TESIS MAESTRIA. La Enseñanza de la Geometria en el Preescolar

La enseñanza de la geometría en el preescolar.
Myriam Vásquez Vásquez
RESUMEN
El objeto de estudio de la presente investigación estuvo centrado en identificar la
concepción de espacio y geometría que circunscriben la enseñanza usual de la
geometría en el ciclo de preescolar desde una perspectiva cognitivo-semiótica de la
educación matemática. El análisis de observaciones de aula, textos escolares y
entrevistas a 9 maestras de los niveles de pre-jardín, jardín y transición, permite
afirmar que subyace a la enseñanza de la geometría en el preescolar concepciones
sobre el espacio y los objetos geométricos derivadas de las interpretaciones de
teorías psicológicas y pedagógicas como las de Piaget, Montessorí y Dienes. Del
lado de la teoría Piagetiana se plantea una hipótesis de continuidad entre la
construcción y objetivación del espacio físico al espacio matemático; del lado de las
teorías Montessoriana y Dienes, se hereda una concepción sensualista del
conocimiento matemático. En conclusión, dichas concepciones tienen un correlato
con los textos escolares y actividades que proponen las maestras a los niños y niñas.
Duval describe este tipo de entrada a la geometría planteando una analogía con la
actividad del botánico. Desde esta entrada el reconocimiento de las propiedades de
las figuras geométricas está centrado en una aprehensión perceptiva sobre los
contornos y las formas elementales que son utilizadas en geometría plana: tipos de
triángulos y cuadriláteros, formas circulares y ovoides. Aquí las propiedades
geométricas son características aprehensibles perceptivamente, la observación
directa sobre el objeto es fuente de conocimiento. Este reconocimiento puede dar
lugar a tareas de superposición (utilización de patrones), reproducción de un modelo
(dibujo) o de clasificación elemental (lo que implica una denominación de los objetos
a algunas de sus propiedades). El punto importante para nuestro propósito, es que
esta entrada no tiene nada de actividad geométrica; no se parece a la geometría más
que en la medida en que tiene que ver con las formas euclideas. Para "ver" sobre
una figura geométrica es necesario tomar en cuenta una variación dimensional
intrafigural, transformaciones heurísticas de la configuración global y restricciones de
construcción instrumental. La articulación entre las figuras y discurso teórico en
lengua natural, se hace de manera diferente de acuerdo con cada uno de estos tres
aspectos y conduce a asignar categorías muy diferentes a las figuras. Los hallazgos
y resultados encontrados en el estudio permiten afirmar que las prácticas que
circulan con relación a la enseñanza usual de la geometría en el preescolar no
trascienden una visualización icónica de las formas, reduciendo su potencial
heurístico para la solución de un problema geométrico a la función de ilustración.
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INTRODUCCIÓN
Desde hace algunas décadas la investigación en el campo de la educación
matemática ha puesto su mirada sobre el problema de la enseñanza y aprendizaje
de las matemáticas en la educación inicial y el preescolar. En particular, el interés
con relación a la enseñanza de la geometría en el preescolar es relativamente
reciente.
En oposición a las prácticas de aula que caracterizan la enseñanza usual (copia
de modelos, actividades de motricidad fina asociadas al reconocimiento de las
formas), han surgido tres vertientes con la intención de buscar una entrada a la
geometría en el preescolar que posibilite una aprehensión de los objetos geométricos
y colme de sentido la actividad geométrica. De un lado, se encuentran las
investigaciones que se sitúan en la primera vertiente y toman de referencia la
epistemología piagetiana o interpretaciones derivadas de ésta, para explicar el
problema de la construcción del espacio y la geometría. Desde esta perspectiva se
considera pertinente empezar una aproximación a la geometría con un tratamiento
intuitivo y exploratorio del espacio y de los objetos que los rodean. La tendencia de
dichas investigaciones ha sido reconceptualizar los aportes de la epistemología
piagetiana y rebatir fundamentalmente la jerarquización que Piaget propone: primero
el niño y la niña dominan un espacio topológico para luego dominar las relaciones
proyectivas que se construyen casi a la par con una geometría métrica. Los autores
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que se sitúan desde este lugar plantean que el abordaje de estas geometrías se
debe hacer de manera simultánea. Así mismo, se asume que los niños y niñas deben
tener contacto con objetos tridimensionales primero, para luego pasar a una
representación en el plano. La condición desde este punto de vista epistemológico y
cognitivo es asumir la conceptualización de un espacio geométrico en continuidad
con las experiencias del mundo físico.
De otro lado, están las investigaciones que se sitúan en una segunda vertiente
y plantean la necesaria introducción y discriminación en los currículos escolares para
abordar la enseñanza de los conocimientos espaciales y geométricos desde los
ciclos elementales de escolaridad, especificando los problemas e interrelaciones
entre ambos campos de conocimiento.
Existe una tercera vertiente que plantea una ruptura entre una visualización
icónica de las formas (estatus epistemológico de las entradas anteriores) y la
visualización en matemáticas. Desde esta perspectiva cognitivo-semiótica, la mirada
matemática
sobre
las
figuras
conduce
a
mirarlas
como
representaciones
potencialmente mixtas, es decir, como representaciones que resultan de la movilización
necesaria de dos registros diferentes: las figuras y el discurso teórico en lengua
natural. Esta articulación entre figura y discurso como una condición particular a toda
actividad geométrica implica una descomposición de las formas: la descomposición
mereológica y la deconstrucción dimensional.
La manera canónica de ingresar al estudio de las formas está anudada a un
paradigma que concibe y organiza el currículo alrededor de un conjunto de
actividades que parecen desconocer las exigencias propias de la actividad
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geométrica y por consiguiente las distintas maneras de ‘ver’ sobre una figura. Por lo
tanto, dependiendo de la naturaleza de la actividad planteada, la figura puede cumplir
diferentes funciones: función de ilustración, función heurística, función de modelo o de
economía de pensamiento respecto a una descripción. Cuando la figura sólo cumple
una función representacional de ilustración o modelo, está por fuera de la
visualización matemática. Y la diversidad de actividades que se plantean
comúnmente en el aula desde la enseñanza usual y la primera vertiente mencionada
en párrafos anteriores da un tratamiento a las figuras por fuera de la actividad
matemática, reduciendo su potencial heurístico para representar la resolución de un
problema geométrico.
Teniendo de marco este contexto problemático el presente estudio
pretende identificar la concepción de espacio y geometría que circula en la
enseñanza de la geometría en el preescolar con el fin de reconocer qué
geometría o qué geometrías se están enseñando a los niños y niñas desde las
actividades que usualmente circulan en las aulas escolares.
El modo de investigación se circunscribe en el campo de las
investigaciones cualitativas, de carácter exploratorio, bajo una modalidad de
estudio de caso. Se toma como objeto de estudio para el cumplimiento de dicho
propósito el análisis de quince textos escolares de preescolar y el discurso de
nueve maestras que orientan los niveles de prejardín, jardín y transición.
El documento se organiza en cuatro capítulos. El primer capítulo
presenta la contextualización del problema abordado en el trabajo de tesis. Se
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plantea en este apartado tres vertientes y su manera de entender el problema
del ingreso al registro de las figuras, explicando desde un punto de vista
epistemológico y cognitivo los principios teóricos y metodológicos en los cuales
se sustentan, y así mismo se delimita el punto de vista cognitivo-semiótico de la
actividad geométrica como la perspectiva teórica del trabajo de investigación.
El segundo capítulo presenta una síntesis de los postulados teóricos
desde una perspectiva semiótica de la actividad matemática y geométrica en
particular, a partir de los trabajos de Raymond Duval en el campo de la
educación matemática. Se relievan en esta presentación las condiciones
cognitivas-semióticas necesarias para el aprendizaje de la geometría en
contraposición a otras formas de ‘ver’ por fuera de las matemáticas.
El tercer capítulo aborda el análisis de los textos escolares y el discurso
de las maestras a partir de la definición de seis categorías de análisis que
hacen referencia a los tópicos comúnmente abordados en el aula desde la
enseñanza usual: trazos, discriminación visual de formas y contornos, formas
geométricas, simetrías, orientación y ubicación espacial.
El cuarto capítulo es la presentación de las conclusiones del estudio en
función de los hallazgos encontrados en el tercer capítulo y aportes de la teoría
tomada como referente para adelantar dichos análisis.
Por último, este trabajo y sus resultados pretenden aportar información
valiosa con relación al problema de la enseñanza de la geometría en el
preescolar.
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1. LAS MATEMÁTICAS EN LA EDUCACIÓN INICIAL
Contextualización y presentación del problema de investigación
A partir de 1996, al establecerse en Colombia la educación preescolar como
un período obligatorio de la educación formal, se incrementó notablemente el interés
por ésta, de parte de estudiosos e investigadores de múltiples disciplinas, pues tal
política hacía necesario reconsiderar el sujeto y el objeto de la educación en la
primera infancia. ¿Qué y cómo se ha de enseñar en el ciclo de preescolar? Esto es,
¿Qué se espera que los niños aprendan y para qué? ¿Cuáles son los criterios que
han de orientar la educación preescolar: competencias o áreas de conocimiento? son
interrogantes que, entre otros, se han vuelto comunes entre los maestros e
investigadores que se han interesado en este ciclo. Tales preguntas convocan un
debate extenso, intenso y profundo cuyos resultados más allá del necesario impacto
en lo pedagógico y lo curricular, incidirán de manera importante en un contexto social
y cultural.
En las últimas décadas ha ido creciendo el interés en un campo como la
Educación Matemática por comprender el sentido que tienen “las matemáticas” en la
educación infantil, aspecto que inclusive ha sido contemplado en las distintas
reformas curriculares en nuestro país. En el texto Lineamientos curriculares para el
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área de Matemáticas (1998, p.41-42), se hace referencia a la necesidad de plantear
“una serie de situaciones problémicas que puedan contribuir al desarrollo del
razonamiento matemático en la escuela” (haciendo explícito algunos ejemplos para
el nivel de preescolar). Igualmente en el mismo texto, en el apartado donde se
plantea el desarrollo de Conocimientos Básicos: pensamiento numérico y sistemas
numéricos, pensamiento espacial y sistemas geométricos, pensamiento métrico y
sistemas de medidas, pensamiento aleatorio y los sistemas de datos y pensamiento
variacional y sistemas algebraicos y analítico; se presenta una reflexión sobre la
importancia de introducir al niño desde una edad temprana, en situaciones diversas
en relación con su contexto cotidiano que posibiliten unas competencias en distintos
campos de las matemáticas. De estos contenidos básicos, el preescolar
comúnmente privilegia dos: el desarrollo del pensamiento numérico y sistemas
numéricos y; el desarrollo del pensamiento espacial y sistemas geométricos. Con
relación al primer pensamiento mencionado, desde los trabajos de Piaget (1941)
hasta la fecha para este ciclo se encuentra un campo de investigación prolifero
(Vergnaud, 1991; Kamii, 1984; Fuson, 1988; entre otros) que aborda el problema de
la construcción del número y los sistemas de numeración. En contraste con lo
anterior, para el caso del desarrollo del pensamiento espacial y sistemas
geométricos, los trabajos publicados y dados a conocer tanto a nivel internacional
como nacional datan apenas de hace algunas décadas.
La presente investigación se inscribe en el campo de investigación de la
geometría en la educación inicial y tiene como propósito identificar las concepciones
sobre el espacio y las geometrías qué aparecen como objeto de conocimiento en la
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enseñanza del preescolar, presentes en el discurso de las maestras y textos
escolares. Los hallazgos encontrados pretenden aportar información valiosa con
relación al problema de la enseñanza y aprendizaje de la geometría en el
preescolar, a partir de un análisis semiótico del discurso de las maestras y textos
escolares que enmarcan la enseñanza de la geometría en el preescolar. Por lo tanto
los “decires y haceres” en el aula se conciben como una unidad de análisis para
interpretar y comprender el alcance de dicha praxis en el aula.
1.1
BREVE PRESENTACIÓN DE ANTECEDENTES HISTÓRICOS DE LA
EDUCACIÓN PREESCOLAR EN COLOMBIA
Haber reconocido una “racionalidad infantil” con características particulares
diferentes a las del adulto es, en realidad, reciente. La idea moderna de niño(a) data
apenas del S. XVIII1. El acercamiento a una comprensión de la naturaleza del
pensamiento infantil llevó a que en muy corto tiempo se plantearan paradigmas
distintos y por supuesto, distintas teorías explicativas sobre la captación,
aprehensión,
aprendizaje,
comprensión
y/o
elaboración
del
conocimiento
matemático por parte de los niños. La velocidad de los cambios de estas teorías por
lo regular resulta mayor que aquella con la cual los maestros las conocen y asumen,
y así, es relativamente frecuente encontrar que una misma maestra tenga
1
“La noción de infancia tiene un carácter histórico y cultural y ha tenido diferentes apreciaciones en la historia;
su concepción depende del contexto cultural de la época. La “reinvención” moderna de la infancia se inicia desde
el siglo XVIII en las sociedades democráticas y muy especialmente a través de Rosseau, quien advertía las
características especiales de la infancia”. (Jaramillo, 2007b).
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concepciones contradictorias entre sí sobre el objeto y el sujeto de su actividad
educativa.
Por consiguiente, se considera pertinente antes de comenzar a plantear el
problema de investigación en sí, considerar un espectro sucinto sobre la historia del
preescolar en Colombia y determinantes históricos que constriñen el énfasis de unos
paradigmas sobre otros. Se relievan de estos antecedentes los aspectos con
relación a las perspectivas teóricas que comandaron, que aún tienen validez e
impacto, como la perspectiva teórica de Montessori en educación matemática para
el ciclo de preescolar. Para la siguiente síntesis se toma en consideración extractos
del texto escrito por Leonor Jaramillo (2007a), quien aborda de manera amplia y
sustentada los antecedentes históricos de la educación preescolar.
A finales del siglo XIX, en Colombia los primeros comisionados alemanes
pedagogos comenzaron a difundir y promocionar las ideas de Federico Froebel, las
cuales fueron muy importantes en la renovación y organización de la educación en el
país, lo que permitió la aparición de los primeros jardines infantiles.
Dentro del contexto histórico, la organización en Colombia el primer
establecimiento de preescolar se puede decir que fue a través del presidente José
Manuel Marroquín (1900). Él fundó en 1851 la escuelita campestre de Yerbabuena,
donde por primera vez se realizaron actividades pedagógicas y recreativas para
niños menores de seis (6) años, bajo una orientación muy marcada de la teoría de
Froebel. La población infantil que asistía a la escuelita, provenía de pueblitos y
veredas cercanas a Yerbabuena. Sin embargo, se puede anotar que la existencia de
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esta escuelita fue efímera y su incidencia en las ideas educativas de la época no tuvo
gran relevancia.
En el siglo pasado y en las primeras décadas, a los asilos y hospitales les
correspondió realizar una importante labor en la protección y cuidado de la niñez
abandonada. Un sector significativo de estos niños eran menores de seis (6) años,
para los cuales se organizaron diversas actividades recreativas y educativas.
Algunas religiosas extranjeras que manejaban estas instituciones conocían los
métodos de trabajo de Froebel o de Montessori, y no les fue difícil organizar labores
similares. Una de las instituciones más conocidas fue el Hospicio de Bogotá, que fue
fundado en la primera mitad del siglo IX. A principios del siglo XX era la institución
capitalina más importante y en ella se acogían la mayoría de los niños huérfanos o
abandonados. Sin embargo, este sistema entró en crisis debido a las situaciones
precarias a nivel económico y sanitario.
Por otra parte, el primer establecimiento preescolar que funcionó en la ciudad
de Bogotá fue la Casa de los Niños del Gimnasio Moderno, el cual se consideró
como modelo para la creación de otros jardines similares. El Gimnasio Moderno fue
fundado por Agustín Nieto Caballero en 1914, y a juicio de algunos tratadistas, se
constituyó en la iniciativa más importante de la educación privada de comienzos de
siglo. Desde su creación se convirtió en uno de los colegios de más prestigio del país
y el primero que puso en práctica las ideas pedagógicas de María Montessori, y se le
consideró más que una escuela o un kínder, una verdadera escuela montessoriana.
En Colombia la educación preescolar se desarrolló con mucho retraso con
relación a Argentina, Chile y Uruguay, países que a comienzos de siglo ya contaban
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con una abundante población preescolar. Sin duda, el proceso de la educación en
preescolar en el país fue lento y se pudo observar que la preparación específica del
personal responsable de esta actividad no era tan importante en sus inicios; de
hecho, a comienzos de siglo se contrataban jóvenes maestras normalistas, o en su
defecto, era personal que las instituciones mismas formaban. Por eso, cuando se
promulgó la Ley 25 de 1917 y se creó el Instituto Pedagógico Nacional para
Institutoras de Bogotá, cuyo propósito era preparar maestros para la escuela superior
y normal, también se aprobó la creación de una sección especial para formar
maestras de jardín. Pero pasarían diez (10) años antes que se fundara el Instituto y
dieciséis (16) años para que funcionara esta sección preescolar.
Uno de los personajes importantes en este proceso histórico fue la Dra.
Franciska Radker quien había llegado al país encabezando una misión alemana,
cuya función era reformar y reorganizar la Escuela Normal y el Instituto Pedagógico
Femenino de Tunja. La Dra. Radker creó, organizó y dirigió la escuela Montessori de
Bogotá, que a la postre fue uno de los primeros institutos del país dedicados a la
formación de maestras preescolares, y que a su vez aplicó la pedagogía de Froebel y
Montessori. Sin embargo, en 1936 Radker tuvo que viajar a Alemania, lo que llevó al
Instituto Montessori a entrar a un período de crisis llevándolo a su cierre temporal.
Este se volvió a reabrir en 1956 con el nombre de Instituto de Educación Preescolar,
que dio posteriormente origen al actual programa de educación preescolar de la
Universidad Pedagógica Nacional.
En 1935, en Colombia funcionaban aproximadamente 280 establecimientos
preescolares, en su mayoría privados, donde trabajaban 315 maestros que atendían
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a 12.120 niños. Pero es sólo hasta 1939 cuando se establece el decreto 2101 del
Ministerio de Educación Pública, el cual define y caracteriza la educación infantil de
la siguiente manera: "Entiéndase por enseñanza infantil, aquella que recibe el niño
entre los cinco (5) y siete (7) años de edad, cuyo objetivo principal es crearle hábitos
necesarios para la vida, juntamente con el desarrollo armónico de la personalidad."
En la década de los 40 se consolidó el modelo higienista norteamericano en
Colombia, el cual tuvo en cuenta dentro de los procesos educativos la nutrición y
otros aspectos vinculados a la seguridad social. Como resultado de esta influencia,
se creó en 1946 el Instituto Colombiano de Seguros Sociales (ICSS) y el Ministerio
de Higiene. En este contexto se dicta la Ley 83, denominada Código del Niño o Ley
Orgánica de la defensa del Niño. En este sentido, se puede observar la presencia del
primer conjunto de leyes que se promulgó a favor de la población infantil, que vive ya
los rigores de la desnutrición, el abandono y el maltrato.
En 1968, en el gobierno de Carlos Lleras Restrepo, se crea el Instituto
Colombiano de Bienestar Familiar para proveer protección al menor y procurar la
estabilidad y bienestar familiar. Con la creación del ICBF se presentó un nuevo
problema, el cual iba dirigido a las contradicciones entre la concepción asistencialista
y la pedagógica, que también se asoció con la pugna existente entre el sector estatal
y privado. En lo que respecta a la concepción asistencialista, se centró en el
proteccionismo y se vinculó en las directrices del trabajo social y nutricional, lo cual
desestimaba los ingredientes educativos en la atención del niño perteneciente a los
sectores más pobres de la población. En lo que respecta a la concepción pedagógica
promovida por el sector privado, se miró la educación preescolar como un proceso
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de formación socioafectivo e intelectual de la población infantil que no sufría los
rigores del maltrato, hambre, abandono, cuidado y amor familiar.
Antes de 1962, no existieron normas específicas para crear y poner en
funcionamiento un establecimiento preescolar. Mediante la resolución 1343 de ese
año, se entró a reglamentar por primera vez las inscripciones, solicitudes y
documentos, directora, local, material didáctico, licencia de funcionamiento, etc., de
los jardines infantiles.
En 1976, con el decreto 088 del MEN, se explícita por primera vez la
modalidad del preescolar al sistema educativo colombiano. Sin embargo, después de
18 años es cuando se le da el carácter obligatorio: "Se llamará educación preescolar
la que se refiere a los niños menores de seis (6) años. Tendrá como objetivos
especiales el promover y estimular el desarrollo físico, afectivo y espiritual del niño,
su integración social, su percepción sensible y el aprestamiento para las actividades
escolares, en acción coordinada con los padres y la comunidad" (Artículo 6, p. 2).
En los 70, los niveles de experto y posteriormente tecnólogo, eran las únicas
alternativas académicas que existían en el campo preescolar, cuya orientación
empirista y práctica parecían caracterizar perfectamente la idea que se tenía de una
modalidad que se veía más como una tecnología que como una ciencia. En 1976,
por primera vez se le reconoce estatus universitario a una actividad que
tradicionalmente se le había considerado como algo que no tenía mayor incidencia
en la formación y desarrollo del niño. Si bien los métodos de Froebel, Montessori y
Decroly ya eran conocidos en los centros académicos y educativos, a la educación
preescolar no se le prestaba mucha atención en este sector. Durante mucho tiempo
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las autoridades educativas se negaron a reconocerle una condición universitaria,
pero a pesar de la dura oposición, en 1978 se crea la carrera de Licenciatura en
Educación Preescolar en la Facultad de Educación de la Universidad Pedagógica
Nacional.
Antes de 1984 la educación preescolar se rigió por algunos modelos
curriculares. Sólo recién a partir de ese año, mediante el Decreto 1002, se establece
un plan de estudios que aún estaba muy lejos de constituirse en un principio
orientador y organizador de esta modalidad educativa. En éste se entra a definir un
plan de estudios. "Como el conjunto estructurado de definiciones, principios, normas
y criterios que, en función de los fines de la educación, orienta el proceso educativo
mediante la formulación de objetivos por niveles, la determinación de áreas y
modalidades, la organización del tiempo y el establecimiento de lineamientos
metodológicos, criterios de evaluación y pautas de aplicación y administración” (Art.
1, Parágrafo).
El currículo de la Educación Preescolar comenzó a gestarse en los años 1977
y 1978, cuando por primera vez se tomó conciencia sobre la necesidad de darle a
esta modalidad unos lineamientos para regular, orientar y organizar la actividad
educativa y pedagógica de un establecimiento preescolar. En 1987 se dio a conocer
el segundo documento, en donde se precisan las áreas y temas relacionados con el
preescolar,
permitiendo
un
currículo
fundamentado
tanto
teórica
como
operativamente en lo que respecta al trabajo pedagógico.
En la década de los 90’, se pudo observar cambios del gobierno con respecto
a la atención y preocupación por la población infantil en Colombia, y en
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consecuencia, se instauran normas y leyes por parte de la asamblea constituyente
en la Constitución Política del 91. Por otra parte, el gobierno colombiano al ratificar,
mediante la Ley 12 de 1991, los compromisos adquiridos por el país en la
Convención Internacional sobre los Derechos de la Niñez adoptada por las Naciones
Unidas, se compromete con una nueva ética y cultura a favor de la infancia.
En el gobierno de César Gaviria (1990-1994) se adelantaron dos iniciativas: el
Plan de Acción a Favor de la Infancia y una nueva Constitución Política que
incorporó una serie de principios de los derechos fundamentales del niño. En este
plan se menciona por primera vez el Grado Cero, una modalidad por medio de la
cual se busca resolver la ausencia de formación preescolar de los niños que
ingresaban por primera vez a la escuela pública. Con el Grado Cero se buscaba
disminuir la repitencia en la escuela primara y mejorar la calidad educativa de la
educación básica primaria. Esta modalidad haría parte del Plan de Apertura
Educativa (1991,1994) del gobierno de César Gaviria, y se convirtió en el programa
bandera del Ministerio y las secretarías de Educación del país.
Teniendo en cuenta las reformas, principios, normas y leyes estipuladas en
este proceso histórico, se añaden los valiosos aportes del segundo Congreso
Pedagógico Nacional organizado por FECODE en noviembre de 1994, para la
promulgación de la Ley 115, conocida como Ley General de Educación. Esta Ley
señala los lineamientos para transformar la escuela, la enseñanza y el aprendizaje.
Promueve la participación ciudadana y democracia participativa, establece la
obligatoriedad del Proyecto Educativo Institucional, ubica al estudiante como centro
del proceso educativo, establece la autonomía escolar, articula ciencia, academia e
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investigación, crea mecanismos de vigilancia y control educativo, incorpora la
educación preescolar como nivel obligatorio de la educación formal, y numerosos
otros aportes a nivel social, cultural, educativo, institucional y técnico. Finalmente, se
puede decir que la ley 115 reconoce a la educación preescolar como un nivel
educativo que tiene enorme importancia en la formación y desarrollo del niño que
debe tener al menos un grado obligatorio y con el tiempo tres.
La referencia a esta historia cobra significado en el marco de nuestro problema
para ilustrar como esa transformación de unos propósitos asistenciales a unos
propósitos educativos en nuestro contexto data de apenas unas décadas, y por lo
tanto, querer encontrar unos lineamientos fácilmente aprehensibles es todavía una
ilusión, aunque la última reforma curricular que abarca este ciclo: lineamientos
curriculares para el preescolar (1998) propuesta por el Ministerio de Educación
Nacional, encarna un serio y laborioso esfuerzo en este sentido.
Ahora con relación a los paradigmas que han determinado este ciclo en el
país pues la historia nos muestra una fuerte influencia de la ideas de Froebel y
Montessori. La referencia a Montessori es importante porque sigue siendo una
perspectiva muy actual para algunas preescolares y centros de educación infantil.
No es gratuito que siga prevaleciendo la idea de una educación sensorial como un
propósito importante de la educación preescolar como condición para el posterior
aprendizaje de las matemáticas. Esta teoría sensualista del conocimiento se
encuentra en el método Montessori2 (1912), planteado por la autora a principios de
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De los principios fundamentales que plantea la autora en su teoría es la concepción de que los objetos más
importantes del ambiente son lo que se prestan a ejercicios sistemáticos de los sentidos y de la inteligencia con
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siglo. El asunto es que desde esta teoría se concibe la aprehensión de los objetos
de conocimiento entre ellos, los matemáticos, como parte de la prolongación de las
experiencias de los niños y niñas con el mundo físico. En el apartado siguiente se
verá cómo esta idea sigue prevaleciendo en algunas entradas a la enseñanza de la
geometría en el preescolar y sus consecuencias para el aprendizaje de dicho
conocimiento.
1.2
EL CASO PARTICULAR DE LA ENSEÑANZA DE LA GEOMETRÍA
EN LA EDUCACIÓN PREESCOLAR
En la actualidad, es claramente evidente la complejidad y dimensión de los
problemas que plantea la educación preescolar. Pero, ¿cuáles son las concepciones
previas sobre el sujeto de la educación con las cuales enfrentarlos? ¿Son estas
suficientes y pertinentes o requerirían, a su vez, de reconsideraciones? Sin
pretender ser exhaustivos ni rigurosos, encontramos que, desde la pedagogía, tal
vez ha sido el método Montessori el que ha tenido una incidencia mayor en esas
concepciones, así como desde la psicología lo ha sido Piaget. En este sentido, las
concepciones sobre el sujeto de la educación, no tanto la identificación de sí se
tiene el buen método para que los niños pequeños aprendan matemáticas; son una
una colaboración armoniosa de la personalidad psíquica y motriz del niño y que poco a poco le conducen a
conquistar, con exuberante y poderosa energía, las más duras enseñanzas fundamentales de la cultura: leer,
escribir y contar.
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rica fuente de análisis si se entiende que detrás de “los buenos métodos” subyacen
teorías sobre la educación y el sujeto que aprende.
Por consiguiente, parte importante de la delimitación del problema es
reconocer cuál es la concepción de espacio y geometría que circula en los contextos
educativos del preescolar, en particular delimitar su interpretación y relación con la
actividad geométrica que se enseña en las aulas. Sin embargo, por lo regular es muy
difícil identificar en los textos y manuales especializados que se está entendiendo por
espacio, lo cual lleva a una discusión que encara una gran complejidad en el intento
de buscar una respuesta: “entre nuestras más caras convicciones están las
creencias y concepciones acerca del espacio y del tiempo; ningunas, sin embargo,
más difíciles de explicar” (E. Kesner y J. Newman, 1987, p. 119).
De otro lado existe un reconocimiento de orden epistemológico que ningún
autor versado en el tema parece refutar al siguiente planteamiento: “los problemas
planteados por las relaciones entre, de una parte, los objetos reales, los datos
extraídos de la percepción y de la observación y, por otro lado, los objetos teóricos
del dominio del saber, conciernen particularmente a la geometría. (...). Los saberes
teóricos coexisten con saberes culturales, sociales, prácticas profesionales extraídas
de problemas relativos al dominio del espacio físico” (Laborde., c.p. Saiz, 1998, p.
71).
En el marco de este reconocimiento, es común encontrar una inclinación
marcada a tomar como punto de referencia la teoría epistemológica de Piaget para
explicar el problema de la construcción del espacio y la geometría y muestra de esto
es que la mayoría de los trabajos de investigación en el campo plantean propuestas
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para el aula en educación inicial que se derivan de sus principios. Sin embargo, a
pesar de la proliferación de literatura y materiales que sustentan dicha praxis, podría
afirmarse que aún estamos lejos de tener la suficiente claridad sobre el problema del
aprendizaje de la geometría en el preescolar.
Por lo tanto es importante hacer una revisión del panorama actual en el campo
de la educación matemática, presentar las vertientes actuales de investigación con
relación al problema de la enseñanza y aprendizaje de la geometría en educación
inicial y, delimitar y sustentar la postura teórica que el presente trabajo de
investigación asume para abordar su objeto de estudio. Con relación a este propósito
las investigaciones pueden clasificarse de la siguiente manera:
1.-Investigaciones que toman de referencia la epistemología piagetiana o
interpretaciones derivadas de ésta, para explicar el problema de la construcción
del espacio y la geometría. Desde esta perspectiva se considera pertinente
empezar una aproximación a la geometría con un tratamiento intuitivo y
exploratorio del espacio y de los objetos que los rodean. Los planteamientos
metodológicos y pedagógicos deben considerar como punto de partida esta
constatación de orden epistemológico.
2.- Investigaciones que plantean la necesaria introducción y discriminación en
los currículos escolares para abordar la enseñanza de los conocimientos
espaciales y geométricos desde los ciclos elementales de escolaridad,
especificando los problemas e interrelaciones entre ambos campos de
conocimiento.
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3.- Investigaciones que plantean el aprendizaje de la geometría desde una
perspectiva cognitiva-semiótica de la educación matemática. Desde esta
perspectiva, se plantea una ruptura entre la visualización icónica de las formas y
la visualización matemática.
A continuación se presente un breve análisis de los principios que rigen las
perspectivas teóricas abordadas en cada una de las vertientes.
1.2.1 El punto de vista que toma de referencia la epistemología piagetiana
Con relación a las investigaciones que se logran situar en el primer grupo vale
la pena mencionar los trabajos adelantados por Francisco Vecino Rubio (2008a,
2008b) y Edo, M. (1999, 2006) en España desde hace algunas décadas.
Francisco Vecino Rubio (2008a), investigador en didáctica en el campo de la
educación matemática y profundamente interesado por el problema de la
introducción del pensamiento lógico-matemático en la Educación Infantil, plantea las
siguientes premisas que justifican la pertinencia de abordar el estudio del espacio y
la geometría desde los ciclos iníciales de escolaridad. Según el autor, la inclusión de
un tema como este en el currículo se justifica por las constataciones siguientes:
-
El niño está continuamente en contacto con ostensiones evidentes de los
principales conceptos espaciales, sea en el entorno social que le rodea, sea
en el entorno institucional escolar y por ello la génesis de las representaciones
espaciales será una consecuencia inmediata de su relación con el ambiente
que lo rodea.
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-
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La exigencia de un tránsito no traumático hacia la Educación Primaria exige,
sin duda, el desarrollo de diversas nociones y procedimientos que aseguren
un dominio creciente de las relaciones que se establecen entre el individuo y
el espacio, que conduzcan hacia una percepción del espacio complementaria
con la formación del pensamiento lógico-matemático y que contribuyan al
desarrollo
de
la
representación
espacial
necesaria
para
modelizar
adecuadamente los diversos campos geométricos.
-
El carácter interdisciplinar de esta etapa de la educación convierte a la
representación del espacio y a la geometría resultante en un comodín que
puede ayudar eficazmente en la formación y en la configuración del
pensamiento artístico, del pensamiento científico, del desarrollo corporal o del
sentido musical. En definitiva se convertirá en un instrumento eficacísimo para
la formación inicial del sentido estético.
De las anteriores constataciones concluye Vecino (2008a, p. 257) lo siguiente:
“Todos estos hechos parecen imponer, en la educación espacial del niño, una línea
de tratamiento que parte de la percepción que él mismo va generando del espacio
circundante y del espacio de los movimientos propios o ajenos, que continúe con las
posibles representaciones que se pueden derivar de la percepción espacial y que
concluya
con
una
modelización,
organización
y
sistematización
de
tales
representaciones para asegurar una transición hacia la geometría elemental”.
Con relación al desarrollo del pensamiento geométrico específicamente, Vecino
(2008b, p. 282) enuncia consideraciones metodológicas y psicopedagógicas para
30
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desarrollar una propuesta curricular y didáctica en las aulas fundamentada en los
siguientes principios:
-
En particular, en el nivel de Educación Infantil, provoca la entrada, a escala
universal, de una visión más amplia de la geometría que incluye la
introducción de los distintos tipos de geometría que, según las investigaciones
psicológicas y modificando de paso las ideas piagetianas de jerarquización de
las geometrías (las relaciones topológicas son anteriores a las proyectivas y a
las métricas en ambos tipos de espacio) tan en boga en los años posteriores a
la reforma de la Matemática moderna. Por consiguiente, se deben considerar
simultáneamente los diversos tipos de geometría, resultado de la expresión de
tal espacio, y por tanto la necesidad de no establecer a priori la preeminencia
de ningún tipo de relación espacial sobre otro. Así, entre los objetivos más
importantes desde esta perspectiva aparece proporcionar los principales
elementos de la epistemología genética para la modelización del espacio a
través de los distintos tipos de geometría de manera simultánea.
-
La introducción didáctica de las distintas geometrías en el nivel de Educación
Infantil exige al maestro un esfuerzo de revisión y cambio de las concepciones
que seguramente ha incorporado, en su itinerario formativo y profesional,
sobre la Geometría. Esta línea de cambio de concepciones exige un esfuerzo
de transformación del currículo oficial. Tal cambio debe servir para organizar
la confusa proposición curricular sobre la Geometría y debe proporcionar la
posibilidad efectiva de que en la Escuela Infantil se produzca una introducción
a las distintos tipos de geometría. De ese modo se provocarán distintas
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aproximaciones perceptivas o representativas al espacio y a su organización
posterior.
Mequè Edo i Basté (1999) y su equipo plantean a partir de sus investigaciones
una propuesta teórica y metodológica para la enseñanza de la geometría en el
parvulario que rompa con la enseñanza usual de copia de modelos y definiciones:
“no tiene sentido empezar el aprendizaje de la geometría partiendo de conceptos
abstractos como línea, punto, cuadrado o rectángulo y todavía menos si los
conceptos que manejamos no tienen una conexión explícita con experiencias previas
de nuestros alumnos o conectadas con la realidad. Así pues se considera adecuado
escoger entre los objetos del entorno los primero modelos de figuras geométricas,
que, evidentemente, serán tridimensionales; y es también a partir de estos objetos
reales que se conducirá a los niños y niñas a la observación y reconocimiento de las
figuras planas” (Edo, 1999).
Edo (1999) argumenta que la anterior tesis que plantea una construcción del
espacio y la geometría fruto de la experiencia del sujeto con los objetos de la realidad
está sustentada en otros resultados obtenidos por colectivos de investigación que se
adhieren a este punto de vista en distintos países. (Freudenthal, 1983 en Holanda;
Instituto Irisae Piemot,1993 en Italia; el grupo de matemáticas de infantil de Cambrige
University, 1988; Grupo Cero de Valencia, 1985; Codina y otros,1992; Alsina,
Burgués y Fortuny 1987/1988 c.p. Edo,1999). Sin embargo, la misma autora es clara
es decir que estas ideas no son novedosas y datan de décadas anteriores, tomando
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de referencia los principios planeados por Dienes y referenciados por Markarían y
Möller (1970, c.p., 2005)3.
En correspondencia con estos planteamientos se plantea una “didáctica de la
geometría” para este ciclo que sigue los principios constructivistas (Edo, 2006), en el
cual se da una gran relevancia a los procedimientos como método de conocimiento
para llegar a la conceptualización y donde la tridimensionalidad adquiere un carácter
de punto de partida y referente de la construcción de las primeras nociones
geométricas.
Con relación a lo anterior puede afirmarse que la mayoría de la literatura y
artículos especializados confirman que la primera vertiente es la más difundida
actualmente en contraposición a la enseñanza usual, la cual interpelan desde la
siguiente premisa común: la concepción de base de la enseñanza usual ha sido
considerar la intuición geométrica como producto directo de la percepción,
concepción que ha fundamentado la organización escolar de la geometría elemental,
dotándola de un carácter ostensivo. Basta mostrar los objetos geométricos, que los
3 El estudio de la geometría es el estudio de las actividades posibles en el espacio que nos rodea […]. Como los
únicos objetos reales son los sólidos tridimensionales, parece de sentido común que debemos comenzar el
estudio de la geometría con el estudio de los movimientos de estos objetos tridimensionales –es decir, reales–, y
como no existe un plano, parece imposible proporcionar experiencias que correspondan exactamente con las
estructuras que forman parte de la geometría plana o bidimensional, en contra de la costumbre de que las
primeras lecciones de geometría consistan generalmente en tratar las líneas, puntos, posiciones de éstos,
direcciones de líneas, longitudes de segmentos lineales, algún tipo de medida, etc. No es extraño que los niños se
embrollen con la confusión predominante entre lo concreto y lo abstracto, por ejemplo entre la línea de tiza en la
pizarra y la abstracción que conocemos por segmento rectilíneo. Las únicas informaciones válidas sobre puntos y
líneas lo son acerca de su interconexión en una especie de estructura abstracta y no acerca de algunas relaciones
inexactas de estas abstracciones, que debemos escoger para dibujar.
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alumnos los vean, para reconocerlos; basta enunciar sus propiedades para que los
alumnos se las apropien (Gálvez, 1985, p. 285).
Lo interesante de analizar bajo esta primera vertiente es ver en ambas posturas
(Edo, 1999 y Vecino, 2008a, 2008b) matices de tipo más metodológico y didáctico,
no así epistemológico. La génesis del espacio y la geometría se explica en función
de la acción del sujeto sobre los objetos, acción de la cual el sujeto abstrae
características del objeto bien sea para percibirlo, representarlo o modelizarlo. Así
mismo, se comprende que la conceptualización de un espacio teórico surge de una
extensión y prolongación de las experiencias del sujeto con el espacio físico.
1.2.2 El punto de vista didáctico y curricular para modelizar los
problemas espaciales y geométricos
De las investigaciones que se ubican en la segunda vertiente, los trabajos
adelantados por René Berthelot y Marie-Helène Salin del equipo de Bourdeaux en
Francia, son los más representativos.
Berthelot y Salin (1992) en su trabajo doctoral abordan como objeto de estudio
el problema de la enseñanza y sus determinantes de los conocimientos espaciales y
los conocimientos geométricos que han circunscrito la escolaridad obligatoria. Al
respecto, plantean desde el punto de vista curricular y didáctico delimitar contenidos
explícitos y crear situaciones didácticas para generar competencias referidas a los
conocimientos espaciales y geométricos buscando estrechas interrelaciones entre
ambos dominios y también sus especificidades disciplinares.
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Desde el punto de vista epistemológico y didáctico plantean la necesidad de
reconocer una ruptura entre el espacio euclidiano y el espacio sensorial o físico. Los
autores plantean que los estudios de la enseñanza de la geometría muestran que los
alumnos supuestamente construyen los conceptos geométricos fundamentales
desde la “abstracción” espontánea de la observación de las figuras o de los objetos
geométricos. Desde esta postura Berthelot y Salin (1992) proponen dos
cuestionamientos:
1- ¿Los conocimientos geométricos constituyen la estructuración implícita y
“natural” de los conocimientos espaciales?
2- ¿Si los conocimientos espaciales espontáneos se organizan en sistemas de
conocimientos, se constituirán en obstáculos a nuevos conocimientos
(espaciales o geométricos)? Si es tal el caso, los autores muestran la serie de
errores que se generan cuando se parte de esos conocimientos espontáneos.
A partir de estos interrogantes, los autores concluyen que la abstracción
‘espontánea’ dada por la observación de los objetos físicos no tiene éxito en la
construcción de los conceptos geométricos y las experiencias espaciales con el
mundo físico pueden no permitir una fácil elaboración de estos conceptos. La
existencia de numerosas dificultades en la comprensión y uso de los concepto
geométricos ratifican la persistencia de esta dificultades. En otras palabras, no hay
transferencia posible de los conocimientos espontáneos a la conceptualización de
conocimientos espaciales y geométricos.
Algunas de las conclusiones de su tesis doctoral que se consideran
pertinentes son los siguientes:
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La enseñanza de la geometría en el preescolar.
-
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Discuten los roles del conocimiento espacial de los alumnos en el aprendizaje
de la geometría. Por un lado, se ha propuesto que la visualización en
educación matemática está en su renacimiento. Pero, por otro lado, parece
que se han hecho muy pocos esfuerzos pedagógicos para realizarlo.
-
Desde los 3-4 años de edad, los niños tienen que aprender a ubicarse a sí
mismos con respecto a su entorno. También deben aprender a localizar a
otros niños y objetos con respecto a sí mismos o, directamente, con respecto
a lo que les rodea. Posteriormente, en la escuela primaria, ellos hacen
representaciones que involucran la transferencia de tres a dos dimensiones, y
simultáneamente desde el mesoespacio - espacio en el cual uno vive - al
microespacio -espacio de los objetos pequeños que uno puede atajar y mover.
A esta edad los niños hacen una descripción de los objetos sólidos usando
palabras o dibujos, y empiezan a usar medidas para hacer más precisas estas
descripciones. La construcción de imágenes mentales de configuraciones
tridimensionales y la anticipación de movimientos puede ser aprendidas a
temprana edad. El trabajo en este aprendizaje empieza en la escuela primaria
y el dominio de situaciones complejas requiere varios años.
-
La habilidad para hacer representaciones bidimensionales de configuraciones
tridimensionales se apoya sobre las competencias mencionadas arriba y sobre
algún conocimiento de la geometría bidimensional. La habilidad para leer
dibujos bidimensionales, planos o mapas, que representan configuraciones
tridimensionales,
para
razonar
en
tres
dimensiones
usando
estas
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representaciones bidimensionales, requiere que todo lo anterior se tenga
desarrollado a cierto nivel.
Desde el punto de vista de su propuesta curricular y metodológica plantean:
-
Introducir explícitamente en la enseñanza de las matemáticas como
obligatoria los objetos relativos a ciertos conocimientos espaciales útiles, en
particular para el macro espacio desde la enseñanza de las representaciones
materiales de los objetos.
-
Diferenciar netamente la enseñanza de los conocimientos espaciales y centrar
los conocimientos geométricos cercanos de los alumnos con respecto a lo que
marca la especificidad de cada uno de los dominios de conocimiento.
-
Para comenzar la enseñanza de la geometría, ésta debe centrarse en el
estudio de los objetos espaciales
en una problemática matemática, en la
escolaridad obligatoria desde los ciclos elementales e introducir los conceptos
fundamentales de la geometría como herramientas para resolver los
problemas espaciales específicos y articular en la enseñanza de la geometría
elementos de la geometría euclidea.
-
Por último, los autores plantean que el conjunto de dificultades detectadas
frente a la enseñanza de la geometría plana y geometría en el espacio que se
siguen encontrando, revelan una interrogación sobre cuál es el sistema de
enseñanza que permite desarrollar competencias en los conocimientos
espaciales y geométricos, necesarios tanto en la vida social y el aprendizaje
matemático o profesionales ulteriores.
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Sí bien la propuesta de Berthelon y Salin (1992) y Salin (2004) se distancia del
primer grupo y rebate una continuidad entre las experiencias del sujeto con el
entorno como prerrequisitos para el aprendizaje de la geometría, planteando una
ruptura epistemológica entre estos dos tipos de visualización, no se toma en
consideración la naturaleza semiótica de las figuras geométricas4. Por consiguiente,
como bien lo plantea Duval (2003), el problema del aprendizaje de la geometría no
es sólo de orden epistemológico sino también de orden semiótico. La pregunta
pertinente respecto a este problema es sí la visualización en matemática requiere de
las
mismas
exigencias
cognitivas
que
la
visualización
icónica.
Se
hace
absolutamente necesario partir de este reconocimiento para diferenciar las
exigencias cognitivas del acto de “ver” en matemáticas y por fuera de las
matemáticas. Desde esta perspectiva, como lo veremos más adelante, lo importante
es analizar el funcionamiento representacional de la visualización matemática por
excelencia: las figuras geométricas.
1.2.3 El punto de vista cognitivo-semiótico de la actividad geométrica
Las investigaciones ubicadas en el tercer grupo encuentran cómo su máximo
exponente el trabajo teórico planteado por Raymond Duval, quien ha desarrollado
una teoría y abierto un campo de investigación en educación matemática. Desde
4
El problema específico que proponen las figuras geométricas puede ser puesto pues en estos términos: entre
ellas y el espacio real percibido habría sólo una diferencia de «nivel», es decir de escala, entre las figuras
correspondientes a un «microespacio» mientras que el espacio real sería un «meso-» o un «¿macro – espacio», o
existe, al contrario una diferencia de naturaleza, ya que las figuras son de naturaleza semiótica, es decir, que
implican una selección en las posibilidades de transformación a otras las cuales la percepción visual permite
(Duval, 2003 p. 48)
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esta perspectiva se reconoce que no hay posibilidad de tener acceso a los objetos
matemáticos vía percepción o a través de la acción directa del sujeto sobre el objeto,
por consiguiente, el acceso a los objetos matemáticos requiere de una mediación
semiótica. Comprender la actividad matemática desde esta perspectiva implica tomar
en consideración la diversidad y heterogeneidad de las representaciones para la
aprehensión de los objetos matemáticos
Se reconoce de esta manera como hipótesis una ley fundamental del
funcionamiento cognitivo del pensamiento: no hay noesis5 sin semiosis6, es decir sin
el recurso a una pluralidad al menos potencial de registros de representación
semiótica, recurso que implica su coordinación por parte del sujeto mismo para la
aprehensión conceptual de un objeto (Duval, 1999). La actividad matemática por
consiguiente, requiere de modos de funcionamiento cognitivo para movilizar sistemas
específicos de representación, los cuales constituyen registros de representación
semiótica7.
5
Término usado por Duval para referirse a los actos cognitivos como la aprehensión conceptual de un objeto, la
discriminación o la comprensión de una diferencia o la aprehensión de una representación semiótica.
6
La semiosis es inseparable de una diversidad inicial de tipos de signos disponibles. (Duval, 1999).
7
Los sistemas semióticos, en efecto deben permitir cumplir las tres actividades cognitivas inherentes a toda
representación. En primer lugar, constituir una marca o un conjunto de marcas perceptibles que sean
identificables como una representación de alguna cosa en un sistema determinado. Luego, transformar las
representaciones de acuerdo con las únicas reglas propias al sistema, de modo que se obtengan otras
representaciones que puedan constituir una ganancia de conocimientos en comparación con las representaciones
iníciales. Por último, convertir las representaciones producidas en un sistema de representaciones en otro sistema,
de manera tal que éstas últimas permitan explicitar otras significaciones relativas a aquello que es representado.
No todos los sistemas semióticos permiten estas tres actividades cognitivas fundamentales, por ejemplo el
lenguaje Morse o la codificación de tránsito. Pero el lenguaje natural, las lenguas simbólicas, los gráficos las
figuras geométricas, etc., si las permiten. Hablaremos entonces de registros de representación semiótica.
Estos registros constituyen los grados de libertad de los que puede disponer un sujeto para objetivarse él mismo
una idea aún confusa, en sentimiento latente, para explorar las informaciones o, simplemente, para comunicarlas
a un interlocutor. (Duval, 1999, p. 29)
39
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La importancia de reconocer las escrituras numéricas, alfanuméricas, las
representaciones figurales y gráficas, como registros semióticos de representación
radica en reconocer las operaciones posibles de efectuar en el desarrollo de la
actividad matemáticas, o sea, “hablar de registro de representación semiótica y no
solamente de representación semiótica va en el sentido que se consideren
prioritariamente las posibilidades de transformar una representación semiótica en
otra” (Duval, 2004b p. 44). Hay dos grandes tipos de transformación de una
representación semiótica: el tratamiento8 y la conversión9. Desde esta perspectiva, la
pluralidad de registros de representación y su necesaria coordinación son
condiciones del funcionamiento cognitivo de base para el aprendizaje de las
matemáticas.
Para Duval (1999, p. 147), “la originalidad de los procesos en geometría, en
comparación con otras formas de actividad matemática, tiene que ver con que es
absolutamente necesaria la coordinación entre los tratamientos específicos al
registro de las figuras y los del discurso teórico en lengua natural”. El problema
fundamental según el autor con relación a la actividad geométrica y su introducción
en la escuela está justo en asumir que dicha coordinación y articulación se da de
manera espontánea durante el desarrollo de las actividades planteadas en el aula.
El tratamiento es la transformación de una representación en otra representación de un mismo registro. El
tratamiento es, pues una transformación estrictamente interna a un registro: utiliza únicamente las
posibilidades de funcionamiento propio al sistema; así, las paráfrasis o las reformulaciones en lengua natural, el
cálculo con un sistema de escritura de los números, las anamorfosis con las representaciones icónicas, las
reconfiguraciones con el registro de las figuras geométricas. Como se ve, un registro ofrece posibilidades
específicas de tratamiento. (Duval, 2004b, p. 44)
9
Una conversión es una transformación de la representación de un objeto en un registro P en otra representación
del mismo objeto en un registro L. La característica de la conversión es conservar la referencia al mismo
objeto (objeto en el sentido estricto, situación…), pero sin conservar la explicitación de las mimas
propiedades de ese objeto. (Duval, 2004b, p.44)
8
40
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Regularmente el ingreso al estudio de las figuras en las aulas desde la
educación inicial se concibe desde una secuencialidad de actividades en términos de
prerrequisitos: hacer trabajar sobre el reconocimiento perceptivo de las formas,
después reproducirlas utilizando instrumentos clásicos, para finalmente adquirir el
vocabulario de las propiedades. La enseñanza usual de la geometría se inscribe en
este tipo de prácticas. El problema fundamental desde esta entrada secuencial y
lineal es desconocer que cada una de estas actividades impone una manera distinta
de ‘ver’ sobre las figuras.
En general, en la enseñanza de la geometría las figuras hacen parte de
variadas
actividades:
observación,
reproducción,
construcción,
descripción,
definición, etc. Sin embargo, esta heterogeneidad de actividades reenvía a una forma
de ‘ver’ distinta sobre las figuras. “En los procesos de geometría este acto se
convierte de golpe en problemático y es algo esencial. Pues toda mirada sobre una
figura requiere un cuestionamiento que, a menudo, se hace en contra de la primera
constatación perceptiva, contra lo que se ha reconocido en un primer vistazo” (Duval,
2004a, p. 160).
Al respecto, Duval (2004a) plantea la importancia de analizar las actividades
‘geométricas’ que habitualmente se proponen habitualmente a los alumnos, las
cuales pueden ser reagrupadas en cuatro clases según el papel que juegan las
figuras. Estas cuatro clases son cuatro entradas muy diferentes a la geometría, las
cuales ha sido designados por Duval como: el Botánico, Topógrafo Geómetra,
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Constructor e Inventor-Manual10. Observemos el siguiente esquema que plantea el
autor:
BOTÁNICO
TOPÓGRAFO
geómetra
CONSTRUCTOR
INVENTORManual
1. Tipo de
operación sobre
FORMAS
VISUALES,
requeridas por la
actividad
propuesta
Reconocer formas
a
partir
de
calidades visuales
de un contorno:
UNA
forma
particular
es
privilegiada
como TÍPICA
Medir los bordes
de una superficie:
sobre
un
TERRENO
o
sobre un DIBUJO
(variación
de
escala de tamaño
y en consecuencia
de procedimiento
de medida).
Dividir
una
forma en trazos
constructibles
con ayuda de un
instrumento
Es
necesario
(a
menudo)
pasar
por TRAZADOS
AUXILIARES que
no pertenecen a la
figura “final”.
Transformar
las
formas unas en
otras. Es necesario
añadir
TRAZOS
REORGANIZADO
RES en la figura
final para iniciar
estas
transformaciones.
2. Cómo se
movilizan las
PROPIEDADES
GEOMÉTRICAS
con relación a
este tipo de
operación
No hay vínculos
entre las distintas
propiedades (no
hay
definición
matemática
posible).
Las propiedades
son criterios de
elección para las
medidas
pendientes.
Como
dificultades
un
orden
construcción.
Sólo son útiles si
refieren a una
fórmula por la que
se
permite
un
cálculo
Implícitamente por
de devolución a una
de red más compleja
(una
trama
de
rectas
para
la
Algunas
propiedades son geometría plana o
trama
de
obtenidas
por una
de
una
única intersecciones
operación
de planos…) que la
trazo, las otras figura inicial
exigen
varias
operaciones
Tabla 1. Cuatro entradas clásicas a la geometría (Tomado de Duval, 2004a, p. 162).
•
El Botánico. Se trata de aprender a reconocer perceptivamente las formas
elementales y las propiedades que son utilizadas en geometría plana: tipos de
ángulos y de cuadriláteros, configuraciones obtenidas por las diferentes
10
Esta comparación se puede hacer según dos puntos de vista: el cognitivo, examinando las posibilidades de
transferencia de un tipo de actividades a otro; el matemático, relativo a la pertenencia o a la no pertenencia de
cada una de las maneras de ver que se usan en los procesos geométricos. La toma en cuenta de estos dos puntos
de vista es indispensable si se quieren comprender los procesos de adquisición de conocimiento geométricos.
Ponemos así en evidencia la existencia de rupturas cognitivas profundas entre estas cuatro entradas, en razón de
la existencia de los tipos de visualización que son totalmente opuestas. (Duval, 2004a, p. 160)
42
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posiciones de dos rectas la una con relación a la otra, etc. Se trata
evidentemente de localizar las diferencias entre dos formas que presentan
ciertas similitudes; por ejemplo, un cuadrado y un rectángulo o un cuadrado
y
un
paralelogramo.
Aquí,
las
propiedades
geométricas
son
características visuales. Este reconocimiento perceptivo puede dar lugar a
tareas de superposición, de reproducción de un modelo (dibujo), o de
clasificación elemental (lo que implica una denominación de los objetos o de
algunas de sus propiedades) (Duval, 2004a).
•
El Agrimensor Geómetra. Se trata de aprender a medir longitudes sobre un
terreno en el suelo o la distancia entre dos puntos marcados, y de
transportarlas sobre un dibujo que adquiere el estatuto de plano. “Nos
situamos pues, de golpe, en dos escalas de magnitud que se trata de poner
en correspondencia. Las tareas específicas de esta entrada van, por tanto a
consistir, en proponer actividades que exigen que se pase de una escala de
magnitud a otra” (Duval, 2004a, p. 164).
•
El Constructor. Es la entrada necesaria. La particularidad de las figuras
geométricas, al menos de aquellas que corresponden a las formas euclideas
elementales y a las configuraciones de formas elementales, debe de poder ser
construida con la ayuda de instrumentos. Es a través de la utilización de un
instrumento como los alumnos pueden verdaderamente tomar conciencia de
que
las
propiedades
geométricas
no
son
solamente
características
perceptivas (Duval, 2004a).
43
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•
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El Inventor-Manual. Desde esta entrada se plantean problemas clásicos,
donde se parte de una figura o configuración para obtener otra, para lo cual
debe reconfigurarse una figura inicial en otra. Un ejemplo de problemas
abordados en esta entrada: ¿Cómo construir, a partir de un cuadrado dado
otro cuadrado dos veces más grande? Estos problemas tienen como
característica común exigir una reconstrucción visual de las formas
elementales para así poder obtener la reconfiguración o la figura demandada.
Estos problemas pueden ser también presentados tanto en el marco de
manipulaciones materiales como el de las representaciones gráficas (Duval,
2004a).
Por asuntos de pertinencia frente al problema de investigación abordado, en
particular por el ciclo de escolaridad en el cual se circunscribe; nos interesa el
análisis que presenta Duval de la entrada del botánico. La enseñanza usual en la
educación preescolar entra en correspondencia con esta entrada para el estudio de
las figuras geométricas. El punto importante para nuestro propósito afirma el autor,
es que esta entrada no tiene nada de actividad geométrica: “no se parece a la
geometría más que en la medida en que tienen que ver con las formas euclideas”
(Duval, 2004a, p. 163). Desde esta entrada, para las figuras euclideas, hay una figura
particular que sirve de modelo, y las otras figuras son reconocidas según su grado de
parecido con este modelo o con el parecido con el objeto (real) que representa. Las
exigencias cognitivas de esta manera de ‘ver’ sobre las formas, Duval (2003, 2004a,
2005) la denomina visualización icónica y se sitúa por fuera de la actividad
matemática.
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La enseñanza de la geometría en el preescolar.
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Desde esta perspectiva o entrada, la gama de actividades posibles para hacer
trabajar a los niños y niñas con figuras geométricas o sobre figuras de geometría es
diversa, incluso para este ciclo. Las variaciones posibles de las actividades están en
función de la tarea potencialmente para ejecutar: reproducir una figura según un
modelo, modalidad concreta utilizando un material manipulable, modalidad
representacional ateniéndose sólo a producciones gráficas. La pregunta pertinente
que se plantea Duval (2004a, p. 167) es: ¿la aproximación botánica puede ser
considerada como la primera etapa necesaria en toda adquisición de conocimientos
geométricos? Pregunta que encuentra su lugar en el marco de la presente
investigación y contextualización del problema dado que esta es la entrada usual que
regularmente se hace al registro figural en el preescolar.
Ahora, es importante entender las implicaciones para el aprendizaje de la
geometría de esta entrada, como lo muestra la siguiente tabla:
ESTATUTO
EPISTEMOLÓGICO
FUENTE COGNITIVA
DE LA CERTEZA
BOTÁNICO
TOPÓGRAFO
geómetra
CONSTRUCTOR
CONSTATATIVO
perceptiva
inmediata:
“eso se ve sobre.”
CONSTATATIVO
resultante de la lectura
de un instrumento de
medida
RESULTADO
procedimiento
construcción
un
de
RESULTADO de una
descomposición de la
figura
inicial
en
unidades figurales que
se configuran de nuevo
diferentemente
Superposición efectuada
al ojo o utilizando un
gálibo
Comparación valores
numéricos
obtenidos
empíricamente
Necesidad interna a la
secuencia
de
las
operaciones
del
procedimiento
de
construcción.
Invarianza
unidades
figurales que son los
referentes
de
la
transformación de la
figura inicial
de
INVENTOR- manual
Tabla 2. El método de comprensión y conocimiento vinculado a cada manera de ver
(Tomada de Duval, 2005, p. 10).
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Duval (2005) presenta en la Tabla 2 la heterogeneidad de las diferentes
maneras de ver las figuras y evidencia las rupturas profundas del funcionamiento
cognitivo que las separan. Hay en primer lugar entre una visualización icónica, que
es la manera espontánea, poco modificable de ver en las figuras, y la visualización
no icónica que implica la neutralización de todo reconocimiento analógico de un
modelo o de una realidad externa. Una entrada a la geometría que conciba
epistemológicamente hablando una aprehensión de las figuras a partir de la
constatación perceptiva, como lo muestra la Tabla 2 para los casos de la entrada del
Botánico y el Agrimensor Geómetra; no posibilita una articulación entre figura y
discurso11.
De otro lado, en la primera vertiente la génesis del espacio y la geometría se
explica en función de la acción del sujeto sobre los objetos y la conceptualización de
un espacio teórico, y surge de una extensión y prolongación de las experiencias del
sujeto con el espacio físico. Igual que para la entrada del botánico las actividades
que se plantean involucran el trabajo con objetos del mundo real de los cuales se
deben ‘abstraer’ las propiedades geométricas. El estatus epistemológico de las
perspectivas mostradas bajo la primera vertiente, queda ligado a una visualización
icónica de las formas.
La perspectiva epistemológica en la segunda vertiente plantea un ruptura
entre las relaciones entre conocimientos geométricos y espaciales en contraste con
11
En la visualización icónica, el objeto geométrico no puede ser distinguido de una forma perceptiva particular
que representa. Dicho de otra manera, las propiedades geométricas no tienen un carácter distintivo como
cualquier otra cualidad visual: son criterios visuales que deben permitir un reconocimiento casi inmediato. En un
tipo tal de funcionamiento, las dos exigencias, que dan a las definiciones matemáticas su poder de deducción, o
razonamiento constructivo no puede tener sentido. (Duval, 2004a, p. 172)
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las experiencias del sujeto con el mundo físico; sin embargo, desconoce desde un
punto de vista cognitivo el potencial heurístico de las figuras al no reconocerlas como
un registro semiótico de representación y, por lo tanto, desconoce su potencia
inventiva que le permite efectuar a su interior transformaciones de expresión o de
representación. Por consiguiente, se hace necesario diferenciar las formas de
visualización en matemáticas y fuera de las matemáticas, asunto que, como
veremos, distancia enormemente la actual perspectiva de las dos primeras vertientes
presentadas en este apartado. Sin embargo, estos asuntos serán tratados
ampliamente en el siguiente capítulo.
Duval (2004a) plantea que el problema para las entradas que están fundadas
sobre visualizaciones icónicas es que no tienen el mismo valor epistemológico de
validación: son empíricas y externas, mientras que las entradas fundadas sobre una
visualización no icónica son, por el contrario, internas a un proceso que se efectúa y
que se puede reproducir (ver Tabla 2). Por consiguiente, en la visualización icónica,
el objeto geométrico no puede ser distinguido de una forma perceptiva particular que
representa. Y por ende, se abre un cuestionamiento a la forma como se organizan
las progresiones curriculares desde la enseñanza usual de la geometría, en particular
al estatus que adquieren las figuras desde una entrada como la del botánico, que es
la entrada por excelencia a la enseñanza de la geometría en el ciclo de preescolar.
Entonces, se considera altamente pertinente el propósito fundamental de la
presente investigación: identificar las concepciones de espacio y geometría en el
discurso de las maestras y textos escolares en las actividades que enseñan
geometría, asunto en estrecha interdependencia con la pregunta central de la
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investigación: ¿Qué geometría o qué geometrías se están enseñando a los niños
y niñas en el ciclo de preescolar?
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2. LA ACTIVIDAD GEOMÉTRICA EN EL AULA DESDE UNA PERSPECTIVA
COGNITIVO-SEMIÓTICA
El problema de la enseñanza de la geometría en la educación inicial
tradicionalmente tiene que ver con dos campos de conocimiento: por una parte el
relativo a los conocimientos necesarios del niño para dominar sus relaciones
sensoriales con el espacio, y por otra parte al campo de la geometría formal. El
análisis de las actividades que comúnmente se proponen en el aula, los textos
escolares y los programas curriculares, muestran que bajo la doble referencia
“espacio-geometría” no existe una clara distinción entre estos dos campos. Si bien la
geometría tiene que ver con el espacio, ¿pueden asimilarse los conocimientos
espaciales necesarios para el dominio de los problemas que se le plantean a todo
individuo en sus relaciones con el espacio y aquellos que tienen que ver con el saber
matemático llamado geometría? (Salin, 2004. p. 38).
Tal vez un buen criterio de análisis para diferenciar estos dos tipos de
conocimientos es comprender en primera instancia los tipos de problemas a los
cuales remiten los conocimientos denominados “espaciales” y “geométricos” en el
aula. Los resultados de las investigaciones en Didáctica llevadas a cabo por
Berthelot y Salin (1992) y por Salin (2004), plantean con relación a esta problemática
que es difícil encontrar criterios comunes en la comunidad de maestros y maestras
que permitan diferenciar conocimientos geométricos y conocimientos espaciales.
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Proponen por consiguiente tomar en consideración dos aspectos fundamentales para
organizar el trabajo en el aula:
-
por una parte, diferenciar los tipos de conocimiento (espaciales/geométricos)
en función de los tipos de situaciones problemas en las que estos
conocimientos se movilizan,
-
por otra parte, tomar el término “geometría” en sentido estricto, es decir, en el
sentido que reenvía a una rama de las matemáticas.
Salin (2004, p. 39) delimita dos tipos de problemas derivados de las premisas
anteriores:
Los problemas espaciales cuya finalidad concierne al espacio sensible,
• Acciones: fabricar, desplazarse, desplazar, dibujar, etc.…
• Comunicaciones a propósito de las acciones o de constataciones. El
lenguaje y las representaciones espaciales permiten comunicar informaciones que
sustituyen a la percepción.
Los problemas de geometría, en el sentido en el que esta palabra es
empleada en matemáticas:
Resolver un problema de geometría es una actividad que tiene que ver con el
carácter necesario de ciertas propiedades de los objetos de la geometría. Las
situaciones de geometría ponen pues en interacción un aspecto “matemático” con un
medio que no es ya el espacio físico y sus objetos, sino un espacio conceptualizado,
el de las “figuras-dibujos” trazadas por este individuo, quien no hace más que
representarlo. La validez de sus declaraciones no está establecida empíricamente
sino que se apoya sobre razonamientos que obedecen a las reglas del debate
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matemático. La función de los dibujos es, como dice el matemático Poncairé,
provocar la puesta en relación de proposiciones que se sabe asociar al trazado o
porción del dibujo, pero la constatación de estas propiedades sobre la ‘figura’ no
permite validar la proposición sometida a estudio.
El análisis presentado por Berthelot y Salin (1992) y por Salin (2004), plantean
implícitamente una distinción de las exigencias cognitivas que subyacen a las
actividades que se clasifican, de un lado, en estrecha relación a los conocimientos
espaciales y, de otro lado, a las actividades más en estrecha relación a los
conocimientos geométricos. Dentro del análisis de los problemas concernientes a un
dominio que implica conocimientos geométricos, los autores expresan a su vez el
sentido y función que cumplen las figuras geométricas en la actividad geométrica con
relación al desarrollo del ‘razonamiento matemático’. Sin embargo, el análisis de las
actividades presentadas en los textos escolares y las propuestas por las maestras en
el aula es una evidencia de que esta pertinente distinción de conocimientos
espaciales y conocimientos geométricos es bastante imprecisa en ellos.
Desde un punto de vista semiótico de la actividad geométrica la pregunta se
plantea desde otro lugar: ¿’ver en matemáticas’ tiene las mismas exigencias
cognitivas que otras formas de ‘ver’ por fuera de las matemáticas?
La aparente simplicidad del acto de ‘ver’ se basa, en realidad, en un conjunto
complejo de funcionamientos cognitivos. Para analizar los funcionamientos
cognitivos que entran en acción durante el hecho de ver, es necesario tomar en
cuenta la naturaleza de los objetos que se presentan para ser vistos. Es por ello
que es importante distinguir la visión y la visualización, es decir, la percepción
de los objetos físicos y la de las representaciones. Ahora bien, la visualización
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plantea un problema específico respecto a la visión: ¿Cómo saber o reconocer,
en una figura, los objetos que las formas visualmente discriminadas
representan? Es sobre estos mecanismos de reconocimiento que existe una
divergencia radical entre la visualización icónica espontánea y los diferentes
tipos de visualización matemática: no se mira una figura geométrica como se
mira una imagen o un plano de una ciudad. (Duval, 2003, p.45).
Entonces esta distinción entre visualización icónica y ‘ver’ en matemáticas está
en el centro del problema del aprendizaje de la geometría. El propósito de este
capítulo por consiguiente es presentar una perspectiva cognitivo-semiótica del
aprendizaje de la geometría planteada por Raymond Duval y a la luz de este punto
teórico adoptado tener elementos suficientes de análisis para abordar el objeto de
estudio delimitado.
2.1 LA ACTIVIDAD GEOMÉTRICA DESDE UN PUNTO DE VISTA COGNTIVOSEMIÓTICO
2.1.1
La naturaleza semiótica de la actividad matemática
Duval (2004b, p. 16) afirma que la necesidad de estudiar la variedad de tipos de
representación para analizar los procesos de adquisición de los conocimientos
matemáticos se basa en las siguientes constataciones:
•
Los diferentes tipos de representación son irreductibles entre sí, incluso si
los objetos que permiten evocar pueden ser convertidos de un tipo a otro, al
nivel de las representaciones particulares que se les dé (…). Esto se basa
en el hecho, fundamental para el funcionamiento cognitivo del pensamiento
52
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humano, de que no todas las representaciones son producidas por el
mismo sistema de representación.
•
La conversión de las representaciones de un sistema u otro ocasiona
notables problemas en el desarrollo de los conocimientos. Así, para poder
analizar la representación de un objeto cuando se cambia de sistema de
representación, es esencial no confundir los tres polos constitutivos de
todas representación:
el objeto representado
el contenido de la representación, es decir, lo que una
representación particular presenta del objeto
la “forma” de la representación, es decir, su modalidad o su
registro
La relación entre estos tres polos constitutivos de las representaciones no es en
absoluto la misma según sean representaciones cuya producción dependa de
sistemas semióticos o, al contrario, de sistemas no semióticos como las redes
neuronales o los instrumentos físicos:
El desarrollo de las matemáticas, así como la muestra “la historia de los
números”, la del álgebra, de la geometría e incluso la del análisis, se hace en el
sentido de una diversificación muy amplia de los sistemas semióticos de
representación. El desarrollo de estos sistemas presenta dos características. De
una parte, conduce a un aumento considerable de las capacidades
espontáneas de representación tanto para los razonamientos y los cálculos,
como para la visualización. De otra parte, se hace alejándose no del lenguaje,
sino de la práctica puramente oral del lenguaje: esto produce un
desplazamiento fenomenológico de la palabra a la escritura, es decir, de la
producción espontánea de palabras y de signos en la modalidad fonéticoauditiva, a su manipulación controlada en la modalidad puramente visual. Toda
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iniciación en las matemáticas pasa por una apropiación individual de estos
sistemas, apropiación que ha llegado a ser tan necesaria como el aprendizaje
de la escritura. (Duval, 2004b, p. 17).
Tomar en consideración estos principios fundamentales para comprender el
funcionamiento mental humano plantea la necesaria interdependencia entre semiosis
y noesis para el aprendizaje de las matemáticas. Desde esta perspectiva “el acceso
a los conocimientos matemáticos requiere la integración de los sistemas de
representación que han permitido descubrir y estudiar los objetos matemáticos que
ahora se enseñan” (Duval, 2004b, p. 18).
Por lo tanto, Duval (2004b) afirma, que cuando se estudia la variedad de los
tipos de representaciones semióticas utilizadas en matemáticas, se hace referencia
siempre a los objetos matemáticos y no a los conceptos; éstos por demás, con
frecuencia se consideran como una representación mental asemiótica. Para
comprender la actividad matemática, la noción de objeto es tan fundamental, si no
más, que la de concepto. No se trabaja sobre los conceptos; se trabaja sobre los
objetos que tienen propiedades.
Las representaciones semióticas tienen pues una significación que está
determinada:
-
Por el sistema semiótico utilizado para representar alguna cosa (situaciones,
acciones, formas, objetos…) del mundo percibido, de un mundo imaginario o
un mundo ideal. Se habla generalmente de “forma”.
-
Y por la referencia al objeto representado.
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El objeto representado no debe ser confundido con el “contenido” de la
representación. En efecto, el contenido de la representación depende en parte de la
forma, en la medida en que el “contenido” es lo que el registro utilizado permite
presentar explícitamente del objeto representado. Si se confunde “el contenido” de la
representación con el objeto representado, realmente no se podría dar cuenta de la
diferencia que existe entre dos representaciones de un mismo objeto ni del interés de
esta diferencia (Duval, 1996 p. 80-81).
Por lo tanto, hay dos condiciones de base del funcionamiento cognitivo en la
actividad matemática, para que no se confunda el objeto con el sistema que lo
representa:
-
el hecho de disponer no de uno sino de varios sistemas de signos que van a
funcionar
como
registros
de
representación
para
las
funciones
de
transformación y de objetivación12
-
la necesaria coordinación de estos registros
Estas condiciones son primordiales para que pueda haber diferenciación entre
las representaciones y los objetos representados (Duval, 1996, p. 97). Y esto quiere
decir que hay un tipo de funcionamiento cognitivo que es intrínsecamente consciente.
Y es con seguridad eso lo que en principio la educación trata de desarrollar. Para
12
La función de objetivación, es necesaria para el desarrollo del control que puede tener un sujeto no sólo sobre
sus actividades sino también sobre sus vivencias o sobre las potencialidades de un "mundo" imaginario o
personal. Es la posibilidad para el sujeto de tomar conciencia de lo que hasta el momento no era consciente y de
lo que aún no había podido tener una conciencia clara en tanto no se había cumplido un trabajo de exteriorización
con fines de organización... Esta toma de conciencia se hace a modo de proyección y no a modo de una simple
explicitación. Lo que se llama el "trabajo de escritura", la creación literaria, y la palabra en el marco de un
análisis, dependen en primer lugar de esta función de objetivación. Pero esta objetivación no está ligada al
lenguaje; puede también realizarse a través de sistemas semióticos figurativos como el dibujo, por ejemplo.
(Duval, 1999 p. 83).
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Duval (1996) el problema de la objetivación en la actividad matemática es sinónimo
de aprendizaje y plantea esta discusión a partir de tres determinantes esenciales:
objeto, acto y significación. Duval (1996 p. 94) plantea la noción de objeto de la
siguiente manera: “la noción de objeto, que no debe ser confundida con la de fin o de
objetivo perseguido, es la primera noción para analizar la conciencia porque la
conciencia es necesariamente ‘conciencia de alguna cosa’. Esto quiere decir que
aquello de lo cual es consciente un individuo en un momento dado, o sea, aquello
que él observa, que atrae furtivamente su atención o sobre lo cual él la dirige, tiene
necesariamente para él el estatuto de objeto en el momento mismo en que él lo
nota.”
Duval plantea que es esta correlación acto→objeto (observado) lo que
constituye el funcionamiento cognitivo propio de la conciencia:
Esta correlación excluye que hay conciencia simultánea o consecutiva del acto
y de su objeto, como en la ejecución planificada de una acción propuesta para
alcanzar un cierto objetivo. Los actos por los cuales un sujeto observa,
distingue, identifica los objetos, no pueden ser el objeto de un control
consciente de parte del sujeto sino a condición de que a su turno, ellos
devengan objetos (observados). Se llamará ‘actos objetivantes’ los actos
correlativos a una mirada discriminante del objeto. Los actos objetivantes son
actos de naturaleza semiótica o actos indisociablemente vinculados a actos de
naturaleza semiótica. Es por esta razón que la correlación acto→objeto es del
orden de la significación y no de la causalidad: la relación con un objeto, de
cualquier naturaleza que sea el objeto visto, pasa siempre por la conciencia
bajo el modo de significación. Dicho de otra manera, el sentido, para un sujeto,
depende de actos objetivantes de los que es capaz. (Duval, 1996, p. 94).
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Se ve entonces el interés de una aproximación que reintegre la conciencia en
el funcionamiento cognitivo, no insistiendo ya en el aspecto subjetivo sino en el lazo
entre la semiosis y la objetivación. Ese lazo muestra por qué la construcción de los
conocimientos en matemáticas implica la movilización de una gran variedad de actos,
cuya mayoría son de naturaleza semiótica y sin los cuales el sujeto no puede estar
en condiciones de observar, de distinguir o de pretender los objetos a partir de los
cuales los conocimientos matemáticos son elaborados, transformados o aplicados.
“Ahora bien, tales actos no son dados de entrada por el sólo hecho de que los
nombre o de que sea capaz de mirar imágenes o de reproducir dibujos. Tales
actos sólo se adquieren progresivamente con el desarrollo de los registros de
representación semiótica” (Duval, 1996, p. 96).
Ahora, la actividad geométrica en su naturaleza es específica incluso a otros
tipos de actividades en matemática. Sin embargo, antes de dar inicio a la exposición
teórica sobre los asuntos que nos conciernen, es importante comprender desde esta
perspectiva a qué se hace referencia cuando se habla de reconocer la diversidad y
heterogeneidad de las representaciones en la actividad matemática.
Al respecto, Duval plantea que hay una gran variabilidad semántica en el
empleo del término ‘representación’. Esquemáticamente, esta variedad se puede
reducir a la utilización de tres grandes oposiciones: lenguaje/imagen, mental/material,
subjetivo/objetivo. La oposición mental/material es la más importante para el debate
sobre el análisis de la naturaleza del conocimiento y de la comprensión:
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Se la interpreta como la oposición entre los conceptos (independientes de todo
lenguaje y de todo sistema de signos) y los medios exteriores de
comunicación o de expresión. Se la interpreta igualmente como la oposición
entre el significado y el significante, como si los elementos constitutivos de un
signo pudieran separarse, como si pudiera haber un significante que no tuviera
ningún significado. (Duval, 2004b, p.33).
La ambigüedad de estas tres oposiciones regularmente se opaca en
separaciones superficiales. Tales oposiciones no permiten clasificar la variedad de
representaciones y, en consecuencia, tampoco definir su naturaleza, que es el
asunto importante para entender las exigencias cognitivas que se ponen en acto en
la actividad matemática.
Figura 1. La heterogeneidad cognitiva de los fenómenos de representación (Tomado de
Duval, 2004b, p. 35).
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El esquema que se presenta en la Figura 1, sin pretender ser completo, como
lo afirma Duval (2004b, p. 35), permite dar un vistazo al espectro tan amplio de todo
lo que califica como “representación”13. En todos los casos se tiene “alguna cosa que
está en lugar de alguna otra cosa”, según una parte de la definición de Peirce, o la
que evoca alguna otra cosa.
Dos rupturas importantes saltan a la vista en el espectro tan amplio de todo lo
que se califica como “representación”:
-
Una, entre las representaciones que son prolongaciones naturales de la
percepción. Pero, la imagen que se tiene de la cara de alguien (visto directamente
o en fotografía) y el retrato o la caricatura que un dibujante hiciera de esta
persona,
¿se
pueden
considerar
como
representaciones
equivalentes,
substituibles entre sí? En un caso, al sujeto se le impone la representación tal
cual y sin seleccionar el contenido; en el otro, el dibujante la produce
“intencionalmente” y selecciona lo que constituye el contenido.
-
Otra, entre las imágenes cuyo contenido se asemeja a los contornos y a las
siluetas típicas de los objetos habitualmente encontrados en el entorno (tal como
se presenta la geometría en la enseñanza usual) y los diagramas que no
representan ningún objeto físico que pueda ser percibido tal cual, sino que
13
Todos los análisis precedentes han llevado a subrayar la importancia de la noción de sistema cuando queremos
estudiar las representaciones. Una representación no puede ser comprendida independientemente del sistema que
ha permitido producirla. Encontramos en esto el mayor aporte de Saussure: para él, un signo puede significar algo
solo gracias a las relaciones de oposición que pueda tener con otros signos. Un signo solo es signo al interior de
un conjunto de otros signos, al seno del cual su sentido está ligado a un valor de elección en relación con otros
posibles. Para él, no hay signo aislado o que pueda ser comprendido independientemente de otros signos. (Duval,
2004b, p. 43)
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representan solo las relaciones. “En este caso, ¿cómo seguir hablando de
semejanza como lo hacía Peirce? Si hay semejanza, es por completo de otra
naturaleza” (Duval, 2004b, p. 35).
Para poder considerar la relación entre el objeto y el sistema que lo representa
es esencial distinguir claramente el contenido de la representación y el objeto
representado. Dos representaciones diferentes de un mismo objeto pueden tener
contenidos muy diferentes. Esta posibilidad es la que hace interesante y rica la
actividad de representación. Este tipo de relación es la que Peirce utilizó para
elaborar su clasificación: el contenido de la representación se asemeja o no al objeto
representado. Pero, en realidad, las relaciones son más complejas si se toma en
cuenta el hecho de que hay muchos objetos que no son accesibles por fuera de
una representación semiótica (Duval, 2004b, p. 36).
Para Duval quizás el mayor olvido y la debilidad de la mayoría de los
discursos sobre la representación es dejar en silencio no sólo las producciones de
las representaciones sino sobre todo el sistema que permite producirlas. El
contenido de la representación está por completo determinado por el sistema que
permite producirla. “Representaciones diferentes de un mismo objeto, evidentemente
no tienen el mismo contenido. Cada contenido está determinado por el sistema por
el cual se produce la representación, de donde surge la consecuencia de que cada
representación no presenta las mismas propiedades o las mismas características del
objeto. Ningún sistema de representación puede producir una representación cuyo
contenido sea completo y adecuado al objeto representado”. (Duval, 2001, p. 38).
60
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El análisis anterior, en conjunción con los esquemas de las Figuras 1 y 2,
reviste gran importancia para la comprensión del problema abordado. En el primer
capítulo (p. 25) se planteó que la geometría es un ámbito de conocimiento que exige
la articulación cognitiva de dos registros de representación muy diferentes: la
visualización de formas para representar el espacio y la lengua14 para enunciar y
deducir nuevas propiedades. Las dificultades de aprendizaje proceden, en primer
lugar, de que estos dos registros se utilizan a menudo en las matemáticas de
manera contraria a su funcionamiento cognoscitivo fuera de las matemáticas.
Figura 2. (Tomado de Duval, 2004b, p. 40)15.
14
Duval (1999, 2003, 2004a, 2004b, 2005) en sus distintas publicaciones plantea la necesaria coordinación entre
dos registros como condición para la actividad geométrica: las figuras y la lengua. Puede ser que por efectos de
traducción o el mismo Duval plantee de maneras equivalentes en sentido y se haga referencia a la relación figuradiscurso, figura-lengua; pero en un sentido amplio se está refiriendo a la relación figura-lengua y a las
posibilidades de expresión y transformación que posibilita cada registro en sinergia para la movilización del
conocimiento geométrico.
15
Las modificaciones de las producciones de los sujetos con las representaciones, en función de su modo de
producción. En una producción automática, el contenido de la representación refleja el objeto representado en
función de las leyes del sistema que produce la representación. El sujeto no puede ni dirigir ni controlar el
61
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La originalidad de los procesos en geometría, en comparación con otras formas
de actividad matemática, tiene que ver con que es absolutamente necesaria la
coordinación entre los tratamientos específicos al registro de las figuras y los del
discurso teórico y en lengua natural. La condición previa para la descripción precisa
de los diferentes tratamientos matemáticos pertinentes en el registro de las figuras
geométricas es un análisis semiótico relativo a la determinación de las unidades de
base constitutivas de este registro, a las posibilidades de su articulación en figuras y
a la modificación de las figuras obtenidas (Duval, 2005).
En la Figura 1, la relación entre lenguaje y visualización es de doble vía, la
función o rol heurístico que pueden jugar las figuras no es el mismo si la relación que
comanda el proceso geométrico está entre figura y discurso ó discurso y figura. El
asunto importante que puede observarse en ambos esquemas (Figuras 1 y 2) donde
el acceso a las figuras no es la vía percepción directa de los objetos. Esto significa
que para acceder a los objetos geométricos igual que cualquier otro objeto
matemático se requiere de una mediación semiótica. De otro lado, cuando el modelo
de representación para la actividad matemática concibe la vía de aprehensión a los
objetos como una relación causal entre sujeto→objeto, entonces la percepción
directa y la acción del sujeto sobre los objetos es fuente de conocimiento (Figura 2).
Evidentemente, éstos son dos modos distintos desde un punto de vista
epistemológico y fenomenológico de entender la actividad matemática y en particular
funcionamiento de la producción de la representación. En una producción intencional, el contenido de la
representación depende, al contrario, de la escogencia de expresión del sujeto. El sujeto puede controlar el
funcionamiento de o de los sistemas (semióticos) que él moviliza para producir la representación. (Duval, 2004b,
p. 40).
62
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la actividad geométrica, lo cual tiene consecuencias para la determinación de las
acciones y actividades que se consideran como pertinentes para su aprendizaje.
2.1.2 Las unidades constitutivas del registro figural y los procesos
cognitivos involucrados en la actividad geométrica
Duval (1999) afirma que para que pueda haber figura o gráfico es necesario que
haya un contraste sobre un soporte material homogéneo (hoja de papel, pantalla de
video…), de manera que alguna cosa identificable se destaque en tal campo
perceptivo. Para determinar las unidades figurales elementales que constituyen,
semióticamente, una figura geométrica se distinguen dos tipos de variaciones:
- el tipo de variaciones ligado al número de dimensiones: 0 (un punto), 1 (una
línea) o 2 (un área),
- el tipo de variaciones cualitativas: variaciones de forma (línea recta o línea
curva; contorno abierto o contorno cerrado de un área), variaciones de
tamaño, de orientación (en relación con el plano frontal-paralelo16), variaciones
de granulación, de color, etc.
Estas distinciones permiten definir los elementos constitutivos de una figura:
toda figura aparece como la combinación de valores para cada una de las
variaciones visuales de estos dos tipos, dimensionales y cualitativas. A partir de allí,
es fácil determinar los elementos que van a funcionar como unidades de base
representativa, es decir, como unidades figurales elementales (Duval, 1999, p. 149).
16
Plano vertical y paralelo al plano que contiene la figura
63
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Toda figura combina variaciones dimensionales y cualitativas; el cruce de los
valores de esta variable visual cualitativa con la variable de dimensión, nos permite
definir las unidades figurales elementales para el registro de las representaciones
geométricas (Duval, 1999, p. 149):
Figura 3. Clasificación de unidades figurales elementales (Tomado de Duval, 1999, p. 150).
Estas unidades figurales son unidades elementales del registro de las figuras
geométricas. Al analizar las figuras geométricas en función de tales unidades, Duval
plantea de inmediato las siguientes constataciones:
Una figura geométrica es siempre una configuración de al menos dos unidades
figurales elementales. Así, un cuadrado con sus diagonales, una recta y un
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punto marcado sobre o fuera de ésta, un círculo y su centro (marcado sólo por
la punta del compás), son configuraciones de dos unidades figurales
elementales. Incluso una figura aparentemente reducida a una sola unidad
figural de dimensión 2 (un cuadrado, por ejemplo), es una figura matemática
sólo con la condición de ser considerada como una configuración de unidades
figurales de dimensión 1 (los segmentos que forman los lados). Esto, debido a
que son las relaciones (paralelismo, simetría, tangente...) entre las unidades
figurales elementales las que constituyen el contenido pertinente de una figura
geométrica. Generalmente las figuras geométricas comportan numerosas
unidades figurales elementales con valores de formas diferentes (círculos,
triángulos, cuadriláteros, rectas, puntos. (Duval, 1999, p. 151).
Las unidades figurales elementales de dimensión 2 (límite cerrado de un área)
son estudiadas en geometría como configuraciones de unidades figurales de
dimensión 1 (forma “línea”). Basta con contrastar estas unidades figurales con las
definiciones de los objetos matemáticos que ellas representan para darse cuenta del
cambio de dimensión que debe efectuarse cuando se pasa de la representación
figural al discurso sobre los objetos representados. En el registro de las figuras
hay predominancia perceptiva de las unidades de dimensión 2 sobre las de
dimensión inferior. En el registro del discurso en lengua natural en que son definidos
los objetos representados por la figura, hay predominancia de los objetos
representados por las unidades figurales de dimensión 1 o 0. Por tanto, la utilización
inmediata de estas representaciones figurales para ilustrar una definición resulta ser
ambigua (Duval, 1999, p. 151).
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En una figura geométrica cualquiera que sea, se debe poder distinguir siempre
muchas formas que son las unidades figurales representativas posibles. Eso quiere
decir que también las figuras euclidianas más simples (círculo, triángulo, cuadrado...)
deben ser vistas como configuraciones de otras unidades figurales y nunca como una
sola unidad figural. Ahora eso esconde una dificultad importante: las diferentes
unidades figurales identificables en una figura raramente tienen el mismo número de
dimensiones. Las formas que pueden ser distinguidas, o reconocidas en una figura
geométrica son unidades figurales 3D/2D (un paralelepípedo en perspectiva), 2D/2D,
(una sección plana, un triángulo, un rectángulo), o 1 D, (un segmento, una curva)
(Duval, 1999, p. 141).
De otro lado, el reconocimiento de unidades figurales de dimensiones diferentes
implica un cambio completo del campo de focalización visual en que la mirada
evoluciona. Y tal cambio va a reencontrar los mecanismos de organización perceptiva
que imponen de alguna manera el reconocimiento de una forma en detrimento de
otra. Hay un predominio organizativo de las formas 3D sobre las formas 2D, sólo
cuando se llenan ciertas condiciones. En cambio, hay siempre predominio de las
formas 2D sobre las formas 1D. “¡Eso quiere decir que un cuadrado no es visto nunca
espontáneamente como una configuración de cuatro unidades figurales 1D (cuatro
segmentos), sino como una unidad figural simple 2D de cierta manera no
descomponible! La representación de los puntos constituye prácticamente un límite
infranqueable para la visualización geométrica” (Duval, 2003, p. 55).
Esta variabilidad dimensional en el reconocimiento de las unidades figurales de
una figura se convierte en un fenómeno esencial cuando se trata de articular la
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visualización geométrica y el discurso matemático, bien sea una simple descripción,
una explicación o un razonamiento deductivo. “Se puede así formular el problema:
¿los objetos matemáticos designados o nombrados en un enunciado matemático
corresponden ellos a las unidades figurales del mismo número de dimensiones que
éstas se imponen de modo predominante a la mirada?” (Duval, 2003, p. 55).
Esta pregunta permite hablar entonces de la importancia de tomar en
consideración los procesos cognitivos que subyacen a toda actividad geométrica
desde esta perspectiva y que por consiguiente van a poder determinar de acuerdo a
la naturaleza de la actividad planteada las relaciones entre visualización matemática y
discurso.
Duval (2001) plantea que existen tres procesos cognitivos para movilizar
conocimiento geométrico: visualización, construcción y razonamiento. Estos tres
procesos cumplen funciones epistemológicas específicas que deben desarrollarse de
manera independiente, pero están en estrecha interrelación para generar
competencias y aprendizaje en la actividad geométrica:
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Figura 4. Procesos cognitivos necesarios para el desarrollo de competencias en el plano
geométrico
La visualización, ‘ver’ en matemáticas, cubre siempre dos niveles de
operaciones que son diferentes e independientes uno del otro, aunque generalmente
ellos están fusionados en sinergia en un mismo acto. Estos dos niveles de
operaciones son el reconocimiento discriminativo de formas y la identificación
de los objetos que corresponden a las formas reconocidas. El principal problema
cognoscitivo es saber cómo se hace el paso de un reconocimiento discriminativo de
formas a la identificación de los objetos dados y que deben verse. (Duval, 2005, p.
11).
La construcción, la particularidad de las figuras geométricas, al menos de las
que corresponden a formas euclidianas elementales y a configuraciones de formas
elementales, es de ser constructibles con ayuda de instrumentos. Es a través del uso
de un instrumento que los alumnos pueden de verdad tomar conciencia que las
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propiedades geométricas no son solamente características perceptivas. (Duval,
2004a, p. 167).
En la actividad de razonamiento, se hace referencia a la utilización de
propiedades geométricas para producir discursivamente nuevos conocimientos o para
justificarlos. La interacción cognitiva entre visualización y discurso sólo comienza de
verdad en las proposiciones que se enuncian, cualquiera que sea su estatus
(constatación, definición, conjetura…) en el discurso producido. (Duval, 2004a, p.
168).
Lo importante de tener en consideración, como bien lo muestra el esquema, es
que dichas actividades deben ser concebidas en una sinergia, o sea, no se puede
aislar las unas de las otras. En ese esquema, la figura pueden encontrarse en sitios
diferentes: en la flecha que va entre la construcción y la visualización, o en los
diferentes razonamientos que se haga sobre la figura. De esta manera, una figura
puede ejercer una función (ilustración, contraejemplo) con relación a un enunciado y
recíprocamente. Las dos flechas que están bajo “razonamiento” significan que en
cierto momento, en geometría, lo que conocemos de las figuras se deduce de otros
elementos dados, sin necesidad de mirar sobre la figura.
2.1.3 La formas de aprehensión del registro figural y los tratamientos
figurales
Para analizar el aporte heurístico de las figuras geométricas, Duval (2001,
2003, 2004a, 2005) ha identificado tres tipos de aprehensión en un proceso
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geométrico, con sus correspondientes tratamientos figurales planteados. Los cuatro
tipos de aprehensión determinan una experiencia con la figura, y conforman métodos
de trabajo que son el efecto de la relación entre visualización y razonamiento en
geometría o en actividades que impliquen figuras geométricas.
La aprehensión perceptual: Es la aprehensión que captura la figura en un
primer vistazo y permite a partir de éste, reconocer subfiguras que no necesariamente
coinciden con las unidades figurales requeridas para la construcción de una figura. El
tratamiento cognitivo que implica este tipo de aprehensión es inconsciente e
inmediato y la figura recibida puede ser diferente de la figura relevante para el
tratamiento matemático. Su función epistemológica es la identificación de formas en
un espacio n-dimensional; en el caso de la educación inicial será la identificación de
formas en tres o en dos dimensiones. (Duval., c.p. Pontón, p. 76).
La aprehensión operatoria: Es la aprehensión de una figura en sus diferentes
modificaciones posibles. Los tratamientos asociados a este tipo de aprehensión son:
•
Las modificaciones mereológicas: permiten que en una figura de partida se
pueda dividir en subfiguras, a partir de las cuales se reconfigure en otra figura
de un contorno global diferente o no. Esta modificación permite tratamientos
como la reconfiguración17.
La reconfiguración es la operación que consiste en reorganizar una o varias sub-figuras diferentes de una
figura dada en otra figura. Una sub-figura puede ser o una unidad figural elemental de dimensión 2 o un
reagrupamiento de unidades figurales elementales también de dimensión 2. Naturalmente, se puede aumentar el
número de las partes de la figura por un fraccionamiento de sus unidades figurales elementales de dimensión 2.
Esta operación concierne la modificación mereológica de una figura. La reconfiguración es un tratamiento que
consiste en la división de una figura en sub-figuras. Es importante no confundir “unidad figural elemental” y
“sub-figura”. Las unidades figurales elementales son las formas de base en las cuales todas las figuras pueden
ser analizadas. Las sub-figuras son el resultado de una división de la figura que depende de las necesidades de un
problema propuesto: pueden consistir en una unidad figural o en una combinación de unidades. Es igualmente
importante no confundir la figura de partida y la transformación de esta figura por la aplicación de
tratamientos figurales que provienen de uno de los tres tipos de modificación con fines heurísticos. La figura de
17
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En el ejemplo, se puede observar que la
Figura 5 se puede reconfigurar en dos
rectángulos AFGD y FBCG
y/o dos
triángulos isósceles ABD y DBC y/o dos
trapecios rectangulares AFHD y dos
triángulos isósceles EBH, DHG. Todas
estas
reconfiguraciones
posibles
conservan el contorno global de la figura
de partida
Figura 5. ¿Qué otras figuras reconoces en la Figura ABCD?
En el ejemplo de la Figura 6 se puede
evidenciar modificaciones mereológicas
introduciendo trazos paralelos a los
segmentos AB ó CD, logrando subdividir la
Figura 6 en cuatro subfiguras congruentes
(cuadrados congruentes que pueden
discriminarse visualmente a partir de esta
división) u ocho subfiguras congruentes
(triángulos congruentes trazando a demás
la otra diagonal de Figura 6. En este
ejemplo, también se conserva el contorno
global de la figura de partida.
Figura 6. Trazo suplementario de la otra diagonal del cuadrado ABCD.
•
Las modificaciones ópticas: de ampliación o de reducción o de deformación de
la figura inicial. Los factores que juegan sobre la visibilidad, dentro de esta
operación, son el recubrimiento parcial y la orientación de la figura.
partida es la figura que se puede construir tomando en consideración ya sea sólo los datos del enunciado de un
problema, o los datos de la formulación de una proposición para ser demostrada. A veces en la presentación de
una demostración, es la figura transformada la que está dada como figura que acompaña al texto (Duval, 1999, p.
156)
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Se amplía una parte (el rectángulo NOLÑ)
de la figura designada con la letra T, con la
finalidad de hacer los tratamientos
operatorios en la subfigura seleccionada,
en este caso en un cuarto de la superficie
T.
Figura 7. Ejemplo de modificación óptica. (Pontón, 2008, p. 78).
•
Las modificaciones posicionales de desplazamiento o de giro, las cuales son
efectuadas al interior del registro figural, siguiendo las leyes y parámetros de
organización de los elementos de las figuras y por lo tanto no necesariamente
requieren de un conocimiento matemático, pero sí requieren del uso de algún
instrumento
de
construcción.
Estas
modificaciones
se
realizan
por
desplazamientos, traslaciones o rotaciones, tanto de la figura de partida como
de las subfiguras que componen el contorno global, como se observa en el
siguiente ejemplo donde hay modificaciones mereológicas y modificaciones de
la subfiguras resultantes de la subdivisión.
Por ejemplo para calcular el área de la
figura sombreada, (área de cada cuadrado
de
la
cuadrícula:
1
cm2).
Independientemente
del
fondo,
cuadriculado o no, el contorno de la figura
representa
una
ayuda
para
un
desplazamiento (modificación posicional) de
una de las unidades figurales. A partir de
una mirada gestáltica sobre la figura se
puede reconocer el triángulo que falta y,
para reconfigurarla, se puede realizar un
ensamblaje del triángulo desplazado en la
posición que permita formar un rectángulo.
Figura 8. Ejemplo de modificación posicional. (Pontón, 2008, p. 78).
Cada una de estas modificaciones es realizable de manera física, mental o
gráfica. La modificación escogida permite transformaciones de la figura dada
inicialmente, pero también puede implicar una operación de reconfiguración,
72
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reorganizando una o varias figuras de una figura dada en otra, lo cual conlleva a la
comparación. (Duval., c.p. Pontón, p. 78).
Duval explica el papel fundamental que tiene la aprehensión operatoria en las
figuras de la siguiente manera:
Para un problema determinado y para una figura de partida, se ella dada en el
enunciado del problema o construida a partir del enunciado del problema, existe
generalmente una modificación figural posible que muestra la idea de la
solución o de la demostración. Esa es la modificación figural heurísticamente
pertinente. (Duval, 1999, p. 163).
La función epistemológica de este tipo de aprehensión es precisamente la
exploración heurística que permite el registro figural. El mayor inconveniente para la
búsqueda de una solución es que la modificación figural heurísticamente pertinente
no es inmediatamente visible.
Y por último, se tiene la aprehensión discursiva. En este tipo de aprehensión
las propiedades matemáticas no son determinadas por constataciones visuales, sino
que son explicitadas en enunciaciones de las relaciones que se determinan por la
aprehensión desde un marco teórico geométrico (definiciones, axiomas, teoremas) y
por las experiencias con las figuras que permite ese tejido teórico. Los ejercicios
elementales
de
aplicación
de
teoremas
o
de
definiciones
requieren
fundamentalmente de este tipo de aprehensión.
Así mismo, la articulación cognitiva entre visualización y discurso no se hace
en el nivel de las palabras sino en el de las proposiciones. Entonces, una figura
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puede producirse para ilustrar un enunciado, o, se puede producir un enunciado para
describir o explicar una figura.
Sin embargo, como bien lo afirma Duval (2005), la ignorancia de la
complejidad de la articulación entre ver y decir puede crear obstáculos que, a
mediano y largo plazo, van a revelarse insuperables para el progreso de los alumnos.
En este sentido puede entenderse que la figura debe estar anclada a una proposición
que fije algunas propiedades representadas por la configuración. Esta ancla
discursiva proporciona la puerta de entrada matemática en la configuración, o por el
contrario, puede ser un enunciado que reenvíe a la figura por fuera de las
matemáticas; asunto que será tratado en el apartado siguiente.
La visualización, por consiguiente, implica por lo menos uno de los siguientes
cambios: el cambio dimensional, es decir, una aprehensión operatoria; y el cambio
de
anclaje-aprehensión
discursiva.
El
cambio
dimensional
comprende
las
posibilidades de ver figuras de dos dimensiones como configuraciones de unidades
de 1 ó 0 dimensiones. El cambio dimensional y el cambio de anclaje son
característicos de una forma matemática de ver una configuración, mientras que el
cambio figural o la aprehensión operatoria concierne a procesos figurales específicos
que se relacionan con transformaciones de la organización visual de la configuración.
A diferencia del cambio figural, el cambio de anclaje requiere una transformación de
la representación de la situación dada en un registro, a una representación de la
misma situación en otro registro.
74
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2.2
DE
LA
VISUALIZACIÓN
ICÓNICA
Myriam Vásquez Vásquez
DE
LAS
FORMAS
A
LA
VISUALIZACIÓN MATEMÁTICA DE LAS FIGURAS GEOMÉTRICAS
Duval (1999, 2001, 2003, 2004a, 2005) en diversos artículos es insistente al
plantear que la visualización en geometría es una actividad cognitiva que implica
toda percepción visual de los objetos representados, o sea, debe permitir mirarlas
como si estuvieran verdaderamente delante de los ojos. La visualización en este
sentido debe permitir distinguir e identificar, al primer vistazo, (aprehensión vivida
como inmediata) ‘a golpe de ojo’ (aprehensión simultánea) de lo que es representado
y diferenciarse de la percepción visual de los objetos del mundo físico. La distinción
entre la visualización icónica y la visualización no icónica toma en consideración las
exigencias de la actividad geométrica con relación a otras formas de ‘ver’ fuera de
las matemáticas, es decir, aquellas formas de ver que funcionan a partir de una
relación de semejanza establecida como un prolongamiento o extensión de la
percepción visual.
Ahora, ¿qué se entiende por visualizar? Duval plantea:
Visualizar es producir una representación que, en ausencia de toda percepción
visual de los objetos representados, permita mirarlas como si estuvieran
verdaderamente delante de los ojos…Lo propio de la visualización es producir
una representación que da lugar a una aprehensión simultánea y casi
inmediata, pero sin que esta representación constituya una aprehensión de los
objetos representados. (Duval, 2003, p. 45-48).
75
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La enseñanza de la geometría en el preescolar.
Myriam Vásquez Vásquez
Duval (2005) afirma que cuando la entrada a la actividad geométrica
presupone un mecanismo de iconicidad, la visualización de las formas se basa en
una relación de semejanza entre la forma reconocida en un trazado y la forma
característica del objeto que debe identificarse. “Naturalmente la situación no es la
misma según que el referente sea un objeto material en el espacio circundante18 o
una representación de su forma modelo”. (Duval, 2005, p. 10).
2.2.1 Visualización icónica de las formas
La visualización icónica depende de la discriminación visual de las formas;
esto quiere decir que el reconocimiento de los objetos representados se hace a partir
de una relación de semejanza entre una forma escogida como típica o modelo para
cada objeto geométrico con el cual deba identificarse (por ejemplo, el triángulo
equilátero como forma típica y representativa para todas las clases de triángulo). A
cada forma modelo se la asocia un nombre que permite mencionarla y que le
confiere así el estatuto de objeto. Fuera de las matemáticas, la visualización es de
tipo icónico, es decir que funciona según los criterios de semejanza que se hacen
como un prolongamiento o como una extensión de la percepción visual.
La visualización icónica de las formas impone serios obstáculos para el
aprendizaje de la geometría. La identificación perceptiva de formas implica que se
impone una relación de «semejanza» entre los objetos representados y alguna
18
Es sobre estos mecanismos de reconocimiento que existe una divergencia radical entre la visualización icónica
espontánea y los diferentes tipos de visualización matemática: no se mira una figura geométrica como se mira una imagen
o un plano de una ciudad. (Duval, 2003, p. 41).
76
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Myriam Vásquez Vásquez
característica Esta relación de semejanza se puede imponer en función de dos
criterios diferentes (Duval, 2003):
— Lo primero es una simple similitud entre los contornos identificados y el perfil
de los objetos representados, como si éstos hubieran servido de modelo,
modelo a escala, pues las formas trazadas son a menudo más pequeñas.
Esta manera no da sólo la posibilidad de un reconocimiento visual sino
igualmente táctil de las formas.
— La semejanza que se establece con los contornos y formas con objetos del
mundo físico puede imponerse también a partir de la sola conservación de
relaciones topológicas entre los caracteres típicos del objeto representado,
las formas que corresponden a cada uno de los rasgos típicos vistos como
los elementos de un todo:
Estas fuertes tendencias de la visualización icónica van contra el desarrollo de
lo que debe devenir gesto reflejo para poder hacer geometría: dividir toda
forma, que se reconoce inmediatamente en un conjunto de trazos o en
cualquier figura inicial, en una configuración de otras unidades figurales del
mismo número o de un número inferior de dimensiones. (Duval, 2005, p. 11).
Los dos criterios previamente mencionados explicitan una manera de entender
la entrada al registro figural, la cual presenta una fuerte interrelación con la gama de
actividades propuestas en el aula:
-
El reconocimiento se centra en el contorno de una zona o de una superficie,
una forma es, en primer lugar, un perfil. Eso quiere decir que todas las
77
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propiedades que no están directamente vinculadas al contorno característico
de una forma permanecen por fuera de la actividad.
-
Las formas aparecen como estables. No se ven pues de una manera que
permita transformarlas en otras formas similares o, sobre todo, diferentes.
Esta estabilidad es tanto más resistente cuando el reconocimiento de las
formas se hace de manera inmediata, a golpe de vista y asociada al nombre
que la identifica.
Tomando de base los mecanismos que rigen la visualización icónica, la
pregunta que surge es: ¿toda actividad que moviliza la visualización icónica o que
solamente se apoya sobre ella, lejos de ayudar a los alumnos a tomar conciencia de
lo que son las propiedades geométricas no les desvía, por el contrario, de la
comprensión de los procesos geométricos? (Duval, 2004a, p. 174).
2.2.2 ‘Ver’ en matemáticas
Al respecto Duval plantea dos diferencias esenciales que deben ser tenidas en
cuenta para diferenciar los mecanismos que subyacen a la visualización icónica y la
visualización matemática:
Ver cubre siempre dos niveles de operaciones que son diferentes e
independientes uno del otro, aunque generalmente ellos están fusionados en
sinergia en un mismo acto. Estos dos niveles de operaciones son el
reconocimiento discriminativo de formas y la identificación de los
objetos que corresponden a las formas reconocidas. El problema
cognoscitivo principal es saber cómo se hace el paso de un reconocimiento
78
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discriminativo de formas a la identificación de los objetos dados y que deben
verse. (Duval, 2005, p. 8).
En concomitancia con el párrafo precedente, estas diferencias sustanciales se
explican de la siguiente manera:
Una primera diferencia está en relación con la deconstrucción de las formas: Lo
que la visualización matemática muestra son las relaciones entre las unidades
figurales que pueden ser los puntos, las líneas, los contornos cerrados, los planos,
las posiciones identificadas por las parejas de números, etc. Los únicos objetos que
la visualización matemática permite ver son las organizaciones de relaciones y las
unidades figurales difieren de los objetos en lo que su identificación puede variar
tanto perceptivamente como discursivamente (las hipótesis).
Una segunda diferencia aparece en función de que la aprehensión de una
visualización icónica no implica de ninguna manera la capacidad de producirla,
mientras que aquella de una visualización matemática implica por el contrario la
capacidad de producirla. Hace falta ser capaz de construir una figura geométrica o
una gráfica para que en cierta medida se pueda ver lo que representa. (Duval, 2003).
Esta segunda diferencia es importante tanto desde un punto de vista didáctico
como epistemológico. Al emplear dos verbos diferentes «dibujar» y «construir» para
designar la producción de las visualizaciones icónicas y aquella de las
visualizaciones matemáticas. «Dibujar» connota esencialmente el gesto gráfico de la
mano, la fidelidad del trazado de su movimiento para evocar el perfil del objeto
representado. «Construir» implica sobre todo una práctica instrumental. “Y no se
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debe olvidar que las figuras geométricas se construyen con la ayuda de
instrumentos, y esto para respetar las propiedades afines o métricas y para que las
figuras muestren bien las relaciones que son visualizadas” (Duval, 2003, p. 50).
Sin embargo, en el seno de la actividad geométrica y de aquello que caracteriza
la visualización matemática está el problema de la deconstrucción dimensional de las
formas:
Matemáticamente, hay la exigencia teórica de poder analizar toda unidad figural
simple de dimensión n como una configuración de unidades figurales de
dimensión n-1
(el límite está en considerar toda unidad figural como un
conjunto de puntos (0D). En otras palabras, uno puede focalizarse visualmente,
por ejemplo, sobre una unidad figural 2D pero nombrar, en las proposiciones
que se enuncia (focalización discursiva) los objetos matemáticos representados
por las unidades figurales 1D. Dicho de otra manera, hace falta efectuar
simultáneamente dos enfoques, una en un campo constituido de formas 2D y el
otro en un campo constituido de formas 1D o 0D, los dos campos que se
recubren perfectamente. Lo que se nombra en un enunciado, es decir la
referencia a los objetos matemáticamente definidos puede ser representado por
las unidades figurales que son borradas visualmente por la fusión en una forma
de dimensión superior. La enunciación en geometría apuesta a esta variabilidad
dimensional de las unidades figurales discriminables o designables en una
figura geométrica. (Duval, 2003, p. 55).
Por lo tanto, desde un punto de vista de la visualización matemática, hay dos
maneras de descomponer una figura en unidades figurales según Duval: la
descomposición por división mereológica y la deconstrucción de las formas.
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2.2.2.1 La descomposición por división mereológica
La primera consiste en descomponer en unidades figurales del mismo número
de dimensiones. Un triángulo puede ser descompuesto en otros triángulos. Pero
también un cubo (3D/3D) o cualquier otro sólido puede ser descompuesto en bloques
que también serán otros poliedros (3D/3D). Es lo que se puede llamar una
descomposición por aprehensión mereólogica, es decir, la partición en piezas que
permiten o bien una reconstitución o bien una reconfiguración del tipo
rompecabezas. Esta descomposición se inscribe por tanto en un proceso más
general de metamorfosis, por no decir anamorfosis (que es una trasformación por un
proceso de deformación continuo). Estas descomposiciones pueden ser (Duval,
2004a, p. 177):
Estrictamente homogénea: la descomposición se hace en unidades figurales de
la misma forma que la figura que se descompone.
Figura 9. (Tomado de Duval, 2005, p. 177).
Homogénea: la descomposición se hace en unidades figurales de la misma
forma pero diferentes de la forma descompuesta.
81
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Figura 10. (Tomado de Duval, 2005, p. 177).
Heterogénea: la descomposición se hace en unidades figurales de diferentes
formas.
Figura 11. (Tomado de Duval, 2005, p. 178).
Las descomposiciones homogéneas son trasformaciones que son visualmente
reversibles y que pueden ser espontáneamente iniciadas con sólo ver la figura. Por
el contrario, las trasformaciones heterogéneas no lo son. Ahora bien, a menudo son
éstas las que son importantes en la búsqueda de la solución de un problema, pues
son éstas las que dirigen la exploración puramente visual de la figura de partida para
detectar las figuras geométricas utilizadas para resolver un problema propuesto.
(Duval, 2004a, p. 178).
82
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2.2.2 La descomposición por deconstrucción dimensional de las formas
La descomposición de las figuras en unidades figurales consiste en
descomponer una figura en unidades figurales de un número de dimensiones inferior
al de la figura. En una figura geométrica, cualquiera que sea, se debe poder
distinguir siempre muchas formas que son las unidades figurales representativas
posibles. Eso quiere decir que también las figuras euclidianas más simples (círculo,
triángulo, cuadrado...) deben ser vistas como configuraciones de otras unidades
figurales y nunca como una sola unidad figural. Esto plantea una dificultad
importante: las diferentes unidades figurales identificables en una figura raramente
tienen el mismo número de dimensiones. Las formas que pueden ser distinguidas, o
reconocidas en una figura geométrica son unidades figurales 3D/2D (un
paralelepípedo en perspectiva), 2D/2D, (una sección plana, un triángulo, un
rectángulo), o 1D, (un segmento, una curva). Así mismo, el reconocimiento de
unidades figurales de dimensiones diferentes implica un cambio completo del campo
de focalización visual en que la mirada evoluciona. Y tal cambio va a reencontrar los
mecanismos de organización perceptiva que imponen de alguna manera el
reconocimiento de una forma sobre las otras.
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Figura 12. Descomposición en unidades figurales por deconstrucción dimensional de una
forma. (Tomada de Duval, 2005, p. 179).
Ahora, aprender a ‘ver’ sobre una figura no tiene nada de espontáneo y hay que
sortear varios obstáculos cuando la intencionalidad de la actividad puesta en juego
requiere de la toma de conciencia del cambio dimensional y de producir enunciados
que den cuenta de dicho cambio: 3D/2D, 2D/1D, 2D/0D, 1D/0D. Al respecto Duval,
(2003) afirma que pueden identificarse tres fenómenos importantes:
— Para una misma familia de figuras (rectángulo, paralelogramo, trapecio) el
mismo tipo de pregunta matemática da lugar a desviaciones considerables en
los pasos y los resultados con los alumnos de colegio (Mesquita, 1989; c.p.
Duval, 1999, pp. 149-150).
— Todas las figuras no tienen el mismo valor heurístico: hay ciertas figuras que
ayudan más que otras a descubrir la respuesta o la idea de la respuesta a una
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pregunta matemática, mientras que otras parecen ser antes un obstáculo
(Padilla, 1992, c.p. Duval, 2003, p. 57). Dicho de otra manera, la dificultad no
es sólo del lado de los alumnos sino que también obedece a los factores
internos o a los procesos de identificación y de tratamiento visual de las
formas 2D o 3D.
— La exploración visual de una figura se hace a partir de una fase de
exploración que por lo general se hace del nivel de las unidades figurales 2D
hasta las 3D (percepción en profundidad) aunque los razonamientos
matemáticos exigirán la toma en cuenta de objetos representados por
unidades figurales 1D o 0D. “Esta es la razón por la que las figuras pueden
ser una ayuda real independiente de todo cálculo y de toda deducción que
permite guiar en la discriminación de las propiedades y de los teoremas que
pueden ser utilizados”. (Duval, 1995b, pp. 191-193; 1998a, pp. 45-47, c.p.
Duval, 2003, p. 57).
La deconstrucción dimensional de las formas exige un modo de funcionamiento
cognitivo que no se encuentra en los otros dominios de conocimiento y se diferencia
justamente del mecanismo de iconicidad presente en la percepción y observación
directa de los objetos. “Es aquí donde hay que buscar el origen profundo, de las
dificultades que bloquean a los alumnos, para entrar, o para progresar en los
procesos geométricos. Y es a partir de aquí cuando nos podemos plantear el
problema de los primeros aprendizajes en geometría: ¿cómo pueden los alumnos
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tomar conciencia de los procesos de deconstrucción dimensional de las formas y
adquirirlos?” (Duval, 2004, p. 180).
La fuerte diferencia entre una y otra manera de reconfigurar o descomponer una
figura radica en las exigencias cognitivas que se plantean según la naturaleza de la
actividad que se proponga. De un lado, la descomposición mereológica puede ser
efectuada en el marco de las actividades manuales. “Dichas actividades pueden ser
una buena preparación; sin embargo, excluyen todo cambio de dimensión, he aquí
un límite; pues las manipulaciones implican la conservación del número de
dimensiones del soporte material de las formas ensambladas o partidas (nD/3D) o
(nD/2D)” (Duval, 2004a, p. 178).
De otro lado, la descomposición por deconstrucción dimensional de las formas
no puede ser efectuada en el marco de las actividades manuales y necesariamente
implica una articulación con una actividad discursiva. Esto pone de manifiesto lo que
se ha llamado una aprehensión discursiva, y no solamente perceptiva o secuencial
de las figuras. “Así la enunciación de las propiedades de los cuadriláteros más
conocidos implica que se deconstruya dimensionalmente una figura simple 2D/2D en
una configuración de unidades figurales 1D o 0D/2D. Pues las propiedades de un
objeto 2D/2D son relaciones entre objetos representados por unidades figurales
1D/2D o 0D/2D. Por consiguiente, “existe una característica fundamental del
funcionamiento cognitivo que es requerido para cualquier proceso geométrico: la
articulación
entre
figuras
y
discurso
(descripción,
explicación,
definición,
deducción…) depende de una reconstrucción dimensional de la manera normal de
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ver las figuras e incluso de aquella movilizada en las composiciones de tipo
rompecabezas”. (Duval, 1995a pp. 178-192 c. p. Duval, 2004).
Hay que reconocer forzosamente que la importancia crucial de este problema
es muy desconocida tanto en la enseñanza de la geometría como en las
investigaciones sobre la enseñanza de la geometría. En general, la enseñanza de la
geometría se organiza como si la deconstrucción dimensional de las figuras fuera, si
no natural, al menos fácilmente accesible a todos los alumnos. Y es aquí donde
comienzan todos los malentendidos que impiden que se establezca para los alumnos
una articulación real entre las figuras y el discurso geométrico (comprensión de las
definiciones, utilización de las propiedades), es decir una comunicación entre los
procesos de visualización y los procesos de razonamiento (Duval, 2004a, p. 181).
En realidad, hay un largo camino del reconocimiento icónico de las formas
euclidianas elementales, semejante a la entrada del botánico, a las distintas maneras
de aprehensión posibles sobre las formas: perceptiva, operatoria, discursiva y
secuencial. Así una figura geométrica, aun cuando es perceptivamente muy simple,
consiste siempre en una configuración de muchas formas. Y ‘ver’ sobre una figura no
se reduce nunca a una simple percepción visual sino a la coordinación de varios
tipos de aprehensión.
Pero igualmente hay otro obstáculo y reto en el ingreso al registro figural.
Recordemos que no existe figura sin leyenda. Necesariamente las figuras están
ancladas a un registro discursivo. Y la geometría requiere la utilización de un
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vocabulario técnico bastante amplio y complejo. Sin embargo, lo más importante es
la heterogeneidad semántica de esta terminología:
En efecto, para describir lo que es necesario ver, las matemáticas recurren a
dos categorías de términos que no se encuentran en el vocabulario común
empleado fuera de las matemáticas para describir lo que se ve: los términos
analítico-descriptivos y los términos de relaciones entre trazos en cuestión
independientemente de su pertenencia a la organización visual de la forma de
un objeto. (Duval, 2005, p. 24).
Y evidentemente, el problema para el aprendizaje de la geometría radica en
parte en que esta manera tan específica de designar, describir y explicar entra en
competencia con un vocabulario no matemático que no implica una deconstrucción
dimensional de las formas y que, regularmente, aparece asociado a acciones
motrices del sujeto con el espacio físico o espacio representado inmediato.
Para finalizar, Duval sugiere en su propuesta la descomposición mereológica
como la actividad más pertinente para ingresar a los niños y niñas al registro de la
figuras. Sin embargo, con relación al problema que nos concierne y el ciclo en el que
se sitúa, puede afirmarse que desde la perspectiva teórica abordada este es un
terreno poco explorado.
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3. LA ENSEÑANZA USUAL DE LA GEOMETRÍA EN EL PREESCOLAR
Con el propósito de ampliar una mirada al campo del problema de la enseñanza
de la geometría en el ciclo del preescolar, el presente capítulo presenta un análisis
del discurso de las maestras y textos escolares con el fin de identificar la concepción
de espacio y geometría que circula en las actividades que usualmente se plantean a
los niños y niñas en el aula. Interrogantes planteados en un inicio encuentran su
lugar en dicho análisis: ¿Qué geometría o geometrías se enseñan a los niños y
niñas de preescolar?
3.1 CRITERIOS METODOLÓGICOS PARA LA DELIMITACIÓN DE LOS
TEXTOS ESCOLARES Y MAESTRAS PARTÍCIPES DE LA INVESTIGACIÓN
El modo de investigación de este estudio es de carácter exploratorio y se
inscribe en el campo de las investigaciones cualitativas. Fundamentalmente, la
investigación cualitativa estudia, grupos pequeños en los cuales sea posible la
observación directa por parte del investigador que los estudia y cuya finalidad puede
ser la de explicar las situaciones estudiadas o bien la de interpretarlas (Briones,
1999). A veces considera sólo unos pocos casos de una categoría social a los cuales
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La enseñanza de la geometría en el preescolar.
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explora en profundidad, como es el caso del presente estudio, modalidad que se
denomina estudio de caso. El estudio de caso está constituido por el análisis de
sucesos que se dan en un caso único o sólo en algunos casos elegidos por el
investigador (Briones, 1999).
Las técnicas para la recolección de la información usadas fueron: la
observación participante y la entrevista no estructurada. Con relación a la primera
técnica, se justifica su pertinencia en función
de comprender la observación
participante como un método que permite intervenir en la situación objeto de
observación. Y la entrevista no estructurada igualmente se define en razón de ser un
complemento con el método de observación participante, dado que por sus
características permite ampliar, aclarar y precisar información requerida por el
investigador con relación a la situación observada (Briones, 1995).
3.1.1 Población seleccionada
Para esta investigación se eligió un grupo de 9 maestras pertenecientes al ciclo
de preescolar de instituciones públicas y privadas del departamento del Valle del
Cauca19. La investigación se realizó con tres maestras de pre-jardín, tres maestras
de jardín y tres maestras de transición, quienes tenían a su cargo la dirección y
orientación de la propuesta de aula para cada nivel. La formación profesional de las
maestras, además de ser licenciadas en preescolar, incluía, para algunas,
19
Las maestras partícipes en la investigación pertenecen a los municipios de Cali, Cartago, La Unión y
Roldanillo, tomando en consideración que la tesista ha sido tutora en los programas de formación en el Instituto
de Educación y Pedagogía, área de educación matemática desde el año 2000 hasta la fecha.
90
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especializaciones en el campo artístico, educación sexual, o de las nuevas
tecnologías. Por cada maestra se tomaron de 7 a 9 registros, obteniendo 56 registros
de aula en total (ver Anexo 1).
La situación de observación fueron las aulas de preescolar pertenecientes a los
grados de de prejardín, jardín y transición en el marco de clases delimitadas por las
maestras para ser observadas con su consentimiento. La consigna presentada a las
maestras en el contexto de enunciación previo a la observación fue: ‘Vamos hacer
una observación de las clases donde tú consideres que estás enseñando
geometría a los niños y niñas’. En promedio el tiempo de observación de cada
clase osciló entre 20 y 40 minutos.
3.1.2 Textos escolares
La elección de los textos escolares como objeto de estudio se hizo con base en
tres criterios: i) Los usados por la maestra en el desarrollo de sus clases -niveles
prejardín, jardín y transición- (9), ii) El texto más vendido en el país -niveles prejardín,
jardín y transición respectivamente-, (3) y iii) Un texto de una editorial elegido al azar
-niveles prejardín, jardín y transición-, (3)- Para este último caso esta elección al azar
se hizo de la siguiente manera: se recolectaron 20 textos de distintas instituciones de
la región que tuvieran preescolar (o transición para el sector oficial), incluyendo las
instituciones investigadas y excluyendo los textos usados por las maestras partícipes
de la investigación, o sea, los textos seleccionados bajo el criterio i). En el marco de
esta pequeña muestra, se escogió un texto al azar. En total entonces los textos
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tomados como objeto de análisis fueron 15. Por asuntos metodológicos para la
presentación del análisis de los mismos se extraen fragmentos del conjunto de estos
15 textos.
Se plantean dos categorías de análisis con relación a los textos escolares: la
primera y más relevante para el propósito de la investigación, es analizar las
actividades propuestas por el texto que aparecen anudadas a la enseñanza de la
geometría en el preescolar.
La segunda es el diseño de una rejilla (ver Anexo 2) para analizar la frecuencia
de actividades por los tópicos o contenidos encontrados en los textos escolares.
Dicha rejilla tuvo como propósito determinar la frecuencia de las actividades en los
tres niveles. Más que un asunto de conteo se pretendió delimitar desde la
concepción de los textos, si se tiende a privilegiar un conocimiento sobre otro
(conocimientos denominados espaciales, referidos a las actividades de orientación y
ubicación versus conocimientos denominados geométricos). La rejilla explicita la
relación No. de actividades/tiempo escolar dedicadas a la enseñanza usual del
espacio y la geometría. La información recolectada en la rejilla y su respectivo
análisis, se presenta en el tópico de orientación y ubicación espacial de este
apartado.
Con relación a las características de los textos vale la pena resaltar lo
siguiente:
•
El campo de formación profesional de los autores de los textos escolares
analizados oscila entre licenciados en preescolar, especializaciones en
educación, educación sexual o no aparece referido explícitamente. Del total de
92
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la muestra (15 textos) de los libros analizados en el marco de la investigación
no se encontró en las personas que conforman el comité editorial o autores,
un enunciado que explicite si alguno tiene formación en matemáticas o en
educación matemática.
•
Los textos escolares para el ciclo de preescolar que usan maestras, niños y
niñas no son específicos a un dominio de conocimiento. El texto plantea
actividades en relación con distintos campos de conocimiento: lenguaje,
matemáticas, ciencias sociales, ciencias naturales y educación artística
fundamentalmente. De la muestra analizada en la investigación, el texto que
más adelante se denomina “Texto A” sólo viene delimitado para lenguaje y
matemáticas. El conjunto restante de textos aborda todas las áreas
mencionadas con anterioridad.
Teniendo
como
telón
de
fondo
los
determinantes
contextuales
que
circunscriben las prácticas de las maestras, el análisis discursivo de las clases de las
maestras y los textos escolares busca hallar la interrelación y sentido de las
actividades recreadas en el aula con lo planteado en los textos y su correlato con
entrevistas espontáneas después de las clases en el marco de la enseñanza de la
geometría en el preescolar.
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La enseñanza de la geometría en el preescolar.
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3.2 ¿CÓMO, Y HASTA DÓNDE, “VER” Y “ENUNCIAR” PUEDEN JUNTARSE
EN GEOMETRÍA?20
El análisis del discurso21 de las maestras en las clases y los textos de
preescolar se considera de alta pertinencia para el objeto de estudio de la presente
investigación: “lo que se dice” o “no se dice”, está en el centro de entender la
actividad geométrica en un aula de clase. La pregunta que puede surgir con relación
al problema es: ¿cuáles serían las condiciones discursivas necesarias para movilizar
conocimiento geométrico en las aulas?
En el capítulo anterior se vio justamente cómo el aprendizaje de la geometría desde un
punto de vista semiótico requiere la coordinación de la visualización y el razonamiento. Y los
problemas específicos que plantea el aprendizaje de la geometría no se ocupan solamente
de la complejidad de la visualización no icónica y de la deconstrucción dimensional de las
formas en que se basa, considera también la manera en que un discurso geométrico puede
articularse con tal visualización.
Sin embargo, el uso especializado de la lengua en la actividad geométrica abre
un campo semántico para designar, describir, explicar y razonar. Para analizar el
papel de la lengua en geometría, es necesario distinguir tres niveles de operaciones
20
Subtítulo retomado literalmente del artículo de Duval (2005) “La condiciones cognitivas para el aprendizaje de
la Geometría”.
21
Duval (1999) plantea que lo propio de una lengua es permitir un discurso, es decir, una expresión que "haga
una referencia al mundo" de manera que pueda ser compartida entre los que quieren comunicarse entre sí
(Benveniste, 1966, p. 128-130 c.p. uval, 1999, p.80). La expresión "haga una referencia al mundo" debe
entenderse aquí en su sentido más amplio: el discurso es una expresión "vinculada con las cosas más allá de la
lengua" (Benveniste, 1974, p. 225). En otros términos, el discurso es el empleo de una lengua para "decir alguna
cosa", es decir, hablar de objetos físicos, ideales o imaginarios, que no son sólo las potencialidades significantes
de una lengua. En razón de esto, la práctica de un discurso es inseparable de un cierto funcionamiento cognitivo.
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discursivas: la designación, la enunciación de propiedades, la deducción y poner en
relación lo que se dice con lo que acaba de enunciarse para completar, explicar,
justificar la observación. “Estos tres niveles de operaciones discursivas subyacen a la
producción, oral o escrita, de toda formulación” (Duval, 2005, p. 13).
La forma de concebir la articulación entre visualización y lenguaje en la
actividad geométrica depende del punto de vista epistemológico adoptado para
entender la naturaleza de los objetos matemáticos y su modalidad fenomenológica
de aprehensión. Entonces, el énfasis puede estar puesto en el problema de cómo se
conceptualizan los objetos matemáticos y concebir los conceptos como de naturaleza
asemiótica (ver p. 39, capítulo 2). Al respecto, Duval (1999) plantea que el problema
de la relación entre actividad semiótica y actividad conceptual puede entonces ser
considerado desde dos puntos de vista diferentes:
El primero se basa únicamente en el hecho de que un cambio de registro puede
revelarse como económico o fecundo desde el punto de vista del tratamiento de las
representaciones. Entonces se puede mantener la independencia y la prioridad de la
actividad conceptual sobre la actividad semiótica. Este punto de vista, que privilegia
la función de expresión, tiene un modelo esencialmente lingüístico y es el modelo
usado más ampliamente en el marco discursivo de las aulas (Duval, 1999).
El segundo punto de vista toma en consideración el hecho de que el cambio de
registro presupone una coordinación de registros. “La actividad conceptual entonces
no puede ser aislada de la actividad semiótica porque la comprensión conceptual
aparece ligada al descubrimiento de una invarianza entre representaciones
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semióticas heterogéneas” (Duval, 1999, p.61). Esto cambia completamente la
modelización que se puede hacer de la representación así como la aproximación a
las condiciones de un aprendizaje conceptual y a la comprensión de las
producciones
semióticas
(textos,
figuras
geométricas,
lengua
formal,
razonamiento...).
Duval explica el modelo lingüístico de la siguiente manera:
En el modelo lingüístico de la representación centrado en la función de
expresión, generalmente se define la representación de la misma manera
como se define el signo lingüístico, es decir, como una relación entre alguna
cosa (forma, trazo, objeto...) visual o auditivamente aprehendida y la
evocación de otra cosa que está ausente o cuya realidad es simplemente
mental: ‘lo propio de la representación es (...) evocar lo que desborda el
dominio perceptivo y motor’. Quien dice representación, dice en
consecuencia, reunión de un “significante” que permite la evocación y de un
“significado”
provisto por el pensamiento (Piaget, 1968b, p. 286; p. 68;
1968a, p. 305; c.p. por Duval, 1999, p. 61).
Los límites y las ambigüedades de este modelo de representación cuando se
trata de un registro distinto al de la lengua natural inmediatamente se hacen visibles.
Estos hacen referencia a su indiferenciación entre una estructura diádica de
representación que generalmente caracteriza a los símbolos y las notaciones
matemáticas, y una estructura tríadica (las dos flechas entre significante y
significado, y la flecha punteada “referencia”, como puede observarse en la Figura
13) que caracteriza al signo lingüístico y a las figuras (formas representadas).
La estructura diádica sólo conserva la relación de referencia entre un significante, o
un representante, y el objeto designado o representado. La estructura tríadica, al
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contrario, subordina la relación de referencia a la de la significación entre el
significado y el significante (Duval, 1999, p. 62).
Significado
Signo lingüístico, o
toda unidad
definida en un
sistema que tiene
sus propias leyes
de organización
Referencia
Objeto
Significación
Significante
Representación
Símbolo o notación matemática
Figura 13. Estructura tríadica y diádica de la significanción
(Figura tomada de Duval, 1999 p. 62)22.
Tomando de referencia este modelo con relación a la actividad geométrica en el
aula, puede decirse justamente que desde el punto de vista de un modelo de
representación centrado en la función de expresión, las representaciones de las
figuras son tratadas en el aula sólo desde su aspecto fenomenológico: el modo de
producción: externo o interno, es decir físico o mental y el modo sensorial requerido
para la aprehensión: visión, audición, tacto y, se olvida el aspecto estructural y
22
En este esquema los diferentes elementos constitutivos de la significanción de los signos están en negrilla, y las
relaciones entre estos elementos están en cursiva. El esquema permite ver la oposición entre dos tipos de signos.
Para los signos que tienen una estructura tríadica, como los signos lingüísticos, la relación de referencia presenta
dos características. De una parte, la relación con un objeto depende de una relación de significación determinada
por el sistema de la lengua (Saussure, 1973, p. 159, 163). De otra, la relación con el objeto es una posibilidad que
sólo está asegurada en el plano del discurso, el cual no es constitutivo de la significanción del signo (Benveniste,
1966, p. 129-131; 1974, p. 64-66 c.p. Duval, 1999, p.62).
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funcional de su significancia, o sea; su poder heurístico para representar y resolver
un problema geométrico.
-
Duval (1999, p. 80) afirma con relación a la significancia de las representaciones
(aspecto estructural): “todo lo que toma valor de signo lo hace al interior de un sistema que
determina un campo de posibilidades de significancia o representación”. Para nuestro caso,
las unidades constitutivas del registro figural (entrecruzamiento de variables cualitativas y
dimensionales) y el registro de la lengua natural. Este sistema es independiente del modo de
producción de sus signos (Benveniste 1974, p.51-53 c. p. Duval, 1999 p.80). Por ejemplo,
reconocer en una configuración subfiguras que no son reconocibles a simple vista no es sólo
un asunto de aprehensión perceptual; observar en este caso equivale a discriminar en la
figura las diferentes unidades significantes pertinentes (aprehensión operatoria), lo que no
puede hacerse sin efectuar los diferentes anclajes necesarios (anclar significa coordinar
enunciado a registro figural, anclar el discurso a la figura que guíe las operaciones para la
resolución del problema). Sin la realización de estos actos de anclaje, un sujeto no puede ver
lo que es necesario ver en esa figura.
En otras palabras, la visualización y la producción de enunciados en geometría
requieren funcionamientos cognoscitivos que son diferentes y más complejos que los
que obran por fuera de la geometría. Esta es la razón por la que su desarrollo y su
coordinación deben considerarse como objetivos de enseñanza tan esenciales como
los contenidos matemáticos mismos. Dada la naturaleza de la actividad geométrica,
la comprensión del contenido no puede construirse sino a partir de una sinergia entre
visualización y lengua. (Duval, 2005, p. 4.).
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Un reconocimiento de esta índole nos lleva al problema central que nos
convoca y es el problema de la entrada que se hace a la geometría en la enseñanza
usual en el ciclo de preescolar. En esta entrada, ¿cuál es el estatus que tienen las
representaciones figurales? Sí la coordinación entre figura y discurso se plantea
como condición desde un punto de vista cognitivo para el aprendizaje de los
conocimientos geométricos, entonces otras preguntas anudadas al problema y
propósito central de la tesis pueden ser: ¿qué tipo de operaciones u operación
discursiva se privilegia a la actividad geométrica en los textos escolares y discurso de
las maestras? ¿Cuál es la conceptualización y significación que logran los niños y
niñas en el ciclo de preescolar desde una enseñanza usual de la geometría?
3.2.1 ¿Qué ‘dicen’ las maestras y los textos escolares de preescolar sobre
los conocimientos geométricos?
Un primer punto de partida para este análisis está en relación con la forma
como están organizados los contenidos que hacen referencia a los conocimientos
geométricos en el aula, es decir, la organización y ordenación de la secuencia de las
actividades y su correspondiente introducción en las aulas viene dada por el texto
escolar, o sea, por la estructura que plantea el texto escolar.
El centro de análisis fueron por consiguiente, los textos escolares, entendiendo
la función que cumplen en este ciclo para la enseñanza de la geometría: el texto
escolar delimita y determina las acciones de las maestras en el aula para este ciclo.
Las formas enunciativas de los textos en este ciclo están en concomitancia directa
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con lo encontrado en las aulas: delimita los contenidos y las acciones que las
maestras, niños y niñas deben hacer. Por consiguiente el texto impone ‘una manera
de caminar, pensar y ejecutar’. El texto completo en un sentido global es una
enunciación caracterizada por verbos que hacen referencia a instrucciones: dibuja,
encierra, observa, colorea, traza, pinta, pega, decora, delinea, recuerda, etc. El texto
escolar es el currículo, es el método y es la actividad.
Se toman como referencia para sustentar las anteriores afirmaciones,
fragmentos de los textos (edición del docente) de la editorial elegida al azar en sus
niveles jardín y transición (denominados a lo largo del capítulo como Texto B y C) y
un texto sugerido por la maestras con actividades para los grados de prejardín y
jardín (denominado Texto A) y un texto sugerido por las maestras para el grado de
Transición (denominado Texto D), textos que serán tomados como textos modelos y
representativos de toda la muestra para el análisis a desarrollar en el presente
capítulo.
•
Al tomar los tres textos en secuencia de la editorial elegida al azar se
encuentra lo siguiente. Los textos tienen la misma estructura: cuatro capítulos
donde se delimitan “las diferentes áreas del saber”: lectura, ciencias sociales,
ciencias naturales, lenguaje y matemáticas. En los tres textos A, B, C aparece
la misma descripción para el área de matemáticas. Cada área del saber
describe los tópicos y temas sugeridos. A continuación se extrae un enunciado
de uno de los textos tomados para el análisis:
Iniciación a las matemáticas: En esta sección se busca despertar la
curiosidad de los niños hacia los diferentes pensamientos matemáticos,
100
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a través de ejercicios atractivos y dinámicos, pero serios en su
contenido. Las actividades específicas de cada pensamiento, junto con
los demás conocimientos adquiridos por los niños en el salón de clases,
en casa y en otros espacios de socialización, contribuirán a que se
familiaricen con las matemáticas. (referencia)
•
Se toma como referente de organización del currículo y actividades para las
matemáticas el desarrollo de conocimientos básicos planteados en los
lineamientos curriculares de matemáticas bajo los siguientes pensamientos:
pensamiento
espacial,
pensamiento
variacional
pensamiento
y
métrico,
pensamiento
pensamiento
numérico.
Con
estadístico,
relación
al
pensamiento que nos interesa aparece la siguiente descripción:
Pensamiento espacial: El desarrollo inicial del pensamiento espacial se
orienta al manejo de la posición relativa de los objetos y el espacio
(dirección, distancia y posición) y al reconocimiento de las características y
propiedades de algunas formas geométricas. Con este fin, se realiza
actividades orientadas a:
• Describir, nombrar e interpretar la posición relativa de un objeto en el
espacio y su relación con otros objetos.
• Reconocer, nombrar, construir, dibujar y comparar algunas figuras
geométricas.
•
Las actividades referidas al pensamiento espacial aparecen todas en el
período 1 para los textos A, B, C. La diferencia de los tres niveles está en
101
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La enseñanza de la geometría en el preescolar.
Myriam Vásquez Vásquez
relación con la cantidad de actividades por nivel: se incrementa en orden de
sucesión A, B, C. Las primeras actividades hacen referencia al primer logro de
ubicación y orientación espacial; las últimas actividades están referidas al
reconocimiento de las formas. Esta distribución difiere del resto de los textos
analizados. En general los distintos tópicos o contenidos delimitados como
objetos de enseñanza se distribuyen a lo largo de todo año, pero los tópicos o
temas son los mismos: trazos; discriminación visual de formas y contornos;
orientación y ubicación espacial, figuras geométricas y simetrías. De otro lado,
los textos de la editorial al azar aparecen organizados en cuatro períodos
(tiempo escolar que corresponde con la entrega de informes académicos a los
padres); la mayoría de los textos aparecen organizados en unidades temáticas
y aparece un conjunto de actividades relativas a cada saber o dominio
científico.
•
En la tabla de contenidos de los textos de esta serie es común encontrar, una
organización tipo matriz, donde el tópico o tema está clasificado nominalmente
con relación a las dimensiones del preescolar estipuladas en los lineamientos
curriculares para el preescolar (1998) cognitiva, corporal, comunicativa, socioafectiva, ética y espiritual y estética.
Tomando como referencia la descripción precedente de la estructura y
organización de una serie completa de textos para el preescolar, puede afirmarse sin
temor a equívoco que no se encuentran diferencias sustanciales con relación al resto
de los textos analizados. De manera particular, la diferencia se plantea con relación a
102
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La enseñanza de la geometría en el preescolar.
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la distribución de las actividades en el tiempo de un año escolar. Para efectos del
análisis de los textos escolares se retoma la clasificación de los temas propuestos en
los textos, -trazos, discriminación de contornos y formas, formas geométricas,
simetrías y orientación y ubicación espacial- y se redefinen como categorías de
análisis a los largo del cuerpo del presente capítulo.
3.2.1.1 Categorías de clasificación de las actividades en los textos
escolares y su correlato con el discurso de las maestras en el aula
El análisis de la enunciación de las maestras y textos escolares se plantea a
partir del análisis de las cinco categorías de análisis definidas: trazos, discriminación
de contornos y formas, formas geométricas, simetrías y orientación y ubicación
espacial, categorías de análisis que igualmente se asumen para el análisis de los
registros de observación recolectados en el aula. El análisis de los enunciados de los
textos escolares y el discurso de las maestras se plantea como un correlato entre el
texto y las actividades propuestas en el aula. A continuación se presenta una
descripción y análisis de las cinco categorías definidas para el análisis de los textos
escolares y el discurso de las maestras:
•
Trazos
Actividad de aprestamiento entendida desde lo enunciado en los textos como
prerrequisito para el trazo de letras, números y figuras geométricas. Específicamente
se retoman en este apartado los trazos referidos explícitamente “al trazo de figuras
geométricas”. Por consiguiente aparece en los textos escolares (ver imágenes
103
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La enseñanza de la geometría en el preescolar.
Myriam Vásquez Vásquez
siguientes) trazado (o delineación) de círculos, cuadrados, rectángulos, rombos y
óvalos en el marco de un contexto referido a la vida cotidiana o descontextualizado
de una relación de semejanza con los objetos del mundo real. Regularmente, para el
desarrollo de esta actividad, el modelo de base es un trazo discontinuo de rectas o
puntos insinuando un contorno: circular, rectangular, triangular, etc. La actividad del
niño y niña es hacer un trazo continuo de un contorno tomando de referencia el trazo
de un contorno discontinuo.
Contrastemos el enunciado del texto con un aparte de un registro de aula (cada
enunciado en los registros será designado con la letra E, acompañado de un
numeral, las maestras serán designadas con la letra M, las intervenciones de los
niños a coro con la letra N o la inicial de su nombre en mayúscula, y para el caso de
los apartados de las entrevistas, I hace referencia a las intervenciones de la tesista):
Figura 14 del Fragmento Texto A,
Registro No. 1
E1.
M: Niños, niños, niños por favor, atentos a lo que les voy a decir. No me vayan a
ensuciar la hoja. Con un lápiz van a trazar los triángulos que están en la misma
posición. Vean acá. Si ven este (señala el triángulo de la parte inferior -izquierda de
la hoja), éste está paradito, ¿lo ven?, entonces, ¿Cuál de los otros triángulos está
en la misma posición?
E2.
N: El de abajo, el de arriba...
E3.
M: Ustedes si están viendo bien ¿cuál es de estos tres que se escoge? (Señala la hoja
en la parte inferior-izquierda de la hoja) Bueno entonces voy a pasarles el lápiz y
luego los pintan. Bien ordenaditos y limpiecitos con el trabajo.
104
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La enseñanza de la geometría en el preescolar.
Myriam Vásquez Vásquez
K. Pavón (comunicación personal, 4 de Noviembre de 2007)
Analicemos las implicaciones de esta práctica. Observemos que el enunciado
E1 de la maestra de jardín; en el “Con un lápiz van a trazar los triángulos que
están en la misma posición” (que aparecen referenciados en el fragmento del texto
A, Figura 14) es una paráfrasis de la consigna que aparece en el texto. Dicha
consigna de entrada hace referencia a una actividad motriz. El hecho de colorear la
superficie de las formas sugeridas es otro criterio de identificación de un gesto
motriz: “Ah, para que el niño sepa que la figura no es sólo el borde sino también
lo que está adentro” (aparte de un enunciado de una maestra de prejardín en la
entrevista no estructurada). La exigencia de este tipo de actividad es identificar las
figuras en una misma posición, posición relativa no sólo a la línea de base, sino a
estar encima o debajo de la otra figura.
Ahora, observemos la actividad de trazo de cuadriláteros como bien aparece
enunciada en la siguiente figura:
105
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Figura 15 del fragmento texto A
Los enunciados del fragmento del Texto A, Figura 15 son los siguientes:
“Trazado de cuadriláteros” y “Traza. Pega recortes de papel seda en el tren”.
El primer enunciado es una designación del nombre de la actividad. El segundo
enunciado, se caracteriza por uso de dos imperativos que hacen referencia a dos
actividades motrices: trazar y pegar. A diferencia de la actividad anterior, la exigencia
de esta actividad es seguir la dirección que sugieren las flechas para trazar los
cuadrados y rectángulos.
De otro lado, está el asunto que hace referencia a hacer corresponder los
contornos y formas de figuras a través de una relación de semejanza23 con
23
Recordemos que esta relación se basa en la “semejanza” entre la forma visualmente discriminada y la forma
típica del objeto representado. Esta semejanza es la que generalmente se considera constitutiva de la imagen. De
allí, pues, Peirce (1978) hizo la característica de todas las representaciones icónicas por oposición a los símbolos
106
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ilustraciones o dibujos de objetos del mundo físico, como es el caso del segundo
enunciado que aparece en la Figura 15 Texto A: “Traza. Pega recortes de papel
seda en el tren”. El interrogante que surge con relación a esta actividad específica
es: ¿Qué relación existe entre trazar contornos de figuras cuadriláteras y pegar papel
seda en un tren ilustrado? Plantear que es una relación de tipo analógico, es decir
demasiado; no hay nada discursivamente que “ancle” la relación de los contornos de
los cuadriláteros al acto de pegar papel seda en los vagones del tren que tienen
formas rectangulares. Por lo tanto, desde la concepción del texto la maestra debe
establecer la relación de semejanza entre los cuadriláteros trazados en la parte
superior de la hoja y el contorno de los vagones del tren. Al preguntar a las maestras
sobre la finalidad y el valor de estas actividades para la enseñanza de la geometría,
es común encontrar justificaciones del siguiente orden:
“Es muy importante que los niños realicen trazos porque eso ayuda a que ellos
mejoren su motricidad fina, el trazo de líneas curvas, rectas, hacia arriba, hacia abajo…y
tienen que ver con las figuras geométricas porque las figuras están compuestas de líneas
curvas y rectas”
A.M. Labrada (comunicación personal, 18 de Octubre de 2007).
Los textos, igual que lo observado en las aulas, sugieren además un orden de
trazado de las figuras cuyo nivel de exigencia se va graduando: prejardín,
preferiblemente figuras circulares (círculos y óvalos) y algunos cuadriláteros
(cuadrados y rectángulos); jardín, figuras circulares, algunos cuadriláteros y “el
triángulo” (típicamente se presenta un triángulo equilátero “apoyado” sobre uno de su
lados); transición, trazo de figuras sin restricción: circulares, cuadriláteros, triángulos.
y a los índices. Generalmente esta semejanza basta para reconocer directa, e inmediatamente, el objeto
representado, como en la percepción del mundo circundante. Así no hay que saber leer para observar tiras
cómicas y seguir su relato. (Duval, 2005, p. 12)
107
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La enseñanza de la geometría en el preescolar.
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La razón de esta graduación es un criterio de destreza motriz totalmente válido.
El círculo es la primera figura geométrica que se introduce porque trazar un
segmento curvo continuo para los niños y niñas es más fácil que trazar líneas rectas,
y ni que decir, de las líneas rectas que según el modelo conservan una relación de
perpendicularidad y paralelismo, para el caso de algunos cuadriláteros24. Dibujar y
reproducir figuras es una actividad realmente difícil para niños y niñas de tan corta
edad.
Para las maestras el ‘valor pedagógico’ de estas actividades se fundamenta en
dos aspectos. De un lado, el desarrollo de la motricidad fina es considerado como
una habilidad y destreza primordial desde los objetivos de la educación preescolar. El
trazo de figuras geométricas es una buena excusa para la consecución de este logro.
De otro lado, reproducir los contornos es considerado desde el punto de vista de las
maestras, como un indicador de reconocimiento e identificación de las figuras
geométricas:
E1
E2
E3
E4
I: ¿Qué conocimiento geométrico ganan los niños con la actividad de trazos de
figuras?
M: Mucho, porque si él sabe dibujarlas entonces las puede reconocer
I: De las actividades que ustedes plantean en el aula a los niños y niñas
¿Cuáles ayudan a la identificación y reconocimiento de las figuras
geométricas?
M: Todas las que hacemos ayudan al reconocimiento de las figuras, que
hagan los trazos, ellos van mejorando con el tiempo; pintarlas y reconocerlas
en las distintas fichas de trabajo, cuando están en un paisaje.
C. Carrillo (comunicación personal, Abril, 2007).
24
De entre las figuras cuadriláteras, cuadrado es la que es equilátera y rectangular, rectángulo la que es
rectangular pero no equilátera, pero no equilátera, rombo la que es equilátera pero no rectangular, romboide la
que tiene los ángulos y lados opuestos iguales entre sí, pero no es equilátera ni rectangular; y llámense trapecios
las demás figura cuadriláteras, Definición I.19.
108
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La enseñanza de la geometría en el preescolar.
Myriam Vásquez Vásquez
Desde un punto de vista cognitivo, las actividades planteadas en los textos y
registros de aula en la categoría de ‘trazos’, centra, el reconocimiento sobre el
contorno de las figuras delineadas (la figura es un perfil), a partir de imperativos
como: trazar, pintar y pegar, acto en el cual se fundamenta el reconocimiento y
discriminación de las figuras geométricas por parte de los niños y niñas. El
reconocimiento de las formas puede aparecer asociado a un objeto real y a un
modelo tipo de representación que condensa todas las posibles representaciones de
una clase de polígonos (el caso del “triángulo”, por ejemplo). Para Duval (2004,
p.168) “esto quiere decir que todas las propiedades que no están ligadas con el
contorno característico de una forma, quedan fuera de campo”.
En conclusión, las actividades planteadas en la categoría denominada Trazos,
la cual es un contenido común a todos los textos analizados y registros de aula,
conlleva a una visualización icónica de las formas, dando un tratamiento al
registro figural de Ilustración25 (Duval, 1999).
•
Discriminación visual de formas y contornos
Bajo esta categoría se agrupan las actividades planteadas en los textos
escolares cuyo propósito es el reconocimiento de formas y contornos en ‘paisajes
geometrizados’ que evocan situaciones de la vida cotidiana planteando una relación
de semejanza entre las formas y contornos con objetos de la vida real. Los paisajes
geometrizados son ilustraciones de situaciones u objetos del mundo físico donde se
25
La función de ilustración para Duval corresponde a un cambio de registro particular: la representación principal
pertenece a un registro de tipo discursivo –generalmente el de la lengua natural, y la representación auxiliar
pertenece a un registro de tipo sinóptico –generalmente una imagen cuyo contenido presenta una “semejanza”, en
el sentido de Peirce, con los objetos de la “realidad”
109
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La enseñanza de la geometría en el preescolar.
Myriam Vásquez Vásquez
transforma el contorno y forma real del objeto y se “geometriza”; trazando segmentos
rectos o curvos que corresponden con la forma y contorno de una figura geométrica.
Un buen ejemplo de esto son las ilustraciones que aparecen a continuación: en la
Figura 16 Texto B, los contornos de las alas de la mariposa aparecen en
correspondencia por una relación de semejanza con los contornos de dos triángulos
equiláteros congruentes; en la Figura 17 Texto B, el payaso en su totalidad se ha
hecho corresponder a partir de un criterio de semejanza con formas geométricas
para representar su cara, gorro, brazos, cuerpo, piernas; Figura 18 Texto C, el árbol
y la casa, plantean una relación de correspondencia y semejanza con contornos
rectangulares, circulares y triangulares.
Este reconocimiento implica una discriminación icónica de contornos y formas
alusivas a las figuras geométricas. La identificación de las formas y sus propiedades
se valora a partir de actividades de coloreado, decorado y trazos. A continuación se
presentan “actividades típicas” bajo este tópico que se encuentran en diferentes
textos (independiente del nivel) y apartes de registros de aula:
El prototipo de actividades que se platean bajo este tópico regularmente tiene
dos variantes. Una variante es donde aparece una figura que se toma como un
modelo tipo representativo de la clase de polígonos a la que pertenece y luego dicha
figura debe ser discriminada en el marco de un contexto que recrea una relación de
semejanza con objetos de la vida real, bien sea un paisaje o dibujos de objetos
presentados de manera aislada. Un buen ejemplo de la primera variante lo
110
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La enseñanza de la geometría en el preescolar.
Myriam Vásquez Vásquez
representa la Figura 16 Texto B y las Figuras 17 y 18 del Texto C, la Figura 20 del
Texto D.
Figura 16 del fragmento texto B
Figura 17 del fragmento texto B
111
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La enseñanza de la geometría en el preescolar.
Figura 18 del fragmento texto C
Myriam Vásquez Vásquez
Figura 19 del fragmento texto C
La otra variante es una actividad que propone un patrón que define una figura
como “modelo tipo” para colorear un paisaje u objeto. Un ejemplo común lo
representa la Figura 17 del fragmento texto B.
Al analizar los enunciados que acompañan las ilustraciones se observa que
hacen referencia a acciones que implican un reconocimiento de la figuras (o formas),
reconocimiento centrado sobre las cualidades visuales de un contorno que se
impone: triangular, circular o rectangular. Las representaciones figurales de los textos
no están ancladas a un enunciado que fije alguna propiedad o algunas propiedades
sobre el ícono representado, por el contrario, lo enunciados anclan un
reconocimiento que implica una aprehensión perceptiva de las formas: “Repasa el
112
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La enseñanza de la geometría en el preescolar.
Myriam Vásquez Vásquez
triángulo. Dibuja otros”, “Colorea objetos que tienen forma triangular” (Figura 16 del
Texto B), “Recortar las figuras y pegarlas en el lugar correspondiente según la forma
y el tamaño adecuado” (Figura 20 del Texto D), entre otros.
Anudado a este análisis, no se deben dejar pasar por alto, los enunciados que
aparecen en los textos escolares dirigidos a las maestras para complementar su
acción en el aula. Retomemos los indicadores y las consideraciones o
sugerencias que aparecen para desarrollar las actividades de las Figuras 18 y 19
del Texto C:
Indicadores:
•
Reconoce el cuadrado como una figura geométrica.
•
Reconoce el círculo como una figura geométrica
•
Crea composiciones con figuras geométricas como cuadrados y círculos
Comentarios y sugerencias
•
Dé a cada niño y niña media hoja de papel periódico. Anímelos a que corten con los
dedos algunos círculos. Luego, entrégueles la otra media hoja, para que corten con los
dedos varios cuadrados.
•
Dibuje con tiza, en el piso, un cuadrado y un círculo grandes. Pídales a los niños y las
niñas que pasen por el borde de ellos.
El análisis de los enunciados que acompañan el desarrollo de la actividad,
como parte de la información pedagógica que sustenta el hacer del maestro,
<hablan> de las figuras en función de su uso: “hablar sobre las figuras geométricas y
la manera, como podemos representar objetos y paisajes utilizándolas” (Figura 20
del Texto D), “crea composiciones con figuras geométricas como cuadrados y
círculos” (Figura 18 y 19 del Texto B); <hablan> de identificar y reconocer las figuras;
113
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La enseñanza de la geometría en el preescolar.
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pero sin explicitar qué se debe reconocer o identificar en las representaciones de
ellas. Por lo tanto las figuras quedan ancladas a un reconocimiento en función de su
forma y contorno, aprehensión perceptiva que es correspondiente con una
visualización icónica de las figuras.
Figura 20 del fragmento Texto D
114
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La enseñanza de la geometría en el preescolar.
Myriam Vásquez Vásquez
Teniendo como telón de fondo lo planteado en los textos, a continuación se
presentan apartados de registros tomados de las maestras en correspondencia con
actividades planteadas bajo este tópico:
Registro No. 2
E1
E2.
E3
E4
E5
E6
E7
E8.
E9.
E10
E11.
M: Listo, para que nos quede la tarea bien hecha, a cada uno le voy a dar las
hojas y las figuras, para que las peguen, cada una en su lugar, ¿cierto? Esta es la
primera actividad, vamos a hacer la segunda actividad.
J: o, e, i u, payaso
M: Vamos a mirar acá, que tenemos aquí (les señala la figura de un payaso)
N: ¡Payaso! (contestan todos a coro)
M: Payaso, pin, pin, ¿cierto?
A: Payaso, pin, pin, cuando fui por allí.
M: Bueno, aquí el payaso tiene un gorro y el gorro tiene forma, ¿de qué?
N: ¡De triángulo! (contestan todos en coro)
M: ¿Y la cara del payaso tiene forma de qué?
N: ¡De círculo! (contestan a coro)
M: Muy bien, de círculo, entonces la actividad consiste en colorear, el gorro y la
carita del payaso del color que ustedes quieran.
Figura 21. Guía de clase: payaso a mano alzada
M.T. Vallejo (comunicación personal, 24 de Abril de 2007).
115
Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011
La enseñanza de la geometría en el preescolar.
Myriam Vásquez Vásquez
Registro No. 3
E1
M: quiero que todos miren acá. (Muestra una lámina de un triángulo con ojos,
nariz, boca y brazos, ¿qué carita tiene esta figura?
Figura 22. Guía de clase Triángulo a mano alzada
E2
E3
E4
E5
E6
E7
E8
E9
E10
E11
E12
E13
E14
E15
E16
E17
E18
E19
E20
E21
E22
E23
E24
E25
E26
E27
D: un payaso.
M: ¿será que esto es un payaso?
N: noooooo.
M: ¡mírenla!
S: un muñeco.
F: un cuadrado.
M: pero ¿está aburrida?
N: nooooooo.
M: ¿cómo está?
N: felízzzzz.
M: ¡feliz! Miren cuantos brazos tiene.
N: dossss.
M: ¡dos! Uno y dos (señalando en la figura los brazos). Y el muñeco ¿qué más
tiene?
N: pies.
M: ¡pies! Y ¿Cuántos pies?
N: dos.
M: y ¿Cuántos ojos tiene?
N: dos.
M: y ¿tiene boca?
N: sííí.
M: ¿tiene naricita? (tocándose su misma nariz)
N: sííí.
M: bueno. A esta figura que vemos aquí, vamos a buscarle cuántos lados tiene.
Cada una de estas rayas es un lado (señalándole al niño uno de los lados)
¿Cuántos lados tiene esta figura?
S: tres.
M: ¡tres! muy bien. Uno, dos y tres (señalando cada uno de los lados de la
figura)
N: uno, dos, tres (ellos siguen a la maestra contando los lados)...
116
Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011
La enseñanza de la geometría en el preescolar.
E28
E29
E30
E31
E32
Myriam Vásquez Vásquez
M: esta figura que tengo se llama triángulo ¿Cuántos lados tiene el triángulo?
J: dos.
M: ¿segura? Un lado, dos y tres (señalando cada uno de los lados de la figura)
J: tres.
M: J, hagámosle un color a este lado, repíntenlo...
P.A. Ramírez (comunicación personal, 13 de Abril de 2007)
El análisis precedente de las enunciaciones de los textos escolares bajo la
categoría de Discriminación visual de contornos y formas tiene un correlato con las
enunciaciones de las maestras en el aula. Veamos al respecto qué podemos decir a
partir del análisis de los registros No. 2 y 3. En el Registro No. 2, la maestra explícita
las siguientes enunciaciones:
E1
E3
E5
E7
E9.
E11.
para que nos quede la tarea bien hecha, a cada uno le voy a dar las hojas y las
figuras, para que las peguen, cada una en su lugar, ¿cierto? Esta es la primera
actividad, vamos a hacer la segunda actividad.
Vamos a mirar acá, que tenemos aquí (les señala la figura de un payaso)
Payaso, pin, pin, ¿cierto
Bueno, aquí el payaso tiene un gorro y el gorro tiene forma de qué?
¿Y la cara del payaso tiene forma de qué?
Muy bien, de círculo, entonces la actividad consiste en colorear, el gorro y la carita del
payaso del color que ustedes quieran.
M.T. Vallejo (comunicación personal, 24 de Abril de 2007).
Al comparar las actividades propuestas a los niños y niñas en el aula con los
textos escolares, podemos afirmar que aparece igualmente un predominio de las
actividades motrices en las clases de geometría en el preescolar: pegar, colorear. Si
bien la intención de las maestras es enseñar las figuras geométricas; el objeto desde
el análisis de los enunciados es un payaso geometrizado. Pero el énfasis del
presente análisis en concatenación con el Registro No. 3 y los registros
subsiguientes, es el uso recurrente de la expresión mirar o deícticos y
demostrativos (acá, aquí, este, esta) acompañada del gesto de señalamiento con el
117
Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011
La enseñanza de la geometría en el preescolar.
Myriam Vásquez Vásquez
dedo sobre la <figura objeto de aprehensión perceptual>. Identifiquemos este
aspecto en los enunciados de la maestra del Registro No. 3:
Registro No. 3
E1
E3
E5
E8
E10
E12
E14
E16
E18
E20
E22
E24
E26
E28
E30
E32
Quiero que todos miren acá. (Muestra una lámina de un triángulo con ojos, nariz,
boca y brazos. ¿Qué carita tiene esta figura?
¿será que esto es un payaso?
¡mírenla!
Pero ¿está aburrida?
¿Cómo está?
¡Feliz! Miren ¿cuántos brazos tiene?
¡Dos! Uno y dos (señalando en la figura los brazos). Y el muñeco ¿qué más tiene?
¡Pies!! Y ¿Cuántos pies?
Y ¿Cuántos ojos tiene?
¿Tiene boca?
¿Tiene naricita? (tocándose su misma nariz)
Bueno, a esta figura que vemos aquí, vamos a buscarle cuántos lados tiene. Cada
una de estas rayas es un lado (señalándole al niño uno de los lados) ¿Cuántos lados
tiene esta figura?
¡Tres! muy bien. Uno, dos y tres (señalando cada uno de los lados de la figura)
Esta figura que tengo se llama triángulo, ¿Cuántos lados tiene el triángulo?
¿Segura? Un lado, dos y tres (señalando cada uno de los lados de la figura)
J, hagámosle un color a este lado, repíntenlo...
P.A. Ramírez (comunicación personal, 13 de Abril de 2007).
El uso de la palabra miren o mirar y deícticos tiene como función llamar la
atención a los niños y niñas sobre el icono. Lo particular, al analizar los enunciados,
es encontrar que las maestras presuponen que en el acto de mirar está el
reconocimiento de las formas y sus propiedades, sin tener que decir nada más,
porque desde esta concepción el acto de mirar da lugar a una aprehensión
simultánea e inmediata del objeto representado y sus propiedades (propiedades que
estén ligadas al perfil de la forma: número de lados, rectilíneo o curvo, abierto o
cerrado).
Los enunciados no hacen referencia a las propiedades de las figuras o “sus
características”. El objeto de referencia discursiva no son las figuras geométricas,
118
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La enseñanza de la geometría en el preescolar.
Myriam Vásquez Vásquez
son los payasos (Registro No. 2), muñecos (Registro No. 3). En el Registro No. 3 se
supone que la maestra está hablando de un triángulo (E1), pero de ahí en adelante
se pierde la referencia discursiva: se habla de un payaso (E2), se habla de un
muñeco (E4), se habla de un cuadrado (E5). La maestra interpela la relación de
semejanza con un payaso, más no así para las enunciaciones E4 y E5. Sólo hasta el
enunciado E14 la maestra valida la interpretación de muñeco (para referirse al
triángulo), que es designado en los enunciados E8 (¿está aburrida?), E12 (feliz,
¿Cuántos brazos tienen?), E14 (... y el muñeco, ¿qué más tiene?) Los primeros 23
enunciados describen a un muñeco. Y después de describir un muñeco, se plantea
una relación de semejanza entre el muñeco y una figura geométrica. A partir del
enunciado E24 el muñeco es sustituido discursivamente por la palabra figura. En
conclusión, en esta clase se dijo acerca del ‘triángulo’ que es una figura de tres lados
y aparece representado en una ilustración de un muñeco en forma triangular.
De otro lado, a partir de E24 en el mismo Registro No. 3, se hace una
designación de la figura centrada en el conteo del número de lados, tal cual como lo
sugieren los textos (Figura 20 Texto D). El número de lados efectivamente es un
criterio de clasificación para las figuras rectilíneas26. Sin embargo, en el contexto
discursivo de la clase, el conteo de los lados remite a enunciar una propiedad de los
polígonos ligada a una característica visual de su contorno.
26
Figuras rectilíneas son las comprendidas por rectas, triláteras las comprendidas por tres, cuadriláteras las
comprendidas por cuatro, multiláteras las comprendidas por más de cuatro rectas (Definición I.19).
119
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La enseñanza de la geometría en el preescolar.
Myriam Vásquez Vásquez
El análisis en este segundo tópico o contenido, nos remite a tomar en
consideración varios aspectos importantes al plantear actividades como las
identificadas bajo este apartado para la enseñanza de la geometría:
Los enunciados encontrados en el discurso de las maestras en el aula de clase
y textos escolares, de manera reiterativa hacen referencia a actividades motrices que
debe realizar el niño para la identificación de las formas. Es un reconocimiento de las
figuras geométricas centrado en una aprehensión perceptiva sobre los contornos y
las formas: dibujar, colorear, recortar, pegar, contar; son acciones que validan para el
maestro la identificación de las figuras por su forma. Puede ser suficiente para hacer
una identificación de las figuras desde una visualización icónica solo observarlas,
mirarlas como dicen las maestras (ver Registros No. 2 y 3). La observación directa
del objeto representado parece ser fuente de conocimiento suficiente para las
maestras sobre las figuras geométricas. Este punto de vista epistemológico, concibe
una aprehensión perceptual de las figuras (no aprehensión operatoria o secuencial,
ver Capítulo 2).27
En otras palabras, la percepción de los iconos que representan las figuras en
los textos escolares, da acceso a las ‘propiedades que están directamente ligadas
con el contorno característico de una forma’; asunto que desde el punto de vista de
27
Duval (2003) lo denomina como un proceso propio de la visualización: “lo propio de la visualización es
producir una representación que da lugar a una aprehensión simultánea y casi inmediata, pero sin que esta
representación constituya una aprehensión de los objetos representados. Se debe estar en capacidad de discriminar
e identificar las diferentes formas y los diferentes contrastes (color, textura...) que constituyen el contenido de una
imagen, de un dibujo, de una figura. Es en este sentido que la visualización llena las funciones cognitivas de
ilustración, de economía, de identificación o de tratamiento que la hace aparentemente más poderosa para la
comprensión que cualquier discurso, así se trate de descripciones, de explicaciones o de razonamientos… pero fuera
de las matemáticas la visualización es de tipo icónico, es decir que funciona según los criterios de semejanza que
de suyo hacen como un prolongamiento o como una extensión de la percepción visual”.
120
Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011
La enseñanza de la geometría en el preescolar.
Myriam Vásquez Vásquez
las maestras debe ser la entrada al estudio de las figuras para este ciclo, o sea, la
entrada del botánico. Y desde esta perspectiva, la comprensión y aprehensión de
“estas propiedades” son posibles planteando una relación de semejanza con los
objetos de la vida real. De ser esta hipótesis válida, se explica el hecho de que en las
clases no se enuncie o diga algo sobre las propiedades de las figuras. Desde esta
entrada no tiene sentido decir algo más del objeto representado, porque aquel objeto
de aprendizaje es posible aprehenderlo vía percepción directa; por lo tanto, el valor
de los enunciados y actividades son de constatación perceptiva.
En conclusión, las actividades planteadas y agrupadas bajo la categoría de
discriminación visual de formas y contornos, vuelven a dar un tratamiento a las
figuras de ilustración, de dibujo. Este tipo de actividades donde se recrean paisajes
geometrizados para identificar las figuras a partir de su forma y contorno desde un
punto de vista epistemológico y cognitivo conllevan una visualización icónica de las
formas.
•
Formas Geométricas
Las actividades agrupadas bajo esta categoría son aquellas donde las figuras
aparecen descontextualizadas o aisladas de cualquier relación de semejanza con
situaciones o eventos de la vida cotidiana desde el objeto representado; no
necesariamente así cuando ya las maestras las introducen en el aula como objeto de
enseñanza. Igual que en las categorías anteriores, el propósito de las actividades
propuestas a los niños y niñas es el reconocimiento e identificación de las formas
geométricas.
121
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La enseñanza de la geometría en el preescolar.
Myriam Vásquez Vásquez
Figura 23 del fragmento Texto A
Figura 24 del fragmentoTexto C
Figura 25. Guía de clase: triángulo a
mano alzada
Figura 26. Guía de clase: El rombo a
mano alzada
122
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La enseñanza de la geometría en el preescolar.
Myriam Vásquez Vásquez
Los textos escolares y el discurso de maestras se caracterizan por el uso de
imperativos que implican, igual que en el apartado anterior, acciones motrices de
colorear, pintar, decorar, rellenar y repasar.
Las Figuras 23, 24, 25 y 26, son figuras representativas de las actividades
‘típicas’ que se clasifican bajo esta categoría, así como lo son apartes de registros de
aula de maestras. Al observar la Figura 23 del fragmento Texto C, el niño debe
identificar para cada caso la figura “modelo tipo”, estableciendo una relación de
semejanza con el contorno característico de una forma: circular, triangular,
cuadrangular o rectangular. Para este caso en particular, dicha identificación debe
hacerse sobre una relación figura-fondo de tres figuras superpuestas que a simple
vista es fácilmente discriminable. Pintar aparece como una acción de tipo
constatativo que da cuenta del reconocimiento de una forma. Para el caso de la
Figura 24 Texto C, las figuras aparecen en un <todo> de manera aislada, donde igual
que el ejemplo anterior, a simple vista los rectángulos son inmediatamente
discriminables. La actividad sugerida desde el enunciado es: “encierra los
rectángulos”. La colección de figuras representadas incluye rectángulos en distintas
posiciones con relación a la línea de base y diferentes dimensiones. Pero el
enunciado que ancla el reconocimiento sobre los rectángulos centra de nuevo dicho
reconocimiento en el contorno de la forma discriminada. Duval (2004, p. 168) afirma
con relación a este tipo de actividades lo siguiente: “el reconocimiento icónico de las
formas está centrado sobre el contorno de una zona o de una superficie: una forma
es un perfil”. Las Figuras 25 y 26, son también un ejemplo de guías que las maestras
123
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La enseñanza de la geometría en el preescolar.
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comúnmente plantean a los niños y niñas y cuya acción puede ser decorar, pintar o
rellenar pero cuya fuente de reconocimiento está sustentada en el perfil de la forma.
Con relación al discurso de las maestras podemos analizar los tres registros
siguientes:
Registro No. 4:
E1
M: ¿recuerdan estas figuras?
Figura 27. Guía de clase
E2
E3
E4
E5
E6
E7
E8
E9
E10
E11
E12
E13
E14
E15
E16
N: triángulo.
M: mira todas estas figuras que tengo acá. ¿Cuáles figuras ven?
N: triángulo, cuadrado.
M: el triángulo.
N: cuadrado, círculo.
M: y el círculo. ¿Cómo se llama esta figura? (señalando una de las figuras que están
plasmadas en la lámina)
S: cuadrado.
J: cuadrado.
N: cuadrado.
M: mírenla bien.
S: triángulo.
N: triángulo.
M: y ¿Cuántos lados tiene el triángulo?
N: tres.
M: bien. Y ¿ahora esta figura que tengo aquí? (muestra otra lámina, Figura 28)
124
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Figura 28. Guía de clase
E17
E18
E19
E20
E21
E22
E23
E24
E25
E26
E27
E28
E29
F: círculo.
N: círculo.
M: muy bien, el círculo. J, entonces ¿cómo se llama esta figura? (señalando la figura 16)
J: triángulo.
M: mírela bien, esta que le estoy señalando (señala la figura 17)
J: círculo.
M: y ¿está? (Señala un triángulo de la figura 16)
J: triángulo.
M: triángulo (moviendo la cabeza en forma de afirmación) ¿este círculo tiene tres lados?
N: nooo.
M: muy bien. ¿Cuántos lados tiene el triángulo?
S: tiene tres.
M: muy bien, miren esta otra figura (enseña una nueva lámina, figura 18)
Figura 29. Guía de clase
125
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La enseñanza de la geometría en el preescolar.
E30
E31
E32
E33
E34
E35
E36
E37
E38
E39
Myriam Vásquez Vásquez
N: tiene cuatro.
M: ¿Cuántos lados tiene esta figura? (arrastrando el dedo índice por los cuatro lados de
la figura)
N: cuatro.
M: esta se llama...
N: cuadrado (expresándose primero que terminara la profesora)
M: cuadrado. Y los cuatro lados de esta figura son igualiticos, vea. ¿A qué se les parece
este cuadrado?
V: a Bob Esponja.
M: bueno, a Bob Esponja puede ser; una carita de Bob esponja puede ser un cuadrado.
¿Qué otra cosa que hay acá en el salón se puede parecer a un cuadrado? (levantando la
cabeza y mirando alrededor del salón)
J: las ventanas.
M: muy bien las ventanas. (Distribuye a los niños la figura 16) Esta ficha que les acabo
de dar, van a trabajar en ella con plastilina.
C.O. Posso (comunicación personal, 11 de Octubre de 2007)
Registro No. 5:
E1
M: Aquí vemos unas figuras geométricas que ya las hemos visto, cierto, hoy las vamos
a repasar, para pasar a ver otras figuras geométricas; entonces vamos a mirar que
figuras tenemos acá (la profesora muestra a los niños una hoja en la cual hay dibujado
un triángulo, un circulo y un cuadrado, Figura 30) ¿Cómo se llama está figura? (la
maestra les señala el círculo que esta dibujado en la Figura 30)
Figura 30. Guía de clase
E2
E3
E4
E5
E6
E7
N: ¡Un circulo!(los niños responden en coro)
M: Un círculo. Éste de aquí abajo (señala el cuadrado en la figura 19) ¿cómo se llama?
N: ¡Un cuadrado!, ¡un cuadrado!(responden en coro)
M: ¿Y está? (la profesora señala el triángulo)
N: ¡Un triángulo!(responden en coro)
M: Un triángulo, cierto; entonces aquí en mi mano tengo las figuras hechas en cartulina,
cierto, las vamos a pegar dentro, donde está cada figura, cierto ¿será que si pegamos
126
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La enseñanza de la geometría en el preescolar.
E8
E9
E10
E11
E12
E13
E14
E15
E16
E17
E18
E19
E20
E21
Myriam Vásquez Vásquez
este cuadrado, aquí en el círculo, está bien o está mal? (la profesora toma la silueta del
cuadrado y la junta al círculo dibujado en la hoja)
N: ¡Está mal! (en coro responden los niños)
M: ¿Por qué está mal? ¿Por qué aquí tenemos un? ¿Está cómo se llama?
N: Un triángulo (contestan en coro)
M: ¿Está como se llama? Se llama un círculo ¿Esta cómo se llama D?
D: Un círculo
M: Y tenemos un cuadrado, nos queda mal, cierto y entonces ¿donde la pegamos?
N: ¡Ahí en el cuadrado! (contestan en coro)
M: En el cuadrado, muy bien, aquí la pegamos. Aquí tenemos el círculo, cierto
N: ¡Sí! (contestan en coro)
M: ¿La pegamos aquí en el triángulo?
N: ¡No! (contestan a coro)
M: Cierto, la debemos pegar en el círculo y tenemos la última ¿Cómo se llama está?
(señala el triángulo en la figura 19)
N: ¡Triángulo! (responden en coro)
M: Triángulo, cierto, y lo podemos pegar aquí, donde va el triángulo. Listo, para que nos
quede la tarea bien hecha, a cada uno le voy a dar las hojas y las figuras, para que las
peguen, cada una en su lugar, ¿cierto? Esta es la primera actividad, vamos a hacer la
segunda actividad.
S.M. Ríos (comunicación personal, 22 de Octubre de 2007)
Registro No. 6:
E1
E2
E3
E4
E5
E6
E7
M: Se recuerdan de la figura geométrica, la que rellenamos con plastilina, ¿si se
acuerdan?
N: ¡Sí! (contestan todos a coro)
M: ¿Cómo se llama? A ver si se recuerdan
N: ¡Ovalo! (contestan a coro)
M: ¿Cómo se llama?
N: ¡Ovalo! (contestan en coro)
M: Eso sí, tienen que aprender a hacer el ovalo, porque vamos a hacer una plana en el
cuaderno, vamos hacer en el cuaderno primero que todo, vamos a pegar, les voy a
mostrar; este es él ovalo (la maestra les exhibe una hoja en la que hay dibujado varios
óvalos). Niños, vamos a hacer la plana del ovalo, vamos a empezar a hacer la plana de
ovalo, todos tienen un ovalo, ahora ustedes van a sacar el lápiz y vamos a empezar a
hacer la plana, a ver pongan cuidado, nosotros lo vamos hacer así, el debe quedar
acostado, sí como un huevito acostado, lo tenemos que hacer alargadito como un
huevito acostadito.
J. Ledesma (comunicación personal, 7 de Octubre de 2007).
Al leer con detenimiento los enunciados de las maestras en los Registros No. 4,
5 y 6 resaltados en negrilla, podríamos afirmar que se encuentra un mismo discurso
en el aula al encontrado en el tópico de discriminación visual de formas y contornos.
Los enunciados se caracterizan por el uso de deícticos y el uso reiterativo de los
verbos mirar y repasar, como se identificó en la categoría anterior. Bajo esta
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La enseñanza de la geometría en el preescolar.
Myriam Vásquez Vásquez
categoría de plantea la vía a la identificación y reconocimiento de las formas
geométricas a partir de las accines de mirar y recordar (en el sentido autentico de
una evocación) y el uso de deícticos que remite a una acción de mirar: Registro 4
(E3, E7, E11, E21, E29); Registro No. 5 (E1, E3, E5, E7, E9, E11, E15, E17, E21);
Registro 6 (E1, E3, E7). De manera similar, se busca hallar una correspondencia del
contorno de la formas con los objetos físicos a través de una relación de semejanza;
Registro No. 4: E35, E37, E39 y Registro No. 6: E7.
El reconocimiento de las figuras se define por la relación forma-perfil vía
aprehensión perceptiva: al referirse a las características de figuras acotadas por
líneas rectas, se hace referencia exclusivamente al número de lados que exhibe el
perfil de esa forma y al referirse a figuras acotadas por líneas curvas, como el círculo
y el ovalo la característica resaltada, es su redondez.
El análisis de las enunciados de textos escolares y discurso de las maestras en
el tópico de formas geométricas reafirman tres aspectos encontrados en los
anteriores tópicos: i). El tratamiento de las figuras en las clases y textos escolares
como iconos e ilustraciones, aun si las figuras desde su presentación estén aisladas
de todo contexto referido a situaciones de la vida cotidiana; ii) Las actividades
propuestas a los niños y niñas plantean una constatación de dicho reconocimiento de
las formas a partir de actividades motrices de colorear, encerrar, etc.; iii) Desde el
punto de vista discursivo, el objeto de referencia, las figuras, aparecen designadas
nominalmente.
128
Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011
La enseñanza de la geometría en el preescolar.
•
Myriam Vásquez Vásquez
Simetrías
El análisis de esta categoría encuentra su lugar al identificar en algunos textos
escolares actividades designadas con la palabra ‘simetrías’. Con relación a esta
categoría, en el marco de la investigación no se recolectaron registros de aula de las
maestras. Es un contenido determinado en algunos textos de ediciones más
recientes, en particular para los niveles de jardín y transición, se considera pertinente
analizar este las actividades agrupadas bajo esta categoría para establecer un
contraste con las categorías precedentes.
Las ilustraciones siguientes representan las actividades prototipo que bajo esta
categoría se presentan en los textos escolares: representación de objetos de la vida
real divididos a la mitad por un segmento horizontal o vertical (Figura 33 Texto A) y,
se presenta una de las mitades del objeto representando “el modelo o forma tipo” a
reproducir o imitar en la otra mitad (Figuras 31 y 32 del Texto C):
129
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La enseñanza de la geometría en el preescolar.
Figura 31 del fragmento Texto C
Myriam Vásquez Vásquez
Figura 32 del fragmento Texto C
Figura 33 del fragmento Texto A
130
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La enseñanza de la geometría en el preescolar.
Myriam Vásquez Vásquez
Explicitemos los indicadores, comentarios y sugerencias del texto escolar para
el docente de la Figuras 31 y 32.
-
Indicadores
• Reproduce un modelo dado coordinando la vista y la mano
• Reproduce elementos y modelos a partir de simetrías
-
Comentarios y sugerencias
• Converse con los niños y las niñas acerca de los insectos como una clase de animales.
Pídales que identifiquen la araña, la hormiga, la mariquita, la libélula y el chinche. Hable
sobre los insectos beneficiosos, como la abeja.
• Motívelos a buscar material sobre otros insectos
Los indicadores hacen referencia a la acción de reproducir “elementos de un
modelo”. Y los comentarios o sugerencias tienen su objeto de referencia discursiva
por fuera de la actividad matemática. Si se quiere contrastar el aporte o “valor
pedagógico” de estas actividades con las precedentes; realmente no se encuentran
diferencias: se trate de actividades planteadas en las categorías referidas:
simetrías, reconocimiento de figuras geométricas, trazos y reconocimiento visual de
formas y contornos; las actividades que posibilitan la enseñanza de las figuras son
las mimas, colorear, dibujar, trazar, pintar.
De otro lado, si se observa con detenimiento la Figura 33 del Texto A, los
objetos representados están divididos a la mitad por una línea vertical u horizontal.
Esta línea trazada a la mitad, parece sugerir que el contenido propuesto estaría en
relación con la simetría respecto a un eje, o sea, de simetría axial, mirada desde el
punto de vista matemático. Dicha actividad exige una aprehensión operatoria y una
reflexión mental de la figura sobre la recta, o una media vuelta alrededor del eje
(giro que el niño y niña tendría que imaginar por fuera de la página). El reporte y
131
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La enseñanza de la geometría en el preescolar.
Myriam Vásquez Vásquez
enunciación de la maestras en las entrevistas respecto a la pertinencia de estas
actividades, permite afirmar que el abordaje que dan las maestras a estas
actividades reduce su potencial y queda reducida a una actividad de motricidad fina,
de manera similar a lo encontrado en el análisis de las anteriores categorías.
Otro supuesto es pensar que la actividad como fue diseñada para niños y
niñas pequeños, puede hacer más referencia a una aproximación al estudio de
simetría bilateral, donde en el campo de la biología dicho concepto es muy
importante para el estudio y clasificación taxonómica de los animales. Desde este
punto de vista, se justifica plantear actividades como las representadas en las
Figuras 31 y 32 del Texto C. Se habla de que algunos animales poseen simetría
bilateral cuando el animal puede ser dividido en dos mitades iguales sólo por un
plano. Los animales que presentan simetría bilateral son más complejos y muestran
un mayor grado de cefalización (mayor desarrollo del sistema nervioso y órganos de
los sentidos). Ejemplos de animales con simetría bilateral son los Anélidos, los
Artrópodos, Moluscos y todos los Vertebrados.
Sin embargo, el alcance de estas actividades como parte de un conocimiento
referido a los objetos de estudio de la geometría, se inscribe igualmente en la
misma entrada que se hace para el reconocimiento de las figuras geométricas: la
vía de aprehensión es la percepción de las formas y contornos sugeridos por los
objetos representados, reconocimiento del que deben dar cuenta los niños y niñas a
partir de actividades motrices.
132
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La enseñanza de la geometría en el preescolar.
Myriam Vásquez Vásquez
Orientación y ubicación espacial
•
El presente tópico analiza actividades que comúnmente se presentan
clasificadas en los textos escolares en el contenido “orientación y ubicación espacial”
como: delante-atrás, arriba-abajo, encima-debajo, izquierda-derecha. Su pertinencia
está determinada por la interrelación que encuentran las maestras con este tipo
actividades en la enseñanza de las figuras geométricas. La consigna para el registro
en las aulas era precisa: Vamos hacer una observación de las clases donde tú
consideres que estás enseñando geometría a los niños y niñas. Sin embargo, el
conjunto de registros de cada maestra28 permite corroborar que en el marco de esta
consigna se consideran actividades como: dentro-fuera, largo-corto, arriba-abajo,
ancho-angosto, reconocimiento de formas, clases de educación física, de conjuntos,
etc.
Al indagar sobre este asunto en entrevistas espontáneas es común encontrar
justificaciones del siguiente orden:
Entrevista 1
E1
E2
E3
E4
E5
E6
I: ¿Qué concepción de espacio deben aprender los niños y niñas en la escuela?
M: Que ellos ubiquen la lateralidad, tiene que ver con espacio, arribaabajo, derecha izquierda, figuras, planos, sólidos..., figuras que guarden
las semejanzas con la realidad.
I: ¿Qué relación tienen los conocimientos espaciales con la geometría?
M: El niño es un ser integral, le permite hay veces ver en una lámina, un
paisaje, una motricidad, la derecha o la izquierda del cuerpo, todo tiene
que ver con eso.
I: ¿Qué geometría aprenden los niños en el preescolar?
M: Medidas, longitud, magnitud, ángulos, líneas, formas, tamaños,
ubicación. No es tanto decirle que es, es que el niño aprenda a ubicarse
en un espacio, en un espacio de su vida cotidiana y en una hoja. Por
ejemplo, en el proyecto yo le tengo que explicar cuál es el animal más
pequeño o más grande, pero sí yo lo saco al patio él me debe decir cuál
es el más grande o más pequeño. La experiencia con lo real conlleva un
28
Cada maestra delimitaba la clase que ella consideraba estaba relacionada con un contenido de “geometría” para
ser registrada.
133
Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011
La enseñanza de la geometría en el preescolar.
E7
E8
E9
E10
E11
E12
E13
E14
E15
E16
Myriam Vásquez Vásquez
buen trabajo en la guía. El niño no lo hace en una hoja pero sí lo saco al
patio él va identificar el árbol más pequeño.
I: ¿Qué concepción tienes de espacio geométrico?
M: Cómo me ubico yo dentro determinado espacio, por ejemplo; los niños
no se van a ubicar igual frente a un espacio abierto, cerrado, pequeño,
angosto, eso son espacios.
I: Esas actividades de ubicación y orientación espacial ¿tienen que ver con la
enseñanza de la geometría?
M: Sí, claro.
I: ¿Cómo se relacionan?
M: Están relacionados por la forma, por el tamaño.
I: De las formas geométricas ¿Qué tienen que aprender los niños?
M: Su forma, cuántos lados tienen, deben identificarla por su nombre. Por
ejemplo, cómo se llama esta figura, el triángulo y decir que tiene 3 lados.
I: ¿Cómo hacen los niños para identificar figuras como el cuadrado y el
rectángulo que tienen el mismo número de lados?
M: Ambas tienen cuatro lados. El cuadrado tiene cuatro lados iguales y el
rectángulo dos lados largos y dos lados cortos.
O. Otálora (comunicación personal, Mayo, 2007).
Al plantear un análisis del discurso que circula en los textos escolares,
registros de aula y entrevistas a las maestras, se puede afirmar que las prácticas de
aula que sustentan la enseñanza del espacio y la geometría son una unidad
discursiva homogénea y consistente. Basta contrastar los enunciados resaltados
con negrilla del discurso de la maestra del parágrafo anterior (E2, E4, E 6, E8, E8,
E10, E12, E14, E16), los enunciados de las maestras en los registros de aula, con
los enunciados de los textos escolares y para encontrarse “la misma cara en ambos
lados de la moneda”. En conclusión es un mismo discurso, no importa qué tipo de
actividad, qué nivel de escolaridad del ciclo de preescolar, si la metodología del
texto escolar es a través de proyectos integrados o unidades de trabajo se dice lo
mismo en los contextos discursivos que están en relación con la enseñanza de la
geometría en el preescolar.
Dada la “estrecha interrelación” que plantean las maestras entre los
conocimientos espaciales y conocimientos geométricos (desde el discurso de las
134
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La enseñanza de la geometría en el preescolar.
Myriam Vásquez Vásquez
maestras ambos conocimientos hacen parte del mismo dominio), es importante
hacer el análisis de las actividades agrupadas bajo este tópico para entender la
concepción de espacio y geometría de las maestras en el marco de estas
actividades. La pregunta de entrada es por el sentido y relación de dichas
actividades (dentro-fuera, arriba-abajo, izquierda-derecha, encima-debajo, etc.) con
relación a la actividad geométrica: ¿Qué permite comprender de las propiedades de
las figuras geométricas actividades de largo-corto, ancho-angosto, dentro-fuera,
encima-debajo, izquierda-derecha, etc.? Esta pregunta encuentra una mayor
pertinencia al observar la cantidad de tiempo escolar que se invierte en el desarrollo
de estas actividades en las aulas.
Al respecto, en el marco de la investigación, como se mencionó al inicio del
capítulo, se diseñó una rejilla (ver Anexo No. 2) para analizar la frecuencia de
actividades por tópicos o contenidos encontrados en los textos escolares y
retomados como categorías de análisis en la presente investigación. La rejilla
explicita la relación No. de actividades/tiempo con relación a las categorías
definidas en este apartado: trazos, discriminación de contornos y formas, formas
geométricas, simetrías y orientación y ubicación espacial.
La rejilla es una representación bidimensional de dos ejes:
•
Sobre el eje vertical, se representa la estructura del texto por unidades,
en la cual bajo cada unidad se identifica n actividades por unidad (o
periodo como aparece en algunos textos) Se trata de discriminar del
conjunto de actividades por unidad cuántas están referidas a los
conocimientos espaciales y a los conocimientos geométricos.
135
Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011
La enseñanza de la geometría en el preescolar.
•
Myriam Vásquez Vásquez
Sobre el eje horizontal se describen los tópicos abordados por los textos
que delimitan un conjunto de actividades: trazos, discriminación visual de
formas
y
contornos,
orientación
y
ubicación
espacial,
formas
geométricas, simetrías definidos ya en el presente capítulo.
Una vez aplicada la rejilla a todos los textos escolares analizados en la
investigación, se permite afirmar que hay una tendencia marcada en los textos
escolares a privilegiar desde una perspectiva de los contenidos las actividades
con relación a los conocimientos espaciales en los tres niveles, aproximadamente
en una proporción de 1:5 en prejardín, 1:4 jardín y de 1:3 en transición (ver anexo 2).
La diferencia entre los niveles radica en aspectos de forma y frecuencia, más no de
contenido, un criterio claramente observable es que en los tres niveles aparecen
actividades de los cinco tópicos delimitados. Así mismo, el número de actividades y
unidades (o períodos) aumentan según el nivel (prejardín 12, jardín, 14 y transición
16) en la mayoría de las editoriales analizadas y, a su vez, el número de actividades
por unidad se incrementa de acuerdo al nivel. Este aspecto fue igualmente
preguntado a las maestras en las entrevistas y su respuesta más frecuente a este
hecho es un criterio de maduración: sí el niño tiene más edad, puede desarrollar
más actividades.
La intención de introducir dicho análisis en este momento del documento está
justamente en cuestionar no sólo la gran cantidad de tiempo que se dedica a estas
actividades, sino su verdadero sentido y alcance, bien sea que desde un punto de
136
Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011
La enseñanza de la geometría en el preescolar.
Myriam Vásquez Vásquez
vista didáctico se las quiera relacionar con el estudio de las invariantes
pertenecientes a conocimientos de la geometría topológica y proyectiva.29
Este hallazgo no es en absoluto ingenuo ni gratuito. Corresponde a una
concepción de construcción del espacio y la geometría devenidos de la teoría
piagetiana y sus intérpretes. Recordemos el orden epistemológico planteado por
Piaget (1947) frente a la construcción del espacio: las relaciones topológicas son
anteriores a las proyectivas y a las métricas.
La detención en este punto se hace importe para reconocer el por qué del
énfasis de unas actividades sobre las otras. El problema radica es en la entrada que
se hace desde la enseñanza usual para acercarse a estas distintas geometrías. Sin
embargo, vale la pena decir que el discurso que caracteriza estas prácticas
incluyendo textos, registros de aula y entrevistas no dan cuenta de un
reconocimiento desde el punto de vista matemático de estos aspectos. “-Hay que
enseñar arriba-abajo, delante-atrás – ¿por qué? – porque eso ayuda a que el
niño se ubique y oriente en el espacio (a este espacio que se refieren las
maestras es al espacio físico y/o el de la hoja de papel).
De otro lado, los invariantes proyectivos se han interpretado en el aula en
términos absolutos: delante-atrás, encima-debajo, sobre-bajo, derecha-izquierda,
entre-al lado-enfrente y abordados desde esta perspectiva no significa que se esté
29
Al respecto por ejemplo Vecino (2005b) propone que para el diseño de secuencias didácticas y la introducción
de distintas geometrías en educación infantil, se deben introducir en las actividades planteadas para el estudio de
invariantes topológico, proyectivo y métrico. Según el autor las invariantes que caracterizan cada uno de estos
dominios son las siguientes. Las invariantes que caracterizan la geometría topológica son: el tipo de lugar
geométrico (abierto o cerrado, con la consiguiente determinación de distintas regiones en el espacio –interior,
exterior y frontera), continuidad o discontinuidad del lugar geométrico, tipo de conexión entre los elementos del
lugar geométrico, tipo de compacidad del lugar geométrico. Las principales invariantes que caracterizan la
Geometría proyectiva son la orientación y la localización en el espacio, invariantes que se traducen en términos
como: delante-detrás, encima-debajo, sobre-bajo, derecha-izquierda, entre-al lado-enfrente.
137
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La enseñanza de la geometría en el preescolar.
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aprendiendo algún sistema de referencia u otro conocimiento que posibilite tener
competencias para ubicarse y orientarse en el espacio. Hablar de orientación y
localización en el espacio significa tomar sistemas de referencia de coordenadas
cartesianas y/o polares según sea el caso. Dichos sistemas de referencia dependen
del punto de vista del observador, del objeto, de unas posiciones relativas, no
posiciones absolutas cómo se plantean en las actividades corrientes: encima-debajo,
delante-atrás, etc., como puede observarse en las Figuras 34, 35, 36, 37, 38, 39 y
40:
Figura 34 del fragmento Texto A
Figura 35 del fragmento Texto A
138
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La enseñanza de la geometría en el preescolar.
Myriam Vásquez Vásquez
Figura 36 del fragmento Texto A
Al respecto, Vecino (2008b) plantea que para este tipo de actividades se debe
plantear un itinerario didáctico que pase por las siguientes etapas:
• La referencia es otro sujeto u objeto orientado y las posiciones son relativas.
• La referencia es otro sujeto u objeto orientado y las posiciones dependen del punto
de vista del observador.
• La referencia es otro sujeto u objeto no orientado y las posiciones dependen del
punto de vista del observador.
• Las relaciones son múltiples.
Sin embargo, como lo veremos a continuación, desde la enseñanza usual las
actividades que plantean textos escolares y apartes de registros de aula tomados
como objeto de estudio verifican que dichas actividades se circunscriben a una
relación perceptiva del espacio físico o el espacio representado en la hoja de papel:
139
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Figura 37 del fragmento texto C
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Figura 38 del fragmento texto C
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La enseñanza de la geometría en el preescolar.
Figura 39 del fragmento texto C
Myriam Vásquez Vásquez
Figura 40 del fragmento texto C
Retomemos para el análisis de las actividades planteadas en los textos, los
enunciados que aparecen “en la fichas de trabajo” y los enunciados resaltados con
negrilla en los registros de aula de las dos maestras que se presentan en las páginas
siguientes:
•
Colorea morado el recipiente alto. Colorea amarilla la lámpara baja. Figura 34 Texto A.
•
Colorea amarillo cada pájaro que está arriba. Colorea verde cada pájaro que está
abajo. Figura 35 Texto A
•
Colorea a la derecha tantos como a la izquierda. Figura 36 Texto A
•
Marca el camino que lleva al príncipe hasta el castillo, siguiendo las fechas. Figura 37
Texto C
•
Encuentra el camino hasta la puerta de la torre. Figura 38 Texto C
141
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La enseñanza de la geometría en el preescolar.
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•
Colorea los animales que están dentro del corral. Figura 39 Texto C
•
En cada caso, colorea los animales que están fuera. Dibuja un pez en la pecera.
Dibuja otro animal fuera de la pecera. Figura 40 Texto C
Registro No. 7:
E1
E2
E3
E4
E5
E6
E7
E8
E9
E10
E11
E12
E13
E14
E15
E16
E17
E18
E19
E20
E21
E22
E23
E24
E25
E26
E27
Miren esta lámina de aquí (mostrándoles la Figura No. 37) ¿Qué cosa hay?
S: una mesa.
M: ¿y qué más?
F: una ovejita, un pájaro y una araña.
M: haber quien me dice donde está la oveja.
K: aquí (señalando con el dedo en la lámina)
M: y ese lugar de la mesa ¿cómo le decimos?
K: debajo.
M: bien K, entonces encima de esta mesa ¿qué animal ve?
C: una araña.
D: araña.
M: hay un pájaro ¿cierto?
N: ¡sííí!
M: ése ¿qué lugar ocupa? ¿está encima?
N: ¡nooo!
M: entonces ¿está debajo?
S: ¡sí!
N: ¡nooo!
M: S, mire bien la lámina; todo lo que está en esta parte sería debajo de la mesa
(señalando la parte que quiere dar a conocer). Si el animalito no está en esa zona,
entonces no se puede decir que está debajo. Ahora ¿El pájaro está en esta zona?
S: no.
M: ¡quiere decir que no está debajo!
F: está al lado de la pata.
M: ¡muy bien! Cada niño va a colorear la lámina
K: Profe, ¿le ayudo? (le ayuda a pasar la actividad a los demás compañeros)
M: K pásele en la mano a los compañeros.
K: ¿la mesa también?
M: claro, coloreen la mesa también y encierren el animalito que está debajo de la mesa.
142
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La enseñanza de la geometría en el preescolar.
Figura 41. Guía de clase
Myriam Vásquez Vásquez
Maestra Transición
Registro No. 8:
E1
E2
E3
E4
E5
E6
E7
E8
E9
E10
E11
E12
E13
E14
E15
E16
E17
E18
E19
E20
E21
E22
E23
E24
E25
E26
E27
E28
M: ¡niños!, estaban jugando a los cogidos el elefante, el osito. (Mostrando la lámina
ilustrada) estaban jugando a los cogidos. El elefante era el que cogía. ¿Quién cogía?
N: el elefante
M: y estaban jugando con el oso
J: la araña
M: la araña y el
S: la oveja
M: la oveja
N: la iguana
M: la iguana y
N: el pájaro
M: Resulta que el elefante salió corriendo; ¿cuál fue el primero que encontró?
C: el oso
M: muy bien, ¿a quien encontró primero? ¿A quién cogió de primero?
N: al oso
M: porque era el que estaba más cerca. ¿Estaba más qué?
N: más cerca
M: pero por ahí había otro
S: la araña
M: la araña, véanla aquí. (Señalándola en la lámina). Pero había otro animal que estaba
mucho más cerca.
J: la oveja
M: la oveja. Pero duro tanto tiempo tratando de llegar, porque estaban muy lejos.
¿Cuáles serán los que están lejos? ¡V!
N: el pájaro
M: muy bien. Y ¿cual otro estaba lejos que duro mucho tiempo corriendo para poderlo
coger? (los niños miran la lámina y responden)
K: a la iguana
M: muy bien K, a la iguana que estaba en la iglesia. Y el pajarito ¿Estaba cerca o estaba
lejos?
S: lejos
M: ¿estaba lejos o estaba cerca? (señalando a D)
D: lejos
143
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La enseñanza de la geometría en el preescolar.
E29
E30
E31
Myriam Vásquez Vásquez
M: muy bien. V ¿estaba lejos o cerca el pájaro?
V: lejos
M: ¡lejos!, muy bien. Vamos a pintar entonces los animales de este cuentito.
Figura 42. Guía de clase
L. A. Bonilla (comunicación personal, 30 de Octubre de 2007).
En complemento a este análisis, a continuación explicitamos los comentarios y
sugerencias que aparecen en el texto guía del docente a manera de ejemplo de las
actividades pertenecientes a las Figuras 43 y 44 del Texto C respectivamente:
•
Observe la ilustración con los niños y las niñas y pregúnteles qué observan, qué clase
de animales hay, dónde están, por qué están allí.
•
Converse con ellos sobre la riqueza de las granjas y todo lo que en ellas se puede
encontrar.
•
Desarrolle los ejercicios teniendo presente que los estudiantes deben observar
detalladamente las situaciones ilustradas.
144
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La enseñanza de la geometría en el preescolar.
Myriam Vásquez Vásquez
Tres aspectos importantes hay para decir de la enunciación que enmarca a las
actividades de orientación y ubicación espacial en textos y registros de aula:
•
El primero aparece con relación a entender que la posición de los objetos
representados en la hoja de papel, igual que para la enseñanza de las figuras
geométricas, se hace vía actividades motrices: colorear, dibujar, pintar, etc.
¿Será que observar las láminas no es suficiente para designar qué animales
están adentro o afuera?
•
El segundo está en relación con la enunciación en las aulas de clase y las
sugerencias planteadas en los textos escolares. Para el caso, las actividades
de orientación y ubicación espacial se enmarcan en una actividad discursiva
cuya función es designar, describir y relatar láminas o ilustraciones. El
discurso está por fuera de la actividad matemática (Registro 9: E1, E3, E11,
E13), no aparece ningún enunciado que permita al niño ubicarse en un
sistema de referencia y comprender que frente a este tipo de situaciones
(cerca-lejos, alto-bajo, arriba-abajo, encima-debajo, izquierda-derecha) las
posiciones siempre son relativas, no absolutas, bien sea para ubicarse en un
espacio físico y/o la hoja de papel.
•
El tercer aspecto es para decir que las situaciones recreadas para enseñar
relaciones espaciales se podrían calificar de poco pertinentes. Como podemos
observar en la Figura 34 Texto A, la relación planteada es alto-bajo; es una
relación que hace referencia a una medida de longitud. Sin embargo, los
objetos a comparar son dispensadores de jabón y lámparas, que a simple
vista pueden tener muchos atributos medibles. Igualmente para las
145
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La enseñanza de la geometría en el preescolar.
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actividades de orientación si no hay sistema definido para orientarse en el
plano, no son actividades de orientación. La consigna más clara sería: ¡Siga la
flecha! para el caso de la Figura 37, Texto C.
Estos hallazgos ya han sido analizados en el marco de investigaciones por el
equipo de Bourdeaux. Salin (2004) al respecto plantea que el alcance de estas
actividades es absolutamente restrictivo ya que significa en el mejor de los casos
controlar esencialmente las relaciones espaciales de manera empírica y contingente.
La autora considera que transformaciones sobre estas prácticas deben concebirse
desde los currículos escolares de una manera explícita y entender que las
competencias de un sujeto sobre los conocimientos espaciales “de base” deben estar
en relación con el aprendizaje de la toma de conciencia de un lenguaje espacial de
las posiciones y de los desplazamientos, de la toma de conciencia de los fenómenos
ligados a los cambios de puntos de vista, elaboración y utilización de
representaciones del espacio que nos rodea, etc. En el marco de su propuesta se
denomina espacio-geométrico la modelización del espacio a través de conocimientos
surgidos del saber geométrico, y analógica la modelización de un espacio por
esquemas, croquis, dibujos, planos, etc. Concluye además, que la modelización
denominada analógica igualmente requiere del uso de “sistemas simbólicos” para
poder validar la representación del espacio físico.
En otras palabras, vale la pena plantearse un interrogante equivalente al
expresado con relación a las actividades relacionadas con el estudio de las formas:
146
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La enseñanza de la geometría en el preescolar.
Myriam Vásquez Vásquez
¿Qué están aprendiendo los niños y niñas acerca de la orientación y localización en
el espacio?
En conclusión la enunciación de las maestras y textos escolares aparecen en
concomitancia con la concepción epistemológica del espacio piagetiano en tanto se
piensa que primero se deben dominar relaciones de tipo topológico y proyectivo
antes que las euclideas. Se reconoce entonces un predominio sobre las actividades
referidas a una ‘geometría topológica y proyectiva’, sobre una geometría métrica. Las
actividades están planeadas en términos absolutos: largo-corto, bajo-alto, anchoangosto, etc., desconociendo un sistema de medida y de referencia. Las
investigaciones en el campo de la educación matemática entre ellas las de
Brousseau (1983), Salin (1992, 2004), Grecia Gálvez (1985); muestran el camino
desandado frente al alcance de estas actividades.
Para terminar, con relación a este punto 3.2 que toma como objeto de análisis
la enunciación de las maestras del preescolar y los textos escolares sobre el
conocimiento geométrico puede afirmarse que la concepción y comprensión de la
actividad geométrica no va más allá de una visualización icónica de las formas,
esto significa que no hay una práctica discursiva que dé cuenta de una auténtica
enseñanza de la geometría en el preescolar.
De manera similar las actividades referidas más al dominio de los
conocimientos espaciales con relación a la orientación y ubicación espacial (Figuras
34 p. 131-, 35 p. 131-, 36 p. 132-, 132, 37 p.133-, 38 p.133-, 39 p. 134-, 40 p. 134-,
41 p. 135-, 42 p.136), están por fuera de una actividad matemática, entonces ¿por
qué invertir tanto tiempo en ello?
147
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La enseñanza de la geometría en el preescolar.
Myriam Vásquez Vásquez
3.2.2 ¿Qué “dicen” los niños y niñas en las clases de geometría en el
preescolar?
El valor en el marco de la investigación de un análisis vía la significación de
dichas práctica es justamente tomar conciencia del sujeto de aprendizaje que es
ignorado desde lo que Duval (1999, p. 61) llama un modelo lingüístico de la
representación centrado en la función de expresión. Veamos qué se juega a
partir del análisis del discurso de las maestras y los textos escolares al plantear un
análisis desde el punto de vista de la significación. Dicho análisis tomará dos
variables fundamentalmente:
•
El lugar del interlocutor (niños y niñas) en la enunciación de las clases
que “enseñan geometría”
•
El lugar del interlocutor (niños y niñas) en los enunciados de los textos
escolares
3.2.2.1
El lugar del interlocutor (niños y niñas) en la enunciación de las
clases que “enseñan geometría”
Para realizar este análisis basta con segmentar las unidades discursivas que
pertenecen a los niños y niñas en los registros de aula y hacer un largo listado de
sus respuestas afirmativas y negativas o designativas y de sus escasas preguntas.
Dado que todos los 56 registros de la investigación tienen una misma dialéctica
148
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La enseñanza de la geometría en el preescolar.
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discursiva por parte de las maestras: un primer momento de exhibición del objeto y
un segundo momento de decoración del objeto, cualquier registro que se tome
para el análisis de la significación una vez llegado a la conclusión previa, sirve como
registro ‘modelo típico representativo’ de análisis. Para este punto entonces se
retoma el Registro No. 4, perteneciente a una maestra de transición que se toma
como objeto de análisis en el tópico B de Formas geométricas (se omiten las Figuras
27, p. 123; Figura 28, p. 124; Figura 29, p. 124; correspondiente al registro No. 4).
Registro No. 4:
E1
E2
E3
E4
E5
E6
E7
E8
E9
E10
E11
E12
E13
E14
E15
E16
E17
E18
E19
E20
E21
E22
E23
E24
E25
E26
E27
E28
E29
E30
M: ¿recuerdan estas figuras? (figura 16)
N: triángulo.
M: mira todas estas figuras que tengo acá. ¿Cuáles figuras ven?
N: triángulo, cuadrado.
M: el triángulo.
N: cuadrado, círculo.
M: y el círculo. ¿Cómo se llama esta figura? (señalando una de las figuras que están
plasmadas en la lámina)
S: cuadrado.
J: cuadrado.
N: cuadrado.
M: mírenla bien.
S: triángulo.
N: triángulo.
M: y ¿Cuántos lados tiene el triángulo?
N: tres.
M: bien. Y ¿ahora esta figura que tengo aquí? (muestra otra lámina, figura 17)
F: círculo.
N: círculo.
M: muy bien, el círculo. J, entonces ¿cómo se llama esta figura? (señalando la figura 16)
J: triángulo.
M: mírela bien, esta que le estoy señalando (señala la figura 17)
J: círculo.
M: y ¿está? (Señala un triángulo de la figura 16)
J: triángulo.
M: triángulo (moviendo la cabeza en forma de afirmación) ¿este círculo tiene tres lados?
N: nooo.
M: muy bien. ¿Cuántos lados tiene el triángulo?
S: tiene tres.
M: muy bien, miren esta otra figura (enseña una nueva lámina, figura 18)
N: tiene cuatro.
149
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La enseñanza de la geometría en el preescolar.
E31
Myriam Vásquez Vásquez
M: ¿Cuántos lados tiene esta figura? (arrastrando el dedo índice por los cuatro lados de la
figura)
N: cuatro.
M: esta se llama...
N: cuadrado (expresándose primero que terminara la profesora)
M: cuadrado. Y los cuatro lados de esta figura son igualiticos, vea. ¿A que se le parece este
cuadrado?
V: a Bob Esponja.
M: bueno, a Bob Esponja puede ser; una carita de Bob esponja puede ser un cuadrado. ¿Que
otra cosa que hay acá en el salón se puede parecer a un cuadrado? (levantando la cabeza y
mirando alrededor del salón)
J: las ventanas.
M: muy bien las ventanas. (Distribuye a los niños la figura 16) Esta ficha que les acabo de dar,
van a trabajar en ella con plastilina.
E32
E33
E34
E35
E36
E37
E38
E39
C.O. Posso (comunicación personal, 11 de Octubre de 2007).
Un primer punto de partida para iniciar el análisis es decir que el intercambio
comunicativo que se impone entre un maestro(a) y una comunidad de aprendices
tiene una particularidad dialógica en tanto la voz imperante es la del maestro (así
sea desde un modelo llamado imitativo, expositivo, interactivo, constructivista, etc.)
comanda, dirige la clase. Precisamente ahí radica la riqueza de éste análisis: ¿qué
se puede decir en el marco de una enunciación en las clases de geometría
desde el lugar de los niños y niñas cuando la modalidad discursiva dominante
es la designación?
Los enunciados resaltados con negrilla pertenecen a las respuestas y
reafirmaciones de los niños y niñas. Dichas respuestas y reafirmaciones son de tipo
constatativo, asunto que le permite valorar a la maestra “sí los niños y niñas le están
entendiendo”. En este contexto discursivo las constataciones son de dos órdenes:
•
Designar con una palabra el nombre de la <figura> u objeto que la maestra
señala (E2, E4, E6, E8, E9, E10, E12, E13, E17, E18, E20, 22, E24).
150
Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011
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•
Myriam Vásquez Vásquez
Respuestas a preguntas que presuponen la respuesta y donde la elección es
binaria: si/no (E26).
Los niños y niñas no tienen que decir nada, porque no necesitan decir nada en el
contexto de enunciación de las clases de geometría; necesitan hacer: colorear,
pintar, rasgar, trazar, etc. No hay lugar para su voz; no tendría realmente sentido
decir nada, dado que su aprendizaje se valora y evalúa en términos de su hacer, no
de su decir.
3.2.2.2
El lugar del interlocutor (niños y niñas) en los enunciados de los
textos escolares
Los textos escolares son un correlato del discurso de las maestras en el aula. En
el análisis del tópico orientación y ubicación espacial se llegaba a la conclusión de
que el discurso del texto escolar y el de las maestras es uno solo. Sin embargo, hay
una diferencia importante en los textos escolares respecto al análisis de la
significación: el interlocutor es el maestro, no el niño (incluso en la versión diseñada
para los niños). Recordemos que el maestro cumple la función de cooperador
interpretante, es el lector modelo (Eco, 1993), y en este ciclo más que en cualquier
otro, porque el niño no es un lector competente. Aún así, texto y contexto de
enunciación, como se afirmó antes es uno solo que concibe al niño y a la niña como
un aprendiz muy hábil motrizmente.
Si analizamos los registros de las maestras y de los textos escolares
referenciados en este capítulo, se puede afirmar que no hay un solo enunciado que
sea una expansión discursiva tipo descripción, explicación o justificación con relación
151
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La enseñanza de la geometría en el preescolar.
Myriam Vásquez Vásquez
a la actividad geométrica. De un lado, la enunciación en las aulas por parte de las
maestras se caracteriza por una referencia a las figuras geométricas en un sentido
nominal, aspecto que, con relación a las operaciones discursivas, se reduce a una
designación pura30 de dichos objetos. De otro lado y anudado a la premisa
precedente, el solo análisis de lo que dicen los niños y niñas, o mejor, de los “no” y
los “sí” de los niños en clase, se permite afirmar del lado de la significación que las
figuras geométricas son dibujos o ilustraciones, entre otras representaciones
icónicas, que igual se pintan, se rellenan, se decoran…etc.
30
Duval (1999, p. 89) define como una de las funciones discursivas la designación. La operación de designación
pura. consiste en identificar un objeto sea mostrándolo con un gesto, sea asociándole una marca particular o una
combinación particular de signos que provienen, por ejemplo, de un sistema de etiquetas. Toda apelación por
atribución a un objeto de un signo (letra o número) o de un nombre que le sea "propio", es una operación de
designación pura. Utilizados por una operación de designación pura, los signos no tienen significación; se
reducen a un empleo referencial. Esta operación es por sí misma suficiente para designar y para permitir
identificar un objeto (…) Por lo general, una operación de designación pura puede bastar para identificar el objeto
del cual se habla en el contexto de una comunicación oral, pero no en el de una expresión escrita.
152
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La enseñanza de la geometría en el preescolar.
Myriam Vásquez Vásquez
4. CONCLUSIONES
Al inicio de este trabajo se propuso identificar las concepciones sobre espacio y
geometría en el discurso de las maestras y textos escolares en las actividades
circunscritas a la enseñanza de la geometría en el preescolar. La perspectiva
asumida para adelantar dicho estudio se inscribió en una teoría semiótica de la
educación matemática; lente con el cual se analizaron los textos escolares y el
discurso de las maestras. Una vez culminado este ejercicio académico, puede
concluirse con los siguientes resultados:
•
Desde un punto de vista epistemológico y cognitivo puede decirse que la
concepción de espacio y geometría de las maestras de preescolar y textos
escolares que determinan la práctica de la enseñanza de la geometría no va
más allá “de lo que el ojo puede percibir, la mano puede tocar, manipular y
trazar”. Se trata por parte de los niños y niñas de un dominio que exige una
práctica empírica sobre los objetos del mundo sensible. En esta perspectiva
las figuras son ‘miradas’ en función de una relación de semejanza entre la
forma visualmente discriminada y la forma típica del objeto representado.
Generalmente
esta
semejanza
basta
para
reconocer
directa,
e
inmediatamente, el objeto representado, como en la percepción del mundo
153
Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011
La enseñanza de la geometría en el preescolar.
Myriam Vásquez Vásquez
circundante. Esta forma de ‘ver’ implica una visualización icónica de las
formas, cuyo mecanismo de iconicidad funciona para cualquier otra
representación visual
fuera de las matemáticas. Las praxis anudadas al
ingreso del registro figural y estudio de la formas clásicas euclidianas
coinciden con la entrada del Botánico (Duval, 2003, 2004b, 2005). En una
organización de los aprendizajes centrada exclusivamente en la visualización
icónica de las formas no es posible hablar de actividad geométrica
propiamente dicha.
•
Un análisis de la enunciación y de la dialéctica discursiva de “la clase” permite
identificar dos momentos claramente definidos: un primer momento de
“exhibición del objeto de aprendizaje”, caracterizado por una referencia
discursiva a las figura en un sentido nominal y donde no se introduce nada
discursivamente con relación a las propiedades matemáticas del objeto. La
mayoría de las intervenciones de las maestras, como bien puede corroborarse
en el análisis de los registros y textos escolares, es para garantizar una
atención sostenida sobre la instrucción o sobre el objeto observado. Aparece
un segundo momento de “decoración del objeto”, durante el cual una vez
dada la instrucción se debe pasar a una actividad motriz, cualquiera que sea
su naturaleza. La diferencia en las actividades propuestas por las maestras y
textos escolares en este segundo momento radica en las técnicas estéticas o
artísticas para rellenarlas o colorearlas. Todas las 56 clases observadas, sin
154
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La enseñanza de la geometría en el preescolar.
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excepción, tienen esta dialéctica31. Y esto es un hallazgo importante dado que
muestra una coherencia y consistencia homogénea de una praxis, y a su vez,
reafirma lo entronizada y posicionada que está dicha concepción de
enseñanza y aprendizaje de los objetos geométricos en el preescolar. El lugar
del sujeto aprendiz en dicha concepción es el de un aprendiz muy hábil
motrizmente.
•
Las figuras son sistemas semióticos, y como tal cumplen las funciones de
representar operaciones o transformaciones. De otro lado, se ha afirmado
también que no existe figura sin leyenda, sin un enunciado que dirija lo que
hay que ver en la figura. El punto a discutir es la función que cumplen las
figuras en los textos escolares analizados y los registros de aula. Las figuras
en los textos y en las actividades propuestas a los niños y niñas son
representaciones icónicas, dibujos que cumplen una función de ilustración.
Tratar una figura geométrica sólo como una ilustración, significa reducir su
capacidad de representabilidad semiótica y se ubica por fuera de la actividad
geométrica. Recordemos que las figuras, a diferencia de otros sistemas, son
un registro no discursivo y plurifuncional; ahí radica su potencial heurístico.
• El análisis presentado en este estudio pretende hacer un fuerte llamado de
atención al gran tiempo que se invierte en las aulas en actividades cuya
intencionalidad es enseñar las figuras geométricas y a orientarse y ubicarse en
el espacio. Este cuestionamiento no se piensa en el lugar de calificar de
‘buenas’ o ‘malas’ dichas praxis; se piensa en un sentido didáctico, o sea, de
31
Ver anexo 2 donde aparecen registros de aula correspondientes a los niveles de prejardín, jardín y transición
de tres maestras diferentes.
155
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La enseñanza de la geometría en el preescolar.
Myriam Vásquez Vásquez
tomar conciencia del tiempo escolar dedicado a las actividades que pretenden
movilizar conocimientos espaciales y conocimientos geométricos, sin que
necesariamente conlleven un aprendizaje de la geometría.
Por último, desde la perspectiva teórica abordada, la coordinación entre figura
y discurso es una condición sine quanon para el aprendizaje de la geometría. Sin
embargo, esta coordinación no es para nada espontánea. La articulación entre ‘ver’
y ‘decir’ tiene altas exigencias con relación a las formas de designar, describir,
explicar, argumentar y demostrar en geometría dada la heterogeneidad semántica
que impone el conocimiento geométrico. Entonces, ¿el ingreso a la articulación
entre figura y discurso puede ser un objeto de estudio para un ciclo como el
preescolar? Una posible respuesta a esta pregunta abre nuevas preguntas al
campo teórico y de investigación en el que se inscribe esta tesis.
156
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La enseñanza de la geometría en el preescolar.
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5. BIBLIOGRAFÍA
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6. ANEXOS
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ANEXO Nº 1
PROTOCOLOS DE REGISTRO DE OBSERVACIÓN
NIVELES PREJARDÍN, JARDÍN Y TRANSICIÓN
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Anexo 1.1
Registro de Observación prejardín
Registro 10:
E1
E2
E3
E4
E5
E6
E7
E8
E10
E11
E12
E13
E14
E15
E16
E17
E18
E19
E20
E21
E22
E23
E24
E25
E26
E27
E28
E29
M: Buenos días, niños
N: Buenos días, profesora
M: En el día de hoy, vamos a repasar la figura del circulo, ya
C: Si
M: Así que vamos a hacer en la actividad de hoy, vamos a pegarle papel de
colores, al círculo que en este caso (deja de hablar).
J.: Profe, tengo sueño (mientras bosteza)
M: Ahorita vamos a ver (dirige su mirada a J.F)
M: Y en este caso tenemos una fruta ¡Que se llama la naranja! ¿La naranja E9
es que?
N: Redonda (contestan los niños en coro)
M: Redonda, ¿Cómo el qué?
N: Como el círculo (responden todos los niños en coro)
M: Como el círculo, muy bien. Entonces vamos a pegarle papel de colores a
las naranjas, sin salirnos del círculo.
N: Circulo (responden todos en coro)
M: Bueno, vamos a repasar, entonces la figura que tiene la tortuga (les
muestra a los niños la tortuga de la página 4 del libro guía).
M: ¿Qué figura la está formando?
A.: La tortuga (el niño repitió lo último que dijo la profesora)
M: ¿Cómo se llama está figura que está formando la tortuga? ¿Un qué?
N: Un triángulo(los niños responden en coro).
M: Un triángulo, muy bien
N: Un triángulo (responden todos los niños al mismo tiempo)
M: Un triángulo, ¿por qué un triángulo? Un triángulo, entonces el triángulo
tiene forma ¿cómo? Una lomita ¿cierto?
C: Siiii
M: Bueno, ahora vamos a mirar que figura está (la profesora se detiene en su
discurso pedagógico).
J: ¡Profesora!, ¡profesora! Este niño me mordió (grita el niño y desde su puesto
señala al niño que lo mordió)
M: hay sin pelear, no vamos a pelear
S.G: Profe, profe
M: ¿Qué figura forma aquí?
S. G: Profe, se cayó la cartulina (señala con su mano derecha)
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E30
E31
E32
E33
E34
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M: Ahorita, la recogemos, ¿Qué figura forma aquí?, ¿Qué figura forma aquí?
D, ¿Qué figura forma aquí? ¿Un qué?
D: Una plastilina
M: No señor, ¿Qué figura forma aquí? Un Cuadra......
N: Un Cuadra......un cuadrado(los niños responden en coro)
M: Eso, un cuadrado
Anexo 1.2: Registro de aula Jardín
Registro 11:
En el aula hay un locker que tiene en su parte posterior las siguientes figuras
Geométricas: círculo, cuadrado, triángulo, rectángulo, rombo.
E1
E2
E3
E4
E5
E5
E7
E8
E9
E10
E11
E12
E13
E14
E15
E16
E17
E18
E19
E20
M: Buenos días, niños
N: Buenos días, profesora
M: Haber, ustedes me van a decir cómo se llama, porque yo no sé ¿Cómo se
llama esté? (señala con su mano izquierda un circulo que hay pegado en el
locker)
N: ¡Circulo! (todos los niños contestan al mismo tiempo)
M: Digan otra vez, porque yo soy sorda ¿Cómo es?
N: ¡Circulo!(los niños vuelven a gritar más duro)
M: Ya, ¿Y esté? (les señala la figura del triángulo)
N: ¡Triángulo! (los niños contestan al mismo tiempo)
M: ¿Y esté? (les señala la figura del cuadrado)
N: ¡Cuadrado!(los niños responden al mismo tiempo)
M: ¿y esté? (les señala el rectángulo)
N: ¡Rectángulo! (vuelven a gritar los niños)
M: Estamos aprendiendo el.... (La profesora hace silencio)
N: ¡Rombo! (los niños responden, todos al mismo tiempo)
M: El rombo se parece a un trompito, ¿cierto?
N: ¡Siiii! (responden los niños en coro)
M: El trompito, tiene una puntica y lo ponemos a girar, y no se parece al
triángulo ¿por qué? Porque el rombo tiene dos punticos y el triángulo sólo
tiene uno (la profesora señala las figuras del rombo y triángulo, tocando el
punto superior e inferior en el rombo, y en el triángulo señala el punto
superior).
N ¡Un triángulo! (gritan todos)
M: ¿Cómo hacerlo? ¿Cómo lo vamos a hacer? Es como hacer, por ejemplo un
triángulo, un triángulo arriba y un triángulo abajo.
D: ¡Vea, profe así!
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E21
M: No, porque tiene la puntica acá, tienen que hacer bien la puntica. (La
profesora intenta explicar cómo se hace un rombo) Pero primero, vamos a
decorar el rombo que tienen en el cuaderno, busquen el rombo que tienen en
el cuaderno (la profesora con anterioridad ya les había entregado el cuaderno
de pre-matemática, a cada niño)
E22 L: ¡Mírelo!, ¡ya lo encontré! (el niño señala con su dedo, la figura del rombo
que está en su cuaderno)
E23 M: ¿Listos, ya?
E24 N: Siiii! (gritan, todos los niños a la vez)
E25 M: ¿Qué vamos a hacer?
E26 N: Rombos (responden los niños)
E27 M: ¡Siiii! ¿Pero qué vamos a hacer? Tenemos unas tiritas de papel, vamos a
hacer bolitas, ustedes saben hacer bolitas ya, ¿cierto?
E28 N: ¡Siiii! (contestan los niños, en coro)
E29 M: Entonces, vamos a pegarlas dentro del rombo ¿Qué color es esté?
(mientras les enseña una tirita de papel)
E30 N: ¡Rojo! (contestan los niños en coro)
E31 M: Vamos a pegar tiritas de color rojo al rombo, ¿listo?
E32 N: ¡Siiii! (contestan en coro)
(Los niños empiezan a coger las tiritas de papel que se encuentran en una vasija
plástica, las cortan con sus manos y hacen bolitas que después ellos pegan dentro
del rombo)
E33
E34
E35
E36
M: D, no quiero pedazos grandes, son pedacitos, los van a enrollar formando
una bolita y luego la pegan
N: ¡ Siiii! (responden en coro)
M: Con un solo dedito, porque si untan todos los dedos, se les pega el papel.
Lo van a pegar dentro del rombo, no lo van a pegar afuera (la profesora
muestra un rombo que está en el cuaderno que tiene en sus manos)
N: Bueno, señora (contestan en coro).
La profesora le revisa el trabajo a cada niño, está actividad tiene una duración de
treinta minutos.
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Anexo 1.3: Registro de aula transición
Registro 12:
E1
M: Como estábamos cantando la canción que dice de Doña Juana, ¿Cuál es
el timbre? (los niños con su mano tocan su nariz)
E2
N: Pi, Pi (los niños responden en coro)
E3
M: ¿Cuál es el timbre? N : ¡Circulo! (todos los niños contestan al mismo
tiempo)
E4
N: La nariz, la nariz(los niños responden en coro) sorda ¿Cómo es?
E5
M : Muy bien, ¿está es la qué? (se toca la nariz con su mano derecha)
E6
N : La nariz (responden en coro)
E7
M : ¿Y está será la nariz también? (la profesora con su mano, señala su boca)
E8
N : ¡ Nooo! (los niños responden en coro)
E9
M: Bueno, ¿Cuántas narices tienen ustedes?
E10 N : ¡Unaaa! (responden en coro)
E11 M : ¿Una? ¿Si? ¿Cuántas tienen?
E12 N : ¡Unaaa! (todos contestan a la vez)
E13 M : Muy bien, una ¿Y cuántas fosas nasales, cuantos huequitos tenemos
dentro de la nariz (la profesora señala cada una de sus fosas nasales con su índice
derecho)
E14 N : ¡Dos! (los niños responden al mismo tiempo)
E15 M : ¿Y cómo saben que dos? Haber, miremos, contemos (la profesora señala
una de sus fosas nasales y después la otra)
E16 N : Uno, Dos (los niños responden todos a la vez y al mismo tiempo señala
cada una de sus propias fosas nasales)
E17 M :¿Y las ventanas? ¿Dónde están las ventanas de Doña Juana?
E18 N : Acá, acá (los niños señalan sus ojos)
E19 M : ¿En dónde?
E20 N : Acá, (los niños vuelven a señalar sus ojos)
E21 M : ¿Cómo se llaman esas ventanas?
E22 N : ¡Los ojos! (contestan todos a la vez)
E23 M : ¿Cómo se llaman? Los ojos. Muy bien, nosotros tendremos al igual que los
ojos, una ¿tenemos cuantos ojos? ¿Uno o dos?
E24 N : ¡Dos! (todos los niños responden a la vez)
E25 M : ¿También tenemos dos narices?
E26 N : ¡Nooo! (los niños contestan y se ríen)
E27 M : Muy bien, entonces tenemos dos ventanas, que son nuestros ojos, que
sirven para ver.
E28 A : Estás son las cortinas (la niña señala con su mano derecha, sus cejas)
E29 M : Bien, estás cejas, son las cortinas(la profesora señala sus cejas) ¿Cuántas
cortinas tenemos?
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E30
E31
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E43
E45
N : ¡Dos! (contestan los niños en coro)
M : Van a observarme a mí, me van a mirar: ¿Cuántas profesoras claras,
están viendo ustedes aquí?
N : ¡Una! (contestan los niños en coro)
M: ¿Cuántas?
N : ¡Una! (responden en coro)
M : ¡Una!, muy bien. ¡Párate aquí! ( la profesora hace que dos niños se paren
adelante)
M : ¿Cuántos compañeritos hay aquí? (la profesora señala los dos niños)
N : ¡Dos! (los niños contestan en coro)
M : ¿Cuántos?
N : ¡Dos! (responden en coro)
M : Si lo dejo a él sólo ¿Cuántos quedan? (Hace que uno de los niños se
siente)
N : ¡Uno! (contestan en coro)
M : Uno, ¡muy bien! ¡Muy bien! ¿Cómo se llamará esté objeto que tengo en la
mano?(la profesora les exhibe un bolígrafo en su mano derecha)
N : ¡Uno! (los niños responden en coro)
M: Uno, obviamente es uno, ¿Pero cómo se llama este objeto?
E46
N: ¡Lápiz! (responden en coro)
E47
M: Un bolígrafo o lapicero, se llama un bolígrafo o lapicero. Ayer, trabajamos
en el cuaderno, ¡Jovencitos! ¡Miren acá!, ayer trabajamos en el cuaderno,
¿terminamos la actividad del número?
N: Uno (responden en coro)
M: Habíamos hecho, la actividad del número uno ¿en un qué? En un conjunto.
Vamos a mirar aquí al frente, van a mirar todos la cartelera(les señala una
cartelera que hay al frente de los niños) ¿Cómo se llamará está figura que se
ve aquí? ¿Un qué?
N : ¡Un conjunto! (responden en coro)
M : ¿Un qué?(Vuelve y les señala la figura)
N : Un conjunto (responden en coro)
M: Un conjunto. ¿Y esté conjunto se llamará cómo?
N : ¡Vació (responden en coro)
M: ¿Y por que esté conjunto se llama vacío? (les señala de nuevo la figura).
N : Porque, no tiene nada (responden en coro)
M: Muy bien, decimos que esté conjunto es vacío, o sea cero, ¿por qué no
E32
E33
E34
E35
E36
E37
E38
E39
E40
E41
E42
E48
E49
E50
E51
E52
E53
E54
E55
E56
E57
tiene?
E58 N : ¡Nada! (responden en coro)
E59 M: Y estos otros conjuntos, que ustedes miran aquí, ¿serán vacíos?(la
profesora, señala otros conjuntos)
E60 N : ¡Nooo! (responden en coro)
E61 M : Por ejemplo, vamos a observar esté conjunto (les señala otro conjunto que
tiene un solo elemento)
E62 M: ¿Cuántos elementos tiene esté conjunto?
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Myriam Vásquez Vásquez
E63
E64
E65
E66
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E68
N : Uno (responden en coro)
M: ¿Cuántos?
N : Uno(responden en coro)
M: ¿Y cómo se llama está figura? (señala el elemento del conjunto unitario)
N : ¡ Sol! (responden en coro)
M : Resulta que los seres humanos para poder vivir, necesitamos del sol,
cierto, nuestro planeta necesita del sol ¿Cuántos soles hay allá arriba en el
universo? (señala con su mano derecha arriba)
E69 N : ¡Uno! (responden en coro)
E70 P : Un solo sol. Ahora miremos esté otro conjunto, que es el que nos interesa
el día de hoy. ¿Cuántos elementos hay dentro de este conjunto? (señala otro
conjunto que tiene dos payasos, como elementos)
E71 N : Dos (responden en coro)
E72 M: ¿Cuántos?
E73 N : Dos ( responden en coro)
E74 M : Vamos a ver si es verdad(les señala uno a uno los payasos que contiene
el conjunto)
E75 N : Uno, Dos (responden en coro)
E76 M : Uno, y dos (les señala uno a uno los payasos) ¿Cómo se llama estas
figuras?
E77 N : ¡Payasos! (responden en coro)
E78 M: Payasos, muy bien. Ahora muéstrenme con sus deditos de las manos, el
número uno, haber cuánto es uno, con el dedito de la mano(los niños dejan
levantado el índice de sus manos) Muy bien, ahora vamos a contar dos, dos
deditos, haber muéstrenme el número dos con sus dedos(los niños dejan
levantados dos dedos) Muy bien, ahora vamos a observar estás fichas que
tengo aquí(les muestra unas fichas pequeñas de color amarillo) Vamos a
observar estás fichas, es un domino.
E79 S : ¿Un domino?
E80 M: Si, se llama un domino ¿Cuántas jirafas les estoy mostrando yo aquí? (la
profesora tapa una de las jirafas, porque la ficha trae dos jirafas)
E81 N : Una(responden en coro)
E82 M : ¿Cuántas?
E83 N : Una (responden en coro)
E84 M : Y si yo hago esto. (Les muestra la segunda jirafa que hay en la ficha de
domino)
E85 N : Dos(responden en coro)
E86 M : Si yo hago esto, les muestro dos jirafas(les muestra completamente las
dos jirafas)
E87 M : ¿Cuántos micos habrán aquí? (les muestra una ficha que tiene dos micos)
E88 N : Dos(responden en coro)
E89 M : ¿Cuántos?
E90 N : Dos (responden en coro)
E91M : ¿Cuántos leones hay aquí? (les muestra una ficha que tiene dos
leones, pero les tapa uno)
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Myriam Vásquez Vásquez
E91
E92
N : Dos(responden en coro, erróneamente)
M : ¿Cuántos les estoy mostrando? Presten atención(vuelve y les muestra la
ficha de los dos leones , tapándole un león)
E93 N : Uno (responden en coro)
E94 M : Uno, y si yo hago esto ¿Cuántos animales habrán aquí?(la profesora
destapa completamente la ficha)
E95 N : Dos(responden en coro)
E100 M: Muy bien, dos. Vamos a hacer lo siguiente, les voy a dar plastilina para que
formemos en la mesa, vamos a formar conjuntos, vamos a hacer la tirita y
formamos un conjunto y con la misma plastilina vamos a dibujar dentro de los
dos conjuntos, vamos a dibujar elementos. Vamos a dibujar un conjunto con
un elemento y vamos a realizar otro conjunto con dos elementos; a cada uno
le voy a pasar plastilina(a cada niño le da una tira de plastilina) Haber, vamos
a formar, vamos a formar un conjunto. A formar conjuntos rapidito, para que
dentro del conjunto le hagamos un elemento; vamos a hacerle pelotas a los
conjuntos.
E101 C : Yo voy a hacer una mariposa
E102 M : Un elemento puede ser cualquier figura, es que miren acá al frente la
cartelera, vea, miren, pueden dibujar, sol, una tortuga, caracol; el animalito
que quieran(la profesora les señala los animales que hay dibujados en la
cartelera)Van a formar con la tirita, vamos a hacer lo siguiente, vamos a hacer
tiras muy delgadas de plastilina, vamos a cerrarla, para formar los conjuntos,
así sean pequeñitos (la profesora les explica manualmente como deben hacer
la actividad) Estos son los conjuntos, vamos a hacer dos círculos y formamos
en esos círculos los conjuntos, dentro de esos conjuntos vamos a dibujar un
elemento en plastilina, aquí uno y allí vas a dibujar dos. Muy bien, van a
observar aquí el trabajo que hizo M, M dibujo dos conjuntos, hay un conjunto
que tiene un elemento y hay otro conjunto que tiene dos elementos, dibujó una
pelota y dibujó un palito y aquí también dibujo otra pelota, muy bien, M.
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ANEXO Nº 2
ANÁLISIS REJILLA TEXTOS ESCOLARES NIVELES
PREJARDIN, JARDÍN Y TRANSICIÓN
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Anexo 2.1
Rejilla análisis de textos escolares nivel pre-jardín
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Anexo 2.2
Rejilla análisis textos escolares nivel jardín
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Anexo 2.3
Rejilla análisis textos escolares nivel transición
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