Métodos de ondas parciales en el cálculo de secciones eficaces de dispersión

“Métodos de ondas parciales en el cálculo de secciones eficaces de dispersión”
1. Introducción
Llamaremos proceso de dispersión a la desviación de las partículas respecto a su
dirección inicial del movimiento provocada por la interacción con un cierto sistema
que llamaremos dispersor.
En la mecánica clásica, la colisión de dos partículas está del todo determinada por sus
velocidades y por el “parámetro de impacto” (es decir, la distancia a que pasarían una
de otra si no existiera interacción). En la mecánica cuántica, cambia el propio planteo
del problema, ya que en el movimiento con velocidades determinadas deja de tener
sentido el concepto de trayectoria, y con él también el de “parámetro de impacto”. El
objetivo de la teoría es ahora tan sólo calcular la probabilidad que dé, como resultado
de la colisión, las partículas se separen (o, como suele decirse, se dispersen) formando
tal o cual ángulo. Lo primero que conviene observar es que la descripción del
experimento se realiza naturalmente en un sistema de coordenadas ligado al
laboratorio, en el cual el blanco se encuentra (usualmente) en reposo (éste es el
llamado sistema 𝐿 o de laboratorio), mientras que la descripción teórica se realiza más
simplemente en el sistema de referencia en que el centro de masa del sistema físico
completo se encuentra en reposo (sistema 𝐶𝑀 o centro de masa), ya que el
movimiento uniforme del 𝐶𝑀 resulta irrelevante. Cuando la partícula bombardeada es
muy masiva en comparación con el proyectil (por ejemplo, núcleos atómicos
bombardeados por electrones), ambos sistemas de referencia son casi coincidentes,
pues el 𝐶𝑀 permanece en todo momento muy cerca del blanco, confundiéndose
prácticamente con él. Sin embargo, y como sucede a menudo, cuando las masas de
blanco y proyectil son comparables, las dos descripciones difieren sustancialmente.
Por ejemplo, de la cinemática de la colisión entre dos partículas se sigue que, si
definimos los ángulos de dispersión como 𝜃𝐿 en el sistema 𝐿 y como 𝜃𝐶𝑀 en el sistema
𝐶𝑀 (véase la figura 1), entre ellos existe la siguiente relación:
𝑡𝑔𝜃1 𝐿 =
𝑚2 𝑠𝑖𝑛𝜃𝐶𝑀
𝑚1 + 𝑚2 𝑐𝑜𝑠𝜃𝐶𝑀
(1.1)
Donde 𝑚1 y 𝑚2 son las masas de las partículas. Esta fórmula muestra que en efecto los
ángulos de dispersión medidos en ambos sistemas son prácticamente iguales si
𝑚1 /𝑚2 ≪ 1, pero que si esta condición no se cumple, ellos pueden ser muy
diferentes. En particular, si las masas de ambas son iguales (𝑚1 =𝑚2 ), se obtiene
simplemente:
1
𝜃1 𝐿 = 2 𝜃𝐶𝑀
,
1
𝜃2 𝐿 = 2 (𝜋 − 𝜃𝐶𝑀 )
(1.2)
𝜋
la suma 𝜃1 𝐿 + 𝜃2 𝐿 = 2 , es decir, las partículas se separan formando un ángulo recto
en el sistema de laboratorio. En lo que sigue utilizamos constantemente (salvo
indicación explicita en contra) un sistema de coordenadas ligado con el centro de
masa.
Figura 1. Colisión elástica entre las partículas 1 y 2, vista (𝑎) desde el laboratorio y (𝑏)
desde el 𝐶𝑀 del sistema.
2. Sección eficaz
Sea 𝑂𝑧 la dirección de las partículas incidentes (figura 2). El potencial 𝑉 (𝑟) está
localizado alrededor del origen 𝑂 del sistema de coordenadas. Vamos a designar 𝐹𝑖 el
flujo de las partículas en el haz incidente, es decir, el número de partículas por unidad
de tiempo que atraviesan una cantidad de superficie perpendicular a 𝑂𝑧 en la región
donde 𝑧 toma muy grandes valores “negativos”. (El flujo 𝐹𝑖 se supone que es lo
suficientemente débil como para permitirnos abandonar las interacciones entre las
diferentes partículas del haz incidente).
Figura 2: El haz incidente es paralelo al eje 𝑂𝑧. Lejos de esta zona en detector 𝐷 mide el
numero de 𝑑𝑁 de partículas dispersadas por unidad de tiempo en el ángulo sólido.
Ponemos un detector lejos de la región bajo la influencia del potencial y en la dirección
fijada por los ángulos polares 𝜃 y 𝜑, con una entrada en frente de 𝑂 y subtiende el
ángulo solido 𝑑Ω (el detector está situado a una distancia de 𝑂 que es grande en
comparación con las dimensiones lineales de la zona potencial de influencia).
De este modo, sea 𝑑𝑁 el número de partículas dispersadas por unidad de tiempo en el
´ángulo sólido dΩ en la dirección polar (𝜃, 𝜑); es decir
𝑑𝑁 = 𝐽⃗𝑑𝑖𝑠𝑝 . 𝑑𝐴⃗
𝑑𝑁 = 𝐽⃗𝑑𝑖𝑠𝑝 . 𝑢
⃗⃗𝑟 𝑟 2 dΩ
𝑑𝑁 = 𝐽𝑑𝑖𝑠𝑝 𝑟 2 dΩ
(2.1)
Este número de partículas es obviamente proporcional al flujo de partículas incidentes
por unidad de área, por unidad de tiempo |𝐽⃗𝑖𝑛𝑐 |
𝑑𝑁 ∝ |𝐽⃗𝑖𝑛𝑐 |
𝑑𝑁 = 𝑑𝜎(𝜃, 𝜑)|𝐽⃗𝑖𝑛𝑐 |
(2.2)
Donde 𝑑𝜎(𝜃, 𝜑) es la cantidad proporcional que satisface la relación anterior, esta es
la llamada sección eficaz diferencial de dispersión en la dirección (𝜃, 𝜑). Se puede
demostrar que 𝑑𝜎(𝜃, 𝜑) tiene dimensiones de superficie. Las secciones eficaces son
frecuentemente medidas en barns y submúltiplos de barns:
1 𝑏𝑎𝑟𝑛 = 10−24 𝑐𝑚2
La definición (2.2) puede ser interpretada en la siguiente manera: el número de
partículas por unidad de tiempo que alcanza el detector es igual al número de
partículas que cruzan una superficie 𝑑𝜎(𝜃, 𝜑) colocado perpendicular a 𝑂𝑧 en el haz
incidente.
Igualando la ecuación (2.1) y (2.2) se obtiene:
𝐽𝑑𝑖𝑠𝑝 𝑟 2 dΩ = 𝑑𝜎(𝜃, 𝜑)|𝐽⃗𝑖𝑛𝑐 |
𝑟 2 𝐽𝑑𝑖𝑠𝑝
𝑑𝜎(𝜃, 𝜑) =
dΩ(𝜃, 𝜑)
(2.3)
|𝐽⃗𝑖𝑛𝑐 |
La sección eficaz total está dada por la integral sobre todo el ángulo solido de la
sección eficaz, es decir:
𝜎 = ∫ 𝑑𝜎(𝜃, 𝜑)
𝜎=∫
𝑟 2 𝐽𝑑𝑖𝑠𝑝
dΩ ,
|𝐽⃗𝑖𝑛𝑐 |
dΩ = sinθdθ dφ
𝑟 2 𝐽𝑑𝑖𝑠𝑝
(2.4)
|𝐽⃗𝑖𝑛𝑐 |
0
0
De la densidad de corriente o corriente de probabilidad incidente y dispersada se
obtuvo:
ℏ𝑘
𝐽⃗𝑖𝑛𝑐 =
𝑎⃗
𝑚 𝑧
2𝜋
𝜃
𝜎 = ∫ 𝑑𝜑 ∫ sin 𝜃
𝐽⃗𝑑𝑖𝑠𝑝 =
ℏ𝑘
|𝑓(𝜃, 𝜑)|2 𝑎⃗𝑟
𝑚𝑟 2
Sustituyendo en (2.3)
ℏ𝑘
𝑚𝑟 2 |𝑓(𝜃, 𝜑)|2 dΩ
ℏ𝑘
𝑚
𝑟2
𝑑𝜎(𝜃, 𝜑) =
𝑑𝜎(𝜃, 𝜑) = |𝑓(𝜃, 𝜑)|2 dΩ
𝑑𝜎(𝜃, 𝜑)
= |𝑓(𝜃, 𝜑)|2
dΩ
(2.5)
Donde para calcular 𝑑𝜎(𝜃, 𝜑) debemos hallar primero 𝑓(𝜃, 𝜑).
3. Ecuación integral de dispersión
La ecuación de autovalores del hamiltoniano, también conocida como la ecuación de
Schrödinger independiente del tiempo, para el problema de una partícula que incide
sobre un potencial dispersor 𝑉(𝑟⃗) estático (independiente del tiempo) es:
ℏ2 𝜕 2 𝜓
−
+ 𝑉(𝑟⃗)𝜓 = 𝐸𝜓
(3.1)
2𝑚 𝜕𝑟 2
Asumiremos que el potencial dispersor tiene un alcance finito y que decrece más
rápido que 1/|𝑟⃗| en el límite en que |𝑟⃗| → ∞ (el potencial Coulombiano es excluido de
este tratamiento ya que no satisface este límite).
Sabemos que hay relación entre 𝑘⃗⃗ y la energía 𝐸;
𝑝⃗ = ℏ𝑘⃗⃗
;
𝐸=
𝑝⃗2 2𝑚
=
𝐸
⃗⃗2
⃗⃗2
ℏ
ℏ
2𝑚
𝑘⃗⃗ 2 =
𝐸
⃗⃗2
ℏ
De la ecuación (3.1) podemos obtener
ℏ2 2
⃗∇⃗ 𝜓 + 𝑉(𝑟⃗)𝜓 = 𝐸𝜓
−
2𝑚
2𝑚
2𝑚
⃗⃗2 𝜓 −
∇
𝑉(𝑟⃗)𝜓 = − 2 𝐸𝜓
2
ℏ
ℏ
Y usando (3.2)
𝑝⃗2
2𝑚
𝑘⃗⃗ 2 =
(3.2)
2𝑚
𝑉(𝑟⃗)𝜓 = − 𝑘⃗⃗ 2 𝜓
ℏ2
2𝑚
⃗⃗2 + 𝑘⃗⃗ 2 )𝜓 =
𝑉(𝑟⃗)𝜓
(3.3)
(∇
ℏ2
Es posible transformar esta ecuación diferencial considerando su lado derecho como
una fuente 𝜌(𝑟), tal que
2𝑚
𝑉𝜓 = −4𝜋𝜌
(∗)
ℏ2
Con ello, la ecuación (3.3) se transforma en una ecuación de Helmholtz con fuente
⃗⃗2 𝜓 −
∇
⃗⃗2 + 𝑘⃗⃗ 2 )𝜓 = −4𝜋𝜌
(3.4)
(∇
Haciendo uso de la función de Green que permite de inmediato construir la solución
de la ecuación homogénea
𝐿̂ 𝑇 𝜙(𝑟⃗) = −4𝜋𝜌(𝑟⃗)
Para una fuente 𝜌 arbitraria. En concreto, la solución de (3,5) es
(3,5)
𝜙(𝑟⃗) = ∫ 𝐺( 𝑟⃗, 𝑟⃗′)𝜌(𝑟⃗′)𝑑 3 𝑟′
(3.6)
Al comparar con las ecuaciones (3,5) y (3.6) vemos que la solución de (3.4) se
puede escribir en la forma
𝜓𝑑𝑖𝑠𝑝 (𝑟⃗) = ∫ 𝐺( 𝑟⃗, 𝑟⃗′)𝜌(𝑟⃗′)𝑑3 𝑟′
Despejando 𝜌 en (∗) y reemplazando
𝑚
𝜓𝑑𝑖𝑠𝑝 (𝑟⃗) = −
∫ 𝐺( 𝑟⃗, 𝑟⃗′)𝑉(𝑟⃗′)𝜓(𝑟⃗′)𝑑3 𝑟′
2𝜋ℏ2
(3.7)
⃗⃗2 + 𝑘⃗⃗ 2. La función de Green
Donde 𝐺(𝑟⃗, 𝑟⃗′)es la función de Green del operador ∇
general de este problema es una suma con coeficientes arbitrarios de la función 𝐺+ y
𝐺−
𝑒 𝑖𝑘𝑟
𝐺+ (𝑟) =
(3.8)
𝑟
𝐺(𝑟)
𝑒 −𝑖𝑘𝑟
(𝑟)
=
(3.9)
{ 𝐺−
𝑟
En nuestro caso hemos exigido que la solución dispersada asintótica tenga la forma de
una onda esférica saliente que es precisamente la forma (3.8)
𝜓𝑑𝑖𝑠𝑝 (𝑟⃗) = −
𝑚
∫ 𝐺+ ( 𝑟⃗, 𝑟⃗′)𝑉(𝑟⃗′)𝜓(𝑟⃗′)𝑑3 𝑟′
2𝜋ℏ2
′
𝑚
𝑒 𝑖𝑘|𝑟⃗−𝑟⃗ |
𝜓𝑑𝑖𝑠𝑝 (𝑟⃗) = −
∫
𝑉(𝑟⃗ ′ )𝜓(𝑟⃗ ′ )𝑑3 𝑟 ′
(3.10)
2𝜋ℏ2 |𝑟⃗ − 𝑟⃗ ′ |
A esta solución debemos sumarle una solución arbitraria de la ecuación homogénea
⃗⃗2 + 𝑘⃗⃗ 2 )𝜓 = 0. Para obtener la expresión
(∇
𝜓 = 𝑒 𝑖𝑘𝑧 + 𝑓(𝜃, 𝜑)
𝑒 𝑖𝑘𝑟
𝑟
(∗∗) ,
Escogemos esta solución como 𝑒 𝑖𝑘𝑧 , lo que da
′
𝑚
𝑒 𝑖𝑘|𝑟⃗−𝑟⃗ |
𝜓(𝑟⃗) = 𝑒 −
∫
𝑉(𝑟⃗ ′ )𝜓(𝑟⃗ ′ )𝑑3 𝑟 ′
(3.11)
2𝜋ℏ2 |𝑟⃗ − 𝑟⃗ ′ |
El potencial es diferente de cero solo dentro de su alcance 𝑎 , (𝑎 = |𝑟⃗ − 𝑟⃗ ′ |), que es
muy pequeño respecto de la distancia 𝑟⃗ al detector 𝑎 ≪ 𝑟⃗. Por lo tanto las integrales
(3.10) y (3.11) son diferentes de cero solo en la región en que 𝑟⃗′ ≤ 𝑎 ≤ 𝑟⃗.
La función de onda 𝜓(𝑟⃗) en la igualdad (3.11) no es una solución a la ecuación (3.3)
en el sentido estricto de la palabra, ya que la función 𝜓(𝑟⃗) está presente en ambos
lados de la expresión (3.11),
Por el contrario la ecuación (3.11) es una ecuacion integral en la función 𝜓(𝑟⃗)
equivalente a la ecuación (3.3).
𝑖𝑘𝑧
4. Amplitud de dispersión
Debemos demostrar que la forma de la solución (3.11) es de la forma dada en (∗∗)
para valores grandes de 𝑟
|𝑟⃗ − 𝑟⃗ ′ | = |𝑟⃗ − 𝑟⃗ ′ |2 = 𝑟 2 − 2(𝑟⃗. 𝑟⃗ ′ ) + 𝑟′2
2
′|
|𝑟⃗ − 𝑟⃗ =
√𝑟 2
−
2(𝑟⃗. 𝑟⃗ ′ ) +
𝑟′2
1/2
2(𝑟⃗. 𝑟⃗ ′ ) 𝑟 ′
= [𝑟 (1 −
+ 2 )]
𝑟2
𝑟
2
2
1/2
2(𝑟⃗. 𝑟⃗ ′ ) 𝑟 ′
|𝑟⃗ − 𝑟⃗ = 𝑟 [1(1 −
+ 2 )]
𝑟2
𝑟
Desarrollando la expresión binomial:
2
1
2(𝑟⃗. 𝑟⃗ ′ ) 𝑟 ′
|𝑟⃗ − 𝑟⃗ ′ | = 𝑟 ⌈1 + (−
+ 2)+ ⋯⌉
2
𝑟2
𝑟
′|
|𝑟⃗ − 𝑟⃗ ′ | = 𝑟 −
(𝑟⃗. 𝑟⃗ ′ ) 𝑟 ′ 2
+
𝑟
2𝑟
,
𝑎̂𝑟 =
𝑟⃗
𝑟
𝑟 → 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒
2
𝑟′
2𝑟
Como el potencial 𝑉(𝑟⃗) tiene rango finito, podemos despreciar los términos de orden
1/𝑟 en el exponencial; es decir
𝑎̂𝑟
|𝑟⃗ − 𝑟⃗ ′ | = 𝑟 − 𝑟⃗ ′ . 𝑎̂𝑟 ≈ 𝑟 (1 − ) ≈ 𝑟
(4.1)
𝑟
|𝑟⃗ − 𝑟⃗ ′ | = 𝑟 − 𝑟⃗ ′ . 𝑎̂𝑟 +
Como
𝑘|𝑟⃗ − 𝑟⃗ ′ | = 𝑘𝑟 − 𝑘⃗⃗ 𝑎̂𝑟 . 𝑟⃗ ′ = 𝑘𝑟 − 𝑘⃗⃗ . 𝑟⃗ ′
𝑦
|𝑟⃗ − 𝑟⃗ ′ | = 𝑟 − 𝑟⃗ ′ . 𝑎̂𝑟
Mientras que el exponencial lo podemos escribir
′
′
′
⃗⃗ ′
𝑒 𝑖𝑘|𝑟⃗−𝑟⃗ | ≈ 𝑒 𝑖𝑘(𝑟−𝑟⃗ .𝑎̂𝑟) ≈ 𝑒 𝑖𝑘𝑟 𝑒 −𝑖𝑘𝑟⃗ .𝑎̂𝑟 ≈ 𝑒 𝑖𝑘𝑟 𝑒 −𝑖𝑘.𝑟⃗
(4.2)
Con estas aproximaciones, la función de onda en la región asintótica puede escribirse
en la forma, reemplazando (4.1) y (4.2) en (3.11)
𝑚 𝑒 𝑖𝑘𝑟
⃗⃗ ′
∫ 𝑉(𝑟⃗ ′ )𝜓(𝑟⃗ ′ )𝑒 −𝑖𝑘.𝑟⃗ 𝑑3 𝑟 ′
(4.3)
2
2𝜋ℏ 𝑟
Al comparar la ecuación (3.11) con (∗∗) obtenemos la siguiente expresión exacta,
pero formal, para amplitud de dispersión (suprimiendo la prima de la variable de
integración):
𝑚
⃗⃗ ′
𝑓(𝜃, 𝜑) = −
∫ 𝑉(𝑟⃗ ′ )𝜓(𝑟⃗ ′ )𝑒 −𝑖𝑘.𝑟⃗ 𝑑3 𝑟 ′
(4.4)
2
2𝜋ℏ
El trabajo ahora es evaluar la integral(4.4) ya que 𝑑𝜎(𝜃, 𝜑) = |𝑓(𝜃, 𝜑)|2 𝑑Ω.
𝜓(𝑟⃗) = 𝑒 𝑖𝑘𝑧 −
5. Aproximación de Born
Hasta aquí hemos trabajado el problema original de resolver la ecuación integral (4.3)
para 𝜓(𝑟⃗). Como normalmente no es posible hacer esto en forma cerrada, se
acostumbra usar un método de iteración suponiendo que la 𝜓𝑑𝑖𝑠𝑝 es pequeña
respecto de la 𝜓𝑖𝑛𝑐 (como orientación, piense en la luz que cruza el vidrio de una
ventana, la mayor parte de ella pasa a través del vidrio y solo un porcentaje,
usualmente menos del 5% es reflejado, es decir dispersado), lo que será el caso
cuando las partículas son muy energéticas y cruzan la región de interacción con gran
rapidez, por lo que son poco desviadas de su trayectoria inicial por los centros
dispersos, o bien cuando el potencial dispersor es débil o, en fin cuando se dan ambas
cosas.
En estos casos podemos aproximar 𝜓 en el integrado por
⃗⃗
𝜓(𝑟⃗) ≅ 𝑒 𝑖𝑘𝑧 = 𝑒 𝑖𝑘0 .𝑟⃗
y obtener la función de onda asintótica
𝑚 𝑒 𝑖𝑘𝑟
⃗⃗ ′
⃗⃗ ′
∫ 𝑉(𝑟⃗ ′ )𝑒 𝑖𝑘0 .𝑟⃗ 𝑒 −𝑖𝑘.𝑟⃗ 𝑑3 𝑟 ′
2
2𝜋ℏ 𝑟
𝑚 𝑒 𝑖𝑘𝑟
⃗⃗
⃗⃗ ⃗⃗ ′
𝜓(𝑟⃗) = 𝑒 𝑖𝑘0 .𝑟⃗ −
∫ 𝑉(𝑟⃗ ′ )𝑒 𝑖(𝑘0 −𝑘).𝑟⃗ 𝑑3 𝑟 ′
2
2𝜋ℏ 𝑟
𝑚 𝑒 𝑖𝑘𝑟
′
⃗⃗ 0 .𝑟⃗
𝑖𝑘
𝜓(𝑟⃗) = 𝑒
−
∫ 𝑉(𝑟⃗ ′ )𝑒 𝑖𝑞⃗⃗.𝑟⃗ 𝑑3 𝑟 ′
(5.1)
2𝜋ℏ2 𝑟
en donde 𝑞⃗ = (𝑘⃗⃗0 − 𝑘⃗⃗ ) es el momento transferido definido en la ecuación (20.8). Esto
da para la amplitud de dispersión en la primera aproximación de Born
⃗⃗
𝜓(𝑟⃗) = 𝑒 𝑖𝑘0 .𝑟⃗ −
𝑚 𝑒 𝑖𝑘𝑟
′
∫ 𝑉(𝑟⃗ ′ )𝑒 𝑖𝑞⃗⃗.𝑟⃗ 𝑑3 𝑟 ′
(5.2)
2
2𝜋ℏ 𝑟
Vemos que, en la primera aproximación de Born la amplitud de dispersión está dada
por la transformada de Fourier del potencial dispersor.
Podemos escribir la ecuación (3.11) como:
𝑓(𝜃, 𝜑) = −
′
𝑚
𝑒 𝑖𝑘|𝑟⃗−𝑟⃗ |
𝜓(𝑟⃗) = 𝑒 −
∫
𝑉(𝑟⃗ ′ )𝜓(𝑟⃗ ′ )𝑑3 𝑟 ′
2𝜋ℏ2 |𝑟⃗ − 𝑟⃗ ′ |
𝑚
⃗⃗
𝜓(𝑟⃗) = 𝑒 𝑖𝑘0 .𝑟⃗ −
∫ 𝐺+ (𝑟⃗, 𝑟⃗ ′ ) 𝑉(𝑟⃗ ′ )𝜓(𝑟⃗ ′ )𝑑3 𝑟 ′
2𝜋ℏ2
𝑖𝑘𝑧
(5.3)
Un simple cambio de notación (𝑟⃗ → 𝑟⃗ ′ , 𝑟⃗ ′ → 𝑟⃗ ′′ ) nos permite escribir usando la
expresión anterior
𝑚
⃗⃗
𝜓(𝑟⃗′) = 𝑒 𝑖𝑘0 .𝑟⃗′ −
∫ 𝐺+ (𝑟⃗ ′ , 𝑟⃗ ′′ ) 𝑉(𝑟⃗ ′′ )𝜓(𝑟⃗ ′′ )𝑑3 𝑟 ′′
(5.4)
2𝜋ℏ2
Sustituyendo la ecuación (5.4) en (5.3)
⃗⃗
𝜓(𝑟⃗) = 𝑒 𝑖𝑘0 .𝑟⃗ −
𝑚
⃗⃗
∫ 𝐺+ (𝑟⃗, 𝑟⃗ ′ ) 𝑉(𝑟⃗ ′ )𝑒 𝑖𝑘0 .𝑟⃗′ 𝑑3 𝑟 ′
2𝜋ℏ2
𝑚 2
+(
) ∫ 𝑑3 𝑟 ′ ∫ 𝑑3 𝑟 ′ ′ 𝐺+ (𝑟⃗, 𝑟⃗ ′ )𝑉(𝑟⃗ ′ )𝐺+ (𝑟⃗ ′ , 𝑟⃗ ′′ )𝑉(𝑟⃗ ′′ )𝜓(𝑟⃗ ′′ )
2𝜋ℏ2
(5.5)
Los dos primeros términos del lado derecho de (5.5) son conocidos, solo el tercero
contiene la función desconocida 𝜓(𝑟⃗). Este procedimiento se puede repetir cambiando
𝑟⃗′ → 𝑟⃗ ′′ , 𝑟⃗ ′′ → 𝑟⃗ ′′′ en (5.4)
⃗⃗
𝜓(𝑟⃗′′) = 𝑒 𝑖𝑘0 .𝑟⃗′′ −
𝑚
∫ 𝐺+ (𝑟⃗ ′′ , 𝑟⃗ ′′′ ) 𝑉(𝑟⃗ ′′′ )𝜓(𝑟⃗ ′′′ )𝑑3 𝑟 ′′′
2𝜋ℏ2
(5.6)
y sustituyéndola en (5.5)
𝜓(𝑟⃗)
⃗⃗
= 𝑒 𝑖𝑘0 .𝑟⃗ −
𝑚
⃗⃗
∫ 𝐺+ (𝑟⃗, 𝑟⃗ ′ ) 𝑉(𝑟⃗ ′ )𝑒 𝑖𝑘0 .𝑟⃗′ 𝑑3 𝑟 ′
2𝜋ℏ2
𝑚 2
⃗⃗ ′′
+(
) ∫ 𝑑3 𝑟 ′ ∫ 𝑑 3 𝑟 ′ ′ 𝐺+ (𝑟⃗, 𝑟⃗ ′ )𝑉(𝑟⃗ ′ )𝐺+ (𝑟⃗ ′ , 𝑟⃗ ′′ )𝑉(𝑟⃗ ′′ )𝑒 𝑖𝑘0 .𝑟⃗
2𝜋ℏ2
𝑚 3
′′
−(
) ∫ 𝑑3 𝑟 ′ ∫ 𝑑 3 𝑟 ′ ′ ∫ 𝑑3 𝑟 ′ 𝐺+ (𝑟⃗, 𝑟⃗ ′ )𝑉(𝑟⃗ ′ )𝐺+ (𝑟⃗ ′ , 𝑟⃗ ′′ )𝑉(𝑟⃗ ′′ )𝐺+ (𝑟⃗ ′′ , 𝑟⃗ ′′′ )𝑉(𝑟⃗ ′′′ )𝜓(𝑟⃗ ′′′ )
2𝜋ℏ2
Donde los tres primeros términos son conocidos, la función 𝜓(𝑟⃗) ha sido empujada hacia
un cuarto término. Así podemos construir lo que se llama la expansión de Born de la
función de onda de dispersión estacionaria.
Note que cada término de esta expansión trae un poder superior de potencial que el
anterior. Por lo tanto, si el potencial es débil, cada término sucesivo es más pequeño
que el anterior. Si empujamos la expansión lo suficiente lejos, podemos despreciar el
último término del lado derecho y así obtener 𝜓(𝑟⃗) en términos conocidos.
Consideremos ahora un problema en el que el potencial dispersor es suficientemente
débil para que la formula (5.2) sea aplicable aun a muy bajas energías, cuando 𝑘𝑎 ≪ 1.
De la ecuación
𝑞 = 2𝑘𝑠𝑖𝑛
𝜃
2
(∗∗∗)
Donde 𝑞 es la magnitud del impulso transferido al blanco y 𝜃 es el ángulo de dispersión
en el sistema 𝐶𝑀.
Se sigue que en este caso también se cumplirá que 𝑞𝑎 ≪ 1y por lo tanto el exponente
de la integral (5.2) se mantendrá pequeño en toda la región de integración en que
𝑉(𝑟⃗ ′ )sea diferente de cero, si se desprecia podemos escribir
𝑓(𝜃, 𝜑) ≈ 𝑓(0)
(5.8)
En donde
𝑚
𝑚
∫ 𝑉(𝑟⃗ ′ )𝑑3 𝑟 ′ = −
𝑉𝑎3
(5.9)
2
2𝜋ℏ
2𝜋ℏ2
Es la amplitud de dispersión hacia adelante en todos los casos (aun en altas energías)
por la ecuación (5.9). donde 𝑉 es potencial medio y 𝑎 es el alcance del potencial.
La expresión (5.8) muestra que a bajas energías la dispersión producid por un
potencial de corto alcance es isotrópico.
La sección total de la sección eficaz (el número total de partículas dispersadas en todas
las direccione por cada partícula que incide sobre la unidad de área del blanco)
𝑓(0) = −
𝜎 = ∫ 𝑑𝜎 = ∫ |𝑓(𝜃, 𝜑)|2 dΩ
(5.10)
Resulta así independientemente de la energía para bajas energías
𝜎 = ∫ |𝑓(𝜃, 𝜑)|2 dΩ ≈ 4π|𝑓(0)|2 =
1 𝑚𝑉𝑎3 2
( 2 )
𝜋
ℏ
(5.11)
(5.7)
La dispersión producida por un potencial de corto alcance es altamente anisótropo a
altas energías de bombardeo. En este caso podemos aproximar como sigue
1
𝑘𝑎
𝜎 ≈ 2𝜋 ∫
|𝑓(𝜃)|2
2
1
𝑘𝑎
𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝜃 ≈ 2𝜋|𝑓(𝜃)| ∫ 𝜃𝑑𝜃
0
0
𝜃
Para 𝑞𝑎 = 2𝑘𝑎 𝑠𝑖𝑛 2 ≤ 1 .la sección diferencial tiene un pico agudo alrededor de la
1
dirección de incidencia, de anchura 𝑘𝑎 , anulándose para ángulos mayores
𝜋|𝑓(𝜃)|2
1 𝑚𝑉𝑎2 2
=
(
)
𝑘 2 𝑎2
4𝜋 ℏ2 𝑘
2
1
𝑉𝑎 𝑚 2
1 𝑉𝑎2 2
𝑚
𝜎=
2(
) =
(
) 2𝑚 2 2
8𝜋
ℏ ℏ𝑘
8𝜋 ℏ
ℏ 𝑘
1 𝑉𝑎2 2 𝑚
𝜎=
(
)
8𝜋 ℏ
𝐸
𝜎=
(5.12)
(5.13)
Vemos que a altas energías la sección de dispersión decrece con la energía. Esto se debe
a que el tiempo de interacción decrece conforme se eleva la energía de bombardeo.
La región de validez de la aproximación de Born puede evaluarse si se observa que la
aproximación es satisfactoria sólo en el caso en que la sección total 𝜎 sea pequeña
respecto del área geométrica presentada por el blanco, 𝜋𝑎2 (pues de lo contrario no
puede despreciarse 𝜓𝑑𝑖𝑠𝑝 .
𝜎 ≪ 𝜋𝑎2
(5.14)
Esta condición puede expresarse alternativamente como condición sobre la energía
media de interacción 𝑉 como sigue. Para bajas energías sustituimos la sección 𝜎 dada
por la ecuación (5.11)en (5.14)
𝑉≪
𝜋ℏ2
𝑚𝑎2
(5.15)
mientras que a altas energías la ecuación reemplazando la ecuación (5.13) en (5.14)
𝑉≪
𝜋ℏ2
2𝑘𝑎
𝑚𝑎2
(5.16)
En general, la primera condición (5.15) es más fuerte que la segunda (5.16), pues si ella
se satisface, la aproximación resulta válida para todas las energías de bombardeo.
Por otro lado, la segunda condición se cumple siempre que las energías son
suficientemente altas, haciendo 𝑘𝑎 tan grande como sea necesario, por lo que se
considera que la aproximación de Born es una aproximación de altas energías.
Es conveniente derivar la expresión general para la amplitud de dispersión aplicable a
los problemas con potencial central, la que se obtiene realizando las integrales angulares
en la ecuación (5.16). Orientando el eje 𝑂𝑧 del sistema de referencia en la dirección del
vector 𝑞⃗, resulta 𝑞⃗ · 𝑟⃗ = 𝑞𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜃 y queda
𝑓(𝜃, 𝜑) = −
𝑚
𝑚
∫ 𝑉(𝑟⃗)𝑒 𝑖𝑞⃗⃗.𝑟⃗ 𝑑3 𝑟 = − 2 ∫ 𝑉(𝑟⃗)𝑒 𝑖𝑞𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑟 2 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝜃𝑑𝑟
2
2𝜋ℏ
ℏ
Haciendo cambio de variable
𝜂 = 𝑞𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃
Para
→
𝜃=0
,
𝜂 = +𝑞𝑟
𝜃=𝜋
,
𝜂 = −𝑞𝑟
𝑓(𝜃, 𝜑) = −
𝑓(𝜃, 𝜑) = −
𝑑𝜂 = −𝑞𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝜃
𝑚
𝑑𝜂
∫ 𝑉(𝑟⃗)𝑒 𝑖𝜂 𝑟 2 (− ) 𝑑𝑟
2
ℏ
𝑞𝑟
2𝑚 ∞
∫ 𝑟𝑉(𝑟⃗) sin 𝑞𝑟 𝑑𝑟
ℏ2 𝑞 0
(5.17)
que es el resultado buscado. Como ejemplo aplicaremos los resultados anteriores al
estudio de la dispersión producida por el potencial de Yukawa:
𝑉 = 𝑉0
𝑒 −𝑟/𝑎
𝑒 −𝑟/𝑎
= 𝑉0 𝑎
𝑟/𝑎
𝑟
(5.18)
Este potencial es importante al menos por dos razones:
 Representa la aproximación estática al potencial de interacción nuclear
 Describe (con un simple cambio de parámetros) el potencial coulombiano
parcialmente blindado (y, en el límite 𝑅 → ∞, el propio potencial
coulombiano).
Al aplicar la fórmula general (5.17)al potencial (5.18) se obtiene
𝑓(𝜃) = −
∞
2𝑚 ∞
2𝑚
∫
𝑟𝑉(𝑟
⃗)
sin
𝑞𝑟
𝑑𝑟
=
−
𝑉
𝑎
∫
𝑒 −𝑟/𝑎 sin 𝑞𝑟 𝑑𝑟
0
ℏ2 𝑞 0
ℏ2 𝑞
0
Usando la siguiente integral definida definida
∞
∫ 𝑒 −𝑐𝑥 sin 𝑏𝑥 𝑑𝑥 =
0
𝑐2
𝑏
+ 𝑏2
Donde para la expresión anterior: 𝑏 = 𝑞 , 𝑐 = −1/𝑎 por lo tanto
𝑓(𝜃) = −
2𝑚
𝑞
𝑉0 𝑎
2
1
ℏ
+ 𝑞2
𝑎2
Haciendo
𝛾=
2𝑚𝑉0 𝑎3
ℏ2
(5.19)
Tenemos entonces que
𝑓(𝜃) = −
𝛾
1 + 𝑞 2 𝑎2
Para la sección diferencial de dispersión elástica por el potencial de Yukawa resulta
𝑑𝜎
𝛾2
= |𝑓(𝜃, 𝜑)|2 =
dΩ
(1 + 𝑞 2 𝑎2 )2
(5.20)
Variación de la sección diferencial de dispersión de Yukawa como función del Angulo de
dispersión y del parámetro 𝑘𝑎. A muy bajas energías la sección es isotrópica, mientras
que a muy altas energías las partículas son dispersadas esencialmente hacia adelante,
es decir, son muy poco dispersadas.
Usando la ecuación (∗∗∗) para la magnitud 𝑞, vemos que la sección total es
𝜎=∫
𝑑𝜎
𝛾2
dΩ = ∫
𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝜃𝑑𝜑
dΩ
(1 + 𝑞 2 𝑎2 )2
𝜋
𝜎 = 2π ∫ 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝜃
0
𝛾2
(1 + 𝑘 2 𝑎2 . 4 𝑠𝑖𝑛2 𝜃/2)2
Donde
𝜎=
4𝜋𝛾 2
1 + 4𝑘 2 𝑎2
(5.21)
A bajas energías σ se reduce al valor aproximado 4𝜋𝛾 2 , lo que muestra que 2𝛾
desempeña el papel de radio efectivo de dispersión; a altas energías se hace
inversamente proporcional a la energía de bombardeo 𝐸 ∼ 𝑘 2, como era de esperarse.
Consideremos ahora el caso particular en que V representa un potencial coulombiano
blindado entre cargas 𝑍1 𝑒 𝑦 𝑍2 𝑒. El efecto de blindaje en un átomo se debe a que los
electrones orbitales “blindan” o aislan parcialmente el núcleo de la carga externa. En
este caso deberemos poner 𝑉0 𝑎 = 𝑍1 𝑍2 𝑒 2 y 𝑎 = 𝛼 −1 tomando en cuenta el factor de
blindaje 𝑒 −𝛼𝑟 (𝛼 depende de la estructura del átomo), y al sustituir en (5.18)
𝑑𝜎
2𝑚𝑍1 𝑍2 𝑒 2 𝑎2 2
1
=(
)
2
2
2
dΩ
ℏ
(1 + 𝑘 𝑎 . 4 𝑠𝑖𝑛2 𝜃/2)2
(5.22)
Para energías suficientemente altas,𝑘𝑎 ≫ 1, y esta expresión se hace independiente de
𝑎 (si 𝜃 no es demasiado pequeña):
𝑑𝜎 𝑍1 2 𝑍2 2 𝑒 4 𝑚2
=
dΩ 4𝑝4 𝑠𝑖𝑛4 𝜃/2
,
𝜃≠0
(5.23)
Ésta es precisamente la fórmula que derivó Rutherford para la sección de dispersión de
partículas α por átomos pesados empleando métodos puramente clásicos, por lo que a
la sección diferencial dada por la ecuación (5.23)se le llama sección de Rutherford. Esta
afortunada coincidencia se hizo posible gracias a que la fórmula cuántica (5.23)resulta
independiente de ℏ.
6. Métodos de ondas parciales
Mediante el método de Born obtuvimos una expresión aproximada para la amplitud
de dispersión; veremos ahora un método, llamado de ondas parciales, que nos
permite obtener una expresión exacta para 𝑓(𝜃, 𝜙). La idea básica consiste en
descomponer esta función en una suma infinita, cada uno de cuyos términos está
asociado a un valor definido del momento orbital. El método se complica
considerablemente cuando se trata de aplicar a potenciales no centrales (por ejemplo,
el problema de la dispersión de partículas por una red cristalina, etc.), por lo que en la
práctica se le emplea fundamentalmente con potenciales centrales, que será el único
caso que revisaremos aquí.
Supongamos que el potencial posee simetría axial respecto al eje 𝑂𝑧. En este caso la
función de onda no dependerá del ángulo azimutal (lo que es equivalente a tomar
𝑚𝑙 = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑎 𝑙), los armónicos esféricos se reducen a los polinomios de
Legendre y se puede escribir la solución asintótica en la forma
𝜓 = ∑ 𝑅𝑙 (𝑟)𝑌𝑙 𝑚 (𝜃, 𝜑)
𝜓 = ∑ 𝑅𝑙 (𝑟)𝑃𝑙 (𝑐𝑜𝑠𝜃)
En la región asintótica 𝑟 → ∞
∞
𝜓(𝑟 → ∞) = ∑
𝑙=0
𝛼𝑙
𝜋
sin(𝑘𝑟 − 𝑙 + 𝛿𝑙 )𝑃𝑙 (𝑐𝑜𝑠𝜃)
𝑘𝑟
2
(6.1)
Esta expresión es un desarrollo de Legendre de la ecuación previamente construida,
ahora igualando (6.1) y la ecuación (**) y despejando
∞
𝑓(𝜃, 𝜑) = −𝑟𝑒
−𝑖𝑘(𝑧−𝑟)
+∑
𝑙=0
Al introducir
∞
𝑒
𝑖𝑘𝑧
= ∑𝑖
𝑙 (2𝑙
+ 1)
𝛼𝑙 −𝑖𝑘𝑟
𝜋
𝑒
sin(𝑘𝑟 − 𝑙 + 𝛿𝑙 )𝑃𝑙 (𝑐𝑜𝑠𝜃)
𝑘𝑟
2
𝜋
sin (𝑘𝑟 − 2 𝑙)
𝑙=0
𝑘𝑟
𝑃𝑙 (𝑐𝑜𝑠𝜃)
,
𝑟→∞
(∗∗∗∗)
En la expresión anterior obteniendo las funciones trigonométricas en términos de
exponenciales, obtenemos:
∞
𝑓(𝜃) = −𝑟𝑒
−𝑖𝑘𝑟
∑𝑖
𝑙 (2𝑙
+ 1)
𝑙=0
Usando sinθ = (𝑒 𝑖𝜃 − 𝑒 −𝑖𝜃 )/2𝑖
𝜋
sin (𝑘𝑟 − 2 𝑙)
𝑘𝑟
∞
𝑃𝑙 (𝑐𝑜𝑠𝜃) + ∑
𝑙=0
𝛼𝑙
𝜋
sin(𝑘𝑟 − 𝑙 + 𝛿𝑙 )𝑃𝑙 (𝑐𝑜𝑠𝜃)
𝑘𝑟
2
Nos da
∞
𝑖𝜋
1
𝑓(𝜃) =
∑[𝛼𝑙 𝑒 𝑖𝛿𝑙 − 𝑖 𝑙 (2𝑙 + 1)]𝑒 − 2 𝑙 𝑃𝑙 (𝑐𝑜𝑠𝜃)
2𝑖𝑘
𝑙=0
∞
𝑖𝜋
1 −2𝑖𝑘𝑟
−
𝑒
∑[𝛼𝑙 𝑒 −𝑖𝛿𝑙 − 𝑖 𝑙 (2𝑙 + 1)]𝑒 2 𝑙 𝑃𝑙 (𝑐𝑜𝑠𝜃)
2𝑖𝑘
(6.2)
𝑙=0
Para que desaparezca 𝑟, la segunda sumatoria debe anularse, lo que requiere anular cada uno
de sus términos con la selección
𝛼𝑙 = 𝑖 𝑙 (2𝑙 + 1)𝑒 𝑖𝛿𝑙
Al sustituir este valor en (6.2) teniendo en cuenta 𝑖 𝑙 𝑒 −
(6.3)
𝑖𝜋
𝑙
2
𝜋
𝜋
= [𝑖(𝑐𝑜𝑠 2 − 𝑖𝑠𝑖𝑛 2 )]𝑙 = (−𝑖 2 )𝑙 = 1
Entonces
∞
∞
1
𝑓(𝜃) =
∑(2𝑙 + 1)(𝑒 2𝑖𝛿𝑙 −1)𝑃𝑙 (𝑐𝑜𝑠𝜃) = ∑ 𝑓𝑙 (𝜃)
2𝑖𝑘
𝑙=0
(6.4)
𝑙=0
Esta importante expresión, que es exacta constituye la base para todo análisis en términos de
corriente de fase. Se le acostumbra escribir en diversas formas, que se obtienen por
sustitución en (6.4)de cualquiera de las siguientes expresiones equivalentes
sin𝛿𝑙 = (𝑒 𝑖𝛿𝑙 − 𝑒 −𝑖𝛿𝑙 )/2𝑖
Multiplicando por 𝑒 𝑖𝛿𝑙 y despejando
𝑒 2𝑖𝛿𝑙 − 1
𝑆𝑙 (𝑘) − 1
= 𝑒 𝑖𝛿𝑙 sin𝛿𝑙 = 𝑎𝑙 = 𝑘𝑓𝑙 =
2𝑖
2𝑖
(6.5)
Tanto a 𝑎𝑙 como a 𝑓𝑙 se les conoce indistintamente como amplitud de la onda parcial 𝑙; 𝑆𝑙 (𝑘)
es el elemento 𝑙 de dispersión elástica de la matriz de dispersión 𝑆 y está dado por
𝑆𝑙 (𝑘) = 𝑒 2𝑖𝛿𝑙
(6.6)
El conocimiento completo de las fases 𝛿𝑙 (o, equivalentemente, de las amplitudes parciales 𝑎𝑙 ,
o 𝑓𝑙 o de la matriz 𝑆) como funciones de la energía, especifica la amplitud de dispersión 𝑓(𝜃) y
ella a su vez nos permite determinar, en principio, el potencial dispersor (por ejemplo,
mediante una transformación inversa de Fourier si usamos la aproximación de Born, etc.).
Es posible obtener una expresión para la sección total de dispersión (elástica) a partir de (6.4).
A partir de (5.10) y teniendo en cuenta dΩ = 2𝜋𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑑𝜃
∞
𝜋
2
1
𝜎 = 2𝜋 ∫ 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑑𝜃 |
∑(2𝑙 + 1)(𝑒 2𝑖𝛿𝑙 −1)𝑃𝑙 (𝑐𝑜𝑠𝜃)|
2𝑖𝑘
0
𝑙=0
Tomando en cuenta la ortogonalidad de las funciones de Legendre
𝜎=
𝜋
2𝜋
∫ 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑑𝜃 ∑(2𝑙 + 1)(2𝑙′ + 1) (𝑒 2𝑖𝛿𝑙′ −1)(𝑒 −2𝑖𝛿𝑙 −1)𝑃𝑙 (𝑐𝑜𝑠𝜃)𝑃𝑙′ (𝑐𝑜𝑠𝜃)
(2𝑖𝑘)(−2𝑖𝑘) 0
𝑙,𝑙′
Tomando en cuenta la ortogonalidad de las funciones de Legendre
𝜎=
2𝜋
2
∑(2𝑙 + 1)(2𝑙 ′ + 1) (𝑒 −2𝑖𝛿𝑙 − 1)(𝑒 2𝑖𝛿𝑙′ − 1)
𝛿 ′
2
4𝑘
2𝑙 + 1 𝑙𝑙
′
𝑙,𝑙
𝜎=
𝜋
∑(2𝑙 ′ + 1) (𝑒 −2𝑖𝛿𝑙 − 1)(𝑒 2𝑖𝛿𝑙′ − 1)𝛿𝑙𝑙′
𝑘2 ′
𝑙,𝑙
Haciendo 𝑙 ′ = 𝑙:
1 , 𝑙′ = 𝑙
𝛿𝑙𝑙′ {
y multiplicando y dividiendo por (2𝑖)(−2𝑖)
0 , 𝑙′ ≠ 𝑙
∞
4𝜋
𝜎 = 2 ∑(2𝑙 + 1)𝑠𝑒𝑛2 𝛿𝑙
𝑘
(6.7)
𝑙=0
En particular, cuando fórmulas como la dada por la aproximación de Born son aceptables, es
posible obtener expresiones teóricas para los corrimientos de fase para cada potencial
modelo. Por ejemplo, si aceptamos que la expresión (5.2) es satisfactoria, al integrar respecto
de las variables angulares (el potencial es central) obtuvimos que (ecuación 5.17):
𝑓(𝜃) = −
2𝑢 ∞
∫ 𝑟𝑉(𝑟)𝑠𝑒𝑛𝑞𝑟𝑑𝑟
ℏ2 𝑞 0
Para darle la forma de (6.4) debemos desarrollar 𝑓(𝜃) en polinomios de Legendre, lo que
puede lograrse utilizando la siguiente fórmula, tomada de la teoría de funciones de Bessel:
𝑠𝑒𝑛𝑞𝑟
= ∑(2𝑙 + 1)𝑗𝑙 2 (𝑘𝑟) 𝑃𝑙 𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑞𝑟
,
𝑙=0
𝑞≡
2𝑘𝑠𝑒𝑛𝜃
2
(6,8)
Al introducirlo en la ecuación anterior
2𝑢 ∞
𝑓(𝜃) = − 2 ∫ 𝑑𝑟 𝑟 2 𝑉(𝑟) ∑(2𝑙 + 1)𝑗𝑙 2 (𝑘𝑟) 𝑃𝑙 𝑐𝑜𝑠𝜃
ℏ 𝑞 0
(6.9)
𝑙=0
Ahora en (6.4)
∞
1
𝑓(𝜃) = ∑(2𝑙 + 1) 𝑒 𝑖𝛿𝑙 𝑠𝑒𝑛𝛿𝑙 𝑃𝑙 (𝑐𝑜𝑠𝜃)
𝑘
𝑙=0
Reemplazando (6.9) en la ecuación anterior
𝑒 𝑖𝛿𝑙 𝑠𝑒𝑛𝛿𝑙 = −
2𝑢𝑘 ∞
∫ 𝑑𝑟 𝑟 2 𝑗𝑙 2 (𝑘𝑟)𝑉(𝑟)
ℏ2 𝑞 0
(6.10)
Para el caso de pequeñas fases de (6.5) se sigue que 𝑎𝑙 ≈ 𝛿𝑙 por los que una expresión para los
conocimientos de fase cuando son pequeños
𝛿𝑙 = −
2𝑢𝑘 ∞
∫ 𝑑𝑟 𝑟 2 𝑗𝑙 2 (𝑘𝑟)𝑉(𝑟)
ℏ2 𝑞 0
(6.11)
Este resultado nos permite verificar que para un potencial atractivo (𝑉 < 0) los corrimientos
de fase resultan positivos, mientras que para potenciales repulsivos (𝑉 > 0), las 𝛿𝑙 toman
valores negativos (ver figura)
Función radial en presencia de un potencial; en (𝑎) se muestra el caso de potencial atractivo y
en (𝑏), de potencial repulsivo, ambos para onda 𝑠. La solución punteada corresponde al caso
de ausencia de potencial; el corrimiento de fase permite distinguir entre atracción y repulsión y
medir la intensidad de la interacción.
7. Dispersión de partículas lentas
Consideremos las propiedades de la sección eficaz de dispersión en el caso límite en
que las velocidades de las partículas dispersadas son pequeñas. La velocidad se supone
tan pequeña, que la longitud de onda de la partícula es grande comparada con e! radio
de acción 𝑎 del campo 𝑉(𝑟) (es decir, 𝑘𝑎 < 1) y, además, su energía es pequeña
respecto de la magnitud del campo dentro de este radio. La resolución de este
problema exige determinar la ley límite de dependencia de las fases 𝛿𝑙 respecto del
número de onda 𝑘 para valores pequeños de este último.
De la ecuación de Schrödinger
−
ℏ2 𝑑2 2 𝑑 𝑙(𝑙 + 1)
[
+
−
] 𝑅𝑙 + 𝑉(𝑟⃗)𝜓 = 𝐸𝑅𝑙
2𝑚 𝑑𝑟 2 𝑟 𝑑𝑟
𝑟2
𝑑2 2 𝑑
𝑙(𝑙 + 1) 2𝑚
[ 2+
] 𝑅𝑙 + [𝑘 2 −
− 2 𝑉(𝑟⃗)] 𝑅𝑙 = 0
𝑑𝑟
𝑟 𝑑𝑟
𝑟2
ℏ
Para 𝑟 ≤ 𝑎 se puede prescindir solamente el termino en 𝑘 2
2
𝑙(𝑙 + 1)
2𝑚
𝑅𝑙′′ + 𝑅𝑙′ −
𝑅
=
𝑉(𝑟⃗)𝑅𝑙
𝑙
𝑟
𝑟2
ℏ2
En cambio, en la región en que 𝑎 ≤ 𝑟 ≤ 𝐼/𝑘 se puede prescindir también del
término en 𝑉(𝑟), de modo que queda
2
𝑙(𝑙 + 1)
𝑅𝑙′′ + 𝑅𝑙′ −
𝑅𝑙 = 0
𝑟
𝑟2
La solución general de esta ecuación es:
(7.1)
(7.2)
𝑅𝑙 = 𝐶1 𝑟 𝑙 + 𝐶2
1
(7.3)
𝑟 𝑙+1
Las constantes 𝐶1 y 𝐶2 se pueden determinar resolviendo la ecuación (7.1) para la
función 𝑉(𝑟⃗), para valores de 𝑙 distintos.
Entonces de (7.1), cuya solución es
𝑅𝑙 = 𝐴 𝑗𝑙 (𝑘𝑟) + 𝐵 𝜂𝑙 (𝑘𝑟)
(2𝑙 − 1)‼ 1
(𝑘)𝑙
𝑟𝑙 − 𝐵
(2𝑙 + 1)‼
(𝑘)𝑙+1 𝑟 𝑙+1
Comparando las expresiones anteriores con (7.3) obtenemos las siguientes relaciones
(2𝑙 − 1)‼
(𝑘)𝑙
𝐶1 = 𝐴
,
𝐶2 = −𝐵
(2𝑙 + 1)‼
(𝑘)𝑙+1
(2𝑙 + 1)‼
(𝑘)𝑙+1
𝐴 = 𝐶1
,
𝐵
=
−𝐶
2
(2𝑙 − 1)‼
(𝑘)𝑙
𝑅𝑙 = 𝐴
Por otra parte para distancias todavía mayores 𝑟~1/𝑘 en la ecuación de Schrödinger
se puede prescindir del término en 𝑉(𝑟⃗), pero es imposible dejar de tener en cuenta
𝑘 2, de forma que
2
𝑙(𝑙 + 1)
𝑅𝑙′′ + 𝑅𝑙′ [𝑘 2 −
]𝑅𝑙 = 0
(7.4)
𝑟
𝑟2
Es decir se tiene una ecuación se tiene una ecuación libre. La solución de esta ecuación
es
𝑅𝑙 = 𝐴 𝑗𝑙 (𝑘𝑟) + 𝐵 𝜂𝑙 (𝑘𝑟)
Reemplazando las relaciones anteriores
(2𝑙 + 1)‼ 𝑙 1 𝑑 𝑙 𝑠𝑖𝑛𝑘𝑟
𝑅𝑙 = 𝐶1 (−1)𝑙
𝑟 (
) (
)
(𝑘)2𝑙+1
𝑟 𝑑𝑟
𝑘𝑟
𝑟𝑙
1 𝑑 𝑙 𝑐𝑜𝑠𝑘𝑟
+ 𝐶2 (−1)𝑙
(
) (
)
(7.5)
(2𝑙 − 1)‼ 𝑟 𝑑𝑟
𝑘𝑟
Los coeficientes constantes se han elegido aquí de tal manera que para 𝑘𝑟 ≪ 1 esta
solución pase a ser la (7.3)con ello se consiguió el empalme de la solución (7.3)en el
dominio 𝑘𝑟 ≪ 1 con la solución(7.3) en el dominio 𝑘𝑟 ~ 1.
Finalmente, para 𝑘𝑟 ≫ 1 la solución (7.5)toma la forma asintótica
𝜋
𝑠𝑖𝑛 (𝑘𝑟 − 2 𝑙)
𝑅𝑙 = 𝐶1 (2𝑙 + 1)‼
𝑟(𝑘)𝑙+1
𝑘𝑙
𝜋
+ 𝐶2
𝑐𝑜𝑠 (𝑘𝑟 − 𝑙)
(2𝑙 − 1)‼ 𝑟
2
Utilizando las ecuaciones 𝐴 = 𝛼𝑙 𝑐𝑜𝑠𝛿𝑙
,
𝐵 = −𝛼𝑙 𝑠𝑖𝑛𝛿𝑙
(2𝑙 + 1)‼
(𝑘)𝑙+1
𝛼𝑙 𝑐𝑜𝑠𝛿𝑙 = 𝐶1
,
−
𝛼
𝑠𝑖𝑛𝛿
=
−𝐶
𝑙
𝑙
2
(2𝑙 − 1)‼
(𝑘)𝑙
Sustituyendo en la expresión anterior
𝛼𝑙
𝜋
𝑅𝑙 = sin (𝑘𝑟 − 𝑙 + 𝛿𝑙 )
(7.6)
𝑘𝑟
2
𝐴
donde la fase 𝛿𝑙 se determina por la igualdad de − 𝐵 = 𝑡𝑎𝑛𝛿𝑙
𝐶2 (𝑘)2𝑙+1
𝐶1 (2𝑙 − 1)‼ (2𝑙 + 1)‼
Debido a que 𝑘 es pequeño, todas las faces 𝛿𝑙 resultan pequeñas
𝑡𝑎𝑛𝛿𝑙 =
𝑡𝑎𝑛𝛿𝑙 ≈ 𝛿𝑙 =
𝐶2 (𝑘)2𝑙+1
𝐶1 (2𝑙 − 1)‼ (2𝑙 + 1)‼
(7.7)
Según (6.5) las amplitudes de dispersión parciales son
1
𝑓𝑙 =
≅ 𝛿𝑙 /𝑘
2𝑖𝑘
y llegamos a la conclusión de que, en el caso límite de energías pequeñas, se tiene
𝑓𝑙 ~𝑘 2𝑙
(7.8)
Así, pues, todas las amplitudes parciales con 𝑙 ≠ 0 resultan ser pequeñas comparadas
con la amplitud de dispersión con 𝑙 = 0(o, como suele decirse, de la dispersión S).
Prescindiendo de ellas, tenemos para la amplitud total
𝐶2
𝛿0 𝐶1 𝑘
𝑓(𝜃) ≅ 𝑓0 =
=
= −𝛼
(7.9)
𝑘
𝑘
De modo que
𝑑𝜎
= |𝑓(𝜃)|2
dΩ
la sección eficaz vale
𝜎 = 4𝜋𝛼 2
(7.10)
la cantidad 𝛼 se suele llamar longitud de dispersión. Para velocidades pequeñas la
dispersión es isótropa y su sección eficaz no depende de la energía de las partículas. La
amplitud de dispersión puede ser tanto positiva como negativa.
Para mayores energías (de los electrones) se manifiesta una fuerte dependencia de la
sección eficaz con relación a la energía (el llamado efecto Ramsauer).
8. Dispersión de resonancia para pequeñas energías
En física de partículas, una resonancia es el pico situado alrededor de un cierto valor
de la energía localizado en las secciones eficaces de dispersión de los experimentos de
dispersión. Estos picos están asociados con las partículas subatómicas (como
los nucleones, bariones delta, mesones upsilon, etc.) y sus estados excitados.
La resonancia ϒ(1𝑆), observada por la colaboración 𝐸288, dirigida por Leon
Lederman, en Fermilab en 1977. La resonancia se sitúa a 9.5 𝐺𝑒𝑉, lo que se
corresponde con la masa del mesón ϒ(1𝑆).
Como ejemplo de utilización de la teoría de dispersión basada en el concepto de ondas
parciales, consideremos la dispersión de un partícula en un campo que deriva de un
potencial definido de la siguiente manera
𝑉 = −𝑉0
𝑝𝑎𝑟𝑎
𝑟<𝑎
𝑉=0
𝑝𝑎𝑟𝑎
𝑟>𝑎
(9.1)
Para simplificar, nos limitaremos en el caso que la partícula tenga energía pequeña
𝑘𝑎 ≪ 1. Necesitamos únicamente determinar el desfase 𝛿0 .
Por lo tanto para la ecuación de Schrödinger para 𝑙 = 0, tenemos
ℏ2 𝑑2 2 𝑑
−
[
+
] 𝑅 + 𝑉(𝑟⃗)𝑅0 = 𝐸𝑅0
(9.2)
2𝑚 𝑑𝑟 2 𝑟 𝑑𝑟 0
Haciendo 𝜒(𝑟) = 𝑟𝑅0 → 𝑅0 = 𝜒(𝑟)/𝑟 y derivando
𝑑2 𝑅0 1 𝑑2 𝜒(𝑟) 2 𝑑𝜒(𝑟) 2𝜒(𝑟)
=
−
+ 3
𝑑𝑟 2
𝑟 𝑑𝑟 2
𝑟 𝑑𝑟
𝑟
Sustituyendo en (9.2)
𝑑2 𝜒(𝑟) 2𝑚
+ 2 [𝐸 − 𝑉(𝑟)]𝜒(𝑟) = 0
𝑑𝑟 2
ℏ
La función de onda 𝜒(𝑟) satisfacela ecuación
𝑑2 𝜒(𝑟)
(9.3)
+ 𝛽2𝜒 = 0
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑟 < 𝑎
𝑑𝑟 2
𝑑 2 𝜒(𝑟)
𝑑𝑟 2
+ 𝑘2𝜒 = 0
𝑝𝑎𝑟𝑎
𝑟>𝑎
(9.4)
Donde
2𝑚𝐸
2𝑚(𝐸 + 𝑉0 )
2
,
𝛽
=
(∗∗∗∗∗)
ℏ2
ℏ2
La forma de la función 𝜒 tanto cuando 𝑟 < 𝑎 𝑦 𝑟 > 𝑎 es respectivamente
𝜒1 (𝑟) = 𝐴𝑠𝑖𝑛𝛽𝑟
,
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑟 < 𝑎
(9.5)
𝜒2 (𝑟) = 𝐶𝑠𝑖𝑛(𝑘𝑟 + 𝛿0 ) ,
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑟 > 𝑎
(9.6)
𝑘2 =
En el punto 𝑟 = 𝑎 la función y su primera derivada deben ser continuas, para lo cual
tenemos
 𝜒1 = 𝜒2
𝐴𝑠𝑖𝑛𝛽𝑎 = 𝐶𝑠𝑖𝑛(𝑘𝑎 + 𝛿0 )
 𝜒1 ′ = 𝜒2 ′
𝐴𝛽𝑐𝑜𝑠𝛽𝑎 = 𝑘𝐶𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑎 + 𝛿0 )
Dividiendo las expresiones
𝛽𝑐𝑜𝑡𝑏𝑎 = 𝑘𝑐𝑜𝑡(𝑘𝑎 + 𝛿0 )
(9.7)
Hemos obtenido así la ecuación transcendente para el desfase 𝛿0 . Supongamos primero que
sea pequeño el desfase (y que 𝑘𝑎 ≪ 1)
𝑐𝑜𝑡(𝑘𝑎 + 𝛿0 ) ≈
1
𝑘𝑎 + 𝛿0
Sustituyendo en (9.7) y despejando
𝛿0 =
𝑘
− 𝑘𝑎
𝛽𝑐𝑜𝑠𝛽𝑎
(9.8)
Por la relación anterior vemos que el desfase será efectivamente mucho menor que la unidad
si se cumple
𝑘
≪1
𝛽𝑐𝑜𝑠𝛽𝑎
(9.9)
La sección eficaz diferencial será. Recordando que 𝛿0 ≪ 1
𝑓0 =
𝑒 𝑖𝛿0 𝑠𝑖𝑛𝛿0
𝑘
𝑑𝜎
𝑠𝑖𝑛2 𝛿0
= |𝑓0 |2 =
dΩ
𝑘2
Como 𝛿0 es pequeño, por lo tanto 𝑠𝑖𝑛𝛿0 = 𝛿0
𝛿0 2
𝑑𝜎 = 2 dΩ
𝑘
Reemplazando en (9.8)
1
𝑘
𝑑𝜎 = 2 (
− 𝑘𝑎)2 dΩ
𝑘 𝛽𝑐𝑜𝑠𝛽𝑎
Sin embargo es posible una forma de pozo potencial para la que 𝛽𝑐𝑜𝑠𝛽𝑎 tienda a
cero. En este caso deja de cumplirse la igualdad (9.9) y el desfase será grande.
Se puede obtener una expresión par los niveles de una partícula (𝐸 = −𝜀) que se
encuentra en un pozo potencial.
𝛽𝑐𝑜𝑠𝛽𝑎 = −𝑘
Reemplazando (∗∗∗∗∗) y elevando al cuadrado la expresión anterior
2𝑚(𝑉0 − 𝜀)
2𝑚(𝑉0 − 𝜀)𝑎2 1 2𝑚 𝜀
2
𝑐𝑜𝑡
(
)2 = 2
(9.10)
ℏ2
ℏ2
ℏ
Donde 𝜀 es el nivel energético de la partícula en el pozo. Si este nivel difiere poco de
cero es decir 𝜀 ≪ 𝑉0 la relación (9.10) se puede escribir
2𝑚(𝑉0 )
2𝑚(𝑉0 )𝑎2 1 2𝑚 𝜀
2
𝑐𝑜𝑡
(
)2 = 2
(9.11)
ℏ2
ℏ2
ℏ
Para el caso de que no se cumpla (9.9) y 𝛿0 sea grande. Desarrollamos similarmente a
lo anterior. Para ello desarrollaremos 𝑐𝑜𝑡(𝑘𝑎 + 𝛿0 ) en serie del pequeño parámetro
𝑘𝑎 y nos limitaremos al término de orden cero. Deternimos el nuevo 𝛿0𝑟 a partir de
(9.7)
𝛽𝑐𝑜𝑡𝛽𝑎 = 𝑘𝑐𝑜𝑡𝛿0𝑟
Encontramos que
2𝜋ℏ2
𝜎𝑟 =
(9.12)
𝑚(𝐸 + 𝜀)
La última expresión se llama formula de Wigner. Es fácil observar que la sección eficaz
en el caso de resonancia es considerablemente mayor que la sección eficaz cuando no
la hay.
9. Dispersión elástica de partículas idénticas
Hasta aquí hemos admitido que la partícula que se dispersa y el dispersor son
partículas diferentes. Ahora examinaremos el caso en que las partículas dispersoras y
dispersadas son iguales. Para simplificar la discusión consideremos dos partículas
idénticas, inicialmente muy alejadas la una de la otra y cada una de ellas descrita por
su paquete de ondas
La función de onda de un sistema de partículas indistinguibles debe ser simétrico (en el
caso de los bosones) o antisimétrico (en el caso de los fermiones) bajo el intercambio
de dos partículas. Por ello, la función de onda que describe la dispersión, obtenida
resolviendo la ecuación ordinaria de Schrödinger, debe ser simetrizada o
antisimetrizada respecto de las partículas.
En el sistema de coordenadas en el que el centro de masas se encuentra en reposo,
esto significa que 𝑟 no varía y que el ángulo 𝜃 se substituye por 𝜋 − 𝜃 . Por lo tanto, la
función de onda debemos escribir:
𝑒 𝑖𝑘𝑟
𝜓 = 𝑒 𝑖𝑘𝑧 ± 𝑒 −𝑖𝑘𝑧 +
[𝑓(𝜃 ± 𝑓(𝜋 − 𝜃)]
(9.1)
𝑟
En el sistema del centro de masas tenemos dos ondas planas 𝑒 𝑖𝑘𝑧 𝑦 𝑒 −𝑖𝑘𝑧 incidentes
iguales entre sí y que se propagan en sentidos opuestos En cambio, la onda esférica
divergente en (9.1) tiene en cuenta la dispersión de ambas partículas, y la corriente de
probabilidad calculada mediante ella determina la probabilidad de que una cualquiera
de las dos partículas sea dispersada en un elemento dado dΩ de ángulo sólido.
Como bien sabemos una función de onda es simétrica (esto es, que no varía) por
intercambio de cualquier par de partículas (las coordenadas espaciales y de spin). Para
la función de onda simétrica tenemos
𝑒 𝑖𝑘𝑟
𝜓𝑠 = 𝑒 𝑖𝑘𝑧 + 𝑒 −𝑖𝑘𝑧 +
[𝑓(𝜃 + 𝑓(𝜋 − 𝜃)]
(9.2)
𝑟
Para la cual su sección eficaz diferencial de dispersión es
𝑑𝜎𝑠 = [𝑓(𝜃) + 𝑓(𝜋 − 𝜃)]2 dΩ
(9.3)
Y es antisimetrica cuando cambia de signo por intercambio de cualquier par de
partículas (en la función de onda y sección eficaz).
Dos partículas caracterizadas por sus paquetes de onda convergen hacia la región de
interacción. El paquete de onda saliente forma un frente de ondas que avanza hacia los
detectores.
Un ejemplo a ello consideremos
Si una de las partículas se encuentra en reposo antes de la colisión, la sección eficaz diferencial
en este sistema de coordenadas podrá hallarse de la siguiente manera
Según la expresión (9.3) el paso al sistema de laboratorio se lleva a cabo mediante las
formulas
𝑡𝑔𝜃1 𝐿 =
𝑚2 𝑠𝑖𝑛𝜃
𝑚1 + 𝑚2 𝑐𝑜𝑠𝜃
En este caso la masa de las partículas es la misma
𝑡𝑔𝜃1 𝐿 =
𝑠𝑖𝑛𝜃
1
= 𝑡𝑎𝑛 𝜃
1 + 𝑐𝑜𝑠𝜃
2
𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑒𝑠
𝜃1 𝐿 =
𝜃
2
Reemplazándolo en (9.3)
2
𝑑𝜎𝑠 = [𝑓(2𝜃1 𝐿 ) + 𝑓(𝜋 − 2𝜃1 𝐿 )] 4cos𝜃1 𝐿 dΩ1
(9.4)
Donde dΩ1 es el elemento solido en el sistema del laboratorio. Consideremos que la energía
de interacción tenga la forma sencilla (admitiendo que antes de la colisión una estaba en
reposo mientras que la otra en movimiento).
𝑉 = 𝑉0
𝑉=0
𝑝𝑎𝑟𝑎
𝑝𝑎𝑟𝑎
𝑟<𝑎
𝑟<𝑎
Para que se cumpla 𝑘𝑎 ≪ 1, en este caso 𝛿1 ≪ 1y la amplitud de dispersión se escribe de la
forma 𝑓(𝜃) = 𝛿0 /𝑘, reemplazando en (9.4)
𝜎=
16𝛿0 2
cos𝜃1 𝐿 dΩ1
𝑘
(9.5)
Vemos de esta manera que si en el sistema de centro de masa la dispersión presenta simetría
esférica, en el sistema del laboratorio la sección eficaz diferencial será proporcional al coseno
del ángulo de dispersión.
10. Bibliografía
L.D. Landau y E.M.LIfshitz, Mecánica cuántica No-Relativista Vol.3, Editorial
Reverte, S.A.Barcelona.
Luis de la Peña, Introducción a la Mecánica cuántica 3ra Edición.
Lecciones de la Mecánica cuántica, Dispersión cuántica.
https://es.wikipedia.org/wiki/Resonancia_(f%C3%ADsica_de_part%C3%ADculas)
UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO
FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS
Escuela Profesional de Física
Tema de exposición
“métodos de ondas parciales en el cálculo de secciones eficaces de
dispersión ”
Alumno:
Llauce baldera ,kenyi Raúl.
Materia:
física nuclear.
Docente:
Montalvo soberon,Gustavo.
Fecha de presentación:
18 de diciembre del 2019.
Lambayeque, PERÚ.
2019