8.5 Conceptos bsicos de la teora de probabilidades La probabilidad es la rama de la matemtica que analiza experimentos aleatorios. Un experimento aleatorio es aquel en que no podemos predecir el resultado preciso. Ejemplos de experimentos aleatorios son lanzar una moneda, tirar un dado o predecir los medallistas de oro, plata y bronce en una carrera de 1 00 m. Se hacen algunas suposiciones: 1 La moneda es equilibrada. 2 El dado es equilibrado. Es imposible predecir el resultado en un experimento aleatorio en forma precisa , pero es posible: a Enumerar el conjunto de todos los resultados posibles del experimento b Decidir cun probable es un resultado determinado 3 Todos los correderos son parejos. Cuando se lanza una moneda, hay dos resultados posibles: cara (C ) y cruz (X). Adems, la probabilidad de obtener cara es igual a la de obtener cruz, as que la probabilidad de obtener cara es una posibilidad sobre dos. La probabilidad de obtener cruz es la misma. En otras palabras, el conjunto de resultados equiprobables (que tienen la misma probabilidad) es {C, X} y 1 P(C ) = P(X) = 2 . Cuando se tira un dado, el conjunto de resultados equiprobables tiene 6 elementos y es {1 , 2, 3, 4, 5, 6} . Como todos los resultados son equiprobables, 1 P(1 ) = P(2) = = P(6) = . 6 Sea A el suceso sale un nmero par. Para hallar P(A), consideremos el conjunto de resultados equiprobables {1 , 2, 3, 4, 5, 6} . Hay 6 resultados equiprobables y 3 de estos son nmeros pares, as que P(A) = 3 6 . Sea B el suceso sale un nmero primo. Para hallar P(B), observamos de nuevo el conjunto de resultados. Hay 3 nmeros primos: 2, 3 y 5, as que P(B) = 3 6 U A 4 . 3 2 6 5 Podemos mostrar, en un diagrama de Venn, los resultados equiprobables que se obtienen al tirar un dado, con U = {1 , 2, 3, 4, 5, 6} y A = {nmeros pares} . P(A) = n(A) n (U ) = 3 6 El conjunto B puede aadirse al diagrama de Venn para representar el suceso B. P(B) = 352 n( B) n (U ) 1 U A B 4 6 = 3 6 Conjuntos y probabilidad 3 2 5 1 Si todos los resultados equiprobables de un experimento aleatorio se pueden enumerar y orman U, el conjunto universal, y se defne el suceso A representado con el conjunto A, entonces: P( A ) = n( A ) n (U ) Hay tres consecuencias de esta ley: n (U ) 1 P(U ) = 2 P( ) = 3 0 P(A) 1 n (U ) =1 n( ) =0 n (U ) (La probabilidad de un suceso seguro es 1 .) (La probabilidad de un suceso imposible es 0.) (La probabilidad de un suceso siempre est entre 0 y 1 .) Ejemplo 11 Halle la probabilidad de que ocurran estos sucesos para el experimento aleatorio tirar un dado. a Sale un nmero impar. b Sale un nmero primo que es par. c Sale un nmero primo que es impar. d Sale un nmero que es primo o es par. Salvo que se indique lo contrario, hablaremos siempre de un dado cbico con sus caras numeradas del 1 al 6. Respuestas A n ( A) 3 = n (U ) 6 a P( A) = b P( A B ) = n( A B ) 1 = n (U ) 6 c P(A B) = n ( A B ) 2 = n (U ) 6 d P(A B) = n( A B) 5 = n (U ) 6 Usar el diagrama de Venn dibujado anteriormente, donde A es el suceso sale un nmero par y B es el suceso sale un nmero primo A es el suceso sale un nmero par, as que la probabilidad de que salga un nmero impar es P(A). Del diagrama de Venn, A = {1, 3, 5}. A es el suceso sale un nmero par y B es el suceso sale un nmero primo, as que la probabilidad de que salga un nmero primo que sea par es P(A B). La probabilidad de que salga un nmero primo que sea impar es P(A B). La probabilidad de que salga un nmero primo o un nmero par es P(A B). U B 4 3 2 6 5 1 Este ejemplo ilustra los conceptos bsicos de la teora de probabilidades: enumera todos los resultados equiprobables de un experimento aleatorio y los cuenta. Dibujar un diagrama de Venn puede aclarar la situacin. Captulo 8 353 Dos leyes ms de probabilidad: Para sucesos complementarios, P(A) = 1 P(A). Para sucesos combinados, P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). Utilice un diagrama de Venn para ilustrar estas leyes. Ejercitacin 8J 354 1 Un experimento aleatorio consiste en tirar un dado equilibrado de seis caras. Sea A el suceso sale un nmero cuadrado y sea B el suceso sale un divisor de 6. a Enumere los elementos del conjunto A. b Enumere los elementos del conjunto B. c Muestre los conjuntos A y B en un diagrama de Venn. d Escriba P(A). e Escriba P(B). f Halle la probabilidad de que el nmero que sale no sea un nmero cuadrado. g Halle la probabilidad de que el nmero que sale sea un nmero cuadrado y un divisor de 6. h Halle la probabilidad de que el nmero que sale sea un nmero cuadrado o un divisor de 6, o ambos. i Verifque que se cumplen P(A) = 1 P(A) y P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). 2 Los nmeros 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 se escriben en trozos idnticos de cartn y se ponen en una bolsa. El experimento aleatorio consiste en sacar aleatoriamente de la bolsa un cartn. Sea A el suceso se elige un nmero primo y sea B el suceso se elige un nmero par. a Enumere los elementos del conjunto A. b Enumere los elementos del conjunto B. c Muestre los conjuntos A y B en un diagrama de Venn. d Escriba P(A). e Escriba P(B). f Halle la probabilidad de que el nmero elegido sea compuesto (no primo). g Halle la probabilidad de que el nmero elegido sea impar. h Halle la probabilidad de que el nmero elegido sea par y primo. i Halle la probabilidad de que el nmero elegido sea par o primo, o ambos. j Verifque que se cumplen P(A) = 1 P(A) y P(B ) = 1 P(B). k Verifque que se cumple P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). l Halle la probabilidad de que el nmero elegido sea impar y compuesto. m Halle la probabilidad de que el nmero elegido sea impar o compuesto, o ambos. n Verifque que se cumple P(A B ) = P(A ) + P(B ) P(A B ). Conjuntos y probabilidad 3 Los nmeros 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 se escriben en trozos idnticos de cartn y se ponen en una bolsa. El experimento aleatorio consiste en sacar aleatoriamente de la bolsa un cartn. Sea A el suceso se elige un nmero impar y sea B el suceso se elige un nmero cuadrado. a Enumere los elementos del conjunto A. b Enumere los elementos del conjunto B. c Muestre los conjuntos A y B en un diagrama de Venn. d Escriba P(A). e Escriba P(B). f Halle la probabilidad de que se elija un nmero cuadrado que es impar. g Halle la probabilidad de que se elija un nmero impar o un nmero cuadrado. h Verifque que se cumple P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). 4 Un experimento aleatorio consiste en lanzar dos monedas equilibradas. a Enumere los cuatro resultados equiprobables posibles. b Halle P(dos caras), P(una cara), P(ninguna cara). 5 Un experimento aleatorio consiste en lanzar tres monedas equilibradas. a Enumere los ocho resultados equiprobables posibles. b Halle P(ninguna cara), P(una cara), P(dos caras), P(tres caras). 6 El primer libro que se escribi sobre probabilidades ue Liber de ludo aleae, de Girolamo Cardano (15011576), un flsoo y matemtico italiano. En l se explicaban tcnicas para hacer trampa y para atrapar a otros cuando hacen trampa. Un experimento aleatorio consiste en lanzar cuatro monedas equilibradas. Halle P(ninguna cara). b Halle P(cuatro caras). c Halle P(una cara). d Halle P(tres caras). e Utilice las respuestas de los apartados a hasta d para deducir P(dos caras). f Enumere los resultados equiprobables posibles. a 8. Probabilidad condicionada En una clase de 25 alumnos, 1 6 estudian rancs, 1 1 estudian malayo y 4 no estudian ninguna de las 2 lenguas. Esta inormacin se puede mostrar en un diagrama de Venn. Supongamos que se elige al azar un alumno de la clase. Podemos usar las tcnicas que ya hemos visto para hallar la probabilidad de que: U F M 10 6 5 4 El alumno estudie rancs y malayo El alumno estudie exactamente una lengua c El alumno no estudie dos lenguas d El alumno no estudie rancs a b Captulo 8 355 Usando el diagrama de Venn de la derecha: a 6 25 c M 1 10 5 15 + = 25 25 25 b F F M U M 1 d M 10 U 6 19 = 25 25 F U F 6 5 U 4 16 9 = 25 25 F M U Esto requiere ser abordado de una forma diferente, porque hay una condicin adicional: el alumno estudia malayo. Cul es la probabilidad de que un alumno elegido al azar estudie rancs, sabiendo que el alumno estudia malayo? La probabilidad de que un alumno estudie rancs, sabiendo que el alumno estudia malayo, es un ejemplo de probabilidad condicionada . Se escribe P(F| M). Dado que M ha sucedido indudablemente, en lugar de elegir elementos del conjunto universal (el rectngulo), podremos elegir solamente elementos del conjunto M (el rea sombreada). U F M 10 6 5 Si ahora queremos determinar la probabilidad de que F tambin haya ocurrido, entonces consideramos la parte de F que tambin se encuentra en M, es decir, la interseccin de F y M (sombreado ms oscuro). La probabilidad condicionada, la probabilidad de que un alumno estudie rancs, sabiendo que el alumno estudia malayo, es: P(F| M) = n ( F M) n ( M) = 6 11 4 U F M 10 6 5 4 La probabilidad condicionada de que ocurra A, sabiendo que B ha ocurrido, se escribe P(A| B) y se defne como: P(A| B) = 356 P ( A B) P ( B) Conjuntos y probabilidad Ejemplo 12 En una clase de 29 alumnos, 20 alumnos estudian francs, 15 alumnos estudian malayo y 8 alumnos estudian ambas lenguas. Se elige al azar un alumno de la clase. Halle la probabilidad de que el alumno: a Estudie francs b No estudie ninguna de las dos lenguas c Estudie al menos una lengua d Estudie ambas lenguas e Estudie malayo, sabiendo que estudia francs f Estudie francs, sabiendo que estudia malayo g Estudie ambas lenguas, sabiendo que estudia al menos una de las lenguas Respuestas Primero dibujar un diagrama de Venn para mostrar la informacin U F M 12 8 7 2 a P(estudie francs) = 20 29 b P(no estudie ninguna lengua) = 2 29 c P(estudie al menos una lengua) = d P(estudie ambas lenguas) = 27 29 8 29 e P(estudie malayo, sabiendo que = P( M | F ) = U F estudia francs) n ( M F) n ( F) = 8 M 12 8 7 20 2 Las probabilidades de la e a la g son condicionadas y requieren ms atencin. { Contina en la pgina siguiente. Captulo 8 357 f P(estudia francs, sabiendo que U F M estudia malayo) = P( F | M ) = n ( F M) n ( M) = 8 15 12 8 7 2 g P(estudie ambas lenguas, sabiendo que estudia al menos una lengua) = P ( F M| F M ) = n ([ F M] [ F M] ) n ( F M) = Mirando el diagrama de Venn, podemos ver que (F M) (F M) = (F M). 8 27 Ejercitacin 8K En los diagramas de Venn se muestra el nmero de elementos de cada conjunto. 1 2 3 4 358 Halle la probabilidad de que una persona elegida al azar: a Est en A b No est ni en A ni en B c No est en A y no est en B d Est en A, sabiendo que no est en B e Est en B, sabiendo que est en A f Est en A y en B, sabiendo que est en A Halle la probabilidad de que una persona elegida al azar: a No est en A b No est ni en A ni en B c No est en A y en B, sabiendo que est en B d No est en A, sabiendo que no est en B e Est en B, sabiendo que est en A f Est en A y en B, sabiendo que no est en A Halle la probabilidad de que una persona elegida al azar: a Est en B, pero no en A b No est en A ni en B c Est en B y no en A d Est en A, sabiendo que no est en B e Est en B, sabiendo que est en A f No est en A y en B, sabiendo que est en A Halle la probabilidad de que una persona elegida al azar: a Est en A, pero no en A y en B b No est en A y no est en ambos c No est en A y en B d Est en A, sabiendo que no est en B e Est en B, sabiendo que est en A f No est en A, sabiendo que no est en B Conjuntos y probabilidad U A B 15 8 12 5 U A B 12 4 6 8 U A B 7 0 8 2 U A B 12 6 6 10 5 6 7 8 El diagrama de Venn muestra el nmero de alumnos de una clase que cursan Artes y/o Biologa. Utilice el diagrama de Venn para hallar la probabilidad de que un alumno de la clase elegido al azar: a Curse Artes b Curse Biologa, pero no Artes c Curse Artes y Biologa d Curse al menos una de las dos asignaturas e No curse ninguna de las dos asignaturas f Curse Biologa g Curse exactamente una de las dos asignaturas El diagrama de Venn muestra el nmero de alumnos de una clase que cursan Fsica y/o Qumica. Utilice el diagrama de Venn para hallar la probabilidad de que un alumno de la clase elegido al azar: a Curse Fsica pero no Qumica b Curse al menos una de las dos asignaturas c Curse Qumica, sabiendo que el alumno cursa Fsica d Curse Qumica, sabiendo que el alumno cursa exactamente una de las dos asignaturas El diagrama de Venn muestra el nmero de alumnos de una clase que cursan Artes y/o Teatro. Utilice el diagrama de Venn para hallar la probabilidad de que un alumno de la clase elegido al azar: a Curse Teatro, pero no Artes b Curse Teatro, sabiendo que cursa Artes c Curse ambas asignaturas, sabiendo que cursa Teatro d No curse ninguna de las dos asignaturas e Curse Teatro, sabiendo que cursa exactamente una de las dos asignaturas El diagrama de Venn muestra el nmero de alumnos de una clase que cursan Geografa y/o Historia. Utilice el diagrama de Venn para hallar la probabilidad de que un alumno de la clase elegido al azar: a Curse Geografa, pero no Historia b Curse Geografa, sabiendo que no cursa Historia c Curse Historia, sabiendo que cursa al menos una de las dos asignaturas d Curse Geografa, sabiendo que cursa Historia e Curse Geografa, sabiendo que cursa exactamente una de las dos asignaturas U A B 5 8 4 7 U F Q 5 10 3 4 U A T 9 4 12 3 U G H 12 2 5 8 Captulo 8 359 8.7 Dos casos especiales: sucesos incompatibles y sucesos independientes Dos sucesos, A y B, son incompatibles si, cuando ocurre A, es imposible que ocurra B y, cuando ocurre B, es imposible que ocurra A. Por ejemplo, cuando se lanza una moneda, los sucesos sale cara y sale cruz son sucesos incompatibles. Los sucesos A y A brindan el ejemplo ms obvio de sucesos incompatibles, ya que ocurre uno o el otro, pero A y A no pueden ocurrir al mismo tiempo. Aqu hay un diagrama de Venn que representa sucesos incompatibles A y B. Como los dos conjuntos no se superponen, A B = . A B Los sucesos A y B son incompatibles si y solo si P(A B) = 0. Ejemplo 13 Los nmeros 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 se escriben, cada uno, en trozos idnticos de cartn y se ponen en una bolsa. El experimento aleatorio consiste en sacar de la bolsa un cartn aleatoriamente. Sea A el suceso se elige un nmero primo y sea B el suceso se elige un nmero par . a Dibuje un diagrama de Venn que describa este experimento aleatorio. b Determine si los sucesos A y B son incompatibles. Respuestas a A B 5 3 7 4 8 6 10 U Dibujar un diagrama de Venn para mostrar los conjuntos AyB 9 A B = , as que P(A B) = 0. b A y B son incompatibles. La interseccin A B est vaca. En 1933, el matemtico ruso Andrey Nikolaevich Kolmogorov (19031987) defni la probabilidad a travs de estos axiomas: La probabilidad de todos los sucesos es 1. La probabilidad de un suceso es mayor o igual que 0. Cuando dos sucesos no pueden coincidir, entonces sus probabilidades se pueden sumar. Las propiedades matemticas de la probabilidad pueden deducirse a partir de estos axiomas. Kolmogorov us su trabajo sobre probabilidad para estudiar el movimiento de los planetas y las turbulencias del aire producidas por el motor a reaccin. 360 Conjuntos y probabilidad Qu es un axioma? Averige ms acerca de los axiomas de Euclides para la geometra, escritos 2000 aos atrs. U Ejercitacin 8L En cada experimento, determine si los sucesos A y B son incompatibles. 1 Se tira un dado equilibrado de seis caras. Sea A el suceso sale un nmero cuadrado y sea B el suceso sale un divisor de 6. 2 Se tira un dado equilibrado de seis caras. Sea A el suceso sale un cuatro y sea B el suceso sale un seis. 3 Se tira un dado equilibrado de seis caras. Sea A el suceso sale un nmero primo y sea B el suceso sale un nmero par. 4 Se tira un dado equilibrado de seis caras. Sea A el suceso sale un nmero cuadrado y sea B el suceso sale un nmero primo. 5 Los nmeros 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 se escriben, cada uno, en trozos idnticos de cartn y se ponen en una bolsa. Se saca aleatoriamente un cartn de la bolsa. Sea A el suceso sale un nmero cuadrado y sea B el suceso sale un nmero impar. 6 Los nmeros 5, 6, 7, 8, 9, 10 se escriben, cada uno, en trozos idnticos de cartn y se ponen en una bolsa. Se saca aleatoriamente un cartn de la bolsa. Sea A el suceso sale un nmero cuadrado y sea B el suceso sale un nmero par. 7 Los nmeros 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 se escriben, cada uno, en trozos idnticos de cartn y se ponen en una bolsa. Se saca aleatoriamente un cartn de la bolsa. Sea A el suceso sale un nmero par y sea B el suceso sale un mltiplo de 3. 8 Se lanzan dos monedas equilibradas. Sea A el suceso salen dos caras y sea B el suceso sale una cara. Si dos sucesos, A y B, son incompatibles, entonces el efecto del suceso A en el suceso B no podra ser ms contundente: si ocurre A, entonces no es posible que ocurra B (y viceversa). El hecho de que ocurra uno de los sucesos impide por completo que ocurra el otro. Captulo 8 361 El otro extremo se da cuando el hecho de que ocurra un suceso no aecta de ninguna manera el hecho de que ocurra el otro. Entonces los dos sucesos son matemticamente independientes uno del otro. Otra orma de expresar esto es decir que la probabilidad de que ocurra A, P(A), se mantiene igual, una vez que ha ocurrido B. Para escribir esto como una ecuacin: A y B son independientes si P(A) = P(A | B). La defnicin de P(A | B) es: P( A | B ) = P ( A B) P ( B) Entonces, si A y B son independientes: P( A B ) = P( A ) P( B ) Reordenando, P(A B) = P(A) P(B) A y B son independientes si y solo si P(A B) = P(A) P(B). Por ejemplo, si se lanza una moneda de un euro y luego una moneda de un dlar, el hecho de que la moneda de un euro muestre cara no aecta de ninguna manera que la moneda de un dlar muestre cara o cruz . Los dos sucesos son independientes uno del otro. Si nos piden determinar si dos sucesos son independientes, esta es la rmula que hay que usar. Ejemplo 14 Los nmeros 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 se escriben, cada uno, en trozos idnticos de cartn y se ponen en una bolsa. Se saca aleatoriamente un cartn de la bolsa. Sea A el suceso sale un nmero impar y sea B el suceso sale un nmero cuadrado . a Dibuje un diagrama de Venn que describa este experimento. b Determine si los sucesos A y B son independientes. Respuestas a A B 5 9 3 4 2 6 8 7 b P(A) P(B) = 1 1 1 = 2 4 8 U El suceso A B es sale un nmero impar y sale un nmero cuadrado o sale un nmero impar que es cuadrado. Del diagrama de Venn, P( A ) = P(A B) = 1 8 4 1 = 8 2 362 Conjuntos y probabilidad 2 1 = 8 4 A B = {9}, por lo tanto P( A B ) = As que A y B son sucesos independientes. P( B ) = 1 8 Ahora, considerar la defnicin de independencia (matemtica): P(A B) = P(A) P(B) Este trabajo se conecta con la prueba de chi-cuadrado que estudiamos en el captulo 5. Recordemos que, para calcular las recuencias esperadas, el total de la fla se multiplica por el total de la columna y luego el resultado se divide por el total de las recuencias. Esta es una consecuencia directa de la defnicin de independencia matemtica. Ejercitacin 8M Para cada experimento, determine si los sucesos A y B son independientes. 1 Los nmeros 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 se escriben, cada uno, en trozos idnticos de cartn y se ponen en una bolsa. Se saca aleatoriamente un cartn de la bolsa. Sea A el suceso sale un nmero impar y sea B el suceso sale un nmero cuadrado. 2 Los nmeros 1, 2, 3, 4, 5, 6 se escriben, cada uno, en trozos idnticos de cartn y se ponen en una bolsa. Se saca aleatoriamente un cartn de la bolsa. Sea A el suceso sale un nmero par y sea B el suceso sale un nmero cuadrado. 3 Los nmeros 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 se escriben, cada uno, en trozos idnticos de cartn y se ponen en una bolsa. Se saca aleatoriamente un cartn de la bolsa. Sea A el suceso sale un nmero primo y sea B el suceso sale un mltiplo de 3. 4 El diagrama de Venn muestra el nmero de alumnos que cursan Artes y/o Biologa en una clase. Utilice el diagrama de Venn para determinar si cursar Artes y cursar Biologa son sucesos independientes. U A B 4 2 6 12 5 El diagrama de Venn muestra el nmero de alumnos que cursan Qumica y/o Biologa en una clase. Utilice el diagrama de Venn para determinar si cursar Qumica y cursar Biologa son sucesos independientes. U Q B 2 8 3 5 U Q 6 El diagrama de Venn muestra el nmero de alumnos que cursan Qumica y/o Fsica en una clase. Utilice el diagrama de Venn para determinar si cursar Qumica y cursar Fsica son sucesos independientes. F 12 8 2 18 Captulo 8 363 8.8 Diagramas de espacios muestrales Un diagrama de espacio muestral es una orma grfca de mostrar los resultados equiprobables de un experimento, en lugar de enumerarlos. Se tiran dos dados equilibrados: uno rojo y uno azul. Podemos mostrar todos los resultados posibles en una grilla. Hay 36 resultados posibles, n(U) = 36. Podemos usar el diagrama muestral para calcular probabilidades. 6 5 Dado azul 4 3 2 1 0 1 2 3 4 Dado rojo 5 6 Ejemplo 15 Se tiran juntos un dado rojo y otro azul. Calcule la probabilidad de que: El puntaje total sea 7 Salga el mismo nmero en ambos dados La dierencia entre los nmeros que salen sea 1 El nmero que sale en el dado rojo sea menor que el que sale en el dado azul El puntaje total sea un nmero primo a b c d e Respuestas a P(el puntaje total sea 7) = 6 36 Los crculos muestran los resultados para los que el puntaje total es 7. 6 Dado azul 5 4 3 2 1 0 2 3 4 Dado rojo 5 6 Los crculos muestran los resultados en los que ambos nmeros son iguales. 6 5 Dado azul b P(salga el mismo nmero en 6 ambos dados) = 36 1 4 3 2 1 0 1 2 3 4 Dado rojo 5 6 { Contina en la pgina siguiente. 364 Conjuntos y probabilidad Los crculos muestran los resultados que hay que considerar. 6 5 Dado azul c P(la diferencia entre los 2 nmeros que salen 10 sea 1) = 36 4 3 2 1 0 d P(el nmero que sale en el dado rojo sea 2 3 4 Dado rojo 5 6 1 2 3 4 Dado rojo 5 6 1 2 3 4 Dado rojo 5 6 6 menor que el que sale en el 5 Dado azul 15 dado azul) = 36 1 4 3 2 1 0 6 5 Dado azul e P(el puntaje total sea un nmero 15 primo) = 36 4 3 2 1 0 Ejercitacin 8N 1 Dibuje un diagrama de espacio muestral para este experimento: Se tiran dos dados tetradricos (de cuatro caras), uno azul y otro rojo, numerados del 1 al 4. Halle la probabilidad de que: a El nmero que muestra el dado rojo sea mayor que el que muestra el dado azul b La diferencia entre los nmeros que muestran ambos dados sea 1 c El dado rojo muestre un nmero impar y el dado azul muestre un nmero par d La suma de los nmeros que muestran los dados sea un nmero primo Captulo 8 365 2 Se tiran un dado tetradrico (numerado del 1 al 4) y un dado normal de 6 caras. Dibuje un diagrama de espacio muestral para este experimento. Halle la probabilidad de que: a El nmero que muestra el dado tetradrico sea mayor que el nmero que muestra el dado normal b La diferencia entre los nmeros en ambos dados sea mayor que 1 c El dado normal muestre un nmero impar y el tetradrico muestre un nmero par d La suma de los nmeros que muestran los dados sea un nmero primo e Los dos dados muestren el mismo nmero 3 Una caja contiene 3 cartas numeradas 1, 2, 3. Una segunda caja contiene 4 cartas numeradas 2, 3, 4, 5. Se elige una carta al azar de cada caja. Dibuje un diagrama de espacio muestral para este experimento. Halle la probabilidad de que: a Las cartas tengan el mismo nmero b El mayor nmero que se saca sea un 3 c La suma de los 2 nmeros sea menor que 7 d El producto de los nmeros sea al menos 8 e Al menos un nmero de las cartas elegidas sea par 4 Se ponen en una bolsa 6 cartas, numeradas 0, 1, 2, 3, 4 y 5. Se saca al azar una carta, se anota su nmero y luego se vuelve a poner en la bolsa. Luego se saca al azar una segunda carta. Dibuje un diagrama de espacio muestral para este experimento. Halle la probabilidad de que: a Las cartas tengan el mismo nmero b El mayor nmero que se saca sea primo c La suma de los 2 nmeros sea menor que 7 d El producto de los nmeros sea al menos 8 e Al menos un nmero de las cartas elegidas sea par 5 Se ponen en una bolsa 6 cartas, numeradas 0, 1, 2, 3, 4 y 5. Se saca al azar una carta y no se vuelve a poner en la bolsa. Luego se saca al azar una segunda carta. Dibuje un diagrama de espacio muestral para este experimento. Halle la probabilidad de que: a Las cartas tengan el mismo nmero b El mayor nmero que se saca sea primo c La suma de los 2 nmeros sea menor que 7 d El producto de los nmeros sea al menos 8 e Al menos un nmero de las cartas elegidas sea par 366 Conjuntos y probabilidad Tenga cuidado: este no es el mismo espacio muestral que el de la pregunta 4. 8.9 Diagramas de rbol Los diagramas de rbol son otra forma de representar y calcular probabilidades. Ejemplo 16 Se tiran dos dados equilibrados, uno rojo y otro azul. Usando un diagrama de rbol, halle la probabilidad de que: a Salga doble seis b No salga ningn seis c Salga exactamente un seis d Salga al menos un seis Respuestas Dado rojo Dado azul Resultado 1 6 Probabilidad 1 1 1 = 6 6 36 6 (6, 6) no 6 (6, no 6) 6 (no 6, 6) no 6 (no 6, no 6) 6 1 6 5 6 1 6 5 6 1 5 5 = 6 6 36 5 1 5 = 6 6 36 no 6 5 6 5 5 25 = 6 6 36 Primero, partir el experimento en dos experimentos simples: Uno: tirar el dado rojo y anotar si sale un seis o no Dos: luego tirar el dado azul y anotar si sale un seis o no Dibujar un diagrama de rbol para mostrar los resultados Aadir las probabilidades a las ramas Para el dado rojo: P (6 ) = 1 6 , P ( no 6 ) = 5 6 Para el dado azul: P (6 ) = a P(doble 6) = P(6, 6) 1 = 6 1 6 36 6 6 = 6 36 c P(exactamente un 6) 5 P(6, no 6) = 5 Que no salga un seis en un dado y en el otro son sucesos independientes. b P(ningn 6) = P(no 6, no 6) 5 5 25 = 6 , P ( no 6 ) = Que salga un seis en un dado y en el otro son sucesos independientes, as que hay que multiplicar las probabilidades. 1 = 1 Hay dos formas en que esto puede suceder: (6, no 6) o (no 6, 6) 36 5 P(no 6, 6) = 36 P(exactamente un 6) = d P(al menos un 6) = 5 36 1 + 36 5 + 36 11 = 36 5 36 5 + 36 10 = 36 En lugar de escribir P(6, no 6), podemos escribir P(6, 6). Sumar las probabilidades P(al menos un 6) = P(6, no 6) + P(6, 6) + P(no 6, 6) Observe que P(al menos un 6) = 1 P(ningn 6). Captulo 8 367 Tambin podemos usar diagramas de rbol para calcular probabilidades condicionadas. Ejemplo 7 Para el experimento del ejemplo 16, halle la probabilidad de que, sabiendo que sali al menos un seis, el dado rojo haya salido seis. Respuesta P(seis en el dado rojo | sali al menos un seis) P (seis en el dado ro j o y sali al m eno s un seis) = = P (sali al m eno s un seis ) Usar la defnicin de probabilidad condicionada P (6, 6) + P (6, no 6 ) P (6 , 6) + P (6, no 6) + P (no 6, 6 ) 5 1 + 36 36 6 = 5 5 = 1 1 = 0, 5 45 1 + + 36 36 36 Leer las probabilidades de la ltima columna del diagrama de rbol del ejemplo 16 Usar la calculadora de pantalla grfca (en adelante, CPG) para hacer este clculo: dar la respuesta como una raccin o redondeando a tres ciras signifcativas Ejercitacin 8O 1 Una bolsa contiene seis bolas rojas y cinco bolas azules. Se elige una bola al azar. Se anota su color y luego se pone de vuelta en la bolsa. Luego se elige una segunda bola al azar. a Halle la probabilidad de que se elija exactamente una bola roja. b Halle la probabilidad de que se elija al menos una bola azul. c Halle la probabilidad de que se elija una bola de cada color. d Si se eligi una bola de cada color, cul es la probabilidad de que la segunda sea una bola azul? Estas son probabilidades e Si al menos una de las dos bolas fue azul, cul es la condicionadas. probabilidad de que la primera haya sido una bola azul? 2 En un dado de 5 caras estas se numeran 1, 2, 3, 4, 5. Se tira dos veces. a Halle la probabilidad de que salga exactamente un nmero primo. b Halle la probabilidad de que salga al menos un nmero primo. c Sabiendo que ha salido al menos un nmero primo, halle la probabilidad de que hayan salido dos nmeros primos. d Sabiendo que ha salido al menos un nmero primo, halle la probabilidad de que en el primer dado haya salido un nmero primo . 3 Para llegar al trabajo debo atravesar dos semforos, primero en la Avenida Sexta y luego en la calle Larga. La probabilidad de demorarme en la avenida Sexta es 3 7 y la probabilidad de demorarme en la calle Larga es . 5 10 Dibuje un diagrama de rbol para mostrar las posibles demoras en mi trayecto al trabajo. Halle la probabilidad de que me demore solo una vez. b Halle la probabilidad de que no me demore. c Sabiendo que me he demorado exactamente una vez, cul es la probabilidad de que haya sido en la Avenida Sexta? d Sabiendo que me he demorado, cul es la probabilidad de que haya sido en la Avenida Sexta? a 368 Conjuntos y probabilidad 4 Una proesora, en su viaje al colegio, tiene que pasar por dos semoros (A y B). Las probabilidades de que pare en estos son 2 1 y respectivamente. Las demoras 7 3 correspondientes son de 1 minuto y 3 minutos. Sin estas demoras su viaje dura 30 minutos. Dibuje un diagrama de rbol para ilustrar estas posibles demoras. a Halle la probabilidad de que el viaje no dure ms de 30 minutos. b Halle la probabilidad de que la proesora tenga solo una demora. c Sabiendo que la proesora se ha demorado, cul es la probabilidad de que haya sucedido en A? d Un da determinado, la proesora tiene solo 32 minutos para llegar al colegio a tiempo. Halle la probabilidad de que llegue tarde. 5 La probabilidad de que llueva el da de hoy es 0,2. Si hoy llueve, la Material de ampliacin disponible en lnea: Hoja de probabilidad de que llueva maana es 0,15. Si hoy no llueve, ejercicios 8: un juego entonces la probabilidad de que no llueva maana es 0,9. a Halle la probabilidad de que al menos uno de los dos das no llueva. b Sabiendo que al menos uno de los dos das no ha llovido, cul es la probabilidad de que haya sido hoy? c Sabiendo que al menos uno de los dos das no ha llovido, cul es la probabilidad de que no haya llovido en ninguno de los dos das? Problemas sin reposicin Un problema clsico de probabilidad involucra elegir una bola de una bolsa, anotar su color y no reponerla, y luego elegir otra bola. Esto signifca que la probabilidad de elegir la siguiente bola de la bolsa ser dierente de la probabilidad de elegir la primera. Podemos usar un diagrama de rbol para este tipo de problema. Ejemplo 18 En una bolsa hay seis caramelos de menta (M) y dos caramelos de licor (L). Se escoge un caramelo al azar y no se repone en la bolsa . Luego se escoge un segundo caramelo al azar. a Halle la probabilidad de que se haya escogido uno de cada tipo. Este problema del tipo sin b Sabiendo que se ha escogido uno de cada tipo, halle la reposicin utiliza caramelos probabilidad de que el primer caramelo escogido haya sido en lugar de bolas. de menta. Respuestas Primer caramelo Segundo caramelo Resultado Probabilidad 6 8 2 8 5 7 M M, M 2 7 L M, L 6 7 M L, M 1 7 L L, L 6 5 30 = 8 7 56 M 6 2 12 = 8 7 56 2 6 12 = 8 7 56 L Dibujar un diagrama de rbol. Partir el experimento en: 1 Escoger el primer caramelo 2 Escoger el segundo caramelo En la segunda eleccin, solo quedan siete caramelos. Si la primera vez se escoge uno de menta, solo quedan cinco de menta. 2 1 2 = 8 7 56 { Contina en la pgina siguiente. Captulo 8 369 P(uno de cada tipo) = P(M, L) + P(L, M) a = 1 2 + 1 2 = 24 = 3 56 b 56 56 7 P( A B ) P( A | B ) = P( B ) P( A B ) = P( M , L ) = 12 56 = 3 14 Los resultados que corresponden a se escoge uno de cada tipo son (M, L) y (L, M). y P( B ) = 3 7 Sea A el suceso el primer caramelo que se escoge es de menta y sea B el suceso se escoge uno de cada tipo. Entonces necesitamos P(A| B). P(B) es la probabilidad del apartado a. 3 14 = 1 As que, P(A | B) = 2 3 7 Ejercitacin 8P 1 Una bolsa contiene seis bolas rojas y cinco bolas azules. Se escoge una al azar. Se anota su color y no se repone en la bolsa . Luego se escoge al azar una segunda bola. a b c d e 370 Halle la probabilidad de que se escoja exactamente una bola roja. Halle la probabilidad de que se escoja al menos una bola azul. Halle la probabilidad de que se escoja una de cada color. Si se ha escogido una de cada color, cul es la probabilidad de que la azul se haya elegido en segundo lugar? Si se ha escogido al menos una azul, cul es la probabilidad de que la azul se haya elegido en primer lugar? 2 Una bolsa contiene cinco bolgrafos defectuosos y siete que funcionan. Un nio y luego una nia escogen un bolgrafo cada uno. a Cul es la probabilidad de que ambos escojan un bolgrafo defectuoso? b Halle la probabilidad de que al menos uno de los dos escoja un bolgrafo defectuoso. c Sabiendo que se ha escogido exactamente un bolgrafo defectuoso, cul es la probabilidad de que lo haya escogido la nia? 3 Para llegar al colegio puedo tomar una de dos rutas, por la Avenida Simn Bolvar o por la Avenida de Las Amricas. Tomo la Avenida Simn Bolvar en promedio tres veces por semana, en una semana de cinco das. Si tomo esta ruta, la probabilidad de que me demore es 0,25. Si tomo la Avenida de Las Amricas, la probabilidad de que me demore es 0,5. Dibuje un diagrama de rbol que muestre mi viaje al colegio. a Halle la probabilidad de que me demore. b Halle la probabilidad de que vaya por la Avenida de Las Amricas y no me demore. c Sabiendo que me he demorado, cul es la probabilidad de que haya ido por la Avenida Simn Bolvar? d Sabiendo que no me he demorado, cul es la probabilidad de que haya ido por la Avenida de Las Amricas? Conjuntos y probabilidad 4 La probabilidad de que nieve el da de hoy es 0,9. Si hoy nieva, entonces la probabilidad de que nieve maana es 0,7. Sin embargo, si hoy no nieva, entonces la probabilidad de que nieve maana es 0,6. Dibuje un diagrama de rbol que muestre las posibles condiciones del tiempo en estos dos das. Halle la probabilidad de que nieve los dos das. Halle la probabilidad de que nieve exactamente un da. c Sabiendo que nieva exactamente un da, cul es la probabilidad de que sea hoy? d Sabiendo que nieva al menos un da, cul es la probabilidad de que sea hoy? a b 5 Hay ocho discos idnticos en una bolsa, de los cuales cinco son negros y los otros tres son rojos. El experimento aleatorio consiste en escoger de la bolsa un disco al azar, no reponerlo en la bolsa, luego escoger un segundo disco de la bolsa. Halle la probabilidad de que el segundo disco escogido sea rojo. Ejercicio de revisin Preguntas del estilo de la prueba PREGUNTAS TIPO EXAMEN Las actividades que ofrece un colegio son golf (G), tenis (T) y natacin (N). El diagrama de Venn muestra el nmero de personas que participan en cada una de las actividades. a Escriba el nmero de personas que: i Juegan solo tenis ii Juegan al tenis y al golf iii Juegan al menos dos deportes iv No juegan tenis b Copie el diagrama y sombree la parte del diagrama de Venn que representa G N. 1 2 U G T 2 11 6 3 4 1 8 N 4 Se hace una encuesta a un grupo de 40 nios para averiguar qu deporte practican entre los siguientes 3: voleibol (V), bsquetbol (B) o cricket (C ). Los resultados fueron los siguientes: 7 nios no practican ninguno de estos deportes. 2 practican los 3 deportes. 5 practican voleibol y bsquetbol. 3 practican cricket y bsquetbol. 10 practican cricket y voleibol. 15 practican bsquetbol. 20 practican voleibol. a Dibuje un diagrama de Venn para ilustrar la relacin entre los tres deportes practicados. b En su diagrama de Venn, indique el nmero de nios que pertenece a cada regin disjunta . c Halle el nmero de nios que practican nicamente cricket. Captulo 8 371 PREGUNTAS TIPO EXAMEN 3 El siguiente diagrama de Venn muestra los conjuntos U, A, B y C. U A B C Indique si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas, basndose en la informacin provista en el diagrama de Venn. a A C= b C (C B) c C (A B) = d C A e C B= C f (A B) = A B Copie este diagrama de Venn y sombree A (B C ). 4 a A B U C En el diagrama de Venn de la derecha, est dado el nmero de elementos de cada regin. Halle n ((P Q) R). c U es el conjunto de enteros positivos, + . I es el conjunto de nmeros impares. M es el conjunto de mltiplos de 5. Enumere los primeros cuatro elementos del conjunto M. i Enumere los primeros tres elementos del conjunto I M. ii b 5 es el conjunto de los nmeros enteros, es el conjunto de los nmeros racionales, es el conjunto de los nmeros reales. a Escriba un elemento de . b Escriba un elemento de . c Escriba un elemento de . d Escriba un elemento de . e Escriba un elemento de . f Escriba un elemento de . 6 La siguiente tabla muestra el nmero de jugadores de tenis zurdos y diestros, en una muestra de 60 hombres y mujeres. Hombres Mujeres Total Zurdos 8 Diestros 32 Total 40 4 16 20 12 48 60 Si se elige al azar un jugador de tenis de este grupo, halle la probabilidad de que sea: a Mujer y zurda b Hombre o diestro c Diestra, sabiendo que es una mujer 372 P Conjuntos y probabilidad Q 3 2 1 6 5 4 9 R U PREGUNTAS TIPO EXAMEN 7 Una bolsa contiene caramelos: tres rojos, cuatro amarillos y ocho verdes. Marcela escoge al azar un caramelo de la bolsa y lo come. Luego escoge al azar un segundo caramelo. a Escriba la probabilidad de que el primer caramelo escogido sea rojo. b Sabiendo que el primer caramelo no fue rojo, halle la probabilidad de que el segundo haya sido rojo. c Halle la probabilidad de que tanto el primer caramelo escogido como el segundo sean amarillos. 8 Ernesto tira dos dados cbicos. Uno de los dados tiene tres caras rojas y tres caras negras. El otro dado tiene sus caras numeradas del 1 al 6. Usando un diagrama de espacio muestral o de otra manera, halle: a El nmero de todas las combinaciones posibles que pueden salir b La probabilidad de que obtenga una cara negra y un nmero par c La probabilidad de que obtenga un nmero mayor que 4 9 La siguiente tabla muestra el nmero de palabras en las monografas de una clase del IB. Nmero de palabras Frecuencia a b 3100 p < 3400 3400 p < 3700 3700 p < 4000 4000 p < 4300 7 20 18 5 Escriba el grupo modal. Escriba la probabilidad de que un alumno de la clase elegido al azar escriba una monografa con un nmero de palabras en el rango: 4000 p < 4300. El lmite mximo de palabras en una monografa es 4000. Se elige un alumno de la clase al azar. Halle la probabilidad de que: c No escriba una monografa con un nmero de palabras que sea igual o superior al lmite mximo d Escriba una monografa con un nmero de palabras en el rango 3400 p < 3700, sabiendo que el nmero de palabras no es igual o superior al lmite mximo Preguntas del estilo de la prueba 2 PREGUNTA TIPO EXAMEN Sea U = {x | 8 x < 13, x } . P, Q y R son subconjuntos de U tales que: P = {mltiplos de 4} Q = {divisores de 24} R = {nmeros cuadrados} a Enumere los elementos de U. b i Dibuje un diagrama de Venn para mostrar la relacin entre los conjuntos P, Q y R. ii Escriba los elementos de U en lugares apropiados del diagrama de Venn. c Enumere los elementos de: i P R ii P Q R d Describa en palabras el conjunto P Q. e Sombree la regin de su diagrama de Venn que representa a (P R) Q . 1 Captulo 8 373 PREGUNTAS TIPO EXAMEN 2 En un club que tiene 70 socios, cada uno participa o bien los martes en teatro (T), o bien los jueves en deportes (D), o bien ambos das en teatro y deportes. Se encuentra que una semana 48 socios participaron en teatro, 44 participaron en deportes y x socios participaron en teatro y deportes. a i Dibuje y rotule completamente un diagrama de Venn para ilustrar esta informacin. ii Halle el nmero de socios que participaron en teatro y deportes. iii Describa, en palabras, el conjunto que representa (T D). iv Cul es la probabilidad de que un socio elegido al azar participe nicamente en teatro o nicamente en deportes? El club tiene 40 socias, 10 de las cuales participan en teatro y en deportes. b Halle la probabilidad de que un socio del club elegido al azar: i Sea mujer y participe nicamente en teatro o nicamente en deportes ii Sea hombre y participe en teatro y deportes 3 374 Un da determinado, se les pregunta a 50 nios qu tomaron ese da. Se les dan tres opciones: agua (P ), jugo de frutas (Q) o caf (R). 2 nios tomaron nicamente agua. 4 nios tomaron nicamente caf. 12 nios tomaron nicamente jugo de frutas. 3 nios tomaron las tres bebidas. 4 nios tomaron agua y caf nicamente. 5 nios tomaron caf y jugo de frutas nicamente. 15 nios tomaron agua y jugo de frutas nicamente. a Represente la informacin anterior en un diagrama de Venn. b Cuntos nios no tomaron ninguna de las tres bebidas? c Se elige un nio al azar. Halle la probabilidad de que el nio: i Haya tomado jugo de frutas ii Haya tomado agua o jugo de frutas, pero no caf iii No haya tomado jugo de frutas, sabiendo que el nio ha tomado agua d Dos nios se eligen al azar. Halle la probabilidad de que ambos hayan tomado las tres bebidas. Conjuntos y probabilidad PREGUNTAS TIPO EXAMEN 4 Los conjuntos P, Q y R son subconjuntos de U. Estn defnidos de la siguiente orma: U = {enteros positivos menores que 13} P = {nmeros primos} Q = {divisores de 18} R = {mltiplos de 3} a Enumere los elementos (si existen) de: i P ii Q iii R iv P Q R b i Dibuje un diagrama de Venn, mostrando la relacin entre los conjuntos U, P, Q y R. ii Escriba los elementos de los conjuntos U, P, Q y R en los lugares apropiados del diagrama de Venn. c Usando el diagrama de Venn, enumere los elementos de: i ii (P R) iii (P Q) R P (Q R) d Halle la probabilidad de que un nmero del conjunto universal U elegido al azar sea: Un nmero primo i ii Un nmero primo, pero no un divisor de 18 iii Un divisor de 18 o un mltiplo de 3, pero no un nmero primo iv Un nmero primo, sabiendo que el nmero es un divisor de 18 5 Hay dos latas de galletas en una repisa. La lata roja contiene cuatro galletas de chocolate y seis galletas de vainilla. La lata azul contiene una galleta de chocolate y nueve galletas de vainilla. Un nio alcanza la lata roja y aleatoriamente elige una galleta. El nio pone esa galleta nuevamente en la lata, la agita y luego elige otra galleta aleatoriamente. a Dibuje un diagrama de rbol que muestre los posibles resultados. Ubique las probabilidades adecuadas en cada rama del diagrama de rbol. b Halle la probabilidad de que: i Las dos galletas elegidas sean de chocolate ii Una de las galletas sea de vainilla y la otra de chocolate c Un segundo nio elige una galleta de la lata azul. El nio come la galleta y elige otra de la lata azul. El diagrama de rbol de la derecha representa los posibles resultados para este experimento. Escriba los valores de a y de b. i ii Halle la probabilidad de que ambas galletas sean de chocolate. iii Cul es la probabilidad de que al menos una de las galletas sea de vainilla? d Suponga que, antes de que los dos nios llegaran, su hermano hubiera elegido al azar una de las latas de galletas y hubiera sacado de ella una galleta. Calcule la probabilidad de que esta galleta haya sido de chocolate. C 1 10 C V C 9 10 V a b Captulo 8 V 375 PREGUNTA TIPO EXAMEN 6 Los datos de la siguiente tabla se referen a 60 plantas elegidas al azar. Ritmo de crecimiento Clasifcacin por ambiente Desrtico Templado Inundado Total 4 9 13 7 11 18 13 16 29 24 36 60 Alto Bajo Total a i Halle la probabilidad de que una planta sea de un ambiente desrtico. Halle la probabilidad de que una planta tenga un ritmo de crecimiento bajo y su ambiente est inundado. iii Halle la probabilidad de que una planta no sea de un ambiente templado. b Se elige al azar una planta del grupo anterior. Halle la probabilidad de que la planta elegida tenga: i Un ritmo de crecimiento alto o sea de un ambiente inundado, pero no ambos ii Un ritmo de crecimiento bajo, sabiendo que es de un ambiente desrtico c Las 60 plantas del grupo anterior se clasifcaron de acuerdo al tipo de hoja. Se encontr que 15 de las plantas tienen hojas del tipo A, 36 de las plantas tienen hojas del tipo B y 9 tienen hojas del tipo C. Se eligieron al azar dos plantas de este grupo. Halle la probabilidad de que: i Ambas plantas hayan tenido hojas del tipo B ii Ninguna de las dos plantas haya tenido hojas del tipo A ii RESUmEn DEL CAPTULO 8 Teora bsica de cojutos Un cojuto es simplemente una coleccin de objetos. Los objetos se denominan eleetos del conjunto. El nmero de elementos del conjunto fnito A se denota con n(A). Diagraas de Ve 376 El cojuto uiversal (simblicamente, U), debe estar indicado para que un conjunto est bien defnido. Si cada elemento de un conjunto dado, M, tambin es un elemento de otro conjunto, N, entonces M es un subcojuto de N; esto se escribe simblicamente M N. Un subcojuto propio de un conjunto dado es aquel que o es idtico al conjunto original. Si M es un subconjunto propio de N (simblicamente, M N ), entonces: 1 Cada elemento de M tambin est en N 2 Hay uno o ms elementos en N que no estn en M El conjunto vaco es subconjunto de cualquier conjunto. Todo conjunto es un subconjunto de s mismo. Conjuntos y probabilidad Contina en la pgina siguiente. La interseccin del conjunto M y el conjunto N (simblicamente, M N) es el conjunto de todos los elementos que estn en M y en N. La unin del conjunto M y el conjunto N (simblicamente, M N) es el conjunto de todos los elementos que estn en M o en N o en ambos. El complementario de un conjunto M, simblicamente M, es el conjunto de todos los elementos del conjunto universal que no estn en M. El complementario del conjunto universal, U, es el conjunto vaco, . Conceptos bsicos de la teora de probabilidades Si todos los resultados equiprobables de un experimento aleatorio se pueden enumerar y orman U, el conjunto universal, y se defne el suceso A representado con el conjunto A, entonces: P( A ) = n( A ) n (U ) Hay tres consecuencias de esta ley: 1 P(U) 2 = P( ) = n (U ) n (U ) =1 n ( ) =0 n (U ) (La probabilidad de un suceso seguro es .) (La probabilidad de un suceso imposible es 0.) 3 0 P(A) (La probabilidad de un suceso siempre est entre 0 y .) Para sucesos complementarios, P(A) = 1 P(A). Para sucesos combinados, P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). Probabilidad condicionada La probabilidad condicionada de que ocurra A, sabiendo que B ha ocurrido, se escribe P(A| B) y se defne como: P(A| B) = P ( A B) P ( B) Dos casos especiales: sucesos incompatibles y sucesos independientes Los sucesos A y B son incompatibles si y solo si P(A B) = 0. A y B son independientes si y solo si P(A B) = P(A) P(B). Captulo 8 377