Bachillerato Vespertino de Veracruz Nombre del alumno: Ortiz Martinez Alexis Alfredo Grado y Grupo: 5° Semestre “D” Materia: Matemáticas y Calculo Diferencial Maestro: Celia Ramírez Grijalva A Lunes 26 de Agosto del 2019 Introducción En el siguiente resumen trataremos de contextualizarte o trasladarte a la época en que el calculo fue descubierto y empleado en la vida cotidiana, incluyendo a los aportadores mas importantes con sus respectivos descubrimientos, tratando de que comprendas, querido lector, como es que se ha desarrollado y las distintas transformaciones que ha sufrido el concepto. También como era utilizado en tiempos prehispánicos y su relevancia en tiempos actuales. Pese a que no existe un Nobel de matemáticas, las ciencias matemáticas son conocidas como las más exactas y todavía hoy se utilizan enunciados formulados hace miles de años. Es por eso que revisamos algunos de los mayores logros y figuras de la historia de las matemáticas, desde la Grecia Clásica a la matemática moderna. ¿Qué es el Cálculo Diferencial? El Cálculo Diferencial es el lenguaje en el que algunas leyes de la naturaleza se expresan, por ejemplo: nos permite describir el movimiento y el cálculo de trayectorias en dinámica, nos ayuda a resolver problemas de áreas y volúmenes, a resolver problemas extrémales en campos como economía y matemática financiera. Se estudia el cálculo diferencial de funciones de variable real, por lo tanto, se parte de una estructura algebraica de los números reales, Se utilizan conceptos puramente métricos, se introduce el concepto de distancia para explicar que nos vamos acercando a algo, es decir, se define la estructura del espacio métrico que da paso al primer tema sucesiones de números reales continúa con sucesiones convergentes, límite funcional, continuidad y la derivada de una función hasta llegar a problemas de aplicación El Hombre y la Necesidad de Contar Desde los tiempos primitivos, el hombre ha sentido la necesidad de contar, ya fuera sus piezas de caza, sus utensilios o el número de miembros de su tribu. En este sentido cabe tal vez interpretar algunos vestigios antropológicos singulares, como las muescas ordenadas que aparecen incisas en algunas paredes rocosas o en los útiles prehistóricos. Desde el Neolítico, los sistemas de cómputo y numeración se fueron complicando y enriqueciendo progresivamente. Las grandes civilizaciones de la Antigüedad se distinguieron por un importante desarrollo de la aritmética y la geometría, que desembocó en la creación de sistemas de numeración sistemáticos. Así, por ejemplo: Los primeros signos numéricos egipcios conocidos datan de hace unos 7.000 años. Su método se basaba en agrupar los elementos de diez en diez, y asignar a cada grupo de diez un símbolo diferente. Los babilonios utilizaban, hacia el año 1700 a. C., un sistema de numeración de base 60, enormemente complicado por la cantidad de numerales que consideraba. La civilización grecolatina utilizó las letras del alfabeto como signos numerales. Su sistema de numeración contaba de diez en diez. En América, la cultura maya usaba desde el siglo IV d. C. un sistema de numeración de base 20, en el que, por primera vez en la historia, se utilizó la noción de número cero. En la India, se desarrolló un sistema de representación de números del que deriva el actual, que fue transmitido a Occidente a través de los árabes. Acontecimientos que permitieron la evolución Aportaciones Matemáticas de Arquímedes Las aportaciones de Arquímedes a las matemáticas fueron de gran categoría científica. Su método fue fundamentalmente geométrico, obteniendo conclusiones que no sólo representaron un gran avance sobre la geometría, sino que también llevan al cálculo integral. Fue el primer matemático conocido del que se tienen noticias que calculó el área limitada por un segmento parabólico en el intervalo [0,1], determinando la suma de las áreas de los rectángulos inscritos y circunscritos. Aportaciones Matemáticas de Eudoxo Eudoxo de Cnidos. Matemático y astrónomo griego. Fue el primero en plantear un modelo planetario basado en un modelo matemático, por lo que se le considera el padre de la astronomía matemática. Aportaciones Matemáticas de Rene Descartes Es el creador de la geometría analítica. Fue el primero en utilizar las coordenadas cartesianas. Expresó por primera vez la duda sobre la posibilidad de solución a la duplicación del cubo. Resolvió el problema de Pappus mediante geometría analítica. Introdujo el segmento unidad y la construcción de la cuarta proporcional. Extendió a las secciones cónicas el método de las normales. Mostró que una ecuación tiene tantas raíces positivas como cambios de signos hay en la serie de coeficientes y tantas negativas como repeticiones de signos. Dedujo que la ecuación de tercer grado se resuelve por radicales cuadráticos. Estableció que una ecuación algebraica puede tener tantas raíces como unidades tiene su potencia mayor. Distinguió curvas geométricas y mecánicas. Utilizo el símbolo infinito. Elaboro las razones por las que el mundo debe ser accesible a las matemáticas. Fue el primero en utilizar la notación exponencial, utilizada hoy día, aunque solo para exponentes naturales. Descubrió la formula C+V=A+2 aunque generalmente se le atribuye a Euler. Determino el radio y el centro de un círculo que debe cortar la curva en dos puntos consecutivos. Aportaciones Matemáticas de Pascal Triangulo de Pascal. En las matemáticas, el triángulo de Pascal es un arreglo triangular de los coeficientes binomiales en un triángulo Calculadora Pascalina Blaise Pascal inventó la calculadora mecánica en 1642. Él concibió la idea al tratar de ayudar a su padre que había sido asignado la tarea de reorganizar los ingresos fiscales de la provincia francesa de Haute-Normandie , la primera máquina aritmética de llamada, Calculadora de Pascal y Pascaline más tarde, se podía sumar y restar directamente y multiplicar y dividir por la repetición. Aportaciones Matemáticas de Fermat PEQUEÑO TEOREMA DE FERMAT El pequeño teorema de Fermat, referente a la divisibilidad de números, afirma que, si se eleva un número a la p-ésima potencia y al resultado se le resta a, lo que queda es divisible por p, siendo p un número primo. Su interés principal está en su aplicación al problema del primalidad y en criptografía. Por ejemplo, los números primos 5,13,41,61 son de la forma 4k+1, y por el teorema pueden ser escritos como suma de dos cuadrados de la siguiente manera: EL PRINCIPIO DE FERMAT A partir del principio de Fermat, se puede obtener la ley de la reflexión y de la refracción de un modo sencillo. El enunciado original del principio de Fermat decía "el camino entre dos puntos dados que recorre un rayo de la luz es tal que para ese camino el tiempo que tarda le luz en recorrerlo es mínimo" LEY DE LA REFLEXIÓN Un rayo incidente sobre una superficie reflectante, será reflejado con un ángulo igual al ángulo de incidencia. Ambos ángulos se miden con respecto a la normal a la superficie. El ángulo de incidencia es igual al ángulo de refracción. qi=qr LEY DE LA REFRACCIÓN Toda onda se refracta cuando en su propagación cambia de medio. cuando la luz se refracta, modifica su rapidez, y generalmente su dirección. En este fenómeno la frecuencia se ve alterada, pero si la longitud de la onda. La refracción de la luz cumple con la llamada LEY DE SNELL. nsenqi=nsenqr TEOREMA SOBRE LA SUMA DE DOS CUADRADOS En este teorema sobre la suma de dos cuadrados se afirma que todo número primo p, tal que p-1 es divisible entre 4, se puede escribir como suma de dos cuadrados. Fermat anunció su teorema en una carta que le envió a Marin Mersenne el 25 de diciembre de 1640, razón por la cual también se le conoce como el Teorema de navidad de Fermat. Aportaciones Matemáticas de Bernoulli Teorema de Bernoulli o Ley de los grandes números: si la probabilidad de algún evento dado es p y si se han hecho n intentos independientes con k éxitos, entonces k / n--p conforme --n. Este teorema fue el primer intento para deducir medidas estadísticas a partir de probabilidades individuales y Bernoulli tardó veinte años en perfeccionarlo. Para poder dar una idea de la importancia del resultado de Bernoulli y los problemas que lo rodean, habría que extenderse y exponer varios puntos. En 1690 sugirió el nombre “integral” a Leibniz y puntualizó que en un punto máximo o mínimo la derivada de la función no tiene que anularse; sino que puede tomar un “valor infinito” o asumir una forma indeterminada. En su primer artículo sobre series infinitas, en 1689, presentó la “desigualdad de Bernoulli”: (1 + x)n > 1 + nx aunque ésta puede encontrarse antes en la séptima lectura de Lectiones geometriae de Barrow, de 1670. Aportaciones Matemáticas de Gauss Su primer gran resultado fue la demostración de que se puede construir un heptadecágono (polígono regular de 17 lados) con regla y compás en el sentido clásico de este tipo de construcciones. A partir de este hecho demostró un resultado más general sobre construcciones con regla y compás que recuerdo aquí aunque en Gaussianos ya lo conocemos: Un polígono regular de lados es construible con regla y compás (en el sentido clásico de estas construcciones) si es igual al producto de una potencia de por un cierto número de primos de Fermat distintos, es decir: , siendo primos de Fermat distintos. Estando todavía en la universidad Gauss realizó otros importantes descubrimientos, entre los que destacan los siguientes: Inventó la aritmética modular (y II), hecho que sirvió para unificar la teoría de números. Demostró la ley de reciprocidad cuadrática, enunciada pero no demostrada completamente por Legendre unos años antes. Demostró que todo número entero positivo puede expresarse como suma de como mucho tres números triangulares (en su diario podía leerse ¡Eureka! num= ). Aportaciones de Newton y Leibniz Teorema generalizado del binomio (Newton) Isaac Newton generalizó la fórmula para tomar otros exponentes, considerando una serie infinita: Donde r puede ser cualquier número complejo (en particular, r puede ser cualquier número real, no necesariamente positivo ni entero), y los coeficientes están dados por: Teorema fundamental El teorema fundamental del cálculo establece que la diferenciación y la integración son operaciones inversas. Más precisamente, relaciona los valores de las antiderivadas para definir las integrales. Ya que es normalmente más fácil computar una antiderivada que aplicar la definición de una integral definida, el teorema fundamental del cálculo provee una forma práctica de computar integrales definidas. También puede ser interpretado como una declaración precisa del hecho de que la diferenciación es la inversa de la integración. El teorema fundamental del cálculo establece: Si una función f es continua en el intervalo [a, b] y si F es una función cuya derivada es f en el intervalo (a, b), entonces Así entonces, para cada x en el intervalo (a, b), es cierto que: Calculo Infinitesimal (Leibniz) La invención del cálculo infinitesimal es atribuida tanto a Leibniz como a Isaac Newton. De acuerdo con los cuadernos de Leibniz, el 11 de noviembre de 1675 tuvo lugar un acontecimiento fundamental, ese día empleó por primera vez el cálculo integral para encontrar el área bajo la curva de una función y=f(x). Leibniz introdujo varias notaciones usadas en la actualidad, tal como, por ejemplo, el signo integral ∫, que representa una S alargada, derivado del latín summa, y la letra d para referirse a las diferenciales, del latín differentia. Esta ingeniosa y sugerente notación para el cálculo, es probablemente su legado matemático más perdurable. Leibniz no publicó nada acerca de su Calculus hasta 1684. La regla del producto del cálculo diferencial es aún denominada regla de Leibniz para la derivación de un producto. Además, el teorema que dice cuándo y cómo diferenciar bajo el símbolo integral, se llama regla de Leibniz para la derivación de una integral. Descubrió que todo número puede expresarse mediante una serie formada por ceros y unos Se le debe la difusión del punto en la multiplicación Obtuvo series del arco tangente circular e hiperbólico mediante el cálculo de los sectores elípticos e hiperbólicos desarrollados en serie Trabajó los números complejos, pero no entendió nunca su naturaleza Ofreció varios argumentos para demostrar que los logaritmos de los números negativos no existen. Descubrió la relación inversa entre métodos de trazado de tangentes (diferenciación) y las cuadraturas (integración) Generalizó el concepto de diferencial al caso de exponente negativo y fraccionario Introdujo la ecuación de la catenaria Resolvió ecuaciones de primer orden Perfeccionó el simbolismo combinatorio con ayuda del sistema de índices Encontró una expresión en serie para Se le debe el primer criterio para establecer la convergencia de una serie Obtuvo la formula de los coeficientes multinomiales aunque no la publicó Se le debe la expresión de "cantidades trascendentes" Introdujo la notación actualmente utilizada en el cálculo diferencial e integral Usó números infinitamente grandes como si fueran números ordinarios Utilizó el término "imaginario" para los números complejos Estableció las primeras bases de la lógica simbólica Introdujo la combinatoria como disciplina matemática. Generalizó el teorema binomial y multinomial Primera referencia en Occidente de los determinantes. Demostró el "pequeño teorema de Fermat". Se le considera el iniciador del cálculo geométrico y de la topología. Calculo Diferencial en relación con hechos reales El cálculo en sí, tiene mucha importancia en la actualidad, principalmente porque la mayoría de las tecnologías que hoy utilizamos empezaron siendo simples ideas que con la ayuda del cálculo se fueron desarrollando hasta llegar a lo que hoy son, simplemente muchas de ellas necesitaron del cálculo por lo menos fundamental, para lograrse y llevar a cabo su funcionamiento. Además de las tecnologías, mucho de infraestructuras creadas por los hombres (edificios, carreteras, etc.) han sido a base del cálculo para analizar y resolver cálculos matemáticos para su elaboración. También puede decirse que el cálculo ayuda a analizar y comprender ecuaciones que involucran sus funciones y derivadas. Hoy en día es importante tener conocimientos básicos de este, ya que para muchos trabajos profesionales es sumamente necesario. Principales Aplicaciones Sus aplicaciones son difíciles de contar porque toda la matemática moderna, de una u otra forma, ha recibido su influencia; y las diferentes partes del andamiaje matemático interactúan constantemente con las ciencias naturales y la tecnología moderna. El cálculo diferencial, se puede aplicar en la economía, la administración, la física, etc. Los principales elementos que se utilizan el esta rama de las matemáticas, son las funciones, las derivadas, los sistemas de ecuaciones, la pendiente, entre otros; que estos a su vez en conjunto ayudan a realizar grandes cálculos en importantes empresas, o simples operaciones en la economía familiar. Las principales aplicaciones del cálculo diferencial son: El estudio de movimientos, aspectos de velocidad, y aceleración Análisis de ecuaciones con binomios. El cálculo de máximos y mínimos, por ejemplo: En una agencia de viajes, o en una empresa, saber cuál es la mayor ganancia que se puede obtener en cierto período, o con cierto producto, pero a la vez, igualmente calcular, si existen pérdidas en estos productos, o en un lapso de tiempo. Si se aplica de manera correcta el cálculo diferencial, se podrán obtener estos resultados, sin ningún problema. Conclusión. La importancia del Cálculo en el mundo actual es enorme, ya que la ciencia y la tecnología modernas sencillamente serían imposibles sin él. Las leyes de la naturaleza se expresan mediante ecuaciones que involucran funciones y sus derivadas, y el análisis de estas ecuaciones se realiza mediante las herramientas del cálculo. Por esa razón los cursos de esta disciplina aparecen en los planes de estudio de todas las carreras científicas y técnicas. El Cálculo constituye una de las grandes conquistas intelectuales de la humanidad. Una vez construido, la historia de la matemática ya no fue igual: la geometría, el álgebra y la aritmética, la trigonometría, se colocaron en una nueva perspectiva teórica. Detrás de cualquier invento, descubrimiento o nueva teoría, existe, indudablemente, la evolución de ideas que hacen posible su nacimiento. Es muy interesante prestar atención en la cantidad de conocimientos que se acumula, desarrolla y evoluciona a través de los años para dar lugar, en algún momento en particular y a través de alguna persona en especial, al nacimiento de una nueva idea, de una nueva teoría, que seguramente se va a convertir en un descubrimiento importante para el estado actual de la ciencia y, por lo tanto, merece el reconocimiento. El Cálculo cristaliza conceptos y métodos que la humanidad estuvo tratando de dominar por más de veinte siglos. Una larga lista de personas trabajó con los métodos “infinitesimales” pero hubo que esperar hasta el siglo XVII para tener la madurez social, científica y matemática que permitiría construir el Cálculo que utilizamos en nuestros días. Bibliografías: https://www.bbvaopenmind.com/ciencia/matematicas/grandes-momentos-lahistoria-las-matematicas/ http://www.calculo.jcbmat.com/id438.htm http://arquimedesiracusa.blogspot.com/2016/07/aportaciones-matematicas-dearquimedes.html https://www.ecured.cu/Eudoxio_de_Cnidos http://angelagp95.blogspot.com/2013/01/vida-de-descartes-y-susaportaciones.html http://aportespascal.blogspot.com/ https://sites.google.com/site/fermatpierre5/i-biografia/1-4-aportes-a-la-matematica http://www.mat.uson.mx/depto/publicaciones/apuntes/pdf/2-1-2-bernoulli.pdf https://www.gaussianos.com/carl-friedrich-gauss-el-principe-de-las-matematicas/ https://aportacionesalamatematica.wordpress.com/2016/08/30/aportaciones-denewton-a-las-matematicas/ https://sites.google.com/site/gottfriendwilheimleibniz/4-aportes-a-la-matematica http://calculo033.blogspot.com/2014/08/importancia-del-calculo-en-la-vida.html
