Matemática

Aritmética
Segundo Año
Índice
ARITMÉTICA
SEGUNDO AÑO DE SECUNDARIA
●● Números N (adición y sustracción) ......................................................... 7
●● Números N (multiplicación y división).................................................... 13
●● Operaciones combinadas en N................................................................ 19
●● Números Z I. ........................................................................................... 25
●● Números Z I.I............................................................................................ 31
●● Operaciones combinadas en Z................................................................ 37
●● Numeración I........................................................................................... 43
●● Repaso...................................................................................................... 49
●● Numeración II (cambio de base).............................................................. 51
●● Divisibilidad I.......................................................................................... 57
●● Divisibilidad II......................................................................................... 64
●● Números primos I..................................................................................... 70
●● Números primos II................................................................................... 76
●● MCM – MCD I........................................................................................ 82
●● MCM – MCD II....................................................................................... 89
●● Repaso...................................................................................................... 95
●● Números racionales I............................................................................... 97
●● Números racionales II.............................................................................. 104
●● Razones................................................................................................... 111
●● Proporciones............................................................................................ 117
●● Potenciación.............................................................................................. 122
●● Radicación............................................................................................... 127
●● Operaciones combinadas de potenciación y radicación.......................... 134
●● Repaso...................................................................................................... 140
●● Magnitudes proporcionales...................................................................... 141
●● Estadística I.............................................................................................. 147
●● Estadística II............................................................................................. 153
●● Teoría de conjuntos I................................................................................ 159
●● Teoría de conjuntos II.............................................................................. 165
●● Lógica proposicional I.............................................................................. 171
●● Lógica proposicional II............................................................................ 177
●● Repaso...................................................................................................... 183
ARITMÉTICA
Números N
(adición y sustracción)
Marco teórico
La aritmética es la rama de la matemática cuyo objeto
de estudio son los números y las operaciones elementales hechas con ellos: adición, sustracción, multiplicación y división.
Los orígenes de la aritmética se pueden rastrear hasta
los comienzos de la matemática, misma, y de la ciencia en general. Los registros más antiguos datan de
la Edad de Piedra: huesos, palos, piedras talladas y
escarbadas con muescas, presumiblemente con fines
de conteo, de representación numérica y calendarios.
2. Sumas notables
I. 1 + 2 + 3 + ...+ n = n =
n ( n + 1)
2
II. 2 + 4 + 6 + … + 2n = n(n + 1)
III. 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n2
SUSTRACCIÓN
Es una operación que consiste en averiguar en cuánto excede una cantidad a otra. Sus términos son: minuendo, sustraendo y diferencia.
M
−
Minuendo
S
Sustraendo
=
D
Diferencia
1. Propiedades (sustracción)
I. M + S + D= 2M
II. Si abc – cba = xyz, se cumple:
y=9
x+z=9
a–c=x+1
ADICIÓN
Es una operación matemática que consiste en agrupar
cantidades homogéneas, llamadas sumandos, obteniendo como resultado otra cantidad llamada suma.
24cm
+ 36cm
+ 38cm
= 98cm
suma
sumandos
1. Adición en otras bases
Ejemplo:
III II I
2 3 6(8) +
4 7 3(8)
1
5
2(8)
1 1 0 3(8)
I. 6 + 3 + 2 = 11 = 13(8) Colocamos 3 y llevamos
1 al siguiente orden.
II. 1 + 3+ 7 + 5 = 16 = 20(8) → Colocamos 0 y
llevo
llevamos 2
III. 2 + 2+ 4 +1 = 9 = 11(8) → Colocamos 11
2. Complemento aritmético (CA)
CA(N) = 10m – N (m: número de cifras de N)
Método práctico:
CA(abc) = (9 – a)(9 – b)(10 –c)
¡No olvidar!
Debes tener presente que la operación matemática se llama adición y no suma como
generalmente confunden algunos.
El complemento aritmético de un número
puede tener igual o menor número de cifras
que el número inicial, pero no necesariamente la misma cantidad de cifras.
llevo
7
2DO AÑO
Trabajando en Clase
Integral
1. La suma de los tres términos de una sustrac-
ción es 7200. Calcula la mitad del minuendo.
2. Calcula:
1 + 2 + 3 + .. + 32
3. Si (a + b + c)2 = 361
Calcula: a5bc + b2ca + c4ab
Católica
4. Calcula “x” en:
Resolución
(x
+ 1) + (x + 2) + (x
+ 3) + ... + (x + 29)
292
=
29 veces
Rpta.:
29x + (1 + 2 + 3 + …+29) = 292
29x + 29.30 = 292
2
x + 15 = 29
x = 14
5. Calcula “x” en:
(x + 1)+(x + 2)+(x + 3)+…+(x + 43)= 432
6. Se tiene un número de tres cifras significativas
que suman 23. ¿Cuál es la suma de las cifras de su
complemento aritmético?
7. Calcular el valor de “x”, si se cumple que:
xyx = xx + yy + 443
UNMSM
8. Si: abc – cba = (m + 3)n(2m).
Calcula n – m
Resolución:
I. n = 9
II. m+3+2m = 9 m = 2
III. Por lo tanto n – m = 9 – 2 = 7
9. Si abc – cba = (3x)y(1+ x) .
Calcula y – x
10. Calcular
R = 342(5) + 411(5) + 232(5)
8
11. Un niño se entretiene colocando sus fichas de
Bob esponja de manera que se forma un triángulo
equilátero. En la primera fila coloca una ficha, en
la segunda dos, en la tercera tres y así sucesivamente hasta completar 12 filas ¿Cuántas fichas se
han utilizado?
UNI
12. El complemento aritmético de un número de tres
cifras que termina en 2 es otro también de tres cifras que empieza en 47. ¿Cuál es la suma de cifras
del primer número?
Resolución:
CA(ab2) = 47c
10 – 2 = c ⇒ c = 8
9–b=7⇒ b=2
9 – a = 4 ⇒ a =5
El primero número sería: 522
Por tanto 5 + 2 + 2 = 9
13. El complemento aritmético de un número de tres
cifras que termina en 6 es otro también de tres cifras que empieza en 35. ¿Cuál es la suma de cifras
del primer número?
14. A un número de tres cifras se le resta el que resulta de invertir el orden de sus cifras, y se obtiene
otro número de tres cifras que empieza en 2. Si
la suma del número y el que resulta de invertir el
orden de sus cifras es 1655, determina el complemento aritmético del número.
ARITMÉTICA
SIGO PRACTICANDO
16. La suma de términos de una sustracción es 108.
Calcula el doble del minuendo. Da el producto de
cifras.
a) 8
c) 1
e) 3
b) 4
d) 2
17. Calcula 1 + 3 + 5+…+23
a) 150
c) 114
b) 160
d) 165
20. Calcula el valor de “x” en:
(x + 1)+(x + 2)+ (x + 3) + … + (x + 17) = 172
a) 5
c) 3
e) 8
b) 4
d) 6
e) 144
21. Si ab + cba = 1m5 calcula a + b + m (m≠5)
a) 17
c) 19
e) 21
b) 18
d) 20
18. Si a + b + c = 5 . Calcula acb + bac + cba
a) 2775
c) 2777
e) 1177
b) 1197
d) 2779
22. Se tiene un número de cuatro cifras cuya suma
de cifras es 28. ¿Cuál es la suma de las cifras de su
complemento aritmético?
a) 4
c) 8
e) 9
b) 5
d) 7
( )
19. Si CA ab .1ab = 8631. Calcula a + b
2
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
9
2DO AÑO
23. Si el minuendo es el triple de la diferencia, además el sustraendo es 32. Hallar el minuendo
a) 41
c) 42
e) 49
b) 43
d) 48
24. Calcula 344(6)+223(6)+532(6)
a) 1542(6)
c) 1103(6)
b) 1543(6)
d) 1003(6)
25. Cynthia compra caramelos todos los días durante dos semanas, cada día uno más que el
día anterior. Si el primer día compró 1 caramelo, ¿cuántos caramelos compró en total?
a) 105
c) 115
e) 131
b) 110
d) 113
e) 1007(6)
Esquema formulario
Adición
1+
2 +3
=
6
sumandos suma
Sumas notables:
n(n +1)
1 + 2 + 3 +…+ n= n =
2
2 + 4 + 6 + … + 2n = n(n + 1)
1 + 3 + 5 + …+ (2n – 1) = n
Sustracción
Claves
M
16.
a
21.
e
17.
e
22.
e
18.
a
23.
d
19.
e
24.
b
20.
e
25.
a
10
-
S
Minuendo Sustraendo
=
D
Diferencia
M + S + D = 2M
Si abc - cba = mnp → n = 9; m + p = 9; a – c = m + 1
CA(N) = 10K – N (k: número de cifras de N)
(
)
CA abcd = (9 - a)(9 - b)(9 - c)(10 - d)
ARITMÉTICA
Tarea
Integral
1. La suma de términos de una
sustracción es 216. Calcula
la suma de cifras del minuendo.
a) 108
b) 54
c) 9
d) 12
e) 6
2. Calcula 1+3+5+…+79
a) 1500
b) 1600
c) 1141
d) 1650
e) 1450
3. Si 3 a+b+c=3.
Calcula acb+bac+cba
a) 2997
b) 1997
c) 2777
d) 2779
e) 1177
4. a35b+2c43+32d1 = 9826.
Calcula (a+ d) – (b + c)
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
PUCP
5. Calcula el valor de “x” en:
(x+1)+(x+2)+(x+3)
+…+(x+31)=312
a) 15
b) 14
c) 13
d) 16
e) 17
6. Si ab+ba=1m4
calcula a + b + m
a) 15
b) 16
c) 17
d) 18
e) 19
7. En un ómnibus de transporte viajan 2a varones y 3n
mujeres de un total de n3
pasajeros. Halla a +n
a) 13
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8
8. Hallar a + n si: 1+2+3+…+n
= (3a)0a y “a” es el máximo
valor.
a) 41
b) 43
c) 44
d) 45
e) 46
UNMSM
9. Calcula 343(5)+123(5)+432(5)
a) 2000(5)
b) 2002(5)
c) 2003(5)
d) 2004(5)
e) 2007(5)
10. Ronald compra chocolates
todos los días durante una
semana, cada día uno más
que el día anterior. Si el último día compra 20 chocolates, ¿cuántos chocolates
compra durante la semana?
a) 119
b) 117
c) 115
d) 113
e) 131
11. En una sustracción el minuendo es x43 y la diferencia, x34. Halla la suma de
cifras del sustraendo
a) 9
d) 19
b) 27
e) 10
c) 12
12. Hallar la suma de cifras del
mayor número de dos cifras
que excede en 32 a cinco veces la cifra de las unidades.
a) 11
b) 12
c) 13
d) 14
e) 15
11
2DO AÑO
UNI
13. El complemento aritmético
de un número de tres cifras
que termina en 2 es otro
también de tres cifras que
empieza en 16. ¿Cuál es la
suma de cifras del primer
número?
a) 10
b) 11
c) 12
d) 13
e) 14
14. A un número de tres cifras
se le resta el que resulta de
invertir el orden de sus cifras, y se obtiene otro número de tres cifras que empieza en 1. Si la suma del
número y el que resulta de
12
invertir el orden de sus cifras es 1090, determina el
complemento aritmético
del número.
a) 352
b) 353
c) 356
d) 653
e) 453
15. En una sustracción si al minuendo se le agrega 2 unidades en las decenas y al
sustraendo se le aumenta
5 unidades en las centenas,
entonces la diferencia disminuye en:
a) 52
b) 520
c) 480
d) 502
e) 540
Claves
01.
c
09.
c
02.
b
10.
a
03.
a
11.
a
04.
c
12.
c
05.
a
13.
d
06.
e
14.
c
07.
a
15.
c
08.
d