Ejercicios unidad didáctica 1
Sistemas Industriales de Control Adaptativo
AUTOR: Alejandro Fernández Rodríguez
EJERCICIOS UNIDAD DIDÁCTICA 1
ÍNDICE
ÍNDICE ......................................................................................................................................................2
ÍNDICE DE ILUSTRACIONES.......................................................................................................................3
1.
EJERCICIO 1:.....................................................................................................................................4
2.
EJERCICIO 2:.....................................................................................................................................7
3.
EJERCICIO 3:.....................................................................................................................................8
4.
EJERCICIO 4:.....................................................................................................................................9
5.
EJERCICIO 5:...................................................................................................................................10
6.
EJERCICIO 6:...................................................................................................................................12
7.
EJERCICIO 7:...................................................................................................................................12
8.
ANEXO: CÓDIGO IMPLEMENTADO EN MATLAB ............................................................................14
MÁSTER EN INVESTIGACIÓN EN INGENIERÍA ELÉCTRICA, ELECTRÓNICA Y CONTROL INDUSTRIAL
2
EJERCICIOS UNIDAD DIDÁCTICA 1
ÍNDICE DE ILUSTRACIONES
Ilustración 1: Respuesta del sistema para el caso 3 ...................................................................................4
Ilustración 2: Respuesta del sistema para el caso 4. ..................................................................................4
Ilustración 3: Diagrama de Nyquist para el caso 1. ...................................................................................5
Ilustración 4: Diagrama de Nyquist para el caso 2. ...................................................................................5
Ilustración 5: Respuesta del sistema para el caso 1. ..................................................................................6
Ilustración 6: Respuesta del sistema para el caso 2. ..................................................................................6
Ilustración 7: Comparativa de los tiempos de establecimiento. .................................................................7
Ilustración 8: Tiempo de establecimiento modificando los valores de a y b. ..............................................7
Ilustración 9: Respuesta escalón para una ganancia de 5 (α=5) ................................................................8
Ilustración 10:Lugar de raíces y respuesta temporal para el caso 5 ...........................................................8
Ilustración 11: Comparativa entre los tiempos de subida para cada caso..................................................9
Ilustración 12: Lugar de raíces y respuesta escalón para el caso 5.............................................................9
Ilustración 13: Lugar de raíces y respuesta escalón para el caso 4...........................................................10
Ilustración 14: Cancelación de polos ceros para el caso 2. .......................................................................10
Ilustración 15: Comparativa entre los tiempos de respuesta del caso 1 y3. .............................................11
Ilustración 16: Respuestas con sobreoscilación para los casos 4 y 5. .......................................................11
Ilustración 17: Respuesta del sistema con cero inestable. .......................................................................12
Ilustración 18: Salida con ruido blanco sin filtrar y aplicando el filtro para el caso 1................................12
Ilustración 19: Salida con ruido blanco sin filtrar y aplicando el filtro para el caso 2................................13
Ilustración 20: Salida con ruido blanco sin filtrar y aplicando el filtro para el caso 3................................13
Ilustración 21: Salida con ruido blanco sin filtrar y aplicando el filtro para el caso 4................................13
Ilustración 22: Comparativa entre la señal de salida obtenida en el apartado 1 y la salida obtenida con la
FdT calculada para el caso 1. ..................................................................................................................13
Ilustración 23: Salida obtenida para la señal filtrada en el apartado 3 para el caso 1..............................14
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3
EJERCICIOS UNIDAD DIDÁCTICA 1
1. EJERCICIO 1:
La función de transferencia para el ejercicio 1 viene dada por la expresión:
𝑇𝑇(𝑧𝑧) =
𝑏𝑏𝑧𝑧 −1
1 − 𝑎𝑎𝑧𝑧 −1
La expresión anterior presenta un cero y un polo, siendo el polo dependiente del valor
del parámetro a. Atendiendo al criterio de estabilidad para sistemas muestreados, un
sistema es estable si todos los polos “λ” del sistema se encuentran ubicados dentro de
la circunferencia unidad, es decir si |λ| < 1. Siguiendo este criterio, y teniendo en cuenta
que la posición de los polos de la función de transferencia depende del valor que tome
a, podemos afirmar que para los casos 3 y 4 el sistema será inestable, por lo que su
ganancia no estará acotada, tal y como se muestra en las ilustraciones 1 y 2:
Ilustración 1: Respuesta del sistema para el caso 3
Ilustración 2: Respuesta del sistema para el caso 4.
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4
EJERCICIOS UNIDAD DIDÁCTICA 1
Para los casos 1 y 2 podemos aplicar también el criterio de estabilidad de Nyquist, Z = N +P,
donde P representa el número de polos inestables, es decir que se encuentren fuera del circulo
unidad, 0 en este caso, y N el número de rodeos al punto -1, en ambos casos es cero también tal
y como se puede apreciar en las ilustraciones 3 y 4, por lo que ambas respuestas tienen una
ganancia finita, es decir son estables, tal y como se puede apreciar en las ilustraciones 5 y 6.
Ilustración 3: Diagrama de Nyquist para el caso 1.
Ilustración 4: Diagrama de Nyquist para el caso 2.
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5
EJERCICIOS UNIDAD DIDÁCTICA 1
Ilustración 5: Respuesta del sistema para el caso 1.
Ilustración 6: Respuesta del sistema para el caso 2.
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6
EJERCICIOS UNIDAD DIDÁCTICA 1
2. EJERCICIO 2:
La ganancia de la función de transferencia del sistema anterior se puede obtener
haciendo tender z a 1:
𝐺𝐺|𝑧𝑧→1 =
0.1×1
1−0.9×1
= 1 (teorema del valor final)
Si el periodo de muestreo se hiciese igual a 3 segundos, la ecuación dinámica del sistema
resultaría:
𝑦𝑦(𝑘𝑘) = 𝑎𝑎 ∗ 𝑦𝑦(𝑘𝑘 − 3) + 𝑏𝑏 ∗ 𝑢𝑢(𝑘𝑘 − 3)
Si mantuviésemos los parámetros a y b invariables, el sistema tardaría
aproximadamente tres veces más tiempo en llegar al valor de consigna, para mantener
el mismo tiempo de subida deberíamos variar a y b proporcionalmente.
Ilustración 7: Comparativa de los tiempos de establecimiento.
Variando el valor del parámetro a, para hacer que la respuesta del sistema sea más
rápida, y b en consonancia para seguir manteniendo la ganancia igual a la unidad se
puede conseguir un tiempo de establecimiento igual al que teníamos con el periodo de
muestreo anterior:
Ilustración 8: Tiempo de establecimiento modificando los valores de a y b.
De lo anterior podemos observar que si hiciésemos tender el periodo de muestro a
infinito, el parámetro a será cada vez más pequeño para poder aumentar la velocidad
de respuesta del sistema, convergiendo este valor a 0, por otro lado, si deseásemos
mantener la ganancia igual a la unidad, el parámetro b resultaría, b = 1 – a, si a tiende a
0 cuando el periodo de muestreo tiende a infinito, podemos observar que b tiende a 1.
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7
EJERCICIOS UNIDAD DIDÁCTICA 1
Por otro lado, si hacemos tender el periodo de muestreo a 0, el valor del parámetro a
deberá aumentar para mantener el tiempo de establecimiento del sistema en el mismo
valor, con un límite superior acotado por 1. El parámetro b, en consonancia tenderá a 0.
Podemos generalizar para un periodo de muestreo m:
𝑦𝑦(𝑘𝑘) = 𝑎𝑎 ∗ 𝑦𝑦(𝑘𝑘 − 𝑚𝑚) + 𝑏𝑏 ∗ 𝑢𝑢(𝑘𝑘 − 𝑚𝑚)
Si deseásemos hacer tender la ganancia a un valor distinto de la unidad, por ejemplo, α,
deberíamos modificar el parámetro b de forma proporcional a la ganancia que
deseásemos obtener, pudiendo calcular este como
𝑏𝑏 = 𝛼𝛼 × (1 − 𝑎𝑎)
Ilustración 9: Respuesta escalón para una ganancia de 5 (α=5)
3. EJERCICIO 3:
Como se mencionó en el apartado 1, y recordando la teoría clásica de control, la
respuesta del sistema será estable siempre y cuando sus polos de lazo cerrado se
encuentren dentro de la circunferencia unidad. Representando el lugar de raíces de los
5 casos podemos observar que el caso 5 presenta un polo inestable en el punto 1.1. Este
polo inestable se encuentra demasiado alejado del cero del sistema como para que
ambos se puedan cancelar, por lo que la salida del sistema no estará acotada.
Ilustración 10:Lugar de raíces y respuesta temporal para el caso 5
Los casos 1, 2, 3, presentan polos dobles en los puntos 0.8, 0.5 y 0.2 respectivamente.
El caso 4 presenta dos polos, uno en 0.2 y otro en 0.8.
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8
EJERCICIOS UNIDAD DIDÁCTICA 1
Podemos observar que la proximidad de los polos al origen marca la velocidad de
respuesta, siendo esta mayor cuanto más próximos se encuentren los polos del origen
(caso 3). La ganancia en todos estos casos es igual a la unidad.
Ilustración 11: Comparativa entre los tiempos de subida para cada caso
4. EJERCICIO 4:
Para el caso 5 del ejercicio 4, el sistema presenta dos polos complejos conjugados en los
puntos 0.6 ± 0.9j, al ser el módulo de estos mayor a 1 estan situados en el exterior de la
circunferencia unidad, por lo que la salida del sistema no estará acotada.
Ilustración 12: Lugar de raíces y respuesta escalón para el caso 5.
Para el caso 4 tenemos dos polos complejos conjugados situados en los puntos 0.6 ±
0.8j. Calculando el módulo podemos comprobar que es igual a la unidad, por lo que
ambos polos se encuentran sobre la circunferencia unidad lo que hará que el sistema
sea críticamente estable, cuya respuesta será oscilante:
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EJERCICIOS UNIDAD DIDÁCTICA 1
Ilustración 13: Lugar de raíces y respuesta escalón para el caso 4.
Los casos 1, 2 y 3 presentan dos polos complejos conjugados en los puntos: 0.6 ± 0.1j,
0.6 ± 0.3j y 0.6 ± 0.6j. Podemos observar que la parte real se ha mantenido invariable en
los 5 casos, mientras que la imaginaria ha ido aumentando. Para estos últimos 3 casos
estables podemos verificar que cuanto más se aleja la parte imaginaria del valor 0 y se
aproxima a la circunferencia unidad el sistema se vuelve subamortiguado y la salida
rebota sobre la posición de consigna.
En estas condiciones podemos obtener la ganancia como:
𝐺𝐺1|𝑧𝑧→1 =
0.17 × 1
=1
1 − 1.2 × 1 + 0.37 × 1
𝐺𝐺3|𝑧𝑧→1 =
0.52 × 1
=1
1 − 1.2 × 1 + 0.72 × 1
𝐺𝐺2|𝑧𝑧→1 =
5. EJERCICIO 5:
0.25 × 1
=1
1 − 1.2 × 1 + 0.45 × 1
En el segundo caso de este ejercicio podemos observar que el sistema presenta un polo
doble en el punto 0.5. El cero del sistema se sitúa también sobre el punto 0.5, en estas
condiciones se cumplen las reglas de cancelación cero-polo, por lo que la respuesta del
sistema será igual a la de su equivalente de primer orden con un único polo en el punto
0.5.
Ilustración 14: Cancelación de polos ceros para el caso 2.
En las condiciones del caso 2 la ganancia del sistema resulta:
𝐺𝐺2|𝑧𝑧→1 =
1.0 × 1 − 0.5 × 1
=2
1 − 1.0 × 1 + 0.25 × 1
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10
EJERCICIOS UNIDAD DIDÁCTICA 1
Para los casos 1 y 3 las reglas de cancelación ya no son aplicables debido a la lejanía
entre los polos y ceros. Los casos 1 y 3 presentan ambos un polo doble en el punto 0.5
y ceros en los puntos 0.2 y 0.6 respectivamente. Podemos observar que cuanto mas se
acercan los ceros a la circunferencia unidad menor es el tiempo de respuesta del
sistema.
Ilustración 15: Comparativa entre los tiempos de respuesta del caso 1 y3.
En estas condiciones la ganancia del sistema resulta:
𝐺𝐺1|𝑧𝑧→1 =
𝐺𝐺3|𝑧𝑧→1 =
0.625 × 1 − 0.125 × 1
=2
1 − 1.0 × 1 + 0.25 × 1
1.5 × 1 − 0.9 × 1
= 2.4
1 − 1.0 × 1 + 0.25 × 1
Los casos 4 y 5 presentan sendos polos dobles en el punto 0.5. Sus ceros se sitúan en los
puntos 0.7 y 0.9 respectivamente. L a proximidad de los ceros a la circunferencia unidad,
y la rápida respuesta generada, provocan una sobre oscilación en torno al punto de
consigna. En estas condiciones la ganancia para cada caso resulta:
𝐺𝐺4|𝑧𝑧→1 =
𝐺𝐺5|𝑧𝑧→1 =
1.66 × 1 − 0.16 × 1
=2
1 − 1.0 × 1 + 0.25 × 1
5.0 × 1 − 4.5 × 1
=2
1 − 1.0 × 1 + 0.25 × 1
Ilustración 16: Respuestas con sobreoscilación para los casos 4 y 5.
Para el caso 6 el polo doble se sitúa igualmente en el punto 0.5, el cero por el contrario
se sitúa en el punto 1.1, que está fuera de la circunferencia unidad, lo cual no lleva la
respuesta del sistema a la inestabilidad, pero si lo hace vulnerable a perturbaciones.
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11
EJERCICIOS UNIDAD DIDÁCTICA 1
Ilustración 17: Respuesta del sistema con cero inestable.
6. EJERCICIO 6:
Para el ejercicio 6 todos los casos presentan un polo doble en el punto 0.5. Los tiempos
de subida son iguales para todos los casos. La ganancia se mantiene igual a 2 en todos
los casos.
Los ceros de los casos 1, 2, 3, 4 y 5 se sitúan en los puntos -0.2, -0.5, -0.7, -0.9 y -1.1
respectivamente. Para el caso 5 el polo inestable no tiene efecto sobre los límites de la
respuesta del sistema.
7. EJERCICIO 7:
Para los casos 1, 2, 3 y 4, y sin aplicar el filtro los polos del sistema se sitúan en los puntos
0.9, 0.9, 0.5 y 0.5 respectivamente. Los ceros por su parte en los puntos 0, 0, -0.5 y -0.5.
Aplicando el filtro, la distribución de ceros y polos, según cada caso, quedaría de la
siguiente forma:
-caso 1: polos en 0.75 y 0.9. Cero en 0.
-caso 2: polos en 0.25 y 0.9. Cero en 0.
-caso 3: polos en 0.5 y 0.75. Ceros en 0 y -0.5.
-caso 4: polos en 0.25 y 0.5. Ceros en 0 y -0.5.
Para el ejercicio 7 las salidas para la función de transferencia con el vector de ruido sin
filtrar y filtradas serían:
Ilustración 18: Salida con ruido blanco sin filtrar y aplicando el filtro para el caso 1.
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12
EJERCICIOS UNIDAD DIDÁCTICA 1
Ilustración 19: Salida con ruido blanco sin filtrar y aplicando el filtro para el caso 2.
Ilustración 20: Salida con ruido blanco sin filtrar y aplicando el filtro para el caso 3.
Ilustración 21: Salida con ruido blanco sin filtrar y aplicando el filtro para el caso 4.
Podemos apreciar que para los casos 2 y 3 el filtro no obtiene un efecto significativo.
La función de transferencia que relaciona la salida filtrada con la entrada del proceso
sería:
𝐺𝐺 = 𝐹𝐹 ×
𝑏𝑏1×𝑧𝑧 −1 ×𝑏𝑏2×𝑧𝑧 −2
1−(𝑎𝑎1+1−𝐹𝐹)×𝑧𝑧 −1 −(𝑎𝑎1∗(1−𝐹𝐹)−𝑎𝑎2)×𝑧𝑧 −2 −𝑎𝑎2×(1−𝐹𝐹)×𝑧𝑧 −3
Ilustración 22: Comparativa entre la señal de salida obtenida en el apartado 1 y la salida obtenida con la FdT
calculada para el caso 1.
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13
EJERCICIOS UNIDAD DIDÁCTICA 1
Ilustración 23: Salida obtenida para la señal filtrada en el apartado 3 para el caso 1.
Observemos que el hecho de aplicar un filtro a una señal incrementa el orden de la
función de transferencia resultante, por lo que añadirá mas periodos de retardo.
8. ANEXO: CÓDIGO IMPLEMENTADO EN MATLAB
%EJERCICIOS UNIDAD DIDÁCTICA 1
clear;
clc;
%EJERCICIO 1:
z = tf('z');
%Caso 1)
a = 0.4;
b = 0.6;
y_ant = 0;
u_ant = 0;
y = [];
for k =1:1:30
y(k) = a*y_ant + b*u_ant;
if(k>8)
u_ant = 1;
end
y_ant = y(k);
end
t = 0:1:(length(y)-1);
%figure(1);
%plot(t,y)
grid on;
T = (b*z^(-1))/(1-a*z^(-1));
%figure(2);
%nyquist(feedback(T, 1));
grid on;
%Caso 2)
a = 0.9;
b = 0.1;
y_ant = 0;
u_ant = 0;
for k =1:1:70
y(k) = a*y_ant + b*u_ant;
if(k>8)
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14
EJERCICIOS UNIDAD DIDÁCTICA 1
u_ant = 1;
end
y_ant = y(k);
end
t = 0:1:(length(y)-1);
%figure(3);
%plot(t,y)
grid on;
T = (b*z^(-1))/(1-a*z^(-1));
%figure(4);
%nyquist(feedback(T, 1));
grid on;
%Caso 3)
a = 1.0;
b = 0.1;
y_ant = 0;
u_ant = 0;
for k =1:1:70
y(k) = a*y_ant + b*u_ant;
if(k>8)
u_ant = 1;
end
y_ant = y(k);
end
t = 0:1:(length(y)-1);
%figure(5);
%plot(t,y)
grid on;
%Caso 4)
a = 1.1;
b = 0.1;
y_ant = 0;
u_ant = 0;
for k =1:1:70
y(k) = a*y_ant + b*u_ant;
if(k>8)
u_ant = 1;
end
y_ant = y(k);
end
t = 0:1:(length(y)-1);
%figure(6);
%plot(t,y)
grid on;
%EJERCICIO 2:
clear;
clc;
%figure(7);
z = tf('z');
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15
EJERCICIOS UNIDAD DIDÁCTICA 1
a = 0.9;
b = 0.1;
T = (b*z^(-1))/(1-a*z^(-1));
%step(T);
grid on;
%figure(8);
T = (b*z^(-3))/(1-a*z^(-3));
%step(T);
grid on;
%figure(9);
a = a*(1/1.23);
b = 1 - a;
T = (b*z^(-3))/(1-a*z^(-3));
%step(T);
grid on;
%figure(10);
b = 5*(1 - a);
T = (b*z^(-3))/(1-a*z^(-3));
%step(T);
grid on;
%EJERCICIO 3
clear;
clc;
%CASO 1)
z = tf('z');
a1 = 1.6;
a2 = -0.64;
b1 = 0.04;
T= (b1*z^(-1))/(1-a1*z^(-1) - a2*z^(-2));
%figure(11);
%step(T);
%figure(12);
%rlocus(T)
%CASO 2)
a1 = 1.0;
a2 = -0.25;
b1 = 0.25;
T= (b1*z^(-1))/(1-a1*z^(-1) - a2*z^(-2));
%figure(13);
%step(T);
%figure(14);
%rlocus(T)
%CASO 3)
a1 = 0.4;
a2 = -0.04;
b1 = 0.64;
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16
EJERCICIOS UNIDAD DIDÁCTICA 1
T= (b1*z^(-1))/(1-a1*z^(-1) - a2*z^(-2));
%figure(15);
%step(T);
%figure(16);
%rlocus(T)
%CASO 4)
a1 = 1.0;
a2 = -0.16;
b1 = 0.16;
T= (b1*z^(-1))/(1-a1*z^(-1) - a2*z^(-2));
%figure(17);
%step(T);
%figure(18);
%rlocus(T)
%CASO 5)
a1 = 1.9;
a2 = -0.88;
b1 = 0.02;
T= (b1*z^(-1))/(1-a1*z^(-1) - a2*z^(-2));
figure(19);
%step(T);
%figure(20);
%rlocus(T)
%EJERCICIO 4
clear;
clc;
%CASO 1)
z = tf('z');
a1 = 1.2;
a2 = -0.37;
b1 = 0.17;
T= (b1*z^(-1))/(1-a1*z^(-1) - a2*z^(-2));
%figure(11);
%step(T);
%figure(12);
%rlocus(T)
%CASO 2)
a1 = 1.2;
a2 = -0.45;
b1 = 0.25;
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17
EJERCICIOS UNIDAD DIDÁCTICA 1
T= (b1*z^(-1))/(1-a1*z^(-1) - a2*z^(-2));
%figure(13);
%step(T);
%figure(14);
%rlocus(T)
%CASO 3)
a1 = 1.2;
a2 = -0.72;
b1 = 0.52;
T= (b1*z^(-1))/(1-a1*z^(-1) - a2*z^(-2));
%figure(15);
%step(T);
%figure(16);
%rlocus(T)
%CASO 4)
a1 = 1.2;
a2 = -1.00;
b1 = 0.80;
T= (b1*z^(-1))/(1-a1*z^(-1) - a2*z^(-2));
%figure(17);
%step(T);
%figure(18);
%rlocus(T)
%CASO 5)
a1 = 1.2;
a2 = -1.17;
b1 = 0.97;
T= (b1*z^(-1))/(1-a1*z^(-1) - a2*z^(-2));
%figure(19);
%step(T);
%figure(20);
%rlocus(T)
%EJERCICIO 5
clear;
clc;
%CASO 1)
z = tf('z');
a1 = 1.0;
a2 = -0.25;
b1 = 0.625;
b2 = -0.125;
T= (b1*z^(-1) + b2*z^(-2))/(1-a1*z^(-1) - a2*z^(-2));
%figure(11);
%step(T);
MÁSTER EN INVESTIGACIÓN EN INGENIERÍA ELÉCTRICA, ELECTRÓNICA Y CONTROL INDUSTRIAL
18
EJERCICIOS UNIDAD DIDÁCTICA 1
%figure(12);
%rlocus(T)
%CASO 2)
z = tf('z');
a1 = 1.0;
a2 = -0.25;
b1 = 1.0;
b2 = -0.5;
T= (b1*z^(-1) + b2*z^(-2))/(1-a1*z^(-1) - a2*z^(-2));
%figure(13);
%step(T);
%figure(14);
%rlocus(T)
%CASO 3)
z = tf('z');
a1 = 1.0;
a2 = -0.25;
b1 = 1.5;
b2 = -0.9;
T= (b1*z^(-1) + b2*z^(-2))/(1-a1*z^(-1) - a2*z^(-2));
%figure(15);
%step(T);
%figure(16);
%rlocus(T)
%CASO 4)
z = tf('z');
a1 = 1.0;
a2 = -0.25;
b1 = 1.66;
b2 = -1.16;
T= (b1*z^(-1) + b2*z^(-2))/(1-a1*z^(-1) - a2*z^(-2));
%figure(17);
%step(T);
%figure(18);
%rlocus(T)
%CASO 5)
z = tf('z');
a1 = 1.0;
a2 = -0.25;
b1 = 5.0;
b2 = -4.5;
T= (b1*z^(-1) + b2*z^(-2))/(1-a1*z^(-1) - a2*z^(-2));
%figure(19);
%step(T);
%figure(20);
%rlocus(T)
%CASO 6)
z = tf('z');
a1 = 1.0;
a2 = -0.25;
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19
EJERCICIOS UNIDAD DIDÁCTICA 1
b1 = -5.0;
b2 = 5.5;
T= (b1*z^(-1) + b2*z^(-2))/(1-a1*z^(-1) - a2*z^(-2));
%figure(21);
%step(T);
%figure(22);
%rlocus(T)
%EJERCICIO 6
clear;
clc;
%CASO 1)
z = tf('z');
a1 = 1.0;
a2 = -0.25;
b1 = 0.416;
b2 = 0.083;
T= (b1*z^(-1) + b2*z^(-2))/(1-a1*z^(-1) - a2*z^(-2));
%figure(11);
%step(T);
%figure(12);
%rlocus(T)
%CASO 2)
z = tf('z');
a1 = 1.0;
a2 = -0.25;
b1 = 0.333;
b2 = 0.166;
T= (b1*z^(-1) + b2*z^(-2))/(1-a1*z^(-1) - a2*z^(-2));
%figure(13);
%step(T);
%figure(14);
%rlocus(T)
%CASO 3)
z = tf('z');
a1 = 1.0;
a2 = -0.25;
b1 = 0.294;
b2 =0.205;
T= (b1*z^(-1) + b2*z^(-2))/(1-a1*z^(-1) - a2*z^(-2));
%figure(15);
%step(T);
%figure(16);
%rlocus(T)
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20
EJERCICIOS UNIDAD DIDÁCTICA 1
%CASO 4)
z = tf('z');
a1 = 1.0;
a2 = -0.25;
b1 = 0.263;
b2 = 0.236;
T= (b1*z^(-1) + b2*z^(-2))/(1-a1*z^(-1) - a2*z^(-2));
%figure(17);
%step(T);
%figure(18);
%rlocus(T)
%CASO 5)
z = tf('z');
a1 = 1.0;
a2 = -0.25;
b1 = 0.238;
b2 = 0.261;
T= (b1*z^(-1) + b2*z^(-2))/(1-a1*z^(-1) - a2*z^(-2));
%figure(19);
%step(T);
%figure(20);
%rlocus(T)
%EJERCICIO 7
clear;
clc;
z = tf('z');
%CASO 1
a1 =0.9;
a2=0;
b1 = 0.1;
b2 = 0;
F = 0.25;
%G = (b1*z^(-1) + b2*z^(-2))/(1-a1*z^(-1) - a2*z^(-2));
%Filter = F/(1-(1-F)*z^(-1));
figure(1);
%rlocus(G);
y = [];
y1 =0;
y2 =0;
u1 = 0;
u2 = 0;
for k =1:1:200
y(k) = a1*y1 + a2*y2 + b1*u1 + b2*u2 %+ (0.1*rand() - 0.05);
y2 = y1;
u2 = u1;
y1 = y(k);
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21
EJERCICIOS UNIDAD DIDÁCTICA 1
if(k>8)
u1 = 1;
end
end
t = 0:1:(length(y)-1);
plot(t,y);
grid on
figure(2);
%rlocus(G*Filter);
y = [];
yf = [];
yf1 = 0;
y1 =0;
y2 =0;
u1 = 0;
u2 = 0;
for k =1:1:200
y(k) = a1*y1 + a2*y2 + b1*u1 + b2*u2 %+ (0.1*rand() - 0.05);
yf(k) = F*y(k) + (1-F) * yf1;
y2 = y1;
u2 = u1;
y1 = y(k);
yf1 = yf(k);
if(k>8)
u1 = 1;
end
end
t = 0:1:(length(y)-1);
plot(t,yf);
grid on
%CASO 2
a1 =0.9;
a2=0;
b1 = 0.1;
b2 = 0;
F = 0.75;
%G = (b1*z^(-1) + b2*z^(-2))/(1-a1*z^(-1) - a2*z^(-2));
%Filter = F/(1-(1-F)*z^(-1));
figure(3);
%rlocus(G);
y = [];
y1 =0;
y2 =0;
u1 = 0;
u2 = 0;
for k =1:1:200
y(k) = a1*y1 + a2*y2 + b1*u1 + b2*u2 %+ (0.1*rand() - 0.05);
y2 = y1;
u2 = u1;
y1 = y(k);
if(k>8)
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22
EJERCICIOS UNIDAD DIDÁCTICA 1
end
u1 = 1;
end
t = 0:1:(length(y)-1);
plot(t,y);
grid on
figure(4);
%rlocus(G*Filter);
y = [];
yf = [];
yf1 = 0;
y1 =0;
y2 =0;
u1 = 0;
u2 = 0;
for k =1:1:200
y(k) = a1*y1 + a2*y2 + b1*u1 + b2*u2 %+ (0.1*rand() - 0.05);
yf(k) = F*y(k) + (1-F) * yf1;
y2 = y1;
u2 = u1;
y1 = y(k);
yf1 = yf(k);
if(k>8)
u1 = 1;
end
end
t = 0:1:(length(y)-1);
plot(t,yf);
grid on
%CASO 3
a1 =1.0;
a2=-0.25;
b1 = 0.333;
b2 = 0.166;
F = 0.25;
%G = (b1*z^(-1) + b2*z^(-2))/(1-a1*z^(-1) - a2*z^(-2));
%Filter = F/(1-(1-F)*z^(-1));
figure(5);
%rlocus(G);
y = [];
y1 =0;
y2 =0;
u1 = 0;
u2 = 0;
for k =1:1:200
y(k) = a1*y1 + a2*y2 + b1*u1 + b2*u2 %+ (0.1*rand() - 0.05);
y2 = y1;
u2 = u1;
y1 = y(k);
if(k>8)
u1 = 1;
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23
EJERCICIOS UNIDAD DIDÁCTICA 1
end
end
t = 0:1:(length(y)-1);
plot(t,y);
grid on
figure(6);
%rlocus(G*Filter);
y = [];
yf = [];
yf1 = 0;
y1 =0;
y2 =0;
u1 = 0;
u2 = 0;
for k =1:1:200
y(k) = a1*y1 + a2*y2 + b1*u1 + b2*u2 %+ (0.1*rand() - 0.05);
yf(k) = F*y(k) + (1-F) * yf1;
y2 = y1;
u2 = u1;
y1 = y(k);
yf1 = yf(k);
if(k>8)
u1 = 1;
end
end
t = 0:1:(length(y)-1);
plot(t,yf);
grid on
%CASO 4
a1 =1.0;
a2=-0.25;
b1 = 0.333;
b2 = 0.166;
F = 0.75;
%G = (b1*z^(-1) + b2*z^(-2))/(1-a1*z^(-1) - a2*z^(-2));
%Filter = F/(1-(1-F)*z^(-1));
figure(7);
%rlocus(G);
y = [];
y1 =0;
y2 =0;
u1 = 0;
u2 = 0;
for k =1:1:200
y(k) = a1*y1 + a2*y2 + b1*u1 + b2*u2 %+ (0.1*rand() - 0.05);
y2 = y1;
u2 = u1;
y1 = y(k);
if(k>8)
u1 = 1;
end
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24
EJERCICIOS UNIDAD DIDÁCTICA 1
end
t = 0:1:(length(y)-1);
plot(t,y);
grid on
figure(8);
%rlocus(G*Filter);
y = [];
yf = [];
yf1 = 0;
y1 =0;
y2 =0;
u1 = 0;
u2 = 0;
for k =1:1:200
y(k) = a1*y1 + a2*y2 + b1*u1 + b2*u2 %+ (0.1*rand() - 0.05);
yf(k) = F*y(k) + (1-F) * yf1;
y2 = y1;
u2 = u1;
y1 = y(k);
yf1 = yf(k);
if(k>8)
u1 = 1;
end
end
t = 0:1:(length(y)-1);
plot(t,yf);
grid on
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25
