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algebra lineal

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FACULTAD DE INGENIERÍA
MAESTRÍA EN INGENIERÍA
CAMPUS I
MATEMÁTICAS I
UNIDAD1. ALGEBRA LINEAL
TEMA1.1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
ALUMNO(s): Ricardo Rodríguez Díaz
Fecha.
29/08/2019
1
TABLA DE CONTENIDO
UNIDAD 1. ALGEBRA LINEAL ......................................................................................... 3
1.1 Sistemas de ecuaciones lineales........................................................................................ 3
1.1.1Tipos de sistemas ............................................................................................................ 4
1.1.2: Notación matricial ........................................................................................................ 4
1.2
Método de gauss para resolver sistemas de ecuaciones............................................... 5
1.2.1 Eliminacion gaussiana y matrices.................................................................................. 5
1.2.2 Método de gauss-jordán................................................................................................. 6
1.3 Operaciones con matrices ................................................................................................. 7
1.3.1Suma de matrices ............................................................................................................ 7
1.3.1.1Propiedades .................................................................................................................. 8
1.3.2 Multiplicación de un escalar por una matriz.................................................................. 8
1.3.2.1 Propiedades ................................................................................................................. 8
1.3.3 Multiplicación de matrices ............................................................................................ 9
1.4 Métodos para obtener la inversa de una matriz .............................................................. 10
1.4.1 Cálculo por determinantes ........................................................................................... 11
1.4.2. Cálculo de la matriz inversa por el método de gauss................................................. 12
1.4.3 Propiedades de la matriz inversa ................................................................................. 14
1.5 Aplicaciones de las ecuaciones matriciales en la ingenieria (civil) ................................ 15
1.6 Referencias ..................................................................................................................... 15
2
UNIDAD 1. ALGEBRA LINEAL
Se denomina ecuación lineal a aquella que tiene la forma de un polinomio de
primer grado, es decir, las incógnitas no están elevadas a potencias, ni
multiplicadas entre s´ı, ni en el denominador. Por ejemplo, 3x + 2y + 6z = 6 es una
ecuación lineal con tres incógnitas. Como es bien sabido, las ecuaciones lineales
con 2 incógnitas representan una recta en el plano. Si la ecuación lineal tiene 3
incógnitas, su representación grafica es un plano en el espacio. Un ejemplo de
ambas representaciones puede observarse en la figura 1:
Figura 1: Representación grafica de la recta −x + 2y = 3 en el plano y del plano x +
y + z = 1 en el espacio
1.1 Sistemas de ecuaciones lineales
Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales de la
forma:
a11 X1 + a12 X2 + a13 X3 + … + a1n Xn
= b1
a21 X1 + a22 X2 + a23 X3 + … + a2n Xn
= b2
⁞
⁞
⁞
⁞
⁞
am1 X1 2:
+ arepresentación
+ un sistema de ecuaciones con m ecuaciones y n
m2 X2 + am3 X3 + …de
Figura
a
X
=
b
mn
n
m
incógnitas
Los números reales aij se denominan coeficientes y los xi se denominan incógnitas
(o números a determinar) y bj se denominan términos independientes. En el caso
de que las incógnitas sean 2 se suelen designar simplemente por x e y en vez de
3
x1 y x2 , y en el caso de tres, x, y, z en lugar de x1, x2 y x3 pero esto es
indiferente a la hora de resolver el sistema.
Resolver el sistema consiste en calcular las incógnitas para que se cumplan todas
las ecuaciones del sistema simultáneamente. Dos sistemas son equivalentes
cuando tienen las mismas soluciones.
1.1.1Tipos de sistemas
Se buscara las soluciones de los sistemas en los números reales R. Dependiendo
del posible número de tales soluciones reales que tenga un sistema, ´estos se
pueden clasificar en:
𝐼𝑛𝑐𝑜𝑝𝑎𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒(𝑛𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛)
𝑡𝑖𝑝𝑜𝑠 {
∗ 𝐷𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑠 (𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑢𝑛𝑖𝑐𝑎) → 𝑆𝐶𝐷
𝐶𝑜𝑚𝑝𝑎𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒 {
∗ 𝐼𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑠 (𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠) → 𝑆𝐶𝐼
Los sistemas más sencillos son aquellos en los que sólo hay dos incógnitas y 2
ecuaciones, y que ya son conocidos. Hay varios sistemas para resolverlos, los
más habituales:
* Reducción
* Igualación
* Sustitución
Un sistema homogéneo es aquel que tiene todos los términos independientes
nulos. Cualquier sistema homogéneo es evidente que es compatible, pues dando
a cada incógnita el valor 0, se cumplen las ecuaciones. Esta solución (que todas
las incógnitas sean nulas) se llama solución trivial.
1.1.2: Notación matricial
La información esencial de un sistema lineal puede registrarse de forma compacta
en un arreglo
Rectangular llamado matriz. Como se aprecia en la figura 3
𝑎11 𝑥 1
𝑎21 𝑥 1
𝑎31 𝑥 1
⋮
𝑎
( 𝑚1 𝑥 1
+
+
+
+
𝑎12 𝑥 2
𝑎22 𝑥 2
𝑎32 𝑥 2
⋮
𝑎𝑚2 𝑥 2
+
+
+
+
⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥 𝑛
⋯ + 𝑎2𝑛 𝑥 𝑛
⋯ + 𝑎3𝑛 𝑥 𝑛
⋮
⋮
⋯ + 𝑎𝑚𝑛 𝑥 𝑛
= 𝑏1
= 𝑏2
= 𝑏3
⋮
= 𝑏𝑚 )
Figura 3: arreglo o forma de una matriz
4
1.2 Método de gauss para resolver sistemas de ecuaciones
1.2.1 Eliminacion gaussiana y matrices
La eliminación Gaussiana es una herramienta que nos permitirá tratar las dos
primeras situaciones. Es un algoritmo que sistemáticamente transforma un
sistema en otro más simple, pero equivalente. La idea es llegar a un sistema lo
más sencillo posible, eliminando variables, y obtener al final un sistema que sea
fácilmente resoluble. Por ejemplo, uno triangular1 para el caso m = n. El proceso
de eliminación descansa sobre tres operaciones simples que transforman un
sistema en otro equivalente. Para describir estas operaciones, sea E k la k-ésima
ecuación.
Ejemplo 1. Consideremos el sistema
2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1
6𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = −1
−2𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 7
En cada paso, la estrategia es centrarse en una posición, llamada posición pivote ,
y eliminar todos los términos por debajo de la posición usando las tres
operaciones elementales. El coeficiente en la posición pivote se denomina pivote,
mientras que la ecuación en donde se encuentra el pivote se llama ecuación
pivote. Solamente se permiten números no nulos como pivotes. Si un coeficiente
en una posición pivote es cero, entonces la ecuación pivote se intercambia con
una ecuación por debajo para producir un pivote no nulo. Esto siempre es posible
para sistemas cuadrados con solución única. A menos que sea cero, el primer
coeficiente de la primera ecuación se toma como el primer pivote. Por ejemplo, el
elemento 2 del sistema es el pivote del primer paso:
Paso 1. Elimina todos los términos por debajo del pivote. Resta tres veces la
primera ecuación de la segunda para generar el sistema equivalente.
2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1
0𝑥 − 1𝑦 + 2𝑧 = −4
02𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 = 8
Paso 2. Selecciona un nuevo pivote
De momento, seleccionamos un nuevo pivote buscando para abajo y a la derecha.
Más adelante veremos una mejor estrategia. Si este coeficiente no es cero,
entonces es nuestro pivote. En otro caso, intercambiamos con una ecuación que
esté por debajo de esta posición para colocar el elemento no nulo en la posición
pivote. En nuestro ejemplo, −1 es el segundo pivote:
Paso 3. Elimina todos los t´erminos por debajo del pivote.
5
Suma tres veces la segunda ecuaci´on a la tercera para llegar al sistema
equivalente:
2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1
0𝑥 − 1𝑦 + 2𝑧 = −4
02𝑥 + 0𝑦 − 4𝑧 = −4
En general, en cada paso nos movemos abajo y hacia la derecha para seleccionar
el nuevo pivote, y entonces eliminar todos los términos por debajo de ´el hasta que
ya no podamos seguir. En este ejemplo, el tercer pivote es −4, pero como ya no
hay nada por debajo que eliminar, paramos el proceso.
En este punto, decimos que hemos triangularizado el sistema. Un sistema
triangular se resuelve muy fácilmente mediante el método de sustitución hacia
atrás, en el que la ´ultima ecuación se resuelve para la ´ultima incógnita y se
sustituye hacia atrás en la penúltima ecuación, la cual se vuelve a resolver para la
penúltima incógnita, y continuamos asi hasta llegar a la primera ecuación. En
nuestro ejemplo, de la ´ultima ecuación obtenemos
z=1
y= 2
x= -1
La eliminación Gaussiana se puede realizar sobre la matriz ampliada [A|b]
mediante operaciones elementales sobre las filas de [A|b].
1.2.2 Método de gauss-jordán
Las características que distinguen el método de Gauss-Jordan de la eliminación
Gaussiana son los siguientes:
En cada paso, el elemento pivote tiene que ser 1.
En cada paso, todos los términos por encima del pivote así como todos los que
están por debajo deben ser anulados.
En otras palabras, si
𝑎11 𝑎12 𝑎1𝑛 𝑏1
(𝑎21 𝑎22 𝑎2𝑛 |𝑏2 )
𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 𝑎𝑛𝑛 𝑏𝑛
Es la matriz ampliada del sistema, entonces mediante operaciones elementales la
reducimos a
1 0 0 𝑠1
(0 1 0|𝑠2 )
0 0 1 𝑠𝑛
La solución aparece en la última columna (xi = si), por lo que no es necesaria la
sustitución hacia atrás.
Ejemplo 2. Apliquemos Gauss-Jordán al siguiente sistema:
6
2𝑥1 + 2𝑥2 + 6𝑥3 = 4
2𝑥1 + 𝑥2 + 7𝑥3 = 6
−2𝑥1 + 6𝑥2 − 7𝑥3 = −1
Sea R la matriz ampliada del sistema. La sucesión de operaciones se indican en
cada paso, y se marca el pivote.
2
(2
−2
2
6 4
1
1
7 | 6 ) R1/2 ( 2
−6 −7 −1
−2
1
1
−6
3 2
1
𝑅2 − 2𝑅1
(0
7| 6)
𝑅3 + 2𝑅1
−7 −1
0
1
(0
0
1
3 2
1
𝑅1 − 𝑅2
(0
1 −1| −2)
𝑅3 + 4𝑅2
−4 −1 3
0
0 4 4
1
1 −1| −2) -R3/5 (0
0 −5 −5
0
0
1
0
1
(0
0
0 0 0
1 0| −1) , por lo tanto la solución X1=0, X2=-1, X3=1
0 1 1
1
−1
−4
3 2
1 | 2) -R2
−1 3
4 4
𝑅1 − 4𝑅3
−1| −2)
𝑅2 + 𝑅3
1 1
1.3 Operaciones con matrices
Si A es una matriz de m x n, es decir, una matriz con m filas y n columnas,
entonces la entrada escalar en la i-ésima columna de A se denota mediante a ij y
se llama entrada (i, j) de A. cada columna de A es una lista de m números reales,
que identifica un vector Rm. con frecuencia estas columnas se denotan mediante
a1,,,,, an, y la matriz A se escribe como:
𝐴 = [𝑎1 … 𝑎𝑛]
1.3.1Suma de matrices
La aritmética para vectores que se describió anteriormente tiene una extensión
natural hacia las matrices. Se dice que dos matrices son iguales si tienen el mismo
tamaño (es decir, el mismo número de filas y de columnas) y si sus columnas
correspondientes son iguales, lo que equivale a decir que sus entradas
correspondientes son iguales. Si A y B son matrices de m _ n, entonces la suma A
_ B es la matriz de m _ n cuyas columnas son las sumas de las columnas
correspondientes en A y B. Puesto que la suma vectorial de las columnas se
realiza por entradas, cada entrada en A _ B es la suma de las entradas
correspondientes de A y B. La suma A _ B está definida solo cuando A y B son del
mismo tamaño.
7
EJEMPLO 2 Sean
1 1
𝐴 = [ 4 0 5 ], 𝐵 = [
−1 3 2
3 5
1
]
7
𝑐=[
2
0
−3
]
1
LUEGO
5 1 6
]
2 8 9
Pero A + C, no está definida porque A y C tienen diferentes tamaños
𝐴+𝐵 = [
1.3.1.1Propiedades
-Asociativa
Dadas las matrices m×n A, B y C
(A + B) + C = A + (B + C)
-Conmutativa
Dadas las matrices m×n A y B
A+B=B+A
-Existencia de matriz cero o matriz nula
A+0=0+A=A
1.3.2 Multiplicación de un escalar por una matriz
Si r es un escalar y A es una matriz, entonces el múltiplo escalar rA es la matriz
cuyas columnas son r veces las columnas correspondientes de A. Al igual que
sucede con los vectores, -A significa (-1)A, y A - B es igual que A - (-1)B.
Ejemplo 3
𝑘𝐴 = 2 [ 4 0 5 ]
−1 3 2
= [ 4𝑥2 0𝑥2 5𝑥2 ]
−1𝑥2 3𝑥2 2𝑥2
=[
8 0 10
]
−2 6 4
1.3.2.1 Propiedades
Sean A y B matrices y c y d escalares.
-Clausura: Si A es matriz y c es escalar, entonces cA es matriz.
8
-Asociatividad: (cd)A = c(dA)
-Elemento Neutro: 1·A = A
-Distributividad:
-De escalar: c(A+B) = cA+cB
-De matriz: (c+d)A = cA+dA
1.3.3 Multiplicación de matrices
Cuando una matriz B multiplica a un vector x, transforma a x en el vector Bx. Si
después este vector se multiplica, a la vez, por una matriz A, el vector resultante
es A(Bx). Véase lafigura 1.3.3.1
Figura no. 1.3.3.1 Multiplicación por B y luego por A.
Si A es una matriz de m _ n, y si B es una matriz de n _ p con columnas b1,…, bp
entonces el producto AB es la matriz de m _ p cuyas columnas son Ab1,…, Abp.
Es decir,
𝐴𝐵 = 𝐴[𝑏1 𝑏2
…
𝑏𝑝] = [𝐴𝑏1
𝐴𝑏2
… 𝐴𝑏𝑝]
Cada columna de AB es una combinación lineal de las columnas de A usando
pesos de la columna correspondiente de B.
Evidentemente, el número de columnas de A debe corresponder al número de filas
en B para que una combinación lineal como Ab1 esté definida. Además, la
definición de AB muestra que AB tiene el mismo número de filas que A y el mismo
número de columnas que B.
EJEMPLO 4 Si A es una matriz de 3 _ 5 y B una matriz de 5 _ 2, ¿cuáles son los
tamaños
de AB y de BA, si tales productos están definidos?
Como A tiene 5 columnas y B tiene 5 filas, el producto AB está definido y es una
matriz de 3 X 2:
9
Figura no. 1.3.3.2 Solución de la multiplicación de las matrices.
Propiedades
Si los elementos de la matriz pertenecen a un cuerpo, y puede definirse el
producto, el producto de matrices tiene las siguientes propiedades:
-Propiedad asociativa: (AB)C = A(BC).
-Propiedad distributiva por la derecha: (A + B)C = AC + BC.
-Propiedad distributiva por la izquierda: C(A + B) = CA + CB.
-En general, el producto de matrices tiene divisores de cero: Si A.B = 0, No
necesariamente A ó B son matrices nulas
-El producto de matrices no verifica la propiedad de simplificación: Si A.B =
A.C, No necesariamente B=C.
-El producto de dos matrices generalmente no es conmutativo, es decir, AB ≠ BA.
La división entre matrices, es decir, la operación que podría producir el cociente A
/ B, no se encuentra definida. Sin embargo, existe el concepto de matriz inversa,
sólo aplicable a las matrices invertibles.
1.4 Métodos para obtener la inversa de una matriz
El producto de una matriz por su inversa es igual
al matriz identidad.
A · A-1 = A-1 · A = I
10
Se puede calcula r la matriz inversa por dos métodos:
1.4.1 Cálculo por determinantes
A - 1 = matriz inversa
│A│ = determina nte de la matriz
A * = matriz adjunta
(A * ) t = matriz transpues ta
Ejem plo 5
1. Calcula mo s el determina nte de la matriz, en el caso
que el determina nte sea nulo la matriz no tendrá inversa .
2. Hallamo s la matriz adjunta , que es aquella en la que
cada elemento se sustituye por suadjunto .
11
3. Calcula mo s la traspues ta de la matriz adjunta .
4. La matriz inversa es igual al inverso del valor de su
determina n te por la matriz traspues ta de la adjunta .
1.4.2. Cálculo de la matriz inversa por el método de gauss
Sea A una matriz cuadrada de orden n. Para calcular la
matriz inversa de A, que denotaremos como A - 1 , seguiremos
los siguiente s pasos:
Construir una matriz del tipo M = (A | I), es decir, A está en
la mitad izquierda de M y la matriz identidad I en la derecha.
12
Ejemplo 6. Considerem os una matriz 3x3 arbitraria
1.La ampliamos con la matriz identidad de orden 3.
2.- Utilizando el método Gauss vamos a transformar la mitad
izquierda, A, en la matriz identidad, que ahora está a la
derecha, y la matriz que resulte en el lado derecho será la
matriz inversa :A - 1 .
F2 - F1
F3 + F2
F2 - F3
13
F1 + F2
(-1) F 2
L a m a tr i z i nve r s a e s :
1.4.3 Propiedades de la matriz inversa
(A · B) - 1 = B - 1 · A - 1
(A - 1 ) - 1 = A
(k · A) - 1 = k - 1 · A - 1
(A t ) - 1 = (A
- 1)t
14
1.5 Aplicaciones de las ecuaciones matriciales en la ingenieria (civil)
Las matrices se mencionaron por primera vez en Inglaterra a mediados del siglo
pasado en los trabajos del irlandés W. Hamilton, constituyen una de las
aportaciones mas valiosas y fructíferas a las matemáticas modernas por nla
simplificación rotacional que permiten en la presentación de problemas complejos
en los que interviene un gran número de variables.
En las más diversas disciplinas, como la física, la ingeniería, la economía, la
psicología o la administración, una gran cantidad de problemas que requieren del
uso de muchas variables no podrían ser delimitados, planeados y resultados por la
notación simbólica del algebra tradicional a causa de los pocos alcances que esta
otorga. La estructura matricial por su agilidad, brevedad y precisión suple esta
deficiencia.
Dentro de la ingeniería en específico, se ocupan las matrices en diversos
aspectos:
 El diseño estructural
 Los problemas de dinámica estructural
 Análisis avanzados de elementos finitos
 Los análisis de redes de flujo en mecánica de suelo
 Entre otros
1.6 Referencias
Enlaces;
http://sauce.pntic.mec.es/~jpeo0002/Archivos/PDF/T07.pdf
https://sites.google.com/site/algebralinealmoralescamacho/u2-matrices/2-2operaciones-con-matrices
http://www.juntadeandalucia.es/averroes/centrostic/11001762/helvia/sitio/upload/Sistemas_de_Ecuaciones_lineales._Metodo_de_
Gauss.pdf
Libros
algebra lineal y sus aplicaciones, David C. Lay
ÁLGEBRA LINEAL EN EL CONTEXTO DE INGENIERÍA CIVIL, Duarte Ramos
Ramón Enrique
15
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