ejercicios-de-engranjes-corregidos

Ejercicios de engranajes
1. Determínese el paso diametral de un par de engranes cuya distancia entre los centros es de 0,3625
pulg. Los engranes tienen, respectivamente, 32 y 84 dientes.
d1 32
=
d 2 84
d1 + d 2
= 0, 3625 pu lg.
2
y
d 1=0,2 pulg.
d2=0,525 pulg.
N1
32
=
= 160 dientes
pu lg .
d1
0, 2
pd =
2. Encuéntrese el número de dientes y el paso circular de un engrane con un diámetro de paso de 6
pulg. y cuyo paso diametral es 9.
N = pd ⋅ d = 9 ⋅ 6 = 54 dientes.
π
Pc =
pd
=
π
9
= 0,35 pu lg.
3. Determínese el módulo de un par de engranes cuya distancia entre los centros es de 58mm. Los
engranes tienen 18 y 40 dientes, respectivamente.
d1 18
=
d 2 40
m=
y
d1 + d 2
= 58 mm.
2
d 1=36 mm.
d2=80 mm.
d1
36
=
= 2 mm
diente.
N1
18
4. Encuéntrese el número de dientes y el paso circular de un engrane cuyo diámetro es de 200mm, si
el módulo es 8mm por diente.
d
200
=
= 25 dientes.
m
8
N=
Pc = π ⋅ m → Pc = π ⋅ 8 = 25.1 mm
5. ¿Cuáles son el paso diametral y el diámetro de paso de un engrane de 40 dientes cuyo paso circular
es de 3,5 pulg?
pd =
d=
π
Pc
N
pd
=
π
3,5
=
= 0,9 dientes
pu lg.
40
= 44, 4 pu lg .
0,9
6. Los diámetros de paso de un par de engranes acoplados son 3 ½ y 8 ¼ pulg. respectivamente. Si el
paso diametral es 16, ¿Cuántos dientes hay en cada engrane?
N1 = pd ⋅ d1 = 16 ⋅ 3,5 = 56 dientes.
N 2 = pd ⋅ d 2 = 16 ⋅ 8, 25 = 132 dientes.
7. Encuéntrese el módulo y el diámetro de paso de un engrane cuyo paso circular es de 40mm, si el
engrane tiene 36 dientes.
Pc
m=
40
=
π
= 12, 73 mm
π
d = N ⋅m =
40
π
diente.
= 458,3 mm.
8. Los diámetros de paso de un par de engranes son de 60 y 100 mm, respectivamente. Si el módulo es
2.5 mm por diente, ¿cuántos dientes hay en cada engrane?
N1 =
60
d1
=
= 24 dientes.
m
2, 5
N2 =
100
d2
=
= 40 dientes.
m
2,5
9. ¿Cuál es el diámetro de un engrane de 33 dientes si el paso circular es de 0,875 pulg?
pd =
d=
π
Pc
=
N
pd
π
0,875
=
= 3,59 dientes
pu lg.
33
= 9,19 pu lg.
3, 59
10. Un eje sostiene un engrane de 30 dientes con paso diametral de 3, el cual impulsa a otro engrane
a una velocidad de 480 rpm. ¿A qué velocidad gira el engrane de 30 dientes si la distancia entre los
centros de los ejes es de 9 pulg?
d1 =
d1 + d 2
= 9 pu lg . → d 2 = 8 pu lg .
2
N1
30
=
= 10 pu lg.
3
pd
d
ω1
= 2
d1
ω2
→
ω1 = 480
8
= 384 rpm.
10
11. Dos engranes que tienen una razón de velocidades angulares de 3:1 están montados sobre ejes
cuyos centros están separados 136 mm. Si el módulo de los engranes es 4 mm, ¿cuántos dientes tiene
cada engrane?
d1 + d 2
= 136 mm
2
N1 =
1 d1
=
3 d2
d1
68
=
= 17 dientes.
m
4
→ d1 = 68 mm
N2 =
d 2 = 204 mm
d2
204
=
= 51 dientes.
m
4
12. Un engrane que tiene un módulo de 4mm por diente y 21 dientes impulsa a otro cuya velocidad es
de 240 rpm. ¿Con qué rapidez gira el engrane de 21 dientes si la distancia entre los centros de los ejes
es de 156 mm?
d1 = N1 ⋅ m = 21⋅ 4 = 84 mm.
d1 + d 2
= 156 mm →
2
d 2 = 188 mm
ω1
d
= 2
d1
ω2
ω1 = ω2
→
188
d2
= 240
= 537 rpm.
d1
84
13. Un piñón de 24 dientes con un paso diametral de 4 debe impulsar a un engrane de 36 dientes. Los
engranes se cortan en el sistema de involuta de 20º y altura completa. Calcúlese y tabúlese el
addendum, el dedendum, la holgura, el paso circular, el espesor del diente y los diámetros de los círculos
de base; asimismo, las trayectorias de aproximación, retroceso y acción; así como la razón de contacto
y el paso de base.
Addendum = 1
pd
Dedendum = 1, 25
= 0, 25 pu lg .
pd
= 0,31 pu lg.
Holgura = 0,31-0,25 = 0,06 pulg.
Pc =
t=
π
pd
=
π
4
Pb = Pc cos φ = 0,78 ⋅ cos 20 = 0, 73 pu lg.
= 0, 78 pu lg.
Pc
0, 78
=
= 0,39 pu lg.
2
2
d1 =
N1
24
=
= 6 pu lg.
pd
4
d2 =
N2
36
=
= 9 pu lg.
pd
4
rb1 = rp1 ⋅ cos ϕ → rb1 = 6 ⋅ cos 20º = 2.82 pu lg. → db1 = 5, 64 pu lg.
2
rb 2 = 9 ⋅ cos 20º = 4, 23 pu lg. → db 2 = 8, 46 mm
2
2
u r =  ( r1 + a ) − rb21 


1/ 2
2
u a = ( r2 + a ) − rb22 


mc =
1/ 2
− r1 ⋅ senϕ → u r =  ( 3 + 0, 25 ) − 2,82 2 


2
1/ 2
− 3 ⋅ sen 20º = 0, 59 pu lg .
− r2 ⋅ senϕ → u a =  ( 4, 5 + 0, 25 ) − 4, 232 


2
1/ 2
− 4, 5 ⋅ sen 20º = 0, 62 pu lg .
ua + ur 0, 62 + 0, 59
=
= 1, 66
pb
0, 73
14. Un juego de engranes tiene un módulo de 5 mm por diente, es de dientes de altura completa y
un ángulo de presión de 22,5º , y tiene 19 y 31 dientes, respectivamente. Hágase un dibujo de los
engranes presentando un diente de cada uno de ellos. Úsese 1 m para el addendum y 1,35 m para el
dedendum. Hallar el addendum, el dedendum, la holgura, el paso circular, el espesor del diente, el
diámetro del circulo de base, el paso de base y la razón de contacto.
m=
d1
→
N1
d1 = m ⋅ N1 = 5 ⋅19 = 95mm
d2 = m ⋅ N 2 = 5 ⋅ 31 = 155mm
Pc = π ⋅ m → Pc = π ⋅ 5 = 15.71mm
t=
Pc
15, 71
=
= 7,85 mm.
2
2
rb1 = rp1 ⋅ cos ϕ → rb1 = 47.5 ⋅ cos 22, 5º = 43.88mm → db1 = 87.77 mm
rb 2 = 77.5 ⋅ cos 22,5º = 71.6mm →
db 2 = 143.2mm
Diámetro círculo Addendum 1 = d1 + 2 ⋅ m ⋅1 = 95 + 2 ⋅ 5 = 105mm
Diámetro círculo Dedendum 1 = d1 − 2 ⋅ m ⋅1,35 = 95 − 2 ⋅ 5 ⋅1,35 = 81,5mm
Diámetro círculo Addendum 2 = d 2 + 2 ⋅ m ⋅1 = 155 + 2 ⋅ 5 = 165mm
Diámetro círculo Dedendum 2 = d2 − 2 ⋅ m ⋅1,35 = 155 − 2 ⋅ 5 ⋅1,35 = 141,5mm
Pb = Pc ⋅ cos ϕ → Pb = 15.71 ⋅ cos 22,5º = 14.51mm
Ho lg ura = m ⋅ (1,35 − 1) = 1, 75mm
ua = distancia de aproximación. ur = distancia de retroceso.
2
u a =  ( r1 + a ) − rb21 


1/ 2
2
u r = ( r2 + a ) − rb22 


1/ 2
− r1 ⋅ senϕ → u a = ( 47, 5 + 5 ) − 43,882 


2
− r2 ⋅ senϕ → u r =  ( 77, 5 + 5 ) − 71, 6 2 


2
1/ 2
1/2
− 47, 5 ⋅ sen 22, 5º = 10, 64 mm
− 77, 5 ⋅ sen 22, 5º = 11, 33mm
mc = razón de contacto.
mc =
ua + ur 10, 64 + 11,33
=
= 1, 51
14, 51
pb
Cálculo de la distancia de aproximación y la distancia de retroceso.
¿Qué sucede si la distancia entre centros de los dos engranes aumenta 2mm?
d1' 19
=
d 2' 31
d1' + d 2' = 95 + 155 + 2
y
d1' = 95, 76 mm
d 2' = 156, 24 mm
Las circunferencias bases no cambian.
El nuevo ángulo de presión es:
ϕ ' = arc co s
rb1
43,88
= arc cos
= 23, 6º
'
95, 76
d1
2
2
15. Un engrane con un módulo de 10 mm tiene 17 dientes, un ángulo de presión de 20º, un addendum
de 1.0 m y un dedendum de 1,25 m. Determínese el espesor de los dientes en el círculo de base y el de
addendum. ¿Cuál es el ángulo de presión correspondiente al círculo de addendum?
rb = rp ⋅ cos ϕ → rb = 85 ⋅ cos 20º = 79.87 mm
d p = m ⋅ N = 10 ⋅17 = 170 mm
raden = rp + 1 ⋅ m = 85 + 10 = 95 mm
rb = raden ⋅ cos θ → θ = ar cos
Pc = π ⋅ m → Pc = π ⋅10 = 31, 4 mm
tp =
rb
raden
= 32, 7º
Pc
→ t p = 15, 7 mm
2
En el círculo adendo el espesor del diente es:
Env (φ ) = tan φ − φ →
Env (φ ) = tan 20º − π
= 0, 0149
9
Env (ϕ ) = tan ϕ − ϕ → Env (ϕ ) = tan 32, 7º −0,18 ⋅ π = 0, 072
t = 2⋅r ⋅(
tp
15, 7
+ Env(φ ) − Env(ϕ )) = 2 ⋅ 95 ⋅ (
+ 0, 0149 − 0, 072) = 6, 69 mm
2 ⋅ rp
170
En el circulo de la base el espesor del diente es:
tb = 2 ⋅ rb ⋅ (
tp
15, 7
+ Env(φ ) − Env(ϕ )) = 2 ⋅ 79,87 ⋅ (
+ 0, 0149 − 0) = 17,13 mm
2 ⋅ rp
170
16. Un piñón de 15 dientes tiene 1,5 de paso diametral y dientes de altura completa de 20º. Calcúlese
el espesor de los dientes en el círculo de base. ¿Cuáles son el espesor y el ángulo de presión en el círculo
de addendum?
dp =
N
pd
15
= 10 pu lg.
1,5
=
raden = rp + 1
Pc = π
r
= 5 + 1 = 5, 67 pu lg rb = raden ⋅ cos θ → θ = ar cos b = 34º
pd
1, 5
raden
→ Pc = π
pd
rb = rp ⋅ cos ϕ → rb = 5 ⋅ cos 20º = 4, 7 pu lg
1,5
= 2,1 pu lg
tp =
Pc
→ t p = 1, 05 pu lg
2
En el círculo adendo el espesor del diente es:
Env (φ ) = tan φ − φ →
Env (φ ) = tan 20º − π
= 0, 0149
9
Env (ϕ ) = tan ϕ − ϕ → Env (ϕ ) = tan 34º −0,189 ⋅ π = 0, 08
t = 2⋅r ⋅(
tp
1, 05
+ Env(φ ) − Env(ϕ )) = 2 ⋅ 5,67 ⋅ (
+ 0, 0149 − 0, 08) = 0, 452 pu lg
2 ⋅ rp
10
En el circulo de la base el espesor del diente es:
tb = 2 ⋅ rb ⋅ (
tp
1, 05
+ Env(φ ) − Env(ϕ )) = 2 ⋅ 4, 7 ⋅ (
+ 0, 0149 − 0) = 1,127 pu lg
2 ⋅ rp
10
17. Un diente tiene un espesor de 0,785 pulg. A un radio de 8 pulg. Y un ángulo de presión de 25º.
¿Cuál es el espesor en el círculo de base?
rb = r ⋅ cos θ = 8 ⋅ cos 25º = 7, 25 pu lg
Env (φ ) = tan φ − φ →
Env (φ ) = tan 25º − 5π
36
= 0, 0299
Env (ϕ ) = tan ϕ − ϕ → Env (ϕ ) = tan 0º −0 = 0
tb = 2 ⋅ rb ⋅ (
tp
2 ⋅ rp
+ Env(φ ) − Env(ϕ )) = 2 ⋅ 7, 25 ⋅ (
0, 785
+ 0, 0299 − 0) = 1,146 pu lg
16
18. Un diente tiene 1,57 pulg de espesor en el radio de paso de 16 pulg, y un ángulo de presión de 20º
¿A qué radio se hace puntiagudo el diente?
Env (φ ) = tan φ − φ →
Env (φ ) = tan 20º − π
9
= 0, 0149
0 = 2 ⋅ rb ⋅ (
Env(ϕ ) =
tp
+ Env(φ ) − Env(ϕ )) → 0 =
2 ⋅ rp
1,57
+ 0, 0149
32
tp
2 ⋅ rp
+ Env(φ ) − Env(ϕ )
tan ϕ − ϕ = 0, 06396 →
ϕ = 31, 65º
19. Diseñe un tren de engranes cilíndricos rectos de tipo simple para una relación de -9:1 y paso
diametral de 8. Haga el diseño evitando interferencias. Especifique los diámetros de paso y el número
de dientes.
Número de dientes mínimo en piñón para que no se produzca interferencia.
NP =
2k
2 ⋅1
(m + m 2 + (1 + 2m) ⋅ sen 2φ ) =
(9 + 92 + (1 + 2 ⋅ 9) ⋅ sen2 20) = 16,3
2
2
(1 + 2m) sen φ
(1 + 2 ⋅ 9) sen 20
Para un piñón con 16 dientes el número máximo de dientes en engrane es de 101 por lo que tan solo
nos permite una relación de 6. Hallemos el máximo de dientes para un piñón de 17 dientes.
El mayor número de dientes de un engrane con un piñón especificado que está libre de
interferencias es:
NG =
17x9=153
d piñón =
N
pd
N P2 sen 2φ − 4k 2
17 2 sen 2 20 − 4(1)2
=
= 1309 (suficiente)
4k − 2 N P sen 2φ 4(1) − 2 ⋅17 ⋅ sen 2 20
Piñón de 17 dientes y engrane de 153
=
17
= 2,125 pu lg.
8
d engrane =
N
pd
=
153
= 19,125 pu lg.
8
20. Diseñe un tren de engranes cilíndricos rectos de tipo compuesto, revertido, para una relación de
30:1 y paso diametral de 10. Especifique los diámetros de paso y el número de dientes.
Dividimos el tren en dos etapas con la misma relación
30 = 5, 47723
no supera la relación 10:1 por lo tanto es suficiente con dos etapas.
Una solución puede ser una etapa de 6 y otra de 5 cuyas dimensiones son parecidas y se pueden
adaptar a una caja de transmisiones.
Como el tren es de tipo revertido se ha de cumplir la igualdad:
r1 + r2 = r3 + r4 = k → N1 + N 2 = N3 + N 4 = k
De la relación de transmisiones tenemos:
6 ⋅ N1 = N 2
5 ⋅ N3 = N 4
N1 + N 2 = N3 + N 4 = k
Sustituyendo en
→
7 ⋅ N1 = k
y
6 ⋅ N3 = k
Soluciones
N1 = 6 N3 = 7
N 2 = 36
N1 = 12 N3 = 14
d1 =
N 4 = 35
N 2 = 72
N1
12
=
= 1, 2 pu lg.
pd
10
d3 = 1, 4 pu lg.
N 4 = 70
Elegimos la segunda solución
d 2 = 7, 2 pu lg.
d 4 = 7 pu lg.
21. Se desea conseguir, con ruedas cilíndrico rectas, una relación de transmisión n=221/1005. Calcular
la relación de transmisión necesaria para obtener, con una pareja de ruedas de las disponibles, un error
absoluto menor de 0,0001 respecto a la dada. (Tomar una precisión de 8 decimales).
Para hallar la relación de transmisión con una pareja de ruedas y un error absoluto menor de 10-4 se
usa el método de descomposición en fracciones continuas hasta obtener una reducida que cumpla
las especificaciones. Aplicamos el algoritmo de Euclides.
4
221
100
1005
121
R1 =
1
121
21
1
100
16
4
21
5
1
16
1
3
5
0
1
= 0, 25
4
E 1 = i − R1 = 0 , 2 1 9 9 0 0 4 9 − 0 , 2 5 = 0 , 0 3 0 0 9 9 5 1 > 1 0 −4
R2 =
1
1
4 +
1
=
1
= 0, 20
5
E 2 = i − R 2 = 0 , 2 1 9 9 0 0 4 9 − 0 , 2 0 = 0 , 0 1 9 9 0 0 4 9 > 1 0 −4
R3 =
1
4 +
1
1
1+
1
=
1
4 +
1
2
=
)
2
= 0, 2
9
E 3 = i − R 3 = 0 , 2 1 9 9 0 0 4 9 − 0 , 2 2 2 2 2 2 2 = 0 , 0 0 2 3 2 1 7 3 > 1 0 −4
5
1
R4 =
1
4+
=
1
1
1+
1
4+
1
1+
4
=
1
1+
9
= 0, 21951219
41
4
5
E 4 = i − R 4 = 0, 2 1 9 9 0 0 4 9 − 0, 2 1 9 5 1 2 1 9 = 0, 0 0 0 3 8 8 3 > 1 0 −4
R5 =
1
4+
=
1
11
= 0, 22
50
1
1+
1+
1
4+
1
1
E 5 = i − R5 = 0 , 2 1 9 9 0 0 4 9 − 0 , 2 2 = 0 , 0 0 0 0 9 9 5 1 < 1 0 −4
La fracción que cumple la especificación es 11/50
Elegimos un piñón de 11 dientes y un engrane de 50 dientes.
22. Un par de engranes helicoidales paralelos tiene un ángulo de presión normal de 14,5º, 6 de paso
diametral y un ángulo de hélice de 45º. El piñón tiene 15 dientes y el engrane 24. Calcúlese el paso
circular transversal y normal, el paso diametral normal, los diámetros de paso y los números
equivalentes de dientes.
p ct =
π
P
=
t
d
π
6
Pd N =
Pdt
6
=
= 8, 48
co sψ
cos 45º
d
=
p iñ ó n
N
p iñ ó n
t
d
P
d en g ran e =
=
N eng ra ne
P
p cN = p ct c o s ψ = 0 , 5 2 3 6 ⋅ c o s 4 5 = 0 , 3 7 0 p u lg .
= 0 , 5 2 3 6 p u lg .
t
d
N
15
= 2 , 5 p u lg .
6
=
e
p iñ ó n
=
N
p iñ ó n
3
cos ψ
N een g r a n e =
N
=
en g ra n e
3
cos ψ
15
= 4 2 , 4 d ie n t e s .
cos3 45º
=
24
= 6 7 , 8 d ie n te s.
cos3 45º
24
= 4 p u lg .
6
23. Un par de engranes helicoidales paralelos se cortan con un ángulo de presión normal de 20º y un
ángulo de hélice de 30º. Tienen un paso diametral de 16 y, respectivamente, 16 y 40 dientes. Se debe
encontrar el ángulo de presión transversal, el paso circular normal, el paso axial y los radios de paso de
los engranes rectos equivalentes.
cosψ =
tan φn
tan φt
→
φt = arctgt
tan 20º
= 22,8º
cos 30º
p ct =
π
Pdt
=
π
16
= 0 , 1 9 6 p u lg .
p cx =
p ct
0 ,1 9 6
=
= 0 , 3 4 p u lg .
ta n ψ
cos 30 º
p cN = p ct c o s ψ = 0 , 1 9 6 ⋅ c o s 3 0 = 0 , 1 7 p u lg .
d1 =
N1
16
=
= 1 p u lg →
Pdt
16
r1 = 0 , 5 p u lg .
r1
0, 5
=
= 0 , 6 7 p u lg .
cos 2 ψ
cos2 30 º
N2
40
=
=
= 2 , 5 p u lg → r2 = 1, 2 5 p u lg
t
Pd
16
re1 =
d2
re2 =
r2
1, 2 5
=
= 1, 6 7 p u lg .
2
cos ψ
cos2 30 º
24. Se va a cortar un par de engranes helicoidales para ejes paralelos cuya distancia entre los centros
debe ser de aproximadamente 3,5 pulg. para obtener una razón de velocidades de 1,8
aproximadamente. Los engranes se deben cortar con una fresa maestra con un ángulo de presión
estándar de 20º cuyo paso diametral es de 8. Con un ángulo de hélice de 30º, determínense los valores
transversales del paso diametral y del circular, así como los números de dientes, los diámetros de paso
y la distancia entre los centros.
d1
d1
2
d2
+
d2
2
= 3 , 5 p u lg .
d 1 = 2 , 5 p u lg .
d 2 = 4 , 5 p u lg .
= 1, 8
Pdt = Pdn ⋅ cosψ = 8 ⋅ cos(30) = 6, 93
p ct =
N 1 = Pd ⋅ d 1 = 6 , 9 3 ⋅ 2 , 5 = 1 7 d ie n te s .
π
P
t
d
=
π
6,93
= 0 , 4 5 3 p u lg .
N 2 = Pd ⋅ d 2 = 6 , 9 3 ⋅ 4 , 5 = 3 1 d ie n te s .
25. Un piñón helicoidal de 16 dientes va a girar a 1800 rpm e impulsara a un engrane helicoidal sobre
un eje paralelo a 400 rpm. Los centros de los ejes deben tener una separación de 11pulg. Utilizando un
ángulo de hélice de 23º y un ángulo de presión de 20º, determínense valores para los números de
dientes, diámetros de paso , paso circular y diametral normales.
n1
N2
=
n2
N1
d1
d2
2
d1
+
d2
→
2
= 4, 5
N
2
=
1800
1 6 = 7 2 d ie n te s.
400
= 1 1 p u lg .
d 1 = 4 p u lg a d a s . → d 2 = 1 8 p u lg a d a s .
Pdt =
N1
16
=
= 4 dientes / pu lg.
d1
4
pct =
π
=
t
d
P
π
4
= 0, 78 pu lg.
Pdt
4
P =
=
= 4,34
cosψ cos 23
n
d
p cN = p ct c o s ψ = 0 , 7 8 ⋅ c o s 2 3 = 0 , 7 2 3 p u lg .
26. Proponer un tren de engranajes con una relación de transmisión exacta de valor i = 7 6 9
2360
Considerar que Imax = 5 y el número de dientes estará incluido en el rango 18 ≤ Z ≤ 200.
Los trenes de engranajes epicicloidales son una buena herramienta para conseguir relaciones
de transmisión irreducibles donde alguno de sus términos presenta un valor primo superior al
número máximo de dientes admisibles. El número 769 es un número primo superior a los 200
dientes permitidos. Se propone como solución un tren epicicloidal simple.
El tren epicicloidal simple tiene la primera rueda fija:
ωa = 0
µa =
µ=
ω s − ωb
0 − ωb
µ=
 Z   Z 
ωs
= 1 − µa = 1 −  − 1  ⋅  − 3 
ωb
 Z2   Z4 
Z 2 ⋅ Z 4 − Z1 ⋅ Z 3
769
=
Z2 ⋅ Z4
2360
Factorizamos 2360 para buscar dos números que cumplan los requisitos.
Z 2 ⋅ Z 4 = 2360
⇒
Z 2 ⋅ Z 4 = 59 ⋅ 40
Luego:
59 ⋅ 40 − Z1 ⋅ Z 3 769
=
59 ⋅ 40
2360
Se cumple la condición:
Z1 43
=
<5
Z 2 59
Z 3 37
=
<5
Z 4 40
⇒ 1591 = Z1 ⋅ Z3 = 43 ⋅ 37
2360 = 23 ⋅ 5 ⋅ 59
27. En una planta industrial se utilizan tres reductores de velocidad:
Un reductor consistente en un tren epicicloidal simple con una relación de transmisión
µ = 1 300
Un reductor consistente en un tren compuesto ordinario recurrente con una relación de
transmisión µ = 1
30
En el primer montaje dibujar un tren epicicloidal simple recurrente y especificar el número de dientes
de cada rueda, Justificar por qué se prefiere el tren epicicloidal a uno ordinario
En el segundo montaje se sabe que relación entre los dos montajes es de m2 /m1 = 1,25. Calcular el
número de dientes de cada rueda.
Nota. Debido a condiciones de diseño:
La relación de transmisión de cada engrane individual no puede sobrepasar el valor μ=7 y el
número máximo de dientes por rueda de Zmax = 100 y el mínimo de ZMin = 14.
El tren epicicloidal permite con un número limitado de ruedas dentadas unas relaciones de
transmisiones muy elevadas, que para equipararlas con los trenes ordinarios harían falta muchos
engranajes.
El tren epicicloidal simple tiene la primera rueda fija:
ωa = 0
µa =
ω s − ωb
ω
1
299
µ = s = 1 − µa ⇒ µa = 1 −
=
ωb
0 − ωb
300 300
µa =
299
23 ⋅13
= 2
300 2 ⋅ 3 ⋅ 52
El tren epicicloidal simple recurrente.
Para que se cumpla la condición de recurrencia se debe cumplir:
r1 + r2 = r3 + r4 →
m1
m
m
Z +Z
( Z1 + Z 2 ) = 2 ( Z3 + Z 4 ) → 2 = 1 2
2
2
m1 Z3 + Z 4
Sustituyendo: Existen dos posibles soluciones con la siguiente relación de módulos.
m2 26 + 30 56
=
=
m1 23 + 20 43
→
m2 26 + 24 25
=
=
m1 23 + 25 24
Para obtener una relación de engrane de 1/30 se puede utilizar la siguiente relación parcial:
µ=
1 1 1 Z1 Z3
= ⋅ =
⋅
30 6 5 Z 2 Z 4
con lo que:
Z 2 = 6 ⋅ Z1
y Z 4 = 5 ⋅ Z3
Conociendo la relación entre módulos se puede establecer la siguiente relación:
m2 Z1 + Z 2 Z1 + 6 ⋅ Z1 7 ⋅ Z1
7
=
=
=
= 1, 25 ⇒ Z3 =
⋅ Z1
7,5
m1 Z3 + Z 4 Z 3 + 5 ⋅ Z 3 6 ⋅ Z3
Z 2 = 6 ⋅ Z1
Z3 =
7
⋅ Z1
7,5
Z4 =
35
⋅ Z1
7,5
Hay que buscar un valor de Z1 que cumpla las especificaciones.
La única solución posible es:
Z1 = 15
Z 2 = 90
Z3 = 14
Z 4 = 70
28. En una aplicación industrial se desea conseguir, con ruedas cilíndrico rectas, una relación de
transmisión µ = 2 2 1
1005
Se pide:
•
Calcular el número de dientes de cada rueda para obtener la relación de transmisión dada con
un tren de engranajes ordinario. Especificar la disposición de las ruedas y la condición que debe
cumplir para que el tren sea recurrente. Utilizar ruedas con un número de dientes mayor que
14.
•
Obtener la relación de transmisión dada con un tren de engranajes epicicloidal de balancín y
especificar el número de dientes de cada rueda.
•
Calcular la relación de transmisión necesaria para obtener, con una pareja de ruedas de las
disponibles, un error absoluto menor de 0,0001 respecto a la dada. (Emplear una precisión de
8 decimales)
Nota. Debido a condiciones de diseño:
La relación de transmisión de cada engrane individual no puede sobrepasar el valor μ=5 y el
número máximo de dientes por rueda de Zmax = 80 y el mínimo de ZMin = 10.
Factorizamos el numerador y el denominador.
µ=
Z1 = 17
221 13 ⋅17
Z Z
=
= 1⋅ 3
1005 3 ⋅ 5 ⋅ 67 Z 2 Z 4
Z 2 = 67
Z3 = 13
Z 4 = 15
Para cumplir la condición de ruedas mayores que 14 multiplicamos la última etapa por 2.
Z1 = 17
Z 2 = 67
r1 + r2 = r3 + r4 →
Z3 = 26
Z 4 = 30
m1
m
m
Z +Z
( Z1 + Z 2 ) = 2 ( Z3 + Z 4 ) → 2 = 1 2
2
2
m1 Z3 + Z 4
Con lo que la relación de módulos es:
m2 17 + 67 84
=
=
= 1,5
m1 26 + 30 56
Para obtener la relación de transmisión para un tren epicicloidal utilizamos la fórmula de Willis.
µa =
µa =
ω s − ωb
ω e − ωb
1
1−
1
µ
para ωs = 0 µ a =
=
0 − ωb
ωe − ωb
→
1
µa
= 1−
ω0
= 1− µ
ωb
1
−221
13 ⋅17
=
→ µa = 4 2
1005 784
2 ⋅7
1−
221
Una solución sería:
Z1 = 13
Z 2 = 28
Z3 = 17
Z 4 = 28
Z3 = 17
Z 4 = 49
Y otra solución sería:
Z1 = 13
Z 2 = 16
Ver ejemplo 21.
29. Determinar la velocidad de la rueda del tren epicicloidal de la figura. Sabiendo que la rueda 1 gira
a 2500rpm y que: Z1=38, Z2=45, Z3=41, Z4=38, Z5=39, y Z6=40
ω1 ⋅ z1 = −ω2 ⋅ z2
ω2 = −ω1
z1
38
1900
= −2500 ⋅ = −
z2
45
9
ω2 =ωb
ω −ω
ω
ω
z ⋅z
41⋅39
=−0,05197
µa = 6 b → µa =1− 6 → 6 =1− 3 5 =1−
0−ωb
z4 ⋅ z6
38⋅ 40
ωb
ωb
ω6 =10,97 rpm
30. El piñón 1 del tren epicicloidal de la figura gira a +6 vueltas. Se pide hallar las vueltas que gira la
rueda 13 y la relación de transmisión que proporciona el tren. Z1=30, Z2=40, Z3=90, Z4=80, Z5=30,
Z6=200, Z7=50, Z8=50, Z9=30, Z10=30, Z11=60, Z12=90, Z13=30
z1
30
45
= −6 ⋅ = −
z2
40
10
ω1 ⋅ z1 = −ω2 ⋅ z2
ω2 = ω3 = −ω1
ω2 ⋅ z2 = −ω4 ⋅ z4
ω4 = ω6 = −ω2
z2
9
=−
z4
4
ω5 ⋅ z5 = −ω3 ⋅ z3
ω5 = ωb = −ω3
z3 27
=
z5 2
µa =
z6 ⋅ z9
z7 ⋅ z11
µa =
ω11 − ωb z6 ⋅ z9
=
ω6 − ωb z7 ⋅ z11
ω11 − 27 2
− 9 − 27
4
2
ω13 ⋅ z13 = −ω12 ⋅ z12 ω13 = −108
ω
108
= −36
µ = 13 = −
6
ω1
=−
200 ⋅ 30
ω11 = ω12 = 36
50 ⋅ 60