BIOESTADISTICA UNIDAD 3 SEP-FEBRERO

UNIDAD 3
3. MEDIDAS ESTADÍSTICAS
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Se conocen como medidas de tendencia central o promedios a los valores que se localizan
hacia el centro de la distribución a la cual representan; media aritmética, mediana y moda.

3.1. MEDIA ARITMÉTICA ( x )
Es un parámetro de tendencia central, la medida más conocida y fácil de calcular, llamado
promedio. La media aritmética se define como el cociente que se obtiene al dividir la suma de

los valores de la variable por el número de observaciones. Simbología :
3.1.1.
MEDIA ARITMÉTICA SIMPLE.-

x, y
Cuando los datos no son numerosos y en
general, no se ha elaborado la tabla de frecuencias para obtener este promedio, se procede de
la siguiente manera:

x1  x2  x3  ...  xn

x
n

x
x
i
n
1. Se suman todos los datos observados.
2. Se divide la suma para el número de casos.
Ejercicio: Calcular la media aritmética de las edades de cinco pacientes valores Xi :
23,42,18,15,36

x
15  18  23  36  42
5

x
134

5

x  26.8
3.1.2 MEDIA ARITMÉTICA PONDERADA
Cuando el número de observaciones es grande las operaciones para calcular la media
aritmética se simplifican en una tabla de frecuencias, se obtiene de la suma de las
observaciones por sus respectivas frecuencias y dividido para el número de casos.
n

x1 f1  x2 f 2  ...  xn f n


x
x
n

Dra. Susana Pino MgS.
BIOESTADÍSTICA
xn
i i
i 1
n
1
Ejemplo: Calcular la media aritmética de los datos que corresponden al registro de los sueros
que se han suministrado a 30 pacientes de la clínica “Vida saludable”
xi
10
11
12
13
14
ni
3
6
12
7
2
xi. ni
30
66
144
91
28

30
359
n
x n

i
i 1
x


i
x  11,967
359
x  30
n
El promedio de los sueros utilizados en 30 pacientes es de 11,97
MEDIA ARITMÉTICA PARA DATOS AGRUPADOS EN INTERVALOS
Al aplicar la fórmula para calcular la media aritmética con datos agrupados se deberá trabajar
con las marcas de clase y queda definida de la siguiente manera:
xi-1- xi
Xm
ni
Xm ni
46-54
54-62
62-70
70-78
78-86
86-94
50
58
66
74
82
90
3
6
10
6
3
2
150
348
660
444
246
180
2028

30
n

x
x
i 1
n

m i
x
n

2028

30

x  67,6
Pero también se puede calcular la media aritmética por el método abreviado así:
xi-1- xi
Xm
46-54
54-62
62-70
70-78
78-86
86-94

50
58
66
74
82
90

ni
Z= Xm -
3
6
10
6
3
2
30
y
Z.ni
i
50-66=-16 -48
58-66=- 8 -48
66-66= 0
0
74-66= 8 48
82-66= 16 48
90-66= 24 48
48
n

 z.n

48
x  67.6
30
n
Se pueden aplicar otras formas para encontrar la media aritmética.
x  yi 
i 1
Dra. Susana Pino MgS.
i


x  66 
BIOESTADÍSTICA
2
Ventajas:

Es un promedio que se presta a tratamientos algebraicos y es altamente sensible a cualquier
cambio de los valores en la distribución.

Es representativo en distribuciones normales y aproximadamente normales.
Desventajas:

No es aplicable en distribuciones que no tienen definidos sus valores extremos.

No es recomendable cuando la variable está dada en tasas o porcentajes.

No es útil cuando los datos crecen en progresión geométrica.
3.2.
MEDIANA ( Me )
Es una medida de posición menos importante que la media aritmética. Se define como aquel
valor de la variable que supera la mitad de las observaciones y a su vez es superado por la otra
mitad. Por tal razón se lo considera como el valor central, el promedio está situado en el
centro de la distribución, y su valor depende del número de observaciones, más no del valor
de las mismas.
50%
Me
50%
Xmax
Xmin
 Sus fórmulas son rígidas y no admiten tratamiento algebraico.
 Para calcular la mediana se requiere un ordenamiento de los datos.
 En las distribuciones irregulares que presentan valores extremos que por lo general afectan
al promedio deberá utilizarse la mediana.
 Es utilizada cuando la distribución presenta el primero o el último de los intervalos
abiertos.
3.2.1. DATOS NO AGRUPADOS
Cuando calculamos la mediana en datos no agrupados, ordenamos las observaciones. En el
cálculo se presentan dos casos:
a.- Cuando el número de datos es impar
1. Ordenamos los datos en forma ascendente o descendente.
2. Localizamos el dato mediano x Me 
n 1
2
3. Hallamos la Mediana
Dra. Susana Pino MgS.
BIOESTADÍSTICA
3
Ejemplo Hallar la mediana de Xi: 8, 35, 14,1 0, 18, 20, 30, 25, 98
1. Xi: 8, 10, 14, 18, 20, 25, 30, 35, 98
2. XM e =
9 1
 x Me  5
2
3. La mediana es el dato quinto por lo tanto Me = 20
b.- Cuando el número de datos es par
Ordenamos los datos en forma ascendente o descendente.
Localizamos el dato mediano x Me 
n 1
2
Hallamos la Mediana que en este caso estará entre los dos datos centrales y se obtiene con la
semisuma de dichos datos.
Ejemplo Hallar la mediana de Xi: 8, 35, 14, 10, 18, 20, 30, 25, 98, 60
1. Xi:
8, 10, 14, 18, 20, 25, 30, 35, 60, 98
XM e =
10  1
 X Me  5,5
2
Lo que significa que la mediana está entre el dato 5 y 6
Me =
20  25
2
Me = 22.5
3.2.2. CÁLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS EN LA TABLA DE FRECUENCIAS
1. Se acumulan las frecuencias absolutas Ni
2. Se divide a n por 2
3. Se busca en la columna de las frecuencias absolutas acumuladas el valor de
n
; se
2
simbolizará por Ni-1 al inmediato anterior y por Ni al inmediato posterior.
4. En el caso de que
5. Cuando Ni-1<
n
= Ni-1 para calcular la mediana se aplica el promedio de los datos
2
n
la mediana se obtendrá aplicando la fórmula Me= Xi
2
Ejemplo: Calcular la mediana de los datos que corresponden al registro de los sueros que se
han suministrado a 30 pacientes de la clínica “Vida saludable”
Dra. Susana Pino MgS.
BIOESTADÍSTICA
4
xi
ni
Ni
10
11
12
13
14
3
6
12
7
2
3
9 Ni-1
21 Ni
28
30

30
n 30

 15
2 2
n
Ni-1< ; 9< 15
2
Me = 2
Calcular la mediana de los datos que corresponden al registro de los sueros que se han
suministrado a 30 pacientes de la clínica “Vida saludable”
xi
ni
Ni
10
11
12
13
14
3
4
8
12
3
3
7
15 Ni-1
27 Ni
30

30
n 30

 15
2 2
En este caso Ni -1=
n
2
; 15 = 15 se procede a sumar los dos valores y dividir para dos
12  13
 12,5
2
3.2.3. CÁLCULO DE LA MEDIANA CON DATOS AGRUPADOS EN INTERVALOS
Me =
Para hallar la mediana se aplicará la siguiente fórmula:
n
 x i-1 = Límite inferior del intervalo mediano
  N i 1 
c n = Número de datos dividido para dos
M e  xi 1   2
 niMe  2


n


Ni-1 = Frecuencia acumulada anterior a
2
n
2
ni = frecuencia del intervalo que contiene a la mediana
c = amplitud del intervalo
Ni = Frecuencia acumulada posterior a
Dra. Susana Pino MgS.
BIOESTADÍSTICA
5
Ejemplo: Hallar la mediana para los datos de la tabla
xi-1- xi
46-54
54-62
62-70
70-78
78-86
86-94

X Me 
ni
3
6
10 ni
6
3
2
30
Ni
3
9 Ni-1
19 Ni
25
28
30
n 30

 15
2 2
n

  Ni  1 
C
M e  Xi  1   2
 niMe 




 15  9 
Me  62  
8
 10 
M e  62  4.8
M e  66.8
3.3. LA MODA
La Moda Mo, Md.se define como el valor de la variable que tiene la mayor frecuencia. Es
otra medida de posición menos importante su uso es bastante limitado. Se determina por
simple observación. Se considera
la moda como un “Promedio industrial” ya que la
fabricación o venta de un artículo puede estar determinado por la Moda, es el promedio más
adecuado para datos cualitativos.
En el cálculo de la moda se presentan varias alternativas:
1. En la distribución donde todos los valores de la variable o atributos tienen igual frecuencia
se considera que no hay moda.
Ejemplo Registro de las edades de 10 pacientes: 15-16-17-14-13-18-19-20-12-11. En este
caso no hay variables repetidas por lo tanto no hay moda.
2. En la distribución existe un determinado valor que tiene la mayor frecuencia, en este caso
la distribución se llama UNIMODAL
Ejemplo: Al tomar una prueba de resistencia a 10 personas se obtuvieron los siguientes
datos: 15-16-16-17-17-17-18-19-19-20 La Moda es 17, es unimodal porque fue el único
dato que obtuvo la mayor frecuencia.
Dra. Susana Pino MgS.
BIOESTADÍSTICA
6
3. Si en la distribución existen dos valores distintos que obtuvieron la mayor frecuencia, la
distribución se denomina BIMODAL
Ejemplo Se registran los datos del tiempo de espera para la toma de signos vitales y se
obtienen los resultados 2- 4- 4- 4- 7- 9- 10- 10- 10- 18 Es una distribución bimodal porque
tiene dos modas 4 y 10.
4. Si en la distribución existen tres o más valores distintos de la variable o atributo que tienen
la mayor frecuencia, en este caso la distribución se denomina MULTIMODAL.
Ejemplo se determinan los precios de los medicamentos que son 1,2 - 1,3 - 1,5 - 1,5 - 1,6 1,6 - 1,7 - 1,7 -1,8 1,9 - 2,0 - 2,1 - 2,2 la moda serían los precios 1,5 - 1,6 - 1,7 que son
los que más se repiten se tiene una distribución Multimodal.
Cuando los datos están en una tabla de frecuencias en series no agrupadas, se observa la
variable que tiene la mayor frecuencia.
Ejemplo: en el caso de las edades de los pacientes atendidos en un determinado periodo
xi
ni
50
58
66
74
82
90
3
6
10
6
3
2

Md = 66
tiene la frecuencia 10
30
3.3.1 MODA PARA DATOS DISTRIBUIDOS EN CLASES O INTERVALOS
Se requiere que la amplitud sea una constante, se observa la columna de las frecuencias y se
aplica la fórmula:


ni 1
c
M d  X i 1  
 ni 1  ni 1 
x i-1
46
54
62
70
78
86
- xi
- 54
- 62
- 70
- 78
- 86
- 94

ni
3
12 n i-1
30 n
8 n i+1
5
2
60
 8 
M d  62  
8
 8  12 
M d  62  3.2
M d  65.2
La moda en datos agrupados también se puede tomar como el punto medio del intervalo que
contiene la mayor frecuencia. En el ejemplo anterior la moda corresponde al punto medio 66
que se encuentra en el intervalo 62 – 70 que tiene la mayor frecuencia ( 30)
Dra. Susana Pino MgS.
BIOESTADÍSTICA
7
Para el cálculo de la Moda cuando la amplitud es constante, y se conoce la Media aritmética y
la Mediana se puede emplear el método de Pearson
Md = 3 M e - 2 X
La distribución de datos es Simétrica si
X = Me = Mo
Asimétrica Si
X < Me < Mo
X > Me > Mo
Eje Y
Simétrica
Eje X
x = Me = Mo
ASIMÉTRICA POSITIVA
ASIMÉTRICA NEGATIVA
x
< Me< Mo
Eje Y
Eje Y
x >Me> Mo
+
-
Eje X
Eje X
ACTIVIDAD AUTÓNOMA N° 6
1. Complete los siguientes enunciados
a. La mediana está definida como el valor que se halla:..............................................
...................................................................................................................................
b. Cuando las medidas de tendencia central (Media aritmética, mediana y moda) son
iguales, podemos decir que la distribución de datos es......................................................
c. Para determinar el valor de la mediana en una serie de datos es necesario
primero............................ los datos
d. La media aritmética está considerada como:..............................................................
………………………………………………………………………………………
2. Con los siguientes datos correspondientes a puntajes obtenidos en una prueba a través de
una muestra: 12 15 14 19 18 14 18 14 Hallar el valor de la Media aritmética, Mediana y
Moda.
Dra. Susana Pino MgS.
BIOESTADÍSTICA
8
3. Subraye lo correcto
a. De la muestra si valores de la variable son: 7, 5, 5, 5 , 4, 5, 4, 7, 8, 9, 10 la moda es
a) ninguna
b) 4
c) 4.5
d) 5
b. El punto más alto en la gráfica de los datos corresponde a la:
MEDIANA
MODA
MEDIA ARITMÉTICA
c. Para el cálculo de la mediana se debe ordenar los datos y considerar las frecuencias:
DISCRETAS
ACUMULADAS
CUALITATIVAS
ABSOLUTAS
d. Dada la muestra cuyos valores de la variable son 8 3 10 8 9 5 8 8 5 la media
aritmética es igual a:
a) 4,25
b) 5,25
c) 6, 25
d) ninguno
4. El número emergencias por accidentes de tránsito que se atendieron en el IESS en 10 días
del mes pasado fueron: 15, 23, 4, 19, 18, 10, 10, 8, 28, 19. Hallar el valor de la Media
aritmética, Mediana y Moda.
5. Encontrar el promedio aritmético, la mediana y la moda de los costos del tratamiento de
tiroides de 10 personas que acuden a la consulta de un Centro de Salud.
127,20
148,20
128,70
155,66
150,30
165,21
158,10
161,74
148,00
141,55
6. Los datos corresponden al costo diario en dólares de los medicamentos que se administran
a trabajadores de una empresa, determinar la media aritmética, mediana y moda.
xi-1 xi
ni
20 - 28
28 - 36
36 - 44
44 - 52
52 - 60
60 - 68
8
15
22
16
9
4
7. Con los datos que corresponde al número de días de faltas anuales por incapacidad médica
de los trabajadores de una empresa se pide encontrar la mediana, moda y la media
aritmética. Graficar y analizar si la distribución es simétrica o asimétrica
Dra. Susana Pino MgS.
xi
ni
25
26
27
28
29
30
31
32
4
14
15
28
17
10
8
7
BIOESTADÍSTICA
9
8. Calcular la media aritmética, mediana y moda relacionado con el tiempo de espera en
fracción de horas para ser atendido en la consulta médica
xi-1 - xi
0.15 - 0.19
0.20 - 0-24
0.25 - 0.29
0.30 - 0.34
0.35 - 0.39
0.40 - 0.44
ni
5
32
72
64
24
3
9. El siguiente conjunto de datos, se proporcionan los pesos (redondeados a libras) de niños
nacidos en el hospital básico XYZ en enero y febrero del 2019:
4, 8, 4, 6, 8, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 7, 6, 6, 8, 5, 9, 6, 3, 7, 6, 4, 7, 6, 9, 7, 4, 7, 6, 8, 8, 9, 7, 8, 7, 6
8, 5, 7, 7, 6, 5, 6, 8, 9, 7, 5, 6, 5. Calcular la media aritmética, mediana y moda
10. Obtener la media aritmética, mediana y moda en la distribución adjunta. Determinar
gráficamente cuál de los promedios es más significativo. Graficar y decir que tipo de
distribución es
xi-1 - xi
0 - 10
10 - 20
20 - 30
30 - 40
40 - 50
ni
30
70
90
20
10
11. Dada la siguiente distribución en el número de hijos de cien familias obtener la media
aritmética, mediana y moda. Determinar gráficamente cuál de los promedios es más
significativo. Determinar qué tipo de distribución es
xi
0
1
2
3
4
5
ni
14
10
25
19
18
16
12. Calcular la media aritmética, mediana y moda de la siguiente tabla estadística que
corresponde a las edades de las personas que acuden al Subcentro de salud.
Graficar y decir que tipo de distribución es
xi -1 - xi
ni
0 - 4
18
4 - 8
25
8 - 12
28
12 - 16
15
16 - 20
12
20 - 24
5
Dra. Susana Pino MgS.
BIOESTADÍSTICA
10