Concreto Armado I • • • • • Contenido: Tema 2: Miembros sometidos a flexión simple 2.1Comportamiento de secciones sometidas a flexión 2.2 Resistencia de las secciones sometidas a flexión 2.3 Diseño de secciones por teoría de rotura Prof. Ing. José Grimán Morales 1 DISEÑO A FLEXIÓN DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO • El diseño de una viga de concreto armado a flexión implica determinar las dimensiones de una sección transversal y la selección y ubicación del acero de refuerzo, cumpliendo con las especificaciones normativas correspondientes. Prof. Ing. José Grimán Morales 2 DISEÑO A FLEXIÓN DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO • Las vigas se deben diseñar de tal forma que la falla, en caso de que ocurra, sea por fluencia del acero y no por aplastamiento del concreto. • Para asegurar el comportamiento de viga subreforzada, el código ACI 318-08 en su sección 10.3.5, establece un valor mínimo para la deformación unitaria neta de tracción 𝜀t = 0,004, para elementos a flexión y para elementos con carga axial menor que 0,10·f’c·Ag, donde Ag es el área gruesa de la la sección transversal. Prof. Ing. José Grimán Morales 3 DISEÑO A FLEXIÓN DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO • La deformación unitaria neta de tracción 𝜀t = 0,004, determina un porcentaje de refuerzo geométrico máximo igual a: • 𝝆𝒎á𝒙 = 𝟎, 𝟖𝟓 ∙ 𝜷𝟏 ∙ Prof. Ing. José Grimán Morales 𝒇′ 𝒄 𝒇𝒚 ∙ 𝟎,𝟎𝟎𝟑 𝟎,𝟎𝟎𝟑+𝟎,𝟎𝟎𝟒 = 𝟎, 𝟑𝟔𝟒 ∙ 𝜷𝟏 ∙ 𝒇′ 𝒄 𝒇𝒚 4 DISEÑO A FLEXIÓN DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO • El ACI 318 fomenta el uso de valores de menores, recomendando que la secciones diseñadas queden controladas por tracción , teniendo 𝜀t ≥ 0,005 : • 𝝆𝟎,𝟎𝟎𝟓 = 𝟎, 𝟖𝟓 ∙ 𝜷𝟏 ∙ 𝒇′ 𝒄 𝒇𝒚 ∙ 𝟎,𝟎𝟎𝟑 𝟎,𝟎𝟎𝟑+𝟎,𝟎𝟎𝟓 = 𝟎, 𝟑𝟏𝟗 ∙ 𝜷𝟏 ∙ 𝒇′ 𝒄 𝒇𝒚 • Iniciaremos el diseño asumiendo un ligeramente menor que 0,005 , por ejemplo: • 𝝆 = 𝝆𝒔𝒖𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒐 = 𝟎, 𝟗𝟎 ∙ 𝝆𝟎,𝟎𝟎𝟓 • Algunos autores recomiendan como un valor supuesto práctico aceptable el de = 0,01. Prof. Ing. José Grimán Morales 5 DISEÑO A FLEXIÓN DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO • En una sección diseñada con 𝜀t ≥ 0,005, se tiene fs = fy, por lo que el momento nominal está dado por: • 𝑴𝒏 = 𝑨𝒔 · 𝒇𝒚 · 𝒅 − 𝒂 𝟐 𝒂= con • Si sustituimos 𝑨𝒔 = 𝝆 ∙ 𝒃 ∙ 𝒅 y • 𝑴𝒏 = 𝝆 · 𝒇𝒚 ∙ 𝒃 ∙ 𝒅𝟐 𝟏 − 𝟎, 𝟓𝟗 ∙ Prof. Ing. José Grimán Morales 𝒂= 𝑨𝒔·𝒇𝒚 𝟎,𝟖𝟓·𝒇′ 𝒄·𝒃 𝝆·𝒇𝒚 ∙𝒅 𝟎,𝟖𝟓·𝒇′ 𝒄 𝝆∙𝒇𝒚 𝒇′𝒄 6 DISEÑO A FLEXIÓN DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO • Se simplifica la ecuación considerando un factor R, conocido como factor de resistencia a flexión R, que depende sólo de la cuantía geométrica de acero y de las resistencias de los materiales. Este factor R puede tabularse fácilmente. • 𝑴 𝒏 = 𝑹 ∙ 𝒃 ∙ 𝒅𝟐 • 𝑹 = 𝝆 · 𝒇𝒚 ∙ 𝟏 − 𝟎, 𝟓𝟗 ∙ 𝝆∙𝒇𝒚 𝒇′𝒄 • La resistencia de diseño queda determinada por: • 𝝓 ∙ 𝑴𝒏 = 𝝓 ∙ 𝑨𝒔 · 𝒇𝒚 · 𝒅 − • 𝝓 ∙ 𝑴𝒏 = 𝝓 ∙ 𝝆 · 𝒇 𝒚 ∙ 𝒃 ∙ 𝒅𝟐 𝒂 𝟐 o 𝟏 − 𝟎, 𝟓𝟗 ∙ 𝝆∙𝒇𝒚 𝒇′𝒄 o • 𝝓 ∙ 𝑴 𝒏 = 𝝓 ∙ 𝑹 ∙ 𝒃 ∙ 𝒅𝟐 Prof. Ing. José Grimán Morales 7 DISEÑO A FLEXIÓN DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO • En ocasiones resulta conveniente introducir en las ecuaciones de análisis o de diseño el concepto de la cuantía mecánica . • 𝝎= 𝝆∙𝒇𝒚 𝒇′𝒄 • 𝑹 = 𝒇′𝒄 ∙ 𝝎 𝟏 − 𝟎, 𝟓𝟗 ∙ 𝝎 • La resistencia de diseño queda determinada por: • 𝝓 ∙ 𝑴𝒏 = 𝝓 ∙ 𝑨𝒔 · 𝒇𝒚 · 𝒅 𝒂 − 𝟐 o • 𝝓 ∙ 𝑴𝒏 = 𝝓 ∙ 𝒇′𝒄 ∙ 𝒃 ∙ 𝒅𝟐 ∙ 𝝎 𝟏 − 𝟎, 𝟓𝟗 ∙ 𝝎 • 𝝓 ∙ 𝑴 𝒏 = 𝝓 ∙ 𝑹 ∙ 𝒃 ∙ 𝒅𝟐 Prof. Ing. José Grimán Morales o 8 DISEÑO A FLEXIÓN DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO • CUANTÍA MÍNIMA DE ACERO. • Otra modalidad de falla puede ocurrir en vigas con muy poco refuerzo. Si la resistencia a la flexión de la sección fisurada es menor que el momento que produce agrietamiento de la sección no fisurada con anticipación, la viga va a fallar de inmediato y sin ningún aviso de peligro una vez que se forme la primera grieta de flexión. • Para protegerse contra este tipo de falla se puede establecer un límite inferior para la cuantía de acero igualando el momento de agrietamiento, calculado a partir del módulo de rotura del concreto, con la resistencia de la sección fisurada. Prof. Ing. José Grimán Morales 9 DISEÑO A FLEXIÓN DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO • NORMA VENEZOLANA 1753-2006 • 10.3.1 Acero de refuerzo de miembros solicitados a flexión. • El área del acero de refuerzo y su distribución en los miembros solicitados a flexión cumplirá con los siguientes requisitos: • 10.3.1.1 Secciones rectangulares y T con ala a tracción • Con excepción de lo dispuesto en la Sección 10.3.1.2, cuando en cualquier sección rectangular de un miembro solicitado a flexión, se requiera acero de refuerzo, el área As suministrada cumplirá con la siguiente ecuación: Prof. Ing. José Grimán Morales 10 DISEÑO A FLEXIÓN DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO • NORMA VENEZOLANA 1753-2006 • Para miembros de sección T, definida según el Artículo 8.9, con ala a tracción, el área Asmin, será obtenida por las ecuaciones (10.1a y 10.1b), donde bw será reemplazado por el menor de los siguientes valores: • a. 2 bw • b. la anchura del ala. • En miembros diseñados para satisfacer los Niveles de Diseño ND3 o ND2, el área de As suministrada, no será menor que al valor especificado en los Artículos 18.3 y 18.7, respectivamente. • 10.3.1.2 Miembros diseñados por Nivel de Diseño ND1. • Los requisitos de las Subsección 10.3.1.1 pueden obviarse, si en cada sección, el área a colocar como refuerzo a la tracción, es un tercio mayor que el valor requerido por el análisis. Prof. Ing. José Grimán Morales 11 DISEÑO A FLEXIÓN DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO • NORMA VENEZOLANA 1753-2006 • 10.3.1.3 Losas y zapatas macizas de espesor uniforme • Para losas y zapatas macizas de espesor uniforme, el área mínima del acero de refuerzo a tracción en la dirección de la luz, será igual al que se requiere por retracción y temperatura de acuerdo al Artículo 7.7. La separación máxima del refuerzo no excederá al menor valor entre tres veces el espesor ó 45 cm. • 10.3.2 Distribución del acero de refuerzo • Esta Sección reglamenta la distribución del acero de refuerzo para controlar la fisuración debido a la flexión en vigas y losas armadas. La distribución del acero de refuerzo a flexión en placas armadas se especifica en el Artículo 13.4. Prof. Ing. José Grimán Morales 12 DISEÑO A FLEXIÓN DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO • N. VENEZOLANA 1753-2006 (PARA CONTROL DE FISURACIÓN) • 10.3.2.1 Secciones rectangulares • El acero de refuerzo a tracción en miembros solicitados a flexión dispuestos en ambientes no agresivos, se distribuirá adecuadamente en las zonas traccionadas del miembro en forma tal que la separación s, del acero de refuerzo más cercano a la cara en tracción, cumplirá con la siguiente ecuación, donde cc es el recubrimiento del acero de refuerzo. • A efecto del cálculo, el valor fs del acero de refuerzo se podrá determinar como: • a. el momento no mayorado dividido por el producto del área de acero por el brazo de momento; o • b. 0,66 fy. Prof. Ing. José Grimán Morales 13 DISEÑO A FLEXIÓN DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO • NORMA VENEZOLANA 1753-2006 • 10.3.2.2 Secciones T con el ala en tracción • En el ala de una viga T traccionada, una cuarta parte del acero de refuerzo diseñado por flexión se distribuirá sobre el menor de los valores siguientes: • a. la anchura efectiva definido en la Sección 8.9.1 o; • b. una anchura igual a 1/10 de la luz. • Cuando la anchura efectiva del ala es superior a 1/10 de la luz se debe colocar acero de refuerzo longitudinal adicional en las partes restantes de la anchura en una cuantía no menor a la exigida por el Artículo 7.7. Prof. Ing. José Grimán Morales 14 DISEÑO A FLEXIÓN DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO • NORMA VENEZOLANA 1753-2006 • 10.3.2.3 Vigas de altura efectiva mayor de 75 cm. • Cuando la altura efectiva de la viga, d, es mayor que 75 cm se colocará un acero longitudinal de paramento Ask, que se distribuirá uniformemente en las caras laterales del miembro a una distancia d/2 de la cara traccionada. • La separación ssk entre las barras longitudinales del refuerzo de paramentos será como indica la Subsección 10.3.2.1, donde, cc es la menor distancia de la superficie de acero de paramento a la cara lateral. • El acero de paramento se podrá incluir en el cálculo de la resistencia del miembro siempre que se realice un análisis de compatibilidad de deformaciones para determinar las tensiones en cada uno de las barras o alambres. Prof. Ing. José Grimán Morales 15 • NORMA 1753-2006. CAPÍTULO 10 • FLEXIÓN Y CARGAS AXIALES Prof. Ing. José Grimán Morales 16 NORMA 1753-2006. CAPÍTULO 7 REQUISITOS PARA EL DETALLADO DEL ACERO DE REFUERZO • 7.2.3 Separación del acero de refuerzo. 7.2.3.1 Barras • La separación libre entre barras paralelas de una capa no será menor que db ni menor que 2,5 cm. • Cuando las barras paralelas del refuerzo se colocan en dos o más capas, las barras de las capas superiores serán colocadas en la misma vertical de las capas inferiores, con una separación libre entre las capas no menor de 2,5 cm. Prof. Ing. José Grimán Morales 17 Figura 9.2.(Tomado de Perdomo y Yépez) Prof. Ing. José Grimán Morales 18 NORMA 1753-2006. CAPÍTULO 7 REQUISITOS PARA EL DETALLADO DEL ACERO DE REFUERZO • 7.2.4 Recubrimiento mínimo del acero de refuerzo • El acero de refuerzo debe tener los recubrimientos mínimos de protección dados a continuación; ver Figura H7.2.4. • El recubrimiento mínimo en piezas de concreto vaciadas en sitio, no prefabricadas ni pre o postensadas, no podrá ser menor que los valores especificados en la Tabla 7.2.4. Prof. Ing. José Grimán Morales 19 Prof. Ing. José Grimán Morales 20 Prof. Ing. José Grimán Morales 21 PROCEDIMIENTO DE DISEÑO DE SSA CON d conocido Y SECCIÓN T CON c hf • Se requiere determinar el área de acero: As. • Son conocidos: b, d, f’c, fy, rd, Mu, y = 0,90. 1. Se establece el valor de 𝛽1: Prof. Ing. José Grimán Morales 22 PROCEDIMIENTO DE DISEÑO DE SSA CON d conocido Y SECCIÓN T CON c hf 2. Se determina el porcentaje de acero para la sección controlada por tracción: 0,005 = t • 𝝆𝒕 = 𝟎, 𝟑𝟏𝟗 ∙ 𝜷𝟏 ∙ 𝒇′ 𝒄 𝒇𝒚 • Se diseña para un porcentaje de acero seleccionado: • 𝝆 = 𝝆𝒔𝒆𝒍𝒆𝒄𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒅𝒐 = 𝟎, 𝟗𝟎 ∙ 𝝆𝒕 3. Se determina el factor de resistencia nominal R. 𝝆 ∙ 𝒇𝒚 𝑹 = 𝝆 · 𝒇𝒚 ∙ 𝟏 − 𝟎, 𝟓𝟗 ∙ 𝒇′𝒄 Prof. Ing. José Grimán Morales 23 PROCEDIMIENTO DE DISEÑO DE SSA CON d conocido Y SECCIÓN T CON c hf 4. Se determina la altura útil requerida para la sección controlada por tracción: • 𝒅𝒓𝒆𝒒𝒖𝒆𝒓𝒊𝒅𝒂 = 𝑴𝒖 𝝓∙𝑹∙𝒃 • Si d > drequerida se continua el diseño como SSA. • Si d < drequerida se debe diseñar la sección como SDA. 5. Se determina para la d conocida, la cuantía mecánica específica , resolviendo la ecuación cuadrática que resulta de: 𝑴𝒖 = 𝝎 𝟏 − 𝟎, 𝟓𝟗 ∙ 𝝎 𝟐 𝝓 ∙ 𝒇′𝒄 ∙ 𝒃 ∙ 𝒅 Prof. Ing. José Grimán Morales 24 PROCEDIMIENTO DE DISEÑO DE SSA CON d conocido Y SECCIÓN T CON c hf 6. Se determina la cuantía geométrica del acero : 𝒇′𝒄 𝝆=𝝎∙ 𝒇𝒚 7. Se determina el área de acero As: 𝑨𝒔 = 𝝆 ∙ 𝒃 ∙ 𝒅 8. Se determina el acero mínimo: 𝟏𝟒 𝒌𝒈 ′ 𝑨𝒔𝒎𝒊𝒏 = ∙𝒃∙𝒅 𝒔𝒊 𝒇 𝒄 < 𝟑𝟏𝟓 𝒇𝒚 𝒄𝒎𝟐 𝑨𝒔𝒎𝒊𝒏 𝟎, 𝟕𝟗 ∙ 𝒇′𝒄 = ∙𝒃∙𝒅 𝒇𝒚 Prof. Ing. José Grimán Morales 𝒔𝒊 𝒇′ 𝒄 𝒌𝒈 ≥ 𝟑𝟏𝟓 𝒄𝒎𝟐 25 PROCEDIMIENTO DE DISEÑO DE SSA CON d conocido Y SECCIÓN T CON c hf 9. Se cheque As con respecto a Asmin . • Si As > Asmin el diseño está correcto y finaliza el procedimiento. • Si As < Asmin se hace As = Asmin . 10. Se selecciona el tamaño y número de barras. Se dibuja el detalle de la sección indicando dimensiones, ubicación de las barras, diámetro de las barras, recubrimiento, diámetro y detalle de los estribos. Prof. Ing. José Grimán Morales 26 DISEÑO DE SECCIONES RECTANGULARES SIMPLEMENTE ARMADAS (NO SE CONOCE b, d, As) • Se requiere determinar el área de acero: b, d, As. • Son conocidos: f’c, fy, rd, Mu, y = 0,90. 1. Se establece el valor de 𝛽1: Prof. Ing. José Grimán Morales 27 DISEÑO DE SECCIONES RECTANGULARES SIMPLEMENTE ARMADAS (NO SE CONOCE b, d, As) 2. Se determina el porcentaje de acero para la sección controlada por tracción: 0,005 = t • 𝝆𝒕 = 𝟎, 𝟑𝟏𝟗 ∙ 𝜷𝟏 ∙ 𝒇′ 𝒄 𝒇𝒚 • Se diseña para un porcentaje de acero seleccionado: • 𝝆 = 𝝆𝒔𝒆𝒍𝒆𝒄𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒅𝒐 = 𝟎, 𝟗𝟎 ∙ 𝝆𝒕 3. Se determina el factor de resistencia nominal R. 𝝆 ∙ 𝒇𝒚 𝑹 = 𝝆 · 𝒇𝒚 ∙ 𝟏 − 𝟎, 𝟓𝟗 ∙ 𝒇′𝒄 Prof. Ing. José Grimán Morales 28 DISEÑO DE SECCIONES RECTANGULARES SIMPLEMENTE ARMADAS (NO SE CONOCE b, d, As) 3. Se determina el valor de 𝒃 ∙ 𝒅𝟐 𝑴𝒖 𝒃∙𝒅 = 𝝓∙𝑹 𝟐 Con Mu en kg-cm. 4. Se tantea con varias alternativas para b, se determina la d correspondiente. Considerando tanto vigas algo anchas donde caben las barras de acero en una sola capa, como vigas algo angostas donde sea necesario acomodar el acero en dos o más capas. Se selecciona la sección mas adecuada para el diseño, según el mejor criterio y experiencia del Ingeniero. Asuma también un rd adecuado a la sección seleccionada. Se recomienda rd = 6,5 cm para una capa y rd = 9 cm para dos capas. Prof. Ing. José Grimán Morales 29 DISEÑO DE SECCIONES RECTANGULARES SIMPLEMENTE ARMADAS (NO SE CONOCE b, d, As) 5. Se determina el valor de h: 𝒉 = 𝒅 + 𝒓𝒅 6. Se compara la h calculada con la altura mínima de vigas dadas en la tabla 9.6.1 del la Norma Venezolana 1753-2006. Si 𝒉 ≥ 𝒉< 𝑳 𝜶 𝑳 𝜶 , la sección cumple y se continúa con el diseño. Si , se hace h = L/ y se recalcula d = h – rd. L es la longitud de la viga y es el valor dado en la tabla 9.6.1. Prof. Ing. José Grimán Morales 30 DISEÑO DE SECCIONES RECTANGULARES SIMPLEMENTE ARMADAS (NO SE CONOCE b, d, As) Prof. Ing. José Grimán Morales 31 DISEÑO DE SECCIONES RECTANGULARES SIMPLEMENTE ARMADAS (NO SE CONOCE b, d, As) 7. Se determina para la d conocida, la cuantía mecánica específica , resolviendo la ecuación cuadrática que resulta de: 𝑴𝒖 = 𝝎 𝟏 − 𝟎, 𝟓𝟗 ∙ 𝝎 𝟐 𝝓 ∙ 𝒇′𝒄 ∙ 𝒃 ∙ 𝒅 ∙ 8. Se determina la cuantía geométrica del acero : 𝒇′𝒄 𝝆=𝝎∙ 𝒇𝒚 9. Se determina el área de acero As: 𝑨𝒔 = 𝝆 ∙ 𝒃 ∙ 𝒅 Prof. Ing. José Grimán Morales 32 DISEÑO DE SECCIONES RECTANGULARES SIMPLEMENTE ARMADAS (NO SE CONOCE b, d, As) 10. Se determina el acero mínimo: 𝟏𝟒 𝒌𝒈 ′ 𝑨𝒔𝒎𝒊𝒏 = ∙𝒃∙𝒅 𝒔𝒊 𝒇 𝒄 < 𝟑𝟏𝟓 𝒇𝒚 𝒄𝒎𝟐 𝑨𝒔𝒎𝒊𝒏 𝟎, 𝟕𝟗 ∙ 𝒇′𝒄 = ∙𝒃∙𝒅 𝒇𝒚 𝒌𝒈 𝒔𝒊 𝒇 𝒄 ≥ 𝟑𝟏𝟓 𝒄𝒎𝟐 ′ 11. Se cheque As con respecto a Asmin . • Si As > Asmin el diseño está correcto y finaliza el procedimiento. • Si As < Asmin se hace As = Asmin . 12. Se selecciona el tamaño y número de barras. Se dibuja el detalle de la sección indicando dimensiones, ubicación de las barras, diámetro de las barras, recubrimiento, diámetro y detalle de los estribos. Prof. Ing. José Grimán Morales 33 Ejercicios 1.) Calcular el área de acero de una viga simplemente armada de dimensiones 35x70 cm para que soporte un momento por carga permanente de 7500 kgf-m y un momento por carga variable de 12100 kgf-m. Considere un recubrimiento mecánico de 9 cm (Dos capas), f’c = 280 kgf/cm2 , fy = 4200 kgf/cm2 , Es = 2100000 kgf/cm2 . 2.) Obtener el ancho b, la altura útil y el área de acero de una viga que debe resistir un momento último negativo de 5760 kgf-m. Considere f’c = 280 kgf/cm2 , fy = 4200 kgf/cm2 , Es = 2100000 kgf/cm2 . Considere L = 6,50 m y rd = 6,5 cm. Prof. Ing. José Grimán Morales 34 Prof. Ing. José Grimán Morales 35 Prof. Ing. José Grimán Morales 36 Prof. Ing. José Grimán Morales 37 Prof. Ing. José Grimán Morales 38 Prof. Ing. José Grimán Morales 39 Prof. Ing. José Grimán Morales 40 Prof. Ing. José Grimán Morales 41 Prof. Ing. José Grimán Morales 42 Prof. Ing. José Grimán Morales 43 DISEÑO DE SECCIONES RECTANGULARES DOBLEMENTE ARMADAS Prof. Ing. José Grimán Morales 44 DISEÑO DE SECCIONES RECTANGULARES DOBLEMENTE ARMADAS • Se requiere determinar el área de acero: As y A’s. • Son conocidos: b, d, d’, f’c, fy, Mu, y = 0,90. 1. Se establece el valor de 𝛽1: Prof. Ing. José Grimán Morales 45 DISEÑO DE SECCIONES RECTANGULARES DOBLEMENTE ARMADAS 2. Se determina el porcentaje de acero para la sección controlada por tracción: 0,005 = t • 𝝆𝒕 = 𝟎, 𝟑𝟏𝟗 ∙ 𝜷𝟏 ∙ 𝒇′ 𝒄 𝒇𝒚 • Se diseña para un porcentaje de acero seleccionado: • 𝝆 = 𝝆𝒔𝒆𝒍𝒆𝒄𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒅𝒐 = 𝟎, 𝟗𝟎 ∙ 𝝆𝒕 3. Se determina el As1, a y c. 𝑨𝒔𝟏 = 𝝆 ∙ 𝒃 ∙ 𝒅 𝒂= 𝑨𝒔𝟏 ·𝒇𝒚 𝟎,𝟖𝟓·𝒇′ 𝒄·𝒃 Prof. Ing. José Grimán Morales , 𝒄= 𝒂 𝜷𝟏 46 DISEÑO DE SECCIONES RECTANGULARES DOBLEMENTE ARMADAS 4. Se determina la capacidad máxima como sección simplemente armada: 𝑴𝒏𝟏 = 𝑨𝒔𝟏 · 𝒇𝒚 · 𝒅 − 𝒂 𝟐 • Si Mn1 ≥ Mu / 𝜙 , la viga es SSA, se debe diseñar como SSA. • Si Mn1 < Mu / 𝜙 , se continua el diseño como SDA. 5. Se determina el momento Mn2 y el área A’s 𝑴𝒖 𝑴𝒏𝟐 = − 𝑴𝒏𝟏 𝝓 𝑴𝒏𝟐 𝑨′𝒔 = 𝒇𝒚 ∙ 𝒅 − 𝒅′ Prof. Ing. José Grimán Morales 47 DISEÑO DE SECCIONES RECTANGULARES DOBLEMENTE ARMADAS 6. Se determina la relación (d’/c)límite , para determinar si el acero a compresión está cediendo. 𝒅′ 𝒄 𝒍í𝒎𝒊𝒕𝒆 𝒇𝒚 =𝟏− 𝟎, 𝟎𝟎𝟑 ∙ 𝑬𝒔 • Si (d’/c) (d’/c)límite , el acero en compresión está en cedencia. Se sigue según el caso 1. • Si (d’/c) > (d’/c)límite , el acero en compresión no cede. Se sigue según el caso 2. Prof. Ing. José Grimán Morales 48 DISEÑO DE SECCIONES RECTANGULARES DOBLEMENTE ARMADAS 7. Caso 1: El acero en compresión está en cedencia: 𝑨𝒔𝟐 = 𝑨′𝒔 𝑨𝒔 = 𝑨𝒔𝟏 + 𝑨𝒔𝟐 7a. Caso 2: El acero en compresión no cede: Se determina f’s: 𝒄 − 𝒅′ 𝒇′𝒔 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟑 ∙ 𝑬𝒔 ∙ 𝒄 Se determina A’s: 𝑴𝒏𝟐 𝑨′𝒔 = 𝒇′𝒔 ∙ 𝒅 − 𝒅′ Se determina As2 y As: 𝑨𝒔𝟐 = 𝑨′𝒔 ∙𝒇′𝒔 𝒇𝒚 , 𝑨𝒔 = 𝑨𝒔𝟏 + 𝑨𝒔𝟐 Prof. Ing. José Grimán Morales 49 DISEÑO DE SECCIONES RECTANGULARES DOBLEMENTE ARMADAS 8. Se selecciona el tamaño y número de barras para As y para A’s. Los cálculos siguientes se realizan con estos valores nuevos de As y A’s (colocados). 9. Se calcula la cuantía geométrica colocada : 𝑨𝒔 𝝆= 𝒃∙𝒅 10. Se calcula la cuantía geométrica a compresión ’ con As2 = A’s si 𝑨′ ∙𝒇′ se está en el caso 1 o con 𝑨𝒔𝟐 = 𝒔 𝒔 , si se está en el caso 2. 𝒇𝒚 11. Se determina max : Prof. Ing. José Grimán Morales 𝑨𝒔𝟐 𝝆′ = 𝒃∙𝒅 𝝆𝒎𝒂𝒙 = 𝝆𝒕 + 𝝆′ 50 DISEÑO DE SECCIONES RECTANGULARES DOBLEMENTE ARMADAS 12. Se chequea si max , esto de debe cumplir para que la sección sea controlada por tracción. Si esto se cumple, aquí termina el diseño. Si max , se debe aumentar ’, o rediseñar cambiando d o b. 13. Se dibuja el detalle de la sección indicando dimensiones, ubicación de las barras, diámetro de las barras, recubrimiento, diámetro y detalle de los estribos. Prof. Ing. José Grimán Morales 51 DISEÑO DE SECCIONES Te CON ALA A COMPRESIÓN PARA c > hf Prof. Ing. José Grimán Morales 52 DISEÑO DE SECCIONES Te CON ALA A COMPRESIÓN PARA c > hf Prof. Ing. José Grimán Morales 53 DISEÑO DE SECCIONES Te CON ALA A COMPRESIÓN PARA c > hf Prof. Ing. José Grimán Morales 54 3.) Calcular el área de acero y la altura útil de una viga simplemente armada de 30 cm de ancho, para que soporte un momento mayorado en la sección Mu = 9500 kg-m. Considere un recubrimiento mecánico de 6,5 cm, f’c = 250 kgf/cm2 , fy = 4200 kgf/cm2 , L = 6 m. 4.) Calcular el área de acero a tensión y a compresión de una viga con b = 30 cm y h = 70 cm, para que soporte un momento mayorado en la sección Mu = 80000 kg-m. Considere rd = 6,5 cm d’ = 6 cm, f’c = 250 kgf/cm2 , fy = 4200 kgf/cm2 , L = 6 m. 5.) Calcular el área de acero y la altura útil de una viga de sección Te simplemente armada para que soporte un momento mayorado en la sección Mu = 32000 kg-m. Considere un recubrimiento mecánico de 6,5 cm, b = 65 cm, bw = 25 cm, hf = 6 cm, f’c = 250 kgf/cm2 , fy = 4200 kgf/cm2 . Prof. Ing. José Grimán Morales 55 5.) Calcular el área de acero y la altura útil de una viga de sección Te simplemente armada para que soporte un momento mayorado en la sección Mu = 32000 kg-m. Considere un recubrimiento mecánico de 6,5 cm, b = 65 cm, bw = 25 cm, hf = 6 cm, f’c = 250 kgf/cm2 , fy = 4200 kgf/cm2 . SOLUCIÓN β1= 0,85 𝟎, 𝟑𝟏𝟗 ∙ 𝟎, 𝟖𝟓 ∙ 𝟐𝟓𝟎 𝝆𝒕 = = 𝟒𝟐𝟎𝟎 𝝆𝒕 = 𝟎, 𝟎𝟏𝟔𝟏𝟒 𝝆𝒔𝒆𝒍𝒆𝒄𝒄 = 𝟎, 𝟎𝟏 Prof. Ing. José Grimán Morales 56 𝟎, 𝟓𝟗 ∙ 𝟎, 𝟎𝟏 ∙ 𝟒𝟐𝟎𝟎 𝒌𝒈𝒇 𝑹𝒏 = 𝟎, 𝟎𝟏 ∙ 𝟒𝟐𝟎𝟎 ∙ 𝟏 − = 𝟑𝟕, 𝟖𝟒 𝟐𝟓𝟎 𝒄𝒎𝟐 𝟑𝟐𝟎𝟎𝟎 ∙ 𝟏𝟎𝟎 𝒃∙𝒅 = = 𝟗𝟑𝟗𝟕𝟎, 𝟒𝟑𝟒 𝟎, 𝟗𝟎 ∙ 𝟑𝟕, 𝟖𝟒 𝟐 𝒅= 𝟗𝟑𝟗𝟕𝟎, 𝟒𝟑𝟒 = 𝟑𝟖, 𝟎𝟐 𝒄𝒎 𝟔𝟓 Se asume d = 38,5 cm con rd = 6,5 cm => h = 45 cm Prof. Ing. José Grimán Morales 57 𝑨𝒔 = 𝝆 ∙ 𝒃 ∙ 𝒅 = 𝟎, 𝟎𝟏 ∙ 𝟔𝟓 ∙ 𝟑𝟖, 𝟓 = 𝟐𝟓, 𝟎𝟐𝟓 𝒄𝒎𝟐 SE CHEQUEA SI TRABAJA COMO Te O COMO RECTANGULAR 𝟐𝟓, 𝟎𝟐𝟓 ∙ 𝟒𝟐𝟎𝟎 𝒂= = 𝟕, 𝟔𝟏 𝒄𝒎 𝟎, 𝟖𝟓 ∙ 𝟐𝟓𝟎 ∙ 𝟔𝟓 𝒂 𝟕, 𝟔𝟏 𝒄= = = 𝟖, 𝟗𝟓 𝒄𝒎 𝜷𝟏 𝟎, 𝟖𝟓 Como c > hf, Trabaja como Te 𝟎, 𝟖𝟓 ∙ 𝟐𝟓𝟎 ∙ (𝟔𝟓 − 𝟐𝟓) ∙ 𝟔 𝑨𝒔𝒇 = = 𝟏𝟐, 𝟏𝟒 𝒄𝒎𝟐 𝟒𝟐𝟎𝟎 𝟔 𝟎, 𝟖𝟓 ∙ 𝟐𝟓𝟎 ∙ 𝟔𝟓 − 𝟐𝟓 ∙ 𝟔 ∙ 𝟑𝟖, 𝟓 − 𝟐 = 𝟏𝟖𝟏𝟎𝟓 𝒌𝒈𝒇 − 𝒎 𝑴𝒏𝒇 = 𝟏𝟎𝟎 Prof. Ing. José Grimán Morales 58 𝟑𝟐𝟎𝟎𝟎 𝑴𝒏𝒘 = − 𝟏𝟖𝟏𝟎𝟓 = 𝟏𝟕𝟒𝟓𝟎, 𝟓𝟔 𝒌𝒈𝒇 − 𝒎 𝟎, 𝟗𝟎 𝒂𝒘 𝑴𝒏𝒘 = 𝟎, 𝟖𝟓 ∙ 𝟐𝟓𝟎 ∙ 𝒂𝒘 ∙ 𝟐𝟓 ∙ 𝟑𝟖, 𝟓 − 𝟐 Se resuelve el sistema para aw y resulta: aw = 9,772 cm Prof. Ing. José Grimán Morales 59 𝟗, 𝟕𝟕𝟐 𝒄= = 𝟏𝟏, 𝟓 𝒄𝒎 𝟎, 𝟖𝟓 𝟏𝟕𝟒𝟓𝟎, 𝟓𝟔 𝑨𝒔𝒘 = = 𝟏𝟐, 𝟑𝟔 𝒄𝒎𝟐 𝟗, 𝟕𝟕𝟐 𝟒𝟐𝟎𝟎 ∙ 𝟑𝟖, 𝟓 − 𝟐 𝑨𝒔 = 𝟏𝟐, 𝟑𝟔 + 𝟏𝟐, 𝟏𝟒 = 𝟐𝟒, 𝟓 𝒄𝒎𝟐 COLOCAR 5# 8 SEGÚN FIGURA As = 25,34 cm2 Prof. Ing. José Grimán Morales 60 REVISIÓN • Cálculo de d: REVISIÓN Asb = 5,07 db = 2,54 y1= 6,223 cm A1 15,21 y2 = 8,763 cm A2= 10,14 rd = 7,239 cm • 𝒅 = 𝟒𝟓 − 𝟕, 𝟐𝟒 = 𝟑𝟕, 𝟕𝟔 𝐜𝐦 • CÁLCULO DE a CÁLCULO DE d d= 37,761 cm a= 7,70519457 cm c= 8,95224913 cm Prof. Ing. José Grimán Morales ACERO COLOCADO = 25,34 cm2 C > hf 61 REVISIÓN Prof. Ing. José Grimán Morales 62 REVISIÓN Prof. Ing. José Grimán Morales 63 REVISIÓN Prof. Ing. José Grimán Morales 64 REVISIÓN Prof. Ing. José Grimán Morales 65 REVISIÓN Prof. Ing. José Grimán Morales 66 Prof. Ing. José Grimán Morales 67 Prof. Ing. José Grimán Morales 68
