ángulos. sistemas de unidades.clasificación.

CLASE 3.ÁNGULOS.
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CONCEPTO DE ÁNGULOS.
REPRESENTACIÓN GRÁFICA Y MEDIDA.
CONVERSIÓN ENTRE SISTEMAS DE UNIDADES DE MEDIDAS.
CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS.
Un ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el
mismo punto de origen. Suelen medirse en unidades tales como el radián, el
grado sexagesimal o el grado centesimal.
Se denomina ángulo a la amplitud entre dos líneas de cualquier tipo que
concurren en un punto común llamado vértice. Coloquialmente, ángulo es la
figura formada por dos líneas con origen común.
Los ángulos se pueden medir mediante utensilios tales como el goniómetro, el
cuadrante, el sextante, la ballestina, el transportador de ángulos o semicírculo graduado,
etc.
Es la figura formada por 2 semirectas que parten de un mismo punto. Las semirectas se
llaman lados y el punto común vértice.
a) Una letra
mayúscula en el
vértice.
b) Una letra griega o
un símbolo en la
abertura.
c) Tres letras
mayúscula.
Notación: Un ángulo se denota de la siguiente forma:
Al medir un ángulo se hace contra el movimiento de las manecillas de un reloj, en este
caso se considera un ángulo positivo.
SISTEMAS DE UNIDADES PARA MEDIR ÁNGULOS
Sistema Sexagesimal
Este sistema de medir ángulos es el que has empleado durante tus primeros estudios; en él, la
circunferencia se ha dividido en 360 partes iguales llamadas grados, el grado en 60 partes
iguales llamadas minutos y el minuto en 60 partes iguales llamadas segundos. Así,
Un grado sexagesimal es la medida del ángulo central de un círculo,
de amplitud igual a la 360 ava parte del mismo.
Sistema Centesimal
En este sistema la circunferencia se considera dividida en 400 grados, cada grado en 100
minutos y cada minuto en 100 segundos. A estos grados se les llama grados centesimales. Las
abreviaturas son: grados centesimal (g.c.); minuto centesimal (m.c.), y segundo centesimal
(s.c.). Así,
Un grado centesimal es la medida del ángulo central de un círculo,
de amplitud igual a la 400 ava parte del mismo.
Sistema Circular
Este sistema se forma y define de la manera siguiente: en una circunferencia cualquiera se
señala un arco de longitud igual al radio de la circunferencia y se trazan los radios
correspondientes a cada extremo del arco; el àngulo central que forman estos dos radios se
llama radián; el radián se divide decimalmente, es decir, en décimos, centésimos, milésimos,
etc. Así,
El radian es el ángulo central subtendido por un arco igual
a la longitud del radio del círculo
CONVERSIÓN DE MEDIDAS DE ÁNGULOS
Un radián se define como la medida de un ángulo central cuyos lados cortan un arco de
igual longitud al radio del círculo. Ya que la longitud de este arco es igual a un radio del
círculo, se dice que la medida de este ángulo es un radián y equivale a 57.296º.
Como puedes observar, en 360° caben exactamente:
6 radianes completos + 0.283 de radian, es decir: 6.283 radianes:
El uso de radianes en vez de grados ayuda a simplificar muchas fórmulas
trigonométricas.
1) Para convertir de grados a radianes, se multiplica por
se simplifica. Es decir:
y se divide entre 180º; y
2) Para convertir de radianes a grados, se multiplica por 180º y se divide entre
y se simplifica. Es decir:
EQUIVALENCIAS ENTRE GRADOS SEXAGESIMALES Y RADIANES
Grados
Radianes
;
Clasificación de ángulos
Los ángulos, de acuerdo con su amplitud, reciben estas denominaciones:.
Tipo
Ángulo plano
Ángulo agudo
Descripción
Es el ángulo formado por dos semirrectas coincidentes, por lo
tanto su abertura es nula, o sea de 0°.
Es el ángulo formado por dos semirrectas con amplitud mayor
de 0 rad y menor de
rad.
Es decir, mayor de 0° y menor de 90° (grados sexagesimales),
o menor de 100g (grados centesimales).
Ángulo recto
Un ángulo recto es de amplitud igual a
rad
Es equivalente a 90° sexagesimales (o 100g centesimales).
Los dos lados de un ángulo recto son perpendiculares entre sí.
La proyección ortogonal de uno sobre otro es un punto, que
coincide con el vértice.
Ángulo obtuso
Un ángulo obtuso es aquel cuya amplitud es mayor a
menor a rad
rad y
Mayor a 90° y menor a 180° sexagesimales (o más de 100g y
menos de 200g centesimales).
Ángulo llano, extendido o
colineal
El ángulo llano tiene una amplitud de
rad
Equivalente a 180° sexagesimales (o 200g centesimales).
Ángulo completo
o perigonal
Un ángulo completo o perigonal, tiene una amplitud de
rad
Equivalente a 360° sexagesimales (o 400g centesimales).
Galería de ángulos
EJERCICIOS RESUELTOS.
1. Al convertir 135º a radianes se obtiene:
a)
b)
c)
d)
Solución:
Se multiplica 135º por el factor
, y la fracción resultante se simplifica, entonces:
La respuesta correcta corresponde al inciso "b".
2. Al convertir
a grados se obtiene:
a) 36º
b) 86º
c) 120º
d) 60º
Solución:
Se multiplica
por el factor
, es decir:
La respuesta correcta corresponde al inciso "a".
3. Al convertir 210º a radianes se obtiene:
a)
b)
c)
d)
Solución:
Se multiplica 210º por el factor
, y la fracción resultante se simplifica, entonces:
La respuesta correcta corresponde al inciso "c".