INTRODUCCIÓN A LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES RESEÑA HISTÓRICA En los siglos XVII y XVIII, grandes matemáticos como Newton, Leibnitz, Bernouilli y, sobre todo Lagrange, que tanto habían contribuido al desarrollo del cálculo infinitesimal, se ocuparon de obtener máximos y mínimos condicionados de determinadas funciones. Posteriormente el matemático francés Jean BaptisteJoseph Fourier (1768-1830) fue el primero en intuir, aunque de forma imprecisa, los métodos de lo que actualmente llamamos programación lineal y la potencialidad que de ellos se deriva. RESEÑA HISTÓRICA Si exceptuamos al matemático Gaspar Monge (1746-1818), quien en 1776 se interesó por problemas de este género. Debemos remontarnos al año 1939 para encontrar nuevos estudios relacionados con los métodos de la actual programación lineal, en este año, el matemático ruso Leonodas Vitalyevich Kantarovitch publica una extensa monografía titulada Métodos matemáticos de organización y planificación de la producción en la que por primera vez se hace corresponder a una extensa gama de problemas una teoría matemática precisa y bien definida llamada, hoy en día, programación lineal. RESEÑA HISTÓRICA En 1941-1942 se formula por primera vez el problema de transporte, estudiado independientemente por Koopmans y Kantarovitch, razón por la cual se suele conocer con el nombre de problema de KoopmansKantarovitch. Tres años más tarde, G. Stigler plantea otro problema particular conocido con el nombre de régimen alimenticio óptima. En estos años posteriores a la Segunda Guerra Mundial, en Estados Unidos se asumió que la eficaz coordinación de todas las energías y recursos de la nación era un problema de tal complejidad, que su resolución y simplificación pasaba necesariamente por los modelos de optimización que resuelve la programación lineal. RESEÑA HISTÓRICA En 1947, G.B. Dantzig formula, en términos matemáticos muy precisos, el enunciado estándar al que cabe reducir todo problema de programación lineal. Dantzig, junto con una serie de investigadores del United States Departament of Air Force, formarían el grupo que dio en denominarse SCOOP (Scientific Computation of Optimum Programs). RESEÑA HISTÓRICA Una de las primeras aplicaciones de los estudios del grupo SCOOP fue el puente aéreo de Berlín. Se continuó con infinidad de aplicaciones en el área de la construcción, bancario y preferentemente militar. Hacia 1950 se constituyen, fundamentalmente en Estados Unidos, distintos grupos de estudio para ir desarrollando las diferentes ramificaciones de la programación lineal. Cabe citar, entre otros, Rand Corporation, con Dantzig, Orchard-Hays, Ford, Fulkerson y Gale, el departamento de Matemáticas de la Universidad de Princeton, con Tucker y Kuhn, así como la Escuela Graduada de Administración Industrial, dependiente del Carnegie Institute of Technology, con Charnes y Cooper. RESEÑA HISTÓRICA Respecto al método del símplex, señalaremos que su estudio comenzó en el año 1951 y fue desarrollado por Dantzig en el United States Bureau of Standards SEAC COMPUTER, ayudándose de varios modelos de ordenador de la firma IBM. Los fundamentos matemáticos de la programación lineal se deben al matemático norteamericano de origen húngaro Janos von Neuman (1903-1957), que en 1928 publicó su famoso trabajo Teoría de Juegos. En 1947 conjetura la equivalencia de los problemas de programación lineal y la teoría de matrices desarrollada en sus trabajos. La influencia de este respetado matemático, discípulo de David Hilbert en Gotinga y, desde 1930, catedrático de la Universidad de Princeton de Estados Unidos, hace que otros investigadores se interesaran paulatinamente por el desarrollo riguroso de esta disciplina. RESEÑA HISTÓRICA En 1858 se aplicaron los métodos de la programación lineal a un problema concreto: el cálculo del plan óptimo de transporte de arena de construcción a las obras de edificación de la ciudad de Moscú. En este problema había 10 puntos de partida y 230 de llegada. El plan óptimo de transporte, calculado con el ordenador Strena en 10 días del mes de junio, rebajó un 11% los gastos respecto a los costos previstos. Se ha estimado, de una manera general, que si un país subdesarrollado utilizase los métodos de la programación lineal, su producto interno bruto (PIB) aumentaría entre un 10 y un 15% en tan sólo un año. RESEÑA HISTÓRICA Con el avance de las computadoras digitales se empezó a extender la investigación de operaciones, durante la decena de los cincuenta en las áreas de programación dinámica (Bellman), programación no lineal (Kuhn y Tucker), programación entera (Gomory), redes de optimización (Ford y Fulkerson), simulación (Markowitz), inventarios (Arraw, Karlin, Scarf, Whitin), análisis de decisión (Raiffa) y procesos markovianos de decisión (Howard). La generalización de la investigación de operaciones han tratado de darla Churchman, Ackoff y Arnoff. RESEÑA HISTÓRICA LA PROGRAMACIÓN LINEAL En el resto de los años cincuenta, la Programación Lineal quedó completamente establecida, con los trabajos de Charnes sobre la degeneración, de Lemke sobre la dualidad, de Dantzig, Orden y Wolfe sobre la forma compacta y la descomposición de grandes programas. En estos mismos años, Ford y Fulkerson, también contratados por la RAND Corporation, establecen los resultados sobre flujos en grafos y el método primal dual para los problemas de distribución. RESEÑA HISTÓRICA LA PROGRAMACIÓN LINEAL Sin embargo, la Programación Lineal Entera no recibe atención hasta finales de esta década, en que Gomory obtiene la expresión general para aproximar la envoltura convexa del conjunto admisible empleando sola y exclusivamente planos secantes. A pesar de las esperanzas que el procedimiento generó, sigue siendo un campo con métodos limitados e insatisfactorios, donde la enumeración parcial e inteligente de posibles soluciones es el socorrido último recurso que se hace necesario en multitud de situaciones. RESEÑA HISTÓRICA LA PROGRAMACIÓN NO LINEAL En los modelos no lineales, los resultados fundamentales proceden del desarrollo del cálculo matemático en el siglo XVIII, siendo el concepto básico el del Lagrangiano. La caracterización de las condiciones necesarias de optimalidad en problemas restringidos, se generaliza a partir de los resultados de Lagrange en el conocido teorema de Kuhn-Tucker, que recopila y estructura un conjunto de investigaciones llevadas a cabo por numerosos autores en los años cuarenta, entre los que también ha de citarse a Dantzig, y Fritz John . RESEÑA HISTÓRICA LA PROGRAMACIÓN NO LINEAL La Programación no Lineal progresó durante los años sesenta y setenta, pudiendo atacarse la resolución de problemas de tamaño medio con varias decenas de restricciones y algunos cientos de variables. Sin embargo, la investigación en la búsqueda de algoritmos eficientes seguía siendo muy activa, pues los existentes no eran plenamente satisfactorios. RESEÑA HISTÓRICA LA PROGRAMACIÓN DINÁMICA La Programación Dinámica, su inicio y desarrollo básico se debe a Richard Bellman al principio de los cincuenta. La trascendencia de esta metodología no se limita a la Investigación Operativa, sino que es también de gran importancia en la Teoría del Control Óptimo, en estrecha relación con el principio del máximo de Pontryagin . El desarrollo de la Programación Dinámica se ha visto limitado en su aplicabilidad concreta debido a la complejidad computacional que le acompaña, tanto debido a la cardinalidad del espacio de estado como al número de períodos que intervienen. RESEÑA HISTÓRICA LA PROGRAMACIÓN DINÁMICA En este sentido, el trabajo de Larson ha colaborado a su tratamiento, pero muchos autores aún consideran a la Programación Dinámica como un punto de vista conceptual y un bagaje teórico para el análisis de problemas; y no como un método o conjunto de ellos, implantable en algoritmos de tipo general. En esta dirección, los trabajos de Denardo, identificando la estructura de los procesos de decisiones secuenciales, suponen un avance para establecerlos. RESEÑA HISTÓRICA LA TEORÍA DE COLAS La Teoría de Colas se inicia con el trabajo del ingeniero danés A. K. Erlang en la industria telefónica de principios de siglo. El estudio en detalle de los modelos más usuales, en que tanto la distribución de llegadas al sistema como la del tiempo de servicio son conocidas, y pertenecen a categorías bien establecidas, está completamente caracterizado. RESEÑA HISTÓRICA LA TEORÍA DE COLAS Pero los recursos técnicos de carácter matemático que se requieren para llevar a cabo estos análisis hacen que sea la simulación el método habitual de estudio cuando los procesos de colas son de cierta complejidad. Debe resaltarse la existencia de multitud de lenguajes de simulación a disposición de los usuarios de computadores de las empresas de mayor importancia en el sector. RESEÑA HISTÓRICA LA TEORÍA DE JUEGOS La Teoría de Juegos se inicia con los primeros resultados de von Neumann sobre el teorema del minimax en 1926. Sobre todo a partir de la publicación de su obra básica en unión de Morgenstern, asentando la teoría de juegos matriciales. Posteriormente, y como consecuencia de las aportaciones de la Teoría del Control Óptimo, se bifurca en los Juegos Diferenciales y en el estudio de los juegos cooperativos. RESEÑA HISTÓRICA LA TEORÍA DE JUEGOS Dentro de estos últimos, el desarrollo se sustenta en el estudio de la teoría del núcleo, incluyendo el concepto de valor de Shapley y los resultados de Nash. La influencia de esta teoría sobre la Organización de la Producción ha sido muy limitada. RESEÑA HISTÓRICA LA TEORÍA DE DECISIONES BAJO INCERTIDUMBRE La Teoría de la Decisión en condiciones de incertidumbre, toda ella se basa en la estadística bayesiana y la estimación subjetiva de las probabilidades de los sucesos. La estructuración de la teoría axiomática de la utilidad es más reciente, encontrándose en fase de pleno desarrollo, como muestran las publicaciones de Schlaifer y Raiffa. En la actualidad se la considera un instrumento válido para la estructuración de la toma de decisiones con incertidumbre cuando la información no es completa. RESEÑA HISTÓRICA LA TEORÍA DE DECISIONES BAJO INCERTIDUMBRE La aplicabilidad a la Organización de la Producción es reducida debido a que en ella la situación es bastante estructurada, pudiendo accederse a una satisfactoria información sobre el contexto. Si acaso, en los planteamientos estratégicos que pueden darse en la fase de diseño en que la información es menor o incluso no existe, pueden emplearse estos métodos. RESEÑA HISTÓRICA LOS PROBLEMAS COMBINATORIOS Desde su origen, la Investigación Operativa se encuentra encarada con problemas para los que no existe método analítico alguno que permita obtener, con seguridad y en un tiempo conveniente, el óptimo teórico. Éste es, por ejemplo, el caso de los problemas combinatorios en que el sentido común da por imposible la enumeración. Es más que normal que el tamaño y la naturaleza de ciertos problemas combinatorios nos prohibían abordarlos por la vía del sentido común. Nuestro buen sentido, educado por la ciencia, sabe distinguir particularmente los problemas NP completos, para los cuales no existe un algoritmo que en tiempo polinomial sea capaz de encontrar la solución (Garey and Johnson). RESEÑA HISTÓRICA LOS PROBLEMAS COMBINATORIOS De siempre, la investigación de operaciones ha establecido, por tales razones, métodos denominados heurísticos, incapaces de proporcionar el óptimo formal, pero susceptibles de llegar a soluciones buenas, tanto más fiables en cuanto que permiten determinar al mismo tiempo una cota (superior o inferior) del óptimo teórico con el que se comparan. Con el auge de las PC´s estos métodos han ido ganando terreno, puesto que se iba haciendo, cada vez más, factible y fácil intentar diferentes heurísticas y juzgar su eficacia relativa. RESEÑA HISTÓRICA METAHEURÍSTICAS Durante los últimos años han aparecido una serie de métodos, denominados metaheurísticas, cuya finalidad es la de encontrar buenas soluciones a problemas de optimización (lineal o no lineal y con o sin restricciones). Entre ellos se pueden enumerar los algoritmos genéticos, el recocido simulado, la búsqueda tabú y las redes neuronales. Su aplicación a los problemas de secuenciación de todo tipo es una finalidad típica y clásica. RESEÑA HISTÓRICA METAHEURÍSTICAS Es más, prácticamente todos ellos están basados en intentar resolver, de la mejor forma posible, problemas típicos de Organización de la Producción. Así, los problemas típicos de secuenciación de trabajos en máquinas, de equilibrado de líneas de montaje, de asignación de rutas, de planificación de la producción, etc. han sido, son y, casi con toda seguridad, serán el banco de pruebas de las más modernas técnicas de búsqueda de soluciones a problemas en los que, de entrada, se declina la posibilidad de encontrar la solución óptima. RESEÑA HISTÓRICA LOS ALGORITMOS GENÉTICOS Los algoritmos genéticos («genetic algorithms») fueron introducidos por Holland para imitar algunos de los mecanismos que se observan en la evolución de las especies. Los mecanismos no son conocidos en profundidad pero sí algunas de sus características: la evolución ocurre en los cromosomas; un ser vivo da vida a otro mediante la decodificación de los cromosomas de sus progenitores, el cruce de los mismos, y la codificación de los nuevos cromosomas formando los descendientes; las mejores características de los progenitores se trasladan a los descendientes, mejorando progresivamente las generaciones. Basándose en estas características, Holland creó un algoritmo que genera nuevas soluciones a partir de la unión de soluciones progenitoras utilizando operadores similares a los de la reproducción, sin necesidad de conocer el tipo de problema a resolver. RESEÑA HISTÓRICA LOS ALGORITMOS DE RECOCIDO SIMULADO Los algoritmos de recocido simulado («simulated annealing») fueron introducidos por Cerny y Kirkpatrick et al. para la optimización de problemas combinatorios con mínimos locales. Utilizan técnicas de optimización no determinista: no buscan la mejor solución en el entorno de la solución actual sino que generan aleatoriamente una solución cercana y la aceptan como la mejor si tiene menor costo, o en caso contrario con una cierta probabilidad p; esta probabilidad de aceptación irá disminuyendo con el número de iteraciones y está relacionada con el empeoramiento del costo. RESEÑA HISTÓRICA LOS ALGORITMOS DE RECOCIDO SIMULADO Estos algoritmos derivan de la analogía termodinámica con el proceso metalúrgico del recocido: cuando se enfría un metal fundido suficientemente despacio, tiende a solidificar en una estructura de mínima energía (equilibrio térmico); a medida que disminuye la temperatura, las moléculas tienen menos probabilidad de moverse de su nivel energético; la probabilidad de movimiento se ajusta a la función de Boltzmann. RESEÑA HISTÓRICA BÚSQUEDA TABÚ Entre los distintos métodos y técnicas heurísticas de resolución de problemas combinatorios surge, en un intento de dotar de "inteligencia" a los algoritmos de búsqueda local, el algoritmo de búsqueda tabú («tabu search»),Glover. La búsqueda tabú, a diferencia de otros algoritmos basados en técnicas aleatorias de búsqueda de soluciones cercanas, se caracteriza porque utiliza una estrategia basada en el uso de estructuras de memoria para escapar de los óptimos locales, en los que se puede caer al "moverse" de una solución a otra por el espacio de soluciones. RESEÑA HISTÓRICA BÚSQUEDA TABÚ Al igual que en la búsqueda local, la búsqueda tabú selecciona de modo agresivo el mejor de los movimientos posibles en cada paso. Al contrario que sucede en la búsqueda local, se permiten movimientos a soluciones del entorno aunque se produzca un empeoramiento de la función objetivo, de manera que sea posible escapar de los óptimos locales y continuar estratégicamente la búsqueda de mejores soluciones. RESEÑA HISTÓRICA LA REDES NEURONALES Las redes neuronales (“neural networks”) son modelos analógicos que tienen como objetivo reproducir en la medida de lo posible las características y la capacidad de procesamiento de información del conjunto de neuronas presentes en el cerebro de los seres vivos. Las características principales de estos modelos son su robustez, tolerancia a fallos, capacidad de adaptación y aprendizaje y la capacidad de procesar información defectuosa. RESEÑA HISTÓRICA LAS REDES NEURONALES Los modelos de redes neuronales intentan conseguir unos buenos resultados basándose en una densa interconexión de unos sencillos nodos computacionales llamados neuronas. Aleksander y Morton definen una red neuronal como un "Procesador distribuido paralelo que posee una propensión natural para el almacenamiento de conocimiento experimental haciéndolo disponible para su uso. Recuerda al cerebro humano en dos aspectos: el conocimiento se adquiere mediante un proceso de aprendizaje, y la conexión interneuronal se utiliza para el almacenamiento del conocimiento”. ¿QUÉ ES LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES? Como toda disciplina en desarrollo, la investigación de operaciones ha ido evolucionando no sólo en sus técnicas y aplicaciones sino en la forma como la conceptualizan los diferentes autores, en la actualidad no existe solamente una definición sino muchas, algunas demasiado generales, otras demasiado engañosas, aquí seleccionamos una de las mas aceptadas y representativas. ¿QUÉ ES LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES? La definición de la sociedad de investigación de operaciones de la Gran Bretaña es la siguiente: “La investigación de operaciones es el ataque de la ciencia moderna a los complejos problemas que surgen en la dirección y en la administración de grandes sistemas de hombres, máquinas, materiales y dinero, en la industria, en los negocios, en la construcción, en el gobierno y en la defensa. Su actitud diferencial consiste en desarrollar un modelo científico del sistema tal, que incorpore valoraciones de factores como el azar y el riesgo y mediante el cual se predigan y comparen los resultados de decisiones, estrategias o controles alternativos. Su propósito es el de ayudar a la gerencia a determinar científicamente sus políticas y acciones.” FASES DE UN ESTUDIO DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES Como herramienta de toma de decisiones, la investigación de operaciones es una ciencia y un arte, se dice que es una ciencia por las técnicas matemáticas que se presentan y un arte porque el éxito de todas las fases que anteceden y siguen a la resolución del modelo matemático dependen mucho de la creatividad y la experiencia del equipo de investigación de operaciones. Willemain (1994) insinúa que “la práctica efectiva (de la investigación de operaciones) requiere algo mas que la competencia analítica. También requiere, entre otros atributos, el juicio (por ejemplo, cuando y como usar determinada técnica) y la destreza técnica en comunicaciones y en duración organizacional”. Fases de un estudio de Investigación de Operaciones Las fases principales de la ejecución de la investigación de operaciones en la práctica son los siguientes: 1. Definición del Problema de interés y toma de datos relevantes. 2. La construcción o formulación del Modelo matemático el cual represente el problema. 3. Desarrollo de un procedimiento basado en técnicas para derivar en la solución del Modelo matemático. 4. La validación o prueba del Modelo matemático y si fuera necesario su mejoramiento. 5. La Implementación de la solución. De estas cinco fases, solo la de la solución del modelo, es la que esta mejor definida y es la mas fácil de implementar en un estudio de investigación de operaciones, por lo que maneja especialmente modelos matemáticos precisos, las demás fases es mas un arte que una teoría. 1. LA DEFINICIÓN DEL PROBLEMA El resultado de ello es identificar tres elementos principales del problema de decisión, que son: a) La descripción de las alternativas de decisión. b) La determinación del objetivo del estudio (lo cual viene a ser un aspecto importante en la formulación o definición del problema). c) La especificación de las limitaciones bajo las cuales funciona el sistema modelado. 2. LA CONSTRUCCIÓN DEL MODELO Es el de traducir la definición del problema a relaciones matemáticas llamado también modelización. Se sabe o se dice que los modelos matemáticos o representaciones idealizadas son una parte integrada de la vida diaria, en la ciencia y los negocios, como lo hacen patente los modelos del átomo y de estructura genéticas, las ecuaciones matemáticas que describen las leyes de física del movimiento o reacciones químicas, las graficas, los organigramas y los sistemas contables en la industria, esos modelos son invaluables ya que extraen la esencia de la materia de estudio, muestra sus interrelaciones y facilitan el análisis. 3. SOLUCIÓN DEL MODELO MATEMÁTICO La siguiente etapa de un estudio de investigación de operaciones es una de las más simples y sencillas, que consiste en desarrollar un procedimiento para obtener una solución al problema a partir de este modelo matemático. Se puede suponerse o pensarse que esto debe ser la parte más importante o principal del estudio de investigación de operaciones, pero en la mayoría de los casos no lo es, por lo contrario es una parte relativamente sencilla donde solo se aplica uno de los algoritmos (procedimientos iterativos de una solución). Las soluciones que se obtienen de estos modelos no son de forma cerradas, es decir, parecidas a fórmulas. En lugar de ello, se determina en forma de algoritmo, este algoritmo proporciona reglas fijas de cómputos que son aplicadas en forma repetitiva al problema y cada repetición es llamada iteración, lo cual obtiene cada vez en forma mas cercana a la óptima, ya que los cálculos que son asociados o utilizados en cada iteración son tediosos y voluminosos se recurre al uso de paquetes computacionales. 4. LA VALIDACIÓN DEL MODELO Es una comprobación si el modelo matemático propuesto hace lo que debe hacer, lo cual se puede hace una pregunta. ¿Pronóstica el modelo en forma adecuada el comportamiento del sistema que se estudia?, y si el modelo se basa en una investigación cuidadosa de datos históricos, la validación debería ser favorable. Es probable de que las primeras versiones de un modelo matemático grande tengan sus fallas. Sin duda algunos factores o interrelaciones relelantes no se agregaron al modelo y algunos parámetros no se estimaron correctamente. Esto puede ser a causa de la falta o la dificultad de comunicación de todos los aspectos y sutilezas de un problema operacional complejo, así como la dificultad de recolección de datos. Por lo que antes de usar el modelo debe probarse exhaustivamente para intentar identificar y corregir todas las fallas que se pueda. Aunque sin duda quedaran algunos problemas menores ocultos en el modelo (y quizás nunca se detecten), las fallas importantes se habrán eliminado de manera que ahora es confiable usar el modelo. 5. LA IMPLEMENTACIÓN DEL MODELO MATEMÁTICO ¿Qué es lo que pasa después de terminar la etapa de pruebas y desarrollar un modelo aceptable?; si el modelo ha de usarse varias veces, el siguiente paso es instalar un sistema bien documentado para aplicar el modelo según lo establecido por la administración. Este sistema incluirá el modelo y el procedimiento de solución (además del análisis pos-óptimo) y los procedimientos para su implementación. Por que la implementación se trata de efectuar instrucciones de operaciones a partir de la solución y de los resultados del modelo, estas instrucciones de operaciones deben ser en forma comprensibles para las personas que administraran el sistema recomendado. MODELOS MATEMÁTICOS DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES Se debe considerar que en el caso de un problema de toma de decisiones donde requiere un modelo matemático, cuya solución requiere identificar tres componentes. 1. ¿Cuáles son las alternativas de decisión? 2. ¿Bajo que restricciones se toma la decisión? 3. ¿Cuál es el criterio objetivo adecuado para evaluar las alternativas? MODELOS MATEMÁTICOS DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES El primer paso crucial de cualquiera de los modelo es la definición de las alternativas o las variables de decisión del problema. Lo cual se utilizan estas variables de decisión para construir la función objetivo y las restricciones del modelo. Una vez terminado con estos tres pasos en el modelo de investigación de operaciones se organizar generalmente de la siguiente forma general: Maximizar o Minimizar la función objetivo Sujeta a: Restricciones. TIPOS DE MODELOS DE INVESTIGACIÓN DE Frecuencia OPERACIONES Clase de Tipo de Modelo Incertidumbre de uso en corporaciones Programación Lineal D A Redes (Incluye PERT/CPM) D, P A Inventarios, producción y programación D, P A Econometría, pronóstico y simulación D, P A Programación Entera D B Programación Dinámica D, P B Programación Estocástica P B Programación No Lineal D B Teoría de Juegos Control Óptimo Líneas de Espera P D, P P B B B Ecuaciones Diferenciales D B Algunos ejemplos Algunos ejemplos Medio Ambiente Entrada Salida V. Controlables Variables de V. No Controlables decisión Deseables Sistema Indeseables Neutrales V. Parc. Controlables Límites Retroalimentación F.Obj Ejemplos de Problemas Introducción DISTRIBUCIÓN DE AGUA PARA RIEGO A VARIOS USUARIOS …Ejemplos de Problemas Introducción DISTRIBUCIÓN DE AGUA PARA RIEGO A VARIOS USUARIOS TRIGO Bt =B1+B2 q1+q2 Qmáx BT* = ? q1* = ? q2* = ? …Ejemplos de Problemas DISEÑO DE CONDUCTORA Introducción …Ejemplos de Problemas Algunos ejemplos DISEÑO DEL DRENAJE Dmín Di Dmáx; i = 1, 2, 3 Dmín = 30 mm ; Dmáx=120 mm D1*= ? D2*=? D3*= ? CT = ?; CT *= Ctub + Cexe Pendientes en los tramos = ? …Ejemplos de Problemas Algunos ejemplos DISTRIBUCIÓN DE CULTIVOS EN UN ÁREA Suelo regular (Ar ) Suelo Bueno (Ab ) Suelo malo (Am) C1b + C2b Ab C1r + C2r Ar C1m + C2m Am Bt*= ? Cij* = ? q1b+ q2b + q1r + q2b + q1m + q2m Qmáx …Ejemplos de Problemas Algunos ejemplos DISEÑO DE LA RED DE DISTANCIA MÍNIMA (COSTO)
