Elasticidad: Modelo Log-Lineal - Universidad Nacional de Tumbes

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TUMBES
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS
ESCUELA DE ECONOMÍA
2016
UNIVERSIDAD NACIONAL DE
TUMBES
FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS
ESCUELA DE ECONOMIA
TEMA:
CÓMO MEDIR LA ELASTICIDAD: MODELO LOG-LINEAL
ASIGNATURA:
MODELOS ESTADISTICOS
LINEALES
DOCENTE:
JUAN BLAS PÉREZ
INTEGRANTE:
MILUXCA PEREZ LOJAS
CICLO:
V
1
Modelos Estadísticos Lineales
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FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS
ESCUELA DE ECONOMÍA
PRESENTACION
El presente trabajo sobre cómo medir la elasticidad: modelo log-lineal
correspondiente a la asignatura de Modelos Estadísticos Lineales, dirigido por
el Mg. Juan Blas Pérez está realizado por los alumnos de la Escuela de
Economía pertenecientes al V ciclo.
Tiene por finalidad exponer temas como el modelo Log – Lineal al mundo
económico, un área de vital importancia en nuestro desarrollo como
profesionales, para esto el trabajo se expone de una forma sencilla y clara
para la mejor comprensión y aprendizaje de la información brindada.
Esperamos el presente sea del agrado del docente y una herramienta de
información a la cual acudir a futuro.
2
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ESCUELA DE ECONOMÍA
OBJETIVOS
Objetivos Generales:
El objetivo de este trabajo encargado es complementar la formación en
Modelos Estadísticos Lineales para los alumnos, con metodologías
utilizadas en el análisis empírico de temas de economía, donde los datos
utilizados corresponden a individuos y/o familias Los nuevos
conocimientos adquiridos permitirán al alumno realizar trabajos
empíricos de investigación con aplicaciones en las áreas de la economía
antes mencionadas, aplicar las metodologías de estimación utilizadas en
trabajos profesionales y realizar lecturas críticas de trabajos de
investigación
que
utilizan
técnicas
de
la
Econometría
Objetivos Específicos:
Al término del curso los alumnos deberán ser capaces de:

Tomar decisiones informadas sobre las herramientas econométricas
apropiadas para
analizar problemas empíricos
particulares,
reconociendo las ventajas y limitaciones de su uso determinando si los
datos observados se ajustan a un modelo Log-Lineal.

Utilizar software especializado para estimar modelos econométricos con
datos microeconómicos (de individuos o familias).

Una vez verificada la bondad del modelo debemos elegir, del conjunto
de modelos que genera la aplicación de la técnica, aquel que ofrezca
una interpretación parsimoniosa de la relación entre variables. Para ello,
como tendremos ocasión de apreciar, podremos optar entre distintas
estrategias.

Por último, y una vez seleccionado el modelo, si las pruebas que nos
permiten comprobar dicho ajuste dan positivo, podremos estimar los
parámetros. Con ello, estudiaremos la contribución de cada parámetro
en el ajuste del modelo.
3
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METODOLOGÍA
La metodología de trabajo a utilizar en el curso se basa en la investigación
grupal.

4
Se discutirá la teoría del modelo Log-Lineal y aplicaciones para cada
uno de los puntos a discutir, tomando como base el texto de
Econometría del autor Damador N. Gujarati
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CAPITULO I
1.1 MODELO LOG-LINEAL
Los modelos Log-lineales, también denominados “modelos lineales
logarítmicos”, se presentan como una técnica que analiza la relación que se
produce entre un conjunto de variables cualitativas (siempre más de dos, pues
de ser éste el caso el análisis de tablas de contingencia, como ya vimos, es el
más idóneo). En consecuencia, los modelos log-lineales se presentan como la
técnica más apropiada en aquellos casos en los que nos interese valorar la
relación que se produce entre las variables de una tabla de contingencia de
múltiples entradas. Nuevamente, y tal y como ya sucediera en el análisis de
tablas de contingencia, la determinación y grado de independencia y/o
dependencia se apoya en la relación que mantienen las frecuencias
observadas o reales y las frecuencias esperadas o teóricas. En el caso
concreto de los modelos log-lineales, la frecuencia esperada se obtiene
transformando en logaritmos naturales.
Permite examinar las relaciones existentes entre variables categóricas que
forman una tabla de contingencia es el análisis log-lineal. El modelo especifica
la forma en que las frecuencias esperadas dependen de los niveles de las
variables categóricas para cada celda, así como de sus interacciones.
En el caso de una tabla de contingencia bivariada, bajo la hipótesis de
independencia, la frecuencia relativa esperada para cada celda (i,j) es el
producto de las frecuencias observadas marginales, es decir aij = fi.f.j. A partir
de esta expresión se obtiene el modelo log-lineal de independencia, presentado
en (8), que sólo involucra los efectos principales de cada variable.
ln aij = u + u1(i) + u2(j)
(8)
Por otra parte, el modelo saturado, que incluye todas las interacciones posibles
es
ln aij = u + u1(i) + u2(j) + u12(ij)
(9)
Este modelo tiene en total np parámetros, con los que se consigue construir
toda la tabla. Cuando las variables tienen muchas categorías el número de
parámetros es grande y su interpretación puede ser difícil.
En tablas de mayor dimensión se presentan diferentes tipos de asociación
entre las variables, como señala Agresti (2002). Para el caso de una tabla a
tres vías, las tres variables son mutuamente independientes cuando la
5
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frecuencia esperada es aijk = fi..f.j.f..k, para todo i, j, k. El modelo log-lineal
correspondiente es
ln aijk = u + u1(i) + u2(j) + u3(k)
(10)
En el segundo tipo de asociación, la variable 2 es conjuntamente independiente
con las variables 1 y 3 si aijk = fi.kf.j., para todo i, j, k. El modelo log-lineal está
dado por:
ln aijk = u + u1(i) + u2(j) + u3(k) + u13(ik) (11)
Finalmente, las variables 1 y 2 son condicionalmente independientes dada la
variable 3 si aij|k = fi.|kf.j|k, para todo i, j, k, o en forma equivalente
aijk = f i.kf.jk
f..k
El modelo log-lineal para este caso, presentado en (12), indica que hay relación
entre las variables uno y tres y entre dos y tres, pero no entre las variables uno
y dos.
ln aijk = u + u1(i) + u2(j) + u3(k) + u13(ik) + u23(jk)
(12)
Los modelos log-lineales se pueden validar utilizando la estadística χ2 o la
estadística de razón de verosimilitud. Una vez se ha validado el modelo, es
posible interpretar los parámetros y hacer inferencia sobre estos.
La interpretación de los parámetros algunas veces es difícil, especialmente
cuando el número de categorías es grande, con lo cual habrá muchos
parámetros de interacción; también cuando hay muchas variables y las
interacciones son de orden alto. Por esta razón, puede ser útil buscar
herramientas complementarias para el análisis de datos categóricos que
faciliten la interpretación de los parámetros.
6
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1.2 LA ELASTICIDAD
La variación porcentual de una variable X en relación con una variable Y. Si la
variación porcentual de la variable dependiente Y es mayor que la variable
independiente X, se dice que la relación es elástica, ya que la variable
dependiente Y varía en mayor cantidad de la variable X. Por el contrario, si la
variación porcentual de la variable X es mayor que Y, la relación es inelástica.
La elasticidad es uno de los conceptos más importantes utilizados en la teoría
económica. Es empleada en el estudio de la demanda y los diferentes tipos de
bienes que existen en la teoría del consumidor, la incidencia de la fiscalidad
indirecta, los conceptos marginales en la teoría de la empresa, y de la
distribución de la riqueza. La elasticidad es también de importancia en el
análisis de la distribución del bienestar, en particular, el excedente del
consumidor y el excedente del productor.
La elasticidad demanda-precio o simplemente elasticidad de la demanda, mide
la variación relativa o porcentual que experimenta la cantidad demandada
como consecuencia de una variación en el precio de un uno por ciento, en
otras palabras mide la intensidad con la que responden los compradores a una
variación en el precio.
Un concepto muy importante en economía es el concepto de elasticidad, que
es la variación porcentual que experimenta una variable (Y) en respuesta a la
variación porcentual de otra (X).
En la mayoría de las especificaciones, la elasticidad no es constante,
dependiendo de los valores concretos de la variable explicativas (X) y la
variable respuesta (Y).
Las transformaciones que se apliquen a las variables afectan a la expresión
que adopta la elasticidad.
7
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El modelo considerado es simplemente:
Y = β0 + β1X + ε,
donde E(εjX) = 0 ) E(Y jX) = β0 + β1X.
Interpretación de β1 :
β1 = ∆E(Y |X ) / ∆X
Si X varía 1 unidad, Y varía en promedio β1 unidades de Y.
Elasticidad de E(Y | X) con respecto a X:
E [(∆Y /Y) | X] / (∆X/X) = β1( X / E(Y |X) )
Nótese que la elasticidad depende de los valores concretos de X y de Y, y por
lo tanto no es constante.
Es habitual aproximar elasticidades para individuos concretos (usando sus
valores observados de X, Y) como
β1(X/ Y)
En otras ocasiones, se evalúan las elasticidades para los valores medios de X
eY
β1( E (X) / E (Y))
En algunas situaciones queremos modelizar que variaciones en términos
porcentuales en X producen variaciones constantes en términos absolutos en
Y.
El modelo considerado sería:
Y = β0 + β1 lnX + ε,
donde E(ε|X) = 0  E(Y |X) = β0 + β1 lnX.
Interpretación de β1 :
β1 = ( ∆E(Y | X) /∆ lnX =( ∆E(Y |X) )/ (∆X/X )
(Nótese que si h (X) = lnX, como h 0 (X) = dh (X) / dX = 1 / X, entonces
diferenciando tenemos que dh (X) = d lnX = dX /X ). β1 es una semielasticidad.
8
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La elasticidad de E(Y |X) con respecto a X es igual a β1 E(Y |X) , que depende
por tanto del valor concreto que tome E(Y |X).
9
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CÓMO MEDIR LA ELASTICIDAD: MODELO LOG-LINEAL
Considere el siguiente modelo, conocido como modelo de regresión
exponencial:
(6.5.1)
que puede expresarse también como:
(6.5.2)
Dónde: Ln= logaritmo natural (es decir, logaritmo en base e y donde e = 2.718).
Si escribimos (6.5.2) como:
Donde α = ln β1, este modelo es lineal en los parámetros α y β2, lineal en los
logaritmos de las variables Y y X, y se estima por regresión MCO. Debido a
esta linealidad, tales modelos se denominan modelos log-log, doble-log o loglineales. Véase el apéndice 6A.3, donde se explican las propiedades de los
logaritmos.
Si se cumplen los supuestos del modelo clásico de regresión lineal, los
parámetros de (6.5.3) se estiman por el método MCO, considerando que
Donde
= LnYi y
= Ln Xi. Los estimadores de MCO obtenidos,
serán los mejores estimadores lineales insesgados de
respectivamente.
11
y
y
,
,
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MODELO DE ELASTICIDAD CONSTANTE
Una característica atractiva del modelo log-log, que lo ha hecho muy popular en
el trabajo empírico, es que el coeficiente de la pendiente
mide la
elasticidad de Y respecto de X, es decir, el cambio porcentual en Y ante un
pequeño cambio porcentual en X.Así, si Y representa la cantidad demandada
de un bien y X su precio unitario,
mide la elasticidad-precio de la demanda,
parámetro de gran interés en economía. Si la relación entre la cantidad
demandada y el precio es como se muestra en la fi gura 6.3a, la transformación
doble-log de la fi gura 6.3b dará entonces la estimación de la elasticidad-precio
(− ).
Pueden observarse dos características especiales del modelo log-lineal: el
modelo supone que el coeficiente de la elasticidad entre Y y X,
permanece
constante a través del tiempo (¿por qué?), de aquí su otro nombre, modelo de
elasticidad constante. En otras palabras, como lo indica la fi gura 6.3b, el
cambio en ln Y por unidad de cambio en ln X (es decir, la elasticidad, )
permanece igual sin importar en cuál ln X se mida la elasticidad. Otro aspecto
del modelo es que, a pesar de que α ˆ y βˆ son estimadores insesgados de
,
12
(el parámetro del modelo original) al estimarse como
Modelos Estadísticos Lineales
y
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= antilog ( ) es, en sí, un estimador sesgado. En la mayor parte de los
problemas prácticos, sin embargo, el término del intercepto es de importancia
secundaria y no es necesario preocuparse por obtener este estimador
insesgado.
13
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CAPITULO II
EJEMPLO 1
Gasto en bienes duraderos en relación con el gasto de consumo personal total
La tabla 6.3 presenta datos sobre el gasto de consumo personal total
(GCPERT), el gasto en bienes duraderos (GASBD), el gasto en bienes
perecederos (GASBPER) y el gasto en servicios (GASERV), todos medidos en
miles de millones de dólares de 2000.13
Suponga que deseamos calcular la elasticidad del gasto en bienes duraderos
respecto del gasto de consumo personal total. Al graficar el logaritmo del gasto
en bienes duraderos contra el logaritmo del gasto de consumo personal total,
observará que la relación entre las dos variables es lineal. Por tanto, el modelo
del doble logaritmo puede resultar adecuado.
TABLA 6.3
Gasto personal total y categorías (miles de millones de dólares de 2000
ajustados por la inflación; datos trimestrales con tasas anuales ajustadas
por estacionalidad)
AÑO O GASE
GASB
GASB
TRIMES RV
PER
D
TRE
2003-I
4
971.4 2
143.3
072.5
2003-II 4
1
2
161.3 009.8 084.2
2003-III 4
1
2
190.7 049.6 123.0
20034
1
2
IV
220.2 051.4 132.5
2004-I
4
1
2
268.2 067.0 155.3
2004-II 4
1
2
308.4 071.4 164.3
2004-III 4
1
2
341.5 093.9 184.0
20044
1
2213.1
IV
377.4 110.3
2005-I
4
1
2
395.3 116.8 241.5
14
GCPE
RT
7
184.9
7
249.3
7
352.9
7
394.3
7
479.8
7
534.4
7
607.1
7
687.1
7
739.4
Modelos Estadísticos Lineales
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2005-II
4
420.0
2005-III 4
454.5
20054
IV
476.7
2006-I
4
494.5
2006-II 4
535.4
2006-III 4
566.6
1
150.8
1
175.9
1
137.9
1
190.5
1
190.3
1
208.8
2
268.4
2
287.6
2
309.6
2
342.8
2
351.1
2
360.1
7
819.8
7
895.3
7
910.2
8
003.8
8
055.0
8
111.2
Fuentes: Departamento de Comercio, Oficina de Análisis
Económico, Economic Report of the President, 2007, tabla B-17, p. 347
15
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GASERV = gasto en servicios (miles de millones de dólares de 2000).
GASBD = gasto en bienes duraderos (miles de millones de dólares de 2000).
GASBPER = gasto en bienes perecederos (miles de millones de dólares de
2000).
GCPERT = gasto de consumo personal total (miles de millones de dólares de
2000).
Los resultados de la regresión son:
donde * indica que el valor p es en extremo pequeño.
Como muestran estos resultados, la elasticidad de GASBD respecto de
GCPERT es de casi 1.63, lo que indica que si el gasto personal total aumenta
1%, en promedio, el gasto en bienes duraderos se incrementará casi 1.63%. En
consecuencia, el gasto en bienes duraderos es muy sensible a los cambios en
el gasto de consumo personal. Por esta razón, los productores de bienes
duraderos siguen muy de cerca los cambios en el ingreso personal y el gasto
de consumo personal.
16
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EJEMPLO 2
Para desarrollar este modelo, se recogieron datos de los precios por kilogramo
de maracuyá en la plaza de Abastos de Bogotá en los meses Junio, Julio,
Agosto, Septiembre, Octubre, Noviembre y Diciembre de 2012. La oferta y la
demanda en la plaza de abastos de Bogotá, fue suministrada por la Red de
Información y Comunicación Estratégica del Sector Agropecuario – AGRONET
Colombia.
Periodo 2012
Maracu
yá
Junio
Julio
Agosto
Septiem
bre
Octubre
Noviemb
re
Diciembr
e
Precio
$/Kg
$
1.650
$
2.483
$
1.517
$
2.000
$
2.200
$
2.033
$
2.188
Cantidades
Ofertadas
(Kg)
15.448
Cantidades
demandada
s (Kg)
14.045
14.880
19.901
10.009
16.671
16.671
17.515
17.839
19.040
10.037
10.420
18.907
11.342
Siguiente a esto, obtenemos los nuevos valores al multiplicarlos por Ln
17
Ln Precio
$/Kg
7,408530
567
7,817222
786
7,324489
979
7,600902
46
7,696212
639
7,617267
814
7,690743
164
Ln Cant.
Ln Cant.
Ofertada
Demandada
9,645234824
9,55002174
9,607773308
9,898525261
9,211239967
9,721425962
9,721425962
9,770812936
9,789142351
9,854297308
9,214033544Modelos
9,251482315
Estadísticos Lineales
9,847287503
9,336267929
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Siendo Y las cantidades ofertadas, tenemos.
ß1
ß0
Y
X
9,645234 1.65
824
0
X^2
2.722.5
00
yi
0,050
3
yi^2
0,00
25
9,607773 2.48
308
3
9,211239 1.51
967
7
6.165.2
89
2.301.2
89
0,00
02
0,14
72
9,721425 2.00
962
0
9,789142 2.20
351
0
9,214033 2.03
544
3
4.000.0
00
4.840.0
00
4.133.0
89
9,847287 2.18
503
8
0,000374
459
8,842246
721
4.787.3
44
0,012
8
0,383
7
0,126
5
0,194
2
0,380
9
0,252
3
0,06
37
yixi
360,142
9
472,857
1
493,142
9
10,1429
189,857
1
22,8571
18,104
9
6,0573
177,857
1
44,877
7
189,23
04
1,2827
36,866
3
8,7070
xi^2
129.702,87
76
µ
0,18
223.593,87
76
243.189,87
76
-0,16
102,8776
0,13
36.045,734
7
522,4490
0,12
31.633,163
3
-0,19
-0,38
0,18
Siendo Y las cantidades demandadas
Y
X
9,550021 1.65
74
0
X^2
2.722.5
00
9,898525
261
9,721425
962
2.48
3
1.51
7
6.165.2
89
2.301.2
89
9,770812
936
9,854297
308
9,251482
2.00
0
2.20
0
2.03
4.000.0
00
4.840.0
00
4.133.0
18
0,01
60
0,03
77
0,14
51
xi
yi
0,209
0
0,139
5
0,037
6
0,011
8
0,095
3
-
yi^2
0,043
7
0,019
5
0,001
4
0,000
1
0,009
1
0,257
xi
360,142
9
472,857
1
493,142
9
-10,1429
189,857
1
22,8571
yixi
75,268
0
xi^2
129.702,8
776
µ
0,0899
65,967
6
18,537
6
223.593,8
776
243.189,8
776
0,1265
0,1196
18,089
7
-
102,8776
0,1796
36.045,73
47
522,4490
0,1882
Modelos Estadísticos Lineales
0,3111
-0,3520
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FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS
ESCUELA DE ECONOMÍA
315
3
9,336267 2.18
929
8
ß1
89 0,507
5
4.787.3 44 0,422
7
6
0,178
7
177,857
1
11,600
8
75,188
9
31.633,16
33
0,00013
6815
9,483998
08
ß0
Procedemos a observar que:

La oferta de la maracuyá puede describirse como inelástica
según lo índica su respectivo coeficiente de elasticidad dado por
ß1 = 0,000374459. A causa de que la producción de la misma
no es susceptible a un aumento de precios en base a sus
cantidades ofertadas

La demanda de maracuyá puede describirse como inelástica
según lo índica su respectivo coeficiente de elasticidad dado por
ß1 = 0,000136815. A una variación en los precios, las
cantidades demandadas suelen tener variables exógenas al
precio, como las cantidades producidas en cosecha, más el
precio no es un indicador de que esta fruta tradicional sea
susceptible respecto a su demanda
Para finalizar encontraremos el precio y cantidades de equilibrio,
igualando las funciones.
LnQs=βo+ β 1∗ln Precio
LnQd=βo+ β 1∗ln Precio
Desarrollamos la igualdad para encontrar el precio
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Modelos Estadísticos Lineales
-0,3253
UNIVERSIDAD NACIONAL DE TUMBES
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS
ESCUELA DE ECONOMÍA
βo+ β 1∗ln Precio=β o+ β 1∗ln Precio
9.48399808+0.000136815∗LnX=8.842246721+0.000374459∗LnX
e
(¿¿ 0.000374459)∗x
¿
e 9.48399808 +(( e0.000136815 )∗x)=e8.842246721 + ¿
Donde x ( Precio)=2619
Ahora reemplazando en la ecuación de oferta
Q=8.842246721+0.000374459∗2619
20
Q=9822 Kg
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE TUMBES
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS
ESCUELA DE ECONOMÍA
BIBLIOGRAFIA
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Introduccion a la Econometria., Jeffrey M. Wooldridge 4ta Edicion
Econometria., Damandor N. Gujarati., Dawn C. Porter
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