La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez RESUMEN El objeto de estudio de la presente investigación estuvo centrado en identificar la concepción de espacio y geometría que circunscriben la enseñanza usual de la geometría en el ciclo de preescolar desde una perspectiva cognitivo-semiótica de la educación matemática. El análisis de observaciones de aula, textos escolares y entrevistas a 9 maestras de los niveles de pre-jardín, jardín y transición, permite afirmar que subyace a la enseñanza de la geometría en el preescolar concepciones sobre el espacio y los objetos geométricos derivadas de las interpretaciones de teorías psicológicas y pedagógicas como las de Piaget, Montessorí y Dienes. Del lado de la teoría Piagetiana se plantea una hipótesis de continuidad entre la construcción y objetivación del espacio físico al espacio matemático; del lado de las teorías Montessoriana y Dienes, se hereda una concepción sensualista del conocimiento matemático. En conclusión, dichas concepciones tienen un correlato con los textos escolares y actividades que proponen las maestras a los niños y niñas. Duval describe este tipo de entrada a la geometría planteando una analogía con la actividad del botánico. Desde esta entrada el reconocimiento de las propiedades de las figuras geométricas está centrado en una aprehensión perceptiva sobre los contornos y las formas elementales que son utilizadas en geometría plana: tipos de triángulos y cuadriláteros, formas circulares y ovoides. Aquí las propiedades geométricas son características aprehensibles perceptivamente, la observación directa sobre el objeto es fuente de conocimiento. Este reconocimiento puede dar lugar a tareas de superposición (utilización de patrones), reproducción de un modelo (dibujo) o de clasificación elemental (lo que implica una denominación de los objetos a algunas de sus propiedades). El punto importante para nuestro propósito, es que esta entrada no tiene nada de actividad geométrica; no se parece a la geometría más que en la medida en que tiene que ver con las formas euclideas. Para "ver" sobre una figura geométrica es necesario tomar en cuenta una variación dimensional intrafigural, transformaciones heurísticas de la configuración global y restricciones de construcción instrumental. La articulación entre las figuras y discurso teórico en lengua natural, se hace de manera diferente de acuerdo con cada uno de estos tres aspectos y conduce a asignar categorías muy diferentes a las figuras. Los hallazgos y resultados encontrados en el estudio permiten afirmar que las prácticas que circulan con relación a la enseñanza usual de la geometría en el preescolar no trascienden una visualización icónica de las formas, reduciendo su potencial heurístico para la solución de un problema geométrico a la función de ilustración. 10 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez INTRODUCCIÓN Desde hace algunas décadas la investigación en el campo de la educación matemática ha puesto su mirada sobre el problema de la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas en la educación inicial y el preescolar. En particular, el interés con relación a la enseñanza de la geometría en el preescolar es relativamente reciente. En oposición a las prácticas de aula que caracterizan la enseñanza usual (copia de modelos, actividades de motricidad fina asociadas al reconocimiento de las formas), han surgido tres vertientes con la intención de buscar una entrada a la geometría en el preescolar que posibilite una aprehensión de los objetos geométricos y colme de sentido la actividad geométrica. De un lado, se encuentran las investigaciones que se sitúan en la primera vertiente y toman de referencia la epistemología piagetiana o interpretaciones derivadas de ésta, para explicar el problema de la construcción del espacio y la geometría. Desde esta perspectiva se considera pertinente empezar una aproximación a la geometría con un tratamiento intuitivo y exploratorio del espacio y de los objetos que los rodean. La tendencia de dichas investigaciones ha sido reconceptualizar los aportes de la epistemología piagetiana y rebatir fundamentalmente la jerarquización que Piaget propone: primero el niño y la niña dominan un espacio topológico para luego dominar las relaciones proyectivas que se construyen casi a la par con una geometría métrica. Los autores 11 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez que se sitúan desde este lugar plantean que el abordaje de estas geometrías se debe hacer de manera simultánea. Así mismo, se asume que los niños y niñas deben tener contacto con objetos tridimensionales primero, para luego pasar a una representación en el plano. La condición desde este punto de vista epistemológico y cognitivo es asumir la conceptualización de un espacio geométrico en continuidad con las experiencias del mundo físico. De otro lado, están las investigaciones que se sitúan en una segunda vertiente y plantean la necesaria introducción y discriminación en los currículos escolares para abordar la enseñanza de los conocimientos espaciales y geométricos desde los ciclos elementales de escolaridad, especificando los problemas e interrelaciones entre ambos campos de conocimiento. Existe una tercera vertiente que plantea una ruptura entre una visualización icónica de las formas (estatus epistemológico de las entradas anteriores) y la visualización en matemáticas. Desde esta perspectiva cognitivo-semiótica, la mirada matemática sobre las figuras conduce a mirarlas como representaciones potencialmente mixtas, es decir, como representaciones que resultan de la movilización necesaria de dos registros diferentes: las figuras y el discurso teórico en lengua natural. Esta articulación entre figura y discurso como una condición particular a toda actividad geométrica implica una descomposición de las formas: la descomposición mereológica y la deconstrucción dimensional. La manera canónica de ingresar al estudio de las formas está anudada a un paradigma que concibe y organiza el currículo alrededor de un conjunto de actividades que parecen desconocer las exigencias propias de la actividad 12 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez geométrica y por consiguiente las distintas maneras de ‘ver’ sobre una figura. Por lo tanto, dependiendo de la naturaleza de la actividad planteada, la figura puede cumplir diferentes funciones: función de ilustración, función heurística, función de modelo o de economía de pensamiento respecto a una descripción. Cuando la figura sólo cumple una función representacional de ilustración o modelo, está por fuera de la visualización matemática. Y la diversidad de actividades que se plantean comúnmente en el aula desde la enseñanza usual y la primera vertiente mencionada en párrafos anteriores da un tratamiento a las figuras por fuera de la actividad matemática, reduciendo su potencial heurístico para representar la resolución de un problema geométrico. Teniendo de marco este contexto problemático el presente estudio pretende identificar la concepción de espacio y geometría que circula en la enseñanza de la geometría en el preescolar con el fin de reconocer qué geometría o qué geometrías se están enseñando a los niños y niñas desde las actividades que usualmente circulan en las aulas escolares. El modo de investigación se circunscribe en el campo de las investigaciones cualitativas, de carácter exploratorio, bajo una modalidad de estudio de caso. Se toma como objeto de estudio para el cumplimiento de dicho propósito el análisis de quince textos escolares de preescolar y el discurso de nueve maestras que orientan los niveles de prejardín, jardín y transición. El documento se organiza en cuatro capítulos. El primer capítulo presenta la contextualización del problema abordado en el trabajo de tesis. Se 13 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez plantea en este apartado tres vertientes y su manera de entender el problema del ingreso al registro de las figuras, explicando desde un punto de vista epistemológico y cognitivo los principios teóricos y metodológicos en los cuales se sustentan, y así mismo se delimita el punto de vista cognitivo-semiótico de la actividad geométrica como la perspectiva teórica del trabajo de investigación. El segundo capítulo presenta una síntesis de los postulados teóricos desde una perspectiva semiótica de la actividad matemática y geométrica en particular, a partir de los trabajos de Raymond Duval en el campo de la educación matemática. Se relievan en esta presentación las condiciones cognitivas-semióticas necesarias para el aprendizaje de la geometría en contraposición a otras formas de ‘ver’ por fuera de las matemáticas. El tercer capítulo aborda el análisis de los textos escolares y el discurso de las maestras a partir de la definición de seis categorías de análisis que hacen referencia a los tópicos comúnmente abordados en el aula desde la enseñanza usual: trazos, discriminación visual de formas y contornos, formas geométricas, simetrías, orientación y ubicación espacial. El cuarto capítulo es la presentación de las conclusiones del estudio en función de los hallazgos encontrados en el tercer capítulo y aportes de la teoría tomada como referente para adelantar dichos análisis. Por último, este trabajo y sus resultados pretenden aportar información valiosa con relación al problema de la enseñanza de la geometría en el preescolar. 14 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez 1. LAS MATEMÁTICAS EN LA EDUCACIÓN INICIAL Contextualización y presentación del problema de investigación A partir de 1996, al establecerse en Colombia la educación preescolar como un período obligatorio de la educación formal, se incrementó notablemente el interés por ésta, de parte de estudiosos e investigadores de múltiples disciplinas, pues tal política hacía necesario reconsiderar el sujeto y el objeto de la educación en la primera infancia. ¿Qué y cómo se ha de enseñar en el ciclo de preescolar? Esto es, ¿Qué se espera que los niños aprendan y para qué? ¿Cuáles son los criterios que han de orientar la educación preescolar: competencias o áreas de conocimiento? son interrogantes que, entre otros, se han vuelto comunes entre los maestros e investigadores que se han interesado en este ciclo. Tales preguntas convocan un debate extenso, intenso y profundo cuyos resultados más allá del necesario impacto en lo pedagógico y lo curricular, incidirán de manera importante en un contexto social y cultural. En las últimas décadas ha ido creciendo el interés en un campo como la Educación Matemática por comprender el sentido que tienen “las matemáticas” en la educación infantil, aspecto que inclusive ha sido contemplado en las distintas reformas curriculares en nuestro país. En el texto Lineamientos curriculares para el 15 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez área de Matemáticas (1998, p.41-42), se hace referencia a la necesidad de plantear “una serie de situaciones problémicas que puedan contribuir al desarrollo del razonamiento matemático en la escuela” (haciendo explícito algunos ejemplos para el nivel de preescolar). Igualmente en el mismo texto, en el apartado donde se plantea el desarrollo de Conocimientos Básicos: pensamiento numérico y sistemas numéricos, pensamiento espacial y sistemas geométricos, pensamiento métrico y sistemas de medidas, pensamiento aleatorio y los sistemas de datos y pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analítico; se presenta una reflexión sobre la importancia de introducir al niño desde una edad temprana, en situaciones diversas en relación con su contexto cotidiano que posibiliten unas competencias en distintos campos de las matemáticas. De estos contenidos básicos, el preescolar comúnmente privilegia dos: el desarrollo del pensamiento numérico y sistemas numéricos y; el desarrollo del pensamiento espacial y sistemas geométricos. Con relación al primer pensamiento mencionado, desde los trabajos de Piaget (1941) hasta la fecha para este ciclo se encuentra un campo de investigación prolifero (Vergnaud, 1991; Kamii, 1984; Fuson, 1988; entre otros) que aborda el problema de la construcción del número y los sistemas de numeración. En contraste con lo anterior, para el caso del desarrollo del pensamiento espacial y sistemas geométricos, los trabajos publicados y dados a conocer tanto a nivel internacional como nacional datan apenas de hace algunas décadas. La presente investigación se inscribe en el campo de investigación de la geometría en la educación inicial y tiene como propósito identificar las concepciones sobre el espacio y las geometrías qué aparecen como objeto de conocimiento en la 16 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez enseñanza del preescolar, presentes en el discurso de las maestras y textos escolares. Los hallazgos encontrados pretenden aportar información valiosa con relación al problema de la enseñanza y aprendizaje de la geometría en el preescolar, a partir de un análisis semiótico del discurso de las maestras y textos escolares que enmarcan la enseñanza de la geometría en el preescolar. Por lo tanto los “decires y haceres” en el aula se conciben como una unidad de análisis para interpretar y comprender el alcance de dicha praxis en el aula. 1.1 BREVE PRESENTACIÓN DE ANTECEDENTES HISTÓRICOS DE LA EDUCACIÓN PREESCOLAR EN COLOMBIA Haber reconocido una “racionalidad infantil” con características particulares diferentes a las del adulto es, en realidad, reciente. La idea moderna de niño(a) data apenas del S. XVIII1. El acercamiento a una comprensión de la naturaleza del pensamiento infantil llevó a que en muy corto tiempo se plantearan paradigmas distintos y por supuesto, distintas teorías explicativas sobre la captación, aprehensión, aprendizaje, comprensión y/o elaboración del conocimiento matemático por parte de los niños. La velocidad de los cambios de estas teorías por lo regular resulta mayor que aquella con la cual los maestros las conocen y asumen, y así, es relativamente frecuente encontrar que una misma maestra tenga 1 “La noción de infancia tiene un carácter histórico y cultural y ha tenido diferentes apreciaciones en la historia; su concepción depende del contexto cultural de la época. La “reinvención” moderna de la infancia se inicia desde el siglo XVIII en las sociedades democráticas y muy especialmente a través de Rosseau, quien advertía las características especiales de la infancia”. (Jaramillo, 2007b). 17 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez concepciones contradictorias entre sí sobre el objeto y el sujeto de su actividad educativa. Por consiguiente, se considera pertinente antes de comenzar a plantear el problema de investigación en sí, considerar un espectro sucinto sobre la historia del preescolar en Colombia y determinantes históricos que constriñen el énfasis de unos paradigmas sobre otros. Se relievan de estos antecedentes los aspectos con relación a las perspectivas teóricas que comandaron, que aún tienen validez e impacto, como la perspectiva teórica de Montessori en educación matemática para el ciclo de preescolar. Para la siguiente síntesis se toma en consideración extractos del texto escrito por Leonor Jaramillo (2007a), quien aborda de manera amplia y sustentada los antecedentes históricos de la educación preescolar. A finales del siglo XIX, en Colombia los primeros comisionados alemanes pedagogos comenzaron a difundir y promocionar las ideas de Federico Froebel, las cuales fueron muy importantes en la renovación y organización de la educación en el país, lo que permitió la aparición de los primeros jardines infantiles. Dentro del contexto histórico, la organización en Colombia el primer establecimiento de preescolar se puede decir que fue a través del presidente José Manuel Marroquín (1900). Él fundó en 1851 la escuelita campestre de Yerbabuena, donde por primera vez se realizaron actividades pedagógicas y recreativas para niños menores de seis (6) años, bajo una orientación muy marcada de la teoría de Froebel. La población infantil que asistía a la escuelita, provenía de pueblitos y veredas cercanas a Yerbabuena. Sin embargo, se puede anotar que la existencia de 18 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez esta escuelita fue efímera y su incidencia en las ideas educativas de la época no tuvo gran relevancia. En el siglo pasado y en las primeras décadas, a los asilos y hospitales les correspondió realizar una importante labor en la protección y cuidado de la niñez abandonada. Un sector significativo de estos niños eran menores de seis (6) años, para los cuales se organizaron diversas actividades recreativas y educativas. Algunas religiosas extranjeras que manejaban estas instituciones conocían los métodos de trabajo de Froebel o de Montessori, y no les fue difícil organizar labores similares. Una de las instituciones más conocidas fue el Hospicio de Bogotá, que fue fundado en la primera mitad del siglo IX. A principios del siglo XX era la institución capitalina más importante y en ella se acogían la mayoría de los niños huérfanos o abandonados. Sin embargo, este sistema entró en crisis debido a las situaciones precarias a nivel económico y sanitario. Por otra parte, el primer establecimiento preescolar que funcionó en la ciudad de Bogotá fue la Casa de los Niños del Gimnasio Moderno, el cual se consideró como modelo para la creación de otros jardines similares. El Gimnasio Moderno fue fundado por Agustín Nieto Caballero en 1914, y a juicio de algunos tratadistas, se constituyó en la iniciativa más importante de la educación privada de comienzos de siglo. Desde su creación se convirtió en uno de los colegios de más prestigio del país y el primero que puso en práctica las ideas pedagógicas de María Montessori, y se le consideró más que una escuela o un kínder, una verdadera escuela montessoriana. En Colombia la educación preescolar se desarrolló con mucho retraso con relación a Argentina, Chile y Uruguay, países que a comienzos de siglo ya contaban 19 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez con una abundante población preescolar. Sin duda, el proceso de la educación en preescolar en el país fue lento y se pudo observar que la preparación específica del personal responsable de esta actividad no era tan importante en sus inicios; de hecho, a comienzos de siglo se contrataban jóvenes maestras normalistas, o en su defecto, era personal que las instituciones mismas formaban. Por eso, cuando se promulgó la Ley 25 de 1917 y se creó el Instituto Pedagógico Nacional para Institutoras de Bogotá, cuyo propósito era preparar maestros para la escuela superior y normal, también se aprobó la creación de una sección especial para formar maestras de jardín. Pero pasarían diez (10) años antes que se fundara el Instituto y dieciséis (16) años para que funcionara esta sección preescolar. Uno de los personajes importantes en este proceso histórico fue la Dra. Franciska Radker quien había llegado al país encabezando una misión alemana, cuya función era reformar y reorganizar la Escuela Normal y el Instituto Pedagógico Femenino de Tunja. La Dra. Radker creó, organizó y dirigió la escuela Montessori de Bogotá, que a la postre fue uno de los primeros institutos del país dedicados a la formación de maestras preescolares, y que a su vez aplicó la pedagogía de Froebel y Montessori. Sin embargo, en 1936 Radker tuvo que viajar a Alemania, lo que llevó al Instituto Montessori a entrar a un período de crisis llevándolo a su cierre temporal. Este se volvió a reabrir en 1956 con el nombre de Instituto de Educación Preescolar, que dio posteriormente origen al actual programa de educación preescolar de la Universidad Pedagógica Nacional. En 1935, en Colombia funcionaban aproximadamente 280 establecimientos preescolares, en su mayoría privados, donde trabajaban 315 maestros que atendían 20 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez a 12.120 niños. Pero es sólo hasta 1939 cuando se establece el decreto 2101 del Ministerio de Educación Pública, el cual define y caracteriza la educación infantil de la siguiente manera: "Entiéndase por enseñanza infantil, aquella que recibe el niño entre los cinco (5) y siete (7) años de edad, cuyo objetivo principal es crearle hábitos necesarios para la vida, juntamente con el desarrollo armónico de la personalidad." En la década de los 40 se consolidó el modelo higienista norteamericano en Colombia, el cual tuvo en cuenta dentro de los procesos educativos la nutrición y otros aspectos vinculados a la seguridad social. Como resultado de esta influencia, se creó en 1946 el Instituto Colombiano de Seguros Sociales (ICSS) y el Ministerio de Higiene. En este contexto se dicta la Ley 83, denominada Código del Niño o Ley Orgánica de la defensa del Niño. En este sentido, se puede observar la presencia del primer conjunto de leyes que se promulgó a favor de la población infantil, que vive ya los rigores de la desnutrición, el abandono y el maltrato. En 1968, en el gobierno de Carlos Lleras Restrepo, se crea el Instituto Colombiano de Bienestar Familiar para proveer protección al menor y procurar la estabilidad y bienestar familiar. Con la creación del ICBF se presentó un nuevo problema, el cual iba dirigido a las contradicciones entre la concepción asistencialista y la pedagógica, que también se asoció con la pugna existente entre el sector estatal y privado. En lo que respecta a la concepción asistencialista, se centró en el proteccionismo y se vinculó en las directrices del trabajo social y nutricional, lo cual desestimaba los ingredientes educativos en la atención del niño perteneciente a los sectores más pobres de la población. En lo que respecta a la concepción pedagógica promovida por el sector privado, se miró la educación preescolar como un proceso 21 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez de formación socioafectivo e intelectual de la población infantil que no sufría los rigores del maltrato, hambre, abandono, cuidado y amor familiar. Antes de 1962, no existieron normas específicas para crear y poner en funcionamiento un establecimiento preescolar. Mediante la resolución 1343 de ese año, se entró a reglamentar por primera vez las inscripciones, solicitudes y documentos, directora, local, material didáctico, licencia de funcionamiento, etc., de los jardines infantiles. En 1976, con el decreto 088 del MEN, se explícita por primera vez la modalidad del preescolar al sistema educativo colombiano. Sin embargo, después de 18 años es cuando se le da el carácter obligatorio: "Se llamará educación preescolar la que se refiere a los niños menores de seis (6) años. Tendrá como objetivos especiales el promover y estimular el desarrollo físico, afectivo y espiritual del niño, su integración social, su percepción sensible y el aprestamiento para las actividades escolares, en acción coordinada con los padres y la comunidad" (Artículo 6, p. 2). En los 70, los niveles de experto y posteriormente tecnólogo, eran las únicas alternativas académicas que existían en el campo preescolar, cuya orientación empirista y práctica parecían caracterizar perfectamente la idea que se tenía de una modalidad que se veía más como una tecnología que como una ciencia. En 1976, por primera vez se le reconoce estatus universitario a una actividad que tradicionalmente se le había considerado como algo que no tenía mayor incidencia en la formación y desarrollo del niño. Si bien los métodos de Froebel, Montessori y Decroly ya eran conocidos en los centros académicos y educativos, a la educación preescolar no se le prestaba mucha atención en este sector. Durante mucho tiempo 22 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez las autoridades educativas se negaron a reconocerle una condición universitaria, pero a pesar de la dura oposición, en 1978 se crea la carrera de Licenciatura en Educación Preescolar en la Facultad de Educación de la Universidad Pedagógica Nacional. Antes de 1984 la educación preescolar se rigió por algunos modelos curriculares. Sólo recién a partir de ese año, mediante el Decreto 1002, se establece un plan de estudios que aún estaba muy lejos de constituirse en un principio orientador y organizador de esta modalidad educativa. En éste se entra a definir un plan de estudios. "Como el conjunto estructurado de definiciones, principios, normas y criterios que, en función de los fines de la educación, orienta el proceso educativo mediante la formulación de objetivos por niveles, la determinación de áreas y modalidades, la organización del tiempo y el establecimiento de lineamientos metodológicos, criterios de evaluación y pautas de aplicación y administración” (Art. 1, Parágrafo). El currículo de la Educación Preescolar comenzó a gestarse en los años 1977 y 1978, cuando por primera vez se tomó conciencia sobre la necesidad de darle a esta modalidad unos lineamientos para regular, orientar y organizar la actividad educativa y pedagógica de un establecimiento preescolar. En 1987 se dio a conocer el segundo documento, en donde se precisan las áreas y temas relacionados con el preescolar, permitiendo un currículo fundamentado tanto teórica como operativamente en lo que respecta al trabajo pedagógico. En la década de los 90’, se pudo observar cambios del gobierno con respecto a la atención y preocupación por la población infantil en Colombia, y en 23 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez consecuencia, se instauran normas y leyes por parte de la asamblea constituyente en la Constitución Política del 91. Por otra parte, el gobierno colombiano al ratificar, mediante la Ley 12 de 1991, los compromisos adquiridos por el país en la Convención Internacional sobre los Derechos de la Niñez adoptada por las Naciones Unidas, se compromete con una nueva ética y cultura a favor de la infancia. En el gobierno de César Gaviria (1990-1994) se adelantaron dos iniciativas: el Plan de Acción a Favor de la Infancia y una nueva Constitución Política que incorporó una serie de principios de los derechos fundamentales del niño. En este plan se menciona por primera vez el Grado Cero, una modalidad por medio de la cual se busca resolver la ausencia de formación preescolar de los niños que ingresaban por primera vez a la escuela pública. Con el Grado Cero se buscaba disminuir la repitencia en la escuela primara y mejorar la calidad educativa de la educación básica primaria. Esta modalidad haría parte del Plan de Apertura Educativa (1991,1994) del gobierno de César Gaviria, y se convirtió en el programa bandera del Ministerio y las secretarías de Educación del país. Teniendo en cuenta las reformas, principios, normas y leyes estipuladas en este proceso histórico, se añaden los valiosos aportes del segundo Congreso Pedagógico Nacional organizado por FECODE en noviembre de 1994, para la promulgación de la Ley 115, conocida como Ley General de Educación. Esta Ley señala los lineamientos para transformar la escuela, la enseñanza y el aprendizaje. Promueve la participación ciudadana y democracia participativa, establece la obligatoriedad del Proyecto Educativo Institucional, ubica al estudiante como centro del proceso educativo, establece la autonomía escolar, articula ciencia, academia e 24 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez investigación, crea mecanismos de vigilancia y control educativo, incorpora la educación preescolar como nivel obligatorio de la educación formal, y numerosos otros aportes a nivel social, cultural, educativo, institucional y técnico. Finalmente, se puede decir que la ley 115 reconoce a la educación preescolar como un nivel educativo que tiene enorme importancia en la formación y desarrollo del niño que debe tener al menos un grado obligatorio y con el tiempo tres. La referencia a esta historia cobra significado en el marco de nuestro problema para ilustrar como esa transformación de unos propósitos asistenciales a unos propósitos educativos en nuestro contexto data de apenas unas décadas, y por lo tanto, querer encontrar unos lineamientos fácilmente aprehensibles es todavía una ilusión, aunque la última reforma curricular que abarca este ciclo: lineamientos curriculares para el preescolar (1998) propuesta por el Ministerio de Educación Nacional, encarna un serio y laborioso esfuerzo en este sentido. Ahora con relación a los paradigmas que han determinado este ciclo en el país pues la historia nos muestra una fuerte influencia de la ideas de Froebel y Montessori. La referencia a Montessori es importante porque sigue siendo una perspectiva muy actual para algunas preescolares y centros de educación infantil. No es gratuito que siga prevaleciendo la idea de una educación sensorial como un propósito importante de la educación preescolar como condición para el posterior aprendizaje de las matemáticas. Esta teoría sensualista del conocimiento se encuentra en el método Montessori2 (1912), planteado por la autora a principios de 2 De los principios fundamentales que plantea la autora en su teoría es la concepción de que los objetos más importantes del ambiente son lo que se prestan a ejercicios sistemáticos de los sentidos y de la inteligencia con 25 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez siglo. El asunto es que desde esta teoría se concibe la aprehensión de los objetos de conocimiento entre ellos, los matemáticos, como parte de la prolongación de las experiencias de los niños y niñas con el mundo físico. En el apartado siguiente se verá cómo esta idea sigue prevaleciendo en algunas entradas a la enseñanza de la geometría en el preescolar y sus consecuencias para el aprendizaje de dicho conocimiento. 1.2 EL CASO PARTICULAR DE LA ENSEÑANZA DE LA GEOMETRÍA EN LA EDUCACIÓN PREESCOLAR En la actualidad, es claramente evidente la complejidad y dimensión de los problemas que plantea la educación preescolar. Pero, ¿cuáles son las concepciones previas sobre el sujeto de la educación con las cuales enfrentarlos? ¿Son estas suficientes y pertinentes o requerirían, a su vez, de reconsideraciones? Sin pretender ser exhaustivos ni rigurosos, encontramos que, desde la pedagogía, tal vez ha sido el método Montessori el que ha tenido una incidencia mayor en esas concepciones, así como desde la psicología lo ha sido Piaget. En este sentido, las concepciones sobre el sujeto de la educación, no tanto la identificación de sí se tiene el buen método para que los niños pequeños aprendan matemáticas; son una una colaboración armoniosa de la personalidad psíquica y motriz del niño y que poco a poco le conducen a conquistar, con exuberante y poderosa energía, las más duras enseñanzas fundamentales de la cultura: leer, escribir y contar. 26 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez rica fuente de análisis si se entiende que detrás de “los buenos métodos” subyacen teorías sobre la educación y el sujeto que aprende. Por consiguiente, parte importante de la delimitación del problema es reconocer cuál es la concepción de espacio y geometría que circula en los contextos educativos del preescolar, en particular delimitar su interpretación y relación con la actividad geométrica que se enseña en las aulas. Sin embargo, por lo regular es muy difícil identificar en los textos y manuales especializados que se está entendiendo por espacio, lo cual lleva a una discusión que encara una gran complejidad en el intento de buscar una respuesta: “entre nuestras más caras convicciones están las creencias y concepciones acerca del espacio y del tiempo; ningunas, sin embargo, más difíciles de explicar” (E. Kesner y J. Newman, 1987, p. 119). De otro lado existe un reconocimiento de orden epistemológico que ningún autor versado en el tema parece refutar al siguiente planteamiento: “los problemas planteados por las relaciones entre, de una parte, los objetos reales, los datos extraídos de la percepción y de la observación y, por otro lado, los objetos teóricos del dominio del saber, conciernen particularmente a la geometría. (...). Los saberes teóricos coexisten con saberes culturales, sociales, prácticas profesionales extraídas de problemas relativos al dominio del espacio físico” (Laborde., c.p. Saiz, 1998, p. 71). En el marco de este reconocimiento, es común encontrar una inclinación marcada a tomar como punto de referencia la teoría epistemológica de Piaget para explicar el problema de la construcción del espacio y la geometría y muestra de esto es que la mayoría de los trabajos de investigación en el campo plantean propuestas 27 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez para el aula en educación inicial que se derivan de sus principios. Sin embargo, a pesar de la proliferación de literatura y materiales que sustentan dicha praxis, podría afirmarse que aún estamos lejos de tener la suficiente claridad sobre el problema del aprendizaje de la geometría en el preescolar. Por lo tanto es importante hacer una revisión del panorama actual en el campo de la educación matemática, presentar las vertientes actuales de investigación con relación al problema de la enseñanza y aprendizaje de la geometría en educación inicial y, delimitar y sustentar la postura teórica que el presente trabajo de investigación asume para abordar su objeto de estudio. Con relación a este propósito las investigaciones pueden clasificarse de la siguiente manera: 1.-Investigaciones que toman de referencia la epistemología piagetiana o interpretaciones derivadas de ésta, para explicar el problema de la construcción del espacio y la geometría. Desde esta perspectiva se considera pertinente empezar una aproximación a la geometría con un tratamiento intuitivo y exploratorio del espacio y de los objetos que los rodean. Los planteamientos metodológicos y pedagógicos deben considerar como punto de partida esta constatación de orden epistemológico. 2.- Investigaciones que plantean la necesaria introducción y discriminación en los currículos escolares para abordar la enseñanza de los conocimientos espaciales y geométricos desde los ciclos elementales de escolaridad, especificando los problemas e interrelaciones entre ambos campos de conocimiento. 28 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez 3.- Investigaciones que plantean el aprendizaje de la geometría desde una perspectiva cognitiva-semiótica de la educación matemática. Desde esta perspectiva, se plantea una ruptura entre la visualización icónica de las formas y la visualización matemática. A continuación se presente un breve análisis de los principios que rigen las perspectivas teóricas abordadas en cada una de las vertientes. 1.2.1 El punto de vista que toma de referencia la epistemología piagetiana Con relación a las investigaciones que se logran situar en el primer grupo vale la pena mencionar los trabajos adelantados por Francisco Vecino Rubio (2008a, 2008b) y Edo, M. (1999, 2006) en España desde hace algunas décadas. Francisco Vecino Rubio (2008a), investigador en didáctica en el campo de la educación matemática y profundamente interesado por el problema de la introducción del pensamiento lógico-matemático en la Educación Infantil, plantea las siguientes premisas que justifican la pertinencia de abordar el estudio del espacio y la geometría desde los ciclos iníciales de escolaridad. Según el autor, la inclusión de un tema como este en el currículo se justifica por las constataciones siguientes: - El niño está continuamente en contacto con ostensiones evidentes de los principales conceptos espaciales, sea en el entorno social que le rodea, sea en el entorno institucional escolar y por ello la génesis de las representaciones espaciales será una consecuencia inmediata de su relación con el ambiente que lo rodea. 29 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. - Myriam Vásquez Vásquez La exigencia de un tránsito no traumático hacia la Educación Primaria exige, sin duda, el desarrollo de diversas nociones y procedimientos que aseguren un dominio creciente de las relaciones que se establecen entre el individuo y el espacio, que conduzcan hacia una percepción del espacio complementaria con la formación del pensamiento lógico-matemático y que contribuyan al desarrollo de la representación espacial necesaria para modelizar adecuadamente los diversos campos geométricos. - El carácter interdisciplinar de esta etapa de la educación convierte a la representación del espacio y a la geometría resultante en un comodín que puede ayudar eficazmente en la formación y en la configuración del pensamiento artístico, del pensamiento científico, del desarrollo corporal o del sentido musical. En definitiva se convertirá en un instrumento eficacísimo para la formación inicial del sentido estético. De las anteriores constataciones concluye Vecino (2008a, p. 257) lo siguiente: “Todos estos hechos parecen imponer, en la educación espacial del niño, una línea de tratamiento que parte de la percepción que él mismo va generando del espacio circundante y del espacio de los movimientos propios o ajenos, que continúe con las posibles representaciones que se pueden derivar de la percepción espacial y que concluya con una modelización, organización y sistematización de tales representaciones para asegurar una transición hacia la geometría elemental”. Con relación al desarrollo del pensamiento geométrico específicamente, Vecino (2008b, p. 282) enuncia consideraciones metodológicas y psicopedagógicas para 30 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez desarrollar una propuesta curricular y didáctica en las aulas fundamentada en los siguientes principios: - En particular, en el nivel de Educación Infantil, provoca la entrada, a escala universal, de una visión más amplia de la geometría que incluye la introducción de los distintos tipos de geometría que, según las investigaciones psicológicas y modificando de paso las ideas piagetianas de jerarquización de las geometrías (las relaciones topológicas son anteriores a las proyectivas y a las métricas en ambos tipos de espacio) tan en boga en los años posteriores a la reforma de la Matemática moderna. Por consiguiente, se deben considerar simultáneamente los diversos tipos de geometría, resultado de la expresión de tal espacio, y por tanto la necesidad de no establecer a priori la preeminencia de ningún tipo de relación espacial sobre otro. Así, entre los objetivos más importantes desde esta perspectiva aparece proporcionar los principales elementos de la epistemología genética para la modelización del espacio a través de los distintos tipos de geometría de manera simultánea. - La introducción didáctica de las distintas geometrías en el nivel de Educación Infantil exige al maestro un esfuerzo de revisión y cambio de las concepciones que seguramente ha incorporado, en su itinerario formativo y profesional, sobre la Geometría. Esta línea de cambio de concepciones exige un esfuerzo de transformación del currículo oficial. Tal cambio debe servir para organizar la confusa proposición curricular sobre la Geometría y debe proporcionar la posibilidad efectiva de que en la Escuela Infantil se produzca una introducción a las distintos tipos de geometría. De ese modo se provocarán distintas 31 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez aproximaciones perceptivas o representativas al espacio y a su organización posterior. Mequè Edo i Basté (1999) y su equipo plantean a partir de sus investigaciones una propuesta teórica y metodológica para la enseñanza de la geometría en el parvulario que rompa con la enseñanza usual de copia de modelos y definiciones: “no tiene sentido empezar el aprendizaje de la geometría partiendo de conceptos abstractos como línea, punto, cuadrado o rectángulo y todavía menos si los conceptos que manejamos no tienen una conexión explícita con experiencias previas de nuestros alumnos o conectadas con la realidad. Así pues se considera adecuado escoger entre los objetos del entorno los primero modelos de figuras geométricas, que, evidentemente, serán tridimensionales; y es también a partir de estos objetos reales que se conducirá a los niños y niñas a la observación y reconocimiento de las figuras planas” (Edo, 1999). Edo (1999) argumenta que la anterior tesis que plantea una construcción del espacio y la geometría fruto de la experiencia del sujeto con los objetos de la realidad está sustentada en otros resultados obtenidos por colectivos de investigación que se adhieren a este punto de vista en distintos países. (Freudenthal, 1983 en Holanda; Instituto Irisae Piemot,1993 en Italia; el grupo de matemáticas de infantil de Cambrige University, 1988; Grupo Cero de Valencia, 1985; Codina y otros,1992; Alsina, Burgués y Fortuny 1987/1988 c.p. Edo,1999). Sin embargo, la misma autora es clara es decir que estas ideas no son novedosas y datan de décadas anteriores, tomando 32 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez de referencia los principios planeados por Dienes y referenciados por Markarían y Möller (1970, c.p., 2005)3. En correspondencia con estos planteamientos se plantea una “didáctica de la geometría” para este ciclo que sigue los principios constructivistas (Edo, 2006), en el cual se da una gran relevancia a los procedimientos como método de conocimiento para llegar a la conceptualización y donde la tridimensionalidad adquiere un carácter de punto de partida y referente de la construcción de las primeras nociones geométricas. Con relación a lo anterior puede afirmarse que la mayoría de la literatura y artículos especializados confirman que la primera vertiente es la más difundida actualmente en contraposición a la enseñanza usual, la cual interpelan desde la siguiente premisa común: la concepción de base de la enseñanza usual ha sido considerar la intuición geométrica como producto directo de la percepción, concepción que ha fundamentado la organización escolar de la geometría elemental, dotándola de un carácter ostensivo. Basta mostrar los objetos geométricos, que los 3 El estudio de la geometría es el estudio de las actividades posibles en el espacio que nos rodea […]. Como los únicos objetos reales son los sólidos tridimensionales, parece de sentido común que debemos comenzar el estudio de la geometría con el estudio de los movimientos de estos objetos tridimensionales –es decir, reales–, y como no existe un plano, parece imposible proporcionar experiencias que correspondan exactamente con las estructuras que forman parte de la geometría plana o bidimensional, en contra de la costumbre de que las primeras lecciones de geometría consistan generalmente en tratar las líneas, puntos, posiciones de éstos, direcciones de líneas, longitudes de segmentos lineales, algún tipo de medida, etc. No es extraño que los niños se embrollen con la confusión predominante entre lo concreto y lo abstracto, por ejemplo entre la línea de tiza en la pizarra y la abstracción que conocemos por segmento rectilíneo. Las únicas informaciones válidas sobre puntos y líneas lo son acerca de su interconexión en una especie de estructura abstracta y no acerca de algunas relaciones inexactas de estas abstracciones, que debemos escoger para dibujar. 33 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez alumnos los vean, para reconocerlos; basta enunciar sus propiedades para que los alumnos se las apropien (Gálvez, 1985, p. 285). Lo interesante de analizar bajo esta primera vertiente es ver en ambas posturas (Edo, 1999 y Vecino, 2008a, 2008b) matices de tipo más metodológico y didáctico, no así epistemológico. La génesis del espacio y la geometría se explica en función de la acción del sujeto sobre los objetos, acción de la cual el sujeto abstrae características del objeto bien sea para percibirlo, representarlo o modelizarlo. Así mismo, se comprende que la conceptualización de un espacio teórico surge de una extensión y prolongación de las experiencias del sujeto con el espacio físico. 1.2.2 El punto de vista didáctico y curricular para modelizar los problemas espaciales y geométricos De las investigaciones que se ubican en la segunda vertiente, los trabajos adelantados por René Berthelot y Marie-Helène Salin del equipo de Bourdeaux en Francia, son los más representativos. Berthelot y Salin (1992) en su trabajo doctoral abordan como objeto de estudio el problema de la enseñanza y sus determinantes de los conocimientos espaciales y los conocimientos geométricos que han circunscrito la escolaridad obligatoria. Al respecto, plantean desde el punto de vista curricular y didáctico delimitar contenidos explícitos y crear situaciones didácticas para generar competencias referidas a los conocimientos espaciales y geométricos buscando estrechas interrelaciones entre ambos dominios y también sus especificidades disciplinares. 34 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez Desde el punto de vista epistemológico y didáctico plantean la necesidad de reconocer una ruptura entre el espacio euclidiano y el espacio sensorial o físico. Los autores plantean que los estudios de la enseñanza de la geometría muestran que los alumnos supuestamente construyen los conceptos geométricos fundamentales desde la “abstracción” espontánea de la observación de las figuras o de los objetos geométricos. Desde esta postura Berthelot y Salin (1992) proponen dos cuestionamientos: 1- ¿Los conocimientos geométricos constituyen la estructuración implícita y “natural” de los conocimientos espaciales? 2- ¿Si los conocimientos espaciales espontáneos se organizan en sistemas de conocimientos, se constituirán en obstáculos a nuevos conocimientos (espaciales o geométricos)? Si es tal el caso, los autores muestran la serie de errores que se generan cuando se parte de esos conocimientos espontáneos. A partir de estos interrogantes, los autores concluyen que la abstracción ‘espontánea’ dada por la observación de los objetos físicos no tiene éxito en la construcción de los conceptos geométricos y las experiencias espaciales con el mundo físico pueden no permitir una fácil elaboración de estos conceptos. La existencia de numerosas dificultades en la comprensión y uso de los concepto geométricos ratifican la persistencia de esta dificultades. En otras palabras, no hay transferencia posible de los conocimientos espontáneos a la conceptualización de conocimientos espaciales y geométricos. Algunas de las conclusiones de su tesis doctoral que se consideran pertinentes son los siguientes: 35 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. - Myriam Vásquez Vásquez Discuten los roles del conocimiento espacial de los alumnos en el aprendizaje de la geometría. Por un lado, se ha propuesto que la visualización en educación matemática está en su renacimiento. Pero, por otro lado, parece que se han hecho muy pocos esfuerzos pedagógicos para realizarlo. - Desde los 3-4 años de edad, los niños tienen que aprender a ubicarse a sí mismos con respecto a su entorno. También deben aprender a localizar a otros niños y objetos con respecto a sí mismos o, directamente, con respecto a lo que les rodea. Posteriormente, en la escuela primaria, ellos hacen representaciones que involucran la transferencia de tres a dos dimensiones, y simultáneamente desde el mesoespacio - espacio en el cual uno vive - al microespacio -espacio de los objetos pequeños que uno puede atajar y mover. A esta edad los niños hacen una descripción de los objetos sólidos usando palabras o dibujos, y empiezan a usar medidas para hacer más precisas estas descripciones. La construcción de imágenes mentales de configuraciones tridimensionales y la anticipación de movimientos puede ser aprendidas a temprana edad. El trabajo en este aprendizaje empieza en la escuela primaria y el dominio de situaciones complejas requiere varios años. - La habilidad para hacer representaciones bidimensionales de configuraciones tridimensionales se apoya sobre las competencias mencionadas arriba y sobre algún conocimiento de la geometría bidimensional. La habilidad para leer dibujos bidimensionales, planos o mapas, que representan configuraciones tridimensionales, para razonar en tres dimensiones usando estas 36 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez representaciones bidimensionales, requiere que todo lo anterior se tenga desarrollado a cierto nivel. Desde el punto de vista de su propuesta curricular y metodológica plantean: - Introducir explícitamente en la enseñanza de las matemáticas como obligatoria los objetos relativos a ciertos conocimientos espaciales útiles, en particular para el macro espacio desde la enseñanza de las representaciones materiales de los objetos. - Diferenciar netamente la enseñanza de los conocimientos espaciales y centrar los conocimientos geométricos cercanos de los alumnos con respecto a lo que marca la especificidad de cada uno de los dominios de conocimiento. - Para comenzar la enseñanza de la geometría, ésta debe centrarse en el estudio de los objetos espaciales en una problemática matemática, en la escolaridad obligatoria desde los ciclos elementales e introducir los conceptos fundamentales de la geometría como herramientas para resolver los problemas espaciales específicos y articular en la enseñanza de la geometría elementos de la geometría euclidea. - Por último, los autores plantean que el conjunto de dificultades detectadas frente a la enseñanza de la geometría plana y geometría en el espacio que se siguen encontrando, revelan una interrogación sobre cuál es el sistema de enseñanza que permite desarrollar competencias en los conocimientos espaciales y geométricos, necesarios tanto en la vida social y el aprendizaje matemático o profesionales ulteriores. 37 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez Sí bien la propuesta de Berthelon y Salin (1992) y Salin (2004) se distancia del primer grupo y rebate una continuidad entre las experiencias del sujeto con el entorno como prerrequisitos para el aprendizaje de la geometría, planteando una ruptura epistemológica entre estos dos tipos de visualización, no se toma en consideración la naturaleza semiótica de las figuras geométricas4. Por consiguiente, como bien lo plantea Duval (2003), el problema del aprendizaje de la geometría no es sólo de orden epistemológico sino también de orden semiótico. La pregunta pertinente respecto a este problema es sí la visualización en matemática requiere de las mismas exigencias cognitivas que la visualización icónica. Se hace absolutamente necesario partir de este reconocimiento para diferenciar las exigencias cognitivas del acto de “ver” en matemáticas y por fuera de las matemáticas. Desde esta perspectiva, como lo veremos más adelante, lo importante es analizar el funcionamiento representacional de la visualización matemática por excelencia: las figuras geométricas. 1.2.3 El punto de vista cognitivo-semiótico de la actividad geométrica Las investigaciones ubicadas en el tercer grupo encuentran cómo su máximo exponente el trabajo teórico planteado por Raymond Duval, quien ha desarrollado una teoría y abierto un campo de investigación en educación matemática. Desde 4 El problema específico que proponen las figuras geométricas puede ser puesto pues en estos términos: entre ellas y el espacio real percibido habría sólo una diferencia de «nivel», es decir de escala, entre las figuras correspondientes a un «microespacio» mientras que el espacio real sería un «meso-» o un «¿macro – espacio», o existe, al contrario una diferencia de naturaleza, ya que las figuras son de naturaleza semiótica, es decir, que implican una selección en las posibilidades de transformación a otras las cuales la percepción visual permite (Duval, 2003 p. 48) 38 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez esta perspectiva se reconoce que no hay posibilidad de tener acceso a los objetos matemáticos vía percepción o a través de la acción directa del sujeto sobre el objeto, por consiguiente, el acceso a los objetos matemáticos requiere de una mediación semiótica. Comprender la actividad matemática desde esta perspectiva implica tomar en consideración la diversidad y heterogeneidad de las representaciones para la aprehensión de los objetos matemáticos Se reconoce de esta manera como hipótesis una ley fundamental del funcionamiento cognitivo del pensamiento: no hay noesis5 sin semiosis6, es decir sin el recurso a una pluralidad al menos potencial de registros de representación semiótica, recurso que implica su coordinación por parte del sujeto mismo para la aprehensión conceptual de un objeto (Duval, 1999). La actividad matemática por consiguiente, requiere de modos de funcionamiento cognitivo para movilizar sistemas específicos de representación, los cuales constituyen registros de representación semiótica7. 5 Término usado por Duval para referirse a los actos cognitivos como la aprehensión conceptual de un objeto, la discriminación o la comprensión de una diferencia o la aprehensión de una representación semiótica. 6 La semiosis es inseparable de una diversidad inicial de tipos de signos disponibles. (Duval, 1999). 7 Los sistemas semióticos, en efecto deben permitir cumplir las tres actividades cognitivas inherentes a toda representación. En primer lugar, constituir una marca o un conjunto de marcas perceptibles que sean identificables como una representación de alguna cosa en un sistema determinado. Luego, transformar las representaciones de acuerdo con las únicas reglas propias al sistema, de modo que se obtengan otras representaciones que puedan constituir una ganancia de conocimientos en comparación con las representaciones iníciales. Por último, convertir las representaciones producidas en un sistema de representaciones en otro sistema, de manera tal que éstas últimas permitan explicitar otras significaciones relativas a aquello que es representado. No todos los sistemas semióticos permiten estas tres actividades cognitivas fundamentales, por ejemplo el lenguaje Morse o la codificación de tránsito. Pero el lenguaje natural, las lenguas simbólicas, los gráficos las figuras geométricas, etc., si las permiten. Hablaremos entonces de registros de representación semiótica. Estos registros constituyen los grados de libertad de los que puede disponer un sujeto para objetivarse él mismo una idea aún confusa, en sentimiento latente, para explorar las informaciones o, simplemente, para comunicarlas a un interlocutor. (Duval, 1999, p. 29) 39 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez La importancia de reconocer las escrituras numéricas, alfanuméricas, las representaciones figurales y gráficas, como registros semióticos de representación radica en reconocer las operaciones posibles de efectuar en el desarrollo de la actividad matemáticas, o sea, “hablar de registro de representación semiótica y no solamente de representación semiótica va en el sentido que se consideren prioritariamente las posibilidades de transformar una representación semiótica en otra” (Duval, 2004b p. 44). Hay dos grandes tipos de transformación de una representación semiótica: el tratamiento8 y la conversión9. Desde esta perspectiva, la pluralidad de registros de representación y su necesaria coordinación son condiciones del funcionamiento cognitivo de base para el aprendizaje de las matemáticas. Para Duval (1999, p. 147), “la originalidad de los procesos en geometría, en comparación con otras formas de actividad matemática, tiene que ver con que es absolutamente necesaria la coordinación entre los tratamientos específicos al registro de las figuras y los del discurso teórico en lengua natural”. El problema fundamental según el autor con relación a la actividad geométrica y su introducción en la escuela está justo en asumir que dicha coordinación y articulación se da de manera espontánea durante el desarrollo de las actividades planteadas en el aula. El tratamiento es la transformación de una representación en otra representación de un mismo registro. El tratamiento es, pues una transformación estrictamente interna a un registro: utiliza únicamente las posibilidades de funcionamiento propio al sistema; así, las paráfrasis o las reformulaciones en lengua natural, el cálculo con un sistema de escritura de los números, las anamorfosis con las representaciones icónicas, las reconfiguraciones con el registro de las figuras geométricas. Como se ve, un registro ofrece posibilidades específicas de tratamiento. (Duval, 2004b, p. 44) 9 Una conversión es una transformación de la representación de un objeto en un registro P en otra representación del mismo objeto en un registro L. La característica de la conversión es conservar la referencia al mismo objeto (objeto en el sentido estricto, situación…), pero sin conservar la explicitación de las mimas propiedades de ese objeto. (Duval, 2004b, p.44) 8 40 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez Regularmente el ingreso al estudio de las figuras en las aulas desde la educación inicial se concibe desde una secuencialidad de actividades en términos de prerrequisitos: hacer trabajar sobre el reconocimiento perceptivo de las formas, después reproducirlas utilizando instrumentos clásicos, para finalmente adquirir el vocabulario de las propiedades. La enseñanza usual de la geometría se inscribe en este tipo de prácticas. El problema fundamental desde esta entrada secuencial y lineal es desconocer que cada una de estas actividades impone una manera distinta de ‘ver’ sobre las figuras. En general, en la enseñanza de la geometría las figuras hacen parte de variadas actividades: observación, reproducción, construcción, descripción, definición, etc. Sin embargo, esta heterogeneidad de actividades reenvía a una forma de ‘ver’ distinta sobre las figuras. “En los procesos de geometría este acto se convierte de golpe en problemático y es algo esencial. Pues toda mirada sobre una figura requiere un cuestionamiento que, a menudo, se hace en contra de la primera constatación perceptiva, contra lo que se ha reconocido en un primer vistazo” (Duval, 2004a, p. 160). Al respecto, Duval (2004a) plantea la importancia de analizar las actividades ‘geométricas’ que habitualmente se proponen habitualmente a los alumnos, las cuales pueden ser reagrupadas en cuatro clases según el papel que juegan las figuras. Estas cuatro clases son cuatro entradas muy diferentes a la geometría, las cuales ha sido designados por Duval como: el Botánico, Topógrafo Geómetra, 41 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez Constructor e Inventor-Manual10. Observemos el siguiente esquema que plantea el autor: BOTÁNICO TOPÓGRAFO geómetra CONSTRUCTOR INVENTORManual 1. Tipo de operación sobre FORMAS VISUALES, requeridas por la actividad propuesta Reconocer formas a partir de calidades visuales de un contorno: UNA forma particular es privilegiada como TÍPICA Medir los bordes de una superficie: sobre un TERRENO o sobre un DIBUJO (variación de escala de tamaño y en consecuencia de procedimiento de medida). Dividir una forma en trazos constructibles con ayuda de un instrumento Es necesario (a menudo) pasar por TRAZADOS AUXILIARES que no pertenecen a la figura “final”. Transformar las formas unas en otras. Es necesario añadir TRAZOS REORGANIZADO RES en la figura final para iniciar estas transformaciones. 2. Cómo se movilizan las PROPIEDADES GEOMÉTRICAS con relación a este tipo de operación No hay vínculos entre las distintas propiedades (no hay definición matemática posible). Las propiedades son criterios de elección para las medidas pendientes. Como dificultades un orden construcción. Sólo son útiles si refieren a una fórmula por la que se permite un cálculo Implícitamente por de devolución a una de red más compleja (una trama de rectas para la Algunas propiedades son geometría plana o trama de obtenidas por una de una única intersecciones operación de planos…) que la trazo, las otras figura inicial exigen varias operaciones Tabla 1. Cuatro entradas clásicas a la geometría (Tomado de Duval, 2004a, p. 162). • El Botánico. Se trata de aprender a reconocer perceptivamente las formas elementales y las propiedades que son utilizadas en geometría plana: tipos de ángulos y de cuadriláteros, configuraciones obtenidas por las diferentes 10 Esta comparación se puede hacer según dos puntos de vista: el cognitivo, examinando las posibilidades de transferencia de un tipo de actividades a otro; el matemático, relativo a la pertenencia o a la no pertenencia de cada una de las maneras de ver que se usan en los procesos geométricos. La toma en cuenta de estos dos puntos de vista es indispensable si se quieren comprender los procesos de adquisición de conocimiento geométricos. Ponemos así en evidencia la existencia de rupturas cognitivas profundas entre estas cuatro entradas, en razón de la existencia de los tipos de visualización que son totalmente opuestas. (Duval, 2004a, p. 160) 42 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez posiciones de dos rectas la una con relación a la otra, etc. Se trata evidentemente de localizar las diferencias entre dos formas que presentan ciertas similitudes; por ejemplo, un cuadrado y un rectángulo o un cuadrado y un paralelogramo. Aquí, las propiedades geométricas son características visuales. Este reconocimiento perceptivo puede dar lugar a tareas de superposición, de reproducción de un modelo (dibujo), o de clasificación elemental (lo que implica una denominación de los objetos o de algunas de sus propiedades) (Duval, 2004a). • El Agrimensor Geómetra. Se trata de aprender a medir longitudes sobre un terreno en el suelo o la distancia entre dos puntos marcados, y de transportarlas sobre un dibujo que adquiere el estatuto de plano. “Nos situamos pues, de golpe, en dos escalas de magnitud que se trata de poner en correspondencia. Las tareas específicas de esta entrada van, por tanto a consistir, en proponer actividades que exigen que se pase de una escala de magnitud a otra” (Duval, 2004a, p. 164). • El Constructor. Es la entrada necesaria. La particularidad de las figuras geométricas, al menos de aquellas que corresponden a las formas euclideas elementales y a las configuraciones de formas elementales, debe de poder ser construida con la ayuda de instrumentos. Es a través de la utilización de un instrumento como los alumnos pueden verdaderamente tomar conciencia de que las propiedades geométricas no son solamente características perceptivas (Duval, 2004a). 43 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. • Myriam Vásquez Vásquez El Inventor-Manual. Desde esta entrada se plantean problemas clásicos, donde se parte de una figura o configuración para obtener otra, para lo cual debe reconfigurarse una figura inicial en otra. Un ejemplo de problemas abordados en esta entrada: ¿Cómo construir, a partir de un cuadrado dado otro cuadrado dos veces más grande? Estos problemas tienen como característica común exigir una reconstrucción visual de las formas elementales para así poder obtener la reconfiguración o la figura demandada. Estos problemas pueden ser también presentados tanto en el marco de manipulaciones materiales como el de las representaciones gráficas (Duval, 2004a). Por asuntos de pertinencia frente al problema de investigación abordado, en particular por el ciclo de escolaridad en el cual se circunscribe; nos interesa el análisis que presenta Duval de la entrada del botánico. La enseñanza usual en la educación preescolar entra en correspondencia con esta entrada para el estudio de las figuras geométricas. El punto importante para nuestro propósito afirma el autor, es que esta entrada no tiene nada de actividad geométrica: “no se parece a la geometría más que en la medida en que tienen que ver con las formas euclideas” (Duval, 2004a, p. 163). Desde esta entrada, para las figuras euclideas, hay una figura particular que sirve de modelo, y las otras figuras son reconocidas según su grado de parecido con este modelo o con el parecido con el objeto (real) que representa. Las exigencias cognitivas de esta manera de ‘ver’ sobre las formas, Duval (2003, 2004a, 2005) la denomina visualización icónica y se sitúa por fuera de la actividad matemática. 44 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez Desde esta perspectiva o entrada, la gama de actividades posibles para hacer trabajar a los niños y niñas con figuras geométricas o sobre figuras de geometría es diversa, incluso para este ciclo. Las variaciones posibles de las actividades están en función de la tarea potencialmente para ejecutar: reproducir una figura según un modelo, modalidad concreta utilizando un material manipulable, modalidad representacional ateniéndose sólo a producciones gráficas. La pregunta pertinente que se plantea Duval (2004a, p. 167) es: ¿la aproximación botánica puede ser considerada como la primera etapa necesaria en toda adquisición de conocimientos geométricos? Pregunta que encuentra su lugar en el marco de la presente investigación y contextualización del problema dado que esta es la entrada usual que regularmente se hace al registro figural en el preescolar. Ahora, es importante entender las implicaciones para el aprendizaje de la geometría de esta entrada, como lo muestra la siguiente tabla: ESTATUTO EPISTEMOLÓGICO FUENTE COGNITIVA DE LA CERTEZA BOTÁNICO TOPÓGRAFO geómetra CONSTRUCTOR CONSTATATIVO perceptiva inmediata: “eso se ve sobre.” CONSTATATIVO resultante de la lectura de un instrumento de medida RESULTADO procedimiento construcción un de RESULTADO de una descomposición de la figura inicial en unidades figurales que se configuran de nuevo diferentemente Superposición efectuada al ojo o utilizando un gálibo Comparación valores numéricos obtenidos empíricamente Necesidad interna a la secuencia de las operaciones del procedimiento de construcción. Invarianza unidades figurales que son los referentes de la transformación de la figura inicial de INVENTOR- manual Tabla 2. El método de comprensión y conocimiento vinculado a cada manera de ver (Tomada de Duval, 2005, p. 10). 45 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez Duval (2005) presenta en la Tabla 2 la heterogeneidad de las diferentes maneras de ver las figuras y evidencia las rupturas profundas del funcionamiento cognitivo que las separan. Hay en primer lugar entre una visualización icónica, que es la manera espontánea, poco modificable de ver en las figuras, y la visualización no icónica que implica la neutralización de todo reconocimiento analógico de un modelo o de una realidad externa. Una entrada a la geometría que conciba epistemológicamente hablando una aprehensión de las figuras a partir de la constatación perceptiva, como lo muestra la Tabla 2 para los casos de la entrada del Botánico y el Agrimensor Geómetra; no posibilita una articulación entre figura y discurso11. De otro lado, en la primera vertiente la génesis del espacio y la geometría se explica en función de la acción del sujeto sobre los objetos y la conceptualización de un espacio teórico, y surge de una extensión y prolongación de las experiencias del sujeto con el espacio físico. Igual que para la entrada del botánico las actividades que se plantean involucran el trabajo con objetos del mundo real de los cuales se deben ‘abstraer’ las propiedades geométricas. El estatus epistemológico de las perspectivas mostradas bajo la primera vertiente, queda ligado a una visualización icónica de las formas. La perspectiva epistemológica en la segunda vertiente plantea un ruptura entre las relaciones entre conocimientos geométricos y espaciales en contraste con 11 En la visualización icónica, el objeto geométrico no puede ser distinguido de una forma perceptiva particular que representa. Dicho de otra manera, las propiedades geométricas no tienen un carácter distintivo como cualquier otra cualidad visual: son criterios visuales que deben permitir un reconocimiento casi inmediato. En un tipo tal de funcionamiento, las dos exigencias, que dan a las definiciones matemáticas su poder de deducción, o razonamiento constructivo no puede tener sentido. (Duval, 2004a, p. 172) 46 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez las experiencias del sujeto con el mundo físico; sin embargo, desconoce desde un punto de vista cognitivo el potencial heurístico de las figuras al no reconocerlas como un registro semiótico de representación y, por lo tanto, desconoce su potencia inventiva que le permite efectuar a su interior transformaciones de expresión o de representación. Por consiguiente, se hace necesario diferenciar las formas de visualización en matemáticas y fuera de las matemáticas, asunto que, como veremos, distancia enormemente la actual perspectiva de las dos primeras vertientes presentadas en este apartado. Sin embargo, estos asuntos serán tratados ampliamente en el siguiente capítulo. Duval (2004a) plantea que el problema para las entradas que están fundadas sobre visualizaciones icónicas es que no tienen el mismo valor epistemológico de validación: son empíricas y externas, mientras que las entradas fundadas sobre una visualización no icónica son, por el contrario, internas a un proceso que se efectúa y que se puede reproducir (ver Tabla 2). Por consiguiente, en la visualización icónica, el objeto geométrico no puede ser distinguido de una forma perceptiva particular que representa. Y por ende, se abre un cuestionamiento a la forma como se organizan las progresiones curriculares desde la enseñanza usual de la geometría, en particular al estatus que adquieren las figuras desde una entrada como la del botánico, que es la entrada por excelencia a la enseñanza de la geometría en el ciclo de preescolar. Entonces, se considera altamente pertinente el propósito fundamental de la presente investigación: identificar las concepciones de espacio y geometría en el discurso de las maestras y textos escolares en las actividades que enseñan geometría, asunto en estrecha interdependencia con la pregunta central de la 47 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez investigación: ¿Qué geometría o qué geometrías se están enseñando a los niños y niñas en el ciclo de preescolar? 48 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez 2. LA ACTIVIDAD GEOMÉTRICA EN EL AULA DESDE UNA PERSPECTIVA COGNITIVO-SEMIÓTICA El problema de la enseñanza de la geometría en la educación inicial tradicionalmente tiene que ver con dos campos de conocimiento: por una parte el relativo a los conocimientos necesarios del niño para dominar sus relaciones sensoriales con el espacio, y por otra parte al campo de la geometría formal. El análisis de las actividades que comúnmente se proponen en el aula, los textos escolares y los programas curriculares, muestran que bajo la doble referencia “espacio-geometría” no existe una clara distinción entre estos dos campos. Si bien la geometría tiene que ver con el espacio, ¿pueden asimilarse los conocimientos espaciales necesarios para el dominio de los problemas que se le plantean a todo individuo en sus relaciones con el espacio y aquellos que tienen que ver con el saber matemático llamado geometría? (Salin, 2004. p. 38). Tal vez un buen criterio de análisis para diferenciar estos dos tipos de conocimientos es comprender en primera instancia los tipos de problemas a los cuales remiten los conocimientos denominados “espaciales” y “geométricos” en el aula. Los resultados de las investigaciones en Didáctica llevadas a cabo por Berthelot y Salin (1992) y por Salin (2004), plantean con relación a esta problemática que es difícil encontrar criterios comunes en la comunidad de maestros y maestras que permitan diferenciar conocimientos geométricos y conocimientos espaciales. 49 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez Proponen por consiguiente tomar en consideración dos aspectos fundamentales para organizar el trabajo en el aula: - por una parte, diferenciar los tipos de conocimiento (espaciales/geométricos) en función de los tipos de situaciones problemas en las que estos conocimientos se movilizan, - por otra parte, tomar el término “geometría” en sentido estricto, es decir, en el sentido que reenvía a una rama de las matemáticas. Salin (2004, p. 39) delimita dos tipos de problemas derivados de las premisas anteriores: Los problemas espaciales cuya finalidad concierne al espacio sensible, • Acciones: fabricar, desplazarse, desplazar, dibujar, etc.… • Comunicaciones a propósito de las acciones o de constataciones. El lenguaje y las representaciones espaciales permiten comunicar informaciones que sustituyen a la percepción. Los problemas de geometría, en el sentido en el que esta palabra es empleada en matemáticas: Resolver un problema de geometría es una actividad que tiene que ver con el carácter necesario de ciertas propiedades de los objetos de la geometría. Las situaciones de geometría ponen pues en interacción un aspecto “matemático” con un medio que no es ya el espacio físico y sus objetos, sino un espacio conceptualizado, el de las “figuras-dibujos” trazadas por este individuo, quien no hace más que representarlo. La validez de sus declaraciones no está establecida empíricamente sino que se apoya sobre razonamientos que obedecen a las reglas del debate 50 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez matemático. La función de los dibujos es, como dice el matemático Poncairé, provocar la puesta en relación de proposiciones que se sabe asociar al trazado o porción del dibujo, pero la constatación de estas propiedades sobre la ‘figura’ no permite validar la proposición sometida a estudio. El análisis presentado por Berthelot y Salin (1992) y por Salin (2004), plantean implícitamente una distinción de las exigencias cognitivas que subyacen a las actividades que se clasifican, de un lado, en estrecha relación a los conocimientos espaciales y, de otro lado, a las actividades más en estrecha relación a los conocimientos geométricos. Dentro del análisis de los problemas concernientes a un dominio que implica conocimientos geométricos, los autores expresan a su vez el sentido y función que cumplen las figuras geométricas en la actividad geométrica con relación al desarrollo del ‘razonamiento matemático’. Sin embargo, el análisis de las actividades presentadas en los textos escolares y las propuestas por las maestras en el aula es una evidencia de que esta pertinente distinción de conocimientos espaciales y conocimientos geométricos es bastante imprecisa en ellos. Desde un punto de vista semiótico de la actividad geométrica la pregunta se plantea desde otro lugar: ¿’ver en matemáticas’ tiene las mismas exigencias cognitivas que otras formas de ‘ver’ por fuera de las matemáticas? La aparente simplicidad del acto de ‘ver’ se basa, en realidad, en un conjunto complejo de funcionamientos cognitivos. Para analizar los funcionamientos cognitivos que entran en acción durante el hecho de ver, es necesario tomar en cuenta la naturaleza de los objetos que se presentan para ser vistos. Es por ello que es importante distinguir la visión y la visualización, es decir, la percepción de los objetos físicos y la de las representaciones. Ahora bien, la visualización 51 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez plantea un problema específico respecto a la visión: ¿Cómo saber o reconocer, en una figura, los objetos que las formas visualmente discriminadas representan? Es sobre estos mecanismos de reconocimiento que existe una divergencia radical entre la visualización icónica espontánea y los diferentes tipos de visualización matemática: no se mira una figura geométrica como se mira una imagen o un plano de una ciudad. (Duval, 2003, p.45). Entonces esta distinción entre visualización icónica y ‘ver’ en matemáticas está en el centro del problema del aprendizaje de la geometría. El propósito de este capítulo por consiguiente es presentar una perspectiva cognitivo-semiótica del aprendizaje de la geometría planteada por Raymond Duval y a la luz de este punto teórico adoptado tener elementos suficientes de análisis para abordar el objeto de estudio delimitado. 2.1 LA ACTIVIDAD GEOMÉTRICA DESDE UN PUNTO DE VISTA COGNTIVOSEMIÓTICO 2.1.1 La naturaleza semiótica de la actividad matemática Duval (2004b, p. 16) afirma que la necesidad de estudiar la variedad de tipos de representación para analizar los procesos de adquisición de los conocimientos matemáticos se basa en las siguientes constataciones: • Los diferentes tipos de representación son irreductibles entre sí, incluso si los objetos que permiten evocar pueden ser convertidos de un tipo a otro, al nivel de las representaciones particulares que se les dé (…). Esto se basa en el hecho, fundamental para el funcionamiento cognitivo del pensamiento 52 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez humano, de que no todas las representaciones son producidas por el mismo sistema de representación. • La conversión de las representaciones de un sistema u otro ocasiona notables problemas en el desarrollo de los conocimientos. Así, para poder analizar la representación de un objeto cuando se cambia de sistema de representación, es esencial no confundir los tres polos constitutivos de todas representación: el objeto representado el contenido de la representación, es decir, lo que una representación particular presenta del objeto la “forma” de la representación, es decir, su modalidad o su registro La relación entre estos tres polos constitutivos de las representaciones no es en absoluto la misma según sean representaciones cuya producción dependa de sistemas semióticos o, al contrario, de sistemas no semióticos como las redes neuronales o los instrumentos físicos: El desarrollo de las matemáticas, así como la muestra “la historia de los números”, la del álgebra, de la geometría e incluso la del análisis, se hace en el sentido de una diversificación muy amplia de los sistemas semióticos de representación. El desarrollo de estos sistemas presenta dos características. De una parte, conduce a un aumento considerable de las capacidades espontáneas de representación tanto para los razonamientos y los cálculos, como para la visualización. De otra parte, se hace alejándose no del lenguaje, sino de la práctica puramente oral del lenguaje: esto produce un desplazamiento fenomenológico de la palabra a la escritura, es decir, de la producción espontánea de palabras y de signos en la modalidad fonéticoauditiva, a su manipulación controlada en la modalidad puramente visual. Toda 53 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez iniciación en las matemáticas pasa por una apropiación individual de estos sistemas, apropiación que ha llegado a ser tan necesaria como el aprendizaje de la escritura. (Duval, 2004b, p. 17). Tomar en consideración estos principios fundamentales para comprender el funcionamiento mental humano plantea la necesaria interdependencia entre semiosis y noesis para el aprendizaje de las matemáticas. Desde esta perspectiva “el acceso a los conocimientos matemáticos requiere la integración de los sistemas de representación que han permitido descubrir y estudiar los objetos matemáticos que ahora se enseñan” (Duval, 2004b, p. 18). Por lo tanto, Duval (2004b) afirma, que cuando se estudia la variedad de los tipos de representaciones semióticas utilizadas en matemáticas, se hace referencia siempre a los objetos matemáticos y no a los conceptos; éstos por demás, con frecuencia se consideran como una representación mental asemiótica. Para comprender la actividad matemática, la noción de objeto es tan fundamental, si no más, que la de concepto. No se trabaja sobre los conceptos; se trabaja sobre los objetos que tienen propiedades. Las representaciones semióticas tienen pues una significación que está determinada: - Por el sistema semiótico utilizado para representar alguna cosa (situaciones, acciones, formas, objetos…) del mundo percibido, de un mundo imaginario o un mundo ideal. Se habla generalmente de “forma”. - Y por la referencia al objeto representado. 54 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez El objeto representado no debe ser confundido con el “contenido” de la representación. En efecto, el contenido de la representación depende en parte de la forma, en la medida en que el “contenido” es lo que el registro utilizado permite presentar explícitamente del objeto representado. Si se confunde “el contenido” de la representación con el objeto representado, realmente no se podría dar cuenta de la diferencia que existe entre dos representaciones de un mismo objeto ni del interés de esta diferencia (Duval, 1996 p. 80-81). Por lo tanto, hay dos condiciones de base del funcionamiento cognitivo en la actividad matemática, para que no se confunda el objeto con el sistema que lo representa: - el hecho de disponer no de uno sino de varios sistemas de signos que van a funcionar como registros de representación para las funciones de transformación y de objetivación12 - la necesaria coordinación de estos registros Estas condiciones son primordiales para que pueda haber diferenciación entre las representaciones y los objetos representados (Duval, 1996, p. 97). Y esto quiere decir que hay un tipo de funcionamiento cognitivo que es intrínsecamente consciente. Y es con seguridad eso lo que en principio la educación trata de desarrollar. Para 12 La función de objetivación, es necesaria para el desarrollo del control que puede tener un sujeto no sólo sobre sus actividades sino también sobre sus vivencias o sobre las potencialidades de un "mundo" imaginario o personal. Es la posibilidad para el sujeto de tomar conciencia de lo que hasta el momento no era consciente y de lo que aún no había podido tener una conciencia clara en tanto no se había cumplido un trabajo de exteriorización con fines de organización... Esta toma de conciencia se hace a modo de proyección y no a modo de una simple explicitación. Lo que se llama el "trabajo de escritura", la creación literaria, y la palabra en el marco de un análisis, dependen en primer lugar de esta función de objetivación. Pero esta objetivación no está ligada al lenguaje; puede también realizarse a través de sistemas semióticos figurativos como el dibujo, por ejemplo. (Duval, 1999 p. 83). 55 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez Duval (1996) el problema de la objetivación en la actividad matemática es sinónimo de aprendizaje y plantea esta discusión a partir de tres determinantes esenciales: objeto, acto y significación. Duval (1996 p. 94) plantea la noción de objeto de la siguiente manera: “la noción de objeto, que no debe ser confundida con la de fin o de objetivo perseguido, es la primera noción para analizar la conciencia porque la conciencia es necesariamente ‘conciencia de alguna cosa’. Esto quiere decir que aquello de lo cual es consciente un individuo en un momento dado, o sea, aquello que él observa, que atrae furtivamente su atención o sobre lo cual él la dirige, tiene necesariamente para él el estatuto de objeto en el momento mismo en que él lo nota.” Duval plantea que es esta correlación acto→objeto (observado) lo que constituye el funcionamiento cognitivo propio de la conciencia: Esta correlación excluye que hay conciencia simultánea o consecutiva del acto y de su objeto, como en la ejecución planificada de una acción propuesta para alcanzar un cierto objetivo. Los actos por los cuales un sujeto observa, distingue, identifica los objetos, no pueden ser el objeto de un control consciente de parte del sujeto sino a condición de que a su turno, ellos devengan objetos (observados). Se llamará ‘actos objetivantes’ los actos correlativos a una mirada discriminante del objeto. Los actos objetivantes son actos de naturaleza semiótica o actos indisociablemente vinculados a actos de naturaleza semiótica. Es por esta razón que la correlación acto→objeto es del orden de la significación y no de la causalidad: la relación con un objeto, de cualquier naturaleza que sea el objeto visto, pasa siempre por la conciencia bajo el modo de significación. Dicho de otra manera, el sentido, para un sujeto, depende de actos objetivantes de los que es capaz. (Duval, 1996, p. 94). 56 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez Se ve entonces el interés de una aproximación que reintegre la conciencia en el funcionamiento cognitivo, no insistiendo ya en el aspecto subjetivo sino en el lazo entre la semiosis y la objetivación. Ese lazo muestra por qué la construcción de los conocimientos en matemáticas implica la movilización de una gran variedad de actos, cuya mayoría son de naturaleza semiótica y sin los cuales el sujeto no puede estar en condiciones de observar, de distinguir o de pretender los objetos a partir de los cuales los conocimientos matemáticos son elaborados, transformados o aplicados. “Ahora bien, tales actos no son dados de entrada por el sólo hecho de que los nombre o de que sea capaz de mirar imágenes o de reproducir dibujos. Tales actos sólo se adquieren progresivamente con el desarrollo de los registros de representación semiótica” (Duval, 1996, p. 96). Ahora, la actividad geométrica en su naturaleza es específica incluso a otros tipos de actividades en matemática. Sin embargo, antes de dar inicio a la exposición teórica sobre los asuntos que nos conciernen, es importante comprender desde esta perspectiva a qué se hace referencia cuando se habla de reconocer la diversidad y heterogeneidad de las representaciones en la actividad matemática. Al respecto, Duval plantea que hay una gran variabilidad semántica en el empleo del término ‘representación’. Esquemáticamente, esta variedad se puede reducir a la utilización de tres grandes oposiciones: lenguaje/imagen, mental/material, subjetivo/objetivo. La oposición mental/material es la más importante para el debate sobre el análisis de la naturaleza del conocimiento y de la comprensión: 57 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez Se la interpreta como la oposición entre los conceptos (independientes de todo lenguaje y de todo sistema de signos) y los medios exteriores de comunicación o de expresión. Se la interpreta igualmente como la oposición entre el significado y el significante, como si los elementos constitutivos de un signo pudieran separarse, como si pudiera haber un significante que no tuviera ningún significado. (Duval, 2004b, p.33). La ambigüedad de estas tres oposiciones regularmente se opaca en separaciones superficiales. Tales oposiciones no permiten clasificar la variedad de representaciones y, en consecuencia, tampoco definir su naturaleza, que es el asunto importante para entender las exigencias cognitivas que se ponen en acto en la actividad matemática. Figura 1. La heterogeneidad cognitiva de los fenómenos de representación (Tomado de Duval, 2004b, p. 35). 58 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez El esquema que se presenta en la Figura 1, sin pretender ser completo, como lo afirma Duval (2004b, p. 35), permite dar un vistazo al espectro tan amplio de todo lo que califica como “representación”13. En todos los casos se tiene “alguna cosa que está en lugar de alguna otra cosa”, según una parte de la definición de Peirce, o la que evoca alguna otra cosa. Dos rupturas importantes saltan a la vista en el espectro tan amplio de todo lo que se califica como “representación”: - Una, entre las representaciones que son prolongaciones naturales de la percepción. Pero, la imagen que se tiene de la cara de alguien (visto directamente o en fotografía) y el retrato o la caricatura que un dibujante hiciera de esta persona, ¿se pueden considerar como representaciones equivalentes, substituibles entre sí? En un caso, al sujeto se le impone la representación tal cual y sin seleccionar el contenido; en el otro, el dibujante la produce “intencionalmente” y selecciona lo que constituye el contenido. - Otra, entre las imágenes cuyo contenido se asemeja a los contornos y a las siluetas típicas de los objetos habitualmente encontrados en el entorno (tal como se presenta la geometría en la enseñanza usual) y los diagramas que no representan ningún objeto físico que pueda ser percibido tal cual, sino que 13 Todos los análisis precedentes han llevado a subrayar la importancia de la noción de sistema cuando queremos estudiar las representaciones. Una representación no puede ser comprendida independientemente del sistema que ha permitido producirla. Encontramos en esto el mayor aporte de Saussure: para él, un signo puede significar algo solo gracias a las relaciones de oposición que pueda tener con otros signos. Un signo solo es signo al interior de un conjunto de otros signos, al seno del cual su sentido está ligado a un valor de elección en relación con otros posibles. Para él, no hay signo aislado o que pueda ser comprendido independientemente de otros signos. (Duval, 2004b, p. 43) 59 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez representan solo las relaciones. “En este caso, ¿cómo seguir hablando de semejanza como lo hacía Peirce? Si hay semejanza, es por completo de otra naturaleza” (Duval, 2004b, p. 35). Para poder considerar la relación entre el objeto y el sistema que lo representa es esencial distinguir claramente el contenido de la representación y el objeto representado. Dos representaciones diferentes de un mismo objeto pueden tener contenidos muy diferentes. Esta posibilidad es la que hace interesante y rica la actividad de representación. Este tipo de relación es la que Peirce utilizó para elaborar su clasificación: el contenido de la representación se asemeja o no al objeto representado. Pero, en realidad, las relaciones son más complejas si se toma en cuenta el hecho de que hay muchos objetos que no son accesibles por fuera de una representación semiótica (Duval, 2004b, p. 36). Para Duval quizás el mayor olvido y la debilidad de la mayoría de los discursos sobre la representación es dejar en silencio no sólo las producciones de las representaciones sino sobre todo el sistema que permite producirlas. El contenido de la representación está por completo determinado por el sistema que permite producirla. “Representaciones diferentes de un mismo objeto, evidentemente no tienen el mismo contenido. Cada contenido está determinado por el sistema por el cual se produce la representación, de donde surge la consecuencia de que cada representación no presenta las mismas propiedades o las mismas características del objeto. Ningún sistema de representación puede producir una representación cuyo contenido sea completo y adecuado al objeto representado”. (Duval, 2001, p. 38). 60 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez El análisis anterior, en conjunción con los esquemas de las Figuras 1 y 2, reviste gran importancia para la comprensión del problema abordado. En el primer capítulo (p. 25) se planteó que la geometría es un ámbito de conocimiento que exige la articulación cognitiva de dos registros de representación muy diferentes: la visualización de formas para representar el espacio y la lengua14 para enunciar y deducir nuevas propiedades. Las dificultades de aprendizaje proceden, en primer lugar, de que estos dos registros se utilizan a menudo en las matemáticas de manera contraria a su funcionamiento cognoscitivo fuera de las matemáticas. Figura 2. (Tomado de Duval, 2004b, p. 40)15. 14 Duval (1999, 2003, 2004a, 2004b, 2005) en sus distintas publicaciones plantea la necesaria coordinación entre dos registros como condición para la actividad geométrica: las figuras y la lengua. Puede ser que por efectos de traducción o el mismo Duval plantee de maneras equivalentes en sentido y se haga referencia a la relación figuradiscurso, figura-lengua; pero en un sentido amplio se está refiriendo a la relación figura-lengua y a las posibilidades de expresión y transformación que posibilita cada registro en sinergia para la movilización del conocimiento geométrico. 15 Las modificaciones de las producciones de los sujetos con las representaciones, en función de su modo de producción. En una producción automática, el contenido de la representación refleja el objeto representado en función de las leyes del sistema que produce la representación. El sujeto no puede ni dirigir ni controlar el 61 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez La originalidad de los procesos en geometría, en comparación con otras formas de actividad matemática, tiene que ver con que es absolutamente necesaria la coordinación entre los tratamientos específicos al registro de las figuras y los del discurso teórico y en lengua natural. La condición previa para la descripción precisa de los diferentes tratamientos matemáticos pertinentes en el registro de las figuras geométricas es un análisis semiótico relativo a la determinación de las unidades de base constitutivas de este registro, a las posibilidades de su articulación en figuras y a la modificación de las figuras obtenidas (Duval, 2005). En la Figura 1, la relación entre lenguaje y visualización es de doble vía, la función o rol heurístico que pueden jugar las figuras no es el mismo si la relación que comanda el proceso geométrico está entre figura y discurso ó discurso y figura. El asunto importante que puede observarse en ambos esquemas (Figuras 1 y 2) donde el acceso a las figuras no es la vía percepción directa de los objetos. Esto significa que para acceder a los objetos geométricos igual que cualquier otro objeto matemático se requiere de una mediación semiótica. De otro lado, cuando el modelo de representación para la actividad matemática concibe la vía de aprehensión a los objetos como una relación causal entre sujeto→objeto, entonces la percepción directa y la acción del sujeto sobre los objetos es fuente de conocimiento (Figura 2). Evidentemente, éstos son dos modos distintos desde un punto de vista epistemológico y fenomenológico de entender la actividad matemática y en particular funcionamiento de la producción de la representación. En una producción intencional, el contenido de la representación depende, al contrario, de la escogencia de expresión del sujeto. El sujeto puede controlar el funcionamiento de o de los sistemas (semióticos) que él moviliza para producir la representación. (Duval, 2004b, p. 40). 62 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez la actividad geométrica, lo cual tiene consecuencias para la determinación de las acciones y actividades que se consideran como pertinentes para su aprendizaje. 2.1.2 Las unidades constitutivas del registro figural y los procesos cognitivos involucrados en la actividad geométrica Duval (1999) afirma que para que pueda haber figura o gráfico es necesario que haya un contraste sobre un soporte material homogéneo (hoja de papel, pantalla de video…), de manera que alguna cosa identificable se destaque en tal campo perceptivo. Para determinar las unidades figurales elementales que constituyen, semióticamente, una figura geométrica se distinguen dos tipos de variaciones: - el tipo de variaciones ligado al número de dimensiones: 0 (un punto), 1 (una línea) o 2 (un área), - el tipo de variaciones cualitativas: variaciones de forma (línea recta o línea curva; contorno abierto o contorno cerrado de un área), variaciones de tamaño, de orientación (en relación con el plano frontal-paralelo16), variaciones de granulación, de color, etc. Estas distinciones permiten definir los elementos constitutivos de una figura: toda figura aparece como la combinación de valores para cada una de las variaciones visuales de estos dos tipos, dimensionales y cualitativas. A partir de allí, es fácil determinar los elementos que van a funcionar como unidades de base representativa, es decir, como unidades figurales elementales (Duval, 1999, p. 149). 16 Plano vertical y paralelo al plano que contiene la figura 63 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez Toda figura combina variaciones dimensionales y cualitativas; el cruce de los valores de esta variable visual cualitativa con la variable de dimensión, nos permite definir las unidades figurales elementales para el registro de las representaciones geométricas (Duval, 1999, p. 149): Figura 3. Clasificación de unidades figurales elementales (Tomado de Duval, 1999, p. 150). Estas unidades figurales son unidades elementales del registro de las figuras geométricas. Al analizar las figuras geométricas en función de tales unidades, Duval plantea de inmediato las siguientes constataciones: Una figura geométrica es siempre una configuración de al menos dos unidades figurales elementales. Así, un cuadrado con sus diagonales, una recta y un 64 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez punto marcado sobre o fuera de ésta, un círculo y su centro (marcado sólo por la punta del compás), son configuraciones de dos unidades figurales elementales. Incluso una figura aparentemente reducida a una sola unidad figural de dimensión 2 (un cuadrado, por ejemplo), es una figura matemática sólo con la condición de ser considerada como una configuración de unidades figurales de dimensión 1 (los segmentos que forman los lados). Esto, debido a que son las relaciones (paralelismo, simetría, tangente...) entre las unidades figurales elementales las que constituyen el contenido pertinente de una figura geométrica. Generalmente las figuras geométricas comportan numerosas unidades figurales elementales con valores de formas diferentes (círculos, triángulos, cuadriláteros, rectas, puntos. (Duval, 1999, p. 151). Las unidades figurales elementales de dimensión 2 (límite cerrado de un área) son estudiadas en geometría como configuraciones de unidades figurales de dimensión 1 (forma “línea”). Basta con contrastar estas unidades figurales con las definiciones de los objetos matemáticos que ellas representan para darse cuenta del cambio de dimensión que debe efectuarse cuando se pasa de la representación figural al discurso sobre los objetos representados. En el registro de las figuras hay predominancia perceptiva de las unidades de dimensión 2 sobre las de dimensión inferior. En el registro del discurso en lengua natural en que son definidos los objetos representados por la figura, hay predominancia de los objetos representados por las unidades figurales de dimensión 1 o 0. Por tanto, la utilización inmediata de estas representaciones figurales para ilustrar una definición resulta ser ambigua (Duval, 1999, p. 151). 65 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez En una figura geométrica cualquiera que sea, se debe poder distinguir siempre muchas formas que son las unidades figurales representativas posibles. Eso quiere decir que también las figuras euclidianas más simples (círculo, triángulo, cuadrado...) deben ser vistas como configuraciones de otras unidades figurales y nunca como una sola unidad figural. Ahora eso esconde una dificultad importante: las diferentes unidades figurales identificables en una figura raramente tienen el mismo número de dimensiones. Las formas que pueden ser distinguidas, o reconocidas en una figura geométrica son unidades figurales 3D/2D (un paralelepípedo en perspectiva), 2D/2D, (una sección plana, un triángulo, un rectángulo), o 1 D, (un segmento, una curva) (Duval, 1999, p. 141). De otro lado, el reconocimiento de unidades figurales de dimensiones diferentes implica un cambio completo del campo de focalización visual en que la mirada evoluciona. Y tal cambio va a reencontrar los mecanismos de organización perceptiva que imponen de alguna manera el reconocimiento de una forma en detrimento de otra. Hay un predominio organizativo de las formas 3D sobre las formas 2D, sólo cuando se llenan ciertas condiciones. En cambio, hay siempre predominio de las formas 2D sobre las formas 1D. “¡Eso quiere decir que un cuadrado no es visto nunca espontáneamente como una configuración de cuatro unidades figurales 1D (cuatro segmentos), sino como una unidad figural simple 2D de cierta manera no descomponible! La representación de los puntos constituye prácticamente un límite infranqueable para la visualización geométrica” (Duval, 2003, p. 55). Esta variabilidad dimensional en el reconocimiento de las unidades figurales de una figura se convierte en un fenómeno esencial cuando se trata de articular la 66 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez visualización geométrica y el discurso matemático, bien sea una simple descripción, una explicación o un razonamiento deductivo. “Se puede así formular el problema: ¿los objetos matemáticos designados o nombrados en un enunciado matemático corresponden ellos a las unidades figurales del mismo número de dimensiones que éstas se imponen de modo predominante a la mirada?” (Duval, 2003, p. 55). Esta pregunta permite hablar entonces de la importancia de tomar en consideración los procesos cognitivos que subyacen a toda actividad geométrica desde esta perspectiva y que por consiguiente van a poder determinar de acuerdo a la naturaleza de la actividad planteada las relaciones entre visualización matemática y discurso. Duval (2001) plantea que existen tres procesos cognitivos para movilizar conocimiento geométrico: visualización, construcción y razonamiento. Estos tres procesos cumplen funciones epistemológicas específicas que deben desarrollarse de manera independiente, pero están en estrecha interrelación para generar competencias y aprendizaje en la actividad geométrica: 67 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez Figura 4. Procesos cognitivos necesarios para el desarrollo de competencias en el plano geométrico La visualización, ‘ver’ en matemáticas, cubre siempre dos niveles de operaciones que son diferentes e independientes uno del otro, aunque generalmente ellos están fusionados en sinergia en un mismo acto. Estos dos niveles de operaciones son el reconocimiento discriminativo de formas y la identificación de los objetos que corresponden a las formas reconocidas. El principal problema cognoscitivo es saber cómo se hace el paso de un reconocimiento discriminativo de formas a la identificación de los objetos dados y que deben verse. (Duval, 2005, p. 11). La construcción, la particularidad de las figuras geométricas, al menos de las que corresponden a formas euclidianas elementales y a configuraciones de formas elementales, es de ser constructibles con ayuda de instrumentos. Es a través del uso de un instrumento que los alumnos pueden de verdad tomar conciencia que las 68 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez propiedades geométricas no son solamente características perceptivas. (Duval, 2004a, p. 167). En la actividad de razonamiento, se hace referencia a la utilización de propiedades geométricas para producir discursivamente nuevos conocimientos o para justificarlos. La interacción cognitiva entre visualización y discurso sólo comienza de verdad en las proposiciones que se enuncian, cualquiera que sea su estatus (constatación, definición, conjetura…) en el discurso producido. (Duval, 2004a, p. 168). Lo importante de tener en consideración, como bien lo muestra el esquema, es que dichas actividades deben ser concebidas en una sinergia, o sea, no se puede aislar las unas de las otras. En ese esquema, la figura pueden encontrarse en sitios diferentes: en la flecha que va entre la construcción y la visualización, o en los diferentes razonamientos que se haga sobre la figura. De esta manera, una figura puede ejercer una función (ilustración, contraejemplo) con relación a un enunciado y recíprocamente. Las dos flechas que están bajo “razonamiento” significan que en cierto momento, en geometría, lo que conocemos de las figuras se deduce de otros elementos dados, sin necesidad de mirar sobre la figura. 2.1.3 La formas de aprehensión del registro figural y los tratamientos figurales Para analizar el aporte heurístico de las figuras geométricas, Duval (2001, 2003, 2004a, 2005) ha identificado tres tipos de aprehensión en un proceso 69 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez geométrico, con sus correspondientes tratamientos figurales planteados. Los cuatro tipos de aprehensión determinan una experiencia con la figura, y conforman métodos de trabajo que son el efecto de la relación entre visualización y razonamiento en geometría o en actividades que impliquen figuras geométricas. La aprehensión perceptual: Es la aprehensión que captura la figura en un primer vistazo y permite a partir de éste, reconocer subfiguras que no necesariamente coinciden con las unidades figurales requeridas para la construcción de una figura. El tratamiento cognitivo que implica este tipo de aprehensión es inconsciente e inmediato y la figura recibida puede ser diferente de la figura relevante para el tratamiento matemático. Su función epistemológica es la identificación de formas en un espacio n-dimensional; en el caso de la educación inicial será la identificación de formas en tres o en dos dimensiones. (Duval., c.p. Pontón, p. 76). La aprehensión operatoria: Es la aprehensión de una figura en sus diferentes modificaciones posibles. Los tratamientos asociados a este tipo de aprehensión son: • Las modificaciones mereológicas: permiten que en una figura de partida se pueda dividir en subfiguras, a partir de las cuales se reconfigure en otra figura de un contorno global diferente o no. Esta modificación permite tratamientos como la reconfiguración17. La reconfiguración es la operación que consiste en reorganizar una o varias sub-figuras diferentes de una figura dada en otra figura. Una sub-figura puede ser o una unidad figural elemental de dimensión 2 o un reagrupamiento de unidades figurales elementales también de dimensión 2. Naturalmente, se puede aumentar el número de las partes de la figura por un fraccionamiento de sus unidades figurales elementales de dimensión 2. Esta operación concierne la modificación mereológica de una figura. La reconfiguración es un tratamiento que consiste en la división de una figura en sub-figuras. Es importante no confundir “unidad figural elemental” y “sub-figura”. Las unidades figurales elementales son las formas de base en las cuales todas las figuras pueden ser analizadas. Las sub-figuras son el resultado de una división de la figura que depende de las necesidades de un problema propuesto: pueden consistir en una unidad figural o en una combinación de unidades. Es igualmente importante no confundir la figura de partida y la transformación de esta figura por la aplicación de tratamientos figurales que provienen de uno de los tres tipos de modificación con fines heurísticos. La figura de 17 70 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez En el ejemplo, se puede observar que la Figura 5 se puede reconfigurar en dos rectángulos AFGD y FBCG y/o dos triángulos isósceles ABD y DBC y/o dos trapecios rectangulares AFHD y dos triángulos isósceles EBH, DHG. Todas estas reconfiguraciones posibles conservan el contorno global de la figura de partida Figura 5. ¿Qué otras figuras reconoces en la Figura ABCD? En el ejemplo de la Figura 6 se puede evidenciar modificaciones mereológicas introduciendo trazos paralelos a los segmentos AB ó CD, logrando subdividir la Figura 6 en cuatro subfiguras congruentes (cuadrados congruentes que pueden discriminarse visualmente a partir de esta división) u ocho subfiguras congruentes (triángulos congruentes trazando a demás la otra diagonal de Figura 6. En este ejemplo, también se conserva el contorno global de la figura de partida. Figura 6. Trazo suplementario de la otra diagonal del cuadrado ABCD. • Las modificaciones ópticas: de ampliación o de reducción o de deformación de la figura inicial. Los factores que juegan sobre la visibilidad, dentro de esta operación, son el recubrimiento parcial y la orientación de la figura. partida es la figura que se puede construir tomando en consideración ya sea sólo los datos del enunciado de un problema, o los datos de la formulación de una proposición para ser demostrada. A veces en la presentación de una demostración, es la figura transformada la que está dada como figura que acompaña al texto (Duval, 1999, p. 156) 71 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez Se amplía una parte (el rectángulo NOLÑ) de la figura designada con la letra T, con la finalidad de hacer los tratamientos operatorios en la subfigura seleccionada, en este caso en un cuarto de la superficie T. Figura 7. Ejemplo de modificación óptica. (Pontón, 2008, p. 78). • Las modificaciones posicionales de desplazamiento o de giro, las cuales son efectuadas al interior del registro figural, siguiendo las leyes y parámetros de organización de los elementos de las figuras y por lo tanto no necesariamente requieren de un conocimiento matemático, pero sí requieren del uso de algún instrumento de construcción. Estas modificaciones se realizan por desplazamientos, traslaciones o rotaciones, tanto de la figura de partida como de las subfiguras que componen el contorno global, como se observa en el siguiente ejemplo donde hay modificaciones mereológicas y modificaciones de la subfiguras resultantes de la subdivisión. Por ejemplo para calcular el área de la figura sombreada, (área de cada cuadrado de la cuadrícula: 1 cm2). Independientemente del fondo, cuadriculado o no, el contorno de la figura representa una ayuda para un desplazamiento (modificación posicional) de una de las unidades figurales. A partir de una mirada gestáltica sobre la figura se puede reconocer el triángulo que falta y, para reconfigurarla, se puede realizar un ensamblaje del triángulo desplazado en la posición que permita formar un rectángulo. Figura 8. Ejemplo de modificación posicional. (Pontón, 2008, p. 78). Cada una de estas modificaciones es realizable de manera física, mental o gráfica. La modificación escogida permite transformaciones de la figura dada inicialmente, pero también puede implicar una operación de reconfiguración, 72 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez reorganizando una o varias figuras de una figura dada en otra, lo cual conlleva a la comparación. (Duval., c.p. Pontón, p. 78). Duval explica el papel fundamental que tiene la aprehensión operatoria en las figuras de la siguiente manera: Para un problema determinado y para una figura de partida, se ella dada en el enunciado del problema o construida a partir del enunciado del problema, existe generalmente una modificación figural posible que muestra la idea de la solución o de la demostración. Esa es la modificación figural heurísticamente pertinente. (Duval, 1999, p. 163). La función epistemológica de este tipo de aprehensión es precisamente la exploración heurística que permite el registro figural. El mayor inconveniente para la búsqueda de una solución es que la modificación figural heurísticamente pertinente no es inmediatamente visible. Y por último, se tiene la aprehensión discursiva. En este tipo de aprehensión las propiedades matemáticas no son determinadas por constataciones visuales, sino que son explicitadas en enunciaciones de las relaciones que se determinan por la aprehensión desde un marco teórico geométrico (definiciones, axiomas, teoremas) y por las experiencias con las figuras que permite ese tejido teórico. Los ejercicios elementales de aplicación de teoremas o de definiciones requieren fundamentalmente de este tipo de aprehensión. Así mismo, la articulación cognitiva entre visualización y discurso no se hace en el nivel de las palabras sino en el de las proposiciones. Entonces, una figura 73 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez puede producirse para ilustrar un enunciado, o, se puede producir un enunciado para describir o explicar una figura. Sin embargo, como bien lo afirma Duval (2005), la ignorancia de la complejidad de la articulación entre ver y decir puede crear obstáculos que, a mediano y largo plazo, van a revelarse insuperables para el progreso de los alumnos. En este sentido puede entenderse que la figura debe estar anclada a una proposición que fije algunas propiedades representadas por la configuración. Esta ancla discursiva proporciona la puerta de entrada matemática en la configuración, o por el contrario, puede ser un enunciado que reenvíe a la figura por fuera de las matemáticas; asunto que será tratado en el apartado siguiente. La visualización, por consiguiente, implica por lo menos uno de los siguientes cambios: el cambio dimensional, es decir, una aprehensión operatoria; y el cambio de anclaje-aprehensión discursiva. El cambio dimensional comprende las posibilidades de ver figuras de dos dimensiones como configuraciones de unidades de 1 ó 0 dimensiones. El cambio dimensional y el cambio de anclaje son característicos de una forma matemática de ver una configuración, mientras que el cambio figural o la aprehensión operatoria concierne a procesos figurales específicos que se relacionan con transformaciones de la organización visual de la configuración. A diferencia del cambio figural, el cambio de anclaje requiere una transformación de la representación de la situación dada en un registro, a una representación de la misma situación en otro registro. 74 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. 2.2 DE LA VISUALIZACIÓN ICÓNICA Myriam Vásquez Vásquez DE LAS FORMAS A LA VISUALIZACIÓN MATEMÁTICA DE LAS FIGURAS GEOMÉTRICAS Duval (1999, 2001, 2003, 2004a, 2005) en diversos artículos es insistente al plantear que la visualización en geometría es una actividad cognitiva que implica toda percepción visual de los objetos representados, o sea, debe permitir mirarlas como si estuvieran verdaderamente delante de los ojos. La visualización en este sentido debe permitir distinguir e identificar, al primer vistazo, (aprehensión vivida como inmediata) ‘a golpe de ojo’ (aprehensión simultánea) de lo que es representado y diferenciarse de la percepción visual de los objetos del mundo físico. La distinción entre la visualización icónica y la visualización no icónica toma en consideración las exigencias de la actividad geométrica con relación a otras formas de ‘ver’ fuera de las matemáticas, es decir, aquellas formas de ver que funcionan a partir de una relación de semejanza establecida como un prolongamiento o extensión de la percepción visual. Ahora, ¿qué se entiende por visualizar? Duval plantea: Visualizar es producir una representación que, en ausencia de toda percepción visual de los objetos representados, permita mirarlas como si estuvieran verdaderamente delante de los ojos…Lo propio de la visualización es producir una representación que da lugar a una aprehensión simultánea y casi inmediata, pero sin que esta representación constituya una aprehensión de los objetos representados. (Duval, 2003, p. 45-48). 75 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez Duval (2005) afirma que cuando la entrada a la actividad geométrica presupone un mecanismo de iconicidad, la visualización de las formas se basa en una relación de semejanza entre la forma reconocida en un trazado y la forma característica del objeto que debe identificarse. “Naturalmente la situación no es la misma según que el referente sea un objeto material en el espacio circundante18 o una representación de su forma modelo”. (Duval, 2005, p. 10). 2.2.1 Visualización icónica de las formas La visualización icónica depende de la discriminación visual de las formas; esto quiere decir que el reconocimiento de los objetos representados se hace a partir de una relación de semejanza entre una forma escogida como típica o modelo para cada objeto geométrico con el cual deba identificarse (por ejemplo, el triángulo equilátero como forma típica y representativa para todas las clases de triángulo). A cada forma modelo se la asocia un nombre que permite mencionarla y que le confiere así el estatuto de objeto. Fuera de las matemáticas, la visualización es de tipo icónico, es decir que funciona según los criterios de semejanza que se hacen como un prolongamiento o como una extensión de la percepción visual. La visualización icónica de las formas impone serios obstáculos para el aprendizaje de la geometría. La identificación perceptiva de formas implica que se impone una relación de «semejanza» entre los objetos representados y alguna 18 Es sobre estos mecanismos de reconocimiento que existe una divergencia radical entre la visualización icónica espontánea y los diferentes tipos de visualización matemática: no se mira una figura geométrica como se mira una imagen o un plano de una ciudad. (Duval, 2003, p. 41). 76 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez característica Esta relación de semejanza se puede imponer en función de dos criterios diferentes (Duval, 2003): — Lo primero es una simple similitud entre los contornos identificados y el perfil de los objetos representados, como si éstos hubieran servido de modelo, modelo a escala, pues las formas trazadas son a menudo más pequeñas. Esta manera no da sólo la posibilidad de un reconocimiento visual sino igualmente táctil de las formas. — La semejanza que se establece con los contornos y formas con objetos del mundo físico puede imponerse también a partir de la sola conservación de relaciones topológicas entre los caracteres típicos del objeto representado, las formas que corresponden a cada uno de los rasgos típicos vistos como los elementos de un todo: Estas fuertes tendencias de la visualización icónica van contra el desarrollo de lo que debe devenir gesto reflejo para poder hacer geometría: dividir toda forma, que se reconoce inmediatamente en un conjunto de trazos o en cualquier figura inicial, en una configuración de otras unidades figurales del mismo número o de un número inferior de dimensiones. (Duval, 2005, p. 11). Los dos criterios previamente mencionados explicitan una manera de entender la entrada al registro figural, la cual presenta una fuerte interrelación con la gama de actividades propuestas en el aula: - El reconocimiento se centra en el contorno de una zona o de una superficie, una forma es, en primer lugar, un perfil. Eso quiere decir que todas las 77 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez propiedades que no están directamente vinculadas al contorno característico de una forma permanecen por fuera de la actividad. - Las formas aparecen como estables. No se ven pues de una manera que permita transformarlas en otras formas similares o, sobre todo, diferentes. Esta estabilidad es tanto más resistente cuando el reconocimiento de las formas se hace de manera inmediata, a golpe de vista y asociada al nombre que la identifica. Tomando de base los mecanismos que rigen la visualización icónica, la pregunta que surge es: ¿toda actividad que moviliza la visualización icónica o que solamente se apoya sobre ella, lejos de ayudar a los alumnos a tomar conciencia de lo que son las propiedades geométricas no les desvía, por el contrario, de la comprensión de los procesos geométricos? (Duval, 2004a, p. 174). 2.2.2 ‘Ver’ en matemáticas Al respecto Duval plantea dos diferencias esenciales que deben ser tenidas en cuenta para diferenciar los mecanismos que subyacen a la visualización icónica y la visualización matemática: Ver cubre siempre dos niveles de operaciones que son diferentes e independientes uno del otro, aunque generalmente ellos están fusionados en sinergia en un mismo acto. Estos dos niveles de operaciones son el reconocimiento discriminativo de formas y la identificación de los objetos que corresponden a las formas reconocidas. El problema cognoscitivo principal es saber cómo se hace el paso de un reconocimiento 78 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez discriminativo de formas a la identificación de los objetos dados y que deben verse. (Duval, 2005, p. 8). En concomitancia con el párrafo precedente, estas diferencias sustanciales se explican de la siguiente manera: Una primera diferencia está en relación con la deconstrucción de las formas: Lo que la visualización matemática muestra son las relaciones entre las unidades figurales que pueden ser los puntos, las líneas, los contornos cerrados, los planos, las posiciones identificadas por las parejas de números, etc. Los únicos objetos que la visualización matemática permite ver son las organizaciones de relaciones y las unidades figurales difieren de los objetos en lo que su identificación puede variar tanto perceptivamente como discursivamente (las hipótesis). Una segunda diferencia aparece en función de que la aprehensión de una visualización icónica no implica de ninguna manera la capacidad de producirla, mientras que aquella de una visualización matemática implica por el contrario la capacidad de producirla. Hace falta ser capaz de construir una figura geométrica o una gráfica para que en cierta medida se pueda ver lo que representa. (Duval, 2003). Esta segunda diferencia es importante tanto desde un punto de vista didáctico como epistemológico. Al emplear dos verbos diferentes «dibujar» y «construir» para designar la producción de las visualizaciones icónicas y aquella de las visualizaciones matemáticas. «Dibujar» connota esencialmente el gesto gráfico de la mano, la fidelidad del trazado de su movimiento para evocar el perfil del objeto representado. «Construir» implica sobre todo una práctica instrumental. “Y no se 79 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez debe olvidar que las figuras geométricas se construyen con la ayuda de instrumentos, y esto para respetar las propiedades afines o métricas y para que las figuras muestren bien las relaciones que son visualizadas” (Duval, 2003, p. 50). Sin embargo, en el seno de la actividad geométrica y de aquello que caracteriza la visualización matemática está el problema de la deconstrucción dimensional de las formas: Matemáticamente, hay la exigencia teórica de poder analizar toda unidad figural simple de dimensión n como una configuración de unidades figurales de dimensión n-1 (el límite está en considerar toda unidad figural como un conjunto de puntos (0D). En otras palabras, uno puede focalizarse visualmente, por ejemplo, sobre una unidad figural 2D pero nombrar, en las proposiciones que se enuncia (focalización discursiva) los objetos matemáticos representados por las unidades figurales 1D. Dicho de otra manera, hace falta efectuar simultáneamente dos enfoques, una en un campo constituido de formas 2D y el otro en un campo constituido de formas 1D o 0D, los dos campos que se recubren perfectamente. Lo que se nombra en un enunciado, es decir la referencia a los objetos matemáticamente definidos puede ser representado por las unidades figurales que son borradas visualmente por la fusión en una forma de dimensión superior. La enunciación en geometría apuesta a esta variabilidad dimensional de las unidades figurales discriminables o designables en una figura geométrica. (Duval, 2003, p. 55). Por lo tanto, desde un punto de vista de la visualización matemática, hay dos maneras de descomponer una figura en unidades figurales según Duval: la descomposición por división mereológica y la deconstrucción de las formas. 80 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez 2.2.2.1 La descomposición por división mereológica La primera consiste en descomponer en unidades figurales del mismo número de dimensiones. Un triángulo puede ser descompuesto en otros triángulos. Pero también un cubo (3D/3D) o cualquier otro sólido puede ser descompuesto en bloques que también serán otros poliedros (3D/3D). Es lo que se puede llamar una descomposición por aprehensión mereólogica, es decir, la partición en piezas que permiten o bien una reconstitución o bien una reconfiguración del tipo rompecabezas. Esta descomposición se inscribe por tanto en un proceso más general de metamorfosis, por no decir anamorfosis (que es una trasformación por un proceso de deformación continuo). Estas descomposiciones pueden ser (Duval, 2004a, p. 177): Estrictamente homogénea: la descomposición se hace en unidades figurales de la misma forma que la figura que se descompone. Figura 9. (Tomado de Duval, 2005, p. 177). Homogénea: la descomposición se hace en unidades figurales de la misma forma pero diferentes de la forma descompuesta. 81 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez Figura 10. (Tomado de Duval, 2005, p. 177). Heterogénea: la descomposición se hace en unidades figurales de diferentes formas. Figura 11. (Tomado de Duval, 2005, p. 178). Las descomposiciones homogéneas son trasformaciones que son visualmente reversibles y que pueden ser espontáneamente iniciadas con sólo ver la figura. Por el contrario, las trasformaciones heterogéneas no lo son. Ahora bien, a menudo son éstas las que son importantes en la búsqueda de la solución de un problema, pues son éstas las que dirigen la exploración puramente visual de la figura de partida para detectar las figuras geométricas utilizadas para resolver un problema propuesto. (Duval, 2004a, p. 178). 82 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez 2.2.2 La descomposición por deconstrucción dimensional de las formas La descomposición de las figuras en unidades figurales consiste en descomponer una figura en unidades figurales de un número de dimensiones inferior al de la figura. En una figura geométrica, cualquiera que sea, se debe poder distinguir siempre muchas formas que son las unidades figurales representativas posibles. Eso quiere decir que también las figuras euclidianas más simples (círculo, triángulo, cuadrado...) deben ser vistas como configuraciones de otras unidades figurales y nunca como una sola unidad figural. Esto plantea una dificultad importante: las diferentes unidades figurales identificables en una figura raramente tienen el mismo número de dimensiones. Las formas que pueden ser distinguidas, o reconocidas en una figura geométrica son unidades figurales 3D/2D (un paralelepípedo en perspectiva), 2D/2D, (una sección plana, un triángulo, un rectángulo), o 1D, (un segmento, una curva). Así mismo, el reconocimiento de unidades figurales de dimensiones diferentes implica un cambio completo del campo de focalización visual en que la mirada evoluciona. Y tal cambio va a reencontrar los mecanismos de organización perceptiva que imponen de alguna manera el reconocimiento de una forma sobre las otras. 83 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez Figura 12. Descomposición en unidades figurales por deconstrucción dimensional de una forma. (Tomada de Duval, 2005, p. 179). Ahora, aprender a ‘ver’ sobre una figura no tiene nada de espontáneo y hay que sortear varios obstáculos cuando la intencionalidad de la actividad puesta en juego requiere de la toma de conciencia del cambio dimensional y de producir enunciados que den cuenta de dicho cambio: 3D/2D, 2D/1D, 2D/0D, 1D/0D. Al respecto Duval, (2003) afirma que pueden identificarse tres fenómenos importantes: — Para una misma familia de figuras (rectángulo, paralelogramo, trapecio) el mismo tipo de pregunta matemática da lugar a desviaciones considerables en los pasos y los resultados con los alumnos de colegio (Mesquita, 1989; c.p. Duval, 1999, pp. 149-150). — Todas las figuras no tienen el mismo valor heurístico: hay ciertas figuras que ayudan más que otras a descubrir la respuesta o la idea de la respuesta a una 84 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez pregunta matemática, mientras que otras parecen ser antes un obstáculo (Padilla, 1992, c.p. Duval, 2003, p. 57). Dicho de otra manera, la dificultad no es sólo del lado de los alumnos sino que también obedece a los factores internos o a los procesos de identificación y de tratamiento visual de las formas 2D o 3D. — La exploración visual de una figura se hace a partir de una fase de exploración que por lo general se hace del nivel de las unidades figurales 2D hasta las 3D (percepción en profundidad) aunque los razonamientos matemáticos exigirán la toma en cuenta de objetos representados por unidades figurales 1D o 0D. “Esta es la razón por la que las figuras pueden ser una ayuda real independiente de todo cálculo y de toda deducción que permite guiar en la discriminación de las propiedades y de los teoremas que pueden ser utilizados”. (Duval, 1995b, pp. 191-193; 1998a, pp. 45-47, c.p. Duval, 2003, p. 57). La deconstrucción dimensional de las formas exige un modo de funcionamiento cognitivo que no se encuentra en los otros dominios de conocimiento y se diferencia justamente del mecanismo de iconicidad presente en la percepción y observación directa de los objetos. “Es aquí donde hay que buscar el origen profundo, de las dificultades que bloquean a los alumnos, para entrar, o para progresar en los procesos geométricos. Y es a partir de aquí cuando nos podemos plantear el problema de los primeros aprendizajes en geometría: ¿cómo pueden los alumnos 85 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez tomar conciencia de los procesos de deconstrucción dimensional de las formas y adquirirlos?” (Duval, 2004, p. 180). La fuerte diferencia entre una y otra manera de reconfigurar o descomponer una figura radica en las exigencias cognitivas que se plantean según la naturaleza de la actividad que se proponga. De un lado, la descomposición mereológica puede ser efectuada en el marco de las actividades manuales. “Dichas actividades pueden ser una buena preparación; sin embargo, excluyen todo cambio de dimensión, he aquí un límite; pues las manipulaciones implican la conservación del número de dimensiones del soporte material de las formas ensambladas o partidas (nD/3D) o (nD/2D)” (Duval, 2004a, p. 178). De otro lado, la descomposición por deconstrucción dimensional de las formas no puede ser efectuada en el marco de las actividades manuales y necesariamente implica una articulación con una actividad discursiva. Esto pone de manifiesto lo que se ha llamado una aprehensión discursiva, y no solamente perceptiva o secuencial de las figuras. “Así la enunciación de las propiedades de los cuadriláteros más conocidos implica que se deconstruya dimensionalmente una figura simple 2D/2D en una configuración de unidades figurales 1D o 0D/2D. Pues las propiedades de un objeto 2D/2D son relaciones entre objetos representados por unidades figurales 1D/2D o 0D/2D. Por consiguiente, “existe una característica fundamental del funcionamiento cognitivo que es requerido para cualquier proceso geométrico: la articulación entre figuras y discurso (descripción, explicación, definición, deducción…) depende de una reconstrucción dimensional de la manera normal de 86 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez ver las figuras e incluso de aquella movilizada en las composiciones de tipo rompecabezas”. (Duval, 1995a pp. 178-192 c. p. Duval, 2004). Hay que reconocer forzosamente que la importancia crucial de este problema es muy desconocida tanto en la enseñanza de la geometría como en las investigaciones sobre la enseñanza de la geometría. En general, la enseñanza de la geometría se organiza como si la deconstrucción dimensional de las figuras fuera, si no natural, al menos fácilmente accesible a todos los alumnos. Y es aquí donde comienzan todos los malentendidos que impiden que se establezca para los alumnos una articulación real entre las figuras y el discurso geométrico (comprensión de las definiciones, utilización de las propiedades), es decir una comunicación entre los procesos de visualización y los procesos de razonamiento (Duval, 2004a, p. 181). En realidad, hay un largo camino del reconocimiento icónico de las formas euclidianas elementales, semejante a la entrada del botánico, a las distintas maneras de aprehensión posibles sobre las formas: perceptiva, operatoria, discursiva y secuencial. Así una figura geométrica, aun cuando es perceptivamente muy simple, consiste siempre en una configuración de muchas formas. Y ‘ver’ sobre una figura no se reduce nunca a una simple percepción visual sino a la coordinación de varios tipos de aprehensión. Pero igualmente hay otro obstáculo y reto en el ingreso al registro figural. Recordemos que no existe figura sin leyenda. Necesariamente las figuras están ancladas a un registro discursivo. Y la geometría requiere la utilización de un 87 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez vocabulario técnico bastante amplio y complejo. Sin embargo, lo más importante es la heterogeneidad semántica de esta terminología: En efecto, para describir lo que es necesario ver, las matemáticas recurren a dos categorías de términos que no se encuentran en el vocabulario común empleado fuera de las matemáticas para describir lo que se ve: los términos analítico-descriptivos y los términos de relaciones entre trazos en cuestión independientemente de su pertenencia a la organización visual de la forma de un objeto. (Duval, 2005, p. 24). Y evidentemente, el problema para el aprendizaje de la geometría radica en parte en que esta manera tan específica de designar, describir y explicar entra en competencia con un vocabulario no matemático que no implica una deconstrucción dimensional de las formas y que, regularmente, aparece asociado a acciones motrices del sujeto con el espacio físico o espacio representado inmediato. Para finalizar, Duval sugiere en su propuesta la descomposición mereológica como la actividad más pertinente para ingresar a los niños y niñas al registro de la figuras. Sin embargo, con relación al problema que nos concierne y el ciclo en el que se sitúa, puede afirmarse que desde la perspectiva teórica abordada este es un terreno poco explorado. 88 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez 3. LA ENSEÑANZA USUAL DE LA GEOMETRÍA EN EL PREESCOLAR Con el propósito de ampliar una mirada al campo del problema de la enseñanza de la geometría en el ciclo del preescolar, el presente capítulo presenta un análisis del discurso de las maestras y textos escolares con el fin de identificar la concepción de espacio y geometría que circula en las actividades que usualmente se plantean a los niños y niñas en el aula. Interrogantes planteados en un inicio encuentran su lugar en dicho análisis: ¿Qué geometría o geometrías se enseñan a los niños y niñas de preescolar? 3.1 CRITERIOS METODOLÓGICOS PARA LA DELIMITACIÓN DE LOS TEXTOS ESCOLARES Y MAESTRAS PARTÍCIPES DE LA INVESTIGACIÓN El modo de investigación de este estudio es de carácter exploratorio y se inscribe en el campo de las investigaciones cualitativas. Fundamentalmente, la investigación cualitativa estudia, grupos pequeños en los cuales sea posible la observación directa por parte del investigador que los estudia y cuya finalidad puede ser la de explicar las situaciones estudiadas o bien la de interpretarlas (Briones, 1999). A veces considera sólo unos pocos casos de una categoría social a los cuales 89 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez explora en profundidad, como es el caso del presente estudio, modalidad que se denomina estudio de caso. El estudio de caso está constituido por el análisis de sucesos que se dan en un caso único o sólo en algunos casos elegidos por el investigador (Briones, 1999). Las técnicas para la recolección de la información usadas fueron: la observación participante y la entrevista no estructurada. Con relación a la primera técnica, se justifica su pertinencia en función de comprender la observación participante como un método que permite intervenir en la situación objeto de observación. Y la entrevista no estructurada igualmente se define en razón de ser un complemento con el método de observación participante, dado que por sus características permite ampliar, aclarar y precisar información requerida por el investigador con relación a la situación observada (Briones, 1995). 3.1.1 Población seleccionada Para esta investigación se eligió un grupo de 9 maestras pertenecientes al ciclo de preescolar de instituciones públicas y privadas del departamento del Valle del Cauca19. La investigación se realizó con tres maestras de pre-jardín, tres maestras de jardín y tres maestras de transición, quienes tenían a su cargo la dirección y orientación de la propuesta de aula para cada nivel. La formación profesional de las maestras, además de ser licenciadas en preescolar, incluía, para algunas, 19 Las maestras partícipes en la investigación pertenecen a los municipios de Cali, Cartago, La Unión y Roldanillo, tomando en consideración que la tesista ha sido tutora en los programas de formación en el Instituto de Educación y Pedagogía, área de educación matemática desde el año 2000 hasta la fecha. 90 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez especializaciones en el campo artístico, educación sexual, o de las nuevas tecnologías. Por cada maestra se tomaron de 7 a 9 registros, obteniendo 56 registros de aula en total (ver Anexo 1). La situación de observación fueron las aulas de preescolar pertenecientes a los grados de de prejardín, jardín y transición en el marco de clases delimitadas por las maestras para ser observadas con su consentimiento. La consigna presentada a las maestras en el contexto de enunciación previo a la observación fue: ‘Vamos hacer una observación de las clases donde tú consideres que estás enseñando geometría a los niños y niñas’. En promedio el tiempo de observación de cada clase osciló entre 20 y 40 minutos. 3.1.2 Textos escolares La elección de los textos escolares como objeto de estudio se hizo con base en tres criterios: i) Los usados por la maestra en el desarrollo de sus clases -niveles prejardín, jardín y transición- (9), ii) El texto más vendido en el país -niveles prejardín, jardín y transición respectivamente-, (3) y iii) Un texto de una editorial elegido al azar -niveles prejardín, jardín y transición-, (3)- Para este último caso esta elección al azar se hizo de la siguiente manera: se recolectaron 20 textos de distintas instituciones de la región que tuvieran preescolar (o transición para el sector oficial), incluyendo las instituciones investigadas y excluyendo los textos usados por las maestras partícipes de la investigación, o sea, los textos seleccionados bajo el criterio i). En el marco de esta pequeña muestra, se escogió un texto al azar. En total entonces los textos 91 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez tomados como objeto de análisis fueron 15. Por asuntos metodológicos para la presentación del análisis de los mismos se extraen fragmentos del conjunto de estos 15 textos. Se plantean dos categorías de análisis con relación a los textos escolares: la primera y más relevante para el propósito de la investigación, es analizar las actividades propuestas por el texto que aparecen anudadas a la enseñanza de la geometría en el preescolar. La segunda es el diseño de una rejilla (ver Anexo 2) para analizar la frecuencia de actividades por los tópicos o contenidos encontrados en los textos escolares. Dicha rejilla tuvo como propósito determinar la frecuencia de las actividades en los tres niveles. Más que un asunto de conteo se pretendió delimitar desde la concepción de los textos, si se tiende a privilegiar un conocimiento sobre otro (conocimientos denominados espaciales, referidos a las actividades de orientación y ubicación versus conocimientos denominados geométricos). La rejilla explicita la relación No. de actividades/tiempo escolar dedicadas a la enseñanza usual del espacio y la geometría. La información recolectada en la rejilla y su respectivo análisis, se presenta en el tópico de orientación y ubicación espacial de este apartado. Con relación a las características de los textos vale la pena resaltar lo siguiente: • El campo de formación profesional de los autores de los textos escolares analizados oscila entre licenciados en preescolar, especializaciones en educación, educación sexual o no aparece referido explícitamente. Del total de 92 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez la muestra (15 textos) de los libros analizados en el marco de la investigación no se encontró en las personas que conforman el comité editorial o autores, un enunciado que explicite si alguno tiene formación en matemáticas o en educación matemática. • Los textos escolares para el ciclo de preescolar que usan maestras, niños y niñas no son específicos a un dominio de conocimiento. El texto plantea actividades en relación con distintos campos de conocimiento: lenguaje, matemáticas, ciencias sociales, ciencias naturales y educación artística fundamentalmente. De la muestra analizada en la investigación, el texto que más adelante se denomina “Texto A” sólo viene delimitado para lenguaje y matemáticas. El conjunto restante de textos aborda todas las áreas mencionadas con anterioridad. Teniendo como telón de fondo los determinantes contextuales que circunscriben las prácticas de las maestras, el análisis discursivo de las clases de las maestras y los textos escolares busca hallar la interrelación y sentido de las actividades recreadas en el aula con lo planteado en los textos y su correlato con entrevistas espontáneas después de las clases en el marco de la enseñanza de la geometría en el preescolar. 93 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez 3.2 ¿CÓMO, Y HASTA DÓNDE, “VER” Y “ENUNCIAR” PUEDEN JUNTARSE EN GEOMETRÍA?20 El análisis del discurso21 de las maestras en las clases y los textos de preescolar se considera de alta pertinencia para el objeto de estudio de la presente investigación: “lo que se dice” o “no se dice”, está en el centro de entender la actividad geométrica en un aula de clase. La pregunta que puede surgir con relación al problema es: ¿cuáles serían las condiciones discursivas necesarias para movilizar conocimiento geométrico en las aulas? En el capítulo anterior se vio justamente cómo el aprendizaje de la geometría desde un punto de vista semiótico requiere la coordinación de la visualización y el razonamiento. Y los problemas específicos que plantea el aprendizaje de la geometría no se ocupan solamente de la complejidad de la visualización no icónica y de la deconstrucción dimensional de las formas en que se basa, considera también la manera en que un discurso geométrico puede articularse con tal visualización. Sin embargo, el uso especializado de la lengua en la actividad geométrica abre un campo semántico para designar, describir, explicar y razonar. Para analizar el papel de la lengua en geometría, es necesario distinguir tres niveles de operaciones 20 Subtítulo retomado literalmente del artículo de Duval (2005) “La condiciones cognitivas para el aprendizaje de la Geometría”. 21 Duval (1999) plantea que lo propio de una lengua es permitir un discurso, es decir, una expresión que "haga una referencia al mundo" de manera que pueda ser compartida entre los que quieren comunicarse entre sí (Benveniste, 1966, p. 128-130 c.p. uval, 1999, p.80). La expresión "haga una referencia al mundo" debe entenderse aquí en su sentido más amplio: el discurso es una expresión "vinculada con las cosas más allá de la lengua" (Benveniste, 1974, p. 225). En otros términos, el discurso es el empleo de una lengua para "decir alguna cosa", es decir, hablar de objetos físicos, ideales o imaginarios, que no son sólo las potencialidades significantes de una lengua. En razón de esto, la práctica de un discurso es inseparable de un cierto funcionamiento cognitivo. 94 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez discursivas: la designación, la enunciación de propiedades, la deducción y poner en relación lo que se dice con lo que acaba de enunciarse para completar, explicar, justificar la observación. “Estos tres niveles de operaciones discursivas subyacen a la producción, oral o escrita, de toda formulación” (Duval, 2005, p. 13). La forma de concebir la articulación entre visualización y lenguaje en la actividad geométrica depende del punto de vista epistemológico adoptado para entender la naturaleza de los objetos matemáticos y su modalidad fenomenológica de aprehensión. Entonces, el énfasis puede estar puesto en el problema de cómo se conceptualizan los objetos matemáticos y concebir los conceptos como de naturaleza asemiótica (ver p. 39, capítulo 2). Al respecto, Duval (1999) plantea que el problema de la relación entre actividad semiótica y actividad conceptual puede entonces ser considerado desde dos puntos de vista diferentes: El primero se basa únicamente en el hecho de que un cambio de registro puede revelarse como económico o fecundo desde el punto de vista del tratamiento de las representaciones. Entonces se puede mantener la independencia y la prioridad de la actividad conceptual sobre la actividad semiótica. Este punto de vista, que privilegia la función de expresión, tiene un modelo esencialmente lingüístico y es el modelo usado más ampliamente en el marco discursivo de las aulas (Duval, 1999). El segundo punto de vista toma en consideración el hecho de que el cambio de registro presupone una coordinación de registros. “La actividad conceptual entonces no puede ser aislada de la actividad semiótica porque la comprensión conceptual aparece ligada al descubrimiento de una invarianza entre representaciones 95 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez semióticas heterogéneas” (Duval, 1999, p.61). Esto cambia completamente la modelización que se puede hacer de la representación así como la aproximación a las condiciones de un aprendizaje conceptual y a la comprensión de las producciones semióticas (textos, figuras geométricas, lengua formal, razonamiento...). Duval explica el modelo lingüístico de la siguiente manera: En el modelo lingüístico de la representación centrado en la función de expresión, generalmente se define la representación de la misma manera como se define el signo lingüístico, es decir, como una relación entre alguna cosa (forma, trazo, objeto...) visual o auditivamente aprehendida y la evocación de otra cosa que está ausente o cuya realidad es simplemente mental: ‘lo propio de la representación es (...) evocar lo que desborda el dominio perceptivo y motor’. Quien dice representación, dice en consecuencia, reunión de un “significante” que permite la evocación y de un “significado” provisto por el pensamiento (Piaget, 1968b, p. 286; p. 68; 1968a, p. 305; c.p. por Duval, 1999, p. 61). Los límites y las ambigüedades de este modelo de representación cuando se trata de un registro distinto al de la lengua natural inmediatamente se hacen visibles. Estos hacen referencia a su indiferenciación entre una estructura diádica de representación que generalmente caracteriza a los símbolos y las notaciones matemáticas, y una estructura tríadica (las dos flechas entre significante y significado, y la flecha punteada “referencia”, como puede observarse en la Figura 13) que caracteriza al signo lingüístico y a las figuras (formas representadas). La estructura diádica sólo conserva la relación de referencia entre un significante, o un representante, y el objeto designado o representado. La estructura tríadica, al 96 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez contrario, subordina la relación de referencia a la de la significación entre el significado y el significante (Duval, 1999, p. 62). Significado Signo lingüístico, o toda unidad definida en un sistema que tiene sus propias leyes de organización Referencia Objeto Significación Significante Representación Símbolo o notación matemática Figura 13. Estructura tríadica y diádica de la significanción (Figura tomada de Duval, 1999 p. 62)22. Tomando de referencia este modelo con relación a la actividad geométrica en el aula, puede decirse justamente que desde el punto de vista de un modelo de representación centrado en la función de expresión, las representaciones de las figuras son tratadas en el aula sólo desde su aspecto fenomenológico: el modo de producción: externo o interno, es decir físico o mental y el modo sensorial requerido para la aprehensión: visión, audición, tacto y, se olvida el aspecto estructural y 22 En este esquema los diferentes elementos constitutivos de la significanción de los signos están en negrilla, y las relaciones entre estos elementos están en cursiva. El esquema permite ver la oposición entre dos tipos de signos. Para los signos que tienen una estructura tríadica, como los signos lingüísticos, la relación de referencia presenta dos características. De una parte, la relación con un objeto depende de una relación de significación determinada por el sistema de la lengua (Saussure, 1973, p. 159, 163). De otra, la relación con el objeto es una posibilidad que sólo está asegurada en el plano del discurso, el cual no es constitutivo de la significanción del signo (Benveniste, 1966, p. 129-131; 1974, p. 64-66 c.p. Duval, 1999, p.62). 97 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez funcional de su significancia, o sea; su poder heurístico para representar y resolver un problema geométrico. - Duval (1999, p. 80) afirma con relación a la significancia de las representaciones (aspecto estructural): “todo lo que toma valor de signo lo hace al interior de un sistema que determina un campo de posibilidades de significancia o representación”. Para nuestro caso, las unidades constitutivas del registro figural (entrecruzamiento de variables cualitativas y dimensionales) y el registro de la lengua natural. Este sistema es independiente del modo de producción de sus signos (Benveniste 1974, p.51-53 c. p. Duval, 1999 p.80). Por ejemplo, reconocer en una configuración subfiguras que no son reconocibles a simple vista no es sólo un asunto de aprehensión perceptual; observar en este caso equivale a discriminar en la figura las diferentes unidades significantes pertinentes (aprehensión operatoria), lo que no puede hacerse sin efectuar los diferentes anclajes necesarios (anclar significa coordinar enunciado a registro figural, anclar el discurso a la figura que guíe las operaciones para la resolución del problema). Sin la realización de estos actos de anclaje, un sujeto no puede ver lo que es necesario ver en esa figura. En otras palabras, la visualización y la producción de enunciados en geometría requieren funcionamientos cognoscitivos que son diferentes y más complejos que los que obran por fuera de la geometría. Esta es la razón por la que su desarrollo y su coordinación deben considerarse como objetivos de enseñanza tan esenciales como los contenidos matemáticos mismos. Dada la naturaleza de la actividad geométrica, la comprensión del contenido no puede construirse sino a partir de una sinergia entre visualización y lengua. (Duval, 2005, p. 4.). 98 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez Un reconocimiento de esta índole nos lleva al problema central que nos convoca y es el problema de la entrada que se hace a la geometría en la enseñanza usual en el ciclo de preescolar. En esta entrada, ¿cuál es el estatus que tienen las representaciones figurales? Sí la coordinación entre figura y discurso se plantea como condición desde un punto de vista cognitivo para el aprendizaje de los conocimientos geométricos, entonces otras preguntas anudadas al problema y propósito central de la tesis pueden ser: ¿qué tipo de operaciones u operación discursiva se privilegia a la actividad geométrica en los textos escolares y discurso de las maestras? ¿Cuál es la conceptualización y significación que logran los niños y niñas en el ciclo de preescolar desde una enseñanza usual de la geometría? 3.2.1 ¿Qué ‘dicen’ las maestras y los textos escolares de preescolar sobre los conocimientos geométricos? Un primer punto de partida para este análisis está en relación con la forma como están organizados los contenidos que hacen referencia a los conocimientos geométricos en el aula, es decir, la organización y ordenación de la secuencia de las actividades y su correspondiente introducción en las aulas viene dada por el texto escolar, o sea, por la estructura que plantea el texto escolar. El centro de análisis fueron por consiguiente, los textos escolares, entendiendo la función que cumplen en este ciclo para la enseñanza de la geometría: el texto escolar delimita y determina las acciones de las maestras en el aula para este ciclo. Las formas enunciativas de los textos en este ciclo están en concomitancia directa 99 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez con lo encontrado en las aulas: delimita los contenidos y las acciones que las maestras, niños y niñas deben hacer. Por consiguiente el texto impone ‘una manera de caminar, pensar y ejecutar’. El texto completo en un sentido global es una enunciación caracterizada por verbos que hacen referencia a instrucciones: dibuja, encierra, observa, colorea, traza, pinta, pega, decora, delinea, recuerda, etc. El texto escolar es el currículo, es el método y es la actividad. Se toman como referencia para sustentar las anteriores afirmaciones, fragmentos de los textos (edición del docente) de la editorial elegida al azar en sus niveles jardín y transición (denominados a lo largo del capítulo como Texto B y C) y un texto sugerido por la maestras con actividades para los grados de prejardín y jardín (denominado Texto A) y un texto sugerido por las maestras para el grado de Transición (denominado Texto D), textos que serán tomados como textos modelos y representativos de toda la muestra para el análisis a desarrollar en el presente capítulo. • Al tomar los tres textos en secuencia de la editorial elegida al azar se encuentra lo siguiente. Los textos tienen la misma estructura: cuatro capítulos donde se delimitan “las diferentes áreas del saber”: lectura, ciencias sociales, ciencias naturales, lenguaje y matemáticas. En los tres textos A, B, C aparece la misma descripción para el área de matemáticas. Cada área del saber describe los tópicos y temas sugeridos. A continuación se extrae un enunciado de uno de los textos tomados para el análisis: Iniciación a las matemáticas: En esta sección se busca despertar la curiosidad de los niños hacia los diferentes pensamientos matemáticos, 100 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez a través de ejercicios atractivos y dinámicos, pero serios en su contenido. Las actividades específicas de cada pensamiento, junto con los demás conocimientos adquiridos por los niños en el salón de clases, en casa y en otros espacios de socialización, contribuirán a que se familiaricen con las matemáticas. (referencia) • Se toma como referente de organización del currículo y actividades para las matemáticas el desarrollo de conocimientos básicos planteados en los lineamientos curriculares de matemáticas bajo los siguientes pensamientos: pensamiento espacial, pensamiento variacional pensamiento y métrico, pensamiento pensamiento numérico. Con estadístico, relación al pensamiento que nos interesa aparece la siguiente descripción: Pensamiento espacial: El desarrollo inicial del pensamiento espacial se orienta al manejo de la posición relativa de los objetos y el espacio (dirección, distancia y posición) y al reconocimiento de las características y propiedades de algunas formas geométricas. Con este fin, se realiza actividades orientadas a: • Describir, nombrar e interpretar la posición relativa de un objeto en el espacio y su relación con otros objetos. • Reconocer, nombrar, construir, dibujar y comparar algunas figuras geométricas. • Las actividades referidas al pensamiento espacial aparecen todas en el período 1 para los textos A, B, C. La diferencia de los tres niveles está en 101 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez relación con la cantidad de actividades por nivel: se incrementa en orden de sucesión A, B, C. Las primeras actividades hacen referencia al primer logro de ubicación y orientación espacial; las últimas actividades están referidas al reconocimiento de las formas. Esta distribución difiere del resto de los textos analizados. En general los distintos tópicos o contenidos delimitados como objetos de enseñanza se distribuyen a lo largo de todo año, pero los tópicos o temas son los mismos: trazos; discriminación visual de formas y contornos; orientación y ubicación espacial, figuras geométricas y simetrías. De otro lado, los textos de la editorial al azar aparecen organizados en cuatro períodos (tiempo escolar que corresponde con la entrega de informes académicos a los padres); la mayoría de los textos aparecen organizados en unidades temáticas y aparece un conjunto de actividades relativas a cada saber o dominio científico. • En la tabla de contenidos de los textos de esta serie es común encontrar, una organización tipo matriz, donde el tópico o tema está clasificado nominalmente con relación a las dimensiones del preescolar estipuladas en los lineamientos curriculares para el preescolar (1998) cognitiva, corporal, comunicativa, socioafectiva, ética y espiritual y estética. Tomando como referencia la descripción precedente de la estructura y organización de una serie completa de textos para el preescolar, puede afirmarse sin temor a equívoco que no se encuentran diferencias sustanciales con relación al resto de los textos analizados. De manera particular, la diferencia se plantea con relación a 102 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez la distribución de las actividades en el tiempo de un año escolar. Para efectos del análisis de los textos escolares se retoma la clasificación de los temas propuestos en los textos, -trazos, discriminación de contornos y formas, formas geométricas, simetrías y orientación y ubicación espacial- y se redefinen como categorías de análisis a los largo del cuerpo del presente capítulo. 3.2.1.1 Categorías de clasificación de las actividades en los textos escolares y su correlato con el discurso de las maestras en el aula El análisis de la enunciación de las maestras y textos escolares se plantea a partir del análisis de las cinco categorías de análisis definidas: trazos, discriminación de contornos y formas, formas geométricas, simetrías y orientación y ubicación espacial, categorías de análisis que igualmente se asumen para el análisis de los registros de observación recolectados en el aula. El análisis de los enunciados de los textos escolares y el discurso de las maestras se plantea como un correlato entre el texto y las actividades propuestas en el aula. A continuación se presenta una descripción y análisis de las cinco categorías definidas para el análisis de los textos escolares y el discurso de las maestras: • Trazos Actividad de aprestamiento entendida desde lo enunciado en los textos como prerrequisito para el trazo de letras, números y figuras geométricas. Específicamente se retoman en este apartado los trazos referidos explícitamente “al trazo de figuras geométricas”. Por consiguiente aparece en los textos escolares (ver imágenes 103 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez siguientes) trazado (o delineación) de círculos, cuadrados, rectángulos, rombos y óvalos en el marco de un contexto referido a la vida cotidiana o descontextualizado de una relación de semejanza con los objetos del mundo real. Regularmente, para el desarrollo de esta actividad, el modelo de base es un trazo discontinuo de rectas o puntos insinuando un contorno: circular, rectangular, triangular, etc. La actividad del niño y niña es hacer un trazo continuo de un contorno tomando de referencia el trazo de un contorno discontinuo. Contrastemos el enunciado del texto con un aparte de un registro de aula (cada enunciado en los registros será designado con la letra E, acompañado de un numeral, las maestras serán designadas con la letra M, las intervenciones de los niños a coro con la letra N o la inicial de su nombre en mayúscula, y para el caso de los apartados de las entrevistas, I hace referencia a las intervenciones de la tesista): Figura 14 del Fragmento Texto A, Registro No. 1 E1. M: Niños, niños, niños por favor, atentos a lo que les voy a decir. No me vayan a ensuciar la hoja. Con un lápiz van a trazar los triángulos que están en la misma posición. Vean acá. Si ven este (señala el triángulo de la parte inferior -izquierda de la hoja), éste está paradito, ¿lo ven?, entonces, ¿Cuál de los otros triángulos está en la misma posición? E2. N: El de abajo, el de arriba... E3. M: Ustedes si están viendo bien ¿cuál es de estos tres que se escoge? (Señala la hoja en la parte inferior-izquierda de la hoja) Bueno entonces voy a pasarles el lápiz y luego los pintan. Bien ordenaditos y limpiecitos con el trabajo. 104 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez K. Pavón (comunicación personal, 4 de Noviembre de 2007) Analicemos las implicaciones de esta práctica. Observemos que el enunciado E1 de la maestra de jardín; en el “Con un lápiz van a trazar los triángulos que están en la misma posición” (que aparecen referenciados en el fragmento del texto A, Figura 14) es una paráfrasis de la consigna que aparece en el texto. Dicha consigna de entrada hace referencia a una actividad motriz. El hecho de colorear la superficie de las formas sugeridas es otro criterio de identificación de un gesto motriz: “Ah, para que el niño sepa que la figura no es sólo el borde sino también lo que está adentro” (aparte de un enunciado de una maestra de prejardín en la entrevista no estructurada). La exigencia de este tipo de actividad es identificar las figuras en una misma posición, posición relativa no sólo a la línea de base, sino a estar encima o debajo de la otra figura. Ahora, observemos la actividad de trazo de cuadriláteros como bien aparece enunciada en la siguiente figura: 105 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez Figura 15 del fragmento texto A Los enunciados del fragmento del Texto A, Figura 15 son los siguientes: “Trazado de cuadriláteros” y “Traza. Pega recortes de papel seda en el tren”. El primer enunciado es una designación del nombre de la actividad. El segundo enunciado, se caracteriza por uso de dos imperativos que hacen referencia a dos actividades motrices: trazar y pegar. A diferencia de la actividad anterior, la exigencia de esta actividad es seguir la dirección que sugieren las flechas para trazar los cuadrados y rectángulos. De otro lado, está el asunto que hace referencia a hacer corresponder los contornos y formas de figuras a través de una relación de semejanza23 con 23 Recordemos que esta relación se basa en la “semejanza” entre la forma visualmente discriminada y la forma típica del objeto representado. Esta semejanza es la que generalmente se considera constitutiva de la imagen. De allí, pues, Peirce (1978) hizo la característica de todas las representaciones icónicas por oposición a los símbolos 106 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez ilustraciones o dibujos de objetos del mundo físico, como es el caso del segundo enunciado que aparece en la Figura 15 Texto A: “Traza. Pega recortes de papel seda en el tren”. El interrogante que surge con relación a esta actividad específica es: ¿Qué relación existe entre trazar contornos de figuras cuadriláteras y pegar papel seda en un tren ilustrado? Plantear que es una relación de tipo analógico, es decir demasiado; no hay nada discursivamente que “ancle” la relación de los contornos de los cuadriláteros al acto de pegar papel seda en los vagones del tren que tienen formas rectangulares. Por lo tanto, desde la concepción del texto la maestra debe establecer la relación de semejanza entre los cuadriláteros trazados en la parte superior de la hoja y el contorno de los vagones del tren. Al preguntar a las maestras sobre la finalidad y el valor de estas actividades para la enseñanza de la geometría, es común encontrar justificaciones del siguiente orden: “Es muy importante que los niños realicen trazos porque eso ayuda a que ellos mejoren su motricidad fina, el trazo de líneas curvas, rectas, hacia arriba, hacia abajo…y tienen que ver con las figuras geométricas porque las figuras están compuestas de líneas curvas y rectas” A.M. Labrada (comunicación personal, 18 de Octubre de 2007). Los textos, igual que lo observado en las aulas, sugieren además un orden de trazado de las figuras cuyo nivel de exigencia se va graduando: prejardín, preferiblemente figuras circulares (círculos y óvalos) y algunos cuadriláteros (cuadrados y rectángulos); jardín, figuras circulares, algunos cuadriláteros y “el triángulo” (típicamente se presenta un triángulo equilátero “apoyado” sobre uno de su lados); transición, trazo de figuras sin restricción: circulares, cuadriláteros, triángulos. y a los índices. Generalmente esta semejanza basta para reconocer directa, e inmediatamente, el objeto representado, como en la percepción del mundo circundante. Así no hay que saber leer para observar tiras cómicas y seguir su relato. (Duval, 2005, p. 12) 107 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez La razón de esta graduación es un criterio de destreza motriz totalmente válido. El círculo es la primera figura geométrica que se introduce porque trazar un segmento curvo continuo para los niños y niñas es más fácil que trazar líneas rectas, y ni que decir, de las líneas rectas que según el modelo conservan una relación de perpendicularidad y paralelismo, para el caso de algunos cuadriláteros24. Dibujar y reproducir figuras es una actividad realmente difícil para niños y niñas de tan corta edad. Para las maestras el ‘valor pedagógico’ de estas actividades se fundamenta en dos aspectos. De un lado, el desarrollo de la motricidad fina es considerado como una habilidad y destreza primordial desde los objetivos de la educación preescolar. El trazo de figuras geométricas es una buena excusa para la consecución de este logro. De otro lado, reproducir los contornos es considerado desde el punto de vista de las maestras, como un indicador de reconocimiento e identificación de las figuras geométricas: E1 E2 E3 E4 I: ¿Qué conocimiento geométrico ganan los niños con la actividad de trazos de figuras? M: Mucho, porque si él sabe dibujarlas entonces las puede reconocer I: De las actividades que ustedes plantean en el aula a los niños y niñas ¿Cuáles ayudan a la identificación y reconocimiento de las figuras geométricas? M: Todas las que hacemos ayudan al reconocimiento de las figuras, que hagan los trazos, ellos van mejorando con el tiempo; pintarlas y reconocerlas en las distintas fichas de trabajo, cuando están en un paisaje. C. Carrillo (comunicación personal, Abril, 2007). 24 De entre las figuras cuadriláteras, cuadrado es la que es equilátera y rectangular, rectángulo la que es rectangular pero no equilátera, pero no equilátera, rombo la que es equilátera pero no rectangular, romboide la que tiene los ángulos y lados opuestos iguales entre sí, pero no es equilátera ni rectangular; y llámense trapecios las demás figura cuadriláteras, Definición I.19. 108 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez Desde un punto de vista cognitivo, las actividades planteadas en los textos y registros de aula en la categoría de ‘trazos’, centra, el reconocimiento sobre el contorno de las figuras delineadas (la figura es un perfil), a partir de imperativos como: trazar, pintar y pegar, acto en el cual se fundamenta el reconocimiento y discriminación de las figuras geométricas por parte de los niños y niñas. El reconocimiento de las formas puede aparecer asociado a un objeto real y a un modelo tipo de representación que condensa todas las posibles representaciones de una clase de polígonos (el caso del “triángulo”, por ejemplo). Para Duval (2004, p.168) “esto quiere decir que todas las propiedades que no están ligadas con el contorno característico de una forma, quedan fuera de campo”. En conclusión, las actividades planteadas en la categoría denominada Trazos, la cual es un contenido común a todos los textos analizados y registros de aula, conlleva a una visualización icónica de las formas, dando un tratamiento al registro figural de Ilustración25 (Duval, 1999). • Discriminación visual de formas y contornos Bajo esta categoría se agrupan las actividades planteadas en los textos escolares cuyo propósito es el reconocimiento de formas y contornos en ‘paisajes geometrizados’ que evocan situaciones de la vida cotidiana planteando una relación de semejanza entre las formas y contornos con objetos de la vida real. Los paisajes geometrizados son ilustraciones de situaciones u objetos del mundo físico donde se 25 La función de ilustración para Duval corresponde a un cambio de registro particular: la representación principal pertenece a un registro de tipo discursivo –generalmente el de la lengua natural, y la representación auxiliar pertenece a un registro de tipo sinóptico –generalmente una imagen cuyo contenido presenta una “semejanza”, en el sentido de Peirce, con los objetos de la “realidad” 109 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez transforma el contorno y forma real del objeto y se “geometriza”; trazando segmentos rectos o curvos que corresponden con la forma y contorno de una figura geométrica. Un buen ejemplo de esto son las ilustraciones que aparecen a continuación: en la Figura 16 Texto B, los contornos de las alas de la mariposa aparecen en correspondencia por una relación de semejanza con los contornos de dos triángulos equiláteros congruentes; en la Figura 17 Texto B, el payaso en su totalidad se ha hecho corresponder a partir de un criterio de semejanza con formas geométricas para representar su cara, gorro, brazos, cuerpo, piernas; Figura 18 Texto C, el árbol y la casa, plantean una relación de correspondencia y semejanza con contornos rectangulares, circulares y triangulares. Este reconocimiento implica una discriminación icónica de contornos y formas alusivas a las figuras geométricas. La identificación de las formas y sus propiedades se valora a partir de actividades de coloreado, decorado y trazos. A continuación se presentan “actividades típicas” bajo este tópico que se encuentran en diferentes textos (independiente del nivel) y apartes de registros de aula: El prototipo de actividades que se platean bajo este tópico regularmente tiene dos variantes. Una variante es donde aparece una figura que se toma como un modelo tipo representativo de la clase de polígonos a la que pertenece y luego dicha figura debe ser discriminada en el marco de un contexto que recrea una relación de semejanza con objetos de la vida real, bien sea un paisaje o dibujos de objetos presentados de manera aislada. Un buen ejemplo de la primera variante lo 110 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez representa la Figura 16 Texto B y las Figuras 17 y 18 del Texto C, la Figura 20 del Texto D. Figura 16 del fragmento texto B Figura 17 del fragmento texto B 111 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Figura 18 del fragmento texto C Myriam Vásquez Vásquez Figura 19 del fragmento texto C La otra variante es una actividad que propone un patrón que define una figura como “modelo tipo” para colorear un paisaje u objeto. Un ejemplo común lo representa la Figura 17 del fragmento texto B. Al analizar los enunciados que acompañan las ilustraciones se observa que hacen referencia a acciones que implican un reconocimiento de la figuras (o formas), reconocimiento centrado sobre las cualidades visuales de un contorno que se impone: triangular, circular o rectangular. Las representaciones figurales de los textos no están ancladas a un enunciado que fije alguna propiedad o algunas propiedades sobre el ícono representado, por el contrario, lo enunciados anclan un reconocimiento que implica una aprehensión perceptiva de las formas: “Repasa el 112 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez triángulo. Dibuja otros”, “Colorea objetos que tienen forma triangular” (Figura 16 del Texto B), “Recortar las figuras y pegarlas en el lugar correspondiente según la forma y el tamaño adecuado” (Figura 20 del Texto D), entre otros. Anudado a este análisis, no se deben dejar pasar por alto, los enunciados que aparecen en los textos escolares dirigidos a las maestras para complementar su acción en el aula. Retomemos los indicadores y las consideraciones o sugerencias que aparecen para desarrollar las actividades de las Figuras 18 y 19 del Texto C: Indicadores: • Reconoce el cuadrado como una figura geométrica. • Reconoce el círculo como una figura geométrica • Crea composiciones con figuras geométricas como cuadrados y círculos Comentarios y sugerencias • Dé a cada niño y niña media hoja de papel periódico. Anímelos a que corten con los dedos algunos círculos. Luego, entrégueles la otra media hoja, para que corten con los dedos varios cuadrados. • Dibuje con tiza, en el piso, un cuadrado y un círculo grandes. Pídales a los niños y las niñas que pasen por el borde de ellos. El análisis de los enunciados que acompañan el desarrollo de la actividad, como parte de la información pedagógica que sustenta el hacer del maestro, <hablan> de las figuras en función de su uso: “hablar sobre las figuras geométricas y la manera, como podemos representar objetos y paisajes utilizándolas” (Figura 20 del Texto D), “crea composiciones con figuras geométricas como cuadrados y círculos” (Figura 18 y 19 del Texto B); <hablan> de identificar y reconocer las figuras; 113 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez pero sin explicitar qué se debe reconocer o identificar en las representaciones de ellas. Por lo tanto las figuras quedan ancladas a un reconocimiento en función de su forma y contorno, aprehensión perceptiva que es correspondiente con una visualización icónica de las figuras. Figura 20 del fragmento Texto D 114 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez Teniendo como telón de fondo lo planteado en los textos, a continuación se presentan apartados de registros tomados de las maestras en correspondencia con actividades planteadas bajo este tópico: Registro No. 2 E1 E2. E3 E4 E5 E6 E7 E8. E9. E10 E11. M: Listo, para que nos quede la tarea bien hecha, a cada uno le voy a dar las hojas y las figuras, para que las peguen, cada una en su lugar, ¿cierto? Esta es la primera actividad, vamos a hacer la segunda actividad. J: o, e, i u, payaso M: Vamos a mirar acá, que tenemos aquí (les señala la figura de un payaso) N: ¡Payaso! (contestan todos a coro) M: Payaso, pin, pin, ¿cierto? A: Payaso, pin, pin, cuando fui por allí. M: Bueno, aquí el payaso tiene un gorro y el gorro tiene forma, ¿de qué? N: ¡De triángulo! (contestan todos en coro) M: ¿Y la cara del payaso tiene forma de qué? N: ¡De círculo! (contestan a coro) M: Muy bien, de círculo, entonces la actividad consiste en colorear, el gorro y la carita del payaso del color que ustedes quieran. Figura 21. Guía de clase: payaso a mano alzada M.T. Vallejo (comunicación personal, 24 de Abril de 2007). 115 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez Registro No. 3 E1 M: quiero que todos miren acá. (Muestra una lámina de un triángulo con ojos, nariz, boca y brazos, ¿qué carita tiene esta figura? Figura 22. Guía de clase Triángulo a mano alzada E2 E3 E4 E5 E6 E7 E8 E9 E10 E11 E12 E13 E14 E15 E16 E17 E18 E19 E20 E21 E22 E23 E24 E25 E26 E27 D: un payaso. M: ¿será que esto es un payaso? N: noooooo. M: ¡mírenla! S: un muñeco. F: un cuadrado. M: pero ¿está aburrida? N: nooooooo. M: ¿cómo está? N: felízzzzz. M: ¡feliz! Miren cuantos brazos tiene. N: dossss. M: ¡dos! Uno y dos (señalando en la figura los brazos). Y el muñeco ¿qué más tiene? N: pies. M: ¡pies! Y ¿Cuántos pies? N: dos. M: y ¿Cuántos ojos tiene? N: dos. M: y ¿tiene boca? N: sííí. M: ¿tiene naricita? (tocándose su misma nariz) N: sííí. M: bueno. A esta figura que vemos aquí, vamos a buscarle cuántos lados tiene. Cada una de estas rayas es un lado (señalándole al niño uno de los lados) ¿Cuántos lados tiene esta figura? S: tres. M: ¡tres! muy bien. Uno, dos y tres (señalando cada uno de los lados de la figura) N: uno, dos, tres (ellos siguen a la maestra contando los lados)... 116 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. E28 E29 E30 E31 E32 Myriam Vásquez Vásquez M: esta figura que tengo se llama triángulo ¿Cuántos lados tiene el triángulo? J: dos. M: ¿segura? Un lado, dos y tres (señalando cada uno de los lados de la figura) J: tres. M: J, hagámosle un color a este lado, repíntenlo... P.A. Ramírez (comunicación personal, 13 de Abril de 2007) El análisis precedente de las enunciaciones de los textos escolares bajo la categoría de Discriminación visual de contornos y formas tiene un correlato con las enunciaciones de las maestras en el aula. Veamos al respecto qué podemos decir a partir del análisis de los registros No. 2 y 3. En el Registro No. 2, la maestra explícita las siguientes enunciaciones: E1 E3 E5 E7 E9. E11. para que nos quede la tarea bien hecha, a cada uno le voy a dar las hojas y las figuras, para que las peguen, cada una en su lugar, ¿cierto? Esta es la primera actividad, vamos a hacer la segunda actividad. Vamos a mirar acá, que tenemos aquí (les señala la figura de un payaso) Payaso, pin, pin, ¿cierto Bueno, aquí el payaso tiene un gorro y el gorro tiene forma de qué? ¿Y la cara del payaso tiene forma de qué? Muy bien, de círculo, entonces la actividad consiste en colorear, el gorro y la carita del payaso del color que ustedes quieran. M.T. Vallejo (comunicación personal, 24 de Abril de 2007). Al comparar las actividades propuestas a los niños y niñas en el aula con los textos escolares, podemos afirmar que aparece igualmente un predominio de las actividades motrices en las clases de geometría en el preescolar: pegar, colorear. Si bien la intención de las maestras es enseñar las figuras geométricas; el objeto desde el análisis de los enunciados es un payaso geometrizado. Pero el énfasis del presente análisis en concatenación con el Registro No. 3 y los registros subsiguientes, es el uso recurrente de la expresión mirar o deícticos y demostrativos (acá, aquí, este, esta) acompañada del gesto de señalamiento con el 117 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez dedo sobre la <figura objeto de aprehensión perceptual>. Identifiquemos este aspecto en los enunciados de la maestra del Registro No. 3: Registro No. 3 E1 E3 E5 E8 E10 E12 E14 E16 E18 E20 E22 E24 E26 E28 E30 E32 Quiero que todos miren acá. (Muestra una lámina de un triángulo con ojos, nariz, boca y brazos. ¿Qué carita tiene esta figura? ¿será que esto es un payaso? ¡mírenla! Pero ¿está aburrida? ¿Cómo está? ¡Feliz! Miren ¿cuántos brazos tiene? ¡Dos! Uno y dos (señalando en la figura los brazos). Y el muñeco ¿qué más tiene? ¡Pies!! Y ¿Cuántos pies? Y ¿Cuántos ojos tiene? ¿Tiene boca? ¿Tiene naricita? (tocándose su misma nariz) Bueno, a esta figura que vemos aquí, vamos a buscarle cuántos lados tiene. Cada una de estas rayas es un lado (señalándole al niño uno de los lados) ¿Cuántos lados tiene esta figura? ¡Tres! muy bien. Uno, dos y tres (señalando cada uno de los lados de la figura) Esta figura que tengo se llama triángulo, ¿Cuántos lados tiene el triángulo? ¿Segura? Un lado, dos y tres (señalando cada uno de los lados de la figura) J, hagámosle un color a este lado, repíntenlo... P.A. Ramírez (comunicación personal, 13 de Abril de 2007). El uso de la palabra miren o mirar y deícticos tiene como función llamar la atención a los niños y niñas sobre el icono. Lo particular, al analizar los enunciados, es encontrar que las maestras presuponen que en el acto de mirar está el reconocimiento de las formas y sus propiedades, sin tener que decir nada más, porque desde esta concepción el acto de mirar da lugar a una aprehensión simultánea e inmediata del objeto representado y sus propiedades (propiedades que estén ligadas al perfil de la forma: número de lados, rectilíneo o curvo, abierto o cerrado). Los enunciados no hacen referencia a las propiedades de las figuras o “sus características”. El objeto de referencia discursiva no son las figuras geométricas, 118 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez son los payasos (Registro No. 2), muñecos (Registro No. 3). En el Registro No. 3 se supone que la maestra está hablando de un triángulo (E1), pero de ahí en adelante se pierde la referencia discursiva: se habla de un payaso (E2), se habla de un muñeco (E4), se habla de un cuadrado (E5). La maestra interpela la relación de semejanza con un payaso, más no así para las enunciaciones E4 y E5. Sólo hasta el enunciado E14 la maestra valida la interpretación de muñeco (para referirse al triángulo), que es designado en los enunciados E8 (¿está aburrida?), E12 (feliz, ¿Cuántos brazos tienen?), E14 (... y el muñeco, ¿qué más tiene?) Los primeros 23 enunciados describen a un muñeco. Y después de describir un muñeco, se plantea una relación de semejanza entre el muñeco y una figura geométrica. A partir del enunciado E24 el muñeco es sustituido discursivamente por la palabra figura. En conclusión, en esta clase se dijo acerca del ‘triángulo’ que es una figura de tres lados y aparece representado en una ilustración de un muñeco en forma triangular. De otro lado, a partir de E24 en el mismo Registro No. 3, se hace una designación de la figura centrada en el conteo del número de lados, tal cual como lo sugieren los textos (Figura 20 Texto D). El número de lados efectivamente es un criterio de clasificación para las figuras rectilíneas26. Sin embargo, en el contexto discursivo de la clase, el conteo de los lados remite a enunciar una propiedad de los polígonos ligada a una característica visual de su contorno. 26 Figuras rectilíneas son las comprendidas por rectas, triláteras las comprendidas por tres, cuadriláteras las comprendidas por cuatro, multiláteras las comprendidas por más de cuatro rectas (Definición I.19). 119 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez El análisis en este segundo tópico o contenido, nos remite a tomar en consideración varios aspectos importantes al plantear actividades como las identificadas bajo este apartado para la enseñanza de la geometría: Los enunciados encontrados en el discurso de las maestras en el aula de clase y textos escolares, de manera reiterativa hacen referencia a actividades motrices que debe realizar el niño para la identificación de las formas. Es un reconocimiento de las figuras geométricas centrado en una aprehensión perceptiva sobre los contornos y las formas: dibujar, colorear, recortar, pegar, contar; son acciones que validan para el maestro la identificación de las figuras por su forma. Puede ser suficiente para hacer una identificación de las figuras desde una visualización icónica solo observarlas, mirarlas como dicen las maestras (ver Registros No. 2 y 3). La observación directa del objeto representado parece ser fuente de conocimiento suficiente para las maestras sobre las figuras geométricas. Este punto de vista epistemológico, concibe una aprehensión perceptual de las figuras (no aprehensión operatoria o secuencial, ver Capítulo 2).27 En otras palabras, la percepción de los iconos que representan las figuras en los textos escolares, da acceso a las ‘propiedades que están directamente ligadas con el contorno característico de una forma’; asunto que desde el punto de vista de 27 Duval (2003) lo denomina como un proceso propio de la visualización: “lo propio de la visualización es producir una representación que da lugar a una aprehensión simultánea y casi inmediata, pero sin que esta representación constituya una aprehensión de los objetos representados. Se debe estar en capacidad de discriminar e identificar las diferentes formas y los diferentes contrastes (color, textura...) que constituyen el contenido de una imagen, de un dibujo, de una figura. Es en este sentido que la visualización llena las funciones cognitivas de ilustración, de economía, de identificación o de tratamiento que la hace aparentemente más poderosa para la comprensión que cualquier discurso, así se trate de descripciones, de explicaciones o de razonamientos… pero fuera de las matemáticas la visualización es de tipo icónico, es decir que funciona según los criterios de semejanza que de suyo hacen como un prolongamiento o como una extensión de la percepción visual”. 120 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez las maestras debe ser la entrada al estudio de las figuras para este ciclo, o sea, la entrada del botánico. Y desde esta perspectiva, la comprensión y aprehensión de “estas propiedades” son posibles planteando una relación de semejanza con los objetos de la vida real. De ser esta hipótesis válida, se explica el hecho de que en las clases no se enuncie o diga algo sobre las propiedades de las figuras. Desde esta entrada no tiene sentido decir algo más del objeto representado, porque aquel objeto de aprendizaje es posible aprehenderlo vía percepción directa; por lo tanto, el valor de los enunciados y actividades son de constatación perceptiva. En conclusión, las actividades planteadas y agrupadas bajo la categoría de discriminación visual de formas y contornos, vuelven a dar un tratamiento a las figuras de ilustración, de dibujo. Este tipo de actividades donde se recrean paisajes geometrizados para identificar las figuras a partir de su forma y contorno desde un punto de vista epistemológico y cognitivo conllevan una visualización icónica de las formas. • Formas Geométricas Las actividades agrupadas bajo esta categoría son aquellas donde las figuras aparecen descontextualizadas o aisladas de cualquier relación de semejanza con situaciones o eventos de la vida cotidiana desde el objeto representado; no necesariamente así cuando ya las maestras las introducen en el aula como objeto de enseñanza. Igual que en las categorías anteriores, el propósito de las actividades propuestas a los niños y niñas es el reconocimiento e identificación de las formas geométricas. 121 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez Figura 23 del fragmento Texto A Figura 24 del fragmentoTexto C Figura 25. Guía de clase: triángulo a mano alzada Figura 26. Guía de clase: El rombo a mano alzada 122 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez Los textos escolares y el discurso de maestras se caracterizan por el uso de imperativos que implican, igual que en el apartado anterior, acciones motrices de colorear, pintar, decorar, rellenar y repasar. Las Figuras 23, 24, 25 y 26, son figuras representativas de las actividades ‘típicas’ que se clasifican bajo esta categoría, así como lo son apartes de registros de aula de maestras. Al observar la Figura 23 del fragmento Texto C, el niño debe identificar para cada caso la figura “modelo tipo”, estableciendo una relación de semejanza con el contorno característico de una forma: circular, triangular, cuadrangular o rectangular. Para este caso en particular, dicha identificación debe hacerse sobre una relación figura-fondo de tres figuras superpuestas que a simple vista es fácilmente discriminable. Pintar aparece como una acción de tipo constatativo que da cuenta del reconocimiento de una forma. Para el caso de la Figura 24 Texto C, las figuras aparecen en un <todo> de manera aislada, donde igual que el ejemplo anterior, a simple vista los rectángulos son inmediatamente discriminables. La actividad sugerida desde el enunciado es: “encierra los rectángulos”. La colección de figuras representadas incluye rectángulos en distintas posiciones con relación a la línea de base y diferentes dimensiones. Pero el enunciado que ancla el reconocimiento sobre los rectángulos centra de nuevo dicho reconocimiento en el contorno de la forma discriminada. Duval (2004, p. 168) afirma con relación a este tipo de actividades lo siguiente: “el reconocimiento icónico de las formas está centrado sobre el contorno de una zona o de una superficie: una forma es un perfil”. Las Figuras 25 y 26, son también un ejemplo de guías que las maestras 123 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez comúnmente plantean a los niños y niñas y cuya acción puede ser decorar, pintar o rellenar pero cuya fuente de reconocimiento está sustentada en el perfil de la forma. Con relación al discurso de las maestras podemos analizar los tres registros siguientes: Registro No. 4: E1 M: ¿recuerdan estas figuras? Figura 27. Guía de clase E2 E3 E4 E5 E6 E7 E8 E9 E10 E11 E12 E13 E14 E15 E16 N: triángulo. M: mira todas estas figuras que tengo acá. ¿Cuáles figuras ven? N: triángulo, cuadrado. M: el triángulo. N: cuadrado, círculo. M: y el círculo. ¿Cómo se llama esta figura? (señalando una de las figuras que están plasmadas en la lámina) S: cuadrado. J: cuadrado. N: cuadrado. M: mírenla bien. S: triángulo. N: triángulo. M: y ¿Cuántos lados tiene el triángulo? N: tres. M: bien. Y ¿ahora esta figura que tengo aquí? (muestra otra lámina, Figura 28) 124 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez Figura 28. Guía de clase E17 E18 E19 E20 E21 E22 E23 E24 E25 E26 E27 E28 E29 F: círculo. N: círculo. M: muy bien, el círculo. J, entonces ¿cómo se llama esta figura? (señalando la figura 16) J: triángulo. M: mírela bien, esta que le estoy señalando (señala la figura 17) J: círculo. M: y ¿está? (Señala un triángulo de la figura 16) J: triángulo. M: triángulo (moviendo la cabeza en forma de afirmación) ¿este círculo tiene tres lados? N: nooo. M: muy bien. ¿Cuántos lados tiene el triángulo? S: tiene tres. M: muy bien, miren esta otra figura (enseña una nueva lámina, figura 18) Figura 29. Guía de clase 125 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. E30 E31 E32 E33 E34 E35 E36 E37 E38 E39 Myriam Vásquez Vásquez N: tiene cuatro. M: ¿Cuántos lados tiene esta figura? (arrastrando el dedo índice por los cuatro lados de la figura) N: cuatro. M: esta se llama... N: cuadrado (expresándose primero que terminara la profesora) M: cuadrado. Y los cuatro lados de esta figura son igualiticos, vea. ¿A qué se les parece este cuadrado? V: a Bob Esponja. M: bueno, a Bob Esponja puede ser; una carita de Bob esponja puede ser un cuadrado. ¿Qué otra cosa que hay acá en el salón se puede parecer a un cuadrado? (levantando la cabeza y mirando alrededor del salón) J: las ventanas. M: muy bien las ventanas. (Distribuye a los niños la figura 16) Esta ficha que les acabo de dar, van a trabajar en ella con plastilina. C.O. Posso (comunicación personal, 11 de Octubre de 2007) Registro No. 5: E1 M: Aquí vemos unas figuras geométricas que ya las hemos visto, cierto, hoy las vamos a repasar, para pasar a ver otras figuras geométricas; entonces vamos a mirar que figuras tenemos acá (la profesora muestra a los niños una hoja en la cual hay dibujado un triángulo, un circulo y un cuadrado, Figura 30) ¿Cómo se llama está figura? (la maestra les señala el círculo que esta dibujado en la Figura 30) Figura 30. Guía de clase E2 E3 E4 E5 E6 E7 N: ¡Un circulo!(los niños responden en coro) M: Un círculo. Éste de aquí abajo (señala el cuadrado en la figura 19) ¿cómo se llama? N: ¡Un cuadrado!, ¡un cuadrado!(responden en coro) M: ¿Y está? (la profesora señala el triángulo) N: ¡Un triángulo!(responden en coro) M: Un triángulo, cierto; entonces aquí en mi mano tengo las figuras hechas en cartulina, cierto, las vamos a pegar dentro, donde está cada figura, cierto ¿será que si pegamos 126 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. E8 E9 E10 E11 E12 E13 E14 E15 E16 E17 E18 E19 E20 E21 Myriam Vásquez Vásquez este cuadrado, aquí en el círculo, está bien o está mal? (la profesora toma la silueta del cuadrado y la junta al círculo dibujado en la hoja) N: ¡Está mal! (en coro responden los niños) M: ¿Por qué está mal? ¿Por qué aquí tenemos un? ¿Está cómo se llama? N: Un triángulo (contestan en coro) M: ¿Está como se llama? Se llama un círculo ¿Esta cómo se llama D? D: Un círculo M: Y tenemos un cuadrado, nos queda mal, cierto y entonces ¿donde la pegamos? N: ¡Ahí en el cuadrado! (contestan en coro) M: En el cuadrado, muy bien, aquí la pegamos. Aquí tenemos el círculo, cierto N: ¡Sí! (contestan en coro) M: ¿La pegamos aquí en el triángulo? N: ¡No! (contestan a coro) M: Cierto, la debemos pegar en el círculo y tenemos la última ¿Cómo se llama está? (señala el triángulo en la figura 19) N: ¡Triángulo! (responden en coro) M: Triángulo, cierto, y lo podemos pegar aquí, donde va el triángulo. Listo, para que nos quede la tarea bien hecha, a cada uno le voy a dar las hojas y las figuras, para que las peguen, cada una en su lugar, ¿cierto? Esta es la primera actividad, vamos a hacer la segunda actividad. S.M. Ríos (comunicación personal, 22 de Octubre de 2007) Registro No. 6: E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 M: Se recuerdan de la figura geométrica, la que rellenamos con plastilina, ¿si se acuerdan? N: ¡Sí! (contestan todos a coro) M: ¿Cómo se llama? A ver si se recuerdan N: ¡Ovalo! (contestan a coro) M: ¿Cómo se llama? N: ¡Ovalo! (contestan en coro) M: Eso sí, tienen que aprender a hacer el ovalo, porque vamos a hacer una plana en el cuaderno, vamos hacer en el cuaderno primero que todo, vamos a pegar, les voy a mostrar; este es él ovalo (la maestra les exhibe una hoja en la que hay dibujado varios óvalos). Niños, vamos a hacer la plana del ovalo, vamos a empezar a hacer la plana de ovalo, todos tienen un ovalo, ahora ustedes van a sacar el lápiz y vamos a empezar a hacer la plana, a ver pongan cuidado, nosotros lo vamos hacer así, el debe quedar acostado, sí como un huevito acostado, lo tenemos que hacer alargadito como un huevito acostadito. J. Ledesma (comunicación personal, 7 de Octubre de 2007). Al leer con detenimiento los enunciados de las maestras en los Registros No. 4, 5 y 6 resaltados en negrilla, podríamos afirmar que se encuentra un mismo discurso en el aula al encontrado en el tópico de discriminación visual de formas y contornos. Los enunciados se caracterizan por el uso de deícticos y el uso reiterativo de los verbos mirar y repasar, como se identificó en la categoría anterior. Bajo esta 127 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez categoría de plantea la vía a la identificación y reconocimiento de las formas geométricas a partir de las accines de mirar y recordar (en el sentido autentico de una evocación) y el uso de deícticos que remite a una acción de mirar: Registro 4 (E3, E7, E11, E21, E29); Registro No. 5 (E1, E3, E5, E7, E9, E11, E15, E17, E21); Registro 6 (E1, E3, E7). De manera similar, se busca hallar una correspondencia del contorno de la formas con los objetos físicos a través de una relación de semejanza; Registro No. 4: E35, E37, E39 y Registro No. 6: E7. El reconocimiento de las figuras se define por la relación forma-perfil vía aprehensión perceptiva: al referirse a las características de figuras acotadas por líneas rectas, se hace referencia exclusivamente al número de lados que exhibe el perfil de esa forma y al referirse a figuras acotadas por líneas curvas, como el círculo y el ovalo la característica resaltada, es su redondez. El análisis de las enunciados de textos escolares y discurso de las maestras en el tópico de formas geométricas reafirman tres aspectos encontrados en los anteriores tópicos: i). El tratamiento de las figuras en las clases y textos escolares como iconos e ilustraciones, aun si las figuras desde su presentación estén aisladas de todo contexto referido a situaciones de la vida cotidiana; ii) Las actividades propuestas a los niños y niñas plantean una constatación de dicho reconocimiento de las formas a partir de actividades motrices de colorear, encerrar, etc.; iii) Desde el punto de vista discursivo, el objeto de referencia, las figuras, aparecen designadas nominalmente. 128 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. • Myriam Vásquez Vásquez Simetrías El análisis de esta categoría encuentra su lugar al identificar en algunos textos escolares actividades designadas con la palabra ‘simetrías’. Con relación a esta categoría, en el marco de la investigación no se recolectaron registros de aula de las maestras. Es un contenido determinado en algunos textos de ediciones más recientes, en particular para los niveles de jardín y transición, se considera pertinente analizar este las actividades agrupadas bajo esta categoría para establecer un contraste con las categorías precedentes. Las ilustraciones siguientes representan las actividades prototipo que bajo esta categoría se presentan en los textos escolares: representación de objetos de la vida real divididos a la mitad por un segmento horizontal o vertical (Figura 33 Texto A) y, se presenta una de las mitades del objeto representando “el modelo o forma tipo” a reproducir o imitar en la otra mitad (Figuras 31 y 32 del Texto C): 129 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Figura 31 del fragmento Texto C Myriam Vásquez Vásquez Figura 32 del fragmento Texto C Figura 33 del fragmento Texto A 130 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez Explicitemos los indicadores, comentarios y sugerencias del texto escolar para el docente de la Figuras 31 y 32. - Indicadores • Reproduce un modelo dado coordinando la vista y la mano • Reproduce elementos y modelos a partir de simetrías - Comentarios y sugerencias • Converse con los niños y las niñas acerca de los insectos como una clase de animales. Pídales que identifiquen la araña, la hormiga, la mariquita, la libélula y el chinche. Hable sobre los insectos beneficiosos, como la abeja. • Motívelos a buscar material sobre otros insectos Los indicadores hacen referencia a la acción de reproducir “elementos de un modelo”. Y los comentarios o sugerencias tienen su objeto de referencia discursiva por fuera de la actividad matemática. Si se quiere contrastar el aporte o “valor pedagógico” de estas actividades con las precedentes; realmente no se encuentran diferencias: se trate de actividades planteadas en las categorías referidas: simetrías, reconocimiento de figuras geométricas, trazos y reconocimiento visual de formas y contornos; las actividades que posibilitan la enseñanza de las figuras son las mimas, colorear, dibujar, trazar, pintar. De otro lado, si se observa con detenimiento la Figura 33 del Texto A, los objetos representados están divididos a la mitad por una línea vertical u horizontal. Esta línea trazada a la mitad, parece sugerir que el contenido propuesto estaría en relación con la simetría respecto a un eje, o sea, de simetría axial, mirada desde el punto de vista matemático. Dicha actividad exige una aprehensión operatoria y una reflexión mental de la figura sobre la recta, o una media vuelta alrededor del eje (giro que el niño y niña tendría que imaginar por fuera de la página). El reporte y 131 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez enunciación de la maestras en las entrevistas respecto a la pertinencia de estas actividades, permite afirmar que el abordaje que dan las maestras a estas actividades reduce su potencial y queda reducida a una actividad de motricidad fina, de manera similar a lo encontrado en el análisis de las anteriores categorías. Otro supuesto es pensar que la actividad como fue diseñada para niños y niñas pequeños, puede hacer más referencia a una aproximación al estudio de simetría bilateral, donde en el campo de la biología dicho concepto es muy importante para el estudio y clasificación taxonómica de los animales. Desde este punto de vista, se justifica plantear actividades como las representadas en las Figuras 31 y 32 del Texto C. Se habla de que algunos animales poseen simetría bilateral cuando el animal puede ser dividido en dos mitades iguales sólo por un plano. Los animales que presentan simetría bilateral son más complejos y muestran un mayor grado de cefalización (mayor desarrollo del sistema nervioso y órganos de los sentidos). Ejemplos de animales con simetría bilateral son los Anélidos, los Artrópodos, Moluscos y todos los Vertebrados. Sin embargo, el alcance de estas actividades como parte de un conocimiento referido a los objetos de estudio de la geometría, se inscribe igualmente en la misma entrada que se hace para el reconocimiento de las figuras geométricas: la vía de aprehensión es la percepción de las formas y contornos sugeridos por los objetos representados, reconocimiento del que deben dar cuenta los niños y niñas a partir de actividades motrices. 132 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez Orientación y ubicación espacial • El presente tópico analiza actividades que comúnmente se presentan clasificadas en los textos escolares en el contenido “orientación y ubicación espacial” como: delante-atrás, arriba-abajo, encima-debajo, izquierda-derecha. Su pertinencia está determinada por la interrelación que encuentran las maestras con este tipo actividades en la enseñanza de las figuras geométricas. La consigna para el registro en las aulas era precisa: Vamos hacer una observación de las clases donde tú consideres que estás enseñando geometría a los niños y niñas. Sin embargo, el conjunto de registros de cada maestra28 permite corroborar que en el marco de esta consigna se consideran actividades como: dentro-fuera, largo-corto, arriba-abajo, ancho-angosto, reconocimiento de formas, clases de educación física, de conjuntos, etc. Al indagar sobre este asunto en entrevistas espontáneas es común encontrar justificaciones del siguiente orden: Entrevista 1 E1 E2 E3 E4 E5 E6 I: ¿Qué concepción de espacio deben aprender los niños y niñas en la escuela? M: Que ellos ubiquen la lateralidad, tiene que ver con espacio, arribaabajo, derecha izquierda, figuras, planos, sólidos..., figuras que guarden las semejanzas con la realidad. I: ¿Qué relación tienen los conocimientos espaciales con la geometría? M: El niño es un ser integral, le permite hay veces ver en una lámina, un paisaje, una motricidad, la derecha o la izquierda del cuerpo, todo tiene que ver con eso. I: ¿Qué geometría aprenden los niños en el preescolar? M: Medidas, longitud, magnitud, ángulos, líneas, formas, tamaños, ubicación. No es tanto decirle que es, es que el niño aprenda a ubicarse en un espacio, en un espacio de su vida cotidiana y en una hoja. Por ejemplo, en el proyecto yo le tengo que explicar cuál es el animal más pequeño o más grande, pero sí yo lo saco al patio él me debe decir cuál es el más grande o más pequeño. La experiencia con lo real conlleva un 28 Cada maestra delimitaba la clase que ella consideraba estaba relacionada con un contenido de “geometría” para ser registrada. 133 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. E7 E8 E9 E10 E11 E12 E13 E14 E15 E16 Myriam Vásquez Vásquez buen trabajo en la guía. El niño no lo hace en una hoja pero sí lo saco al patio él va identificar el árbol más pequeño. I: ¿Qué concepción tienes de espacio geométrico? M: Cómo me ubico yo dentro determinado espacio, por ejemplo; los niños no se van a ubicar igual frente a un espacio abierto, cerrado, pequeño, angosto, eso son espacios. I: Esas actividades de ubicación y orientación espacial ¿tienen que ver con la enseñanza de la geometría? M: Sí, claro. I: ¿Cómo se relacionan? M: Están relacionados por la forma, por el tamaño. I: De las formas geométricas ¿Qué tienen que aprender los niños? M: Su forma, cuántos lados tienen, deben identificarla por su nombre. Por ejemplo, cómo se llama esta figura, el triángulo y decir que tiene 3 lados. I: ¿Cómo hacen los niños para identificar figuras como el cuadrado y el rectángulo que tienen el mismo número de lados? M: Ambas tienen cuatro lados. El cuadrado tiene cuatro lados iguales y el rectángulo dos lados largos y dos lados cortos. O. Otálora (comunicación personal, Mayo, 2007). Al plantear un análisis del discurso que circula en los textos escolares, registros de aula y entrevistas a las maestras, se puede afirmar que las prácticas de aula que sustentan la enseñanza del espacio y la geometría son una unidad discursiva homogénea y consistente. Basta contrastar los enunciados resaltados con negrilla del discurso de la maestra del parágrafo anterior (E2, E4, E 6, E8, E8, E10, E12, E14, E16), los enunciados de las maestras en los registros de aula, con los enunciados de los textos escolares y para encontrarse “la misma cara en ambos lados de la moneda”. En conclusión es un mismo discurso, no importa qué tipo de actividad, qué nivel de escolaridad del ciclo de preescolar, si la metodología del texto escolar es a través de proyectos integrados o unidades de trabajo se dice lo mismo en los contextos discursivos que están en relación con la enseñanza de la geometría en el preescolar. Dada la “estrecha interrelación” que plantean las maestras entre los conocimientos espaciales y conocimientos geométricos (desde el discurso de las 134 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez maestras ambos conocimientos hacen parte del mismo dominio), es importante hacer el análisis de las actividades agrupadas bajo este tópico para entender la concepción de espacio y geometría de las maestras en el marco de estas actividades. La pregunta de entrada es por el sentido y relación de dichas actividades (dentro-fuera, arriba-abajo, izquierda-derecha, encima-debajo, etc.) con relación a la actividad geométrica: ¿Qué permite comprender de las propiedades de las figuras geométricas actividades de largo-corto, ancho-angosto, dentro-fuera, encima-debajo, izquierda-derecha, etc.? Esta pregunta encuentra una mayor pertinencia al observar la cantidad de tiempo escolar que se invierte en el desarrollo de estas actividades en las aulas. Al respecto, en el marco de la investigación, como se mencionó al inicio del capítulo, se diseñó una rejilla (ver Anexo No. 2) para analizar la frecuencia de actividades por tópicos o contenidos encontrados en los textos escolares y retomados como categorías de análisis en la presente investigación. La rejilla explicita la relación No. de actividades/tiempo con relación a las categorías definidas en este apartado: trazos, discriminación de contornos y formas, formas geométricas, simetrías y orientación y ubicación espacial. La rejilla es una representación bidimensional de dos ejes: • Sobre el eje vertical, se representa la estructura del texto por unidades, en la cual bajo cada unidad se identifica n actividades por unidad (o periodo como aparece en algunos textos) Se trata de discriminar del conjunto de actividades por unidad cuántas están referidas a los conocimientos espaciales y a los conocimientos geométricos. 135 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. • Myriam Vásquez Vásquez Sobre el eje horizontal se describen los tópicos abordados por los textos que delimitan un conjunto de actividades: trazos, discriminación visual de formas y contornos, orientación y ubicación espacial, formas geométricas, simetrías definidos ya en el presente capítulo. Una vez aplicada la rejilla a todos los textos escolares analizados en la investigación, se permite afirmar que hay una tendencia marcada en los textos escolares a privilegiar desde una perspectiva de los contenidos las actividades con relación a los conocimientos espaciales en los tres niveles, aproximadamente en una proporción de 1:5 en prejardín, 1:4 jardín y de 1:3 en transición (ver anexo 2). La diferencia entre los niveles radica en aspectos de forma y frecuencia, más no de contenido, un criterio claramente observable es que en los tres niveles aparecen actividades de los cinco tópicos delimitados. Así mismo, el número de actividades y unidades (o períodos) aumentan según el nivel (prejardín 12, jardín, 14 y transición 16) en la mayoría de las editoriales analizadas y, a su vez, el número de actividades por unidad se incrementa de acuerdo al nivel. Este aspecto fue igualmente preguntado a las maestras en las entrevistas y su respuesta más frecuente a este hecho es un criterio de maduración: sí el niño tiene más edad, puede desarrollar más actividades. La intención de introducir dicho análisis en este momento del documento está justamente en cuestionar no sólo la gran cantidad de tiempo que se dedica a estas actividades, sino su verdadero sentido y alcance, bien sea que desde un punto de 136 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez vista didáctico se las quiera relacionar con el estudio de las invariantes pertenecientes a conocimientos de la geometría topológica y proyectiva.29 Este hallazgo no es en absoluto ingenuo ni gratuito. Corresponde a una concepción de construcción del espacio y la geometría devenidos de la teoría piagetiana y sus intérpretes. Recordemos el orden epistemológico planteado por Piaget (1947) frente a la construcción del espacio: las relaciones topológicas son anteriores a las proyectivas y a las métricas. La detención en este punto se hace importe para reconocer el por qué del énfasis de unas actividades sobre las otras. El problema radica es en la entrada que se hace desde la enseñanza usual para acercarse a estas distintas geometrías. Sin embargo, vale la pena decir que el discurso que caracteriza estas prácticas incluyendo textos, registros de aula y entrevistas no dan cuenta de un reconocimiento desde el punto de vista matemático de estos aspectos. “-Hay que enseñar arriba-abajo, delante-atrás – ¿por qué? – porque eso ayuda a que el niño se ubique y oriente en el espacio (a este espacio que se refieren las maestras es al espacio físico y/o el de la hoja de papel). De otro lado, los invariantes proyectivos se han interpretado en el aula en términos absolutos: delante-atrás, encima-debajo, sobre-bajo, derecha-izquierda, entre-al lado-enfrente y abordados desde esta perspectiva no significa que se esté 29 Al respecto por ejemplo Vecino (2005b) propone que para el diseño de secuencias didácticas y la introducción de distintas geometrías en educación infantil, se deben introducir en las actividades planteadas para el estudio de invariantes topológico, proyectivo y métrico. Según el autor las invariantes que caracterizan cada uno de estos dominios son las siguientes. Las invariantes que caracterizan la geometría topológica son: el tipo de lugar geométrico (abierto o cerrado, con la consiguiente determinación de distintas regiones en el espacio –interior, exterior y frontera), continuidad o discontinuidad del lugar geométrico, tipo de conexión entre los elementos del lugar geométrico, tipo de compacidad del lugar geométrico. Las principales invariantes que caracterizan la Geometría proyectiva son la orientación y la localización en el espacio, invariantes que se traducen en términos como: delante-detrás, encima-debajo, sobre-bajo, derecha-izquierda, entre-al lado-enfrente. 137 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez aprendiendo algún sistema de referencia u otro conocimiento que posibilite tener competencias para ubicarse y orientarse en el espacio. Hablar de orientación y localización en el espacio significa tomar sistemas de referencia de coordenadas cartesianas y/o polares según sea el caso. Dichos sistemas de referencia dependen del punto de vista del observador, del objeto, de unas posiciones relativas, no posiciones absolutas cómo se plantean en las actividades corrientes: encima-debajo, delante-atrás, etc., como puede observarse en las Figuras 34, 35, 36, 37, 38, 39 y 40: Figura 34 del fragmento Texto A Figura 35 del fragmento Texto A 138 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez Figura 36 del fragmento Texto A Al respecto, Vecino (2008b) plantea que para este tipo de actividades se debe plantear un itinerario didáctico que pase por las siguientes etapas: • La referencia es otro sujeto u objeto orientado y las posiciones son relativas. • La referencia es otro sujeto u objeto orientado y las posiciones dependen del punto de vista del observador. • La referencia es otro sujeto u objeto no orientado y las posiciones dependen del punto de vista del observador. • Las relaciones son múltiples. Sin embargo, como lo veremos a continuación, desde la enseñanza usual las actividades que plantean textos escolares y apartes de registros de aula tomados como objeto de estudio verifican que dichas actividades se circunscriben a una relación perceptiva del espacio físico o el espacio representado en la hoja de papel: 139 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Figura 37 del fragmento texto C Myriam Vásquez Vásquez Figura 38 del fragmento texto C 140 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Figura 39 del fragmento texto C Myriam Vásquez Vásquez Figura 40 del fragmento texto C Retomemos para el análisis de las actividades planteadas en los textos, los enunciados que aparecen “en la fichas de trabajo” y los enunciados resaltados con negrilla en los registros de aula de las dos maestras que se presentan en las páginas siguientes: • Colorea morado el recipiente alto. Colorea amarilla la lámpara baja. Figura 34 Texto A. • Colorea amarillo cada pájaro que está arriba. Colorea verde cada pájaro que está abajo. Figura 35 Texto A • Colorea a la derecha tantos como a la izquierda. Figura 36 Texto A • Marca el camino que lleva al príncipe hasta el castillo, siguiendo las fechas. Figura 37 Texto C • Encuentra el camino hasta la puerta de la torre. Figura 38 Texto C 141 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez • Colorea los animales que están dentro del corral. Figura 39 Texto C • En cada caso, colorea los animales que están fuera. Dibuja un pez en la pecera. Dibuja otro animal fuera de la pecera. Figura 40 Texto C Registro No. 7: E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 E8 E9 E10 E11 E12 E13 E14 E15 E16 E17 E18 E19 E20 E21 E22 E23 E24 E25 E26 E27 Miren esta lámina de aquí (mostrándoles la Figura No. 37) ¿Qué cosa hay? S: una mesa. M: ¿y qué más? F: una ovejita, un pájaro y una araña. M: haber quien me dice donde está la oveja. K: aquí (señalando con el dedo en la lámina) M: y ese lugar de la mesa ¿cómo le decimos? K: debajo. M: bien K, entonces encima de esta mesa ¿qué animal ve? C: una araña. D: araña. M: hay un pájaro ¿cierto? N: ¡sííí! M: ése ¿qué lugar ocupa? ¿está encima? N: ¡nooo! M: entonces ¿está debajo? S: ¡sí! N: ¡nooo! M: S, mire bien la lámina; todo lo que está en esta parte sería debajo de la mesa (señalando la parte que quiere dar a conocer). Si el animalito no está en esa zona, entonces no se puede decir que está debajo. Ahora ¿El pájaro está en esta zona? S: no. M: ¡quiere decir que no está debajo! F: está al lado de la pata. M: ¡muy bien! Cada niño va a colorear la lámina K: Profe, ¿le ayudo? (le ayuda a pasar la actividad a los demás compañeros) M: K pásele en la mano a los compañeros. K: ¿la mesa también? M: claro, coloreen la mesa también y encierren el animalito que está debajo de la mesa. 142 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Figura 41. Guía de clase Myriam Vásquez Vásquez Maestra Transición Registro No. 8: E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 E8 E9 E10 E11 E12 E13 E14 E15 E16 E17 E18 E19 E20 E21 E22 E23 E24 E25 E26 E27 E28 M: ¡niños!, estaban jugando a los cogidos el elefante, el osito. (Mostrando la lámina ilustrada) estaban jugando a los cogidos. El elefante era el que cogía. ¿Quién cogía? N: el elefante M: y estaban jugando con el oso J: la araña M: la araña y el S: la oveja M: la oveja N: la iguana M: la iguana y N: el pájaro M: Resulta que el elefante salió corriendo; ¿cuál fue el primero que encontró? C: el oso M: muy bien, ¿a quien encontró primero? ¿A quién cogió de primero? N: al oso M: porque era el que estaba más cerca. ¿Estaba más qué? N: más cerca M: pero por ahí había otro S: la araña M: la araña, véanla aquí. (Señalándola en la lámina). Pero había otro animal que estaba mucho más cerca. J: la oveja M: la oveja. Pero duro tanto tiempo tratando de llegar, porque estaban muy lejos. ¿Cuáles serán los que están lejos? ¡V! N: el pájaro M: muy bien. Y ¿cual otro estaba lejos que duro mucho tiempo corriendo para poderlo coger? (los niños miran la lámina y responden) K: a la iguana M: muy bien K, a la iguana que estaba en la iglesia. Y el pajarito ¿Estaba cerca o estaba lejos? S: lejos M: ¿estaba lejos o estaba cerca? (señalando a D) D: lejos 143 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. E29 E30 E31 Myriam Vásquez Vásquez M: muy bien. V ¿estaba lejos o cerca el pájaro? V: lejos M: ¡lejos!, muy bien. Vamos a pintar entonces los animales de este cuentito. Figura 42. Guía de clase L. A. Bonilla (comunicación personal, 30 de Octubre de 2007). En complemento a este análisis, a continuación explicitamos los comentarios y sugerencias que aparecen en el texto guía del docente a manera de ejemplo de las actividades pertenecientes a las Figuras 43 y 44 del Texto C respectivamente: • Observe la ilustración con los niños y las niñas y pregúnteles qué observan, qué clase de animales hay, dónde están, por qué están allí. • Converse con ellos sobre la riqueza de las granjas y todo lo que en ellas se puede encontrar. • Desarrolle los ejercicios teniendo presente que los estudiantes deben observar detalladamente las situaciones ilustradas. 144 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez Tres aspectos importantes hay para decir de la enunciación que enmarca a las actividades de orientación y ubicación espacial en textos y registros de aula: • El primero aparece con relación a entender que la posición de los objetos representados en la hoja de papel, igual que para la enseñanza de las figuras geométricas, se hace vía actividades motrices: colorear, dibujar, pintar, etc. ¿Será que observar las láminas no es suficiente para designar qué animales están adentro o afuera? • El segundo está en relación con la enunciación en las aulas de clase y las sugerencias planteadas en los textos escolares. Para el caso, las actividades de orientación y ubicación espacial se enmarcan en una actividad discursiva cuya función es designar, describir y relatar láminas o ilustraciones. El discurso está por fuera de la actividad matemática (Registro 9: E1, E3, E11, E13), no aparece ningún enunciado que permita al niño ubicarse en un sistema de referencia y comprender que frente a este tipo de situaciones (cerca-lejos, alto-bajo, arriba-abajo, encima-debajo, izquierda-derecha) las posiciones siempre son relativas, no absolutas, bien sea para ubicarse en un espacio físico y/o la hoja de papel. • El tercer aspecto es para decir que las situaciones recreadas para enseñar relaciones espaciales se podrían calificar de poco pertinentes. Como podemos observar en la Figura 34 Texto A, la relación planteada es alto-bajo; es una relación que hace referencia a una medida de longitud. Sin embargo, los objetos a comparar son dispensadores de jabón y lámparas, que a simple vista pueden tener muchos atributos medibles. Igualmente para las 145 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez actividades de orientación si no hay sistema definido para orientarse en el plano, no son actividades de orientación. La consigna más clara sería: ¡Siga la flecha! para el caso de la Figura 37, Texto C. Estos hallazgos ya han sido analizados en el marco de investigaciones por el equipo de Bourdeaux. Salin (2004) al respecto plantea que el alcance de estas actividades es absolutamente restrictivo ya que significa en el mejor de los casos controlar esencialmente las relaciones espaciales de manera empírica y contingente. La autora considera que transformaciones sobre estas prácticas deben concebirse desde los currículos escolares de una manera explícita y entender que las competencias de un sujeto sobre los conocimientos espaciales “de base” deben estar en relación con el aprendizaje de la toma de conciencia de un lenguaje espacial de las posiciones y de los desplazamientos, de la toma de conciencia de los fenómenos ligados a los cambios de puntos de vista, elaboración y utilización de representaciones del espacio que nos rodea, etc. En el marco de su propuesta se denomina espacio-geométrico la modelización del espacio a través de conocimientos surgidos del saber geométrico, y analógica la modelización de un espacio por esquemas, croquis, dibujos, planos, etc. Concluye además, que la modelización denominada analógica igualmente requiere del uso de “sistemas simbólicos” para poder validar la representación del espacio físico. En otras palabras, vale la pena plantearse un interrogante equivalente al expresado con relación a las actividades relacionadas con el estudio de las formas: 146 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez ¿Qué están aprendiendo los niños y niñas acerca de la orientación y localización en el espacio? En conclusión la enunciación de las maestras y textos escolares aparecen en concomitancia con la concepción epistemológica del espacio piagetiano en tanto se piensa que primero se deben dominar relaciones de tipo topológico y proyectivo antes que las euclideas. Se reconoce entonces un predominio sobre las actividades referidas a una ‘geometría topológica y proyectiva’, sobre una geometría métrica. Las actividades están planeadas en términos absolutos: largo-corto, bajo-alto, anchoangosto, etc., desconociendo un sistema de medida y de referencia. Las investigaciones en el campo de la educación matemática entre ellas las de Brousseau (1983), Salin (1992, 2004), Grecia Gálvez (1985); muestran el camino desandado frente al alcance de estas actividades. Para terminar, con relación a este punto 3.2 que toma como objeto de análisis la enunciación de las maestras del preescolar y los textos escolares sobre el conocimiento geométrico puede afirmarse que la concepción y comprensión de la actividad geométrica no va más allá de una visualización icónica de las formas, esto significa que no hay una práctica discursiva que dé cuenta de una auténtica enseñanza de la geometría en el preescolar. De manera similar las actividades referidas más al dominio de los conocimientos espaciales con relación a la orientación y ubicación espacial (Figuras 34 p. 131-, 35 p. 131-, 36 p. 132-, 132, 37 p.133-, 38 p.133-, 39 p. 134-, 40 p. 134-, 41 p. 135-, 42 p.136), están por fuera de una actividad matemática, entonces ¿por qué invertir tanto tiempo en ello? 147 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez 3.2.2 ¿Qué “dicen” los niños y niñas en las clases de geometría en el preescolar? El valor en el marco de la investigación de un análisis vía la significación de dichas práctica es justamente tomar conciencia del sujeto de aprendizaje que es ignorado desde lo que Duval (1999, p. 61) llama un modelo lingüístico de la representación centrado en la función de expresión. Veamos qué se juega a partir del análisis del discurso de las maestras y los textos escolares al plantear un análisis desde el punto de vista de la significación. Dicho análisis tomará dos variables fundamentalmente: • El lugar del interlocutor (niños y niñas) en la enunciación de las clases que “enseñan geometría” • El lugar del interlocutor (niños y niñas) en los enunciados de los textos escolares 3.2.2.1 El lugar del interlocutor (niños y niñas) en la enunciación de las clases que “enseñan geometría” Para realizar este análisis basta con segmentar las unidades discursivas que pertenecen a los niños y niñas en los registros de aula y hacer un largo listado de sus respuestas afirmativas y negativas o designativas y de sus escasas preguntas. Dado que todos los 56 registros de la investigación tienen una misma dialéctica 148 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez discursiva por parte de las maestras: un primer momento de exhibición del objeto y un segundo momento de decoración del objeto, cualquier registro que se tome para el análisis de la significación una vez llegado a la conclusión previa, sirve como registro ‘modelo típico representativo’ de análisis. Para este punto entonces se retoma el Registro No. 4, perteneciente a una maestra de transición que se toma como objeto de análisis en el tópico B de Formas geométricas (se omiten las Figuras 27, p. 123; Figura 28, p. 124; Figura 29, p. 124; correspondiente al registro No. 4). Registro No. 4: E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 E8 E9 E10 E11 E12 E13 E14 E15 E16 E17 E18 E19 E20 E21 E22 E23 E24 E25 E26 E27 E28 E29 E30 M: ¿recuerdan estas figuras? (figura 16) N: triángulo. M: mira todas estas figuras que tengo acá. ¿Cuáles figuras ven? N: triángulo, cuadrado. M: el triángulo. N: cuadrado, círculo. M: y el círculo. ¿Cómo se llama esta figura? (señalando una de las figuras que están plasmadas en la lámina) S: cuadrado. J: cuadrado. N: cuadrado. M: mírenla bien. S: triángulo. N: triángulo. M: y ¿Cuántos lados tiene el triángulo? N: tres. M: bien. Y ¿ahora esta figura que tengo aquí? (muestra otra lámina, figura 17) F: círculo. N: círculo. M: muy bien, el círculo. J, entonces ¿cómo se llama esta figura? (señalando la figura 16) J: triángulo. M: mírela bien, esta que le estoy señalando (señala la figura 17) J: círculo. M: y ¿está? (Señala un triángulo de la figura 16) J: triángulo. M: triángulo (moviendo la cabeza en forma de afirmación) ¿este círculo tiene tres lados? N: nooo. M: muy bien. ¿Cuántos lados tiene el triángulo? S: tiene tres. M: muy bien, miren esta otra figura (enseña una nueva lámina, figura 18) N: tiene cuatro. 149 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. E31 Myriam Vásquez Vásquez M: ¿Cuántos lados tiene esta figura? (arrastrando el dedo índice por los cuatro lados de la figura) N: cuatro. M: esta se llama... N: cuadrado (expresándose primero que terminara la profesora) M: cuadrado. Y los cuatro lados de esta figura son igualiticos, vea. ¿A que se le parece este cuadrado? V: a Bob Esponja. M: bueno, a Bob Esponja puede ser; una carita de Bob esponja puede ser un cuadrado. ¿Que otra cosa que hay acá en el salón se puede parecer a un cuadrado? (levantando la cabeza y mirando alrededor del salón) J: las ventanas. M: muy bien las ventanas. (Distribuye a los niños la figura 16) Esta ficha que les acabo de dar, van a trabajar en ella con plastilina. E32 E33 E34 E35 E36 E37 E38 E39 C.O. Posso (comunicación personal, 11 de Octubre de 2007). Un primer punto de partida para iniciar el análisis es decir que el intercambio comunicativo que se impone entre un maestro(a) y una comunidad de aprendices tiene una particularidad dialógica en tanto la voz imperante es la del maestro (así sea desde un modelo llamado imitativo, expositivo, interactivo, constructivista, etc.) comanda, dirige la clase. Precisamente ahí radica la riqueza de éste análisis: ¿qué se puede decir en el marco de una enunciación en las clases de geometría desde el lugar de los niños y niñas cuando la modalidad discursiva dominante es la designación? Los enunciados resaltados con negrilla pertenecen a las respuestas y reafirmaciones de los niños y niñas. Dichas respuestas y reafirmaciones son de tipo constatativo, asunto que le permite valorar a la maestra “sí los niños y niñas le están entendiendo”. En este contexto discursivo las constataciones son de dos órdenes: • Designar con una palabra el nombre de la <figura> u objeto que la maestra señala (E2, E4, E6, E8, E9, E10, E12, E13, E17, E18, E20, 22, E24). 150 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. • Myriam Vásquez Vásquez Respuestas a preguntas que presuponen la respuesta y donde la elección es binaria: si/no (E26). Los niños y niñas no tienen que decir nada, porque no necesitan decir nada en el contexto de enunciación de las clases de geometría; necesitan hacer: colorear, pintar, rasgar, trazar, etc. No hay lugar para su voz; no tendría realmente sentido decir nada, dado que su aprendizaje se valora y evalúa en términos de su hacer, no de su decir. 3.2.2.2 El lugar del interlocutor (niños y niñas) en los enunciados de los textos escolares Los textos escolares son un correlato del discurso de las maestras en el aula. En el análisis del tópico orientación y ubicación espacial se llegaba a la conclusión de que el discurso del texto escolar y el de las maestras es uno solo. Sin embargo, hay una diferencia importante en los textos escolares respecto al análisis de la significación: el interlocutor es el maestro, no el niño (incluso en la versión diseñada para los niños). Recordemos que el maestro cumple la función de cooperador interpretante, es el lector modelo (Eco, 1993), y en este ciclo más que en cualquier otro, porque el niño no es un lector competente. Aún así, texto y contexto de enunciación, como se afirmó antes es uno solo que concibe al niño y a la niña como un aprendiz muy hábil motrizmente. Si analizamos los registros de las maestras y de los textos escolares referenciados en este capítulo, se puede afirmar que no hay un solo enunciado que sea una expansión discursiva tipo descripción, explicación o justificación con relación 151 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez a la actividad geométrica. De un lado, la enunciación en las aulas por parte de las maestras se caracteriza por una referencia a las figuras geométricas en un sentido nominal, aspecto que, con relación a las operaciones discursivas, se reduce a una designación pura30 de dichos objetos. De otro lado y anudado a la premisa precedente, el solo análisis de lo que dicen los niños y niñas, o mejor, de los “no” y los “sí” de los niños en clase, se permite afirmar del lado de la significación que las figuras geométricas son dibujos o ilustraciones, entre otras representaciones icónicas, que igual se pintan, se rellenan, se decoran…etc. 30 Duval (1999, p. 89) define como una de las funciones discursivas la designación. La operación de designación pura. consiste en identificar un objeto sea mostrándolo con un gesto, sea asociándole una marca particular o una combinación particular de signos que provienen, por ejemplo, de un sistema de etiquetas. Toda apelación por atribución a un objeto de un signo (letra o número) o de un nombre que le sea "propio", es una operación de designación pura. Utilizados por una operación de designación pura, los signos no tienen significación; se reducen a un empleo referencial. Esta operación es por sí misma suficiente para designar y para permitir identificar un objeto (…) Por lo general, una operación de designación pura puede bastar para identificar el objeto del cual se habla en el contexto de una comunicación oral, pero no en el de una expresión escrita. 152 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez 4. CONCLUSIONES Al inicio de este trabajo se propuso identificar las concepciones sobre espacio y geometría en el discurso de las maestras y textos escolares en las actividades circunscritas a la enseñanza de la geometría en el preescolar. La perspectiva asumida para adelantar dicho estudio se inscribió en una teoría semiótica de la educación matemática; lente con el cual se analizaron los textos escolares y el discurso de las maestras. Una vez culminado este ejercicio académico, puede concluirse con los siguientes resultados: • Desde un punto de vista epistemológico y cognitivo puede decirse que la concepción de espacio y geometría de las maestras de preescolar y textos escolares que determinan la práctica de la enseñanza de la geometría no va más allá “de lo que el ojo puede percibir, la mano puede tocar, manipular y trazar”. Se trata por parte de los niños y niñas de un dominio que exige una práctica empírica sobre los objetos del mundo sensible. En esta perspectiva las figuras son ‘miradas’ en función de una relación de semejanza entre la forma visualmente discriminada y la forma típica del objeto representado. Generalmente esta semejanza basta para reconocer directa, e inmediatamente, el objeto representado, como en la percepción del mundo 153 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez circundante. Esta forma de ‘ver’ implica una visualización icónica de las formas, cuyo mecanismo de iconicidad funciona para cualquier otra representación visual fuera de las matemáticas. Las praxis anudadas al ingreso del registro figural y estudio de la formas clásicas euclidianas coinciden con la entrada del Botánico (Duval, 2003, 2004b, 2005). En una organización de los aprendizajes centrada exclusivamente en la visualización icónica de las formas no es posible hablar de actividad geométrica propiamente dicha. • Un análisis de la enunciación y de la dialéctica discursiva de “la clase” permite identificar dos momentos claramente definidos: un primer momento de “exhibición del objeto de aprendizaje”, caracterizado por una referencia discursiva a las figura en un sentido nominal y donde no se introduce nada discursivamente con relación a las propiedades matemáticas del objeto. La mayoría de las intervenciones de las maestras, como bien puede corroborarse en el análisis de los registros y textos escolares, es para garantizar una atención sostenida sobre la instrucción o sobre el objeto observado. Aparece un segundo momento de “decoración del objeto”, durante el cual una vez dada la instrucción se debe pasar a una actividad motriz, cualquiera que sea su naturaleza. La diferencia en las actividades propuestas por las maestras y textos escolares en este segundo momento radica en las técnicas estéticas o artísticas para rellenarlas o colorearlas. Todas las 56 clases observadas, sin 154 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez excepción, tienen esta dialéctica31. Y esto es un hallazgo importante dado que muestra una coherencia y consistencia homogénea de una praxis, y a su vez, reafirma lo entronizada y posicionada que está dicha concepción de enseñanza y aprendizaje de los objetos geométricos en el preescolar. El lugar del sujeto aprendiz en dicha concepción es el de un aprendiz muy hábil motrizmente. • Las figuras son sistemas semióticos, y como tal cumplen las funciones de representar operaciones o transformaciones. De otro lado, se ha afirmado también que no existe figura sin leyenda, sin un enunciado que dirija lo que hay que ver en la figura. El punto a discutir es la función que cumplen las figuras en los textos escolares analizados y los registros de aula. Las figuras en los textos y en las actividades propuestas a los niños y niñas son representaciones icónicas, dibujos que cumplen una función de ilustración. Tratar una figura geométrica sólo como una ilustración, significa reducir su capacidad de representabilidad semiótica y se ubica por fuera de la actividad geométrica. Recordemos que las figuras, a diferencia de otros sistemas, son un registro no discursivo y plurifuncional; ahí radica su potencial heurístico. • El análisis presentado en este estudio pretende hacer un fuerte llamado de atención al gran tiempo que se invierte en las aulas en actividades cuya intencionalidad es enseñar las figuras geométricas y a orientarse y ubicarse en el espacio. Este cuestionamiento no se piensa en el lugar de calificar de ‘buenas’ o ‘malas’ dichas praxis; se piensa en un sentido didáctico, o sea, de 31 Ver anexo 2 donde aparecen registros de aula correspondientes a los niveles de prejardín, jardín y transición de tres maestras diferentes. 155 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez tomar conciencia del tiempo escolar dedicado a las actividades que pretenden movilizar conocimientos espaciales y conocimientos geométricos, sin que necesariamente conlleven un aprendizaje de la geometría. Por último, desde la perspectiva teórica abordada, la coordinación entre figura y discurso es una condición sine quanon para el aprendizaje de la geometría. Sin embargo, esta coordinación no es para nada espontánea. La articulación entre ‘ver’ y ‘decir’ tiene altas exigencias con relación a las formas de designar, describir, explicar, argumentar y demostrar en geometría dada la heterogeneidad semántica que impone el conocimiento geométrico. Entonces, ¿el ingreso a la articulación entre figura y discurso puede ser un objeto de estudio para un ciclo como el preescolar? Una posible respuesta a esta pregunta abre nuevas preguntas al campo teórico y de investigación en el que se inscribe esta tesis. 156 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez 5. BIBLIOGRAFÍA Alarcón, M.F. (2001). Dimensión A. (1ª ed.). Santafé de Bogotá, Colombia: Escuelas del Futuro Editorial. Alarcón, M.F. (2001). Dimensión B. (1ª ed.). Santafé de Bogotá, Colombia: Escuelas del Futuro Editorial. Alarcón, M.F. (2001). Dimensión C. (1ª ed.). Santafé de Bogotá, Colombia: Escuelas del Futuro Editorial. Berthelot, R. y Salin, M. H. (1992). L'enseignement de l'espace et de la géometrie dans la scolarité obligatorié. Thèse, Université de Bordeaux, Francia. Brousseau, G. (1983). Les obstacles épistémologiques et les problèmes en mathématiques. Recherches en Didactique des Mathématiques, 4(2), 165-198. Briones, G. (1999). La investigación social y educativa. 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ANEXOS 162 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez ANEXO Nº 1 PROTOCOLOS DE REGISTRO DE OBSERVACIÓN NIVELES PREJARDÍN, JARDÍN Y TRANSICIÓN 163 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez Anexo 1.1 Registro de Observación prejardín Registro 10: E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 E8 E10 E11 E12 E13 E14 E15 E16 E17 E18 E19 E20 E21 E22 E23 E24 E25 E26 E27 E28 E29 M: Buenos días, niños N: Buenos días, profesora M: En el día de hoy, vamos a repasar la figura del circulo, ya C: Si M: Así que vamos a hacer en la actividad de hoy, vamos a pegarle papel de colores, al círculo que en este caso (deja de hablar). J.: Profe, tengo sueño (mientras bosteza) M: Ahorita vamos a ver (dirige su mirada a J.F) M: Y en este caso tenemos una fruta ¡Que se llama la naranja! ¿La naranja E9 es que? N: Redonda (contestan los niños en coro) M: Redonda, ¿Cómo el qué? N: Como el círculo (responden todos los niños en coro) M: Como el círculo, muy bien. Entonces vamos a pegarle papel de colores a las naranjas, sin salirnos del círculo. N: Circulo (responden todos en coro) M: Bueno, vamos a repasar, entonces la figura que tiene la tortuga (les muestra a los niños la tortuga de la página 4 del libro guía). M: ¿Qué figura la está formando? A.: La tortuga (el niño repitió lo último que dijo la profesora) M: ¿Cómo se llama está figura que está formando la tortuga? ¿Un qué? N: Un triángulo(los niños responden en coro). M: Un triángulo, muy bien N: Un triángulo (responden todos los niños al mismo tiempo) M: Un triángulo, ¿por qué un triángulo? Un triángulo, entonces el triángulo tiene forma ¿cómo? Una lomita ¿cierto? C: Siiii M: Bueno, ahora vamos a mirar que figura está (la profesora se detiene en su discurso pedagógico). J: ¡Profesora!, ¡profesora! Este niño me mordió (grita el niño y desde su puesto señala al niño que lo mordió) M: hay sin pelear, no vamos a pelear S.G: Profe, profe M: ¿Qué figura forma aquí? S. G: Profe, se cayó la cartulina (señala con su mano derecha) 164 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. E30 E31 E32 E33 E34 Myriam Vásquez Vásquez M: Ahorita, la recogemos, ¿Qué figura forma aquí?, ¿Qué figura forma aquí? D, ¿Qué figura forma aquí? ¿Un qué? D: Una plastilina M: No señor, ¿Qué figura forma aquí? Un Cuadra...... N: Un Cuadra......un cuadrado(los niños responden en coro) M: Eso, un cuadrado Anexo 1.2: Registro de aula Jardín Registro 11: En el aula hay un locker que tiene en su parte posterior las siguientes figuras Geométricas: círculo, cuadrado, triángulo, rectángulo, rombo. E1 E2 E3 E4 E5 E5 E7 E8 E9 E10 E11 E12 E13 E14 E15 E16 E17 E18 E19 E20 M: Buenos días, niños N: Buenos días, profesora M: Haber, ustedes me van a decir cómo se llama, porque yo no sé ¿Cómo se llama esté? (señala con su mano izquierda un circulo que hay pegado en el locker) N: ¡Circulo! (todos los niños contestan al mismo tiempo) M: Digan otra vez, porque yo soy sorda ¿Cómo es? N: ¡Circulo!(los niños vuelven a gritar más duro) M: Ya, ¿Y esté? (les señala la figura del triángulo) N: ¡Triángulo! (los niños contestan al mismo tiempo) M: ¿Y esté? (les señala la figura del cuadrado) N: ¡Cuadrado!(los niños responden al mismo tiempo) M: ¿y esté? (les señala el rectángulo) N: ¡Rectángulo! (vuelven a gritar los niños) M: Estamos aprendiendo el.... (La profesora hace silencio) N: ¡Rombo! (los niños responden, todos al mismo tiempo) M: El rombo se parece a un trompito, ¿cierto? N: ¡Siiii! (responden los niños en coro) M: El trompito, tiene una puntica y lo ponemos a girar, y no se parece al triángulo ¿por qué? Porque el rombo tiene dos punticos y el triángulo sólo tiene uno (la profesora señala las figuras del rombo y triángulo, tocando el punto superior e inferior en el rombo, y en el triángulo señala el punto superior). N ¡Un triángulo! (gritan todos) M: ¿Cómo hacerlo? ¿Cómo lo vamos a hacer? Es como hacer, por ejemplo un triángulo, un triángulo arriba y un triángulo abajo. D: ¡Vea, profe así! 165 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez E21 M: No, porque tiene la puntica acá, tienen que hacer bien la puntica. (La profesora intenta explicar cómo se hace un rombo) Pero primero, vamos a decorar el rombo que tienen en el cuaderno, busquen el rombo que tienen en el cuaderno (la profesora con anterioridad ya les había entregado el cuaderno de pre-matemática, a cada niño) E22 L: ¡Mírelo!, ¡ya lo encontré! (el niño señala con su dedo, la figura del rombo que está en su cuaderno) E23 M: ¿Listos, ya? E24 N: Siiii! (gritan, todos los niños a la vez) E25 M: ¿Qué vamos a hacer? E26 N: Rombos (responden los niños) E27 M: ¡Siiii! ¿Pero qué vamos a hacer? Tenemos unas tiritas de papel, vamos a hacer bolitas, ustedes saben hacer bolitas ya, ¿cierto? E28 N: ¡Siiii! (contestan los niños, en coro) E29 M: Entonces, vamos a pegarlas dentro del rombo ¿Qué color es esté? (mientras les enseña una tirita de papel) E30 N: ¡Rojo! (contestan los niños en coro) E31 M: Vamos a pegar tiritas de color rojo al rombo, ¿listo? E32 N: ¡Siiii! (contestan en coro) (Los niños empiezan a coger las tiritas de papel que se encuentran en una vasija plástica, las cortan con sus manos y hacen bolitas que después ellos pegan dentro del rombo) E33 E34 E35 E36 M: D, no quiero pedazos grandes, son pedacitos, los van a enrollar formando una bolita y luego la pegan N: ¡ Siiii! (responden en coro) M: Con un solo dedito, porque si untan todos los dedos, se les pega el papel. Lo van a pegar dentro del rombo, no lo van a pegar afuera (la profesora muestra un rombo que está en el cuaderno que tiene en sus manos) N: Bueno, señora (contestan en coro). La profesora le revisa el trabajo a cada niño, está actividad tiene una duración de treinta minutos. 166 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez Anexo 1.3: Registro de aula transición Registro 12: E1 M: Como estábamos cantando la canción que dice de Doña Juana, ¿Cuál es el timbre? (los niños con su mano tocan su nariz) E2 N: Pi, Pi (los niños responden en coro) E3 M: ¿Cuál es el timbre? N : ¡Circulo! (todos los niños contestan al mismo tiempo) E4 N: La nariz, la nariz(los niños responden en coro) sorda ¿Cómo es? E5 M : Muy bien, ¿está es la qué? (se toca la nariz con su mano derecha) E6 N : La nariz (responden en coro) E7 M : ¿Y está será la nariz también? (la profesora con su mano, señala su boca) E8 N : ¡ Nooo! (los niños responden en coro) E9 M: Bueno, ¿Cuántas narices tienen ustedes? E10 N : ¡Unaaa! (responden en coro) E11 M : ¿Una? ¿Si? ¿Cuántas tienen? E12 N : ¡Unaaa! (todos contestan a la vez) E13 M : Muy bien, una ¿Y cuántas fosas nasales, cuantos huequitos tenemos dentro de la nariz (la profesora señala cada una de sus fosas nasales con su índice derecho) E14 N : ¡Dos! (los niños responden al mismo tiempo) E15 M : ¿Y cómo saben que dos? Haber, miremos, contemos (la profesora señala una de sus fosas nasales y después la otra) E16 N : Uno, Dos (los niños responden todos a la vez y al mismo tiempo señala cada una de sus propias fosas nasales) E17 M :¿Y las ventanas? ¿Dónde están las ventanas de Doña Juana? E18 N : Acá, acá (los niños señalan sus ojos) E19 M : ¿En dónde? E20 N : Acá, (los niños vuelven a señalar sus ojos) E21 M : ¿Cómo se llaman esas ventanas? E22 N : ¡Los ojos! (contestan todos a la vez) E23 M : ¿Cómo se llaman? Los ojos. Muy bien, nosotros tendremos al igual que los ojos, una ¿tenemos cuantos ojos? ¿Uno o dos? E24 N : ¡Dos! (todos los niños responden a la vez) E25 M : ¿También tenemos dos narices? E26 N : ¡Nooo! (los niños contestan y se ríen) E27 M : Muy bien, entonces tenemos dos ventanas, que son nuestros ojos, que sirven para ver. E28 A : Estás son las cortinas (la niña señala con su mano derecha, sus cejas) E29 M : Bien, estás cejas, son las cortinas(la profesora señala sus cejas) ¿Cuántas cortinas tenemos? 167 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. E30 E31 Myriam Vásquez Vásquez E43 E45 N : ¡Dos! (contestan los niños en coro) M : Van a observarme a mí, me van a mirar: ¿Cuántas profesoras claras, están viendo ustedes aquí? N : ¡Una! (contestan los niños en coro) M: ¿Cuántas? N : ¡Una! (responden en coro) M : ¡Una!, muy bien. ¡Párate aquí! ( la profesora hace que dos niños se paren adelante) M : ¿Cuántos compañeritos hay aquí? (la profesora señala los dos niños) N : ¡Dos! (los niños contestan en coro) M : ¿Cuántos? N : ¡Dos! (responden en coro) M : Si lo dejo a él sólo ¿Cuántos quedan? (Hace que uno de los niños se siente) N : ¡Uno! (contestan en coro) M : Uno, ¡muy bien! ¡Muy bien! ¿Cómo se llamará esté objeto que tengo en la mano?(la profesora les exhibe un bolígrafo en su mano derecha) N : ¡Uno! (los niños responden en coro) M: Uno, obviamente es uno, ¿Pero cómo se llama este objeto? E46 N: ¡Lápiz! (responden en coro) E47 M: Un bolígrafo o lapicero, se llama un bolígrafo o lapicero. Ayer, trabajamos en el cuaderno, ¡Jovencitos! ¡Miren acá!, ayer trabajamos en el cuaderno, ¿terminamos la actividad del número? N: Uno (responden en coro) M: Habíamos hecho, la actividad del número uno ¿en un qué? En un conjunto. Vamos a mirar aquí al frente, van a mirar todos la cartelera(les señala una cartelera que hay al frente de los niños) ¿Cómo se llamará está figura que se ve aquí? ¿Un qué? N : ¡Un conjunto! (responden en coro) M : ¿Un qué?(Vuelve y les señala la figura) N : Un conjunto (responden en coro) M: Un conjunto. ¿Y esté conjunto se llamará cómo? N : ¡Vació (responden en coro) M: ¿Y por que esté conjunto se llama vacío? (les señala de nuevo la figura). N : Porque, no tiene nada (responden en coro) M: Muy bien, decimos que esté conjunto es vacío, o sea cero, ¿por qué no E32 E33 E34 E35 E36 E37 E38 E39 E40 E41 E42 E48 E49 E50 E51 E52 E53 E54 E55 E56 E57 tiene? E58 N : ¡Nada! (responden en coro) E59 M: Y estos otros conjuntos, que ustedes miran aquí, ¿serán vacíos?(la profesora, señala otros conjuntos) E60 N : ¡Nooo! (responden en coro) E61 M : Por ejemplo, vamos a observar esté conjunto (les señala otro conjunto que tiene un solo elemento) E62 M: ¿Cuántos elementos tiene esté conjunto? 168 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez E63 E64 E65 E66 E67 E68 N : Uno (responden en coro) M: ¿Cuántos? N : Uno(responden en coro) M: ¿Y cómo se llama está figura? (señala el elemento del conjunto unitario) N : ¡ Sol! (responden en coro) M : Resulta que los seres humanos para poder vivir, necesitamos del sol, cierto, nuestro planeta necesita del sol ¿Cuántos soles hay allá arriba en el universo? (señala con su mano derecha arriba) E69 N : ¡Uno! (responden en coro) E70 P : Un solo sol. Ahora miremos esté otro conjunto, que es el que nos interesa el día de hoy. ¿Cuántos elementos hay dentro de este conjunto? (señala otro conjunto que tiene dos payasos, como elementos) E71 N : Dos (responden en coro) E72 M: ¿Cuántos? E73 N : Dos ( responden en coro) E74 M : Vamos a ver si es verdad(les señala uno a uno los payasos que contiene el conjunto) E75 N : Uno, Dos (responden en coro) E76 M : Uno, y dos (les señala uno a uno los payasos) ¿Cómo se llama estas figuras? E77 N : ¡Payasos! (responden en coro) E78 M: Payasos, muy bien. Ahora muéstrenme con sus deditos de las manos, el número uno, haber cuánto es uno, con el dedito de la mano(los niños dejan levantado el índice de sus manos) Muy bien, ahora vamos a contar dos, dos deditos, haber muéstrenme el número dos con sus dedos(los niños dejan levantados dos dedos) Muy bien, ahora vamos a observar estás fichas que tengo aquí(les muestra unas fichas pequeñas de color amarillo) Vamos a observar estás fichas, es un domino. E79 S : ¿Un domino? E80 M: Si, se llama un domino ¿Cuántas jirafas les estoy mostrando yo aquí? (la profesora tapa una de las jirafas, porque la ficha trae dos jirafas) E81 N : Una(responden en coro) E82 M : ¿Cuántas? E83 N : Una (responden en coro) E84 M : Y si yo hago esto. (Les muestra la segunda jirafa que hay en la ficha de domino) E85 N : Dos(responden en coro) E86 M : Si yo hago esto, les muestro dos jirafas(les muestra completamente las dos jirafas) E87 M : ¿Cuántos micos habrán aquí? (les muestra una ficha que tiene dos micos) E88 N : Dos(responden en coro) E89 M : ¿Cuántos? E90 N : Dos (responden en coro) E91M : ¿Cuántos leones hay aquí? (les muestra una ficha que tiene dos leones, pero les tapa uno) 169 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez E91 E92 N : Dos(responden en coro, erróneamente) M : ¿Cuántos les estoy mostrando? Presten atención(vuelve y les muestra la ficha de los dos leones , tapándole un león) E93 N : Uno (responden en coro) E94 M : Uno, y si yo hago esto ¿Cuántos animales habrán aquí?(la profesora destapa completamente la ficha) E95 N : Dos(responden en coro) E100 M: Muy bien, dos. Vamos a hacer lo siguiente, les voy a dar plastilina para que formemos en la mesa, vamos a formar conjuntos, vamos a hacer la tirita y formamos un conjunto y con la misma plastilina vamos a dibujar dentro de los dos conjuntos, vamos a dibujar elementos. Vamos a dibujar un conjunto con un elemento y vamos a realizar otro conjunto con dos elementos; a cada uno le voy a pasar plastilina(a cada niño le da una tira de plastilina) Haber, vamos a formar, vamos a formar un conjunto. A formar conjuntos rapidito, para que dentro del conjunto le hagamos un elemento; vamos a hacerle pelotas a los conjuntos. E101 C : Yo voy a hacer una mariposa E102 M : Un elemento puede ser cualquier figura, es que miren acá al frente la cartelera, vea, miren, pueden dibujar, sol, una tortuga, caracol; el animalito que quieran(la profesora les señala los animales que hay dibujados en la cartelera)Van a formar con la tirita, vamos a hacer lo siguiente, vamos a hacer tiras muy delgadas de plastilina, vamos a cerrarla, para formar los conjuntos, así sean pequeñitos (la profesora les explica manualmente como deben hacer la actividad) Estos son los conjuntos, vamos a hacer dos círculos y formamos en esos círculos los conjuntos, dentro de esos conjuntos vamos a dibujar un elemento en plastilina, aquí uno y allí vas a dibujar dos. Muy bien, van a observar aquí el trabajo que hizo M, M dibujo dos conjuntos, hay un conjunto que tiene un elemento y hay otro conjunto que tiene dos elementos, dibujó una pelota y dibujó un palito y aquí también dibujo otra pelota, muy bien, M. 170 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez ANEXO Nº 2 ANÁLISIS REJILLA TEXTOS ESCOLARES NIVELES PREJARDIN, JARDÍN Y TRANSICIÓN 171 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez Anexo 2.1 Rejilla análisis de textos escolares nivel pre-jardín 172 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez Anexo 2.2 Rejilla análisis textos escolares nivel jardín 173 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011 La enseñanza de la geometría en el preescolar. Myriam Vásquez Vásquez Anexo 2.3 Rejilla análisis textos escolares nivel transición 174 Universidad del Valle- IEP- Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2011