UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA 8 sen (2t ) 02 16 sen ( ) sen (0) 0 Facultad de Ingeniería Mecánica Cálculo Vectorial Lista de Ejercicios 22 curva regular r (t ) (r1 (t ); r2 (t ); r3 (t )) Tal que r : ( a ; b) C es la imagen de r . Si P, Q, R : C funciones continúas sobre C entonces: 3 son P ( x; y; z) dx Q ( x; y; z) dy R ( x; y; z) dz P(r (t ), a r2 (t ), r3 (t )) r1 '(t ) Q (r1 (t ), r2 (t ), r3 (t )) r2 '(t ) R (r1 (t ), r2 (t ), r3 (t )) r3 '(t ) dt C y y 2 sen (t ) siendo t 0; 2 Solución: La curva C en forma paramétrica se define por: C : r (t ) (2cos (t ); 2 sen (t )) ; t 0; 2 Expresado en forma paramétrica x 2 cos (t ) dx 2 sen (t ) y 2 sen (t ) dy 2 cos (t ) Reemplazando en la integral 0 C 8cos3 (t ) (2cos (t ) dt 3 2 0 M x z y ( x; y; z ) ds C C M y z x ( x; y; z ) ds C CENTRO DE MASA: Es el punto M yz M ; y Mxz M ; z Mxy M TRABAJO: i) Consideremos una fuerza F : 2 2 Tal que F ( x ; y) P ( x ; y) i Q ( x ; y) j y C un arco de la curva en 2 y suponiendo que una partícula se mueve a lo largo de C . El Trabajo total realizado por la fuerza F a lo largo de la curva C es: W P ( x ; y) dx Q ( x ; y) dy C ii) Para un movimiento en el espacio con la fuerza está dado por un vector Consideremos una fuerza F : 2 2 Tal que 3 3 3 y dx x dy 2 8sen (t ) (2 sen (t ) dt 3 M x y z ( x; y; z ) ds x Ejemplo 1: Calcule la siguiente integral de línea 3 3 y dx x dy , donde C es el primer cuadrante de la y dx x dy 16 C 1 C MASA: M ( x; y; z ) ds MOMENTOS: 3 b circunferencia x 2cos (t ) 3 Aplicaciones de la Integral Curvilínea o de Línea: Se considera la función densidad ( x; y; z) en cada punto del alambre. APLICACIONES DE LAS INTEGRALES DE LÍNEA una 3 C Docente: Ms.C. Ronald Juven Reyes Narvaez Tema : Integrales de Línea Observación: Consideremos r : a ; b 3 definida por: y dx x dy 0 Por tanto: F ( x ; y ; z ) P ( x ; y ; z ) i Q ( x ; y ; z) j R ( x ; y ; z) k El trabajo total realizado está dado por: W P ( x ; y ; z ) dx Q ( x ; y ; z ) dy R ( x ; y ; z ) dz C cos 4 (t ) sen 4 (t ) dt Observación: C 16 2 cos 2 (t ) sen 2 (t ) cos 2 (t ) sen 2 (t ) dt 0 16 2 cos2 (t ) sen 2 (t ) dt 16 2 cos (2t ) dt 0 0 b W F (r (t )) d (r (t )) F (r (t )) r '(t ) dt a C Donde: F : Es un campo vectorial, que asocia a cada punto en el espacio con un vector. C : Es una curva a través del espacio. r (t ): Es una función vectorial que parametriza a la curva C , donde a t b . r '(t ): Es la derivada de r (t ), que representa el vector velocidad de una partícula cuya razón está dada por r (t ), mientras t se incrementa a razón constante. MISCELÁNEA 01. Determine la masa y el centro de gravedad de la masa del alambre de hélice que recorre la curva: r (t ) (cos (2t ); sen (2t ); 2t ), 0 t 2 . Si la densidad es ( x ; y ; z ) z 2 02. Determine la masa y el centro de gravedad de la masa del alambre de hélice que recorre la curva: r (t ) (e t cos (t ); e t sen (t ); e t ) , 0 t 2 . Si la 1 densidad es ( x ; y ; z ) 2 x y2 z2 03. Calcule el trabajo total realizado por desplazar una partícula en un campo de fuerza dado por F ( x ; y ; z) 3xy i 5z j 10 x k a lo largo de la curva x t 2 1; y 2t 2 ; z t desde t 1 a t 2 04. Determine el trabajo efectuado por la fuerza F ( x ; y) (6 y ; x) que se mueve una partícula sobre un arco de la cicloide: r (t ) (3t 3sen (t );3 3cos (t )) ; 0 t 2 Rpta: 18 05. Determine la masa del contorno de la elipse x2 y2 1 si su densidad lineal en cada punto 16 9 48 5 Rpta: 6 9 arcsen M ( x; y) es igual a y 7 4 06. Calcule el trabajo realizado cuando un objeto recorre el arco parabólico C : r (t ) t 2 i t 3 j , t 0; 2 sometido a través de una fuerza F ( x ; y) 2 xy i 6 y 2 j . 07. Determine el trabajo realizado al desplazarse una partícula en el campo de fuerza: F ( x ; y ; z) 3x 2 i (2 xz 1) j z k A lo largo de la curva r (t ) (2 t 2 ; t ;4 t 2 1) ; 0 t 1 08. Determine el trabajo realizado al desplazarse una partícula en el campo de fuerza: F ( x ; y ; z) ( y x 2 ) i ( z y 2 ) j ( x z 2 ) k A lo largo de la curva r (t ) ( t ; t 2 ; t 3 ), desde (0;0;0) hasta el punto (1;1;1) Rpta: 29/60 09. Calcule el trabajo realizado sobre un objeto que recorre la curva: r (t ) ( t ; t 2 ; t 3 ) con t 1;1 por la fuerza: Rpta: 10/7 F ( x ; y ; z ) xy i yz j xz k 10. Determine las coordenadas del centro de masa o gravedad del semi arco de la cicloide x 4(t sen (t )); y 4(1 cos (t )) , 0 t 16 16 Rpta: ( x; y ) ; 3 3 11. Se aplica una fuerza F ( x ; y) ( x y) i ( x y) j sobre una partícula trasladada desde el punto (0; 3) hasta el punto (2;0) en sentido anti horario a lo largo x2 y 2 1 4 9 a) Determine una curva paramétrica que representa el recorrido de la partícula, indicando el dominio para el parámetro. b) Grafique la curva paramétrica obtenida en (a) indicando el sentido del movimiento. c) Modele el trabajo realizado por la fuerza F para trasladar la partícula según el enunciado del problema, usando la parametrización de (a). d) Calcule el trabajo realizado por la fuerza F usando el modelo en (c). de la elipse 12. Se aplica una fuerza F ( x ; y) ( x y) i ( x y) j sobre una partícula en sentido anti horario a lo largo de la curva: 4 x2 9 y 2 16 x 54 y 61 0 a) Determine una curva paramétrica que representa el recorrido de la partícula, indicando el dominio para el parámetro. b) Grafique la curva paramétrica obtenida en (a) indicando el sentido del movimiento. c) Modele el trabajo realizado por la fuerza F para trasladar la partícula según el enunciado del problema, usando la parametrización de (a). d) Calcule el trabajo realizado por la fuerza F usando el modelo en (c).