Matemáticas2(2)OrtizOrtiz

MATEMATICAS
segunda edición
Ortiz Ortiz Ortiz
Serie integral
por competencias
1
2
segunda
edición
Francisco José Ortiz Campos
Francisco Javier Ortiz Cerecedo
Fernando José Ortiz Cerecedo
primera edición ebook 2014
Francisco José Ortiz Campos
Francisco Javier Ortiz Cerecedo
Fernando José Ortiz Cerecedo
primera edición ebook 2014
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Renacimiento 180,
Col. San Juan Tlihuaca,
Grupo Editorial Patria®
División Bachillerato, Universitario y Profesional
Dirección editorial: Javier Enrique Callejas
Coordinación editorial: Alma Sámano Castillo
Diseño de interiores y portada: Juan Bernardo Rosado Solís
Supervisor de preprensa: Miguel Ángel Morales Verdugo
Diagramación: Juan Castro Salgado
Ilustraciones: Gustavo Vargas Martínez y Jorge Antonio Martínez Jiménez
Fotografías: Thinkstock
Matemáticas 2.
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Serie integral por competencias
Derechos reservados:
©2014, Francisco José Ortiz Campos
Francisco Javier Ortiz Cerecedo
Fernando José Ortiz Cerecedo
©2014, Grupo Editorial Patria, S.A. de C.V.
Fax pedidos:
sitio web:
www editorialpatria com mx
ISBN ebook: 978-607-438-996-8
Renacimiento 180, Col. San Juan Tlihuaca,
Delegación Azcapotzalco, Código Postal 02400, México, D.F.
Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana
Registro núm. 43
Queda prohibida la reproducción o transmisión total o parcial del contenido de la presente obra en
cualesquiera formas, sean electrónicas o mecánicas, sin el consentimiento previo y por escrito del editor.
Impreso en México / Printed in Mexico
teléfono:
Primera edición ebook: 2014
Grupo Editorial Patria®
Contenido
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII
Competencias genéricas del Bachillerato General . . . . . . . . . . . .
XI
Competencias disciplinares básicas del campo de las
Matemáticas 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
XI
Las secciones de tu libro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XII
BLOQUE
1
BLOQUE
2
BLOQUE
3
BLOQUE
4
BLOQUE
5
zas, ángulos, triángulos y
relaciones métricas
1.1 Ángulos .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
1.2 Triángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
1.3 Propiedades relativas de los triángulos. . . . . . . . . . . . . . . . .
28
2.1
Criterios de congruencia .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
3.1
Criterios de semejanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
3.2
Teorema de Tales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
3.3
Teorema de Pitágoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
4.1 Polígonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
4.2 Elementos y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
4.3 La suma de los ángulos centrales,
interiores y exteriores .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
4.4 Perímetro y área de polígonos regulares e irregulares .
82
mprendes la congruencia
de triángulos
Resuelves problemas de
semejanza de triángulos y
teorema de Pitágoras
econoces las propiedades
de los polígonos
5.1
Circunferencia .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
Empleas la circunferencia
V
Contenido
6.1 Sistema sexagesimal y circular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
BLOQUE
6
6.2 Funciones trogonométricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
Describes las relaciones
trigonométricas para
resolver triángulos
rectángulos
6.3 Razones trigonométricas directas y
recíprocas de ángulos agudos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
6.4 Cálculo de valores de las funciones trigonométricas
para 30°, 45° y 60° y sus múltiplos .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6.5 Resolución de triángulos rectángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
BLOQUE
7
BLOQUE
8
BLOQUE
9
BLOQUE
10
7.1 Funciones trigonométricas en el plano cartesiano . . . . 131
Aplicas las funciones
trigonométricas
7.2 Círculo unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
7.3 Gráfica de las funciones seno, coseno y tangente . . . . . . 139
8.1 Leyes de senos y cosenos .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
Aplicas las leyes de senos
y cosenos
9.1 Población . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
9.2 Muestra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
Aplicas la estadística
elemental
9.3 Medidas de tendencia central para datos
no agrupados y agrupados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
9.4 Medidas de dispersión: para datos
agrupados y no agrupados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
10.1 Probabilidad clásica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
Empleas conceptos
ementales de probabilidad
Glosario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
Bibliografía. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
Vínculos en Internet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
VI
Grupo Editorial Patria®
Introducción
a la asignatura y a tu libro
Francisco José Ortiz Cerecedo
Francisco Javier Ortiz Cerecedo
Fernando José Ortiz Cerecedo
El contenido temático de la segunda edición de Matemáticas 2 para bachillerato general se ha modificado para
adecuarlo al programa vigente de la asignatura.
Esta obra se desarrolla en diez bloques que son:
Bloque 1
Utilizas ángulos, triángulos y relaciones métricas
En este bloque se parte de conceptos preliminares de la geometría con el propósito de introducir el lenguaje y la
notación que nos permita comunicarnos. Se presenta la clasificación de los ángulos. También se trata la clasificación de los triángulos por la medida de sus lados y de sus ángulos.
Bloque 2
Comprendes la congruencia de triángulos
Se estableen los criterios de congruencia de triángulos y la relación de igualdad que existe entre los elementos de
triángulos congruentes.
Bloque 3
Resuelves problemas de semejanza de triángulos y teorema de Pitágoras
A partir de la identificación de las características de triángulos semejantes se enuncian los criterios de semejanza
de triángulos. Se trata lo relacionado con los teoremas de Tales y de Pitágoras y se describen relaciones de proporcionalidad entre los catetos y la altura trazada sobre la hipotenusa.
Bloque 4
Reconoces las propiedades de los polígonos
Las propiedades de los polígonos se aplican para clasificarlos en regulares e irregulares. También se les clasifica en
cóncavos y convexos señalando algunas de sus propiedades y elementos. Se establecen relaciones y propiedades
de los ángulos en los polígonos regulares.
VII
Introducción a la asignatura y a tu libro
Bloque 5
Empleas la circunferencia
Se hace la distinción conceptual entre círculo y circunferencia. Se describen las propiedades de los elementos
asociados a la circunferencia así como de de las características y propiedades de los diversos tipos de ángulos de
la circunferencia.
Bloque 6
Describes las relaciones trigonométricas para resolver triángulos rectángulos
Inicia con las medidas angulares y circulares. Se definen las funciones trigonométricas directas y recíprocas
de ángulos agudos y también las cofunciones de ángulos complementarios. Se determinan los valores de las
funciones para ángulos de 30°, 45° y 60°. Se trata la solución de triángulos rectángulos.
Bloque 7
Aplicas las funciones trigonométricas
Se identifica e interpreta las funciones trigonométricas en el plano cartesiano y ubica el ángulo de referencia para
ángulos situados en los cuadrantes II, III y IV
V A continuación se hace la determinación de las funciones para cualquier
ángulo y en particular para los ángulos cuadrantales. En el círculo unitario se reconoce a las funciones trigonométricas
como funciones de un segmento y se trata la variación y comportamiento gráfico de las funciones trigonométricas.
Bloque 8
Aplicas las leyes de senos y cosenos
Se identifican las leyes de senos y cosenos y se aplican a la resolución de triángulos oblicuángulos.
Bloque 9
Aplicas la estadística elemental
Inicia con los orígenes de la estadística, su definición así como de sus elementos. Se procede a la clasificación de
variables. Se trata lo relacionado con las tablas de distribución de frecuencias y sus representaciones gráficas. Se
definen las medidas de tendencia central y se dan a conocer sus ventajas y desventajas. Finalmente se definen las
medidas de dispersión.
Bloque 10
Empleas conceptos elementales de probabilidad
Se parte de nociones preliminares para mencionar los orígenes de la probabilidad y dar su definición. Se introducen
elementos de teoría de conjuntos como antecedente de la notación que se utilizará. Se hace la distinción entre elementos aleatorios y deterministas, los diferentes tipos de eventos y su cardinalidad. Se da el concepto de probabilidad
clásica y se aplica. Se introduce el principio de conteo para tratar lo relacionado con ordenaciones y combinaciones
Cada bloque inicia con su nombre e incluye: objetos de aprendizaje, las competencias a desarrollar, los desempeños del estudiante al concluir el bloque, una introducción, una propuesta de trabajo, un conjunto de ejercicios y
problemas como propuestas de situaciones didácticas.
Además de lo anterior cada bloque tiene las secciones:
¿Qué sabes hacer ahora? (evaluación diagnóstica)
Para tu reflexión
Actividades de aprendizaje
Aplica lo que sabes
Instrumentos de evaluación
VIII
Grupo Editorial Patria®
¿Qué sabes hacer ahora (evaluación diagnóstica) nos permitirá saber el nivel de conocimientos con los que cuenta el estudiante. La actividad de aprendizaje nos permite conocer el grado de avance en el proceso de enseñanzaaprendizaje para hacer los ajustes necesarios. La sección Instrumentos de evaluación nos permite establecer una
comparación entre el inicio y el final del estudio de cada bloque.
En esta obra se dan a conocer algunos lineamientos de carácter general sobre la metodología de trabajo de acuerdo al enfoque por competencias. Para ello se parte de ejemplos concretos en los que se explica cada una de las
partes que integran la propuesta. A continuación se presentan problemas que se pueden considerar como situaciones didácticas para efectos del diseño de propuestas de trabajo con los alumnos. El enfoque por competencias
considera la aplicación del conocimiento para resolver situaciones específicas. En ese proceso entran en juego las
habilidades, capacidades, valores, etc., de los sujetos en quienes se desea desarrollar una competencia específica.
La experiencia adquirida en la práctica educativa nos ha enseñado que debemos partir de lo que el alumno sabe
para consolidar y aplicar su conocimiento. La propuesta de trabajo en esta obra consiste en presentar problemas
concretos a resolver por el alumno. En el caso de que el estudiante no pueda resolver el problema planteado se le
apoyará con teoría y ejemplos resueltos. Hecho lo anterior podrá regresar a resolver el problema planteado.
Persiste el propósito de apoyar a docentes y estudiantes en sus respectivas actividades.
Para el y la docente ofrece una metodología de trabajo acorde con el enfoque por competencias. Al inicio de cada
bloque se presentan propuestas de actividades que incluyen los siguientes puntos:
Competencia
Es la competencia a desarrollar de acuerdo al programa.
Situación didáctica
Constituye la dificultad a resolver por el alumno, de manera que éste ponga en juego sus aptitudes, capacidades,
habilidades, destrezas, valores, etcétera.
Secuencia didáctica
Se refiere a las acciones a realizar por el alumno tanto en forma individual como por equipo.
Las preguntas que se incluyen para realizar la investigación pueden orientar al alumno sobre las acciones a desarrollar para resolver la situación didáctica.
En el trabajo a realizar por el alumno, individual y por equipo, se describen las acciones a realizar.r Estas acciones
tendrán un peso en la evaluación.
Evaluación por producto
Aunque se pueden utilizar diferentes formas de evaluación, la evaluación por producto evidencia el grado de
avance del alumno en el desarrollo de una competencia.
Rúbrica de evaluación
Incluye los elementos considerados para la evaluación. Se trata de hacer transparente los criterios de evaluación de
manera que el alumno sepa cómo se le asignó una calificación.
Los grupos de ejercicios y problemas que se proponen como situaciones didácticas son de dificultad creciente,
debidamente seleccionados y jerarquizados para favorecer el avance en el proceso de aprendizaje y facilitar en el
y la estudiante la autoevaluación.
IX
Introducción a la asignatura y a tu libro
Esta obra proporciona la información teórica en un lenguaje accesible que induce al autoaprendizaje a través de la
comprensión de los conceptos y su respectiva aplicación en la resolución de situaciones problemáticas concretas.
Con ello se pretende que el y la estudiante adquieran la seguridad y confianza necesarias para enfrentar con éxito
los retos que representan las situaciones didácticas propuestas, las cuales tienen cierta analogía con los ejemplos
resueltos. Una vez que el y la estudiante puedan establecer relaciones entre el conocimiento que poseen y el nuevo
que se les plantea, por ejemplo en un problema, estarán en condiciones de proponer el modelo matemático cuya
solución resuelve el problema y, además, podrán analizar la estructura básica de los problemas que se les formulen,
así como transitar el camino que conduce de una situación conocida a una nueva.
A través de la obra se revisan y afirman conceptos del nivel medio básico que son antecedentes necesarios para
introducir y desarrollar los conceptos que corresponden al nivel medio superior.r
Esperamos que esta obra sea un apoyo y una herramienta para el proceso de enseñanza-aprendizaje, por lo mismo
recibiremos con agrado todas las sugerencias que permitan mejorarla y enriquecerla.
Francisco José Ortiz Campos
Francisco Javier Ortiz Cerecedo
Fernando José Ortiz Cerecedo
X
Grupo Editorial Patria®
Competencias genéricas del Bachillerato General
Las competencias genéricas son aquellas que todos los bachilleres
deben estar en la capacidad de desempeñar, y les permitirán a los
estudiantes comprender su entorno (local, regional, nacional o
internacional) e influir en él, contar con herramientas básicas para
continuar aprendiendo a lo largo de la vida, y practicar una con-
vivencia adecuada en sus ámbitos social, profesional, familiar, etc.,
por lo anterior estas competencias construyen el Perfil del Egresado del Sistema Nacional de Bachillerato
A continuación se enlistan las competencias genéricas:
1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue.
2. Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación de sus expresiones en distintos géneros.
3. Elige y practica estilos de vida saludables.
4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.
5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.
6. Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva.
7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.
8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.
9. Participa con una conciencia cívica y ética en la vida de su comunidad, región, México y el mundo.
10. Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prácticas sociales.
11. Contribuye al desarrollo sustentable de manera crítica con acciones responsables.
Competencias disciplinares básicas del campo
de las Matemáticas
Competencias disciplinares básicas
Bloques de Matemáticas 2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de
procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos, y variacionales para la
comprensión y análisis de situaciones reales hipotéticas o formales.
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
2. Formula y resuelve problemas matemáticos aplicando diferentes enfoques.
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos y los contrasta
con modelos establecidos o situaciones reales.
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos,
analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las
tecnologías de la información y la comunicación.
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
7. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o
fenómeno y argumenta su pertinencia.
X
X
8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y
científicos.
X
X
5. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para
determinar o estimar su comportamiento.
6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes
del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean.
X
X
X
X
X
X
X
X
XI
Las
Secciones deTu libro
Inicio de bloque
Objetos de aprendizaje
En los objetos de aprendizaje encontrarás
los contenidos estructurados, integrados y
contextualizados con una secuencia lógica
y disciplinar, y que son de gran relevancia y
pertinencia al nivel educativo en el que te
encuentras.
Competencias a desarrollar
Se trata de una conjunción de competencias
disciplinares a lograr en cada bloque, que te
permiten demostrar la capacidad que tienes
para aplicar tus conocimientos en situaciones
de la vida personal o social, ya que al mismo
tiempo pondrás en práctica tus destrezas,
habilidades y actitudes.
¿Qué sabes hacer ahora?
Esta sección constituye una
propuesta de evaluación
diagnóstica que te permitirá
establecer las competencias
y conocimientos con los que
cuentas, para así iniciar la
obtención de conocimientos y
capacidades nuevas.
Desempeños por alcanzar
Estos desempeños son los
que se espera que logres al
finalizar cada bloque, te posibilitan poner en práctica tus
conocimientos, habilidades y
actitudes al realizar cada una
de las actividades propuestas
en este libro.
Situación didáctica
¿Cómo lo resolverías?
En cada bloque iniciamos con una situación didáctica que bien puede
ser resolver un problema, realizar un experimento, un proyecto, una
investigación o una presentación, o bien elaborar un ensayo, un video,
un producto, una campaña o alguna otra actividad que permita que
adquieras un conocimiento y competencias personales o grupales, a
través de un reto.
Secuencia didáctica
¿Qué tienes que hacer?
La secuencia didáctica es una guía para que puedas adquirir los
conocimientos y desarrollar habilidades a través de una metodología
que facilite y dirija tus pasos. Son además descriptores de procesos que
por el análisis detallado que hacen, facilitan tu actividad y tus resultados.
Rúbrica
¿Cómo sabes que
lo hiciste bien?
Las rúbricas son métodos
prácticos y concretos que
te permiten autoevaluarte
y así poder emprender
un mejor desempeño.
Puedes encontrar tanto
actitudinales como de
conocimientos.
Ejercicios
Los ejercicios propuestos en este libro te ayudarán a movilizar y
consolidar los conocimientos adquiridos en situaciones reales o
hipotéticas, mismas que te lle
seguridad y soltura durante tu
Taller y actividad exper
La experiencia que logres a
experimentales y de laborator
llar tus competencias y habilid
situaciones cotidianas, ademá
zaje cooperativo durante el tra
Ejemplos
Es importante mencionar que
diferentes ejemplos y ejercicio
y facilitar tu aprendizaje.
Otras herramientas
Tu libro cuenta también con glosario,
bibliografía, vínculos en Internet, líneas de
tiempo, diagramas, mapas conceptuales
además de atractivas imágenes y otras
muchas secciones y herramientas que te
resultarán muy útiles y complementarán
tu aprendizaje.
Aplica lo que sabes
Está diseñada para que puedas aplicar tus conocimientos a
situaciones de tu vida diaria así como al análisis de problemáticas
en tu comunidad y en el mundo en general, que te servirán para
hacer propuestas de mejoras en todos los ámbitos.
Actividad de aprendizaje
A lo largo del libro encontrarás diferentes actividades de aprendizaje, que de forma breve te permitirán reforzar los conocimientos y
competencias adquiridas a través de preguntas puntuales al desarrollo del bloque.
Para tu reflexión
Tiene el propósito de enriquecer el conocimiento que estás adquiriendo con lecturas adicionales, notas informativas e información
relevante para el tema que estás considerando. Esta información
además de ser útil, te permite contextualizar diferentes perspectivas para la misma información.
Instrumentos de evaluación
Lista de cotejo
Son un conjunto de acciones y propuestas que te permitirán hacer una recolección, sistematización y un análisis de los desempeños y logros obtenidos a través del trabajo que
realizaste durante cada bloque, éstos junto con el portafolio de evidencias, te ayudarán a
obtener mejores resultados en las prácticas de evaluación que realice tu profesor/a.
Portafolio de evidencias
En el libro encontrarás diferentes sugerencias
y actividades que, una vez realizadas, te permitirán construir un gran número de evidencias,
algunas escritas, otras a través de la exposición
de temas o presentación de productos. Es
importante que recuerdes que además de
presentar la información, la manera en que lo
hagas determinará el nivel de calidad con la
que se perciba tu trabajo. Por ello se te invita
siempre a realizar tu mejor esfuerzo.
Rúbrica
Estas te
logrado a
o evidenc
libro. En
aspectos
aprendiza
actitudes
un trabajo en particular. Puedes realizarlas de
manera personal o como coevaluación.
procesos complejos y actualizar de forma
rápida y dinámica la información de todos los
temas del plan de estudios de la DGB.
Utilizas ángulos, triángulos y relaciones métricas
1
B LO Q U E
Objetos de
aprendizaje
1.1 Ángulos
1.2 Triángulos
1.3 Propiedades relativas de los
triángulos
Competencias a desarrollar
„
Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o
gráficas.
„
Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e
interpretar información.
„
Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo como
cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.
„
Elige las fuentes de información y comunicación para un propósito específico y
discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y confiabilidad.
„
Construye hipótesis; diseña y aplica modelos para probar su validez.
„
Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos.
¿Qué sabes hacer ahora?
Responde las siguientes preguntas:
1. Dos ángulos cuya suma es de 90° se llaman: _______________________
__________________________________________________
2. Dos ángulos cuya suma es de 180° se llaman: ______________________
__________________________________________________
Dos ángulos son suplementarios y uno de ellos mide el doble del otro, ¿cuánto
3. mide cada uno? ________________________________________
__________________________________________________
4. Un triángulo que tiene por lo menos dos lados iguales se denomina: _______
__________________________________________________
5. Un triángulo equilátero, ¿también es isósceles? ____________________
__________________________________________________
6. ¿Cuánto suman los ángulos agudos en un triángulo rectángulo? ___________
__________________________________________________
7. Halla el valor de x en
2 x
5 .
3 12
8. Dos ángulos son adyacentes cuando: ___________________________
__________________________________________________
9. En un triángulo dos de sus ángulos miden, respectivamente, 50° y 55°. ¿Cuánto
mide el tercer ángulo? ____________________________________
10. En la siguiente figura l1 // l2 y r es una transversal. Calcula los valores de x y de y.
y
3x – 20°
l1
2x
r
l2
Desempeños por alcanzar
„
Propone la manera de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en
equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos.
„
Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera
reflexiva.
„
Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades
con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.
Identifica diferentes tipos de ángulos y triángulos.
Utiliza las propiedades y características de los diferentes tipos de ángulos y
triángulos, a partir de situaciones que identifica en su comunidad.
Resuelve ejercicios y/o problemas de su entorno mediante la aplicación de las
propiedades de la suma de ángulos de un triángulo.
1
BLOQUE
Utilizas ángulos, triángulos y relaciones métricas
Situación didáctica
¿Cómo lo resolverías?
Investiga qué propiedades del triángulo hacen que se le utilice en múltiples estructuras. Presenta ejemplos de aplicación de esas propiedades.
Secuencia didáctica
Forma equipos para resolver el problema.
Que cada equipo represente mediante dibujos las condiciones del
problema.
Presentan los resultados en plenaria y analicen las formas de resolver el problema.
Cada equipo debe investigar:
1. ¿Qué tipo de figuras geométricas se utilizan en estructuras?
2. ¿Por qué se dice que el triángulo es una figura rígida?, ¿indeformable?
¿Qué tienes que hacer?
Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es
preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a
cabo las rectificaciones que procedan.
Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto de las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de
asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje.
Evaluación por producto
3. ¿Por qué se utiliza el triángulo en estructuras rígidas?
A fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito
de manera muy clara.
4. ¿Cómo están construidas diferentes estructuras rígidas?
En este ejemplo:
Producto a elaborar
Trabajo individual
Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios.
Rúbrica
Para determinar en el triángulo las propiedades que se piden se
deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados,
éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material
utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado,
la forma, las fuentes consultadas, etc. La descripción del procedi4
Modelos de estructuras rígidas en las que se utilice el triángulo.
¿Cómo sabes que lo hiciste bien?
miento por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en
clase 2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo
ello suma un total de 10 puntos.
Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes.
Grupo Editorial Patria®
Situación didáctica
¿Cómo lo resolverías?
Investiga qué tipo de ángulos –complementarios o suplementarios– se utilizan en la estructura de techos de casa, bodegas, almacenes, etcétera. ¿Cómo se utilizan?
Secuencia didáctica
¿Qué tienes que hacer?
Forma equipos para resolver el problema.
Evaluación por producto
Que cada equipo represente mediante dibujos las condiciones del
problema.
A fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito
de manera muy clara.
Presenta los resultados en plenaria y analiza las formas de resolver
el problema.
En este ejemplo:
Cada equipo debe investigar:
Producto a elaborar
Modelo de estructuras para soportar el tejado de una casa.
¿Qué son ángulos complementarios (suplementarios)?
¿Qué nombre se le da a la estructura que soporta el tejado de techos en casas de madera?
¿Qué tipo de triángulos se utilizan en la estructura?
¿Cómo son los ángulos que tienen los triángulos de la estructura?
¿Cuáles son complementarios?
Trabajo individual
Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios.
Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es
preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a
cabo las rectificaciones que procedan.
Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto de las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje.
Rúbrica
Para determinar la estructura los ángulos complementarios que se
piden se deben anexar los conceptos investigados y cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en
el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo
realizado, la forma, las fuentes consultadas, etc. La descripción del
¿Cómo sabes que lo hiciste bien?
procedimiento por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase 2 puntos de tu calificación de la actividad que se
evalúa. Todo ello suma un total de 10 puntos.
Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes.
5
1
BLOQUE
Utilizas ángulos, triángulos y relaciones métricas
Propuestas de diseño para
situaciones didácticas
6 a 9. Representa todos los ángulos de cada figura. Usa tres letras
sólo cuando sea necesario.
1. T
Traza los ángulos que se indican:
a) /PQR
b) /RPQ
Q
Qr
c) /QRP
Q
Qr
r
P
r
R
r
P
Q
Qr
r
R
r
P
r
R
2. Nombra cada uno de los ángulos con una y con tres letras.
R
C
Q
B
A
10. En la siguiente figura representa con tres letras los ángulos numerados.
P
Y
C
R
X
Z
3
4
D
T
B
2 1
O 6
5
A
S
E
3. Menciona el vértice y los lados de cada uno de los ángulos del
ejercicio anterior.
4. En la siguiente figura nombra el vértice y los lados de los ángulos: 1, 2, 3, 4, X,
X Y,
Y Z; después menciona cada uno de estos
ángulos con tres letras.
F
11. Con base en la figura anterior identifica los ángulos que permitan completar correctamente las siguientes igualdades.
a) / AOC 5 / 1 1 / ______
b) / ______ 5 /3 1 /4
c) /AOE 5 / ______ 1 / ______
12. Con base en la figura representa con tres letras los ángulos que
se indican.
/1
E
/2
D
/3
5. En la siguiente figura señala el vértice y los lados de sus ocho
ángulos. Representa cada ángulo con tres letras.
/2 1 /3
/1 1 /2 1 /3
/BAE 2 /1
C
A
3 2
1
B
13. Con un transportador mide los siguientes ángulos hasta el
grado más próximo y anota la medida de cada uno.
6
a) /AOB 5
b) /COD 5
c) /M 5
d) /N 5
e) /a 5
f ) /b 5
Grupo Editorial Patria®
g /1 5
g)
h) /2 5
i) /3 5
B
O
15 a 22. Con base en las siguientes figuras identifica en cada caso
los ángulos agudos, rectos y llanos.
15.
A
16.
C
B
A
D
A
17.
18.
19.
20.
C
B
D
O
C
C
B
N
21.
A
22.
M
B
O
A
23 a 25. Con base en las figuras y utilizando los números correspondientes, menciona todos los pares de ángulos adyacentes.
23.
25.
24.
C
B
1
2
3
4
A
14. Traza los ángulos cuya medida se indica.
a) /AOB 5 78°
b) /EOF 5 32°
c) /MON 5 125°
d) /COD 5 153°
e) /GOH 5 110°
f ) /POQ 5 49°
D
26 a 28. Con base en las figuras y utilizando los números correspondientes, determina todos los pares de ángulos que son:
a) Complementarios
b) Suplementarios
7
1
BLOQUE
Utilizas ángulos, triángulos y relaciones métricas
26.
27.
37. Halla dos ángulos suplementarios tales que:
a)
b)
c)
d)
e)
28.
Uno es el cuádruplo del otro.
Uno sea 20° mayor que el triple del otro.
Uno sea 20° menor que el doble del otro.
Uno sea 36° mayor que el doble del otro.
Uno sea 10° mayor que las 2 partes del otro.
3
38 a 41. Representa los ángulos opuestos por el vértice en cada
figura.
38.
29. Encuentra el complemento de:
a) 15°
d) 30° 259
b) 20°
e) 43° 479
c) 47°
f ) 63° 089
39.
C
30. Determina el complemento de un ángulo que mide:
a) 30°
b) 50°
c) 70°
d) 107° 429
e) 27° 149
f ) 132° 299
32. Determina el suplemento de un ángulo que mide x y completa la tabla siguiente:
40°
60°
75°
50°
15°
A
40.
Suplemento menos
complemento
¿Qué conclusión sugieres?
33. Indica qué clase de ángulo es:
a) El complemento de un ángulo agudo.
b) El suplemento de un ángulo obtuso.
c) El suplemento de un ángulo recto.
36. Halla dos ángulos complementarios tales que:
a) Uno sea el doble del otro.
b) Uno sea 20° mayor que el otro.
c) Uno sea 10° menor que el triple del otro.
d) Uno sea 5° menor que el cuádruplo del otro.
e) Uno sea 6° mayor que el doble del otro.
8
2 1
3 4
B
E
6 5
7 8
D
A
42. En la figura del ejercicio 38, si /AOC 5 40°, determina la medida de los ángulos restantes.
43. En la figura del ejercicio 39, si /BOD 5 130° y /COD 5
50°, halla la medida de los ángulos restantes.
44 a 46. Calcula el valor de los ángulos a y b en cada figura.
44.
45.
40°
x
34. Cuando dos ángulos complementarios son iguales, ¿cuánto
mide cada ángulo?
35. Cuando dos ángulos suplementarios son iguales, ¿cuánto
mide cada uno?
E
41.
C
Suplemento
D
O
D
x°
Complemento
C
A
O
b) x°
a) a°
31. Halla el suplemento de:
B
B
a
4x
b
b
46.
x
2x –
1
b
5°
a
a
5x
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47. Establece la relación que existe entre cada par de ángulos.
E
a) /1 y /4
m
b) /3 y /4
D
c) /1 y /2
d) /4 y /5
2
A
1
e) /AOD y /5
3
4
O 5
m5
n5
51.
n
s
r
q
B
p5
q5
p
r5
s5
l3
l1
l270° l4
C
48. Escribe el nombre de la relación de cada par de ángulos.
a) /1 y /3
b) /4 y /8
c) /1 y /5
d) /4 y /6
e) /3 y /5
f ) /2 y /6
g /2 y /4
g)
h) /1 y /7
i) /5 y /7
j) /3 y /7
k) /2 y /8
l) /6 y /8
a5
b5
52.
c5
d5
53 a 57. Halla los valores de x y y en cada caso y fundamenta las
relaciones establecidas.
53.
1
4
5
8
2
3
x + 22y
x – 22y
6
7
49. Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, determina la palabra que complete correctamente cada uno de los
siguientes incisos:
a) Los ángulos opuestos por el vértice son:
b) Los ángulos correspondientes son:
c) Los ángulos alternos internos son:
d) Los ángulos alternos externos son:
e) Los ángulos colaterales (internos o externos) son:
54.
50 a 52. Con base en la figura y los datos que se dan, calcula el valor
de los ángulos que se indican (l1 // l2 y l3 // l4).
55.
50.
a5
b5
c5
a
b
150°
2xx
y+
10
°
3x – 20°
3x + 36°
5x – 8°
y
143°
c
9
1
BLOQUE
Utilizas ángulos, triángulos y relaciones métricas
b)
56.
x – 22y
4
4y
92°
c)
57.
x+y
x–
61. Traza un triángulo:
2y
150°
58. Da el nombre que, por la magnitud de sus lados, recibe cada
triángulo.
a)
)
a) Rectángulo
b) Acutángulo
c) Obtusángulo
d) Oblicuángulo
e) Rectángulo y escaleno
f ) Rectángulo e isósceles
g Acutángulo y escaleno
g)
h) Acutángulo e isósceles
i) Acutángulo y equilátero
j) Obtusángulo y escaleno
k) Obtusángulo e isósceles
l) Obtusángulo y equilátero
62. Traza la perpendicular del punto P a la recta r.
P
c)
r
P
59. Traza los siguientes triángulos:
a) Escaleno
b) Equilátero
c) Isósceles
d) Equilátero de 4 cm por lado
e) Escaleno de lado 3, 4 y 5 cm
f ) Isósceles de base 3 cm y lados iguales de 5 cm
60. Da el nombre que, por la magnitud de sus ángulos, recibe cada
triángulo.
a)
10
r
63. T
Traza las alturas de los siguientes triángulos e identifica la que
corresponde a cada lado.
a)
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66. T
Traza la mediatriz de los siguientes segmentos.
b)
a)
A
B
64. Determina el punto medio de los segmentos.
a)
b)
A
F
B
E
b)
Y
67. Traza las mediatrices de los lados de los triángulos siguientes e
identifícalas.
a)
X
65. T
Traza las medianas de los siguientes triángulos e indícalas.
a)
b)
b)
c) Da el nombre del punto de intersección de las mediatrices.
68. Traza la circunferencia circunscrita (circunferencia) a los siguientes triángulos.
a)
b)
c) Da el nombre del punto de intersección de las medianas.
11
1
BLOQUE
Utilizas ángulos, triángulos y relaciones métricas
c)
b)
d) Traza la circunferencia que pasa por P,
P Q,
Q R.
3r
71. T
Traza la circunferencia inscrita (incircunferencia) a los siguientes triángulos.
a)
1r
2r
69. T
Traza la bisectriz de los siguientes ángulos.
a)
b)
A
b)
c)
B
70. Traza las bisectrices de los ángulos de los siguientes triángulos
y nómbralas.
a)
12
Grupo Editorial Patria®
Introducción
Como producto del quehacer humano encontramos múltiples y
variadas construcciones que tienen como base figuras geométricas
en las que además de su forma y dimensiones se aplican sus propiedades. En este bloque se abordará lo referente a ángulos y triángulos como un antecedente en el estudio de figuras y cuerpos que se
encuentren en nuestro entorno.
El estudio de la geometría requiere el uso de la vista, de instrumentos de dibujo y medida, así como de la inteligencia.
Mediante la vista podemos identificar en nuestro entorno formas de objetos y algunas de sus propiedades en relación con su
estructura y posición; sin embargo, podemos incurrir en errores
de apreciación debido a ilusiones ópticas, a la agudeza visual o a
la posición del observador. En cuanto a la precisión para apreciar
dichos objetos, intervienen la calidad de los instrumentos de medición o la habilidad para usarlos adecuadamente. Es por ello que la
inteligencia humana, por su capacidad de análisis, de asociación de
ideas y de sucesos para deducir una solución o brindar una nueva
manera de percibir la realidad, constituye el mejor recurso para el
estudio de la geometría.
Como la inducción se basa en una suposición, su proceso no siempre conduce a resultados válidos, aunque sí es una valiosa herramienta para descubrir conclusiones posibles.
El pensamiento sintético (deductivo) parte del establecimiento y
aceptación de ciertos elementos que se consideran indispensables
para construir una estructura o un sistema. A partir de estos elementos se deducen nuevas proposiciones que se incorporan y enriquecen
al sistema. Euclides llamó a esos elementos nociones comunes, en
virtud de que no existe la menor duda en cuanto a su significado. El
método sintético va de lo general a lo particular y se utiliza en lógica,
álgebra, geometría y otras áreas de las matemáticas.
En geometría, punto, recta y plano son términos primitivos en
virtud de que cualquier intento de definirlos implicaría el uso de
términos geométricos menos familiares. A continuación dichos
conceptos se describen pero no se definen.
Punto. El punto geométrico no tiene dimensiones, sólo posición. Para representar el punto geométrico se utiliza el punto
gráfico, que no es el punto geométrico, del mismo modo que
un punto en un mapa representa una ciudad, pero no es la ciudad. El punto geométrico se denota por medio de una letra mayúscula colocada junto al punto grafico.
r"
r#
r$
Recta. La recta se representa con una figura como la siguiente:
Las puntas de la flecha indican que la figura se puede prolongar en
ambos sentidos tanto como se quiera. Para referirse a una recta (notación) se pueden seleccionar dos de sus puntos a los que se asocian
letras mayúsculas. Así el símbolo AB representa una recta que pasa
por los puntos A y B.
A
B
El símbolo AB se lee “recta AB”.
La línea recta también se puede designar (denotar) por medio de
una sola letra minúscula.
m
4
El símbolo m se lee “recta m”.
La línea recta carece de anchura y espesor, sólo tiene longitud.
Conceptos preliminares
Es importante establecer las condiciones que nos permitan usar con
propiedad el lenguaje que emplearemos en este curso, de tal manera
que cuando utilicemos un término geométrico todos tengamos la
misma noción. El lector está familiarizado con cierto vocabulario
geométrico derivado del uso diario y de sus estudios en cursos anteriores. Al igual que en cualquier otra disciplina, el lenguaje técnico
se forma agregando al lenguaje común algunos términos que tienen
un significado específico. Recurriendo al conocimiento intuitivo
que tenemos de algunos términos geométricos, y en algunos casos
más que tratar de dar una definición ilustraremos gráficamente su
significado. De esta manera, además de manejar la misma terminología, introduciremos símbolos con los que se les denota, agregando nuevos elementos que enriquezcan nuestro lenguaje y nos
permitan comunicarnos con claridad.
Plano. La cubierta de una mesa nos da idea de lo que es un plano,
es decir, una superficie llana que se extiende indefinidamente. La
superficie tiene dos dimensiones: longitud y anchura, pero carece
de espesor. Por ello una hoja de papel puede representar un plano,
aun sin serlo, pues por delgada que sea tiene grosor. La sombra que
un edificio proyecta sobre el piso significa una superficie. Un plano
se representa con una figura como la siguiente:
13
1
BLOQUE
Utilizas ángulos, triángulos y relaciones métricas
Figura 1.1
Para denotar un plano se usa una letra mayúscula y puede ser precedida de la palabra plano para evitar la confusión con un punto,
aunque la diferencia se obtiene del contexto.
Sólido
En la siguiente figura se representa un paralelepípedo.
C
D
A
G
E
F
Las figuras geométricas cuyos elementos están dispuestos en una
forma cualquiera en el espacio son el objeto de estudio de la geometría del espacio o tridimensional: longitud, anchura y altura o
profundidad.
Posición de dos rectas en el plano
Dos rectas en el plano pueden estar en alguna de las tres posiciones
siguientes: paralelas, perpendiculares u oblicuas.
Figura 1.2
Dicho cuerpo tiene como características peso, dimensiones, forma,
color, sustancia y ocupa un lugar en el espacio.
Si de todas las características únicamente consideramos su forma y
tamaño, entonces la representación del cuerpo puede ser la siguiente:
Rectas paralelas. Dos rectas en el plano son paralelas cuando la distancia entre ellas es constante. Para trazar paralelas con las escuadras, una de ellas se mantiene fija, usando unos de sus bordes como
directriz, y en la escuadra móvil se utiliza el otro borde para el trazo
de paralelas.
C
D
A
E
Las figuras geométricas cuyas partes están todas en un mismo plano constituyen el objeto de estudio de la geometría plana o bidimensional, es decir, de dos dimensiones: longitud y anchura.
G
F
Figura 1.3
A esta representación se le conoce como cuerpo geométrico,
sólido geométrico o sólido en su denominación sencilla. Sus
dimensiones se pueden determinar midiendo la longitud de A
a B, la anchura de A a D y la altura o profundidad de A a E. Es
conveniente hacer notar que el concepto de sólido se aplica a
un espacio limitado cualquiera, independientemente de que dicho espacio esté ocupado o no, como es el caso de una alberca, ya
sea que esté vacía o llena.
El sólido del ejemplo tiene seis caras que constituyen sus límites.
Cada cara es una superficie. A su vez, cada dos caras adyacentes tienen como límite común a una línea y cada dos líneas adyacentes
tienen como límite común un punto.
14
Figura 1.4
Para denotar rectas paralelas se utiliza el símbolo //. Así a // b se
lee “recta a paralela a la recta b”.
Rectas perpendiculares. Dos rectas en el plano son perpendiculares
cuando al intersecarse forman un ángulo recto. Para trazar perpendiculares con las escuadras, una de ellas se mantiene fija, la otra se
desliza sobre uno de los bordes que forma su ángulo recto y cualquier recta que se trace sobre el otro borde que forma el ángulo
recto de la escuadra móvil será perpendicular a la trazada sobre el
borde que sirve de directriz en la escuadra fija. Las siguientes figuras ilustran el trazo de perpendiculares con escuadras.
Grupo Editorial Patria®
dente que en cada caso se tendrá que utilizar la unidad de longitud
que resulte más conveniente.
En el caso de la figura anterior, no es lo mismo partir de A para llegar a B que partir de B para llegar a A
A, pues en los dos recorridos los
sentidos son opuestos, de manera que como segmentos dirigidos AB
? BA; sin embargo, la distancia es la misma. En la figura anterior el
segmento AB mide 7 cm y para indicarlo escribiremos AB 5 7 cm.
En lo sucesivo, para indicar la medida de un segmento ((AB) escribiremos AB sin el símbolo, pues AB denota el segmento AB, y
AB 5 7 cm denota la medida del segmento AB y, por tanto, AB 5
BA 5 7 centímetros.
Congruencia de segmentos. Dos segmentos son congruentes si tienen la misma longitud, es decir, si tienen la misma medida.
M
A
B
Figura 1.5
Para denotar rectas perpendiculares se utiliza el símbolo '.
BA O
Así MN ' AB se lee “recta MN
N perpendicular a la recta AB”.
Rectas oblicuas. Dos rectas no paralelas en el plano son oblicuas
cuando al intersecarse no forman un ángulo recto, es decir, cuando
no son perpendiculares.
Semirrecta. Una semirrecta o rayo se representa con una figura
como la siguiente:
O
D
Figura 1.8
Como los segmentos AB y CD tienen la misma medida decimos que
son congruentes y lo denotamos AB > CD, que se lee ““AB es congruente con CD”. Si los segmentos no fueran congruentes, es decir,
si no midieran lo mismo, se denotaría AB R CD.
En las canchas de futbol, tenis, volibol, etc, se pueden observar segmentos congruentes.
A
Figura 1.6
La figura indica que el rayo comienza o que tiene su origen en
O, pasa por A en línea recta y se prolonga indefinidamente como
indica la flecha. Una semirrecta o rayo se denota por dos letras
mayúsculas qque corresponden al origen y a un punto del rayo; el
]
símbolo OA se lee “rayo OA”, y representa un rayo que tiene su
origen en O y pasa por el punto A.
m
A
C
Construcciones
Las construcciones se harán con regla y compás, dichos instrumentos se usarán según las siguientes indicaciones:
a) Con la regla se trazarán líneas rectas utilizando uno solo de sus
bordes y en caso de que tenga escala se prescindirá de ésta.
b) El compás se utilizará para trazar circunferencias y transportar distancias.
B
Figura 1.7
A los puntos A y B se les llama extremos del segmento. El segmento
se denota mediante dos letras mayúsculas colocadas en sus extremos, o bien, con una letra minúscula colocada en medio del trazo.
p
o
p
Segmento AB, o bien, AB; segmento o
m o bien m.
Medida de un segmento. Medir un segmento es compararlo con otro
que se toma como unidad de medida. Si tratamos de medir la distancia entre dos ciudades o entre dos puntos de esta hoja, es evi15
1
BLOQUE
Utilizas ángulos, triángulos y relaciones métricas
Algunas construcciones se pueden efectuar por varios procedimientos igualmente válidos, en esos casos se presentará aquella
que a juicio del autor sea la más sencilla, o bien, la que facilite trazos
posteriores.
Todas las construcciones se pueden fundamentar con un razonamiento deductivo, pero para efectos prácticos sólo se dará el procedimiento.
Cuando en alguna construcción se requiera utilizar alguna(s) de
las anteriores, se aludirá a ésta(s) considerando que se domina su
trazo.
Construcción 1
Construir un segmento de recta igual a un segmento dado.
a 2x 1 y
a)
x
w
x
A
y
B
C
D
AD 5 2x 1 y
b 2(x 1 y)
b)
w
x
y
A
B
x+y
C
D
CD 5 x 1 y
AD 5 2(x 1 y)
A
w
B
c) x2y
1
w
A
B’
A’
C
B
AB 5 x; BC 5 y
2
AC 5 x 2 y
Figura 1.9
Sea AB el segmento:
1. En la recta w localiza un punto A9.
2. T
Tomar con el compás la distancia AB.
Construcción 2
3. Con centro en A9 y radio AB trazar el arco 1-2.
Construye una perpendicular a una recta dada en un punto de ésta.
El arco 1-2 corta a la recta w en el punto B9.
A9B9 es el segmento deseado.
3
6
C
5
Ejemplos
4
Dados los segmentos x,
x y,
y traza con aplicación de la construcción 1.
x
y
w
A
P
1
Figura 1.10
Figura 1.11
16
B
2
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Construcción 4
Sea w la recta y P un punto de ella.
1. Con centro en P y un radio conveniente, traza el arco 1-2 que
corte a w en los puntos A y B.
2. Con centro en A y radio mayor que la mitad de AB, traza el
arco 3-4, con centro en B y con el mismo radio trazar el arco
5-6 que corta el arco 3-4 en el punto C.
3. T
Traza la línea que pasa por P y C. PC
C es perpendicular a la recta
w en el punto P.
Observa que PA 5 PB pues son radios de la misma circunferencia
C es la perpeny, por tanto, P es el punto medio del segmento AB. PC
dicular mediatriz del segmento AB, es decir, la perpendicular en el
punto medio del segmento AB.
Construcción 3
Construye una perpendicular a un segmento de recta en uno de
sus extremos sin prolongar el segmento.
3
D
2
A
1
B
C
Figura 1.13
Construye una perpendicular a una recta dada por un punto dado
fuera de ella.
Sea AB el segmento de recta y B el extremo donde se debe construir la perpendicular.
1. Marca el punto 1 más cerca de B que de A
A, en el área próxima
a la recta y arriba de ella.
P
2. T
Traza el arco 2-B-3 con centro en 1 y radio 1 B.
Este arco corta al segmento AB en el punto C.
1
w
2
A
B
5
4
3
C
6
3. Traza la línea que pasa 1 y C y prolóngala hasta que corte el
arco 2-B-3 en el punto D.
4. Traza una recta que pase por B y D.
La recta BD es la perpendicular al segmento AB en el extremo B.
Construcción 5
Construye el punto medio de un segmento (la perpendicular mediatriz de un segmento).
1
Figura 1.12
Sea w la recta y P un punto fuera de ella.
3
C
1. Con centro en P y un radio conveniente, traza el arco 1-2 que
corte a w en los puntos A y B.
2. Con centro en A y radio mayor que la mitad de AB, traza el
arco 3-4; con el mismo radio y centro en B, traza el arco 5-6
que corta al arco 3-4 en el punto C.
M
A
3. T
Traza la línea que pasa por P y C. La recta PC
C es perpendicular
a la recta w
w, la cual pasa por el punto P.
B
D
2
4
Figura 1.14
17
1
BLOQUE
Utilizas ángulos, triángulos y relaciones métricas
Sea AB el segmento de recta del que se requiere determinar su punto medio.
1. Con centro en A y radio mayor que la mitad de AB, traza el
arco 1-2.
2. Con centro en B y el mismo radio anterior, traza el arco 3-4, tomando en cuenta que este arco corta el arco 1-2 en los puntos
C y D.
3. Traza la línea que pasa por C y D.
La recta CD corta el segmento AB en el punto M que equidista
de los extremos A y B; M es el punto medio del segmento AB.
Observa que CD es la mediatriz del segmento AB.
La mediatriz tiene la propiedad de que sus puntos equidistan
de los extremos del segmento.
1.1 Ángulos
Ángulos en el plano
Un ángulo se representa con una figura como la siguiente:
Aplica lo que sabes
Ponte de acuerdo con tus compañeras y compañeros de grupo para
realizar lo siguiente:
Un ángulo diedro está formado por dos planos que se cortan. La medida de un ángulo diedro es la de su ángulo plano.
En una habitación, una puerta que gira sobre sus bisagras forma un
ángulo diedro con la pared; también se forma un ángulo diedro entre
el piso y una pared o bien entre el techo y una pared. Dos paredes
pueden formar un ángulo diedro de 90°.
Con base en lo anterior realiza la siguiente actividad:
En un rincón donde las paredes forman un ángulo recto, coloca dos
espejos planos apoyados en las paredes y entre ellos pon un objeto.
¿Cuántas imágenes del objeto se forman en los espejos?
Si el ángulo entre los espejos es de 60°, ¿cuántas imágenes se forman? Si el ángulo fuera de 45°, ¿cuántas imágenes se formarían? Y si
el ángulo fuera de 30°, ¿cuántas imágenes observarías?
Si se designa con N el número de imágenes y con a la medida del
ángulo que forman los espejos, ¿cuál sería la fórmula para calcular el
número de imágenes?
Figura 1.15
Como puedes observar, el ángulo está formado por la unión de dos
rayos que tienen el origen común al que se le llama vértice del ángulo, donde los rayos son los lados del mismo.
Para nombrar un ángulo se puede usar cualquiera de las formas
siguientes:
Notación:
a) /a o a se lee “ángulo a”.
b) /B o B se lee “ángulo B”
ABC se lee “ángulo ABC”.
c) /ABC o p
p se lee “ángulo CBA”.
d) /CBA o CBA
A
B
a
C
Figura 1.16
Es decir, se puede utilizar una letra minúscula (del alfabeto español o
del alfabeto griego) o un número colocado entre los lados del ángulo y cerca del vértice. También se puede utilizar una letra mayúscula
correspondiente al vértice, o bien, con tres letras mayúsculas, de las
cuales la del vértice se halla y se nombra entre las otras dos.
18
Grupo Editorial Patria®
Cuando dos o más ángulos tienen el mismo vértice, el uso de una
sola letra mayúscula para referirse a uno de ellos crea confusión,
por ello, debe utilizarse alguna de las otras formas de notación.
A
180 unidades iguales llamadas grados (°), donde cada una de
1
ellas corresponde a una amplitud de
de circunferencia. La
360
mayoría de los transportadores tiene la escala de 0 a 180° marcada en dos direcciones del arco.
El uso adecuado del transportador requiere que:
a) El centro del instrumento coincida con el diámetro señalado
por la línea 0°2180°.
D
b) La lectura se haga en la escala cuyo cero está sobre un lado del
ángulo.
B
c) Si el instrumento resulta grande para la medición del ángulo,
se prolongan los lados de éste.
C
Figura 1.17
B
En este caso, al denotar /B no se sabe a qué ángulo se refiere, pues
éste puede ser:
C
/ABD
/DBC
/ABC
Al utilizar las tres letras mayúsculas, la de en medio debe corresponder al vértice.
120
60
30
150
150
30
0
180
0
180
A
A
A
90
60
120
O
C
A
Figura 1.19
B
C
B
C
/ABC
/BAC
Notación:
A
B
Ejemplos
C
/ACB
Figura 1.18
Medida de ángulos. Si se considera al ángulo como resultado de
un movimiento de rotación en el que una semirrecta (lado inicial)
gira alrededor de su origen y recorre el plano hasta coincidir con la
otra semirrecta (lado final), diremos que el valor o magnitud del
ángulo depende de la amplitud de rotación de la semirrecta que lo
ha generado y no de la longitud de sus lados.
En la figura 1.19, el ángulo AOBB mide 120° y el ángulo COBB mide 60°
éste se indica de la siguiente manera: /AOB 5 120°; ángulo COB 5
60°. Es decir, la notación /AOBB (/COB ) se refiere al ángulo (unión de
dos rayos) y la notación /AOB 5 120° (/COB 5 60°) se refiere a un
número, que es la medida del ángulo.
Refiriéndose a la figura 1.19, no es lo mismo que el rayo OAA gire sobre
su origen hasta alcanzar la posición del rayo OB
B (en el mismo sentido en
que giran las manecillas del reloj) a que el rayo OB
B gire sobre su origen
hasta alcanzar la posición del rayo OA
A (en sentido contrario al giro de las
manecillas del reloj), de manera que como ángulos dirigidos serán distintos /AOB
B y /BOA; sin embargo, la amplitud de rotación en ambos casos es la misma en valor absoluto y, por tanto: /AOB 5 /BOA 5 120°.
Para medir un ángulo se usa un instrumento llamado transportador que generalmente tiene forma de semicírculo dividido en
19
1
BLOQUE
Utilizas ángulos, triángulos y relaciones métricas
Congruencia de ángulos. Dos ángulos son congruentes cuando
tienen la misma amplitud, es decir, la misma medida.
B
b
a
O
a es el agudo
a , 90°
b es recto
b 5 90°
A
N
c
O
90° , c ,180°
c es obtuso
M
Figura 1.20
Por ello: /AOB 5 /MON
d
Por su abertura
Clasificación de ángulos. Según su amplitud los ángulos se clasifican como: agudo, recto, obtuso y llano.
Ángulo agudo es aquél cuyo valor es menor de 90°.
Ángulo recto es aquél cuyo valor es de 90°.
Ángulo obtuso es aquél cuyo valor es mayor de 90°, pero menor
de 180°.
Ángulo llano es aquél cuyo valor es de 180°; también se le llama
ángulo de lados colineales, porque sus lados están situados sobre
una misma línea recta. Sin embargo, de ninguna manera se debe
confundir a una línea recta con un ángulo llano.
d es llano
Figura 1.21
Por la posición de sus lados
Opuestos por el vértice
Ángulos opuestos por el vértice. Son ángulos cuyos lados forman
dos pares de rayos opuestos.
Actividad de aprendizaje
Según su amplitud los ángulos se clasifican en:
y
Figura 1.22
20
d 5 180°
Grupo Editorial Patria®
Observación: un punto de una recta la divide en dos rayos opuestos que tienen el origen común.
Los ángulos opuestos por el vértice tienen la propiedad de que sus medidas son iguales, como se demuestra en el teorema correspondiente.
a
La relación de igualdad se establece entre dos cantidades que
expresan el mismo valor numérico; por ello, cuando decimos
segmentos iguales, ángulos iguales, etc., se debe entender que hablamos de la relación que existe entre sus medidas expresadas numéricamente.
a, b, x.
x
Ángulos opuestos por el vértice
1y2
/1 5 /2
3y4
/3 5 /4
x
3
1
3x
x
b
2x + 15°
a
b
x b, a.
x,
2
Figura 1.24
Respuestas:
1. /a 5 55° por ser opuestos por el vértice.
4
/b 1 55° 5 180° por formar un ángulo llano y, por tanto:
Figura 1.23
/b 5 125°
/c 5 125° por ser opuesto por el vértice con el ángulo b.
Actividad de aprendizaje
La respuesta del ejemplo también puede ser planteada de la
siguiente forma:
Los ángulos opuestos por el vértice tienen la propiedad de que sus
medidas son:
/c 1 55° 5 180° y se obtienen los mismos valores calculados
para los ángulos b y c.
Como las literales expresan medidas en grados podemos omitir la
notación al expresar las relaciones y efectuar cálculos.
2. x 1 3 x 5180
por formar un ángulo llano.
4x 5180
x 5 45
a 5 45
por ser opuestos por el vértice con el
ángulo x.
x
b 5 3(45)
Ejemplos
b 5 135º
3. x 1 2x 1 15° 5 180 por formar un ángulo llano.
Ángulos opuestos por el vértice
Con base en que los datos de las siguientes figuras calcula el valor de
los ángulos que se indica en cada caso.
3x 1 15° 5 180
3x 5 165
x 5 55
a
b
c
a 5 55°
por ser opuesto por el vértice con el
ángulo x.
x
b 5 2x 1 15°
por ser opuesto por el vértice.
55°
b 5 2(55°)115°
a, b, c.
b 5 125°
21
1
BLOQUE
Utilizas ángulos, triángulos y relaciones métricas
Adyacentes
Aplica lo que sabes
Ángulos adyacentes. Son dos ángulos que tienen el mismo vértice y un lado común situado entre los lados no comunes.
En nuestro planeta se han generado las condiciones que nos permiten
vivir. Si continuamos alterándolas nos destruiremos. Recordemos que
formamos parte del ambiente en el que vivimos. Cuidémoslo.
C
B
b
a
Investiga sobre la cantidad de agua que le corresponde a cada habitante de nuestro país.
A
O
t ¿Cómo se distribuye la cuota de agua por habitante en el mundo?
a y b son ángulos adyacentes
t ¿Qué lugar ocupa México, a nivel mundial, en la cuota de agua
por habitante?
t ¿Cómo podemos contribuir a una distribución equitativa del agua
en nuestra comunidad y en nuestro país?
B
C
Ponte de acuerdo con tus compañeras y compañeros de grupo para
realizar lo siguiente:
b
D
a
O
A
a y b no tienen el mismo vértice; no son adyacentes
C
B
Por la posición entre dos rectas
paralelas y una secante (transversal)
b
a
O
A
A
a y b no son adyacentes; el lado común O
By O
C
no está entre O
Figura 1.25
Actividad de aprendizaje
Dos paralelas cortadas por una transversal forman ocho ángulos,
cuatro llamados internos, por estar situados dentro de las paralelas
y cuatro llamados externos, por estar fuera de ellas.
Se llaman ángulos correspondientes a los ángulos situados del
mismo lado de la transversal (uno interno y el otro externo).
Los ángulos correspondientes tienen la propiedad de ser congruentes, es decir, sus medidas son iguales, lo cual se demuestra en
el teorema correspondiente.
Dos ángulos que tienen el mismo vértice y un lado común comprendido
entre los lados no comunes se llaman:
4
3
8
7
Figura 1.26
22
5
6
1
2
Grupo Editorial Patria®
En la figura 1.26 son ángulos internos: 2, 3, 5 y 8, externos: 1, 4, 6
y 7.
En la figura 1.26 son pares de ángulos correspondientes:
El /1 es correspondiente con el /5: /1 5 /5.
/1 1 /2 5 180° por formar un ángulo llano, se deduce que:
/5 1 /2 5 180° porque toda la cantidad puede ser sustituida por su igual.
Con un razonamiento análogo al anterior se deduce que:
El /2 es correspondiente con el /6: /2 5 /6.
/3 1 /8 5 180°
El /3 es correspondiente con el /7: /3 5 /7.
Se llaman ángulos colaterales externos a dos ángulos situados
del mismo lado de la transversal (colaterales) y fuera de las paralelas (externos).
El /4 es correspondiente con el /8: /4 5 /8.
Como un recurso de memoria se puede observar que los lados
de dos ángulos correspondientes forman una F en distintas posiciones.
En la figura 1.26 son ángulos colaterales externos: /1 y /6, /4
y /7.
Se llaman ángulos alternos internos los ángulos situados a uno y
otro lado de la transversal (alternos) y dentro de las paralelas (internos).
Los ángulos colaterales externos tienen la propiedad de ser suplementarios.
En la figura anterior son ángulos alternos internos /3 y /5, /2
y /8.
/5 1 /6 5 180° por formar un ángulo llano, se deduce
que:
Con base en la propiedad (demostrable) de que los ángulos correspondientes son congruentes, se puede deducir que los ángulos
alternos internos son congruentes.
/1 1 /6 5 180° porque toda cantidad puede ser sustituida por su igual.
Como /1 5 /5 por ser correspondientes, y por otra parte
/1 5 /3 por ser opuestos por el vértice, se deduce que:
/3 5 /5 por la propiedad transitiva de la igualdad.
Con un razonamiento análogo al anterior se deduce que:
Como /1 5 /5 por ser correspondientes, y por otra parte
Con un razonamiento similar al anterior se deduce que:
/4 1 /7 5 180°
De todo lo anterior se concluye que de los ocho ángulos, cuatro
son congruentes: 1, 3, 5 y 7, los otros cuatro además de ser congruentes entre sí: 2, 4, 6 y 8, son suplementarios de los primeros.
/2 5 /8.
Se puede observar que los lados de dos ángulos alternos internos
forman una Z o una N en diferentes posiciones.
Se llaman ángulos alternos externos a dos ángulos situados a uno
y otro lado de la transversal (alternos) y fuera de las paralelas (exx
ternos). En la figura 1.26 son ángulos alternos externos /1 y /7,
/4 y /6.
Los ángulos alternos externos son congruentes.
Ejemplos
Pares de ángulos formados por dos rectas
paralelas cortadas por una transversal
1. En la siguiente figura identifica los pares de ángulos que son correspondientes, alternos internos, alternos externos, colaterales
internos y colaterales externos.
Como /1 5 /5 por ser correspondientes, y por otra parte
a
/5 5 /7 por ser opuestos por el vértice, se deduce que:
/1 5 /7 por la propiedad transitiva de la igualdad.
b
d c
Con un razonamiento análogo al anterior se deduce que:
e
/4 5 /6
Se llaman ángulos colaterales internos a dos ángulos situados en
el mismo lado de la transversal (colaterales) y dentro de las paralelas (internos). En la figura son ángulos colaterales internos: /2 y
/5, /3 y /8.
Los ángulos colaterales internos tienen la propiedad de ser suplementarios.
f
g
h
Figura 1.27
Correspondientes
/a y /e
/b y /f
Alternos externos
/a y /h
/b y /g
Como /1 5 /5 por ser correspondientes, y por otra parte
23
1
BLOQUE
Utilizas ángulos, triángulos y relaciones métricas
/cc y /h
/d y /g
/dd y /e
Colaterales internos
/c y /f
Alternos internos
/d y / i
/c y /e
Colaterales externos
/aa y /g
/b y /h
x 5 40°
3x 2 20 5 y por ser alternos internos
3(40) 2 20 5 y
120 2 20 5 y
100° 5 y
2x 1 y 5 180° por formar un ángulo llano
2(40) 1 y 5 180°
2. Calcula el valor de los ángulos que se indican en la figura 1.28,
considera que l1 // l2.
80 1 y 5 180°
y 5 100°
Fundamenta cada relación establecida.
c
l1
l2
d
a
b
b x 1 y 5 120° por ser alternos internos
b)
2x 2 y 5 120° por ser opuestos por el vértice
3x 5 240°
x 5 80°
a
a)
h e
g f
x+y
Figura 1.28
Dato: a 5 60°
c 5 60 por ser opuesto por el vértice con a.
e 5 60 por ser correspondiente con a.
g 5 60 por ser alterno externo con a.
d 5 120 porque a y d forman un ángulo llano.
b 5 120 por ser opuestos por el vértice con d.
h 5 120 por ser correspondientes con d.
f 5 120 por ser alterno externo con d.
Calcula los valores de x y y en cada caso y fundamenta las relaciones
establecidas.
a
a)
3x – 20°
2x
y
Figura 1.29
a (3x 2 20°) 1 2x 5 180° por ser colaterales internos
a)
5x 2 20 5 180°
5x 5 200°
24
120°
2x – y
Figura 1.30
Sustituyendo x por 80 en la ecuación:
x 1 y 5 120
80 1 y 5 120
y 5 40°
x 1 y 5 2x 2 y por ser correspondientes
y 1 y 5 2x 2 x
2y 5 x
2x 2 y 5 120 por ser opuestos por el vértice
Sustituyendo x por 2y en la ecuación.
2x 2 y 5 120
2(2y)
y 2 y 5 120
4y 2 y 5 120
3y 5 120
y 5 40°
Sustituyendo y por 40 en 2y 5 x.
x
2(40) 5 x
80° 5 x
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Construcción 6
Complementarios
Construye por un punto dado la paralela a una recta dada.
Ángulos complementarios. Son dos ángulos cuya suma de medidas es de 90°. Cada uno de los ángulos es el complemento del otro.
R
Los ángulos adyacentes con complementarios cuando sus lados
no comunes son perpendiculares.
P
C
D
Q
A
Q
R
B
S
O
Figura 1.33
R
P
C
P
Actividad de aprendizaje
D
Dos ángulos cuya suma de medidas es de 180° son:
Q
A
B
S
Figura 1.31
Actividad de aprendizaje
Sea AB y P la recta y el punto dado, respectivamente.
1. Se traza por P la recta RS que corte a la recta AB en el punto Q.
Q
2. Se construye el ángulo RPD igual al ángulo PQB (se construye
el ángulo QPC
C igual al ángulo PQB), CD es la recta que pasa
por P y es paralela a AB.
Dos ángulos cuya suma de medidas es de 90° son:
Por la suma de sus medidas
Suplementarios
Ejemplos
Ángulos suplementarios. Son dos ángulos cuya suma de medidas es de 180°. Cada uno de los ángulos es suplemento del otro.
Los ángulos adyacentes son suplementarios cuando sus lados no
comunes son colineales, es decir, están en línea recta.
Q
T
O
Ángulos adyacentes, complementarios
y suplementarios.
1. Para cada valor del ángulo halla lo que se pide. Recuerda que 1°
es igual a 60 minutos (609), 90° igual a 89° 609 y 180° igual a
179° 609.
Suplemento
Complemento
Supl. - compl.
a 20°
a)
160°
70°
160°-70° 5 90°
b 60°
b)
120°
30°
120°-30° 5 90°
R
Figura 1.32
25
1
BLOQUE
Utilizas ángulos, triángulos y relaciones métricas
2. Halla el complemento y suplemento de 35° 439.
Complemento 90° 5 89° 609
Suplemento 180° 5 179° 609
35° 439
35° 439
54° 179
144° 179
3. Halla el valor de x en los casos siguientes:
Observación: x representa un número expresado en grados de manera que x 5 45 significa que el valor de x es de 45°.
3x + 20°
°
x
0
+1
x
2x
70°
x
x
Figura 1.34
Soluciones:
x 1 (x
( 110) 5 70°
x 1 x 1 10 5 70°
2x 1 10 5 70°
x 1 2 x 5 90°
3x 5 90°
x1 (3x 1 20) 5 180°
x 1 3x 1 20 5 180°
90 °
3
4x 1 20 5 180°
x 5 30°
4x 5 160°
x5
2x 5 60°
x 5 30°
[ 2x 5 2(30°)
[ x 1 10 5 40°
2x 5 60°
Solución: 30° y 40°
Solución: 30° y 60°
x5
160 °
4
x 5 40°
[ 3x 1 20 5 3(40) 1 20
5 120 1 20
5 140°
Solución: 40° y 140°
4. Si dos ángulos se representan por A y B, plantea la ecuación de cada problema y después halla sus valores.
a ) Los ángulos son complementarios y uno es el cuádruplo del otro.
b Los ángulos son suplementarios y uno es 15° menor que el doble del otro.
b)
Soluciones:
a Datos
a)
Planteo
Operaciones
Solución
A5A
A 1 B 5 90
B 5 4A
A 1 4A 5 90
5A 5 90
A 5 18
A 5 18°
B 5 4A 5 72°
b Datos
b)
A5A
B 5 2A 2 15
26
Planteo
A 1 B 5 180
Operaciones
A 1 2A 2 15 5 180
3A 2 15 5 180
3A 5 195
A 5 65
Solución
A 5 65°
B 5 2A 2 15
5 115°
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1.2 Triángulos
T
Por la medida de sus lados
Un triángulo se representa con una figura como la que se muestra
en la figura 1.35.
Triángulo escaleno es aquel que no tiene lados iguales.
Triángulo isósceles es aquel que tiene por lo menos dos lados
iguales.
Los lados iguales forman un ángulo al que se opone un lado llamado base. El ángulo opuesto a la base se llama ángulo del vértice.
Triángulo equilátero es aquel que tiene sus tres lados iguales.
Nótese que todo triángulo equilátero es isósceles.
Figura 1.35
Como se puede observar, el triángulo está formado por tres puntos no
alineados en el plano y los segmentos que lo determinan, por lo que se
puede decir que un triángulo es una superficie limitada por tres lados.
a≠b≠c
a≠c
Los puntos A,
A B y C se llaman vértices del triángulo. Los segmentos
AB, BC
C y AC
C se llaman lados del triángulo. Los lados forman ángulos que se denotan con la misma letra de cada vértice.
Para nombrar un triángulo se usa el símbolo ∆ y las tres letras de sus vérr
tices, o bien, un número romano colocado en el interior del triángulo.
a 5b
a 5b 5 c
Figura 1.37
Figura 1.36
Por la abertura de sus ángulos
El triángulo de la figura se puede designar por: ∆ABC
∆ C, se lee “triángulo ABC” o ∆I. Cuando se utilizan tres letras, éstas pueden ir en
cualquier orden.
Triángulo rectángulo es el que tiene un ángulo recto. Los lados
que forman el ángulo recto (୾) se llaman catetos y el lado opuesto
a dicho ángulo se llama hipotenusa.
Actividad de aprendizaje
Triángulo obtusángulo es el que tiene un ángulo obtuso.
Según sus lados, los triángulos se clasifican en:
Triángulo acutángulo es el que tiene sus tres ángulos agudos.
Los triángulos obtusángulos y acutángulos reciben el nombre
de triángulos oblicuángulos porque dos de sus lados cualesquiera caen en forma oblicua respecto del tercer lado.
Triángulo rectángulo
Los lados del triángulo también se pueden designar con la letra minúscula del ángulo al que se oponen.
Figura 1.38
Los triángulos se clasifican según sus lados y sus ángulos.
27
1
BLOQUE
Utilizas ángulos, triángulos y relaciones métricas
En la figura 1.41:
a) RS es mediatriz del lado AC,
C biseca al lado AC
C y es perpendicular a él, AM > MC; M es punto medio de AC; AC ' RS.
b) BM
M es la mediana correspondiente al vértice B y M es el punto
medio del lado AC.
Figura 1.39
Triángulo obtusángulo
Bisectriz de un ángulo en general y de un ángulo de un triángulo
es la semirrecta que biseca el ángulo, es decir, divide el ángulo en
dos ángulos congruentes.
Triángulo acutángulo
Figura 1.40
Actividad de aprendizaje
Figura 1.42
Según sus ángulos, los triángulos se clasifican en:
En la figura 1.42, BD es bisectriz del ángulo B, biseca al /B, es decir, /ABD > /BDC.
Altura de un triángulo es el segmento de recta perpendicular que
se traza desde un vértice al lado opuesto (o a la prolongación de
éste).
1.3 Propiedades relativas de los
triángulos
Puntos y rectas notables
Mediatriz de un lado del triángulo (y en general, de un segmento
de recta) es la recta perpendicular a ese lado en su punto medio.
Mediana de un triángulo es el segmento de recta que une un vértice con el punto medio del lado opuesto.
Figura 1.43
En las dos figuras anteriores, BD es la altura correspondiente al vértice B y perpendicular al lado AC
C y la prolongación de AC,
C respectivamente.
Figura 1.41
28
Grupo Editorial Patria®
Circuncentro. Es el punto de intersección de las mediatrices de
los lados de un triángulo. El circuncentro es también el centro de la
circunferencia que contiene a los tres vértices del triángulo.
Ortocentro. Es el punto de intersección de las alturas (o de sus
prolongaciones) de un triángulo.
A
Figura 1.44
Circuncentro (O)
Baricentro (gravicentro o centroide) en el punto de intersección de
las medianas de un triángulo. El baricentro es el centro de gravedad,
es decir, el punto donde está aplicado todo el peso de un cuerpo de
forma triangular cuya masa está uniformemente distribuida; de tal
manera que el cuerpo estará en equilibrio si se apoya en el baricentro.
En esta figura:
AN 5 NC
BM 5 MC
BL 5 LA
Figura 1.45
Baricentro (G)
En la figura 1.45, M,
M N y L son puntos medios, y AM,
M BN
Ny
CL, son las medianas.
Ortocentro (H)
Figura 1.47
Construcción 7
Construye una mediatriz y una mediana en un triángulo dado.
C
Incentro. Es el punto de intersección de las bisectrices de los ángulos interiores del triángulo. El incentro es el centro de la circunferencia inscrita en un triángulo, es decir, la circunferencia interior
que es tangente a los tres lados del triángulo.
A
B
Q
Figura 1.48
Sea ABC
C el triángulo dado y sea AB el lado en el que se construirá
una mediatriz y una mediana.
Figura 1.46
Incentro (I)
1. Se determina PQ
Q que es la mediatriz del lado AB.
M es el punto medio del segmento AB.
29
1
BLOQUE
Utilizas ángulos, triángulos y relaciones métricas
2. U
Unir C con M nos da como resultado CM,
M que es la mediana
correspondiente al lado AB y al vértice C.
Construcción 8
Construye una altura y una bisectriz en un triángulo dado.
C
3. Con centro en el punto D y tomando como radio la distancia
de D a cualquiera de los vértices, se traza la circunferencia que
contiene a los tres vértices del triángulo dado.
Observa que el circuncentro puede quedar dentro del triángulo, fuera de él o sobre uno de sus lados.
Construcción 10
Determina el ortocentro de un triángulo dado.
F
B
D
E
Figura 1.49
Sea ABC
C el triángulo dado en el que se construirá una altura y una
bisectriz.
1. En el vértice C se determina CEE que contiene a CF,
F que es la altura correspondiente al vértice C o a la prolongación del lado AB.
2. En el ángulo B se determina BD, que es la bisectriz correspondiente al ángulo B. La bisectriz se traza con centro en B y un
radio cualquiera se traza un arco 1-2 que corta a los lados del
ángulo B con centro en esos puntos y el mismo radio u otro
cualquiera se trazan arcos que se cortan en D. La bisectriz es la
recta que pasa por B y D.
Construcción 9
Figura 1.51
1. Se determinan las alturas de los vértices del triángulo.
2. El punto de intersección D (ortocentro) de las alturas o de las
prolongaciones de éstas, es el punto deseado.
Construcción 11
Inscribe una circunferencia en un triángulo dado.
Construye una circunferencia circunscrita a un triángulo dado.
Figura 1.52
Figura 1.50
Sea ABC
C el triángulo dado.
1. Se determina la mediatriz correspondiente a cada lado del
triángulo.
2. El punto de intersección de las mediatrices D es el circuncentro y tiene la propiedad de que equidista de los tres vértices del
triángulo dado y es el centro de la circunferencia deseada.
30
Sea ABC
C el triángulo dado:
1. Se determinan las bisectrices de los ángulos del triángulo
dado.
2. El punto de intersección de las bisectrices D (incentro) tiene
la propiedad de que equidista de los lados del triángulo.
3. Con centro en D y aplicación de la construcción 3, se determina DE,
E que es el radio de la circunferencia inscrita.
Observa que el incentro es siempre un punto interior del triángulo.
Grupo Editorial Patria®
Instrumentos de evaluación
Apellido paterno
Apellido materno
Nombre
Grupo
Asegúrate de haber adquirido los contenidos que se abordan en el Bloque 1. Para ello, realiza lo que se te pide a continuación.
1. Hallar dos ángulos complementarios tales que uno sea 20° mayor
que el otro.
6. Las rectas l1 // l2 y r es una transversal. Halla los valores de x y y.
3x + 36°
2. Encuentra dos ángulos suplementarios tales que uno sea 20° mayor que el triple del otro.
3. Traza un triángulo que sea rectángulo e isósceles.
4. En un momento del día, un edificio proyecta una sombra de 16.25
m y un poste de 10 m de alto cercano al edificio proyecta una
sombra de 7 m. Calcula la altura del edificio.
5. Calcula el área de un triángulo cuyos lados miden 43, 48 y 53
metros.
l1
5x – 8°
y
r
l2
7. Dos ángulos son suplementarios y uno es el doble del otro.
8. Dos ángulos son suplementarios y uno es 20° menor que el triple
del otro.
9. Halla dos ángulos suplementarios tales que uno es el cuádruplo
del otro.
31
1
BLOQUE
Utilizas ángulos, triángulos y relaciones métricas
10. Halla dos ángulos complementarios tales que uno es 10° menor
que el triple del otro.
14. Halla dos ángulos suplementarios tales que uno sea 36° mayor
que el doble del otro.
11. Halla dos ángulos complementarios tales que uno sea 20° mayor
que el otro.
12. Halla dos ángulos complementarios tales que uno sea 5° menor
que el cuádruplo del otro.
13. Halla dos ángulos suplementarios tales que uno sea 60° menor
que el doble del otro.
32
15. Halla dos ángulos suplementarios tales que uno sea 10° mayor
que las
2
partes del otro.
3
Grupo Editorial Patria®
Lista de cotejo
Lista de cotejo para el reporte sobre el número de imágenes en dos espejos que forman un ángulo diedro de la sección Aplica
lo que sabes de la pág. 18.
Nombre del alumno:
Presentación
Criterio
cumple
sí
no
Observaciones
1. Cuenta con una carátula que incluye: el nombre del trabajo
que se realiza, la materia, fecha de entrega, nombre del
alumno y su matrícula
2. Tiene una redacción que es adecuada y clara.
3. Tiene buena ortografía o con errores mínimos.
4. El trabajo se elabora en computadora o manuscrito con letra
legible.
5. Las gráficas o dibujos auxiliares se elaboran de un tamaño
adecuado de modo que se puedan apreciar con claridad los
datos obtenidos o las condiciones del problema.
6. Se presenta todo el procedimiento necesario para obtener
los datos o solución que se pide con la justificación
correspondiente.
Desarrollo
7. En el procedimiento se desarrolla una secuencia lógica y
coherente.
8. Se hace referencia a las gráficas o diagramas auxiliares para
apoyar la argumentación del escrito.
9. Se hace la referencia bibliográfica de las notas, definiciones
o conceptos consultados para sustentar teóricamente las
acciones realizadas.
Dominio del
tema
11. Conoce y aplica correctamente el concepto de ángulo diedro.
Conclusiones
10. La investigación se realiza con apoyo en libros y revistas
actualizadas sobre el tema o bien en sitios web cuya
información sea científicamente válida. De incluir citas
textuales, éstas deben ser breves y con la referencia de la
fuente.
14. Obtiene el número de imágenes cuando el ángulo diedro es
de 90°.
12. Da respuesta correcta a las preguntas que surgen de la
actividad que se propone.
13. Obtiene la expresión algebraica de la fórmula para calcular el
número de imágenes.
15. Obtiene el número de imágenes cuando el ángulo diedro es
de 60°.
16. Obtiene el número de imágenes cuando el ángulo diedro es
de 45°.
33
1
BLOQUE
Utilizas ángulos, triángulos y relaciones métricas
Rúbrica
Nombre del alumno:
Excelente
(4)
Aspecto a evaluar
Criterios
Bueno
(3)
Regular
(2)
Deficiente
(1)
Clasificación de los
ángulos en el plano
Identifica los ángulos:
agudo, recto, obtuso y llano
Identifica tres de los
ángulos: agudo, recto,
obtuso y llano
Identifica dos de los
ángulos: agudo, recto,
obtuso y llano
Identifica por lo menos uno
de los ángulos: agudo, recto,
obtuso y llano
Clasificación de
los ángulos por la
posición de sus lados
Identifica ángulos opuestos
por el vértice, adyacentes,
y los que se forman por dos
rectas paralelas cortadas
por una transversal
Identifica por lo menos dos
de los pares de ángulos
formados por la posición de
sus lados
Identifica por lo menos uno
de los pares de ángulos
formados por la posición de
sus lados
No identifica a ninguno
de los pares de ángulos
formados por la posición de
sus lados
Clasificación de los
ángulos por la suma
de sus medidas
Identifica ángulos
complementarios y
suplementarios y realiza
cálculos relacionados con
ellos
Identifica ángulos
complementarios y
suplementarios
Identifica solo a uno de
los dos tipos de ángulos:
complementarios o
suplementarios
No identifica los tipos de
ángulos: complementarios
ni suplementarios
Definición y
clasificación de los
triángulos por la
medida de sus lados
y de sus ángulos
Define y clasifica los
triángulos por la medida de
sus lados y de sus ángulos
y, reconoce los puntos y
rectas notables del triángulo
Define y clasifica los
triángulos por la medida de
sus lados o de sus ángulos
y, reconoce los puntos y
rectas notables del triángulo
Clasifica los triángulos por
la medida de sus lados o de
sus ángulos
No define ni clasifica los
triángulos por la medida de
sus lados y de sus ángulos
y, no reconoce los puntos y
rectas notables del triángulo
En las diferentes actividades que se te pide realices a lo largo de la obra, podrás utilizar el siguiente modelo de registro anecdótico, que te
posibilitará registrar de manera ordenada numerosas actividades. Intégralo a tu portafolio de evidencias cuando tu profesor lo solicite.
Registro anecdótico
Fecha:
Tarea:
Docente:
Registro de actividades
34
Recuperación de avances, dificultades y apoyos requeridos
Grupo Editorial Patria®
Portafolio de evidencias
El portafolio de evidencias es un método de evaluación que consiste en:
r Recopilar los diversos productos que realizaste durante cada bloque (investigaciones, resúmenes, ensayos, síntesis, cuadros comparativos,
cuadros sinópticos, el reporte de prácticas de laboratorio, talleres, líneas de tiempo, entre otros), que fueron resultado de tu proceso de
aprendizaje en este curso.
r No vas a integrar todos los instrumentos o trabajos que realizaste; más bien, se van a integrar aquellos que tu profesor(a), considere son
los más significativos en el proceso de aprendizaje;
r Te permiten reflexionar y darte cuenta de cómo fue tu desempeño durante el desarrollo de las actividades de aprendizaje realizadas.
Etapas para realizar tu portafolio de evidencias
Instrucciones para seleccionar las evidencias
1. Comenta con tu profesor(a) el propósito de tu portafolio y su relación con los objetos de aprendizaje, competencias a desarrollar, desempeños esperados, entre otros elementos; acuerden el
periodo de compilación de los productos (por bloque, bimestre,
semestre).
1. Realiza todas las evidencias y así podrás incluir las que elaboraste
de manera escrita, audiovisual, artística, entre otras.
2. Haz un registro de los criterios que debes considerar al seleccionar tus evidencias de aprendizaje.
3. Todas las evidencias seleccionadas deben cumplir con el propósito del portafolio en cantidad, calidad y orden de presentación.
3. Comentar con tu profesor(a) todas las dudas que tengas.
2. Selecciona aquellas que den evidencia de tu aprendizaje, competencias y desempeños desarrollados, y que te posibiliten reflexionar sobre ello.
Propósito del portafolio de evidencias
Semestre
Observa los resultados del proceso de formación a lo largo del semestre, así como el cambio de los procesos de pensamiento sobre ti mismo y lo que te rodea, a partir del conocimiento de los distintos temas de estudio, en un ambiente
que te permita el uso óptimo de la información recopilada.
Asignatura
Número de bloques
del libro.
Nombre del alumno:
Criterios de reflexión sobre las evidencias
Comentarios del estudiante:
¿Cuáles fueron los motivos para seleccionar las evidencias presentadas?
¿Qué desempeños demuestran las evidencias integradas en este
portafolio?
¿Qué competencias se desarrollan con las evidencias seleccionadas?
¿Las evidencias seleccionadas cumplieron las metas establecidas en el
curso?
¿Qué mejoras existen entre las primeras evidencias y las últimas?
Monitoreo de evidencias
#
Título
Fecha de elaboración
Comentarios del profesor/a:
1
2
3
4
5
35
1
BLOQUE
Utilizas ángulos, triángulos y relaciones métricas
Lista de cotejo
Con base en el documento Lineamientos de Evaluación del Aprendizaje (DGB, 2011), el objetivo de las listas de cotejo es determinar la presencia
de un desempeño, por lo tanto, es necesario identificar las categorías a evaluar y los desempeños que conforman cada una de ellas.
Instrucciones: Marcar con una ✗
✗, en el espacio de acuerdo al desempeño obtenido.
Excelente = 5
Bueno = 4
Regular = 3
Deficiente = 2
Estructura
Sí
No
Sí
No
Sí
No
Sí
No
Sí
No
1. Cuenta con una carátula con datos generales del estudiante.
2. Cuenta con un apartado de introducción.
3. Cuenta con una sección de conclusión.
4. Cuenta con un apartado que señala las fuentes de referencia utilizadas.
Estructura interna
5. Parte de un ejemplo concreto y lo desarrolla hasta generalizarlo.
6. Parte de una situación general y la desarrolla hasta concretizarla en una situación específica.
7. Los argumentos a lo largo del documento se presentan de manera lógica y son coherentes.
Contenido
8. La información presentada se desarrolla alrededor de la temática, sin incluir información irrelevante.
9. La información se fundamenta con varias fuentes de consulta citadas en el documento.
10. Las fuentes de consulta se contrastan para apoyar los argumentos expresados en el documento.
11. Jerarquiza la información obtenida, destaca aquella que considera más importante.
12. Hace uso de imágenes o gráficos de apoyo, sin abusar del tamaño de los mismos.
Aportaciones propias
13. Señala en las conclusiones lo aprendido a través de su investigación y su aplicación a su vida cotidiana.
14. Las conclusiones desarrolladas son de autoría propia.
15. Elabora organizadores gráficos para representar de manera sintética grandes cantidades de información.
Interculturalidad
16. Las opiniones emitidas en el documento promueven el respeto a la diversidad.
Total
36
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Escala de clasificación
La escala de clasificación sirve para identificar la presencia de determinado atributo y la frecuencia que presenta (Lineamientos de evaluación del
Aprendizaje. DGB, 2011).
Este instrumento puede evaluar actividades de aprendizaje, ejercicios, talleres, prácticas de laboratorio, cualquier tipo de exposición, podrá ser
adaptado a las necesidades específicas de cada tema.
Instrucciones: Indica con qué frecuencia se presentan los siguientes atributos durante la dinámica a realizar. Encierra en un círculo el número
que corresponda si: 0 no se presenta el atributo; 1 se presenta poco el atributo; 2 generalmente se presenta el atributo; 3 siempre presenta el atributo.
Contenido
1. Desarrolla los puntos más importantes del tema.
0
1
2
3
2. Utiliza los conceptos y argumentos más importantes con precisión.
0
1
2
3
3. La información es concisa.
0
1
2
3
4. Relaciona los conceptos o argumentos.
0
1
2
3
5. Presenta transiciones claras entre ideas.
0
1
2
3
6. Presenta una introducción y conclusión.
0
1
2
3
7. Utiliza ejemplos que enriquecen y clarifican el tema.
0
1
2
3
8. Incluye material de elaboración propia (cuadros, gráficas, ejemplos) y se apoya en ellos.
0
1
2
3
0
1
2
3
10. La información la presenta sin saturación, con fondo y tamaño de letra idóneos para ser consultada por la
audiencia.
0
1
2
3
11. Se apoya en diversos materiales.
0
1
2
3
12. Articulación clara y el volumen de voz permite ser escuchado por todo el grupo.
0
1
2
3
13. Muestra constante contacto visual.
0
1
2
3
14. Respeta el tiempo asignado con un margen de variación de más o menos dos minutos.
0
1
2
3
Coherencia y organización
Aportaciones propias
Material didáctico
9. El material didáctico incluye apoyos para presentar la información más importante del tema.
Habilidades expositivas
Total
Puntaje total
37
Comprendes la congruencia de triángulos
2
B LO Q U E
Objetos de
aprendizaje
2.1 Criterios de congruencia
Competencias a desarrollar
„
Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o
gráficas.
„
Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e
interpretar información.
„
Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo como
cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.
„
Elige las fuentes de información y comunicación para un propósito específico y
discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y confiabilidad.
„
Construye hipótesis; diseña y aplica modelos para probar su validez.
„
Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos.
¿Qué sabes hacer ahora?
Responde las siguientes preguntas:
Dos figuras son congruentes cuando: ___________________________
_
1. ___________________________________________________
En dos triángulos congruentes los elementos que se corresponden se llaman:
2. ___________________________________________________
Indica el criterio por el cual los siguientes triángulos son congruentes: ________
___________________________________________________
3.
Indica el criterio por el cual los siguientes triángulos son congruentes: _______
___________________________________________________
4.
Indica el criterio por el cual los siguientes triángulos son congruentes: _______
___________________________________________________
5.
Desempeños por alcanzar
„
Propone la manera de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en
equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos.
Utiliza los criterios de congruencia para establecer si dos o más triángulos son
congruentes entre sí.
„
Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera
reflexiva.
Resuelve ejercicios en los que se requiere la aplicación de los criterios de
congruencia.
„
Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades
con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.
Argumenta el uso de los criterios de congruencia en la resolución de triángulos.
2
BLOQUE
Comprendes la congruencia de triángulos
Situación didáctica
Se cuenta con material rígido (madera, cartón, acrílico, etc.) del
mismo grosor y cuya masa se distribuye uniformemente.
Secuencia didáctica
Forma equipos para resolver el problema.
Que cada equipo represente mediante dibujos las condiciones del
problema.
Presenten los resultados en plenaria y analicen las formas de resolver el problema.
¿Cómo lo resolverías?
Si de ese material se recorta un triángulo, ¿cómo se puede determinar el punto del que se puede suspender con un hilo de manera que
el triángulo quede en posición horizontal?
¿Qué tienes que hacer?
Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es
preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a
cabo las rectificaciones que procedan.
¿Cuáles son las rectas notables de un triángulo?
Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto de las
actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito
de asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje.
¿Qué nombre recibe el punto de intersección de cada tercia de rectas notables del triángulo?
Evaluación por producto
¿Cómo se determina el punto de intersección de cada tercia de rectas notables del triángulo?
A fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito
de manera muy clara.
¿Qué nombre recibe el punto que busca y cómo se puede localizar
en el triángulo?
En este ejemplo:
Cada equipo debe investigar:
Producto a elaborar
Trabajo individual
Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios.
Rúbrica
Para determinar en el triángulo el punto que se pide se deben
anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos
tiene un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las fuentes consultadas, etc. La descripción del procedimiento
Situación didáctica
El triángulo elaborado con el material rígido y el hilo colocado en
el punto que cumple con las condiciones solicitadas.
¿Cómo sabes que lo hiciste bien?
por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase
2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello
suma un total de 10 puntos.
Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes.
¿Cómo lo resolverías?
En una casa construida con madera, el tejado se sostiene con una
estructura triangular en la que se utilizan ángulos complementarios.
¿Cómo se construye esa estructura? ¿Qué pares de ángulos son
congruentes?
¿Cómo se llama la estructura que sostiene el tejado?
¿Cómo se distribuye la carga que soporta?
40
Grupo Editorial Patria®
Secuencia didáctica
Forma equipos para resolver el problema.
Que cada equipo represente mediante dibujos las condiciones del
problema.
Presenten los resultados en plenaria y analicen las formas de resolver el problema.
Cada equipo debe investigar:
¿Qué tienes que hacer?
tos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es
preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a
cabo las rectificaciones que procedan.
Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto de las
actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito
de asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje.
¿Qué nombre recibe la estructura?
¿Cómo está construida? ¿Qué ángulos son congruentes?
Evaluación por producto
¿Cómo se distribuye la carga que soporta?
A fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito
de manera muy clara.
Trabajo individual
En este ejemplo:
Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios.
Producto a elaborar
Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione concep-
Modelo de estructura en el que se especifica cómo se distribuye
la carga.
Rúbrica
Para determinar la estructura que se pide se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tiene un valor de
5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las fuentes
consultadas, etc. La descripción del procedimiento por escrito tie-
¿Cómo sabes que lo hiciste bien?
ne un valor de 3 puntos y la presentación en clase 2 puntos de tu
calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello suma un total
de 10 puntos.
Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes.
41
2
BLOQUE
Comprendes la congruencia de triángulos
Propuestas de diseño para
situaciones didácticas
En cuestiones científicas, la autoridad de un millar no es un mérito frente
al humilde razonamiento de un solo individuo.
Traza triángulos en los que se cumplan las siguientes proposiciones.
Si consideras que alguna de ellas no es válida, entonces traza los triángulos en los que no se cumple la condición que se establece.
Introducción
Galileo Galilei
1. Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente
congruentes dos lados y el ángulo comprendido entre dichos
lados.
Figuras congruentes son aquellas que tienen la misma forma y el mismo tamaño, de manera que al colocar una sobre la otra coinciden en
sus partes correspondientes, es decir, una es copia de la otra.
2. Dos triángulos rectángulos son congruentes si tienen respectivamente congruentes sus catetos.
Dos triángulos son iguales si al colocar uno sobre el otro coinciden
en todas sus partes. Los lados y ángulos que coinciden se llaman
elementos homólogos o correspondientes.
3. Dos triángulos rectángulos son congruentes si tienen respectivamente congruentes la hipotenusa y un cateto.
4. La bisectriz del ángulo en el vértice de un triángulo isóceles es
perpendicular a la base en su punto medio y divide al triángulo isóceles en dos triángulos rectángulos congruentes.
Los triángulos congruentes tienen la misma forma e igual tamaño.
La expresión ∆I > ∆II se lee: “el triángulo I es congruente con el
triángulo II”.
5. En todo triángulo a lados congruentes se oponen ángulos
congruentes.
6. Dos triángulos rectángulos son congruentes si tienen respectivamente un cateto y el ángulo adyacente a dicho cateto.
7. Dos triángulos rectángulos son congruentes si tienen respectivamente congruentes la hipotenusa y uno de los ángulos
agudos.
8. T
Todo triángulo que tenga dos ángulos congruentes tendrá
también congruentes las lados opuestos a dichos ángulos, en
consecuencia serián isósceles.
9. Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente
congruentes sus tres lados.
En los siguientes triángulos congruentes, los elementos homólogos o correspondientes están señalados con el mismo trazo.
10. Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente
congruentes dos ángulos y el lado comprendido entre ellos.
III
II
I
II
I
III
III
I
II
I
II
III
Figura 2.1
El ∠A
∠ está compartido entre los lados AC
C y AB.
El lado BC
C está compartido entre ∠B y ∠C.
42
Grupo Editorial Patria®
Actividad de aprendizaje
Actividad de aprendizaje
Dos figuras son congruentes cuando:
Indica el criterio por el cual los siguientes triángulos son congruentes:
Actividad de aprendizaje
LLL
I
II
Dos triángulos son congruentes, si tienen respectivamente, congruentes sus tres lados (L L L 5 L L L).
I
II
En dos triángulos congruentes a los elementos que coinciden se les
llama:
III
2.1 Criterios de congruencia
III
Figura 2.3
LAL
Dos triángulos son congruentes si tienen, respectivamente, congruentes dos lados y el ángulo comprendido:
(L A L 5 L A L)
ALA
Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente, congruentes dos ángulos y el lado compartido (A L A 5 A L A).
I
I
II
I
I
Figura 2.2
I
Figura 2.4
43
2
BLOQUE
Comprendes la congruencia de triángulos
Actividad de aprendizaje
Indica el criterio por el cual los siguientes triángulos son congruentes:
4
3. DII > D III
LLL 5 LLL
4
En el DI sus lados tienen medidas diferentes a las de los triángulos II y III.
Actividad de aprendizaje
Indica el criterio por el cual los siguientes triángulos son congruentes:
Figura 2.5
Ejemplos
Aplica lo que sabes
Determina qué triángulos son congruentes y señala en cada
caso el postulado correspondiente.
Solución:
1. DI > DII
LAL 5 LAL
En el DIII el ángulo de 60º no está comprendido entre los lados de
8 y 12.
2. DI R DIII
ALA ? ALA
En el DII el lado de 28 no es compartido por los ángulos de 40º y
85º.
44
Ponte de acuerdo con tus compañeras y compañeros de grupo para
realizar lo siguiente:
El triángulo tiene múltiples aplicaciones en obras de ingeniería y arquitectura. Investiga cuál es la propiedad que lo hace tan utilizable en la
construcción de puentes, edificios y de diferentes estructuras. Ilustra
ejemplos de aplicación.
Grupo Editorial Patria®
Para tu reflexión
C
John Kepler (1571-1630)
Sir Isaac Newton, quien entendía la cronología del progreso científico,
fue lo bastante prudente para atribuir su propia grandeza al hecho de
que se “subió sobre los hombros de unos gigantes”, uno de los cuales fue el enigmático y fascinador John Kepler, astrónomo y astrólogo,
matemático y místico.
B
H
Tres leyes revolucionarias de Kepler que resultaron indispensables
para los descubrimientos de Newton son:
1. TTodo planeta tiene una órbita ovalada alrededor del Sol, denominada elipse. El Sol se encuentra en un foco de la órbita elíptica (así podía
explicar Kepler la velocidad irregular de un planeta en su órbita).
2. Una línea imaginaria que vaya del centro del Sol al centro de un
planeta recorre siempre un área igual en un tiempo igual, lo que
indica que los planetas se mueven más de prisa cuando están más
cerca del Sol.
I
A
D
J
M
K
L
E
F
G
Figura 2.6
2. Identifica los triángulos que son congruentes y da el postulado de
congruencia que lo justifica.
3. El tiempo que necesita un planeta para hacer un recorrido completo alrededor del Sol es su periodo. Los cuadrados de los periodos
de dos planetas son proporcionales a los cubos de sus distancias
medidas al Sol.
Relación de igualdad que existe entre los
elementos de triángulos congruentes
II
A continuación se presentan ejemplos en los que se aplican los criterios de congruencia de triángulos.
Ejemplos
1. En la figura 2.6 identifica cinco pares de triángulos congruentes.
Figura 2.7
DBJC
B R DDJC
45
2
BLOQUE
Comprendes la congruencia de triángulos
3. En las siguientes figuras DI > ∆II, halla x y y.
y
II
¿Qué se puede hacer para disminuir el uso indiscriminado del agua y la
contaminación que la afecta?
II
I
I
I
I
II
I
I
I
I
I
I
II
II
II
II
II
I
II
I
I
I I
II
I
Figura 2.8
Aplica lo que sabes
En nuestro planeta se han generado las condiciones que nos permiten
vivir. Si continuamos alterándolas nos destruiremos.
Recordemos que formamos parte del ambiente en el que vivimos. Cuidémoslo.
t *OWFTUJHB FO DVÈOUBT DJVEBEFT EF OVFTUSP QBÓT TF DVFOUB DPO ESFnaje pluvial a fin de aprovechar el agua de la lluvia para recargar
los mantos freáticos.
t *OWFTUJHB RVÏ DBOUJEBE EF BHVB EF MMVWJB FO QSPNFEJP TF EFTperdicia al año en nuestro país, al mezclarse con las aguas del
drenaje que recibe las descargas de casas e industria.
¿Qué medidas podemos adoptar en el hogar, la escuela, la comunidad,
etc. para aprovechar el agua de lluvia?
46
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Instrumentos de evaluación
Apellido paterno
Apellido materno
Nombre
Grupo
Asegúrate de haber adquirido los contenidos que se abordan en el Bloque 2. Para ello, realiza lo que se te pide a continuación.
1. Indica el criterio por el cual los triángulos CAEE y CBD
D son congruentes.
4. Indica el criterio por el cual los triángulos ACD
D y BCD son congruentes.
I
I
5. Indica el criterio por el cual los triángulos ABC
C y DEFF son congruentes.
2. Indica el criterio por el cual los triángulos ACEE y BDE son congruentes.
6. Indica el criterio por el cual los triángulos ABC
C y ADC
C son congruentes.
3. Indica el criterio por el cual los triángulos ABEE y CDEE son congruentes.
47
2
BLOQUE
Comprendes la congruencia de triángulos
Lista de cotejo
Lista de cotejo para el reporte sobre las aplicaciones del triángulo en obras de ingeniería y arquitectura de la sección Aplica lo
que sabes, de la página 44 del bloque 2.
Nombre del alumno:
Criterio
Presentación
1. Cuenta con una carátula que incluye: el nombre del trabajo que se
realiza, la materia, fecha de entrega, nombre del alumno y su matrícula.
2. Tiene una redacción que es adecuada y clara.
3. Tiene buena ortografía o con errores mínimos.
4. El trabajo se elabora en computadora o manuscrito con letra legible.
5. Las gráficas o dibujos auxiliares se elaboran de un tamaño adecuado de
modo que se puedan apreciar con claridad la aplicación del triángulo en
la construcción de la estructura de casas, edificios, puentes, etcétera.
6. Se presenta todo el procedimiento necesario para obtener los datos o
solución que se pide con la justificación correspondiente.
Desarrollo
7. En el procedimiento se desarrolla una secuencia lógica y coherente.
8. Se hace referencia a las gráficas o diagramas auxiliares para apoyar la
argumentación del escrito.
9. Se hace la referencia bibliográfica de las notas, definiciones o
conceptos consultados para sustentar teóricamente las acciones
realizadas.
Conclusiones
Dominio del
tema
10. La investigación se realiza con apoyo en libros y revistas actualizadas
sobre el tema o bien en sitios web cuya información sea científicamente
válida. De incluir citas textuales, éstas deben ser breves y con la
referencia de la fuente.
48
11. Conoce y aplica correctamente el concepto de triángulo.
12. Da respuesta correcta a las preguntas que surgen de la actividad que
se propone.
13. Reconoce y aplica las propiedades del triángulo, tales como su rigidez y
ser indeformable.
14. Presenta ejemplos concretos de la estructura de una casa donde se
aplica el triángulo.
15. Presenta ejemplos concretos de la estructura de un edificio donde se
aplica el triángulo.
16. Presenta ejemplos concretos de la estructura de un puente donde se
aplica el triángulo.
17. Presenta ejemplos concretos de estructuras donde se aplican las
propiedades del triángulo.
cumple
sí
no
Observaciones
Grupo Editorial Patria®
Rúbrica
Nombre del alumno:
Excelente
(4)
Aspecto a evaluar
Criterios
Bueno
(3)
Regular
(2)
Deficiente
(1)
Criterios de
congruencia de
triángulos
Identifica los criterios de
congruencia de triángulos
Identifica por lo menos
dos de los criterios de
congruencia de triángulos
Identifica por lo menos
uno de los criterios de
congruencia de triángulos
No identifica los criterios de
congruencia de triángulos
Relación de igualdad
que existe entre
los elementos
de triángulos
congruentes
Establece la relación
de igualdad entre los
elementos homólogos de
triángulos congruentes
Establece la relación de
igualdad entre triángulos
congruentes, utilizando dos
de los tres criterios
Establece la relación de
igualdad entre triángulos
congruentes, utilizando uno
de los tres criterios
No establece la relación
de igualdad entre los
elementos homólogos de
triángulos congruentes
Te presentamos una propuesta de hoja de observación que te posibilitará evaluar el trabajo por equipos.
Criterios
Equipo 1
Equipo 2
Equipo 3
Equipo 4
Equipo 5
Intercambian ideas antes de hacer las
pruebas
Aspecto a evaluar
Colaboran en la elaboración de las pruebas
Atienden y respetan las opiniones de los
demás
Utilizan los materiales con precaución
Proponen explicaciones de lo que observan
Aplican términos científicos en sus
explicaciones
Registran y sistematizan sus observaciones
Claves: D (Deficiente), R (Regular), B (Bueno), E (Excelente)
49
Resuelves problemas de semejanza de triángulos
y teorema de Pitágoras
3
B LO Q U E
Objetos de
aprendizaje
3.1 Criterios de semejanza
3.2 Teorema de Tales
3.3 Teorema de Pitágoras
Competencias a desarrollar
„
Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o
gráficas.
„
Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e
interpretar información.
„
Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo como
cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.
„
Elige las fuentes de información y comunicación para un propósito específico y
discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y confiabilidad.
„
Construye hipótesis; diseña y aplica modelos para probar su validez.
„
Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos.
¿Qué sabes hacer ahora?
Responde las siguientes preguntas:
Dos triángulos son semejantes cuando: __________________________
1. __________________________________________________
Los triángulos I y II son semejantes. Encuentra la medida de los lados cuyo valor
se desconoce: _________________________________________
2.
3.
Si a cierta hora del día un objeto proyecta una sombra igual a
su altura, ¿cómo se puede determinar la altura de un edificio?
_________________________
_________________________
Una antena de TV se sostiene por tres cables que están a 5 metros de
la base y a 12 metros de altura, ¿cuál es la longitud de cada cable?
___________________________
___________________________
4.
¿Qué significa que una pantalla de TV mida 27 pulgadas?
____________________________
____________________________
5.
Desempeños por alcanzar
„
Propone la manera de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en
equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos.
„
Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera
reflexiva.
„
Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades
con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.
Argumenta la aplicación de los criterios de semejanza.
Aplica los teoremas de Tales y Pitágoras.
Resuelve ejercicios o problemas de su entorno aplicando
los teoremas de Tales y Pitágoras.
3
BLOQUE
Resuelves problemas de semejanza de triángulos y teorema de Pitágoras
Situación didáctica
El teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la
suma de las áreas de los cuadrados construidos sobra los catetos.
Secuencia didáctica
Forma equipos para resolver el problema.
Que cada equipo represente mediante dibujos las condiciones del
problema.
Presenten los resultados en plenaria y analicen las formas de resolver el problema.
Cada equipo debe investigar:
¿Cuál es la expresión algebraica del teorema de Pitágoras?
¿Cómo se pueden construir polígonos regulares que tengan por
lado la misma medida del lado del triángulo?
¿Cómo se pueden construir semicírculos sobre cada lado del
triángulo?
¿Cómo se calculan las áreas de los polígonos regulares?
¿Cómo se calculan las áreas de los semicírculos?
¿Cómo se puede saber si la condición que se cumple para los cuadrados también se cumple para polígonos regulares o semicírculos?
¿Cómo lo resolverías?
¿Qué ocurre si en lugar de cuadrados se construyen pentágonos,
hexágonos u otros polígonos regulares?
¿Qué ocurre si en lugar de cuadrados se construyen semicírculos?
¿Qué tienes que hacer?
Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es
preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a
cabo las rectificaciones que procedan.
Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto de las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de
asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje.
Evaluación por producto
A fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito
de manera muy clara.
En este ejemplo:
Producto a elaborar
Modelos de triángulos rectángulos con polígonos regulares o semicírculos sobre sus lados.
Trabajo individual
Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios.
Rúbrica
Para determinar si se cumplen las relaciones que se piden se deben
anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos
tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las fuentes consultadas, etc. La descripción del procedimiento
Situación didáctica
¿Cómo sabes que lo hiciste bien?
por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase
2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello
suma un total de 10 puntos.
Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes.
¿Cómo lo resolverías?
Para un experimento de laboratorio se debe recortar un popote en cinco trazos de igual tamaño; si sólo se dispone de una hoja de cuaderno
rayada, ¿cómo se pueden señalar los puntos de corte?
52
Grupo Editorial Patria®
Secuencia didáctica
Forma equipos para resolver el problema.
Que cada equipo represente mediante dibujos las condiciones del
problema.
¿Qué tienes que hacer?
tos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es
preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a
cabo las rectificaciones que procedan.
Cada equipo debe investigar:
Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto de las
actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito
de asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje.
¿En qué consiste la proporcionalidad entre paralelas?
Evaluación por producto
¿En qué consiste el teorema básico de proporcionalidad?
A fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito
de manera muy clara.
Presenten los resultados en plenaria y analicen las formas de resolver el problema.
¿Por qué se pueden determinar segmentos congruentes en una
transversal a un sistema de rectas paralelas equidistantes?
Trabajo individual
En este ejemplo:
Producto a elaborar
Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios.
El popote dividido en cinco segmentos congruentes.
Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione concep-
Rúbrica
Para determinar los segmentos congruentes que se piden se deben
anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos
tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las fuentes consultadas, etc. La descripción del procedimiento
¿Cómo sabes que lo hiciste bien?
por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase
2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello
suma un total de 10 puntos.
Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes.
53
3
BLOQUE
Resuelves problemas de semejanza de triángulos y teorema de Pitágoras
Propuestas de diseño para
situaciones didácticas
g ∆ABC
g)
∆ C ~ ∆DEF h)
Ejercicios
1. Con base en los datos de las siguientes figuras, se puede demostrar la semejanza de los triángulos. Determina en cada
caso qué postulado se puede aplicar y los elementos necesarios.
∆ C ~ A9B9C
C
a) ∆ABC
b) ∆
∆ABC
C ~ ∆DEF AB//
DE y BC // EF
h) ∆ABC
∆ C ~ ∆DEC
I
i) ∆ABC
∆ C ~ ∆DEF
12
I
D
8
I
c) ∆ABE
∆
~ ∆ADF
∆
∆ C ~ ∆DEF
d) ∆ABC
e) ∆BDE ~ ∆ABC
∆
2. En cada uno de los siguientes incisos los triángulos son semejantes. Calcula el valor que representan las letras.
b)
a)
f ) ∆ADE
∆
~ ∆ABC
∆
54
16
D
c)
30
E
d)
Grupo Editorial Patria®
e)
j)
k)
f)
3. Halla la altura de un árbol que proyecta una sombra de 4.5 m, al
mismo tiempo que un poste de 5 m proyecta una sombra de 3 m.
g
g)
h)
4. Un árbol proyecta una sombra de 1.5 m al mismo tiempo que
un edificio de 21 m de altura proyecta una sombra de 4.5 m.
¿Cuál es la altura del árbol?
5. La sombra que proyecta un edificio es de 16.25 m al mismo
tiempo que la de un poste de 10 m de altura es de 7 m. Encuentra la altura del edificio.
i)
6. Un faro proyecta una sombra de 12 m al mismo tiempo que
un árbol de 8.25 m proyecta una sombra de 2.75 m. Halla la
altura del faro.
7. Calcula la altura de tu escuela mediante el procedimiento de
las sombras.
8. ¿Por qué cantidad se debe representar en un dibujo una di1
mensión de 2.40 m a la escala .
30
9. En un dibujo, ¿qué dimensión representan 4.2 cm a la escala
de 1:50 000?
55
3
BLOQUE
Resuelves problemas de semejanza de triángulos y teorema de Pitágoras
10. ¿Cuál es la distancia real representada por 5.75 cm en un mapa
a la escala de 1:150 000?
17. Investiga las medidas del terreno que ocupa tu escuela y dibuja un plano de dicho terreno a escala de1:1 000.
11. ¿Cuál es la distancia real que se representa en un mapa por
3.28 cm a escala de 1:30 000 000?
18. En un triángulo rectángulo cuyos catetos son a y b, halla la hipotenusa c cuando:
12. ¿Por cuántos centímetros se pueden representar 1 300 km en
un mapa que tiene una escala de 1:10 000 000?
13. ¿Cuál es la longitud real de un tornillo que se representa por
4 cm en un dibujo a escala de 20:1?
a) a 5 5
b 5 12
b) a 5 15
b 5 20
c) a 5 8
b 5 15
d) a 5 9
b54
e) a 5 15
b 5 36
f) a57
b57
g) a 5 4
b55
h) a 5
14. Una rueda tiene un diámetro real de 50 cm y a escala mide
2.5 cm. ¿Cuál es la escala?
i) a 5 2
b5
5
2
j) a 5 5
8
b5 2
2
b5 5
3
19. En un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es c halla el cateto
desconocido cuando:
15. Representa a escala 1:1 000 un campo de soccer que mide
90 m de ancho y 120 m de largo.
a) a 5 8
c 5 10
b) a 5 12
c 5 20
c) b 5 10
c 5 26
d) a 5 21
c 5 29
e) a 5 20
c 5 25
f ) b 5 12
c 5 13
g) b 5 15
c 5 17
h) a 5 2
c54
i) b 5 6
c58
j) a 5 5
c55
2
20. Halla la altura de un triángulo isósceles si sus lados iguales miden 10 unidades y su base es:
16. Traza un plano a escala 1:20 de la superficie de una mesa de
tenis que mide 2.74 m de largo por 1.52 m de ancho.
56
a) 12
b)16
c) 18
d) 10
Grupo Editorial Patria®
LLL
Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres ángulos respectivamente congruentes (ángulo-ángulo-ángulo).
Se llaman triángulos semejantes a los triángulos que tienen sus
ángulos respectivamente congruentes y sus lados homólogos son
proporcionales.
III
I
I
I
La relación de semejanza se denota con el símbolo ~, de esta manera la expresión ABC
C ~ A9B9C9 se lee: “el triángulo ABC
C es semejante al triángulo A prima, B prima, C prima”.
III
II
3.1 Criterios de semejanza
ALA
II
Henri Poincaré
El símbolo > que representa la congruencia es una combinación
del ~ que indica la semejanza de la forma y del 5 que indica la
igualdad de sus dimensiones correspondientes.
II
Las matemáticas no estudian los objetos, sino las relaciones entre los objetos;
por tanto, les es indiferente reemplazar estos objetos por otros, con tal que no
cambien las relaciones. La materia no les importa, sólo les interesa la forma.
AB // DE
∆ C ~ ∆DEC
∆ABC
C
Figura 3.2
Actividad de aprendizaje
Tres lados proporcionales
Dos triángulos son semejantes cuando:
Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres lados respectivamente proporcionales (lado-lado-lado).
∆
∆ABC
2∆
∆A9B9C9
AB BC
AC
5
A ′ B′ B′ C ′
A ′C ′
II
I
III
Figura 3.3
LAL
Dos triángulos son semejantes si tienen respectivamente congruentes un ángulo comprendido entre lados proporcionales
(lado-ángulo-lado).
II
I
III
∆
∆ABC
2∆
∆A9B9C9
∢A 5 ∢A9 y
Como ∆ABC
∆ C ~ A9B9C9
∢A 5 ∢A9, ∢B 5 ∢B9, ∢C 5 ∢C9,
AC
AB
5
A ′C ′
A ′ B′
a b
c
5
a′ b′
c′
Figura 3.1
57
3
BLOQUE
Resuelves problemas de semejanza de triángulos y teorema de Pitágoras
C’
Actividad de aprendizaje
C
Indica el criterio por el cual los siguientes triángulos son semejantes:
A
A
A’
B
B’
Figura 3.4
B
12
Ejemplos
B’
C
Con base en los datos de las figuras, se puede demostrar la semejanza
de los triángulos. Determina en cada caso qué postulado se puede
aplicar y los elementos necesarios.
1. ΔDEC
C ~ ΔAEB
5
A
Actividad de aprendizaje
2. ΔAED
D ~ ΔABC
A
C
Indica el criterio por el cual los siguientes triángulos son semejantes:
6
12
D
C’
15
4
9
E
18
D
A
B
B
C
I
II
I
II
3. ΔABD
D ~ ΔBDC
Actividad de aprendizaje
Indica el criterio por el cual los siguientes triángulos son congruentes:
Figura 3.5
Solución:
a ∠DCE 5 ∠EABB y∠CDE 5 ∠EBAA por ser alternos internos
a)
entre paralelas. Por otra parte ∠DEC 5 ∠AEBB por ser opuestos por el vértice. El postulado que se aplica es ángulo-ánguloángulo.
b ∠A 5 ∠A
b)
A porque toda cantidad es igual a sí misma y
6 9
= . El postulado que se aplica es lado ángulo-lado.
12 18
9 12 15
c Se puede establecer la proporción
c)
= = . El postu12 16 20
lado que se aplica es lado-lado-lado.
58
Grupo Editorial Patria®
3.2 Teorema de Tales
Actividad de aprendizaje
Toda paralela a un lado de un triángulo forma con los otros dos
lados un triángulo semejante al primero.
Hipótesis:
Tesis:
En el ∆ABC
∆
DEC
C ∆ ABC
¿Qué se puede afirmar de dos triángulos rectángulos cuyos catetos
son proporcionales?
DE // AB
Trazo auxiliar:
C
Traza EFF // AC
Figura 3.6
Para tu reflexión
Tales de Mileto (639-546 a. C.)
Fue uno de los siete sabios y fundador de la escuela jónica a la que
pertenecieron Anaximandro, Anaxágoras, etc. Con él se inicia la Geometría como ciencia racional.
En su edad madura, se dedicó
al estudio de la Filosofía y de
las Ciencias, especialmente la
Geometría.
Sus estudios lo condujeron a resolver ciertas cuestiones como
la determinación de distancias
inaccesibles; la igualdad de los
ángulos de la base en el triángulo isósceles; el valor del ángulo inscrito y la demostración
de los conocidos teoremas que
llevan su nombre, relativos a la
proporcionalidad de segmentos
determinados en dos rectas
cortadas por un sistema de paralelas.
Plan: Usa de la propiedad de los ángulos correspondientes entre
paralelas para determinar la igualdad de los ángulos de dos triángulos y establece la proporcionalidad respectiva entre sus lados
homólogos:
Razonamiento:
Afirmación:
1. En ell ABC
C, DEE // AB
Razón
1. Por hipótesis.
2. ∠C 5 ∠C
2. Por identidad.
3. ∠A 5 ∠CDE,
E ∠B 5 ∠CED
3. Por ser correspondiente
entre paralelas.
4.
CA CB
=
CD CE
4. ABC ~ DCE por el postulado de semejanza
(ángulo-ángulo-ángulo).
La razón 4 es una proposición demostrable (teorema).
Ejemplos
Aplicación del teorema básico de la proporcionalidad.
Determina la medida de los lados cuyo valor se desconoce, ΔI ~ ΔII.
1.
Actividad de aprendizaje
¿Qué se puede afirmar de dos triángulos rectángulos que tienen igual
un ángulo agudo?
3.
Figura 3.7
59
3
BLOQUE
Resuelves problemas de semejanza de triángulos y teorema de Pitágoras
Dibujo a escala
Solución:
1.
x
5
=
x+4 7
2.
8 a
=
16 10
5(x
(x + 4) 5 7(x
(x)
16(a)
a 5 8(10)
5xx + 20 5 7x
16(a)
a 5 80
3.
80
16
20 5 2x
a5
10 5 x
a55
6 8
5
b 9 16
8(b9) 5 6(16)
b9 5
6(16)
8
b9 5 12
Las propiedades de la semejanza de figuras se aplican en el dibujo a escala para representar objetos en forma gráfica, reducidas o
amplificadas en sus dimensiones, pero conservando siempre las
relaciones que guardan entre sí los elementos que los componen.
Una escala gráfica es la razón geométrica que se establece entre
las medidas de las dimensiones de un dibujo y las medidas de las
dimensiones reales correspondientes al objeto que se representa.
Usualmente la escala se indica por medio de una fracción en la que
el numerador representa una magnitud en el dibujo, y el denominador la magnitud real del objeto representado. Las dos magnitudes se expresan en la misma unidad de medida, de manera que si
1 cm en un dibujo representa 1 m del objeto entonces la escala es:
Actividad de aprendizaje
¿Qué se puede afirmar de dos triángulos isósceles que tienen igual el
ángulo en el vértice?
1 cm 1 cm
1
=
=
1 m 100 cm 100
que se lee “1 es a 100”. En lugar de la raya de la fracción también se
utilizan dos puntos que indican división, por lo que la escala anterior
se puede escribir 1:100 y se lee de la misma forma.
Cuando en una escala el primer número es menor que el segundo significa que el dibujo es una reducción del tamaño real del
objeto y si el primer número es mayor que el segundo, entonces
el dibujo representa una ampliación del tamaño real del objeto.
Si el dibujo y el objeto son de igual tamaño se dice que la escala
es natural o sea 1:1.
Actividad de aprendizaje
Es común que en una escala el primer número (o numerador) sea
igual a 1 con el propósito de facilitar los cálculos.
¿Qué se puede afirmar de dos triángulos isósceles que tienen igual
uno de los ángulos adyacentes a la base?
En general, para una escala e en la que el dibujo tiene una dimensión d y la correspondiente en el objeto es D se tiene que:
e=
d
;
D
d e D;
D=
d
e
Ejemplos
Aplica lo que sabes
Ponte de acuerdo con tus compañeras y compañeros de grupo para
realizar lo siguiente:
La semejanza de figuras se aplica en la fotografía, en proyecciones
cinematográficas y en diferentes instrumentos ópticos como microscopios, telescopios, etcétera.
Investiga cómo se aplica en la industria automotriz.
60
1. En un plano cuya escala 1:500, un terreno de forma rectangular
mide 6 cm de largo y 4 cm de ancho. ¿Cuáles son las medidas
reales del terreno?
Solución:
En la expresión:
D5
d
e
Se sustituyen los datos del problema.
Grupo Editorial Patria®
Cálculo del largo real:
Cálculo del ancho real:
6 cm
D5
1
500
4 cm
D5 1
500
es decir:
es decir:
1
500
D 5 6 cm 4
e=
1
500
o sea:
D 5 6 cm 3
500
1
1 5 cm
45 000 000 cm
De donde:
D 5 4 cm 4
O sea:
O sea: e =
D 5 4 cm 3
De donde:
de donde:
D 5 3 000 cm
D 5 2 000 cm
D 5 30 m
D 5 20 m
500
1
O bien: escala 1:30 000 000
4. El piso de un salón rectangular mide 8 m de largo y 5 m de ancho.
Dibuja el plano correspondiente con una escala de 1:250.
Solución:
Se convierten las medidas a las que se deben tener en el plano,
que en este caso deben ser
d 5 e ? D:
Largo
Por tanto, las medidas reales del terreno son de 30 m de largo y
20 m de ancho.
2. Si en el terreno del ejemplo anterior se desea construir una cancha de basquetbol que mida 28 m de largo y 15 m de ancho,
¿cuáles son las medidas con las que se le debe representar en el
plano?
Solución:
En la expresión:
1
30 000 000
1
de las medidas reales usando
250
Ancho
d=
1
×8m
250
d=
1
× 5m
250
d=
8m
250
d=
5m
250
d 5 0.032 m
d 5 0.02 m
d 5 3.2 cm
d 5 2 cm
d5e?D
se sustituyen los datos del problema:
Cálculo del largo en el plano:
d=
O sea: d =
Cálculo del ancho en el plano.
1
× 28 cm
500
28
500
d=
o sea: d =
De donde: d 5 0.056 m
1
× 15 cm
500
15
500
de donde: d 5 0.03 m
d 5 5.6 cm
d 5 3 cm
Figura 3.8
En la práctica, la escala se determina estableciendo la razón entre
la medida del papel de que se dispone y la medida mayor del
objeto que se quiere representar. En el ejemplo anterior la medida
mayor es de 8 m, si el espacio del cual se dispone es de 16 cm
entonces una escala adecuada es:
Por tanto, la cancha de basquetbol se representará en el plano
por medio de un rectángulo que mida 5.6 cm de largo y 3 cm
de ancho.
3. Calcula la escala de un mapa en el que 450 km corresponden a
1.5 cm.
Solución:
d
D
se sustituyen los datos del problema: e =
3.3. Teorema de Pitágoras
En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual
a la suma de los cuadrados de los catetos.
En la expresión:
e5
16 cm 16 cm
1
=
=
8 m 800 cm 50
1 5 cm
450 km
Hipótesis:
Tesis:
ABC
C es un triángulo
rectángulo con
∢C 5 90º
c2 5 a2 + b2
61
3
BLOQUE
Resuelves problemas de semejanza de triángulos y teorema de Pitágoras
Trazo auxiliar:
b = 17 2 8 2
CD ⊥ AB.
b = 289 64
5 2 12 2 = c
b = 225
b = 15
25 144 = c
Figura 3.9
Plan: Al trazar por C el segmento CD perpendicular a AB, los triángulos que se forman son semejantes al triángulo dado y semejantes
entre sí:
Razonamiento:
Afirmación:
1. CD ⊥ AB
Razón:
1. Por construcción.
2. c : a 5 a : y, c : b 5 b : x 2. Si del vértice del ángulo recto
de un triángulo rectángulo se
traza una perpendicular a la
hipotenusa, se determinan en
ésta dos segmentos, y cada cateto
es media proporcional entre
la hipotenusa y el segmento
adyacente al cateto.
3. c y 5 a2, c x 5 b2
3. Propiedad fundamental de las
proporciones.
4. c y + c x 5 a2 + b2
4. Sumando miembro a miembro
las igualdades de (3).
5. c (y + x) 5 a2 + b2
5. Factorizando.
6. x + y 5 c
6. Por construcción.
7. c 5 a + b
2
2
2
169 = c
13 = c
2
2
2
3. a b c
a 2 + 8 2 10 2
a 2 = 10 2 8 2
a 2 = 10 2 8 2
a = 100 64
a = 36
a=6
4. Con base en los datos de la figura 3.11, calcula los valores de x
y z.
z
7. Sustituyendo (6) en (5).
Figura 3.11
Solución:
Ejemplos
En el ΔABC
Aplicación del teorema de Pitágoras
Dado el triángulo rectángulo ABC, halla la medida del lado cuyo valor
de desconoce.
1. a 5 5, b 5 12, c 5 ?
Figura 3.10
Solución:
2. a 2 + b 2 5 c 2
8 2 + b 2 5 17 2
b 5 17 2
62
81 18
)3 8 2 17 2
2
64 289
( x + 24)( – 6) = 0
x1 = – 24
x2 = 6
3. b 5 8, c 5 10, a 5 ?
5 2 + 12 2 5 c 2
(
18 – 144 0
x 2 +18
2. a 5 8, c 5 17, b 5 ?
1. a 2 + b 2 5 c 2
En el ΔBCD
x 2 + 82 z 2
62 82 = z 2
36 64 = z 2
100 = z 2
100 = z
10 = z
Se rechaza el valor de x 5 224 pues x representa la medida de
un segmento.
Grupo Editorial Patria®
Aplica lo que sabes
Ponte de acuerdo con tus compañeras y compañeros de grupo para
realizar lo siguiente:
En nuestro planeta se han generado las condiciones que nos permiten
vivir. Si continuamos alterándolas nos destruiremos.
Recordemos que formamos parte del ambiente en el que vivimos. Cuidémoslo.
¿Cuál es el ciclo hidrológico del agua?
Relaciones de proporcionalidad entre
catetos e hipotenusa al trazar la altura
sobre ésta
Desde la época de esplendor de los geómetras griegos se sabe que
la altura construida sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo
es media proporcional entre las proyecciones de los catetos.
A continuación se ilustra está propiedad de manera general y se
presentan ejemplos de aplicación de la misma.
t
t
t
t
t
{2VÏ DBOUJEBE EF OVFTUSP QMBOFUB FT BHVB
{2VÏ DBOUJEBE EF BHVB EF MB 5JFSSB FT BHVB TBMBEB
{2VÏ DBOUJEBE EF BHVB EF MB 5JFSSB FT BHVB EVMDF
{2VÏ QPSDFOUBKF EFM BHVB EVMDF FT JOBDDFTJCMF
{2VÏ DBOUJEBE EF BHVB EVMDF FT TVQFSmDJBM SÓPT MBHPT P B CBKB
profundidad del suelo)?
t {2VÏ DBSBDUFSÓTUJDBT UJFOF FM DJDMP IJESPMØHJDP EFM BHVB FO UV DPmunidad?
t {$ØNP QPEFNPT VUJMJ[BS FTBT DBSBDUFSÓTUJDBT FO OVFTUSP CFOFmDJP
c a
=
a m
c b
=
b n
a2 5 cm
b2 5 c ∙ n
Figura 3.12
Ejemplos
1. En un triángulo rectángulo las proyecciones de los catetos sobre
la hipotenusa miden 3 y 12 metros. Calcula la altura relativa a la
hipotenusa.
Figura 3.13
12 h
5
h 3
h 2 53(12)
h 2 536
h 5 36
h 56 m
63
3
BLOQUE
Resuelves problemas de semejanza de triángulos y teorema de Pitágoras
2. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 36 cm y la proyección de un cateto sobre ella 4 cm. Halla el otro cateto.
C
a
b
A
n=4 H
m = 16
B
Figura 3.16
n=4
c = 36
h
4
=
h 10
h 2 = 4(16)
Figura 3.14
36 a
=
a 32
a 2 = 36(32)
h 2 = 64
h = 64
h = 8 cm
a 2 = 1152
a = 1152
a = 33 . 94 cm
3. En un triángulo rectángulo sus lados miden 4.8, 8.4 y 9.7 cm,
respectivamente. Calcula la medida de las proyecciones de los
catetos sobre la hipotenusa.
5. En un triángulo rectángulo su hipotenusa mide 9.8 cm y las proyecciones de los catetos sobre ella miden 1.9 y 7.9 cm. Calcula la
medida de los catetos.
C
C
8.4
4.8
A
A
n
m
B
9.7 4.8
=
n
4.8
9 . 7 n = ( 4 . 8)2
( 4 . 8)2
n=
9.7
n = 2 . 375 cm
m
9.7 8.4
=
m
8.4
9 . 7 m = (8 . 4)2
(8 . 4)2
m=
9.7
m = 7 . 244 cm
m
4. En un triángulo rectángulo las proyecciones de los catetos sobre
la hipotenusa miden 4 y 16 centímetros. Calcula la altura relativa
a la hipotenusa.
64
m = 7.9
9.8
Figura 3.17
9.7
Figura 3.15
n = 1.9 H
9.8 a
5
a 7.9
a 2 5 9 . 8(7 . 9)
9.8 b
5
b 1.9
b 2 5 9 . 8(1 . 9)
a 2 5 77 . 42
b 2 515 . 01
a 5 77 . 42
a 58 . 798 c m
b 5 15 . 01
b 53 . 874 c m
B
Grupo Editorial Patria®
Instrumentos de evaluación
Apellido paterno
Apellido materno
Nombre
Grupo
Asegúrate de haber adquirido los contenidos que se abordan en el Bloque 3. Para ello, realiza lo que se te pide a continuación.
1.
Dos triángulos son semejantes cuando:
4. Indica el criterio por el cual los triángulos ABC
C y DBE son semejantes:
2. Indica el criterio por el cual los triángulos CDEE y ABEE son semejantes:
5. Los triángulos ABC
C y DEFF son semejantes. Encuentra la medida
de los lados cuyo valor se desconoce:
3. Indica el criterio por el cual los triángulos ABC
C y DEC
C son semejantes:
65
3
BLOQUE
Resuelves problemas de semejanza de triángulos y teorema de Pitágoras
6. Los triángulos ABC
C y PQRR son semejantes. Encuentra la medida
de los lados cuyo valor se desconoce.
La medida es
Lista de cotejo
Lista de cotejo para el reporte sobre las aplicaciones de la semejanza de triángulos de la sección Aplica lo que sabes de la
pág. 60.
Nombre del alumno:
Criterio
Presentación
1. Cuenta con una carátula que incluye: el nombre del trabajo que se
realiza, la materia, fecha de entrega, nombre del alumno y su matrícula.
66
5JFOF VOB SFEBDDJØO RVF FT BEFDVBEB Z DMBSB
5JFOF CVFOB PSUPHSBGÓB P DPO FSSPSFT NÓOJNPT
4. El trabajo se elabora en computadora o manuscrito con letra legible.
5. Las gráficas o dibujos auxiliares se elaboran de un tamaño
adecuado de modo que se puedan apreciar con claridad las
aplicaciones de los triángulos semejantes en figuras, fotografías,
proyecciones cinematográficas, así como en instrumentos ópticos.
cumple
sí
no
Observaciones
Grupo Editorial Patria®
6. Se presenta todo el procedimiento necesario para obtener las
aplicaciones de los triángulos semejantes con la justificación
correspondiente.
Desarrollo
7. En el procedimiento se desarrolla una secuencia lógica y coherente.
8. Se hace referencia a las gráficas o diagramas auxiliares para apoyar
la argumentación del escrito.
9. Se hace la referencia bibliográfica de las notas, definiciones o
conceptos consultados para sustentar teóricamente las acciones
realizadas.
Conclusiones
Dominio del
tema
10. La investigación se realiza con apoyo en libros y revistas
actualizadas sobre el tema o bien en sitios web cuya información
sea científicamente válida. De incluir citas textuales, éstas deben ser
breves y con la referencia de la fuente.
11. Conoce y aplica correctamente el concepto de triángulos semejantes.
12. Da respuesta correcta a las preguntas que surgen de la actividad que
se propone.
13. Muestra y argumenta sobre las aplicaciones de los triángulos
semejantes en la ampliación o reducción de figuras o en la obtención
de imágenes en el microscopio o en el telescopio.
14. Presenta ejemplos concretos de figuras donde se aplican los
triángulos semejantes.
15. Presenta ejemplos concretos donde se aplican los triángulos
semejantes para la amplificación o reducción de figuras.
16. Presenta ejemplos concretos donde se aplican los triángulos
semejantes para la obtención de imágenes en el microscopio o en el
telescopio.
Rúbrica
Nombre del alumno:
Aspecto a evaluar
Criterios
Excelente
(4)
Bueno
(3)
Regular
(2)
Deficiente
(1)
Criterios de
semejanza de
triángulos
Identifica los criterios de
semejanza de triángulos
Identifica por lo menos
dos de los criterios de
semejanza de triángulos
Identifica por lo menos
uno de los criterios de
semejanza de triángulos
No identifica los criterios de
semejanza de triángulos
5FPSFNB EF 1JUÈHPSBT
Comprende, demuestra
y aplica el teorema de
Pitágoras para resolver
problemas
Comprende, y aplica el
teorema de Pitágoras para
resolver problemas
Aplica el Teorema de
Pitágoras para resolver
problemas
No comprende, demuestra,
ni aplica el teorema de
Pitágoras para resolver
problemas
67
Reconoces las propiedades de los polígonos
4
B LO Q U E
Objetos de
aprendizaje
4.1 Polígonos
4.2 Elementos y propiedades
4.3 La suma de los ángulos
centrales, interiores y
exteriores
4.4 Perímetro y área de
polígonos regulares e
irregulares
Competencias a desarrollar
„
Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o
gráficas.
„
Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e
interpretar información.
„
Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo como
cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.
„
Elige las fuentes de información y comunicación para un propósito específico y
discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y confiabilidad.
„
Construye hipótesis; diseña y aplica modelos para probar su validez.
„
Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos.
¿Qué sabes hacer ahora?
Responde las siguientes preguntas:
1. ¿Qué es una poligonal? ___________________________________
_______________________________________________________
2. ¿A qué se le llama polígono? ________________________________
_______________________________________________________
3. ¿Qué características tiene un polígono regular? _____________________
_______________________________________________________
¿Qué características tiene un polígono irregular? ____________________
4. _______________________________________________________
5. ¿Cómo se sabe que un polígono es cóncavo? _______________________
_______________________________________________________
6. ¿Cómo se sabe que un polígono es convexo? _______________________
_______________________________________________________
7. ¿Cuántas diagonales tiene un polígono de siete lados? _________________
_______________________________________________________
8. En el polígono siguiente identifica el ángulo interior, exterior, central. _______
_______________________________________________________
Desempeños por alcanzar
„
Propone la manera de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en
equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos.
„
Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera
reflexiva.
„
Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades
con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.
Reconoce polígonos por el número de sus lados y por su forma.
Aplica los elementos y propiedades de los polígonos en la resolución de
problemas.
BLOQUE
4
Reconoces las propiedades de los polígonos
Situación didáctica
Se va a perforar el suelo con una máquina colocada sobre una plataforma cuadrada que mide cinco metros por lados. El punto de perforación debe coincidir con el centro de la plataforma. Si solamen-
Secuencia didáctica
Forma equipos para resolver el problema.
Que cada equipo represente mediante dibujos las condiciones del
problema.
¿Cómo lo resolverías?
te se dispone de una cinta métrica, ¿cómo se puede determinar la
posición de los puntos de los vértices y el centro de la plataforma?
¿Qué tienes que hacer?
tos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es
preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a
cabo las rectificaciones que procedan.
Cada equipo debe investigar:
Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto de las
actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito
de asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje.
¿Qué es un cuadrado?
Evaluación por producto
¿Por qué el cuadrado es un polígono regular?
¿Cuáles son las propiedades del cuadrado?
A fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito
de manera muy clara.
Trabajo individual
En este ejemplo:
Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios.
Producto a elaborar
Presenten los resultados en plenaria y analicen las formas de resolver el problema.
Modelo de plataforma cuadrada indicando el centro de la misma.
Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione concep-
Rúbrica
Para determinar en el cuadrado el centro y los vértices que se piden
se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el
material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo
realizado, la forma, las fuentes consultadas, etc. La descripción del
Situación didáctica
Una alberca semiolímpica tiene las siguientes dimensiones: 25
metros de ancho, 50 metros de largo y 2.5 metros de profundidad.
70
¿Cómo sabes que lo hiciste bien?
procedimiento por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase 2 puntos de tu calificación de la actividad que se
evalúa. Todo ello suma un total de 10 puntos.
Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes.
¿Cómo lo resolverías?
Si se cubren las paredes y el piso con azulejos cuadrados, ¿cuántos
se necesitan si miden 10 cm por lado? ¿Cuántos se necesitan si miden 20 cm por lado?
Grupo Editorial Patria®
Secuencia didáctica
Forma equipos para resolver el problema.
Que cada equipo represente mediante dibujos las condiciones del
problema.
Presenten los resultados en plenaria y analicen las formas de resolver el problema.
Cada equipo debe investigar:
¿Cómo determinar el área lateral y total de la alberca?
¿Qué tienes que hacer?
Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es
preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a
cabo las rectificaciones que procedan.
Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto de las
actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito
de asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje.
¿Cómo determinar el número de azulejos necesario para cubrir el
área total de la alberca con azulejos de 10 cm?
Evaluación por producto
¿Qué relación existe entre el lado y área del azulejo de 10 cm respecto del azulejo de 20 cm?
A fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito
de manera muy clara.
¿Cómo determinar el número de azulejos necesario para cubrir el
área total de la alberca con azulejos de 20 cm?
En este ejemplo:
Trabajo individual
Producto a elaborar
Cálculos para determinar el área de la alberca.
Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios.
Rúbrica
Para determinar las cantidades de azulejos que se piden se deben
anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos
tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las fuentes consultadas, etc. La descripción del procedimiento
Cálculos para determinar el número de azulejos de 10 y 20 cm que
se necesitan para cubrir la superficie de la alberca.
¿Cómo sabes que lo hiciste bien?
por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase
2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello
suma un total de 10 puntos.
Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes.
71
BLOQUE
4
Reconoces las propiedades de los polígonos
Propuestas de diseño para
situaciones didácticas
1. Si ABCD es un paralelogramo, halla x y y en los casos siguientes:
a) AB 5 5x, AD 5 3x, BC 5 y, perímetro 5 80
b) AB 5 55y 2 5, BC 5 6x 2 10
CD 5 44y 1 2, AD 5 4x
c) /A 5 5x 1 10, /C 5 6x 2 4, /B 5 y
4. Si ABCD es un trapecio isósceles, halla x y y en los casos siguientes:
a) A 5 3x 1 10, B 5 70, C 5 y, D 5 5x 1 10
0 B 5 7x 2 18,
8 C5y
b) A 5 5x 1 10,
c) A 5 2x, B 5 y, D 5 3x
d) B 5 4x, C 5 5x, D 5 y
e) A 5 x, D 5 2x, C 5 y
d) /A 5 5x 1 /B 5 9x 1 12, /C 5 y
e) /A 5 4x 1 10, /C 5 3x 1 25, /D 5 y
2. Si ABCD es un paralelogramo, halla x y y en los casos siguientes:
a) AE 5 x 1 yy, EC 5 24, BE 5 6, ED 5 x 2 y
4 , BE 5 20, DE 5 x 2 2y
2
b) AE 5 x, EC 5 4y
c) AE 5 4x 1 2, EC 5 5x 2 5, BE 5 2x 1 y, DE 5 4x 2 8
d) AE 5 3x 1 2, AC 5 40, BE 5 28, DE 5 2x 1 y
4 , DE 5 x
e) AE 5 2x 1 y, EC 5 27, BE 5 4y
3. Si ABCD es un rombo, halla x y y en los casos siguientes:
a) BC 5 30, CD 5 5x 2 55, BD 5 6y,
6 /C 5 60°
9 /B 5 120°
b) AB 5 25, AD 5 4x 1 1, BD 5 y 1 9,
c) AB 5 5x, AD 5 7x 2 6, CD 5 y
d) AB 5 x 1 y, AD 5 2x 2 y, CD 5 18
4 /DBC 5 6x 2 12, /B 5 y
e) /ABD 5 4x 1 4,
5. T
Traza un cuadrado
a) De cinco centímetros por lado
b) Cuya diagonal mide 5 cm
c) De lado igual a AB
A
B
d) Cuya diagonal es igual a AC
A
C
6. T
Traza un rectángulo:
a) De base 5 cm y de altura 3 cm.
b) Cuya diagonal mida 6 cm y forme un ángulo de 30° con la
base.
c) En el cual sus diagonales midan 5 cm y formen un ángulo
de 60°.
d) Cuyas diagonales midan 4 cm y formen un ángulo de 100°.
7. T
Traza un rombo:
a) Cuyos lados midan 4 cm y el ángulo agudo sea de 60°.
b) En el cual sus lados midan 5 cm y el ángulo obtuso sea de
100°.
c) Cuyas diagonales midan 3 cm y 5 cm.
d) En el cual sus ángulos estén en la razón 3:2.
8. Traza un trapecio:
a) Isósceles cuyas bases midan 6 cm y 4 cm, y su altura sea de
2.5 cm.
b) Escaleno cuyas bases midan 5 cm y 3 cm, y los otros lados
2 cm y 2.5 cm.
72
Grupo Editorial Patria®
c) Rectángulo cuyas bases midan 7 cm y 5 cm, y su altura sea
de 3 cm.
d) Isósceles cuyas bases midan 4.5 cm y 3 cm, y cada lado
mida 2 cm.
9. En las siguientes figuras identifica los polígonos que sean:
b) Regulares
a) Equiláteros
c) Equiángulos
d) Irregulares
11. En las figuras del ejercicio anterior identifica los polígonos
que son:
a) Cóncavos
b) convexos
12. En las siguientes figuras traza todas las diagonales.
10. Da a cada polígono el nombre que recibe según su número de
lados.
13. Calcula el número total de diagonales que se pueden trazar en
un polígono convexo de:
a) 7 lados
b) 8 lados
c) 10 lados
d) 12 lados
e) 15 lados
73
BLOQUE
4
Reconoces las propiedades de los polígonos
Las matemáticas poseen no sólo la verdad, sino cierta belleza suprema.
Una belleza fría y austera, como la de una escultura.
Bertrand Russell
4.1 Polígonos
En este bloque se abordará una clasificación de los polígonos en
regulares o irregulares. Se identifican sus respectivas propiedades y
elementos y se reconocen las relaciones y propiedades de los ángulos en los polígonos regulares.
B
D
A
C
E
Figura 4.1
Como se puede observar en la figura, la línea poligonal o quebrada está formada por segmentos rectilíneos colocados uno a continuación del otro y siguiendo distintas direcciones. El extremo final
del primero es coincidente con el extremo inicial del segundo, el
extremo final de éste es el extremo inicial del tercero y así sucesivamente; de manera que dos segmentos consecutivos sólo tienen un
punto común y un segmento sólo tiene en común con otros dos
sus puntos extremos.
Una línea poligonal cerrada es aquélla donde el extremo inicial del
primer segmento coincide con el extremo final del último segmento.
Polígono es la figura plana delimitada por una poligonal cerrada donde los segmentos son los lados del polígono y los puntos de intersección de los segmentos son los vértices del polígono. Los vértices se
designan con letras mayúsculas en orden alfabético. Los polígonos
se nombran de acuerdo con su número de lados, así tenemos que:
triángulo, cuadrilátero, pentágono, hexágono, heptágono, octágono,
eneágono, decágono, dodecágono, e icoságono, son polígonos de 3,
4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12 y 20 lados, respectivamente.
Para nombrar los demás polígonos se indica el número de lados
que tienen: polígono de 17 lados, polígono de 25 lados, etcétera.
Para nombrar un polígono se nombran sus vértices en forma ordenada según el giro de las manecillas del reloj, o bien, en sentido
contrario.
Los egipcios conocieron la propiedad del triángulo rectángulo cuyos lados miden 3, 4 y 5 unidades, en los que se verifica la relación
52 5 32 1 42, pero el descubrimiento
de la relación a2 5 b2 1 c2 para cualquier triángulo rectángulo y su demostración se deben indiscutiblemente a
Pitágoras.
Se atribuye también a la escuela pitagórica la demostración de la propiedad de la suma de los ángulos internos de un triángulo y la construcción
geométrica del polígono estrellado de
cinco lados.
Clasificación de los polígonos
Regulares e irregulares
Polígono regular es aquel que es equilátero y equiángulo, es decir,
tiene sus lados iguales y sus ángulos iguales.
Un polígono es regular cuando es equilátero y equiángulo, es decir,
será polígono regular cualesquiera que cumpla las dos condiciones.
Como en todo triángulo, a lados iguales se oponen ángulos iguales, el triángulo equilátero es además equiángulo y, por tanto, es un
polígono regular.
Cuadrado es el rectángulo que tiene dos lados consecutivos iguales. Asimismo, el cuadrado tiene las propiedades del rectángulo y,
por tanto, es equiángulo y por la propiedad uno de los paralelogramos es equilátero, de modo que es un polígono regular.
Los seis primeros polígonos regulares son:
Para tu reflexión
Pitágoras de Samos (582-507 a. C.)
Se dice que fue discípulo de Tales, pero que se apartó de la escuela
jónica. Fundó en Crotona, Italia, la escuela pitagórica.
Figura 4.2
74
Grupo Editorial Patria®
Dos lados consecutivos de un polígono regular forman un ángulo
interior. Apotema de un polígono regular es el segmento de perpendicular trazado desde el centro del polígono a uno de sus lados.
La apotema es perpendicular mediatriz del lado correspondiente.
Las apotemas de un polígono regular son iguales.
Actividad de aprendizaje
Da dos ejemplos de polígonos equiláteros:
El centro del polígono es O. /AOB es un ángulo central. G es
el punto medio de AF,
F AG R OG es la apotema de AF,
F OG AF.
F
/DEFF es un ángulo interior.
Polígono irregularr es aquel que no cuenta con las dos características que distinguen a un polígono regular, es decir, no tiene sus
lados y ángulos iguales.
Dentro de los cuadriláteros se darán a conocer los que son polígonos irregulares y algunas de sus propiedades, las cuales son teoremas que no se demostrarán porque para este curso es suficiente
que las conozcas para efectos de aplicación, tanto para el trazo de la
figura como para el cálculo de algunos de sus elementos.
Actividad de aprendizaje
Da dos ejemplos de polígonos equiángulos:
Los cuadriláteros se clasifican, por la disposición relativa de sus lados, en paralelogramos, trapecios y trapezoides.
Actividad de aprendizaje
Da dos ejemplos de polígonos regulares:
Figura 4.4
El centro de un polígono regular es el centro de su circunferencia cirr
cunscrita. Si el centro de un polígono regular se une con todos sus vértices, a cada lado se opondrá un ángulo que se llama ángulo central.
E
D
F
C
G
Figura 4.3
A
B
Paralelogramo. Es el cuadrilátero que tiene paralelos sus lados
opuestos y al cual se le llama también romboide.
El paralelogramo tiene las siguientes propiedades:
1. Los lados opuestos del paralelogramo son iguales.
2. Las diagonales del paralelogramo se bisecan mutuamente, es
decir, una a otra se cortan por la mitad.
3. Los ángulos opuestos del paralelogramo son iguales.
4. Dos ángulos consecutivos del paralelogramo son suplementarios.
Son paralelogramos el rectángulo, el rombo y el cuadrado.
Rectángulo. Es el paralelogramo que tiene un ángulo recto. Por la
forma en que se ha definido, sabemos que el rectángulo tiene todas
sus propiedades del paralelogramo, en particular la 3 y 4 aseguran
75
BLOQUE
4
Reconoces las propiedades de los polígonos
que los cuatro ángulos son rectos. El rectángulo tiene la propiedad
de que sus diagonales son iguales.
Rombo. Es el paralelogramo que tiene dos lados consecutivos
iguales. La primera propiedad de los paralelogramos asegura que
el rombo es equilátero. El rombo tiene la propiedad de que sus
diagonales son perpendiculares y bisectrices de los ángulos cuyos
vértices une. El cuadrado, por sus características, se incluye dentro
de los polígonos regulares.
Actividad de aprendizaje
Da dos ejemplos de polígonos irregulares:
Figura 4.5
En un trapecio el segmento que une los dos puntos medios de los
lados no paralelos se llama base media. La base media tiene como
medida la semisuma de las bases.
Trapezoide. Es el cuadrilátero que no tiene paralelos ningún par
de lados opuestos.
Actividad de aprendizaje
En un rectángulo sus diagonales son:
Ejemplos
1. De los seis polígonos siguientes identifica los que son:
a ) equiláteros
c ) regulares
b ) equiángulos
d ) irregulares
Actividad de aprendizaje
En un rombo sus diagonales son
Figura 4.6
y también:
Solución:
a)
b)
c)
d)
Trapecio. Es el cuadrilátero que tiene sólo un par de lados opuestos paralelos. Los lados paralelos se llaman bases. Un trapecio puede ser rectángulo, isósceles y escaleno. El trapecio es rectángulo
cuando uno de sus lados no paralelo es perpendicular a los dos
lados paralelos, es isósceles cuando sus lados no paralelos son iguales, y escaleno cuando sus lados no paralelos son desiguales.
76
Equiláteros: 2, 3, 4, 5, 6
Equiángulos: 1, 3, 4, 6
Regulares: 3, 4, 6
Irregulares: 1, 2, 5
2. Si ABCD
D es un paralelogramo,
halla x y y.
y
Figura 4.7
Como las diagonales AC
C y BD se bisecan mutuamente, entonces
AE 5 EC
C y BE 5 ED, de modo que:
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x 1 2y 5 15
los demás lados de éste quedan del mismo lado del plano respecto
de la recta.
x 5 3y
Sustituyendo x por 3y en la primera ecuación:
3y 1 2y 5 15, de donde y 5 3, como x 5 3yy entonces x 5 9.
3. Si ABCD es un rombo, halla x y y.
y
Figura 4.8
Solución:
Como la diagonal AC
C es bisectriz de los ángulos cuyos vértices
une, entonces 5x 2 2 5 2x 1 13, de donde x 5 5.
Por tanto,
5x 2 2 5 23° y /A 5 2(23°) 5 46°, /A
A y /D
D son suplementarios, y 1 46 5 180° o sea y 5 134°.
4. Si ABCD
D es un trapecio halla, x y y.
y
Figura 4.10
Polígono cóncavo. Un polígono es cóncavo cuando una recta secante puede cortarlo en más de dos de sus lados, y cuando al trazar
una recta coincidente con uno de los lados del polígono, los demás
lados de éste no quedan del mismo lado del plano respecto de la
recta. En lo sucesivo, cuando se hable de un polígono se tratará de
un polígono convexo.
Figura 4.9
Solución: n
n
Como AD 5 BC
C el trapecio es isósceles, /A 5 /B
B entonces
5x 5 3x 1 24, 2x 5 24, x 5 12, por tanto, y 1 (3x 1 24) 5
180°, y 1 60° 5 180°, y y 5 120°.
Aplica lo que sabes
Ponte de acuerdo con tus compañeras y compañeros de grupo para
realizar lo siguiente:
Realiza la siguiente actividad: Utiliza el método del paralelogramo para
determinar la resultante de dos fuerzas de 30 N a 45° y de 40 N a
135°. (N 5 Newton.)
Cóncavos y convexos
Polígono convexo. Un polígono es convexo cuando cualquier
recta secante sólo lo corta en dos de sus lados, y también cuando
al trazar una recta coincidente con uno de los lados del polígono,
Figura 4.11
77
BLOQUE
4
Reconoces las propiedades de los polígonos
4.2 Elementos y propiedades
Radio
Radio de un polígono regular es el segmento de recta que une el
centro del polígono con cada uno de sus vértices. Este segmento es
igual al radio de la circunferencia circunscrita al polígono.
Apotema
Apotema de un polígono regular es el segmento de perpendicular
trazado desde el centro del polígono a uno de sus lados. La apotema es perpendicular mediatriz del lado correspondiente. Las apotemas de un polígono regular son iguales.
Aplica lo que sabes
Ponte de acuerdo con tus compañeras y compañeros de grupo para
realizar lo siguiente:
Con respecto al baño de las casas investiga:
t {2VÏ DBOUJEBE EF BHVB TF EFTQFSEJDJB EFKÈOEPMB DPSSFS NJFOUSBT
sale el agua caliente?
t {2VÏ DBOUJEBE EF BHVB VUJMJ[B DBEB QFSTPOB QBSB CB×BSTF {2VÏ
cantidad de esa agua se desperdicia mientras se enjabona?
t {2VÏ DBOUJEBE EF BHVB TF EFTQFSEJDJB BM SBTVSBSTF P MBWBSTF MPT
dientes sí se deja abierta la llave del lavabo?
t {2VÏ NFEJEBT DPODSFUBT QPEFNPT BEPUBS QBSB BIPSSBS BHVB TJO
que afecte nuestra calidad de vida?
Diagonales
En nuestro planeta se han generado las condiciones que nos permiten
vivir. Si continuamos alterándolas nos destruiremos.
En un polígono se llama diagonal al segmento de recta que une dos
vértices no consecutivos. Un triángulo no tiene diagonales, pues
dos vértices cualesquiera son necesariamente consecutivos.
Recordemos que formamos parte del ambiente en el que vivimos.
Cuidémoslo.
Número de diagonales desde un vértice
y de diagonales totales
Si en un polígono se trazan desde un solo vértice todas las diagonales posibles, se observa que el número de diagonales es igual al número de lados menos 3; de manera que para un polígono de n lados
el número de diagonales trazadas desde un vértice es n 2 3. Ahora
bien, como en un polígono el número de lados es igual al número de
vértices, el número de diagonales que se puede trazar desde todos
los vértices de un polígono de n lados es (n 2 3). Sin embargo, se
observa que como una diagonal cualquiera une dos vértices el número de diagonales se está contando doble, por ello el número total
de diagonales que se puede trazar desde todos los vértices de un polígono de n lados es:
n ( n − 3)
2
Figura 4.12
78
Grupo Editorial Patria®
Actividad de aprendizaje
Ángulo exterior
Si en un polígono se trazan diagonales desde uno de sus vértices el
número de triángulos que se forman es igual a:
En un polígono si se prolongan sus lados en un mismo sentido, se
forman entre estas prolongaciones y los lados del polígono ángulos
a los que se les llama exteriores.
4.3 La suma de los ángulos
centrales, interiores
y exteriores
Suma de los ángulos centrales
Ejemplos
Calcula el número total de diagonales que se puede trazar en un:
a) triángulo, b) cuadrilátero, c) pentágono, d) hexágono.
n53
a)
n(n
)
2
b) n54
5
(
)
=
3(0)
2
2
c)
n(n
)
2
En un polígono regular la suma de sus ángulos centrales es igual a
360°, y como todos ellos miden lo mismo, porque son congruentes, la medida de uno cualquiera se obtiene dividiendo 360° entre
el número de ángulos centrales que es igual al número de lados n
del polígono. Se expresa así:
360°
Medida del ángulo central 5
n
Suma de ángulos interiores
5
(
)
=
4(1)
2
2
Suma de ángulos interiores de polígonos regulares. Sabemos
que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a
180°, ahora bien, en el caso de un cuadrilátero, ¿cuánto suman sus
ángulos interiores?
d)
50
n 55
52
n 56
n(n 23) 5(5 23)
5
2
2
5(2)
5
2
55
n(n 23) 6(6 23)
5
2
2
6(3)
5
2
59
Ángulo central
El centro de un polígono regular es el centro de su circunferencia
circunscrita. Si el centro de un polígono regular se une con todos sus
vértices, a cada lado se opondrá un ángulo que se llama ángulo central.
El centro del polígono es O. /AOB es un ángulo central.
Ángulo interior
Figura 4.13
Si trazamos una de las diagonales del cuadrilátero vemos que la
suma de las medidas de los cuatros ángulos del cuadrilátero es
igual a la suma de las medidas de los seis ángulos obtenidos (tres
de cada triángulo), como la suma de los ángulos de un triángulo es de 180° y si tiene dos triángulos, entonces 180° 1 180° 5
2(180°) 5 360°. Por tanto, la suma de los ángulos internos de un
cuadrilátero es de 360°.
Continuando con este procedimiento en polígonos de mayor número de lados y trazando desde uno solo de sus vértices todas las
diagonales posibles se puede construir la siguiente tabla:
Dos lados consecutivos de un polígono regular forman un ángulo
interior.
79
BLOQUE
4
Reconoces las propiedades de los polígonos
Número
de lados
Número
de diagonales
Número
de triángulos
Suma de los
ángulos interiores
Triángulo
3
0
1
1(180º) 5 180º
Cuadrilátero
4
1
2
2(180º) 5 360º
Pentágono
5
2
3
3(180º) 5 540º
Hexágono
6
Heptágono
7
Octágono
8
n-ágono
n
Polígono
Sabemos que en un polígono el número de diagonales trazadas desde un vértice es igual al número de lados del polígono menos 3, de manera
que en el caso del triángulo, el número de lados menos 3 es 3 2 3 5 0 diagonales; para el cuadrilátero, 4 2 3 5 1 diagonal; para el pentágono,
5 2 3 5 2 diagonales , y así sucesivamente.
Por otra parte, al trazar las diagonales desde un solo vértice del polígono se observa que el número de triángulos que se forma es igual al número de lados del polígono menos 2, así en el caso del triángulo, que no tiene diagonales, el número de triángulos que se obtiene es 3 2 2 5 1
triángulo, para el cuadrilátero 4 2 2 5 2 triángulos, el pentágono 5 2 2 5 3 triángulos, y así sucesivamente.
Como la suma de los ángulos internos de un triángulo es de 180°, entonces la suma de los ángulos internos de un polígono es igual al número
de triángulos por 180°, de ahí que en el triángulo, el número de triángulos (3 2 2) por 180° es 1(180°) 5 180° para el cuadrilátero (4 2 2)
(180°) 5 2(108°) 5 360°, para el pentágono (5 2 2)180° 5 540°, y así sucesivamente.
Entonces la tabla completa nos queda así:
Número de lados
Número de
diagonales
Número de
triángulos
Suma de los
ángulos interiores
Triángulo
3
0
1
1(180º) 5 180º
Cuadrilátero
4
1
2
2(180º) 5 360º
Pentágono
5
2
3
3(180º) 5 540º
Hexágono
6
3
4
4(180º) 5 720º
Heptágono
7
4
5
5(180º) 5 900º
Octágono
8
5
6
6(180º) 5 1 080º
n-ágono
n
n23
n22
(n 2 2)(180°)
Polígono
80
Grupo Editorial Patria®
Como en un polígono regular todos sus ángulos interiores miden
lo mismo, porque son congruentes, la medida de uno cualquiera se
obtiene dividiendo la suma de los ángulos internos del polígono
entre el número de ángulos que es igual al número de lados.
Para un polígono regular de n lados, el ángulo interior se denota
con la letra i, la medida del ángulo interior se expresa así:
∠i =
( n − 2 )180 °
n
Solución:
(n2 ) °
n
( 2 ) °
108 5
n
n (n2
n ) °
108 n5(
100 8
180
360°
*i 5
Actividad de aprendizaje
360 180
360 72 n
La suma de los ángulos interiores de un polígono es igual a 180°
multiplicando por:
360
5n 55
72
108 n
Si se desea cubrir una superficie con mosaicos, losetas o azulejos
que tengan forma de polígonos regulares, de manera que no queden encimados ni superficie sin cubrir, esto sólo se puede lograr
con triángulos equiláteros, cuadrados o hexágonos regulares.
Cada ángulo de un triángulo equilátero mide 60°, de manera que al
unir en un vértice común seis triángulos equiláteros la suma de los
ángulos es 6(60°) 5 360°.
Ejemplos
1. Calcula la medida del ángulo central de un pentágono regular.
Solución:
n 5 5, medida del ángulo central 5
360 °
= 72 °
5
2. Calcula la medida del ángulo interior de un pentágono regular.
Solución:
n 5 5,
(n – ) °
n
( – ) °
5
5
3(( ° )
5
5
540°
5
5
5108°
* i5
3. Calcula el número de lados de un polígono regular cuyo ángulo
interior mide 108°.
Cada ángulo de un cuadrado mide 90°, al unir en un vértice común
cuatro cuadrados, la suma de sus ángulos es 4(90°) 5 360°.
Cada ángulo de hexágono regular mide 120°, al unir en un vértice
común tres hexágonos regulares, la suma de los ángulos es 3(120°)
5 360°.
Lo anterior no ocurre con los demás polígonos regulares, pues si se
unen tres pentágonos regulares, la suma de los ángulos en el vértice
es menor de 360°, por tanto, queda superficie sin cubrir y si se unen
cuatro pentágonos regulares éstos quedan encimados, porque la
suma de sus ángulos es mayor de 360°.
Suma de ángulos exteriores
En un polígono regular, para un vértice cualquiera, los ángulos interior y exterior son suplementarios.
Si el número de lados de un polígono regular es n, entonces tendrá
n vértices y habrá n pares de ángulos adyacentes suplementarios.
81
BLOQUE
4
Reconoces las propiedades de los polígonos
Por tanto, la suma S de los pares de ángulos adyacentes suplementarios en un polígono regular de n lados será:
S 5 180° n
Por otra parte la suma S’ de los ángulos interiores es
S’ 5 180° (n 2 2)
Si a S se le resta S’’ se obtiene:
Ejemplo
Calcular el perímetro de un rectángulo que mide 25 m de largo y
18 m de ancho.
a 5 25 m
P 5 2(a 1 b)
b
b 5 18 m
5 180° n 2 180° n 1 360°
5 360°
En consecuencia, la suma de los ángulos exteriores de un polígono
regular es de 360°.
P 5 86 m
5 2(43)
5 86
S 2 S’ 5 180° n 2 [180° (n 2 2)]
5 180° n 2 (180° n 2 360°)
P 5 2(25 1 18)
Perímetro del rombo
El perímetro del rombo se obtiene multiplicando por cuatro la longitud del lado.
P5 a1 a1 a1 a
P 5 4a(Fórmula)
Actividad de aprendizaje
En un polígono regular:
4.4. Perímetro y área
de polígonos regulares e
irregulares
El perímetro de los triángulos ya ha sido tratado, por lo que ahora
se verá lo relacionado con el perímetro de algunos cuadriláteros en
particular y de los polígonos regulares en general.
Figura 4.15
Ejemplo
Calcular el perímetro de un rombo que mide 18 cm por lado.
A 5 18 cm
P 5 4a
P5a1 b1 a1 b
P5a1 b1 a1 b
P 5 2a 1 2b
P 5 2(a 1 b) (Fórmula)
Figura 4.14
82
P 5 72 cm
5 72
Perímetro del rectángulo
El perímetro del rectángulo se obtiene multiplicando por dos la
suma de su ancho y su largo (es decir, base más altura).
P 5 4(18)
Perímetro del trapecio
El perímetro de un trapecio se obtiene sumando lo que miden sus
cuatro lados.
P 5 a 1 b 1 c 1 d (Fórmula)
Figura 4.16
Grupo Editorial Patria®
Ejemplo
Ejemplos
Calcular el perímetro de un trapecio cuyos lados miden 13 cm, 5 cm,
8 cm y 6 cm.
Calcular el perímetro de un heptágono regular de 1.5 m por lado.
a 5 13 cm
l 5 1.5 m
P5a1b1c1d
P 5 32 cm
P 5 13 1 5 1 8 1 6 5 32
a 5 5 cm
n57
P 5nl
P 5 7(1.5)
P 5 10.5 m
5 10.5
a 5 8 cm
Área
a 5 6 cm
El área de una superficie es el número de unidades cuadradas o
fracciones de ella que contiene.
Perímetro del cuadrado
Área del cuadrado
El perímetro del cuadrado se obtiene multiplicando por cuatro la
longitud del lado.
El área de un cuadrado se obtiene elevando al cuadrado la longitud
de uno de sus lados.
P5 a1 a1 a1 a
P 5 4a (Fórmula)
Si la longitud del lado es a el área A es:
A 5 a2 (Fórmula)
Ejemplo
Calcular el área de un cuadrado que mide 25 m por lado.
a 5 52m
A 5 a2
A 5 252
A 5 625 m2
5 625
Figura 4.17
Área del rectángulo
Ejemplo
Calcular el perímetro de un cuadrado que mide 25 cm por lado.
a 5 25 cm
Dado un rectángulo de base b y altura h, si se trazan cuatro rectángulos iguales a él y se dispones como se indica en la figura, se transforman dos cuadrados cuya diferencia de áreas es el cuádruplo del
área del rectángulo dado.
b
P 5 4a
P 5 4(25)
h
h
5 100
P 5 100 cm
b
b
Perímetro de un polígono regular
El perímetro de un polígono regular se obtiene multiplicando la
longitud de un lado por el número de lados. Si el número de lados
es n y la longitud de un lado es l, el perímetro P es:
P 5 nl (Fórmula)
h
h
b
Figura 4.18
Área del cuadrado mayor
2
2
Área del cuadrado menor
2
(b 1 h) 5 b 1 2bh 1 h
(b 2 h)2 5 b2 2 2bh 1 h2
83
BLOQUE
4
Reconoces las propiedades de los polígonos
Restando las dos igualdades miembro a miembro obtenemos la
diferencia de las áreas de los cuadrados:
4A
4 5 bh (Fórmula)
El área de un rectángulo se obtiene multiplicando la base por la altura (o el largo por el ancho).
Ejemplo
El área de un paralelogramo se obtiene multiplicando la base por
la altura.
Área del triángulo
Dado un triángulo, si se traza otro igual a él y se disponen como
se indica en las figuras, se forma un paralelogramo cuya área es el
doble del área del triángulo dado.
Calcular el área de un rectángulo que mide 25 m de largo y 13 m de
ancho.
b 5 52 m
A 5 bh
h 5 13 m
A 5 25(13)
h
A 5 325 m2
5 325
Área del paralelogramo
Dado el paralelogramo ABCD, si desde los extremos de su base
se trazan perpendiculares al lado opuesto, se forma el rectángulo
ABC9D9.
Figura 4.20
La base y la altura del triángulo es la base y la altura del paralelogramo, por tanto:
Área del paralelogramo 5 bh
Área del triángulo 5
bh
2
Si en un triángulo su base es b y su altura es h entonces su área es:
A5
bh
2
El área de un triángulo es igual a la mitad del producto que resulta
de multiplicar su base por su altura.
Área del trapecio
Figura 4.19
El paralelogramo ABCD y el rectángulo ABC9D9 son figuras
equivalentes por tener la misma área, ya que el triángulo BCC9
es equivalente al triángulo ADD9.
Si en el paralelogramo su base es b y su altura es h entonces su área
es:
A 5 bh
84
(Fórmula)
Dado el trapecio ABCD, si se traza otro igual a él y se dispone como
se indica en la figura, se forma el paralelogramo AEFD cuya área es
el doble del trapecio dado.
En el paralelogramo AEFD su base es AE y su altura es h, por tanto:
Área del trapecio 5
((AE)h
2
Siendo AE 5 b 1 b´ y sustituyendo AE por su igual, el área del
trapecio es:
A5
(b 1 b9)h
2
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El área de un trapecio es igual a la mitad del producto que resulta de
multiplicar la suma de sus bases por su altura.
⎡ ⎛1 ⎞⎤
⎢ d1 ⎝ 2 d 2 ⎠ ⎥
Área del rombo 5 2 ⎢
⎥
2
⎣
⎦
1
A5 d1 d2
2
h
El área del rombo es igual a la mitad del producto que resulta de
multiplicar sus diagonales.
Ejemplo
Figura 4.21
Calcular el área de un rombo cuyas diagonales miden 12 cm y 8.5 cm.
Ejemplo
d1 5 12 cm A 5
Calcular el área de un trapecio cuyas bases miden 13 m y 7 m, y su
altura es de 5 m.
(b 1 b9)h
(13 1 7)5
b 5 13 m
A5
A5
A 5 50 m2
2
2
(20)5
b9 5 7 m
5
2
h55m
5 50
Área del rombo
Sabemos que en un rombo las diagonales son perpendiculares entre
sí y se cortan mutuamente por la mitad, de manera que se forman
cuatro triángulos congruentes. En la figura 4.22, la diagonal AB divide al rombo en dos triángulos congruentes nABC
n
5 nABD;
n
entonces el área del rombo es el doble del área de uno de los triángulos.
d2 5 8.5 cm
(dd1 1 d2)
12(8.5)
A5
2
2
A 5 51 cm2
102
2
5 51
5
Área de un polígono regular
En un polígono regular, si de su centro se trazan segmentos a cada
uno de sus vértices, se forman tantos triángulos iguales como lados
tenga el polígono. El área del polígono regular será igual al área de
un triángulo multiplicada por el número de triángulos. Si el lado
del polígono es l y la altura de cada triángulo es a (apotema del polígono), el área de un triángulo es:
la
2
Si el polígono tiene n lados se forman n triángulos, entonces:
⎛ la ⎞
Área del polígono n
⎝ 2⎠
Como nl es el perímetro P del polígono, el área de éste es:
A5
Pa
1
, o bien, A 5 Pa (Fórmula)
2
2
El área de un polígono regular es igual a la mitad del producto que
resulta de multiplicar su perímetro por su apotema.
Ejemplo
Figura 4.22
Si AB 5 D1 y CD 5 d2 el área del nABC
n
es:
1
d1 ⎛ d 2 ⎞
⎝2 ⎠
A5
2
Entonces el área del rombo es el doble del área del ABC.
Calcular el área de un hexágono regular que mide 10 cm de lado y
8.66 cm de apotema.
Pa
(6)(10)(8.66)
n56
A5
A5
A 5 259.8 cm2
2
2
l 5 10 cm
519.60
a 5 8.66 cm
5
2
5 259.8 cm2
85
BLOQUE
4
Reconoces las propiedades de los polígonos
Instrumentos de evaluación
Apellido paterno
Apellido materno
Nombre
Grupo
Asegúrate de haber adquirido los contenidos que se abordan en el Bloque 4. Para ello, realiza lo que se te pide a continuación.
1. {6ODVBESBEPFTVOQPMÓHPOPSFHVMBSPJSSFHVMBS {1PSRVÏ
8. Calcula el número de lados de un polígono regular cuyo ángulo
interior mide 120°.
2. {6OUSBQFDJPFTVOQPMÓHPOPSFHVMBSPJSSFHVMBS {1PSRVÏ
9. Calcula el número de lados de un polígono regular cuyo ángulo
interior mide 144°.
3. Un rectángulo mide 72 m2EFÈSFBZNEFCBTF {DVÈOUPNJEF
de altura?
4. Escribe el nombre de dos polígonos regulares y de dos polígonos
irregulares:
5. Calcula el número de lados de un polígono regular cuyo ángulo
interior mide 108°:
6. Calcula el área de un hexágono regular que mide 5 m por lado y
4.35 m de apotema:
7. Una escuela tiene una barda perimetral que mide 100 m y tiene
2 m de altura. Dicha pared se va a pintar por dentro y por fuera
con una capa de pintura de 2 mm de espesor. Calcula en litros la
cantidad de pintura que se necesita.
86
10. Calcula el número de lados de un polígono regular cuyo ángulo
interior mide 150°.
Grupo Editorial Patria®
1. Calcular el perímetro de un rectángulo que mide 65 m de largo y
40 m de ancho.
2. Calcular el ancho de un rectángulo si su perímetro es 100 m y su
largo mide 32.5 m.
3. Calcular la base de un rectángulo si su perímetro es 18.75 m y su
altura mide 3.75 m.
4. Calcular el perímetro de un rombo que mide 65 cm por lado.
16. Calcular el lado de un cuadrado que tiene 576 m2 de área.
17. Calcular el área de un rectángulo que mide 18 m de ancho y 4 m
de largo.
18. Calcular el ancho de un rectángulo que tiene un área de 62.5 m2
y su largo mide 12.5 m.
19. Calcular la base de un rectángulo que tiene un área de 195 m2 y
su altura mide 7.5 m.
5. Calcular el lado de un rombo si su perímetro es de 65 m.
20. Calcular el área de un rombo cuyas diagonales miden 9.5 m y
15 m.
6. Calcular el perímetro de un trapecio cuyos lados miden 5.75 m,
3.5 m, 1.85 m y 2.3 m.
21. El área de un rombo es 22.5 m2 y una de sus diagonales mide
9 m. Calcular la otra diagonal.
7. Calcular el perímetro de un trapecio isósceles cuyas bases miden
75 cm y 52 cm, y cada uno de los lados iguales mide 39 cm.
22. Calcular el área de un trapecio de 6 m de altura si sus bases
miden 12.5 m y 8.75 m.
8. Calcular el perímetro de un trapecio rectángulo si sus bases
miden 13 m y 10 m, y los lados no paralelos miden 4 m y 5 m.
23. Calcular el área de un trapecio si sus bases miden 1.43 m y 0.75 m,
y la altura mide 0.875 m.
9. Calcular la medida de cada uno de los lados iguales de un trapecio isósceles que tiene un perímetro de 1.89 m y las bases miden
65 cm y 46 cm.
10. Calcular el perímetro de un cuadrado que mide 15 m por lado.
11. Calcular el perímetro de un polígono regular de cinco lados (pentágono) que mide 5 m por lado.
12. Calcular el perímetro de un hexágono regular que mide 2.50 m
por lado.
13. Calcular el perímetro de un dodecágono regular que mide 0.30 m
por lado.
14. Calcular el número de lados de un polígono regular si su perímetro es 16.25 m y el lado mide 1.25 m.
15. Calcular el área de un cuadrado que mide 18.7 m por lado.
24. El área de un trapecio es 562.5 m2 y las bases miden 28 m y
17 m. Calcular la altura.
25. El área de un trapecio es 35 m2, su base mayor mide 28 m y su
altura mide 1.55 m. Calcular su base menor.
26. Calcular el área de un pentágono regular mide 2.5 m por lado
y 1.72 m de apotema.
27. Calcular el área de un hexágono regular que mide 5 m por lado y
4.33 m de apotema.
28. Calcular el área de un octágono regular que mide 6 m por lado
y 7.24 m de apotema.
29. Calcular el lado de un hexágono regular que tiene 16.2 m2 de área
y su apotema mide 2.16 m.
30. Calcular la apotema de un octágono regular que tiene 0.3168 m2
de área y su lado mide 3 m.
87
BLOQUE
4
Reconoces las propiedades de los polígonos
Lista de cotejo
Lista de cotejo para el reporte sobre la aplicación del método del paralelogramo para obtener la resultante de dos fuerzas concurrentes de la sección Aplica lo que sabes de la pág. 77.
Nombre del alumno:
Criterio
Presentación
1. Cuenta con una carátula que incluye: el nombre del trabajo que se
realiza, la materia, fecha de entrega, nombre del alumno y su matrícula.
2. Tiene una redacción que es adecuada y clara.
3. Tiene buena ortografía o con errores mínimos.
4. El trabajo se elabora en computadora o manuscrito con letra legible.
5. Las gráficas o dibujos auxiliares se elaboran de un tamaño adecuado
de modo que se puedan apreciar con claridad los datos obtenidos o las
condiciones del problema.
6. Se presenta todo el procedimiento necesario para obtener los datos o
solución que se pide con la justificación correspondiente.
Desarrollo
7. En el procedimiento se desarrolla una secuencia lógica y coherente.
8. Se hace referencia a las gráficas o diagramas auxiliares para apoyar
la argumentación del escrito.
9. Se hace la referencia bibliográfica de las notas, definiciones o
conceptos consultados para sustentar teóricamente las acciones
realizadas.
Dominio del
tema
11. Conoce y aplica correctamente el método del paralelogramo.
Conclusiones
10. La investigación se realiza con apoyo en libros y revistas
actualizadas sobre el tema o bien en sitios web cuya información
sea científicamente válida. De incluir citas textuales, éstas deben ser
breves y con la referencia de la fuente.
14. Representa gráficamente el sistema de fuerzas en el plano.
88
12. Da respuesta correcta a las preguntas que surgen de la actividad que
se propone.
13. Obtiene la resultante de un sistema de fuerzas concurrentes.
15. Representa gráficamente el método del paralelogramo.
16. Representa gráficamente, a escala, el sistema de fuerzas, el método
del paralelogramo y la resultante del sistema.
cumple
sí
no
Observaciones
Grupo Editorial Patria®
Rúbrica
Nombre del alumno:
Excelente
(4)
Aspecto a evaluar
Criterios
Bueno
(3)
Regular
(2)
Deficiente
(1)
Clasificación de los
polígonos
Clasifica y nombra
polígonos regulares e
irregulares
Clasifica polígonos regulares
e irregulares
Nombra algunos polígonos
regulares e irregulares
No clasifica ni nombra
polígonos regulares e
irregulares
Propiedades y
elementos de los
polígonos
Identifica y define los
elementos de los polígonos
y las propiedades de sus
diagonales
Identifica los elementos
de los polígonos y las
propiedades de sus
diagonales
Identifica los elementos de
los polígonos
No identifica ni define los
elementos de los polígonos,
ni las propiedades de sus
diagonales
Relaciones y
propiedades de
los ángulos en los
polígonos regulares
Identifica y define los
ángulos de los polígonos
y determina la suma de
los ángulos interiores y
exteriores
Identifica los ángulos de
los polígonos y determina
la suma de los ángulos
interiores y exteriores
Identifica los ángulos de los
polígonos
No identifica ni define los
ángulos de los polígonos,
ni determina la suma de
los ángulos interiores y
exteriores
A continuación te presentamos la siguiente rúbrica para evaluar la investigación grupal de la página 78 sobre el uso del agua en tu casa:
Niveles
Aspectos a evaluar
Excelente
(4)
Bueno
(3)
Regular
(2)
Deficiente
(1)
Entrega del trabajo
Lo entrega en tiempo y forma,
está limpio y cubre el orden
establecido.
Lo entrega a tiempo, pero no
como se solicitó.
No lo entrega en el tiempo
establecido, está un poco
desordenado.
Lo entrega en tiempo desfasado
al establecido, de forma
desordenada y sucia.
Introducción
Plantea clara y adecuadamente el
tema de la investigación, así como
su importancia y relación con la
vida actual y cotidiana.
Plantea de forma clara y
adecuada, pero es muy breve,
no abarca la importancia de la
información, ni la relaciona.
Comente errores al plantear el
tema, es muy confusa.
No desarrolla la introducción.
Contenido
Desarrolla el tema en su totalidad,
con buen nivel de profundidad y
detalles, relaciona la información
con ejemplos concretos. Muestra
un claro conocimiento de los
contenidos.
Desarrolla la mayor parte del
tema, aunque no profundiza en
detalles. Menciona ejemplos pero
no están del todo relacionados
con la información presentada.
Muestra un conocimiento básico
de los contenidos.
Sólo desarrolla la información
esencial, no profundiza ni
menciona ejemplos. Confunde
algunos contenidos.
Integra el mínimo de información,
no profundiza ni relaciona la
información. Comete muchos
errores sobre los contenidos.
Calidad
Maneja adecuadamente toda la
información, la relaciona con el
tema de la investigación, provee
diversas ideas y ejemplos.
Maneja en forma general la
información, la relaciona con el
tema pero no proporciona ideas
ni ejemplos.
Maneja el mínimo de la
información requerida, confunde
los temas y los relaciona de forma
equivocada. Se le dificulta realizar
ejemplos o dar ideas al respecto.
Utiliza mal la información, la
confunde y comete errores al
establecer cualquier tipo de
relación.
Conclusiones
Deduce conclusiones a partir
de la información obtenida
en su investigación y de los
conocimientos aprendidos.
Concluye a partir de la
información del texto, justifica
sus ideas.
Referencias
bibliográficas
Maneja gran variedad de fuentes
de consulta, son confiables y
están actualizadas.
Manejo diversas fuentes de
consulta, son confiables pero no
todas están actualizadas.
Relaciona la información con sus
conocimientos pero no puede
argumentar su postura con los
datos que se establecen en la
investigación.
Su manejo de fuentes de consulta
es limitado, no son totalmente
confiables ni están actualizadas.
No compara los contenidos del
texto con sus conocimientos.
Es escaso el manejo de fuentes
de consulta.
89
Empleas la circunferencia
5
B LO Q U E
Objetos de
aprendizaje
5.1 Circunferencia
Competencias a desarrollar
„
Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o
gráficas.
„
Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e
interpretar información.
„
Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo como
cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.
„
Elige las fuentes de información y comunicación para un propósito específico y
discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y confiabilidad.
„
Construye hipótesis; diseña y aplica modelos para probar su validez.
„
Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos.
¿Qué sabes hacer ahora?
Responde las siguientes preguntas:
1. Un círculo es: __________________________________________
2. Una circunferencia es: _____________________________________
Identifica las líneas de la siguiente figura:
3.
En una circunferencia el ángulo que tiene su vértice sobre la circunferencia y está
4. formado por dos cuerdas se llama: ____________________________
Identifica en las siguientes figuras los ángulos interior, inscrito, semiinscrito y
exterior:
C
5.
C
A
6. ¿Cuánto mide un ángulo inscrito que subtiende un diámetro? ____________
7. Calcula el área de la región sombreada de la siguiente figura: ____________
Desempeños por alcanzar
„
Propone la manera de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en
equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos.
Reconoce y distingue los diferentes tipos de rectas, segmentos y ángulos
asociados a la circunferencia.
„
Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera
reflexiva.
Emplea las propiedades de los elementos asociados a una circunferencia como:
radio, cuerda, arco, secantes y tangentes en la resolución de problemas.
„
Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades
con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.
Resuelve ejercicios de perímetros y áreas de la circunferencia.
BLOQUE
5
Empleas la circunferencia
Situación didáctica
Una mesa para jardín tiene forma circular. Por el centro de ella se
desea pasar un tubo como soporte de una sombrilla que la cubra.
Secuencia didáctica
Forma equipos para resolver el problema.
Que cada equipo represente mediante dibujos las condiciones del
problema.
¿Cómo lo resolverías?
Si únicamente se dispone de una escuadra, ¿cómo se puede determinar el centro de la mesa?
¿Qué tienes que hacer?
tos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es
preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a
cabo las rectificaciones que procedan.
Cada equipo debe investigar:
Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto de las
actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito
de asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje.
¿Qué es una cuerda de circunferencia?
Evaluación por producto
¿Qué es una mediatriz de un segmento de recta?
A fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito
de manera muy clara.
Presenten los resultados en plenaria y analicen las formas de resolver el problema.
¿Qué propiedad tienen las mediatrices de las cuerdas de una circunferencia?
Trabajo individual
En este ejemplo:
Producto a elaborar
Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios.
Modelo de mesa circular en la que se determina su centro utilizando una escuadra únicamente.
Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione concep-
Rúbrica
Para determinar el centro de la mesa que se pide se deben anexar
los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un
valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la
originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las
fuentes consultadas, etc. La descripción del procedimiento por es-
Situación didáctica
¿Cómo sabes que lo hiciste bien?
crito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase 2 puntos
de su calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello suma un
total de 10 puntos.
Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes.
¿Cómo lo resolverías?
Traza varios ángulos inscritos en una misma semicircunferencia y determina la medida de cada uno de ellos. Explica el por qué de ese resultado.
92
Grupo Editorial Patria®
Secuencia didáctica
Forma equipos para resolver el problema.
Que cada equipo represente mediante dibujos las condiciones del
problema.
Presenten los resultados en plenaria y analicen las formas de resolver el problema.
Cada equipo debe investigar:
¿Qué es un ángulo inscrito en una circunferencia?
¿Cómo se determina la medida de un ángulo inscrito en una circunferencia?
¿Cómo se trazan ángulos inscritos en una semicircunferencia?
¿Qué tienes que hacer?
Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es
preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a
cabo las rectificaciones que procedan.
Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto de las
actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito
de asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje.
Evaluación por producto
¿Cuál es la medida de cada ángulo?
A fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito
de manera muy clara.
¿Por qué tienen esa medida?
En este ejemplo:
Trabajo individual
Producto a elaborar
Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios.
Modelo de una semicircunferencia con ángulos inscritos en ella.
Rúbrica
Para determinar la medida de los ángulos inscritos que se piden se
deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados,
éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material
utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado,
la forma, las fuentes consultadas, etc. La descripción del procedi-
¿Cómo sabes que lo hiciste bien?
miento por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en
clase 2 puntos de su calificación de la actividad que se evalúa. Todo
ello suma un total de 10 puntos.
Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes.
93
BLOQUE
5
Empleas la circunferencia
Propuestas de diseño para
situaciones didácticas
1. Expresa el concepto de circunferencia.
2. Proporciona el concepto de círculo.
3. Traza una semicircunferencia de radio igual a 2 cm.
4. Traza un círculo de radio igual a 2 cm.
5. Expresa el concepto de:
a) radio
b) cuerda
c) diámetro
d) tangente
e) secante
6. Da el nombre que corresponde a cada una de las líneas.
7. Proporciona el concepto de:
a) ángulo central
b) ángulo inscrito
c) ángulo interior
d) ángulo exterior
8. Da el nombre que corresponde a cada uno de los siguientes
líneas:
a) AB es:
b) CD es:
c) OE es:
d) EF es:
e) IJ es:
f ) GH es:
94
9. Si ABC
C es un triángulo inscrito, como se ilustra, halla:
a) /A si a 5 100° y c 5 200°
C y a 5 100°
b) /A si AB ' BC
C es un diámetro y a 5 100°
c) /A si AC
C es un diámetro y a:b 5 3:2
d) /A si AC
ABC 5 235°
e) /B si s
f ) /B si a 1 b 5 3 c
g /B si a 5 75° y c 5 b
g)
h) /C
C si AB ⊥ BC
C y a 5 b
1
i) a si a 5 2b y b 5 c
2
j) a, b y c si b : a : c 5 1 : 2 : 3
Grupo Editorial Patria®
La matemática es la ciencia del orden y la medida, de bellas cadenas de
razonamientos, todos sencillos y fáciles.
René Descartes
5.1 Circunferencia
Es común que se utilicen circunferencia y círculo como sinónimos,
sin embargo, aun cuando estos conceptos están estrechamente
vinculados, tienen significados que es preciso distinguir para poder
aplicarlos correctamente.
Rectas y segmentos
Dentro de los elementos de la circunferencia se dan a conocer las
líneas notables.
AB
cuerda
CD
diámetro
EF
secante
GH
tangente
OI
radio
Figura 5.2
Radio. Es el segmento de recta que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de la misma.
Diámetro. Es la cuerda que pasa por el centro de la circunferencia.
Cuerda. Es el segmento de recta que une dos puntos de la circunferencia.
Figura 5.1
La circunferencia es una curva cerrada cuyos puntos están en un
mismo plano y a igual distancia de otro punto interior fijo que se
llama centro de la circunferencia.
El círculo es la superficie del plano limitado por una circunferencia.
Como se puede observar, la circunferencia es una línea y por ello
sólo tiene longitud, mientras que el círculo es una superficie y, por
tanto, tiene área.
La circunferencia o círculo se representa con el símbolo ( y la diferencia se obtiene del contexto.
El concepto de p se aplica en la transformación de medidas angulares.
Arco. Es una parte de la circunferencia. Un arco se representa con
el símbolo q que se lee “arco”.
Tangente. Es la recta que toca a la circunferencia en un punto.
Este punto único se llama punto de tangencia o punto de contacto.
Secante. Es la recta que corta a la circunferencia en dos puntos
(partes).
Observa que el radio, la cuerda y el diámetro son segmentos de recta, mientras que la secante y la tangente son rectas.
AC arco AC
BC arco BC
ACB arco ACB
Actividad de aprendizaje
CAB arco CAB
Circunferencia es:
Actividad de aprendizaje
cim
eSrí culo
Círculo es:
Figura 5.3
Semicircunferencia. Es el arco de longitud igual a la mitad de la
circunferencia.
95
BLOQUE
5
Empleas la circunferencia
Arco menor. Es aquel que mide menos que una semicircunferencia.
Arco mayor. Es aquel que mide más que una semicircunferencia.
En la figura 5.3, AC
C y ABC
C son, respectivamente, un arco menor y
un arco mayor. El uso de tres letras, en el segundo caso, es indispensable para distinguir los dos arcos.
ACB es una semicircunferencia.
Calculó un valor más aproximado
de p (pi), el área de la elipse, el
volumen del cono, de la esfera,
etc. Estudió la llamada espiral de
Arquímedes que sirve para la trisección del ángulo.
En lo sucesivo, la palabra arco se referirá a un arco menor, a menos
que se especifique lo contrario.
Semicírculo. Es la región del plano comprendida entre un diámetro y la semicircunferencia correspondiente.
Rectas tangentes a un círculo
Construye la tangente a una circunferencia dada en un punto determinado de ella.
Sean la circunferencia O y un punto P de ella.
Sean la circunferencia ( O y un punto P exterior a ella.
1. T
Traza el segmento OP.
1. T
Traza y prolonga el radio OP.
2. Se determina el punto medio OP.
2. En P se aplica la primera construcción y se determina AB.
3. Con centro en M y radio OM,
M traza una circunferencia que corte a la circunferencia dada en los puntos A y B.
AB es la recta tangente a la circunferencia O en el punto PP, que
es el punto de tangencia.
4. T
Traza las rectas PA y PB, que son las tangentes a la circunferencia dada.
P
Figura 5.5
Figura 5.4
Observa que el radio es perpendicular a la tangente en el punto de
tangencia.
Construye una tangente a una circunferencia dada desde un punto
exterior a ella.
Para tu reflexión
Arquímedes de Siracusa (287-212 a. C.)
Estudió en Alejandría. Era un genio técnico con una mentalidad práctica que lo llevó a investigar problemas de orden físico y resolverlos
por métodos nuevos. Por esto, después de grandes disputas con los
euclidianos, se retiró a Siracusa donde puso sus descubrimientos al
servicio de la técnica.
96
Ángulos
En el caso de los ángulos notables se muestran los teoremas con los
que se deducen las fórmulas para calcular sus respectivas medidas.
Grupo Editorial Patria®
La unidad para medir los ángulos es el grado que, como ya se ha dicho, equivale a la amplitud de rotación de una semirrecta que gira
1
de vuelta alrededor de su origen.
360
1
de vuelta es un grado, unidad angular.
360
1
de circunferencia es un grado, unidad de arco.
360
Figura 5.6
Ángulo central. Es aquel que está formado por dos radios. El
∠AOB intercepta o subtiende al o
AB o a la cuerda AB. También se
AB está comprendido entre los lados del ángulo.
dice que el arco o
Ángulo inscrito. Es aquel que está formado por dos cuerdas y tiene su vértice sobre la circunferencia. Un ángulo está inscrito en un
arco, cuando tiene su vértice en el arco y los lados pasan por los exx
tremos de éste. El ∠B es un ángulo inscrito, sus lados son las cuerAC .
das AB y BC. El ∠B está inscrito en el ∠ABC
C y subtiende el o
Ángulo interior. Es aquel que está formado por dos cuerdas que
C (o bien su opuesto
p
por el vértice ∠BED) es
se cortan. El ∠AEC
o son los arcos comprendidos
un ángulo interior, donde o
AC y BD
entre sus lados. El ∠AED (o bien opuesto por el vértice ∠BED) es
un ángulo interior.
Actividad de aprendizaje
Cuántos grados mide un ángulo central de:
Un cuarto de vuelta:
Media vuelta:
Tres cuartos de vuelta:
AD y BC
C son los arcos comprendidos entre sus lados.
La medida de un ángulo central es igual a la del arco comprendido
entre sus lados.
Ángulo exterior. Es aquel que está formado por dos segmentos
secantes que se cortan en un punto fuera del círculo. El ∠A es un
o y DE
o son los arcos comprendidos entre sus
ángulo exterior, BC
lados.
Observa que la igualdad se ha establecido entre medidas, es decir,
entre cantidades, pues ángulo y arco son conceptos diferentes.
Teorema: todo ángulo inscrito en una circunferencia tiene por
medida la mitad de la del arco comprendido entre sus lados.
Medida del ángulo central
Plan: consideremos los tres casos que se presentan en las figuras.
Un ángulo central se mide por el arco comprendido entre sus lados.
Figura 5.7
Hipótesis:
∠BAC
C es un
ángulo inscrito
Tesis:
∠BAC 5
r
BC
2
Actividad de aprendizaje
En una circunferencia sus ángulos notables son:
Figura 5.8
Caso I: Cuando uno de los lados del ángulo es un diámetro, traza
el radio OC
C y compara ∠BAC
C y ∠BOC.
97
BLOQUE
5
Empleas la circunferencia
Ejercicios CI
Afirmaciones
Razones
1. ∠BAC es un ángulo inscrito en la circunferencia de centro O.
1. Por hipótesis.
o radio de la ( O.
2. OC
2. Por construcción.
3. /A 5 /C
3. Por ser ángulos opuestos a lados iguales de un triángulo isósceles.
o
4. /BOC 5 BC
4. La medida de un ángulo central es igual a la medida del arco
comprendido entre sus lados.
5. /A 1 /C 5 ,BOC
5. Un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos
interiores no adyacentes a él.
o
6. 2/A 5 BC
/A 5
o
BC
2
6. Por las afirmaciones 3 y 4, y operaciones.
Ejercicios CII
Afirmaciones
Razones
1. ∠BAC es un ángulo inscrito en ( O.
1. Por hipótesis.
2. AD es diámetro de la ( O.
2. Por construcción.
3. /BAD 5
o
o
DC
BD
, /DAC 5
2
2
3. Demostración del caso I.
4. /BAC 5 /BAD 1/DAC
5. /BAD 1 /DAC 5
6. /BAC 5
o 1 DC
o
BD
2
o
o
BC
BC
, /A 5
2
2
4. Por construcción.
1
5. De la afirmación 3.
6. De las afirmaciones 4 y 5.
Ejercicios CIII
Afirmaciones
1. ∠BAC es un ángulo inscrito en ( O.
1. Por hipótesis.
2. Es diámetro de la ( O.
2. Por construcción.
3. /DAC 5
o
o
DB
DC
, /DAB 5
2
2
4. /DAC – /DAB 5
5. /BAC 5
98
Razones
o 1 DB
o
DC
2
o
o
BC
BC
, /A 5
2
2
3. Demostración del caso I.
4. Por construcción.
5. De las afirmaciones 3 y 4.
Grupo Editorial Patria®
Caso II: Cuando el centro de la circunferencia está en el interior
del ángulo, traza el diámetro AD, aplicando la demostración del
caso I y también la igualdad siguiente:
∠BAC 5 ,∠BAD 1 ∠DAC
Teorema: Todo ángulo formado por dos cuerdas que se cortan
(ángulo interior) tiene por medida la semisuma de las medidas de
los arcos comprendidos entre sus lados.
Hipótesis:
Caso III: Cuando el centro de la circunferencia está en el exterior
del ángulo, traza el diámetro AD, aplicando la demostración del
caso I y también la igualdad siguiente:
∠BAC 5 ∠DAC 2 ∠DAB
∠AEC
C es un ángulo formado
por las cuerdas AB y CD que se
cortan en E.
Tesis:
r
r
AC BD
/AEC 5
2
Corolario 1. Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es
un ángulo recto.
Corolario 2. Todos los ángulos inscritos que comprenden un mismo arco o arcos iguales son iguales.
Ejemplo
Si / x 5 110°, halla / y
Figura 5.10
Solución:
∠x
Plan: Traza la cuerda AD para construir dos ángulos inscritos y
usa la propiedad del ángulo exterior de un triángulo.
o
AB , por tanto, o
AB5
AB 110 °
AB 5 180° – 110° 5 70°
BC 5 p
ABC – o
∠y 5
Actividad de aprendizaje
BC 70 °
5
535 °
2
2
¿Cuánto mide un ángulo inscrito que subtiende una semicircunferencia?
A
Figura 5.9
Ejercicios
Afirmaciones
Razones
1. ∠AEC
C es un ángulo formado por las cuerdas AB y CD que se
cortan en E.
1. Por hipótesis.
2. AD es una cuerda de la ( O.
2. Por construcción.
3. /ADC 5
o
o
BD
AC
, /BAD 5
2
2
3. Por ser ángulos inscritos.
4. U
Un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos
interiores no adyacentes con él.
4. /AEC 5 ∠ADC 1 /BAD
5. /AEC 5
o
o
BD
AC
1
2
2
/AEC 5
o
o
AC BD
2
5. De las afirmaciones 2 y 3.
99
BLOQUE
5
Empleas la circunferencia
o si / y 5 72° y o
o
i) BC
AD 5 2 BC
o si / y 5 110° y o
j) BD
AC 5 100°
Ejemplo
Si / x 5 85°, y
y 5 70°
Solución:
o
o
AC BD
2
100° 1 y
/85°
170° 5 100° 1 y
2
/x 5
E
Figura 5.12
Figura 5.11
1. Si AB y CD son cuerdas que se cortan en EE, como se ilustra en
la figura 5.12, halla:
o 5 70°
a) /x si o
AC 5 90° y BD
Teorema: Todo ángulo formado por dos secantes que se cortan fuera de la circunferencia (ángulo exterior) tiene por medida la semidiferencia de las medidas de los arcos comprendidos entre sus lados.
Hipótesis
Tesis:
o DE
o
BC
∠A es un ángulo formado
/A 5
2
por dos secantes que se
cortan fuera de la ⊙ O.
o miden 60° cada uno.
b) /x si o
AC y BD
o 5 210°
c) /x si o
AC 1 BD
o1o
d) /x si BC
AD 5 150°
o si /x 5 85°
e) o
AC 1 BD
o si /x 5 100°
f) o
AC 1 BD
o1o
g BC
g)
AD si /x 5 85°
Figura 5.13
o si /x 5 60° y o
h) BC
AD 5 160°
Plan: Traza la cuerda BD para construir dos ángulos inscritos y usa
la propiedad del ángulo exterior de un triángulo
Ejercicios
Afirmaciones
Razones
1. ∠A es un ángulo exterior de la ⊙ O.
1. Por hipótesis.
2. BD es una cuerda de la ( O.
2. Por construcción.
3. /BDC 5
o
o
DE
BC
, /DBE 5
2
2
3. Por ser ángulos inscritos.
4. U
Un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos
interiores no adyacentes con él.
4. /DBE 1 ∠A 5 /BDC
5. /A 5
100
o
o
DE
BC
2
2
2
/A 5
o DE
o
BC
2
5. De las afirmaciones 3 y 4.
Grupo Editorial Patria®
Ejemplo
Si y 5 40°, halla /x.
Solución:
/x 5
o DE
o
60°
100 40°
BC
5
5
5 30°
2
2
2
Figura 5.15
Teorema: Todo ángulo formado por tangente y cuerda (ángulo
semiinscrito) mide la mitad de la medida del arco subtendido por
la cuerda.
Figura 5.14
2. Si AB y AC
C son secantes que se cortan en A
A, como se ilustra en
la figura 5.15, halla:
a) /A si c 5 90° y a 5 40°
b) /A si c – a 5 82°
c) /A si c 5 a 1 40°
d) a si c 5 135° y /A 5 40°
e) c si a 5 60° y /A 5 40°
f ) c – a si /A 5 65°
g a si c 5 a y 3A 5 25°
g)
h) a si c 5 a y 2A 5 35°
i) /A si c – a 150°
j) /A si a : b c : d 1 : 2 : 3 : 4
Hipótesis:
T
Tesis:
AB es tangente en B
a la ⊙ O.
/B
.
p
BCD
2
.
Figura 5.16
Plan: Traza el radio OB perpendicular a la tangente y OD ⊥ BC
para obtener dos ángulos que tienen sus lados respectivamente
perpendiculares, que por tanto son iguales.
Ejercicios
Afirmaciones
Razones
1. OB ⊥ AB
1. El radio es perpendicular a la tangente en el punto de tangencia.
2. OD ⊥ BC
2. Por construcción.
3. /ABC 5 ∢BOD
3. Dos ángulos que tienen sus lados respectivamente
perpendiculares y son de la misma clase son iguales.
o
4. /BOD 5 BD
4. La medida de un ángulo central es igual a la del arco
comprendido entre sus lados.
p
o 5 BDC
5. BD
2
6. /ABC 5
p
p
BDC
BDC
, /A 5
2
2
5. T
Todo radio perpendicular a una cuerda divide por la mitad al
arco subtendido por dicha cuerda.
6. De afirmaciones 3, 4, 5.
101
BLOQUE
5
Empleas la circunferencia
Aplica lo que sabes
Ponte de acuerdo con tus compañeras y compañeros de grupo para
realizar lo siguiente:
Dos tambores giran mediante un mecanismo conectado con una polea. Si los tambores deben girar en el mismo sentido, ¿cómo se debe
colocar la banda en las poleas? Y si deben girar en sentido contrario,
¿cómo se debe colocar la banda en las poleas?
Arquímedes consideró los polígonos regulares circunscritos y supuso que el perímetro P de un polígono regular de n lados es mayor que C, para concluir que pn , C , Pn y que cuando n crece,
Pn decrece pero es siempre mayor que C, de manera que cuando n
es muy grande Pn – pn se aproxima a cero.
Por este procedimiento Arquímedes consiguió la siguiente aproximación de p:
3
Concepto de p
El numero p (pi) expresa la relación que existe entre la longitud de
una circunferencia (C) y su diámetro (d), p define como la razón
de C a d.
C
p 5 donde C 5 pd o bien C 5 2 pr.
d
p un número real irracional, pues su expansión decimal no es un
número decimal periódico, es decir, no se repiten los dígitos ni tiene fin, y, por tanto, π se puede expresar como el cociente de dos
números enteros. Algunos valores aproximados de p son 3.1416,
22
3.14,
y 3.1415926535.
7
Arquímedes utilizó polígonos regulares inscritos para encontrar
un número real C al que llamó longitud de la circunferencia, y partió del supuesto de que el segmento de recta que une dos puntos
es menor que cualquier curva o línea poligonal que una a esos mismos puntos. Entonces el perímetro pn de un polígono regular de n
lados inscrito es menor que C y a medida que n crece, la longitud
de pn crece, pero se mantiene siempre menor que C.
102
10
10
< pπ < 3
71
70
Considerando un hexágono regular inscrito en una circunferencia, sabemos que la medida del radio (r) es igual a la del hexágono
(r 5 1). En la circunferencia de radio unitario (r 5 1);
P 6
p = = =3.
d 2
Considerando un hexágono regular circunscrito en una circunferencia de radio unitario, la longitud de un lado del polígono es
2 3
y, por tanto:
3
⎛ 2 3⎞
6⎜
⎝ 3 ⎟⎠
P
π= =
= 2 3 = 3 . 4641016
d
2
En la circunferencia de radio unitario C 5 2pr 5 2p. Considerando polígonos regulares de n lados, inscritos y circunscritos en la
circunferencia de radio unitario, se encuentran los siguientes valores aproximados de p.
Número de lados del
polígono regular n
Perímetro del
polígono inscrito pn
Longitud de la
circunferencia
Perímetro del polígono
circunscrito, pn
6
2(3.0000000)
,C,
2(3.4641016)
12
2(3.1058265)
,C,
2(3.2151900)
24
2(3.1326325)
,C,
2(3.1596673)
48
2(3.1393546)
,C,
2(3.1460919)
96
2(3,1410369)
,C,
2(3.1427201)
192
2(3.1414569)
,C,
2(3.1418776)
384
2(3.1415625)
,C,
2(3.1416675)
768
2(3.1415883)
,C,
2(3.1416153)
1 536
2(3.1415918)
,C,
2(3.1415946)
Grupo Editorial Patria®
Aplica lo que sabes
Ponte de acuerdo con tus compañeras y compañeros de grupo para
realizar lo siguiente:
Ejemplos
1. Calcular la longitud de una circunferencia que mide 5 cm de radio.
r 5 5 cm
C 5 2pr
En nuestro planeta se han generado las condiciones que nos permiten
vivir. Si continuamos alterándolas nos destruiremos.
Recordemos que formamos parte del ambiente en el que vivimos. Cuidémoslo.
Utilización del agua de lluvia:
t {$VÈMFTMBNFEJBEFMJUSPTEFBHVBEFMMVWJBQPSNFUSPDVBESBEP
al año en tu comunidad?
t {$VÈOUPT NFUSPT DVBESBEPT EF TVQFSmDJF UJFOF FM UFDIP EF UV
DBTBPEFMFEJmDJPEPOEFWJWFT
t {$VÈOUPT NFUSPT DÞCJDPT EF BHVB TF QVFEFO SFDPMFDUBS BOVBMNFOUFFOMBDBTBPFEJmDJPEPOEFWJWFT
t {$ØNPQPEFNPTSFDVQFSBSZBMNBDFOBSFMBHVBEFMMVWJBFOFM
hogar, en la escuela?
t {2VÏVTPQPEFNPTEBSBMBHVBEFMMVWJBQBSBBIPSSBSFMDPOTVNP
del agua potabale?
C 5 2 (3.1416)5
C 5 31.416 cm
5 10 (3.1416)
5 31.416
2. Calcular la longitud de una circunferencia que mide 5 cm de diámetro.
d 5 5 cm
C 5 pd
C 5 (3.1416)(5)
C 5 15.708
5 15.708
Área
Considerando el círculo como un polígono regular de un número
ilimitado de lados, el área del círculo se puede obtener aplicando la
Pa
fórmula para los polígonos regulares, A 5 sólo que el perímetro
2
del círculo es la longitud de la circunferencia (P 5 C 5 2pr) y la
apotema es igual al radio (a 5 r).
Por tanto:
Pa
2
(2pr)(r)
A5
2
2pr2
A5
2
A 5 pr2
A5
El área de un círculo se obtiene multiplicando p por el cuadrado
del radio.
Ejemplos
1. Calcular el área de un círculo que mide 5 m de radio.
r55m
A 5 pr 2
A 5 (3.1416)(52)
A 5 78.54 m2
5 (3.1416)25
5 78.54
Perímetro y área
Se ha establecido que p es la razón entre la longitud de la circunC
ferencia y la longitud del diámetro, lo cual se expresa así: p 5
d
entonces C 5 pd y como el diámetro es igual a dos radios (d 5
2r) C 5 2pr.
La longitud de una circunferencia se obtiene multiplicando p por
el diámetro, o lo que es lo mismo p por el doble del radio.
2. Calcular el área de un círculo si su circunferencia mide 18 p.
C 5 18 p
C 5 2 pr
C 5 2pr 5 18 p A 5 254.4696 u2
A 5 pr 2
5 2pr 5 18p
2r 5 18
r59
A 5 pr 2
5 (3.1416)(92)
5 (3.1416)(81)
5 254.4696
103
BLOQUE
5
Empleas la circunferencia
Instrumentos de evaluación
Apellido paterno
Apellido materno
Nombre
Grupo
Asegúrate de haber adquirido los contenidos que se abordan en el Bloque 5. Para ello, realiza lo que se te pide a continuación.
o 5 70°, halla el valor de x y y.
1. Si o
y
AC 5 90° y BD
o y /A 5 25°
o si BC
o 5 3 DE
5. Hallar DE
2. Sí /x 5 85°, o
AD 5 ?
AC 1 o
o
o si /y 5 72° y o
AD 5 2 BC
3. Halla BC
6. Si ABB y AC
C son secantes que se cortan en A, como se ilustra,
hallar:
o 5?
o 5 135° y / A 5 40°, DE
4. Si BC
BC si / x 5 60° y /A 5 40°
104
Grupo Editorial Patria®
7. Si ABB y AC
C son secantes que se cortan en A, como se ilustra,
hallar:
8. Si ABB y AC son secantes que se cortan en A, como se ilustra,
hallar:
a si c 5 135° y /AA = 40°
a si c 5 2a y /A 5 35°
Rúbrica
Nombre del alumno:
Aspecto a evaluar
Criterios
Excelente
(4)
Bueno
(3)
Regular
(2)
%FmDJFOUF
(1)
Propiedades de los
elementos asociados
a una circunferencia
Identifica y define los
elementos asociados a una
circunferencia
Identifica los elementos
asociados a una
circunferencia
Identifica algunos
elementos asociados a una
circunferencia
No identifica ni define los
elementos asociados a una
circunferencia
Características y
propiedades de
los diversos tipos
de ángulos en la
circunferencia
Identifica y define
las características y
propiedades de los diversos
tipos de ángulos en la
circunferencia
Identifica las características
y propiedades de los
diversos tipos de ángulos en
la circunferencia
Identifica algunas de
las características y
propiedades de los diversos
tipos de ángulos en la
circunferencia
No identifica ni define
las características y
propiedades de los diversos
tipos de ángulos en la
circunferencia
105
BLOQUE
5
Empleas la circunferencia
Lista de cotejo
Lista de cotejo para el reporte sobre los dos tambores conectados con una polea de la sección Aplica lo que sabes de la pág. 102.
Nombre del alumno:
Criterio
Presentación
1. Cuenta con una carátula que incluye: el nombre del trabajo que se realiza,
la materia, fecha de entrega, nombre del alumno y su matrícula.
2. Tiene una redacción que es adecuada y clara.
3. Tiene buena ortografía o con errores mínimos.
4. El trabajo se elabora en computadora o manuscrito con letra legible.
-BT HSÈmDBT P EJCVKPT BVYJMJBSFT TF FMBCPSBO EF VO UBNB×P BEFDVBEP
de modo que se puedan apreciar con claridad los datos obtenidos o las
condiciones del problema.
6. Se presenta todo el procedimiento necesario para obtener los datos o
TPMVDJØO RVF TF QJEF DPO MB KVTUJmDBDJØO DPSSFTQPOEJFOUF
Desarrollo
7. En el procedimiento se desarrolla una secuencia lógica y coherente.
4F IBDF SFGFSFODJB B MBT HSÈmDBT P EJBHSBNBT BVYJMJBSFT QBSB BQPZBS MB
argumentación del escrito.
4F IBDF MB SFGFSFODJB CJCMJPHSÈmDB EF MBT OPUBT EFmOJDJPOFT P DPODFQUPT
consultados para sustentar teóricamente las acciones realizadas.
Conclusiones
Dominio del
tema
10. La investigación se realiza con apoyo en libros y revistas actualizadas
TPCSF FM UFNB P CJFO FO TJUJPT XFC DVZB JOGPSNBDJØO TFB DJFOUÓmDBNFOUF
válida. De incluir citas textuales, éstas deben ser breves y con la
referencia de la fuente.
106
11. Conoce y aplica correctamente el concepto del movimiento de una polea.
12. Da respuesta correcta a las preguntas que surgen de la actividad que se
propone.
13. Determina la posición de la polea de acuerdo al giro que se desea en los
tambores conectados con ella.
3FQSFTFOUB HSÈmDBNFOUF FM NPWJNJFOUP EF VOB QPMFB
3FQSFTFOUB HSÈmDBNFOUF MB QPTJDJØO EF MB QPMFB QBSB RVF MPT UBNCPSFT
giren en el mismo sentido.
3FQSFTFOUB HSÈmDBNFOUF MB QPTJDJØO EF MB QPMFB QBSB RVF MPT UBNCPSFT
giren en sentido contrario.
cumple
sí
no
Observaciones
Grupo Editorial Patria®
La Autoevaluación es una estrategia que te permite conocer y valorar tu progreso en el proceso de aprendizaje, también te ayuda a profundizar
en gran medida en el autoconocimiento y comprensión de una actividad realizada; además de responsabilizarte de las acciones que realizas y
de cómo las llevas a cabo, siendo el motor de motivación para futuros trabajos.
Autoevaluación para actividades de aprendizaje
Nombre del estudiante:
Tiempo asignado:
Fecha:
Instrucciones: .BSDB DPO VOB 9 MB SFTQVFTUB RVF UÞ DPOTJEFSFT RVF SFnFKB NFKPS MP RVF IJDJTUF QBSB SFTPMWFS MBT BDUJWJEBEFT EF BQSFOEJ[BKF
/ÞN
Actitud.
1.
Leí correctamente todas las indicaciones.
2.
Atendí cada una de las instrucciones.
3.
Realicé todas las actividades que se solicitaron.
4.
Entregue en tiempo y forma todo lo que se solicitó.
5.
Resolví todos los ejercicios planteados.
6
Logré hacer todo lo que pidieron en las actividades.
7
Me gustaron todas las actividades.
8
Aprendí resolviendo las actividades de aprendizaje
Puntuación máxima:
Logrado
sí
no
8 puntos
Puntuación obtenida.
Comentarios:
107
Describes las relaciones trigonométricas para
resolver triángulos rectángulos
6
B LO Q U E
Objetos de
aprendizaje
6.1 Sistema sexagesimal y
circular
6.2 Funciones trigonométricas
6.3 Razones trigonométricas
directas y recíprocas de
ángulos agudos
6.4 Cálculo de valores de las
funciones trigonométricas
para 30º, 45º y 60º y sus
múltiplos
6.5 Resolución de triángulos
rectángulos
Competencias a desarrollar
„
Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o
gráficas.
„
Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e
interpretar información.
„
Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo como
cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.
„
Elige las fuentes de información y comunicación para un propósito específico y
discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y confiabilidad.
„
Construye hipótesis; diseña y aplica modelos para probar su validez.
„
Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos.
¿Qué sabes hacer ahora?
Responde las siguientes preguntas:
1. Expresa 45° en radianes:
_______________________________________________________
2. Expresa 30° en radianes:
_______________________________________________________
3. Expresa p en grados:
2
_______________________________________________________
4. Expresa p en grados:
3
_______________________________________________________
5. Dado cos A 5 12 encuentra el valor de las demás funciones trigonométricas:
13
_______________________________________________________
20
encuentra el valor de las demás funciones trigonométricas:
6. Dado cot B 5
21
_______________________________________________________
7. Resuelve el triángulo rectángulo ABC dados c 5 54, A 5 37° 409:
_______________________________________________________
8. Resuelve el triángulo rectángulo ABC dados c 5 12, A 5 49°:
_______________________________________________________
9. Resuelve el triángulo rectángulo ABC dados a 5 36, b 5 58:
_______________________________________________________
10. Resuelve el triángulo rectángulo ABC dados c 5 47, b 5 33:
_______________________________________________________
Desempeños por alcanzar
„
Propone la manera de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en
equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos.
Identifica diferentes sistemas de medida de ángulos.
„
Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera
reflexiva.
Aplica las razones trigonométricas en ejercicios teóricos-prácticos.
„
Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades
con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.
Describe las razones trigonométricas para ángulos agudos.
BLOQUE
6
Describes las relaciones trigonométricas para resolver triángulos rectángulos
Situación didáctica
¿Cómo lo resolverías?
Las llantas de un automóvil son del mismo diámetro y giran 5 000
vueltas para recorrer una distancia de 3.556 km. ¿Cuáles son las
medidas del diámetro y de la circunferencia de cada llanta?
Secuencia didáctica
Forma equipos para resolver el problema.
Que cada equipo represente mediante dibujos las condiciones del
problema.
Presenten los resultados en plenaria y analicen las formas de resolver el problema.
Cada equipo debe investigar:
preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a
cabo las rectificaciones que procedan.
Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto de las
actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito
de asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje.
Evaluación por producto
¿Qué es el diámetro de una circunferencia?
¿Cómo se calcula la longitud de una circunferencia?
Trabajo individual
A fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito
de manera muy clara.
En este ejemplo:
Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios.
Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es
Rúbrica
Para determinar la medida del diámetro y la longitud de la circunferencia que se piden se deben anexar los conceptos investigados
y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se
califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las fuentes consultadas,
etc. La descripción del procedimiento por escrito tiene un valor de
3 puntos y la presentación en clase 2 puntos de su calificación de
la actividad que se evalúa. Todo ello suma un total de 10 puntos.
Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes.
110
¿Qué tienes que hacer?
Producto a elaborar
Cálculos para determinar la medida del diámetro y la longitud de la
circunferencia de cada rueda.
¿Cómo sabes que lo hiciste bien?
Grupo Editorial Patria®
Situación didáctica
¿Cómo lo resolverías?
¿Qué ángulo forma el Sol con el horizonte cuando un edificio de 27 metros de altura proyecta en el suelo una sombra de 35.1 metros?
Secuencia didáctica
Forma equipos para resolver el problema.
Que cada equipo represente mediante dibujos las condiciones del
problema.
Presenten los resultados en plenaria y analicen las formas de resolver el problema.
Cada equipo debe investigar:
¿Cómo plantear el problema?
¿Qué datos se conocen y cuáles no?
¿Qué tienes que hacer?
Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También
es preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a cabo las rectificaciones que procedan.
Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto de las
actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito
de asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje.
¿Qué función relaciona los datos?
Evaluación por producto
¿Cómo se resuelve el problema?
A fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito
de manera muy clara.
Trabajo individual
Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios.
En este ejemplo:
Producto a elaborar
Representación gráfica del problema y de los cálculos.
Rúbrica
¿Cómo sabes que lo hiciste bien?
Para determinar la medida del ángulo que se pide se deben anexar
los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un
valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la
originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las
fuentes consultadas, etc. La descripción del procedimiento por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase 2 puntos
de su calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello suma un
total de 10 puntos.
Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes.
111
BLOQUE
6
Describes las relaciones trigonométricas para resolver triángulos rectángulos
Propuestas de diseño para
situaciones didácticas
c)
d)
Ejercicios
1. Expresa en radianes.
a) 0°
b) 30°
c) 45°
d) 60°
e) 90°
f ) 180°
g 210°
g)
h) 225°
i) 240°
j) 100°
k) 217°
l) 17°
m)120°
n) 12°
o) 270°
p) 330°
q) 315°
r) 3°
s) 135°
t 160°
t)
u) 300°
e)
f)
g
2. Expresa en grados.
a)
p
2
b)
p
6
c)
p
3
d)
p
4
e) p
f)
3p
4
g
g)
5p
4
h)
7p
4
i)
4p
6
j)
7p
6
k)
10p
6
l)
11p
6
m)
2p
9
n)
5p
9
o)
7p
9
p)
11p
9
q)
p
10
r)
p
12
s)
p
15
t 16p
t)
u)
1
3
3. En cada uno de los siguientes triángulos rectángulos, para el
ángulo que se indica, identifica el cateto opuesto y el cateto
adyacente.
a)
112
b)
g
g)
h)
i)
j)
4. En cada uno de los siguientes triángulos rectángulos, para el
ángulo que se indica, identifica el cateto opuesto y el cateto
adyacente.
a)
b)
Grupo Editorial Patria®
c)
2
3
20
s) cot A =
14
3
v) cot A =
2
36
y) sen A =
85
p) sen A =
d)
e)
f)
g
g)
61
11
1
t cos A =
t)
3
15
w) tan A =
8
q) sec A =
r) sen A =
1
2
u) csc A = 7
x) tan A = 3
6. Expresa en forma decimal el valor de las funciones de los ángulos agudos A y B:
h)
a) a =12
c 5 37
b) b =140
c 5 149
c) a = 25
b 5 60
d) c = 30 . 5 a 5 13.6
e) a = 63
c 5 65
f ) a = 65
b 5 72
g a = 22
g)
c 5 40
h) a = 40
b 5 200
i) a =17
b 5 26
j) c =193
b 5 95
7. Resuelve el triángulo rectángulo ABC,
C dados:
i)
a) c = 54
A537 ° 40 9
b) c = 458
A564 °18 9
c) c =12
A549°
d) c = 278 . 5
B560 °30 9
e) c =100
B537 °12 9
f ) c = 415
A5 55 ° 43 9
g c = 953
g)
B567 °39 9
h) c = 469 . 4
A5 26 °12 9
i) c =138 . 5
B560 °12 9
j) c = 98
A5 73 °50 9
k) a = 67
A5 42 °30 9
l) b = 25
B557°
12
18
9
f ) sen A =
41
89
i) sec A =
80
24
l) cos A =
145
m) a =156
A5 49 °36 9
n) a = 245
A5 54 ° 40 9
o) a = 38
A5 42 ° 48 9
p) a =120
A561°
q) b = 261 . 7
A5 43 °21 9
r) b = 842
A5 79 °14 9
s) b =154
A563 °12 9
o) csc A = 2
t b =120
t)
A535 °20 9
j)
5. Encuentra el valor de las demás funciones trigonométricas,
dado:
12
13
6
d) sec A =
1
7
g cot A =
g)
24
1
j) cot A =
5
a) cos A =
m) tan A = 2 . 4
20
21
12
e) sen A =
37
b) cot A =
h) sec A = 5
k) csc A = 2 . 25
n) tan A =1 . 25
c) tan A =
113
BLOQUE
6
Describes las relaciones trigonométricas para resolver triángulos rectángulos
8. Resuelve el triángulo rectángulo ABC, dados:
a) a = 36
b = 58
b) a =18 . 9
b = 32
c) a = 425
b = 260
d) a = 672 . 3
b = 384 . 5
e) a = 214 . 6
b =187 . 4
f ) a = 412 . 5
b = 308
g) a = 384
b = 512
h) a = 45
b = 62
i) a =122
b = 97
j) a = 68
b = 35
k) c = 47
b = 33
l) c = 729 . 5
b = 617 . 5
m) c = 326
a = 28
n) c =156 . 8
a = 99 . 46
o) c = 89
a = 72
p) c =149
a = 51
q) c =137
b =105
r) c = 389
b =189
s) c =125 . 8
b = 59 . 2
t) c = 427 . 6
b = 351 . 4
f ) Encuentra la altura de un avión, si la sombra proyectada
está a 156 m del pie de la vertical y el Sol está a 78° sobre el
horizonte.
g) Se observa desde lo alto de un faro que los ángulos de
depresión de dos barcos en línea recta con él son de 14° y
9°, respectivamente; si la distancia del faro al primer barco
es de 200 m, halla la altura del faro y la distancia de éste al
segundo barco.
h) Un asta bandera está fijada verticalmente en lo
alto de un edificio. Desde
un punto a 50 m del pie
del edificio los ángulos de
elevación al pie y a la punta del asta son de 21° 509
y 33° 039. Halla la medida
del asta.
i) Desde un avión que está a 180 m sobre el centro de una
ciudad, el ángulo de depresión a otra población es de
10° 149. Calcula la distancia entre las dos poblaciones.
9. En cada problema halla los datos que se te piden.
a) Una columna de 27 m de altura proyecta sobre el piso una
sombra de 35.1 m. Halla el ángulo de inclinación del Sol.
b) Calcula la altura de una torre si desde un punto situado a
un kilómetro de la base se ve la cúspide con un ángulo de
elevación de 16° 429.
c) Una torre de 28.2 m de altura está situada a la orilla de un
río. Desde lo alto del edificio el ángulo de depresión a la
orilla opuesta es de 25° 129. Calcula el ancho del río.
d) Desde lo alto de una torre de 37 m, los ángulos de depresión
de dos objetos situados de un mismo lado y en la misma línea horizontal que el pie del edificio, son, respectivamente,
10° 139 y 15° 469. Encuentra la distancia entre los dos objetos.
e) Desde la cumbre de un cerro de 300 m de alto, el ángulo de
depresión de un barco es de 17° 359. Calcula la distancia
del barco al punto de observación.
114
j) Una escalera alcanza el borde de
una ventana que está a 7.8 m del
suelo y forma con la pared un ángulo de 29° 159. Encuentra la medida de la escalera.
Grupo Editorial Patria®
Dadme un punto de apoyo y moveré el mundo.
Arquímedes
6.1 Sistema sexagesimal y
circular
Actividad de aprendizaje
El ángulo cuya medida es la del arco de longitud igual al radio se llama
Angulares
Son medidas expresadas en grados.
Circulares
Conversión de medidas angulares
En el sistema de medida circular o cíclica, se toma como unidad el
ángulo cuya medida es la del arco de longitud igual al radio; este
ángulo unidad se llama radián.
Ejemplos
∠AOB es un radián
AB = r
3 11 3(180 °)157
57 °17 9 45 0
5
5149 19 9 26 0
4
4
1
p1 5 80 1 8 38 9 5 0 5 208° 389520
2
Dividiendo la igualdad 2p 5 360° entre 360°, nos queda:
2p 360 °
5
360 ° 360
Figura 6.1
p
51
180 °
Como la longitud de la circunferencia es: C 5 2pr,r si el radio r 5 1,
entonces C 5 2p radianes. Por otra parte, C 5 360°.
2p 5 360°
Dividiendo la igualdad entre 2p:
Para expresar en medida cíclica un arco, en medida ordinaria, se multiplica esta medida por
p
180°
2p 360 °
5
2p 2p
30
30 °
⎛ p ⎞ 30 ° p p
5
5
⎝ 180 ° ⎠ 180
6
180 °
p
150
150 °
⎛ p ⎞ 150 ° p 5p
5
5
⎝ 180º ⎠ 180 °
6
15
En decir, una unidad en la medida circular es un radián y éste equi1
180°
vale en la medida común a
5 57° 179450. Así
radián
p
2
57°17 9 45 0
será igual
5 28° 389520 y dos radianes equivalen a 2
2
(57° 179450) 5 114° 359300.
Para expresar la medida ordinaria de un arco expresado en medida
cíclica se sustituye p por 180° y 1 por 57° 179450.
Dado que un radián es igual
180°
el proceso inverso es:
p
p p ⎛ 180 ⎞ 180 °
5
5
530 °
6 6⎝ p ⎠
6
5p 5p ⎛ 180 ⎞ 5(180°
180 )
5
5
5150 °
⎝
⎠
6
6
p
6
115
BLOQUE
6
Describes las relaciones trigonométricas para resolver triángulos rectángulos
Para tu reflexión
OB OD OF
=
=
= ...
OA OC OE
Hipócrates de Quío (450 a. C.)
AB CD EF
=
=
= ...
OB OD OF
Fundó una escuela de Geometría.
Sentó las bases del método de
reducción, es decir, transformar
un problema en otro ya resuelto.
Inició el uso de las letras en las
figuras de Geometría. Con él la
Geometría dejó de ser una técnica y tomó el rango de ciencia
deductiva, que había de culminar
en Euclides.
OB OD OF
=
=
= ...
AB CD EF
OA OC OE
=
=
= ...
OB OD OF
OA OC OE
=
=
= ...
AB CD EF
Los valores de las razones cambian cuando varía la amplitud del
ángulo, es decir, las razones son funciones del ángulo.
A las asignaciones que a cada ángulo asocian dichas razones se les
da el nombre de funciones trigonométricas.
6.2 Funciones trigonométricas
Entre los lados de un triángulo rectángulo podemos establecer seis
relaciones por cociente o relaciones geométricas cuyo valor depende del ángulo respecto del cual se establecen.
En el ángulo agudo POQ,
Q A,
A C y E son tres puntos cualesquiera
sobre el lado final OQ.
Q Si se trazan desde dichos puntos AB, CD
y EFF perpendiculares al lado inicial OP,
P se forman los triángulos
rectángulos AOB, COD y EOFF que son semejantes por tener igual
el ángulo agudo O.
6.3 Razones trigonométricas
directas y recíprocas de
ángulos agudos
Funciones trigonométricas directas
Podemos observar que el valor de estas funciones depende únicamente de la magnitud del ángulo y es independiente de la longitud
de los lados del triángulo rectángulo.
En el triángulo rectángulo ABC,
C los lados que forman el ángulo recto, AC
C y BC,
C se llaman catetos y el lado opuesto al ángulo recto, AB,
se llama hipotenusa.
Q
Actividad de aprendizaje
E
A
O
B
En un triángulo rectángulo, ¿qué nombre reciben sus lados?
C
D
F
P
Figura 6.2
Si comparamos por cociente dos lados de un triángulo con los lados correspondientes de otro triángulo cualquiera se obtienen en
las siguientes razones iguales:
AB CD EF
=
=
= ...
OA OC OE
116
Figura 6.3
Grupo Editorial Patria®
En el triángulo rectángulo ABC
C los lados se han designado con la
misma letra, pero minúscula, del vértice del ángulo al cual se oponen.
Así en el ángulo A,
A a es el cateto opuesto y b es el cateto adyacente, es
decir, b es un lado del ángulo A. En el ángulo B, b es el cateto opuesto
y a es el cateto adyacente, es decir, a es un lado del ángulo B.
Los nombres de las funciones trigonométricas son seno, coseno,
tangente, cotangente, secante y cosecante, que se denotan respectivamente por sen, cos, tan (tg), cot (ctg), sec y csc.
Figura 6.4
Estas funciones se definen de la siguiente manera:
Seno de un ángulo agudo. Es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa.
Actividad de aprendizaje
Coseno de un ángulo agudo. Es la razón entre el cateto adyacente y la
hipotenusa.
En un triángulo rectángulo, ¿cuál es el nombre de las funciones trigonométricas de un ángulo agudo?
Tangente de un ángulo agudo. Es la razón entre el cateto opuesto y el
cateto adyacente.
Cotangente de un ángulo agudo. Es la razón entre el cateto adyacente
y el cateto opuesto.
Secante de un ángulo agudo. Es la razón entre la hipotenusa y el cateto
adyacente.
Cosecante de un ángulo agudo. Es la razón entre la hipotenusa y el
cateto opuesto.
Si llamamos al cateto opuesto C.O., al cateto adyacente C.A. y a la
hipotenusa Hip. Las seis funciones se pueden escribir así:
sen =
C .O .
Hip.
Hip.
sec =
C . A.
cot =
C . A.
C .O .
C .O .
tan =
C . A.
cos =
C . A.
Hip.
Hip.
csc =
C .O .
En el triángulo rectángulo ABC,
C las funciones trigonométricas del
ángulo agudo A son:
a
sen A 5
c
cos A 5
b
c
tan A 5
a
b
cot A 5
b
a
sec A 5
c
b
csc A 5
c
a
Funciones trigonométricas recíprocas
Recuerda que dos cantidades son recíprocas cuando su producto
es igual a la unidad. Para un mismo ángulo agudo son funciones
recíprocas el seno y la cosecante, el coseno y la secante, la tangente
y la cotangente.
Para el ángulo agudo A de la figura anterior se tiene que:
sen A3 csc A5 1;
cosA3 sec A5 1;
tan A3 cot A5 1;
de donde:
csc A =
1
sen A
sec A =
1
cos A
cot A =
1
tan A
1
csc A
cos A =
1
sec A
tan A =
1
cot A
o bien:
sen A =
De las tres primeras funciones trigonométricas podemos obtener
su valor en tablas en forma directa, mientras que las tres últimas las
obtenemos a partir de los valores de sus recíprocas.
Funciones trigonométricas
de ángulos complementarios
Sabemos que en un triángulo rectángulo los ángulos agudos son
complementarios. En el triángulo rectángulo ABC
C las funciones
trigonométricas de los ángulos agudos A y B son:
117
BLOQUE
6
Describes las relaciones trigonométricas para resolver triángulos rectángulos
sen A
a
c
sen B 5
b
c
Actividad de aprendizaje
cos A
b
c
cos B 5
a
c
¿Por qué se dice que el seno y la cosecante de un mismo ángulo agudo
son funciones recíprocas?
tan A
a
b
tan B 5
b
a
cot A
b
a
cot B 5
a
b
sec A
c
b
sec B 5
c
a
csc A
c
a
csc B 5
c
b
Actividad de aprendizaje
En un triángulo rectángulo, para un ángulo agudo, ¿qué nombre reciben las funciones del ángulo complementario?
B
c
A
a
b
C
6.4 Cálculo de valores de las
funciones trigonométricas para
30°, 45°, 60° y sus múltiplos
Funciones de los ángulos de 30° y 60°
Figura 6.5
Como puedes observar, los valores de seno, tangente y secante son,
respectivamente iguales al coseno, cotangente y cosecante de su
ángulo complementario; mientras que el coseno, cotangente y cosecante de un ángulo agudo son, respectivamente, iguales al seno,
tangente y secante de su ángulo complementario.
Si en un triángulo equilátero de lado igual a dos unidades se traza la bisectriz de uno de sus ángulos al lado opuesto, entonces el
triángulo equilátero queda dividido en dos triángulos rectángulos
congruentes, pues la bisectriz coincide con la mediana y la altura.
Este hecho, de manera general, lo podemos expresar así:
sen A 5 cos (90 ° 2 A )
cos A 5 sen (90 ° 2 A )
B
tan A 5 cot (90 ° 2 A )
cot A 5 tan (90 ° 2 A )
sec A 5 csc (90 ° 2 A )
csc A 5sec (90 ° 2 )
Las funciones del ángulo complementario de un ángulo dado se
denominan cofunciones.
118
AD 5 DB 5 1
Figura 6.6
sen 30° 5
1
5 0.5000
2
sen 60° 5
3
5 0.8660 5 cos 30°
2
cos 30° 5
3
5 0.8660
2
Grupo Editorial Patria®
cos 60° 5
1
5 0.5000 5 sen 30°
2
tan 30° 5
1
3
5
5 0.5773
3
3
sec 45° 5
2
5
1
2 5 1.4142
tan 60° 5
3
5
1
csc 45° 5
2
5
1
2 5 1.4142
1
cot 45° 5 5 1 5 1.0000
1
3 5 1.7320 5 cot 30°
3
5 3 5 1.7320
1
1
3
cot 60° 5
5
5 0.5773 5 tan 30°
3
3
cot 30° 5
D
C
45°
—
√2
2
2 3
sec 30° 5
5
5 1.1547
3
3
sec 60° 5
2
5 2 5 2.000 5 csc 30°
1
A
2
5 2 5 2.0000
1
2
2 3
csc 60° 5
5
5 1.1547 5 sec 30°
3
3
1 1
a) cot 45° 1 sen 30° 511 51 51 . 5
2 2
b) tan 45° sen 30° 2 cot 45° cos 60° 5
Si en un cuadrado de lado igual a 1 se traza una diagonal, se obtienen dos triángulos rectángulos congruentes, pues la diagonal es
bisectriz de los ángulos cuyos vértices une.
cos 45° 5
1
2
5
5 0.7071
2
2
B
1
Mediante el uso de la tabla podemos calcular el valor numérico de
expresiones como las siguientes:
Funciones del ángulo de 45°
1
2
5
5 0.7071
2
2
45°
Figura 6.7
csc 30° 5
sen 45° 5
1
1 1 1
1
1? 21? 5 2 5 0
2
2 2 2
1
2? ? 3
sec 45° cos 60° cot 30°
2
51
c)
5
sen 30° tan 60° csc 4 5° 1 ? 3 ? 2
2
1
tan 45° 5 5 1 5 1.0000
1
Con los valores de las funciones de 30°, 60° y 45° se forma la siguiente tabla:
Ángulo
sen
cos
tan
cot
sec
csc
30°
1
2
1
3
2
1
3
3
3
2
3
3
2
45°
1
2
2
1
2
2
1
60°
1
3
2
1
2
3
1
1
3
3
2
2
2
2
3
3
119
BLOQUE
6
Describes las relaciones trigonométricas para resolver triángulos rectángulos
Aplica lo que sabes
Ponte de acuerdo con tus compañeras y compañeros de grupo para
realizar lo siguiente:
Dos fuerzas de 200 y 300 kg se aplican en un punto y forman un
ángulo recto. Determina la magnitud de la fuerza resultante y el ángulo
que ésta forma con la fuerza mayor.
Determinación de los valores de las
funciones de un ángulo agudo,
dado el valor de una de ellas
Si en un triángulo rectángulo se conocen dos de sus lados, el valor del
tercero se puede calcular aplicando el teorema de Pitágoras. Por ello,
conocido el valor de una función de un ángulo agudo, por definición
se conocen dos lados del triángulo, y previo cálculo del valor del tercero se pueden establecer los valores de las demás funciones.
sen A =
5
= 0 . 3846
13
cot A =
12
= 2 . 4000
5
cos A =
12
= 0 . 9231
13
sec A =
13
= 1 . 0833
12
tan A =
5
= 0 . 4167
12
csc A =
13
= 2 . 6000
5
2. Si la sec A = 6 obtén las demás funciones:
Solución:
sec =
6
hipotenusa
entonces sec A = 6 =
1
cateto adyacente
12 1 a2 5 62
a2 5 62 – 12
2
2
a5 6 1
Ejemplos
a 5 36 – 1
5
1. Dado sen A 5
encuentra el valor del lado desconocido y ob13
a 5 35
Figura 6.9
tén las demás funciones.
35
= 0 . 9860
6
sen A =
Solución:
Por definición, seno es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa, entonces sen A 5
5
es una función que corresponde
13
entre otros a un triángulo rectángulo en el que el cateto opuesto
al A es igual a 5 y la hipotenusa es igual a 13.
1
6
cos A = = 0 . 1666
tan A =
Aplicando el teorema de Pitágoras, tenemos que:
52 1 b2 5 132
b2 5 132 2 52
b 5 13
2
5
35
= 5 . 9161
1
1
35
=
= 0 . 169
35 35
cot A =
6
1
sec A = = 6 = 6 . 0000
csc A =
6
6 35
=
= 1 . 0142
35
35
3. Dado csc A = 2 2 obtén las demás funciones
Solución:
2
b 5 169 – 25
csc A =
hipotenusa
2 2
entonces csc A = 2 2 =
1
cateto opuesto
b 5 144
b 5 12
b 2 112 5(2 2 )2
b 2 5(2 2 )2 12
(
)
b5( 8 1)
( )
b5( 7 )
Figura 6.8
Las funciones del ángulo A quedan expresadas así:
120
Figura 6.10
Grupo Editorial Patria®
1
sen A =
2 2
=
2
= 0 . 3535
4
7
cot A =
= 7 = 2 . 6457
1
cos A =
7
14
=
= 0 . 9354
2 2
4
sec A =
2 2 2 14
=
= 1 . 069
7
7
tan A =
1
7
=
= 0 . 3779
7 7
2 2
csc A =
= 2 2 = 2 . 8284
1
Aplica lo que sabes
Ponte de acuerdo con tus compañeras y compañeros de grupo para
realizar lo siguiente:
En nuestro planeta se han generado las condiciones que nos permiten
vivir. Si continuamos alterándolas nos destruiremos.
Recordemos que formamos parte del ambiente en el que vivimos. Cuidémoslo.
Población y consumo de agua:
t {2VÏ SFMBDJØO FODVFOUSBT FOUSF FM BVNFOUP EF MB QPCMBDJØO NVOdial y el consumo de agua?
t {2VÏ IB PDVSSJEP DPO FM DPOTVNP IVNBOP EF BHVB
t {2VÏ IB PDVSSJEP DPO FM DPOTVNP EF BHVB QBSB VTPT JOEVTUSJBMFT
t {2VÏ PDVSSF DPO MB FYDFTJWB FYUSBDDJØO EFM BHVB TVCUFSSÈOFB
(cuando la extracción supera la reposición)?
t {2VÏ NFEJEBT DPODSFUBT QPEFNPT BEPQUBS QBSB SFVUJMJ[BS FM
agua?
t {2VÏ USBUBNJFOUPT TF MF QVFEFO EBS BM BHVB QBSB SFVUJMJB[BSMB
6.5 Resolución de triángulos
rectángulos
En un triángulo rectángulo se tienen cinco elementos fundamentales: los ángulos agudos y los tres lados. Cuando se desconoce la
medida de uno de los dos ángulos agudos, ésta se puede determinar restándole a 90° el valor del ángulo conocido. Si se conocen
dos elementos fundamentales de un triángulo rectángulo, que no
sean dos ángulos, es posible resolver el triángulo, es decir, se pueden calcular los valores de los demás elementos.
En general se presentan dos casos:
a) Cuando se conocen un lado y un ángulo.
b) Cuando se conocen dos lados.
La resolución se hace con aplicación de algunas de las cuatro primeras funciones o con el teorema de Pitágoras.
Conociendo un lado y un ángulo agudo se puede resolver un triángulo rectángulo.
Ejemplos
1. Resuelve el triángulo rectángulo ABC
C si ∠ A = 65 °20 '
c = 75 m
Datos
Incógnitas
∠B =
∠C 590°
a=
∠A565 20 9
c = 75 m
b=
∠ B 90
∠A
589 60 9265 20 9
5 24 40 9
a
c
c sen A a
b
cos A = c
sen A =
c sen A b
75 sen °65 20 9 = a
75 sen 65 °20 9 = b
75(0 . 9088) = a
68 . 16 = a
75(0 . 4173) = b
31 . 30 = a
Figura 6.11
Solución: ∠B5 24 40 9; a 5 68.16 m;
b 5 31.30 m
121
BLOQUE
6
Describes las relaciones trigonométricas para resolver triángulos rectángulos
2. Resuelve el triángulo rectángulo ABC
C si a = 32 . 45 m y LA 5
29° 189
Datos
Incógnitas
∠C 590°
∠B =
∠A5 29 18 9
a = 32 . 45 m
∠ B 90 ∠ A
589 60 92 29 18 9
b=
560 42 9
c=
a
sen A =
c
c sen A a
a
senA
32 45
c=
sen 29 °18 9
3 2 . 45
c=
0 4894
c = 66 3056
c=
c
45 . 2
20 . 5
tan A 2 . 204
tan A =
A a
a
sen A
45 2
c=
sen 65 °36 9
45 2
c=
0 91 0 7
c = 49 63 m
c=
∠ A = 65 36 9
∠ B = 90 ∠ A
= 9 0 °65 °36 9
∠ B = 24 24 9
b
cot A = a
a cot A b
32 45
29 °18 9 = b
32 . 45(1 . 7 82)= b
57 8259 = b
Figura 6.13
Solución: ∠A565 36 9; /B 5 24° 249 m; c 5 49.63 m
2. Resuelve el triángulo rectángulo ABC
C si a = 279 y c = 521.
Datos
Incógnitas
∠C 590°
a = 279
∠A =
∠B =
b=
b = 521
a
c
279
sen A =
521
sen A = 0 5355
b
cos A = c
A = 32 °23 9
c cos A b
sen A =
Figura 6.12
Solución: ∠B560 ° 42 9; b 5 57.83 m; c 5 66.31 m
Conociendo dos lados se resuelve el triángulo rectángulo.
∠ B = 9 0 °2 ∠ A
= 90 232 23 9
Ejemplos
∠ B = 57 37 9
1. Resuelve el triángulo ABC
C si a = 45 . 2 m y b 5 20.5 m.
Datos
∠C 590°
∠A =
a = 45 . 2 m
∠B =
b = 20 . 5 m
c=
a
∠ A = ta A =
b
Solución: ∠A532 °23 9;
Incógnitas
a
sen A = c
Figura 6.14
122
521 cos 32°239 = b
521(0 . 8445) = b
439 . 98 = b
/B 5 57° 379 m; b 5 439.98
Grupo Editorial Patria®
Ángulos de elevación y de depresión
Al aplicar la resolución de triángulos rectángulos a problemas de
orden práctico generalmente se hace referencia a ángulos llamados
de elevación y de depresión.
Llamaremos visual a la línea recta que va del ojo del observador al
objeto observado.
Actividad de aprendizaje
Determina la altura de un edificio a partir de la sombra que proyecta
sobre el suelo, en comparación con tu propia sombra en un determinado momento del día.
Ángulo de elevación en el que forma la horizontal con la visual que
se halla por encima de la horizontal y en el mismo plano vertical.
Ángulo de depresión en el que forma la horizontal con la visual, el
cual se halla por debajo de la horizontal y en el mismo plano vertical.
Figura 6.15
En la figura 6.15, la persona A observa a la persona B con un ángulo
de depresión, mientras que la persona B observa a la persona A con
un ángulo de elevación.
123
BLOQUE
6
Describes las relaciones trigonométricas para resolver triángulos rectángulos
Instrumentos de evaluación
Apellido paterno
Apellido materno
Nombre
Grupo
Asegúrate de haber adquirido los contenidos que se abordan en el Bloque 6. Para ello, realiza lo que se te pide a continuación.
1. Expresa 300° en radianes:
6. Dado sec A 5 5 encuentra el valor de las demás funciones:
2. Expresa 120° en radianes:
7. Resuelve el triángulo rectángulo ABC dados a 5 120, A 5 61°:
3. Expresa
5p
en grados:
4
4. Expresa
7p
en grados:
3
5. Dado csc A 5 7 encuentra el valor de las demás funciones:
124
8. Resuelve el triángulo rectángulo ABC dados c 5 98, A 5 73°
509:
9. Resuelve el triángulo rectángulo ABC dados c 5 149, a 5 51:
10. Resuelve el triángulo rectángulo ABC dados c 5 47, b 5 33:
Grupo Editorial Patria®
Rúbrica
Rúbrica para el debate en plenaria.
Nombre del alumno:
Excelente
(4)
Bueno
(3)
Regular
(2)
Presentación
Utiliza de manera convincente
el tono de voz, Gestos o
entusiasmo. Mantiene una
buena postura frente al
grupo.
Utiliza de manera convincente
dos elementos de tono de
voz,
Gestos o entusiasmo.
Mantiene una buena postura
frente al grupo.
Utiliza de manera convincente
sólo un elemento en tono de
voz, gestos o entusiasmo.
Mantiene una postura
aceptable ante el grupo.
No utiliza de manera
convincente el tono de voz,
los gestos ni el entusiasmo.
Mantiene mala postura y
mala ubicación frente al
grupo.
Organización y
Claridad
Todo el tiempo expresa sus
puntos de vista de manera
clara y ordenada.
Muestra organización en el
intercambio de ideas.
En algunos momentos
expresa sus puntos de vista
de manera clara y ordenada.
Muestra organización en el
desarrollo de ideas.
En algunos momentos
expresa sus puntos de vista
de manera clara, pero no de
manera ordenada.
No muestra organización en
el desarrollo de ideas
No expresa sus puntos de
vista. No hay organización
en el intercambio de
ideas.
Ejemplificación
Argumenta la posición de su
equipo con información
suficiente y refuerza la
postura con ejemplos en
todo momento.
Argumenta la posición de su
equipo pero con información
insuficiente. Sólo refuerza
conescasos ejemplos.
Presenta algunas evidencias
para defender la postura de
suequipo. No maneja ningùn
ejemplo de refuerzo.
No presenta evidencias
para la defensa de la
postura de su equipo.
no presenta ejemplos
que refuercen las ideas.
Calidad y
Cantidad de
Información
Presenta información
suficiente, adecuada y
sustentable para rebatir
las ideas y opiniones del
equipo contrario.
Presenta información
adecuada y sustentable pero
insuficiente para rebatir las
ideas y opiniones del equipo
contrario.
Parcialmente presenta
información suficiente para
rebatir las ideas y opiniones
del equipo contrario.
No presenta información
Suficiente o adecuada
Para rebatir las opiniones
Del equipo contrario.
Coherencia
Muestra coherencia en
sus comentarios, denota
su conocimiento sobre el
tema. Maneja los términos
adecuados y correctos.
Muestra coherencia en sus
comentarios y denota
conocimiento del tema.
Maneja parcialmente los
términos adecuados y
correctos.
Muestra parcial coherencia
en sus comentarios. Denota
mínimo conocimiento del
tema. Maneja algunos
términos adecuados y
correctos.
No muestra coherencia
en sus comentarios. No
maneja los términos
correspondientes o
adecuados.
Respeto
Respeta todo el tiempo las
opiniones del equipo
contrario.
No interrumpe, no critica ni
insulta a sus compañeros.
La mayor parte del tiempo
respeta las opiniones del
equipo contrario.
No interrumpe, no critica ni
insulta a sus compañeros.
Algunas veces no respeta la
opinión del equipo contrario,
y en varias ocasiones
interrumpe, crítica e insulta a
sus compañeros.
No respeta las opiniones
del equipo contrario.
Interrumpe, crítica e
insulta a sus compañeros.
Tolerancia a la
crítica
En todo momento presenta
tolerancia a la crítica del
equipo contrario. Acepta las
menciones y opiniones sin
manifestar molestia.
La mayor parte del tiempo
muestra tolerancia a la crítica
del equipo contrario. Acepta
las menciones y opiniones sin
manifestar molestia.
Algunas veces muestra
intolerancia a las críticas del
equipo contrario. Manifiesta
cierta molestia ante las
menciones y opiniones
recibidas.
Muestra intolererancia a la
crítica del equipo contrario.
Manifiesta molestia ante las
menciones y opiniones
recibidas.
Aspecto a evaluar
Aspecto a evaluar
Deficiente
(1)
125
BLOQUE
6
Describes las relaciones trigonométricas para resolver triángulos rectángulos
Lista de cotejo
Lista de cotejo para el reporte sobre un sistema de dos fuerzas concurrentes, la magnitud de la fuerza resultante y el ángulo
formado por ésta con la fuerza mayor de la sección Aplica lo que sabes, pág. 120.
Nombre del alumno:
Criterio
Presentación
1. Cuenta con una carátula que incluye: el nombre del trabajo que se realiza, la
materia, fecha de entrega, nombre del alumno y su matrícula
2. Tiene una redacción que es adecuada y clara.
3. Tiene buena ortografía o con errores mínimos.
4. El trabajo se elabora en computadora o manuscrito con letra legible.
5. Las gráficas o dibujos auxiliares se elaboran de un tamaño adecuado de modo
que se puedan apreciar con claridad los datos obtenidos o las condiciones del
problema.
6. Se presenta todo el procedimiento necesario para obtener los datos o solución
que se pide con la justificación correspondiente.
Desarrollo
7. En el procedimiento se desarrolla una secuencia lógica y coherente.
8. Se hace referencia a las gráficas o diagramas auxiliares para apoyar la
argumentación del escrito.
9. Se hace la referencia bibliográfica de las notas, definiciones o conceptos
consultados para sustentar teóricamente las acciones realizadas.
Conclusiones
Dominio del
tema
10. La investigación se realiza con apoyo en libros y revistas actualizadas sobre el
tema o bien en sitios web cuya información sea científicamente válida. De incluir
citas textuales, éstas deben ser breves y con la referencia de la fuente.
126
11. Conoce y aplica correctamente el concepto de magnitud de una fuerza
resultante.
12. Da respuesta correcta a las preguntas que surgen de la actividad que se
propone.
13. Calcula el valor del ángulo formado por la resultante y la mayor de las fuerzas.
14. Representa gráficamente el sistema de fuerzas en el plano.
15. Representa gráficamente la resultante del sistema y el ángulo que forma con la
fuerza mayor.
16. Representa gráficamente, a escala, el sistema de fuerzas y la resultante. Calcula
la magnitud de la resultante y el ángulo que forma ésta con la mayor de las
fuerzas.
cumple
sí
no
Observaciones
Grupo Editorial Patria®
Rúbrica
Nombre del alumno:
Aspecto a evaluar
Criterios
Excelente
(4)
Bueno
(3)
Regular
(2)
Deficiente
(1)
Diferentes unidades
de medida de
ángulos y diferencias
conceptuales entre
ellas
Conoce las medidas
angulares y circulares y la
diferencia conceptual entre
ellas. Convierte unidades de
un sistema a otro.
Conoce las medidas
angulares y circulares.
Convierte unidades de un
sistema a otro.
Conoce las medidas
angulares y circulares.
No conoce las medidas
angulares y circulares ni la
diferencia conceptual entre
ellas. No convierte unidades
de un sistema a otro.
Funciones
trigonométricas
directas y recíprocas
de ángulos agudos
Conoce, define y aplica las
funciones trigonométricas
directas y recíprocas de
ángulos agudos
Conoce y define las
funciones trigonométricas
directas y recíprocas de
ángulos agudos
Conoce las funciones
trigonométricas directas
y recíprocas de ángulos
agudos
No conoce ni define
ni aplica las funciones
trigonométricas directas
y recíprocas de ángulos
agudos
Valores de
las funciones
trigonométricas par
30°, 45°, 60° y en
general múltiplos
de 15°, utilizando
triángulos
Conoce, obtiene y aplica
los valores de las funciones
trigonométricas para
ángulos de 30°, 45° y 60°
Conoce y aplica los
valores de las funciones
trigonométricas para
ángulos de 30°, 45° y 60°
Conoce los valores de las
funciones trigonométricas
para ángulos de 30°, 45°
y 60°
No conoce, ni obtiene, ni
aplica los valores de las
funciones trigonométricas
para ángulos de 30°, 45°
y 60°
127
Aplicas las funciones trigonométricas
7
B LO Q U E
Objetos de
aprendizaje
7.1 Funciones trigonométricas
en el plano cartesiano
7.2 Círculo unitario
7.3 Gráfica de las funciones
seno, coseno y tangente
Competencias a desarrollar
„
Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o
gráficas.
„
Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e
interpretar información.
„
Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo como
cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.
„
Elige las fuentes de información y comunicación para un propósito específico y
discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y confiabilidad.
„
Construye hipótesis; diseña y aplica modelos para probar su validez.
„
Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos.
¿Qué sabes hacer ahora?
Responde las siguientes preguntas:
Localiza en el plano el punto (12, 5) y encuentra el valor de r correspondiente.
1. _______________________________________________________
_______________________________________________________
Localiza en el plano el punto D(4, 25) y encuentra el valor de r correspondiente.
2. _______________________________________________________
_______________________________________________________
Si el ángulo u es positivo, en posición normal y P (3, 4) es un punto en el lado
terminal de u, halla los valores de las funciones trigonométricas del ángulo u.
3.
_______________________________________________________
_______________________________________________________
Si el ángulo u es positivo, en posición normal y P (23, 4) es un punto en el lado
terminal de u, halla los valores de las funciones trigonométricas del ángulo u.
4.
_______________________________________________________
_______________________________________________________
4
5. ¿Cuál es el valor de sen u si cos u 5 2 5 y tan u es positiva?
_______________________________________________________
3
6. ¿Cuál es el valor de sen u si cos u si tan u 52 4 ? _____________
_______________________________________________________
Expresa sen 135° como una función de un ángulo agudo positivo, en dos formas
7. distintas. ___________________________________________
_______________________________________________________
Expresa cos 225° como una función de un ángulo agudo positivo, en dos formas
8. distintas. ___________________________________________
_______________________________________________________
Verifica en el círculo trigonométrico que para ángulos en posición normal tan
9. 130° y 2tan 50° son numéricamente iguales.
_______________________________________________________
_______________________________________________________
Verifica en el círculo trigonométrico que para ángulos en posición normal sen
10. 120° y cos 30° son numéricamente iguales.
_______________________________________________________
_______________________________________________________
Desempeños por alcanzar
„
Propone la manera de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en
equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos.
Identifica e interpreta las funciones trigonométricas en el plano
cartesiano.
„
Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera
reflexiva.
Reconoce las funciones trigonométricas en el círculo unitario.
„
Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades
con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.
Aplica las funciones trigonométricas.
7
BLOQUE
Aplicas las funciones trigonométricas
Situación didáctica
¿Cómo lo resolverías?
Traza la gráfica del sonido de una nota.
Secuencia didáctica
Forma equipos para resolver el problema.
Que cada equipo represente mediante dibujos las condiciones del
problema.
¿Qué tienes que hacer?
tos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es
preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a
cabo las rectificaciones que procedan.
Cada equipo debe investigar:
Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto de las
actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito
de asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje.
¿Qué es el sonido?
Evaluación por producto
¿Cómo se representa gráficante?
¿Qué tipo de gráfica tienen diferentes sonidos?
A fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito
de manera muy clara.
¿Cuál es la gráfica del sonido?
En este ejemplo:
Trabajo individual
Producto a elaborar
Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios.
Representación gráfica del sonido.
Presenten los resultados en plenaria y analicen las formas de resolver el problema.
Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione concep-
Rúbrica
Para determinar la gráfica del sonido que se pide se deben anexar
los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un
valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la
originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las
fuentes consultadas, etc. La descripción del procedimiento por es-
130
¿Cómo sabes que lo hiciste bien?
crito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase 2 puntos
de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello suma un
total de 10 puntos.
Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes.
Grupo Editorial Patria®
Propuestas de diseño para
situaciones didácticas
1. Localiza en el plano cartesiano los puntos que se indican y halla el valor de r correspondiente a cada uno de ellos.
a) A(3, 4)
b) B(−6 , 5)
Investigar es ver lo que el mundo ha visto, y pensar lo que nadie más ha
pensado.
Albert Szent-Györgi
7.1 Funciones trigonométricas
en el plano cartesiano
Hasta ahora hemos estudiado las funciones trigonométricas sólo
en ángulos agudos, pero lo usual en trigonometría es que se consideren ángulos de cualquier magnitud.
c) C(− 5 , − 4)
d) D( 4 , − 5)
2. Encuentra los valores de las funciones trigonométricas del
ángulo u (el menor de los ángulos positivos en posición normal), si P es un punto del lado terminal de u y las coordenadas
de P son:
y
B
P
a) P(3, 4)
b) P(−3, 4)
x’
c) P(− 3, − 4)
u
A’
A
O
d) P(3, − 4)
B’
4
3. sen θ si cos θ = − y tan θ es positiva.
5
4. Expresa como funciones de un ángulo agudo positivo, en dos
formas diferentes, cada una de las siguientes funciones:
a) sen 135°
b) cos 225°
c) cot 430°
d) tan 155°
e) sec 325°
f ) csc 190°
g) sen (–200°)
h) cos (–600°)
i) tan (–910°)
x
y’
Figura 7.1
Sea un círculo con centro en el origen de los ejes coordenados xx9,
yy9 donde AA9 y BB9 son diámetros coincidentes con los ejes coordenados. Si el radio OA gira alrededor del punto O en sentido
contrario al giro de las manecillas del reloj, cuando OA llegue a la
posición OP habrá generado el ángulo AOP o ángulo u (teta), en el
que OA es el lado inicial y OP el lado final (lado terminal). La medida del ángulo u será igual a la del arco AP. Si OA continúa girando
en el mismo sentido, cuando coincida con OB habrá generado un
ángulo de 90°, cuando coincida con OA9, uno de 180°; con OB9;
uno de 270°, y cuando vuelva a su posición inicial habrá generado
un ángulo de 360° (ángulo de una vuelta).
Ángulos positivos y ángulos negativos
j) cot 610°
5. En el círculo trigonométrico comprueba que las funciones
que se indican son numéricamente iguales para los ángulos en
posición normal.
a) sen 160° = sen 160°
b) tan 130° = –tan 50°
c) cot 220° = cot 40°
d) cot 300° = –cot 60°
Se ha convenido en considerar como positivos los ángulos generados mediante un giro en sentido contrario al giro de las manecillas
del reloj, y negativos si se generan mediante un giro en el mismo
sentido de las manecillas del reloj. AOP9 (2u) es un ángulo negativo, AOB9 será –90°, AOA9 es un ángulo de –180°, AOB de –270°
y la vuelta entera dará un ángulo de –360°, así se pueden considerar
ángulos negativos de cualquier magnitud.
e) cot 135° = –cot 45°
131
7
BLOQUE
Aplicas las funciones trigonométricas
Los ángulos de 0°, 90°, 180°, 270° y todos sus ángulos coterminales
reciben el nombre de ángulos cuadrangulares.
Actividad de aprendizaje
Los ángulos en posición normal cuyos lados terminales coinciden se
llaman:
Ángulo de referencia para ángulos
situados en los cuadrantes II, III y IV
Figura 7.2
Actividad de aprendizaje
¿A qué se llama ángulo dirigido?
Signos de las funciones en los
diferentes cuadrantes
Recuerda que en un sistema de coordenadas rectangulares, un
punto cualquiera P queda determinado por sus coordenadas, es
decir, por sus distancias dirigidas a los ejes.
Ángulo dirigido
Se llama ángulo dirigido a aquél en que además de considerar su
amplitud, se toma en cuenta su sentido. De esta manera, si en las dos
figuras anteriores, la medida del ángulo teta, en valor absoluto es
igual a 40°, entonces ∠ AOP = 40° mientras que ∠ AOP = − 40°.
Actividad de aprendizaje
¿Cuándo se dice que un ángulo está en posición normal?
Figura 7.3
La distancia no dirigida r de P o radio vector de P está dada
r
x 2 + y2
Ángulo en posición normal
Se dice que un ángulo está en posición normal cuando su lado inicial coincide con el eje positivo de las x y su vértice coincide con el
origen. En las figuras anteriores ∠AOP y ∠AOP ' son ángulos
en posición normal.
Son ángulos coterminales los que colocados en posición normal tienen coincidentes sus ángulos terminales.
132
Sea u un ángulo no cuadrangular colocado en posición normal y
Actividad de aprendizaje
Los ángulos cuadrangulares son:
Grupo Editorial Patria®
sea P( x , y) un punto distinto del origen, perteneciente al lado terminal del ángulo, las seis funciones de u se definen, en términos de
la abscisa, la ordenada y la distancia de P como sigue:
ordenada y
sen θ =
=
distancia r
cot θ =
abscisa x
=
ordenada y
cos θ =
abscisa x
=
distancia r
sec θ =
distancia r
=
abscisa x
tan n θ =
csc θ =
ordenada y
=
abscisa x
distancia r
=
ordenada y
Figura 7.4
Dado que r siempre es positiva, los signos de las funciones en los
distintos cuadrantes dependen de los signos de x y de y.
Figura 7.5
cuadrante
u d an II
Por tanto, en el primer cuadrante todas las funciones son positivas, en el segundo cuadrante es positiva la función seno y su recíproca, en el tercero es positiva la función tangente y su recíproca,
y en el cuarto es positiva la función coseno y su recíproca.
133
7
BLOQUE
Aplicas las funciones trigonométricas
Actividad de aprendizaje
y
En qué cuadrantes tienen signo positivo el seno y la cosecante:
u
4
x
0
–3
Actividad de aprendizaje
5
p((4, ––3)
3)
En qué cuadrantes tienen signo positivo la tangente y la cotangente:
Figura 7.6
Si el lado terminal del ángulo u está en el primer cuadrante:
y 3
y 3
sen θ = = tan θ = = .
r 5
x 4
Actividad de aprendizaje
Si el lado terminal del ángulo u está en el cuarto cuadrante:
En qué cuadrantes tienen signo positivo el coseno y la secante:
y −3
3
y 23 3
sen θ = = = − y tan u2 5
5 .
r 5
5
2
4
4
2. Dado tan u = −
Ejemplos
1. Dado cos θ =
3
halla los valores de sen u y cos u
4
y
es negativa, u tiene su lado terminal en el sex
gundo cuadrante si x = −4 y = 3 o en el cuarto cuadrante si
Como tan u =
4
encuentra los valores de sen u y tan u.
5
Como cos u es positivo, u tiene su lado terminal en el primer
cuadrante o en el cuarto.
x = 4 , y 5 23.
En ambos casos r = 16 + 9 = 5
x 4
c os θ = =
r 5
y
entonces x = 4 r = 5 y y = ± 5 2 − 4 2 = ± 9 = ± 3
p(–4,
( 4 3)
y
5
–4
5
p(4
(4, 3))
3
0
134
u
3
u
4
x
0
x
Grupo Editorial Patria®
Funciones para cualquier ángulo
Toda función trigonométrica (n ? 90° 6 u) donde n es un número entero
y u es un ángulo cualquiera, es numéricamente igual a:
y
a) La misma función de u si n es par.
b) La correspondiente cofunción de u si n es impar.
u
4
x
0
–3
5
En ambos casos, el signo es el que corresponde a la función dada según el
cuadrante en el que está el lado terminal de n ? 90° 6 u cuando u es un
ángulo agudo positivo.
p((4, ––3)
3)
Aplica lo que sabes
Figura 7.7
Si el lado terminal de u está en el segundo cuadrante:
y 3
sen θ = =
cos
r y
x −4
θ= =
r 5
Si el lado terminal de u está en el cuarto cuadrante:
y −3
x 4
sen θ = =
y cos θ 5 5 .
r 5
r 5
Ponte de acuerdo con tus compañeras y compañeros de grupo para
realizar lo siguiente:
Un río mide 17 metros de ancho. En sus riberas opuestas están dos
árboles de 12 y 5 metros de altura, respectivamente. En la parte superior de cada árbol se encuentran aves que se alimentan con peces.
Si desde cada árbol se lanza un ave, al mismo tiempo y a la misma
velocidad, sobre un pez que pasa a 5 metros del árbol más alto, ¿cuál
de las aves llega primero?
Para tu reflexión
Euclides (vivió alrededor del año 300 a. C.)
Fue un matemático y geómetra griego, al cual se le conoce como “El
Padre de la Geometría”. Es autor de Los elementos, una de las obras
científicas más conocidas del mundo. En ella se presenta de manera
formal, partiendo únicamente de cinco postulados, el estudio de las
propiedades de líneas y planos, círculos y esferas, triángulos y conos,
etc., es decir, de las formas regulares.
Los teoremas de Euclides son los que generalmente se aprenden en
la escuela moderna. Alguno de los más conocidos son: la suma de los
ángulos interiores de cualquier
triángulo es 180°.
La geometría de Euclides,
además de ser un poderoso
instrumento de razonamiento
deductivo, ha sido extremadamente útil en muchos campos
del conocimiento: en física, la
astronomía, química, diversas
ingenierías, y desde luego en
las matemáticas.
Ejemplos
Expresa como funciones de un ángulo agudo positivo en dos formas
diferentes, cada una de las siguientes funciones
1. cos 120°
Un ángulo de 120° en posición normal tiene su lado terminal en
el segundo cuadrante y en éste la función coseno tiene signo
negativo, por tanto:
cos 120° 5 cos(2 ? 90° 2 60°) 5
2 cos (nn par, misma función)
cos 120° 5 cos(1 ? 90° 1 30°) 5
2 sen 30°(nn impar, cofunción)
135
7
BLOQUE
Aplicas las funciones trigonométricas
2. sen 225°
Un ángulo de 225° en posición normal tiene su lado terminal en
el tercer cuadrante y en éste la función seno tiene signo negativo,
por tanto:
sen 225° cos(2 u 90° 45°) s
< s en 45°( par, misma función)
sen 225° cos(3u 90° < 45°) c
< c os 45°( impar, cofunción)
3. tan 300°
tan 300° tan(4 u 90° < 60°) < tan 60°
tan 300° tan(3u 90° 30°) < cot 30°
4. sen (2100°)
Un ángulo de –100° en posición normal tiene su lado terminal en
el tercer cuadrante y en éste la función seno tiene signo negativo,
por tanto:
sen (–100°) sen(< 2 u 90° 80°) < sen 80°
sen (–100°) sen(< 1u 90° < 10°) < cos 10°
5. cot (–290°)
cot (–290°) cot (< 4 u 90° 70°) cot 70°
cot (< 3 u 90° < 20°) tan 20°
Observa que un ángulo de –290° en posición normal tiene su
lado terminal en el primer cuadrante, y en éste todas las funciones son positivas.
En nuestro planeta se han generado las condiciones que nos permiten
vivir. Si continuamos alterándolas nos destruiremos.
Recordemos que formamos parte del ambiente en el que vivimos. Cuidémoslo.
La promoción del ahorro voluntario del agua tiene que ver con el hecho
de convencer al usuario de que se puede obtener el mismo nivel de
calidad de las actividades que realizan consumiendo menos agua.
Lo anterior implica campañas de participación ciudadana, conocimientos, objetivos, metas y una difusión en medios masivos de comunicación así como en los sistemas de transporte.
Investiga cuál es el porcentaje de ahorro de consumo total de agua
potable a través de este tipo de campañas.
¿Qué tipo de campaña consideras que tendría mayor impacto para
promover el ahorro de agua?
¿Qué medidas complementarias se podrían adoptar para que a través
de la campaña se puedan obtener resultados óptimos?
Funciones para ángulos de 0°, 90°, 180°, 270° y
360°
El lado terminal de un ángulo cuadrangular coincide con uno de
los ejes. Un punto P (distinto del origen) del lado terminal tiene
por x = 0 , y ≠ 0 y x ≠ 0. En los dos casos ocurre que dos de las
seis funciones no están definidas, de modo que en un ángulo de 0°
el lado terminal coincide con el semieje positivo de las x, la abscisa
es igual a la distancia r,r x r , y la ordenada es igual a 0, es decir,
y = 0, así tenemos, P(x, 0). Como el denominador de las relaciones que definen la cotangente y la cosecante es la ordenada, estas
funciones no están definidas. Para expresar este hecho se utilizará
la cot 0° = ±∞.
6. sen 115°189
sen 115°18 sen (2 u 90° < 64°42') sen 64°42'
sen (1u 90° 25°18') cos 25°18'
7. cos 159°359
cos 159°35 cos (2 u 90° < 20°25') < cos 20°25'
cos (1u 90° 69°35') –sen 69°35'
Como se puede observar, al expresar las funciones en dos formas
diferentes, los ángulos son complementarios.
x
x’
Aplica lo que sabes
Ponte de acuerdo con tus compañeras y compañeros de grupo para
realizar lo siguiente:
Figura 7.8
136
Grupo Editorial Patria®
7.2 Círculo unitario
y 0
sen 0 ° = = = 0
r r
x r
cos 0 ° = = = 1
r r
y 0
tan 0° = = = 0
x x
x x
cot 0 ° = = = ±∞
y 0
r r
sec 0 ° = = = 1
x r
r r
csc 0 ° = = = ±∞
y 0
Círculo trigonométrico
En el círculo trigonométrico se representan las funciones por medio de segmentos de recta.
En un ángulo de 90° la abscisa es igual a cero x = 0 y la distancia es
igual a la ordenada y r , P(0, y).
En un ángulo de 180° la abscisa es negativa e igual a la distancia en
valor absoluto (x 52r) y la ordenada es igual a cero ( y 5 0) por
lo que las coordenadas P(x, 0).
En un ángulo de 270° la abscisa es igual a cero x = 0 y la ordenada es negativa e igual a la distancia en valor absoluto ( y 52r),
P(0, y).
En un ángulo de 360° las funciones son las mismas que las del ángulo de 0°, x r, y 5 0.
Funciones
0°
90°
180°
270°
360°
sen
0
1
0
21
0
cos
1
0
21
0
1
tan
0
6`
0
6`
0
cot
6`
0
6`
0
6`
sec
1
6`
21
6`
1
csc
6`
1
6`
21
6`
Figura 7.9
Las funciones trigonométricas de un ángulo son razones que se
pueden representar por medio de segmentos de recta si se escoge
una unidad de longitud tal que el denominador de todas las razones sea la unidad. Esto se puede conseguir en el círculo trigonométrico, en el cual el radio es la unidad de r =1.
Sean AA9 y BB9 dos diámetros perpendiculares coincidentes con
los ejes rectangulares xx9, yy9.
Sea AOPP un ángulo u cualquiera, generado por la rotación del radio alrededor del centro, donde OA es la posición inicial y OPP la
posición terminal, se trazan PM
M perpendicular a AO y PQ
Q perpendicular a OB.
En la figura 7.9 el triángulo rectángulo MOPP tiene como hipotenusa OP r = 1.
sen θ =
PM PM
=
= PM
OP
1
cos θ =
OM OM
=
= OM
OP
1
En A se traza AT
T perpendicular al radio OA,
A hasta encontrarse con
la prolongación de OP.
tan θ =
PM AT AT
=
=
= AT
OM OA 1
sec θ =
OP OT OT
=
=
= OT
OM OA 1
Para obtener la cot de u y la csc de u, se traza BS perpendicular a OB
en B hasta encontrarse con la prolongación de OP.
El ángulo BOSS es complementario de u, entonces la tangente del ángulo BOSS es igual a la cotangente del ángulo u y la secante del ángulo
BOSS es igual a la cosecante del ángulo u.
137
7
BLOQUE
Aplicas las funciones trigonométricas
tan BOS =
PQ BS BS
=
=
= BS, entonces cot θ = BS
OQ OB 1
sec BOS =
OP OS OS
=
=
= OS, entonces cot θ = OS
OQ OB 1
Así todas las funciones del ángulo u quedan representadas por segmentos de recta.
sen θ = PM perpendicular bajada del punto terminal del
arco al diámetro AA9.
cos θ = OM distancia del centro al pie del seno.
tan θ = AT perpendicular en A al diámetro AA9, hasta encontrarse con la prolongación del radio que
pasa por el punto P.
cot θ = BS perpendicular en B al diámetro BB9, hasta encontrarse con la prolongación del radio que
pasa por el punto P.
sec θ = OT distancia del centro a la extremidad de la tangente.
csc θ = OS distancia del centro a la extremidad de la cotangente.
Como u es un ángulo del primer cuadrante todas las funciones son
positivas.
En cualquier cuadrante en el que esté el lado terminal del ángulo considerado, la tangente se obtiene por medio de la perpendicular en el
punto A y la cotangente por medio de la perpendicular en el punto B.
B
2
S
u
M
2
1
S
u
T
1
A’
O
2
P
B’
138
M
A
O
u
2
P
T
B’
Figura 7.10
En los diferentes ∠ AOP = ∠ θ
2° cuadrante
3° cuadrante
4° cuadrante
sen 5 u PM
sen θ = −PM
sen θ = −PM
cos θ = −OM
cos θ = −OM
cos θ = OM
tan θ = − AT
tan θ = AT
tan θ = − AT
cot θ = −BS
cot θ = BS
cot θ = −BS
sec θ = −OT
sec θ = −OT
sec θ = OT
csc θ = OS
csc θ = −OS
csc θ = −OS
Seno. El valor del seno varía entre 1 y –1 y su valor absoluto siempre queda comprendido entre 0 y 1.
T
B’
M
1
A’
Si en el círculo trigonométrico consideramos un punto P que a
partir del punto A se mueve sobre la circunferencia en sentido contrario al giro de las manecillas del reloj, entonces el ángulo AOP (u)
varía de 0° hasta 360° y en las funciones se observa lo siguiente:
A
2 O
B
B
2
Variaciones de las funciones
trigonométricas
P
A’
S
A
En el primer cuadrante (de 0° a 90°), el seno crece de 0 a 1; en el segundo cuadrante (de 90° a 180°), el seno decrece de 1 a 0; en el tercer
cuadrante (de 180° a 270°), el seno decrece de 0 a –1; en el cuarto cuadrante (de 270° a 360°), el seno crece de –1 a 0.
Coseno. El valor del coseno varía entre –1 y 1 y su valor absoluto
siempre queda comprendido entre 0 y 1.
En el primer cuadrante (de 0° a 90°), el coseno decrece de 1 a 0; en el
segundo cuadrante (de 90° a 180°), el coseno decrece de 0 a –1; en
el tercer cuadrante (de 180° a 270°), el coseno crece de –1 a 0; en el
cuarto cuadrante (de 270° a 360°), el coseno crece de 0 a 1.
Tangente. El valor de la tangente varía de +∞ a −∞.
Grupo Editorial Patria®
En el primer cuadrante (de 0° a 90°), la tangente crece a partir de 0 indefinidamente; en el segundo cuadrante (de 90° a 180°), la tangente crece
desde grandes valores negativos hasta 0; en el tercer cuadrante (de 180° a 270°), la tangente crece a partir de 0 indefinidamente; en el cuarto
cuadrante (de 270° a 360°), la tangente crece desde grandes valores negativos hasta 0.
Cotangente. El valor de la cotangente varía de +∞ a −∞.
En el primer cuadrante (de 0° a 90°), la cotangente decrece desde grandes valores positivos hasta 0; en el segundo cuadrante (de 90° a 180°),
la cotangente decrece a partir de 0 indefinidamente; en el tercer cuadrante (de 180° a 270°), la cotangente decrece desde grandes valores positivos hasta 0; en el cuarto cuadrante (de 270° a 360°), la cotangente decrece a partir de 0 indefinidamente.
Secante. El valor de la secante varía de +∞ a −∞ .
En el primer cuadrante (de 0° a 90°), la secante crece a partir de 1 indefinidamente; en el segundo cuadrante (de 90° a 180°), la secante crece
desde grandes valores negativos hasta –1; en el tercer cuadrante (de 180° a 270°), la secante decrece a partir de –1 indefinidamente; en el
cuarto cuadrante (de 270° a 360°), la secante decrece desde grandes valores positivos hasta 1.
Cosecante. El valor de la cosecante varía de +∞ a −∞.
En el primer cuadrante (de 0° a 90°), la cosecante decrece desde grandes valores positivos hasta 1; en el segundo cuadrante (de 90° a 180°), la
cosecante crece a partir de 1 indefinidamente; en el tercer cuadrante (de 180° a 270°), la cosecante crece desde grandes valores negativos hasta
–1; en el cuarto cuadrante (de 270° a 360°), la cosecante decrece a partir de –1 indefinidamente.
7.3 Gráficas de las funciones seno, coseno y tangente
Gráficas de las funciones trigonométricas
En la siguiente tabla los valores del ángulo u están expresados en radianes.
u
0
p
6
p
4
p
2
p
2
2p
3
3p
4
5p
6
p
7p
6
5p
4
4p
3
3p
2
5p
3
7p
4
11p
6
2p
y 5 sen u
y 5 cos u
y 5 tan u
y 5 cot u
y 5 sec u
y 5 csc u
1.00
6`
0
1.00
0
6`
0.50
0.87
0.58
1.73
1.15
2.00
0.71
0.71
1.00
1.00
1.41
1.41
0.87
0.50
1.73
0.58
2.000
1.15
1.00
0
6`
0
6`
1.00
0.87
20.50
21.73
20.58
22.00
1.15
0.71
20.71
21.00
21.00
21.41
1.41
0.50
20.87
20.58
21.73
21.15
2.00
0
21.00
0
6`
21.00
6`
0.50
2
20.87
20.58
1.73
21.15
22.00
20.71
20.71
1.00
1.00
21.41
21.41
20.87
20.50
1.73
0.58
22.00
21.15
0
6`
0
6`
21.00
20.87
0.50
21.73
20.58
2.00
21.15
20.71
0.71
21.00
21.00
1.41
21.41
0.50
2
0.87
20.58
21.73
1.15
22.00
0
1.00
0
6`
1.00
6`
1.00
2
Tabla 7.1
139
7
BLOQUE
Aplicas las funciones trigonométricas
Y
y = sen x
y = cos x
– p/2
–p
p/2
O
p
3p/2
X
2p
–1
Figura 7.11
y
y
p
2
0
p
2
p
2
x
y = cot x
y = tan x
Figura 7.12
Figura 7.13
y
2p
1
21 0
y
p
x
1
2p
140
21
p
0
y 5 csc x
y 5 sec x
Figura 7.14
x
p
0
Figura 7.15
x
Grupo Editorial Patria®
En las gráficas podemos observar que:
Para tu reflexión
⎛p
⎞
a) sen ⎜ 1 x ⎟ 5 cos x , entonces y = cos x se puede
⎝2
⎠
obtener con solo correr la gráfica de y = sen x distancia
igual
p
hacia la izquierda.
2
⎛p
⎞
b) csc ⎜ 1 x ⎟ 5 sec x , entonces y = csc x se puede ob⎝2
⎠
tener con solo correr la gráfica de y = sec x una distancia
igual
p
hacia la derecha.
2
c) Las funciones seno, coseno, secante y cosecante repiten
sus valores a intervalos 2 p; mientras que la tangente y cotangente lo hacen a intervalos p.
De acuerdo con la forma general en que se han definido las funciones trigonométricas en el plano cartesiano, se puede considerar
como dominio de las mismas al conjunto de los números reales
(R) con ciertas excepciones. Dichas excepciones se refieren a los
valores inadmisibles de la función, pues en ellos la función no está
definida.
Si n = 0 ,1, 2 , 3,... entonces el dominio de definición de cada función queda expresado de la siguiente forma:
Función
Dominio
seno
R
coseno
R
tangente
⎧p
⎫
R excepto ⎨ 6 n p ⎬
⎩2
⎭
cotangente
R excepto {6 n p}
secante
⎧p
⎫
R excepto ⎨ 6 n p ⎬
⎩2
⎭
cosecante
R excepto {6 n p}
Tabla 7.2
Georg Friedrich Bernhard Riemann
(1826-1866)
Nacido en Breselenz, Alemania, en una familia combatiente en las guerras Napoleónicas; su infancia y juventud se caracterizaron por haber
sufrido la pérdida temprana de su madre y hermanas, además de su agilidad para efectuar operaciones de cálculo con una facilidad envidiable.
Antes de los 20 años de edad, Riemann estudió Filosofía y Teología en
Gottingen, pues mantuvo la idea de complacer a su padre, Friedrich Bernhard Riemann, y convertirse en pastor igual que él, quien incluso lo
impulsó a estudiar Matemáticas y juntó todo el dinero posible para que
su hijo pudiera llevar a cabo esta petición.
A pesar de iniciar con esta aventura en 1847, no fue sino hasta 1859
que formuló por primera vez la conocida Hipótesis de Riemann, que es
una conjetura sobre la distribución de los ceros de la Función Zeta de
Riemann, misma que se considera una función de importancia significativa en la Teoría de los Números, debido a la extrema relación con la
distribución de los llamados números primos.
Sin embargo, este teorema no ha sido comprobado a pesar del incansable estudio para resolverlo, aun cuando escuelas importantes como el
Instituto Clay de Matemáticas, de Cambridge Massachussets, ha ofrecido premios de hasta un millón de dólares a quien pueda presentar o
desarrollar una demostración correcta de la conjetura, la cual ha recibido
menciones a favor o en contra sobre su certeza.
Otra gran aportación de este genio matemático, fue la conocida como
la Superficie de Riemann, que involucra la variedad compleja de una
dimensión uno similar; como consecuencia, la variedad real subyacente
se transformará por lógica en dimensión 2.
En el área de Análisis Matemático, la integral de Riemann, es una forma de abordar el problema de la Integración: otro caso es el de la
Variedad de Riemann, que refleja una variedad diferenciable real en
la que cada espacio tangente puede aquiparse con u producto interior
con la finalidad de que éste varíe ligeramente punto a punto.
Lo anterior, permite que se definan varias nociones métricas entre las
que podemos enunciar la longitud de las curvas, ángulos, áreas o volúmenes, curvaturas, gradientes de funciones o en el caso especifico de la
divergencia de campos vectoriales.
Finalmente, podemos resaltar
la geometría de Riemann como
parte de estudio de la Variedades
Diferenciales con métricas de
Riemann, en donde de una aplicación a cada punto de variedad
se le asigna una forma cuadrática
definida positiva en su espacio
tangente, se considera una aplicación ligeramente variante de un
punto a otro.
141
7
BLOQUE
Aplicas las funciones trigonométricas
Instrumentos de evaluación
Apellido paterno
Apellido materno
Nombre
Grupo
Asegúrate de haber adquirido los contenidos que se abordan en el Bloque 7. Para ello, realiza lo que se te pide a continuación.
1. Localiza en el plano el punto (15, 8) y determina el valor de r
correspondiente.
2. Localiza en el plano el punto (215, 8) y determina el valor de r
correspondiente.
3. Si el ángulo u es positivo, en posición normal y P (8, 6) es un
punto en el lado terminal de u, halla los valores de las funciones
trigonométricas del ángulo u.
142
4. Si el ángulo u es positivo, en posición normal y P (28, 6) es un
punto en el lado terminal de u, halla los valores de las funciones
trigonométricas del ángulo u.
5. ¿Cuál es el valor de sen u si cos u 5
4
y tan u es positiva?
5
6. ¿Cuál es el valor de sen u si cos u 52
4
y tan u es positiva?
5
Grupo Editorial Patria®
7. Expresa sen (2200°) como una función de un ángulo agudo positivo, en dos formas distintas.
9. Verifica en el círculo trigonométrico que para ángulos en posición
normal sen 160° y sen 20° son numéricamente iguales.
8. Expresar sen (2600°) como una función de un ángulo agudo
positivo, en dos formas distintas.
10. Verifica en el círculo trigonométrico que para ángulos en posición
normal sen 210° y sen 30° son numéricamente iguales.
Rúbrica
Nombre del alumno:
Aspecto a evaluar
Criterios
Excelente
(4)
Bueno
(3)
Regular
(2)
Deficiente
(1)
Funciones
trigonométricas en el
plano cartesiano
Conoce y obtiene los
valores de las funciones
trigonométricas, en el plano,
de ángulos positivos y
negativos
Conoce los valores de las
funciones trigonométricas,
en el plano, de ángulos
positivos y negativos
Conoce los valores
de algunas funciones
trigonométricas, en el plano,
de ángulos positivos y
negativos
No conoce ni obtiene los
valores de las funciones
trigonométricas, en el plano,
de ángulos positivos y
negativos
Ángulo de referencia
para ángulos
situados en los
cuadrantes II, III y IV
Determina el valor y
signo de las funciones
trigonométricas en los
cuadrantes II, III y IV, así
como de los ángulos
cuadrantales
Determina el valor y
signo de las funciones
trigonométricas en los
cuadrantes II, III y IV
Determina el valor y signo
de algunas funciones
trigonométricas en los
cuadrantes II, III y IV
No determina el valor ni
el signo de las funciones
trigonométricas en los
cuadrantes II, III y IV
Funciones
trigonométricas en el
círculo unitario como
funciones de un
segmento
Conoce y obtiene las
funciones trigonométricas
en el círculo unitario como
funciones de un segmento
Conoce las funciones
trigonométricas en el círculo
unitario como funciones de
un segmento
Conoce algunas de las
funciones trigonométricas
en el círculo unitario como
funciones de un segmento
No conoce ni obtiene las
funciones trigonométricas
en el círculo unitario como
funciones de un segmento
Comportamiento
gráfico de
las funciones
trigonométricas seno,
coseno y tangente
Conoce y traza el
comportamiento
gráfico de las funciones
trigonométricas seno,
coseno y tangente
Conoce el comportamiento
gráfico de las funciones
trigonométricas seno,
coseno y tangente
Conoce el comportamiento
gráfico de la función
trigonométrica seno
No conoce ni traza
el comportamiento
gráfico de las funciones
trigonométricas seno,
coseno y tangente
143
7
BLOQUE
Aplicas las funciones trigonométricas
Lista de cotejo
Lista de cotejo para el reporte sobre las aves que se alimentan de la sección Aplica lo que sabes, pág. 135.
Nombre del alumno:
Criterio
Presentación
1. Cuenta con una carátula que incluye: el nombre del trabajo que se realiza, la
materia, fecha de entrega, nombre del alumno y su matrícula
2. Tiene una redacción que es adecuada y clara.
3. Tiene buena ortografía o con errores mínimos.
4. El trabajo se elabora en computadora o manuscrito con letra legible.
5. Las gráficas o dibujos auxiliares se elaboran de un tamaño adecuado de modo
que se puedan apreciar con claridad los datos obtenidos o las condiciones del
problema.
6. Se presenta todo el procedimiento necesario para obtener los datos o
solución que se pide con la justificación correspondiente.
Desarrollo
7. En el procedimiento se desarrolla una secuencia lógica y coherente.
8. Se hace referencia a las gráficas o diagramas auxiliares para apoyar la
argumentación del escrito.
9. Se hace la referencia bibliográfica de las notas, definiciones o conceptos
consultados para sustentar teóricamente las acciones realizadas.
Conclusiones
Dominio del
tema
10. La investigación se realiza con apoyo en libros y revistas actualizadas sobre
el tema o bien en sitios web cuya información sea científicamente válida.
De incluir citas textuales, éstas deben ser breves y con la referencia de la
fuente.
144
11. Conoce y aplica correctamente el teorema de Pitágoras.
12. Da respuesta correcta a las preguntas que surgen de la actividad que se
propone.
13. Comprende las condiciones del problema.
14. Representa gráficamente las condiciones del problema.
15. Calcula la distancia que debe recorrer cada ave para llegar al pez.
16. Argumenta el resultado.
cumple
sí
no
Observaciones
Grupo Editorial Patria®
Escala de clasificación
Como señala el documento de Lineamientos de Evaluación del Aprendizaje (DGB, 2011), la escala de clasificación sirve para identificar además de la presencia de determinado atributo, la frecuencia en que éste se presenta.
Escala de clasificación para evaluar los ejercicios que involucren el trazo del comportamiento gráfico de las funciones trigonométricas seno,
coseno y tangente.
Instrucciones: indique con qué frecuencia se presentan los siguientes atributos durante la práctica de las técnicas de representación. Encierre
en un círculo el número que corresponda si: 0 no se presenta el atributo; 1 se presenta poco el atributo; 2 generalmente se presenta el atributo;
3 siempre presenta el atributo.
Contenido
1. Desarrolla los puntos más importantes del tema.
0
1
2
3
2. Utiliza los conceptos y argumentos más importantes con precisión.
0
1
2
3
3. La información es concisa.
0
1
2
3
4. Relaciona los conceptos o argumentos.
0
1
2
3
5. Presenta transiciones claras entre ideas.
0
1
2
3
6. Presenta una introducción y conclusión.
0
1
2
3
7. Utiliza ejemplos que enriquecen y clarifican el tema de exposición.
0
1
2
3
8. Incluye material de elaboración propia (cuadros, gráficas, ejemplos) y se apoya en ellos.
0
1
2
3
0
1
2
3
10. La información se presenta sin saturación, con fondo y tamaño de letra ideales para ser consultada por la
audiencia.
0
1
2
3
11. Se apoya en la diapositiva leyendo los apoyos y los desarrolla.
0
1
2
3
12. Articulación clara y el volumen permite ser escuchado por la audiencia.
0
1
2
3
13. Muestra constante contacto visual.
0
1
2
3
14. 1/2 dos minutos del tiempo asignado.
0
1
2
3
Coherencia y organización
Aportaciones propias
Material didáctico
9. El material didáctico incluye apoyos para exponer la información más importante del tema.
Habilidades expositivas
Total
Puntaje total
145
Aplicas las leyes de senos y cosenos
8
B LO Q U E
Objetos de
aprendizaje
8.1 Leyes de senos y cosenos
Competencias a desarrollar
„
Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o
gráficas.
„
Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e
interpretar información.
„
Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo como
cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.
„
Elige las fuentes de información y comunicación para un propósito específico y
discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y confiabilidad.
„
Construye hipótesis; diseña y aplica modelos para probar su validez.
„
Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos.
¿Qué sabes hacer ahora?
Responde las siguientes preguntas:
1. Resuelve el triángulo oblicuángulo: a 5 25, b 5 30, A 5 50° 109.
2. Resuelve el triángulo oblicuángulo: a 5 15, b 5 48° 159, C 5 54°.
3. Resuelve el triángulo oblicuángulo: a 5 67, b 5 33, A 5 36°.
4. Resuelve el triángulo oblicuángulo: a 5 124, b 5 175, B 5 83° 269.
5. Resuelve el triángulo oblicuángulo: a 5 25, b 5 36, c 5 44.
6. Resuelve el triángulo oblicuángulo: a 5 120, b 5 80, c 5 100.
7. Resuelve el triángulo oblicuángulo: b 5 28, c 5 36, A 5 125°.
8. Resuelve el triángulo oblicuángulo: a 5 78, b 5 54, C 5 42° 269.
9. Resuelve el triángulo oblicuángulo: a 5 85, b 5 85, c 5 90.
10. Resuelve el triángulo oblicuángulo: a 5 380, b 5 400, C 5 150.
Desempeños por alcanzar
„
Propone la manera de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en
equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos.
„
Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera
reflexiva.
„
Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades
con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.
Aplicas las leyes de senos y cosenos.
BLOQUE
8
Aplicas las leyes de senos y cosenos
Situación didáctica
¿Cómo lo resolverías?
Tres calles se intersecan dos a dos formando un triángulo cuyos lados miden 312, 472 y 511 metros, respectivamente. Determina la medida de
los ángulos que forman cada par de calles.
Secuencia didáctica
Forma equipos para resolver el problema.
Que cada equipo represente mediante dibujos las condiciones del
problema.
Presenten los resultados en plenaria y analicen las formas de resolver el problema.
¿Qué tienes que hacer?
Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es
preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a
cabo las rectificaciones que procedan.
¿Cómo representar el triángulo y la longitud de sus lados?
Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto de las actividades señaladas en la secuencia didácticas con el propósito de
asumirse como responsable de su propio proceso de aprendizaje.
¿Qué ley se debe aplicar para calcular la medida de los ángulos?
Producto a elaborar
¿Cuál es la medida de cada ángulo del triángulo?
Representación gráfica del problema y efectuar los cálculos.
Cada equipo debe investigar:
Trabajo individual
Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios.
Rúbrica
Para determinar la medida de los ángulos que se piden se deben
anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos
tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las fuentes consultadas, etc. La descripción del procedimiento
por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase
2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello
suma un total de 10 puntos.
Esta actividad se integrará el portafolio de evidencias para la evaluación del mes.
148
¿Cómo sabes que lo hiciste bien?
Grupo Editorial Patria®
Propuestas de diseño para
situaciones didácticas
1. Resuelve los siguientes triángulos oblicuángulos:
a) a = 525
b = 380
A5 58 °20 9
b) a = 25
b = 30
A5 50 °10 9
c) a = 740
b = 380
A5 58 °20 9
d) a =14
c =12
A535 °30 9
e) a = 551
c = 608
A560 °12 9
f ) a = 85
b = 45
A5110 °20 9
g) a =10
b=6
A5 20 °10 9
h) b =15
c =8
B539 °15 9
i) b = 825
c = 945
B525°
j) a =18
c = 26
A5 40 ° 40 9
2. Resuelve los siguientes triángulos oblicuángulos:
a) a = 78
b = 54
C 5 42 °20 9
b) a = 67
b = 33
C 536°
c) a = 886
b = 747
C 5 71 °54 9
d) a = 455
b = 410
C 562 °19 9
e) a = 969
b = 595
C 5134°
f ) b =129
c = 87
A5 27 °14 9
g) a =124
b =175
B583 °26 9
h) b = 46
c =18
A5115 ° 42 9
i) b = 45
c = 31
A5 55 °19 9
j) b = 28
c = 36
A5125°
4. Resuelve los siguientes triángulos oblicuángulos:
a) a 5 25
b 5 36
c 5 44
b) a 5 380
b 5 400
c 5 150
c) a 5 120
b 5 80
c 5 100
d) a 5 6.34
b 5 7.30
c 5 9.98
e) a 5 12
b 518
c 5 20
f ) a 5 83
b 5 54
c 5 41
g) a 5 85
b 5 85
c 5 90
h) a 5 35
b 5 40
c 5 47
i) a 5 5
b57
c59
j) a 5 167
b 5 321
c 5 231
5. Dos personas de frente y a
2 500 m una de otra en el mismo nivel horizontal, observan
un avión con ángulos de elevación de 50° 10’ y 65° 40’. Halla la
altura del avión.
6. Una montaña separa los puntos
A y B. La distancia AC 5 320
m, la distancia CB 5 250 m y el
ángulo ACB 5 60° 45’. Hallar la
distancia AB.
3. Resuelve los siguientes triángulos oblicuángulos:
a) a = 25
b = 36
c = 44
b) a = 380
b = 400
c =150
c) a =120
b = 80
c =100
d) a = 6 . 34
b = 7 . 30
c = 9 . 98
e) a =12
b =18
c = 20
f ) a = 83
b = 54
c = 41
g) a = 85
b = 85
c = 90
h) a = 35
b = 40
c = 47
i) a = 5
b=7
c=9
j) a =167
b = 321
c = 231
7. Los tres lados que limitan un terreno miden 315 m, 480 m y
500 m. Calcula los ángulos que forman dichos lados.
8. Un terreno está limitado por tres calles que se cortan. Los lados del terreno miden 312 m, 472 m y 511 m. Halla los ángulos formados por las calles al cortarse.
9. Tres circunferencias, cuyos radios respectivos miden 115, 150
y 225 cm, son tangentes exteriores entre sí. Encuentra los ángulos que se forman cuando se unen los centros de las circunferencias.
149
BLOQUE
8
Aplicas las leyes de senos y cosenos
Un matemático que no es también algo de poeta, nunca será un
matemático completo.
Kart Weierstrass
Actividad de aprendizaje
¿Qué significa resolver un triángulo oblicuángulo?
8.1 Leyes de senos y cosenos
Resolución de triángulos oblicuángulos
En un triángulo oblicuángulo se tienen seis elementos fundamentales: los tres lados y los tres ángulos. De tal manera que puede haber tres ángulos agudos o un ángulo obtuso y dos agudos; si sólo se
conocen dos ángulos, el tercero se puede obtener restándole a 180°
la suma de los dos primeros.
Ley de los senos
Sea ABC
C un triángulo oblicuángulo cualquiera. Trácese CD perpendicular a AB o a su prolongación. Sea h la longitud de CD.
El triángulo oblicuángulo se puede resolver si se conocen tres elementos, no todos ángulos, excepción hecha con base en el caso ambiguo.
En general se presentan cuatro casos:
a) Cuando se conocen un lado y dos ángulos.
b) Cuando se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno de
ellos.
c) Cuando se conocen dos lados y el ángulo comprendido
entre ellos.
d) Cuando se conocen los tres lados.
De modo que la resolución de estos cuatro casos se hace con la
aplicación de la ley de los senos, de los cosenos o de ambas.
Ley de los senos. En todo triángulo los lados son proporcionales a
los senos de los ángulos opuestos, es decir:
a
b
c
=
=
sen A sen B sen C
Ley de los cosenos. En todo triángulo, el cuadrado de un lado cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados
menos el doble producto de estos dos lados por el coseno del ángulo comprendido, es decir:
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A
b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos B
c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos C
Actividad de aprendizaje
¿Cuáles son los elementos fundamentales de un triángulo oblicuángulo?
150
Figura 8.1aa
Figura 8.1b
En la figura 8.1a A y B son ángulos agudos, en la figura 8.1b B es un
ángulo obtuso y en ambas AB c.
En cualquiera de las dos figuras, en el triángulo rectángulo ACD,
h b
A y en el triángulo rectángulo BCD, h = a sen B ya que
en la segunda h = a sen ∠ CBD = a sen (180 ° − B) = a sen B.
Para tu reflexión
Eratóstenes (284-192 a. C.)
Matemático, astrónomo, geógrafo, filósofo y poeta griego. Fue el primero
en medir con buena exactitud el meridiano terrestre. Para ello ideó un
sistema a partir de la semejanza de triángulos. En primer lugar midió la
distancia entre dos ciudades egipcias que se encuentran en el mismo me-
Grupo Editorial Patria®
Aplica lo que sabes
ridiano: Siene (Assuán) y Alejandría. Esto lo hizo a partir del tiempo que
tardaban los camellos en ir de una ciudad a otra. Después se dio cuenta
que el día del solsticio de verano a las 12 del mediodía el Sol alumbraba
el fondo de un pozo muy profundo en la ciudad de Siene y que a esa
misma hora el Sol proyectaba una sombra en Alejandría. A raíz de esta circunstancia determinó, calculando el radio de la Tierra, que la longitud del
meridiano debía ser 50 veces mayor que la distancia entre las ciudades.
El resultado que obtuvo Erastótenes para el meridiano, en medidas modernas, es de 46 250 km,
cifra que excede a la medida real
sólo en 16%. También midió la
oblicuidad de la eclíptica (la inclinación del eje terrestre) con un
error de sólo 79 de arco, y creó
un catálogo (actualmente perdido) de 675 estrellas fijas. Su obra
más importante fue un tratado de
geografía general. Tras quedarse
ciego, murió en Alejandría por
inanición voluntaria.
Ponte de acuerdo con tus compañeras y compañeros de grupo para
realizar lo siguiente:
En nuestro planeta se han generado las condiciones que nos permiten
vivir. Si continuamos alterándolas nos destruiremos.
Recordemos que formamos parte del ambiente en el que vivimos. Cuidémoslo.
Los dispositivos domésticos para el uso eficiente del agua potable tienen un papel fundamental para el ahorro del agua.
Investiga en el interior de tu casa cuáles son los porcentajes de consumo de agua potable:
En excusados.
En las regaderas.
En las lavadoras de ropa.
En las llaves de fregadero y lavabos.
¿Con qué tipo de excusado, regadera y lavadora se puede obtener el
mayor ahorro de agua?
¿Qué costo tiene su mantenimiento para conservarlos en las mejores
condiciones de uso?
Actividad de aprendizaje
La ley de los senos establece que:
Por tanto:
a sen B = b sen A
a
b
=
sen A sen B
En forma similar si se trazara una perpendicular desde B a AC
Co
desde A a BC,
C se puede obtener:
a
c
b
c
=
=
sen A sen C sen B sen C
y por tanto:
a
b
c
=
=
sen A sen B sen C
Actividad de aprendizaje
La ley de los senos se expresa por la fórmula:
151
BLOQUE
8
Aplicas las leyes de senos y cosenos
Ley de los cosenos
Con referencia a las dos figuras anteriores, se tiene que en el triángulo rectángulo ACD de cualquiera de las dos figuras,
b = h +( AD)
2
2
2
Las otras dos relaciones se pueden obtener con un cambio cíclico
de las letras.
Conociendo un lado y dos ángulos se resuelve el triángulo oblicuángulo.
En la figura 8.1a:
En el triángulo rectángulo BCD, h = a
B y DB 5 a cos B.
Ejemplos
Por tanto:
AD AB DB c a cos B
y como consecuencia:
b 2 = h 2 + ( AD)2 = a 2 sen 2 B + c 2 − 2ca cos B + a 2 cos 2 B
= a 2 (sen 2 B + cos 2 B) + c 2 − 2ca cos B
= c 2 + a 2 − ca
B
En la segunda figura: 8.1b
1. Resuelve el triángulo oblicuángulo ABC
C si a = 22 m ∠A535° ,
/B 5 65°.
Datos
Incógnitas
b=
c=
∠C =
a=
∠ A = 35 °
∠ B = 65°
Actividad de aprendizaje
La ley de los senos establece que:
En el triángulo rectángulo BCD
h 5 a sen ∠ C BD 5 a sen (180° 2 B)5 a sen B
BD a cos ∠ C BD 5 a cos (180° 2 B)52a con B
y por ello:
Figura 8.2
b = c 2 + a 2 − 2ca cos B
b
Actividad de aprendizaje
A a
B
c
A a
C
b=
a
B
sen A
c =
a
C
sen A
b5
2 2 sen 6 5°
sen 3 5°
c5
22 sen 8 0°
sen 3 5°
b=
22 (0 . 9063)
0 5736
c =
22 (0 . 9848)
0 5736
La ley de los cosenos se expresa por la fórmula:
152
a
c
=
sen A sen C
a
b
=
sen A sen B
AD = AB + BD = c − a cos B
Grupo Editorial Patria®
b
∠C
c
34 7 m
37.7 m
∠B
(∠ A ∠
B)5180 2100 580 °
a) Si a CD (altura), no se determina triángulo alguno.
Incógnitas
b) Si a CD se determina un triángulo rectángulo.
a=
b=
∠C 180° (∠ A ∠ B)
∠A5110 10 9
c=
5180 2162 10 9
∠C =
∠ B = 52º
a
c
=
sen A sen C
= 17 ° 50'
b
c
=
sen B sen C
c
A
sen C
b=
c
B
sen C
a5
1 5 sen 1 10°10 9
sen 1 50 9
b5
1 5 sen 5 2°
sen 1 50 9
6 9 50 9
sen 1 50 9
b=
155 (0 . 7880)
0 3062
b
3
a=
a
1
155 (0 . 9387)
0 5736
c) Si a b y a CD se determinan dos triángulos ABC
Cy
AB9C.
d) Si a b se determina un triángulo isósceles.
e) Si a b el punto B queda sobre la prolongación de AB
y como el triángulo AB9C
C no contiene el ángulo dado A,
sólo se determina el triángulo ABC.
a=
a5
Este caso, conocido como caso ambiguo, presenta los siguientes
casos especiales. Con centro en C se traza un arco de radio igual a.
1. Cuando el ángulo es agudo.
2. Resuelve el triángulo oblicuángulo ABC si c =15 m
∠A5110 10 9 , /B 5 52°.
Datos
Conocidos dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos, resuelve el
triángulo oblicuángulo.
Figura 8.4
m
2. Cuando el ángulo es obtuso.
a) Si a b o a b2 no se determina triángulo alguno.
45 . 98 m
b) Si a b, el punto B queda sobre la prolongación de AB
y como el triángulo AB9C
C no contiene el ángulo dado A,
sólo se determina el triángulo ABC.
Figura 8.5
Figura 8.3
Conociendo dos lados y el ángulo comprendido resuelve el triángulo oblicuángulo.
153
BLOQUE
8
Aplicas las leyes de senos y cosenos
Ejemplos
Resuelve el triángulo oblicuángulo ABC a =125 m ∠ C = 35°10'
Datos
Incógnitas
a =125 m
c=
b = 230 m
∠A =
c 2 = 125 2 + 230 2 − 2 (125)(230) cos 35°10'
∠ C = 35 ° 10'
∠B =
c 2 =15625
15625 52900 57500 (0 8175)
c 2 a2 b2
ab
C
c 2 = 68525 47006 25
c = 21518 . 75 = 146 . 69 m
Figura 8.6
a
c
=
sen A sen C
b
c
=
sen B sen C
sen A =
a sen C
c
sen B =
b sen C
c
sen A5
125
25 sen 5°109
146 . 69
sen B5
230
30 sen 5°109
146 . 69
sen B =
2 30 sen (0 5760)
146 69
sen A =
25 sen (
125
146 69
)
sen A = 0 . 4908
∠A5 29 24 9
Conociendo los tres lados, resuelve el triángulo oblicuángulo.
154
sen A = 0 . 9031
∠B5115 26 9
Grupo Editorial Patria®
Aplica lo que sabes
Ponte de acuerdo con tus compañeras y compañeros de grupo para
realizar lo siguiente:
Una persona de 1.80 m de altura baja por una rampa que tiene un
ángulo constante de inclinación. Una fuente de luz colocada detrás de
la persona proyecta la sombra de ésta a 6 metros de distancia. En un
determinado momento, el ángulo de depresión desde la parte superior
de la cabeza de la persona es de 32° hasta el extremo de su sombra.
¿Cuál es el ángulo de inclinación de la rampa?
Ejemplos
Resuelve el triángulo oblicuángulo ABC si a = 36 m b = 48 m , c 5 30 m.
Datos
Incógnitas
a = 36 m
∠A =
b = 48 m
∠B =
c = 30 m
∠C =
Figura 8.7
b2 c 2 a2
cos A =
2bc
a2 b2 c 2
cos C =
2ab
cos B =
a2 c 2 b2
2ac
36 2 + 30 2 − 48 2
2 (36) (30)
48 2 + 30 2 − 36 2
=
2 ( 48) (30)
36 2 + 48 2 − 30 2
=
2 (36) ( 48)
=
= 0 . 6625
= 0 . 7812
= −0 . 0500
∠A5 48 30 9
∠C 538 38 9
∠B5 92 52 9
155
BLOQUE
8
Aplicas las leyes de senos y cosenos
Instrumentos de evaluación
Apellido paterno
Apellido materno
Nombre
Grupo
Asegúrate de haber adquirido los contenidos que se abordan en el Bloque 8. Para ello, realiza lo que se te pide a continuación.
1. Resuelve el triángulo oblicuángulo: a 5 18, b 5 26, A 5
40° 409.
4. Resuelve el triángulo oblicuángulo: b 5 825, c 5 945, A 5 25°.
2. Resuelve el triángulo oblicuángulo: a 5 14, b 5 12, A 5
35° 209.
5. Resuelve el triángulo oblicuángulo: a 5 83, b 5 54, c 5 41.
3. Resuelve el triángulo oblicuángulo: b 5 129, c 5 87, A 5
27° 149.
6. Resuelve el triángulo oblicuángulo: a 5 12, b 5 18, c 5 20.
156
Grupo Editorial Patria®
7. Resuelve el triángulo oblicuángulo: b 5 46, c 5 18, A 5
115° 429.
9. Resuelve el triángulo oblicuángulo: a 5 28, b 5 36, A 5 125°.
8. Resuelve el triángulo oblicuángulo: a 5 124, c 5 175, A 5
83° 269.
10. Resuelve el triángulo oblicuángulo: a 5 167, b 5 321, c 5 231.
Rúbrica
Nombre del alumno:
Aspecto a evaluar
Criterios
Excelente
(4)
Leyes de senos y
cosenos así como los
Conoce, obtiene y aplica las
elementos necesarios leyes de senos y cosenos
para la aplicación de
una u otra
Bueno
(3)
Regular
(2)
Conoce y aplica las leyes de
senos y cosenos
Conoce las leyes de senos y
cosenos
Deficiente
(1)
No conoce, ni obtiene, ni
aplica las leyes de senos y
cosenos
157
BLOQUE
8
Aplicas las leyes de senos y cosenos
Lista de cotejo
Lista de cotejo para el reporte sobre el ángulo de inclinación de una rampa de la sección Aplica lo que sabes de la pág. 151.
Nombre del alumno:
Criterio
Presentación
1. Cuenta con una carátula que incluye: el nombre del trabajo que se realiza, la
materia, fecha de entrega, nombre del alumno y su matrícula
2. Tiene una redacción que es adecuada y clara.
3. Tiene buena ortografía o con errores mínimos.
4. El trabajo se elabora en computadora o manuscrito con letra legible.
5. Las gráficas o dibujos auxiliares se elaboran de un tamaño adecuado
de modo que se puedan apreciar con claridad los datos obtenidos o las
condiciones del problema.
6. Se presenta todo el procedimiento necesario para obtener los datos o
solución que se pide con la justificación correspondiente.
Desarrollo
7. En el procedimiento se desarrolla una secuencia lógica y coherente.
8. Se hace referencia a las gráficas o diagramas auxiliares para apoyar la
argumentación del escrito.
9. Se hace la referencia bibliográfica de las notas, definiciones o conceptos
consultados para sustentar teóricamente las acciones realizadas.
Conclusiones
Dominio del
tema
10. La investigación se realiza con apoyo en libros y revistas actualizadas sobre
el tema o bien en sitios web cuya información sea científicamente válida.
De incluir citas textuales, éstas deben ser breves y con la referencia de la
fuente.
158
11. Conoce y aplica correctamente el concepto de ángulo de inclinación.
12. Da respuesta correcta a las preguntas que surgen de la actividad que se
propone.
13. Comprende las condiciones del problema.
14. Representa gráficamente las condiciones del problema.
15. Establece las relaciones entre los datos y lo que se pide.
16. Calcula el ángulo de inclinación de la rampa.
cumple
sí
no
Observaciones
Grupo Editorial Patria®
Rúbrica
Rúbrica para evaluar situaciones didácticas
Aspecto a evaluar
Criterios
Excelente
(4)
Bueno
(3)
Regular
(2)
Deficiente
(1)
Planteamiento
de la situación
didáctica
Identifica el problema y sus
características
Identifica el problema
Identifica una parte del
problema
No identifica el problema o no
lo entiende
Datos
Elabora una lista de todos los
datos
Elabora una lista necesaria y
suficiente de datos
Elabora una lista insuficiente
de datos
Elabora una lista de datos
incorrectos
Incógnita
Determina cuál es la
incógnita y cómo la va a
resolver
Reconoce la incógnita y tiene
idea de cómo resolverla
Identifica la incógnita pero
no tiene la idea de qué va a
hacer
No identifica la incógnita ni
sabe cómo resolverla
Hipótesis
Predice todos los posibles
Predice algunas hipótesis
Predice algunos factores
No logra realizar una
predicción
Procedimientos
Elabora una lista con todos
los pasos y toma en cuenta
detalles
Elabora una lista con todos
los pasos
Elabora una lista con algunos
pasos
Elabora una lista incorrecta
de pasos
Resultados
Presenta resultados
completos de forma escrita
y gráfica
Presenta la mayoría de
los resultados de forma
organizada
Presenta algunos resultados
de forma incompleta
Presenta resultados
incompletos e incorrectos
Conclusiones
Obtiene conclusiones
correctas y crea nuevos
conocimientos y nuevas
hipótesis
Llega a conclusiones
correctas
Llega a algunas conclusiones
No logra realizar conclusiones
159
Aplicas la estadística elemental
9
B LO Q U E
Objetos de
aprendizaje
9.1 Población
9.2 Muestra
9.3 Medidas de tendencia
central para datos
no agrupados y agrupados
9.4 Medidas de dispersión:
para datos agrupados y no
agrupados
Competencias a desarrollar
„
Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o
gráficas.
„
Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e
interpretar información.
„
Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo como
cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.
„
Elige las fuentes de información y comunicación para un propósito específico y
discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y confiabilidad.
„
Construye hipótesis; diseña y aplica modelos para probar su validez.
„
Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos.
¿Qué sabes hacer ahora?
Responde en tu cuaderno las siguientes preguntas
Encuentra las medidas de tendencia central (media, mediana y moda) del
siguiente conjunto de datos:
1.
10
8
9
5
5
8
10
8
9
10
10
9
9
10
10
5
7
7
8
8
5
5
10
7
10
7
6
7
8
8
Encuentra las medidas de dispersión (rango, varianza y desviación estándar) para
el siguiente conjunto de datos:
2.
227
120
250
233
158
244
265
186
219
46
100
155
147
257
221
262
Calcula las medidas de dispersión para el siguiente conjunto de datos:
3.
69
55
80
95
94.5
98
50.5
70.5
93.5
56.5
62
52
51.5
58
61
50.5
64
67
77.5
68
68.5
67.5
95.5
73.5
71.5
Desempeños por alcanzar
„
Propone la manera de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en
equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos.
Identifica el significado de población y muestra.
„
Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera
reflexiva.
Aplica las medidas de tendencia central y de dispersión en datos agrupados y
no agrupados.
„
Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades
con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.
Reconoce las medidas de tendencias central y de dispersión.
BLOQUE
9
Aplicas la estadística elemental
Situación didáctica
¿Cómo lo resolverías?
Con la estatura de cada alumno de tu grupo determina la media, la mediana y la moda de los datos obtenidos.
Secuencia didáctica
Forma equipos para resolver el problema.
Que cada equipo represente mediante dibujos las condiciones del
problema.
Presenten los resultados en plenaria y analicen las formas de resolver el problema.
¿Qué tienes que hacer?
Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es
preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a
cabo las rectificaciones que procedan.
¿Cómo organizar los datos?
Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto de las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de
asumirse como responsable de su propio proceso de aprendizaje.
¿Cómo obtener la media?
Producto a elaborar
¿Cómo obtener la mediana?
Tabla de datos.
¿Cómo obtener la moda?
Cálculos para obtener cada medida de tendencia central.
Cada equipo debe investigar:
Trabajo individual
Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios.
Rúbrica
Para determinar las medidas de tendencia central que se piden se
deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados,
éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material
utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado,
la forma, las fuentes consultadas, etc. La descripción del procedi-
Situación didáctica
¿Cómo sabes que lo hiciste bien?
miento por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en
clase 2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo
ello suma un total de 10 puntos.
Esta actividad se integrará el portafolio de evidencias para la evaluación del mes.
¿Cómo lo resolverías?
Anota el peso de cada alumno de tu grupo y determina la desviación típica de los datos. ¿Cómo interpretas ese valor?
162
Grupo Editorial Patria®
Secuencia didáctica
Forma equipos para resolver el problema.
Que cada equipo represente mediante dibujos las condiciones del
problema.
¿Qué tienes que hacer?
tos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es
preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a
cabo las rectificaciones que procedan.
Cada equipo debe investigar:
Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto de las
actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito
de asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje.
¿Cómo organizar los datos?
Evaluación por producto
¿Cómo representar los datos en una tabla?
¿Cómo realizar los cálculos para obtener la desviación típica?
A fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito
de manera muy clara.
Trabajo individual
En este ejemplo:
Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios.
Producto a elaborar
Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione concep-
Cálculos para obtener la desviación típica.
Presenten los resultados en plenaria y analicen las formas de resolver el problema.
Rúbrica
Para determinar la desviación típica que se pide se deben anexar
los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un
valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la
originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las
fuentes consultadas, etc. La descripción del procedimiento por es-
Tabla de datos.
¿Cómo sabes que lo hiciste bien?
crito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase 2 puntos
de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello suma un
total de 10 puntos.
Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes.
163
BLOQUE
9
Aplicas la estadística elemental
Propuestas de diseño para
situaciones didácticas
2.
I.
1. Investiga y enlista:
a) Cinco variables cualitativas.
b) Clasifícalas en ordinales y nominales.
c) Comenta con tus compañeros.
5.0
29.8
45.0
44.2
47.9
0.7
20.4
43.2
6.9
12.3
2.3
1.6
8.2
11.0
0.9
14.3
17.2
27.7
17.9
18.6
17.8
45.5
23.3
21.3
14
14
16
2
13
8
30
23
26
9
15
27
26
14
2
30
8
3
2
6
6
17
19
25
18
2.3
2.34
1.26
2.56
2.3
3.08
4.12
2.43
2.69
4.51
2.69
4.38
2.69
4.51
4.38
2.69
1.52
1.91
1.52
3.47
3.08
4.38
2.43
2.69
3.08
48
163
23
103
178
235
102
201
186
58
107
24
180
83
137
254
236
80
250
163
186
193
177
177
26
137
226
112
279
100
151
139
195
65
188
3.
2. Además de la temperatura, ¿qué otras variables continuas medidas por escala conoces?
3. Explica con tus palabras el concepto de estadística.
4. Organízate con tus compañeros y tomen una muestra de su
grupo:
a) Escojan una variable de interés (estatura, edad, color de
pelo, longitud del cabello, etcétera).
b) Elaboren una tabla de frecuencias que describa el fenómeno observado, ¿es conveniente hacer una tabla para
datos agrupados? Explica.
c) ¿Cuáles son los resutados del experimento?, representa
tus resultados de manera gráfica.
d) Comparen sus resultados con los de otro equipo, ¿son
diferentes? ¿Por qué?, explica.
4.
5.
5. Investiga la relación entre los pasos de un estudio estadístico y
el método científico.
II.
Para los siguientes conjuntos de datos elabora una tabla de frecuencias, represéntala gráficamente y obtén sus medidas de tendencia
central; explica también cuál de ellas es la más adecuada para cada
conjunto.
1.
164
19.1
10
8
9
5
5
8
10
8
9
10
28.9
85.2
83.8
30.7
28.3
42
95.8
10
9
9
10
10
66.1
71.2
56.8
91.2
72.7
58.9
33.7
5
7
7
8
8
52
99.1
61.1
38
41
22.8
48.7
5
5
10
7
10
26.4
59.2
26.7
74.7
75
92.9
28.7
7
6
7
8
8
75.3
66.4
21.7
87.2
23
79.1
60.9
84.8
85.8
41.3
49.3
73.1
83.3
51.9
97.5
60.1
53.4
90.7
25.9
64.3
21.2
6.
Grupo Editorial Patria®
7.
71.4
24.6
100.01
90.24
22.8
33.3
24
100.058
27.6
85
31.7
26.4
30.3
71.7
71.3
24.2
84.19
34.1
85.54
20.6
85.54
84.55
100.03
71.6
48.4
27.4
27.6
71.4
100.058
91.62
85.27
47.6
44
91.39
23.8
100.058
72.1
22.8
31.3
31.5
33.3
21.6
84.82
84.64
49.6
23.6
22.8
23.4
45.6
85.45
47.6
100.118
84.19
21
31.3
21.6
71.9
28.2
100.058
33.5
85.27
30.3
32.5
8.
10.
xi
fi
xi
fi
2
75
(51-57.5)
89
4
82
(57.5-64)
160
6
65
(64-70.5)
255
8
29
(70.5-77)
316
16
15
(77-83.5)
373
32
54
(83.5-90)
451
xi
fi
(90-96.5)
520
(20.39-28.75)
473
(28.75-3711)
851
xi
fi
0
9
(37.11-45.47)
347
1
15
(45.47-53.83)
717
2
20
(53.83-62.19)
613
3
33
(62.19-70.55)
175
4
54
(70.55-78.91)
927
5
73
(78.91-87.27)
459
6
87
(87.27-95.63)
304
7
96
(95.63-103.99)
134
8
112
9
120
9.
11.
165
BLOQUE
9
Aplicas la estadística elemental
12.
166
58.1
131.2
107.1
34.1
33.4
97.9
81.1
123.3
70.5
146.3
36.2
119.1
13
88
135.2
75.6
66.2
10.7
188.7
54.1
141.5
178.8
73
33.4
54.9
81.7
42.6
135.2
110
128.4
136.9
148.7
172.1
78.8
63.2
95.2
183.7
181.1
84.8
56.4
38
55.1
118.7
56.9
50.8
150.7
39.4
125
136.4
62.4
104.3
181.2
70.1
47.7
127.3
70.8
81.1
30.9
115.3
147.6
167.8
160.4
45.9
66
42
51
168.5
179.4
181.9
18.9
79.6
160.5
199.7
110.7
42.7
192.6
136.6
44.5
144.6
107.6
128.3
45.3
188.1
108.4
64.7
181
92.6
163.2
197.6
81.8
93.9
188.9
139
70.8
132.8
199.2
54.3
76.2
195.3
67.6
Grupo Editorial Patria®
La estadística es la ciencia del Estado que se ocupa de determinar la riqueza
individual.
Achenwall (1749)
Introducción
El señor Roberto, quien es dueño de un expendio de pan, se dio
cuenta que no todos los días vendía la misma cantidad de bolillos,
había días en los que vendía menos piezas de las que tenía y algunos
otros en los que le hacían falta piezas. La situación le llamó tanto la
atención que se acercó al señor Fernando, dueño de la papelería
de enfrente, y le comentó la situación. Fernando le dijo que para
ayudarlo necesitaba que diariamente anotara la cantidad de bolillos que vendiera y que al cabo de un mes le llevara la información.
Un mes después el señor Hurtado le llevó los datos, y de inmediato
el señor Fernando los organizó en una tabla y calculó los valores
medios. Al finalizar los cálculos le recomendó a Roberto que comprara 400 bolillos diarios para asegurar su venta. Roberto siguió las
indicaciones y al poco tiempo observó que sus ventas mejoraban
gracias al tratamiento estadístico que le dio Fernando a sus datos.
El imperio romano tenía un control estricto de todo lo que sucedía dentro de su territorio, tanto así que todos los nacimientos y
defunciones quedaban registrados en el templo de Saturno, el emperador Augusto puso gran empeño en la ejecución de los censos
alrededor de todo el territorio. La civilización árabe fue la heredera
de las prácticas estadísticas que posteriormente prosperaron siendo utilizadas en actividades financieras y administrativas.
Durante la Edad Media el concepto de estadística desapareció
por completo de la Europa cristiana, fue a principios del siglo xvii
cuando Homan Conring desarrolla una investigación sistematizada de los hechos sociales.
Desde entonces hasta nuestro días la estadística ha evolucionado y
se ha convertido en una herramienta esencial que apoya a todas las
áreas del conocimiento para recoger, ordenar, analizar e interpretar
datos.
¿Qué es la estadística?
Orígenes de la estadística
Definición de estadística
Desde los comienzos de la civilización han existido diversas manifestaciones de la estadística, se utilizaban representaciones gráficas en
pieles, rocas, palos y paredes para representar el número de personas
o animales. Se tienen registros que datan de hace más de 5 000 años
de que los babilonios usaban pequeñas tablillas de arcilla para representar en ellas datos referentes a la producción agrícola, así como un
registro detallado de las operaciones de compra de venta. Por otra
parte, en China existen registros númericos con una antiguedad de
4 000 años en donde plasman datos como el número de pobladores
así como el número de pobladores así como la cantidad de posesiones de los habitantes; los griegos de la época clásica (siglo v a. C.)
realizaban censos con la finalidad de cobrar impuestos.
La estadística es la ciencia que recoge, ordena, analiza e interpreta la información obtenida sobre un fenómeno en particular para
conocer los hechos del pasado, a fin de prever el comportamiento
futuro y tomar decisiones basadas en la experiencia.
Pasos de un estudio estadístico
1. Plantear una hipótesis sobre la población.
r Los fumadores faltan más al trabajo que los no fumadores.
r ¿En qué sentido?, ¿tiempo medio?, ¿mayor número?
167
BLOQUE
9
Aplicas la estadística elemental
2. Decidir qué datos recoger.
r Qué individuos pertenecerán al estudio (muestras).
Fumadores y no fumadores en edad laboral.
Criterios de exclusión: ¿descartamos a quienes sufren
enfermedades crónicas?
r Qué datos obtendremos de las muestras (variables).
Número de faltas al trabajo.
Número de días de ausencia consecutivos.
¿Sexo? ¿Tipo de actividad?
3. Recolectar los datos sin perturbar el fenómeno (muestreo).
Actividad de aprendizaje
¿A qué se le llama población?
Actividad de aprendizaje
¿Qué es una muestra?
r Sistemáticamente (la muestra es homogénea).
r Estratificado (la muestra es heterogénea y se divide en grupos).
4. Describir los datos obtenidos.
r Tiempo medio de las faltas al trabajo.
r Porcentaje de faltas en fumadores y no fumadores.
r Elaboración de gráficas.
5. Realizar una inferencia sobre la población.
Actividad de aprendizaje
¿Qué es una variable?
r En promedio, los fumadores faltan al menos 15 días más
que los no fumadores.
9.1 Población
La población es un conjunto sobre el cual estamos interesados en
obtener conclusiones, por ejemplo, los habitantes de un estado,
los automóviles en una ciudad. Normalmente las poblaciones son
muy grandes para poder estudiarlas en forma directa, por lo cual
recurrimos a una muestra.
Actividad de aprendizaje
¿Cuáles son los tipos de variables cualitativas?
Actividad de aprendizaje
¿Cuáles son los tipos de variables cuantitativas?
9.2 Muestra
Es un subconjunto de la población al que tenemos acceso y sobre
el cual haremos las observaciones; debe ser representativa y estar
formada por miembros seleccionados de la población. Por ejemplo, los habitantes en una colonia o los automóviles en un fraccionamiento.
168
Variable
Atributo que nos interesa estudiar en una muestra. Las variables
pueden ser cualitativas o cuantitativas.
Variables cualitativas: Tienen la característica de que no se pueden
realizar operaciones algebraicas con ellas; éstas a su vez pueden ser:
Grupo Editorial Patria®
Nominales: son los valores no ordenables. Por ejemplo, grupo
sanguíneo, religión, nacionalidad, etcétera.
Ordinales: son aquellas que se pueden ordenar. Por ejemplo, el
estado de ánimo de una persona, grado de satisfacción, etcétera.
Variables cuantitativas o numéricas ((variables típicas):
p ) Estas variables
pueden ser:
Discretas: son aquellas variables que solamente se toman en
números enteros, por ejemplo, el número de focos de una casa
o el número de hijos de una pareja.
Continuas: estas variables a su vez pueden ser:
Medidas por razón: son aquéllas en las que tiene sentido hacer
operaciones algebraicas con ellas, por ejemplo, la velocidad
que llevan los autos en una autopista.
Medidas de escala: son aquellas que sólo se pueden sumar o
restar, por ejemplo, la temperatura.
n
∑f
i 51
f
f
f
N
Frecuencia relativa: es el cociente entre la frecuencia absoluta de un
determinado valor y el número total de datos. Se puede expresar
en porcentajes y se representan por ni. La suma de las frecuencias
relativas es igual a 1.
f
ni 5 i
N
Frecuencia acumulada: es la suma de todas las frecuencias absolutas
de todos los valores inferiores o iguales al valor considerado. Se representa por Fi.
Actividad de aprendizaje
¿Qué tipos de frecuencia existen?
Nota: cuando son variables cualitativas no se pierde información.
Tablas de frecuencia
Las tablas de frecuencia son herramientas que nos permiten ordenar los datos para hacer más fácil el estudio de las variables de
interés, distinguimos tres tipos de frecuencias:
Frecuencia absoluta: es el número de veces que aparece cierto valor
en un estudio estadístico; se representa con la letra f . La suma de
las frecuencias absolutas es igual al número total de datos, que se
representa por N.
N
f1 1 f2 1 … 1 fn 5 N
Actividad de aprendizaje
Al organizar los datos, ¿para qué se utiliza una tabla de frecuencias?
Tabla de frecuencia absoluta (ejemplo 1)
Ejemplo
Se desea saber cuántos hijos tienen las parejas de entre 28 y 35 años
de la colonia Petrolera de la Ciudad de México. Se tomó una muestra
de 200 familias y se obtuvo la siguiente información: 24 familias no
tienen hijos, 50 tienen un hijo, 80 tienen dos hijos, 36 tienen tres hijos
y 10 familias tienen cuatro hijos.
La característica de interés es el número de hijos y notamos que se
trata de una variable discreta, el paso siguiente es ordenarlos en una
tabla de frecuencias absolutas. Para elaborarla dibujamos dos columnas, en la primera colocamos la variable de interés y en la segunda la
frecuencia, como se muestra a continuación.
Número de hijos por
pareja
Frecuencia fi
0
24
1
50
2
80
3
36
4
10
Total
200
Otra forma de representar al número de datos es a través de una sumatoria, que se denota con la letra S, y se interpreta de la siguiente
manera: La suma desde uno hasta n de las xi
Este operador significa
sumas sucesivas o
sumatoria
n
i 51
Indica el último
valor de i
xi
i-esimo término de la suma
si i 5 2, entonces es el segundo
elemento de la suma
Indica el valor de inicio
Como puede verse, es una manera más compacta de indicar las sumas sucesivas.
Tabla 9.1
A partir de la tabla de frecuencias absolutas se pueden construir las
demás tablas de frecuencia.
169
BLOQUE
9
Aplicas la estadística elemental
Tabla de frecuencia acumulada
Ejemplo
Esta tabla puede considerarse como una extensión de la tabla de frecuencias absolutas, se agrega una columna y en ella se van colocando las sumas
de las frecuencias absolutas y la frecuencia acumulada se representa como Fi. La construcción de esta tabla se muestra a continuación:
Número de hijos por pareja
Frecuencia fi
Frecuencia acumulada Fi
0
24
24
1
50
24 + 50 = 74
2
80
74 + 80 = 154
3
36
154 + 36 = 190
4
10
190 + 10 = 200
Total
200
Tabla 9.2
Tabla de frecuencia relativa
Ejemplo
La frecuencia relativa nos indica el porcentaje que representa la frecuencia absoluta de cada valor de la variable respecto del total de observaciones
y se denota como ni.
Número de hijos por pareja
Frecuencia fi
Frecuencia acumulada Fi
0
24
24/200 = 12%
1
50
50/200 = 25%
2
80
80/200 = 40%
3
36
36/200 = 18%
4
10
10/200 = 5%
Total
200
100%
Tabla 9.3
Tabla de frecuencia relativa acumulada
Ejemplo
La frecuencia relativa acumulada nos indica el porcentaje de observaciones que hemos recorrido y se representa como Ni.
Tabla 9.4
170
Número de hijos
por pareja
Frecuencia fi
Frecuencia relativa ni
Frecuencia relativa
acumulada Ni
0
24
12%
12%
1
50
25%
12% + 25% = 37%
2
80
40%
37% + 40% = 77%
3
36
18%
77% + 18% = 95%
4
10
5%
95% + 5% = 100%
Total
200
100%
Grupo Editorial Patria®
Tabla de frecuencias
Ejemplo
Todas las frecuencias pueden representarse en una sola tabla llamada simplemente tabla de frecuencias.
Número de hijos por pareja
fi
ni
Fi
Ni
0
24
12%
24
12%
1
50
25%
74
37%
2
80
40%
154
77%
3
36
18%
190
95%
4
10
5%
200
100%
Total
200
100%
Tabla 9.5
(Ejemplo 2)
Contesta las siguientes preguntas:
¿Cuántas parejas tienen menos de tres hijos?
¿Cuántas parejas tienen al menos tres hijos?
¿Qué porcentaje de parejas tiene al menos dos hijos?
¿Qué porcentaje de parejas tiene exactamente tres hijos?
Los datos anteriores nos muestran un ejemplo clásico de la aplicación de una tabla de frecuencias para una variable discreta; una característica importante de esta herramienta es que puede utilizarse
tanto en el caso discreto como en variables continuas.
Para saber qué tipo de tabla vamos a elaborar, debemos analizar el
tipo de datos que tenemos:
Si tenemos pocas observaciones de una variable (máximo 20) o
bien tenemos muchas observaciones de una variable que toman
pocos valores, entonces tenemos datos NO agrupados y elaboramos la tabla de frecuencias como se mostró en el ejemplo.
Si el número de valores distintos que toma una variable es mayor a
20, tenemos datos agrupados, es decir, clasificados en intervalos; a
cada intervalo se le llama clase.
Actividad de aprendizaje
¿A qué se les llama datos agrupados?
Ejemplo
El número de revistas que se venden en un puesto de periódicos varía
todos los días. Se han tomado las siguientes lecturas del número de
revistas vendidas en 42 días.
32
45
26
18
38
45
40
34
19
27
27
16
19
27
45
21
34
32
29
23
24
30
40
20
25
36
31
37
28
33
23
31
45
19
40
26
19
27
28
22
32
37
Tabla 9.6
Se buscan los valores menor y mayor de la distribución, en este
caso son xmín 5 16 y xmáx 5 46.
—
El número de intervalos se define como √n ; para facilitar nuestro
estudio formaremos 6 intervalos o clases.
La diferencia entre los valores máximo y mínimo de nuestros datos
se llama rango de la variable:
R 5 xmáxx – xmín 5 45 2 16 5 29
Para obtener la amplitudd de los intervalos se debe dividir el rango
entre el número de intervalos deseados:
amplitud 5
29
R
5 5 4.83 ≈ 5
Número de intervalos 6
171
BLOQUE
9
Aplicas la estadística elemental
Actividad de aprendizaje
¿Qué tipos de representaciones gráficas pueden usarse para variables
continuas?
Actividad de aprendizaje
¿Cómo se determina el rango de un conjunto de datos?
Intervalo
Frecuencia fi
Frecuencia
relativa ni
Frecuencia
acumulada
Fi
[16, 21)
7
16.67%
7
[21, 26)
6
14.29%
13
[26, 31)
10
23.81%
23
[31, 36)
8
19.05%
31
[36, 41)
7
16.67%
38
[41, 46)
4
9.52%
42
Tabla 9.7
Es común que la amplitud tome un valor decimal. Lo que hacemos
en este caso es aproximar el valor de la amplitud al entero más cercano, ya sea el mayor o el menor, a continuación sumamos el valor
de la amplitud de intervalo al valor mínimo para obtener el valor de
la frontera superior del primer intervalo.
xmín 1 amplitud 5 16 1 5 5 21
Contesta las preguntas:
¿Cuántos días se vendieron menos de 30 revistas?
¿Cuántos días transcurrieron para que se vendiera al menos 30%
del total de las revistas del mes? ¿Hay más de una respuesta? ¿Por
qué? Explica.
Posteriormente repetimos este procedimiento sustituyendo xmín
por la frontera superior del intervalo anterior, para así obtener los
valores frontera de todos los intervalos; es importante señalar que
la frontera superior de cada intervalo NO pertenece al mismo, simplemente señala el inicio del siguiente intervalo.
Para tu reflexión
Actividad de aprendizaje
Sus contribuciones en diversas ramas le han situado entre los grandes
científicos del siglo XX, de los cuales destacan los hallazgos en dinámica
de sistemas, análisis funcional, teoría de la probabilidad y estadística, lógica
matemática, intuicionismo y constructivismo lógicos, teoría de la información,
automática y cibernética, etcétera. Obtuvo las más altas distinciones del sistema soviético de los que destacan es Lenin. En 1963 Andrei fue distinguido
con el premio internacional Bolzano.
¿Qué es la marca de clase?
Por último, calculamos la marca de clase,
e que es la suma de la frontera inferior y el valor medio entre el valor máximo y el valor mínimo de cada intervalo; esta marca es una herramienta muy útil para
representar gráficamente una tabla de frecuencias como veremos
más adelante.
⎛ x –x ⎞
m = x mín + ⎜ máx mín ⎟
⎝
⎠
2
Ya que conocemos las clases, agrupamos los datos en la clase que
les corresponde, como se muestra a continuación:
172
Andréi N. Kolmogorov (1903-1987)
Matemático e historiador, nacido en Tambov (Rusia), sus estudios los realizó en la Universidad Estatal de Moscú. Consiguió su doctorado en 1925.
Andrei fue profesor de matemáticas en la Universidad de Moscú (1931).
En el campo de la teoría de las matemáticas amplía y da un sentido más
profundo de las formulaciones de
la teoría del matemático estadounidense Claude Shannon. Kolmogorov
plantea una teoría de la complejidad
la cual le permitió que se trasladara
al campo de la computación.
Grupo Editorial Patria®
Ejercicios
1. Se tienen los siguientes datos correspondientes al consumo mensual de litros de leche de 50 familias:
10.1
20.1
60.3
20.1
40.3
67.4
21
80
10
20
40
58
58
10
20
40
10
10
20
20
10
20
10
20
85
60
43
21.4
22
22
42.8
30
40
80.2
72
20
42.7
59.8
103.3
20.1
21.8
50.3
15
43.4
17.7
67.2
81.9
44.4
75.6
74.5
Tabla 9.8
a) ¿Es conveniente tratar la información como datos no agrupados? Explica.
b) Elabora una tabla de frecuencias.
c) ¿Cuántos intervalos es conveniente utilizar?
2. En una prueba de lectura, 60 niños obtuvieron las siguientes calificaciones:
7
5
9
6
6
6
5
5
10
7
8
6
7
6
6
6
7
7
8
8
5
6
8
6
8
7
6
6
8
8
8
10
7
9
8
9
10
10
7
7
5
9
10
7
10
10
8
6
10
7
8
9
8
5
10
8
5
8
6
10
Tabla 9.9
a) ¿Cómo debemos manejar los datos: agrupados o no agrupados?
b) Elabora una tabla de frecuencias.
c) Si consideramos que la calificación mínima aprobatoria es seis, ¿qué porcentaje reprobó?
3. En un grupo de 25 niños se le pregunta a cada uno cuántos hermanos tiene; los datos obtenidos se muestran en la siguiente tabla:
0
1
3
1
2
0
0
1
1
2
2
1
2
3
3
1
0
2
1
0
1
2
1
0
3
Tabla 9.10
a) Elabora una tabla de frecuencias.
b) ¿Cuántos niños tienen al menos dos hermanos?
c) ¿Cuántos niños tienen más de dos hermanos?
173
BLOQUE
9
Aplicas la estadística elemental
Aplica lo que sabes
Ejemplo
Ponte de acuerdo con tus compañeras y compañeros de grupo para
realizar lo siguiente:
Se hizo una encuesta a un grupo de 55 personas sobre el nivel de
satisfacción del cliente en un restaurante y la información se concentró
en la siguiente tabla:
Investiga por entidad federativa en México el número de casos de gripe AH1N1 (conocida también como influenza) que se registraron en
el periodo que comprende del 25 de abril al 31 de agosto de 2009.
Elabora una gráfica de barras en donde se ilustre la frecuencia por
entidad federativa.
Nivel de satisfacción
Frecuencia fi
Regular
13
Bueno
25
Excelente
17
Total
55
Tabla 9.11
Representaciones gráficas
Ya que conocemos los diferentes tipos de variables y la forma de ordenarlas en tablas, es conveniente elaborar gráficas que nos ayuden
a interpretar fácilmente el contenido de las diferentes tablas de frecuencia que agrupen tanto variables cualitativas como cuantitativas.
Para variables cualitativas podemos
utilizar:
a) Diagramas de barras
r Las alturas son proporcionales a las frecuencias (absoluta o relativa).
r Se pueden aplicar también a variables discretas.
Para elaborar la gráfica de barras dibujamos una línea horizontal en
donde colocaremos los distintos valores que toma nuestra variable,
después, trazamos una línea vertical en donde estará representada
la frecuencia (absoluta o relativa), por último dibujamos las barras,
cada una tendrá una altura igual a su frecuencia.
¿Cómo califica nuestro servicio?
30
25
25
20
17
13
15
10
5
0
Regular
Bueno
Excelente
Figura 9.1
b) Diagramas de pastel
Actividad de aprendizaje
r En este tipo de gráficas el área que ocupa cada variable
es proporcional a la frecuencia (absoluta o relativa).
¿Qué tipos de representaciones gráficas pueden usarse para variables
discretas?
r No debe usarse con variables ordinales.
Ejemplo
En un banco de sangre están interesados en conocer los porcentajes
de donadores para los tipos de sangre A, B, AB y O. Se tomó una muestra de 260 donadores y se concentró la información en la siguiente
tabla. Representa gráficamente la información utilizando un diagrama
de pastel.
174
Grupo Editorial Patria®
Tipo de sangre
Frecuencia fi
A
70
B
50
AB
20
O
120
Total
260
Tipo B > 69°
Tipo AB > 28°
Tipo O > 166°
Ya que conocemos cuántos grados ocupa cada variable, dibujamos
una circunferencia y seleccionamos un punto arbitrario para iniciar el conteo de los grados para la sangre tipo A.
Tabla 9.12
Lo primero que debemos hacer es construir una tabla de frecuencias
relativas, ya que se nos solicita el porcentaje de cada tipo sanguíneo:
Tipo de sangre
Frecuencia fi
Frecuencia
relativa ni
A
70
26.92%
B
50
19.23%
AB
20
7.69%
O
120
46.15%
Total
260
100%
Tabla 9.13
Hasta el momento, podemos decir que
26.92% de los donadores tiene sangre
tipo A, 19.23% tipo B, 7.69% tiene sangre tipo AB y 46.15% tiene sangre tipo
O; lo único que nos falta es representar
gráficamente la información que hemos
obtenido.
Para construir un diagrama de pastel requerimos conocer cuántos
grados de la circunferencia va a cubrir cada uno de los valores de
la variable de interés, esto lo podemos calcular rápidamente empleando una simple operación aritmética de proporción, comúnmente conocida como “regla de tres”.
Figura 9.2
Para la sangre tipo B, iniciamos nuevamente el conteo en la marca
final del área correspondiente al tipo A, en este caso, posicionaremos el cero del transportador en la marca de 97 grados y haremos
una marca cuando lleguemos a los 69° (sangre tipo B); de esta manera se repite el procedimiento hasta terminar con todos los valores de la variable y finalmente terminamos el gráfico como sigue:
Tipo de sangre
Figura 9.3
c) Pictogramas
En el caso de la sangre tipo A, 70 de 260 lo tienen, entonces:
r Son fáciles de entender.
70 × 360°
260 – 360°
⇒
= 96.92° ≅ 97
70 – x
260
Sabemos que la sangre tipo A ocupará 96.92 grados de la circunferencia, el símbolo > significa que es aproximadamente iguall a
97°, hacemos esta aproximación ya que a menos que tengamos una
computadora para hacer la gráfica, es difícil marcar con precisión
los 96.92° utilizando un transportador.
r Como su nombre lo indica, se auxilia de imágenes para
representar el comportamiento de una variable.
Del mismo modo calculamos los grados necesarios para los tipos
B, AB y O, los cuales quedan de la siguiente manera:
Ejemplo
Un club deportivo tiene la intención de impartir clases de verano a
los hijos de los trabajadores, sin embargo, el presupuesto solamente
alcanza para pagar las clases de dos disciplinas. Para que su decisión sea lo más cercana a las necesidades reales, se decidió hacer
175
BLOQUE
9
Aplicas la estadística elemental
Para variables cuantitativas tenemos
un muestreo para determinar cuáles deportes son los más populares
entre los niños para así brindarles esos cursos.
Es muy importante que los niños sepan que la decisión se tomará
dependiendo del número de votos que tengan los deportes; para que
esto sea posible el administrador decide presentar los datos con un
pictograma.
Se tomó una muestra de 22 niños y los resultados se muestran en la
siguiente tabla:
Deporte
Frecuencia fi
Futbol
9
Beisbol
4
Basquetbol
6
Tenis
3
Total
22
Tabla 9.14
Para representar los datos en un pictograma lo único que tenemos
que hacer es seleccionar una imagen que represente cada valor de
la variable y simplemente la ponemos como si fuera un diagrama
de barras; en este caso particular, decidimos representar cada deporte con el balón o pelota que le corresponde.
a) Diagramas de barras (variables discretas)
r Al igual que en el diagrama de barras para variables cualitativas, las alturas de las barras son proporcionales a la
frecuencia.
r Se deja un hueco entre las columnas para indicar que
hay valores que no son posibles.
b) Histogramas (variables continuas)
La construcción de un histograma es una tarea sencilla
porque ya conocemos la forma de agrupar datos en intervalos o clases; esta representación gráfica consiste en un
diagrama de barras que están juntas entre sí (porque la variable es continua), la altura que tomará cada barra corresponde al valor de la frecuencia de su intervalo.
Ejemplo
En el censo general de población y vivienda del año 2000, el Instituto
Nacional de Estadística y Geografía (INEGI) reportó el número de habitantes de la República Mexicana, pero también reportó el número
de hijos por pareja y el nivel educativo de las familias. Se obtuvo la
siguiente información acerca del número de hijos de 1 500 parejas de
Cuautitlán Izcalli, estado de México.
Número de hijos
Frecuencia fi
0
419
1
254
¿Cuál es tu deporte favorito?
Futbol
2
375
Beisbol
3
215
Basquetbol
4
124
Tenis
5
53
6
24
7
23
Número de personas
Figura 9.4
8
13
Total
1 500
Tabla 9.15
Procedemos de la misma manera que lo hicimos para la variable cualitativa; primero dibujamos los ejes, en el horizontal colocamos el número de hijos y en el vertical
la frecuencia, después, dibujamos las barras sobre los
valores que pueden tomar;
las alturas que tomarán son
sus frecuencias respectivas.
176
Grupo Editorial Patria®
450
400
350
300
250
200
150
100
50
0
Como vimos anteriormente, el primer paso es calcular el rango de
la variable y posteriormente calcular la amplitudd de los intervalos
para construir la tabla de frecuencias.
Identificamos xmín 5 101.3 y xmáx 5 119.6, entonces:
R 5 119.6 2 101.3 5 18.3 cm
Número de hijos por pareja
419
375
254
215
124
53
1
2
3
4
5
6
24
7
23
8
13
9
Figura 9.5
Para este ejercicio utilizaremos cinco clases o intervalos, entonces,
la amplitud se calcula como
R
18 3
=
= 3 66 cm
amplitud =
intervalos deseados
5
Cuando calculemos las fronteras de las clases, nos daremos cuenta
de que se requiere un intervalo más, ya que la frontera superior del
último intervalo es 119.6.
Clases
[101.3 – 105.0)
Ejemplo
[105.0 – 108.6)
Un profesor de educación física mide la estatura en centímetros de
todos los alumnos de una escuela primaria porque se desea saber
si el desarrollo de los niños es el adecuado. En la siguiente lista se
muestran las estaturas de 60 niños de segundo grado. Elabora un histograma y obtén el polígono de frecuencia.
117.1
113.7
110
112.3
113.6
102.8
112.6
108.2
105.9
109
108.6
110.8
109.3
108
105.6
109.8
103.7
111.2
110.6
104.6
108.8
106.1
114.1
106.9
107.5
106.6
107.4
107.4
105.2
103
119.4
107.2
112.2
114.8
106.8
119.6
116
110.7
107.6
110.5
102.5
102.1
109.5
111.9
106.4
110.4
113.2
118.6
107.9
108.1
107.7
104.8
109.3
108.9
104.2
111.4
101.3
111.7
111.1
109.7
Tabla 9.16
Es un intervalo adicional
que NO nos conviene utilizar
ya que solamente tiene un valor
[108.6 – 112-3)
[112.3 – 115.9)
[115.9 – 119.6)
[119.6 – en adelante)
Tabla 9.17
Como ya se mencionó, el último intervalo no nos sirve porque no
contiene 5% de la muestra, además, habíamos decidido utilizar cinco
intervalos y con la amplitud obtenida vemos que se requieren seis.
Es muy importante mencionar que la estadística es una herramienta
a nuestro servicio y por, tanto debe adecuarse a nuestras necesidades; como hemos comprobado, se requieren seis intervalos (estrictamente hablando), pero como determinamos, que usaremos cinco,
entonces procedemos a adecuar el número de clases al número que
requerimos, para eso debemos cambiar la amplitud de nuestros intervalos, esto lo hacemos simplemente asignando otro valor al rango
(normalmente el entero consecutivo) para cambiar la proporción de
amplitud, en nuestro caso, aproximaremos el rango a 18.5, entonces:
R
18 5
=
= 3 7 cm
amplitud =
intervalos deseados
5
Y los cinco intervalos requeridos son:
Clases
[101.3 – 105.0)
[105.0 – 108.7)
[108.7 – 112.4)
[112.4 – 116.1)
[116.1 – 119.8)
[119.6 – en adelante)
Tabla 9.18
177
BLOQUE
9
Aplicas la estadística elemental
Ahora construimos la tabla de frecuencias de nuestra variable y calculamos el valor de las marcas de clase:
Clases
mi
fi
ni
Fi
Ni
[101.3 – 105.0)
103.15
9
15%
9
15%
[105.0 – 108.7)
106.85
19
32%
28
47%
[108.7 – 112.4)
110.55
21
35%
49
82%
[112.4 – 116.1)
114.25
7
12%
56
93%
[116.1 – 119.8)
117.95
4
7%
60
100%
Tabla 9.19
Para dibujar el histograma seguimos los mismos pasos que usamos para una gráfica de barras, la única diferencia es que en este caso, las barras
están juntas
Estatura de niños de segundo año
25
21
19
Frecuencia
20
15
9
10
7
4
5
0
101.3
105
108.7
112.4
116.1
119.8
Figura 9.6
c) Polígonos de frecuencia
El polígono de frecuencias se grafica a partir de las frecuencias absolutas, aunque también puede dibujarse fácilmente a partir de un
histograma; se construye de la siguiente manera: marcamos los puntos medios de la parte superior de cada barra (marca de clase) y
unimos los puntos.
Estatura de niños de segundo año
25
19
20
21
15
10
9
7
4
5
0
Figura 9.7
178
103.15
106.85
110.55
114.25
117.95
Grupo Editorial Patria®
d) Polígono de frecuencias acumuladas
Como su nombre lo indica, se construye a partir de las frecuencias acumuladas, se dibuja de la siguiente manera: en el eje horizontal
se colocan las marcas de clase, después, sobre cada marca de clase marcamos un punto a la altura que nos indica la columna de las
frecuencias acumuladas, por último unimos los puntos con una línea.
Estatura de niños de segundo año
70
60
50
40
30
20
10
0
103.15
106.85
110.55
114.25
117.95
Figura 9.8
e) Polígono de frecuencias acumuladas relativas
Para construir el polígono de frecuencias acumuladas relativas, seguimos el mismo procedimiento que en el inciso anterior, el único
cambio es que utilizaremos la columna de frecuencia acumulada relativa.
Estatura de niños de segundo año
120%
100%
80%
60%
40%
20%
0%
103.15
106.85
110.55
114.25
117.95
Figura 9.9
Ejercicios
1. Investiga y enlista:
a) Cinco variables cualitativas
b) Clasifícalas en ordinales o nominales
c) Comenta con tus compañeros
2. Además de la temperatura, ¿qué otras variables continuas medidas por escala conoces?
3. Explica con tus palabras el concepto de estadística.
4. Organízate con tus compañeros y tomen una muestra de su
grupo:
a) Escojan una variable de interés (estatura, edad, color de
pelo, longitud del cabello, etcétera).
b) Elaboren una tabla de frecuencias que describa el fenómeno observado. ¿Es conveniente hacer una tabla para datos
agrupados? Explica.
c) ¿Cuáles son los resultados del experimento? Representa
tus resultados de manera gráfica.
d) Comparen sus resultados con los de otro equipo. ¿Son diferentes? ¿Por qué?, explica.
5. Investiga la relación entre los pasos de un estudio estadístico y
el método científico.
179
BLOQUE
9
Aplicas la estadística elemental
Aplica lo que sabes
Ejemplo
Ponte de acuerdo con tus compañeras y compañeros de grupo para
realizar lo siguiente:
Las calificaciones de Laura en el primer bimestre son las siguientes,
matemáticas 8, español 7, ciencias sociales 10, ciencias naturales 6,
civismo 9 y geografía 8.
En nuestro planeta se han generado las condiciones que nos permiten
vivir. Si continuamos alterándolas nos destruiremos.
Recordemos que formamos parte del ambiente en el que vivimos. Cuidémoslo.
Para conocer el promedio, realizamos la operación descrita anteriormente:
x"
En el uso de la lavadora doméstica:
1. ¿Cuál es la media de litros de agua para lavado como máximo?
2. ¿Por qué es recomendable utilizar cargas máximas de ropa?
3. ¿Cuál es el ahorro de agua
cuando se evita el doble enjuague?
4. ¿Qué medidas concretas podemos adoptar para conservar
nuestra ropa en las mejores
condiciones y a la vez ahorra
agua en su lavado?
5. ¿Qué tipo de jabón es el que
se recomienda por los fabricantes de lavadoras para hacer más eficiente el consumo
de agua?
8 7 10 6 9 8 48
" "8.
6
6
Decimos entonces que el promedio de Laura es de 8.
¿Otro alumno puede tener el mismo promedio con diferentes calificaciones? ¿Por qué?
Mediana
La mediana no busca el valor central del intervalo de variación de
la variable según la cantidad de observaciones, sino que busca determinar el valor que tiene aquella observación que divide al número total de observaciones por la mitad, se denota por x,.
x(1) f x( 2 ) ff x
n
( )
2
50%
9.3 Medidas de tendencia
central para datos no
agrupados y agrupados
Las medidas de tendencia central son instrumentos que toman todos los datos de una muestra y los concentran en un único valor, las
más comunes son los siguientes:
Media aritmética o promedio
Es quizá la medida de tendencia central más común y cuyo uso se
ha extendido en todas las áreas del conocimiento. Se denota con el
símbolo x cuando se trata de una muestra, si se trata de una población se usa la letra griega m.
Dado un conjunto de datos x1, x2, x3, . . . , xn.
Se define la media como
x"
180
x1 x 2 x a ) x n 1 n
" š¨ x i
n
n i "1
ff x n–1 f x( n )
50%
2
x
Figura 9.10
La notación x(n) nos sirve para indicar la posición de la variable; es
muy importante saber que
xn ? x(n)
El cálculo de la mediana requiere que los datos estén ordenados,
ya sea de menor a mayor o de mayor a menor para poder realizar
un conteo y determinar el valor de la observación que divide a la
muestra exactamente a la mitad.
Cuando calculamos la mediana de una muestra puede ocurrir dos
situaciones, la primera de ellas sucede cuando el número de elementos de la muestra es impar, el segundo caso es cuando el número de elementos es par.
Grupo Editorial Patria®
Ejemplos
1. En una escuela rural se observó que las distancias en kilómetros recorridas por 15 alumnos de su casa a la escuela son las siguientes:
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
x9
x10
x11
x12
x13
x14
x15
0.5
1
4.5
3.1
5.1
5.2
3.4
3.9
2.5
3
4.3
1.4
2
2.7
4
Calcula la mediana de la muestra:
x(1)
x(2)
x(3)
x(4)
x(5)
x(6)
x(7)
x(8)
x(9)
x(10)
x(11)
x(12)
x(13)
x(14)
x(15)
0.5
1
1.4
2
2.5
2.7
3
3.1
3.4
3.9
4
4.3
4.5
5.1
5.2
De antemano sabemos que nuestra muestra está compuesta de datos, es decir, es impar, por lo que la posición de la mediana se calcula:
posición de x =
n + 1 15 + 1 16
=
= =8
2
2
2
Sabemos entonces que el número colocado en la posición 8 de los datos ordenados corresponde a la mediana
0.5
1
1.4
2
2.5
2.7
3
3.1
3.4
3.9
4
4.3
4.5
5.1
5.2
2
x
Por lo que x 53.1 km.
¿Qué sucede si cambiamos la lectura de 5.2 por una de 10 kilómetros? ¿Se altera la mediana? ¿Por qué? ¿Cuál es la diferencia con la media
aritmética?
2. Consideremos el consumo mensual de agua en m2 de una empresa dedicada a la fabricación de anilinas para productos textiles. Deseamos
conocer la mediana del consumo de agua.
Enero
20
Abril
36
Julio
34
Octubre
44
Febrero
24
Mayo
28
Agosto
36
Noviembre
30
Marzo
30
Junio
38
Septiembre
36
Diciembre
26
Tabla 9.20
Advertimos que el número de observaciones es par, por lo que la mediana se calcula como el promedio de los dos valores centrales como se
muestra a continuación:
⎛ n⎞
⎛n ⎞
x ⎜ ⎟ 1 x ⎜ 11⎟
⎝ 2⎠
⎝2 ⎠
x5
2
Para hacer el cálculo tenemos que ordenar los datos, lo haremos de menor a mayor.
x(1)
x(2)
x(3)
x(4)
x(5)
x(6)
x(7)
x(8)
x(9)
x(10)
x(11)
x(12)
20 24 26 28
Entonces n 5 12.
30
30
34
36
36
36
38
44
Por tanto:
x,
x ⎛ 12 ⎞ + x ⎛ 12
=
⎞
+1
⎝⎜ 2 ⎟⎠
⎝⎜ 2 ⎠⎟
2
=
x( 6 ) + x( 7 )
2
=
30 + 3 4 64
= = 32 m 3
2
2
181
9
Aplicas la estadística elemental
Obtención de la mediana a partir de
representaciones gráficas
En ocasiones es difícil o muy tardado ordenar todos los valores de
una variable para calcular la mediana, cuando esto sucede, podemos recurrir a los polígonos de frecuencia relativa acumulada para
encontrar rápidamente esta medida de tendencia central.
Ejemplos
Un criador de cerdos registró 370 partos en su granja, anotó el número
de lechones por camada y después llevó los datos con el dueño de la
tienda de forraje y le pidió que le ayudara a interpretar la información.
Entonces el vendedor de forraje le comentó que lo va ayudar a encontrar
el valor representativo del número de lechones que nacen por camada.
El tendero se da cuenta de que la muestra presenta demasiados valores por lo que determina que la media aritmética no es una medida
representativa, ya que al haber valores distantes entre sí, el resultado
puede sufrir alteraciones; entonces, recuerda que la mediana es una
medida robusta ante mediciones extremas y decide emplearla para
ayudar a su amigo.
Con los datos que le llevó el criador, el vendedor de forraje organizó los
datos en una tabla de frecuencias, en ella se aseguró de incluir a la frecuencia relativa y a la frecuencia relativa acumulada y quedó como sigue:
100.00%
90.00%
80.00%
70.00%
60.00%
50.00%
40.00%
30.00%
20.00%
10.00%
0.00%
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Número de lechones
Figura 9.11
Una vez que elaboró la gráfica, sabe que debe buscar el valor en donde
la gráfica cruza el 50% del total.
70
60
50
Frecuencia
(fi)
Frecuencia
relativa
(ni)
Frecuencia
relativa
acumulada
40
2
3
0.8%
0.81%
10
3
4
1.1%
1.9%
4
6
1.6%
3.5%
5
8
2.2%
5.7%
6
17
4.6%
10.3%
7
25
6.8%
17.0%
8
30
8.1%
25.1%
x 510
9
37
10.0%
35.1%
10
55
14.9%
50.0%
Y le dice a su amigo que una buena aproximación al número de lechones
que nacen por parto es de 10.
11
58
15.7%
65.7%
12
39
10.5%
76.2%
13
45
12.2%
88.4%
14
21
5.7%
94.1%
15
12
3.2%
97.3%
16
10
2.7%
100.0%
Total
370
100%
Número
de lechones
Tabla 9.21
182
El dueño de la tienda de forrajes sabe que calcular la mediana con
tantas observaciones lleva mucho tiempo si se hace de la manera
tradicional ordenando los datos, entonces, recurre a un polígono de
frecuencias relativas acumuladas para calcularla.
Frecuencia relativa acumulada
BLOQUE
30
20
0
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Número de lechones
Figura 9.12
Entonces, el dueño de la tienda de forrajes determina que la mediana
es:
Moda
También conocida como valor modal es una medida de posición
representada por x , que se define como el valor que más se repite
de una variable. Para conocer el valor de la moda solamente tenemos que buscar el valor que más se repite en una muestra, el problema radica en que puede haber más de una moda o bien puede
no existir.
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Ejemplo
En una tienda de zapatos desean saber cuál es la talla más vendida
en calzado para mujeres; para saberlo, se tomó una muestra con 20
observaciones y los resultados obtenidos son los siguientes:
4
3
3.5
5
4
3
3.5
2.5
4
5
4
5
4
3
4.5
4.5
4
3.5
3
4
Mascotas por casa
16
14
12
10
8
6
4
2
0
14
6
5
4
1
0
1
2
3
4
Tabla 9.22
Para saber qué talla es la más vendida recurrimos a la moda, ya que
esta medida nos indica el valor que más se repite dentro de la muestra,
para calcularla recurrimos a un simple conteo, para facilitarlo elaboramos una tabla de frecuencias absolutas.
Talla de zapato
Frecuencia fi
2.5
1
3
4
3.5
3
4
7
4.5
2
5
3
Total
20
Tabla 9.23
Figura 9.13
Como se indicó con anterioridad, la moda sirve para conocer el dato
que más se repite en una muestra, en este caso particular es obvio que
el valor más repetido es 1, por lo que afirmamos que:
x^ 5 1
Ejemplo
Recordemos al criador de cerdos que deseaba conocer cuál era el
número de lechones por alumbramiento; en la siguiente gráfica se
muestra el histograma que representa los datos que él obtuvo:
70
60
Podemos ver claramente que la talla que más se repite es 4, por lo que:
x^ 5 4
50
Entonces, podemos decir que la talla de zapato de mujer más vendida
en la zapatería es la talla 4.
30
40
20
10
0
Obtención de la moda a partir de
representaciones gráficas
Del mismo modo que la mediana, la moda puede obtenerse a partir de un gráfico, la diferencia es que se utilizan diagramas de barras
o histogramas.
2
3
4
5
6
7
8 9 10 11 12 13 14 15 16
Número de lechones
Figura 9.14
Podemos ver claramente que el valor que más se repite es 11, por lo
que podemos considerar que x^ 5 11, pero si observamos nuevamente
la gráfica podemos ver que no existe una sola moda, existen tres valores que sobresalen de los demás.
Entonces, decimos que la muestra tiene muchas modas o que la
muestra es multimodal, de esta forma, tenemos que:
Ejemplo
Supongamos que estamos interesados en conocer cuántas mascotas
por casa hay en una colonia, recolectamos 30 muestras y los resultados se muestran en una gráfica de barras.
x^15 10
x^2 5 11
x^3 5 13
Entonces vemos que los números más frecuentes de lechones por
cada nacimiento son 10, 11 y 13.
183
BLOQUE
9
Aplicas la estadística elemental
Ventajas y desventajas de la mediana
Ventajas:
70
1. Es la medida de tendencia central menos sensible a los valores
de la variable.
60
50
2. Puede calcularse aun con datos incompletos, siempre y cuando se conozca de antemano el número de datos de la muestra
y los valores de los términos centrales.
40
30
20
10
0
2
3
4
5
6
7
8 9 10 11 12 13 14 15 16
Número de lechones
Figura 9.15
Características de las medidas de
tendencia central
A continuación se describen de manera breve las ventajas y desventajas de las medidas de tendencia central para efectos de su aplicación.
Ventajas y desventajas de la media
Es la medida de tendencia central más usada porque ofrece las siguientes ventajas:
1. Su forma de cálculo es sencilla.
2. No es necesario ordenar los datos.
3. Se puede calcular inclusive si sólo conocemos la suma de los
términos y el número de ellos, es decir, no es necesario conocer todos los datos.
4. Puede utilizarse para realizar operaciones posteriores, de hecho, es la base de las medidas de dispersión.
Aunque esta medida es la más utilizada, tiene ciertas desventajas
que es conveniente conocer:
1. No se puede obtener a través de una inspección simple de los
datos.
2. Los valores extremos la afectan mucho.
3. Dos muestras o poblaciones diferentes pueden tener la misma
media sin que exista relación entre ellas.
Actividad de aprendizaje
¿Cómo se obtiene la amplitud de las clases?
184
3. Cuando el número de datos es impar, la mediana es necesariamente uno de los datos.
4. Puede deducirse mediante una exploración simple de los datos.
5. Es robusta ante valores extremos.
6. Puede determinarse sin conocer los valores particulares de
cada término.
Desventajas
1. Su cómputo es lento porque los valores de la variable deben
ordenarse (ya sea de menor a mayor o de mayor a menor)
para poder determinarla.
2. Con la mediana no es posible calcular la suma de los valores
de la muestra.
3. Si las mediciones presentan diferencias grandes entre sí, la mediana no refleja el estado verdadero de los datos.
4. No se presta para operaciones algebráicas.
Ventajas y desventajas de la moda
Ventajas:
1. Se puede determinar su valor mediante una inspección simple
de los datos.
2. No se requiere ordenar los datos para calcularla.
Desventajas:
1. No se utiliza para ningún cálculo posterior.
2. Incluso cuando los valores de la muestra presenten grandes
variaciones entre sí, la moda puede ser la misma.
Medidas de tendencia central para
datos agrupados
Media. La obtención de la media aritmética para datos agrupados
es muy parecida a cuando calculamos esta medida de tendencia
central para datos no agrupados, la única diferencia es que aprovecharemos la información contenida en la frecuencia absoluta para
realizar el cálculo.
Esta medida puede obtenerse tanto de variables discretas como de
variables continuas.
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Actividad de aprendizaje
x"
18( 5 ) 19( 4 ) 2 0( 6 ) 21( 8 ) 2 2( 7 )
30
9 7 2 168
168 15 4 60 8
"
" 20 27
x" 0 6 1 0
30
30
¿Cuándo es conveniente utilizar la media aritmética?
Concluimos que el comerciante vende en promedio 20.27 kilogramos
de tomate diariamente.
Ejercicio
Cuando tenemos una variable discreta agrupada en una tabla de
frecuencias, podemos calcular su media aritmética de la siguiente
manera:
x f x f
x fn
x"
n
n
1
x " š ¨ x fi
n i "1
Ejercicio
Cuando tenemos una variable continua representada en una tabla
de frecuencias, el cálculo se hace de manera similar, el único cambio es que cada xi se cambia por la marca de clase del intervalo correspondiente.
x"
Es importante aclarar que n es igual a la suma de todas las frecuencias absolutas.
m f
m f
n
m fn
1 n
" š ¨ m fi
n i "1
Actividad de aprendizaje
Ejemplo
¿En qué condiciones es preferible utilizar la mediana?
Deseamos conocer el promedio de espesor de un lote de placas de
acero inoxidable; los datos (en pulgadas) son los siguientes:
Ejemplo
Supongamos que el número de kilos de tomate que vende diariamente un comerciante durante un mes está representado en la siguiente
tabla:
kilos x
fi
18
5
19
4
20
6
21
8
22
7
Total
30
Espesor en pulgadas
fi
0.307 – 0.310
3
0.311 – 0.314
5
0.315 – 0.318
5
0.319 – 0.322
22
0.323 – 0.326
14
0.327 – 0.330
1
Total
50
Tabla 9.25
Tabla 9.24
Calculamos el promedio diario de la siguiente manera:
185
BLOQUE
9
Aplicas la estadística elemental
El primero paso es calcular las marcas de clase:
Espesor en
pulgadas
Marca de clase mi
Frecuencia fi
⎛ 0.310 2 0.307 ⎞
⎟⎠ 5 0.3085
2
3
⎛ 0.314 2 0.311 ⎞
⎟⎠ 5 0.3125
2
5
⎛ 0.318 2 0.315 ⎞
⎟⎠ 5 0.3165
2
5
⎛ 0.322 2 0.319 ⎞
⎟⎠ 5 0.3205
2
22
⎛ 0.326 2 0.323 ⎞
⎟⎠ 5 0.3245
2
14
⎛ 0.330 2 0.327 ⎞
⎟⎠ 5 0.3285
2
1
0.307 2 0.310
0.307 1 ⎜⎝
0.311 2 0.314
0.311 1 ⎜⎝
0.315 2 0.318
0.315 1 ⎜⎝
0.319 2 0.322
0.319 1 ⎜⎝
0.323 2 0.326
0.323 1 ⎜⎝
0.327 2 0.330
0.327 1 ⎜⎝
Tabla 9.26
Calculamos
3(0 . 3085) + 5(0 . 3125) + 5(0 . 3165) + 22(0 . 3205) + 1 4(0 . 3245) + 1(0 . 3285)
50
0 . 9255 + 1 . 5625 + 1 . 58 2 5 + 7 . 051 + 4 . 543 + 0 . 3285 15 . 993
x=
=
= 0 . 3198
50
50
x=
Sabemos entonces que el espesor medio de las placas es de 0.3198 pulgadas.
Mediana
Ejercicio
El cálculo de la mediana para datos agrupados es más sencillo que
en el caso de datos no agrupados, ya que al igual que la media aritmética para datos agrupados, utilizamos la información contenida
en la frecuencia absoluta y en la frecuencia acumulada para obtener
el valor que buscamos.
En este caso consideramos que la mediana es x 5 x j cuando
n
n
Fj > y Fj –1 < .
2
2
Cálculo para variables discretas
Hay dos posibilidades cuando queremos calcular la mediana para
variables discretas.
186
Aunque esta definición aparentemente es complicada, no hay motivo para pensar que realmente lo sea. Lo primero que debemos
definir es qué significa el subíndice j en la variable y en la frecuencia
acumulada. Este subíndice identifica la posición de los valores de
las variables xi y Fi de arriba hacia abajo, esto quiere decir que nos
indica el renglón en donde está.
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⎧j
⎪
⎪1
⎪2
⎪
x j ⎨3
⎪
⎪
⎪ n 21
⎪n
⎩
xi
Frecuencia f
Frecuencia acumulada Fi
x1
f1
f1
x2
f2
f 1 1 f2
x3
f3
f 1 1 f 2 1 f3
xn 2 1
fn 2 1
f1 1 f2 1 * 1 fn 2 1
xn
fn
f1 1 f2 1 * 1 fn
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬ Fj
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
j
Tabla 9.27
Utilizaremos un ejemplo para demostrar la simplicidad del cálculo.
Ejemplo
Entonces, vemos que se cumplen ambas condiciones:
Supongamos que tenemos la siguiente tabla de frecuencias para una
variable discreta cualquiera:
xi
n
Fj . → 17 .15
2
n
Fj 21 , → 9 ,15
2
Frecuencia f Frecuencia acumulada Fi
0
4
4
1
5
9
2
8
17
3
7
24
4
6
30
Total
30
Entonces buscamos en la columna xi el valor que está ubicado en la
posición j.
xi
Tabla 9.28
Para calcular la mediana de este grupo de datos, tenemos que verificar
n
n
si las condiciones Fj . y Fj21 , se cumplen. Sabemos que el
2
2 n
tamaño de la muestra es 30, por lo que 515 , entonces buscamos
2
xj
Fj que necesariamente tiene que ser un valor mayor que 15, pero no
debe estar muy alejado; cuando lo hayamos encontrado, entonces
también habremos encontrado Fj 2 1 (el renglón anterior), en la tabla
siguiente puede observarse la identificación de los renglones Fj y Fj21.
xi
Frecuencia f Frecuencia acumulada Fi
0
4
4
1
5
9
2
8
17
3
7
24
4
6
30
Total
30
Frecuencia f Frecuencia acumulada Fi
0
4
4
1
5
9
Fj21
2
8
17
Fj
3
7
24
4
6
30
Total
30
Tabla 9.30
x52
xj 5 ,
Podemos comprobarlo aplicando el caso 2 de la mediana para datos
no agrupados:
Fj21
Fj
x(n)
xi
x(n)
xi
x(n)
xi
1
0
11
2
21
3
2
0
12
2
22
3
3
0
13
2
23
3
Tabla 9.29
187
BLOQUE
9
Aplicas la estadística elemental
Para encontrar la mediana de esta muestra, debemos verificar que se
4
0
14
2
24
3
5
1
15
2
25
4
6
1
16
2
26
4
Como n 5 30, entonces buscamos
7
1
17
2
27
4
8
1
18
3
28
4
cuencia acumulada, en caso de encontrarlo, etiquetamos a ese renglón
como Fj 2 1 e inmediatamente identificamos los valores xj 2 1 y xj.
9
1
19
3
29
4
10
2
20
3
30
4
n
2
cumpla la condición Fj 21 5 .
xi
x5
5
x ( 2n )1 x ( 2n 11)
2
5
x ( 302 )1 x ( 302 11)
Frecuencia f Frecuencia 1acumulada Fi
0
3
3
1
5
8
xj21
2
7
15
xj
3
9
24
4
6
30
Total
30
Tabla 9.31
Como el número de observaciones es par, entonces
n
515 en la columna de fre2
2
x(15)1 x(1 6) 2 1 2
5
52
2
2
Fj21
Tabla 9.33
Entonces aplicamos la fórmula:
Ejercicio
x, 5
x j 22 1 x j
n
En este caso, la mediana es: x, 5
cuando Fj 21 5 ;
2
2
para facilitar la comprensión, ilustraremos esta situación con un
ejemplo.
2
5
2 13
52 . 5
2
Comprobación:
x(n)
xi
x(n)
xi
x(n)
xi
1
0
11
2
21
3
2
0
12
2
22
3
3
0
13
2
23
3
4
1
14
2
24
3
5
1
15
2
25
4
6
1
16
3
26
4
7
1
17
3
27
4
Ejemplo
Supongamos que la información de una variable discreta está contenida en la siguiente tabla de frecuencias. Calcula la mediana de dicha
muestra.
xi
x j 21 1 x j
Frecuencia f Frecuencia acumulada Fi
0
3
3
8
1
18
3
28
4
1
5
8
9
2
19
3
29
4
2
7
15
10
2
20
3
30
4
3
9
24
Como el número de observaciones es par:
4
6
30
x, 5
Total
30
Tabla 9.34
Tabla 9.32
188
5
x ( 2n )1 x ( 2n 11)
2
5
x ( 302 )1 x ( 302 11)
2
x(15)1 x(1 6) 2 13
5
52 . 5
2
2
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Cálculo para variables continuas
Cuando trabajamos con variables continuas agrupadas en intervalos es imposible saber con precisión qué valores toma la variable,
esto sucede porque esta información se pierde cuando agrupamos
los datos en intervalos o clases; esto no es en ningún momento una
limitante para calcular la mediana, ya que existe un método para
hacerlo incluso si uno de los intervalos tiene valores indeterminados.
Existen dos casos para calcular la mediana.
Sabemos que tenemos 36 datos, por lo que debemos verificar que se
cumplan las condiciones Fj .
tenemos que identificar el intervalo en donde está contenida la obser-
n
, ya que ese es el intervalo mediano.
2
n
Sabemos que 518 y también que la amplitud es de cinco A 55,
2
vación
entonces, comprendemos que la mediana tiene que estar contenida
en el intervalo [11, 16) porque la frecuencia acumulada en el intervalo
anterior es de 14 y la frecuencia acumulada en el intervalo mediano
es de 23; en este punto hemos descrito y comprobado a través de
palabras las condiciones para calcular la mediana.
Ejercicios
n
n
y Fj 21 , se cumplen podemos calcular la me2
2
diana utilizando la frecuencia acumulada con la siguiente relación:
n
Fj 21 , → 14 ,18
2
Cuando Fj .
x, 5 L
⎛
⎜
inf 1 A ⎜
⎜⎝
n
2 F j 21 ⎞
⎟
2
fj ⎟
⎟⎠
Linf 5 Límite inferior del intervalo mediano (se determina obn
servando en qué intervalo está la posición )
2
A 5 Amplitud de los intervalos
Fj 2 1 5 Frecuencia acumulada en el intervalo anterior al intervalo mediano
Lj 5 Frecuencia absoluta del intervalo mediano
Ejemplo
Consideremos que deseamos conocer la mediana de los datos concentrados en la siguiente tabla:
Frecuencia f
Frecuencia acumulada Fi
1-6
8
8
6-11
6
14
11-16
9
23
16-21
10
33
21-26
3
36
Total
36
Tabla 9.35
Fj .
n
→ 23 , 18
2
Identificamos en la tabla los demás valores que necesitamos para encontrar la mediana:
Donde:
xi
n
n
y Fj 21 , ; esto quiere decir que
2
2
Lnf
xi
Frecuencia f
Frecuencia acumulada Fi
1-6
8
8
6-11
6
14
11-16
9
23
16-21
10
33
21-26
3
36
Total
36
Tabla 9.36
Fj21
Fj
fj
Entonces, calculamos la mediana como
⎛ n 2F ⎞
j 21
⎜
⎟
x, 5 Linf 1 A ⎜ 2
fj ⎟
⎜⎝
⎟⎠
⎛ 36 214 ⎞
⎛ 18 214 ⎞
⎜
⎟
x, 5111(16 211)⎜ 2
5111 5 ⎜
⎟
⎝ 9 ⎟⎠
9
⎜⎝
⎟⎠
⎛ 4⎞
5111 5 ⎜ ⎟ 5111 2 . 22 513 . 22
⎝ 9⎠
Ejercicio
n
entonces x 5 x js 2 1. Donde xSj21 representa el
2
límite superior del intervalo para el que Fj21 5 n/2.
Cuando Fj 21 5
189
BLOQUE
9
Aplicas la estadística elemental
Ejemplo
pados como no agrupados. Para complementar este conocimiento
es necesario saber cuándo es conveniente utilizar cada una de ellas.
Supongamos que la información de una variable continua está contenida en la siguiente tabla de frecuencias y deseamos conocer su
mediana.
Media aritmética
xi
Frecuencia f
Frecuencia acumulada Fi
1-6
3
3
6-11
6
9
11-16
9
18
16-21
10
28
21-26
8
36
Total
36
2. Se utiliza cuando queremos conocer el punto de equilibrio de
una muestra.
3. Esta medida de tendencia central es altamente recomendable
para variables discretas.
Mediana
1. Se utiliza cuando no se dispone de tiempo para realizar las
operaciones algebraicas que implica el cálculo de la media.
2. Se usa cuando la distribución de datos es asimétrica, sobre
todo cuando existen datos extremos.
Tabla 9.37
Para conocer la mediana, tenemos que verificar que la condición
n
Fj 21 5 se cumpla. Como n 5 36, entonces debemos buscar
2
n
518 en la columna de frecuencia acumulada, en caso de encon2
trarlo, etiquetamos a ese renglón como Fj 2 1 .
xi
Frecuencia f
3. Es muy utilizada cuando hay valores indeterminados en el
conjunto de datos.
4. Es una medida muy útil para variables continuas.
Moda
1. Se sugiere utilizarla cuando buscamos una aproximación burda de un valor central.
Frecuencia acumulada Fi
1-6
3
3
2. Se utiliza cuando se quiere conocer el caso más típico de una
muestra.
6-11
6
9
3. Se sugiere su utilización para variables nominales.
11-16
9
18
16-21
10
28
21-26
8
36
Total
36
Fj21
Tabla 9.38
Como en este ejemplo encontramos
n
518 en la columna de fre2
cuencias acumuladas, entonces decimos que el valor de la mediana
es igual a la frontera superior del intervalo ubicado en el renglón Fj 2 1
porque es el valor que divide exactamente a la mitad las observaciones,
entonces:
x, 5 xsj21 5 16
Uso de las medidas de tendencia central
A través de los ejemplos hemos podido conocer el funcionamiento y
el cálculo de las medidas de tendencia central tanto para datos agru190
1. Se usa cuando se quiere tener la certeza de contar con un valor
estable, esto sucede porque la media varía muy poco entre diferentes muestras de la misma población.
9.4 Medidas de dispersión:
para datos agrupados y
no agrupados
Las medidas de dispersión se utilizan para reconocer cómo están
distribuidos los datos, la más sencilla de obtener es el rango y la más
utilizada es la desviación típica o estándar.
La dispersión sirve para medir qué tan alejado entre sí está un conjunto de valores; entre más alejados estén los valores uno de otro
la población o muestra será heterogénea, en el caso contrario decimos que es homogénea.
Como hemos visto, las medidas de tendencia central concentran
en un solo dato la información de una muestra o población, el
problema es que esta información sólo es útil para la muestra o
población en cuestión, ya que pueden existir dos o más muestras
diferentes con la misma media, mediana o moda sin que estén necesariamente relacionadas.
Grupo Editorial Patria®
Dicho de otra manera, las medidas de dispersión sirven para caracterizar la homogeneidad de una población o muestra, pero solamente tienen sentido cuando se utilizan con fines comparativos,
es decir, cuando la contrastamos con otra muestra o con otra población.
Actividad de aprendizaje
¿En qué tipo de variables conviene utilizar la moda?
Desviación estándar
Se define simplemente como la raíz cuadrada de la varianza. Es la
más usada de las medidas de dispersión.
s5
1 n
? ∑ f ⋅( x 2 x )2
n 21 i 51
La siguiente tabla muestra el peso en kilogramos de 20 jugadores
de futbol americano juvenil; obtén las medidas de dispersión de la
muestra.
Ejemplo
La siguiente tabla muestra el peso en kilogramos de 20 jugadores de
futbol americano juvenil; obtén las medidas de dispersión de la muestra.
Rango
Es la medida de dispersión más sencilla y la menos utilizada, ya que
es una medida poco estable; como hemos visto a lo largo de este
capítulo el rango es la diferencia entre el mayor y el menor valor de
una muestra.
R 5 x máx 2 xmín
Varianza
80
89
100 110
96
95
86
99
116 102
81
108 107
95
91
82
110
98
98
89
Tabla 9.39
La primera medida a obtener será el rango; para hacerlo debemos
ubicar los valores máximo y mínimo de la muestra y encontramos que
xmáx 5 116 y xmín 5 80.
Es la medida que nos permite conocer la dispersión de los valores de una muestra o población respecto de su media aritmética;
si el valor es muy grande entonces decimos que la muestra es heterogénea, el problema de que sea heterogénea es que la escala
de medición se distorsiona; esta medida debe usarse en términos
comparativos.
Entonces el rango es:
La varianza para datos no agrupados se define como:
Ahora aplicamos la fórmula para calcular la varianza:
s2 5
n
1
? ∑( x1 2 x )2
n 21 i 51
En el caso de datos agrupados, se tiene que:
s2 5
1 n
? ∑ f i ⋅( x i 2 x )2
n 21 i 51
El problema que tiene la varianza es que las unidades de la variable
también se ven afectadas cuando se eleva la variación al cuadrado; para
solucionar este inconveniente recurrimos a la desviación estándar.
Actividad de aprendizaje
¿Para qué se utilizan las medidas de dispersión?
R 5 xmáx 2 xmín 5 116 2 80 5 36.
El siguiente paso es calcular la media de la muestra:
1932
1 n
x 5 ?∑ xi 5
5 96 6
n i 51
20
s2 5
1 n
?∑( x i
n 21 i 51
x )2
(80 2 96.6)2 1 (89 2 96.6)2 1 (100 2 96.6)2 1 (110 2 96.6)2
1 (96 2 96.6)2 1 (108 2 96.6)2 1 (107 2 96.6)2 1 (91 2 96.6)2
1 (82 2 96.6)2 1 (110 2 96.6)2 1 (95 2 96.6)2 1 (86 2 96.6)2
1 (99 2 96.6)2 1 (81 2 96.6)2 1 (116 2 96.6)2 1 (102 2 96.6)2
1 (95 2 96.6)2 1 (98 2 96.6)2 1 (98 2 96.6)2 1 (89 2 96.6)2
s2 =
2 020 8
= 106 . 36 kg 2
19
Recordemos que la varianza está expresada en unidades cuadradas,
por lo que es necesario calcular la desviación estándar; para hacerlo,
simplemente obtenemos la raíz cuadrada de la varianza:
s
s2
s = 106 . 36 = 10 . 31 kg
191
BLOQUE
9
Aplicas la estadística elemental
2.
El valor de la desviación estándar es la medida que nos indica la
dispersión de los datos respecto de la media, por lo que decimos
que los datos no están muy dispersos entre sí.
227
120
250
233
158
244
265
186
219
46
100
155
147
257
221
262
38.7
89.5
61.2
55.7
99.3
99.1
70.7
73.8
58.1
41.5
92.8
64.3
63
58.5
63.9
51.4
99.8
57.1
71.2
70.2
34.6
93.6
47.6
128.7
94
123.4
29
166.3
20.7
78.7
66.9
162
Desviación estándar
53.7
16.5
42.9
28.1
Es la medida más utilizada, se utiliza cuando queremos saber qué
tan dispersos están los datos de una muestra respecto de la media.
167.7
22.3
145.7
46.5
Actividad de aprendizaje
3.
¿Qué es la varianza?
Rango
Se emplea de manera limitada por su poca estabilidad, aunque se
usa cuando requerimos hacer un cálculo rápido.
4.
Varianza
Normalmente se utiliza en estudios estadísticos avanzados, es
complicado utilizarla porque las unidades que arroja están elevadas al cuadrado y es difícil darle una interpretación con esas características.
5.
Características de las medidas de
tendencia central
Con el propósito de reafirmar los conocimientos adquiridos en
este bloque se proponen los siguientes ejercicios de aplicación.
Calcula las medidas de dispersión de los siguientes grupos de datos:
98.5
92.5
62
68
69
87.5
54.5
99
67
66.5
62.5
87.5
58.5
83.5
93.5
88
75
91.5
67.5
64.5
74
90.5
94
92
95.5
88
86
94
57
99.5
1.
192
64.508
63.747
64.558
63.524
64.081
63.458
63.895
65.022
64.119
63.652
64.367
64.742
64.443
64.427
64.204
64.305
Para los siguientes grupos de datos, calcula las medidas de tendencia central, represéntalos gráficamente y calcula sus medidas de
dispersión. ¿Qué puedes concluir en cada ejercicio?
Grupo Editorial Patria®
6.
9.
59
30
260
246
268
39.08
50.18
57.98
37.34
57.71
55.99
81
109
23
279
194
63.81
44.74
36.58
38.86
48.62
44.55
147
233
34
122
161
41.21
52.74
43.98
36.51
43.77
41.83
82
100
122
145
31
50.15
56.56
51.52
44.08
59.05
36.39
234
211
213
129
275
51.95
44.47
48.41
49.93
56.95
41.30
270
84
177
204
266
56.48
47.86
63.06
64.09
42.20
55.99
60.15
46.43
60.33
58.45
55.53
42.24
7.
41.40
16.24
34.42
44.42
20.32
18.85
10.26
25.40
38.30
42.82
801
733
503
650
518
711
504
32.59
21.97
44.18
39.63
30.40
516
648
705
502
520
648
801
39.34
33.39
42.15
39.87
36.92
796
511
731
510
553
736
733
11.09
17.31
20.86
11.00
28.51
653
741
799
553
646
518
503
23.63
18.40
21.92
35.75
44.97
645
731
795
707
645
701
709
503
508
736
556
703
704
734
549
738
640
516
730
741
514
8.
41.06
44.50
42.39
41.24
40.74
38.38
39.19
44.15
36.19
36.97
35.98
43.73
44.57
39.58
37.69
41.73
35.97
44.82
36.69
41.44
44.40
44.07
43.65
41.22
38.40
35.82
35.90
35.97
37.94
41.16
42.01
39.27
39.20
35.82
37.05
44.10
10.
193
BLOQUE
9
Aplicas la estadística elemental
Instrumentos de evaluación
Apellido paterno
Apellido materno
Nombre
Grupo
Asegúrate de haber adquirido los contenidos que se abordan en el Bloque 9. Para ello, realiza lo que se te pide a continuación.
1. Encuentra las medidas de tendencia central de los siguientes datos agrupados:
2. Encuentra las medidas de dispersión (rango, varianza y desviación
estándar) del siguiente conjunto de datos:
xi
Fi
98.5
92.5
62
68
69
[51-57.5]
89
87.5
54.5
99
67
66.5
[57.5-64]
160
62.5
87.5
58.5
83.5
93.5
[64-70.5]
255
88
75
91.5
67.5
64.5
[70.5-77]
316
74
90.5
94
92
95.5
[77-83.5]
373
88
86
94
57
99.5
[83.5-90]
451
[90-96.5]
520
Rúbrica
Aspecto a evaluar
Nombre del alumno:
194
Criterios
Excelente
Bueno
Regular
Deficiente
Medidas de
tendencia central
para datos no
agrupados
Conoce, obtiene y aplica los
elementos de estadística,
así como las medidas de
tendencia central para datos
no agrupados
Conoce y aplica los
elementos de estadística,
así como las medidas de
tendencia central para datos
no agrupados
Conoce los elementos de
estadística, así como las
medidas de tendencia
central para datos no
agrupados
No conoce, ni obtiene, ni
aplica los elementos de
estadística y tampoco las
medidas de tendencia
central para datos no
agrupados
Características de
las medidas de
tendencia central
Conoce, obtiene y aplica las
ventajas y desventajas de
las medidas de tendencia
central para datos no
agrupados
Conoce y aplica las
ventajas y desventajas de
las medidas de tendencia
central para datos no
agrupados
Conoce las ventajas y
desventajas de las medidas
de tendencia central para
datos no agrupados
No conoce, ni obtiene,
ni aplica las ventajas y
desventajas de las medidas
de tendencia central para
datos no agrupados
Medidas de
dispersión: Rango,
varianza y desviación
típica para datos
agrupados por clases
Conoce, obtiene y aplica las
medidas de dispersión para
datos agrupados por clases
Conoce y aplica las medidas
de dispersión para datos
agrupados por clases
Aplica algunas medidas
de dispersión para datos
agrupados por clases
No conoce, ni obtiene,
ni aplica las medidas de
dispersión para datos
agrupados por clases
Características de
las medidas de
tendencia central
Calcula las medidas de
tendencia central en grupos
de datos
Calcula por lo menos dos de
las medidas de tendencia
central en grupos de datos
Calcula por lo menos una de
las medidas de tendencia
central en grupos de datos
No calcula las medidas de
tendencia central en grupos
de datos
Grupo Editorial Patria®
Lista de cotejo
Lista de cotejo para el reporte sobre el número de casos de gripe AH1N1 de la sección Aplica lo que sabes de la pág. 174.
Nombre del alumno:
Criterio
cumple
sí
no
Observaciones
Presentación
1. Cuenta con una carátula que incluye: el nombre del trabajo que se realiza, la
materia, fecha de entrega, nombre del alumno y su matrícula
2. Tiene una redacción que es adecuada y clara.
3. Tiene buena ortografía o con errores mínimos.
4. El trabajo se elabora en computadora o manuscrito con letra legible.
5. Las gráficas o dibujos auxiliares se elaboran de un tamaño adecuado
de modo que se puedan apreciar con claridad los datos obtenidos o las
condiciones del problema.
6. Se presenta todo el procedimiento necesario para obtener los datos o
solución que se pide con la justificación correspondiente.
Desarrollo
7. En el procedimiento se desarrolla una secuencia lógica y coherente.
8. Se hace referencia a las gráficas o diagramas auxiliares para apoyar la
argumentación del escrito.
9. Se hace la referencia bibliográfica de las notas, definiciones o conceptos
consultados para sustentar teóricamente las acciones realizadas.
Conclusiones
Dominio del
tema
10. La investigación se realiza con apoyo en libros y revistas actualizadas sobre
el tema o bien en sitios web cuya información sea científicamente válida.
De incluir citas textuales, éstas deben ser breves y con la referencia de la
fuente.
11. Investiga el número de casos de influenza por entidad federativa en el
periodo señalado.
12. Da respuesta correcta a las preguntas que surgen de la actividad que se
propone.
13. Organiza y sistematiza la información.
14. Para el periodo señalado elabora una tabla del número de casos de influenza
por entidad federativa.
15. Elabora la gráfica de barras que se pide.
16. Interpreta la información obtenida.
195
Empleas conceptos elementales de probabilidad
10
B LO Q U E
Objetos de
aprendizaje
10.1 Probabilidad clásica
Competencias a desarrollar
„
Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o
gráficas.
„
Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e
interpretar información.
„
Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo como
cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.
„
Elige las fuentes de información y comunicación para un propósito específico y
discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y confiabilidad.
„
Construye hipótesis; diseña y aplica modelos para probar su validez.
„
Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos.
¿Qué sabes hacer ahora?
Responde en tu cuaderno las siguientes preguntas
El espacio muestral asociado con tirar tres monedas al aire y ver qué sale es:
considera (A 5 Águila, S 5 Sol).
1. a) Ω 5 {AAA, AAS, SAS, SAA, ASS, ASA, SSA, SSS} b) Ω 5 {AAA, AAS, SSS, SSS}
c) Ω 5 {A, A, A, S, S, S}
d) Ω 5 {AAA, SSS, ASA}
El espacio muestral relacionado con tirar un dado es:
b) Ω 5 {1, 2, 3, 5, 6}
2. a) Ω 5 {2, 4, 6}
c) Ω 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6}
d) Ω 5 {1, 3, 4, 5, 6}
3.
Si lanzamos tres veces una moneda al aire, la probabilidad de obtener un Sol es:
1
1
c) P(S )5
d) P(S) 5 1
a) P(S) 5 0
b) P(S )5
8
2
En una caja con 10 pelotas hay 3 rojas, 2 amarillas, 2 verdes y 3 blancas, la proba4. bilidad de sacar una pelota amarilla es de:
1
1
4
3
b) P( A )5
c) P( A )5
d) P( A )5
a) P( A )5
4
5
5
10
En la misma caja con las mismas 10 pelotas, si después de sacar una pelota vuelvo a
meterla a la caja y revuelvo, ¿cuál es la probabilidad de sacar 2 pelotas rojas?
5.
3
2
3
7
d) P( R , R )5
a) P( R , R )5 b) P( R , R )5 c) P( R , R )5
5
5
10
10
Si sacamos al azar una de las 28 fichas del dominó, ¿qué probabilidad hay de que
6. la ficha sea doble (mula)?
1
1
1
3
a) P( M )5
b) P( M )5
c) P( M )5
d) P( M )5
28
7
4
14
7.
La probabilidad de que pase el suceso contrario al suceso A es:
a) P(Ac) 5 P(A) 1 P(B) 2 P(A ∩ B)
b) P(Ac) 5 1 2 P(A)
c) P(Ac) 5 P(A) 1 P(B) 1 P(E)
c
d) P( A ) 5
P( A )
P( B)
¿De cuántas maneras diferentes pueden acomodarse 5 libros distintos en una
8. misma hilera?
a) 15
b) 40
c) 90
d) 120
¿Cuántas combinaciones de ropa pueden hacerse con 5 sudaderas y 3 pantalones?
9. a) 5
b) 8
c) 15
d) 16
El cociente entre los casos favorables y los casos posibles es:
a) Una proporción de sucesos aleatorios.
10. b) La probabilidad de que ocurran sucesos independientes.
c) Las combinaciones posibles entre esos eventos.
d) La probabilidad condicionada.
Desempeños por alcanzar
„
Propone la manera de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en
equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos.
„
Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera
reflexiva.
„
Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades
con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.
Distingue entre eventos deterministas y aleatorios.
Utiliza las leyes aditiva y multiplicativa de las probabilidades.
10
BLOQUE
Empleas conceptos elementales de probabilidad
Situación didáctica
Si se lanza una moneda, ¿qué tipo de fenómeno es la cara que queda hacia arriba?, qué variable se asocia con el fenómeno?, ¿cuál es
Secuencia didáctica
¿Cómo lo resolverías?
el espacio muestral?, ¿cuáles son los eventos elementales?, ¿cuál es
la probabilidad de que caiga águila?
¿Qué tienes que hacer?
Forma equipos para resolver el problema.
Trabajo individual
Que cada equipo represente mediante dibujos las condiciones del
problema.
Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios.
Presenten los resultados en plenaria y analicen las formas de resolver el problema.
Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es
preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a
cabo las rectificaciones que procedan.
Cada equipo debe investigar:
¿A qué se le llama fenómeno?
¿Qué tipo de variable se asocia con el fenómeno?
¿Cuál es el espacio muestral del lanzamiento de una moneda?
Todo realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto de las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de
asumirse como responsable de su propio proceso de aprendizaje.
¿Cuáles son los eventos elementales?
Producto a elaborar
¿Cuál es la definición clásica de probabilidad?
Representación gráfica.
¿Cuál es la probabilidad de que caiga águila al lanzar una moneda?
Cálculos.
¿Qué es un espacio muestral?
Rúbrica
Para determinar la probabilidad de eventos que se pide se deben
anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos
tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las fuentes consultadas, etc. La descripción del procedimiento
Situación didáctica
Si se lanzan al mismo tiempo una moneda y un dado, ¿cuál es la
probabilidad de que ocurra (águila y 6)?
198
¿Cómo sabes que lo hiciste bien?
por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase
2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello
suma un total de 10 puntos.
Esta actividad se integrará el portafolio de evidencias para la evaluación del mes.
¿Cómo lo resolverías?
Grupo Editorial Patria®
Secuencia didáctica
¿Qué tienes que hacer?
Forma equipos para resolver el problema.
Trabajo individual
Que cada equipo represente mediante dibujos las condiciones del
problema.
Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios.
Presenten los resultados en plenaria y analicen las formas de resolver el problema.
Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es
preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a
cabo las rectificaciones que procedan.
Cada equipo debe investigar:
¿Cómo se determina la probabilidad clásica?
¿Cuál es la probabilidad de obtener águila o sol al lanzar una moneda?
¿Cuál es la probabilidad de obtener un número determinado al lanzar un dado?
¿Qué son eventos independientes?
¿Cómo se determina la probabilidad de eventos independientes?
¿Cuál es la probabilidad de ocurrencia (águila al lanzar una moneda)?
Rúbrica
Para determinar la probabilidad de eventos que se piden se debe
anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos
tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las fuentes consultadas, etc. La descripción del procedimiento
Todo realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto de las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de
asumirse como responsable de su propio proceso de aprendizaje.
Producto a elaborar
Representación gráfica.
Cálculos.
¿Cómo sabes que lo hiciste bien?
por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase
2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello
suma un total de 10 puntos.
Esta actividad se integrará el portafolio de evidencias para la evaluación del mes.
199
10
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Empleas conceptos elementales de probabilidad
Propuestas de diseño para
situaciones didácticas
g) Ganar la lotería __________
1. Para los siguientes experimentos, indica si son determinísticos
o aleatorios.
a) Lanzar una moneda al aire __________
b) Elegir una pelota de un montón de pelotas __________
h) Número de kilómetros recorridos por un auto con 3 litros
de gasolina __________
2. Determina el espacio muestral de los siguientes experimentos.
a) De 12 cartas escoger 3.
b) De 7 temas para un examen, el profesor elige 4.
c) Determinar cuántas personas usarán un cajero automático
__________
c) De 6 partidos de basquetbol, seleccionar 3 para ir a verlos.
d) De entre 3 camisas y 2 pantalones escoger una combinación.
e) De 8 frutas tomar 3.
3. Calcula cuántas matrículas para los alumnos y empleados de
una universidad son posibles de crear si se tienen 1 letra (A o
E) y 6 números.
4. Determina de cuántas maneras puede equiparse un equipo de
futbol si pueden seleccionar entre 2 tipos de tenis, 4 colores
de calceta, 2 colores de short y 3 colores de playera.
d) Lanzar dos dados justos sobre una mesa __________
5. ¿Cuántas formas diferentes hay de elegir 4 figuras diferentes si
se tienen 5 triángulos, 6 cuadrados, 2 círculos y 3 rectángulos?
6. Determina de cuántas maneras se puede seleccionar una camioneta si se tienen 4 formas de pago, 9 colores y 6 modelos.
7. Calcula las alternativas que tiene una estudiante para seleccionar su carrera, si en la facultad de Ciencias y Humanidades le
interesan cinco carreras, en la de Medicina tres y en la de Derecho dos.
e) El clima del día de mañana _________
f ) Prender un foco __________
8. Claudio solicitó ingresar a 4 universidades con beca, en la primera existen tres becas diferentes, en la segunda tres, en la tercera una y en la cuarta dos. Jimena solicitó ingresar solamente a
2 universidades, una de las cuales le ofrece cinco becas diferentes y la otra cuatro. ¿Quién tiene más posibilidades de recibir
una beca?
9. Un grupo de amigos desea ir a una fiesta, pero no saben cómo
ir vestidos, Arturo puede usar para la ocasión y de entre los
cuales escoger 5 sacos, 3 pantalones, 4 camisas, 3 pares de zapatos y 2 corbatas. Lorena puede utilizar 3 vestidos, 2 trajes,
6 boinas y 4 juegos de zapatos y bolsa. Jorge puede usar 3 pantalones, 4 sudaderas, 3 pares de tenis y 5 gorras. ¿De cuántas
maneras pueden ir vestidos los amigos a la fiesta (se sugiere
usar simultáneamente los principios estudiados).
200
Grupo Editorial Patria®
17. Si deseáramos abrir 12 casilleros teniendo las 12 combinaciones correspondientes, ¿de cuántas maneras podríamos intentar abrir los casilleros?
10. Una familia decide ir a comer un domingo a un restaurante
que les han recomendado. Si el menú normal ofrece 3 tipos de
entradas, 2 tipos de pastas, 4 tipos de ensaladas y 8 platos fuertes y el menú de niños ofrece 2 entradas, 3 pastas, 2 ensaladas,
4 platillos principales y 6 postres, ¿cuántas variantes de menú
podría escoger la familia si son 2 adultos y 3 niños (se sugiere
usar simultáneamente los principios estudiados).
11. Cuántos números se pueden formar con los dígitos del 0 al 9:
a) Si se hacen arreglos de 2 o 5 dígitos.
b) Si se hacen arreglos de 4 dígitos y que además sean impares.
12. Dadas 12 letras del abecedario:
a) ¿Cuántas claves pueden formarse con 5 letras?
b) ¿Cuántas con 3 letras?
c) ¿Cuántas con 2 letras?
18. Si se tienen 10 canicas de diferentes colores, ¿cuántas combinaciones de 4 canicas pueden formarse?
19. Y si ahora deseamos hacer combinaciones con 5 de esas 10
canicas, ¿cuántas combinaciones son posibles?
20. Si se extrae una carta de la baraja española, la cual consta de
52 cartas, divididas en cuatro tipos que contienen 13 cartas
cada uno, ¿qué posibilidad hay de que esa carta extraída sea
un rey?
13. ¿De cuántas maneras pueden estacionarse 4 automóviles en
un estacionamiento con 15 lugares disponibles?
14. ¿De cuántas maneras pueden sentarse 6 personas en una hilera con 25 lugares?
15. ¿De cuántas formas pueden vestirse 5 personas de la misma complexión si tienen 16 trajes distintos de entre los cuales escoger?
16. ¿De cuántas maneras puede un estudiante acomodar los
libros de sus materias en un librero si tiene un libro de cada
asignatura: Historia Universal, Geografía, Matemáticas, Literatura, Informática, Ética, Inglés y Educación artística?
21. Si de la baraja anterior se quiere extraer un 5 o un 9 en dos extracciones con reemplazo (es decir, se extrae la primera carta,
se ve y se regresa a la baraja, la cual vuelve a revolverse), ¿qué
probabilidades hay de que esto suceda?
22. En una reunión se encuentran 4 matrimonios, si escogemos
a dos personas al azar (se sugiere usar combinaciones para
calcular la cardinalidad del espacio muestral Ω), ¿qué posibilidades hay de que:
a) ¿Estén casadas uno con otro?
b) ¿Los dos sean hombres?
c) ¿No estén casadas entre sí?
201
10
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Empleas conceptos elementales de probabilidad
Introducción
Gumaro Hinojosa es un joven de 17 años y está preocupado
porque dentro de un año va a iniciar su servicio militar, pero no
desea ir a hacer su servicio en la marina (bola azul) porque implicaría trasladarse todos los fines de semana al puerto de Veracruz
para realizar las actividades. Investigó con un vecino mayor que
él que el número de pelotas que hay disponibles para su colonia
cada año son 500; su vecino estima que están distribuidas de la
siguiente manera: 200 bolas blancas, 200 bolas negras y 100 bolas azules. Gumaro desea saber qué probabilidades hay de que lo
envíen a Veracruz, por lo que se acerca a su profesor de Matemáticas y le plantea su preocupación. Su profesor rápidamente le dice
que la probabilidad de que eso ocurra es de 20%. Gumaro queda
altamente intrigado sobre cómo hizo su profesor para calcular con
tanta rapidez y exactitud la probabilidad que tenía de ser enviado al
puerto de Veracruz y decide investigar por cuenta propia la manera
de calcularlo.
Coffee House, en St. Martin Lane, en Cranbourn Street, donde ganaba
algo de dinero jugando al ajedrez.
Su amistad con Newton y Halley supuso un fuerte apoyo en su candidatura para ingresar en la Royal Society. De Moivre no logró hacer
fortuna, permaneció en la pobreza trabajando como tutor o consultor
de los sindicatos de seguros y de apuestas. Nunca llegó a ocupar un
puesto en una universidad. Murió
ciego, sin ilusiones y sin que sus
trabajos llegaran a ser reconocidos
por la comunidad científica.
Su obra La doctrina de las suerr
tess (1718) es una auténtica obra
maestra. En ella expone la probabilidad binominal o distribución
gaussiana, el concepto de independencia estadística y el uso de
técnicas analíticas en el estudio
de la probabilidad.
Orígenes de la probabilidad
Ejemplos
Abraham de Moivre (1667-1754)
De Moivre usó las matemáticas hasta para calcularr la fecha de su
muerte.
A pesar que la posición social de su familia no está clara, su padre,
cirujano de profesión, pudo mandarlo a la academia protestante de Sedan (1678-1682). De Moivre estudió lógica en Saumur (1682-1684),
asistió al Collège de Harcourt en París (1684) y estudió privadamente
con Jacques Ozanam (1684-1685).
Es reconocido por la fórmula de Moivre, la cual conecta números
complejos y trigonometría, y por su trabajo en la distribución normal y
probabilidad. Fue elegido miembro de la Royal Society de Londres en
1697 y tuvo amistad con Isaac Newton y Edmund Halley. Fue un gran
matemático, al grado de que cuando iban a consultar a Newton sobre
algún tema de matemáticas, él los enviaba con De Moivre diciendo:
“vayan con Abraham de Moivre a consultar esto: él sabe mucho más
que yo de estas cosas”.
Como era calvinista, tuvo que salir de Francia después de la revocación del Edicto de Fontainebleau (1685), y pasó el resto de su vida en
Inglaterra. Toda su vida fue pobre y era cliente regular del Slaughter’s
202
La probabilidad es en nuestros días una rama crucial de las matemáticas y tiene aplicación en básicamente todas las ramas de la
ciencia, tuvo un origen simple y a la vez extraño en los juegos de
azar practicados por la alta sociedad francesa del siglo xvii. Los
juegos de azar solían ser complicados y con el tiempo empezaron
a complicarse más y más, a tal grado que se inició la búsqueda de
una manera de resolverlos racionalmente. La probabilidad, como
la conocemos, surgió de un reto hecho por el caballero De Mere
al matemático Blaise Pascal referente a encontrar y predecir las respuestas de un conjunto de problemas. Pascal, junto con Pierre Fermat y otros matemáticos obtuvieron como fruto de sus estudios
un conocimiento muy peculiar que sentó las bases de la teoría de
la probabilidad.
Actividad de aprendizaje
Desde el punto de vista histórico, ¿cuándo y cómo surge la probabilidad?
Definición de probabilidad
La probabilidad mide la frecuencia o número de veces con que se
obtienen uno o varios resultados al llevar a cabo un experimento
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aleatorio un experimento aleatorio; deben de conocerse todos los
posibles resultados de este experimento bajo condiciones estándar
o estables. La probabilidad se usa ampliamente en áreas de la ciencia tales como matemáticas y física, así como en filosofía, para estudiar, analizar, argumentar y extraer conclusiones sobre la probabilidad de que se presenten sucesos esperados. Entonces podríamos
definir a la probabilidad como la rama de las matemáticas que estudia de manera numérica los eventos que generan incertidumbre.
Actividad de aprendizaje
¿Cómo se define la probabilidad?
El conjunto debe estar bien definido, es decir, podrá determinarse si
un elemento dado pertenece o no al conjunto. De esta manera, si el
conjunto está formado por las estaciones del año, entonces primavera es un elemento del conjunto, pero junio no lo es.
Introducción a la teoría de conjuntos
Para comprender más fácilmente a la importante rama de las matemáticas llamada probabilidad, debemos apoyarnos en la teoría de
conjuntos.
Conjunto
Es un conjunto elemental que no se explicará a partir de otros conceptos más sencillos.
De manera intuitiva, entendemos que un conjunto es un grupo,
una colección o una lista de objetos; a esos objetos se les llama
miembros o elementos del conjunto.
Un conjunto se puede formar con:
los libros de una biblioteca,
los alumnos de una escuela,
los meses del año,
los colores del arco iris,
los planetas del Sistema Solar,
los músicos de una orquesta,
las herramientas de un plomero,
los números dígitos,
las vocales del alfabeto,
las piezas de un motor, etcétera.
Para hablar con propiedad de un conjunto se toman en cuenta los
siguientes criterios:
Ningún elemento se cuenta más de una vez. Si el conjunto está formado por las letras de la palabra ferrocarril, entonces el conjunto tiene
ocho elementos: f, e, r, o, c, a, i, l (la letra r aparece cuatro veces, pero
sólo se cuenta una vez).
No se toma en cuenta el orden de los elementos de un conjunto. Considerando lo anterior, el conjunto de letras de la palabra casa se puede
disponer de distintas formas (c, a, s; a, s, c; s, a, c) y cada una se refiere
al mismo conjunto.
Definición por extensión
y por comprensión
La definición de un conjunto se puede hacer:
Por extensión
Por extensión (tabulación, enumeración, listado), que consiste en
una lista que contiene todos los elementos del conjunto.
Ejemplos
1. El conjunto formado por domingo, lunes, martes, miércoles, jueves, viernes y sábado.
2. El conjunto formado por primavera, verano, otoño e invierno.
3. El conjunto formado por cabeza, tronco y extremidades.
Por comprensión
Por comprensión (descripción, construcción), que consiste en
enunciar la propiedad que solamente tienen los elementos del
conjunto. Esto nos obliga a precisar la propiedad con toda claridad
para evitar ambigüedades e incertidumbre.
203
10
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Empleas conceptos elementales de probabilidad
Ejemplos
Por extensión
1. El conjunto de colores primarios tiene como elementos los colores
rojo, azul y amarillo.
a ) A 5 (a, e, i, o, u).
2. El conjunto de meses del año cuyo nombre tiene la letra r está
formado por enero, febrero, marzo, abril, septiembre, octubre, noviembre y diciembre.
c ) C 5 (violeta, índigo, azul, verde, amarillo, anaranjado, rojo).
3. Los elementos del conjunto formado por los nombres de los dedos
de la mano son pulgar, índice, cordial, anular y meñique.
b ) B 5 (primavera, verano, otoño, invierno).
d ) D 5 (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).
e ) E 5 (2, 4, 6, 8, …).
Por comprensión
a ) A 5 (x | x es vocal).
Notación
Se ha convenido en representar a los conjuntos con letras mayúsculas y a los elementos con letras minúsculas.
mentos se encierran entre llaves y se separan por medio de una
coma.
b ) B 5 (x | x es estación del año).
c ) C 5 (x | x es color del arco iris).
d ) D 5 (x | x es número dígito).
e ) E 5 (x | x es número natural par).
Ejemplos
1. A 5 (1, 2, 3)
se lee: “A es el conjunto de los elementos 1, 2, 3”.
El conjunto A tiene tres elementos, pero de no utilizarse las comas
sólo tendría uno, el número 123.
2. B 5 (domingo, lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado).
El conjunto B también se puede denotar así:
B 5 (domingo, lunes, …, sábado).
3. C 5 (Mercurio, Venus, Tierra, …, Plutón).
4. D 5 (Aguascalientes, Baja California, Baja California Sur, …,
Zacatecas).
Pertenencia
La relación de pertenencia entre un conjunto y sus elementos se
establece por medio del símbolo ∈
“es miembro de”, “está en”. Cuando el símbolo aparece tachado (∉)
Ejemplos
5. E 5 (2, 4, 6, 8, …).
En el conjunto E los puntos suspensivos se leen: “y así sucesivamente” e indican la inclusión de todos los números pares que
siguen al 8.
6. Cuando definimos un conjunto por comprensión, se utiliza la notación siguiente:
a) F 5 (x | x es día de la semana).
se lee: “F es el conjunto de elementos x tales que x es día de la
semana”. La letra x representa un elemento cualquiera del conjunto, en este caso: un día.
b) G 5 (x | x es planeta del Sistema Solar)
7. A continuación se presentan varios ejemplos de conjuntos que se
definen tanto por extensión como por comprensión.
204
1. Sea V 5 (a, e, i, o, u), entonces:
a ∈ V se lee: “a es elemento del conjunto V ”.
a ∉ V se lee: “a no es elemento del conjunto V ”.
2. Sea P 5 (△,
,
△ ∈ P;
∉ P;
,
) , entonces:
∉ P;
∈ P.
3. Sea I 5 {x | x es estado de la República Mexicana con nombre de
insurgente}, entonces:
Hidalgo ∈ I ; Michoacán ∉ I ; Guerrero ∈ I ; Sonora ∉ I ; Morelos
∈ I ; Yucatán ∉ I.
Si utilizamos el símbolo que establece la relación de pertenencia,
el conjunto E queda como sigue:
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E 5 {x | x es número natural par},
se puede expresar así:
E 5 {x ∈ ℕ | x es par}.
El conjunto M, definido por extensión:
M 5 {22, 21, 0, 1, 2}
puede denotarse por comprensión de las siguientes maneras:
M 5 {x ∈ ℤ | 23 , x , 3}.
que se lee: “M es el conjunto de elementos x de ℤ, tales que x es
menor que 3 y mayor que 23”; o bien:
M 5 {x ∈ ℤ | 22 ≤ x ≤ 2}
que se lee: “M es el conjunto de elementos x de ℤ tales que x es
menor o igual que 2 y mayor o igual que 22.
que desembocan en un océano determinado,
según su longitud,
según su caudal,
que sean navegables, etcétera.
3. Si el problema está relacionado con números, Ω puede formarse
con el conjunto de números en el cual se encuentra la solución:
números naturales,
números enteros,
números racionales,
numeros irracionales,
números reales,
números complejos,
Conjunto universal
números enteros pares,
Es aquel que consta de todos los elementos a los que se puede referir el análisis de un problema. El conjunto universal se representa
por la letra omega (Ω) del alfabeto griego.
numeros enteros impares, etcétera.
Al elegir el conjunto universal se debe considerar que:
No es único, varía según la naturaleza del problema que se analiza.
Lo anterior no significa que el conjunto universal (Ω) sea impreciso o
variable por naturaleza, sino que en el análisis de un problema, una
vez que se ha determinado, permanece fijo y cualquier otro conjunto
requerido se forma con elementos de Ω. A Ω también se le llama universo lógico o universo del discurso.
Tampoco es único para el mismo problema, pues podemos ampliarlo o reducirlo según convenga.
Conjunto vacío (nulo)
Ejemplos
1. Si lo que se desea analizar está relacionado con estudiantes de
preparatoria en México, el conjunto universal se puede formar
según la naturaleza del problema, con los preparatorianos:
de un grupo determinado,
de un grado específico,
de todo el plantel,
de todo el estado,
de todo el país,
de una edad establecida,
de cierta calificación promedio,
de un nivel socioeconómico, etcétera.
2. Si el problema está relacionado con ríos, el conjunto universal
puede formarse con los ríos:
de un país,
de un continente,
Es un conjunto sin elementos que se denota por ∅ o { }.
Ejemplo
Supongamos que en un grupo escolar:
1. La lista de los alumnos, ordenada alfabéticamente por apellidos,
empieza con la letra p y termina con la letra z. Si queremos formar
el conjunto A con los alumnos del grupo cuyo apellido empieza
con la letra a, entonces el conjunto A no tiene elementos: A 5 ∅.
2. De una fila de alumnos en la que ninguno de ellos usa lentes, se
quiere formar el conjunto C con alumnos que usan lentes; por
consiguiente, el conjunto C no tiene elementos: C 5 { }.
3. Las edades de los alumnos están comprendidas entre los 15 y los
17 años; por tanto, los alumnos del grupo que tienen 14 años de
edad forman un conjunto E sin elementos: E 5 ∅ 5 { }.
Observa que { } ≠ {0}, pues el { } no tiene elemento, mientras que
{0} tiene un elemento: el cero.
205
10
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Empleas conceptos elementales de probabilidad
Conjunto unitario
Es un conjunto que tiene un solo elemento.
Ejemplos
5. Sean los conjuntos:
D 5 {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
P 5 {x | x es dígito par}.
I 5 {x | x es dígito impar}.
1. Sea el conjunto S 5 {x | x es satélite natural de la Tierra}. El conjunto S sólo tiene un elemento: la Luna.
2. Sea el conjunto L 5 {x | x es estrella de nuestro sistema planetario}. El conjunto L sólo tiene un elemento: el Sol; recuerda que una
estrella es un astro con luz propia.
3. Sea el conjunto W 5 {x ∈ ℤ | 21 , x , 1}. El conjunto W sólo
tiene un elemento: el cero.
Subconjunto
entonces: P ⊂ D; I ⊂ D; P ⊄ I; I ⊄ P.
6. Sean los conjuntos:
7. A 5 {1, 2, 3, 4}.
8. B 5 {2, 3, 4, 5, 6, 7}.
entonces: A ⊄ B, pues 1 ∈ A, pero 1 ∈ B.
En general, A ⊄ B indica la existencia de por lo menos un
elemento en A que no es elemento de B.
El conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto.
Un conjunto A es subconjunto de un conjunto B si todo elemento de A
pertenece a B. La relación así establecida se denota con el símbolo
⊂ colocado entre A y B, de la siguiente manera.
A⊂B
que se lee: “A es subconjunto de B”, o bien: “A está contenido en B”.
La relación también se puede escribir así:
B⊃A
que se lee: “B es un superconjunto de A”, o bien: “B contiene a A”.
En ambos casos, para indicar que A no es subconjunto de B se escribe:
A⊄B
B⊅A
Si existe en B al menos un elemento que no pertenece a A, entonces
se dice que A es subconjnto propio de B.
Ejemplos
Ejemplos
1. En una escuela, las alumnas de un grupo forman un subconjunto
del conjunto de alumnos integrantes del grupo.
2. Los profesores que imparten la clase de idiomas en una escuela
forman un subconjunto del conjunto de profesores que laboran en
la escuela.
3. Sean los conjuntos:
A 5 {Canadá, EUA, Brasil}.
B 5 {x | x es país del Continente Americano}.
entonces: A ⊂ B; B ⊄ A.
4. Sean los conjuntos:
A 5 {x | x es letra del alfabeto español}.
V 5 {x | x es vocal}.
C 5 {x | x es consonante}.
entonces V ⊂ A; C ⊂ A; V ⊄ C; C ⊄ V.
206
Subconjuntos propios e impropios
Dados los conjuntos A y B tales que A ⊂ B.
1. Si A 5 {0, 2, 4, 6, 8} y B 5 {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A es subconjunto propio de B porque B tiene elementos que no pertenecen
a A.
2. Si A 5 {a, b, c, d } y B 5 {a, b, c, d, e}, A es subconjunto propio
de B porque B tiene un elemento que no pertenece A.
3. Si A 5 {x | x es un número primo dígito} y B 5 {x | x es un número dígito}, A es subconjunto propio de B porque B tiene varios
elementos que no pertenecen a A.
Si todo elemento de B también es elemento de A, entonces se
dice que A es subconjunto impropio de B. Dicho en otras palabras,
los símbolos A y B representan al mismo conjunto; por tanto, los
conjuntos A y B son iguales {A 5 B }, si y sólo si A ⊂ B y B ⊂ A.
4. Si A 5 {a, e, i, o, u} y B 5 {a, e, i, o, u}, A es subconjunto impropio
de B y B es subconjunto impropio de A porque A y B tienen los
mismos elementos, es decir, A 5 B.
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5. Si A 5 {x ťŒ | x es primer número primo} y B 5 {x ťŒ | x
es primer número par }, A 5 B porque ambos tienen como único
elemento el número 2, por tanto A es subconjunto impropio de B
y viceversa.
6. Sea A 5 (x
( ťŒ | 3 ≤ x ≤ 15) y B 5 (x
( ťŒ | 3 ≤ x ≤ 15).
Los dos conjuntos tienen los mismos elementos, A es igual a B,
por consiguiente cada uno es subconjunto impropio del otro.
Algunos autores utilizan los símbolos ǵ y ȁ para denotar subconjunto propio e impropio, respectivamente. En este bloque se
utilizará la notación ya establecida que no distingue entre subconjunto propio o impropio.
Conjunto potencia
Dado un conjunto A se llama conjunto potencia al formado por
todos los subconjuntos de A; se denota por 2A.
Así, un conjunto unitario tiene dos subconjuntos: él mismo y el
conjunto vacío.
Un conjunto con dos elementos tiene cuatro subconjuntos: dos
conjuntos unitarios, él mismo y el conjunto vacío. Un conjunto
con tres elementos tiene ocho subconjuntos: tres conjuntos unitarios, tres conjuntos de dos elementos, él mismo y el conjunto vacío.
{ȿ,
,
{
}, {
{
,
} y Ţ; entonces, 2F 5 {(ȿ},
}, {ȿ,
}, {ȿ,
}, {ȿ,
,
},
}, Ţ}.
Ţ
7. Sea G 5 {1, 2, 3, 4}. Los subconjuntos de G que se pueden formar son {1}, {2}, {3}, {4}, {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4},
{1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4), {2, 3, 4}, {1, 2, 3,4} y Ţ; entonces, 2G
5 {{1}, {2}, {3}, {4}, {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}, {1, 2,
3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}, Ţ}
Ţ
Diagramas de Venn-Euler
Los conjuntos se pueden representar con diagramas de Venn-Euler,
o sencillamente diagramas de Venn, de forma rectangular, circular u
otras. Dentro del diagrama se anotan los elementos del conjunto.
Ejemplos
1. Sea A 5 (c, u, a, t, r, oo), entonces el diagrama que lo representa
queda así:
En general, para un conjunto de n elementos, el número de subconjuntos que tiene se encuentra por 2n. Entonces, un conjunto
unitario tiene 21 5 2 subconjuntos; uno de dos elementos tiene
22 5 4 subconjunto; uno de tres elementos tiene 23 5 8 subconjuntos; y así sucesivamente.
Figura 10.1
Ejemplos
1. Sea A 5 {a}.
a Los subconjuntos de A que se pueden formar son {a}
a
y Ţ; entonces, 2A 5 {(a),
a Ţ}.
Ţ
Los elementos se disponen de tal manera que sea posible distinguir unos de otros; como en este caso no se tiene el recurso de
las comas para separarlos, se colocan en desorden pues de ora
manera el diagrama quedaría como se ilustra a continuación:
2. Sea A 5 {ȿ}. Los subconjuntos de B que pueden formarse son
{ȿ} y Ţ; entonces 2B 5 {{ȿ}, Ţ}.
Ţ
3. Sea C 5 {a, bb}. Los subconjuntos de C que se pueden formar son
{a},
a {bb}, {a, bb} y ; entonces, 2C 5 {{a},
a {bb}, {a, b},
b Ţ}
Ţ
4. Sea D 5 {ȿ, }. Los subconjuntos de D que se forman son { ȿ},
{ }, {ȿ}, { } y Ţ; entonces 2D 5 {{ȿ}, { }, {ȿ, }, Ţ }.
5. Sea E 5 {a, b, cc}. Los subconjuntos de E que se pueden formar
son {a},
a {bb}, {cc}, {a, bb}, {a, cc}, {b, cc}, {a, b, cc} y ; entonces, 2E 5 {{a},
a
{b},
b {cc}, {a, bb}, {a, cc}, {b, cc}, {a, b, c},
c Ţ}.
Ţ
6. Sea F 5 {ȿ, ,
}. Los subconjuntos de F que pueden formarse son {ȿ}, { }, {
},
{ȿ,
}, {ȿ,
}, {
,
},
Figura 10.2
El primer diagrama nos muestra un conjunto A con seis elementos: c, u, a, t, r, o; mientras el segundo ilustra un conjunto A cuyo
único elemento es la palabra cuatro.
2. El conjunto universal se representa con un rectángulo y dentro de
éste se representan los subconjntos por medio de círculos u otras
figuras cerradas.
207
10
BLOQUE
Empleas conceptos elementales de probabilidad
Sea Ω 5 (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)
A 5 (1, 3, 5, 7, 9)
5. Sea Ω 5 {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
P 5 {2, 3, 5, 7}
A 5 (0, 2, 4, 6, 8)
P’ 5 {0, 1, 4, 6, 8, 9}
A’
P’
0
0
1
8
2
4
8
6
4
6
9
Figura 10.3
Figura 10.6
El diagrama ilustra la relación A ⊂ Ω. Los elementos de Ω que no
pertenecen al conjunto A forman el conjunto A’, el cual es el complemento de A.
Cuando no se sabe de manera específica qué elementos integran los
conjuntos dados, los círculos se trazan de tal manera que representen
todas las posibles relaciones y operaciones entre ellos.
3. Sea Ω 5 {a, b, c, …, x, y, z}
z
V 5 {a, e, i, o, u}
u
Operaciones con conjuntos
V’ 5 {x
{x | x es consonante}
Intersección
c
b
V’
d
g
f
h
y
m
l
k
z
q
r
p
v
s
w
t
j
Dados dos conjuntos, la intersección es el conjunto formado por
los elementos comunes a ambos. Este hecho se simboliza por A ∩
B que se lee ““A intersección B” y se define como sigue:
n
A ∩ B 5 {x | x ∈ A y x ∈ B}
x
Utilizando diagramas de Venn, la operación de intersección se puede representar así:
Figura 10.4
4. Sea Ω 5 {azul, rojo, amarillo}
C5{ }
C’ 5 {azul, rojo, amarillo}
C’
Figura 10.7
azul
rojo
amarillo
Figura 10.5
208
La región doblemente con líneas cruzadas corresponde a la intersección de los conjuntos A y B.
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Ejemplos
1. Sean los conjuntos:
A 5 {1, 2, 3, 4, 5}
B 5 {4, 5, 6, 7, 8, 9}
de acuerdo con la definición de intersección:
A ∩ B 5 {4, 5}
Figura 10.11
6
7
8
9
Figura 10.8
Figura 10.12
En los ejemplos anteriores se observa que:
A y B tienen elementos comunes.
C y D tienen elementos comunes, además C ⊂ D.
E y F tienen elementos comunes, además F ⊂ E.
E
G y H no tienen elementos comunes; por tanto, la intersección es el
conjunto vacío. Cuando esto ocurre se dice que los conjuntos son
ajenos.
2. Sean los conjuntos:
C 5 {a, b, c, d, e}
e
D 5 {a, b, c, d, e, f, g}
g
entonces: C ∩ D 5 {a, b, c, d, e}
e 5C
Unión
Dados dos conjuntos, la unión es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a por lo menos uno de ambos conjuntos.
Esta operación se simboliza por A ∪ B que se lee ““A unión B” y se
define así:
A ∪ B 5 (x | x ∈ A o x ∈ B)
En este caso, la letra o es inclusiva, es decir, el elemento puede pertenecer a A
A, a B o a ambos.
Figura 10.9
Si utilizamos diagramas de Venn, la operación de unión se puede
representar así:
3. Sean los conjuntos:
E 5 {p, q, r, s, t, u}
u
F 5 {p, s, u}
u
entonces: E ∩ F 5 {p, s, u}
u 5F
Figura 10.13
La región sombreada corresonde a la unión de los conjuntos A y B.
Figura 10.10
4. Sean los conjuntos:
G 5 {x
{ ∈ ℕ | x es par}
H 5 {x
{ ∈ ℕ | x es impar}
entonces: G ∩ H 5 ∅
Ejemplos
1. Sean los conjuntos:
A 5 {1, 2, 3, 4, 5}
B 5 {4, 5, 6, 7, 8, 9}
209
10
BLOQUE
Empleas conceptos elementales de probabilidad
entonces: A ƛ B 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
además, A ǵ A ƛ B; B ǵ A ƛ B
6
7
Figura 10.17
8
9
5. Las operaciones de unión e intersección con tres conjuntos pueden
representarse con diagramas de Venn de la siguiente manera:
Figura 10.14
2. Sean los conjuntos:
C 5 {a, b, c, d, e}
e
D 5 {a, b, c, d, e, f, g}
g
entonces: C ƛ D 5 {a, b, c, d, e, f, g}
g
CƛD5D
Figura 10.18
Figura 10.19
La región sombreada representa la unión, y la región triplemente
sombreada representa la intersección.
Figura 10.15
3. Sean los conjuntos:
E 5 {p, q, r, s, t, u}
u
F 5 {p, s, u}
u
entonces: E ƛ F 5 {p, q, r, s t, u}
u
además, E ƛ F 5 E
6. Sean los conjuntos:
A 5 {20, 30, 40, 50}
B 5 {40, 50, 60, 70}
C 5 {20, 40, 60, 90, 120}
entonces: A ƛ B 5 {20, 30, 40, 50, 60, 70}
A ƛ C 5 {20, 30, 40, 50, 60, 90, 120}
B ƛ C 5 {20, 40, 50, 60, 70, 90, 120}
por tanto: A ƛ B ƛ C 5 {20, 30, 40, 50, 60, 70, 90, 120}
además, A Ƙ B 5 {40, 50}
A Ƙ C 5 {20, 40}
B Ƙ C 5 {40, 60}
por tanto: A Ƙ B Ƙ C 5 {40}
Figura 10.16
4. Sean los conjuntos:
G 5 {x
{ ťŒ | x es par}
H 5 {x
{ ť Œ | x es impar}
entonces: G ƛ H 5 {x
{x | x ťŒ}
es decir, G ƛ H 5 Œ
Figura 10.20
210
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7. Sean los conjuntos:
P 5 {a, b, c, d, e }
Q 5 {c, d, f, g, h, i, j }
R 5 {d, e, i, j, k, l, m }
entonces: P ∪ Q 5 {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j }
P ∪ R 5 {a, b, c, d, e, i, j, k, l, m }
8
Q ∪ R 5 {c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m }
9
por tanto: P ∪ Q ∪ R 5 {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m }
además, P ∩ Q 5 {c, d }
Figura 10.22
P ∩ R 5 {d, e }
Q ∩ R 5 {d, i, j }
Diferencia
por tanto: P ∩ Q ∩ R 5 {dd }
Dados dos conjuntos, la diferencia A 2 B es el conjunto de todos
los elementos de A que no pertenecen a B y se define:
A 2 B 5 {x | x ∈ A y x ∉ B}
Al utilizar diagramas de Venn, la operación de diferencia se puede
representar así:
Figura 10.21
Figura 10.23
8. Sean los conjuntos:
F 5 {1, 2, 3, 4}
G 5 {2, 3, 4, 6, 7}
H 5 {3, 4, 7, 8, 9}
entonces: F ∪ G 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
F ∪ H 5 {1, 2, 3, 4, 7, 8, 9}
G ∪ G 5 {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
por tanto: F ∪ G ∪ H 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
además, F ∩ G 5 {2, 3}
F ∩ H 5 {3, 4}
G ∩ H 5 {3, 7}
por tanto: F ∩ G ∩ H 5 {3}
Figura 10.24
La región sombreada representa la diferencia entre los conjuntos
A y B.
Ejemplos
1. Sean los siguientes conjuntos: A 5 {1, 2, 3, 4}, B 5 {1, 3, 5, 7} y
C 5 {3, 4, 5, 6}. Halla:
a ) A 2 B; b ) B 2 C; c ) C 2 A; d ) B 2 A; e ) A 2 A
211
10
BLOQUE
Empleas conceptos elementales de probabilidad
a A 2 B 5 {1, 2, 3, 4} 2 {1, 3, 5, 7} 5 {2, 4}
a)
5
2. Sean los conjuntos A 5 (1, 2, 3, 4), B 5 (2, 4, 6,
8) y C 5 (3, 4, 5, 6). Halla: a ) A 2 B; b ) B 2 C;
c) C 2 A; d ) B 2 A y e ) A 2 A.
a A 2 B 5 {1, 2, 3, 4} 2 {2, 4, 6, 8} 5 {1, 3}
a)
7
6
Figura 10.25
8
b B 2 C 5 {1, 3, 5, 7} 2 {3, 4, 5, 6} 5 {1, 7}
b)
Figura 10.30
4
b B 2 C 5 {2, 4, 6, 8} 2 {3, 4, 5, 6} 5 {2, 8}
b)
6
2
Figura 10.26
8
c C 2 A 5 {3, 4, 5, 6} 2 {1, 2, 3, 4} 5 {5, 6}
c)
Figura 10.31
5
c C 2 A 5 {3, 4, 5, 6} 2 {1, 2, 3, 4} 5 {5, 6}
c)
6
5
Figura 10.27
6
d B 2 A 5 {1, 3, 5, 7} 2 {1, 2, 3, 4} 5 {5, 7}
d)
2
Figura 10.32
d B 2 A 5 {2, 4, 6, 8} 2 {1, 2, 3, 4} 5 {6, 8}
d)
4
1
Figura 10.28
e A 2 A 5 {1, 2, 3, 4} 2 {1, 2, 3, 4} 5 ∅
e)
3
Figura 10.33
Figura 10.29
212
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e A 2 A 5 {1, 2, 3, 4} 2 {1, 2, 3, 4} 5 ∅
e)
que se cumplan dichas probabilidades como el tránsito pesado, un
accidente o una ponchadura de llanta. Podemos saber que ese es el
tiempo estimado para llegar con tiempo a nuestro destino, pero no
sabemos con certeza si lo haremos o no.
Aplica lo que sabes
Figura 10.34
Par ordenado
Par ordenado es aquél en el que se ha determinado el orden de sus
elementos. Un par ordenado se denota por (a, b), a es el primer elemento o componente y b es el segundo elemento o componente.
El Melate es un juego de azar en el que se puede ganar la bolsa cuando
se acierta a los seis números que salen en el sorteo. No se toma en
cuenta el orden en que aparecen los números. Para participar se debe
comprar un boleto en el que se seleccionan seis de los 56 números
que aparecen en la boleta. Si una persona participa con un boleto en
el que eligió únicamente seis números, ¿cuál es su probabilidad de
ganar?
Ejemplos
1. Si para indicar una fecha del año se anotan los datos en el orden
día, mes, el par ordenado (4, 3) indica el día 4 del tercer mes
(marzo), mientras (3, 4) se refiere al día 3 del cuarto mes (abril);
de ahí se deduce que: (4, 3) Z (3, 4).
2. Si en un edificio escolar a cada aula se le asocia un número de dos
cifras que indican: la primera el piso y la segunda el número de aula
(piso, aula), entonces el número 23 se refiere al aula 3 del piso,
mientras el número 32 indica el aula 2 del piso 3; por consiguiente,
el orden de las cifras establece la diferencia, por tanto, los números
23 y 32 se refieren a aulas y pisos diferentes.
3. Si en una unidad habitacional a cada casa se le asocian 2 números
que indican: el primero el condominio y el segundo la vivienda (condominio, vivienda), entonces la casa 5-3 (5, 3) es la vivienda 3 del
condominio 5; la casa 3-5 (3, 5) es la vivienda 5 del condominio 3,
y se comprende que (5, 3) Z (3, 5).
4. Si una persona usa pantalones cuyas medidas de cintura y largo (cintura, largo) son 30 y 31 (30, 31), entonces un pantalón
(31, 30) le quedará ancho en la cintura y corto, pues (30, 31)
Z (31, 30).
En general, el par ordenado (x
(x, yy) es diferente del par (y, xx), es decir (x,
yy) Z (y
(y, xx) a menos que y 5 x.
x
Todos usamos diariamente la probabilidad sin darnos cuenta. Por
ejemplo, al salir en la mañana de nuestras respectivas casas a la escuela o el trabajo, lo hacemos con un tiempo que nosotros tenemos más o menos cuantificado y en ese tiempo sabemos que es
muy probable que lleguemos a tiempo a nuestros lugares de destino; cabe mencionar que no forzosamente llegaremos siempre a
tiempo porque no tenemos control sobre cosas que puedan afectar
Son muy frecuentes las situaciones en las que no podemos predecir con certeza lo que pasará, para estos casos se llevan a cabo predicciones probabilísticas, las cuales se miden abarcando toda una
gama de posibilidades que van desde lo imposible hasta lo seguro
o inevitable, pasando por “muy probable” y “poco probable”.
Con este bloque del libro lo que se pretende es introducir y estudiar las diversas metodologías existentes para conocer la probabilidad de que sucedan los eventos. Por definición la probabilidad se
centra específicamente en el intervalo de los números reales entre
0 y 1, es decir [0, 1], donde el 0 representa lo imposible y el 1 representa al evento seguro o que siempre ocurre, ambos extremos
expresan certeza sobre lo que ocurrirá y lo que no, entre estos exx
tremos existe siempre la duda o incertidumbre entre lo que podría
o no ocurrir.
213
10
BLOQUE
Empleas conceptos elementales de probabilidad
Eventos deterministas y aleatorios
La manera más conveniente y clara de entender los conceptos básicos es a través de un ejemplo básico en el que estos conceptos
salgan a flote.
Supongamos que un entrenador de un equipo de basquetbol desea
saber cuántas faltas cometerá un jugador suyo durante los partidos.
Esto no podrá saberlo mientras no lo revise directamente. Los valores que podría tomar para este experimento es la variable número de
faltas en el partido son 0, 1, 2, 3, 4, 5. El interés del entrenador radica
en saber la probabilidad de que su jugador no cometa ninguna falta
en el partido, o que cometa 1, 2 o hasta 5 faltas en el partido, lo cual
ameritaría la expulsión del jugador. El conjunto comprendido por
los números {0, 1, 2, 3, 4, 5} es el espacio muestral de la variable.
Consideremos que puede haber más de una variable en consideración. Por ejemplo, digamos que además de saber cuántas faltas
comete un jugador, quiere saber el estatus del jugador, es decir si
ese jugador es titular (T) o de reserva (R), de esta manera pueden
considerarse las siguientes posibles combinaciones con un valor
de cada una de las variables consideradas: 0T, 1T, 2T, 3T, 4T, 5T,
0R, 1R, 2R, 3R, 4R, 5R.
R Las combinaciones anteriores forman el
espacio muestral para este caso.
Experimento: Es un procedimiento mediante el cual se genera un
resultado, que puede ser numérico o no numérico, los experimentos se clasifican en dos grandes grupos:
Experimentos
p
aleatorios: son aquellos experimentos cuyo resultado no puede ser predicho con exactitud.
Experimentos
p
determinísticos: los experimentos en los cuales el
resultado ocurre siempre de la misma manera bajo las mismas
condiciones.
Espacio
p muestral discreto: es aquel conjunto de datos o espacio
que es finito o numerable.
Espacio
p muestral continuo: si el espacio está formado por un intervalo o un conjunto de intervalos, se le conoce como continuo.
Actividad de aprendizaje
¿Cómo se determina el espacio muestral?
En el ejemplo consideramos al conjunto {0, 1, 2, 3, 4, 5} como espacio muestral. Antes de comprobarlo directamente, el entrenador
no sabe con certeza cuántas faltas cometerá su jugador y podría plantearse las siguientes preguntas: ¿cometerá a lo más tres faltas? o, tal
vez ¿cometerá cinco faltas y será expulsado?, estas preguntas como
puede verse, generan los conjuntos {0, 1, 2, 3] y {5] respectivamente, los cuales son a su vez subconjuntos del espacio muestral Ω.
Evento: Es cualquier elemento o subconjunto perteneciente al espacio muestral Ω.
Cardinalidad de un evento: si definimos a X como un evento finito, la cardinalidad de X no es otra cosa que el número de elementos que conforman al evento X
X, y se representa como #((X).
Actividad de aprendizaje
¿A qué se le llama evento?
Actividad de aprendizaje
¿Qué diferencia existe entre un experimento aleatorio y uno determinista?
Pueden distinguirse varios tipos de eventos:
Evento simple:
p un evento es simple o elemental si y sólo si su
cardinalidad es igual a 1.
Evento aleatorio: es aquel experimento cuyo resultado no puede ser predicho con exactitud.
Espacio muestral de diversos tipos
de eventos
Espacio muestral: Es el conjunto de todos los posibles resultados
que un experimento arroje, se representa por la letra griega Ω y sus
elementos pueden enlistarse de manera abreviada o explícita. Puede ser de dos tipos: discreto o continuo.
214
Evento compuesto:
p
se le conoce así al evento conformado por
2 o más elementos, es decir, su cardinalidad es mayor a 1.
Evento seguro:
g
se le conoce así al evento que ocurre con certeza, ocurre siempre.
Evento imposible:
p
es llamado así el evento que nunca puede
ocurrir.
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Eventos mutuamente excluyentes:
y
si hay dos elementos definidos
dentro del mismo espacio muestral, se dice que son eventos
mutuamente excluyentes si ambos eventos no pueden ocurrir
nunca al mismo tiempo.
Actividad de aprendizaje
¿Cómo se representa la cardinalidad de un evento?
10.1 Probabilidad clásica
Se conocen diversas definiciones o conceptos de la probabilidad,
pero son más reconocidas dos definiciones en particular: la clásica
y la axiomática. Aquí estudiaremos solamente la probabilidad clásica.
En una mesa de juego Ulises (U)
U reta a 3 amigos suyos a que
si él gana una apuesta no pagará la cena esta noche. Ulises dice
que él apuesta que si se lanzan 2 dados honestos a la mesa la
suma de los números que muestran las caras superiores de los
dados será menor a que si él gana una apuesta no ganará o igual
a 5, Edgar (E) acepta el reto y él a su vez asegura que la suma de
los números de los dados será de 7 u 8, Mariano (M) por su parte decidió apostar por números altos y dijo que serán 11 o 12,
por último, Fabián (F) dijo que él apostaba a que la suma de los
dados sería específicamente 6 o 9. ¿Cuál de estos amigos tiene
mejores posibilidades de cenar gratis el día de hoy?
Empezaremos analizando las posibilidades de Ulises; todos los
amigos saben que los dados pueden caer de 36 (Ω) formas diferentes, las combinaciones ganadoras para Ulises son: {(1, 1), (1, 2),
(1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2) o (4, 1)}, es decir, 10
de las 36 combinaciones posibles, lo cual le da bastante ventaja. Edgar, por su parte apuesta a que los dados caerán en: {(3, 5), (2, 6),
(3, 4), (3, 5), (4, 3), (4, 4), (5, 2), (5, 3), (6, 1) o (6, 2)}, lo que le da
también bastantes posibilidades de ganar la apuesta. Mariano sabe
que ganará si los dados muestran las caras: {(5, 6), (6, 5) o (6, 6)},
mientras que Fabián ganará si las caras tienen los números: {(1, 5),
(2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1), (3, 6), (4, 5), (5, 4) o (6, 3)}. Entonces
calculemos las probabilidades de que gane cada uno:
10 5
5 ≈ 0 . 28 → 28 %.
36 18
10 5
P( E)5 5 ≈ 0 . 29 → 2 9 %.
36 18
P(U )5
1
3
5 ≈ 0 . 083 → 8 . 3 %.
36 12
9 1
P(( )
0 . 2 5 → 25 %.
36 4
P ( M )5
Esto quiere decir que los que más posibilidades tienen de ganar
la apuesta son Ulises y Edgar, ya que entre los 2 sus posibilidades
de ganar son de 54% con 27% cada uno, Mariano por su parte solamente tiene 8.3% de probabilidades, mientras que Fabián tiene
25% de probabilidades. Aunque no debemos olvidar que la posibilidad de que ninguno de ellos gane es de 11%, lo cual no le haría
gracia a ninguno de ellos.
Del ejemplo anterior podemos afirmar que si se considera para
el estudio un experimento aleatorio con n número de posibles
resultados, de esos n posibles resultados, k representa un evento
particular que es de interés; si decimos que A es el evento de interés, su probabilidad de ocurrir se escribe como P(A
( ).
P( A )5
k
n
La definición de la probabilidad clásica indica lo siguiente: si se
considera al evento A definido en un espacio muestral Ω, la probabilidad de que el evento A ocurra está expresada por:
P( A )5
#( A )
#( )
Es decir que para calcular la probabilidad de que ocurra un evento se calcula la cantidad de elementos, o cardinalidad, que definen
al evento A entre la fracción de elementos que definen al espacio
muestral Ω.
También debe de entenderse de que si la probabilidad de que ocu#( A )
, la probabilidad de que no ocurra,
rra el evento A es P( A )5
#( )
es decir, de que ocurran los eventos complementarios al evento A
( ).
es: P(A
( C) 5 1 2 P(A
Aplica lo que sabes
En nuestro planeta se han generado las condiciones que nos permiten
vivir. Si continuamos alterándolas nos destruiremos.
Recordemos que formamos parte del ambiente en el que vivimos. Cuidémoslo.
El uso del agua en el baño.
¿Cómo puedes determinar, por minuto, el volumen de agua que sale
del lavabo?
¿Cuánto tiempo tardas en bañarte?
215
10
BLOQUE
Empleas conceptos elementales de probabilidad
¿Cómo puedes determinar la cantidad de litros de agua que consumes
al bañarte?
¿Qué cantidad de agua consumes en el baño a la semana?¿Al mes?
¿Qué se puede hacer para usar de manera eficiente el agua?
¿Qué medidas concretas se pueden adoptar para contribuir al ahorro
de agua?
Probabilidad de eventos compuestos
Técnicas de conteo
Se conocen varias técnicas del análisis combinatorio que permiten
establecer cuántos elementos tiene un espacio muestral dado. Dichas técnicas se explican y ejemplifican a continuación.
Principio de la multiplicación
Alfredo quiere comprar una nueva motocicleta y sabe que ésta
r
puede configurarse con 3 tipos de asiento (Deportivo, Clásico, Personalizado), 2 tipos de motor (V,
V L) y 3 tipos de llantas (Deportivas,
Todo terreno, Planas). Él debe analizar todas las posibles configuraciones para tomar una decisión, para lo que organizó sus datos
como se muestra:
⎧ Deportivo ( D)
⎪
Asiento ( A )⎨Clásico (C )
⎪ Personalizado ( P )
⎩
⎧V
Motor ( M )⎨
⎩L
⎧ Deportivas ( D)
⎪
Llantas ( L )⎨Todo terreno (T )
⎪ Planas ( P )
⎩
216
azar la selección de la configuración. Para esto hizo un diagrama
con las posibles combinaciones; de esta manera escribió en 18 papeles las distintas posibilidades: (AD
( , MV,
V LD), (AC
( C, ML, LP)…
((AP, ML, LP), y escogió una configuración de entre esos papeles.
⎧ ⎧
⎧ LD
⎪ ⎪ MV ⎪⎨ LT
⎪ ⎪
⎪⎩ LP
⎪ AD ⎨
⎧
⎪ ⎪
⎪ LD
ML
⎨ LT
⎪ ⎪
⎪⎩ LP
⎪
⎪ ⎩
⎪ ⎧
⎧ LD
⎪ ⎪ MV ⎪⎨ L T
⎪⎪ ⎪
⎩⎪ LP
⎨ AC ⎨
⎧⎪ LD
⎪ ⎪
ML
⎨ LT
⎪ ⎪
⎪
⎩⎪ LP
⎪ ⎩
⎪ ⎧
⎧ LD
⎪ ⎪ MV ⎪⎨ LT
⎪ ⎪
⎪⎩ LP
⎪ AP ⎨
⎧⎪ LD
⎪ ⎪
ML
⎨ LT
⎪ ⎪
⎪⎩ ⎩
⎩⎪ LP
Esto demuestra que si un suceso S1 ocurre de M1 maneras y un
suceso S2 se presenta a su vez de M2 maneras, el suceso que comprende (S1 y S2), ocurre de (M1 3 M2) maneras diferentes; para
este caso tenemos que:
3 3 2 3 3 5 18 configuraciones distintas
Principio de la adición
Una familia que ha decidido comprar una camioneta para hacer
sus viajes de manera más cómoda, ha reunido el dinero suficiente
para comprarla y sus opciones son:
⎧ Escape
⎪
Ford ⎨ Explorer
⎪ Expedition
⎩
Actividad de aprendizaje
¿En qué consiste el conteo?
⎧Town Country
Chrysler ⎨
⎩ Aspen
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En Ford tienen 3 opciones a elegir, mientras que en Chrysler tienen sólo 2 alternativas, es decir que en total tienen 3 + 2 5 5 opciones. Debe de notarse que la opción que decidan será de Ford o de
Chrysler.
Así podemos demostrar que si el suceso S1 ocurre de k1 diferentes
maneras y el suceso S2 pasa de k2 formas, entonces el suceso (S1 o
S2) puede ocurrir de (k1 + k2) diferentes formas.
Se puede generalizar la regla de la siguiente manera si los sucesos
S1, S2, S3, …, Sn, ocurren de n1, n2, n3, …, nn formas diferentes, entonces el suceso (S1 o S2 o S3 o … Sn) se presenta de (n1 + n2 + n3 +
… nn) distintas maneras.
Preguntas
1. ¿En qué consiste el principio de la adición?
2. ¿Qué diferencia o similitud tienen entre ellos el principio de la
multiplicación y el principio de la adición?
Para entender mejor la probabilidad y hacer más fácil el cálculo
combinatorio de las diversas opciones de un caso en particular
pueden ser de mucha utilidad las siguientes herramientas.
Ordenaciones
Si se tiene un conjunto Z, del cual conocemos el número de elementos que lo conforman, se dice que el subconjunto Y de Z es una
muestra de tamaño k obtenida sin reemplazo si cada elemento de
Z puede formar parte de Y una sola vez. Si se diera el caso de que
cada elemento de Z puede estar repetido en Y se dice que es un
muestreo con reemplazo.
Ordenaciones con repetición
Si lanzamos una moneda al aire, sabemos que los posibles resultados son águila (H) o sol (T), es decir Ω 5 {H, T}. Si se lanza por
segunda vez la moneda los posibles resultados serán:
⎧( H , H ), (T , H )⎫
⎨
⎬
⎩ ( H , T ), (T , T ) ⎭
Si se lanza la moneda por tercera vez, entonces los posibles resultados son:
⎧( H , H , H ), (T , H , H ), ( H , T , H ), (T , T , H )⎫
⎨
⎬
⎩ ( H , H , T ), (T , H , T ), ( H , T , T ), (T , T , T ) ⎭
Notemos que al principio solamente se tenía un conjunto con
dos elementos: {H, T}, y que en los lanzamientos consecutivos el
número de elementos del conjunto pueden calcularse fácilmente
multiplicando el número de elementos que conforman el conjunto
anterior, por el número de elementos del conjunto original, en esta
caso, el número 2.
Si se analiza ahora el conjunto original conformado por tres elementos: {A, B, C}, se pueden obtener inmediatamente tres arreglos
de un solo elemento, es decir: {A}, {B}, {C}. A partir de estos tres
arreglos de un elemento pueden generarse los siguientes arreglos de 2 elementos: {A, A}, {A, B}, {A, C}, {B, A}, {B, B}, {B, C},
{C, A}, {C, B}, {C, C}, que son 3 3 3 5 9 arreglos; si de estos arreglos se escogieran arreglos de 3 elementos, entonces se tendrían 9
3 3 5 27 arreglos.
De manera general con los ejemplos anteriores se puede decir que
de un conjunto original de n elementos pueden obtenerse n arreglos de 1 elemento y hasta nk21(n) 5 nk arreglos de k elementos.
Los arreglos con repetición de k elementos de un conjunto original
con n elementos son las ordenaciones de los n elementos de un conjunto tomándolos de k en k y se simbolizan de la siguiente manera:
(OR )nk = n k , donde k > 0
Factorial de un entero no negativo
Si tenemos cualquier número entero no negativo n, el factorial de
n se representa con n!, y se define como n! 5 n(n 2 1)(n 2 2)…
(n 2 n + 1), es decir, que el factorial de un número es igual al producto o multiplicación de todos los números naturales enteros
anteriores al mismo. Su importancia radica en que es una herramienta muy útil para cálculos combinatorios.
7!
, enDigamos que deseamos calcular los valores de 5! y de
(6 – 2)!
tonces realizamos las siguientes operaciones:
5! 5 5(4)(3)(2)(1) 5 120
7!
7! 7 36 3 5 3 4 333 2 31
5 210
5 5
(6 2 2)! 4 !
4 333 2 31
Permutaciones
Un pastelero tiene disponibles 4 sabores distintos de pasteles:
fresas con crema (1), chocolate (2), tres leches (3) y piñón (4), y
ha decidido repartirlos con 4 conocidos suyos: Juan (J), Xóchitl
(X), Luis (L) y Manuel (M) para que prueben sus nuevos pasteles, de manera que cada uno de sus pasteles sea probado por cada
uno de sus conocidos de sabor en sabor. Si puede hacer uno de
217
10
BLOQUE
Empleas conceptos elementales de probabilidad
cada uno de los pasteles al día y los reparte entre sus conocidos,
¿cuántos días durará su reparto de muestras gratis?
Actividad de aprendizaje
La primera asignación podría ser: {(J
(J, 1), (X, 2), (L, 3), (M,
M 4)},
al día siguiente la combinación sería tal vez: {(J
(J, 3), (X, 4), (L, 1),
(M,
M 2)}, y así sucesivamente. El procedimiento y el criterio para
hacer las asignaciones son muy similares a los de las ordenaciones
sin repetición.
¿Qué es una permutación y qué una combinación?
Digamos que el pastelero decide darle a probar a Juan sus pasteles
primero, entonces Juan puede elegir cualquiera de las 4 rebanadas,
entonces si el pastelero va después con Xóchitl, ella solamente podrá
escoger entre 3 rebanadas distintas, ya que la primera la tomó Juan,
Posteriormente Luis podrá escoger entre sólo dos rebanadas y finalmente Manuel tendrá que probar la rebanada que haya quedado.
Si se aplica el principio de la multiplicación visto anteriormente,
entonces podemos obtener el número total de asignaciones así:
4 3 3 3 2 3 1 5 24 posibles asignaciones
Es decir que el pastelero tendrá que dedicar 24 días a su experimento.
De manera general podemos decir que si se tiene un conjunto de n
elementos, una permutación de tamaño kk, con k ≤ n, se define como
un subconjunto con k elementos arreglados de tal manera que:
El arreglo tiene exactamente k elementos.
Los k elementos son diferentes.
El orden en que aparecen los k elementos es importante.
El número de permutaciones de n elementos, formando arreglos
de tamaño k es representado por Pkn.
n!
(n k )!
Si se desea saber cuál es el número de permutaciones de tamaño 2
que pueden hacerse con 4 frutas, digamos: guayaba, manzana, pera
y durazno.
Pkn 5
En este caso sabemos que n 5 4 y k 5 2, entonces calculamos el
número de permutaciones posibles que es:
Pkn 5
4!
4 ! 4 333 2 31
n!
512
5
5 5
(n 2 k )! ( 4 2 2)! 2!
2 31
Combinaciones
Una empresa de consultoría para la construcción tiene 8 consultores expertos, los cuales normalmente van en parejas a visitar a sus
distintos clientes; si por el momento la empresa tiene 25 clientes y
quieren que cada cliente sea visitado por una pareja distinta, ¿son
suficientes los consultores para llevar a cabo estas visitas?
Si definimos a los consultores como {C1, C2, C3, C4, C5, C6, C7, C8},
entonces si seleccionamos al consultor C1 , éste puede ir acompa218
ñado de cualquiera de los otros siete consultores restantes, lo que
daría origen a las siguientes posibles parejas: (C1, C2), (C1, C3),
(C1, C4), (C1, C5), (C1, C6), (C1, C7), (C1, C8); si se selecciona al
consultor C2 , éste podría ir acompañado por los demás agentes formando las parejas: (C2, C1), (C2, C3), (C2, C4), (C2, C5),
(C2, C6), (C2, C7), (C2, C8), pero no debemos pasar por alto que
la pareja (C1, C2), es igual a la pareja (C2, C1), porque son los dos
mismos agentes seleccionados, por lo que con el consultor número
2 sólo se han formado 6 parejas diferentes a las que formó el consultor número 1; si seguimos con este ejercicio podemos ver que
con C3 se forman cinco parejas nuevas, con C4 sólo cinco parejas
diferentes y así sucesivamente hasta que vemos que con el agente
C8 no se forma ninguna pareja nueva.
Entonces, aplicando el principio de la adición sabemos que pueden formarse 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 5 28 parejas distintas, por lo
que los agentes de la consultora son suficientes para visitar a sus
25 clientes por parejas, siendo cada pareja diferente.
En un conjunto de n elementos, una combinación de tamaño kk, con
k ≤ n, se define como un arreglo de k elementos de tal forma que:
El arreglo tiene exactamente k elementos.
Los k elementos son diferentes.
No importa el orden en que aparecen los k elementos.
El número de combinaciones de n elementos, formando arreglos
de tamaño k es representado por C kn.
C kn 5
n!
k ! (n k )!
Si queremos saber cuántas combinaciones pueden hacerse con las
letras o, p, q, r y s, considerando arreglos de 3 elementos, se tendría
que proceder como sigue:
Se sabe que n 5 5 y k 5 3, con estos datos ya nos es posible calcular el
número de posibles combinaciones resultantes:
5 3 4 333 2 31
n!
5!
5!
510
C kn 5
5
5
5
k !(n 2 k )! 3!(5 23)! 3! ⋅ 2! (33 2 31)(2 31)
Pregunta
1. ¿Cuál es la principal diferencia entre las permutaciones y las
combinaciones?
Grupo Editorial Patria®
Instrumentos de evaluación
Apellido paterno
Apellido materno
Nombre
Grupo
Asegúrate de haber adquirido los contenidos que se abordan en el Bloque 10. Para ello, realiza lo que se te pide a continuación.
1. ¿Cuál es la cardinalidad del espacio muestral Ω si se lanzan dos
dados honestos?
6. Si la probabilidad de que ocurra el evento F es de P (F ) 5 0.14,
¿cuál es la probabilidad de que no suceda?
a ) 6.
a ) P (F c ) 5 0.36
b ) 12.
b ) P (F c ) 5 0.48
c ) 24.
c ) P (F c ) 5 0.67
d ) 36.
d ) P (F c ) 5 0.86
2. Si el evento A tiene más de un elemento que lo conforme, se dice
que es un:
7. ¿De cuántas maneras pueden acomodarse 8 carros en un estacionamiento con 8 lugares disponibles?
a ) Evento simple.
a ) 240.
b ) Evento compuesto.
b ) 1 440.
c ) Evento seguro.
c ) 5 040.
d ) Evento imposible.
d ) 4 0320.
3. Un auto para venta puede configurarse con 2 tipos de asiento,
3 tipos de motor, 6 colores y 3 tipos de llantas. ¿Cuántas configuraciones posibles existen?
8. Si se consideran las 27 letras del alfabeto y los 10 dígitos, ¿cuántas claves de 6 elementos pueden hacerse si debe haber 3 letras
y 3 números?
a ) 108.
a ) 50 000 000
b ) 256.
b ) 19 663 317
c ) 288.
c ) 56 789 876
d ) 300.
d ) 75 643 987
4. Si hay 5 colores de tela diferentes, ¿cuántas combinaciones de
2 colores pueden hacerse?
a ) 5.
b ) 7.
c ) 10.
d ) 14.
5. Si se lanzan 2 dados honestos al aire, la posibilidad de que la
suma de las caras superiores sea menor o igual a 4 (evento E ) es:
1
6
1
b ) P( E)5
12
1
c ) P( E)5
24
1
d ) P( E)5
36
a ) P( E)5
9. ¿Qué probabilidad hay de que una persona X sea elegida entre
200 personas si 40 van vestidas de color amarillo, 60 de color
rojo y 100 de color negro? No importa el color del que vayan
vestidas:
1
200
1
b ) P( X )5
100
1
c ) P( X )5
60
1
d) P( X )5
40
a ) P( X )5
219
10
BLOQUE
Empleas conceptos elementales de probabilidad
10. Si de las mismas 200 personas se eligen 2 personas al azar, ¿qué
probabilidad hay de que al menos una de las personas esté vestida de color rojo?
1
20
79
b ) P( R )5
200
394
c ) P( R )5
995
1 187
d ) P( R )5
1 990
a ) P( R )5
Rúbrica
Nombre del alumno:
Bueno
(3)
Regular
(2)
Eventos deterministas Conoce y distingue con
claridad los eventos
y aleatorios
deterministas y aleatorios
Conoce y distingue eventos
deterministas y aleatorios
Conoce y distingue algunos
eventos deterministas y
aleatorios
No conoce ni distingue los
eventos deterministas y
aleatorios
Espacio muestral
de diversos tipos de
eventos
Conoce y determina el
Espacio muestral de
diversos tipos de eventos
Conoce el Espacio muestral
de diversos tipos de eventos
Conoce el espacio muestral
de algunos tipos de eventos
Conoce y determina el
espacio muestral de
diversos tipos de eventos
Probabilidad clásica
de un evento
aleatorio
Conoce, obtiene y aplica la
probabilidad clásica de un
evento aleatorio
Conoce y aplica la
probabilidad clásica de un
evento aleatorio
Conoce la probabilidad
clásica de algunos eventos
aleatorios
No conoce, no obtiene,
ni aplica la probabilidad
clásica de un evento
aleatorio
Probabilidad de
eventos compuestos
Conoce, obtiene y aplica
la probabilidad de eventos
compuestos
Conoce y aplica la
probabilidad de eventos
compuestos
Conoce la probabilidad
de algunos eventos
compuestos
No conoce, no obtiene,
ni aplica la probabilidad
clásica de un evento
aleatorio
Aspecto a evaluar
Criterios
220
Excelente
(4)
Deficiente
(1)
Grupo Editorial Patria®
Autoevaluación:
Cada alumno se evalúa a sí mismo con base en las notas realizadas en su portafolio.
Coevaluación
Se realiza por medio del portafolio. Cada alumno presenta su portafolio a otro y el evaluador hará un registro de sus observaciones.
Heteroevaluación: A través de una rúbrica se evaluará el cómo resolvieron los alumnos los problemas. Por equipos, cada compañero evalúa a
otro por medio de una escala de rango.
Escala de rango
Aspectos a evaluar
1
2
3
4
5
Equipo 2
Equipo 3
Equipo 4
Equipo 5
Explica el problema, con claridad
Explica sus ideas y procedimientos
Investiga y propone más de una solución
Argumenta en la discusión del resultado de una solución
Participa con preguntas a la clase, tales como: ¿será esta la única
manera de resolverlo?, ¿es ésta la única solución posible?, ¿qué pasa
si...?
Contesta las preguntas realizadas por sus demás compañeros/as
Está atento y respeta la participación de sus compañeros
Nunca = 1; Raramente = 2; Algunas veces = 3; Casi siempre = 4; Siempre = 5
Hoja de observación para el trabajo por equipos
Criterios
Equipo 1
Intercambian ideas antes de iniciar las actividades acordadas
Colaboran en la investigación de datos, conceptos, definiciones,
ejemplos, etcétera
Atienden y respetan las opiniones de los demás
Comparten y discuten la información aportada
Proponen explicaciones y aplicaciones de lo investigado
Aplican el razonamiento con una base científica
Registran y sistematizan sus observaciones
Claves: NS (No Suficiente), S (Suficiente), B (Bien), MB (Muy bien)
221
Glosario
Ángulo semiinscrito de una circunferencia. El que está formado por una cuerda y una tangente.
Altura de un triángulo.
Ángulos adyacentes. Dos ángulos que tienen el mismo vértice y
un lado común situado entre los lados no comunes.
Ángulo.
Ángulos alternos externos. Dos ángulos situados a uno y otro
lado de la transversal (alternos) y fuera de las paralelas (externos).
Ángulo agudo. Es aquél cuyo valor es menor de 90°.
Á
Ángulos alternos internos. Ángulos situados a uno y otro lado de
la transversal (alternos) y dentro de las paralelas (internos).
Ángulo central de una circunferencia. El que está formado por
dos radios.
Ángulos colaterales externos. Dos ángulos situados en el mismo
lado de la transversal (colaterales) y fuera de las paralelas (externos).
Ángulo central de un polígono regular. Aquel que se opone a
cada lado del polígono.
Ángulos colaterales internos. Dos ángulos situados en el mismo
lado de la transversal (colaterales) y dentro de las paralelas (internos).
Ángulo exterior de una circunferencia. El que está formado
por dos segmentos secantes que se cortan en un punto fuera del
círculo.
Ángulo exterior de un polígono. El que se forma cuando se prolongan los lados de un polígono en un mismo sentido entre estas
prolongaciones y los lados del polígono.
Ángulo exterior de un triángulo. El que se forma por la prolongación de un lado y el siguiente. Las prolongaciones de los lados del
triángulo se hacen en un mismo sentido.
Ángulos complementarios. Dos ángulos cuya suma de medidas
es de 90°. Cada uno de los ángulos es el complemento del otro.
Ángulos opuestos al vértice. Ángulos cuyos lados forman dos
pares de rayos opuestos.
Ángulos suplementarios. Dos ángulos cuya suma de medidas es
de 180°. Cada uno de los ángulos es el suplemento del otro.
Cardinalidad de un evento. Número de elementos que conforman al evento X
X, se representa como #((X).
Ángulo inscrito de una circunferencia. El que está formado por
dos cuerdas y tiene su vértice sobre la circunferencia.
Círculo. Es la superficie del plano limitada por una circunferencia.
Ángulo interior de una circunferencia. Aquel que está formado
por dos cuerdas que se cortan.
Círculo trigonométrico. Aquél cuyo radio es la unidad de longitud, r = 1.
Ángulo interior de un polígono regular. El que está formado
por dos lados consecutivos.
Circunferencia. Curva cerrada cuyos puntos están en un mismo
plano y a igual distancia de otro punto interior llamado centro de
la circunferencia.
Ángulo llano. Aquél cuyo valor es de 180°.
Ángulo obtuso. Aquél cuyo valor es mayor de 90°, pero menor de
180°.
Ángulo recto. Aquél cuyo valor es de 90°.
222
Clasificación de ángulos. Según su amplitud son agudo, recto,
obtuso y llano.
Combinación. Número de formas diferentes que se pueden seleccionar de n objetos de un total de N objetos distintos.
Grupo Editorial Patria®
Congruencia de dos o más figuras. Significa que tienen la misma
forma y el mismo tamaño.
Criterios de congruencia de triángulos. Son los que establecen
las condiciones por la cuales se puede afirmar que dos triángulos
son congruentes.
Criterios de semejanza de triángulos. Son los que establecen las
condiciones por las que se puede afirmar que dos triángulos son
semejantes.
Cuerda. Segmento de recta que une dos puntos de la circunferencia.
Desviación estándar. Es la raíz cuadrada del cuadrado medio de
las desviaciones a la media.
Eventos mutuamente excluyentes. Si hay dos elementos definidos dentro del mismo espacio muestral, se dice que son eventos
mutuamente excluyentes si ambos eventos no pueden ocurrir nunca al mismo tiempo.
Experimento. Procedimiento mediante el cual se genera un resultado, el cual puede ser numérico o no numérico. Los experimentos
se clasifican en dos grandes grupos: aleatorios y determinísticos.
Experimentos aleatorios. Experimentos cuyo resultado no puede ser predicho con exactitud.
Experimentos determinísticos. Experimentos en los cuales el
resultado ocurre siempre de la misma manera bajo las mismas condiciones.
Diámetro. Cuerda que pasa por el centro de la circunferencia.
Frecuencia absoluta. Número de veces que aparece cierto valor
en un estudio estadístico.
Elementos homólogos de dos o más figuras. Son los elementos
que se corresponden, ya sea ángulo con ángulo o lado con lado.
Frecuencia acumulada. Es la suma de todas las frecuencias absolutas de todos los valores inferiores o iguales al valor considerado.
Espacio muestral. Es el conjunto de todos los posibles resultados
que un experimento arroje, se representa por la letra griega Ω y sus
elementos pueden enlistarse de manera abreviada o explícita. Puede ser de dos tipos: discreto o continuo.
Frecuencia relativa. Cociente entre la frecuencia absoluta de un
determinado valor y el número total de datos.
Espacio muestral continuo. Si el espacio está formado por un intervalo o un conjunto de intervalos, se le conoce como continuo.
Espacio muestral discreto. Conjunto de datos o espacio que es
finito o numerable.
Funciones trigonométricas. Entre los lados de un triángulo rectángulo se pueden establecer seis relaciones por cociente o relaciones geométricas cuyo valor depende del ángulo respecto del cual
se establecen.
Evento. Es cualquier elemento o subconjunto perteneciente al espacio muestral Ω.
Ley de los cosenos. En todo triángulo, el cuadrado de un triángulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos
lados menos el doble producto de estos dos lados por el coseno del
ángulo comprendido.
Evento aleatorio. Experimento cuyo resultado no puede ser predicho con exactitud.
Ley de los senos. En todo triángulo los lados son proporcionales a
los senos de los ángulos opuestos.
Evento compuesto. Es el evento conformado por 2 o más elementos, es decir, su cardinalidad es mayor a 1.
Media de un conjunto de datos. Cociente de la suma de datos
entre el número de datos.
Evento imposible. Es el evento que nunca puede ocurrir.
Mediana de un conjunto ordenado de datos. Valor central de la
colección si es impar o el cociente de la suma de los dos valores
centrales entre dos si es par.
Evento seguro. Evento que ocurre con certeza, que ocurre siempre.
Evento simple. También conocido como evento elemental, si y
sólo si, su cardinalidad es igual a 1.
Moda de un conjunto de datos. Valor que aparece con mayor
frecuencia.
Muestra. Subconjunto de la población.
223
Glosario
Ordenación. Disposición habitual de cosas o personas.
Pares de ángulos. Pueden ser opuestos por el vértice, adyacentes.
Por la suma de sus medidas pueden ser complementarios, suplementarios.
Permutación. Cada arreglo de datos donde el orden es importante y que puede realizarse tomando algunos datos o todos los datos
contenidos en el grupo.
Población. Conjunto sobre el cual estamos interesados en obtener conclusiones.
Poligonal. Es la figura formada por segmentos rectilíneos colocados uno a continuación de otro y siguiendo distintas direcciones,
en la que el extremo final del primero es coincidente con el extremo inicial del segundo, el extremo final de éste es el extremo inicial
del tercero y así sucesivamente. Así, dos segmentos consecutivos
sólo tienen un punto común y un segmento cualquiera sólo tiene
en común con otros dos sus puntos extremos.
Polígono. Es la figura delimitada por una poligonal cerrada donde
los segmentos son los lados del polígono y los puntos de intersección de los segmentos son los vértices del polígono.
Polígono cóncavo. Aquél en el que una recta secante puede cortarlo en más de dos puntos.
Polígono convexo. Aquél en el que cualquier recta secante sólo lo
corta en dos de sus lados.
Radio. Segmento de recta que une el centro de la circunferencia
con un punto cualquiera de la misma.
Rango. Diferencia entre los valores máximo y mínimo de un conjunto de datos.
Secante. Recta que corta a la circunferencia en dos puntos (partes).
Semejanza de dos o más figuras. Indica que tienen la misma forma.
Semicírculo. Mitad de un círculo.
Semicircunferencia. Mitad de una circunferencia.
Suma de los ángulos interiores de un triángulo. Es igual a 180°.
Tangente. Recta que toca a la circunferencia en un punto.
Teorema de Pitágoras. En todo triángulo rectángulo el área del
cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las
áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.
Triángulo. Está formado por tres puntos no alineados en el plano
y los segmentos que lo determinan.
Triángulo equilátero. Aquel que tiene sus tres lados iguales.
Triángulo escaleno. Es el que no tiene lados iguales.
Polígono equiángulo. El que tiene sus ángulos interiores iguales.
Triángulo isósceles. Aquel que tiene por lo menos dos lados iguales.
Polígono equilátero. El que tiene sus lados iguales.
Triángulo rectángulo. Es el que tiene un ángulo recto.
Polígono irregular. Aquél que no es a la vez equilátero y equiángulo.
Triángulos congruentes. Son aquellos que tienen congruentes
sus elementos homólogos.
Polígono regular. Aquél que es a la vez equilátero y equiángulo.
Triángulos semejantes. Aquellos que tienen sus ángulos respectivamente congruentes y sus lados homólogos son proporcionales.
Probabilidad. Rama de las matemáticas que estudia de manera
numérica los eventos que generan incertidumbre.
Probabilidad clásica. Aquella que se toma de manera objetiva. La
probabilidad de un evento A, P(A), es la medida de la posibilidad
de que ese evento ocurra.
224
Variable. Atributo que nos interesa estudiar en una muestra o población.
Varianza. Cuadrado de la desviación estándar.
Grupo Editorial Patria®
Bibliografía
Abraham de Moivre (2008, julio). Recuperado el 18 de agosto de 2009, de http://elsecretodezara.blogspot.
A
com/search?q=abraham+de+moivre
Barnett, Raymond A. Álgebra y trigonometría, McGraw-Hill, México, 1986.
Britton, Jack R. e Ignacio Bello. Álgebra y trigonometría contemporáneas, Harla, México, 1982.
Clemens, Stanley R., Phares G. O´Daffer, Thomas J. Cooney. Geometría con aplicaciones y solución de problemas.
Addison-Wesley Iberoamericana, E.U.A., 1989.
García Arenas, Jesús, Celestí Bertran De Infante. Geometría y experiencias, Editorial Alhambra, México, 1990.
Instituto Nacional de Estadística y Geografía, inegi, http://www.inegi.gob.mx
Kelly, Timothy J., et al. Álgebra y trigonometría, Trillas, México, 1996.
Leithold, Louis. Álgebra y trigonometría con geometría analítica, Oxford University Press México, México, 1994.
Lizárraga Gaundry, Ignacio M. y Márquez y Obscura, Susana. Colección Educación Media Superior, Matemáticas
(Vol. 9: Probabilidad). Naucalpan de Juárez, Estado de México, México: McGraw-Hill (1980).
Mendehall, William, Introducción a la probabilidad y estadística, Thomson, 2008.
Montero Lorenzo, José Ma. Estadística descriptiva, Thomson, 2007.
Peterson, John C. Matemáticas básicas. Álgebra, trigonometría y geometría analítica, Compañía Editorial Continental ((cecsa), México, 1998.
Wackerly, D. Estadística matemática con aplicaciones, Thomson Internacional, 2002.
W
225
Vínculos en Internet
Vínculos en Internet
http://www.mathworks.com
http://www.wolframresearch.com
http://www.geoan.com
226