UNIVERSIDAD NACIONAL DE TUMBES FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS ESCUELA DE ECONOMÍA 2016 UNIVERSIDAD NACIONAL DE TUMBES FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS ESCUELA DE ECONOMIA TEMA: CÓMO MEDIR LA ELASTICIDAD: MODELO LOG-LINEAL ASIGNATURA: MODELOS ESTADISTICOS LINEALES DOCENTE: JUAN BLAS PÉREZ INTEGRANTE: MILUXCA PEREZ LOJAS CICLO: V 1 Modelos Estadísticos Lineales UNIVERSIDAD NACIONAL DE TUMBES FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS ESCUELA DE ECONOMÍA PRESENTACION El presente trabajo sobre cómo medir la elasticidad: modelo log-lineal correspondiente a la asignatura de Modelos Estadísticos Lineales, dirigido por el Mg. Juan Blas Pérez está realizado por los alumnos de la Escuela de Economía pertenecientes al V ciclo. Tiene por finalidad exponer temas como el modelo Log – Lineal al mundo económico, un área de vital importancia en nuestro desarrollo como profesionales, para esto el trabajo se expone de una forma sencilla y clara para la mejor comprensión y aprendizaje de la información brindada. Esperamos el presente sea del agrado del docente y una herramienta de información a la cual acudir a futuro. 2 Modelos Estadísticos Lineales UNIVERSIDAD NACIONAL DE TUMBES FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS ESCUELA DE ECONOMÍA OBJETIVOS Objetivos Generales: El objetivo de este trabajo encargado es complementar la formación en Modelos Estadísticos Lineales para los alumnos, con metodologías utilizadas en el análisis empírico de temas de economía, donde los datos utilizados corresponden a individuos y/o familias Los nuevos conocimientos adquiridos permitirán al alumno realizar trabajos empíricos de investigación con aplicaciones en las áreas de la economía antes mencionadas, aplicar las metodologías de estimación utilizadas en trabajos profesionales y realizar lecturas críticas de trabajos de investigación que utilizan técnicas de la Econometría Objetivos Específicos: Al término del curso los alumnos deberán ser capaces de: Tomar decisiones informadas sobre las herramientas econométricas apropiadas para analizar problemas empíricos particulares, reconociendo las ventajas y limitaciones de su uso determinando si los datos observados se ajustan a un modelo Log-Lineal. Utilizar software especializado para estimar modelos econométricos con datos microeconómicos (de individuos o familias). Una vez verificada la bondad del modelo debemos elegir, del conjunto de modelos que genera la aplicación de la técnica, aquel que ofrezca una interpretación parsimoniosa de la relación entre variables. Para ello, como tendremos ocasión de apreciar, podremos optar entre distintas estrategias. Por último, y una vez seleccionado el modelo, si las pruebas que nos permiten comprobar dicho ajuste dan positivo, podremos estimar los parámetros. Con ello, estudiaremos la contribución de cada parámetro en el ajuste del modelo. 3 Modelos Estadísticos Lineales UNIVERSIDAD NACIONAL DE TUMBES FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS ESCUELA DE ECONOMÍA METODOLOGÍA La metodología de trabajo a utilizar en el curso se basa en la investigación grupal. 4 Se discutirá la teoría del modelo Log-Lineal y aplicaciones para cada uno de los puntos a discutir, tomando como base el texto de Econometría del autor Damador N. Gujarati Modelos Estadísticos Lineales UNIVERSIDAD NACIONAL DE TUMBES FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS ESCUELA DE ECONOMÍA CAPITULO I 1.1 MODELO LOG-LINEAL Los modelos Log-lineales, también denominados “modelos lineales logarítmicos”, se presentan como una técnica que analiza la relación que se produce entre un conjunto de variables cualitativas (siempre más de dos, pues de ser éste el caso el análisis de tablas de contingencia, como ya vimos, es el más idóneo). En consecuencia, los modelos log-lineales se presentan como la técnica más apropiada en aquellos casos en los que nos interese valorar la relación que se produce entre las variables de una tabla de contingencia de múltiples entradas. Nuevamente, y tal y como ya sucediera en el análisis de tablas de contingencia, la determinación y grado de independencia y/o dependencia se apoya en la relación que mantienen las frecuencias observadas o reales y las frecuencias esperadas o teóricas. En el caso concreto de los modelos log-lineales, la frecuencia esperada se obtiene transformando en logaritmos naturales. Permite examinar las relaciones existentes entre variables categóricas que forman una tabla de contingencia es el análisis log-lineal. El modelo especifica la forma en que las frecuencias esperadas dependen de los niveles de las variables categóricas para cada celda, así como de sus interacciones. En el caso de una tabla de contingencia bivariada, bajo la hipótesis de independencia, la frecuencia relativa esperada para cada celda (i,j) es el producto de las frecuencias observadas marginales, es decir aij = fi.f.j. A partir de esta expresión se obtiene el modelo log-lineal de independencia, presentado en (8), que sólo involucra los efectos principales de cada variable. ln aij = u + u1(i) + u2(j) (8) Por otra parte, el modelo saturado, que incluye todas las interacciones posibles es ln aij = u + u1(i) + u2(j) + u12(ij) (9) Este modelo tiene en total np parámetros, con los que se consigue construir toda la tabla. Cuando las variables tienen muchas categorías el número de parámetros es grande y su interpretación puede ser difícil. En tablas de mayor dimensión se presentan diferentes tipos de asociación entre las variables, como señala Agresti (2002). Para el caso de una tabla a tres vías, las tres variables son mutuamente independientes cuando la 5 Modelos Estadísticos Lineales UNIVERSIDAD NACIONAL DE TUMBES FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS ESCUELA DE ECONOMÍA frecuencia esperada es aijk = fi..f.j.f..k, para todo i, j, k. El modelo log-lineal correspondiente es ln aijk = u + u1(i) + u2(j) + u3(k) (10) En el segundo tipo de asociación, la variable 2 es conjuntamente independiente con las variables 1 y 3 si aijk = fi.kf.j., para todo i, j, k. El modelo log-lineal está dado por: ln aijk = u + u1(i) + u2(j) + u3(k) + u13(ik) (11) Finalmente, las variables 1 y 2 son condicionalmente independientes dada la variable 3 si aij|k = fi.|kf.j|k, para todo i, j, k, o en forma equivalente aijk = f i.kf.jk f..k El modelo log-lineal para este caso, presentado en (12), indica que hay relación entre las variables uno y tres y entre dos y tres, pero no entre las variables uno y dos. ln aijk = u + u1(i) + u2(j) + u3(k) + u13(ik) + u23(jk) (12) Los modelos log-lineales se pueden validar utilizando la estadística χ2 o la estadística de razón de verosimilitud. Una vez se ha validado el modelo, es posible interpretar los parámetros y hacer inferencia sobre estos. La interpretación de los parámetros algunas veces es difícil, especialmente cuando el número de categorías es grande, con lo cual habrá muchos parámetros de interacción; también cuando hay muchas variables y las interacciones son de orden alto. Por esta razón, puede ser útil buscar herramientas complementarias para el análisis de datos categóricos que faciliten la interpretación de los parámetros. 6 Modelos Estadísticos Lineales UNIVERSIDAD NACIONAL DE TUMBES FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS ESCUELA DE ECONOMÍA 1.2 LA ELASTICIDAD La variación porcentual de una variable X en relación con una variable Y. Si la variación porcentual de la variable dependiente Y es mayor que la variable independiente X, se dice que la relación es elástica, ya que la variable dependiente Y varía en mayor cantidad de la variable X. Por el contrario, si la variación porcentual de la variable X es mayor que Y, la relación es inelástica. La elasticidad es uno de los conceptos más importantes utilizados en la teoría económica. Es empleada en el estudio de la demanda y los diferentes tipos de bienes que existen en la teoría del consumidor, la incidencia de la fiscalidad indirecta, los conceptos marginales en la teoría de la empresa, y de la distribución de la riqueza. La elasticidad es también de importancia en el análisis de la distribución del bienestar, en particular, el excedente del consumidor y el excedente del productor. La elasticidad demanda-precio o simplemente elasticidad de la demanda, mide la variación relativa o porcentual que experimenta la cantidad demandada como consecuencia de una variación en el precio de un uno por ciento, en otras palabras mide la intensidad con la que responden los compradores a una variación en el precio. Un concepto muy importante en economía es el concepto de elasticidad, que es la variación porcentual que experimenta una variable (Y) en respuesta a la variación porcentual de otra (X). En la mayoría de las especificaciones, la elasticidad no es constante, dependiendo de los valores concretos de la variable explicativas (X) y la variable respuesta (Y). Las transformaciones que se apliquen a las variables afectan a la expresión que adopta la elasticidad. 7 Modelos Estadísticos Lineales UNIVERSIDAD NACIONAL DE TUMBES FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS ESCUELA DE ECONOMÍA El modelo considerado es simplemente: Y = β0 + β1X + ε, donde E(εjX) = 0 ) E(Y jX) = β0 + β1X. Interpretación de β1 : β1 = ∆E(Y |X ) / ∆X Si X varía 1 unidad, Y varía en promedio β1 unidades de Y. Elasticidad de E(Y | X) con respecto a X: E [(∆Y /Y) | X] / (∆X/X) = β1( X / E(Y |X) ) Nótese que la elasticidad depende de los valores concretos de X y de Y, y por lo tanto no es constante. Es habitual aproximar elasticidades para individuos concretos (usando sus valores observados de X, Y) como β1(X/ Y) En otras ocasiones, se evalúan las elasticidades para los valores medios de X eY β1( E (X) / E (Y)) En algunas situaciones queremos modelizar que variaciones en términos porcentuales en X producen variaciones constantes en términos absolutos en Y. El modelo considerado sería: Y = β0 + β1 lnX + ε, donde E(ε|X) = 0 E(Y |X) = β0 + β1 lnX. Interpretación de β1 : β1 = ( ∆E(Y | X) /∆ lnX =( ∆E(Y |X) )/ (∆X/X ) (Nótese que si h (X) = lnX, como h 0 (X) = dh (X) / dX = 1 / X, entonces diferenciando tenemos que dh (X) = d lnX = dX /X ). β1 es una semielasticidad. 8 Modelos Estadísticos Lineales UNIVERSIDAD NACIONAL DE TUMBES FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS ESCUELA DE ECONOMÍA La elasticidad de E(Y |X) con respecto a X es igual a β1 E(Y |X) , que depende por tanto del valor concreto que tome E(Y |X). 9 Modelos Estadísticos Lineales UNIVERSIDAD NACIONAL DE TUMBES FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS ESCUELA DE ECONOMÍA 10 Modelos Estadísticos Lineales UNIVERSIDAD NACIONAL DE TUMBES FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS ESCUELA DE ECONOMÍA CÓMO MEDIR LA ELASTICIDAD: MODELO LOG-LINEAL Considere el siguiente modelo, conocido como modelo de regresión exponencial: (6.5.1) que puede expresarse también como: (6.5.2) Dónde: Ln= logaritmo natural (es decir, logaritmo en base e y donde e = 2.718). Si escribimos (6.5.2) como: Donde α = ln β1, este modelo es lineal en los parámetros α y β2, lineal en los logaritmos de las variables Y y X, y se estima por regresión MCO. Debido a esta linealidad, tales modelos se denominan modelos log-log, doble-log o loglineales. Véase el apéndice 6A.3, donde se explican las propiedades de los logaritmos. Si se cumplen los supuestos del modelo clásico de regresión lineal, los parámetros de (6.5.3) se estiman por el método MCO, considerando que Donde = LnYi y = Ln Xi. Los estimadores de MCO obtenidos, serán los mejores estimadores lineales insesgados de respectivamente. 11 y y , , Modelos Estadísticos Lineales UNIVERSIDAD NACIONAL DE TUMBES FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS ESCUELA DE ECONOMÍA MODELO DE ELASTICIDAD CONSTANTE Una característica atractiva del modelo log-log, que lo ha hecho muy popular en el trabajo empírico, es que el coeficiente de la pendiente mide la elasticidad de Y respecto de X, es decir, el cambio porcentual en Y ante un pequeño cambio porcentual en X.Así, si Y representa la cantidad demandada de un bien y X su precio unitario, mide la elasticidad-precio de la demanda, parámetro de gran interés en economía. Si la relación entre la cantidad demandada y el precio es como se muestra en la fi gura 6.3a, la transformación doble-log de la fi gura 6.3b dará entonces la estimación de la elasticidad-precio (− ). Pueden observarse dos características especiales del modelo log-lineal: el modelo supone que el coeficiente de la elasticidad entre Y y X, permanece constante a través del tiempo (¿por qué?), de aquí su otro nombre, modelo de elasticidad constante. En otras palabras, como lo indica la fi gura 6.3b, el cambio en ln Y por unidad de cambio en ln X (es decir, la elasticidad, ) permanece igual sin importar en cuál ln X se mida la elasticidad. Otro aspecto del modelo es que, a pesar de que α ˆ y βˆ son estimadores insesgados de , 12 (el parámetro del modelo original) al estimarse como Modelos Estadísticos Lineales y UNIVERSIDAD NACIONAL DE TUMBES FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS ESCUELA DE ECONOMÍA = antilog ( ) es, en sí, un estimador sesgado. En la mayor parte de los problemas prácticos, sin embargo, el término del intercepto es de importancia secundaria y no es necesario preocuparse por obtener este estimador insesgado. 13 Modelos Estadísticos Lineales UNIVERSIDAD NACIONAL DE TUMBES FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS ESCUELA DE ECONOMÍA CAPITULO II EJEMPLO 1 Gasto en bienes duraderos en relación con el gasto de consumo personal total La tabla 6.3 presenta datos sobre el gasto de consumo personal total (GCPERT), el gasto en bienes duraderos (GASBD), el gasto en bienes perecederos (GASBPER) y el gasto en servicios (GASERV), todos medidos en miles de millones de dólares de 2000.13 Suponga que deseamos calcular la elasticidad del gasto en bienes duraderos respecto del gasto de consumo personal total. Al graficar el logaritmo del gasto en bienes duraderos contra el logaritmo del gasto de consumo personal total, observará que la relación entre las dos variables es lineal. Por tanto, el modelo del doble logaritmo puede resultar adecuado. TABLA 6.3 Gasto personal total y categorías (miles de millones de dólares de 2000 ajustados por la inflación; datos trimestrales con tasas anuales ajustadas por estacionalidad) AÑO O GASE GASB GASB TRIMES RV PER D TRE 2003-I 4 971.4 2 143.3 072.5 2003-II 4 1 2 161.3 009.8 084.2 2003-III 4 1 2 190.7 049.6 123.0 20034 1 2 IV 220.2 051.4 132.5 2004-I 4 1 2 268.2 067.0 155.3 2004-II 4 1 2 308.4 071.4 164.3 2004-III 4 1 2 341.5 093.9 184.0 20044 1 2213.1 IV 377.4 110.3 2005-I 4 1 2 395.3 116.8 241.5 14 GCPE RT 7 184.9 7 249.3 7 352.9 7 394.3 7 479.8 7 534.4 7 607.1 7 687.1 7 739.4 Modelos Estadísticos Lineales UNIVERSIDAD NACIONAL DE TUMBES FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS ESCUELA DE ECONOMÍA 2005-II 4 420.0 2005-III 4 454.5 20054 IV 476.7 2006-I 4 494.5 2006-II 4 535.4 2006-III 4 566.6 1 150.8 1 175.9 1 137.9 1 190.5 1 190.3 1 208.8 2 268.4 2 287.6 2 309.6 2 342.8 2 351.1 2 360.1 7 819.8 7 895.3 7 910.2 8 003.8 8 055.0 8 111.2 Fuentes: Departamento de Comercio, Oficina de Análisis Económico, Economic Report of the President, 2007, tabla B-17, p. 347 15 Modelos Estadísticos Lineales UNIVERSIDAD NACIONAL DE TUMBES FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS ESCUELA DE ECONOMÍA GASERV = gasto en servicios (miles de millones de dólares de 2000). GASBD = gasto en bienes duraderos (miles de millones de dólares de 2000). GASBPER = gasto en bienes perecederos (miles de millones de dólares de 2000). GCPERT = gasto de consumo personal total (miles de millones de dólares de 2000). Los resultados de la regresión son: donde * indica que el valor p es en extremo pequeño. Como muestran estos resultados, la elasticidad de GASBD respecto de GCPERT es de casi 1.63, lo que indica que si el gasto personal total aumenta 1%, en promedio, el gasto en bienes duraderos se incrementará casi 1.63%. En consecuencia, el gasto en bienes duraderos es muy sensible a los cambios en el gasto de consumo personal. Por esta razón, los productores de bienes duraderos siguen muy de cerca los cambios en el ingreso personal y el gasto de consumo personal. 16 Modelos Estadísticos Lineales UNIVERSIDAD NACIONAL DE TUMBES FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS ESCUELA DE ECONOMÍA EJEMPLO 2 Para desarrollar este modelo, se recogieron datos de los precios por kilogramo de maracuyá en la plaza de Abastos de Bogotá en los meses Junio, Julio, Agosto, Septiembre, Octubre, Noviembre y Diciembre de 2012. La oferta y la demanda en la plaza de abastos de Bogotá, fue suministrada por la Red de Información y Comunicación Estratégica del Sector Agropecuario – AGRONET Colombia. Periodo 2012 Maracu yá Junio Julio Agosto Septiem bre Octubre Noviemb re Diciembr e Precio $/Kg $ 1.650 $ 2.483 $ 1.517 $ 2.000 $ 2.200 $ 2.033 $ 2.188 Cantidades Ofertadas (Kg) 15.448 Cantidades demandada s (Kg) 14.045 14.880 19.901 10.009 16.671 16.671 17.515 17.839 19.040 10.037 10.420 18.907 11.342 Siguiente a esto, obtenemos los nuevos valores al multiplicarlos por Ln 17 Ln Precio $/Kg 7,408530 567 7,817222 786 7,324489 979 7,600902 46 7,696212 639 7,617267 814 7,690743 164 Ln Cant. Ln Cant. Ofertada Demandada 9,645234824 9,55002174 9,607773308 9,898525261 9,211239967 9,721425962 9,721425962 9,770812936 9,789142351 9,854297308 9,214033544Modelos 9,251482315 Estadísticos Lineales 9,847287503 9,336267929 UNIVERSIDAD NACIONAL DE TUMBES FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS ESCUELA DE ECONOMÍA Siendo Y las cantidades ofertadas, tenemos. ß1 ß0 Y X 9,645234 1.65 824 0 X^2 2.722.5 00 yi 0,050 3 yi^2 0,00 25 9,607773 2.48 308 3 9,211239 1.51 967 7 6.165.2 89 2.301.2 89 0,00 02 0,14 72 9,721425 2.00 962 0 9,789142 2.20 351 0 9,214033 2.03 544 3 4.000.0 00 4.840.0 00 4.133.0 89 9,847287 2.18 503 8 0,000374 459 8,842246 721 4.787.3 44 0,012 8 0,383 7 0,126 5 0,194 2 0,380 9 0,252 3 0,06 37 yixi 360,142 9 472,857 1 493,142 9 10,1429 189,857 1 22,8571 18,104 9 6,0573 177,857 1 44,877 7 189,23 04 1,2827 36,866 3 8,7070 xi^2 129.702,87 76 µ 0,18 223.593,87 76 243.189,87 76 -0,16 102,8776 0,13 36.045,734 7 522,4490 0,12 31.633,163 3 -0,19 -0,38 0,18 Siendo Y las cantidades demandadas Y X 9,550021 1.65 74 0 X^2 2.722.5 00 9,898525 261 9,721425 962 2.48 3 1.51 7 6.165.2 89 2.301.2 89 9,770812 936 9,854297 308 9,251482 2.00 0 2.20 0 2.03 4.000.0 00 4.840.0 00 4.133.0 18 0,01 60 0,03 77 0,14 51 xi yi 0,209 0 0,139 5 0,037 6 0,011 8 0,095 3 - yi^2 0,043 7 0,019 5 0,001 4 0,000 1 0,009 1 0,257 xi 360,142 9 472,857 1 493,142 9 -10,1429 189,857 1 22,8571 yixi 75,268 0 xi^2 129.702,8 776 µ 0,0899 65,967 6 18,537 6 223.593,8 776 243.189,8 776 0,1265 0,1196 18,089 7 - 102,8776 0,1796 36.045,73 47 522,4490 0,1882 Modelos Estadísticos Lineales 0,3111 -0,3520 UNIVERSIDAD NACIONAL DE TUMBES FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS ESCUELA DE ECONOMÍA 315 3 9,336267 2.18 929 8 ß1 89 0,507 5 4.787.3 44 0,422 7 6 0,178 7 177,857 1 11,600 8 75,188 9 31.633,16 33 0,00013 6815 9,483998 08 ß0 Procedemos a observar que: La oferta de la maracuyá puede describirse como inelástica según lo índica su respectivo coeficiente de elasticidad dado por ß1 = 0,000374459. A causa de que la producción de la misma no es susceptible a un aumento de precios en base a sus cantidades ofertadas La demanda de maracuyá puede describirse como inelástica según lo índica su respectivo coeficiente de elasticidad dado por ß1 = 0,000136815. A una variación en los precios, las cantidades demandadas suelen tener variables exógenas al precio, como las cantidades producidas en cosecha, más el precio no es un indicador de que esta fruta tradicional sea susceptible respecto a su demanda Para finalizar encontraremos el precio y cantidades de equilibrio, igualando las funciones. LnQs=βo+ β 1∗ln Precio LnQd=βo+ β 1∗ln Precio Desarrollamos la igualdad para encontrar el precio 19 Modelos Estadísticos Lineales -0,3253 UNIVERSIDAD NACIONAL DE TUMBES FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS ESCUELA DE ECONOMÍA βo+ β 1∗ln Precio=β o+ β 1∗ln Precio 9.48399808+0.000136815∗LnX=8.842246721+0.000374459∗LnX e (¿¿ 0.000374459)∗x ¿ e 9.48399808 +(( e0.000136815 )∗x)=e8.842246721 + ¿ Donde x ( Precio)=2619 Ahora reemplazando en la ecuación de oferta Q=8.842246721+0.000374459∗2619 20 Q=9822 Kg Modelos Estadísticos Lineales UNIVERSIDAD NACIONAL DE TUMBES FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS ESCUELA DE ECONOMÍA BIBLIOGRAFIA 21 Introduccion a la Econometria., Jeffrey M. Wooldridge 4ta Edicion Econometria., Damandor N. Gujarati., Dawn C. Porter Modelos Estadísticos Lineales
