2*-y.*5=0
S«rtH»/KÍÓ : fy
xy
Sólo fines educativos - FreeLibros
^
xstt
& ystvf*
x 2 f 2 y 2- 4
= x2 f 2 y 2 - 4
z x 1 4-2y2 - 4
ti) Como F.(-*,y)= c (x; y)
y2 z2
e<«/ac/or> e i
F Í-*,Y* - (-* )1 4-- l y 2 ■— A
á ) Cb/no F (*,-/> z P (x ;y)
c)
x2 4- o
-o
MoisésLázamC .,(
Donde:
Lo ecuación (¿> 3 x + 2 y - l - O
La ecuación ©
«s uno recto .•.rot^tamábS
z Q, es
í x - y +3
otro recta . Toóistom cta
Ó/
EJERCICIOS: Grupol
D h c u lir lo
pondiente.
*ca de todo uno de las sigtes relmuoaet
^
’
.z ^
Sj = ) íx,yi<¿ /J?2/
x y - 3y - 5 r o j
(Q curva co/tes
•■■ .
—
**«U»roJ
S2 =¡<x,y>€/R2/ yx2 - 2Sy - x r o |
£ 2)
4j*+4u -o j
\ r ) (x,y)c/£2 / yxv - 2 5 y - x 2 s o )
S5 =
l < *,*> € /R2/ * y - z x - y
-2
rO |
-o }
S6 “ | (*ly 3 € ^ 2 / x y - 2 x - 2 y y - 2 =
Sl
t
r oj
0}
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3 7 - J { x ;YH / a 2 / x A ; - 9 x * - y :o J
S e % í s | i ^ y W f c ^ / x - 3 = o }4
58 =•j•(*,*!€/£*/ x1 - xy + 3 y = 0 }
5 9 = | U ,y V € # 2/ x y * > x y -
6 xT~3
=°}
;o |
’
S 30 = V ( x ^ t C l í ^ / y ^ A y f Ax
Syo =| tx,y )€ ^ 2-/ x 2 + y 2 -2 5 = 0 }
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•Su = j (x ,Y > € / ® 2 / > 2 * y 2 - 2y-3 : o )
$& =
j t*,yK
tfi2 /’ y
S 3 3 - ^ Ix,y>€/*2/
Srt r | c*,y) €.-**/ 4 x 2 * 9y2 - 36 - o j
S27 r
\ (x (yyfe/i? 2/ A x 2
- 9 y 2 -3G - o )
5n 3. | c'*,Y)'€dl1/ x 2- y 2 z 4 ]
=J }
x * 5x”3-2 :ó).
} !*,*)€ /fc2/ Y-«*-J zOj
\ fc^ U lR 1/ * 1 -**-** * ¿ y - 3 ~o{
S j r - J ^ m ^ / x y ^ A x 2 - 3y2 + » x =o }
5 mr J (x,y ) e m 2l X2 + 4xy +y2 * 2 x - 2 y - J r o j
S ^ p | <*,»>e # 1/
-o)
S*¿» ^£ftgv§*&*/ A*2-y2 - q ]
St4 - j «x,Yí € /K2/ x2 - Ay 2 - 2x .* J6y *1 r oj
;r i t * ? / y1 Vixx* - x z r o |
- 3X+Z-1
R7¡ y-< t* V -ó }
Sis- } ( * , m M2/ x 2 + Ay2 - 2 x +2Gy ¿ i zo f
S)9j |í * , y ) € ^ 2/ y2x - y 2 - x =oJ
r© }
^ U,Y)E /B2 / y- 2X :o|
S« - | (x ,y )€ ^ 2/ xz +y2 -zx ■f-cy - 6 - q |
S* r
-8
t»,vU * * / 6xt l-2y2 f x - í y s © |
*
A*2 + fOy*~á* + I! - € r <*f
$»=)*•»>** A 1 / *1 #y, - 2 y y - í ro j
SM z | « » » » « * V ^ l >yl - 4 * y - < =o|
Sólo fines educativos - FreeLibros
.
-
Relaciones de IR en IR
& la la cione s ote ÍR e n ÍR. con '¡fctlor C r i s o l uto
3 .3
yr)troc(uccion C uondo <zí estudiante se encuentre* con problemas donde aparece el ya
lo r
a eso
lu to
generalmente J no Sobe
q u e h a c e r*
. £s¿o
/
ocurre t porgue sen
0
“*
cilhmente Se olvidó déla definición o que nunca antes lo aprendió correctamente.
Por esta, razón , m e he permitido en escribir nuevamente ¿a definición y hacer muchos eJtfD p h s
a l re sp zcio .
S e a 0 . c u a lq u ie r e x p re s ió n a lgebrotrcoLj e n to n c e s e l v a l o p a q
D 6 P //V /C /O N
Q
de
socoro
a
} se d e f in e
=
a , sí -o l í o
■a , si a <o
{
5e
o La mismo ex-
; £ l valor absoluto es
cómo sigue ;
presión que está en barras ; 5¿’ d/c/ja ex-
;
¿ l valor absoluto es igual al inver
,U ; 'iQwxúivópi ¡a expresión e/? be*iras es
presión es pos/Y/Vo o cero
V
n e g a t iv o *
EJBQCÍCi o s
^ t r a f ic a r cada uno de ¿as siguientes relaciones . H a lla r sudominib y rango i
(5 )
* r j (x,n c /e x /s? /
y =:lx 2- ¿ | }
SOLUC tOM
En primer•/¿/$?or , definimos el valor absoluto !
í
y = |x*-4¡ : |
x 2- 4
, Si
x2-AVO
Donde : x2-4> o
v
x2> , U x>,z v x*-2'
<,»>
] _ (k 2- A )
,
St
x2- 4 < o
Donde ; x2_ ¿ » x o ^ x2 ¿ 4
si x£ <-oo,-2]u [ 2,+co>
x2-4
,
-* 2+4
, si
x Z <-2,2>
Sólo fines educativos - FreeLibros
x . e < -a o 4- i }
- 2 < x <.2
u L2,oo>
<=* *c <-*,2>
Moisés Lázaro C.
Como vemos io relación' ~ |xz-41 H cf/Y/de c/j la unión d t dos &£iác/o*£s cométete
m ffédiferm trnSj q u e son]
z I t ^ W ^ / y i x ' . A ^ x í í - o o r ^ u í 1, ^ » ) ] ^ j l*,Y)( « ’/ y r - x ’ + i*
£1 gró/fco de & =#<#j u /? 2 es :
' O W » W S <~€JQ,GQ>
/&»!fOP3) 3 [0,00^
©
S = { ‘v i e ® 2/ y : | ( x + | x | ) j
doluckdn : De/motmos e/ vo/or ob soJuto Ix I
| ( x + k)
} sí x >,0
y = ( (* + 1* 1) =|
i(x -x )
, sí xeo
x € fO;Q0 >
y =
O
, >€ <-oo;o>
(í?) ^ =j (¿¿y)**2 / y4 |2x*l | =o}
SOiucion ; Qzfinir «/valor absoluto
y + |ax-i{ : o
«=»
Í
\lx- ] | .
y f 2X-1 r o
} sí 2x- j >,0
y -2x4-1 = o
, SÍ 2x-l <Ó
- y + 2X-J =Q , SÍ
■
*>, */2
Y - 2 x 4-1 ro } Sí X 4 VZ
BQfíóe:
X
va 1 00
Yr-tx-f 1 O -J -00
Di
y +2x -I
: O
0e
y-2x4J : o
y =-2x 41 ; x >,V2
y - 2x-J , x < ^
X
y = ix -i
x»V i
y» 0 -«6
0 -1 -O0
Sólo fines educativos - FreeLibros
Borní*) = x€/&
*«090 (*) = ye <-oo; o ]
Relaciones de M en
(2 )
S
: ¡ (* | Y v e «* /
so lu c ió n
ix i + ly l =
2
}
jytfiñpff*0$ coda valor absoluto . A s í obtemos 4 ecuaciones dijere ¿es
Vzamos:
x*y
= 2,
-XVY
I* 11 [y( s 't
si *>,©
a y>/©
r 2f' s» x<0
A YVO
= 2,
a
«4
x -y
s
v<o
-x-y
2X#»(S) = * £ 1:2,21
«
( 5 ) ^ 2 = (*,*>€ IR1/
,
p - * 2, I ** 1*1*1
vzJ
W
17? > *
Ron 90 a y € [“2,2]
,
2
**>*
\
£ n c s f e c o s o , atetem os d e s a rro lla r (OS restricciones
Aj/^ tendremos que :
jx I ¿ i
lx i > j
Entonces t lo relación &
<£> x > i
«
v
x <-1
xc [-j
y
lx |> ]
.
]
xf
m
<-oo,-i > j j < i j +oo>
se puede expresar def siguiente modo:
( £ ) S r j t x . m f R 1/ lx ‘ y l
En zstc
-i < x < i
Ix | ^ j
}
cosO; aplicamos lo proposición:
|Q| - b
CXr b v a =-b
, siempre que
b>o.
Entonces:
j x-v| z4
€*
x-y : 4
V
V
x -y - -A
(t>
-4
-A
Sólo fines educativos - FreeLibros
Moisés Lázaro G.
—
0
-
Como poetemos apreciar t ¿o grajtca efe lo ecua
don
|x-y {
~¿4
t i lo unión efe los gmf/cás efe
¿os ecuaciones: ® y ©
*-ys-4
.
X- / k
‘X+yrA
y|
(n ) ^
~ \ c*>»« /s/
Y
4
(y - 1 1 + x* - 3 3 0 I
SOLUCION ;
y -i + x2 - 3 = o
, Si y -u o
- (y -i) + x2-3 = o
> Si H < 0
|y-i|+x2-3 =o n <
,
\ x*r 4-v
\/
i........I
-2
j 0 x1 +y-4
i
| (f) x2 - y - 2
P o n g o cte ¿a e c o a rc /o n (¿ )
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,Dom(M)~ *« [-^,V3 )
y<i ‘
rm g o m - n í y f t
£ 0/790tfé /o ect/oc/o/» © ' * 2 r y + 2
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x = ín /yT T
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4 -y > ,o
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A
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A
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V ^ -2
a
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- 2ÍY í l
E J E R C IC IO S
-
6 0 UPO
2
■Grojfcor codo uno Pe ¿as siguientes ecuodones . //o/Zor $u correspondiente c/ommto y rango .
0
y~x* -}x | : 0
©
v = t¿T
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y = x fx|
©
y - Zft~3!
Z li
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®
©
y2 -A jx| r o
x2 - 4
|y|
: 0
© y = ixi
fx t 3
®
y r
y r l*- 2 |
®
y2 -
©
1x2- y J =4
©
|x2- y 2 | r 4
0
|y-2 I - X 1 4*2
©
x |y1 - y - 2
=0
©
|2x - y I l A
©
Y 1*1 -Y -2
: O
©
|xy | = 1
®
IY-3 l - 4 x 2 + 5x
x-3
=ó
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|x 2- 9 J
t * -4 I
r
o
: o
< V
Relaciones de IR en ÍR
< § > -
Srájica de$.ÚQcionesoti'maks con dos Variables
Atelos t ¡éemipLanosy (Planosen IR1
3 .4
©
gq &eica o e
nECTAs En fc2 Tofo éeuacm ■tmeot- con dos variables efe la forma Ax+ay+CsO;
tiene comp^ró/ica una recta en IR2.
Pgra graftear una recta H necesitan sólo dos puntos pertenecientes a la recta.
\ejem plos
(g ) Gráficar la relación !R z j txfY) e f%2 j 2x - 3 y - & z O }
501UUON
X y
r
0t -2
Busquemos fos puntos
3
0
* ya*i
2x - 3 Í O ) - 6 r O ^ * r 3
¿DOtf?{^ = X€fc
P a n g o (M ) -
ye m
= j <xfy) e /á 2 ¡ 2 x - 3 y - 6
G r a f ic a r
z O ^ x
| J
s o lu c ió n ;
Co/7?pore/5705 ¿os
¿o
re la c ió n J k .
jeetaciones
y
3¿
y T ¿ i ‘.
t ie n e n ( a
m is m a e c u a c ió n .
La diferencia radica en sus dominios. J^ientras que el dominio de 71 es iodo IR
de jZj es un su6 conjunto del dominro de
E s
d e c ir
:
f ¿ , + co>
.
C Z í R
....
oomtnp
E s to
s o n ¿os
casos
de
D o m (£ )
lo s
¿ la m a fo s
:
Q E S T Q i c c /Q n
Por lo tantoj e¿ gráfico d e ¿a ecuación
2x - 3 y - 6 -O
Q£L
d o m in io
paro x>, i
X € C l,-K )D >
«V i
X
y
1
-V j
2(fl-3y-6 =0 t*
2
-V j
2ftW y-0r©
+00
♦co
y
'fs.-a/á
oom (£ ; ) r x €'[i#+Qb)T
« 0/790 (*?,) z y e [ - M >
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señó *
Moisés Lázaro C.
(S S ) G rafica r ¿a re¿oc/on
z |<x,n€/ 8 2/
2x - l y - G : 0
,
1 < * kC
j
SOLUCION
Como v « mes ¡ f e «cu©*/©/? c/i-
2 *s /o /»*/»o gue en M y J t2 efe ios eyerttetos @
9 </e e/ dominio cíe
la
£/ g ra f/c o d e M %
esém
^**sr*//*G/oo a"'intervalo
*€ 0 , 6 ]
* empeca en x r i y termine*
es u/> SM8MEHT0 D E & £ c t a
** n s 6 .
y@ }
■ 4t
rA0 Ul*CtON
x
j
y -4<* 2
&om (-*2) - *c < i,c ]
Gongo (G2) z y€ <~*/¡ , 2 ]
( 2^
Gmf/cor te mímiéñ
solución
Z j ( * , Y ) € 2 x - 3 y - 6 r
2>U
[4,?> }
:
Por se/* J?3 ono
ecuación con dom inio restringido / hagamos ¿o sgtz tcrMoc/on ;
r a B ula cíó h
X
-2
O
tí
y
2 -V3
4 */3
7
8/3
2
DemlA%\ = * € f- 2, 2> U C^,7> .
2
.2
.]
yjj
» v5
#o/?^oí^) - y € [-Ky3r 2/3> y [ ^ 3, % >
©
0*
QnÁnc a
semíplanos
Todo th&cuocian u n e a l
con
005
v a ñ / a Qi e s
efe fers formas
Ax * # y f c < O
Ax + 8 y +C ^ o
Ax + B y + C > 0
A x f S y fC
Son szm tpícm os e n í# }. Donde (o ecuación Á ic + B y + C z Q vmm
a ser /o
COTA
Oe /o te/ación ( m f a ) y ios m ecuec/cm s Áx + § y t c > 0 v A x + b ^ c < o
50/7 /Cr5
R B 5 /O N E 5
(s e m ip ío n o )
Sólo fines educativos - FreeLibros
Relaciones de ÍR en IR
fíUST RACION CfAAr/CA
{e je m p l o l \ £ i g r á f ic o
d é lo
J l = j (x,y)€yt2/
r e la c e n
2x - 3 y
+<>¿o) es :
D onde:
- ¿O ecuación 2 x - 3 y + G = o
La
es la
tnecvorcto'fi 2 X - J y f 6 < 0
d rt io ty v n t o A .
cota
*3 /o Q £G i¿N SOMBREADA. '.***• v
*<
C07A } u n a
£ /r nuoóJro
4 rutees f p e r t e n e c e
*jjw m plcr J l a .
a l c& njM jn to y
co rA -
o tra * n rtc e a f n o
9</e e s ¿a r e c t a .
f ° e r f t n e c c o í * e a * y jm á .
P x ~ 3 y f6 ro
— pe rttt* \± cc a l c .o y * t n ¿ o fl
£ n c o n s e c u e n c ia
j l*,vV«/»2/2*-Sy *6<-0 | - j<*,y)€/»l / 2*-3y+'6-=óJ-U J l*/Y)€/SV,lx-3y+ 6 <oJ
t
COTA
EJEMPLO 2
Seo la relación
b e g /o n
5 zjuync/E^/ x^+y2 <2, j #
..
f
inetuactáfit
£¡ gráfico efe S
n O u n EAL
En
c¡<xr dos
e s to
Lo
1-
nec.e «i S-
ilu s t r a c ió n
2S
n o c o n o c id o
cota
d e l co n ju n to
x2 + y2 s k
} p e ro
co n
el
n o m b re
S
no
e s la
p e r te .
*
Lo re^/bfl
es <//? pía
de
cía cul o
.
fkmos pod do observar que una LfNÉÁ (recta ó curva) divide ai plano
en dos regiones .
y
*,
dos
p o d e m o s o p te
co so s;
c. i r e . u n f e r e n c i a
CONCLUS/Orj
so m 8 upada
neófones
cvATfío nmtoNés
tü£s
me*&ves
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*
j
~~® ~
_________________
Moisés tizare C.
3.4.1
J^é to d o práctico f & m
Si
“ JR *
JO rm p s
as
F
:
uno relación da ffc en fQ a p re s a d o
( x ,Y )
fm -ficó r
COTA
^SQMBñfAR **
teftexca a
F
( *, y) £ O
f F
¿ a c i ó n 7? 0 se ^u /V
Pora ®s%> se
&
( * ,v )
> 0
gsgion
,
F (x |y ) £
mtonces
o
,
p o ro
F (*,Y) - q .
que satisfaga a ¿o relación M .
— y Se reemplazo en lo
6
de los
dos p a s o s :
} es decir J a ecuación
/o
como uña inecuocion
busca un punto (x O}y0) cualesquiera del plano IR2— pero
CO TA
Si (* o ,y 0)
punto
}
< O
1*) G ra fic a r ¿a
22)
¿traficar ¿una Cfntcu&ú&rv { plano y sem /p ia n o )
relación
^ entonces Se sombrea
90c no P *
.
la
q e q iq n
donde
se encuentra el
lo
Q E G IO n
donde
no e s te ' e l p u n to
(x o ,y * ) .
Si
Cxo; y0 ) ft Ó Q ¡
e n to n c e s
se
so m b re o
tx-o,y& ).
de fácil sustitución* son ^
O J O : Los puntos del plano IR*
(5?) Graficor lo relación
(o,o) |(oti> y ( i p ) .
3 =•|(«,y) € /£* j 2x - 3y - 6 <0 } .
SQ Lt/C /Q /v:
/-br ser S una inecuación f seguir dos posos T
7o) G ra fe a r
¿o
corA
4 « s abe/r
/o licuación
2x -3y - G : O .
X
Y
0
-2
0
3
2í©V-3y-6~o
£M =-2
2* -3ío^-G =0 «%*=3
A V , ¿memos que ¿o recta 2*-3y ~Q> c o j a a v d do al plano fk* en dos regiones:A>yB
Paro e/lo pro vemos siel punto ( 0, 0) satisfa-
2$) Busquemos qué región ‘sombrear
CQ a /Q imcumjón
2x-3y-G<0.
Veamos
2ioi-3(oi -G 'co
;*
'
E s ta propo tc/an <*s
Como
: (oto ) € A A
ío,o) €
S
, entonce:
vepoadeqA. £s Cfec/r (0,0}€ 3
se sombreo lo á&s/Ón A
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Relaciones de IR en IR
oj
El gráfico dz
v
S L es c/ £J£ Y .
Dom(Sj) - j o}
£0/790 cs^- ye#.
G raficar
S i z J <x,yV€ ÍRl j
*^0 j
SOLUCION
Por s«/ S i
] ?)
una d<Lsigtraídad; SCgu/r dos posos :
Grafícar la
c o ta
decir la ecuación x - o .
f es
- A s í tenemos Que ¿a recta x r o , h a dividido
0 / plano
2*)
(S )
« n dos regiones :
Busquem os,
es e/ se mi p ía no o io d e re c h a d e l
x>o
eje Y
(«£<3/0/v J52) .
El
S 3 - j <*,y) € ÍR2/
g rá fic o de
S3
Graftcar
Z>om(Sj) - * € [O j +GD>
#0/790 (S2) - Y€ [R .
y r O J
>=0
J.__
es e/ eye X .
DomCs3) = x€ Ik
(te)
x=o-í
que regió n s o m b r e a r .’* L a i n e c u a ­
ció n
G ra ftc a r
y &2 •
iz * i:
.
# 0 /790(S 3)
.jo}
z
= j <*,*) € /R2/ V ^ O }
y Seguir dos posos:
SOkucfÓM
J í) Grap'car (q ecuación
yzO
2?) ¿q inecuación y > o es el szmiplono hacia
"
arriba del
d/e %
#2
(pzgion
Dom( \ ) = * € <-00 ,o o )} pango (S¿) = Y € [o; +od> .
(n )
G ra ftca r
S 5 r | (V > *
Como pod em o s
x >0
A
y ^ o )
observar el gráfico de S 5 és
/o intersección de S¿ y $4 de /05 e/erdeios
25 y
26
D onde
respectivamente .
S3 0
= S5
z l - r cu a d ra n te .
1
xyofT)( s§) = x € [o;voo> -j £0/790 cs5) - y € ro, +oo>.
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Moisés Lázaro C.
( S ) d*roftC&r T j r J (x,y> f ir2 / j < x 4 4 A 2 4 y <
SOLUCtOKI
¿cr q r é f t k o
Dom
de
(Tt )
= x#
7¿
€ » «/
/’C c t a n y u l o
AQ CD .
< J ,4 r ]
/?a/^oC5> = y € f 2 , 5 }
1
T j - { <x#yy € 0I2 /
3 , -i < X ^ 5 {
it
^ -r*
($*) Grcrf/cor
».v.
-J*■;■
3D¿w».C7i) '= * * < - i , 5 )
/2a/?^o(Tj) = r € <-<¡o, 3]
x:-i
S ) G ro f/ c o r T j ~ j (X,Y) € /£2/ y = 3
00/77 ( T j )
3
♦
^*= 5
* ^5j
= .x c < -J,5 ]
S
Q o n g o a ¡) = [3 ]
( 3l )G ráficof
X
f’
r
7^
j lx ,y * € /£ * / x
x
(S?) Grctftcctr T5 r j (x,y>£ fH2/ x < 4J
r/.j
ñ
•1 3
*
1 i** * x
X
Dom{%) z |Aj
zm(r5) zx€<-ó»;a)
&>fl$o<r5)zy€m
S
y ^ G ra ftca f
= { (x,y)€/52 /
x ^ y , £
2x }
So l u c i ó n ;
¿a relac/ón
* ^ y ^ 2x
es
'e
q u iv a l e n t e
a
x^ y
A
V
£5 cfccjr, la
relación S gs
/o
intersección
e/e /as
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y^2x
sl
/e¿ac/b/?es
Sj y S¿
Relaciones de (R en IR
S «4 f f / O U £ M O
s LA
M £LáC¡0*t
S E G u /D A M S N T E f G O A P fC A Q LA G ELACtOH :
X, 4 y
$€füir dos posos :
Sty jir dos pasos:
P ) 6 rapcor ¿a acc/ocioh
\
i-) Graficar Lo ec uocion : y r 2x
x - y
^AaytAc/oW
TASULACfOfx
22) Sombrear:
X
0
y
0 1
i
¿ ( l, o ) € ( u y )
ftaspuesta:
22)
?
1 < 0 «*65
as
£sto fthr% decirf quz hq s« sombrea ¿a región
‘ Pi ; 5X +*Ay 4
4
% : 5x^y
>
«
g
:
X ^ o
:
^
^&ROA&£0.0
en el punto CV,G}.
réloc/ones
siguientes ;
200
Ri : 3x + 5y
: 8x - 4 y
¿ a,o ) €
/30
- 80
^
S o l ye/o a/ ; Grafiquemos codo reíouon
gpÁc/c a p£ /2j :
siguiendo dos po sos ;
5 x + 4 y 4 200
J-) Graficar ia ecuación : 5 x f 4 y - 200
p ) pora hombrear f probemos si c/ punto (ofo) satis -
m&uLáció#
X 0 40
y 50 O
/ace /a
Y 4 2*
0<2ín
f
o< 1
Lusyo t$z sombreo ¿o rzyión doñdt esto'
donde esto a¿ punto (1,0).
( 34) Grof/cor Lo intersecaron de ¿05 seis
Sombreo/*:
«espc/esta*.
inecuación 5a +¿*y < 200
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—
Moisés Lázaro C
( S >
5 (o) * 4 fo> < 2oo
Vbom m :
O < 700
***£$ V
Como esYerdadeno ¿a proposiciónf entonces se sombréa la rty/on donde está dpunto (0,0).
Goafko DE fíz ;
3x + 5 y 4 ¿50
l8) 6ra/icor ¿a zcuaciáfi :
é (o,o) €
79) S om bre ar;
TABULACION
3x f 5 y -
150
50
X
0
Y
30 O
3x * 5 y < *50 ?
Pospuesta
3(o)+5(o> <150
0 OSO►
£s V,
entonces
sombreomos /a
donde esto e/ pt/nfo fo,o).
G ráfica de Ñ y .
P) Graf/car ¿O
5 x f 4 y V JO O
ecuación : 5x * 4y -/0 0
2^) Sombrear ;
TAat/¿¿c/cw
X
0
20
y
25
0
¿ (0,0) € 5x > 4 y > ioof
R e sp u e sta ;
5f©M4foj >
100
Falso } entonces} do sombrear ¿a región
0 > loo
donde esto et punto (o,o) ^ $//?o ¿o
fo g ió n op<¿esta.\
G ró /rc o d z
Ñ¿, :
8'X - 4 y
- $0 ’
] - ) Graficar ¿o e cu a ción ; 8 x ~ 4 y
r¿&c/¿.Ac/o*/
X 0 -10
r - 80
y 20 0
29)
S o ^ /^ e o r ;
c' (o,o) £
pospuesta :
S x - 4 y > '- 8 o
?
8 (o) - 4 (o) > - 80
o > - 80 ^■£sV, entonces sombrear la región don
de es/óf e/ p<//7¿o (o,o ).
. x >, o
GR¿riCk pe
? 2 s e/ semiplano o ¿o derecho de/ e/e Y incluyendo af
eje. y.
GQáF/cn DE R q :
-*aa=!=B5s=* a==a^
y >/ O
y es Qj sem¡plano hacía arriba de! e/e x incluyendo al e/e
>c.
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Relaciones de IR en IR
D ado
/K Ó * {Z ) ~ .2 * ¡ **3*2
la fu n d ó n
Sujeto a los siguientes newtricc/oné$ :
*»: . f - x j * *2 4 1
^ 2:
*1 t i * i
411
**<
I X j + X*
^ Ü
m :
*i ’ » O
*s
t
'
*2
D ^ o £/d. ¿ po/ü Qué va/ores de xi / x2 /a fmcmn /%m ¡ i)
se hoce máximo
|SOLUCtÓftf]
fV e
e je rc x b es cw « o s
2£A*|
Poro resolver GQ&ztc&MMwr*
l 5)G ra fica r
é a te a s í e/
«4en<$3.
la s
¿toco
P lh N O
Peo 6£¿M&c/ON
ate 2 variables .
é s t e problema f seguir ios Siguientes p a s o s :
restriccion es ( ce**» m&tncóon et un $*mipf&no en m ^ o b íe m é n
C o rv v S X Q
ASCD £
j Qu<¿ es ¿o intersección d e la s cinco resfrie
~
2?) Sustituir } ano por uno ; ftx*os /os ve///ce$ efe/ p&y/7o convexo Á8c¿>£ ©7 /o /t*?
a'oír P tó x (Z ) - 2xj + 3 x 2
la fanc/oó
/x>ra comprobar cual d e dichos vértices hace m áxim o a
/Tox (£ } .
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Moisés Lázaro C.
Vk&mos:
(i)
Sustitvyendo el vértice Á (oto)
en h función: ffóxil) r 2x¿f3x2 ; obtenemos JfoxCZ)= 2fO) +3(oj
00 Sustituyendo t í vértice 8 (0,1) en lo Junción: /Tox (Z} -2*,+3x2 ) obtenemos JKáx(Z) z 2»» f 3(r> : 3
C (3/) an lo june ton: JKáxtZ) z 2x¿ f 3x2; obtenemos Méx(t)zl(y\^i(A) - jg
(fv) Sustituyendo di vértice D i3,3) c/? /o Junción; y^fox(2) r 2x; 1 sx2) obtenemos Máx(Z) ~ 2(5) 1 30) n 9
(v? Sustituyendo di vertice E(6,o) <¿n lo Junción: />Tox (Z) = 2x/ +3x2 ; obtenemos ffáx&) z 2(o) +3(oi r ¿2
rComo acabamos ate probar ¡a Junción M.óx (Z) Se /x>ce máximo cuando
dom* s?á* (Z) = 19 .
£1 problema que acotamos
5 y
xi
de resolver por el método qrofteo
3
Solo una iUi$
toc/o'f) Som era de UN MODELO MATEMATICO OE PROGRAMACION UNEAL CON DOS VARIA.
&LBS
cuya
^
solución no requiere de mucho trabajo .
Pero} en el mundo moderno que vivimos Se plantean problemas de 100} 4oo} . ..}
o
4o,ooo
variables
ñ a s ^ de. amplio
} cuya solución requiere del uso de ¿as Com putadoras Moder
conocimiento m atem ático .
los problemas de Programación timzal plantean y resuelven
&a>t~¿o
minimizar costos
ifo
maximizar pononc/as.
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tópicos
en los croles «£.
Relaciones de IR en IR
—
—
®
—
/Qe otver ¿os Siguientes problemas de Programación ¿meal por el método p rp /tco.
(36)
STáx (Z ) = 3x, + x 2
0
5 .0 .
/n á * (Z ) r 2 x ,-6 x 2
s . a.
2x, + x 2 ^
26
*|-*2
* -i
*i - 3*2 4 9
X |- 2X2 * 1
*j> ,o
2X| + 2 X 2 < G
* 2 > ,0
*. >/0
X2>,0
g )
- *2
/>?á* ( z ) = 4
@
S.a.
* |- * 2
2,000 x , + 4 ,0 0 0 X 2
50X,
^ 1
*1 * 0
* i >.0
*2 ^ 0
*2
M o * (Z )
Z
2X, + 5 * 2
¡42)
s .a . '
*0
/I) ~ x, t %2
-2 x , + X 2 4 1
4200
9X , f 7x? 4 300
Xí 4 2
x, + x 2 43
Xt } 2 0
Xi>„o
x, * 0
O
x2*o
M á x i j ú .-z $ xt + Z%t .
;/ S .a..
0
■
-2Xj * x 2
x, * * 2
/*ÍOx f£) - 3 xJ + 2 x2
s.a.
41
2x, 4- x 2
43
*t> 0
’ X| * 0
x2* 0
> 2*0
5 .Q..
<2
1 X¿ * 4 x 2 ^ 12
*1 4 2
NOTA ;
+ 200 X 2
s.a.
3x, ■*•4 x ,
S)
6 *, f 2i x ;
s.a.
3x, + 4 x 2 ^ 5
g )
jy [ in ( Z ) =
« sujeto ct ¿os restricciones **
Sólo fines educativos - FreeLibros
6,000
>, 2 0 0
—
0
0 )
Moisp" Lazaro C.
-
G ra ftc a r í a rei&eten
M * | f c ,m
* -y < o
a
(x -y )(x * 2 y ) < C
J
* * iy>o
v
X -y > O
A *+2 y< ©
#/i primer tugar 9 m. grafrca (a intersección de fots re/aciones
x -y < o A x +2y >0 .
g n wgttndo tugar, s* gmf/ca ¿a intersección ate fas ttf&t/ones x -y >0 A x f 2 y < 0 ,
g n tercer fegm ¿ f e f//>e
/os resudados obtenidos en ¿os. dos p meros per sos .
£7 matada pue Aemos seguido as :
/£?) #A*//C€*f /o Qct/otc/OP
( * -y ) (* * 2y) z O
£/ grd/i co efe tas «te sacrones © y ©
x -y -O
©
V
x + 2y = o
©
ton dbs rectas yue sé co/tan .
<1
2S) So/n¿reo/- ; Ar/cr <?/£>; probemos si el
punto (o, i ) satisface o t o
x -y -d
inecuación
«**y=o
(* - y ) ( * * 2 y ) < o
W
Veo/7?os (o - J ) ( 0 * 2 M ) < 0
A
e*#« #í
-
%
a^ ~ ;
-2 < 0
^ ésta propos 1
crén «3 vQrefodt ’O.
£ n consecuencia sobreamos h
m smo m odo probarem os
rayón Q .
con tas regiones
' £)
C
y Á.
Veam os:
*0 sg#s«ía* la££¡e/o/v C
H,o) € c A f-ifi)-m satisface o to inecuación (x-y)(xf 2y) e 0
..
•.
1<
(or l)€ D A (0,-í)
satisface a la inecuación
♦*- es p m s o
(x-y)( x* 2y) <0
-2
(1,0) € A A
0
( 1,0 ) PÓ satisface o /a mc^uaciún
<O
=£
D.
c$ VseOAoefio
(x-yXx *2y) < O
i <0
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S0M8ncA& la rb&iqn
/vosomaa£4Q ¿Aa¿r«/<w
«S MASO
Relaciones de IR en IR
{ § >
(£
5)
la re loctpn
G ra /fc o r
=
S
3/
| íx ,y )£ M
*
*
^
-
O j
S o m e to w
¿ O in e c u a c ió n
x2 - 6 x y
+5 y *
í
e s fo c to r/z a b M :
O
<=» ( x - 5 y ) ( x - V ) :>■O
A h o ra , d is c u t ir e m o s
G r a n je a r
l s)
la
é sto
e c u a c ió n
<=>
g r á f i c o an d o s p o s o s :
(x -5 y )(x -y )
x -5 y - o
V
2
q
x -y s o
* - 5=0
Ar3
f/ grafito efe ¿a ecuación (¡j es í//7Qt rector y a/
grá fic o efe lo ecuación (2) es otro r e c ta . Ambos
rectos se cor to n en e l origen .
2*0 Som bree*r: ¿as dos r e c ta s g $0, c o rta n en
e l orige n h a n d/vrdido a f p ia d o fR2 en cuatro
regiones :
Ñ
2
} Q2 ¡
^3
y ^ 4. .
En consecuencia si el punto P¿€
Sombrear ¿o
r e g ió n
R{
,
,
.
A
satisface /o inecuación <x-5yX*-y) > O
'
%.
V eam os:
i* &i)
(o ,i ) 6
A
satisface a la //^cc/oao/i ( x - s / X x - y ) > O
=> Se sombrea la región
.
-*"*■*■*.
'
5 > O ♦w es Ve/cforctero
(V )^ 2
A (2,i ) M> Satisface a ¿a inecuación (x-5y)(x-y) >0
ato s« so/j?¿veo /a /tararí
.
. . .
^
*
’•
;■■ ••*••••*--,
' ..
- 3 > O _«*- es «eso
£* ^j¡) (2,0) €#3 A (2,0) satisface a la inecuación (x-5yXx-yl > 0
*•
*
se sombrea la regio*
■
%
4 > 0 r 1- es vcrcroctero
*«
fíi)
A
H / 0 /vo satisface
a la.inecuación (x-5yXx-y)>0
a?0 se
sombrea la región
'...................~‘y
^4
-3 > O ♦x es r*¿$o
^¿ jG ro f/c o r to relación
s o lu ció n r*
T z \ (*,*) £ M 2/
( v ~ * ) ( r + *V ( 2 y - x ) < O } .
.Sepcfir'r otos p o s o s :
Graficar La ecuación: (y -x )(y + x )(2 y -x ) ~ o *$4 H : 0
®
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v
y+x : 0
®
v 2y~*
®
- O
Moisés Lázaro C
i os ecuaciones ® ; © y ©
son fots rectas que se corten en el origen y dividen el
plano fll* en seis regiones.
2S) S om brear ¿a i/re c u a c b 'n : (Y-xXy+x){2y-x) < o .
.
./•O
Po/’o elfo y se pruebo con un ponte efe
v
t*
ccrOo /¡ey/on X?»' ; i*J,2t 3,4, 5,6 .
Veamos:
ín tfj) (-2,0 )r pj A (-2,0 ) SQÍi$farce a .
lo irm c u & c ió n : (y-x)(y+x ) U y - x ) < O
___
- 8 < 0 «n/tsV.
entonces sombrear ¿a región P¡ .
£/> ^ 2) (Q,2) € P j. A (0,2) no satisface la.;inecuación (*-*)(y+xy(iy-x) co
^ no sombmar
/ó región
j g < o <*v. es F.
$ # % )) {!,% })€ R3
A (i,?A) s atisface la inetuoúón fy-x){Y+x)( 2y -x ) < 0
Sombrear Lo región M j ,
- ¿ < 0 -u es,V.
n
E n Q A a p y e fí4 A
(2,o) m
s a tis fa c e te inecuación: (y-x)(y*xK 2y-x) < 0
=$ no sombrear la región
: ' •.....'*.......- ................... *4
8 < O
«SP?
En Q $f(of-2 ) e %
A ( 0;- 2) satisface la inecuauon (y -x )('t+ x )(iy-t) < Q
-26 < O
=> Sombrear lo región P 5
es V.
(-i,“%)€/% A (-2,-Vj) no so^/s/oce l& inecuación {Y-xXy+xfzj-x.) < O => no sombrear la región
'
-
/? 6
— .' < o *•*- «s ^
27
Qroficar te relación 5 = ( (xA )€ 7t 2/ xy 4 2 ] ■
solución y
Seguir dos pasos :
1®^ (7raficar te ecuación: xy■-1
g ) calculo oel dominio r Se despeja Y .
2>e
2a e c u a c ió n
*yz 1 -
y r
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..
Relaciones de R e n -R
-
x eDomimo
b)
caic uto
«=* x c ÍP. “ { *=oJ
ye am igo
c)
ۤ
donde k z o
una
-
os/ntoto v e r í / c a í .
$% despeja x.
oet r a m ®o
De í& ecuación
f
0
xy r i
x r
y€lR-{y=oJ
> úfosrwtfe y
-
0
m uno a& 'nioia hor&ontmi
ta &ulam &o
-i
S om brear í q inecuación
xy < \
Como vamos, la curvo xy - 1 qu<¿ tizne, tíos romas } ha dividido a l piano en iré s regi
unes : \&i,. &z y #3 .
(o,0V € Ñ 2 A
(0 ;o) s a tis fa c e ia inecuación
x y <1
=> Sombrear lo mytón Rz
O < i *^csV
©
Graftcar ía retacion
30lucic)h y
S = j <*,y>€•■#*/4 y 2 - x ^ o j
.
S e g u ir dos p « » 5 b 5 ;
|t )G rq //c o ^ ía e cu a ció n
4 y2 - x z o ♦
Discutir ía e cu ació n :
■0
d o m in i o .**
D e s p e ja r Y
de la ecuación 4 y2 - x r o
x c Dominio
i*> *AA*eo* D e s p e ta r *x* ote iot ecuación 4 y z - x = 0
Y= í ~
O
x > ,o . c*
$=> x : ¿ y 2
ye bango
Sombrear ¿aineación
4 y 2- x > 0 .
Como vamos t ía curva 4y2~ x r O
al plomolk2 en dos regiones:
* z r R,
ha dividid o
y Rg.
(i,o) c &2 A ( 1,0 ) /vo satisface ¿o inecuación 4y2- * > 0
entonces rvo sombrear # 2 s /00 # 2 *
>
-l>0~^z$F.
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x c [ o f *ao>
Moisés Lázaro C.
*— — (^ 6 ^ 3 .5
E
c u a c io n e s
PE u s
3.5.1
.c ir c u n f e r e f K i^ p o r d b o k ^ lip ^ é h v p c r b o la
c ó n ic a s
fo c ucrcion
efe / o
i ?c u n f e r e n c / a
iyipntc/ón y ó¿ct circunferencia.} es e/ conjunto de puntos P(*,y) 91/ese mueven en un pfa,
efe Tal manera que >/o distancia ote P (x,y) ó otro punióJijo llamado .
es una cantidad constante ¿lomado radio..
\é e u & C fO /V £ 3
©
x ‘ *•
D E
LA
C '/ t Z C U H F E ñ E N C l A
Ec. de 7o circunfa rancio efe centro en (0 ;o) y rad/o
r rJ
(x-ft)2> Cy-k)1 - r*
Ec. de la circunferencia de centro en ( hfK) y radío f > O.
x 2 + y 2 + p x > E y 4- f z o
E c u a c ió n G e n e ra l d e la
P a r o q ra ftc a t' u n a circunferencia
Pdr ¿o ta n to }
¿as ecuaciones (f) y ®
O tón.
,
@ 770 s í puedc.graficor
r >O .
'
C ir c u n f e r e n c ia .
ba sto conocer el centro ( h ,K ) y el radio
T>Q .
$e grof/can d ire c ta m e n te . £/?' c a m b io } lo e tu o .
./ - \ -
d ire c ta m e n te . Sin embargo’ la ecuación
.
e
@ se
-
'
convierte en la .
Q.CIACX
c/on @
E JE
completando cuadrados-pe r/ectos con respecto a #*x *'
octetos G E S u E l ros
S O L U C IO N
SOI l/C/O/v
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i/o
con respecto i
Relaciones de R en IR
(51J
Groficar J i z { Cx,y>€ IR2/ 2xx 4-2y2 - l O x 4-Gy -2 5 = 0 }
SOLUCION
Se t e
;
2x2 + 2yx - 10x f 6y - 15 z o
DfVtdir por Z 1
Computar
x2 * Y 2 - 5 x
4- 3y
-
=O
cuadrados con respecto
( x * - 5 x - t - ....)
(x* - 5x +
t
(jl
o 'r i )>
*}>+••■)
e
“ y*1:
= y
f ( y * ♦ 3 y+ -y -V ' r -3-+ -2. + -| -
( x - l )1 -+ (Y + f f
= J6
Donde: ctntro = ( % , . - y )
Radio zv/lG = 4
(52) Groficar ¿a relación S = [■(*,*)€ JP2/ 4 ¿ x* + y
So
l u c ió n
;
5e í¿e/*2 que :
¿ « x 2* y 2 ^: 25
Z 4 x2 + y2
A
x 2 + y 2 4 25
0)
Discutir la inecuación ©
1^) Groficar la ecuación 4 z x 2+ y 2 |
estor ecuación
2®)
es una circunferencia,
Discutir ¿o inecuación (?)
1®) G roficar la ecuación
x2 4- y 2.-zs
£ 5 ¿or ecuación es a n o circunferencia,
de centro en el origen y radio T z 2 .
centro en el origen y radio
Sombrear La inecuación: 4 < x24-y2
2*5 Sombrearía inecuación: x2 + y 2 <25.
¿(0,0) satisface o /o inecuación 4 < xHy1?
¿ {o ,o ) satisface o ¿o inecuación
Veamos: o2 + o2 <25
Veamos: 4 < o 2 * o 2
4co
r .:5 .
O < 25
•es¿c* proposición es F?
‘-e s f o p ro p o s ic i­
ón
es V.
entonces debo sombrear h región que
entonces debo sombrear ¿a región pue
éstó fuera de ¿a circunferencia 4=x2f y2
f e r e .n c ic L
Se encuentra d e ntro d e ¿a circun
x2 y2 r 25 .
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”
Moisés Lázaro C.
SjOroficor los intersecciones de los re lo d o n e s S y T ¡ donde: 5 ~ |t*,yn fe 2/ x 2 + y 2 ^ 9 j
= j u,v)€ m }/ *2-y 2 ^ o j .
54^Grofi cGr S f t T ; si :
5 - j cx,y ) € IR2/
+-y* £ l<á} , T - j<*/0€ fR2/ x 2¿ y A
S s ) G r o f * c o r S f i T ; Si • S r|<x,Y>€ /S2 / x 2 > y A x2 ^ - y ]
@
j(x ,y)€ fc2 / x 2+-y2 < 3 G }
Groficor S D T ; Sí : S - }(*,*>€ IR*/ x 1 + y* x< 1&J , T - j (*,y) 6 IR2/
Grof.icor S = l ('x.yjeff?*/lx+yi 1 i ■
*\ -y ]
** Xa ¿ 1 }
( 0 ) Q rafic ar S ={(*,v)e IR ^ / l * - y | > i }
#
v
.
Graficor I
(59)
$
r j(x,y)c fR 2/
P
| x 2- y } ¿ i
( 0 ) Groficar $ r {c*,YV€ S*Y x 2y2 ^ i
i
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Relaciones de IR en (R
2. L A
PARABOLA
I N T R O D U C C I O N . Lo porobolo , visto en el plono cortesiono IR2 ,es uno curvo que
tiene lo siguiente formo !
vi/
|Ú
i2
Parábola q u e Reabre Parábolo. que
abre, hacta. ab a jo
hacia a rriba , y síu
y/iu. e j b es p a r a ­
e/e es paralelo a l
le la
elj£ y .
al
e je Y
P a r ó b o lo , q u e s e
Parábolo que
a b r a h a c ia , la. de
s a a b re h a c í a l a
i z q u ie r d a , y s u
r e c h n . y se/ B J £
& s p a r a l e l o a l© e*
P a r á b o la , d e E M
OBLICUO .
aje. z paralelo
el yo x
.
Antes de dor lo definición de lo PoróboíOjes necesorio conocer los elementos de
lo porobo lo :
Los elementos de lo porobolo son.'
V i vértice
F .* Foco ( punto. fijo )
EJE de lo Porobolo ( recto que poso
por V y F }■
.*DIRECTRIZ ( recto per pendí color
ol EJE) •
donde IFVI = I VL ILo porobolo, como lugor geométrico se define del siguiente modo !
D E F I N I C I O N . ^ = [ P C IR / I F P 1= d ( P , f ) j
1- £ó.
para.bo*CL es e l conjunta c¿e p o n to * d el piano , t&l
que. la. d ista n c ia d el fo c o a un ¡¿unto de. la parcCbola&s
LcjUctl cc ,&(x. dlstck.nc.zcC de.1 prento dk. lo. parábolo a la., directriz .
TEOREMA
1 . Lo ecuocioo de lo porobolo de veVtice en el origen y EJE
eje X , es y2 ~ 4 px.
el
PRUEBA
Teniendo en cuento que ;
P = (x,v)
es
un punto d e l a
F = ( p,c> es el J-ooo
7
p a r á b o la
p> o
v-ío^o) es «ti vértice
^
Aa ecuación de la. ^¿ re ctriz £ os> x-~p
Aplicamos la. definición de ^cucúbolG. :
I FP| = |PA|
donde f 1^ 1 = \A*-P>*+y2'
|PA| = j 3 C - ( -p ) J -
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¡ X + P|
Moisés Lázaro C
u o fK fe
tic e
x- P f + y 2* =• lx + o í
=>
Y2 = 4 p x - ( j )
lo i
p
« s
ia
POCO y
a l
d ir e c triz
ío n g a u a .
del
a e iv e i
v é r t ic e
R-
.
LADO RECTO (a Córelo Focol) es lo cuerdo perpendicular al EJE de lo parabala que
posa por el FOCO*
Lo longitud del lodo recto es: | 4 P |NOTA.' Nuestro proposito en este copítulo del libro es solo aprender a groficar
los pordbolos de ejes poro lelos o coincidentes con los ejes coordenados.
£1 estudio completo corresponde o lo Geometría Anolífico PLANA.
Poro groficor uno parábolo bosto conocer tres cosos! el vértice , eI volor de p y
su EJE.
RESUMEN
jJ Poróboio de vértice en el origen y EJE el ¡ ] Po o el verfice en el origen y EJE el
eje Y
eje X.
x*= 4py
y*8 4 p * ~ ©
Donde!
o)
b)
íi
- 0
Donde
p > O * > lo poro bolo se abre p o r derecha .
a ) si p>0 -> la parábolo se abre hacia a rrib o .
p < O * ) lo pora bolo se obre por izquierda.
b ) s i p <O -> ia parábolo se abre hacia a b a jo .
£
■s
p >o
. __
E
/
p i
M
,y
ky
1» ,e
.
Jt
r\r
p <0
p >o
p <o
LAOO RECTO : jMM|=|4 P|
LADO
1.1 Parábolo de vértice { h,k) y EjE
paralelo ol EJE X .'
R EC TO
i
(WH| * |4PÍ
2.1 Porobolo de vértice ( h,k ) y EJE
porotelo ol eje Y !
( x- h )2= 4p (y-k) & x^mx+ny* 4.2:0
( y-k )?5=4 p (x-h ) ep y2+pyv*c|)i+rso
’) E J £ ^pamleÍQQl
O -i
( Y - 2)7 - 0 ( x - M )
2)VERT1CE :V r ( -1 ,2 )
. )
8
f »>£JE *. paro-ldo ®i eje Y
£J-1
( x + 2 ) 2 - - 4 ( Y + íj
F o c o *. F = ( -
I4p| - 8
U D O
2,-l-l)
<
1)
eje . pardolo al «y* Y
1
flVEWIct : V=( - 1 ,2 )
*> V¿rtice
3) -2 = A p *
c (-2 ,-2 )
R E C T O ’. Í 4 P I - 4
O'BJÜ l'pafcikfeai cje X
El-2
Vértice V - ( 2, 1 )
U )- 4 = 4 p + p = -1
4 p -> P = 2
POCO ’. F=(- 1+2^2) =. ( 1,2)
LAOO R E C TO
f-
i)
p r -* /2
5 -= 4 p
FO CO : F = ( % - l >-»/2> = t1/-V 2 )
POC£> l P = ( - § , = : ( - § , B )
LAOfc RECTO : |4pj = 2
LADO
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R EC TO
l 4 p l-5
■
Relaciones de IR en IR
(problemas
r a g r a f t c a r se com pletan cu a d ra d o s;
( i ) Graficar la relación :
K = {(vo efR 1/ Y*í 41xt , * W é 4 \
y2 - 4
SO LU C IQ N
- - 2 X .-G + 4
y + 4
2
ÍY -z V
.
,
(OEJEz/ejeX.
-2 (X + 1 )
I . Pasos a s e g u ir pa ra g r a f t c a r : >2¿ 4 fxj
1° G r a f ic a f l a f r o n te r a
>
V 2 r 4 lxj
(3 ) -2 = 4 P
LM>0 RECTO \ U*pV=2.
P = -V 2
2° S o m b re a r:
Paro . v * = 4 .| x l* * | ^ =4K ' S U > °
(o,o) s a t i s f a c e : y 2- 4 y - f 2 * + & > o ^
I V = _¿,x , S i x<0
*por ta n to Se Som brea la
donde:
<*) Y2= 4 x
e s u n a p a r a b a la de eje para­
lelo al eje X ; v é r t ic e V e(o,o) *
4 í 4 p -* p =1 , s e a b re porderech<j.
b) V2= - 4 x
f con - 4 « 4 . p - > P =-1 seob*e
por
iz q u ie r d a .
nagion
e x t e rio r.
D is c u tir S :
Y2- 4 y - 2 * + 6
en
dos p a s o s .
Io Graficar l a frontera :
Y 2- 4 y - 2 x + G
= O
-y\-4y + ....
y
..
4_
-
(e s u n a p a rá b o la )
= 2 x -6
r 2 X -C + 4
(OElE//ejeX
2
(Y -2 )
i: 2 ( x - t ) <zj V - ( | ^ )
l3)
La d o r e c t o *. I4 p l= 2
2 .-4 p
P =
2o S o m b r e a r
(o,o) s a t i s f a c e
2 o £} s o m b re o :
ü ,o ) s a tis fa c e
l a in e c u a c ió n ^ 2 < 4 U I ? s e sombra?
la región
II .
p a r a g r á f ic a r l a »
'x z + y 2 ¿ 4 .
inecuacic¿\
1o Gráficar la fro n te ra : x 2 + yz = 4
que e s una c irc u n f e re n c ia d e
2o £| sombreo ‘
cóm o (o,o) s a tis f a c e
La d e sig u a ld a d
b re a
(¿ )
cen­
el o rig e n ( 0 ,0 ) y radio r - 2
en
la
tr a fic a r
La r e g ió n
e x te rio r .
D is c u tir
T
IXI ■ H y - 2 Í . é 2
*.
Es
e q u iv a le n t e
SL
X^q>
A Y
ex 4
>,2
Y<2
Sí
*> O
A
Si
x<o!
A y^2
SC
Xco
A
y <2
x*+y2 ¿ 4 } s>e s o m ­
p a r te i n t e r i o r ,
R nS O T
J l = | ex,y) e IR2/ y 2-4 y +2x -hé ¿ o }
S = { ( x , Y ) € R V v 2- 4 y - 2 x + 6 £ o }
T = {(* ;* ) e & 7
|x'|-H y-?|éZ }
SOLUCION
D is c u t t r B : Y S 4 y * 2 x + G
Io
y2- 4 y - 2 x -h G > o ^
S (n a d e inte rior)
Pasos a s e g u ir
tr o
:
por t a n t o ; se s o m b re a
G r a f i c a r *. v - 4 y t 2 x + G r O
que e s u n a . p a r á b o l a /que. p a
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^
^
in e c u a c io n e s ;
X -f-y -2 ^ 2
x
- (V - 2) G 2
=»
-x + y -2 ^ 2
=*
-K -(y -2 )é :2
Moisés lázaro C.
( j ) Qrajicaf lo. relación ^ = jlx,Y)GíR2/ Y2 £ lx-2| > x2- 4 x - 4 y - i 2£0 f Y ^ ° }
4-
Solución
Discutir R, t V2£ l * - 2 |
Vz t (x- 2) f si x ^2
Y2 < -(x - 2) , si x<2
d Ís
*0
•
4
c u t i r r z : x2- 4 x - 4 y - l 2 £ Q
X z - 4 x 4x
•-
2- 4 x + 4
(X -
£ 4y+12
£ 4 y 4 l2 + 4
2) ^
4
R2
Discutir R3 : y^O
.es el semiplano -enci
ma del .
X
£ 4y +8
X x -z )2 £ 4(y+2)
tproblemas
Graficat los siguientes relaciones :
©
,R= {cx,v>6 i r V xl - 2*-4y*-M>.o J
®
(2 )
5 = {(x,y) € í r V x2+2X -4 y
Graftcar ftO$ .
^ 0}
®
T=j(x,y)ےR2/ x2$-4(v-'Z) ,
4 (y+2) J
(S) R = {u,y)€R2/y>^|xV4| ^
(D s
y ¿ 12}
- flx>v)€ IR2/ y2-4 x -i€ < o >2x-y-4 £oj-
© S i ={(x,ykkV x-y +1 ^o/y2~4x>.0 , y>o }
® S z ^ W ^ IR 2/ yz +4x + 2y + 925. 0 }
© S3=|(x,y)€ |RV X+2y < 0 }
© S 4 = {U ,y )€ ÍR 2/
@
Graficar
V^-1 }
S 20 S3 n S 4
^
1*1 s |(*,yí€íR2/ 4y 2- 4 8 x - zoy <71 }
R2 = \ l*>y) efR*/4y2- 4 8 x - 20 y > 7 1}
®
R3 =‘{cx>y>€lR2/9x2 +24X+-72 y +1& £ O}
®
R4 r.{u ,y)€ fc2/ 9X2424X+72y*Mé< O}
©
R 5 - {(x,y)€fR2/ 4x2+48y 4-12X < 159}
(g)
R4 = {lx,y) e ÍR2/ Y2+ 4 x + 2 y -1 9 > o J
@ s 9 = |tx,V)€ ffí}/ * 2- CX- 4 y 4 1 £ O, iv-z| £ 1 J
©
Rr = { <x,yl e fRV ^ -f e X -.ív + IV i.o }
© S ,0s {<x'y)€lR7
®
Rg = ^(x,y)€R’/**-V-8£o A 3x+y-2i0}
(S)
Gfaricar
®
@ 55={<VYI€R7x2 6x+5y-í 1>0, yÍ8y+4x-81Q>
2x-y 43 }
© S e = }(*/*)€ IR2/ y2- x 4- 4 Y 4- G £0 ^
© Si = \ < v ) € iR2/ x < |yi4| }
@
=
^(x,YKfR2/y
£ £ + X -X 2 ;
® Su = ^(x>y)€g?y |x1.x|->,y
n Rg
Sólo fines educativos - FreeLibros
IY-HS2}
? x2+ y 2 £ !4 }
? xs2j
Relaciones de (R en
3
La
Elipse, .
Lq
to s
e lip s e
fijo s
ta n c ia s
ta n te
= |
una c u rv a c e r r a d a d e
de
cada
fo c o s
fo c o
y
c u m p le
a. u n
fo rm ó A v a l a d a ” g u e tie n e
la
p u n to
p r o p ie d a d
d é la
e lip se
d o s pun
la S u m a d e l o s d t s
e s i^ u a l a
la
cons
-
2 a **
Com o
£
^
lla m a d o s
lu g a r
g e o m é t r ic o
se d e f in e d e f s ig t e
P € (R 2 / i P - F , ! + I p - F j I = 2 a
L
m odo:
}
t. d istan cia d e P a F?
d is t a n c ia d e P a Ff
Los e le m e n to s d e ia e l i p e s o n *.
C - { h }K)
x‘
: centro de lo e l i p s e
: e je
focal
F1
1 Focos
v i ,V 2
4 v é rtic e s
[Y !,V 2 ] = 2 ci'*. e je m a y o r
r
\
l 8i ,v 2] - 2 b ' « j e m e n o r ^
a > b
CFr > F2] = 2 c ; d is t a n c ia f o c a l .
a : lo n g itu d del s e m í -e j e m a y o r
b : Longitud del S em i e j e m e n o r
e j e focal , c o in c id e o e s p a r a l e l o a u n o
E c u a c io n e s 0E l a ELIPSE cuyo
OE LOS EJES COORDENADOS
La
ecuación
de una elipse de c e n tro 2 [ Lgl ccuoicijcm d e u n a e lip s e . d e cen n r «n el o rig e n 5e i e Focal el e j e O L , d t s ^ t r o en el origen^ e j e -focal el e j e IT , d is ­
tancia focal igual a 2c y cantidad
ta n c ia -focal iQ u aí 2 c y c a n t i d a d cons
con stante igual a 2a e s :
,
t a n t e igual a
2 a, e s :
y2 + -2? - 1
a * + tí*
z'
Vz(o,a)
í
82
IbjOl *
J
i-M l
/
Víio^-a)
Lo ecüQeioñ de la elipse decentroen
d punto (b,K) y eje focai parólela al
ejeX^ es ;
(x-M 2
iy-K)2_ t
a1
La e c u a c i ó n de la elip­
s e de c e n t r o en el pun
to (h,K) y eje focal p a ­
ralelo al eje “Y e s :
b* ” k
( y - k )2
Relaciónentre a.byc : o1 s V t d
(x-h)2 ,
1
b*
j ct>b
Sólo fines educativos - FreeLibros
Moisés Lázaro C.
Nuestro único proposito es aprender cl tr a fic a r una elipse
conociendo solo cuatro elem en tos * SU eje ^ centro de La elipse,
longitud del Semt-eje mayor y del se m i-eje menor •
Para e s te o b je tiv o ^ b a s t a r a
e x p re s a r
Or d i n a r i a ; ver cuadro a n te rio r .
l a e lip s e
en su fo rm a
Eje m p lo s :
©
@
Q r a j t c a r : 4 x 2+ 9 y x - 3 4 = o
G r á f i c a r : x2+4y2- c x + I6y +21 = o
S o m c to n
Bastara
dividir entre 36*.
A Xa
■ 9y2
36
36
36
3t
=0
JLl + J l ~ 1
9
4
“ 0
( x2-6 x +-•--•) t 4 ( y2 + 4 y +
•*?.+ 2 ?
4-
dz3
centro
Bastara co m pleta r cuadrados con
respecta a^ x' y con respecto a Y .
As i :
( x 2 - 6 x + - -...) + (4-y2 + 16y+* ••) = -2t
-
4
1
(X2-6x + 9) + 4 ( y24-4 y+ 4) r - 21 + 9 +16
b -1
(X-3)2 + 4 ( Y+2)2
c = ( 0, 0)
EJE coincide con el ejeX.
5^(0, 2>
4
b=1
T e n e r n o s -.
1)
B|(0,- 2)
Como
Q. =2
e s t á debQ jo d e La v a n o s i n d ic a que el EJE •
r ia b te Y *
de l a elipse es
Qraficxxr
Y7 + 4 x 2- 4 = 0
SOLUCION
Dividú entre 4
y ordenar :
y*
vi
T + t
4
4
a r2
c e n tro
E JE
DIVIDIR
ENTRE 4
1
>1
a=2
- ------ ?
—
©
¿"4 ^
0 +2)* : 1
(x -3 )2
4
<-v>V
•)
i
Z)
c e n tro
3)
4)
Serni - eje
Serni - eje
= 1
b -I
c- = l o , o )
o o in c id e
con
e je Y
.
Sólo fines educativos - FreeLibros
p a r a le lo al E JE X
c = ( 3,- 2 )
mayor *a = 2
menor : h -1
Relaciones de IR en IR
4,
Lq
H ip é r b o l a
DEFINICION ;
Dados dos puntos fijo s *Pi. y
toles qu e I R , 1 = 2c y d a d o u n á .c o n s t a n t e ’^ c l ^
Se. d efin e La h ip é r b o la Üf> c omo *
<fc- - S o , m i /
lio
d istin tos (-focas)
t a l que o < a ( C 5
'p .p 2| | - 2a I
di-fe ren cía de Las distancias de P
a F1 y de P a F? ) es igual a La
constante Za .
Elementos *.
C
V, >V2
Fv ; F2
x'
[v 1;v2]
; centro
: vértices
: -focos
v
foaaL
= Za : eje tr a n s v e r s o
[ b 1#b 2] = Z b
; e je
c o n ju g a d o
1^ - C |= I Fz- c | = c
: asíntotas
ECUACIONES DE LA HIPERBOLA CUYO EJE FOCAL COINCIDE O
ES PARALELO A UNO DE LOS EJES COORDENADOS
JJ
Leí e c u a c ió n ole l a h ip é r b o la d e a e n . j*j L a e c u a c ió n d e la h ip é r b o la d e
c e n t r o e n el o rig e n , e je -focal a o in c L tro en e l orig e n } e j e -focal co inciden te
d e ñ t e c o n d e j e 11^ y -fo c o s L o s p u n
con el e je X , v focos Los Puntos (qo)
to s (o ,c ) y ( o r c ) , e s ;
y C -c ,0) , e S ;
_x2
j}
a*
R g la c io 'n e n t r e
a ;b yc
La ecuación
:
cz
gq
2+ b 2
Puede s e r
La
d e u n a h ip é r b o la d e
el pu n to (h,K) y eje focal para
lelo al e j e X ? £S d e la forma *
ce n tro
(x-h )2
CV-K)2
*. a < b ; a > b o
a=b
e c u a c ió n d e la h i p é r b o l a
centro en (h ,K )
y
al
d e la f o r m a *.
e je Y . y e s
\jy
e je fo c a l
/ l v-K)2
az "
Sólo fines educativos - FreeLibros
de
p a r a le lo
1
b* ~
Moisés Lázaro C.
jV~uzstro objetivo es sólo aprender a gra fica r u n a hipérbola.; co­
nociendo : su centro ■' s u E J E
y ¡os valores de Ci y b .
Eje m
|.
plos
:
: 4 x2 - 9 y2-36 = 0
Q r a f ic a r
Veamos:
Dividir entre 3G *. 4 X 2
Qv2
9
y2*
3c
3G
-
1-0
L L - 2- = 1
•9 - 4
i
4
a=3 b =2
Tenemos
centro = (o>o)
: coincide con et eje X
a = 3
.6 = 2
3. Gro.ficar :
4 x 2- 9 y 2 -f-32X -*-36y + 64 - O
Mojamos :
£■:/? es¿e caso j fo primero gue s e
¿ace es : c o m p l e t a r c u a d r a d o s
con respecto a " x * y am respecto
cl y •
4 s f
:
4 x2 v-32x f •••• -9 y 7 +3éy + - - =-C4
4 (x 2+ 8 x 4 *•' ) ~ 9 ( y - 4 y + * - ) = -C4
4 ( x2+ 8 x + 14) ~9 (y 2-4 y-f 4 ) = -64tC4-36
4 ( x + 4 )2
- 3 ( V - 2 >2
= -3G
-4 (x + 4 ) 2
+• 9 (y-2)2
= 3G
Dividir entre 3€> y ordenar *.
9 (V- 2)2 = 1
- 4 (*+4)2
34
(y-2)2
4
3e
(M r
9
4
Q ra fic a r :
Veamos ;
2.
Vlvidir entre 4 ;
b=3
y2- x2 - 4 =o
y2- x 2
v2
*2
4
4
4
i
ar 2
=4
= í
Tenemos
centro
E JE
E n este caso tenem os :
Centro : (o,o)
HTE
: coicide con el eje Y
a = z } k > -2 .
’ ¿3" preciso y a f i c a r Las diagon aler
d el rectángulo} g Ue son las Asíntotas.
Sólo fines educativos - FreeLibros
(6, Ai) = (-4 ,2 )
paralelo al «7e / > porque
Ol —Z e sta debajó deT.
Relaciones de IR en
< s > -
4 . G raftcar : 3x2-y 2 +30 x +78 —o
Veamos'*
Debemos cojnp te ta r solo con respecto
V «*
CX X .
fro n te ra e s :
La
a.)
x2+ y 2-
que es u n a c i r c u n f e r e n c i a d e e e n tro e n ( 0 , 0 ) y radio r= 3 .
;
Ordenando te n e m o s
3x2 +30x + ••- - y 2
3(x2 + iox + •••• ) - y 2
3 (x2+ iox + 25 ) - y 2
( 0 ,0 )
b)
s a tis f a c e
--7 8
cu a l in d ic o
= -7 8
ía
re g ió n
que
:
*z +y z < 9
se d e b e
> lo
s o m b re a r
in te rio r .
--7 8 + 7 5
3 ( x + 5)z - 7 2 - _ 3 ^ _
,
- (x+5)2 + -^-
te) Discutir ; x2 + y 2 < 9
t3<25’
^-dividir entre-3
1
_y_* _ ( x+5)2
3
—
^ 1
'4
4
a-TJ
b- 1
Tenemos :
E\ centro*. (h,K) = (-*5,0).
EJE
:
e s paralelo al e je "Y .
G. Grofícor íq rdlacion : T A S o R
T
(x,y)6IRZ/ |xl-|Y|<l|
S = { ( X , m i R 2/ V - 4 x 2 i 4 ^
R s J (XjY) t
i r 2/
Ix V+ lvl ~ 4 )
Solución
G ra ftq u e m o s
la. f r o n t e r a d e cada
relación :
( 1) F r o n t e r a d e
5.
Groficar ¿a relación :
S ^ c ^ v i e n ? 2/ * » 1- * 2* ^ * x2+y2 í 9 }
Si
Si
Si
S¿
T
t x l -1 y j = 1
x >0 a y >0
=> x - y =1
x>o a y < 0 ^
v +y =1
* < o a y>,o
- x - y -1
x<o a y<o
*-x + y = i
Solución
(?) D is c u tir :
4 y 2 - x2
12) F r o n t e r a d e
4
<*) La f r o n t e r a e s : 4 y 2- x 2 = 4
y 2_
4,
a -1
b)
4 -- t ^ ^ ip é r b .
+
fc>- 2
( 0, 0 ) hace v 4(o )T<p )2 >4
O >4
t- PALSO
Lo cual indica que
S !
H ip é r b o la - 2-*>
Y2 - 4 x 2 = 4
- x2 = 1
(3) F ro n te ra de R : lx| + |y|= 4
Si
X>oav>o
4
x + Y
=4
x - y
- 4
Si
x >0 a y <0 **>
Si
X<o A y » o * » — x + y = 4
St
x<o a
V<04
se debe^som -
br^Q r * la región interior d e la h ip é r­
bola .
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-x -y
=4
Uraj- ic a r
Problemas
tas siguientes relacionesAiguientes ;
JL.S, =|üi,v)€/R2/ y z £ 8 X a <x-3)z+y2£9}
16. SMn S12 O S í3
2 . S 2 = J ( x ; y)€fR2/ x z- y zi 1 x xZ4-yZé 1¿ }
|7.
T,
3 -5 3 = j (x,y)€ IR2/ Xz- y Z£. 1 A
18 .
r z =-{<X/yje IRZ/
IVI ^2
= {(x,y)e1R2/
JXl £lYÍ£2 |
'
y#y lx ~'|l l
X-1 ‘
. 19 . Tj rzjcXjyielR2/ lx |>
Ixléyj.
4
.S 4 = f (x,Y)en?2/ Xz_ 4 v z- 2 X + ) > 0 }
5
. Ss = | (XjVJfc tRz/ 9 x i- y J_ 3 cx - 2 y>««| 20. T4 ={(x,y) € IR2/ lx l> y 2 , I x I l l Y l }
21. Ts = {(X jY )e (R2/ lx y l£ 4 }
6 . St = j ( x, y) e íRz / x y <4 }
7 . 5 7 = | (x.,v)€ ( r 7 - £ + - £ S i }
*
8
14
10 . S 9
\
2 3 . T7
.s 6 n s 7
9 . 58
22.
'
= { (x ,y )€ R 2/ 4 x 2- y 2-i4 |
(x,y)elR2/
(y-2)X*.1j-
= |(x Jv)e iR 7/ 4 x 2- 9 y 2 s 144}
24 . Tg = ^(x,y)6 (R2/ Ú -i)2- (y-2)2é 4 }
= { <x,y) 6 IR2/ V2- x2 £ 4 }
25. T<y ^{(x,y)e1Rz /
H -.S j0 = j ( x ; y)tn ? z /
ixi< 4 }
2 C.
9
lü±i>2< 1 1
4
1
Tío = \ CXjylelR2/ (y-2)z + (x+0 ¿ 4 }
27. T9 n T )0
i 2 . S j - n s l0
18. 5 it = j l M i e IR2 / x2-9 y 2¿ 9 }
28. 'T,, = j lx;y)6iR2 / (x-2)2-(y -3 )2>4}
14. *3|2 = { lX,y)€ (R*/ y-3 ¿ Ix| J
2 9 . T i2 - | . ( V ) € I R 2 / ^
15. S ) 3 = ■{ (X ,y )e í1 ? y I x l i S , y Í - 3 |
Sólo fines educativos - FreeLibros
+
^
1}
FUNCIONES o
APLICACIONES
O.
IN T R O D U C C IO N
Tomarvdo
dos
.conjuntos
A y B
hemos c o n s t r u i d o el conjunto
R,tol
que , R c z A x 8 .
Al conjunto
Eje m p lo :
R
le llom om os
Dado los conjuntos
relocion
de
A
A ~ ^ o ,b '¿ c ,d j
construimos los siguientes relociones
R
= {
( o , 1} , ( o , 2 ) , ( b , 3 ) , ( b , 4 )
5
= |
( o ~'í) , ( b , 3 ) , ( b , 4 ) , ( d , 5 ) }
F
= |
( o . l ),
( b , 2 ) , ( c ,2 ) , < d , 3 ) J
6
= {
(o,5),
í
en 8
y
de
;
8 = jV ,2 ,3 , 4 , 5 j
A en B
)
b . S ) , ( c , 5 ) , ( d, 5 } J
%
que ol
r e p r e s e n t a r , codo uno , en un diogrómo de Venn
Dom { R )
Sólo fines educativos - FreeLibros
tendremos!
Moisés Lázaro C
Fensemos, por un
i )
ti J
momento , en dos
cosos
En el dominio de codo uno deios rela cio nes
, y
en lo
dominio
correspondencia
con un elemento
En ¡a re la c ió n
i)
E l dom inio
del
R
de
de un elemento de!
conjunto
de
de
cada
relación
llegada.
tenem os
R
es un subconjunto
propio
del co n ju n to
de
p o rf id o .
Pues
D om
( R)
<= A
| o, b | c=
it)
L o correspondencia es
elementos 1 y 2
ol
e le m e n t o
E n lo re la c ió n
S
éi
i
b€ A
-En lo . r e N m ó n . F
y
en
' al elemento o B A
lo
oigo
ponde d a s ele m en to s 3 y 4
t )
lo
re la c ión G
de 8 .
ocurren de» porticuiortdades¿ten
re locio'n F , tenemos !
D om ( F ) s
dos
sim ilo r.
di t e r e n c í o dos
£ n
correspo n de
;
c o rre
ocurre
a
A
t. todo el co nju nto
de p a rtid o .
Sólo fines educativos - FreeLibros
Funciones o Aplicaciones
ii)
o codo elemento
elemento
E n lo
t )
Ü )
del conjunto
re la ción
Dom
de l conjunto
port¡'do
corresponde
un único
de lle gado.
G , tenemos :
(G ) »
A
o codo elemento de A
Pues b i e n , e s t o s
F y G
de
van
a
dos
elemento de 8 .
un único
p a rtic u la rid a d e s que gozon las
de fin ir
N O TA .* A p l i c a c i ó n
co n ju n to
corresponde
uno
s ig n ifico
A P L IC A C IO N o
FU N C IO N
cu yo
r e lo c ío n e s
de A en 8 .
FU N C IO N
dominio
es todo
el
de P A R T I D A .
E n e i presente l i b r o ,
usaremos
corno sinónimos
f uncio'n
o
api i cocí oo.
1.
FUN CIO N
OI
DEFINICION
EN
8
1
conjuntos A y 8 , llamamos función
Dado dos
correspondencia
mento
A
f
que asocio o
codo elemento
y € 8 .
Tam bién
de A
x 6 A
con
en 8
un único e le ­
%
podemos decir
f es uno
e le m e nto
f u n c ió n
definido en A
x € Acorresponde
y con valores
un único elemento
y
en
8 ,si o codo
6 8.
N O TA C IO N
La notación
f
.*■ A ■—
x
Se lee
o
o toda
F
— *♦ 8
y se f c x )
A en 8 “
"
f es
uno función de
“
f es
una función definida en A y con
valoresen
Sólo fines educativos - FreeLibros
8
Moisés Lázaro C.
—
Lo
N O TA C IO N - y = f (X )
H y
y
A d e la s !
1.1
y -
es lo imagen de x me diente
f
es el
f en x
fix)
valor de la función
• es equivalente
GRAFICO
DE
D EFINICION -
UNA
: A
G R A F IC O O I
f
al
( % # f ( x ) } , "V* x t
A
.
sea
Sun bal ico mente :
ir (f } «
A*
DEFINICION
conjunto de todo
(* i f ( x ) ) / x€
Según esta definición
el
los
pares
de
la
A
G r ( f ) es una relación
de A e n , i , es decir
8 .
2.
Si el Gr ( f ) es una
relación
de
A en 8
que goza de las siguientes p r o - ,
piedades !
,
1)
Dom ( G r ( f ) ) s
2)
St
una
Gr(f)
8
|
Gr ( f )
( x , f (x ) } €
a
FUN CIO N
f
Se Mama
form a
se iee :
{ x, y ) €
A
Gr ( f )
función
de
a
A
( x , z } € G r { f ) »> y = z ¡ diremos que f
en 8 ,
Sólo fines educativos - FreeLibros
es
Funciones o Aplicaciones *
EJEMPLO 11 ) D efin im o s
Seon lo s
lo
fu n c ió n
8 =j m ^s^r J
y
2 ) Definimos lo f uncio'n g.‘ A -+ Q
modo.'
de I s i g u i e n t e
f \ A~+B
A = | p,b,.c,d j
co n ju n to s
deí siguiente modo
f ( o) = m
g{a ) »
t
f { b )
n
■g I b ) »
t
f (c )
n
g
f { d )
s
g ( d ). =
( C ) ass
t
t
A
Podemos
observar , cloromente , que en ambos
todo el conjunto de partida , esto e l lo
En combio el rango
es un
el rango de una función
o uno f u n c ió n
El
que defin e
es todo e i conjunto
o uno
el
mas
es
a p lica ción
de llegada. A
de llegadat esfo
que estudiaremos
dominio
vo
a
veces
definir
adelante.
B A S IC A :
co nju nto .d e 'p a rt id a
todo
funciones
ubconjunfo del c o n ju n to
su rye ctiva
ACLARACION
B
y
de llegada pueden ser de cualquier naturaleza;
lo que .'debemos hacer . es'■definir bien a uno'función.
EJEMPLO
2.
Sean los conjuntos A a
B - {
D e f in im o s
lo función
p /p
es uno
O .l }
(p .: A —*
8
del
siguiente
modo
Sólo fines educativos - FreeLibros
proposición j
y
Moisés Lázaro C.
\O 0f~
f
EJEM PLO
1
, si
p es
verdadero
O
, si
p es
folso .
(p ) *
3 . Seo
f
e l conjunto
A = \ - 1, 0, 1^
A x A — |( - 1 , - 1 )
f ( x, y ) =
x f
definimos
, 0 ,1) | — * A
lafunción
delsiguiente
modo
y
o ) Hollar e J 6 r ( f )
b )
H a lia r ei Ranfo de f.
Sofücio'n
o)
Como ef conjunto A tiene solo
sentar en un diagrama
Así
3 elementos , podemos
intuir y repre
d.e Venn lo función f.
:
ElSrOfico
de f son PARES
del conjunto de partido
ordenados
que se forma tomando un elemento
( x , y ) y un elemento
del conjunto
de llegada
{ x+ y ) 6 A
A si obtenemos !
Gr { f ) — | ( ( -i .o ) f - i ) , í ( 0 , - 0 , ~ i ) , ( { - i , i ),0 ) , ( ( i ~ i ) ,0 ) , ( ( 0 ,1 ), 1 ),
( ( i , 0 ) , i ) , ( ( o to } , 0 ) I
•
Sólo fines educativos - FreeLibros
Funciones o Aplicaciones
- 0
b )
Rong { f ) * A .
ے
d o m in io de f ,
f es uno
Dom
(f ) »
Se d e f in e
sie m p r e
sero todo e I conjunto de
o p lí c o c io n .
A
IJ6 H P L 0
XA
4 .
( ( - 1 , - 1 ) , ( 1,1 ) ]
A — { 0 , 1,2
Seo
lo f u n c i o 'n
f : A -*
A
así i
X+- 1 , si
(X + 1 ) € A
f XX) =
,
o )
H o llo r
b ) H o llo r
él
Sr
si
y
(x + i)
a
.
(.()
el ra ng o
de f .
S o lu c ió n
o ) Bosto dor
vo tares
o
x
paro
h ollor f ( x) .
Asi 7 !
f { O í—
0 + 1 * 1
, 'pues
(0 + 1) £ A
f ( ! ) =
T+ 1
s 2
,
pues
( 1 + 1) 6 A
f ( 2 ) *
2+ 1
— 3
,
pues
( 2 +1) 6 A
f ( 3 ) = 0
, porgue
(3+1)= 4 / A
Donde !
f { O ) a 1
indico
f ( 1) = 2
indico que
lo
que
( 0 ,1 ) 6
(1,2)
f ( 2 } 1=
3 indica
que
f ( 3 ) »
0 indica
que ( 3 , 0 )
y
Po r
—
tonta :
Gr ( f )
€
{ 2, 3 ) €
€
Gr ( f )
Gr ( f )
Gr ( f )
<
G r { f ) = | ( 0,1 ) , ( 1 , 2 ) , ( 2 , 3 ) , ( 3 , 0 ) }
Sólo fines educativos - FreeLibros
porf ido, porque
■
Moisés Lázaro C,
b ) fteng ( f ) *
{ 1,2,3,o}
*
A .
RECOMENDACION*
To d o vez que se
tener en cuento
siguiente
1.
lo
Id e n t i f i c a r lo formo
L L E G A D A codo
p u la r
2.
lo
No
del
conjunto
y=
ol
de P A R T I D A
dominio
olvidar que el
D O M IN IO »
Seo
f
ff?
fN
porahollar f ( x ) .
C O N JU N TO
f <n}=*
2.
Seo
f
dt
Seo
g .* [ - 3 , 3 ]
Seo
F .*
F
IR2
| ~
,—
|
definido por
2X‘+1
2
~~~* [ 0 , 3 ]
g(X)~
4.
por .
2n -1
4n - 1
| O,I | — *
f {X)=s
3.
, d e fin id o
, definido por
x2'
— * IR
( x, y ) »
x -
, definido
por
y
n
5.
Seo
H
IR
IR
, definido por
x.,+ x 2+ —
del conjunto de
sedeun valor
Ejemplos ;
1.
y
en mani­
x€ A .
vez que
de Jo fu nción
uno f u n c i ó n ,
y tener cuidado
f (xl ,
codo
e stu d ia r
!
que decimos f * A ~-*8
vez
y tener cu ida do
.'.perteneciente
de
recomendocion
corres pondencia
A n a liz a r
froto
+ Xr
Sólo fines educativos - FreeLibros
P a r tid a .
a 11 x “
Funciones o 'Aplicaciones.
1.2 DOMINIO Y RANGO
.
Sí
f .* A —* 8
DE
se lee
UNA FUNCION o APLICACION
f e v uno función de A en 8 .
definimos !
o ) Dom ( f ) = A
b ) Rong ( f ) =
2.
IGUALDAD
Seon
f ( A ) = | f { x) / x € A j
DE
FUNCIONES
f y g dos funcio nes
D ecim o s
E JE M P L O -
de A en 8
que f y gson ig u a le s . s í
Seo n f ( x )
~
y solo si
f (x ) = g (x ) , V x 6 A
, x ^ O y g (x ) - j
x
Se cum ple
3. FUN CIO N
x >0
x <o
g {x ) ,
*V* x € IR- j O j
y
A , si'd e fin im o s
RESTRINGIDA
Sea lo fu n c ió n
g * £
f (x ) ~
’
l -1 ,
f \ A —* B
8 , de t o l
modo
que
£ «
lo fu n c iV n
% (x } =/ ( x } , “V* x 6 Edecimos
que g
\
es
lo
R E S T R IC C IO N
de f o í c o n ju n to E que deno tomos p o r f |^ ♦
E je m p lo s ;
1.
Seo
f ! IR —♦JR
definido
por
Lo función, g : . [ 0 ,oo y * — > IR
es lo
r e s t r i c c ió n
f ( x ) ~ - 2 x 4*5
d efinid o por g (x ) = - 2 x + 5
de f oi conj unto
[ 0,oo )■
Sólo fines educativos - FreeLibros
Moisés Lázaro C.
(m )-
—
2.
Seo h •[ - 4 , 4 ] — ♦*[ 0 , 4 J
definido p o r
Lo f unción
j
.* [ 0 , 4 ] — ♦ [ 0 , 4 ]
r e s tr ic c i ó n
de
■
h oí c o n ju n to
-■\
4.
C O U P O 91 C I O N
Seon los funciones
codo
•D E
gff(x>)
€ C",
• ,
'
A sí quedo
es lo
[0,4]*
♦8 —
A
8 " y "o
o codo
x€A
► C ¿ toí
codo f ( x ) € B
corresponde
que , si
o
corresponde
g { f ( x l ) 6 C “.
■'
'
lo nuevo función.
ge f ' A -» C
Hornodo FU N C IO N
j(x)= 7 4 - 7
F U N C I OH ES
f Jx ) €
entonces
; i.
definido
definido por
f y g , donde
x € A corresponde
h ( x) ~ v/4~ x2> .
definido por
COM PLETA/
de
{ g 0f ) <*) == g ( f i x } )
f yg.
9o i
1) g
N O T A C IO N E S
0 f se lee “ f compuesto con g “
o
“ función compuesto de f y g "
En lo composíckm Q0 f t o lo función délo derecha llamaremos FUNCION de PARTIDA
y o ¡a función de la izq uierda llamaremos FUNCION
2)
La notación (g o f . ) ( x ) & g l f ( x ) }
**f com puesta
3 } Poro f a c ilita r
f u n c í on
por
con g
se
lee
o piteado en x , es iguol a
el aprendizaje es con veniente
uno
de L L E G A D A .
f lecha .
Sólo fines educativos - FreeLibros
g aplicado en f de x **
re p r e s e n t a r c o do
Funciones o Aplicaciones •
COM POSICION
DE
D IA G R A M A
FU N C IO N ES
FLEC H A S
f
g
A ---- ♦B —
go f
Donde
DE
S compuesta con g
( 9 0 f)(*> = 9&<*>)■:
go f
jo h
$
h com p ue sta con j
j oh
M -X * N
Donde : ( j o h ) t * ) = j ( h f r ) )
C
X í
hafoQ
h0 f 0 g
í
M compuesta, con i campu&da can h
D onde’, (ho foj)(x \c(h o f)(3 (x i)
A—
f
fír — > C ---- ♦ D
f0g
*
Tombien se puede
~ h [í(3 W )]
A
- ±
¡
X»®*''."
_________ . £i
x T *
n
P R O P O S IC IO N ;
Lo composición
g Q f existe
sí, y sóío si
Rong ( f ) n Dom ( g ) # 0
Sólo fines educativos - FreeLibros
hocer
9
Moisés Lázaro C.
EJEMPLO
1.
Seon los conjuntos
A = j o, b , c , d j , 8 = | f M ,s -, p
Seon~los fundones
f
siguiente
8
A
y g ' B —* C ,
,
qj
, C =j a .n ^ b .c
cuyos gráf icos¿s.def inen ^ del
modo !
G r ( g ) = | { o,m)^
©r { f ) = I
{ b,n ) , { c ,s ) , ¡ d ,s ) |
(m,o ) , (n ,a ) , ( s,n ) , ( p,s ) , (
H ollor : o )
Gr ( g 0 f )
b )
Gr ( f0 g )
^ ,b ) j
SO LUCIO N
o ) Poro
Gr ( g 0 f )
h o llo r
vez que
el
a
10 2 -
co mponente
componente
en un par
Obtenemos '
Gr { g 0 f ) s
b } Gr ( g ) =
hocer
un transito de
de un por del
Gr ( g )
Gr (
f
f a g
codo
o
) a p a re c e com
Gríj-)
G rl3 )~ \V n p .),in p L )A ¿ $ Ó >(fiJA)Jl'f¡b)}
*
| ( o , o ) , ( b , o ) , ( c , n ) , í d, n ) j
| ( m ,p ) , ( n , o j , ( s , n ) , ( p , s ), ( q_,b )
l
Gr(f
del
bosta
)=
-^
"
j («í'TnV) , { b r n T ”, ( c , s )
, ( d. s )
Así obtenemos !
Gr ( f o
P e ro
Ud.
,
a )= I
( m ,m ) , ( n,m ) , ( q , n ) j
si est e
recurrir
pro".ce'di m ie n to --;ie est o d a v ía
a
los
d i a g r a m a s . de
Venn.
Así :
Sólo fines educativos - FreeLibros
n d i f íc il ",
puede
Funciones o Aplicaciones
Pora
hol lar
gQ f
Para
hollor f Q g
Com o ! Rong
(g ) s | 0 ,0 , s , b |
D oír) ( f ) = | A |
S e t iene :
Rong { 9 ) n D o m ( f ) ~ j o , b j #
Luego
f 0 g-
exi st e
El dio gromo de f lechos
es
8 — -*■ Rg n A
9 o f existe sii Rong ( f ) n Rong (g)?¿ 0
0
i
8
£1 dia gra m o de Venn es
8
Com o !
9
C
A
f
B
Rong { f ) = j" ¡n,n,s j
Dom
se tiene
(g ) = | B j
R o n g íf ) n Dom{ g
0
Luego
Luego
G r ( g 0 f ) - | ( a tú ) t { b ta ) t ( c tñ) , { átc\)
Gr ( f 0 g ) a I ( m , m ) , ( n/n ) , (
EJEMPLO
Dado
2
los conjuntos
A = | 0 , 1 , 2 ] , 8 = | 0, 1, 3 , 5 ] , C = {1 ,2 ,3 , 6 }
seo lo función
f ‘
A —♦8
y
g X
B -* C
lo función
defin i do
definido
por
por
f í 0 ) = 1 , f { 1 ) = 3 , f ( 2) = 5
g ( 0 )= l , g(t) = 2 , g{3)~ 3 ,
g í 5 } ■= 6 ■
Hollor
q,n ) j
o )
g o f
y
b )
f o 9.
Sólo fines educativos - FreeLibros
Moisés Lázaro C
S O LU C IO N
o)
P o ro
o bte ne r
g 0 f , lo primero
que
debemos
hdllor
es
R o ng ( f ) n Oom ( g ) •
Se tiene-!
Rong
{ f ) = | t, 3 ,5 j
Oom
(g )
f
A firm am os
Y
B |
Rong ( f ) n Dom ( g ) = ( 1,3,5 } ^
1
j
^
que existe
0
g© f .
H o lle m o s g o f- a p l i c a n d o
( g 0 f )(*! = g ( f ( x)
lo definición
}
x € A
V e a m o s:
( 9 o f ) C i ) s g(f
( g o f ) l o ) 35 g ( f ( o ) )
S / "-'
f
d e f in id o
)5
( go f ) (2) = g í f ( 2 ) )
«
g ( i )
= g (3 )
= g (5 )
»
2
« 3
«
L u e g o , lo f unción
9o
(1
:
go f
{ o , T, 2 j
6
es !
------► { 2 , 3 , 6
}
( g 0 f ) (O) = 2 , ( go f ) <1 > = 3 , ( g0 f ) U )•= 6 .
por
\
i)
P o ro
obtener
Rong ( g ) n
Se
f 0 g , lo
primero
que
debemos
h a llo r es
Oom { f ) .
tiene .*
Ron g ( g ) =r | 1 , 2 , 3 r§ j
Oom
( f ) = [ A J
Afirm am os
Hollemos
que ex i s t e
m> Roag(g) n Dom (f) ~ { 1, 2} ¿ 0
f o g
f © g , apíicoaóo lo definición í f o g ) ( x ) « f ( g c x } ) , *¥• x 6
8.
Veamos
( f o 9 ) í o l ~ f (g ( O) )
* ffí)
(f ogld
f ( 9. o )
'V '" ’
~ f ( 2)
= 3
Sólo fines educativos - FreeLibros
)
(fog)w ~ f
(g (3) )
= f (3 )
' ~
3
_________
Funciones o Aplicaciones
{ f d 9 |(3 ) -
f í 0( 3) )
=
f (6 )
=
/
Luego , l o f u n c i ó n
f©g sero i
f O0 . { o . l j —
{3,5 }
definido por ( f o g ) ( d ) -
4.
3
PROPIEDADESDE
P1 } Seon los funciones
Qo f #
( f <>8 ) < i ) s 5 .
,
LA
f :
A
COM POSICIO N
0
y
g .'
DE
FUNCIONES
B - » C , en genero!
f o g ( L o composición de funciones no es c o n m u t a tiv o )
) Seon los funciones
se cumple
si f , g ,
h
f .* A — * 8 , g .* 8 -rt C , h
( hoQ ) o f = ho l Qp f )
C — *D
propiedod asociativa .
son funciones reales de va ria b le r eo! , se cumplen :
P ) ( f + g ) o h- »
3
i
f oh + gob
Ley
distríbu tiv o de lo c omposicíon respecto
de. lo sumo.
^4 ) í f g ) © b » {f © h ) •( g© b )
Ley d i s t r i b u t i v a
respecto
P8 )
f o í
*
t é f 38 f
, T
f
,
de lo composición
de lo m u lt i p lic a c i ó n .
donde
I
es
es lo función
I< X) * x , ^
i d e n t id a d .
x € IR
J z ír
/f
5. F U NC IO N
INV E CT IV A , SÜRYECTIVA Y
■
B IY E C T IV A
5.1 FUNCION INVECTIVA
DEFINICION
D odo
lo función,
f
A - t .B , diremos que f es I N Y E C T I V A
Sólo fines educativos - FreeLibros
t í, y
Moisés Lázaro C.
que
es
e q u i v© lente a lo
si g u i ente
f es
IN Y E C T I V A t si y solo si
o#
d e f in ic ió n
b implico f ( ó ) # f { b) , ¥ a , b i A
** 0
FO R M A
PR A C TIC A
DE
y euondo
no.
(T ]
fu ncion e s
'
Foro
ID E N TIF IC A R
con
cuando
ÍS» P
uno f u n c i ó n es inyectiVo
pocos, elemen tos .’ Unofaocion NO
cuando lo segundo" co mponente
/
.,
. ■'
/
se re p ite dos o mos veces.
EJE M P L O S
.S e a n los funciones
Gr l f ) = |
( a , m ) , (b , p ) , { c , p } ,*{ d , q )
A
,
f,g,
de -a lg ú n p o r { x / y )
■
*■■■
t
hcuyos
gmficos
NO
del G r á f i c o t
son
7
ES I N Y E C T IV A , porque en
( b, p)
*
es IN Y E C T I V A
y' { c , p ) se re p ite ” p "
dos veces ,
G r ( g ) 53 (
[
( o fm ) t ( b , m ) , ( c , p ) , ( d , p )>-*-x.NO ES IN Y E C f l VA , porque en
t
f
f
f J
*
(o,m ) y (b, m ) se repite m ;
adema's en
{ c, p ) y { d, p ) se
repite p ,
6 :r ( h ) «
( o . m ) f{ b, p ), ( c, q ) t ( d > r }
j *-*es
INYECTIVA , porque
ninguno
de los segundos componentes se
repite.
UQ
Én funciones
r eol es
de variable real cuyos
r*ecto-s o
c u r v a s , un o
función in y e c tív o
Cüolquter
recto boVizonío! . S i
de 10 función en un sol o
re cto h©rizantal
la
r ect o
gráficos
son
se identifico frozondo
hor i zont al
c o r t a aJ gr áf i c o
punto , entonces es i n y e c t iy a . Si c u a l q u i e r
co rto ol gráfico dé la función en dos o
e n to n c e s id fum io'n
I ¡neos'
NO es I N Y E C T I V A .
Sólo fines educativos - FreeLibros
mos puntos
Funciones ó Aplicaciones
Ejemplos qrafleos
Respuesto
■
Cuondo
v i do d
■
*
r
3.2 FUNCION
se froto ‘de probor
teo'ri Gómente lo in y e c t i-
de un o f u nc ion.
■/
SUNYSCTIVA
— DEFINICION 1— — — — — r—
Dodo lo
fiíncion
D ecimos que f e s
f i
------— ------ — —
A — »■ 8
S U R V E C T IV A
s í , y so'íó
si V y € B ^ * € A
Esto definición nos
"y"
dice
que . Todo elemento,
del conjunto de llegada
menos olquno
/y=í¿x)
preimoqen*'x"
tiene por Jo
perteneciente ól
conjunto de portido , tol* que ^
y=
f (X )
*
t. y es imagen de x
p or f v
-DEFINICION t Lo
función
f 1 A-+8 es SURYEC l IVA sí , y solo sí
f (A ) — B
L conjun fo día
Bwie ( f }
fl agota
•
Sólo fines educativos - FreeLibros
Moisés Lázaro C.
L 0 segundo definición
de f
coincide
e je m p lo s
nos dice que f es S u r y e c t i ^ o
cuondo el Rango
con el conjugo de He godo.
:
f ,
J
►m
►n
*P
í )
1) g e
f es inyecfivo
1 } h no es i nyec t i vo
inyecto vo
f¡Wesn¿€V
r doip
suryecti va ,
2 } g no es suryectiva,
f } f es s u r y e c f i v o )
porque f ( A ) = 8
2)h
porque f( A ) # C
rango áe }
porque
f(M}~N
Pues :
f 3 , 6 , 9}
Pues
f ( A ) s : { 2, 4 ,6 , 8 }
Ranso ee 9
NOTA
Probablem ente
el e stu d ia n te *e planteare
lo interrogante
¿ C uénóo usor
lo definición 1 y cuando
la 2 ?
Sugiero usor lo d e f in ic ió n
'
de funciones
pocp$
..
se trota de probar lo
j
teóricamente- planteados. Perom&trata
elementos
reglo de
1 cuando
© de f u ncione s
correspondencia
cuyo
suryecti vidod
de funciones
con
dominio es un intervalo y tiene
algebro icg > a p lic a r lo definición 2 .
Sólo fines educativos - FreeLibros
^,
Funciones o Aplicaciones
EJEMPLO 1—
Seo lo
'
Probor que f
f • ( A x 8 ) x C —♦
función
defin ido
por
f { ( x ty ) , z ) =
Ax ( 8x C )
{ x , (y , z ) )
es s u r y e c f i v a .
Demos tro c ion
d e fin ic ión 1
Lo
Dodo
f :
M— * N
f es s u r y e c t i v o
i
NOT A
dice .‘
todo y 6 N , 3 x € M / y »
<»> Poro
E n lugOr
de decir
P ord todo' y E N
f |x|
diré
dodo y € N.
Veomos .*
Se tiene
f
A x ( 8 xC)
( A x B )x C — ♦
definido por
' f (■ ( x, y ) t z ) =? ( x , ( y , z ) )
t
se empiezo por aquí
Así
( x, ( y, z) ), x 6 A , y G 8 , z 6 C
Dodo
tol que
f {(o,b),c ) =
Se froto
Es
Io )
de
d e c ir
Holl em os
encontrar
{ x , ( y, z ) )
probar
( i )
lo existencia de ( ( x t y ) t 2 ) € A
sólo
debo p robar que a ~ x t b = y , c -
f se tiene !
•
f ( ío .b ), c ) = ( a t ( b , c ) )
( 1 } se tiene
Por
3o )
Ig uo lo r
(2 )
( 1 )
Est o
igualdad se cumple , cuondo
Esto
ptueba
l o, - exi st enci a
p ru e b a
epae
/ e s
) • • . . * • . . ( 1 )
( x , ( y, z ) )
o= x , b = y , c = z ,
x ,yy, 2 ) € A
de (<
f ( í x , y >t2 ) = ( x t ( y , z ) } ,
cual
(x^cy.z)
:
( o, { b, c ) } =
Lo
-------------- ---------* ••• ( 2 )
f((o,b),c ) =
con
z
C( o, b ) , c ) 6 ( a * b ) x C
la imagen de
Según la definición de
2o )
í ( o, b) ( c ) 6 ( A x B )x C
s u ry ^ a t¿va
( x #{ y , z) ) €
, tol que
A x ( 8 xC)
.
Sólo fines educativos - FreeLibros
Moisés Lázaro C.
* -
c j c m p l o
Seo
la f unción f ! £ - 2 , 3 ] - — **[“* 3 , 7 ]
f (X ) * - 2 x
¿Es
f
definido
por
+ 3
S u ry t e fiv Q ?
Probar.
, •
En tsfe c # 6 , bastara hollar el rango de f y compararlo con e l conjunto
[- 3 , ? ]
de llegada
a s
.
» :
S i tiern
x €
por
[ - 2 ,3 J
<=> - 2 -
x ~ 3
-2
®>
4 ^ - 2x & - 6
Sumar 3
»>
7 -
f
»>
f (x j
~3
~2x + 3
e
( x )
[-3,7
]
f {[-2,3] ) =[-3 ,7 ]
Se cumple :
P o r tonto , of i r momos que f es Sur y ec ti va ,
8*1
FUNCION
B IY EC TI V A
OEFINICION
Lo
f u n c ió n f
• f ti
i
A
infectiva
y
EJEM P LO
Seo
a 6 A
Oéf m o m o s
y lo
t .
iió n
8
es
ÍIYECTIVA
s í} )
S u ry e ctivo .
A #
0
, y lo functon
f ! A —•A
fijo.
:
8 =
| { x to ) / x € A j
función
F : A —♦ i
D e m ostrar
que
F
es
solo si
toi que
F (x ) «
biyecr-tv-o .
Sólo fines educativos - FreeLibros
( f (X }, a
biyecfivo .
Funciones o Aplicaciones
D€M OST R A C IO N .
L a s h ip ó te s is so n *. i)
.
— {101
u
= ¿
^
j « A - * A e só /y e c tiV c . .e s d e cir <, %..
j *0
ff¡)
F ; A^ 8
V o ^
0 ) La i ny e e H vidod.
^ f l = |fx ,a ) / x ^
A
Aplicar lo definición de inyecfivo .
b
={<x^ / k€A}
‘“FIJO
Supongamos que
F.’( X't ) ®
deba probar q u e X j 35 x¿ , x t € A
F {x ' )
,
( f ( x 2),a)
ífC xf) , o } »
=>
f (
xt}
^ £ A
-.í» f { x* }
a
según
o= a
definición
de F
según la igualdad de
pares
ordenados.
f es I N Y I C T I V A
«>
x?»
Por tanto , a firm a m os
b)
La
x¿
que
según hLPÓtests
F es
inyectivo>
S u ry e c t iv id o d .
Lo de fin ic ión
de F es
F !
A— ► 8
x i— ► ( f ( x) , a )
1
■
.
partir de aquí
%
Según
lo definición de
suryectividod , d e b o
probar
■-V- (f (* ),o ) € i , 3 * € A / { f( x), o) = F
t
se prueba lo existencia de x
El estila de
Dado
ff U )
demostración
es como
sigue!
,a ) 6 S, x€ A encontrar m 6A / ( f { x) , a i - F { m )
Debo
............
{# )
probar que " m ,‘ es " x "
Veamos !
( 1)
Pero
(2 )
Remplazar
F (m ) = { f { m } , o ) .
{ 1 ) en ( * )
..... .................... segúnla definición
de
F
!
( f ( x } ,o ) 4 { f ( m ) , a )
Sólo fines educativos - FreeLibros
{# * )
Moisés 1x1/aro C.
{3}
Pero
f
es s y y e c t i v ©
(según
hipótesis
f es biyectivo )
entonces sé
cumple *
t
yi
A ,3
x € A / y = f (x )
f
( 4 ) Según ( 3 ) existe
e liJe m e n t o ' V , x € A
y
según ( # - * J
se tendrá
f (x ) » f í m )
Como
f es i n y t c f i v o , entonces
m=
x.
( 5 } A s / , se ho probado que !
O odo
( f (x ) , o ) , 3 x 6 A
EJEM PLO
2.
Seo
/ ( f m ,o
F ( x) .
lo fu nción f : ] ~ ® , 2 ]
definido por
Probor
f { x ) = ~3
que f
es
— •. ] ~oo
-
3 ]'
( x - 2 )2
bi yecf i v a.
Pe m os tro c ion
o ) Lo
¡n yecti vidod ...
Suponer que
Pero :
...
fío)
-3 -~ (o -2 )*
4
í
—f { b )
= - 3- —
4
' *
| 0 - 2 ( 3»
=>
Debo, probor que o = b
( b - 2 }*
(b-2)*
fb-2j
Pero
- 0^ 2
=»>
. >>
=>
-(o-2
}
- (b-2)
Pe r o
b * 2 =>
>>
Lo cuol
pruebo
que
OjbCj-oOjO)
f es inyecfiva.
Sólo fines educativos - FreeLibros
o- 2 ~ O
|o-2'|»-'(o-8 )
b - 2 & 0
| b - 2 1 * - ( b - 2)
___________________
b)
Funciones o Aplicaciones__________
.
La S u r y e c t i v i d a d .
H r l l o r el R A N G O
P artir
de f
deí dominio .* x £ ] — oo, 2 ] <~>
x -
2
==>*{ x - 2) ~ O
Por - 4 -
4
Sumor - 3
:
( x - 2) 2
- 3-
f (x )
=>
fix)
£
=>
( x -2 )* '* O
=>
- 4 - ( x- 2 ) ? - 0
4
&
-3
6
-3
] ~co , - . 3 ]
E l rango de f es ] - o o 3 J
Como
vemos
rango de f
pruebo que f es
c)
6.
Como f
con el conjunto
de
llegado , lo cual
Suryectivo.
es inyecfivo
FUNCION
coincide
y suryectivo , entonces
es
bi yectí va.
INVERSA
DEFINICION
Si
f l
A — ►©
f * 1; g _ > £
la condición
es uno
FUNCION
8 i Y E G T I V A , entonces existe
Mamado inversa de f ,
y« f
(x )
<=>
defin id a
x~
por
y }.
í- inversa d i f
EJEMPLO
1 • Do do
Definimos lo función
los c on juntos
f i A
B
f { o ) =s m
, íí b ) = n , f ( c ) ~ p
Hollar
inverso
la
A =
|
o t b , c ,d
delsiguiente
j
.modo*
, f ( d) = q.
de f , si exi ste.
Sólo fines educativos - FreeLibros
y
6 = j m.n, p, q |
Moisés Lázaro C
Sotuc ion
L o función
f
A —*8
Lo in v e rs o r
es
biy e cfivo, entonces
8 -f A
f ( o )=
m <=>
def inido
) = n <=*> b a f ' 1 ( n )
f ( c
) = p <=> c ~ f - 1 ( p )
f í d
) = q <*> d = f “ r C q )
o p i romos
ir
( f ) »
condición
por
con el g r á f i c o
de f , tendremos
{ ( o , m ) , ( b, n ) , ( c , p ) , { d , q i }
i r { f " 1) m
y
| ( m .o ) , ( n , b ) , ( p , c ) , ( q ,d ) } •
EJEMPLO 2.
Seo lo función
defin ido
Se cumple que f es
d e fin id o
por
Hollemos
f
f :]~co,2]
— * ]-00,-3 ]
f ( x ) = - 3 - - 24
por
b iy e c t iv o .e n t o n c e s
( x- 2 ) *
f
tie ne
f *1 : ] - 0 0 , - 3 ] — »
L o inverso" de f es
i s ) Hocer
.
f- 1 f y )
=s
2
—
2 / - y
-
3
f (x i = y :
y * - 3 - - i - ( x - 2 )*
: 4y = — 12 - ( x - 2 )*
( x - 2 )2 = - 12 — 4 y
=»>
inve rso.
] --©,2]
1
-t s
( y ):
2 S ) Despejor x
*>
f * ’1
o - f "*1 ( m )-
f ( b
Si
existe
|x—2 | =
- ( x -2 )
x -2
=
/ - I 2 - 4y
2 / - y-3*
= - 2 ' / - ' i - 31
x = 2-2 V V ?
......^... ..../
f - r(y)
Sólo fines educativos - FreeLibros
Como x 6 ] -o o , 2 J
=>
x 4 2
*>
x - 2 4.0
=>
|x -2 | = -
(x -2 )
■■Funciones, o .-Aplicaciones*
7. IMAGEN
7-M
DIRECTA
IM A GE N
01 R E CTA
E INVERSA
OE
ÚN
C O N JUN TO 'A ;M E D IA N TE ,
______
DE
UN CONJUNTO
7 2 1 IM A G E N
f.
IN VER SA
DE
8 ,
M EDIANTE f .
Seo f T E r* F uno .opíicocion y 8 « F.
Seo f E
— * F.
uno oplicacion y A«= E.
E 1 conjunto .*
r ’íBjajxee / fu ie
f ( A ) = | f ( x )6 F / x 6 A j
<= F
recibe el nombre de I MAGEN’ DIRECTA .
de A, mediante
E I con junto .*
e] >
e
recibe el nombre de IMAGEN INVERSA
de B med ionfe f .
f
f.
ax pftoyecaoN de 8 sobre E es í" í®)
l a PfcOyEecjow de A sobre F es í (A)
EJEMPLO
Seo la función f : E —* F
EJEMPLO
Sea lo fundón f ; E ~~~*F
dado en el sigíe. diagrama.
c
dado en el sig fe. dio g r ama ,
/ .
F
f
/
Y
{f i
}(M) =ÍP ,<0
f(N) - )<*,,*}
j(Maw) - {<$}
JVMN =:{ct/e}
¡(MVN) =
Mun ■z\blcJd)e l S\
j(E )
í'^/
S e tiene
se tiene *.
f ( A ) =
b ___-V
c ■—--\
' el
- \—T S ^ r J \
e
jz>
= } P,<* ,
a
}
t rango de í
NOTA ; La imagen D ire cta ,e
ubconjunfo
de) ■conjuntp..-de llegado
í" ({P}) = K bí
i-'(B)
€)
{•' (D )
i'1ÍBnD) = { c , d ,e)
,BaO-z{$,r}
5'<.bud)= £
; BUD={p,<*,r,,d
J-'.co-b) *
;
p-B ={/4j
Lo imagen inverso,es su b co n ju n to del
conjunto
de Pa r t i d a.
Sólo fines educativos - FreeLibros
Moisés Lázaro C.
IJE M PLO
t ** Seo
Sé def i na
Poro-
IN;
ÍR
IN
| 2n /n6 /N |
A
H .Ollar
fA
A «
lo l q ue
,
fA ( x ) =
3n/n£ (N | y
8
C
= (-1,0,1 |
:v
i»)
f A •{ f ^ i c ) )
S O L U C ION
Sugerencia ’ Cuándo e l problema no e
encilia
de résolver , acuda al
diagrama de V ena con algunos volares de A y 8 .
Veamos
Algu nos elementos de A y S son
O Z ,4 , 6 t B , 10, 1 2 , .......
A=
•B = [ o , 3 , 6 , 9 , 1 2 ,1 5 ,........ ..
£ I d i o g ama
de • Vean es
i ) En primer lugar ¡ haífdr
ÍN
Mirando el diagrama
fA ( B)
= {liO
A hora hallemos
obtenemos
}
la imagen inversa
de { 1 , 0 }
f ; T(
■> * N
-
£*s decir ;
f 1-1 í f í B ) ) = IN
A
A
L i ) E n primer lugar
M ira ndo
haliemos
f ~ 7 í C } , donde
el diagrama , o b t e n e mo s !
Sólo fines educativos - FreeLibros
C ~ j -7,0 , 1 }
) =
fA ( 8 )
A u 8
Funciones o Aplicaciones
A horo, hallemos lo imogen directa de A u S !
ft '(A«8 ) * ( l , 0 |
Por tonto!
) = {. 1,0 }.
PROPIEDAOES
DE L A
IMAGEN
OE LA
DIRECTA
seo la función
f :
IM AGEN
INVERSA
sea la función
f ! E — ►F
£ — ►F
Elegir dos subconjuntos de E .digamos!
Elegir dos subconjuntos de F,diga m os!
M «* £
8
«
F
N «
0 «
F
£
Se cumplen los siguientes propiedades
Se cumplen los --siguientes, propiedades!
f> } f ( £ ) = Pongo de f , E = Oom ( f )
r,)
y f(M)-Rong
) , f(M ) « f ( E )
(
r ’(0)«-0
I ? ) si B *= D
P ,) f í 0 ) ^ 0
Ij)YA<= £
P3 ) si M «s N implica f ( M )«= "f ( N )
I 4)
P^} f ( M u N ) s
I
f { M ) u f (N)
P ) f { M n N } €B f { M ) n f ( N )
s
P6 ) M « #
implica f ( N - M ) « f Í N ' H f M )
5
f unci ón
A«*f_,(f(A))
) r ’ ÍB u D ) = f - ' ( B ) u r ' ( D I
I 6)
f -1( 8 nD ) = r ’ ( B ) n f ’ í D )
I ?) 8 * 0
implico f ' l O - e j s f tD)-f**( 8 )
B
TEOREMA 2
TEOREMA 1
la
implico
V 8 « F implico f t r U 8 ) ) •= 8
1e ) r ' (^
Seo
implico f ’ í-Bjc f ’ ( 0 )
f
! £
S e o la f unción
fes
f ! E—F
S U R Y E C TIV A
<=> f ( f ' 1(B)) = B | T B =
Sólo fines educativos - FreeLibros
F
Moisés Lázaro C.
H O T A • Estos
propiedades se demuestren opticondo corree tómente
é e f i niciones
1)
de ímogen
De imagen dire cto. j é t a
•
2) De imcgen inverso
directo e inverso.
f ' E
DE R j.
fe x ) 6 f { A ) <=> x 6 A
tíe o
f : E
si l * m Ñ »>
Se pidedemostrar
Se empieso
T )
seo
t
<*> fex) 6 B
f cx i 6
Pero
si
Sí
Por
f (
N)
teniendo
f (M)
como hipótesis
M «
x€N
M e N.
ouxi i i ar
d e f i n i c i ó n de
N ,
^
x€M
»>
4) :
P R U E B A de P 8
im agen d irecta
hipótesis
i m p lic o x S N
f <x ) 6
1} y
P a r t i r de
h ip ó te sis
M
. Cotonees
4)
f (M} «
{ M } «= f ( N )
E
B «
por f ( M )
% ) * * > % €
3)
f
» A *= E
F
c f*m
PRUEBA
f( N )
f (M ) «
f (MnN ) «
, f
x 6 M ...........U hítem nJ* l»¿U*su& i y.
defin ición de
imagen directo
f(N) .
f ( M ) n f { N )
.
f ( fetoN }
r Ho&ra d p i cosos : c u on do
Mn N = 0
y
f ( M n N ) ** 0
.m
cu o n d o
MnN #
0
CASO 1
Cuondo
MisN *
0
*?
f ( M ) n f ( N ) ^
CASO 2
Cu ondo
1}
V
lo s
MnN #
y € f(
0
M nN ) implico
fue
existe
oigan
x©
Sólo fines educativos - FreeLibros
tal
que
y~
f ( x© )
Funciones- o Aplicaciones
2 ) C o mo . y = f ( x e ) 6 f (M nN ) ->
x0 6 ( MnN }
"3)
■=>
Xo 6 M
4)
=>
*o6 N
a
f{xo)6 f { Mí
a
5)
=>
y 6 f {Mí
a
6)
=>
7 )P o /
6)
1) y
S U G E R E N C IA :
igu oldo d de
S .- '- y' €
f (N)
y 6 [ f(M) n f í N ) ]
concluimos ‘
f(MnN)
Cuondo se t ro t o
conj unt os
6 f (N )
fíxo)
'-y..... -
«
f (M ) n f { N } ,
de de mostrar
uno
i n c lu s ió n
o
uno
siempre ¿dr ¡a/2out£RDA ée.1 sím bolo cz c r - é z
patAir
¿a rsests... EJEMPLOS.
f) V A c z E
implica
s) Probar: f ( t n n N ) e : fCm) a J(N)
A ó / 'V m ))
partir de a ^ u t .
t. partir ¿ e o fm '
t) Y B < z r
¿m ptica
^cN
¿=-B
tmptica.
c ; £(w)
1 paré trefe
Pruebo de 1 2 )
Se t r o t o
de
8 «= 0
si
demos trar
t i p a rtir d e
implico
(NI)
ou^u l
{ 8 ) «= f*° ( 0 )
f
f 1 ( 8 ) *= f~ * ( 0 ) , ten ien do como h ip ó te sis 8 c 0
Porfir de f w|( B )
1)
sed
2 } =>
f ~T( 8 )
x €
f
(X ) G i
3} Pero !
i
4) L u e go f ( x )
5 ) C om o
definición de imagen
* 0
P R U E B A ' de
Po rtir de f
sea x
.
{
€
~>
f ’f i n
D
)
f~ -( 8
n
i
«
x € f**1^ 0 i
se cumple
5 )
a
in v e rsa .
según hipótesis.
8 implica f (x) 6 0 ,. *V* f {x }
€
f fx ) 6 0
6 ) Por 1 )
Asi
hipótesis auxiliar
••
*
6 8 ... (&ef im ánete írKhstm).
definición de imagen inversa
«
f
1(
0 }
r T ( 8 )n r Tí D )
f> ) ~
,
0
.) * >
P RU E § A de 1 7
8 <= 0
Partir de f ^ i D - S
)
f
(x
im plica
) i
( ®
n
Ú ) *>
.
f ~ 1{ D ~ É } * f ~ U D ) ~ f ~ l l B >
y usar la hipófisis
i «
0 .
Sólo fines educativos - FreeLibros
/-j -|q\
8
Moisés Lázaro C
FUN C IO N
C A R ACTER ISTICA
Se.o A «s W
Definimos,
,U
’f
conjunto universal
i i f — * | 0 , l } , lo FUNCION C A R A C T E R I S T I C A de A , según
lo reglo de correspondencio
siguiente
1 ,
f
si x 6 A
(X ) ■ '
{ Q ,
si x C ( i r - A
)
Probór tos siguientes propiedodes
.!► . S i A «
A* B
%
BJ
, B« = ttf
s.s.s
fA «B ( X ) “
ígl*)
fA « * Í V
X|
. "V- x 6 W-
.
* A <* > + fB.«*> “ fA ( x ) V * >
f*.
^ < s ) * t - f A(x)
*5’
ft - » l x í * V * * [ * “ V
%'
f A6B t t ) M
p.
*
A « e <=>
■
.
V
V
X)
w
, -v x e
x1 ]
'
+ f 8 t x> “ 2 V
n C I
*
* 6 117
X) f e I X ) ' ' V x
€ U -
f .o u a f ( x ) . i f x e i j
A '
“
* fA <* > f B <y >
>
. y> e i j x u
Pruebo de
1 ) Si
x 6
•( A ü*S )<»>
U
x 6 A
I
v
x f
li
Sólo fines educativos - FreeLibros
Funciones o Aplicaciones
2 ) Si
x/
(AuB)
<=>
x ¿ A
»
V
i
V
r
V
lx)S°
fA
3)
8
a
Como lo función corocteristico tienesoio dos volores
volé 1 , si el elemento esto' en el conjunto
volé
0 , si el elemento no esto' en el conjunto ;
entonces tendremos .*
si x I
(A í I
) =>
f. _ t x ) * X
tí
(a V i
)
t
d
x
r
A«S
*>
* o
(%)
AHÍ
o } Cuondo x € { Au f í } ocurren 3 cosos
L u e go:
fA>B( x ) =
1
fA <x>+
* '
fg- (x
T
+
=
1
1
=
O 'x
b J Cuondo x ^
+
a
x 6
8
x €
A
A
XX
B
xX A
a
x6 8
> - fA( x ) ¿ f (x )
i
— (1 í C 1J
o
1
, si
x€A a x S i
-
1
1
x i A
-
{ U
(O )
, si- x£ A
-
( O)
(1
, si x X * A
)
( A u 8 ) ocurre sólo un coso
x Jtí A
Lueqo
f. J X ) =
A tf 0
0
*
0e mortero, simi l or
f
A
(X) +-f _ { X ) B
. 0
4-
se pruebon
O
-
A
_(x)
8
(O ) ( O )
los otros propiedodes:
Sólo fines educativos - FreeLibros
A
a
x X s
X
e8
x X
®
Moisés Lázaro C.
Problemas
( j ) Sea/? lo s a p lic a c io n e s J : A
b
y
3 ' b ->.c
Probar yoe :
v
a; Si f
y g so?7 i*y ecf¿yas ^ entonces
J o f e$ ,una funcióíi iiiy e c tiv a .
3 ^ j es infectiva y entonces
/ «s in f e c t i v a .
c) Si f y g son Suryactivas ^ enton
6) S i
C<zs
St
ces
Jcf
es
Sa/yecfzya. :
y ©y «s- S£//yecz*tVa ^ enton­
jf
es
© S e a í : TL—+IL una función b i yectiva, . Analizar la verdad cr false
d a d de ccudcL una de tq s siguéen
les a f ir m a c io n es ¿ ju s tific a n d o
cada re s p u e s ta \
<x)
Ó?? xe W
^
y e
% / j< x ) -z y
{ t x ,t < x )) f x e 2 j
es
v / ( x )= o
£//?a r e f a c í a n
a nti s im é tric a en T¿ \ ■
c) Si A c 2 v entonces se cumple
que
f ( < $ A ) ~ <¡g: ( f t A ) ) '
si/ryect iv a .
Sea í A - > 8
u ñ a f unción cual
quiera , .
■ S e a n M y N sub conjuntos
f
(A x B )x c — > A x C B x c )
de A .
£ y ^ sub conjuntos de 8.
d a f in id a par f ( ú /v),%)'z
pa­
a)* Probas q u e : f (Afrw) C l í(M)nf(N)
ra to d o (U,vf;Z) €• (A x s )x C es •
b) Anoíczar Sí se cum ple •:
en a b iy e c o io T L .
©
®
Probar q u e La explicación
(x,(y,Z))
f í/ w)nf (/vj.cr
f(M n N )
.
‘
® Sean ¿as funciones cr a p l i c a ­ c) Probar que E C F im p lic a .
j ' r (F -E ) - í ' ^ ) - f'é H ) .
c io n e s f : A -*b y g: B->c .
Dem ostrar q u e s i
f y § son
b i y e c t i v a s ^ en to n c e s
g o f es © S e a £>e/R fyo .y s e a
b iy e o tiv a
@
fun ció n ^ * x e t R ;
Sea A = \ 0 )? , 2 } un conjunto que
representa Las notas m ín im a y iji
te rm e d ia y m á x im a s de un tur
so*. - ■■■
' ■
xfea
A 3 -VfR t/^a función
definida por f(xflx2/x3>r **±3+*3*
¿¿amada, fu n cion prom edio .
a) H a lla r e t Gr(j)
Hadar el rango de f .
(s) Se denotamos con P a l conjun
to de toda s tas funciones d e fi­
n id a s en un conjunto B y con
valores en { °} l } 0 °v sea
£n Cx) = n x + b
ne fN + }
%
pa ra
c ie r to
9
2
A)
P b) í
© S e a
n e
H a l l a r f ^ f f ^ il) .
13
, q
x d)
f : /W**^ íft
y e n - a
h a lla r
A ) . a *6
(j o ) S e a
10
u n a j-uncron
f(2)-b
y
f ( n) _ f < n - 3 )
,
<¥ n > . 4
f
1)
son
• ( 1 ?st xéA
donde ^ A(x) - {•
,
«¿a
[6 .,s i x fA
que
$
3)
.
? cj¿?y-c ^ d ) a + h t e
d e
La s
V ^ y g 'C l
s ig u ie n t e s
v e r d a d e r a s
fíKx) r
f< x -y )
k f(x)
es b iy e c t iv e u .
Sólo fines educativos - FreeLibros
=
.
una Junción A a ¿ que
®
?
proposición
?
k: £ ¡ H - { ó }
2) . . f (O) - O
> ÍA ) - a
y.
’
f í 310) -h f (loo)
fl) Q-y-c
C u a les
n e s
£q / 9 ^
7-f(3)-c
¿ (x fv y ^ fU í + ^ y )
d
P ro b a r
con
S i s e so b e que f n (fn2Í0)) = n+b
b)
Sea i a aplica ción $ : íPce) -* F
d e fin id a m e d ia nte l a igua lda d
,
ffx j> ffy)
. '
Funciones o Aplicaciones
Sea
®
: . j x/x
A
Se
4a
d e f i n e
J
es u n a p r o p o s i c i ó n }
f u n c ió n
f :
J
'
S e i i ene e n to n c e s : í (
• -f (
S e ja n e s t o p
A - y IR. • p
)
lo /si x es falsa.
es ; .
e)/íp) + H $ )
(§) S e a
>s \ * e s v e rd a d e ra
f ( x ) - \ '
- f ( P) -f(y )
=
7 - f CP)
P)
, fC p A q y
A)
o r
c)
f c p K f -f c g j), o) f (p y -f (< f Y
y g dos funciones de A en A } ta le s que
A = j i , 2 , 3 , 4 ^5 J ^ sean f
sr{* > = |.(i,2) <u-,x) ,(2,3),(3,5) ,(y,n>(5,2)]
er(g)
= { ( 1 , 5 ) j ( 1 , 1) , ( 3 , 2 ) , ( 4 , 4 ) .,
H Q lla r
‘
f
« i í l t l í i n
1
(5,3)
s (3)
f m +-ÍM) J
A) 1/5 , 8) V2 ^ c) 5 yo) 2 ^ £)
©Sea
}
f : IN
Ninguna de Los a n te rio re s
IR definida inductivamente
por :
ÍIO) =2
f O) =.3
feh) = 3 fín- 1)— 3 fín - 2 ) y * n>>2
Si
g : b\i
ir
%<n> -
£
«s fa lq u e :
fÓ O
entonces
*
es :
f(n)
A) 1
> 8)
© S eo A
diez q u e
2
, c)
, O) 4
3
un c o n ju n to dé
e s sim é trico si
4
y
,
B) 5
e le m e n to s .
solo s i f
..
Una
fu n c ib h
e s b iye ctivcc
y
A -> A
si
se
fíx)-y
e n to n ce s f i y ) - x
£/ numero de fu n c io n e s s im é tric a s
de A en A es l
Á)' 5 : 8) * ^ ,ic).10/- o) lo , £ ) A/in$uft* de
las a n te rio re s • .
(g)
Sea
f ; JN—*\tN ^ tal que
f<*> - Zx
ÍA
2
íd
2
<í Cuales
I)
«í
,JI)
de. las
Siguientes afirm aciones
7
s>i
x
es
Im p a r
son falsas ?
(§of>Í X) r X
(f«8 )W
=*
ífo § )(X ) é x - 1
v * X=2K
^ v x
in yectiva . .
A) sólo H y XII , B) Solo IV
iv)
Si x es par
^
=2X41
) K€ W •
^ K € lM
es
} c) sólo J1I y IV , D) sólo XXI f E) solo X y IZ .
Sólo fines educativos - FreeLibros
Moisés Lázaro C.
Problemas
i.
Sea j uncx fu n c ió n d e fin id a en H p u e c u m p le J i x + z ) ~ f(x> +- f o y f a z
d cuáles de tas s ig u ie n te s prop osicio ne s son v e rd a d e ro s ?
:
f (O) zr O
I )
Sean
}
11)
: ÍR -* ÍR
f , % y h
,
f - ( - 3 ) - H 3 )
si
f(7 2 )= 4 íi3 >
t i l )
g (x )-2 x 4 i ;
* §(h(x>+i(x)) = x2
% (h (x )+ 2 f(x )) = 3 - X2’- 3X
e n to n c e s
,
AV o
3.
% (h ( - £ ( * ( i>))} e s :
8) 1
Sean
f
, cy 2
y §
A ) -5 .
,
4. Sean
■
A ?B
ta le s
que :
•
s a b ie n d o que (
,
D) 4
sub e p n ju n to s
f u? 3 ¿ i
hallar
x * -3
> -c)-I
5
q u ie ra ^ ta l q u e
31
•,
de R
£ ) - 2- .
V se a í :
f > (C ) * c a / f o o e C
' V
c = \ * 6 IR /
§ )lt> = \
B
una función cual-
\, w C c B .
<1 }
f 1( c ) .
A) 3 - 4 , | ] _ { l }
5.
,
'
11 ( S“\> f ) ( t - — )
B)
inyec.ttvas
.
g -'íx jx ü
X+3
Hallar
e ) 4-
funciones reales
f U> - -*±i_
.
D) 3
/
, 8)
,2 C
> =) D - | , A L - M
, O)
3 f ,t l
, E U |,|.L
Hallar la sum a ale va ld re s e n te ro s de K para que la -función
-f(x) = 4 x 2 - k ( 4 x - i ) + 6
ño te n g a in te rc e p te s con el eje X
A) Ó
,
8) 1
- c ) -z
; D) 3 . ,
E) 4 .
,9
Qf.
o
-
*
Sean las funciones reales de variable real
( X+2
f(x) = <
I X -1
\
j
X£ 1
X>1
§(*) = - x2 +1
ó .Cuáles
dé la s
I) (S°í) íx) = - x 2 _4 x II)
I II)
' x>,0
siguientes proposiciones
, x í l - 21 1 ]
3
D o m ( g aj ) - o o m f
( § o j)U l
e
-X
.2 4-2 X
, xt t - 2 /c o [ . ■
son v e r d a d e r a s 7
A)sólo X
7.
,
B) solo I y X I I
Sean las funciones
} c) soló I I y I I I j D) T©das
reales de
vqrtable real
f(x)
,
- ) x+2 r ká 1
(*-1
S<*)~ *2
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E) Ninguna .
,
x >1
, ‘x<o
Funciones o Aplicaciones
d CuQÍes
l)
de las siguientes a firm a cton e s
( § ° í ) (X)
II)
§o*
ÍIJ )
=
-1-4
(§ ° í) < x ) = xz - z x + i
son v e rd a d e ra s ?
A) sólo I I
8.
X2 + 4 X
, X 6 IR
es función inyectivai
} x e ]-o o ,-2 [
B) soto n i
}
j e)
sólo X y I I
; o) Todas ^ E) Ninguna,.
¿ Cuates d é la s siguientes afirm aciones :
f(x) = |x1 - zx| inyectiva en [l,+<»k
I I ) Los únicos valores d e C
para los cuates f (x )= x2- z x + c
c o rto al eje "X p e rte n e c e ol -intervalo t P , l [
'
I)
I I I ) El ra n g o d e f (x ) = x2 - 2 X + C
e s subconjunto de t°j+°c>[ s i
c e [ I ^ oóC
son v e rd a d e ra s ?
A) Solo I I I ^ 8 ) soló I y I i , c) sólo TI. y I I I - °) Todas yE) Ninguna .
9-.
Sean
tas
funciones reales de variable real
entonces Dom f HDomg n Ranf n Ran§
es i^ual a *.
A)I-<x>, 1] } 8) C1,2] } c) 3-00^2]
10.
Se
definen
§(x> = * 2
%(x) =.
} t>) ^
f<x) = V o 7 s i
y
1-1 > si
1
U-zM**-c|
} e) Ninguna de las anteriores .
tas siguientes funciones
(1 , s i
X>1
s e a firm a n ;
fon - _V2-x’ +3 ^
x -1
de U en IR *.
>h ( x ) -
f (x -i)
x <1
I) Ran (H) = Ran (f)
I I ) R a n (fe g ^ - { 0 , 1 }
III)
°om (fo% ) - ¡R
Son ve rdaderas
A) Sólo I
11.
La
y
fu n c io 'n
:
I I ; 8) Soto I I y I I I ; c) Sólo I y I I I } t>) solo I I I ^ ) Todas.
o le
i
IR
en
IR
d e f in id a
por
f(x )- — t i
Ixi+Z
tiene
A) -3
12.
rango C ^ V M ]
^Sea
3
B) -l ; c)
y
í *.
IR
.
H a lla r 2 M - I m
; D) 5
, e )7
definida por
f (1) = 4 ; f-(z )- 4 p f (n+2) = 4 + f (n)
5 e a firm a *.
1)
f{8) = IG
II)
III)
V -h e
• í (n)
es
m últiplo d e 4 .
f (35) ~
son verdaderas :
A) sólo I } B) sólo 1 y I I
. c) sólo I I
D) sólo I
y -I I I
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E> Todas .
Moisés Lazaro C,
13. Sea f ; C®, i)
a.) probar q u e
b)
*4.
|R una f unción de fin id a por : f(x> = | * >$¿ ■* *s racional
fof - I d e n Co,í}
h - x ? six es irracional
probar e ^
= £0,13
Ram gf
Dada la función de variable real : f <x> - — 1_____
tx-ti-ix -21
a fir momos:
(f> Oomf
es astntcrtQ ve rtical } (SJI&ngf =1- ^ - 1] u [J,too C
/ «!* = §
¿ Cualesafim actones son verdaderas.
13.
S «a
definido
Se a fu m a :
U ) f (2X) + f ( 3 y ) z O
U)
j
^
f
par
a
y es impar ]
, } * X JI-C H
<3)
son
por f t x j - . j ' 1 > st '* *****'.
1-1 , s i x es impar
ct€ *H ta l q u e
:
§ «**) = c¿ -fcx)
; ^X€BM
verdaderas :
A) s<ka O) > B) sólo W y (2) ,'C)' Salo z ? t>) sób cz) y (3) > e) sob (3)
16. Dadas
la s f u n c io n e s r e a le s : f(x>= ( z - 3 x| (x + i)
gOC) « v/S-SX -2X?
Saan A = Oom(g) y 8 = Rang ( f > .
Hallar :
A V C -3 ,-i]
17.
,
AOQ
B )fc -3 ,f| }
, c)
,> )3 -C o ,-8 ]
, E) C Í > f | ]
Sea fíxy = 2x2 - 4 x - f 3
u n a función con d o m i n i o A o IR
Se a f ir m a n :.
O) Si A = £-2,21 }- entonces R a n (f ) = I1;13]
U> Pora A = 3 - 0 0 , 1] y f e s in vectivo.
£ ) Si A = IR.
y fc x )¿ 9
} e n to n c e s xe L ° ; 33
son verdaderas :
A)
sólo O )
;
B)
só lo m ■ c ) só lo (Si
y-O ) só lo <2) y (3) J el) s o b ti) y (2).
18*
Hallar la sum a d é lo s v a lo re s e n te ro s d e K p a ra q u e la función
c u a d r á tic a
-f(x) z 4 x 2 + K ( i - 4 x ) + 2
no t e n ^ a in te rc e p to s con
e| e je X .
A) o
, 8)1 , c) 2 , 0 ( 3 ) , e ) A •
1
19. D a d a s ta s f u n c io n e s reales *f(x.) = VJ-x ^ §u> = — - Si A = Dom (fo §) ; hollar
A )3 -V T ; \/2 C - W
20.
/>B )l-\f2 ,r l [ u 3 i >y2,[
; c ) 1 - ^ ñ í j D)
3-oo,^]ur^£x>r
Sean las funciones * S r ( f ) r { ( 2^ 0 , 5), (4, 2),
,(8 ,4 )f
Br(%)=í(2fV ), (S,*),^,*), (5,1), <&,*♦) , a,C)A(S,é)}
S e a h la función con dom inio Í ^ A ^ / S f t al que § = hof
Hallar
h (n +-h(Z) + h (4 )+ h (5 ) + h( 8) A) 17 ; 8 ) 16 , c) 19 , 0)20 , e/ 21 ..
Sólo fines educativos - FreeLibros
< § )-
FUNCIONES REALES
DE VARIABLE REAL
4
0.
INTR ODUCCIO N.
E n aste capítulo sólo
Es decir t de funchones
de llegada
paro
dé
v a ria b le real.
y el conjunto
de IR a coincide n co n IR .
las d e fin ic io n e s , da da s en el
los funciones
F UNCION R Í A L
reales
en el que el conju nto de p a rtid a
son subconjuntos
N O TA : Todos
1.
trataremos d* funciones
DE
ca p ítu lo
3
son va lida s
reoles de v a ria b le r e a l .
VAR IABLE
RE AL .
D EFIN ICIO N -I.
Sean A y i - dos subconjuntos de' IR .
Diremos que f es uno función
existe
un único número reol
Lo notación
y = f ( x ) se lee
* y es Jo im agen de
x
de 'A en © , si pora íodó
y € 8
* y es igual o f
E ntre o tro s
íx).
de x
f en x "
"y depende de x ” &
y ~ f(x )
■"x "
e
es
que
que
.
“ y esfunción de
cosos !
Lo notación
ein d ic a
por f
o que "y es el valor de la. función
Tam bién «ndico que
, tal que y « f
numero real x € Á ,
nos in d ic o que .*
lo
y M es lo
vonaole^ independiente
variable
dependiente .
Sólo fines educativos - FreeLibros
x “
Moisés Lázaro C.
Lo
f : A —♦ 8
notación
,donde
A ~ IR ,
i
-
R
* x 4 -«y «f{x )
nos indico que
1. 2
1 )
f es uno función de
2 )
A * ©om ( f )
3)
-V- * « A , 3? y e 8 / y * f { x )
4)
f ( A ) » Rongo* de f,
FORMA
UNA
IN TU ITIV A
FttliCiOÜ
0C
ACAL
A en I .
donde f ( A ) « e § ;
PCRSIVIR
OE
En el proceso de lo enseFonzo suges t i yo e int uit i v ©
o gráfico
poro
qtié recurrir
VARIA8LE
ACAL.
aprendizaje
no hoy noaa
a lo
aprender el s i g n if i c a d o
rep re $ e ntoc ¡o n
y
función.
*
6 róficomente , si f ^ A - » Í
es uno f u n c i ó n
co n ju n to d e p a r t i d a
Migodo 8 está
PLA N O
XY
esto
g e om e t r ¡ c o
luego la d e f i n i c i ó n
Los puntos
conj un tos in f in i t o s
numerables o
Ademas , el dominio
ir(f }
sobre
el
$r ( f )
sobre el
x € A corresponde un
6
íx ,y )
eje
6r
rango de f
tínico
A ,
puntos del
y € 8 .
( f )c o n f o r m a n
conjuntos infin itos
de f , que es
eje X y el
de
real
contenid o en el e je Y ; además ek G r ( f ) , s o n
en el que o codo
más
de vorioble real ; el
'
contenido en el eje X y el conjunto de
t
A
GR AFICAM ENTE
c o n ju n to s f initos discret
no numerobles
es loP R O Y E C C I O N
es lo
P R O Y E C C IO N
Y.
Sólo fines educativos - FreeLibros
.
del
del
Funciones Reates de Variable Real
Eje m p lo s
■ ^ u y—
Gro fíeos
EJEM PLO
1
EJEM PLO
2
Seo g i IN *—* IR , definido
- * { 2 , 4 , 6 ,8 }
Seo f : 1 1 ,2 ,3 , 4 }
por
g < n J = (- r , " i i z i .
definid o p or *
Si tobulomos
f { i") = 3
por y luego poro n impar obtenemos*.
f ( 2) «4
o ) P o ro n par } tenemos .*
Z
4
6
f í 3} = 6
f (4 )= 8
Su g r á fic o e s
por se porado poro n
g ( n ) = { 7 / 3 ,1 5 / 7 ,2 3 / 1 1 ,
i—
:
2} -
«J «a con junto inf inito n om orob lo
Cuondo n es muy g ra n de , la función
se aproximo
o 2
bj Poro n impar , i i m m ó s
i
3
5
g t n ) = | - 3 , - 1 1 / 5 , - 1 9 / 9 ........ -* - 2 }
Cuando n es muy.gronde lo función se
6
aproximo ol número - 2 .
6
4
i
i
i
»
-tr— I------- 1~
I
Z
3
4
6r ( f ) S f M, 2 ),( 2 ,4 ),( 3,6 ), (4,8 l}
En este
coso
d is c r e t a
fin ito.
f es uno f u n c ió n
Oom ( f ) * ¡ 1, 2 , 3 , 4 } =A
Rong í f ) * | 2 , 4 , 6 , 8 } = B
En este coso decimos que g es uno función
de variable d i s c r e t a
junto in f in ito
y forman un con­
n u m e ra b le .
Discreta, indico puntos separados que no se
pueden unir trozando una re c t a o curvo.
Sólo fines educativos - FreeLibros
Moisés Lázaro C.
EJEMPLO 3
EJEMPLO 4
f (x ) * 3X5- 20 x3 +16 cuyo dominio es
Esto cur vo ,es uno funcion^rooiónol cuyo
reglo de corresponde itfio es !
todo IR y cuyo rongo es todo R .
En este eoso f es uno fu n ció n de yorioble c o n tin u a
infinito
NO
X- i
y form ar un conjunto
Su dominio es x G IR - { i }
*
NUM ERABLE.
, que es lo
proyección dé lo curvo so bre el eje X.
CO N TIN U A , significo que los* puntos del
3r ( f ) se pueden unir., obteniéndose un
TRAZO
decir
de
c u r v o CON T I N U A O A , es
podemos t r o z o r lo curvo
uniendo
los puntos ( x , y )
sin levontor
Su rongo es ] - ®
u [ 2, + » [ , que ,
es lo proyección
de lo curvo sobre el
eje. Y;.
En este coso, tombie'n, f ( x } es u no
función de variable continua.
*1 t o p u .
Pero hay un detalle, la curvo se hc,,roto,,
En este co so , el Anolisis Motemotico
en x~1 .
nos dice que f es uno funeio o
Pero estos cosos,el Anolisis Motemotíco
nos dirá' que f ( x ) es D I S C O N T I N U A
continuo en todo IR.
en x = 1 .
Pero
N O T A .* E l nombre de función
independiente
x
f ( x) es continuo e n 3 -i»,iC u 1 i t® C-
reol de vorioble reol es porque lo voriob le
tomo valores reales yiavorioble
que es" y " tombie'n tomo vofores reoles . Esto
f u n c io n e s vectoriole s
que es yno
fu n ció n
de
de
variable
IR en
reol
IR* .
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tal
dependiente f ( x )
difie re
de los
como f (t ) ~ {
Funciones Reales de Variable Real
f.y
EJEM PLO NUMERICO PARA CONJUNTOS FINITOS
Seon los conjuntos: A ={ ' i , * , S i 7 }
dónale. :
y
B =j o , 2 / j .
AxB :\ü,o) ,(1,2) ,(i,4)((3,o),(3l« , ( 3 ^ \ { s , o) 1C
5
,
i
5
j
|
-
ix A : |(o,tv(o,sv1(o,s),(o>
T)i(2ii),«,v),(i,s)j2,l),(i,n,(¿,3Uí',5),(4IT) j .
De ios siguientes conjuntos que s* don a continuación ¿ diya tM. cuál de
ellos es uno. función de A en 8 , cuál de B en A
C O N JU N TO
D£ P A R E S O & ÜEHA& O S
Gfíífc ^(1.2) ,(S il),(S ,l'> ,(T ,I)
y cuál i» es uto función?
D / a $ «a m á s os
veñn
J
va
%
y q f i ^(1,0), (3 ,2 ), (5 ,e )p A K (2,2) }
b r (h )- ^ ( 2 * ),(* .,s ),(o ,?> |
6r(j)=
(j r W r j c o . i y í j y . ? ) }
Sólo fines educativos - FreeLibros
V :'# ;V:
Moisés Lázaro C.
SO l ü c i o n :
a)
f
/ es u na fu n c ió n ote A an 3 y se dzn ota a s t
donde
;
D o m (f)
s
: A -+ B
}■ =A
fíonfof/) r j i j C i
6)
O
no oí
funa'on d a
A en B
}
p o r y un a l
com ponentes ote ¿os p o rte s o r tiz n a d o s efe f
p¿¿a dos ve ce s . ¿© fue
genes gue
dé
pon d a r ía
y e¿ " 4 *
&t a firm a r
s ó lo
Ade/nés :
c)
son e¿ " 2 ”
fu n c ió n
g u ia ré d e c i r
qué a
"3 '
se re -
¿e corresponde do* /roa
; /o cu©/ contradice
a
la d e f im e t ó n
deb a corres-
rancho .
del
= { 1, 11, 5,7 ] = A
D o m (§)
A es c/no función
e n c o n tra m o s g u a * 3 "
Qi codo éC em en to de/ dom inio
puz
un e le m e n t o
}
¿ o d a s ¿os prim eras
observar
da B en Á
y s e denoto cxsí
h : B -* A
Donde ; . Dom(h)' z ¡ 2,4,0 ! = B
A o n 9 0 (/ > ) z ¡ 3t5; 7 ) c
d) ^
et
Donde
f/na función
D om (j)
da A«l?j en 3
F es í/nar función
Donde
y se denota a s i
z \ 3, 1,5 } C A
£© ngo ( j )
*)
A
= \o,2 } C
da
8
B en A
y se
Don? ( F ) r { 0 , 2 , 4 } -
denota a s i
F *. B
A
1
£a/?9o(F) r { 3 ,7 } C A
NíCfTA «k Ac O5Í14C/0/V
^Urm
. form
am
uAjA&n&ilto.<Jk
reconocer
p a rte ,
crraLznouícr)
jVLirnc/taA
£4
jumsx fMmcicm. , ¿ 4
A zrm p c m tv t& i cázb&i
Sólo fines educativos - FreeLibros
JUmCoiy*vri6xate
mofo- 9me /áxfo
/Svt /djft/t&nfoá, .
Fu n d o n e s Reales de Variable Real
Í.A
0QAFICO DE UNA FUNCION
a b t f i T i i c i Ó T L •'¿ d e a - J a . Ju m c io n . f : A — * B
*• '
.
ción efe A en B **
jáe Jtixmxx. GAAF/ca emf mt AuJb&>7LjM¿n£ct
y^rcxúcüSr ¿méGdikno'
de AxB quecumple <&s condiciones ; t) Eemf&rw) xA
U ) S i (X ,y )€ § r (f ) A (* ,2 J 6 (jr ff)
yToíia e t c * n ;
g ró f ( f ) =
r~
2
[ ( x , fe * )) / x € A }
EJEMPLO 1 |
.
S « t a funció n:
:
i ¡*
4
}(* )- i x -5
* t[í,3 ]s A
•"?v/V.: *'3
J-
r|*^ i » * » - *
m m
*« M
=
b
. .
i
m m
A í
1
;>b
1¡ 4
i
£am© v
t
A*B
>u
*
-j
.*
f i g
A
-2
EJEMPLO 2 1
Sea la función
l*
§ ( x ) = Z \ñ e
x € [0 ,5 >
1
fOústvC
=M
y€ [ o , 2 v ¥ > = N
ia
: i
Com e w m e $ C f ( ^ ) C
M x N
’ *
l
1
*
i
4
S
4
»
M
EJEMPLO 3 1
§t©i l á f u n c ió n , h Cx) ~
xC < O , + 0 0 > = *
!
.
hí«r -
l4
!1
y* < 0 ,+ a D > -$
ji
1
1 .j
R
Sólo fines educativos - FreeLibros
«
Moisés Lázaro C.
19
¡yy^oiactori pam las <ffync¿Qnti$ *<£<*% funuon&i AeaJt* (fa va. -
AtaJb&e /tmo¿ /han v<M «aW f* r Ja* /tita* . / , § , h } i , j , m.
U J , « fm* Í o a JtsJfe&A 7ruxy¿4&uf&d •' F j®, H, I , J , U . V , w .
jExvmbíén, sée
<m&an yíué^noUced , mwmtíkr A& Atf&fm t M
“ frvLLt/uxó M fAtmevcmm .
* p r n f d o ;. f , J t , }s , ........, 1 n
,S »
% > % ,% >
\
U
ví^cjíoi de
to m o
, h^ efe.
fu n c ió n
uno
c a lc u la r
* j
la
ai
j
de g
s e rá
será
1 ) , (*, lyfe), C3,,
Si
cia de h
será
es F
ü lg é B Q M c á
;
*.
} ( * ) que
p o ro
f .
te n d re m o s que lo reglo d e
{ ( t ) z }-x
cq -
, x£2*
j , tendremos que lo mgk* ck corres
gcx>= 2x - i , xe
J ) tendremos fuela mqla ét corresponden­
h(x> - ¿
[EJEMPLO 4 1 3 t W P )r {(x t 2ae?- i ) J *. c fR |
de F
E x p re s ió n
dominio d e
Si & § )= | (l>l ) ( 2 l3 ) l (3 ,5 )l ( A , t ) |pandando
EJEMPLOS]
a,
( 2/r> #f 3,Q , ^ S > , : .......
Si
/responda n eta efe
EJEMPLO 2 1
>5
e le m e n tó de l p o r o rden o do(x,f<x>)
e l se g u n d o
v a lo r d e H x rt q u e p e r t e n e c e
EJEMPLOí T j
dt ummfímtion > Homoreglade
corresponde nciá
c o r r e s p o n d e n c ia de
nos p e rm ite
, hl ,
• tendremos 9^e la reófa de cor/esponcfenetQi
i x > = 2 x ? -1
z
j
I EJEMPLO 5 1 S tfríG ) = {(.* , ^ e' ’ /!) / I f <- oOj + c o ^ j. tendremos
-
ponderre/m ofe G
es G <*> r
vTT
í?
(? ■1 .
Sólo fines educativos - FreeLibros
90c ía re^/ad* co/res-i
Funciones Reales de Variable Real
1.7
¡D e te r m in ó le io n
oto. una. f u n c i ó n
*
U n a J u n c ió n
“f
* q u zcü x
b ie n
te r m in a d o ( también se oít’ce : bren d e fin id a )} St St conocen :
a)
y
3 u regía cíe co/re spondene tcx / ( x ) (a ^«ot ¿a ecuación, ofe ¿a función)
b) Su dom i r u ó
:
PROBLEMAS
© Determine <¿t dom inio y rango d e /a
fu n c ió n
J (x ) r
R ESUELTO S
con una asinto ta horizonta l : y r o .
5u gráfico es :
*
Solución:
a ) -x s t ) o m ( f ) «
x € fR - j x*®/**i=o|
C=> x € ÍR - f - 1 }
Con una asíntota ver.
ftcaí ;
* r-i ,
b) Paro d e te rm in a r el ran^o de uno
fun ción } procedamos üeí sgte modo :
$ Hacemos
} (*) a y
2®) Des peja r n o s
x
en t é r m in o s
de y
l ñ D isc u tim o s
¿os d if e r e n t e s cos09;
i orno en el c a p itu lo re fe r e n te a
©
t ^ t e m i n e e l d o m v m y m ngo<k
& /</naon
§<x) - ^
m ia c io n e s
P a r a al presante
Y= '3 3 T
e je r c ic io
te n d re m o s
a) x 6 Domfg) <=» ,xe
°
y<x * o = i
<=Oyx+y
: |
«=>
yx
S o iU C tQ N
<=* x € |R - 0
= i- y
* * x€ IR
«a*
X
y
Luego : y £ Rongo(f) Csp ye (R * {**/>«©■}
*=* y e ÍR- {o }
b ) D e t e r m in a c ió n
i 9) H a g a m o s
Sólo fines educativos - FreeLibros
del
ra n g o :
§ (x ) = y
Moisés Lázaro C.
Despejar x ; y =
-fx $ 0
Como
^
7(x\l) ~ I
<=»
X1 + y C l
y
• ^ T '^ 0
O i
<=* Z S < 0 , 1 ]
y x V = i-y
Hollar el dominio da / (x )r Ln/l
___ _
SOLUCION :
v/5?
f (x )r Ln\Á~ T
Pero
r i U ( l - £ )
3e Ánaliaorf:
v e Rongo ( g )
L-r
<-> - ¿ - L >^o
V - --f
Por lo tomto : x € Dom(f)
y- í
o l
T
<=4
q
l-~ p >0
€=> 4 - 3 Í > 0
*
y€ < 0 , 1 ]
«=4
4 >x2
. <a*
Con os*nío¿a hartionfarl
y =o .
. x*<4
^ 4 -2 < x < 2
«> xc<- 2, 2>
(5 ) peterminor el dominio de £(x) = / x Lna
SOLUCION :
St
}{x ) ~^J x {n x
x e D o m {f ) <=^
t entonces ;
x lnx^O
x>0
@
I n x }y Q
A
V - %
L m i^ rm in e «¿ dom inio y ro/j^o de
x N
<o
A
*>,o
A
f
v
[ x^0
A
i
Ln x 4 o
¿n / t / n c iV n h ( x ) = ^=r¡7¡SOLUctQfsJ ;
á) x 4 D o m (h )
<=£
c=*
x ^ o
x e [o , 4*co>
Cs*i#eftb d a l fango, hocemos h ( x ) = Y
y ~
/
1—
vGt *1
»
c=>
<=> .
*=>
X £
[ l , + OD>
Donde:
y (V x + 1)
•I '
*=$
O < x 4 1
=♦ i
i)
Lnx^O
«=»■
V v^x t y = 1
. yV>T
vT
= i- y
x^e°
<=*
ti) Lnx 4: Cl
i
x x<<?*
a
a >O
N<1
A
x >O
= -íf
**
<3^
Sólo fines educativos - FreeLibros
>
O <x ¿ i
Funciones Reales de Variable Real
e l d o m in io d e c/ajl de &*S s i t i e n
fa lla r
ízs /tinciones:
(g )/<
x
f (x ) r 2 x2 - Y * -1
Sea
*€ <-oo,-2>u<J,2> @
)
Sea
| (x ) :
*€ C l,4 ]
*€<-co,Z>u <3,£»>
¿x+C
@
©
Solución ; 0 ^ 0
,
S v K *) “ 2x
/
* € {£ -¡-2 ,2 }
©
fe*) = ■
*€ <- l,o>u <o;oo>
©
H x > = U>g(’c © Sx)
©
f ( x ) r \ / x 2- X - V + ^ U X - X J'
y del producto
O .
^ (x ) z x2 + 4 .
J (l)c p (3 ).
Solución : -g* " » 39..
i»3(i + x>
<X< */2 + 2 XJJ
Para %*. cfe. lasfunciones de los e^er
Cicios cteí ©
2 3]
*€¡ ,
*« [2,3>
V 3+2 a
}(*> = - = = = ;
V x 2-X + 2
al @ ?hallar F(*)z ü » l ^ T .f S
con h / 0 .
©
í( x ) z '5
0
j ( x ) z - 2 x 4-
FW s o
0
{(* > = 2X 1 - !
3
F < * )= -2
FO O z4 x + 2 h
*€ <-CD,-í>ü<2,CO>
© { ( * > = . 3x2 - 2x +2 F(x) = Gx + 3 H -2 -
x ¿ ^ + 2K7I «2
0
©
$<x>- \ / s e n x - i
0
fjo c )-a rt S e n . i i _ l o ^ ( 4 - x )
xc[i,¿>
$<*> = - ±
C(>0 :
3-2X
( ® t(* )= 7 -~ ------- -f V x + 2
^ *
105(1- X)
X€Í2,0>U<0,Ji >
® f(x) Z
xeíR
-1 .
v t ^ a x +i
'
F(x ): - -
0
f(x )r 4 - X
F lx ) r - 1
.
®
H x )z X
F (* )rl
/
Vi Í**M-U*h)-»5
f ( x ) : lo§ s c n ( x - 3 ) -i- v/ i g -
©
}<*) z n/'3 - x ' 4- ore eos
x2
x.€<3/]
ix
1+x2
f(x )r l - x - 2 x 2
(*) z -1 -4x - 2h
f
G r a jic a r la s Siguientes funciones :
X € [-l,3 l
'
©
ÍP 0 =
.
"
©
©
, x íl
[—
5W= j * - ‘
i 3.
*€ P
, XZ1
I X * -¿
xe P - (-1, i )
© * * > = £ ?
© l(T )r ± Ü L
x€|R-\oJ
@ *<*>= 2x-3
*€ IR - \ 3á }
»<«>= ^
X€ !P -{-2 ,2 }
j<*) r'/zx+A
x >, - 2
@
i<*)=
*
x= 2
■x1 -
@
j(* ) =
x>C
x t2
-2
, x ~ -2
S X -1 3 X + &
©
) - Y * 2 -4
+
*€ <-cn,-2juT3,«>>
^
©
;
x t Já
y
X Z 3/^
,
X ±
2x - 3
$(*>=
4
©
(3-2(**.hl)( 3-2*)
(37) f (x ) = \/2X1- X 4- 5
i
©
.
gO) .
H a lla r el valor num érico d e lo fra cció n £ 3
f(x) z log U - X2 |
©
f(2} ,
.
^ - G x V f n x -G
H a lla r : § ( i ) , g (2 ) ,
x ^ S x +C
. Hallar
Sóiixtdn. : 4 , -1 ^
X€ <-3,3>
) = Lti ( 9 - x * )
( ? ) f (x ) = L-n (
©
| 8 x 2 +18x
{(»> = <■’ — z í ^ r
[
-3
Sólo fines educativos - FreeLibros
>5
lA
.
y *x r'Vt
Moisés Lázaro C.
a
En cacto u a o cié los ejercicios del © a l ©
44
X 2-C
} 3t€ < - < » , - l >
“5
> X € [-1 ,K )>
I
@
N * )-
ac-15 > xc <KJ,oo>
* -l
,1
A
I
,
{(x/OctR2/ y = - S x > 3 ]
-1 í * < 3
©
|l*#y )s m V
© J{* , v)HRV
x>, 3
,
!<*>=<Í 2 X - 1
W *)r.
@
V (x )r .
í 1
,
1-1
,
ili
X
x V4
©
h(W).=
j (*,yK jp2/ v* - x1 = 9 1
{<x ,y)€ írV y r - v í ' - x ' }
©
|(x , yK ÍP2/ y2 z 4 x
,
una
fórm ula p a ra la función otesertta :
© La junción 6 bajo la cual
X ^ 1
Xr
un c í r c u l o d e r a d i o
3 l xi - 4
|
,
¡xi - 5
, }x|s<5
©
La f unción F b a ja la cuál P (x) es el volumen
de una esfera de radio x .
©
La función V bajo Va cual V ( x ) es el volumen
de una caja ete base un c u a d ra d o de lodo x
y altura que es el doble creí lado qfe la b a s e .
^ IxJ>5
Hollar e l
» Ixj 4
}xl 4-4
|X1 >2
f n/®-
>
- i . \ / * 7-2 s"
, 1x1 > 5
1*1 4:5
XX(x)r
5
@
f (x > :: |Xl 4- l x - l l
©
g (x )-
2 |x i- 3 |* + i{
©
h (*)-
x* - ix i
©
j ( ac) r
A * 2 - l*-ll
©
K (x )-
l * a- 4 |
©
5¿ 6 (x ) = —
@
5t
¿ E xiste G Í 2 )? ¿ G (- 2)
2
rango cíe las Siguientes funciones:
©
f(x) r - i / T T
,
xN
<j
@
§ {x ) z 2 x 2- 5
,
xeR
(§) h (x )z 2 x 2-5
x€ <-2#2]
©
xc [-5,3]
P (x )r n/25-x 1
©
G M --m -x ?
, x<
[-5 , 5 ]
©
H (*)= -33C + 5
, xc
< -2,3}
©
f(x) r
,
< 0 ,4 >
,
^ € £ 4 ,4 5
|x - }¡
©
S (x ) = | * * - 2 5 |
©
h(x) r - 10x 4-20 ,
x c <-0 0 , 3]
©
P (x ) c \ / x - x 2
x c [o.-, l ]
©
puesta.
~
¿ E * ste §( i) 7 Exphquc
°°r {*i* *
'too r
i Existe h(-3)? i t p itz c s t su«w
vSr
' x*3
Puesta?
^ c_ x1 -3x~Sólo
IB ¿ £xlSte
(-3)7 £xpli
fines 5educativos
,
G (^ l) Z “ 2 5 ^ 4- 5 0
2 Existe bo) ? Explicar su res
g (x ) - x +
es el area de
|x|>2
| \J *’ -2S
(S)
6 (t)
T .
( © La fu nevón H bajo la cual H ( ! ) es el volumen
de un cubo de arista X.
1
> 1X1 4 2
x
y*2 r J C - X ?)
* * 0
Ixi
f(x) = 4
]
E n cada uno de los ejercicios del X a l 79 dar
X -J
$<*}= ■;
@
©
x<0
0
©
Y=4 |
ll ^ v ) € lR 2/ x * 4 -y 2 = : 9 }
<§) ¡ <^y)€fR V
Ix-H
f(* ) =
y r *H z J
*>o
, X ^0
0
®
©
-xf í< -}* <¿
’ x J - )6 >
©
© [ (*,*)€IR2/ y2=: - 1Cx J
* < -L
S* ' 4 *
©
razón pona SU respuesta . En cada ejercicio obte­
ner la g ráfica y dar su dominto y contradom io .
@
,
d*c‘f
si las relacionas dadas son o no funciones y dar una
5l
- FreeLibros
,
Funciones Reales de Variable Real
1.8
FORMA
EN
OE
EXPRESAR
FUN CIO N
Do do uno ecu ocio n
despejar " y "
Si se puede
DE
en d,os
en términos
T)
De :
de **x ”
y
otros
direm os
DEPENDIENTE
IN D EPEN DIEN TE
F {x ,y )~ O ,
íeVminos
contrario
VARIABLE
V A R IA B LE
v ó ri.a b le s
d e s p c j o r “ y ,, en
e x p l í c i t o s ,en coso
E je m p lo s
LA
LA
unos veces es posible
veces es im posible .
de " x " se
ob tie n e n
funciones
q u e y ~ f(x) es dado implícitamente.
.*
Ax + By + C = O
3)
sí 8 jé O •
->
_ JL
8
y : y =
Despejar
O e : x* + y* = 9
8 X
9 _ x*
y* a
y * í y/9 - x*'1, donde 9 - x2 - O
s>
A s í o b te n e m o s .*
- 3 fe x fe 3
n
*f ,( x )* = - —A x - ■—C
8
,
B*0
x .e f-3 ,3 ]
8
Donde' f|x ) ■.€.«
<~>
A s í , hemos d e f in id o
x 6 IR
l no
la f u n c i ó n
es
codo
f u n c io n
x
, porque p o ro
6[~3,3]
corres­
m=-|
ponde dos
X € IR
v o lo r e s
un p o s i t i v o y
lla m a d o
un n e q o t i v o .
F u n c ió n
4 } De:
2)
de y ,
De : { x - o ) ( y - b ) =
y ( x 2- 9 ) - 2
-
5 L n ( x Z- 4 ) = o
K , 'kWÓ
2 4- 5 L n ( x 2- 4 ’ }
K
=>N y — w
b = -----------
' y ~x2 - 9
-x ~0
Dónde v
K
=>
.
y e m <=> . X* - 4
r = -b +
<=*>
Donde y 6 IR <^>
x 6 IR - J o }
A s í , hemos d e f i n i d o
fix )> b f
x- o
lo
f u n c ió n
.x 6 IR - { a }
> O
a
X2 - 9 ?4 o
x2 > 4
<=> [ x > 2 v
x
< -2 ]a x# Í3
Así quedo bien definido lo fu n cio n
Z«-5 L n ( X * - 4 )
f ( x ) « ------ ----- y -----------.
X - 9
reola oc co» we« p»«-
oeiMcn/iL.
Sólo fines educativos - FreeLibros
x £ <-°°r2>u<2xc»>-{'3tx3}
DOMINIO
Moisés Lázaro C.
5)
S i.* © *
es ío voriobfe in d e p e n d ie n te
siguientes
ecuociones
q ) r a»
3 sen#
b ) r'*
3 {1-eos © j
c )
que r es f u n c i ó n
de
que r es f u n c i ó n
de 0 •
r ss - sen 5 ©
Lo
n o íocion
r«f{© )
ecuoc ion
r1*
grá fico
es :
Lo
cuyo
in d ic o
2c os0
“Ó
©
no expreso urro función tsóto es uno relocion
1.8.1
v
PROBLEM AS
Coól
de lo * s¡guientes conjuntos
A •* | { x, y ) / x y ?- x *
definen funciones
2}
H - | íx, y ) /
C = { ( x, y ) / l y l - x }
I
0 = { ( x , y ) / y * íxl )
J =
E >
{
=
( x ,y )/ ( y-T I-
{
{ x , y ) / I y. I -
I x-1
I =
£>}
L>
1x1 =
0 , 6 , M, I ..J*, L .
no son funciones , A , B , C
y 3 ■= x }
( x , y ) / ' 2 y - x3 - 2 x2 =
x, y }/
y x2 ~ 4 y - x
o j
= O|
K = { íx , y ) / y4 * x * ~ 4 }
S O L U C IO N
Son funciones
y = f(x )
G = { ( x, y ) / y = 3 - j x - 2 | }
8={{x,y J / - U - I }
F
6
r =s 2 eos 3 0
-d }
§}
expresan
y*r* lo vúriobte dependiente, Jos
, E ,F , K
Sólo fines educativos - FreeLibros
j C * ,y) / y * 2 J x - 2 |
,
Funciones Reales de Variable Real
2.
DEFINICION
GEOM ETRICA
V A R IA 8 L E
DEFINICION
2. 1
del
REAL
0£
f.
de
A rn
de f es
rectos . d i r e m o s
ción
FUNCION
RE AL
Seo f uno r e í a c i m
S i el Gr á t i c o
DE
u no
8 ,
A & IR , ü
r e c to , curvo
F .
o
u n ió n
de
curvo s
y /o
que f es uno función de A en 8 sí , y sólo si lo intersec­
G r {f >
con
c u a lq u ie r
re cto porolelo ol eje Y es só lo un punto.
P R O B L E M A S
Oiga cuol
de las siguientes
G r á f i c o s r e p r e s e n t a n una
u
u
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“" S
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IV
y
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L- '
y
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x
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V
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c^
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dodos
en
*
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1
Y
/
X
/ "
....■ »
V
*
SOLUCION .
Son funciones tos g r á f i c o s
No son f u n c i o n e s
3.
TRES
S i
:
FORMAS
CONOCEN
2, 3 y 8
1 ,4 ,5 , 6 ,7 .
0£
S tf
EXPRESAR
RSSL A
DE
UNA
FUNCION
C O R R E S P O N O E N C IA
D OM IN IO .
Los
CUANDO
tres siguientes t o r m o s , e x p r e s a n a la mismo
f u n c ió n .
Sólo fines educativos - FreeLibros
Y
Moisés Lázaro C.
FORMA
1
FO RMA
2
f .*] ~ 2 » 2 [
IR
por f (x ) «
, d e f in id o
f (X ) »
x2- 4
FORMA
4.
3
Gr { f ) ■
I M A 0 CN
UN
o)
( x, J _
- ) / -2
C
M A S E N
D IR E C T A
<x < 2 ]
INVERSA
OE
CON J U N T O .
I MASEN
Seo
de
j
DIRECTA
ro función
A
al
f :
conjunto
OE
X — ►Y y A «
f ( A ) ,
en el
UN
CONJUNTO
X se
que
A.
H om o I M A C E N
f { A ) s j f ( x ) / x€ A
01 R E C T A
«= y ]
L.ei s subeonjunto del rango de f
IL U S T R A C IO N
f(A )
f
iR A F IC A .
es lo proy e c c¡on del T R A Z O
OSCURO
OE L A C U R V A f sobre el
eje Y ,
L -IM A ÍIN
de A .
Sólo fines educativos - FreeLibros
Funciones Reales de Variable Real
b)
IMAGEN
IN VER SA
Sea lo f u n c i ó n
IN V E R S A
de
f : X -*•*Y
8
j
| « i j *
61
y
meéionfe
CONJUNTO
§ m y
^ se
Hamo
I M A G IN
f , al c o n j u n t o f~ ?(S ) d e fin id # p o r :
/ f u i
x € X
UN
i
i|
CZ x
)
í- es subconjunto del dominio de f.
ILUS TR AC IO N
ÍR A FICA
f“ ( í ) = I T u
u 2 3 son fel'proyecciones de los tres romas oscuros
de lo curvo sobre el eje X.
L
I MA6EN INV6RSA d « B
EJEM PLO
1 -
Seo
lo función f : < - 8 , t ] tí { » 0 }
— *
definido por i
, -8 < x
■±
x . ±
2 *
f( x ) =
■ 4“
2
, -5
*
< - S
x < -1
í x " 3 , l + ® , -1 * * < v
-4
, x » 9.
-6
x * 10
Sólo fines educativos - FreeLibros
)R
Moisés Lázaro C.
c u y o g r á f i c o es;
Se
pide h o l l o r :
O
f C -6 )+ 2 f ( 9 )
2)
5) f - ’ l { 7 } )
9 ) í
( {9 ,7 0 } )
6) f ' 1 ( { - 4 , - 6 } )
10) f ( { 3 , - 3 } )
I I ) r 1( { 6 , 4 } )
. 3 f ( 3 } - 5f ( - 1 )
3f(tO)-2f (-3)
3)
f(<-8,-5>)
7 ) f ' ’( < - 3 , - l ] )
4)
f([-3 .3 ) )
8 ) f ' X í 2 ,5 ] )
S O LU C IO N
1)
f ( - 6 )= 7 ,f ( 9 ) - - 4
; luego f ( - 6 ) + 2 f ( 9 ) =
Sólo fines educativos - FreeLibros
7 + 2 (-4 )* -l
Funciones Reales de Variable Real
2)
í (3 ) — 6 , f ! - 1 ) = 2 , f (1 0 ) = - 6 ,
Luego;
f ( - 3 ) = - - § - (-3 )--£ • = =
3f í 3 ) - 5 f í - 1 )
_
3 (6 ) - 5 (2 )
3 f (10 ) - 2f ( - 3 )
“
3 ( - 6 ) - 2 (4 ) =
3)
f { < - 8 , - 5 > ) — | f (x ) / x € < - 8 , - 5 > }
4)
f ( C- 3 , 3 > )
*
_
4
8
¿
7
» | f tx } / x 6 C - 3 , 3 >}
Leste
, ínter velo toco
porte de los inte r­
v a l o s C- 5 , - i > y d e t ~ T , 9 > .
Cuando esto ocurre debemoeporficionorlo
( p a r t i r l o } en l a unían de dos intervolos.
Así
: [-3 ,3
> = [ “ 3 ,-1 >
Luego: x 6 [ - 3 , 3 )
<=>
U
[-1 ,3
x 6 [ -3 ,-l)
<=> - 3 6
x < -1
2
*
4 ^ -j x
x < 3
somor - 3
-4 -
2
1
sum ar- —
x 6 L -> ,3 >
-1 i
por - 3 / 2
2
V
>
t
>1
x- 3 < 0
4* - { x-3 ) > 0
a l cuadrado
16 ¿
f (x ) 6
{ x - 3 )*
> O
<1,4 ]
por - 4 A -'4
4 - ' ( x - 3 )* < 0
sumar
6
2 & - 4 - { x - 3 }*+& < 6
_4
^
f íxJ
f(x>e[2,6>
Por tonto; f ( t - 3 ,1 > ) * ■< 1 , 4 J
U [ 2 ,6 >
* < 1 ,6 >
Sólo fines educativos - FreeLibros
Moisés Lázaro C.
5)
f _1 ( 1 7} ) »
|x € < - 8 , 9 3 u { i o J / f < x ) 6 { 7 } j , f < x ) C | 7 } < s > f ( x ) = 7
«
6)
x € <-8,-5 >
f ”’ (
| .X 6
,
<-
a ,9 3 u
jio}
| 9|10}
<- 3 , - i 3
toco al
j -4 ,
<*> f ( x ) « - 4
v f(x )a ~ 6
<»>
v x = 10
x «f
/ f { X) 6 < - 3 , - 1 3
Rango de f ( x ) ** - -y- ( x - 3 f
entonce*:
f ( x ) € ^ - 3 , - i ]
s»>
-
3
e
ftrs f t x ) € { - 4 , - « J
7 ) f " ’ ( < - » , - » I ) » j x É <-* ,9 3 U { « J
Come
/ f<X )
+ 6.
< f ( x ) fe - 1
- 3 < - - r ( x - 3 ) *+ 6 fe-1
4
-9
< -y
9
( x-3)* &
4
> ~
36 >
( *-3)* *
4
( x - 3 )* *
-7
7
28
%
( x - 3 )* * 2 0
x-3*
2yT
( x* 3 + 2 % ^
v
a
x - 3 fe - 2 V P
* x* 3 - 2 v * F
■
bm
—3
le
)
i
0
*
( x - 3 ) * < 36
-6 < x -3
< 6
-3 <
<9
4 = -— ^
3+ f / F
9
Lut^o :
#"T( < - 3 , - 0 ) * [ 3 + 2 / f , 9 >
Sólo fines educativos - FreeLibros
x
Funciones Reales de Variable Real
8)
U \ 10} /
í 2,§ I ) = | X € < - 8 , 9 ]
Como [ 2 , 5 ] toco el rongo de
f{x)
fíx J i
[2 ,5 ]|
= - A x .-l.
y
f(x)
* - ^ ~ { x -3 ) * 4 6
,
Entonces
e [2 ,5 ]
2 Á- - ¿ x - A
2
2
*
V
( - ^ - <x - 3 J2 + 6 )
2&
5
6
( x-3 )*
4
+
_ 4 ¿ . i _ ( x- 3 ' ) *
24
4
1
*
.A *
2
-5
*
-A
*
16
ü
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2
2
3x
*
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( x - 3 }* - 4
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x-3* 2 » x- 3
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3
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5
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6
4
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4 - 1
)* * 4
a( x - 3 ) * £ l 6
* -2
x -
[2 ,5 ]
a
1
- 4 - %- 3 4 4
a
-1 -
x £
-1
iL
3
L u e g o : f ^ í í z ,5 ] ) =
§)
f
({9,1 0}
Pero
)
a | f
(X)
/
X€ {
x € {f,T O |
<*?
L u e g o .'
10)
f
({9 ,1 0 })
f ({3 ,-3 } ')■ {
Pero
A
3
U [-1 ,1 ]
U [ 5 ,7 ]
9 ,J 0 }}
x = 9
v
x = 10
f{9 H = ~ 4
v
f (10) » - 6
= {-4 ,-6 }
f (x ) /x £ { 3 , - 3 ) }
x € { 3 ,-3 }
<»>
x= 3
V
f
V
f ( 3 ) » - -1- ( 3 - 3 >* + «
4
-
f c -3 )* - A ( . 31- A
2
2
-
Luego
.*
f ( { 3 ,-3 } ) »
{ 6, 4 ]
Sólo fines educativos - FreeLibros
7
Moisés Lázaro C.
11)
f ’ { i 6 ,4 }') a j x e < - 8 . 9 ] U V 'O } / f ( X ) 6
{6 ,4 }}
Oonde I
Í C x i e f6 ,4 V '*>■ f{xj = 6
3
1
- y X - y m 6
V
V
f(x ) =
*
,,
-y(X-3)+6-6
X»~y-
X --Í--4
i
X-3
V
Z
■
4
- ~ ( X -J)* + 6 = »4
«
X =* — 3
X* 3 Í4 / ?
Lu e g o I
f -1 ( j 6 , 4 } ) —
I
- —
J
, 3 , - 3 , 3 + 2 y / 2 1 , 3 - 2 \/~?
9. DOMINIO Y NANEO
OE
UNA
FU NCI ON
DEFINICION
OoOo
to fuAcion o
o p lico c io n
f
A —• 8
,
AS
ÍR
,
B S IR
d e fin im o s ;
o)
D o m { f ) =s A = |
b)
Ronflí f ) s* | f ( x ) 6 8
9.1
x € A / 3 | y 6 8 ,
/ x £ A } ■«=
CALCULO OEL DOMINIO
1.
De
SÍ
=>
2.
un
f(X !
j
8
OE FUNCIONES USUALES
P o lin om io
a
0# X*+0H
XH
* f - ..........+ 0 , 1
,
Oj €
, n € iN
D om ( f ) = H .
De uno R A I Z
Si
y = f(x )
CUADRADA
f (x ) * / u <x ?
=>
Dom ( f ) = I x S IR / u (x ) -
Oj
En g e n e r a l , si f <x } = \/u ( X ? => Dom(f) = | x € 0 ? / u { x ) ^ o j
Sólo fines educativos - FreeLibros
Funciones Reales de Variable Real
3.
DE
UNA
FU N C IO N
P( x)
5 i f ( X) =
R A C IO N A L
=>
Dom ( f ) =
IR— -/ x € IR / Q (x ) - O }
l
i
Q (( xx ))
4.
DE U N A F U N C IO N L O G A R I T M O
Si
f (x) »
u (x )
log
0
5. D E
Si
,
2.
UN A
Si
f ( x ) = 0 U<X)
EXPONENCIAL
*>
Oom { f ) =
_ 3x + 5
2x V x - X3 '
f (x ) ~
Dom(f) = x €
> O J
ASINTOTAS ;M ( x ) = 0
F U N C IO N
E J SUPLO 9 :
|x 6 R / u |x)
=>Dom { f )=
=>
Oom (f)= *
~> Dom ( f ) :
x - x3 - O
x3 ~ x
1 ] u [o , i ]
<-co
Ulx)
Dom
-
O
x (x-lHx + t ) =
—
©
0
i
-
©
1
3.
Sí f ( x) = - x
■x
-o —
=> O o m ( f ) : - 5 — = !()«= >
1- X
o-
x*~T
<=> x e [ o , i >
4.
X*
Si f (x ) = — j
=>
O o m (f )= R -| 2 ,-2 ]
,
x -4
pues x2- 4 = 0
l
V
x = ±2
Sólo fines educativos - FreeLibros
Moisés Lázaro C.
5. S i
f*|x) *
*>■
2x -
Dom ( f ).
L n ('1 -.2 x }
:
1 - 2x
A síntota. :
S.
•
s>
X <1/2
<=»
! -2 x = O
- JL
0
Si f U ) *
>0
<=£
x -y 2
Oom
,
pm s
X-1«Ü
A sín to ta ; x -t = o
7.
Si
S.
Si
*>
f(x)s -30
fíx js
«>
2 1^9
(f )
úom
—X
( 4— X 2 ) -
:
x2
4 -
~ 2 < X
*>
0©m ( f )
€
A sín to ta s :
0©m ( f ) =
Sea
>(*)
w
X *—O.
D om a) :
x -z a
5e
X2— 1 # 0
< 2
< -2 ,2
4 - x2- o
X # i 1
> -
(
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>o
( x - a ) ( x2 f a x - i - a 2)
X -2 Q .
a _ >
fcx>= J S Í Í 2 Í
Ix i-M
B* x IR -
12. ÍÜO = I x
, % = •*' 1°}
>o
13
0
)
x :- i t
ti.
>
-1,1
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^
a>o
V X -2Ql
íft
o
>
x ~±2
9.
X = 1
J W = |x J + \/x - | x l 7 Dj = <-oo; oo>
0
X€ <r®®>, a ] U < 2 a ifo6>
Asíntota vertical : x - z a - O .
D í = t - x , 1 > U < 1 ) 2> •
Hallar él é c m iñ io de
15. fx > = J ü i í i r i h í
10.
Un) X -f\4[ X * -S x 4 -x 24?
~
V
X*-S
| X -2 | -1
D5. * <-eo, 1] u < 3 , oo>
X€ 4.-00 ^tlK-Vs^-|]ü[I,n/5’>UE3/oo,>
A s e n t ó la s v e r t i c a l e s : * - í
Sólo fines educativos - FreeLibros
__________
3.1.1
Funciones Reales de Variable Real
FUNCION
RESTRINGIDA
Godo lo fimcio'n
Si defi ni mos
f .* A
8
g.* E — ♦ 8 , ' t ol
que
decimos que lo función,
y
E «
Á.
g t x ) = f < x ) , ■¥ x €
g es lo R E S T R IC C IO N
de
f
E .
ol co nju nto £ .
EJEMPLOS
nr
IT
ir
Seo g : [ - j . , 3 ] - * [ o , 3 ]
Seo f : i r - * [ o , m >
definido p o r f t x ) =»x*
definido po r
_
Seo f : ñ — • IR
definido por
f t X) *- ' 2x + 3
g (X ) « V e - x * *
Lo f unción g [©,*>
definido por g ( x ) » x 2 , es
Io r E s t r i c c i o n
de f ol
conjunto [ o ,« > *
Lo fu n ció n h:[0,3]-+ > [0¿]
Lo funcio'n j.’i o . s j - ^ i í
definido por
definido por
fi <x)=s / 4 - x 1
»
es lo restricción #1 h ol
es lo restricción d e jo l
j ( x ) = - 2x 1*3
conjunto [ o , 3 ] •
conjunto [ o , 3 ]
Sólo fines educativos - FreeLibros
•j42)'--
5.2
Moisés Lázaro C.
CALCULO
DEL
RANGO
OE
UNA
FUNCION.
Hóllor el rongo es muy importante , sobre todo pora hollor lo inverso
de lo
función , si existe.
Trotaremos tres cosos i #cuondo lo función esta definido en todo su dominio ,
cuando la función es
CASO
restringido y
cuando la función es inyectiva.
l
Cuando lo función
esto
x en terminas ■de y , poro
seo
que
Ejemplo
definido
en
TODO
luego o nal i zar
su dominio , bastoro despejar
que" valores reales tomo V \ p o r a
real.
seo
x2
f ( x } = — -------x - 4
,
Oom ( f ) = IR -
Hollor su rango *
(1 }
Hocer
f (x ) ~ y
=>
y
—
x2
■T
* - 4
(2 )
Despejar
x
*
x2y - 4 y ® X*
x 2 <<«>
->
<*>.
(3 )
Anolizor :
«6
R
W
-—
Xx2 {
y — 1} = 4 y
x
¿.0
y-1
<=£
y €<-«6,o ] u<i,oo)
Cuondo el dom»nto esto
© - ©
R E S T R INGI D O .
^E J E M P L 0 :
,
Seo lo función f ! [ Q-, S J — ^ IR
Hollar el Rango
I
2
definido p o r f ( x ) = ^ - { x - z ) - 2
de f .
Solución
Por definición el rango de f es
Donde
x € [0,6]
Sumor - 2 :
<=>
O*
f ( [ o , e ] ) 2 | f ( x ) / x € [0 ,6 ] j
x ‘6
6
-2 * x -2 ¿ 4
Sólo fines educativos - FreeLibros
Funciones Reales de Variable Real
No podemos e le vor ol c u o d ro d o porque el extremo i z q u i e rdo es N E G A T I V O
y el derecho es p o s it i v o . E n este coso hoy
dos Subintervolos ; tomando lo p o r t e
Asi'
-2
<=>
-2
»>
p° r - r :
4
& w n o r- 2 :
P A R T I R el i n te r v a lo en
N E G A T I V A y la parte p o s i t i v a .
x - 2 fe 4
fe x - 2 fe O
2 * -
=>
fe
que
v
O < x -2
fe 4
( x - 2 ) feO
4 fe ( x - 2 ) * feO
v
0 < ( x - 2 ) * fe 16
Ife - j * ( x - 2 ) * f e O
4
v
O < 4 - ( x - 2 )* fe 4
4
-1 fe J - ( x - 2 ) * - 2 f e -2
4
v
-2 < - j - ( x - 2 )* - 2 fe 3
4
y
y
y
fe-1
.V
-•
_
v ____________________
-2 <
~-___________
y ¿ 3
;___________
UNION
ye [-2,3]
CASO 3
Cuondo lo función
es I N Y E C T I VA
Seo lo función f : [ - 2 , 3 > — ►IR ,
definido
por
f ( x ) = - 3 x f 4.
Hollor el rongo de f.
Solución
Como f es in y e e t i v o , bosto
i n te r v o l o
de los e x t r e m o s
[ - 2, 3 ) =* D o m ( f ) .
-
Así:
hollor los imogenes
Oe £ - 2 , 3 >
|
J
^
f { ~ 2 ) = - 3 ( - 2 ) + 4 = lt)
f ( 3 )
--3 (3 )4 -
4 = - 5
f<~2) f ( 3 )
«
N
K>
P o r tonto .
-5
R ong ( f ) = ( - 5 , 1 0
]
Sólo fines educativos - FreeLibros
del
Moisés Lázaro C
• * F U N C IO N E S
ESPECIALES
Codo función especio i se define con su respectivo reglo de c oríes pondencio
y su dominio:
F
1
F UNCIO N
LINEAL
AFIN
FUNCION
f {si
FU N C IO N
IO C N T IO A O
« x ♦ b t x « ft .
f ( x )» K ,
i ( x ) * % , *« m
o#0
C O N S TA N TE
íe s ,
m
«.
S e gráfico #« ese reefe
Se gref leo **e*e reefegee NO
pese per el ertgeft.
horítonfel
v'*
Rong íf) = |K}
Rongff) » R
3
FUNCION
.5]
ÑOLA
FUNCION RAIZ CUADRADA
fu>*.é, t t » .
**Q
¥
FUNCION CUADR ATICA
« ¡ t í - o ^ + bx + e
sy gmfico coincide con el
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= < ^K + & f+ J|h ¿ ,a * e
eje x.
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abajo •
R&n&o :
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H
FUNCION C A N A C TEN IS TIC A
ü # f: A
definido
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p#f fu>a J O
FUNCION ESCALON UNITARIO
DE PASO o
f (X )
(o , x < e
abahotío.
y.&n
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FUNCION VALOR A 8SOLUTO
« * , * i * i * 1 * >x *°
(t , xe e
•x , X < o
,i/a
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V*-X*A
x
P a o g í f l'* V s ,i}
Sólo fines educativos - FreeLibros
Rofiq(f) s y e £ o ,© )
Funciones Reales de Variable Real
F U N C IO N M AYO R E N T E R O
f (x ) s ( xJ
,
FU N C IO N
S IG N O
x € IR
-1 , x < 0
f ( X) *
donde
0 , xs O
1 , x >0
f * | * K <*>
K i* x < K + l
•V K 6 Z .
o 1
-1 Q-
Rong (f ) = {
Rong ( f } = 2Z
F U N C IO N
j
P O L IN O M f C A
P ( x ) a o n xf t 4 0
^
'
+ • - + 0^
+ o fl , x 6 IR t n I R
, @f i Q .
E je m p lo s :
P(x)*
2
P íx)> - 5 x + 2
P U )
* 2 x * - * x 41
P (x) «
x3 - x
S o n funciones
polinomicos
d e g r a d o .* 0 , 1 , 2 y 3 re sp e ctiv a m e n te .
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Moisés Lázaro C.
?. A L G E B R A
D£
FUNCIONES
SUMA, D I F E R E N C I A
REALES
, PRODUCTO
DE V A R I A B L E
Y
CO C IE N TE
DE F U N C I O N E S
REAL.
P R O P O S I C I O N 1.
Seon f y g
dos funciones
ó ) L o sumo f + g ,
con
lo d i f e r e n c io
Dom { f ) n Dom ( g ) £ 0
b)
El
dominios
cociente
f-g
Dom ( f ) y D o m ( g ) t re s pe c t i vame nt e .
y el
producto fg
exi st en, sr y sólo si
•
existo sr y solo si
Dom ( f ) n Dom ( g } # 0
y g # O *
PROPOSICION f .
o)
Lo FUNCION S U M A
fV g
quedo bien definido
f f * g í ( x i m f ( x ) + g' ( x)
donde
b)
B r ( f -f.g )
x € Dom { f ) n O o m ( g )
(x , f ( x ) + g | x ) ) / x € Dom(f )n Dom ( g ) j
Lo FUNCION D IF E R E N C I A * f - g , quedo bien definido
(f
donde
c)
-g
)(x
)
f ex j - g
Br ( f - g ) »
( x)
x
Lo FU N C IO N P R O D U C T O
donde
Lo
fg
Dom ( f ) n Do m ( g) |
quedo bien definido
C L IE N T E
s.s.s
x € Dom ( f ) n Dom ( g )
© r (f .g )s s | ( x, f ( x ) g ( x )
FUNCION
6
s.s.s
| ( x, f ( x ) - g ( x ) ) / x € D o m (f )n D o m ( g ) |
( f f t ( x ) * f ( x) . g ( x )
d)
s.s.s.
) / x € Dom(f )n Domfg ) j
quedo
bien definido
s. s . s
x € D o m { f ) n Dom(g)
co n §<x) £ o .
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Funciones Reates de Variable Real
donde
6 1 ( - 5- ) = | ( x , ~
A d o r e m o s estos
t é t m p i o
)
6r
6
D o m ( f ) n Dom ( g ) |
definiciones con tres ejemplos
diferentes.
1 .
Cuondose t r o t o de f unc i ones
Seon f
/ x
y g dos funciones
Discretos
F i n i tos
cuyos giró'ficos son
( - 1 , - 2 ) , ( 0 , 0 1 , ( 1 , 2 ) , ( 2 , 4 ) , ( 4 , 6 ),
(f ) = {
(
6, 8 ) }
S r ( g ) = { ( - 1 , - 3 ) , ( 1, 3) , ( 4, 12) , ( 6,18) }
Hollor
e)
e I GRAFI CO
2f-3g
-
de
o)
f+g
1
f) - — g +
2g
5 g -2 f
2
, b ) f-g ,
c ) f.g
, d)
y
3f - g
S O LU C IO N
PASO T
HeMor I
PASO 2
Como
Dom ( f ) n O o m ( g ) = { - 1 , 1 , 4 , 6 }
Oomf f ) n O o m ( g )
procedemos
o ef ect uor
es
lo s
difire í^e
del v o c io , e ntonces
o p e r o c io n e s
i ndi codos
T o d o lo que se hoce es o p e ro r con los imo'genes de - 1 , 1 / 4 y 6 .
A si tendremos
o)
6r < f+ g
) = {
( - 1 , - 2 - 3 ) , ( 1, 2 + 3 ) , ( 4 , 6 + 1 2 ) , ( 6 , 8 + 1 8 ) }
= { ( - 1 , - 5 ) , (. 1, 5)
b)
6r ( f - g
, (4,18), (6,26 ) }
) = { (-1 , - 2 + 3 ) , { 1, 2 - 3 ) , { 4 , 6 - E ) , ( 6 , 8 - 18 ) }
= {
(-1,1),
(1,-D
,(4,-6), (6,-10)
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}
¡Moisés Lázaro C.
-< g >
c)
Gr ( f g
) = í - 1 , (-2) í-3 ) ), (V, ( 2 )(3)) , { 4 , Í6KI2) ), í 6, (8){I8))
=
(~1 ,6) , (1,6) , (4,72 } , (6,144)
=
■('■{■)
l i C l Y * f ~* 9 ) -
f-J J t l t 2 t 2 ! \ A
■
\
quedo
f }
15(12 ) - 2 (6 ) / ’ \
e je rcic i o .
$umd de j-unciones
la s
s i g u ie n t e s
7—x }
(
*
,
de variable cóntinuct
-f u n c to n e s *.
x<2
í
y ZéxcS
- 3
H a lla r :
2(2 ) - 3 ( 3 >\ / . Z [61-3(12 ) \ / 2( 81-3 (IB ) >
’ 5( - 3) -2t -2 ) /' \ ’ 9( 3 H? '( 2 ) / ' \
como
EJEMPLO 2
Dadas
■ l 4' 81' ( 6> f )
g (x )iÍ3 X -2
X>;5 *
a)
í+ %
A
s e g u ir
9
x<3
j
3 ¿x < C »
1“ 2
^ to * -§
, c)
^
^
X>,fc
d) 1
Solución
M E TO D O
;
1° * Representar g rá fica m en te ■ ' e n una recta horizontal } cada
función con sus domintos y su s im ágenes ? respectivamen­
2°
3o
te .
Buscar
a p re cia r
St
la i n i & r s e c c io n
de los dom inios que s e pueden
en el dtgfarna. hech o e n el primer p a so .
existen
f u n c ió n € s
;
p li c a r o
o p e r a c ió n
las
in fte rs e c c io n e s e n tre ios dom inios
e n to n c e s
O PERA M O S
o.
de la s
s u m a r ( re s ta r } m ulti­
d iv id ir )
la s i m á g e n e s
d e la s fu n cto n e s . E s t a
l a re a liz a m o s h a s ta te rm in a r con t o d a s la s irrter
s e c c io n e s ,
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Funciones Reales de Variable Real
veamos :
, ¿■■■>■7 y
■„
-f OO
*SS ' s S SsSy
'
4-co
X -1
Las interseco tones de los dom inios d e ^ y g
s o n '.O -o b ^L -O t^L^^S ]
y Cé^a>c.
En
estos in te rv a lo s
se
o peran
con la s
im á g e n e s de f v ^ t e ­
niéndose :
[ í t - x y 4-(x-1>
X 4- I X -i )
* +C3X -2)
<í+S>00 = f
-3
+
- 3
4- ( - 2 )
(3x-2)
0 -x } “ (x -i)
X - (x -l)
X
- (3 X -2 )
( í - § ) t x ) =<
-3
-
- 3 -
(3 X -2 )
( - 2)
O
, x € ]-o o ,2 [
* « ] - < » ,2C
2X-1 , x í t s A C '
> x«C2,3[
» xfe [3 ,5 t
’ x t C s .tC
> *£ r6 ,+ oot
_S
, X€ [6 , +<»[
, Xír]-0O, 2 [
,
x« I " 00 ,2 [
,X £
1
«
[2 ,3
’
x«
13, 5 1
[2,3
[
> XÉ [ 3 , 5
[
($-§K*)=
» x«
, xe
> x é [ 5) 6 C
’ x 6 [ &^+00C
-( X- I )2
X € ] - O o , 2*[
X e [2 , 3 [
(f% )(X ):
(ÍS )W =
[2 ,3
[
3x -2 x
( x€
^
^
6
_X _
3x-2
-3
3X-2
-3
w
-2
x« [ 2 , 3 [
,
X€[3,5 C
/
xt [ 5 , 6 [
-i
X
>
■
x-l
( f ) M= 1
X
X€
> x€
[2,3 [
, X€
[3, 5 [
3x-2
, X€ [ G , + 0 0 [
l
ri
(l) w = <<
^
>*€ [Gj+oo);
st
(— 1
X
1---l 1
.8
f\3
1--- 1
l^ + O O t
X
X-1
, xe]-<»,2[
,* í
- 9x2 +& , x6 j-5)& j-
X6 [ 5 , c [
1-X
x-í
C5,G [
[ 6 , +oo [
x2- x
2
**[3,5[
[
-3
3X-2
V
**
[S,G[
3
2
,
Ké
[<=>,+oo[
Sólo fines educativos - FreeLibros
—
Moisés Lázaro C,
^50)-
S 4-
C O M P O S IC IO N
Si
sedan
OE
P U N C IO N E S
dos fu n c io n e s
reaies d e v a ria b le re a l } cada uno con su
re s p e c tiva re gla d e cor re s p o n d e n cccx y d o m in io :
f :
Dom Cf ) — ► Wl
7 y ■= jcx v
% : Dom (§)■ — ► R
0 y =§<>g
Junció n
e x is te
La
€c
s í D o m (f ) flR a n (g )
£
<f>
t— u La composición de f yg 5>
Or cc f com puesta con g 4i
Donde I
ó*) E J
b)
.d o m in io d e
D o m (g o J ) = [ x /
La
regla d e
*
X€ D o m ( f }
A
c o rre s p o n d e n c ia
f(x ) € D o m (§ )^
de
go-J ^ e s !
(g o f U x ) = % (jc x ))
EJEM PLO 1. Sean las fu n c io n e s : f(x) -
2 -3 x
gu) = 5 - x - z x 2
HdilQr
i)
SOLucio'n
a)
goj
de
?
ti)
Jo g
.
9
xe E -t>5C
5
x ^ H ; i oL
s i e xiste n .
i)
6n p rim e r lu g a r
D om ( § o f )
}
h a lle m o s e l d o m in io
;r j x / x e D om (*)
x € C-1 ,S C
de § o J
A
J(x) € D o m (§ )
A
,tt**3XK 3 1,10 c
;
1< 2 - 3 X < 10
■' -1 < -3 x < 8
1 > 3 x > -8
xe t ',% 1
a
j_
.
4 —
^
i
y
x
>_ £
------------------------------ =
=
-1 °v 3
=
b) En
segundo lu g a r .
C -i/ / 3 [
hallemos la- fegia d e
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¿ -----------------
5'
*
Funciones Reales de Variable* Real
CONCLUSION *.
S o l u c ió n
a)
-<151)—
?
(§ o f )(X ) = -18X? +27* - 5
*'e C" ^ V3 I
d e ii)
Dominio de $03 :
Dom (fo g ) = \ */ x€ Dom (3 ) a gtx> c Dom( 4)
■XGlijlo.i-
*
- i é- 5 - X . - 2 X
.
}
1
( 5 - X - 2 X 2) €
1
L
< 5
A [-1¿5-X _ixz
\
[
2X2 + X
¿ 5+1
x’ + i x l - .4 3
> * + H É
í3 + ií
-2 < * » 5
-2
x ¿ ]i,
4=
10C
D om ( f o g )
b)
-
X ¿ 1 -0 0 J-Vz [ u 1 o , + 0 0 L
O
3/z
\ ( * e É v f e 'lú ló / s / j})
= i-C
2
/v
£
1/2 0
1
a.
3'?
1
10
= x e ] i , 3 / 2]
Regla d e
(}° § )w
c o rre s p o n d é ñ c c o c d e
:
=
'=
-
2 - 3 ( S - x -2X*)
2 - le ¥3X HhGX2
z: GX2 + 3X -13 .
CONCLUSION *.
Xf °§)CX) =* GX2+ 3X- V3
/
X€ ] 1 , 3/¿] ..
EJEMPLO 2
Dadas tas funciones :
ílx) ssi/x+4
* ? x€ |*-3>5-[
.
x íB r l l - ^
{
H a lla r
-s i e x i s t e , f o g .
1
^ 1
sl
x = -4
v sí x £ > 4 , o [
5 sí *e[?,3 [
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Moisés Lázaro C.
* sbtocCón.
Lo primero que se d ebe Hq c e r ; es e x p re s a r. %(x) e n su fo rm a .m a s
S im p lific a d a . .
;—
r
. r__.
N ecesitam os $¿m
p?ificar
: [“ 2 I
en el intevalo ] - 4 , o [
•
Veamos:
0)
^
«-n 'ei in te rva lo 0 , 3 [ ;
'
StmpUficar
*
£-|.|
,
en el intervalo 3-4^0 L
Se Sabe que Drrl es un ENTERO*6*4 que se def ine así: f-f-J=K
El
0 —
;
problema* es bailar
K= ?
<*41
2K¿~X<2ÍK41)
-2*55, *>-2(k«i)
// \'
• Una
Se
form a
d e hallar
el
parte d e l in te rva lo J - 4 , o [
Asi
*.
\
por - -b
2
como
sigue :
porque ( H f ! esta d e fin id o e n l - 4 p [
a Partir de este intervalo
" construir * La <zxpresión
•
7* 'v 2iL
.
„ v *
\ _
Observamos que
-A .
e s ta a c ó k
ta d o en el intervalo J O ,2 [
L _ .— - — — Le a p l i c a m o s j j >que es la funcidh
A
9
mayor entero.
0 —
...—
< m
v
-.J
..............
V
0
< - f
S i 1x -
< 2
< 2
2 < - x < 4
>
x
> - 2. |
=
{
’
’
i
°
*
| -2 >
SÍ
1 - e
^
l l - f l = 1
< I
0 < - x
(o
-o
v
I - t ) = o
5t
(2)
^ es
-A < x < 0
.fl
NOTA :
K
e n t s p o
SI
- 4
x
> -4 1
< x < -2
- 2 C X < 0
S i retornam os a © obtendremos el m is m o resultado p a ra
Kc1* ^ t : 0
con X ^ 2 ,X ^ 0
Sim plificar
| — Z2<°1
e n el intervalo l Z j 3 í
. Conviene dividir :
7x -26
-7x +28 «7
Luego I
, *2L< X <3
5
6
,
X -.2 .
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•
Funciones Reales de Variable Real
< § > —
Donde e l entero f J
} P°r defintcton es ;
= «
K i
<=$
E L p ro b íem Q
es
2
*-*
< K+1
■K¿ —
+ 4 > . x > A +K
2+i
hcxllar
Partir del íntervolo
[2 #3 [
y -formar la expresión
2 ¿i x < 3
Asi
2.-4
Sumar - 4
invertir
< x -4 < 3 - 4
-2
£
1
por 2.
X -4
< -1
1
V
>
-
2
t -a p li c a r ! J
-2
Ov
Gradear
-1
— O*
^
T
Si
Sí
Luego
x -
- 2 < - 1 . <-1
3
2
> X >2
• t e l = f t “"2
’ 51 *"x<3
1 ^ Si
X=2
V
4
O) E n consecuencia?la junción
queda strnpii-Jicado o- lo. forma. I
-1
.'-2
G
-4x
-1
Si
-4 < x £ -2
>
Si
-2
j»
si
X r 2
>
SÍ
2< X < 3
7
-4
>
-
>
7
~¿i
Y*—... ¿L
>
>
2
x -4 x
-2
%
H *
< x
<0
1
6
x2(i)-4 x
x2(o)-4x
x*í - t
X
II
%lx> =
2
— = -1
x~4
< x ¿ -2
2 < x <■ O
v ^2
2 < x <- 3
Sólo fines educativos - FreeLibros
I t =t 1
Moisés Lázaro C.
(4)
Ahora
y a podemos h o lla r
6
,
x*-4x ■
§<*)=< - 4 x
,
x =-4
- 4 < x ¿ -2
-\
X ’=. 2
2 CX<3
i-* •
5<x) n/x+4*
^
x€
^ te n ie n d o :
1
2
__ 3^
-2 < x < 0
>
,,
í° §
4 r
[-3^[
ei dom in io d e s d e 1 h asta 5 .
Para ello y e m p e c e m o s a d e f i n i r
Veamos :
1.
a)
x e p o rn (% )
O om (fog)
xe
{-4}
A
got) e D a m U )
A
6 € [-3,5 [
- v ........
pALSO
-v—
*
Entonces
2.
a)
! ^
í° § •
Dom
x cD o m t^V
*4<X6.2
A
gcxre D om (í)
A
( x J- 4 x ) € [ - 3 , 5 [
- 3 . < %7- 4 x < 5
resolver esta
'
-3+4 ¿ xz-4x+4<5+*
Inecuación .
1 * (X -2 )Z < 9
1¿ tx-2>2
a
<9
v x-2*-i) A -3 <■ x-¿<3
(x ^ 3
V X6 1)
-1
~ 4
Entonces
3.
<. X S - 2
A
»
3
3 - ',» lu L 3 > C
f°S
x G Dom ( g>
a») Dom (f o g )
- 2 < x < O
A
§<*)€ D om ( ^ )
A
- 4 x 6 &3.,3C
-3
6 -4 .x < 5
-= > x > - 4
4
B o m (fo g }
-
“2
-V4
] - 5/4 0C
-1 < x<5
0 Va
x g
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'■
A
5
Funciones Reales de Variable Real
b)
4.
(J o g H x ) = H s o o ) = V -4 X + 4
q
p o m(
'.= Z Í - x + l
Do m( < 3 ' )
'**{*}
a>
%<x> e
A
-le
D om (f )
[-3 ) 5 [
es verdadero
D o m íí.,,,1 2 )
U ! < ![-« (
Lq regla de corre sp o n d e n cia e s ’.
t>)
=(2(
(f° g )te ) =
= f(-i)
= '/ ?
5.
a.) pom (f o g V
í
x e D o m (§ \
a
2.<
x <3
A
g(x)fe D o m (í)
-2 s
x< 3
A
C-3/51
es Verdadero,
*-3
Dom
b)
(fo % )
-
2
3
5
X€ ]2 ,3 [
(5 ° 3 ) I x) = 4 (% U l)
= í(-2 )
= V^T2T
^yfz
2 \ T x+J
CONCLUSION
1
(f
O
Cx) = j
•l
EJEMPLO 3‘
*
? X€ ] - V ^ ó [ <
'fS
7
'f?
, x e ]2 ,s c
Sean las Junciones :
X= 2
fcx) = H i i ü i i í l l . -i< x<4
'
I X-Hi
*
3 L a ( * -£ ) ,« 2
%M= i
Hallar
gef
SOLUCION.
En p r im e r l u g a r , Se d ^ e
±d
^
e xp re sa r
**
A
'
la fun ció n fu v
Vemos :
=
lx + 11
como :
-4<x¿4
=$
o <•x + 1< 3
= - 2 (2x - n
Luego
= -a * + ¿ >
1*4-11 = x+i
sumar 1
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x <4
a fo rm a
sencC lia . E s t o se logra d e f in ie n d o el vator a b s o lu to
y
fo c to rie a n d o e l trin o m io
1- X - 2 X2 ,
íoc, =
*
^
m ás
jx+il pom -i<.x¿4
Moisés Lázaro C.
Ahora. tenemos
f<x) =-4x4*2 ,-1< x 4A
i< L '
A continuación
y term inando
(n
desunamos
«t dominio
dé
§<>f } empezando por U)
por ( 2 ) .
a )D p m (^ J ):x c D O * n < 4 V
-U X i4
$<*> €
a
Oom(s)
A (*4X41)^
i*)a) Dom(fH) *x€Dom(4) a $<xk Dom(%)
- ux <4
A (-4 x 4 2 )€ £ 2,4 C
• Z ¿ - 4 x +2»*4
-4X4-2 < 2
x >o
• O i - 4 X < 2
-i < ,x c 4
a
o V
x
> ~ j
O
O B tfK go f)* X t J o ^ C
*fc
Dom(? .íV = x€]-VZ;o£
*5 {%®í)(*) = § ( f w )
*4
= 3 U (* -= $ & )
.
= 3 in x
3Lnx
c o n c l u s ió n ;
EJEM PLO 4
»
* 6 ] o,l L
,
X € .]-'^ 0 [
_
1 #
"
4
A
^
(§ o í)t x ) =
Sea L a funcuciñ
f(x i = a x - t - b
a) Si hU) =J(x) + f W = | x + | b) Si ge») = lx*sV-lx+il •'
f x € t -3 ,3 ]
gtx) -
D« t<x> = a x+b , sí too=y =4 Y=*x+i>
y ai «xiste . ■
r-2
,
12X4*4
>
2
x _ JLV _ u
-
* ■****■
(a + ¿ )x + (b -|) = | x + f
a+¿
J--r 5. =
~S
z =
=?* “a=2
■='
)
-S L ,
> **-*
(3)^
,
Ahora, hademos
(1) i) Dom(*og) = d
(2) i) Dorn ($■*§) = K€ [~ V 11
tí)
- l = !
<*L
x<-3
-3 ¿ X < -1
f(* )= 2 X 4 3
b
hex) s OX4-b+¿X-~
Q. =| X4*1
^ a > l/2
, halla* a y b
hallar j-°g
SO U JC IO N ;
*)
4
(í*S>O0= f(§ O O y = 2 (2 X 44 )4 3
= 4 x4 11
*
(3) i) Domüog) s x c [1,33
§ IX) -
|X43 l - | x 4 i |
{ -< X +3 }-(-x -t) ^ x<-3
X+3-C -xH )
t i)
Ct * 8 )0 0 = í (%<*>) s W > 3
C O N C L U S I O N : >.f
X43-(.*40 r x H
Sólo fines educativos - FreeLibros
.
(4 X + I1 . ,
(í° 5 W = t 7
=7
X.€ .tr3,-tC
X€ti¿3l
Funciones Reales.de Variable Real
9.
INYECTfVA
FUNCION
—
t SUNYECTIVA
Y
—
<§
81 Y E C T I V A .
0.1 FUNC ION INYECTIVA
DEFINICION 1.
Seo lo funcion
f
,f es I N V E C T I V A
A
<=>
8 , A S iR
[
f ( x , ) - f ( X2)
, 8 — JR ? A = D o m (f )
=>
x " x 2 , "V x1 , x2 6
a
]
E s t o d e f i n i c i ó n nos indico q u e ; o codo yo lo r “ y " del r o n g o le corres­
ponde
un so lo
valor
"x' d e l
d o m in i o .
DEFINICION 2 .
f e«
IN Y E C TIV A
DEFINICION
O odo
lo
D ir emos
M
<=>
[ x , ¿ %z => f ( x , ) # f ( x., >,'V- x,, x 2 6 A J
3
f uncida
f (x ) = .
f i (x )
» x € Dom ( f 1 )
f2 ( x )
, x € Do m ( f 2 )
f 3 (x )
, x 6 Dom ( f3 )
que ? es I N V E C T I V A - s i , y- solo st cumple dos co ndic iones;
t )
Coda función f ¿ ( x )
ti)
Rong f t 7 )
n Rong C f ^ )
f= 0
Rang ( f 1 )
n Rong ( f 3 )
= 0
Rong ( f 2 )
n Rong{ f 3 )
=0
FUN CIO N
es inyectivo .
SU N YECTIV A
D E F I N I C I O N 1.
Seo lo función
f * A —►8 , A ~ ÍR , 8 -
f es S UR Y E C T I VA <p> V
IR
y€ 8 , 3 x CA / y= f(x)
DEFINICION 2.
f es S U R Y E C T I V A
•
<->
f (A } =
8
i , ,r-ango de f es igu a l di
co nju nto de llegado.
Sólo fines educativos - FreeLibros
JVtoisés-Lázaro'C..
9.3 F U N C I O N
función f
Seo lo
f es
BlYECTtVA
EJEMPLO
Dado
BIYECTIVA
1.
<=>
Digo Ud.
,
AS
, B ^ IF
jr
f es inyectivo
y suryectivo.
Fo ro f unc io oes di s c re tos f *n it o s .
conjunte
el
A -* 8
A * j — 1, O, 1 , 2 , 3 j
ctidles de io
y
8 = fF .
funciones de A en IF; cuyos gráficos se don,
son ¡nyectivos. Justif i que
o
) ©r { 1 } »
/
1
( - i , 2 * , (O, 2
I
1, 2 ) , ( 2,5 ) , Í 3,5 )
f
f
t
»)ér(f).«
[ ( - 1 , 2 ) , ( O , '3) ,1.1,4), (2,5), ( 3 , * ) } .
c)6 r
I
(h )*
i
1
t
( - t *OÍ , { 0 , 2 ) , ( 1 , 4 ) , ( 2 , 2 ) , ( 3/S ) }
1
f
f
é ) 6 r ( j ) * | ( -1 , 1 ) , ( 0 , 3 ) , ( 1 , 5 ) , ¡ 2 , 7 ) , ( 3 , 9 )
1
J
S O LUC IO N
Foro
est e
tip o de f un cio n e s ,
o codo ,volor,ly M
bastará aplicar la def inición .1 que dice;.
de i rango corresponde un único “ x"deldominio.
Bichó de otra manera : Ninguna dé los segundos componentes debe
repetirse.
Aplicando este criterio , tenemos !
o)
f no es inyectivo porque í
2 se repite tres veces. Es decir 2tiene tres •preimogenes>]>O y 1.
5 se repite
p)
f es
dos veces.
Es decir 5
INVECTIVA , porque todo
tiene dos preimogenes ; 2 y 3.
los segundos .componentes
diferentes .
Sólo fines educativos - FreeLibros
son
Funciones Reales de Variable Real
c) ’ h
N®
es tnyectiv o , p o r q u e en ios p orejos f 0 , 2 ) y ( 2 , 2 } , lo
segundo
d)
se re p ite
dos
veces.
¡ es I N Y E C T I V A , porque ninguno de los se g u ndos co mponentes de
lo s
CJ
com ponente
purés
IM P L O
(x,y ) I
2
-
®r ( ) )
Poro
Oo#e j o funcio'n
se
f u n c io n e s
re p ite n .
de vo rio b le
f (x ) * 4 ( x -1 }* - 5
¿ E s f in y e e t iv o ?
t
C O N TIN U A .
x € [ - 3 , 5 j
.P ruebe
SoluctQn
Por
f
d e f in ic ió n :
es I N Y E C T I V A
Debo
<■> [ f ( . * ) * f . ( b ) *>
demos t ro r
donde
que
- 3* o * 5
,
o=b
-3
o = b , V- Oj b 6 [ - 3 , 5 ]
o p o r t i r de lo
b
igu o ld o d
J
f ( o ) = f (b )
.
Veomos
Sed
«>
2
4 ( o -l ) - I ®
*>
( o - 1)
«
o -1
' * i
«>
*
o -i
En este
coso
- 3 *
Sumor
Como
Esto
2
vemos
niego
- 5 y
4.
, ixtretr
re ¡z
cuod rodo.
( b -T )
b - 1
v
ss b
o - > = -
v
dos
volores que son b y 4
$ H
- b; * - 5
*>
S *
- b +
b € [ - 3 , S ]
in y e e t i v o
de
( b - i )
o » - b + 2
»>
lo d e fin ic ió n
L u e g o f no es
b *■ 5
2
Mo H a d m i t e
b ^ 5
- 3*
5 , sim p íif ic o r
(b - 1}
*
o
5 ,
i
4 ( b-1)
i
si
. - 3 £ .0
f { o ) * f ( b ) , donde
y
2 > -
3
( - b +2 ) € [ ~ 3 #S J
i nyeet i vo.
sobre [ - 3 , 5 ]
Sólo fines educativos - FreeLibros
t i,
porque
160)
- _______- ______
EJEM PLO
Seo
Moisés Lázaro C.
3.
f<x)s
4(x~Tf~5
# x € [ 1,5 ]
d £$ f ( x ) t n y e c U m ?
Pruebe .
PRUE 8 A
S úpeme r q u e
»>
{#)
f {o )*
f { b )
,
1& o -
4(o-1 ) * - 5
= 4 { b-1 )*-5
••••• { o - 1 )*
= ( b - 1 )* , como
5
,
1-
b - 5
o - 5 =>
0 - o -l
1 á b é 5 =>
*> .
ss b - 1
o - l
»>
. o
NO TA.
l o
£#)
*
b
,
•
se puede
porque
Luego
o p iic o
o -?
Ó - b -1 ^ 4
y b -7
son positivos
f es I N YE C T I V A
lo pro p ie da d
Io
- 4
so bre { 1,5] *
T 1
1= y o
A tt ;
De
(o - l / *
( b - l )*■
=>
| o -1 [ » I b -1 j
Pe ro
1 -o ~ 5
, 7 -
e
»>.
V
O * o -7 *
#
V
- o —T ■'* b “ 1
■
O =3 b J
b -
u
4
%V
O * b -1 * 4
H
V
¡ O - l ] = 0 - 7 ¡ b - l l =5 5 -7
L o c u o l p ru e b o
E J EMPLO
quef ( x )
Lo f u ncial
en
todo
lin e a l
Lo
sobre
fu n ció n
f (x)=
su
[ 1,5
dominio , los siguientes
ofin
f {x ) = oxt b , o
2)
i nyecfi va
]•
4.
Son IN Y E C T I V A S
1)
es
O
,
x §
ft.
Logaritm o
t ef g- x
,
x > O .
Sólo fines educativos - FreeLibros
funciones*
5
Funciones Reales do Variable Real
3}
Lo f u n c ió n
f (X ) * o *
4 ) Lo
exponencioi
, x € JR .
función
hiperbólico.
x--« R r | • J
5)
Los
funciones
hiperbólicos
f
x c m
f <x) « —
---------
,x€
Lo* fonctonos que NO
son
m
EJEMPLO 3.
v e rt ir en in y e e f i v o s
II
coso
típico
I N Y E C T I V A S , en su
restringiendo
dominio, se pueden con~
su dominio.
se presento en lo porübofalo e l i ps e,
lo hipeVbolo y lo
circunferencio.
E je m p lo s:
o)
L o función
f ( x ) » o ( x - h }* + k ,
n o es in yectiv o en su dom in io.
Pero .* g.*
+
$ , tol que
Tbmbien ^ : ^ e o , h ] - * £t , fot que.
x 6
IR =
Dom ( f )
*
g (x ) - o ( x ~ h f + k
es inyectivo.
) ~ o (x - h )* *f k
Sólo fines educativos - FreeLibros
es
in y e c fiv e .
b)
LQ fmción f (x ) s v/o* ~ x2 * , x 6 [ - 0 , 0 J
Pero
y
g
por g ( x ) =
x¿\ es inyecfivo.
h ’ [ - & , O ] -♦ IR ^ d e f ini do por h { x } ~ s/a*~ j ?
Igualmente
Pero
[ O ,a ] —* íR , definido
NO es inyecfivo .
ft ( x ) » -
g^ : [ 0 , d j ~ *
f x £ [-0 1 ,6 1 }
, definido por g^í x ) = -
, definido p o r
H O es
o*- x*1
, fombiénes inyeetivo.
inyeotivo
y
( x) ~~ y/o2 - **' son
Sólo fines educativos - FreeLibros
in y ac t i v os .
Funciones Reales de Variable Real
EJEM PLOS
En los
el
sobre
siguientes
funciones
ejemplos bo stora
de lo función
rango
O odo tos siguientes
cuáles
1.
poro
comparo r el c o n j u n t o de líe godo con
o f i r m o r si lo función
fu ncio nes , di ga
Ud.
c u á le s
son
es su ry e c tiv o ó no.
s u ry e c t i v o s
y
NO.
Seo lo función
2. Sea
SU R Y€CTIYA S -
f
3. Seo lo función
lo función
5. Seo
lo
IR ,
d e f in id o p o r
g : ( - 00 , O ) u
lo función
4. Seo
IR
h *
( 0 , o o ) — * IR
IR
j ‘ [— 2 ,3 ^ — ♦
f (x ) = ox* b , o #
12,t3 j definido por j ( x ) » - 5x + 3
por f ( x ) = 2
f .* f - 3t 0 J u ^ 0 ,4 j — * [ ~ 5 , ~ 2 ]
x -2
definido p o r
d e f in id o por g ( x ) = - ^ -
definido por h (x ) ~ - 5x 4* 3
función f.*fá — * ( - 0 0 , 0 ] , de fin ido
6. Seo lo función
,
O .
- 3 -
I x~2 J
u (2 ,3 ]
x * 0
f (x 5 =
2 + - Í - U - 2 )*,
0 < x 6 4
SO LU C IO N
1.
M ETODO 1
A p lic a n d o lo definí cio'n
si f { IR ) =* IR => f es Survcctiva.
v— —y
V
H o l l a r el rango de f ( x ) »
Veamos r
Seo.
,a y* O
a p a r t i r dfei d o m i n i o
xcfR>:Dc>mC$>
X€ /£
a
( a x ) € lR
aá
o x •+b
Rc«god<*5
a
a € IR ^
(axOe IR
b e IR.
(a x
+- b ) € ÍR
v
P o r tonto
.* R o ng { f )-=
Co mo
Rong ( f )
coincide
f es
Suryectivo.
~
con el co nju nto
de ílegodo , 0f írmom os que
^
M E T O D O 2 . Aplicando lo definición’
f es inyectivo
<=*> t
x 6 IR . , i . y 6 Í
/ y= f {x)
Sólo fines educativos - FreeLibros
Moisés Lázaro C.
D ebem os probar dos cosas
existencia, de Y , ti)ademas que y=f(x)
ÍÜOTA * Si pru e bo q . u e / Y ' e s un numero reai a
pro bando
i)
let
C o m o o cy a . y b
'»
¿*¿ En la ecuació n
Despejor x :
A p l i cor f
Cama
p a rtir
de
xeíR
e sto /
e xiste n cia
r e a l e s , e n t o n c e s (aac/¿) = y
so n
•
f(x)*s ox + b
y
=
x
= -5 - y -
, hacer
f(.x)*
t a m b i é n e s te a l.
y
(ix f b
, co m o
x6 «
=> ( t
Y~J~)
e **
f ( x) = f { -y y - - J - )
f(x>»
ox +
b
, entonces
*•>
ss
f(x)
y — o ------b h •b"
a. —
o
«
y
*
y
o
-
b + b
A s r , hemos probado que
y€
ff*, t a l que
x ■»
y = f(x)
2.
H a IIe mos
Ha c e r
e i r ong o
g íx ) = y
" y es Jo imagen de x
de
x =s —
y
g (x) —
*1
•
:
:
.
x * T
&
jl
y
< 0 , 00 ) =
< ~ a o ,0 > U
<
0
v
—
>
o
y
u ^
y
»
V
y € < - c o tO >
1
O
y
Es decir
h e mo s
S U R y e c T IY A .
Despejar x
Analizar
j € fR
*
t - s e lee
Por t a n t o * f es
T
o, +
a> y
=
> 0
Rango ( g )
Sólo fines educativos - FreeLibros
D om ( f )
h o lla d o
Funciones Reales de Variable Real
Al comporor el rong (g ) con el conjunto de llegado, que es
que
Rong { g ) #
£7 .
to n to , a f i r m a m o s que g no es s u r y e c t i v o .
Po r
3.
tenemos
h
no es
suryecti vo.
Porqué
j
h ([-2 ,3 » =
h tx) /x 6 [ - 2 , 3 )
-2
Por
-5
:
-
10 i
Sumor 3 :
<3
x
-5x
> -15
13 — - 5 x + 3 > - 12
f (X)
Í ( X ) e < -1 2 ,1 3 ]
Luego, el
rango de h es'.
h (í-2 .5))=
< -1 2 ,1 3 ]
#
IR
c o n ju n to de
4.
j es
Ve r
5.
f
el
6.
f
s u r y e c t í v a , porque' j ( [ - 2 , 3 X ) =
problema
es
< - t 2 , 13 ]
3.
s u r y e c t i v o , porque Rong { f } = < ~ aa, O ] , I© c uoJ c o incide c o n
conju nto
es
llego do .
de
llego do.
suryectivo,
f ( [-3 ,0 ]
porque
U
< 0 ,4 ])
= [ - 5 , - 2 ]
Sólo fines educativos - FreeLibros
U
<2,3]
Moisés Lázaro C.
C J fM -F L O S
Di go
S 'O 'M C
FUN CIO N ES
codies de tei sigwientes
1. Seo
f
f* — * f 2 }
funciones son
, de fin ido
2. Se© g ' [ - 2 , 4 ^
& IYECTIV A $.
^0, 3 ]
por
bi y e c f i v os .
f { x) ~ 2 .
definid© por g ( x ) 535—
x 4- 2.
- x. , - *f e x < o
1. Se© h : [ - 2 , 2 ]
-♦ £0.f4 í]
d e fin id a p o r
h (x ) *
x 2, o fe x 4r z
x , - * -A X < ©
4.
Seo f . [ - 2 , 2 ] - * [ - 2 , 4 ]
definido por f <x ) «
312
5. Se©
g .*| 0 , 1 , 2 , 3 }
6 . Seo
hv [ ~ 2 , 2 ] - ♦ [ 0 , 2 j , defin ido
7. Seo
f .*[ 0 , 2 ]-*♦ [ 0 , 2 ] , d e f in id o
i.
l-tjtjS jS j*
Seo g.*[ 0 , 3 ^ [ 0 ,
definido p o r
g(x)«
O é % & 2
3 x -1 .
por h ( x ) - v^4 - x * *
por
3 ^ , defin ido
f ( x ) 38 ^ 4 — x1 *
por f <xj ^ I x j t
\/x - f x J 1
x - 2 , - 4 fe x < ~ 2
%
f. Seo h : [ - 4 , 4 ] -* [ - § , 2], definido
pmr h <x )
«
- x* , - 2 * x < O
\ / T , 0 fe x fe 4
10. Seo
f I H-eW
, de finido
Tf. Seo
g : <*- 00 , o ) o
po r f ( x ) »
< o , co >
Ln ( x +
< -o o , o )
)
u <o,oo>, d e f in id o por
g (x j a L n
12. Seo h.‘ < - 1 , i )
-* J f * , definido por h ( x ) » ^* Ln
13. Seo f .*^ - 00 , - 1 )
^ -o © ,0 )
u (0,o©\
Sólo fines educativos - FreeLibros
^
d e fin id o
__________
Funciones Reales de Variable Real
por
1
/ x -m \
f |x ) * y
L e í —
) •
14.
Seo g . [ 1 , 0 © ) — » [ 0 , 0 3 )
y . — ", «i
, definid© p or g e * ) 28 L n ¡ x + / x 2- 1 }
S O L U C IO N
1. f
« o e s i n y e d i v o , f es
N O T A .* L os
s u ry e c tiv o -t f no e$ b i y e c t i v o .
funciones
no son ¡n y e c tiv o s .
2. g
es
in y e ctiv o
3. h
no
es in y e c t iv o , ñ e r o es s o r y e c t i v o ;
4.
f es
3.
g es i n y e c t i v o
6.
b
io.y e cf»v©
y
s u r y e c t i v o , g es b i y e c t i v o .
su rye ctivo
,
f
y s u r y e c t i v o , g es
es
f no es b i y e c t i v o .
biyectivo.
bi yect i vo.
no es i n y e c t i v o , pero es su r y e c t i v o ¡ h
7.
f es
8.
g es in y e ctiv o
inyectivo
L o s funciones
J u s ti f i que
de
y
constantes
in y e c tiv o
y
su rye ctivo ?; f
y suryectivo
del 10
; g es
hósto el 15
no es
biyectivo.
es b i y e c t i v o .
bi yect i vo.
son b i y e c t i v o s .
codo uno de es to/s respuestú s o pli cando la def in ic i on
y suryectivo.
Sólo fines educativos - FreeLibros
Moisés Lázaro C.
10.
FU N C IO N
_ _
¡N V tftS A
DEFINICION
$ ton
A y 8
dos
Si lo
función
s u b c o n ju n to s
f
A—
►8
de J R
es biyecti vo ,enrtonces t iene
Lo inverso f es f ' 1.' 8 — * A
.definido por lo
'ysfUI W
Lo notocio’n
10.1
f - 1( y )
inversa .
condición.
x = f“ ’ ( y )
indico lo inverso de f.
PROPOSICION
Siel GRAFICO
de lo función f es Gr( f )= j fac ,f ( x) ) /x G Dom(f ) j
y f es BIYECTIVA , entonces
Gr ( f'’)= j { f( x) , x ) /xeOom( f ) j
Ejemplos por simple inspección
©
Sea
■
G ríf)
entonces
0
Sea
= [ t i , 2 ) , U , 4 l , ( 3 ^ 1 4 , 8 ) } el GRAFICO d « í
Gr (f*V =. \ ( V ) , ( 4 , 2 ) , (G,3),C8,4)} «S el Gráfico de f*'
j : IR-► Co}+oo>
definido por fW-
entonces } '* : Co,t®> -» p.
© S e a .
§ :
ir
definido
( 5 , fco>
«n to n c e s g " 1 :< S + o o > — * (R
por
f -,(y )= V 2 « »
d e fin id o p o r
la¡nvefsa d e f
g (x > = 5 + 2 X
d e f in id o p o r
JL + JL log ( Y - 5 )
3
3
2
es fa inversa d e g .
®
Sea
h I í - oo- i y—
entonces lí1:
-2> definido por h(x>- - 2 - ^ ; Í*H)2
<-oo,-t> definido por h~1(v) - -1 - 2 /-y -T
es la inversa de h
X -X
®
Sea
tffcnces
f
• R — - < -V >
fin id o
por f w s —
—* ffl
definido
por f ’Vy) - 1
inversa de
f
.
Sólo fines educativos - FreeLibros
e ...
^-Xlí J
ia
.
Funciones Reales de Variable Real
E J E M P L O I - Pora
Seo 10 funciono
Como
g es
Lo inverso
funciones
discretos
finitos .
g í j G, 1 ,2 , 3 } £ - 1 , 2 , 5 , 8 }
definido por g ( x ) = 3 x — 1
biyec ti va ( Probar lo ) , tiene inverso:
de g es
g**1 : | - 1 , 2 , 5 , 8 }
—* | 0 ,1 ,2 ,3 }
d e f in id o p o r
g-* { y ) S . 1 y + J_
Donde
g^fy)
se obtiene haciendo
g(x>»y
.* y » 3 x ~ 1
des pe jondo " x "
y
y+1 ®3x
X ss
y 4-
-ij~
g~M y)
En este
próbleme , el gráfico
de g es :
W ( g ) s | ( 0 , - t ) , (1^2 ) , ( 2 ,5 ) , { 3 ,8 ) } ,^z— «s »n Goniunf© discreto
finito.
Lutfo
S r í g ' 1) =
EJEMPLO
1.
Seo
Como
2.
( 2 , 1 ) , ( 5 ,2 ), { 8 , 3 )
Poro funciones de vorioble
lo función
g.es biyec tiv o
Lo inverso de g es :
NOTA.
g * [ -2 , 4 ^ —* { 0 , 3 ]
( P r o b a r Jo ) ,
g- 1 : ( o , 3
Lo reglo di
, d e f in id o por g t x ) - -^
de
definido por g*”1 ( y)®5- 2y * 4 ,
g-* se obtiene
modo .’
f0 ) Hocer
g (x) » y
en
g ( x } = - j x
y * - i
2°) Despejor x :
x +2
tiene inverso .
£-2,4)
corrés^on dencio
continuo.
+ 2
% 4*2
2y * ~ x + 4
Sólo fines educativos - FreeLibros
del siguiente
170)_____________
2.
Seo
lo
f (X) = -
¿Moisés Lázaro C.
función
f i < -o o ,-2 ) - v
- i - (x + 2 f
-Z
f es b i y e c t i v o
Como
reglo de
(P r o b a r lo } , tiene
c o rre s p o n d e n c ia
{ x + 2 )* - 3
=>
y
=
-
4 y
=
-
{ x+2)2
=
-
4 y - 12
2 )2«
4
{ - y -3
,
hocer
C-x 4 2 )* - 3 ,luego
I x +2 1 = 2 / - y - 3*
f (x> = y
de spejor
, ,
= 2 n/ - y - 3 *
^
lo l
$
X < ~ 2
Calculo
. ~
En
=> | x +2 J = - ( x+2)
/
lo inversa
de h.
h~7 . IR — * IR , d e f i n i d o
por h ^ í y
!=
correspondencia
—— i — -------
-■
. : .
,n
h <xJ f* L n ( x 4 y x 2+t
y
=
h ( x ) = Ln { x 4 v ^ + T }
( p ro b a r lo ) , exi st e
d é lo reglo de
.
x 4 2 < 0
h ; IR — ►
JR , defin id o por
L o in v e rs o de h es
f poro definir el votor
l x4zl
■■
Asi.* x € < - 0 0 , - 2 / = D o m ( f )
jT—————!*|
b iy e c tiv o
, oplicor lo propíedod
.absoluto
1 íy )
es
é a i z cu a d r a d a
.
usar el dominio de
x a - 2 / - y -3 - 2
„----------— *
h
x
) ’**- ol extroer
x + 2 = - 2 y^-y-31
Como
del siguiente modo
( x + 2 ) 2 - 12
P -
3, Seo lo función
inverso.
de f ~ 7 se o b tie n e
f (x ) =
- ( x 4 2)
por
3 ^ - * < - o o , - 2 X definido por f~7{ y )= - 2 y ^ y - 3 -2.
En
{x4
defin id o
■
Lo inverso de f es f~\‘ <~eo
Lo
< -0 0 ,-3 }
)
,
Ln ( x 4 v ^ 4 ? ).**-
de h~r !
—-- —■--
hocer
h <x) = y
despejor x
Sólo fines educativos - FreeLibros
e T- e “y
— -----------
Funciones Reales de Variable Real
< 3> —
ey
= x + y/x*+1 '
Pues y = Ln u ❖=> Q1 = u
e*y- 2 xe»+x 2 = x*+1
e*y- i = 2 xe
g*y - i
=
X
2ey
2
h"1 (y)
E J E M P L O 3 ■ Poro
funciones
F U N C IO N E S
DOS
[T]
CON
que. tienen 2 o más imágenes.
X M A S E N E S . E s decir f = f, u f?
Seo lo función f : ] - c o , 2 [ — » ] - 8 , o o [
x
, x <
2- 4
definido
p or
- 2
f ( X)
-? x -4
H o llo r
, ~2* x < 2
ío inverso de f , si existe.
SO LUC IO N
PASO T
¿ Como
sa b e r q u e
R e s p u e sta .-f
(1)
Codo
f tiene inverso P
tiene inverso si', y solo si cumple dos co ndicio ne s!
fu nción
f. ( x ) ~
x2 - 4
,
y ^(x) = - 2 x -4 ,
x < --2
-2 -
x < 2
SON I N Y E C T I VAS .
(2 )
R o n g ( fr ) n
Rong ( f2 ) =
0
Sólo fines educativos - FreeLibros
Moisés Lázaro C.
Ve o m os 1
H)
o)
P robem os
si
es
inyeetivo
f , í o ) ~ f2 ( b )
Seo
->
o*-4
=
P e ro
- o * - b
Entonces
b)
—
Gomo b < - 2
o
=> l b i ~ - b
b
P r o b e m o s ,si '
f 2 { o) =
-2 o
- 4
O
Lo cuot
es in y e e tiv o o no.
f ? (b ) , - 2 &
Pongo
f (]-
■b
pruebo que
de
od.
o < 2 , - 2- b<2
= - 2 b -4
f2
es inyeetivo.
( 2 ) - A hora , hollemos los rangos de f t y
si
o <**2 ~> io
f., es i n y e e t i v o .
Seo
o)
, b <-2
i*
b
J o | « íbl
o
o <-2
b * -4
O* »
=>
,
e no.
f2> res pe c ti vamen te.,
( ] - oo , ~ 2 [ )
- 2 [ ) = { f I X » / x e J - ® I- 2 Í
x € j - 0 0 ,-2
[ ->
x <- 2
- x > 2
A y
a i cu o d rd o
=>
Su mor - 4
=>
|
x2 > 4
x 2— 4
>O
f í x)
=>
Luego
Rong ( f ) ~
y >0
y E
] 0, +
Sólo fines educativos - FreeLibros
od
[
•
Funciones Reales de Variable Real
b)
Rango de ^ * ^ ( [ - 2 , 2 0
f _ í C - 2 .2 [ ) » j f ( X ) / x e [ - 2 , 2 [ }
-2
-
x
<2
por - 2
=>
4
^ - 2x
sumor - 4
*>
O
& -2x-4
Luego .’
Rong(f2 )=
A h o r o , hollemos
de los rongos
Rong ( f 2 ) n R o n g ( fj ) sr 3 - 8 , 0 ]
y
>-8
<=> y € } - 8 , 0 ]
y 6 ]-8 ^ 0 ]
lo intersección
G om o los f u n c io n e s
> -4
ft ’ y
de f 2 y f t
n í O f oo [ «
0
#2 son i n y e c t i v o s en su r e s p e c f i vodom inio
R o n g { f , ) n R o n g { f2 ) = 0
, o f i r momos q u e
f
es
IN Y E C TIV A .
PASO 2
Ahoro
o)
hollemos
los
regios
de c o rre sp o nde ncios
de f j 1 y
f2 1
L o reglo de correspondencia de f ~ , l se h o llo ó porfir de fT(x ) = x2- 4.
Mocer
f (x ) = y
D es pe jo r x
=>
y ss
x2- 4
»>■
x* s
y+4
=>
IxI a
- x
/ y + 4 1, c om o x < - 2 -> I x l = - x .
= / y i 4*
x = - \/y 44*
f^Cy)
A s i , obtenemo
f
y ) sr,<— y/y * 4*
^
y C } 0 ,00 [
Sólo fines educativos - FreeLibros
Moisés Lázaro C.
<174}
b)
La r e g l a
de c o r r e s p o n d e n c i a
de f z , se obtiene
o
p a r t i r de
í fx )'* - 2x - 4*
y «
Hoeer f z ( x ) --y .
De pejor x
-2x-4
2x = -
y -
x
4
-2
f2 ( y )
Así
obte ne m os
C O N C L U S IO N --
;
f “l ( y ) = - ^ y - 2 , y G ] ~ 8 ,0 ]
Lo
inve rso
f ^ 1 : ] - 8 , 0D[
de f
es
— ♦ ] ~ 00 ,2 [
-iy-2
,
.*
, d e fin ido
y 6
]-8 ,0 ]
y 6
] O , 00 [
por
f ’( y )
V' y + 4' ,
[ 2] F U N C I O N E S
CON
Seo lo f un c i ó n
TRES
IMA6ENES .
E s decir
f= ^
u
u
f 5 t ‘S >*r2Vut2#2>u&/l í y — ^<r'Pft/*^>u0^4)u[4, 10) definido p o r'
Sólo fines educativos - FreeLibros
r Funciones Reales de Variable Real
{175}
f O L U C IO N
(1)
f( x- ) tiene in v e rsa , porque
H
)
Las
(ii)
funciones .* f
Ro ng ( f, )
cumple
, f2 y
n Rong (
f*
son inyectivos en su dominio
) .« 0
Rong ( f , )
n Rong ( f 3 ).
s 0
Rong ( f2 )
n Rong { f 3 )
® 0
Quedo como e j e r c i c i o , p roba rlo.
(2)
Hollemos los inversos de í 1\
y
-8 ~ x C-2
x < 2
-2 -
De £,(*) z: _ * _ v
Y
=
De f2( x j =
x + 2 )*
2 6 x < 11
De f 3( x ) = 4 + 2 V x - 2 1
,
x2- 4
YX2- 4 Y - X
.*•
r espec ti vom&nt t
y
= - ~ ( x + 2)*
4
4y
= ( x+ 2)
y
= 4 + 2\Zxr 2 1
y - 4 = 2 / x -2 ’
yx2 - x - 4 y = 0
x2- 1 x - 4
y
( x + 2 )* = 4y
-O
f x + 2 | = 2v T
x2- l x + ~ - 4 4
y
4y*
4y*
x +2
i \2 _ % y 24*i
(x-¿)
= x- 2
íVy
( y — 4 )*
x = 2 ^ 7 -2 .
¿ (v )
x _ - L = + -L
2y *” 2y
t .e s c g @ E R 4 -
2y
=í>
Como
x e ¡j-6 , "2 [
"V «'*
2 + - 4 “ “ = X •
.-v r
'
Donde: ÍX4-2| - x +2 ^porche
SÍ
=*>
X =
Como:
(y ~ 4 )2
—
fjMy)
-2 £ :X < 2
O Sí x+2 < 4
l X+21 — x + 2
X e [-2
2 [
, *
*
Kl-2),*2)
4 4»
Rong^zye[o ,4 [
Como :
=»
x e [z,ll [
$00 £ [fy * ',í3(ii>[
4
i i
R ong ( f j ) = y € [ 4,1.0 [
Rango ÍM-ye]-<x>,-^]
Sólo fines educativos - FreeLibros
Moisés Lázaro C.
—
CONCLUSIOJM :
Si
Pf )
f .* A - * 0
es
uno fu n c ió n 8 I Y E C T I V A
( f • f ” *) ( y ) = y
Trmbten
(f of
,
»
.’
-V y e 8 , donde (/o/” ' ) ( y ) = f (f*l¡y ) )
podemos
)W
se c u m p l e
expresar
como :
, x 61
x
«esto f o r m o
x i i
f{ f l x ) ) = x
e s conveniente
poro api i c o r e n di v e r s o s problemas
Tombiense
P2)
cumple.*
INVERSA
Si los
(■ f“ © f ) (x-) » x
DE U N A
a p lica c ione s
COMPOSICION.
( o funciones )
so n b i y e c t iv o s , e n to n c e s
Por
lo
t ant o ,
g ©f
, •¥* x € A .
g cf
tiene
* A
f .* A -» 8
C
es
inversa.
Sólo fines educativos - FreeLibros
y g .* B-+ C
b iy tc f iv o .
Funciones Reales de Variable Real
Lo inverso
de g © f , es
y cumpIe
lo propie dad ‘
P j ) ■€1 g r á fic o de f
o lo f u n c ió n
(g0f )
y
l C -* A
(g o f ) " 1ss f ' 1 o ' . r 1
e l g r á f i c o de f* son
identidad
S IM E T R IC O S con respecto
y* x .
EJEMPLOS
j J
| u y
=: - L ( :
2
\ Z x + z
, s | l C x + ,)2
^
: _ Z
,
. . . . . .
o s « 4
y , ‘
;
-
v
J
YrX
v
A
■
/ i * - Y = X
---------------------------------- /
/
/i
/ f /
3 -
/
r _y
^
5
t ,
2*
//
'
!
1 *
-4
A
-3
-2
¡
'
.i —
^
!
/
*
1
t
/
1
I
V
2
3
x
/
i
/
,
M
k
'
í - 3 ,*4 > € 6 r ( f J 4
H - I ) €
& r ( f ' 1)
< - l o ) s G r ( i ) ^
(o ,-y )€
S r í f 1}
-2
••
$ ¿
( - 2, 0 )
6
^ i f C5 > = £
( 0 , - 2) e
(3 r ( f ~0
/
✓
S i
I0 l 2
t t , 4 )
€
( ai r ( í >
=$> ( 4 , 2 )
Se aplico
LA
( 1,1 )6 6 r « )
°
4
/
€
A P L IC A C IO N D i
1/
c . _ ______ __
PHOPUDAD
( f 0 f T) ( x ) =
pora hollar la i n v e r s a de funciones .
Ejemplo 1
Seo
la f un c i ó n
f ( k ) - ~ 2x + 4
,
*
(3, < ♦ ) € & ( « *
- 2 - x < 3
Hollar la inverso de f .
SO LUCIO N
H olla re m os el Dominio de f 1y su r e g l o de correspondencia .
Sólo fines educativos - FreeLibros
x.
0
, t ) e ( f ( f )
( 4 ,3 ) € & r ( f - ' )
Moisés Lázaro €.
178)
ú)
Dominio de f
Dom ( f " 1) = R o n g (f )
Hoí temos é I mng o de f
Como
-2 * x < 3
¿ sr p*'- - 2
4 4 - 2 x > - 6 « j r - s umor 4
8 i -2 x + 4 > - 2
f (x )
*>
b)
Regio
f ( X> e 3 -2 ,8 ]
de
A portir d
corres pondenc i o
e
f
de f.
f o f " 1) ( x ) =
x
f { rN x ) ) á x ^
2f~7+
4
f"1*
Conciusicm
f ~T( x ) = 2 - i
introducir f
en f ( x j ~ ~ 2 x 4 4
sr x
x
2 --S - X .
, - 2 <x ¿ 8 .
_<T+€
[EJEMPLO a] xíea la funciob í • O orn(f) — > R a n g lf) cfej-tm do p o r f íx ):
e x- c o.) h a l l a r el d o m i n i o <y rango d e £ ^ b) p ro b a r q u e S e s in v e c ijé va
v- x e D o m U ) y c ) h a lla r
f s i e x is te .
*
a)
x€ t> o m ($ ) &
£— £
>e2x- y - c 2x+-i
q^o
ex - - L
eax ( Y - i > = y+1
Va
e íx- i
*o
2X
£
=
y+r
L n ( € 2% l n ( W )
2 X qt O
x =
L n t~ )
X£ 0
J-Uy)
/ . Dom C*) =: xe<'-do^o>u<o>+oo>
Pqra hallar el
desjarse
Nacer
rango
de J ^ debe
x ' en términos de 'y".
f(x > -y f así tendrem os .*
.£ * ± £ T
ezx-n
Y € Rango (£) 4=> ~
b) S e a
> o 4=4 y€<~<x>/»>uO/*>
$ Ca) -
j a ; b € Dom(J)
e%e~a _ eb +e“b
ea-e'a ~ eto_e'b
a -b
ex - e 'J
e
C) f fc< : Voo,-1>U<LOO> -4-(-00^0)y <0^00)
S-'cx>= l . L o ( ^ )
Sólo fines educativos - FreeLibros
Funciones Reaíes de Variable Real
mmL 1
h k iU o r l a i n v e r s a o'e ccxdo. u n o c/e
t a s s ifu i'm r ^ é s
■ fu n cio n e s :
t.
fíK) - 2X-3
7
2.
Htxj = 2 x 3 - 3
Í
x€ C1,C>
,
gOO= x24 2
Hx¿?
,
2£X<4
X€R
12.
3.
x<l
-V-x-M
X - ttxl
3 x -s
^
, - 3 é: X < O
gix) 3x
<1,ao>
^
o <. x < 4
x-b
hoc)*!*
/*
13.
,
*>.1
■fíx) = I _ Vx-2
x>G
[ - 2X4 10
ícx) _ A
2£ _ 1
1+2V~*
*5.
-4 x2
.
? _ |?x* - 9 X-h M
8.
hcx) =-i ' * *
I 2Vx
9.
±*V,
tO .
,
t.
cl)
Rallar
% ( x > - 5 - 2 l n ( 2 X - \ ) ? x >1/2
goj
x<o
8.
M
9.
f ‘« ) =
i'cx) = i x + |
í4 ** ?;
?
.^ r
x* + 2
7.
. ,
Vx
Tr r
is
í,
f ’í v i r J ”!
^
osx<4
?
x >4
y<o
e 5j?
-t-KJ
x+1
Ib
3
fiT(x) ~ b + Ln ( x -a )
H*.
f- Lnl-^)
^
11.
x<2
^ xeR
V x<o
> © * x <1
y 14 rX <f
13.
x€<-2,ó>
- Í x+5> ? x e <- 00,-23
f. * i
x í -3
t i
’ x-4
11.
x € Lh ° ° >
xe <o,oq>
5. f W
Í ' ‘íx)s,
7
X €<- oo^o>
©< x s4
' L n íV )
lo. £'<«> = -t. +
T x
x>o
b) S t % of : Dom(^ojí) — * B ^cketcr
minar B para que
g&f ten­
g a inversa y hallar la fu n ­
ción im e rs a correspondiente.
x eiR
SOLUcton
X<C
_1_
X
x <o
-5 X
’
%Cx)
O £.X¿-4
fu ) = 2-ae
x>4
1-2X
t o< x ¿2
■)
X€0
S®cin los Junciones f y §
x-co
7
x>o
;>
ta le s qu é ;
7 H4-1
> -H)*SO
X vo
, 2X-Í
fu> = |
U.
2¿x<6
I 4x2
►x + 4
X€ IR
-x
X<-2
*2- 4
7.
h(x> s a + €
é
12 ? « " ‘
) *>a
-kx<1
, x >1
<*) l§*j)(x>= ~ I*-*)2 “ 1 * #*,4
b} í%*4)’lX) s 4 4*2\/x41
*>±742
Sólo fines educativos - FreeLibros
; X>.-1
—
Moisés Lázaro C
(l8 0 )-
Problemas: Nivel II
I.
Sea
f : IR — * Rar» (* )
la .
fu n c ió n d e f i n i d a . p o r
fe*) =
.5 -
e x + e '*
O.)
D e m o s tra r
q u e ------f (x ) = 1 -------- - —
<Z?* + \
b)
c>
d)
D e m o s tra r
D e m o s tra r
que
que
f>
H a lla r
;
R a n (£ ,| C 1 -1 , t£
* f
«^S in y e .c ± iv c L .
R a n (f ) _ ^ i R
r _
V~X
} - 4 í:X < 0
Rdníf) definida por í cx>-srr*-cH i
51. Sea f • D©m[J)
| 1 T ! X -|2 x I.,0 * X ¿ 2
H a lla r
3.
f *.
S<?Qt la funcion
f : Co,+ooL —
{ oo .
H a lla r
la in v e r s a
4 . Sean
y^ooC) ; deftntdCL por
e 2x - e ' 2x
2
de f .
tas funciones *.
f (x) ■=
log^x'
^ x>o
f lx> ss 2 x-1 , xefR
a)
H a lla r
( f ^ y 1 ^ s i e x i s t e ^ b) G r a f ic a r (f o g V ' y
n o ia m o
5.
D ad o
S is te m a
c o o rd e n a d a s
te c ta n ^ u L o re s .
las funciones :
Í
± v 2_a
4 *
3
2X-1
CL) Malta»*
b)
d e
en e t
Hallar
, ~7 < x < o
,
J
o< x^A
f -+ %
lo- In v e r s a
de
H*> s
f+ g
o<x<£
■-/
a l intervalo X -
r e s tr in g id o
x2
7.
SÍ
S U d o m in io S e r e s t r i n g e
D a d o la fu n c ió n
f lx ) - lop x
<*) H a llo r x7«
b> G r a f t c a r
,
.
Dado la función
e) R e s o lv e r
..-A^x-co
l-^X^x+l
e x iste .
6.
S e p id e
f ~ x -f 3
*#±3
/3
. hallar la inversa d e 4
in te rv a lo I= J o ,3 l~
x>o
'
J y 5~* e n e l rru s m o p la n o
: loo
12*-?) - f ( l )
-2
5 Vs
<**) R e s o l v e r : lop ( 2 x - i ) - l o o , Cx-d <1
s,/3
V3
f lo g ^ x -9 )
8.
Sea
f : C<V03-♦ Ran(f)
cjue
fcx) =<
Hallar ta In versa d e f ; Si e x is te ,■
_
■
Sean la s funciones :
r
fcx> r
x
2
.> o < x < y
[ ( 2)
2xZ-Í2x4*2
-
¿ ■gao =< T x +jP
V x -3
H a lla r í a g
, 12 < X<10
,, 2x-i
3
24.x ^3
x >3
i n d ic a n d o Su d o m in io y su resgla d e correspondencia.
Sólo fines educativos - FreeLibros
_____________________ Funciones Reales de Variable Real
TI.
FUNCIONES
MONOTONAS
:
C R EC IEN TE
,
A S IR ,
Y
DECRECIENTE
DEFINICIONES
Seo lo
función
f ! A -» 8
R ,
A = Dóm ( f )
(1 )
f es NO D E C R E C I E N T E <=> x , < x ? implico f ( x , ) * f (x2 ) , - V x „ x ?e D o m (f)
(2 )
f es C R E C I E N T E <a> x ,< x 2 implico
(3)
f e s N O C R E C I E N T E <=>
(4)
f es D E C R E C I E N T E <=>x,< x2 implico
(5)
f ( x , ) < f (x2 ) , •V x ,j X 2 € D o m ( f )
x,< x? im p lico f { xt ) — f ( x2) ,V- x, , x 2 6 D o m f f )
f ( x f) > f Í X j ) ,
x (> %z 6 O o m (f )
f es M O N OTONA <=> f cumple olguno de las 4 definiciones
a nteriores .
E J E M P L O 1. F u n c i o n e s que son monótonos en todo Su d o m in i o .
1. Lo función lineo!
o fin
f(x)~ox+b
es C R E C I E N T E cuondo o > 0
Por
y es decreciente cuondo
, es Creciente
2
fex) =s-Ln x,
Dom { f ) :
es creciente
g(x) = 5
x
en todo
IR = D o m ( f ) , p o rq u e a = 2 > o
<o
x>O
x >O .
es creciente
*V* x 6 IR ~ Dom (g )
4.
h{x)~
85 A c re c ie n t e f
5.
f ( x ) = e**x
, x € ñ
es d e c re c ie n te
0>.
o < O •
, es decreciente en todo IR 9 porque a - - |
g(X) =s - — x + 5
3.
cuyo dominio es t odo
ejemplo !
f (x ) = 2x ~ 3
2.
, a#0
x 6 ÍR .
x € IR .
f u ) r= n/2x7i ^ x^,V 2
7 . J( x) = 1+ ~ (x-2)7 ; x ے R
es creciente
no es m on oto na porque crece en <‘x,oo>
crece en <“ Oo,2> .
Sólo fines educativos - FreeLibros
^ de­
Moisés Lázaro C.
EJEMPLO
2.
Fu nciones »que son crecientes
in t e r v o lo s
contenidos
y decrecí entes
en cie rtos
en el d o m in i o .
Por ejemplo
f
f (*>«
cumple
x*- 4
es creciente
s o b re
<-<&,-*>
f es creciente
sobre
<-?, o >
f es de c r e c i e n t e sobre
f es decreciente
< 0 ,2 >
sobre
MOTA :
C R E C IE N T E INDICA subir lo curvo,cuan­
do x avanza de tzouierda a de­
recha.
D ECR EC IEN TE INDICA bojor lo curvo,
cuando x avanza de fequíer
da ck derecha».
I t . FUNCI ON
P E R I OD I C A
DEFINICIONES
Seo
1.
lo función
PUNCION
t PAR
E
I MP AR
:
f
: A -* 8
,
Dom(f)
PERIODICA
f es PERIO DIC A <*> 3
un numero reo! T ^ O
(x + T ) 6 Dom( f ) y
E l mínimo número p o s i t i v o T , tol que
Homo PERIO DO
tol que x € O o m ( f ) , implico
f { x + T ) « f { x ) ¡ 'V’ x € Dom(f )
f ( x + T ).■* f ex) tV* x
€ Dom ( f ) ; se
de f .
Por ejemplo
o)
II
b } II
e)
período de
seno , c o s e n o , secante y cosecante
período de
tangente
£1 período
de f U ) ^ , | x |
es
y
cotangen
es IT.
1.
Sólo fines educativos - FreeLibros
es
2TT.
_____________ Funciones Reales de Variable Real
2. F U N C I O N
fes
PAR .
PA R <-> x 6 D o m (f ) implico-x € Dom ( f )
Por
e je m p lo .
o)
f(x) = x 2 , es p or, porque
x2
—
x * -4
9( X ) ~ —
b)
•V-
X
-
f ( ~ x ) = ( ~ x }2= x2 = f ( x ) , *V- x6 IR.
e (R - { - v T , v/T1j
h(x) s eosx , es por porque
d)
f(x)ss ixl
, es por
3. F U N C I ON
V
x 6 0^
(“ X )2
x2
es por,- porq ue g < ~ x ) = - -------------------------------------------- == g (x )
(~ x r - 4
x — 4
c)
fes
y f (-x )= f (x)f Y
porque
hfr-x ) = eos ( - x ) - cosx = h ( x ) , *V* x 6 IR .
f
x
I ~ x r » Ix I = í ( x ) , “V* x € IR .
IM PAR
IM P A R
<=>
x € Dom ( f ) implica - x 6 Dom ( f ) y f ( - x ) = - f ( x ) ,
x € Dom( f ) .
Por ejemplo *
o jf íx )b)
x3 es impor , porq ue f { - x j -
f ( x ) = sen x es i m p o r ,
p o rq u e
(~x )3 « - x 3 == ~ f ( x ) , - V - x € I R.
f ( - x ) = sen ( - x ) =
- sen x
= -f(x),tx6 R
12.1
PROBLEMAS
N O T A I No
olvido/ que el pert'odo
fol que
@
es el m enor NUM£RQ P O S I T I V O
f ( x + T ) ~ f ( x } , -V- x € D o m { f )
H o lla r, el período
de
,( x + T )
6 Dom(f).
f { x ) ™ sen x , x € Í R .
So lu cion
Supongamos
que existe
f { x -f T ) =s f ( x )
sen ( x + T ) ^
-T
T>0
,
x e IR
toí
,
que
( x + T | 6 IR .
senx<<*~“\ esta iguoldod se cumple poro todo
Sólo fines educativos - FreeLibros
T
x £ IR .
Moisés Lázaro C.
En p a r t i c u l a r
sen T -
sen 0
sen T «
0
se c u m p l i r á
pora
x-
0 , obteniéndose .*
y
/ € : x*+y?~ i
L
0 ,0)
T es un arco positivo de
lo e írcu nfe re nc ía y sen T
^
------ ^
es lo segunda componente
de los pares ( x , y ) pertenecientes a lo
Razonemos
4 T I . 671
.
positivo y sen T ~ 0 , entonces T e s 2Tt*
«te.
El menor T
Luego,
si T es un or c o
así í
c irc u n fe r e n c ia
positivo
el período
Hollar
es
2TÜ ,
de sen x
el período
de
es
Ts
21T .
eos x
Solucio'n
E I razonamiento es i d é n t i c o a í l ) , so lo
es lo
2 a Componente
de
{ c e n t r a e n e ! o rig e n
Í3 J
Maltor
el
(x,y )
y radio
período
‘de
f(x)~
del
aplicar
Hacer
Bx-ZTT
=>
Luego el
p e río d o
de f { x )
es
Tambie'n , podemos
hacer
del
A p a r t i r de
Asen ( 8 x )
f(x)=
período =>
Asen
perteneciente
o
lo
cir eunferencio
uni tari o ) *
Bosforo'
Si T es el
el p e r í o d o
tener en cuento que el coseno
Asen
seno
T =
i 8 x ).
que es
2IÍ
2TT
B
siguiente modo '
( 8. (x + T ) ) ~
A sen ( 8 x + 8 T )
Asen 8 x
25 A sen 8 x
Sólo fines educativos - FreeLibros
,
8 >0
del siguiente
modo
Funciones Reaíes de Variable Real
doode , necesaria mente
(4)
Dado
B T = 2TT , pues 2 lí es el período
lo fu nción
fCx)=*fx|
, x € IR • ¿
Es
de seno .
f ( x ) p e rió d ica ?
Pro b a rlo .
Solució'n
(1)
Supongamos
qué existe
f ( x + T ) -
f ex) ,
( 2) £ x + t ]
(3 )
En
= £ xI
pa r t i c u la r
do
> O ,
"V- x e
tal que
m .
x e ir . /
, -r
pora
T
x~ O
Id i g u a ld a d en (2)
se se güi ra
cumplien­
, o b ten i t n d ose !_
cn-fo]
T 1 =
[
L
En
e.l
Seo
lo funcio'n
b ) G rá fic o r
(1)
0 ~ T < 1
fíx) = | x |
a } Ha lia r
Solución
lo solución de esto ecuación
in te rva lo
Luego
( 5)
0
el
/no
es
no
e xi s t e
es
O -
m ínim o
T
< 1.
pos i t i v o.
p e rió d ic a /
f e x ) '==. x - [ x
J
, x 6 ff?
pe río do de f { x }
f {x) •
de o )
Supongamos
f (x +T
que exi st e
T > O , tal que '
f e x >, -V- x G fñ
(2)
x +T - £ x + T 1 =
{ 3}
La i g u a ld a d
en
t
{
x + T ) 6 IR.
x - | x ]
(2 )
se cumple
poro todo x 6 ÍR , en p a r t i c u l a r
Sólo fines educativos - FreeLibros
se
Moisés Lazaro C.
<186}
c u mp l i r á '
par o
x = 0
t
o+-T-£o+rJ=
T - Í T J
o-[o]
= 0
•' . '
ir r=
L
t
es un e nteró .
Com o
T > 0 , entonces
entero
Entonces
el
conjunto
solu ción
T = { 1,2,3........
sero
pos v H vo
*
b)
El gro'fico
(6 )
HdIJor el
debe ser
}
L e s el menor entero
L u e g o , el p e r í o d o
T
positivo.
que cumple 5{*+t ) = $(*) v-xeíR
+
Cx4-T)eíR
T = 1
es
de f ( x ) == x - £x J , x € IR \ es !
p e río d o
de
f ( x ) = 5 x — [ 5 x | , x € IR .
S o lu c ió n
Como es semejante aJ p r o b l e m a
cuyo
p e r i o d o es 1, b a s í a r á
Sólo fines educativos - FreeLibros
hacer
, •
______
de r e s o l v e r
Ot ro forma
Suponer
Funciones Realesde Variable Real
*
que.3 T > 0 ,to lq ue
f(x + T ) ~
5{ x + T ) - [ 5 ( x + l T ) 1
5x + 5 T
f ( x ) l'V'x€JR , ( x + T )
6
= 5 x -f5 * J
-| 5 x + 5 T j=
5x -[5 x J
-,•••(] )
Lo iguoldod í 1 ) se cumple poro todo x 6 tf?, en porticuiorse cumplirá
poro
y
x = 0.
’
m
-
5T-f5 T| =
0
| 5 T l = 5T
es un entero.
Gomo T > 0^ entonces el entero
5T= 1
5T=2
T ~ 1/5 ,
, 5T =
5 T. debe ser
3 , .. ....
T ~ 2 / 5 > T =. 3 / 5
es et mínimo reol positivo.
Luego T = 1 /5
es el peno do
NOTA' G ráficam ente el período T de una función periódica es
la LONGITUD de un intervalo, sobre el cual eJ gráfico de
la función sa repite
id é n tic a formo. -
Sólo fines educativos - FreeLibros
Moisés Lázaro. C
13. O T R A S F U N C I O N E S
13.1
FUNCIONES
TRi 60 W M ETNICAS
Cuondo los funciones t r i g o n o m é t r i c a s
se estudion
funciones ‘r eoles , entonce* bostoro’ expresor el coniunto
( dom in io ) , él conjunto
como
simple
de portido
de He godo (rango) y su respectivo
re gla
de
•
funciones trigonométricos
bien definidos ,
correspondencio.
As/ obtenemos
que los
si se co n o ce n
su dominio , su
se expresan en el siguiente
rango
quedaron
y su reglo de correspondencia •
, como
cuadro.
Sólo fines educativos - FreeLibros
Funciones Reales de Variable Real
Poro graficor
los funciones
trigonométricos
—
se don v alo res
o
x
en
rod iones
Por
ejemplo
siguientes
tes
poro
va
valores
FUN CIO N ES
1
1 ”
i
Ü S L
6 ’ 4 * 3 12 * 3 1 6
TRIGONOM ETRICAS
R e s t r in g i e n d o
los
tobularse
el
dominio
debemos
de f i ni r
de codo funcio'n
lo función
ir
37T
•7 r * 2
IN V ER S A S
trigonomeVrica obtenemos
inversos de seno , coseno , tongente , co ta ngente ,
Antes
con Jos
conocidos
IT
I
- i
n
3 1 4 ’
6 1
-21T,.
13.2
graficor el seno y coseno , deberá
secante y cosecante .
L O N G I T U D de A R C O .
<
Seo
| ( x , y ) / x2+ y2 »
con centro en
(.0 ,0
) •
un
ARCO
Sea u a "
1 j
de
una circunferencio
medido en radianes
en sen tido
on tih o ro rio basto el punto
Entonces ,
lo L O N G I T U D
de A R C O
de r a d i o
desde
1
el punto (1 ,0 )
P(x,y)
es lo función
L * t ? — ► IR
L (a )
definido por
Algunos
eos ex ^sena )
<xrco -X corresponde *1 furrio (casd^send)
a
v a lo r e s
de lo funcion
Longi tud
de A R C O , son :
ir
si or= —
4
v ( , ir , ,
=>
ir
ir .
L ( — ) = (eos — , sen 4
4
4
)
A <x * r/4
Jíl.O)
si <x= Y =>
L ( y ) = ( eos Y
=
.flota, i S i eí
cltco
&yai¿YO
*
, se n ^ -)
^ \< x-ir/2
(0,1 )
s e m u eve en s e n tid o horaria es
^
senC(-«O
C sen
-*) n-send
--
XÍe cumpla I c o s ^ . cosol
Sólo fines educativos - FreeLibros
Moisés Lázaro C.
si
»>
m&W
L í ít ) - ( c o s í , sen! )
" a ( “ 1, 0}
v » I
«
W
s* « s ~ ~ p
S> L {
Íf- *
/
/ W\
/ W\ \
) * { c o s í - j ) t sen( - j ) )
«
Hociendo
de
el combio
codo f u n c i ó n
tricos
inversos
(0,-D
convencional "ot*' por ' x "
y
trigonom étrico , obtenemos ios
expr esodos
en ei
siguiente
x
]
* y « sen x
:
funciones
trigonom é ­
cuadro .
SU INVERSA
FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA
i
restringiendo e i dominio
A rc s e n :[-l,l]-— [ - f , f ]
yH*x=Arcseny
\*
fv
J
K
>>2
eos:
[ o ,ir] - . [ - i . i J
x
* y=senx
Are eos: [ - 1 , 1 ] — [O . f f l
y - * x = A rcco y
V
[y °
A rcfg : R — » ] - f , j [
x i— > y= tg x
y h-* x s Are tg y
^
S-
V
V&1
Sólo fines educativos - FreeLibros
Funciones Reales de Variable Real
cofg : J 0 , IT[
Are cofg .*IR-*]0 , 3 [
x l— ►y=cotgx
y H-x=Arccotgy
sec [o,ir]
Arese c.']- « . - t f u j t . o o f — £ o , itJ
x I— ►y s s ec x
—
y > — — ►x = A r c $ e c y
>
Are esc .*■]-
M C . ' F f . f j - H - ' J ' - . - ’l u W
x I--------» y=csc x
E
13.2.1
AMPLITUD .P E R IO D O ,
Seo f { x ) =
Asen
{8 x + C )
3t
"2
FASE,
FR EC U EN CIA .
, A > 0 , 8 >O , C > 0
uno curvo sinosoido!.
Definimos
ampiilud de f es
o)
Lo
b)
E l período de f t se hallo
hociendo
8x =
2 TT
2ir
El
c)
—
período es
Lo frecuencia
ZTT
es U ) =
i T
8
2 IT
ci cl os/s eg
Sólo fines educativos - FreeLibros
Moisés lázaro C,
Lo
ó)
FASE
Hoftar
s e ' h oHo
haciendo
Bx 4 C =
la ó m p l i t u d , p e r í o d o , f a s e
y
0
frecuencia.
Solución
a)
Lo a m plitud
b j £1
período
Luego
e s j 2 1 25 2
l se halla
el período
c)
La
f ftcuenero es
d)
L o fose , se hofla
es
haciendo
x ~ 2TT.
T = 2TT .
: u) = ^
haci endo
~
ciclos/seg
x + j - 0
4
a)
Amplitud ! |
b)
Período :
2x *
| ~ -|*
2F
; ~>
* * IT
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Miscelánea - Problemas
E J E M P L O 3 . Demostrar que, para cualesquiera^, B , y C, y = A s e n c x + Bcosex
representa una onda sinusoidal y determinar su amplitud, período y fase.
SUGERENCIA:
Tómese
cos0 -
—
J a2 +
J
b2
2 + B2 eos (9
A
B
sen#
a2
+
b2
= y [ Á 2 + B2sen0.
( 1)
Solución:
Se trata de convertir y - A sen ex + B eos ex a la forma y - M sen( N x + P )
2 , r>2r
y = \T A 2 + B 2 c o s 6 s e n c x: +
+ y¡
y jA
A z + B^senOcoscx
Sustituir (1):
yt:—
+ B2sen ex eos 9 + eos ex sen 9
y = \ l A 2 + B 2 sen (e x
+
6
amplitud = 4 A2 +B2
Tenemos:
hacer
P E R ÍO D O :
c x -2 n
2n
FASE:
, donde 9 - árceos f
hacer ex 4- 9 - 0
[ J
E JE M P LO 4 .
Para un período completo dibujar^
a) y = 2sen*-eos*
b) y = sen 4* 4- 2 eos 4x
Veamos
a) Aplicando el problema 3 tenemos
A = l
A = 2
<
C=1
b) Tenemos
1
•B = 2
C =4
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^
a2
+b2
Moisés Lázaro C.
1)
*
v^ 4 + T
1) « / A*+ 8*' = V 5
= >/5
ib —
- ore cosf
eos
0= ib
-}
— -
' V*1 /
€
3)
y = sen 4x + 2 eos 4 x
s V ? eos ( 4 x + 0 )
,0
3) y= Zsenx - eos x
= y's'sen ( x + 0 ) , 0 = 2 6 - 5 6 °
= 0 - 4 6 rod.
= 2.23 sen (x + 0.40)
EJEMPLO
4.2
G ro f ic o r
y = sen(Bx+C)
y
y = senx, B ) 0 , C ) 0
y 3 sen ( B x + C )
y »' senx
PROBLEMA
S.
Demostrar
que Jo ecuócion
de Momplifud modulódo w
y - A» f 1 + m ten 2Wwf ) ütt 2 ¥
Se puede
escribir
en lo f o r mo
!
y ~ A 0 s e n 2 T w Bf + - — 5 - eos 2TT ( v * - w e ) t , - ^ ? p - cos2W ( w f w>>'
Sólo fines educativos - FreeLibros
Funciones Reates de Variable Real
Demosfroeidh
y «
A 0 ( 1 4 m sen 2 f wt ) sen21Tv*>t
5 s A 0s e n 2 ¥ w « t
«
4 A^rnsm 2 ? wt sen21T w0t
A 0s e n 2 f v*>t 4 Á©m *-• ^eos(2 1Twt~2ffwbt ) - c o s ( 2 W w t 4 2TT w®! ) J
T
= A 0 sen2TTw0f + y
A*m eos 2 1 { w - w 0) t —
AajMpfi
y -
eos 2 IT ( w + w 0 ) t
PROBLEMAS
Resolver los siguientes e cu a c io n e s
trigonom é tricos
D
1
senx = T
„■ í IT 51 1
R “ ( t
- T J
o,
2}
1
cosx - - y
„
f
R = J
3)
fg x = 1
R = | X (^
4)
se n 2 x = y
TT
5f
12 1
’ 12
1
5)
tg 2 x = 1
ir
8 -»
1 8
*
65)\ sen —*
= y^
Resolver los
1) Resolver
4)
4TT
l
3f
i
}
|
J
IB ir
I7W
lZ
*
12
§T
I 3¥
»
8
'{ ^ 1
siguientes ecuaciones
c6$ ~1 ( 2 x ) ~
t r i g o n o m é t r ic o s
cos~1{ x ) > —
2) R e s o l v e r ! . t o n ^ í x / í ) 4 cosec- 1
3 ) R e s o lv e r :
2TT
f o n " 1—
!
R a|~V 2j
1^-
4 tan*1 x =»
Resolv er ! á r c e o s ^x 4 y ^
inversos
4 are cosx 4 ore c o s ^
Sólo fines educativos - FreeLibros
R = ÍV 2 / 3 l
R s í/ Ü T
=
3TT
2
Moisés Lázaro C.
— (¡96)-
Id e n tid a d e s c o n fu n c io n e s tr ig o n o m é tr ic a s in v e r s a s :
1)
P r o b a r q u e : are s e n x = a r e c o s e c -
2)
Probar qu e:
are c o s x = j r c s e c -
, x ^ 0
, x * 0
y
3)
Probar qu e:
- y
4)
P robar q u e:
,
si
x >
0
,
si
x < 0
a rctg x + a rc tg y =
a re c o tg y
,
si
x > 0
are c o t g - - ; r
,
si
x < 0
- 2 sen
1x.
a rctg x =
l( 2 x ¿ - 1 ) = - y
5)
P robar qu e:
sen
6)
P robar q u e:
s e n '1( 2 x 2 - 1 ) = - y
+ 2 se n _1x
Sólo fines educativos - FreeLibros
,
V x g [ -1 ,0 [
,
V x € ] 0 ,1 ]
Funciones Reales de Variable Real
FU N C IO N E S
EX P O N EN C IA LES
y
En
es fe capítulo estudiaremos
rítmicos , "como
funciones
FUNCION
Uno
es f ( x ) = ó*
a tos funciones
exponenciales y loga­
reates de vorioble reoI que eston bien defin idos ¡
codo uno con su respectivo regla
1.
LOGARITMICAS
de
correspondencia .y dominio.
EXPONENCIAL
función
exponencial , es: aquella
coni o > o
a
o ffe.1
y dominio
cuyo reglo de correspondencia
todo F
Es decir!
f Cx) = a*
M II
base a
a >o a
0 7*1
Lo
función exponencial
y e IR*
x€ F
y = a*
R A H 0O
DOMINIO
y » o e s A .H .
puede
ser creciente
Á.H * ASINTOTA HORIZONTAL
o decreciente ,
dependiendo de la base " a " .
CASOS
CASO 2. si o < o t 1,1a funcidn exponen^
C A S 0 1. si o > l , la función exponencial
f(x )= ox , x € F es estrictamente
creciente.
* ■■
X
X
Es d e c i r ! xr < x2 implica a l < a
EJEM P LO ! f (x )= 2 X , x 6 í R.
xf€ F
Xj£ F
* ciol f( x) = a? , x £ F es estric­
tamente decreciente.
Es decir : x,< x2 implica aX l> a X2i x 1€ F
.
x 2€
EJEMPLO
g(x)= ( £ ) = Z %, x E I R .
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F
Moisés Lázaro C
Propiedades:
Propiedades:
P\. ax = 1
x- 0
W
aX
P2 . 0<ax-<\ <=> x <0
P2. 0<ax <1
P3. a*>l
P3. ax > 1
c=>
x>0
P4 . La función exponencial es biyectiva (inyectiva y suryectiva)
P4 ! La función exponencial es biyectiva
P5 . *Cuando x -»+oo,
P5. Cuando x -» -oo^
entonces ax —>0
entonces Qx -±Q
P6 . Cuando x -»
P6 . Cuando x -> + 00 ,
- 00,
entonces ax —» + 0 0
entonces ax -» +00
2. LA FUNCIÓN LOGARITMO
2.1
DEFINICIÓN
Si a > 0
a
a* 1, definimos: log^ x = y
x = ¿r
Vx >0
La notación \ogax = y se lee “logaritmos de x en base “a”*es igual a y.
2.2
LA FUNCIÓN LOGARITMO COMO INVERSA DE LA FUNCIÓN
EXPONENCIAL
Dado la función / : R -> JR+ definida por f(x)-, ax, con a > 0 a a ^ 1, existe
x*-> y — a
La función /
—i
:R
.
-> i? definida por condición y = a <=> x = \ogay
y l->. * = loga y
De esta manera, hemos obtenido la función logaritmo de base “a” con
a > 0 a a * 1 , que se puede expresar como;
g(x) = loga .V
con a>0 a
1
Regla de
correspondencia
x>0
Dominio
La función loga x puede ser creciente o decreciente, dependiendo de la base “¿z” .
Sólo fines educativos - FreeLibros
Miscelánea - Problemas
CASOS
CASO 1 Si a > 1
. La función g(x) = log¿7x, x>0es es­
trictamente creciente.
Es decir:
xj < x2 implica ¡ogaXj < lógax2
. Ejemplo: Sea g(x) = log2 x , x > 0
CASO 2 Si O< a <1
La función g(x) = \ogax , x > O es es­
trictamente decreciente.
Es decir:
Xj < x2 implica logfl xj > \ogax2
Ejemplo: Sea h(x) = log1/2 x , x > O
PROPIEDADES:
PROPIEDADES:
1.
logflx = 0 »
x=l
.loga.x<0 <=> 0 <x <l
3. loga x > 0 <=> x > l
'1. \ógax = O
2.
2. \ogax < 0
4. Si x -» 0+ entonces logfl x -* -oo
5. Si x —>+qo entonces loga x -» +oo
4. Si x -> 0+ entonces log^ x -» +oo
3.
logflx > 0
5. Si x —» + oo entonces log^x-»-oo
Sólo fines educativos - FreeLibros
Moisés Lázaro C,
-H200>
2.3
PROPIEDADES FUNDAME NTALES
DE LOS LOGARITMOS
i>) •V x > O ,y > O
, o> O , o # l
se verifico !
•og0 ( x y ) — fog0 x + log0y
3.
ECUACIO NES
CASO 1. cuondo los boses son iguoles .*
si o > O a o # 1 i enfonces ‘
Q f(x) _ Q 9tx) <=> f(xJ = g {x)
•
P2) Y x > 0 , Q > O l
tn 6 ñ
se verifico !
CASO 2. cuando los boses son diferentes,
ajé O
log x" « n.log x
o
o
EXPONENCIALES
Tienen lo incógnito en el exponento .
b> 0 , b ^ l
Of(x)= Q 9(x) <d> f { x ) .lo g o =g(x).togfe
9
"
f>) v- X > 0 , y >0 , o >0 , a # 1
se
4. EC UA CIO N ES
v erific a
togo( y ) - logax -
logoy
L O G A R IT M IC A S
Lo incógnita esto' bajo el signo del
logaritmo.
* log u { x ) = K
e
2.4 OTRAS
PROPIEDADES
t.
*og*(o*)s x
2.
tog X
a ® = x
3.
x
x.Lria
o =e
. 7° ) UNIVERSO:[ o>0 A O j í l ] A [ g ( x ) > o ]
2°)Hocer
togau(x)=xK <*> .u ( x ) = aK
5. I N E C U A C I O N E S
E X P O N E N C IA LE S
CASO 1. cuondo lo exponenciot es decreci­
ente.
2.5 CAM8ia 0 £ BASE
PROPIEDADES
1)
afíx* < o9txV-> f{x)>g(x)
2)
o, W > a,txW
si O < a < 1 *>
P,-
»ó9b.X “ -l-lo g ^X
Pr
log / ' ^ - f - l o g X
O
O
P„. l o g a , bg
3
•
O
ff
f(x)< g (xj
CASO 2. .cuondo lo exponencial es
b =1
c re cie n te .
•°9„x
p4- 10V b * = T
1} ofU) < o°<X,<=> f í x ) < g (x )
log-b
t í a > 1 ?>
_.
2} a
P5 ‘
{ log C ) (log b)
b
o
tog»c =
•°ok°
cambio de lo base V a Jo base” b'r
P.
s
Jog X « - lóg X
*i/b
&
Sólo fines educativos - FreeLibros
g(x), v .
>o
<=> f{x) > g (x)
Funcioftes Reales de Variable Real
6.
CASO 1.
INECUACIONES
{201}
LOGARITMICAS
Cuondo el logoritmo es D E C R E C IE N T E !0 < o <1 eny = logQu (x)
UNIVERSO
(1)‘ s¡
[ 0<o< 1
( 2)
[0<o<
sí
CASO 2.
u(x) > O ] entonces [ log flu{ x) > K <=> u (x ) < o K J
a
1
a
u(x) > o ] entonces
[ logQu ( x j < K
> oK ]
cuondo el logoritmo es C R EC IEN TE ! o >1 en y = log
s i [ o >1
a
u (x)
/
u n iv e r s o
(3)
u(x)
<=0
u (x ) > 0 J
(4 ) si [ o > V X u ( x ) > o ]
entonces
[
log-
u
(x )
> K
entonces [ logfl u i x ) < K <»>
<» >
u (x}
> o* ]
u ( x ) < o K. ]
Resolver! l o g ^ ( 2 x - 3 ) > - 2
(v)
x
Solución.
Es el coso T -
** X > 7
■f* universo . 2 x - 3 > O <=> x > 3/2
2° lo g ^ l 2 x - 3 )> - 2<=>-2x-3 < ( i ) - *
S
2/3
C8*
2X-3 < *
•X < 7/2
:7n
log
5/2
{ 2x - 5 ) > 2
7
C $ = x c j 7, + m [
• (?) Resol v e r ’ log j f 2 x - l I > 2
Solución : coso 2 - ( 3 )
1e x -
x € j ¡ 2 / 3 ,7 /2
( ? ) Resolver
2X- 5 >9
> 5/2
( T •)
2
i f > 0
X #1/2
A
I 2X- 7 I > 3
Á
| 2X-1 | > 9
2X-1 >9 V 2 X - 1 < - 9
Solución : coso 2 - ( 3 )
2x- 5 > O
a
2x~ 5
* X * 1/2
>
32
C s = x g J - « f- 4
A
X >5
[ U
J 5, + o o [
Sólo fines educativos - FreeLibros
V X < ~4
202'
—
-_______
Resolv er!
Soluci ón.
Moisés Lázaro C.
log { í s x ~ * l - 3 j < O
E n est e coso lo báse a = 1 2X~ii es funcio^n de x, por tonto, h obra '
que o n o l i z a r s e t o á o s l o s c o s o s .
CASO I
cuando
e l logorit mo es cre c i e nt e 1
_______ ^
u m iv er so
j* I 2X-1 I > 1
A
I 5X-2 I - 3 > 0 ]
. »> ( I 5X-2 1 - 3 < I 2X -1 I • }
* > ( I5X.- 2 | - 3 < 1 ) t
[(2X -T M y
2 X - 1 . < - l ) A ( f 5 X- 2 l >
3 )]
A ( 5 X- 2 > 3
f ( X >1
V X'< O )
A
V
( X >1
5X-2 < - 3 ) ] *=> I 5X- 2. I
VX< -.«i-
) 1
*>
<4
**4 < 5 X - 2 < 4
*_______________________________________________
-
‘
- 4 ^ 3»—
-1/5
-2 <
2/5 <
-^ k = = = = = = = = = = = ^ \
X < 6/5
O
y : <-C30l-y> U < l,+ 00 >
5> ^ j [ ( x < A
in te r s e c t o r;
4 wmd>
-2/5
------------
-V5
1
6/5
Luego, el conjunto solución poro el coso 1 , es S -
y )
^ ^
)
CA SO 2 . cuando el lo g a rit m o e i decreciente .‘
{ O C I 2X- 1 l< 1
A
i SX- 2 1-3
> Q \ «>
( I2X-1 I > O. A I 2 X- l l < 1 ) a (
)
(
X ?k ! /I
A -1 < 2X-1 < i ) A {
)
(
X #1/2
A 0<X<1
■o
)'A { X ) 1 V X < 4 )
I5X-2 I-3
(
5X 2 - 3
l 5X - 2 I
{ 5X-Z > 4
*»>
(
X > 6/5
2, es
S? =
o-
-1 /5
O
t/2
1
I
L u e g o , el c o n j u n t o solución
C O N CLUSION :
C9 — S ,
e,.*
x e
poro el coso
U
s2
r )
u C
Sólo fines educativos - FreeLibros
.
t
)
>
I
2X-1I0)
> 1
> 4
V 5X ~ 2 <’- 4 ) .
V X <~2/5)
*x<e
Funciones Reales de Variable Reai
8.
FUNCIONES
HIPERBOLICAS
Introducción » Sumondo los funciones exponenciales
se obtienen nuevos f unciones t liomodos
funciones
c*
f(x) = —
y g {x } =
e-x
hiperbólicos .
DEFINICIONES
8.1
IT
EL SENO HIPERBOLICO di x
j j EL COSENO HIPERBOLICO
LA TANGENTE HIPERBOLICO
di x .
d i x.
sen h .]-® ,® [ — *•] - ® f® [
tgh!
cosh : ] - « , « [ - - * [ i , ® [
e*-e~*
sen h (x ) « — - —
,
e*+e~*
tgh(x) i
cosh { x ) * — ------
IT
E L COSECANTE HIPERBOLICO
de x .
c o ü c h :]-® ,o[ u j o , ® ^ - ® , © ^ ! ^
cosec h(x) « l/senh{x)
j y LA SECANTE HIPERBOLICA
d i x.
1
-i,i [
siithfx)
CO» htX)
LA COTANGENTE HIPERBOLICA
d i x.
sseh . : ] - * , « [ - * ] o , l ]
cotg h,:]-®,o[u3o»®H-®,-1 [u] l,® [
s e c h ( x ) » l/ cosh(x)
coig h ( x) * 1/ fg h( x)
Sólo fines educativos - FreeLibros
Moisés Lázaro C
8. 2
FUNCIONES HIPERBOLICAS
I T 1" s eVn h
—
se n ffx
i. ] - «
l iJ
—
INVERSAS
c o s hh - '.- [r i
2L
^
t g h ~ L ] - V ’ [•
e o s h‘ x s L b ( x * V * * - ? J
i
- u
*** V
•
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1
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5
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cotac h * :]-© ,f [ « 3 * 4 - 4 » . « í 4 4
cosach x » U n ( - . l i Z l i x V
1*1
)
—
1
ü € j f , : ] o l i ] 1—
p
L
,
cofgh x = * y Ln
3>
L
2.
1.
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,
cotoh’ 1:]-<»,> »[u] if<
'
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-i
i
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-1
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i
1
!
.
3
1
.2
.1
i-1
L
1 Z
-1
. -2
-2
i
-3
_____ 1
_________L ___
8.3
IDENTIDADES H I P E R B OL I CAS
f ■.
Se cumpíein tos siguientes identidades hiperbólicas
cqshV - seph2 x - 1
* sech*x
sen h (x~y )~senhx coshy— coshx senhy
cotg h2 x - cosec h*x = 1
. .2
— 14
sen h x « — ■
—
»
cosh 2 x
-—
—
14 =CO$h2X
eos I r x = — i
sen b ( x 4*y ) = senhxcoshy 4 cóshxsenhy
.......
eosh ( x 4 y )== coshx.coshy 4 sen hx.senhy
c os h ( x - y ) == eos hx coshy - senhx sen hy
senh2 x -
2 sen h x eos hx
cosh2x = cosh2 x 4senf?x
Sólo fines educativos - FreeLibros
.
3
M
I S C E L A N E A
PROBLEMAS RELATIVOS A COMPOSICION
DE FUNCIONES E INVERSA DE FUNCIONES
P R O B L E M A 1
Seon
la s
fu n cion es re a le s
de
va ria b le
■ÍZ)
g ( x ) =\
x 2
, x < o
f ( X ) Á *
1-
XZ ■ , X ^
h a lla r. ( f o g h x )
<-/ ■
S O L U C IO N
:
o
M ET O D O
x < o a X2 e
'
X > !•
[X -1
y d a r s u d o m in io.
Dom ( f o g ) = x 6
O) / s í
+ 2
<-co,n
P R Á C T IC O
Dg
a
g ( x ) € Df
J(J q Is i x < o
X2* l
a
x‘ e < i , * a > >
.
X2 > 1
■ -I á£Y* 1
X >1
3 —
-I
real
"i^1 (3)
X. afi.l'
O
V
X<-1
x r ..
1
x e t - i , o >
í f o g
} ( x ) = f ( g l x ) } = f ( x l ) = x z +2^
( f 0 g ) ( x j = f l g ( x ) } = f ( x 2) = x * - i :
Sólo fines educativos - FreeLibros
Moisés Lázaro C.
t (gíx) j=
t - x 2 + 2
f (gix))=* 3 - x 2
C O N C L U S IO N
:
2
x 2+
P R O B L E M A
Z
sea
,
x e [ -
1,0
>
X 2-
i
,
x £ ( - o o >
3—
X2
,
xe
[
o,+co)
, X < -2
f(x )
2+X
2
aX
/ ‘2 - 1 2 X + 2
g ( x ) ==
X- f 2 1
X
v;
X - 3
H a lla r
f~o g
S O L U C IO N
(1 )
in d ica n d o
L a
do m inio
> 3
y re g la
de
:
H a lle m o s p rim e ro
Com o
su
< X sí 3
-2
f ( x ) es
in v e rsa
la i n v e r s a
in y e ctiva V x
de f
se
de
/
f.
x <-2
h a lla a l r e s o lv e r
:
f ( f \x)) = x
i -i
— ---------— = x '
2
D e s p e ja r
f."1 .*■
+
f "! = 2 x + x f ~ l
t-r
f
(i - x)
=? 2 x
= Rong ( f }
l-X
8
•*T
V
II
2X
Sólo fines educativos - FreeLibros
co rre sp o n d e n c ia .
Misc€ 1 nea
Donde
2X
<=>
x G D f J i
Problemas
1-
X
2X
> 2
X — 1
2X
-2
X -f
2X-2X +2
X -
2
(2)
P oro
Dom
h o lla r
,
f~o g
( f og ) = x
6
> 0
I
>0
X — 1
X
>0
>1
h a lle m o s
en
Dg
g (x ) G
a
p r im e r lu g a r su
d o m inio
D o m f*1
f o g
X € ( 1, + r n )
g =
( 1)■
D o m lf'o g )=
x £
Dg
=
-2
= -2
< X *
§ W €
< X ¿ 3
3
A
t t o m í r 1)
( 2 X - 1 2 X + 2 ) 6 ( 1 , + a> )
2 X 2- 1 2 X + 2
> 1
2 X 2 - 12 X +1 > 0
X 2- 6 X
¡f\
x. i
i OÓ
W
2 l 2 X 2- l 2 X + 2 )
= ----------- x----- — -------1 - ( 2 X 2- 1 2 X + 2 )
4 ( X * - 6 X + 1)
- ( 2 X * - I 2 X + 1)
+ j-
> 0
X Z- 6 X J L 9 - 9 - h j
( X - 3 )* ( X - 3 )*> - f
-j-
=>X-3
- 2 < * i. 3
Sólo fines educativos - FreeLibros
> 0
> 0
v
x
~ 3 < ~Ít
Moisés Lázaro C
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V
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X
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A
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X*2
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x+2 - x + 3
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x >3
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X + 2
b)
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2 / X + 2*
X -3
X+2 '
C O N C L U S IO N
/ X - 3 * - / x +• 2'
:
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- 6 X +1 )
- l 2X*-I2X + 1 )
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/X -3 ' - /X +2
X
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Sólo fines educativos - FreeLibros
3 -
> o
X > 3
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Miscelánea - Problemas
¡P R O B L E M A
X
3
/
- 2 X
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la s
p o s i b l e , h a lla r
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se
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S O L U C IO N
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fu n cio n e s
X < 1
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si e s
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o g )(x)
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, X < 2 —^
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X ±2
d o m in io .
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e l d o m in io
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X
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.< 3
i -/?<.x-i <VT
X<1
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Sólo fines educativos - FreeLibros
( 1)
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Moisés Lázaro C.
X
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-= 3 -
T
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7
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(4)
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X
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y
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X
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m m mmm
X 6 [ 1 , oo>
(
b)
fo g ) (x ) = - e * - 2
C O N C L U S IO N
(f0 g ) (x, ;
4
¡ P R O B L E M A
Ln2
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sean
t x3
(0S
x < o
g ix )
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H o jia r
fog
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2X - 4 X - 5
f X e < 1-vT, 1 >
-X* + 2 X - 2
,X
€ <-a>, t-\/PJ
- e * -%■
,X
€ Cl , + D>
0
fu n d o n es
—
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, x * o
i (2)
.
g ra fica rla
S O L U C IO N :
j s
P a ra
h a lla r
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h a lla r
2 ° ) su regla de corres­
p on dencia.
Dom
(fo g) — x
V eam os
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{ x <o a
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{ x — o a ( x * - o e c - J . 2 >}
Sólo fines educativos - FreeLibros
0
Miscelánea - Problemas
- I Í ffxj < ? |
| x <0 A
{ X^O A. - f é x 2- t < 2 j
u
CxJ * - 1 A £ x j < 2
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X<0
A
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A
X
X < 2
X<0
A
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A -V3'<X <V3
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-/3?< ■x<'ÍT
X ÍO A
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< 3
0 *x2
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X3S-1
-
2
o t x < VJ
-1 & x < 2
- i í x <o
[
-1 ,0 >
[ o ,\/T >
U
T
~
f ( g exj } = f ( E x V ) - / í + Cx j ‘
~
r ~
f ( g i x ) ) — f ( x * - i ) * \Zt+x*-i*
= * ^
/ i + Éx J
CONCLUSION:
( f o g ) ( X) =
* ,
x e
c - 1,o >
j
X €
C O, / f
X
5 /
P R O B L E M A
E n c o n t r a r s i e x i s t e la f u n c i ó n
X +. 2
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Sólo fines educativos - FreeLibros
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x
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Sólo fines educativos - FreeLibros
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una fu n ció n
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Sólo fines educativos - FreeLibros
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Sólo fines educativos - FreeLibros
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85
Miscelánea - Problemas
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, si
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0
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Sólo fines educativos - FreeLibros
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3
soto se puede sumor en
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Sólo fines educativos - FreeLibros
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- Problemas
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Ran$i)flRan(Í2)= 4> .Pártante $ <z.s inyectiva.
in te rs e c ta rlo s r a n g o s
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x 2+
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ig u a lm e n t e :
D e s p e ja r i" :
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Í4*+ ,I ~
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La
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( 2 ) Luego
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Miscelánea - Problemas
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,
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X
2
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S
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1+K
f ( x) =
\ Z x 2- 1 í ,
4 ÍX < 6
donde'. 11—X21=
— x2- ^ ^
,
X e[3,4 )
X 2— 4 ,
X e [ 4 ,6 >
x
x c C4,6)
g(x)
, donde I4-X2 |=1x2- 4 | = K2- 4
V - x e LdyB> .
Sólo fines educativos - FreeLibros
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Moisés Lázaro C.
— (220)(2)
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h a lla r
x
f o g , s e g u ir e l sig u ie n te
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x £
x
6
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x
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p rá ctico
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, X€[4,8>
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1+ K
f(x) =
g (x) =
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[3,4 >
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0
Sólo fines educativos - FreeLibros
X2 < 8
A
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-v / o 1 < X ( V 5"1
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Miscelánea - Problemas
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n([->fig,.xfg>u[>re^>X
e n to n c e s
0
no existe f og .
CONCLUSION
3<x<*1fc
( fog J(XJ =
t + K , x € [ 3 . 4 > , donde
3
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X
e
,
X €
11 ¿ x <4
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f
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[ 3 ,3.4)
(fog)<x) =
¡PROBLEMA 9 I
£>#terminar f *o g
X s g n (-^ j-)
f (x)~
C 3 .4 , 4 )
, s¡ existe^ paro ’
, - 3 <X <2
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*
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, X&2
,
I
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X <1
,
1
,
X -
SOLUCION :
( 1) Antes de hallar
Veamos :
f*y
f*o
g , conviene sim plificar
J ~ 2
- 3 <x< 3
f(x):
X 10)
, si
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X * 2
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es
=^SuraQr4'. -1 ™
i n y e c t i vo .
pana todo
'*€ <~3,Z>
Pues:
J - i ( a ) = 5,(1»)
-a. a -
«4
a ^b
v a ^ b € < -3 ,2 >
-fe
b
5*U ) = - 1 - ~ “
e s ínyecttva
para todo
x e [ 2 ,00)
P|¿*s ;
5*<a> = f 2(b)
=¿>
a= k
^ ^ c io )
■ rrr=^f
0? = b*
"
(al = |b|
* = “
En
Jai.
512 ^
-
l¿l=a
¿ „ , » lbl=b
c o n s e c u e n c ia .
§-
in y e s tiv a .
- x
La inversa de
=
-i-*?-
4
es
< x
<.
2
X>;2
5
loo=J
zV~x^?
Com o:
3
, ■-
y por ta n to tie n e
,
' X « -2
£ « *
-x-4
x +4
9 x<-4 , -’4 ¿ x < 1
- VÜm
7
§ (x ) = -<
X2- x - 12 ^
U x <2
x ^2
.
Hallemos el dom inio de $*©g
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in v e rs a ..
Moisés.Lázaro C.
D o ro C j^ g )
:
A
x€ B o m (g )
X <-4
0)
sgcx> € D o m ( 4 * )
- 2 <- X- 4 < 3
•7< x <-1
A
-7 < x < - 4
x < -4
te)
- x - 4 ¿ -2
x > -2
A
.... ..—v ----■<p,
(3)
— 4 <x <1
- Z < *-f-4 < 3
< x <-1
A
- A i x <- 1
(4)
- 4 A XA1
x + 4 < -2
*<-&
A
Y
,J.
0
1* X < 2
(5)
A
.
-2 < - V ix^r < 3
2 > Jíx -í > -3
X <5/2
^ ...
< X <2
1< x <2
(« y
V
-NÍ2X-Í <-2
A
'
0
(7)
x V2
X^.^2
.....
a
~1 < x2- x - ? 2 < 3
3 i< ( x - i f < £ !-
UV3T* , ^ y n >C£r
z
2
(0 )
x> ,2
a
xz- x -l 2 < -2
C x - i ) 2 é 41
4
2 < * < 2 ^
Por tanto:
x*4
,
-7<x<-4
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Miscelánea - Problemas
8.32
GRAFICO DE FUNCIONES
ENTERO
Y S I6 N 0
CON VALOR A B SO LUTO , MAXIMO
OE X .
Para groficor funciones con valor absoluto, con máximo entero y signo de X,se
debe recurrir o lo definición de dichas funciones.
[7|
VALOR ABSOLUTO
lilxv , St ULtx) £ 0
En lo áefinicio'n de vaíor absoluto ’
|u ix )| :
J -U ü ) ,
UUx) < o
se observé dos cosos bien definidos,que son:las restricciones y ios ima'genes.'
Si ; u ( X ) * Oj
*>
uc x i l = + u (XI
si i u ( X } < O ;
=>
U(X)| = -
U (X)
IMASEMES
R E 5 T R ICCIOtsiES
Ejemplos
0
y=
12x— 1 1
y*
S,
I X - 1, SÍ I X- 1 * 0
IXI-2
,
X 3k 2
X* r2
X * 2
X-2
- ( 2 X - U , s» ex—t < o
V
-(IX l-2 ) , - 2 < X < 2
X
-X-2
, s í e x - i , x ai i/e
1/2
2
-2(X SO
1 - ( e x - i ) , x < 1/2
-(X-2),
O < X <2
Su gráfico:
X -2
y=
X* 2
-X-2
X«-2
X+ 2
-2 < X S O
-X + 2
O < X <2
$ 0 VÉRtm & M & l 2 X - 1 « 0 * > X * f/2
Punto crítico
0
:
2x - t * o *> x * 1/2
y * I lx l -2 I
fX I - 2 , si Ix I —2 ^0
- ( IX I - 2 ) , SI Í X l - 2 < O
Sus
Los
puntoscríticos; ¡IxI- 2|*o *> x* 2, x *-2
vartícds : (-2,0) } (0,2) ; (a,©)
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Moisés Lázaro C.
X"~ 4
^
, SI
^ t
-X*4*4
X -4 *
mi
-2 < X < 2
#
X ^4 SO
4#
X * 2 , X a* ~ 2
A C L A R A C I ON E S
f
Cuondo se define ei volor absoluto , se obtienen dos imogenes diferentes,codo imagen con su dominio restringido.
2. Todo io que se debe tener cuidodo es el signo del vofor obsoí uto , dicho
signo dependero' de Jo restricción de i dominio.
3.
si $e esta' analizando uno función con dos o mo's valores absolutos, es
mejor recurrir al método practico de los PUNTOS CRITICOS.
Los PUNTOS C R I T I C O S
se obtienen igualando a cero codo valorobsoluto.
Los puntos críticos par ti ció non a la recta real en la unión de intervalos4. Algunas veces la presencia del valor absoluto en las funciones están por
demos, porgue son positivos poro todo x 6 I R .
2+ x , si x - O
E jemplos ’ ( J )
y = I 2 + I x I f== 2+1 x I .= <
2 —x , si x < O
( J ) £n y =2 2 I x2 + 4 I - 2 x I x - 1 1
* 2 ( x 2+ 4 ) - 2x I x-1 I =
2 ( x2+4) - 2x ( x - I ) , s i x-1 ^ O
2 (x2 + 4) - 2 x ( - x f l) ,si x-1 < 0
2x + i
, x *1
4x*-2x + f , x < 1
Sólo fines educativos - FreeLibros
Miscelánea - Problemas
( £ ) En
{2 27 }
y = | 3 + lx l2 f - 3 j x2 4 1 j
m 3 4 1x I * — 3 (x*+l )
donde Ixl2 - x2
3+ x2 - 3x2- 3 « - 2 x2 /
© En
y&
3 f 2 4 lx l| - 2 Ixl
Ix* + 4 1 - I x 1*
-
3 (2 + Ixl ) - 2 Ixl
I x 1+6
X4 6
4
!+ 4 - x*
8}
6r«rfi cor lo funcio'n
-x+ 6
, si x i 0
, si x < O
f(x )= lx * -4 x + 3l - 2 |x -2 | + x|x|
Solución
se puede e s c r i b i r a s í :
í.
f(X)
2.
Puntos críticos
3.
f ( X ) = | { x - 3 ) ( x—t } | -
De | ( x - 3 ) { x - i ) | « G
~> x* 3 , x * i
De | x —2 | —O
»> x * 2
De
=a> X » o
Ix l» O
2 fx-2 ¡ + x [x|
Gr& fimr los punios críticos en fo recto reaf .
Así :
o
I
2
3
Los puntos críticos' 0 ,f ,2 ,3 han particionódo o la recta real en la
unían de cinco intervalos
= < - € 0, O> ü [ 0 , ) > U [ f,2> U [ 2,3) U [ 3 , + oo>
Codo intervalo es cerrado par izquierda y abierto por derecho.
4.
Ahora , hallemos las imágenes de f ( x ) •
Coda imagen esta restringido aun intervalo y el signo de codo valor
absol uto der endera de los valores de x en codo intervalo.
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Moisés Lázaro C.
f(x) =
a)
|(X-3)(X-1) i
- 2| x - a
I
+
xj xj
si x £ < - « , 0 > => f ( x ) s + (x2-*4x43 )— 2 ( ~x42) 4 x (-x )
cm
x~«i £ <-», 0 >
6} sixe-Xo,i>
conX— 0.8
=
-2x-1
=> f(V= {X2- 4x + 3)-2(-x + 2) + x( x)
6 Co,i>
= 2xz- 2 x - i
c) si x6 Ci.2 > => f(X) s-( x1-4x+3) - 2 (-x+2 ) + x (x )
conX»i . $€Ci , 2 >
d)
ti x £ t 2, 3 >
= 6x-7
=> f ( X ) = - ( x - 4 X + 3 ) - 2 ( x—2 ) 4 x f x )
COOX»2.3 £ t 2,3 >
e)
-
sí x £ £3, + eo> *> f {X)~ (x2- 4x43 ) - 2 { x - 2 ) + x ( x )
con x»5 € C3,+00>
5.
2X 41
=
2x2- 6x 4
Como sé observora ,en cada intervalo hemos lomado
un
valor arbitrario de
x que pertenece al intervalo y con dicho valor $e prueba qué signo tiene
coda valor obsofuto.
Por ejemplOjOn a ) con x»- t€<~«, o> ^eí signo de íx 2-4x***3 I e$ + {x2-4X43)
porgue 114 4+3 í »f+e I
; el signo de I x - 2! = - { x- 2 )=v-x + 2 porque
l - i - 2 l = 1-3.1»- (-3) - el signo de I xl = - x porque l- lI s - (-i ) •
£1 mismo resultado
:
f(Xt=-2X - 1, se obtiene si escogemosX=-3l-4,~8#
etc* que son valores pertenecientes al intervalo <-oo,o> .
De moñero similor se opera en ;
6.
En conclusión
f<X)
f (X )
b),c) ,d ),e ) •
es .*
2 X —1
, X£ <-00» 0>
2X2~ 2X - I
, X£ I O, t >
6X — 7
, X 6 C f,2 >
2X +1
2X^- 6 X + *7
v
X € C 2 ,3 >
, X £ £3,00 >
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,
En lo definición de máximo entero .*
^
u txt f K+1
2
se observan dos cosas bien definidas g>ue>son la imapn ,,K:,tqoe es un número
entero y la restricción de la; fene ion ujxt
si k i u í x X k + l
que está dentro del CORCHETE,
|u t x il= K,Vk6 2 .
ACLARACIONES
f. [ u i x i ] es un entero y Ja función utxtque seencuentra dentro del corchete,
esto entre dos enteros consecutivosfujy ffü]!-M,cerradopor izquierdo y
abierto por derecha :
2.
uixi < í u j + I .
[Tul ^ u(X) < f f u j + l es uno desigualdad que nos permitiréhaítar el dominio
(recorrido de x) poro cada entero ffu j .
3.
Es conveniente conocer affunos propiedades usuales de máximo entero,
que son:
Pt)
f u (XI ♦ x | * f u(x>3+ * , si
k€
2.
P2) C I u IX j I ! * I u ( X ) l
Sólo fines educativos - FreeLibros
—
Moisés Lázaro C.
(230)-
x-CxJ^ixiOA Cxl*o,il o, x€
f|) Ixí-fxJ
-‘X-ffx2íSÍ X<0 AIx ls ■-,-2,-1
-i , x 6
-Cx j rsf x es entero
P4)
tn x js X
hx < K4-1
y
r l x l - l ,en otro caso.
P8) I x + y l = f x l + íy J v C xlf fyH-1
Ke2 .
CASOS
C-x I 3
P) E*x J = Ex j + £ x + t /2 3
9.
o) si n€ 22* , «l intervul© I K tiene
b) siñ€¿~ } qL
Qí0 : Clc&rckete I 1 «s unentero:.»..-*,-s
cambia de
int erval o
.....
^
Dentro det corche.le Aay-funciones llix) que
están acotados por tosenteros "O * y* |j-M**
sentido ■
Ejemplos :
vltl-""
**
— —
SC £ ~ B - 2 y entonces 2 é ~ < 3 « * *<G
*n & x < n ÍX+D
**•.....-*>-...............’
S i H Vx-1 ][ -
-I k
entonces K 6 Vx-f < k+1
S iK í.o =^
x-1 < ( k + i )z
o) SI n e 7L+ *> I K se alargo.
b)
K *+l <. X < 1 K K + 1 )2
K = lo, 1,1,3,...,}
si n6 22 ~ »> I K se otorga y cambio de
5 t fljx - il ]|= K * * i í s I x - i | < k + i
sentido.
4.
K»o«
K = {0 ^ ,2 ,...}
En consecuencia-, cada vez que vemos una funcio'n con máximo entero,se
procede a dar un valor entero a
resol viendo la inecuación :
entero que s e le a s t g r e
5.
.
fj0)[[5X3 = [x|+C x+i/3l+ f x + 2/3 I
lonfí t»d
CASOS
< .
re
>»
luí
X)J y luego hollar los inte»votes para x
[ u J-& uw < I u I +1 > teniendo andado que el valor
a. {[uix)]| d e p e n d e , del RANGO de ta funcion ILO) ,
El gráfico de f <x ) = E u (X) J son segmentos a semirectas horizontales
que a su vez, son proyecciones verticales dé la funcio'n y = u(x) en cada
uitervato (queresulta. de resolver la inecuación : C al £ UOQ < £uj + i
E JE M P LO S
(7 ) Graficor la función f ( x ) ~ I V 3 P j
So loe idn y
Sé
tie n e :
mw - í i
.
1.
Dom (f ) = Dom (a) : x^,o
Z .
Q m H m r
* t m á x im o
m
i m
o
:
& **
^
■ > F^an^{/u.) ; y>0
=[Vx 1 = K *->
Si K¡to *9
K ±
f x
k7 i
Sólo fines educativos - FreeLibros
<k+i
x dc+i)z
} k es entero
M iscelánea - Problemas
¿ ó i n t e t i 2 m .n d Q :
7 K2 ¿X<^K+1)2
*=to,1
■
0, 0 - x < 1
í ,M x < 4
fíK)SS
2,4-x < 9
D o m ( f ) = x 6 C o, + # >
Rcmg.(f ) * ÍN s jo , 1,2,3 ,— |
(2 )
.G r a f ic a r
to función f ( X
J
Soluc ion
f.
El
g r á f i c o d e f ( X) so n r e c t o s
>ucws -
X+3
2. D o m (f ) - x 6 IR -
3.
horizontales,proyecciones v e rtic a le sd e
3 l = D o m ía } • , Rong ( f ) ~ 2 .
t
-2
< -f
X+ 3
-1
X+ 3
O a—
f(X )=<
1
:—
<O
< 1
X+3
J & _ —— . < 3
X+3
< 4
X+ 3
0
, X€ [-5/2,2 >
, X€ [ - 2 , + ©>
, x e { - ® , - 4>
1
, x€ C - 4 , -7/2 >
2
, x6 c - 7 / 2 , -10/3 >
O
, X€ < - » , - 4 >
-2
- 1
f(X) =
f CXJ as -1
K
-4 J-3 -l
, X6 [ - 2, + 1» >
v P r -( 3K+l) ,-( 3 K+ 4? \ _ r
■XfcL K
’ K+1
/
K
K
O , K * - 1 , K€ Z
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Moisés Lázaro C.
( J )
Graftcar
f {x )
ix M ]
Sol uci ón
1.
£1 gráfico de
f ( x ) = £ X2- 4J
son
los p r o y e c c i o n e s v e r t i c a l e s
v ol o
def i ni do en
Dom (f ) » Bonr><u) *=. ÍR
3.
D efinir el máximo entero
£ X2- 4 j * K + + >
K+4
i
K ¿ X2- 4 < K + t , K € Z
A
X2 < K f 5
k +?<
x <Vk+T*)
SI X + 3 > O
K — -4
K >-5
Los intervalos para * ve>-4 tienen
K62
m r n m ii -vlt+ 4 1
/
k+T
/
k+ ?
laforrnQ ■
esto in te r se c ció n se cumple só lo p o ro k * - 4
KSZ
Poro oigunos enteros K - - 4 ) fafuncio,n f { x ) es
f (X ) = {
en codo i n t e r -
OU*) es un polinomio
K + 4 — -O
- / x T iP
X 2- 4
...
; porgue
m ( x í n/km1 v x ^ - v / í f í T ) a ( - V
Sr
h o r i z o n t a l e s , que
K4 4 ¿ X 2 < K + 5
4+
X2-
d e l g r á f i c o 4c
<zl p a s o 3 .
2.
♦*
son segmentos de rec t os
-4
,x é < -),o ]u C o ,i> = < -i,i>
-3
, x6 X -v^.-iJu
-2
, x 6 < - V T , - ' / 5 1J ut/J.v/S1 )
-i
, x £ < - 2 , - v ' T , 3 u [ \Z3\ 2>
o.
, x6 <-vSV* 3
i'
; * 6 < - v í ’ , - ^ 1] u l v ? 1 , # )
z
, x € < -v ? V v?1 > u
[ i . v T 1) -
u [* .vT>
>
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.
Miscelánea - Problemas
@
- 0 —
G r a í ic c i r : f Cx) = DL<=osx|
Solución
jt
i)
En
-fex) = [ c o s x j , s e t i e n e
D o m (a ) : x€ IR
¿ux> = c o s x
RanoíAx) : Y € E l
^
11
\
V^f
/- 5
J
-i»
-ij[\
íw i
~1T
5^-.
«4— 0
3T1
O
fW
o
4 OomT^)= Dorn(u) : x€l&
1)
Ahoroi definimos el ma.yor entero
E co s* 1 = -1 ^
- l^ c o s x
-
([COSX J
V
~ <
X
Como
<O
< -|*1T
V
- H c o s x ^ l ^entonces t c°Sx]J={-1>oi}
.
¿T T
<
X
,!(» « ) „ « « W f
< 2JI V . . . . . r U
J
Kspar
T~~ * — 2—
L
ssO . >► O - COSX < 1
.....v -a ¿
X íf
v
ft is x s
5. í t v .....
- ^
x*o
[ 2 * ^ 2 , E í E 1]
K=impw
(|í+im
n ca
£cosx J
=5.1
*-*, f = COSX
, no puede s e r :
4
X - 2 K.TT , X € 2
1< cosx<2
En consecuencia , lo regla de correspondencia de f ( X) = ¡ [ e o s x j e s '
’-l
f (X) =
'
0
1
O TR O S
( 5)
G ro fic a r
, Si * € ] & £ ? * , « ™
[
. , « _ par
, sí * £ [S ™ ? , £í¿2L"]-{<K4i>rr}
^ K= Cmpar
, Si X •r.zn'H
E JE M P L O S
DE
FUNCIONES CON
MAXIMO
EN TER O
f (x )= 2 [ - 2 X - 3 J + £ - 2 X 4 - 6 B - 2 X
Solución
f.
Aplicando la propiedad
f (X)
- 2 (1-2X1
?
= 2 l-2 x l-'6
-3 )
P, , la función f { X ) se reduce a lo siguiente !
+ I- 2 X J + 6 - 2 X
’
+¡[-2Xl + 6 - 2 X
= 3 't - 2X J - 2 X
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Moisés lázaro C.
2. Definir t[~ 2X Upará todos los enteros — , - 1, o. i,•••
y
y lo función f(x) se reduce o lo siguiente
De f ( X ) =
“ H-5
--*4
3 Í - 2 X ] I - 2X
«SNTFRO
f (X ) »
3 (-1 ) - 2 X
,
£i - I Í - 2 X
3 (O)
—2X
,
SÍ O - - 2 X
3 (i )
— 2X
,
<.0
<1
I — - 2X < 2
— f— — —
-
, O < X *
- 3 - 2X
- 2X
¡s:
1/2
1/2
1/2
, -1/2 < X ^ O
f<X) - <
3
\
-1<
X — — 1/ 2
^
D o m f#)
@
s R
■
' ~ f* a n g (* ) =
?
J r * r * í u í ° j [ u
[*> 5 [u
Grafícor f tx » = f x f f j ]
SOLUCION
Tener en cuento Q u e f-j-J y | * f ^ | | son enteros .
1. Dom ( f ) == x €
- { 0 } == <~po,o > u <ó, + ©>
2. Analicemos paro x>o y poro x < o
A)
x >o
Para
Definomos|~-j==n
B)
pora n= o , 1,2 ,3 ,....
frl =n
Defina mos
W - "
Bf)
;j.j= 0
por x
xJ y
I
í* [
=*
t
~
0 aíi - ' 1
-L a -L<1 ^ x >o a 5lS o
J = 0 «-► x > t
P o ra
si
x<o
J == n , si n =
<-> n -
,-3,~ 2',-
<n+-i
n =-1
B-I=- « -V-T <O
|
<->
x
-1
miiftiplicor por x = - m , m € Z +
■
* > ’
É =0
f(X)=0,SÍX>1
Sólo fines educativos - FreeLibros
Miscelánea - Problemas
A J si n >o :•
2
n *+
w
Aplicar.máximo entero
n -
—
< n +1
x
,£ xÍ t J .<m + i
x > —
x
n+i
n
m -
f(x)
-m
por x :
x £ - * -] =nx
£
«-»
*
x
> -
(m+ t )
a nx >
f (x) = m
[ f j =nx
x ( - i ) <m + i
< nx ¿
n+1
-(m + 1 ) < x
<-m ,m € Z *
1
B 2 ) si n < - i , e s
d e c ir
4,-
n=
3, - 2
definimos!
<-*
o < nx
< 1
v
n x *i-í
n -
- y- < n + 1
x »
x é ix|t
J
n+1
£
XI T i l i = 0
iP o rn
.s' x = jr
x í{ 7 ] 1
<
nx
í
—
n
= 1,s¡ x = y
O <
nx
-
1
s>
I f( X) »
1, SÍ XJS*—
Resumiendo.^
O , x >i
f (X) = i o
í
• “rTiT< x ( } ' " e z +
, x =*— , n é H +
J -J x
a°
V
[ijx-'.sixzfi
f ( X)
f<x) = 0> si
< X < -y-
Hs-2,-3,-4
f(X) « 11SÍ X = 7P
n --2,-3,-4,...
Resumiendo!
m ,-( m+i) < x <-m , m 6 Z *
f (x)=
0
• n Í r <x < Í T > " » - * c > .
Sólo fines educativos - FreeLibros
(? ^
Graficar
f ix í = [
xJ
4* £ - x
J
n o ta : T<znar cotejado enophear
<zl mayor. ísajtS&o a funciones.
Solución
1. Úominio .* x € IR.
2. Vamos a definir [ x j y I~xJ
A)
si x * n
# ( x l *B ff
n
V
\-*¡[xl+ E-x 1®
=- n/
*
Por ejemplo *.
De
1<
2 sed ed u ce;
l
1
Aplicar EL1
Por -1
4
4
W s»
i
ApUcar C H
"n + " _ T = o
C.-X-J--2
D e. t < * < 7
í ñ+1)
- ( n f i n -*x < - n
»
V
.(£-* J * - ( n+r)
, se deduce:
? 2 3 4 «l c^ ?
St HX <2
=1 3t 5$*<A-»|xl]r5
si ^éx<34 0XB =2 5¿
Si 3á,x<-4=M£xf::3
Si 4i x< *5^ Cxlc4
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M iscelánea - Problemas
Sumar:
f ' x J + C -x 'J * n - ( n + i ) »'-1 t si n < x < n + i
0 r si
0
3. Luego
donde
f (X ) * | x j + f - x J =
si n < x < n+1 , n 6 Z
Rang ( f ) = { 0 , 1 }
-3
-2
•-
8)
-1
x * n *n € Z
t1
•
•
I x - H x U I , si 1 x 3
es por
| x - C x +12 [, si C x I
es impar.
Graftcar f (X ) = <
Solución
1. A nal i ce mos
f,tx)= | x - ttxfll , [[xB es'par
si £ x J es par, definimos;
lx j =
'
2n ~ x
2n
>»
X
< 2n + f
,nez
e [ 2 n , 2 n +1 > = A
Luego .*
x - 2n
, si x —2n - O A
xBA
.....
*r\
2fHI
Jtn
■ i — w*n
*€[>n»2n-H>
1x -2n I =
tyx) = I x - 2 n I = x - 2 n
f,{X ) = x ~2n , x 6 [
, s i 2 n -c x < zrM-1
zn
, 2 n +i >
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Moisés Lázaro C.
x +2 , x € [-2 ;-i> ,si n = -i
, x 6 [ 0 ,1 > , si n = o
x
X—
Z.
2 ,
Xe
[ 2 , 3>
Ahora analicem os :
sifxj
[
es
1
=: l x - B > + 1 ] } | = t x ~ f t x j - i j
i m p a r , def i mmos
x 1 = 2n*M
Luego !
, si n -
<~t
2 n + 'l ~
x <
2n
++
x 6 [ 2 n + i ,2 n + 2
+ 2
>= B
| x - ( 2 n + i ) ~ t | = | x - 2n - - 2 |
Donde
x —2n*■2
, si
x-2n~2
- o
a
x 6 8
*¿.20+2.* X$B
.
2ívm
zn$2
1
•
20+1
¿U ^
2H-+2
|x-2n-2|=s
•*(x **2,n — 2) , si
|x-2n-2l= - ( x - 2n -2)
Luogo :
f2í x ) ~
El gráfico de
J
2Í141 ¿ X < 2n+2
-(x-2n~2)
*-x
,
x -2n - 2 < 0
a x € B
X <. 20+2 A», x € B
,X £ [ 2 0 + í , 20 +
2>
ne2T
, x 6 [ -i ,0) ,s i n = - t
-X + 2
, X€
-X 4 4
, x l [3,4>
[ 1,2 )
, si 0 = 0
, si 0 = 1
x " 2n > * €
| -(x ~ 2 n -2 ) , * € [zn+i,2rt+2>
Donde
Rong = [o , 1J
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Miscelánéa - Problemas
m)
SIGNO
DE X
-i , sí x < o
o , si x = o
Lo definición de función signo de x es .* sgn( x ) =
D o n d e : Dorr>(sgn)= fR
R o n g (s g «) = {-1 ,o ,1 J
[
f , Si X > O
Pero, sí en lugor de "x " se escribe otro 'función u(x), entonces definimos*
, si U (X ) < 0 Bon(sgou<x)) = Dom(u.y
r- i
sgn{u(xj) » < 0
, si U Cx i » 0*
1 , si U( X) >0
' A
A
Limdgenes
Lr esfricciones
Donde observamos que las imágenes son-¡-1, 0 , i} y los re stricc io n e s Son
los inecuaciones: u(x) < o ? u(xl > o
y la ecuación u(x) =o que deberán
resolverse paro hallar los valores de x.
Ejemplos
@
G ro fic a r
f ( x ) = sgn ( x2- 4 )
$ a lu cia n
f.
signo de ( x 2- 4 ) , se obtiene ;
Al definir la función
y
- 1 ,SI
h
fíx)ssgn (x2-* 4) =
X - 4 < 0
0 , Si X2 - 4 = 0
*
1 ,
-I
f(X) ss
Luego :
SI
X
, SÍ - 2 < X <
O
,S Í
X = í 2
t
,S i
X >2 V
- 4 >0
2
2
-2
X <- 2
2
. ' .
Dom ( f ) = É
Rong ( f ) = | - i , o , i j
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y=-i
X
Moisés Lázaro C.
(? )
f c x)
G ra fica r
‘jQLüctQN :
•1.
2
=
sgn
v^x-i1
.
tiene u.(xi - / xh T
D o m ( f ) z D o m (u ) :
x -1 > o
=>
x > i
Al d e f i n i r si gno / x - i \ obtendremos'.
2.
2 ( - 1 ) j si
< o * * e s absurdo,.
f(-X)sfi|2(0) , SÍ VrX;- l ‘ *Íp
X t i ) , SÍ
y ^ n
>0
I
'fíxr=
8,32.1
o
, X = I
2
, X
3
a
>1
GRAFICO
OE
FUNCIONES
COMBINANDO E L V A LO R
A B S O L U T O , CON M A X I M O E N T E R O
(T )
2
Y SIGNO
DE X
Hottor el dominio , rango y bosque ja r el gráfico de la funcio'n f
definida en JR por *
3- x
f (X ) * -
1*1 - t x J
Solución
t.
Como
fe XI
es una función raciono^ entonces e I denom inador debe
ser diferente de
cero.
Es decir *
; Txi- Ix l * 0
o
| xf # f x |
, donde [ x ] € 1
Resglver: J-x.I s f * ] ** Cx 1 ~ O
x>o
A
j x = ff x J
A
V
x=-£xj j
V
x =0
|
¡hT~
Luego:
el conjunto solución de Ig ecuacidh IxI — C x 1 =s o es fcs-rN
3. Por tanto :
Dom (f) = x e(/R -IN )
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Miscelánea - Problemas
4. Definamos el valor absoluto Ixl del denomnodor de f(x) y asi obtendremos dos fom i tíos de funcione s
Veomos !
Oe
fu )
*-
3 -
x
Dom(f) = IR/* IN
ix r - ix 3
si x ai o , entonces
3 — x
f un
x -E x J
3 - X
X
f i x )«
0 < X < 1
•
3
X
X -
I
si x < o , e n t o n c e s ;
1 <; X < 2
2 <X < 3
.
3 - X
X-3
-X> I
X-í
3 —X
X-3
-X + 2
f (xl*.
3 - X
%;-* x*
-x - E x 3
3
1
• i * x <o
X —2
x
, - 3 & X <- 2
r4C4*3
X - 2
I z J L r-i - 3 < x < 4
X —3
,4
3- X
X -3
-X4-4
X- 4
< X <5
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-4 -
X <-3
.6.
Rong ( f } ~ y
€
> ü
f - 1 } iJ <o, + »>
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M iscelánea - Problemas
(T )
sean
t)
f = j ( x ,-|- v /» - x * * ) / l x l - 3 < © }
g <x> »
sgn
—
[^ r K
( ^ “^ p )
,
Hallar el dominio de H i x ) » f ( x ) .g ( x ) + ft(x)
ü ) Bosquejar el gráfico de H<x).
SOLUCION
i ) DOMINIO PC H (x )
1)
Dom* ( H ) == Dom ( f ) n O o m ( g ) n Oom ( h )
2)
Debemos bollar el ddmmto de f , g
y h.
Veamos :
3 ) Hollemos el dominio
Como
de f
fex)38 *1“*i / t - x ] , si ix I - 3<o ; entonces el domiiiio de
f es :
x € Dom { f )
*->
9—
<-*
H
«->.
— o
X2 £
-
-3¿
X i
a
9
3
A
A
X 6 <-3,~ 3 >
Dom (f ) a* x € < - 3 , -3 >
Luego ;
f <x) » y
v4 - x2
lxl-3 < o
X < - 3 ,3>
Sólo fines educativos - FreeLibros
IX I
-3
<
< 3
X <
3
Moi e Lazaro C
4.
Hollemos el dominio de g ;
Como g{x i = sen ^
a si
^ 9definamos
la f u n c i ó n
.
g <x>
x + ?- s o
, VJLiLza
o
*
i
X- 2
X = ~ 2
,
^ J L íjL > o
x € <2 ,+ © >
X—2
Resolver
signo de u(x
— -■>
O
X- 2
X
>- 2
-2
Bes0(v#r: v ^
A
X-2 < O
A
X < 2
2
=
X -2
Resol ver ; J Ó í £ ¿
x -2
>o
VT+T > o
A
X- 2 > 0
x >-2
A
X > 2
4*
-2
2
x € < 2, + oo >
5.
Ha f i e m o s
Como
el
h ( X ) '=*
éo m in ió
de
h.
2X+6
X+ 4
2+
2X + 6
] -
2
X+ 4
f
—2 x
-e
-
I-
-2
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2
Miscelánea - Problemas
llf x )
X 4*4
A n a liz a n d o el denominador, obtenemos
6.
Ahora , hollemos la fundón
H íx )
Dom(h } =
f (x ) g (x r
IR —1 - 4 }
+
h .ex-)
Lo formo mos sencillo de hollár el producto f.g y lo sumo f.g+h es
diagromondo en lo recto reol codo función r poro observar y hallor lo
intersección de los dominios y luego operar el producto y la sumo de
funciones:
7.
^
,— — t
i3. / 9 -x 2
Por. tanto
~ \Z9- X*' ( - 1) + 1 + £ - - ^ - J
ffx >gc xr *h(x) a 4
V 9 - x*'( O ) 4- 1 f £ -
,-2
j
< X < 2
, x*-2
2 <x< 3
3.
A h o ra d e b e m o s coi cu la r
valo < - 2, 2 >^ en el p u n to
Para ello
p ro c e d a m o s
En
Sum ar
4
:
v a lo r d e l e n te ro t **4! en
ínter
x = -2
y en
intervalo < 2 , 3 ;>.
Qt
a c lo ta p i
:
-2 < x < 2
2 < x+ 4 < 6
Sólo fines educativos - FreeLibros
Moisés Lázaro C.
Aplicar I B ' .
b)
~
1 = ~1
3i x =-Z =»
c)
En
2 <•* < 3
£ < *+4 < 7
Sumar 4 ;
in v e rtir
:
±
> ±
> ± -
. 1 < -_ 2 _ c '- i -
p or - Z
3
x+4
-V3 -V7
Aplicar t í
7
O
>
En consecuencia* lo funeidn H ex) se reduce a lo sígte :
, - i < X < 2
Htx)
X = - 2
—
2 < X < 3
— x?i
10. El gráfico de Hfx)
;
Sólo fines educativos - FreeLibros
Miscelánea - Problemas
©
Sea la función
y = f ( x ) . definida por f (.x)
VZX^~161
=
|
[x * -i
ó } Ñafiar eI dominio de f .
b } Gr af i oor f ( x )
Solución
a)
Hallemos el dominio de f analizando la rai 2 y e f denominador i
x e Dom ( f )
44
x* - 1 6 -
44
x* a 16
O
A
[ x * - t
;
A
R - f
44 ( x 3*4 V X flft-4 )
A
44 ( X — 4
A
V X
4 )
■ -y y r
*4
■-ÍR -
6 ]¿ 0
x6 I R / £ x * - « I - o f
< -v1 tl-4 3 ü
C 4 ,|# l >
< - ® , V ? 7 j U < - 4 , 4 > U [ v / f ’. - f ® )
-4
4
v^1
x € < - » , -y ír1 l u C v ^ . + é > - Dome*)
Luego !
Oom ( f
x€
)=
y/ñi
<-oo
J U
Cy/íP.+oo >
, V i - p * 4-12
Al resolver
f XZ- t 6 Í = 0
44
xf —
44
O * X - 16 < 1
44
® á
16
XJ
A
( X - 4
V
XSÉ-4
I
17
x* < 1 7
• !
44
<
:
A
- v'F1
'
< X
■
<
VTP
-------:---- -— —<|HüiltlIilÉA
-X w m m m ►
-
—4
y/W1
x € < - # , -43 ü C4 .-VW >
Sólo fines educativos - FreeLibros
Moisés Lázaro C,
—
V x 2- ^
se obtiene f oVifmente dondo valores
b j £ I gráfico de f ( x ) «s
f x ’- . J
enteros a £ x 2- 4 J , tal que no seo cero y teniendo en cuento el domi„ nio de f .
El problemo
en esje coso , consiste en precisar <fcon que enteros
empezar o operar ?
Veamos
Definimos : f x 2~ 4 j »
x
k
** x* - 4 < k-m
K+ 4 e
x2 >, K+4
( * ^ / k +4
X2 (
; xe?
K 4*5
x2<K+5
a
V X S - f iS h l) A ^ ^ K Í i
-v¡s? -v E íí
«
< X < /
/ES
M
k
+S )
-V W
" )
Para Inter Secta r con e) dcvrumn de í , debe
ser k+4 =17 =$> * - 13.9 K>13
R e su m ien d o.
x € ]-V * + 5 r v /íS ]u [V k S ^ ^ s C
H * t = ¿ ¡E ±
K
'
K€2.
x e ] - /i- v ^ J u C v 'ñ , vlg^
tí
’
,
IÍM
; k> .13
X6 ]-V?5, 0 Í J u [vfíe v i ? £
, ^ ].v S i. v ^ } u [ v ^ iN^ ,[
Sólo fines educativos - FreeLibros
Miscelánea - Problemas
(7 )
seo
lo fimcidh real
o ) Sra fie o r
f (x i = | 2x - 1 1 - 1
g <x )* .f
)-
b ) si g (x) esto definido enCi/4,3/4>
y h (x
ía inversa de u (x )
graficar
)Va
g (x ) , 1/4 * x < 3/4
hCX 1, X * ; 3 / 4 ,
c)
Hallar la inversa de u (x)
Solución
<
2.
f(X)ss
)= | 2 ( 2 X -I ) - 1 M * | 4X - 3 I - f
f ( 2X- I )=
f fl-2X)J I
« |— 4X4 11 — I
» Í 4X- 1Í - 1
Luego .*
| 4 X- 3 1 - 1 — 14X— 114- i
- Ahora analtcam ós las valores a b s o lu to s :
|4x-3l y |4x-l| .
( - ( 4 X - 3 ) - ( - 4 X + 1))^,SÍ
_
X < 1/4
| 4 X — 3| — ( 4 X - 1 [
[ - { 4 X - 3 ) - ( 4 _ X - 1 >]£,S¡ 1/4 — X < 3 /4
2
U X - 3 - ( 4X- . I
?SÍ
X*3/4
. Los puntos crítico s x - ’/4 H ^ - ^ 4 disiden (párticiónan) a la re cta recxl en
tres intervalos • E n acida, interva lo s e a n a lie a el sioiio d e c a d a v a la r ab­
soluto .
•
■
xo/V
L o fu n d a n §o<)
x ^.3^4
>/+¿x<^4
«/4
3/4
re d u c id a ( e-s v
✓
1
gtx):
, X < 1/4
-4 X + 2
, 1/4* X
< 3 /4
-1
, X * 3/4
Sólo fines educativos - FreeLibros
Como uí x) y su inverso son simétricos con respecto o lo recto ys x,
entonces
el g rá f i c o de lo inversa de u ( x r se obtiene por .simetría.
Veamos
c)
Como u íx) es
I-*
hallemos lo
inyeetivo r entonces existe ta in versa de uexv.
inversa de g
tíoser § í x t » y
«I
tx) = -4 x + 2 ;
x
6 í 1/ 4 , 3/4 >
y =s-4x + 2
4xss_ y + £
X 3S -J- y 4
t ye <gt3/4)t9(1/4jjt*'<~1,il
f*«y)
=> . g~?{x ) « - ¿ x t *5- , x € <-í,i 3
2^® Hallemos la inversa de h(X) == -j- ( x
Hocer h (x) = y
=>
y =~-(x-*|-)
Sólo fines educativos - FreeLibros
+ 2
+2
x * 3/4
M iscelánea - Problemas
< §> -
/
=S>
3
A*
t
;
'
(
x “
=>
l >
-
í
i
H a
K
II
V
í
x = — +
\/y-2 , y 6 [ h1 3 /4 ) , h<x-k»>) = [2,+®>
.
h-'(y)___
=>
■(,-» ( X ) s a i + 2
Por tanto
y / X - 2* , X
. i x +
i ,
6 [ > , + » )'
X
U*'(Xj
i
+ 2
, X[*,+•)
Solución
1. Ho Mimos en I - * logar el domio de f.
Poro ello ano Meemos el denomino dor y la ra i2 cuadrado, asi':
x 6 Dom(f)
*-£*1«-*
2 -íx J > o
W
£x I < 2
X
0
a
2- f x j # o
<2
DOMIN 10
2. Definir el valor óbsoluto I x I
«n
x < 2/
Ixfft-x
3. Al definir txl ¥ x a ki función í m se desdobla:
V2 -
f si
xxo
ttx i
f <*> = <
x -S >l
, si o * x < 2
\/z t 3
Sólo fines educativos - FreeLibros
X <0
1x1=3,
°00x<2
punto crítico
de 1* 1; es x=o
Moisés Lázaro C ;
4 , Ahora J definam os
m ayor
entero
ÍL*I
^xeiR/x<¡>..
Una m anera muy se n cilla efe definir el MAyoR e n te ro [x]] pana x<2
e s o b s e r v a n d o e n la re cta r e a l .
Ix B r -2
-OS
A sí
tx != -i
---------- -o©—
-2
-2*x<-1 "1
“í+ x co
#
1x11=0
O
ix i- i
—:
O*-------- — ■
— —O
0*x<l
I
1¿x<2
Z
fcx> e s :
X- I
, si 1* X < 2
X
vT»
, si 0*X < 1
f(X) = -X + 1
, f» - í «
X < 0
V T
~X+ 2
2
~x+3
,
-2 * X < - 1
*
-3 ir x < -2
sea la f une ion f ex > •
x I x —I xl I
Hollar el dominio y rango de f.
lxl-|x 3
Solución
1.
EL Dominio de f ;
x € Dom ( f )
A noli zomas safo eí denominador '
<=?> I x l - f x J ^ 0
si x& o
•> [x ]»x * > x € fN
<»> l f - { x € IR /tx i-1x1=0}, donde ‘f x f - fxf*^
V
^ si X <0
<3s>
tu s
s*x|x|*-x m 0
- | o , i , 2 , 3 , ............ }
=> Dom (f ) = x € { IR - IH)
Én lo recto real, el dominio de f es
2.
Rango de f
Pora lid llar
- 2 - 1 0 1
2
3
4
5
—h — <— - o— o—-o— o— o-— o-
el rango , definir el valor absoluto y
el máximo entero en cada intervalo de lo forma
< K , x+f > para k* o ,i;z,...y en cada intervalo
de lo forma [ k , k + i >
pora
k = - i . - 2 . - 3 , ......
Sólo fines educativos - FreeLibros
M iscelánea - Problemas
X I X -x i
x- 2
X IX - X I
- ^
2 < X <3
o
, 2 < x <3 , donde y = o
o
, i < x <2 , donde y =o
, o < x <i , donde y = o
?
1< X <2
o
X I X - XI
X -0
,
0 <X < 1
-2 X
7*i*x < o, donde y€ C-ifo>
1 -X
X 1X4X1
-X +1
, -i e» x < o
X I X+ XI
-X-+ 2
^ -2 * x <-i
X -1
-
f u>*
s>
X 1X4X1
-X + 3
;
- 2X
2- X
- 2X
3- X
, -26 x <- t , donde y 6 C-2,-2/3 >
, -3 6 x < -2 , donde *C-3 ,-e/5>
-3 6 X < - 2
Rong (f )®fo} ü r - i , o > u [ - e . - e / s ) u [ - 3 , - e / 5 > u
3.
G rá fico
de
f(X)
Sólo fines educativos - FreeLibros
(0 )
Moisés Lázaro C.
---
^7^ Hollar el dominio* y rango de los funciones
a)
f ( X ) = /ix l* - I ( x l
¿I ’
x | x - Ix I I
b ) g ix ) = SOLUCION dt o)
t . CALCU LO D EL
Anúlizor
P O M IN IO
lo S & b ra é ic Q l
DÉ f
'
.2
Ix I - I Ix I *#>2 1 £ o
f
tf
I
X I*
85
x2 - ( IxI + 2 } ^ o , ptüs s i. .
*
X2
. '
,
.. .
.
i frx>+?fa fxL+2 , porque*/1x1+2¿*o V x € IR
ft X - Ixl - 2 £ 0
■■ ■•*»»-*
At )
SÍ
X ^ O
Ix I =8X
=>
X2 — X— 2 ^ O
At« x e [2,+»>
-I
O
2
( X - 2 ) { X + t . ) áf 0
Af )
si
X <o
*>
x 4* x - 2 ^ O
( X + 2 ) { X- l ) ^ 0
.m mó
-2
l y - d
O
1
A2 =
X
e <~GD , - 2 ]
Sólo fines educativos - FreeLibros
Miscelánea - Problemas
Bf ) En lo 1~ imogen
f t( X ) s y
02 ) En la Segundo imagen
, ( X ) = y = / x‘ + x - i
ss y / X 2- X - 2 1
x2 - x ^ - J L - ?
y = s -/ x * + X + -5 --y --2 l
y * y/( x + ^ - f - • J ^ 1
sí x € C 2,00) ~>
=>
X - - í - ái —
2
como Xe <-00,-2 3 => X ^ -2
Xi 2
2
•
=>
X+
— -2 + y
t
=>
{ X --1
v
a, / i x - ± f . ± ' é
>
/ w ¿ 1 %*
{ X + j
/
-
•
—
y —
~
O
t o qc/e l o s e x tr e m o s son po
s it tv o s D o r a ”
to d o x íz—Z .
y *
=>
04
e le v a r
c u a d r a d o , puss
0
O
r
=> / ( x + 4 - ) * -
4 ./
- 0
y- o
Luego .* Rong ( ff ) = y 6 C o, +00 >
Luego
Rong ( f2 )= y 6 C o , +00 >
Por tonto el rengo de f será : Rong (f )= Rong (
)
U Rong (f¿)
= y 6 [ o , + oo >
S o l u c ió n de b )
§(* ) =
x | x- ixj|
)(l+ \/C x fl-x')
1. Para funciones que tienen Raíz c u a d r a d a ^ lo primero que de be reí h a ­
cerse es } ánaltsar Iq subradtcal .
£n ®ete problema haremos 1
x -IM ^ O
a
E x l-X .
- x + í j x i so
a>i ^*
Ex. B < x
a
La solución d e
a s t a in e c u a ­
ción e s todo flR
¿)
x ^ E *3
t a soiucioh d e
es t a in e c u a c io h
es : S .
La inecuación : (T x Il< x < E x | l+ 1
s e cum ple -para v x £ |R
Pues : 1 x 3 = K
«=* K 6 x < K + 1
^ |xl<: x < E x l + 1
Sólo fines educativos - FreeLibros
Moisés Lázaro C.
íi)
x * í* l
<£=>
x = |£xj
X < Ix-J
'------*
2.
Como
%(k > -
'2
H*>
Hoq. u(y)
siendo <
{< * ) s x | x - I x l j
Danr»(4) = ÍR
^Ot) z 1 - \ / x - |[ x ¿
^
ÉNarn(hl * ÍF?
ttcx> = 1+ V l M - x
,
D o m (U )ís Z
S e iendm t : Dom (%> =. Dom ( i ) n D o m (h i n Q om Ou) ? h o o ^ o , ucx>£0
2:
3.
¥
x6 I
s e cumple
Lyega :
1 \/* - f x D
sgtx) ss x| x - t x i |
,
l x -( - x ) |
= í1-2X2
°
st x ^ o
»
-2-1
*
3
4
5
y s í x<o
X
4 - - -2
? xs l ~
*e 2f+w{o)
« r -
,’
é - ...... - 8
4 R a n g (§ ) = { o >-2 J - 8 ^ - t S - - , -*** . . . . }
K e a r-.
.
PROBLEMA : Docks Iq Luncion
Se
=0
V
? x €']£*« {o }
■i.x |2.xt
S<x> =
\/|xJ - X
, x€ %
x|x- x |
O
A
=0
&s/- X
t<>0 =
-9X-2Q
- I x t 8 | -t-x
|x+3| + |x+G| + |x-1{ 4 -x + 4
p id e :
a) Hallar «d dominio de f
b)
SfCLficcir
c)
Hallar el
f (x).
Ba¿N©e de {• .
SOLUCION
1-
En
Primer tugar
La
re s tric c ió n ( O
a n a liza r t£x
Ra í z
cuadrada
universo) 2 S - x 2- 9 x - 2 0 > 0
'
•
4=4 x24*9x>20 ¿ O
44 (* +S)(x + 4 ) < 0
2. En Seoundo logar
anáLizor el s i^ n a de cada
va/or a b s o lu to } a p a rtir d e - 5 £ :X é r - 4
-5
-«
X € C -5 ,-4 ]
i
« um ar 8 :
3 .< x+8 <. 4
i
|x+8l=x+8
sumctr 3
- 2
±
x+3 ¿--1
IX+ 3|=:-x-3
sum ar
q
i< :x + g f2
*
Ix+6|s * * £
Sólo fines educativos - FreeLibros
sumar -1
- g < x- i ^ - 5
i
|x,t|s-.x+1
Miscelánea - Problemas
3.
. Sustituir en f t x ): $(x) - — 8 y^-x2-9 x 20 -(*+S)+x
- x-3 +* +G- x- M + *44
8y-X -9X-20 - 8
,
■f«) = \/-x2_9 x-2 0 -1
x e e -s
-o
¡y
-* -4
r H : ......... ...... -Vt
-i
c) calculo dei rango
a
p a r tird é
S u m o r l.
* -4
“ 5 ~
“t 4 *+§
* .< * ♦ *> * 4
<CÍ
V
)l<o
O£ V
* + §• < ±
o
J-
y
V
0 Í 4
'
V
-1 < ^ - 1
sumar - í
0$
v
J >, ( * + f f > 0
í _ (*+f
, fo rn rre rn o s
- 5* | t x + | < - 4 + |
4
4
*
^ »• 'i
V
'iO
-4-
> ,-i
-j— ’
y
y
PROBLEMA 8
Do dos los funciones .*
l
+ X
f ( x>-
-1 <
>
/ixíTr
X*
S
I x I £ s g n CJt' lf
,
- 31
#
- 3 < x
< 1
X
|
<
4
§ (X ) ■
/ x
4 *
x'‘ *
f g
o )
Hoffor lo función
producto
b )
Hollar la función
compuesto
r
y
gr&fimrto.
Sólo fines educativos - FreeLibros
4luí*tr:
Moisés Lázatip C-
Solución de o)
I.
En
f(X ),
Ii b r o m o s
debemos
i nt er v al o
-i
si
U (X)
K —
<
x
< t , par a
< K*-f 1
del
máximo
e l l o t d e b e mo s recordar
i mpl i co £ U (X ) J -
K
a p ar t i r
entero
la
del
definición!
siendo k € 22
Veomos
si -1 < x < 1
=>
ex t r ae r
1 < X+ 2 < 3
sumor 2
RAIZ
invertir
1 < I X+ 2 I < 3
...
=>
i < \/T7777 < s/T
=>
I
1
>
>
V^IX + 21*
Com o: ‘ o
f
jé
I
/P
v'TxTi?
< 1
1
/P
f
implica
vT x+ir
Luego f ex> se convierte en ;
X
, -
t
< X
s
,
X 25 1
<1
f ( X> •
2. in g (X) , debemos
cuento
libremos
de tx I y de £sgn(X)J teniendo en
le resfriecio'n - 3 < X < 4-
Veomos:
X
\
i)
X\
I x ls —x_______ lxl= x
i. .. ■—
........ — i.
, O- X < 4
,
, - f < X <
'
O
—
—
-3
i i ) Oe lodefiniciónde signo de x ‘
- 1
sgn(x) =s {
, si . x < o
O , si x *o
t
, si x > o
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Miscelánea - Problemas
Deducimos
si x < o
entonces sgn ( x) =- t y por tonto f sgn ( x ) J =-1
si x
entonces sgn ( X )
s*o
si x > o
= 0
entonces sgn ( X ) =
y por tonto
£
sgn (x) J
y por tonto
[
sgn (x ) | =
1
= 0
1
ti i) Poro multipficor ios funciones fx| y [ sgn (x)J,se intersecton los dominios
Así :
(tsgntx)J = 1
ts^ncx)D=0
Es§n<x)]|=-1
?v) De esto monero , io función g( x)
se reduce o lo siguiente .*
( - X ) ( - 1 ) , si - 3 < X < 0
g<x> =
, si
( X ) { 0)
X* 0
x
, si - 3 < x
o
, si
x
, si o < x
x mo
= > g ( x )=
í X) (1)
, si
0 <X < 4
v/x- 3»
, si
46 X é 7
v / x - 7 , si 4 * X
^ _ 3 < x <4
X
g(x) = <
/x-3‘ , 4 £ X£?
1
3.
Como fas funciones f y g se han reducido a Jo sigte
f(x) =
< o
x
, -i
< x
5
, x - t
< i
x
, x € 1 -3 ,4 C
/x-3 '
,*X 6 C 4 , 7 3
g (x) =
Ahora, hallemos el producto f g :
Xntuttivonnenfe. es sencillo si observam os ern e l s ig u ie n te dicL^rcxmcL '
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<4
* 7
Moisés Lázaro C.
En coda interseca ton que observemos en el diagrama > Se ho u
Ce la multipltcactort . abien-ien dose :
'
5X
5 n/x- 3
•
s o l u c ió n
b)
de
^cx) =
-1 <x < 1
u x <4
x £7
,
*
Se pide bailar
*
,
V*Z?
í ó§
*£ > 3 , 4 [
— —
,■x c ' C ^ T ]
¡
i |
[ x
Ib
-f ( x ) :
>
,
,
LJ©
xe [T ,+ o o [
Com o
g
tie n e
dos
im á g e n e s
§
“*
^
f
tiene
dos
im a g e n ® 3
í =^
==
la
composición
f© g
la.
h a lla re m o s
X
5
en
4
p a rte s .
V eam os '
© i,
Dom ( ^
■ «)
j
x / x€ DomC^ a %,C'x) € D om (£ ,) J
X € 3-3,¿MI a
x € 3 -M C
x € j - 3 , 4 c n ] - i ; ic
- x e ]-i,i[
-3
(í»o 8 ,)(x j ¿
- Í 1 (x )
= X
, pues g, Cx)
1
-i
n X
Luego :■
©
t)
Dorri (f z ° § t )
= | x € / * e D o m (§ ,)
X €1-3,4 [
a
A
Sp<> € D o m C íz l}
x € [1,+ oot
x e ] -3 , a l O [1 ,0 0 Q
X €
C1,-4E-
= D ,4 L
üy
© ° §,)<*> .= f íf s ,(x ó
-^ ( y )
pues g, (x> - x ^
Sólo fines educativos - FreeLibros
Miscelánea - Problemas
lu e go:
(D
i)
(^2°§l)<X> =; 5 -y * € [1 ,4 [
D o m ( i 1D g 2 )
Z
{ X/
X € D o m ( § 2)
a | 2(x y e D o m ($*>
=<€ 0 » ,T]
A \^ 3* € 3 - 1^1 [
A
< 4t-%
-1
<1
t >/x-3’ >-1 V A
JR
<1
©S^X-3 AX~3<|
A x¿4
[V * [
- -Wy- —
@
i)
—
C3/*[
= 14,7] nC3,4C; = 0 Luego ; ^
}
f i° § 2
D o m ^ o g j ) = | x / x e D o m íS z V
XtGVU'
a
g 2cx) e O o r n ( í z )
}
a vT¡r? e [ 4 , 7 ]
4 ir s T x ^ ^ l
1 6 ^ x -3 ^ 4 9
13 £ x £=*52
A X C 0 9 ,5 2 ]
E »,7 ]
-
it)
(f20g2)<X) = í 2 (f*C*>)
r
f 2 (W X-3*)
=s U<2 § 0 *.
( f 2 0 g 2)(x ) s: 5 , X € [ 4 , 7 ]
J
* , X € E-1, it
"1 V
3U greifteo:
Sólo fines educativos - FreeLibros
x € t f;,7)
.
Moisés Lázaro C.
(0 }
PROBLEMA ai <3ra{¿car y hallar el ran^o de í<x) = | lx-i|-2 |
Soiuctoo
P ara
D e b e m o s d e s h a c e rn o s
d e los va lo re s a b s o lu to s .
ello pro c e d e m o s d e l stgtfe-rnodo •
^°) O b t e n e r t od b s fos puntos crí ii m s *-\ ^ I * * 1~ ° ja* x ~1
\ne. | lx - t f-2 1 = O
|y - l|- 2 = 0
f*) U b i c a r los puntos c r í t i c o s
X -í = 2
en Ja retóte resal.
•
*
-i
3°) E n
cada
a)
b* t
C)
d)
in te rv a lo
.
r4
¿anOffescif
!d e lo s va lo re s a b s o l u t o s *
I X - 1 - 2 | = lx- 3l
« # £ « * 4 m - | X-1 - 2 |
$4
j-f r r í
Í
X4-1
fttf.
^
x = 3
Jfeó r | e t - x - 1 1 _ Ix+i | = - x - í
= ( - * > # - * 1 = I-X-1| = |X + 1| =
í
ti
■ t.
-x+3
X-3
>
X<-1
,
<
- ,í*x* <
isx<.
*^3
,
,
R o n ^ ( t ) =. y e. to ^
Ix -1 ! = 2
V x - 1 = -2
V
x --1
X+ 1
= -x+3
1
3
ód )
Do do lo función
PROBLEMA 9
f ÍX> = * * | - T
J
a ) Hoflor el rrngo
b ) Graficar f
, $ i x e < 0, « ]
- 4X J y |
de f .
(X) .
Solución de o)
f. Como í * J
>M
son enteros , debemos hallar los intervalos en el
que estos mox irnos
enteros
es fon definidos
-V X € <o,G],
Veamos
i)
-f-
<
K 4,
«>
[
f
| =
k
2K — X < 2 ( K4*M » >
U b
= o : o ^ x <2
m>
|* j
|= 0
, K «1 : 2 * X < 4
=*> f - f - J 32 1
kK = 2
4~ X <6
=> IT-r I s 2
‘ K * 1
6 o
x
< 8 ' *>
Sólo fines educativos - FreeLibros
| -A . J
ss 3
Miscelánea - ..Problemas,
U )
Si
K * - i
< K4 1
«>
f “v | s
K
•
3 K *. X < 3 ( K f t í
=> f *3^1 s
K*0
:0 * X
<3
*>
K al
; 3 * X < 6 s> | ¿ J a
K -2 :
2.
£n el intervalo < o ; G ]
f
[4 1 * 2
tra fiq u e m o s v r e s f s e c t i v a m e n t e ; tosin
intervalos en ope esta h d e fin id o s [ 4 J V 1"% 1
Luego , hadam os las o p e ra c io n e s d « p r o d u c t o m s u m a en ca
d a intersección Pa/tx e x p re sa r fcx) d e m ane/a re n c illa , e exD llclta -
|4 i= o
W b=i
tt)=o
Luego! f c x ) * x 2 [ 4 3 “ 4 x [ 4 1
f(x) =
X2 ( 0 ) - 4 X { 0 >
, SÍ 0 < X < 2
, Si 2 * X < 3
X2C1 ) - 4 X
(1)
, Si 3 * X < 4
J?{2)-4X
(1 )
* Si 4 * X < 6
, Si
0
f(X)s
X»
<
<
2
X
2 ~
X
< 3
X2 - 4 x
3 ■*
X
< 4
2X2— 4 X
4 4
X
< 6
60
X «
[fl=1
6
X
I¿ l= j
^ V - x C < 0, 6 3 es lo unión ée !
X*(1 ) - 4 X ( Ó )
X*( 3 I - 4 X { 2 )
H | =2
6
Rong ( f ) = y 6 [ - 3 , o ] u [ 4 ,6 [ u [ i $, 4| . [ ü { $ oJ ^
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Moisés Lázaro C.
PROBLEMA 10
Dodo
o)
fa función
f{X)=-
|2X- l|-f z| X+!| - 7
‘ ,-2 < x < f
Hallar el rango de f .
fe) G r a f i c a r .
SOLUCION
1. Poro hollar el rango y poro gr&fkar f , debo definir el máximo antera
J
£- p
-2 < x
y los valores absolutos | 2 x - t | ,lx > ’l[ restringido al dominio
<1/2
•
Veamos !
tt) donde
si x - -
<
2K # - X C
k+i
2{ K-M )
=>
k »-2 :2< x £ 4 => £ --f - 1 = ~2
-2CX4f ) < X ^ - 2 K => [ - - § - ] - K ^ K ^ - i : 0 < X S 2 = ) | - - | - | = - l
= 0
K « O :-2< X ¿ 0 = )
iti)
En los volores absolutos , necesitamos^los puntos críticos x = t/2 ,
%
x ®- 1
que dividen a la recto reo! en tres
intervalos.
A h o ra o o e íe m o s en cada» in te rs e c c ió n ou e e x iste é n tre lo s in te rv a ­
los d e f in id o s en tt * y ios intervalos d e fin id o s por ios puntos críticos
cié los v a lo r e s a b s o lu t o s :
1*+11 x-x-i
|ax~ij=-2x+i
2. Existen 3 intersecciones y en codo intersección definimos lo función
■+ 3 X +> 2
f(X) = -
| 2X - 1 1 2 | X +1 | - 7
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N O TA | Uno f o rm a m u y s e n c i f l o d e d e f in ir el M a y o r e n t e r o
a - :p m f t i r d e l in t e r v a lo - 2 < x <
e s com o sigue :
Por - 1
AP*toar | |
1
1
H aciendo un d ia g ra m a en la recta re a l
M isu a ltza re m os y d e du cire m os la. ima
gen del m ayor e n t e r o y su re s p e c t iv o
DOIVMNJO .
& ) Rang ( f ) = y i ] - r/e , i / 4 [
Sólo fines educativos - FreeLibros
~ j
2cg
Moisés Lázaro C.
PROBLEMA
k
t al es
II
2 f ( X - 2)== x 2+ 2 ,
si
gue el r a n g o de g(X) sea
la s v a l o r e s
hallar
<- 2, 2> , donde
9(X) =
r e a l e s de
*— -2 •~ ~
f <3X
-2 ) + x
Solucio'n■
1.
•
2
Oe 2 f i x - 2 ) = x + 2
2.
Hacer
x-2« y
X2
f(x-2)=-— + 1
2
2
£ *443^ V
x = y> 2 , luego f (y) = -----— - 4r 1
obtenemos
=*>
* fv - .
3. Oonde .
*
%
f(3X-a)
2
( ( 3X —2 ) +■2 )* , V
--------- ;
*f 1
2
_ ex2 v .
2
+ )-KX
g (X ) - - V - ---------- - 2 * i-2 * * ± L
»X + , + x
9*-»+?x+2
2
5. Como el rango de 9 ( X) es <— 2 , 2 > , en ronces : - 2 < g <x ) < 2
9 x2 — 2 K X 4» 2
<»>.-*< ——
IX
/como el denominador es positivo t -x 6 IR ,
se puede m u l t i p l i c a r
entonces
ex2 + n
<2
+IX4 2
42
s
por
-2
9 ^ x 2 + -|- x + ••••
y
por 2 ;
pues
- 4- 2
x2
9 f( *
‘ + ±
-= x
-x + - iL- )J
V
■m 9
et / + í -
e
2
I X 4- -¿~ )
4- 1 1
^
es
P O * it w o
** x e íR
(**+)■
< a > - t e x 2~ 4 X - 4
<s>-.iex
<»>
2
2
- 4X—
4
O < 27 X2+
*>
( 4 - 2K ) 2 -
<
< 9X « 2 K X + 2
4(27) (£ )
<
< 0 , * x €JR
- 9^2* < 2 - K
*
I S X ^
4X+4
9 X - 2K X + 2
A
O< 9 X ? + ( 4 + 2 K ) X + 2
A
( 4 + 2 X )2 -
4 (9)(2)
A ( 4 + 2 K )2
<
A
~ 2 ( 3) / ?
< 9 VÍ*
A
- 3V F *
< -2 + 9 V 2
A
-2-3
Sólo fines educativos - FreeLibros
<
2
I8X + 4 X 4 4
A
4 <27)(6)
< 4 - 2 K < )$ V F
2 -9 V F <
(
2
(4 -2 K )X + 6
(4 - 2X ) 2
-
OX2- 2 X X > 2
< O ,*xe(R
4(9 )(2 )
C 4 +2 K < 2 ( 3 ) * / ?
<2 + K
/F <
K
< 3 a/ ?
< - 2 + 3 v/1P
Miscelánea - Problemas
- 10.7 < k < 14.7
-10.?
6.
- 4.24
-4.2
,2.2
Luego .' « I - < - 2 - 3 / P , - 2 + i t / T
< *
< 2.24
14?
}
ti
PROBLEMA 12
. Dodo to función
ixi-tv^nj
f (x» a
✓* -f * i ‘
o ) HoWbr et dominio
b)
Sroficor
rango de
y
f (x)
f (X)
Sofuéion
!xI
1 . En f ( X ) , tenemos tres funciones que debemos definir, que son<
iv ^r
ffxl
2. El dominio de Ixl es IR.
El dominio d e C v P J es x - Q , porque
El denominodor
3.
y/z-
Ex I
v/P 6 IR
x ^ O
no puede ser cero , pero s í:e -C x 2>og»>Íxixe
«*> r< t
E l dominio de f f x ) es lo interseco i oh de los' dominios :
m n J® ,+eé > n
2)
>. -Hollemos .tas imágenes de fcx; ^ definiendo M* i IlVx 1 y M
partir del intervalo CP,2> •*
a
PUNIO 06 B&RTIOA
r
Ixlsx
06 X < 2
1
l
o í Vx <VF
O < í^xB <Vz
■
q
i
|[^J*0-"
•v •
o¿vx<i
ffVxJsl
%
'iá/suVi:
\
< [x | <2
-L
1x 1-0
t
0 <x<1
O < x <1
Sólo fines educativos - FreeLibros
1
í*3 = i
r
i±x<2
Moisés Lázam C.
S in t e t iz a n d o
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1
r r~*tt
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0 > o<x<l
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rr
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S.
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lx| = x
i.
,4x «
ITxlrj
í
O
,
1. »
Ahora ; operem os 'en' c a d a
0< X<1
iax<2.
in t e r s e c c ió n
0
---
que hollemos ’
lxl = x
Ixl
[tfn l
CxJJ»0
5 .* Viendo, ios intersecciones, de los intervalos
en que han sido definidos
Ix l . , I v 5P j , C * l , obtenemos
x ~ 0
v^rgr»
f {X) ~
x- r
/T rp
x
Y T
f (X)
I
si
X i
Co , t
>
x€ [ 1 » 2 >
, si
x e [o 11 )
sí
x-e [ i , 2 )
=r
X -r 1
6.
, si
Su gráfico .*
Dom ( f ) = x € [o tS>
Rang(f) = y 6 [o ,t>
Sólo fines educativos - FreeLibros
Miscelánea - Problem as
P R O B L E M A 13
Hallar el dominio , el rango y g ra fica r la función..'
[ i - x. ] -i f x - i ] :
,
f (X)
s gn
Solución:
O -
X
< 2
2 - )/ I X I - C x l '
Ix t —1
f - n u a .)
\ C x 1l
V
<»#x£o s e c o m p íe ix j= x .
1. El numerador se puede reducir á jo sigte. .*
1 í* - x | * i ♦ I - x | v
£ x - i 1 =* £ x J - i
y [ t - x j + [ x - i j *; i + .| - x| + £x| - 1
/
f o ,*¡ x 6 2
1
2
r - —
r -—
r
2 . Teniendo en cuenta lo restricción o ^ x < 2 , lo imagen í, se reduce:
o
2 -V ^ O ’
f ( X ) 55
1
[ i - X J + fx - i ]
I - x| + £ x j
.......... ..........— -—- 2S
....... „
2-
/ i x l - E x .1 *
2 - v / lx l - C x l ‘
-s <
-1
2 -v 'X ^ »
’
,
0
2- / T T T 1 ?
_L
.2 -v T rn
Sólo fines educativos - FreeLibros
’
X = O
O < X < t
X as i .
1 < X < 2
Moisés ‘Lázaro C
o
-
L uego
ft (Xf
»
Ahora,
definam os
r lo p f o n t o : ¥ x ^ 2
Al d e f i n i r
I
0 < X < 1
I 1 < X <2
v ^ n -2
I
x € { 0 , 1}
/5 P -2
1
3.
,
f2(x
)=
^ ,^ L J . ^ ^ si
sgn
x
-
2
=* |xl = x .
la f u n d ó n
s i g n o , o b t e n e m o s .*
1
T
T
* * .
1
, sí x €
o
, si
<-*», o > u <i,+oo>
x -1
0
4
#0r
4.
lo
re stricció n ,
U n ien d o
, si
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solo
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* -
0
“
<
,
x =
o
CxH
tom am os
f, y f 2 , obtenem os
f2i x
)
-
1
f
Sólo fines educativos - FreeLibros
, x -
2
1
Miscelánea - Problemas
PROBLEMA 14
(271)
Se o I o función f ( x } = •
V i-txl*
X
C 2X-1 3 -
2X
Hollar el dominio de f ( x ).
x € Dom Cf ) <=»>
*
* L * x ~ ■*!'- 2x
#o
<=r>
£x j * I
A
IR - | x 6 I R / x f a x - t J -2X=so}
<=>
X < 1+ 1
A
x ( [ex - 1 1 - 2 ) * O
<=>
X < 2
<=>
X < 2
A
Dom (f i » X 6 <-CD,0>
PROBLEMA
V
X a O
V
fax - 1J »
3/2
2
2 * 2X — 1 < 3
J R - { x € IR / X » 0
I ¿WMWm/MWM h
O
X as. O
V 3/2 * x < 2 }
-ó
2
U <0,3/2)
Dado las .funciones
15
f (X) = |x+3| - | x +1 ]•
x 2 sgn f x r
Q( X) = { / s - x .*
I Ix + i l - 5 I
i ) Hallar
H ( X)
i i ) G ra ficé r
H
=
(X)
f
(x j -+•g
,x 6
[ - 1 , 1]
,x 6
<1,3]
,x e < 3 , r ]
(x )
y hallar su rango .
Solución
t . Definir los valores absolutos en f ( xi , teniendo en cuento los puntos
crítico s | * ~
j3
Sólo fines educativos - FreeLibros
Moisés Lázaro C.
2.
Teniendo
en cuento los i ntersecciones de l os ínter votos , obtenemos
f (X) —
| x + 3 1‘ — I
‘ - X - 3 - ( - X - I J . , SI
r
f (X) «
X 4 3 - (-X -1 )
, SÍ
- 3a
x + 3 - ( x + 1j
,
si
xe
-
,
X < - 3
2X44
,
-3 *
3. Afloro, definamos, fa función
X
M
-
2
X < -1
1
'
•
W
f (X » =*
X < -
g (x )
Tenemos *
o)
g -U) -
x r tgn ( x )
, x € [ - 1,1 ]
sn%cx|
x
Luego ,
I)
(x ) «
(-ij . ti
- 1 4 x <0
x2 toi
, si x » o
,2,
X (1í
, Si
-X
X* , 0 < X s< 1
7 X€
<3 , 7 ]
) A v e r i g u a r d q u e signo tiene (x-4 1 1,-V-x 6 <3,5 T se
<o
o , x **o
=>• g t ( X ) •**
OXKÍrl
I 3 (X|S? | IX+11 - 5 |
, -1 |X
tiene .* I x + 1 1 =* x + l
- X 4*4 ,
ix + t|r
<i>l— -
-1
3
3 <X <4
Luego ! g (X.) = I x + f - 5 l = l x - 4 I =
X - 4 , 4 * X * 7'
tfr^fs-Wf«-4|aX-4
*m M **W M P
s
4. Por tanto.*
4
'-x 2 v
0
x2 ,
g<x)= <
/3-x’ ,
-X 4 4 ,
,
X ~ 4 ,
- I * X < 0
Xa 0
0 <X 4 1
X 6 <1, 3 3 *
3
r
-X £
. . ,r 1<: * éo
X2
J O < x < 1
4 *cx>s-, v C 7 .j 1 < x 6 3
-X +
< X < 4
4 e x
a
7
Sólo fines educativos - FreeLibros
*
4
,
3
< XC4
.
2- X
, - 1 S< X v< O
» o < x ¿1
Ht X) *
2 + y/z - X '
,
1< X £ 3
- x -h e
,
3< X < 4
X— 2
.
4¿X
7
Sólo fines educativos - FreeLibros
Moisés Lázaro C.
PR OQ L E M A 16
G ro fica r
f ( X ) = x 2sg n ( x 2- i )
§ Ix-flsgn ( x + 'i ) ,
X 6 [ * 3 , 3 >'•
Sol uc i ón
f.
Codo uno de los funciones#: sgn ( x 2- i ) ,
de-finiéndo d e n t r o
, 1 x —11 y sgnt x + i) sevan
d e la. re s tric c ió n
- 3< x<3
.y
se representan en lineas rectas , para poder observar las intersecciones
de los intervalos y a s í o o d e r hallar fcx) .
V e a m o s .*
1
1
1>
|| J
v
j i-
1
t 1 j>
: - K1<>
X<3
2. Observando las intersecciones , obtenemos
f (X)
x 2 sgn C X * . l | - [ ^ L | | x - . - f . | -
sgnC x +1)
X2 ( t )
- ■ < - * ) . { - X + 1 ) ¡ M ) , si
-3 * X <- 1
x 2 co )
- ( - t ) C - X -M) CO)
, Si
x 2>t )
- C- f t C - X - M ) ( 1 )
, si
- 1 < X < 1
x2
- CO) C x - U
M )
tm
X*1
- C O ) íX —I ) c 1-0
, si
1< X < *
coj
x2 c 1 )
X2 + 2 X — 2
,
0
so
f cxn
X -4- 1
- X2 o
X
,
2
-
3 *
X*
a*
X
— 1
,
-V < X
,
X * 1
, 1
< x
X » - i
< 1
< 3
Sólo fines educativos - FreeLibros
< -1
NOTA : D educción
d e Jas i m á g e n e s d e
o
kPUNTO DEL RüüRTlDA.
partir del intervalo E3/3>
~
■y*— ---------- ——"
- 3< x < 3
- 4 ^ x -i < 2
-2 < *£Í < 1
-2 i
-2
^
[¥ 1 -2
|^r J
-2
V¥l*0:
S 5 = -i
$ *
-2 í -^ < í
- 4 < *-t <-2
-3 < X4-1
- 3 < x < -1
XC1
■ A.......--.9 It 1=i “1O ■,* - 1<1 <x<3
-t< ^ «
->2.á x-l<0
O í: X - 1 ¿ 2
- 1 < X<1
1 < X<3
l - X + f x J - | l - x l , si
P R O B L E M A 17
i)
Dodo lo función f ( X) =
SfflíX*-.#).,!! K X í 4
| 1X- 4| ♦ x j - X , Si 4 < X < 9/2
6/ofícar f (X)
ti ) Hallar el rango de f.
Solución
1 Simplificar ft (X) = 1 - x + - £ x j - | i - x J , si
.
=
o í x í i
1- x ♦ f x l -
(
1
o * x * i
+f-x j )
Sólo fines educativos - FreeLibros
Moisés Lázaro C.
( 0 )-
'PARTIDA,
0£Xé1
Jl 1
f,(XJ =
=
f -X
- X
a p u c a r |[ B
t l x|- i - t - * J
+ [ x ] - [ [ - x j , 8i0<*x*t
-1^£-x1<0
^ :... -4 -------- O 4 .....- <4-— o
o
S'h... ~2
t x io
- X 4- O - ■ •{ - i í , Si 0 < X <1
3 4 -X * 0 - (0)
"0 £ -X £ -1
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, si X-
t il,,
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t
t
0£X<J
X “ 1
* ... *
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' -X +f
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•11, *=■>
, 0 < X <í
1 X« 0
, X» 1
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■t ¿0<X£J
!*|aO
flxj o4—
11*1 ^ceQpX]jr O
2. Simplificor f? ( * >= (-jp -x - 2 j sgn ( x^4)
Í-X l= -1
, Si 1 < X — 4
(-t) ,si 1<X< 2
^“ - x - 2 ^ <o),si x**2'
-I , X -4<044-2<X< 2
s$ n (x-4 )» 0 ,X2-4a0f>Xat¿
1 ,X%4 >044 X>2 V
< U , Si 2< X *4
1
0
-1
= ic
-2
3. Simplificar f j ( X ) * £ i x - 4 l + x j - x , si 4 < x
•1) Paro
:
4 t x
< |
o < x -4 < £
=sá>
t i ) Lutgo :
lX-41. = X-4
f$í#J » f x - 4 *+► x | -*x
ss-4
4 [l X j-X
,
4 < X < 9/2
Sólo fines educativos - FreeLibros
x<-1
Miscelánea - Problemas
Definamos I 2X1 a partir del
intervalo 4 < x < y
f3 (X ) = - 4 + 8 -
X ,
4 < X < 9/2
'
Por2 :
f
( X ) 2= ; - X + 4 ,SÍ
4 < X < 9/2
y
.
8 <2X4 9
aplicar O *
$
12x1 = 8
f l ^x31 J
v x € <- i , t >
f ( X ) ,=* <
| lx -3 i j + X , X€ [ i ,4 >
1x^ 4!
X +2
, X 6 <-2,1 >
Q(X) -
Hollar .* 2 f - 3 g.
Sólo fines educativos - FreeLibros
Moisés Lázaro C
í
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y
s í m p h f i c a r
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/) <X) - Í I X3 |J
,
X 6 C -,J>
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-1
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o-
-o e -
-o
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f-X ^j
^ ' - 1 < X <-0
flt*> =
X3 1
Punto crítico
d « jxi=ro # xso
fxi=-x
exonde
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I
1
*
-1 < x < o
0 ¿ X c1
1 > - x > o
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-1 < x<o
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O i X2 < 1
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l-x23 --i
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, x€ C1,4 >
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3
£-x+3l+ X
, 1Sx<3
i* ~ n +x
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Ixj- n x
' -1 +3 +1
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,
,
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2< x < 3
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3< x < 4
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x
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3 < x <4
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f ( x) r t
l* -3 | = -X + 3
Dond e :
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-2
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—
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Sólo fines educativos - FreeLibros
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1=X
_
2*
_
_______
Miscelánea - Problemas
D e ítn i’r y
s im p lif ic a r
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x e < - 2,1 >
X+2
|x- 2l|X+2l
S
X+2
iX -2 l = - x + ?
IX -2 l — - X + 2
|x -2 fs X -2
U + 2 |= '- x - 2
|- X + 2 |s X + 2
iX+21 r X+2
(* X + 2 ) ( X+ 2 )
X+2
- X+ 2
b)
> X € <-2, 1>
2X -1
§2'«> = [ | i
xe[i,io>
*X+5
x x-1
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h
■oiov.
Donde:
t) s i
ü )
Si
14X 00
lx| rX
1^ X < i o
=* t e x - 1 1 r 2 X-7
- [ S I
13x+51 = Bx+5
X= 1
«1^3-
I < x < 10
L ü o g o :
. [
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- <
- x
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2
- 2
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X
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5
1
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1
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< 1 0
°
O ciu ccicyi d e lós m a y o re s e n te ro s
P AR T I DA
de § 2
a p a r t i r d e l intérvc^o D ,» 0 > .
"
*
1 < X < 10
— li­
tIO
t;
—
p©i 3:
l i'. 4X
- > 10
—
+s :
<—
X \í 1
invertir •
isrlít
4r
>, 3X+S
r-f r» > *s
fc
35
:!l
- - f V
3
I
3* 3X< 30 .
8 < ÍX+5 < 35
J3
24
1 . -13/3
13 2 .
3 |* ~ 3X+5
3 35
< 2.4. -J& ? < X
_13_
' . 3
30*)
o <
3x+5.
M-
3
<
* -3*> t' 1¿-
l u í =o
10 > X> 1
2X-1
3x +5
r e s t a r
ib-i-bu
X- }
Sólo fines educativos - FreeLibros
] = 0 , X€[l,10>
Moisés Lázaro C
— ^280^
3. HóH'emos 2 f - 3 §
'
2C-1) - 3 < - x + 2 )
-1 < X < . 0
2 ( €>) •- 3 ( - X + 2 )
CK< X < 1
2 í3 ) — 3 (! )
X* 1
2 (X+.1)
1< X * 2
2 f - 3 g »
- 3(0)
2< X <4
2 ( X ) - 3 (0 )
, -1 < x <o
3X- %
3X - €»
¿
o ^ x < 1
6
,
X=1
H CXI-í
ax-i-z
, 1 <X 4 2
2X
, 2<X < 4
Ix
P R O B L E M A 19
O&éo
, X 6 <-3 , 2 3
f (x ) =
x [ l x -2 IJ - 2 s
n
g
<2, 4>
Groficer f(X).
f . Antes de grafrco r 7definamos : i x I , £ I x-e
0}
En ftcx) = x2- f x f
y sng
(-X ) , - 3 <X < 0
X* -
(X )
,
IX í=~
En
ft ( X )
a
x* + x
, - 3 < x <o
x2 - x
, - o *
x | lx - 2 11 - 2
- í
sng
^
—il
vi
0
»
X .4 2
*j5f )
2 (1 ) , X 6
*■ X | x - 2 j -
Ixf* X
0 4 X 4 2
n n t w m t* i
b)
^ x€< 2 ;4 >
x 6 <- 3, 2 3
X2 -
sr <
ij
<2, 4 >
X ( O) - 2
/ 2 <X < 3
X (1 i - 2
, 3 4 X <4
- 2
, 2 <X <3
X~ 2
, 3 4 X <4
*
X 6 <2 , 4 >
Donde :
bi) Si
3tf«rktr.z
Sólo fines educativos - FreeLibros
*2 < X < 4
o < * -2 < 2
| X -2 | =
X -2
M iscelánea - Problemas
-!
X— 2
bi)
(281)
X— 2
<0
X- 1
X-4
X -2 > 0
X-1
( t t )
1
1
f 2< X <4
m
x* 2
-OTRA FORMA. OE D6P»NJA Cx*2l
t* Aplica* ^ propi-edaol |x ^2l¿I^I~E
2* Defi n ir ffxB
sng
1
( « i’
> <*, 4 >
I
b3) A hora definam os él | x - 2 1
a partir dei «itervoío
Veamos:
a
p a r tir d e
< 2 ,4 >
2 < x <4
2< | x | < 4
Á
CxJs62
2 < K.< 3
.
v h r iío a
— r- ?o ’4
W = 3
3^ x <4
■
turnar -2*
A p lic a r H 1 :
o * £*~2§<2
't
:-'
l í o
o < *-«<1 *
2 «*^3
J4*Sl<2
2. Luego:
X > X . I -3CX<0
f(X )á
x2- x , oe x e 2
-2
, t <X <3
X - 2 , Í * X <4
Sólo fines educativos - FreeLibros
2<X<3
l 1 /3 < x <4
•Moisés Lázaro; C.
PROBLEMA 20
si f
está
u
-*■ C - 2 , 2 ]
J
<3,9
definido por
J- X*+- I , X e [ - 4 , - 2 )
f(X) = 4s/x + 2
1 - f
D em o strar
X € [ -2
,
*
, X e
,23
< 2 , 6
3
que f es b i y e c t i v a .
PRUEBA
1)
f a# BIYECTIVA
<-> f es inyectivo y suryectivo
2)
En este coso, fes inyectivo <=> códa
, 1 = i ,2 ,3 es inyectivo y la intersec­
ción 4e tos rangos tómatelos de dos en dos
,r
e s <j> •
■ ♦
Veamos :
o ) ^ 8 *ff ( X r = j X 2+ I , X e f - 4 , - 2 >
Pirro
o firm o r que f, es inyectivo , debo probar
ff <xf i =
Veam os.
ft
( x2 i
implica
x, = x 2 ,
.
que
C- 4 , - 2 >
f,(x,l = j x [ + i
>■ f ( X , ) = f ( X 2)
f 2 ( x2 ) = ^ x f > i
x2+ 1
2
2
x f = X2 ^ > lxt|a|X2|
b)
seo
f2 ( X ) ss
Poro
si
f 2( X l )
xi - *2
v /x + T , x
a fir m a r que
f2 ( X )
« f 2t x 2)
6 [-
2, 23
c)
seo
xt
=
x2
f (X)= 1- y X
implica
xf
,
f3 ( x f ) = .•f 3 cx2 )
4 ix¿l =-X2
xt ,X2 e C - 2 . 2 ]
-2* **£2
-2 6 X2 *2 =*. Oí x24-2*4^0<VxíiTíl
,
, luego* f 2 es inyectivo
, X 6 <2,6 ]
Poro ofirmor que f 3 es inyectivo , debo probar que
si
t4<X2<-2
es inyectivo debe cumplirse :
veamos: i/x^+z ~ y / x ^ P
^
, -4 OCi <-2
- X1 r -X 2
Luego ft es inyectivo. '
implica
x1 =
x2
, -V- x, , x 2 € < 2 , p ]
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*
1 - ~ *1 = 1 - T
X2
=>
x,= Xj
2<X,<£
2 <• X 2
Luego f3 es
d)
inyectiva.
Para a fir m a r
cumpl i r s e :
que
f , que es lo unión
de
f 1 , f2
y f 3 ¡ es i n y e c t i v a
debe
R an$(íiM R o u g e t =<£ , Rang($i) n RangC^) =0, Rcm$íf2)nttaog03M.
Veamos
.
*
/ f (~ 4 ) » j
(t6)+1
=*9
En fl ( x , - i x * + .. . x e [ - 4 , - 2 > <
\ye<>.»]-r«fl(U
. > f { - 2 ) * y (4)+1 = 3^
<
f 2 (-2 ) = v /- 2 + 2 = 0 \
y 6 [ o . z j -ro n g (f2)
fJ ( 2) = / ? + ? = 2 •
/
En f, <x> = i~ 4-x , x e <2,6 ] <
3
2
e) La i n1er sección délos rangos
Por tanto . f es inyectiva.
f (2) = 1-4- (2)=»0 ■
\ f (6) =t - l . ( e ) = - 2 ' ^
i (
3t 9 ] n [O , 2] s 0 }
> ye[-2 ,o)=»nong{f3)
t-^o)
ro,2i n tr2yo>=:^
2 ) La unión de los rangos .* ( 3 ,9 ] u [o , 2} u [ - 2 , o > = [-2 , 2] u < 3 , 9 ]
Cómala unron de los rangos coincidecon
"
elconjunto de llegada t entonces
afirmamos que f es SURYECTIVA.
3)
CONCLUSION ! Por ser f inyectiva y suryectiva/decimos que es biyectivo.
PROBLEMA
f (X) = ----------- -------- ----- . x C A ^ C - a . o l
x-2
1
Hollar analíticamente f ( A )
Dado lafunción
Solución
t.En
lugar, determinar elentero
Veamos!
quecorresponde
a
— J ^ x { - 2,o ]- A
Ahora, se reduce a determinar el entero que corresponde á
Como : x 6 <-2,o ] =>
por - =
Por tanto
-2 < x é-0
>
«
t > - 2L * o
o* - « < 1 - . >[-«.].j
1
+O
= 1
, -V-x 6 < - 2 ,o ]
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y*J .*
Moisés Lázaro C.
2.
L u e g o , to f unci ón
x2
f(X)
f ( X ) se ha reducido
a ’
( t 40) + 3 x —i
=*-
X- 2
X*4 3X - 1
f ( X ) -s»
3.
X -2
•
T eni endo en cuenta que x . 6 Í - 2 t o ] * Á
debemos hollar l a i m a g e n d e ) c o n ­
©3) .
Para; «este p ro b le m a y no e s -fácil- hallar flA ) a c o t a n d o a p a rtir d e - 2cx<o.
Resolveremos , d e sp e ja n d o x en té rm in o s d e y
para re rsa /v e r *. - 2 <<3 lv> < 0
Y eam os•
*
as
junto
t°)
decir h a ll a r e m o s
H a c ie n d o f ( x ) = y s e o t d ie n e Y ~
X' + 3X-1
X-2
A h o ra
}
d e s p e ja r
x ;
yx - 2 y 33 x2 4 3 x - 1
=>
0=
x* + 3 x - x y + 2 y - t
*>
0 a x* + ( 3 - y ) x + 2 y - 1
«>
x »•*
- ( 3 - f ) ± V ( J -y )* -4 ti Míy-i)
20)
ty -3
s> x s
)
14 y 4 1 3
, donde
I
4. como x € <-2, o3 => - 2
<
=> - 2 <
« > - 4
S X
- y- 1 < / y ?- 14y 4 Í 3 * 6
<
—y —I
x *
y
G Rang(f )&$ y 2- 14 y>13 ^ ó
j . ......»
«
-
13
4
( y . - i 3 ;) { y - t ) i o
y G <-® r l J.-U C 13,4<30>
=>
^
o
y - 3 — V ^ 2- 1 4 y - t 13
ú0
y- 3
< -
-
/ y * - 14 y 4
13* 6
y ^ r ¿ - 1 4 y 4 13 ^
V
3 - y
V
fy2-i4YH3 >.-cy+o a i/yí#y+i3 ¿ 3 - y)
^
3 — y
- y - t < -Vy2-14y 4 13* 6 3 - y
y4 1
>
V/
X€U
\Z?L¡4y7r? t 3-Y
y-> V z
yctr
y r n
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y— 3
y - 3 < Vy2-í4 y+i3 < Y + r
,4¿ y-3>o => (y-3)7£; yL»4Y4l3<(y4J)2>y€U
y^ 3 ^ y-CY-t-9^yz-i4y+i3<vV2y4í
y> 3 4 Y-Gyt9^V-l4y4l3Ar-4y4í3<y+2y+1
y2-f4y+13 ¿ 4 - ¿ y f y 2} si y-wy-Nj> o a 3-y¿&
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y>^3
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ys 1/2 a y > 4
1
0
[ v2,'3
CONCLUSION '
u
0
Í(A) = [V2^1]
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