01-Triángulos-rectángulos-notables-Geometria-cuarto-de-Secundaria (1)

Triángulos rectángulos
notables
El más conocido de los juegos matemáticos recientes es el Cubo de Rubik. En todo el mundo, su fama es tan grande, que
se estima que -hasta ahora- se han vendido más de 100 millones de cubos en todo el mundo.
Este, que se ha transformado en un entretenido pasatiempo, fue inventado en 1974 por el ingeniero húngaro Ernö Rubik,
para utilizarlo en las clases con sus alumnos.
Sin embargo, se sabe que el famoso cubo tuvo su origen en la necesidad del maestro de conseguir
algún juego que ayudara a su hijo discapacitado a pensar y coordinar colores y combinaciones
matemáticas, para poder ejercitar su mente.
Ernö Rubik no solo creó este juego, que es el más conocido, sino también otros entre los que se
encuentra, por ejemplo, la Torre de Babel, con combinaciones y características similares al anterior.
En el estricto rigor matemático, el Cubo de Rubik representa un problema de la teoría de conjuntos.
Pero para su inventor «este objeto es un ejemplo admirable de la belleza rigurosa, de la gran riqueza
de las leyes naturales; es un ejemplo sorprendente de las posibilidades admirables del espíritu humano,
para probar su rigor científico y para dominar esas leyes». ¿Qué crees tú?
Triángulos rectángulos notables
30°
45°
a
2b
b 3
a 2
53°
5n
3n
45°
37°
60°
a
b
 Problemas resueltos
1. En la figura hallar la distancia de “C” a AB , si: BC = 8 u.
4n
2. Calcular “AD”, si: CD = 10 u.
A
B
23°
150°
A
C
37°
Solución:
B
H
B
150°
A
D
C
Solución:
x
- Trazamos la altura DH
DHC notable de 37° y 53°:
DH = 6 u
- AHD notable de 30° y 60°
H
 x = 12 u
A
8
C
23°
x
BHC: Notable de 30° y 60°
x=4u
30°
B
6
8
53°
D
37°
10
C
AÑO
5. En la figura: AD = 8 u. Hallar la proyección de BP sobre
BC .
B
C
3. Si: AC = 20 u, calcular “EC”.
B
30°
30°
P
E
45°
A
37°
C
A
Solución:
B
Solución:
4a
12
3a = 12
45°
P'
B
C
37°
5a = 20
-
P
60°
A
ABC: 5a = 20  a = 4
Luego: AB = 3(4) = 12
BC = 4(4) = 16
-
8
C
4 3
30°
30°
E
A
D
8
D
-
BAD: Notable de 30° y 60°: BD = 16 u
-
BPD: Notable de 30° y 60°:
ABE: AB = BE = 12
DP = 8 u y BP = 8 3 u
-
Finalmente:
EC = BC - BE
 EC = 16 - 12 = 4 u
BP'P: Notable de 30° y 60°:
PP' = 4 3 u
 BP' = 4 3 . 3 = 12 u
(BP' proyección de BP sobre BC)
4. En la figura AD es bisectriz. Hallar “CD”, si: BD = 2 u.
B
D
Problemas para la clase
30°
A
1. Calcular “x”
C
16
Solución:
B
2
4
A
30°
ABD: Notable de 30° y 60°
AD = 4 u
ADC: Isósceles
x=4u
D
a) 8
d) 12
b) 8 3
e) 10
c) 8 2
2. Calcular “m × n”
x
30°
30º
x
53º
C
5
m
n
a) 7
d) 15
b) 9
e) 10
c) 12
3. Calcular “y”.
7. Hallar “BC”, si: AB = 8.
B
45º
y
A
82
a) 8
d) 12
b) 8 2
e) 18
30º
45º
b) 4 2
e) 8
c) 8 2
a) 2 2
d) 4
c) 16
8. En la figura, hallar “CH”, si: BC = 6 2
B
4. Hallar “ n ”
m
135º
60º
A
m
n
a)
d)
1
3
6
3
C
b)
a) 4
d) 10
30º
3
2
c)
3
3
H
C
b) 6
e) 12
c) 8
9. En la figura el ABC es equilátero. Hallar “ a ”, si:
b
BP = 6 y AC = 24.
B
e) 1
P
5. Hallar “a + b”
a
b
A
8
a
a)
C
1
3
b)
2
3
e)
1
9
30º
b
a) 2 + 4 3
c) 2 + 2 3
e) 8 3
d) 3
b) 4 + 2 3
d) 4 + 4 3
c)
3
5
10.En la figura, hallar “AE”, si: EC = 6.
A
6. Del gráfico, hallar “a - b”.
a
36
37º
a) 9 2
d) 6 3
b
a) 16
d) 10
b) 14
e) 108
c) 12
45º
B
C
E
b) 6 2
e) 4 2
c) 9
11.En la figura: AB = 9. Hallar “BD”
B
D
A
15º
22°
C
a) 10
d) 16
b) 12
e) 20
c) 15
12.Hallar “x”
a) 3 2 (2 - 3 ) m
b) 3 3 (2 + 3 )
c) 3 3 (2 - 3 )
d) 3 2 (4 - 3 )
e) 3 3 (4 + 3 )
x
Autoevaluación
1. Si: AB = 6 u, hallar “AD”.
B
100
300
a)
240 3
3
b)
d)
250 3
2
e) 175
c)
3
400
3
30°
A
C
53°
13.Hallar “CD”, si: AB = 2 3
D
D
a) 12 u
d) 16
60º
A
a) 4 3
d) 12
30º
b) 6 3
e) 12 3
c) 15
2. Si: BC = 6 u, hallar “AD”.
A
C
B
b) 14
e) 20
23°
c) 6
14.En la figura: AC = 20. Hallar “BH”.
30°
B
B
a) 16 u
d) 30
45º
D
C
b) 20
e) 12
c) 25
H
A
a) 5 2
d) 4 2
30º
N
b) 3 2
c)
3. Hallar “EF”, si: MN = 24 u.
F
C
5
2
2
E
e) 5 3
45°
37°
15.Hallar la longitud del lado del cuadrado PQRS, si el lado
del triángulo equilátero mide 3m.
M
B
Q
A
P
R
S
C
a) 30 2 u
b) 15 2
d) 15 3
e) 30 3
c) 15
N
5. Hallar “HQ”, si: AC = 40 u.
B
4. Hallar “BC”, si: AB = 36 u.
B
30°
A
Q
45°
30°
C
a) 18 u
b) 16 2
d) 18 2
e) 20 3
c) 16 3
A
a) 10 u
d) 20
Claves
1. c
4. d
H
b) 18
e) 15
2. a
5. e
C
c) 16
3. b