Ingeniería asistida por ordenador. Aplicación de los sistemas lineales

APÉNDICE IV:
APLICACIONES DE LOS
SISTEMAS LINEALES
Ilustramos la importancia de los sistemas lineales mediante tres ejemplos: un circuito
eléctrico sencillo, el flujo de tráfico en una red de calles y la distribución de la
temperatura en una barra en estado estacionario.
En el primer caso, se considera un circuito con sólo resistencias y fuentes de
potencial. Aplicando las leyes de Kirchhoff y de Ohm obtenemos un sistema de
ecuaciones lineales, que por razones físicas tiene solución.
En el ejemplo del tráfico, hay infinidad de soluciones. Imponiendo condiciones
adicionales, se puede forzar la unicidad de solución o llegar a un sistema incompatible.
La estructura de conexión del circuito eléctrico, al igual que la del urbano se
describen mediante una matriz especial, llamada matriz de incidencia, que guarda la
información relativa a la topología de la red. Esta matriz puede usarse en la generación
automática de las ecuaciones del circuito.
El problema del calor ilustra la obtención de sistemas lineales por discretización de
problemas continuos, normalmente formulados en términos de ecuaciones diferenciales
o en derivadas parciales. La discretización consiste en aproximar las derivadas por
cocientes en diferencias de los valores de la función en ciertos puntos llamados nodos.
La derivada es límite del cociente incremental
f ( x + h) − f ( x )
h→ 0
h
f ' ( x ) = lim
En lugar del límite, tomamos el valor del cociente para un h pequeño
f ' ( x) ≅
f ( x + h) − f ( x )
h
y evaluamos este cociente en una serie de nodos a distancia h entre ellos:
xk=x0+k·h, k=0,1,2,…
f ( x k + h) − f ( x k ) y k +1 − y k
=
h
h
Al discretizar una ecuación diferencial, se obtiene un sistema de ecuaciones
algebraicas. Si la ecuación diferencial es lineal, queda un sistema de ecuaciones
lineales.
f ' ( x k ) ≅ y'k :=
111
EJEMPLO 1: UNA RED ELECTRICA
Una red eléct rica
a
R1
V
I1
d
R4
b
R2
c
R1
I2
R1
R2
R4
I3
R1
R2
R4
I4
R3
R4
Consideremos el circuito eléctrico de la figura. Suponemos conocidos el voltaje V y
los valores de las resistencias Ri, i=1,2,3,4. Queremos determinar las intensidades en
cada rama del circuito.
Aplicando las leyes de Kirchhoff y la ley de Ohm obtendremos un sistema de
ecuaciones lineales. Las ecuaciones necesarias pueden desarrollarse utilizando la ley de
Ohm y la segunda ley de Kirchhoff.
Ley de los nudos: la suma algebraica de las intensidades que concurren en un nudo
es cero.
Ley de las mallas: la caída de potencial a lo largo de un camino cerrado del circuito
es nula.
Estas leyes no dependen de los elementos físicos del circuito, sino sólo de las
conexiones entre los mismos. En el caso de resistencias, su influencia queda establecida
mediante la
Ley de Ohm: La caída de potencial en cada rama es el producto de la intensidad que
circula por ella por su resistencia: V = I·R
Aplicamos implícitamente la ley de los nudos al considerar que las intensidades están
vinculadas a las mallas, en lugar de a los arcos. De este modo reducimos el número de
incógnitas. Así, en la figura, la corriente I1 circula sobre el circuito cerrado abcd. Como
el cable bc es común a dos mallas, la corriente que circula por él es I1-I2.
Aplicando la ley de las mallas a abcd tenemos
Vab + Vbc + Vcd = V (1)
La ley de Ohm para el cable que conecta b y c establece que
Vbc = R2(I1-I2)
donde R2 es el valor de la resistencia que conecta b con c. Aplicando esta ley al resto de
las ramas de la malla y sustituyendo en (1) queda
R1I1 + R2(I1-I2) + R4I1 = V.
siendo V el voltaje de la fuente.
112
Repitiendo este proceso para cada malla, obtenemos el siguiente sistema de
ecuaciones lineales en el que las R se suponen conocidas y las I son incógnitas.
( R1 + R2 + R4 ) I1 - R2 I2
=V
- R2 I1 + ( R1 + 2R2 + R4 ) I2 - R2 I3
=0
- R2 I2 + ( R1 + 2R2 + R4 ) I3 - R2 I4
=0
- R2 I3 + ( R1 + R2 + R3 + R4 ) I4
=0
113
EJEMPLO 2: UNA RED DE CALLES
Una red de calles
Observemos el mapa que muestra una pequeña zona de Valencia.
En el mapa se indica el flujo de tráfico que entra o sale a cada calle, en número de
vehículos por hora. Ya que el flujo de tráfico varía bastante durante el día, supondremos
que los números mostrados representan el tráfico promedio a las horas puntas.
Supongamos que el Ayuntamiento pretende pavimentar la calle Salamanca. La
policía puede, hasta cierto punto, controlar el flujo de tráfico reajustando los semáforos,
cerrando alguna calle, etc. La cuestión es minimizar el tráfico en la calle Salamanca sin
ocasionar congestión en las otras calles.
Veamos que este problema puede modelizarse mediante un sistema de ecuaciones
lineales.
Para resolver nuestro problema agregamos algunas variables a nuestro mapa.
Marcamos los 6 cruces de "A" hasta "F" y denotamos el flujo de tráfico entre los
cruces por las variables xi , i = 1, 2, ..., 7. El problema consiste en minimizar x6 y x7
sujetas a las restricciones del problema.
114
Graf o dirigido
300
500
200
x1
A
B
x3
400
100
x2
C
x4
D
x6
350
600
x5
E
600
x7
F
400
450
Para encontrar estas restricciones, veamos, por ejemplo, la intersección E. El tráfico
que fluye al cruce E es, según el mapa, x7 + 600. El tráfico que sale del cruce E es x4 +
x6. Suponiendo que el tráfico no se acumula en la intersección E, el tráfico de "entrada"
es el mismo que el de "salida". Así obtenemos x4 + x6 = 600 + x7, o bien
x4 + x6 - x7 = 600.
A partir de este análisis en cada cruce, se obtiene el siguiente sistema:
+ x3
x1
x1 - x2
+ x4
- x5
x2
+ x6
x3
+ x 6 - x7
x4
x5
que puesto en forma matricial resulta
115
x7
= 800 ü
ï
= 200 ï
ï
= 500 ïï
ý
= 750 ï
ï
= 600 ï
ï
= - 50 ïþ
æ1 0 1 0 0
ç
ç 1 -1 0 1 0
ç
ç 0 1 0 0 -1
ç
ç0 0 1 0 0
ç0 0 0 1 0
çç
è0 0 0 0 1
0
0
0
1
1
0
æ x1ö
ç ÷
0 öç ÷ æ 800 ö
÷
÷ç x 2 ÷ ç
0 ÷ç ÷ ç 200 ÷
÷
÷ x3 ç
0 ÷ç ÷ ç 500 ÷
÷
÷ç x 4 ÷ = ç
0 ÷ç ÷ ç 750 ÷
ç x5 ÷
- 1÷ç ÷ ç 600 ÷
÷÷
÷÷ç ÷ çç
- 1øç x 6 ÷ è - 50 ø
ç ÷
è x7 ø
Analicemos por un momento la estructura de la matriz del sistema.
Las filas corresponden a los cruces y las columnas a las calles que los conectan.
En la fila correspondiente a un cruce, aparece un 1 por cada calle que 'sale' de
ese cruce y un -1 por cada calle que 'entra' en el mismo.
Recíprocamente, en la columna de cada calle, hay un 1 en la posición del cruce
donde 'empieza' la calle y un -1 en el lugar del cruce en que 'termina' la calle.
En este ejemplo, el máximo número de elementos no nulos en cada columna es
de 2, por lo que la matriz puede ser muy grande, pero tiene muchos ceros, lo cual debe
ser aprovechado si es posible para simplificar los cálculos.
Mat riz de incidencia
Cal l e
1
2
3
4
5
6
C
A
1
0
1
0
0
0
0
r
B
-1
1
0
-1
0
0
0
u
C
0
-1
0
0
1
0
0
c
D
0
0
-1
0
0
-1
0
e
E
0
0
0
1
0
1
-1
F
0
0
0
0
-1
0
1
116
7
EJEMPLO 3: ECUACIÓN DEL CALOR
Ecuación del Calor
◆ Modelo matemático
ö
æ 2 -1
÷
ç
÷
ç -1 2 -1
÷
ç
-1 2 O
÷
ç
O O - 1÷
ç
ç
- 1 2 ÷ø
è
T1 = (T0 + T2 )/2
T2 = (T1 + T3 )/2
T3 = (T2 + T4 )/2
M
Tn = (Tn -1 + Tn +1 )/2
T0
T1
◆ Matriz asociada
T2
. . .
Tn
Tn+1
Consideramos una barra conductora del calor cuyos extremos están a temperatura
conocida Ta y Tb, respectivamente. Queremos hallar la temperatura a lo largo de la barra
en estado estacionario.
Para resolver numéricamente problemas de este tipo, consideramos un número finito
de puntos a lo largo de la barra, por ejemplo, dividimos la longitud en n+1 partes
iguales, tomando n puntos equiespaciados llamados nodos, x1, x2, ..., xn y estimaremos
la temperatura de estos puntos, T1, T2,..., Tn.
En el estado estacionario, suponemos que la temperatura en cada nodo es la media de
las temperaturas de los nodos adyacentes. Al imponer esta condición a cada nodo
obtenemos un sistema de ecuaciones lineales. Los valores de la temperatura en los
extremos pasan al segundo miembro constituyendo los términos independientes.
La matriz de este sistema tiene unas características especiales que aprovecharemos
para su resolución. Se trata de una matriz tridiagonal simétrica, la diagonal principal
está formada por 2’s y las diagonales situadas inmediatamente por encima y por debajo
de la diagonal principal tienen todos sus elementos iguales a -1.
Construimos esta matriz utilizando la orden diag(v) de MATLAB, que sitúa en una
diagonal determinada los elementos del vector v. En nuestro caso hacemos:
n=5;v=ones(n-1,1);
calor=2*eye(n)-diag(v,-1)-diag(v,1)
El segundo argumento de diag indica en qué diagonal hay que colocar los elementos
de v. Las diagonales se numeran a partir de la principal, que es la diagonal 0. La 1 está
situada justo encima de la principal y la -1 justo debajo. En general la diagonal k está
formada por los elementos aij tales que k=j-i.
La práctica V propone elaborar fichero .m para construir una matriz del calor de
orden n y resolver el sistema resultante.
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