MANUAL LABORATORIO CONTROL DE CALIDAD

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TEMA 1. HERRAMIENTAS PARA EL CONTROL DE CALIDAD
Dentro del control de calidad existen siete herramientas básicas:
Diagramas de Flujo
Hojas de Registro
Diagramas de pareto
Histogramas
Diagramas de causa – efecto
Diagramas de Dispersión
Gráficos de control
La combinación de éstas proporciona una metodología práctica y sencilla para la solución efectiva
de problemas, el mejoramiento de procesos, el establecimiento de controles en las operaciones del
proceso.
A continuación se presenta una breve descripción de cada una de estas herramientas, su uso y la
metodología si aplica, para trabajarlas en software como MINITAB® y MATLAB®.
1.1
DIAGRAMAS DE FLUJO
Son la representación gráfica de los pasos de un proceso, y se realizan para entender
mejor al mismo.
Representan la forma más tradicional para especificar los detalles de un proceso.
Se utilizan principalmente en programación, economía y procesos industriales.
Ayuda a identificar puntos críticos del proceso.
Identificar áreas de mejoras.
Identificar potenciales fuentes de problemas.
Pueden ser usados para adiestramientos.
Estos diagramas utilizan una serie de simbolos con significados especiales.
David R. González Barreto
Victoria E. Bastidas Guzmán
HERRAMIENTAS PARA EL
CONTROL DE CALIDAD
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Simbolos utilizados en los Diagramas de Flujo
FLECHA. Indica el sentido y trayectoria del proceso.
RECTANGULO. Se usa para representar un evento o
proceso determinado.
RECTANGULO REDONDEADO. Se usa para
representar un evento que ocurre de forma automática
y del cuál generalmente se sigue una secuencia determinada.
ROMBO. Se utiliza para representar una condición.
CIRCULO. Representa un punto de conexión entre procesos.
1.2
HOJAS DE REGISTRO
Mecanismo sencillo para recolectar datos.
Se utilizan para :
Organizar la información por categorías.
Señalar el número de veces que un valor particular ocurre.
Puede recolectar información particular de una estación.
Ayuda al operador a identificar problemas.
Usualmente son utilizados para la construcción de Cuadros de Pareto
Las hojas de registro se diseñan de acuerdo a las características propias del proceso evaluado, no
tienen un esquema fijo, ya que deben contener la información requerida de acuerdo a cada caso
especifico.
Un ejemplo de una hoja de registro típica se presenta a continuación:
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1.3
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DIAGRAMAS DE PARETO
Constituye un método de análisis sencillo y gráfico, que permite discriminar entre las
causas más importantes de un problema (pocos y vitales) y las que lo son menos
(muchos y triviales).
La regla del 80-20: “El 80% de los problemas son causados por un 20% de potenciales
fuentes”.
VENTAJAS
Ayuda a concentrarse en las causas que tendrán mayor impacto en caso de ser
resueltas.
Proporciona una visión simple y rápida de la importancia relativa de los problemas.
Ayuda a evitar que se empeoren algunas causas al tratar de solucionar otras o ser
resueltas.
Su formato altamente visible proporciona un incentivo para seguir luchando por más
mejoras.
Ejemplo
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Para enseñar el uso de esta herramienta utilizando MINITAB®, se usará el caso de una compañía
de Internet que ofrece cierta gama de productos por medio de su Web site, está interesado en las
causas del descontento del cliente. Las quejas que la compañía ha recibido y clasificado son:
tiempo de entrega de una orden, entrega de un producto dañado, entrega de una orden
incorrecta, errores en el procedimiento de facturación, o cualquier otro tipo de queja. Los datos
recolectados se presentan a continuación:
CAUSA
Tiempo de entrega
Producto dañado
Orden incorrecta
Error en Facturación
Otro
Total
FRECUENCIA
481
134
83
44
21
763
Los pasos a seguir se presentan de forma gráfica:
a.
Ingreso de datos. Utilizando el Worksheet que ofrece MINITAB®, distribuimos la
información que deseamos analizar en dos columnas. Una corresponderá a la causa o
característica evaluada y la segunda columna deberá contener el número de veces o frecuencia
con que se presenta cada característica.
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b. Analisis de datos. A continuacion seleccionamos la opción que deseamos utilizar, por medio
del menú de opciones que se presenta en la parte superior de la pantalla, en este caso los pasos a
seguir son:
STAT > QUALITY TOOLS > PARETO CHART
Al seleccionar esta opción, aparecerá la ventana Pareto Chart y se presenta a continuación:
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Una vez aparezca esta imagen se debe seleccionar la opcion Chart Defects Table asignando en
Labels In: la columna de causas definida en el Worksheet y en Frequencies In: la columna de
frecuencia igualmente definida en el Worksheet. Por ultimo se selecciona la opcion OK y el
analisis de los datos aparecerá en la pantalla.
Pareto Chart of CAUSA
800
100
700
Count
500
60
400
40
300
200
20
100
CAUSA
0
em
Ti
Count
Percent
Cum %
Percent
80
600
po
de
a
eg
tr
n
E
to
uc
od
r
P
481
63.0
63.0
do
ña
Da
n
de
Or
134
17.6
80.6
co
In
ta
ec
rr
rF
ro
Er
83
10.9
91.5
ac
r
tu
n
ió
ac
44
5.8
97.2
r
he
Ot
0
21
2.8
100.0
Como se puede ver en la gráfica aparecen tanto la frecuencia de cada causa y su correspondiente
porcentaje de acuerdo con el número total de observaciones, esto en orden creciente, característica
específica de los gráficos de Pareto. Adicionalmente aparece el porcentaje acumulado,
información de gran importancia en la definición de las causas que mas influencia tienen de
acuerdo con la regla del 80-20.
La interpretación de esta gráfica indica que las causas que tienen mayor peso en la
disconformidad de los clientes son: Tiempo de entrega y Producto Dañado, ya que acumulan el
80.6% de participación. Las causas con menor relevancia son Orden incorrecta y Error en
Facturación. Por lo tanto los correctivos de la compañía se deben centrar en optimizar los tiempos
de entrega de las órdenes y en garantizar un producto de óptima calidad.
1.4
HISTOGRAMAS
Es un resumen gráfico de la variación de un conjunto de datos. La naturaleza gráfica del
histograma nos permite ver pautas que son difíciles de observar en una simple tabla numérica.
Esta herramienta se utiliza especialmente en la Comprobación de teorías y Pruebas de validez.
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Utilidades
Para hacer seguimiento del desempeño actual del proceso
Para seleccionar el siguiente producto o servicio a mejorar
Probar y evaluar las revisiones del proceso a mejorar
Cuando se necesita obtener una revisión rápida de la variabilidad dentro de un proceso
Los tipos de distribuciones que se pueden obtener por medio de un Histograma son:
CONSTRUCCIÓN DE UN HISTOGRAMA
Algunas de las consideraciones generales que se tienen en cuenta para construir un histograma
son:
Determinar el rango de los datos: RANGO es igual al dato mayor menos el dato
menor; R = > - <
Obtener en número de clases, existen varios criterios para determinar el número de
clases (o barras). Un criterio usado frecuentemente es que el número de clases debe ser
aproximadamente la raíz cuadrada del número de datos, por ejemplo, la raíz cuadrada
de 30 (número de artículos) es mayor que cinco, por lo que se seleccionan seis clases.
Establecer la longitud de clase: es igual al rango entre el número de clases.
Construir los intervalos de clases: Los intervalos resultan de dividir el rango de los
datos en relación al resultado del PASO 2 en intervalos iguales.
Graficar el histograma: se hace un gráfico de barras, las bases de las barras son los
intervalos de clases y altura son la frecuencia de las clases. Si se unen los puntos
medios de la base superior de los rectángulos se obtiene el polígono de frecuencias.
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Ahora bien, este proceso se facilita, si se usa algún software que permita la construcción del
histograma de manera más precisa. En este caso se explicarán cuales son los pasos a seguir para
construirlo utilizando MINITAB® y MATLAB®.
Ejemplo
El caso que se utilizará para explicar la construcción del histograma es el de una compañía
fabricante de Shampoo que necesita asegurarse de que los casquillos en sus botellas se estén
sujetando correctamente. Si están sujetados demasiado libres, pueden caer durante el envío. Si
están sujetados demasiado firmes, pueden ser duras para que los clientes las abran. Se recoge una
muestra al azar de botellas entre todas las máquinas que intervienen en el proceso, para probar el
esfuerzo de torsión requerido para quitar los casquillos. Cree un histograma para evaluar los
datos y para determinar que tan cercanas estan las muestras al valor requerido de 18.
Usando MINITAB®, los pasos a seguir son:
a. Ingreso de datos. Utilizando el Worksheet que ofrece MINITAB®, se distribuye la
información que se desea analizar en una columna. Deben listarse las datos por máquina de
acuerdo a como se obtuvieron en la muestra.
b. Analisis de datos. A continuación se selecciona la opción que se desea utilizar, por medio del
menú de opciones que se presenta en la parte superior de la pantalla, en este caso los pasos a
seguir son:
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GRAPH > HISTOGRAMS
Simultáneamente a esto aparecerán una serie de ventanas, las opciones que se deben seleccionar
son:
1. En la ventana Histograms, seleccionar la opcion Simple. Para obtener un histograma sencillo
sin ajuste de distribucion (Whit Fit), el cual es el que se necesita para este caso. Y se selecciona el
botón OK.
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2. En la ventana Histograms – Simple, en la opción Graph variables se incluye la columna
Torque de la hoja de datos.
3. Existen 5 opciones dentro de la ventana Histograms – Simple, estas opciones se consideran en
el caso de que se quiera modificar la apariencia de la grafica, por ejemplo si se desea que cada
valor de torque con su frecuencia sea considerado en una grafica individual, etc.
4. Si no se desea modificar la apariencia general de la grafica se selecciona OK y se obtiene el
histograma como se presenta a continuación.
Histogram of Torque
14
12
Frequency
10
8
6
4
2
0
David R. González Barreto
12
16
20
24
Torque
28
32
36
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La interpretación de esta gráfica indica que la mayor parte de los casquillos fueron sujetados con
un esfuerzo de torsión de 13 a 25. Solamente un casquillo estaba muy libre, con un esfuerzo de
torsión de menos de 11. Sin embargo, la distribución se comporta de manera positiva; varios
casquillos estaban mucho mas apretados de lo debido, es decir requirieron un esfuerzo de torsión
mayor de 24 y 5 casquillos requirieron un esfuerzo de torsión superior a 32, que es casi el doble
del valor establecido como requerido.
Usando MATLAB®, los pasos a seguir para la construcción del Histograma son:
1. Ingreso de datos. Utilizando el Workspace se crea una variable para ingresar los de los datos
recolectados en la muestra y conformar asi el vector con el cual se construirá el histograma.
2. Una vez creada la variable, se debe dar doble clic sobre esta, con el objetivo de inicializar el
Array Editor, en el cual se ingresaran los datos de la muestra. A continuación se presenta una
imagen de la ventana, despues de ingresados los datos.
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VARIABLE
Una vez se tengan los datos en el Array Editor se debe guardar como un archivo. Esto se hace por
medio de la opcion Save que se presenta en el Workspace.
OPCION A
SELECCIONAR
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3. Una vez conformado el vector de datos, se procede a generar la gráfica. Esto se debe hacer en
Command Window. La instrucción básica para construir el histograma , una vez se haya creado
el vector con los datos de la muestra, es la siguiente:
>>hist(y)
Donde (y) es el nombre asignado a la variable o vector de datos.
Si se desea asignar un titulo a la grafica y a cada uno de los ejes, las instrucciones son:
La grafica que se genera a partir de este comando, es igual a la que se obtiene con MINITAB®,
según como se muestra en la siguiente imagen:
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Otra opción para generar el Histograma en MATLAB®, consiste en crear directamente el vector
de datos en Command Windows, se escriben los datos separados por punto y coma (;) para
indicar que forman un vector de n filas y 1 columna, de la siguiente manera:
y
[24;14;18;27;17;32;31;27;21;27;24;21;;24;26;31;28;32;24;16;22;37;36;21;16;17;22;34;20;19;
16;16;18;30;21;16;14;15;14;14;25;15;16;15;19;15;15;19;19;30;24;10;15;17;17;21;34;22;17;15;17;
20;17;20;15;17;24;20]
El comando para construir el histograma, es exactamente el mismo que se planteó anteriormente.
>> hist (y)
1.5
DIAGRAMA CAUSA – EFECTO
El Diagrama de causa y Efecto (o Espina de Pescado) es una técnica gráfica ampliamente
utilizada, que permite apreciar con claridad las relaciones entre un tema o problema y las posibles
causas que pueden estar contribuyendo para que él ocurra
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¿CÓMO CONSTRUIRLO?
Establecer claramente el problema (efecto) que va a ser analizado.
Diseñar una flecha horizontal apuntando a la derecha y escribir el problema al interior de
un rectángulo localizado en la punta de la flecha.
Hacer una "Lluvia de ideas" para identificar el mayor número posible de causas que
puedan estar contribuyendo para generar el problema, preguntando "¿Por qué está
sucediendo?".
Agrupar las causas en categorías, una forma muy utilizada de agrupamiento es la 4M:
máquina, mano de obra, método y materiales.
Para comprender mejor el problema, buscar las sub-causas o hacer otros diagramas de
causa y efecto para cada una de las causas encontradas.
Escribir cada categoría dentro de los rectángulos paralelos a la flecha principal. Los
rectángulos quedarán entonces, unidos por líneas inclinadas que convergen hacia la flecha
principal.
Se pueden añadir la causas y sub-causas de cada categoría a lo largo de su línea inclinada,
si es necesario.
Esta herramienta también se puede construir utilizando MINITAB®. Para explicar los pasos que
se siguen en el proceso de construcción de este diagrama, se utiliza el siguiente caso.
La Gerencia de una compañía que elabora un determinado producto de decoración, después de
registrar muchas quejas por parte de los clientes, debido a la calidad del producto, decidió
analizar la situación para determinar los factores que influyen en que el producto final tenga una
superficie defectuosa.
A continuacion se especifican los pasos que se deben seguir para la construcción de este diagrama
en el software MINITAB®:
1. En el Worksheet, se ingresan los datos que se desean considerar en la evaluación. Los datos
deben conformar una columna por cada categoría analizada. Según se muestra a continuación.
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2. Después de esto y por medio del menú de opciones que se presenta en la parte superior de la
pantalla, se elige:
STAT > QUALITY TOOLS > CAUSE AND EFFECT
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En este momento aparece una ventana que presenta las siguientes opciones:
Una vez en esta ventana, dentro de la opción Causes se selecciona por cada Branch una columna
de las definidas en el Worksheet; se debe considerar la opción Label, ya que esta asigna el titulo a
cada una de las ramas o branchs del diagrama, por lo cual se debe definir el nuevo nombre si es
que el predeterminado no coincide con el asignado a la correspondiente columna. Esto se aclara
en la siguiente vista de la pantalla.
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En la opción Effect se escribe el problema que esta siendo evaluado. En la opción Title se escribe
el nombre con el cual se desea identificar la gráfica. Por ultimo se selecciona OK para obtener el
diagrama Causa-Efecto.
Diagrama Causa Efecto
Training
Measurements
Material
M icrometros
Tutores
A leaciones
M icroscopios
P ruebas
Personnel
Turnos
Lubricantes
Inspecciones
S uperv ision
P rov eedores
E ntrenamiento
O peradores
Superficie
defectuosa
V elocidad
C ondensacion
Brake
S oporte
% H umedad
A ngulos
Env ironment
Tornos
Methods
Inutilizacion
Roturas
Machines
Esta es la imagen que ofrece MINITAB® para el diagrama Causa-Efecto, con este se obtiene una
representación visual del problema y las posibles causas. De esta manera se facilita el análisis y
planteamiento de soluciones.
1.6
DIAGRAMAS DE DISPERSION
Es una técnica estadística utilizada para estudiar la relación entre dos variables. La relación entre
dos variables se representa mediante una gráfica de dos dimensiones en la que cada relación esta
dada por un par de puntos.
También son llamados Gráficos de Correlación porque permiten estudiar la relación entre
2 variables X y Y, se dice que existe una correlación entre ambas si cada vez que aumenta
el valor de X aumenta proporcionalmente el valor de Y (Correlación positiva) o si cada vez
que aumenta el valor de X disminuye en igual proporción el valor de Y (Correlación
negativa).
La variable del eje horizontal (X) normalmente es la variable causa, y la variable del eje
vertical (Y) es la variable efecto.
Se utiliza para confirmar o negar la sospecha.
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Una Diagrama de dispersión tiene la siguiente imagen:
Ejemplo
Una compañía esta interesada en determinar si las baterías de la cámara fotográfica que elaboran,
se encuentran de acuerdo con las necesidades de sus cliente. Un estudio de mercado, demuestra
que los clientes se molestan si tienen que esperar mas de 5.25 segundos entre flashes. Se recoge
una muestra de las baterías que han estado utilizando en las cámaras que variaban de tiempo, con
el objetivo de medir el voltaje restante inmediatamente después de un flash (VoltsAfter) y medir
tambien la longitud de tiempo requerida para poder destellar otra vez (FlashRecov). Es necesario
crear un diagrama para examinar los resultados. Se debe incluir una línea de referencia para el
tiempo de destello crítico en la recuperación de 5.25 segundos.
Utilizando MINITAB® se puede construir este tipo de diagramas, las instrucciones que se deben
seguir son:
1. Se ingresan los datos, conservando la relación entre variables; esto quiere decir que se deben
escribir los valores registrados uno en frente del otro, conformando de esta manera una columna
por cada variable.
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2. Utilizando la barra de opciones de la pantalla de MINITAB®, se eligen las siguientes opciones:
GRAPH > SCATTERPLOT
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A continuación aparece una ventana, la cual presenta las siguientes opciones:
Para este caso se elige la opción Simple, para construir un grafico sencillo. Si se desea realizar un
análisis un poco mas riguroso se puede utilizar alguna de las otras opciones que se incluyen en
esta ventana. Por ultimo se elige la opción OK.
El paso siguiente consiste en seleccionar cual variable se ubicará en el eje X y cual en el eje Y. Esto
se hace en la pantalla Scatterplot- Simple, de acuerdo como se aprecia a continuación:
Si se desea adicionar algo más a la gráfica, líneas de referencia, la escala de los ejes, los niveles
entre otros, se puede utilizar alguna de las opciones que presenta la anterior ventana: Scale,
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Labels, Data View, Multiple Graphs, Data options. Para finalizar con la gráfica del caso, se elige
la opción OK.
La imagen que se obtiene de la gráfica se muestra a continuación:
Scatterplot of FlashRecov vs VoltsAfter
7.5
7.0
FlashRecov
6.5
6.0
5.5
5.0
4.5
4.0
3.5
0.9
1.7
1.0
1.1
1.2
VoltsAfter
1.3
1.4
1.5
GRAFICOS DE CONTROL
Es la principal herramienta utilizada para llevar a cabo el control estadístico de calidad. Es una
técnica grafica en la cual las estadísticas calculadas de los valores obtenidos son marcadas con
relación al tiempo para determinar si el proceso permanece en control. La gráfica esta conformada
por tres líneas o límites horizontales:
Central
Límite de Control Superior (LCS)
Límite de Control Inferior (LCI)
Permite distinguir entre las causas de variación. Las cuales se agrupan en:
Causas aleatorias de variación. Son causas desconocidas y con poca significación, debidas
al azar y presentes en todo proceso.
Causas específicas (imputables o asignables). Normalmente no deben estar presentes en el
proceso. Provocan variaciones significativas.
Existen diferentes tipos de gráficos de control:
De datos por variables
Gráfica de promedios (x barra)
Gráfica de rangos (R)
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De datos por atributos
Gráfica de proporciones (p)
Gráfica de ocurrencias (c)
De igual manera que en los casos anteriores MINITAB® ofrece la opción de construir los
diferentes tipos de gráficos de control. Para esquematizar como se utiliza el software en este caso,
se utilizará la siguiente situación:
Suponga que trabaja en una planta de montaje de coches en el departamento que ensambla los
motores. En un motor, las piezas del cigüeñal se mueven de arriba hacia abajo a cierta distancia
de la posición ideal de la línea de fondo. ABDist es la distancia (en milímetros) (a) de la posición
real de un punto respecto al cigüeñal hasta la posición de la línea de fondo (b). Para asegurar la
calidad de la producción, se tomaron cinco medidas por cada día laborable, de septiembre 28 a
octubre 15, y luego diez por día de septiembre 18 a octubre 25. Se debe dibujar un gráfico de
control (X) para seguir el nivel del proceso en ese período, y probar la presencia de causas
especiales.
La construcción del gráfico inicia con el ingreso de los datos en el Worksheet, en forma de
columna. Posteriormente se debe seleccionar la opción:
STAT > CONTROL CHART > Xbar
Según se muestra a continuación
En la ventana que aparece después de realizar el paso anterior, se debe:
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1. Elegir la opción All observations for a chart are in one column, ya que los datos estan
organizados en una sola columna. En la casilla siguiente, se selecciona la columna donde estan los
datos ABDist. En Subgroup sizes, se elige la columna del Día, ya que los datos estan agrupados
por muestras tomadas cada día, durante el período evaluado. Luego de esto se debe elegir la
opción OK.
MINITAB® calcula automáticamente la media de los datos y por lo tanto los límites de control, si
se deseara establecer límites diferentes se puede hacer por medio de la opción Xbar Options. Por
último para finalizar se elige la opcion OK.
El procedimiento mencionado se presenta a continuación:
La grafica que se obtiene se observa de la siguiente manera
Xbar Chart of ABDist
5.0
UCL=3.55
Sample Mean
2.5
_
_
X=0.44
0.0
-2.5
LCL=-2.67
-5.0
1
3
5
7
9
11
Sample
13
15
17
19
Tests performed with unequal sample sizes
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La construcción de este gráfico de control tambien se puede hacer en MATLAB®, los pasos a
seguir son:
1. Se debe crear una variable, en Workspace para ingresar los datos de la muestra en el Array
Editor.
2. Luego de crear la variable, se procede a crear la rutina con la cual se procederá a construir la
gráfica. Vale la pena resaltar que este programa calcula todos los datos necesarios para generar la
gráfica. Pero para obtener la imagen final se deben adicionar algunos comandos que permiten
visualizar completamente los límites y los datos completos. El comando que se utiliza para
generar la grafica se presenta a continuación:
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Esta gráfica no es igual, a la obtenida en MINITAB®, debido a que los datos fueron agrupados.
Para lograr esto en MATLAB®, se debe generar una subrutina, para obtener los promedios de los
valores por cada día evaluado. Pero en términos generales, la construcción de la gráfica cuando el
listado es de datos individuales se hace igual en los dos programas.
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TEMA No. 2 GRAFICOS DE CONTROL POR VARIABLES
1. PROCESO EN CONTROL
Existen dos etapas dentro del control estadístico de los procesos:
- PRECONTROL (Fase I): En el se hace un análisis sobre lo que se quiere, en cuanto al
comportamiento del proceso, se definen las características de evaluación: Limites de control,
Tamaño y frecuencia de muestreo y se definen las causas posibles y atribuibles que podrían hacer
que el proceso salga de control es decir sobrepase los límites.
- CONTROL (Fase II): ya con un tamaño de muestra y frecuencia de muestreo definidos, se
procede a evaluar el proceso y a verificar su comportamiento: tendencias, variaciones aleatorias
sobre el límite central, puntos fuera de los limites, entre otras. Cuando ocurre alguna anormalidad
dentro del proceso, y como ya se definieron en el PRECONTROL las causas posibles y atribuibles,
se analiza lo ocurrido antes y durante el muestreo para definir el porque de la ocurrencia y así
eliminarlo del proceso para llevarlo de nuevo a control. Ejemplo: Fatiga, Calibración de máquinas,
etc.
2. GRAFICOS DE CONTROL
Se trata de diagramas en los que se representa el comportamiento de un proceso en el tiempo a
través de los valores de un estadístico asociado con una característica de calidad del producto.
Desde el punto de vista estadístico, estos gráficos permiten realizar continuamente pruebas de
hipótesis sobre una de las características del proceso. El objetivo de los gráficos de control es
facilitar la vigilancia del proceso para así detectar rápidamente la presencia de causas asignables y
minimizar la producción defectuosa.
Los gráficos de control están pensados para ser usados directamente por los propios operadores,
de modo que las acciones se tomen rápidamente. Un gráfico de control se construye a partir de
muestras tomadas regularmente en el tiempo, para cada una de las cuales se calcula un estadístico
asociado con un parámetro de la distribución de la característica de calidad. Estos valores se
grafican junto con una línea central y un par de líneas de control (superior e inferior).
Para poder considerar al proceso bajo control, los puntos del gráfico deben estar dentro de los
límites de control y presentar comportamiento aleatorio.
David R. González Barreto
Victoria E. Bastidas Guzmán
GRAFICOS DE CONTROLPOR
VARIABLES
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RECINTO UNIVERSITARIO DE MAYAGUEZ
DEPARTAMENTO DE INGENIERIA INDUSTRIAL
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La selección de la frecuencia de muestreo y del tamaño de los subgrupos debe estar basada en los
conocimientos que se tengan sobre el proceso. Usualmente se recomienda tomar al menos 20
muestras para construir los límites de control.
- Diagramas para control de variables: se utiliza cuando la característica de calidad puede
expresarse como una medida numérica (diámetro de un cojinete, longitud de un eje, etc.)
- Diagramas para control de atributos: se utiliza cuando la característica de calidad corresponde a
una variable binaria (presencia o no de defectos, etc.)
2.1 GRÁFICOS DE CONTROL PARA VARIABLES
Se supone que la distribución de la característica de calidad es normal ( , ), al menos
aproximadamente. De aquí que se requieran dos gráficos, uno para cada parámetro de la
distribución.
Los pares más comunes son los de medias y desviaciones estándar, los de medias y rangos, y los
gráficos para observaciones individuales y rangos móviles.
- Gráficos de medias y rangos (X-barra, R)
Se construye un gráfico para la evolución de las medias de los grupos (asociado con la ubicación
de la característica ) y otro para la evolución de los rangos (asociado con la dispersión de la
característica ). Se utilizan los rangos para medir la variabilidad ya que son fáciles de calcular y
tienen una eficiencia similar a la desviación estándar para subgrupos pequeños.
Pasos para la construcción de gráficos
1. Se toman k muestras de tamaño n (usualmente constante y menor a 7).
2. Se calcula la media y el rango de cada muestra:
Xi
n
1
n
xij
Ri
max xij
j
j 1
min xij
j
3. Se estiman los promedios poblacionales
X
1
k
k
Xi
i 1
David R. González Barreto
R
1
k
k
Ri
i 1
Victoria E. Bastidas Guzmán
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4. Para construir los límites de control, recordemos que bajo la suposición de normalidad y
control estadístico se tiene
E( X i )
SD( X i )
E ( Ri ) d 2
E X
n
SD( Ri ) d3
ER
d2
Donde d2 y d3 son constantes que dependen solo de n y pueden encontrarse definidos en tablas.
Si se conocen
y , estos se pueden usar para calcular los límites de control:
Medias
LSC
Rangos
LSC D2 R
Si no se conocen
y
A
LC
LC
LIC
d2
A
LIC
D1R
(lo más común) deben estimarse a partir de los datos:
Medias
LSC
Rangos
LSC D4 R
X
A2 R
LC
X
LC
R
LIC
LIC
X
A2 R
D3R
Lo más común es trabajar con n fijo para todos los subgrupos, sin embargo en algunos casos esto
no es posible.
Cuando se trabaja con una característica de calidad que es una variable, esto es usualmente
necesario para monitorear el valor de la media y la variabilidad de dicha características de
calidad. El control del promedio del proceso o de la media de la calidad es usualmente hecho
mediante un grafico de control para medias o grafico X barra. La variabilidad del proceso puede
ser monitoreada con otros gráficos de control para la desviación estándar, llamados gráficos S, o
un grafico de control para el rango, llamado grafico R. El grafico R es más utilizado. Los gráficos
X barra y R son los mas importantes y usados en la línea para el monitoreo estadístico del proceso
y las técnicas de control.
Para comprender la funcionalidad de esta herramienta, se ejemplarizará con el siguiente caso:
“Una compañía fabricante de Shampoo, identifico que los casquillos en sus botellas no están
siendo sujetados correctamente. De acuerdo con un análisis preliminar a una muestra tomada del
proceso, se concluyó que muchos casquillos requieren un esfuerzo de torsión mayor a la media
establecida. Y un porcentaje aun superior, requieren un esfuerzo de torsión menor a la media, ya
que están siendo sujetados demasiado libres. Se desea establecer control estadístico para el
esfuerzo de torsión que requieren los casquillos, utilizando gráficos X-barra y R. Veinticinco
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muestras, cada una de tamaño cinco, han sido tomadas cuando se piensa que el proceso está en
control”. El esfuerzo de torsión requerido en cada casquillo de la muestra se presenta en la tabla
siguiente:
Muestra
Número
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
Observación
18.2213
17.9377
17.6901
16.6038
19.2153
17.0542
19.5988
16.3989
18.2864
17.4998
17.5133
17.6925
16.5648
17.9862
18.5689
17.3121
17.4524
18.5263
17.9316
18.3878
18.0598
17.7930
16.9008
17.5969
17.2858
17.7579
17.8426
18.7148
16.6193
18.0971
18.0948
17.6993
17.9210
17.8592
19.6341
17.8886
17.5625
17.6300
17.8139
17.7038
17.7337
17.9607
18.4644
19.6219
18.6713
19.0993
17.6687
18.1932
18.0424
18.3528
18.0549
17.6162
18.1332
17.6805
16.7675
18.0604
18.4720
17.8425
18.2763
17.5669
18.5200
17.3734
17.5649
18.7105
17.7143
18.4542
18.2440
17.9723
17.5263
18.0672
18.6741
17.9175
18.3701
17.6664
19.1118
17.1754
17.8409
17.2170
18.0079
18.0569
17.5833
17.5352
18.7546
18.6074
18.2736
17.7513
18.8030
18.6268
18.2432
18.3169
18.3961
17.9318
18.3178
17.7146
17.8443
18.0713
18.5016
17.5526
16.7751
18.6584
18.5268
17.3288
18.0158
18.1244
17.4368
18.1350
16.3306
18.7461
16.9673
17.4701
18.6290
18.5224
17.9224
18.0574
18.3229
18.1775
17.7909
17.4447
19.1648
17.7236
18.5956
18.1012
18.4640
17.6783
16.7470
Lo primero es calcular el rango de las muestras, este procedimiento se puede realizar utilizando
EXCEL y sus funciones Máximo y Mínimo. Como se sabe el rango de un conjunto de datos es la
diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo. La manera de utilizar estas funciones se
presenta a continuación:
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Los datos obtenidos se presentan a continuación:
Muestra
Número
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
Rango
1.35
0.61
1.50
1.52
2.45
1.08
3.27
2.36
1.64
2.16
1.12
1.43
2.06
0.90
0.87
1.14
0.79
1.08
2.10
David R. González Barreto
El cálculo del Rango promedio se hace con la
siguiente fórmula:
m
25
37.43
Ri
R
i 1
m
i 1
25
1.4972
De acuerdo con las formulas para calcular los
limites de un grafico R, es necesario determinar el
valor de las constantes D3 y D4, para muestras de
tamaño 5. (La tabla con los valores para estas
constantes se pueden encontrar en el apéndice del
libro de texto). De esta manera los límites de
control para el gráfico R son:
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20
21
22
23
24
25
Suma
0.95
1.04
0.83
1.56
1.27
2.36
37.43
32
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LCS
RxD4 1.4972x2.115 3.167
LCI
RxD3 1.4972x0 0
Con estos resultados se puede construir el gráfico de control R, el cual se hace utilizando
MINITAB®. El procedimiento se indica a continuación:
1. Utilizando el Worksheet de MINITAB®, ingresamos los datos en 5 columnas y 25 filas, para
discriminar asi las 25 muestras de tamaño 5. Luego de esto y por medio de la barra de
herramientas ubicada en la parte superior de la ventana, se eligen las opciones:
STAT > CONTROL CHARTS > VARIABLES CHARTS FOR SUBGROUPS > R...
2. Una vez seleccionada esta opción aparecerá una ventana que presenta las siguientes
características:
David R. González Barreto
Victoria E. Bastidas Guzmán
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Una vez en ella, se elige Observations for a subgroup are in one row of columns, luego se deben
escoger las columnas en las cuales se encuentren los datos, para este caso son las columnas C1,
C2, C3, C4 y C5. Por ultimo, se selecciona la opcion OK.
Grafico de Control R
Monitoreo Esfuerzo de Torsion Requerido en los Casquillos
3.5
1
UCL=3.166
3.0
Sample Range
2.5
2.0
_
R=1.497
1.5
1.0
0.5
0.0
LCL=0
1
3
5
7
9
11
13 15
Sample
17
19
21
23
25
Esta es la gráfica que se obtiene con MINITAB®, como se puede observar los valores para los
límites y la línea central son los mismos que se obtuvieron con las formulas aplicadas.
David R. González Barreto
Victoria E. Bastidas Guzmán
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Según los rangos, el proceso presenta un punto fuera de control, los demás datos presentan un
comportamiento bastante satisfactorio.
Ahora bien, el siguiente paso es construir el gráfico X-barra. El procedimiento a seguir es similar
al utilizado para la construcción del gráfico R.
Utilizando EXCEL, se procede a calcular el promedio de las diferentes muestras y
posteriormente se calcula la media y los limites de control utilizando las formulas
correspondientes.
Los datos se organizan de igual manera que en el caso anterior, 5 columnas y 25 filas, para luego
aplicar la función de EXCEL, que corresponde al promedio de los datos, la cual se presenta a
continuación.
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Los datos obtenidos son los siguientes:
Muestra
Número
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
Suma
Promedio
17.95
17.71
17.95
17.41
17.91
17.79
17.93
17.93
18.00
18.09
18.06
17.99
17.66
18.16
18.13
18.01
17.88
18.15
18.39
18.14
18.50
18.00
17.90
17.55
18.03
449.21
El cálculo del promedio se hace con la
siguiente fórmula:
m
25
xi
x
i 1
449.21
i 1
m
25
17.97
De acuerdo con las formulas para calcular los
limites de un grafico X- barra, es necesario
determinar el valor de la constante A2, para
muestras de tamaño 5. (La tabla con los
valores para estas constantes se pueden
encontrar en el apéndice del libro de texto).
De esta manera los límites de control para el
gráfico X-barra son:
LCS
x
A2 x R 17.97 (0.577)(1.497) 18.83
LCI
x
A2 x R 17.97 (0.577)(1.497) 17.10
Con estos resultados se puede construir el
gráfico de control X-barra, el cual se hace
utilizando MINITAB®. El procedimiento se
indica a continuación:
1. Utilizando el Worksheet de MINITAB®, ingresamos los datos en 5 columnas y 25 filas, para
discriminar así las 25 muestras de tamaño 5. Luego de esto y por medio de la barra de
herramientas ubicada en la parte superior de la ventana, se eligen las opciones:
STAT > CONTROL CHARTS > VARIABLES CHARTS FOR SUBGROUPS > X bar
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2. Una vez seleccionada esta opción aparecerá una ventana que presenta las siguientes
características:
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Una vez en ella, se elige Observations for a subgroup are in one row of columns, luego se deben
escoger las columnas en las cuales se encuentren los datos, para este caso son las columnas C1,
C2, C3, C4 y C5. Por último, se selecciona la opción OK.
Grafico de Control X-Barra
19.0
UCL=18.852
Sample Mean
18.5
_
_
X=17.968
18.0
17.5
LCL=17.084
17.0
1
3
5
7
9
11
13 15
Sample
17
19
21
23
25
Esta es la gráfica que se obtiene con MINITAB®, como se puede observar los valores para los
límites y la línea central son los mismos que se obtuvieron con las formulas aplicadas.
Aunque este gráfico no presenta puntos fuera de control, el proceso debe ser analizado con más
detalle para responder al punto fuera que se obtuvo en el gráfico R.
CURVAS CARACTERÍSTICAS DE OPERACIÓN
Las curvas OC muestran la probabilidad de aceptación del lote como función de la fracción
defectuosa contenida en este.
Para construir una curva O.C. suponga que tiene un proceso en el cual se está realizando un
monitoreo, después de realizar un análisis preliminar con una muestra de tamaño 4, se desea
evaluar por medio de una curva O.C., que pasaría si el promedio del proceso tiene
desplazamientos con respecto a la desviación estándar. La media del proceso (µ) es de 200, la
desviación estándar de 5, los límites de control establecidos tienen valores de 207,5 y 192,5 para el
superior y el inferior respectivamente. El procedimiento para construir la curva utilizando
EXCEL, es el siguiente:
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1. En una hoja de trabajo de EXCEL, se definen dos columnas: una que corresponderá a la
media y sus correspondientes desplazamientos y otra que corresponderá a Beta (Error
tipo II).
2. Utilizando la función NORMDIST de EXCEL, se calcula el valor de Beta, para luego
proceder a construir el gráfico correspondiente.
La formula para calcular el valor de BETA es la siguiente:
NORMDIST(LCS;media;desviacion;TRUE) - NORMDIST(LCI;media;desviacion;TRUE)
Para cada desplazamiento se tiene un valor de BETA, por lo tanto los datos que se mantienen
constantes son el valor del LCS y LCI y el valor de la desviación estandar.
El nuevo valor de la media, después de un determinado desplazamiento se calcula con la siguente
formula:
Media con desplazamiento = Media + (valor del desplazamiento en terminos de sigma x el valor
de la desviación).
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3. El ultimo paso es usar la opcion de gráficos de EXCEL, y utilizando el gráfico XY, se
construye la curva O.C. que en este caso tiene la siguiente imagen:
CURVA O.C PARA n = 4
1,02
1
BETA
0,98
0,96
0,94
0,92
n=4
0,9
0,88
0,86
0,84
199
200
201
202
203
204
205
MIU
TIPOS DE ERROR
ERROR TIPO I
: es la probabilidad de que el plan rechace un lote con una proporción
defectuosa igual al Nivel de Calidad Aceptable. Se desea que sea bajo para proteger al productor.
ERROR TIPO II
: es la probabilidad de que el plan acepte un lote con una proporción
defectuosa igual al Nivel de Calidad Limitativo. Se desea que su valor sea pequeño ya que se
trata del tope aceptable por el consumidor.
ARL “Average Run Length”
Numero promedio de intentos que le tomará a un gráfico detectar una señal de fuera de control
(punto fuera de los límites).
ARL = 1/p, donde p es la probabilidad de estar fuera de los limites.
ARL en control = 1/ α , donde α es la probabilidad de rechazar Ho dado que se debía aceptar.
ARL fuera de control = 1/(1-β), donde β es la probabilidad de aceptar Ho dado que se debía
rechazar.
Β = P(LCI< X barra < LCS / µ = µo + δ, δx barra = δx/√n)
ATS “Average time to signal”
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40
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Corresponde al tiempo promedio hasta la señal de fuera de control.
ATS = ARL x h, donde h es el tiempo entre muestras.
El ATS se convierte a costos, utilizando una formula con la cual se obtienen el número de
unidades en peligro: Unidades en Peligro - CUP = ATS x Ritmo de producción x Costo unitario
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41
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Cuando un proceso está en control estadístico con producción consistente, es muy común querer
determinar si es un proceso capaz. Es decir, si tiene la habilidad real o potencial para cumplir con
las tolerancias del producto, si se encuentra dentro de los límites de especificación produciendo
partes de buena calidad.
El análisis de capacidad permite verificar la distancia entre las variaciones del proceso
(tolerancias) y los limites de especificación. Para realizar este análisis el proceso necesita estar en
control y para usar los índices de capacidad sin alteraciones se debe comprobar la normalidad del
proceso.
1. Normalidad Del Proceso
Con el objetivo de garantizar que los resultados que se obtienen del análisis de capacidad sean
reales y confiables se debe trabajar con datos normales. Cuando no se tiene certeza sobre la
normalidad de los datos se debe realizar una prueba y así definir los pasos a seguir. La
normalidad se coteja evaluando la distribución por medio de un histograma o de alguna prueba
de software.
Cuando los datos no siguen una distribución normal, se debe encontrar la distribución a la cual se
ajustan para realizar un análisis correcto. Esto se hace Siguiendo una regla de que para un valor
crítico del nivel de confianza, un P-value mayor que alfa sugiere que los datos siguen esa
distribución.
2. Corrección De No-Normalidad
Al obtener la distribución que siguen los datos y si esta no se ajusta a una distribución normal,
esto se puede corregir utilizando un método de transformación. Los más utilizados son:
Box-Cox: Box y Cox introdujeron una transformación de la variable de respuesta con el objetivo
de satisfacer la suposición de normalidad del modelo de regresión. La transformación es de la
forma (transformación potencia), donde λ es estimada con
los datos tomados. Más
específicamente, la transformación está definida por:
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ANALISIS DE
CAPACIDAD
TEMA No. 3. ANALISIS DE CAPACIDAD
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Transformada De Johnson: Evalúa internamente varias funciones y selecciona un óptimo a partir
de tres familias de distribuciones que transforman los datos en una distribución normal.
3. Índices De Capacidad
Los índices de capacidad son estimaciones numéricas de la capacidad del proceso, es decir, (a qué
nivel cumple con las especificaciones). Estos estadísticos son muy útiles ya que, aparte de ser
sencillos de calcular, no tienen unidades de medida, por lo que permiten comparar distintos
procesos. Básicamente, son el cociente entre la amplitud tolerable del proceso (la distancia entre
los límites de tolerancia o límites de especificación), y la amplitud real o natural del proceso
(recordemos que, habitualmente, la distancia entre los límites de control es de 6 sigma). Algunos
de estos estadísticos se definen a partir de la media del proceso o del objetivo.
Los índices de capacidad asociados con la variación a corto plazo son Cp, Cpk, CPU, y CPL; por
otro lado, los asociados con la variación a largo plazo son Pp, Ppk, PPU, y PPL. En la práctica, se
suele considerar que 1,33 es el valor mínimo aceptable para un índice de capacidad (es decir,
cualquier valor por debajo de esta cifra indicaría que, aunque esté bajo control estadístico, el
proceso no cumple con las especificaciones deseadas).
A continuación se muestran algunas referencias sobre cuándo usar cada uno de los índices:
ÍNDICE
Cp
Cpk
CPU o PPU
CPL o PPL
USO DEFINICIÓN
El proceso está centrado en los límites de
especificación. Es el radio entre la amplitud
permitida (distancia entre los límites de
especificación) y la amplitud natural
El proceso no está centrado en los límites de
especificación, pero está contenido en ellos Es
el cociente entre la amplitud permitida y la
amplitud natural, teniendo en cuenta la media
del
proceso respecto al punto medio de ambas
límites de especificación
El proceso sólo tiene un límite de especificación
superior
El proceso sólo tiene un límite de especificación
inferior
David R. González Barreto
FORMULA
(LES – LEI) / 6σ
Min{ (LES - µ)/3σ ,
(µ - LEI)/3σ
(LES - µ) / 3σ
(µ - LEI) / 3σ
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Otro índice, definido para medir la capacidad del proceso es el Índice de Taguchi – Cpm, está
orientado a reducir la variabilidad alrededor del valor nominal, no solo está orientada a cumplir
con las especificaciones. El Cpm ofrece la ventaja de que permite obtener una mejor medida del
centrado del proceso y la variabilidad. La formula para calcular este índice es la siguiente:
LES LEI
Cpm
6
x 2 ( x V .N ) 2
Los rangos de valores establecidos para los índices, con los cuales se puede concluir sobre la
capacidad del proceso, se presentan en la siguiente tabla:
ICP
DECISIÓN
1.33<ICP<2.22
Más que adecuado, incluso puede exigirse más en
términos de su capacidad. Posee capacidad de diseño.
1<ICP<1.33
Adecuado para lo que fue diseñado. Requiere control
estrecho si se acerca al valor de 1.
0.67<ICP<1
No es adecuado para cumplir con el diseño inicial.
Requiere monitoreo constante.
ICP<0.67
No es adecuado para cumplir con el diseño inicial.
ANALISIS DE CAPACIDAD CON MINITAB®
Este programa ofrece las herramientas para realizar el análisis de capacidad, estas van desde las
que permiten realizar la verificación de normalidad de los datos, la identificación del tipo de
distribución que siguen en caso de que no haya normalidad, la transformación para conseguir la
normalidad hasta la que realiza el análisis de capacidad completo incluyendo características
within y overall.
1. La normalidad de los datos, se evalúa identificando el tipo de distribución a la cual se
ajustan. Si se aproximan a una línea recta se puede garantizar que siguen una distribución
normal, y que se pueden utilizar tal como se encuentran para calcular el índice de
capacidad del proceso.
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Con MINITAB®, esto se puede realizar utilizando el NORMALITY-TEST, el cual sigue la ruta
que se presenta en la siguiente imagen:
La ventana que despliega esta prueba, presenta las siguientes opciones:
La opción Variable, requiere el ingreso de la columna donde se encuentran los datos que se van a
evaluar. Las otras opciones se dejan como aparecen por “default” y luego se selecciona OK. Este
análisis puede dar una de dos respuestas:
- Normalidad: con la cual se puede trabajar para el cálculo de la capacidad.
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Probability Plot of C2
Normal
99
Mean
StDev
N
AD
P-Value
95
90
-0,04308
0,9868
50
0,246
0.746
Percent
80
70
60
50
40
30
20
10
5
1
-3
-2
-1
0
1
2
C2
- No-normalidad: datos que requieren de transformación para conseguir normalidad y poder ser
utilizados para el calcula de la capacidad.
Probability Plot of C1
Normal
99
Mean
StDev
N
AD
P-Value
95
90
1,316
1,084
50
1,640
<0.005
Percent
80
70
60
50
40
30
20
10
5
1
-2
-1
0
1
2
3
4
5
C1
2. Si la respuesta obtenida en el análisis anterior indica que los datos no siguen una
distribución normal, se debe determinar a que tipo de distribución se ajustan; este proceso
se puede realizar en MINITAB® utilizando la opción Individual
Distribution Identification, siguiendo la secuencia que se presenta a continuación:
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La ventana que despliega esta prueba, presenta las siguientes opciones:
En la opción Data Are arranged as, se selecciona la opción que corresponda a la forma en que se
ingresaron los datos: por filas o en una sola columna. La siguiente opción a elegir en esta ventana,
corresponde a las distribuciones que se desean evaluar, los datos se pueden evaluar usando todos
los tipos de distribución disponibles en el software o usando algunas distribuciones específicas,
que pueden ser seleccionadas. Por último se elige la opción OK.
David R. González Barreto
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Probability Plot for C1
90
90
50
10
N ormal
A D = 1,640
P -V alue < 0,005
Lognormal
A D = 0,907
P -V alue = 0,019
50
10
1
0,0
2,5
1
0,01
5,0
0,10
C1
3-P arameter Lognormal - 95% C I
1,00
C1
3-P arameter Lognormal
A D = 0,378
P -V alue = *
10,00
E xponential
A D = 0,631
P -V alue = 0,334
E xponential - 95% C I
99
99,9
90
P er cent
90
P er cent
G oodness of F it Test
Lognormal - 95% C I
99
P er cent
P er cent
N ormal - 95% C I
99
50
50
10
10
1
0,1
1,0
C 1 - T hr eshold
10,0
1
0,01
0,10
1,00
10,00
C1
Luego de esto aparece una imagen como la anterior, en la cual se presentan los datos
ajustados a cada una de las distribuciones analizadas, indicando de manera gráfica el
comportamiento de los datos, adicionalmente de que indica un valor para el p-value
correspondiente al 95% de confiabilidad. De acuerdo con esta información, la decisión sobre el
tipo de distribución a la que mejor se ajustan los datos se toma a partir de lo siguiente: “Para
un valor crítico de alfa, un p-value mas grande que alfa sugiere que los datos siguen esa
distribución”. Esto se traduce en que se debe escoger el valor mas alto de p-value (siempre
que sea mayor que alfa ) que arroje el análisis.
3. Después de definir el tipo de distribución que siguen los datos, se puede corregir la nonormalidad, esto utilizando algún método de transformación que permita pasar de una
distribución no normal a una distribución normal. MINITAB®, permite realizar esto por
medio de dos rutas diferentes.
La primera opción es BOX-COX TRANSFORMATION, la cual se puede aplicar si se siguen
los siguientes pasos:
David R. González Barreto
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La información que requiere esta opción corresponde a los datos y la forma como se ingresaron,
esto es, si están agrupados o si son datos individuales ubicados en una sola columna. La ventana
en la cual se debe ingresar la información antes mencionada, tiene la siguiente apariencia.
Una vez se ingresa dicha información se elige Options y aparecerá una ventana que tiene la
siguiente apariencia:
David R. González Barreto
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En esta ventana se indica en Store transformed data in, la columna en la cual se quiere que
aparezcan los datos una vez transformados con el lambda obtenido. Para finalizar se elige OK y
a continuación se presenta el análisis realizado y el factor (valor de lambda) correspondiente, que
permite corregir la no-normalidad de los datos. Este resultado se presenta en una gráfica como la
siguiente:
Box-Cox Plot of C1
Lower CL
4,0
Upper CL
Lambda
(using 95.0% confidence)
3,5
StDev
3,0
Estimate
0,28
Lower CL
Upper CL
0,03
0,57
Rounded Value
0,50
2,5
2,0
1,5
1,0
Limit
-1
0
1
Lambda
2
3
Adicionalmente en la columna del Worksheet seleccionada, aparecerá el listado de datos
transformados con los cuales se puede proceder a calcular la capacidad del proceso.
La segunda opción para la corrección de la no-normalidad, es la herramienta JOHNSON
TRANSFORMATION, la cual se puede usar siguiendo la siguiente ruta en MINITAB®:
David R. González Barreto
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Una vez seleccionada esta ruta aparecerá una ventana que requiere que se ingrese de igual
manera la información sobre la organización de los datos (filas o columnas), esto en Data are
arranged as y en Store Transformed data in, la ubicación seleccionada para que se ingresen los
datos transformados, para finalizar se debe seleccionar OK.
El resultado de este análisis se presenta de manera gráfica, con la distribución a la cual se ajustan
los datos y la formula derivada de esta distribución para la transformación de los datos.
David R. González Barreto
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Johnson Transformation for C1
99
90
Percent
Select a T r ansfor mation
N
50
AD
1,640
P-Value <0.005
50
10
P-Value for A D test
P r obability P lot for O r iginal Data
0.74
0,8
0,6
0,4
0,2
Ref P
0,0
0,2
1
0,0
2,5
5,0
0,4
0,6
0,8
Z Value
1,0
1,2
(P-Value = 0.005 means <= 0.005)
P r obability P lot for T r ansfor med Data
99
N
50
AD
0,256
P-Value 0.710
Percent
90
50
P -V alue for Best F it: 0,709549
Z for Best F it: 0,74
Best Transformation Ty pe: S B
Transformation function equals
1,35739 + 0,915126 * Log( ( X + 0,0846958 ) / ( 6,09984 - X ) )
10
1
-2
0
2
Luego de normalizar los datos, se procede a realizar el análisis de capacidad del proceso. Este se
puede hacer de igual manera utilizando MINITAB®, por medio de la opción:
Una vez elegida esta ruta se presenta una ventana en la cual se debe ingresar información sobre
la organización de los datos, las tolerancias o limites de especificación de los datos y de manera
opcional la media y la desviación estándar del proceso, luego de ingresar esta información, se
debe seleccionar la opción OK. La ventana donde se debe ingresar esta información tiene la
siguiente apariencia:
David R. González Barreto
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Los resultados del análisis se presentan de la siguiente manera:
Process Capability of Supp1
LSL
Target
P rocess D ata
LS L
598,00000
Target
600,00000
USL
602,00000
S ample M ean
599,54800
S ample N
100
S tD ev (Within)
0,57643
S tD ev (O v erall)
0,62086
USL
Within
Ov erall
P otential (Within) C apability
Cp
1,16
C PL
0,90
C PU
1,42
C pk
0,90
C C pk 1,16
O v erall C apability
Pp
PPL
PPU
P pk
C pm
1,07
0,83
1,32
0,83
0,87
597,75 598,50 599,25 600,00 600,75 601,50
O bserv ed P erformance
P P M < LS L
10000,00
PPM > USL
0,00
P P M Total
10000,00
E xp. Within P erformance
P P M < LS L 3621,06
PPM > USL
10,51
P P M Total
3631,57
E xp. O v erall P erformance
P P M < LS L 6328,16
PPM > USL
39,19
P P M Total
6367,35
Este análisis incluye además del calculo de los índices de capacidad (generales-Overall y parciales
entre los grupos de datos-Within), un histograma de capacidad en el cual se presenta como se
comportan los datos entre los limites o tolerancias especificadas y dos curvas de distribución
normal, correspondientes al comportamiento Within y Overall.
Adicional a este análisis MINITAB® ofrece el análisis CAPABILITY SIXPACK>NORMAL, el
cual tiene la siguiente apariencia:
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Process Capability Sixpack of Supp1
Xbar C har t
C apability H istogr am
Sample Mean
UCL=600,321
600,0
_
_
X=599,548
599,5
599,0
LCL=598,775
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
598,0
598,5
R C har t
Sample Range
3,0
599,0
600,0
600,5
601,0
Nor mal P r ob P lot
A D : 0,844, P : 0,029
UCL=2,835
_
R=1,341
1,5
0,0
LCL=0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
598
Last 2 0 Subgr oups
600
602
C apability P lot
601,5
Values
599,5
Within
S tDev 0,57643
Cp
1,16
C pk
0,90
C C pk
1,16
600,0
598,5
Within
Overall
O v erall
S tD ev 0,62086
Pp
1,07
P pk
0,83
C pm
*
Specs
5
-
10
Sample
15
20
Para confirmar la estabilidad del proceso el reporte incluye:
· Un gráfico X barra (para observaciones individuales)
· Un gráfico R o S (para grupos de más de 8 datos)
· Un gráfico del comportamiento de los últimos 25 subgrupos u observaciones.
-
Para confirmar la normalidad el reporte incluye:
· Un histograma de los datos del proceso
· Un gráfico de probabilidad normal
-
Para analizar la capacidad, el reporte incluye:
· Un gráfico de la capacidad del proceso
· Estadísticas de la capacidad within and overall; Cp, Cpk, Cpm, Pp, y Ppk
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En la mayoría de los procesos de control el objetivo es analizar la evolución de una variable
cuantitativa continua, como lo es el resultado de una medición: longitud, peso, tiempo,
relacionada con la calidad. Sin embargo, en ocasiones no se desea controlar el valor de una
magnitud medible sino simplemente si el producto es adecuado o no lo es o, en general, si se
posee o no se posee cierto atributo. Este tipo de medición, a través de presencia o ausencia de
atributos, tiene ciertas ventajas sobre el control por variables, esto porque suele ser mas sencillo y
rápido. Sin embargo, esta simplicidad tiene el inconveniente de que es menos preciso, pues ignora
mucha información. No es lo mismo saber que el artículo es defectuoso que saber que su longitud
es dos milímetros mayor que su límite de tolerancia.
Existen varios gráficos que permiten monitorear la evolución de este tipo de información. Estos
gráficos van desde los que observan la evolución de la proporción de productos defectuosos en
sucesivas muestras de tamaño n (cada elemento observado es o no es defectuoso), hasta los que
observan la evolución del número de defectos que aparecen en cada producto evaluado (cada
producto analizado puede tener más de un defecto o más de un atributo). A continuación se
describen estos tipos de gráficos.
GRÁFICOS P - nº de piezas defectuosas de una muestra
Se utiliza para controlar la proporción de defectos generados por un proceso. En este gráfico se
muestra la evolución de la proporción de productos que tienen cierto atributo.
Los principios estadísticos que sirven de base al diagrama de control P se basan en la distribución
Binomial: se supone que el proceso de producción funciona de manera estable, de tal forma que la
probabilidad de que cualquier artículo no esté conforme con las especificaciones es p
(probabilidad de éxito, defectuosos o no defectuosos) y que los artículos producidos
sucesivamente son independientes; entonces, si se seleccionan m muestras aleatorias de n
artículos cada una, y se representa por Xi al número de artículos defectuosos en la muestra iésima, se obtiene que Xi ≈ B(n,p). De esta manera las propiedades del proceso (media y varianza)
están dadas por:
E(x) = np = μ
y
V(x) = np (1-p) = npq donde q = (1-p)
Si p es la fracción de productos defectuosos, esta se calcula como el número de productos
defectuosos (d) dividido por el tamaño de la muestra n. Esto quiere decir, que pi es la fracción de
defectuosos en cada muestra,
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GRAFICOS DE CONTROL
POR ATRIBUTOS
TEMA No. 4. GRAFICOS DE CONTROL POR ATRIBUTOS
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Por lo tanto la proporción de productos defectuosos en un total de ni unidades puede escribirse
como:
pˆ i
di
ni
x1 ... x ni
ni
De donde se deducen entonces como quedan las propiedades definitivas del proceso:
Si ni es suficientemente grande, se puede aplicar el Teorema del Límite Central y utilizar que,
aproximadamente,
Definidas estas características, se establece por tanto que el objetivo del gráfico P será comprobar
si la evolución de los valores pi observados son compatibles con un valor poblacional p y por
tanto la diferencia entre el valor observado pi y el poblacional p se debe sólo a la variabilidad
muestral.
Como en los gráficos de control por variables, el gráfico P tiene los siguientes elementos:
-
Según el modelo de Shewart se tienen los siguientes limites de control
- Si p es desconocida, se puede estimar con la siguiente ecuación (observar que tal estimación
se realizará a partir de las k muestras obtenidas, k > 25, tomadas cuando se considera que el
proceso está bajo control):
- En caso de que el tamaño muestral (ni ) sea diferente para cada subgrupo, a la hora de
calcular los límites según el modelo de Shewart, se puede optar por:
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1. Obtener los límites usando el ni asociado a cada muestra, con lo que las líneas de control no
serán rectas (darán “saltos” arriba y abajo según ni disminuya o aumente),
2. Si los ni no difieren mucho unos de otros, se puede utilizar:
3. También se puede optar por tomar un n común e igual al mayor de los ni, con lo que se
obtendrían unos límites de control bastante “sensibles”, ya que la amplitud de la franja que indica
proceso en estado de control es inversamente proporcional al tamaño de la muestra. En esta
situación de tamaños muestrales diferentes, la formula para p será:
- En el caso de los gráficos P, el valor de α cuando se consideran los limites estándar (±3σ) no es
de 0,027, debido a que es una distribución Binomial.
- Al no ser los límites constantes se ha de tener cuidado para interpretar tendencias y rachas en
estos gráficos. Un procedimiento para simplificar la interpretación de los gráficos P es el uso de
valores estandarizados. En este caso los valores representados en el gráfico son:
donde p-barra se utiliza en lugar de p si este valor es desconocido. Para estos valores
transformados se tiene:
Por lo tanto el gráfico estandarizado tiene por límites de control ±3 y línea central 0. 1 Por último
se debe tener cuidado con la interpretación de los puntos del diagrama de control que se hallan
por debajo del límite inferior de control. Tales puntos no representan a menudo una mejora real
en la calidad del proceso. Frecuentemente son el resultado de errores en el método de inspección
o recogida de datos.
Reglas de aproximación:
Se puede aproximar la distribución Normal a la distribución Binomial si np > 10. (0.1≤ p ≤ 0.9)
Se puede aproximar la distribución Poisson a la distribución Binomial si p < 0,1
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A continuación se presenta la secuencia de pasos que se deben seguir para elaborar un gráfico de
control P, utilizando MINITAB®.
EJEMPLO
Se envasa zumo de naranja en empaques de cartón de 1 litro. Estos empaques son producidos por
una máquina que lo forma a partir de una pieza de cartón a la que le aplica un fondo metálico. Al
inspeccionar un empaque puede determinarse si el proceso de sellado se desarrolló de acuerdo
con lo establecido, esto se logra al evaluar la presencia o no de goteo en algunas de las uniones del
empaque (lateral o inferior), con lo cual se puede determinar si el empaque está conforme o no
con las especificaciones. Se desea elaborar un diagrama de control para vigilar la fracción de
envases
disconformes producidos por esta máquina. Se seleccionaron 25 muestras de tamaños muestrales
diferentes cada media hora durante un periodo de tres turnos, en los cuales la máquina operó
continuamente, los datos recogidos se presentan a continuación:
NUMERO
DE
MUESTRA
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
NUMERO DE
DISCONFORMES
TAMAÑO
MUESTRAL
12
8
6
9
10
12
11
16
10
6
20
15
9
8
6
100
80
80
100
110
110
100
100
90
90
110
120
120
120
110
NUMERO
DE
MUESTRA
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
NUMERO DE
DISCONFORMES
TAMAÑO
MUESTRAL
8
20
7
5
8
5
8
10
6
9
80
80
80
90
100
100
100
100
90
90
1. El primer paso es ingresar los datos en el Worksheet de MINITAB®, posteriormente se debe
seleccionar la ruta STAT > Control Chart > Attributes Charts > P, para proceder a construir el
gráfico correspondiente.
David R. González Barreto
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2. Luego de elegir esta ruta, aparece una ventana en la cual se deben llenar los siguientes campos:
Variables, en la cual se debe elegir la columna que contenga el numero de defectuosos, en este
caso la columna “DISCONFORMES”, en Subgroup size, se elige la columna que comprende el
tamaño de muestra correspondiente para cada valor de defectuosos, en este caso la columna es
“TAMAÑO DE MUESTRA”, por ultimo para obtener el gráfico correspondiente se selecciona OK.
De acuerdo como se indica a continuación:
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El gráfico que se obtiene, presenta las siguientes características:
P Chart of DISCONFORMES
1
0,25
Proportion
0,20
UCL=0,1943
0,15
_
P=0,0996
0,10
0,05
LCL=0,0049
0,00
2
4
6
8
10
12 14
Sample
16
18
20
22
24
Tests performed with unequal sample sizes
En conclusión se puede decir que debido a que la muestra 17 cae fuera de la zona de control, sería
conveniente realizar una inspección del 100% de los componentes del lote.
GRAFICOS NP - No. de unidades no conformes
Se aplica al mismo tipo de procesos que en el gráfico p. La diferencia está en que, en lugar de
contabilizar proporción de artículos defectuosos en una muestra, se considera el número de
artículos defectuosos así como la posible existencia de causas especiales en el proceso productivo.
En general, el gráfico np es útil si:
a. El número es más relevante que la proporción.
b. El tamaño muestral es constante.
Aunque matemáticamente sería posible construir un gráfico NP con tamaño de muestral variable,
su interpretación sería complicada, por lo que este tipo de gráficos se utiliza exclusivamente con
muestras de tamaño constante ni. Por lo tanto se llama di al número de artículos defectuosos en
una muestra de tamaño n.
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Sea p la proporción total de defectuosos que produce el proceso. Entonces di sigue una
distribución binomial de media np y varianza np (1−p). Si n es grande, dicha distribución puede
aproximarse a la normal. Por tanto, para n elevado, aproximadamente,
Por lo tanto los límites del gráfico de control serán:
Si la aproximación a la normal es buena, contendrá al 99.7% de los datos si el proceso está bajo
control. De nuevo, si el límite de control resulta ser negativo se usaría al valor cero. Para construir
el gráfico de control es necesario estimar p, salvo que se conozca ya su valor. Al igual que en el
caso anterior, tanto el nivel medio como la variabilidad dependen sólo del parámetro p, por lo
que un solo gráfico será suficiente para controlar el proceso.
El procedimiento para construir gráficos np en MINITAB®, es similar al que se sigue en la
construcción de gráficos p, la ruta que se debe seguir es: STAT > Control Charts > Attributes
Chart > NP. La única variación con respecto a los gráficos p, es la selección de un tamaño de
muestra constante, en este caso se utilizará n= 90, para analizar los datos del ejemplo anterior, este
cambio se realiza en la opción Subgroup Sizes.
El gráfico que se obtiene en este caso se presenta a continuación:
NP Chart of Numerdo de defectuosos
20
1
1
UCL=18,61
David R. González Barreto
Victoria E. Bastidas Guzmán
Count
15
__
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Aunque los datos siguen un patrón aleatorio, en este caso coinciden con el gráfico P en la muestra
17, pero adicionalmente también se presenta fuera de los limites la muestra 11.
GRAFICOS C – No. de Defectos
De igual manera que en un proceso de control se desea determinar si un producto es conforme o
no conforme, el interés también puede dirigirse hacia el número de defectos en un artículo o
unidad de medida o, en general, en el número de sucesos o atributos observados por unidad de
medida.
La diferencia respecto al caso de control del número de productos defectuosos o no es el soporte
en el que se observan los sucesos. Mientras que antes el soporte es discreto: muestra de n
elementos, ahora el soporte es continuo: tiempo, longitud, superficie. Este tipo de control tiene
interés cuando:
- Las disconformidades aparecen de forma continua.
- Los defectos pueden encontrarse por simple inspección a pesar de ser debidas a causas muy
diversas.
Esta variable que se quiere controlar puede definirse como: número de sucesos en un intervalo de
longitud fija. Si el proceso es estable y los sucesos ocurren de forma independiente entonces el
número de sucesos en un intervalo de longitud fija seguirá una distribución de Poisson.
Si x es una variable con distribución de Poisson de parámetro c, el valor medio de dicha
distribución es también c. La varianza de esta distribución es también c.
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Si el número de sucesos en un intervalo es una distribución de Poisson de parámetro c, el número
de sucesos en n intervalos es una Poisson de parámetro nc. Si c es elevado, la distribución de
Poisson se aproxima bastante a la normal. Por tanto, si se utiliza una unidad de medida
suficientemente grande, se podrá utilizar la distribución normal como referencia.
De esta manera los límites para el gráfico de control c son:
Se debe tener en consideración nuevamente que si el límite de control inferior resulta ser negativo
se debe usar el valor de cero. Si c no fuese conocido hay que estimarlo con un conjunto de datos
preliminares, procedentes del proceso en estado de control. Normalmente c es desconocido y por
tanto debe estimarse a partir de la información que suministran las muestras de tamaño n
mediante:
A continuación se presenta la secuencia de pasos que se deben seguir para elaborar un gráfico de
control C, utilizando MINITAB®.
EJEMPLO
Suponga que trabaja en una planta que produce sábanas blancas. Cada una de las piezas de tela
producidas, a partir de las cuales se obtendrán las sábanas, será considerada como válida siempre
que no tenga más de un número determinado de pequeñas manchas. Se pretende generar un
gráfico C que permita visualizar el número de manchas de cada pieza. La evaluación se hace en 26
muestras de tamaño 100.
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Inicialmente se ingresan los datos en una columna y luego se selecciona la ruta STAT > Control
Charts > Attribute Charts > C.
En la ventana que aparece a continuación, se deben rellenar el espacio Variables, en el cual se
debe indicar la columna que contenga los datos del número de defectos, en este caso la columna
lleva el nombre NUMERO DE DEFECTOS. Para finalizar y conseguir el gráfico C, se selecciona
OK.
El gráfico que se obtiene, al analizar los datos, se presenta a continuación:
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C Chart of NUMERO DE DEFECTOS
1
40
UCL=33,21
Sample Count
30
_
C=19,85
20
10
LCL=6,48
1
0
3
6
9
12
15
Sample
18
21
24
Dos de las muestras (números 6 y 20) se salen de los límites de control, por tal razón es necesario
que se inspeccionen completamente los lotes para verificar la calidad de todas las tarjetas de
circuitos.
GRAFICOS U – No. De Defectos por Unidad producida
El gráfico U se utiliza cuando no es posible tener siempre la misma unidad de medida para contar
el número de defectos. El gráfico u se diferencia del gráfico c en que el tamaño muestral no es
necesariamente constante yen que el estadístico a representar es el número de defectos por
unidad muestreada u en vez de la cantidad total de defectos en la muestra.
Utilizando la aproximación a la normal de la variable de Poisson y que ui = Ci/ni
donde ci es el número medio de defectos en una muestra de tamaño ni cuando el proceso está
bajo control. Si se denomina p al número de defectos por unidad inspeccionada que genera el
proceso cuando éste está bajo control, se tiene que ci = ni p.
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Así, si p es conocido, el gráfico u tendrá los siguientes límites de control
Si p es desconocido, la estimación del número de defectos por unidad inspeccionada es
Y los límites de control serán
Estos límites varían con el tamaño muestral. Al igual que ocurría con los gráficos P, dado que los
límites de control no son constantes, la interpretación de patrones y tendencias se debe hacer con
cuidado. Una posible opción sería representar el gráfico normalizado; es decir, representar los
valores:
en un gráfico donde la línea central es cero y los límites LCS=3 y LCI=-3. La capacidad del proceso
se define como u-barra, por lo tanto:
Estimación de la capacidad = u- barra
A continuación se presenta la secuencia de pasos que se deben seguir para elaborar un gráfico de
control U, utilizando MINITAB®.
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EJEMPLO
En una fábrica de tejidos, se inspeccionan telas tinturadas para detectar los defectos en diferentes
medidas de tela (yardas)
El primer paso, es ingresar los datos al Worksheet y posteriormente se selecciona la ruta STAT >
Control Chart > Attributes Charts > U.
Posteriormente en la ventana que aparece, se deben llenar los campos que corresponden a la
columna que contiene los valores de defectos por unidad “Variables” para MINITAB® y el
campo correspondiente a número de defectos “Subgroup Size”. Por último se selecciona OK,
para obtener el gráfico correspondiente.
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U Chart of Numero de unidad
1,2
Sample Count Per Unit
1,0
UCL=0,870
0,8
0,6
0,4
_
U=0,275
0,2
0,0
LCL=0
1
2
3
4
5
6
Sample
Tests performed with unequal sample sizes
En este caso, ninguno de los puntos se sale de los límites control, presentando variación aleatoria
alrededor de la media.
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COMENTARIOS SOBRE LAS CURVAS OC PARA GRÁFICOS DE CONTROL POR
ATRIBUTOS
Una consideración importante que se debe tener en cuenta al momento de construir las curvas
características de operación para los gráficos de control por atributos, es el de los principios
estadísticos que sirven de base para la construcción de estos diagramas. En el caso de los gráficos
de control por variables, los principios estadísticos se basan en una distribución normal. Para los
gráficos de control por atributos estos principios estadísticos se basan en las distribuciones
Binomial y Poisson, por tal razón el calculo de las probabilidad de éxito o fracaso (Error tipo I o
Error tipo II), se deben realizar con base en estas distribuciones.
Para ejemplarizar esto, se asume que para un valor estimado p de un proceso que se encuentra
bajo control (p-barra = 0.076), con un valor de n= 120 y considerando que
La curva característica de operación para este grafico P, es representada por:
Es decir la probabilidad de no detectar un cambio en la fracción no-conforme del proceso desde
su valor nominal p-barra al valor p.
El cálculo de esta probabilidad se puede realizar con base en la distribución Binomial, dado que:
Considerando por ejemplo que la fracción de no-conformes pasa de p-barra a p= 0.125, esto
supone aproximadamente un incremento de 2σ en dicha fracción. En este caso para calcular la
probabilidad se definen los limites de control de la siguiente manera LCI = 0, 41 y LCS = 17, 87,
por lo tanto la probabilidad es igual a
Esta probabilidad es muy alta sobre todo si se compara con la probabilidad de detectar una
variación 2σ en un gráfico x-barra con subgrupos de tamaño 120.
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TEMA No. 5 GRAFICOS EWMA
Cuando en un proceso se produce un desajuste muy pequeño, los gráficos estudiados en los
temas anteriores pueden ser poco efectivos. El problema que tienen ante pequeños cambios es que
tardan mucho tiempo en detectar el desajuste. En este tema se presentan procedimientos
alternativos que son más apropiados que los estudiados hasta el momento para detectar
pequeños desajustes con más rapidez. La idea de los gráficos de control que se presentan en este
tema es que la representación gráfica no se basa en las observaciones individuales, o promedios
de una muestra de ellas, sino en la acumulación de información.
GRAFICOS
EWMA
Los gráficos EWMA o de medias móviles ponderadas exponencialmente (EWMA= exponentially
weighted moving average) se realizan usualmente sobre observaciones individuales. En este
gráfico acumula en cada periodo los valores de observaciones pasadas. La variable que se
representa en cada periodo es un promedio de la observación contemporánea y las observaciones
anteriores, donde se da más peso a las observaciones más recientes. En general, a este tipo de
promedios donde en cada instante se incorpora nueva información y se le va restando peso a las
informaciones históricas se le denomina media móvil (en inglés moving average). Los gráficos
EWMA utilizan una forma muy concreta de hacer medias móviles que consiste en dar un peso a
las informaciones históricas que decae exponencialmente con el tiempo.
Esta media móvil se denota por zi y se define como
zi
xi
(1
) zi
1
Donde z0 = µ0 o bien z0 = x-barra, y donde el parámetro λ lo decide el analista en el rango 0 < λ ≤
1. Por tanto, en cada momento, se pondera la observación actual xi con el valor de la media
móvil anterior zi−1. Si se sustituye se obtiene:
zi
xi
(1
)[ xi
1
(1
) zi 2 ]
i 1
) j xi
(1
j
(1
) z0
J 0
Si se cumple las hipótesis de independencia y estabilidad sobre xi (media y varianza constantes)
se tiene que:
2
zi
David R. González Barreto
2
2
1
(1
) 2i
Victoria E. Bastidas Guzmán
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De esta manera el gráfico EWMA se puede construir dibujando zi contra numero de muestra. Los
límites de control y la línea central son entonces:
LCS
L
0
[1 (1
) 2i ]
0
L
0
) 2i ]
2
CenterLine
LCI
[1 (1
2
Puede verse que los límites varían en cada instante i. Si i es muy elevado se tiene que,
aproximadamente,
LCS
L
0
CenterLine
LCI
2
0
L
0
2
Por ejemplo la tabla que se muestra a continuación contiene ocho medias muestrales junto con su
valor EWMA asociado usando un peso de 0,2:
SUBGRUP
O
Media
EWMA
1
2
3
4
5
6
7
8
14
10,4
9
10,1
7
9,4
9
9,3
13
10,1
4
8,8
9
8,9
11
9,3
Para empezar, de acuerdo con lo que se definió anteriormente e el valor EWMA para el subgrupo
0 corresponde a la media de todos los datos, en este caso 9,5. El valor EWMA para el subgrupo 1
será:
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z1
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(0,2) x(14 ) (1 0,2)9,5 10 ,4
El valor EWMA para el subgrupo 2 será
z2
(0,2) x(9) (1 0,2)10 ,4 10 ,1
Y así sucesivamente para cada uno de los valores que conformen el grupo analizado.
Para construir este grafico en MINITAB®, el procedimiento es sencillo y similar al seguido para
construir los gráficos que se han analizado hasta ahora.
1. Se ingresan en el Worksheet, los datos correspondientes a la media, posteriormente se sigue la
ruta Stat >Control Charts > Time-Weighted Charts > EWMA
2. A continuación se debe completar la ventana EWMA Chart, se debe seleccionar la opción que
corresponda a la forma en la cual se ingresaron los datos, en este caso todos están en una sola
columna. En la casilla Subgroup Sizes se coloca de nuevo la columna que contiene los datos,
esto para indicar que son individuales. El siguiente paso es asignar el Weight of EWMA cuyo
valor corresponde a Lambda. Para finalizar se selecciona OK y a continuación aparecerá la
grafica correspondiente.
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Si se desea obtener los valores de limites de control correspondientes a cada zi, en la ventana
anterior antes de seleccionar OK, se elige la opción EWMA Options con lo cual aparece la
siguiente ventana:
Una vez allí, se selecciona la opción Storage, la cual se encuentra en el menú de la parte
superior de la ventana. Una vez seleccionada esta opción, Store these values for each point,
las opciones que se deben marcar son:
- Point plotted que corresponden a los zi.
- Center line value, el cual corresponde al limite central.
- Contro limit values, que corresponde a los limites superior e inferior.
Luego de esto si se procede a graficar los datos, seleccionando la opción OK.
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El gráfico que se obtiene tiene la siguiente apariencia:
David R. González Barreto
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EWMA Chart of Media
14
UCL=13,121
13
12
EWMA
11
_
_
X=9,5
10
9
8
7
6
LCL=5,879
5
1
2
3
4
5
6
7
8
Sample
En el Worksheet aparecen los datos correspondientes a zi, LCI, LC y LCS, presentados de la
siguiente manera:
Donde cada columna corresponde a:
Media
PPOI1
CENL1
CONL1
CONL2
son los datos originales que se desean analizar
zi
Límite Central
Límite de Control Inferior
Límite de Control Superior
Como se puede observar el valor de los zi es el mismo que el obtenido inicialmente al aplicar
la formula manualmente.
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CONSIDERACIONES SOBRE EL ARL
Los gráficos EWMA son muy efectivos para evaluar pequeños cambios en el proceso. Al
construirlos, los parámetros considerados son múltiplos del sigma usado en los límites de control,
es decir, el valor L. De esta manera cuando se desea diseñar un grafico EWMA, el objetivo
principal será siempre obtener por anticipado largos de corridas fijos para un valor ARL que
indique fuera de control. Esto se obtiene al llegar a una combinación precisa en los valores de λ y
L, que permitan obtener el valor predecible para el ARL
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TEMA No. 6 GRAFICOS DE CONTROL MULTIVARIADOS
Los gráficos de control multivariados son útiles para el control simultáneo de varias
características de calidad relacionadas.
Cuando se decide implementar un gráfico de control multivariado para monitorear un proceso, se
hace necesario diseñar un esquema de muestreo, por lo que se deben definir ciertos parámetros
entre los cuales están: el tamaño de muestra o subgrupo de observaciones con los cuales se
generaran los puntos a incluir en el gráfico y además definir la frecuencia o intervalo de muestreo,
es decir el tiempo que se dejará transcurrir entre cada muestreo.
GRAFICOS DE CONTROL T2 DE HOTELLING
El gráfico T2 de Hotelling se puede considerar como la extensión multivariada del gráfico de
control Shewhart univariado. Es el proceso de monitoreo multivariado mas común en el control
de calidad. Este estadístico T2 es un escalar que combina información para la dispersión y media
de las variables que se desean analizar. Si asumiendo una distribución normal multivariada y
conociendo los verdaderos parámetros de la distribución, es decir, el vector de medias y la matriz
de varianzas y covarianzas, el estadístico T2 sigue una distribución chi-cuadrado.
Este estadístico analiza las medias muéstrales de las respectivas variables (x1, x2), las medias
poblacionales (µ1 ,µ2) , las desviaciones típicas (σ1 , σ2) y la covarianza (σ12 ), como se muestra
en la siguiente ecuación:
En el caso de analizar más de dos variables, la ecuación queda definida de la siguiente manera:
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GRAFICOS DE CONTROL
MULTIVARIADOS
El grafico de control T2, se basa en la estadística del T2 de Hotelling, se utiliza para detectar
cambios en el proceso. En vez de usar las variables individuales del proceso, la estadística del T 2
se calcula para los componentes principales del proceso, que son combinaciones lineares de
diferentes variables o características.
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donde µ es el vector de medias, ∑ es la matriz de varianzas y covarianzas y n es el tamaño
muestral. El límite superior de control se va a situar para un nivel de significación dado por X 2 (n,p),
y el límite inferior está situado en cero, ya que el estadístico es no negativo.
Cuando los valores poblacionales no son conocidos, es necesaria su estimación, dando origen al
gráfico T2 de Hotelling. Con p variables y m muestras de tamaño n, la media y varianza muestral
se calculan como:
Donde xijk es la i-ésima observación en la j-ésima característica de calida en la muestra k. La
covarianza entre dos características de calidad j y h se calcula para la muestra k :
Con las expresiones anteriores podemos determinar la media y varianza para las m muestras y
para las variables a través de las expresiones:
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De esta manera el estadístico T2 queda:
Para datos agrupados, el estadístico T2 sigue una distribución F de Snedecor, por lo que los límites
de control bajo los supuestos usuales van a venir dados como:
De esta manera se puede analizar si el proceso se encuentra bajo control mediante la
representación de los valores T2 junto a dicho límite de control. Cuando el valor T2 para todas las
muestras sea inferior al LSC, el proceso se considera bajo control y, en caso contrario, significa que
existe una anomalía que ocasiona una situación fuera de control.
La interpretación de los resultados en el caso de los gráficos multivariados es algo compleja. El
objetivo es detectar situaciones en las que el proceso presenta cambios moderados y una vez
detectadas, determinar sus causas. Similar que en el caso univariado, determinar esa situación
fuera de control es relativamente fácil, pero determinar las causas que han provocado ese cambio
será más complicado.
Un procedimiento para interpretar esas señales fuera de control consiste en la descomposición del
estadístico T2 de forma que mida la influencia de cada una de las variables. Si T 2 es el valor del
estadístico, y T2(i) es su valor para todas las variables del proceso excepto la i-ésima, se puede
calcular un indicador de la contribución de la variable i-ésima sobre el conjunto de la siguiente
forma:
Cuando aparece una situación fuera de control en un gráfico de control multivariado es
conveniente calcular esta contribución para cada una de las variables y centrar la atención en
aquellas variables cuya contribución sea superior.
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EJEMPLO
A continuación se presenta un caso en el cual es útil emplear los gráficos multivariados.
Se tienen los datos de un proceso de fabricación de textiles que se desea controlar, las
características de calidad que deben ser monitoreadas en la fibra textil son 3 diferentes, que
afectan de igual manera el resultado final del producto. Se analizaron 10 muestras de tamaño 4, a
continuación se encuentra la tabla con la información recolectada.
Producto 1
Muestra X1
X2
X3
1
310,1 0,037
3
2
332,3 0,039 3,1
3
312,6 0,03 2,4
4
312,8 0,032 2,5
5
330 0,033 2,8
6
322,8 0,326 3,5
7
333,8 0,342
3
8
324,3 0,33 2,7
9
345,5 0,283 2,2
10
329,6 0,36 1,8
Producto 2
X1
X2 X3
310,2 0,237 2,9
332,5 0,339 2,9
312,9 0,43 2,1
312,9 0,232 2,4
330,2 0,333 2,5
323,1 0,726 3,2
333,9 0,542 2,9
324,5 0,63 2,5
345,8 0,683 1,9
329,7 0,56 1,7
Producto 3
X1
X2
X3
310,5 0,137 3,1
332,7 0,239 3,1
313
0,33 2,3
313,2 0,132 2,6
330,4 0,233 2,7
323,2 0,626 3,4
334,2 0,442 3,1
324,7 0,53 2,7
345,9 0,583 2,1
330
0,46 1,9
Producto 4
X1
X2
X3
310,8 0,237 3,2
333,1 0,339 3,3
313,5 0,43 2,6
313,5 0,232 2,7
330,8 0,333 3
323,7 0,726 3,7
334,5 0,542 3,2
325,1 0,63 2,9
346,4 0,683 2,4
330,2 0,46
2
La construcción y análisis de los gráficos multivariados se puede realizar utilizando diferentes
software entre ellos Excel, MINITAB® y MATLAB®.
A continuación se presentan algunas indicaciones para construir estos gráficos utilizando estos
programas.
GRAFICOS MULTIVARIADOS EN EXCEL.
Como se explico al inicio del manual, los gráficos multivariados dependen de dos valores
específicos para su construcción: El estadístico T2 y el Límite de control superior. Una vez
calculados estos valores es posible construir el grafico.
Sin embargo para llegar a la obtención del estadístico T 2, se hace necesario definir la matriz
varianza-covarianza de las diferentes muestras y su correspondiente vector de promedios, de
acuerdo con la ecuación:
David R. González Barreto
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Estos valores se obtienen siguiendo los siguientes pasos:
1. Utilizando Excel, se organizan los datos por característica, es decir se agrupa la
característica 1 de todos los productos analizados, la característica 2 y la característica 3, en
arreglos o matrices diferentes.
2. El siguiente paso es conformar las matrices de promedios, varianzas y covarianzas. Esto se
hace por medio de las siguientes funciones del programa:
Average (number1; number2…) Para los promedios
Var (number1; number2…) Para las varianzas
Covar(array1; array2…) Para las covarianzas, en esta formula es necesario aplicar un factor
de corrección para los valores hallados el cual se calcula de la siguiente manera:
n
n 1
,
donde n es el numero de valores que están siendo correlacionados.
Para los datos antes presentados, en Excel el arreglo de estas funciones se hace de la
siguiente manera:
David R. González Barreto
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Estos arreglos toman los valores correspondientes por muestra, es decir cada grupo de
datos ubicado en cada fila.
3. Con estas matrices ya se pueden calcular el estadístico T2 para cada muestra. La ecuación
queda entonces de la siguiente forma:
David R. González Barreto
Muestra
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Matriz de Promedios
X1
X2
X3
4,3
92,9
2,7
3,5
91,9
4,6
3,9
91,7
4,3
3,5
89,2
7,2
4,2
90,7
5,0
4,9
88,5
6,6
6,4
87,6
6,0
5,9
86,1
8,0
6,6
86,4
6,9
4,5
88,2
7,3
Promedios
4,78
89,36
5,87
Victoria E. Bastidas Guzmán
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- Para la muestra numero 1 la matriz de promedios necesaria seria:
( xi
x ) = [(4,3 – 4,78) (92,9-89,3) (2,7-5,87)]
Y así para cada una de las muestra, evaluadas.
-
La matriz varianza- covarianza (pxp) necesaria en la ecuación de T2 se forma utilizando los
datos de la siguiente tabla, estos se organizan en una matriz de tal manera que se puedan
obtener los promedios correspondientes:
Muestra
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Promedios
Matriz de Varianzas
S1
S2
S3
0,8533 0,3433
2,2633
0,5633 0,3233
0,9300
1,3633 0,0033
1,2633
0,0633 4,2233
4,3300
6,6233 13,0433 3,7733
5,3433 69,6033 37,8700
3,3033 20,7100 14,8633
0,6533 13,3233 8,8900
5,3200 14,0033 3,5633
4,6900 8,9033
1,3233
2,8777 14,4480 7,9070
Matriz de Covarianzas
S12
S13
S23
0,533
-1,387 -0,877
0,097
-0,665 -0,325
-0,052 -1,312
0,048
0,022
-0,085 -4,245
-7,947
1,323
-5,097
-18,538 13,195 -51,065
-4,575
1,272 -16,135
-2,543
1,890 -10,780
-7,880
2,560
-6,123
-6,135
1,445
-2,768
-4,7018 1,8237 -9,7367
Varianzas
Covarianzas
S1
S12
S13
S12
S2
S23
S13
S23
S3
De esta manera la matriz varianza-covarianza será de 3 filas por 3 columnas. Los promedios
correspondientes a las varianzas y covarianzas, se ubican de acuerdo con la tabla anterior, en
este caso la matriz tendrá la siguiente forma:
2,8777
-4,702
1,824
-4,702
14,4480
-9,737
1,824
-9,737
7,9070
Luego de tener esta matriz, se utiliza la función Minverse de Excel para obtener la matriz
requerida en la ecuación.
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El cálculo de la matriz inversa en Excel se hace siguiendo los siguientes pasos:
- Se selecciona un área equivalente a la de la matriz original, es decir 3x3.
- Se ingresa en la primera celda la función Minverse (array), donde el array corresponde al
rango de celdas donde se encuentra la matriz original.
- Para finalizar, se presionan simultáneamente las teclas Shift - Ctrl y Enter. Inmediatamente
aparecen los valores.
En este momento ya se puede calcular el estadístico T2 para la muestra número 1:
T2= n* x(
i
T2 =
x
) r * S-1+ ( x
i
x)
3 x[(4,3 – 4,78) (92,9-89,3) (2,7-5,87)]r x
334,0
333,7
333,9
333,7
333,8
334,1
333,9
334,1
334,5
x [(4,3 – 4,78) (92,9-89,3) (2,7-5,87)]
Este procedimiento se repite para cada una de las muestras evaluadas, hasta obtener todas las
estadísticas necesarias para construir el gráfico.
GRAFICOS MULTIVARIADOS EN MINITAB®
Como en los casos anteriores la construcción de este tipo de gráficos en MINITAB®, se consigue
siguiendo pasos sencillos; la única condición es que los datos deben estar agrupados en columnas
y por muestras consecutivas, como se muestra a continuación:
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Luego de ingresar los datos de esta manera se debe seguir la ruta:
STAT > CONTROL CHARTS > MULTIVARIATE CHARTS > TSQUARED
Siguiendo esta ruta aparece una ventana en la cual se debe ingresar la información como se indica
a continuación:
En la opción Variables se ubican las columnas que contienen los datos de las características
analizadas X1, X2, X3. En la opción Subgroup Sizes se ubica la columna Muestras. Para finalizar
y obtener el gráfico se selecciona OK.
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Tsquared Chart of X1; ...; X3
20
UCL=19,75
Tsquared
15
10
5
Median=2,34
LCL=0,03
0
1
2
3
4
5
6
Sample
7
8
9
10
Como se puede observar se grafican 10 puntos correspondientes al estadístico T 2 de cada una de
las muestras. El programa calcula automáticamente estos valores así como también el del límite
de control correspondiente. Una consideración importante que se debe tener en cuenta, es el valor
de alfa (α), ya que de acuerdo con esto, el límite de control puede variar su valor.
GRAFICOS MULTIVARIADOS EN MATLAB®
La construcción de los gráficos multivariados se facilita en este programa, en el cual además de
calcular el valor del estadístico T2, se obtiene el valor del límite de control superior y por tanto el
gráfico correspondiente.
Se debe considerar que el cálculo del estadístico requerido, se hace por medio de matrices por
tanto, es necesario crear una rutina para recorrer estas matrices y así obtener los valores
requeridos.
Algunas de las consideraciones que se deben tener en cuenta al construir estos gráficos son:
- Se deben crear variables independientes a la rutina, para los datos obtenidos del muestreo
(valores de las características). Se debe generar una variable para cada característica y los
datos se deben ingresar en formato de matriz. Donde el número de filas corresponde al
número de muestras y el número de columnas corresponde al tamaño de las muestras.
- El valor del porcentaje para la distribución F, se debe calcular manualmente e ingresarlo
como input a la rutina.
Un ejemplo de una subrutina que se puede generar para el cálculo de la matriz de promedios, se
presenta a continuación:
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A = matriz correspondiente a los datos de la característica 1, conformada por nc filas y nr
columnas.
El loop puede tener la siguiente forma
[nc nr]=size(A);
for i=1:nc;
Valores1=A(i,:);
Promedio1=mean(Valores1);
Columna1(i,1)=Promedio1;
end
Promedios=[Columna1 Columna2… Columna_n]
- Valores1 corresponde a los datos contenidos en cada una de las filas de la matriz A.
- Promedio1 corresponde al promedio obtenido en cada una de las filas.
- Columna1 conforma el vector de los datos promedios de la característica 1, los cuales harán
parte posteriormente de la Matriz de promedios requerida para el cálculo del estadístico T2.
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TEMA No. 7 R&R REPRODUCIBILIDAD Y REPETIBILIDAD DE LAS MEDIDAS
El diseño de experimentos es un acercamiento sistemático para variar las variables de entrada del
proceso y analizar los efectos de estas variables en la salida del proceso. Uno de los mayores usos
del diseño de experimentos es el aislamiento y la estimación de las fuentes de variabilidad en un
proceso.
El objetivo del estudio de reproducibilidad y repetibilidad es por lo tanto, analizar y determinar
la precisión y exactitud de un sistema de medidas. Para analizar los resultados dentro de un
experimento R&R se utiliza el concepto de componentes de varianza, en el cual se realiza un
análisis de varianza a partir del ANOVA.
Las ecuaciones que se utilizan para calcular los componentes de varianza y analizar los resultados
del ANOVA realizado a un experimento de este tipo son las siguientes:
2
2
MS Error
MS Piezasxoperador
MS Error
n
2
MS Operador MS Piezasxoperador
an
2
MS Piezas
MS Piezasxoperador
bn
Modelo matemático ANOVA
+
τi
Pieza
+
βj
+
τβij
+
Operador
Interacción
2
y
2
2
Error (ij)k
Instrumento o Sistema
2
REPRODUCIBILIDAD Y
REPETIBILIDAD
Yijk = µ
2
Reproducibilidad Repetibilidad
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Después de calcular los componentes de varianza y poder concluir sobre el sistema de medida
(instrumento) se debe evaluar utilizando el siguiente criterio:
2
Piezas
Porcentaje de contribución debido a piezas =
2
y
(Total)
70%
Porcentaje de contribución R&R < 30%
Anova R&R Típico
FUENTE
Piezas
Operador
Interacción
Error
Total
GRADOS
SUMA
PROMEDIO
DE
DE
CUADRADOS
LIBERTAD CUADRADOS
a-1
SSp
MSpart= SSp/a-1
b-1
SSop
MSop= SSop/b-1
(a-1)(b-1)
SSpxop
MSopxp=SSpxop/
(a-1)(b-1)
gl error
SSerror
MSerror=
SSerror/glerror
abn -1
SStotal
F
MSp/MSerror
MSop/MSerror
MSopxop/ MSerror
Para comprender el análisis que se realiza en el estudio R&R, se considerará el siguiente ejemplo.
Un instrumento es usado para medir una dimensión crítica en una pieza. Veinte (20) piezas han
sido seleccionadas del proceso de producción, adicionalmente se seleccionaron aleatoriamente
tres (3) operadores para que tomaran la medida en cada pieza.
El orden en que las medidas fueron realizadas es completamente aleatorio. Por lo tanto este es un
experimento factorial con dos factores: Partes y Operadores, con dos replicas. Las partes y los
operadores son factores aleatorios.
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Pieza
Número
1
2
3
4
5
6
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Operador A
21
20
24
23
20
21
27
27
19
18
23
21
Operador B
20
20
24
24
19
21
28
26
19
18
24
21
Operador C
19
21
23
24
20
22
27
28
18
21
23
22
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
22
19
24
25
21
18
23
24
29
26
20
19
21
17
23
23
20
19
25
24
30
26
20
21
22
18
25
26
20
17
25
23
30
25
19
19
24
20
23
25
20
19
25
25
28
26
20
19
22
19
24
24
21
18
25
24
31
25
20
21
20
18
24
25
20
19
25
25
30
27
20
23
19
20
25
19
26
19
25
18
24
17
25
19
25
17
Utilizando el programa MINITAB®, se realiza el análisis ANOVA para obtener los datos
necesarios y realizar el estudio de los componentes de varianza.
El primer paso es ingresar los datos, se deben organizar tres columnas, una para las piezas, otra
para los operadores y otra para los resultados obtenidos en las medidas. Como se presenta en la
siguiente pantalla.
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Luego de ingresar los datos, para realizar el análisis se pueden seguir dos rutas:
1. La primera opción proporciona el análisis Anova y de manera indirecta se pueden obtener los
correspondientes componentes de varianza. La ruta que se debe seleccionar es la siguiente STAT
> ANOVA > General Linear Model
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En la ventana que se obtiene al seguir esta ruta, se deben seleccionar las opciones de acuerdo
como se indica a continuación:
En esta ventana se debe seleccionar la opción Results y una vez allí se debe seleccionar la opción
Display expected mean squares and variante components, de acuerdo con lo que se muestra a
continuación:
Para finalizar se selecciona OK y se obtiene el siguiente resultado:
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General Linear Model: Medida versus Pieza; Operador
Factor Type Levels Values
Pieza random 20 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15;
16; 17; 18; 19; 20
Operador random
3 A; B; C
Analysis of Variance for Medida, using Adjusted SS for Tests
Source
DF Seq SS Adj SS Adj MS F P
Pieza
19 949,492 949,492 49,973 7,54 0,000
Operador
2 2,217 2,217 1,108 0,17 0,847
Pieza*Operador 38 251,783 251,783 6,626 6,91 0,000
Error
60 57,500 57,500 0,958
Total
119 1260,992
S = 0,978945 R-Sq = 95,44% R-Sq(adj) = 90,96%
Expected Mean Squares, using Adjusted SS
Source
Expected Mean Square for Each Term
1 Pieza
(4) + 2,0000 (3) + 6,0000 (1)
2 Operador
(4) + 2,0000 (3) + 40,0000 (2)
3 Pieza*Operador (4) + 2,0000 (3)
4 Error
(4)
Error Terms for Tests, using Adjusted SS
Synthesis
of Error
Source
Error DF Error MS MS
1 Pieza
38,00 6,626 (3)
2 Operador
38,00 6,626 (3)
3 Pieza*Operador 60,00 0,958 (4)
Variance Components, using Adjusted SS
Estimated
Source
Value
Pieza
7,2246
Operador
-0,1379
Pieza*Operador 2,8338
Error
0,9583
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la ultima parte del resultado, contiene los componentes de varianza necesarios para el análisis.
Nótese que el componente de varianza para el operador tiene signo negativo, algo que no es
razonable, esto porque de acuerdo con la definición de varianza estas son no negativas.
Desafortunadamente el proceso de análisis no esta exento de obtener un resultado negativo como
en este caso y ocurre cuando se usa el análisis de varianza como método de estimación. En este
caso el procedimiento a seguir consiste en asumir que la estimación negativa significa que el
componente de variación es cero, dejando las otras estimaciones no negativas sin cambios.
2. La Segunda ruta que se puede seleccionar es STAT > QUALITY TOOLS > Gage Study >
Gage R&R Study (Crossed)
En la ventana que se obtiene al seguir esta ruta, se deben seleccionar las opciones de acuerdo
como se indica a continuación:
Para finalizar se selecciona OK y se obtiene el siguiente resultado:
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Gage R&R Study - ANOVA Method
Two-Way ANOVA Table With Interaction
Source
DF
SS
MS
F P
Pieza
19 949,49 49,9732 7,54213 0,000
Operador
2 2,22 1,1083 0,16727 0,847
Pieza * Operador 38 251,78 6,6259 6,91396 0,000
Repeatability 60 57,50 0,9583
Total
119 1260,99
Gage R&R
%Contribution
Source
VarComp (of VarComp)
Total Gage R&R
3,7921
34,42
Repeatability 0,9583
8,70
Reproducibility 2,8338
25,72
Operador
0,0000
0,00
Operador*Pieza 2,8338
25,72
Part-To-Part
7,2246
65,58
Total Variation 11,0167
100,00
Study Var %Study Var
Source
StdDev (SD) (6 * SD)
(%SV)
Total Gage R&R
1,94733 11,6840
58,67
Repeatability
0,97895 5,8737
29,49
Reproducibility
1,68338 10,1003
50,72
Operador
0,00000 0,0000
0,00
Operador*Pieza 1,68338 10,1003
50,72
Part-To-Part
2,68785 16,1271
80,98
Total Variation
3,31914 19,9148 100,00
En este caso el resultado que se obtiene, incluye la tabla de análisis de varianza, los valores para
los componentes de varianza del caso en estudio y su correspondiente porcentaje de contribución,
adicionalmente la clasificación del resultado hace la distinción entre repetibilidad y
reproducibilidad.
A partir de estos resultados se puede realizar el análisis correspondiente al proceso analizado y
responder si se acepta o no el sistema de medidas evaluado.
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