SEGUNDA PRACTICA MATEMÁTICA III

UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO - INGENIERÍA INDUSTRIAL
PRÁCTICA DE MATEMÁTICA III
INDICACIONES: Resolver la siguientes ejercicios y problemas, pues serán base para la
evaluación de la segunda unidad el día sábado 07 de diciembre del 2019.
1.
Usar la Regla de los Trapecios y la Regla de Simpson para aproximar el valor de la
integral definida para un valor dado de n. redondear la respuesta hasta 4 decimales y
comparar los resultados con el valor exacto de la integral definida y el error de aproximación.
 /6
3

a) (4  x )dx,
2
n4
b)
1

 /4
x x  1dx, n  4
2
0
c)

x tanxdx
0
Problema:
El costo de la vida es la cantidad requerida para comprar cierta lista fija de bienes y servicios
en un año. Se supone que está sujeto a un crecimiento exponencial. La tasa de crecimiento se
conoce como la tasa de inflación.
2.
dp
 kp
dt
El costo de una botella de 2 litros de una bebida era de 85 pesos hace dos años, pero
ahora cuesta 95 pesos. Si esta tasa de crecimiento continuara, ¿cuál será el tiempo
aproximado para que costara $150?
Solución. Para contestar el problema anterior se resuelve el problema con valores iniciales:
P(0) = 85
P(2) = 95
solución general
3.
dp
 kp Aplicando el método de variables separables tenemos la
dt
p  ce kt
, con esta información, hallar c y k. luego el tiempo solicitado.
Un termómetro marca la temperatura de un sistema igual a 80°c. se mide también la
temperatura del medio la cual es de 20°c. el sistema se empieza a enfriar y 3 minutos después
se encuentra que el termómetro marca 75°c. ¿Qué temperatura tendrá a los 6 minutos? (Usar
la ley de enfriamiento de Newton)
4.
Uno de los primeros intentos de modelar el crecimiento demográfico humano lo hizo
Malthus, economista ingles en 1798.la idea del modelo maltusiano es la hipótesis de que la
tasa de crecimiento de la población de un país crece en forma proporcional a la población
total, P(t) en cualquier momento t. es decir mientras más personas hayan en el momento t,
habrá más en el futuro. En términos matemáticos, esta hipótesis se puede expresar como:
dp
 kp donde k es una constante de proporcionalidad. A pesar de que este sencillo modelo
dt
no tiene en cuenta muchos factores (por ejemplo la inmigración y emigración) que pueden
influir en las poblaciones humanas, haciéndolas crecer o disminuir, predijo con mucha
exactitud la población de EE.UU. desde 1790 hasta 1860. La E.D aún se utiliza con frecuencia
para modelar poblaciones de bacterias y de animales pequeños durante ciertos intervalos.
PROBLEMA
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PRÁCTICA DE MATEMÁTICA III
5.
Un cultivo tiene una cantidad inicial N0 de bacterias, cuando t = 1h. La cantidad
medida de bacterias es 3/2 N . Si la razón de reproducción es proporcional a la cantidad de
bacterias presentes, calcule el tiempo necesario para triplicar la cantidad inicial de los
microorganismos.
6.
A mediados de 1984, la población mundial era de 4,76 miles de millones y aumentaba
entonces con una razón de 220 millares de personas diarias. Supóngase que las tasas de
natalidad y mortalidad son constantes. Encontrar: i) La tasa de crecimiento anual (k). ii) El
tiempo que tardará la población en duplicarse. iii) La población mundial en el año 2000. iv) El
tiempo en que la población llegará a 50 mil millones.
7. Verifique por sustitución que cada función es solución de la ecuación diferencial que indica:
y1  c1  c2 e  x  c3 e 5 x
a. y' ' '4 y' '5 y'  0
b. y' '4 y'4 y  0;
8.
y1  e 2 x ,
y' '  9 y;
y1  e 3 x ,
y 2  e 3 x
y 2  xe 2 x
Resuelva las siguientes ecuaciones
a.
c.
x
dy
x2  4
 2
dx y  2 y  2
y (3)  3
b.
dy
 xy  x  2 y  2
dx
d.
x2
y
dy
x2 1
 2
dx 3 y  1
dy
 x( y 2  1)
dx
9. Resuelva cada uno de los siguientes ejercicios (Ec. homogéneas):
a.
dy y y 2
 
; y(1)  1
dx x x 2
b. ( x  2 y)dx  (2 x  y)dy  0
c.
10.
dy 6 x 2  5 xy  2 y 2

dx 6 x 2  8 xy  y 2
Escriba cada ecuación en la forma Mdx  Ndy  0 , pruebe la exactitud, resuelva aquellas
que son exactas , caso contrario convertirlo a exacta usando factor integrador y resolver.
a.
11.
dy x  y

dx x  y
b
y' 
x
x y
dy x  y cos x

senx  y
c. dx
Resuelva la ecuación diferencial usando el criterio deseado:
a. y
2
dx
 xy  2 y 2  1
dy
b. ydx  (2 x 2 y  x)dy  0
dy 2 y

 x 2 sen3x
dx x
( x  x 2  y 2 )dx  ( y  x 2  y 2 )dy  0
Chimbote 01 de diciembre del 2019
Dr. Walter Julio Columna Rafael