UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO
FACULTAD DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA
CARREARA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA
PERÍODO: SEPTIEMBRE 2019 – ENERO 2020
.
ESTUDIANTE: Julissa Lozada
DOCENTE: Ing., Claudio Hidalgo
#14
CURSO: Primero
FECHA: 10/12/2019
PARALELO:”A”
ASIGNATURA: Matemáticas
TEMA: OPERACIONES CON CONJUNTOS
LINK:
https://www.portaleducativo.net/cuarto-medio/25/operaciones-de-conjuntos
COMENTARIO:
Es muy importante conocer las operaciones con conjuntos para de este modo poder graficarlos de
manera correcta, diferenciando la unión, intersección, diferencia, diferencia simétrica, ya que estas
son las distintas operaciones que se pueden realizar en los conjuntos.
1
OPERACIONES DE CONJUNTOS
En los conjuntos se pueden realizar algunas operaciones básicas, que parten de algunos
conjuntos
dados
y
se
obtienen
nuevos
conjuntos.
Sean dos conjuntos, A y B del conjunto
universal U.
Las operaciones básicas que podemos definir
entre conjuntos son;
Nota: El resultado de las operaciones representado en un diagrama de Venn lo
pintaremos del siguiente color;
1.1- Unión de conjuntos:
La unión de dos conjuntos A y B, que se escribe A U B, se define como el conjunto formado
por
los
elementos
comunes
y
no
comunes
a
ambos
conjuntos.
Las uniones las podemos representar en diagramas de Venn de la siguiente forma;
a) Cuando los dos conjuntos tienen elementos en común la unión se representa de la
siguiente forma;
2
b) Cuando los conjuntos no tienen elementos en común la unión se representa;
c) Cuando todos los elementos de A pertenecen a B la unión se representa;
Propiedades de la unión de conjuntos;
1° (A U A) = A
2° (A U B) = B U A
3° A U (B U C) = (A U B) U C
4° A U ᴓ = A
5° A U U = U
Ejemplo:
3
Sean
los
conjuntos;
Representar A U B en un diagrama de Venn.
Para poder resolver este ejercicio, como los conjuntos A y B están definidos
por comprensión, primero es conviene escribir estos conjuntos por extensión, para poder
ver
todos
sus
eleme
ntos;
Y luego, representamos la unión en diagrama de Venn;
1.2- Intersección de conjuntos:
La intersección de dos conjuntos A y B, que se escribe A ∩ B, se define como el conjunto
formado por los elementos comunes de A y B pero.
4
Las intersecciones las podemos representar en diagramas de Venn de la siguiente forma;
a) Cuando los dos conjuntos tienen elementos en común la intersección se representa de la
siguiente forma;
b) Cuando los conjuntos no tienen elementos en común, la intersección es igual a conjunto
vacío (ᴓ) y se representa;
c) Cuando todos los elementos de A pertenecen a B la unión es igual a A, y se representa;
Propiedades de la intersección de conjuntos;
5
1° (A ∩ A) = A Idempotencia
2° (A ∩ B) = (B ∩ A) Conmutativa
3° (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) Asociativa
4° A ∩ ᴓ = ᴓ Identidad
5° A ∩ U = A Identidad
Nota: La idempotencia es la propiedad para realizar la operación varias veces, y siempre
obtener el mismo resultado que se obtendría si se realizara solo una vez.
Ejemplo:
Determina dos conjuntos que puedan dar origen a la intersección;
Para determinar dos conjuntos que den origen a esta intersección debemos buscar
conjuntos que contengan estas letras, nosotros haremos los siguientes conjuntos, pero tú
puedes formar otros;
Si representamos la intersección en un diagrama de Venn quedaría de la siguiente forma;
6
1.3- Diferencia de conjuntos:
La diferencia de dos conjuntos A y B, que se escribe A - B, se define como el conjunto
formado por los elementos A que no pertenecen a B.
La diferencia de conjuntos las podemos representar en diagramas de Venn de la siguiente
forma;
a) Cuando los dos conjuntos tienen elementos en común la diferencia se representa de la
siguiente forma;
b) Cuando los conjuntos no tienen elementos en común, la diferencia es igual al conjunto A
y se representa;
c) Cuando todos los elementos de A pertenecen a B la diferencia es igual a conjunto Vacío
(ᴓ), y se representa;
7
d) Cuando todos los elementos del conjunto B pertenecen a A, la diferencia se representa;
Propiedades de diferencia de conjuntos;
1° (A - B) ≠ B - A
2° A - B = A ∩ B’
3° A - ᴓ = A
4° A - U = ᴓ
5° ᴓ - A = ᴓ
6° A ∩ (B – C) = (A ∩ B) – (A ∩ C)
Ejemplo:
Sean los conjuntos A = { 2, 4, 6, 8, 10 } y B = { 1, 2, 3, 4, 5} .
8
¿Cuál es la diferencia de A - B?
1.4- Conjunto complementario:
Dado el conjunto A ϵ U, se define el conjunto complementario de A, que se escribe A c, el
cual está formado por los elementos que pertenecen al conjunto universal (U), pero que no
pertenecen a A.
El conjunto complemento de A lo podemos representar en un diagrama de Venn de la
siguiente forma;
Es decir, también podemos interpretarlo como;
Propiedades de conjunto complementario;
1° A U AC = U
9
2° A ∩ AC = ᴓ
3° UC = ᴓ
4° ᴓC = U
5° (AC)C = A
Ejemplo:
Sea U = { a, e, i, o, u } y A = { i, u } ¿cuál es el complemento de A?
Entonces, si quitamos las letras i y u, obtenemos Ac.
1.5- Diferencia simétrica de conjuntos:
La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B, que se escribe A Δ B, se define como la
diferencia de A U B y A ∩ B.
La diferencia simétrica de conjuntos las podemos representar en un diagrama de Venn de
la siguiente forma;
1
0
a) Cuando los dos conjuntos tienen elementos en común la diferencia simétrica se
representa de la siguiente forma;
b) Cuando los conjuntos no tienen elementos en común, la diferencia simétrica es igual al
conjunto A U B y se representa;
c) Cuando todos los elementos de A pertenecen a B, la diferencia simétrica es igual B - A, y
se representa;
1
1
Propiedades de conjunto complementario;
1° A Δ B = B Δ A
2° (A Δ B) Δ C = A Δ (B Δ C)
3° A Δ A = ᴓ
4° A Δ ᴓ = A
5° A Δ U = U - A
Ejemplo:
Sean dos conjuntos A = { a, b, c } y { a, b, c, d, e, f } ¿Cuál es la diferencia simétrica de A y
B?
Recuerda:
Para
poder
resolver
un
ejercicio
con conjuntos
definidos
por
comprensión, primero es conviene escribir estos conjuntos por extensión, para que
sea más fácil resolver los ejercicios.
1
2
