Simulación en Excel: Ecuación de Drake y Crecimiento Poblacional

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A. Ecuación de Drake y Cantidad de Civilizaciones
El sol es solo una, entre los 70 sextillones (7×1022 ) de estrellas en el universo observable. La Vía Láctea
es apenas una, de entre 500 mil millones de galaxias en el Universo. En tal inmensidad, allá afuera de la
nave tiene que existir variedad de vida.
La siguiente ecuación pionera, del radio astrónomo Frank Drake, 1961, estima el número de
civilizaciones en la Vía Láctea, que mediante señales de radio, pudieran tener capacidad de comunicación
con otras formas vivientes:
C = R * Fp * Ne * FL * Fi * Fc * L
donde:







R: ritmo anual de formación de estrellas "adecuadas" en la galaxia. (10 estrellas/año).
Fp: fracción de estrellas que tienen planetas en su órbita. (0.5 La mitad de esas estrellas cuentan con planetas).
Ne: número de planetas orbitando dentro de la ecosfera de la estrella, (las órbitas cuya distancia a la
estrella no sean tan próximas, como para ser demasiado calientes, ni tan lejanas como para ser
demasiado frías, para poder albergar vida). (2 Cada una de esas estrellas contiene 2 planetas).
FL: fracción de esos planetas dentro de la ecosfera, en los que la vida se ha desarrollado. (1 El 100% de
esos planetas podría desarrollar vida).
Fi: fracción de planetas en los que la vida inteligente se ha desarrollado. (0.01 Solo el 1% albergaría vida
inteligente)
Fc: fracción de planetas donde seres inteligentes pueden haber desarrollado una tecnología, e intentan
comunicación. (0.01 Solo el 1% de tal vida inteligente se puede comunicar).
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
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L: lapso, medido en años, durante el que una civilización inteligente y comunicativa sobrevive hasta
su extinción. (10.000 años Cada civilización duraría 10.000 años trasmitiendo señales).
Adicionalmente, el británico Stephen Hawking (1942-2018), en su libro, “El Gran Diseño”, sostiene que
nuestro universo es solo uno, !de entre 1050 universos posibles¡. Mediante la relación de Drake, A) Simule y
estime la cantidad de civilizaciones esperadas en la vía Láctea, para los valores indicados. B) mediante uso
de tabla de datos, varíe en C, el valor de las fracciones Fp y FL para diversos valores desde 0.5 a 1, con
incrementos de 0.1.
Solución
En la figura, las celdas B3 a B9 contienen los valores a incluir de la ecuación de Drake. El término adicional,
fracción de estrellas tipo Sol, intenta compensar el hecho de que no todas las estrellas tienen características
similares a las del sol. La ecuación es evaluada en la celda B12.
Cantidad de civilizaciones esperadas en la vía lactea.
Se puede formar una tabla de dos entradas. Para esto, disponer los valores de Fp en las celdas C12 a H12; y
los de FL en las celdas B12 a B18. Para simular la serie de valores Fp y FL declarar una función de tabla Excel
mediante los siguientes pasos:
1) Seleccionar el rango B12:H18. 2) En la barra de herramientas seleccionar: Datos / pulsar botón Análisis
Y si / Tabla de datos … El valor de entrada a la fila está en la celda B4; y el de la columna, en la celda B6.
Pulsar Aceptar. Ver Figura
Valores para la tabla de doble entrada
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La figura muestra los 36 valores al evaluar la fórmula de DrakeI.
B. Crecimiento Poblacional Exponencial
El crecimiento de una población de bacterias, puede ser modelado mediante un modelo matemático
exponencial. Si cada bacteria de la población se reproduce por fisión binaria, es decir, se divide en dos
bacterias en cada periodo, se desea simular la dinámica de aumento poblacional, durante los siguientes 24
periodos. La población inicial es de 10 bacterias. Asumir periodos de división de una hora.
Solución
Evolución de una población de bacterias
El modelo Pn = Pn-1*R, con P0 = 10, R = 2, y n = 1, 2,…,24, expresa la relación de crecimiento de la
población de bacterias. La celda B5 contiene el valor de población inicial, ingresado previamente en la celda
B1. La celda B6 contiene =B5*$B$2. Es decir, el producto entre la población inicial y la tasa de crecimiento.
Para cubrir 24 horas de dinámica bacterial, el contenido de la celda B6 se copia en el rango B7:B29.
La fórmula =B5*$B$2, está compuesta de una celda de referencia relativa, B5; y una celda de referencia
absoluta, $B$2. Al efectuar la copia de esta expresión sobre las celdas B7 hasta B29, irá cambiando la
referencia relativa, mientras que la referencia absoluta permanecerá fija. Por ejemplo, el contenido que se
copia en la celda B7, será: B6*$B$2. En la celda B8, será: B7*$B$2; en la celda B9 será: B8*$B$2, etc.
El resultado de la simulación muestra una infección que inicia con una población de 10 bacterias, luego de 24
horas, tiene más de 167 millones de microbios.
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C. Estimación de 𝛑
Un método para estimar el valor de la constante Pi, consiste en disponer un círculo de radio 1, con centro en
el origen, y en el primer cuadrante inscribir un cuadrado de lado 1. Luego, generar pares de valores aleatorios
uniformes entre 0 y 1, correspondientes a las coordenadas de puntos al azar (x,y), sobre el primer cuadrante.
Si la distancia del origen al punto (x,y) es menor a 1, se asume que el punto (x,y), cae al interior del círculo.
La proporción de puntos dentro del círculo es una estimación de la cuarta parte de Pi. Simular 50 mil puntos
(x,y), para estimar Pi.
Estimación del Valor de 𝜋
Luego de simular 50 mil puntos, el valor estimado de 𝜋 = 3,14632, aparece en la celda F8. Ver figura
8.8. Este resultado es solo un valor aleatorio. Para lograr mayor exactitud, se puede repetir la simulación unas
19 veces, y finalmente, promediar los 20 resultados independientes. Para obtener una mejor estimación, es
recomendable, previamente, determinar la longitud de la simulación, para el nivel de confianza y exactitud
deseada.
Problemas Propuestos
1. Se tienen tres urnas, A, B y C, en cada una de las cuales hay 4 fichas numeradas del 1 al 4. Si se extrae una ficha de
cada urna, ¿qué probabilidad hay de que la suma de los tres números sea un número par?
2. Tres estudiantes algo mentirosos no asistieron al examen final. Según su historia, venían en el mismo auto
y se les reventó un neumático. El profesor los aísla de inmediato, e interroga a cada uno por separado, sobre
cuál neumático se averió. Puesto que no lo esperaban, sorprendidos, cada alumno indica aleatoria e
independientemente su respuesta. Simule y estime la probabilidad de que los alumnos se salgan con su
engaño. Compare con la probabilidad teórica.
3. Una fábrica produce tres modelos de auto: A, B y C. Cada uno de los modelos puede tener motor de
gasolina o diesel. Sabemos que el 60% de los modelos son de tipo A y el 30% de tipo B. Son motores a diésel
el 30%, 20% y 25% de los autos A, B y C respectivamente. Se elige un auto al azar. Se piden las
probabilidades de los siguientes sucesos:
(a) El auto es del modelo A, sabiendo que tiene motor diesel.
(b) El auto tiene motor diesel, sabiendo que es del modelo C
4. En un juego de apuestas, el jugador apuesta Bs. 500 cada vez que lanza simultáneamente un dado y una
moneda. Gana Bs. 5 mil, si obtiene seis y cara. Determine la cantidad de lanzamientos que se debe simular,
para estimar la utilidad esperada del apostador, con 99% de confianza y error de Bs. 50. A) Simule el juego
(10). B) Estime la utilidad simulada esperada del jugador. (5). C) Calcule la utilidad esperada teórica del
juego. (5)
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5. El precio unitario de venta de un artículo es de Bs. 30, y su costo variable por unidad Bs.15. El costo fijo
de la empresa es de Bs. 50 mil. Se estima ventas de 5 mil unidades. Simule y muestre en una tabla el ingreso,
costo variable de ventas, el costo total y la utilidad, para volúmenes de venta entre 0 y 10 mil unidades, con
incrementos de 500 unidades.
6. Una prueba consiste de 10 preguntas, cuya respuesta es Verdadero o Falso. Un evaluado no sabe y
responde según el resultado del lanzamiento de una moneda. Simule y estime la probabilidad de que obtenga
5 preguntas correctas.
7. El número de enfermos que solicitan atención diaria de urgencia en un hospital un promedio de Poisson de
39.5 pacientes. El servicio colapsa, cuando el número de enfermos excede de 50. ¿Cuál es la probabilidad de
colapso del servicio de urgencias del hospital?
8. Tres máquinas A, B y C fabrican tornillos. En una hora, la máquina A fabrica 600 tornillos, la B 300 y la C
100. Las probabilidades de que las máquinas produzcan tornillos defectuosos son, respectivamente, de 0,01
para A, de 0,02 para B y de 0,03 para C. Al finalizar una hora se juntan todos los tornillos producidos y se
elige uno al azar: (a) ¿Cuál es la probabilidad de que no sea defectuoso? (b) ¿Cuál es la probabilidad de que
lo haya fabricado la máquina A, sabiendo que no es defectuoso?
9. El monto cancelado por hospitalización en una clínica, se distribuye lognormal con promedio 12.1, y
desviación 0.8. Simule y estime la probabilidad de que el monto cancelado por un paciente esté entre 500 y
750 mil bolívares.
10. La vida, en miles de millas, de un cierto tipo de control electrónico para locomotoras tiene una
distribución aproximadamente logarítmica normal con μ = 5.149 y σ = 0.737. Calcule el 50 percentil de la
vida de un control electrónico como éste.
11. El tiempo, en años, que requiere un equipo para recibir mantenimiento durante cualquier semana, es
aleatorio Gamma, con forma = 3 y escala = 2. Simule para estimar la probabilidad que durante cualquier
semana, el equipo pase más de 8 horas sin exigir mantenimiento. (0.2381)
12. El tiempo de vida de cierto tipo de marcapasos sigue una distribución exponencial con media de 16 años.
¿Cuál es la probabilidad de que, a una persona, a quien se ha implantado este marcapasos, requiera
reimplantar otro antes de 20 años? Si el marcapasos lleva funcionando correctamente 5 años en un paciente,
¿cuál es la probabilidad de que haya que cambiarlo antes de 25 años? Simule y determine.
13. En una fábrica de leche en polvo se producen tres tipos de leche, clasificados según su contenido en grasa
en tipo A, B y C. Diariamente se envasan los distintos tipos en las proporciones: A 20%; B, 50% y C 30%. Se
elige al azar 6 latas de la producción de un día. Simule y determine la probabilidad de elegir exactamente 2
latas de cada tipo. (0.08)
14. Una caja de tornillos contiene 8 grandes, 5 medianos y 3 pequeños. Otra caja contiene 6 tuercas que
ajustan con los tornillos grandes, 4 que ajustan con los medianos y 2 con los pequeños. Se elige
aleatoriamente un tornillo y una tuerca, ¿cuál es la probabilidad de que la tuerca ajuste con el tornillo? (0.3854).
15. Un participante en un concurso recibe 10 llaves, entre las que se encuentra una, que permite abrir una
puerta y ganarse una moto. El concursante tiene 3 oportunidades, de modo que cada vez debe escoger al azar
una de entre las 10; y probar si logra la apertura. Si la llave seleccionada no es la correcta, la misma es
devuelta y mezclada en el grupo de llaves para luego realizar el próximo intento, de entre sus tres
oportunidades. A) Para un nivel de confianza del 99% y un error de 1%, determine la longitud de simulación
requerida para estimar la probabilidad de que el participante gane el concurso. B) Simule y estime la
probabilidad de ganar el concurso. C) Probabilidad de ganar el concurso en el segundo intento.
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D) Teóricamente, ¿Cuál es la probabilidad de que el participante gane el concurso en el tercer intento?
16. Un examen consta de 10 preguntas. Cada pregunta ofrece 4 alternativas de selección. Simule para: A)
estimar la probabilidad de que un evaluado adivinador logre 6 preguntas buenas. B) ¿Cuál es la probabilidad
analítica del lograr 6 preguntas correctas? C) Estime la probabilidad de aprobar, si se exige un 50% de
desempeño.
17. Una máquina tragamonedas, ubicada en un casino, consta de tres cilindros giratorios. Cada cilindro tiene
cuatro figuras distribuidas equitativamente, que son: Limón, Estrella, Siete y Cerezas. Cuando el apostador
acciona la palanca de la máquina, los tres cilindros comienzan independientemente a girar, y luego de muchas
vueltas, se van deteniendo aleatoriamente, mostrando cada uno, una de las cuatro figuras. Si el jugador obtiene
tres figuras iguales, recibe Bs. 500, pero si las tres figuras corresponden a Sietes, entonces recibe Bs. 1500. En
caso contrario, pierde lo apostado. En cada apuesta, el jugador arriesga Bs. 50. A) Determine longitud de la
simulación para estimar, con una confianza del 95% y error Bs. 5, la utilidad esperada del jugador. Simule y
determine: B) Utilidad promedio del jugador. C) Compare el resultado obtenido mediante simulación con la
utilidad esperada teórica del jugador. D) Suponga que una persona dispone 100 Bolívares para jugar. Simule y
estime la cantidad de dinero que se espera acumule luego de 20 apuestas.
18. Usted tiene en su cuenta de correo 100 e-mails: 60 son spam y 40 no. De los 60 spam, 35 contienen la
palabra “Free”. De los 40, solo 3 contienen la palabra “Free”. Si un e-mail contiene la palabra “Free”, simule
para estimar: A) ¿Cuál es la probabilidad que sea un spam? B) ¿Qué tamaño de muestra se requiere para
estimar esa probabilidad con un nivel de confianza del 95% y un error de 1%. C) Calcule y compare con la
probabilidad teórica. (0.92)
19. Simule el lanzamiento de una moneda 5000 veces. Halle la distribución de probabilidad, contando las
veces que cae cara y sello. Muestre para n= 10, 100, 1000, 5000, 10 mil, 50 mil, que la probabilidad de ©
tiende a 0.5. Grafique el histograma de frecuencia.
20. Un juego realizado con ambas manos entre dos jugadores, denominado Papel, Roca y Tijeras, puede
simularse para estimar el porcentaje esperado de veces que gana un apostador. Ambos jugadores a un mismo
tiempo muestran con una mano su selección. Si ambas manos muestran lo mismo, hay empate. Si difieren,
Roca destruye Tijera, Tijera corta Papel o Papel envuelve Roca. Simule el juego entre dos contrincantes y
estime: A) Probabilidad de ganar para cada jugador. B) Cantidad de apuestas a simular para estimar la
probabilidad de ganar con error de 1% y un nivel de confianza del 95%. C) Halle un intervalo de confianza
del 95 % para el valor estimado en A).
21. Un juego de azar consiste en un mecanismo giratorio de ruleta que tiene 12 puestos numerados del 1 al
12. Al accionar una palanca, una pequeña bola comienza a girar sobre la ruleta y luego de un tiempo, se
posiciona sobre uno de los números, el cual es declarado ganador. En cada apuesta, siempre apuestan 3
personas. En cada turno, la persona solo escoge un puesto, aunque las personas pueden coincidir y apostar a
un mismo número. Asuma que la cantidad que apuesta cada persona en cada turno es una variable aleatoria
entera uniforme entre 50 y 100 bolívares, aunque solo se aceptan múltiplos de 5; y si su número resulta
ganador, recibe como premio, diez veces el valor apostado. A) Determine la longitud de la simulación para
estimar la probabilidad de que dos personas resulten ganadoras en una apuesta, con una confianza de 99% y
precisión del 0,5%. (5). B) Estime la probabilidad que en una apuesta haya exactamente 2 ganadores. (15).
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C) Obtenga la distribución de probabilidad del número de ganadores en cualquier apuesta. (10) D) Estime la
utilidad esperada del juego. (5). E) ¿Cuánto debería ser el premio para que el juego sea equilibrado?
22. Se extrae dos fichas sin reemplazo de una caja que contiene 4 fichas verdes, 6 rojas y 5 negras. Simule
para estimar la probabilidad de que la segunda ficha sea verde. A) Estime la probabilidad de que las dos
fichas sean verdes. B) Compare cada estimado con su probabilidad esperada.
23. Se lanzan dos dados. Sea A: se obtiene par en el dado 1. Sea B: la suma de ambos dados es mayor a 8. A)
Obtenga la probabilidad teórica de obtener una suma de ambos dados superior a 8, dado que el primer dado
cayó par. B) Determine la longitud de la simulación, para estimar mediante simulación la probabilidad
requerida en A). Confianza 95%. Error 2%. C) Estime mediante simulación.
24. Se lanza tres dados, signados D1, D2 y D3, en dos oportunidades. Simule y estime: Estime la probabilidad
de obtener el mismo resultado en ambos lanzamientos, para un nivel de confianza del 99%, y un error
máximo de 0,5%. Finalmente, utilice una macro para promediar el resultado de 50 repeticiones. Introduction to
probability theory and Its Applications. William Feller. Jhon Wiley 1965.
25. Un juego de azar, entre un apostador y la casa consiste en lo siguiente: se lanzan dos dados. Si se obtiene
7 gana el apostador. Si la suma es menor a 7 gana la casa. Si la suma es mayor a 7 nadie gana. En cada
lanzamiento, el apostador apuesta Bs. 10. Si gana recibe Bs. 50. Simule y estime el valor esperado del juego.
para una longitud de la simulación con 95% de confianza y un error del 3 %. Compare el valor obtenido
estimado con el valor teórico de la esperanza del juego.
26. El número de accidentes por semana en una fábrica sigue una distribución Poisson de parámetro = 2. Simule
para calcular: A) Probabilidad de que en una semana haya algún accidente. B) Probabilidad de que haya 4
accidentes en dos semanas. C) Probabilidad de que haya 2 accidentes en una semana y otros dos en la semana
siguiente.
27. El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son economistas. El 75% de los
ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas también, mientras que los no ingenieros y
los no economistas solamente el 20% ocupa un puesto directivo. A) Simule y estime, con una confianza del
97% y un error del 5%, la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero? B)
Utilice una macro con botones (Simular/ Borrar) para realizar 15 repeticiones y estimar la probabilidad
requerida en A). C) Determine analíticamente la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar
sea ingeniero (0.405). D) Construya un intervalo de confianza para el valor estimado. E) Estime la probabilidad
de que un empleado seleccionado al azar sea ingeniero y directivo. F) Estime la probabilidad de que un
empleado seleccionado al azar sea directivo.
28. Suponga que un borracho inicia una caminata en la esquina de una manzana. Asuma que la probabilidad
de ir hacia el Norte Sur, Este u Oeste, es la misma cada vez que llega a otra esquina. Si el alcohólico camina
20 cuadras, simule y determine: ¿Cuál es la probabilidad de que termine a una distancia menor o igual a 3
cuadras del punto en que comenzó?
29. Suponga que un cazador dispara a un venado y le acierta con probabilidad de 0.35. Si la probabilidad de
que el disparo sea exitoso, es decir, lo hiera mortalmente es 0.55. Simule y determine: ¿Cuántas balas debe
llevar consigo, para que tenga un 70 por ciento de confiabilidad de éxito?
30. En una sala hay 15 personas. Sus apellidos corresponden a: 4 Sánchez, 5 Chacón y 6 Pérez. Si se
selecciona, una a una, tres personas al azar, A) Obtenga la probabilidad teórica que los tres sean de apellido
Sánchez. B) Determine la longitud de la simulación, para estimar la probabilidad de que los tres
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seleccionados tengan apellido Sánchez, para una confianza de 99 %, con un error de 1%. C) Estime mediante
simulación
31. A un cajero peatonal llegan clientes a la tasa Poisson de 15 clientes por hora. El Cajero atiende un cliente
en un tiempo exponencial de promedio 4 minutos. Simule. Halle el tiempo de espera para cada cliente, y
estime el tiempo promedio de espera del sistema.
32. En un proceso de manufactura se llenan sacos de alimento concentrado. La media de llenado del proceso
es 40 kgs/saco y la desviación es 2.5 kgs. Cada hora, se toman 5 sacos para observar el desempeño del
gráfico de control estadístico. Simule para determinar la probabilidad que un saco esté fuera de los límites de
control. Compare el resultado simulado con el resultado teórico esperado.
33. Para atraer más clientes, el propietario de un auto restaurante de comida rápida, obsequia una bebida
gratis valorada en Bs. 2, a cada auto que espere más de 2.5 minutos para iniciar atención. Los autos llegan a
la única ventanilla de servicio a la tasa Poisson de 20 por hora. El tiempo de atención de un auto es normal
con media de 2.5 minutos y desviación de 0.5 minutos. Simule (10 puntos) y estime: A) el costo esperado por
obsequio de bebidas (10). B) La probabilidad de ser atendido en menos de 3 minutos (5). C) El tiempo que en
promedio, pasa un cliente en el sistema (5). D) Porcentaje de ocupación de la ventanilla de servicio (5). El
restaurante atiende durante 8 horas diarias.
34. Un equipo está compuesto de cuatro tubos los cuales fallan con cierta frecuencia, ocasionando que el
equipo deje de trabajar mientras los tubos son reemplazados. El tiempo de duración de un tubo es una
variable Uniforme entre 2.000 y 5.000 horas. Se desea evaluar dos políticas de reemplazo. La política A
consiste en sustituir individualmente el tubo que falle, lo cual requiere dos horas.
La política B consiste en
reparar todos los 4 tubos cuando falle uno o más tubos, lo cual requiere 5 horas. El costo por hora de la
máquina parada es de Bs. 100/hora. El costo de sustituir un tubo es de Bs. 25. Comenzando con los 4 tubos
nuevos, simular y evaluar las dos políticas y recomendar la más apropiada.
35. Una máquina produce herramientas de precisión. Si un día la máquina está en buenas condiciones, al día
siguiente, con probabilidad de 0.85, continuará bien produciendo 1000 herramientas por día. Si la máquina
amanece en mal estado, continuará en mal estado al día siguiente con probabilidad de 0.75, produciendo 400
herramientas/día. ¿Determine la longitud de la simulación para estimar la probabilidad de producir 1000
herramientas, con una precisión del 5 %, y una confianza del 95%? Simule y estime: A) En promedio, ¿cuántas
herramientas se espera fabricar diariamente? B) Si la empresa labora 360 días/año, ¿Durante cuantos días se
espera que la máquina produzca 1000 herramientas?
36. Una clínica de Barrio Adentro V, recibe del Banco Regional de Sangre, una entrega semanal de sangre
tipo O. Dependiendo de las disponibilidades, la cantidad en litros es aleatoria, según la siguiente distribución
de probabilidad:
Cantidad
4
5
6
7
8
9
En litros
Probabilidad 0.15 0.20 0.25 0.15 0.15 0.10
El número de pacientes por semana que requieren sangre varía según la siguiente distribución:
Pacientes
0
1
2
3
4
Probabilidad 0.25 0.25 0.30 0.15 0.05
La cantidad necesaria por paciente es aleatoria y tiene la siguiente distribución:
Litros por
1
2
3
4
Paciente
Probabilidad 0.40 0.30 0.20 0.10
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Asumiendo que el plasma es almacenable, y comenzando con 2 litros en existencia, simule el proceso de
recepción y suministro durante las siguientes 10 semanas. Determine la existencia al final de la décima
semana y la cantidad promedio de litros no atendidos.
37. Una costurera trabaja exclusivamente en una fase del proceso de producción de un diseño especial de
prendas de vestir. Esta fase requiere exactamente media hora para terminar una prenda. Cada 30 minutos
llega un mensajero a la mesa de la costurera para recoger todas aquellas prendas que estén terminadas y para
entregar las nuevas prendas que deben ser cosidas. El número de nuevas prendas que lleva el mensajero es
inseguro: 30 % del tiempo, el mensajero llega sin prendas para ser cosidas; 50 % de las veces, el mensajero
trae sólo una prenda para dejar; 20 % de las veces, el mensajero trae dos prendas a la costurera. Sin embargo,
el mensajero tiene instrucciones de nunca dejar más de tres prendas juntas no terminadas a la costurera. (Las
prendas no terminadas que no puedan dejarse a la costurera, a resultas de esta política, se llevan a otra
costurera para ser procesadas. Simule y estime: A) Porcentaje del tiempo que la costurera permanece ociosa.
Considere que cualquier cantidad de prendas no terminadas que estén en la mesa de la costurera al final de un
turno de trabajo, permanecen ahí para ser procesadas durante el siguiente día de trabajo. B) Número
promedio de prendas pendientes en la mesa de la costurera. C) Obtenga los resultados analíticos.
38. Los registros de una compañía aseguradora de automóviles indican que la probabilidad que un asegurado
sufra un siniestro automovilístico es de 0.18. Si hay accidente, con probabilidad de 0.45, la indemnización a
cancelar es del 25 % del valor asegurado del automóvil; 0.30 que el valor a pagar sea el 45%; 0.15 que se tenga
que pagar el 75 % del valor, y el 10 % de los accidentes son declarados pérdida total. El monto asegurado de
cualquier vehículo varía según el tipo de póliza contratada, y se distribuye según una variable aleatoria Normal,
con promedio de 175 mil bolívares y desviación de 40 mil. El monto cobrado por póliza es el 12 % del valor
asegurado. Determine la longitud de la simulación para estimar la utilidad esperada por vehículo, con un 95 % de
confianza y un error de Bs. 500. Simule y estime la utilidad de la aseguradora. B) Suponga se desea determinar el
monto que la aseguradora debe cobrar para obtener una ganancia esperada de al menos Bs. 5 mil por auto.
¿Cuánto debería cobrar por auto?
39. Una bodega posee un muelle usado para descargar vagones. La cantidad de vagones que son descargados
diariamente es una variable aleatoria Poisson con promedio de 2.5 diarios y valor mínimo de 1. Si la
necesidad de descarga supera la capacidad de carga, el excedente se pospone para ser descargado según las
posibilidades del día siguiente. Los vagones llegan en la noche y son descargados durante el día. Experiencia
pasada indica, que la cantidad de vagones que llegan diariamente sigue la siguiente distribución:
Vagones
0
Probabilidad 0.02
1
0.15
2
0.20
3
4
5
0.23 0.25 0.15
La empresa paga penalización de Bs. 100 diarios por cada vagón que sea postergado. A) Determine la
longitud de simulación para estimar la probabilidad de ocio del muelle, con una confianza del 95 % y un
error del 1%. (5 puntos). B) Simule (10) y estime: A) Desembolso esperado por vagones postergados para
descargar el día siguiente. (5). B) Probabilidad de ocio del muelle. (5). C) Estime sendos intervalos de
confianza del 95 % para el promedio de vagones postergados y para la probabilidad de ocio del muelle. (5).
D) Halle la distribución de probabilidad del número de vagones postergados de un día al siguiente. (5).
40. Auto alquila es una compañía que ofrece autos en alquiler. Posee 500 unidades. Una vez por semana se
inspecciona cada automóvil. Durante este tiempo, un auto pudo haber estado alquilado, o haber requerido
mantenimiento menor o mayor. En la primera semana de junio, se determinó que 400 autos estaban en
condiciones de ser alquilados, 80 necesitaban reparaciones menores y 20 requirieron reparaciones mayores.
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En la segunda semana de junio, 350 de los autos que estaban en buenas condiciones se mantenían igual, 40
necesitaban reparaciones menores y 10 necesitaban reparaciones mayores. De los 80 que necesitaban
reparaciones menores, 50 se encontraban en buenas condiciones, 25 seguían necesitando reparaciones
menores y otros 5 exigían ahora reparaciones mayores. Por último, de los 20 automóviles que requerían de
reparaciones mayores, 15 estaban en buenas condiciones, 3 requerían reparaciones menores, y 2 seguían
necesitando reparaciones mayores. Se considera que ese comportamiento es permanente de semana en
semana. Asuma que un auto en buenas condiciones produce ingreso semanal de Bs. 30 mil. Un auto en
reparación menor produce gastos de Bs 10 mil; y 50 mil si pasa en reparación mayor. Para una longitud de
simulación de 50 mil autos, A) Simule y estime la utilidad semanal esperada. B) Anualmente, ¿Cuántas
semanas se espera que pase un auto en mantenimiento mayor?
41. Una trasnacional bancaria administra el sistema de seguro de Hospitalización, Cirugía y Maternidad
(HCM) de sus empleados, en una cuenta colectiva, y debe estimar su desembolso anual por este concepto.
Los gastos del HCM son atendidos por los aportes fijos de los empleados y, en caso que sea necesario, el
monto restante por la trasnacional. Al inicio, la compañía tiene 5 mil empleados. Sin embargo, de un mes a
otro, esta fuerza laboral puede disminuir o aumentar, en un porcentaje que se distribuye según una uniforme
con un decimal, entre [ 3% y 6 %]. La probabilidad de que de un mes a otro aumente la fuerza laboral, es de
0.35 y que permanezca sin variación es de 0.25. Que disminuya es de 0.40. El costo promedio de un evento
HCM por empleado es aleatorio normal con promedio de Bs. 30 mil, y desviación de Bs. 5 mil.
La cantidad de siniestros en cualquier mes es una variable aleatoria entera normal con promedio de 100 y
varianza de 64. Cada empleado aporta mensualmente a la cuenta colectiva una cantidad fija de Bs. 500, cuyo
total mensual es utilizado para cancelar los gastos de HCM, correspondiendo a la empresa el pago de
cualquier diferencia. A) Determine el tamaño de muestra requerido para estimar el monto mensual promedio
que la trasnacional debe cancelar por HCM, con nivel de confianza de 95% y error de 50000. (10); y B)
simule la evolución del fondo mensualmente durante 10 años (20 puntos). Determine: C) Monto mensual
promedio que la trasnacional espera desembolsar por HCM (5). D) Probabilidad de tener que entre 75 y 100
siniestros en cualquier mes (5). E) Proporción de meses en que la compañía espera cubrir los gastos de HCM
solo con los aportes de sus empleados. (5). F) Probabilidad teórica que en un mes ocurran al menos 100
siniestros (5).
42. Una compañía establece un fondo de pensiones para sus empleados aportando el 5% del sueldo de cada
empleado y reteniendo a cada empleado el 5 % de su sueldo. Al inicio, la compañía tiene una nómina
mensual de pagos por sueldos de Bs. 3 millones. Cada 6 meses, la empresa debe aumentar sueldos a todos sus
empleados en 12%. Los aportes al fondo son depositados al inicio de cada mes en una cuenta especial, cuya
tasa de interés anual es una variable aleatoria cuyo comportamiento es el siguiente. La tasa de interés por
colocaciones del fondo es una variable aleatoria uniforme entre 20 y 35 %. Simule 100 años para estimar el
monto esperado anual acumulado del fondo.
43. Un avión puede tener un máximo de 120 asientos corrientes, aunque puede disponer también de asientos
de primera clase, reduciendo su disponibilidad de asientos corrientes. Si agrega asientos de primera clase, por
cada uno disminuye dos asientos corrientes. Por ejemplo, si se dispone 4 asientos de primera clase, el
máximo de asientos corrientes sería de 112. El avión realiza solo un vuelo diario. Se asume lo siguiente:




La demanda por asientos Corrientes es Triangular (70, 100, 120).
La demanda por tickets de primera clase es Normal con promedio de 12 puestos y varianza de 9.
La ganancia por cada asiento corriente es Bs. 500.
La ganancia por cada asiento de primera clase es Bs. 1.500. Los costos operativos son fijos.
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Simule (15) y determine: A) la longitud de simulación con 99 % de confianza, 1 % de error para estimar la
ganancia diaria esperada por asignación óptima de asientos de primera clase, asumiendo que solo se permite
disponer múltiplos de cuatro asientos de primera. (15) B) Probabilidad de que un pasajero no encuentre
asiento en primera clase. (5) C) Construya un histograma de frecuencia de la utilidad para el diseño óptimo.
44. Remodelación Habitaciones de un Hotel
El gerente de un hotel evalúa su remodelación. Tiene espacio para disponer 200 habitaciones normales. Sin
embargo, puede incorporar habitaciones de lujo. Una habitación de lujo equivale a dos habitaciones
normales. Una normal se renta en $ 990/noche y una de lujo $ 1800. La demanda diaria de habitaciones
normales es aleatoria, distribuida normal con promedio de 100 y desviación 20. La demanda diaria de
habitaciones de lujo es también normal con promedio de 45 y desviación 10. Una habitación normal que es
ocupada, ocasiona un costo de puesta a punto de $ 75; y una de lujo $ 140 diario. Se estima costo fijo diario
por habitación normal de $ 550, y $ 1000 por habitación de lujo. Por razones de diseño arquitectónico, solo
pueden ser construidas múltiplos de 10 habitaciones por tipo; y no menos de 50 habitaciones normales.
Simular y determinar la cantidad óptima de habitaciones a disponer.
La disposición de construir al menos 50 habitaciones normales, y solo un número de habitaciones múltiplo de
10, reduce las opciones de construcción a las combinaciones siguientes.
Opciones de construcción
Normales 200 180 160
Lujosas
0
10 20
140
30
120
40
100
50
80
60
60
70
Se simulará cada una de las 8 alternativas, durante 50 mil días. Por ejemplo, la alternativa (100; 50), indica
que, durante todos los días, al inicio, se dispone la cantidad fija de 100 habitaciones normales y 50 de lujo.
Durante cada día, se genera la demanda de habitaciones por tipo, se efectúan los cálculos de ingresos y
egresos para determinar la utilidad. Luego de simular los 50 mil días, se obtiene el valor de utilidad promedio
que corresponde a la alternativa (100; 50). El mismo procedimiento se aplica a las 7 combinaciones restantes,
para finalmente obtener la que entregue el máximo valor promedio.
La figura contiene una muestra de resultados al simular la opción (100,50).
Simulación de la opción (100,50)
Las celdas A6 y B6, guardan los valores de la decisión de construir 100 habitaciones tipo normal y 50 de
lujo. La celda L1, contiene un estimado de la bondad de esa decisión: $ 43.072,12. Al repetir el
procedimiento de simulación para las 7 políticas restantes, se está en condiciones de seleccionar la mejor
alternativa de construcción. En la figura, se muestra la utilización de la función tabla de Excel, para evaluar
las 8 alternativas, disponible desde la barra de herramientas DATOS / Análisis Y si / Tabla de datos…
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Tabla de dos entradas. Simulación de utilidades del hotel.
Las celdas con valores posibles, aparecen en letra resaltada en negrita. Se observa, en la celda C6, que la
decisión con mayor utilidad promedio, es construir 100 habitaciones tipo normal, y 50 habitaciones de lujo,
con un valor de utilidad esperada de $43.072,12 diario.
45. El número de camiones producidos diariamente en una línea de ensamblaje, sigue la siguiente
distribución de probabilidad:
Cantidad de
Camiones
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
Probabilidad
0,03
0,05
0,07
0,10
0,15
0,20
0,15
0,10
0,07
0,05
0,02
0,01
Al final el día, los camiones terminados son trasladados en un trasbordador a través de una bahía. Sin
embargo, la capacidad del trasbordador es de 198 camiones. Cuando la producción del día supera esa
capacidad, los camiones restantes son trasladados en buques de carga externos, los cuales cobran Bs. 5 mil
por camión transportado. Simule con 95 % de confianza y un error de 3%. (10 puntos) y determine: A)
Costo promedio diario que la ensambladora cancela a los buques externos. (10) B) Porcentaje de ocupación
del trasbordador. (10) C) Probabilidad de que un camión sea trasladado por un buque externo. (10) D)¿Cuál
es el número promedio de espacios no ocupados del trasbordador? (5). E) Construya un histograma de
frecuencias de los costos de traslado. (5)
46. Un fabricante de balones produce tres modelos diferentes, y ofrece garantía de reemplazo en caso de que
el producto resulte defectuoso. La cantidad de balones defectuosos por modelo es una variable aleatoria
Normal, con promedio y desviación que se indica a continuación; además del costo y precio de venta por
unidad:
Promedio por cada 1000 unidades fabricadas:
Desviación Estándar:
Costo por balón Bs.:
Precio de venta: porcentaje del costo
Modelo A
16
3
90
25 %
Modelo B
12
2.5
120
30 %
Modelo C
6
2
160
20 %
Si la producción de un mes es de mil balones por modelo, mediante simulación estime A) el costo esperado
por reemplazo de balones defectuosos. B) La utilidad esperada. La longitud de la simulación debe ser con
95% de confianza y un error del 2 %. C) Construya un histograma de frecuencia para la utilidad esperada.
47. Una línea de aviones ofrece 20 vuelos matutinos diarios, cada uno atendido por una azafata fija La
empresa dispone diariamente de cuatro azafatas adicionales de reserva, disponibles para reemplazar en caso
que falte alguna de las fijas. La distribución de probabilidad del número de azafatas que faltan en un día
cualquiera es la siguiente:
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Azafatas
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Probabilidad
0,03
0,05
0,08
0,10
0,10
0,15
0,20
0,15
0,10
0,04
Regulaciones estrictas no permiten volar un avión sin su azafata, y obliga a su cancelación. El costo de
utilizar una azafata de reserva es de Bs. 1.000. El ingreso promedio por cada avión es normal con media de
Bs. 400.000 y desviación de Bs. 50.000. Si un vuelo es cancelado se incurre en una perdida fija de Bs.
200.000. El costo de volar un avión es de Bs. 250.000. Para estimar la utilidad promedio diaria, determine la
longitud de la simulación, con 95% de confianza y un error del 3 %. (10) Simule y estime: A) Fracción de
utilización de las azafatas de reserva. (10). B) Probabilidad de cancelar un vuelo por no disponer de azafatas
(10). C) Utilidad promedio diaria (10). D) Cantidad esperada de azafatas que faltan diariamente (5). E)
Construya un histograma de frecuencia para la utilidad. (5)
48. Un vendedor de periódicos puede adquirir cada unidad en Bs. 150 y vender a Bs. 250. Por exigencias del
proveedor, solo puede adquirir lotes de 25 periódicos. La demanda diaria es normal con media de 100 y
desviación de 25 unidades. Por cada periódico que le quede sin vender, recibe el 25 % del costo. El costo de
oportunidad de un periódico faltante es de Bs. 100. El problema es determinar cuántas unidades de 25
comprar, de modo optimice su utilidad promedio diaria. Simule durante 5.000 días.
49. Un depósito puede almacenar hasta diez millones de litros de agua. Cada 6 horas hay una exigencia de
descargar en una red de tubería, una cantidad aleatoria de agua, según una distribución uniforme con
parámetros entre 300 mil y 600 mil litros. Sin embargo, pudiera entregar menos o nada según sea posible.
Las lluvias en la zona ocurren de acuerdo a una distribución Poisson con promedio de 12 lluvias por semana.
La cantidad de agua que cae en el depósito durante cada lluvia es una variable aleatoria normal con media de
975 mil litros y desviación de 250 mil litros. El depósito inicia lleno. A) Determine la longitud de simulación
para estimar la cantidad esperada del contenido de agua en cualquier instante, con una confianza del 95 % y
una desviación máxima de 300 mil litros. (10). B) Simule las entradas y salidas del líquido (10). Redondee
los tiempos en que ocurren eventos a valores enteros de la hora del día. C) Estime el contenido esperado del
depósito en cualquier hora del día. (10) D) ¿Cuál es la probabilidad de que el depósito en cualquier momento
esté a menos de la mitad de su capacidad? (5).
50. Un vendedor compra periódicos a Bs. 5 c/u, y los vende a Bs. 8. Los periódicos que no logra vender en el
día, son rematados como desecho a Bs. 1.5 c/u. Los periódicos son adquiridos por el vendedor solo en lotes
de 10 unidades. La demanda de periódicos, está relacionada al tipo de titular. Los titulares se clasifican en:
Sensacionales, Buenos, y Regulares, con probabilidad de 0.40, 0.45 y 0.15 respectivamente. La distribución
de demanda diaria es:
Demanda
500
600
700
800
900
1000
1100
Sensacional
0.03
0.05
0.15
0.20
0.35
0.15
0.07
Bueno
0.10
0.18
0.40
0.20
0.08
0.04
-----
Regular
0.34
0.32
0.16
0.12
0.06
-------
A) Determine la longitud de simulación requerida para estimar la utilidad diaria esperada del vendedor, con una
confianza del 95% y error del 5%. (5) B) Simule el proceso (10). C) Estime la cantidad de periódicos que el vendedor
debería adquirir para optimizar su ganancia, tomando en cuenta costos de oportunidad. (10) C) Utilice una macro que
ejecute 15 repeticiones y estime la utilidad esperada (10).
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51. La demanda interna diaria de piezas, para atender las necesidades de reparación, de equipos utilizados en
un proceso fabricación, es una variable aleatoria Poisson, con media de 5 unidades. Al final de cada día, se
examina la cantidad de piezas en existencia, y en caso de que haya menos de 10 unidades, siempre que no
haya órdenes externas pendientes por recibir, se ordena al proveedor externo el envío de 10 unidades. En
revisión a registros, se determinó que el número de días requeridos, para recibir las 10 unidades solicitadas al
proveedor externo, contados a partir del día de pedido, es una variable aleatoria, que presenta la siguiente
distribución de frecuencia:
Días requeridos por el proveedor: 1 2 3 4
Frecuencia observada:
20 70 50 10
Asumiendo que se inicia operaciones, con quince (15) piezas en existencia, y con atención a pedidos
pendientes insatisfechos por falta de disponibilidad interna, a) Simule las operaciones, y determine: a)
Probabilidad de finalizar, un día cualquiera con más de 4 unidades en existencia. b) Probabilidad de no tener
unidades a disposición. c) Número promedio diario de unidades internas pendientes.
52. Un panadero debe determinar la cantidad de tortas a elaborar diariamente. Por restricciones del equipo de
horneado, solo puede elaborar múltiplos de decenas de tortas. La distribución de probabilidad de la demanda
diaria de tortas es:
Numero de tortas / día 80
100 120 140 160 180 200 220
Probabilidad
0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.10 0.08 0.07
El precio de venta de una torta es de 60, y su costo 40. Las tortas no vendidas en el día, son rematadas a otra
panadería a mitad de precio A) ¿Cuántas decenas de tortas debe elaborar diariamente? B) Estime el promedio
diario de ventas perdidas Longitud de la corrida de simulación: 3.000 días. C) Grafique la distribución de
frecuencias de la utilidad.
53. Un detallista vende diariamente un producto perecedero que recibe diariamente solo en lotes de 10
unidades. La demanda diaria del producto sigue la siguiente distribución de probabilidad:
Demanda
90
100
110
120
130
140
150
Probabilidad
0.10
0.20
0.25
0.20
0.15
0.05
0.05
Por cada unidad vendida, obtiene una ganancia de 50 bolívares. Sin embargo, las unidades no vendidas
durante el día, son desechadas al final a 7 bolívares cada una. A) ¿Cuántos días se debe simular para estimar
la ganancia promedio con una precisión de Bs. 25 y una confianza del 95%? (5). Simule la actividad de
ventas del detallista (10). B) ¿Cuántas unidades debe ordenar diariamente para optimizar su ganancia? (10).
C) ¿Durante que fracción de tiempo, se espera que no tenga suficiente existencia para atender la demanda?
(5). F) Utilice una macro para realizar 10 repeticiones y estimar la ganancia esperada (5).
54. El jefe de almacén estudia la relación de costo y disponibilidad de un determinado artículo. La demanda
del producto es Poisson con media de 3.6 unidades por mes; y el tiempo recepción de una orden al proveedor
es de 0.5 meses. El costo de mantener una unidad en inventario es de $ 0.25 por unidad por mes. El costo de
faltante es de $ 1.75 por unidad. Cada vez que se ordene al proveedor el costo de preparar y procesar el
pedido es de $ 0.15. Determine la cantidad a ordenar al proveedor, y el punto de reorden, que optimiza el
costo total de inventario. Simulation Modeling and Arena. Manuel Rossetti. Willey. Pág. 354.
55. Una dulcería vende unos dulces especiales para el día de los enamorados. Para ello deben encargarlos
con anticipación a la fábrica, al precio de UM 7,5 c/u. Los dueños de la dulcería quieren optimizar su
ganancia, sabiendo que pueden vender los dulces hasta y durante el día de los enamorados a UM 12 c/u, y
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después de ese día deberán vender con descuento del 50%. El propósito de la simulación es determinar la
cantidad de dulces que deberían encargar para maximizar la ganancia, sabiendo que la demanda histórica de
dulces es una variable aleatoria uniformemente distribuida entre 40 y 100. Se quiere asegurar que la
estimación de la ganancia promedio esté dentro de 5 UM, con una confianza de al menos 99%. Evalúe la
ganancia A) sin costos de oportunidad B) incluyendo costo de oportunidad. Discuta su decisión. C) Analice
el efecto en la cantidad a encargar óptima, si el precio de costo sube en 30%.
56. La demanda semanal de un producto sigue una variable aleatoria triangular discreta, con valores mínimo
de 60, máximo 140 y más probable 100 unidades. Para optimizar el manejo de existencias del producto, el
responsable de mantener el inventario, desea determinar la cantidad de unidades que debe pedir al proveedor,
además del nivel de reposición del inventario. La política actual de inventario es la siguiente: al cierre de
cada semana, se revisa la existencia, y si es inferior a 120 unidades, se ordena 400 unidades al proveedor. El
proveedor vende y surte solo lotes del producto, y garantiza que estén disponibles al inicio de la semana
siguiente inmediata. Un lote está compuesto de 5 unidades. El costo de mantener una unidad en inventario es
Bs. 200. Si el inventario no permite atender la totalidad demandada en una semana, se satisface parcialmente
con la cantidad que haya, aunque por cada unidad no atendida se incurre en costo de oportunidad. El costo
fijo de emitir una orden al proveedor es de Bs. 7500. El costo de compra por unidad es Bs. 800. El precio
unitario de venta es de Bs. 950. Inicialmente, se tiene 400 unidades en existencia. Simule una longitud de
simulación adecuada y estime: A) La política óptima de inventario que debe seguirse. B) Probabilidad de que
la política óptima no permita atender la totalidad de demanda en cualquier semana. C) Costo esperado de
pedido por año. D) probabilidad que la demanda semanal sea al menos 85 unidades.
57. Una compañía de alquiler de autos, debe determinar el número óptimo de autos a comprar para ofrecer en
alquiler. El costo de adquisición de un auto prorrateado por día es Bs. 250. Según registros, la demanda
diaria de autos solicitados en alquiler se distribuye de acuerdo a:
Demanda
de autos/ día
Probabilidad
2
0.03
3
0.02
4
5
6
0.08
0.12
0.20
7
8
9
10
11
12
0.15 0.15 0.10 0.07 0.05 0.03
Si el ingreso diario por auto alquilado es de Bs. 350, y el costo de tener un auto ocioso durante un día es de
Bs. 250. A) Determine la longitud de simulación requerida para estimar la cantidad de autos que debería
comprar la compañía para atender su negocio de alquiler, con 95% de confianza y error de Bs. 200? (10). B)
Simule y estime la cantidad de autos que se debe adquirir. (25). C) Construya un histograma de frecuencias
para la utilidad de cada alternativa (5).
58. El tiempo de duración de 50 baterías, en cientos de horas, se muestra en la siguiente tabla continuación.
Ajustar un modelo de probabilidad y estimar la probabilidad que una batería dure al menos 400 horas: A)
mediante simulación. B) Analíticamente.
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59. Ajuste los tiempos de duración (mins) de una muestra de 100 llamadas indicados a continuación:
20.48
13.64
17.84 16.86
17.73
12.07
11.22 8.69
16.53
20.66
22.81
10.97
12.17 20.75
8.55
16.93
10.34 12.01
18.85
12.77
15.11
9.53
13.71 16.12
19.50
12.14
15.84 16.35
16.14
13.69
11.54
19.40
9.87
17.10
19.99
15.68
15.92 17.46
20.96
21.02
17.29
13.99
14.53 16.41
14.09
10.89
20.57 12.65
12.33
17.39
13.50
19.06
22.52 12.81
10.21
22.57
12.07 19.94
19.75
13.21
19.11
21.78
13.10 12.09
19.73
10.11
18.85 15.78
10.90
10.99
14.31
9.25
12.46 20.82
14.07
15.66
21.14 13.53
13.34
17.19
15.46
15.19
9.31
13.11
12.16
14.64 15.32
9.05
18.44
10.72
12.56
16.48 12.18
9.94
20.77
8.54
10.66
12.16
12.52
15.51
60. Una empresa especializada en riesgos laborales ha decidido estudiar la siniestralidad laboral de una
factoría del sector minero. El número de siniestros laborales en los últimos cien meses se detalla en la
siguiente tabla:
Siniestros
por mes
Frecuencia
0
1
2
3
4
5
6
35
40
13
6
4
1
1
Utilizar el Test Chi-cuadrado para evaluar la hipótesis de que los datos siguen una distribución de Poisson.
Utilizar un nivel de significancia de α = 0.05
61. El tiempo requerido para calcular y registrar el número de horas trabajadas durante una semana para cada
uno de los 50 empleados de una empresa se muestra en la siguiente tabla: Tiempo (minutos)
1.88 0.54 1.90 0.15 0.02 2.81 1.50 0.53 2.62 2.67 3.53 0.53 1.80 0.79 0.21 0.80 0.26
0.63 0.36 2.03 1.42 1.28 0.82 2.16 0.05 0.04 1.49 0.66 2.03 1.00 0.39 0.34 0.01 0.10
1.10 0.24 0.26 0.45 0.17 4.29 0.80 5.50 4.91 0.35 0.36 0.90 1.03 1.73 0.38 0.48
Utilizar el Test Chi-cuadrado para evaluar la hipótesis de que los tiempos de servicio siguen una distribución
exponencial. Utilizar un nivel de significancia de α = 0.05 y número de clases de intervalos k = 6.
62. La demanda de azúcar en una tienda se representa mediante una distribución discreta exponencial de 100
kg/día. El dueño de la tienda revisa el inventario cada 7 días, y hace un pedido a la planta igual a la capacidad
de su bodega menos la cantidad de azúcar que tiene disponible al momento de realizar el chequeo. La planta
suministra el pedido de inmediato. Cuando no puede atender la demanda de sus clientes, la tienda incurre en
ventas perdidas. La capacidad de almacenamiento de la tienda es de 700 kg. El costo de ordenar es de 1000
Bs/orden. El costo de faltante es de Bs. 6/kg, y el costo de tener en inventario es de Bs. 1/kg. A) Determinar
la longitud de la simulación pata estimar el costo promedio diario del inventario, con un nivel de confianza
de 95% y error de 5%. Realice 20 corridas. B) Si revisara el inventario cada 5 días, ¿mejoraría su costo?
63. El Sr. Pérez, está interesado en comprar un autobús para realizar viajes desde San Cristóbal hasta Puerto
la Cruz, pero por ser un viaje de 24 horas aproximadamente, está estudiando la posibilidad de lograr el mayor
beneficio en cuanto a la distribución que desea sea realizada al autobús y la comodidad de sus pasajeros.
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El autobús se vende estándar, pero también hay la posibilidad de realizarle cualquier modificación de
distribución según lo requiera el cliente. Las especificaciones de un autobús “estándar” son 90 puestos
estándar y 1 baño. Pero hay ciertos “adicionales” que el cliente puede tomar, entre estos están:
a. Colocar poltronas más cómodas en las primeras filas. Para ello, se requiere usar 2 puestos
estándar para uno (1) de poltrona. Según estudios de diseño, el autobús no puede tener más de
6 poltronas, y se deben colocar en pares.
b. Colocar un baño adicional. Por razones de diseño, solo se pueden colocar un máximo de dos
baños. Por baño adicional, se debe reducir dos puestos estándar.
Según registros, la demanda por asientos estándar sigue una distribución Normal con media de 85 y varianza
de 25. La demanda de poltronas sigue una distribución triangular (0, 5,7). La utilidad por cada puesto
estándar es 200 Bs; y por cada poltrona es de 500 Bs. Considere costos de oportunidad. Un baño adicional
genera utilidad de Bs. 450. Simule (25 puntos) y determine: A) la longitud de simulación con 95 % de
confianza, y precisión de Bs. 500, para estimar la ganancia diaria esperada por asignación óptima de
poltronas, asientos estándares y baños (5 puntos). B) Determine la probabilidad de que un pasajero no
encuentre una poltrona para viajar. (5 puntos). C) Mediante una macro, y 15 repeticiones, estime la Utilidad
esperada (10 puntos). D) ¿Cuál es la probabilidad teórica que la demanda de puestos estándar en cualquier
día sea al menos 90 puestos? (5 puntos).
64. El gobierno nacional planifica construir una represa con la finalidad de: a) controlar inundaciones en la zona b)
riego agrícola c) recreación. La capacidad máxima de la represa será de 4 millones de metros cúbicos de agua, es decir
4 unidades. El flujo semanal en millones de metros cúbicos de agua del río que surtirá la represa, es una variable
aleatoria cuya distribución es:
Flujo Semanal
Probabilidad
2
0.10
3
0.15
4
0.35
5
0.20
6
7
0.10 0.10
El gobierno debe atender un contrato de riego en la zona por la cantidad de dos unidades de agua por semana.
Adicionalmente, para mantener la calidad del agua, es obligatorio liberar una unidad de agua a la semana. En
consecuencia, la meta normal de salida de agua semanal es de tres unidades. Sin embargo, cuando el nivel de la represa
más la entrada de agua es menor a las tres unidades indicadas anteriormente, cualquier escasez deberá ser resuelta a
expensas del agua dedicada a riego. Si la represa está llena, toda entrada adicional se liberará inmediatamente. La
política ecológica prohíbe reducir el nivel de la represa a menos de una unidad. El ingreso semanal por atender las dos
unidades de riego es de Bs. 3 millones/unidad. Si no es posible suministrar las dos unidades de agua para riego, el
gobierno pierde Bs. 1.5 millones/unidad. La represa también está disponible para propósitos recreacionales. Los
ingresos por tal concepto dependen del nivel de la represa; en miles de bolívares son los siguientes:
Nivel
Ingresos
1
0
2
4.000
3
6.000
4
2.000
Finalmente, si es necesario liberar por exceso 2 o más unidades de agua se incurre en una pérdida por inundaciones de
Bs. 5 millones. Determine el beneficio esperado semanal. ¿Cuál es la probabilidad de inundación? ¿Cuántas
inundaciones se espera durante un año?
Muestra de Números Aleatorios Uniformes U(0,1)
3247
2896
0958
9632
7302
5247
0896
0958
2749
9783
4207
4889
2683
6749
9783
4207
5269
4673
8491
2475
8764
5260
4673
8491
9781
8019
2082
2738
1059
3781
8019
2082
7413
9260
9550
8237
3581
7413
9260
9550
6542
5065
8932
4693
2917
6542
5065
8932
7028
4023
2359
5474
2071
7028
4023
2359
9276
5916
1645
8524
8630
1236
5916
1645
4165
1797
2463
3673
2459
4165
1797
2463
6429
8639
7649
7863
4572
6429
8639
7649
0947
5032
4389
9526
6832
0947
5032
4389
1830
2305
7853
2047
9421
1830
2305
7853
1374
0832
1093
2193
5432
1374
0832
1093
SIMULACIÓN
UNET / Ingeniería Industrial /
Excel
F. Ibarra
Noviembre_2019
Muestra de Números Aleatorios Normales N(0,1)
0.69
-0.70
1.45
0.47
1.39
-0.70
-0.86
1.76
3.14
0.71
-0.61
1.76
-0.98
-0.25
-0.20
-0.38
0.98
-0.25
1.46
0.38
1.54
-0.51
0.76
0.38
-1.22
1.61
-1.24
0.76
-1.22
1.61
-0.12
0.38
0.40
-0.52
-0.12
0.38
-1.15
-0-76
-0.92
-0.48
-1.15
-0-76
-0.83
-2.07
1.08
-0.98
-0.83
-2.07
-0.91 0.43 -1.11 -0.33
0.94 -0.07 1.71 2.44
-0.38 0.64 0.00 -0.57
0.10 0.56 2.00 0.85
-0.91 0.43 -1.11 -0.33
0.94 -0.07 1.71 2.44
Longitud de la Simulación (Tamaño de muestra)
Promedio
% /Proporción/Probabilidad
TLC (normalidad)
𝑍∝/2 2 . 𝑆 2
𝑍∝/2 2
𝑛 >=
𝑛 >=
𝐸2
4 ∗ 𝐸2
Error
entre
0y1
CHEBYSHEV
𝑆2
𝑛 >=
∝∗ 𝐸2
Cálculo del Intervalo de Confianza
Tamaño de la
Prueba Piloto
Teorema del Límite
Central
Promedios
𝑆
𝑋̅ + 𝑍∝/2 ∗ .
√𝑛
𝑆
Mayor o igual a
𝑋̅ − 𝑍∝/2 ∗ .
30 (≥30)
√𝑛
𝑋̅ + 𝑡𝑛−1,∝/2 ∗ .
Menor a 30
(<30)
𝑋̅ − 𝑡𝑛−1,∝/2 ∗ .
Proporciones
𝑃 + 𝑍∝/2 ∗ . √
𝑃(1 − 𝑃)
𝑛
𝑃 − 𝑍∝/2 ∗ . √
𝑃(1 − 𝑃)
𝑛
𝑆
√𝑛
𝑆
√𝑛
𝑃 + (𝑡𝑛−1,∝/2 )∗ . √
𝑃 − (𝑡𝑛−1,∝/2) ∗ . √
𝑃(1 − 𝑃)
𝑛
𝑃(1 − 𝑃)
𝑛
Teorema de
Chebyshev
Promedios
𝑋̅ +
𝑋̅ −
𝑆
√𝑛. ∝/2
𝑆
√𝑛. ∝/2
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SIMULACIÓN
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Noviembre_2019
Funciones para Generación Aleatoria en Excel 2007 y 2010
Desde 2007, Excel actualizó los nombres de sus funciones estadísticas. Todas las funciones, cuyo
nombre incluya la palabra INV, corresponden a generadores de valores aleatorios. Las siguientes expresiones
son útiles al modelado de aplicaciones bajo simulación en Excel. Cada nombre sugiere la distribución de
probabilidad que representa.
Uniforme(0,1): = ALEATORIO()
Uniforme(a,b): = ALEATORIO.ENTRE(a;b), valores discretos.
Uniforme(a,b): =a+(b-a)* ALEATORIO(), valores continuos.
Geométrica:
=REDONDEAR.MENOS(LN(ALEATORIO()) / LN(1-p); 0)
Poisson:
= BINOM.CRIT (λ/0,001; 0,001; ALEATORIO())
=INV.BINOM(promedio poisson λ/ 0,001; 0,001; ALEATORIO())
Exponencial:
=-1/ λ*LN(ALEATORIO())
Binomial:
= BINOM.CRIT(n; p; ALEATORIO())
=INV.BINOM(ensayos n; prob. de éxito p; ALEATORIO())
Normal(0,1):
= DISTR.NORM.ESTAND.INV (ALEATORIO())
=INV.NORM.ESTAND(ALEATORIO())
Normal(μ;σ):
=DISTR.NORM.INV(ALEATORIO(); μ; σ)
=INV.NORM(ALEATORIO(); μ; σ)
Lognormal:
=DISTR.LOG.INV(ALEATORIO(); μ; σ)
=INV.LOG.NORM(ALEATORIO(); μ; σ)
Weibull:
= α *(-LN(1- ALEATORIO()))^(1/ β)
Gamma:
=DISTR.GAMMA.INV(ALEATORIO(); α ;β)
=INV.GAMMA(ALEATORIO();α ; β)
Beta:
=DISTR.BETA.INV(ALEATORIO α; β ; a ; b )
=INV.BETA.N(ALEATORIO α; β ; a; b)
Triangular:
Opción 1:
c+(a+aleatorio()*(b-a)-c)*Raiz(aleatorio())
Opción 2:
1. Calcular Z = (b - a) / (c - a)
2. Generar un valor aleatorio uniforme R entre [0,1]
3. Si R < Z, calcular T  Z * R ; caso contrario,
T 1 (1  Z ) (1 R)
4. Obtener la variable aleatoria Triangular
x = a + ( c – a) * T
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SIMULACIÓN
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Noviembre_2019
Penúltimo Parcial 2018:
1. Un participante en un concurso, recibe 8 llaves, entre las que se encuentra una, que permite abrir una puerta y
ganarse una moto. El concursante tiene 3 oportunidades, de modo que cada vez debe escoger al azar una de entre las 8;
y probar si logra la apertura. Si la llave seleccionada no es la correcta, la misma es devuelta y mezclada en el grupo de
llaves para luego realizar el próximo intento, de entre sus tres oportunidades. A) Para un nivel de confianza del 99% y
un error de 1%, determine la longitud de simulación requerida para estimar la probabilidad de que el participante gane
el concurso. (5 puntos). B) Simule y estime la probabilidad de ganar el concurso. (25 puntos). C) Probabilidad de ganar
el concurso en el segundo intento. (10 puntos). D) Teóricamente, ¿Cuál es la probabilidad de que el participante gane el
concurso en el tercer intento? (10 puntos).
2. La demanda semanal de un producto es normal discreta, con promedio de 90 unidades y varianza de 49. Con la
finalidad de optimizar el manejo de existencias del producto, el responsable de mantener el inventario, desea
determinar la cantidad de unidades que debe pedir al proveedor. La política de inventario es la siguiente: al cierre de
cada semana, se revisa la existencia, y si es inferior a 50 unidades, se ordena determinada cantidad de lotes al
proveedor. El proveedor vende y surte solo lotes del producto, y garantiza que estén disponibles al inicio de la semana.
Un lote está compuesto de 10 unidades. El costo de mantener una unidad en inventario es Bs. 150. Si el inventario no
permite atender la totalidad demandada en una semana, se satisface parcialmente con la cantidad que haya, aunque por
cada unidad no atendida se incurre en costo de oportunidad de Bs. 200. El costo fijo de emitir una orden al proveedor
es de Bs. 5000. El costo por unidad es Bs. 500. El precio de venta por unidad es de Bs. 700. Inicialmente, se tiene 200
unidades en existencia. Simule una longitud de simulación adecuada y estime: A) La política óptima de pedidos al
proveedor que debe seguirse. (20 puntos). B) Probabilidad de que la política óptima no permita atender la totalidad de
demanda en cualquier semana. (10 puntos). C) Teóricamente, ¿Cuál es la probabilidad que en una semana, la demanda
sea inferior a 75 unidades? (10 puntos).
3. Auto alquila es una compañía que ofrece autos en alquiler. Posee 500 unidades. Una vez por semana se inspecciona
cada automóvil. Durante este tiempo, un auto pudo haber estado alquilado, o haber requerido mantenimiento menor o
mayor. En la primera semana de junio, se determinó que 400 autos estaban en condiciones de ser alquilados, 80
necesitaban reparaciones menores y 20 requirieron reparaciones mayores. En la segunda semana de junio, 350 de los
autos que estaban en buenas condiciones se mantenían igual, 40 necesitaban reparaciones menores y 10 necesitaban
reparaciones mayores. De los 80 que necesitaban reparaciones menores, 50 se encontraban en buenas condiciones, 25
seguían necesitando reparaciones menores y otros 5 exigían ahora reparaciones mayores. Por último, de los 20
automóviles que requerían de reparaciones mayores, 15 estaban en buenas condiciones, 3 requerían reparaciones
menores, y 2 seguían necesitando reparaciones mayores. Se considera que ese comportamiento es permanente de
semana en semana. Asuma que un auto en buenas condiciones produce ingreso semanal de Bs. 30 mil. Un auto en
reparación menor produce gastos de Bs 10 mil; y 50 mil si pasa en reparación mayor. Para una longitud de simulación
de 50 mil autos, A) Simule y estime la utilidad semanal esperada. (35). B) Anualmente, ¿Cuántas semanas se espera
que pase un auto en mantenimiento mayor? (15 puntos)
Resuelva y envíe solo dos problemas. Utilice un libro Excel y guarde el archivo con su primer apellido y primer nombre. Ejecute la simulación de cada
problema en sendas hojas del libro. Indique sus respuestas en cada hoja. Para agilizar envío y recepción, el archivo Excel solo debe contener un máximo de 15 o
20 filas. Es decir, aunque su simulación requiera miles de filas, obtenga los resultados para dar las respuestas, y finalmente, elimine todas las filas desde, por
ejemplo, la fila 25 en adelante, a fin de no enviar un archivo tan pesado en megabytes. No se acepta archivos comprimidos. Envíe a: [email protected]
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SIMULACIÓN
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Noviembre_2019
Ultimo Parcial 2019:
1. Una evaluación consta de 6 preguntas de selección múltiple, con cuatro opciones cada una, donde solo una
respuesta es correcta. Un alumno no estudió y decide contestar al azar. La evaluación se aprueba con acierto
de 4 o más preguntas. A) Con error de 1% y 95% de confianza, determine la longitud de la simulación para
estimar la probabilidad de aprobar. (5) B) Simular según A) (15). C) ¿Cuál es su probabilidad de aprobar?
(5). D) ¿Teóricamente, ¿Cuál es la probabilidad de aprobar? (5).
2. Un fabricante de balones produce tres modelos diferentes, y ofrece garantía de reemplazo en caso de que el
producto resulte defectuoso. La cantidad de balones defectuosos por modelo es una variable aleatoria Normal
discreta, con promedio y desviación que se indica a continuación; además del costo y precio de venta por
unidad:
Modelo A Modelo B Modelo C
Promedio por cada mil unidades fabricadas:
16
12
6
Desviación Estándar:
3
2,5
2
Costo por balón Bs.:
900
1200
1600
Precio de venta: porcentaje del costo
20 %
25 %
15 %
Si la producción mensual es mil balones por modelo, mediante simulación estime A) Longitud del
experimento de simulación con 95% de confianza y un error del 5 %, para estimar la ganancia esperada. (5).
B) Simule según A) (15), y estime: C) Ganancia esperada (5). D) Costo esperado por reemplazo de balones
defectuosos. (5).
3. Una bodega posee un muelle usado para descargar vagones. La cantidad de vagones que son descargados
diariamente es una variable aleatoria Poisson con promedio de 3 diarios y valor mínimo de 1. Si la necesidad
de descarga supera la capacidad de carga, el excedente se pospone para ser descargado según las
posibilidades del día siguiente. Los vagones siempre llegan en la noche y se planifica su descarga para la
mañana siguiente. Experiencia pasada indica, que la cantidad de vagones que llegan diariamente sigue la
siguiente distribución:
Vagones
0
Probabilidad 0,05
1
0,12
2
0,20
3
4
5
0,23 0,25 0,15
La empresa paga penalización de Bs. 100 mil diarios por cada vagón que sea postergado. A) Simule durante
10 mil días. (15) y estime: B) Desembolso esperado por vagones postergados para descargar el día siguiente.
(5). C) Probabilidad de que en cualquier día el muelle no trabaje por no tener vagones que descargar. (5). D)
Determine la probabilidad de descargar por lo menos tres vagones diarios. (5).