Matemáticas1(2)Ortiz

MATEMATICAS
segunda edición
Francisco José Ortiz Campos
Serie integral
por competencias
1
Francisco José Ortiz Campos
primera edición ebook 2014
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Renacimiento 180,
Col. San Juan Tlihuaca,
Azcapotzalco, 02400,
México, D.F.
Grupo Editorial Patria®
División Bachillerato, Universitario y Profesional
Dirección editorial: Javier Enrique Callejas
Coordinación editorial: Alma Sámano Castillo
Diseño de interiores y portada: Juan Bernardo Rosado Solís
Supervisión de preprensa: Miguel Ángel Morales Verdugo
Diagramación: Juan Castro Salgado
Ilustraciones: Carlos Enrique León Chávez y José Luis Mendoza Monroy
Fotografías: Thinkstock
Matemáticas 1.
e-Mail:
[email protected]
Serie integral por competencias
Derechos reservados:
©2014, Francisco José Ortiz Campos
©2014, Grupo Editorial Patria, S.A. de C.V.
ISBN ebook: 978-607-438-980-7
Fax pedidos:
(0155) 5354 9109 s 5354 9102
sitio web:
www.editorialpatria.com.mx
Renacimiento 180, Col. San Juan Tlihuaca,
Delegación Azcapotzalco, Código Postal 02400, México, D.F.
Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana
Registro núm. 43
Queda prohibida la reproducción o transmisión total o parcial del contenido de la presente obra en
cualesquiera formas, sean electrónicas o mecánicas, sin el consentimiento previo y por escrito del editor.
Impreso en México / Printed in Mexico
teléfono:
(0155) 53 54 91 00
Primera edición ebook: 2014
Grupo Editorial Patria®
Contenido
BLOQUE
1
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2
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3
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4
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5
Introducción a la asignatura y a tu libro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V
Competencias genéricas del Bachillerato General . . . . . . . . . . . . VIII
Competencias disciplinares básicas del campo
de las matemáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IX
Las secciones de tu libro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X
Resuelves problemas
aritméticos y algebraicos
Utilizas magnitudes
y números reales
Realizas sumas y sucesiones
de números
Realizas transformaciones
algebraicas I
Realizas transformaciones
algebraicas II
1.1 Representación de relaciones entre magnitudes . . . . . . . . .
1.2 Modelos aritméticos o algebraicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
13
2.1 Números reales: representación y operaciones . . . . . . . . . .
2.2 Tasas, razones, proporciones y variaciones . . . . . . . . . . . . . . .
35
46
3.1 Representación de relaciones entre magnitudes . . . . . . . . .
3.2 Modelos aritméticos o algebraicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
68
4.1 Representación de relaciones entre magnitudes . . . . . . . . .
4.2 Modelos aritméticos o algebraicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
85
5.1 Representación de relaciones entre magnitudes . . . . . . . . . 102
5.2 Modelos aritméticos o algebraicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
III
Contenido
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6
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7
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8
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9
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10
Resuelves ecuaciones
lineales I
Resuelves ecuaciones
lineales II
Resuelves ecuaciones
lineales III
6.1 Representación de relaciones entre magnitudes . . . . . . . . . 124
6.2 Uso de la calculadora, graficadora y/o una computadora . . 129
6.3 Modelos aritméticos o algebraicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
7.1 Representación de relaciones entre magnitudes.. . . . . . . . . 158
7.2 Modelos aritméticos o algebraicos.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
8.1 Representación de relaciones entre magnitudes . . . . . . . . . 174
8.2 Modelos aritméticos o algebraicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
9.1 Representación de relaciones entre magnitudes . . . . . . . . . 195
9.2 Modelos aritméticos o algebraicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
Resuelves ecuaciones
cuadráticas I
Resuelves ecuaciones
cuadráticas II
10.1 Representación de relaciones entre magnitudes .. . . . . . . 217
10.2 Modelos aritméticos o algebraicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
Glosario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
Vínculos en Internet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
IV
Grupo Editorial Patria®
Introducción
a la asignatura y a tu libro
Francisco José Ortiz Campos
El contenido temático de esta segunda edición de Matemáticas 1 se ha modificado y enriquecido para adecuarlo
al programa vigente de la asignatura.
Esta obra se desarrolla en diez bloques que son:
Bloque 1
Resuelves problemas aritméticos y algebraicos
Inicia con el planteamiento y resolución de problemas aritméticos. A través del lenguaje algebraico se busca generalizar la aritmética. Se proponen algunos problemas para cuya resolución se puede recurrir a su representación
por medio de figuras geométricas o dibujos.
Bloque 2
Utilizas magnitudes y números reales
El concepto de valor absoluto se utiliza como antecedente de las operaciones con enteros. Se revisan las operaciones con racionales. Incluye múltiplos y divisores, mínimo común múltiplo y máximo común divisor.
Las razones y proporciones aparecen como antecedente de la variación proporcional directa e inversa.
Bloque 3
Realizas sumas y sucesiones de números
Se trata lo relacionado con las sucesiones lineales y geométricas así como la determinación de la suma de sus series
correspondientes.
Bloque 4
Realizas transformaciones algebraicas I
Trata lo relacionado con las operaciones de polinomios con una variable, algunos productos notables y su factorización, triángulo de Pascal y binomio de Newton.
Bloque 5
Realizas transformaciones algebraicas II
Trata lo relacionado con la factorización de trinomios de la forma x2 1 mx 1 n y ax2 1 bx 1 c
V
Introducción a la asignatura y a tu libro
Para terminar el bloque, se desarrolla el tema de simplificación de fracciones algebraicas en la que tienen aplicación los conceptos antes estudiados.
Bloque 6
Resuelves ecuaciones lineales I
Aborda ecuaciones de primer grado con una incógnita; se establece la relación entre la ecuación de primer grado y
la función lineal; se hace la interpretación gráfica de la función lineal y su relación con la ecuación de primer grado.
Bloque 7
Resuelves ecuaciones lineales II
Los sistemas de ecuaciones simultáneas lineales con dos incógnitas son resueltos por métodos algebraicos, también se utiliza el método gráfico y se hace una interpretación de los casos que se presentan.
Bloque 8
Resuelves ecuaciones lineales III
Los sistemas de ecuaciones simultáneas de tres ecuaciones con tres incógnitas se resuelven por reducción y con la
regla de Cramer y se hace una interpretación de los casos en que es posible o no una solución.
Bloque 9
Resuelves ecuaciones cuadráticas I
Inicia con el planteamiento de problemas que dan lugar a una ecuación cuadrática con una incógnita como modelo matemático, se revisan los métodos algebraico y gráfico para resolverlos, así como la fórmula general y se analiza
la naturaleza de las raíces de la ecuación.
Bloque 10
Resuelves ecuaciones cuadráticas II
Aborda ecuaciones de segundo grado con una incógnita; se establece la relación entre la ecuación de segundo
grado y la función cuadrática; se hace la interpretación gráfica de la función cuadrática y su relación con la ecuación de segundo grado.
Cada bloque inicia con su nombre e incluye: objetos de aprendizaje, las competencias a desarrollar y los desempeños por alcanzar; una introducción, una propuesta de trabajo, un conjunto de ejercicios y problemas como
propuestas de situaciones didácticas.
En esta obra se dan a conocer algunos lineamientos de carácter general sobre la metodología de trabajo de acuerdo al enfoque por competencias. Para ello se parte de ejemplos concretos en los que se explica cada una de las
partes que integran la propuesta. A continuación se presentan problemas que se pueden considerar como situaciones didácticas para efectos del diseño de propuestas de trabajo con los alumnos. El enfoque por competencias
considera la aplicación del conocimiento para resolver situaciones específicas. En ese proceso entran en juego las
habilidades, capacidades, valores, etc., de los sujetos en quienes se desea desarrollar una competencia específica.
La experiencia adquirida en la práctica educativa nos ha enseñado que debemos partir de lo que el alumno sabe
para consolidar y aplicar su conocimiento. La propuesta de trabajo en esta obra consiste en presentar problemas
concretos a resolver por el alumno. En el caso de que el estudiante no pueda resolver el problema planteado se le
apoyará con teoría y ejemplos resueltos. Hecho lo anterior podrá regresar a resolver el problema planteado.
Persiste el propósito de apoyar a docentes y estudiantes en sus respectivas actividades.
Para el y la docente ofrece una metodología de trabajo acorde con el enfoque por competencias. Al inicio de cada
bloque se presentan propuestas de actividades que incluyen los siguientes puntos:
VI
Grupo Editorial Patria®
Competencia
Es la competencia a desarrollar de acuerdo al programa.
Situación didáctica
Constituye la dificultad a resolver por el alumno, de manera que éste ponga en juego sus aptitudes, capacidades,
habilidades, destrezas, valores, etc.
Secuencia
Se refiere a las acciones a realizar por el alumno tanto en forma individual como por equipo.
Las preguntas que se incluyen para realizar la investigación pueden orientar al alumno sobre las acciones a desarrollar para resolver la situación didáctica.
En el trabajo a realizar por el alumno, individual y por equipo, se describen las acciones a realizar. Estas acciones
tendrán un peso en la evaluación.
Evaluación por producto
Aunque se pueden utilizar diferentes formas de evaluación, la evaluación por producto evidencia el grado de
avance del alumno en el desarrollo de una competencia.
Rúbrica de evaluación
Incluye los elementos considerados para la evaluación. Se trata de hacer transparente los citerios de evaluación de
manera que el alumno sepa cómo se le asignó una calificación.
Los grupos de ejercicios y problemas que se proponen como situaciones didácticas son de dificultad creciente,
debidamente seleccionados y jerarquizados para favorecer el avance en el proceso de aprendizaje y facilitar en el
y la estudiante la autoevaluación.
Esta obra proporciona la información teórica en un lenguaje accesible que induce al autoaprendizaje a través de la
comprensión de los conceptos y su respectiva aplicación en la resolución de situaciones problemáticas concretas.
Con ello se pretende que el y la estudiante adquieran la seguridad y confianza necesarias para enfrentar con éxito
los retos que representan las situaciones didácticas propuestas, las cuales tienen cierta analogía con los ejemplos
resueltos. Una vez que el y la estudiante puedan establecer relaciones entre el conocimiento que poseen y el nuevo
que se les plantea, por ejemplo en un problema, estarán en condiciones de proponer el modelo matemático cuya
solución resuelve el problema y, además, podrán analizar la estructura básica de los problemas que se les formulen,
así como transitar el camino que conduce de una situación conocida a una nueva.
A través de la obra se revisan y afirman conceptos del nivel medio básico que son antecedentes necesarios para
introducir y desarrollar los conceptos que corresponden al nivel medio superior.
Esperamos que esta segunda edición de Matemáticas 1 sea un apoyo y una herramienta para el proceso de enseñanza-aprendizaje, por lo mismo recibiremos con agrado todas las sugerencias que permitan mejorarla y enriquecerla.
Francisco José Ortiz Campos
Francisco Javier Ortiz Cerecedo
Fernando José Ortiz Cerecedo
VII
Competencias genéricas del Bachillerato General
Competencias genéricas del Bachillerato General
Las competencias genéricas son aquellas que todos los bachilleres
deben estar en capacidad de desempeñar, y les permitirán a los
estudiantes comprender su entorno (local, regional, nacional o
internacional) e influir en él, contar con herramientas básicas para
continuar aprendiendo a lo largo de la vida, y practicar una con-
vivencia adecuada en sus ámbitos social, profesional, familiar, etc.
por lo anterior estas competencias construyen el Perfil del Egresado del Sistema Nacional de Bachillerato
A continuación se enlistan las competencias genéricas:
1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue.
2. Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación de sus expresiones en distintos géneros.
3. Elige y practica estilos de vida saludable.
4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de modelos, códigos y herramientas
apropiados.
5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.
6. Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva.
7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.
8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.
9. Participa con una conciencia cívica y ética en la vida de su comunidad, región, México y el mundo.
10. Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prácticas sociales.
11. Contribuye al desarrollo sustentable de manera crítica con acciones responsables.
VIII
Grupo Editorial Patria®
Competencias disciplinares básicas del campo de las matemáticas
Competencias disciplinares básicas
Bloques de aprendizaje
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación
de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y
variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales,
hipotéticas o formales.
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
2. Formula y resuelve problemas matemáticos aplicando diferentes
enfoques.
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos
matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones
reales.
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos
numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje
verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la
comunicación.
5. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social
o natural para determinar o estimar su comportamiento.
6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente
las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos
que lo rodean.
7. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un
proceso o fenómeno y argumenta su pertinencia.
8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos
matemáticos y científicos.
IX
Las
Secciones deTu libro
Conoce tu libro
Inicio de bloque
¿Qué sabes hacer ahora?
Realizas sumas y sucesiones de números
Objetos de aprendizaje
En los objetos de aprendizaje encontrarás
los contenidos estructurados, integrados y
contextualizados con una secuencia lógica
y disciplinar, y que son de gran relevancia y
pertinencia para el nivel educativo en el que
te encuentras.
3
B LO Q U E
Objetos de
aprendizaje
¿Qué sabes hacer ahora?
1.
Forma una progresión aritmética de 7 términos en la que el primer término sea
5 y la diferencia sea 3.
2.
Agrega 5 términos a la progresión: 3, 8, 13, . . .
3.
Calcula el enésimo término
érmino y la suma de los términos
térm de la progresión aritmética: 3, 7, 11, . . . (155 términos).
4.
lementos de la progresión aritmética
aritm
aritmé a1 5 23, d 5 22, an
Dados 3 de los 5 elementos
o 2.
5 5 encuentra loss otros
5.
méticos entre 21 y 33.
Interpola tres medios aritméticos
6. Para la siguiente progresión geométrica 1, 2, 4, . . . , encuentra el décimo término.
7. Para la progresión geométrica 2, 24, 8, . . . , encuentra la suma hasta el séptimo
término.
8. Interpola un medio geométrico entre 4 y 25.
3.1
1 Representación
Represe
Repres
de relaciones entre magnitudes.
9. Dados tres de los cinco elementos de la progresión geométrica donde a1 5 2, r 5
3, n 5 5, encuentra an y Sn.
3.2 Modelos aritméticos
o algebraicos.
10. Halla la suma de los términos de la progresión geométrica decreciente: 8, 4, 2, 1,
1/2, 1/4, . . .
Competencias por desarrollar
Se trata de una conjunción de competencias
disciplinares a lograr en cada bloque, que te
permiten demostrar la capacidad que tienes
para aplicar tus conocimientos en situaciones
de la vida personal o social, ya que al mismo
tiempo pondrás en práctica tus destrezas,
habilidades y actitudes.
Esta sección constituye una
propuesta de evaluación
diagnóstica que te permitirá
establecer las competencias
y conocimientos con los que
cuentas, para así iniciar la
obtención de conocimientos y
capacidades nuevas.
Desempeños por alcanzar
Desempeños por alcanzar
Competencias a desarrollar
„
Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de
procedimientos
geométricos, variacionales, para la
mientos aritméticos, algebraicos,
al
comprensión
mprensión
prensión y análisis de situaciones
situacio
situacion reales, hipotéticas o formales.
„
Formula
ormula y resuelve problemas matemáticos
matem
aplicando diferentes enfoques.
„
Explica e interpreta los resultados obtenidos
obt
obte
mediante procedimientos
matemáticos y los contrasta con modelos
mod establecidos en situaciones reales.
mode
„
Analiza
naliza
aliza las relaciones entre dos o m
más variables de un proceso social o natural
para determinar
eterminar o estimar su comportamiento.
cco
Estos desempeños son los
que se espera que logres
al finalizar cada bloque, te
posibilitan poner en práctica
tus conocimientos, habilidades
y actitudes al realizar cada una
de las actividades propuestas
en este libro.
Identifica y diferencia las series y sucesiones numéricas así como sus propiedades.
de términos
os dde las sucesiones.
„
Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas
y textos
símbolosnuméricas
matemáticos
Clasifica
lascon
sucesiones
en aritméticas y geométricas.
y científicos.
„
Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera
Construye gráficas para establecer el comportamiento de sucesiones aritméticas
étiticas y
reflexiva.
el enésimo término y el valor de cualquier término en
Realiza cálculoss obteniendo
o
sucesión aritmética
aritméticica y geométrica tanto finita como infinita mediante las fórmulas
correspondientes.
Determina patrones de senos y sucesiones aritméticas y geométricas.
Soluciona problem
em aritméticos y algebraicos usando series y sucesiones aritméticas
problemas
y algebraicas.s.
geométricas.
„
Asume una actitud constructivista, congruente
conlaloscalculadora
conocimientos
Emplea
paray la verificación del resultado en los cálculos de obtención
ónn
habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.
Situación didáctica
Rúbrica
Grupo Editorial Patria®
Situa
Situac
Situación didáctica
¿Cómo lo resolverías?
En cada bloque iniciamos con una situación didáctica que bien puede
de
na
ser resolver un problema, realizar un experimento, un proyecto, una
o,
investigación o una presentación, o bien elaborar un ensayo, un video,
un producto, una campaña o alguna otra actividad que permita que
ue
adquieras un conocimiento y competencias personales o grupales, a
través de un reto.
¿Cómo lo resolverías?
¿Cómo sabes que
lo hiciste bien?
Un jardinero debee depositar una carretilla de tierra
titie al pie de cada
uno de los 30 árboles
boles
oles que están a un lado de un
una calzada. Los árervalos de 6 metros y el montón de tierra está a
boles están a intervalos
rimer
imer árbol. ¿Qué distancia habr
10 metros del primer
habrá recorrido después de haber terminado
minado su trabajo y regresado la carretilla al montón de tierra?
Secuencia didáctica
Que cada equipo represente, mediante dibujos, las condiciones del
problema.
nalizar las formas de reso
resol
Presenta los resultados en plenaria y analizar
resolver
el problema.
Cada equipo debe investigar:
es
stigar:
¿Cuál es el primer término de la sucesión?
ucesión?
uc
Secuencia didáctica
Las rúbricas son métodos
prácticos y concretos que te
permiten autoevaluarte y así poder
emprender un mejor desempeño.
Puedes encontrar tanto actitudinales
como de conocimientos.
¿Qué tienes que hacer?
Forma equipos para resolver el problema.
Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es
preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a
cabo las rectificaciones que procedan.
Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto de las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de
asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje.
rm
mino?
¿Cómo se determina el n-ésimo término?
Producto a elaborar
¿Qué fórmula debe utilizar para calcular
lar
ar el n-ésimo término?
o?
Determinación del primer término de la sucesión.
¿Cómo se determina la suma de los n términos??
¿Qué fórmula debe utilizar para calcular la suma de los n términos?
Fórmula y cálculos realizados para la obtención del n-ésimo
término.
Trabajo individual
Fórmula y cálculos realizados para la obtención de la suma de los
n términos.
Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios.
¿Qué tienes que hacer?
Rúbrica
¿Cómo sabes que lo hiciste bien?
Para determinar la distancia recorrida que se pide
dee se deben anexar
los conceptos investigados y los cálculos realizados,
zado
ados, éstos tienen un
valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la
originalidad en su presentación, el esfuerzoo realizado, la forma, las
fuentes consultadas, etc. La descripción del
ell procedimiento por estaación en clase, 2 puntos
crito tiene un valor de 3 puntos y la presentación
alúúa. Todo ello suma un
de tu calificación de la actividad que se evalúa.
total de 10 puntos.
La secuencia didáctica es una guía para que puedas adquirir los
os
conocimientos y desarrollar habilidades a través de una metodología
gía
que facilite y dirija tus pasos. Son además descriptores de procesos que
ue
por el análisis detallado facilitan tu actividad y tus resultados.
encias
ncias para la evaEsta actividad se integrará al portafolio de evidencias
luación del mes.
57
Glosario
Ejercicios
Los ejercicios propuestos en este libro te ayudarán a movilizar y
consolidar los conocimientos adquiridos en situaciones reales o
n,
hipotéticas, mismas que te llevarán a un proceso de interacción,
seguridad y soltura durante tu aprendizaje.
Abscisa. Distancia de un punto P al eje vertical en un sistema
coordenado rectangular.
a2 2 b2 5 (a 1 b)(a 2 b)
Entonces, factorizar una diferencia de cuadrados significa buscar
dos binomios conjugados cuyo producto sea la diferencia de cuadrados dada.
Abscisa
al origen.
Abscisa del punto en que una recta corta al eje x.
c) Cuando un polinomioo se puede expresar
expr
como
una
diferencia
Baricentro.
nando sus términos,
térm
de cuadrados reordenando
como
en: Punto de intersección de las medianas de un triángulo. También se le conoce como gravicentro o centroide.
x 2 1 2xy 1 y 2 2 25z
5z 2 5 (x
( 1 y )2 2 25z 2Coordenadas. Distancias de un punto P a los ejes vertical y horizontal en un sistema coordenado rectangular.
5 [(x
( 1 y ) 1 5z ][(x 1 y ) 2 5z ]
Actividad de aprendizaje
( 1 y 1 5z )(x
5 (x
y2 1 Dx 1 Ey 1 F 5 0
Lehmann, Charles H., Geometría analítica, Limusa, México, 2005.
donde:
Leithold, Louis, El cálculo con geometría analítica, Harper & Row, 1986.
D = −4 a E = −2k y F = k 2 + 4 ah
Forma general de la ecuación de una recta. La ecuación Ax 1
By 1 C 5 0 corresponde a la forma general de la recta. En esta
ecuación los coeficientes A, B y C pueden tomar el valor cero, pero
A y B no pueden ser cero simultáneamente.
Middlemiss, Ross R., Marks, James R. John L. Smart, Geometría analítica, McGraw-Hill, México, 1990.
Forma normal de la ecuación de una recta. x cos a 1 y sen a
2 p 5 0 es la expresión que corresponde a la ecuación de una recta
en la forma normal.
Swokowski, Earl W., Algebra and Trigonometry with Analytic Geometry, 11th edition, Brooks Cole, 2007.
Forma ordinaria de la ecuación de una circunferencia:
Woods, Federico S. y Bailey, Federico H. Geometría analítica y cálculo infinitesimal, Unión tipográfica Editorial
Hispano Americana (UTEHA), México, 1972.
( x − h)2 + ( y − k )2 = r 2
(
) (
Rees, Paul, Geometría Analítica, Reverté, España, 2008.
Rider, Paul R., Geometría analítica, Montaner y Simon, Barcelona, 1966.
Wexler, Charles, Geometría analítica un enfoque vectorial, Montaner y Simon, Barcelona, 1968.
)
5 (x 2 1 y 2 1 xy )(x 2 1 y 2 2 xy )
Otras herramientas
x 4 1 x 2y 2 1 y 4 5 (x 2 1 xy 1 y 2)(x 2 2 xy 1 y 2)
9x 2 16y 5 (3x 1 4y )(3x 2 4y )
2
A continuación se describe otra forma de determinar los binomios conjugados.
Factorización de la suma y diferencia de cubos
El cociente de a3 1 b3 entre a 1 b es:
a 3 1b 3
5 a2 2 ab 1 b2
a 1b
Obtén la raíz cuadrada principal (o positiva) de los términos cuadráticos:
1 9 x 2 5 3x
1 16 y 2 5 4y
Los binomios conjugados se forman con la suma y la diferencia de las
raíces, es decir:
4 )
(3x 1 4y ) y (3xx 2 4y
entonces:
9x 2 2 16y 2 5 (3x 1 4y )(3x 2 4y )
torización
orización de una diferencia de cuadraLos casos especiales de la factorización
dos son:
Así, en la factorización de x 8 2 y 8 se obtiene:
entonces
a 1 b 5 (a 1 b)(a 2 ab 1 b )
3
3
x 4 2 (m 2 n)2 5 [x 2 1 (m 2 n )][x 2 2 (m 2 n )]
5 (x 2 1 m 2 n )(x 2 2 m 1 n )
2
De manera semejante:
a3 2 b3 5 (a 2 b)(a2 1 ab 1 b2)
1.
Factoriza 27x 3 1 y 3
2.
Factoriza 27x 3 2 8y 3
27x 3 1 y 3 5 (3x )3 1 y 3
5 (3x 1 y )(9x 2 2 3xy 1 y 2)
27x 3 2 8y 3 5 (3x )3 2 (2y )3
5 (3x 2 2y )(9x 2 1 6xy 1 4y 2)
5 (x 4 1 y 4)(x 2 1 y 2)(x 2 2 y 2)
b) Cuando los cuadrados son polinomios, como en x4 2 (m 2
n)2, se considera (m 2 n) como un monomio y se factoriza de
la siguiente forma:
2
Ejemplos
x 8 2 y 8 5 (x 4 1 y 4)(x4 2 y 4)
5 (x 4 1 y 4)(x 2 1 y 2)(x 1 y )(x 2 y )
3.
Factoriza x 6 1 y 6
x 6 1 y 6 5 (x 2)3 1 (y 2)3
5 (x 2 1 y 2)(x4 2 x 2y 2 1 y 4)
4.
Factoriza x 9 2 y 12
x 9 2 y 12 5 (x 3)3 2 (y 4)3
5 (x 3 2 y 4)(x 6 1 x 3 y 4 1 y 8)
91
X
2
2
Kindle, Joseph H., Geometría analítica plana y del espacio, McGraw-Hill, México, 1984.
5 (x 2 1 y 2)2 2 x 2y 2
Por tanto:
mios
ios conjugados es una diferencia
dif
d
a) Cuando uno de los binomios
de
cuadrados es necesario continuar
ntinuar
tinuar la factorización.
factorizaci
factorizació
Es importante mencionar que a lo largo de los bloques encontrarás
ás
ar
diferentes ejemplos y ejercicios que tienen la finalidad de propiciar
y facilitar tu aprendizaje.
2
2
Fuller, Gordon, Analytic Geometry, Addison Wesley Publishing Company, 1993.
Forma general de la ecuación de la parábola:
x 4 1 x 2y 2 1 y 4 5 x 4 1 2x 2y 2 1 y 4 2 x 2y 2
Factoriza la expresión 9x 2 2 16y 2. El primer término 9x 2, es el cuadrado de 3x, término común de los dos binomios conjugados que se
buscan. El segundo término 216y 2, es el producto de 4y por 24y,
términos simétricos de los binomios conjugados que se buscan.
2
Ejemplos
Diagonal. Segmento de recta que une dos vértices no consecuti1vosyde2un polígono.
5z )
Ecuación de una elipse con centro en el origen y eje mayor
expr
d) Cuando un polinomioo se puede expresar
como
una diferencia
coincidente con el eje x.
nte el artificio de sumar y restar el mismox y
de cuadrados mediante
+ =1
término. Por ejemplo:: en x 4 1 x 2y 2 1 y 4 se observa que
q si ela b
ra 2x 2y 2 se tendría un trinomio cuadrado
segundo término fuera
perfecto factorizado por (x
( 2 1 y 2)2. Si se agrega y se quita al
polinomio el término x 2y 2, se obtiene:
Al factorizar una diferencia de cuadrados se obtienen dos binomios conjugados en el que uno es _______________ y el otro es
_________________ de las raíces.
Por tanto:
La experiencia que logres a través de los talleres, actividades
es
oexperimentales y de laboratorio te ofrece la posibilidad de desarrollar tus competencias y habilidades en la solución de problemas en
situaciones cotidianas, además de estimular y fomentar tu aprendidizaje cooperativo durante el trabajo en equipo.
Forma general de la ecuación de la circunferencia:
x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0
Ejemplos
Taller y actividad experimental
Bibliografía
Grupo Editorial Patria®
Tu libro cuenta también con
glosario, bibliografía, vínculos
en Internet, líneas de tiempo,
diagramas, mapas
conceptuales, además de
atractivas imágenes y otras
muchas secciones y
herramientas que te resultarán
muy útiles y complementarán
tu aprendizaje.
Aplica lo que sabes
BLOQUE
4
Realizas transformaciones algebraicas I
Hay una asombrosa imaginación, incluso en la ciencia de las matemáticas…
Repetimos, hay mucha más imaginación en la cabeza de
Arquímedes que en la de Homero.
Voltaire
Introducción
La terminología y notación del lenguaje algebraico se aplica en la
adición, sustracción, multiplicación y división de polinomios con
una variable.
Se trata lo relacionado con algunos productos notables y su respectiva factorización.
Se hace una introducción al teorema del binomio de Newton donde se utiliza el triángulo de Pascal.
4.1 Representación de
relaciones entre magnitudes
Operaciones de suma, resta
y multiplicación de polinomios
en una variable
Un polinomio es una expresión algebraica que se forma con variables y números reales que se relacionan mediante las operaciones
de adición, sustracción y multiplicación.
Los signos 1 y 2 se utilizan para separar los términos de un polinomio.
A los polinomios compuestos por un solo término se les llama monomios; a los que tienen dos términos, binomios, a los que tienen
tres, trinomios.
Cuando un polinomio tiene una sola variable se le puede clasificar
nente
ente de su ttérmi
términ
de acuerdo con el exponente
término de mayor grado, así:
mio de
d quinto grado.
2x5 2 3x4 1 2x3 2 x2 1 1 es un polinomio
Para tu reflexión
n
Anécdota de
e Albert Einstein
5)
(1879-1955)
El joven Einstein esperaba
erab
aba en la antesala del director de la famosa
osa
sa Academia
ademia
Politécnica de Zurich, Suiza. Fue recibido cordialmente y el presidente le dijo
que la Academia se honraría si aceptaba el puesto de profesor. Einstein recordó
cuando fue rechazado por dicha
Academia como estudiante, años
atrás. Sin embargo, dicho nombramiento le brindabaa la oportunidad de
continuar sus investigaciones científicas y aceptó.
Einstein tenía una mente inquieta e inquisitiva paraa los temas que le
interesaban. A la edad de cinco años lo fascinó la brújula
rújula de su padre y
no cesaba de cuestionarlo sobre ella. Posteriormente
te un estudiante de
d
medicina, Max Talmey, visitó su casa y le prestó suss libros de ciencias
ciencia
naturales y matemáticas. Einstein los leyó con gran interés y descubr
descubrió
que había encontrado lo que le interesaba.
Grupo Editorial Patria®
El negocio de su padre no prosperaba y a Einsteinn no le interesaba
interesaban
los negocios, intentó la enseñanza mas no tuvo éxito,
o, para entonces yya
se había casado y tenía 2 hijos que sostener. Pudoo obtener el puesto
puest
de empleado en la oficina de patentes y aunque el puesto era mu
muy
tedioso, le permitió terminar su doctorado y escribirir algunos ensayos
ensayo
científicos.
Aplica lo que sabes
Ejemplos
Ponte de acuerdo con tus compañeras y compañeros de grupo para
realizar lo siguiente:
En 1905, cuando todavía trabajaba en la oficina de patentes, publicó su
s
in descubrió que la
primera versión de la teoría de la relatividad. Einstein
velocidad de la luz es la única magnitud que se mantiene
ntiene constante, lo
s
demás es relativo. Todo lo que está sobre la Tierra y en el Universo se
encuentra en movimiento constante.
Investiga cuándoo se fundó la comunidad
dad donde
da
vives.
Para Newton, el tiempo era constante e invariable.. Einstein demostró
demostr
que el tiempo era una variable, una cuarta dimensión
ón que debía agreagre
garse a las tres dimensiones aceptadas del espacio.
o. Al acercarse uno
un
a la velocidad de la luz el tiempo se torna más lento. El tiempo depende
depend
eta Júpiter es má
del lugar donde te encuentres. Un año en el planeta
más
largo que un año en la Tierra porque Júpiter necesita
ta más tiempo para
par
girar alrededor del Sol.
os transcu¿Cuántos años
rrieron para quee la población se duplicara??
Diez años más tarde, en una segunda obra sobre loss aspectos de la re
relatividad, Einstein ofreció un nuevo concepto de la gravitación. Declaró
Declar
que no hay una fuerza absoluta de gravedad que atraiga los objeto
objetos,
como había sostenido Newton, sino que toda masaa tiene dentro de sí
una fuerza que está en proporción con su masa, la cual atrae los objeobje
tos; por esta fuerza se da la curvatura del Universo y las variaciones en
e
las órbitas de los cuerpos celestes.
Cuando tu escuela inició sus labores, ¿cuántos alumnos tenía?
2
2
Suma 5 x − 3x + 5 y 2 x + x − 3
Solución:
(5 x 2 23x 1 5) 1 (2 x 2 1 x 23)5 (5x 2 1 2x 2 ) 1 (23x 1 x ) 1
(5 2 3)
2
5 (5 + 2)x + (− 3 + 1)x + 2
¿Cuánta población
bblación tenía
en ese entonces?
ncces?
Como se puede observar, la operación de adición se realizó asociando términos semejantes y operando con sus coeficientes numéricos.
Compara resultados con tus compañeros del salón de clases.
El procedimiento se facilita cuando los términos de cada polinomio se disponen en orden decreciente y se colocan en la misma
columna los términos semejantes.
Investiga:
¿Cuántos alumnos de primer ingreso tienen actualmente?
1
Investiga cuál era la población de nuestro país en 1900.
5 x 2 − 3x + 5
2x 2 + x − 3
Investiga cuál era la población de nuestro país en el año 2000.
Investiga cómo se ha dado el crecimiento de la población de nuestro
país entre los años de 1900 y 2000. Elabora una gráfica en la que se
ilustre el crecimiento, con
intervalos de 10 años en
el eje horizontal y de 10
millones de habitantes en
el eje vertical.
Durante la Primera Guerra Mundial se negó a ayudar
udar a Alemania en
e
su esfuerzo bélico. Manifestó: “Esta guerra es unaa depravación y uun
crimen salvaje, preferiría que me descuartizaran antes
ntes que participar
participa
en cosa tan abominable”. Entonces tuvo que irse a EUA y aceptar un
u
puesto de investigador en el Instituto de estudios avanzados
Princeanzados de Prince
ton, Nueva Jersey. En 1939 escribió una carta al presidente
residente Roosevelt
Rooseve
na bomba atómic
advirtiendo las posibilidades científicas de crear una
atómica.
La decisión del presidente fue construir esa arma fantásticamente
ntásticamente desdes
tructora.
Elabora en una cartulina
o papel bond los resultados de tu investigación y
compártelo, con tus compañeros.
Una vez, cuando lo invitaron a visitar a la reina de Bélgica, se bajó del
d
tren y caminó hasta el palacio llevando una maleta y su violín. Cuand
Cuando
la reina le preguntó por qué no había usado la limusina
aguarusina que le agua
daba, Einstein le respondió: “Era muy agradable caminar
minar majestad”.
Dado que la variable del polinomio representa a un número real,
se pueden aplicar las propiedades de las operaciones con estos números.
82
7x 2 − 2x + 2
Para la de sustracción de polinomios se debe tomar en cuenta que
a 2 b 5 a 1 (2b); esto es, minuendo menos sustraendo equivale
a sumar al minuendo el inverso aditivo (o simétrico) del sustraendo.
Actividad de aprendizaje
A lo largo del libro encontrarás diferentes actividades de aprendizaje, que de forma breve te permitirán reforzar los conocimientos y
je
ccompetencias adquiridas a través de preguntas puntuales al desarrrollo del bloque.
Ejemplos
(6x
(6x
Adición y sustracción de polinomios
con una sola variable
Tomada de Crowther, J. G. Six Great Scientists
Actividad de aprendizaje
A
5 7x 2 − 2x + 2
vió a duplicar?
dupl
¿En cuánto tiempo se volvió
A los 30 años de edad era famoso mundialmente.
Grupo
Patria® a
Está diseñada para que puedas aplicar
tusEditorial
conocimientos
ssituaciones de tu vida diaria así como al análisis de problemáticas
een tu comunidad y en el mundo en general, que te servirán para
hhacer propuestas de mejoras en todos los ámbitos.
3
3
+ 3x 2 − 7 x + 1) − ( 2 x 3 − 2 x 2 + 3x − 5 ) =
Para tu reflexión
P
+ 3x 2 − 7 x + 1) + ( − 2 x 3 + 2 x 2 − 3x + 5 )
5 ( 6 − 2 ) x 3 + ( 3 + 2 ) x 2 + ( − 7 − 3 ) x + (1 + 5 )
5 4 x 3 + 5 x 2 − 10 x + 6
Para facilitar el procedimiento disponemos en orden decreciente y colocamos en la misma columna términos semejantes.
2
6 x 3 + 3x 2 − 7 x + 1
2 x 3 − 2 x 2 + 3x − 5
Esta operación se puede transformar en una suma al cambiar los signos de todos los términos del polinomio que se resta.
En una sustracción, minuendo menos sustraendo
s
equivale a sumar al
minuendo
1
6 x + 3x − 7 x + 1
3
2
− 2 x 3 + 2 x 2 − 3x + 5
4 x 3 + 5 x 2 − 10 x + 6
del sustraendo.
83
TTiene el propósito de enriquecer el conocimiento que estás adquiriendo
ccon lecturas adicionales, notas informativas e información relevante
ppara el tema que estás considerando. Esta información además de ser
úútil, te permite contextualizar diferentes perspectivas para la misma
información.
in
Instrumentos de evaluación
Lista de cotejo
Son un conjunto de acciones y propuestas que te permitirán hacer una recolección, sistematización y un análisis de los desempeños y logros obtenidos a través del trabajo que
realizaste durante cada bloque, éstos junto con el portafolio de evidencias, te ayudarán a
obtener mejores resultados en las prácticas de evaluación
evalu
que realice tu profesor(a).
Lista de cotejo
Lista de cotejo para el reporte sobre el techo elipsoidal de un edificio que se encuentra en “Aplica lo que sabes” de la página 146.
Nombre del alumno:
cumple
BLOQUE
4
Realizas transformaciones algebraicas I
Grupo Editorial Patria®
a®
Instrumentos de evaluación
Apellido paterno
Apellido materno
Portafolio de evidencias
Nombre
Grupo
Asegúrate de haber adquirido los contenidos que se abordan en el Bloque 4. Para ello, realiza lo que se te pide a continuación.
1. Determina P (x ) 2 Q (x )
5. Determina el producto (1 2 z )3 sin efectuar la operación.
P (x ) 3x 4 + x 3 + 7 x 2 − 2 x − 6
El pportafolio de evidencias es un método de evaluación que consiste en:
r Recopilar los diversos productos que realizaste durante cada bloque (investigaciones, resúmenes, ensayos, síntesis, cuadros comparativos,
os,
cuadros sinópticos, el reporte de prácticas de laboratorio, talleres, líneas de tiempo, entre otros), que fueron resultado de tu proceso de
aprendizaje en este curso.
r No vas a integrar todos los instrumentos o trabajos
bajos que realizaste; más bien,
b se van a integrar aquellos que tu profesor(a), considere son
on
los más significativos en el proceso de aprendizaje.
diz
izaje.
Etapas para realizar tu portafolio de evidenciass
Eta
6. Desarrolla por el teorema del binomio (x 2 2y )6.
In
Ins
Instrucciones para seleccionar las evidencias
11. Comenta con tu profesor(a) el propósito de tu portafolio
folio
olio y su
s relación con los objetos de aprendizaje, competencias a desarrollar, desempeños esperados, entre otros elementos; acuerden el
periodo de compilación de los productos (por bloque, bimestre,
semestre).
te
1. Realiza todas las evidencias y así podrás incluir las que elaboraste
de manera escrita, audiovisual, artística, entre otras.
22. Haz un registro de los criterios que debes considerar al seleccionar tus evidencias de aprendizaje.
si3. Todas las evidencias seleccionadas deben cumplir con el propósito del portafolio en cantidad, calidad y orden de presentación.
e2. Selecciona aquellas que den evidencia de tu aprendizaje, compeotencias y desempeños desarrollados, y que te posibiliten reflexionar sobre ello.
33. Comentar con tu profesor(a) todas las dudas que tengas.
Propósito del portafolio de evidencias
Pr
Semestre
Observa los resultados del proceso de formación a lo largo del semestre, así como el cambio de los procesos de penOb
sa
samiento sobre ti mismo y lo que te rodea, a partir del conocimiento de los distintos temas de estudio, en un ambiente
qu
que te permita el uso óptimo de la información recopilada.
As
Asignatura
3. Determina el producto (x 1 y 2 3)(x 2 y 1 3) sin efectuar la
operación.
sí
Observaciones
no
2. Tiene una redacción que es adecuada y clara.
3. Tiene buena ortografía o con errores mínimos.
4. El trabajo se elabora en computadora o manuscrito con letra legible.
5. Las gráficas o dibujos auxiliares se elaboran de un tamaño adecuado
de modo que se puedan apreciar con claridad los datos obtenidos o
l
di i
d l bl
r Te permiten reflexionar y darte cuenta de cómo
mo fue tu desempeño durant
durante el desarrollo de las actividades de aprendizaje realizadas.
Q (x ) 5 − 2 x 4 − 3x 3 − 2 x 2 + 6 x + 3
2. Determina el producto [(a 1 b) 1 c]2 sin efectuar la operación.
Presentación
Criterio
1. Cuenta con una carátula que incluye: el nombre del trabajo que
se realiza, la materia, fecha de entrega, nombre del alumno y su
matrícula.
7. Factoriza la expresión r 4 1 r 3s 2 r 2s 2.
Número de bloques
del libro.
Nombre del alumno:
Criterios de reflexión sobre las evidencias
C
Comentarios del estudiante:
¿Cuáles fueron los motivos para seleccionar las evidencias presentadas?
¿C
¿Qué desempeños demuestran las evidencias integradas en este portafolio?
¿Q
Es una poderosa herramienta de análisis que te
posibilitará verificar si has logrado algún desempeño, asimilar contenidos o si eres capaz de aplicar
tus conocimientos, si has conseguido realizar
un procedimiento de manera adecuada o si has
obtenido soluciones correctas a un problema
planteado.
¿Qué competencias se desarrollan con las evidencias seleccionadas?
¿Q
¿Las evidencias seleccionadas cumplieron las metas establecidas en el
¿L
curso?
cu
Rúbrica
Instrucciones para el llenado de la rúbrica.
ido
do
Rúbrica para evaluar el conocimiento adquirido
¿Qué mejoras existen entre las primeras evidencias y las últimas?
¿Q
Monitoreo de evidencias
M
4. Determina el producto (3x 1 7)(3x 2 19) sin efectuar la operación.
8. Factoriza la expresión x 3 1 x 2y 1 x 1 y.
#
Título
Fecha de elaboración
Comentarios del profesor(a):
Indicaciones:
Esta rúbrica es para valorar el desempeño de los estudiantes tanto een forma individual como por equipo; asimismo, se pretende evaluar
el grupo en el desarro
ol de la secuencia didáctica y en la evaluación del producto: 4 Excelent
participación de cada uno de los integrantes de
del
desarrollo
3 Bueno, 2 Satisfactorio y 1 Deficiente. En cadaa aspecto aparecen los
lo niveles de desempeño, según el tipo de evidencia generada.
1
2
3
4
5
Nombre del estudiante::
92
19
9
Criterios
Ecuación de una
Portafolio de evidencias
En el libro encontrarás diferentes sugerencias y
actividades que, una vez realizadas, te permitirán
construir un gran número de evidencias, algunas
escritas otras a través de la exposición de temas
o presentación de productos. Es importante que
recuerdes que además de presentar la información, la manera en que lo hagas determinará el
nivel de calidad con la que se perciba tu trabajo.
Por ello se te invita siempre a realizar tu mejor
esfuerzo.
Excelente
(4)
Identifica los elementos
asociados a una elipse.
Obtiene la ecuación de
Bueno
(3)
Identifica los elementos
asociados a una elipse. En
la mayoría de los casos,
obtiene la ecuación de una
Satisfactorio
(2)
Identifica los elementos
asociados a una elipse.
En algunos casos, obtiene
la ecuación de una elipse
Deficiente
(1)
No identifica los elementos
asociados a una elipse.
No obtiene la ecuación de
Rúbrica
Éstas te ayudan a verificar el desempeño
logrado al realizar algún trabajo, producto
o evidencia solicitados en cada bloque del
libro. En general, es un listado de criterios o
aspectos que te permiten valorar el nivel de
aprendizaje, los conocimientos, habilidades,
actitudes y/o desempeños alcanzados sobre
un trabajo en particular. Puedes realizarlas de
manera personal o como coevaluación.
www.recursosacademicosenlinea-gep.com.mx
Al haber elegido este libro tienes acceso a
nuestro sitio web, donde encontrarás material
extra como videos, animaciones, audios y
documentos que tienen el objetivo de ampliar
tus conocimientos, dejar más claros algunos
procesos complejos y actualizar de forma
rápida y dinámica la información de todos los
temas del plan de estudios de la DGB.
XI
Resuelves problemas aritméticos y algebraicos
1
B LO Q U E
Objetos de
aprendizaje
1.1 Representación de relaciones
entre magnitudes.
1.2 Modelos aritméticos
o algebraicos.
Competencias a desarrollar
„
Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de
procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la
comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.
„
Formula y resuelve problemas matemáticos aplicando diferentes enfoques.
„
Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos
matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.
„
Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural
para determinar o estimar su comportamiento.
„
Establece la relación entre diversas magnitudes expresando ideas y conceptos
mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas.
„
Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos
y científicos.
„
Elabora modelos aritméticos o algebraicos sencillos de diversas situaciones o
fenómenos sociales, naturales, económicos y administrativos asumiendo una
actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que
cuenta dentro de su entorno social y/o natural.
¿Qué sabes hacer ahora?
1.
Si n es un número natural, ¿2n es un número par?
2.
Una cartulina mide 45 centímetros de ancho por 64 centímetros de largo.
Calcula su área en pulgadas cuadradas. Considera que una pulgada es igual a
2.54 centímetros.
3.
Expresa la fracción decimal 0.125 como fracción común e identifica el
subconjunto de los números reales al que pertenece.
4.
En la expresión 3 3 (4 1 5), ¿qué operación se ejecuta primero?, ¿cuál viene
luego?, ¿cuál es el resultado?, ¿cuál es el valor de 3 3 4 1 5?
5.
Efectúa las operaciones indicadas y obtén el resultado
6.
Si por el consumo de 50 metros cúbicos de agua se cobra una cuota fija de
$127.48 y por cada metro cúbico adicional se cobra $4.41, calcula el número
de metros cúbicos consumidos si se debe pagar $189.00.
7.
Efectúa la siguiente sustracción: (29) 2 (24) 5 y determina a qué
subconjunto de los números reales pertenece la diferencia.
8.
Escribe la expresión algebraica del perímetro de un triángulo isósceles en el
que la base mide a y sus lados iguales miden b.
9.
Expresa algebraicamente el cuadrado de la suma de dos números.
10.
¿Cómo se lee la expresión a2 1 b2?
2(2 2)2
5
12(2 3)
Desempeños por alcanzar
„
Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera
reflexiva.
„
Resuelve problemas aritméticos o algebraicos proponiendo la manera de
solucionar dicho problema, utilizando las tecnologías de la información y
comunicación para procesar e interpretar información.
„
Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades
con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.
Identifica formas diferentes de representar números positivos, decimales en
distintas formas (enteros, fracciones, porcentajes), y de los demás números reales.
Jerarquiza operaciones numéricas al realizarlas.
Realiza operaciones aritméticas, siguiendo el orden jerárquico al efectuarlas.
Calcula porcentajes, descuentos e intereses en diversas situaciones.
Emplea la calculadora como instrumento de exploración y verificación de
resultados.
Representa relaciones numéricas y algebraicas entre los elementos de diversas
situaciones.
Soluciona problemas aritméticos y algebraicos.
1
BLOQUE
Resuelves problemas aritméticos y algebraicos
Situación didáctica
¿Cómo lo resolverías?
En una refinería uno de sus depósitos tiene forma cilíndrica. Sus dimensiones son: 42 m de diámetro y 20 m de altura. Sus paredes interiores
requieren ser cubiertas con una capa de pintura especial de 2 mm de grueso. Investiga cuántos litros de pintura se necesitan.
Secuencia didáctica
Forma equipos para resolver el problema.
Que cada equipo represente mediante dibujos las condiciones del
problema.
Presenta los resultados en plenaria y analizar las formas de resolver
el problema.
Cada equipo debe investigar:
¿Cómo se puede calcular la superficie total del interior del depósito?
¿Cómo se puede calcular el volumen de pintura a partir del valor de
la superficie que se quiere pintar?
¿Qué tienes que hacer?
tos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es
preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a
cabo las rectificaciones que procedan.
Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto a las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de
asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje.
Evaluación por producto
A fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito
de manera muy clara.
En este ejemplo:
¿Cuántos litros de pintura se necesitan, considerando que un litro
equivale a un decímetro cúbico?
Presenta un modelo a escala del cilindro.
Trabajo individual
Modelo a escala del cilindro.
Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios.
Fórmulas y cálculos realizados para determinar el valor de la superficie a pintar y el volumen de pintura que se requiere, en litros
Producto a elaborar
Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione concep-
Rúbrica
Para determinar el número de litros de pintura que se piden se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material
utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado,
la forma, las fuentes consultadas, etc. La descripción del procedimiento por escrito tiene un valor de 3 puntos, y la presentación en
clase, 2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo
ello suma un total de 10 puntos.
Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes.
4
¿Cómo sabes que lo hiciste bien?
Grupo Editorial Patria®
Situación didáctica
El volumen de un cilindro recto es igual al producto de la base por
la altura. Dos recipientes cilíndricos tienen, respectivamente, 75 y
100 mm de diámetro y 125 y 150 de altura. Un tercer recipiente
Secuencia didáctica
Forma equipos para resolver el problema.
Que cada equipo represente mediante dibujos las condiciones del
problema.
Presenta los resultados en plenaria y analizar las formas de resolver
el problema.
Cada equipo debe investigar:
¿Cómo lo resolverías?
cilíndrico de 175 mm de altura contiene la suma de los volúmenes
de los dos primeros, determinar su radio.
¿Qué tienes que hacer?
tos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es
preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a
cabo las rectificaciones que procedan.
Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto a las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de
asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje.
Evaluación por producto
¿Cómo se calcula el volumen de un cilindro recto?
A fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito
de manera muy clara.
¿Cuál es la fórmula?
¿Cuáles son los datos con los que se cuenta?
¿Cómo se puede determinar el valor de los datos que faltan?
En este ejemplo:
Presenta modelos a escala de los tres cilindros.
Trabajo individual
Producto a elaborar
Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios.
Presentación de las fórmulas utilizadas, cálculos realizados y obtención del valor buscado
Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione concep-
Rúbrica
¿Cómo sabes que lo hiciste bien?
Para determinar el radio de la base del cilindro que se pide debes
anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos
tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las fuentes consultadas, etc. La descripción del procedimiento
por escrito tiene un valor de 3 puntos, y la presentación en clase,
2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello
suma un total de 10 puntos.
Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes.
5
1
BLOQUE
Resuelves problemas aritméticos y algebraicos
Situación didáctica
¿Cómo lo resolverías?
Calcula el valor del polinomio 3x5 1 2x4 2 8x3 – 2x2 1 x 2 9 para x 5 1, x 5 21, x 5 4.
Secuencia didáctica
Forma equipos para resolver el problema.
Que cada equipo represente mediante dibujos las condiciones del
problema.
Presenta los resultados en plenaria y analiza las formas de resolver
el problema.
Cada equipo debe investigar:
¿Cuáles son las leyes de los signos en la multiplicación?
¿Qué tienes que hacer?
tos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es
preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a
cabo las rectificaciones que procedan.
Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto a las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de
asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje.
Evaluación por producto
¿Cuál es el orden en las operaciones.
A fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito
de manera muy clara.
Trabajo individual
En este ejemplo:
Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios.
Producto a elaborar
Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione concep-
Rúbrica
Para determinar el valor numérico que se pide debes anexar los
conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un
valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la
originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las
fuentes consultadas, etc. La descripción del procedimiento por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase, 2 puntos
de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello suma un
total de 10 puntos.
Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes.
6
Cálculo del valor numérico de una expresión algebraica.
¿Cómo sabes que lo hiciste bien?
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Propuestas de diseño
para situaciones didácticas
Parte I
1. Una tabla que mide 3 m se coloca verticalmente y proyecta
sobre el suelo una sombra que mide 4 m. En ese mismo momento y lugar un edificio proyecta una sombra de 60 m, ¿cuál
es la altura del edificio?
2. Considera que la distancia media de la Tierra al Sol es de
150 000 000 de km y la velocidad de la luz es de 300 000
km/s. ¿Cuánto tiempo, en minutos, tarda la luz del Sol en llegar a la Tierra?
3. ¿Cuántos minutos tiene un año?
4. Una hoja de papel mide 8 pulgadas de ancho por 11 de largo.
Calcula su área en centímetros cuadrados.
5. Un atleta recorre los 100 metros planos en un tiempo de
9.8 segundos, ¿cuál es su velocidad promedio en km por hora?
6. Se lanza un proyectil con una velocidad inicial de 400 m/s, ¿a
cuánto equivale esta velocidad en pies por s? 1 pie 5 30.48 cm.
7. Cuando un automóvil de carreras alcanza una velocidad
de 300 km/h, ¿a qué velocidad equivale en millas por hora?
1 milla 5 1 609 m.
8. En un dibujo, ¿qué dimensión representan 5.6 cm a la escala
1:500?
9. En un mapa que tiene una escala de 1:400 000, ¿qué distancia
en centímetros se debe utilizar para representar 100 kilómetros?
10. ¿Cuál es la medida real de un objeto que se representa por
5 cm en un dibujo hecho a la escala de 50:1?
11. Expresa como decimal cada uno de los siguientes números
racionales:
2
5
7
b)
c)
a)
9
8
12
5
3
d) 3
e)
6
7
12. Expresa como cociente de dos enteros cada uno de los siguientes números decimales:
a) 0.5
b) 1.7
c) 1.26
d) 2.345
e) 3.26
Parte II
A) Escribe en lenguaje algebraico las siguientes expresiones verbales:
1. La suma de dos números.
2. La diferencia de dos números.
3. El producto de dos números.
4. El producto de tres números disminuido en cinco unidades.
5. El triple de un número.
6. El producto de dos factores iguales.
7. El cociente de dos números.
8. El cociente de la suma de dos números entre otro número.
9. El cociente de la diferencia de dos números entre otro
número.
10. La suma de dos números dividida entre su diferencia.
11. El cuadrado de un número aumentado en 13 unidades.
12. El cubo de un número disminuido en seis unidades.
13. El triple del cuadrado de un número.
14. El doble del cubo de un número.
15. La raíz del producto de dos números.
16. El cuadrado de la suma de dos números.
17. La suma de los cuadrados de dos números.
18. El cuadrado de la diferencia de dos números.
19. La diferencia de los cuadrados de dos números.
20. El cubo de la suma de dos números.
21. La suma de los cubos de dos números.
22. El cubo de la diferencia de dos números.
23. La diferencia de los cubos de dos números.
24. La mitad del cuadrado de un número.
25. El cuadrado de la mitad de un número.
26. La tercera parte del cubo de un número.
27. El cubo de la tercera parte de un número.
28. El perímetro p de un triángulo cuyos lados son a, b, y c.
29. La distancia d que recorre un móvil con movimiento rectilíneo uniforme es igual al producto de la velocidad v por
el tiempo t.
30. El área A de un rectángulo es igual al producto de la base
b por la altura h.
31. El área A de un trapecio es igual al producto de la semisuma de las bases B y b por la altura h.
32. ¿Cuál es el número que agregado a 3 da por suma 8?
33. ¿Cuál es el número que disminuido en 5 da por diferencia 13?
34. ¿Cuál es el número que aumentado en 4 es igual a 10 disminuido del mismo número?
35. El triple de un número es igual al doble del otro
7
1
BLOQUE
Resuelves problemas aritméticos y algebraicos
Parte III
B) Escribe en lenguaje común las siguientes expresiones algebraicas:
Cualquiera que sobresale del nivel medio ha recibido dos educaciones:
la primera, de sus maestros, la segunda,
más personal e importante, de sí mismo.
Edward Gibbon
1. 2a 1 b
2. abc
3. a 2 (b 1 c)
4. 3(a 2 b)
5. (a 1 b) (a 2 b)
a 1b
6.
10
7.
ab
a 1b
(a 1b)(a 2b)
8.
ab
9. 3a2
(a 1b)2
2
3
11. a 2 b3
10.
12. P 5 3a
P 5 perímetro
a 5 lado de un triángulo equilátero
d
v
t 5 tiempo
d 5 distancia
v 5 velocidad
13. t 5
14. P 5 2(a 1 b)
P 5 perímetro
a y b 5 lados de un rectángulo
15. A 5 a2
A 5 área
a 5 lado de un cuadrado
8
Introducción
En este bloque se proponen problemas para cuya resolución se
puede recurrir a figuras geométricas o dibujos.
Se utilizan distintas formas de representación de números enteros
positivos así como de números decimales.
Se hace una introducción al lenguaje algebraico, terminología y
notación.
1.1 Representación de
relaciones entre magnitudes
Representación de números positivos
Al resolver un problema aritmético se utiliza el sistema de numeración decimal que recibe este nombre porque tiene como base el
número diez. En él se emplea el principio de posición y el cero.
Los números positivos empleados en aritmética se representan en
forma decimal.
Para tu reflexión
Anécdota de Arquímedes 287-212 (a.C.)
De los que se reunieron en el muelle, nadie creía que cumpliría su promesa el joven y presuntuoso Arquímedes: “Dadme un punto de apoyo
y moveré el mundo”. Con ello quería explicar que una pequeña fuerza,
si se aplica apropiadamente como una palanca o con el uso de poleas,
movería un objeto inmenso.
¿Cómo era posible que un mortal, sin ayuda de otro, levantara un
buque completamente cargado, que pesaba miles de kilos? –se preguntaban todos. El rey tomóó el extremo de la
cuerda que colgaba de las poleas construidas por Arquímedes. El otro extremo de la
cuerda estaba atado a un pesado buque
mercante que flotaba en ell muelle. Con
poquísimo esfuerzo, el rey tiró
ró de la cuerda.
No sucedió nada. “Tirad dee nuevo majestad” –le pidió Arquímedes.
es. Una
vez más el rey tomó la cuerda,
erda,
y la proa del barco, como por
arte de magia, se empezó a
levantar del agua.
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Ejemplos
“Has triunfado una vez más Arquímedes, las maravillas de la ciencia,
en verdad, no tienen límite” –el rey felicitó al hombre de ciencia.
Hierón, rey de Siracusa y pariente de Arquímedes, pidió en cierta ocasión que le hicieran una corona de oro, y sospechando que el orfebre
no era honrado le pidió a Arquímedes que encontrara la manera de
determinar si la corona estaba hecha totalmente de oro. Durante algún
tiempo Arquímedes no supo qué hacer, pero un día, al meterse en una
bañera el agua se desbordó, gritó ¡Eureka! Y olvidando su desnudez
corrió hacia su casa por las calles de Siracusa; pensó en sumergir una
cantidad de oro puro, cuyo peso fuera igual al de la corona, en un recipiente lleno de agua y luego medir el desbordamiento de ésta. Después
sumergiría la corona de oro en el recipiente con agua y compararía el
peso del segundo desbordamiento con el primero y finalmente encontró
que la corona no estaba hecha de oro puro.
Por órdenes del rey Hierón, Arquímedes inventó unos cuarenta aparatos distintos. Como un tornillo para desaguar las tierras bajas pantanosas, para sacar el agua de las calas de los barcos y para irrigar los
campos áridos de Egipto. Gracias a sus inventos prolongó tres años
el asedio romano. Construyó, por ejemplo, espejos cóncavos de metal
y prendió fuego a algunos de los buques de madera de los romanos,
provocando pánico entre los tripulantes de los demás y creó ganchos
y grúas para quitar pesadas torres de guerra que habían puesto los
romanos sobre las murallas de Siracusa.
Entre sus principales contribuciones a las matemáticas se encuentran:
el cálculo que demuestra que la relación que existe entre la circunfe1
7
rencia de un círculo y su diámetro es menor que 3 y mayor que 3
1
5 0.5
2
3
5 0.75
4
0.5
2 1.0
0
porque
porque
1
5 0.125
8
0.75
4 3.0
20
0
porque
20
5 1.8181…
11
1
5 0.333…
3
5
5 0.8333…
6
0.125
8 1.0
20
40
0
porque
porque
porque
1.8181
11 20.0
90
20
90
20
9
0.3333
3 1.0
10
10
1
0.8333
6 5.0
20
20
20
2
10
.
71
Sus trabajos para encontrar las superficies de los segmentos parabólicos equivalen a un cálculo integral de nuestros días. Escribió un tratado
de 32 proposiciones sobre los conoides y los esferoides, entre otros,
y sus fórmulas y ecuaciones teóricas se convirtieron en la base para
descubrimientos e inventos que por mortíferos que fueran en la guerra,
enriquecieron la vida humana en la paz.
Las fracciones comunes que tienen como denominador 10 o una
potencia de 10 se llaman fracciones decimales, es decir, las fracciones decimales resultan de dividir una unidad entre 10, 100, 1 000,
etc., partes iguales.
Las unidades decimales son: 0.1, 0.01, 0.001, 0.0001, etc., y se leen:
un décimo, un centésimo, un milésimo, un diezmilésimo, etc., respectivamente.
Conversión de fracciones comunes
en fracciones decimales
Toda fracción común expresa un cociente de dos enteros; para
convertir una fracción común en fracción decimal basta con efectuar la división indicada, con lo cual obtenemos un cociente exacto
o aproximado de sus términos.
En los ejemplos anteriores se observa que no siempre se obtiene
un cociente exacto al convertir una fracción común en fracción
decimal.
En los primeros ejemplos el cociente es exacto, por eso se dice que
su expansión decimal es finita. En los tres últimos el cociente no es
exacto, pues ciertas cifras se repiten periódicamente, esto se debe a
que el residuo es menor que el divisor y al suceder esto se limita el
número posible de residuos distintos; de tal manera que al repetirse un residuo, también se repite la operación y en consecuencia las
cifras del cociente.
En los ejemplos anteriores 0.333…, 1.8181…, 0.8333…, son
fracciones decimales periódicas; a la cifra o cifras que se repiten
se les llama periodo. Cuando el periodo empieza a partir del punto
decimal, a la fracción se le llama periódica pura; pero si entre el
primer periodo y el punto decimal hay una o más cifras, a la fracción se le llama periódica mixta.
En las fracciones decimales periódicas usualmente se indica un periodo, el cual se denota con un arco o una raya arriba de éste.
9
1
BLOQUE
Resuelves problemas aritméticos y algebraicos
Ejemplos
Ejemplos
2
5 0.666… 5 0.6 5 0.6
3
0.5 5
5
1
5
10
2
75
3
5
100
4
5
5 0.8333… 5 0.83 5 0.83
6
0.75 5
5
5 0.41666… 5 0.416 5 0.416
122
0.8 5
1
5 0.142857142857142857… 5 0. 142857
7
0.125 5
De las fracciones decimales finitas se dice que su periodo es cero
pues al dividir el último residuo (cero) entre el divisor, se obtiene la
cifra cero y así sucesivamente.
Actividad de aprendizaje
8
4
5
10
5
125
1
5
1000
8
Para convertir una fracción decimal periódica en fracción común
se procede de la siguiente forma:
Ejemplos
1. 0.444… 5 0. 4
Designa con x a la fracción decimal periódica:
x 5 0.444…
¿Por qué se dice que
1
5 0.25?
4
¿Qué se debe hacer para representar 0.25 como porcentaje?
como el periodo consta de una sola cifra, se multiplica por 10 a los
dos miembros de la igualdad para obtener otra equivalente:
10x 5 4.444…
a esta igualdad le restamos la primera, miembro a miembro:
2
¿Cómo se representa 75% en forma decimal?
¿Cómo se representa 75% en forma de fracción común?
¿Cuándo se dice que una fracción decimal es periódica?
¿Cuándo es pura una fracción decimal periódica?
¿Cuándo es mixta una fracción decimal periódica?
Números decimales en distintas formas
(enteros, fracciones, porcentaje)
Para convertir una fracción decimal en fracción común se escribe
como numerador el decimal sin el punto y como denominador la
unidad fraccionaria que corresponda a la fracción decimal dada, si
es posible se simplifica la fracción obtenida.
10
10x 5 4.444…
x 5 0.444…
9x 5 4
4
despejando: x 5
9
0.444
Comprobación: 9 4.0
40
40
4
2. 2.453453453… 5 2. 453
x 5 2.453453453
1 000x 5 2453.453453…
Se multiplicó a los dos miembros de la igualdad por 1 000 porque
el periodo tiene tres cifras; en general, se multiplica por la potencia
positiva de 10 que tenga tantos ceros como cifras tenga el periodo.
Restando miembro a miembro la primera igualdad de la segunda
se tiene:
1 000x 5 2453.453453…
2
x 5 2.453453…
999x 5 2 451
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Geometría
despejando: x 5
2 451
999
Actividad de aprendizaje
La comprobación se deja al lector.
3. 0.8999… 5 0.8 9
x 5 0.8999…
Puesto que en este caso se trata de una fracción periódica mixta,
primero se transforma en una fracción decimal periódica pura; para
hacer esto basta con recorrer el punto decimal un lugar a la derecha, lo que equivale a multiplicar la igualdad por 10, y después se
sigue el procedimiento ya descrito.
2
10x 5 8.999…
100x 5 89.999…
100x 5 89.999…
Expresa las 24 horas del día en segundos.
Ejemplos
Determina la longitud del segmento AB como la suma de las partes
que lo integran.
10x 5 8.999…
90x 5 81
81
x5
90
75
La expresión 75% se puede escribir en la forma
, si esta frac100
3
ción se simplifica queda como . También se puede partir de la
4
3
fracción y al realizar la división indicada se obtiene como co4
ciente 0.75 que se lee “setenta y cinco centésimos”. Si se desea expresar 0.75 como porcentaje se le multiplica por 100 y se le pone el
signo %: 75%.
1
2
1
4
1
8
1
16
1
16
Solución:
Para obtener la longitud del segmento AB, se requiere sumar las fracciones que corresponden a cada uno de los segmentos que lo integran,
y para esto es necesario que cada una de ellas se exprese como una
fracción equivalente, de manera que todas tengan la misma unidad fraccionaria, es decir, que todas tengan un denominador común.
1 1 1 1 1
AB5 1 1 1 1
2 4 8 16 16
81 4 121111
5
16
16
5
16
51
Operaciones numéricas
De esta manera: 2 3 3 1 4 5 10 porque 2 3 3 5 6 y 6 1 4 5 10
1 cm 3
10 cm
El orden en que se ejecutan las operaciones es el siguiente: potencias y raíces, multiplicaciones y divisiones (en el orden en que se
indican) y sumas y restas.
Mientras que: 2 3 (3 1 4) 5 14 porque 2 3 3 1 2 3 4 5 6 1 8
5 14 o bien 2 3 7 5 14.
Problemas aritméticos
10
cm
La resolución de algunos problemas se puede lograr a partir de la
aplicación de las propiedades de la igualdad así como de las propiedades de las operaciones con números reales. A continuación
se presentan algunos conocimientos que se irán ampliando de manera gradual.
10 cm
Un decímetro cúbico es un cubo que mide 10 cm de arista.
11
1
BLOQUE
Resuelves problemas aritméticos y algebraicos
Si cada uno de los cm3 que lo forman se colocara uno encima de otro
formando una columna, ¿cuál sería la altura de la columna?
Solución:
Observa que la capa frontal del cubo tiene 10 columnas de 10 cm3
cada una, de manera que si se colocara cada columna encima de otra,
se formaría una columna de 1 m de altura. Si se hiciera lo mismo con
cada una de las capas posteriores y se colocara cada columna sobre
la columna anterior, se podría formar una columna de 10 m de altura.
Como puedes ver, se han representado las equivalencias como
cocientes, de manera que las unidades a eliminar aparezcan como
factores, tanto en el numerador como en el denominador, pues al
dividir una cantidad entre sí misma el cociente es 1, por lo que de
manera más simple se dice que los factores se cancelan.
Es conveniente hacer notar que esto sólo se puede hacer cuando
las cantidades, tanto del numerador como del denominador, se expresan como el producto de sus factores.
Actividad de aprendizaje
Aplica lo que sabes
Al realizar una conversión de unidades de medida, ¿por qué se representan las equivalencias como cocientes?
Ponte de acuerdo con tus compañeras y compañeros de grupo para
realizar lo siguiente.
Investiga cuáles son las medidas reglamentarias de una cancha de fútbol, de básquetbol y de un campo de béisbol. Verifica si esas medidas
corresponden a las de la cancha o campo que hay en tu comunidad o
en tu escuela.
Expón tu trabajo frente al grupo y menciona la importancia que tiene el
respetar y hacer uso correcto de las medidas establecidas.
Ejemplos
Expresa en
Física
Solución:
En física se utiliza, de manera frecuente, la conversión de unidades
de medida, veamos algunos ejemplos.
Ejemplos
km
Un móvil se desplaza a una velocidad de 108 , expresar la velocih
m
dad en .
s
Solución:
Para resolver este problema es necesario utilizar equivalencias como
1 km 5 1 000 m, 1 hora5 60 min 5 60 3 60 s 5 3 600 s.
También se debe recordar que 1 es el elemento neutro de la multiplicación, pues al multiplicar una cantidad por 1, la cantidad queda fija,
no cambia, entonces
108
1h
km
km 1 000 m
5108
3
3
h
h
1 km
3600 s
108 0 00 m
3600 s
m
530
s
5
12
km
m
la velocidad de un avión que vuela a 1 000
.
h
s
Utilizando las equivalencias 1 km 5 1 000 m y 1 hora 5 3 600 s, se
tiene
1h
km
km 1 000 m
1 000
51 000
3
3
h
h
1 km
36 0 0 s
1 000 000 m
5
3 600 s
m
5 277 . 7
s
Números reales y variables algebraicas
Los números decimales son los números reales.
Los números decimales periódicos corresponden a los números
racionales que se pueden expresar como el cociente de dos números enteros.
Los números decimales no periódicos corresponden a los números irracionales que no se pueden expresar como el cociente de dos
números enteros.
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1.2 Modelos aritméticos o
algebraicos
De la aritmética al álgebra
En la aritmética generalmente los números se representan con cifras, mientras que las relaciones, leyes y reglas se expresan con palabras. De esta manera se dice que: el área de un triángulo es igual a la
mitad del producto de la base por la altura.
Utilizando el álgebra, el enunciado anterior se puede expresar:
base 3 altura
2
si el área, base y altura se representan por las letras A, b, y h respectivamente, nos queda:
área 5
A5
b3h
2
como en álgebra no se utiliza el signo de multiplicación entre factores representados por letras, la expresión se reduce a:
A5
o bien
bh
2
1
A 5 bh
2
Observa los siguientes enunciados con sus respectivas formas de
expresión aritmética y algebraica.
Actividad de aprendizaje
¿Qué diferencia observas entre las formas aritmética y algebraica para
plantear y resolver un problema?
Representando por m el valor de las n monedas de u unidades de
dinero cada una, se tendrá:
m5nu
Si un avión viaja a una velocidad de k km por hora, en h horas recorrerá kh km.
Representando por d la distancia total se tendrá d 5 k h.
El volumen de una caja se obtiene multiplicando el largo por el ancho por la altura (o profundidad). Si el volumen se representa por
V y las tres dimensiones por l, a y p se obtiene la expresión:
V5lap
El valor numérico de esta expresión algebraica se obtiene sustituyendo las letras por los valores que representan y efectuando las
operaciones indicadas. Si las dimensiones de l, a y p son 30, 20 y 10
unidades, respectivamente, entonces
V 5 30 3 20 3 10
V 5 6 000 unidades3
de manera que si la unidad está dada en centímetros entonces el
resultado serán centímetros cúbicos.
Aplica lo que sabes
Ponte de acuerdo con tus compañeras y compañeros del grupo para
realizar la siguiente actividad.
Consideren esta situación: Un automóvil, que está en buenas condiciones de uso, es sometido a una prueba de frenado sobre un tramo
recto de carretera bien pavimentada. Para la prueba sólo se considera
la velocidad a la que se desplaza el automóvil y la distancia necesaria
para detenerlo. Después de varios intentos se obtiene como promedio,
que para una velocidad de 56 km/h se necesitan 61 m para detenerlo.
a ) Hagan una tabla parcial de valores, para la distancia de frenado,
cuando la velocidad varía desde 50 hasta 120 km/h (utilicen intervalos de 10 km/h).
b ) Tracen la gráfica velocidad-distancia de frenado.
Si una moneda tiene un valor nominal de cinco unidades de dinero, entonces 6 monedas iguales tendrán un valor de 6 3 5 5 30
unidades de dinero.
c ) Investiguen, de acuerdo con el reglamento de tránsito, ¿cuál es la
velocidad máxima permitida en zona urbana?
d ) Si tú manejaras este automóvil a la velocidad máxima permitida,
¿cuál sería la distancia que necesitarías para detenerlo?
El valor de un cierto número de monedas de igual denominación
es igual al de una de ellas multiplicado por el número de monedas.
Si un avión va a una velocidad de 700 km por hora, en tres horas
recorrerá 700 km por tres, o sea, 2 100 km. Es decir, la distancia recorrida se obtiene multiplicando la distancia recorrida en una hora
por el número de horas.
Si una moneda tiene un valor nominal de u unidades de dinero,
entonces n monedas tendrán un valor de nu unidades de dinero.
Ejemplos
1. El enunciado aritmético “el doble de un número aumentado en
7 unidades”, algebraicamente se expresa:
2x 1 7
13
1
BLOQUE
Resuelves problemas aritméticos y algebraicos
2. A continuación se resuelven dos problemas en forma aritmética y
en forma algebraica.
a) Problema
Si al doble de un número se agregan 7 el resultado es 3. Halla
el número.
Resolución aritmética:
Como el doble del número aumentado en 7 da 33 significa que
si a 33 se le resta 7 se obtiene el doble del número. Por tanto, el
doble del número es 26 y en consecuencia el número buscado
es 13, es decir, la mitad de 26.
3
3 625 5 375
5
La diferencia es 625 2 375 5 250.
Resolución algebraica:
Sea x el número y la fracción
La diferencia es x 2
3
x 5 250.
5
Multiplicando la igualdad por 5 nos queda así
5x 2 3x 5 1 250
Resolución algebraica:
Sea x el número. El doble del número es 2x.
3
.
5
Efectuando la operación indicada
2x 5 1 250
El enunciado del problema se expresa por 2x 1 7 5 33.
Restando 7 a los dos miembros de la igualdad se obtiene
2x 5 26.
Dividiendo entre 2
dividiendo entre 2 a los dos miembros de la igualdad, se obtiene
x 5 13.
Comprobación:
x 5 625
3
x 2 x 5250
5
Comprobación:
2(13) 1 7 5 33
b) Problema
3
La diferencia entre un número y los del número es 250. Halla
5
el número.
Resolución aritmética:
Considerando que el número representa la unidad, entonces la
3
fracción es de uno.
5
La diferencia es
3 5 3 2
12 5 2 5
5 5 5 5
2
5 está representando a 250
5
1
es la mitad de 250
5
es decir,
y
250
5 125
2
5
, o sea la unidad, es un número
5
5 veces mayor: 5 3 125 5 625
Comprobación:
Número: 625
3
de 625 son
5
14
625 2
3
(625) 5 250
5
625 2 375 5 250
Para estar en condiciones de pasar de la aritmética al álgebra
se requiere establecer conceptos previos para su comprensión
y, después de asimilados, poder construir modelos algebraicos
aplicados a la resolución de problemas.
Como se puede observar, una de las ventajas del álgebra es la brevedad y sencillez con que se pueden generalizar enunciados utilizando números y letras para establecer las relaciones.
Es por ello que en esta obra se revisan y afirman conceptos de la
aritmética que sirven para introducir y desarrollar los que corresponden al álgebra.
Lenguaje algebraico
El uso de símbolos para simplificar el lenguaje es de gran importancia en las matemáticas.
El álgebra es la parte de las matemáticas que trata del cálculo de
cantidades representándolas por medio de letras.
La obra más antigua que se conserva sobre álgebra es la de Diofanto de Alejandría (s. iv d.C.).
En Europa, esta ciencia fue introducida por los árabes en el siglo x.
Grupo Editorial Patria®
Las letras o literales se utilizan para representar números y cantidades cualesquiera.
Ejemplos
Para el cálculo del área de un triángulo se utiliza la fórmula:
Expresión verbal
bh
A5
2
en la que A representa el área, b la base y h la altura. A, b y h varían
según el triángulo de que se trate y por eso se les llama variables.
El 2 no cambia; cantidades como ésta cuyo valor no cambia, ya sea
que se representen por números o por letras, se llaman constantes.
La fórmula para calcular la longitud de una circunferencia conociendo su radio es:
C 5 2pr
en la cual r y C son las variables, mientras que 2 y p son las constantes, ya que su valor no cambia.
En las fórmulas anteriores se observa que bh indica “b multiplicado por h” y 2pr indica “2p multiplicado por r”, pues se ha convenido que entre factores literales o entre un factor numérico y
uno literal, se suprima el signo de la multiplicación. En cambio,
“3 multiplicado por 4” ha de expresarse: 3 3 4, 3 · 4, (3)4, pero
nunca 34.
En álgebra es muy importante saber expresar las proposiciones
verbales comunes en proposiciones con lenguaje algebraico.
Recordemos el nombre del resultado de cada una de las cuatro
operaciones fundamentales.
De la adición, es suma; de la sustracción, es resta o diferencia; de la
multiplicación, es producto; y de la división, es cociente. Algunas
palabras que indican adición son:
suma
aumentar
mayor que
más
incrementar
más grande que
Algunas palabras que indican sustracción son:
Un número cualquiera
x
La suma de dos números
x1y
La diferencia de dos números
x2y
El producto de dos números
xy
El cociente de dos números
x
y
La suma de dos números dividida
entre su diferencia
x1 y
x2 y
El cubo de un número
x3
El doble del cubo de un número
2x 3
La suma de los cuadrados de dos números
x2 1 y2
El cuadrado de la suma de dos números
(x 1 y )2
La tercera parte del cubo de un número
x3
3
El cubo de la tercera parte de un número
⎛ x⎞
⎜⎝ ⎟⎠
3
¿Cuál es el número que agregado a 3 suma 8?
x1358
¿Cuál es el número que disminuido en 5 da
por diferencia 13?
x 2 5 5 13
¿Cuál es el número que disminuido de 20 da
por diferencia 7?
20 2 x 5 7
menos
menor que
diferencia
disminuir
perder
Ejemplos
x2 y
,
2
producto
veces
triple
multiplicado
doble
cuádruple
Algunas palabras que indican división son:
cociente
mitad
razón
dividido
entre
tercera
x
3
3
Las expresiones algebraicas pueden enunciarse empleando el lenguaje común y es conveniente ejercitarlo para su correcta traducción.
resta
Algunas palabras que indican multiplicación son:
Expresión algebraica
puede expresarse como: “la mitad de la diferencia de
dos números cualesquiera”, o “la semidiferencia de dos
números cualesquiera”.
(x 1 y ) 3,
se puede enunciar como: “el cubo de la suma de dos
números cualesquiera”.
x 3 2 y 3,
se puede expresar como sigue: “la suma de los cubos de
dos números cualesquiera”.
3(x 2 y ),
puede leerse así: “tres veces la diferencia de dos
números cualesquiera”, o “el triple de la diferencia de
dos números cualesquiera”.
15
1
BLOQUE
(x 1 y) (x 2 y),
Resuelves problemas aritméticos y algebraicos
se puede expresar como: “el producto de
la suma por la diferencia de dos números
cualesquiera”.
Terminología y notación
En la expresión 2x, ¿qué expresa el 2?
En la expresión x 2, ¿qué nombre recibe el 2?
En la expresión x 2, ¿qué expresa el 2?
Un término algebraico o monomio es un número o un producto
de dos o más números.
3
Por ejemplo 7, 2x, mn, 5xy y xyz son monomios.
4
Cada uno de los números que al multiplicarse forman el término
se llaman factores.
Cualquier factor o grupo de factores de un término es coeficiente
del producto de los factores restantes.
Así, en 3xy, 3 es el coeficiente numérico de xy, mientras que xy
es el coeficiente literal de 3. Si hacemos referencia al coeficiente
de un término, generalmente consideramos al factor numérico que
nos indica el número de sumandos iguales que han de tomarse en
cuenta.
Ejemplos
Ejemplos
Término
Exponente
Descomposición en
factores
x3
3
x 3 5 (x ) (x ) (x )
4x 2
2
4x 2 5 (4) (x ) (x )
Actividad de aprendizaje
Término
Coeficiente
Descomposición en
sumandos
3x
3
3x 5 x 1 x 1 x
2x 3
2
2x 3 5 x 3 1 x 3
2(x 1 y )
2
2(x 1 y ) 5 (x 1 y ) 1 (x 1 y )
En un triángulo equilátero de lado a, su perímetro (P ) se puede
expresar así:
P = a + a + a, o bien P = 3a, ¿qué representa el 3?
En un cubo de arista a, su volumen (V ) se puede expresar así:
V = a ? a ? a, o bien, V = a 3, ¿qué representa el 3?
Cuando un factor se multiplica repetidamente por sí mismo, se
puede expresar abreviadamente. Por ejemplo, (2)(2)(2) 5 23,
donde el número 2 recibe el nombre de base y el 3 recibe el nombre de exponente.
El resultado de multiplicar la base tantas veces como lo indica el
exponente se llama potencia; así, 23 5 (2)(2)(2) 5 8, por eso se
dice que 8 es la tercera potencia de 2, o bien, que dos al cubo es
igual a ocho.
Actividad de aprendizaje
En la expresión 2x, ¿qué nombre recibe el 2?
Expresión algebraica
Cuando dos o más términos (monomios) se relacionan por los signos más (1) o menos (2) se forma una expresión algebraica que
recibe el nombre de polinomio.
Al polinomio de dos términos se le llama binomio, y al de tres, trinomio. Los monomios pueden considerarse como polinomios de
un solo término.
El grado de un término o monomio lo determina la suma de los
exponentes de las literales que intervienen en él.
16
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formal de las propiedades de campo del conjunto de los números
reales. Dichas propiedades, como producto de la generalización de
la experiencia, son susceptibles de ser demostradas a partir de ciertos axiomas, pero para efectos de este curso se considera suficiente
que el lector conozca las propiedades y las sepa aplicar.
Ejemplos
Término
Grado
3a 2
2
4a
1
xy
2
x 2y 3
5
Término
Grado
respecto
de x
Grado
respecto
de y
Grado
del
término
2x 3y
3
1
4
5x 3y 2
3
2
5
x4 y
2
Números naturales (N)
Si un punto P representa a un número n, a P se le llama gráfica de n
y se dice que n es la coordenada de P. Se denota al punto cuya coordenada es n por P (n), que se lee “el punto P de n”. Tracemos una
recta y localicemos en ella un punto al que asociaremos el cero y
llamaremos origen (gráfica de 0), a partir de éste localicemos hacia
su derecha un punto al que asociaremos el número 1 (gráfica de
1); al segmento cuyos extremos son 0 y 1 y le llamaremos unidad
o segmento unitario.
0
1
2
3
4
5
6
Figura 1.1
4
1
5
El grado de un polinomio es el del término que tenga mayor grado,
así:
5m3 2 2m2 1 m 1 1 es de tercer grado
x 1 x2y 2 xy4 es de quinto grado
El grado de un polinomio también puede considerarse respecto de una variable determinada, siendo entonces
el mayor exponente de la misma. 3x3y 2 5x2y2 1 7 es de tercer
grado respecto de x y de segundo grado respecto de y.
Representación de números reales
El conjunto de números reales lo empleamos de manera frecuente, sin embargo, cuando al lector se le pide que mencione cuáles
son los números reales surge lo que para él es un obstáculo insalvable. Si a continuación se le muestra una representación geométrica
de la recta real tiene dificultad para distinguir los números que son
naturales, enteros, racionales o irracionales; a pesar de que son números conocidos y utilizados por él.
La dificultad es aún mayor cuando se le pide que señale diferencias
específicas entre los conjuntos señalados, ya sea de sus propiedades o de las relaciones que tienen entre sí.
Este tema en particular será desarrollado a partir de los conjuntos
de números naturales, enteros, racionales e irracionales; primero
en forma intuitiva y después se dará una introducción al estudio
Tomando con el compás la medida del segmento unitario y apoyándonos en la gráfica de 1, tracemos a su derecha una marca a la
que asociaremos el número 2 (gráfica de 2), al repetir este proceso
a partir del 2, obtendremos el punto asociado al número 3 (gráfica
de 3), y así sucesivamente hasta donde nos lo permitan las dimensiones del papel (ver figura 1.1). Posteriormente lo haremos en
nuestra mente, pensando que a partir del 1 obtenemos cada número sumando la unidad al anterior, lo cual constituye la ley de formación del conjunto de los números naturales; este proceso no
termina nunca pues por grande que sea el número que pensemos,
al agregarle la unidad obtendremos un número mayor.
De esta manera, para verificar que los números naturales poseen
una determinada propiedad, se puede utilizar el hecho de que cualquier número natural es una suma de unos, tantos como lo indique
el número, ejemplos:
3511111
55111111111
(1)
Los números naturales se denotan con el símbolo N y se definen
así:
N 5 {1, 2, 3, . . .}
(2)
donde los puntos suspensivos significan “y así sucesivamente”.
(1) Al escribir estas expresiones, se ha utilizado la propiedad asociativa
de la adición de los números reales, pues 1 1 1 1 1 5 (1 1 1)
11
(2) En este libro no se considera al cero como número natural.
En algunos libros sí se incluye en el conjunto de los números
naturales por lo que se hace necesario saber cuál es la convención en cada caso.
17
1
BLOQUE
Resuelves problemas aritméticos y algebraicos
Números enteros (Z)
Números racionales (Q)
Si continuamos con el proceso de asociar números con puntos de
la recta real veamos lo que ocurre con el conjunto de los números
enteros.
Los elementos de este conjunto son aquellos números que se pueden expresar como el cociente de dos números enteros, siendo el
divisor diferente de cero.
pás la medida del segmento unitario y con centro en el origen tra-
Se denota por el símbolo Q
guiente forma:
a
Q5 a ‘Z, b ‘Z, b | 0
b
cual obtendremos en la recta un punto a la izquierda del origen y
le asociaremos el número 21. Por la forma de obtenerlo, observamos que las coordenadas de 1 y 21 están en la misma distancia
del origen pero en sentidos opuestos; por consiguiente, se dice que
21 22 0
1
`
-
b
Todo número entero puede representarse como un cociente, que
se puede expresar en su forma más simple utilizando como divisor
a la unidad así:
0
23
7
235 ; 75 ; 05
1
1
1
Por tanto, se puede decir que todo número entero es un número
racional; en notación de conjunto dicha relación se expresa como
sigue:
2
Z ,Q
Figura 1.2
Al repetir el procedimiento tomando como medida la que existe
de 2 y que se llamará –2. En igual forma se pueden obtener, hasta
donde las dimensiones de la hoja lo permitan, los simétricos de los
naturales que se indican, con lo cual la recta queda como se indica
Ahora bien, para asociar un número racional como un punto de la
recta real se hará uso de una construcción geométrica que se aceptará como válida sin hacer la demostración correspondiente.
División de un segmento
en n partes iguales
Sea dividir el segmento MN en 7 partes iguales.
26 25 24 23 22 21 0
1
2
3
4
5
6
M
N
Figura 1.3
Se ha convenido que los números asociados a puntos situados a la
derecha del origen se les llamará números positivos, en este caso
naturales o enteros positivos; y los números asociados a puntos
situados a la izquierda del origen se les llamará números negativos,
en este caso, enteros negativos.
De esta manera se ha generado un conjunto cuyos elementos son:
los enteros positivos, los simétricos de éstos o enteros negativos y
el cero. Este conjunto se denota con el símbolo Z
Z 5 {. . . , 23, 22, 21, 0, 1, 2, 3, . . .}
También se puede expresar en las formas siguientes:
Z 5 {. . . , 23, 22, 21 } < { 0 } < { 1, 2, 3, . . .}
o bien, Z 5 {. . . , 23, 22, 21 } < { 0 } < N
En la última expresión se observa que todo número natural es elemento del conjunto de los números enteros. Simbólicamente esta
relación se puede expresar así:
N,Z
18
Figura 1.4
Se traza por M una recta cualquiera y sobre ésta se marcan 7 segmentos consecutivos e iguales a partir de M
séptimo segmento se une con el punto N, después se trazan líneas
paralelas a éste que pasen por cada división marcada, con lo cual
determinamos sobre el segmento MN siete segmentos congruentes.
En la práctica, dadas las dimensiones del segmento que se ha tomado como unidad, se hace una localización aproximada de los
números racionales sobre la recta real, recordando que el denominador de la fracción común indica la unidad fraccionaria, es decir,
el número de partes iguales en que se divide la unidad o entero,
mientras que el numerador indica el número de partes iguales que
Grupo Editorial Patria®
1
indica que el
2
entero se divide en dos partes, de las cuales se toma una; en la recta
real se puede representar así:
se consideran. Por ejemplo, el número racional
0 12 1
2
3
4
5
6
Estos hechos se utilizarán posteriormente para hacer notar la importante relación que existe entre los números racionales y cierta
clase de números decimales.
Números irracionales (Q9)
Figura 1.5
En general, si a y b son números enteros y b ? 0, en el número raa
cional indica la unidad fraccionaria y a el número de unidades
b
fraccionarias que se toman.
a número de unidades fraccionarias
b unidad fraccionaria
3
indica que el entero se divide en cuatro par4
tes iguales de las cuales se toman tres:
El número racional
0 34 1
2
3
4
5
5
indica cinco mitades, y como cada entero
2
sólo tiene dos, se necesitan dos enteros y la mitad del tercero para
representarlo.
El número racional
0
1
2 5 3
2
4
5
Aunque hemos representado los números racionales y a pesar de
su propiedad de densidad, la cual establece que entre dos números
racionales existe otro número racional quedan “huecos” en la recta
real; éstos se “llenan” con los números irracionales que son aquellos cuya expresión decimal no es periódica.
Ejemplo de estos números es 2 que representa la longitud de la
diagonal de un cuadrado que mide una unidad por lado, en la recta
real se puede representar de la siguiente forma:
2
VG
6
Figura 1.6
6
Figura 1.7
Es decir,
se lee: “conjunto A es igual al conjunto B si y sólo si el conjunto A
es subconjunto del conjunto B y el conjunto B es subconjunto del
conjunto A”.
5
indica una división que al efectuarla queda así:
2
2.5
1
5
2 5 ; por lo que 5 2 1 5 2.5
2
2
10
0
En forma semejante se puede proceder en la parte negativa de la
recta real para localizar los puntos asociados a números racionales
negativos.
Un teorema particularmente importante para este estudio establece que: “A todo número racional le corresponde una expresión
decimal periódica y toda expresión decimal periódica es igual a un
número racional”.
En teoría de conjuntos se establece y demuestra que: dos conjuntos A y B son iguales cuando A es subconjunto de B y B es subconjunto de A, relación que se expresa de la siguiente forma:
0
1 VG
2
Figura 1.8
Se traza un segmento unitario, perpendicular a la recta real por el
uno. Aplicando el teorema de Pitágoras, se sabe que la longitud
del segmento que une el origen de la recta con el extremo superior del segmento unitario perpendicular en uno, mide 2 .
Números como 2 , 3 , 5, 7 y en general la raíz cuadrada
de un número primo, son irracionales pues su expresión decimal
no es periódica. También son números irracionales los siguientes:
p 8 3.1415926535 . . . , e 8 2.71828
y desde luego los simétricos correspondientes a cada uno de ellos.
(El signo 8 se lee: aproximadamente.)
De todo lo expuesto, se concluye que los números decimales periódicos (racionales) junto con los decimales no periódicos (irracionales), forman el conjunto de los números decimales (reales).
En notación de conjunto se resume así:
{decimales periódicos} > {decimales no periódicos} 5 f
{decimales periódicos} < {decimales no periódicos} 5 {decimales}
{decimales} 5 {reales}
Con el diagrama de Venn-Euler se pueden ilustrar las relaciones
que guardan entre sí los conjuntos estudiados.
A5B3A,B>B,A
19
1
BLOQUE
Números
Naturales
Racionales
Reales
Resuelves problemas aritméticos y algebraicos
(N)
(Q)
(R)
Enteros
Irracionales
e5
(Z)
(Q9)
10 cm 10 cm 1
5
5 (también se puede escribir 1:10)
1 m 100 cm 10
Esto significa que 1 cm en el dibujo representa 10 cm en el objeto
real, de manera que 10 cm en el dibujo corresponden a 100 cm en
el objeto, es decir 1 m.
REALES
Actividad de aprendizaje
IRRACIONALES
Escala
RACIONALES
En una escala 1:25 significa que 25 cm en el objeto real están representados por, ¿cuántos centímetros en el dibujo?
ENTEROS
NATURALES
Ejemplos
Figura 1.9
Valor numérico de una expresión algebraica
Si en un rectángulo su base (o largo) mide 30 m y su altura (o ancho) mide 20 m su área se puede determinar con la expresión:
A 5 bh
Al sustituir b por 30 m y h por 20 m se obtiene
A 5 (30 m)(20 m)
Entonces
A 5 600 metros cuadrados
Esta cantidad es el valor numérico de la expresión algebraica.
Cuando se dibuja un objeto se hace uso de una escala gráfica que
se expresa generalmente como una fracción común en la que el numerador representa las medidas de las dimensiones de un dibujo
y el denominador representa las medidas correspondientes de las
dimensiones reales del objeto.
dimensión del dibujo
escala5
dimensión del objj eto
d
D
Si el segmento AB, que mide 10 cm, representa un objeto que mide
1 m, entonces se dice que la escala es
e5
20
Solución:
Como lo que se quiere conocer es la distancia real entre las dos poblaciones, se despeja D de la relación
e5
B
d
D
en donde
eD 5d
o bien
d
e
Sustituyendo los datos del problema
D5
Escalas
A
En un mapa a la escala 1:450 000, se representa la distancia entre
dos poblaciones por 5.75 cm, ¿cuál es la distancia real entre esas dos
poblaciones?
D5
5.775 cm
1
450 000
55.75 cm(450 000)
52 587 500 cm
525 875 m
525.875 km
Grupo Editorial Patria®
Instrumentos de evaluación
Apellido paterno
Apellido materno
Nombre
Grupo
Asegúrate de haber adquirido los contenidos que se abordan en el Bloque 1. Para ello, realiza lo que se te pide a continuación.
1. Si un atleta recorre los 100 metros planos en 9.6 segundos, ¿cuál
es su velocidad en kilómetros por hora?
3. Expresa la fracción decimal 2.373737… como fracción común.
4. Efectúa la operación que se indica y obtén el resultado: 22 3 3 1
10 4 5 5
5. Escribe cómo se leerían las siguientes expresiones:
a)
x2
2
⎛ x⎞
b) ⎜ ⎟
⎝ 2⎠
2
6. Escribe en lenguaje algebraico las siguientes expresiones verbales:
a) El cuadrado de la suma de dos números
2. De una hoja tamaño carta se utiliza como área de impresión
9 pulgadas por 6.5 pulgadas. Expresar el área de impresión en
centímetros cuadrados. Una pulgada es igual a 2.54 centímetros.
b) La suma de los cuadrados de dos números
21
1
BLOQUE
Resuelves problemas aritméticos y algebraicos
Lista de cotejo
Lista de cotejo para el reporte sobre la distancia de frenado de un automóvil del Bloque 1.
Nombre del alumno:
Presentación
Criterio
1. Cuenta con una carátula que incluye: el nombre del trabajo que
se realiza, la materia, fecha de entrega, nombre del alumno y
su matrícula.
2. Tiene una redacción que es adecuada y clara.
3. Tiene buena ortografía o con errores mínimos.
4. El trabajo se elabora en computadora o manuscrito con letra
legible.
5. Las gráficas o dibujos auxiliares se elaboran de un tamaño
adecuado de modo que se puedan apreciar con claridad los
datos obtenidos o las condiciones del problema.
6. Se presenta todo el procedimiento necesario para obtener
los datos o solución que se pide con la justificación
correspondiente.
Desarrollo
7. En el procedimiento se desarrolla una secuencia lógica y
coherente.
8. Se hace referencia a las gráficas o diagramas auxiliares para
apoyar la argumentación del escrito.
9. Se hace la referencia bibliográfica de las notas, definiciones
o conceptos consultados para sustentar teóricamente las
acciones realizadas.
Conclusiones
Dominio del
tema
10. La investigación se realiza con apoyo en libros y revistas
actualizadas sobre el tema o bien en sitios web cuya
información sea científicamente válida. De incluir citas
textuales, éstas deben ser breves y con la referencia de la
fuente.
22
11. Calcula distancias de frenado para las velocidades que se
indican.
12. Elabora una tabla de valores para la distancia de frenado con
las velocidades que se indican.
13. Representa en el plano coordenado la gráfica
velocidad-distancia de frenado.
14. Representa gráficamente las distancias de frenado para las
velocidades que se indican.
15. Representa gráficamente distancias de frenado en función de
la velocidad.
16. Representa gráficamente la distancia de frenado del automóvil
como una función de la velocidad.
cumple
sí
no
Observaciones
Grupo Editorial Patria®
Rúbrica para evaluar el conocimiento adquirido
Indicaciones:
Esta rúbrica es para valorar el desempeño de los estudiantes sobre los contenidos del bloque 1.
Nombre del alumno:
Excelente
(4)
Bueno
(3)
Regular
(2)
Deficiente
(1)
Representación de
números positivos
Conoce el sistema de
numeración decimal.
Representa números
positivos en forma decimal.
Convierte fracciones
comunes en decimales
periódicas.
Conoce el sistema de
numeración decimal.
Representa números
positivos en forma
decimal. Convierte algunas
fracciones comunes en
decimales periódicas.
Conoce el sistema de
numeración decimal.
Representa números
positivos en forma decimal.
No conoce el sistema
de numeración decimal.
No representa números
positivos en forma decimal.
No convierte fracciones
comunes en decimales
periódicas.
Números decimales
en distintas formas
Expresa números decimales
como enteros, fracciones
o porcentaje. Convierte
números decimales en
fracciones comunes.
Expresa números decimales
como enteros, fracciones
o porcentaje. Convierte
la mayoría de números
decimales en fracciones
comunes.
Expresa números decimales
como enteros o fracciones.
Convierte algunos números
decimales en fracciones
comunes.
No expresa números
decimales como enteros,
fracciones o porcentaje.
No convierte números
decimales en fracciones
comunes.
Operaciones
numéricas
Efectúa las operaciones
aritméticas en el orden
que corresponde. Resuelve
problemas aritméticos.
Efectúa las operaciones
aritméticas en el orden que
corresponde. Resuelve la
mayoría de los problemas
aritméticos.
Efectúa las operaciones
aritméticas en el orden
que corresponde. Resuelve
algunos problemas
aritméticos.
No efectúa las operaciones
aritméticas en el orden que
corresponde. No resuelve
problemas aritméticos.
Números reales y
variables algebraicas
Identifica los números
reales. Expresa enunciados
de lenguaje común en
lenguaje algebraico.
Conoce la terminología y
notación en una expresión
algebraica.
Identifica los números
reales. Expresa enunciados
de lenguaje común en
lenguaje algebraico. Conoce
casi toda la terminología y
notación en una expresión
algebraica.
Identifica los números
reales. Expresa enunciados
de lenguaje común en
lenguaje algebraico. Conoce
poco de la terminología y
notación en una expresión
algebraica.
No identifica los números
reales. No expresa
enunciados de lenguaje
común en lenguaje
algebraico. No conoce la
terminología y notación en
una expresión algebraica.
Representación de
números reales
Conoce y representa en
la recta a los números
naturales, enteros,
racionales, irracionales y
reales.
Conoce y representa en
la recta a los números
naturales, enteros y
racionales.
Conoce y representa en
la recta a los números
naturales y enteros.
No conoce ni representa
en la recta a los números
naturales, enteros,
racionales, irracionales y
reales.
Valor numérico
de una expresión
algebraica
Calcula el valor numérico de
una expresión algebraica.
Calcula y representa
escalas.
Calcula el valor numérico de
una expresión algebraica.
Calcula escalas.
Calcula el valor numérico de
una expresión algebraica.
No calcula el valor
numérico de una expresión
algebraica. No calcula ni
representa escalas.
Aspecto a evaluar
Criterios
Comentarios Generales
23
1
BLOQUE
Resuelves problemas aritméticos y algebraicos
Escala de Rango
A continuación se presenta la escala de rango, que es un instrumento de evaluación que posibilita la observación y el registro del
aprendizaje de los alumnos y su desarrollo de competencias.
Aspectos a evaluar
1
2
3
4
5
Explica claramente el problema
Explica además de los pasos, sus ideas
Presenta más de una solución
Si recibe una respuesta incorrecta, la usa para crear una discusión
Realiza buenas preguntas a la clase, tales como: ¿será esta la única manera de hacerlo?, ¿es esta
la única respuesta posible?, ¿qué pasa si…?
Responde las preguntas realizadas por sus demás compañeros(as)
Está atento a la clase y respeta la participación de sus compañeros
1 5 Nunca; 2 5 Raramente; 3 5 Algunas veces; 4 5 Casi siempre; 5 5 Siempre
Hoja de observación para el trabajo por equipos
Criterios
Equipo 1 Equipo 2 Equipo 3 Equipo 4 Equipo 5
Intercambian ideas para buscar una alternativa de solución viable
Colaboran en la discusión y puesta en marcha de la alternativa planteada y consensada
Atienden y respetan las opiniones de los demás
Utilizan los recursos adecuados
Proponen explicaciones de lo que observan
Aplican términos científicos en sus explicaciones
Registran y sistematizan sus observaciones
Clave: NS (No Suficiente), S (Suficiente), B (Bien), MB (Muy Bien)
24
Grupo Editorial Patria®
Portafolio de evidencias
El portafolio de evidencias es un método de evaluación que consiste en:
r Recopilar los diversos productos que realizaste durante cada bloque (investigaciones, resúmenes, ensayos, síntesis, cuadros comparativos,
cuadros sinópticos, el reporte de prácticas de laboratorio, talleres, líneas de tiempo, entre otros), que fueron resultado de tu proceso de
aprendizaje en este curso.
r No vas a integrar todos los instrumentos o trabajos que realizaste; más bien, se van a integrar aquellos que tu profesor(a), considere son
los más significativos en el proceso de aprendizaje.
r Te permiten reflexionar y darte cuenta de cómo fue tu desempeño durante el desarrollo de las actividades de aprendizaje realizadas.
Etapas para realizar tu portafolio de evidencias
Instrucciones para seleccionar las evidencias
1. Comenta con tu profesor(a) el propósito de tu portafolio y su relación con los objetos de aprendizaje, competencias a desarrollar, desempeños esperados, entre otros elementos; acuerden el
periodo de compilación de los productos (por bloque, bimestre,
semestre).
1. Realiza todas las evidencias y así podrás incluir las que elaboraste
de manera escrita, audiovisual, artística, entre otras.
2. Haz un registro de los criterios que debes considerar al seleccionar tus evidencias de aprendizaje.
3. Todas las evidencias seleccionadas deben cumplir con el propósito del portafolio en cantidad, calidad y orden de presentación.
2. Selecciona aquellas que den evidencia de tu aprendizaje, competencias y desempeños desarrollados, y que te posibiliten reflexionar sobre ello.
3. Comentar con tu profesor(a) todas las dudas que tengas.
Propósito del portafolio de evidencias
Semestre
Observa los resultados del proceso de formación a lo largo del semestre, así como el cambio de los procesos de pensamiento sobre ti mismo y lo que te rodea, a partir del conocimiento de los distintos temas de estudio, en un ambiente
que te permita el uso óptimo de la información recopilada.
Asignatura
Número de bloques
del libro
Nombre del estudiante:
Criterios de reflexión sobre las evidencias
Comentarios del estudiante:
¿Cuáles fueron los motivos para seleccionar las evidencias presentadas?
¿Qué desempeños demuestran las evidencias integradas en este
portafolio?
¿Qué competencias se desarrollan con las evidencias seleccionadas?
¿Las evidencias seleccionadas cumplieron las metas establecidas en el
curso?
¿Qué mejoras existen entre las primeras evidencias y las últimas?
Monitoreo de evidencias
#
Título
Fecha de elaboración
Comentarios del profesor/a:
1
2
3
4
5
25
1
BLOQUE
Resuelves problemas aritméticos y algebraicos
Lista de cotejo
Con base en el documento Lineamientos de Evaluación del Aprendizaje (DGB, 2011), el objetivo de las listas de cotejo es determinar la presencia
de un desempeño, por tanto, es necesario identificar las categorías a evaluar y los desempeños que conforman cada una de ellas.
Instrucciones: Marcar con una ✗, en cada espacio donde se presente el atributo.
Estructura
Sí
No
Sí
No
Sí
No
Sí
No
Sí
No
1. Cuenta con una carátula con datos generales del estudiante.
2. Cuenta con un apartado de introducción.
3. Cuenta con una sección de conclusión.
4. Cuenta con un apartado que señala las fuentes de referencia utilizadas.
Estructura interna
5. Parte de un ejemplo concreto y lo desarrolla hasta generalizarlo.
6. Parte de una situación general y la desarrolla hasta concretizarla en una situación específica.
7. Los argumentos a lo largo del documento se presentan de manera lógica y son coherentes.
Contenido
8. La información presentada se desarrolla alrededor de la temática, sin incluir información irrelevante.
9. La información se fundamenta con varias fuentes de consulta citadas en el documento.
10. Las fuentes de consulta se contrastan para apoyar los argumentos expresados en el documento.
11. Jerarquiza la información obtenida, destaca aquella que considera más importante.
12. Hace uso de imágenes o gráficos de apoyo, sin abusar del tamaño de los mismos.
Aportaciones propias
13. Señala en las conclusiones lo aprendido a través de su investigación y su aplicación a su vida cotidiana.
14. Las conclusiones desarrolladas son de autoría propia.
15. Elabora organizadores gráficos para representar de manera sintética grandes cantidades de información.
Interculturalidad
16. Las opiniones emitidas en el documento promueven el respeto a la diversidad.
Total
26
Grupo Editorial Patria®
Escala de clasificación
La escala de clasificación sirve para identificar la presencia de determinado atributo y la frecuencia que presenta. (Lineamientos de Evaluación
del Aprendizaje. DGB, 2011.)
Este instrumento puede evaluar actividades de aprendizaje, ejercicios, talleres, prácticas de laboratorio, cualquier tipo de exposición, podrá ser
adaptado a las necesidades específicas de cada tema.
Instrucciones: Indica con qué frecuencia se presentan los siguientes atributos durante la dinámica a realizar. Encierra en un círculo el número
que corresponda si: 0 no se presenta el atributo; 1 se presenta poco el atributo; 2 generalmente se presenta el atributo; 3 siempre se
presenta el atributo.
Contenido
1. Desarrolla los puntos más importantes del tema.
0
1
2
3
2. Utiliza los conceptos y argumentos más importantes con precisión.
0
1
2
3
3. La información es concisa.
0
1
2
3
4. Relaciona los conceptos o argumentos.
0
1
2
3
5. Presenta transiciones claras entre ideas.
0
1
2
3
6. Presenta una introducción y conclusión.
0
1
2
3
7. Utiliza ejemplos que enriquecen y clarifican el tema.
0
1
2
3
8. Incluye materiales de elaboración propia (cuadros, gráficas, ejemplos) y se apoya en ellos.
0
1
2
3
0
1
2
3
10. La información la presenta sin saturación, con fondo y tamaño de letra idóneos para ser consultada por la
audiencia.
0
1
2
3
11. Se apoya en diversos materiales.
0
1
2
3
12. Articulación clara y el volumen de voz permite ser escuchado por todo el grupo.
0
1
2
3
13. Muestra constante contacto visual.
0
1
2
3
14. Respeta el tiempo asignado con un margen de variación de más o menos dos minutos.
0
1
2
3
Coherencia y organización
Aportaciones propias
Material didáctico
9. El material didáctico incluye apoyos para presentar la información más importante del tema.
Habilidades expositivas
Total
Puntaje total
27
Utilizas magnitudes y números reales
2
B LO Q U E
Objetos de
aprendizaje
2.1 Números reales: representación y operaciones.
2.2 Tasas, razones, proporciones y variaciones.
Competencias a desarrollar
„
Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de
procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la
comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.
„
Formula y resuelve problemas matemáticos aplicando diferentes enfoques.
„
Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos
matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.
„
Analiza la relación entre dos o más variables de un proceso social o natural para
determinar o estimar su propio comportamiento.
„
Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las
magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean.
„
Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos
y científicos.
¿Qué sabes hacer ahora?
1.
El número p, ¿a qué subconjunto de los números reales pertenece?
2.
¿Cuántos botes con capacidad de 3 de litro se pueden llenar con 45 litros de
4
pintura?
3.
Resuelve y representa gráficamente: |x 2 1| < 5.
Efectúa las operaciones indicadas y encuentra el resultado:
(23)(2 4)
5
26
4.
Un jet hace el vuelo entre dos ciudades empleando 4
5.
y5
3
horas de ida
4
2
horas de regreso. ¿Cuál es la diferencia de tiempo entre la ida y
3
el regreso?
6.
3
¿Cuántos litros de vino se pueden envasar en 75 botellas de de litro de ca4
pacidad cada una?
Tres personas reciben una herencia. La primera recibe
7.
5
8
recibe del total, ¿cuánto le corresponde a la tercera?
1
del total, la segunda
4
8.
Dos camiones del servicio urbano de la ciudad salen de la terminal a las 8 de la
mañana. Si uno tarda 1 hora en hacer su recorrido y el otro tarda una hora con
20 minutos, ¿a qué hora volverán a coincidir en su salida?
9.
Identifica si las magnitudes son directamente proporcionales o inversamente
proporcionales. La calificación y el número de errores en un examen.
10.
Si un mineral da 2% de metal puro, ¿cuántos kilogramos da por una tonelada
(1 000 kg)?
Desempeños por alcanzar
„
Asume una actitud constructivista, congruente con los conocimientos y
habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.
„
Privilegia el diálogo como mecanismo para la solución de conflictos.
„
Asumen que el respeto de las diferencias es el principio de integración y
convivencia en los contextos local, nacional e internacional.
Ubica en la recta numérica números reales y sus respectivos simétricos.
Combina cálculos de porcentajes, descuentos, intereses, capitales, ganancias,
pérdidas, ingresos, amortizaciones, utilizando distintas representaciones,
operaciones y propiedades de números reales.
Utiliza razones, tasas, proporciones y variaciones, modelos de variación
proporcional directa e inversa.
Construye modelos aritméticos, algebraicos o gráficos aplicando las
propiedades de los números reales.
2
BLOQUE
Utilizas magnitudes y números reales
Situación didáctica
Un vehículo tiene un rendimiento de 18 km por litro y realiza un
recorrido de 270 km. Si utiliza el mismo número de litros de combustible:
Secuencia didáctica
Forma equipos para resolver el problema.
Que cada equipo represente mediante dibujos las condiciones del
problema.
Presenta los resultados en plenaria y analizar las formas de resolver
el problema.
Cada equipo debe investigar:
¿Qué tipo de variación proporcional se expresa en el enunciado del
problema?
¿Cómo se puede plantear el problema utilizando una razón?, ¿una
proporción?, ¿una ecuación?
Trabajo individual
Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios.
Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione concep-
Rúbrica
Para determinar las respuestas del problema que se piden se deben
anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos
tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las fuentes consultadas, etc. La descripción del procedimiento
por escrito tiene un valor de 3 puntos, y la presentación en clase, 2
puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello
suma un total de 10 puntos.
Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes.
30
¿Cómo lo resolverías?
a) ¿Qué distancia recorrería si su rendimiento fuera de 15 km por
litro?
b) ¿Cuál sería su rendimiento para una distancia de 240 km?
¿Qué tienes que hacer?
tos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es
preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a
cabo las rectificaciones que procedan.
Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto de las
actividades señaladas en la secuencia didáctica, con el propósito
de asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje.
Evaluación por producto
A fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito
de manera muy clara.
En este ejemplo:
Producto a elaborar
Elabora la tabla y la gráfica de acuerdo con los valores de la situación didáctica.
¿Cómo sabes que lo hiciste bien?
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Situación didáctica
¿Cómo lo resolverías?
Una rueda de 48 dientes está engranada con una de 60 dientes. Cuando la primera gira 100 vueltas, ¿cuántas gira la segunda?
Secuencia didáctica
Forma equipos para resolver el problema.
Que cada equipo represente mediante dibujos las condiciones del
problema.
Presenta los resultados en plenaria y analizar las formas de resolver
el problema.
Cada equipo debe investigar:
¿Qué tipo de variación proporcional se expresa en el enunciado del
problema?
¿Cómo se puede plantear el problema utilizando una razón? ¿una
proporción?
¿Qué tienes que hacer?
tos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es
preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a
cabo las rectificaciones que procedan.
Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto de las actividades señaladas en la secuencia didáctica, con el propósito de
asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje.
Evaluación por producto
A fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito
de manera muy clara.
En este ejemplo:
Trabajo individual
Producto a elaborar
Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios.
Resuelve el problema con la aplicación del modelo de variación
que corresponde y la utilización de los valores dados.
Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione concep-
Rúbrica
¿Cómo sabes que lo hiciste bien?
Para determinar el número de vueltas que se pide se deben anexar
los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un
valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la
originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las
fuentes consultadas, etc. La descripción del procedimiento por escrito tiene un valor de 3 puntos, y la presentación en clase, 2 puntos
de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello suma un
total de 10 puntos.
Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes.
31
2
BLOQUE
Utilizas magnitudes y números reales
Propuestas de diseño
para situaciones didácticas
Parte II
Selecciona dos números enteros a y b con las siguientes
características:
Parte I
a) los dos son positivos;
1. Expresa en su forma más simple
b) los dos son negativos;
a) |2|
c) a es positivo y b es negativo;
b) |22| 5
d) a es negativo y b es positivo.
c) 2|22| 5
Verifica en cada caso la propiedad conmutativa de la suma de
enteros.
d) 2|2| 5
2. Da la interpretación geométrica de:
Parte III
Selecciona dos números enteros a y b y obtén a 2 b en los
siguientes casos:
a) x , 2 4
b) |x| . 4
1. a < b son positivos y a < b
c) |x| , 4
2. a < b son negativos y a < b
d) |x| 5 4 (x es un número real)
3. a > 0, b < 0 y |a| > |b|
4. a > 0, b < 0 y |a| 5 |b|
3. Resuelve y representa gráficamente.
5. a < 0, b > 0 y |a| < |b|
a) |x 2 1| . 5
b) |x 1 4| , 1
Parte IV
c) |x 2 1| , 5
Efectúa las operaciones indicadas y encuentra el resultado.
d) |x 1 4| $ 1
4. Calcula:
a) |5 2 2| 5
b) |2 2 5| 5
c) |22 2 5| 5
d) |22 1 5| 5
5. Calcula:
a) |23 2 |25| 5
b) |4 2 9| 2 | 24| 5
1.
2.
3.
4.
5.
c) 18 1 | 23 2 2| 2 5 2 |27| 5
d) 2 |223 | 5
6. Sustituye las variables por sus valores y efectua las operaciones indicadas simplificando el resultado:
a) x 2 |y| 1 |z 2 5|; x 5 22, y 5 3, z 5 1
b) |x 2 y 2 z 1 1|; x 5 22, y 5 23, z 5 5
c) 2|3x| 1 y 2 z 2 |3z|; x 5 4, y 5 1, z 5 2
d) |5 2 3x 1 4 2 2y| 23(x 2 y); x 5 23,
y 5 22, z 5 4
32
6.
(23)(2 4)
5
26
2 7 1(2 4)1 5
5
(28)(9)
(23)(5)2( 2 2)( 4)
5
(28)(7)
⎡ (2 9)(2 9)(23) ⎤
⎢
⎥ 155
6
⎣
⎦
3(11)2 5( 2 2)
5
2((23)
2(2 2)2
5
112(23)
(2 4)(2 2)(23)
5
(2 5)(210)
(2120)(131)(0)
8.
5
(2 5)(28)(2 9)
7.
9.
(23)(26)(118)
5
(2 4)(26)
10.
(11)(1 2)(13)
5
(2 4)(26)
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Parte V
Resuelve los siguientes problemas.
1. Un automovilista hace un recorrido en tres etapas. Parte con
el tanque lleno de combustible
1
y en la primera etapa gasta
3
1
de tanque; en la segunda, del
4
combustible original, y en la ter1
cera, del combustible inicial.
6
Al término de su recorrido, ¿qué
parte del combustible original le queda?
2. Una familia distribuye sus ingresos anuales de la siguiente
1
manera: parte en el alquiler de su
4
2
partes en alimentos y
vivienda,
5
1
1
recreación, parte en ropa, par2
10
te para ahorrar y el resto para viajar.
¿Qué parte del ingreso anual se utiliza para viajar?
1
gramos de harina por pieza de
2
pan. ¿Qué cantidad de harina
necesitan para producir 3 200
piezas de pan?
1
3. En una empresa del total de
4
las acciones le pertenecen al se5
ñor Pérez, y a su esposa de las
6
que él tiene. ¿Cuántas acciones tienen los demás accionistas?
1
4. Para construir un mueble se requieren 27 metros lineales de ma5 2
dera recortados de la siguiente forma: del total en tramos de 2.5
11
8
metros, de lo que resta en tramos de un metro y lo que sobra
15
en tramos de medio metro. ¿Cuántos tramos de cada medida se
necesitan?
2. En una panadería utilizan 9
Parte VII
Resuelve los siguientes problemas:
3
1
1. Un ciclista recorre 35 km en 2 horas, ¿cuál es su velocidad
4
2
promedio por hora?
3. Se envían por correo cuatro paquetes
que en conjunto pesan 4 kg. Si uno
3
7
1
pesa de kg, otro kg y un tercero pesa de kg, ¿cuál es el
4
8
2
peso del cuarto paquete?
3
4. Un jet hace el vuelo entre dos ciudades empleando 4 horas
4
2
de ida y 5 horas de regreso. ¿Cuál es la diferencia de tiempo
3
entre la ida y el regreso?
2. Un campesino tiene un terreno de 3500 m2 de superficie.
3
2
1
9
Siembra del área con alfalfa, con maíz, con verdura y
8
5
7
40
con cítricos. ¿Qué superficie ocupa para cada tipo de cultivo?
3. Tres personas reciben una heren1
cia. La primera recibe del total
4
5
y la segunda, del total, ¿cuánto le
8
corresponde a la tercera?
Parte VI
Resuelve los siguientes problemas.
1. ¿Cuántos litros de vino se pue3
den envasar en 75 botellas de
4
de litro de capacidad cada una?
4. Dos personas compran un juguete
1
1
aportando 1 y 2 unidades de
4
2
dinero respectivamente. Después
3
unidades de dinero.
5
¿En cuánto se vendió el juguete? ¿Qué parte de la ganancia es
para cada persona si se divide proporcionalmente de acuerdo
con su aportación?
lo venden y obtienen una ganancia de
33
2
BLOQUE
Utilizas magnitudes y números reales
Parte VIII
Resuelve los siguientes problemas.
1. Dos camiones del servicio urbano de la ciudad salen de la terminal a las 8 de la mañana. Si uno tarda 1 hora en hacer su
recorrido y el otro tarda una hora con 20 minutos, ¿a qué hora
volverán a coincidir en su salida?
2. Se tienen tres fajos de billetes: en el
primero hay $ 2 800 en el segundo $ 8 000 y en el tercero $ 4 600. Si todos los
billetes son iguales y del
mayor valor posible, ¿cuál es el
valor de cada billete?, ¿cuántos billetes
hay en cada fajo?
3. Un depósito de agua se puede llenar en un número exacto de
minutos por una llave A que arroja 45 litros por minuto, por
una llave B que arroja 60 litros por minuto o por una llave C
que arroja 96 litros por minuto. ¿Cuál es la menor capacidad
que debe tener el depósito para que se llene en un número
exacto de minutos por cualquiera de las tres llaves?
4. Los alumnos A, B y C presentaron un examen con los siguientes resultados: A obtuvo 88
puntos, B 96 puntos y C 68 puntos. Si todas las preguntas del
examen tienen el mismo valor y
éste es el máximo posible, ¿cuál
es el valor de cada pregunta?
¿Cuántas preguntas contestó
correctamente cada alumno?
5. Dos camiones del servicio urbano de la ciudad salen de la terminal a las 8:00 a.m. En hacer su recorrido de ida y vuelta uno
tarda 2 horas y el otro 1 hora 20 minutos, ¿a qué hora vuelven
a coincidir en su salida?
6. Una superficie rectangular de 7.50 m de largo y 5.40 m de ancho se va a cubrir con loseta asfáltica cuadrada, de la mayor dimensión posible, de manera que
haya un número entero de losetas
tanto a lo largo como a lo ancho.
¿Cuál es la medida del lado de la
loseta? ¿Cuántas losetas se pueden colocar a lo largo? ¿Cuántas
a lo ancho?
7. Tres corredores entrenan en una
pista que recorren en 12, 15 y 18
minutos respectivamente. Su en34
8.
9.
10.
11.
trenamiento termina cuando vuelven a coincidir en la línea de
meta. Si salieron de la meta a las 6 a.m., ¿a qué hora vuelven a
coincidir? ¿Cuántas vueltas da cada uno?
A cada alumno de un grupo escolar se le va a entregar en un paquete la misma cantidad de lápices y cuadernos. Si se dispone de
75 lápices y 100 cuadernos, ¿cuál es el mayor número de alumnos que puede recibir un paquete? ¿Cuántos lápices contiene
cada paquete?, ¿cuántos cuadernos contiene cada paquete?
Tres anuncios se encienden con intervalos de 12, 15 y 18 segundos respectivamente. Si los tres se encendieron a las 7 de
la noche, ¿a qué hora vuelven a encenderse al mismo tiempo?
Se dispone de 300 kg de frijol, 120 kg de arroz y 180 kg de
harina de maíz para hacer
despensas que contengan
un número exacto de kilogramos de cada artículo.
¿Cuál es el mayor número
de despensas que se pueden
hacer? ¿Cuántos kilogramos de cada artículo lleva
cada una?
Los vuelos a las ciudades A,
B y C se realizan cada 8, 12
y 15 días. Si los tres salieron
el 15 de mayo, ¿cuántos
días transcurrirán para que
vuelvan a salir en la misma
fecha?
Parte IX
Identifica si las magnitudes son directamente proporcionales o inversamente proporcionales.
1. La calificación y el número de aciertos en un examen.
2. La calificación y el número de errores en un examen.
3. La velocidad y la distancia recorrida en determinado tiempo.
4. La velocidad y el tiempo para una distancia determinada.
5. El volumen y la presión de una masa gaseosa a temperatura
constante.
6. La presión y la temperatura de una masa gaseosa a volumen
constante.
7. La iluminación y la distancia a una fuente luminosa.
8. Para un trabajo determinado, el tiempo y el número de obreros.
9. El número de artículos iguales y el costo total de ellos.
10. El importe del consumo de agua y el número de metros cúbicos consumidos.
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Parte X
Plantea cada uno de los siguientes problemas con proporciones y
resuélvelos aplicando la propiedad fundamental.
1. En una escuela, 780 alumnos que representan 63% son varones, ¿cuántas niñas hay?
2. Si un alumno contesta en forma correcta 39 preguntas de un total de
50, ¿qué tanto por
ciento contestó correctamente?
3. En una escuela, 208 alumnos cursan el tercer año y representan 26%. ¿Cuántos alumnos tiene la escuela?
4. Un automovilista recorre 420 km que corresponden a 60%
de su recorrido, ¿cuántos kilómetros le faltan por recorrer?
5. Cuarenta y dos kilogramos de una aleación contiene 6% de
cobre. Halla la cantidad de cobre en kg.
6. Si un mineral da 2% de metal puro, ¿cuántos kilogramos da
por una tonelada (1 000 kg)?
7. Si un mineral da 60 kg de metal por tonelada, ¿cuánto por
ciento da?
8. Si se funden 20 kg de estaño con 60 kg de cobre? ¿Cuánto por
ciento del peso del estaño es el peso del cobre?
9. El trigo pierde 18% de su peso al molerlo. Cuando se han perdido 360 kg, ¿qué cantidad de trigo se ha molido?
10. El agua, al helarse, aumenta su volumen en 10%. ¿Cuántos
metros cúbicos de agua se necesitan para formar 508.2 metros cúbicos de hielo?
Introducción
El sistema de los números reales se explica a partir de sus subconjuntos más importantes.
El concepto de valor absoluto se utiliza como antecedente de las
operaciones con enteros.
Las razones y proporciones aparecen como antecedente de la variación proporcional directa e inversa.
2.1 Números reales:
representación y operaciones
En este bloque se realizan operaciones con números reales de manera fundamental con enteros y racionales.
Para tu reflexión
Isaac Newton (1642-1727)
Las matemáticas son el alfabeto con el cual
Dios ha escrito el universo
Difícilmente podría decirse que el camino de
Newton a la fama estaba predestinado. Su
nacimiento fue prematuro, y durante algún
tiempo pareció que no sobreviviría debido a
su debilidad física.
El padre de Isaac murió tres meses antes de que éste naciera, y cuando tenía
2 años de edad su madre volvió a casarse y él se fue a vivir con su anciana
abuela a una granja de Woolsthorpe. Fue probablemente aquí, en un
distrito de Inglaterra en que era vigoroso el influjo puritano, privado de
las relaciones normales con padres, hermanos y alejado de otros niños,
donde adquirió las facultades de meditación y concentración que más
tarde le permitieron analizar y encontrar la solución de problemas que
desconcertaban a otros científicos.
Cuando tenía 12 años ingresó a la escuela del rey en Grantham, donde vivió con un boticario llamado Clark, cuya esposa era amiga de la
madre de Isaac, pasó cuatro felices años ahí, construyendo toda clase
de molinos de viento, carros mecánicos, relojes de agua y cometas.
Encontró un desván lleno de libros científicos que le encantaba leer y
toda suerte de sustancias químicas y frascos de botica además de la
compañía de la señorita Storey, hija adoptiva del matrimonio.
Cuando Isaac tenía 17 años murió su padrastro y el muchacho volvió a
su casa a fin de ayudar a su madre en la administración de su pequeña
propiedad en Woolsthorpe, empero Newton no sentía inclinación por
la vida de campo y pasaba el tiempo leyendo sus libros científicos,
hasta que su madre lo comprendió y le permitió continuar su carrera
académica e ingresó en el Colegio de la Trinidad en Cambridge.
35
2
BLOQUE
Utilizas magnitudes y números reales
Aunque Newton tenía un profundo conocimiento de los principios matemáticos, no le interesaban las matemáticas puras o filosóficas, sino
su aplicación para comprender mejor el mundo científico y el universo.
En 1664 se cerró provisionalmente la Universidad de Cambridge debido a una gran peste bubónica y Newton volvió a Woolsthorpe, donde
pasó un año y medio. Durante ese tiempo hizo tres de sus grandes
descubrimientos científicos: el primero fue el binomio de Newton y los
elementos del cálculo diferencial, que denominó fluxiones. Poco después dijo que había encontrado el método inverso de las fluxiones, es
decir, el cálculo integral.
El segundo gran descubrimiento fue que se preguntó si la fuerza de
gravedad afectaba también a masas tan grandes como la de los planetas y los satélites, y encontró que la fuerza que estaba difundida en
el universo y mantenía a los planetas en sus órbitas efectivamente era
la gravedad, y era una fuerza que podía medirse. Dedujo que la fuerza
que mantiene a un planeta en su órbita debe ser inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que lo separa del centro alrededor
del cual gira. Aplicó esta deducción al cálculo de la fuerza de gravedad
ejercida sobre la Luna, y los resultados confirmaron su creencia.
Su tercer gran descubrimiento corresponde al área de la óptica y la
refracción de la luz. Sus trabajos en la fabricación de lentes y prismas
revelaron que la luz está compuesta de rayos individuales con diferente
refracción, y que los rayos de color no son modificaciones de la luz
sino propiedades originales e innatas que existen en diferentes rayos y
tienen sus características propias.
saber: el positivo representa un punto a cierta distancia a la derecha
del origen, y el negativo representa otro punto a la misma distancia,
pero a la izquierda.
El valor absoluto de cualquier número real x (que se denota por
|x|) es x si x es positivo, 2x si x es negativo y cero si x es cero. Simplemente, se puede escribir como sigue:
Actividad de aprendizaje
Si un número 2x es positivo, ¿entonces cómo es x ?
Ejemplos
|2| 5 2
|22| 5 2
Ejemplos
Resuelve para cada x una de las siguientes ecuaciones:
|x | 5 4
Elementos de los subconjuntos de los
números reales
Los subconjuntos de los números reales con los que trabajamos en
álgebra son: racionales e irracionales.
x54
porque |4| 5 | 24| 5 4
o
x 5 24
|x 1 1| 5 5
x1155
x54
o
x 1 1 5 25
x 5 26
Los racionales corresponden a los números decimales periódicos.
Incluyen a los números enteros, y éstos a los naturales.
Recta numérica: números reales y
sus simétricos, su valor absoluto
y relaciones de orden
Actividad de aprendizaje
¿Cómo se obtiene la distancia entre dos puntos en la recta numérica?
A continuación se introduce el concepto de valor absoluto, que
nos permitirá comprender el simétrico de un número y el establecimiento de las relaciones de orden: mayor que, menor que e igual.
Valor absoluto
Para cada número real x (x ? 0), hay un número 2x. si x es positivo, 2x es negativo; pero si x es negativo, entonces 2x es positivo.
Estos dos números representan puntos sobre la recta numérica, a
36
Distancia entre dos puntos
de la recta numérica
Si P(x) es un punto de la recta numérica, entonces |x| es la distancia del origen a P(x). Para dos puntos cualesquiera de la recta nu-
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mérica: (P(a) y P(b), la distancia entre ambos es a – b si a > b, y b 2
a si b > a, es decir |a – b|. Este hecho permite visualizar la solución
de ecuaciones o desigualdades cuyas expresiones tengan valores
absolutos.
Ejemplos
1. Halla la solución de |x | 5 4.
Como |x | 5 |x 2 0|, entonces |x| 5 4 implica que |x 2 0| 5 4,
por lo que la solución se puede interpretar así:
Halla los puntos P (x ) cuya distancia al origen sea 4. En este caso,
como P (4) y P (24) satisfacen la condición y, por tanto, 4 y 24
son la solución.
2. Halla la solución de | x | < 4.
Como |x | < 4 implica que |x 2 0| < 4, la distancia del punto al origen es menor que 4, es decir, P (x ) es cualquier punto a la izquierda
de P (4) y a la derecha de P (24) como se ilustra en la figura 2.1;
los círculos alrededor de P (4) y P (24) indican que esos puntos no
se incluyen como solución de la desigualdad.
–6
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
5
6
Figura 2.1
3. Halla la solución de |x 1 4| ≥ 2
Como |x 1 4| 5 |x 2 (24),| entonces la solución de |x 2 (24)|
≥ 2 consiste en hallar los puntos P (x ) cuya distancia a P (24)
sea mayor o igual a 2; por consiguiente, P (x ) puede ser P (22) o
P (26), o cualquier punto a la derecha de P (22) o a la izquierda
de P (26), como se ilustra en la figura 2.2 en la cual los puntos
P (22) y (P26) están remarcados para indicar que también son
solución de la desigualdad.
–9
–8
–7
–6
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
Figura 2.2
Propiedades fundamentales de las
operaciones aritméticas
Las propiedades fundamentales de las operaciones aritméticas son
las siguientes:
Para la suma: cerradura, asociatividad, existencia del idéntico, existencia de los inversos, conmutatividad.
Es de hacerse notar que al número 2a se le llama inverso aditivo
o simétrico de a. Así, el inverso aditivo de 5 es 25, y el inverso
aditivo de 25 es 5. Se puede demostrar que el inverso aditivo de
un número es único.
Para la multiplicación: cerradura, asociatividad, existencia del
idéntico, existencia de los inversos, conmutatividad.
1
Es de notarse que el número se le llama inverso multiplicativo o
a
1
1
recíproco de a. Así, el inverso multiplicativo de 4 es y el de es
4
4
4. Se puede demostrar que el inverso multiplicativo de un número
es único.
Dados dos números reales a y b puede ocurrir alguna de las siguientes situaciones: a > b, a 5 b, a < b.
Operaciones con números enteros
Al operar con este conjunto de números, además de su expresión
numérica habrá que considerar su sentido. De esta manera, si dos
personas parten del mismo punto y recorren un kilómetro en sentidos opuestos, es evidente que al término de su trayecto se hallarán
en lugares diferentes, a pesar de haber recorrido la misma distancia.
Si una persona gana $1 000 000 está en una situación distinta de la
que tendría si hubiese perdido $1 000 000; aunque la cantidad es
la misma, ganar y perder tienen significados opuestos.
En el primer caso se considera positiva la distancia recorrida hacia
la derecha (o al norte) del punto de partida, y negativa la que recorrió hacia la izquierda (o hacia el sur) del punto de partida.
En el segundo caso ganar se considera positivo y perder, negativo.
En determinadas magnitudes se ha convenido establecer el sentido positivo y negativo de las variaciones que pueden experimentar.
Así, las distancias contadas hacia la derecha (o hacia el norte) se
consideran positivas y las distancias hacia la izquierda (o hacia el
sur) se consideran negativas. Las temperaturas sobre cero como
positivas y las temperaturas bajo cero como negativas. Las ganancias como positivas y las pérdidas como negativas.
También se ha convenido en anteponer el signo 1 a los números
positivos y el signo 2 a los negativos. De esta manera, 2200 años,
negativo, significa 200 años antes de Cristo, y 1 1987, positivo, significa 1987 años después de Cristo. Cuando no hay lugar a duda se
puede suprimir el signo 1 delante de los números positivos, en vista de lo cual se deben considerar positivos aquellos números que
no lleven signo antepuesto.
Los signos 1 y 2 tienen un doble significado: pueden indicar la
suma y la resta, y establecer el sentido positivo o negativo en que se
ha considerado una cantidad; en consecuencia, han de considerarse asociados con el símbolo numérico, formando por así decirlo,
parte del símbolo mismo. En ocasiones conviene expresar los números positivos y negativos encerrándolos en un paréntesis.
37
2
BLOQUE
Utilizas magnitudes y números reales
Actividad de aprendizaje
Ejemplos
En un estado de cuenta bancario de una tarjeta de crédito las compras aparecen con signo 1 y los pagos con signo 2, ¿cómo se debe
interpretar esto?
1.
(13) 1 (21) 1 (14) 1 (25) 1 (29) 5 (17) 1 (215)
5 28
2.
(15) 1 (22) 1 (26) 1 (18) 5 (13) 1 (26) 1 (18)
5 (23) 1 (18)
5 15
Sustracción de números enteros
Actividad de aprendizaje
¿Cómo se suman dos enteros con igual signo? ¿Cómo se suman dos
enteros con distinto signo?
Recordemos que dos números reales que tienen el mismo valor
absoluto o diferente signo son simétricos o inversos aditivos uno
del otro, con la propiedad de que su suma es cero, es decir a 1
(2a) 5 0.
La sustracción es la operación inversa de la adición.
a) Para sumar dos enteros con igual signo, se suman sus valores
absolutos y al resultado se le antepone el signo común.
Ejemplos
Si conocemos la suma (minuendo) de dos sumandos, pero sólo a
uno de ellos (sustraendo), entonces debemos encontrar el sumando que falta (diferencia). Para efectuar la sustracción de dos números enteros, se busca un número, que sumado con el sustraendo
nos dé el minuendo; esto equivale a transformar la sustracción en
una adición, sumando al minuendo el simétrico o inverso aditivo
del sustraendo.
Actividad de aprendizaje
(1 3) 1 (1 5) 5 1 8
(24) 1 (28) 5 212
(112) 1 (113) 5 1 25
(27) 1 (216) 5 223
b) Para sumar dos enteros de distinto signo, se restan sus valores
absolutos y a la diferencia se le antepone el signo del número
con mayor valor absoluto.
¿Cuál es el inverso aditivo de 25?
Ejemplos
(18) 2 (15) 5 (18) 1 (25) 5 13
Ejemplos
(14) 2 (110) 5 (14) 1 (210) 5 26
(19) 1 (24) 5 1 5
(215) 1 (16) 5 29
(29) 1 (14) 5 25
(115) 1 (26) 5 19
(13) 2 (22) 5 (13) 1 (12) 5 15
(17) 2 (28) 5 (17) 1 (18) 5 115
(25) 2 (13) 5 (25) 1 (23) 1 28
(29) 2 (17) 5 (29) 1 (27) 5 216
c) Para sumar varios enteros, se procede de dos formas: sumando por separado los positivos y los negativos, restando después los valores absolutos de las dos sumas y a la diferencia
anteponer el signo de la mayor en valor absoluto; o bien, se
suman los dos primeros sumandos, el resultado se suma con
el tercero y así sucesivamente.
38
(23) 2 (22) 5 (23) 1 (12) 5 21
(24) 2 (29) 5 (24) 1 (19) 5 15
Una expresión compuesta de sumas y restas combinadas recibe el
nombre de suma algebraica.
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Ejemplos
(2 7 2 3 1 4 2 1 1 12) 5 2 7 2 3 1 4 2 1 1 12
(19) 1 (23) 2 (14) 2 (25) 1 (210)
La expresión anterior es una suma algebraica y, como ya se ha explicado, cada signo de restar se puede suprimir al sustituir cada sustraendo
por su inverso aditivo.
(9 1 4 2 5) 1 (2 7 1 3) 5 9 1 4 2 5 2 71 3
b) 2 (2 1 4 2 6 2 7 1 3) 5 2 2 2 4 1 6 1 7 2 3
2 (2 4 2 8 1 9 1 1 2 10) 5 4 1 8 2 9 2 1 1 10
Así:
2 (6 1 2 2 3 2 7 2 12) 5 2 6 2 2 1 3 1 7 1 12
(19) 1 (23) 2 (14) 2 (25) 1 (210) 5 (19) 1 (23) 1 (24) 1
(15) 1 (210)
2 (2 5 2 6 1 4) 2 (14 1 3) 5 5 1 6 2 4 2 14 2 3
5 (114) 1 (217) 5 23
Supresión de paréntesis
En la adición de números enteros se ha convenido suprimir los
paréntesis, escribiendo unos sumandos a continuación de otros
enlazados por sus signos respectivos.
Así:
(17) 1 (24) 1 (22) 1 (16) 5 7 se puede escribir
724221657
entonces:
(17) 1 (24) 1 (22) 1 (16) 5 7 2 4 22 1 6 5 7
Cuando el primer sumando es positivo se suprime el signo.
De lo anterior se puede decir que todo paréntesis precedido de signo 1 debe ser considerado como un sumando, mientras que todo
el que esté antecedido del signo 2 debe considerarse un sustraendo. De ahí que para la supresión de paréntesis se establece que:
a) Todo paréntesis antecedido por el signo más se puede suprimir sin alterar los signos de los términos que encierra.
b) Todo paréntesis precedido del signo menos se puede suprimir escribiendo los simétricos de los términos que encierra.
Actividad de aprendizaje
Suprime paréntesis: 2 (2 3 1 2 2 5 2 7) 1 (2 3 1 2 2 5 2 7).
Ejemplos
a) (4 2 6 1 7 1 5) 5 4 2 6 1 7 1 5
(2 3 1 5 2 9 1 8) 5 2 3 1 5 2 9 1 8
Aplicando estos dos criterios, se pueden suprimir los paréntesis en
una suma algebraica.
Multiplicación de números enteros
Leyes de los signos del producto de enteros:
El producto de dos números enteros positivos es un número entero positivo.
El producto de dos números enteros negativos es un número
entero positivo.
El producto de un número entero positivo por un número entero negativo es un número entero negativo.
El producto de un número entero negativo por un número entero positivo es un número entero negativo.
Es por ello que al multiplicar números enteros se debe recordar
que:
a) El valor absoluto del producto es igual al producto de los valores absolutos de los factores.
b) Si los dos factores tienen el mismo signo, el producto es positivo. Si tienen signos contrarios, el producto es negativo.
Actividad de aprendizaje
Si el producto de dos enteros es positivo, ¿qué se puede decir de sus
factores?
Ejemplos
(18)(14) 5 132
(26)(25) 5 130
(17)(23) 5 221
(22)(19) 5 218
39
2
BLOQUE
Utilizas magnitudes y números reales
División de números enteros
Operaciones con números racionales
Dado cualquier número real a(a ? 0) existe otro número real que
1
1
se denota por o a21, tal que a ? 5 1. Cada uno es el recíproa
a
co o inverso multiplicativo del otro.
La división es la operación inversa de la multiplicación.
Conociendo el producto de dos factores (dividendo) y uno de
ellos (divisor), se debe encontrar el otro factor (cociente). El producto del cociente por el divisor es, por tanto, igual al dividendo.
Al dividir dos números enteros se debe recordar lo siguiente:
a) El valor absoluto del cociente es igual al cociente de los valores
absolutos del dividendo y del divisor.
b) El signo del cociente es positivo si el dividendo y el divisor tienen el mismo signo. Si tienen signos contrarios, el cociente es
negativo.
A continuación se reafirmarán los algoritmos para cada operación
con números racionales, los cuales están representados por fracciones comunes.
Actividad de aprendizaje
Realizar la operación:
¿Qué signo tiene el cociente cuando el dividendo y el divisor tienen
signos contrarios?
2 1
− =
3 2
Adición de números racionales
La suma de dos fracciones se puede efectuar cuando tiene la misma unidad fraccionaria, es decir, el mismo denominador. En la adición de números racionales se presentan tres casos.
1. Suma de fracciones con el mismo denominador.
Se suman los numeradores para obtener el numerador del resultado cuyo denominador es el denominador común.
Actividad de aprendizaje
Ejemplos
Ejemplos
(218) ÷ (16) 5 23
(12) ÷ (11) 5 12
(124) ÷ (28) 5 23
(26) ÷ (21) 5 16
(214) ÷ (27) 5 12
(18) ÷ (22) 5 24
Operaciones combinadas
Al efectuar operaciones combinadas se debe tener presente el orden, es decir, primero se realizan las multiplicaciones y divisiones,
y después las sumas y restas, a menos que los símbolos de agrupación establezcan otro orden.
Ejemplos
⎡ (2 3)(5)2(12)4(2 4) ⎤
⎡ 2 15 2(2 3) ⎤
135 ⎢
⎥
⎢
⎥ 13
(2 2)(2 3)
6
⎣
⎦
⎦
⎣
⎡ 2 15 13 ⎤
5⎢
13
⎣ 6 ⎥⎦
2 12 ⎤
5 ⎡⎢
13
⎣ 6 ⎥⎦
52 2 13
51
40
1 3 113 4 1
1 5
5 5
8 8
8
8 2
2 1 2 11 3
1 5
5
5 5
5
5
4 3 4 13 7
1 5
5 511
7 7
7
7
7 5 7 1 5 12 6 1
1 5
5 5 51
10 10 10 10 5 5
a c
En general, si y son dos racionales, su suma es el número raa 1c b b
.
cional
b
a 1c
a c
1 5
b
b b
7
7
De restar
8
8
7 7 727 0
2 5
5 50
8 8
8
8
2. Sustracción de fracciones con distinto denominador.
Primero se reducen a un común denominador, y después se
procede como en el caso anterior.
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Ejemplos
Multiplicación de números racionales
2
3
De restar
5
4
El producto de dos fracciones es otra fracción, cuyo numerador y
denominador es el producto de los numeradores y de los denominadores, respectivamente.
como el denominador común es 20, se tiene:
3 2 15 28 7
2 5
5
4 5
20
20
3. Sustracción de números mixtos.
Se puede proceder de dos formas:
a) Convirtiendo los números mixtos en fracciones impropias
y después proceder como en el caso anterior.
Actividad de aprendizaje
Multiplicación de números racionales
2 3 1
× = , ¿por qué el producto es menor que cualquiera de los fac3 4 2
tores?
Ejemplos
1
1
De 5 restar 2
4
2
Ejemplos
1
1 21 5
5 22 5 2
4
2 4 2
21210
5
4
11
5
4
3
52
4
b) Restando por separado los enteros y las fracciones y sumando después los resultados. Al hacerlo de esta forma se
debe tener cuidado, pues en ocasiones la fracción del minuendo es menor que la del sustraendo, en cuyo caso es
necesario transformarlo a fin de hacer posible la resta.
1
1
En el ejemplo anterior es menor que , entonces se
4
2
5
1
4 1
transforma 5 en 4 1 1 5 4 , así:
4
4
4 4
1
5
1
1
5 22 5 4 22
2
4
2
4
⎛ 5 1⎞
5( 4 2 2)1⎜ 2 ⎟
⎝ 4 2⎠
522
521
4
3
521
4
3
52
4
Multiplica
3
4
por
6
5
4 3 4 3 3 12 2
3 5
5 5
5 6 5 36 30 5
Ejemplos
Multiplica
3
7
por
4
8
Multiplica 4 por
3
4
7 3 7 3 3 21
3 5
5
8 4 8 3 4 32
4 3 4 33 12
3 5
5 53
1 4 134
4
a c
y son dos números racionales su producto es el
b d
acc
número racional
.
bd
a c ac
3 5
b d bd
En general, si
División de números racionales
El cociente de dos números racionales se obtiene al multiplicar el
dividendo por el recíproco del divisor.
41
2
BLOQUE
Utilizas magnitudes y números reales
¿Cómo se procede para transformar en una multiplicación la división
de dos racionales?
Ejemplos
Múltiplos y divisores. Divisibilidad
3 2 3 5
4 5 3
7 5 7 2
15
5
14
1
51
14
3 18 3 18 4
18 4 5 4 5 3
4 1 4 1 3
72
5
3
5 24
1 2 1 8
4 5 3
2 8 2 2
8
5
4
4
5
2
522
1
2 9 17 9 3
4 45 5 4 5 3
2
3 2 3 2 17
27
5
34
3
3 6 3 1
46 5 4 5 3
5
5 1 5 6
3
5
30
1
5
10
1 9 7 9 2
9 43 5 4 5 3
2 1 2 1 7
18
5
7
4
52
7
Se dice que un número es múltiplo de otro cuando contiene a ese
otro un número exacto de veces.
Así:
6 es múltiplo de 1 porque contiene a 1 seis veces, es decir, 1 × 6 5 6
6 es múltiplo de 2 porque contiene a 2 tres veces, es decir, 2 × 3 5 6
6 es múltiplo de 3 porque contiene a 3 dos veces, es decir, 3 × 2 5 6
6 es múltiplo de 6 porque contiene a 6 una vez, es decir, 6 × 1 5 6
Por tanto, 6 es múltiplo de 1, 2, 3 y 6.
De manera semejante, 9 es múltiplo de 1, 3 y 9; 12 es múltiplo de 1,
2, 3, 4, 6 y 12; 18 es múltiplo de 1, 2, 3, 6, 9 y 18.
Dado un número, sus múltiplos se obtienen multiplicándolo por
los números naturales. Por ejemplo, los múltiplos de 6 son 6 × 1 5
6, 6 × 2 5 12, 6 × 3 5 18, 6 × 4 5 24, 6 × 5 5 30, etcétera.
A los múltiplos de 2 se les llama números pares.
A los que no son múltiplos de 2 se les llama números impares.
Actividad de aprendizaje
¿El número cero es par? Fundamenta tu respuesta.
Divisibilidad
Ejemplos
14 12 14 1
2
4 412 5 4 5 3
3
1
3 12
3
14
5
36
7
5
18
42
a c
y son dos números racionales, el cociente se
b d
obtiene transformando la división en una multiplicación que siempre tiene como uno de sus factores el recíproco del divisor.
a c a d
4 5 3
(c y d son distintos de cero)
b d b c
a
b 5 a 3d
c b c
d
En general, si
Actividad de aprendizaje
Se dice que un número es divisible entre otro cuando el cociente
del primero entre el segundo es exacto, o sea que el residuo es cero.
Ejemplos
20
5 5, o sea que 4 × 5 5 20, y
4
20
a su vez 20 es divisible entre 5 porque
5 4 , ya que 5 × 4 5 20.
5
20 es divisible entre 4 porque
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La divisibilidad de un número entre otro se puede hallar a partir de
ciertas reglas que se conocen como criterios de divisibilidad. Entre
los más utilizados están los siguientes:
760
se piensa o se dice
152
quinta de 7, uno
Divisibilidad entre 2
Un número es divisible entre 2 cuando la cifra de sus unidades es
múltiplo de 2, es decir, cuando el número termina en cifra 0, 2, 4,
6, 8.
quinta de 26, cinco
quinta de 10, dos
Divisibilidad entre 3
Ejemplos
Un número es divisible entre 3 cuando la suma de los valores absolutos de sus cifras es 3 o un múltiplo de 3.
270 es divisible entre 2 pues termina en 0.
Ejemplos
86 es divisible entre 2 pues termina en 6.
547 no es divisible entre 2, ya que termina en cifra impar.
En la práctica, para dividir entre 2, se saca mitad.
18 es divisible entre 3 porque 1 1 8 5 9 y 9 es múltiplo de 3.
54 es divisible entre 3 porque 5 1 4 5 9 y 9 es múltiplo de 3.
648 es divisible entre 3 porque 6 1 4 1 8 5 18 y 18 es múltiplo de 3.
La división entre tres se realiza sacando tercera.
Ejemplos
Divide 270 entre 2.
Ejemplos
La operación se realiza de la siguiente forma:
270
135
se empieza por sacar mitad a la primera cifra de la izquierda y se dice
o se piensa:
mitad de 2, uno; se escribe 1 debajo de 2
mitad de 7, tres; se escribe 3 debajo de 7, la decena restante se
convierte en unidades
mitad de 10, cinco; se escribe 5 debajo de 0
así se obtiene 135, que es la mitad de 270.
648 4 3
648
216
5 418 4 3
5 418
1 806
Números primos
En el conjunto de los números naturales se observa que hay un número que sólo tiene un divisor (el uno), otros que tienen sólo dos
divisores (el dos, el tres, el cinco, etc.) y otros más que tienen más
de dos divisores (el cuatro, el seis, el ocho, etcétera).
Divisibilidad entre 5
Los números naturales que sólo tienen dos divisores se llaman números primos. Los números naturales que tienen más de dos divisores se llaman números compuestos.
Un número es divisible entre 5 cuando la cifra de sus unidades termina en 0 o en 5.
A los números primos que son divisores de un número compuesto
se les llama factores primos de dicho número.
Ejemplos
Descomposición de un número
en sus factores primos
235 es divisible entre 5 porque termina en 5.
640 es divisible entre 5 porque termina en 0.
La división de un número entre 5 se efectúa sacando quinta.
Por ejemplo:
760 4 5
Todo número compuesto se puede expresar como el producto de
sus factores primos en forma única. Para ello se divide el número
entre el menor divisor primo posible; el cociente obtenido se vuelve a dividir entre el menor divisor primo posible; se repite el procedimiento hasta obtener un cociente igual a la unidad. El número
dado es igual al producto de sus divisores primos.
43
2
BLOQUE
Utilizas magnitudes y números reales
Ejemplos
Ejemplos
Descompón 45 en sus factores primos.
45 : 3 5 15
15 : 3 5 5
5:551
Entonces: 45 5 3 × 3 × 5 5 32 × 5
Sean los números 2 y 3, sus múltiplos son:
de 2 los números 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, . . .
de 3 los números 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24,. . .
Como se puede observar, los múltiplos comunes de 2 y 3 son 6, 12,
18, 24; el menor de ellos es el 6, por lo que el mínimo común múltiplo
de 2 y 3 es 6, que se acostumbra anotar así:
La operación se dispone colocando el número compuesto a la izquierda de una línea vertical, debajo de él se colocan los cocientes y
a la derecha de la línea los divisores primos.
45
15
5
1
3
3
5
m.c.m {2, 3} 5 6
Sean los números 12 y 18, sus múltiplos son:
de 12 los números 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, . . .
de 18 los números 18, 36, 54, 72, 90, . . .
donde 36 es el menor de los múltiplos comunes y, por tanto,
m.c.m {12, 18} 5 36
Una forma abreviada de obtener el m.c.m. consiste en disponerlos de
la siguiente forma:
Ejemplos
Halla el m.c.m. de 2 y 3.
Descompón 180 en sus factores primos.
2
3
2
180
2
1
3
3
90
2
1
1
45
3
15
3
5
5
por tanto: m.c.m. {2, 3} 5 2 × 3 5 6
1
Entonces,
180 5 2 3 2 3 3 3 3 3 5 5 2 3 3 3 5
2
2
Se dividen todos o algunos de los números entre el menor divisor
común posible. Si todos son divisibles se anotan los cocientes debajo de ellos; si alguno no es divisible, se repite debajo. Se repite la
operación hasta que los cocientes obtenidos sean iguales a 1.
Mínimo común múltiplo
El mínimo común múltiplo de dos o más números es el menor de
los múltiplos comunes de dichos números.
Ejemplos
Halla el m.c.m. de 12 y 18.
Actividad de aprendizaje
¿Cuál es el m.c.m. de 2, 3 y 4?
por tanto, m.c.m. {12, 18]
12
18
2
6
9
2
3
9
3
1
3
3
1
1
52323333
5 22 3 32
5 36
44
Grupo Editorial Patria®
Halla el m.c.m. de 3, 4 y 5.
por tanto, m.c.m. {3, 4, 5}
3
4
5
2
3
2
5
2
3
1
5
3
1
1
5
5
1
1
1
Una forma abreviada consiste en proceder de manera semejante a
la forma en que se explicó para el mínimo común múltiplo, con las
siguientes observaciones:
Ejemplos
Halla el m.c.d. de 12 y 18.
12
18
2
52323335
6
9
2
5 22 3 3 3 5
3
9
3
5 60
1
3
3
1
1
Máximo común divisor
El máximo común divisor de dos o más números es el mayor de los
divisores comunes de dichos números.
Observa que sólo en los renglones que se resaltan se tiene un divisor común de los números dados, por tanto, sólo esos divisores
se toman en cuenta para determinar el máximo común divisor de
12 y 18, es decir,
m.c.d. {12, 18} 5 2 × 3
Actividad de aprendizaje
56
¿Cuál es el m.c.d. de 18, 54 y 72?
Ejemplos
Halla el m.c.d. de 32 y 48.
Ejemplos
Sean los números 12 y 18, los divisores son:
de 12:
1, 2, 3, 4, 6, 12
de 18:
1, 2, 3, 6, 9, 18
los divisores comunes son: 1, 2, 3 y 6, de los cuales el mayor es 6;
por tanto, el máximo común divisor de 12 y 18 es 6, en otras palabras:
m.c.d. {12, 18] 5 6
Sean los números 12 y 24, los divisores son:
5 24
de 24:
1, 2, 3, 4, 6, 12, 24
5 16
En este caso se observa que el menor de los números dados es el
máximo común divisor de ambos.
16
24 2
8
12 2
4
6
2
2
3
2
1
3
2
1
1
m.c.d. {32, 48} 5 2 3 2 3 2 3 2
1, 2, 3, 4, 6, 12
m.c.d. {12, 24} 5 12
48 2
Observa que sólo en los cuatro primeros renglones se tiene un divisor
común de los números dados, por lo cual el máximo común divisor de
32 y 48 es
de 12:
los divisores comunes son: 1, 2, 3, 4, 6 y 12, de los cuales el mayor
es 12; por tanto, el máximo común divisor de 12 y 24 es 12, es decir,
32
Aunque el procedimiento abreviado empleado para obtener el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor son muy parecidos, es conveniente hacer notar que con el mínimo común múltiplo se busca encontrar el menor número que es divisible entre
los números dados; mientras que con el máximo común divisor se
busca encontrar el mayor número que divide a los números dados.
45
2
BLOQUE
Utilizas magnitudes y números reales
2.2 Tasas, razones,
proporciones y variaciones
Ejemplos
Halla el m.c.m. y el m.c.d. de 12 y 15.
12
15
2
6
15
2
3
15
3
1
5 5
1
1
Entonces el mínimo común múltiplo de 12 y 15 es
La comparación por cociente entre dos números recibe el nombre de razón geométrica o por cociente. El divisor debe ser necesariamente distinto de cero. En general, si a y b son dos números
(b ? 0), la razón entre el par ordenado de números a, b, es el coa
ciente que se lee: “a es a b”. El número a recibe el nombre de
b
antecedente, y el número b se llama consecuente.
Cuando la relación se establece entre dos números cuyas cantidades representan medidas de la misma especie, dichos números deben estar expresados en la misma unidad de medida.
m.c.m. {12, 15} 5 2 3 2 3 3 3 5
5 22 3 3 3 5
5 60
Actividad de aprendizaje
es decir, el menor número divisible entre 12 y 15 es 60.
Expresar la razón de
El máximo común divisor de 12 y 15 es
10
.
15
m.c.d. {12, 15} 5 3
es decir, el mayor número que divide a 12 y 15 es 3.
Observa que únicamente en el tercer renglón se tiene un divisor
común de los números dados.
Ejemplos
1. Un recipiente A tiene una capacidad de 2 litros y otro B tiene una
capacidad de 4 litros. Si se compara la capacidad de A con la de B
Ejemplos
la razón es
Halla el m.c.m. y el m.c.d. de 12, 16 y 24.
es
12
16
24
2
6
8
12
2
3
4
6
2
3
2
3
2
3
1
3
3
1
1
1
por tanto,
m.c.m. {12, 16, 24} 5 2 3 2 3 2 3 2 3 3
1
de la capacidad de B.
2
Si se compara la capacidad de B con la de A la razón es
2
, es
4
decir 2, esto significa que la capacidad de B es el doble de la
capacidad de A.
2. Juan tiene $200 y Pedro $1 000, la razón de lo que tiene Juan y lo
1
200
, o sea de lo que tiene Pedro.
5
1 000
1 000
La razón de lo que tiene Pedro y lo que tiene Juan es
, o sea
200
que tiene Pedro es
5 24 3 3
5, esto denota que Pedro tiene 5 veces lo que tiene Juan.
5 16 3 3
Dada una razón, se puede obtener otra equivalente multiplicando o
dividiendo sus términos por un mismo número (diferente de cero).
5 48
48 es el menor número divisible entre 12, 16 y 24.
m.c.d. {12, 16, 24} 5 2 3 2
54
4 es el mayor número que divide a 12, 16 y 24.
46
2
1
, es decir , lo cual significa que la capacidad de A
4
2
3 332 6
5
5
4 432 8
3 3 3n
;n ≠ 0
5
4 4 3n
Grupo Editorial Patria®
Cuando la razón se establece entre cantidades de distinta especie,
no es posible emplear la misma unidad de medida. De esta manera,
la velocidad expresa la razón que existe entre la distancia recorrida
y el tiempo empleado en recorrerla. A esto se le conoce como tasa.
La igualdad de dos razones se llama proporción.
Ejemplos
4
6
Para tu reflexión
La razón de 4 a 6 es , es decir
Investiga el consumo mensual de energía eléctrica
en tu casa y en tu escuela
y compáralos. ¿Qué medidas concretas se pueden
adoptar para el ahorro de la
energía eléctrica?
La razón de 10 a 15 es
4
10
5
6
15
que se lee: “4 es a 6 como 10 es a 15”.
La proporción también se puede escribir así:
4:6 5 10:15
que se lee de igual forma.
a c
En general, si y representan la misma razón, resulta la proporb d
ción:
Significado de razón, tasa
y proporción
1. Un terreno de 420 m2 de superficie se divide en dos lotes, de
3
tal manera que uno es del otro. ¿Cuánto mide cada lote?
4
Pasos
1° 3 1 4 5 7
(Se suman los términos de la razón.)
420
560
7
(Se divide el número dado entre la
suma de los términos de la razón.)
3°
3360 180
5
4 360 240
10
2
, es decir .
15
3
Puesto que las dos razones son iguales, se puede escribir,
Compara los resultados que
hayas obtenido y en grupo
definirán las medidas que
consideren más convenientes para ahorrar energía
eléctrica.
2°
2
.
3
(Se multiplica cada término de la razón por el cociente obtenido.)
2
2
Por tanto, un lote mide 180 m y el otro, 240 m .
2. Dos grupos, A y B, tienen en total 105 alumnos. ¿Cuántos
7
alumnos tiene cada grupo si la razón de A y B es ?
8
1° 7 1 8 5 15
1055
57
15
7 3 7 49
3°
5
18 3 7 56
2°
a
c
5
b
d
Las cantidades a, b, c y d se llaman términos de la proporción. El
primero y el cuarto (a y d) son los extremos, el segundo y el tercero
(b y c) son los medios.
Para tu reflexión
Ponte de acuerdo con tus compañeras y
compañeros del grupo para resolver el siguiente problema.
En una empresa procesadora de alimentos
se ha diseñado una lata de forma cilíndrica
de 11 cm de altura. Una vez eliminado el desperdicio, el material del que se dispone para
cada lata es de 502.4 cm2, ¿cuánto debe
medir el radio de la base?
Organícense en equipos para encontrar la
solución del problema.
1. Que cada equipo exponga el procedimiento que empleó para llegar a la solución.
Por tanto, el grupo A tiene 49 alumnos y el grupo B, 56 alumnos.
47
2
BLOQUE
Utilizas magnitudes y números reales
Ejemplos
2. En caso de que se obtengan soluciones diferentes den argumentos a favor y en contra de cada una de ellas.
2 4
5
3 6
6 es cuarta proporcional de 2, 3 y 4.
3. En plenaria discutan cuál es la solución del problema.
4 es cuarta proporcional de 2, 3 y 6.
3 es cuarta proporcional de 2, 4 y 6.
2 es cuarta proporcional de 3, 4 y 6.
Propiedad fundamental de las
proporciones
Cálculo de un término
en una proporción
Para obtener el valor de un término desconocido de una proporción, se aplica la propiedad fundamental y se efectúan las operaciones necesarias.
La propiedad fundamental de las proporciones establece que: en
toda proporción el producto de los extremos es igual al producto
de los medios.
a
c
5 si y sólo si ad 5 bc
b
d
Actividad de aprendizaje
Las proporciones cuyos medios o extremos son iguales, se llaman
proporciones continuas.
3 x
=
x 27
Halla el valor de x en:
Ejemplos
16 8
5
8 4
10 50
5
2 10
El término que se repite se llama media proporcional entre los
otros dos.
En los ejemplos anteriores:
8 es media proporcional entre 16 y 4.
10 es media proporcional entre 2 y 50.
Cualquiera de los términos desiguales de una proporción continua, es tercera proporcional de los otros dos, es decir, entre el término que se repite y el desigual.
En los ejemplos anteriores:
16 es tercera proporcional de 8 y 4.
4 es tercera proporcional de 8 y 16.
2 es tercera proporcional de 10 y 50.
50 es tercera proporcional de 10 y 2.
Cualquiera de los términos de una proporción no continua (discreta) es cuarta proporcional de los tres términos restantes.
48
Ejemplos
12 18
5
6
x
5
24 x
5
15 12
18(x ) 5 12(6)
15(x ) 5 24(12)
18x 5 72
15x 5 288
x5
72
18
x54
x 2
5
32 x
x (x ) 5 32(2)
x 5 64
2
x5
288
15
x 5 19.2
x 18
5
18 36
36(x ) 5 18(18)
36x 5 324
324
36
x 5 64
x5
x58
x59
Grupo Editorial Patria®
Variación directamente proporcional
y su modelo
40x 5 23 040
Dadas dos cantidades, si a un aumento de una corresponde un aumento para la otra, o a una disminución de una corresponde una
disminución de la otra, se dice que tales cantidades son directamente proporcionales.
Cantidades directamente proporcionales
son:
a) La distancia recorrida y el
tiempo empleado en recorrerla cuando la velocidad es
constante.
b) El lado de un polígono regular
y su perímetro.
c) El radio y la longitud de una circunferencia.
d) El interés que produce el dinero ahorrado en un banco y la cantidad de dinero depositada.
e) El importe del consumo de electricidad y el número de kilovatios hora consumidos.
Actividad de aprendizaje
¿Por qué se dice que dos cantidades varían de manera directamente
proporcional?
x5
23 040
40
x 5 576 km
En una variación directamente proporcional el cociente es consy
tante. Si x e y varían directamente proporcional entonces = k , o
x
bien y 5 kx, donde k es la constante o tasa de variación.
Variación inversamente proporcional
y su modelo
Dadas dos cantidades, puede ocurrir que a todo aumento de una
corresponda una disminución para la otra, o que a toda disminución de una corresponda un aumento para la otra. Cuando esto
ocurre se dice que las dos cantidades son inversamente proporcionales.
Cantidades inversamente proporcionales son:
a) Para una misma obra, el número de obreros y el tiempo
empleado para realizarla.
b) Para una misma distancia, la velocidad de un móvil y el
tiempo en recorrerla.
c) A temperatura constante, el volumen de los gases y las presiones a las cuales se someten.
d) Para una cantidad de víveres, el número de personas y el
tiempo que tardarán en consumirlos.
Ejemplos
1. Si por el consumo de 40 m3 se pagan 20.80 unidades de dinero,
¿cuánto se pagará por un consumo de 37 m3?
37
40
5
2 0 . 80 x
En una variación inversamente proporcional el producto es constante. Si x y y varían inversamente proporcional entonces xy 5 k
k
o bien y = donde k es la constante o tasa de variación.
x
40(x ) 5 37(20.80)
40x 5 769.60
x5
769 . 60
40
x 5 19.24 unidades de dinero
2. A 40 km/h, un tren recorre 320 km. ¿Qué distancia recorrerá en
el mismo tiempo a 72 km/h?
40 72
5
320 x
40(x ) 5 72(320)
Ejemplos
1. Para hacer una obra en 42 días, se emplean 23 obreros. ¿Cuántos obreros se necesitarán para hacer la misma obra en 7 días?
42 23
= ; como la variación es inversamente proporcional se in7
x
42 x
=
vierten los términos de la segunda razón
7 23
42(23) 5 7(x)
7x 5 966
49
2
BLOQUE
Utilizas magnitudes y números reales
x5
966
7
T
x 5 138 obreros
V
K
2. Un grupo de 20 excursionistas llevan provisiones para 15 días.
Si al momento de partir, el grupo aumenta a 24 excursionistas,
¿cuántos días les durarán las provisiones?
20 15
=
24 x
⎛ 20 x ⎞
⎜⎝ 5 ⎟⎠
24 15
K
K
K
5. Se dispone de una cantidad fija de dinero para comprar (m ) metros de tela a un precio (p ) por metro.
Toma cinco precios por metro y calcula el número de metros de
tela que se pueden comprar, si se cuenta con $5 000.00
20(15) 5 24(x )
$
24x 5 300
x5
P
K
p
m
5 000.00
300
24
5 000.00
x 5 12.5 días
5 000.00
3. En un movimiento uniforme, la velocidad (v ) de un móvil y el
Tiempo(t ) en recorrer una distancia dada son inversamente proporcionales.
5 000.00
5 000.00
Considera que la distancia entre dos ciudades es de 300 km y
construye una tabla que exprese velocidad y tiempo.
6. Una obra la realizan 50 obreros en 15 días, ¿cuántos obreros se
necesitarán para hacer la misma obra en 12 días?
Utiliza cinco valores de velocidad y calcula los tiempos correspondientes.
7. Un grupo de 30 personas cuenta con provisiones para 15 días,
si el grupo se incrementa a 35 personas, ¿durante cuántos días
tendrán provisiones?
d
v
t
300 km
300 km
Actividad de aprendizaje
300 km
300 km
300 km
4. A temperatura constante, la presión (P ) de un gas y el volumen
(V ) son inversamente proporcionales.
Utiliza cinco valores de presión y calcula el volumen correspondiente cuando la temperatura se mantiene constante.
50
¿Por qué se dice que dos cantidades varían inversamente proporcional?
Grupo Editorial Patria®
Instrumentos de evaluación
Apellido paterno
Apellido materno
Nombre
Grupo
Asegúrate de haber adquirido los contenidos que se abordan en el Bloque 2. Para ello, realiza lo que se te pide a continuación.
1. De un cable que mide 18
1
2
m de largo se han utilizado 5 m,
4
3
7. Un terreno de 800 m2 se divide en dos lotes que están en la
razón 3:5. ¿Cuánto mide cada lote?
¿qué cantidad de cable queda?
2. El radio de la Tierra mide aproximadamente 6 366.666 kiló-
8. En una proporción sus medios son 9 y uno de sus extremos es
27, ¿cuál es el otro?
2
metros, ¿cuánto mide el radio de la Luna si es del radio
7
de la Tierra?
9. Un automóvil tiene un rendimiento de 15 km por litro de gasolina, ¿cuántos litros se necesitan para recorrer 180 kilómetros?
7 3
−
3. Obtén el resultado de 8 5 =
1
2
10. Un cuadrado mide 15 cm por lado, si se duplica el lado, ¿por
cuánto se multiplica su área?
4. Por medio de un diagrama representa la relación que existe
entre los números reales, racionales, irracionales, enteros y naturales.
5. Resuelve y representa gráficamente x + 4 = 1 .
6. Tres anuncios luminosos se encienden con intervalos de 12,
15 y 18 segundos, respectivamente. Si los tres se encendieron
a las 7 de la noche, ¿a qué hora volverán a encenderse al
mismo tiempo?
51
2
BLOQUE
Utilizas magnitudes y números reales
Rúbrica para evaluar el conocimiento adquirido
Indicaciones:
Esta rúbrica es para evaluar plenaria.
Nombre del alumno:
Excelente
(4)
Bueno
(3)
Regular
(2)
Utiliza de manera convincente
el tono de voz, Gestos o
entusiasmo. Mantiene
una buena postura frente al
grupo.
Utiliza de manera convincente
Dos elementos de tono devoz,
Gestos o entusiasmo.
Mantiene una buena postura
frente al grupo.
Utiliza de manera convincente
sólo un elemento en tono de
voz, gestos o entusiasmo.
Mantiene una postura
aceptable ante el grupo.
No utiliza de manera
convincente el tono de voz,
los gestos ni el entusiasmo.
Mantiene mala postura y
mala ubicación frente al
grupo.
Todo el tiempo expresa sus
puntos de vista de manera
clara y ordenada. Muestra
organización en el
intercambio de ideas.
En algunos momentos
expresa sus puntos de vista
de manera clara y ordenada.
Muestra organización en el
desarrollo de ideas.
En algunos momentos
expresa sus puntos de vista
de manera clara, pero no
de manera ordenada. No
muestra organización en el
desarrollo de ideas
No expresa sus puntos de
vista. No hay organización
en el intercambio de
ideas.
Ejemplificación
Argumenta la posición de su
equipo con información
suficiente y refuerza la
postura con ejemplos en
todo momento.
Argumenta la posición de su
equipo pero con información
insuficiente. Sólo refuerza con
escasos ejemplos.
Presenta algunas evidencias
para defender la postura de
su equipo. No maneja ningùn
ejemplo de refuerzo.
No presenta evidencias
para la defensa de la
postura de su equipo.
no presenta ejemplos
que refuercen las ideas.
Calidad y Cantidad de
Información
Presenta información
suficiente, adecuada y
sustentable para rebatir
las ideas y opiniones del
equipo contrario.
Presenta información
adecuada y sustentable pero
insuficiente para rebatir las
ideas y opiniones del
equipo contrario.
Parcialmente presenta
información suficiente para
rebatir las ideas y opiniones
del equipo contrario.
No presenta información
Suficiente o adecuada
Para rebatir las opiniones
Del equipo contrario.
Muestra coherencia en
sus comentarios, denota
su conocimiento sobre el
tema. Maneja los términos
adecuados y correctos.
Muestra coherencia en sus
comentarios y denota
conocimiento del tema.
Maneja parcialmente los
términos adecuados y
correctos.
Muestra parcial coherencia
en sus comentarios. Denota
mínimo conocimiento del
tema. Maneja algunos
términos adecuados y
correctos.
No muestra coherencia
en sus comentarios. No
maneja los términos
correspondientes o
adecuados.
Respeta todo el tiempo las
opiniones del equipo
contrario.
No interrumpe, ni critica
a sus compañeros.
La mayor parte del tiempo
respeta las opiniones del
equipo contrario.
No interrumpe, ni critica a sus
compañeros.
Algunas veces no respeta la
opinión del equipo contrario, y
en varias ocasiones
interrumpe ni crítica a sus
compañeros.
No respeta las opiniones
del equipo contrario.
Interrumpe ni crítica
a sus compañeros.
Aspecto a evaluar
Presentación
Organización y Claridad
Coherencia
Respeto
Comentarios Generales
52
Deficiente
(1)
Grupo Editorial Patria®
Rúbrica para evaluar el conocimiento adquirido
Indicaciones:
Esta rúbrica es para valorar el desempeño de los estudiantes sobre los contenidos del bloque 2.
Nombre del alumno:
Excelente
(4)
Bueno
(3)
Regular
(2)
Deficiente
(1)
Distintas formas
de representación
y operaciones con
números reales
Determina el valor absoluto
de un número real.
Establece relaciones de
orden entre números reales.
Determina la distancia
entre dos puntos de la recta
numérica real.
Determina el valor absoluto
de un número real.
Establece relaciones de
orden entre números reales.
Determina la distancia entre
algunos pares de puntos de
la recta numérica real.
Determina el valor absoluto
de un número real.
Establece relaciones de
orden entre números reales.
No determina el valor
absoluto de un número real.
No establece relaciones de
orden entre números reales.
No determina la distancia
entre dos puntos de la recta
numérica real.
Propiedades
fundamentales
de la operaciones
aritméticas
Realiza las operaciones
básicas con enteros y
racionales. Calcula el
m.c.m. y m.c.d.
Realiza por lo menos tres de
las operaciones básicas con
enteros y racionales. Calcula
el m.c.m. y m.c.d.
Realiza por lo menos dos de
las operaciones básicas con
enteros y racionales. Calcula
el m.c.m. y m.c.d.
No realiza las operaciones
básicas con enteros ni
racionales. No calcula el
m.c.m. ni el m.c.d.
Distintas formas
de comparación
y relación entre
números reales
Conoce los conceptos de:
razón, tasa, proporción y
variación.
Conoce los conceptos de:
razón, tasa, proporción.
Conoce los conceptos de:
razón y proporción.
No conoce los conceptos
de: razón, tasa, proporción o
variación.
Propiedad
fundamental de las
proporciones
Conoce y aplica la
propiedad fundamental de
las proporciones. Calcula el
valor de un término en una
proporción.
Conoce y aplica la
propiedad fundamental de
las proporciones. Calcula
el valor de un término
en la mayoría de las
proporciones.
Conoce y aplica la
propiedad fundamental de
las proporciones. Calcula
el valor de un término en
algunas proporciones.
No conoce ni aplica la
propiedad fundamental de
las proporciones. No calcula
el valor de un término en
una proporción.
Variación directa
e inversamente
proporcional
Conoce y aplica los
conceptos de variación
proporcional directa e
inversa. Calcula el valor
de un término en una
proporción directa o inversa
Conoce y aplica los
conceptos de variación
proporcional directa e
inversa. Calcula el valor
de un término en una
proporción directa o inversa,
en la mayoría de los casos.
Conoce y aplica los
conceptos de variación
proporcional directa e
inversa. Calcula el valor
de un término en una
proporción directa o inversa,
en algunos casos.
No conoce ni aplica los
conceptos de variación
proporcional directa e
inversa. No calcula el valor
de un término en una
proporción directa o inversa.
Aspecto a evaluar
Criterios
Comentarios Generales
53
Realizas sumas y sucesiones de números
3
B LO Q U E
Objetos de
aprendizaje
3.1 Representación de relaciones
entre magnitudes.
3.2 Modelos aritméticos
o algebraicos.
Competencias a desarrollar
„
Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de
procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos, variacionales, para la
comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.
„
Formula y resuelve problemas matemáticos aplicando diferentes enfoques.
„
Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos
matemáticos y los contrasta con modelos establecidos en situaciones reales.
„
Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural
para determinar o estimar su comportamiento.
„
Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos
y científicos.
„
Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera
reflexiva.
„
Asume una actitud constructivista, congruente con los conocimientos y
habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.
¿Qué sabes hacer ahora?
1.
Forma una progresión aritmética de 7 términos en la que el primer término sea
5 y la diferencia sea 3.
2.
Agrega 5 términos a la progresión: 3, 8, 13, . . .
3.
Calcula el enésimo término y la suma de los términos de la progresión aritmética: 3, 7, 11, . . . (15 términos).
4.
Dados 3 de los 5 elementos de la progresión aritmética a1 5 23, d 5 22, an
5 5 encuentra los otros 2.
5.
Interpola tres medios aritméticos entre 21 y 33.
6. Para la siguiente progresión geométrica 1, 2, 4, . . . , encuentra el décimo término.
7. Para la progresión geométrica 2, 24, 8, . . . , encuentra la suma hasta el séptimo
término.
8. Interpola un medio geométrico entre 4 y 25.
9. Dados tres de los cinco elementos de la progresión geométrica donde a1 5 2, r 5
3, n 5 5, encuentra an y Sn.
10. Halla la suma de los términos de la progresión geométrica decreciente: 8, 4, 2, 1,
1/2, 1/4, . . .
Desempeños por alcanzar
Identifica y diferencia las series y sucesiones numéricas así como sus propiedades.
de términos de las sucesiones.
Clasifica las sucesiones numéricas en aritméticas y geométricas.
Realiza cálculos obteniendo el enésimo término y el valor de cualquier término en
sucesión aritmética y geométrica tanto finita como infinita mediante las fórmulas
correspondientes.
Determina patrones de senos y sucesiones aritméticas y geométricas.
Construye gráficas para establecer el comportamiento de sucesiones aritméticas y
geométricas.
Emplea la calculadora para la verificación del resultado en los cálculos de obtención
Soluciona problemas aritméticos y algebraicos usando series y sucesiones aritméticas
y algebraicas.
3
BLOQUE
Realizas sumas y sucesiones de números
Situación didáctica
¿Cómo lo resolverías?
Se disponen 100 pelotas en línea recta a intervalos de 90 centímetros. Sobre esa misma línea y a 90 centímetros de uno de sus extremos se pone un recipiente en el que se van a colocar las pelotas.
Una persona parte del recipiente, recoge la primera pelota y la coloca en el recipiente, después recoge la segunda pelota y la coloca
en el recipiente, y así sucesivamente hasta recoger las 100 pelotas.
¿Qué distancia ha recorrido cuando termina?
Secuencia didáctica
Forma equipos para resolver el problema.
Que cada equipo represente, mediante dibujos, las condiciones del
problema.
¿Qué tienes que hacer?
tos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es
preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a
cabo las rectificaciones que procedan.
Cada equipo debe investigar:
Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto de las
actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito
de asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje.
¿Cuál es el primer término de la sucesión?
Evaluación por producto
¿Cómo se determina el n-ésimo término?
¿Qué fórmula debe utilizar para calcular el n-ésimo término?
A fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito
de manera muy clara.
¿Cómo se determina la suma de los n términos?
En este ejemplo:
Presenta los resultados en plenaria y analizar las formas de resolver
el problema.
¿Qué fórmula debe utilizar para calcular la suma de los n términos?
Producto a elaborar
Trabajo individual
Determinación del primer término de la sucesión.
Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios.
Fórmula y cálculos realizados para la obtención del n-ésimo término.
Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione concep-
Fórmula y cálculos realizados para la obtención de la suma de los
n términos.
Rúbrica
Para determinar la distancia recorrida que se pide debes anexar los
conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un
valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la
originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las
fuentes consultadas, etc. La descripción del procedimiento por es-
56
¿Cómo sabes que lo hiciste bien?
crito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase, 2 puntos
de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello suma un
total de 10 puntos.
Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes.
Grupo Editorial Patria®
Situación didáctica
¿Cómo lo resolverías?
Un jardinero debe depositar una carretilla de tierra al pie de cada
uno de los 30 árboles que están a un lado de una calzada. Los árboles están a intervalos de 6 metros y el montón de tierra está a
10 metros del primer árbol. ¿Qué distancia habrá recorrido después de haber terminado su trabajo y regresado la carretilla al montón de tierra?
Secuencia didáctica
Forma equipos para resolver el problema.
Que cada equipo represente, mediante dibujos, las condiciones del
problema.
Presenta los resultados en plenaria y analizar las formas de resolver
el problema.
Cada equipo debe investigar:
¿Cuál es el primer término de la sucesión?
¿Qué tienes que hacer?
Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es
preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a
cabo las rectificaciones que procedan.
Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto de las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de
asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje.
¿Cómo se determina el n-ésimo término?
Producto a elaborar
¿Qué fórmula debe utilizar para calcular el n-ésimo término?
Determinación del primer término de la sucesión.
¿Cómo se determina la suma de los n términos?
¿Qué fórmula debe utilizar para calcular la suma de los n términos?
Fórmula y cálculos realizados para la obtención del n-ésimo
término.
Trabajo individual
Fórmula y cálculos realizados para la obtención de la suma de los
n términos.
Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios.
Rúbrica
¿Cómo sabes que lo hiciste bien?
Para determinar la distancia recorrida que se pide se deben anexar
los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un
valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la
originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las
fuentes consultadas, etc. La descripción del procedimiento por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase, 2 puntos
de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello suma un
total de 10 puntos.
Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes.
57
3
BLOQUE
Realizas sumas y sucesiones de números
Situación didáctica
¿Cómo lo resolverías?
Si una pelota cae de una altura de 10 metros y rebota hasta una
de 5, cae y rebota 2.5 metros y así sucesivamente, ¿cuál es el límite
de la distancia que recorrería?
Secuencia didáctica
¿Qué tienes que hacer?
Forma equipos para resolver el problema.
Trabajo individual
Que cada equipo represente, mediante dibujos, las condiciones del
problema.
Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios.
Presenta los resultados en plenaria y analizar las formas de resolver
el problema.
Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es
preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a
cabo las rectificaciones que procedan.
Cada equipo debe investigar:
¿Cuál es el primer término de la sucesión?
¿Cómo se determina el n-ésimo término?
¿Qué fórmula debe utilizar para calcular el n-ésimo término?
¿Cómo se determina la suma de los n términos?
Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto de las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de
asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje.
¿Qué fórmula debe utilizar para calcular la suma de los n términos?
Producto a elaborar
¿Cuál es la parte fija y la parte variable en la fórmula para calcular la
suma de los n términos?
Determinación del primer término de la sucesión.
¿Cómo se obtiene el límite de cada parte de la fórmula?
¿Cómo se obtiene la suma de este tipo de progresión?
Rúbrica
Para determinar la distancia recorrida que se pide se deben anexar
los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un
valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la
originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las
fuentes consultadas, etc. La descripción del procedimiento por es-
58
Fórmula y cálculos realizados para la obtención del n-ésimo término.
Fórmula y cálculos realizados para la obtención de la suma de los
n términos.
¿Cómo sabes que lo hiciste bien?
crito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase, 2 puntos
de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello suma un
total de 10 puntos.
Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes.
Grupo Editorial Patria®
Propuestas de diseño de
situaciones didácticas
Parte I
1. Forma una progresión aritmética de 7 términos en la que el
primer término sea 5 y la diferencia sea 3.
2. Forma una progresión aritmética de 8 términos con 12 como
primer término y la diferencia sea 23.
3. Agrega 5 términos a la progresión: 3, 8, 13, . . .
4. Calcula el n-ésimo término y la suma de los términos de las
progresiones aritméticas:
a) 3, 7, 11, . . .
(15 términos)
b) 5, 9, 13, . . .
(20 términos)
c) 40, 32, 24, . . .
(12 términos)
d) 12, 3, 26, . . .
(18 términos)
e)
21
4
, 172, , . . .
3
3
(16 términos)
11. En la progresión aritmética 15, 12, 9, . . . , ¿cuántos términos se
deben tomar para que su suma sea 42? Escribe la progresión y
explica por qué son dos las soluciones.
12. Trescientos soldados forman un triángulo. En la primera fila
hay un soldado, dos en la segunda, tres en la tercera y así sucesivamente. ¿Cuántos soldados tiene la última fila?
Parte II
1. Para cada una de las siguientes progresiones geométricas encuentra el término que se indica:
a) 1, 2, 4, . . .
décimo término
b) 4, 12, 36, . . .
décimo término
c) 4, 216, 64, . . .
séptimo término
decimotercer término
d) 23, 9, 227, . . .
e) 1,
a) a1 5 23, d 5 22, an 5 5
b) a1 5 3, n 5 13, d 5 2
c) a1 5 95, n 5 19, an 5 5
g) an 5 18, Sn 5 88, d 5 2
h) a1 5 2, an 5 18, Sn 5 90
i) a1 5 96, n 5 8, an 5 68
j) a1 5 2, an 5 24, Sn 5 156
6. Interpola 10 medios aritméticos entre 2 y 24, esto es, forma
una progresión aritmética de 12 términos donde el primero
sea 2 y el último 24.
a) 2, 24, 8, . . .
séptimo
b) 3, 6, 12, . . .
sexto
c) 3, 29, 27, . . .
noveno
d) 4, 12, 36, . . .
octavo
e) 1,
d) a1 5 3, an 5 39, Sn 5 210
f ) a1 5 3, d 5 2, Sn 5 120
octavo término
2. Para cada una de las siguientes progresiones geométricas encuentra la suma hasta el término que se indica:
5. Dados tres de los cinco elementos de una progresión aritmética encuentra los otros dos.
e) n 5 100, an 5 199, Sn 5 10 000
1 1
, ,...
2 4
3.
4.
5.
6.
7.
8.
1 1
, ,...
2 4
noveno
Interpola un medio geométrico entre 4 y 25.
Interpola un medio geométrico entre 7 y 63.
Interpola tres medios geométricos entre 3 y 243.
Interpola cuatro medios geométricos entre 243 y 1.
Interpola dos medios geométricos entre 161 y 4347.
Dados tres de los cinco elementos de una progresión geométrica, encuentra los otros dos.
a) a1 5 2, r 5 3, n 5 5, encontrar an y Sn.
b) an 5 384, r 5 2, n 5 8, encontrar a1 y Sn.
7. Interpola seis medios aritméticos entre 1 y 5.
c) a1 5 5, an 5 1 280, n 5 9, encontrar r y Sn.
8. Interpola tres medios aritméticos entre 21 y 33.
1
, n 5 6, Sn 5 2 730, encontrar a1 y an.
4
1
e) an 5 3, r 5 , n 5 5, encontrar a1 y Sn.
7
9. En una progresión aritmética el primer y tercer término son
21 y 33, respectivamente, encuentra la suma de los cinco primeros términos.
10. En una progresión aritmética el primer término es 40 y la
suma de los cinco primeros es 128. ¿Qué lugar ocupa el término 11.2?
d) r 5
9. En una progresión la suma de sus términos es 381, el primer término es 3 y el último 192. Halla la razón y el número
de términos.
59
3
BLOQUE
Realizas sumas y sucesiones de números
10. En una progresión geométrica el primer término es 5 y la razón es 2. ¿Qué lugar ocupa el término 1 280?
Largo es el camino de la enseñanza por medio de las teorías; breve y eficaz por
medio de los ejemplos.
Séneca
Parte III
1. Halla la suma de los términos de las progresiones geométricas
decrecientes:
1 1
a) 8, 4, 2, 1, , , . . .
2 4
b)
1 1 1 1
, , , ,...
2 4 8 16
c) 1,
1 1 1
, , ,...
4 16 64
d) 1,
21 1 21 1
, ,
, ,...
2 4 8 16
e) 32, 215, 8, 24, . . .
1 1
f ) 2, 1, , , . . .
2 4
g) 99, 33, 11, . . .
h) 625, 250, 100, . . .
i) 625, 125, 25, . . .
j) 1,
21 1 21
, ,
,...
9 81 729
2. Halla la fracción generatriz de la fracción decimal periódica.
a) 0.272727. . .
b) 0.520520520. . .
c) 0.444444. . .
d) 0.7656565. . .
e) 0.1233333
3. En un cuadrado de lado a se unen los puntos medios de dos
lados consecutivos para formar otro cuadrado, en éste se repite la operación para formar un nuevo cuadrado y así sucesivamente. Encuentra el límite de la suma de las áreas de todos los
cuadrados así formados.
Introducción
Se parte de la representación de números mediante arreglos que
sugieren un principio de formación que se puede expresar algebraicamente.
Se introduce el concepto de sucesión y se aborda lo relacionado
con las sucesiones aritméticas y geométricas así como con las series correspondientes para determinar la suma de sus términos.
Finalmente, se trata lo relacionado con la suma de los términos
de una progresión geométrica decreciente infinita para obtener la
fracción generatriz de una fracción decimal periódica.
3.1 Representación de
relaciones entre magnitudes
Sucesiones y series aritméticas
Algunas colecciones de números se encuentran ordenadas, y de
acuerdo con el lugar que ocupa cada una de ellas las podemos
nombrar como primera, segunda, tercera, etcétera.
Cada uno de los números de esas colecciones recibe el nombre de
término.
Los términos de una colección se obtienen con base en una relación constante entre dos términos consecutivos para formar una
sucesión o progresión de números.
Se llama razón a la relación entre dos términos consecutivos de
una progresión.
Cuando la razón corresponde a una cantidad que se aumenta a
cada término para obtener al siguiente se trata de una progresión
aritmética. Esto significa que la diferencia entre dos términos consecutivos es constante.
En la progresión:
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13
Los términos son:
60
Primero
1
Segundo
3
Tercero
5
Cuarto
7
Quinto
9
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Sexto
11
El quinto término es
71259
Séptimo
13
El sexto término es
9 1 2 5 11
El séptimo término es
Se observa que la relación entre dos términos consecutivos es:
3 2 1 5 5 2 3 5 7 2 5 5 9 2 7 5 11 2 9 5 13 2 11 5 2
Por tanto la razón es 2.
11 12 5 13
La razón es 2, pues a partir del primer término los sucesivos se obtienen sumando 2 al anterior.
En la progresión
En la progresión:
88, 84, 80, 76, 72, 68, 64, 60
88, 84, 80, 76, 72, 68, 64, 60
El primer término es 88 y el último término es 60.
Los términos son:
Primero
88
Segundo
84
Tercero
80
Cuarto
76
Quinto
72
Sexto
68
Séptimo
64
Octavo
60
Se observa que la relación entre dos términos consecutivos es:
84 2 88 5 80 2 84 5 76 2 80 5 72 2 76 5 68 2 72 5 64 2
68 5 60 2 64 5 24
El primer término es
88
El segundo término es
88 1 (24) 5 84
El tercer término es
84 1 (24) 5 80
El cuarto término es
80 1 (24) 5 76
El quinto término es
76 1 (24) 5 72
El sexto término es
72 1 (24) 5 68
El séptimo término es
68 1 (24) 5 64
El octavo término es
64 1 (24) 5 60
La razón es 24, pues a partir del primer término los sucesivos se
obtienen sumando 24 al anterior.
En los conjuntos
Por tanto, la razón es 24.
Al tratar con números enteros consecutivos como los siguientes:
2, 3, 4, 5 . . . , n 1 1
(1)
4, 6, 8, 10, . . . , 2n 1 2
(2)
3, 5, 7, 9, . . . , 2n 1 1
(3)
se observa que forman conjuntos ordenados de términos o elementos que se pueden obtener a partir de una ley de formación del
conjunto. Dicha ley se expresa mediante un término general en el
que n representa el número de orden del término en el conjunto.
A éste se le conoce como el término n-ésimo.
2, 3, 4, 5 . . . , n 1 1
(1)
4, 6, 8, 10, . . . , 2n 1 2
(2)
3, 5, 7, 9, . . . , 2n 1 1
(3)
se puede observar lo siguiente:
En (1)
el primer término es 2, ya que:
2 5 111
el segundo término es 3, ya que:
3 5 211
el tercer término es 4, ya que:
4 5 311
En (2)
el primer término es 4, ya que:
4 5 2(1)12
Términos de sucesiones aritméticas
el segundo término es 6, ya que:
6 5 2(2)12
En la progresión
el tercer término es 8, ya que:
8 5 2(3)12
En (3)
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13
El primer término es 1 y el último término es 13.
el primer término es 3, ya que:
3 5 2(1)11
El primer término es
1
el segundo término es 5, ya que:
5 5 2(2)11
El segundo término es
11253
el tercer término es 7, ya que:
7 5 2(3)11
El tercer término es
31255
El cuarto término es
51257
Este tipo de conjuntos son sucesiones aritméticas en las que se
muestra su ley de formación a partir de sus términos.
61
3
BLOQUE
Realizas sumas y sucesiones de números
Algoritmos geométricos y aritméticos
En algunos problemas, su representación a través de figuras geométricas o dibujos puede ayudar a comprender la relación entre los
datos o elementos que se conocen y los que se desconocen.
Ejemplos
Un conjunto ordenado, de números enteros impares consecutivos, se
puede representar de la siguiente forma, utilizando un cuadrito para
cada unidad.
tenía 10 años de edad su maestro solicitó a la clase que encontrara
la suma de todos los números comprendidos del uno al cien, y quedó
asombrado cuando Gauss levantó en seguida la mano y dio la respuesta correcta, primero el profesor creyó que un antiguo discípulo le había
dado la respuesta, pero más se asombró cuando Gauss le demostró
que había utilizado álgebra para resolverlo, planteó el problema de la
n(n + 1)
siguiente manera: S =
, donde n es cualquier número entero,
2
luego puso 100 en lugar de n y encontró la solución, 5 050, por lo que
Guillermo Federico, duque de Brunswick, lo ayudó a ingresar al colegio
Carolino de su ciudad natal y en 1795 a la Universidad de Gotinga.
Antes de cumplir 20 años Gauss descubrió su método de mínimos
cuadrados, procedimiento con el cual se puede encontrar la ecuación
de la curva que más se acerca a un número de observaciones y el error
subjetivo es llevado al mínimo.
A principios del siglo XIX, Gauss representó con exactitud las órbitas de
dos planetoides, Ceres y Palas, recientemente observados, prediciendo
su retorno a la visibilidad desde la Tierra.
Actividad de aprendizaje
Algoritmos geométricos y aritméticos
¿Qué es una sucesión?
¿Qué es una serie?
Para tu reflexión
Biografía de Karl Friedrich Gauss
Brunswick, Alemania
(1777-1855)
Considerado, junto con Arquímedes y
Newton, uno de los tres grandes matemáticos de la historia, Gauss legó
a las matemáticas y a la astronomía
una serie de extraordinarios descubrimientos.
Hijo de un humilde albañil, desde
muy pequeño reveló su extraordinaria capacidad para
las matemáticas, cuando
62
En 1799, a los 22 años, recibió el título de doctor por parte de la Universidad de Helmstad por la demostración del teorema fundamental
del álgebra, conocido como Teorema de Gauss.
Su obra Disquisitiones arithmeticae, publicada en Leipzig, en 1801,
sirvió como fundamento a su tratado sobre la teoría de los números.
Encontró que cada ecuación algebraica tiene una raíz de la forma
a 1 bi, donde a y b son números reales, mientras que i es la raíz cuadrada de 21. Los números expresados de la forma a 1 bi se llaman
números complejos y Gauss demostró que éstos se podían representar
mediante un punto en un plano.
En 1807, a los 30 años de edad, fue nombrado profesor de matemáticas y director del observatorio astronómico de Gotinga, dos años más
tarde publicó en Hamburgo su obra maestra Theoria motus corporum
coelestium, la cual modificó sustancialmente la astronomía matemática.
De 1820 a 1821 estuvo integrado a la comisión de Hannover para la medición del grado de meridiano terrestre y construyó un heliotropo, aparato de
señales ópticas que servían para reflejar la luz solar a grandes distancias,
y cuyos rayos servían para marcar líneas rectas sobre la superficie
terrestre, con lo cual se pudieron lograr determinaciones trigonométricas exactas de la forma del planeta. El heliotropo contribuyó, en gran
medida, para el progreso de la geodesia.
A principios de 1830, la mecánica celeste del siglo XVIII estaba siendo
reemplazada por la nueva teoría electromagnética; Gauss fue uno de
los primeros científicos que trabajaron sobre esta nueva idea. En 1833
inventó un telégrafo eléctrico que usó en su casa y en el observatorio,
a una distancia de 2 kilómetros. Inventó también un magnetómetro y
construyó un observatorio no magnético.
Gauss fue uno de los primeros matemáticos que dudó que la geometría euclidiana fuese inherente a la naturaleza y fue el fundador de la
primera geometría no euclidiana. Se enfrascaba tanto en sus nuevas
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ideas que las anotaba en su diario y estaba explorando siempre nuevos
conceptos, y sentía que perdía tiempo al prepararlos para su publicación, era tan modesto que no daba a conocer sus descubrimientos,
por ello gran parte de su obra se dio a conocer después de su muerte.
Cuando tenía setenta y siete años, Carl Friedrich Gauss murió en la
ciudad de Gotinga el 23 de febrero de 1855. Su obra ha sido reconocida como una de las mayores contribuciones al campo de la ciencia
durante los siglos XVIII y XIX.
Relación entre una sucesión
y una serie aritmética
Una sucesión (progresión) de números es aquélla en la que la
relación entre dos términos consecutivos es constante.
En los conjuntos:
2, 3, 4, 5 . . . , n 1 1
(1)
4, 6, 8, 10, . . . , 2n 1 2
(2)
3, 5, 7, 9, . . . , 2n 1 1
(3)
Se puede observar lo siguiente:
Observa y responde:
a) ¿Qué figura se forma?
b) Cuando al primer número impar se le agrega el segundo,
¿cuántas unidades suman entre los dos?
c) En la figura que representa la suma de los dos primeros
números impares, ¿cuántas unidades tiene por lado?
d) ¿Qué relación se puede establecer entre la suma de los
dos primeros números impares y la cantidad de unidades
que tiene por lado la figura que se forma?
e) Cuando se agrega el tercer número impar, ¿se cumple la
relación que se obtuvo en el inciso d?
f ) Si se agrega el cuarto número impar, ¿se sigue cumpliendo la relación que obtuvo en el inciso d?
g) ¿Qué relación se puede establecer entre la cantidad de números impares que se suman y el número de unidades por
lado de la figura que se forma?
h) ¿Qué lugar ocupa el número 15 en esta sucesión de números impares?
i) ¿Cuántas unidades por lado tiene la figura cuando se agrega el número 15?
j) ¿Cuántas unidades tiene la figura cuando se agrega el número 17?
k) ¿Cuántas unidades tiene la figura cuando se agrega el número 21?
l) Si n es un número entero cualquiera, un número par se
representa por 2n, pues todo múltiplo de 2 es un número
par. ¿Cómo se representa un número impar?
m) Escribe la sucesión de números impares, empezando con
el número 1 hasta el término n.
n) Con los términos de la sucesión anterior, escribe la serie
que representa la suma de los n números impares y su resultado.
En (1)
322 5 423 5 524 5 . . . 5 (n 1 1) 2 n 5 1
en (2)
624 5 826 5 1028 5 . . . 5 (2n 1 2) 2 2n 5 2
en (3)
523 5 725 5 927 5 . . . 5 (2n 1 1) 2 (2n 2 1) 5 2
Actividad de aprendizaje
¿Cómo se obtiene la razón en una progresión aritmética?
Una serie es la suma algebraica de los términos de una sucesión.
Con los términos de la sucesión
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13
Se puede formar la serie
1 1 3 1 5 1 7 1 9 1 11 1 13
En la sucesión:
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13
El primer término es 1, el último término es 13 y el número de términos de la sucesión es 7.
La suma S de los términos de la serie se puede disponer en forma
ascendente:
S 5 1 1 3 1 5 1 7 1 9 1 11 1 13
O en forma descendente:
S 5 13 1 11 1 9 1 7 1 5 1 3 1 1
63
3
BLOQUE
Realizas sumas y sucesiones de números
Si se suman término a término las dos series, se obtiene:
Actividad de aprendizaje
S 5 1 1 3 1 5 1 7 1 9 1 11 1 13
S 5 13 1 11 1 9 1 7 1 5 1 3 1 1
2S 5 14 1 14 1 14 1 14 1 14 1 14 1 14
El doble de la suma de los términos de la serie se puede escribir así:
¿Qué es una progresión?
¿Cuándo es creciente una progresión aritmética?
¿Cuándo es decreciente una progresión aritmética?
Argumenta tu respuesta
2S 5 7 (14)
De donde:
S5
7(14)
5 49
2
Que también se puede escribir así:
S5
7(1113)
5 49
2
Aquí puedes ver un caso particular de como están relacionados los
términos de la serie para determinar su suma. Más adelante encontrarás una generalización.
Sucesiones aritméticas particulares
Una progresión aritmética es aquélla en la que cada término,
posterior al primero, se obtiene sumando al anterior una cantidad
constante llamada razón o diferencia de la progresión. Cuando la
razón o diferencia es positiva, la progresión es creciente, y cuando la razón o diferencia es negativa, la progresión es decreciente.
Una progresión aritmética se puede representar así:
a1, a1 1 d, a1 1 2d, a1 1 3d, . . .
Tipo de relación variacional en la
fórmula del n-ésimo término de
sucesiones aritméticas particulares
La suma de los n términos de la progresión aritmética, del primero
al último, se puede expresar así:
S 5 a1 1 (a1 1 d) 1 (a1 1 2d) 1 (a1 1 3d) 1 . . . 1 (an 2 2d) 1
(an 2 d) 1 an, o bien
S 5 an 1 (an 2 d) 1 (an 1 2d) 1 (an 2 3d) 1 . . . 1 (a1 1 2d) 1
(a1 1 d) 1 a1
en que a1 representa al primer término y d es la cantidad constante
que se agrega, a partir del primer término, para obtener el siguiente.
2S 5 (a1 1 an) 1 (a1 1 an) 1 (a1 1 an) 1 . . . 1 (a1 1 an) 1
(a1 1 an) 1 (a1 1 an)
A continuación se utilizará además la siguiente notación:
de donde
n
5 número de términos
an 5 enésimo término
2S 5 n(a1 1 an)
por tanto
S5
Sn 5 suma de los n términos de la progresión
En la progresión aritmética
a1, a1 1 d, a1 1 2d, a1 1 3d, . . .
el primer término es
a1 5 a1
el segundo término es
a2 5 a1 1 d
el tercer término es
a3 5 a1 1 2d
el cuarto término es
a4 5 a1 1 3d
el quinto término es
a5 5 a1 1 4d
...
el n-ésimo término es
an 5 a1 1 (n 2 1)d
64
n
(a1 1 an)
2
Si se sustituye an 5 a1 1 (n21)d en la igualdad anterior se transforma en:
S5
o sea
n
{a1 1 [a1 1 (n 2 1)d]}
2
S5
n
[2a1 1 (n 2 1)d]
2
En una progresión aritmética cuando se conocen tres de las cinco
cantidades: a1, d, an, n, Sn a1, las otras dos se pueden calcular con las
fórmulas anteriores.
Grupo Editorial Patria®
Ejemplos
279 5
Encuentra el 20° número natural impar.
279 5 31n
Solución:
279
5n
31
Los números naturales impares forman la progresión aritmética
1, 3, 5, 7, . . .
donde:
n
(62)
2
a1 5 1, d 5 2
95n
y n 5 20, entonces según la fórmula
an 5 a1 1 (n 2 1)d
a20 5 1 1 (20 2 1)2
a20 5 1 1 (19)2
Falta el valor de d, usando la fórmula:
an 5 a1 1 (n 2 1)d
a20 5 1 1 38
55 5 7 1 (9 2 1)d
a20 5 39
55 2 7 5 8d
48
5d
8
Ejemplos
65d
Encuentra la suma de los primeros 20 números naturales impares:
Solución:
Los números naturales impares forman la progresión aritmética
1, 3, 5, 7, . . .
donde:
a1 5 1, d 5 2
y n 5 20, entonces según la fórmula
Sn 5
n
[2a1 1 (n21)d ]
2
S20 5
20
[2(1) 1 (2021)(2)]
2
Entonces la progresión aritmética que se busca es:
7, 13, 19, 25, 31, 37, 43, 49, 55, . . .
En una progresión aritmética donde a1 y an son el primer y último
términos (o extremos) de la progresión, los términos comprendidos entre ellos se llaman medios aritméticos. Así en la progresión:
3, 5, 7, 9, 11, 13
los términos 5, 7, 9, y 11 son medios aritméticos entre los extremos
3 y 13.
S20 5 10[2 1 (19)(2)]
A continuación se presenta un ejemplo sobre la manera en que se
interpola un número de medios aritméticos entre dos números
dados.
S20 5 10[40]
S20 5 400
Actividad de aprendizaje
Ejemplos
¿A qué se les llama medios aritméticos?
Halla la progresión aritmética en la que su primer término es 7, su
último término es 55 y la suma de sus términos es 279.
Escribe los medios aritméticos que faltan en la progresión 1, 3, 5, __,
__, __, 13
Solución:
Los datos que se tienen son: a1 5 7, an 5 55
la fórmula:
y
Sn 5 279, según
S5
n
(a1 1 an)
2
279 5
n
(7 1 55)
2
65
3
BLOQUE
Realizas sumas y sucesiones de números
Los términos son:
Ejemplos
Primero
Interpola cinco medios aritméticos entre 13 y 25.
Solución:
Se buscan 5 números que junto con 13 y 25 forman una progresión aritmética que tiene 5 1 2 5 7 términos donde a1 5 13,
an 5 25 y n 5 7
Utilizando
an 5 a1 1 (n21)d
25 5 13 1 (721)d
25 2 13 5 6d
12 5 6d
12
5d
6
25d
por tanto, la progresión que se busca es:
13, 15, 17, 19, 21, 23, 25
Sucesiones y series geométricas
En líneas anteriores se dijo que razón es la relación entre dos términos consecutivos de una progresión.
Cuando la razón corresponde a una cantidad que se multiplica a
cada término para obtener al siguiente se trata de una progresión
geométrica. Esto significa que el cociente entre dos términos consecutivos es constante.
En la progresión:
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64
Los términos son:
Primero
1
Segundo
2
Tercero
4
Cuarto
8
Quinto
16
Sexto
32
Séptimo
64
Se observa que la relación entre dos términos consecutivos es:
2 4 8 16 32 64
5 5 5 5 5 52
1 2 4 8 16 32
Por tanto, la razón es 2.
En la progresión:
1 1 1
1, , , ,
2 4 8
66
Segundo
1
1
2
1
4
Tercero
1
8
Se observa que la relación entre dos términos consecutivos es:
1 1 1
2= 4 = 8 =1
1 1 1 2
2 4
1
Por tanto la razón es .
2
En la progresión
1 1 1
1, , , ,
2 4 8
1
El primer término es 1 y el último término es .
8
El primer término es
1
Cuarto
El segundo término es
1
1
1( )5
2
2
El tercer término es
1 1
1
( )5
2 2
4
El cuarto término es
1
1 1
( )5
8
4 2
1
La razón es , pues a partir del primer término los sucesivos se ob2
1
tienen multiplicando por al anterior.
2
Una sucesión (progresión) geométrica es aquélla en la que cada
término, posterior al primero, se obtiene multiplicando al anterior
por una cantidad constante (no nula) a la que se le llama razón de
la progresión. La progresión geométrica es creciente cuando la razón es mayor que 1 y decreciente cuando la razón es menor que 1.
Ejemplos
Progresión geométrica creciente
1, 2, 4, 8, 16, . . .
Progresión geométrica decreciente
1,
1 1 1 1
, , ,
,...
2 4 8 16
Grupo Editorial Patria®
Actividad de aprendizaje
donde a1 representa al primer término y r es la cantidad por la que
se multiplica un término para obtener el siguiente.
¿Cómo se obtiene la razón de una progresión geométrica?
Se utilizará además la notación:
n 5 número de términos
¿Cuándo es creciente una progresión geométrica?
an 5 enésimo término
¿Cuándo es decreciente una progresión geométrica?
Sn 5 suma de los n términos de la progresión
Términos de una sucesión
geométrica
Relación entre una sucesión
y una serie geométrica
De manera semejante a lo realizado con una sucesión aritmética,
con los términos de la progresión geométrica
2, 4, 8, 16, 32, 64
En la progresión
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64
Se puede formar la serie
2 1 4 1 8 1 16 1 32 1 64
El primer término es 1 y el último término es 64.
Pero ahora la determinación de la suma da lugar a una generalización que se trata en la sección siguiente.
El primer término es
1
El segundo término es
1 (2) 5 2
El tercer término es
2 (2) 5 4
El cuarto término es
4 (2) 5 8
El quinto término es
8 (2) 5 16
el primer término es
a1 5 a1
El sexto término es
16 (2) 5 32
el segundo término es
a2 5 a1r
El séptimo término es
32 (2) 5 64
el tercer término es
a3 5 a1r2
el cuarto término es
a4 5 a1r3
el quinto término es
a5 5 a1r4
La razón es 2, pues a partir del primer término los sucesivos se obtienen multiplicando por 2 al anterior.
En la progresión
1 1 1
1, , , ,
2 4 8
1
El primer término es 1 y el último término .
8
El primer término es
1
El segundo término es
1
1
1( )5
2
2
El tercer término es
1 1
1
( )5
2 2
4
El cuarto término es
1
1 1
( )5
8
4 2
1
La razón es , pues a partir del primer término los sucesivos se ob2
1
tienen multiplicando por al anterior.
2
Una progresión geométrica se puede representar así:
2
3
a1, a1r, a1r , a1r , . . .
En la progresión geométrica
a1, a1r, a1r2, a1r3, . . .
...
el n-ésimo término es
an 5 a1r(n21)
Término n-ésimo de una sucesión
geométrica
La suma de los n términos de la progresión geométrica, del primero al último, se puede expresar así:
Sn 5 a1 1 a1r 1 a1r2 1 a1r3 1 . . . 1 a1r(n22) 1 a1r(n21)
(1)
Si se multiplican los dos miembros de la igualdad (1) por r se obtiene:
rSn 5 a1r 1 a1r2 1 a1r3 1 . . . 1 a1r (n21) 1 a1r n
(2)
si se resta (2) de (1) miembro a miembro y término a término se
obtiene:
Sn 2 rSn 5 a1 2 a1rn
67
3
BLOQUE
Realizas sumas y sucesiones de números
de donde
Ejemplos
n
Sn (1 2 r) 5 a1 (1 2 r )
Halla la suma de los 10 primeros términos de la progresión geométrica
2, 4, 8, 16, . . .
Por tanto
Sn 5
a1 (12 r )
,r?1
(12 r )
n
(3)
Solución:
Los datos del problema son: a1 5 2, r 5 2, n 5 10
Como
Utilizando la fórmula para la suma de los n términos
an 5 a1r(n21)
si se multiplica la igualdad por r, se obtiene
ran 5 a1rn
a1 (12 r n )
(12 r )
5
2(12 210 )
12 2
5
2(2 1 023)
21
(4)
sustituyendo (4) en (3) se transforma en
Sn 5
Sn 5
a1 (12 r n ) a1 2 a1r n
a 2 ran
5
5 1
(12 r )
12 r
12 r
Como las fórmulas para obtener el n-ésimo término y la suma de
los n términos son independientes, los cinco términos de una progresión geométrica están relacionados, por lo que si se conocen
tres los otros dos se pueden determinar.
5 2 046
Para tu reflexión
Ejemplos
Calcula el 6° término de la progresión geométrica
23
, 3, 212, . . .
4
Solución:
Los datos del problema son:
a1 5
3
12
23
, n 5 6, r 5
5
5 24
2
3
23
4
4
utilizando la fórmula para el n-ésimo término
an 5 a1r (n21)
⎛ 23 ⎞
621
⎟ (24)
4 ⎠
a6 5 ⎜
⎝
⎛ 23 ⎞
a6 5 ⎜
(24)5
⎝ 4 ⎟⎠
⎛ 23 ⎞
⎟ (21 024)
4 ⎠
a6 5 ⎜
⎝
a6 5 768
68
Ponte de acuerdo con tus compañeras y compañeros de grupo para
realizar lo siguiente:
■ Coloca en el suelo 20 objetos en línea recta. La distancia entre
dos objetos consecutivos debe ser de un metro.
■ Alineada con los objetos y a un metro de distancia de un extremo
de la línea, coloca una caja o algún otro recipiente.
■ A partir de la caja, que alguna persona vaya por el objeto más
próximo, lo recoja y lo deposite en la caja.
■ Que repita esta acción con el siguiente objeto de la línea y los
restantes.
■ Encuentra la distancia recorrida por la persona.
■ Explica, frente al grupo, de manera breve, el procedimiento que se
utilizó para determinar la distancia recorrida por la persona.
■
Discutan en grupo de qué otra forma se puede hallar la distancia
recorrida.
3.2 Modelos aritméticos
o algebraicos
Relación variacional en la fórmula
del n-ésimo término de sucesiones
geométricas particulares
En una progresión geométrica donde a1 y an son el primer y último
términos (o extremos) de la progresión, los términos comprendidos
entre ellos se llaman medios geométricos. Así en la progresión:
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2, 4, 8, 16, 32
Los términos 4, 8 y 16 son medios geométricos entre los extremos
2 y 32.
Se conviene en que un medio geométrico entre los extremos a y b
tenga el mismo signo que a y b.
Así el medio geométrico entre 3 y 27 tiene signo positivo, mientras
que el medio geométrico entre 23 y 227 tiene signo negativo
23, 29, 227
3, 9, 27
A continuación se presenta un ejemplo sobre la manera en que se
interpola un número de medios geométricos entre dos números
dados.
por tanto, la progresión geométrica que se busca es
2, 6, 18, 54, 162
Actividad de aprendizaje
¿A qué se les llama medios geométricos?
Escribe los medios geométricos que faltan en la progresión 3, 6, 12,
__, __, __, 192
Ejemplos
Interpola 3 medios geométricos entre 4 y 64.
Solución:
Se buscan 3 números que junto con 4 y 64 forman una progresión
geométrica que tiene
3 1 2 5 5 términos donde a1 5 4, an 5 64, n 5 5
Utilizando
an 5 a1r (n21)
64 5 4r
521
16 5 r 4
24 5 r 4
25r
por tanto, la progresión geométrica que se busca es
4, 4(2), 4(2)2, 4(2)3, 64
4, 8, 16, 32, 64
Ejemplos
Interpola tres medios geométricos entre 2 y 162.
Solución:
Se buscan tres números que junto con 2 y 162 forman una progresión
geométrica que tiene 3 1 2 5 5 términos donde a1 5 2, an 5 162,
n 5 5.
Utilizando
an 5 a1r (n21)
162 5 2r 521
162 5 2r 4
81 5 r 4
Progresión geométrica decreciente
infinita
En una progresión geométrica la suma de sus términos es:
a 2 ar n
;r?1
12 r
que se puede expresar como
a
ar n
S5
2
12 r 12 r
donde se puede observar que la suma se compone de una parte fija
a
2ar n
.
y una parte variable
12 r
12 r
S5
Como la progresión geométrica es decreciente, r es una fracción
menor que uno y, por tanto, el factor r n es un valor cada vez más
pequeño a medida que el valor de n aumenta. Por ello se dice que
ar n
tiende a cero cuando el valor de n crece indefinidamente y
12 r
en consecuencia la suma de los términos de la progresión tiende
a
.
hacia
12 r
a
Límite S 5
12 r
Es decir, el límite de la suma de los términos de una progresión
geométrica decreciente es igual al primer término dividido entre
uno menos la razón.
34 5 r 4
35r
69
3
BLOQUE
Realizas sumas y sucesiones de números
Ejemplos
1 998 1 453
999
2 451
5
999
Encuentra la fracción generatriz de la fracción decimal periódica
0.545454 . . . (Halla el límite de la fracción decimal periódica 0.545454
. . .)
5
Solución:
La fracción 0.545454 . . . se puede escribir así
54
54
54
1
1
1. . .
100 10 000 1000 000
54
54
54
5
1
1
1. . .
1 00 100 2 1003
54
1
donde a 5
y r5
, por lo que el límite es
100
100
54
54
54
5 100 5 100 5
99 99
1
12
100 100
0.545454 . . . 5
Ejemplos
Halla la fracción generatriz de la fracción decimal periódica
2.453453453. . .
Solución:
La fracción 2.453453453... se puede escribir así
2.453453453 . . . 5 2 1
453
453
453
1
1
1. . .
1000 1000 2 10003
5 2 1 453 ⎛⎜
1
1
1
⎞
1
1
1. . . ⎟
2
⎝ 1000 1000 10003
⎠
la cantidad entre paréntesis es la suma de los términos de una progresión geométrica decreciente, donde la razón es
1
1
1
5 1000 5 1000 5
1
999 999
12
1000 1000
1
y su límite es
1000
sustituyendo este valor en la igualdad anterior
⎛ 1 ⎞
⎝ 999 ⎟⎠
2.453453453 . . . 5 2 1 453 ⎜
521
70
453
999
Utiliza el procedimiento de los dos ejemplos anteriores para hallar la
fracción generatriz
a)
0,454545…
b)
0,525525525…
c)
0,7656565…
d)
0,303030…
e)
0,5425425425…
f)
0,83241241241…
g)
0,72232323…
h)
0,15727272…
i)
0,3281281281…
j)
0,623151515…
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Instrumentos de evaluación
Apellido paterno
Apellido materno
Nombre
Grupo
Asegúrate de haber adquirido los contenidos que se abordan en el Bloque 3. Para ello, realiza lo que se te pide a continuación.
1. Forma una progresión aritmética de 8 términos con 12 como
primer término y que la diferencia sea 23.
9. Halla la suma de los términos de la progresión geométrica
decreciente: 625, 125, 25, . . .
2. Calcula el n-ésimo término y la suma de los términos de la
progresión aritmética:
10. Halla la fracción generatriz de la fracción decimal periódica
0.1233333.
1 1 4
, , . . . (16 términos)
3 2 3
2 ,
11. Halla la suma de la progresión geométrica decreciente:
3. Dados 3 de los 5 elementos de una progresión aritmética encuentra los otros 2, n 5 100, an 5 199, Sn 5 10 000.
8, 4, 2, 1, ½ , …
12. Halla la suma de la progresión geométrica decreciente:
4. Interpola seis medios aritméticos entre 1 y 5.
10, 5, 2 ½ , …
13. Halla la suma de la progresión geométrica decreciente:
5. En la progresión aritmética 15, 12, 9, . . . ¿Cuántos términos
se deben tomar para que su suma sea 42? Escribir la progresión y explicar por qué son dos las soluciones.
25, 5, 1, …
14. Halla la fracción común generatriz de la fracción decimal
periódica 1.272727…
1 1
6. Para la progresión geométrica 1, , , . . . , encuentra el
2 4
octavo término.
15. Halla la fracción común generatriz de la fracción decimal
periódica 3. 987987987…
7. Para la progresión geométrica 4, 12, 36, . . . , encuentra la
suma hasta el octavo término.
8. Interpola cuatro medios geométricos entre 243 y 1.
16. Halla la fracción común generatriz de la fracción decimal
periódica 0.83421421421…
71
3
BLOQUE
Realizas sumas y sucesiones de números
Lista de cotejo
Lista de cotejo para el reporte sobre la distancia recorrida por la persona del Bloque 3.
Nombre del alumno:
Presentación
Criterio
1. Cuenta con una carátula que incluye: el nombre del trabajo que
se realiza, la materia, fecha de entrega, nombre del alumno y su
matrícula.
2. Tiene una redacción que es adecuada y clara.
3. Tiene buena ortografía o con errores mínimos.
4. El trabajo se elabora en computadora o manuscrito con letra legible.
5. Las gráficas o dibujos auxiliares se elaboran de un tamaño adecuado
de modo que se puedan apreciar con claridad los datos obtenidos o
las condiciones del problema.
6. Se presenta todo el procedimiento necesario para obtener los datos o
solución que se pide con la justificación correspondiente.
Desarrollo
7. En el procedimiento se desarrolla una secuencia lógica y coherente.
8. Se hace referencia a las gráficas o diagramas auxiliares para apoyar
la argumentación del escrito.
9. Se hace la referencia bibliográfica de las notas, definiciones o
conceptos consultados para sustentar teóricamente las acciones
realizadas.
Conclusiones
Dominio
del tema
10. La investigación se realiza con apoyo en libros y revistas
actualizadas sobre el tema o bien en sitios web cuya información
sea científicamente válida. De incluir citas textuales, éstas deben ser
breves y con la referencia de la fuente.
72
11. Conoce y aplica el concepto y elementos de una progresión.
12. De acuerdo al tipo de progresión determina sus elementos.
13. Obtiene la distancia recorrida por la persona.
14. Representa en un dibujo las condiciones del problema.
15. Establece las relaciones entre los datos del problema.
16. Realiza los cálculos para determinar la distancia recorrida por la
persona.
cumple
sí
no
Observaciones
Grupo Editorial Patria®
Rúbrica para evaluar el conocimiento adquirido
Indicaciones:
Esta rúbrica es para valorar el desempeño de los estudiantes sobre los contenidos del bloque 3.
Nombre del alumno:
Criterios
Sucesiones y series
aritméticas
Aspecto a evaluar
Relación entre una
sucesión y una serie
aritmética
Tipo de relación
variacional del
n-ésimo término
Sucesiones y series
geométricas
Relación entre una
sucesión y una serie
geométrica
Término n-ésimo
de una sucesión
geométrica
Excelente
(4)
Bueno
(3)
Regular
(2)
Deficiente
(1)
Conoce los conceptos de
sucesión y serie aritmética.
Identifica los términos de
una sucesión aritmética.
Conoce los conceptos de
sucesión y serie aritmética.
Identifica la mayoría de los
términos de una sucesión
aritmética.
Conoce los conceptos de
sucesión y serie aritmética.
Identifica algunos de los
términos de una sucesión
aritmética.
No conoce los conceptos de
sucesión o serie aritmética.
No identifica los términos de
una sucesión aritmética.
Establece la relación
entre los términos de una
sucesión y de una serie
aritmética. Conoce los
términos de una sucesión
aritmética.
Establece, en la mayoría
de los casos, la relación
entre los términos de una
sucesión y de una serie
aritmética. Conoce los
términos de una sucesión
aritmética.
Establece, en algunos
casos, la relación entre los
términos de una sucesión
y de una serie aritmética.
Conoce algunos de los
términos de una sucesión
aritmética.
No establece la relación
entre los términos de una
sucesión ni de una serie
aritmética. No conoce los
términos de una sucesión
aritmética.
Conoce y calcula el valor
de los términos de una
sucesión aritmética.
Conoce y calcula, en la
mayoría de los casos, el
valor de los términos de una
sucesión aritmética.
Conoce y calcula, en
algunos de los casos, el
valor de los términos de una
sucesión aritmética.
No conoce ni calcula el
valor de los términos de una
sucesión aritmética.
Conoce los conceptos de
sucesión y serie geométrica.
Identifica los términos de
una sucesión geométrica.
Conoce los conceptos de
sucesión y serie geométrica.
Identifica la mayoría de los
términos de una sucesión
geométrica.
Conoce los conceptos de
sucesión y serie geométrica.
Identifica algunos de los
términos de una sucesión
geométrica.
No conoce los conceptos de
sucesión o serie geométrica.
No identifica los términos de
una sucesión geométrica.
Establece la relación
entre los términos de una
sucesión y de una serie
geométrica. Conoce los
términos de una sucesión
geométrica.
Establece, en la mayoría
de los casos, la relación
entre los términos de una
sucesión y de una serie
geométrica. Conoce los
términos de una sucesión
geométrica.
Establece, en algunos
casos, la relación entre los
términos de una sucesión
y de una serie geométrica.
Conoce algunos de los
términos de una sucesión
geométrica.
No establece la relación
entre los términos de una
sucesión ni de una serie
geométrica. No conoce los
términos de una sucesión
geométrica.
Conoce y calcula el valor
de los términos de una
sucesión geométrica.
Interpola medios
geométricos.
Conoce y calcula, en la
mayoría de los casos, el
valor de los términos de
una sucesión geométrica.
Interpola medios
geométricos.
Conoce y calcula, en
algunos de los casos, el
valor de los términos de una
sucesión geométrica.
No conoce ni calcula el
valor de los términos de
una sucesión geométrica.
No interpola medios
geométricos.
73
Realizas transformaciones algebraicas I
4
B LO Q U E
Objetos de
aprendizaje
4.1 Representación de relaciones
entre magnitudes.
4.2 Modelos aritméticos
o algebraicos.
Competencias a desarrollar
„
Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de
procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos, variacionales, para la
comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.
„
Formula y resuelve problemas matemáticos aplicando diferentes enfoques.
„
Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos
matemáticos y los contrasta con modelos establecidos en situaciones reales.
„
Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural
para determinar o estimar su comportamiento.
¿Qué sabes hacer ahora?
1.
Determina P(x) 2 Q(x)
P(x) x 3 + 3x 2 + 4 x − 2
2.
Efectúa la división que se indica y comprueba el resultado obtenido.
3.
Determina el producto (x 1 2)2 sin efectuar la operación.
4.
Determina el producto (x 1 4)(x 2 4) sin efectuar la operación.
5.
Determina el producto (x 1 9)(x 1 3) sin efectuar la operación.
6.
Desarrolla por el teorema del binomio (a 2 1)7.
7.
Factoriza la expresión x2 2 x.
8.
Factoriza la expresión x2y 1 xy2 1 3x 1 3y.
9.
Factoriza la expresión x2 1 2x 1 1.
10.
Factoriza la expresión x3 1 23.
(x
3
Q(x) 5 − x 3 − 3x 2 − 4 x + 1
+ 3x 2 + 3x + 1) ÷ ( x + 1)
Desempeños por alcanzar
„
Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos
y científicos.
„
Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera
reflexiva.
„
Asume una actitud constructivista, congruente con los conocimientos y
habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.
Identifica las operaciones de suma, resta, multiplicación de polinomios de una
variable.
Ejecuta sumas, restas, multiplicaciones con polinomios de una variable.
Emplea productos notables para determinar y expresar el resultado de multiplicación
de binomios.
Comprende las diferentes técnicas de factorización como de extracción de factor
común y agrupación de trinomios cuadrados perfectos y de productos notables
a diferencia de cuadrados perfectos.
Formula expresiones en forma de producto, utilizando técnicas básicas de factorización.
Utiliza los productos notables de diferencia de cuadrados y de trinomios cuadrados
perfectos.
BLOQUE
4
Realizas transformaciones algebraicas I
Situación didáctica
¿Cómo lo resolverías?
Escribe el cuadrado del binomio 5x 1 3y sin efectuar la multiplicación.
Secuencia didáctica
Forma equipos para resolver el problema.
Que cada equipo represente mediante dibujos las condiciones del
problema.
Presenta los resultados en plenaria y analizar las formas de resolver
el problema.
Cada equipo debe investigar:
¿Qué son los productos notables?
¿Qué tienes que hacer?
Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es
preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a
cabo las rectificaciones que procedan.
Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto a las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de
asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje.
¿Cuáles son los productos notables más comunes?
Evaluación por producto
¿Cómo se obtiene el cuadrado de un binomio?
A fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito
de manera muy clara.
¿Cómo se llama el producto del cuadrado de un binomio?
Trabajo individual
Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios.
Rúbrica
Para determinar el cuadrado de un binomio que se pide debes
anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos
tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las fuentes consultadas, etc. La descripción del procedimiento
Situación didáctica
Obtén el producto de (x 1 y 2 z)2 sin efectuar la multiplicación.
76
En este ejemplo:
Producto a elaborar
Obtención del cuadrado de un binomio.
¿Cómo sabes que lo hiciste bien?
por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase,
2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello
suma un total de 10 puntos.
Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes.
¿Cómo lo resolverías?
Grupo Editorial Patria®
Secuencia didáctica
Forma equipos para resolver el problema.
Que cada equipo represente mediante dibujos las condiciones del
problema.
Presenta los resultados en plenaria y analizar las formas de resolver
el problema.
Cada equipo debe investigar:
¿Cómo obtener el producto de dos trinomios?
¿Qué tienes que hacer?
Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es
preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a
cabo las rectificaciones que procedan.
Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto de las
actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito
de asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje.
¿Cómo expresar el producto de dos trinomios como el producto
de dos binomios?
Evaluación por producto
¿Qué transformaciones se deben realizar y qué signos de asociación utilizar para expresar los trinomios como binomios?
A fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito
de manera muy clara.
Trabajo individual
En este ejemplo:
Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios.
Producto a elaborar
Rúbrica
Para determinar el producto de dos trinomios que se solicita se
deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados,
éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material
utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado,
la forma, las fuentes consultadas, etc. La descripción del procedi-
Situación didáctica
Producto de dos trinomios.
¿Cómo sabes que lo hiciste bien?
miento por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en
clase, 2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo
ello suma un total de 10 puntos.
Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes.
¿Cómo lo resolverías?
Expresa ax 1 ay 2 bx 2 by como el producto de dos factores binomios.
77
BLOQUE
4
Realizas transformaciones algebraicas I
Secuencia didáctica
Forma equipos para resolver el problema.
Que cada equipo represente mediante dibujos las condiciones del
problema.
Presenta los resultados en plenaria y analizar las formas de resolver
el problema.
Cada equipo debe investigar:
¿Cuáles son los productos notables?
¿Qué transformaciones se pueden realizar para expresar una suma
algebraica como un producto?
¿Qué tienes que hacer?
Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es
preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a
cabo las rectificaciones que procedan.
Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto de las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de
asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje.
Evaluación por producto
¿Cómo se obtiene el factor común?
A fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito
de manera muy clara.
¿Cómo se aplica la propiedad distributiva de la multiplicación?
En este ejemplo:
Trabajo individual
Producto a elaborar
Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios.
Transformación de una suma algebraica en un producto.
Rúbrica
Para determinar una suma algebraica como producto que se solicita se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en
el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo
realizado, la forma, las fuentes consultadas, etc. La descripción del
78
¿Cómo sabes que lo hiciste bien?
procedimiento por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase, 2 puntos de tu calificación de la actividad que se
evalúa. Todo ello suma un total de 10 puntos.
Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes.
Grupo Editorial Patria®
Propuestas de diseño para
situaciones
didácticas
7. P(x) 5 x 4 + 3x 3 − 5 x 2 − x + 1
Parte I
8. P(x) x 4 + 6 x 3 − 7 x 2 + 6 x − 9
Q(x) 5 − x 3 + 2 x 2 + 1
Q(x) 5 x 4 − 4 x 3 + 3x 2 + 4 x − 2
Q(x) 5 2 x 3 + 3x 2 − 5 x − 3
Determina P(x) 1 Q(x).
9. P(x) 2 x 4 − 4 x 3 + 3x 2 − 4 x + 7
1. P(x) x 2 + x + 1
Q(x) 5 3x 4 + 2 x 2 − 5
Q(x) 5 x 2 − 2 x − 3
10. P(x) 3x 4 + x 3 + 7 x 2 − 2 x − 6
2. P(x) x 3 + x 2 + x + 5
Q(x) 5 − 2 x 4 − 3x 3 − 2 x 2 + 6 x + 3
Q(x) 5 2 x 3 − 3x 2 + 7 x − 6
3. P(x) 5 x 2 + 3x + 7
Parte II
Q(x) 5 6 x 2 − 3x + 3
Efectúa la división que se indica y comprueba el resultado obtenido.
4. P(x) 3x + 5 x + 6
2
1. ( x 3 + 3x 2 + 3x + 1) ÷ ( x + 1)
Q(x) 5 5 x 2 − 3x − 2
2. ( x 4 + x 3 − 9 x 2 − 16 x − 4 ) ÷ ( x 2 + 3x + 4 )
5. P(x) 2 x 2 + 3x − 9
3. ( x 4 + 3x 3 − 4 x 2 − 6 x + 4 ) ÷ ( x 2 + 3x − 2 )
Q(x) 5 3x 2 − 7 x + 4
4. ( x 3 + 3x 2 + 3x + 1) ÷ ( x + 1)
6. P(x) 4 x 2 − 9 x − 8
5. ( 4 x 3 + 4 x 2 − 29 x + 21) ÷ ( 2 x − 3 )
Q(x) 5 2 x 2 − x − 1
6. ( x 4 + 8 x 3 + 24 x 2 + 32 x + 16 ) ÷ ( x + 2 )
7. P(x) − 5 x 2 − 7 x + 9
Q(x) 5 − 10 x 2 − 14 x − 13
8. P(x) 5 x 4 + 3x 3 − 5 x 2 − x + 3
Q(x) 5 2 x 4 − x 3 + 7 x 2 − 2 x − 4
9. P(x) 2 x 4 − x 3 + 7 x 2 − 2 x − 5
Q(x) 5 x − 4 x + 3x + 4 x − 2
4
3
2
10. P(x) x − 4 x + 3x + 4 x − 2
4
3
2
Q(x) 5 9 x 4 − 2 x 3 + x 2 − x + 3
Determina P(x) 2 Q(x).
1. P(x) x 3 + 3x 2 + 4 x − 2
Q(x) 5 − x 3 − 3x 2 − 4 x + 1
2. P(x) 2 x 2 − 4 x + 7
Q(x) 5 2 x 2 − 4 x + 7
3. P(x) x 3 + 2 x 2 − 4 x + 5
Q(x) 5 7 x 3 − 12 x 2 + 15 x − 7
4. P(x) − 4 x 3 + 5 x 2 − 7 x + 9
Q(x) 5 − 2 x 3 + 11x 2 − 12 x + 3
5. P(x) 8 x 3 + 7 x 2 − 5 x + 5
Q(x) 5 − 2 x 3 + 3x 2 + 2 x − 3
6. P(x) 2 x 3 − 4 x 2 + 2 x − 5
7. ( 6 x 5 + 5 x 4 − 25 x 3 + 31x 2 − 13x + 2 ) ÷ ( 2 x 2 − 3x + 2 )
8. ( x 5 − 4 x 4 + 3x 3 + 3x 2 − 3x + 2 ) ÷ ( x 2 − x + 2 )
9. ( x 3 + 2 x 2 − 3x + 4 ) ÷ ( x 2 − x + 2 )
10.
(x
5
− 1) ÷ ( x + 1)
Parte III
Determina el cuadrado de 34 y 48 expresados como (30 1 4) y
(50 2 2), respectivamente.
Determina los siguientes productos sin efectuar la operación.
1. (x 1 2)2
11. (5x2y2 2 1)2
2. (x 2 6)2
12. (12x3y3 1 3)2
3. (4 1 m)2
13. (12x3y3 2 3)2
4. (9 2 y)2
14. (3 2 12x3y3)2
5. (7x 1 6)2
15. (x4y3 1 x3y4)2
6. (7x 2 6)2
16. (x4y3 2 x3y4)2
7. (5x2 1 9)2
17. (5x4y 2 7xy3)2
2
8. (5x2 2 9)2
1
18. ⎧⎪11 ⎫⎪
⎩ x⎭
9. (2a2 2 3b2)2
1
19. ⎧⎪ 21⎫⎪
⎩x ⎭
10. (5x2y2 1 1)2
2
20. [(a 1 b) 1 c]2
79
BLOQUE
4
Realizas transformaciones algebraicas I
Parte IV
Determina los siguientes productos expresando los factores como
binomios conjugados.
1. 32 × 28
2. 41 × 39
Determina los siguientes productos sin efectuar la operación.
1. (x 1 y)(x 2 y)
2. (x 1 4)(x 2 4)
3. (7 1 m)(m 2 7)
4. (5 2 2a)(2a 1 5)
5. (3x 1 8)(8 2 3x)
6. (2x2 1 1) (2x2 2 1)
7. (5x4 1 1)(5x4 2 1)
8. (3a 1 9b)(3a 2 9b)
9. (xmym 1 1)(xmym 2 1)
10. (3m2n 2 5m3n2)(3m2n 1 5m3n2)
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
(5a3b 1 3a2c)(5a3b 2 3a2c)
(5x2y 2 3x3y2)(3x3y2 1 5x2y)
(7x3y2 2 5x2y)(7x3y2 1 5x2y)
(3x2y 2 5x3y2)(3x2y 1 5x3y2)
(7a3b 1 5a2c)(7a3b 2 5a2c)
[8 1 (m 2 n)][8 2 (m 2 n)]
(a 1 b 1 5)(a 1 b 2 5)
(x 1 y 1 7)(x 1 y 2 7)
(m 1 n 1 9)(m 1 n 2 9)
(x 1 y 2 3)(x 2 y 1 3)
Parte V
Determina los siguientes productos sin efectuar la operación.
1. (x 1 9)(x 1 3)
2. (x 1 6)(x 1 2)
3. (x 1 2)(x 1 3)
4. (x 1 9)(x 1 3)
5. (a 1 7)(a 1 3)
6. (x 1 9)(x 1 3)
7. (a 1 7)(a 1 3)
8. (x 2 6)(x 2 2)
9. (3x 1 7)(3x 1 19)
10. (3x 1 7)(3x 2 19)
11. (3x 2 7)(3x 1 19)
12. (3x 2 7)(3x 1 19)
80
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
(5m 1 3n)(5m 1 11n)
(7x 2 4y)(7x 1 9y)
(6a 1 3b)(6a 1 7b)
(7a 2 3b)(7a 1 9b)
(3xy 1 7)(3xy 1 23)
(7 2 pq)(9 2 pq)
(5am 1 16)(5am 2 27)
(ambn 1 4)(ambn 2 15)
Parte VI
Determina los siguientes productos sin efectuar la operación.
1. (x 1 y)3
11. (x2 1 1)3
2. (x 2 y)3
12. (x2 2 1)3
3. (r 1 x)3
13. (1 1 x2)3
4. (r 2 s)3
14. (1 2 x2)3
5. (x 1 1)3
15. (2x 1 y)3
6. (x 2 1)3
16. (7x 1 3y)3
7. (1 1 x)3
17. (23x 1 4)3
8. (1 2 x)3
18. (22x 2 3)3
9. (1 2 y)3
19. (4a 1 1)3
10. (1 2 z)3
20. (1 2 4a)3
Parte VII
Desarrolla por el teorema del binomio.
1. (a 2 1)7
2. (x 2 2)5
3. (a 1 3)4
4. (1 2 2b)5
5. (x 2 2y)6
6. (3x 2 y)4
7. (x 1 3y)6
8. (a2 2 b3)4
9. (a2 2 2a)6
1⎞
⎛
10. ⎜ x 1 ⎟
⎝
x⎠
4
Parte VIII
Factoriza las siguientes expresiones:
1. x2 2 x
4. 9x2 2 15x4
2. x 1 xy
5. 12a3 2 16a2
3. 6x2 1 18x3
6. 16a2 1 12a5
Grupo Editorial Patria®
7. x3y2 2 x3y
8. m3 1 m2 1 m
Parte XI
9. m 1 5m 2 6m
10. r 1 r s 2 r s
11. (5xy ) 2 (5xy )
12. x 2 5x 1 8x
13. 2a4 2 5a3 2 3a2
14. 10a2b 2 15ab2 1 5ab
3
2
4 5
4
4 4
5
3
2 2
4
3
15. 8x4y4 1 10x3y3 2 6x2y2
16. 12xyz 1 8x2y2z2 2 4x3y3z3
17. 3a3b3c3 1 6a2b2c2 1 9abc
18. 8x2y3 2 4x3y4 1 12x2y2 2 16x4y5
19. 219x2y2 1 76x3y3 2 95x4y
20. 84x5y4 2 108x4y5 1 420x6y3
Parte IX
Factoriza las expresiones siguientes.
1. x2y 1 xy2 1 3x 1 3y
11. 28 2 16x 1 14x2 2 8x3
2. a5b2 2 a2b5 1 7a3 2 7b3
12. 15x3 2 12x2 1 35x 2 28
3. abc 1 bcx 1 a2 1 ax
13. m2y 1 mn2 2 mxy 2 n2x
4. mx 1 nx 2 my 2 ny
14. 6ab 1 9a 1 4b 1 6
5. x 1 x y 1 3x 1 3y
15. m3 1 m2n 1 m 1 n
6. x4 1 x3y3 1 xy 1 y4
16. x2 2 ax 1 x 2 a
2
3
7.
8.
9.
10.
2
2
2
2
x 4 2 x 3y 1 xy 2 2 y 3
m3 1 m2n 1 mn2 1 n3
6xy 1 9x 1 4y 1 6
x 3 1 x2y 1 x 1 y
17.
18.
19.
20.
x2 1 ax 1 x 1 a
a2b2 1 ab 1 abc 1 c
x2 1 xm 1 xn 1 mn
x3y3 1 xy 1 x2y2 1 1
Parte X
Factoriza las expresiones siguientes.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
x 2 1 2x 1 1
x 2 2 2x 1 1
x 2 1 4x 1 4
x 2 2 4x 1 4
x 2 1 8x 1 16
x 2 2 8x 1 16
x 2 1 2xy 1 y 2
x 2 2 2xy 1 y 2
9x 2 2 30xy 1 25y 2
49a2 2 14ab 1 b 2
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
81x2 2 54xy 1 9y2
49x4y4 1 42x2y2 1 9
49x4y4 1 42x2y2 1 4
100x4 1 9y2 2 60x2y
220mn 1 4m2 1 25n2
4x2y3 1 25m2n2 2 20mnxy
9x4y2 2 12x3y4 1 9x2y6
9x4y6 2 24x3y5 1 16x2y4
49r4s2 1 64p6q2 1 112r2sp3q
p8 1 36q2r 2 1 12p4qr
Factoriza las expresiones siguientes.
1. x 2 2 y 2
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
x4 2 1
1 2 x4
49m2 2 1
25 2 4x 2
x 4 2 16
16 2 x 4
16x 2 2 25y 2
9a 6 2 4b 4
9a 2b 4 2 25a 4b 6
11. x4 2
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
1
16 y 4
.0625 2 y4
x4y6 2 x6y4
49m4n2 2 64m6n4
x8y8 2 1
(x 1 3y)2 2 4z2
1 2 x2 1 2xy 2 y2
4x2 1 y2 2 4xy 2 25
9m4 1 11m2 1 4
x4 2 7x2y2 1 y4
Parte XII
Factoriza las expresiones siguientes.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
x 3 1 23
y 3 2 23
x 3y 3 1 1
x3y3 2 1
8x3 1 1
1 1 8x3
8x3 2 27
27 2 8x3
a3b3 1 64
16 1 54m3
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
125 2 27x3y3
m3 2 8n3
x12 2 y9
1 2 27x6
64x9 1 y3
a3b3 1 512
x15 2 y9
729 1 (m 1 n)3
m3n3 2 512(m 1 n)3
(x 1 y)3 1 512(m 1 n)3
81
BLOQUE
4
Realizas transformaciones algebraicas I
Hay una asombrosa imaginación, incluso en la ciencia de las matemáticas…
Repetimos, hay mucha más imaginación en la cabeza de
Arquímedes que en la de Homero.
Voltaire
Introducción
La terminología y notación del lenguaje algebraico se aplica en la
adición, sustracción, multiplicación y división de polinomios con
una variable.
Se trata lo relacionado con algunos productos notables y su respectiva factorización.
Se hace una introducción al teorema del binomio de Newton donde se utiliza el triángulo de Pascal.
4.1 Representación de
relaciones entre magnitudes
Operaciones de suma, resta
y multiplicación de polinomios
en una variable
Un polinomio es una expresión algebraica que se forma con variables y números reales que se relacionan mediante las operaciones
de adición, sustracción y multiplicación.
Los signos 1 y 2 se utilizan para separar los términos de un polinomio.
A los polinomios compuestos por un solo término se les llama monomios; a los que tienen dos términos, binomios, a los que tienen
tres, trinomios.
Cuando un polinomio tiene una sola variable se le puede clasificar
de acuerdo con el exponente de su término de mayor grado, así:
2x5 2 3x4 1 2x3 2 x2 1 1 es un polinomio de quinto grado.
Para tu reflexión
Anécdota de Albert Einstein
(1879-1955)
El joven Einstein esperaba en la antesala del director de la famosa Academia
Politécnica de Zurich, Suiza. Fue recibido cordialmente y el presidente le dijo
que la Academia se honraría si aceptaba el puesto de profesor. Einstein recordó
cuando fue rechazado por dicha
Academia como estudiante, años
82
atrás. Sin embargo, dicho nombramiento le brindaba la oportunidad de
continuar sus investigaciones científicas y aceptó.
Einstein tenía una mente inquieta e inquisitiva para los temas que le
interesaban. A la edad de cinco años lo fascinó la brújula de su padre y
no cesaba de cuestionarlo sobre ella. Posteriormente un estudiante de
medicina, Max Talmey, visitó su casa y le prestó sus libros de ciencias
naturales y matemáticas. Einstein los leyó con gran interés y descubrió
que había encontrado lo que le interesaba.
El negocio de su padre no prosperaba y a Einstein no le interesaban
los negocios, intentó la enseñanza mas no tuvo éxito, para entonces ya
se había casado y tenía 2 hijos que sostener. Pudo obtener el puesto
de empleado en la oficina de patentes y aunque el puesto era muy
tedioso, le permitió terminar su doctorado y escribir algunos ensayos
científicos.
En 1905, cuando todavía trabajaba en la oficina de patentes, publicó su
primera versión de la teoría de la relatividad. Einstein descubrió que la
velocidad de la luz es la única magnitud que se mantiene constante, lo
demás es relativo. Todo lo que está sobre la Tierra y en el Universo se
encuentra en movimiento constante.
Para Newton, el tiempo era constante e invariable. Einstein demostró
que el tiempo era una variable, una cuarta dimensión que debía agregarse a las tres dimensiones aceptadas del espacio. Al acercarse uno
a la velocidad de la luz el tiempo se torna más lento. El tiempo depende
del lugar donde te encuentres. Un año en el planeta Júpiter es más
largo que un año en la Tierra porque Júpiter necesita más tiempo para
girar alrededor del Sol.
Diez años más tarde, en una segunda obra sobre los aspectos de la relatividad, Einstein ofreció un nuevo concepto de la gravitación. Declaró
que no hay una fuerza absoluta de gravedad que atraiga los objetos,
como había sostenido Newton, sino que toda masa tiene dentro de sí
una fuerza que está en proporción con su masa, la cual atrae los objetos; por esta fuerza se da la curvatura del Universo y las variaciones en
las órbitas de los cuerpos celestes.
A los 30 años de edad era famoso mundialmente.
Durante la Primera Guerra Mundial se negó a ayudar a Alemania en
su esfuerzo bélico. Manifestó: “Esta guerra es una depravación y un
crimen salvaje, preferiría que me descuartizaran antes que participar
en cosa tan abominable”. Entonces tuvo que irse a EUA y aceptar un
puesto de investigador en el Instituto de estudios avanzados de Princeton, Nueva Jersey. En 1939 escribió una carta al presidente Roosevelt
advirtiendo las posibilidades científicas de crear una bomba atómica.
La decisión del presidente fue construir esa arma fantásticamente destructora.
Una vez, cuando lo invitaron a visitar a la reina de Bélgica, se bajó del
tren y caminó hasta el palacio llevando una maleta y su violín. Cuando
la reina le preguntó por qué no había usado la limusina que le aguardaba, Einstein le respondió: “Era muy agradable caminar majestad”.
Tomada de Crowther, J. G. Six Great Scientists
Grupo Editorial Patria®
Aplica lo que sabes
Ejemplos
Ponte de acuerdo con tus compañeras y compañeros de grupo para
realizar lo siguiente:
2
2
Suma 5 x − 3x + 5 y 2 x + x − 3
Investiga cuándo se fundó la comunidad donde
vives.
Solución:
(5 x 2 23x 1 5) 1 (2 x 2 1 x 23)5 (5x 2 1 2x 2 ) 1 (23x 1 x ) 1
(5 2 3)
2
5 (5 + 2)x + (− 3 + 1)x + 2
¿Cuánta población tenía
en ese entonces?
¿Cuántos años transcurrieron para que la población se duplicara?
¿En cuánto tiempo se volvió a duplicar?
Compara resultados con tus compañeros del salón de clases.
Investiga:
Cuando tu escuela inició sus labores, ¿cuántos alumnos tenía?
¿Cuántos alumnos de primer ingreso tienen actualmente?
5 7x 2 − 2x + 2
Como se puede observar, la operación de adición se realizó asociando términos semejantes y operando con sus coeficientes numéricos.
El procedimiento se facilita cuando los términos de cada polinomio se disponen en orden decreciente y se colocan en la misma
columna los términos semejantes.
1
Investiga cuál era la población de nuestro país en 1900.
Investiga cuál era la población de nuestro país en el año 2000.
Investiga cómo se ha dado el crecimiento de la población de nuestro
país entre los años de 1900 y 2000. Elabora una gráfica en la que se
ilustre el crecimiento, con
intervalos de 10 años en
el eje horizontal y de 10
millones de habitantes en
el eje vertical.
Elabora en una cartulina
o papel bond los resultados de tu investigación y
compártelo, con tus compañeros.
Adición y sustracción de polinomios
con una sola variable
Dado que la variable del polinomio representa a un número real,
se pueden aplicar las propiedades de las operaciones con estos números.
Actividad de aprendizaje
En una sustracción, minuendo menos sustraendo equivale a sumar al
minuendo
del sustraendo.
5 x 2 − 3x + 5
2x 2 + x − 3
7x 2 − 2x + 2
Para la de sustracción de polinomios se debe tomar en cuenta que
a 2 b 5 a 1 (2b); esto es, minuendo menos sustraendo equivale
a sumar al minuendo el inverso aditivo (o simétrico) del sustraendo.
Ejemplos
(6x
(6x
3
3
+ 3x 2 − 7 x + 1) − ( 2 x 3 − 2 x 2 + 3x − 5 ) =
+ 3x 2 − 7 x + 1) + ( − 2 x 3 + 2 x 2 − 3x + 5 )
5 ( 6 − 2 ) x 3 + ( 3 + 2 ) x 2 + ( − 7 − 3 ) x + (1 + 5 )
5 4 x 3 + 5 x 2 − 10 x + 6
Para facilitar el procedimiento disponemos en orden decreciente y colocamos en la misma columna términos semejantes.
2
6 x 3 + 3x 2 − 7 x + 1
2 x 3 − 2 x 2 + 3x − 5
Esta operación se puede transformar en una suma al cambiar los signos de todos los términos del polinomio que se resta.
1
6 x 3 + 3x 2 − 7 x + 1
− 2 x 3 + 2 x 2 − 3x + 5
4 x 3 + 5 x 2 − 10 x + 6
83
BLOQUE
4
Realizas transformaciones algebraicas I
Multiplicación y división de polinomios
con una sola variable
En la multiplicación y división de polinomios con una sola variable
se utilizan las propiedades de la multiplicación y división de números reales así como las leyes de los exponentes.
Para dividir un polinomio entre otro, se ordenan sus términos en
forma decreciente de las potencias de la variable y se disponen de
la siguiente manera:
Ejemplos
Divide x 2 − 5 x − 84 entre x 1 7
Actividad de aprendizaje
x −12
x 1 7 x 2 5x 2 84
Al dividir un polinomio entre otro, para comprobar el resultado,
2
2x 2 2 7 x
112 x − 84
0
Ejemplos
( 2x
3
+ 3x )( 3x 2 − 4 x ) = ( 2 x 3 + 3x )( 3x 2 ) + ( 2 x 3 + 3x )( − 4 x )
3
2
2
3
5 2 x ? 3x 13x ? 3x 1 2 x (2 4 x )13x (2 4 x )
5 6 x 5 + 9 x 3 − 8 x 4 − 12 x 2
Ordenando el resultado en forma decreciente
5 6 x − 8 x + 9 x − 12 x
5
4
3
2
Si se ordenan en forma decreciente los términos de los polinomios que
se van a multiplicar, la operación también se puede disponer así:
3
Se divide el primer término del dividendo (x 2) entre el primer término del divisor (x) con la que se obtiene el cociente (x); luego
se multiplica el divisor (x 1 7) por (x) y el resultado se escribe
debajo del dividendo. Después se resta y se repite el procedimiento utilizando a − 12 x − 84 como nuevo dividendo. El cociente
obtenido es x −12.
Cuando el cociente es exacto, como en este caso, el residuo es cero;
para verificar el resultado se multiplica el cociente por el divisor y el
producto debe ser igual al dividendo.
x −12
x17
2 x + 3x
3
3x 2 − 4 x
6x 5
2 8x
x 2 − 12 x
3
1 9x
4
2 12x
2
7x 2 84
multiplica el primer polinomio por 3x 2
multiplica el primer polinomio por −4x
6 x 5 − 8 x 4 + 9 x 3 − 12 x 2
x 2 − 5 x − 84
suma
Ejemplos
Observa que en los productos parciales se ubica cada término en la
columna que le corresponde de acuerdo con su grado.
2 x 2 + 3x + 4
Ejemplos
3x 3 − 2 x 2 − x + 5
x 2 − 3x + 2
3x 5 − 2 x 4 − x 3 + 5 x 2
− 9 x 4 + 6 x 3 + 3x 2 − 15 x
16 x 3 2 4 x 2 2 2 x 110
3x 5 − 11x 4 + 11x 3 + 4 x 2 − 17 x + 10
84
2
4
3
2
Divide 2 x + 13x + 15 x + 16 x − 3 entre x + 5 x − 2
x 2 + 5 x − 2 2 x 4 + 13x 3 + 15 x 2 + 16 x − 3
2 x 4 + 10 x 3 − 4 x 2
3x 3 + 19 x 2 + 16 x
3x 3 + 15 x 2 − 6 x
4 x 2 + 22 x − 3
4 x 2 + 20 x − 8
2x + 5
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Por tanto,
Para comprobar el resultado, se multiplica el cociente por el divisor
y al producto obtenido se le suma el residuo, el resultado debe ser
igual al dividendo.
2 x 2 + 3x + 4
x 2 + 5x − 2
3
2 x 4 + 3x 3 + 4 x 2
10 x 3 + 15 x 2 + 20 x
2 4x2 2 6x 2 8
(a 1 b)2 5 a2 1 2ab 1 b2
Los términos a2 y b2 son siempre positivos porque el cuadrado de
un número, positivo o negativo, es siempre positivo. El término 2ab
puede ser positivo siempre que a y b tengan el mismo signo, o negativo cuando sus signos son contrarios.
Sea el producto:
(a 2 b) (a 2 b) 5 (a 2 b)2
Si se efectúa la multiplicación en la forma general se obtiene:
3
2 x 4 + 13x 3 + 15 x 2 + 14 x − 8
1
2x 1 5
a2 2 ab
2 ab 1 b2
2 x 4 + 13x 3 + 15 x 2 + 16 x − 3
4.2 Modelos aritméticos o
algebraicos
a2b
a2b
a2 2 2ab 1 b2
Por tanto:
(a 2 b)2 5 a2 2 2ab 1 b2
Producto de binomios aplicando
patrones de productos notables
Estos resultados se pueden expresar de la siguiente forma:
A ciertos productos que se pueden obtener de manera directa sin
realizar la multiplicación por el procedimiento general, se denominan productos notables.
Es decir, el cuadrado de un binomio es igual a la suma algebraica
del cuadrado del primer término más (o menos) el doble producto del primer término por el segundo más el cuadrado del
segundo término.
Cuadrado de un binomio
Elevar un binomio al cuadrado significa que el binomio se multiplica por sí mismo. Sea el producto:
(a 1 b) (a 1 b) 5 (a 1 b)2
(a ± b)2 5 a2 ± 2ab 1 b2
El cuadrado de un binomio recibe el nombre de trinomio cuadrado
perfecto.
Actividad de aprendizaje
Al efectuar la multiplicación en la forma general se tiene.
a1b
a1b
Agrega el término que falta para que la siguiente expresión sea un
trinomio cuadrado 36 x 2 + _____ + 25 y 2 .
a2 1 ab
ab 1 b2
a2 1 2ab 1 b2
Ejemplos
Representación geométrica:
b
ab
b2
(2a 1 3b)2 5 (2a )2 1 2(2a)(3b ) 1 (3b)2
5 4a 2 1 12ab 1 9b 2
(2a 2 3b)2 5 (2a )2 1 2(2a)(23b ) 1 (23b )2
5 4a 2 2 12ab 1 9b 2
(23x 1 4y )2 5 (23x )2 1 2(23x )(4y ) 1 (4y )2 5 9x 2 2 24xy 1 16y 2
a
a2
ab
a
b
(23x 2 4y )2 5 (23x )2 1 2(23x )
(24y) 1 (24y )2
5 9x 2 1 24xy 1 16y 2
Figura 4.1
85
BLOQUE
4
Realizas transformaciones algebraicas I
Producto de binomios conjugados
Dos binomios son conjugados cuando tienen un término común
y los otros dos términos son simétricos.
Así, en:
a1b y a2b
22a 1 3b y 2a 1 3b
25r 1 s y 25r 2 s
El término común es:
a
es decir, el producto de dos binomios conjugados es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término. El producto de dos binomios conjugados recibe el nombre de
diferencia de cuadrados.
Ejemplos
(2x 1 3y )(2x 2 3y )
5 (2x )2 2 (3y )2 5 4x 2 2 9y 2
(25a 1 3b) (25a 2 3b)
5 (25a)2 2 (3b)2 5 25a 2 2 9b 2
(x 2 y 1 z ) (x 1 y 2 z )
5 [x 2 ( y 2 z )][x 1 (y 2 z )]
3b
5 (x )2 2 ( y 2 z )2
25r
5 x 2 2 ( y 2 2 2yz 1 z 2 )
5 x 2 2 y 2 1 2yz 2 z 2
Los simétricos son:
b y 2b
22a y
2a
Producto de dos binomios que tienen un término común
s y 2s
Sea el producto (a 1 b) (a 2 b)
Sean x 1 a y x 1 b dos binomios que tienen un término común x,
en los cuales a y b representan términos algebraicos cualesquiera.
Al efectuar la multiplicación en la forma general se tiene:
Al realizar la multiplicación en la forma general se tiene:
3
a1b
a2b
x1a
x1b
3
a2 1 ab
x2 1 ax
2 ab 2 b2
bx 1 ab
a2 2 b2
x2 1 (a 1 b)x 1 ab
Representación geométrica:
a–b
Representación geométrica:
1
2
a
b
b
bx
ab
x
x2
ax
x
a
Figura 4.2
b2
2
Figura 4.4
Por tanto,
1
a
Figura 4.3
Por tanto
(a 1 b)(a 2 b) 5 a2 2 b2
86
(x 1 a)(x 1 b) 5 x2 1 (a 1 b) x 1 ab
En otras palabras, el producto de dos binomios que tienen un término común se obtiene sumando algebraicamente el cuadrado
del término común, más el producto de este término por la suma
algebraica de los términos no comunes, más el producto de estos
dos últimos términos.
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En este producto se observa que si a es igual a b, entonces se trata
del cuadrado de un binomio, con lo cual se obtiene un trinomio
cuadrado perfecto. Si a y b son simétricos, se obtiene como producto una diferencia de cuadrados.
(23x 1 2y )3
5 (23x )3 1 3(23x )2(2y ) 1 3(23x )(2y )2 1 (2y )3
5 227x 3 1 54x 2y 2 36xy 2 1 8y 3
(25x 2 4y )3
Ejemplos
5 (25x )3 1 3(25x )2(24y) 1 3(25x )(24y )2 1
(24y )3
5 2125x 3 2 300x 2y 2 240xy 2 2 64y 3
(x 1 7)(x 2 3) 5 x 2 1 4x 2 21, pues (17) 1 (23) 5 4 y (17)
(23) 5 221
(5a 1 5)(5a 1 7) 5 25a 2 1 60a 1 35, pues (15) 1 (17) 5 12 y
(15)(17) 5 35
(x 2 9)(x 2 2) 5 x 2 2 11x 1 18, pues (29) 1 (22) 5 211 y
(29)(22) 5 18
Cubo de un binomio
Sea el binomio a 1 b, donde a y b representan términos algebraicos que pueden ser positivos o negativos.
El cubo del binomio a 1 b se puede escribir así:
(a 1 b)3 5 (a 1 b) (a 1 b) (a 1 b) 5 (a 1 b)2 (a 1 b)
Al sustituir (a 1 b)2 por su producto a2 1 2ab 1 b2 se obtiene
a 1 2ab 1 b
a1b
2
3
2
a3 1 2a2b 1 ab2
a2b 1 2ab2 1 b3
a3 1 3a2b 1 3ab2 1 b3
Por tanto,
(a 1 b)3 5 a3 1 3a2b 1 3ab2 1 b3
Es decir, el cubo de un binomio es igual a la suma algebraica del cubo
del primer término, más el triple producto del cuadrado del primero
por el segundo, más el triple producto del primero por el cuadrado
del segundo, más el cubo del segundo término.
Nota: el signo 1 de los términos del producto indica que cada
uno se considera con el signo que le corresponde de acuerdo con las leyes de los signos para la multiplicación.
5 a3 1 3(a)2(2b) 1 3(a)(2b)2 1 (2b)3
5 a3 2 3a 2b 1 3ab 2 2 b3
(x 1 2)3
La expresión
(a 1 x)n 5 an 1 nan21x 1 n(n 2 1)/2! an–2x2 1 . . . 1 n(n 2 1)
. . . (n 2 r 1 2)/(r 2 1)! an–r11xr21 1 . . . 1 xn
constituye el desarrollo del teorema del binomio o fórmula del binomio de Newton.
El símbolo n! se lee “factorial de n” y significa que:
n! 5rrrrn; así 2! 5r5 2;
3! 5rr5 6; 4! 5rrr5 24, etcétera.
El desarrollo anterior se obtiene a partir del análisis combinatorio
y se demuestra por inducción matemática. Ambos temas no corresponden a este curso, por ello únicamente se presentará una introducción a la fórmula del binomio, cuando n es un número entero y positivo, con base en resultados demostrables que se aplicarán
sin hacer la demostración correspondiente.
La fórmula del binomio nos permite escribir de manera directa los
términos del desarrollo de una potencia entera y positiva de un binomio.
Por multiplicación directa podemos obtener el desarrollo de las
potencias sucesivas del binomio a 1 b para:
(a 1 b)1 5 a 1 b
(a 1 b)2 5 a2 1 2ab 1 b2
(a 1 b)3 5 a3 1 3a2b 1 3ab2 1 b3
(a 1 b)4 5 a4 1 4a3b 1 6a2b2 1 4ab3 1 b4
(a 1 b)5 5 a5 1 5a4b 1 10a3b2 1 10a2b31 5ab4 1 b5
De acuerdo con estos desarrollos nos podemos dar una idea acerca de la ley que siguen en su formación.
Ejemplos
(a 2 b)3
Triángulo de Pascal
y binomio de Newton
5 x 3 1 3(x )2(2) 1 3(x )(2)2 1 (2)3
5 x 3 1 6x 2 1 12x 1 8
1. Si el exponente del binomio es n, hay n 1 1 términos en el
desarrollo.
2. Para cada valor de n, el desarrollo de (a 1 b)n empieza con
an y termina con bn. En cada término los exponentes de a y b
suman n.
87
BLOQUE
4
Realizas transformaciones algebraicas I
3. Las potencias de a disminuyen de 1 en 1 al pasar de cada término al siguiente. La b aparece por primera vez en el segundo
término con exponente 1 que aumenta de 1 en 1. El exponente de b siempre es una unidad menor que el número de orden
del término.
tercer término. De manera similar, a partir de este coeficiente se
3
obtiene 10 × 5 10 que es el coeficiente del cuarto término. A
3
2
partir de éste se obtiene 10 × 5 5, que es el coeficiente del quin4
to término.
4. El primer coeficiente es la unidad, el de cualquier otro término se obtiene multiplicando en el término anterior su coeficiente por el exponente de a y dividiendo ese producto entre
el número de términos anteriores al que se trata de formar.
Al aplicar lo anterior para n 5 6 y 7, se obtiene:
(a 1 b)6 5 a6 1 6a5b 1 15a4b2 1 20a3b3 1 15a2b4 1 6ab5 1 b6
(a 1 b)7 5 a7 1 7a6b 1 21a5b2 1 35a4b3 1 35a3b4 1 21a2b5
1 7ab6 1 b7
Esta última observación no parece tan evidente como las anteriores y en razón de su importancia la veremos en detalle al aplicarla
al desarrollo de (a 1 b)5.
Otra característica del desarrollo del binomio constituye cierta simetría en los coeficientes de los términos. Esta simetría se puede
apreciar al disponer los coeficientes en el siguiente orden, que se
conoce como triángulo de Pascal, para valores enteros no negativos
de n en el desarrollo de (a 1 b)n.
El coeficiente del tercer término se obtiene del segundo término
así: se multiplica el coeficiente 5 por el exponente 4 de a y el producto se divide entre 2 que es el número de términos anteriores
4
al que se quiere formar. Es decir, 5 × 5 10, el coeficiente del
2
n50
1
n51
1
n52
1
n53
1
n54
1
n56
n57
1
1
A estos números se les llama coeficientes binomiales o binómicos,
dado que en cada renglón se observa que el primer y el último elementos son 1 porque los coeficientes del primer y el último términos son iguales a 1.
Cada elemento se puede obtener como la suma de los dos que se
encuentran tanto a su izquierda como a su derecha en el renglón
superior. Así, para n 5 6, el segundo coeficiente, 6, es la suma de los
elementos 1 y 5 que se encuentran a su izquierda y su derecha en
el renglón superior; el tercer coeficiente, 15, se obtiene de la suma
de los elementos 5 y 10 del renglón superior, y así sucesivamente.
Aplicaremos lo expuesto para la obtención de algunos desarrollos.
Ejemplos
1.
Desarrolla por el teorema del binomio: (a 1 2b)4.
Como n 5 4, utilizaremos los coeficientes binomiales con las potencias correspondientes para cada término del desarrollo. Es decir,
88
4
5
6
15
21
1
3
10
6
7
2
3
1
n55
1
4
10
20
35
1
1
5
15
35
1
6
21
1
7
1
(a 1 2b)4 5 1(a)4 1 4(a)3(2b)1 1 6(a)2(2b)2 1 4(a)1(2b)3 1 1(2b)4
efectuando las potencias, se tiene:
(a 1 2b)4 5 1(a4) 1 4(a 3)(2b) 1 6(a 2)(4b 2) 1 4(a)(8b 3) 1 1(16b 4)
realizando los productos:
(a 1 2b)4 5 a4 1 8a 3b 1 24a 2b 2 1 32ab 3 1 16b 4
2.
Desarrolla por el teorema del binomio: (3a 2 2b)4.
Si procedemos de manera semejante al ejemplo anterior, se tiene:
(3a 2 2b)4 5 1(3a)4 1 4(3a)3(22b) 1 6(3a)2(22b)2 1 4(3a)(22b)3
1 1(22b)4
efectuando las potencias:
(3a 2 2b)4 5 1(81a4) 1 4(27a3)(22b) 1 6(9a 2)(4b 2) 1 4(3a)
(28b 3) 1 1(16b 4)
realizando los productos:
(3a 2 2b)2 5 81a 4 2 216a3b 1 216a 2b2 2 96ab 3 1 16b 4
Grupo Editorial Patria®
Actividad de aprendizaje
Un terreno tiene la forma de un cuadrado que mide 45 metros por lado.
Utiliza el cuadrado de un binomio para calcular su área. Expresa 45 5
40 1 5 y 45 5 50 2 5 y compara los resultados obtenidos.
Un terreno que tiene forma rectangular mide 34 metros de largo y
26 metros de ancho. Calcula su área utilizando binomios conjugados.
el cual será el coeficiente del factor común cuyas literales serán las
comunes a todos los términos del polinomio con su menor exponente. Así, en:
12x4y3 2 8x3y2 1 4x2y
El m.c.d. de los coeficientes es 4, las literales comunes con su menor exponente son x2y; por tanto, el factor común es 4x2y.
Dividiendo el polinomio entre el factor común:
En el desarrollo (x 1 y )5 , ¿cuántos términos se obtienen? ¿Cuál es la
mayor potencia de y ? ¿Cuál es la menor potencia de x ?
Factorización de un polinomio que tiene un factor común.
En la factorización x 2 2 4x 2 21 para determinar los segundos términos de los factores binomios, se buscan dos factores de ____ que
sumados den _____.
Técnicas de extracción de factor
común simple y por agrupación
Factorizar una expresión algebraica significa convertirla en el producto indicado de sus factores.
Factorización de un polinomio que tiene un factor común
Sea el polinomio ax 1 bx en el cual x es el factor común de sus
términos.
Al dividir el polinomio entre el factor común, se obtiene:
ax 1bx
5 a 1b
x
Por tanto:
ax 1 bx 5 x(a 1 b)
Ejemplos
1.
2.
12x4y3 2
8x 3 y2 1 4 x 2 y
5 3x2y2 2 2xy 1 1
2
4x y
Por tanto:
12x4y3 2 8x3y21 4x2y 5 4x2y (3x2y2 2 2xy 1 1)
En la práctica, obtener el m.c.d. de un polinomio como factor común facilita la simplificación de fracciones algebraicas.
Factorización por agrupación
Sea el polinomio
ac 1 ad 1 bc 1 bd
se observa que el factor común de los dos primeros términos es a
y el de los dos últimos es b.
Al agrupar los términos que tienen factor común se obtiene:
(ac 1 ad) 1 (bc 1 bd)
factorizando cada grupo nos queda así:
a(c 1 d) 1 b(c 1 d)
por tanto:
(ac 1 ad) 1 (bc 1 bd) 5 a(c 1 d) 1 b(c 1 d)
tomando c 1 d como factor común resulta:
(ac 1 ad) 1 (bc 1 bd) 5 (a 1 b)(c 1 d)
es decir:
Factoriza 4a 3 1 6a 2b.
Se observa que 2 y a 2 son comunes a todos los términos.
4a 3 1 6a 2b 5 2a 2 ? 2a 1 2a 2 ? 3b 5 2a 2 (2a 1 3b)
ac 1 ad 1 bc 1 bd 5 (a 1 b)(c 1 d)
Si el polinomio ac 1 ad 1 bc 1 bd se reordena, se puede escribir
así:
ac 1 bc 1 ad 1 bd
Factoriza 5a 2bx 4 2 15ab 2x 3 1 20ab 3x 4.
3
Se observa que 5, a, b y x son comunes a todos los términos.
5a 2bx 4 2 15ab 2x 3 1 20ab 3x 4 5 5abx 3 ? ax 2 5abx 3 ? 3b 1
5abx 3 ? 4b 2x
5 5abx 3(ax 2 3b 1 4b 2x)
De lo anterior se deduce que para factorizar un polinomio cuyos
términos tienen un factor común, se multiplica ese factor común
por el cociente que se obtiene al dividir el polinomio entre dicho
factor.
El factor común se puede obtener al localizar el máximo común divisor (m.c.d.) de los coeficientes de todos los términos del polinomio,
o bien:
(ac 1 bc) 1 (ad 1 bd)
de donde se obtiene:
(a 1 b)c 1 (a 1 b)d
que se puede expresar como:
(a 1 b)(c 1 d)
o sea que:
ac 1 ad 1 bc 1 bd 5 (a 1 b)(c 1 d)
En ambos casos se puede efectuar la comprobación al multiplicar
los factores indicados, o bien, dando valores a las letras.
89
BLOQUE
4
Realizas transformaciones algebraicas I
Ejemplos
1.
Factoriza 3mx 1 4my 1 3nx 1 4ny
3mx 1 4my 1 3nx 1 4ny 5 m(3x 1 4y) 1 n(3x 1 4y)
5 (m 1 n)(3x 1 4y)
2.
Factoriza ax 1 ay 2 bx 2 by
ax 1 ay 2 bx 2 by 5 a(x 1 y ) 2 b(x 1 y )
5 (a 2 b)(x 1 y)
3.
Factoriza 18x 3 1 12x 2 2 15x 2 10
18x 3 1 12x 2 2 15x 2 10 5 6x 2(3x 1 2) 2 5(3x 1 2)
5 (6x 2 25)(3x 1 2)
4.
El primer término 9x2, es el cuadrado de 3x; el tercer término 4y2,
es el cuadrado de 2y, y el segundo término 212xy, es el doble producto de 3x por 2y donde uno de estos términos es negativo.
Por tanto:
9x2 2 12xy 1 4y2 5 (3x 2 2y)2
Se sugiere al lector obtener (23x 1 2y)2.
Actividad de aprendizaje
Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto se busca la raíz cuadrada positiva de los términos cuadráticos y se relacionan con el signo del
“____________”
Factoriza m 2x 1 n 2x 1 m 2 1 n 2
m 2x 1 n 2x 1 m 2 1 n 2 5 (m 2x 1 n 2x ) 1 (m 2 1 n 2)
5 x(m 2 1 n 2) 1 (m 2 1 n 2)
5 (x 1 1)(m 2 1 n 2)
Ejemplos
1.
Técnicas de factorización basadas
en productos notables
de diferencia de cuadrados
y de trinomios cuadrados perfectos
Como se explicó antes, se llama trinomio cuadrado perfecto al producto que se obtiene al elevar un binomio al cuadrado. En consecuencia, factorizar un trinomio cuadrado perfecto significa encontrar el binomio que multiplicado por sí mismo dé como producto
el trinomio cuadrado perfecto.
Es decir, si (a 1 b) 5 a 1 2ab 1 b , entonces:
a2 1 2ab 1 b2 5 (a 1 b)2
Antes de proceder a la factorización del trinomio, se debe verificar
que es cuadrado perfecto.
Sea el trinomio:
x2 1 10x 1 25
Se observa que el primer término x2, es el cuadrado de x; el tercer
término 25, es el cuadrado de 5. Si el segundo término 1 10x es el
doble producto de x por 5, entonces el trinomio dado es cuadrado
perfecto:
2(x)(5) 5 10x
Por tanto, el binomio que elevado al cuadrado da x2 1 10x 1 25
es (x 1 5) cuyo signo es el mismo que el del segundo término del
trinomio dado.
En consecuencia:
x2 1 10x 1 25 5 (x 1 5)2
Sea el trinomio 9x2 2 12xy 1 4y2, examinemos si es cuadrado
perfecto.
2
90
2
Factoriza el trinomio x 2 1 6x 1 9
El cuadrado de x es x 2
El cuadrado de 3 es 9
2 (x )(3) 5 6x
Por tanto:
x2 1 6x 1 9 5 (x 1 3)2
2.
Factoriza el trinomio 25x 2 2 20x 1 4
El cuadrado de 5x es 25x 2
El cuadrado de 2 es 4
2 (5x )(22) 5 220x
Por tanto:
25x 2 2 20x 1 4 5 (5x 2 2)2
2
Se sugiere al lector obtener (25x 1 2)2
3.
Factoriza el trinomio x 2 1 x 1
El cuadrado de x es x 2
El cuadrado de
Por tanto:
1
1
es
2
4
1
4
1
2(x ) ⎛⎜ ⎞⎟ 5 x
⎝ 2⎠
x 2 1 x 11 ⎛ x 11 ⎞
5⎜
⎝ 2 ⎟⎠
4
2
Factorización de una diferencia
de cuadrados
Sabemos que una diferencia de cuadrados se puede obtener a través del producto de dos binomios conjugados, es decir:
Grupo Editorial Patria®
a2 2 b2 5 (a 1 b)(a 2 b)
Entonces, factorizar una diferencia de cuadrados significa buscar
dos binomios conjugados cuyo producto sea la diferencia de cuadrados dada.
c) Cuando un polinomio se puede expresar como una diferencia
de cuadrados reordenando sus términos, como en:
x 2 1 2xy 1 y 2 2 25z 2 5 (x 1 y )2 2 25z 2
5 [(x 1 y ) 1 5z ][(x 1 y ) 2 5z ]
Actividad de aprendizaje
5 (x 1 y 1 5z )(x 1 y 2 5z )
d) Cuando un polinomio se puede expresar como una diferencia
de cuadrados mediante el artificio de sumar y restar el mismo
término. Por ejemplo: en x 4 1 x 2y 2 1 y 4 se observa que si el
segundo término fuera 2x 2y 2 se tendría un trinomio cuadrado
perfecto factorizado por (x 2 1 y 2)2. Si se agrega y se quita al
polinomio el término x 2y 2, se obtiene:
Al factorizar una diferencia de cuadrados se obtienen dos binomios conjugados en el que uno es _______________ y el otro es
_________________ de las raíces.
Ejemplos
x 4 1 x 2y 2 1 y 4 5 x 4 1 2x 2y 2 1 y 4 2 x 2y 2
Factoriza la expresión 9x 2 2 16y 2. El primer término 9x 2, es el cuadrado de 3x, término común de los dos binomios conjugados que se
buscan. El segundo término 216y 2, es el producto de 4y por 24y,
términos simétricos de los binomios conjugados que se buscan.
5 (x 2 1 y 2)2 2 x 2y 2
5 (x 2 1 y 2 1 xy )(x 2 1 y 2 2 xy )
Por tanto:
x 4 1 x 2y 2 1 y 4 5 (x 2 1 xy 1 y 2)(x 2 2 xy 1 y 2)
Por tanto:
9x 2 2 16y 2 5 (3x 1 4y )(3x 2 4y )
A continuación se describe otra forma de determinar los binomios conjugados.
Factorización de la suma y diferencia de cubos
El cociente de a3 1 b3 entre a 1 b es:
a 3 1b 3
5 a2 2 ab 1 b2
a 1b
Obtén la raíz cuadrada principal (o positiva) de los términos cuadráticos:
1 9 x 2 5 3x
1 16 y 2 5 4y
Los binomios conjugados se forman con la suma y la diferencia de las
raíces, es decir:
(3x 1 4y ) y (3x 2 4y )
entonces:
9x 2 2 16y 2 5 (3x 1 4y )(3x 2 4y )
Los casos especiales de la factorización de una diferencia de cuadrados son:
entonces
a3 1 b3 5 (a 1 b)(a2 2 ab 1 b2)
De manera semejante:
a3 2 b3 5 (a 2 b)(a2 1 ab 1 b2)
Ejemplos
1.
27x 3 1 y 3 5 (3x )3 1 y 3
a) Cuando uno de los binomios conjugados es una diferencia de
cuadrados es necesario continuar la factorización.
Así, en la factorización de x 8 2 y 8 se obtiene:
Factoriza 27x 3 1 y 3
5 (3x 1 y )(9x 2 2 3xy 1 y 2)
2.
Factoriza 27x 3 2 8y 3
27x 3 2 8y 3 5 (3x )3 2 (2y )3
x 8 2 y 8 5 (x 4 1 y 4)(x4 2 y 4)
5 (3x 2 2y )(9x 2 1 6xy 1 4y 2)
5 (x 4 1 y 4)(x 2 1 y 2)(x 2 2 y 2)
5 (x 4 1 y 4)(x 2 1 y 2)(x 1 y )(x 2 y )
b) Cuando los cuadrados son polinomios, como en x4 2 (m 2
n)2, se considera (m 2 n) como un monomio y se factoriza de
la siguiente forma:
x 4 2 (m 2 n)2 5 [x 2 1 (m 2 n )][x 2 2 (m 2 n )]
5 (x 2 1 m 2 n )(x 2 2 m 1 n )
3.
Factoriza x 6 1 y 6
x 6 1 y 6 5 (x 2)3 1 (y 2)3
5 (x 2 1 y 2)(x4 2 x 2y 2 1 y 4)
4.
Factoriza x 9 2 y 12
x 9 2 y 12 5 (x 3)3 2 (y 4)3
5 (x 3 2 y 4)(x 6 1 x 3 y 4 1 y 8)
91
BLOQUE
4
Realizas transformaciones algebraicas I
Instrumentos de evaluación
Apellido paterno
Apellido materno
Nombre
Grupo
Asegúrate de haber adquirido los contenidos que se abordan en el Bloque 4. Para ello, realiza lo que se te pide a continuación.
1. Determina P (x ) 2 Q (x )
5. Determina el producto (1 2 z )3 sin efectuar la operación.
P (x ) 3x 4 + x 3 + 7 x 2 − 2 x − 6
Q (x ) 5 − 2 x 4 − 3x 3 − 2 x 2 + 6 x + 3
2. Determina el producto [(a 1 b) 1 c]2 sin efectuar la operación.
6. Desarrolla por el teorema del binomio (x 2 2y )6.
3. Determina el producto (x 1 y 2 3)(x 2 y 1 3) sin efectuar la
operación.
7. Factoriza la expresión r 4 1 r 3s 2 r 2s 2.
4. Determina el producto (3x 1 7)(3x 2 19) sin efectuar la operación.
92
8. Factoriza la expresión x 3 1 x 2y 1 x 1 y.
Grupo Editorial Patria®
9. Factoriza la expresión 9a 2b 4 2 25a 4b 6.
14. Determina el producto (2x 1 3y )3, sin efectuar la operación.
10. Factoriza la expresión (x 1 y )3 1 512(m 1 n )3.
11. Desarrollar por el sistema de Newton (3m 1 n 2)5.
15. Determina el producto (3x 2 1 4) (3x 2 2 5) sin efectuar la
operación.
12. Determina el producto (x 2 y 1 1) ((x 2 y 2 1).
16. Determina el producto (7a 2 3b) (7a 1 9b) sin efectuar la
operación.
13. Efectúa la división
x 3 2 2 x 2 1 96
y comprueba el resultado.
x 14
93
BLOQUE
4
Realizas transformaciones algebraicas I
Lista de cotejo
Lista de cotejo para el reporte sobre la población de la comunidad del Bloque 4.
Nombre del alumno:
Presentación
Criterio
1. Cuenta con una carátula que incluye: el nombre del trabajo que
se realiza, la materia, fecha de entrega, nombre del alumno y
su matrícula.
2. Tiene una redacción que es adecuada y clara.
3. Tiene buena ortografía o con errores mínimos.
4. El trabajo se elabora en computadora o manuscrito con letra
legible.
5. Las gráficas o dibujos auxiliares se elaboran de un tamaño
adecuado de modo que se puedan apreciar con claridad los
datos obtenidos o las condiciones del problema.
6. Se presenta todo el procedimiento necesario para obtener
los datos o solución que se pide con la justificación
correspondiente.
Desarrollo
7. En el procedimiento se desarrolla una secuencia lógica y
coherente.
8. Se hace referencia a las gráficas o diagramas auxiliares para
apoyar la argumentación del escrito.
9. Se hace la referencia bibliográfica de las notas, definiciones
o conceptos consultados para sustentar teóricamente las
acciones realizadas.
Conclusiones
Dominio del
tema
10. La investigación se realiza con apoyo en libros y revistas
actualizadas sobre el tema o bien en sitios web cuya
información sea científicamente válida. De incluir citas
textuales, éstas deben ser breves y con la referencia de la
fuente.
94
11. Investiga y obtiene los datos que se piden sobre la población
de su comunidad.
12. Investiga y obtiene los datos que se piden sobre los alumnos
de su escuela.
13. Investiga y obtiene los datos que se piden sobre la población
del país.
14. Representa gráficamente la evolución de la población de su
comunidad.
15. Representa gráficamente la evolución de la población de
alumnos de su escuela.
16. Representa gráficamente la evolución de la población del país.
cumple
sí
no
Observaciones
Grupo Editorial Patria®
Rúbrica para evaluar el conocimiento adquirido
Indicaciones:
Esta rúbrica es para valorar el desempeño de los estudiantes sobre los contenidos del bloque 4.
Nombre del alumno:
Excelente
(4)
Bueno
(3)
Regular
(2)
Deficiente
(1)
Operaciones
de suma, resta,
multiplicación
y división de
polinomios en una
variable
Realiza las operaciones de
suma, resta, multiplicación
y división de polinomios en
una variable.
Realiza las operaciones de
suma, resta y multiplicación
de polinomios en una
variable.
Realiza las operaciones de
suma y resta de polinomios
en una variable.
No realiza las operaciones
de suma, resta,
multiplicación o división de
polinomios en una variable.
Producto de binomios
aplicando patrones
de productos
notables
Aplica patrones de
productos notables para
obtener el cuadrado de
un binomio, el producto de
binomios conjugados, el
producto de dos binomios
que tienen un término
común y el cubo de un
binomio. Aplica el triángulo
de Pascal y el binomio de
Newton.
Aplica patrones de
productos notables para
obtener el cuadrado de
un binomio, el producto de
binomios conjugados, el
producto de dos binomios
que tienen un término
común. Aplica, en la
mayoría de los casos, el
triángulo de Pascal y el
binomio de Newton.
Aplica patrones de
productos notables para
obtener el cuadrado de
un binomio, el producto
de binomios conjugados.
Aplica, en algunos casos,
el triángulo de Pascal y el
binomio de Newton.
No aplica patrones de
productos notables para
obtener el cuadrado de
un binomio, el producto de
binomios conjugados, el
producto de dos binomios
que tienen un término
común o el cubo de un
binomio. No aplica el
triángulo de Pascal ni el
binomio de Newton.
Técnicas de
extracción de factor
común simple y por
agrupación
Factoriza un polinomio
que tiene un factor común.
Factoriza un polinomio por
agrupación.
Factoriza un polinomio
que tiene un factor común.
Factoriza, en la mayoría de
los casos, un polinomio por
agrupación.
Factoriza un polinomio
que tiene un factor común.
Factoriza, en algunos
casos, un polinomio por
agrupación.
No factoriza un polinomio
que tiene un factor común.
No factoriza un polinomio
por agrupación.
Factorización
de diferencia de
cuadrados y trinomio
cuadrado perfecto
Factoriza una diferencia de
cuadrados. Factoriza una
suma o diferencia de cubos.
Factoriza una diferencia de
cuadrados. Factoriza, en la
mayoría de los casos, una
suma o diferencia de cubos.
Factoriza una diferencia de
cuadrados. Factoriza, en
algunos casos, una suma o
diferencia de cubos.
No factoriza una diferencia
de cuadrados. No factoriza
una suma o diferencia de
cubos.
Aspecto a evaluar
Criterios
Comentarios Generales
95
Realizas transformaciones algebraicas II
5
B LO Q U E
Objetos de
aprendizaje
5.1 Representación de
relaciones entre
magnitudes.
5.2 Modelos aritméticos o
algebraicos.
Competencias a desarrollar
„
Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de
procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos, variacionales, para la
comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.
„
Formula y resuelve problemas matemáticos aplicando diferentes enfoques.
„
Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos
matemáticos y los contrasta con modelos establecidos en situaciones reales.
„
Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural
para determinar o estimar su comportamiento.
„
Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos
y científicos.
„
Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera
reflexiva.
¿Qué sabes hacer ahora?
1.
Factoriza las expresiones siguientes:
x 2 1 5x 1 6
x 2 1 5x 2 14
2x 2 1 5x 1 3
15x 2 1 14x 2 8
Simplifica la siguiente fracción:
2.
3.
5a 2 x 2
10a 3 y 3
Reduce al menor común denominador:
1
2
3
,
,
x 1 y x 2 y x2 2 y2
Reduce a forma mixta las siguientes fracciones:
4.
3x 1 4
x13
4m2
2 m 2 7n
Reduce a una sola fracción y simplifica:
5.
2x 1
3 2 2x
5
1 2 x 1 x2 2
x3
11 x
Desempeños por alcanzar
Reconoce trinomios que no son cuadrados perfectos de la forma x ² 1 bx 1 c y
ax ² 1 bx 1 c con a Z 0, 1 como un producto de factores lineales y polinomios
que requieren combinar técnicas.
Expresa trinomios de la forma x ² 1 bx 1 c y ax ² 1 bx 1 c como un producto de
factores lineales.
Identifica expresiones racionales con factores comunes y no comunes susceptibles
de ser simplificadas.
Utiliza varias técnicas de transformación para descomponer un polinomio en varios
factores.
Reconoce expresiones racionales en forma simplificada a partir de factores
comunes y la división de polinomios.
Obtiene factores comunes factorizando con las técnicas aprendidas y reduce éstos.
Escribe expresiones racionales de forma simplificada utilizando factores comunes
y la división de polinomios.
Soluciona problemas aritméticos y algebraicos.
BLOQUE
5
Realizas transformaciones algebraicas II
Situación didáctica
¿Cómo lo resolverías?
Expresa x2 1 5x 2 36 como el producto de dos factores binomios.
Secuencia didáctica
Forma equipos para resolver el problema.
Que cada equipo represente mediante dibujos las condiciones del
problema.
Presenta los resultados en plenaria y analizar las formas de resolver
el problema.
Cada equipo debe investigar:
¿Cómo se reconoce un trinomio cuadrado perfecto?
¿Qué tienes que hacer?
Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es
preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a
cabo las rectificaciones que procedan.
Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto a las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de
asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje.
¿Cómo se reconoce un trinomio que no es cuadrado perfecto?
Evaluación por producto
¿Cómo se factoriza un trinomio que no es cuadrado perfecto?
A fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito
de manera muy clara.
Trabajo individual
En este ejemplo:
Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios.
Producto a elaborar
Factorización de un trinomio.
Rúbrica
Para determinar la factorización del trinomio que se pide se deben
anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos
tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las fuentes consultadas, etc. La descripción del procedimiento
por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase,
2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello
suma un total de 10 puntos.
Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes.
98
¿Cómo sabes que lo hiciste bien?
Grupo Editorial Patria®
Situación didáctica
¿Cómo lo resolverías?
Factoriza 9x2 2 24x 1 16.
Secuencia didáctica
Forma equipos para resolver el problema.
Que cada equipo represente mediante dibujos las condiciones del
problema.
Presenta los resultados en plenaria y analizar las formas de resolver
el problema.
Cada equipo debe investigar:
¿Cómo se reconoce un trinomio cuadrado perfecto?
¿Cómo se determina el signo de la suma algebraica que representa
el binomio?
¿Cómo se obtiene el término central a partir de los términos cuadrático e independiente?
Trabajo individual
¿Qué tienes que hacer?
Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es
preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a
cabo las rectificaciones que procedan.
Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto a las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de
asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje.
Evaluación por producto
A fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito
de manera muy clara.
En este ejemplo:
Producto a elaborar
Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios.
Rúbrica
Factorización de un trinomio cuadrado perfecto.
¿Cómo sabes que lo hiciste bien?
Para determinar la factorización del trinomio cuadrado perfecto que se pide se deben anexar los conceptos investigados y los
cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica
con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación,
el esfuerzo realizado, la forma, las fuentes consultadas, etc. La descripción del procedimiento por escrito tiene un valor de 3 puntos y
la presentación en clase, 2 puntos de tu calificación de la actividad
que se evalúa. Todo ello suma un total de 10 puntos.
Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes.
99
BLOQUE
5
Realizas transformaciones algebraicas II
Situación didáctica
¿Cómo lo resolverías?
Simplifica x2 1 mx 1 n.
Secuencia didáctica
Forma equipos para resolver el problema.
Que cada equipo represente mediante dibujos las condiciones del
problema.
Presenta los resultados en plenaria y analizar las formas de resolver
el problema.
Cada equipo debe investigar:
¿Qué significa simplificar una fracción algebraica?
¿Qué productos notables y sus respectivas factorizaciones puede
utilizar?
¿Qué condiciones se deben cumplir para cancelar factores en el numerador y denominador de la fracción?
¿Qué tienes que hacer?
Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es
preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a
cabo las rectificaciones que procedan.
Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto a las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de
asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje.
Evaluación por producto
A fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito
de manera muy clara.
En este ejemplo:
Trabajo individual
Producto a elaborar
Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios.
Simplificación de una fracción algebraica.
Rúbrica
Para determinar la simplificación de la fracción algebraica que se
pide se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en
el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo
realizado, la forma, las fuentes consultadas, etc. La descripción del
procedimiento por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase, 2 puntos de tu calificación de la actividad que se
evalúa. Todo ello suma un total de 10 puntos.
Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes.
100
¿Cómo sabes que lo hiciste bien?
Grupo Editorial Patria®
Propuestas de diseño
para situaciones didácticas
11.
x24
2
x 2 7 x 1 12
16.
6 x 2 2 5x 2 4
6 x 2 1 x 2 12
Parte I
12.
x3 2 y3
2
2 x 2 3xy 1 y 2
17.
6 x 2 2 5x 2 4
12 2 x 2 6 x 2
13.
4 x 4 2 28 x 3 1 48 x 2
2 x4 2 8x3 1 6 x2
18.
2 x 2 1 13x 1 21
2 x 2 1 10 x 1 12
14.
4 x2 2 7x 1 3
5 x 2 2 3x 2 2
19.
5x 3 2 4 x 2 1 x 2 2
5 x 3 1 6 x 2 1 3x 1 2
15.
x3 1 2 x2 1 2 x 1 1
x 3 1 3x 2 1 3x 1 2
20.
x3 1 2 x2 1 2 x 11
x 3 1 3x 2 1 3x 1 2
Factoriza las expresiones siguientes.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
x2 1 5x 1 6
x2 2 5x 1 6
x2 1 x 2 6
x2 2 x 2 6
x2 1 5x 2 36
x2 2 9x 2 36
x2 1 13x 1 36
x2 1 5x 1 14
x2 2 13x 1 40
m2 2 2m 2 15
x2 1 5x 2 14
x2 1 5x 2 6
x2 1 2x 2 3
x2 2 2x 2 3
x2 2 x 2 20
x2 1 x 2 20
x2 1 2x 2 24
x2 1 3x 2 28
x2 1 3x 2 10
x2 1 7x 1 10
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
Parte II
Factoriza las expresiones siguientes.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
2x2 1 5x 1 3
5y2 2 8y 1 3
4x2 1 12x 1 3
8x2 2 10x 1 3
2x2 1 7x 1 3
12x2 2 7x 1 1
3x2 1 4x 2 4
3x2 2 x 2 2
4x2 1 16x 1 7
6x2 2 x 2 2
15x2 1 14x 2 8
12x2 2 5x 2 2
6x2 1 7x 1 2
3x2 2 4x 2 5
3x2 1 4x 2 4
4x2 2 4x 2 3
4x2 1 11x 2 3
5x2 2 8x 1 3
6x2 1 17x 1 12
12x2 2 x 2 1
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
Parte III
B) Reduce al menor común denominador.
1. 5,
2.
1
1
,
x2 y x1 y
3.
m
n
,
x1 y x2 y
4.
x
x
,
x13 x23
5.
a 1b
a 2b
,
a 2 b a2 1 a b 1 b2
6.
1
2
3
,
,
x 1 y x 2 y x2 2 y2
7.
xy 2 x xy 1 x
,
y 11
y 21
8.
a 2b
a
a1b
,
,
b 2 a (a 1 b)2 a 2 2 b 2
1
5m
2n
,
, 2
3
y 2 x x 1 xy 1 y 2
x 2y
A) Simplifica las siguientes fracciones.
a2b
2b 2 2 a
5a 2 x 2
1.
10a 3 y 3
6.
50 x 8 y 9 z 2
2.
75 x10 y10 z
x2 y
7. 2
y 2 x2
9.
10.
3.
a 21
a2 2 1
8.
x 2y
y3 2 x3
4.
a 1b
a3 1 b3
9.
x4 2 y4
x6 2 y6
2
3
5.
m 2 1 2mn 1 n2
m 2 2 n2
10.
2
x4 2 y4
y6 2 x6
a
b
3
3x
2
x3
,
,
3x 3 2 21x 2 x 2 2 5 x 2 14 x 3 2 343
C) Reduce a forma mixta las siguientes fracciones.
1.
3x 1 4
x13
2.
4m2
2 m 2 7n
101
BLOQUE
5
Realizas transformaciones algebraicas II
3.
x 1 3xy 1 y
x1 y
4.
x 2 2 3xy 2 y 2
x2 y
2
Si la gente no piensa que las matemáticas son simples, es sólo porque no se dan
cuenta de lo complicado que es la vida.
2
John Von Neumann
Introducción
Se trata lo relacionado con la factorización de trinomios de las formas x 2 + mx + n y ax 2 + bx + c
2
5. 6 x 2 18 x 1 5
3x 2 4
Para terminar el bloque, se desarrolla el tema de simplificación de
fracciones algebraicas en la que tienen aplicación los conceptos
antes estudiados.
x3
6.
x1 y
7.
x 2 1 4 yx 1 y 2
x1 y
8.
m 2 2 13mn 1 4n2
m2n
9.
15 x 3 1 6 x 2 2 3x 2 8
3x 2 5
5.1 Representación de
relaciones entre magnitudes
Trinomios que no son cuadrados
perfectos, como productos de
factores lineales
Sabemos que dos binomios que tienen un término común como
(x 1 a) y (x 1 b) dan el producto:
1 2 x 1 5x 2 5
4x 11
2
10.
(x 1 a) (x 1 b) 5 x2 1 (a 1 b)x 1 ab
D) Reduce a una sola fracción y simplifica.
1. 2 x 1
3 2 2x
5
7x 1 4
3x
x
3. x 2
x 21
Actividad de aprendizaje
4 y2
4. x 1 2 y 1
x 22y
2
6. 1 2 x 1 x 2 2
x3
11 x
7. 1 1 x 1 x 2 1
x3
12 x
8. x 4 2 x 3 1 x 2 2 x 1 1 2
2
Factoriza x + 13x + 36 .
Describe el proceso que realizaste para llegar al resultado correcto.
2
x 11
4 2 2 x 1 x2
222 x
21x
10. 1 2 2 x 1 x 2 1
102
2
En un trinomio de la forma x + mx + n , ¿qué representan m y n?
a 2b
a 1 2b
2
9.
x2 1 mx 1 n 5 (x 1 a)(x 1 b)
Esto significa que el trinomio x2 1 mx 1 n se puede factorizar
como el producto de dos factores binomios tales que su primer
término es x, sus segundos términos son dos números cuya suma
algebraica es m y cuyo producto es n.
2. 5 x 1
5. a 1 b 2
Si se sustituye (a 1 b) por m y ab por n, se puede escribir:
1 2 x4
1 1 2 x 1 x2
Ejemplos
1.
Factoriza la expresión x 2 1 8x 1 15.
El producto 1 15 indica que los factores tienen el mismo signo y
como la suma es 1 8, entonces los dos son positivos.
Grupo Editorial Patria®
5 2x (2x 1 3) 1 (2x 1 3)
Los factores de 15 son 15 por 1 y 3 por 5. Estos dos últimos son
los buscados, porque su suma es 3 1 5 5 8.
Si se toma 2x 1 3 como factor común, se obtiene:
4x 2 1 8x 1 3 5 (2x 1 1)(2x 1 3)
Por tanto:
x 1 8x 1 15 5 (x 1 3)(x 1 5)
2
2.
Como el producto es positivo, los factores tienen el mismo signo.
Para que la suma sea negativa, los dos deben ser negativos.
Factores de 15 son (15)(1), (215)(21), (3)(5) y (23)(25). Factores de 115 que sumados dan 28 son 23 y 25. Por tanto:
Factoriza la expresión 6x 2 1 5x 2 4.
En este caso se deben buscar dos números cuyo producto sea
224 y cuya suma sea 15.
El producto es negativo, por tanto, los factores tienen diferente
signo. Los factores de 210 que sumados dan 13 son 15 y 22.
Por consiguiente:
Los factores de 224 son 24 3 (21), 12 3 (22), 8 3 (23) y 6
3 (24). Los únicos factores cuya suma es 15 son 8 y 23. Con
estos números, el polinomio se escribe así:
6x 2 1 5x 2 4 5 6x 2 1 8x 2 3x 2 4
Factoriza la expresión x 2 2 3x 2 10.
5 (6x 2 1 8x) 2 (3x 1 4)
El producto es negativo, por tanto, los factores tienen diferente
signo. Los factores de 210 que sumados dan 23 son 25 y 12.
En consecuencia:
5 2x (3x 1 4) 2 (3x 1 4)
x 2 2 3x 2 10 5 (x 2 5)(x 1 2)
Factorización de un trinomio de la
forma ax 2 1 bx 1 c
La forma más general del trinomio de segundo grado es ax2 1 bx
1 c. Para factorizar esta expresión se puede recurrir a un procedimiento que consiste en ensayar con diferentes pares de binomios,
lo cual a veces resulta laborioso.
Un procedimiento abreviado que es comprobable a través de la
multiplicación de los factores binomios obtenidos, se expone a
continuación.
Ejemplos
1.
2.
Factoriza la expresión x 2 1 3x 2 10.
x 2 1 3x 2 10 5 (x 1 5)(x 2 2)
4.
(2x 1 1)(2x 1 3) 5 4x 2 1 6x 1 2x 1 3 5 4x 2 1 8x 1 3
El que su producto sea negativo significa que sus factores tienen
signo diferente, y para que la suma sea positiva se requiere que
el factor con mayor valor absoluto sea positivo.
x 2 2 8x 1 15 5 (x 2 3)(x 2 5)
3.
Comprobación:
Factoriza la expresión x 2 2 8x 1 15.
Factoriza la expresión 4x 2 1 8x 1 3.
En este caso, el procedimiento consiste en buscar dos números
cuyo producto sea 12 y cuya suma sea 8.
Como el producto y la suma son positivos, los dos números buscados también son positivos.
Los factores de 12 son 12 × 1, 6 × 2 y 3 × 4. Los únicos factores
cuya suma es 8 son 6 y 2. Con estos números, el polinomio se
escribe así:
4x 2 1 8x 1 3 5 4x 2 1 6x 1 2x 1 3
5 (4x 2 1 6x ) 1 (2x 1 3)
Si se toma a 3x 1 4 como factor común, resulta:
6x 2 1 5x 2 4 5 (2x 2 1)(3x 1 4)
Comprobación:
(2x 2 1)(3x 1 4) 5 6x 2 1 8x 2 3x 2 4 5 6x 2 1 5x 2 4
5.2 Modelos aritméticos o
algebraicos
Expresiones racionales con factores
comunes y no comunes, susceptibles
de ser simplificadas
Recibe el nombre de fracción algebraica toda expresión de la fora
ma (a entre b) en la que a, b o ambas son expresiones literales.
b
y
n
5
Por ejemplo: , m 1 2 n, x 1 son fracciones algebraicas.
m
3
a
La simplificación de fracciones algebraicas comprende principalmente las siguientes transformaciones:
a) Simplificación de fracciones.
b) Reducción de fracciones a un común denominador.
c) Reducción de fracciones a forma mixta y viceversa.
Simplificación de fracciones
a
Sea la fracción algebraica cuyo cociente es c, es decir:
b
a
5c
b
103
BLOQUE
5
Realizas transformaciones algebraicas II
donde el dividendo es igual al producto del cociente por el divisor,
o sea:
a 5 cb
multiplicando la igualdad por m resulta:
am 5 cbm
si se considera am como dividendo, bm como divisor y c como cociente, se obtiene:
am
a
am
5
5 c o sea
bm
b
bm
De manera semejante se puede obtener:
a 4m
a 4m
1
5 c o sea a :
5
a
b 4m
b 4m
Lo anterior también se puede expresar así: el valor de una fracción
no se altera si tanto el numerador como el denominador se multiplican por el mismo factor o se dividen entre el mismo divisor (no
nulo).
Por ejemplo:
a 4n
an
a
5
5 ;
b 4n
bn
b
a 1b
a 1b
1
5
2
2 5
a 2a
(a 1b)(aa 2b) a 2b
Las fracciones así obtenidas reciben el nombre de equivalentes porque representan el mismo valor.
Actividad de aprendizaje
En la simplificación de fracciones algebraicas, ¿en qué consiste la
transformación de reducción a un común denominador? _______
a+b
Simplifica la fracción 3 3 , menciona qué errores tuviste antes de
obtener el resultado. a + b
1835) y fue nombrado Astrónomo real (1835-1881), además, fungió
como director del observatorio de dicha institución. También colaboró en
el observatorio de Greenwich, al cual reorganizó y actualizó en aparatos.
George Airy trató de calcular el peso de la Tierra y analizó la posible desviación de la brújula por los efectos del casco de hierro de las
embarcaciones, además calculó diversas elipses y propuso una teoría
completa sobre la formación del arco iris.
Airy se adentró en temas especializados como la física matemática
y la matemática aplicada a los cálculos astronómicos, aportando a la
posteridad el “disco de Airy”.
Es conocido, principalmente, por no reconocer la importancia de los cálculos
de John Couch Adams para el descubrimiento del planeta Neptuno.
Por otra parte, bautizaron en su honor los cráteres Airy, los cuales se
encuentran en la Luna y en Marte. Además, las funciones de Airy toman su nombre gracias a los trabajos realizados en la ecuación también nombrada como él.
Se convirtió en el tipo de científico excesivamente práctico, obsesionado por los cálculos matemáticos complejos y da poca importancia a las
ideas científicas en general.
Expresiones racionales en forma
simplificada a partir de los factores
comunes y la división de polinomios
Una fracción se reduce a su más simple expresión cuando el numerador y el denominador son primos entre sí, esto se logra al dividirlos entre sus factores comunes o bien entre sus máximos comunes
divisores (m.c.d.).
Si la reducción se hace por factorización, los factores comunes se van
cancelando hasta que el numerador y el denominador de la fracción
son primos entre sí. A este proceso se le llama simplificación.
Ejemplos
Para tu reflexión
1.
Airy, George Biddell
(1801-1892)
Astrónomo y matemático inglés que dedicó
sus investigaciones a la comprobación de la
ley de la gravedad de Newton a través de
observaciones con un péndulo dentro de
una mina. Trabajó como profesor de
astronomía en Cambridge (1826-
104
Simplifica
8a 2 b 3 c 4
12a 4 b 3 c 2
Si el numerador y el denominador de la fracción se expresan exhibiendo sus factores comunes, se escribe:
2 ? 4 ? a2 ? b3 ? c2 ? c2
3 ? 4 ? a 2 ? a 2 ? b 3 ? c2
cancelando los términos comunes con diagonales:
2 ⋅ 4/ ⋅ a/ 2 ⋅ b/ 3 ⋅ c/ 2 ⋅ c 2
3 ⋅ 4/ ⋅ a/ 2 ⋅ a 2 ⋅ b/ 3 ⋅ c/ 2
Grupo Editorial Patria®
Ejemplos
nos queda como resultado:
2c 2
3a 2
a 3 2b 3
2. Simplifica 4
a 2b 4
1.
(b 2 a)(c 2 d ) (b 2 a)(d 2 c )
5
(m 2 n)(q 2 p) (n 2 m)(q 2 p)
a 3 2b 3
(a 2b)((a 2 1 ab 1b 2 )
4
4 5
a 2b
(a 2b)(a 1b)(a 2 1b 2 )
5
2.
a 1 ab 1b
(a 1b)(a 2 1b 2 )
2
(a 2b)(c 2 d ) (a 2b)(c 2 d )
5
5
(m 2 n)( p 2 q) (n 2 m)(q 2 p)
2
(a 2b)(c 2 d ) (b 2 a)(c 2 d )
5
5
(m 2 n)( p 2 q) (n 2 m)(q 2 p)
(a 2b)(d 2 c ) (b 2 a)(c 2 d )
5
(m 2 n)( p 2 q) (m 2 n)( p 2 q)
3x 3 1 5 x 2 1 4 x 1 2
3. Simplifica
3x 3 2 x 2 2 2
Reducción de fracciones a un común denominador
En este caso se recurre a un procedimiento que se utiliza con frecuencia en las fracciones algebraicas.
Si se resta el denominador del numerador se obtiene 6x 1 4x 1
4 que debe contener los factores comunes de ambos, ya que todo
divisor común de dos expresiones es divisor de su diferencia.
Dos o más fracciones tienen un común denominador cuando es el
mismo para todas.
Así:
2
La diferencia 6x2 1 4x 1 4 se puede escribir 2(3x2 1 2x 1 2),
donde se observa que el 2 no es factor común. Probando con
3x2 1 2x 1 2 se encuentra que divide al numerador y al denominador de la fracción y sus respectivos cocientes son x 1 1 y x 2 1,
de manera que:
x 11
3x 3 1 5 x 2 1 4 x 1 2 ( x 11)(3x 2 1 2 x 1 2)
5
5
3
2
2
x 21
3x 2 x 2 2
( x 21)(3x 1 2 x 1 2)
p q 2r
, ,
m m m
tienen a m como común denominador.
Actividad de aprendizaje
Si dos fracciones simplificadas tienen diferente denominador, ¿cómo
se obtiene el denominador común?
Explícalo y argumenta tu respuesta.
Por las leyes de los signos de la división se sabe que:
a
2a 2a
a
52
52
5
2b
b
2b
b
Esto significa que el valor de una fracción no se altera si se cambian
los signos tanto del numerador como del denominador, pero si se
cambia sólo uno de ellos, el signo de la fracción se altera.
Por ejemplo:
x2 y
y2x
x2
2y
y2x
5
52
52
m 2n
m 2n
n 2m n 2m
Como consecuencia de lo anterior, se observa que cuando el numerador y el denominador tienen varios factores comunes se puede cambiar el signo de un número par de ellos sin que se modifique
el signo de la fracción. En caso de que se cambie el signo de un número impar de factores, se altera el signo de la fracción.
El menor común denominador de dos o más fracciones es el común denominador de menor grado posible.
Las fracciones:
( x 1 y)2
x 2 13xy 1 2 y 2
y
x 2 2 y2
x 2 2 y2
tienen como común denominador (x2 2 y2) que no es el menor,
ya que las dos fracciones se pueden simplificar en las fracciones
equivalentes:
x1 y
x 12 y
y
x2 y
x2 y
por lo que x 2 y es el menor común denominador.
105
BLOQUE
5
Realizas transformaciones algebraicas II
Cuando dos o más fracciones están simplificadas y se quiere encontrar el menor común denominador, es necesario multiplicar tanto
el numerador como el denominador de cada una por una misma
cantidad. Dicha cantidad debe ser múltiplo común de los denominadores primitivos de las fracciones, esto significa que el menor común denominador de varias fracciones es el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los denominadores de las fracciones.
Este tipo de fracciones se obtiene a partir de divisiones donde el
dividendo no es múltiplo del divisor, es decir, queda un residuo,
por lo que el resultado tiene forma mixta.
Así, para reducir:
Actividad de aprendizaje
p r x
, ,
q s y
al menor común denominador, el numerador y denominador de
la primera se multiplican por sy, los de la segunda por qy y los de la
tercera por qs, con lo cual se transforman en:
psy rqy xqs
,
,
qsy sqy yqs
Por ejemplo:
x1
m
n
y x1
¿En qué caso la simplificación de una fracción algebraica se expresa
en forma mixta?
¿Por qué?
donde el numerador y el denominador de cada fracción original
se han multiplicado por el producto de los denominadores de las
demás fracciones.
Ejemplos
Antes de hallar el menor común denominador de varias fracciones
es conveniente que primero se simplifiquen.
Reduce a forma mixta la fracción
Así, en:
x2 y
x
y
2
2
2
2 x 13xy 1 y 2
x 13xy 1 2 y
los denominadores se pueden escribir así:
por lo que el menor común denominador es:
(x 1 y)(x 1 2y)(2x 1 y)
entonces el numerador y el denominador de la primera fracción se
deben multiplicar por (2x 1 y) y en la segunda por (x 1 2y), con
lo cual las fracciones quedan de la siguiente forma:
x2 y
( x 2 y)(2 x 1 y)
2 5
x 13xy 1 2 y
( x 1 y)( x 1 2 y)(2 x 1 y)
6x 2 218 x 1 5
3x 2 4
La división da como cociente 2x 2 3 con el residuo 2x 2 7, por lo
que el resultado es:
2x 2 3 1
2x 2 7
3x 2 4
2x 2 3 2
x 17
3x 2 4
o bien:
x2 1 3xy 1 2y2 5 (x 1 y)(x 1 2y)
2x2 1 3xy 1 y2 5 (x 1 y)(2x 1 y)
m 2n
p2q
donde esta última expresión es la común.
El procedimiento inverso para transformar una expresión mixta en
fraccionaria consiste en multiplicar el denominador de la fracción
por la parte entera, después se suma algebraicamente el producto
obtenido con el numerador de la fracción y a este resultado se le
agrega el denominador de la fracción.
2
x( x 1 2 y)
x
5
( x 1 y) (2 x 1 y) ( x 1 y)(2 x 1 y)( x 1 2 y)
Si se trata de dos fracciones simplificadas con diferente denominador el menor común denominador es el producto de sus denominadores.
Reducción de fracciones a forma mixta y viceversa
Se llama expresión mixta a la suma algebraica de una expresión entera y una fraccionaria.
106
Ejemplos
(a 1 x )(a 1 x )2(2ax 2 x 2 )
2ax 2 x 2
a1x2
5
a1x
a1x
a 2 1 2ax 1 x 2 2 2ax 1 x 2
5
a1x
a2 22x 2
5
a1x
Grupo Editorial Patria®
Instrumentos de evaluación
Apellido paterno
Apellido materno
Nombre
Grupo
Asegúrate de haber adquirido los contenidos que se abordan en el Bloque 5. Para ello, realiza lo que se te pide a continuación.
1. Factoriza las expresiones siguientes:
x 2 2 13x 1 40
x 2 1 3x 2 10
m 2 2 2m 2 15
2. Factoriza las expresiones siguientes:
12x 2 2 x 2 1
6x 2 2 x 2 2
4. Reduce al menor común denominador:
a 1b
a 2b
, 2
a 2b a 1 ab 1b 2
5. Reduce a forma mixta las siguientes fracciones:
12 x 2 2 5 x 2 5
4 x 21
15xx 3 16 x 2 23x 28
3x 2 5
3. Simplifica la siguiente fracción:
4 x 4 2 28 x 3 1 48 x 2
2 x 4 28 x 3 16 x 2
6. Reduce a una sola fracción y simplifica:
1 1 2x 1 x 2 1
12 x 4
11 2 x 1 x 2
107
BLOQUE
5
Realizas transformaciones algebraicas II
Lista de cotejo
Lista de cotejo para el reporte sobre la simplificación de fracciones del Bloque 5.
Nombre del alumno:
Criterio
Presentación
1. Cuenta con una carátula que incluye: el nombre del trabajo que
se realiza, la materia, fecha de entrega, nombre del alumno y su
matrícula.
2. Tiene una redacción que es adecuada y clara.
3. Tiene buena ortografía o con errores mínimos.
4. El trabajo se elabora en computadora o manuscrito con letra
legible.
5. Las gráficas o dibujos auxiliares se elaboran de un tamaño
adecuado de modo que se puedan apreciar con claridad los datos
obtenidos o las condiciones del problema.
6. Se presenta todo el procedimiento necesario para obtener los
datos o solución que se pide con la justificación correspondiente.
Desarrollo
7. En el procedimiento se desarrolla una secuencia lógica y
coherente.
8. Se hace referencia a las gráficas o diagramas auxiliares para
apoyar la argumentación del escrito.
9. Se hace la referencia bibliográfica de las notas, definiciones o
conceptos consultados para sustentar teóricamente las acciones
realizadas.
Conclusiones
Dominio del
tema
10. La investigación se realiza con apoyo en libros y revistas
actualizadas sobre el tema o bien en sitios web cuya información
sea científicamente válida. De incluir citas textuales, éstas deben
ser breves y con la referencia de la fuente.
108
11. Conoce y aplica la simplificación de fracciones algebraicas con
factores comunes y no comunes.
12. Conoce y aplica la simplificación de fracciones algebraicas a un
común denominador.
13. Conoce y aplica la reducción de fracciones algebraicas a forma
mixta y viceversa.
14. Simplifica fracciones algebraicas con factores comunes y no
comunes.
15. Reduce fracciones algebraicas a un común denominador.
16. Reduce fracciones algebraicas a forma mixta y viceversa.
cumple
sí
no
Observaciones
Grupo Editorial Patria®
Rúbrica para evaluar el conocimiento adquirido
Indicaciones:
Esta rúbrica es para valorar el desempeño de los estudiantes sobre los contenidos del bloque 5.
Nombre del alumno:
Excelente
(4)
Aspecto a evaluar
Criterios
Bueno
(3)
Regular
(2)
Deficiente
(1)
Factorización de
trinomios que no son
cuadrados perfectos
Factoriza un trinomio de la
forma ax 2 1 bx 1 c, que
no es trinomio cuadrado
perfecto.
Factoriza, en la mayoría de
los casos, un trinomio de la
forma ax2 1 bx 1 c, que
no es trinomio cuadrado
perfecto.
Factoriza, en algunos casos,
un trinomio de la forma
ax 2 1 bx 1 c, que no es
trinomio cuadrado perfecto.
No factoriza un trinomio de
la forma ax 2 1 bx 1 c, que
no es trinomio cuadrado
perfecto.
Factorización
de expresiones
racionales
susceptibles de ser
simplificadas
Simplifica expresiones
racionales por:
simplificación de fracciones,
reducción a un común
denominador, reducción a
forma mixta y viceversa.
Simplifica, en la
mayoría de los casos,
expresiones racionales por:
simplificación de fracciones,
reducción a un común
denominador, reducción a
forma mixta y viceversa.
Simplifica, en algunos
casos, expresiones
racionales por:
simplificación de fracciones,
reducción a un común
denominador, reducción a
forma mixta y viceversa.
No simplifica expresiones
racionales por:
simplificación de fracciones,
reducción a un común
denominador, reducción a
forma mixta y viceversa.
Factorización
de expresiones
racionales en forma
simplificada
Simplifica expresiones
racionales por: reducción
a un común denominador,
reducción a forma mixta y
viceversa.
Simplifica expresiones
racionales, en la mayoría
de los casos por: reducción
a un común denominador,
reducción a forma mixta y
viceversa.
Simplifica expresiones
racionales, en algunos
casos, por reducción a
un común denominador,
reducción a forma mixta y
viceversa.
No simplifica expresiones
racionales por: reducción
a un común denominador,
reducción a forma mixta y
viceversa.
Te presentamos una propuesta de hoja de observación que te posibilitará evaluar el trabajo por equipos.
Criterios
Equipo 1
Equipo 2
Equipo 3
Equipo 4
Equipo 5
Intercambian ideas antes de hacer las pruebas
Colaboran en la elaboración de las pruebas
Atienden y respetan las opiniones de los demás
Utilizan los materiales con precaución
Proponen explicaciones de lo que observan
Aplican términos científicos en sus explicaciones
Registran y sistematizan sus observaciones
Claves: D (Deficiente), R (Regular), B (Bueno), E (Excelente)
109
Resuelves ecuaciones lineales I
6
B LO Q U E
Objetos de
aprendizaje
6.1 Representación de
relaciones entre
magnitudes.
6.2 Uso de la calculadora,
graficadora y/o una
computadora.
6.3 Modelos aritméticos o
algebraicos.
Competencias a desarrollar
„
Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de
procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos, variacionales, para la
comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.
„
Formula y resuelve problemas matemáticos aplicando diferentes enfoques.
„
Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos
matemáticos y los contrasta con modelos establecidos en situaciones reales.
„
Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural
para determinar o estimar su comportamiento.
¿Qué sabes hacer ahora?
1.
Establece el modelo matemático que describe cada problema:
a) Encuentra tres números enteros consecutivos cuya suma sea 189.
b) Las edades actuales de un padre y su hijo son P y H. Si la edad del padre
es 20 años mayor que la del hijo y la suma de sus edades es de 50 años,
¿cuál es la edad de cada uno?
2.
Encuentra el valor de x en
3.
En C = 2πr, ¿cuál es la variable independiente? ¿Cuál es la variable dependiente?
4.
Dos agricultores pueden arar un campo en 12 y 10 horas, respectivamente. Si trabajan juntos usando dos arados, ¿cuánto tardarán en arar todo el campo?
5.
Una florista vende un ramo de dos docenas de flores en $750. El ramo está
formado por rosas, cuyo precio es de $500 la docena, y por claveles, a $300 la
docena. ¿Cuántas flores de cada especie debe poner para formar el ramo?
Sugerencia: Llama x al número de rosas y 24 2x al de claveles.
6.
Determina el conjunto solución de la ecuación:
7.
Identifica la variable independiente, la variable dependiente y la constante, en
el caso siguiente: Si un examen tiene 20 preguntas, halla la calificación C cuando el número de aciertos n es n = 1, 2, 3,..., 20.
8.
Aplica el concepto de función como regla de correspondencia para determinar
si la relación g que asocia a cada planeta del Sistema Solar con su respectiva
distancia media al Sol es o no es una función. Fundamenta tu respuesta.
9.
Halla la pendiente de la recta que determinan los puntos A(26, 6), B(3, 6).
10.
Traza en el plano cartesiano la siguiente función: f (x) 5 3x 1 2. Determina si
es creciente o decreciente. Fundamenta tu respuesta.
x
x
= 12 − .
2
4
y
1 6 5 5.
4
Desempeños por alcanzar
Identifica lo que es una ecuación lineal en una variable y una función lineal, así
como la relación entre ellas.
Redacta y resuelve problemas relativos a situaciones que requieren el uso de
ecuaciones lineales en una variable y/o funciones lineales.
Usa diferentes técnicas para resolver ecuaciones lineales en una variable.
Reconoce a y 5 mx 1 b como una ecuación de dos variables como la forma de
una función.
Describe el comportamiento de las variables y/o resultados al solucionar
problemas de ecuaciones y/o funciones lineales; tanto de manera algebraica
como gráfica.
Aplica diversas técnicas para graficar una función lineal.
Aplica diferentes técnicas para continuar la gráfica de una función lineal.
Modela situaciones para escribirlas como una ecuación lineal y/o una función
lineal.
Describe el comportamiento de la gráfica de una función lineal.
Representa relaciones numéricas y algebraicas entre los elementos de diversas
situaciones.
BLOQUE
6
Resuelves ecuaciones lineales I
Situación didáctica
¿Cómo lo resolverías?
Se tienen 360 g de plata de ley 0.820. ¿Cuántos gramos de plata de
ley 0.500 se deben agregar para que la liga tenga una ley de 0.700?
Secuencia didáctica
¿Qué tienes que hacer?
Forma equipos para resolver el problema.
Trabajo individual
Que cada equipo represente, con dibujos, las condiciones del problema.
Cada participante debe registrar lo investigado y realizar los cálculos necesarios.
Presenta los resultados en plenaria y analizar las formas de resolver
el problema.
Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es
preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos y efectuar de
las rectificaciones que procedan.
Cada equipo debe investigar:
¿Cómo representar con una letra la cantidad de gramos en plata
que se busca?
¿Cómo representar la cantidad de plata de la liga?
¿Cómo establecer el modelo matemático que ilustra las condiciones del problema?
¿Cómo comprobar los resultados obtenidos en el enunciado del
problema?
Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto a las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de
asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje.
Producto a elaborar
Representación de la cantidad de plata que se necesita.
Modelo matemático del enunciado del problema.
Cálculos y obtención de los valores buscados.
Rúbrica
Para determinar la cantidad de plata que se pide se deben anexar
los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un
valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la
originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las
fuentes consultadas, etc. La descripción del procedimiento por es-
112
¿Cómo sabes que lo hiciste bien?
crito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase, 2 puntos
de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello suma un
total de 10 puntos.
Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes.
Grupo Editorial Patria®
Situación didáctica
¿Cómo lo resolverías?
El tanque de gasolina de un automóvil tiene una capacidad de
40 litros. Si su rendimiento es de 15 km por litro, la función que
describe la cantidad de gasolina que queda en el tanque después de
1
recorrer una distancia x es F(x) = 40 – . Si el tanque está lleno
15
determina:
a) ¿Cuántos litros quedan en el tanque cuando se han recorrido
0, 15, 30, 45, 60, 90, 150, 300 y 600 km?
b) La gráfica de la función.
c) Si la función es creciente o decreciente.
d) El dominio, contradominio e imagen de la función.
e) El cero de la función.
Secuencia didáctica
¿Qué tienes que hacer?
Forma equipos para resolver el problema.
Trabajo individual
Que cada equipo represente, mediante dibujos, las condiciones del
problema.
Cada participante debe registrar lo investigado y realizar los cálculos necesarios.
Presenta los resultados en plenaria y analizar las formas de resolver
el problema.
Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es
preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para efectuar
las rectificaciones que procedan.
Cada equipo debe investigar:
¿Cómo se calcula la gasolina que queda en el tanque?
¿Cómo se traza la gráfica de la función?
¿Cómo se determina que la función sea creciente o decreciente?
¿Cómo se determina el dominio, contradominio e imagen de la
función?
¿Cómo se interpreta el cero de la función?
Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto a las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de
asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje.
Producto a elaborar
Representación gráfica de la función que describe la situación didáctica.
Rúbrica
Para determinar las respuestas del problema que se piden se deben
anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos
tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las fuentes consultadas, etc. La descripción del procedimiento
¿Cómo sabes que lo hiciste bien?
por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase,
2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello
suma un total de 10 puntos.
Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes.
113
BLOQUE
6
Resuelves ecuaciones lineales I
Propuestas de diseño
para situaciones didácticas
Parte I
Establece el modelo matemático que represente cada problema y resuélvelo.
1. Halla tres números enteros consecutivos cuya suma sea 189.
2. Determina tres números enteros consecutivos, tales que la suma
del primero más el segundo sea igual al tercero más 27.
3. Encuentra tres números enteros pares consecutivos cuya suma
sea 42.
4. Halla tres números enteros impares consecutivos cuya suma sea
45.
5. Determina tres números enteros pares consecutivos tales que
3 de la suma del primero más el segundo sea igual al tercero
2
menos 9.
6. Encuentra tres números enteros consecutivos cuya suma sea 48.
7. Halla tres números enteros consecutivos, tales que la suma del
primero más el tercero sea igual al doble del segundo.
8. Determina tres números enteros pares consecutivos, tales que la
suma del primero más el tercero sea igual al doble del segundo.
9. Encuentra tres números enteros pares consecutivos, tales que el
primero sea igual a la suma del segundo más el tercero.
10. Halla tres números enteros impares consecutivos cuya suma sea
33.
Parte II
Establece el modelo matemático que represente cada problema y resuélvelo.
7
1. Encuentra dos números consecutivos donde del menor ex8
3
cede en 17 a del mayor.
5
2. Se tienen tres números consecutivos, tales que la diferencia en3
3
1
tre del mediano y del menor exceden en 1 a del mayor.
7
10
11
Halla los números.
3. Determina tres números enteros consecutivos, cuya suma de la
mitad del primero más la tercera parte del segundo, más la cuarta
parte del tercero sea igual a este último.
4. Encuentra el número cuya tercera parte aumentada en cuatro
quintas partes del mismo, pero disminuida en 5 unidades es
mayor en 15 unidades al valor del número.
5. A tiene $1 000 más que B. Si B gastara $8 000, tendría $4 000
4
menos que las partes de lo que tiene A. ¿Cuánto tiene cada uno?
5
114
6. Halla tres números enteros consecutivos, tales que la suma de la
5
mitad del primero más la tercera parte del tercero sea igual a del
7
segundo aumentado en 4 unidades.
7. Determina tres números enteros consecutivos, tales que la suma
del primero más el segundo sea igual al doble del tercero menos
3 unidades.
8. Encuentra tres números enteros consecutivos, tales que el doble
del tercero sea igual al triple de la suma de los dos primeros más
21.
9. Determina tres números enteros impares consecutivos, tales que
la suma de los dos primeros sea igual al triple del tercero menos
19.
10. Encuentra tres números enteros consecutivos, tales que el doble
de la suma de los dos primeros sea igual al triple de la suma de los
dos últimos.
Parte III
Establece el modelo matemático que represente cada problema y
resuélvelo.
1. Encuentra dos sumandos de 74, de modo que el mayor tenga 10 unidades menos que el quíntuplo del menor.
2. Un grupo de 17 estudiantes tiene 10 varones menos que el
doble de mujeres. Determina cuántos estudiantes hay de cada
sexo.
3. Representadas por P y H las edades actuales de un padre y su
hijo, halla sus edades sabiendo que el padre tiene 20 años más
que el hijo y que la suma de sus edades es de 50 años.
4. Ángulos complementarios son dos ángulos que suman 90
grados. Determina dos ángulos complementarios si uno es el
cuádruplo del otro.
5. Ángulos suplementarios son dos ángulos que suman 180
grados. Determina dos ángulos suplementarios si uno es
20 grados menor que el triple del otro.
Parte IV
Establece el modelo
matemático que represente
cada problema y resuélvelo.
1. Dos agricultores pueden
arar un campo en 12 y 10
horas, respectivamente.
Si trabajan juntos usando dos arados, ¿cuánto
tardarán en arar todo el
campo?
Grupo Editorial Patria®
2. Una válvula vacía un depósito en 10 horas y otra lo hace en
6 horas. Calcula el tiempo en que se vaciará el depósito si ambas válvulas se abren simultáneamente.
3. Un albañil puede hacer un trabajo en 9 horas y su ayudante en
12 horas. Si trabajan juntos, ¿cuánto tardarán en hacer la obra?
4. Una piscina se puede llenar en 6 horas y vaciar en 8 horas. Si se
abren simultáneamente las dos llaves (la que la llena y la que la
vacía), ¿en cuánto tiempo se llenará la piscina?
Sugerencia: identifica como V el volumen inicial de la solución
a 4% y proporciona el resultado en términos de V.
3. Una lechería compró 100 litros de leche
que contiene 4.5% de grasa de mantequilla.
¿Cuánta leche descremada (0% de grasa)
debe agregarse para que quede a 4%?
4. Un químico tiene 80 litros de una solución
de ácido acético a 65%. ¿Cuántos litros de
agua deben agregarse para que la concentración sea de 40%?
5. ¿Qué cantidad de agua debe agregarse a un litro de alcohol de
95% de concentración para que la solución resultante tenga
una concentración de 75%?
6. ¿Qué cantidad de agua debe agregarse a un litro de solución
de 20% de concentración para reducirla a 2%?
5. A puede efectuar cierto trabajo en 4 días, y B en 5. ¿Cuánto
tiempo emplearán si trabajan juntos?
6. Cierta obra puede ser realizada por A en 4 días, por B en 5 y
por C en 6. ¿En cuánto tiempo realizarán la obra si trabajan los
tres juntos?
7. Un depósito de agua puede llenarse por un tubo en dos horas y por otro en tres horas. ¿En cuánto tiempo se llenará el
depósito por los dos tubos?
8. Un depósito puede llenarse por un tubo en 2 horas y por
otro en 3 horas, y vaciarse por uno de desagüe en 4 horas. Si
los 3 tubos se dejan abiertos, ¿en cuánto tiempo se llenará el
depósito?
Parte V
Establece el modelo matemático que represente cada problema y
resuélvelo.
1. Una enfermera preparó 60 onzas de un desinfectante que
contenía 15% de ácido fénico. ¿Cuántas onzas de agua deben
agregarse para reducir la concentración en 6%?
7. ¿Cuántos litros de una solución de 5% de concentración deben agregarse a un litro de una solución de 35% de concentración para formar una solución cuya concentración sea de
25%?
8. ¿Cuánto por ciento de agua debe evaporarse de una solución
salina de 6% de concentración para aumentar la concentración a 10%?
Parte VI
Establece el modelo matemático que represente cada problema y
resuélvelo.
1. Una florista vende un ramo de dos
docenas de flores en $750. El ramo
está formado por rosas, cuyo precio
es de $500 la docena, y por claveles,
a $300 la docena. ¿Cuántas flores
de cada especie debe poner para
formar el ramo?
Sugerencia: llama x al número de
rosas y 24 2 x al de claveles.
2. Se desea mezclar un perfume que
cuesta $41 000 la
onza, con otro de
$25 000, para obtener una mezcla de
40 onzas con valor
de $30 000 la onza.
¿Cuántas onzas del
perfume de $41 000
deben usarse?
2. ¿Qué cantidad de agua debe evaporarse de una solución salina de 4% para hacer que la concentración aumente a 6%?
115
BLOQUE
6
Resuelves ecuaciones lineales I
3. ¿Cuántas onzas de plata de 100% de pureza deben agregarse
a 18 onzas de 60% de pureza para hacer una aleación de plata
a 76%?
4. ¿Cuántos litros de solución de sal a 25% deben mezclarse con
10 litros de otra solución a 15% para producir una tercera solución a 17%?
5. ¿Cuántos gramos de plata deben fundirse con 75 g de una
aleación de plata de 0.750 para obtener una aleación de 0.900?
6. ¿Cuántos gramos de oro puro deben fundirse con 20 g de oro
16
de 16 quilates ( de oro puro) para obtener oro de 20 qui24
lates?
8. 2x 2 3(x 2 4) 5 25
9. 12(5x 2 2) 1 6 5 229 2 3(x 2 7)
10. x2 2 (x 1 4)2 5 4
Parte VIII
Determina el conjunto solución de cada una de las siguientes
ecuaciones.
1.
2. 30 5 25 2
3.
7. ¿Qué cantidad de agua debe agregarse a un litro de vinagre de
85% para reducirlo a vinagre de 50%?
4.
8. Un litro de una solución contiene 20% de alcohol. ¿Cuánto
alcohol debe agregarse para que la concentración sea de 30%?
5.
6.
7.
8.
9.
10.
9. ¿Cuántos kilogramos de agua pura deben agregarse a 25 kg
de agua de mar que contiene 3½% de sal para que la solución
resultante contenga 2% de sal?
10. En 90 g de una aleación de plata y cobre hay 6 g de plata.
¿Cuántos gramos de cobre deben agregarse para que 50 g de
la nueva aleación contengan 2 g de plata?
Parte VII
Determina el conjunto solución de cada una de las siguientes
ecuaciones.
y
1655
4
11.
12.
y
3
2x
1856
5
2x
x
16 5
5
5
1
3x 2 5 2x 1 3
7
x
x
512 2
2
4
4 x 5x
2 5 22
3
3
x 4x
10 2 5
7 7
7
1
521
a
a
x 2 2 x 11
2
54
3
4
x 22 x 1 4
2
55
4
3
d 18
9
22 5
4
d 22
Parte IX
Determina el conjunto solución de cada ecuación literal para la
variable indicada.
1. a2 1 b2 5 c2
despejar
a
2
2. V 5 πr h
despejar
h
despejar
t
4. 3x 1 4 5 217
3. PV 5 5t
k
4. F 5 2
d
despejar
d
5. 3x 1 5 5 x 1 2
5. P 5
fd
t
despejar
t
1
2
despejar
b
1. 6x 5 24
2. 7x 2 11 5 22
3. 5x 1 8 5 6
6. 4x 2 15 5 3x 2 2
7. 25x 1 8 5 23x 1 16
116
6. V 5 bh
Grupo Editorial Patria®
1 2
7. y 5 gt
2
s2
4
9. v 5 πR2H 2 πr2h
1
10. S 5 (a 1 rL )
2
1 2
11. S 5 gt 1 vot
2
8. A 5
12 rL
12. S 5
12 r
despejar
t
despejar
s
despejar
h
despejar
L
despejar
g
despejar
r
9. Un automóvil tiene un tanque de combustible con capacidad
de 40 litros. Si el rendimiento es de 10 km por litro, halla la
cantidad de combustible que queda en el tanque cuando ha
recorrido una distancia d de 0, 10, 100 y 200 kilómetros.
10. La población P de una ciudad se duplica cada n años, determina P cuando han transcurrido 2n, 3n y 4n años.
Identifica la variable independiente, la variable dependiente y la
constante (o constantes) en cada una de las expresiones siguientes.
1. At 5 6a2, donde At es el área total y a es la arista del cubo.
Parte X
2. V 5 4 πr3, donde V es el volumen de una esfera de radio r.
3
Identifica la variable independiente, la variable dependiente y la
constante, en cada uno de los casos siguientes.
3. °C 5
1. Si un examen tiene 20 preguntas, halla la calificación C
cuando el número de aciertos n es n 5 1, 2, 3,..., 20.
5
(°F 2 32), donde °F es la temperatura Fahrenheit y
9
°C la temperatura Celsius (centígrada).
9
°C 1 32.
5
2. Un móvil se desplaza a una velocidad de 60 km por hora, ¿qué
distancia recorre en 1, 2, 3, 4 y 5 horas?
4. °F 5
3. Una fuente luminosa tiene una potencia de 250 watts, determina la intensidad de iluminación a una distancia de 1, 5, 10,
15 y 25 m de la fuente.
5. S 5 180(n 2 2), donde S es la suma de los ángulos interiores
de un polígono de n lados.
4. Determina el costo total C de n artículos iguales que tienen un
precio de 50 unidades de dinero.
6. y 5 x3, donde x y y son números reales.
7. A 5 4πr2, donde A es el área total de una esfera de radio r.
8. V 5 a3, donde V es el volumen de un cubo de arista a.
gt 2
, donde h es la altura de un cuerpo que cae libremente,
2
g es la constante de gravedad y t es el tiempo.
9. h 5
10. A 5 2πrh, donde A es el área lateral de un cilindro de radio r
y altura h.
Parte XI
Aplica el concepto de función como regla de correspondencia para
determinar cuáles son y cuáles no son funciones. En cada caso fundamenta tu respuesta.
5. Determina el perímetro P de un polígono regular de n lados
cuando su lado l mide 3, 5, 7 y 11 metros.
1. Sea f la relación que asocia cada entidad federativa de la
República Mexicana con su respectiva capital.
6. Para una misma distancia (d), la velocidad (v) de un móvil y el
tiempo (t) que emplea en recorrerla.
2. Sea g la relación que asocia a los alumnos regulares de una escuela secundaria con el grado que cursan.
7. ¿Cuál es el interés que produce un capital C cuando se invierte
durante un tiempo t de 1, 2, 3, 4, 5 y 6 meses?
8. Determina el importe t del consumo de electricidad de k kilovatios hora que cuestan p unidades de dinero por kilovatio hora.
3. Sea h la relación que asocia a cada mujer que es madre con sus
respectivos hijos.
117
BLOQUE
6
Resuelves ecuaciones lineales I
c) C(0, 1)
d) D(4, 1)
e) E(5, 3)
4. Sea F la relación que asocia a cada habitante de una población
con su respectivo tipo de sangre.
5. Sea G la relación que asocia a cada habitante que tiene teléfono en una ciudad con los números telefónicos de esa misma
ciudad.
6. Sea H la relación que asocia a los autores literarios latinoamericanos con sus respectivas obras.
7. Sea f la relación que asocia cada número real no negativo con
su respectivo cuadrado.
8. Sea g la relación que asocia cada planeta del Sistema Solar con
su respectiva distancia media al Sol.
9. Sea h la relación que asocia a cada persona con sus respectivas
huellas digitales.
10. Sea F la relación que asocia los pasaportes con las personas
que tienen pasaporte.
De los siguientes conjuntos de pares ordenados identifica cuáles
son y cuáles no son funciones. Fundamenta tu respuesta. En el caso
de los que son funciones determina su dominio y su imagen.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)}
{(1, a), (2, b), (2, c), (1, d)}
{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3)}
{(1, 1), (2, 1), (3, 2), (4, 2)}
{(4, a), (3, b), (2, a), (3, b)}
{(1, 4), (2, 8), (3, 12), (4, 16)}
{(2, 3), (3, 7), (5, 15), (2, 5), (10, 35)}
{(1, 7), (2, 7), (3, 7), (4, 7), (5, 7), (6, 7)}
{(1, 0), (2, 4), (3, 5), (2, 4), (3, 6), (4, 3)}
{(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 1)}
2. Construye una tabla de valores de coordenadas de la ecuación
dada y traza su gráfica.
a) x 1 y 5 1
b) x – y 5 21
c) x 5 y
d) x 1 2y 5 5
e) x 2 2y 5 5
f ) 2x 1 3y 5 26
g) 5x 2 3y 5 22
h) 3x 2 5y 5 15
i) 2x 1 y 5 5
j) 2x 1 3y 5 0
3. Determina las coordenadas en el origen de cada ecuación
dada y traza su gráfica.
a) x 1 2y 5 6
b) x – y 5 26
c) 2x 1 y 5 1
d) x 1 y 5 22
e) x 2 y 5 4
f ) 4x 1 y 5 23
g) 2x 1 3y 5 7
h) 3x 1 2y 5 9
i) 5x 2 2y 5 24
j) x 1 y 5 0, ¿qué sucede en este caso?, ¿cómo se puede
obtener otro u otros puntos?
Parte XIII
Halla la pendiente de la recta que determinan los puntos.
2. C(6, 5), D(1, 4)
1. A(26, 6), B(3, 6)
4. G(22, 3), H(6, 22)
3. E(5, 0), F(27, 21)
6. K(2, 25), L(2, 2)
5. I(0, 25), J(6, 27)
8. P(23, 26), Q(4, 3)
7. M(25, 24), N(25, 5)
10. T(22, 6), U(1, 23)
9. R(24, 21), S(5, 21)
Parte XII
1. Determina cuáles de los puntos dados satisfacen la ecuación:
22x 1 5y 5 5
a) A(25, 21)
b) B(23, 0)
118
Parte XIV
Expresa las siguientes ecuaciones en la forma y 5 mx 1 b.
1. 3x 2 2y 1 2 5 0
2. 4x 1 3y 1 6 5 0
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3. x 1 2y 2 6 5 0
y
4. 3x 1 5y 1 10 5 0
5. 3x 2 4y 1 8 5 0
6. 2x 1 5y 1 15 5 0
7. x 1 2y 1 8 5 0
8. 5x 2 2y 1 6 5 0
x
9. 4x 1 5y 5 0
10. 2x 1 3y 5 0
Traza las gráficas de las ecuaciones obtenidas como respuesta en
los ejercicios uno a diez anteriores.
Parte XV
c)
1. De las siguientes figuras menciona cuáles representan una
función y cuáles no. Fundamenta tus respuestas.
y
y
x
x
d)
y
a)
y
x
x
e)
b)
119
BLOQUE
6
Resuelves ecuaciones lineales I
y
y
x
x
f)
i)
y
y
x
x
-2
g)
j)
y
y
x
h)
120
x
k)
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y
y
x
x
l)
b)
y
y
x
x
m)
2. Para cada una de las siguientes representaciones de funciones
determina su dominio e imagen respectivos.
c)
y
y
x
x
d)
a)
121
BLOQUE
6
Resuelves ecuaciones lineales I
y
y
x
x
e)
h)
y
y
x
x
f)
i)
y
y
x
x
g)
122
j)
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3. Consideremos el siguiente problema:
El costo de un aparato electrodoméstico es de 200 unidades de dinero si se compra al contado, pero si se compra en
abonos se cobra un interés mensual fijo de 10 unidades de
dinero.
a) ¿Cuánto debe pagarse si se compra al contado o en 1, 2, 3,
4, 5 o 6 meses?
b) Tabula y construye una gráfica.
c) Encuentra la expresión algebraica que determina la función.
d) Determina el dominio y la imagen.
Parte XVI
1. El equipo de oficina en una empresa se deprecia cada año 10%
de su costo de adquisición, que fue de 15 000 unidades de dinero.
a) Determina el valor contable del equipo en el año de adquisición y después de 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10 años.
b) Tabula y representa en el plano coordenado.
c) Encuentra la expresión algebraica que determina la función que describe el problema.
d) Determina el dominio, el contradominio e imagen.
2. En el contrato anual de renta de un televisor se cobra un depósito de 500 unidades de dinero y una renta semanal de 75
unidades de dinero. Halla la expresión algebraica de la función
que se describe.
3. Traza en el plano cartesiano las siguientes funciones.
a) f (x) 5 3x 1 2
9
4. Si un grado Fahrenheit equivale a de un grado Celsius más
5
32:
a) Determina la expresión algebraica de la función que
describe la equivalencia.
b) Identifica la ecuación con la función haciendo y 5 f (c).
c) Calcula los grados Fahrenheit que equivalen a 10, 20 y
50 grados Celsius bajo cero, 5, 10, 20 y 30 grados Celsius
sobre cero, y représentalos en el plano.
d) Encuentra el cero de la función y su interpretación en el
problema.
5. Una empresa de electrodomésticos tiene 500 refrigeradores en
existencia al iniciar el mes, de los
cuales vende 15 diarios. Expresa
algebraicamente la función que
describe el número de aparatos
para cualquier día del mes.
6. De las siguientes funciones,
determina cuáles son crecientes y cuáles son decrecientes.
Fundamenta tu respuesta.
a) f(x) 5 7 2 3x
b) f(x) 5 6x 1 3
c) f(x) 5 3
d) f(x) 5 23(2 2 x)
e) f(x) 5 2x 2 1
b) f (x) 5 25x 2 3
2
3
c) f (x) 5 x 1
3
4
1
1
d) f (x) 5 2 x 2
2
3
f ) f(x) 5 22x 1 3
e) f (x) 5 7
i)
3
f ) f (x) 5 2 2 x
4
g) f (x) 5 24x
2 1
f(x) 5 2 1 x
5 3
j)
f(x) 5 2 x 1
2
g) f(x) 5 2⎛⎜ 2 x 1 ⎞⎟
⎝
3⎠
h) f(x) 5 5x 2 2
1
4
2
h) f (x) 5 x 13
5
i)
f (x) 5 5 2 x
j)
f (x) 5 2x 1 1
123
BLOQUE
6
Resuelves ecuaciones lineales I
Dadme un punto de apoyo y moveré el mundo
Arquímedes
Introducción
A partir del lenguaje algebraico, la terminología y notación del tercer bloque se procede al planteamiento del modelo matemático de
problemas con una ecuación lineal.
Se conceptualiza la ecuación de primer grado con una incógnita
y se resuelve aplicando las propiedades de la igualdad así como
de los números reales. Los problemas que al inicio de la unidad
fueron planteados con un modelo matemático se retoman para
resolverlos.
El concepto de función se trata como una relación de dependencia
entre dos variables, como una regla de correspondencia y como un
conjunto de pares ordenados. Posteriormente se procede a representarla en el plano cartesiano y se le relaciona con la ecuación de
primer grado, señalando la diferencia entre una y otra.
Para tu reflexión
6.1 Representación de
relaciones entre magnitudes
Ecuaciones lineales
Todas las ecuaciones de primer grado, con una o dos variables, se
pueden representar en el plano con una línea recta, motivo por el
cual también se les conoce como ecuaciones lineales.
Concepto de ecuación lineal con una
incógnita
Una ecuación es una igualdad que se verifica para un determinado valor de la variable o variables desconocidas que reciben el
nombre de incógnitas.
Actividad de aprendizaje
¿A qué se le da el nombre de raíz o solución de una ecuación? Argumenta tu respuesta.
Aguilon o Aguilonius, François D´
(1566-1617)
Matemático belga, escritor del importante libro: Opticorum Libri VI, en
donde expone algunos principios de óptica, también publicó una introducción al estudio de las matemáticas.
Está claro que François d’Aguilon, también se ajusta plenamente a la
tradición de Aristóteles, y que utiliza el arco como un complemento a
la clásica, la división lineal para especificar las posibilidades que surgen de la mezcla de colores. Es importante señalar que en su óptica de
libros de texto, que apareció entre 1606 y 1611, Anguilonius no sólo
se interesó en la pictórica “concreti colores”, estaba más interesado en
la parte visible de color que se puso de manifiesto a sus cualidades.
Ejemplos
x 1 3 5 8 es una igualdad que sólo es cierta cuando x es igual a 5;
por tanto, x 1 3 5 8 es una ecuación en la que la variable x recibe el
nombre de incógnita, cuyo valor 5 es la raíz o solución de la ecuación.
2y 1 3 5 15 es una igualdad que sólo es cierta cuando y es igual a 6;
por consiguiente, 2y 1 3 5 15 es una ecuación, la variable o incógnita
es y, y la raíz o solución de la ecuación es 6.
Toda ecuación consta de dos miembros: el primero está formado por
todos los términos escritos antes del signo igual y el segundo, por todos
los términos escritos después del signo igual.
Ejemplos
En la ecuación: 5y 1 6 5 3y 1 12
5y 1 6 es el primer miembro y
3y 1 12 es el segundo miembro
124
Grupo Editorial Patria®
Ecuaciones de primer grado con una
incógnita
Una de las aplicaciones importantes del álgebra es la descripción
matemática de situaciones concretas utilizando expresiones algebraicas como modelos.
Problemas que llevan al planteamiento de
ecuaciones lineales
x 1 (3x ) 1 (2x 1 6) 5 5 010
o bien
6x 1 6 5 5 010
La solución del modelo matemático permite responder la pregunta.
3.
Encuentra cuatro números enteros consecutivos cuya suma aumentada en el doble del primero sea 5 010.
Para resolver este problema tenemos que si x representa a un entero cualquiera, entonces x 1 1, x 1 2 y x 1 3 son los tres enteros
consecutivos siguientes, de tal manera que:
Ejemplos
1.
de donde
x 1 (x 1 1) 1 (x 1 2) 1 (x 1 3) 1 2x 5 5 010
El largo de un terreno rectangular mide el doble de su ancho más
3 metros. Si el perímetro mide 5 010 m, determina las dimensiones del terreno.
6x 1 6 5 5 010
o
En los tres problemas planteados, el modelo matemático que los
describe es el mismo; sin embargo, los valores que toma la variable son específicos para cada problema.
Planteamiento:
Recordemos que los lados opuestos del rectángulo son iguales y
que el perímetro de la figura se obtiene sumando la medida de
sus cuatro lados.
Si x representa el ancho del rectángulo, entonces el largo se expresa por 2x 1 3 (figura 6.1).
Por tanto:
La mayor dificultad para resolver un problema consiste en el planteamiento del mismo mediante una expresión algebraica (modelo
matemático). Es por ello que a continuación se presentan diversos
ejemplos y se pide al lector que obtenga el modelo matemático de
los ejercicios análogos a cada ejemplo de referencia.
x 1 (2x 1 3) 1 x 1 (2x 1 3) 5 5 010
o bien,
Ejemplos
6x 1 6 5 5 010
1.
Planteamiento:
x
Recuerda que la forma de representar un número par es: x 5 2n.
2x + 3
Figura 6.1
Se distribuye un trabajo a tres mecanógrafas (A, B y C ) para escribir a máquina un informe de investigación. A escribió x cuartillas; B el triple (3x ), y C 6 cuartillas más que el doble de A (2x 1
6). Si el informe ocupó 5 010 cuartillas, ¿cuántas escribió cada
mecanógrafa?
Planteamiento:
el primer número par es
2n
el segundo número par es
2(n 1 1) 5 2n 1 2
el tercer número par es
2(n 1 2) 5 2n 1 4
entonces, la ecuación que proporciona la solución del problema es:
Esta última expresión es el modelo matemático que describe el
problema.
2.
Encuentra tres números enteros pares consecutivos cuya suma
sea 228.
2n 1 2(n 1 1) 1 2(n 1 2) 5 228
2n 1 (2n 1 2) 1 (2n 1 4) 5 228
6n 1 6 5 228
2.
Encuentra tres números enteros impares consecutivos cuya suma
sea 135.
Planteamiento:
El trabajo realizado por las mecanógrafas A, B y C fue de 5 010
cuartillas, es decir:
A 1 B 1 C 5 5 010
Un número x es impar si y sólo si se puede expresar de la
forma x 5 2n 1 1.
su primer consecutivo x 1 2 es 2n 1 3
125
BLOQUE
6
Resuelves ecuaciones lineales I
su segundo consecutivo x 1 4 es 2n 1 5
Planteamiento:
entonces, la ecuación que proporciona la solución del problema es:
Consideramos M el número de monedas que tiene Juan, entonces Enrique
tiene M – 12.
(2n 1 1) 1 (2n 1 3) 1 (2n 1 5) 5 135
6n 1 9 5 135
3.
La suma de ambas cantidades de monedas es 78, lo cual se expresa como:
Encuentra dos números cuya suma sea 105, si se sabe que el
mayor es el séxtuplo del menor.
M 1 (M 2 12) 5 78
Planteamiento:
7.
Número menor 5 x
Número mayor 5 6x
El modelo matemático es
x 1 6x 5 105
4.
La edad de Enrique es la mitad de la de Pedro; la de Juan, el triple
de la de Enrique, y la de Eugenio, el doble de la de Juan. Si las
cuatro edades suman 132 años, ¿qué edad tiene cada uno?
Planteamiento:
2x 5 edad de Pedro
La ecuación que proporciona la solución es:
x 1 2x 1 3x 1 6x 5 132
Establece un modelo matemático que represente el siguiente
problema: encuentra tres números consecutivos tales que, si el
menor se divide entre 20, el mediano entre 27 y el mayor entre
41, la suma de los cocientes es 9.
Planteamiento:
Sean x, x 1 1, x 1 2, los números consecutivos, entonces:
x
5 el menor se divide entre 20
20
x11
5 el mediano se divide entre 27
27
x1 2
5 el mayor se divide entre 41
41
Una ecuación que proporciona la solución para este problema es:
modelo matemático
Establece el modelo matemático que represente el siguiente
problema.
Juan tiene 12 monedas más que Enrique y entre ambos tienen
78. Determina cuántas monedas tiene cada uno.
126
Planteamiento:
La ayudante efectúa
2(3x ) 5 edad de Eugenio
6.
A una empleada se le asigna un
trabajo que hace en 8 horas. Si
se le proporciona una ayudante
que puede hacer el mismo trabajo en 10 horas, ¿cuánto tardarán en hacerlo juntas?
La empleada puede efectuar
3x 5 edad de Juan
x x 11 x 1 2
1
1
59
20 27
41
Establece el modelo matemático que represente el siguiente problema.
Llamamos x al trabajo realizado, entonces:
Sea x 5 edad de Enrique
5.
modelo matemático
x
del trabajo por hora
8
x
del trabajo por hora.
10
Trabajando juntas, ejecutan la suma de las fracciones en cada
hora, y todo el trabajo lo ejecutan en T horas.
⎛x x ⎞
T ⎜ 1 ⎟ 5x
⎝ 8 10 ⎠
(1)
Por ser un problema especial, dado que aparecen las variables T
y x, le daremos solución, ya que el lector podría inferir que este
problema conduce a una ecuación de primer grado, pero con dos
variables, lo cual es falso.
⎛ 10 x 18 x ⎞
5x
T⎜
⎝ 80 ⎟⎠
T (10 x 18 x )580 x
T (18 x )580 x
18T x 580 x
18T 580
4
80
T 5 54
9
18
El tiempo que ambas tardarán en desarrollar el trabajo encomendado es de 4
4
horas.
9
La comprobación se le deja al lector, quien debe llegar a una
identidad si sustituye el valor de T 5
40
en la ecuación (1).
9
Grupo Editorial Patria®
8.
Establece el modelo matemático que represente el siguiente
problema.
¿Qué cantidad de agua debe agregarse a 40 litros de una solución de alcohol a 15% para reducir la concentración a 12%?
Planteamiento:
Sea x la cantidad de agua en litros que debe agregarse a la solución.
La cantidad de alcohol contenida en la mezcla es: 0.15(40).
El porcentaje de la concentración es el cociente del volumen de
alcohol entre el total de la mezcla.
Por tanto, el modelo matemático es:
0.12 5
9.
0.15(40)
401x
2. Propiedad simétrica. Si un número es igual a otro, éste es
igual al primero. También se puede enunciar así: los miembros de una igualdad pueden permutar sus lugares.
3. Propiedad transitiva. Si un número es igual a otro y éste
a su vez es igual a un tercero, entonces el primero es igual
al tercero. También se puede enunciar así: si dos igualdades
tienen un miembro común, los otros dos miembros son
iguales.
Un criterio general, que también se utiliza para la resolución de
ecuaciones de primer grado con una incógnita, es el siguiente:
Toda igualdad se conserva siempre que se realice la misma operación y con los mismos números en ambos miembros, con excepción de la división entre cero, que carece de sentido.
Actividad de aprendizaje
Establece el modelo matemático que represente el problema:
¿Cuántos kilogramos de dulce, cuyo precio es de $1 000 cada
uno, deben mezclarse con 6 kg de otro dulce que vale $750 el kilogramo, para vender la mezcla al precio de $900 por kilogramo?
Resuelve la ecuación 3x 1 5 5 x 1 2.
Aplica lo que sabes
Planteamiento:
Llámese x al número de kilogramos del dulce que tiene un valor
de 1 000x
Lo que cuestan los 6 kg de dulce a $750 cada uno, se expresa
como: 750(6)
La suma de los precios debe ser igual al costo de la mezcla
resultante que es 6 1 x. Esto se expresa por:
Investiga cómo se paga el impuesto
predial en tu comunidad. ¿Cuánto se
cobra por metro cuadrado de suelo
(terreno)? ¿Cuánto se cobra por metro
cuadrado de construcción?
Escribe una expresión algebraica que
describa el impuesto predial como
una función del número de metros
cuadrados de suelo y el número de
metros cuadrados de construcción.
1 000x 1 750(6) 5 900(6 1 x ) modelo matemático
Ejemplos
Técnicas para resolver ecuaciones
lineales en una variable
Una ecuación lineal con una incógnita, también llamada ecuación
de primer grado con una incógnita, es aquella que una vez simplificada sólo tiene una incógnita. Para resolver una ecuación de
primer grado con una incógnita hacemos uso de las propiedades
reflexiva, simétrica y transitiva de la igualdad.
1. Propiedad de identidad o reflexiva. Todo número es igual
a sí mismo.
Encuentra el conjunto solución de las siguientes ecuaciones (sólo en
los primeros ejemplos se da el nombre de la propiedad aplicada).
x1453
x14–45324
x 1 0 5 21
Inverso aditivo
Idéntico aditivo
x 5 21
Conjunto solución {21}
127
BLOQUE
6
Resuelves ecuaciones lineales I
2(x 2 7) 5 6
2x 2 14 1 14 5 6 1 14
3x
515
4
Distributiva
2x 1 0 5 20
3x 5 60
Inverso aditivo
2x 5 20
x5
2 x 20
5
2
2
Conjunto solución {20}
x 5 10
Inverso multiplicativo
Conjunto solución {10}
3(2x 2 6) 5 2(x 2 5)
6x 2 18 5 2x 2 10
6x 2 2x 5 210 1 18
4x 5 8
x5
8
52
4
Conjunto solución {2}
2x x
2 5 26
5 5
2x 2x
5 26
5
2x 5 x 2 17
2x 2 x 5 217
2x – x 5 230
x 5 230
x 5 217
Conjunto solución {230}
x x
2 57
2 3
3x 2 2 x
57
6
30x 2 60 1 20 5 258 – 2x 2 14
30x 2 40 5 272 2 2x
30x 1 2x 5 272 1 40
3x 2 2x 5 42
x 5 42
32x 5 232
x5
232
5 21
32
Conjunto solución {21}
x 2 2 (x – 1)2 5 13
x 2 2 (x 2 – 2x 1 1) 5 13
x 2 – x 2 1 2x 2 1 5 13
2x 2 1 5 13
2x 5 13 1 1
2x 5 14
x5
Conjunto solución {7}
128
14
57
2
28
54
7
Conjunto solución {4}
2x 1 10 5 x 2 7
15(2x 2 4) 1 20 5 258 2 2(x 1 7)
7x
23 511
2
7x
51113
2
7x
514
2
7 x 5 28
x5
2(x 1 5) 5 x 2 7
Conjunto solución {217}
60
5 20
3
Conjunto solución {42}
x 22 x 17
2
54
3
4
4( x 2 2)23( x 11)
54
12
4 x 28 23 x 23
54
12
4x 2 8 2 3x – 3 5 48
x 2 11 5 48
x 5 48 1 11
x 5 59
Conjunto solución {59}
Grupo Editorial Patria®
z 26
4 z 116
1z5
5
5
z 2 6 1 5z 5 4z 1 16
6z – 6 5 4z 1 16
6z 2 4z 5 16 1 6
2z 5 22
z5
22
511
2
Conjunto solución {11}
Ejemplos
Determina el conjunto solución de las siguientes ecuaciones literales.
A 5 P 1 Prt para la variable t
P 1 Prt 5 A
Propiedad a 5 b b 5 a
6.2 Uso de la calculadora,
graficadora y/o una computadora
Utiliza los medios de que dispones para resolver lo siguiente.
1. Considera la función
y 5 2x 1 b
y asigna a b valores en el intervalo: 210 # b # 10.
Observa las variaciones en la posición de la gráfica de la función.
2. En la función
y 5 mx 1 3
Asigna a m valores en el intervalo: 21 # m # 1.
Observa las variaciones en la posición de la gráfica de la función.
3. Para la ecuación
x1y51
encuentra los valores correspondientes a y cuando x varía
entre 23 y 3. Traza su gráfica.
4. Dada la ecuación
2x 1 3y 5 6
obtén los valores de y cuando varía de 23 a 3. Traza su gráfica
2P 1 P 1 Prt 5 A 2 P
Inverso aditivo
0 1 Prt 5 A – P
Idéntico aditivo
Actividad de aprendizaje
Inverso multiplicativo
En ν 5
Prt 5 A 2 P
Ptr A 2 P
5
Pr
Pr
t5
Conjunto solución
S5
{
A 2P
Pr
t
P
5 A2
t
Pr
}
a 2 rL
1 2r
6.3 Modelos aritméticos
o algebraicos
para la variable L
(1 2 r )S 5 a 2 rL
2rL 5 (1 2 r )S 2 a
Solución:
(12 r )S 2 a
L5
2r
⎧ L (12 r )S 2 a ⎫⎪
Conjunto solución ⎪
⎬
⎨ 5
2r
Problema sobre números enteros
consecutivos
Encuentra tres números enteros consecutivos, tales que la suma
del primero más el triple del tercero sea igual al doble del segundo
aumentado en 20 unidades:
a – rL 5 (1 – r )S
⎩⎪ L
d
despeja t.
t
⎭⎪
Sean x, x 1 1 y x 1 2 los números consecutivos.
La suma del primero más el triple del tercero se expresa:
x 1 3(x 1 2)
El doble del segundo aumentado en 20 se expresa como:
2(x 1 1) 1 20
Como ambas expresiones deben ser iguales se tiene que:
x 1 3(x 1 2) 5 2(x 1 1) 1 20
(1)
129
BLOQUE
6
Resuelves ecuaciones lineales I
es el modelo matemático o la ecuación que proporcionará la solución.
x 1 3x 1 6 5 2x 1 2 1 20
x 1 3x 2 2x 5 2 6 1 2 1 20
2x 5 16
x58
La solución de este ejercicio son los números 8, 9 y 10.
Comprobación:
Sustituye el valor encontrado para x en la ecuación (1) o modelo
matemático.
8 1 3(8 1 2) 5 2(8 1 1) 1 20
8 1 30 5 18 1 20
38 5 38
Tal identidad comprueba la veracidad de la solución x 5 8, en consecuencia se tiene x 1 1 5 9 y, finalmente, x 1 2 5 10.
Problemas de monedas
1. Juan tiene 12 monedas más que Enrique y entre ambos
suman 78. Determina cuántas monedas tiene cada uno.
Solución:
Consideramos M como las monedas que tiene Juan, entonces Enrique tiene M 2 12.
La suma de ambas cantidades de monedas es 78, que se expresa como:
M 1 (M 2 12) 5 78
(1)
Quitando el paréntesis
M 1 M 2 12 5 78
Asociando términos
M 1 M 5 12 1 78
2M 5 90
Reduciendo
90
Despejando
M5
2
M 5 45 monedas y M 2 12 5 33 monedas
Juan tiene 45 monedas y Enrique 33.
Comprobación:
Sustituyendo el valor de M, en la ecuación (1) se tiene:
45 1 (45 2 12) 5 78
45 1 33 5 78
78 5 78
Tal identidad comprueba la veracidad de la solución encontrada.
2. En una alcancía hay monedas de $50, $100 y $200 que
hacen un total de $9 600. El número de monedas de $100 es
130
el triple que las de $200, y el número
de las de $50, el doble de las monedas de $100. ¿Cuántas monedas
de cada denominación hay
en la alcancía?
Solución:
Llamamos C al número de monedas de $100.
Si el número de monedas de $50 es E y éste es el doble de las
de $100, se expresa como:
E 5 2C
(2)
Si el número de monedas de $200 es D y éste es un tercio de
las de $100, se expresa:
C
D5
(3)
3
La suma del número de monedas por su valor nominal debe
ser igual a lo ahorrado. Esto es:
⎛C⎞
(1)
50(2C) 1 100C 1 200⎜ ⎟ 5 9 600
⎝ 3⎠
que es el modelo matemático.
Multiplicado por 3
150(2C) 1 300C 1 200C 5 28 800
Efectuando productos
300C 1 300C 1 200C 5 28 800
Sumando términos semejantes
800C 5 28 800
Despejando
28 800
C5
800
C 5 36
Al sustituir este resultado en las ecuaciones (2) y (3) manifiestan la solución siguiente: 36 monedas de $100, 72 de $50
y 12 de $200.
Problema de interés simple
Un comerciante compró una mercancía en $800 000. Al venderla, su
utilidad fue de 40% sobre una parte de aquélla y de 30% sobre el resto.
El monto de su utilidad fue de $290 000. Determina la fracción de los
$800 000 originales en los que ganó 40%.
Solución:
Si a la fracción de los $800 000 que ganó 40% se le llama x, entonces a la otra fracción se le llama 800 000 2 x:
Si x produce una utilidad de 40% se expresa como:
0.40x
800 000 2 x produce una utilidad de 30% que se expresa como:
0.30(800 000 2 x)
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La suma de ambas utilidades será igual a los $290 000 indicados
en el texto.
0.4x 1 0.3(800 000 2 x) 5 290 000
(1)
Multiplicando por 10 ambos miembros
4x 1 3(800 000 2 x) 5 2 900 000
Quitando el paréntesis
4x 1 2 400 000 2 3x 5 2 900 000
Asociando términos
4x 2 3x 5 2 900 000 2 2 400 000
Reduciendo
x 5 500 000
La fracción de los $800 000 en que se gana 40% son $500 000.
Comprobación:
Al sustituir el valor de x en la ecuación (1) se tiene:
0.4(500 000) 1 0.3(300 000) 5 290 000
200 000 1 90 000 5 290 000
290 000 5 290 000
Tal identidad comprueba la veracidad de la solución encontrada.
Problema de distribuciones
A una empleada se le asigna un trabajo que puede hacer en 8 horas.
Si se le proporciona una ayudante que hace el mismo trabajo en 10
horas, ¿cuánto tardarán en hacerlo juntas?
Solución:
Si se le llama x al trabajo ejecutado, entonces:
x
La empleada puede ejecutar del trabajo por hora.
8
x
La ayudante ejecuta del trabajo por hora.
10
Trabajando juntas, ejecutan la suma de las fracciones anteriores en
cada hora, y todo el trabajo lo realizan en T horas.
⎛x x ⎞
T ⎜ 1 ⎟ 5x
(1)
⎝ 8 10 ⎠
Sumando
(10 x 18 x )
5x
80
Multiplicando por ochenta
T
T(18x) 5 80x
Dividiendo entre x
18T 5 80
Despejando
80
18
4
T 54
9
El tiempo que ambas tardarán en desarrollar el trabajo encomen4
dado es de 4 horas.
9
Comprobación:
Se deja al lector llegar a una identidad si sustituye el valor de T 5
40
en la ecuación (1).
9
T5
Problema de mezclas
¿Qué cantidad de agua debe agregarse a 40 litros de una solución
de alcohol a 15% para reducir la concentración a 12%?
Solución:
Llámese x a la cantidad de agua en litros que debe agregarse a la
solución.
La cantidad de alcohol contenida en la mezcla es 0.15(40).
El porcentaje de la concentración es el cociente del volumen de alcohol entre el total de la mezcla.
Por tanto, el modelo matemático es:
0 . 15( 40)
(1)
0 . 12 5
40 1x
Quitando denominador
0.12(40 1 x) 5 0.15(40)
Multiplicando por cien
12(40 1 x) 5 15(40)
Ejecutando operaciones
480 1 12x 5 600
12x 5 600 2 480
12x 5 120
Despejando
120
x5
510
12
Se deben agregar 10 litros de agua a la mezcla original para reducir
su concentración a 12%.
Comprobación:
Se deja al lector llegar a una identidad si sustituye x 5 10 en la
ecuación (1) de este problema.
Problema de costos y mezclas
¿Cuántos kilogramos de dulce, cuyo precio es de $1 000 cada uno,
deben mezclarse con 6 kg de otro dulce que vale $750 el kilogramo, para vender la mezcla al precio de $900 por kilogramo?
131
BLOQUE
6
Resuelves ecuaciones lineales I
Solución:
Sabemos que la velocidad uniforme es aquella que no varía con
el tiempo, y también que la velocidad es el cociente que resulta
de dividir la distancia recorrida entre el tiempo empleado en recorrerla, es decir:
velocidad 5
v5
o bien:
Solución:
Llámese x al número de kilogramos de dulce que cuesta $1 000 el
kilogramo:
1 000x
Lo que cuestan 6 kg de dulce a $750 el kilogramo, se expresa como:
750 (6)
La suma de ese dinero debe ser igual a lo que cuestan los kilogramos totales (6 1 x) de la mezcla resultante.
Esto se expresa así:
1 000x 1 750(6) 5 900(6 1 x),
(1)
que es el modelo matemático.
Multiplicando
1 000x 1 4 500 5 5 400 1 900x
Transponiendo términos
1 000x 2 900x 5 5 400 – 4 500
Reduciendo términos
100x 5 900
x59
Comprobación:
Se sustituye el valor x 5 9 en la ecuación (1).
1 000(9) 1 750(6) 5 900(6 1 9)
9 000 1 4 500 5 13 500
13 500 5 13 500
Tal identidad comprueba la solución dada.
Función
Este concepto es muy importante dentro de las matemáticas. Los
dos problemas que se analizan a continuación nos permitirán
comprenderlo para después formalizarlo y estudiarlo con mayor
amplitud.
Ejemplos
1.
132
Si un vehículo se mueve a una velocidad constante de 80 kilómetros por hora, determina la distancia que recorre en 1, 2, 3, 4, 5 y
6 horas.
distancia
tiempo
80 5
de donde:
80 5
80 5
80 5
80 5
80 5
d
t
d
, por tanto d 5 80
1
d
, por tanto d 5 160
2
d
, por tanto d 5 240
3
d
, por tanto d 5 320
4
d
, por tanto d 5 400
5
d
, por tanto d 5 480
6
Con los valores dados y los obtenidos se puede construir la tabla
linealmente:
t
1
2
3
4
5
6
d
80
160
240
320
400
480
en la cual se observa que la velocidad es una constante, es decir:
d 80 160 240 320 400 480
5
5
5
5
580
v5 5 5
2
3
4
5
6
t 1
También se observa que los valores que toma la distancia dependen de los valores que toma el tiempo, de manera que a menor
tiempo corresponde menor distancia, a mayor tiempo corresponde
mayor distancia. Por tanto, la distancia y el tiempo son variables.
La variable a la que se asignan valores, en este caso el tiempo,
se denomina variable independiente; la variable cuyo valor
se determina por el que toma aquélla, la distancia en este
caso, se llama variable dependiente o función.
En este problema, en consecuencia, diremos que la distancia es
una función del tiempo.
Los valores de la tabla se pueden representar en el plano
coordenado para trazar la gráfica correspondiente. Dichos valores
también se pueden disponer en una tabla en forma vertical.
Los valores de la tabla se colocan de manera que en el primer
renglón (o primera columna) queden los que corresponden a la
variable independiente, y en el segundo renglón (o segunda co-
Grupo Editorial Patria®
lumna) los que corresponden a la variable dependiente o función
(figura 6.2).
En el plano coordenado los valores de la variable independiente se
localizan en el eje x o eje de las abscisas, mientras que los de la
variable dependiente (o función) se ubican en el eje de las y o eje
de las ordenadas.
y
DISTANCIA
t
d
1
80
560
2
160
480
3
240
400
4
320
320
5
400
6
480
Al representar los valores de la tabla en el plano coordenado se puede
trazar la gráfica (figura 6.3).
Perímetro
80
240
60
160
80
1
2
3
4
5
6
7
TIEMPO
x
Figura 6.2
2.
También se observa que los valores que toma el perímetro dependen
de los valores que toma la longitud del lado, de manera que a menor
longitud del lado corresponde menor perímetro, y a mayor longitud del
lado corresponde mayor perímetro. Por tanto, el perímetro y la longitud
del lado son las variables: a es la variable independiente y P es la variable dependiente o función. En otras palabras, el perímetro P es una
función de la longitud del lado a.
40
20
Se desea cercar un terreno que tiene forma cuadrada. Calcula el
número de metros lineales de malla ciclónica que se necesitan
para cada caso si la longitud del lado mide 10, 12, 14, 16, 18 y
20 metros.
Solución:
Por geometría sabemos que el perímetro del cuadrado se obtiene sumando las longitudes de sus lados, que tienen la misma
medida. Por consiguiente si designamos el perímetro con P y la
longitud del lado igual con a, entonces:
P5a1a1a1a
o bien:
P 5 4a
de donde:
P 5 4(10), por tanto, P 5 40
P 5 4(12), por tanto, P 5 48
P 5 4(14), por tanto, P 5 56
P 5 4(16), por tanto, P 5 64
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Longitud del lado
Figura 6.3
En los dos problemas anteriores, la función se ha representado por
una ecuación con dos variables, por una tabla de valores que satisfacen la ecuación y por una gráfica en el plano coordenado. La ecuación nos proporciona información completa y precisa en general;
pero cuando se desea conocer un caso particular, algunos valores
expresados en una tabla nos dan información de su comportamiento,
y si esos valores se representan con puntos en el plano se obtiene el
bosquejo de una gráfica del problema que se quiere resolver.
Gradualmente se incorporarán más elementos en el estudio de la
ecuación, la función y sus respectivas gráficas.
P 5 4(18), por tanto, P 5 72
Una variable es un símbolo que representa un elemento cualquiera de
un conjunto específico de números.
P 5 4(20), por tanto, P 5 80
Una constante es un símbolo al que sólo se le puede asignar un valor.
Con los valores obtenidos se puede construir la tabla:
a
10
12
14
16
18
20
P
40
48
56
64
72
80
en la que se observa que si se divide el perímetro entre la correspondiente longitud de lado se obtiene 4 como constante, que es el número
de lados de la figura.
p 40 48 56 64 72 80
5 5 5 5 5 5 54
a 10 12 14 16 18 20
Actividad de aprendizaje
¿A qué se le llama variable independiente?
¿A qué se le llama variable dependiente o función?
Una función es
133
BLOQUE
6
Resuelves ecuaciones lineales I
Un precio: un número de inventario, un volumen, etcétera.
Para representar la gráfica de una función en el plano cartesiano,
¿los valores de qué variable van en el eje x? ¿los valores de qué variable van en el eje y?
A cada país se le asocia:
Un régimen socioeconómico, una superficie, una altura sobre el
nivel del mar, un clima, etcétera.
¿De qué formas se puede representar una función?
¿Qué es una variable?
Este tipo de relaciones también se establece entre las variables
que intervienen en el estudio de un determinado fenómeno de
la naturaleza, social, etc., ya sea para calcular un valor preciso
o para hacer una estimación de los valores entre los cuales se
espera un resultado.
¿Qué es una constante?
Ejemplos
1.
La longitud C de una circunferencia de radio r se puede determinar con la fórmula C 5 2π r, donde 2 y π son constantes
mientras que C y r son variables, y como el valor de C depende
del valor que toma r, se dice que la longitud de una circunferencia
es una función de su radio.
2.
El área A de un cuadrado de lado l se puede obtener con la
fórmula A 5 l 2 en la que 2 es una constante, A y l son las variables, y como el valor de A depende del valor que tome l se dice
que el área de un cuadrado es una función de su lado.
Relación
Una relación es una regla de correspondencia que se establece
entre los elementos de un primer conjunto, llamado dominio, con
los elementos de un segundo conjunto, denominado contradominio, de tal manera que a cada elemento del dominio le corresponde uno o más elementos en el contradominio.
Una función es una relación en la que a cada elemento del dominio le corresponde uno y sólo un elemento del contradominio.
En consecuencia, toda función es una relación, pero algunas
relaciones no son funciones. Para distinguir entre unas y otras
veamos los ejemplos siguientes:
2.
Una relación establece la correspondencia o asociación entre los
elementos de dos conjuntos de objetos.
Actividad de aprendizaje
Contradominio
País
Capital
Canadá
Ottawa
Estados Unidos
Washington
Francia
París
Inglaterra
Londres
En esta relación, la regla de correspondencia se establece entre
cada país y su respectiva capital. Como a cada elemento del dominio le corresponde uno y sólo uno del contradominio, la relación
es una función.
¿Qué es una relación?
¿Cómo se define una función a partir del concepto de relación?
Dominio
3.
Dominio
Contradominio
Marca de automóvil
País
Fiat
Italia
Renault
Francia
Citröen
Ejemplos
1.
A cada persona se le asocia:
Una edad, una estatura, un peso, etcétera.
A cada automóvil se le asocia:
Un modelo, un número de motor, un número de placas (matrícula),
etcétera.
En un almacén, a cada artículo se le asocia:
134
Toyota
Japón
En esta relación, la regla de correspondencia se establece entre una marca de automóvil y el país al que pertenece. Observa
que dos elementos del dominio están relacionados con un mismo
elemento del contradominio; sin embargo, a cada elemento del
dominio le corresponde uno y sólo uno del contradominio, por
tanto, esta relación es una función.
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4.
Dominio
Contradominio
País
Idioma oficial
la función f”, o simplemente “y igual a f de x”. Dado que y 5 f (x),
el par ordenado (x, y) se expresa de la siguiente forma: (x, y) 5 (x,
f (x)).
Francia
francés
Actividad de aprendizaje
inglés
A partir del concepto de conjunto de pares ordenados, ¿cómo se define
una relación?, ¿cómo se define una función?
Canadá
Inglaterra
La regla de correspondencia de esta relación se establece entre
cada país y el idioma oficial que se habla en cada uno. Se observa
que un elemento del dominio (Canadá) está relacionado con dos
elementos del contradominio (francés e inglés). Esta relación no
es una función porque no se cumple el criterio de que a cada
elemento del dominio le corresponde uno y sólo uno del contradominio.
5.
Dominio
Contradominio
x
x2
2
0
1
1
0
21
4
22
En esta relación la regla de correspondencia se establece entre un
número y su respectivo cuadrado. Se observa que los elementos
del dominio 2 y 22 están relacionados con un mismo elemento
del contradominio: 4; lo mismo ocurre con el 1 y el 21 que están
relacionados con el 1. Sin embargo, se cumple el criterio de que
a cada elemento del dominio le corresponde uno y sólo uno del
contradominio, por lo cual esta relación es una función.
La mayoría de los dominios y contradominios a que haremos referencia son conjuntos de números cuyos elementos estarán asociados mediante una regla de correspondencia expresada como
una ecuación con dos variables.
Notación de función
Si en una función al dominio se le llama conjunto A y al contradominio se le llama conjunto B, entonces la función se simboliza: f:
A→B
f
o bien:
A ⎯→ B
que en ambos casos se lee: “función de A en B”.
Un elemento cualquiera del dominio se representa con la letra x
(variable independiente). Un elemento cualquiera del contradominio se representa con la letra y (variable dependiente o función).
El elemento y de B correspondiente a un elemento x de A recibe el
nombre de imagen de éste.
El elemento y de B que es imagen de un elemento x de A se simboliza de esta manera: y 5 f (x) que se lee “y es imagen de x según
Ejemplos
En el ejemplo anterior (5) se establece la relación entre un número y su
respectivo cuadrado. La regla de correspondencia se puede expresar así:
y 5 x2
f (x ) 5 x 2
o bien:
El dominio de esta función es A 5 {2, 1, 0, 2l, 22}, de manera que las
imágenes de los elementos de A se obtienen o expresan como sigue:
f (2) 5 22 5 4
“4 es la imagen de 2”
f (1) 5 1 5 1
“1 es la imagen de 1”
fv (0) 5 0 5 0
“0 es la imagen de 0”
2
2
f (21) 5 (21) 5 1
“1 es la imagen de 21”
f (22) 5 (22) 5 4
“4 es la imagen de 22”
2
2
Con estos valores se obtienen los pares ordenados (2, 4), (1, 1), (0, 0),
(21, 1) y (22, 4), por lo cual la función f también se puede expresar
como un conjunto de pares ordenados así:
f 5 {(2, 4), (1,1), (0, 0), (21, 1), (22, 4)}
Como se observa, el primer componente de cada par ordenado es
un elemento del dominio, y el segundo componente o imagen es un
elemento del contradominio.
Sin embargo, no todo conjunto de pares ordenados representa una
función en la cual, por definición, a cada elemento del dominio le
corresponde una y sólo una imagen. Si al aplicar este criterio en un
conjunto de pares ordenados se observa que no existen dos pares
diferentes con el mismo primer elemento, entonces es una función. En
caso de que en un conjunto de pares ordenados existan dos diferentes
con el mismo primer elemento, significará que un elemento del dominio tiene dos imágenes y, por tanto, no es una función.
Antes se dieron los conceptos de relación y de función como una regla
de correspondencia. Con base en la información adicional podemos
definir cada una de manera equivalente como un conjunto.
Una relación es cualquier conjunto de pares ordenados de elementos.
Una función es una relación en la que no hay dos pares ordenados
diferentes con el mismo primer elemento.
135
BLOQUE
6
Resuelves ecuaciones lineales I
Relación entre funciones y ecuaciones
lineales. Ecuación en dos variables
y 5 mx 1 b como forma de la función
lineal, y ecuaciones en una variable
a 5 mx 1 b como casos particulares
La representación gráfica de una ecuación de primer grado con
una o dos incógnitas es una línea recta. Por ello, también se le denomina ecuación lineal.
Una ecuación de primer grado con dos incógnitas es de la forma:
Ax 1 By 1 C 5 0
Con estos valores se obtiene la tabla:
x
y
Puntos
6
A
2
22
2
3
23
4
C
Al representar en el plano coordenado los puntos A, B y C se
observa que son colineales, es decir, que están sobre una misma
recta que representa a la ecuación (figura 6.4).
donde A, B y C son constantes, en tanto que x y y son las variables:
A y B no pueden ser iguales a cero simultáneamente.
y
Una solución de la ecuación es todo par ordenado (x, y) que satisface a esta última, de tal manera que para cada valor real de x se
obtiene uno de y. Por consiguiente, la ecuación tiene un número
infinito de soluciones con las que se forma el conjunto solución.
C (-3,4)
x'
Si se denota a éste con S entonces: S 5 {(x, y)|Ax 1 By 1 C 5 0}
Para representar en el plano coordenado la gráfica de una ecuación
de primer grado con dos variables, se procede a asignar valores arbitrarios a x y se calculan los que corresponden a y. Así se determinan algunos pares ordenados del conjunto solución, que al localizarse en el plano coordenado determinan la posición de la recta
que representa a la ecuación.
Por geometría sabemos que dos puntos del plano determinan una
recta, sin embargo, es conveniente obtener las coordenadas de por
lo menos un tercer punto como comprobación.
Traza la gráfica de la ecuación 2x 1 3y 5 6.
Solución:
Se despeja la variable y :
2x 1 3y 5 6
3y 5 6 2 2x
y5
622x
3
Se asignan a x tres valores arbitrarios que faciliten el cálculo de
y, como los siguientes:
para x 5 6
para x 5 2
para x 5 23
136
B(2, 2 )
3
2x + A (6,-2) x
3y =
6
0
y'
Figura 6.4
La recta se prolonga indefinidamente en ambos sentidos. Las
coordenadas de cualquier punto de la recta satisfacen la ecuación, es decir, cumplen la relación de igualdad que la ecuación
establece; si un punto no pertenece a la recta, sus coordenadas
no satisfacen la ecuación, e inversamente.
Otra forma de trazar la gráfica de la ecuación 2x 1 3y 5 6 es por
medio de sus coordenadas en el origen.
Ejemplos
1.
B
6 2 2(6) 6 212 26
y5
5
5
5 22
3
3
3
6 2 2(2) 6 2 4 2
y5
5
5
3
3
3
6 2 2(23) 6 16 12
5
5 54
y5
3
3
3
Las distancias del origen a los puntos de intersección de la recta
con los ejes se denominan coordenadas en el origen.
La intersección de la recta con el eje xx’ determina la abscisa en
el origen. En dicho punto la ordenada es y 5 0, por lo que sus
coordenadas son (x, 0).
La intersección de la recta con el eje yy’ determina la ordenada
en el origen. En dicho punto la abscisa es x 5 0, por lo que sus
coordenadas son (0, y ).
Por tanto, en la ecuación 2x 1 3y 5 6:
Si x 5 0, el término en x se anula y la ecuación se reduce a 3y 5
6 de donde y 5 2, con lo cual se obtiene el punto de coordenadas
(0, 2). Si y 5 0, el término en y se anula y la ecuación se reduce a
2x 5 6, de donde x 5 3, así se obtiene el punto de coordenadas
(3, 0). Estos dos puntos determinan la recta que representa la
ecuación (figura 6.5).
Ordenada en el origen
Grupo Editorial Patria®
2.
Traza la gráfica de la ecuación 3x 2 4y 5 7 por medio de:
a)
Una tabla de valores de coordenadas.
b)
Sus coordenadas en el origen.
y
Solución:
a)
Despejando y en la ecuación:
3x
3x 2 4y 5 7
x'
3x 5 7 1 4y
3x 2 7 5 4y
x
y
Puntos
5
2
P
1
21
Q
23
24
R
Q(1, -1)
y'
y
3x
x'
4y
=7
x
0
(0, 2)
}
x'
(3, 0)
2x +
Abscisa
3y =
en el origen
6
}
0
y'
x
Figura 6.7
Ax 1 By 1 C 5 0
Cuando en la ecuación:
A 5 0, la ecuación se reduce a:
y'
Figura 6.5
b)
En la ecuación 3x 2 4y 5 7
Si x 5 0
Si y 5 0
x
0
Figura 6.6
y
Ordenada en el origen
= 7 P(5, -2)
R(-3, -4)
3x 2 7
5y
4
3x 2 7
y5
4
o bien:
4y
27
3
521
4
4
7
1
x5 5 2
3
3
y5
7
4
(0, 2 )
⎛7 ⎞
⎜⎝ , 0 ⎟⎠
3
Como era de esperarse, la gráfica de la ecuación es la misma en las
figuras 6.6 y 6.7.
By 1 C 5 0
2C
B
que también se puede expresar así:
y5
o bien:
y 5 k (k constante)
cuya representación en el plano coordenado corresponde a una recta
paralela al eje xx’ si k ≠ 0, o bien al eje xx’ si k 5 0.
3.
Traza la gráfica de la ecuación 2y 2 3 5 0.
Solución:
La ecuación 2y 2 3 5 0 puede expresarse como 0x 1 2y 2 3
5 0, donde se observa que A 5 0. Si en la ecuación 2y 2 3 5 0
se despeja y, se obtiene:
2y 5 3
y5
3
2
137
BLOQUE
6
Resuelves ecuaciones lineales I
y
entonces, los puntos de la recta tienen las coordenadas (x,
3
);
2
3
. Esto significa que la recta es paralela al eje xx’ por donde la
2
3
ordenada es
2
(figura 6.8).
2x + 8 = 0
es decir, que para cualquier valor de la abscisa, la ordenada vale
x'
x
0
y
y'
Figura 6.9
2y - 3 = 0
x'
x
0
Pendiente de una recta
Si representamos en el plano coordenado los puntos P(25, 21),
Q(1, 3) y R(4, 5), observaremos que los tres son colineales (figura
6.10).
y'
Figura 6.8
Cuando en la ecuación: Ax 1 By 1 C 5 0
B 5 0, la ecuación se reduce a: Ax 1 C 5 0
que también se puede expresar así: x 5
o bien:
Veamos la relación que guardan entre sí las coordenadas de dos
puntos cualesquiera de una recta, sin importar el orden en que
tomemos los dos puntos considerados.
Si tomamos las coordenadas de los puntos P y Q en ese orden, tenemos:
2C
A
P(25, 21), Q(1, 3)
y
x 5 k (k constante)
cuya representación en el plano coordenado corresponde: a una
recta paralela al eje yy’ si k ≠ 0, o bien al eje yy’ si k 5 0.
4.
R(4, 5)
Q
Traza la gráfica de la ecuación 2x 1 8 5 0 (figura 6.9).
Solución:
V
x
0
La ecuación 2x 1 8 5 0 se puede expresar así 2x 1 0y 1 8 5 0
en donde se puede observar que B 5 0.
P(-5, -1)
S
T
Si en la ecuación 2x 1 8 5 0 se despeja x, se obtiene:
2x 5 28; x 5 2
8
; x 5 24
2
entonces los puntos de la recta tienen como coordenadas (24, y ),
es decir, que para cualquier valor de la ordenada, la abscisa vale
–4. Esto significa que la recta es paralela al eje yy’ por donde la
abscisa es 24.
Figura 6.10
diferencia de ordenadas 5 3 2 (21) 5 3 1 1 5 4 5 2
diferencia de abscisas
12 (25) 1 1 5
6 3
Si tomamos como primer punto a Q y como segundo punto a P,
se tiene:
138
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diferencia de ordenadas 5 21 23 5 24 5 2
diferencia de abscisas 25 21 26 3
Consideremos ahora los puntos Q(1, 3) y R(4, 5) en ese orden:
diferencia de ordenadas 5 5 2 3 5 2
diferencia de abscisas 4 2 1 5 3
Si R es el primer punto y Q es el segundo punto:
diferencia de ordenadas 5 3 2 5 5 22 5 2
diferencia de abscisas 1 2 4 23 3
Cualquier recta horizontal tiene una inclinación de 0° y como tan
0° 5 0, se dice que su pendiente es cero.
Si procedemos de manera semejante con las coordenadas de dos
puntos distintos de una recta no vertical, obtendremos siempre un
mismo número que denominaremos pendiente.
¿Cuál es la pendiente de una recta paralela al eje x ?
Cualquier recta vertical es perpendicular al eje x, por tanto, su ángulo de inclinación es de 90° y como tan 90° no está definida, entonces la pendiente de una recta perpendicular al eje x, no existe.
Actividad de aprendizaje
¿Por qué se dice que no existe la pendiente de una recta paralela al
eje y ?
La pendiente de una recta se simboliza con la letra m y se le define
así: dados los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2)
y 2y
m5 2 1
x 2 2 x1
x1 ≠ x2
es decir, para los puntos P1 y P2, m es el cociente de la diferencia de
las ordenadas entre la diferencia de las abscisas correspondientes o
tomadas en el mismo orden.
La pendiente expresa una inclinación, ésta es, precisamente, la tangente de un ángulo a formado por la recta con el eje x, o sea:
m 5 tan a
El ángulo a se mide a partir del eje x en sentido contrario al giro de
las manecillas del reloj y su valor puede variar entre 0° y 180°.
Por trigonometría sabemos que en un triángulo rectángulo la tangente de un ángulo agudo se define como la razón entre el cateto
opuesto y el cateto adyacente, por tanto:
y
tan a 5 5 m
x
Observa en la figura 6.10 que los segmentos PT y QV son paralelos
al eje x, en consecuencia, el ángulo que forman éstos con la recta es
el mismo que forma el eje x con la recta.
En el triángulo rectángulo QVR la tangente del ángulo a es:
VR y 2
tan ∞5
5 5
QV x 3
esto significa que el punto R se encuentra 2 unidades hacia arriba y 3
unidades hacia la derecha respecto al punto Q.
De manera similar, en el triángulo rectángulo PSQ la tangente del
ángulo a es:
SQ y 4 2
tan ∞5
5 5 5
PS x 6 3
y para el triángulo rectángulo PTR:
TR y 6 2
tan ∞5 5 5 5
PT x 9 3
Ejemplos
Para cada par de puntos traza la recta que determinan y calcula su
pendiente.
a)
P (23, 21), Q (2, 3)
b)
P (21, 3), Q (2, 22)
c)
P (24, 2), Q (2, 2)
d)
P (3, 5), Q (3, 23)
y
Q(2, 3)
x
0
P(-3, -1)
Figura 6.11
m5
32( 21) 4
5
2 2( 23) 5
m
139
BLOQUE
6
Resuelves ecuaciones lineales I
y
y
P(3, 5)
P(-1, 3)
x
0
x
0
Q(2, -2)
Q(3, -3)
Figura 6.14
Figura 6.12
m5
32( 2 2) 5
5
2 2( 21) 3
m5
23 2 5 28
(no existe)
5
3 23
0
y
Parámetros m y b para determinar
el comportamiento de la gráfica de
una función lineal
Q(2, 2)
P(-4, 2)
0
x
Dentro de las diferentes formas de expresar la ecuación de una
recta, la expresión Ax 1 By 1 C 5 0 se conoce como la forma
canónica. Si de ésta se despeja la variable y se obtiene:
Ax 1 By 1 C 5 0
By 5 2Ax 2 C
y 5 2 Ax/B – C/B
Figura 6.13
m5
140
222
0
5 50
2 2(2 4) 6
Esta ecuación tiene la forma y 5 mx 1 b a la que se le da el nombre de pendiente-ordenada en el origen, donde m es la pendiente
y corresponde al número –A/B, y b es la ordenada en el origen y
corresponde al número –C/B.
Para expresar la ecuación de una recta en la forma pendiente-ordenada en el origen a partir de la forma canónica, se observa que la
pendiente se obtiene dividiendo el simétrico del coeficiente de x
entre el coeficiente de y. La ordenada en el origen se obtiene dividiendo el simétrico de C entre el coeficiente de y.
Forma canónica
Forma pendienteordenada en el origen
a) 2x 1 y 1 1 5 0
a) y 5
22
1
x2
1
1
y 5 22x 2 1
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24
6
x1 2
2
2
y 5 22x 2 3
( 2 7)
23
c) y 5
x1 2
4
4
23
7
y5
x1
4
4
b) 4x 1 2y 1 6 5 0
b) y 5
c) 3x 1 4y 2 7 5 0
Actividad de aprendizaje
Se localiza en el eje y a la ordenada en el origen, es decir al punto
(0, 2). A partir de este punto se toman tres unidades hacia arriba
y cuatro hacia la derecha, pues tanto y como x son positivas;
o bien, a partir del punto se toman tres unidades hacia abajo y
cuatro hacia la izquierda, considerando a y y a x como negativas
(figura 6.15).
Al trazar la recta que pasa por dos de los puntos localizados, se
observa que también contiene al tercero.
2.
Traza la gráfica de la ecuación y 5 2x 2 3.
2 22 y
m 5 2 5 5 5 , b 5 23
1 21 x
Expresa la ecuación 2x 1 3y 2 1 5 0 en la forma y 5 mx 1 b.
Se localiza el punto (0, 23) y a partir de él se toman dos unidades
hacia arriba y una a la derecha, o bien dos hacia abajo y una a
la izquierda.
Técnicas para graficar
la función lineal
Los tres puntos son colineales y la recta que los contiene representa a la ecuación dada (figura 6.16).
Para trazar en el plano coordenado la recta que representa a una
ecuación de la forma y 5 mx 1 b se hace lo siguiente:
3.
Traza la gráfica de la ecuación y 5
22
x 21.
3
Solución:
Ejemplos
m5
3
4
Traza la gráfica de la ecuación y 5 x 1 2.
Se localiza el punto (0, 21) y a partir de él se toman dos unidades
hacia abajo y tres a la derecha, o bien, dos unidades hacia arriba
y tres hacia la izquierda, con lo cual se determinan tres puntos
que permiten trazar la gráfica de la ecuación dada (figura 6.17).
y
3 x+
y= 4
y
2
(0, 2)
0
x
x
2x 3
0
(0, -3)
y=
1.
22 22 2
5 5 , b 5 21
3
3 23
Figura 6.15
Solución:
Se identifica la pendiente y la ordenada en el origen:
3 23 y
5 , b 52
m5 5
4 24 x
Figura 6.16
141
BLOQUE
6
Resuelves ecuaciones lineales I
y
y= 2
3 x-1
0
x
(0, -1)
By 5 2Ax 2 C
A
C
y 5 2 x 2 si B ≠ 0
B
B
que es de la forma y 5 mx 1 b, en la que la variable y está expresada
en función de la variable x, es decir, y es la variable dependiente y x
es la variable independiente.
Figura 6.17
4.
Traza la gráfica de la ecuación y 5
m5
Una función es una terna compuesta por:
Un primer conjunto no vacío llamado dominio de la función.
Un segundo conjunto no vacío llamado contradominio de la función.
Una regla de correspondencia que cumple con las siguientes condiciones:
A cualquier elemento del dominio, por medio de la regla, se le puede asociar un elemento del contradominio.
Ningún elemento del dominio queda sin su asociado en el contradominio. Ningún elemento del dominio puede tener más de un
asociado en el contradominio.
Si de la ecuación de la recta en su forma canónica se despeja la variable y se obtiene Ax 1 By 1 C 5 0:
22
x.
5
22 22 2
5 5
5
5 25
Como en este caso la ordenada en el origen es cero, significa
que la recta pasa por el origen. A partir de éste se toman dos
unidades hacia arriba y cinco a la izquierda, o bien, dos unidades
hacia abajo y cinco a la derecha, con lo cual se tienen tres puntos
que están contenidos en la recta que representa a la ecuación
(figura 6.18).
y
A
C
Como y 5 f (x) entonces la ecuación y 5 2 x 2 se puede
B
B
expresar como una función:
A
C
f ( x )5 2 x 2
B
B
y, en general, la ecuación lineal y 5 mx 1 b se puede expresar
como una función lineal:
f (x) 5 mx 1 b
A este respecto es conveniente precisar la diferencia entre una
ecuación lineal y una función lineal.
y=- 2
5 x
0
x
Figura 6.18
Representación gráfica
de la función lineal y su relación
con la ecuación de primer grado
Recordemos la definición y la notación de función que se trataron anteriormente.
142
Una ecuación es una igualdad que contiene uno o más números
indeterminados, mientras que función es una regla de correspondencia que asocia a cada elemento de un conjunto con uno y sólo
un elemento de otro conjunto.
En la ecuación x 1 3 5 7 se establece la condición de que si a x se
le suma 3 se obtiene como resultado 7, en consecuencia x 5 4. En
cambio, en una función podemos elegir cualquier valor dentro de
su dominio y determinar el que le corresponde en el contradominio. Así, en la función f (x) 5 x 1 3, la regla de correspondencia
establece que para cualquier valor de x dentro de su dominio al sumarle 3 se obtiene su asociado en el contradominio. Si el dominio
de la función es el conjunto de los números reales, entonces algunos pares ordenados de la función son:
f (2) 5 2 1 3 5 5
(2, 5)
f (0) 5 0 1 3 5 3
(0, 3)
f (23) 5 23 1 3 5 0
(23, 0)
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⎛ 1 7⎞
⎜⎝ , ⎟⎠
2 2
1
⎛ 1⎞ 1
f ⎜ ⎟ 5 13 53
⎝ 2⎠ 2
2
Como el dominio y contradominio de la función están constituidos
por el conjunto de los números naturales, tomaremos a los cuatro
primeros:
Actividad de aprendizaje
f (1) 5 2(1) 1 1 5 2 1 1 5 3
f (2) 5 2(2) 1 1 5 4 1 1 5 5
f (3) 5 2(3) 1 1 5 6 1 1 5 7
f (4) 5 2(4) 1 1 5 8 1 1 5 9
¿Cuál es la diferencia entre una ecuación lineal y una función lineal?
con los que se obtienen los pares ordenados: (1, 3), (2, 5), (3, 7),
(4, 9) que pueden representarse geométricamente en la figura
6.19.
Los puntos representados solamente son cuatro de la infinidad
de puntos de la gráfica de la función. Observa que son colineales,
es decir, están sobre una misma línea recta pero no se traza la
línea sugerida por los puntos porque el dominio de la función es
el conjunto de los números naturales y entre dos consecutivos no
existe otro número natural, por consiguiente, tampoco existe su
respectiva imagen bajo la función.
Gráfica de una función lineal
La representación gráfica de una función lineal nos permite identificar, según el trazo, algunas de sus características y propiedades.
En el plano coordenado un punto cualquiera está asociado con un
par ordenado, e inversamente, a un par ordenado le corresponde
un punto; por consiguiente, si una función se define como un conjunto de pares ordenados entonces se puede representar su gráfica
en el plano cartesiano.
2.
Sea la función:
Z
Recuerda que f: A → B denota una función cuyo dominio es el
conjunto A y su contradominio es el conjunto B.
9
8
7
6
5
4
3
2
1
Ejemplos
1.
Representa en el plano coordenado la función f :N → N, tal que
f (x ) 5 2x 1 1.
N
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -11 2 3 4 5 6 7 8 9
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
Z
Figura 6.20
1 2 3 4 5 6 7 8 9
N
Figura 6.19
Solución:
Se determinan algunos puntos cuyas coordenadas son pares ordenados que pertenecen a la función.
f :Z → Z, f (x ) 5 2x 1 1
Representando en el plano algunos de los puntos de su gráfica
se tiene:
f (24) 5 2(24) 1 1 5 28 1 1 5 27
f (23) 5 2(23) 1 1 5 26 1 1 5 25
f (22) 5 2(22) 1 1 5 24 1 1 5 23
f (21) 5 2(21) 1 1 5 22 1 1 5 21
f (0) 5 2(0) 1 1 5 0 1 1 5 1
f (1) 5 2(1) 1 1 5 2 1 1 5 3
f (2) 5 2(2) 1 1 5 4 1 1 5 5
f (3) 5 2(3) 1 1 5 6 1 1 5 7
f (4) 5 2(4) 1 1 5 8 1 1 5 9
143
BLOQUE
6
Resuelves ecuaciones lineales I
por tanto, los pares ordenados son (24, 27), (23, 25), (22,
23), (21, 21), (0, 1), (1, 3), (2, 5), (3, 7) y (4, 9) que se representan en la figura 6.20.
Esta función y la anterior son diferentes, pues aunque su regla de
correspondencia es la misma tienen distinto dominio y contradominio. En la figura 6.19 tampoco se unen los puntos colineales,
ya que entre dos enteros consecutivos cualesquiera no hay otro
número entero, consecuentemente no existe su imagen bajo la
función (figura 6.20).
3.
Sea la función:
Q
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -11 2 3 4 5 6 7 8 9
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
R
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -11 2 3 4 5 6 7 8 9
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
R
Figura 6.22
Q
Actividad de aprendizaje
Para determinar si una gráfica representa o no una función se utiliza el
criterio de la vertical, ¿en qué consiste ese criterio?
Figura 6.21
f :Q → Q, f (x ) 5 2x 1 1
Esta función tiene la misma regla de correspondencia que las
anteriores, pero su dominio y contradominio son distintos.
Siguiendo un razonamiento análogo a los casos anteriores, en la
representación geométrica de la gráfica de la función se observa
mayor número de puntos colineales, los cuales permiten trazar la
recta que los une casi de manera completa, pero todavía quedan
los “huecos”, que corresponden a los números irracionales que
no pertenecen al dominio de definición de la función (figura 6.21).
4.
Si se considera f :R → R, f (x ) 5 2x 1 1, diferente a las tres anteriores por su respectivo dominio y contradominio, su representación
geométrica será una línea recta.
Los puntos suspensivos de la línea recta indican que la gráfica
continúa.
Una función se define por tres elementos: el dominio, el contradominio y la regla de correspondencia, de tal manera que al modificar
uno de ellos se obtiene una función diferente (figura 6.22).
144
Función real
Una función real de variable real, o sencillamente función real,
es aquélla cuyo dominio y contradominio son subconjuntos de los
números reales.
En lo sucesivo, cuando se haga referencia a una función deberá entenderse que se trata de una función real.
Criterio de la vertical
Al definir una función como un conjunto de pares ordenados, se
ha establecido que dos pares diferentes no tienen el mismo primer
componente. Esto significa que al representar geométricamente
la gráfica de una función a cada punto le corresponde diferente
abscisa, de manera que al trazar rectas paralelas al eje de las y por
cualquier valor del dominio, cada una corta a la representación
geométrica en un punto.
Si sólo se da la representación geométrica de una gráfica para determinar si representa o no a una función, por su dominio se trazan
rectas paralelas al eje de las y, y si una de ellas la corta en más de un
punto entonces no corresponde a una función, pues existe al menos un elemento del dominio que tiene más de una imagen.
Grupo Editorial Patria®
Ejemplos
A 5 {x ∈ R|25 < x ≤ 5}
1. Representa a una función porque cualquier paralela al eje y
corta a la curva en un solo punto (figura 6.23). Su dominio es el
conjunto de los números reales y su imagen son los reales no
negativos, es decir,
A 5 R, C 5 R1 ∪ {0}
El dominio de la función es el conjunto de todos los valores que
puede tomar la x, y el conjunto imagen está formado por todos
los valores que puede tomar y bajo la función.
C 5 {y ∈ R|23 < x ≤ 3}
Como podrás observar en la gráfica, la representación geométrica
de la función lineal es una línea recta. Sin embargo, es conveniente aclarar que no todas las líneas rectas representan funciones
lineales, de hecho, las rectas que son paralelas al eje de las y ni
siquiera representan funciones.
y
2. No representa una función porque al trazar paralelas al eje de
las y se observa que cada una de ellas corta a la curva en dos
puntos, es decir, cada elemento del dominio tiene dos imágenes,
excepto el cero (figura 6.24).
3
5
-5
y
x
-3
x
Figura 6.25
Actividad de aprendizaje
En una función creciente, ¿qué signo tiene la pendiente?
Figura 6.23
y
En una función decreciente, ¿qué signo tiene la pendiente?
x
Función creciente
Figura 6.24
3.
Representa una función porque los puntos (25, 0) y (0, 23) no
pertenecen a la gráfica, el dominio e imagen de la función son,
respectivamente, los conjuntos (figura 6.25):
Si los puntos x1, x2 son tales que x1 < x2, como se ilustra en la figura,
y se obtienen sus respectivas imágenes que mantienen la siguiente relación: f (x1) < f (x2), entonces la representación geométrica
corresponde a una función creciente, es decir, cuando x1 < x2 ⇒
f (x1) < f (x2).
En la figura 6.26 también se puede observar que el ángulo de inclinación de la recta es agudo, en consecuencia la pendiente es positiva, m > 0. Por tanto, decir que una función lineal es creciente
significa que tiene pendiente positiva y viceversa.
145
BLOQUE
6
Resuelves ecuaciones lineales I
f (x)
Actividad de aprendizaje
f (x3 )
Si la ecuación de una recta se expresa en la forma y 5 mx 1 b, ¿qué
representa la m? ¿Qué representa la b?
f (x2 )
Traza en el plano cartesiano la función f (x ) 5 2 5x 2 3.
x1
x2
x3
x
f (x1 )
Ejemplos
A continuación se muestran los posibles casos de la representación
geométrica de una función lineal.
Figura 6.26
1.
Función decreciente
Cuando los puntos x1, x2 son tales que x1 < x2 y sus respectivas imágenes guardan entre sí la relación f (x1) > f (x2), de manera que x1
< x2 ⇒ f (x1) > f (x2), entonces se trata de una función decreciente.
Dicho de otra manera, cuando al aumentar el valor de x, también
aumenta el valor de sus respectivas imágenes se trata de una función creciente; pero si al aumentar el valor de x disminuye el de sus
respectivas imágenes, entonces la función es decreciente.
En la figura 6.27 el ángulo de inclinación de la recta es obtuso, en
consecuencia, la pendiente es negativa, m < 0. Por tanto, decir
que una función lineal es decreciente significa que tiene pendiente
negativa y viceversa.
Cuando la recta es paralela al eje x, su ángulo de inclinación es 0°,
por ello su pendiente es cero. Esto significa que la función correspondiente no es creciente ni decreciente.
Lo ya expuesto nos permite, mediante una simple inspección de
la expresión algebraica de la función lineal, identificar cuando es
creciente (m > 0) o decreciente (m < 0).
y
x
Figura 6.28
m > 0, b 5 0, creciente
2.
y
f (x)
f (x3 )
x
f (x2 )
x1
x2
x3
x
f (x3 )
Figura 6.29
m > 0, b > 0, creciente
Figura 6.27
146
Grupo Editorial Patria®
3.
y
6.
y
x
x
Figura 6.30
m > 0, b < 0, creciente
Figura 6.33
7.
4.
m < 0, b < 0, decreciente
y
y
x
x
Figura 6.31
m < 0, b 5 0, decreciente
Figura 6.34
8.
5.
m 5 0, b > 0, constante
y
y
x
x
Figura 6.32
m < 0, b > 0, decreciente
Figura 6.35
m 5 0, b < 0, constante
147
BLOQUE
9.
6
Resuelves ecuaciones lineales I
En una empresa, un obrero gana cinco unidades de dinero por
cada hora de trabajo en una jornada de 40 horas a la semana,
el tiempo extra se le paga al doble con un máximo permisible de
10 horas a la semana. La expresión algebraica que describe el
sueldo semanal es f (x ) 5 200 1 10x (figura 6.36).
Solución:
a) f (0) 5 200 1 10(0) 5 200 1 0 5 200
f (1) 5 200 1 10(1) 5 200 1 10 5 210
f (2) 5 200 1 10(2) 5 200 1 20 5 220
a ) Determina el sueldo semanal cuando el obrero trabaja 0, 1,
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 o 10 horas extras.
f (3) 5 200 1 10(3) 5 200 1 30 5 230
f (4) 5 200 1 10(4) 5 200 1 40 5 240
b ) Construye la gráfica.
f (5) 5 200 1 10(5) 5 200 1 50 5 250
c ) Decide si la función es creciente o decreciente.
f (6) 5 200 1 10(6) 5 200 1 60 5 260
d ) Determina el dominio, contradominio e imagen de la función.
f (7) 5 200 1 10(7) 5 200 1 70 5 270
f (8) 5 200 1 10(8) 5 200 1 80 5 280
f (9) 5 200 1 10(9) 5 200 1 90 5 290
f (10) 5 200 1 10(10) 5 200 1 100 5 300
b)
300
200
100
1
Figura 6.36
c ) Creciente
d ) A 5 {x ∈ R|0 ≤ x ≤ 10}
C 5 {y ∈ R|200 ≤ y ≤ 300}
B5C
148
2
3
4
5
6
7
8
9
10
horas
Grupo Editorial Patria®
Instrumentos de evaluación
Apellido paterno
Apellido materno
Nombre
Grupo
Asegúrate de haber adquirido los contenidos que se abordan en el Bloque 6. Para ello, realiza lo que se te pide a continuación.
1. Determina tres números enteros impares consecutivos, tales
que la suma de los dos primeros sea igual al triple del tercero
menos 19.
2. ¿Cuánto por ciento de agua debe evaporarse de una solución
salina de 6% de concentración para aumentar la concentración
a 10%?
6. Expresa la ecuación 2x 1 5y 1 15 5 0 en la forma y 5 mx
1 b.
7. En el contrato anual de renta de un televisor se cobra un
depósito de 500 unidades de dinero y una renta semanal de
75 unidades de dinero. Halla la expresión algebraica de la función que se describe.
8. Traza en el plano cartesiano la función f (x ) 5 5 2 x
3. ¿En 90 gramos de una aleación de plata y cobre hay 6 gramos
de plata. ¿Cuántos gramos de cobre deben agregarse para
que 50 gramos de la nueva aleación contengan 2 gramos de
plata?
9. Determina si la función f (x ) 5 23(2 2 x ) es creciente o
decreciente. Fundamenta tu respuesta.
4. Determina el conjunto solución de la ecuación 2x 2 3(x 2 4)
5 25.
10. El equipo de oficina en una empresa se deprecia cada año 10%
de su costo de adquisición, el cual fue de 15 000 unidades de
dinero.
5. Halla la pendiente de la recta que determinan los puntos
T(22, 6), U(1, 23).
a ) Determina el valor contable del equipo en el año de adquisición y después de 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10 años.
b ) Tabula y representa en el plano coordenado.
c ) Encuentra la expresión algebraica que determina la función
que describe el problema.
d ) Determina el dominio, el contradominio e imagen.
149
BLOQUE
6
Resuelves ecuaciones lineales I
Lista de cotejo
Lista de cotejo para el reporte sobre el impuesto predial del Bloque 6.
Nombre del alumno:
Criterio
Presentación
1. Cuenta con una carátula que incluye: el nombre del trabajo que se realiza,
la materia, fecha de entrega, nombre del alumno y su matrícula.
2. Tiene una redacción que es adecuada y clara.
3. Tiene buena ortografía o con errores mínimos.
4. El trabajo se elabora en computadora o manuscrito con letra legible.
5. Las gráficas o dibujos auxiliares se elaboran de un tamaño adecuado
de modo que se puedan apreciar con claridad los datos obtenidos o las
condiciones del problema.
6. Se presenta todo el procedimiento necesario para obtener los datos o
solución que se pide con la justificación correspondiente.
Desarrollo
7. En el procedimiento se desarrolla una secuencia lógica y coherente.
8. Se hace referencia a las gráficas o diagramas auxiliares para apoyar la
argumentación del escrito.
9. Se hace la referencia bibliográfica de las notas, definiciones o conceptos
consultados para sustentar teóricamente las acciones realizadas.
Conclusiones
Dominio del
tema
10. La investigación se realiza con apoyo en libros y revistas actualizadas
sobre el tema o bien en sitios web cuya información sea científicamente
válida. De incluir citas textuales, éstas deben ser breves y con la
referencia de la fuente.
150
11. Investiga y obtiene datos acerca de cuánto se paga de impuesto
predial por metro cuadrado de suelo.
12. Investiga y obtiene datos acerca de cuánto se paga de impuesto
predial por metro cuadrado de construcción.
13. Obtiene la expresión algebraica del pago de impuesto predial en
función del número de metros.
14. Calcula y obtiene la cantidad a pagar por concepto de impuesto
predial por metro cuadrado de suelo.
15. Calcula y obtiene la cantidad a pagar por concepto de impuesto
predial por metro cuadrado de construcción.
16. Calcula y obtiene la cantidad a pagar por concepto de impuesto
predial en función del número de metros cuadrados de suelo y el
número de metros cuadrados de construcción.
cumple
sí
no
Observaciones
Grupo Editorial Patria®
Rúbrica para evaluar el conocimiento adquirido
Indicaciones:
Esta rúbrica es para valorar el desempeño de los estudiantes sobre los contenidos del bloque 6.
Nombre del alumno:
Excelente
(4)
Bueno
(3)
Regular
(2)
Ecuaciones lineales
Conoce el concepto de
ecuación lineal con una
incógnita. Plantea y expresa
el modelo matemático de un
problema.
Conoce el concepto de
ecuación lineal con una
incógnita. En la mayoría de
los casos, plantea y expresa
el modelo matemático de un
problema.
Conoce el concepto de
ecuación lineal con una
incógnita. En algunos
casos, plantea y expresa el
modelo matemático de un
problema.
No conoce el concepto
de ecuación lineal con
una incógnita. No plantea
ni expresa el modelo
matemático de un
problema.
Resolución de
ecuaciones lineales
en una variable
Aplica las propiedades
de la igualdad. Resuelve
ecuaciones lineales en
una variable y problemas.
Conoce los conceptos de
función y relación.
Aplica las propiedades de
la igualdad. En la mayoría
de los casos, resuelve
ecuaciones lineales en
una variable y problemas.
Conoce los conceptos de
función y relación.
Aplica las propiedades de
la igualdad. En algunos
casos, resuelve ecuaciones
lineales en una variable
y problemas. Conoce los
conceptos de función y
relación.
No aplica las propiedades
de la igualdad. No resuelve
ecuaciones lineales en una
variable ni problemas. No
conoce los conceptos de
función o relación.
Relación entre
funciones y
ecuaciones lineales
Representa gráficamente
una ecuación lineal en dos
variables. Determina la
distancia entre dos puntos
del plano.
En la mayoría de los casos,
representa gráficamente
una ecuación lineal en dos
variables y determina la
distancia entre dos puntos
del plano.
En algunos casos,
representa gráficamente
una ecuación lineal en dos
variables y determina la
distancia entre dos puntos
del plano.
No representa gráficamente
una ecuación lineal en dos
variables. No determina la
distancia entre dos puntos
del plano.
Influencia de los
parámetros en
la gráfica de una
función lineal
Conoce la influencia de
los parámetros m y b en
la representación gráfica
de la función y 5 mx 1 b.
Establece la relación entre la
función lineal y la ecuación
de primer grado.
Conoce la influencia de
los parámetros m y b en
la representación gráfica
de la función y 5 mx 1 b.
Establece la relación entre la
función lineal y la ecuación
de primer grado.
Conoce la influencia de
los parámetros m y b en
la representación gráfica
de la función y 5 mx 1 b.
Establece la relación entre la
función lineal y la ecuación
de primer grado.
Conoce la influencia de
los parámetros m y b en
la representación gráfica
de la función y 5 mx 1 b.
Establece la relación entre la
función lineal y la ecuación
de primer grado.
Técnicas para
graficar la función
lineal
Traza la gráfica de una
función lineal.
Distingue funciones
crecientes y decrecientes.
En la mayoría de los casos,
traza la gráfica de una
función lineal.
Distingue funciones
crecientes y decrecientes.
En algunos casos, traza
la gráfica de una función
lineal.
Distingue funciones
crecientes y decrecientes.
No traza la gráfica de una
función lineal.
No distingue funciones
crecientes ni decrecientes.
Aspecto a evaluar
Criterios
Deficiente
(1)
Comentarios Generales
151
Resuelves ecuaciones lineales II
7
B LO Q U E
Objetos de
aprendizaje
7.1 Representación de relaciones
entre magnitudes.
7.2 Modelos aritméticos
o algebraicos.
Competencias a desarrollar
„
Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de
procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la
comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.
„
Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.
„
Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos
matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.
„
Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural
para determinar o estimar su comportamiento.
„
Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o
fenómeno y argumenta su pertinencia.
„
Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con distintos símbolos
matemáticos y científicos.
„
Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera
reflexiva.
¿Qué sabes hacer ahora?
1.
Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por reducción:
5x 2 2y 5 17
8x 1 5y 5 19
4x 2 3y 5 5
3x 1 5y 5 11
Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por sustitución.
2.
2x + 3 y = 8
x − 2 y =1
2x + 3 y = 7
x − 6 y =1
3.
Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por igualación.
3x 1 5y 5 11
4x 2 3y 5 5
2x 1 y 5 5
3x 1 3y 5 21
4.
Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones aplicando la regla de Cramer.
x1456
x 2 2y 5 18
5.
Representa gráficamente los siguientes sistemas de ecuaciones. Identifica cada
sistema como compatible, incompatible o indeterminado.
x1y57
x2y53
6.
Resuelve el siguiente sistema utilizando un método algebraico.
5x 2 2y 5 17
8x 1 5y 5 19
7.
Resuelve con el método gráfico el sistema.
x1y57
x2y51
Desempeños por alcanzar
Reconoce el modelo algebraico de un sistema de ecuaciones con dos incógnitas.
Resuelve e interpreta sistemas de ecuaciones de dos incógnitas mediante
métodos:
Numéricos: determinantes; Algebraicos, eliminación por igualación, reducción
(suma y resta) y sustitución, Gráficos.
Expresa y soluciona situaciones utilizando sistemas de ecuaciones con dos
incógnitas.
Identifica gráficamente si un sistema de ecuaciones simultáneas tiene una,
ninguna o infinitas soluciones.
Resuelve problemas que se plantean en lenguaje algebraico utilizando
métodos algebraicos, numéricos y gráficos.
Elabora o interpreta gráficas, tablas y mapas, para resolver situaciones diversas
que conllevan el uso de sistemas de ecuaciones con dos incógnitas.
7
BLOQUE
Resuelves ecuaciones lineales II
Situación didáctica
¿Cómo lo resolverías?
Una lancha se desplaza a 39 kilómetros por hora en la dirección de la corriente de un río y a 21 kilómetros por hora en la dirección opuesta.
¿Cuál es la velocidad de la lancha en aguas tranquilas y cuál es la velocidad de la corriente del río?
Secuencia didáctica
Forma equipos para resolver el problema.
Que cada equipo represente, mediante dibujos, las condiciones del
problema.
¿Qué tienes que hacer?
preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a
cabo las rectificaciones que procedan.
Presenta los resultados en plenaria y analizar las formas de resolver
el problema.
Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto a las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de
asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje.
Cada equipo debe investigar:
Evaluación por producto
¿Cómo representar la velocidad de la lancha en aguas tranquilas?
A fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito
de manera muy clara.
¿Cómo representar la velocidad de la corriente del río?
¿Cómo representar la velocidad de la lancha cuando viaja en favor
de la corriente?
¿Cómo representar la velocidad de la lancha cuando viaja en contra de la corriente?
¿Cómo establecer el modelo matemático que ilustra las condiciones del problema?
¿Cómo resolver el sistema de ecuaciones que representa el modelo
matemático?
En este ejemplo:
Producto a elaborar
Representación de las velocidades de la lancha en favor y en contra
de la corriente del río.
Modelo matemático del enunciado del problema.
Cálculo y obtención de los valores buscados.
¿Cómo comprobar el resultado obtenido en el enunciado del problema?
Trabajo individual
Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios.
Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es
Rúbrica
Para determinar las velocidades de la lancha y de la corriente del río
que se solicitan se deben anexar los conceptos investigados y los
cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica
con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación,
el esfuerzo realizado, la forma, las fuentes consultadas, etc. La des154
¿Cómo sabes que lo hiciste bien?
cripción del procedimiento por escrito tiene un valor de 3 puntos y
la presentación en clase, 2 puntos de tu calificación de la actividad
que se evalúa. Todo ello suma un total de 10 puntos.
Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes.
Grupo Editorial Patria®
Situación didáctica
¿Cómo lo resolverías?
En agua el cobre pierde 0.112 de su peso y el estaño, 0.137.
¿Cuánto cobre y estaño contiene un cuerpo de 10 kilogramos de
peso que en agua pierde 1.195 kilogramos?
Secuencia didáctica
Forma equipos para resolver el problema.
Que cada equipo represente, mediante dibujos, las condiciones del
problema.
Presenta los resultados en plenaria y analizar las formas de resolver
el problema.
Cada equipo debe investigar:
¿Cómo se representa la cantidad en kilogramos de cobre y estaño?
¿Qué tienes que hacer?
Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es
preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a
cabo las rectificaciones que procedan.
Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto a las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de
asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje.
¿Cómo se representa la cantidad de cobre y estaño en el cuerpo?
Evaluación por producto
¿Cómo se representan las cantidades que pierden en agua el cobre,
el estaño y el cuerpo?
A fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito
de manera muy clara.
¿Cómo se establece el modelo matemático que ilustra las condiciones del problema?
En este ejemplo:
¿Cómo resolver el sistema de ecuaciones que representa el modelo
matemático?
¿Cómo comprobar los resultados obtenidos en el enunciado del
problema?
Producto a elaborar
Representación de las cantidades de cobre y estaño en el cuerpo.
Modelo matemático del enunciado del problema.
Cálculos y obtención de los valores buscados.
Trabajo individual
Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios.
Rúbrica
Para determinar las cantidades de cobre y estaño que se solicitan se
deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados,
éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material
utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado,
la forma, las fuentes consultadas, etc. La descripción del procedi-
¿Cómo sabes que lo hiciste bien?
miento por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en
clase, 2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo
ello suma un total de 10 puntos.
Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes.
155
7
BLOQUE
Resuelves ecuaciones lineales II
Propuestas de diseño para
situaciones didácticas
5. 5 x − 10 y = − 6
Parte I
6. 2 x + 3 y = 7
x − 6 y =1
Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por reducción.
1. 5x 2 2y 5 17
8x 1 5y 5 19
2. 4x 2 3y 5 5
3x 1 5y 5 11
3. 8x 1 3y 5 13
3x 1 2y 5 11
4. 3x 2 4y 5 13
26x 1 3y 5 221
5. 23x 1 4y 5 26
5x 2 6y 5 8
6. 4x 2 y 5 1
6x 1 y 5 79
7. 6x 2 7y 5 7
2x 1 7y 5 28
8. x 2 y 5 2
3x 1 4y 5 20
9. x 2 3y 5 11
4x 2 5y 5 30
10. 5x 2 8y 5 8
x 1 y 5 12
10 x + 5 y = 6
7. 3x + 2 y = 0
2 x − 3 y = 13
8. 2 x − 3 y = − 3
6 x + y = 34
9. 4 x − 3 y = 5
2x + 5 y = − 4
10. 6 x + 3 y = 8
4 x − 6Y = 8
Parte III
Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por igualación.
1. 3x 1 5y 5 11
4x 2 3y 5 5
2. 2x 1 y 5 5
3x 1 3y 5 21
3. 23x 1 4y 5 26
5x 2 6y 5 8
4. 5x 2 2y 5 17
8x 1 5y 5 19
Parte II
Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por sustitución.
5. 7x 2 5y 5 15
2x 2 y 5 9
x 4
1 5 27
2 3
6. 6x 2 3y 5 63
x y
2 5 24
3 2
7. 7x 2 3y 5 23
2. 4x 1 3y 5 17
8. 2x 1 5y 5 44
1.
22x 1 5y 5 215
3. 7x 1 3y 5 22
22x 1 5y 5 218
4. 2 x + 3 y = 8
x − 2 y =1
156
5x 2 9y 5 85
22x 2 3y 5 5
6x 2 5y 5 28
9. 8x 2 5y 5 9
6x 2 7y 5 10
10. 10x 2 9y 5 18
2x 1 6y 5 1
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Parte IV
Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones aplicando la regla
de Cramer.
1. x 1 4 5 6
x 2 2y 5 18
2. 2x 1 y 5 4
3x 2 y 5 21
3. 2x 2 y 5 5
3x 1 3y 5 21
4. 2x 1 5y 5 44
6x 2 5y 5 28
5. 6x 1 12y 5 7
8x 2 15y 5 21
6. 8x 2 3y 5 1
8x 2 9y 5 21
7. 4x 1 y 5 1
x 2 2y 5 8
8. x 1 3y 5 1
22x 2 4y 5 2
9. x 2 2y 5 1
x 2 3y 5 3
10. 3x 2 2y 5 2
2x 1 y 5 8
11. x 1 y 1 2z 5 3
3x 2 y 1 z 5 1
2x 1 3y 2 4z 5 9
12. 2x 2 y 1 z 5 3
x 1 3y 2 2z 5 11
3x 2 2y 1 4z 5 1
13. x 1 2y 2 3z 5 27
2x 2 y 1 z 5 5
3x 2 y 1 2z 5 8
15. 3x 1 y 1 z 5 5
x 1 3y 2 2z 5 11
3x 2 2y 1 4z 5 1
16. x 1 y 2 z 5 6
x 2 2y 2 3z 5 21
3x 2 y 1 2z 5 1
17. x 1 y 1 z 5 7
x 2 3y 1 z 5 3
2x 1 y 1 z 5 1
18. 2x 2 y 1 z 5 3
x 2 2y 1 z 5 24
x 1 y 2 z 5 23
19. x 1 y 2 z 5 6
x 1 2y 1 z 5 22
2x 1 y 1 2z 5 2
20. 2x 2 3y 2 z 5 4
x 1 2y 1 2z 5 6
x 1 4y 1 z 5 1
21. x 1 y 1 z 5 11
x2y1z51
x 1 y 2 2z 5 5
22. x 1 y 1 z 5 10
x2y1z52
x1y2z58
23. x 2 y 1 z 5 6
x 1 y 2 z 5 24
x1y1z52
24. x 1 y 1 z 5 24
x1y2z52
2x 2 3y 2 z 5 24
25. 3x 2 2y 2 z 5 11
x1y1z56
x 1 3y 2 2z 5 25
14. x 1 y 1 2z 5 3
x 2 y 1 z 5 21
x1y2z59
157
7
BLOQUE
Resuelves ecuaciones lineales II
La matemática es la ciencia del orden y la medida, de bellas cadenas de
razonamientos, todos sencillos y fáciles.
René Descartes
Introducción
Se toma como base problemas que conducen al establecimiento
de un sistema de ecuaciones con dos variables para tratar los métodos algebraicos que lo resuelven; y también se utiliza el método
gráfico, cuya representación en el plano cartesiano ilustra los casos
en que las ecuaciones del sistema representan dos rectas que se
cortan, dos rectas paralelas o dos rectas coincidentes.
7.1 Representación de
relaciones entre magnitudes
Solución de un sistema de dos ecuaciones
con dos incógnitas (2 3 2) mediante las
gráficas de funciones lineales
Un sistema de ecuaciones simultáneas es aquél en el que el valor de
cada variable es el mismo en cada ecuación que lo integra.
De manera particular, si en un sistema simultáneo de dos ecuaciones de primer grado con dos variables, x y y, se obtiene un par de
valores que satisface las dos ecuaciones, se dice que se tiene una
solución del sistema. Si dicha solución es única, entonces se puede
obtener por alguno de los métodos tratados en esta unidad.
Gran cantidad de problemas se pueden resolver a partir de su planteamiento como un sistema simultáneo de dos ecuaciones con dos
variables.
Para tu reflexión
Alembert, Jean Le Rond D´ (1717-1783)
Escritor, físico y matemático francés, autor de
diversos libros de física, óptica, acústica,
mecánica, literatura, filosofía y astronomía.
Colaboró con Diderot en la organización de la Enciclopedia.
Sus investigaciones en matemáticas, física y astronomía
lo llevaron a formar parte de la
Academia de Ciencias a la
edad de 25 años; estudios
de tal relevancia que aún
conservan su nombre.
158
D’Alembert redactó, en 1751, Discurso preliminar, donde se aborda
el enfoque general de la obra con la filosofía de las Luces. Su pensamiento resulta una síntesis entre el racionalismo y el empirismo, pues
se subraya la unidad del saber y la fe en el progreso de la Humanidad
a través de las ciencias, las cuales están unificadas por una filosofía
desprendida de mitos y creencias trascendentales.
Cuando la campaña de los reaccionarios contra la Enciclopedia consiguió que se prohibiera continuar su edición (1759), se retiró de la
obra, dejando a Diderot como único director, pero siguió sosteniendo
el pensamiento crítico, humanista y reformista en su función como
secretario perpetuo de la Academia Francesa (1772).
Alembert, entre los años de 1743 y 1754, publicó sus obras científicas
más importantes, el Tratado de dinámica (1743), en el que expuso la
mecánica de los cuerpos rígidos basándose en el principio que lleva su
nombre y que establece la existencia de equilibrio entre las acciones y
las reacciones internas de un sistema rígido. Dicho estudio propició la
creación del Tratado del equilibrio y movimiento de los fluidos (1744), y
desarrolló aspectos que hacían referencia al movimiento del aire en la
Théorie générale des vents (1745). En este último trabajo se enfrentó
con la demostración del llamado Teorema fundamental del álgebra,
para el cual halló una demostración parcial.
En 1747 aplicó el cálculo diferencial al análisis del problema físico de
la cuerda vibrante, lo cual le condujo a la resolución de una ecuación
diferencial en derivadas parciales para la que encontró una solución.
En las Investigaciones sobre la precesión (1749) estableció las ecuaciones del movimiento de la Tierra en torno a su centro de gravedad y
abordó el problema de los tres cuerpos: relaciones entre las fuerzas
y los movimientos correspondientes al Sol, la Tierra y la Luna.
Identificar si un sistema 2 3 2 posee una,
ninguna o infinitas resoluciones
La solución del sistema es el par de coordenadas que corresponde
al punto común de las dos rectas, es decir, su punto de intersección.
Ejemplos
1.
Resuelve gráficamente el sistema formado por las ecuaciones x
1 2y 5 7, 2x 2 y 5 21.
y5
(x, y )
72 x
2
y 5 2x 1 1
(x, y )
A (1, 3)
D (21, 21)
B (3, 2)
E (0, 1)
C (5, 1)
F (1, 3)
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y
El ejemplo anterior representa un sistema sin solución, por consiguiente, es incompatible. Como representación de las ecuaciones corresponde a dos rectas que no se cortan.
AF
En este ejemplo el sistema está formado por dos ecuaciones independientes, pero no son simultáneas ya que las variables no
tienen el mismo valor.
En la primera ecuación y 5 3 2 x y en la segunda y 5 5 2 x.
Un sistema como éste recibe el nombre de sistema inconsistente
o incompatible.
B
C
E
x
D
3.
Figura 7.1
Solución:
Resuelve gráficamente el sistema formado por las ecuaciones
y 5 x 1 2, 3y 5 3x 1 6.
(x, y )
(x, y )
A (0, 2)
D (24, 22)
B (21, 1)
E (1, 3)
C (22, 0)
F (2, 4)
y
x51
y53
Este sistema está formado por dos ecuaciones simultáneas e independientes.
F
Cuando un sistema como el anterior tiene una solución, se dice
que es compatible, consistente o determinado.
2.
Resuelve gráficamente
1 y 5 3, x 1 y 5 5.
y532x
(x, y )
A (1, 2)
B (0, 3)
C (21, 4)
B
C
el sistema formado por las ecuaciones x
A
E
x
D
y552x
(x, y )
D (1, 4)
E (0, 5)
F (3, 2)
y
Figura 7.3
E
D
C
B
F
A
x
Figura 7.2
Un sistema como el anterior tiene infinitas soluciones, debido
a que las dos ecuaciones son dependientes, ya que todo par de
valores que satisface a una también satisface a la otra. Si dos
ecuaciones son dependientes, una es consecuencia de la otra; en
este caso, 3y 5 3x 1 6 se obtiene al multiplicar por 3 la ecuación
y 5 x 1 2.
En este ejemplo, el sistema está formado por dos ecuaciones simultáneas, pero no independientes y recibe el nombre de sistema indeterminado. En consecuencia, para que un
sistema de dos ecuaciones tenga solución única requiere que sus
dos ecuaciones sean simultáneas e independientes a la vez.
El método gráfico tiene la ventaja de ilustrar geométricamente la
posición de las rectas que representan a las ecuaciones y el punto
de intersección que es la solución del sistema. Sin embargo, no
159
7
BLOQUE
Resuelves ecuaciones lineales II
Actividad de aprendizaje
siempre se puede determinar el valor exacto de la solución, y en
ecuaciones más complicadas es laborioso y poco práctico, por lo
cual recurrimos al método algebraico.
¿En qué consiste el método de eliminación por reducción?
Aplica lo que sabes
Ponte de acuerdo con tus compañeras y compañeros de grupo para
realizar lo siguiente:
Ejemplos
1.
En una pizzería se compran dos
pizzas y una orden de alitas de pollo por $270.00, y por tres pizzas
(como las del otro pedido) y dos
órdenes de alitas de pollo se pagan
$420.00. Determina cuál es el precio de cada pizza y de cada orden
de alitas de pollo.
Cuando los coeficientes de la variable a eliminar son iguales en
valor absoluto. Halla dos números tales que su suma sea 7 y su
diferencia uno.
Solución:
Sean x y y los números que se buscan.
El problema se puede plantear con el siguiente sistema.
x1y57...
x2y51...
(1)
(2)
7.2 Modelos aritméticos
o algebraicos
La variable y se puede eliminar si se suman miembro a miembro
las ecuaciones (1) y (2), es decir:
x1y57
x2y51
Solución de un sistema de dos ecuaciones
con dos incógnitas (2 3 2)
de donde:
2x 5 8
x5
Para resolver un sistema de este tipo se utilizan diversos métodos
algebraicos como los siguientes:
■ Eliminación por reducción (suma o resta)
■ Eliminación por sustitución
■ Eliminación por igualación
■ Determinantes
También se utiliza el método gráfico.
A continuación se explica cada uno de estos métodos con el propósito de aplicarlos a la resolución de problemas.
x54...
Sustituyendo (3) en (1) se obtiene:
x1y57
41y57
por tanto:
y5724
y53
Comprobación:
Se sustituyen las dos variables por los valores hallados:
x 1 y 5 7 . . . (1)
x 2 y 5 1 . . . (2)
41357
42351
757
151
Métodos algebraicos
Método de eliminación por reducción
A este método se le conoce como de reducción por suma o resta.
El procedimiento consiste en realizar las transformaciones necesarias con las ecuaciones para obtener una sola ecuación con una
variable. A este proceso se le llama eliminación, pues mediante
multiplicaciones adecuadas se iguala el valor absoluto de los coeficientes de una misma variable en ambas ecuaciones y después se
suman o restan miembro a miembro para eliminar dicha variable.
160
8
2
2.
(3)
Cuando los coeficientes de las variables a eliminar son diferentes
en valor absoluto. Por 5 plumas y 3 lapiceros se pagaron 136
unidades de dinero, y por 3 plumas y 4 lapiceros se pagaron
108 unidades de dinero. Halla el valor de cada pluma y de cada
lapicero.
Grupo Editorial Patria®
Actividad de aprendizaje
Solución:
Si se representan las plumas por p y los lapiceros por l, el problema se puede plantear con el siguiente sistema:
5p 1 3l 5 136 . . .
(1)
3p 1 4l 5 108 . . .
En un sistema de ecuaciones simultáneas, ¿cómo es el valor de cada
una de las variables?
(2)
Si queremos eliminar la variable p, se requiere que sus respectivos coeficientes sean iguales en valor absoluto. Esto se consigue
si la ecuación (1) se multiplica por 3 y la ecuación (2) se multiplica
por 5 para obtener las ecuaciones equivalentes (3) y (4).
Actividad de aprendizaje
3 (5p 1 3l 5 136)
5 (3p 1 4l 5 108)
15p 1 9l 5 408 . . .
(3)
15p 1 20l 5 540 . . .
(4)
¿En qué consiste el método de eliminación por sustitución?
La variable p se elimina restando miembro a miembro la ecuación
(4) de la (3), es decir:
15p 1 9l 5 408
Método de eliminación
por sustitución
15p 1 20l 5 540
211l 5 2132
de donde:
132
l52
2 11
l 5 12 . . . (5)
El valor de p se obtiene al sustituir (5) en cualquiera de las ecuaciones del sistema original o del sistema transformado.
El proceso consiste en despejar una variable en una de las ecuaciones. La expresión así obtenida se sustituye en la otra ecuación para
obtener una nueva ecuación con una sola variable. Se encuentra
el valor de ésta y se sustituye en la expresión despejada de la otra
variable para determinar su valor.
Ejemplos
Sustituyendo (5) en (1) se obtiene:
5p 1 3l 5 136
1.
5p 1 3(12) 5 136
despejando p:
5p 1 36 5 136
5p 5 136 2 36
5p 5 100
p5
Solución:
100
5
Sean x y y el número de boletos de 20 y
30 unidades de dinero, respectivamente.
Entonces:
p 5 20
Comprobación:
x 1 y 5 300 . . .
Se sustituyen las dos variables por los valores hallados:
5p 1 3l 5 136 . . .
Para un espectáculo se vendieron 300
boletos de 20 y 30 unidades de dinero.
¿Cuántos boletos se vendieron de cada
precio si el total de venta fue de 8 000
unidades de dinero?
(1)
3p 1 4l 5 108 . . .
5(20) 1 3(12) 5 136
3(20) 1 4(12) 5 108
100 1 36 5 136
60 1 48 5 108
136 5 136
108 5 108
(2)
20x 1 30y 5 8 000 . . .
Despejando y en (1): x 1 y 5 300
y 5 300 2 x . . .
Sustituyendo (3) en (2):
20x 1 30y 5 8 000
(1)
(2)
(3)
20x 1 30(300 2 x ) 5 8 000
161
7
BLOQUE
Resuelves ecuaciones lineales II
8 800x 1 180 (16 150 2 50x ) 5 2 882 000
Efectuando el producto indicado:
20x 1 9 000 2 30x 5 8 000
Reduciendo términos semejantes:
9 000 2 10x 5 8 000
Transponiendo términos:
9 000 2 8 000 5 10x
de donde:
1 000 5 10x
por tanto:
100 5 x . . .
Sustituyendo (4) en (3):
y 5 300 2 x
y 5 300 2 100
y 5 200
Comprobación:
x 1 y 5 300 . . .
20x 1 30y 5 8 000 . . .
(1)
100 1 200 5 300
20(100) 1 30(200) 5 8 000
300 5 300
2 000 1 6 000 5 8 000
2.
Efectuando operaciones y simplificando:
8 800x 1 2 907 000 2 9 000x 5 2 882 000
2 907 000 2 2 882 000 5 200x
25 000 5 200x
25 000
5x
200
(4)
125 5 x . . .
Sustituyendo (4) en (3): y 5
Un ganadero vendió 50 terneras y 220 ovejas por 16 150 unidades de dinero; con los mismos precios vendió 40 terneras y 180
ovejas por 13 100 unidades de dinero. Encuentra el precio de
cada ternera y de cada oveja.
16 150 2 50 x
220
y5
16 150 2 50(125)
220
y5
16 150 26 250
220
y5
9 900
220
(2)
(4)
y 5 45
Por tanto, el precio de cada ternera es de 125 unidades de dinero
y el de cada oveja es de 45 unidades de dinero
Actividad de aprendizaje
Solución:
Sea x el precio de cada ternera y y el precio de cada oveja. Por
tanto:
50x 1 220y 5 16 150 . . .
(1)
40x 1 180y 5 13 100 . . .
(2)
50x 1 220y 5 16 150
Despejando y en (1):
220y 5 16 150 2 50x
y5
16 150 2 50 x . . .
(3)
220
Sustituyendo (3) en (2):
40x 1 180y 5 13 100
40x 1 180
16 150 2 50 x
5 13 100
220
Multiplicando la ecuación por 220:
220 [40x 1 180
162
16 150 2 50 x
5 13 100]
220
Un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas es compatible (consistente o determinado) y tiene solución _____________
cuando las ecuaciones son a la vez ______________________ e
______________________. Su representación gráfica corresponde
a dos rectas que _______________________.
Un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas es incompatible (inconsistente) y no tiene solución porque las ecuaciones son ____________________ pero no son
____________________. Su representación gráfica corresponde
a dos rectas que __________________________.
Un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas
es indeterminado y tiene ________________ soluciones porque las ecuaciones son _____________________ pero no son
_________________________. Su representación gráfica corresponde a ___________________________.
Método de eliminación
por igualación
El proceso consiste en despejar la misma variable en las dos ecuaciones. Las expresiones así obtenidas se igualan para tener otra
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ecuación con una sola variable. Se encuentra el valor de ésta y se
sustituye en la expresión despejada de la otra variable para determinar su valor.
P 1 H 5 66
51 1 15 5 66
2.
¿En qué consiste el método de eliminación por igualación?
La suma de las edades actuales de una persona y su hijo es de
66 años. Determina sus edades sabiendo que dentro de tres
años, la edad del padre será el triple de la edad de su hijo.
Solución:
Si se representan con P y H las edades actuales del padre y su
hijo, el problema se plantea con el siguiente sistema:
P 1 H 5 66
(1)
P 1 3 5 3(H 1 3)
54 5 54
El precio de una mezcla de dulces de 1 unidad de dinero el kilogramo con otros de 1.40 unidades el kilogramo es de 17 unidades de dinero pero si se toma el doble de dulces del segundo tipo,
el precio de la mezcla es de 24 unidades de dinero. Encuentra el
número de kilogramo de cada tipo de dulces.
(2)
El problema se puede plantear así:
100D 1 140d 5 1 700
P 1 H 5 66
(3)
P 2 3H 5 6
(4)
P 5 66 2 H
(5)
De (4)
P 5 6 1 3H
(6)
Igualando (5) y (6) se obtiene 66 2 H 5 6 1 3H
por lo que
66 2 6 5 3H 1 H
por tanto:
60 5 4H
(3)
(4)
De (3)
140d 5 1 700 2 100D
d5
De (4)
1 700 2100 D
140
(5)
280d 5 2 400 2 100D
d5
2 400 2100 D
280
(6)
Igualando (5) y (6) se obtiene
1 700 2100 D
2 400 2100 D
5
140
280
Aplicando la propiedad fundamental de las proporciones
60
5H
4
15 5 H
(2)
Si se quiere eliminar la variable d, se despeja ésta en (3) y (4).
Si se quiere eliminar la variable P, se despeja ésta en (3) y (4).
De (3)
(1)
100D 1 140 (2d ) 5 2 400
Al hacer la operación indicada en (2) el sistema queda así
100D 1 140d 5 1 700
100D 1 280d 5 2 400
Efectuando las operaciones indicadas en (2) y ordenando sus términos, el sistema nos queda así
o sea:
54 5 3(18)
Solución:
Sean D el número de kilogramo de dulces del primer tipo y d el
número de kilogramo de dulce del segundo tipo.
Ejemplos
de donde:
(2)
51 1 3 5 3(15 1 3)
66 5 66
Actividad de aprendizaje
1.
P 1 3 5 3(H 1 3)
(1)
280(1 700 2 100D ) 5 140(2 400 2 100D )
(7)
El valor de P se obtiene al sustituir (7) en (5) o en (6),
Sustituyendo (7) en (5)
P 5 66 2 H
P 5 66 2 15
de donde:
P 5 51
Comprobación:
Se sustituyen las dos variables por sus respectivos valores en (1)
y (2).
Se divide la igualdad entre 140
2 (1 700 2 100D ) 5 (2 400 2 100D)
Se suprimen paréntesis
3 400 2 200D 5 2 400 2 100D
por tanto:
3 400 2 2 400 5 2100D 1 200D
o sea:
1 000 5 100D
de donde:
1000
5D
100
10 5 D . . .
(7)
163
7
BLOQUE
Resuelves ecuaciones lineales II
Los sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas se pueden resolver al emplear el concepto de determinante de una matriz
de segundo orden.
El valor de d se obtiene al sustituir (7) en (5) o en (6).
Sustituyendo (7) en (5)
1 700 2100(10)
140
21000
1 7002
d5
140
Ejemplos
d5
Resuelve el sistema:
2x 2 y 5 16
700
d5
140
Los coeficientes de x y y, dispuestos como en las ecuaciones dadas,
forman el determinante de los coeficientes que suele representarse por
la letra griega delta (D).
d55
Comprobación:
Se sustituyen las dos variables por sus respectivos valores.
100D 1 140d 5 1 700
(1)
100(10) 1 140 (5) 5 1 700
1 000 1 700 5 1 700
1 700 5 1 700
100D 1 280d 5 2 400
100(10) 1 280 (5) 5 2 400
1 000 1 1 400 5 2 400
2 400 5 2 400
(2)
Método numérico por determinantes
y sistemas de ecuaciones lineales
a1 b1
formado por los cuatro números a1, b1, a2, b2,
a 2 b2
ordenados en una matriz de dos filas y dos columnas, representa
un determinante de segundo orden o determinante de orden dos.
El símbolo
Los cuatro números anteriores se denominan elementos de la
matriz o del determinante. Por definición, el determinante de una
matriz de segundo orden es el polinomio siguiente:
a1 b1
a1 b2
3x 1 5y 5 11
5 a1b2 2b1a2
D5
3 5
5(3)(2 1)2(5)(2)52 3 210 52 13
2 21
Para calcular el valor de cada variable se escribe:
11 5
16 2 1 (11)(2 1)2(5) (16) 2 11280
x5
5
5
3
5
D
2 13
2 21
5
2 91
57
2 13
3 11
(3) (16)2(11)(2) 48 2 22
2 16
5
y5
5
3 5
D
2 13
2 21
26
5
52 2
2 13
Como se observa, al calcular x y y, el denominador en ambos casos es
la determinante de los coeficientes (D) y el numerador correspondiente
a cada incógnita se forma a partir de D, al sustituir la columna de los
coeficientes de la incógnita que se despeja por la columna de términos
independientes de las ecuaciones.
Actividad de aprendizaje
¿A qué se le llama regla de Cramer?
Por ejemplo,
3 5
5(3)(2 1)2(5)(2)
2 21
Los elementos 3 y 5 constituyen la primera fila y los elementos 2 y
21, la segunda fila. Los elementos 3 y 2 forman la primera columna y los elementos 5 y 21, forman la segunda columna.
164
El método de resolución de sistemas de ecuaciones lineales mediante determinantes se llama regla de Cramer.
El símbolo
a1
a2
a3
b1
b2
b3
c1
c2
c3
Grupo Editorial Patria®
formado por nueve números ordenados en una matriz de tres filas y tres columnas representa el determinante de una matriz de
tercer orden. Por definición, el valor de esta determinante lo da el
polinomio:
a1b2c3 1 b1c2a3 1 c1a2b3 2 c1b2a3 2 a1c2b3 2 b1a2c3
que se llama desarrollo del determinante.
Con objeto de recordar fácilmente cómo se obtiene este desarrollo, se propone la siguiente norma:
a1 b1 c1 a1 b1
a2 b2 c2 a2 b2
Método gráfico
a3 b3 c3 a3 b3
Antes de explicar este método, recordemos lo que es un sistema de
coordenadas rectangulares, también llamado de coordenadas cartesianas, el cual consiste en dos rectas numéricas que se intersecan
perpendicularmente en un punto llamado origen del sistema y que
se denota por 0. Las rectas perpendiculares se llaman ejes de coordenadas. El horizontal se puede llamar eje x, eje de las x o eje de las
abscisas; el vertical se puede llamar eje y, eje de las y o eje de las ordenadas. Los puntos del eje x a la derecha del origen se consideran
positivos y a la izquierda, negativos. De la misma forma, los puntos
del eje y arriba del origen son positivos y los que están abajo del origen son negativos. Los ejes x y y dividen el plano en cuatro regiones
llamadas cuadrantes, las cuales se numeran en sentido contrario al
giro de las manecillas del reloj, como se muestra en la figura 7.4.
2 2 2 1 1 1
Se multiplican los elementos de cada diagonal y el producto obtenido se multiplica por el signo que indica la flecha, es decir, si la
flecha indica más (1) el producto conserva su signo y si indica
menos (2) el producto cambia su signo.
La suma algebraica de los seis productos es el desarrollo del determinante.
La regla de Cramer también se aplica en la resolución de sistemas
de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas.
Ejemplos
x 1 2y 2 z 5 23
3x 1 y 1 z 5 4
x 2 y 1 2z 5 6
1 2 21
D5 3 1
1 5 2 1 2 131111212 52 3
1 21 2
x5
23
2
4
6
1
21
D
1
3
y5
1
1
2 23
6 18 1 9 131 4 236 2 6
1
4
5
52
5
23
3
21 6
D
Interpretación gráfica de un sistema
de ecuaciones lineales: punto de
intersección de las rectas
y casos en que son paralelas
Se escriben al lado del determinante las dos primeras columnas del
mismo:
Resuelve el sistema:
z5
1
3
Cada punto del plano tiene asociado un par de números, e inversamente, a cada par (ordenado) de números le corresponde un
punto.
Actividad de aprendizaje
En un sistema de ecuaciones simultáneas, ¿cómo es el valor de cada
una de las variables?
21
1 2 6 112 1 4 16 16 23216 23
5
5 52 1
23
23
2
23 23
8 23 218 1 4 26 118 2 3
4
4
5
5 52 1
23
23
6
2
D
Para determinar un punto P(x, y), que se lee “punto P de coordenadas equis ye”, localizamos sobre el eje de las x la primera componente (x), y sobre el eje de las y la segunda componente ( y);
después trazamos líneas perpendiculares a los ejes en los puntos
localizados y donde éstas se cortan encontramos el punto P.
165
7
BLOQUE
Resuelves ecuaciones lineales II
y
Actividad de aprendizaje
Un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas es
compatible (consistente o determinado) y tiene solución __________
cuando las ecuaciones son a la vez ______________________ e
______________________. Su representación gráfica corresponde a dos rectas que _______________________.
I
II
x'
x
III
IV
Una ecuación de primer grado con dos variables tiene infinitos
pares de valores que la satisfacen, cada uno de los cuales se puede
representar por un punto. Como los puntos resultantes están alineados, se unen mediante una recta, que es la gráfica de la ecuación
dada; debido a ello recibe el nombre de ecuación lineal.
y'
Para trazar dicha recta basta hallar dos puntos de ella, es decir, dos
pares de valores correspondientes a x, y; pero en la práctica conviene obtener un tercer punto como comprobación.
Figura 7.4
Ejemplos
Localiza los puntos A (3, 4); B (22, 5); C (23, 22) y D (5, 23). Al considerar que trabajamos con rectas perpendiculares, podemos decir que el
punto A respecto al origen está tres unidades a la derecha y a partir de
éste cuatro unidades hacia arriba. De igual forma, B está dos unidades a
la izquierda y cinco hacia arriba, C tres unidades hacia la izquierda y dos
hacia abajo, D cinco unidades a la derecha y tres hacia abajo.
y
B
A
C
166
Actividad de aprendizaje
Un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas es incompatible (inconsistente) y no tiene solución porque
las ecuaciones son ____________________, pero no son
____________________. Su representación gráfica corresponde
a dos rectas que __________________________.
Ejemplos
x
Figura 7.5
Gráfica de una ecuación de primer grado
con dos variables
D
Representa gráficamente la ecuación 2x 1 y 5 5.
Se despeja la variable y : y 5 5 2 2x
Se dan valores a x para calcular los de y. Estos pares de valores se
ordenan en una tabla; cada par de valores es solución de la ecuación.
Grupo Editorial Patria®
x
y
puntos
2
1
A (2, 1)
0
5
B (0, 5)
1
3
C (1, 3)
Interpretación de diversas
situaciones utilizando sistemas
232
Representa gráficamente los siguientes sistemas de ecuaciones.
Identifica cada sistema como compatible, incompatible o indeterminado.
y
1. x 1 y 5 7
x2y53
2. 2x 1 y 5 210
x 2 2y 5 0
3. x 2 y 5 1
2x 2 2y 5 2
4. 3x 1 4y 5 4
3x 1 4y 5 28
5. x 1 y 5 1
x 2 2y 5 10
6. x 1 2y 5 26
x 1 2y 5 2
7. x 2 2y 5 21
24x 1 8y 5 4
8. x 1 y 5 6
x2y52
9. 2x 2 3y 5 23
2x 2 3y 5 9
10. 2x 1 y 5 7
4x 2 y 5 11
x 2 3y 5 11
B
C
A
x
Figura 7.6
Actividad de aprendizaje
Un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas
es indeterminado y tiene ________________ soluciones porque las ecuaciones son _____________________, pero no son
_________________________. Su representación gráfica corresponde a ___________________________.
Rúbrica para evaluar el conocimiento adquirido
Nombre del alumno:
Excelente
(4)
Bueno
(3)
Regular
(2)
Deficiente
(1)
Solución de un
sistema de 2 3 2
mediante las gráficas
de funciones lineales
Resuelve un sistema de
2 3 2 mediante las gráficas
de funciones lineales.
Determina si un sistema de
2 3 2 tiene una, ninguna o
infinitas soluciones.
Resuelve un sistema de
2 3 2 mediante las gráficas
de funciones lineales.
Determina si un sistema de
2 3 2 tiene una, ninguna o
infinitas soluciones.
Resuelve un sistema de
2 3 2 mediante las gráficas
de funciones lineales.
Determina si un sistema de
2 3 2 tiene una, ninguna o
infinitas soluciones.
Resuelve un sistema de
2 3 2 mediante las gráficas
de funciones lineales.
Determina si un sistema de
2 3 2 tiene una, ninguna o
infinitas soluciones.
Solución de un
sistema de 2 3 2
Resuelve un sistema de
2 3 2 por: reducción,
sustitución, igualación y
determinantes.
Resuelve un sistema de
2 3 2 por tres de los cuatro
métodos.
Resuelve un sistema de
2 3 2 por dos de los cuatro
métodos.
No resuelve un sistema
de 2 3 2 por: reducción,
sustitución, igualación o
determinantes.
Aspecto a evaluar
Criterios
167
7
BLOQUE
Resuelves ecuaciones lineales II
Instrumentos de evaluación
Apellido paterno
Apellido materno
Nombre
Grupo
Asegúrate de haber adquirido los contenidos que se abordan en el Bloque 7. Para ello, realiza lo que se te pide a continuación.
1. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por reducción:
4x 2 5y 5 30
5x 2 8y 5 8
5. Representa gráficamente el siguiente sistema de ecuaciones.
Identifica si es un sistema compatible, incompatible o indeterminado.
2x 1 y 5 7
4x 2 y 5 11
x 1 y 5 12
2. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por sustitución.
4x 3 y " 5
2x 5 y " 4
6 x 13 y58
4 x26y 5 8
6.
Utiliza un método algebraico para resolver el sistema
23x 1 4y 5 26
5x 2 6y 5 8
7.
Usa el método gráfico para resolver el sistema
2x 1 y 5 7
4x 2 y 5 11
3. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por igualación.
8x 2 5y 5 9
10x 2 9y 5 18
6x 2 7y 5 10
2x 1 6y 5 1
4. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones aplicando la
regla de Cramer.
x 2 2y 5 1
3x 2 2y 5 2
x 2 3y 5 3
2x 1 y 5 8
168
Grupo Editorial Patria®
Lista de cotejo
Lista de cotejo para el reporte sobre la cantidad a pagar por cada pizza y cada orden de alitas de pollo del Bloque 7.
Nombre del alumno:
Presentación
Criterio
cumple
sí
no
Observaciones
1. Cuenta con una carátula que incluye: el nombre del trabajo que
se realiza, la materia, fecha de entrega, nombre del alumno y su
matrícula.
2. Tiene una redacción que es adecuada y clara.
3. Tiene buena ortografía o con errores mínimos.
4. El trabajo se elabora en computadora o manuscrito con letra legible.
5. Las gráficas o dibujos auxiliares se elaboran de un tamaño adecuado
de modo que se puedan apreciar con claridad los datos obtenidos o
las condiciones del problema.
6. Se presenta todo el procedimiento necesario para obtener los datos o
solución que se pide con la justificación correspondiente.
Desarrollo
7. En el procedimiento se desarrolla una secuencia lógica y coherente.
8. Se hace referencia a las gráficas o diagramas auxiliares para apoyar
la argumentación del escrito.
9. Se hace la referencia bibliográfica de las notas, definiciones o
conceptos consultados para sustentar teóricamente las acciones
realizadas.
Conclusiones
Dominio del
tema
10. La investigación se realiza con apoyo en libros y revistas
actualizadas sobre el tema o bien en sitios web cuya información
sea científicamente válida. De incluir citas textuales, éstas deben ser
breves y con la referencia de la fuente.
11. Representa algebraicamente una pizza y una orden de alitas de pollo.
12. Establece la relación entre el número de pizzas y el número de
órdenes de alitas de pollo con la cantidad que se paga por ellas.
13. Establece el sistema de ecuaciones simultáneas que representa
las condiciones del problema y obtiene el valor unitario de cada
pizza y orden de alitas de pollo.
14. Comprende el problema y lo expresa algebraicamente.
15. Expresa las condiciones del problema mediante un sistema de
ecuaciones simultáneas.
16. Calcula el valor de cada pizza y de cada orden de alitas de pollo.
169
Resuelves ecuaciones lineales III
8
B LO Q U E
Objetos de
aprendizaje
8.1 Representación de relaciones
entre magnitudes.
8.2 Modelos aritméticos
o algebraicos.
Competencias a desarrollar
„
Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de
procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la
comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.
„
Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.
„
Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos
matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.
„
Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural
para determinar o estimar su comportamiento.
„
Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o
fenómeno y argumenta su pertinencia.
„
Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con distintos símbolos
matemáticos y científicos.
„
Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera
reflexiva.
¿Qué sabes hacer ahora?
Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones simultáneas:
x1y1z53
1.
x2y2z51
x 2 y 1 z 5 23
2.
x1y2z52
x 2 y 2 z 5 24
2x 1 y 1 z 5 4
3.
x1y1z54
x 1 2y 1 z 5 1
x2y2z56
Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando la regla de Cramer.
x1y1z57
4.
3x 1 y 2 z 5 3
2x 1 4y 1 z 5 12
5.
3x 1 y 2 2z 5 2
x 1 3y 2 z 5 3
2x 2 y 1 4z 5 5
Desempeños por alcanzar
Reconoce el modelo algebraico de un sistema de ecuaciones con tres
incógnitas.
Expresa y soluciona situaciones utilizando sistemas de ecuaciones con tres
incógnitas.
Resuelve e interpreta sistemas de ecuaciones de tres incógnitas mediante
métodos:
Resuelve problemas que se plantean en lenguaje algebraico utilizando
métodos algebraicos, numéricos y gráficos.
Numérico: Determinantes
Elabora o interpreta gráficas, tablas y mapas, para resolver situaciones diversas
que conllevan el uso de sistemas de ecuaciones con tres incógnitas.
Algebraicos: Eliminación reducción (suma y resta), sustitución
Gráficos
BLOQUE
8
Resuelves ecuaciones lineales III
Situación didáctica
¿Cómo lo resolverías?
Utiliza dos métodos diferentes para resolver el siguiente sistema:
2x 2 y 1 2z 5 2 8
x 1 2y 2 3z 5 9
3x 2 y 2 4z 5 3
Secuencia didáctica
Forma equipos para resolver el problema.
Que cada equipo represente, mediante dibujos, las condiciones del
problema.
Presenta los resultados en plenaria y analizar las formas de resolver
el problema.
Cada equipo debe investigar:
¿Qué tienes que hacer?
Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es
preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a
cabo las rectificaciones que procedan.
Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto a las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de
asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje.
¿Cuáles son los diferentes métodos para resolver un sistema de
tres ecuaciones de primer grado con tres incógnitas?
Evaluación por producto
¿Cuándo se dice que un sistema de tres por tres es compatible, incompatible, indeterminado?
A fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito
de manera muy clara.
¿Cuál es la interpretación geométrica de un sistema de tres por tres
cuando es compatible, incompatible o indeterminado?
¿Cómo se interpreta la solución del sistema de tres por tres cuando
es compatible, incompatible o indeterminado?
Trabajo individual
En este ejemplo:
Producto a elaborar
Solución de un sistema de tres por tres utilizando diferentes métodos.
Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios.
Rúbrica
Para determinar la solución del sistema que se solicita se deben
anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos
tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las fuentes consultadas, etc. La descripción del procedimiento
172
¿Cómo sabes que lo hiciste bien?
por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase,
2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello
suma un total de 10 puntos.
Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes.
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Propuestas de diseño para
situaciones didácticas
Parte I
Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones simultáneas.
1. x 1 y 1 z 5 3
x2y2z51
x 2 y 1 z 5 23
2. x 1 y 2 z 5 2
x 2 y 2 z 5 24
2x 1 y 1 z 5 4
3. x 1 y 1 z 5 4
x 1 2y 1 z 5 1
x2y2z56
4. x 1 2y 1 2z 5 24
x 1 y 2 2z 5 4
2x 1 2y 2 3z 5 3
5. 3x 1 2y 2 4z 5 21
x 2 3y 1 2z 5 4
2x 2 y 2 5z 5 11
6. x 2 2y 2 2z 5 8
3x 2 4y 2 z 5 5
22x 2 3y 2 5z 5 4
7. 4x 2 3y 1 2z 5 225
5x 1 2y 2 3z 5 24
6x 2 4y 2 5z 5 211
8. 3x 2 2y 2 4z 5 6
5x 2 3y 1 6z 5 46
8x 1 5y 2 4z 5 226
9. 2x 2 3y 2 4z 5 21
4x 2 3y 1 12z 5 4
6x 1 3y 2 8z 5 2
10. 3x 1 2y 1 4z 5 8
9x 2 2y 2 4z 5 26
Parte II
Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando la regla
de Cramer.
1. x 1 y 1 z 5 7
3x 1 y 2 z 5 3
2x 1 4y 1 z 5 12
2. 3x 1 y 2 2z 5 2
x 1 3y 2 z 5 3
2x 2 y 1 4z 5 5
3. x 1 y 2 6z 5 9
x 2 y 1 4z 5 5
22x 1 3y 2 z 5 4
4. 2x 2 y 1 z 5 3
x 1 2y 1 z 5 12
4x 2 3y 1 z 5 1
5. 2x 1 3y 1 4z 5 53
3x 1 5y 2 4z 5 2
4x 1 7y 2 2z 5 31
6. 2x 2 y 1 3z 5 14
23x 1 y 2 z 5 210
x1y1z54
7. 2x 1 3y 1 4z 5 61
3x 1 2y 1 z 5 54
5x 2 2y 1 3z 5 58
8. 3x 1 2y 2 4z 5 15
5x 2 3y 1 2z 5 60
2x 1 4y 2 3z 5 45
9. 4x 2 3y 1 2z 5 28
3x 1 2y 2 5z 5 16
2x 1 y 2 3z 5 10
10. x 1 y 1 z 5 13
3x 1 y 2 3z 5 5
x 2 2y 1 4z 5 10
3x 2 4y 1 8z 5 2
173
BLOQUE
8
Resuelves ecuaciones lineales III
Las matemáticas poseen no sólo la verdad, sino cierta belleza suprema.
Una belleza fría y austera, como la de una escultura.
Bertrand Russell
8.1 Representación de
relaciones entre magnitudes
Se resuelve el sistema formado por (4) y (5)
17x 2 11z 5 104
(4)
2 x 1 z 5 24
(5)
Se puede eliminar x sumando a (4) el resultado de multiplicar (5) por
17.
Se presentan sistemas de ecuaciones simultáneas de tres ecuaciones con tres incógnitas que se resuelven por reducción y por la regla de Cramer.
Finalmente se interpretan los posibles casos que se pueden presentar en la resolución de un sistema de tres por tres.
8.2 Modelos aritméticos o
algebraicos
17x 2 11z 5 104
17x 2 11z 5 104
17(2x 1 z 5 24)
217x 1 17z 5 268
6z 5 36
z5
36
6
z56
Para encontrar el valor de x se sustituye el valor de z en (5), también
se puede hacer en (4).
Método algebraico por reducción
2x 1 z 5 24
Cuando se tiene un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas,
por lo general se reduce a uno de dos ecuaciones con dos incógnitas, eliminando una de las variables entre una ecuación y cada una
de las otras dos.
Veamos los ejemplos siguientes.
2x 1 6 5 24
6145x
10 5 x
Para encontrar el valor de y se sustituyen los valores x 5 10, z 5 6 en
la ecuación (1), (2) o (3).
Si se sustituyen en (1) se obtiene
4x 2 3y 1 2z 5 28
Ejemplos
4(10) 2 3y 1 2(6) 5 28
52 2 3y 5 28
Resuelve el sistema:
4x 2 3y 1 2z 5 28
(1)
3x 1 2y 2 5z 5 16
(2)
2x 1 y 2 3z 5 10
(3)
La comprobación se realiza al sustituir x 5 10, y 5 8, z 5 6, en las
ecuaciones del sistema, verificando que satisfagan cada una.
se multiplica (1) por 2, (2) por 3 y se suman los resultados.
8x 2 6y 1 4z 5 56
3(3x 1 2y 2 5z 5 16)
9x 1 6y 2 15z 5 48
17x 2 11z 5 10
(4)
Se elimina y de (2) y (3) de la siguiente forma:
se suma a (2) el resultado de multiplicar (3) por 2 2.
3x 1 2y 2 5z 5 16
22(2x 1 y 2 3z 5 10)
3x 1 2y 2 5z 5 16
24x 2 2y 1 6z 5 220
2x1 z 5 24 (5)
174
24
=y
3
85y
Se puede eliminar y de (1) y (2) de la siguiente forma:
2(4x 2 3y 1 2z 5 28)
52 2 28 5 3y
Actividad de aprendizaje
¿En qué consiste el método de reducción para resolver un sistema de
tres ecuaciones simultáneas con tres incógnitas?
Grupo Editorial Patria®
Ejemplos
2x 2 2y 1 3z 5 16
2x 2 2(1) 1 3(4) 5 16
Resuelve el sistema
2x 2 2y 1 3z 5 16
(1)
2x 2 2 1 12 5 16
3x 1 5y 2 2z 5 6
(2)
2x 1 10 5 16
4x 1 3y 2 4z 5 21
(3)
2x 5 6
Se puede eliminar x de (1) y (2) de la siguiente forma:
se multiplica (1) por 3 y (2) por 22 y se suman los resultados.
3(2x 2 2y 1 3z 5 16)
x5
6x 2 6y 1 9z 5 48
22(3x 1 5y 2 2z 5 6)
2x 5 16 2 10
x53
26x 2 10y 1 4z 5 212
216y 1 13z 5 36
6
2
(4)
La comprobación se realiza al sustituir x 5 3, y 5 1, z 5 4, en las
ecuaciones del sistema, verificando que satisfagan cada una.
A continuación, para eliminar x se multiplica (2) por 4 y (3) por 23 y
luego se suman los resultados.
4(3x 1 5y 2 2z 5 6)
12x 1 20y 2 8z 5 24
23(4x 1 3y 2 4z 5 21)
En los ejemplos anteriores se observa que para resolver por reducción un sistema de tres ecuaciones simultáneas con tres incógnitas:
212x 2 9y 1 12z 5 3
11y 1 4z 5 27
(5)
Se resuelve el sistema formado por (4) y (5).
216y 1 13z 5 36
(4)
11y 1 4z 5 27
(5)
Se puede eliminar y multiplicando (4) por 11, (5) por 16 y sumando
los resultados.
11(216y 1 13z 5 36)
2176y 1 143z 5 396
16(11y 1 4z 5 27)
176y 1 64z 5 432
207z 5 828
z5
828
207
z54
Para encontrar el valor de y se sustituye el valor de z en (4).
216y 1 13z 5 36
216y 1 13(4) 5 36
216y 1 52 5 36
216y 5 36 2 52
216y 5 216
y5
− 16
− 16
y51
Para encontrar el valor de x se sustituyen los valores y 5 1, z 5 4, en
alguna de las ecuaciones (1), (2) o (3).
■ se elimina una de las incógnitas, a partir de dos de las ecuaciones del sistema, mediante la reducción por suma o resta
para obtener la ecuación (4)
■ se elimina la misma incógnita utilizando el procedimiento anterior con una pareja diferente de ecuaciones para
obtener la ecuación (5)
■ con (4) y (5) se forma un sistema de dos ecuaciones con
dos incógnitas, que se resuelve para encontrar el valor de
dos incógnitas
■ se sustituyen los dos valores encontrados en una de las
ecuaciones del sistema de tres por tres para encontrar el
valor de la tercera incógnita
■ se hace la comprobación al sustituir los tres valores encontrados en las tres ecuaciones del sistema.
Como ya se ha visto, para que un sistema simultáneo de dos ecuaciones (de primer grado) con dos incógnitas tenga solución única, se requiere que ambas ecuaciones sean independientes. En un
sistema simultáneo de tres ecuaciones (de primer grado) con tres
incógnitas, para que tenga solución única se requiere que las tres
ecuaciones sean independientes.
También se ha observado que, en un sistema simultáneo de dos
ecuaciones (de primer grado), independientes, con dos incógnitas, se puede eliminar una de las variables; mientras que en un sistema de tres por tres se pueden eliminar dos variables.
Si se sustituyen en (1)
175
BLOQUE
8
Resuelves ecuaciones lineales III
Para tu reflexión
Si se escribe el sistema utilizando cero como coeficiente de cada
variable que falta en la ecuación, nos queda así:
2x 2 2y 1 3z 5 16
Neuman, John von (190321957)
Matemático húngaro que realizó contribuciones en diversos aspectos de
la matemática avanzada, mecánica
cuántica, mecánica ondulatoria y mecánica matricial. Desarrolló la teoría
de los juegos, la cual tuvo un impacto
en la economía.
John Von Neuman nació en Budapest,
Hungría, y desde niño se destacó por ser
un prodigio. En el periodo de la Primera
Guerra Mundial realizó estudios en las
universidades de Berlín y Zurich. En 1930 se trasladó a EUA y fungió como
profesor de físico-matemáticas en la Universidad de Princeton.
En sus investigaciones en la mecánica cuántica encontró que la mecánica ondulatoria de Schrödinger y la mecánica matricial de Heinsenberg eran matemáticamente equivalentes.
Además, elaboró una nueva rama de las matemáticas, denominada
La teoría de juegos, tema que abordó en diversos artículos a partir de
1928, pero fue hasta 1944 en The Theory of Games and Economic
Behaviour donde la desarrolló de forma completa y definitiva.
Dicha teoría fue llamada así, pues se basa en el análisis de algunos
procedimientos de juegos simples como el lanzamiento de una moneda. A pesar de estar compuesta de procedimientos que, aparentemente, son sencillos, pueden ser utilizados en problemas bélicos,
financieros, entre otros.
Este matemático utilizó sus reflexiones para dirigir la elaboración de
computadoras gigantes que ayudaron a elaborar cálculos para la construcción de la bomba.
Neuman fue reconocido miembro de la Atomic Energy Commission,
y en 1956 se le adjudicó el premio Fermi debido a su participación
científica. Falleció el 8 de febrero de 1957 en Washington D.C., EUA.
Método numérico por determinantes
En el segundo ejemplo por reducción,
2x 2 2y 1 3z 5 16
3x 1 5y 2 2z 5 6
4x 1 3y 2 4z 5 21
El sistema se resolvió realizando operaciones con las ecuaciones
para obtener sistemas equivalentes hasta llegar a uno de forma
triangular como el siguiente:
2x 2 2y 1 3z 5 16
216y 1 13z 5 36
z54
176
0x 2 16y 1 13z 5 36
0x 1 0y 1 z 5 4
Las operaciones efectuadas con las ecuaciones generaron cambios
tanto en los coeficientes de las variables como en los términos independientes. Dichos cambios se pueden registrar de forma más
sencilla si se utilizan únicamente los números que corresponden
tanto a los coeficientes como a los términos independientes.
Matriz
Se da el nombre de matriz a un arreglo de números dispuestos en
forma rectangular por renglones y columnas. A cada número se le
llama elemento. Una matriz con m renglones y n columnas es una
matriz de dimensión m 3 n.
Actividad de aprendizaje
¿A qué arreglo numérico se le da el nombre de matriz?
Ejemplos
⎡5 3 2⎤
⎢ 4 − 1 3 ⎥ una matriz de dimensión 2 3 3.
⎣
⎦
2⎤
⎡4
⎢
⎥
⎢ − 3 4 ⎥ una matriz de dimensión 3 3 2.
⎢⎣ 5 − 1⎥⎦
⎡⎣ 3 − 7 5 1⎤⎦ una matriz de dimensión 1 3 4 (también llamada
vector renglón).
⎡−3⎤
⎢2⎥
⎢ ⎥ una matriz de dimensión 4 3 1 (también llamada vector
⎢5⎥
⎢ ⎥ columna).
⎣4⎦
Matriz cuadrada
De una matriz cuyo número de renglones (m) y de columnas (n)
es igual (m 5 n) se dice que es una matriz cuadrada de orden n.
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⎡2 3⎤
⎢ 5 7 ⎥ una matriz cuadrada de orden 2
⎣
⎦
⎡2 −3 5 ⎤
⎢
⎥
⎢ 2 6 − 1⎥ es una matriz cuadrada de orden 3
⎢⎣ 3 − 2 1 ⎥⎦
En una matriz, un elemento cualquiera se representa por aij (i 5 1, 2,
3, . . . , m) (j 5 1, 2, 3, . . . , n) donde i señala el renglón, y j la columna
en que se encuentra el elemento. Los elementos a11, a22, a33, . . . , amn,
pertenecen a la diagonal principal de una matriz.
Matriz de coeficientes
La resolución de un sistema, se puede hacer por matrices. A partir de
la matriz aumentada se realizan operaciones con los renglones y se
obtiene la matriz de un sistema equivalente. Esto se repite las veces
necesarias hasta obtener la matriz de un sistema triangular, es decir,
aquél en el que sean cero los elementos que se encuentren por debajo
de la diagonal principal. La matriz así obtenida recibe el nombre de
matriz escalonada.
Un sistema de ecuaciones como el siguiente:
a11 x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n = b1
a21 x 2 + a22 x 2 + ... + a2 n x n = b2
En un sistema de ecuaciones, como los del apartado anterior, los
coeficientes de las ecuaciones se pueden disponer como una matriz.
.
.
.
Actividad de aprendizaje
am1 x1 + am 2 x 2 + ... + amn x n = bm
¿Cómo se forma una matriz de coeficientes?
¿A qué se le llama matriz aumentada?
¿A qué se llama matriz escalonada?
Ejemplos
En el sistema
2x 2 2y 1 3z 5 16
3x 1 5y 2 2z 5 6
4x 1 3y 2 4z 5 21
los coeficientes de las variables se pueden representar en la siguiente
forma:
⎡ 2 −2 3 ⎤
⎢
⎥
⎢ 3 5 −2 ⎥
⎢⎣ 4 3 − 4 ⎥⎦
que se conoce como matriz de coeficientes. Si en esta matriz se
incluyen también los términos independientes como cuarta columna,
la matriz queda de la siguiente forma:
⎡ 2 − 2 3 16 ⎤
⎢
⎥
⎢ 3 5 −2 6 ⎥
⎢⎣ 4 3 − 4 − 1⎥⎦
por lo que a esta matriz se le llama matriz aumentada
Con matrices se puede expresar así:
A x 5 b, con
⎡ a11 a12 . . . a1n ⎤
⎢a
a22 . . . a2 n ⎥
⎢ 21
⎥
⎢ a31 a32 . . . a3 n ⎥
A ⎢
⎥ x5
⎢ .
⎥
⎢ .
⎥
⎢
⎥
⎢⎣ am1 am 2 . . . amn ⎥⎦
⎡ x1 ⎤
⎢x ⎥
⎢ 2⎥
⎢ x3 ⎥
⎢ ⎥ b5
⎢ . ⎥
⎢ . ⎥
⎢ ⎥
⎢⎣ x n ⎥⎦
⎡ b1 ⎤
⎢b ⎥
⎢ 2⎥
⎢ b3 ⎥
⎢ ⎥
⎢ . ⎥
⎢ . ⎥
⎢ ⎥
⎢⎣ bm ⎥⎦
Donde la matriz A es la matriz de los coeficientes, la matriz
columna o vector columna x es la matriz de las incógnitas, y la
matriz columna b es la matriz de los parámetros o términos independientes.
Determinante
A la matriz cuadrada se le asocia un número real llamado determinante de la matriz y se representa por D
A la matriz cuadrada de orden 2
⎡ a1
⎢a
⎣ 2
b1 ⎤
b2 ⎥⎦
se le asocia el determinante de orden 2
a1 b1
D5
5 a1b2 2 a2 b1
a 2 b2
cuyo valor se obtiene restando el producto de los elementos de la
diagonal secundaria al producto de los elementos de la diagonal
principal.
177
BLOQUE
8
Resuelves ecuaciones lineales III
Ejemplos
Solución:
Calcula el valor de los determinantes:
Aplicando la regla de Sarrus, repitiendo filas:
D5
2 1
2(3) 2 5(1) 5 6 2 5 5 1
5 3
D5
2 2
2(22) 2 1(2) 5 24 2 2 5 26
1 −2
D5
3 2
3(23) 2 2(2) 5 29 2 4 5 213
2 −3
A la matriz cuadrada de orden 3
⎡ a1
⎢
⎢ a2
⎢⎣ a3
b1
b2
b3
c1 ⎤
⎥
c2 ⎥
c 3 ⎥⎦
se le asocia el determinante de orden 3
a1
D5 a2
a3
b1
b2
b3
c1
c 2 5 a1b2 c 3 2 a1b3 c 2 1 a3b1c 2 2 a2 b1c 3 1 a2 b3 c1 2 a3b2 c1
c3
este valor también se obtiene con la regla de Sarrus (que sólo se
aplica a matrices de tres por tres), la cual consiste en:
t Repetir la primera y segunda filas después de la tercera fila
⎡5
⎢3
⎢
D5 ⎢ 3
⎢
⎢5
⎢⎣ 3
21 2 ⎤
21 1 ⎥
⎥
2 2 1⎥ 5 5(2 1) (2 1)13(2)(2)13(2 1)(1)23(
⎥
2 1 2 ⎥ 3(2 1)(2)2 5(2)(1)23(2 1)(2 1)
2 1 1 ⎥⎦
5 [ 5 + 12 − 3 − ( − 6 + 10 + 3 )]
5 14 2 7
D57
Aplicando la regla de Sarrus, repitiendo columnas:
⎡ 5 21 2 5 21⎤
⎢
⎥
D5 ⎢ 3 21 1 3 21⎥55(21)(21)1(21)(1)(3)12(3)(2
⎢⎣ 3 2 21 3 2 ⎥⎦
(2)23(21)(2)22(1)(5)2(21)(3))(21)
5 [ 5 + (− 3) + 12 − ( − 6 + 10 + 3 )]
5 14 2 7
D57
Como era de esperarse, el valor del determinante calculado en las dos
formas es el mismo.
(también se puede repetir la primera y segunda columnas después de la tercera columna).
t A continuación se multiplican los elementos de las diagonales
que contienen tres elementos, que van de izquierda a derecha, de arriba abajo y se obtienen sus productos.
t Después se multiplican los elementos de las diagonales con
tres elementos, que van de izquierda a derecha, de abajo arriba y se obtienen sus productos.
t Finalmente, a la suma de los primeros productos se resta la
suma de los segundos productos con lo cual se obtiene el
valor del determinante de la matriz.
Regla de Cramer
A un sistema de ecuaciones lineales con el mismo número de ecuaciones que de incógnitas y en el cual el determinante de la matriz
de los coeficientes es diferente de cero, se llama sistema de Cramer.
Un sistema de Cramer siempre es compatible y determinado.
Un sistema de ecuaciones lineales se puede resolver utilizando un
conjunto de fórmulas que se conoce como regla de Cramer.
Ejemplos
Calcula el determinante de la matriz:
⎡5 −1 2 ⎤
⎢
⎥
⎢3 −1 1 ⎥
⎢⎣ 3 2 − 1⎥⎦
178
Solución de un sistema de 3 3 3
por la regla de Cramer
Al aplicar la regla de Cramer a un sistema de tres ecuaciones con tres
incógnitas, el valor de cada incógnita se obtiene a partir del cociente de dos determinantes. El determinante del numerador es el de la
matriz de los coeficientes, en el que se sustituye la columna de la incógnita cuyo valor se busca por la columna de los términos independientes, y el determinante del denominador corresponde a la matriz
de los coeficientes.
Grupo Editorial Patria®
Actividad de aprendizaje
5
¿A qué se llama determinante?
y5
¿En qué consiste la regla de Sarrus?
z5
Ejemplos
2
2
2 1 15 1
3 22 21
5
21
2
21
3
3
2
1
21
5 21 2
2 1 3 15
3
2 22
5
21
2
21
3
3
2
1
21
5
2 147 2 147
5
53
D
2 49
5
2 245 2 245
5
55
D
2 49
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones utilizando la regla de
Cramer.
5x 2 y 1 2z 5 2
Ejemplos
2x 1 3y 1 z 5 15
3x 1 2y 2 z 5 22
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones utilizando la regla de
Cramer.
Solución:
2x 1 3y 1 4z 5 20
El determinante de la matriz de los coeficientes es:
3x 1 4y 1 2z 5 17
5 21 2
5 21 2
5 21
D5 2 1 3
1 5 21 3
1 21 3
3
2 21
3
2 21 3
2
5 5(3)(21) 1 (21)(1)(3) 1 2(21)(2) 2 3(3)(2) 2 2(1)(5)
2 (21)(21)(21)
5 215 2 3 2 4 2 18 2 10 1 1
D 249 ?
Como el determinante de la matriz de coeficientes es diferente
de cero, el sistema tiene solución única.
x5
2 21 2
15
3
1
22 2 21
5
21
2
21
3
3
2
1
21
4x 1 2y 1 3z 5 17
Solución:
El determinante de la matriz de los coeficientes es:
2 3 4 2 3 4 2 3
D5 3 4 2 5 3 4 2 3 4
4 2 3 4 2 3 4 2
5 2(4)(3) 1 3(2)(4) 1 4(3)(2) 2 4(4)(4) 2 2(2)(2) 2 3(3)(3)
5 24 1 24 1 24 2 64 2 8 2 27
D 527 ? 0
Como el determinante de la matriz de coeficientes es diferente de cero,
el sistema tiene solución única.
5
49 49
5
52 1
D − 49
x5
20 3 4
17 4 2
17 2 3
2 3 4
5
2 27
5
2 27
51
2 27
3 4 2
4 2 3
179
BLOQUE
8
Resuelves ecuaciones lineales III
La solución del sistema es el conjunto ordenado de valores de x, y
y z, que satisface las tres ecuaciones.
2 20 4
y5
z5
3 17
4 17
2
3
2 3 4
5
2 54 2 54
5
52
D
2 27
3 4 2
4 2 3
■ Los tres planos se intersecan en un solo punto, el sistema
tiene solución única.
2 3 20
3 4 17
4 2 17
■ Los tres planos coinciden, el sistema tiene como solución un
plano.
2 3 4
■ Los tres planos se intersecan en una recta común la solución del sistema es una recta.
5
2 81 2 81
5
53
D
2 27
3 4 2
4 2 3
Diversas soluciones utilizando
sistemas 3 3 3
Anteriormente se estableció que para que un sistema simultáneo de
tres ecuaciones con tres incógnitas tenga solución única se requiere
que el determinante de la matriz de coeficientes sea diferente de cero.
Esta condición nos conduce a interpretar geométricamente los
casos en que un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas no
tiene solución única.
Sea
a1 x 1b1 y 1 c1 z 1 d1 5 0
a 2 x 1 b2 y 1 c 2 z 1 d 2 5 0
a3 x 1b3 y 1 c 3 z 1 d3 5 0
un sistema de tres ecuaciones de primer grado con tres incógnitas
en el que los coeficientes de las variables de cada ecuación no son
cero simultáneamente.
Actividad de aprendizaje
¿Qué condiciones reúne un sistema de Cramer?
Al aplicar la regla de Cramer, ¿cómo se sabe que un sistema tiene
solución única?
180
Una ecuación de la forma ax 1 by 1 cz 1 d 5 0 representa un
plano en el espacio tridimensional, por lo que el sistema anterior
representa tres planos, entre los cuales pueden ocurrir situaciones
como las siguientes:
■ El sistema no tiene solución cuando:
■ Los tres planos son paralelos entre sí.
■ Dos de los planos coinciden y el tercero es paralelo al plano común.
■ Dos de los planos son paralelos y el tercero los interseca en
dos líneas paralelas.
■ Los tres planos se intersecan dos a dos en tres rectas paralelas.
En consecuencia, el sistema puede:
■ Tener solución única, un punto.
■ Tener todos los puntos de una recta como solución.
■ Tener todos los puntos de un plano como solución.
■ No tener solución alguna.
Actividad de aprendizaje
Al resolver un sistema de tres por tres, ¿qué posibles situaciones se
pueden presentar en su solución?
Si un sistema de tres por tres no tiene solución única, ¿qué posibles
situaciones se pueden presentar?
Grupo Editorial Patria®
Instrumentos de evaluación
Apellido paterno
Apellido materno
Nombre
Grupo
Asegúrate de haber adquirido los contenidos que se abordan en el Bloque 8. Para ello, realiza lo que se te pide a continuación.
A ) Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones simultáneas:
4.
x 12y 2 z 5 0
x 1 y 1 z 5 10
x2y1z52
x1y2z58
x 1 y 2 2z 5 13
x 2 3y 2 z 5 2 3
x 2 y 1 4z 5 2 17
x 1 2y 1 2z 5 11
3x 1 4y 1 z 5 14
2x 1 2y 1 z 5 7
B ) Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando la
regla de Cramer.
x1y2z51
x21z53
2x1y1z57
x 1 y 1 2z 5 3
3x 2 y 1 z 5 1
2x 1 3y 2 4z 5 9
1.
x 1 y 1 z 5 11
2x 2 y 1 2z 5 2
5.
3x 1 2y 1 z 5 4
5x 2 y 2 z 5 3
2x 1 y 12z 5 7
3.
2x 1 7y 2 11z 5 10
5x 210y 1 3z 5 215
26x 112y 2 z 5 31
6.
3x 2 2y 1 5z 5 28
4x 1 5y 1 4z 5 9
5x 2 4y 2 3z 5 26
7.
5x 1 3y 2 6z 5 4
3x 2 y 1 2z 5 8
x 2 2y 1 2z 5 2
8.
2x 2 3y 1 4z 5 8
3x 2 2y 1 3z 5 8
4x 1 4y 1 2z 5 6
9.
2x 2 y 1 z 5 5
3x 1 24 1 z 5 24
2.
2x 1 y 1 z 5 3
4x 2 5y 1 2z 5 6
2x 1 3y 2 z 5 20
7x 2 4y 1 3z 5 35
10.
8x 1 4y 2 3z 5 6
x 1 3y 2 z 5 7
4x 2 5y 1 4z 5 8
5x 1 4y 1 4z 5 3
3x 1 7y 1 5z 5 5
6x 1 2y 1 5z 5 7
181
BLOQUE
8
Resuelves ecuaciones lineales III
Lista de cotejo
Lista de cotejo para el reporte sobre la resolución de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas eliminación por reducción
del Bloque 8.
Nombre del alumno:
Criterio
Presentación
1. Cuenta con una carátula que incluye: el nombre del trabajo que se realiza, la
materia, fecha de entrega, nombre del alumno y su matrícula
2. Tiene una redacción que es adecuada y clara.
3. Tiene buena ortografía o con errores mínimos.
4. El trabajo se elabora en computadora o manuscrito con letra legible.
5. Las gráficas o dibujos auxiliares se elaboran de un tamaño adecuado
de modo que se puedan apreciar con claridad los datos obtenidos o las
condiciones del problema.
6. Se presenta todo el procedimiento necesario para obtener los datos o
solución que se pide con la justificación correspondiente.
Desarrollo
7. En el procedimiento se desarrolla una secuencia lógica y coherente.
8. Se hace referencia a las gráficas o diagramas auxiliares para apoyar la
argumentación del escrito.
9. Se hace la referencia bibliográfica de las notas, definiciones o conceptos
consultados para sustentar teóricamente las acciones realizadas.
Conclusiones
Dominio del
tema
10. La investigación se realiza con apoyo en libros y revistas actualizadas sobre
el tema o bien en sitios web cuya información sea científicamente válida.
De incluir citas textuales, éstas deben ser breves y con la referencia de la
fuente.
182
11. Representa algebraicamente un problema que da lugar a un sistema de dos
ecuaciones con dos incógnitas (2 3 2).
12. Resuelve un sistema de 2 3 2, cuando los coeficientes de la variable a
eliminar son iguales en valor absoluto.
13. Resuelve un sistema de 2 3 2, cuando los coeficientes de la variable a
eliminar son diferentes en valor absoluto.
14. Resuelve algebraicamente un sistema de 2 3 2 para obtener la solución de
un problema.
15. Resuelve un sistema de 2 3 2 por el método de eliminación por reducción.
16. Obtiene la solución de un sistema de 2 3 2.
cumple
sí
no
Observaciones
Grupo Editorial Patria®
Rúbrica para evaluar el conocimiento adquirido
Indicaciones:
Esta rúbrica es para valorar el desempeño de los estudiantes sobre los contenidos del bloque 8.
Excelente
(4)
Aspecto a evaluar
Criterios
Bueno
(3)
Regular
(2)
Deficiente
(1)
Método para
resolver
sistemas de
333
Resuelve un sistema de
3 3 3 por: reducción,
determinantes y regla de
Cramer.
Resuelve un sistema de
3 3 3 por dos de los tres
métodos.
Resuelve un sistema de
3 3 3 por uno de los tres
métodos.
No resuelve un sistema
de 3 3 3 por: reducción,
determinantes ni regla de
Cramer.
Diversas
soluciones
utilizando
sistemas 3 3 3
Interpreta las diversas
soluciones de un sistema
de 3 3 3 en el espacio
tridimensional.
Interpreta siete de las ocho
situaciones posibles.
Interpreta cinco de las ocho
situaciones posibles.
No interpreta las diversas
soluciones de un sistema
de 3 3 3 en el espacio
tridimensional.
En las diferentes actividades que se te pide realices a lo largo de la obra, podrás utilizar el siguiente modelo de registro anecdótico, que te
posibilitará anotar tus experiencias de manera ordenada. Intégralo a tu portafolio de evidencias cuando tu profesor lo solicite.
Registro anecdótico
Fecha:
Tarea:
Docente:
Registro de actividades
Recuperación de avances, dificultades y apoyos requeridos
Nombre de los estudiantes:
183
Resuelves ecuaciones cuadráticas I
9
B LO Q U E
Objetos de
aprendizaje
9.1 Representación de relaciones
entre magnitudes.
9.2 Modelos aritméticos
o algebraicos.
Competencias a desarrollar
„
Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de
procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la
comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.
„
Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.
„
Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos
matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.
„
Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural
para determinar o estimar su comportamiento.
„
Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o
fenómeno y argumenta su pertinencia.
„
Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con distintos símbolos
matemáticos y científicos.
„
Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera
reflexiva.
¿Qué sabes hacer ahora?
1. Si a un número se le agrega su cuadrado se obtiene 90.
Halla el número.
2. Resuelve por factorización x 2 + 7 x + 12 = 0 .
3. Resuelve por la fórmula general x 2 − x − 20 = 0 .
4. Resuelve gráficamente x 2 + 2 x − 3 = 0 .
5. Encuentra un número cuyo doble de su cuadrado aumentado en 5 es igual a 455.
Desempeños por alcanzar
Identifica el modelo algebraico de una ecuación cuadrática con una variable:
Completa: ax ² 1 bx 1 c 5 0, con a Z 0,1 o: x ² 1 bx 1 c 5 0
Incompleta: ax ² 1 bx 5 0, con a Z 0,1 o: ax ² 1 c 5 0
Comprende los métodos para resolver ecuaciones cuadráticas con una variable
completa e incompleta.
Resuelve ecuaciones cuadráticas con una variable completa e incompleta por
los métodos:
Por extracción por factor común y fórmula general para ecuaciones
incompletas.
Por factorización, completando trinomio o cuadrado perfecto y fórmula
general para ecuaciones cuadráticas con una variable completa.
Interpreta la solución de la ecuación cuadrática completa e incompleta para
reales, complejas e imaginarias.
Interpreta situaciones con ecuaciones cuadráticas con una variable.
Resuelve problemas o formula problemas de su entorno por medio de la
solución de ecuaciones cuadráticas.
Interpreta la solución de los problemas para cuando tiene soluciones
inadmisibles.
BLOQUE
9
Resuelves ecuaciones cuadráticas I
Situación didáctica
¿Cómo lo resolverías?
Un comerciante vendió un artículo en $96 y obtuvo como utilidad un tanto por ciento igual al precio de costo del artículo. Hallar el precio de
costo del artículo.
Secuencia didáctica
Forma equipos para resolver el problema.
Que cada equipo represente, mediante dibujos, las condiciones del
problema.
Presenta los resultados en plenaria y analizar las formas de resolver
el problema.
Cada equipo debe investigar:
¿Cómo se representa el precio de costo del artículo?
¿Cómo se representa la utilidad obtenida?
¿Cómo se establece el modelo matemático que ilustra las condiciones del problema?
¿Qué tienes que hacer?
tos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es
preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a
cabo las rectificaciones que procedan.
Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto a las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de
asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje.
Evaluación por producto
A fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito
de manera muy clara.
En este ejemplo:
¿Cómo comprobar los resultados obtenidos en el enunciado del
problema?
Producto a elaborar
Trabajo individual
Representación de la utilidad obtenida.
Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios.
Modelo matemático del enunciado del problema.
Representación del precio de costo del artículo.
Cálculos y obtención de los valores buscados.
Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione concep-
Rúbrica
Para determinar el precio de costo del artículo que se solicita se
deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados,
éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material
utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado,
la forma, las fuentes consultadas, etc. La descripción del procedimiento por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en
clase, 2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo
ello suma un total de 10 puntos.
Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes.
186
¿Cómo sabes que lo hiciste bien?
Grupo Editorial Patria®
Situación didáctica
¿Cómo lo resolverías?
De una hoja de papel con forma cuadrangular se recorta una tira de 2 cm de ancho. El área que queda es de 63 cm2. Hallar el lado del cuadrado.
Secuencia didáctica
Forma equipos para resolver el problema.
Que cada equipo represente, mediante dibujos, las condiciones del
problema.
Presenta los resultados en plenaria y analizar las formas de resolver
el problema.
Cada equipo debe investigar:
¿Cómo se representa con una letra el lado del cuadrado?
¿Qué tienes que hacer?
Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es
preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a
cabo las rectificaciones que procedan.
Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto a las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de
asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje.
¿Cómo se representa el lado al que se le recortan 2 cm?
Evaluación por producto
¿Cómo se establece el modelo matemático que ilustra las condiciones del problema?
A fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito
de manera muy clara.
¿Cómo comprobar los resultados obtenidos en el enunciado del
problema?
En este ejemplo:
Trabajo individual
Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios.
Rúbrica
Producto a elaborar
Representación de las medidas del cuadrado.
Modelo matemático del enunciado del problema.
Cálculos y obtención de los valores buscados
¿Cómo sabes que lo hiciste bien?
Para determinar la longitud del lado del cuadrado que se solicita se
deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados,
éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material
utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado,
la forma, las fuentes consultadas, etc. La descripción del procedimiento por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en
clase, 2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo
ello suma un total de 10 puntos.
Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes.
187
BLOQUE
9
Resuelves ecuaciones cuadráticas I
Situación didáctica
¿Cómo lo resolverías?
Dos personas salen de un mismo lugar a la misma hora. Una va
hacia el norte a una velocidad de 4 kilómetros por hora, y la otra
hacia el este a una velocidad de 3 kilómetros por hora. ¿En cuánto
tiempo se hallarán a 15 km una de otra?
Secuencia didáctica
Forma equipos para resolver el problema.
Que cada equipo represente, mediante dibujos, las condiciones del
problema.
Presenta los resultados en plenaria y analizar las formas de resolver
el problema.
Cada equipo debe investigar:
¿Cómo se representa la distancia recorrida por cada persona?
¿Cómo se establece el modelo matemático que ilustra las condiciones del problema?
¿Cómo se resuelve la ecuación cuadrática que se obtiene a partir
del modelo matemático?
¿Cómo comprobar los resultados obtenidos en el enunciado del
problema?
¿Qué tienes que hacer?
Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es
preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a
cabo las rectificaciones que procedan.
Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto a las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de
asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje.
Evaluación por producto
A fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito
de manera muy clara.
En este ejemplo:
Producto a elaborar
¿Cómo se interpreta la solución negativa?
Representación de las distancias recorridas por cada persona.
Trabajo individual
Modelo matemático del enunciado del problema.
Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios.
Rúbrica
Para determinar el tiempo que se solicita se deben anexar los
conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un
valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la
originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las
fuentes consultadas, etc. La descripción del procedimiento por es188
Cálculos y obtención de los valores buscados.
¿Cómo sabes que lo hiciste bien?
crito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase, 2 puntos
de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello suma un
total de 10 puntos.
Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación
del mes.
Grupo Editorial Patria®
Situación didáctica
¿Cómo lo resolverías?
¿Cuántos metros de tela se compraron con $240, sabiendo que si el metro hubiera costado tres pesos menos, se hubieran comprado cuatro
metros más?
Secuencia didáctica
Forma equipos para resolver el problema.
Que cada equipo represente, mediante dibujos, las condiciones del
problema.
Presenta los resultados en plenaria y analizar las formas de resolver
el problema.
Cada equipo debe investigar:
¿Cómo representar el número de metros de tela?
¿Cómo representar el precio del metro de tela en el primer y segundo caso?
¿Cómo representar la equivalencia entre los dos precios?
¿Cómo establecer el modelo matemático que ilustra las condiciones del problema?
¿Qué tienes que hacer?
Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es
preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a
cabo las rectificaciones que procedan.
Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto a las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de
asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje.
Evaluación por producto
A fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito
de manera muy clara.
En este ejemplo:
¿Cómo comprobar los resultados obtenidos en el enunciado del
problema?
Producto a elaborar
¿Cómo interpretar la solución negativa del modelo matemático?
Representación de los precios que se buscan.
Trabajo individual
Modelo matemático del enunciado del problema.
Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios.
Rúbrica
Representación del número de metros de tela.
Cálculos y obtención de los valores buscados.
¿Cómo sabes que lo hiciste bien?
Para determinar el número de metros de tela que se solicita se
deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados,
éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material
utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado,
la forma, las fuentes consultadas, etc. La descripción del procedimiento por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en
clase, 2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo
ello suma un total de 10 puntos
Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes.
189
BLOQUE
9
Resuelves ecuaciones cuadráticas I
Situación didáctica
¿Cómo lo resolverías?
Una cadena de tiendas departamentales va a publicar su catálogo de artículos con sus respectivos precios. ¿En qué porcentaje debe incrementar el precio de compra para fijar el precio de catálogo, de manera que al aplicarle a un artículo 20% de descuento la cadena obtenga 20% de
utilidad sobre el precio de compra?
Secuencia didáctica
¿Qué tienes que hacer?
Forma equipos para resolver el problema.
cabo las rectificaciones que procedan.
Que cada equipo represente, mediante dibujos, las condiciones del
problema.
Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto a las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de
asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje.
Presenta los resultados en plenaria y analizar las formas de resolver
el problema.
Cada equipo debe investigar:
¿Cómo representar el precio de compra y de venta de un artículo
para obtener 20% de utilidad?
¿Cómo representar el precio de catálogo de ese mismo artículo y
su precio de venta con 20% de descuento?
Evaluación por producto
A fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito
de manera muy clara.
En este ejemplo:
Producto a elaborar
¿Cómo establecer el modelo matemático que ilustra las condiciones del problema?
Representación del precio de compra y de venta de un artículo.
¿Cómo resolver la ecuación que representa el modelo matemático?
Cálculo y obtención de los valores buscados.
Ecuación del modelo matemático del enunciado del problema.
¿Cómo comprobar el resultado obtenido en el enunciado del problema?
Trabajo individual
Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios.
Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es
preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a
Rúbrica
Para determinar el precio de catálogo que se solicita se deben
anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos
tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las fuentes consultadas, etc. La descripción del procedimiento
190
¿Cómo sabes que lo hiciste bien?
por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase,
2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello
suma un total de 10 puntos.
Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes.
Grupo Editorial Patria®
Propuestas de diseño
para situaciones didácticas
19. En un octágono regular la apotema excede en 2 cm al lado del
polígono. Si el área es de 320 cm2, halla las medidas del lado y
de la apotema.
Parte I
1. Si a un número se le agrega su cuadrado se obtiene 90. Halla el
número.
20. El área de un trapecio es de 84 cm2. La base mayor es el doble de la menor y la altura excede en 1 cm a la base menor.
Determina la medida de cada una.
2. Halla el número cuyo cuadrado disminuido en el doble del
número da 15.
3. Encuentra el número cuyo duplo de su cuadrado disminuido
en el número es igual a 45.
4. Halla dos números que sumados den 12 y multiplicados den 35.
5. La suma de dos números es 14 y la suma de sus cuadrados es
106. ¿Cuáles son esos números?
6. La suma de los cuadrados de tres números naturales consecutivos es 110. ¿Qué números son?
7. El producto de dos números enteros consecutivos es 600.
Halla los números.
8. Encuentra el número cuyo quíntuple aumentado en 500 es
igual a su cuadrado.
9. Halla dos números pares consecutivos tales que la diferencia
de sus cuadrados sea 116.
10. Halla un número tal que la mitad de su cuadrado disminuida
en 8 dé 120.
11. El perímetro de un rectángulo es de 140 m y su área es de
1 200 m2. Halla sus dimensiones.
12. Un lado de un rectángulo excede al ancho en 10 m y el área es
de 2 000 m2. Halla sus dimensiones.
13. Si al largo de un rectángulo se le restan 3 m se obtiene un
cuadrado de 225 m2 de área. Halla las dimensiones y el área
del rectángulo.
14. La base de un rectángulo es el doble de su altura y su área es de
288 m2. Calcula sus dimensiones.
15. En un triángulo rectángulo el cateto mayor excede en 2 cm al
menor, y la hipotenusa supera en 2 cm al cateto mayor. Calcula
la medida de cada lado.
16. Calcula el lado de un cuadrado cuya área disminuida en el
producto del lado por 5 es igual a 126 m2.
17. La banqueta que rodea a un jardín rectangular es de 3 m de ancho. El jardín tiene 10 m más de largo que de ancho. Si el área
del jardín es de 1 496 m2, ¿cuál es la longitud del lado exterior
de la banqueta?
18. Halla el lado de un cuadrado; si su área se aumenta en el producto de dicho lado por 5 se hace igual a 500 m2.
Parte II
A) Resuelve por factorización las siguientes ecuaciones.
1. x2 1 3x 5 0
2. 3x2 2 6x 5 0
3. x2 2 5x 5 0
4. x2 1 7x 5 0
5. 2x2 1 8x 5 0
6. 5x2 2 15x 5 0
7. 3x2 2 5x 5 0
8. 2x2 2 4x 5 0
9. 2x2 1 5x 5 0
10. 3x2 1 x 5 0
11. x2 2 4 5 0
12. x2 2 9 5 0
13. 3x2 2 12 5 0
14. 2x2 2 72 5 0
15. 3x2 2 147 5 0
16. 9x2 2 4 5 0
17. 4x2 2 100 5 0
1
18. x 2 – = 0
4
x2 2 0.25 5 0
x2 2 0.0196 5 0
x2 1 6x 1 9 5 0
x2 2 6x 1 9 5 0
x2 1 10x 1 25 5 0
x2 2 12x 1 36 5 0
x2 1 22x 1 121 5 0
x2 2 20x 1 100 5 0
x2 1 16x 1 64 5 0
x2 2 14x 1 49 5 0
9
29. x 2 13x 1 5 0
4
2
1
30. x 2 – x + = 0
3
9
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
191
BLOQUE
9
Resuelves ecuaciones cuadráticas I
31. x2 17x 1 12 5 0
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
32. x2 2 7x 1 12 5 0
33. x2 1 x 2 30 5 0
34. x2 2 x 2 30 5 0
35. x2 1 13x 1 36 5 0
36. x2 2 7x 2 60 5 0
37. x2 2 12x 1 35 5 0
38. x2 1 x 2 42 5 0
39. x2 2 3x 2 54 5 0
40. x2 2 5x 2 14 5 0
B) Resuelve las siguientes ecuaciones por complementación de
cuadrados.
1. x 2 2x 5 0
2
2. x2 1 8x 1 15 5 0
3. x2 1 2x 2 3 5 0
4. x2 1 6x 1 5 5 0
5. x2 1 5x 2 14 5 0
6. x2 2 5x 1 4 5 0
7. x2 1 3x 2 18 5 0
8. x 2 7x 2 18 5 0
2
9. x2 1 7x 1 12 5 0
10. x2 2 13x 1 36 5 0
C) Resuelve las siguientes ecuaciones por fórmula general.
1. x2 2 x 20 5 0
2. x 2 7x 2 18 5 0
2
3. x 1 11x 1 24 5 0
2
4. x 2 – 2 x – 24 = 0
5. x2 1 7x 1 10 5 0
4
4
6. x 2 – x + = 0
3
4
7. 6x2 1 5x 2 6 5 0
8. 2x2 1 6x 1 4 5 0
Parte III
Determina la naturaleza de las raíces de cada ecuación.
1. x2 22x 2 3 5 0
3. x2 24x 1 8 5 0
5. x2 1 6x 2 3 5 0
7. x2 2 3x 2 2 5 0
9. x2 1 4x 1 4 5 0
Parte IV
2.
4.
6.
8.
10.
x2 1 2x 1 1 5 0
x2 2 2x 1 2 5 0
x2 2 3x 1 1 5 0
x2 1 x 1 3 5 0
x2 1 6x 2 9 5 0
Resuelve gráficamente cada una de las siguientes ecuaciones
1.
3.
5.
7.
x2 1 2x 2 3 5 0
x2 2 4x 1 8 5 0
x2 1 6x 2 3 5 0
x2 2 3x 1 2 5 0
9. x2 1 4x 1 4 5 0
x2 1 2x 1 1 5 0
x2 2 2x 1 2 5 0
x2 2 4x 1 8 5 0
2x2 1 x 1 3 5 0
1
10. x 2 + x + = 0
4
2.
4.
6.
8.
Parte V
1. Encuentra un número cuyo doble de su cuadrado aumentado
en 5 es igual a 465.
2. Halla un número tal que la mitad de su cuadrado disminuido
en 12 sea igual a 150.
3. Si al triple de un número se le suma su cuadrado se obtiene
108. Encuentra el número.
4. A un número se le aumenta el triple de su cuadrado y el resultado es 154. ¿Cuál es el número?
9. 5x2 1 10x 1 5 5 0
5. Si al triple del cuadrado de un número se le resta 15 veces el
mismo número la diferencia es cero. Obtén el número.
10. 3x2 1 3x 2 18 5 0
6. Encuentra dos números que sumados dan 17 y multiplicados
dan 42.
D) Resuelve las siguientes ecuaciones por factorización mediante
agrupamiento de términos.
192
2x2 2 6x 2 8 5 0
2x2 2 4x 2 30 5 0
2x2 2 3x 1 1 5 0
3x2 1 10x 2 25 5 0
5x2 2 3x 2 36 5 0
2x2 1 5x 2 3 5 0
2x2 2 7x 2 15 5 0
4x2 1 7x 1 3 5 0
6x2 2 3x 2 18 5 0
7x2 2 9x 1 2 5 0
7. ¿Cuáles son los números que restados dan 5 y multiplicados
dan 36?
Grupo Editorial Patria®
8. La suma de los cuadrados de dos números enteros consecutivos es 481. Encuentra los números.
26. El perímetro de un rectángulo es de 54 m y su área es de
180 m2. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo?
9. Halla un número cuyo cuadrado disminuido en 77 es igual a
menos el cuádruplo del número.
27. El perímetro de un rectángulo mide lo mismo que la circunferencia de un círculo. El largo del rectángulo es 3 m mayor que
su ancho, y el área es de 270 m2. Determina las dimensiones del
rectángulo así como el diámetro, la longitud de la circunferencia y el área del círculo. Toma
10. El producto de un número disminuido en 3 unidades y el mismo número aumentado en 4 unidades es igual a 78. Obtener
el número.
11. Encuentra dos números enteros consecutivos, tales que el
cuadrado del mayor excede en 57 al triple del menor.
12. En un triángulo, la altura es igual a la mitad de la base. Si el área
del triángulo es de 256 m2, ¿cuánto mide la base y la altura del
triángulo?
13. En un triángulo, la base es 3 m mayor que la altura. Si el área
del triángulo es de 90 m2, ¿cuáles son sus dimensiones?
14. La base y la altura de un triángulo son iguales. Si a cada una
se le aumentan 2 m se obtiene un triángulo de 50 m2 de área.
Halla las dimensiones originales.
15. Calcula la medida del lado de un cuadrado de área igual a
1 225 metros cuadrados.
16. Si se duplican los lados de un cuadrado se obtiene otro cuadrado de 324 m2 de área. ¿Cuánto mide el lado del primer
cuadrado?
17. La base de un rectángulo es el doble de su altura y su área igual
a 240 m2. Calcula sus dimensiones.
18. Determina las dimensiones de un rectángulo de área igual a
240 m2 sabiendo que el largo mide 8 metros más que el ancho.
19. El ancho de un rectángulo es 9 metros menor que su largo y
su área es de 400 m2. ¿Cuáles son sus dimensiones?
20. Halla los catetos de un triángulo rectángulo sabiendo que uno
de ellos mide 5 metros más que el otro y la hipotenusa mide
25 m.
21. Los catetos de un triángulo rectángulo son dos números enteros consecutivos. Si el área del triángulo es de 6 m2, ¿cuánto
miden los dos catetos?
22. Los catetos de un triángulo rectángulo son números enteros
pares consecutivos. Determina la medida de cada lado.
23. En un rombo de 285 cm2 de área, la diagonal mayor excede a la
menor en 4 cm, ¿cuánto mide cada diagonal?
24. La suma de dos lados consecutivos de un rectángulo es de
24 m, y el área del rectángulo es de 135 m2. Halla las dimensiones del rectángulo.
25. En un terreno rectangular de 450 m2 de área, el largo es el
doble del ancho. Calcula las dimensiones del terreno.
22
7
28. Un terreno rectángular tiene un perímetro de 380 m y el largo
es 10 m mayor que el ancho. El terreno está rodeado por una
calle cuya área es igual a la del terreno. Calcula el ancho de la
calle.
p=
29. Con una lámina cuadrada se construye una caja cortando en
las esquinas cuadrados de 5 cm por lado y doblando hacia
arriba las partes para formar la caja. Si la caja ocupa un espacio
de 8 000 cm3, ¿cuánto mide el lado de la lámina?
30. Un círculo está inscrito en un cuadrado, es decir, el círculo
está dentro del cuadrado y es tangente a los lados de éste. El
área del cuadrado menos el área del círculo es igual a 42 cm2,
¿cuánto mide el radio del círculo? Toma
22
7
31. Jorge es 5 años mayor que Luis, y la suma de los cuadrados de
sus edades es 193. ¿Qué edad tiene cada uno?
p=
32. Ana tiene 3 años menos que María, y la suma de los cuadrados
de sus edades es 369. Encuentra las edades de Ana y María.
33. Fernando es 3 años menor que Francisco, y la suma de los
cuadrados de sus edades es 149. ¿Cuál es la edad de cada uno?
34. La edad de una madre es el triple de la de su hija, y el cuadrado
de la edad de la hija es igual a cuatro veces la de la madre. Halla
la edad de cada una.
35. Un avión vuela 800 millas
contra el viento y luego regresa al punto de partida empleando un total de 9 horas.
Encuentra la velocidad del
avión en aire tranquilo si la
velocidad del viento es de 20
millas por hora. Sugerencia:
utiliza
t=
d
v
36. Una lancha de motor viaja 36 millas río arriba (contra la corriente y regresa al punto de partida). En el recorrido tardó
193
BLOQUE
9
Resuelves ecuaciones cuadráticas I
5 horas. La velocidad de la lancha en aguas tranquilas es de
15 millas por hora. ¿Cuál es la velocidad de la corriente del río?
44. Se compra cierto número de libros por 169 unidades de dinero. Si el número de libros es igual al precio de cada uno, ¿cuántos libros se compraron?
45. Se reparten 60 unidades de dinero entre cierto número de
niños. Si a cada niño se le dieran 2 unidades de dinero menos,
el reparto alcanzaría para 8 niños más. ¿Qué cantidad se dio a
cada niño?
37. Un tren recorre 800 kilómetros en cierto tiempo. Al regreso
viaja con una velocidad de 16 km por hora menos que la ida y
tarda 2 horas y media más. Calcula el tiempo de ida y el regreso.
38. Una carretera y una vía del tren se cruzan perpendicularmente. Un tren se encuentra a 15 km del cruce al tiempo en que
el automóvil está a 12 km del mismo. Los dos van a una velocidad de 1.5 km por minuto. ¿Al cabo de cuántos minutos
se hallarán a una distancia de 3 km uno de otro? Explique
las dos soluciones. Sugerencia: utiliza d 5 vt y el teorema de
Pitágoras.
46. Con 192 unidades de dinero se compra cierto número de
artículos de igual precio. Si se compraran 2 artículos menos quedarían 8 unidades de dinero. ¿Cuántos artículos se compraron?
39. Un depósito de agua se llena por dos llaves A y B en 12 minutos. Si B lo llena en 10 minutos más que A, ¿en qué tiempo lo
puede llenar cada una?
40. Dos tubos A y B llenan un depósito en 20 minutos. El tubo B
lo llena en 9 minutos menos que A. ¿En cuánto tiempo lo llena
A?
41. Un obrero cobra cierta cantidad de dinero por hora de trabajo.
Para hacer una obra cobra 500 unidades de dinero y al realizarla se tarda 5 horas más por lo que gana 5 unidades de dinero menos por hora. ¿Cuántas horas empleó en hacer la obra?
42. Un obrero puede hacer una obra en 24 horas menos que su
ayudante. Si trabajan juntos pueden hacer la obra en 22.5 horas. ¿Cuánto tarda cada uno si trabajan por separado?
43. En una farmacia se compra
cierto número de artículos
iguales en 729 unidades
de dinero, y resulta que el
precio de cada artículo es
igual al número de artículos.
¿Cuántos artículos se compraron?
194
47. Un cuerpo se arroja desde una altura de 735 m con una velocidad de 24.5 metros por segundo. ¿En cuánto tiempo llega el
cuerpo al suelo? Sugerencia: usa e 5 vt 1 4.9 t2.
48. Si en el problema anterior el cuerpo no se arroja sino que se
deja caer, entonces la velocidad v 5 0. ¿En qué tiempo llega el
cuerpo al suelo?
49. Desde el suelo se lanza un proyectil hacia arriba con una velocidad de 39.2 metros por segundo, ¿al cabo de cuánto tiempo estará a 58.8m metros de altura sobre el suelo? Sugerencia:
usa e 5 vt 2 4.9 t2.
50. Se invierten 8 000 unidades de dinero a un tanto por ciento
anual. Un año después se retiran el capital y el interés producido y se invierten a un tanto por ciento que es 3% mayor que
el anterior con lo cual se obtiene un interés anual de 856 unidades de dinero. ¿Cuál era el primer tanto por ciento?
Grupo Editorial Patria®
Cuando las leyes de la matemática se refieren a la realidad, no son ciertas;
cuando son ciertas, no se refieren a la realidad.
Einstein
de primer grado o lineal y c es el término independiente o constante.
Introducción
Para tu reflexión
Se procede al planteamiento de problemas que conducen a una
ecuación de segundo grado con una incógnita como modelo matemático.
Abel, Niels Henrik (1802-1829)
Posteriormente se utilizan métodos algebraicos para resolver ecuaciones de segundo grado con una incógnita. También se usa la
fórmula general así como el discriminante de la misma para analizar la naturaleza de las raíces de una ecuación de segundo grado
con una incógnita.
Se representa en el plano cartesiano a la ecuación de segundo grado con una incógnita y se interpreta su solución en forma gráfica.
Para concluir, se aplica la ecuación cuadrática en la resolución de
problemas.
9.1 Representación de
relaciones entre magnitudes
Métodos algebraicos
Una ecuación cuadrática, una vez resuelta, tiene como raíces o soluciones valores que la satisfacen, pero que requieren ser verificados y, en su caso, interpretados en el enunciado de un problema.
Una ecuación de segundo grado con una incógnita se expresa por:
ax2 1 bx 1 c 5 0, a ? 0
Actividad de aprendizaje
Si ab 5 0, entonces a 5 ____, b 5 _____ o a y b son iguales a.
Matemático noruego que aportó las ecuaciones
abelianas. En 1824 probó que no hay ninguna
fórmula para hallar los ceros de todos los polinomios generales de grado mayor al cuarto,
dando paso a la creación de la doble periodicidad
de las funciones elípticas.
Niels comprobó que las ecuaciones algebraicas generales no pueden ser resueltas
en forma algebraica cuando son de grado
mayor al cuarto; también analizó las funciones algebraicas, las elípticas, las integrales definidas y las trascendentes.
En 1824 comprobó que no hay ninguna fórmula para hallar los ceros
de todos los polinomios generales de grados n $ 5 en términos de
sus coeficientes y en el de las funciones elípticas, ámbito en el que
desarrolló un método para la construcción de funciones periódicas recíprocas de la integral elíptica.
En 1815 ingresó a la escuela de la Catedral de Cristianía –hoy Oslo–
donde tres años después probaría sus aptitudes para las matemáticas
con sus brillantes soluciones a los problemas propuestos por Bernt
Holmboe.
En 1826 Abel viajó a París, donde conoció a los matemáticos franceses
más importantes, aunque ni él ni su trabajo fueron valorados. A ello
contribuyó también su modestia, que lo llevó a no hacer públicos los
resultados de sus investigaciones. La prematura muerte, a los 27 años,
de este genio de las matemáticas terminó con una brillante y prometedora carrera. Sus investigaciones aclararon algunos de los aspectos
más oscuros del análisis y abrieron nuevos campos de estudio, posibilitando numerosas ramificaciones en el conocimiento matemático y
alcanzando un notable progreso.
Actividad de aprendizaje
Ecuaciones de segundo grado
de una variable
Si una ecuación tiene tantas raíces o soluciones como su grado,
¿cuántas raíces o soluciones tiene una ecuación de segundo grado?
Si en la ecuación: ax2 1 bx 1 c 5 0, b 5 0, entonces se anula el
término lineal y la ecuación queda: ax2 1 c 5 0.
Si c 5 0, entonces la ecuación se reduce a: ax2 1 bx 5 0.
Estas dos últimas expresiones corresponden a ecuaciones de segundo grado con una incógnita que son incompletas, en el primer
caso por carecer del término lineal y en el segundo caso por carecer
del término independiente.
donde a, b y c son constantes y x es la incógnita que tiene a 2 como
su mayor exponente; ax2 es el término cuadrático, bx es el término
195
BLOQUE
9
Resuelves ecuaciones cuadráticas I
Recuerda que resolver una ecuación significa encontrar los valores
que la satisfacen. A este respecto se debe observar que:
Este tipo de ecuaciones tienen dos raíces o soluciones.
Si el producto de dos factores es cero, entonces por lo menos uno
de ellos es cero.
(0) 2 0 5 0
3
1
2 50
9
3
050
1
1
2 50
3
3
Por factorización
Al multiplicar dos o más números se obtiene un producto. Los
números que se multiplican se denominan factores o divisores del
producto.
2.
Solución:
En esta ecuación 5x es el mayor divisor común de los dos términos de la ecuación, es decir, 5x es el factor común de los dos
términos por los que la ecuación se puede expresar como:
Una ecuación de segundo grado con una incógnita se puede expresar como el producto de los factores, a este proceso se le llama
factorización. Como el producto de los dos factores es igual a cero,
se iguala cada uno de ellos con cero para obtener las dos raíces o
soluciones (r1 y r2) de la ecuación.
5x (x 1 2) 5 0
Igualando cada factor con cero, se obtiene: 5x 5 0
x1250
Extracción de factor común
de donde: x 5
Factorización de una ecuación del tipo
ax 2 1 bx 5 0
0
5
x1 5 0
para x 5 0
5(22) 1 10(22) 5 0
5(0) 1 0 5 0
5(4) 2 20 5 0
01050
20 2 20 5 0
050
050
Resuelve la ecuación 3x 2 x 5 0.
2
Solución:
En esta ecuación x es el mayor divisor común de los dos términos,
por tanto, x es el factor común de los dos términos y la ecuación
se puede escribir así:
x (3x 2 1) 5 0
Resuelve la ecuación 3x 2 12x 5 0.
Solución:
Sacando factor común 3x (x24) 5 0
de donde: x1 5 0,
3x 2 1 5 0
2
2
Igualando a cero cada factor: 3x 5 0
Igualando cada factor con cero, se obtiene:
de donde: x1 5 0, x2 5
3.
para x 5 22
5 (0) 1 10(0) 5 0
2
x50
x2 5 22
Comprobación:
Ejemplos
1.
Resuelve la ecuación 5x 2 1 10x 5 0.
x2450
x2 5 4
Comprobación:
1
.
3
Comprobación:
3(0)2 2 120(0) 5 0
3(4)2212(4) 5 0
3(0) 2 0 5 0
3 (16) 2 48 5 0
02050
48 2 48 5 0
Se sustituyen los valores de las raíces en la ecuación original.
para x 5 0
para x 5
1
3
2
196
3(0)2 2 0 5 0
⎛ 1⎞ 1
3⎜ ⎟ 2 5 0
⎝ 3⎠ 3
3(0) 2 0 5 0
⎛ 1⎞ 1
3⎜ ⎟ 2 5 0
⎝ 9⎠ 3
Actividad de aprendizaje
2
Una ecuación del tipo ax 2 + bx = 0 tiene la propiedad de que una de
sus raíces o soluciones
Grupo Editorial Patria®
Una ecuación de segundo grado con una incógnita del tipo ax2
1 bx 5 0 es incompleta porque le falta el término independiente.
Este tipo de ecuación tiene la propiedad de que una de sus raíces o
soluciones es cero.
Transponiendo el término independiente: x 2 5 49
de donde: x 5 6
o sea: x 5 6 7
Despeje de la variable cuadrática
Factorización de una ecuación del tipo
ax2 1 c 5 0, a 0
49
por tanto: x1 5 7
2.
x2 5 27
Resuelve la ecuación 3x 2 108 5 0.
2
Solución:
Sacando a 3 como factor común: 3(x 2 236) 5 0.
El factor binomio es una diferencia de cuadrados, por tanto:
3 (x16)(x26) 5 0.
Actividad de aprendizaje
Igualando cada factor binomio con cero: x 1 6 5 0 x 2 6 5 0
Una ecuación del tipo ax 2 1 c 5 0 tiene la propiedad de que sus
raíces o soluciones
de donde: x1 5 26, x2 5 6
Comprobación:
3(6)2 2 108 5 0
3(26)2 2 108 5 0
3(36) 2 108 5 0
108 2 108 5 0
050
3(36) 2 108 5 0
108 2 108 5 0
050
Una ecuación del tipo ax 2 1 bc 5 0 tiene la propiedad de que una de
sus raíces o soluciones
3.
Resuelve la ecuación x 2 2 12 5 0.
Solución:
Extrayendo la raíz cuadrada principal de x 2 y 12:
+ x 2 = x , + 12 = +
Ejemplos
1.
Un factor binomio es la suma y el otro la diferencia de las raíces:
Resuelve la ecuación x 2 2 49 5 0.
Solución:
Como se puede observar esta ecuación es una diferencia de
cuadrados, por lo que sus factores son dos binomios conjugados.
Extrayendo la raíz cuadrada principal (positiva) de x 2 y 49:
+ x2 = x
+ 49 = 7
Un factor binomio es la suma y el otro la diferencia de las raíces
de sus términos:
x 2 2 49 5 (x 1 7)(x 2 7) 5 0
Igualando cada factor binomio con cero: x 1 7 5 0 x 2 7 5 0
de donde x1 5 27,
x 2 – 12 = ( x + 2 3 )( x – 2 3 ) = 0
Igualando cada factor con cero: x + 2 3 = 0 x – 2 3 = 0
de donde x1 + 2 3 , x 2 = 2 3
Comprobación:
x 2 2 12 5 0
(22 3 )
2
2 12 5 0
4(3) 2 12 5 0
x 2 2 12 5 0
(2 3 )
2
2 12 5 0
4(3) 2 12 5 0
12 2 12 5 0
12 2 12 5 0
050
050
x2 5 7
Comprobación:
(27)2 2 49 5 0
722 49 5 0
49 2 49 5 0
49 2 49 5 0
050
050
La ecuación x 2 49 5 0 también se puede resolver así:
x 2 2 49 5 0
2
4–3 =+ 2 3
Una ecuación de segundo grado con una incógnita del tipo ax2 1
c 5 0 es incompleta porque le falta el término lineal. Este tipo de
ecuaciones tiene la propiedad de que sus raíces o soluciones son
valores simétricos.
Ecuaciones cuadráticas incompletas
Algunos problemas dan lugar a una ecuación cuadrática incompleta como modelo matemático.
197
BLOQUE
9
Resuelves ecuaciones cuadráticas I
Ecuaciones cuadráticas completas
Ejemplos
1.
Un triángulo tiene un área de 648 m2. Si la altura y la base son
iguales, determine la longitud de cada una.
Factorización de una ecuación del tipo
x2 1 bx 1 c 5 0
Solución:
Ejemplos
El área A de un triángulo de base b y altura h se obtiene por la
fórmula:
1.
A5
bh
2
Solución:
Esta ecuación se puede expresar como el producto de dos factores binomios.
El primer término de cada binomio son los factores x y x de x2.
Para determinar los segundos términos de cada binomio se buscan dos números cuyo producto sea 15 y que sumen 8.
Los números cuyo producto es 15 son: 15 y 1 , 215 y 21, 3 y
5, 23 y 25.
El producto 15 es positivo, esto significa que sus factores deben
tener igual signo. Para que la suma de los factores sea positiva
se requiere que ambos sean positivos. Los factores de 15 que
cumplen con las condiciones son 3 y 5, pues (3) (5) 5 15 y 3
1 5 5 8.
por tanto: x2 1 8x 1 15 5 (x 1 3) (x 1 5) 5 0
Sea x la longitud que se busca, entonces b 5 h 5 x.
Por tanto:
de donde:
o sea:
A5
x?x
2
1 296 5 x 2
x 2 5 1 296
Extrayendo raíz cuadrada a los dos miembros: x56 1 296
x 5 6 36
por lo que:
x1 5 36, x2 5 236
De las dos soluciones sólo es válida la positiva, pues el problema
pide una longitud y no existen longitudes negativas.
2.
Igualando a cero cada factor, se obtiene: x 1 3 5 0,
x1550
de donde: x1 5 23, x2 5 25
El área de un rectángulo es de 392 m2, si la base es el doble de
la altura, ¿cuáles son las dimensiones del rectángulo?
Solución:
estos valores se pueden determinar por simple inspección de los
factores binomios, ya que cada uno es el simétrico del segundo
término de cada factor.
Comprobación:
(23)2 1 8 (23) 1 15 5 0
(25)2 1 8 (25) 1 15 5 0
El área A de un rectángulo de base b y la altura h está dada por:
A 5 bh
si la altura se representa por x entonces la base es 2x:
De acuerdo con el enunciado del problema:
9 2 24 1 15 5 0
24 2 24 5 0
050
392 5 2x 3 x
o sea:
392 5 2x 2
es decir:
2x 2 5 392
o bien:
donde;
por tanto
x 2 5 196
196 5 x
x 5 6 14
x1 5 14, x2 5 214
De las dos soluciones sólo es aceptable la positiva, ya que el
problema pide dimensiones que son longitudes y no existen longitudes negativas.
Resuelve la ecuación x2 1 8x 1 15 5 0.
2.
25 2 40 1 15 5 0
40 2 40 5 0
050
Resuelve la ecuación x 2 2 7x 1 12 5 0.
Solución:
Factores x y x de x2.
Números cuyo producto es 12 son: 12 y 1, 3 y 4, 6 y 2,
2 12 y 21, 23 y 24, 26 y 22.
Se buscan dos factores de 12 que sumen 27.
Como el producto (12) es positivo significa que los factores deben
tener igual signo, para que la suma (27) sea negativa se requiere
que los dos factores sean negativos.
Por tanto, los factores buscados son 23 y 24, pues (23) (24)
5 12 y (23) 1 (24) 5 27, entonces: x 2 2 7x 1 12 5
(x 23) (x 24) 5 0
de donde: x1 5 3, x 2 5 4
198
Grupo Editorial Patria®
Comprobación:
3.
32 27(3) 1 12 5 0
42 27(4) 1 12 5 0
9 2 21 1 12 5 0
16 2 28 1 12 5 0
21 2 21 5 0
28 2 28 5 0
050
050
Resuelve la ecuación x 2 4x 2 21 5 0.
2
Solución:
Factores x y x de x 2.
Se buscan dos números cuyo producto sea 221 y que sumen
24.
Como el producto es negativo los factores tienen diferentes signos. Para que la suma sea negativa al mayor en valor absoluto
se le asocia el signo menos y al otro el signo más, por tanto, los
factores buscados son 27 y 3, pues (27)(3) 5 221 y (27) 1
(3) 5 24.
por tanto: x 2 2 4x 2 21 5 (x 2 7) (x 1 3) 5 0
de donde x1 5 7, x2 5 23
Comprobación:
72 24 (7) 2 21 5 0
49 2 28 2 21 5 0
49 2 49 5 0
050
(23)2 24 (23) 2 21 5 0
9 1 12 2 21 5 0
21 2 21 5 0
050
Es conveniente hacer notar que no todas las ecuaciones de este
tipo se pueden factorizar mediante el procedimiento descrito, por
lo que para resolverlas se debe proceder en otra forma, misma que
se explicará más adelante.
Factorizar trinomios cuadrados
perfectos para resolver ecuaciones
completas de segundo grado
en una variable
Cuando los términos de la ecuación x2 1 bx 1 c 5 0, forman un
trinomio cuadrado perfecto, su factorización corresponde a dos
binomios que son iguales por lo que también se puede expresar
como el cuadrado de un binomio.
Recuerda que el cuadrado de un binomio es un trinomio cuadrado
perfecto, es decir,
(x 1 y)2 5 (x 1 y) (x 1 y) 5 x2 12xy 1 y2
(x 2 y)2 5 (x 2 y) (x 2 y) 5 x2 2 2xy 1 y2
Por tanto, los factores o divisores de un trinomio cuadrado perfecto son dos binomios iguales que se pueden obtener por el procedimiento expuesto.
Ejemplos
1.
Resuelve la ecuación x 2 2 6x 1 9 5 0.
Solución:
Factores de x 2 son x y x.
Aplica lo que sabes
Ponte de acuerdo con tus compañeras y compañeros de grupo para
realizar lo siguiente:
Supongan que en tu comunidad se va a utilizar un terreno para construir un parque deportivo.
Se buscan dos números cuyo producto sea 9 y que sumen 26.
El producto es positivo, por lo que los dos factores deben tener
igual signo y para que la suma sea negativa, los dos deben ser
negativos. Los números buscados son 23 y 23, pues (23) (23)
5 9 y (23) 1 (23) 5 26.
En consecuencia: x 2 2 6x 1 9 5 (x 23)(x 2 3) 5 (x 2 3)2 5 0
Las condiciones son las siguientes:
de donde: x1 5 3
El parque debe tener forma rectangular.
Comprobación:
El área del parque será la que se pueda delimitar con una malla ciclónica que mide 3 600 metros lineales.
Organícense por equipos para elaborar propuestas.
¿Cuáles pueden ser las posibles dimensiones del parque?
Que cada equipo exponga sus propuestas para que en plenaria se
haga un análisis y se elija la que se considere más viable.
Si la propuesta del grupo es que se utilice la máxima área posible,
¿cuáles serían las dimensiones del parque?
x2 5 3
32 2 6 (3) 1 9 5 0
9 2 18 1 9 5 0
18 2 18 5 0
050
Para saber que x 2 2 6x 1 9 5 0 es un trinomio cuadrado
perfecto, se debe observar que el primer y tercer término son
el cuadrado de un número y que el término central (26x ) es el
doble producto de las raíces cuadradas principales de los términos cuadráticos.
199
BLOQUE
9
Resuelves ecuaciones cuadráticas I
(2)( x )(3)
{
El término que falta es el término central que corresponde al doble producto de las raíces cuadradas positivas de los términos
cuadráticos, es decir:
x 2 – 6x + 9 = 0
x2
entonces:
x
3
9
2
(
+ 9
signo del término central
2
⎛ – 14 x ⎞ ⎛ – 14 x ⎞ 2 2
⎜⎝ (2)(7) ⎟⎠ = ⎜⎝ 14 ⎟⎠ = x
Solución:
Por inspección de la ecuación se observa que sus términos forman un trinomio cuadrado perfecto, pues el primer y tercer término son el cuadrado de un número y el término central (x ) es el
doble producto de las raíces cuadradas principales de los términos cuadráticos, es decir:
b ) x 2 + 8 x + ____________
Como el término central es el doble producto de las raíces cuadradas positivas de los términos cuadráticos y una de ellas es x,
entonces 8 es el doble de la raíz del tercer término, por lo que el
cuadrado de la mitad de 8 es el término buscado, esto es:
⎛ 1⎞
2 ⎜ ⎟ (x) = x
⎝ 2⎠
1 1
= ,
4 2
2
⎡ 1 (8) ⎤ = ( 4)2 = 16
⎢⎣ 2 ⎥⎦
2
c ) x – 5 x + _____________
2
por tanto:
1 ⎛
1⎞ ⎛
1⎞ ⎛
1⎞
x2 + x + = ⎜ x + ⎟ = ⎜ x + ⎟ ⎜ x + ⎟ = 0
4 ⎝
2⎠ ⎝
2⎠ ⎝
2⎠
1
x1 5 ,
2
de donde:
25 ) = 2( x )(5) = 10 x
El término que falta se obtiene a partir del término central que es
el doble producto de las raíces cuadradas positivas de los términos cuadráticos y el tercer término, pues el primer término es el
cuadrado del cociente que resulta de dividir el término central entre el doble de la raíz cuadrada positiva del tercer término, o sea:
+ x2
1
2. Resuelve la ecuación x 2 1 x 1 5 0.
4
x
)(
a ) _________ – 14 x + 49
x 2 – 6 x + 9 = ( x – 3)2 = 0
+ x2 = x,
x2
x2 5
En forma semejante al ejemplo anterior, se tiene que:
1
2
2
2
⎡ 1 (2 5) ⎤ 5⎛ 5 ⎞ 5 25
⎢⎣ 5
⎥⎦ ⎜⎝ 2 ⎟⎠
4
Comprobación:
2
⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ 1
⎜⎝ – ⎟⎠ + ⎜⎝ – ⎟⎠ + = 0
2
2
4
1 1 1
– + =0
4 2 4
2 1
– =0
4 2
0=0
Una ecuación de la forma x2 1 bx 1 c 5 0, también se puede
resolver por el procedimiento que consiste en completar un trinomio cuadrado perfecto.
Para resolver una ecuación de segundo grado de la forma x2 1 bx
1 c 5 0 por el procedimiento de completar el trinomio cuadrado
perfecto se hace lo siguiente:
4.
Resuelve la ecuación x 2 2 4x 1 3 5 0.
Solución:
x 2 2 4x 1 3 5 0
Restando 3 a los dos miembros de la ecuación:
x 2 2 4x 5 23
3.
A continuación se ilustra la forma de obtener el término que falta
para que la expresión sea un trinomio cuadrado perfecto.
x2
200
1 25
Completando el trinomio cuadrado perfecto en el primer miembro
de la ecuación y sumando la misma cantidad al segundo miembro:
x 2 2 4x 1 4 5 23 1 4
Grupo Editorial Patria®
Factorizando en el primer miembro y sumando en el segundo:
(x 22)2 5 1
Factorizando en el primer miembro y sumando en el segundo:
2
⎛ 3 ⎞ 169
⎜⎝ x – ⎟⎠ =
2
4
Obteniendo la raíz cuadrada de cada miembro: x 2 2 5 6 1
Sumando 2 a los dos miembros de la ecuación x 5 2 6 1
de donde: x1 5 2 1 1 5 3
x2 5 2 2 1 5 1
Comprobación:
5.
32 2 4(3) 1 3 5 0
12 24(1) 1 3 5 0
9 2 12 1 3 5 0
1241350
12 2 12 5 0
42450
050
050
Resuelve la ecuación x 1 6x 2 27 5 0.
2
Sumando
3 13
3
a los dos miembros: x5 6
2 2
2
3 13 16
= = 8,
2 2 2
por tanto: x1 = +
13
2
3 13 10
x2 = – = – = – 5
2 2
2
Comprobación:
82 2 3(8) 2 40 5 0
Solución:
64 2 24 2 40 5 0
x 2 1 6x 2 27 5 0
64 2 64 5 0
Sumando 27 a los dos miembros de la ecuación:
050
x 2 1 6x 5 27
(25) 23(25) 2 40 5 0
2
Completando el trinomio cuadrado perfecto en el primer miembro
y sumando la misma cantidad al segundo miembro: x 2 1 6x 1
9 5 27 1 9
25 1 15 2 40 5 0
40 2 40 5 0
050
Factorizando en el primer miembro y sumando en el segundo:
(x 1 3)2 5 36
Obteniendo la raíz cuadrada de los dos miembros de la ecuación: x 1 3 5 6 6
Por fórmula general
de donde x1 5 23 1 6 5 3, x2 5 23 2 6 5 29
Si se aplica el procedimiento anterior a la ecuación ax2 1 bx 1 c
5 0, (a ? 0), se obtiene lo que se conoce como la fórmula para
resolver ecuaciones cuadráticas.
Comprobación:
Sea: ax 2 + bx + c = 0 , a ≠ 0
Restando 3 a los miembros de la ecuación: x 5 23 6 6
6.
3
2
Obteniendo la raíz cuadrada de cada miembro: x – = ±
32 1 6(3) 2 27 5 0
(29)2 1 6(29) 2 27 5 0
9 1 18 227 5 0
81 2 54 2 27 5 0
27 2 27 5 0
81 2 81 5 0
050
050
Resuelve la ecuación x 2 3x 240 5 0.
2
Solución:
x 2 2 3x 240 5 0
Sumando 40 a los dos miembros de la ecuación: x 2 2 3x 5 40
Completando el trinomio cuadrado perfecto en el primer miembro
y sumando la misma cantidad al segundo miembro:
2
⎛ 3⎞
⎛ 3⎞
x 2 – 3x + ⎜ – ⎟ = 40 + ⎜ – ⎟
⎝ 2⎠
⎝ 2⎠
o sea:
9
9
x 2 – 3x + = 40 +
4
4
2
c
b
Dividiendo la ecuación entre a: x 2 + x + = c
a
a
b
x 5 2c/a
a
Se suma la misma cantidad a los dos miembros de la ecuación para
completar el trinomio cuadrado perfecto en el primero, esta cantidad es:
2
2
b2
⎛ 1 b⎞ ⎛ b ⎞
⎜⎝ ⋅ ⎟⎠ = ⎜⎝ ⎟⎠ = 2
2 a
2a
4a
Sumando 2c/a a los dos miembros x2 1
entonces:
b2
b2 c
b
x2 + x + 2 = 2 −
a
4a 4a a
Factorizando el primer miembro y sumando términos en el segundo miembro:
2
b ⎞ b 2 – 4 ac
⎛
⎜⎝ x + ⎟⎠ =
2a
4a2
201
BLOQUE
9
Resuelves ecuaciones cuadráticas I
Obteniendo la raíz cuadrada de los dos miembros de la ecuación:
x1
Se sustituyen los valores de a, b y c en la fórmula general, se
efectúan las operaciones y se simplifican resultados.
b 2 2 4 ac
b 2 2 4 ac
b
5±
5
±
2a
4a2
2a
b
a los dos miembros de la ecuación:
2a
–b ± b 2 – 4 ac
x=
2a
Restando
Sumando términos en el segundo miembro: x =
–b ± b 2 – 4 ac
2a
Ejemplos
1.
–(– 2) ± (– 2)2 – 4(1)(1)
2(1)
2± 4–4
x=
2
2± 0 2
= =1
x=
2
2
x=
Resuelve la ecuación x 2 1 7x 1 10 5 0 por fórmula general.
Solución:
Cuando, como en este caso, el valor del radical es cero, se obtiene sólo un valor para x y como la ecuación debe tener dos
soluciones, entonces dicho valor se repite, por lo que se dice que
la ecuación tiene una raíz de multiplicidad 2, o sea:
x1 5 1,
x2 5 1
Comprobación:
12 22(1) 1 1 5 0
Se expresa la ecuación en la forma ax 1 bx 1 c 5 0 y se
identifican a, b y c.
2
1221150
22250
En este caso a 5 1, b 5 7 y c 5 10.
050
Se sustituyen los valores de a, b, y c en la fórmula general, se
efectúan las operaciones y se simplifican resultados:
– 7 ± 7 2 – 4(1)(10)
2(1)
– 7 ± 49 – 40
x=
2
–7 ± 9
x=
2
–7 ± 3
x=
3
–
7 + 3 –4
= = – 2,
x1 5 x1 =
2
2
Al resolver una ecuación de segundo grado con una incógnita empleando la fórmula general, se puede llegar a la necesidad de obtener la raíz cuadrada de un número negativo, esto da como resultado números que no pertenecen al conjunto de los números reales
sino al conjunto de los números complejos, por ello se introducen
lo siguientes conceptos.
x=
por tanto
x2 =
La unidad de los números imaginarios es
con la letra i, por lo que: i = –1
de manera que:
i2 5 21
– 7 – 3 – 10
=
= –5
2
2
en consecuencia:
i3 5 i2 ? i 5 (21) i 5 2i; i4 5 i2 ? i2 5 (21) (21) 5 1
Comprobación:
(22)2 1 7 (22) 1 10 5 0
(25)2 1 7 (25) 1 10 5 0
4 2 14 1 10 5 0
25 2 35 1 10 5 0
14 2 14 5 0
35 2 35 5 0
050
050
2.
Resuelve la ecuación x 22x 1 1 5 0 por fórmula general.
2
Solución:
Se expresa la ecuación en la forma ax 2 1 bx 1 c 5 0 y se identifican a, b y c ; por tanto, a 5 1, b 5 22, c 5 1.
202
–1 que se representa
Un número complejo es de la forma: a 1 bi
donde a € R, b € R e i 5 –1 a es la parte real y b es la parte imaginaria. Si a 5 0 entonces el número se llama imaginario puro, y si
b 5 0 entonces el complejo se reduce al número real a, por lo que
los números reales y los números imaginarios puros son subconjuntos del conjunto de los números complejos. Dos números complejos de la forma a 1 bi y a 2 bi que sólo difieren en el signo se
dice que son conjugados.
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Ejemplos
se obtiene el producto ac es decir, 2(6) 5 12.
1.
Resuelve la ecuación x 2 2x 1 2 5 0 por fórmula general.
2
Solución:
En la fórmula general se sustituyen los valores a 5 1, b 5 22
y c 5 2.
x5
–(– 2) ± (– 2)2 2 4(1)(2)
Se buscan dos números cuyo producto sea 12 y que sumen 7,
estos números son 4 y 3, pues 4(3) 5 12 y 4 1 3 5 7.
Se expresa 7x como la suma de 4x 1 3x, por lo que la ecuación
se transforma en:
2x 2 1 4x 1 3x 1 6 5 0
(2x 2 1 4x ) 1 (3x 1 6) 5 0
2x (x 1 2) 1 3(x 1 2) 5 0
(2x 1 3) (x 1 2) 5 0
agrupando términos:
Sacando factor común:
por lo que:
2(1)
2± 4 –8
2
2 ± –4
x5
2
2 ± 4(– 1)
x5
2
2 ± 2 –1
x5
2
2 ± 2i 2(11 i )
5
51 ± i
x5
2
2
x1 511 i ,
x 2 512 i
x5
Igualando cada factor con cero:
2x + 3 = 0
3
2 x1 = –
2
x+2=0
x2 = – 2
La ecuación transformada se pudo haber expresado así:
2x 2 1 3x 1 4x 1 6 5 0.
Agrupando términos: (2x 2 1 3x ) 1 (4x 1 6) 5 0
Sacando factor común: x (2x 1 3) y 2(2x 1 3) 5 0
por lo que: (x 1 2) (2x 1 3) 5 0
cuyos factores son los mismos que se encontraron anteriormente.
Comprobación:
(1 1 i )2 2 2(1 1 i ) 1 2 5 0
(1 2 i )2 22 (1 2 i ) 1 2 5 0
12 1 2i 1 i 2 2 2 2 2i 1 2 5 0
12 2 2i 1 i 2 2 2 1 2i 1 2 5 0
1 1 2i 2 1 2 2 2 2i 1 2 5 0
1 2 2i 2 1 2 2 1 2i 1 2 5 0
050
050
2.
Resuelve la ecuación 2x 1 7x 1 6 5 0.
2
Actividad de aprendizaje
Un número complejo es de la forma ____________ donde ______
es la parte real y ______ es la parte imaginaria.
Solución:
Se sustituyen en la fórmula general los valores a 5 2, b 5 7 y
c 5 6.
– 7 ± 7 – 4(2)(6)
2(2)
– 7 ± 49 – 48
x=
4
–7 ± 1
x=
4
–7 ±1
x=
4
–7 +1 –6
3
= =– ;
x1 =
4
4
2
x=
2
Raíces reales y complejas y escribe
ecuaciones a partir de éstas
La fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas es:
x=
x2 =
–7 –1 –8
= = –22
4
4
Esta ecuación también se puede resolver mediante factorización
por agrupamiento de términos, el procedimiento consiste en lo
siguiente:
2x 2 1 7x 1 6 5 0
–b ± b 2 – 4 ac
2a
La expresión b2 2 4ac contenida en el radical, es el subradical al
que se le concoce como discriminante, ya que por medio de él se
puede determinar la naturaleza de las raíces de una ecuación con
base en los criterios siguientes:
Si b2 2 4ac . 0 las raíces son reales y diferentes.
Si b2 2 4ac 5 0 las raíces son reales e iguales.
Si b2 2 4ac , 0 las raíces son complejas.
203
BLOQUE
9
Resuelves ecuaciones cuadráticas I
Solución de una ecuación cuadrática
Ejemplos
Determina la naturaleza de las raíces de la ecuación.
x 2 2 8x 1 15 5 0
1.
Solución:
Se calcula el valor descriminante:
b 2 2 4ac 5 (28)2 2 4 (1) (15)
5 64 2 60
54.0
por tanto, las raíces de la ecuación son reales y diferentes.
x 1 14x 1 49 5 0
2
2.
Solución:
Se calcula el valor del discrimante:
b 2 2 4ac 5 142 24(1)(49)
5 196 2 196
50
por tanto, las raíces de la ecuación son reales e iguales.
x 2 2 2x 1 2 5 0
3.
Solución:
Se calcula el valor discriminante:
b 2 2 4ac 5 (22)2 2 4 (1) (2)
5428
5 24 , 0
por tanto, las raíces de la ecuación son complejas.
Obtención de una ecuación cuadrática
a partir de sus raíces
En el primer ejemplo anterior, la ecuación x2 2 8x 115 5 0 tiene
dos raíces reales diferentes, sus raíces son x1 5 3 y x2 5 5.
A partir de éstas se puede escribir la ecuación de la siguiente manera (x 2 3) 5 0 y (x 2 5) 5 0, y como el producto de estos factores
es cero, entonces
(x 2 3)(x 2 5) 5 0
Al desarrollar el producto se obtiene
x2 2 8x 1 15 5 0
En el segundo ejemplo, la ecuación x2 1 14x 1 49 5 0 tiene dos
raíces reales iguales que son x1 5 7 y x2 5 7, y como el producto de
estos factores es cero, entonces
(x 2 7)(x 2 7) 5 0
Al desarrollar el producto se obtiene
x2 1 14x 1 49 5 0
204
Su interpretación gráfica
Una ecuación de segundo grado con una incógnita tiene como representación en el plano coordenado a una línea curva que recibe
el nombre de parábola. Si la incógnita es x la curva es cóncava hacia arriba (abre hacia arriba), cuando a . 0 y la curva es cóncava
hacia abajo (abre hacia abajo) cuando a , 0.
Para representar la parábola en el plano coordenado, en la ecuación
ax2 1 bx 1 c 5 0 se sustituye el cero por y : ax2 1 bx 1 c 5 y
y 5 ax2 1 bx 1 c
o bien:
b
c⎞
⎛
Si a es factor común en el segundo miembro: y = a ⎜ x 2 + x + ⎟
⎝
a
a⎠
Se suma y resta la misma cantidad en el segundo miembro para
completar un trinomio cuadrado perfecto (véase la deducción de
la fórmula general):
⎛
b2 c b2 ⎞
b
y = a⎜ x2 + x + 2 + – 2 ⎟
⎝
a
4a a 4a ⎠
2
b ⎞ 4 ac – b 2
⎛
de donde: y = a ⎜ x + ⎟ +
⎝
2a ⎠
4a
2
b⎞
b
⎛
y es positiva para toLa cantidada ⎜ x + ⎟ es cero si x = –
⎝
2a ⎠
2a
dos los demás valores de x. Con este valor de x se determina el valor
mínimo de y cuando a . 0 y el valor máximo cuando a , 0. En
consecuencia, el punto de coordenadas:
⎛ b 4 ac – b 2 ⎞
⎜⎝ – 2a , 4 a ⎟⎠
Es el punto más bajo o el punto mínimo de la curva cuando a . 0
y el punto más alto o el punto máximo de la curva cuando a , 0.
A este punto se le llama vértice de la parábola.
b
recibe el nombre de eje
2a
de simetría de la parábola y contiene el vértice de la misma.
La recta que tiene por ecuación x = –
Actividad de aprendizaje
¿Cómo se determina el vértice de la curva? ¿Cuándo se obtiene un
punto mínimo? ¿Cuándo se obtiene un punto máximo? _______
Al representar ax + bx + c = 0 en el plano coordenado, las soluciones
reales corresponden a los puntos en que la curva ______________
al eje x.
2
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Ejemplos
2.
Resuelve gráficamente la ecuación x 2 2 4x 1 3 5 0.
y
Solución:
Se sustituye el cero por y en la ecuación: x 2 2 4x 1 3 5 y
b –(– 4) 4
5
5 52
2a 2(1) 2
b
Se eligen valores por encima y por debajo x 52
y se cons2a
truye una tabla de valores de y :
2
x
x 2 2 4x 1 3 5y
5
4
52 2 4(5) 1 3 5 8
42 2 4(4) 1 3 5 3
3
32 2 4(3) 1 3 5 0
b
52
2a
1,61
2 4
(0, 6)
Se determina el valor de x 52
(-1, 4)
(2, 4)
(-2, 0)
(3, 0)
x
0
22 2 4(2) 1 3 5 21
1
12 2 4(1) 1 3 5 0
Solución:
0
02 2 4(0) 1 3 5 3
21
(21) 2 4(21) 1 3 5 8
Se sustituye el cero por y en la ecuación 2x2 1 x 1 6 5 y
2
Con los valores de x y y se forman los pares ordenados que se
localizan en el plano coordenado y se unen con trazo continuo.
y
Se determina el valor de x =
–b
(-1, 8)
(5, 8)
(0, 3)
(4, 3)
(3, 0)
x
0
x
2x 2 1 x 1 6 5 y
3
232 1 3 1 6 5 0
2
222 1 2 1 6 5 4
1
212 1 1 1 6 5 6
0
Solución:
x2 5 3
Las raíces o soluciones de la ecuación son los puntos que la
parábola tiene en común con el eje x. En estos puntos la y 5 0,
como se puede observar tanto en la tabla como en la gráfica. La
parábola abre hacia arriba pues a . 0 y, por tanto, su vértice es el
punto más bajo o mínimo de la curva. La recta x =
–b
o x=2
2a
2
1
⎛ 1⎞ 1
–⎜ ⎟ + +6=6
⎝ 2⎠ 2
4
–b 1
=
2a 2
(2, -1)
x1 5 1
–b
–1
–1 1
=
= =
2a 2(– 1) – 2 2
Se eligen valores por encima y por debajo de x =
y se cons2a
truye una tabla de valores de y :
x=2
1.
Resuelve gráficamente la ecuación 2x2 1 x 1 6 5 0.
202 1 0 1 6 5 6
21
2(21)2 1 (21) 1 6 54
22
2(22)2 1 (22) 1 6 5 0
Con los valores de x y y se forman los pares ordenados que se localizan en el plano coordenado y se unen con trazo continuo para
obtener un bosquejo de la curva. La parábola abre hacia abajo
pues a , 0 y, por tanto, su vértice es el punto más alto o máximo
de la curva.
La recta x 52
la parábola.
1
1
o x 5 o x 5 1 es el eje de simetría de
2(2 1)
2
Solución:
x1 5 3
x2 5 22
es el eje de simetría de la parábola de la cual sólo se ha trazado
una parte.
205
BLOQUE
9
Resuelves ecuaciones cuadráticas I
Las raíces o soluciones de la ecuación son los puntos que la parábola tiene en común con el eje x. En estos puntos y 5 0, lo cual se
puede observar tanto en la tabla como en la gráfica, es por ello que
también se dice: resolver la ecuación o encontrar los ceros de la
función.
Ejemplos
2b
52 1
2a
(2 1)2 1 2(2 1)1 2 51
22
(22)2 1 2(22) 1 2 5 2
23
(23)2 1 2(23) 1 2 55
24
2(24)2 1 2(24) 1 2 5 10
y
1.
Resuelve la ecuación x 2 2 2x 1 1 5 0.
(-2, 9)
(1, 9)
Solución:
x=1
Se procede en la misma forma que en los dos ejemplos anteriores, es decir:
(-1, 4)
x 2 – 2x + 1 = y
donde –b
2a
=
(9, 4)
(0, 1)
(2, 1)
0
–(– 2) 2
= =1
2(1) 2
(1, 0)
x
por tanto,
x
x 2 2 2x 1 15y
4
42 2 2(4)1 1 5 9
3
32 2 2(3) 1 1 5 4
2
22 2 2(2) 1 1 5 1
–b
=1
2a
0
Con estos valores de x y y se hace un bosquejo de la curva.
12 – 2(1) + 1 = 0
02 2 (0) 1 1 5 1
21
(21)2 2 2(21) 1 1 54
22
(22)2 2 2(22) 1 1 5 9
Como se puede observar, la gráfica de x 2 1 2x 1 2 5 y no tiene
puntos en común con el eje x. Esto significa que no existe un valor
real de x para el cual y 5 0, en consecuencia, las raíces de x 2
1 2x 1 2 5 0 son complejas y se pueden determinar usando la
fórmula general.
y
Con los valores de x y y se hace un bosquejo de la curva.
(-4, 10)
(2, 10)
Solución:
x1 5 1
2.
x2 5 1
Resuelve gráficamente la ecuación x2 1 2x 1 2 5 0.
Solución:
De manera semejante a los ejemplos anteriores se tiene: x 2 1
2x 1 2 5 y
donde:
–b – 2 – 2
=
= = –1
2a 2(1) 2
por tanto:
206
x
x 2 1 2x 1 2 5 y
2
22 1 2(2) 1 2 5 10
1
12 1 2(1) 1 2 5 5
0
02 1 2(0) 1 2 5 2
(-1, 5)
(1, 5)
(-2, 2)
(0, 2)
(-1, 1)
0
x
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Actividad de aprendizaje
Solución:
Si uno de los números buscados es x entonces el otro es 15 2 x.
Naturaleza de las raíces de una ecuación de segundo grado con una
incógnita:
Si b 2 2 4ac > 0 las raíces o soluciones son _________________.
De acuerdo con las condiciones del problema: x 1 (15 2 x ) 5 15
x 2 1 (15 2 x )2 5 117
Si b 2 2 4ac 5 0 las raíces o soluciones son _________________.
Efectuando el producto indicado: x 2 1 225 2 30x 1 x 2 5 117
Si b 2 4ac < 0 las raíces o soluciones son _________________.
simplificando:
2
Una ecuación de segundo grado con una incógnita se representa en el plano coordenado con una curva que recibe el nombre de
_________________.
x 2 2 15x 1 54 5 0
Comprobación:
9 1 6 5 15
9.2 Modelos aritméticos o
algebraicos
Problemas de números
Ejemplos
1.
El cuadrado de un número más el triple del mismo número nos da
54, ¿cuál es ese número?
Solución:
Sea x el número buscado
El cuadrado del número es x 2.
x 2 1 3x 5 54
Según el enunciado del problema:
que se pueda expresar así:
y factorizar como:
(x 1 9)(x 2 6) 5 0
por tanto, las soluciones son :
Comprobación:
(29)2 1 3(29) 5 54
81 2 27 5 54
54 5 54
2.
x 2 1 3x 2 54 5 0
x1 5 29, x2 5 6
6 1 3(6) 5 54
36 1 181 5 54
54 5 54
2
La suma de dos números es 15 y la suma de sus cuadrados es
117. Hallar esos números.
(x 2 9)(x 2 6) 5 0
x1 5 9, x2 5 6
Factorizando:
donde:
Al representar ax 2 1 bx 1 c 5 0 en el plano coordenado, si a . 0 la
curva abre ___________, y si a , 0 la curva abre ___________.
Hay problemas cuyo planteamiento conduce a una ecuación cuadrática como modelo matemático. Los métodos algebraicos y gráficos se utilizan para resolver una ecuación de segundo grado. Una
ecuación cuadrática con una incógnita, como ya se ha dicho, tiene
dos raíces o soluciones que la satisfacen, pero que requieren ser
verificadas e interpretadas, pues hay valores que resuelven la ecuación pero no resuelven el problema.
2x 2 2 30x 1 108 5 0
2x 2 2 30x 1 108 5 0
9 1 62 5 117
81 1 36 5 117
117 5 117
2
3.
Obtén tres números enteros consecutivos, tales que el cuadrado
del segundo es igual a cuatro veces la suma de los otros dos.
Solución:
Representado a los tres números enteros consecutivos por:
x11
x12
el enunciado del problema se puede x expresar así:
(x 1 1)2 5 4(x 1 x 1 2)
Efectuando operaciones: x 2 1 2x 1 1 5 8x 1 8
Transponiendo términos y simplificando: x 2 2 6x 2 7 5 0
Factorizando: (x 2 7)(x 1 1) 5 0
donde: x1 5 7, x2 5 21
Si el número es 7 entonces los enteros consecutivos son 7, 8 y
9, de manera que:
82 5 4(7 1 9)
64 5 4(16)
64 5 64
Si el número es 21 entonces los enteros consecutivos son 21, 0 y
1, por lo que:
02 5 4(1 1(21))
0 5 4(1 21)
0 5 4(0)
050
En los tres ejemplos anteriores los valores que resuelven la ecuación
también son solución del problema que representa.
207
BLOQUE
9
Resuelves ecuaciones cuadráticas I
Problema sobre figuras geométricas
Problema sobre desplazamiento
Ejemplos
Ejemplos
En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 7 m más que el cateto
mayor y 14 m más que el cateto menor. Calcula la medida de cada
lado.
Dos personas parten del mismo lugar al mismo tiempo, una camina hacia el norte a una velocidad de 4 kilómetros por hora y la otra camina
hacia el este a una velocidad de 3 kilómetros por hora. ¿En qué tiempo
se encontrarán a 15 kilómetros una de la otra?
Solución:
Sea x la medida de la hipotenusa.
x 2 7 es la medida del cateto mayor y x 2 14 es la medida del cateto
menor.
Aplicando el teorema de Pitágoras en el problema se tiene que:
(x 2 7)2 1 (x 2 14)2 5 x 2
Efectuando operaciones: x 2 2 14x 1 49 1 x 2 2 28x 1 196 5 x 2
de donde: 2x 2 2 42x 1 245 5 x 2
Solución:
Sea x el tiempo en horas
4x es la distancia que se recorre al norte en x tiempo
3x es la distancia que se recorre al este en x tiempo
Las direcciones en que se camina forman un ángulo recto y después
de x tiempo la distancia que separa a los dos personas es 15 kilómetros, por lo que al aplicar el teorema de Pitágoras se obtiene:
(4x )2 1 (3x )2 5 152
o sea: x 2 42x 1 245 5 0
Factorizando: (x 2 35)(x 2 7) 5 0
por tanto: x1 5 35, x2 5 7
es decir: 16x 2 1 9x 2 5225
o sea: 25x 2 5225
La solución del problema es 35, pues con el otro valor los catetos
serían 0 y 27.
por lo que: x = ± 9
2
Problemas sobre edades
x2 5 9
o bien x1 5 3, x2 5 23
Esto significa que tres horas después de su salida las personas han recorrido 4(3) 5 12 y 3(3) 5 9 kilómetros, respectivamente, con lo cual:
122 1 92 5 152
144 1 81 5 225
225 5 225
Ejemplos
Juan es tres años mayor que Pedro y la suma de los cuadrados de sus
edades es 89. Encuentra la edad de cada uno.
Solución:
Sean: x la edad de Pedro
Problema sobre trabajo
x 1 3 la edad de Juan
De acuerdo con las condiciones del problema: (x 1 3)2 1 x 2 5 89
Efectuando operaciones:
El valor 23 se puede interpretar en el sentido de que tres horas antes
de partir del mismo lugar las personas se hallaban a 15 km una de la
otra, en los puntos simétricos a los de su llegada.
x 2 1 6x 1 9 1 x 2 5 89
es decir:
2 x 2 1 6x 1 9 5 89
o sea:
2x 1 6x 2 80 5 0
2
x 2 1 3x 2 40 5 0
Factorizando: (x 1 8)(x 2 5) 5 0
de donde: x1 5 28, x2 5 5
En consecuencia, la edad de Pedro es de 5 años y la edad de Juan es
de 5 1 3 5 8 años.
Ejemplos
Un obrero puede hacer un trabajo en 9 horas menos que las requeridas
por su ayudante. Si trabajan juntos pueden hacer el trabajo en 20 horas, ¿cuánto tiempo tardaría cada uno si hiciera el trabajo solo?
Solución
En este tipo de problemas el planteamiento se puede hacer considerando la misma unidad de tiempo. De esta manera, la suma de las
partes del trabajo que realiza cada persona en una unidad de tiempo
es igual a la parte de trabajo que pueden hacer trabajando juntas en la
misma unidad de tiempo.
Si el obrero solo puede realizar el trabajo en 9 horas menos que su ayudante, significa que en 1 hora puede efectuar
208
1
parte del trabajo.
x–9
Grupo Editorial Patria®
Trabajando juntos pueden hacer el trabajo en 20 horas por lo que en
1 hora pueden realizar
Por tanto, el planteamiento es:
1
parte del trabajo.
20
Multiplicando la ecuación por x(x 2 5) se obtiene:
5 000 (x 2 5) 5 5 000x 2 50 x (x 2 5)
1
1
1
En consecuencia: +
= .
x x – 9 20
Efectuando operaciones y simplificando:
5 000x 2 25 000 5 5 000x 2 50x 2 1 250x
x–9+ x 1
Sumando en el primer miembro de la ecuación:
=
x( x – 9) 20
50x 2 2250x 2 25 000 5 0
Factorizando:
cada uno hubiera pagado
x 2 2 49x 1 180 5 0
1 1 1
+ =
45 36 20
4+5 1
=
180 20
9
1
=
180 20
1 1
=
20 20
una tuvo que pagar
2.
5 000
, es decir, 50 unidades de dinero más.
20
Un comerciante vende un artículo en 96 unidades de dinero y
obtiene como utilidad un tanto por ciento igual al precio de costo
del artículo. Halla el precio de costo del artículo.
Solución:
Sea x el precio de costo del artículo.
La utilidad es un tanto por ciento igual al precio de costo del
artículo, es decir, el x por ciento de x :
x
x2
x5
100
100
Según el enunciado del problema: x 1
Problemas sobre costos
x 2 1 100x 2 9 600 5 0
Solución:
Sea x el número de excursionistas.
El costo por personas es de
5 000
5 000
en el primer caso y de
x
x–5
en el segundo caso; pero entonces el costo por persona es de
50 unidades de dinero más, sobran pues 50 unidades de dinero al
cociente
(x 1 160) (x 2 60) 5 0
Factorizando:
Los gastos de una excursión son 5 000 unidades de dinero. Si al
momento de partir faltan 5 personas, entonces cada una de las que
asisten tendrán que pagar 50 unidades de dinero más. ¿Cuántas
personas van en la excursión y cuánto paga cada una?
x2
5 96
100
Multiplicando la ecuación por 100: 100x 1 x 2 5 9 600
de donde:
Ejemplos
1.
5 000
5 200 . Pero como faltaron 5,
25
entonces sólo salieron 25 2 5 5 20 personas, por lo que cada
Factorizando: (x 2 45) (x 2 4) 5 0
por tanto:
x1 5 45, x2 5 4
Esto significa que el ayudante puede realizar el trabajo en 45 horas
trabajando solo, mientras que el obrero puede hacer el mismo trabajo
en 45 2 9 5 36 horas si lo hace solo, pues:
x1 5 25, x2 5 220
Por tanto, el número original de excursionistas era 25, con lo cual
x 2 2 9x 5 40x 2 180
es decir:
(x 2 25)(x 1 20) 5 0
de donde:
Igualando el producto de los medios al producto de los extremos:
1(x 2 2 9x ) 5 20 (2x 2 9)
o sea:
x 2 2 5x 2 500 5 0
o sea:
2x – 9 1
=
x 2 – 9 x 20
de donde:
5 000 5 000
5
2 50
x
x–5
x1 5 2160, x2 5 60
de donde:
Por tanto, el precio de costo del artículo es de 60 unidades de
dinero, pues:
60 +
60
(60) = 96
100
60 + 36 = 96
96 = 96
5 000
5 000
para igualar
x–5
x
209
BLOQUE
9
Resuelves ecuaciones cuadráticas I
Problema sobre caída libre
En física se demuestra que si un objeto cae libremente habiéndose
lanzado con una velocidad v, el espacio e que recorre en t segundos
está dado por la fórmula:
1
e = vt + gt 2
2
donde e se mide en metros, v en metros por segundo y g es la constante de gravedad que se toma con un valor de 9.80 metros por segundo al cuadrado.
Si el objeto se lanza verticalmente hacia arriba, la fórmula es:
1
e = vt + gt 2
2
Tomando en cuenta el valor de g, las fórmulas se pueden expresar
así:
e = vt + 4 . 9 t 2
e = vt – 4 . 9 t 2
Ejemplos
Desde el suelo se lanza un proyectil hacia arriba con una velocidad
de 34.3 metros por segundo. ¿Dentro de cuánto tiempo estará a 49
metros de altura sobre el suelo?
Solución:
Sea t el tiempo buscado, en segundos.
2
La altura del proyectil está dada por la fórmula: e = vt – 4 . 9 t .
Sustituyendo los datos del problema:
o sea:
0 5 249 1 34.3t 2 4.9 t 2
o bien:
24.9t 2 1 34.3t 2 49 5 0
49 5 34.3t 2 4.9t 2
Dividiendo la ecuación entre 24.9: t 2 2 7t 1 10 5 0
Factorizando: (t 2 2) (t 2 5) 5 0
de donde: t1 5 2, t2 5 5
Por tanto, las soluciones del problema son 2 y 5 segundos. Esto se
explica por el hecho de que el proyectil asciende hasta alcanzar su
altura máxima y luego cae, por lo que en su trayectoria de subida (a los
2 segundos) y de bajada (a los 5 segundos) el proyectil se encuentra a
una altura de 49 metros sobre el suelo.
Problemas de mezclas
¿Qué cantidad de agua se debe agregar a 40 litros de una solución de
alcohol al 15% para reducir la concentración al 12%?
Solución:
Llámese x a la cantidad de agua en litros que debe agregarse a la
solución.
210
La cantidad de alcohol contenida en la mezcla es 0.15(40).
El porcentaje de la concentración es el cociente del volumen del alcohol entre el total de la mezcla.
Por tanto el modelo matemático es:
0.15(40)
(1)
0.12 5
40 1 x
Quitando el denominador
0.12(40 1 x ) 5 0.15(40)
Multiplicando por cien
12(40 1 x ) 5 15(40)
Ejecutando operaciones
480 1 12x 5 600
12x 5 600 2 480
12x 5 120
Despejando
120
x5
5 10
12
Se deben agregar 10 litros de agua a la mezcla original para reducir su
concentración al 12%.
Comprobación:
Se le deja al lector llegar a una identidad si substituye x 5 10 en la
ecuación (1) anotada arriba.
Problemas de costos y mezclas
¿Cuántos kilogramos de dulce, cuyo precio es de $100 cada uno deben mezclarse con 6 kilogramos de otro dulce que vale $75 por kilogramo, para vender la mezcla al precio de $90 por kilogramo?
Solución:
Llámese x al número de kilogramos de dulce que cuesta $100 el kilogramo. $100x
Lo que cuestan 6 kilogramos de dulce a $75 el kilogramo, se expresa
como: $75(6)
La suma de ese dinero debe ser igual a lo que cuestan los kilogramos
totales (6 1 x ) de la mezcla resultante.
Esto se expresa por:
100x 1 75(6) 5 90(6 1 x )
(1)
Que es el modelo matemático.
Multiplicando
100x 1 450 5 540 1 90x
Transcribiendo términos
100x 2 90x 5 540 2 450
Reduciendo términos
10x 5 90
x59
Comprobación:
Se sustituye el valor x 5 9 en la ecuación (1)
100(9) 1 75(6) 5 90(6 1 9)
900 1 450 5 1350
1350 5 1350
tal identidad comprueba la solución dada.
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Instrumentos de evaluación
Apellido paterno
Apellido materno
Nombre
Grupo
Asegúrate de haber adquirido los contenidos que se abordan en el Bloque 9. Para ello, realiza lo que se te pide a continuación.
1. Resuelve por factorización las ecuaciones
a)
b)
c)
d)
e)
x + 22 x + 121 = 0
x 2 + 13x + 36 = 0
x 2 + x − 42 = 0
x 2 + 3x − 54 = 0
x 2 − 5 x − 14 = 0
2
2. Resuelve por diferencias de cuadrados la ecuación
x 2 − 5x + 4 = 0 .
3. Resuelve mediante la fórmula general la ecuación
6x 2 + 5x − 6 = 0.
4. Resuelve por factorización mediante agrupamiento de térmi2
nos la ecuación 7 x − 9 x + 2 = 0 .
5. Determina la naturaleza de las raíces de la ecuación
x 2 − 3x + 1 = 0 .
6. Resuelve en forma gráfica la ecuación x 2 − 3x + 2 = 0 .
7. La base y la altura de un triángulo son iguales. Si a cada una
se le aumentan dos metros se obtiene un triángulo de 50 metros cuadrados de área. Halla las dimensiones originales.
8. Con una lámina cuadrada se construye una caja cortando en
las esquinas cuadrados de 5 centímetros por lado y doblando
hacia arriba las partes para formar la caja. Si la caja ocupa un
espacio de 8 000 centímetros cúbicos, ¿cuánto mide el lado
de la lámina?
9. Fernando es tres años menor que Francisco y la suma de los
cuadrados de sus edades es 149. ¿Cuál es la edad de cada
uno?
10. Se compra cierto número de libros por $169.00. Si el número
de libros es igual al precio de cada uno, ¿cuántos libros se
compraron?
211
BLOQUE
9
Resuelves ecuaciones cuadráticas I
Lista de cotejo
Lista de cotejo para el reporte sobre las dimensiones de un parque del Bloque 9.
Nombre del alumno:
Criterio
Presentación
1. Cuenta con una carátula que incluye: el nombre del trabajo que se realiza, la
materia, fecha de entrega, nombre del alumno y su matrícula.
2. Tiene una redacción que es adecuada y clara.
3. Tiene buena ortografía o con errores mínimos.
4. El trabajo se elabora en computadora o manuscrito con letra legible.
5. Las gráficas o dibujos auxiliares se elaboran de un tamaño adecuado
de modo que se puedan apreciar con claridad los datos obtenidos o las
condiciones del problema.
6. Se presenta todo el procedimiento necesario para obtener los datos o
solución que se pide con la justificación correspondiente.
Desarrollo
7. En el procedimiento se desarrolla una secuencia lógica y coherente.
8. Se hace referencia a las gráficas o diagramas auxiliares para apoyar la
argumentación del escrito.
9. Se hace la referencia bibliográfica de las notas, definiciones o conceptos
consultados para sustentar teóricamente las acciones realizadas.
Conclusiones
Dominio del
tema
10. La investigación se realiza con apoyo en libros y revistas actualizadas sobre
el tema o bien en sitios web cuya información sea científicamente válida.
De incluir citas textuales, éstas deben ser breves y con la referencia de la
fuente.
212
11. Comprende el problema y lo puede plantear.
12. Representa en un dibujo las condiciones del problema y establece las
relaciones entre los datos.
13. Obtiene la expresión algebraica del modelo matemático que plantea el
problema y lo resuelve.
14. Plantea las condiciones del problema.
15. A partir de los datos del problema expresa el modelo matemático por medio
de una ecuación cuadrática.
16. Resuelve el modelo matemático y obtiene las dimensiones del parque.
cumple
sí
no
Observaciones
Grupo Editorial Patria®
Rúbrica para evaluar el conocimiento adquirido
Indicaciones:
Esta rúbrica es para valorar el desempeño de los estudiantes sobre los contenidos del bloque 9.
Nombre del alumno:
Aspecto a evaluar
Criterios
Excelente
Bueno
Regular
Deficiente
Métodos para
resolver ecuaciones
cuadráticas
incompletas
Resuelve ecuaciones
cuadráticas incompletas
por factorización, extracción
de un factor común y por
despeje de la variable.
Resuelve ecuaciones
cuadráticas incompletas por
dos de los tres métodos.
Resuelve ecuaciones
cuadráticas incompletas por
uno de los tres métodos.
No resuelve ecuaciones
cuadráticas incompletas
por factorización, extracción
de un factor común ni por
despeje de la variable.
Ecuaciones
cuadráticas
completas
Resuelve ecuaciones
cuadráticas completas por
factorización, extracción
de un factor común y por
despeje de la variable.
Resuelve ecuaciones
cuadráticas completas por
dos de los tres métodos.
Resuelve ecuaciones
cuadráticas completas por
uno de los tres métodos.
No resuelve ecuaciones
cuadráticas completas por
factorización, extracción
de un factor común ni por
despeje de la variable.
Raíces reales y
complejas y escribe
ecuaciones a partir
de éstas
Obtiene una ecuación
cuadrática a partir de
sus raíces. Resuelve
gráficamente una ecuación
cuadrática.
En la mayoría de los casos,
obtiene una ecuación
cuadrática a partir de
sus raíces y resuelve
gráficamente una ecuación
cuadrática.
En algunos casos, obtiene
una ecuación cuadrática
a partir de sus raíces y
resuelve gráficamente una
ecuación cuadrática.
Obtiene una ecuación
cuadrática a partir de
sus raíces. Resuelve
gráficamente una ecuación
cuadrática.
Ubicación de
ecuaciones
cuadráticas
completas
Resuelve problemas que
dan lugar a una ecuación
cuadrática como modelo
matemático.
En la mayoría de los casos,
resuelve problemas que
dan lugar a una ecuación
cuadrática como modelo
matemático.
En algunos casos, resuelve
problemas que dan lugar
a una ecuación cuadrática
como modelo matemático.
No resuelve problemas que
dan lugar a una ecuación
cuadrática como modelo
matemático.
Comentarios Generales
Nombre del profesor o la profesora:
Fecha:
213
Resuelves ecuaciones cuadráticas II
10
B LO Q U E
Objetos de
aprendizaje
e
10.1 Representación de relaciones entre magnitudes.
10.2 Modelos aritméticos
o algebraicos.
Competencias a desarrollar
„
Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de
procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la
comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.
„
Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o
fenómeno y argumenta su pertinencia.
„
Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.
„
Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con distintos símbolos
matemáticos y científicos.
„
Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos
matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.
„
Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera
reflexiva.
„
Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural
para determinar o estimar su comportamiento.
„
Reconoce que la diversidad tiene lugar en un espacio democrático de equidad,
de igualdad de dignidad y derechos de todas las personas y rechaza toda froma
de discriminación.
¿Qué sabes hacer ahora?
1. Descompón el número 30 en dos números cuyo producto sea el máximo.
2. Esboza la gráfica de la función: f : R → R, f (x) 5 3x ².
Desempeños por alcanzar
Identifica la relación entre ecuaciones y funciones cuadráticas.
Reconoce la ecuación cuadrática en dos variables y 5 ax 2 1 bx 1 c como una
función cuadrática.
Identifica que toda función cuadrática es una parábola, que puede ser cóncava
hacia arriba o abajo.
Transforma la función cuadrática y 5 ax2 1 bx 1 c a la forma estándar y 5 a
(x 2 h)2 1 k1, así obteniendo las coordenadas del V(L, k) para trazar su
gráfica.
Interpreta que las intersecciones de la parábola con el eje de las “x” son la solución
cuadrática, y que dependen de la naturaleza del discriminante √bb—2-4ac
4 tienen
soluciones reales, imaginarias o complejas.
Visualiza que al cambiar los parámetros de “a, b y c” en la función cuadrática
cambia el ancho, el vértice y el sentido de la parábola vertical.
Elabora o interpreta gráficas y tablas a partir de situaciones diversas
e interpretando sus soluciones para cuando son o no admisibles.
10
BLOQUE
Resuelves ecuaciones cuadráticas II
Situación didáctica
¿Cómo lo resolverías?
Se desea cercar un terreno de forma rectangular, de manera que
su área sea la máxima posible. Considerar que un río, aproximadamente recto, corre a lo largo de uno de los lados, y al cual no se
pondrá cerca, si se dispone de 300 metros lineales.
a) Determinar la expresión algebraica de la función que describe
el problema.
b) Encontrar el valor del dominio para el cual el valor de la función es el máximo posible.
c) Representar en el plano coordenado la gráfica de la función en
el intervalo 0 < x < 150.
Secuencia didáctica
Forma equipos para resolver el problema.
Que cada equipo represente con dibujos las condiciones del problema.
Presenta los resultados en plenaria y analizar las formas de resolver
el problema.
Cada equipo debe investigar:
¿Cómo se representan los lados del rectángulo?
¿Qué tienes que hacer?
Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es
preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos y efectuar las
rectificaciones que procedan.
Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto a las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de
asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje.
¿Cómo se representa el perímetro del rectángulo?
Evaluación por producto
¿Cómo se expresa un lado en función de los otros dos?
A fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito
de manera muy clara.
¿Cómo se expresa el área del terreno?
¿Cómo se expresa el área del terreno como una función?
En este ejemplo:
¿Cómo se determina el dominio y contradominio de la función?
Producto a elaborar
¿Cómo se determina el valor del dominio para el cual se obtiene el
valor máximo en el contradominio?
¿Cómo se tabula la función y construye su gráfica?
Modelo matemático del enunciado del problema.
Valor del dominio para el cual el área es máxima.
Representación gráfica de la función.
Trabajo individual
Cada participante debe registrar lo investigado y realizar los cálculos necesarios.
Rúbrica
Para determinar el área máxima que se solicita se deben anexar los
conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un
valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la
originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las
fuentes consultadas, etc. La descripción del procedimiento por es216
¿Cómo sabes que lo hiciste bien?
crito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase, 2 puntos
de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello suma un
total de 10 puntos.
Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes.
Grupo Editorial Patria®
Propuestas de diseño
para situaciones didácticas
“La matemática es la reina de las ciencias, y la teoría de números es la reina de
las matemáticas.”
Johann Carl Friedrich Gaus (1777-1855)
Matemático, astrónomo y físico alemán
Parte I
1. Descompón 30 en dos números cuyo producto sea el máximo.
2. Obtén dos números tales que sumen 50, y la suma de sus
cuadrados sea mínima.
3. Para que no haya pérdidas en un espectáculo se requiere que
asistan 300 espectadores que paguen 500 unidades de dinero.
Se ha observado que por cada espectador de más se puede cobrar 1 unidad de dinero menos. ¿Con cuántos espectadores
adicionales se pueden obtener las máximas ganancias?
4. Se dispone de 600 metros de malla para cercar un terreno rectangular, de manera que su área sea máxima. ¿Cuáles son las
dimensiones de este terreno?
5. Desde lo alto de un edificio de 36 metros de altura se lanza
hacia arriba un proyectil con una velocidad de 12 metros por
segundo. La altura del proyectil a los t segundos está dada
por la función f (t) 5 23t2 112t 1 36. Encuentra el tiempo
que tarda el proyectil en llegar al suelo.
Parte II
Esboza la gráfica de la función: f: R→ R,
1. f (x) 5 3x2
21
x2
2
3. f (x) 5 x223x
2. f (x) 5
4. f (x) 522x2 24x
5. f (x) 5 x2 24
6. f (x) 5 2x2 1 8
7. f (x) 5 x2 1 2x 1 1
8. f (x) 5 2 x2 2 2x 21
9. f (x) 5 2x2 1 4x 1 2
10. f (x) 5 x2 1 2x 1 4
Introducción
Se procede al planteamiento y resolución de problemas que conducen a una función cuadrática.
Se representa en el plano cartesiano a la gráfica de una función cuadrática, se analizan los casos en que a > 0 y a < 0, y se interpreta su
solución en forma gráfica.
10.1 Representación de
relaciones entre magnitudes
Relación entre la función
y la ecuación cuadrática
De manera semejante a la relación que existe entre la función y la
ecuación lineal, se puede decir que la gráfica de la función cuadrática:
f (x) 5 ax2 1 bx 1 c
y de su correspondiente ecuación y 5 ax2 1 bx1c es la misma
x2 1 2x 1 1 5 0
Si la ecuación:
se multiplica por –1, se obtiene:
2x2 2 2x 2 1 5 0
y si se multiplica por 2 se obtiene:
2x2 1 4x 1 2 5 0
Estas tres ecuaciones son equivalentes, pues al resolverlas se obtienen las mismas raíces o soluciones.
Si en estas ecuaciones se sustituye el 0 por y se transforma en:
x2 1 2x 1 1 5 0
o bien
y 5 x2 1 2x 1 1
2 x2 2 2x 2 1 5 0
y 5 2 x22 2x 2 1
2x2 1 4x 1 2 5 0
y 5 2x2 1 4x 1 2
y como y 5 f (x) entonces:
f (x) 5 x2 1 2x 1 1
f (x) 5 2 x2 22x 2 1
f (x) 5 2x2 1 4x 1 2
que corresponden a funciones diferentes.
Sea x 5 5, entonces:
f (5) 5 52 1 2(5) 1 1 5 36
f (5) 5252 2 2(5) 21 52 36
f (5) 5 2(5)2 1 4(5) 1 2 5 72
217
10
BLOQUE
Resuelves ecuaciones cuadráticas II
Como se puede observar, para un mismo valor de x se obtienen
diferentes imágenes con cada función. Esto se puede hacer más
evidente al trazar sus respectivas gráficas.
En consecuencia, si una ecuación cuadrática se multiplica por
una constante, diferente de cero, se obtiene otra ecuación que es
equivalente a la primera, pero sus correspondientes funciones son
diferentes.
Para tu reflexión
Aronhold, Siegfried Heinrich
(1819-1884)
Matemático alemán. Investigó la teoría de los constantes de las formas
algebraicas y algunos aspectos
del cálculo en la geometría algebraica.
Aronhold hizo importantes contribuciones a la teoría de invariantes, fue el primer alemán
para trabajar en este tema. Algunas ecuaciones diferenciales
parciales, que se encontraron
en su trabajo son características
invariables de la teoría y llevan
su nombre.
Si en la función se dan valores a x se obtienen valores de y con los
que se determinan los pares ordenados, que localizados en el plano
son puntos que pertenecen a la parábola que representa gráficamente a la función cuadrática.
Forma estándar de la función cuadrática
y 5 a (x 2 h)2 1 k
En el bloque 9 se empleó un procedimiento para representar gráficamente una ecuación de segundo grado con una variable.
Hay otro procedimiento que consiste en utilizar la expresión algebraica de una función cuadrática en su forma estándar.
Esta forma es:
y 5 a(x – h)2 1 k
que corresponde a una parábola vertical.
Si a es positiva la parábola abre hacia arriba, y si a es negativa la
parábola abre hacia abajo.
El punto de coordenadas (h, k) es el vértice de la parábola.
Cuando la parábola abre hacia arriba el vértice es el punto mínimo y cuando abre hacia abajo el vértice es el punto máximo.
Ejemplos
Traza la gráfica de y 5 x 2 – 2x – 3.
Actividad de aprendizaje
¿Qué significa que dos o más ecuaciones cuadráticas sean equivalentes?
Si varias ecuaciones cuadráticas equivalentes se expresan como funciones y éstas son evaluadas en un mismo valor, ¿qué ocurre?
Como el coeficiente del término cuadrático es positivo entonces la
parábola abre hacia arriba.
Para obtener la forma estándar se completa el trinomio cuadrado perfecto con los términos lineal y cuadrático de la función:
y 5 [x 2 – 2x 1 (– 1)2] – 3 – (– 1)2
Observa que la cantidad que se sumó para completar el trinomio también se restó. Esto equivale a sumar cero a la expresión algebraica de
la función.
De donde
y 5 (x 2 – 2x 1 1) – 3 – (1)
Por tanto
Ecuación en dos variables y 5 ax 2 1 bc 1 c,
como la forma de la función cuadrática,
y las ecuaciones en una variable d 5 ax 2
1 bx 1 c, como casos particulares de la
anterior
Dada la función y 5 ax2 1 bx 1 c su ecuación correspondiente es
0 5 ax2 1 bx 1c.
218
y 5 (x – 1)2 – 4
Por lo expresado líneas arriba, las coordenadas del vértice son (1, – 4).
Si en
y 5 (x – 1)2 – 4
se evalúa la función en x 5 – 1 se obtiene y 5 0, por lo que el punto
es (– 1, 0)
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Con estos tres puntos se puede hacer un bosquejo de la curva.
Parámetro a en el ancho y concavidad de
la parábola, y asocia las intersecciones 2x
de ésta con las raíces de ax2 1 bx 1 c 5 0
Los puntos en los que la parábola corta al eje x se llaman los ceros de la
función porque en esos puntos y 5 0.
Ejemplos
y si se evalúa en x 5 3 se obtiene y 5 0, por lo que el punto es (3, 0).
y
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
y
V (21, 2 4)
9
8
7
6
5
4
3
2
1
9
8
7
6
5
4
3
2
1
Puntos
(22, 0)
(0, 0)
-11 2 3 4 5 6 7 8 9
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -11 2 3 4 5 6 7 8 9
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
x
y 5 4(x 1 1)2 2 4
x
Figura 10.2
Figura 10.1
y
y 5 (x 1 1) 2 4
2
9
8
7
6
5
4
3
2
1
V (21, 2 4)
Actividad de aprendizaje
Puntos
(23, 0)
Representación gráfica de la función cuadrática
(1, 0)
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
¿Qué se hace para expresar una ecuación cuadrática como función
cuadrática?
y 5 (x 1 1)2 2 4
¿Qué nombre recibe la curva que representa gráficamente a una función cuadrática?
-11 2 3 4 5 6 7 8 9
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
x
Figura 10.3
¿Qué ocurre con la gráfica de una función cuadrática cuando a > 0?
y 5 0.50(x 1 1) 2 4
2
V(21, 2 4)
¿Qué ocurre con la gráfica de una función cuadrática cuando a < 0?
¿En qué caso se dice que la gráfica de una ecuación cuadrática tiene
un punto máximo?
y
Puntos
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1⎫
⎧
⎪⎩24 , ⎪⎭
2
⎧ 1⎫
⎪⎩ 2 , ⎪⎭
2
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
¿En qué caso se dice que la gráfica de una ecuación cuadrática tiene
un punto mínimo?
¿A qué se le llama cero de una función cuadrática?
1
( x11)2 2 4
2
-11 2 3 4 5 6 7 8 9
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
x
Figura 10.4
219
10
BLOQUE
Resuelves ecuaciones cuadráticas II
y
2
1 ⎫ 25
⎧
y5 24 ⎪x 2 ⎪ 1
⎩
2⎭
4
⎧ 1 25 ⎫
V⎪ ,
⎩ 2 4 ⎪⎭
1⎞
25
⎛
20 . 5 ⎜ x 2 ⎟
⎝
2⎠
4
Puntos
9
8
7
6
5
4
3
2
1
2
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
⎧3 9⎫⎧ 1 9⎫
⎪⎩ , ⎪⎭ ⎪⎩2 , ⎪⎭
2 4
2 4
-11 2 3 4 5 6 7 8 9
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
x
y
1⎞
25
⎛
24 ⎜ x 2 ⎟
⎝
2⎠
4
9
8
7
6
5
4
3
2
1
2
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
Figura 10.7
Si el valor de a > 1, la curva se hace más estrecha a medida que
aumenta el valor de 0 < a < 1, la curva se hace más ancha a medida
que disminuye el valor de a.
-11 2 3 4 5 6 7 8 9
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
x
10.2 Modelos aritméticos
o algebraicos
Fórmula cuadrática
La fórmula para resolver ecuaciones cuadráticas, estudiada en el
bloque 9, tiene una parte llamada discriminante, que corresponde
al subradical.
Figura 10.5
y
2
1⎞
25
⎛
y 5 2⎜ x 2 ⎟ 1
⎝
2⎠
4
⎛ 1 25 ⎞
V⎜ , ⎟
⎝2 4 ⎠
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
Puntos
(22, 0)
(3, 0)
25 ⎛
1⎞
2⎜ x 2 ⎟
⎝
4
2⎠
9
8
7
6
5
4
3
2
1
2
El discriminante nos permite saber cuál es la naturaleza de las raíces de una ecuación cuadrática.
-11 2 3 4 5 6 7 8 9
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
Figura 10.6
2
1 ⎫ 25
⎧
y 5 2 0 . 50 ⎪ x 2 ⎪ 1
⎩
2⎭
4
⎧ 1 25 ⎫
V⎪ ,
⎩ 2 4 ⎪⎭
Puntos
25 ⎫ ⎧ 25 ⎫
⎧
⎪⎩22 ,
⎪ ⎪3,
⎪
8 ⎭⎩ 8 ⎭
220
x
A saber, las posibilidades son tres, que el valor del discriminante
sea:
mayor que cero: las raíces son reales y diferentes,
igual a cero: las raíces son reales e iguales, o bien,
menor que cero: las raíces son complejas.
Problemas que conducen
a una función cuadrática
Ejemplos
1.
Se desea cercar un terreno de forma rectangular, de manera que
su área sea la máxima posible. Se dispone de 300 metros lineales
de cerca, y un río corre a lo largo de uno de los lados, que es
aproximadamente recto, en el que no se pondrá cerca.
a ) Determina la expresión algebraica de la función que describe el problema.
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b)
c)
Encuentra el valor del dominio para el cual el valor de la
función es el máximo posible.
Representa en el plano coordenado la gráfica de la función
en el intervalo 0 < x < 150.
gitud del lado debe ser menor que
que los valores de x se pueden tomar del conjunto.
A 5 {x € R | 0 # x # 150}
Solución:
a)
300
5150 , de manera
2
El segundo conjunto se llama contradominio de la función
(B) y está formado por todos los valores que corresponden a
las posibles áreas del terreno; dichos valores pertenecen al
conjunto de los números reales positivos, R1, o sea:
Para cercar los tres lados del terreno se tienen 300 m de
cerca. Si el lado paralelo al río se designa con y y a los otros
dos lados con x, entonces:
2x1y 5 300
(1)
B 5 R1
Cuando se estudió la gráfica de la ecuación cuadrática, ax 2
1 bx 1 c 5 0, se indicó que si a < 0 la curva abre hacia
abajo y el vértice de la misma, o punto máximo, se obtiene
x
en x 5
2b
. Aplicando esto en la expresión algebraica de la
2a
función que describe el problema:
y
terreno
f (x ) 5 300x – 2x 2
río
Se observa que a 5 22(a < 0) y b 5 300, por lo que
x
x5
Figura 10.8
por tanto, el valor máximo de la función se obtiene cuando
x 5 75, esto es:
por tanto:
y 5 300 – 2x
(2)
El área A del terreno se obtiene por el producto de sus dos
dimensiones, es decir.
A 5 xy
(3)
Sustituyendo(2) en (3): A 5x (30022x )
o sea:
A 5 300x – 2x ²
donde el área queda expresada en función de uno de los
lados, por lo que:
A 5 f (x )
en consecuencia:
f (x ) 5 300x – 2x ²
Corresponde a la expresión algebraica de la función que
describe el problema.
b)
En este inciso se pide encontrar el valor del dominio para el
cual el valor de la función es el máximo posible. Esto significa
que debemos determinar dos conjuntos y obtener una relación entre ellos.
El primer conjunto se llama dominio de la función (A) y está
formado por todos los valores que corresponden a las posibles
longitudes del lado designado con x. Toda longitud es mayor
que cero y como sólo se dispone de 300 m de cerca, la lon-
2b 2300 2300
5 75
5
5
2a 2(2 2) 2 4
f (x ) 5 300x –22
f (75) 5 300(75) –2(75)²
5 22 500 – 2(5 625)
5 22 500 – 11 250
5 11 250
En consecuencia, el área máxima del terreno es de
11 250 m².
Sustituyendo x 5 75 en (2):
y 5 300 – 2x
5 300 –2(75)
5 300 –150
5 150
Esto significa que el terreno rectangular de área máxima
tiene 75 m de ancho y 150 m de largo.
c)
En el inciso b se obtuvo el par ordenado (75, 11 250) que corresponde a las coordenadas del vértice o punto máximo de la
parábola. Una parte de ésta se puede bosquejar en el intervalo
0 ≤ x ≤ 150.
221
10
BLOQUE
Resuelves ecuaciones cuadráticas II
x
f (x ) 5 300x – 2x ²
0
f (0) 5 300(0) – 2(0)²
25
f (25) 5 300(25) – 2(25)²
6 250
50
f (50) 5 300(50) – 2(50)²
10 000
75
f (75) 5 300(75) – 2(75)²
11 250
100
f (100) 5 300(100) – 2(100)²
10 000
125
f (125) 5 300(125) – 2(125)²
6 250
150
f (150) 5 300(150) – 2(150)²
0
Observa que los ceros de la función son 0 y 150. Como la
longitud de la cerca es de 300 m, los ceros de la función se
pueden interpretar así: cuando el ancho es cero, el largo es
de 300 m y el área es 0(300) 5 0; cuando el ancho es de
150, se tiene que dos veces el ancho más una vez el largo
es igual a 300, es decir:
2x 1 y 5 300
2(150) 1 y 5 300
300 1 y 5 300
y
14000
12000
(75, 11250)
10000
f (x )
0
En este problema se ha utilizado A para designar el área
del terreno y el dominio de la función. También se ha designado el largo del terreno y los valores de la función con y.
En ambos casos la diferencia se obtiene del contexto, pues
corresponden a conceptos que tienen significados definidos.
2.
Desde una plataforma situada a 80 m bajo el suelo se lanza un
proyectil con una velocidad inicial de 48 m por segundo. La altura
h, en metros, del proyectil a los t segundos está dada por:
h 5 24 t 2 1 48t – 80
a)
Determina el tiempo en que el proyectil alcanza su máxima
altura.
b)
Encuentra la máxima altura que alcanza el proyectil.
c)
Traza la gráfica de la función.
d)
Interpreta el significado físico de las intersecciones de la
curva con los ejes coordenados.
8000
6000
Solución:
4000
a)
2000
75
150
225
En la expresión algebraica de la función se observa que
a < 0, por lo que se trata de una parábola que abre hacia
abajo y tiene un punto máximo cuando t 5
x
t5
Figura 10.9
Por tanto, y 5 0
El conjunto imagen (C ) es el conjunto de valores que puede
tomar la función dentro de su dominio de definición, es decir:
C 5 { y € R | 0 # x # 11 250}
222
2 48 2 48
56
5
2(2 4) 28
por tanto, el proyectil alcanza su altura máxima a los 6 segundos.
Entonces el área es 150(0) 5 0.
En la gráfica de la función se observa que el dominio (A) es el
conjunto de valores que puede tomar la x, es decir, que son
válidos para el problema porque el área que corresponde es
un número real positivo, entonces:
A 5 {x € R | 0 # x # 150}
El contradominio (B) de la función es el conjunto en el que se
puede encontrar el área que se busca, por lo que: B 5 R1
2b
, es decir.
2a
b)
La altura del proyectil es una función del tiempo, es decir:
h 5 f (t )
por lo que:
f (t ) 5 24t 2 1 48t 2 80
La altura máxima se alcanza a los 6 segundos, entonces:
f (6) 5 2 4(6)2 148(6) – 80
5 24(36) 1288 – 80
5 2 144 1288 – 80
5 64
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c)
Esto significa que la altura máxima del proyectil es de 64
metros.
El contradominio de la función es:
De los incisos a y b se obtiene el par ordenado (6, 64) que
corresponde a las coordenadas del vértice o punto máximo
de la parábola. Para bosquejar una parte de ésta vamos a
encontrar los ceros de la función.
La imagen de la función es:
B 5 { y € R | y $ 2 10}
C 5 {x € R | 280 # y # 64}
d)
Como el proyectil se lanza desde una plataforma subterránea, habrá dos momentos en que el proyectil se encuentra al
nivel del suelo, cuando h 5 f (t ) 5 0, por tanto:
El punto de coordenadas (2, 0) significa que 2 segundos
después del disparo el proyectil pasa a la altura del suelo.
0 5 24t 2 148t –80
El punto (6, 64) indica que a los 6 segundos el proyectil
alcanza una altura máxima de 64 metros.
24t 1 48t – 80 5 0
2
o sea:
El punto (10, 0) significa que después del disparo, el proyectil tarda 10 segundos en recorrer su trayectoria que termina
al llegar al suelo.
Dividiendo la ecuación entre24: t 2 – 12t 1 20 5 0
Factorizando
de donde:
El punto de coordenadas (0, 280) indica que cuando el
tiempo t 5 0, aún no se ha disparado el proyectil que se
encuentra a 80 m bajo el suelo.
(t – 2)(t – 10) 5 0
t1 5 2, t2 5 10
3.
Se construye una tabla para f (t ) en el intervalo 0 < t < 10:
La distancia entre dos lugares A y B es de 200 km. Dos móviles
parten al mismo tiempo de A y B en las direcciones que se indican. El que parte de A lleva una velocidad de 40 km/h y el que
parte de B lleva una velocidad de 30 km/h.
t
f (t ) 5 24t 2 148t – 80
0
f (0) 5 24(0) 148(0) – 80
280
2
f (2) 5 24(2)2 148(2) – 80
0
4
f (4) 5 24(4)2 148(4) – 80
48
f (6) 5 24(6)2 148(6) – 80
b)
6
64
c ) Determina el dominio e imagen de la función.
8
f (8) 5 24(8)2 148(8) – 80
48
10
f (10) 5 24(10)2 148(10) – 80
0
2
f (t )
a)
¿Al cabo de cuánto tiempo la distancia entre los dos móviles
es mínima?
Encuentra la distancia mínima entre los dos móviles.
Traza la gráfica de f (t ) para 1≤ t ≤ 5.
B
En la gráfica se observa que el dominio de la función es:
P
A
A 5 {x € R | 0 # x # 10}
y
80
(6, 64)
60
40
Q
20
(2, 0)
(10, 0)
x
Figura 10.11
Solución:
a)
Sea t el tiempo buscado.
La distancia recorrida por cada móvil después de t horas es:
(0, -80) -80
40 t km para el que parte de A y llega a la posición P
30 t km para el que parte de B y llega a la posición Q
Figura 10.10
223
10
BLOQUE
Resuelves ecuaciones cuadráticas II
Aplicando el teorema de Pitágoras:
PQ² 5 PB² 1 BQ²
donde:
PB 5 (200 – 40t ) y BQ 5 30t
por lo que:
PQ 5 PB 1 BQ
2
5 horas. Antes de iniciar el movimiento la distancia entre los
móviles es de 200 km. En consecuencia, t debe estar en el
intervalo 0 < t < 5 por lo que el dominio de la función es:
A 5 {x € R | 0 # x # 5}
y
DISTANCIA
2
PQ 5 (200 2 40tt)2 1(30 )2
Efectuando operaciones y reduciendo términos:
PQ 5 40 000 216 000t 1 2 500 2
200
Esta raíz cuadrada tiene un mínimo en el mismo valor de t
para el cual la expresión subradical:
120
100
A 5 2500t ² – 16 000t 1 40 000
es mínima, esto es en:
1
2b 2(216 000)
5
53.2 horas
t5
2a
2(2 500)
2
3
4
5
6
7
TIEMPO
x
Figura 10.12
para este valor de t :
Tomando en cuenta los valores de t dentro de su dominio, la
imagen de la función es:
PQ 5 [200 2 40(3.2)]2 1[30(3.2)]2
C 5 { y € R | 120 # y # 200}
PQ 5 (200 2128)2 1( 9 6)
PQ 5 72 2 1 96 2
PQ 5 5 184 1 9216
Representación gráfica
de la función cuadrática
PQ 5 14 400
PQ 5 120
Esto significa que 3.2 horas (3 horas 12 min) después de su
salida los móviles se encuentran a una distancia mínima de
120 km uno del otro.
b)
c)
224
La distancia mínima PQ es una función del tiempo t, es decir:
PQ 5 f (t ).
Se construye una tabla para f (t ) en el intervalo 0 # t # 5.
En el bloque 9 se resolvió una ecuación cuadrática en forma gráfica.
El procedimiento consiste en sustituir el cero por y en la ecuación:
ax2 1 bx 1 c 5 0
con lo cual se obtiene:
ax2 1 bx 1 c 5 y
que corresponde a una función en la que y es la variable dependiente o función y x es la variable independiente, es decir: y 5 f (x)
t
f (t )
1
162.79
por tanto:
2
134.16
3
120.42
4
126.49
5
150.00
f (x) 5ax2 1 bx 1 c
b
Después se determina el valor de x 5 2 , y a partir de éste se
2a
eligen valores por encima y por debajo de él para construir una
tabla de valores de y 5 f (x). Así se obtienen pares ordenados que
pertenecen a la función, los cuales una vez localizados en el plano
coordenado se unen en forma consecutiva mediante un trazo continuo, así se obtiene un subconjunto de puntos de la curva llamada
parábola.
El móvil que parte de A tarda 5 horas en recorrer los 200 km
que lo separa de B; en ese mismo tiempo el móvil que parte
de B habrá recorrido 150 km, y como se busca la distancia
mínima entre los dos móviles, el tiempo debe ser menor que
o bien:
ax2 1 bx 1 c 5 f (x)
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En el apartado de referencia también se estableció que si a > 0 la
curva es cóncava hacia arriba (abre hacia arriba) y si a < 0 la curva
es cóncava hacia abajo (abre hacia abajo). En el primer caso se dijo
que la parábola tiene un punto mínimo (el punto más bajo), mientras que en el segundo caso la parábola tiene un punto máximo (el
punto más alto). El punto mínimo (o máximo) recibe el nombre
de vértice de la parábola y sus coordenadas son
Solución:
a)
2b 2 0
5
50
2a
2(1)
es decir: x 5 0 que es la ecuación de eje y.
El vértice de la parábola es: x 5
2b 4 ac 2b 2
,
2a
4a
2b 4 ac 2b
,
5(0 , 0)
2a
4a
o sea que el vértice de la parábola es el origen del sistema
coordenado.
b)
En la expresión algebraica de la función se observa que
a > 0, por tanto, la curva es cóncava hacia arriba.
c)
Se construye una tabla para y 5 f (x )
Aplica lo que sabes
En una comunidad se va a construir un parque recreativo. Si se dispone
de 3 600 metros lineales de malla ciclónica para cercar el terreno y
éste debe ser de forma rectangular, investiga cuáles deben ser las dimensiones del terreno para que el área cercada sea la máxima posible.
El eje de simetría de la parábola es x 5
x
f (x ) 5 x
f (x )
Puntos
3
f (3) 5 32
9
(3, 9)
2
f (2) 5 22
4
(2, 4)
1
f (1) 5 12
1
(1, 1)
2b
50
2a
f (0) 5 02
0
(0, 0)
21
f (21) 5 (21)2
1
(21, 1)
22
f (22) 5 (22)2
4
(22, 4)
23
f (23) 5 (23)2
9
(23, 9)
Como el dominio y contradominio de la función son los números
reales, la figura 10.13 es sólo un subconjunto del conjunto de
puntos de la parábola .
Se observa en la figura que y es el eje de simetría de la parábola
y su vértice, o punto mínimo, es el origen.
La curva decrece en el intervalo < 2∞, 0] y crece en el intervalo
[0, ∞>. El cero de la función se obtiene cuando x 5 0.
y
x=0
9
8
7
6
5
4
3
2
1
Ejemplos
1.
Dada la función
f: R → R
f (x ) 5 x 2
a)
Encuentra el eje de simetría y el vértice de la parábola.
b)
Indica si es cóncava hacia arriba o hacia abajo.
c)
Esboza la gráfica de la función, encuentra el intervalo en que
la función crece y el intervalo en el que la función decrece.
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -11 2 3 4 5 6 7 8 9
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
x
Figura 10.13
225
10
BLOQUE
2.
Resuelves ecuaciones cuadráticas II
Sea la función:
f: R →
R, f (x ) 52x 2
En esta figura se representa un subconjunto del conjunto
de puntos de la parábola. El eje de simetría de la curva es
el eje y y su vértice, o punto máximo, coincide con el origen.
La parábola crece en el intervalo < 2 ∞, 0] y decrece en el
intervalo [0, ∞ >.
a) Encuentra el eje de simetría y el vértice de la parábola.
b) Di si es cóncava hacia arriba o hacia abajo.
c) Esboza la gráfica de la función y determina los intervalos en
que crece o decrece.
El cero de la función se obtiene cuando x 5 0.
3.
Solución:
a) El eje de simetría de la parábola es
Esboza la gráfica de la función: f: R → R, f (x ) 5 2x 2.
Solución:
2b
20
0
5 50
5
x5
2a 2(21) 2
a ) El eje de simetría de la parábola es: x 5
o sea: x 5 0
o sea: x 5 0, que es la ecuación del eje y.
b ) Se construye una tabla de valores para y 5 f (x ).
El vértice de la parábola es:
x
f (x ) 5 2x 2
f (x )
Puntos
3
f (3) 5 2(3)2
18
(3, 18)
que es el origen del sistema coordenado .
2
f (2) 5 2(2)2
8
(2, 8)
La parábola es cóncava hacia abajo porque en la expresión
algebraica de la función, a < 0.
1
f (1) 5 2(1)2
2
(1, 2)
f (0) 5 2(0)2
0
(0, 0)
2b 4 ac 2b 2
5
5(0 , 0)
2a
4a
b)
c)
2b
50
2a
Se construye una tabla para y 5 f (x ).
x
f (x ) 52 x 2
f (x )
Puntos
21
f (21) 5 2(21)2
2
(21, 2)
3
f (3) 5 232
29
(3, 29)
22
f (22) 5 2(22)2
8
(22,8)
2
f (2) 5 222
24
(2, 24)
23
f (23) 5 2(23)2
18
(23,18)
1
f (1) 5 212
21
(1, 21)
f (0) – 0
0
21
f (21) 5 2(21)2
21
(21, 21)
22
f (22) 5 2(22)2
24
(22, 24)
23
f (23) 5 2(23)2
29
(23, 29)
y
9
8
7
6
5
4
3
2
1
(0, 0)
X=0
2b
50
2a
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
y
9
8
7
6
5
4
3
2
1
X=0
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
Figura 10.14
226
2b 2 0 0
5
5 50
2a 2(2) 4
-11 2 3 4 5 6 7 8 9
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-11 2 3 4 5 6 7 8 9
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
x
Figura 10.15
x
Observa que esta parábola es menos abierta que las anteriores.
4.
Esboza la gráfica de la función: f : R →, f (x ) 5
Solución:
El eje de simetría de la parábola es: x 5
x2
.
3
2b 2 0
5
50
2a 2 2 1
3
Grupo Editorial Patria®
entonces su ecuación es: x 5 0.
Se construye una tabla de valores para y 5 f (x ).
x2
f ( x )5
3
21 2
f (3)5 (3)
3
21
f (2)5 (2)2
3
21
f (1)5 (1))2
3
x
3
2
1
2b
50
2a
21
22
23
Se construye una tabla de valores para y 5 f (x ).
f (x)
Puntos
23
(3,23)
24
3
21
3
21
f (0)5 (0)2
3
21
f (21)5 (21)2
3
21
f (2 2)5 (2 2)2
3
f (23)5
⎡ 24 ⎤
⎢⎣ 2 , 3 ⎥⎦
⎛ 21⎞
⎜⎝1,
⎟
3 ⎠
0
21
3
21
(23)2
3
24
3
23
(23, 23)
f (x ) 5 x225x
f (x )
Puntos
5
f (5) 5 5225(5)
0
(5, 0)
4
f (4) 5 4225(4)
24
(4, 24)
3
f (3) 5 3225(3)
26
(3, 26)
⎛ 5⎞ ⎛ 5⎞
⎛ 5⎞
f ⎜ ⎟ 5⎜ ⎟ 2 5 ⎜ ⎟
⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠
⎝ 2⎠
2 25
4
⎛ 522 25 ⎞
⎜⎝ ,
⎟
2 4 ⎠
2
f (2) 5 2225(2)
26
(2, 26)
1
f (1) 5 1225(1)
24
(1, 24)
0
f (0) 5 0225(0)
2b 5
5
2a 2
(0, 0)
⎛ 21⎞
⎜⎝21,
⎟
3⎠
2 4⎞
⎛
⎜⎝2 2 ,
⎟
3⎠
x
X=0
2
(0, 0)
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
-11 2 3 4 5 6 7 8 9
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
x
5
X=_
2
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
0
y
y
-11 2 3 4 5 6 7 8 9
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
x
Figura 10.17
Los ceros de esta función se obtienen en x 5 0 y x 5 5, o sea
que (0, 0) y (5, 0) son los únicos puntos que la parábola tiene en
común con el eje x.
6.
Figura 10.16
Esboza la gráfica de la función f : R → R, f (x ) 5 23x ²19x.
Solución:
Esta parábola es más abierta que las anteriores, y en las cuatro su
vértice coincide con el origen.
El eje de simetría de la parábola es: x 5
Estas parábolas son del tipo: y 5 ax 2
Entonces su ecuación es: x5 .
2b
29
3
5
5
2a 2(23) 2
3
2
donde el cero de la función se obtiene cuando x 5 0, es decir, el
origen es el único que la parábola tiene en común con el eje x.
5.
5
2
Por lo que su ecuación es: x5
Se construye una tabla de valores para y 5 f (x )
Esboza la gráfica de la función: f: R → R, f (x ) 5 x 2 –5x 5 0.
x
f (x ) 5 23x 229x
f (x )
Puntos
Solución:
4
f (4) 5 23(4)219(4)
212
(4, 212)
3
f (3) 5 23(3)219(3)
0
2b 2(2 5) 5
El eje de simetría de la parábola es: x 5
5
5
2a
2(1)
2
(3, 0)
227
10
BLOQUE
Resuelves ecuaciones cuadráticas II
f (2) 5 23(2)2 19(2)
6
(2, 6)
21
f (21) 5(21)2 29
28
(21, 28)
⎛ 3⎞
⎛ 3⎞
⎛ 3⎞
f ⎜ ⎟ 523 ⎜ ⎟ 1 9 ⎜ ⎟
⎝ 2⎠
⎝ 2⎠
⎝ 2⎠
27
4
⎛ 3 27 ⎞
⎜⎝ , ⎟⎠
2 4
22
f (22) 5 (22)2 29
25
(22, 25)
1
f (1) 5 23(1)2 19(1)
6
(1, 6)
23
f (23) 5 (23)2 29
0
(23, 0)
0
f (0) 5 23(0)2 19(0)
0
(0, 0)
24
f (24) 5 (24)2 29
7
(24, 7)
f (21) 5 23(21)2 19(21)
212
2
2b 3
5
2a 2
21
2
(21, 212)
y
En esta función los ceros se encuentran cuando x 5 3 y x 5 23.
8.
Esboza la gráfica de la función: f : R → R, f (x ) 5 22 x ²14
18
16
14
12
10
8
6
4
2
X=0
-2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 x
-4
-6
-8
-10
-12
-14
-16
-18
3
X= _
2
-18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2
y
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
Figura 10.18
Los puntos que la parábola tiene en común con el eje x son (0, 0)
y (3, 0), o sea que los ceros de la función se obtienen cuando x 5
0 y x 5 3.
Solución:
2b
20
50
5
2a 2(2 2)
En los ejemplos 5 y 6 las parábolas son del tipo: y 5 ax 1bx.
Donde los ceros de la función se obtienen cuando x 5 0 y x 5
Se constituye una tabla de valores para y 5 f (x ).
2b
a
7. Esboza la gráfica de la función: función f : R → R, f (x ) 5 x 29.
2
Solución:
2b 2 0
El eje de simetría de la parábola es: x 5
5
50
2a 2(1)
por tanto, su ecuación es: x 5 0.
Se construye una tabla de valores para y 5 f (x ).
x
Figura 10.19
El eje de simetría de la parábola es x 5 : x 5
2
228
-11 2 3 4 5 6 7 8 9
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
o sea que su ecuación es: x 5 0.
x
f (x ) 5 22x 2 14
f (x )
3
f (3) 5 22(3)2 14
214
(3, 214)
2
f (2) 5 22(2)2 14
24
(2, 24)
1
f (1) 5 22(1)2 14
2
(1, 2)
2b
50
2a
f (0) 5 22(0)2 14
4
(0, 4)
Puntos
x
f (x ) 5 x 2 29
f (x )
Puntos
4
f (4) 5 42 29
7
(4, 7)
21
f (21) 5 22(21)2 14
2
(21, 2)
3
f (3) 5 3 29
0
(3, 0)
22
f (22) 5 22(22)2 14
24
(22, 24)
2
f (2) 5 2 29
25
(2, 25)
28
(1, 28)
f (23) 5 22(23)2 14
214
(23, 214)
1
f (1) 5 1 29
23
2b
50
2a
f (0) 5 02 29
29
(0, 29)
2
2
2
Grupo Editorial Patria®
y
En consecuencia, los ceros de la función se obtienen cuando
9
8
7
6
5
4
3
2
1
X=0
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
x 2 5 2 y x 2 52 2
En los ejemplos 7 y 8 se observa que los ceros de la función son
valores simétricos de x. Estas funciones son del tipo: f (x ) 5 ax 2
1 c.
-11 2 3 4 5 6 7 8 9
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
x
Cuando a > 0 y b 2 – 4ac < 0, el punto mínimo de la parábola
está por encima del eje x, por tanto los ceros de la función no son
números reales, sino complejos. De manera similar cuando a < 0
y b 2 –4ac < 0 el punto máximo de la parábola queda por debajo
del eje por lo que los ceros de la función no son números reales
sino complejos.
Cuando la función es el tipo: f (x ) ax 2 1bx 1 c se pueden presentar los casos ya estudiados.
Figura 10.20
Los ceros de la función se encuentran cuando f (x ) 5 0, es decir:
0 5 22x 2 14
o bien:
de donde:
22x 2 14 5 0
22x 2 524
x2 5
24
22
x 2 52
x 2 5± 2
Instrumentos de evaluación
Apellido paterno
Apellido materno
Nombre
Grupo
Asegúrate de haber adquirido los contenidos que se abordan en el Bloque 10. Para ello, realiza lo que se te pide a continuación.
1. Desde lo alto de un edificio de 36 metros de altura se lanza
hacia arriba un proyectil con una velocidad de 12 metros
por segundo. La altura del proyectil a los t segundos está
dada por la función f (t ) 5 23t 2 112t 1 36. Encuentra el
tiempo que tarda el proyectil en llegar al suelo.
2. Esboza la gráfica de la función:
f : R → R, f (x ) 5 x 2 1 2x 1 4.
229
10
BLOQUE
Resuelves ecuaciones cuadráticas II
Lista de cotejo
Lista de cotejo para el reporte sobre la resolución del problema que da lugar a una ecuación de segundo grado con una incógnita
del Bloque 10.
Nombre del alumno:
Criterio
Presentación
1. Cuenta con una carátula que incluye: el nombre del trabajo que se realiza, la
materia, fecha de entrega, nombre del alumno y su matrícula
2. Tiene una redacción que es adecuada y clara.
3. Tiene buena ortografía o con errores mínimos.
4. El trabajo se elabora en computadora o manuscrito con letra legible.
5. Las gráficas o dibujos auxiliares se elaboran de un tamaño adecuado
de modo que se puedan apreciar con claridad los datos obtenidos o las
condiciones del problema.
6. Se presenta todo el procedimiento necesario para obtener los datos o
solución que se pide con la justificación correspondiente.
Desarrollo
7. En el procedimiento se desarrolla una secuencia lógica y coherente.
8. Se hace referencia a las gráficas o diagramas auxiliares para apoyar la
argumentación del escrito.
9. Se hace la referencia bibliográfica de las notas, definiciones o conceptos
consultados para sustentar teóricamente las acciones realizadas.
Conclusiones
Dominio del
tema
10. La investigación se realiza con apoyo en libros y revistas actualizadas sobre
el tema o bien en sitios web cuya información sea científicamente válida.
De incluir citas textuales, éstas deben ser breves y con la referencia de la
fuente.
230
11. Conoce y aplica la teoría para resolver ecuaciones cuadráticas con una
incógnita.
12. Puede plantear problemas que dan lugar a una ecuación de segundo grado
con una incógnita.
13. Resuelve problemas que dan lugar a una ecuación de segundo grado con
una incógnita.
14. Resuelve problemas que dan lugar a una ecuación de segundo grado con
una incógnita en forma algebraica o gráfica.
15. Plantea problemas que dan lugar a una ecuación de segundo grado con una
incógnita, mediante un modelo.
16. Obtiene la solución de un problema que da lugar a una ecuación de segundo
grado con una incógnita.
cumple
sí
no
Observaciones
Grupo Editorial Patria®
Rúbrica para evaluar el conocimiento adquirido
Indicaciones:
Esta rúbrica es para valorar el desempeño de los estudiantes sobre los contenidos del bloque 10.
Nombre del alumno:
Excelente
(4)
Bueno
(3)
Regular
(2)
Relación entre la
función y la ecuación
cuadrática
Establece la relación entre
la función y la ecuación
cuadrática. Expresa en la
forma estándar a la función
cuadrática.
En la mayoría de los casos,
establece la relación entre
la función y la ecuación
cuadrática y expresa en la
forma estándar a la función
cuadrática.
En algunos casos, establece
la relación entre la función
y la ecuación cuadrática y
expresa en la forma
estándar a la función
cuadrática.
No establece la relación
entre la función y la
ecuación cuadrática.
No expresa en la forma
estándar a la función
cuadrática.
Influencia del
parámetro a y
relación entre
intersecciones y
raíces
Conoce la influencia del
parámetro a en el ancho y la
concavidad de la parábola.
Asocia las raíces de la
ecuación cuadrática con
las intersecciones de la
parábola con el eje x.
En la mayoría de los casos,
conoce la influencia del
parámetro a en el ancho y la
concavidad de la parábola
y asocia las raíces de la
ecuación cuadrática con
las intersecciones de la
parábola con el eje x.
En algunos casos, conoce
la influencia del parámetro
a en el ancho y la
concavidad de la parábola
y asocia las raíces de la
ecuación cuadrática con
las intersecciones de la
parábola con el eje x.
No conoce la influencia del
parámetro a en el ancho y la
concavidad de la parábola
ni asocia las raíces de la
ecuación cuadrática con
las intersecciones de la
parábola con el eje x.
Fórmula cuadrática
Resuelve problemas
sencillos de máximos
y mínimos. Representa
gráficamente a la función
cuadrática.
En la mayoría de los
casos, resuelve problemas
sencillos de máximos y
mínimos, y representa
gráficamente a la función
cuadrática.
En algunos casos, resuelve
problemas sencillos de
máximos y mínimos, y
representa gráficamente a
la función cuadrática.
No resuelve problemas
sencillos de máximos o
mínimos ni representa
gráficamente a la función
cuadrática.
Aspecto a evaluar
Criterios
Deficiente
(1)
Comentarios Generales
Nombre del profesor o la profesora:
Fecha:
231
Grupo Editorial Patria®
Glosario
Función. Es una regla de correspondencia en la que a cada elemento del dominio le corresponde uno y sólo un elemento del contradominio. Es una relación de dependencia entre dos variables.
Binomio. Polinomio de dos términos.
Función creciente. Es la función lineal de pendiente positiva.
Cero de la función. Es un punto de intersección de la gráfica de la
función con el eje x.
Función cuadrática en x. Es aquella que en la que su mayor exponente es 2.
Coeficiente. Factor que indica el número de sumandos iguales.
Función decreciente. Es la función lineal de pendiente negativa.
Cóncava hacia arriba (abre hacia arriba) o cóncava hacia abajo
(abre hacia abajo). Se refiere a la posición de la gráfica de una función cuadrática cuya incógnita es x.
Función lineal. Es una regla de correspondencia que se representa
geométricamente por un conjunto de puntos en línea recta.
Constante. Es un valor que no cambia ya sea que se represente por
un número o por una letra.
Imagen. Es el conjunto de valores que puede tomar la función
dentro de su dominio de definición.
Contradominio. Es el conjunto de valores que toma y.
Intervalo. Es un conjunto de valores de la recta numérica comprendidos entre dos valores extremos.
Criterio de la vertical. Se utiliza para determinar si la representación geométrica de una gráfica corresponde o no a una función.
Matriz aumentada. Está formada por los coeficientes de las variables y los términos independientes.
Determinante. Es el valor que corresponde a una matriz.
Dominio. Es el conjunto de valores que toma x.
Matriz cuadrada. Es aquélla en la que el número de renglones es
igual al número de columnas.
Ecuación de segundo grado con una incógnita. Es aquélla en la
que el mayor valor de su única incógnita es 2.
Matriz de coeficientes. Está formada por los coeficientes de las
variables del sistema.
Ecuación lineal o de primer grado. Tiene como representación
gráfica una línea recta.
Matriz escalonada. Es aquélla en la que son cero los valores que
están por debajo de la diagonal principal.
Eje de simetría de una parábola: Es su eje focal.
Máximo común divisor de 2 o más números. Es el mayor de los
divisores comunes de dichos números.
Exponente. Indica el número de veces que la base se repite como
factor.
Factorización de una expresión algebraica. Es convertirla en el
producto indicado de sus factores.
Formas de la ecuación de una recta. Se refiere a las distintas expresiones algebraicas de la ecuación.
Fracción decimal periódica. Es aquélla en la que una o varias cifras se repiten formando un periodo.
Medio aritmético. Es uno o varios términos comprendidos entre
los extremos de una progresión aritmética.
Medio geométrico. Es uno o varios términos comprendidos entre los extremos de una progresión geométrica.
Mínimo común múltiplo de 2 o más números. Es el menor de
los múltiplos comunes de dichos números.
233
Glosario
Múltiplo de un número. Es aquel que contiene a ese otro un número exacto de veces.
Regla de Cramer. Es un conjunto de fórmulas que se utilizan para
resolver un sistema de ecuaciones lineales.
Naturaleza de las raíces de una ecuación de segundo grado con
una incógnita. Se refiere al tipo de raíces que se obtienen cuando
el discriminante es mayor, igual o menor que cero.
Regla de Sarrus. Se aplica sólo a matrices de 3 3 3.
Notación de función. Es la expresión algebraica que relaciona el
dominio y contradominio de una función.
Número complejo. Es un número de la forma a + bi, donde a y b
son números reales e i es igual a la raíz cuadrada de –1.
Número primo. Es un número natural que sólo tiene dos divisores.
Parábola. Es la representación geométrica de una ecuación de segundo grado con una incógnita.
Pendiente de una recta. Expresa la tangente del ángulo de inclinación de formado por la recta con el eje x.
Polinomio. Es una expresión algebraica en la que dos o más términos se relacionan por los signos más (+) o menos (–).
Productos notables. Son ciertos productos que se pueden obtener de manera directa sin llevar a cabo la multiplicación por el
procedimiento general.
Progresión aritmética. Es un conjunto ordenado de valores en
los que la diferencia entre dos valores consecutivos es constante.
Progresión geométrica. Es un conjunto ordenado de valores en
los que la razón entre dos términos consecutivos es constante.
Proporción. Es la igualdad entre dos razones.
Punto máximo. Es el vértice de la parábola cuando es cóncava hacia abajo.
Punto mínimo. Es el vértice de la parábola cuando es cóncava hacia arriba.
Razón. Es la comparación por cociente entre dos números.
Recíproco o inverso multiplicativo de un número. Es aquel que
multiplicado por su recíproco da como producto la unidad.
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Relación. Es una regla de correspondencia que se establece entre
los elementos del dominio y contradominio de la relación.
Representación gráfica de un sistema de dos ecuaciones de
primer grado con dos variables. Corresponde a la representación geométrica del sistema.
Simétrico o inverso aditivo de un número. Es aquel que sumado
con su simétrico da como suma cero.
Simplificación de fracciones algebraicas. Comprende las siguientes transformaciones: simplificación de fracciones, reducción de fracciones a un común denominador, reducción de fracciones a forma mixta o viceversa.
Sistema de ecuaciones simultáneas. Es aquél en el que el valor
de cada una de las variables es el mismo en cada una de las ecuaciones que lo integran.
Sucesión. Es un conjunto de valores en el que la relación entre dos
términos consecutivos es constante.
Teorema del binomio. Expresa la ley de formación de los términos del desarrollo del binomio de Newton.
Término algebraico o monomio. Es un número o un producto
de dos o más números.
Triángulo de Pascal. Consiste en la disposición ordenada de los
coeficientes del desarrollo del binomio de Newton.
Trinomio. Polinomio de tres términos.
Valor máximo. Es el mayor valor de la parábola cuando ésta es
cóncava hacia abajo.
Valor mínimo. Es el menor valor de la parábola cuando ésta es
cóncava hacia arriba.
Variable. Representa un conjunto de valores dentro de su dominio.
Vértice. Es el punto mínimo (o máximo) de una parábola.
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Bibliografía
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Vínculos en Internet
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