informe

TITULO: RESOLUCION DE ECUACIONES DIFERNCIALES
ORDINARIAS MEDIANTE METODOS NUMERICOS
Alberto A. Díaz Guerra1, Ariel Guerra Amita2
1
INSTEC
2
INSTEC
[email protected], [email protected]
RESUMEN
En este trabajo se le dará solución a dos ejercicios mediante matemática numérica, la cual es una
rama de la matemática, utilizada para resolver problemas de gran complejidad. En este caso se
utiliza el software Mathlab para dar respuesta a las problemáticas encontradas en este trabajo.
Los métodos usados serán específicamente: Método de Euler, Heun, Runge-Kutta y AdamsBashforth. Los cuales se utilizan para resolver tanto ecuaciones diferenciales ordinarias como
sistemas de las mismas. En el caso para dar solución a los sistemas de ecuaciones que se
presentan en este trabajo, 1ro se resuelven cada ecuación diferencial del sistema por separado
utilizando uno de estos métodos y luego se grafican las soluciones aproximadas y los puntos
donde estas curvas se corten será la solución de nuestro sistema.
1. INTRODUCCION
En el siguiente informe se expondrán algunos de los diferentes métodos numéricos que se utilizan para
dar solución tanto a ecuaciones diferenciales ordinarias como sistemas de EDO. Estos métodos se pueden
clasificar en: Métodos de paso simple, y de paso múltiple.
Estos métodos permiten la resolución del problema de Cauchy:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑓(𝑥, 𝑦)
y(𝑥0 ) = 𝑦0
Estos se basan en la idea de tomar un conjunto discreto de datos de valores de x: {𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥2 , … } casi
siempre uniformemente espaciados, y con estos hallar los valores de las y: {𝑦0 , 𝑦1 , 𝑦2 , … } que se
aproximen a los valores de la solución exacta de la ecuación diferencial que se está analizando.
Los algoritmos para hallar la solución aproximada de las y:{𝑦0 , 𝑦1 , 𝑦2 , … } son siempre iterativos y pueden
simbolizarse mediante una ecuación del tipo:
𝑦𝑛+1 = 𝐺(𝑦𝑛 , 𝑦𝑛−1 , 𝑦𝑛−2 , … , 𝑦𝑛−𝑘 )𝑛 ≥ 𝑘
Donde para 𝑘 = 0, la ecuación anterior quedaría de la forma:
𝑦𝑛+1 = 𝐺(𝑦𝑛 )𝑛 ≥ 0
Este es el caso del método de paso simple y los métodos de paso múltiple serian donde 𝑘 ≠ 0.
1.1. El método de Euler:
El método de Euler es el más elemental de los métodos de paso simple. Este consiste en dividir los
intervalos que van desde 𝑥0 a 𝑥𝑓 en 𝑛 subintervalos de ancho h, donde h será:
ℎ=
𝑥𝑓 − 𝑥0
𝑛
De forma tal que se obtienen un conjunto discreto de n + 1 puntos del intervalo [𝑥0 , 𝑥𝑓 ]. Además, para
cualquiera de estos puntos se cumple que:
𝑥𝑖 = 𝑥0 + 𝑖ℎ0 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛
La condición inicial de nuestro problema y(𝑥0 ) = 𝑦0 , representa un punto 𝑃0 = (𝑥0 , 𝑦0 ) por donde pasa
la curva solución de la EDO del planteamiento inicial, la cual denotaremos 𝐹(𝑥) = 𝑦. Evaluando la
primera derivada de 𝐹(𝑥) en el punto 𝑃0 , se obtiene la pendiente de la curva 𝐹(𝑥), la cual denotaremos
como 𝑓(𝑥0 , 𝑦0 ), es decir:
𝐹 ′ (𝑥) =
𝑑𝑦
| = 𝑓(𝑥0 , 𝑦0 )
𝑑𝑥 𝑃0
Con esta información se traza una recta que pase por el punto 𝑃0 y de pendiente 𝑓(𝑥0 , 𝑦0 ), donde según la
gráfica siguiente se puede deducir que:
𝑦1 − 𝑦0
= 𝑓(𝑥0 , 𝑦0 )
𝑥1 − 𝑥0
De esta manera podemos determinar a 𝑦1 , la cual será:
𝑦1 = 𝑦0 + (𝑥1 − 𝑥0 )𝑓(𝑥0 , 𝑦0 ) = 𝑦0 + ℎ𝑓(𝑥0 , 𝑦0 )
1.1.1Análisis de error para el método de Euler:
Al utilizar el método de Euler para dar solución a ecuaciones diferenciales se ve involucrado un cierto
error en la solución, entre estos errores podemos encontrar:

Error de truncamiento local y global: Es un error propio del método, y este se debe a que la
aproximación de la curva que se está analizado se hace a través de una línea recta, en este caso el
error es de primer orden: O(ℎ1 ). Este error se puede disminuir reduciendo el tamaño de h.
𝑒𝑛 = 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟(𝑦𝑛 ) = 𝑦(𝑥𝑛 ) − 𝑦𝑛

Local: Es la diferencia que se produce entre el valor real de la función y el aproximado mediante
la recta tangente, sin considerar los errores de aproximación anteriores.
1 ′′
𝑦 (𝑐)ℎ2 𝑥𝑛 ≤ 𝑐 ≤ 𝑥𝑛+1
2

Propagado: Es la acumulación de errores por las aproximaciones producidas durante los pasos
previos, es decir es un error que se produce por el error ya existente en la aproximación anterior.
[1 + ℎ𝑓𝑦 (𝑥𝑛 , 𝑦̅)]𝑒𝑛
Nota: la suma del error local y el propagado seria el error global.

Redondeo: Es resultado del número límite de cifras significativas que puede retener una
computadora. La contradicción de este error es que: si reducimos el tamaño de h de manera que
disminuya el error de truncamiento, aumentará el error de redondeo ya que el número de cálculos
realizados será más alto.
1.1.2 Estimación del error:
𝑒ℎ =
𝑦ℎ −𝑦2ℎ
2𝑝 −1
Como en el método de Euler p = 1, entonces 𝑒ℎ será:𝑒ℎ ≈ 𝑦ℎ − 𝑦2ℎ
𝑦ℎ : solución aproximada obtenida para un cierto valor de x usando paso h.
𝑦2ℎ : solución aproximada obtenida para el mismo valor de x usando paso 2h.
𝑒ℎ : error total de 𝑦ℎ .
p: orden del método numérico empleado (en este caso es de 1er orden).
1.1.3 Estabilidad del método de Euler:
Se puede demostrar que el método es estable para la ecuación modelo:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −𝐴𝑦
A> 0
Si se toma el valor de ℎ𝐴 < 2
1.1.4 Algoritmo en seudocódigo:
El algoritmo siguiente puede obtener la solución aproximada del problema de Cauchy en un intervalo
𝑥0 < 𝑥 < 𝑥𝐹 con paso ℎ > 0. Se suponen conocidos: la función 𝑓(𝑥, 𝑦), las condiciones iniciales (𝑥0 , 𝑦0 )
el valor final 𝑥𝐹 y el paso h.
n := 0
do while𝑥𝑛 < 𝑥𝐹
(𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 ) es un punto de la solución aproximada
𝑥𝑛+1 ≔ 𝑥𝑛 + ℎ
𝑦𝑛+1 ≔ 𝑦𝑛 + ℎ𝑓(𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 )
n := n + 1
end
Terminar
1.2. El método de Runge-Kutta de cuarto orden (RK4):
El método de RK4 es otro de los métodos de paso simple que utilizaremos en este trabajo. Además, es
uno de los miembros más usados de la familia de los métodos de Runge-Kutta para dar solución a
ecuaciones diferenciales ordinarias. Utilizado el mismo problema que explicábamos anteriormente en el
método de Euler.
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑓(𝑥, 𝑦)
y(𝑥0 ) = 𝑦0
El método de RK4 plantea que se le puede hallar la solución aproximada a las y:{𝑦0 , 𝑦1 , 𝑦2 , … } de este
problema utilizando la siguiente ecuación:
1
𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + ℎ(𝑘1 + 2𝑘2 + 2𝑘3 + 𝑘4 )
6
Donde:
𝑘1 = 𝑓(𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 )
1
1
𝑘2 = 𝑓 (𝑥𝑖 + ℎ, 𝑦𝑖 + 𝑘1 ℎ)
2
2
1
1
𝑘3 = 𝑓 (𝑥𝑖 + ℎ, 𝑦𝑖 + 𝑘2 ℎ)
2
2
{ 𝑘4 = 𝑓(𝑥𝑖 + ℎ, 𝑦𝑖 + 𝑘3 ℎ)
De manera tal que el siguiente valor de 𝑦𝑖+1 está determinado por el presente valor 𝑦𝑖 mas el producto del
tamaño del intervalo h por una pendiente estimada. La pendiente es un promedio ponderado de
pendientes, donde 𝑘1 es la pendiente al principio del intervalo, 𝑘2 es la pendiente en el punto medio del
intervalo, así se utiliza 𝑘1 para determinar el valor de la pendiente en 𝑥𝑛 + ℎ⁄2 mediante el método de
Euler antes explicado. 𝑘3 sería otra vez la pendiente del punto medio, pero en este caso usando 𝑘2 , y por
último 𝑘4 sería la pendiente al final del intervalo. Se promedian las cuatro pendientes dándole más peso a
las pendientes en el punto medio.
Pendiente =
𝑘1 +2𝑘2 +2𝑘3 +𝑘4
6
1.2.1 Análisis de error para el método de RK4:
Esta forma del método de Runge-Kutta es un método de cuarto orden lo cual significa que el error local es
del orden de 𝑂(ℎ5 ), mientras que el error total acumulado tiene el orden 𝑂(ℎ4 ). Por lo tanto, la
convergencia del método es del orden de 𝑂(ℎ4 ), razón por la cual es usado en los métodos
computacionales.
1.2.2 Estimación del error:
El error total se puede estimar con la misma ecuación que utilizamos en el método de Euler, pero en este
caso p = 4, es decir:
𝑒ℎ =
𝑦ℎ − 𝑦2ℎ 𝑦ℎ − 𝑦2ℎ
=
2𝑝 − 1
15
1.2.3 Estabilidad del método:
Se puede demostrar que el método es estable para la ecuación modelo:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −𝐴𝑦
A> 0
Si se toma el valor de ℎ𝐴 < 2,785
1.2.4 Algoritmo en seudo código:
El algoritmo siguiente puede obtener la solución aproximada del problema de Cauchy en un intervalo
𝑥0 < 𝑥 < 𝑥𝐹 con paso ℎ > 0. Se suponen conocidos: la función 𝑓(𝑥, 𝑦), las condiciones iniciales (𝑥0 , 𝑦0 )
el valor final 𝑥𝐹 y el paso h.
n := 0
do while𝑥𝑛 < 𝑥𝐹
(𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 ) es un punto de la solución aproximada
𝑘1 = 𝑓(𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 )
1
1
𝑘2 = 𝑓 (𝑥𝑛 + ℎ, 𝑦𝑛 + 𝑘1 ℎ)
2
2
1
1
𝑘3 = 𝑓 (𝑥𝑛 + ℎ, 𝑦𝑛 + 𝑘2 ℎ)
2
2
𝑘4 = 𝑓(𝑥𝑛 + ℎ, 𝑦𝑛 + 𝑘3 ℎ)
1
𝑦𝑛+1 ≔ 𝑦𝑛 + ℎ(𝑘1 + 2𝑘2 + 2𝑘3 + 𝑘4 )
6
𝑥𝑛+1 ≔ 𝑥𝑛 + ℎ
n := n + 1
end
Terminar
1.3. El método de Adams-Bashforth de cuarto orden (AB4):
Los métodos de Adams-Bashforth forman una familia de métodos de paso múltiple, dentro de esta
familia, uno de los métodos más usados es el de paso cuádruple (AB4) el cual se expondrá a continuación.
Como se hemos visto hasta ahora estos métodos son utilizados para resolver el problema de Cauchy
siguiente:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
y(𝑥0 ) = 𝑦0
= 𝑓(𝑥, 𝑦)
Y suponer conocidos los valores de 𝑦1 , 𝑦2 , 𝑦3 , … , 𝑦𝑛 los cuales son aproximaciones de la solución exacta.
Para los valores de x tomamos los valores con paso h, y lo que se desea determinar son los valores de
𝑦𝑛+1 de manera aproximada.
Como 𝑦(𝑥) es la del problema de Cauchy, se cumple que:
𝑑𝑦(𝑥)
𝑑𝑥
𝑥
𝑥
= 𝑓(𝑥, 𝑦(𝑥)) esto es: 𝑑𝑦(𝑥) = 𝑓(𝑥, 𝑦(𝑥))𝑑𝑥 integrado: ∫𝑥 𝑛+1 𝑑𝑦(𝑥) = ∫𝑥 𝑛+1 𝑓(𝑥, 𝑦(𝑥))𝑑𝑥
𝑛
Se obtiene la ecuación siguiente:
𝑛
𝑥
𝑦(𝑥𝑛+1 ) = 𝑦(𝑥𝑛 ) + ∫𝑥 𝑛+1 𝑓(𝑥, 𝑦(𝑥))𝑑𝑥.
𝑛
Para calcular la integrar que queda en la ecuación anterior se sustituirá la función 𝑓(𝑥, 𝑦(𝑥)) por el
polinomio de interpolación de tercer grado 𝑝(𝑥) correspondiente a los cuatro nodos:
(𝑥𝑛−3 , 𝑓𝑛−3 ) , (𝑥𝑛−2 , 𝑓𝑛−2 ) , (𝑥𝑛−1 , 𝑓𝑛−1 ) , (𝑥𝑛 , 𝑓𝑛 )
Donde la ecuación quedara de la siguiente forma:
𝑥
𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 + ∫𝑥 𝑛+1 𝑝(𝑥)𝑑𝑥.
𝑛
Este polinomio de interpolación puede expresarse mediante la fórmula de Lagrange como:
𝑝(𝑥) = 𝐿𝑛 (𝑥)𝑓𝑛 + 𝐿𝑛+1 (𝑥)𝑓𝑛+1 + 𝐿𝑛+2 (𝑥)𝑓𝑛+2 + 𝐿𝑛+3 (𝑥)𝑓𝑛+3
Sustituyendo 𝑝(𝑥) en la ecuación y resolviendo la integral se podrá llegar a la ecuación que nos permitirá
encontrar los valores de 𝑦𝑛+1 los cuales no propusimos encontrar al inicio de la explicación del método
de AB4, dicha ecuación será:
𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 +
ℎ
(55𝑓𝑛 − 59𝑓𝑛−1 + 37𝑓𝑛−2 − 9𝑓𝑛−3 )
24
1.3.1 Análisis de error para el método de AB4:
La integral en el intervalo[𝑥𝑛 , 𝑥𝑛+1 ] el error de interpolación de Lagrange estará definido por la ecuación
siguiente:
𝑅(𝑥) =
𝑑4
𝑓(𝑥, 𝑦(𝑥))|
𝑑𝑥 4
𝑥=𝜉
!4
(𝑥 − 𝑥𝑛 )(𝑥 − 𝑥𝑛−1 )(𝑥 − 𝑥𝑛−2 )(𝑥 − 𝑥𝑛−3 )
251 (5)
𝑦 (𝑐)ℎ5.
720

El error local del método será:

El error total será del orden de ℎ4 , o sea: 𝑂(ℎ4 ).
Como se ve, el método de AB4, es un método de cuarto orden con un error de orden de ℎ4 , igual que en el
método de RK4 analizado anteriormente.
1.2.3 Estabilidad del método:
Se puede demostrar que el método es inestable para la ecuación modelo:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −𝐴𝑦
Si se toma el valor de ℎ𝐴 > 0,3
A> 0
1.3.2 Algoritmo en seudo código para AB4:
El algoritmo siguiente puede obtener la solución aproximada del problema de Cauchy en un intervalo
𝑥0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑥𝐹 con paso ℎ > 0. Se suponen conocidos: la función 𝑓(𝑥, 𝑦), las condiciones iniciales (𝑥0 , 𝑦0 )
el valor final 𝑥𝐹 y el paso h.
Calcular 𝑦1 , 𝑦2 , 𝑦3 mediante RK4
for𝑖 = 0 𝑡𝑜 3
𝑓𝑖 ∶= 𝑓(𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 )
end
n := 3
𝑥𝑛 ≔ 𝑥0 + 𝑛ℎ
do while𝑥𝑛 < 𝑥𝐹
(𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 ) es un punto de la solución aproximada
𝑥𝑛+1 ≔ 𝑥𝑛 + ℎ
ℎ
𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 + (55𝑓𝑛 − 59𝑓𝑛−1 + 37𝑓𝑛−2 − 9𝑓𝑛−3 )
24
n := n + 1
end
Terminar
1.4. El método de Heun:
El método de Heun es utilizado para mejorar la estimación de la pendiente en un punto determinado de la
curva, para esto, esté método emplea la determinación de dos pendientes en el intervalo (una en el punto
inicial y otra en el final). Las derivadas se promedian después con la finalidad de obtener una mejor
estimación de la pendiente en todo el intervalo.
La primera pendiente la determinamos por el método de Euler
𝐹 ′ (𝑥) =
𝑑𝑦
| = 𝑓(𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 )
𝑑𝑥 𝑃𝑖
La cual se utiliza para extrapolar linealmente a 𝑦𝑖+1
0
𝑦𝑖+1
= 𝑦𝑖 + ℎ𝑓(𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 )
0
El método de Euler debería parar aquí. Sin embargo, en el método de Heun la 𝑦𝑖+1
calculada con la
ecuación anterior no es la respuesta final, sino una predicción intermedia y dicha ecuación se llama
predictor. Luego con este valor estimado de la pendiente al inicio del intervalo podemos estimar el valor
de la pendiente al final del intervalo, el cual será:
𝑑𝑦𝑖+1
0
= 𝑓(𝑥𝑖+1 , 𝑦𝑖+1
|
)
𝑑𝑥 𝑃𝑖+1
Por último, se promedia el valor de las dos pendientes obtenidas como se muestra en las gráficas
siguientes:
Está pendiente promedio se utiliza después para extrapolar linealmente desde 𝑦𝑖 hasta 𝑦𝑖+1 con el método
de Euler.
𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 +
0
𝑓(𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 ) + 𝑓(𝑥𝑖+1 , 𝑦𝑖+1
)
ℎ
2
La ecuación anterior se conoce por el nombre de corrector.
Este método es un método iterativo. Por lo tanto, podemos usar el siguiente criterio de para la
convergencia del corrector, el cual está dado por la siguiente ecuación.
𝑗
|𝑒𝑡 | = |
𝑗−1
𝑦𝑖+1 − 𝑦𝑖+1
𝑗
𝑦𝑖+1
| 100%
𝑗
𝑗−1
Donde 𝑦𝑖+1 y 𝑦𝑖+1 representan las iteraciones anterior y actual del corrector respectivamente.
1.4.1 Análisis de error para el método de Heun:
El error de truncamiento local estará dado por la ecuación siguiente:
𝑒𝑡 =
−𝑓 ′′ (𝜉) 3
ℎ
12
donde 𝜉 esta entre 𝑥𝑖 y 𝑥𝑖+1 . Así este método es de segundo orden porque la segunda derivada de la EDO
es cero mientras que la solución verdadera es una cuadrática.


Error local: 𝑂(ℎ3 )
Error global: 𝑂(ℎ2 )
Además, al disminuir el tamaño del paso se disminuye el error más rápido que en el método de Euler.
1.4.2 Algoritmo en seud código para el método de Heun simple sin corrector:
SUB Heun (x, y,h, ynew)
CALL Derivs (x, y, dy1dx)
ye = y + dy1dx * h
CALL Derivs (x + h, ye,dy2dx)
Slope = (dy1dx + dy2dx) / 2
ynew = y + Slope * h
x=x+h
END SUB
1. EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Utilice los métodos de Heun (sin interacción), Runge-Kutta de orden 4 y Adams-Bashforth de
orden 4 para resolver la siguiente EDO. Compare con la solución analítica se es posible en el
intervalo [0,2] y condición inicial 𝑦(0) = 1.
𝑑𝑦
= 𝑦𝑥 2 − 1.1𝑦
𝑑𝑥
2. Resuelva el siguiente sistema usando el método de Euler en el intervalo [0,1] y condición
inicial𝑥(0) = −2.7, 𝑦(0) = 2.8
𝑑𝑥
= 2𝑥 − 3𝑦
𝑑𝑡
𝑑𝑦
= 2𝑥 − 𝑦
𝑑𝑡
2. RESULTADOS Y DISCUCION
Resultados del primer ejercicio:
1. Grafico obtenido mediante el método de Heun:
En este grafico se muestran tres curvas, donde:
3
𝑒𝑥

La curva de color verde muestra la solución analítica, la cual sería:

La línea discontinua de color rojo muestra la solución aproximada al promediar las pendientes.

La línea discontinua de color azul muestra la solución aproximada solo utilizando la pendiente del
punto inicial. (un poco condicionado por el unto promedio anterior).
3
− 1.1𝑥
2. Grafico obtenido mediante el método de RK4:
En este grafico se muestran dos curvas, donde:
3
𝑒𝑥

La curva de color verde muestra la solución analítica, la cual sería:

La línea discontinua de color rojo muestra la solución aproximada al aplicar el método.
3
− 1.1𝑥
3. Grafico obtenido mediante el método de AB4:
En este grafico se muestran dos curvas, donde:
3
𝑒𝑥

La curva de color verde muestra la solución analítica, la cual sería:

La línea discontinua de color rojo muestra la solución aproximada al aplicar el método.
Resultado del segundo ejercicio
3
− 1.1𝑥
Este grafico muestra la solución aproximada y analítica de nuestro sistema


La curva de color verde es la de x de la solución analítica (la curva discontinua es la solución
aproximada).
La curva de color azul es la de y de la solución analítica (la curva discontinua es la solución
aproximada).
3. CONCLUCIONES
Como conclusiones presentamos una comparación general entre los métodos de paso simple y paso
múltiple, en la cual se podrá apreciar las ventajas y desventajas es estos métodos, y así se podrá
determinar cuál de estos proporciona la solución más exacta del problema en estudio.
En términos generales, existen varias importantes diferencias entre estos dos tipos de métodos:

Como en los métodos de paso múltiple se utiliza una mayor cantidad de información acerca de la
solución ya calculada, se logra una mayor eficiencia computacional, en el sentido de una menor
cantidad de operaciones para obtener una exactitud similar.

Un método de paso 𝑝 + 1 no puede funcionar mientras no se conozcan 𝑝 + 1 valores de la
solución: 𝑦0 , 𝑦1 , 𝑦2 , … , 𝑦𝑝 . Como en el problema de Cauchy solo se conoce 𝑦0 , es necesario
utilizar algún método de paso simple para calcular los primeros 𝑝 valores de la solución:
𝑦1 , 𝑦2 , … , 𝑦𝑝 . Por esto se dice con frecuencia en el lenguaje técnico que los métodos de paso
múltiple no son capaces de ‘’arrancar’’.

Como los métodos de paso simple solamente utilizan el valor: 𝑦𝑛 en el cálculo de 𝑦𝑛+1 , ellos se
basan en aproximar la solución de la ecuación diferencial mediante un polinomio de Taylor en el
puto 𝑥𝑛 . Recuérdese que los métodos de Euler y Runge-Kutta deducidos de esta forma. Los
métodos de paso múltiple, por otra parte, puesto que usan varios valores de la solución, suele
estar basados en aproximar la solución de la ecuación diferencial mediante alguna función
interpoladora, usualmente un polinomio.
En el caso de nuestro trabajo el método que proporciono la solución más exacta fue AB4.
REFERENCIAS
[1] Alvarez, Manuel, Matem´atica num´erica., caps 7, Segunda edici´on, Editorial F´elix Varela (2007
).
[2] Chapra, S.C y R.P Canale, M´etodos Num´ericos para ingenieros., cap 25, Quinta
edici´on,Editorial McGraw-Hill(2006).
Wikipedia 2012